^ " / .....

m

. -v.\',\'"

te .. •

■Vt •■

over de ontbinding

IS

l\'llEmil FllEIlfiS.

Typ. J. VAN BOEKHOVEN, Utrecht.

X\'ibft (lecji\'\')

OVER DE ONTBINDING

IN

és 11 gelde Traw

PROEFSCHRIFT

TEU VEHKniJOINO VAN DEN OIlAAIl VAN

i 1 IS-1 MIMB

aan de flijks-pniversiteit te ptrecht ,

NA MACIITIOINO VAN DKN HKCTOU-MAONIFICUS

d^ m. Th. houtsma,

IIooicle«riiRr In dr Ktcultvtt der liCttrrfn rn W^sbfirrfrte.

/

VOLGENS HESLUIT VAN DKN SENAAT DEK UNI V EIISITEIT

TP.QEN UE IIGDENKINaEN VAN

DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE

TK VEIIDEDIOKN

op Vrijdag 17 April 1896, des namiddags te 3 ure,

JOHANNES COENRAAD MARX,

Koboron to Amstordam.

bibliotheek dek

_ RIJKSUNiVtLRiil BIT

UTRECHT.

UTKKCIIT,

J VAN nOEKHOVKN
1800.

I

\' \' - • \' \'

tr.

fr

y^AN DE j^AGEDACHTENIS MIJNER PuDERS

y^AN DE j^AGEDACHTENIS MIJNER PuDERS

Aan het einde mijner academische studiën gekomen, gevoel
ik mij gedrongen, ope^üijk mijnen dank te betuigen aan mijne
leermeesters, de Hoogleeraren in de facidteit der Tris- e7i
Natuurkunde, voor hun gewaardeerd onderioijs, dat ik in zoo
ruime mate heb mogen genieten.

Inzonderheid-ü, Hooggeleerde Kapteyn, hooggeachte Promotor,
breng ik mijnen dank voor Uw uitstekend onderricht, voor
Uw steun, mij verleend bij het samenstellen van dit proef-
schrift , en voor Uwe werkdadige belangstelling in mijn
maatschappelijk leven.

Ook U, Hooggeleerde Grinwis en Julius, betuig ik mijm
erkentelijkheid voor hetgeen ik van U heb mogen keren, en
voor hetgeen ook Gij gedaan hebt, om mij eene positie in de
maatschappij te bezorgen.

Uio onderricht in de mathe^natische theoi\'ie der leven»ver-
zekeringwetenschap, Zeergeleerde JIounieu, zal mij, naar ik
vertrouw, bij de toepassimj dier theorie^ van veel nut zijn.

Ten slotte een woord van dunk aan het College van Curatoren
en aan de Wis- en Natuurkundige Faculteit, voor hetgeen zij
gedaan hebben om mij eene Rijks-studiebeurs te vcrschaffeti,
waardoor mij het voortzetten en voleinden mijner studiën werd
mogelijk gemaakt.

\' ; \'V

; i».

• y

-H i

i

INHOUD.

Bladz.

INLEIDING......................................................1

HOOFDSTUK I. Methode van Weieustrass......................11

HOOFDSTUK II. Methode van Mittao-Lefflek..................23

HOOFDSTUK III. Methode van Fuenzei............................32

HOOFDSTUK IV. Over liet geslacht vnn eene functie en over do

bepaling van den uitwendigon cxponentieelon factor 43

HOOFDSTUK V. Voorbeelden....................................5G

I. Sinus-funotio. Cosinus-functie... ...... ... 5G

II. Sinussen van hoogere orde................................68

III. Do rociproko r-functio....................................7!)

IV. De ff-funotie van Weiekstuass, do O- en S-functies van
Jacoiu..................................................80

HOOFDSTUK VI. Over het geslacht van do afgeleide van eene functie

viiii geslacht «u................................i)7

HOOFDSTUK VII. Andere eigenschappen.............11(5

STKI.LINGKN..................................................131

. . .... . ;

W\'- \' ■

i • • ■

■ 1-

1

^ \' i

INLEIDING.

1. Eene geheele transcendentale functie is eene functie,
die holomorph is in het geheele eindige gebied en die het
punt 2 = 00 tot essentieel kritiek punt heeft. Zulk eene
functie kan voorgesteld worden door eene oneindig voort-
loopende reeks, gerangschikt volgens de opklimmende machten
van de variabele z,

Ao ■]- Al zA. z^ .....,

welke convergeert voor alle eindige waarden van s, en dio
we G (z) zullen noemen.

Deze geheele transcendentale functies hebben met do
geheele rutioneele functies voel punten van overeenkomst,
maar ook punten van verschil. Een van deze punten van
verschil wordt ons geleverd door do ontbinding in factoren.

Zijn do nullen van eene geheelo rationecle functio f{z)
van den graad

«1) "ïj ^fsj.....,0«.,

waarbij \\vo zullen onderstellen, dat geen dezer grootheden
gelijk aan nul is, dan kan deze functio geschreven worden
in den vorm:

1 _ JL

Hierdoor zou men geneigd zijn om , wanneer van eenp

1

geheele transcendentale functie G (z) de nullen gegeven zijn
door de reeks■

«1, «3, «3,.....5 .....

in eene zoodanige volgorde, dat

Um I Ov 1 = 00,

V = 00

terwijl we wederom onderstellen, dat geen dezer grootheden
nul is, deze functie te schrijven in den vorm

1 - -

G{z)=G (0) n

V = 1

Dit is echter in het algemeen foutief, omdat het oneindige
product in het tweede lid aan eene bepaalde voorwaarde
moet voldoen, om eene functie te kunnen voorstellen, die
holomorph is in het geheele eindige gebied.

2. Om deze voorwaarde op te sporen, merken we in de
eerste plaats op, dat het oneindige product

I I (1 &.)

V = 1

waarm

bi, h, .....

complexe getallen voorstellen, stellig convergeert, wanneer
de reeks

-f .... -h - ... .

absoluut convergeert, d. w. z. wanneer do reeks der moduli
van de termen dezer reeks convergeert. Het oneindige
product wordt in dit geval ook absoluut convergent genoemd.
Van zulk een absoluut convergeerend product kan l)ewozen
worden, dat do waarde er van niet Jifhangt^van do volgorde
of van de groepeering der factoren, zoodat men met zulk
een oneindig product mag handelen als met een product van
een eindig aantal factoren. Dit geldt niet voor oneindige
producten, waarvan de convergentie niet absoluut is, en daar
we deze eigenschap toch gaarne wenschen te behouden,

stellen we als voorwaarde, dat de oneindige producten, die
we behandelen, absoluut convergent zijn.

Ook kan nog bewezen worden, dat een absoluut conver-
geerend product alleen dan nul kan zijn, wanneer een der
factoren nul is.
3. Beschouwen we thans het oneindige product

P= U (1 n,),

V = 1

waarin

7Cl, Ui, ils,...... Uy,.....

holomorphe functies van z zijn in een zeker gebied (F).
Opdat dit oneindige product eene holomorphe functie van s
in het gebied (U) voorstelle, moet in de eerste plaats het
oneindige product absoluut convergent zijn in het gebied (B)
en in de tweede plaats moet het in dit gebied uniform
convergent zijn, d. w. z. mot elk positief getal t moet men
een positief getal ?• kunnen doen overeenkomen zoodanig,
dat, voor alle waarden van c in hot gebied (£)

I ^-^»K^

wanneer n > r en waarin P„ het product der eerste fi
factoren 1 -f voorstelt.

Het oneindige prochict zal uniform convergent zijn in een
zeker gebied, wanneer dit het geval is in dat gebied met
de reeks

1 «1 1 I «a I I «3 1 ..... I «V 1 .....

Het oneindige product

H (l «v)

V = 1

zal dus eono holomorpho functio van z voorstellen in het
gebied (F), wanneer do reeks

. i «1 1 1 «3 1 I «s I ..... I «V 1 .....

uniform convergeert in dat gebied.
Baar elko functio, dio holomorph is in zeker gpbied (F),

dat den oorsprong bevat, ontwikkeld kan worden in eene
geheele reeks in z, waarvan de convergentiecirkel geheel en
al in {E) ligt, kunnen we dus ook zeggen, dat, wanneer
van de- reeksen

u, = &v,i &v,2 .. •  4- • • • = 1, 2,.. .)

de stralen der convergentiecirkels gelijk of grooter zijn dan
een bepaald positief getal Ä, en wanneer de reeks

\' h^i I I W2 I 1 ws I ..... h^v I .....

unifoiin convergent is voor alle waarden van z, die voldoen
aan de voorwaarde \\ z \\ dat dan, voor die waarden
van z, het oneindige product

fl (1 %)
V — \\

eene holomorphe functie van z voorstelt, die dus ontwikkeld
kan worden in eene geheele reeks in z, welke convergeert
voor de waarden van ^ waarbij \\ z \\ <A.

4. Een bijzonder geval van het bovenstaande is voor
hetgeen later zal behandeld worden van groot belang.
Stellen we dat de reeks met dubbelen ingang

00 00
V V

V = 1 n = 0

convergent is.

De voorwaarden, noodig en voldoende hiervoor, zijn:
1». dat de reeksen

lA.o I I I I .....

convergent zijn, voor alle waarden van r. Noemen wo do
sommen hiervan A^;

2". dat de reeks van positieve grootheden

Al A2A^ ..... . •

convergent is.

Zijn deze voorwaarden vervuld, dan is, daar

Uy = 4- 4- .....^^^^ ^.....

dus

.....

voor alle waarden van z, waarbij \\ z \\ ^ A,

I I ^ Ay.

De reeks

I «1 I I «3 I I «s ! ..... 1 «V 1 .....

is dus, zooals gemakkelijk in te zien is, uniform convergent
voor alle waarden van die voldoen aan de voorwaarde
en dus zal het oneindige product

P= n (l Uy)

V = 1

voor die waarden van z eene holomorphe functie vans zijn,
die dus in eene geheele reeks in ^ ontwikkeld kan worden.

5. Merken we nog ten slotte op, dat wanneer eene functie,
holomorph in zeker gebied (E)^ bepaald is door een in dat
gebied absoluut en uniform convergeerend oneindig product,
de logarithmische afgeleide van die functie gevonden kan
worden door de som te nemen van de logarithmisclie afge-
leiden der factoren van het product, wanneer ten minste z
niet eene zoodanige waarde heeft, dat een der factoren nul
is; waarin dus ligt opgesloten, dat de reeks, gevormd door
de logarithmische afgeleiden der factoren van het oneindige
product uniform convergeert in het gebied (E), wanneer we
hiervan uitzonderen do punten gelegen in do onmiddelijke
nabijheid van do in {E) gelegen nulpunten der functie.

Zijn we in het bijzonder geval, dat hierboven is aangehaald,
dan is die reeks in het beschreven gebied ook absoUiut
convergent.

(5 Keeren we nu terug tot ons punt van uitgang Wo
kunnen thans dus zeggen, dat het oneindige pro(hict

OD f «•»

oene holomorphe functie van s in het geheele eindige gebied
zal vooratellen, wanneer do reeks

f l il- .....-1- ^ .....

f\'l 1 "3 "y

6

uniform convergeert voor alle eindige waarden van z. In dit
eenvoudige geval verandert deze conditie dus in de voor-
waarde-, dat de reeks

convergent moet zijn.

Bij de gevallen dat de reeks 2

= 1

voorkomen, zooals we zien zullen, dat toch een oneindig

product, samengesteld uit de factoren 1

morphe functie van 2 in het geheele eindige gebied voorstelt.
Men mag dan echter de volgorde der factoren niet willekeurig
veranderen, maar moet deze behouden zooals ze gegeven is
geworden door de methode, waardoor de holomorphe functie
gebracht is in den vorm van een oneindig product. In dit
geval zal het dus wenschelijk zijn. de productuitdrukking
zoodanig te veranderen, dat op de volgorde der factoren niet
meer gelet behoeft te worden.

In de meeste gevallen echter zal, als de reeks —

V = 1 (^v

divergeert, dit ook het geval zijn met het oneindige produc

II

v= 1

De in het geheele eindige gebied holomorphe functie ..

/ [Z-f- i)

bijvoorbeeld heeft tot nullen de reeks

-1,-2,-3,......

" 1

en nu is zoowel de reeks ^ —, als het oneindige product

v=l f

00 f ,

II 1

V = 1 l J

divergent. Hieruit blijkt dus, dat, wanneer het in die gevallen
toch mogelijk is tot eene ontbinding in üictoren to koni.en,

die factoren een ingewikkelder vorm zullen hebben, dan we
tot dusver hebben ondersteld.

