|
OPLOSSINGEN
DER
als Prijsvragen voorgestelde
VRAAGSTUKKEN,
voor welker beantwoording ter Algemeene Vergadering
van het jaar 1872 Aanlagen zijn toegewezen
aan den Heer
j. VEMtsiiVrm.
VRAAGSTUK I.
ALS TWEE PLATTE GLAZEN SPIEGELS EVENWIJDIG EN MET
DE SPIEGELENDE VLAKKEN NAAK ELKANDER GEKEERD ZIJN, DAN WEET MEN, DAT DE LICHTSTRALEN, DIE OP. DEN EENEN SPIEGEL INVALLENDE NAAR DEN ANDEREN TERUGGEKAATST WORDEN, VAN DEZEN NOGMAALS WORDEN TERUGGEKAATST, ZOODAT DE LAATSTE RICHTING DER STRALEN EVENWIJDIG IS AAN HUNNE EERSTE RICHTING, VÓÓR DAT ZIJ DEN EERSTEN SPIEGEL BEREIKTEN. ONDER- STELT MEN NU DAT EEN DER SPIEGELS OM EENE ZEKERE LIJN , AL OF NIET IN DESZELFS VLAK GELEGEN , EEN HOEK « RONDGEDRAAID IS, DAN WORDT GEVRAAGD NAAR DE RICHTING DER UITTREDENDE STRALEN , DIE TWEEMAAL TERUGGEKAATST DEN TWEEDEN SPIEGEL VERLATEN. DIT VOORSTEL OP TE LOSSEN IN DE ONDERSTELLING, DAT
VAN GEEN DER BEIDE SPIEGELS DE VÓÓR- EN ACHTER- VLAKKEN VOLKOMEN EVENWIJDIG ZIJN, MAAR DAT DEZE ZEER KLEINE HOEKEN VORMEN ; VOORTS ALS BIJZONDER 1
BIBLIOTHEEK UNIVERSITEIT UTRECHT |
|||||||||
|
A06000030677136B
|
|||||||||
|
3067 713 6
|
|||||||||
|
2 j. versluïs. Oplossingen
GEVAT. VAN TOEPASSING AAN TE NEMEN, DAT DE LIJN
VAN" DOOKSNIJDING DER VERLENGDE SPIEGELENDE VLAK- KEN BIJNA EVENWIJDIG IS MET DE LIJN, OM WELKE EEN DEE SPIEGELS GEDRAAID WORDT , EN DAT TEVENS DE RICHTING DER STRALEN DEZE LIJNEN BIJNA RECHTHOEKIG KRUIST. § 1. Nemen wij een rechthoekig coördinaten-stelsel aan, waarin
de richting van een rechte lijn bepaald wordt door de hoeken, die de lijn met de coördinaten-assen maakt; terwijl de stand van een vlak hepaald wordt door de hoeken , welke eene loodlijn op dat vlak met de coördinaten-assen maakt. In beide gevallen noemt men die hoeken de richtingshoeken, en wij zullen een rechte lijn of een plat vlak aanduiden door het opnoemen van de rich- tingshoeken. Bij de oplossing van het opgegeven vraagstuk maken wij gebruik
van de drie volgende problema\'s: § 2. In de eerste plaats nemen wij aan, dat een plat vlak
(o, b, c) een hoek 0 gedraaid wordt om de Z-as, en wij zullen de richtingshoeken ait bit c, van het vlak na de draaiing bepalen. Merken wij op, dat elke loodlijn op het vlak om de Z-as een
hoek <p omwenfelt. Neraen wij nu die loodlijn op het gegeven vlak, welke tevens door den oorsprong gaat. Als dan een bol, die den oorsprong tot middelpunt heeft, de coördinaten-assen snijdt in X, Y en Z, de loodlijn op het gegeven vlak in A en diezelfde loodlijn na de omwenteling in B, dan is (zie PI. VII, fig. 1): XA = «, YA — b, ZA=rc, XB = alt YB = b{, ZB = c„ Z_AZB = <J>, XY = YZ = ZX = 90°. Daar de wenteling om de Z-as geschiedt, is ci =s c. Bepalen
wij nu verder o4. Daartoe hebben wij in AAZX:
_ , __ Cos o — Cos c Cos 90° Cos a
Los Az;X srs ■■■
Sm c Sin 90° Sm c
In A BZX hebben wij verder:
Cos al = Cos 90° Cos cl -f- Sin 00° Sin ct Cos BZX
Cos a{ = Sin c Cos (<J> AZX)
Cos at = Sin c Cos <p Cos AZX — Sin c Sin (p Sin AZX
|
|||||||
|
.
|
|||||||
|
der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. 3
Cos at s= Cos a Cos <p — Cos b Sin <p.
Evenzon Cos bA = Cosa Sin <p Cos b Cos 0. Ophebkihggr 1. Deze formules gaan door voor alle standen der loodlijn. 2. Wij hebben de wenteling van de X-as naar de Y-as ge-
nomen. Geschiedt de wenteling in \'tegengestelden zin, dan behoeft men slechts <P negatief te nemen. 3. Wij hebben de Z-as als omwentelings-as aangenomen, omdat
voor een willekeurige omwentelings-as de formules omslachtig worden. Men vindt voor een omwenlelings-as (p, q, r), als P de hoek is tusschen die as en de loodlijn np het gegeven vlak, Cos a, = Cosa Cos (p -f- 2 Sin* | <p Cosp Cos P
± Sin O y[2 Cos a Cos p Cos V —Cos1 a Sin1 p—Cos* P). 4. Voor een omwentelings-as evenwijdig aan de Z-as heeft
men dezelfde formules als hierboven. § 3. Een straal (p, q, r) wordt gebroken door een plat
vlak (a, b, c). Als gegeven is de. brekings-coëfficient n, vraagt men de richting van den gebroken straal te bepalen. De gebroken straal zij (pv qlf f,). Om pv ql en ri te be-
palen, merken wij vooreerst op, dat de invallende straal en de gebroken straal in een plat vlak liggen met de loodlijn in hun gemeenschappelijk punt opgericht op het brekende vlak. Er moet dus een vierde lijn (A., ft, v) zijn, die rechthoekig op die drie lijnen staat. Men meet dus waarden voor A, p en * kunnen vinden, zóo dat Cos A Cospt -f- Cos ft Cos gt -f- Cos v Cos ri=.0,
Cos A Cos a Cos te Cos b Cos v Cos c = 0, Cos*. Cosp -\\-Cos(tCosq -4-CosvCosr =0. En dat men zulke waarden kunne vinden, wordt uitgedrukt door de voorwaardes-vergelijking: Cospl Cosql Cos rt
Cos a Cosb Cos c =0. Cosp Cosq Cosr Als wij den hoek, dien de gegeven straal maakt met de loodlijn uit den oorsprong op het gegeven vlak neergelaten, A noemen, i», Cos 4. = Cos a Cos p - - Cos b Cos q -f- Cos c Cos r. De cosinus van den invalshoek is
1*
|
|||||
|
•
|
|||||
|
J. versluïs. Oplossingen
|
||||||||||
|
± {Cos a Cosp-\\- Cos b Cos q - - Cos c Cos r).
De cosinus van den brekingshoek is ± (Cos a Cos p{ -f- Cos h Cos qt Cos c Cos rt).
Daar n de brekings-coëQjcient is, hebben wij |
||||||||||
|
1 —(CosaCospt
of |
||||||||||
|
Cos b Cos g-j Cos c Cos rlf = — Sin? A,
|
||||||||||
|
Cos a Cos pt Cos b Cos qi Cos c Cos r, = i- j/(»2 — Sin\'1 A),
«
of, bij bekorting voor het tweede lid B stellende;
Cosa Cospl Cos b Cosq{ -f- Cos c Cosrt = B.
Wat het teeken van B betreft, merken wij op, dat, als de
loodlijn uit den oorsprong op het gegeven vlak neergelaten een
scherpen hoek maakt met de invallende straal, diezelfde loodlijn
een scherpen hoek znl maken met de gebroken straal. En als
de eerste hoek stomp is, zal ook de tweede stomp zijn. Daaruit
volgt, dat B hetzelfde teeken moet hebben als
Cos o Cos p Cos b Cos q -f- Cos e Cos r.
Daar pit qt en ri de hoeken zijn, die een zelfde lijn met drie
onderling rechthoekige lijnen maakt, heelt men
Cos1 pt h- Cos1 g, -h Cos* rt = 1,
üit deze vergelijking en uit
Cos a Cospi -)- Cos b Cos qt -i- Cos c Cos rA = B
en Cos pi Cosqi Cosrt
Cos a Cos b Cos c = 0
Cosp Cosq Cosr
moeten nu pit qt en r4 bepaald worden.
Daartoe tellen wij bij Cosa maal de eerste kolom der determi-
nante, Cos b maal de tweede kolom en Cosc maal de derde kolom
op; dan komt er:
B Cosqt Cosri
1 Cosb Cosc =0, of
Cos A Cos q Cos r
Cosqt (Cosc Cos A — Cos r) Cos rt (Cosq — Cos b Cos A)
B (Cos bCosr— Cos c Cos q) ss 0.
Telt men bij de tweede kolom, vermenigvuldigd met Cosb,
de eerste kolom, vermenigvuldigd met Cos a, en de derde
|
||||||||||
|
der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken, 5
|
||||||||||||||||||||||
|
lolom vermenigvuldigd met Cos e, dan komt er:
Cospl IJ Cos rt Cos a 1 Cos c =5 0, of Cos p Cos A Cos r
Cosp, (Cos r — Cos c Cos A) Cos rt (Cos a Cos A — Cosp) -f- B (Cos c Cosp — Cos a Cos r) ss 0.
Substitueert uien nu de waarden voor pi en ff» uit de twee voor- gaande vergelijkingen in Cos* pt Cos\' Oj -1- Cos\' r4 = 1, dau komt er: Cos* r» [(Cos a Cos A — Cosp)\' -f- (Co* ó Cos A — Cos q)*
(Cos o Cos ü —Cos r)*)
— 2 Cos /■, B [(Cos o Cos A — Cosp) (Cns a Cos r — Cosc Cosp)
(Cos bCos A — Cos q) x (Cos b Cos r — Cosc Cos 5)}
-f- B2 (Cos aCosr — Cos e Cosp)1
B2 (Cos bCosr— Cos c Cos q)*~ (Cos e Cos A — Cosr)* = 0.
Deze vergelijking wordt na herleiding:
Cos* ri Sin* A — 2 Cos r4 B ,&\'«\' A Cos o
|
||||||||||||||||||||||
|
(cos*
|
||||||||||||||||||||||
|
Sin2 A
of |
Cos2c -f- Cos^r — ICos c Cos r CosA\\ _
|
|||||||||||||||||||||
|
■)■
|
||||||||||||||||||||||
|
Cos* t\\ — 2 Cos ri BCosc- - Cos* c
Cos* c -f- Cos* r — 2 Cos c Cos r Cos A |
||||||||||||||||||||||
|
= 0.
|
||||||||||||||||||||||
|
Dus is Cos ri = B Cos e
±.-V\' UU* Cos*c—Cos*c)n* Cos*c Cos\'2r -2CoscC\'osrCos\\}
n ^ of, als wij voor b* schrijven ---------5-------,
|
||||||||||||||||||||||
|
6\'os r. = B Cos e -fc - (Cos r — Cos c Cos A).
Oui te zien, welk teekeu wij hier moeten nemen in de waarde
voor Cosri, merken wij op, dat voor n ss 1 gien breking plaats heeft, en dat dan rx moet overgaan in r. Daar zulks voor het bovenste leeken geschiedt, is voor den gebroken straal: Cosr,=B Cos c H— (Cos r — Cos c Cos A).
1 n Evenzoo Cosp, = liCosa -(Cosp — CosaCos A),
|
||||||||||||||||||||||
|
6 i. VEB3LUYS. Oplossingen
|
|||||
|
Cos qi — BCosb-^— (Cosq — Cosb CosA).
