Gaarne maak ik van deze gelegenheid gebruik om U,
Hoogleeraren in de FactiUeit der Wis- en Natiinrkimde,
mijn hartelijken dank te betuigen voor hetgeen Gij voor
mij gc\'ioeest zijt: jaren geleden, toen ik Uw ottderwijs mocht
volgen, of later, als ik, nooit te vergeefs. Uw hulp heb
ingeroepen.

Een afzonderlijk woord van dank aan U, Hooggeleerde
Grinwis. Het doet mij lecd^ dat de toestand Uwer gezond-
heid U Jioopt, een werkkring, die U lief is, vaarivel te
zeggen en het is voor mij een weemoedige gedachte, dat ik
de laatste Uwer leerlingen ben, die op deze wijze afscheid
van U neemt. IVees overtuigd, dat Uw onderwijs en de
vele bewijzen van vriendschap, die Gij mij hebt gegeven.,
bij mij steeds in dankbare herinnering zullen blijven.

In dit proefschrift stel ik mij voor een Inleiding te
geven tot de toepassingen, die Maxwell in de Electro-
dynamica en in de leer der Inductie van de Vector-
potentiaal maakt.

In het eerste hoofdstuk wordt nagegaan, op welke wijze
zich dit begrip bij Maxwjcll, blijkens zijn verhandelingen,
heeft ontwikkeld. In § 7 is het mij, naar ik meen,
gehikt een duidelijke voorstelling te geven van hetgeen
Maxwell bedoelt met eene mechanische analogie, waaraan
hij blijkbaar veel waarde hecht en die door hem toch
slechts vrij onbepaald wordt aangeduid.

In het tweede hoofdstuk wordt de Vector-potentiaal
uit een meer algemeen oogpunt beschouwd, dan door
Maxwell is gedaan. Die grootheid wordt beschouwd in
verband met een oppervlakte-integraal, op soortgelijke
wijze als men de gewone potentiaal kan laten afhangen
van een lijn-integraal. De eigenlijke beteekenis echter
van de Vector-potentiaal voor de theorie van de werking
op afstand wordt aangegeven in § 23 en § 24.

In het vierde hoofdstuk heb ik mij bepaald tot het
Electromag-netisme. In verband met het in het tweede
hoofdstuk behandelde worden de hoofdvergelijkingen op
eene van de gewone eenigszins afwijkende wijze afgeleid.
Een paragraaf over het Electromagnetische ^Moment is
slechts toegevoegd, om te doen zien in welke betrekking
deze grootheid staat tot de Vector-potentiaal

§ i. De naam Vcctor-potentiaal is ingevoerd door
Maxwell en men behoeft het deel van zijn Treatise
011 Electricity and Magnetism slechts te doorbladeren, om
te zien welk eene belangrijke rol deze grootheid in zijne
theorie speelt. Toch is zij voor die theorie slechts een
hulpgrootheid en het zou misschien moeilijk te verklaren
zijn, hoe Maxwell er toe gekomen is die grootheid zoo
op den voorgrond te stollen, als men geen rekening
hield met den invloed van Farauay.

Het is bekend, dat Maxwell, bij het opstellen zijner
theorie, zich • in hooge mate door Faraday heeft laten
inspireeren. Voor alle begrippen en voorstellingen,
waarmede de laatste werkte, vindt men bij Maxwell de
gepaste wiskundige uitdrukking.

In de eerste plaats denkt men hier aan Faraday\'s
theorie van de krachtlijnen, niet iilleen als lijnen, die in
ieder punt van het veld de richting en de intensiteit van
de kracht iiangeven, maar ook als lijnen, die den physi-
schen toestand van het medium kenmerken.

Minder in het oog vallend, maar toch zeer wezenlijk, is
de invloed, dien een andere conceptie van Faraday — het
bestaan van een electrotonischen toestand — gehad heeft op
de wijze, waarop Maxwell zijn theorie heeft opgebouwd.

Volgens Maxwell is de geheele geschiedenis van de
wijze, waarop zich deze conceptie in Faraday\'s geest
heeft ontwikkeld, de studie zeer waard. Enkele hoofd-
trekken uit die geschiedenis willen wij hier laten volgen.

§ 2. In de Serie van z\\]n Experiinental Researches
m Electricity beschrijft Faraday de ontdekking van de
volta-electrische en de magneto-electrische inductie. Ter
verklaring\'van de waargenomen verschijnselen neemt hij
nu aan, dat een gesloten geleider, onder den invloed
van een electrischen stroom of van een magneet, dus in
een magnetisch veld, in een bijzonderen toestand ver-
keert. Zoolang die toestand onveranderd blijft, gebeurt
er niets; zoodra echter die toestand verandert, ontstaan
er electromotorische krachten, die zoowel wat intensiteit
als richting betreft, van de veranderingen in dien toestand
afhangen. Aan dezen hypothetischen toestand der materie,
van welks bestaan op geen andere wijze blijkt, geeft hij
den naam van Electrotonic State. Deze toestand schijnt
dan te bestaan in een soort van spanning. De opgewekte
inductie-stroom houdt op, zoodra die spanning is tot stand
gekomen en als de invloed, waardoor de spanning ont-
staat, ophoudt te werken, geeft de ontspanning een
inductie-stroom in tegengestelden zin.

In de Serie der Ex. Res. heeft Faraday in de
verandering van het aantal en de richting der magnetische

krachtlijnen, die door een geleider omsloten worden, een
minder hypothetisch middel gevonden om de inductie-
verschijnselen samen te vatten — dus te verklaren. De
redenen, die hij had om het bestaan van een electroto-
nischen toestand aan te nemen, bestaan dus niet meer.
Hij voegt er echter bij, dat het hem in hooge mate
onwaarschijnlijk voorkomt, dat een geleider geheel indif-
ferent zou zijn tegenover een krachtigen electrischen
stroom, die zich in de nabijheid bevindt. Alleen het
gemis van feiten, die het aannemen van een electroto-
nischen toestand wettigen, noopt hem die hypothese op
te geven.

Toch dringt zich die hypothese telkens weUer aan hem
op en in de volgende Serieën der Ex. Res. komt hij er
herhaaldelijk op terug. Zoo b. v. {Ex. Res. 172g):

„Het schijnt mij mogelijk en zelfs waarschijnlijk,
dat do magnetische werking op afstand wordt over-
gebracht door de werking van tusschengelegen deeltjes
op oen wijze, die overeenkomst heeft met de wijze,
waarop do inductie-krachten van statische electricitoit op
afstand worden overgebracht, waarbij dan die tusschen-
gelegen deeltjes tijdelijk in een meer of minder bijzonderen
toestand verkeeren, die ik herhaalde malen met den
naam van electrotonischen toestand heb aangeduid."

Als hij later tot do overtuiging komt, dat ponderabele
materie voor de voortplanting der magnetische kracht
niet noodzakelijk is, helt hij er toe over om den electro-
tonischen toestand te beschouwen als den toestand,
waarin de aether onder den invloed van magnetische,
krachten verkeert, ofschoon nog niet kan gezegd worden,

waarin die toestand bestaat: in een trilling, in een span-
ning of mogelijk in iets, dat overeenkomst heeft met
een electrischen stroom {On the Physical Lines of Mag-
netic Force. Ex. Res. III, p. 443). In ieder geval zou
die toestand samenvallen met hetgeen het wezen der
magnetische krachtliinen uitmaakt.

§ 3. De wetenschappelijke waarde van deze conceptie
bestaat volgens Maxwell hierin, dat de aandacht geves-
tigd wordt op een grootheid, die niet door haar absolute
waarde, maar door haar veranderingen de verschijnselen
in het electromagnetische veld bepaaft. Hij zegt [Treatise,
Art. 540): „Door een reeks van experimenten, geïnspireerd
en geleid door ingespannen denken, werd Faraday ,
zonder behulp van Aviskundige berekeningen, er toe ge-
bracht het bestaan te erkennen van iets, waarvan wij nu
weten, dat het een mathematische grootheid is, die men
zelfs de fundamenteele grootheid in de theorie van het
electromagnetisme zou kunnen noemen. Daar hij echter
op zuiver experimenteelen weg tot deze conceptie was
gekomen, schreef hij er een physisch bestaan aan toe en
veronderstelde, dat zij bestond in een bijzonderen toestand
der materie." En verder: „Veel later .hebben andere
onderzoekingen op zuiver mathematischen weg tot het-
zelfde begrip geleid; maar niemand heeft, zoover ik weet,
in de mathematische conceptie van de potentiaal van
twee stroomgeleiders Faraday\'s stoute hypothese van een
electrotonischen toestand herkend."

. Het is ipisschien niet geheel van belang ontbloot na
te gaan op welke wijze dit begrip door Maxwell is

verwerkt. In al zijne verhandelingen over Electriciteit
houdt hij er zich mede bezig en ook in zijn geest heeft
het een geschiedenis doorloopen, voordat hij er toe komt
het als een zuiver mathematische grootheid te beschouwen.

§ 4. In zijn eerste verhandeling over Electriciteit:
„Ou Faradays Lines of Force" (1855. Scientific Papers,
Vol. I, p. 155—229) stelde Maxwell zich tot taak aan
te toonen, dat de denkbeelden, die Faraday bij zijne
onderzoekingen geleid hadden, niet onbestaanbaar zijn
met den mathematischen vorm, waarin Poisson en anderen
de wetten der electriciteit hadden gegoten. Zijn doel is
een physische analogie te vinden, waardoor men in staat
gesteld wordt de resultaten van vroegere onderzoekingen
samen te vatten, zonder dat men daardoor gebonden
wordt aan eenige theorie. Op deze wijze, meent Maxwell,
is men er voor gevrijwaard, zijn onderwerp uit het oog
te verliezen door analytische subtiliteiten, of ook de
waarheid voorbij te streven door het volgen eener gelief-
koosde hypothese.

In het eerste gedeelte der verhandeling worden de
wetten der electriciteit vergeleken met de eigenschappen
eener onsamendrukbare vloeistof, wier beweging wordt
vertraagd door een kracht evenredig met de snelheid.
De vloeistof wordt verondersteld geen inertie te bezitten.
Door de overeenkomst, die de stroomlijnen van zulk een
vloeistof zouden hebben met de electrische krachtlijnen, is
men dan in staat gesteld niet alleen om de wetten der
statische electriciteit in een enkel medium af te leiden,
maar ook om aan te toonen, wat er moet plaats hebben,

Het tweede gedeelte van de verhandeling is gewijd
aan het electromagnetisme en heeft tot opschrift: „0?i
Faradafs Electrotonic State!\' Er wordt in aangetoond, dat
de wetten, die door Ampère zijn ontdekt, tot resultaten
leiden, die in overeenstemming zijn met die van Fakadav.
Dit tweede gedeelte verschilt in wijze van behandeling
geheel van het eerste. Maxwell erkent, dat het hem nog
niet is gelukt zich van den electrotonischen toestand een
mechanische voorstelling te vormen, die hem in staat zou
stellen, van het wezen van dien toestand en van zijn
eigenschappen zonder mathematische symbolen een duide-
lijke verklaring te geven. Door een nauwgezette studie
van de verschillende betrekkingen, die door de verge-
lijkingen worden uitgedrukt, in verband met de studie van
de wetten, die de bewegingen van elastische lichamen en
van taaie vloeistoffen beheer.schen, hoopt hij echter er in
te zullen slagen zulk een mechani.sche voorstelling te
vinden.

Voorloopig voert hij drie uitdrukkingen in, waaraan
hij den naam geeft van clectroloniscJie fiinciies of compo-
nenten van de electrotonisclie intensiteit. De electromo-
lorische krachten, die door magneten of door electrische
stroomen in een bepaald punt worden opgewekt zijn de
afgeleiden naar den tijd van die functies en er wordt
aangetoond op welke wijze de magnetische kracht van
die functie^ afhangt.