7. Cauchy is de eerste geweest, die getracht heeft eene
uitdrukking voor de ontbinding in factoren te vinden. Door
toepassing van de rekening met residu\'s komt hij tot het
volgende resultaat:
Zijn de nullen van eene geheele transcendentale functie f {z)

«1 , «2 , ....., rtv,....., I rtv I > O

en hunne graden

«1 , Ïl2 , ...... ,.....

dan kunnen we schrijven:

waarin G eene gesloten kronnno is, die door geen enkele der
punten a^ heen gaat, en waarin het productteeken 11 betrek-
king heeft op alle punten a^ gelegen binnen C. Verder zijn
to en t twee gewone punten gelegen binnen C, cn is

T^/ \\ ; z-tfis)

Laat men nu do kromme C al grooter en grooter worden,
zoodat ten slotte al haar punten in het oneindige komen to

liggen, dan wordt dus^^^uitgedrukt als een oneindig product

van factoren f"\' ~ \', vermenigvuldigd mot ;]een expo-
V«y — foJ

nentieblen factor

c-8-i-i Je\'"«*\'\',

waarin do integraal to nemen is langs den omtrok van eene
geheel in hot oneindige liggende kronnno.
Deze formulo van Cauciiy kan niet beschouwd worden als

\') CAUniY, Kxorcicos ilo JlntliéinntiqucH, t. III. Zio Ukiot et IJouguKT,
TIk-oho (Ich fonotioiiB cllipticiucH, otl. II j). aOf) c>. v.

8

eene reeds geheel en al afgewerkte uitdrukking voor /"(O,
omdat de daarin nog voorkomende integraal niet uitgewerkt
is. Wel kan de formule gebruikt worden om haar toe te
passen op bepaalde voorbeelden, vooral wanneer de gegeven
functie zoodanig is, dat we eene reeks krommen G kunnen
bedenken, waarvoor de integraal meer en meer tot nul
nadert, . bij het oneindig worden van de krommen C. We
verkrijgen dan f (t) uitgedrukt in den vorm van een oneindig
product, welk oneindig product dus convergent moet zijn
maar in de meeste gevallen niet absoluut convergent zal
wezen. Daar echter de opeenvolging der krommen. G bekend
is, kennen we van dit oneindige product de opeenvolging
der factoren.

Laten we echter in het algemeen de kromme G op eene
willekemige wijze oneindig worden, dan zal in den regel het
oneindige product divergent zijn, en dan moet ook de integraal
oneindig zijn, omdat, wanneer deze eindig is en dus de
exponentieele factor eene steeds van nul verschillende functie
TDepaalt, de toevoeging van dien factor het divergecrende .
product niet tot eene eindige waarde kan terugbrengen.
Hieruit kunnen we besluiten, dat het wellicht mogelijk moet
zijn den exponentieelen factor te splitsen in een oneindig
aantal factoren e^vC), zoodanig, dat het oneindige product
van. de factoren (a, — t)"\'. wel absoluut en ook uniform
convergeert.

8. Werkelijk is het AVeiersïrass gelukt do ontbinding in
factoren van eene geheele transcendentale functie (J^) deze
wijze tot stand te brengen ■). De mogelijkheid daartoe heeft
hij niet afgeleid üit eene beschouwing van do formule van
Cauchy, maar uit de formule van Gauss voor do ontbinding

in factoren van de reeds vroeger vermelde functie ^y

\') Wkiekstkass. Zur Tlioorio der cindcutigon luiulytisclinn Fmictioncn.
Abh. der Königl. Akad. dor Wisseiischafton zu Harlin 1870. Ook in do
Abhandlun;jcii nus dor Fiinctionciilehro.

I

9

Gtauss schrijft deze functie in den vorm van het volgende
absoluut en uniform convergeerende oneindige product:

V = 1 \' \'

of

il

\' = i

Hierdoor is Weierstrass er toe gekomen om te trachten de
vraag op te lossen, of niet elke geheele transcendentale
functie voorgesteld zou kunnen worden als een oneindig
product van factoren van den vorm

waarin G (z) eene geheele rationeele of transcendentale functie
is en k en l constanten zijn. Zulk een factor noemt
Weierstrass eene priemfunctie.

Eene priemfunctie is dus geen lineaire functio van s, maar
heeft, evenals deze, slechts een enkel nulpunt en een enkel
kritiek punt. Duiden we hot kritieke punt door c aan, dan
is de meest algemeeno vorm van zulk eene priemfunctie:

0. We zullen in hot volgende beginnen met do behandeling
van de methode van Weierstrass , en dezo tloen volgen door
tweo andere methoden, die tot hetzelfde dool leiden, maar
eerst opgesteld zijn, nadat do uitkomst van Weierstrass
bekend Avas, n. I. de methoden van Mittag-Lei-tle» en van
Frenzel.

Daarna stellen wo ons voor, een hoofdstuk to wijden aan
do bes})roking van hot geslacht van eene functie en aan de
bepaling van den uitwendigen exponentioelen factor, om dan
to -komen tot do bohandoling van eenigo voorbeelden, waarbij
wo echter gelegenheid :jullon hebben nog verscheidene zaken
van moer algomeenen aard te besproken, o. a. het bepalen

\'i:

10

van den productvorm van eene functie, die door eene lineaire
substitutie uit eene gegeven functie wordt afgeleid.

Vervolgens wenschen we over te gaan tot eene uitvoerige
behandeling van de kwestie van het geslacht der afgeleide
eener functie van gegeven geslacht, en dan te eindigen
met het vermelden van eenige andere eigenschappen, die
gevonden zijn door verschillende schrijvers, die zich onledig
hebben gehouden met het door ons te behandelen onderwerp.

HOOFDSTUK 1.

Methode van Weierstrass.

1. Is gegeven eene oneindige reeks van grootheden

«1 , «2 , «3 ......, ffy,.....

die alio van nul verschillen en die voldoen aan de conditio

Urn 1 fl» I = 00,

V = as

dan zal in enkele gevallen de reeks

V = 1

convergent zijn. De reeks

00
V

zal dan dus voor allo eindige waarden van z uniform conver-
gent zijn.
In velo gevallen is eerst do reoks

V

y >= 1

waarin een geheel positief getal > 1 is, convergent.
In dio gevallen zal dus do reeks

V

V CS 1

uniform convergent zijn voor allo eindige waardon van z.

12

In het algemeen echter moeten we veronderstellen, dat we
geen getal ^ kminen aangeven, waardoor de reeks

V

V = 1

convergent wordt. Dit is bijv. het geval \'), wanneer de
grootheden a^ zijn

log log log ......

Stellen we toch

1

Sn= ^

v = 3

log V.

n - 1
{log ny ■

n

{log ny {log ny {log ny \'
De tweede term van het tweede lid nadert tot nul,
wanneer n oneindig groot wordt, maar de eerste term van
het tweede lid neemt met n oneindig toe. Dus is de reeks

log V J

steeds divergent.

2. In die gevallen is het echter steeds mogelijk eene
oneindige reeks geheele getallen /

mi, ?n2, Ws,....., niy,.....

die ieder ^ O zijn, te bepalen, zoodanig dat de reeks

V

v = 1

uniform convergent is voor alle eindige waarden van s.

We hebben hiertoe slechts een oneindig aantal positieve
grootheden

M, f2, ^s,......

\') Zio IIEKMITE, Cours h la fncultó dos Scicnccs 1"« 6d. p. 86.

13

aan te nemen, waarvan f < 1 en die eene convergente reeks
vormen, en dan getallen m^ te bepalen, zoodanig dat

fv.

Deze getallen niy zullen de reeks

2 \'"v ^

V = 1 ffy

uniform convergent maken, voor alle eindige waarden van z.

Om dit te bewijzen, stellen we, dat | s | < | a„ | en houden
ons alleen bezig met de termen

z

Nemen we t zóó aan, dat
z

volgende termen

öy

1

zoodat we verkrijgen

<H„ 1

^ f» 1 f,. 2 .....

< f fi fa .....

en daar het tweede lid eeno eindige wïiardo heeft, is dit
ook het geval mot het eorsto lid. Hot eerste lid is- dus eeno
uniform convergento reoks voor allo waarden van s, die
voldoen ïian do voorwaarde | s | < | a„ |, on liotzelfilo zal dus
het geval zijn met ilo reoks

1

V

y 8 I

die er slechts door een eindig aantal termen van vorschilt.
Daar vorder «„ willekeurig is aangenomen, kunnen we dus
zeggen, dat bovenstaande reeks uniform convergent is voor
alle eindige waarden van z.
Nemen wo bijv. voor do oneindige reoks éj, <s, ... de

14

reeks f, t", t^,...... dan is hier i" = e^ dus Diy = v — 1.

Voor de getallen kunnen we dus kiezen de getallen

0,1,2,3,.....

en we kunnen dus zeggen, dat steeds, voor alle eindige
waarden van z, de reeks

z

1
y = 1

uniform convergent zal zijn.
We kunnen nog opmerken, dat het geval, waarin

0

v = i a,

uniform convergeert, op te vatten is als een bijzonder geval
van hetgeen hier het laatst is behandeld. We hebben dan
slechts alle getallen Wy gelijk aan ^u — 1\' te nemen.

3. Weierstrass plaatst zich dan ook dadelijk op het meest
algemeeno standpunt, en onderstelt dus dat er eene oneindige
reeks grootheden

«1 , «2, 03,....., öy,.....

gegeven is, die alle van nul verschillen, en die voldoen aan
de voorwaarde

li7n I ffy I = 00,

V = CD

en verder, dat er aan deze grootheden toegevoegd is eene
reeks positieve geheele getallen

7ni, m^, 711$,....., w,,.....

zoodanig, dat

V = 1 (Iv

eene uniform convergente reeks is voor allo eindige waarden
van z.
Hij bewijst dan:

1", dat er steeds eene geheele transcendentale functie
Go {z) te construeeren is, dio de gegeven reeks a^ tot
nulpunten heeft, en

15

2°. dar elke andere geheele transcendentale functie, die
dezelfde nulpunten heeft als Go(z), gebracht kan worden in
den vorm:

_ e««. Go{z)

waarin G (s) eene • geheele rationeele of transcendentale
functie is.

4. Weierstrass voert daarbij nog in de volgende hulp-
grootheden :

E(x,0)=l - X
E {x,l) = {l - x)e\'
E{x,2) = ll -

E(x, m) = (1 - £c) = i \' .

Deze functies E {x, m) kunnen geschreven worden in den
vorm van eene reeks

1 -f ^ ____-f .r"« * .....

welke convergeert voor alle eindige waarden van x en waarin
do coC\'flicienten

«1 , «2, . . . , rtj., . . .

reöel zyn en kleiner dan do eenheid in absolute waarde.

Dit berust op do volgende stelling:

Zijn /"(?/) = flo ai 7/ -t-.....-j- a„ r .....

en (f) (a;) = /^i a; -f.....-f .....

tweo geheele reeksen, en is do 2\'\'" reeks absoluut convergent
voor \\x \\ <. A en alsdan | rp (x) | ^ en is do 1"\'® reeks
absoluut convergent voor y — B, torwyl A on B positieve
gotJillen voorstellen, dan kan, wanneer wo in do 1"\'® reeks
stellen y = <p (x), dio reeks geschreven worden als geheele
rooks in .r, welke absoluut en uniform convorgeert voor do
waardon van x waarvoor | re | < yl.

-In het geval der functio

E(x, ni) = (I — x)^^^

16

is

= = l .....

CC ocP" oc^
= ^ .....

zoodat dus f {x)] en dus ook (1 — a?) /" [qp (a;)] als geheele
reeks in x geschreven kan worden, die voor alle eindige
waarden van x convergeert.
Daar voor | a; | < 1

^^^ = T ^ • • • • m • • • •
is voor die waarden van a?,

1 ;t"\' 1 2
E {x, m) = (1 - e^""r^\' e-"ÏTFI -• • • •

^m 1  2

= e ~ w l w 2 — • • • • .
Vervangt men nu in

y door

1  3

~ m \'i ~

dan ziet men dat de ontwikkeling van E (x, m) moet zijn

1 «1 a;\'" ^ «2 a;" 3 -f____ a;\'"  .

