-ocr page 1-

y-.>

^ ^>

■v-j

TWrJ

"***�

fc�^fc f

^. r >f

/ ?V * r v

1¹ * .1


	\'< >-^;-3 Mi
	iBfnuiii
	- ;^rf�li

-ocr page 2-



		**Wsr \\%\\5�***

		P. oei.

-ocr page 3-

-ocr page 4-

-ocr page 5-

mm ^=r

�

■⁽ .f:

LANDMETEN EN WATERPASSEN

DOOR

OH. M. SGHOLS,

Hoogleeraar aan de Polytechnische School te Delft.

TEKST.

TWEEDE DRUK.

■ . \'

TE BREDA,

TEU STOOMDItUKKEHIJ VAN K. G. OUKOOP,
VOOR REKENING VAN DE

KONINKLIJKE MILITAIRE ACADEMIE.

------

1881.

■ \' »■■��; , ;� . ■

\'\' ■

-ocr page 6-

-ocr page 7-



		VOORBERICHT VOOR DEN EERSTEN DRUK.

		De cursus in Landmeten en Waterpassen, in hoofdzaak samenge- steld naar de voordrachten door mij gedurende zes jaren aan de Koninklijke Militaire Academie te Breda gehouden, bevat een kort overzicht van de thans meest gebruikelijke instrumenten en tvijzen van opnemen. In de eerste plaats geschreven als handleiding voor het onder- wijs aan genoemde Academie, konden enkele onderwerpen, zooals het vereffenen der fouten, de nauwkeurigheid der metingen, enz. daarin slechts zeer kort of in het geheel niet behandeld worden; omdat de grondslagen waarop die ieJiandeling zou moeten berusten � de waar- schijnlijkheidsrekening en de methode der kleinste vierkanten � in het leerplan der Academie niet zijn opgenomen. Alleen in die gevallen, waarin eene vereffening der fouten absoluut noodzakelijk is, zooals bij de driehoeks- en de veelhoeksmeting, zijn eenvoudige handelwijzen aan- gegeven, om bij benadering tot dat doel te geraken. Hierachter volgt eene opgave van de voornaamste werken, die bij de samenstelling van dezen cursus geraadpleegd zijn en tvaarvan de studie kan aanbevolen worden. De colleges van mijn vroegeren leermeester, wijlen professor D^r. L. Cohen Stuart, en de herhaalde besprekingen met Z.H.G. zijn niet zonder invloed op de samenstelling van dezen cursus gebleven. De groote belangstelling, die hij bij voortduring in het welslagen van het door mij ondernomen iverk toonde, doet het mij betreuren, den nu vol- tooiden arbeid niet meer aan zijn oordeel te kunnen onderwerpen. CH. M. SCHOLS.

		DELFT, 1878.

-ocr page 8-

VOORBERICHT VOOR DEN TWEEDEN DRUK.

Deze tweede druk onderscheidt zich van den eersten, behalve door
eenige kleine toevoegingen, betrekking hebbende op de regeling van
de instrumenten, hoofdzakelijk door de opneming van den trans forma-
teur en door de beschrijving en afbeelding van eene betere constructie
van den Poolplanimeter.

De hierachter volgende litteratuur-opgave is aangevuld met verschil-
lende later verschenen werken. Tevens is bij de verschillende werken
zooveel mogelijk de laatst verschenen uitgave vermeld.

CH. M. SCHOLS.

DELFT, 1881.

ZINSTOKENDE DRUKFOUTEN.


Blz.	48,	regel	17,	V. 0.	staat.	BCD		lees:	BCd.
//	95,	ii	9,	V. 0.	n	treffen,		ii	treft.
//	105,	n	10,	v. b.	n	aneo�de;		ii	anero�de.
//.	134,	ii	2,	v. b.	n	AA\',		ii	A\'A.
//	134,	ii	4,	v. b.	ii	AB, AC,	AD	! //	A\'B, A\'C.A\'D.
//	135,	ii	6,	v. b.	n	volgenden		//	volgende:
//	145,	ii	13,	V. 0.	ii	D�,		//	A_M.
//	146,	ii	1.	v. b.	ii	D,		//	E.
//	148,	ii	12,	v. b.	ii	volgenden		//	volgende:

-ocr page 9-



		LITTERATUUR-OPGAVE.

		Dr. C. M. Rn n er 11 f\'ei ml. Elemente der Vermessungskunde. 6^e Aufl. Stuttgart. 1879. TV. Jordan. Taschenbuch der Praktischen Geometrie. Stuttgart. 1873. Dr. W. Jordan. Handbuch der Vermessungskunde. Stuttgart. 1877. Fr. Hartner. Handbuch der niederen Geodiisie. 5^e Aufl. Wien. 1876. P, Breton (de Champ). Traite du lever des Plans et de 1\'Arpentage. Paris 1865, Dr. G. Chr. K. Hiiniius. Die geometrischen Instrumente. Hanno- ver 1864. Dr. Ph. Carl. Die Principien der astronomischen Instrumenten- kunde. Leipzig. 1863. F. Lorber. Ueber die Genauigkeit der L�ngenmessungen mit Mess- latten, Messband, Messkette und Drehlatte. Wien. 1877. D. J. Brouwer. Handleiding tot de theoretische en praktische Zeevaartkunde. Nieuwediep. 1864. (Deel I, Hoofd- stuk V, Reflexiewerktuigen). Zeitschrift f�r Vermessungswesen, im Auftrag und als Organ des Deutschen Geometervereins. Stuttgart. 1872. u. ff. J. H. Franke. Die Dreiecksnetze vierter Ordnung als Grundlagen geodatischer D�tail-Aufnahmen. M�nchen. 1871. Dr. J. H. Franke. Die trigonometrische Punktbestimmung im Netz- Anschluss. M�nchen. 1875. Dr. J. H. Franke. Die Grundlehren der trigonometrischen Vermes- sung im rechtwinkligen Koordinatensystem. Leip- zig. 1879. J. J. Vorlaender. Anleitung zum Feldmessen. Berlin. 1871.

-ocr page 10-



		UTTERATUUR-OPGAVE.
		VI


		J. J. Yorlaendcr. Ausgleichung der Fehler polygonometrischen Mes- sungen, Leipzig. 1858. F. Gf. Gauss. Die trigonometrischen und polygonometrischen Rech- nungen in der Feldmesskunst. Berlin. 1876. F. 6, Gauss. Die trigonometrische Punktenbestimmung durch Ein- schneiden. Berlin. 1877. J. Marck. Technische Anleitung zur Ausf��hrung der trigonometri- schen Operationen des Katasters. Budapest. 1875. C. F. Defert. Die Iloi�zontalaufhahme bei Neumessung der Walder. Berlin. 1880. W. Jordan. Ueber die Genauigkeit einfacher geodatischer Opera- tionen. Zeitschrift fiir Mathematik und Physik. He- rausgegeben von O. Schl�milcii, E. Kahl und M. Cantor. Leipzig. 1871. Jahrgang XVI, S. 397 u. ff. Fr. R. Helmert. Studi�n �ber rationelle Vermessungen. Leipzig. 1868. Zeitschrift, als boven. Jahrg. XIII S. 73 u. ff. I. Moinot. Lev�s de plans a la stadia. 3^meEdition. Perigueux. 1877. Wcrner. Die Tacheometrie. YVien. 1873. Dr. W. Tintei^-. Ein Beitrag zur Kenntniss der Leistungsfahigkeit der in der Praxis hauptsachlich verwendeten Plani- meter. Wien. 1877. Di. M. Doll. Die Nivellirinstrumente und deren Anwendung. Stutt- gart. 1876. J. J. Baeyer. Nivellement zwischen Swinem�nden und Berlin. Ber- lin. 1840. S. Stampfer. Theoretische und praktische Anleitung zum Nivelliren. 8« Aufl. Wien. 1877. P. Breton (de Chaniu). Traite du Nivellement. 3^e�dition. Paris. 1873. K. Haas. Ueber H�henaufnahmen. Organisation, Betrieb und Kosten derselben. Stuttgart. 1878. Th. Bleckmann en E. Steuerwald. Nota omtrent verrigte waterpas- singen over breede stroomen. Notulen der Vergade- ringen naar het K. Instituut van Ingenieurs, 1857� 58, blz. 104. E. Steuerwald en J. M. F. Wellan. Waterpassingen over de Wester- schelde, van Vlissingen naar Breskens en van Neuzen naar Ellewoutsdijk. Verhandelingen van het K. In- stituut naar Ingenieurs, 1860�61, blz. 22. H. F. Beijerman en W. de Man. De overbrenging van het Arnster- damsch peil naar Texel en Vlieland. Verhandelingen van het K. Instituut van Ingenieurs. 1878�79, blz. 1.

-ocr page 11-



		<
		LITTERATUUR-OPGAVE. VII Dr. P. Schreiber. Handbuch der barometrischen H�henmessungen. Weimar. 1877. Dr. C. Jelinek. Ueber die Constanten der Aneroide und �ber Aneroide mit H�henscalen. Sep. Abdr. a. d. Sitzb. der k. Akad. der Wissensch. B. LXXII, Abth. II, Dec- Heft. Jahrg. 1875. Wien. 1876. Dr. C. Koppe. Die Aneroid-Barometer von Jakob Goldschmid und das barometrische H�henmessen. Z�rich. 1877. Dr. H. Schoder. H�lfstafeln zur barometrischen H�henbestimmung nebst einer Antleitung zur Untersuchung und zum Gebrauch der Federbarometer. Stuttgart. 1874. J. H�ltschl. Das H�henmessen mit Metall-Barometern. Wien. 1870. J. H�ltschl. Die Aneroide von Naudet und von Goldschmid. Wien. 1872. Dr. Ch. A. Vogler. Anleitung zum entwerfen graphischer Tafeln. Berlin. 1877. ,Dr. Ch. A. Vogler. Graphische Barometertafeln. Braunschweig. 1880. Chr. I. Gerling. Die Ausgleichungs-Rechnungen der practischen Geometrie, oder die Methode der kleinsten Quadrate. Hamburg und Gotha. 1843. Ch. Fr. Gauss. Methode des moindres carr�s, traduit par J. Ber- trand. Paris. 1855. Dr. A. Sawitsch. Die Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie auf die Berechnung der Beobachtungen und geoda- tischen Messungen oder die Methode der kleinsten Quadrate. Deutsch bearbeitet von C. G. Lais. Mitau und Leipzig. 1863. P. R. Helmert. Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate mit Anwendungen auf die Geodasie und die Theorie der Messinstrumente. Leipzig 1872.

-ocr page 12-

-ocr page 13-



		INHOUD. Blz. Inleiding.................... 1 � A. INSTRUMENTEN. HOOFDSTUK I. Randverdeeling. § 1. Cirkelrand................... 3. § 2. Alhidade.................... 4. § 3�4. Nonius.................... 4. § 5. Excentriciteit.................. 6. HOOFDSTUK II. Vizierinrichtingen. § 6�7. Gewone vizieren................ 8. §8. De kijker als vizierinrichting............ 9. § 9. Mechanische inrichting van den kijker....... 10. § 10. Het wegnemen der parallax en het richten met den kijker..................... 11. § 11. Samengestelde oculairen............. 11. § 12. Kruisdraden................... 12. HOOFDSTUK III. Paslood en niveau. § 13. Paslood..................... 14. § 14. Timmermanswaterpas............... 14.

-ocr page 14-



		INHOUD.
		X

		Blz. § 15. Onderzoek van het timmermanswaterpas...... 15. §16. Eliminatie van de fout in de plaatsing van het nulpunt. . 15. § 17. Buis-luchtbel.................. 16. § 18. Het meten van kleine hellingen door de uitwijking der bel.................... 16. § 19. Bevestiging der luchtbelbuis............ 17. § 20. Horizontaal stellen van een vlak.......... 17. § 21. Regeling van het niveau tot het horizontaal stellen van een vlak.................. 19. § 22. Horizontaal stellen van eene omwentelingsas .... 20. § 23. Verticaal stellen van eene omwentelingsas..... 21. § 24. Regeling van het niveau tot het verticaal stellen van eene as.................... 22. § 25. Doosniveau................... 22. HOOFDSTUK IV. Theodoliet. § 26�27. Beschrijving................. 24. § 28�29. Het meten van horizontale hoeken....... 27. § 30�32. Het doorslaan van den kijker......... 29. § 33�37. Onderzoek en regeling van den theodoliet. . . . 32. § 38�41. Repetitie en Re�teratie............ 36. § 42. Het meten van verticale hoeken.......... 41. § 43. Het doorslaan van den kijker........... 41. § 44�45. Onderzoek en regeling van den theodoliet voor het meten van verticale hoeken........ 42. § 46. Becijfering op den tweeden cirkelrand....... 43. § 47. Gewijzigde inrichtingen van het niveau....... 44. HOOFDSTUK V. Sextant. § 48. Inleiding..................... 47. § 49. Terugkaatsing op twee spiegels........... 47. § 50. Beschrijving................... 49. § 51. Gebruik..................... 50. § 52. Index-correctie.................. 51. § 53. Spiegelparallax.................. 52. § 54. Opstelling.................... 54. § 55. Voorwaarden van regeling............. 55. § 56. Regeling van den grooten spiegel.......... 55.

-ocr page 15-



		INHOUD. XI Blz. § 57. Regeling van den kleinen spiegel.......... 56. § 58. Regeling van den kijker.............. 57. § 59. Correcties voor de fouten, die niet door regeling zijn weg te nemen................. 58. § 60. Herleiding van den hoek tot den horizon...... 60. § 61. Benaderingsformule voor kleine elevatiehoeken .... 61. § 62. Het meten van verticale hoeken.......... 62. HOOFDSTUK VI. Planchet. § 63. Inleiding..................... 65. § 64. Planchet..................... 66. § 65. Vizierliniaal................... 66. § 66. Opstelling.................... 67. § 67. Onderzoek van het planchet............ 68. § 68. Regeling van de vizierliniaal met gewone vizieren . . 69. § 69. Regeling van de vizierliniaal met kijker....... 69. HOOFDSTUK VII. Boussole. § 70. Declinatie van de magneetnaald.......... 71. § 71. Beschrijving van de boussole............ 73. § 72, Het meten met de boussole............ 74. § 73. Onderzoek van de boussole............ 75. § 74. Opstelling van de boussole............. 76. HOOFDSTUK VIII. Het uitzetten van hoeken. § 75. Algemeen overzicht................ 78. § 76. �querre d\'arpenteur................ 79. § 77. Gebruik van de �querre d\'arpenteur........ 79. § 78. Opstelling en onderzoek van de �querre d\'arpenteur . 80. § 79. Spiegelkruis................... 81. § 80 Prisma van Bauernfeind.............. 81. HOOFDSTUK IX. Meetlatten, Meetketting, Meetband. § 81. Het meten van afstanden............. 83. § 82. Meetlatten.................... 84. § 83�85. Meetketting................. 85. § 86. Meetband.................... 87.

-ocr page 16-



		XII		INHOUD,


		Blz. HOOFDSTUK X. Afstandsmeter. ij 87. Inrichting.................... 88. § 88. Het meten van afstanden bij horizontale vizierlijn. . 88. § 89. Het meten van afstanden bij hellende vizierlijn ... 90. § 90. Bepaling van de constanten............ 90. § 91. Het meten van hoogteverschillen......... 91. § 92�93. Centraliseerende lens............. 91. HOOFDSTUK XI. Waterpasinstrument. § 94. Waterpassen.................. 95. § 95. Waterpasbaken................. 95. § 96. Waterpasinstrument............... 96. § 97. Opstelling en gebruik.............. 97. § 98. Regeling.................... 97. § 99. Niveau-cercle.................. 99. § 100. Regeling van den niveau-cercle.......... 99. $ 101. Eliminatie van de fouten van regeling....... 100. HOOFDSTUK XII. Barometer. § 102. Kwik- en metaalbarometer............ 102. § 103. Beschrijving van de anero�de van Naudet...... 103. § 104 Herleiding van de anero\'ide-aflezing tot kwikhoogte . 104. § 105. Veranderingen van de constanten van de anero�de. . 106. § 106. Bepaling van de constanten b en c........ 106. § 107. Bepaling van de standcorrectie.......... 108.

		B. OPMETINGEN. HOOFDSTUK XIII. Algemeene gang der meting. § 108. Kaarten....................111. § 109. Net en detailmeting...............111. § 110�111. De verschillende methoden van opmeting . . . 112.

-ocr page 17-



		INHOUD.
		XIII


		Blz. § 112. Het in teekening brengen van de opmeting.....114. § 113. Het verkennen van het terrein en het vaststellen van het net\'...................115. § 114. Het uitzetten van het net............116. § 115. Het opnemen van het net en van de details . . . .117. HOOFDSTUK XIV. Co�rdinaten-berekening. § 116. Rechthoekige co�rdinaten.............119. § 117. Gegevens voor de berekening...........120. § 118. Berekening der azimuthen............120. § 119. Berekening der co�rdinaten............121. § 120. Het in teekening brengen van de punten, door middel van de co�rdinaten...............122. § 121. Het berekenen van de lengte en van het azimuth van eene lijn uit de co�rdinaten van de eindpunten . . 122. § 122. Berekening van de geographische lengte en breedte . 123. § 123. Invloed van de convergentie der meridianen op de berekening der azimuthen............124. § 124. Astronomische azimuthsbepaling..........125. § 125. Correspondeerende .stershoogten..........126. § 126. Correspondeerende zonshoogten..........127. § 127. Grootste digressie................129. § 128. Stershoogte...................129. § 129. Eenige opmerkingen omtrent bovenstaande metingen. 130. HOOFDSTUK XV. Driehoeksmeting. § 130. Vorm van het net................131. § 131. Basismeting...................131. § 132. Hoekmeting...................132. § 133. Centreeren der hoeken..............132. § 134 Controle t\'*r^w^3f--.%\'^<«r^..........134. § 135�137. Vereffening der fouten...........136. § 138. Berekening der driehoeken............140. § 139. Co�rdinaten-berekening..............141. § 140. Opneming van het driehoeksnet met behulp van het planchet....................141.

-ocr page 18-



		XIV INHOUD. Blz. HOOFDSTUK XVI. Veelhoeksmeting. § 441. Vorm van het net . . ..... . ... ; . . . . 443. § 142. Opmeting.................... 144. § 443. Aansluiting aan ontoegankelijke punten ...... 144. § 144. Controle.................... 145. § 145�146. Vereffening der fouten ...........146. § 147. Veelhoeksvertakkingen.............. 148. § 148. Opneming met behulp van het planchet......150. HOOFDSTUK XVII. Secundaire driehoeksmeting. § 149. Hoofddriehoeksnet....... . . . . . . . . .151. § 150. Secundaire driehoeksmeting............. 152. § 151. Het vastleggen door een net van driehoeken ... . 152. ^Ij- § 152. Het vastleggen van ieder punt afzonderlijk.....154. § 153. Keuze tusschen beide methoden..........155. HOOFDSTUK XVIII. D�tailmeting. § 154. Algemeen overzicht............... 157. § 155. D�tailmeting met meetketting, meetband of meet- latten en �querre...............158. § 156. Controle op de meting. � Het teekenen van de d�tails..................... 159. § 157. D�tailmeting met theodoliet en afstandsmeter. . . . 160. § 158. Controle op de meting. � Het in teekening brengen van de d�tails.................164. § 159�160. D�tailmeting met het planchet........ 162. § 161. Controle op de meting.............. 163. HOOFDSTUK XIX. Inhoudsbepaling. § 462. Algemeen overzicht............... 165. § 463. Opmeting van enkele perceelen..........165. § 164�165. Berekening uit de gegevens van de d�tailmeting. 166. § 166. Berekening uit de meting op de kaart...... .168. § 167. Transformateur.......�........ . 169. § 168. Pool-planimeter . . ............... 171. § 169. Inhoudsbepaling met den pool-planimeter . . . . . 172.

-ocr page 19-



		INHOUD.
		XV


		Blz. § 170. Regeling van den planimeter en bepaling van de constanten..................173. § 171. Krimpen van het papier.............175. § 172. Controle en vereffening der verschillen.......176. HOOFDSTUK XX. Trigonometrische hoogtemeting. § 173. Waterpasvlak..................178. § 174. Straalbuiging..................179. § 175. Trigonometrische hoogtemeting op korte afstanden . 180. § 176. Trigonometrische hoogtemeting op groote afstanden . 181. § 177. Waarnemingen uit een uiteinde..........182. § 178. Gelijktijdige wederkeerige waarnemingen......184. § 179. Bepaling van den co�ffici�nt der straalbuiging . . . 185. § 180. Afstand waarop twee voorwerpen wederkeerig zicht- baar zijn. � Kimduiking............186. HOOFDSTUK XXI. Waterpassen. § 181. Waterpassen uit het midden........... 188. § 182. Aardkromming en straalbuiging.......... 189. § 183. Aaneengeschakelde waterpassing.......... 190. § 184. Elimineeren der fouten.............. 191. § 185�186. Uitvoering van de aaneengeschakelde waterpassing. 191. § 187. Overbrenging van het peil............ 193. § 188. Het opnemen van lengte- en dwarsprofielen .... 195. § 189. Overbrengen van het peil over breede rivieren . . . 196. HOOFDSTUK XXII. Barometrisch hoogtemeten. § 190. Nauwkeurigheid van de barometrische hoogtemeting. 199. § 191. Barometer-formule van Babinet..........200. § 192. Barometer-formule van Laplace..........201. § 193. Volledige barometer-formule............202. § 194. Hulpmiddelen voor de berekening van de hoog- teverschillen..................203. § 195. Horizontale afstand der punten. � Gelijktijdige waar- nemingen ...................204. § 196. Uitvoering der meting met twee anero�den.....206. § 197. Uitvoering der meting met ��n anero�de......207.

-ocr page 20-



		XVI INHOUD.

		Blz. HOOFDSTUK XXIII. Opnemen van hoogtelijnen. § 198. Hoogtelijnen..................209. § 199. Algemeen overzicht...............210. § 200. Bepaling van de hoogtelijnen op het terrein .... 210. § 201. Bepaling van de hoogtelijnen op de kaart.....211. § 202. Het ontwerpen van hoogtelijnen op bestaande kaarten. 213. $ 203. Het opnemen van hoogtelijnen door middel van lengte- en dwarsprofielen............215. § 204. Het opnemen van hoogtelijnen met den als af- standsmeter ingerichten theodoliet........215. § 205. Opneming in bosschen..............210.

-ocr page 21-



		LANDMETEN EN WATERPASSEN.

		INLEIDING. De Geodesie, in ruimen zin genomen, houdt zich bezig met het bepalen van de grootte en den vorm van een grooter of kleiner gedeelte van het aardoppervlak of wel van de aarde in haar geheel. Alleen dat gedeelte van de geodesische wetenschap, dat betrekking heeft op de opmeting van een zoodanig terrein, waarbij de aarde als een plat vlak beschouwd kan worden, en dat meer bijzonder onder den naam van Landmeten bekend staat, zal in dezen cursus behandeld worden. Een terreingedeelte, dat zich in alle richtingen niet verder dan 10 uur gaans uitstrekt, kan daar- toe nog gerekend worden. Daar echter, waar het geldt de bepaling van de hoogteligging van punten, zal met den gebogen vorm der aarde rekening gehouden worden, omdat de invloed van dien gebogen vorm hierbij reeds op betrekkelijk korte afstanden merk- baar is. De hier bedoelde metingen berusten allen op het bepalen van hoeken, van afstanden en van hoogteverschillen. Van ieder van de verschillende soorten van instrumenten, die tot dat doel gebezigd worden, wordt in het eerste gedeelte ��n als type behandeld; vooraf echter worden enkele van de onderdeelen, die een geheel op zich zelf uitmaken en die bij vele instrumenten voorkomen, afzonderlijk behandeld. Hoe men uit de gegevens, met de be- schreven instrumenten verkregen, komt tot het eindresultaat van de meting, in den vorm van eene kaart of anderszins, wordt in het tweede gedeelte uiteengezet.

		S. 1

-ocr page 22-

-ocr page 23-



		A. INSTRUMENTEN.

		HOOFDSTUK I.

		RANDVERDEELING. § 1. Cirkelrand. Bij do meeste instrumenten, die dienen tot het meten van hoeken, treft men een verdeelden cirkelrand aan, waarop de hoeken in graden en onderdeelen van graden worden afgelezen. De verdeelingen zijn onmiddellijk op den uit koper vervaardigden rand aangebracht, of, zooals bij fijnere instrumen- ten veelal het geval is, op een ingelegde zilveren of platina reep, soms, zooals bij de houten octanten en sextanten, op ivoor. De rneest gebruikelijke verdeeling is de sexagesimale, waarbij de omtrek van den cirkel in 360 graden, de graad in CO minuten, de minuut in GO seconden verdeeld wordt. Op enkele instru- menten treft men de centesimale verdeeling aan, waarbij de cirkelomtrek verdeeld wordt in 400 graden, de graad in 100 minuten en de minuut in 100 seconden. De graden op den cirkelrand zijn meestal onderverdeeld in halve of derde graden, bij fijnere geodesische instrumenten in zesde, uiterlijk in twaalfde deelen van graden. De graden worden om de vijf of om de tien, in ��ne richting omgaande, meestal in de richting waarin zich de wijzers van het uurwerk bewegen (bij de Boussole in tegengestelden zin), van 0 tot 360 of 400 genummerd. Somwijlen, vooral bij cirkelranden, die dienen tot het meten van verticale hoeken, zijn de graden, van twee diametraal tegenover elkaar liggende punten uitgaande, in twee richtingen van 0 tot 90 of 100 genummerd.

-ocr page 24-



		4
		RANDVERDEELING.


		§ 2. Alhidade. Om eene as, die in het middelpunt van den cirkelrand rechthoekig staat op het vlak van dien rand, is een wijzer of alhidade draaibaar. De hoek, dien men wil meten, wordt door deze alhidade doorloopen en moet dus op den rand nauw- keurig kunnen worden afgelezen. Hiertoe kan op de alhidade eene enkele lijn als index zijn aangebracht, of wel, zij kan, tot het aflezen van de onderdeelen van de verdeeling, van een nonius voorzien zijn. "Wordt de stand van den index ten opzichte van de rand verdeel ing in twee opvolgende standen van de alhidade afgelezen, dan vindt men door aftrekking van beide aflezingen den door de alhidade doorloopen hoek. Niet altijd heeft, zooals hiervoor is beschreven, de cirkelrand eenen vasten stand en is de wijzer of alhidade beweegbaar; men treft ook inrichtingen aan waarbij de cirkelrand beweegbaar is en de indexstreep of nonius vaststaat. § 3. Nonius. In het algemeen verlangt men de aflezing tot op veel kleinere onderdeden van graden dan die, waarin de rand verdeeld is; is de alhidade alleen van een indexstreep voorzien, dan moeten die kleinere onderdeelen door schatten bepaald worden. Wordt grootere nauwkeurigheid in de aflezing der onderdeelen vereischt, dan moet de alhidade van een nonius () voorzien zijn. Zij AB (Fig. 1) een gedeelte van een verdeelden cirkelrand, C de alhidade, O het daarop aangebrachte indexstreepje, dan vindt men voor den stand van dat indexstreepje 2\', plus een stukje kleiner dan een halve graad; door schatten vindt men hiervoor ongeveer % van den afstand van twee deelstrepen, dat is 20\', zoodat de aflezing wordt 2³20\'. Om de bepaling van den afstand tusschen de deelstreep 2° en de indexstreep nauwkeuriger te maken, is de nonius aangebracht, bestaande uit een gedeelte DE van een cirkelrand, aan de alhidade verbonden en met deze langs den rand beweegbaar. De afstand der deelstrepen echter is niet dezelfde als op den cirkelrand, maar meestal iets kleiner (gelijldoopende nonius* (*)) en wel zoodanig dat () Bij de grootere en meer volkomene instrumenten bezigt men microscopen, die tot micrometer zijn ingericht, en verbonden zijn aan een microscopendrager, die de alhidade vervangt. (*) In tegenstelling van tcrugloopeude nonius* waarbij de noniusdeelen iets grooter zijn dan de randdeelen, tengevolge waarvan de becijfering van den nonius in tegengestelde richting moet loopen van die op den rand. Over dezen nonins, die op gelijke wijze all de gclijkloopcnde wordt afgelezen, maar in de practijk zelden voorkomt, zullen wij hier niet verder uitwijden.