Volgens deze beschouwingen heeft men zich dan den
electrotonischen toestand in eenig punt van de ruimte

voor te stellen als een grootheid, die in grootte en
richting is bepaald, dus als een vector. Neemt men
de componente van dien vector volgens de raaklijn in
ieder punt van een gesloten kromme, dan vindt men
door integratie wat men kan noemen de totale electro-
tonische intensiteit voor die krojnme en deze laatste
grootheid is een maat voor de magnetische inductie
door een willekeurig oppervlak, dat door de kromme
begrensd wordt, of, wat hetzelfde is, voor het aantal
magnetische krachtlijnen, die door dat oppervlak gaan.

In de electrotonische functies heeft men dus het
middel om de beschouwing van de magnetische inductie,
die door een oppervlak gaat, te vermijden en in de
plaats daarvan den electrischen stroom te beschouwen
als afhankelijk van grootheden, die bestaan op dezelfde
plaats, waar de stroom wordt opgewekt.

Ilet verdient nu zeker opmerking, dat Maxwell hier
deze laatste methode als de natmirlijke stelt tegenover
de eerste als de kunstmatige {Sc, Pap. I, p. 203). Vol-
gens Maxwell\'s volledige theorie, die geen werking op
afstand toelaat, maar waarin de krachten in ieder punt
alleen afhangen van toestandsveranderingen in de onmid-
dellijke nabijheid van dat punt, is deze onderscheiding
wel niet vol te houden. Do methode van de electro-
tonische intensiteit zou toch in die theorie alleen dan
de natuurlijke mogen heeten, als door die grootheid
werkelijk de physische toestand van het medium in ieder
punt op een bepaald tijdstip werd aangegeven; zooals
wij zullen zien, is dit niet het geval.

§ 5- Nadat Maxwell dus in zijn eerste verhandeling de
geometrische beteekenis van den electrotonischen toestand
had gevonden, gaat hij er in zijn tweede verhandeling „ On
Physical Lines of Force" (1861. Sc. Pap. I, p. 451—513)
toe over om de magnetische en de electrische verschijn-
selen uit een mechanisch oogpunt te beschouwen en hij
ontwerpt zijn merkwaardige theorie, volgens welke het
magnetische veld zou gevuld zijn met moleculaire vor-
tices, wier assen samenvallen met de magnetische kracht-
lijnen. De cellen, Avaarin die vortices roteeren, zijn
gescheiden door lagen van deeltjes, die een dubbele
rol te vervullen hebben: zij brengen de beweging van
de eene cel op de andere over en in hun voortgaande
beweging bestaat de electrische stroom. De geheele
theorie is met de grootste uitvoerigheid uitgewerkt en
niet alleen de magnetische en de electromagnetische,
maar ook de electrostatische werkingen worden er door
verklaard. Volgens AIaxwell\'s eigen verklaring (2realise
II, Art.\' 831) moet echter deze theorie voor niet meer
gehouden worden dan zij werkelijk is. Men heeft er
slechts het bewijs in te zien, dat een mechanisme denk-
baar is, welks bewegingen door dezelfde wetten beheerscht
worden als de verschijnselen in het electromagnetische
veld. Maar ofschoon Maxwell in zijn volgende verhan- .
deling en in zijn Treatise een veel meer algemeene
mechanische theorie van het electromagnetisclie veld
heeft ontworpen, wordt toch door sommige hoofdzaken
van de oudere theorie zijn blijvende overtuiging uitge-
drukt, zeer zeker b. v. door de onderstelling, dat molecu-
laire rotaties om de magnetische krachtlijnen plaats grijpen.

In deze theorie dan wordt de magnetische kracht
veroorzaakt door de centrifugaal kracht van de vortices
en een. electromotorische kracht ontstaat door de tangen-
tiëele drukkingen, die optreden tusschen de vortices en
de daartusschen geplaatste deeltjes, telkens wanneer de
rotatie-snelheid ergens in het veld verandert. Deze
electromotorische kracht kan vergeleken worden met de
drukking op de krukas van een wiel in een machine,
als de snelheid van het vliegwiel vermeerdert of ver-
mindert.

De electrotonische toestand is dan datgene, wat de
electromotorische kracht zou zijn, als de stroomen of
magneten, waardoor de krachtlijnen veroorzaakt worden,
in plaats van trapsgewijze hun volle .sterkte te krijgen,
plotseling" waren ontstaan. Die toestand komt overeen
met de impulsie, die op de krukas van een wiel in een
machine zou werken, als het vliegwiel plotseling zijn
volle snelheid verkreeg. Deze impulsie kan voor ieder
punt van een machine berekend worden. Zij wordt door
Maxwell het herleide moment van de machine voor dit
punt genoemd. Is nu de beweging van de machine
veranderlijk, dan kan do kracht, die in een bepaald
punt door de verandering van de snelheid ontstaat,
gevonden worden door dat moment ten opzichte van
den tijd te difFcrentiöeren, op dezelfde wijze, als de
electromotorische kracht door differentititie van den elec-
trotonischen toestand kan worden afgeleid. In § 7 zullen
wij deze beschouwingen door een eenvoudig voorbeeld
trachten toe te lichten.

toestand in een punt niet de uitdrukking voor iets, dat
physisch in dat punt aanwezig is. Hij hangt af van den
toestand van het geheele magnetische veld en is in
zekeren zin een summatie van de werkingen, die in een
bepaald punt door verstoringen in het geheele veld ont-
5: staan. Ondanks de mechanische wijze van voorstelling

matisch begrip geworden. Een integraal-vorm zal dan
ook de gepa.ste wiskundige uitdrukking er voor zijn.

§ 6. In zijn derde groote verhandeling „A Dynaviical
Theory of the Electroviagnetic Fteld" (1864. Sc. Pap. I,
p. 526—597) laat jMaxwell de bijzondere veronderstel-
lingen van de vorige verhandeling varen. In de Inleiding
worden eerst eenige verschijnselen besproken — magneti-
sche draaiing der polarisatie-vlakken van het licht, inductie-
stroomen, diëlectrische polarisatie, geleiding — die er
toe kunnen leiden om in het algemeen de verklaring der
electrische en magnetische venschijnselen niet te zoeken
in een werking op afstand, uitgaande van de lichamen,
die wij geëlectriseerd of gemagneti.seerd noemen, m£iar in
bewegingen en spanningen van het omringende medium.
Verder wordt aangegeven welke redenen er kunnen zijn
om aan te nemen dat dit medium dezelfde aether is, die
in de theorie van het licht ter verklaring van de optische
verschijnselen wordt te hulp geroepen.

Op deze wijze tracht Maxwull de hypothese aanne-
melijk te ^maken, dat het electromagnetische veld een
samengesteld mechanisme is, waarin een groote ver-
scheidenheid van bewegingen kan plaats hebben, maar

altijd zoo. dat de beweging van het eene deel volgens
vaste betrekkingen afhangt van bewegingen in andere
deelen. Door op zulk een mechanisme dynamische
grondstellingen toe te passen, komt hij tot eenige alge-
meene stellingen, die vergeleken worden met de wetten
van inductie-stroomen. Hierdoor is hij dan in staat sommige
eigenschappen van het mechanisme te identificeren met
eigenschappen van electrische stroomen. In plaats van,
zooals von Helmholtz en Thomson gedaan hadden, de
wetten der inductie-stroomen door middel van de wet van
het behoud van arbeidsvermogen af te leiden uit de
ponderomotorische werkingen, volgt Maxwell den omge-
keerden weg. Eerst worden de wetten der inductie
vastgesteld en daaruit worden de ponderomotorische
werkingen afgeleid.

§ 7. De eigenlijke verhandeling begint met beschou-
wingen over het electromagnetische moment van stroomen,
onder welken naam hier de electrotonische toestand
wordt aangeduid. Nergens blijkt zoo duidelijk als hier,
hoezeer dit begrip door Maxwixl op den voorgrond
wordt gesteld. In zijn Treatise ontwikkelt liij later oen
meer strenge en vooral meer algemeene mechanische
theorie der inductie, maar de hoofdgedachte, waarvan
hij uitgaat, vindt men hier in al haar eenvoud. Wij
willen er daarom wat uitvoeriger bij stilstaan.

Beschouwen wij l\\et veld in de omgeving van een
electrischen stroom. De magnetische krachten in dat

veld hangen in grootte en richting volgens bekende
wetten van den vorm van den stroomgeleider af. Wanneer
de stroomsterkte verandert, dan veranderen ook de mag-
netische krachten in dezelfde verhouding. Als men aan-
neemt, dat de magnetische toestand van het veld bepaald
wordt door bewegingen van het medium, dan moet men
ook aannemen, dat een zekere kracht wordt aangewend
om die bewegingen te vermeerderen of te verminderen,
en als die bewegingen zijn opgewekt, blijven zij voort-
duren , „so that the effect of the connection between the
current and the electromagnetic field surrounding it, is
to endow the current with a kind of momentum, just as
the connection between the driving-point of a machine
and a fly-wheel endows the driving-point with an addi-
tional momentum, which may be called the momentum
of the fly-wheel reduced to the driving-point. The unba-
lanced force acting on the driving-point increases this
momentum, and is measured by the rate of its increase.
In the* case of electric currents, the resistance to sudden
increase or diminution of strength produces effects exactly
like those of momentum, but the amount of this momen-
tum depends on the shape of the conductor and the
relative position of its different parts" {Sc. Pap. p. 536).

Eenige toelichting is hier misschien niet geheel over-
bodig. Gemakshalve noemen wij het aangrijpingspunt
van de uitwendige kracht op het wiel, het punt dus,
waar in een machine het uiteinde van de krukstang op de
kruk van het wiel werkt, het drijfpunt (driving-point,
Antriebspunct). Wij zullen hier echter aannemen, dat de
kracht in het drijfpunt altijd loodrecht op den krukarni

werkt. De uitwendige kracht kan men zich op ieder
oogenblik ontbonden denken in twee componenten, waar-
van de eerste dient om den weerstand te overwinnen,
terwijl door de tweede de snelheid van het wiel ver-
meerderd wordt. Die tweede componente, die wij A\'
zullen noemen, kan berekend worden uit de massa, de
afmetingen en de versnelling van het wiel. Zij namelijk
C de massa, p de traagheidsstraal, rp de hoeksnelheid
van het wiel en r de lengte van den krukarm, dan is

waarin n de lineaire snelheid van het drijfpunt voorstelt.
De grootheid die wij door L zullen voorstellen, kan

men noemen de massa en L u het moment (hoeveelheid
van beweging) van het wiel herleid op het drijfpunt.

Om de analogie met hetgeen men bij electrische
stroomen waarneemt, meer volkomen te maken, zullen
wij aarmemen, dat de weerstand, dien de uitwendige
kracht te overwinnen heeft, op ieder oogenblik evenredig
is met do snelheid van het drijfpunt. Dan is, als | de
totale uitwendige kracht en R een coüfficient van weer-
stand voorstelt,

Als de beweging eenparig is, dan maakt de uitwendige
kracht $ evenwicht met do weerstand biedende kracht R u.

Bij veranderlijke beweging wordt de kracht ^ — R71
(the unbalanced force) gebruikt om de snelheid van het
vliegwiel, dus ook het herleide moment te vergrooten
en de grootte van die kracht wordt gevonden door dat
moment naar den tijd te differentieeren. Voor de veran-
derlijke snelheid van het drijfpunt vindt men door inte-
gratie van (1), in de veronderstelling dat | constant is,

Nu stelt -J^ de snelheid voor, als de beweging een-
parig is geworden. Noemen wij die snelheid b en de
initiale snelheid a, dan is de constante in bovenstaande
uitdrukking gelijk a — b, dus

Stond de machine aanvankelijk stil, dan zou onder de
werking van de constante uitwendige kracht | de snel-
heid van 0 tot b toenemen volgens de vergelijking

Nemen wij / zoo groot, dat wij mogen aannemen,
dat de eindsnelheid b bereikt is, dan is de arbeid, die
gedurende dien tijd door de uitwendige kracht verricht
wordt,

De arbeid, die in denzelfden tijd gebruikt is om.den
weerstand te overwinnen, is

Hield nu op een oogenblik, dat de snelheid b is, de
uitwendige kracht op te werken, dan zou door de energie
van het vliegwiel de beweging nog eenigen tijd voort-
duren met een snelheid, die afneemt volgens de ver-
gelijking

Voor den weerstandsarbeid, die dan verricht wordt,
totdat de machine stil staat, vindt men

een bedrag gelijk aan dat van de levende kracht, die
in het vliegwiel was opgehoopt op het oogenblik, dat
de uitwendige kracht ophield te werken.