Deze coëfficiënten moeten nu in absoluto waarde kleiner

dan de eenheid zijn. Door toch in

f{y) = = y   .....

te stellen

, = = f 4

ziet men, dat de coöfficienten van do ontwikkeling

fU\' (ic.)j = 1 a: a;® .....  .....

positief zijn; en stelt men in f {ij)

^ = = t T ..........\'

17

dan is het duidelijk, dat men eene dergelijke ontwikkeling
verkrijgt, waarvan de coëfficiënten echter deels grooter deels
dezelfde zijn.
Nu is echter voor | | < 1:

ip (x) = log ,

dus

= = l ..........

i — X

waaruit dus volgt:

(m=l, 2, 3,.....)

Verder is dan:

E (x, m) = (l-x){l-i-  .....)

= .....

= 1 «1 \' «2 a.\'" 2 ..... «ta;"\' \' .....

waaruit dus volgt:

I «, I ^ 1.
Vervangt men dus in de reeks

«1 ic" ^ -h «3 rc\'" 2 .....

X door een positief getal ^ kleiner dan 1 en de coëfficiënten nt
door hunne absoluto waarden, dan is de som van die reeks
kleiner dan

1 -r

5. Construeeren we nu met do gegeven reeks groot-
heden (ly en de daarbij bepaalde getallen m^ do functies

l«v } ((y)

en vormen we verder met deze functies het oneindige product

dim kunnen wo bewijzen, dat dit oneindige product absoluut
en uniform convergeert voor elke eindige waardo van en
dus eeno geheele transcendentale functie van ^ definieert.

18

Zij A een willekeurig positief getal en beschouwen we die
waarden van s waarvoor \\ z \\ A. Daar de grootheden | a-, |
oneindig toenemen, is er een getal aan te geven, zoodanig
dat 1 ttv I > ^, als V ^ IJ. Beschouwen we dan het oneindig
product

® f z
II

V = ƒ) V " V

Elk der factoren E kan geschreven worden in den vorm:

»1, i

.....=

ter^vijl we dan tevens weten, dat, wanneer we in Uy{z), z
vervangen door A, de grootheden en de coëfficiënten «^m
door hunne absolute waarden, de som van die reeks kleiner
is dan

\'"v 1

\\ay\\- A \'

We kunnen nu terstond zeggen, dat het oneindige product
fl

v = p

absoluut en uniform convergent is voor alle waarden van z,
die voldoen aan de voorwaarde daar-we hier

verkeeren in het bijzondere geval, dat we in de inleiding
hebben behandeld (§ 4). De reeks met dubbelen ingang

namelijk is convergent, want er wordt voldaan aan do hiertoe
noodige voorwaarden: , .

1". dat de reeksen

>1V" ^

convergent zijn, voor elke waardo van >• gelegen tusschen
p en cc. Do sommen A, van deze reeksen toch zijn,/ooals

19

we zooeven gezien hebben kleiner dan

"\'v 1 I a.

, - . —

2". dat de reeks

..... A4-.....

convergent is. De som van deze reeks toch is kleiner dan
die van

en deze reeks is convergent, omdat de verhouding van hare
termen met de overeenkomstige van de convergente reeks

^ I "v 1

V

V =p

de eenlieid tot limiet heeft, als v oneindig toeneemt.
Het oneindige product

I\'/fè\'"\'-)

is dus absoluut en uniform convergent voor allo wannlen
van z, waarbij en daar de toevoeging van het

eindige aantal factoren

niets aan do convcrgentio zal veranderen, is ilus het oneindige
product

1 /»\\f

V IfJLV
,r »1

ook absoluut en uniform convergent voor do waarden van z,
waarbij | s | ^ en daar A willekeurig is aangenomen, is
dit product zelfs voor allo eindige waarden van z absoluut on
uniform convergent. Het kan dus ontwikkeld worden in
eene geiioelo reeks in z, die voor alle eindige waarden van
convergeert.

20

Daar het oneindige product alleen nul kan worden als een
der factoren nul wordt, en daar de factor

\'"y

E

slechts nul wordt voor z = a^, hebben we dus eene geheele
transcendentale functie van z, Go (z), in den vorm van een
oneindig product, geconstrueerd, die de gegeven reeks

«1 , «3 , «3 5.....j öv).....

tot nulpunten heeft.

6. Deze functie Go (z) is echter niet de eenige, die aan
de vraag voldoet. De functie e-"\'. Go (z) bijv. heeft natuurlijk
dezeltde nullen als Go (z) en geen enkele andere, daar de
factor e-"\'. voor geen eindige waarde van z nul wordt.

"Wanneer we dus onderstellen, dat de geheele transcenden-
tale functie G (z) dezelfde nullen heeft als Go{z), dan kunnen
we vragen den meest algomeenen vorm van G {z) te bepalen.

Het quotiënt, dat we zullen aanduiden door Gi(z),

is eene functie, die voor elke eindige waarde van z eene
eindige van nul verschillende waarde heeft. Daaruit volgt
dat de functie

1 cl Gi (z)
(z) d z

voor elke eindige waarde van z eeno eindigo waarde heeft
en dus ontwikkeld kan worden in eene reeks

C, Ca 5 Cs -h . . . .
die in het geheelo eindige gebied convergeert.

Integ^eeren wo dezo functio tusschen de grenzen ü en c,
dan verkrijgen we:

log Gi = C Cl 2 -f.....= C\' Ö (5)

21

en dus G(2) = Ce\'\'K

waarin G (z) eene gelieele rationeele of transcendentale functie
is, die voor z = O verdwijnt, en waarin

Go{oy

of daar Go{0) = l,

C=G (0).

7. Is de oorsprong ook nog een nulpunt van de orde
van de functie G (z), dan moeten we den factor z^ nog
toevoegen en verkrijgen:

waarin nu

G{z)

C =

Jc = 0

De meest algemeene vorm dus voor eene geheele trans-
cendentale functie, die de gegeven reeks tot nulpunten
heeft en daarenboven nog in den oorsprong nul wordt
als is:

G (z) = Cz>\' e» w n E f —, =

V t= 1 V. f\'y

>"v 1 V

r = 1 V "y / .

AVe hebben hierbij stilzwijgend aangenomen, dat do nullen
«V alle enkelvoudige nullen waren.

Is do ordo van de nul (t,,jK, dan ondergaat do voorgaande
redeneering geen verandering, en dan verkrijgen we voor G(z):

- » i r ^ ^(-^Y

y = 1 ( V (fy J I

Wo kunnen echter ook eenvoudigheidshalvo de voorgaande
fQnnule wel blijven behouden, wanneer wo dan slechts
onderstellen, ilat de nul ciy ook j>y keer voorkomt in do reeks

Ol, «ü, Os, . . .

22

De factoren E f— , m^ zijn alle priemfuncties, zooals we

y Cly j

deze vroeger gedefinieerd hebben. Ook kunnen we den
factor C, de l factoren z en den factor als zoodanig
opvatten, waardoor dus bewezen is, dat elke geheele trans-
cendentale functie voorgesteld kan worden als een product
van priemfuncties.
Hebben we het bijzondere geval, dat de reeks

1

V

V = 1

convergeert, dan wordt de algemeene vorm

y = 1 V ^y .

en convergeert reeds de reeks

V

y = 1

dan heeft men

= n fl-—]■

y = 1 V (iy J

Heeft de functie G (z) geen nullen, dan is de algemeene
vorm

en heeft ze slechts een eindig aantal nullen , «2,.. .. , «„,
behalve, z —O, dan is

cs^e^w ii

y = 1

HOOFDSTUK 11

Methode van Mittag-Leffler.

1. Differentieeren we logarithmisch de door Weierstrass
gevonden formule:

V 1(-Ly

(?(Ä) = II

y = 1

dan verkrijgen we:

y = 1

hetgeen dus wordt voor het geval, dat er geen wortels
nul zijn,

^ ^ - - «y r = 0 f» l"y

Cr (.)

en dit weer voor het geval, dat do reeks

val

^=(-\') ^^

Ci (s) \' \' ■ y - 1 - «y \' r = O «y

of, wanneer wo = w 4- 1 stellen,

24

«j ]\'

en wanneer .a = 1, dus w = O is,

v

, = 1 u — a.

Zooals we reeds in de inleiding hebben opgemerkt, moeten
de tweede leden van deze vergelijkingen absoluut en uniform
convergent zijn in het geheele eindige gebied, uitgezonderd
de plaatsen in de onmiddelijke nabijheid der nulpunten
wanneer we eenmaal weten, dat het oneindige product van
Weierstrass absoluut en uniform convergent is in het geheele
eindige gebied.

Omgekeerd zal men door uit te gaan van eene beschouwing
dier tweede leden, dat is dus eigenlijk van

V _J_ "
z - fl,\'

door integratie kunnen komen tot de productuitdrukking van
G {z). Dit is het dan ook hetgeen Mittag-Leffler doet in
zijne methode, zooals deze ons wordt medegedeeld in den
Cours van Hermite \').

2. We zullen hierbij gebruik maken van de volgende
stelling, die analoog is met die, welke we als bijzonder geval
in de inleiding bij de oneindige producten hebben behandeld.
De reeks >

«1 ..... -I- . . .

waarin ....., ..... functies zijn van xr, dio

ontwikkeld kunnen worden in reeksen als

Uy = &V.0  - ^\'v.s ... iv.^  ... (r = 1, 2,...)

waarvan de stralen der convergentiecirkels , gelijk of grooter
zijn dan een bepaald positief getal A, zal absoluut en
uniform convergent zijn voor allo waarden van die voldoen

\') IlKiiMlTK, t. a. p. p. 84 c. V.

25

aan de voorwaarde | | ^ ^ en zal voor die waarden van z
in een geheele reeks in ^ ontwikkeld kunnen worden, als de
reeks met dubbelen ingang

CD CD

V V

v = 1 fi = O

convergeert. De condities hiertoe noodig hebben we reeds
in de inleiding opgegeven (§ 4).
3. Zij dan wederom de reeks a,, waarbij
I «v I > O en lm | a^ j = oo,

V r= CD

de reeks der enkelvoudige nullen van eene geheele transcen-
dentale functie G (z).
Beschouwen we nu eerst het eenvoudige geval, dat de reeks

V J_

convergeert.

Zij voor r ^ i), I O» I > >1, dan kan elke term van de reeks

V _J_

v = p ^ fl»

ontwikkeld worden in eene geheele reeks in z

^ = - --Lfn-^ 4 ....

Z —fly Oy ^__fl» l flv ff»

= .....,

welko reeksen alle convergeeren voor de waardon van z
waarvoor | c | ^ yl.

Vervangen wo dan in deze reeksen z door A en do groot-
heden fl, door hunne moduli, dan zyn de sommen van deze
reeksen

1 _ 1 Ifl»!

/1» =

A - I fl» I I fl» I I fl»T —

Vorder is do reeks
.....=

convergent, omdat do verhouding dor termen mot de

26

overeenkomstige van de convergente reeks

1.

V _

■J = P (^V

de eenheid tot limiet heeft, bij het grooter worden van
Hieruit volgt dus, dat de reeks met dubbelen ingang

cc 00

V V

» =p (i = O

convergent is, dus dat de reeks

1

V

y^pZ- Cly

absoluut en uniform convergent is voor de waarden van s,
waarvoor \\ z \\ A. Voegen we aan deze reeks toe het
eindige aantal termen

v = 1 2 - «v\'

waarvan de som oneindig wordt in de punten

«1 > «2}.....,

dan zal dus de reeks

V

y- \\ Z — (ly

absoluut en uniform convergent zijn voor alle waarden van z,
waarvoor \\ z \\ A, uitgezonderd de plaatsen in de onmidde-
lijke nabijheid van de punten

fll, 02, ,

jii Daar» verder de grootheid /I willekeurig is aangenomen,

iÜ \' kunnen we dus ook zeggen, dat de reeks

V ^

V SS I Z (ly

absoluut en uniform convergent is voor allo eindige waarden
van Zy uitgezonderd de plaatsen in de onmiddelijke nal)ijheid
van de punten

«lj «2,....., «V,.....

G\' (z)

De functie ^ ) ( heeft ook eeno eindige waardo voor elke
G{z)

iii!

27

eindige waarde van z, die niet samenvalt met een der
punten a,, en nu is te bewijzen dat het verschil

V 1

G{z) v = i^-«v
zelfs in die punten eene eindige waarde heeft.

Daar G (z) nul wordt in het punt2;=:rt„, kunnen we
schrijven:

G{z) = {z-a„)H{z),
waarin H (z) eene geheele transcendentale functie is, die niet
nul wordt in het punt z = a„.
Hieruit leiden we dus af:

G{z)
en dus

Cr\'(z)__1 H\' (z)

a {Z) Z - (In 11 {Z) \'

hetgeen eene eindige waarde oplevert voor z = «„.
Daar de andere termen van de som

V __L_

yZiZ — a^

eindig zijn voor z = hoeft dus

V JL_

G (z)

in dit punt oone eindige waarde.