-ocr page 25-



		HANDVERBEELING. 5

		» deelen van den nonius evenlang zijn als (»� 1) deelen van den rand. Wordt de afstand van twee deelstropen op den rand uitgedrukt door a, dan is de afstand van twee deelstrepen op den nonius -------a = a-------; zoodat dus het verschil tusschen een n n randdeel en een noniusdeel gelijk is aan een randdeel gedeeld door het getal, dat aangeeft hoeveel deelen van den nonius over- eenkomen met een deel minder op den rand. Tn de lig. 1, waar de rand in halve graden verdeeld is en waar 15 deelen van den nonius overeenkomen met 14 randdeelen, is dat verschil dus: 15 * Gaan wij de deelstrepen op den nonius na, dan zien wij dat de streep 18 in het verlengde valt van, of zooals men zegt, samenvalt met een deelstreep op den rand, de deelstreep 16 zal echter van de daaraan voorafgaande streep op den rand een stukje afwijken gelijk aan het verschil van een rand- en een noniusdeel, bij de deelstreep 14 is die afwijking dubbel zoo groot geworden, bij de streep 12 driemaal zoo groot enz., bij de streep 0, die tot index dient, is die afwijking gelijk geworden aan Omaal het verschil van een rand- en een noniusdeel, dus hier 9x2\' = 18\'. De afstand van de streep 2³ op den rand en de indexstreep op de alhidade is dus 18\' en de aflezing bijgevolg 2³ 18\'. Uit het bovenstaande voorbeeld blijkt duidelijk hoe men van den nonius gebruik maakt. De aanwijzing van de deelstreep op den rand, die het nulpunt van den nonius (index) onmiddellijk voorafgaat, wordt op den rand afgelezen; hierbij moet dan nog gevoegd worden de afstand van die deelstreep tot het nulpunt; welke afstand met behulp van den nonius bepaald wordt, door na te gaan welke deelstreep van den nonius samenvalt met eene deelstreep van den rand. Het product van het rangcijfer dezer deelstreep met het verschil van een nonius- en een randdeel geeft dien afstand aan. Om deze vermenigvuldiging te ontgaan, is z\'ij op den nonius zelven reeds uitgevoerd. Zoo staan bijv. in figuur 1 op den nonius niet de rangcijfers 0, 5, 10 en 15 maar hunne producten met 2 dus 0, 10, 20 en 30, die onmiddellijk de minuten aangeven. Zoo lezen wij dus op den rand af 2³ en op den nonius bij de deelstreep, die samenvalt met een deelstreep van den rand, 18\', dus te zamen 2° 18\'.

-ocr page 26-



		G
		RANDVERDEELING.


		§ 4. Bij het aflezen van den nonius moet men eenige voor- zorgmaatregelen in acht nemen. Vooreerst moet men er voor zorgen, het oog steeds te plaatsen in het vlak, dat in het punt, waar de samenvalling plaats heeft, rechthoekig staat op den omtrek van den rand, om daardoor den schadelijken invloed van eene wellicht aanwezige parallax (yerschilzicht) te ontgaan. Valt namelijk het vlak van den nonius niet volkomen samen met het vlak van den cirkelrand, dan zal eene verplaatsing van het oog naar rechts of naar links eene schijnbare verplaatsing van de rand- en noniusdeelstrepen ten opzichte van elkaar ten gevolge hebben, zoodat men bij eene verkeerde plaatsing van het oog andere strepen zal zien samenvallen, dan in werkelijkheid plaats heeft. Is boven den nonius eene loupe aangebracht, om daardoor de deelstrepen duidelijker te kunnen waarnemen, dan moet men tot hetzelfde doel, de loupe zoo plaatsen, dat de samenvallende deelstrepen zich midden daarin vertoonen. Heeft men een streep op den nonius gevonden, die samenvalt met eene deelstreep op den rand, dan vergelijke men de twee ter rechter- en ter linkerzijde onmiddellijk daarnaast gelegen deelstrepen en gaat na, of deze evenveel van de correspondeerende strepen op den rand afwijken. Is dit werkelijk het geval, dan kan men zich van de samenvalling van de eerste overtuigd houden. Is er geene streep op den nonius, die juist samenvalt met een deelstreep van den rand, dan neemt men de aanwijzing van de deelstreep van den nonius, die het dichtst staat bij eene deelstreep van den rand; wijken twee opvolgende deelstrepen ongeveer evenveel en in tegengestelde richting af, dan kan men het gemiddelde nemen tusschen de aanwijzingen van die beide strepen. § 5. Excentriciteit. Bij het voorgaande is verondersteld, dat het draaipunt van de alhidade juist samenvalt met het middelpunt van de randverdeeling; is aan deze voorwaarde niet voldaan, dan wordt de hoekverplaatsing van de alhidade niet met juistheid gemeten door den boog op den rand afgelegd: er ontstaat dus eene fout, die der excentriciteit genaamd. Zij in figuur 2, C het middelpunt van de randverdeeling, C\' het draaipunt van de alhidade, CA en C\'B twee opvolgende standen van de alhidade, dan is AC\'B de hoekverplaatsing die men wil bepalen; in plaats daarvan leest men echter den boog

-ocr page 27-



		7
		nANDVERDEELING.


		AB af, die de maat is van den middelpuntshoek ACB. Het ver- schil van de twee hoeken ACB en ACB is dus de fout van excentriciteit. Bij een vollen circelrand heeft men een eenvoudig middel om de uitkomst van de meting onafhankelijk te maken van die fout. De alhidade, aan den anderen kant van het draaipunt verlengd, is daar ook van een index of nonius voorzien. Bevindt de eene nonius zich dus bij A, dan is de andere daar diametraal tegen- over geplaatst in A\'; dooploopt de eerste den boog AB, dan doorloopt de- tweede gelijktijdig den boog A\'B\'. Worden nu steeds de aanwijzingen van beide noniussen afgelezen, dan leert de eene den boog AB, de andere den boog A\'B\' kennen en aan- gezien nu hoek ACB gemeten wordt door de halve som van de bogen AB en A\'B\', zoo geeft het gemiddelde van de aanwijzingen van beide noniussen den gevraagden hoek, geheel en al bevrijd van de fout van excentriciteit.

-ocr page 28-



		HOOFDSTUK II.

		VIZIERINRICHTINGEN. § 6. Gewone Tizieren. Do eenvoudigste vizierinrichting, die bij de meetinstrumenten voorkomt, bestaat uit twee plaatjes A en B, figuur 3, waarvan het eeno (A) van eene kleine ronde opening (oogopening of oculairopening) voorzien is, terwijl het andere eene grootere opening (voorwerpopening of objectief opening) bevat, waarin twee elkaar kruisende draden gespannen zijn. Het vizier wordt gezegd op een punt gericht te zijn, wanneer voor het oog van den waarnemer, dat achter de oogopening geplaatst is, het kruispunt der draden met dat punt samenvalt. De lijn, die door het midden der oogopening en het kruispunt der draden gaat, en den naam van vizierlijn draagt, gaat dan door het bedoelde punt. Is in de voorwerpopening slechts een enkele draad gespannen, zooals in fig. 4, dan vormt het midden der oogopening met den draad een viziervlak, dat op een punt gericht is, zoodra dit voor het oog van den waarnemer met den draad samenvalt. In het laatste geval treft men meestal onderscheidene oogope- ningen aan, die dan echter allen in eene lijn moeten liggen evenwijdig met den draad in de voorwerpopening, opdat al de daardoor bepaalde viziervlakken samenvallen. Ook worden die openingen soms door eene smalle spleet vervangen, zooals in fig. 5 is aangegeven. § 7. Om de draden goed te kunnen zien, moeten zij niet al te dicht bij de oogopening geplaatst worden; wel is waar komt de geringe grootte van de oogopening het accommodatie-vermogen van het oog eenigszins tegemoet, zoodat het niet noodig is de

-ocr page 29-



		9
		VIZIEKINRICHT1NGF.N.


		draden op den afstand van duidelijk zien to plaatsen; toch blijft het wenschelijk den afstand niet al te klein te nemen. De oogopening moet zeer klein zijn, daar er anders eene hin- derlijke parallax kan optreden; een opzettelijk onderzoek daarom- trent heeft echter geleerd, dat, als de grootte der opening eene zekere grens niet te boven gaat, er geen parallax te vreezen is, doordat men onwillekeurig het oog midden voor de opening plaatst, omdat men dan het duidelijkst ziet. Eene opening van 0,7 a 0,9 mM. bleek het doelmatigste te zijn. De bovenbeschreven vizierinrichtingen, die bij min kostbare instrumenten, waar het niet op groote nauwkeurigheid aankomt, veel worden aangetroffen, zijn voor nauwkeurige metingen niet zeer geschikt. Door de kleine oogopening komt slechts eene ge- ringe hoeveelheid licht in het oog en wordt dus de helderheid van het voorwerp, dat toch soms reeds moeielijk is waar te nemen, belangrijk verminderd. Het scherp waarnemen van het voorwerp, dat zich veraf bevindt, en de draden die dichtbij zijn aangebracht, is slechts bij afwisseling mogelijk en daardoor ontstaat eene groote onnauwkeurigheid in de beoordeeling van de samenvalling. Ein- delijk kan zonder Vergrooting van den gezichtshoek, waaronder het voorwerp gezien wordt, het richten slechts met eene geringe nauwkeurigheid plaats hebben. Aan al deze bezwaren, die onaf- scheidelijk aan de gewone vizieren verbonden zijn, wordt tegemoet gekomen door den kijker als vizierinrichting te bezigen. § 8. De kijker als vizierinrichting. De kijker, tot zijn eenvou- digsten vorm teruggebracht, bestaat uit twee positieve lenzen, het voorwerpglas of de objectie/lens V (fig. 6) en het oogglas of de oculairlens O. De objectieflens vormt van het voorwerp A, waarop de kijker gericht wordt, een werkelijk beeld B, even voorbij het hoofdbrandpunt dier lens. Ter plaatse van dit beeld zijn in den kijker twee elkaar kruisende draden, kruisdraden genaamd, aange- bracht, die te zamen met het beeld, door het oculair, dat als vergrootglas dient en daarvan dus bij C een virtueel beeld vormt, waargenomen worden. Valt voor het oog van den waarnemer, het kruispunt der dra- den met een bepaald punt van het voorwerp samen, dan is de kijker op dat punt gericht. De lijn, gaande door het snijpunt der draden en het optisch middelpunt van het objectief, gaat dan door het punt waarop gericht is; het is deze lijn die den naam van vizierlijn draagt.

-ocr page 30-



		10
		VIZIEKINUICHTINGEN.


		In figuur G is de loop van de lichtstralen in een d eigelijken kijker voorgesteld. Van de uiterste punten van het voorwerp A zijn een drietal lichtstralen aangegeven, waaronder de twee uiterste lichtstralen, die nog in den kijker treden. Zooals uit de figuur blijkt, komen al die lichtstralen, na door het oculair gebroken te zijn, bij D in eene kleine ruimte samen, het is daar ter plaatse, dat men het oog moet houden, om er zooveel mogelijk lichtstralen in op te vangen en het voorwerp dus zoo helder mogelijk te zien; het is het zoogenaamde oogpunt. § 9. Mechanische inrichting van den kijker. Bij het achtereen- volgens richten van den kijker op punten, die op verschillende afstanden gelegen zijn, zal het werkelijke beeld B, fig. �, steeds op een anderen afstand van het objectief gevormd worden; daar de kruisdraden echter altijd met dat beeld moeten samenvallen, zoo is het noodig dat hun afstand tot het objectief veranderd kunne worden. Tevens moet de afstand van het oculair tot de draden geregeld kunnen worden, om het voor personen niet ver- schillenden afstand van duidelijk zien, mogelijk te maken, met denzelfden kijker waar te nemen. Hoe de beweging van objectief, kruisdraden en oculair ten opzichte van elkaar plaats heeft, kan blijken uit figuur 7, waar de meest voorkomende mechanische inrichting van den kijker in verband met figuur 6 is aangegeven. In de kijkerbuis E, die aan haar vooreinde het objectief V bevat, kan een tweede kleinere buis F verschoven worden en wel door middel van een geranden kop K, die een rondseltje in beweging brengt, dat op de aan de buis F bevestigde heugelstang werkt. In deze buis, die den naam van oculairbuis draagt en bij II een diaphragma bevat, waarop de kruisdraden bevestigd zijn, kan een derde buisje G met de hand verschoven worden. Dit laatste buisje bevat aan de eene zijde het oculair O en is aan de andere zijde gesloten door den zoogenaamden oogdop L, waarin eene opening zoodanig is aangebracht, dat het daarachter ge- plaatste oog zich juist in het oogpunt bevindt. Door de beweging van het buisje G, wordt nu de afstand van het oculair tot de draden geregeld, in verband met den afstand van duide- lijk zien van den waarnemer, terwijl de afstand van de draden tot het objectief in verband met den afstand van het voorwerp, geregeld wordt door de verschuiving van de oculairbuis (dus te zamen met de diaden en het oculair), met behulp van den geranden kop K.

-ocr page 31-



		VIZIER1NK1CI1TINGEN. 11

		Soms treft men eene eenigszins andere constructie aan, waarbij de oculairbuis met de kijkerbuis als het ware een geheel vormt, maar het objectief in een afzon der] ijk buisje gevat is, dat door middel van rondsel en heugelstang in de kijkerbuis kan verschoven worden, om daardoor den afstand van de kruisdraden tot het objectief te kunnen regelen. § 10. Het wegnemen der uarallax en het richten met den kijker. Bij het richten met den kijker zorgt men eerst, dat men door het voor- of achteruit bewegen van het oculair, de kruisdraden duidelijk ziet, zonder daarbij het oog te veel in te spannen. Ver- volgens zorgt men, dat men ook het voorwerp, waarop de kijker reeds voorloopig gericht werd, duidelijk ziet en wel door de oculairbuis in haar geheel met behulp van den geranden kop voor- of achteruit te bewegen. Is door deze bewerking het beeld van het voorwerp niet juist in het vlak van de kruisdraden gekomen, dan ontstaat er parallax (verschilricht), die men gemakkelijk kan waarnemen door het oog voor het oculair heen en weer te bewegen. Verplaatsen de draden zich daarbij ten opzichte van het voorwerp in tegengestelden zin van het oog, dan liggen die draden dichter bij het oog dan het werkelijke beeld van het voorwerp, en de oculairbuis moet dus een weinig worden ingeschoven; verplaatsen de draden zich daar- entegen in denzelfden zin als het oog, dan vindt het omgekeerde plaats en moet de oculairbuis dus een weinig worden uitgehaald. Mocht, door het wegnemen der parallax, het beeld van het voor- werp minder duidelijk geworden zijn, dan herstelt men dit door het oculair zoolang voor- of achteruit te schuiven, tot men voor- werp en draden beiden duidelijk ziet. Na aldus de parallax te hebben weggenomen, brengt men, door de beweging van den kijker in zijn geheel, het snijpunt der kruisdraden juist tot samenvalling met het punt, waarop gericht zal worden. Heeft men nu verder op andere punten te richten, die op ver- schillende afstanden gelegen zijn, dan moet men telkens opnieuw de parallax wegnemen; de stand van de oculairlens ten opzichte van de draden blijft daarbij onveranderd, zoolang dezelfde persoon van den kijker gebruik maakt. § 11. Samengestelde oculairen. Slechts zelden is de kijker op de boven omschreven eenvoudige wijze samengesteld. Om de on- volkomenheden, die zich in de beelden voordoen ten gevolge van

-ocr page 32-



		12 VIZIERINIUCHTINGEN.

		kleurschifting en afwijkingen wegens den bolvorm (chromatische en spherische aberratie), zooveel mogelijk op te heffen, worden ob- jectief en oculair beiden, uit onderscheidene lenzen samengesteld. Het objectief bestaat meestal uit eene positieve crownglas-lens en eene negatieve flintglas-lens, die zoo dicht mogelijk bij elkaar geplaatst zijn en waarvan de eerste naar het voorwerp gekeerd is. Voor het oculair worden verschillende samenstellen van lenzen gebruikt; twee van die samenstellen, die vpor het gebruik van den kijker bij de meetinstrumenten van het meeste belang zijn, namelijk die van Ramsden en Huygens, zullen wij hier in hef kort nagaan. Bij het oculair van Ramsden (fig. 8 en 9) dat uit de twee lenzen E en O, die respectievelijk de namen van veldlens of collectief-lens en van ooglens of oculairlens dragen, bestaat, wordt door de veld- lens E van het door het objectief gevormde werkelijke beeld B een eenigszins vergroot virtueel beeld F gevormd. De ooglens O vormt van dit virtueele beeld het vergroote virtueele beeld C, op den afstand van duidelijk zien, dat door het in D geplaatste oog wordt waargenomen. Bij het oculair van Huygens (fig. 10 en 11), dat eveneens uit twee lenzen bestaat, die door dezelfde namen als boven worden aangeduid, ontmoeten de lichtstralen, die van het objectief komen en in B een werkelijk beeld zouden vormen, voordat zij dit kun- nen tot stand brengen, de veldlens; waardoor deze lichtstralen zoodanig gebroken worden, dat zij in F een verkleind werkelijk beeld tot stand brengen, waarvan de ooglens O nu wederom het vergroote virtueele beeld in C vormt, dat door het in D geplaatste oog wordt waargenomen. § 12. Kruisdraden. De kruisdraden bestaan meestal uit fijne spinragdraden, die met behulp van vernis of was vastgehecht zijn op eene ringvormige plaat ab (fig. 12), die rechthoekig op de as van den kijker is aangebracht en den naam van diaphragma draagt. In plaats van spinragdraden wordt ook gebruik gemaakt van fijne lijnen, die op een dun glasplaatje ge�tst zijn, dat dan op het diaphragma bevestigd wordt. Aangezien de vizierlijn bepaald wordt door het optisch middel- punt van het objectief en het kruispunt der draden, zoo moetom den stand der vizierlijn ten opzichte van de kijkerbuis te kunnen j-egelen, overeenkomstig het doel waartoe het instrument dient, aan een dier twee punten door middel van correctie-schroefjes den

-ocr page 33-



		13
		VIZIERINRICHTINGEN.


		juisten stand gegeven kunnen worden. Hiertoe is het diaphragma meestal bevestigd aan een kegelvormig buisje cd, dat door vier correctie-schroefjes, die buiten de ocalairbuis uitsteken, in zijn stand wordt vastgehouden. Door middel van deze schroefjes kan het diaphragma en daarmede het kruispunt der draden verplaatst en dus de stand der vizierlijn geregeld worden. Daar de kruisdraden steeds moeten samenvallen met het wer- kelijk beeld in den kijker, zoo moeten bij het oculair van Ramsden de kruisdraden zich buiten, daarentegen bij dat van Huygens de kruisdraden zich in het oculair bevinden. De twee lenzen bij het eerste oculair (fig. 9) kunnen dus, evenals bij het enkelvoudige oculair (fig. 7), in ��n buisje vereenigd wor- den, dat in de oculairbuis, waarin het diaphragma met de draden is aangebracht, geschoven wordt. Het richten met den kijker, van een Ramsden oculair voorzien, heeft dan ook juist op dezelfde wijze plaats als hiervoor (§ 10) bij den enkelvoudigen kijker is uiteengezet. Bij het oculair van Huygens (fig. 11) daarentegen, moet het diaphragma tusschen de twee lenzen van het oculair aangebracht zijn. Dit maakt een klein verschil bij het richten; om de draden duidelijk te zien moet men hier alleen de ooglens O ten opzichte van de draden verplaatsen, of het diaphragma met de draden in het oculair ten opzichte van de ooglens verschuiven. In fig. 11 is een Huygens-oculair voorgesteld, waarbij op laatstgenoemde wijze de regeling plaats heeft. De openingen in de oculairbuis, waar de correctieschroefjes doorgaan, zijn langwerpig, zoodat men door tegen de schroefjes te drukken, het diaphragma met de draden in de richting der buis kan verplaatsen. Worden eindelijk de draden duidelijk gezien, dan heeft het verdere richten weer plaats op boven beschreven wijze.

-ocr page 34-



		HOOFDSTUK III.

		PASLOOD EN NIVEAU. § 13. Paslood. Een koord, aan het eene einde vastgehouden en aan het andere met een gewicht bezwaard, geeft, zoo liet geheel vrij hangt, eene verticale lijn aan Deze eenvoudige in- richting, onder den naam van jxislood of schietlood bekend, wordt in het landmeten gebruikt om baken verticaal te stellen, en om een punt van een instrument op een onderliggend vlak te projec- teeren. Tot dit laatste doel geeft men aan het gewicht den vorm van een in een punt uitloopend omwentelingslichaam, zoodat op- hangpunt, zwaartepunt en spits in eene lijn liggen, waardoor de spits juist in het verlengde van het koord valt. § 14. TiiiiniH-iiianswatpri>as. Het timmermanswaterpas dient om met behulp van het paslood eene horizontale lijn aan te geven. Een samenstel van latten (fig. 13) vormt een gelijkbeenigen drie- hoek , in den top C waarvan een paslood is opgehangen, en waarop bij D door een streepje de richting van de uit C op AB neergelaten loodlijn is aangegeven. Valt het vrijhangend paslood met dez"e loodlijn samen, speelt het schietlood in, dan is de lijn AB en dus ook de bovenkant XX\' van de lineaal, waarop het waterpas staat, horizontaal. Is het timmermanswaterpas, zooals in fig. 44 is voorgesteld, tevens van een graadboog voorzien, waarvan het middelpunt in C en het nulpunt in de loodlijn CD ligt, dan geeft, als de basis AB niet horizontaal is, het paslood op dien graadboog de helling van de basis aan.

-ocr page 35-



		PASLOOD EN NIVEAU. 15 § 15. Onderzoek van liet timmermanswaterpas. Om te onder- zoeken of de lijn CD werkelijk rechthoekig staat op AB, plaatst men het waterpas op den bovenkant van een lineaal, die men met behulp van wiggen of schroeven verstellen kan. Door middel hiervan laat men het koord inspelen; is dan de lijn CD werkelijk rechthoekig op AB, dan zal de bovenkant van de lineaal horizon- taal zijn; draait men het waterpas dan 180\' om eene verticale as om en plaatst het weer op de lineaal, dan zal het koord weel- moeten inspelen. Doet het dit niet, dan is dit een bewijs dat de lijn CD niet rechthoekig staat op AB; de 1\'yn die den hoek, gevormd door CD en het koord in den tweeden stand, middendoor deelt, zal dan de lijn zijn, die rechthoekig op AB staat.\' Kan de liniaal niet met behulp van wiggen of schroeven versteld worden, kan men het paslood dus niet doen inspelen, dan toekent men in beide standen van het instrument de richting van het koord aan, de lijn CD moet dan den hoek, door die twee rich- tingen gevormd, middendoor deelen, § 1G. Eliminatie van de font in de plaatsing van het nulpunt. Het onderzoek naar de juiste plaatsing van het nulpunt van den graadboog geschiedt op geheel overeenkomstige wijze. Men kan echter ook, zonder den stand van het nulpunt te verbeteren, door eene dubbele meting de gevraagde helling bepalen met eliminatie van de fout in het nulpunt. Onderstellen wij namelijk dat het nulpunt onjuist ware aangegeven; dat het zich moest bevinden in D (fig. 15a), doch in D\' was gesteld, zoodanig dat hoek DCD\';:=^ ware. Zij in dit geval de allezing bij H: D\'H = a, dan is, als wij de helling van de liniaal door i voorstellen: i = et -f- <�. Draaien wij nu het waterpas 180° om eene verticale as om en plaatsen het weer op de liniaal (fig. 15J), dan vinden wij, als wij nu aflezen: D\'H\' = 0: i == � � * Uit deze twee vergelijkingen volgt: � /3 � cc . a � waarvan de eerste uitdrukt, dat de fout in de plaatsing van het nulpunt gelijk is aan het halve verschil van de twee aflezingen, terwijl de tweede uitdrukt, dat het gemiddelde van de twee afle- zingen de helling geeft, onafhankelijk van de fout in de plaatsing van het nulpunt.