Al de verschijnselen nu, die een electrische stroom
aanbiedt — extra-stroomen bij opening en bij sluiting,
verwarming van den geleider, enz. — kunnen op een-
voudige wijze beschreven worden, als men aanneemt,
dat tusschen den stroom en het omringende medium een
verbinding bestaat, die — het mechanisme, waardoor zij
tot stand komt, geheel buiten beschouwing gelaten —
wat de uitwerking betreft, overeenkomt met de ver-
binding, die er bestaat tusschen het drijfpunt en hel
vliegwiel van onze denkbeeldige machine.

Zij ^ de electromotorische kracht, n de stroomsterkte
(snelheid van de electriciteit), R de weerstand van den

geleider en L de coëfficiënt van zelf-inductie, een groot-
heid die afhangt van den vorm en de afmetingen van
den geleider, dan wordt het verband tusschen deze
grootheden aangegeven door de vergelijking (i).

Door (2) wordt de veranderlijke stroomsterkte op ieder
oogenblik aangegeven, als de stroomsterkte verandert
van a tot b.

Bij sluiting van den stroom gaat volgens (3) door den
geleider in een tijd t, waarin de stroomsterkte constant
is geworden, de hoeveelheid electriciteit

voor. De arbeid, dien de electromotorische kracht in
den tijd t verricht, wordt volgens (4) en (5) slechts voor
een deel gebruikt om den weerstand te overwinnen. Dit
gedeelte wordt in warmte omgezet;- het overblijvende

Deze energie blijft onveranderd, zoolang de stroom-
sterkte dezelfde blijft, dat is, zoolang | — Ru nul is.
De energie vermeerdert, als f — R u positief is. Wordt
$ — R u negatief, dan wordt die energie gebruikt om
de vermindering van de stroomsterkte te vertragen. Neemt
men b. v. het galvanische element, dat den stroom levert,
weg en vervangt men dit door een draad van gelijken
weerstand,.dan ontstaat een positieve extra-stroom, waar-
van de stprkte op ieder oogenblik wordt aangegeven
door (6). De arbeid, die hiervoor noodig is, wordt

volgens (7) geheel geleverd door de energie van het
medium. De electromotorische kracht van dien extra-

Deze grootheid Z ïl gebruikt Maxwell als kenmerkend,
in zekei*en zin als maat, voor den electrotonischen toe-
stand en hij noemt deze grootheid, naar mechanische
analogie, het electromagnetiscJie moment van den stroom,
„using the word momentum merely to express that which
is generated by a force acting during a time, that is,
a velocity existing in a body." En wat hierbij in beweging
is, is niet alleen de electriciteit in den geleider, maar
ook iets buiten den geleider.

§ 8, Tot dusverre hebben wij alleen de betrekking
beschouwd, die cr bestaat tusschen een stroom en het
magnetische veld, dat door den stroom zelf ontstaat. In
ilat geval hangt het electromagnetische moment van den
stroom, zooals wij gezien hebben, alleen van den stroom
zelf af. Anders wordt het, wanneer er verschillende
stroomen in het veld zijn.

Beschouwen wij het geval, dat er twee stroomen zijn.
De magnetische kracht in ieder punt van het veld is de
resultante van de krachten, die de beide stroomen afzon-
derlijk in dat punt te voorschijn zouden roepen. Beide
stroomen staan met ieder punt van het veld in verbinding
en daardoor staan zij met elkander in verbinding, zoodat
een verandering van stroomsterkte in een van do ge-

leiders, in het algemeen, ook een verandering van stroom-
sterkte in den anderen zal ten gevolge hebben.

Om deze wisselwerking toe te lichten gebruikt Maxwell
de volgende mechanische analogie. Veronderstellen wij,
dat een stoffelijk punt met de massa C zoodanig ver-
bonden is met twee onafhankelijke drijfpunten A en B,
dat altijd voldaan wordt aan de vergelijking

als dx, en ö z de gelijktijdige verplaatsingen van
B en C voorstellen.
Volgens (i) is

Door deze waarden in (2) te substitueeren verkrijgt
men, in aanmerking nemende dat 8 x en van elkander
onafhankelijk zijn.

Men kan nu Cp"^ 71 -f Cp q v het moment van C her-
leid op *A en Cpqu Cq\'^v het moment van Cherleid
op B noemen.

Staan er meer stoffelijke punten op dergelijke wijze,
maar met verschillende waarden voor / en q, met A en B
in verbinding, dan vindt men op overeenkomstige wijze,
als men stelt

Nemen wij weder aan, om de analogie met electrische
stroomen vollediger te maken, dat de beweging van
A en B wordt tegengewerkt door krachten, evenredig
met de snelheden van die punten, dan is, als Ru en
die krachten voorstellen en als | en ij de uitwendige
krachten in A en B zijn,

Neemt op een bepaald oogenblik de snelheid van A
toe, dan zal dientengevolge ook de snelheid van B
veranderen. Om die verandering te voorkomen, zou

Deze werking op B, veroorzaakt door een vermeerdering
van de snelheid van A, kómt overeen met do electro-
motorische kracht, die in een geleider ontstaat door een
vermeerdering van stroomsterkte in een naburigen ge-
leider.

Alen verkrijgt namelijk weder, evenals in het eenvou-
diger geval van de vorige paragraaf, een bevredigende

verklaring van de verschijnselen, die twee stroomen
aanbieden, als men aanneemt, dat tusschen die stroomen
en het omringende medium een verbinding bestaat, die,
wat de uitwerking betreft, overeenkomt met de ver-
binding van de drijfpunten A en B met de stoffelijke
punten C in het mechanisme, dat boven werd aangeduid.
Met andere woorden: die verschijnselen worden be-
schreven door de vergelijkingen (4), als | en ?/ de elec-
tromotorische krachten, zt en v de stroomsterkten, R en ^S\'
de weerstanden van de twee stroomen A en B voorstellen.

Het electromagnetische moment van A is dan Lu-\\-Mv
en dat van B, Mn Nv. Hierin zijn Z, M en iV groot-
heden , die afhangen van den vorm en van den betrekke-
lijken stand der geleiders. L hangt af van den vorm
van A, N van dien van B en M van den betrekkelijken
stand van A en B.

Beschouwen wij tot toelichting het geval, dat de ge-
leiders onveranderlijk zijn in vorm en stand; Z, J/eniV
zijn xlan constanten. Laat verder in A de constante
electromotorische kracht ^en\'xnB geen electromotorische
kracht werkzaam zijn. De vergelijkingen (4) gaan dan
over in

Uit deze vergelijkingen vindt men voor de totale
hoeveelheid electriciteit, die in den tijd t door beide
geleiders stroomt.

waarin u^, en Uj , v^ de stroomsterkten bij het begin
en bij het einde van den tijd t voorstellen.

Laat men den tijd t beginnen op het oogenblik, dat
de geleider A gesloten wordt en neemt men t zoo groot,
dat een stationnaire toestand is ingetreden, dan is,

De totale negatieve extra-stroom in A is dus onaf-
hankelijk van B. De totale inductie-stroom in B hangt
alleen af van den coöfficiënt van wederkeerige inductie J/,
van den weerstand van B en van de eind-stroomsterkto in A.

Wil men ook den arbeid berekenen, die door de elec-
tromotorische kracht wordt verricht en die gedeeltelijk
in warmte wordt omgezet, gedeeltelijk als kinetische
energie in het medium wordt opgehoopt, dan moeten de
vergelijkingen (5) volledig geïntegreerd worden. Wij zul-
len hier niet verder bij stilstaan. liet was er ons slechts
om te doen duidelijk te maken, wat Maxwell onder
het electromagnetische moment van stroomen verstaat.

§ g. Het voorafgaande moge voldoende zijn om de
volgende definitie toe te lichten.

Laten F, G en H de componenten voorstellen van het
electromagnetische moment in een punt van het veld, dat
door een stelsel van stroomen of magneten ontstaat.

F is dan de totale impulsie van de electromotorische
kracht in de .^-richting, die in dat punt zou ontstaan,
als deze stroomen en magneten uit het veld verwijderd
werden. Dus, als P die electromotorische kracht op
ieder oogenblik gedurende de verwijdering van het stelsel
voorstelt,

Het gedeelte dus der electromotorische kracht {I^, Q, K)
dat afhangt van een verandering in de intensiteit van
het magnetische veld, is

Laat s de lengte van een lineairen stroomgeleider in
het veld voorstellen. De lijn integraal

in ovei;eenstemming met de daar gegeven definitie van
den electrotonischen toestand (zie p. g).

§ i o. In zijn Treatise gebruikt Maxwell in de leer
van het Magnetisme voor het eerst de benaming Vector-
potentiaal van de magnetische inductie en hij identifieert
dan later deze grootheid met het electromagnetische
moment of, zooals hij deze grootheid ook noemt, het
electrokinetische moment.

§ ii. Laten u oxv v twee eindige, . doorloopende,
éénwaardige functiën van x, y en 2 zijn en laten ook
de afgeleiden dier functiën eindig zijn. Als niet uitdruk-
kelijk het tegendeel gezegd wordt, zullen wij in het
vervoeg steeds veronderstellen, dat de functiën, die wij
beschouwen, aan die voorwaarden voldoen.

genomen over een enkelvoudig-samenhangend volume r.
dat begrensd wordt door een oppervlak a.

Integreeren wij eerst bij gedeelten met betrekking tot x
en onderstellen wij eenvoudigheidshalve, dat een rtfchte,
evenwijdig aan de .ar-as, het oppervlak slechts in twee
punten met de abscissen x^ en x^ (x^ i x^) ontmoet, dan

waarin de indices i en 2 aanwijzen, dat men in het
produkt uv de abscis x te vervangen heeft door Xj en x.^.

De dubbele integraal in deze uitdrukking moet genomen
worden over de projectie van het oppervlak a op het
j)\'2-vlak; maar deze integraal is niets anders dan de
oppervlakte-integraal

genomen over het oppervlak a, waarin / de hoek is, dien
de uitwendige normaal op het oppervlak met de ;i\'-as
maakt; voor ieder punt {x^ , y, 2) is namelijk die hoek
stomp en voor ieder punt (aTj, y, s) scherp.

Snijdt een lijn, evenwijdig aan de , het oppervlak
in meer dan twee punten, dan is het aantal snijpunten
altijd even en het blijkt gemakkelijk dat de formule blijft
doorgaan.

Zijn op oneindigen afstand u en v gelijk nul, dan is,
als men de integratie over de geheele ruimte uitstrekt,
de eerste term van het tweede lid van (i) nul en men
heeft eenvoudig

de functiën u en v m de geheele ruimte als doorloopend
beschouwd kunnen worden. Bij een bepaalde toepassing
van de formule komen wij hierop terug (§ 27).

§ 12. Wij willen nu een soortgelijke herleiding toe-
passen op de dubbele integraal

uitgestrekt over een niet-gesloten oppervlak (T , dat
begrensd wordt door een kromme s; u en v zijn functiën
van X, y en 2; in en n zijn de hoeken, die de positieve
normaal op het oppervlak met. de y- en de z-as maakt.

Het is noodig, dat wij nauwkeurig vaststellen, wat wij
zullen verstaan door een beweging in positieven zin langs
de grenskromme s. Denken wij ons om een punt P op
het oppervlak een oneindig kleine gesloten kromme t
getrokken. Door een waarnemer, die met de voeten in
P en met het hoofd in de richting van de positieve
normaal staat, zal een beweging in positieven zin langs t
gezien worden als een beweging tegengesteld aan den
zin, waarin zich de wijzers van een uurwerk bewegen.
Stellen wij ons nu voor, dat P in do nabijheid van s ligt
en dat een gedeelte van t met j samenvalt. Hierdoor
wordt de positieve zin langs j bepaald; het is namelijk
duidelijk, dat die zin altijd dezelfde zal zijn, tot welk
gedeelte van s men P ook laat naderen.