§ 4. Al» n de brekings-coëfficient van de lacht in (jlas is, dan
geven de voorgaande formules de richting aan van een straal, die van de lucht in het glas gaat. Als (p, q, r) een straal is, die van het glas in de lucht gaat, moet men in die formules n ver- vangen door —, waardoor men krijgt: Cos pt = B\' Cos a n (Cosp — Cos a Cos A), enz.
waarin Wz=±V\\—«* Sinz A, terwijl B\' hetzelfde teeken
heeft als Cos.k. § 5. Door een plat vlak (*, (3, y) wordt een lichtstraal (p, q, r)
teruggekaatst; de richtingshoeken pit g,, r, van den terugge- kaatsten straal te bepalen. Als de loodlijn, uit den oorsprong op het gegeven vlak neerge-
laten , een scherpen hoek maakt met den invallenden slraal, dan maakt zij een stompen hoek met den teruggekaatsten slraal; en omgekeerd. Eu daar die hoeken verder elkanders supplement zijn, heeft men: Cos px Cos a> Cos q{ Cos (3 -f- Cos rt Cos y
= — (Cosp Cos a Cos q Cos (3 -(- Cos r Cos y) = — Cos A. Daar de invallende straal en de teruggekaatste slraal in één plat vlak liggen met de loodlijn, in het invalspunt op het gegeven vlak opgericht, zoo heeft men, even als in het vorige problema, Cos Pi Cosqi Cos Ti Cos» Cos(3 Cosy = 0. Ook is Cosp Cosq Cosr Cos* pt Cos* qt Cos* r, = 1 en (zie hierboven) Cos pi Cos » Cos qt Cos (3 -f- Cos r4 Cos y = — Cos A. Uit deze drie vergelijkingen moeten pt, qt en rt bepaald wor- den, pi elimineert men uit de twee vergelijkingen van den eersten graad, door in de bovenstaande determinant bij de eerste kolom, vermenigvuldigd met Cos te, op te tellen de tweede kolom, maal Cos (3, en de derde kolom, maal Cosy, Men vindt dan |
|||||
|
der ah Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. 7
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
— Co» A Cos qi Cos rt
l Cos (3 Cos y = O, of
Cos A Cos q Cos r
Cos qt (Cos y Cos A — Cos /•) ■ ■ Cos t\\ (Cos q — Cos (3 Cos A) = Cos A (Cos (3 Cos r — Cos y Cos q).
Evenzoo verkrijgt men: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
= 0, of
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Cos Pi (Cos r — Cos y Cos A) 4- Cos r{ (Cos a Cos A — Cos p)
— Cos A (Cos y Cos p — Cos x Cos r).
Substitueert men de waarden voor Cospx en Cos qt uit de |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
twee laatste vergelijkingen in Cos1 pt Cos1 q{ 4- Cos2 r4 z= 1,
dan verkrijgt men: Cos1 rd {Cosp — Cosu. Cos A)* 4- (Cosq — Cos& Cos \\)*
4- (Cos r — Cos y Cos A)2 } — 2 Cos r{ Cos A X
X {{Cosp — Cos cc Cos X)(Cos «Cosr — Cos y Cosp)
4- (Cos q — Cosp Cos A) X(Cosfi Cosr — Cosy Cosq)}
4- Cos1 k(Cosy Cosp — Cos <t Cosr)1 4- Cos1 A X
X (Cosp Cosr — Cosy Cosq)1 — (Cosr — Cosy Cos A}1 = 0.
Na herleiding wordt deze vergelijking:
Cos1 /-j Sin* A 4- 2 Cos rt Cos y Cos A Sin1 A
4- Sin* A (2 Cos r Cos y Cos A — Cos\' r) = 0, of Ccs1rl 2Cosrt Cosy Cosi 4- 2CosrC\'osyCosA. — Cos*r = 0, of Cos1 ti — Cos* r-\\-2Cosy Cos A (Cosrt 4- Cosr) =. 0, of (Cos rt — Cos »• 4- 2 Cos y Cos A) (Cos rt 4- Cos r) = 0. Neemt men hierin Cos r, 4- Cos r=.Q, dan krijgt men rt z= — r.
Deze waarde komt overeen met de tegengestelde richting van den invallendcn straal. Deze oplossing, die men vooruit verwachten lan, mag weggelaten worden, waardoor men verkrijgt: Cos>i — Cosr 4- 2 Cosy Cos A = 0,
of Cos rj = Cos r — 2 Cos y Cos A. Evenzoo Cospt = Cosp — 2 Cos » Cos A,
Cos qt — Cosq — 2 Cos |3 Cos A. § 6. Nu willen wij de richting van een straal (p, q, r) bepalen, nadat die straal gebroken, teruggekaatst en nogmaals gebroken 8*
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
"8 J. versluys. Oplossingen
is door den spiegel, wiens voorclak (a, b, c) en wiens achter-
vlak (x, (3, y) is. Zij (pit Jj, r4) de straal, die eenmaal gebroken is;
0°2\' ?2> r-i) de stral,\'i die ecns gebroken en eens teruggekaatst isj
(.Psi ?3\' rs) de s,raa\'» d\'e ui\' den spiegel komt. Volgens § 3 hebben wij onmiddellijk: Cos Pi — B Cos « - (Cos p — Cos a Cos A),
Cos qx = B Cos 0 - (Cos q — Cos b Cos A),
Cos r. = B Cos c -j—(Cos r — Cos c Cos A).
1 n Hierin is
Cos A = Cos a Cosp • - Cos b Cos q -f- Cos c Cos r
i/nl — Sin* A
B — ±r -------i----->
nl
waarin B hetzelfde leeken heeft als CosA.
Volgens J 5 beeft men : Cosp.2 = Cos pi — 2 Cos x Cos Alt
waarin Cos A{ = Cos 01 Cosp{ Cos 0 Cos qx Cos y Cos rt = B (Cos a Cos x Cos b Cos 0 -f- Cos c Cos <y) -)— (Cos x Cosp Cos 0 Cos q -f- Cos y Cos r)
------Cos A (Cos a Cos x -f- Cos b Cos 0 - Cos c Cos y).
n \'
Als de nnrsprong der coördinaten niet tusschen voor- en achter-
vlak v;m den spiegel ligt, is Cos a Cos «-f- CosbCos 0 -t- Cos cCosy lic cosinus van den hoek, die voor- en achteivlak van den spiegel met elkander maken. Die hoek is zeer klein, en als wij dien hoek 2 noemen , is : 2*
CosS= 1— — - .... en daar S zeur klein is, kunnen wij voor Cos S 1 stellen.
Stellen wij bovendien Cos x Cosp -f- Cos 0 Cos gr-f- Cos y Cos r
= Cos C, en vervangen wij in de waarde voor Cos p2, de cosinus van pi door den vroeger gevonden vorm, dan komt er: |
||||
|
der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. 9
|
||||||||||||||
|
.. Cos p — Cos a Cos A
Cos p2 =-----■---------------------■ — B Cos a
n
2 Cos et
• ■ B {Cos a — Cos «) -l-----------{Cos A — Cos C).
«
Daar voor- en achlervlak van den spiegel een zeer kleinen
hoek met elkander maken, is ook de hoek, gevormd door de lood- lijnen, uit den oorsprong op die twee vlakken neergelaten, zeer klein. En hieruit volgt weder, dat Cos a — Cos ot en Cos A — Cos C zeer klein zijn. In de voorgaande waarde van Cos p% zijn dus de twee laatste termen zeer klein. Men verkrijgt de waarde voor Cos q2, als men in de waarde
voor Cos p.2 p vervangt door q, a door b en « door (3. Evenzoo voor Cos r2. Bij al het volgende zullen wij steeds het produkt van twee
zeer kleine grootheden verwaarloozen. Voor den straal, die uit den spiegel komt, heeft men volgens § 4
Cosp3 = Bt Cos o -f- n (Cosp.2 — Cos A2 Cos a), waarin Cos A2 = Cos a Cos p2 Cos b Cos q.2 -f- Cos c Cos r2 = _ B -4—(Cos A — Cos C).
Hierin is Cos A. — Cos C zeer klein, zoodat Cos A3 het tegen-
gestelde teeken heeft van B. Bl = ±]/(l—n*Sin*Aa)
=■ ± \\/{\\ -f- n2 Cos* A2 — «*). Stellen wij hierin Cos* A2 = ]-- B H—{Cos A — Cos C)|
4B
= B2--------{Cos A — Cos C) |
||||||||||||||
|
n
»2 — Sin* A
|
||||||||||||||
|
of, daar B2 =
|
||||||||||||||
|
n2—5m2A 48^^ „ _,
A2 =-------------------------{Cos A — Cos C),
n2 w
dan komt er :
»i = ± V {Cos* A — 4Bn(Co* A — Cos C)}
|
||||||||||||||
|
£1-
|
||||||||||||||
|
4Bn {Cos A — Cos
■«-«"Al/Il------ |
||||||||||||||
|
j, VEasLtiYs. Oplossingen
|
|||||||||||||
|
10
|
|||||||||||||
|
Daar Cos A— C\'osC zeer klein is, kan men schrijven:
|
|||||||||||||
|
2Brc (Co* A — CosC)}
Co7rA J |
|||||||||||||
|
B, = ±CosA il
|
|||||||||||||
|
1 — l Co* A (
De vorm tusschen accolades heeft hetzelfde (ceken als Cos A.
Maar B, moet hetzelfde teeken hehben als Cos Aj, en hierboven
hebben wij gezien, dat Cos At het tegengestelde teeken heeft van
B. Bj heeft dus het tegengestelde teekcn van B en dus ook van
Cos X, zoodat wij in de voorgaande waarde voor B( het onderste
teeken moeten nemen.
„ . , . 2B» (Co* A — CosC)
Dus is B. = — Cos A H--------■—-—.----------\'.
Cos A
Door substitutie der waarden voor Cosp%, Cos A2 en Bj in den
vorm, die hierboven voor Cosps gegeven is, vindt men : „ _ , 2B» C\'osa(Cos A — CosC)
Cos ». = — Cos a Cos A -1-------------------------------------
Cos A
■ ■ Cosp — Cos a Cos A — wB Cos» wB {Cos a — Cos cc)
2 Cos « (Co* A ^ Cos C) wB Cos a — 2 Cos a (Cos A — CosC)
. „ „ „ , 2BnCo*a(Co*A— CosC)
of Co*/>3 =r Co* p — 2 Co* a Co* A H------------------------------------\' C O\'S Ai
2nB {Cos a— Cos a) — 2 (Co* a — Co* cc) (Cos A — Co* C).
Daar twee factoren van het laatste product zeer klein zijn, kan
men het weglaten. Yerder kan men de twee voorgaande termen samenvatten tot: -----r(.Cos a Cos A — Cos a Cos C Cos a Cos A — Cos » Cosk).
Cos A
Voor Cos a Cos A — Cos a Cos C kan men schrijven :
Cos cc Cos A — Cos cc Cos C ,
daar het verschil van beide vormen een produkt
(Cos a — Cos et) (Cosk — Cos C)
is, waarvan beide factoren zeer klein zijn. Het voorgaande wordt
dan :
2B«
-—; (Cos « Cosk — (\'os* CosC Cosa Cos A — Cos* Cosk)
Cos k
|
|||||||||||||
|
der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. 11
op-
of ------■ (Cos a Cos A — Cos u. Cos C), Cos X
waarin de vorm tusschen haakjes zeer klein is.
Men heeft nu ten slotte: 2wB
Cospa = Cosp — 2Cos a Cos A -\\---------- (Cos a Cosk — CosxCosC).
Cos A
Evenzoo:
2nB
Cosqa ^=Cosq — 2Cos b Cos k — -r (Cos b Cosk — CosfiCosC), L/OS A.
2»B
Cos r„ = Cos r — 2 Cos c Cos k ——; (Cos c Cosk — CosyCosC).
Cos k
Opmerking. Voor den hoek tusschen den straal (p, q, r) en
dienzelfden straal, nadat hij uit den spiegel komt, vindt men:
Cos p Cosp3 Cos q Cos qs -4- Cos r Cos rs as 1 — 2 Cos* A
J^rCoslA— Cos* C).