-ocr page 36-



		16 PASLOOD EN NIVEAU.

		Men kan dus altijd, door het doen van twee aflezingen, de fout van het instrument elimineeren, of wel, die fout, eens bepaald zijnde, bij iedere meting in rekening brengen. § 17. Huis-lucht bel. Waar het op grootere nauwkeurigheid bij het aangeven van de horizontale of verticale richting aankomt, dient men eene meer volkomene inrichting dan het paslood te bezigen. Deze bezit men in het niveau of de luchtbel, die onder twee vormen voorkomt: het buis niveau en het doos-niveau. Het buis-niveau, fig. 16, bestaat uit eene cilindervormige glazen buis, waarvan de bovenzijde inwendig volgens de lengte flauw cirkelvormig is uitgeslepen. Deze buis, aan beide zijden behoorlijk afgesloten, is voor het grootste gedeelte met alcohol of aether gevuld; de overblijvende ruimte, die door damp van de vloeistof wordt ingenomen, doet zich als eene langwerpige luchtbel voor. Uitgaande van het midden der buis, is op haar bovenvlak eene verdeeling in gelijke deelen aangebracht. Komt het midden van de bel juist overeen met het midden of nulpunt dier verdeeling, hetgeen men waarneemt door na te gaan of de twee uiteinden der bel evenver van -het midden afstaan, dan zegt men dat het niveau of dat de bel inspeelt. De raaklijn aan de cirkelvormige lengtedoorsnede van de buis, ter plaatse van het nulpunt der verdeeling, draagt den naam van richtlijn. Is het niveau nu volkomen cirkelvormig uitgeslepen, dan zal, aangezien de luchtbel altijd het hoogste punt inneemt, de richtlijn horizontaal zijn, zoodra het niveau inspeelt. In de richtlijn heeft men dus eene lijn, waarvan men met nauwkeurigheid kan nagaan of zij horizontaal is, en daardoor is men dus in stnatden horizontalen of verticalen stand van andere lijnen te onderzoeken. § 18. Het meten van kleine hellingen door de uitwijking der bel. Is de richtlijn niet horizontaal, speelt m. a. w. het niveau niet in, dan geeft de uitwijking van de bel onmiddellijk de helling van de richtlijn aan. Zij toch A (fig. 17) het nulpunt der verdeeling, dan is aa de richtlijn, en zij het middelpunt der bel in B dan is de raaklijn bb in B horizontaal, en de helling van de richtlijn bijge- volg gelijk aan den hoek tusschen aa en bb. Daar nu deze hoek gemeten wordt door boog AB, zoo is AB de maat voor de helling der richtlijn. De uitwijking van het midden der bel uit het nulpunt der verdeeling, wordt gevonden uit de standen van de uiteinden der

-ocr page 37-



		17
		PASLOOD EN NIVEAU.

		bel ten opzichte van dat nulpunt. Is b. v. m de aanwijzing van het linker-uiteinde der bel, links van het nulpunt, en n de aan- wijzing van het rechter-uiteinde, rechts van het nulpunt, dan wijkt het midden der bel �^� deelstrepen links van het nul- punt uit. Wil men de helling der richtlijn in minuten of seconden uit- drukken, dan moet deze waarde nog vermenigvuldigd worden met de zoogenaamde hoek waarde van het niveau, d. i. de hoek, die overeenkomt met eene uitwijking over een niveaudeel. Is a de lengte van een niveaudeel en r de straal der inwendige kromming, dan is deze hoek waarde in seconden uitgedrukt: 20G265"----- r § 19. Bevestiging der lnchtbel-bnis. De glazen niveaubuis is meestal in een koperen omhulsel gevat, dat aan de bovenzijde open is, om de bel in haren stand ten opzichte van de verdeeling op de buis te kunnen waarnemen. Door middel van dit omhulsel is de luchtbel-buis, overeenkomstig het doel waartoe zij zal die- nen, aan een voet of aan een instrument bevestigd. De voornaamste doeleinden waartoe het niveau wordt gebruikt, als: het horizontaal stellen van een vlak of van eene cilinder- vormige as, en het verticaal stellen van eene omwentelingsas, zullen hier achtereenvolgens behandeld worden. Andere doel- einden, waartoe liet niveau bij het landmeten nog gebruikt wordt, zullen bij de verschillende instrumenten van zelf ter sprake komen. § 20. Horizontaal stellen van een vlak. De luchtbel-buis, in fig. 18 voorgesteld, is ingericht tot het horizontaal stellen vaneen vlak; zij is daartoe op eenen, aan de onderzijde vlak afgeslepen, voet AB bevestigd en wel zoodanig, dat de richtlijn van het niveau evenwijdig loopt met den onderkant van dien voet. Is dit toch het geval, dan zal zoodra de luchtbel inspeelt die voet en dus ook het vlak waarop hij rust, ten minste in de richting van het niveau, horizontaal zijn. Om te onderzoeken of een vlak horizontaal is, heeft men slechts, met behulp van het niveau, na te gaan of twee elkaar snijdende lijnen, in dat vlak gelegen, horizontaal zijn. Plaatst men dus het niveau in twee elkaar snijdende richtingen op het vlak en speelt het in beide standen in, dan is het vlak horizontaal. S. 2

-ocr page 38-



		1X
		PASLOOD EN NIVEAU.


		Om een vlak, dat door de drie stelschroeven A, B en C (fig. 19) in willekeurigen stand kan worden gesteld, den horizon- talen stand te geven, plaatst men het niveau daarop volgens eene richting I, evenwijdig aan de lijn die twee stelschroeven, b.v.: A en B, vereenigt en brengt het niveau door een van beide of door beide te zamen tot inspelen. Vervolgens plaatst men het niveau in eene richting rechthoekig op de eerste, dus volgens II, en brengt het wederom tot inspelen, maar nu door uitsluitend met de schroef C te werken. De twee lijnen I en II zijn zoodoende beide horizontaal gesteld en dus is het geheele vlak horizontaal. Daar echter bij het werken met de schroef C, het vlak niet wentelt om de lijn AB, in dat vlak gelegen, maar om de lijn, die de punten van de schroeven A en B vereenigt, en deze lijn in het algemeen niet horizontaal is, zoo zal de horizontale stand van I daardoor allicht een weinig verstoord worden en is het dus raadzaam de bewerking nog eens te herhalen. Rust het vlak, zooals in fig. 20, op vier stelschroeven A, B, C en D, als op de hoekpunten van een rechthoek, dan stelt men het niveau eerst b.v. in de richting I volgens de diagonaal AD, en brengt het tot inspelen door middel van de schroeven A en D, waaraan men, om het vlak den vasten stand te doen behouden, evenveel en in tegengestelden zin moet draaien. Vervolgens plaatst men het niveau in de richting II volgens de diagonaal BC, en brengt het op overeenkomstige wijze tot inspelen met behulp van de schroeven B en C. Daar men nu de twee lijnen AD en BC horizontaal gesteld heeft, is het vlak ook horizontaal. Om gelijke reden als boven herhale men de bewerking tot het niveau in beide standen goed inspeelt. Ook zou men eerst het niveau kunnen plaatsen in de richting I fig. 21, evenwijdig aan de verbindingslijn der schroeven A en B en het tot inspelen brengen door middel van de schroeven B en D of A en C, maar nu door aan beide evenveel en in dezelfde richting te draaien; plaatst men vervolgens het niveau in eene richting rechthoekig op de eerste, dus volgens II, en brengt het tot inspelen door op overeenkomstige wijze aan de schroeven A en B of C en D te werken, dan heeft men twee onderling recht- hoekige lijnen in het vlak horizontaal geplaatst en dus ook het geheele vlak. Ook hier moet men om gelijke reden als boven de bewerking herhalen. Daar bij de eerst beschreven methode het snijpunt van de diagonalen AD en BC, fig. 20, denzelfden stand ten opzichte van

-ocr page 39-



		19
		PASLOOD EX NIVEAU.

		liet ondersteuningsvlak behoudt, maar bij de tweede methode niet, zoo moet overal, waar dat punt van het vlak met het ondersteu- ningsvlak verbonden is, de eerste methode gebruikt worden; in andere gevallen is het onverschillig welke methode men toepast. § 21. Regeling van liet nivean tot het horizontaal stellen van een vlak. Wij hebben boven gezien, dat tot het horizontaal stellen van een vlak, de richtlijn van het niveau evenwijdig moet loopen met den onderkant van den voet. Om dit te kunnen verkrijgen is liet niveau CD, fig. 18, aan het uiteinde D om eene as draaibaar en wordt aan het andere uiteinde C door eene correctieschroef, die door een spiraalveer wordt tegengewerkt, vastgehouden. Met behulp van deze correctieschroef kan men nu aan de richtlijn den vereischten stand geven. _g Ten einde den stand van de richtlijn ten opzichte van den voet te onderzoeken, plaatst men het niveau op den bovenkant van een liniaal, die door middel van wiggen of schroeven gesteld kan worden en doet met behulp daarvan de bel inspelen. Is het niveau nu goed geregeld, dan zal de onderkant van den voet en dus de bovenkant van de lineaal horizontaal zijn; draait men het niveau dus 18(F om een verticale as om en plaatst liet ■weer op de lineaal dan moet het weer inspelen. Was daarentegen het niveau niet goed geregeld, maar maakte de richtlijn bijv. een hoek ^ met den onderkant van den voet, dan zou bij het inspelen der bel de onderkant van den voet, en dus ook de bovenkant van de lineaal, een hoek « met den hori- zon maken. Draait men nu het niveau 18CP om, dan maakt de richtlijn met den horizon een hoek, gelijk aan den hoek tusschen den bovenkant van de lineaal en den horizon, plus den hoek tusschen de richtlijn en den onderkant van den voet, dat is dus een hoek 2a. De bel wijkt dus uit over een afstand overeen- komende met het dubbel van de fout in het niveau. Om dus het niveau te regelen, moet men de helft van de uitwijking der bel wegnemen met behulp van de correctieschroef van het uiveau. Daar het moeielyk is, om in eens juist de helft van de uit- wijking weg te nemen, zoo moet men de bewerking nog eens herhalen, door de bel weer te doen inspelen met behulp van de wiggen of schroeven van de lineaal en het niveau 180³ om te plaatsen. De zich nog vertoonende kleine uitwijking der bel wordt weer voor de helft met behulp van de correctieschroef weggenomen.

-ocr page 40-



		20
		PASLOOD EN NIVEAU.


		§ 22. Horizontaal stellen van eene omwenteling-sas. Tot het horizontaal stellen van de as XX\', �g. 22, die met cilindervor- mige tappen in twee pannen rust, waarvan minstens eene in verticalen zin kan verplaatst worden, rust het niveau met twee vorken abcd, a\'b\'c\'d\' op de tappen, zoodanig dat de richtlijn even- wijdig is met de as XX\' der tappen en dat het niveau noch ter eener noch ter anderer zijde van het verticale vlak, dat door die as gaat, overhelt. Speelt de bel dan in, dan is de richtlijn en dus ook de as XX\' horizontaal. Om het niveau te regelen, zijn twee�rlei correctieschroeven aangebracht; de schroeven DD\' dienen om de richtlijn in ��n vlak te brengen met de as XX\' en de schroeven CC\' om die lijn in dat vlak evenwijdig aan die as te maken. Aan den eersten eisch moet voldaan zijn, opdat de stand van de bel niet afhankelijk zij van eene kleine overhelling van het niveau ter eener of ter anderer zijde van het verticale vlak, dat door de as XX\' gaat. Hadden toch de richtlijn ad en de as XX\' den onderlingen stand in lig. 23 in horizontale projectie voorgesteld en speelde de bel in, dan zou, indien de waarnemer in A staande, het niveau eene kleine draaiende beweging om de as gaf, naar zich toe en van zich af, in het eerste geval de bel rechts, in het tweede geval de bel links uitwijken. Het is hieruit ook duidelijk, hoe het niveau met betrekking tot den gestelden eisch beproefd en zoo noodig geregeld kan worden. Men plaatst het namelijk naar behooren op de tappen, brengt het door middel van de schroeven van de beweegbare pan of door middel van de stelschroeven, die het instrument tot dat doeraan- biedt, tot inspelen en geeft vervolgens aan het niveau, dat steeds op de tappen blijft rusten, eene kleine wentelende beweging om de as XX\', zoo in de eene als in de andere richting; blijft de bel hierbij inspelen, dan vereischt het niveau in het bedoelde opzicht geene correctie; verplaatst de bel zich echter bij beide bewegingen in tegengestelden zin, dan liggen richtlijn en as niet in hetzelfde vlak. Uit de richting waarin de bel uitwijkt kan dan gemakkelijk opgemaakt worden, in welken zin men met de schroeven DD\' moet werken om de fout weg te nemen. Het voldoen aan den tweeden eisch, d. i. het evenwijdig bren- gen van richtlijn en as der tappen, geschiedt op overeenkomstige wijze als is aangegeven bij het onderzoek van het niveau, dat zal dienen tot het horizontaal stellen van een vlak. Na het niveau naar behooren op de tappen geplaatst te hebben en met behulp

-ocr page 41-



		TASLOOD EN NIVEAU. 21

		van de schroeven van de beweegbare pan of van de stelschroeven van het instrument te hebben laten inspelen, wordt het op de as 180\' omgedraaid; speelt de bel nu weer in. dan is het niveau goed geregeld, speelt zij niet meer in, dan neemt men de helft van de uitwijking der bel met behulp van de schroeven CC\' weg. Het is duidelijk dat beide aangegeven correcties steeds hand aan hand moeten gaan. Heeft eerst de correctie met de schroeven CC\' vrij voldoende plaats gehad, dan corrigeere men het niveau zoo goed mogelijk in horizontalen zin met de schroeven DD\', om dan de correctie in verticalen zin met de schroeven CC\' te vol- tooien. Is het niveau, zooals zulks bij enkele instrumenten het geval is, aan de as zelf bevestigd, dan geeft dit bij het gebruik en bij de regeling geen verschil; alleen moet voor de correctie met de schroeven DD\' de as met het niveau meedraaien en moet voor de correctie met de schroeven CC\' de as in de pannen worden omgelegd. § 23. Verticaal stellen van eene onwentelingsas. In fig. 24 stelt A eene kegelvormig uitgeboorde bus voor, die door drie schroeven E, F en G ondersteund wordt en daardoor gesteld kan worden. In die kegelvormige bus past de as B, waaraan het bovendeel HH van het instrument bevestigd is, zoodat dit bovendeel om de meetkundige as van de kegelvormige bus kan draaien. Ten einde deze as verticaal te stellen, is aan het bovendeel een niveau CD zoodanig verbonden, dat de richtlijn van dat niveau rechthoekig staat op de verticaal te stellen as. Draait men het bovendeel van het instrument nu om de as rond, dan zal de richtlijn een plat vlak beschrijven rechthoekig op die as. Staat dit denkbeeldig vlak horizontaal, hetgeen men kan nagaan door te onderzoeken of het niveau in twee verschillende standen, die liefst rechthoekig op elkaar staan, inspeelt, dan is ook de as verticaal. Tot het verticaal stellen van de as is het dus slechts noodig dat denkbeeldige vlak horizontaal te stellen, hetgeen op overeenkomstige wijze kan geschieden, als hier boven voor het horizontaal stellen van een vlak in het algemeen is geleerd. Men brengt namelijk het niveau door draaiing om de as evenwijdig met de verbindingslijn van twee stelschroeven, bijv. E en F, en brengt het daarmede tot inspelen; vervolgens draait men het bovendeel 90° om en doet het niveau inspelen door middel van de stelschroef G. Om gelijke reden als vroeger herhaalt men de bewerking nog eens.

-ocr page 42-



		22
		PA.SI.OOD EN NIVEAU.

		Is het instrument niet door drie maar door vier stelsehroeven ondersteund, dan wijst het boven behandelde omtrent het over- eenkomstige geval bij het horizontaal stellen van een vlak den weg aan, dien men moet inslaan. § 2i. Regeling Tan het niveau tot het verticaal stellen van eene as. Zooals uit het bovenstaande blijkt, moet de richtlijn rechthoekig staan op de as; om dit te verkrijgen is het niveau bij D weer om eene as draaibaar en wordt het bij C door eene eorreetieschroef vastgehouden. Om te onderzoeken of aan dezen eisch voldaan is en zoo noodig het niveau te regelen, gaat men op overeenkomstige wijze te werk, als bij het niveau dat moest dienen tot het honzontnal stellen van een vlak. Na de as, zoo goed als dit met het niet geregelde niveau mogelijk is, verticaal gesteld te hebben, brengt men het niveau door draaiing van het bovendeel van het instrument boven een der schroeven en doet het daarmede juist inspelen. Draait men nu het bovendeel van het instrument 180\' om, dan moet, als het niveau goed geregeld is, de bel nog inspelen. Speelt zij niet meer in, dan geeft om gelijke reden als vroeger de uitwijking het dubbel van de fout aan en deze uitwijking moet dus voor de helft met de eorreetieschroef C worden weggenomen. Ten einde zeker te zijn dat het niveau nu goed geregeld is, herhaalt men het onderzoek, na eerst de as met het nu geregelde niveau beter verticaal gesteld te hebben. § 25. Doosniveau. liet doosniveau (fig. 25) bestaat uit eene ronde koperen doos, van boven afgesloten door eene aan de be- nedenzode bolvormig uitgeslepen glasplaat. De doos is weer voor het grootste gedeelte gevuld met alcohol of aether, eene zoo- genaamde luchtbel overlatende, die altijd het hoogste punt tracht in te nemen. Boven op de glazen plaat zijn eenige concentrische cirkels gegrift; staat de luchtbel juist concentrisch met deze cirkels, dan zegt men dat zij inspeelt; het raakvlak aan het bol- vormig oppervlak ter plaatse van het middelpunt der cirkels en dat den naam van richtvlak draagt, is dan horizontaal. Tot het horizontaal stellen van een vlak is de onderkant der doos afgeslepen volgens een plat vlak, evenwijdig met het licht- vink. Plaatst men het doosniveau dus op een plat vlak en doet het inspelen, dan is het richtvlak en bijgevolg ook het eerste vlak horizontaal.

-ocr page 43-



		23
		PASLOOD EN NIVEAU.


		Hoe men op de eenvoudigste wijze de bel tot inspelen brengt moge uit het in fig. 26 voorgestelde geval blijken. De bel die eerst in D staat, wordt door de schroeven A of B of door beide samen in E gebracht, dat is in de loodlijn, uit het midden der concentrische cirkels op AB neergelaten. Door nu aan de schroef C te draaien kan men de bel onmiddellijk bij F tot inspelen brengen. Om te onderzoeken of het richtvlak werkelijk evenwijdig loopt met den onderkant der doos, kan men een vlak met behulp van een buisniveau horizontaal stellen en dan nagaan of het daarop geplaatste doosniveau inspeelt, of men kan ook het niveau met behulp van de stelschroeven van het vlak tot inspelen brengen en het dan 180° op het vlak omdraaien. Speelt het niet meer in, dan moet men den onderkant door afslijpen (correctieschroeven zijn zelden aanwezig) evenwijdig met het richtvlak brengen. Tot het verticaal stellen van eene as, is het doosniveau zoodanig aan het bovenstel bevestigd, dat het richtvlak rechthoekig op de as staat. Stelt men dan het richtvlak horizontaal door de bel te doen inspelen, dan is de as verticaal. Om aan het niveau den juisten stand ten opzichte van de as te geven, is dit meestal met behulp van drie correctieschroefjes bevestigd. Bij de regeling kan men dan als volgt te werk gaan. Als aan dezelfde as ook een buisniveau verbonden is, kan men haar eerst hiermede verticaal stellen, en dan het doosniveau met behulp van de drie correctieschroefjes tot inspelen brengen. Is dergelijk buisniveau niet aanwezig, dan brenge men het doos- niveau tot inspelen en draaie nu het bovendeel van het instru- ment 180° om; blijft het nog inspelen dan is het goed geregeld; wijkt de bel uit, dan moet die uitwijking voor de helft door middel van de drie correctieschroefjes worden weggenomen.

-ocr page 44-



		HOOFDSTUK IV.

		THEODOLIET. § 26. Beschrijving. De theodoliet is een instrument, dat dient tot het meten van horizontale en van verticale hoeken. Onder horizontalen hoek verstaan wij den hoek tusschen de horizontale projecties van twee rechte lijnen, of wat hetzelfde is, den stand- hoek van de twee horizontaal projecteerende vlakken van die lijnen. Onder verticalen of elevatie-hoek verstaan wij den hoek, die eene rechte lijn met hare horizontale projectie maakt. Tot het meten dezer hoeken is de theodoliet in hoofdzaak als volgt ingericht. Een verdeelde cirkelrand R,, lig. 27, die door middel van een drietal stelschroeven A ondersteund wordt, dient om daarop de horizontale hoeken af te lezen. Om een as (l^stc as) loodrecht op het vlak van den cirkelrand en gaande door diens middelpunt, is een wijzer of alhidade D draaibaar, die aan beide einden vaneen nonius voorzien is. Op de alhidade zijn twee armen 11 aange- bracht, die in pannen K eindigen, om de as L (2^do as) op te nemen waaraan de kijker M bevestigd is. Aan deze zelfde as is, ten einde de beweging van den kijker om die as te meten, een cirkelrand R₂ bevestigd; de noniussen P, waarmede op dien rand wordt afgelezen, zijn aan een der armen I verbonden. § 27. Behalve de genoemde hoofdbestanddeelen zijn er nog verschillende onderdeelen, die tot het nauwkeurig nieten veel bijdragen en die wij dus moeten leeren kennen.

-ocr page 45-



		THEODOLIET. 25 Om het instrument op liet terrein te kunnen gebruiken, wordt het op een houten drievoet geplaatst. Deze bestaat uit een kop A (fig. 30) en drie beenen E, die door middel van scharnieren met den kop verbonden zijn, om daardoor de beenen naar de oneffen- heden van het terrein te kunnen stellen. De beenen zijn beneden van spitse ijzeren schoenen F voorzien, waarmede zij in den grond gedrukt worden, door den voet op den uitsprong G te plaatsen. Aan het boveneinde kunnen de beenen draaien om de as B (fig. 31), die door den aan de stang C bevestigden ring gaat. Wordt de schroefmoer D op deze stang vast aangeschroefd, dan wordt het been in de cilindervormige uitholling van den kop vastgedrukt en daardoor dat been met den kop vast ver- bonden. De bevestiging van den theodoliet op den drievoet moet de werking met de stelschroeven A (fig. 27) toelaten en tevens eene verschuiving van het geheele instrument op den drievoet mogelijk maken, om daardoor het midden van het instrument juist verti- caal boven een bepaald punt van het terrein te kunnen brengen. De verbinding wordt daarom tot stand gebracht met behulp van de in fig. 29 voorgestelde veer. Aan het onderstel B van het instrument wordt op de een of andere wijze (hier door den haak D, die in het oog C grijpt; zie ook fig. 27) eene schroefstang EF bevestigd, die door eene ope- ning van den kop A van den drievoet gaat en waarop de moer G geschroefd is. Tusschen deze moer en de plaat II, die tegen den onderkant van den kop A drukt, bevindt zich een spiraal- veer, die de moer G en daarmede de stang EF en het instrument naar omlaag drukt en het instrument dus op den voet vastklemt. Door middel van de moer G is het mogelijk de spanning van de spiraalveer naar willekeur te regelen, terwijl de groote opening in den kop van den drievoet het verschuiven van bet instrument op den voet toelaat. Beneden aan de stang EF is nog een haakje K bevestigd, om daaraan een schietlood op te hangen, waardoor dan het midden van het instrument op het terrein geprojecteerd wordt. Aan den eersten cirkelrand R, (fig. 27) is de bus B bevestigd, waardoor het instrument ondersteund wordt. Deze bus is kegel- vormig uitgehold en daarin past de kegelvormige a-i van de alhi- dade D. Om deze as, die wij de eerste as noemen, en die bij het

-ocr page 46-



		26
		THEODOLIET.


		gebruik verticaal gesteld moet worden, kan het geheele bovenstel van het instrument draaien. De alhidade D heeft veelal den vorm van een vollen cirkelrand (alhidade-ciikel) en dekt zoodoende de verdeeling van den rand R,, die daardoor voor beschadiging ge- vrijwaard is. Ter plaatse waar de noniussen zijn aangebracht, is uit don alhidade-cirkel een stuk uitgenomen en door een glazen plaatje vervangen. Daarboven zijn de loupen E aangebracht om de noniussen beter te kunnen aflezen en de illuminators F, om het daglicht daarop terug te kaatsen. Door middel van de schroef G kan men de alhidade D niet den cirkelrand R, verbinden, zoodanig, dat de beweging van de alhidade en van het geheele bovenstel van het instrument ten opzichte van den rand is opgeheven, de schroef II laat dan echter nog eene fijne beweging van het bovenstel toe, die noodig is om den kijker juist te kunnen richten. Deze inrichting voor vast- klemmen en fijne beweging, die ook bij vele andere instrumenten voorkomt, is in fig. 2Sabc op grootere schaal in detail voorgesteld. De twee plaatjes A en B waarvan het eene onder, het andere boven den cirkelrand is aangebracht, kunnen door het aandraaien van de schroef G aan den rand R worden vastgeklemd; was nu het plaatje B aan de alhidade bevestigd, dan zou deze ook met den rand verbonden en geene beweging meer mogelijk zijn. De verbinding van het plaatje B heeft echter plaats door de schroef II, die den naam van micrometerschroef draagt en die in het bolletje F, dat met de alhidade verbonden is, hare moer vindt en in het bolletje E, dat met B verbonden is, kan draaien. Wordt dus de schroef H omgedraaid, dan moet het bolletje F en daarmede de alhidade om de eerste as eene kleine hoekver- plaatsing ondergaan. Bij het meten van verticale hoeken is het tevens noodig de beweging van den kijker om de tweede as L te kunnen opheffen en daaraan eene fijne beweging te kunnen mededeelen. De in- richting daartoe zou dezelfde kunnen zijn als boven beschreven is; bij denzin de figuur 27 voorgestelden theodoliet is dit doel op eenigszins andere wijze verkregen; door middel van de schroef Q wordt, op de wijze als fig. 32a of 32J voorstelt, de arm S aan de as verbonden, terwijl die arm aan het benedeneinde door de spiraalveer U tegen de schroef � gedrukt wordt. Door het draaien aan deze schroef wordt dus aan den arm S en daar- mede aan de as L en den kijker M, eene draaiing om die as medegedeeld.

-ocr page 47-



		27
		THEODOLIET.


		De cirkelrand R₂, tot het meten der verticale hoeken bestemd, is meestal aan de as bevestigd, terwijl de noniussen PP aan de stutten I verbonden zijn. Ten einde de tweede as rechthoekig op de eerste te kunnen stellen is een van de stutten I (in lig. 27 de naar den waarnemer toegekeerde) in twee deelen verdeeld, die door de correctie- schroefjes NN verbonden zijn. Op het diaphragma van den kijker werken vier schroefjes 00, om er den stand van de vizierlijn mee te kunnen regelen. Eindelijk moet tot het verticaal stellen der eerste as eene lucht- bel aanwezig zijn; deze kan op verschillende wijzen aangebracht zijn. Bij den in de figuur voorgestelden theodoliet is zij bij VW op den alhidade-cirkel bevestigd in een richting evenwijdig met het vlak, waarin de kijker zich bij zijne draaiing om de tweede as beweegt. Deze stand van het niveau is voor een kleinen the- odoliet, die zoowel tot het meten van verticale als van horizontale hoeken dient, de meest gunstige. § 28. Het meten van horizontale hoeken. Als de tlieodeliet zal dienen tot het meten van horizontale hoeken, moet de tweede as rechthoekig staan op de eerste en de vizierlijn rechthoekig op de tweede as. Aan deze voorwaarden, die betrekking hebben op den cnderlingen stand der deelen van het instrument, wordt, alvorens men eene serie van metingen aanvangt, door het regelen van den theodoliet voldann. Verder moet het midden van het instrument in de verticaal van het hoekpunt geplaatst en de l^st0 as verticaal gesteld worden. Aan deze twee voorwaarden, die betrekking hebben op den stand van het geheele instrument ten opzichte van het terrein, wordt, in ieder punt waar men een hoek zal gaan meten opnieuw, door het opstellen van het instrument voldaan. De twee eerste voorwaarden dragen daarom den naam van voorwaarden van regeling, de twee laatsten dien van voorwaarden van opstelling. Het onderzoek of aan de voorwaarden van regeling voldaan is en de regeling zelve tot een volgende paragraaf uitstellende, zullen wij hier nagaan hoe het instrument wordt opgesteld en de horizontale hoeken gemeten worden. Nadat men den drievoet op het terrein zoodanig boven het hoekpunt heeft geplaatst, dat het midden van de opening in den kop ongeveer in de verticaal van het hoekpunt ligt en het

		.