Drie onderling lo9drechte assen zullen altijd zoo worden
aangenomen, dat een wenteling van het positieve gedeelte
der ;t:-as/naar het positieve gedeelte der ^\'-as, over een
hoek van go°, uit een punt van het positieve gedeelte

der 2-as als positieve draaiing gezien wordt. Dit is het
rechtsche systeem. dat door Maxwell meer algemeen in
gebr.iik is gekomen

Projecteeren wij de kromme s op het xy- en op het
jt\'z-vlak. Laten s\' en die projecties zijn. Wij kunnen
stellen: da cos n = dx dy en da cos vi = dx dz, als wij
eenvoudigheidshalve aannemen, dat de hoeken, die de
normaal met de j)\'-as en met de s-as maakt, overal scherp
zijn. Integreert men den tweeden term van de gegeven
uitdrukking bij gedeelten ten opzichte van y, dan ver-
krijgt men

als men aanneemt, dat een rechte in het .rj)\'-vlak, even-
wijdig aan de j)\'-as, de kromme j\' slechts in twee punten
met de ordinaten j)\'j enj)\'j < jj\'j) snijdt. Door(z\'?/), cn
{vu\\ worden de waarden voorgesteld, die het produkt
vu heeft in de punten van a, die zich in (at, y^) en {x,y^)
projecteeren, terwijl a cn a\' do kleinste cn do grootste
abscis voorstellen van do ordinaten, die mot do kromme s\'
een punt gemeen hebben.

waarin s\' de lengte van s\', gemeten van een vast punt
af, voorstelt De waarde van deze integraal, in positieven

Men kan x beschouwen als een functie van de onderling
onafhankelijke veranderlijken j\' en terwijl zoowel
als j" een functie is van s; men kan dus stellen
dx j ■ \' dx , , ^ dx , „

Bij dit bewijs werd stilzwijgend aangenomen, dat de
grenskromme der projectie van het oppervlak op het
ATjy-vlak, die wij zullen noemen, samenvalt met de
projectie s\' der grenskromme van het oppervlak. Zoo
ook ten opzichte van het xz-v\\cik. Het is echter niet
moeilijk te*bewijzen, dat de formule (3) blijft doorgaan,
als dit niet het geval is.

De kromme t op het oppervlak, wier projectie t\' is,
verdeelt het oppervlak in twee deelen. Nemen wij
gemakshalve aan, dat de hook, dien de normaal op het
bovenste gedeelte met de z-as maakt, overal scherp en
op het onderste gedeelte, dat de grenskromme s moge
bevatten, overal stomp is. Duiden wij de punten, waarin
een rechte in het :»;j>\'-vlak evenwijdig aan de j)\'-as de
projectie t\' snijdt, door de indices 3 en 4 en de punten,
waarin die rechte de projectie s\' snijdt, door i en 2 aan.
Laten verder b en b\' de kleinste en de grootste abscis
voorstellen van de ordinaten, die met tf een punt gemeen
hebben, terwijl a cn a\' dezelfde beteekenis hebben voor s\'.
Voor het bovenste gedeelte van het oppervlak, dat wij
(t\' noemen, is dan

De laatste formule kan ook zeer eenvoudig rechtstreeks
op de volgende manier worden bewezen. In plaats van
de identiteit

§ 13. Laten A\', Y en Z drie functiën van de coör-
dinaten zijn; /, in en n de hoeken, die de uitwendige
normaal op een gesloten oppervlak (t met de assen maakt.
Stelt men in de vergelijking (i) van § 11 = i en 7/ = A\',
dan gaat zij over in

Deze formule wordt toegeschreven aan Ostrogradsky ;
zij kan ook beschouwd worden als een bijzonder geval
van de bekende formule van Green.

Beschouwt men A\'\', Yen >^als de componenten van een
vector die in een punt van het oppervlak met de
normaal in dat punt een hoek y vormt, dan is, als /\'"de
numerieke waarde van dien vector voorstelt,

De uitdrukking in het eerste lid van deze vergelijking
noemt men de oppervlakte-integraal van \'S* over it.

de hoeveelheid vloeistof aan, die in\' do eenheid van tijd
uit do eenheid van volume stroomt.

Wij zullen deze uitdrukking mot IIkaviside do divergentie
van don vector noemen. De negatieve divergentie
wordt door Maxwell de convergentie van genoemd.
Voor (2) kunnen wij dus schrijven

Of: de oppervlakte-integraal van een vector over een
gesloten oppervlak is gelijk aan de volume-integraal van
de divergentie van den vector over het volume, dat door
het oppervlak begrensd wordt.

Is in een bepaald gebied overal div § = o, dan noemt
W. Thomson de verdeeling van dien vector een solonoïdale.

Als overal binnen een gesloten oppervlak div ^ = o
is, dan is volgens (3) de oppervlakte-integraal van %
over dat oppervlak gelijk nul. Denkt men zich dus dat
oppervlak door een gesloten kromme in twee deelen
verdeeld, dan is de oppervlakte-integraal over het eene
deel in absolute waarde gelijk aan, maar in teeken ver-
schillend van die over het andere deel. Hieruit volgt,
dat voor een gebied, waarin div ^ = o is, de oppervlakte-
integraal van § over een willekeurig niet-gesloten opper-
vlak tr alleen afhangt van de grenskromme s. Het moet
dus mogelijk zijn de oppervlakte-integraal over a uit te
drukken door een lijn-integraal langs s.

Om, deze vervorming tot stand te brengen zullen wij
eerst aantoonen, dat de lijn-integraal van een willekeurigen
vector langs een gesloten kromme altijd kan veranderd
worden in een oppervlakte-integraal.

§ 14. Laten F, G en //drie functiën van de coördi-
naten zijn. Stelt men in (3) § iz v — \\ en u = F.^ dan
gaat die vergelijking over in

I I (dG dG ,

-y— COS 11--y- COS l

Vdx d%

dy """ \' dx
Door deze vergelijkingen op te tellen verkrijgt men
(C\\{dH dG\\ , , {dF dm \' (dG dF\\

cn beschouwt men F, G en H als de componenten van
een vector die met de raaklijn aan de kromme j een
hoek f en «, b c als de componenten van een vector .
die met de positieve normaal op het oppervlak a een hoek tj
vormt, dan kan men, daar

Of: de oppervlakte-integraal van S3 over ff is gelijk
aan de lijn-integraal van St langs de grenskromme.

In deze vergelijking kan de vector §1 geheel willekeurig
genomen worden, mits eindig en continu, maar met den
vector 53 is dit niet het geval. Differentieert men name-
lijk de vergelijkingen (2) respectievelijk naar x, y en 2
en telt men de verkregen vergelijkingen op, dan vindt
men voor de voorwaarde, waaraan S3 moet voldoen,

Deze voorwaarde is dus noodig; dat zij voldoende is
om de formule (3) te kunnen toepassen, zullen wij in § 17
aantoonen.

Stelt de vector $l de snelheid van een vloeistof voor,
dan is 93, zooals uit (2) blijkt, een vector, waarvan de
grootte gelijk is aan tweemaal de rotatie-snelheid van
de vloeistof in de onmiddellijke nabijheid van het punt,
waarop SI betrekking heeft en waarvan de richting samen-
valt met \'de as van rotatie (Kirchhoff, Mcchanik, 3. Aufl.
p. 167).

Een vector S3 («, c), die volgens de vergelijkingen (2)
van een vector SI {F, G, H) wordt afgeleid, wordt door
Maxwell de curl van SI genoemd.

Is in een bepaald gebied overal curl SI = o, dan
wordt zulk een verdeeling van den vector SI een ivcr-
velvrije g^enoemd, daar in de vloeistof dan geen wervel-
bewegingen voorkomen.

Is de richting van 91 overal dezelfde, dan kan men één
der assen, b. v. de s-as, met die richting laten samenvallen;

staat dus curl 91 loodrecht op 91. In het algemeen is
dit echter niet het geval.

§ 15. Laat gegeven zijn een vector in de geheele
ruimte eindig en continu en op oneindigen afstand gelijk
nul. Zij verder curl § = o, dan is volgens (4) § 14 de
lijn-integraal van ^ langs een gesloten kromme gelijk
nul en voor een niet-gesloten kromme hangt de waarde
van die integraal niet af van den vorm der kromme,
maar alleen van dc eindpunten.

Als curl % = O is, dan is, als A\'\', V en Z de compo-
nenten van Jv voorstellen, de uitdrukking

De integraal dezer grootheid, die voldoet aan de voor-
waarde , dat zij op oneindigen afstand tot nul nadert,
noemen wij in overeenstemming met Maxwell {Treatise,
Art. 70) de potentiaal-functie, of, ter onderscheiding van
<lc vector-potentiaal, ook wel dc scalaire potentiaal.
Voor dc lijn-integraal van g tusschen twee punten

als Va en Vg de waarden van Vin A en in B voorstellen.
Ligt het punt B op oneindigen afstand, dan is

waarin de. factor 4 tt alleen dient om bij de toepassingen
in overeenstemming te blijven met de gebruikelijke een-
heden , dan kan men voor die vergelijking ook schrijven

Is nu 5 of V gegeven, dan kan o uit de vergelij-
kingen (4) of {5) berekend worden. Men kan echter ook
vragen tf of V te bepalen, als q voor ieder punt van
de ruimte gegeven is. Dit komt neer op de oplossing
van (5) in^ verband met de voorwaarde, dat F op onein-
digen afstand nul moet zijn.

waarin r den afstand voorstelt van ieder punt, waarop (>
betrekking heeft, tot het punt, waarvoor F bepaald moet
worden, terwijl de integratie moet uitgestrekt worden over
ieder deel van de ruimte, waarin f> een eindige waarde
heeft (Zie b. v. Picard, Tra/\'/if d. Analyse, I. § 8, p. 172).

Beteekent V de potentiaal van massa\'s, die een aan-
trekkende of afstootende werking uitoefenen, omgekeerd
evenredig met het kwadraat van den afstand, dan stelt
O de massa-dichtheid voor.

Hier is echter het woord potentiaal in meer uitgebreide
beteekenis gebruikt. In het algemeen zal men dan de
functie p alleen door de vergelijking (4) gedefinieerd
moeten beschouwen

Is dus gegeven een vector die van een scalaire
potentiaal kan worden afgeleid en denkt men zich, dat
van ieder volume-element d r een werking uitgaat,

resultante van die fictieve krachten in ieder punt een
vector zijn, die identiek is met den oorspronkelijk in dat
punt gegeven vector

In het begin van deze paragraaf werd ondersteld, dat
de vector ^ in de geheele ruimte doorloopend is. De
verdere beschouwingen blijven echter geldig, als de
normale componente van ^ op sommige oppervlakken
sprongsgewijze van tot overgaat. Men kan

aannemen, dat ^ in een oneindig dunne overgangslaag
continu verandert. Voor de ruimte-dichtheid q in die
laag kan men dan stellen, daar de verandering der
tangentieele componente van § oneindig klein is in ver-
gelijking met die der normale componente:

Wil men de ruimte-lading als een oppervlakte-lading
beschouwen, dan vindt men hieruit, door integratie over de
dikte van de overgangslaag, voor de dichtheid dier lading:

waarin de tweede integraal moet genomen worden over
alle oppervlakken a, waarop discontinu verandert.

§ 16. De functie V, die in de vorige paragraaf werd
besproken, is een éénwaardige functie van de coördinaten.

Het k&n echter voorkomen, dat een vector volgens
de vergelijkingen (3) § 15 van een functie F" kan worden

afgeleid en dat die functie meerwaardig is. Er zijn namelijk
gevallen, dat in een bepaald gebied curl ^ = o is en

punten A en B verschillende waarden heeft voor twee
krommen, die geheel in dat gebied liggen. Dit zal plaats
hebben, als het niet mogelijk is de eene kromme door
een doorloopende beweging in de andere te doen over-
gaan zonder buiten het gebied te komen, waarin aan de
vergelijking curl ^ = o voldaan is. Het beschouwde
gebied is dan een twee- of meervoudig samenhangende
ruimte. (Zie b. v. Maxwell, Treatise, Art. i8—20 en
Kirchhoff, Mechanik, 3. Aull. p. 172 en p. 192). Een
voorbeeld hiervan zullen wij aantreffen in § 35.