Cosk^ \' § 7. Bepalen wij nu de richting van den straal (p, q, r),
nadat hij even als in de vorige § door den spiegel (o, b, c), (* • P , y) tweemaal gebroken en eenmaal teruggekaatst is, en vervolgens door den spiegel, wiens voorvlak (a{, bit Cj) en wiens achtervlak (en, (3,, yt) is, tweemaal gebroken en eenmaal terug- gekaatst wordt. Noemen wij den straal , die uit den tweeden spiegel komt,
(/>6i Ï6> \'e)» dan worden p6, q6, r6 uit pa, qs, ra bepaald, op dezelfde wijze, als pa, qa, rs uit p, q en r bepaald worden. Men heeft dus onmiddellijk: Cosp6 = Cos ps — 2 Cos «j Cos As
o»T5 • - -—f- (Cos «, Cos A3 — Cos a{ Cos C3), L/OS Aa
waarin:
Cos A3 = Cos ai Cos pa -f- Cos bf Cos qs ■ ■ Cos Cj Cos rs,
Cos C3 = Cos cei Cos pa -(- Cos fit Cos qa -f- Cos y, Cos ra, Tia=±-y^ — Sin*ka).
n B3 moet hetzelfde teekcn hebben als Cos kv
Stellen wij verder:
|
||||
|
12 J. vehsluys. Oplossingen
|
|||||||||||||
|
Cos a, Cos p 4- Cos b, Cos q ■ ■ Cos c, Cos r = Cos D,
Cosott Cosp - - Cos /3, Cosq -f- Cosy, Cos r = Cos E,
Cosax Cosxt - - Cosbt Cosfit -j- Cosc1 Cos<yt = Cos e,
Cos a Cos a, Cos b Cos b, -f- Cos c Cos c, = Cos F,
Cosa Cos «| Cos b Cos (3,-f- Cos c Cos y, = Cos G,
Cos» Cos at-{- Cos$ Cosbl-Jr Cosy Cosct = Cosïï,
Cos et Cos et t Cos 0 Cosp, Cos y Cosyt — Cos I.
D il dan de hoek, dien de gegeven straal maakt mei d« londlijn,
uit den oorsprong op liet voorvlak van den tweeden spiegel neér-
gelalen.
E is de hoek, dien de gegeven straal maakt met de loodlijn,
uit den oorsprong op het aehtervlak van den tweeden spiegel neer- gelaten. t is de zeer kleine hoek tueschen voor- en aclitcrvlak van den
tweeden spiegel, 20odat wij kunnen stellen Cosi=l, F is de hoek tusschen de loodlijnen, uit den oorsprong op de
voorvlakken der twee spiegels neergelaten. Evenzoo liebhen G, ü en I ecne meetkundige betcckenis, die
(niniddellijk in het oog valt. Daar voor-\' en aehtervlak van den tweeden spiegel een zeer
kleinen hoek vormen, verschillen ook ai en «,, bi en (3,, c, cu y, zeer weinig. Evenzoo ü en E, F en G, H en I. Men heeft verder: Cos A3 = C os D — Wosk CosF-{--------- (Cosk CosF — CosCCosll),
C\'osA.
CosCs =CosE — 2Cosk CosG -^- (CosA CosG — CosCCosl).
%J08BL
Deze waarden voor Cos A3, Cos C3 en de waarde voor Cos pg
gesubstitueerd in de waarde voor Cosp6, geven: Cos pG = Cos p — 2 Cos a Cos A — 2 Cos a, Cos D
2wB
4- 4 Cos a, Cos A Cos F - - -—- (Cos a Cos A — Cos et Cos C) 1 Cos A |
|||||||||||||
|
4nB
|
(Cos A Cos F — Cos C Cos B)
Cos A v ; |
||||||||||||
|
2nB3
|
|||||||||||||
|
(Cos a, Cos As — Cos cet Cos Ct).
|
|||||||||||||
|
Cos A3
|
|||||||||||||
|
der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. 13
|
|||||||||||||||||||||
|
De drie laatste termen van deze waarde voor Cosp6 zijn zeer
klein. Op dezelfde wijze heeft rneu: Cos q6 =■ Cos ? — 2 Cos hCos A — 2 Cos bi Cos D
4 Cos b. Cos A Cos F -\\---------- (Cos b Cos A — Cos |3 Cos C)
Cos A
|
|||||||||||||||||||||
|
4wB Cos bi
|
(Cos A CosF—CosC Cos H)
|
||||||||||||||||||||
|
Cos A
|
|||||||||||||||||||||
|
2wR
-—2 (Cos bt Cos A3 — Cos (3, Cos Cs), Co* Ag Cos6 r = Cos r — 2 Cos c Cos A — 2 Co* c, Cos D
4 Co* c. Cos A Co* F H-----^— (Co* c Cos A — Co* y Cos C)
Co* A
-
Cos A v 2nB,
Co* As
Voor de afwijking van den straal, nadat hij uit den tweeden
spiegel komt, vindt men :
Cos p Cos p6 -|- Cos q Cos g6 ■ ■ Cos r Cos r6
= 1—2Cos2A—2Cos2D 4CosACosDCosF— j^H. (Cos2A_Cos2C)
GosA
sD(Co*AO>SF-CojCCosH)
|
|||||||||||||||||||||
|
CosA
|
|||||||||||||||||||||
|
2«B
|
(Cos O Cos A3 — Cos E Cos C„).
|
||||||||||||||||||||
|
Cos A3
|
|||||||||||||||||||||
|
§ 8. Veronderstellen wij nu, dat de tweede spiegel niet zootls
hierboven geheel willekeurig geplaatst zij, maar dat zijn voorvlak eerst evenwijdig zij-aan dat van den eeisten spiegel, en dat men vervolgens het voorvlak van den tweeden spiegel een hoek Cp late draaien om de Z-as. Men heeft dan volgens § 2: Cos at =. Cos a Cos 0 — Cos b Sin Q, Cos bi ■= Cos a Sin 0 ■ ■ Cos b Cos Q, Cos ci = Cos c. Op dezelfde wijze heeft men, als het achtervlak van den tweeden spiegel vóór de omwenteling (*2, (33, ys) is, voor dat vlak na de omwenteling |
|||||||||||||||||||||
|
14
|
||||||||||||||
|
J. VEEsi.uys. Oplossingen
|
||||||||||||||
|
Cos es, = Cos «, Cos 0 — Cos f3, Sin 0,
Cos f3, = Cosxt Sin 0 - . Cos (3, Cos 0 , Cosyx = Cosyx , waarin «,, (3j, y, respectievelijk zeer weinig verschillen van o, 6, c en «, (3, y, terwijl <*,, (3,, y, respectievelijk zeer weinig verschillen van a,, o,, c,. Substitueert men de voorgaande waarden voor a,, bït c,, *,,
(3,, y, in de formules der vorige §, dan blijven daarbij Co* A, Co*C en Cos t onveranderd. Cos D wordt Cos a Cos p Cos 0 — Cos b Cos p Sin 0 -f- Cos o Cos q Sin 0 Cos b Cos q Cos Q -\\- Cos c Cos r.
Cos E wordt Cos xt Cos p Cos 0 — Cos (3, Cos p Sin <p 4- Cos «, Cos q Sin 0 Cos ji2 Cos q Cos 0 Cos y, Cos r.
Co*F wordt (Cos*a Cos*b)Cos0 Cos\'*c=Cos0-i-Cos\'iic(l—CosV). Cos G wordt Cos a Cos «2 Cos 0 — Cos a Cos (3j Sin 0 Cos b Cos «, Sin 0 -f- Cos b Cos f3j Cos 0 Cos c Cos yt.
Cos H wordt Cos a Cos oc Cos 0 — Cos b Cos tt Sin 0 Cos a Cos (3 Sin 0 Cos b Cos (3 Cos 0 -f- Cos c Cos y.
Cos I wordt Cos cc Cos c*t Cos 0 -— Cos a Cos (3, Sin 0 Cos at Cos |3 Sin 0 - - Cos (3 Cos (3 s Cos 0 Cos y Cos yt. Door substitutie der bovenstaande waarden voor o, bv c,, ait (31( yv in de formules der voorgaande §, vindt men voor den straal, die door de twee spiegels gebroken en terruggekaalst is, Cos P = Cos p — 2 Cos a Cos A — 2 (Cos aCos0— Cos b Sin 0)(Cos Ti —2 Cos k Cos F) 2nB
H--------- (Cos a Cos A — Cos et Cos C) Cos A
4nB (Cos a Cos 0 — Cos b Sin 0). , „ _ _ _ _ „.
---------— (Cos A Co* F — Cos C Cos H) |
||||||||||||||
|
Co*A
|
||||||||||||||
|
{(Co* a Cos 0 — Cos b Sin 0) Cos As
|
||||||||||||||
|
Cos A3
— (Cos «2 Cos 0 — Cos /32 Sin 0) Cos C3} ,
Cos Q = Co* q — 2 Co* £ Co* A • 2 (Co* o 5i» <P Cos b Cos 0)(CosT) — 2 Cos A Cos F) 2nR
-------- (Cos bCosk — Cos J3 Cos C)
Cos A
|
||||||||||||||
|
der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. 15
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
4nB (Cos o Sin 04-Cosb Cos <P)
|
\'(Cosh. CosF— Co*CCo*H)
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Cosk
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2nB
|
{(Cos a Sin <p Cos h Cos 0) Cos A3
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Cos A3
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
— (Cos «2 Sin 0 Cos (32 Cos 0) Cos C8} .
CosR = Cosr—2 Cos cCosk — 2 Cosc(Cos I) — 2 Co* A Co*F)
2nB
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Cosk
4mB Co* c |
* c Cos A — Co* y Cos C)
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
(Co* A Co* F — Co* C Co* H)
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Cosk
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2«B
|
(Cos c2 Co* A3 — Co* y2 Co* C3),
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Cos ka
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
waarin Cos D, Co* E, Co*G, Co* H, Cosl de hierboven aange-
geven vormen voorstellen; terwijl Cos k3 en B3 dezelfde vormen voorstellen als in § 7. Daar in de drie voorgaande formules uitgedrukt wordt, hoe
de richting van een straal, die den tweeden spiegel verlaat, be- paald wordt uit de richting van den gegeven straal en den stand der beide spiegels; zoo maken de drie voorgaande formules de algemeene oplossing van de voorgestelde vraag uit. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
§ 9. Gaan wij nu over tot het bijzondere geval, dat de spie-
gelvlakken bijna evenwijdig zijn met de lijn, waarom gewenteld wordt, dus bijna evenwijdig met de Z-as; en dat de gegeven straal die lijn, dus de Z-as, bijna rechthoekig kruist. Kiezen wij verder de Y-as evenwijdig aan het vlak (a, b, c), dan staat de X-as bijna rechthoekig op dat vlak. Nu zijn de hoeken P» 02, c, y, y2 en r bijna recht;
dus Cos (3, Cosfiz, Cosc, Cos y, Cosy^ en Cosr zeer klein. Daar b = 90° is, is Cos 6=0. Daar a, a en «2 zeer klein
zijn, kan men stellen: Cos a = Cos * = Cos «2 = 1.
Wij kunnen verder, omdat Cos r zeer klein is, in plaats van: Cos * p Cot* q • ■ Cos* r=\\ schrijven , Cos1 p -f- Cos1 q=l , of m. a. w., wij kunnen q als hc» complement van p beschouwen. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
16 i. veksi.uys. Oplossingen
Volgens al hut voorgaande wordt nu, als wij telkens het produlit van-
twee zeer kleine getallen weglaten, en q vervangen door 90° —p, Cos A = Cos p, Cos C =: Cos p • Cos (3 Cos q = Cos p -j- Cos (3 Sin p ,
Cos Y) = Cosp Cos 0 Cos q Sin <p = Cos (p — 0), Cos E = Cos (p — 0) — Cot /32 (Cos p Sin 0 — Cos q Cos 0) = Cos (p — <p) Cos /32 Sin (p — 0),
CosY z=zCos0, Cos G r= Cos 0 — Cos ft.} Sin 0,
Cos H =r Cos 0 Cos (3 Sin 0, Cos l = Cos0 -{-{Cos|3 — Cos 0.2) Sin0, ^ 2\\/n* — Sin* p _ _ _.
Cos»3 = — t/os ij------------------------- Cos p Sinp ,
Cosp
|
||||||||
|
Cosq3 r= &» p — 2yn* — 5m* pCosfl,
Cosr3 = Cosr — 2 CoscCosp-f-2(/n2 — Sin* p(Cosc — Cosy),
Cos Oj z= Cos <p, Cos Aj = Sin 0, Cos c, = Cos c, Cos<xl = Cos 0 — Cos (32 Sin 0, Cos (34 = Sin 0 - - Cos |3S Cos 0, Cos y, r= Cosy%, CosA3 = - Cos(p -f- d>) —
Cosp
Cos C3 = - Cos (p 0) -
Cosp
Cos /32 Sin (p -f- 0).
Deze waarden moeten wij subslitueeren in de formules van § 8.
Daar B3 moet vermenigvuldigd worden met een vorm, die zeer
klein is, kunnen wij van 1!., een zeer klein gedeelte weglaten en
|
||||||||
|
dus voor B3 = - i/n* — 1 Cos1 A3 schrijven:
------Vn* — l Cos* (p 0) =------Vn* — Sin* (p 0)\'
n n
Door die substitutie gaan de formnlen van § 8 over in:
Cos V = Cos (p - - 20) 2—
Cosp
2yn* — Sin*lp-h0)
|
||||||||
|
der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. ] 7
|
|||||||
|
\'ii/n1 — Sin* p
Cos Q = Sin (p • 20)------ Cos R = Cosr — 2 Cos c[Cosp — Cos (p 4>)\\
2l/n2 — Sin*p (Cos c — Cos y)
— 2t/n2 — Sin- (p -f- <p) (Cosc— Cos y2).