-ocr page 48-



		28
		THEODOLIET.


		boven vlak van den kop op het oog horizontaal is, wordt de theodoliet er opgezet en met de in fig. 29 afgebeelde veer beves- tigd, zonder die veer te sterk te spannen. Met behulp van het schietlood dat aan den haak K wordt opgehangen, onderzoekt men nu of het midden van het instrument in de verticaal van het hoekpunt ligt; mocht dit niet het geval zijn, dan wordt het instrument op den voet dienovereenkomstig verschoven en met de schroefmoer G vastgezet; mocht de afwijking te groot zijn, dan kan deze natuurlijk alleen verholpen worden door het instrument met den drievoet te verplaatsen. Is alzoo aan de eerste voorwaarde voldaan, dan gaat men over tot het verticaal stellen van de eerste as met behulp van het niveau en de stelschroeven, op de wijze als zulks in hoofdstuk III is medegedeeld. Aan welke voorwaarden daarbij het niveau moet voldoen, hoe het onderzocht en zoo noodig geregeld wordt, is daar ter plaatse ook reeds behandeld. § 29. Is de theodoliet aldus opgesteld, dan kan men overgaan tot het meten van de horizontale hoeken. Stel, om de gedachten te bepalen, dat men den horizontalen hoek moet meten tusschen de lijnen, gaande van het punt A, waarboven men het instrument heeft opgesteld, naar de punten B en C. Men begint dan met den kijker bijv. op het punt B te richten, door die met de hand om de twee assen te draaien, waarbij natuurlijk de twee klem- schroeven G en Q losgedraaid moeten zijn. Heeft men op die wijze den kijker zoodanig gericht, dat het punt B zich in het gezichtsveld van den kijker dicht bij het kruispunt der draden vertoont, dan heft men de beweging om de eerste as op, door de klemschroef G aan te draaien, en brengt door middel van de schroef H den verticalen draad juist door het punt B, waarbij men dan tevens nagaat of er ook parallax in den kijker is en die zoo noodig verhelpt. Heeft men aldus op het punt B gericht, dan leest men den stand van beide noniussen af en herhaalt diezelfde bewerking voor het punt C. Trekt men de twee aflezingen, behoorende bij denzelfden nonius van elkaar af, dan vindt men twee waarden voor den hoek, waarvan men het gemiddelde neemt om zoodoende eene mogelijk aanwezige fout van excentriciteit (zie § 5) te elimineeren. Dat de aldus gevonden hoek werkelijk de horizontale hoek tus- schen de lijnen AB en AC is, valt gemakkelijk in te zien. Door

-ocr page 49-



		29
		THEODOLIET.


		liet richten op het punt B gaat het vlak, dat de vizieilijn bij eene draaiing om de 2^dc as beschrijft, door het punt B. Dit vlak, loodrecht staande op de horizontale 2<i^e as, is dus het horizontaal projecteerend vlak van de lijn AB. Door draaiing van het boven- stel van het instrument om de l^ste as, tot men gericht is op C, wordt dit vlak het horizontaal projecteerend vlak van AC, en de hoek, door dat vlak doorloopen, dat is de op den cirkelrand gemeten hoek, is dus de standhoek tusschen die twee projectee- rende vlakken, dat is de te meten hoek. Heeft men meer dan een hoek in hetzelfde punt te meten, bijv. de hoeken, gevormd door de lijnen, gaande naar de punten B, C, �, E, enz., dan richt men achtereenvolgens op de punten B, C, D, E, enz. en leest telkens de beide noniussen af. Door de aflezingen twee aan twee van elkander af te trekken, vindt men al de verlangde hoeken. § 30. Het doorslaan van den kijker. Zooals wij boven gezien hebben, moet de theodoliet en in het algemeen ieder instrument aan zekere voorwaarden van regeling voldoen; wordt hieraan niet voldaan, dan ontstaan er fouten in de meting. Men moet natuurlijk zorgen de uitkomsten der meting te vin- den, bevrijd van deze fouten. Dit kan geschieden door het in- strument naar behooren te regelen of door de meting zoodanig in te richten, dat die fouten ge�limineerd worden. Is dit laatste mogelijk, dan is het zaak van die methode van meting gebruik te maken, ook al heeft men het instrument goed geregeld, want bij het regelen kunnen nog kleine fouten over- gebleven zijn en deze worden dan door de meting zelve ge- �limineerd. Bij een theodoliet is het mogelijk de fouten, die voortspruiten uit het niet-voldoen aan de voorwaarden van regeling, te elimi- neeren en wel door het doorslaan van den kijker. De stutten I van den theodoliet (zie fig. 27) zijn zoo lang gemaakt, dat het oculair van den kijker vrij over den alhidade- cirkel kan bewegen en dus aan die zijde kan komen waar eerst het objectief was; dit objectief komt daardoor natuurlijk aan de andere zijde waar zich vroeger het oculair bevond. Deze beweging van den kijker noemt men het doorslaan. Meet men nu tweemaal denzelfden hoek, eens met den kijker in den gewonen stand, dan met den kijker in den doorgeslagen stand, dan worden door het nemen van het gemiddelde uit de

-ocr page 50-



		.10
		THEODOLIET.


		twee aldus gevonden waarden voor den hoek, de fouten voort- spruitende uit het niet zuiver regelen van den theodoliet, ge�li- mineerd. § 31. Om aan te toonen, dat hierdoor werkelijk de bedoelde fouten ge�limineerd worden, zullen wij veronderstellen dat een der punten, bijv. het punt C, met het punt A in een horizontaal vlak ligt, dat het punt B zich echter op eenige hoogte daarboven bevindt. Projecteeren wij nu op een cilindervlak, waarvan de verticaal in het standpunt A de as is, en zij fig. 30 de ontwik- keling van dat cilindervlak, IIH de doorsnijding van het cilinder- vlak met het horizontale vlak door A, dan zal het punt C, volgens bovenstaande onderstelling in de lijn HII gelegen zijn, terwijl het punt B zicli daar boven zal bevinden. Is de theodoliet nu goed geregeld en goed opgesteld, dan zal, als wij op B gericht hebben en den kijker naar beneden slaan, tot hij den horizontalen stand verkrijgt, de vizierlijn een verticaal vlak beschrijven dat het vlak van teekening snijdt volgens de lijn BB\' loodrecht op IIH. Richten wij nu op het punt C, dan door- loopt de kijker een hoek, overeenkomende met den boog B\'C, dat is de hoek, dien wij willen meten. Staat nu echter de tweede as niet loodrecht op de eerste, (de vizierlijn echter wel loodrecht op de tweede as) maar projecteert zij zich volgens de lijn II,II,, als de kijker op B gericht is, dan zal bij het neerslaan van den kijker de vizierlijn een plat vlak beschrijven, loodrecht op de tweede as, dat het vlak van projectie snijdt volgens de lijn BB,, loodrecht op II,II,. Bij het richten op C zien wij nu dat de kijker een hoek doorloopt overeenkomende met den boog B,C, waaruit volgt dat wij voor den hoek eene te groote waarde vinden, en wel dat de fout gelijk is aan den hoek, overeenkomende met het boogje B\'B,. Na het doorslaan van den kijker moeten wij, om weer op B te richten, het bovenstel van het instrument om de eerste as omdraaien, waardoor de tweede as van stand .verandert en zich nu volgens II₂TI₂ projecteert, een zelfde hoek met IIH makende als vroeger. Bij het neerslaan van den kijker beschrijft de vizierlijn nu weel- een plat vlak loodrecht op de tweede as, dat het vlak van projectie snijdt volgens de lijn BB₂ loodrecht op H₂II₂. Bij het richten op C moet de kijker dus een hoek doorloopen, over- eenkomende met den boog B₂C; men vindt dus voor dien

-ocr page 51-



		.11
		THEODOLIET.


		hoek eene te kleine waarde en, zooals uit de figuur onmid- dellijk blijkt, juist evenveel te weinig als straks te veel. Door het nemen van het gemiddelde wordt de fout dus ge�li- mineerd (*). § 32. Staat de vizierlijn niet rechthoekig op de tweede as (de tweede as wel loodrecht op de eerste) dan zal, als wij den kijker naar omlaag bewegen, de vizierlijn een kegeivlak beschrijven met de tweede as, die ongeveer evenwijdig loopt met het projectievlak bij B, als as en een zeer grootcn tophoek. Deze kegel snijdt het vlak van projectie volgens eene hyperbool, waarvan BB₍, fig. 37, een deel voorstelt in de onderstelling dat de vizierlijn rechts van de loodlyn op de as afwijkt. De kijker is dus na het neerslaan gericht op B, en de hoek, dien wij op den rand bepalen, is dus de hoek overeenkomende met B,C, dat is, wij maken eene fout gelijk aan den hoek overeenkomende met boog B,B\'. Slaan wij nu den kijker door, clan zal de vizierlijn, die wij eerst naar rechts uit het vlak loodrecht op de tweede as zagen afwijken, evenveel naar de linkerzijde uitwijken en bij het neer- slaan van den kijker na het richten op B, zal dus het vlak van projectie gesneden worden door de vizierlijn volgens de hyperbool BB₂, waaruit blijkt, dat wij nu eene fout maken overeenkomende met den boog B\'B₂. Deze is echter, zooals uit de figuur blijkt, gelijk aan de vorige fout, maar in tegenovergestelden zin, zoodat die fout uit het gemiddelde wegvalt. Z\'yn bovenstaande fouten gelijktijdig aanwezig, dan voegen de uitwerkingen zich eenvoudig samen en worden dus ook gezamenlijk ge�limineerd. Is het punt C niet in een horizontaal vlak gelegen met A, dan maakt men bij C een dergelijke fout als bij B. Uit de figuren 36 en 37 valt nog op te merken, dat de fouten van regeling geen invloed hebben op de uitkomsten der meeting, zoodra de punten B en C in hetzelfde horizontale vlak met A liggen; dat daarentegen de invloeden dier fouten des te grooter

		() Bovenstaande beschouwingen zijn alleen juist voor zooverre het gedeelte van het* cilindervlak, waarop de lijnen BB[, BB₂ geprojecteerd worden, als een plat vlak mag worden beschouwd; aangezien men de fouten van regeling altijd zooveel mogelijk «al hebben weggenomen mag meu dit gerust aannemen.

-ocr page 52-



		32
		THEODOLIET.


		worden, naarmate de grootte van de elevatiehoeken der lijnen AB en AC toeneemt. (*) § 33. Onderzoek en regeling van den theodoliet. Er bestaan verschillende methoden om te onderzoeken of de theodoliet aan de eischen van regeling voldoet. Het doorslaan van den kijker levert daarbij veel gemak op, omdat men daardoor in staat is, den theodoliet aan ieder van de voorwaarden afzonderlijk te toet- sen, terwijl men bij een theodoliet, waarvan de kijker niet kan doorslaan, op beide voorwaarden gelijktijdig moet onderzoeken. Wij zullen hieronder afzonderlijk nagaan het onderzoek met be- hulp van het doorslaan van den kijker en zonder het doorslaan van den kijker; verder zullen wij het geval behandelen, dat het niveau niet aan de alhidade verbonden is, maar op de tweede as rust. § 34 Om te onderzoeken of bij een theodoliet met doorslaan- den kijker de tweede as rechthoekig staat op de eerste, plaatst men den theodoliet voor een muur en laat daarop, op eene hoogte ongeveer dubbel zoo groot als die van het instrument boven den grond, een teeken maken. Na den kijker hierop ge- richt te hebben, draait men hem voorzichtig om de tweede as tot hij eene benedenwaartsche helling heeft, ongeveer gelijk aan de helling die hij vroeger naar boven had, en laat het punt aan- teekenen waarop de kijker nu gericht is. Slaat men den kijker nu door en richt hem (door draaiing ook om de l^ste as) weer op het eerste punt, dan moet hij bij het naar beneden slaan weer op het tweede punt kunnen gericht komen; is dit niet het geval dan staat de tweede as niet rechthoekig op de eerste. Om de juistheid van bovenstaand onderzoek aan te toonen, stelle in fig. 34 AI de projectie van de eerste as op den muur voor, II lij de daarop loodrecht veronderstelde tweede as en A het punt, dat op den muur is aangegeven en waarop de kijker gericht wordt. Slaat men den kijker nu naar beneden, dan beschrijft de vizierlijn een plat vlak, rechthoekig op de tweede as

		() Uit fig. 30 kan men gemakkelijk opmaken, dat als x de hoek is, dien de tweede as maakt met het vlak loodrecht op de eerste, dat dan de fout in de meting, dat is de hoek overeenkomende met BjB\', gelijk is aan y.igh,* waarin /< de elevatiehoek van de lijn AB voorstelt, TJit fig. 37 vindt men eveneens voor de fout, ten gevolge van eene afwijking Q van de vizierlijn uit het vink loodrecht op de tweede as (i (sec h � 1) =

-ocr page 53-



		33
		THEODOLIET.


		en dit vlak, snijdt den muur volgens een lijn rechthoekig op de projectie IIII, van de tweede as, dat is dus volgens de lijn AI. De kijker is dus ten slotte gericht op het punt I en het is dit punt, dat men laat aanteekenen. Slaat men nu den kijker door en richt weer op het punt A, dan komt daardoor de tweede as weer in denzelfden stand IIII,, en de vizierlijn volgt op den muur weer dezelfde lijn AI, zoodat men weer op het punt I gericht komt. Is de tweede as daarentegen niet rechthoekig op de eerste, maar projecteert zij zich bijv. volgens II\' II\',, dan zal bij het naar beneden bewegen van den kijker, de vizierlijn de lijn AB be- schrijven loodrecht op II\'II\',, waardoor men op het punt B gericht komt; dit punt laat men op den muur aanteekenen. Slaat men nu den kijker door en richt hem weer op A, dan zal door het draaien om de eerste as, de tweede as den stand IFII", verkrijgen; bij het naar beneden slaan volgt de vizierlijn dus de lijn AC lood- recht op 11*11",, zoodat men ten slotte op C in plaats van op B gericht is. Uit de figuur is gemakkelijk te zien, dat hoek BAC het dubbel is van de afwijking van de tweede as, uit het vlak loodrecht op BC de eerste as. Deze afwijking is dus gelijk aan jr-rri uitgedrukt in deelen van den straal als eenheid. Bij bovenstaand bewijs is men stilzwijgend van de veronderstel- ling uitgegaan, dat de vizierlijn rechthoekig staat op de tweede as. Is aan deze voorwaarde niet voldaan, dan is dit toch zonder invloed op het onderzoek, als men er slechts voor gezorgd heeft, zooals boven is aangegeven, bij het naar boven en bij het naar beneden richten, aan den kijker telkens dezelfde helling te geven. De vizierlijn beschrijft dan wel niet de rechte lijnen AB en AC, maar stukken van hyperbolen gaande door A en B, en door A en C. Heeft men op bovenstaande wijze gevonden, dat de tweede as niet rechthoekig staat op de eerste en heeft men uit de afwijking van het punt C ten opzichte van 13 nagegaan, in welken zin de afwijking plaats heeft, dan kan men met behulp der correctie- schroeven haren stand verbeteren en dan nog eens onderzoeken, of de regeling juist is, of in welken zin de stand der as verbeterd moet worden. Bij de practische uitvoering van bovenstaand onderzoek is het moeielijk om de punten B en C op den muur met de noodige S. 3

-ocr page 54-



		34
		THKODOLIET.


		juistheid te laten aanteekenen; men doet daarom beter om bene- den bij den muur een dubbele decimeter in horizontale richting te plaatsen en in beide gevallen bij het naar beneden slaan van den kijker daarop af te lezen, bij welke deelstreep zich de verticale draad vertoont. Verkrijgt men dan beide keeren dezelfde aflezing dan staat de tweede as loodrecht op de eerste; verkrijgt men niet dezelfde aflezing, dan is het verschil van beide aflezingen de afstand van de punten B en C. waaruit men gemakkelijk de fout kan berekenen. Uit beide aflezingen kan men tevens nagaan in welken zin de afwijking plaats heeft en hoe de fout dus verholpen moet worden. § 35. Om bij een theodoliet met doorslaanden kijker te onder- zoeken of de vizierl\'y\'n rechthoekig staat op de tweede as, richt men den kijker op een punt, dat men zoodanig kiest, dat de kijker ongeveer loodrecht staat op de eerste as, en leest den stand der noniussen op den eersten cirkelrand af. Slaat men nu door en richt men weer op hetzelfde punt, dan moet men op de noniussen 180° meer of minder aflezen. Is dit niet het geval, dan staat de vizierlijn niet loodrecht op de tweede as, en hetgeen men meer of minder dan 180° gedraaid heeft, is het dubbel van de afwijking. Stelt in fig. 35, (in projectie op een vlak loodrecht op de eerste as) IIII\' de projectie der tweede as voor, dan zou de vizierlijn den stand W, moeten hebben, loodrecht op IIII\'; stel echter dat de vizierlijn den stand 00, heeft en gericht is op het punt P, zoodat zij een hoek V,10, uit den juisten stand afwijkt. Slaat men den kijker door, dan zal de vizierlijn, draaiende om IIII\', den stand 00\', verkrijgen, en nu is het duidelijk dat, om die vizierlyn weer in den eersten stand te brengen, zoodat zij weer gericht is op P, zij om de eerste as een hoek moet draaien gelijk aan 0\',I0₁₍ dat is: VIV. O\'JV VJO, =18(P-t-2.V₁I0₁. Heeft men op bovenstaande wijze gevonden, dat de vizierlijn niet loodrecht staat op de tweede as, dan is het voor de correctie het gemakkelijkst het bovenstel met behulp van de micrometer- schroef H (fig. 27) zoover te verdraaien, dat men op de noniussen juist 180^D meer of minder afleest, dan bij het begin. Men zal dan niet meer op het punt P (fig. 35) gericht z\'y\'n, en de afwijking, die men waarneemt, komt overeen met het dubbel van de fout. Om de vizierlijn te regelen heeft\'men nu slechts met behulp van de correctieschroefjes O (fig. 27) het kruispunt der draden zooveel

-ocr page 55-



		35
		THEODOLIET.


		te verplaatsen, dat die afwijking voor de helft is weggenomen, waarna men de bewerking nog eens herhaalt. § 36. Om bij een theodoliet, waarvan de kijker niet kan door- slaan, te onderzoeken of de tweede as loodrecht op de eerste en de vizierlijn loodrecht op de tweede as staat, stelt men de eerste as juist verticaal, richt den kijker op eene verticale lijn (b. v. op een vrij hangend, aan het benedeneinde met een gewicht bezwaard koord) en beweegt hem om de tweede as op en neer. Is nu aan beide voorwaarden van regeling voldaan, dan zal de vizierlijn een plat verticaal vlak beschrijven en dus steeds op de verticale lijn gericht blijven; doet zij dit niet, dan is aan een van beide of aan beide voorwaarden niet voldaan. Stelt in fig. 33a, AB de verticale lijn voor, geprojecteerd op een daarachter gelegen verticaal vlak, O het punt van die lijn, waarop men bij horizontalen stand van den kijker gericht heeft, dan zal, als de tweede as niet loodrecht op de eerste, maar de vizierlijn wel loodrecht op de tweede as staat, de vizierlijn bij de beweging om de tweede as een plat vlak beschrijven, loodrecht op de niet horizontale tweede as; dat vlak is dus niet verticaal en snijdt dus het projectie-vlak volgens eene schuine lijn ab; waaruit volgt, dat men bij het naar boven en haar beneden bewegen van den kijker, het kruispunt der draden in tegengestelden zin van de verticale lijn zal zien afwijken en dat, als men aan de vizierlijn eene zelfde helling naar boven en naar beneden geeft, de uitwij- kingen even groot zullen zijn. Is de tweede as wel rechthoekig op de eerste, maar de vizierlijn niet rechthoekig op de tweede as, dan zal de vizierlijn bij hare beweging om de tweede as, een kegelvlak beschrijven met hori- zontale as, dat het projectievlak snijdt volgens eene hyperbool a\'Ob\' (fig. 33J) met horizontale bestaanbare as en waarvan de top in O ligt. Hieruit volgt, dat bij het naar boven en naar beneden bewegen van den kijker, het kruispunt der draden beide keeren in denzelfden zin zal uitwijken; en dat bij eene gelijke helling van de vizierlijk naar boven en naar beneden, de uitwijkingen ook gelijk zijn. Zijn beide fouten gelijktijdig aanwezig, dan is de geheele uit- wijking gelijk aan de som van de uitwijkingen door beide veroor- zaakt; zoodat men bij dit, in fig. 33c voorgestelde geval, bij het naar boven bewegen de uitwijking A\'V = Aa -f- A\'a\' zal krijgen en bij het naar beneden bewegen B"b" = Bb� B\'b\'; dat is: bij

-ocr page 56-



		36
		THEODOLIET.


		gelijke helling naar boven en naar beneden verkrijgt men ongelijke uitwijkingen. Uit het bovenstaande volgt dus dezen regel. Richt men bij horizontalen stand van de vizierlijn op de verticale lijn en geeft men daarna aan den kijker eene helling naar boven en eene gelijke helling naar beneden, dan duiden: gelijke uitwijkingen in tegengestelden zin op den niet loodrechten stand van de tweede as op de eerste, gelijke uitwijkingen in gelijken zin, op den niet loodrechten stand van de vizierlijn op de tweede as; terwijl ongelijke uitwijkingen in denzelfden of in tegengestelden zin op de gelijktijdige aanwezigheid van beide fouten duiden. Zijn de fouten eens herkend, dan is het gemakkelijk door middel der correctie- schroefjes daarin verbetering te brengen en het onderzoek nog eens te herhalen. § 37. Rust het niveau op de in lig. 2\'2 aangegeven wijze op de as, dan heeft de regeling op eene eenigszins andere wijze plaats. Eerst wordt het niveau op de in § 22 aangegeven wijze geregeld ten opzichte van de tweede as. Vervolgens onderzoekt men op de in § 24 behandelde wijze of de richtlijn van het niveau loodrecht staat op de eerste as; is dit het geval dan staat ook de tweede as loodrecht op de eerste. Staat de richtlijn van het niveau niet loodrecht op de eerste as, dan wordt dit verholpen met behulp van de correctieschroeven, die op de tweede as wer- ken, waardoor gelijktijdig richtlijn en tweede as loodrecht komen op de eerste as. Het onderzoek van den stand der vizierlijn ten opzichte van de as kan geschieden op de in § 35 aangegeven wijze of ook met behulp van eene verticale lijn, zooals in de vorige paragraaf is beschreven; bij dit laatste onderzoek wordt de tweede as met behulp van het niveau zuiver horizontaal gesteld, waardoor men geheel onafhankelijk is van den niet loodrechten stand van de tweede as ten opzichte van de eerste. § 38. Repetitie eu Re�teratie. Wil men eene grootere nauw- keurigheid in het meten der hoeken verkrijgen, dan men bereiken kan door het eenmaal meten van de hoeken op de bovenbeschre- ven wijze, dan moet men die hoeken meermalen meten, om uit de uitkomsten dier metingen een resultaat af te leiden, waarop de verschillende bronnen van fouten een zoo gering mogelij ken invloed hebben.

-ocr page 57-



		37
		THEODOLIET.

		Twee verschillende methoden van meting worden daarbij in hoofdzaak toegepast, de repetitie- en de r�iteratie-methode. Bij de eerste methode meet men het veelvoud van den hoek, waaruit men dan door deeling den enkelvoudigen hoek verkrijgt. Bij de tweede meet men denzelfden hoek op verschillende, regelmatig langs den omtrek verdeelde deelen van den rand en neemt daaruit het gemiddelde. § 39. Bij de toepassing van de eerste methode moet de the- odoliet bijzonder daarvoor zijn ingericht {repetitie-theodoliet). De cirkelrand R, moet namelijk, niet zooals in fig. 27, met de bus B verbonden zijn, maar zooals fig. 38 dat voorstelt, ten opzichte van die bus kunnen draaien, om eene as, samenvallende met die om welke het bovenstel ten opzichte van den rand draait. Door middel van de klemschroef G\' kan de rand aan de bus B ver- bonden on met behulp van de micrometerschroef H\' daaraan eene fijne beweging gegeven worden. Om nu met behulp van den aldus ingerichten theodoliet den hoek BAC in het punt A te meten, richt men eerst op het punt B en leest den stand der noniussen af, waarna men den kijker op C richt door het bovenstel over den rand te bewegen (klem- schroef G, micrometerschroef H). Las men nu weer den stand der noniussen af, dan zou men door aftrekking den te meten hoek vinden; in plaats hiervan richt men den kijker weer op het punt B door den rand, met het bovenstel samen, te bewegen (schroeven G\' en R\') en vervolgens op C, door alleen het boven- stel zonder den rand te verdraaien (schroeven G en H). Bij deze laatste beweging doorloopen de noniussen op den rand andermaal den te meten hoek, lezen wij daarna den stand der noniussen af,, dan vinden wij, door aftrekking van de eerste aflezing, het dubbel van den gevraagden hoek. Het is duidelijk hoe men op deze wijze het 3, 4, in het alge- meen het n-voud van den hoek kan vinden. Men heeft slechts afwisselend op het eene punt (B) te richten, door den rand te verdraaien (schroeven G\' en H\') en op het andere (C), door den kijker ten opzichte van den rand te bewegen (schroeven G en H). Heeft men bij het begin op den nonius afgelezen a₀ en na n malen den hoek op den rand doorloopen te hebben (n repetities) a» en is de nonius daarbij m malen het nulpunt voorbijgegaan, dan zal de waarde van den hoek zijn: . __a_n � a₀ m.360^J

-ocr page 58-



		38 THEODOLIET.

		Hoewel het alleen noodig is bij het begin en bij het einde van de bewerking de noniussen af te lezen, zoo is het toch wenschelijk dit ook na de eerste repetitie te doen, ten einde onmiddellijk eene benaderde waarde voor den hoek te vinden, waaruit men dan later gemakkelijk kan opmaken hoeveel malen de nonius het nulpunt van den rand gepasseerd is (het getal m in bovenstaande formule). Ook kan men door het doen van onderscheidene afle- zingen de nauwkeurigheid van de uitkomst nog verhoogen. Behalve dat de repetitie-theodoliet aan de boven behandelde algemeene voorwaarden voor den theodoliet moet voldoen, moeten de twee assen (de meetkunstige assen der kegels I en I\', fig. 38), om welke de rand met het bovenstel en het bovenstel afzonderlijk kunnen bewegen, onderling evenwijdig zijn. Het onderzoek of aan die voorwaarde voldaan is, kan als volgt plaats hebben. Het niveau, dat op den theodoliet aanwezig is, wordt nauwkeurig ten opzichte van een der assen geregeld en die as nauwkeurig daar- mede verticaal gesteld; door vervolgens het bovenstel van den theodoliet om de andere as te laten draaien, kan men zien of deze Ook verticaal en dus evenwijdig met de eerste is. § 40. Rij de re�teratie-methode wordt dezelfde hoek verschil- lende malen gemeten en wel op verschillende doelen van den rand. Bij de toepassing dier methode is het dus noodig, dat men den rand kan verplaatsen. Hiertoe kan de theodoliet ingericht zijn op dezelfde wijze als de repetitie-theodoliet, maar ook een veel eenvoudiger ingerichte theodoliet kan daarvoor dienst doen; zelfs kan men den enkelvoudigen theodoliet gebruiken, als men hem slechts telkens op den drievoet een zekeren hoek verdraait. Om straks te vermelden reden, moet men zorgen dat de afle- zingen plaats hebben op punten, die zooveel mogelijk op onderling gelijke afstanden langs den rand gelegen zijn. Daartoe moet, om den hoek n malen te meten, terwijl er 2 noniussen zijn, de rand 360° telkenmale -^� verdraaid worden. Met behulp van den eenen nonius leest men dan op de eene helft van den rand op n evenver van elkaar gelegen punten af, terwijl men met behulp van den anderen nonius datzelfde op de andere helft van den rand doet. § 41. Ten einde beide methoden met elkaar te kunnen verge- lijken en zoo noodig eene keuze te kunnen doen, dienen wij de uitwerking nategaan van elk der verschillende fouten, die invloed