Noemt men dus, zooals dikwijls gedaan wordt, ook in
dit geval de functie V een potentiaal, dan kan de poten-
tiaal een meerwaardige functie zijn. Als niet het tegendeel
gezegd wordt, zullen wij in het vervolg onder den tenn
scalaire potentiaal de éénwaardige functie van de vorige
paragraaf verstaan.

§ 17. Zooals wij in § 14 gezien hebben, voldoet een
vector waarvan de oppervlakte-integraal over een
willekeurig oppervlak gelijk is aan de lijn-integraal van
een anderen vector SI langs de grenskromme, aan de
voorwaarde div S3 — o. Wij zullen nu bewijzen, dat die
voorwaarde voldoende is om de formule (3) § 14 tc
kunnen toepassen. VVij willen dus SI bepalen, als
gegeven is.

Daartoe zullen wij hebben aan te toonen, dat, als a,
b en c gegeven functiën van x, y en z zijn, die voldoen
aan de voorwaarde

altijd drie andere functiën F, G en H kunnen bepaald
worden, die voldoen aan de vergelijkingen

waarin f een willekeurige functie van en c voorstelt.

Dat deze waarden /\', G, H aan (2) voldoen, blijkt
bij substitutie onmiddellijk. Dat zij de meest algemeene
oplossing ^vormen, kan op de volgende wijze worden
aangetoond.

Deze drie vergelijkingen zijn echter niet voldoende om
F, G en H volledig te bepalen. Stelt namelijk het stel
waarden F\\ G\', H\' een particuliere oplossing van (2) voor,
dan wordt de meest algemeene oplossing gegeven door
de vergelijkingen

Laat jpj , Gj, //, en F^, G^, H^ twee particuliere
oplossing-en voorstellen, dan heeft men
dll, dG^ __

Maar dit zijn juist de voorwaarden, dat F^ —F^, G^ —
en H^ — H^ de afgeleiden zijn, respectievelijk naar Xyy
en 2, van een zelfde functie y.

Om F, G en H volledig te bepalen, moeten wij dus
die grootheden nog aan een voorwaarde laten voldoen.
Om tot een voor ons doel geschikte particuliere oplos-
sing te geraken, kiezen wij de voorwaarde

dx ^ dy dz
terwijl wij tevens zullen aannemen, dat a, h en c op
oneindigen afstand de waarde nul hebben.

Differentieert men dc derde\'der vergelijkingen (2) naar
y en de tweede naar z, dan vindt men door aftrekking

Door deze vergelijkingen resp. naar x, y en s te diffe-
rentieeren en op te tellen, vindt men, dat u, v en w
voldoen aan de voorwaarde

De functiën F, G en II kunnen dus beschouwd wor-
den als potentialen van massa\'s met de dichthedenv
en w en ^ wij vinden de volgende oplossing van de ver-
gelijkingen (2):

§ i8. Wij willen nu aantoonen, dat door de gevonden
oplossing aan (4) en (2) van de vorige paragraaf voldaan
wordt.

daar de verandering van F alleen betrekking heeft op
een verplaatsing van het punt (x, y, 2). Dus

Hierin is = (x — x^ -f (y —/y (s — 2\')^ als
de coördinaten van ieder punt, waarin u een eindige
waarde heeft, worden aangegeven door y\' en z\'.
Daar

Deze integraal moet genomen worden over het volume,
waarin u een eindige waarde heeft. Daar buiten dat
volume Tf = O is, kunnen wij ook over de geheele ruimte

De elementen van deze integraal zijn alle nul volgens
(7); dus wordt aan (4) voldaan.
Evenzoo vindt men

§ 19. Een vector, die, zooals de vector van § 17,
de eigenschap heeft, dat zijn divergentie nul is en waar-
van de componenten F, G en II voldoen aan de verge-
lijkingen (2) § 17 noemen wij een vector-potentiaal.

Wij zeggen, dat een vector S {a, b, c) van een vector-
potentiaal 91 (is G, H) wordt afgeleid, als de betrekking
tusschen die vectoren wordt aangegeven door de verge-
lijking (2), of, wat hetzelfde is, door de vergelijkingen

Een vector «3, die van een vector-potentiaal is afgeleid,
voldoet steeds aan de voorwaarde

en dit is waar, onafhankelijk van de beperkende voor-
waarde , div Si = O, die wij bij definitie aan de vector-
potentiaal hebben opgelegd.

§ 20. De componenten van een vector-potentiaal wor-
den volgens de vergelijkingen (g) van § 17 afgeleid van
functiOn u, v en tü, die bepaald worden door de verge-
lijkingen (6) § 17.

De componenten van de vector-potentiaal bezitten dus,
als functiön der coördinaten beschouwd, de eigenschappen
der potentiaal-functie.

Beschouwt men n, v en w als de componenten van een
vèctor 6, dan kan men in plaats van (9) § 17 ook schrijven

in welke vergelijkingen de integratie als een vector-
summatie moet worden opgevat.

De vector-potentiaal wordt dus afgeleid van den vector
(S door integratie, op soortgelijke wijze als de scalaire
potentiaal wordt afgeleid van de grootheid, die wij in
§ 15 door Q voorstelden.

Volgens (7) § 17 voldoet een vector 6, waarvan een
vector-potentiaal kan worden afgeleid, aan de voorwaarde

Men zou een meer algemeene theorie van de vector-
potentiaal verkrijgen, als men die grootheid definieerde
door de vergelijking (i), waarin ii een willekeurigen
vector zou voorstellen.

Volgens (i) § 18 zou dan div SI gelijk zijn aan de
scalaire potentiaal van div S. De vergelijkingen (5) § 17
zouden overgaan in

Der theorie zou hierdoor minder eenvoudig worden en
zooals wij in § 24 zullen zien, zou die meer algemeene
theorie voor de toepassingen van weinig behing zijn.

§21. De groote overeenkomst, die -er bestaat tusschen
de scalaire potentiaal en de vector-potentiaal komt ook
zeer duidelijk uit, als men gebruik maakt van IIa.milton\'s
operator

De betrekking tusschen een vector Jv = \' ƒ kZ
en de. scalaire potentiaal V, waarvan liij kan worden

Past men denzelfden operator toe op een vector
SI = iF jG 4- kH,
dan is het resultaat in het algemeen een quaternion. j\\Ien
heeft namelijk

Is 91 een vector-potentiaal, dan is het scalaire gedeelte
van dit quaternion nul en men heeft eenvoudig

De overeenkomst wordt alleen gestoord, doordien in (i)
een minus-teeken voorkomt, dat in (2) ontbreekt.

§ 22. Volgens het behandelde in § 14 is de opper-
vlakte-integraal van een vector, die van een vector-
potentiaal kan worden afgeleid, over een willekeurig
oppervlak gelijk aan de lijn-integraal van de vector-
potentiaal langs de grenskromme van het oppervlak. Wij
zouden dit de hoofdeigenschap van de vector-potentiaal
kunnen noemen.

§ 23. Evenals men dc krachten, die van een scalairc
potentiaal worden afgeleid, kan terugbrengen tot de
^verking van centra, omgekeerd evenredig met het kwa-
draat van den afstand, zoo kan men ook de krachten, die

van een vector-potentiaal worden afgeleid, terugbrengen
tot werkingen op afstand, uitgaande van den vector
6 (zi, V, 7v) waarvan die potentiaal is afgeleid.

gelijk is aan een overeenkomstig element van «l, dat wij
Sr {F\', G\\ H\') noemen. Wij stellen dus

De componenten van de kracht 93\' b\', c\'), die
uitgaat van het element (S dx, worden dan gevonden
door deze waarden te substitueeren in

Natuurlijk is deze splitsing geheel kunstpiatig; zij kan
ons niets leeren omtrent de werkelijke oorzaak der voor-
handen krachten. Blijkbaar zal echter door de resultante
der aldus verkregen fictieve krachten de werking in
ieder punt kunnen worden verklaard.

S.V staat dus loodrecht op liet vlak, dat door g en r
gaat. Noemen wij de richtings-cosinussen van de normaal
op die zijde van hdt vlak, waar een wenteling van (S
naar r over een hoek < 180° als positieve draaiing gezien
wordt, /, m en n. Zij verder de hoek tusschen 6 en r,
dan kan men in plaats van (i) schrijven

b — C —V m sin (f,
c\' — L —rr n Sin O-,
Voor do grootte van üü\' vindt men dus

g öfr heeft dus plaats volgens de wet, die door Laplace
uit het experiment van Biox en Savart is afgeleid voor
de werking van een stroomelement op een magneetpool.

Zij gegeven een kracht (of meer algemeen een vector) S3,
die van een vector-potentiaal kan worden afgeleid. Denkt

men zich nu, dat van ieder vector-element (Sdr, waarin
Q = — curl S3, een werking uitgaat volgens de wet

van Laplace, dan zal de resultante van deze fictieve
krachten in ieder punt van het veld een vector zijn, die
identiek is met den oorspronkelijk in dat punt gegeven
vector S3.

Bij de ontwikkeling van de theorie der scalaire potentiaal
gaat men doorgaans uit van massa\'s w, die werken vol-
gens de wet der algemeene gravitatie en men definieert

men ook de theorie van de vector-potentiaal kunnen
afleiden door uit te gaan van, wat men kan noemen,
vector-massa\'s (5, die op afstand werken volgens de wet
van Laplace en men zou dan die potentiaal kunnen

§ 24. Een willekeurige vector kan in het algemeen
noch van een scalaire potentiaal, noch van een vector-
potentiaal worden afgeleid. Zulk een vector kan echter,
mits hij in de geheele ruimte eindig en doorloopend cn
op onoindigen afstand nul is, altijd gesplitst worden in
twee componenten, waarvan de eene van een scalain!

Volgens § 15 is de vector door deze vergelijkingen
volkomen bepaald en kan hij van een scalaire potentiaal
worden afgeleid. Volgens (8) § 15 en (i) § 21 is

De vector is volgens § 17 door deze vergelijkingen
volkomen bepaald. Hij kan van een vector-potentiaal
worden afgeleid en men heeft volgens (2) § 20 cn (2) § 21

Stelt men nu, dat Jv de resultante is van ïy,, ^^ en
een derden vector (X\\ Y\\ Z\'), dan is

Uit do vergelijkingen (i) tot (4) volgt dan, als men
20 voluit schrijft, onmiddellijk

§ 25. Brengt men deze stelling in verband met hetgeen
bewezen is in § 15 en § 23, dan komt men tot een
stelling, die op andere wijze is afgeleid door Vaschv
{Coinptes Rendus, t. 116, p. 1244 et .1355) en die wij
als volgt kunnen formuleeren:

De verdeeling van een kracht (of meer algemeen van
een vector) $ in de verschillende punten van een kracht-
(vector-) veld is identiek met de verdeeling van de resul-
tante van twee fictieve krachten en Jj, die op dc
volgende wijze gedefinieerd worden: zou ontstaan door
een stelsel massa\'s, werkende op afstand volgens de wet
van de algemeene gravitatie; ^^ zou ontstaan door een
stelsel vector-massa\'s, werkende op afstand volgens de wet
van Laplace. De dichtheid o der eerste massa\'s en dc
dichtheid (5 der vector-massa\'s worden gegeven door de
vergelijkingen 4 tt p = div Jv en- 4 n\'(S. = cur/

Natuurlijk heeft men hier aan het woord massa in het
algemeen niet de gewone beteekenis te hechten. Om toe
te lichten hoe men het in een algemeen geval kan inter-
preteeren, kiezen wij met Vaschv het volgende voorbeeld.