Co« p Cos P - - C<w 5 Cos Q -f- Cos r Cos R = Cos 20
■ - —--------------"; Sm 2<J> Cos (3
Cosp
2|/n* — Sin* (p ■ - <())
— -------rr—-------jr-------Sm. 2<p Cos p.-,.
Cos(P (p)
|
|||||||
|
In deze vormen heeft l/i? —Sin*p hetzelfde teeken als Cosp,
l/n*—Sin-(p Q) » n » Cos(p-\\-Q>).
De hovenslaande waarde voer Cos R beslaat uit lermen, die alle
zeer klein zijn. Van de waarde voor Cos P zijn alle termen , behalve de eerste, zeer klein; evenzoo de waarde voor CosQ. § 10. Voegen wij bij de onderstellingen van de vorige para-
graaf nog de onderstelling, dat in eiken spiegel de lijn van door- snede van het verlengde voor- en achtervlak bijna eveuwijdig is met de lijn, waarom gewenteld wordt, dos met de Z-as, dan kan men stellen: c =zy — y2. Cos P en CosQ veranderen daardoor niet, maar voor Cos R
krijgt men veel eenvoudiger: CosR = Cosr — 2Cosc{Cosp — Cos(p (pj}.
In het voorgaande is (3 de hoek tussclien de J^-as en de loodlijn
uit den oorsprong op het achtervlak van den eersten spiegel neer- gelalen. Maar van dien hoek kan men zeggen, dat hij 1)0° ver- schilt van den hoek, door dezelfde loodlijn met de X-a» gevormd. En van den laalsten hoek kan men aannemen , dat hij gelijk is aan den hoek , dien voor- en achtervlak van den eersten spiegel met elkander vormen. En als die hoek Sis, kan men dus schrijven: Cos (3 =±SinS = ±$. Evenzoo heeft men : Cos (34 = ± Sin t = ± t.
|
|||||||
|
J. versluys. Oplossingen
|
|||||||||||
|
18
|
|||||||||||
|
Eu als men aanneemt, dat de twee spiegels gesneden zijn uit
dezelfde glasplaat, heeft men S = e. Door de laatste onderstel- lingen worden intusschen de formules voor Co*P, Cos Q en Cos R niet eenvoudiger. Wij hebben dus als oplossing van het bij- zondere geval: 2\\z,n1__Sin* o
Cos P = Cos (p 2<p) ■ ■ ——=-----------£ Sin {p -f- 2<p) Co* (3
Cos p
2{/n% —Sin1 (p-i-Q) „. , „., „ .
------L—^---------- Cos(p <p) ^T w HJ\'
|
|||||||||||
|
21/n* — Sin2 p
Cos Q = Sin (p 2<p)-------—-z.------------ Cos (p 24) Cos £ |
|||||||||||
|
Cos Kz=Cosr — 2 Cosc [Cosp — Cos (p <p)} ,
waarin Cos|3 kan vervangen worden door S en Cos(5.2 door ±i. J 11. W\'il men CosP zoo weinig mogelijk doen verschillen
van Cos(p 2<p) en Cos Q zoo weinig mogelijk van Sin (p - • 2(p), dan moet men bewerken, dat de twee zeer kleine termen van Cos P elkander gedeeltelijk opheffen. En tlat zal gebeuren, als Cos (3en Cos$% hetzelfde teeken hebben; tegelijk zullen dan de twee zeer kleine termen van de waarde voor CosQ elkander gedeeltelijk opheffen. Om verder na te gaan, hoe men de spiegels moet plaatsen,
opdat Cos (3 en Cos (3^ hetzelfde tceken krijgen, zij (zie figuur 2) het vlak der teekening het XY-vlak. Verder worde het voorvlak van den eersten spiegel door het XY-vlak gesneden volgens XA, het achtervlak volgens BC; het voorvlak van den tweeden spiegel in den evenwijdigen stand volgens DE, het achtervlak van den tweeden spiegel volgens FG. Hl zij de projectie van de gegeven straal op het XY-vlak; dan is, als OK evenwijdig met de straal loopt, /_XOK.=p, en men kan dezen hoek beschouwen als den invalshoek van den gegeven straal op den eersten spiegel. Als OB rechthoekig op BC staat, kan men YOB als (3 beschou-
wen. In plaats van Cos (3 kan men dan nemen Sin BOX of Sin S, of S, d us j Cos j3 =s i. Hierin is nu Co* (3 positief; terwijl de doorsnede van voor- en
|
|||||||||||
|
der ah Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. 19
|
|||||||||||||||
|
achtervlak van den eersten spiegel aan den positieven kant der Y-as
ligt. Opdat Cos (32 eveneens positief zij, moei de loodlijn uit 0 op FG neergelaten, binnen den hoek XOÏ vallen, en daartoe is noo- dig, dat FG de lijn DE snijdt aan den negatieven kant der Y-as of, m. a. w., dat de doorsnede van het verlengde voor- en achtervlak van den tweeden spiegel aan den negatieven kant der Y-as valle. Indien de doorsnede van voor- en achtervlak van den eersten spiegel aan den negatieven kant der Y-as lag, zou die lijn bij den tweeden spiegel aan den positieven kant moeten liggen. Wij kunnen dus zeggen: opdat Cos (3 en Cos (32 hetzelfde teeken hebben, moe- ten wij de twee spiegels sóo plaatsen, dat de snijlijnen der tér- lengde vlakken aan verschillenden kant liggen. Wij hebben dan: Cos P = Cos (p 2<f) ± 2 Sin (p -f- 2$) x {J/w* — Sin1 p X/n1 — Sin1 {p -f- <?>) 1
Cösp\' Cos{p <p) ê( \'
Cos Q = Sin (p -f- 2<p) q= 2 Cos (p 20) X
{Vn1 — Sin* p \\/nx — Sin1 (p 0) |
Co~s~p~ Cos (p 0) 8 ( \'
Cos R = Cos r — 2 Cos c {Cos p — Cos (p 0)} ,
Cos pCosV-i- Cos q CosQ Cos r Cos R = Cos 20 |
|||||||||||||||
|
.„. „ . f yn1 — SaT* p „ i/n1 — Sin
|
|||||||||||||||
|
±2Sin20 \\------
|
Cos p Cos (p ■
|
||||||||||||||
|
waarbij van de dubbele teekcns telkens het bovenste geldt voor
figuur 2. |
|||||||||||||||
|
VRAAGSTUK II.
|
|||||
|
INDIEN IN DEN TWEE-VLAKKIGEN HOEK, DOOB DE ZOO
EVEN GENOEMDE SPIEGELS GEVORMD, EEN DERDE GLAS, MAAR ONVERFOELIED, GEPLAATST WORDT, HETWELK DE LICHTSTRALEN VOOREEN GEDEELTE DOORLAAT EN VOOR EEN GEDEELTE TERUGKAATST, VRAAGT MEN, HOEDANIG DE STELLING VAN DIT LAATSTE GLAS TEN OPZICHTE VAN DE BEIDE SPIEGELS ZIJN MOET, OPDAT HET GEDEELTE DER STRALEN, DAT DOOB HET GLAS GAAT, TWEEMALEN DOOR DE SPIEGELS TERUGGEKAATST WORDT EN NOGMAALS DOOR HET GLAS GAAT, EVENWIJDIG WORDE AAN HET ANDERE GEDEELTE, DAT ZONDER DOOB HET GLAS TE GAAN, TERSTOND DOOR HETZELVE TERUGGEKAATST WORDT. HIERBIJ WORDT AANGENOMEN, DAT OOK DIT GLAS DOOR GEEN VOLKOMEN EVENWIJDIGE VLAKKEN BEGRENSD IS. TOT TOEPASSING ONUERSTELLE MEN , DAT DE BEIDE SPIE-
GELS EN HET GLAS HET AFGEKNOTTE DEEL EENER PYRAMIDE VAN ZEEB KLEINEN TOVUOEK VORMEN, ZOODAT DE DRIE GLAZEN ZEER NABIJ EEN PRISMA VERWEZEN- LIJKEN , BEKEND ONDER DEN NAAM VAN DIPLE1D0SC00P. ALSNU WORDT GEVRAAGD NAAR DE RICHTING DER IN- VALLENDE STRALEN, WAARBIJ DE UITTREDENDE, ZOO- WEL DIE WELKE ÉÉNMAAL DOOR HET GLAS, ALS DIE WECKE TWEEMALEN DOOR DE SPIEGELS TERUGGEKAATST WORDEN, WEDER VOLKOMEN, OF ZOO NABIJ MOGELIJK, EVENWIJDIG ZIJN. § 1. Nemen wij, even als bij lief eerste Vraagstuk, een recht-
hoekig coördinatenstelsel aan, rn bepalen wij, even als in dat Vraagstuk , de richting van cene lijn en den stand van een plat vlak door drie hoeken (richt!ngshoeken). In liet volgende zullen wij gebruik maken van de formules, die
bij de oplossing van het eerste Vraagstuk gevonden zijn. |
|||||
|
j. vEusi.infs. Oplossingen enz. 21
|
|||||
|
C 2. Bepalen wij in de eerste plaats de richting van een
straal (p, q, r), nadat deze gebroken is door het voorvlak (a, b, c) en door het aclitervlak (u, (3, y) van een glasplaat, terwijl wij onderstellen, dat die heide vlakken hijna evenwijdig zijn. Als (p, q, r) gebroken wordt door het vlak (a, b, c), is volgens
§ 3 der oplossing van het vorige Vraagstuk : Cos p. ss B Cos a - (<7o* p — Cos a Cos A),
n Cos o, = B Co* 6 -j-- (Cos q — CosbCos k),
n Cos r{ = B Co» c - - - (Cos »• — Co* c Co* A),
waarin Cos A = Co* a Cosp Cos b Cosq -f- Cosc Cos r, B =- ^(n*_5m* A),
il
terwijl B hetzelfde teeken heeft als Cos A.
Als vervolgens (pi, qlt r4) gebroken wordt door het vlak
(A 0, y)> heeft men volgens § 4 der vorige oplossing: Cosp.2 = B4 Cos « -f-n (Cospi — Cos et Cos A4), Cos o/2 = Bj Cos (3 n (Cos qt — Cos (3 Cos At), Cos r2 = Bj Cos y -f- «(Co* r4 — Cos y Cos Aj), waarin Cos A, = Cos « Cos pt ■ ■ Cos (3 Cos q{ ■ - Cos <y Cos rt. Daar de beide vlakken der glasplaat bijna evenwijdig zijn, kan
men stellen : Cos a Cos x Cos b Cos (5 Cos c Cos y = 1.
Stellen wij verder: Cos et Cosp Cos |3 Cos q Cos y Cos r = Cos C,
dan verschilt Cos C zeer weinig van Cos A. Nu krijgt men Cos k. = B -f- - (Cos C — Cos A).
n In de voorgaande formules is B, = j/(l «2 Cos* Aj — n3),
terwijl B, hetzelfde teeken hrcft als Co* A,, of als 13, of als Cos X. Nu is, daar (Cos C—Cos A) zeer klein is, »* Co»* Aj = «*B* 2Bn (Cos C — Cos A),
of n* Co*1 A, = »\' — 1 Co*\' A 4- 2B» (Cos C — Cos A). Tel bij l—w2 = — »* 4- 1 <_______________________
B, =: y {Co** A 2Bn(Co* C — Cos A)} ,
3
|
|||||
|
i. vx&SLurs. Oplossingen
|
|||||||
|
u
|
|||||||
|
Bn
of B,=:Co*A-r--—-(Co*C —Co* A).
Cos 4
Door substitutie der waarden voor Cospt, Oosqt, Cotrt,
Coskt en B4 io de formules voor Co$p3, Cosg2, Cosrit
krijgt men:
Cos p2 ss Co* p
wB — Co*A, „
H-------——-— [CosCCosx—CoskCosx CoskCosa—CoskCoss), Is OS A
Cos qa ss Co* g
nB — Ce*A
■—;-----;—(CosCCosfi —CoskCosp CoskCosb—CoskCosP),
Cos A
Cos r2 ss Cos r
nB —Cosk,
H-----~—;— (CosCCosy— CoskCosy CoskCosc—CoskCosy).