-ocr page 59-



		39
		THEODOLIET.


		hebben op het eindresultaat. Deze fouten kunnen daartoe verdeeld worden in: l^e de fouten in het richten, 2^de de fouten in het af- lezen en 3^lic de fouten [(in de verdeeling. De eerste dezer fouten is het gevolg van verschillende oorzaken, als: van slechte verlichting en niet symmetrische gedaante van het voorwerp waarop gericht wordt, van ongelijkmatige breking van de lichtstralen in de lucht (laterale refractie), van onvolkomen- heden van den kijker, van het aanwezig zijn van parallax in den kijker, van den niet volkomen vasten stand van het instrument, enz. Doordat deze omstandigheden van het eene op het andere oogenblik veranderen, is de fout in het richten eene veranderlijke (toevallige) fout, d. w. z.: als wij herhaalde malen op hetzelfde voorwerp richten, zooals dit bij beide methoden geschiedt, dan zal de fout nu eens positief, dan weer negatief, nu eens grooter dan weer kleiner zijn, waardoor die fouten elkaar voor een groot deel ophefl\'en. De fout in het ailezen is ook eene veranderlijke (toevallige) fout, die weer van verschillende oorzaken afhankelijk is, als: van de juiste verdeeling van den rand en van den nonius, van de zuiver- heid der deelstrepen, van het al of niet aanwezig zijn van parallax, enz. Bij de re\'iteratie-methode, waar wij het gemiddelde nemen uit eene menigte aflezingen, zullen deze fouten elkander dus, evenals die van het richten, onderling gedeeltelijk vernietigen. Bij de repetitie-methode is de werking geheel anders, daar lezen wij slechts bij het begin en bij het einde af. Op het n-voud van den hoek komt dus de geheele fout van de aflezing; maar als wij door n deelen, zal in den enkelvoudigen hoek, ook slechts het n^Ae deel van de fout voorkomen. Daar nu de theorie van de fouten leert, dat bij het nemen van het gemiddelde uit een aantal waar- nemingen, die met toevallige fouten aangedaan zijn, deze slechts in reden van [/n verminderd worden, zoo wordt de invloed van de fouten van aflezing bij de repetitie-methode beter verminderd, dan bij de re�teratie- methode het geval is. De fouten in de verdeeling dragen een geheel ander karakter. Voor een en dezelfde deelstreep is die fout uit den aard der zaak constant; eerst als men de fouten in verschillende deelstrepen nagaat, zijn die veranderlijk. De vermindering van dien invloed heeft dus bij de repetitie-methode, waar men slechts bij twee deelstrepen afleest, op dezelfde wijze plaats als wij boven voor de aflezingsfouten hebben gezien. Bij de re�teratie-methode is de zaak

-ocr page 60-



		40
		THEODOLIET.


		echter van meer ingewikkelden aard. Als wij den hoek steeds op dezelfde plaats op den rand aflazen, dan zouden wij telkens dezelfde fout maken en deze zou dus uit het gemiddelde niet verdwijnen. Doordat men echter telkens den hoek op een ander gedeelte van den rand meet, is de fout veranderlijk en bij het nemen van het gemiddelde, heffen die fouten elkaar dus voor een groot gedeelte op. Hadden nu de fouten in de opvolgende deelstrepen datzelfde toevallige karakter, dat wij in de fouten van het richten en van het aflezen hebben aangetroffen, dan zouden die fouten evenals de vorige, bij de re�terad e-methode in veel geringere mate worden opgeheven dan bij de repetitie-methode. Dit is echter niet geheel en al het geval; de fouten in de verdeeling worden bij de re�te- ratie-methode in sterkere mate opgeheven en wel om de volgende reden: Onderzoekt men de fouten in de opvolgende deelstrepen van een zuiver verdeelden cirkelrand, zooals die tegenwoordig in de goede werkplaatsen worden afgeleverd, dan zal men vinden, dat daarin wel fouten aanwezig zijn, maar dat deze fouten regelmatig toe- en afnemen, waardoor zij elkaar grootendeels zullen opheffen, als men de aflezingen gelijkelijk langs den geheelen rand verdeelt. Bij de minder zuiver verdeelde cirkelranden hebben de fouten in veel geringere mate dit regelmatig karakter; daar wordt de fout dus beter vernietigd door de repetitie- dan door de re�teratie- methode. Uit bovenstaande beschouwingen is nu gemakkelijk na te gaan, welke methode men in gegeven omstandigheden zal toepassen. Bij de groote metingen, waar het op de uiterste nauwkeurigheid aankomt, waar men groote theodolieten bezigt met zeer zuiver verdeelde cirkelranden, en micrometrische microscopische aflezing, waardoor de fouten in het aflezen zeer klein zijn, daar verdient de re�teratie-methode de voorkeur. Bij de kleinere instrumenten met minder zuiver verdeelden rand en nonius, is de repetitie- methode op hare plaats. Ook bij de kleinere theodolieten met zuiver verdeelden cirkelrand, maar waarop de aflezing met behulp van den nonius geschied en dus minder nauwkeurig is, kan die methode nog met vrucht worden toegepast. Er is nog eene andere reden, waarom men, bij waarnemingen volgens de repetitiemethode, minder juiste uitkomsten zal ver- krijgen. Door het voortdurend in denzelfden zin draaien ontstaan namelijk kleine fouten, die steeds in denzelfden zin werken en dus

-ocr page 61-



		41
		THEODOLIET.


		als constante fouten niet door het repetecren kunnen verminderd worden. Deze fouten, die tot enkele secundcn kunnen opklimmen, zijn een van de voornaamste redenen waarom de repetitie-methode voor nauwkeurige metingen zelden meer wordt toegepast. § 42. Het meten van verticale hoeken. Heeft men bij de rege- ling van den theodoliet er voor gezorgd, dat de vizierlijn van den kijker evenwijdig loopt met de richtlijn van het niveau als de noniussen op nul staan, dan zullen in iederen willekeurigen stand van den kijker, de noniussen den hoek aanwijzen, die de vizierlijn op dat oogenblik met de richtlijn van het niveau maakt. Hierop berust het meten der verticale hoeken; wordt de richtlijn van het niveau horizontaal gesteld (doet men de bel inspelen) en wordt de vizierlijn op het punt, waarvan men den elevatiehock wil meten, gericht, dan leest men op den rand den hoek af, die tusschen die twee lijnen begrepen is, dat is de te meten hoek. Om een verticalen hoek te meten gaat men dus als volgt te werk. Na het instrument te hebben opgesteld, op de wijze als hiervoor bij het meten van horizontale hoeken is behandeld, richt men den kijker met de hand op het punt, waarvan men den elevatiehoek wil meten en heft door het aandraaien van de klem- schroef Q (fig. 27) de beweging om de tweede as op. Vervolgens gaat men na of de bel van het niveau inspeelt en doet die zoo noodig, met behulp van eene stelschroef, inspelen, waarna men door middel van de micrometerschroef T (fig. 27) het kruispunt der draden met het juiste punt doet samenvallen. De aflezingen van de noniussen geven dan den gevraagden elevatiehoek. § 43. Het doorslaan van den kijker. Staan de noniussen bij den evenwijdigen stand van vizierlijn en richtlijn niet op nul, maar bijv. op -\\-p, dan zal men voor alle elevatiehoeken waarden vinden, die den hoek p te groot zijn. Men moet dus aan alle aflezingen de uitdrukking �p als correctie toevoegen. De fout -\\-p draagt den naam van index fout, de correctie �p den naam van index-correctie. Door het doorslaan van den kijker is men wederom in staat de fout van regeling, hier de indexfout, te elimineeren. Zij namelijk in fig. 39a, HH\' eene horizontale lijn, evenwijdig met de richtlijn van het inspelend niveau, VV\' de vizierlijn van den kijker gericht op het punt, waarvan men de elevatie wil bepalen, die in de figuur wordt uitgedrukt door den hoek

-ocr page 62-



		42 THEODOLIET.

		V\'MH\'=A. Zijn verder O, en 0₂ de twee nulpunten van den cirkelrand, die aan den kijker vast verbonden is, en N, en N₂de twee diametraal tegenover elkaar staande noniussen, dan leest men op de twee noniussen af: N,0, :=N₂0₂:=:B, en dus is, als wij: < H\'MN, = < HMN₂ = a en < O, MV\' == < 0₂MV = 0 stellen, waaruit blijkt, dat /3 � a de index-correctie is. Draaien wij nu het bovenstel van het instrument 18CF om de eerste as, dan verkrijgen wij fig. 39b, die zuiver het spiegelbeeld is van fig. 39a. Slaan wij vervolgens den kijker door en richten weer op het beschouwde punt, dan beweegt daardoor alleen de vizierlijn VV\' met den rand O_r0₂, terwijl de noniussen N, en N₂op hun plaats blijven. Bij de noniussen zullen wij dus nu aflezen N,0₂ = NjO, =z C, waaruit voor den gevraagden hoek V\'MH\'z=A volgt: A = C « � &. Nemen wij eindelijk het gemiddelde tusschen beide uitdrukkin- gen voor A, dan vinden wij: . B C A = �₂-, waaruit de indexfout geheel ge�limineerd is. Bij bovenstaande beschouwing zijn wij stilzwijgend van de on- derstelling uitgegaan, dat er geene excentriciteit aanwezig is en de noniussen juist diametraal tegenover elkaar staan, waardoor de aflezingen bij beide noniussen aan elkaar gelijk worden. Is dit echter niet het geval, dan zijn beide aflezingen niet aan elkaar gelijk, maar door het nemen van het gemiddelde, verdwijnen de fouten, die daaruit voortvloeien (zie § 5). Bovenstaande waarden B, C, a en 0 moeten dus beschouwd woeden als de gemiddelden uit de twee waarden, geldende voor de twee noniussen en de twee nulpunten. § 44. Onderzoek en regeling van den theodoliet Toor het meten van verticale hoeken. Als de kijker kan doorslaan is het onderzoek en de regeling strikt genomen overbodig. Wil men echter door slechts eenmaal te richten de elevatie bepalen, dan moet men de index-correctie kennen. Deze is gemakkelijk te vinden door een zelfden hoek in beide standen van den kijker te meten. Uit de twee formules van de vorige paragraaf volgt dan voor die correctie:

-ocr page 63-



		43
		THEODOLIET.


		Deze correctie moet opgeteld worden bij de aflezingen, als de kijker in den gewonen stand staat en afgetrokken worden, als hij zich in den doorgeslagen stand bevindt. Wil men den theodoliet regelen, d. w. z.: wil men de index- correctie tot nul reduceeren, dan kan dit op twee verschillende wijzen geschieden: of door de vizierlijn met behulp van de kruis- draden te verplaatsen, of door de noniussen te verschuiven. In het eerste geval zal men, na een verticalen hoek door dub- bele meting bepaald te hebben, de noniussen op de juiste elevatie plaatsen en vervolgens op het punt richten, door het diaphragma met behulp van de daartoe aanwezige correctieschroefjes (0 in fig. 27) te verplaatsen. In het tweede geval richt men op het punt en verplaatst de noniussen tot zij de juiste elevatie aangeven. § 45. Kan de kijker niet doorslaan, dan zijn onderzoek en regeling veel omslachtiger. Heeft men een theodoliet met door- slaandcn kijker ter beschikking om daarmede een elevatiehoek te meten, of kan men op eenige andere wijze de juiste grootte van een dergelijken hoek vinden, dan meet men dien met den te onderzoeken theodoliet na, het verschil geeft dan terstond de index-correctie, die bij latere metingen in rekening gebracht moet worden. Wil men den theodoliet regelen, dan kan dit met dien bekenden hoek op dezelfde wijze geschieden als boven is aangegeven. Is het niet mogelijk van deze methode gebruik te maken, dan kan men de noniussen op nul stellen en onderzoeken of de vizierlijn van den kijker nu evenwijdig is aan de richtlijn van het niveau, volgens eene methode, die later bij het waterpas-instrument (Hoofdstuk XI, § 98) uitvoerig zal behandeld worden. Blijkt die evenwijdigheid niet te bestaan, dan kan men de kruisdraden zoo lang verplaatsen, tot die evenwijdigheid verkregen en het instru- ment geregeld is. Men kan de evenwijdigheid ook tot stand brengen door middel van de micrometerschroef voor de beweging om de tweede as; heeft men dit gedaan, dan leest men op de noniussen de index-fout af en die grootheid, met het omgekeerde teeken genomen, geeft de index-correctie. Wil men de index- correctie wegnemen door verplaatsing van de noniussen, dan heeft men deze nu slechts zoo lang te verschuiven, dat zij beide op nul wijzen. § 46. Becijfering op deu tweeden cirkelrand. Bij bovenstaande beschouwingen is van de onderstelling uitgegaan, dat de becijfering

-ocr page 64-



		u
		THEODOLIET.

		op den tweeden cirkelrand van twee nulpunten uitgaande, in twee richtingen van nul tot l\'CF telt, zooals fig. 40 zulks nader aanwijst. Deze wijze van becijfering heeft het bezwaar, dat zij dubbele noniussen vereischt, waarvan de eene helft dient bij het meten van positieve elevatiehoeken, de andere bij liet meten van negatieve elevatiehoeken (depressiehoeken) en dat men bij eiken hoek tevens het teeken moet voegen; twee omstandigheden die gemakkelijk tot fouten aanleiding geven. Doelmatiger is in dit opzicht de becijfering in fig. 41 voorgesteld, waarbij men, van de twee nulpunten uitgaande, in dezelfde rich- ting van 0\' tot 180\' telt. Bij deze inrichting worden echter niet zooals bij de vorige telkens op beide noniussen elevatiehoeken afgelezen, maar bij den gewonen stand van den kijker, worden zenithhoeken afgelezen, dat zijn de hoeken met de verticaal in bovenwaartsche richting, dus de complementen van de elevatie- hoeken. Deze laatste verkrijgt men dus door de aftezing van 90\' af te trekken; alzoo geven aflezingen kleiner dan 90° elevatie- hoeken, afiezingen grooter dan 90\' depressiehoeken. Bij den kijker in doorgeslagen stand leest men, zooals gemakkelijk na te gaan is, nadiihoeken af, dat zijn de hoeken met de verticaal in bene- denwaartsche richting, de complementen van de depressiehoeken. Het halve verschil van nadir- en zenithhoek geeft den elevatie- hoek, onafhankelijk van de indexfout, zooals men gemakkelijk op dezelfde wijze als in § 43 kan aantoonen. Bij eene doorgaande becijfering, zooals in fig. 42, verkrijgt men uit het halve verschil van de aflezingen in beide standen den zenithhoek, waar of ook het nulpunt is aangebracht. Het nulpunt kan dan zoodanig geplaatst zijn, dat een der noniussen, hetzij elevatiehoeken, zooals in de figuur, of zenithhoeken aan- geeft, voor het geval dat men den kijker slechts in eenen stand gebruikt. § 47. Gewijzigde inrichtingen van het niveau. Niet altijd is het niveau op de in fig. 27 aangegeven wijze met het bovenstel van den theodoliet verbonden. Soms rust het niveau, op de in fig. 22 aangegeven wijze, op de tweede as, of wel het is vast met den kijker verbonden. Het meten van de verticale hoeken heeft dan op eene eenigszins gewijzigde manier plaats. In het eerste geval zal men er voor zorgen, dat de vizierlijn van den kijker rechthoekig staat op de eerste as, als de noniussen van den tweeden rand op nul staan.

-ocr page 65-



		45
		THEODOLIET.

		Zorgt men clan, dat bij de meting de eerste as zuiver verticaal staat, dan leest men op den rand wederom onmiddellijk de ele- vatiehoeken af. Het elimineeren van de fout van regeling door het doorslaan van den kijker en het onderzoek voor het geval van een doorslaanden kijker, hebben juist op dezelfde wijze plaats, als in § 43�44 is beschreven. Het onderzoek bij een niet door- slaanden kijker, geschiedt op de in § 98 te behandelen wijze, met dit eenig verschil, dat men in plaats van het niveau te doen inspelen, de as telkenmale juist verticaal plaatst. Is het niveau aan den kijker verbonden, dan kan men, voor het meten van verticale hoeken, geheel de hierboven beschreven methode toepassen; men kan er echter ook voor zorgen, dat de richtlijn van het niveau evenwijdig loopt aan de vizierlijn van den kijker en dan, na op het voorwerp te hebben gericht en de noniussen te hebben afgelezen, de vizierlijn horizontaal stellen, door het niveau te doen inspelen en de noniussen weer aflezen; het verschil dier twee aflezingen geeft dan den gevraagden hoek. Bij deze inrichting van het niveau is de regeling, volgens de in § 98 te behandelen methode, altijd van toepassing. Bij een theodoliet met doorslaanden kijker, kan men bovendien eerst op de in § 43�44 aangegeven wijze de index-correctie bepalen en vervolgens den kijker zoodanig plaatsen, dat men op den rand eene aflezing verkrijgt, gelijk aan deze correctie met het omge- keerde teeken, waardoor de vizierlijn rechthoekig op de eerste as komt te staan. Stelt men die as dus juist verticaal, dan is het slechts noodig het niveau met behulp van de correctieschroefjes te doen inspelen, om de richtlijn evenwijdig met de vizierlijn te brengen. Bij de instrumenten bestemd voor het nauwkeurig meten van verticale hoeken is meestal voor dit doel een afzonderlijk niveau aangebracht. De twee noniussen zijn dan niet vast aan een der stukken I fig. 27 verbonden, maar aan een alliidade, die om de tweede as kan draaien. Aan de alhidade is een dwarsarm ver- bonden, die op dezelfde wijze als dit met den arm S in fig. 27 het geval is, door een micrometerschroef en een veer wordt vast gehouden. Het niveau voor de hoogtemeting is aan de alhidade verbonden en kan, met behulp van de micrometerschroef, bij het meten telkens tot inspelen gebracht worden. De meting en het onderzoek heeft plaats geheel en al op de wijze als in § 42�44

-ocr page 66-



		4fi
		THEODOLIET.


		is uiteengezet. De regeling geschiedt met behulp van de correctie- schroeven van het niveau. Heeft men door dubbele meting een elevatiehoek bepaald, dan plaatst men de noniussen, terwijl nog op het punt gericht is, op de juiste aflezing door middel van de micrometerschroef van de alhidade en brengt vervolgens het niveau tot inspelen met behulp van de correctieschroeven.

-ocr page 67-



		HOOFDSTUK V.

		SEXTANT. § 48. Inleiding. De spiogelinstrumenten, waarbij de hoeken in hun eigen vlak gemeten worden, bieden het groote voordeel aan, van geene vaste ondersteuning te vereischen, waardoor zij niet alleen voor den zeeman van het grootste belang zijn, maar ook aan den ingenieur en den landmeter goede diensten kunnen be- wijzen. Niet alleen bij peilingen in rivieren en in zee, ter bepaling van de punten waar men peilt, maar ook op den vasten wal kunnen zij met vrucht worden toegepast. Wel is waar staan zij bij den theodoliet eenigszins achter, doordat de hoeken in hun eigen vlak gemeten worden en dus door berekening tot den ho- rizon moeten worden herleid; dit neemt echter niet weg dat er gevallen kunnen voorkomen, waarin de spiegelinstrumenten verre de voorkeur verdienen, wijl zij soms nog gemakkelijk gebruikt kunnen worden op plaatsen, waar men voor den theodoliet kost- bare stellingen zou moeten oprichten. Van de verschillende vormen, waaronder de spiegelinstrumenten voorkomen, zullen wij hier alleen de sextant uitvoerig behandelen. De overige, minder algemeen voorkomende spiegelinstrumenten, verschillen in vorm soms zeer veel van de sextant, maar de algemeene beginselen waarop zij berusten, komen met die van de sextant overeen, zoodat eene afzonderlijke behandeling overbodig is. § 49. Tcrngkaatsing op twee spiegels. De inrichting van de sextant berust op het volgende grondbeginsel: Wanneer een licht- straal, gelegen in een vlak, rechthoekig op de gemeene doorsnede van twee vlakke spiegels, achtereenvolgens op beide spiegels wordt teruggekaatst,

-ocr page 68-



		48
		SEXTANT.

		dan zal de tweemaal teruggekaatste lichtstraal in datzelfde vlak liggen en met den oorspronhelijhen lichtstraal een hoek maken gelijk aan het dubbel van den hoek der twee spiegels. Laat in figuur 43 het vlak van teekening, een vlak zijn, dat rechthoekig staat op de gemeene doorsnede A van de twee spie- gels, waarvan de lijnen B en C de doorgangen met dat vlak aangeven; laat verder RC een lichtstraal voorstellen, in het vlak van teekening gelegen en invallende op den spiegel C, dan zal deze lichtstraal teruggekaatst worden in de richting CB, die in datzelfde vlak gelegen is en met de normaal op den spiegel Ceen hoek y maakt, gelijk aan den invalshoek van den lichtstraal RC. De lichtstraal CB op den spiegel B vallende wordt daar terug- gekaatst in de richting BC\', die weer gelegen is in het vlak van teekening en met de normaal op den spiegel B een hoek & maakt, gelijk aan den invalshoek van den lichtstraal CB op dien spiegel. De tweemaal teruggekaatste lichtstraal BC\' is dus met den oorspronkelijken RC in ��n vlak gelegen en zal dezen bijgevolg in een punt C\' snijden. De hoek BC\'C=:a, welken deze twee lichtstralen samen ma- ken, is nu juist gelijk aan het dubbel van den hoek BAC = a van de twee spiegels. In A BCC\' toch, is < BCR = 2r buiten- hoek en dus gelijk aan < EC\'C -f- < CBC\'= « - - 2,3, waaruit volgt: a = 2y�2/3 = 2 (y � /3). In A ABC is hoek BCD = 9(F y buitenhoek en dus gelijk aan < BA.C < ABC = «-I-90 /3, alzoo; a =. <y � /3. Uit deze twee vergelijkingen nu volgt onmiddellijk: a = lx, d. w. z.: de hoek tusschen den oorspronkelijken en den dubbel teruggekaatsten lichtstraal is gelijk aan het dubbel van den hoek der twee spiegels. Plaatst men het oog ergens in de lijn BC\', dan zal men het punt R in de richting L zien, en is de spiegel B slechts voor de benedenste helft verfoelied, dan zal men door het bovenste onver- foeliede gedeelte een in L gelegen voorwerp kunnen waarnemen en met het beeld van het voorwerp R zien samenvallen. De hoek, dien de spiegels in dat geval samen maken, zal dan de helft bedragen van den hoek, waaronder de lichtstralen der beide voor- werpen elkaar in het punt C\' zouden ontmoeten; kan dus gene op het instrument worden afgelezen, dan is ook deze bekend.

-ocr page 69-



		49
		SEXTANT.

		§ 50. Beschrijving. De sextant, in figuur 46a en 46J in pro- jectie op de helft van de ware grootte voorgesteld, bestaat in hoofdzaak uit een gedeelte van een verdeelden cirkeJrand AA\' ter lengte van iets meer dan 60°, die door middel van een stel speeken met zijn middelpunt vereenigd is. De alhidade EF, die om het middelpunt van den rand draait, is aan het eeneuiteinde voorzien van een nonius, eene inrichting tot vastklemmen G, en eene inrichting voor fijne beweging H; op het andere uiteinde, dat in de cirkelvormige plaat E uitloopt, is door middel van drie schroefjes c, e , c" een kastje C bevestigd; in dit kastje is een spiegel, de groote spiegel aangebracht, waarvan het vlak recht- hoekig staat op het vlak van den cirkelrand. Op de buitenspeek QR bevindt zich bij B de kleine of kimspiegel, die een vasten stand ten opzichte van den rand heeft. Van dezen spiegel is slechts de onderste helft verfoelied; het bovenste gedeelte is doorzichtig ge- laten om daardoorheen een voorwerp, achter dien spiegel gelegen, te kunnen waarnemen. De bevestiging van dezen spiegel is bij verschillende sextanten zeer verschillend; bij de in figuur 46aJ voorgestelde kan door middel van de schroef b, de helling van den spiegel ten opzichte van het vlak van den rand veranderd worden, terwijl de schroefjes aa de gelegenheid geven dien spiegel om eene loodlijn op dat vlak een weinig te verdraaien. Tegenover den kimspiegel bevindt zich, met de andere buiten- speek verbonden, een kijker D, die, gericht op den kimspiegel, dient om het samenvallen van het direct geziene met het dubbel teruggekaatste beeld nauwkeuriger te kunnen waarnemen. Deze kijker is geschroefd in den ring d (fig. 47), die met twee stiften f tegen een tweeden ring d\' rust en daarmede door middel van de twee correctieschroefjes e en e\' verbonden is; hierdoor is het mogelijk de as van den kijker evenwijdig aan het vlak van den rand te stellen. Aan den ring d\' is verder een vierkante stift g bevestigd, die door middel van de schroef k in de bus h op en neer bewogen kan worden, om daardoor den kijker hooger of lager te kunnen stellen, ten einde de betrekkelijke helderheid van het direct geziene en van het dubbel teruggekaatste beeld te kunnen regelen. Behalve de hier beschreven hoofdbestanddeelen zijn aan de sex- tant meestal nog twee stel gekleurde glazen N en P aangebracht, waarvan ��n stel achter den kimspiegel en het andere voor den grooten spiegel kan gebracht worden; zij dienen om het scherpe licht bij het waarnemen van zon of maan te temperen, komen S. 4

-ocr page 70-



		50
		SEXTANT.

		echter bij het gebruik, dat van de sextant bij het landmeten gemaakt wordt, zelden te pas. Tot hetzelfde doel dient ook een gekleurd glaasje (gekleurde oogdop), dat voor het oculair vanden kijker geschroefd wordt en de voorkeur verdient boven de glazen N en P, als beide voorwerpen even helder zijn; zoo b. v. bij het bepalen van de index-correctie door middel van de zon, waarop wij straks terugkomen. De loupe L, die bij K aan de alhidade bevestigd en om dat punt beweegbaar is, is bestemd om het aflezen op den nonius gemakkelijk te maken. Verder zijn nog aan het instrument het houten handvat M en meestal onder A, A\' en C drie pootjes aangebracht. § 51. Gebruik. Ten einde met de sextant den hoek te meten waaronder twee voorwerpen van een gegeven punt uit gezien worden, neemt men het instrument met het handvat in de rech- terhand, de linkerhand bij de klemschroef plaatsende; vervolgens brengt men het instrument met den kijker voor het oog, zoodanig dat het vlak van den cirkelrand samenvalt met het vlak van den te meten hoek en dat het draaipunt van de alhidade in het hoekpunt komt. Met den kijker door het onverfoeliede gedeelte van den kimspiegel naar het links gelegen voorwerp L (fig. 43) ziende, zal men tegelijkertijd, in het verfoeliede gedeelte van dien spiegel verschillende voorwerpen door dubbele terugkaatsing waar- nemen; verder den grooten spiegel met behulp van de alhidade bewegende, zal men eindelijk ook het beeld van het tweede of rechts gelegen voorwerp R in het verfoeliede gedeelte van den kleinen spiegel te zien krijgen. Is dit beeld eindelijk tot dicht bij het direct geziene linksche voorwerp gekomen, dan zet men de klemschroef vast en draait daarna zoolang aan de schroef voor de fijne beweging, totdat het dubbel teruggekaatste beeld van het rechter-voorwerp, zoogenaamd samenvalt met het direct geziene linker-voorwerp. Leest men nu op den cirkelrand den hoek af, dien de twee spiegels onderling maken, dan is volgens § 49 de hoek tusschen de lichtstralen, die van beide voorwerpen komen, het dubbel hiervan. Daar echter op den rand de halve graden als heele graden zijn aangeteekend, zoo leest men onmiddellijk het dubbel van den hoek der twee spiegels, dat is dus de gevraagde hoek, af. Op deze wijze kan men met de sextant alle hoeken meten van 0° tot 130°; voor grootere hoeken zouden de lichtstralen onder te