Veronderstellen wij, dat in een lichaam een trillende
beweging plaats heeft. De kracht, die op oen tijdstip /
op de eenheid van massa van het lichaam in een punt

AI {x, y, z) werkt, is gelijk aan de versnelling van dat
punt. Als dus /, g en h de verplaatsingen van het punt
M voorstellen, gerekend van den even wichtsstand, dan
zullen de componenten van de kracht zijn

Volgens de voorgaande stelling is deze kracht identiek
met de resultante van de krachten, die in M zouden
ontstaan door:

IEen stelsel massa\'s, werkende op afstand volgens
de wet van de algemeene gravitatie en waarvan de
dichtheid n in de verschillende punten gedefinieerd zou
worden door de vergelijking

dx dy dz ~ dP
2". . Een stelsel vector-massa\'s, werkende op afstand
volgens de wet van Laplace en waarvan de componenten
u. V en 7V der dichtheid G gedefinieerd zouden worden door
dZ d

Afgezien van den factor 4 7r, kunnen nu de dichtheden
V en G als volgt geïnterpreteerd worden: q zou zijn de
versnelling der kubieke dilatatie van het lichaam in
zijn verschillende punten en G zou zijn de hoekversnelling
der rotatie.

waarin ni de poolsterkte, ds de lengte van het element,
r den voerstraal van het element naar het punt P en f
den hoek tusschen ds en r voorstelt (^Treatise, Art, 383).

Plaatsen wij gemakshalve het element in den oorsprong
en noemen wij de coördinaten van P\\ x, y en z, dan is

Stellen wij het magnetische moment van het element
m ds ^ M en noemen wij de richtings-cosinussen van
ds\\ u en r, dan is

dy	dz
dF	dH
dz	dx
dG	dF

^ dx dy\'
Door de vergelijkingen (5) resp. naar x, y en 2 te
difFerentieeren en vervolgens op te tellen, vindt men

dx dy dz
Wij kunnen dus F, G en H beschouwen als de com-
ponenten van een vector-potentiaal waarvan de magne-
tische kracht («» /) volgens de vergelijkingen (6)
wordt afgeleid.

Om de richting en de grootte van te vinden, denken
wij ons een vlak door d s en r en richten een loodlijn
op die zijde van het vlak op, waar een wenteling van
ds naar r over een hoek t als positieve draaiing gezien
wortlt. Noemen wij de hoeken, die de loodlijn met de
assen maakt, /, vi en 7/, dan is

De numerieke waarde van de vector-potentiaal van
een magnetisch element, in een gegeven punt, is dus
gelijk aan het magnetische moment van het element,
gedeeld door het vierkant van den voerstraal van het
element naar het punt en vermenigvuldigd met den sinus
van den hoek tusschen de as van het element en den
voerstraal. De richting van de vector-potentiaal is die.
waarin een gewone schroef, die loodrecht staat op het
vlak door het element en den voerstraal, zich zou bewegen,
als zij gedraaid werd van de positieve richting van het
element naar de positieve richting van den voerstraal
over een hoek kleiner dan i8o°. Of anders gezegd:
Voor een oog, dat in de positieve richting van het
element ziet, is de vector-potentiaal getrokken in nega-
tieven zin, dat is in den zin, waarin zich de wijzers van
een uurwerk bewegen.

Dé vector-potentiaal is nul in ieder punt van het ver-
lengde der as van het magnetische element. Stellen
wij ons een bol voor, waarvan het middelpunt samenvalt
met dat van het element en noemen wij de punten, waarin
het verlengde van de as den bol snijdt, de polen van den
bol, dan is de vector-potentiaal nul in de polen en zij
hoeft gelijke numerieke waarde in alle punten van twee
overeenkomstige parallellen, terwijl die waarde haar
maximum bereikt in den aequator. Dus juist tegengesteld
«■lan de scalairc potentiaal. De richting van de vector-
potentiaal in ieder punt van den bol valt .samen met de
raaklijn van den parallel door dat punt.

Voor een eenvoudig geval kunnen wij ons hier gemak-
kelijk overtuigen van de waarheid van de hoofdeigenschap

der vector-potentiaal (§ 22). Voor ieder punt van een
parallel, waarvan de sferische afstand tot één der polen
f is, is de numerieke waarde van de vector-potentiaal

De oppervlakte-integraal van de magnetische kracht
over het bolsegment, dat door den parallel begrensd
wordt, is dus

De waarde van de lijn-integraal is derhalve gelijk aan
die van de oppervlakte-integraal.

§ 27. Door de intensiteit der magnetisatie van een-
magnetisch element verstaat men de verhouding van het
magnetische moment van het demerit tot zijn volume.
Noemen wij die intensiteit 3. li^var rechthoekige compo-
nenten yl, B en C en haar richtings-cosinusscn P., /t en r,
dan is, als / de numerieke waarde van 3 voorstelt,
A = /.«, Iv.

Het magnetische moment van een volume-element
dx\' dy\' az\' van een magneet is I dx\' dy\' dz\' en de

Voor de potentiaal van den geheelen magneet in het
punt {x, y, 2) heeft men dus, in aanmerking nemende dat

Door de uitdrukking in het tweede lid bij gedeelten
te integreeren volgens formule (i) § n, verkrijgt men

Waarin /, m en n de richtings-cosinussen van de uitwendige
normaal op het oppervlak S van den magneet voorstellen
cn de eerste integraal over het oppervlak, de tweede
over het volume van den magneet moet genomen
Worden.

Wij kunnen echter de integraal uit (i) ook over do
ffeheelo ruimte uitstrekken, daar buiten den magneet

A, B en C nul zijn. Door dan bij gedeelten te integreeren,
hëeft men volgens (2) § 11

De waarde van deze integraal is natuurlijk niet dezelfde
als die van de overeenkomstige uitdrukking in (2). Zal
deze wijze van integreeren geoorloofd zijn, dan mag de
intensiteit 3 aan de oppervlakte van den magneet niet
discontinu veranderen. Wij moeten dus aannemen, dat
er een dunne overgangslaag bestaat, waarin de waarde
van 3 wel zeer snel, maar continu van / tot nul overgaat.
Of dit in werkelijkheid het geval is of niet, doet niet
ter zake; men kan de dikte van de overgangslaag altijd
zoo klein kiezen, dat men niet in strijd komt met eenig
experimenteel vastgesteld feit. Die overgangslaag zal, in
het algemeen, een eindige bijdrage geven tot de integraal
in (3) en deze bijdrage is gelijk aan de oppervlakte-
integraal in (2).

Het voordeel van deze integratie bij gedeelten over
de geheele ruimte bestaat hierin, dat de herleidingen
er zeer door vereenvoudigd worden, zooals wij in § 30
zullen zien.

Voor de ^r-componente van de magnetische kracht
vindt men, als de integratie over de geheele ruimte
uitgestrekt wordt,

§ 28. Voor de ;»;-componente van de vector-potentiaal
van het element dx\' dy\' dz\' in het punt {x, y, 2) heeft
men volgens (5) § 26

§ 29. De laatste formules gelden echter alleen voor
punten buiten den magneet. Ligt het punt (x, y, z)
binnen den magneet, dan gaat bovenstaande afleiding
niet meer door. Bij de vervorming der uitdrukkingen
voor de magnetische kracht van een magnetisch element
is namelijk in § 26 gebruik gemaakt van de betrekking

en dit is voor oneindig dicht bij het punt {x, y, z) gelegen
elementen van den magneet niet geoorloofd.

Het is trouwens a priori duidelijk, dat de magnetische
kracht in een magneet niet van een vector-potentiaal
kan worden afgeleid, daar die kracht, voor inwendige
punten, niet voldoet aan de voorwaarde div = o.

De gedachtengang van Maxwell {.Trcafisc, Art. 406)
schijnt nu de volgende te zijn. Men kan de vector-
potentiaal gedefinieerd blijven beschouwen door de ver-
gelijkingen (i) § 28, ook voor inwendige punten; de

integraal-teeken in • den tweeden term is nul voor alle
volume-elementen, behalve voor het element, dat het
punt {x, y, z) bevat. Als (A) de waarde voorstelt van
A in het punt (x, y, z), dan is de waarde van den
tweeden term 4 n (A).

PoiNcAKÉ merkt op {ÉkctnciW ct Optiquc II, p. 21), dat
<leze vergelijking door Maxwki.l niet bewezen is. Wij
doen misschien beter met te zeggen, dat het bewijs
slechts is aangeduid.

cn dl\' door differentiatie onder het integraal-teeken daar-
uit afgeleide integraal

Het is gemakkelijk te bewijzen, dat de eerste integraal
eindig en bepaald blijft, ook wanneer het punt {x, y, z).

voor oneindig dichtbij gelegen elementen maar dat
dit met de tweede integraal niet het geval is.
Voert men pool-coördinaten in en stelt men

dan gaan beide integralen over in (zie b. v. Riemann,
Schwere, Electr. und A/agji.\'^ 6)

en het blijkt, dat de tweede integraal wegens de oneindig
groote elementen, die onder het integraal-teeken voor-
komen en die gedeeltelijk positief, gedeeltelijk negatief
zijn, onbepaald is.

Lette men hierop niet, dan zou men gemakkelijk
bewijzen, dat, als V dc potentiaal van een massa voor-
stelt, A ^—o is, ook voor een inwendig punt, wat
niet waar is.

Er zou dus nog moeten bewezen worden, dat de uit-
drukkingen, die in de herleiding van Ma.vwell voorkomen,

een bepaalde waarde hebben. De grensbepalingen, die
hiervoor zouden noodig zijn, zullen wij vermijden door,
in navolging van Poincaré, de herleidingen zoo in te

§ 30. Als men de integralen in de vergelijkingen (i)
§ 28 over de geheele ruimte uitgestrekt denkt en bij
gedeelten integreert, dan gaan die vergelijkingen over in

Men heeft dus

\'UL

d.x^

Deze integraal blijft, zooals boven reeds werd opgemerkt,
bepaald, ook voor een inwendig punt. Zoo ook voor de
andere integralen.
;Men heeft dus:
dH dG

De tweede term is dus gelijk aan — ^ P of 4 tt A.
Men vindt dus ten slotte
dll dG

Hiermede is bewezen dat, ook voor een inwendig
punt, de grootheden F, G en // uit de vergelijkingen
(\') van § 28 als de componenten van een vector-potentiaal
kunnen worden beschouwd.

I^e betrekking (4) wordt ook gevonden, als men,
zooals Maxwku. aangeeft, de vergelijkingen (i) § 28

respectievelijk naar x, y en z differentieert en dan optelt.
Wel moet men dan onder het integraal-teeken differen-
tieeren; dit heeft echter hier geen bezwaar, daar de
termen twee aan twee tegen elkander wegvallen. Wij
moeten namelijk aannemen, dat die termen, al blijft
de waarde onbepaald, ook bij de limiet aan elkander
gelijk blijven.

§ 31. De kracht S, waarvan a, è en c de componenten
zijn, is het eerst beschouwd door W. Thomson en door
hem genoemd de magnetische kracht volgens de electro-
magnetische definitie (§ 39). De kracht die van een
scalaire potentiaal kan worden afgeleid, wordt doorhem
genoemd de magnetische kracht volgens de polaire definitie.
Door Maxwell wordt S3 de magnetische inductie en -ö de
magnetische kracht genoemd.

Denkt men zich in een magneet een nauwe spleet en
in die spleet een magneetpool van de eenheid van sterkte
geplaatst, dan zal de kracht, waarmede dc magneet op
die pool werkt, gelijk zijn aan -O, als de spleet valt in
de richting van de magnetisatie en gelijk S, als de spleet
loodrecht is op die richting {Treatise, Art. 398—399).

Ontstaat het magnetisme geheel door influentie, dan
is —•.\'« -C» {Treatise, Art. 428). Deze coëfficiënt u wordt
door Maxwell de magnetische inductieve capaciteit, of ook
de coëfficiënt der magnetische inductie-, door Thomson de
permeabiliteit van de stof genoemd.

Voor punten buiten een magneet of liever voor punten,
waar de magnetische polarisatie nul is, is er geen ver-
schil tusschen de magnetische kracht en de magnetische
inductie. De vergelijkingen (3) van § 30 gelden dus
algemeen, zoowel voor in- als uitwendige punten.