Dit zelfdo kunnen wo natuurlijk bewijzen voor alle andere
punten in do reeks voorkomendd.
Do 1\'unctie

. _ V _L_

G (z)

zal dus absoluut en uniform convergent zijn in het geheelo
.eindige gebied, en kan dus ontwikkeld wonlen in eeno geheelo
reoks in dio voor allo eindigo waardon van s convei-goert
en dio wo gelijkstellen aan do afgeleido {z) van eene

28

holonaorphe functie. We hebben dus
G\' {z) ^^ 1

= G^ {z).

G{z)

Integreeren we deze vergehjking tusschen O en dan
verkrijgen we

\' log{z-ay)-log{-ay)\\ = G{z),

wanneer G {z) die integraal is van G\' {z), welke voor z = 0
verdwijnt, en (7 = G (0).

log G {z) = logC G{z) v log ^^ ^

1 -

» = 1

» = 1 l ClyJ

dezelfde uitdrukking, die ook Weierstrass geeft.
4. Wanneer eerst de reeks

u 1

V

V = 1

waarin w > O, convergeert, dan zal de reeks

V _L_

yZlZ-dy

niet absoluut en uniform convergent zijn, maar dan zal,
wanneer we invoeren het polynomium

do reeks

1

wel absoluut en uniform convergent zijn voor allo eindige
waarden van z, uitgezonderd de plaatsen in do onmiddelijke
nabijheid van do nulpunten (ty. • .

Voor f ^p en I 2 I ^ /I kunnen wo toch schrijven:
-g" ^ • 1 ^ -g" f 1 I A ■ . ]

(ly^\'lz-ay)  ^ \' 1 _ jL (C H (fy \'^aj\'^"\')

29

en vervangen we hierin 2 door A en a, door den niodulus,
dan is de som van die reeks

M 1

1 «VI - A\'

Daar nu de reeks

□0

V

y =p

convergeert, is dit ook het geval met de reeks

00

^Iv,

v=p

dus met de reeks met dubbelen ingang

CD CC

ï by,^ Al\'

V =p n = u

De reeks

00
V

V =p {S - ffy)

is dus absoluut en uniform convergent voor allo waarden
van 2, waarvoor | s | ^ /I, . waaruit dus weer volgt, dat
de reeks

OD ryil

absoluut en uniform convergent is voor alle eindige waarden
van s, uitgezonderd de plaatsen in do onmiddelyke nabijheid
van do nulpunten Uy.
Do functie

zal nu weer, ook in do punten eene eindige waardo
hebljen. Innnors

^ _ ^ 1 , H\' (2)__^_ __

ci,r(z-a,)-11 {2)  h

hetgeen eene eindige waardo oplevert voor z =

30

Bovenstaande functie kan dus weer ontwikkeld worden in
eene geheele reeks in z, G\' {z), die in het geheele eindige
vlak convergeert. We kunnen dus weer schrijven:

1

= G\'iz),

G{z)

en vinden hieruit
Giz)

log

V = 1 \' v (ty J \\Cly J

V i-f-LV

.rtj tty\'^ 2 tty^^\'"^ co tty" r = l T Uvj \'

G (z) = n

V =1

hetgeen wederom de uitdrukking van Weierstrass is.
5. Kunnen we ten slotte geen. ge tal co aangeven waardoor

« 1

V

v = 1

convergeert, maar hebben we de getallen niy bepaald, waardoor

Wy 1

V

V =1

uniform convergeert voor alle eindige waarden van 2, dan
geven we de polynomia P een veranderlijk aantal termen,
door te\' stellen

"" (ly Ö,« ■ ■ ■ ay^y —

en kunnen dan evenzoo bewijzen, dat de reeks
1

-hP,

Z — Uy

absoluut en uniform convergeert in het geheele eindige gebied,
uitgezonderd do plaatsen in do onmiddelijke nabijheid van
de nulpunten Oy.

\':! I

31

Verder zal dan weer de functie

G\'jz)

Uv;

_Z — «v

geschreven kunnen worden als eene geheele functie in 2,
G\'{z), die in het geheele eindige gebied convergeert, dus

G\'iz)

— V

G (z) v = iL2-a,
waaruit weer volgt:

G{z) = C e» w n

waarin

HOOFDSTUK HL

èi:
Uli

Methode van Fbenzel.

1. Frenzel heeft laten zien dat men door toepassing
van de methode van Cauchy, dat is dus door gebruik te
maken van de rekening met résidu\'s, ook kan komen tot de
algemeen geldende uitdrukking voor eene geheele transcen-
dentale functie, ontbonden in hare priemfuncties.

Daar de redeneering van Frenzel niet exact is, zijn we
genoodzaakt, ter vermijding van dit gebrek, zijne methode in
een gewijzigden vorm hier voor te dragen.

2. De résidu van eeno meromorphe functie F {z) ten
opzichte van eene pool «, waarvan de verkorte notatie is:

is de waarde van do integraal:

genomen langs den omtrek van een klein- cirkeltje, waarvan «
het middelpunt is en waar binnen geen andere polen gelegen

•) Fke.vzel. Dio Diirstollung dor eindeutigen nniilytischon Functionen
durch unendliche Producto und Pnrtialbruchen. Zeitschr. f. Math. u. Phys. v.
SCHLÖMILCH XXIV (1879) p. 31G e. v.

1

33

zijn. M. a. \\v. de résidu is gelijk aan den coëfficiënt van

in de ontwikkeling van F (z) in de nabijheid van z = a.
Is de pool enkelvoudig, zoodat

n^)

F{z) =

Z — a

waarin f (z) niet oneindig wordt voor z = a, dan is de
ontwikkeling in de nabijheid van z = u\\

F {z)    .....

z — «

en dus

^ F{Z)=f{n).

Is de pool i>voudig, zoodat

fiz)

dan is de ontwikkeling in de nabijheid

van 5 = «:

f{a) {z- u)r («) ....-)- .. •
F (2) =----^^JIlilL---

^^ {Z-aY

dus

- (ïrrryr-

3. Zij nu wederom gegeven eeno geheele transcendentale
functie G{z), die in den oorsprong eene nul bezit van do
ordo )., terwijl de andere nullen

(t\\ , <k, Os, .... , üy, ... .

resp. do ordegetallen

Pu Pi, i\'s,----, Pv,----

bezitten, en voldoen aan do voorwaarde

Urn I (/v I = 00.

» = te

Wo onderstellen verder, dat wo verkeeren in het geval,
dat do reeks

P.

V___^^

convergeert.

49

Giz)

heeft dan den oorsprong en de reeks Oy tot enkelvoudige
polen.

Beschouwen we nu de integraal:

o^ [ Ttt^^ dz = ^.f F{z) dz
2 TT ij, G{z) {Z — t) 2 TTlJ,

genomen langs den omtrek van eene willekeurige gesloten
kromme s, die we kunnen aannemen dat den oorsprong
omsluit en niet mag gaan door een der punten a,.

Liggen de. punten Oj,....., a„ binnen deze kromme,

hetgeen ook het geval moet zijn met het punt t, dan is
volgens Cauciiy:

2M

Nu kmmen we schrijven:

l

F(z) =

Z \' \' \' \' ) z — t
waarin f{z) holomorph is in de nabijheid van 2 = O, en ook:

1_
z-V

waarin fyiz) holomorph is in de nabijheid van z = üy. Dus ia:
/ F(,z) = — en / i\'^(s) =

en verder is:

r(0 t yt\\ t-üy"^ \'Inij. G(Z)(Z-l)

Schrijven we nu:

^ - 1 4- ^ -4- 4-

35

<lan kunnen we voor de laatste integraal schrijven:

1 f a,- V i-\'f rf, I

Tri./, - a{z) ^

2

2

Nu is weer:

±. f ^±dz-r -^4- V r
2 TT 2./, G (z) C^io)(2) V ^(«v) (2)\'

In de nabijheid van 2 = 0 kunnen we schrijven:
dus:

en verder is:

r =

2« G (2) fly"* \'

dus:

waaruit volgt:

" r 1 /
.....

. ji-ï .m. J-,/.

en eindoiyk:

am -T ffv ^ flv^ ^ ^

4- AO) ^r(o) .... (ii^^i/^-Mo)

^ 2 TT i ./, (2) 2 - <

36

B

t^ f G\'

TT iJs C

2 TT ij, z^ G{z)z — t
Integreeren we deze vergelijking tusschen O en dan wordt:

G{t) = Ct\' U [fl--

vrrlLl. dy J J

waarin, evenals vroeger,
en

Q.

~ Uy ^ 2 « 2 i-

en w\\aarin

V = tf(o) ^r (0) ...  (0) -

Nemen we nu den omtrek s zoo groot aan, dat voor alle
punten van den omtrek geldt | 2 | > | < | , dan kunnen we

t

de in U voorkomende loy 1 —j\\ ontwikkelen in eene reeks
volgens opklimmende machten van ,

1 r

— _ V

.= 1 r \'

en verkrijgen dan voor de in U voorkomende integraal:

__V JLf^lS^az

Evenals hierboven, hebben we nu weer:

2in j, G {z)- (/• - 1)!\' ^^^ c///

37

— -_\\_-4- V

en

ifi^) (0) .... (0)
t [ \\ " j) I

4- V 1_\\ _t_ Ar-l)/0\\ -J- V

r l(r-l)!^ ^ = 1 «/ •

4. Laten we nu den omtrek s al grooter en grooter
worden, zoodanig dat ten slotte al zijne punten in het
oneindige liggen, dan komen er ook hoe langer hoe meer
punten Oy binnen s te liggen, en ten slotte zal in de uitdruk-
king voor G (t) het product een oneindig product worden en
ook in U de som over v eene oneindige som.

We kunnen nu bewijzen, dat de reeks, waaraan gelijk
is, absoluut en uniform convergent is. Hiertoe geven we
«erst deze uitdrukking nog eene kleine transformatie.

We hebben gesteld:

G(z) - z -rnv^

waaruit volgt, dat do functio/"(2) enkelvoudig oneindig wordt
in de punten

«1 , «3 , . . . , (/y , . . .

Nemen wo lui aan een Avillekeurig positief getal A, en zij
voor v\'^l, «y > /l, dan bestaat er geen bezwaar, daar l
«indig is, om te schrijven:

n.\') = ^ . . . y T W

~ — »1 Z — Oi ^ — "i—1

I —1

_ V

» = 1 ^ — f\'v

waarin ,,, {z) holomorph is voor | | ^ /l.
Hieruit volgt dan:

\'v\' (- D\'-i [r- 1)!  {z),

{S - (tyï

38

dus:

(0) = - (r - 1)! (0),

y _ 1 Uy

zoodat de oneindige som van ü:
t^ \\ 1

Pv

.=7 1 r ((r-1)!
zich herleidt tot:

i\' ( 1

= 1 a/ )

V

Hiervan is nu in de eerste plaats absoluut en uniform
convergent voor de waarden van t, die voldoen aan | ^ | <
het gedeelte:

r=Z i r (r-1)!\'
Immers voor die waarden van i is •

absoluut en uniform convergent, dus is dit ook het geval met
(0) ^ (0) ....
Verder is ook het gedeelte

00 cjs fr f)

V V JLJz.
r = 7 \\ » = ! Uy

absoluut en uniform convergent voor\' diezelfde waarden
van i. Vervangen we toch t door A\' en do grootheden
door hunne moduli, en stellen wo:

V i^v _ ,

dan is voor eeno andere waarde van ,

De door partieele sonnnatie uit do reeks moL dubboleii

39

ingang afgeleide reeksen Ar zijn dus convergent, en daar dit
ook het geval is met de reeks:

volgt hieruit weer, evenals vroeger, dat de reeks:

00 <x, f ri

V V II.
r=tr i v = i r

absoluut en uniform convergent is voor de waarden van t,
die voldoen aan | i | < /l.

U is dus geheel en al absoluut en uniform convergent
voor I ^ I < , en daar /I willekeurig is aangenomen, is U
absoluut en uniform convergent voor alle eindige waarden
van de variabele. We kunnen dus voor U weer de gewone
notatie G (t) aannemen, en vinden dan voor G (t) de product-
uitdrukking:

= fl
V = l

5. We hebben nu nog slechts te onderzoeken, of het
hierin voorkomende oneindige product wel absoluut en uniform
convergent is.