-ocr page 71-



		SEXTANT. 51

		scherpe hoeken op den grooten spiegel invallen, ten gevolge waar- van de beelden onduidelijk en weinig helder zouden worden; om deze reden wordt de rand niet grooter dan 65° a 75° gemaakt. § 52. Index-correctie. Opdat de hoek, dien men op den cirkel- rand afleest, werkelijk het dubbel zij van den hoek der spiegels, moet het nulpunt zoodanig geplaatst zijn, dat, als de spiegels evenwijdig zijn, de noniussen op nul staan. Is hieraan niet voldaan dan ontstaat eene fout, die den naam draagt van index fout. Deze fout kan, als zij aanwezig is, verholpen worden, door den nonius op nul te stellen en vervolgens de twee spiegels evenwijdig te plaatsen, door den kimspiegel met behulp van de daartoe aanwezige correctieschroefjes (bij de in fig. 46 voorgestelde sextant de schroefjes ad) een weinig te verdraaien. Om hierbij de evenwijdigheid der twee spiegels te onderzoeken, richt men opeen ster of een ander verafgelegen voorwerp, bijv. een kerktoren, en ziet of het voorwerp met zijn dubbel teruggekaatst beeld samen- valt. Is dit werkelijk het geval dan zijn beide spiegels evenwijdig, zoo niet, dan brengt men beide beelden tot samenvallen, door middel van de aangegeven correctieschroefjes. Het is niet voldoende eens voor altijd den stand van den kleinen spiegel te regelen, daar er door storende omstandigheden licht eene kleine verandering kan ontstaan, die onmiddellijk tot eene fout in de meting aanleiding geeft. Men is dus verplicht die regeling meermalen, ja zelfs dagelijks te herhalen. Boven het dagelijks regelen van den stand van den kimspiegel verdient het bepalen van de fout, die men bij de meting maakt door deze regeling achterwege te laten, de voorkeur. Deze fout toch, is voor alle hoeken, die men meet, even groot en kan dus bij het begin eener reeks van metingen bepaald en vervolgens bij iederen hoek als correctie aangebracht worden. Deze correctie, die den naam draagt van index-correctie of wijzer- verbetering, zullen wij door de letter f uitdrukken en haar teeken zoodanig nemen, dat zij steeds bij de aflezing moet opgeteld worden. Hebben wij op den rand dus afgelezen een aantal graden en minuten door A voorgesteld, dan is de voor de indexfout gecorrigeerde aflezing: A-f-«r. Ter bepaling van de waarde der index-correctie <f, kan men het direct geziene beeld van een ver verwijderd punt, bijv. een toren, beter een ster, met zijn tweemaal teruggekaatst beeld laten samenvallen. Leest men alsdan op den cirkelrand een hoek p af,

-ocr page 72-



		52
		SEXTANT.


		dan is p-\\-f=0, omdat de lichtstralen van een ver verwijderd punt komende evenwijdig zijn, en dus samen een hoek van 0\' maken. Hieruit volgt dus: �=� p. Ter bepaling van de index-correctie wordt veelal van de zon gebruik gemaakt, waarbij men dan den vroeger besproken ge- kleurden oogdop voor den kijker moet plaatsen. Daar het echter moeielijk is om nauwkeurig de samenvalling van de twee zonne- beelden waar te nemen, zoo meet men de middellijn van de zon, door haar dubbel teruggekaatst beeld links aan de direct geziene zonneschijf te doen raken. Leest men alsdan op den rand een hoek m af en is de middellijn van de zon x, dan vinden wij: az=.m-\\- <?. Bepalen wij nu nog eens de middellijn van de zon door het dubbel teruggekaatste beeld rechts aan de direct geziene zonne- schijf te doen raken en lezen wij daarbij n af, dan is (»-!-<�) de middellyn van de zon gelijk aan (�a), omdat die middellijn in tegengestelden zin van den eersten keer is gemeten, wij ver- krijgen dus: � x = n-\\- <?. Door nu beide vergelijkingen samen te tellen, vindt men: of: _ m-\\- n *�-------2~" Hebben wij bijv. den eersten keer afgelezen -f- 33\'15^y en den tweeden keer �3015, dan is de index-correctie: ^_33i_y-^y₌__₁,_30>< § 53. Spiegelparallax. Zijn de voorwerpen, waartusschen de hoek gemeten wordt, "dichtbij gelegen, dan moet behalve de index-correctie nog eene tweede correctie worden aangebracht. Zij bijv. in fig. 44 de hoek LCR = C te meten, dan plaatst men de sextant met het middelpunt van den cirkelrand in het punt C. Op die wijze meet men echter den hoek tusschen de lichtstralen CL en CR, dat is dus hoek LC\'R = C\'. Daar nu de te meten hoek C buitenhoek is van den driehoek LC\'C, zoo is deze gelijk aan de som van de hoeken bij C\' en bij L, waaruit volgt: C = C\' L.

-ocr page 73-



		SEXTANT. 53

		Hebben wij eindelijk op den cirkelrand afgelezen een hoek A, dan is C\'=A eT, zoodat wij voor den gevraagden hoek vinden: C==A <f L. Is nu de afstand van het punt C tot aan de lijn BC\', dat is de afstand van het midden van den grooten spiegel tot aan de as van den kijker, gelijk aan d. en de afstand van hetlinkervoorwerp gelijk D, dan is L in seconden uitgedrukt, gelijk aan: d 206265" -----D-----\' i" of als wij 206265\'\' d door d" voorstellen, gelijk aan-jc-; waardoor de juiste waarde van den hoek wordt: C = A J-H--jj-. Aan de aflezing op den cirkelrand moeten dus twee correcties worden aangebracht: de index-correctie � en de spiegelparallax -..-. De in deze laatste uitdrukking voorkomende grootheid et\' is eene constante van het instrument, die eens voor altijd kan bepaald worden, terwijl de grootheid D voor ieder punt op het terrein op de een of andere wijze moet gemeten worden. Ter bepaling van d" laat men een zeer dichtbij gelegen (bijv. op een afstand van 2 a 4 meter) \'voorwe7^-p, met zijn dubbel teruggekaatst beeld samenvallen; leest men daarbij op den rand een hoek q af, dan is, omdat het rechts en het links gelegen voorwerp hier samenvallen en wij dus een hoek van nul graden d" meten, q -\\- � -f--=r- = 0, waaruit onmiddellijk volgt: *d = � Dfa-t-rf).** Stel bijv. dat men in de hiervoor, op de index-correctie onder- zochte sextant, het beeld van een op drie meter afstand gelegen voorwerp met zijn dubbel teruggekaatst beeld heeft doen samen- vallen en dat men daarbij heeft afgelezen, �54\'30", dan is: dT = � 3 (� 54\'30" �1\'30\') = 3 x 56\' = 168\' = 10080". Voor die sextant is alzoo: C ₌ A-1\'30" ¹^\'₎ waarbij D in meters moet zijn uitgedrukt. Is men niet in de gelegenheid geweest het instrument vooraf te onderzoeken en dus de grootheden «r en <T te bepalen, of is de afstand D onbekend, dan kan men nog een anderen weg inslaan

-ocr page 74-



		54 SEXTANT.

		om de invloeden van indexfout en spiegelparallax te ontgaan. Door eerst den hoek op de gewone wijze te meten, vindt men: Laat men dan het direct geziene beeld van het links gelegen voorwerp met zijn dubbel teruggekaatst beeld samenvallen en leest men daarbij A\' af, dan is, omdat men een hoek van nul graden meet: 0 = A\' \' ^t waaruit door aftrekking volgt: C = A � A\'. Deze methode, waarbij de invloeden van indexfout en spiegel- parallax direct ge�limineerd worden, is altijd toe te passen; zij staat echter bij de eerst behandelde methode verre achter, omdat de waarneming van de samenvalling van een voorwerp met zijn eigen beeld altijd minder nauwkeurig is. Zoodra dus de groot- heden <�, d" en D bekend zijn, of de gelegenheid bestaat die te bepalen, zal men liefst de eerste methode toepassen en alleen zijne toevlucht tot de laatste nemen, als een dier grootheden onbekend is. § 54. Opstelling. Daar de sextant bij het gebruik vrij in de hand wordt gehouden, zoo kan van eene opstelling van het in- strument in den eigenlijken zin van het woord geen sprake zijn; men moet bij de meting er echter voor zorgen, dat het middel- punt van den rand ligge in het hoekpunt van den te meten hoek en verder dat de samenvalling zooveel mogelijk in het midden van het gezichtsveld van den kijker worde waargenomen. In § 49 hebben wij namelijk gezien, dat de op den grooten spiegel invallende lichtstraal, evenals de dubbel teruggekaatste en dus ook de lichtstraal, die van het direct geziene voorwerp komt, gelegen moet zijn in een vlak, rechthoekig op de gemeene door- snede van de twee spiegels. Aan deze voorwaarde nu is voldaan, als wij bij een goed geregelde sextant de samenvalling zien plaats hebben in het midden van het gezichtsveld, zoodat de lichtstralen volgens de as van den kijker invallen. Ziet men daarentegen de samenvallende beelden hooger of lager in het gezichtsveld, dan is niet meer aan die voorwaarde voldaan en men begaat eene fout. Daar deze fout echter bij eene geringe uitwijking uit het midden van het gezichtsveld, vooral bij het meten van niet al te groote

-ocr page 75-



		55
		SEXTANT.


		hoeken, zeer klein is, zoo behoeft men niet angstvallig de beelden bij de waarneming van de samenvalling in het midden te bren- gen; bij het meten van groote hoeken wordt deze fout van meer belang en het is dan zaak de samenvalling meer op de juiste plaats waar te nemen. Of de beelden zich bij de waarneming een weinig rechts of links van het midden van het gezichtsveld bevinden, is geheel onverschillig, daar men de twee spiegels gezamenlijk kan draaien om een as evenwijdig met hun gemeene doorsnede, zonder dat daardoor de richting van den tweemaal teruggekaatsten lichtstraal verandert. Alleen als het linkervoorwerp zich zeer dichtbij bevindt en men dus eene correctie voor de spiegelparallax moet aanbren- gen, is het zaak nauwer op deze omstandigheid te letten; dewijl het niet invallen van de lichtstralen volgens de as van den kijker eene verandering van de spiegelparallax ten gevolge heeft. § 55. Voorwaarden van regeling. Om de hoeken volgens het in § 49 behandelde beginsel te kunnen meten, is het noodig: 1° dat de groote spiegel rechthoekig staat op het vlak van den cirkelrand; 2° dat de kleine spiegel rechthoekig staat op dat vlak; en 3° dat de as van den kijker evenwijdig loopt met datzelfde vlak. Aan deze drie voorwaarden kan door regeling van het instrument voldaan worden. Verschillende fouten echter, voortvloeiende uit de niet juiste verdeeling van den cirkelrand, uit de excentriciteit van den cir- kelrand, uit de niet evenwydigheid van voor- en achtervlak van den grooten spiegel, enz., kunnen niet door regeling voorkomen worden; en moeten dus bij de uitkomsten der meting in rekening gebracht worden. § 56. Regeling van den grooten spiegel. Om te onderzoeken of de groote spiegel rechthoekig staat op het vlak van den cirkel- rand , plaatst men de alhidade in dier voege, dat de groote spiegel nagenoeg op het midden van den rand gericht is, en houdt dan de sextant voor het oog, op de wijze als in lig. 45a is aangewezen. In den spiegel zal men nu het uiteinde A van den rand zien, langs dien spiegel het andere uiteinde A\'; deze beide moeten samenvallen als de spiegel werkelijk rechthoekig op den rand staat, want het spiegelbeeld van A (fig. 45�) vormt zich op de normaal AA\' op den spiegel en komt dus in A\'.

-ocr page 76-



		56
		SEXTANT.


		Helt daarentegen de spiegel, bijv. voorover zooals in lig. 45c, dan vormt zich het beeld van A op de normaal AA" en komt dus in A" te liggen, dat is boven het uiteinde A\' van den rand. Omgekeerd zal men, als de spiegel achterover helt, het beeld van A onder A\' waarnemen. IHijkt bij dit onderzoek, dat de spiegel niet den juisten stand heeft, dan wordt dit verholpen door middel van de daartoe aan- wezige correctieschroefjes; zijn deze zooals bij de in fig. 46 voor- gestelde sextant niet aanwezig, dan kan men den stand van den spiegel regelen, door de schroefjes c e\' c" (fig. 46) los te draaien en onder het plaatje, waarmede het kastje van den spiegel op de alhidade bevestigd is, een stukje papier of bladtin te leggen, aan den voorkant, of aan den achterkant, al naarmate de spiegel te veel voorover of achterover helt, en daarna de schroefjes weer vast aan te draaien. Door nu andermaal den stand van den spiegel te onderzoeken, overtuigt men zich of de regeling is afgeloopen, dan wel of het stukje papier of bladtin dikker of dunner genomen moet worden. § 57. Regeling van den kleinen spiegel. Het onderzoek van den rechthoekigen stand van den kleinen spiegel ten opzichte van den cirkelrand, kan men het gemakkelijkste verrichten nadat eerst de stand van den grooten spiegel geregeld is, door na te gaan of deze door draaiing van de alhidade evenwijdig met den kleinen spiegel kan gebracht worden; want aangezien dan beide even- wijdig zijn, zal, als de eene rechthoekig op den rand staat, de andere dit ook doen. Van de evenwijdigheid der beide spiegels overtuigt men zich door op eene ster of een ander ver verwijderd voorwerp, bijv. een kerktoren, te richten en te zien of het direct geziene beeld door het dubbel teruggekaatste juist gedekt wordt. Heeft dit plaats, dan zijn beide spiegels evenwijdig, zoo niet, dan maken zij samen een hoek. Het onderzoek en de regeling heeft dus als volgt plaats: men richt door den kijker en het onverfoeliede gedeelte van den kleinen spiegel op de ster, en draait de alhidade zoolang tot het dubbel teruggekaatste beeld dier ster zich ook in het gezichtsveld vertoont. Kan men nu door draaiing van de alhidade de samen- valling bewerkstelligen, dan heeft de kleine spiegel den goeden stand, zoo niet, dan brengt men het dubbel teruggekaatste beeld door draaiing van de alhidade zoo dicht mogelijk onder of boven

-ocr page 77-



		SEXTANT. 57

		het direct geziene beeld, en doet vervolgens de samenvalling plaats hebben dooi\' de helling van den spiegel te veranderen met behulp van het daartoe aangebrachte correctieschroefje (het schroefje b, bij de in fig. 46 afgebeelde sextant). Voor deze regeling is het strikt genomen niet noodig een ver verwijderd voorwerp te nemen. Neemt men een dichterbij gelegen voorwerp, dan zijn bij de samenvalling van beeld en voorwerp beide spiegels wel niet evenwijdig, maai\' hun gemeene doorsnede staat, als de groote spiegel goed geregeld is, loodrecht op het vlak van den rand, waaruit volgt, dat ook de kleine spiegel den juisten stand ten opzichte van den rand heeft. § 58. Regeling van den kijker. In don kijker, die bij de sextant gebruikt wordt, is geen vizierlijn aanwezig, dewijl men bij het meten niet noodig heeft op een bepaald punt te richten, maar slechts de samenvalling van twee beelden heeft waar te nemen. Waar dit nu in het gezichtsveld van den kijker plaats heeft, is betrekkelijk onverschillig, het is slechts noodig dat de lichtstralen ongeveer evenwijdig loopen aan een vlak, rechthoekig op de ge- meene doorsnede der twee spiegels, dat is, evenwijdig met het vlak van den cirkelrand. Om dit te verkrijgen zorgt men, dat de as van den kijker, waaronder wij hier verstaan, de richting waarin de lichtstralen van voorwerpen, die wij in het midden van het gezichtsveld waarnemen, tot ons komen, evenwijdig loopt met den rand, en dat men de samenvalling zooveel mogelijk in deze as, dat is dus in het midden van het gezichtsveld, waar- neemt. Om te onderzoeken of deze as evenwijdig loopt met het vlak van den cirkelrand, plaatst men de sextant in ongeveer horizon- talen stand op een tafel en zet op den rand in eene lijn even- wijdig met den kijker twee even hooge viziertjes, bestaande uit een voetje en rechthoekig daarop een plaatje, dat van een kleine opening voorzien is. Richt men nu den kijker zoodanig op een scherp begrensd punt, dat het beeld van dat punt zich juist in het midden van het gezichtsveld vertoont, dan moet de lijn dooi- de twee viziertjes bepaald door datzelfde punt gaan, of daardoor gebracht kunnen worden door een der viziertjes een weinig te verschuiven. Heeft dit niet plaats, dan is de as van den kijker niet evenwijdig aan den rand en moet zij dus geregeld worden door middel van de vroeger beschreven correctieschroefjes e en e\' (lig. 47).

-ocr page 78-



		58
		SEXTANT.


		Is men niot in het bezit van genoemde viziertjes, dan kan men over den rand heen ziende, dezen richten op een eenigszins ver afgelegen lijn, bijv. een horizontale raamroede of de horizontale nok van een dak en nagaan of die lijn zich dan midden in het gezichtsveld van den kijker vertoont. Richt men den rand op eene nabijgelegen lijn, dan moet natuurlijk de kijker gericht zijn op een punt, dat evenveel boven die lijn gelegen is, als de as van den kijker boven het vlak van den rand. () § 59. Correcties voor de fonteu, die niet door regeling zijn weg* te nemen. Zooals wij in § 55 gezien hebben, zijn er in de sextant verschillende oorzaken voor fouten aanwezig, die niet door rege- ling zijn weg te nemen. Daar deze fouten alleen veranderen met de grootte van de hoeken, die men meet, zoo kan men eens voor altijd de waarden dier fouten voor verschillende hoeken bepalen, en later bij het meten van dergelijke hoeken, die fouten met omgekeerd teeken als correctie aanbrengen. De bepaling dezer fouten of correcties geschiedt op de volgende wijze: men meet met de sextant, na haar behoorlijk geregeld te hebben, voor zooverre betreft de fouten, die door regeling zijn weg te nemen, verschillende nauwkeurig bekende hoeken; de verschillen tusschen die bekende hoeken en de daarvoor gevonden waarden door meting met de sextant (na het aanbrengen van de index-correctie en de correctie voor de spiegelparallax) geven dan de fouten of correcties aan. Bepaalt men op deze wijze de correcties voor verschillende hoeken, bijv. van 5 tot 5 of van 10 tot 10 graden, tusschen 0\' en 130°, dan kan men later bij het gebruik voor tusschengelegen hoeken de correcties door interpolatie vinden. Deze correcties moeten dan aan de gemeten hoeken worden aangebracht, boven

		() Laat men bij het regelrn van kijker en grooten spiegel geen afwijking toe grooter dan is minuten; en regelt men den kleinen spiegel volgens § 57 naar behooren ten opzichte van den grooten spiegel, dan zul men, bij het meten met de sextant ten gevolge _f J* dier afwijkingen hoogstens eene fout maken gelijk aan -■- � minuten. Wil men dus er voor zorgen, dat uit de niet juiste regeling geen fout voortspruit grooter dan b. v. 5" e* -300 of JL minuut, dan mag � hoogstens tot JU of e hoogstens tot »/- = 5 mi- nuten opklimmen. Het is dus niet noodig kijker en grooten spiegel volkomen juist te regelen, eene afwijking kleiner dan 5 minuten is in het hier bedoelde geval geheel onschadelijk.

-ocr page 79-



		59
		SEXTANT.

		en behalve de reeds vroeger vermelde index-correctie en spiegel- parallax. Bekende hoeken ter bepaling dezer correcties kan men op een der volgende wijzen verkrijgen. 1°. Door van een bepaald punt uit met een ander nauwkeurig instrument, bijv. een theodoliet, de hoeken tusschen een aantal in den omtrek gelegen voorwerpen te meten. Op deze wijze worden onder ander de sextanten voor de Nederlandsche marine op het observatorium te Leiden onderzocht, waar men van een bepaald punt uit, in een voor dat onderzoek bestemde zaal, de hoeken tusschen de in den omtrek gelegen torens en speciaal daartoe aangebrachte merken nauwkeurig gemeten heeft. 2°. Door stersafstanden. De plaatsen van eene menigte sterren aan den hemel zijn door astronomische waarnemingen nauwkeurig bepaald. Hun onderlinge afstand kan dus met juistheid berekend en vergeleken worden met de uitkomst der meting van de sextant. Daar hun stand echter veranderlijk is ten gevolge van refractie, aberratie, eigenbeweging, enz., wordt die berekening zeer om- slachtig. Om in dit bezwaar te voorzien heeft de heer L. Janse Bz.(*) tafelen berekend, waarin 946 afstanden tusschen 44 der voor- naamste sterren voorkomen. Hij geeft die afstanden verbeterd voor aberratie en eigenbeweging van 10 tot 10 dagen voor het jaar 1865, met de aan te brengen correcties ter herleiding voor volgende jaren. Eene volgende tabel geeft de aan te brengen correctie wegens de refractie. Deze correctie afhankelijk zijnde van de hoogten van beide sterren tijdens de waarneming, zoo moeten deze hoogten door directe meting gevonden worden of uit den tijd der waarneming met behulp van een paar daartoe ingerichte tabellen worden berekend. 3°. Door rondmeting (Tour d\'horizon volgens Benzenberg). Rondom een punt op een eenigszins uitgestrekt terrein, plaatst men bijv. zes baken, zooveel mogelijk op onderling gelijke afstan- den , zoodat zij uit het eerste punt gezien zes hoeken vormen, van ten naaste bij 60°. Met de sextant worden nu deze zes hoeken gemeten (natuurlijk met in rekening brengen van index-correctie en spiegel-parallax), hunne som moet dan gelijk zijn aan 360%

		() Tafelen, bevattende 946 afstanden van 44 der voornaamste sterren, verbeterd voor aberratie, eigenbeweging en refractie, ten gebruike bij het onderzoek naar de fouten van spiegel-instrumenteu, berekend door L. Janse Bz., Amsterdam,* 1867.

-ocr page 80-



		«o
		SEXTANT.


		zoo er voor hoeken van 60\' geene fout bestaat. Verschilt die som van 360°, dan is het zesde gedeelte van dat verschil de correctie voor hoeken van 60°. Op deze wijze kan men, door meer of minder baken te bezigen, de correcties voor hoeken van 120°, 90°, 72°, 60°, 45°, enz. bepalen. Voor kleinere hoeken kan men ook tusschen twee baken, die een hoek vormen, waarvoor de correctie reeds bepaald is, zoodat men dien hoek met de sextant nauwkeurig kan meten, eenige baken op onderling gelijke afstanden plaatsen en de hoeken tus- schen die baken meten; hunne som moet dan weer gelijk zijn aan den geheelen hoek, eene afwijking daarvan stelt ons weer in staat de correctie te berekenen. Grootere hoeken, die niet op deze wijze te vinden zijn, kan men samenstellen uit twee kleinere, wier correcties op boven- staande wijze bepaald zijn. § 60. Herleiding Tan den hoek tot den horizon. Daar de drie punten, die op het terrein een hoek bepalen, meestal niet in een horizontaal vlak gelegen zijn; zoo zijn de hoeken, die met de sextant gemeten worden, geen horizontale hoeken; zij moeten dus v��r het gebruik eerst op het horizontale vlak geprojecteerd ivorden d. i. tot den horizon worden herleid. Zijn A, B en C (fig. 48) de punten, die den hoek ACB = C bepalen, zijn verder a en b de projecties van de punten A en B op het horizontale vlak gaande door C, dan is aCb = C\', de tot den horizon herleiden hoek. Om den hoek C\' uit den, met de sextant gemeten, hoek C af te leiden, moeten wij ook de hoeken kennen, die de lijnen CA en CB met hunne horizontale projecties Ca en Cfi maken, dat zijn de hellingshoeken ACaz= hen BC5 = /j\' of hunne complementen, de zenithshoeken ACT=Z en BCT = Z\'. Beschrijven wij uit C als middelpunt een bol met de eenheid als straal, dan zal deze door de verticale vlakken, die door CA en CB gaan, gesneden worden volgens de bogen van groote cirkels TDF en TEG, terwijl het vlak van den gemeten hoek ACB den bol volgens den boog DE zal snijden. Van den aldus gevormden bolvormigen driehoek TDE zijn de drie zijden bekend, daar DE �C, DT = Z en TE=Z\' is; de overige stukken van dien driehoek kunnen dus berekend worden. Onder deze behoort ook de hoek bij T, die gelijk is aan den standhoek van de twee ver- ticale vlakken, die door CA en CB gaan, en dus de gevraagde hoek aCb = C\' is.

-ocr page 81-

SEXTANT.

Uit de bolvormige driehoeksmeting volgen nu ter bepaling van
dezen hoek de volgende formules, waarin S = J (C Z Z\') is:

sin. . c = I/«"�(S_TZ)m.(S-ZQ_
|/ sw. Z. «i/*. /

cos. | C = / -----_; ;

|/ St7J. Z St». Z

tg\\C\'=\\/^

sin, S «». (S � C)
s. C � cos. Z cos Z\'

en:

CO*. C\':

shj. Z sin. Z\'

waarvan men die kan kiezen, welke in het bijzondere geval voor
de berekening het gemakkelijkst is.

§ 61. Beuaderingsformule voor kleine elevatiekoeken. In de

praktijk zijn de elevatiehoeken h en h\' veelal klein, zoodat de
hoeken C en C\' weinig van elkaar verschillen. In dergelijke ge-
vallen is het gemakkelijker en nauwkeuriger het kleine verschil
tusschen C\' en C uit eene eenvoudige benaderingsformule te
berekenen en dit bij C op te tellen om C\' te vinden.

Stellen wij daartoe in de laatste formule C\' = C -f- A, waarin
dus A dat kleine verschil is, en voeren wij de hellingshoeken h en
h\' in, stellen wij dus Z = 90^:\'� h, Z\' = 90°�h\', dan vinden wij:

.� . .. cos. C � sin. h. sin. h\' ...

cos. (C A) =------------j------rr------()

cos. h cos. h

(*) Deze formule k.in ook onmiddellijk uit de figuur, /.ouder behulp van den bol-
vorniigcn driehoek, opgemaakt worden. Trekken wij namelijk de lijn All evenwijdig
met ah, dan is driehoek ABH rechthoekig in H, waaruit volgt:

AB2 = AH2 BH-\\
Uit de figuur volgt verder:

AB² = BC² AC» � 2.BC. AC. cos. C.