Cos \\
Merken wij nog op, dat men voor liet verschil van
Cos A Cos a — Cos A Cos cc en Cos C Cos a — Cos C Cos x kau sehrijven het product (Cos A — Cos C) {Cos a — Cos u), waarvan de twee factoren zeer klein zijn, dan blijkt, dat men in de lormule voor Cospa Cosk Cos o—Cos k Cos * kan vervangen door Cos C Cos a — Cos C Cos cc. Men krijgt daardoor:
Cos p2 ss Cos p -1--------;—------(Cos a Cos C — Cos cc Cos A).
C 03 A
Evenzoo:
Cos g2 = Cos q 4--------—-— {Cos b Cos C — Cos /3 Cos A)
Go* A.
in Cos j2 = Cos r H---------—r— (Co* c Co* C — Cos y Co* A).
Cf OS A
§ 3. Nemen wij na tot s-ns aan een lijn, die evenwijdig
loopt aan de doorsnede der voorvlakkcn van de twee spiegels en tol JiZ-vlak een vlak, dat evenwijdig loopt met het vlak, dat den hoek tusschcn de voorvlakkcn der twee spiegels middendoor deelt. Noemen wij dien hoek 20, dan is (zie Plaat VII, figuur 3) het voorvlak van den eersten spiegel (900 — 4), <p, 90°)
en het voorvlak van den tweeden spiegel (900--$, 180° — 4), 00°).
|
|||||||
|
der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. 23
|
|||||||||||||||
|
Daar vóór- eu aehtervlak van den eersten spiegel een zeer
kleinen hoek met elkaar maken, kan men voor de cosinussen der richtingshoeken van het aehtervlak van den eersten spiegel nemen, Sin (<p J), Cos (<p St), t,
waarin 2, S{ en j zeer klein zijn. Verder moet men hebben Sin2 (<p 2) -f- Cosa- (<p 2J t2 — i
of, met weglating der tweedemachten van zeer kleine getallen, en Sin 2 vervangende door 2 en Sin 2t door 2t : (SinQ 2 Cos <pf (Cos <J> — 2{ Sin Qf ss 1
of Sin* <P Cos* <p 22 Sin<pCos(p~22l Sin(p CosQ=l 2(2 — SJSin 4>Costp = 0 2 — 2t. Men kan dus voor de richtingscosinussen van het aehtervlak van den eersten spiegel stellen: Sin (0 2), Cos (<p 2), i.
Evenzoo kan men voor de richtingscosinassen van het aehtervlak van den tweeden spiegel stellen: Sin (<p — Sj), — Cos («p — 2J, tv
§ 4. De richting ie bepalen van den straal (p2, q3, r2), zie § 2, nadat die straal door den eersten spiegel gebroken, terug- gekaatst en nogmaals gebroken is. Volgens § 6 der oplossing van het eerste vraagstak vindt men
voor den straal (p2, g2, r2), nadat deze gebroken, teruggekaatst en nogmaals gebroken is door den spiegel, wiens voorvlak (a, b, e) en wiens aehtervlak («, (3, y) is, 2ttH
|
|||||||||||||||
|
Cospa=zCosp2—2CosaCosk3
|
Cosk
2»B, |
(CosaCosA3—CosxCosC^),
|
|||||||||||||
|
2
|
|||||||||||||||
|
Cosqa=Cosqs—2CosbCosks
|
|||||||||||||||
|
Cosra=.Cosr^— 2Co*cCo*A2-f-
waarin:
Cos A2 = Co* o Co* p2 - • Co* o Co* ga -f- Co* c Cos ra,
Cos C2 ss Cos x Cos p2 -f- Cos $ Cos qt ■ ■ Cos y Cos rt, 1
B3 = -K»2— 5««9A2).
|
|||||||||||||||
|
1. veksi.utö. Oplossingen
|
|||||||
|
24
|
|||||||
|
Vervangen wij nu in de voorgaande waarden voor
pa, og en r3, Cos a door Sin 0, Cos b door Cos 0, Cos c door 0, Cos a door Sin (0 -f- i), Cos (3 door Cos (0 i), Cos y door e, dan krijgt men :
Cos A2 ss Sin 0 Cos p2 Cos 0 Cos o-.,,
Cos Cs =s -Sm (0 -i- i) Cosp2 Cos (0 4- S) Cos g.2 t Cos rt,
B2 = - j/{«2 — 1 (S/w 0 Cos Pi Cos 0 Cos q.2)*} ,
Cos ps =s Co* 2$ Co* p.2 — Sin 20 Cos o2 — -t,—jp ($ 5ü« 2$ Co* p2 S Co* 2$ Co* 9, e Sm $ Co* ra),
Co* g3 = — Sin 20 C os p.2 — Cos 20 Cos oa
2nB,
— -—f- ( 3 Cos 20 Cosp.2 — $ Sin 20 Cos 9a i Cos 0 Cos rJ),
Cos r3 = Cos ra — 2«B4 X e.
In deze waarden moet men p.2, q.2, r2 vervangen door hunne waarden, die gevonden zijn aan het eind van § 2. Daarbij merken wij op, dat in de drie voorgaande formules, in de
vormen tusschcn haakjes, bij eiken term de zeer kleine faclor 5 of I staat. Daar verder Cosp,, Cos q% en Cos r2 respectievelijk zeer weinig verschillen van Cosp, Cos q en Cosr, zoo mogcu wij in die vormen Cos p2, Cos q_2 en Cosr2 respectievelijk vervangen door Cosp, Cos q en Cosr. Evenzoo mogen wij in B2 en A„ dezelfde vereenvoudiging aanbrengen. Hen krijgt daardoor : Cos ps = Cos 20 Cos p2 — Sin 20 Cos q%
2|/{n1— 1 (Sind> Cosp Cos 0 Coso)»} -----------------SiH0CosP Cos0Cosq-----------"(S *" 2<P Co$ P
3 Cos 20 Cos q ■ ■ t Sin 0 Cos r),
Cos qa = — Sin 20 Cos pa — Cos 20 Cos q.2 2y { n\' — 1 -f- (Sin 0 Cos p Cos0 Cos o)\' } Sin (p Cos p Cos tp Cos o ( SCos 20 Cosp — S Sin 20 Cosq t Cos 0 Cos r), Cosr3 ss Cos r2 — 2fj/[ti *— 1 -f- (Sin 0Cosp Cos0 Cos q)*\\ . Deze iormules worden, al« men voor Cospt, Cosqa en Cosr% hunne waarden ui! § 2 stelt, |
|||||||
|
der alt Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. 25
|
|||||||
|
Cos ps =. Cos 2<p Cos p — Sin 2<p Cos g
Ces A — (Cos * Cos 2? — Cos (3 Sm 2?) Cos A)
2i/{ n1 — 1 - ■ (Sin 0 Cos p-i-CosQ Cos o)8 } Sin Cp Cos p 6\'os <J) Cos q
(S Sin 2<p Cosp S Cos 2<p Cosq t Sin 0 Cos r), Cos q3 = — jS/» 2$ Cos p — Cos 2<p Cos 3
{(Cos a Sm 2<p ■ - Cos 4 Cos 2<p) Cos C
|
|||||||
|
CosA
— {Cos x Sin 2<p Cos (3 Cos 2?) Cos A}
2y{n* — \\->- (Sin (p Cos p -f- Cos $ Cos q)* }
Sin cp Cos p ■ ■ Cos £p Cos 3
(4-S Cos 2.p Cos p — S Sin 2(p Cos q % Cos <p Cos r),
«B — Cos A .
Cos r. = Cos r h---------—-------(Cos c Cos C — Cos y Cos A)
Cos A
— 2«|/{n\' — 1 4- (Sin q> Cos p • - Cos (p Cos oj1} ,
waarin Cos A = Cos a Cos p Cos b Cos q Cos c Cos r,
Cos C = Cos» Cosp -f- Cos (3 Cos q ■ ■ CosyCos r,
B = -l/ln* — Sin1 A).
« ^ 5. Als een lichtstraal (p, q, r) teruggekaatst wordt door het
platte vlak (a,b,c), is nu die terugkautsiog: Cos P = Cosp — 2 Cos o Cos A,
Cos Q = Cosq — 2Cosb Cos A, Cos R= Cos r—2 Cos c Cos A. Om aan de voorgestelde vraag te voldoen, moeten wij uitdruk-
ken, dat de straal (p:], q.it rs), nadat hij door den tweeden spiegel gebroken, teruggekaatst en nogmaals gebroken is en vervolgens door de glasplaat gegaan is, evenwijdig zij met (P,Q, R). Wij vervallen dan echter in zeer ingewikkelde formules. Om deze te vermijden, merken wij op, dat een straal van tegengestelde rich- ting als (P,Q,r>), nadat hij door de glasplaat gegaan is en door den tweeden spiegel gebroken, teruggekaatst en nogmaals gebroken is, in tegengestelde richting moet loopen als (ps, qs, r3). Voor den straal fjflt Qt, Rj), die van tegengestelde richtiug alt
|
|||||||
|
j. versmjys. Oplossingen
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
26
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(P, Q, R) is, heeft men:
Cos P4 = — Cos P = — Cos p -f- 2 6\'os a Co* A ,
Cos Q, = — Cos Q = — Cos q 2 Cos b Cos A , Cos Rj = — Cos R = — Cos r -\\-2 Cos c Cos A. Noemen wij den straal (Pj,Q(,Pi), nadat bij door de glasplaat gegaan is en uit den tweeden spiegel komt, (P3, Q3, R3); en stel- len wij ons voor P3, Qa en Bs te bepalen. Wij zouden daartoe de rcdeneeringen van § 4 kunnen herhalen,
maar wij bereikcu korter ons doel, door P3, Qs en R3 af te leiden uit pai qa en rs op de volgende wijze : Men heeft
CosaCosVi Cosb CosQi CoscCosl\\l=—Cos\\. 2CosA.=CosS. CosxCosVl Cos^CosQl CosyCosRl=—CosC 2 Cosk. Merken wij bovendien op, dat men de richtingscosinussen van
den tweeden spiegel verkrijgt, door in de richtingscosinussen van den eersten spiegel 0 te vervangen door 180° — 0, S doorS1( e door St. Uit het voorgaande blijkt dus, dat men Cos P8, CosQscnCosRs
respectievelijk uit Cosps, Cos q3 en Cos r3 verkrijgt, door: Cos p Ie vervangen door —Cos p 2 Cos a Cos A, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Cos q
Cosr 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Cos C
i |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
* » ï4,
terwijl Cos A, B en de andere grootheden onveranderd blijven.
Men verkrijgt: Cos P3 = — Cos 20 Cos p — Sin 20 Cos q
4-2 Co* A {Cos a Cos 2<D Cos b Sin 2$) 4- COS A
{(Cosa Cos 20 CosbSin20)CosA — (Cosu.Cos20 Cosfi Sin20)CosC)
2i/{n*-l (-Sin0 Cosp Cos0 Cosq 2CosaSin0Cosk-2CosbCos0CostL)*} —Sin0Cosp Cos0Cosq 2 Cosa Sin0 Cosk —2CosbCos0 Cos i X { J, Sin 2P Cos p — S, Cos 20 Cos q — t, Sin 0 Cosr 2 Cos A X
(— St Cos o Sin 20 S, Cos b Cos 20 s, Sin 0 Cos c)}, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. 21
Cos Q3 = — Sin 20 Cosp Cos 20 Cosq 4-2 Cos A X
X{Cosa Sin 20 — Cos b Cos 20) • {(— Cos a Sin 20 -f- Cos b Cos 20) Cns A
|
|||||||||||
|
CosX
— (— Cos * Sin 20 Cos 0 Cos 2$) Cos C}
2^{na-l (-5ni4>C\'osp C\'o50C,osg 2C,osa5tn4>C\'oa\\-2C\'oi6Co^C\'ojA)a)^ — 5/» 0 Cosp -h Cos <& Cos q 2 Cos a Sin 0 Cos A — 2 6\'oa 6 6\'os <f> Co* A X {— 3, Co* 2$ Co*/> — 24 Sin 2$ Co* q -f- e, Co* 0 Co* r
-f- 2 Co* A ( 3, Cos a Cos 20 S, Co* o /Sin 2$ — tt Cos 0 Cos c)}, CosR3ss— Co*r 2Co*cCo*A.