Uit de bovenstaando uitdrukking zien wo, dat dit onoindigo
product gelijk is aan

Van deze uitdrukking is do teller eene in het geheelo
eindige vlak holoniorplio functie, en evenzoo is dit do noemer,
terwijl daarenboven eene functie is, die nergens nul
wordt. De geheele uitdrukking stelt dus voor eene eenwaardigo
functie, die nergens in het eindige vlak oneindig wordt, ook
uiet in het punt ^ = ü, daar de uitdrukking zich in dit punt
herleidt tot:

1

G(0 .

L

40

Het oneindige product stelt dus voor eene holomorphe
functie en is dus stellig uniform convergent. Het is nu ook
gemakkelijk in te zien, dat deze convergentie absoluut moet
zijn. We hebben toch geen beperkende bepaling gemaakt
omtrent de wijze, waarop de kromme s al grooter en grooter
moet worden, m, a. w. omtrent de volgorde der priemfuncties
in het oneindige product. We mogen dus die volgorde kiezen
zooals we willen, en steeds zal het oneindige product gelijk
zijn aan de eenwaardige uitdrukking:

C f

De waarde van het oneindige product hangt dus niet af
van de volgorde der priemfuncties, m. a. w. de convergentie
is absoluut.

6. We zullen nu nog dezelfde functie G (t) op eene eenigzins
andere wijze behandelen en daardoor komen tot een voor ons
belangrijk theorema.

Op pag. 34 hebben we gevonden de formule:

== i- . V - J_ f

Git) t ^ y^it-Uy^ 2ni},G {2) {z - t)

Integreeren we nu dadelijk deze vergelijking tusschen O en t,
dan vinden we:

G{t)=Gt^ U fl-

» = 11 f, j

waarin:

7-r ^ f (z) , f, n,

Ui = — 5—log 1 - — dz.

2 n tjf G (Z) z .

Deze integraal kunnen we nu herleiden op eene analoge
wijze als boven is geschied, en vinden e;" dan tenslotte voor:

u - V JL^^\'z^iO) , j^l
= i r I (r-l)\\ ■^.r, (r/ C

Laten we nu weer de kronnne s oneindig worden, dan
wordt het product in G (t) weer een oneindig product en de
som over y in Ui eene oneindige som.

iii!

41

De reeks, waaraan Ui gelijk is, is nu niet in haar geheel
absoluut en uniform convergent, wel een gedeelte er van,
n. 1. het stuk:

V _ \' \' V"/ I V I

r=r i r ( (r-1)! a/ ) \'

dat is de functie G (t).
Er blijft dus van Ui over:

^ V Jl V J^. I il. V ÜL-

y = i Oy ^ 2 y = i a/ ^ ~ W v = i rt,"\'

Stellen we dit voor door tTo, dan vinden we voor G(t):

^

l\'y.

G(t) = C t^ II 1 - ^ X

V = 1 "

Voor het geval, dat het product:
® r MPy

v=1 l. (lyj

divergent is, heeft deze schrijfwijze geen boteekenis. "Wel
editor voor hot geval dat dit product beperkt convergent is,
en dus ook do sommen:

V P\' V Pi. V P^

► = 1 ((y Cy^\'......\' y = l fy"\'

Er volgt dan uit, dat wo in dit geval do functie G (t) ook
in bovenstaanden vorm mogen schrijven, waarbij wo in do"
oneindige, sommen de ternieii op dezelfde wijze op elkaar
nioeten laten volgen als dit geschiedt met do factoren van
het oneindige i)roduct.

Wo zullen in het vervolg gelegenheid hebben, dit theorema
liorhaaldelijk too te passen.

iMorken we nog ten slotto op, dat wo door do methode
van Fkknzel eeno uitdrukking gevonden hebben voor do
functie G (t) of G (s), dio l)ij de methoden van Weieustiuss en

42

Mittag-Leffler onbepaald bleef. We hebben n. 1. gevonden :

.... . ^

G{z) = zno) ^r {0) .....

r^l x r I (r-1)!

waann:

G{z)

Voor de berekening is echter deze uitdrukking niet zeer
geschikt. We zullen daarom in het volgende hoofdstuk op
de bepaling van de functie G {z) terugkomen.

HOOFDSTUK IV.

Over het geslacht van eene functie en over de bepaling
van den uitwendioen exponentieelen factor.

1. Door Laguerre \') on Vivanti zijn met betrekking
tot het onderwerp, dat ons bezighoudt, eenige benamingen
ingevoerd, die we hier zullen vermelden en in het vervolg
ook steeds gel)ruiken zullen.

Laouerre noemt eene geheelo transcendentale functie eene
functie van geslacht lo (Fr. genre, Eng. class^ D. Rang, It.
genere) wanneer de nullen a^ zoodanig zijn, dat

V

convergeert voor = w -f- 1, ü» 2, . . . .
De kleinste waarde, die m hebben kan, is dus 0.
• Vivanti vat al deze functies, die een geslacht hebben,
samen onder den naam van functies van de eerste klasse, en
noemt tle antlero functies van de tweede klasse. Bij deze
functies moeten wo dus do roods meermalen vermelde

- \') liAOUKltKK. Sur quolquofl équatioiiH tnuiBConduntoB. C. U. XCIV (1882)
1\'- 160 o. v.

Vivanti. Alcuni teoroiui huIIo fuiizioni intoro. Oiornulo di Jfatcinaticlio
di Hattaolixi. XXII (1884) p. 243 o. v.

44

getallen m^ gaan bepalen. Deze getallen noemt Vivanti de
convergentiegetallen., en hij merkt daarbij op,«dat deze naar
omstandigheden gewijzigd kunnen worden, want, wanneer
men in de reeks m, de eerste n getallen vervangt door
willekeurige anderePi, Pi, ■ •.., ih: dan zal daardoor de reeks

® r 2 "v ^

1 lö7.

die dan wordt:

niet ophouden absoluut en uniform convergent te zijn in het
geheele eindige gebied.

Verder noemt Vivanti de functie eene eenvoudige functie.,
wanneer de in de algemeene uitdrukking voor G [z) voor-
komende factor e^(-), die de uitwendige exponenticele factor
wordt genoemd, zich herleidt tot de eenheid, dus wanneer de
functie G (z) de waarde nul heeft.

2. Laguerre heeft een kenmerk voor het geslacht van
eene functie gegeven. Het is het volgende \'):

Wanneer bij het oneindig toenemen van z, eene zeer groote
waarde van | z | gevonden kan worden, waarvoor

G (2)

gelijkmatig tot nul nadert, dan is do functie G {z) van
geslacht w.

Het l)ewijs van deze stelling lieeft veel overeenkomst met
de hiervoor behandelde methode van Fhenzel; wc kunnen
dit bewijs dan ook terstond uit een der formules van hoofd-
stuk Hl afleiden.

\') liAOüEKKK. Sur la (Ictorminntion du gonro (ruiio lonction traiiBcondanto
entière. C. K. XCIV (1882) p. 035 c. v. Heter in FoKSYTll. Theory of
functions uf a complex vnriiUilc, p. 91.

45

Op pag. 36 hebben we gevonden, dat we schrijven kunnen:

1 ■ - mi

l «V;.

J — Oy

«—1

/•(»-!) (0)

(cü- 1)!

2 uil. G{z) z-t

Breiden we nu de kromme s op eene willekeurige wijze
uit, zoodanig echter, dat die kromme nooit gaat door eenig
nulpunt van de functie G {z), dan wordt de som over eene
oneindige som. Stellen we dan verder de maximum-modulus

van langs den omtrek van de kromme s gelijk aan M,

dan is:

iz) 1

1 f
2 TT i J, ^ (

G{z)z-t

-L-fJ^-i

is bovenstaande uit(h-ukking kleiner dan üf, en daar M tot
nul nadert, nadert ook

1 f G\'{z) 1

1 / JL (iL 1

2 n ij,z>\' G iz) z-t "

tot nul.
We hebben dus:

£1(0 „JL. V „
G{t) ~~ t

1

/-(ü) f/■\' (0) -I- .. .. _ (0),

on hieruit door integratie:
G (0 = C^^tfC) fl

waarin {t) de voor z = 0 verdwijnende integraal is van

(0=nO) (0) ....  (0),

zoodat dus (/) ten hoogste een polynomium van graad w is.

46

Evenals we dit in hoofdstuk III hebben gedaan, kunnen
we aantoonen, dat het bovenstaande oneindige product
absoluut en uniform convergent is, zoodat dus uit den vorm,
die we voor G (t) gevonden hebben, volgt, dat deze functie
van geslacht a> is.

3. Het is duidelijk, dat dit kenmerk van Laguebre ons
slechts van eene bepaalde soort van functies toelaat het
geslacht te bepalen, en wel van die functies, waarvoor

voor eenige eindige waarde van o;.

Dit is bijv. het geval met de sinusfunctie.

We hebben hier:

G\' {z) _ cos z _ . é\' g-\'^ _ . e?\'\' -f 1 _
G{z) ~ sinz ——1 "

g — 3 r «■» Gl g2 i r foj 9 J

fj — ürsinO ircotf} _

Voor r = O) en sin O > O wordt dus Urn
Voor r = co en sin fj (O wordt dus li?n

terwijl, wanneer sin 0 = 0 en we aan r zulk eene waardo
geven dat z niet samenvalt met een der oneindig ver gelegen

cos z

punten «v, (lo waarde van —;—aldaar eindig zal zijn.

sm z

We kunnen dus waarden van | z | aangeven, waarvoor
tot nul zal naderen, waardoor dus aangetoond is,

z sin z

dat sin z van geslacht 1 is.

Toch moet men voorzichtig zijn iri de gevallen dat hot
kenmerk van Laguerre van toepassing is. Stellen we dat
de functie Go (z) van geslacht w is en dat het kemnerk van
Laoueiire er op kan worden toegepast, dus dat

.^^z" Go {z)

47

Beschouwen we dan de functie:

waarbij we stellen, dat (jp {z) een polynomium is van graad
O) p, waarin p een geheel getal is.
We zullen dan niet vinden:

maar wel:

G\' (z)

.^^z^\' p G(z)

Immers:

en daar q/ (z) van graad « -f-;; — 1, zal eerst

Jll(±

z*\' p

voor z — cc verdwijnen.

We zouden ilus, door toepassing van het kriterium van
Laoukure, ten onrechte

meenen, dat de functie G (5) van

geslacht lu p was.
We zullen dus de voorwaarde:

aan een nader onderzoek moeten onderwerpen, of liever de
integraal

Want bovenstaande voorwaarde is .slechts gebruikt om aan
te toonen, dat deze integraal tot nul nadert, wanneer de
l^ronnne s op eene willekeurige wijze tot het oneindige wordt
uitgebreid.

We kunnen nu bewijzen, dat bij elke functie van
^jeslacht 10 deze integraal nadert tot eene geheelo functie in /,
Wanneer do kromme s op eene willekeurige wijzo tot het
oneindige wordt uitgebreid.

48

Immers, uit de reeds in dit hoofdstuk gebruikte formule
van pag. 36 volgt:

t" f Cr\'jz) 1 I

TiiJ, \' "

2 n ij, z^ a a{t)

dus

lim

ZZ G{z)z-t G{t) t

_ V

1 P.
»= 1

We hebben nu bij do methode van Mittag-Leffler
gezien, dat

1

G{t) t yZi^\'

gelijk is aan eene geheele functie G\' (t), waaruit dus volgt
dat de integraal

2 TV ij. z" G(z)z-t
nadert tot eene geheele functie

G\' (O-.,\' (O-

Uit de formule op pag. 42 is nu nog af te leiden, dat

G\' (t) = (j/ (t) eene geheele functie ■ in t, die met
den term t" begint,
zoodat dus do integraal

2 71 ij, z-G{z)z-t
nadert tot eene geheele functie

waarvan de graad dus w lager is dan dio van G\'(t), dus
w -f- 1 lager dan dio van G (t).
5. Omgekeerd zal ook, wanneer we bewezen hebben, dat

de meergemelde integraal nadert tot eene geheele functie in t,
en wel steeds tot dezelfde geheele functie, hoe we de kromme s
ook tot het oneindige uitbreiden, daaruit volgen, dat de
functie G {t) van geslacht w is.

Immers er volgt dan uit, dat de uitdrukking:

_Jl_ V

G(t)

absoluut en uniform convergent is, zoodat dan volgens
hoofdstuk II de functie G {t) van geslacht u) is.