AH² = ab� = JC² -f- «C2 � 2.JC. a�. cos. C\' =

= BC². <!0*2h\' AC2 cos?i�2.BC. AC.cos. i. cos.h\'.cos. C\',
en:

BH2 = (Bi � Hi)2 � (BA � An)2 ₌ (BC sin. i\' � AC sin. h)Z =
= BC2. ««2. i- AC2. ««2. A � 2. BC. AC. sin. h. sin. h\'.
Deze waarden voor AB³, AH² en BH² in de eerste vergelijking overbrengende, zoo
komt er, na weglating van de termen, die tegen elkaar wegvallen en na deeling door:
� 2. BC.AC:

cos. O ss cos. h cos. k\' cos. C\' -f- sin. h sin. k\',
waaruit onmiddellijk volgt:

._ . . . �, cos. C � sin. h sin. &\'

cos. (0 4- A) = cos. C =-----------i-------_r,------�

cos. h cos. h

-ocr page 82-



		62 SEXTANT.

		of: cos. Ccos. A � sin. Csin. A■= cos.C V^\\\\ tg~ⁱh)(l tgⁱh\') � tgh. tgh\'. Daar wij nu aannemen, dat h en/i\' en dus ook A kleine hoeken zijn, zoo mogen -wij de sinussen en tangenten dier hoeken door de bogen en de cosinussen door de eenheid vervangen, waardoor wij vinden: cos. C � A. sin. C = cos. C. V Y liⁱ-{-h\'^ir h\'l� � hh\',* of, als wij de kleine grootheid hVi\'¹, onder het wortelteeken ten opzichte van /i² /i\'² yerwaarloozen en voor t^l A\' A\'* schrij- ven: 1 -\\------₉ �, hetgeen eveneens neerkomt op het verwaar- loozen van grootheden van dezelfde orde als hVi\',* dan vinden wij: cos. C � A sin. C = cos. C (1 H-----~�) � hh\', of: hⁱ -4- 7/\'^s sin. O Voeren wij in deze uitdrukking de halve hoek C in, vervangen wij dus sin. C door 2. sin. \\C cos. I C en cos. C door cos.² i C�si».²iC en vermenigvuldigen wij dan tevens 7Ji\'met cos.² ] C-f-sw.² ^ C := 1, dan vinden wij na eenige herleiding: Bij de toepassing van deze formule heeft men er op te letten, dat h, h\' en A in deelen van den straal zijn uitgedrukt. Worden h en h\' in minuten gegeven, dan moet men die eerst door het getal 3438 deelen, ten einde ze in deelen van den straal uit te drukken. Om nu ook A in minuten te vinden, moet men weer met datzelfde getal vermenigvuldigen, waaruit voor het geval dat h, h\' en A in minuten worden uitgedrukt, volgt: i (h-\\-h\'Y . _n 1 fh � h\'Y § 02. Het meten van verticale hoeken. Wil men met de sextant den hoek bepalen, dien de lichtstraal, komende van een zeker

-ocr page 83-



		63
		SEXTANT.


		voorwerp, met hare horizontale projectie maakt, dan heeft men daartoe nog een hulpwerktuig, de zoogenaamde kunst-horizon (*), die uit een horizontaal spiegelend oppervlak bestaat, noodig. Deze spiegel wordt gevormd door eene zuiver gepolijste glasplaat, of door het oppervlak van eene vloeistof. De eerste wordt door drie stelschroeven ondersteund en met behulp van eene luchtbelbuis horizontaal gesteld. De vloeistofspiegel bestaat uit een ondiep bakje met olie of kwikzilver gevuld, waarvan het oppervlak, als de vloeistof in rust is, een horizontalen spiegel vormt. Om de groote bewegelijkheid van het kwikzilver weg te nemen, wordt het in een rood koperen schaaltje gedaan, dat inwendig geamalgameerd is; en om den invloed van den wind te ontgaan, plaatst men over den spiegel soms een blikken dak, in welks schuine zijden twee gleuven zijn ter doorlating van de lichtstralen, maar die ook door blaadjes mica kunnen gesloten worden, bijaldien de wind nog hinderlijk mocht blijken te zijn. Zij nu AB, fig. 49, het horizontaal spiegelend oppervlak, CD eene daarop invallende lichtstraal, komende\' van een ver afgelegen voorwerp, en waarvan de helling moet bepaald worden, dan zal deze lichtstraal in de richting DE worden teruggekaatst, zoodanig dat hoek EDA := CDB is. Meet men nu van uit een punt E den hoek GED tusschen dien teruggekaatsten lichtstraal en den lichtstraal GE, die van hetzelfde ver verwijderde voorwerp komt en dus evenwijdig loopt met CD, dan heeft men dien hoek slechts door twee te deelen om den hoek CDB te vinden, want uit de figuur volgt: GEF = CDF = CDB BDF = CDB - - EDA = 2. CDB. Is het voorwerp vanwaar de lichtstralen uitgaan dichtbij ge- legen, dan is de gemeten hoek niet gelijk aan het dubbel van den hellingshoek; om dezen te vinden moet eene kleine correctie worden aangebracht. Zij AB, (lig. 50), weder de horizontale

		() De zeeman, die op zijn schip geen kunst-horizon kan bezigen en de hoogte van een hemellicht wil bepalen, meet de hoogte daarvan boven de vrije kim; hiertoe richt hij den kijker op het punt van de kim, waar deze door den hoogtecirkel van he hemellicht gesneden wordt en verschuift de alliidade totdat liet dubbel teruggekaatste beeld van dat hemellicht de kim raakt; hiervan overtuigt hij zich door de sextant een weinig om de as van den kijker te draaien, waarbij het hemellicht een boogje moet beschrijven, dat de kim slechts in een punt aanraakt. De op den rand afgelezen hoek geeft, na het aanbrengen der index-correctie, de hoogte boven de kim; trekt men hiervan de kimduiking, wier grootte later bij de hoogteineling ($ 180) bepaald wordt, "f, dan vindt men de hoogte boven het horizontale vlak.

-ocr page 84-



		64 SEXTANT.

		spiegel, zij verder C het punt waarvan de twee lichtstralen uit- gaan, waarvan de eene CE direct op de sextant invalt, terwijl de andere CD eerst op den spiegel valt en volgens DE teruggekaatst zijnde in de sextant komt-, dan meet men met behulp van de sextant den hoek CED = 3, terwijl gevraagd is de hoek CDB = /3. Daar hoek CDF = 2. CDB = 20 buitenhoek van driehoek EDC is, zoo is: 20 = x -H C of 0 = $«- -* C. De aan te brengen correctie is dus de helft van den hoek in C. Ter bepaling van dezen hoek moeten wij de hoogte van het punt E boven den spiegel kennen, stel deze a en de horizontale afstand van het punt C tot den spiegel, zij deze b. Uit den drie- hoek EDC volgt dan: . ~ ED . ��p. / a b \\ . a cos. $ . sin. C= =-_- sin. ChL) = ��- :------ 1 sm. x = �----.�- sin. x, DC \\ sm. & cos. HJ b sm. 0 of, als wij voor den sinus van den kleinen hoek C, de boog schrijven en 3 door de benaderde waarde } x vervangen: .., a cos. \\x a . . C = �.----_:�:� 2. sm. * x cos. i = 2 � cos\'. I x. b sm. i x b Waaruit dus voor den gevraagden elevatiehoek volgt: /3 = 5; * -f- -f- cos². { x. Wil men den elevatiehoek <y = CEH van de lijn EC in het punt E kennen, dan volgt daartoe uit de figuur: y = CEH = CDB � ECB = 0 � C = \|_; « � \\ C en dus: y z=. % x------j- cos\', \'x x.

-ocr page 85-





		HOOFDSTUK VI.

		PLANCHET. § 63. Inleiding. Bij het planchet worden de hoeken niet in hoekmaat uitgedrukt, maar onmiddellijk op het papier in teeke- ning gebracht. Het planchet dient echter niet uitsluitend om er hoeken mede te meten, maar veeleer om er het geheele terrein op in teekening te brengen. Brengt men namelijk de verschil- lende hoeken van het terrein op hunne overeenkomstige plaatsen op het planchet over en zet op de beenen dier hoeken, de op het terrein in die richtingen gemeten afstanden op verkleinde schaal uit, dan verkrijgt men eene figuur, die gelijkvormig is met de projectie van het terrein op een horizontaal vlak, d. i. eene kaart van dat terrein. Het planchet bestaat in hoofdzaak uit twee verschillende deelen: 1° het eigenlijke planchet, zijnde een houten, met papier overspan- nen bord, dat door middel van een drievoet horizontaal opgesteld wordt in het hoekpunt van den hoek, dien men in teekening wil brengen; en 2°. de vizierliniaal, zijnde een koperen of houten liniaal van eene vizierinrichting voorzien, die evenwijdig loopt met een der zijkanten van de liniaal. Plaatst men deze liniaal op het planchet, richt men haar op een punt van het terrein en trekt vervolgens langs den zijkant evenwijdig aan de vizierlijn der liniaal een potloodlijn, dan heeft men op het planchet een lijn getrokken in de richting van het bedoelde punt; doet men dit nu naar alle richtingen, die men wenscht op te nemen, dan heeft men op het planchet alle hoeken in teekening gebracht, welke die richtingen onderling maken. S. 5

-ocr page 86-



		66
		PLANCHET.


		Behalve de aangegeven hoofddeelen heeft men bij de meting nog noodig: een schietlood om een punt van het planchet op het terrein over te brengen, een niveau om het planchet horizontaal te stellen, naalden om de hoekpunten op het planchet aan te geven en eindelijk het noodige teekengereedschap. § 64 Planchet. Het eigenlijke planchet is een vierkant houten bord, van 45 a 60 cM. zijde, vervaardigd van goed uitgestoomd, rechtdradig en knoestvr\'y lindenhout, dat op een drievoet beves- tigd, horizontaal op het terrein wordt opgesteld. De verbinding van het planchet met den drievoet moet zoodanig zijn, dat het bovenvlak van het planchet horizontaal kan gesteld worden, dat het om eene as rechthoekig op zijn bovenvlak kan draaien en eindelijk dat het op den drievoet nog eenigszins kan verschoven worden. Bij het in fig. 51 in doorsnede voorgestelde planchet is dit verkregen, door het planchet G met behulp van drie schroefjes F aan den cirkelrand E te verbinden. Deze cirkelrand is door de speeken L verbonden aan de as D, die in de bus C kan draaien. Deze bus rust door middel van de stelschroeven B op den kop A van den drievoet en wordt daarop vastgeklemd door de bekende veer (zie fig. 29). Om de beweging van het planchet om de as D op te hellen en dan nog eene fijne beweging aan het planchet te kunnen geven, is om de bus C een ring aangebracht, die door de micrometer- schroef K met den rand E in verbinding staat en met behulp van de klemschroef H aan de bus C kan verbonden worden. § 65. Vizierliniaal. De gewone vizierliniaal, in fig. 53 voorge- steld , bestaat uit de koperen liniaal AB en de twee vizieren C en D, die samen een viziervlak vormen rechthoekig op het ondervlak van de liniaal en evenwijdig met den zijkant ub, waarlangs de lijnen op het planchet getrokken worden. Behalve van de beschreven inrichting wordt ook gebruik ge- maakt van linialen met kijkers. Zijn deze vizierlinialen zooals thans veelal geschiedt tevens ingericht tot het meten van afstanden en van verticale hoeken, dan vormen zij met het planchet een zeer geschikt geheel, vooral, zooals later zal blijken, voor d�tail- opmeting. Een dergelijke liniaal, naar het Duitsch ook wel Kippregel genaamd, is in fig. 5\'2«J« op de helft der ware grootte voorgesteld.

-ocr page 87-



		67
		PLANCHET.


		Op de houten liniaal AA, die aan eene zijde schuin is afge- sneden en met een metalen reep is belegd, om daarlangs de lijnen op het planchet te trekken, is door middel van de schroeven C, de voetplaat B van de zuil D bevestigd. Op deze zuil zijn twee armen GG\' aangebracht, waaraan zich de pannen van de as MN bevinden; een dezer armen is zoo ingericht, dat door middel der correctieschroeven H de as MN evenwijdig gesteld kan worden aan den onderkant van de liniaal. Aan de as MN is eindelijk de kijker O verbonden, waarvan de vizierlijn rechthoekig staat op de as MN, zoodat die vizierlijn bij draaiing van den kijker om die as, een plat viziervlak beschrijft, rechthoekig op den onder- kant van de liniaal. Tot het meten der verticale hoeken is aan de as MN nog een cirkelrand Q bevestigd, waarop de hoeken met behulp van den klepnonius It worden afgelezen. Aan de andere zijde der as be- vindt zich nog de inrichting voor vastklemming K en de micro- meterschroef L voor de fijne beweging. § 66. Opstelling. Bij het werken met het planchet moet dit aan de drie volgende voorwaarden van opstelling voldoen: 1°. Het punt van het planchet, dat het punt van het terrein voorstelt, van waaruit men zal gaan meten, moet in de verticaal van dat punt gelegen zijn. 2°. Het bovenvlak van het planchet moet horizontaal zijn. 3°. Het planchet moet geori�nteerd zijn, d. w. z. de lijnen, die reeds op het planchet getrokken zijn, moeten evenwij- dig loopen met de overeenkomstige lijnen op het terrein. Aan de eerste voorwaarde wordt voldaan door het verzetten van den drievoet, of indien het planchet slechts weinig behoeft verplaatst te worden, door dit op den drievoet te verschuiven. Het onderzoek, of aan die voorwaarde voldaan is, heeft plaats met behulp van het schietlood, dat men op het oog genoegzaam nauwkeurig onder het punt van het planchet kan houden, dat men op het terrein moet projecteeren. Wordt grootere nauw- keurigheid vereischt, hetgeen echter zelden het geval zal zijn, dan kan men gebruik maken van den haak ABCD, fig. 54. De eene arm AB van dien haak legt men op het planchet met de punt A bij het punt, dat men op het terrein moet projecteeren, het aan den anderen arm in D opgehangen schietlood, zal dan de projectie van dat punt op het terrein aangegeven. De haak moet natuurlek zoo zijn ingericht, dat de lijn AD rechthoekig

-ocr page 88-



		(58
		PLANCHET.


		staat op den onderkant van den arm AB; of hieraan voldaan is, kan gemakkelijk nagegaan worden, door den haak eerst in den stand ABCD (fig. 55) en vervolgens in den stand AB\'C\'D\', die ongeveer 180\' van den eersten verschilt, aan hetzelfde punt A van het planchet te leggen; het schietlood rnoet dan in beide gevallen hetzelfde punt van het terrein aanwijzen. Het horizontaal stellen van het bovenvlak geschiedt door de stelschroeven, met behulp\' van een buis-niveau of een doos-niveau, op de wijze als vroeger uitvoerig is uiteen gezet (zie § 20). Om het planchet te ori�nteeren zorgt men, dat eene lijn, die bepaald wordt door het punt, waar het instrument wordt opge- steld, en door een tweede punt van het terrein, op het planchet getrokken is. Men plaatst dan de liniaal met den zijkant langs die lijn en richt vervolgens de vizierlijn of het viziervlak van de liniaal door draaiing van het planchet op dat tweede punt. Het is duidelijk dat het vervullen van deze drie voorwaarden van opstelling steeds hand aan hand moet gaan. Men zal dus eerst beginnen met op het oog, door het stellen van den drievoet en het draaien van het planchet om zijn as, te trachten aan die drie voorwaarden te voldoen. Men kan dan met de opgegeven hulpmiddelen de opstelling nauwkeuriger verrichten en, zoo daarbij eene eenigszins groote verplaatsing van het planchet voorkomt, het onderzoek nog eens herhalen. § 67. Onderzoek van het planchet. Het bovenvlak van het planchet moet een plat vlak zijn, rechthoekig op de as. Om te onderzoeken of het bovenvlak van het planchet een plat vlak is, legt men er in verschillende richtingen een volkomen rechte liniaal op en gaat na of deze overal het planchet over de volle lengte raakt. Mocht dit niet het geval zijn, dan moet het planchet door afschaven vlak gemaakt worden. Of het bovenvlak rechthoekig op de as staat, kan men onder- zoeken, door dat vlak met een niveau juist horizontaal te stellen en het planchet vervolgens om zijn as te draaien; blijft daarbij het niveau inspelen, dan heeft de as den juisten stand. Daar het draaien van het planchet om zijn as alleen voorkomt bij het opstellen, niet bij het eigenlijk meten, zoo is een niet rechthoekige stand van de as ten opzichte van het bovenvlak van het planchet weinig hinderlijk. Mocht dit geval zich werkelijk voordoen, dan zal, als het bovenvlak horizontaal gesteld is, en men het planchet ter ori�nteering een weinig draait, het bovenvlak

-ocr page 89-



		(39
		PLANCHET.


		wel niet horizontaal blijven; maar door de stelschroeven weer gemakkelijk horizontaal gebracht kunnen worden. § 68. Regeling van de \'vizierliniaal niet gewone �vizieren. Het viziervlak van de liniaal moet een plat vlak zijn, rechthoekig op het ondervlak van de liniaal, en zoo er verschillende viziervlakken aanwezig zijn, dan moeten deze allen samenvallen. Op de eerste voorwaarde onderzoekt men de liniaal door haar op een zuiver horizontaal gesteld planchet te plaatsen en op eene zuiver verti- cale lijn te richten, die door een met een gewicht bezwaard koord aangegeven wordt; wordt het koord dan over de geheele lengte door den objectief-draad gedekt, dan heeft het viziervlak den vereischten stand; zoo niet, dan moet men de liniaal verbeteren door de schroefjes, waarmede de objectief-plaat D, (fig. 53), op de liniaal AB is bevestigd, los te maken en weer vast te schroeven na tusschenvoeging van een stukje papier of tinfoelie. Daar het bij dit onderzoek vooral op den horizontalen stand van het plan- chet , in eene richting rechthoekig op die van de liniaal, aankomt, zoo plaatst men in die richting op het planchet een buis-niveau, om daarmede den horizontalen stand van het planchet voortdurend te kunnen nagaan. Zijn er verschillende viziervlakken, door dat men verschillende oculairopeningen of een oculairspleet heeft, dan moet men het samenvallen der viziervlakken onderzoeken, door een dier vlakken op een punt (of op het verticale koord) te richten en na te gaan of de andere er ook op gericht zijn. Mocht dit niet het geval zijn, dan verbetert men de liniaal met behulp van de schroefjes, waar- mede de oculair-plaat C (fig. 53) op de liniaal is bevestigd. § 69. Kegeling van do vizierliniaal met kijker. Ook bij deze inrichting moet het viziervlak een plat vlak zijn, rechthoekig op den onderkant van de liniaal, hetgeen verkregen wordt door te zorgen, dat de vizierlijn van den kijker rechthoekig staat op de as en dat de as evenwijdig loopt met den onderkant van de liniaal. Het onderzoek of aan deze beide voorwaarden voldaan is, geschiedt op dezelfde wijze als bij den theodoliet, met dit kleine verschil, dat bij een liniaal met doorslaanden kijker de omdraaiing niet plaats heeft om de eerste as, maar op het bovenvlak van het planchet. Bij de liniaal met niet doorslaanden kijker dient men dezelfde voorzorgen te nemen, als hierboven zijn aangegeven, om zich van den horizontalen stand van het planchet te overtuigen.

-ocr page 90-



		70
		PLANCHET.

		Evenals bij den theodoliet geeft het doorslaan van den kijker veel gemak bij dit onderzoek, en het is daarom, dat, al kan de kijker niet worden doorgeslagen, hetgeen voor de waarnemingen zelf geenszins noodzakelijk is, de inrichting toch zoodanig getroffen wordt, dat men voor de regeling hetzelfde doel kan bereiken, door den kijker even uit zijne pannen te lichten. Bij de in fig. 52 voorgestelde liniaal kan dit geschieden door de schroefjes I\' en de daaronder liggende plaatjes weg te nemen. Het meten van verticale hoeken met deze vizierliniaal heeft op overeenkomstige wijze plaats, als bij den theodoliet is behandeld. (Zie § 42-47).

-ocr page 91-



		HOOFDSTUK VII.

		BOUSSOLE. § 70. Dcclinatic van de magncctnaald. De boussole, berustende op de eigenschappen van de magneetnaald, stelt ons in staat het azimuth van eene lijn te meten, dat is de hoek, die hare hori- zontale projectie met eene vaste lijn maakt. Voor deze vaste lijn wordt meestal de lijn NZ of de ware meridiaau genomen, maar daartoe kan even goed elke andere lijn dienen, die een vasten hoek met den waren meridiaan maakt. Zooals bekend is neemt eene magneetnaald, die zich in een horizontaal vlak vrij kan bewegen, eene bepaalde richting aan, die den naam van magnetische meridiaan draagt. Het is ten op- zichte van dezen magnetischen meridiaan, dat de azimuthen met de boussole gemeten worden. Had deze magnetische meridiaan eene vaste richting, m. a. w. maakte hij met den waren meridiaan altijd en overal denzelfden hoek � declinatie der magneetnaald genaamd � dan kon men met de boussole de azimuthen nauwkeurig meten. Daar echter de declinatie der magneetnaald aan vele veranderingen onderhevig is, zoo is de meting met de boussole voor geene groote nauwkeurig- heid vatbaar. Ten einde na te kunne"n gaan, welke nauwkeurigheid met de boussole te bereiken is en welke eisenen men aan eene boussole- meting kan stellen, zullen wij in het kort de voornaamste veran- deringen aangeven, waaraan de declinatie der magneetnaald on- derhevig is.

-ocr page 92-



		72 BOUSSOLE.

		Vooreerst is de declinatie veranderlijk met de plaats. Hier te lande en in geheel Europa en Africa is de declinatie westelijk, in Amerika en een groot gedeelte van Azi� daarentegen is zij oostelijk. De declinatie verandert echter niet sprongsgewijze maar geleidelijk, en neemt hier te lande ongeveer met 30" per KM. af, als wij ons naar het Oosten en met 6" per KM. als wij ons naar het Zuiden verplaatsen. Ook is de declinatie met den tijd aan een langzame verandering, onderhevig, die den naam van seculaire verandering draagt. In het midden der 16^de eeuw was de declinatie hier te lande Ooste- lijk, nam gaandeweg af, tot zij ongeveer in het midden der 17^deeeuw nul en vervolgens westelijk werd. Na in westelijken zin tot het begin dezer eeuw te zijn toegenomen en een maximum van ongeveer 22° bereikt te hebben, is zij weer aan het afnemen, bedroeg in 1879 ongeveer 16° 0\' en vermindert nog jaarlijks met ongeveer 8\'. Daar de metingen met de boussole zich meestal slechts over een klein terrein uitstrekken en in betrekkelijk korten tijd zijn afgeloopen, zoo hebben deze beide veranderingen in de declinatie weinig of geen invloed op de nauwkeurigheid der meting. Die veranderingen kunnen echter gemakkelijk in rekening gebracht worden, waar het geldt het bepalen van het ware azimuth, door de declinatie te gebruiken voor de plaats waar, en den tijd waarop de metingen verricht zijn. Van meer belang is de dagelijksche verandering van de declinatie. Van \'s-ochtends 7 of 8 uur af neemt hier te lande de westelijke declinatie van de magneetnaald toe, tot zij in den namiddag omstreeks 1 k 2 uur haar maximum bereikt, om dan weer af te nemen, eerst vrij snel tot omstreeks 10 uur \'s avonds en dan langsamer den geheelen nacht door tot \'s ochtends 7 \'S, 8 uur; waarop de naald weef opnieuw hare beweging in westelijke rich- ting begint. Deze beweging, die zich hier te lande in den zomer gemiddeld over een boog van ongeveer 10\' tot 12\' en in den winter van ongeveer 4\' tot 6\' uitstrekt, heeft plaats gedurende de meting, zoodat men telkens de azimuthen ten opzichte van eene andere lijn bepaalt. Aangezien nu deze verandering zeer ongelijkmatig plaats heeft, is het niet .mogelijk haar in rekening te brengen en blijven dus de fouten, die daardoor ontstaan, in de uitkomsten der meting. Behalve deze dagelijksche verandering der declinatie, heeft men nog de magnetische storingen, ten gevolge van noorderlicht,

-ocr page 93-



		73
		BOUSSOLE.


		aardbevingen, uitbarstingen van vuurspuwende bergen en andere natuurverschijnselen, die aan den stand der naald onregelmatige afwijkingen geven, waarvan het bedrag soms tot een graad kan opklimmen. Ten gevolge van de dagelijksche verandering der declinatie en van de magnetische storingen is het dus niet mogelijk, met de boussole nauwkeurige metingen te verrichten, en het is daarom overbodig hooge eischen te stellen aan de inrichting en de rege- ling van dat instrument. Zorgt men van bij groote storingen, die zich door de onrust der magneetnaald kenmerken, geene waarnemingen te verrichten, dan kunnen in de meting tocli nog fouten voorkomen, die wellicht tot 10\' kunnen opklimmen. Op plaatsen dichter bij den evennaar gelegen zijn de dagelijk- sche beweging en de invloed van de storingen minder groot, zoodat men aldaar eene eenigszins grootere nauwkeurigheid met de boussole kan bereiken. § 71. Beschrijving van de boussole. Bij de in fig. 56 voorge- stelde boussole rust de magneetnaald NZ door middel van een agaten hoedje op een stift, die in het midden van eene cilindor- vormige koperen doos is aangebracht. In de doos, die van boven door eene glazen plaat gedekt is, bevindt zich op een verheven rand eene graadverdeeling en wel zoo, dat, als de rand horizon- taal staat, de naald zich in het vlak van den rand bevindt, met haar uiteinde zoo dicht mogelijk bij de verdeeling, om hierop met behulp van de punt der magneetnaald, den stand der doos ten opzichte van den magnetischen meridiaan te kunnen aflezen. Ter zijde van de doos bevinden zich twee opstaande platen, de eene voorzien van eenige oculair-openingen of eene oculair-spleet, de andere van een objectief-opening met paardenharen draad, waar- door een viziervlak gevormd wordt, dat rechthoekig staat op het vlak van den rand en door de lijn gaat, die de verdeelingen 180° en 0\' verbindt. In plaats van de gewone vizieren vindt men ook wel een kijker boven of onder de boussole om eene as draaibaar, welke as even- wijdig loopt aan den rand. Het viziervlak van den kijker moet natuurlijk denzelfden stand hebben als boven is aangegeven. De doos is eindelijk draaibaar om eene as, die rechthoekig staat op het vlak van den rand en die bij het gebruik verticaal gesteld wordt. De inrichting om die as verticaal te stellen, kan dezelfde zijn als hiervoor bij den theodoliet en het planchet nader