Cos k l
— 2e, j/f n2 — 1 -f- (— 5ïn 0Cosp Cos 0 Cos q
-h2Cosa Sin 0 Cos A — 2 Cos b Cos 0 Cos A)2}. § 6. Daar nu de stralen (p3, qa, r3) en (Ps, Q3, R8) in tegen-
gestelde richliny moeten loopen , heeft men : Cosps Cos P3 = 0, Cosq3 Cos Q3 = 0en Cosrs- • Cos R8 = 0. De laatste vergelijking levert ons op: 0 = 2Cosc Cos A. 2(nB — CosA)(Cosc — Cosy)
|
|||||||||||
|
— 2«j/ {n2 — 1 4- (Sm <J> Co.«p ■ Cos 0 Cos qf}
|
|||||||||||
|
— 2e,|/(n2 — 1 (— Sin 0Cosp Cos 0 Cos q
ICosa Sin 0 Cosk — 2 Cos b Cos 0 Cos A)2}. In deze vergelijking weet men van alle termen behalve 2 Cosc Cos A,
dat zij zeer klein zijn. Daaruit volgt, dat ook Cosc Cos k zeer klein is; en dat dus óf Cosc of Cos A zeer klein is. Maar als Cos k = Cosa Cosp -f- Cos b Cosq-\\- Cos c Cos r zeer
klein was , zou de straal (p, q, r) bijna evenwijdig loopen met de glasplaat, en dit is het geval niet. Wij hebben dus: Cos c zeer klein en dus ook Cos y zeer klein. Hieruit volgt weer, dat men in plaats van Cos b kan stellen
Sina, en Sin te. in plaats vau Cos j3. Ook heeft men Cos c — Cos y = 2 Sin C-~- Sin
Daar c en y weinig van elkaar en van 90° verschillen, zoo is
—-— zeer klein, terwijl —-— zeer weinig van 90° verschilt.
a 2
|
|||||||||||
|
28 1, veesluts. Oplossingen
|
|||||||
|
y —— c y ~— c
Men kan dn» «tellen: Sin--------sss--------
2 2
SinV-±l=\\.
Men heeft dus Cos c — Co* y = y — c.
Do bovenstaaude vergelijking wordt nu, als men door 2 deelt,
Cos c {Cos a Cosp Sin a Cos q) — [y{ »2 — 1 H- (C\'o« a Cos p Sin a Cos qf)
— {Cos a Cos p -f- Sin a Cos q)] (c — y)
— ft/{n- — 1 -J- {Sm 0Cosp Cos 0 Cos q)-}
— e,&/{n2 — m-(Sin(p Cosp Cos 2a Cos 0 Cos q Cos 2a
-t- Sin 0 Cos q Sin 2a — Cos 0 Cos p Sin 2a)2 } = 0. § 7. Bepalen wij de vergelijkingen, die opgeleverd worden
door Cos pA ■ • Cos 1\'3 r= 0 en Cos q3 Cos Q3 = 0.
Van Cosp3 zijn alle termen zeer klein, behalve
Cos 20 Cosp — Sin 20 Cos q. Van Cos P3 zijn alle termen, behalve
— Cos 20 Cos p — Sin 2$ Cos q
• - 2 (Cos a Cos p Sin a Cos q) {Cos a Cos 20 - - Sin a Sin 20), zeer klein. De som van deze beide uiulruLkinyen moet dus zeer klein zijn, zoodat die som, gelijk gesteld aan nul, een waarde van a oplevert, die zeer weinig van de ware verschilt. Wij hebben dus vooiloopig — 2 Sin 20 Cos q
-r- 2(Cos a Cosp -f- Sin a Cos q){Cosa Cos 20 Sina Sin 20) = 0
of — Sin 20 Cos q
- -{Cosa Cosp -f- Sina Cosq) {Cos a Cos 20 Sina Sin 20) = 0,
of Cos1 a Cos p Cos 20 - - Sin a Cos a Cos q Cos 20
-f- Sin a Cos a Cos p Sin 20 — Cos* a Cos q Sin 20 = 0
of, deelende door Cos1 a,
CotpCos20 tga CosqCos20 tgaCospSin20—CosqSin20=iQ.
Cos q Sin 20 — Cos p Cos 20
Dut tga =--------------------------É-s------ •
Cos q Cos 20 ■ ■ Cos p Sm 20
Cosq Sin 20 — Cosp Cos 20
Stn a z=-----------------—------------------- ,
Sinr
Cos q Cos 20 • - Cos p Sin 20
Cos a sa-----------------—--------!----------.
Sm r
|
|||||||
|
der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. 29
|
||||||||||
|
Nu hebben wij voor Sin a en Cos a waarden gevonden, die
teer weinig van de juiste waarden van die grootheden verschillen.
fPtj kunnen dus stellen:
c. Cos q Sin (20 4- x) — Cos p Cos (2<P *)
oin a ^Z\'--------------------.----------------------------------—— ,
Sin r
__Cos g Cos (20 4- x) 4- Cos p Sin (2$ -h x)
Sin r
waarvan x toorloopig onbepaald en zeer klein is.
§ 8. Om x en Cos c te bepalen, substitueeren wij deze
waarden voor Sin a en Cos a in de vergelijkingen, die uitdrukken
Cos r3 Cos R3 = Ó,
Cosp3 4- Cos P3 = 0,
Cosqs CosQ3 = 0.
Bij die substitutie kunnen wij in de termen, die zeer klein
zijn, voor Cos a en Sina hunne eeistgevonden waarden stellen.
Men krijgt bij die substitutie achtereenvolgens:
Cos A. = Sin (2© 4- x) Sin r 4- Cos c Cos r,
Cos A — Cos C = — Cos 20 X Sin r (a — a) — Cos r(c —y)
— Sin 0 Cos p 4- Cos 0 Cos q -f- 2 Cos a Sin 0 Cos A
— 2 Cos b Cos <p Cos A = Cos p Sin 30 4- Cos q Cos 30, enz.
De vergelijking, die uitdrukt Cos r3 4- Cos R3 = 0, wordt nu Sin 2$ Sin r Cos c
— {y(n* — 1 Sin"- 20 Sin* r) — Sin 20 Sin r] (o — y)J _5(/{,i> _i (Sin <p Cos p Cos $ Cos q}1} >(1) — «^{(m1 — 1 4-(Co* p5m 30 4-Co* gr Co* 30)»} = O.J
Co*p3 Cos P3 = 0 wordt: (Cos 2$ Co* q 4- 5»» 20 £ o* p)i Co*o Co*c Col r
{l/{n* — 1 4- Sin1 2<p 5/»! f) — Sin 20 5/\'» r|
Sin r f Cot r (y — c) (iSm 20 Cos q — Cos 20 Cos p)
|
||||||||||
|
|/{«\'-l (Co* p Sin 0 4- Co* o Co* <!>)» }
|
><2)
|
|||||||||
|
Cos p Sin <p 4- Cos q Cos 0
(3 Sin 20 Co* p 4- S Cos 20 Co* g> 4- e 5»» <P Co* r) 1/fn1 — 1 (Cos p Sin 39 4- Cos q Cos 3$)\'} Co* p Sin 30 4- Co* j Cos 30 {J, Co* p £m 20 4- 3, Cos q Cos 20 4- e, 5in 0 Co* r) =0. |
||||||||||
|
I. VERsi.uys. Oplossingen
|
||||||||||||||
|
30
|
||||||||||||||
|
Co» q3 -)- Cos Qs = 0 wordt:
(Cos 20 Cos p — Sin 20 Cos q) x ■ ■ Cos c Col r Cos p X/U1 — l Sin* 20 Sin? r) — Sin 2? Sin t
-------------------~----------------------X
Sinr
X Cot r(y — c) (Cos 2<p Cos q Sin 20 Cos p)
y{n* — 1 (Sin 0 Cos p -f- Cos 0 Cos q)* }
Sin 0 Cos p -j- Cos0 Cos q
(i Cos 2<p Cos p — i Sin 2<p Cos q t Cos 0 Cos r)
^/{n* — 1 - - (Cos p Sin 30 ■ ■ Cos q Cos 30)*}
|
||||||||||||||
|
(3)
|
||||||||||||||
|
Cos p Sin 30 ■ - Cos q Cos 30
[it Cos 2<p Cos p — S4 Sin 20 Cos q — tx Cos 0 Cosr) =. 0. Uit de drie voorgaande vergelijkingen moeten * en Cos c bepaald
worden. Daar echter die drie vergelijkingen uitdrukken, dat de stralen (pa, qs, r3) en (P3, Q3, I\\3) in tegengestelde richting loopcn ; zoo zijn onder die drie vergelijkingen slechts twee onderling onaf- hankelijk. § 9. Uit de laatste twee vergelijkingen kan uien een meer
eenvoudige afleiden, door (2) met Cosp en (3) met Cos q te vermenigvuldigen, en vervolgens aftetrekkeD. Men krijgt daardoor: o. „^ V(n* — 1 Sin* 20Sin* r) — Sin 2<p Sinr
|
||||||||||||||
|
x Si
|
Sinr
Cos 2<(> Cot f {(o — «) Cos 2$ Cot r -J- y — c)
y {n1— 1 -f- (Sin 0Cosp Cos 0Cosq)*) Sin 0 Cos p - - Cos 0 Cos q [ — S Sin 20 i Cos r(Cos(p Cos q — Sin <p Cos p)} y {n*— 1 (Cos p Sin 3© -f- Cosq Cos 30)* } |
|||||||||||||
|
>(4)
|
||||||||||||||
|
Cos p Sin 30 4- Cos q Cos 39
{ it Sin20 tiCosr(Cos0 Co»q Sin0Cosp)(l—Sin 2<P5t\'nr)} = 0,
samen met. de vroeger gevonden vergelijking: Sin 20 Sin r Cos c
{,/(»» —.1 Sin* 20 Sin*r) — Sin20Sinr)(y — c)L — ty{n* — 1 (Sin 0 Cosp Cos 0 Cosq)*} — t,|/{n\' — 1 (Cosp Sin 30 Cos q Cos 30)*} = 0. Verder moeten wij opmerken , dat in deze twee vergelijkingen ,
waardoor 0 en Cos c liniair bepaald worden, ook nog voorkomen |
||||||||||||||
|
der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken, 81
o — a en y — c. Tusschen deze beide grootheden en den hoek
p, dien voor- en aehtervlak der glasplaat met elkaar maken, bestaat een betrekking, die men op de \\olgende wijze kan vinden. Stellen wij ons liet oppervlak van een bol voor met den oorsprong der coördinaten tot middelpunt (zie fig. 4). Laat dat opper- vlak door de X-as gesneden worden in X, door de I\'-as in Y, door de Z-as in Z, door de loodlijn uit den oorsprong op het voorvlak van de glasplaat in D, door de loodlijn uit den oorsprong op het aehtervlak der glasplaat in E. Nu weet men, dat ZD s= c en ZE = y bijna recht zijn. Daarnit volgt, dat /_ XEZ en Z.XDZ bijna recht zijn; en daar ook ZF bijna recht is, heelt men [_ XFZ bijna recht. Daaruit volgt weer, dat men kan stellen XF = XD of XE — XD = XE — XF — EF
of a. — a = EF.
Evenzoo c — y = DF.
Verder is DE =p; en daar DEF een driehoek is, wiens zijden
zeer klein zijn, en waarin [_ F bijna recht is, kan men stellen: DF* EF* = DE»
of (c —y)1 («—«)» =p». $ 10. Veronderstellen wij nu, dat de glasplaat den vorm
eens rechthoe\'ks heeft, of dat de stand van de glasplaat ten aan- zien van de snijlijn der voorvlakken van de spiegels bijna bepaald is, zoodra men weef, dat de glasplaat bijna evenwijdig met die lijn moet zijn. Men heeft dan op een zijvlak der glasplaat rechte lijnen, waarvan men weet, dat zij de «-as bijna rechthoekig kruisen. Verder kau men op dat zijvlak (langs optischen weg) een
rechte lijn bepalen, die rechthoekig slaat op de lijn van doorsnede
der verlengde zijvlakken van de glasplaat. De hoek J», dien
genoemde richtingen met elkaar maken , is gelijk aan DEF , dus:
L DEF = *,
In den A DEF heeft men verder:
EF = « — o = p Cos i|»,
DF = c — Y=p Sin J/. Door substitutie van deze waarden voor «— a en c — y vindl
mm volgens vergelijking (1) |
||||
|
j. TïKatuTs. Oplossingen
|
|||||||||||||
|
S2
|
|||||||||||||
|
^(n* — 1 4 Sin* 20 Sin* r) — Sin 20 Sin r _. ,
Cos c =■ ~----------------—■ Sin 20 Sin r r \'
y{n*— l {Sin 0 Cos p ■ -Cos 0 Cos q)*} y
t _______ ({ )
y {M- _ i 4. (Cos p g»»jj_ 4- PosgC\'oaS^)3}
|
|||||||||||||
|
8,
|
|||||||||||||
|
Sin 20 Sin r
Volgens vergelijking (4) heeft men:
,/(,,- _ l. - Sin* 20 Sin2 r) — Sin 20 Sin r
_____----------------- Sin 10 Sin r
X /> (Co* 4» Co* 20 <7o* r 4- 5«\'« i|»)....
|/{n2— 1 4- (Co*/) Sin0 . CosqCos0)*) Cos p Sin 0 4- 6\'os g 6\'os 0 {S _ t
— \\/{n* — 1 (Cosp Sin 30 4- Cos q Cos 30)*}
|
|||||||||||||
|
Cosp Sin 30 4- Cos q Cos 30
CöS T
{(Si4-«i
Sin 10
Volgens § 7 is
_. Cos q Sin (20 4- x) — Cos p Cos (20 4- *)
om a zzz-------------------------—-------------------------——
Sin r
of
CosqSin20—CospCos20 CosqCos20JrCospSin20
Sm _ _= •-------:-------—-------------------(- x-------------—----------------.