De bijvoeging „en wel steeds tot dezelfde geheele functie,
hoe we de kromme s ook tot het oneindige uitbreiden" is
essentieel, want neemt men bijv. voor de kromme s cirkels c,
die men hoe langer hoe grooter laat worden, en vindt men
dan, dat de integraal nadert tot eene geheele functie in t,
dan heeft men nog geen zekerheid, dat de integraal tot deze
zelfde functie zal naderen, wanneer men andere kronnnen s
kiest, m. a. w. men heeft dan geen zekerheid, dat do
uitdrukking

absoluut convergeert, wel, dat zo beperkt convergent is.
Men weet dus wel, dat men de functie G (c) schrijven mag
in den vorm van eeno functie van geslacht w, maar men
weet niet, of het hierin voorkomendo oneindige product wel
absoluut convergent zal zijn.

(). Hot is misschien goed, do voorgaande beschouwingen
ook nog op eeno andere wijzo aan te toonen.
Uitgaande van eeno functie van geslacht w:

vinden wo daaruit, door logarithmisch te dillbrentieeren:
-G^ = T ^ yè. «y^^ö\'

50

Voor waarden van waarvoor | 2 | < | Oi |, kan elk der
breuken

_ _

[z - ö,)

ontwikkeld worden in eene reeks volgens opklimmende

machten van

% ■ ___-

zoodat we voor die waarden van z, voor ontwikkeling

krijgen:

waarin:

OD 1

MO) _ _ v _

» = 1 " »

Deze coëfficiënten hebben dus alle eindige waarden, want
er is gegeven dat

1

a/ \'

convergeert, van af p = w.

Voor waarden van z, waarvoor | «i | < | ir ] < | oj [ , is dezo
ontwikkeling divergent, welke divergentie veroorzaakt wordt

door de ontwikkeling van den term

{z - ai)\'

.2
T

Ol" {z - (lx)  \' \\ ■ «1 \' «1

Vervangt men echter deze ontwikkeling door:

(z - cii) ai" r ^ ^

ai"{z-ai) ttx" V\' \' ^ "P"
dan is de ontwikkeling van geldig voor waarden van
waarvoor

51

Voor die waarden van z geldt dus:

A

z

waarm:

= ^(0) I
p p \'

1

= ^ en ^ =

Om de ontwikkeling te verkrijgen, die geldig is voor waarden
van 2, waarvoor | «2 | < | s | < | Oa | , moeten we weer de

ontwikkeling

~2

(li" (z — 0«) fls" \' V as
vervangen door de ontwikkeling

1 — 1

l ^i ^fH-...

02- (s - au) oa"
Zoo voortgaande verkrijgen we voor do ontwikkeling, dio
geldig is voor die \\yaarden van z, waarvoor|o«|<]2]<|11:

= 4" \' 1 ^ -f .... ....

-öirLi^--\' • • • • • • • •

-hB^\'i, S-\'  J5(«)^~-r ^ ^

waarin:

1 1

AW

p

■1

52

waarin 5 ook oneindig groot mag zijn, in welk geval de
functie G (2) eene geheele transcendentale functie is, en gaan
we dan bepalen de waarde van de integraal

iz) 1

1 f G\'
2 TT i], G

G {z)z-t

genomen langs den omtrek van een cirkel, waar-van de
oorsprong het middelpunt is, en waarvan de straal is eene
waarde van | 2 | , waarvoor | a,, | < | 2 | < | 1 | , terwijl t
een punt is binnen dien cirkel gelegen.

We moeten dan gaan opzoeken den coëfficiënt van —

z

de ontwikkeling:

J^bo-^hz .... ^-h.z\' Jr

....

■.... ..........

X

1

X 1

Deze coëfficiënt is:

K K xt ....A-b, f—
-f AO» t  -h..... -h vlj") i"-" .....

Het eerste gedeelte hiervan is een geheel polynomium in
waarvan do graad w -j- 1 lager is dan die van G(z), zoodat,
wanneer G (z) een polynomium is ten hoogste van graad w,
dit gedeelte verdwijnt, terwijl, wanneer G (z) eene gelioelo
transcendentale functie is, dit eerste gedeelte ook eeno
geheele transcendentale functie zal zijn, waarvan do coëffi-
ciënten uit die van G (z) zijn af to leiilen.

Het tweede gedeelte is eene oneindig voortloopendo reeks,
die absoluut convergent is, want in do ontwikkeling voor

convergeert het stuk:

G (z)

4")   i .... A<;> 2\'\' .

53

absoluut voor elke waarde van z, waarvoor 1 2 | < | a„ i | ,
zoodat dus, daar M | < | «n i | , ook de reeks:

^-i-i t   A(;)tp-" .... -

absoluut convergent zal zijn.

Laten we nu n al grooter en grooter worden, zoodat we
dus tevens de straal van den cirkel al grooter en grooter
laten worden, dan naderen de grootheden A al meer en
meer tot nul en dus zal ook de bovenstaande oneindig
voortloopende reeks tot nul naderen, waardoor we dus

hebben aangetoond, dat de coëfïlcient van dat is de

z

waarde van de integraal

zal naderen tot eene geheele functie in t, waarvan do graad
<0-1-1 lager is dan die van G («), wanneer we den straal
van den cirkel, waarlangs de integraal te nemen is, oneindig
doen toenemen, echter zoodanig, dat do omtrek van dien
cirkel nooit gaat door een nulpunt a, van G (z).

Het omgekeerde van deze stelling is nu in het algemeen
niet waar, d. w. z. wanneer wc weten, dat de bovenstaando
integraal nadert tot eene geheele functie in t, dan hebben
we geene zekerheid, dat G (z) eene functie van geslacht (.> is.
Beschouwen wo toch de integraal

1 f

<lan volgt uit de bovenstaando ontwikkeling, dat do waarde
van die integraal is:

b.-i 1 ^ \'
i- t -f.... ....
Hierin treedt dus op do coêllldent

1

mn)

J^o waardo hiervan kan bij de limiet zijn oneindig groot,

54

en dan wordt dus ook de integraal oneindig groot; maar de
coëflTicient kan ook wel naderen tot eene eindige waarde

(bijv. de waarde O, zooals bij de sinusfunctie geschiedt). Dit

a I

zal het geval zijn, wanneer de reeks — beperkt conver-:

y _ ^ flfy

gent is. De waarde van die som hangt dan af van de
opeenvolging der termen, die ons hier bekend is, daar we
van den eenen cirkel op den anderen moeten overgaan.

Het kan dus voorkomen, dat, terwijl G{z) eene functie is-
van geslacht w, de integraal

1

1 r G\'

dz

G{z)z-t

zal naderen tot eene geheele functie in t, en dit kan dan
natuurlijk ook nog wel plaats vinden, wanneer we in de
integraal w — 1 vervangen door w — 2, w — 3, enz.

Omgekeerd dus kunnen we uit het feit, dat de integraal

J_ f J_ d"

G{z)z-t

tot eene geheele functie in t nadert, niet besluiten, dat G (z)
van geslacht w is. Hoogstens kunnen we zeggen, dat G {z)
alsdan geschreven kan worden in den vorm van eeno functio
van geslacht w, wanneer we daarbij letten op de volgorde
der priemfuncties., Die priemfuncties moeten dan namelijk in
zulk eene volgorde genomen worden, / dat de moduli der
daarin voorkomende nulpunten steeds grooter worden.

7. Wanneer we nu echter weten, dat eeno functie G {z)
van geslacht w is, en wo vinden dat do integraal

G\' {z) 1

— f-
2 TT iJc z^

z" G{z)z-t

nadert tot eene geheele functie »// (/)\', dan zijn we in staat
den vorm van de functie G (z) geheel en al te bepalen, dus
met inbegrip van de functie G (z).
We hebben toch gevonden op pag. 48:

/A (O

1> (O = ——

of

dus

G\' (z) = (2) ^ . V\' (z).
Stellen we nu, dat ip (z) den vorm heeft:

y. (z) = do dl z -----f z\'",

dan vinden we\'dus:

^ 1 I ~ai4-2 I 1 j^ m l

O ~ I I I 1 »

waarin tp {z) de voor z = 0 verdwijnende integraal is van

(O,.- 1)!

en

iz)

G (2) is dus eeno geheele functie, waarvan de graad w -f-1
hooger is dan die van i/» j en waarvan de coëllicienten uit
die van 1/» (z) on van {z) kunnon worden afgeleid.

Wo zullen dus nu in staat zijn eenige voorbeelden te
behandelen.

HOOFDSTUK V.

Voorbeelden.

J. Sinus-functie. Coshms-functie.
1. De nullen van sin z worden gegeven door de fonnule:

2 = r TT, (,. = 0, ±1, ±2,....)

terwijl al deze nullen enkelvoudig zijn.

00 ® 1
Daar de reeks v — beperkt convergent is, maar

v = 1 " tt - - • , = 1 (r tt)\'

absoluut convergeert, is bij de sinus-functie w = 1, d. w. z.
sin z is eene functie van geslacht 1.

De vorm van de functie, ontbonden in de priemfuncties,
is dus:

z

sin z = G z (\'i 11

V = — 00

waarbij in het oneindig product niet // = O moet genomen
worden.

De waarde van C is:

I

--ÏJÏ ...

» =5 o

terwijl G {z) bepaald wordt uit de reeds vermelde eigen-
schap, dat

7- l f cos z \\ , „

hm H—: ƒ —:--- dz = 0.

1,1 = 00 2 TT ijezsinzz — t

m

57

Hieruit volgt, dat
G (z) = Cf, (z) = de voor z = 0 verdwijnende integraal van q/{z),
waarin

cos z 1

sm z

1-—4-

= 0,

z = 0

dus is ook G{z) = 0, \') zoodat de volledig bepaalde uitdrukking

\') Do bovenstaande bepaling van do functio G (z) schijnt ons do beste too,
daar zo berust op een algemeen theorema. Zo kan echter oolc op andere
wijzen geschieden.

IIastinos Moore doet het door in do eerste plaats to bowjjzen, dat er

slechts óéno functio f (z) = , is, dio do volgende funotionalo

eigenschappen bezit:

(A,) f {z) is eeno (transcendentalo) geheelo functio vnn do complcxo
voriabolo

(-fl,) liet coniploto systeem nulion van ƒ (a:) i» r = O, ± 1, ± 2......

wellio nullen nllo enkelvoudig zijn.

lint
e = 0

f (\'2 r) f (4-) = 12 f /" (> -f 4") ■

Ui)

(C) f{-z)=-f{^z),

welko laatste eigenschap ook vervangen mag worden door
rd . f{z)-

h Jog

Lrfcr Ä J, = 0

In do tweedo plaats bowjjst h[j, dat ook lufl onei ndigo product

z II — " * (pxoi\'pt. V = 0)

V =— 00 "

het aysteem eigenschappen (A, Ji, C) bezit, zoodat dit oneindig product

— , waaruit dus volgt dat do functio G{z)

* Si

idontisch is mot do funcHo —
ff<^lijk is aim nul.

~1Ia8T1X08 Moouk. - Concerning the definition by a systom of functional

I\'ropcrties of the function /"W =
versity of Virginia) vol. » (»895) p. 43 o. v.

58

voor sm z is:

> OD

sin z = z n

v = - 00

2. In deze uitdrukking mag de volgorde der priemfuncties
willekeurig genomen worden.

Laat men de priemfunctie met index v = —p volgen op
die met index v = dan wordt

= z n jfi- —

V = 1 i i V TT ]

r2

1 --^0

V TI-\'J

waaruit volgt, dat de sinus-functie, beschouwd als functie
van z\'y eene functie van geslacht O is.

Neemt men bij elkander de priemfuncties, waarvan de
indices gelegen zijn tusschen — m en m, en laat men
dan m oneindig worden, dan verkrijgt men de reeds door
Cauchy gevonden uitdrukking:

r z \'

sin z = lim z II 1--

»1 = 00 v = — »il f TT .

Het hierin voorkomende product is nu slechts beperkt

convergent, we mogen het dus niet schrijven in den vorm

van een gewoon oneindig product, dus we mogen niet
schrijven:

sin z = z

V TT J

Wanneer dit zoo was\' dan zou het er niet op aan komen,
op welke wijze we naderden tot de beide oneindige grenzen
en dan zouden we ook mogen schrijven:

sin z = Hm z

« = co V = — m .

waarin p een geheel positief getal is.
We kunnen nu echter bewijzen, dat dit tweede lid niet

gelijk is aan sinz, maar aan sin z.