De vector 91 wordt daarom door Maxwell de vector-
potentiaal van de magnetische inductie genoemd.

§ 32. Wij zullen nu door een eenvoudig voorbeeld
laten zien, hoe men de formules (i) van § 28 kan toe-
passen om de vector-potentiaal van een magneet te bepalen.
Beschouwen wij één der voorkomende integralen, b v.

Laat nu P de potentiaal voorstellen van een massa,
(Ho met de dichtheid B over liet volume van den mag-
neet is verbreid, dan gaat de laatste uitdrukking over

Kent men dus de intensiteit van de magnetisatie
3 {A, C) voor ieder punt van een magneet in grootte
^\'n richting en kent men ook de potentialen van massa-

verdeelingen over het volume van den magneet met de
dichtheden A, B, C, dan kan de vector-potentiaal van
den magneet door differentiatie gevonden worden.

Zij geven een bol, zoodanig gemagnetiseerd, dat de
magnetisatie in grootte en richting constant is.

Nemen wij het middelpunt van den bol als oorsprong
van het coördinatenstelsel en de x-as in de richting van
de magnetisatie, dan is

De potentiaal van een homogenen bol met de dichtheid
/ is, als wij den .straal a noemen. voor een uitwendig

als wij den hoek, dien r met de x-as maakt, t en het
magnetische moment van den bol jM noemen.

Deze uitdrukking is dezelfde als die, welke wij in
,§26 vonden voor de vector-potentiaal -van een magne-
tisch element en het is gemakkelijk in te zien, dat ook
de richting van door den daar gegeven regel wordt
bepaald.

De totale magnetische inductie {fiiix of inductioti). die
door den grooten cirkel van den bol, loodrecht op de
richting van de magnetisatie, gaat, is dus

Voor de lijn-integraal van de vector-potentiaal , langs
den omtrek van dien cirkel vindt men, zooals behoort,
dezelfde waarde.

Wij merken nog op, dat de gevonden waarden voor
de vector-potentiaal voor in- en uitwendige punten aan
de oppervlakte van den bol continu in elkander overgaan.

§ 33. Een dun vlak of gebogen plaatje, gemagnetiseerd
in een richting loodrecht op de oppervlakte, zoodanig dat
het produkt van de intensiteit der magnetisatie en van
de dikte van het plaatje overal constant is, noemt men
een magnetische schaal. De constante — waarin//
de dikte van het plaatje en I de intensiteit der magneti-
satie voorstelt, wordt de magnetische sterkte van de schaal
genoemd.

Een magneet, die kan verdeeld worden in schalen
{lamellen), die öf gesloten zijn, óf haar grenskrommen

De intensiteit der magnetisatie van een lamellairen
magneet voldoet aan de voorwaarde curl ^ = o.

Stellen wij ons namelijk voor, dat uit een vast punt
een kromme wordt getrokken naar een punt (x\\ y, s\')
binnen den magneet. De som van de sterkten der schalen,
die door de kromme doorsneden worden, noemen wij .
Brengen wij hierbij de sterkte van een schaal als positief
of negatief in rekening, naargelang de schaal door de
kromme van de negatieve naar de positieve zijde of in de
tegenovergestelde richting doorsneden wordt, dan is het
duidelijk dat deze grootheid 9 onafhankelijk is vim den
vorm der kromme tusschen de beide punten. Zij heeft
een constante waarde op de oppervlakte van een zelfde
schaal, maar verandert van de eene schaal tot de andere.
De richting der magnetisatie is overal loodrecht op de
oppervlakte der schalen cn de intensiteit der magnetisatie
is in ieder punt omgekeerd evenredig met den normalen
afstand du van twee opeenvolgende .schalen, dus is

Substitueert men deze waarden voor A, /»\'en Cm de ver-
\'gelijkingcn (i) § 28, dan vindt men voor de .v-componente
van de vector-potentiaal van een lamellairen magneet

Deze volume-integraal kan veranderd worden in een opper-
vlakte-integraal over het oppervlak S van den magneet.

Door partieel naar s\' te integreeren, vindt men voor
de eerste integraal van (2)

Deze oppervlakte-integraal kan veranderd worden in
oen lijn-integraal langs de grenskromme s van de schaal.

Uit deze vergelijking volgt de volgende eenvoudige
constructie voor de vector-potentiaal van een magnetische
schaal van de eenheid van sterkte in een punt P.

Laat een punt D zich bewegen langs de grenskromme
van de schaal met een snelheid, waarvan de numerieke
waarde in ieder punt gelijk is aan den afstand van dat
punt tot P. Laat een tweede punt E uit P vertrekken
en zich bewegen met een snelheid, waarvan de richting
op ieder oogenblik evenwijdig is aan die van D cn waar-
van de grootte voortdurend gelijk is aan do eenheid.
I.aat E in R gekomen zijn, als D do grenskromme van
do schaal éénmaal doorloopon heeft. De lijn PR stelt
dan in richting en grootte de vector-potentiaal van do
schaal voor {Trca/isc, Art. 422).

§ 34. De bekende onderzoekingen van Biot en Savart,
betreffende het magnetische veld in de nabijheid van een
oneindig langen rechtlijnigen stroomgeleider, zijn door
JouniN uitgebreid voor het magnetische veld binnen den
geleider {Comptes Rendus, t. 110, p. 231).

Een constante stroom werd geleid door een langen
wijden glazen cylinder, gevuld met een oplossing van
koporsulfaat. Een zeer kleine magneet, van een spiegel
voorzien en aan een cocondraad in de vloeistof opge-
hangen, veroorloofde de magnetische kracht ook binnen
den stroomgeleider te bepalen.

Dit onderzoek leidde tot de volgende resultaten:
i". Zoowel binnen als buiten den geleider zijn de
krachtlijnen cirkels, wier as samenvalt met de as van
den cylinder. De richting van de magnetische kracht
wordt verder door den regel van Ampïïre bepaald,

die in de as nul is, toe, naarmate men zich van de as
verwijdert en wel evenredig met den afstand tot de as.

3°. De magnetische kracht verandert continu, als men
de oppervlakte van den stroomgeleider passeert.

4°. Buiten den cylinder neemt de magnetische kracht
af omgekeerd evenredig met den afstand tot de as. Die
kracht is dezelfde, alsof de geheele stroom in de as van
den cylinder geconcentreerd is.

Daar verder de magnetische kracht evenredig is met
de stroomsterkte, wordt aan 2". en 4". voldaan, als men
voor de grootte van die kracht stelt, binnen den geleider:

In deze uitdrukkingen is a de straal van den geleider,
r de afstand van het punt, waar de magnetische kracht
bepaald wordt, tot de as, i\' de stroomdichtheid, i=na^ i\'
de stroomsterkte en k een constante, die alleen van do
eenheid van stroomsterkte afhangt.

Door deze waarden wordt ook aan 3". voldaan. Op
een afstand (ï van de oppervlakte van den geleider is
namelijk de magnetische kracht

Voor de componenten der magnetische kracht vindt
men volgens als men de 2-as laat samenvallen met
de as van den cylinder, binnen den geleider:

kt
r

y _

— k.i

ki
r

x
r

Al deze resultaten zijn ook af te leiden uit het eenvou-
dige experiment van Biot en Savart, als men den stroom
in oneindig dunne evenwijdige stroomdraden gesplitst
denkt en als men dan aanneemt, dat de magnetische
werking van die stroomdraden binnen en buiten den
geleider volgens dezelfde wet plaats heeft (Zie Jouiun, 1. c.).
Wij geven er de voorkeur aan, de vergelijkingen (i) en (2)
rechtstreeks als het resultaat van het experiment voor
te stellen.

§ 35. Door op het krachtveld, dat boven werd be-
schreven, de stelling van § 25 toe te passen, kan men de
geheele theorie van het electromagnetisme op zeer een-
voudige wijze afleiden. Het denkbeeld om het electro-
magnetisme op deze wijze te behandelen ontleenen wij
aan Vas^hv {Coviptcs Reudus, t. 116, p. 1437)-

Volgens die stelling kan men de magnetische kracht
ontbinden in een componente die zou ontstaan door
een stelsel massa\'s, werkende op afstand volgens de wet
van de algemeene gravitatie en in een componente
die zou ontstaan door een stelsel vector-massa\'s, werkende
op afstand volgens de wet van Laplace. De eerste com-
ponente kan afgeleid worden van de éénwaardige scalaire
potentiaal

In het geheele veld is dus dh -O = o en dus is ook
tö, = o. De magnetische kracht valt derhalve samen

Hieruit volgt, dat de magnetische kracht, zoowel
binnen als buiten den geleider, van een vector-potentiaal
kan worden afgeleid.

Buiten den geleider is curl ^ = o. Voor uitwendige
punten kan dus de magnetische kracht ook van een
scalaire potentiaal worden afgeleid. Daar echter div
overal nul is, kan die potentiaal niet éénwaardig zijn.
Er is dus ook geen verdeeling van magnetische massa\'s
denkbaar, die, wat de magnetische werking betreft,
volkomen identiek zou zijn met den electrischen stroom.

Dat de potentiaal meerwaardig is, hangt hiermede
samen, dat de ruimte buiten den geleider voor de mag-
netische kracht tweevoudig samenhangend is.

men zich die kromme in twee takken verdeeld, dan is
het niet mogelijk, de beide takken door een doorloopende
beweging in elkander te laten overgaan, zonder buiten
het gebied te komen, waarin aan de voorwaarde ciirl <0 = o
voldaan is. Binnen den geleider is namelijk curl .fj niet
nul. De magnetische kracht heeft daar geen potentiaal.

§ 36. De grootheden, die in § 25 p en (S (w, f, rv)
genoemd zijn, hebben hier volgens (i) en (2) 35 do
volgende waarden, binnen don geleider:

Bg een minder eenvoudige keuze der coördinaat-assen
in § 34 zouden wij blijkbaar in plaats van (i) gevonden
hebben

Stelt men k — 2, wat neerkomt "op het aannemen van
de electromagnetische eenheid van stroomsterkte (§ 38),
dan heeft de vector (S hier een zeer eenvoudige beteekenis:
hij is in richting en grootte gelijk aan de stroomdichtheid t\',
wanneer wij de stroomdichtheid als een vector beschouwen.

De stelling van § 25 stelt ons nu in staat om het
magnetische veld van een constanten stroom van wille-
keurigen vonn te berekenen.

Noemen wij de stroomdichtheid (S {u,v, 10), dan geven
de vergelijkingen (6) van § 17 onmiddellijk dc betrekking
aan, die er tusschen de magnetische kracht en de stroom-
dichtheid bestaat. Dus

in te zien, dat de vergelijkingen (3) ook in die uitgebreidere
beteekenis geldig blijven, als men van dezelfde veronder-
stellingen uitgaat als Maxwell.

Bij Maxwell heet 6 de ware stroom en deze wordt
beschouwd als de resultante van den geleidingsstroom,
waarmede wij ons hier alleen hebben beziggehouden, en
van den stroom, die ontstaat door verandering met den
tijd van de diëlectrische polarisatie van het medium.
Deze laatste stroomen ontstaan volgens IMaxwell niet
alleen in het diëlectricum, maar ook in den vrijen aether
en ook in geleiders bij veranderlijke toestanden. Maxwell
neemt nu aan, dat ook deze zoogenaamde verplaatsings-
stroomen gesloten zijn, of liever, dat zij altijd met de
geleidingsstroomen gesloten stroomen vormen en dat zij
dezelfde magnetische werking uitoefenen als geleidings-
stroomen. In deze veronderstelling kunnen wij aan de
grootheden u, v en xo in (3) dezelfde beteekenis hechten,
die er door Maxwell aan wordt toegekend.

§ 37. Om de componenten van de vector-potentiaal
van een electrischen stroom of vaji een stelsel van
stroomen tc bepalen, kunnen wij weder rechtstreeks
gebruik maken van dc vergelijkingen (9) van § 17. Dus

waarin de integratie over al de geleiders, of, als wij het
begrip stroom in den zin van Maxwell opvatten, over de
geheele ruimte moet worden uitgestrekt.