Sin r Sm r
Daar x bepaald is, is volgens deze vergelijking ook a bepaald.
Opmerking 1. In plaats van de laatste vergelijking kan men
ook nemen :
CosqCos20 Cosp Sin20 Cosq Sin20-CospCos20
Cosa=----------——---------------------x--------------^------------------
Sin r Sm r
2. Kiest men in een zijvlak der glasplaat de lijn, die de s-aa
bijna rechthoekig kruisen zal, rechthoekig op de doorsnede der
verlengden van voor- en achtervlak der glasplaat, dan is:
4- = 0, Sin 4. = 0, Cos tj> = 1,
tt — a =ƒ>,
c -— y __ 0.
Vergelijking (5) wordt dan:
|
|||||||||||||
|
der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. 33
|
|||||
|
1/ (n2 — 1 (Sin0Cosp Cos 0 Cos q*)\\
Cos c s t------------------------■--------.
Sm 20 Sm r
y {wa _ 1 (Cos p Sin 30 Cos q Cos 30f j i !\'
1 Sin 20 Sin r
Vergelijking (6) wordt:
1/(n* —\\ Sina-2<pSina-r) — Sin2<pSinr „ .
* =----------------------
óm 2$ oin r
K("\' — 1 j" (Cos/J Sin 0 Cos q Cos 0)* \\
"* Sin 20 Sin r X
(S_S^il {Cos q Cos 0 — Cos p Sin 0)} )(8)
1 O/M 2<f) i
l/[fl\'-l (Cos p gin 3jH- Cos o Cos 3<J>)!}
Cos p óVn 3<J> Cos q Cos 30 COS T
f$t 4. «,. (Cosq Cos0—CospSin0)(l—Sin20 Sint)}.\'
1 Sm 20 3 j
3. Als men in elk der twee spiegels onderstelt, dat de snijlijn
van vóór- en aclilerrlak bijna etemoijdig is met de snijlijn der roorclakken van de twee spiegels, dan heeft men : e = ï, = 0. Volgens vergelijking (5) heeft men dan :
yln*—\\ Sin*20Sin*r-) — Siri20Sinr „
Cos c = \'-i------------------
Sin 20 Sm r r \'
Volgens vergelijking (6) heelt men :
j/(n\' — 1 • ■ Sin* 20 Sin* r) — Sin 2<p Sin r
* ~ Sin 20 Sin r * p Cos 20 Cot r(Cos$ Cos 20 Cot r Sin ij») x
|/ {n* — I 4- (Cos p Sin 0 4- Cos q Cos 0)*} V(10)
Cos p Sin 0 -f- Cos o Cos 0
y [n* — 1 (Cos p Sin 30 Cos q Cos 30)* } 1 Cos p Sin 30 Cos q Cos 30 Maken wij bovendien len aanzien van de glasplaat dezelfde
onderstelling als ten aanzien der spiegels, dan heeft men : Cosc = Cosy = 0 of c = y = 90°,. . . . (Il)
of in woorden: vóór- en achtertlak der glasplaat moeten evenwij- dig zijn met de lijn van doorsnede der toorrlakken van de twee spiegelt. |
|||||
|
1. versluys. Oplossingen
|
|||||||
|
34
|
|||||||
|
Verder is dan
x=z — —---------------————■------------------pCos*2<p Corr
Sin 20 Sin r
y/[n* — 1 (Cos p Sin 0 Cos q Cos 0)* ) f
Cos p Sin 0 - - Cos q Cos 0 [
y [n* — l j- (Cos p Sin 30 Cos q Cos 3c?))» { l
1 "* Cosp Sin 30 Cos q Cos 30 )
§11. Veronderstellen wij nu, even als in het eerste vraagstuk,
dal de stralen bijna rechthoekig gekruist worden door de snijlijn
der voorvlakken van de twee spiegels.
Men heeft dan Cos r zeer klein ; evenzoo Cot r. Voor Sin r
kan men 1 stellen, en voor Cos q kan men Sinp stellen. De
formules (5) en (1) worden daardoor veel eenvoudiger. Men vindt
achtereenvolgens:
Sin 0 Cos p ■ ■ Cos 0 Cos q =z Sin (0 -J- p) ,
y{n*—l (Sin0 Cosp Cos0Cosq)*} =i/{ni—Cosl(0 p)},
Cos p Sin 30 Cos q Cos 30 = Sin (p • - 30),
y{n*—l {CospSin30 CosqCos30f}=zy[n^—Cos\'i(p 30)}.
In plaats van formule (5) heeft men nu :
y(n* — Cos* 20) — Sin 20 a,
Cosc=---------süM---------fpSin*
X/\\n* — Cos1 (0 p)} ]/\\ni—Cosi{p 30)\\
e Sin2<p h Sin 20
In formule (6) komen in den eersten term van de waarde, die
s voorstelt, twee zeer kleine factoren voor, p en Cot r. Die term
kan dus weggelaten worden. In de twee andere termen van die
waarde komt hij den zeer kleinen factor e of et telkens de zeer
kleine factor Cosr voor. Men kan dus die gedeelten, die e ofti
tot factor hebben, weglaten. In plaats van formule (6) heeft
uien dus:
Vln^ — CosJlp tp)} i i/{n*—Cos*(p-h30)}
J Sin (p - • 0) \' Sin (p -|- 30)
Ook is c — y = Cosy — Cos c=p Sin Ji,
en das Cos y = Cos c p Sin J/
Vin* — Cos* 20)
«f c„y = p#B1>_l___^..... |
|||||||
|
der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. 35
, ^t"\'— Cos*(p 0)\\ y{n* — Cos*(p 30)}
Sin 20 Sin2(p
De formule
OImo C<m2<|> • Cosp /SÏ«2<J> CosqSin2<p—CospCos2cp
Cos a s= --------------—----------------------x-------------—:---------------
Sin r Sm r
wordt nu
Cosa ss Sinp Cos20-{-CospSin20—x(SinpSin20 ~CospCos20),
Cosa = Sin (p 20) x Cot {p 20) ,
Cos a = 5m (p 20) Cos x 4- Sin x Cos (p 20),
Cosa=z Sin(p 20 x),
Sin (o 00°) = Sin (p 20 x),
a 9O° = p 20 x,
a = p 4- 20 — 90° x.
Men heeft dus als oplossing :
a=v 20-w°
r Sm (p -f- 0)
_s l/{n*-Cos*(p-h30)}
1 Sin (p -t- 30) A=90° —a,
ccz=.a p Cos4», p = 90° — <*= 90° — o — p Co»«J., CMy=pA.. -------^-------
|/(it»—go^(p <^)} e V\\>$— Cos2(p 30)}
e Sm 20 "*" \' fli» 2$ Cos c = É7iw y — p Sm ip.
In de onderstellingen, aau het einde van de vorige § gemaal), heeft men in deze formulcn weer: Sin ty = t = e, = 0,
Cosipssl. |
||||||
|
§ 12. Gaan wij nu over tot de toepassing, op den Diplei-
doseoop. a, b en c, et, (3 en y zijn dan bekend; terwijl p, 5 en r moeten bepaald worden uit de vergelijkingen, die uitdrukken: |
||||||
|
36 J. rxKSLUYs. Oplottingen
Cos pa Cos P3 = O,
Cos o3 Cos Q3 = O,
Cos r8 Cos R3 = 0.
Daar in den dipleidoscoop de glasplaat bijna evenwijdig loopt
met de snijlijn der voorvlakken van de twee spiegels, heeft men
Cos c en Cos y zeer klein
en du» Cos b = Sina, Cos (3 ■==. Sin tt.
Door alle termen van Cos pa -f- Cos P3, die zeer klein zijn, te verwaarloozeu, vindt men, dat waarden, die zeer weinig van de wezenlijke waarden van Cosp en Cos q verschillen, moeten voldoen aan — Sin 20 Cos p
(Cos a Cos p -f- Sin a Cos q) (Cos a Sin 20 — Sin a Cos 20) = 0 of Cos (a — 20) Cos p Sin (a — 2<p) Cos q = 0. Dezelfde voorwaarde vindt men, door met vcrwaarloozing van
alle zeer kleine termen, uit Ie drukken: Cosq3 -f- CosQ3 = 0.
Voor Cos r3 • - Cos R3 = 0 heeft men, even als vroeger,
Cos y (Cos a Cos p Sin a Cos q)
— (c — y) j/{n \'-1 (Cos aCosp Sin a Cos q)* )
— 11/{«» — 1 • - (Sin 0 Cosp Cos 0 Cos q)*}
— «i f[n% — 1 ■ ■ (Sin 0 Cos p Cos 2a Cos 0 Cos q Cos 2a
Sin 0 Cos q Sin 2a — Cos 0 Cosp Sin 2a)*} = 0.
Uit de heide voorgaande vergelijkingen en Cos* p Cos"- q -h Cos* r = 1
kunnen nu voor Cosp, Cos q en Cosr waarden bepaald worden, die zeer weinig van de wezenlijke waarden verschillen. Daartoe rou men dan uit de tweede van die drie vergelijkingen de wor- telgrootheden moeten verdrijven, waardoor men een vergelijking zou verkrijgen, die ten aanzien van Cosp en Cosq van den achtsten graad is. Om die vergelijking te vermijden, veronder- stellen wij , dat in de twee spiegels telkens de snijlijn van voor- en achtervlak bijna evenwijdig loopt met de snijlijn der voor- vlakken van beide spiegels. Men heeft dan s « ss ï, = 0.
De tweede vergelijking wordt dan j
|
||||||
|
tier als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. \'67
Cos y (Cos a Cos p - - Sin a Cos q)
= (c — y) l/ïn* — 1 -f {Cos a Cosp - - Sin a Cos q)*\\ ,
en hieruit kan men Cos a Cos p Sin a Cos q bepalen. Men
(c — y)*(n* — 1)
vind»: (Cos a Cos p-\\-Sin a Cos q)* =
Cos*y—(c — y)*
(c — yY f»1 — 1)
of: (Cos aCosp-r Sin a Cos q)* = —-------L!-±------—L- ,
2 Cos c Cos y — Cos* c
of, nis wij voor het bekende tweede lid i1 stellen,
Cos a Cos p • ■ Sin a Cos q =. t......(a)
Ook is Cos (o — 2<p) Cos p Sin (a — 2<p) Cos q =0. (b)
Uit deze twee vergelijkingen vindt men de waarden
t Sin (2<p — a) „ t Cos (2<p — a)
Cos p —------7—in-----en Cos q =. -----
r Sin 2<J> H Sin 2<p \'
en bijgevolg
Cos r — i/(l — Cos*p — Cos* g) = j^(l — t°- Cosec* 2<p),
welke «aarden zeer weinig van de wezenlijke waarden van Cos p, Cos q en Cos r verschillen. Wij kunnen dus stellen: / Sin (2<p — a) C°SP=Z tCos(2Q — a) ) . . . (13)
Cos r = 1/(1 —<! Cosec* 2$) ■ ■ z.
Uit de vergelijking Cos* p 4- Cos* q 4- Cos* r = 1 volgt nu :
t Sin(20 — <i) tCos(2d> — a) ,, , ,,_, „
*
of
xt Sin (20 — o) ■ ■ yt Cos(2(p — o) H- « ^{Sin * 2<p — * *) = 0. (14)
In plaats van de vergelijking (a) heeft men, met inachtneming van zeer kleine grootheden, Cos a Cos p -f- Sin a Cos q Cos c Cos r = /.