1 -

59

Uit de algemeene uitdrukking voor sin z volgt toch, in
verband met het theorema v^in hoofdstuk III\', § 6:

UI p

sin z = lim z 11

I« = 00 » = — m

Nu is:
V 1 _ 1

v = _„//7r TT L— W \' — 1

1

1

m — 1 ?n 1
1

~ TT Lwi 1 m 2

_ _ 1__

n v = i 7n X \'\'

m

Daar nu

1 ^ CnVx

1-1. JL A

. \' m

waarin log p de reëelo waardo van de logarithme beteekent,
wordt

Kt

sin 2 = e T \'"SP, Urn z

m = 00 » = — M

en dus

r, z] 1 .

1--= —- sin z.

y rrj jjJ-

3. Do periodiciteit van do sinus-functie blijkt ook zeer
gemakkelijk uit den productvorm.
Voeren wo in het polynomium:

F (z) = A z(z — n)(z —2 7T)....(z — n n)

waarin A eeno constante is, zoodanig dat
lim F (z) = sin s,

n m 00

en vervangen we in F {z), z door r 4- n-, dan wordt :
F {z-{-rr) = A(z n)z{z--7T)....(z — (u — 1) n)

(z -i- 2 7T) (z 3 Tl).... (z -i- (n -i- l) n),

60

zoodat dus

\' ^ ^ z — nzi \'

en bij de limiet

Um F {z 7ï) = — Urn F (z),

» = 00 H = 00

of

siti {z n) = — sin z.
sin {z 2 7ï) = sin z.

4. Merken we nog ten slotte op, dat Frenzel \') bij de
afleiding van den vorm der functie G {z) eene foutieve rede-
neering volgt, alhoewel hij tot de goede uitkomst geraakt.

Uit eigenschappen van de sinus-functie bewijst hij, dat G\' [z)
eene enkelperiodische functie moet zijn en zegt nu dat, daar
G\' (z) eene geheele functie is, die in het eindige nergens
oneindig is, ze dit, wegens hare periodiciteit, ook in het
oneindige niet zijn kan, d. i. G\' (z) is eene constante. Hij
past dus eene eigenschap, die voor de dubbelperiodische
functies geldt, toe op eene enkelperiodische functie, terwijl
hij in werkelijkheid slechts uit de periodiciteit had kunnen
besluiten, dat G^ (z) eene constante of eene geheele trans-
cendentale functie is.

5. De cosinus-functie kan op dezelfde wijze behandeld
worden als de sinus-functie, en de uitdrukking, die er dan
voor gevonden wordt, is: \'

cos z = II

V — _ co

(2 - 1)

6. Men kan den productvorm voor cos z ook vinden door
uit te gaan van de formule:

sin 2 z .
cos z = ^r—:—.
2 sin z

Nu is:

2»

e V T (except. r = 0).

\') Fhknzel, t. rt. p. p. 325.

61

Splitst men hierin de even en de oneven waarden van ,
door te schrijven r = 2 en v = 2 q — dan wordt

sin2z = 2z fl fl- —

u= —00 l. /U TT.

ef\'-X II
f =-00

r. 22 A ^^

1 - 7ö-TT-

(except. u = 0)

Deelen we deze uitdrukking door den productvorm van
2 sin z, dan vinden we :

cos 2 = 11
/} = — 00

7. Ook kan men gebruik maken van de formule:

TT

COS z = sm

Uit dei; vorm voor sin z volgt:

[^■^i-H fllLV-

(2 ,, -l):j-2z ^

-e 2vt (except. r = 0).

O

v = -oo ^ i) TT

Deelen we deze uitdrukking door

1 -L

ea» (except. r = Ü),

2,-J

dan verkrijgen we:

O ~

n f 1 - —-fT-l (Gxcept. = 0).

V = — 00 V J\' i ) \'T J

Deze uitdrukking moet dus identiek zijn met do vroeger
gevondene. Dat dit werkelijk het geval is, is aangetoond
«loor Wkyr \').

Zonderen wo in den l\'\'\'" vorm voor cos z ook den factor,
die correspondeert met = ü af, dan wordt:

4) 8« a>

l — \\e-- II

nj v = _oo

1 - r

(2 r - 1) n)

(except. I\' — 0).

\') Kxtniit tl\'uiiü lettre «lo M. Ki). Wkyu M. Hkumitk. Hullotiii don
Sciencea .Math. \'J\'"« Si-rio XII (1" pnrtio) p. \'Jö e. v.

62

Deelen we nu de beide uitdrukkingen op elkander, dan
vinden we voor het quotient:

22 00 _2z__l£ li. I (_1__J_)

-l)7r v-r = e , e v = — — 1 3»/

(except. V = 0).
Dit quotient moet gelijk 1 zijn, dus moeten we vinden, dat

S

gelijk aan 1 is.
Werkelijk is:

® r 1

S= V

— v

— ^

V = 1

zoodat daarmede de identiteit der beide uitdrukkingen voor
cos z bewezen is.
8. Men kan deze kwestie ook algemeen opstellen.
Zij gegeven eene functie G^ (2), waarvan de productontwik-
keling bekend is:

= a^^e^w II

y = 1

en verder eene functie H {z), die aan G {z) gebonden is door
de betrékking:

i/(2)=: C),
waarin C eene constante is, dio we zullen onderstellen dat
niet samenvalt met een der punten a,, zoodat de nullen van
II (z), z = Gy — ^ alle van nul verschillend zijn.

Het is duidelijk dat II {z) van hetzelfde geslacht is als G (z),
want wanneer

dan is

1 1 1

^ \' r MH" \'

1

63

Is m de kleinste waarde van

1 —dan is:
«v r

1 ✓ 1 ® 1

V _J!_i_V ^

en zal dus convergent zijn, als i , ^ ] „ i convergeert.

» = 1 I O. ,

De vorm van de functie if (2) zal dus zijn :

z

H{z) = II

y = 1

waarin het product te nemen is ook over de factoren,
welke correspondeeren met = O, dus met - Ç = - ^,
en het is nu de vraag om uit de bekende ontwikkeling voor
Cr (2), de functie H{z) te bepalen.

H (0) = G (C) is eene bekende constante.

Deelen we

1

V = 1

door

= CrAeff(f) f|

dan verkrijgen we

//(2) = 7/(0) 1 -P-

1 -

(ly - Ç-

Zonderen we in de l\'"" uit(h-ukking voor II(z) do ). factoren,
<lio correspondeeren met Oy = O, af, dan wordt

11 (2) = II (0) [1  X

X II

. _ . - Oy-U

waarin liet product, evenals bij de 2\'" uitdrukking voor 7/(2),
»» slechts te nemen is over dio factoren, welke corres-
pondeeren mot (ly l Ü.

64

We zullen nu trachten van de polynomia
af te zonderen een stuk, dat gelijk is aan

ov - è\'

Q.

Dit is alleen dan geoorloofd, wanneer,we tevens bewijzen
dat het polynomium, dat er overblijft, zoodanig is, dat
het, gesommeerd over alle waarden van y, een polynomium
oplevert, waarvan de termen absoluut convergeerende reeksen
tot coëfficiënten hebben, want alleen in dit geval mag dit
gesommeerde gedeelte afzonderlijk voor het productteeken
gezet worden. ^

Stellen we kortheidshalve — = ty. dan is:

fl. \'

- Q. (4) =4- (i^) (<v) ....

2 a;

1

W! üy"

(1  ty-\\- ty\'-\\-...............

1

-fly - 2 (fly - • • • • \' tü {Uy -

l ZP l ZP \\

P (fl. - C)" P flv" (1 - tyY •

65

Nu is:

= 1 ty^ 

u — l

l-L

2! dL^

_—11 4/: 10/24- I 1 dU ty" \\

••••  TTTTS--- 3!

__ 1 _ 1 , 1 { tr

{1 - uf- "^(tü - ly.dtf-^ U - U\'

d

dL

u - U

Werkelijk is deze uitdrukking, gesommeerd over do ver-
schillende waarden van i-, een polynomium, met absoluut
convergeerondo reeksen tot coëlllcienten. Beschouwen we
toch den term

d" (

aj dtyfU-t,

A W-P -f B \' ..-^Lt-

{l-tyY^

is het eersto stuk van dezen term

i^aar nu

ft"
V «3 1 "y

66

absoluut convergeert, zal dit ook het geval zijn met

Sommeeren we dus het eerste stuk van den beschouwden
term, dan verkrijgen we eenen term, waarvan de coëfficiënt
is eene absoluut convergente reeks, en dan is dit in nog
sterker mate het geval met de andere stukken van dien term.
De geheele gesommeerde term heeft dus tot coëfficiënt eene
absoluut convergente reeks en dus zijn de coëfficiënten van

z

^ F

V = 1

absoluut convergente reeksen.

De uitdrukking voor H{z) wordt dus getransformeerd in:

( (T„ \' fly ^ X

H(z) = H(0)

X II

» = 1

«v - C.

en door vergelijking met de 1"® uitdrukking voor H (z)
vinden we:

=ë c) - ê (O - J ƒ , I-)-e. (-f.

Passen we deze algemeene formule toe op het geval dat

G (z) = sm z, ^ = , dus II (z) — cosz,

dan .is

G(2) = 0, ;i= 1, cü = 1,

V

, 1 V C(y Uy ,

2 2

v

12 - 1 2 ,\'j

TT y =1 0,2 ir {2 — i) n y=_

Deze som hebben we hiervoor reeds bepaald en er voor
gevonden de waarde 1, dus

F

■ = 1

67

en bij gevolg

TT TT

zooals we ook vinden moesten.

9. Hermite \') heeft nog laten zien, dat de twee uitdruk-
kingen, die we voor cos z gevonden hebben, beide bijzondere
gevallen zijn van eene meer algemeene uitdrukking.
Door si7i z logarithmisch te differentieeren, vinden we:

1 , V T 1 ,1
cotgz = -— 1 ---h

z V = - 00 — tt

(except, f = 0).

i\' nJ

Vervangen we hierin z door z dan

1

cotg (2 C) = ^ , ^ r--

en trekken we hiervan af de gelijkheid

1

cotg b = -j- ï

V V = — 00

dan verkrijgen we

1

4" C — 1\' TT b — l> TT j

Door te integroeren tusschen 0 en z vinden we dan

z

C-r

en uit deze Ibrmule zijn do beide uitdrukkingen voor cos z
af te leiden.

In de eerste plaats stollen wo b = 0. Hiertoe zonderen
we van het product af den foctor, tlio correspondeert mot
»\' = (), dus den factor

en verkrijgen dan, als wo opmerken, dat cotg b--^ voor

^ = O nul is,

\') IIK11.MITK, t. U. J). p. 10.).

e>^(except. r = 0)^

sin C

V = — co
77

en dus, wanneer we ^ = stellen,

V 7rJv = -oo\\. [2 -1) TT j

e y (except. v = 0),

In de tweede plaats vervangen we in de uitdrukking voor

sin jz -j- ^ ^ ^^^^ ^ ^ TT ^^ ^ ^ en verkrijgen dan

sm ^ ii ^

22

e 3 4 — (2 » — 1;

2 C - (2 - 1) 77-,

Stellen we nu C = O en ö = O, dan wordt
r 2 z \\ -

COSZ= II 1--3-— e (2v-l)^.

11. Sinussen van hoogere orde.

10. De sinussen van de vierde orde \') worden gedefinieerd y
die van de hyperbolische soort, door de vergelijkingen:

1 ......

Bx{z)= z

~io

6!
27

= ......\'

en die van de elliptische soort door de vergelijkingen:

\') J. C. en W. Kai\'TKVN. Li;« Sinus du (juiitriumo ordre. Natuurk. Verh.
der Koninkl. Akademie. Deel XX.IV.

69

V = = (1 -f i) = r(l -h i),

dat we hebben de betrekkingen:

= Bi{z,,) = B{z)- G, {z y) = G {z)A (2;;) = 2) (2);
en verder

\'dF - "rfT - W - -dz -
dA T, dB , dC ^ dD ^

~T~ — = ; —j— = _/:> ; —j— = O.

dz \' dz dz dz

De oorsprong is voor de functies B en Bi eene nul van
de 1«*« orde, voor de functies C en Ci eene nul van do
orde en voor de functies I) en Di eene nul van de
orde. De overige nullen worden gegeven door de volgende
tabel:

nullen van A s = ± a» en 2 = ± i Uy
„ „ B z= ± Ik „ z = ±i by

„ „ C Z = ± Cy „ Z = ± l Cy

„ „ D z = ± dy „ z = ±idy , dus

„ „ Al Z = ± Ij Uy „ 2 = ± i ;/ üy

„ „ Bi z =1 ± ,jby „ z = ± i tj by

„ „ Cl Z=-±llCy „ Z—±itjCy

„ „ Dl z = ± ydy „ z = ± i 7j dy,

waarin o,, by, Cy en dy reëele grootheden zijn.