De betrekking tusschen de magnetische kracht en de
vector-potentiaal wordt dan volgens (2) § 17 aangegeven
door de vergelijkingen

Passen wij de vergelijkingen (i) toe op den stroom
van §34, dan is 11 = 0, z/= o, 7v — t\'. Dus F—G = o.
Om // te bepalen in een punt P {x, y^ o), welks afstand
tot de as wij p noemen, denken wij ons den cylinder
begrensd door twee vlakken c = — en c =.-)- waarin
b oneindig groot is ten opzichte van

Een punt Q binnen den cylinder worde in gepro-
jecteerd op het .ar^\'-vlak. Het punt is dan bepaald
door de coördinaten O Q\' = O P ^ Oon Q Q\'= z

Integreeren wij eerst met betrekking tot s, dan is, als
wij Q\' P — f stellen, daar b oneindig groot is ten
opzichte van

(Zie Bierexs de Haan, Nouv. Tab. d\'ini. di\'f. T. 332, i).
De formule gaat door voor c—\\.
Dus

//„ = 2 71 a"" {log 2b — logp) = —2 iilogp — log 2 b). (3)
Voor de magnetische kracht vindt men

Ligt het punt P binnen den cylinder, dan kan men stellen
H, = r f \' \'^\'^\'Jd^dz /•« odc,dadz

H\'„ = 2 ni\' p-" {log 2 b —log p). . . . (4)
Ter bepaling van H\'i heeft men te stellen

H\'i = 2 n i\' {a ^ —Z"^) log2b — m\' a\'{2loga—\\)^ii i\' (2 logp— 1). (5)
Door (4) en (5) op te tellen verkrijgt men na herleiding

,De waarde, die men hieruit vindt voor de magnetische
kracht, komt weder overeen met (i) § 34.

De waarden voor // uit (3) en (6) gaan, zooals behoort,
aan de oppervlakte van den geleider continu in elkander
over.

De grootheid H\'i uit (5) stelt de vector-potentiaal voor
van een stroom, die begrensd wordt door twee coaxiale
cylindervlakken met de stralen / en a in een punt P van
het binnenste grensvlak. Blijkens de afleiding vindt men
voor de-zen stroom volkomen dezelfde waarde voor H in
een willekeurig punt P binnen de ruimte, die door den
kleinsten cylinder begrensd wordt. In die ruimte is dus
de vector-potentiaal constant en de magnetische kracht
derhalve nul. Dit feit is experimenteel aangetoond door
JOUBIN (/. c).

§ 38. Passen wij de vergelijkingen (i) van de vorige
paragraaf toe op een constanten stroom, die door een
geleider s met zeer kleine doorsnede d w gaat, een zooge-
naamden lineairen stroom. Zij de constante stroomsterkte

De richting van (S wordt aangegeven door de raaklijn
aan s in de richting van den stroom; de richtings-cosi-
nussen zijn

Deze uitdrukkingen zijn dezelfde als die, welke wij
in § 33 vonden voor de componenten van de vector-
potentiaal van een magnetische schaal, als men stelt
<jc = ü Als een magnetische schaal en een electrische
stroom dezelfde vector-potentiaal hebben, dan is ook de
magnetische kracht, die van beide uitgaat, gelijk. Alen
komt dus zoo op eenvoudige wijze tot de beroemde
stelHng van Ampère:

De magnetische werking van een constanten lineairen
stroom is gelijk aan die van een magnetische schaal, die
door den geleider begrensd wordt en waarvan de sterkte
gelijk is aan de sterkte van den stroom.

•De constante k van § 34 wordt dus gelijk 2 gesteld,
om de numerieke waarde van de stroomsterkte gelijk te
kunnen stellen aan de sterkte van de equivalente mag-
netische schaal.

§ 39. Bovenvermelde overeenkomst tusschen een elec-
trischen stroom en een magnetische schaal geldt alleen
voor punten buiten de schaal, daar voor inwendige punten
de magnetische kracht niet van de vector-potentiaal kan
worden afgeleid.

Grooter wordt dc analogie tusschen beide systemen,
als men niet de magnetische kracht, maar de magnetische
inductie beschouwt. Deze laatste wordt voor punten
binnen en buiten de schaal op dezelfde wijze uit de
vector-potentiaal van de schaal gevonden (§ 31).

De magnetische inductie (kracht) van een stroom in een
willekeurig punt is dus gelijk aan de magnetische inductie
in dat punt van de equivalente magnetische schaal.

Blijkbaar geldt hetzelfde voor een stelsel constante
stroomen en het equivalente magnetische stelsel.

Dit mag wel de reden zijn, waarom de magnetische
inductie door Thomson genoemd wordt: de magnetische
kracht volgens de electromagnetische definitie.

§ 40, Tot dusverre hebben wij de stroomen alleen
beschouwd in een medium, dat magnetisch niet polari-
seerbaar is, een medium dus welks permeabiliteit ^t = i is.
Bij benadering geldt dit voor de lucht. Heeft echter /t
een andere waarde en wil men, dat de kracht, die van
de vector-potentiaal wordt afgeleid, altijd de magnetische
inductie zal zijn, dan kan men stellen

Dit zijn de vergelijkingen, zooals zij door Maxwell
worden gebruikt. Hierbij heeft men echter in het oog
te houden, dat zij alleen geldig zijn, als /t in de geheele
ruimte constant is. In dat geval kan men ter berekening
van de magnetische kracht even goed van de vergelijkingen
(i) en (a) van § 37 gebruik maken.

Is echter /t veranderlijk, dan\' is dit niet het geval.
Wel kan men zich dan nog, daar altijd aan de voorwaarde

voldaan is, a, è en c door vergelijkingen van den vorm (2)
bepaald denken. De waarden van F, G en H zouden
dan echter niet meer door de vergelijkingen (1) worden
aangegeven.

Eenvoudiger wordt het, als men zich in dit geval de
magnetische kracht volgens de stelling van § 25 gesplitst
denkt in twee componenten.

Deze werking gaat dus uit van dio deelen der ruimte,
waarin <» veranderlijk is. Grenzen twee homogene mediën
met verschillende permeabiliteit //, en /t.^ aan elkander,
dan wordt het gedeelte der ruimte, waarin veranderlijk
is, oneindig dun.

Daar /t alleen verandert in do richting van do normaal
op do grensvlakto, vindt men uit (4) voor do ruimte-dicht-
heid in do ovorgangslaag:

waarin V do totale potentiaal in oen punt van de over-
gangslaag voorstelt, terwijl verondersteld wordt, dat in
die laag geen stroomen aanwezig zijn.

Wil men de ruimte-lading als een oppervlakte-lading
beschouwen, dan volgt hieruit, door integratie over de

Daar de vergelijkingen (3) van § 36 geldig blijven
{Treatise, Art. 499, 607) wordt door de vergelijkingen \'
(i) en (2) § 37 bepaald. Deze componente stelt dus de
magnetische kracht voor, die van de stroomen zou uitgaan,
als het medium homogeen was.

Denkt men zich twee willekeurige oppervlakken a, en dj,
die door .y, en s^ begrensd worden,\' dan kan de opper-
vlakte-integraal der magnetische inductie over ieder van
die oppervlakken — in Faraday\'s taal, het aantal kracht-
lijnen , dat door den geleider omsloten wordt — veranderd
worden in een lijn-integraal door middel van dc yector-
potentiaal van het veld.

of, daar = is, waarin de vector-potentiaal
van s^ en ^»Ij die van s^ voorstelt,

•■lis () den hoek tusschen twee elementen dsj en ds.,
voorstelt.
Op dezelfde wijze vindt men

waarin ds, en ds\', twee elementen van denzelfden
stroomgeleider voorstellen en waarin iedere combinatie
ds, ds\', twee malen voorkomt, terwijl in de vorige inte-
.graal iedere combinatie ds, ds^ slechts óónmaal voorkomt.
Stelt men

De grootheid L noemt men de coëfficiënt van zelf-
inductie van s^, M de coëfficiënt der wederkeerige inductie

De electromotorische krachten der inductie, die bij
veranderlijke toestanden in j, en s^ ontstaan, worden
volgens de wet van Faraday {Trcaiise, Art. 541) op
ieder oogenblik gegeven door de vergelijkingen
p _ dQ _ dQ,

De grootheden (2, en (^j zijn dus dezelfde als die.
welke wij in § 8 hebben loeren kennen onder den naam
van do electromagnetische momenten der beide stroomen.

Wat Maxwell dus noemt het electromagnetische moment
van oen stroom is hetzelfde, wat door Faraday genoemd
wqrdt het aantal krachtlijnen, dat door den geleider
omsloten wordt.

De grootheden F, G en H, die Maxwell in zijn
theorie van het licht gebruikt, kunnen niet als de com-
ponenten van een eigenlijke vector-potentiaal beschouwd
worden.

Ook in zijn Trcatisc geeft Maxwell geen mechanische
verklaring van de electrische cn dc magnetische ver-
schijnselen. Hij maakt het alleen waarschijnlijk, dat
een dergelijke verklaring kan gegeven worden en wel
op oneindig veel manieren.

Dat electrische en mag-netische massa\'s een werking
uitoefenen, omgekeerd evenredig met het kwadraat van
den afstand, is niet de uitdrukking van een natuurwet,
maar van een mathematische identiteit.

De diëlectrische polarisatie van den vrijen aether heeft
in Maxwell\'s theorie eigenlijk geen physischen zin.

Van de Vector-Analyse is voor de Physica meer nut
te verwachten dan van de Quaternions.

Ten onrechte beweert Tait, dat Ws.yiii.io\'A genoodzaakt
was tot de methoden van Newton terug tc kecren, ten
einde dc eigenaardige moeilijkheden der quaternion-
differentiatic tc\'overwinnen.

De toepassing der waarschijnlijkheidsrekening op het
beoordeelen van de geloofwaardigheid van getuigen en

de juistheid van rechterlijke beslissingen wordt door
Stuart IMill terecht gebrandmerkt als „the opprobrium
ol mathematics".

leer der kleinste kwadraten moet gezocht worden in de
overeenstemming van de uitkomsten met de ervaring.

Ten onrechte beweert larlace: „On doit regarder Fer-
mat comme le véritable inventeur du calcul différentiel".
(Lai\'i.ace, Théorie anal, des Prob. Introduction, p. 42).

Uit het feit dat er een mechanisch aequivalent der
warmte is, volgt nog niet, dat de warmte een vorm van
beweging is.

Vele belangrijke wetten zijn te danken aan het onnauw-
keurige of onvolledige der waarnemingen, waarop zi;
zijn gegrondvest.

Voor eene meer algemeene verbreiding van de theorie
der Quaternions is de voortreffelijkheid van Hamilton\'s
leerboek eerder een na- dan een voordeel geweest.

De verandering in weerstand, die sommige geleiders
onder den invloed van electrische golven vertoonen,
heeft een mechanische oorzaak.

Bij het onderwijs in de Mechanica aan de hoogere
burgerscholen kan het beginsel der virtuëele snelheden
uitstekende diensten bewijzen.

Het verdient geen aanbeveling, bij het elementaire
onderwijs in de wiskunde de begrippen Innict en oncïn-
dig kleine zooveel mogelijk te vermijden. Dat onderwijs
biedt een uitstekende gelegenheid aan om die begrippen
vroegtijdig in te voeren.

Het is wcnschelijk in ons land niet don Middon-
Europeeschen tijd in te voeren, maar den Amsterdam-
schon tijd voor het burgerlijk leven te behouden.

F=z	m	■ dv,
G =		• dr,
// =	"///t	■dr.
	_ dii	dG
= /t«	dy	dz \'
	dF	dll
~~ dz	dx^
	dG	dF

	d \'		d \'	\\
B	r	— c	r
dz\'	dy\'	/
	d\'		d \'	A
C	r	— A	r
dx\'		dz\'	_/
	d^		d\'
A	r	— B	r
	dy	dx\'

	/ \'-lï^; "


4 \'

dy	dz\'
du	dy
dz	dx\'
d;}	dn
dx	-dy-