Hieruit volgt: x Cos a y Cos b Cos cy(\\ — t* Cosec* 20) = 0. .(15)
Eene derde vergelijking ter bepaling van x. y en s, krijgt men, door nit te drukken, dat men hebben moet: Cospt Costt = 0. Stellen wij na de waarden van Coip,Cosq en Cos r, in (13) |
||||||
|
38 J. vïesi-uïs. Oplossingen
gegeven, in de vroeger gevonden waarden voor Cospa en Cos P3;
laten wij daarbij als altijd het produkt van twee zeer kleine groot- heden weg, en stellen wij t = tx z= 0. Men krijgt dan achtereenvolgens: Cos2<pCosp— Sin 20 Cos q = - -———\\-xCos2(p — ySin20,
hm IQ
Cos A = t - - x Cos a - - y Sin a ■ ■ Cos cy/l — ts Cosec* 2<p,
Cos C — C\'os\\.=(x — a)l Col 20 -h(c —y)Cos r,
[Cos a Cos2<p —SinaSin2(p)CosC—(CosaCos2<p—SinaSin2(p)Cosk
= Cos (2<p a) Cos C — Cos (20 ■ - a.) Cos A
= Cos(2<p a)(CosC—Cos\\) Cos\\ { Cos(2(p a)— Co*(20-f-a)}
= Cos (20 - - o) (<* — o) t Col 2<p -f- Cos [20 a){c — y) Cos r
t Cos a
t(x—a)Sin[2<p a)= ^-— (*— a) Cos(2<p a)(c—y)Cosr. t Cos (0 — a)
Sin 0 Cos p - - Cos 0 Cos q = S Sin 20 Cosp S Cos 2<p Cos q — ..
Sin 20
En das ook:
— tSina _ „. _. ... i/(»s —1-4-»*) — /
Cos p3 = xCos2<p—y Sm 2<p —*--------------\'------x
Sm 20 t
t Cos (0 — a) &\'n 2<p\'
Sin2<p
Verder heeft men : — Cos 20 Cosp — Sin2<p Cosq 2 Cos A Cos(20 — a) t Sin a — y 5ïn (20 — 2a) -f- 2 Co* c Cos (20 — o) j/l — f ^wëö1 20,
<7o* (20 — a) Co* A — Co* (* — 20) Co* C = Co*(20—a)(Co*A—Co«C) {Co*(20-a)-Co*(20—*)} Co»C
Ta — a) f Co* a =
|
||||
|
der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. 3&
— Sin 0 Cos p ■ ■ Cos 0 Cos q - - 2f (Sin 0 Cos o — Sin et Cos <p) =
Sm l(p
tCos(0 a)
= ""^20--------,S"* »C"*\'
3,(&\'n20Cosp— Co* 20 Cosq — 2t CosaSin2<p 2t Sin a Cos 20)
En dus is nok :
Cos P3 =r
Sin 20 -f- 2 Cos c Cos (20 — o) J/I — ï3 6\'osec» 2$
)_______ 5»»» 20 j^Cpsc
t Cos (0 a) «in 20 \'
Sin 20
De voorwnarde Cos pa Co* P8 = 0 levert dus op , als men door 2 deelt, x Cos (20 — o) Cos a — y Sin (20 — o) Cos a
CoscCOSM-a)f/(i--^)
|
||||||||||||||||||
|
ynZ—1 P — t
|
■ 8*20Sina(y-o)f^-—}
|
|||||||||||||||||
|
t
|
||||||||||||||||||
|
(16)
X & Cos a |
||||||||||||||||||
|
r l ^ &»* 20 J
|
||||||||||||||||||
|
* Cos (0 — a)
|
||||||||||||||||||
|
X S4< Cos o=0.
|
||||||||||||||||||
|
< Cos (0 o)
Uit de vergelijkingen (15) en (16), die ten aanzien van x en y
van den eersten graad zijo, vindt men : kg — i »»\'— < M # *#/ƒ, <* >
|
||||||||||||||||||
|
40 J. VERSMJYS. Oplossingen
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
P\\n>-
|
t* Vos* (0 — o)\\
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Sin* 20 I „ Cosa
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Cns (0 —\\a) Sin \'10
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y\\n*-.i ttC
|
Sin* 20 \' . Cosa
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Cos {0 a) Sin 20
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Cos
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a r V Sin* 20)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Cos
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
K\\H ~1
|
Stn\' 20 I . S»n ffl
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Cos(0 — a) Sin20
l/L. , , <* ft»\'(» «)!
y 1 "^" Stn» 24> I S/na ~~ Cos(0 a) X \' Sm 20 \'
Volgens vergelijking (14) heeft men nu verder:
, __-------------_ % , , „^ tCoscSin(20—a)
z = {yn* — 1 <2 -1) (c - y)fco 6\'os24>H------------Li------y
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Cos o
Il Cos 20
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ƒ/{ «»Co»»(0-«)j
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Cos (0 — a) A i/Sin* 20 — t*
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
yL*-i ttCo8,i<p a)\\
*l * Sin*20 J
|
S.t Cos 20
-x - -T
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Cos(0^ a) ySin*20 — P
Daar nu x, y, s bepaald zijn, zijn volgens de formules (13)
ook p, q vn r bepaald. * Sin (20 — a) \\/n* — 1 ** — <
C" P = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Sin
x75
|
\' % _ x ///, «\' ) Coscy, t* \\
a(C 7\' V [ Sin* 20) Cosa\'\\ Sin* 20/
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r 1 _ Sm» 20 J Sina
Cos (0 — o) Sin 20
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. 41
|
|||||||||||||||||||||||
|
«ol
|
|||||||||||||||||||||||
|
^{..-i £*
|
iSi»»1 20 I . Si»a
|
||||||||||||||||||||||
|
Cos(04-«) Sin2<p
t Cos (20 — a)
°0Sq= Sin 20 |
|||||||||||||||||||||||
|
r r st«»2<j) ƒ,
|
|||||||||||||||||||||||
|
Cosa
|
|||||||||||||||||||||||
|
Cos (0 — o) 5*n 20
t\'Cw\'tf g)|
Sin» 20 \' Cosa
|
|||||||||||||||||||||||
|
f{«\'-
|
|||||||||||||||||||||||
|
Co* (0 4-o) \' Sin 20\'
Cosr = y{\\ —
«Co* c Cos (2<p — o)
Co«o .A «»Cos»(0-o)j
1 Si»2 20 J 3< Cos 20
Cos (0 — o) \' J/&\'»* 20 — «\'
|
|||||||||||||||||||||||
|
r I Si»* 20 i
|
^t Cos 20
|
||||||||||||||||||||||
|
Cos (0 4- a) p\'ó\'inl 20 — t*
§ 13. Veronderstelt men, rfo< rfe snijlijn van tóor- en
achtertlak der glasplaat bijna evenwijdig is met de snijlijn der voorr-lalhen van de twee spiegels, dan kan men stellen: Cos c = Cos y of c = y. De vergelijking Cosr, CosRt =0 of Cos y (Cos a Cos p 4- Sin a Cos q) ~(c — y) (/{»\' — 1 4- (Cos a Cos p 4- Sin a Cos q)9}
wordt dan : Cos y (Cos a Cos p Sin a Cos q) — 0. En nan deze vergelijking kan alleen voldaan worden , all men
lieefi : Cos y = 0 en dus ooL : Cos c ss 0.
Wij hebben dus: Als zoowel in de glasplaat als in de twee
spiegels de snijlijn van vóór- en achtcrvlak bijna evenwijdig is |
|||||||||||||||||||||||
|
J. versluïs. Oplossingen
|
|||||||
|
42
|
|||||||
|
met de snijlijn der voorvlakken van de twee spiegels, dan kan
aan het gestelde slechts ten naastenbij voldaan worden, als dt vlakken der glasplaat bijna erenwijdig zijn met de snijlijn der voorvlakken van de twee spieijels. Als de vlakken der glasplaat volkomen evenwijdig zijn met de snijlijn der voorvlakken van de twee spiegels, dan heeft men ter bepaling van p , q en r èene, vergelijking minder dan in de vorige §; zoodat dan de richting der stralen niet volkomen bepaald is. § 14. Beschouwen wij na nog het bijzondere %e\\;\\\\, dat de
strahn bijna rechthoekig gekruist worden door de snijlijn der voorvlakken van de twee spiegels. Men heeft dan Cos q = Sin p. De vergelijking
Cos a Cos p 4- Sin a Cos q = t wordt dan : Cos (o — p)=.t, waardoor p bepaald is, met weglating van een zeer kleine grootheid.
De vergelijking, die uitdrukt Cos pt 4- CosP, =: 0, wordt dan, al» men de zeer kleine grootheden weglaat, Cos (a — 20) Cos p ■ ■ Sin (a — 20) Sin p = 0
of Cos (a — 20 — p) = 0, en dus o — 20 — p=.90°
of p = o — 2$ 90o,
waardoor p eveneens bepaald i.«, met weglating van een zeer kleine
grootheid. In het algemeen zullen de twee waarden voor p, op die wij «e
gevonden, niet overeenstemmen. Du eerste waarde komt dan niet in aanmerking, omdat, als Cos(a — 20— p) niet 0 is , of zeer klein, men hebben zou Cos pt ■ ■ Cos P, = een grootheid, die niet nul of zeer klein is. Kiest men p = o — 20 4-90°, dan wordt
Cos ps 4- Cos P, —- zeer klein ,
en in ieder geval is Cos r3 • ■ CosRs ss » » zoodat dan een waarde gevonden is van p, waardoor bijna aan het gestelde voldaan wordt, of waardoor de lichting der gebroken stralen bijna dezelfde is als de richting der stralen, die onmiddellijk door de glasplaat teruggekaatst worden. Door voor p te stellen a — 20 4-90° — x, waarin x zeer
klein is, verkrijgt m«n nog steeds |
|||||||
|
der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. 43
Cos r, -)- Cos R s = WW klein ,
en duur die waarde (e substituei-n-n in
Cosp, -f-CosP, = 0,
kan men x zoodauig bepalen, dat men voor
p = a — 2<p 4-9<P — x
heeft Cosrt 4-CosR, = teer klein, en Cospt Cos P, = 0.
Door substitutie van gcnoeiüde waarde in Cvsps ■ ■ CosPj = 0,
verkrijgt men
j/{n1 — Sin» fa —0)) , „
a: Cos o------------------------L——1—L l Cosa
Cos (a — <p)
Cos(a (p) \'
en das
_ WW— Sin*(a— <p)} _ i/{nl — 5tn* (a fl)) ^ Cos(a — <f>) Cos(a4-<ï>) " r r 6\'os (a — <J>)
tx{n\'-S»t\'(a 4>)] j
Cos(n4-<M " 9=90° — p, en
r= een willekeurige zeer kleine waarde, geven nu
Cos rs 4- CosRs = zeer klein, Cosps 4- CosP, =0, en dus ook Cos qt 4- CosQt = 0 , zoodat voor bovenstaande waarden bijna aan liet gestelde voldaan
wordt. Heeft men echter e =z s, =s 0
en te gelijk c = y =: 90° ,
dan wordt aan de vergelijking, die uitdrukt
Cosr, - - CosR, =0 voldaan, door alle waarden van p, q en r, Aan het gestelde is dan voldaan, en Cos r blijft onbepaald, maar zeer klein. A.I.s in de glasplaat, en niet te gelijk in de spiegels, de snijlijn
der twee vlakken bijna evenwijdig is met de snijlijn der voorvlak- ken van de twee spiegels, heeft men t en e, niet nul
|
||||
|
44 J. Vüasnnrs. Oplossingen, enz.
|
|||||
|
c=.y
en duor p — a —20 90°
l/{n* — Sin*(a—<p)} y /n\' — Sin* (o <p)}
Cos (<t—<p) H" Cos (o - - 0) . \'
wordt dan nauwkeurig aan het gevraagde voldaan, als de glasplaat
zóo geplaatst is, dat ruen heeft
CoscCos(a—p) =ti/[ tii—Cos\'i(<p p)}-i-iii/{n9—Cosi(i<P p)},
of
OoscSm 2$ — iy {V -^«\'(a—^j-H^w1—#m»(a <P)} ,
of
n. _ *____*V{*X— Sin*(a—<p)} (ii/{n*-Sin*(ah(p)}
Cosy - Losc- ^-^
|
|||||
|
Plaat VII.
|
||||||
|
Archief Deel III.
|
||||||
|
JC. Zriri/n-rfi:
|
||||||