De nullen van do elliptische sinussen vaii de vierde orde
liggen dus op de reeële as en op de imaginaire as en steeds
vier aan vier op een cirkel, waarvan do oorsprong hot
middelpunt is; terwijl de nullen van de hyperbolische sinussen
van de vierde orde liggen op de lijnen die de hoeken, ge-
vormd door de coördinatenassen, middendoor ileelen en ook

70

vier aan vier op dezelfde cirkels als de nullen van de ellip-
tische sinussen van de vierde orde.

In bovenstaande tabel is:

ai=-\\- n 1X2 = rit en Ci = tï ]X2 = 2 rn,

en verder is de afstand tusschen twee opvolgende a\'s con-
stant, zoo ook die tusschen twee opvolgende c\'s en wel
gelijk aan

Tl 1X2 = cx = 2 ai.

We kunnen dus schrijven:

a, = (2 r 1) «1 = (2 </ 4- 1) r TT,

Cy = V C\\ = 2 V r Tl.

Hieruit volgt terstond dat de functies A {z) en C (z), en
dus ook Al {z) en Ci (2) van geslacht 1 zijn.

De waarden van b, en dy moeten benaderd worden en de
opvolgende b\'s en d\'s liggen niet op gelijke afstanden van
elkaar. Voor y 4: kan men met zeer groote juistheid gebruik
maken van de formules:

by = —^— ai; dy = —^-

De grootheden a, b, c, d bezitten de eigenschap, dat
«1 <bi<ci<, dl < au < < Co < (Zz < «3 < . . . .
zoodat ook de functies 7i, D, Bi en Di van geslacht 1 zijn.
Imnjers

00 1 00

v — < v

/>.2 \\ .

I b^- ^yZia

dus deze som is absoluut convergent, terwijl

»1 ® 1

V -L \\ V _!_

yZi K ^ v = i c; \'
dus deze som is niet absoluut convergent.
Hetzelfde geldt natuurlijk ook voor de grootheden d.
11, De vorm der priemfuncties der sinussen van de vierdo
orde is ons dus bekend, en om Me exponentieele factoren
c^w te bepalen, moeten we van al deze functies gaan zoeken

71

de waarde van de integraal

a\' (z) 1

z G{z)z-t

We kunnen nu laten zien, dat we groote waarden van | z |
kunnen bepalen, waarvoor

z G {z)

tot nul nadert, zoodat dan ook, voor die waarden van \\z\\,
bovenstaande integraal tot nul nadert.

Het gemakkelijkste kunnen we dit laten zien bij de hyper-
bolische sinussen van de vierde orde. We moeten hiertoe
die sinussen uitdrukken in de exponentieele functie e=. Hier-
voor gelden de volgende formules:

Al = ^ (e^ 4- e-\' -}- e- e-\'-\' )
Bi = — — i é\' i e-\'\')
Cl =-^(e-- e-\' —e^\' —e-*\')

A = ^ (c — e-\' -f ie\'\' —ie-\'\').

Het vei\'dere onderzoek gajit nu l}ij dezo vier functies op
dezelfde\'wijze, we zullen ons daarom bepalen bij de functio ^li.

Daar Ai = Di, hebben wo

c" — e-\' -f ie" — ie-\'\'
e-\' e*\'

z = (> (cos O i sin 0),

en laten we « oneindig groot worden, echter zoo, dat q
nooit gelijk wordt aan den modulus van eono der nullen
.van ^li. Eenvoudigheidshalvo kunnen wo onderstellen dat do
opvolgende waarden van y gelijk zijn aan de waarden dor
moduli van ilo opvolgende nullen van Ih — Ai\'.

72

We hebben nu:

e? = ef cos ^ j QQQ giy^ I gi^i gi^j^

e-" = e-f\'°\'^\\cos (q sin 6) — i sin {q sin fj)|
è\' = (p cos fj) i sin (g cos 6)|

g-iz _ e I cos (() cos 0) — i sin (o cos fj)},

waaruit volgt, dat voor q = oo enO<e<-^de uitdrukking
A/

voor vereenvoudigd kan worden tot

Al

A/ (f-ie-\'\'

hm = hm —rj—
p = O) Al (j = 00 C\' e

waarvoor we nog kunnen schrijven, als O < fj <

lijj^ ^i\' _ ef Q-""{cos (o sin Q g cog Q) isin (g sin f}-\\-Q cos f)

f = 00 , = co ® ~ "" ^^ {cos {q sin fj p cos 0) i sin (« sin I) « cos O} 1

= 1,

, TT ... TT

en als -p < O <

2 \'

Al _ j. 1-ief O -{cos {n cos fj p sin Q) - i sin {q cos fj q sin Q)}
/ü"oo 1 "-""ö>{COS {o COS O p si7i 0) - i sin {q cos fj p sin fj)}

Behandelen we de andere kwadranten op dezelfde wijze,
dan vinden we, dat

TT , , y 3 TT Al

\'Stt

^ < O < ,

/ / . 5

TT <0<—,

4 2 \'

7 TT

TT

<0<

I

73

Stt Ön „ 1 n , ,,

j-, of ^ dan wordt,

wegens de bijzondere aanname der opvolgende waarden van p,
Al nul en Ai niet nul, zoodat voor die waarden van Q

Um ~ = 0.

f = O)

We hebben dus laten zien, dat we voor de functie Ai (z)
groote waarden van | z \\ kunnen aangeven, waarvoor

Um = 0.
z=<x> Z Al

Bij gevolg hebben we hier:
G (z) = (j) (z) = de voor z =z O verdwijnende integraal van
(z), waarin

n

Heeft O eene der waarden

-

. 1 11^-...

<Uis is ook G (z) = O en we verkrijgen dus, wanneer we de
nullen van Ai (z) door «y aanduiden:

--—] C «y .

ffy j

Op dezelfde wijze vinden we, wanneer we de nullen van
-öi (s), Cl (z) en Dl (z) resp. aanduiden door (iy, yy en i)y,

en I) (z) hieruit af te leiden zijn door «y, en

te vervangen door , ~ en —.

7/ JJ

74

12. Nemen we bij elkander die priemfuncties, waarvan
de nullen dezelfde moduli hebben, nemen we dus de priem-
functies 4 aan 4 bij elkander, dan verkrijgen we

e >>1y »fiay fOy »(\'ay

y I «vJ

= II I |t = n

•/=l\\. «V j V = 1

4

(2 1)^ TT^J

en evenzoo is

Bi(z)= z n

•/ = 1

V = 1

1

4 n^]

en bijgevolg ook ,

A(z)= II
»= 1

B{z) = z

y = 1
2"-

^^ 00 Y

Beschouwen we dus de sinussen van de vierde orde als
functies van dan zijn ze functies van geslacht ü.

13. Behandelen wo nog met een enkel woord <lo hoogere
sinussen in het algemeen \').
De groep van n functies, die de hyperbolische sinussen

\') .1, C. on W. KaI\'TKYN. Uio hölieren öinuH. Sitzh. dor Kais. Akrnl. der
Wissensch. II Abtli. I5d. XCIII (1886).

75

van de n\' orde genoemd worden,\' wordt gegeven door de
vergelijking:

- (/,_!-„)! („ 2 • • • \'
waarin voor achtereenvolgens de waarden O, 1, 2,..., — 1)
genomen moeten worden; terwijl de groep van de n elliptische
sinussen van de n\' orde gegeven wordt door:

H\'i- W — ^ - ÖT^Tny.  ~.....

Zonderen we van deze functies af die, waarvoor == 1 is
en die dus gelijk zijn aan e-\' en e-\' en dus geene nullen
bezitten in het eindige deel van het vlak, dan is van de
andere functies in de eerste plaats de oorsprong eene nul
van orde /t.

Verder hebben de functies ip^ (s) steeds een oneindig aantal
positieve reëele wortels.

Duiden we deze aan door

O\' = 1,2,3,----)

dan worden alle wortels van y/^ (z) gegeven door

2h , . . 2//,

cos- n l Sin -n

n \' n

(/t = 0, 1, 2,...., n

(

f = cos \'

zoodat er, wanneer n even is, ook een oneindig aantal
negatieve reëelo wortels is.
Do wortels van (z) worden gegeven door

2 /i 1 , . . 2 // 4-1

cos -!- TT l sin----- ----- TT

n n

(//=ü, 1,2,...,«-!)

waarin »; = cos — i sin — = — 1,

) i

zoodat, wanneer n onovon is, (2) een oneindig aantal
negatieve reëele wortels bezit.

76

De grootheden r^,, hébben de eigenschap, dat

^0.1 < n, 1 < rg. 1 < .... < r„_i, 1 < ro.2 < ri,3 <.... <r„_i. 3 < ro,3 < ..

De nullen r^,, van eene zelfde functie i/;^ (s) zijn in het
algemeen niet equidistant, maar voor groote waarden van f

, waaruit we dus kunnen be-

sluiten , dat alle hoogere sinussen functies van geslacht 1 zijn.

14. In de aangehaalde verhandeling wordt vervolgens in
het algemeen bewezen, dat er groote waarden van | z | zijn
aan te geven, waarvoor

tot nul nadert, waaruit we dus de gevolgtrekking kunnen
maken, dat voor alle functies cjy (2) de exponentieele factor
zich tot de eenheid herleidt.-
Duiden we dus de wortels van (2) aan door tïan
kunnen we schrijven

zi"

q,^ (2) =

en dus ook

/X Ti —

,\'<!» = 1 l «ft, v/

15.\' Nemen we weer te zamen de priemfuncties waarvan
de nullen dezelfde moduli hebben, dan wordt:

1-

^V.v V

» -

^ e V. V *\' V p >" **

lietgeen zich, zooals gemakkelijk in te zien is, herleidt tot

2»*

gv (2) =

77

n fi-^i

"Wanneer men dus de sinussen van de 71" orde beschouwt
als functies van dan zijn ze op te vatten als functies
van geslacht 0.

16. We kunnen ook gemakkelijk in het algemeen nagaan,
in hoeverre eene functie van geslacht w,

G (z) = Gz^ fl fl - —] e ,
V = 1 l öy j

te herleiden is tot eene functie van lager geslacht, als de
wortels van G {z) gegeven worden door

= 3,......; = 1, 2,...,«-l)

waarin f = 1^1,

Nemen we dan weer de priemfuncties, waarvan de nullen
dezelfde moduli hebben bij elkander, dan verkrijgen we
achter het productteeken in de eerste plaats een ])roduct

en in de tweede plaats een exponentieelen factor
Nu is

« — 1

1

" \' y
. . .

Wanneer nu >ü>, dan zijn al deze sommen nul, dus dan

.78

herleidt de functie zich tot eene eenvoudige functie in z" van
geslacht O, vermenigvuldigd met de functie

C

Is echter m > w, dan vallen de bovenstaande sommen niet
alle weg, integendeel blijven die, waarbij de index ^t gelijk
is aan w, 2 7i, .. . bestaan en die sommen worden dan gelijk

n — 1 \' ^

aan w. Is dus u}—pn-\\-q, dan herleidt ^ Q^

zich tot

Tv f
1

JL

2 n

p

zoodat dan G (2) zich herleidt tot

G (2) = C2^ \\] [1--
V = 1 V

dus tot eene eenvoudige functie in van geslacht ver-
menigvuldigd met de functie

17. Voegen we hier nog aan toe eene eigenschap, dio
algemeen geldt voor elke functie van geslacht w en die wel
eenige analogie vertoont met het bovenstaande, namelijk de
volgende:

Elke functie G {2) van geslacht w kan beschouwd worden
als een deeler van eene functie IJ {2) van geslacht O, wanneer
men daarin 2 door ^ vervangt.

Zijn weer 1, t, de verschillende wortels van

rc" > = 1, dan volgt uit de reeksontwikkeling van de functie
G (z), dat het product

G{2)G{f 2) G (t^ 2) . . . . G (t- z)
eene geheele functio in \' zal zijn. Noemen wo dezo
functie 11(2" ^), dan zullen de wortels van Jl(z) zijn de
grootheden o," ^ wanneer a, de wortels zijn van G (2).
Daar nu

79