-ocr page 94-



		74
		IIOUSSOLK.


		is beschreven; in lig. 56 is eene eenvoudigere inrichting aange- geven, die wel is waar geen zoo nauwkeurige verticaalstelling toelaat als de vroeger beschrevene met behulp van stelschroeven, maar die geheel past bij de geringe nauwkeurigheid met de bous- sole te bereiken. Bij die inrichting, bekend onder den haam van kogel-scharnier, gaat de as door een bol A, die door middel van de schroef D, tusschen de twee vleugels B en C wordt vastge- klemd ; deze vleugels zitten eindelijk op eene kegelvormig uitgeholde bus, die op den kegelvormig afgedraaiden kop van den drievoet geplaatst wordt. Maakt men de schroef D even los, dan kan het geheele boven- stel om het middelpunt van den bol draaien; door dat bovenstel dan met de eene hand zoo vast te houden, dat de as verticaal staat, kan men het in dien stand bevestigen, door de schroef weer vast te draaien. § 72. Het meten met de bonssole. Stel dat wij willen bepalen het magnetisch azimuth van de lijn AB, (fig, 57) � dat is de hoek MAB die de lijn AB met de richting AM van de magneet- naald maakt � dan plaatsen wij de boussole met haar middelpunt boven het punt A en richten de lijn 180° � 0" met behulp van de vizierinrichting op het punt B, het is duidelijk dat wij dan op den rand bij het noordeinde N van de naald den gevraagden hoek zullen allezen. Telt men het azimuth uit het Noorden langs het Oosten naar het Zuiden enz., dus in de richting waarin de wijzers van het horloge bewegen, dan moet de becijfering op den rand, zooals zulks in iiguur 56 is voorgesteld, in tegengestelde richting plaats hebben. Moet men niet het magnetische maar het ware azimuth PAB (fig. 57) van de lijn hebben, dan moet men van het aldus gevon- den magnetisch azimuth de westelijke declinatie PAM der mag- neetnaald aftrekken. Daar de rand slechts verdeeld is in heele en halve graden en men bij de punt der naald moet aflezen, zoo kan men het in die aflezing moeielijk verder brengen dan tot ongeveer 10\', eene nauwkeurigheid geheel in overeenstemming met de door.andere oorzaken begrensde nauwkeurigheid. Eene ingewikkelde inrichting om nauwkeuriger aflezing te verkrijgen zou dan ook geheel doel- loos zijn. Bij het allezen dient men zich echter onafhankelijk te maken van de parallax, door zich in het verlengde van de naald te

-ocr page 95-



		BOUSSOLE. 75

		plaatsen, en van de excentriciteit der naald, door ook bij de Zuidpunt af te lezen. Trekt men van de laatste allezing 180\' af, dan verkrjjgt men eveneens het azimuth en door dan het gemid- delde te nemen tusschen dit en het bij de Noordpunt afgelezene, verkrijgt men de uitkomst onafhankelijk van de fout van excen- triciteit. Zeer dikwijls treft men boussoles aan, waarbij, zooalsin fig. 58 is voorgesteld, de vizierinrichting op zij van de doos is aange- bracht. Plaatst men een dergelijke boussole met haar middelpunt O boven het punt A, dan zal men bij het bepalen van het azi- muth van AB eene fout maken, die echter des te kleiner zijn zal, naarmate het punt B verder af gelegen is. Mocht het punt B zoo dichtbij gelegen zijn, dat die fout te groot zou worden, dan kan men haar verhelpen, door niet het middelpunt van de boussole, maar de vizierinrichting boven het punt A te brengen, zooals in de liguur is aangegeven. Men leest in dat geval het azimuth MOC van de aan AB evenwijdige lijn OC, die de punten 18(F en 0° van den rand verbindt, af; dit is blijkbaar hetzelfde als het azimuth van AB. § 73. Onderzoek van de boussole. Het onderzoek van de boussole moet zich uitstrekken over de gevoeligheid van de magneetnaald en over den stand van het viziervlak ten opzichte van de as. De gevoeligheid der naald kan men onderzoeken door op een ver- wijderd voorwerp te richten en, nadat de naald tot rust gekomen is en men haar stand heeft afgelezen, de boussole voorzichtig eenige graden heen en weer te draaien en ten slotte weer op hetzelfde punt te richten. Is de naald bij deze beweging rustig blijven staan en heeft zij na de proef denzelfden stand als daar v��r, dan bezit zij de noodige gevoeligheid. Men kan ook, nadat de magneetnaald tot rust gekomen is, haar door middel van een ijzeren voorwerp in schommeling brengen en nagaan of zij weer in denzelfden stand tot rust komt. Is de boussole, zooals in fig. 56, voorzien van gewone vizieren, dan moet het viziervlak, hierdoor gevormd, evenwijdig loopen aan de as. Het onderzoek hieromtrent geschiedt op overeenkomstige wijze als bij de vizierliniaal van het planchet is beschreven, met deze kleine wijziging, dat men de as verticaal stelt in plaats van het planchet horizontaal te stellen. Is de boussole van een kijker voorzien, die om eene tweede as kan draaien, dan moet de boussole aan dezelfde eischen voldoen»

-ocr page 96-



		70
		BOUSSOLE.

		die wij vroeger aan den theodoliet gesteld hebben. Het onder- zoek heeft op overeenkomstige wijze plaats. Strikt genomen zou bij beide inrichtingen het viziervlak tevens moeten gaan door de lijn 180°�0° of minstens daarmede even- wijdig moeten loopen. Eene afwijking hieromtrent is echter in vele gevallen niet hinderlijk en in de overige gevallen gemakkelijk in rekening te brengen. Is die fout namelijk aanwezig, dan komt in ieder azimuth, dat men meet, dezelfde fout voor, hetgeen daarmede overeenkomt, dat men meet ten opzichte van eene an- dere vaste 1\'yn, die met den magnetischen meridiaan een vasten hoek maakt, gelijk aan de bedoelde fout. Is het ons dus alleen te doen om de azimuthen ten opzichte van eene willekeurige lijn te meten, dan heeft die fout in het geheel geen invloed; en is het ons te doen om het ware azimuth te bepalen, dan moeten wij slechts in plaats van de declinatie der magneetnaald de zoo- genaamde declinatic van de boussole nemen, dat is de hoek, die het viziervlak met den waren meridiaan maakt, als de naald op nul staat. Deze declinatie kunnen wij, voor de plaats waar en den tijd waarop de meting geschiedt, gemakkelijk vinden, door met de boussole het azimuth te bepalen van eene lijn, waarvan het ware azimuth bekend is; het verschil tusschen die twee is de gevraagde declinatie. Is op het terrein geen lijn met bekend azi- muth gegeven, dan moet men eerst langs astronomischen weg het azimuth van eene lijn of de richting van den meridiaan be- palen. (Zie § 124 en volg.) § 74. Opstelling: van de boussole. Bij het gebruik van de bous- sole moet men er voor zorgen, dat zich geen ijzerdeelen in de nabijheid bevinden, die aan de magneetnaald eene afwijking zou- den kunnen geven. Zoo moet men vermijden ijzeren voorwerpen in den zak mede te voeren, de meetketting of andere ijzeren meetinstrumenten te dicht bij de boussole te brengen tijdens het aflezen en de boussole in de nabijheid van ijzeren voorwerpen, zooals ijzeren bruggen enz. te bezigen. Verder moet het midden van het instrument gebracht worden in de verticaal van het punt waaruit men moet meten, en moet de as verticaal staan. Het eerste onderzoekt men met het schiet- lood, het tweede met behulp van het niveau. Is de boussole ingericht, zooals in fig. 56 is voorgesteld, dan plaatst men een doosniveau op het glazen deksel en doet het inspelen door de schroef D los te maken, het bovenstel met de

-ocr page 97-



		77
		BOUSSOLE.


		eene hand den juisten stand te geven en niet de andere de schroef weer aan te draaien. Het is hierbij noodig dat het glazen deksel rechthoekig staat op de as; of aan deze voorwaarde vol- daan is, kan men gemakkelijk onderzoeken, door, als de bel inspeelt, de boussole om de as te draaien.

-ocr page 98-



		*\\\'\\* . - ., . . � .:■; \',.\'■■■: "VI *■ b \' �_! r ..� r.ii .! � i n !■\':■ i � i. \\ ,\'�* f .:■.\'.! ; i - : . . ! s �.. .;.,.. } i" .< ,\'.\'.■ i ■ >i i\',]i .�> :■ !.«-;�■■ / ■ i ,i,;i ."i r. ; \' �** j.\'i ).■. ,-. j. ;; i �►\' < ii i< \' i-i)-\' i ■ . : .\'. ,i \'i . ■; \'.-\'�\' > : i\'li"; \' ■ � � i ■■ .i i »J »: i f .\'..:,, , f i ■.;; < \') i >��\'■\'.\'■ i

		HOOFDSTUK VIII.

		HET UITZETTEN VAN HOEKEN. § 75. Algemeen overzicht. Tot liet uitzetten van gegeven hoe- ken op het terrein kunnen in het algemeen al de instrumenten dienen, die hiervoor beschreven zijn. Is b. v. op het terrein het hoekpunt benevens een der beenen van den hoek gegeven, dan plaatst men een theodoliet in dat punt, richt den kijker volgens de gegeven lijn en leest den stand van den nonius op den eersten rand af. Draait men nu het bovenstel zooveel om, totdat men op den nonins een aantal graden en minuten, gelijk aan dat vanden uit te zetten hoek, meer afleest, dan heeft men slechts in het viziervlak van den kijker eene baak te laten plaatsen, om den hoek daardoor op het terrein aan te geven. Met de overige in- strumenten gaat men op overeenkomstige wijze te werk. Het uitzetten van hoeken van een willekeurig aantal graden en minuten komt in de practijk zelden voor, veel daarentegen het uitzetten van eenige weinige bepaalde hoeken, als van 45°, 90° en 180^:; maar vooral van 90". Tot het uitzetten van deze hoeken heeft men eenvoudige instrumentjes, die veel gemakkelijker in het gebruik zijn, door hunne eenvoudigere samenstelling en geringer volume. Deze instrumenten hebben twee viziervlakken, die den gevorderden hoek met malkaar maken, of het zijn s"piegelinstru- menten, waarin twee vaste spiegels voorkomen, die samen een hoek vormen gelijk aan de helft van den uit te zetten hoek; deze spiegels kunnen dan gewone spiegels zijn van verfoelied plat glas; of wel de zijvlakken van glazen prisma\'s. Van elk dezer verschil- lende soorten zullen wij er een nader beschrijven.

-ocr page 99-



		■

		HET UITZETTEN V,A,N HOEKEN. 79 § 7G. �querre d\'nrpenteur. De, �quer.re d\'arpenteur, ook be- kend onder de namen van achtkant, pctqgoon en landmeterskruis, hoewel deze laatste benaming meer toekomt aan eene eenigszins andere constructie, die vroeger �tot hetzelfde doel gebruikt werd, is in fig. 59 op de helft der, ware grootte voorgesteld. Boven op eene kegelvormig uitgeholde bus, die op een stok of op een drie- voet geplaatst wordt, bevindt zich eene holle achtkante doos van koper. In twee tegenover elkaar staande zijvlakken A en 13 zijn twee vizierinrichtingen aangebracht, waardoor men in twee tegen- overgestelde richtingen kan richten en waarmede men dus hoeken van 180° kan uitzetten. In de twee zijvlakken die rechthoekig staan op de eerste en waarvan er slechts een bij C zichtbaar is, zijn dergelijke vizierinrichtingen aangebracht, zoodat men daardoor twee viziervlakken verkrijgt, die rechthoekig staan op de vizier- vlakken door A en B gevormd en waarmede het dus mogelijk is rechte hoeken uit te zetten. In de vier overige zijvlakken zijn enkel smalle spleten aange- bracht, omdat sommige landmeters het richten door twee zulke spleten verkiezen boven het richten met de andere vizierinrich- tingen. Zij kunnen ook dienen om in verband met die andere vizierinrichtingen hoeken van 45 uit te zetten. § 77. Gebruik van do �querre d\'arpenteur. Het uitzetten van hoeken van 180\' heeft plaats bij het verlengen van eene lijn AB naar C, (fig. 63), of bij het zoeken van een punt op een lijn AB, (fig. 64), als men bij geen der punten A of B kan komen. In het eerste geval plaatst men de �querre in B (fig. 63) en draait haar zoo, dat een der viziervlakken op A gericht is; door de zich daar boven of daar onder bevindende vizierinrichting in tegenge- stelde richting ziende, kan men dan eene baak in die richting dus in C doen plaatsen. In het tweede geval plaatst men het instrument ergens in C, (fig. 64), zoo goed als zulks op het oog kan geschieden, in de lijn AB, richt op A en ziet nu of men ook op B gericht is. In het geval in de figuur voorgesteld, valt het viziervlak links van het punt B, waaruit men opmaakt, dat men zich naar rechts b. v. naar D moet verplaatsen, om daar het onderzoek opnieuw in te stellen en zoo lang te herhalen, tot men werkelijk een punt gevonden heeft op de lijn AB gelegen. Het uitzetten van rechte hoeken komt voor bij het oprichten van eene loodlijn BC (fig. 65) op een gegeven lijn AB en bij het zoeken van het voetpunt E van de loodlijn uit een punt D, buiten

-ocr page 100-



		80
		HET UITZETTEN VAN HOEKEN.


		de lijn AB, op die lijn neergelaten. In het eerste geval plaatst men de �querre in B, richt een der viziervlakken op A en laat dan eene baak C plaatsen, in het viziervlak dat rechthoekig staat op het eerste. In het tweede geval stelt men het instrument in een punt F van de lijn AB, zoo goed als zulks op het oog kan, in het voetpunt der loodlijn; en onderzoekt of de loodlijn in dat punt opgericht door D gaat, zoo niet, dan kan men zien in welke richting, en ook ongeveer hoeveel, men het instrument in de lijn AB moet verplaatsen om dichter bij het gevraagde voet- punt te komen, alwaar men hetzelfde onderzoek herhaalt. § 78. Opstelling en onderzoek van de �querre d\'arpontenr. Bij het gebruik moet het midden van het instrument in de verticaal van het hoekpunt gebracht worden en de meetkunstige as van het instrument verticaal staan, zoodat ook de viziervlakken ver- ticaal komen. Verreweg het eenvoudigste bij het gebruik is het, de �querre op een stok te plaatsen, die van onderen in een ijzeren punt uitloopt; men plaatst den stok dan met zijn uiteinde in het bedoelde punt van het terrein en plaatst hem op het oog verticaal. Alleen wanneer men te doen heeft met een zeer weeken of met een harden bodem, waarin men den stok niet kan vastzetten, is men genoodzaakt zijne toevlucht te nemen tot een drievoet. Men onderzoekt dan met behulp van een schiet- lood, of door het voorzichtig laten vallen van een steentje, of het midden van het instrument zich in de verticaal van het be- doelde punt bevindt. De �querre wordt weer op het oog verticaal geplaatst. De ecnige voorwaarde, waaraan de �querre moet voldoen, is dat de twee viziervlakken den gewenschten hoek met elkaar ma- ken. Dit kan men onderzoeken door rondmeting (tour d\'horizon). Van uit een punt van het terrein, waar men de �querre plaatst, zet men b. v. vier malen met de �querre denzelfden hoek naast elkaar uit, komt dan het laatste been van den vierden hoek juist overeen met het eerste been van den eersten hoek, dan maken de gebezigde viziervlakken de juiste hoeken niet elkaar; zoo niet dan is de �querre onbruikbaar en moet door den instrumentmaker verbeterd worden. Het is duidelijk, dat men bij dit onderzoek telkens dezelfde viziervlakken moet gebruiken en dus de �querre telkens een hoek van 90\' moet verdraaien. Het onderzoek naar de juistheid der hoeken van 45 heeft op overeenkomstige wijze plaats.

-ocr page 101-



		81
		HET UITZETTEN VAN HOEKEN.


		§ 79. Spiegelkruis. Het spiegelkruis, waarvan in fig. 60 eene afbeelding voorkomt, bestaat uit twee spiegeltjes, die een vasten hoek met elkaar maken en waarvan het eene slechts half verfoe- lied of lager dan het andere is. Ziet men nu in dezen kleinen of half verfoelieden spiegel een voorwerp, dat eerst op den an- deren spiegel is teruggekaatst, samenvallen met een tweede voor- werp , dat men over dien spiegel of door het onverfoeliede gedeelte heenziet, dan maken, volgens hetgeen wij bij de sextant gezien hebben, de lichtstralen, die van beide voorwerpen komen, samen een hoek gelijk aan het dubbel van den hoek der twee spiegels; is deze dus 4o°, dan staan die lichtstralen rechthoekig op elkaar. Om met dit instrumentje de loodlijn BC, (fig. 05), in 13 op AB op te richten, plaatst men zich daarmede in B met het gezicht naar C, neemt door dubbele terugkaatsing de baak A in den kleinen spiegel waar, en laat dan in C eene baak zoodanig stel- len, dat men die, over den kleinen spiegel heenziende, ziet sa- menvallen met het beeld van A. Om het voetpunt E der loodlijn uit D op AB neergelaten te bepalen, plaatst men zich met het instrument op dezelfde wijze ergens in een punt F van de lijn AB en ziet of het punt D samenvalt met het beeld van A, zoo niet dan verplaatst men zich zoolang naar rechts of naar links in de lijn AD, tot die samenvalling plaats heeft, het spiegelkruis is dan in de verticaal van het voetpunt gelegen. In het gebruik is het spiegelkruis veel gemakkelijker dan de hiervoor beschreven �querre d\'arpenteur; daar het evenals de sextant geen vaste ondersteuning vordert en een stok of drievoet dus overbodig is, kan het gemakkelijk in den zak geborgen wor- den, zoodat het, zonder de andere werkzaamheden te bemoeilijken, toch altijd voor het gebruik bij de hand is. Ook bij het neerlaten der loodlijnen ontgaat men het lastige opstellen, dat bij de �querre soms voor ��ne loodlijn drie- of viermalen moet geschieden. Het onderzoek naar den juisten stand der spiegels geschiedt op dezelfde wijze, als bij de �querre is behandeld, door middel van rondmeting; mochten de spiegels den juisten stand niet bezitten, dan kan men hen dien geven, door een der spiegels met behulp van eene daartoe aangebrachte correctieschroef te verplaatsen. Door aan de spiegels hoeken van 22\'/» of 90³ te geven, kan men ook hoeken van 45° respectivel\'yk 180° uitzetten. § 80. Prisma van Baucriifciiid. Het prisma van Bauernfeind in fig. Gl voorgesteld, bestaat uit een glazen prisma waarvan de S. G

-ocr page 102-



		82
		HET UITZETTEN VAN HOEKEN.


		normale doorsnede een gelijkbeenige rechthoekige driehoek is met eene ongeveer 4 cM. lange hypotenusa. De twee grondvlakken en het verfoeliede hypotenusa-vlak door koperen platen beschermd zijnde, blijven alleen de twee rechthoekszijden over, die door middel van een, om eene as draaibaren, beugel kunnen bedekt worden, zoodat het geheel een zoo kleine ruimte inneemt, dat het gemakkelijk kan geborgen worden. De beugel 90° omgedraaid zijnde dient tot handvat en het instrument is voor het gebruik gereed. In dezen laatsten stand is het prisma in de figuur voor- gesteld. De twee spiegels, waarop de terugkaatsing plaatst heeft, worden hier gevormd door het verfoeliede hypotenusa-vlak AB, (fig. 62), en eene der rechthoekszijden, b. v. BC, waar totale terugkaatsing plaats heeft. Valt van een punt P eene lichtstraal P« evenwijdig met het grondvlak van het prisma op het vlak AC in, clan wordt zij volgens ab gebroken, in b teruggekaatst naar c en daar weer teruggekaatst naar d, waar zij het prisma, in de richting de ver- laat en in het bij e geplaatste oog treedt;.ziet men met dat oog tevens over het prisma heen, naar eene bij Q geplaatste baak, dan zal, zoo men het beeld van P ziet samenvallen met Q, de hoek QRP recht zijn. Dat die hoek werkelijk recht is, is gemakkelijk na te gaan; de lichtstraal ab toch wordt op de twee vlakken BC en AB terug- gekaatst en maakt dus met cd een hoek gelijk aan het dubbel van den hoek ABC, dat is, zij staat rechthoekig op cd; daar nu de normalen ag en dh ook rechthoekig op elkaar staan, zoo zijn de hoeken gab en cdk aan elkaar gelijk, waaruit onmiddellijk de gelijkheid der hoeken Vaf en Rdk volgt. De lijnen «P en dR maken dus met de onderling rechthoekige normalen af en dh gelijke hoeken in denzelfden zin en zijn dus ook onderling recht- hoekig. Dit prisma wordt op dezelfde wijze gebruikt en onderzocht als het hiervoor beschreven spiegelkruis. Van regeling kan natuurlijk geen sprake zijn; een prisma, dat dus niet goed bevonden wordt, moet eenvoudig niet worden aangenomen.

-ocr page 103-



		HOOFDSTUK IX.

		MEETLATTEN, MEETKETTING, MEETBAND. § 81. Het meien van afstanden. Tot het meten van afstanden maakt men bij liet landmeten van twee�rlei soorten van instru- menten gebruik. De te bepalen afstand wordt namelijk met een instrument van bekende afmetingen direct gemeten, of wel hij wordt op indirecte wijze gevonden als een van de zijden van een driehoek, waarvan door directe meting eene andere zijde en twee hoeken gevonden zijn. Met de eerste soort van instrumenten, waartoe de meetlatten, de meetketting en de meetband behooren, wordt de te meten afstand geheel doorloopen; de andere, die meer bijzonder den naam van afstcmdsmeters dragen, worden slechts op de uiteinden gebezigd. De afstanden, zooals men die bij het landmeten noodig heeft, zijn bijna uitsluitend de horizontale afstanden, dat zijn de afstan- den, die in liet horizontale vlak gelegen of daarop geprojecteerd zijn. Zijn dus de twee punten, waartusschen de afstand gemeten wordt, niet op dezelfde hoogte gelegen, dan moet men den af- stand toch in horizontalen zin meten, van liet eene punt tot aan de verticaal van het andere. Is het om de een of andere reden wenschelijk of noodzakelijk den afstand in schuine richting te meten, dan moet men uit dien schuinen afstand den horizontalen afstand berekenen, men moet den schuinen afstand tot den horizon herleiden. Maakt de schuine afstand L rnet zijne horizontale projectie een hoek a, dan is de horizontale afstand L cos. x, waarvoor wij ook kunnen schrijven L (1�2 .sin². \\z)\\ zoodat van den gevonden afstand, de

-ocr page 104-



		84
		*MEETLATTEN, MEETKETTING , XIEETBAND.**


		waarde 2Lsi/»^s.-J.x moet worden afgetrokken. Is niet de hellingshoek van den gemeten afstand, maar het hoogteverschil h van beide uiteinden bekend, dan wordt de horizontale afstand gevonden uit i^h¹ � h,* waarvoor wij bij benadering kunnen schrijven L�57-» 2t Li 11} zoodat van den gevonden afstand �y- moet worden afgetrokken. § 82. Meetlatten. De meetlatten, zooals die bij het landmeten hot meest worden gebruikt, hebben eene lengte van 2 of van 5 meter; zij zijn van hout gemaakt en aan beide einden van een ijzeren schoen voorzien, waarvan de dikte in de lengte der maat begrepen is. Die meetlatten zijn verder geverfd of geolied en door ingelegde, ingebrande of geverfde strepen, respectievelijk in centimeters en decimeters verdeeld. Tot het nauwkeurig meten van een afstand met behulp van meetlatten heeft men er minstens twee noodig, die telkens aan elkander geschoven worden. Bij het meten op een horizontaal terrein worden ze direct op den grond gelegd; de eerste wordt met haar uiteinde bij het beginpunt van den te meten afstand gelegd en in de richting van dien afstand gebracht, de tweede lat wordt dan in het verlengde van de eerste gebracht en zacht daartegen aangeschoven, vervolgens wordt de eerste weer opge- nomen en op dezelfde wijze voor de tweede gebracht, enz., totdat men aan het einde van den te meten afstand gekomen is. Het gedeelte van den afstand kleiner dan 5 nieter, dat dan nog over- schiet, wordt op de lat direct in decimeters en centimeters afge- lezen. Is het terrein niet horizontaal, dan kan men, of de meetlatten op het oog horizontaal houden, en dan het uiteinde van de eene lat met behulp van een schietlood of van eene rechte lat, die men verticaal bij het uiteinde houdt, op het terrein of op het uiteinde van de andere lat overbrengen, of wel de latten direct op het terrein aan elkander leggen en telkens de correctie bere- kenen, die van de gevonden lengte moet worden afgetrokken, om deze tot den horizon te herleiden. Licht men namelijk het laagste uiteinde der lat even omhoog, zoodat de lat horizontaal komt, clan kan men gemakkelijk met eene tweemeterlat het hoogteverschil van de twee uiteinden meten en met behulp van h¹de formule ■-=- de gevraagde correctie berekenen. Drukt men daarbij

-ocr page 105-



		85
		MEETLATTEN, MEETKETTING, MEETBAN1).


		het hoogteverschil in decimeters uit, dan geeft bij een vijfmeterlat, volgens bovenstaande formule, het vierkant van dat getal deci- meters de correctie in millimeters. Het spreekt van zelf dat de latten tusschen de uiteinden de juiste lengte van 2 of van 5 meter moeten bezitten en dat ze steeds gebracht moeten worden in het verticale vlak, gaande dooi- de twee uiteinden van den te meten afstand. Eene fout in de lengte van de lat zou natuurlijk voor iedere vijf meter, die men uitmeet, eene fout in denzelfden zin en van dezelfde grootte opleveren; het niet in de juiste lichting meten, geeft ook steeds eene fout in denzelfden zin. Beide fouten zullen zich dus steeds ophoopen en elkaar nimmer vernietigen. § 8.1. Meetketting. De meetketting, (fig. 66ab), meestal ter lengte van 20 meter (soms ook van 10 meter) bestaat uit veertig (resp. 20) schakels van dik ijzerdraad, samengevoegd met koperen of ijzeren ringen, op zoodanige wijze, dat elke schakel met de halve middellijn der ringen de lengte heeft van een halven meter. De ringen, die van de uiteinden des kettings af gerekend, bij de halve meters voorkomen, zijn meestal van ijzer, die bij de heele meters van koper. Van vijf tot vijf meter zijn deze van een dwarsstaafje voorzien (fig. 6Gb). De grootere ring met dwars- staafje, die zich in het midden dus bij de tien meter bevindt, is veelal zoo ingericht, dat de ketting daar uit elkaar kan genomen worden, om er een van 10 meter van te maken. Aan beide ein- den bevinden zich handvatten (fig. 66a) met dwarsstukken, die van half cirkelvormige uithollingen voorzien zijn. De afstand van de middelpunten dezer uithollingen geeft de lengte der maat aan. De meetketting van 10 meter is op gelijke wijze ingericht, soms met kleinere schakels van 2 of 2¹/, decimeter. Bij de meetketting behoort een stel meetpennen ten getale van 6 of 11, om daarmede het uiteinde van den ketting op het ter- rein aan te geven. Deze pennen (fig. 67) zijn meestal van ijzer- draad en van zoodanige dikte, dat zij juist passen in de half cirkelvormige uitholling in het dwarstuk van het handvat. tj 84. Tot het meten met den ketting worden twee personen vereischt. De eene houdt het handvat van den ketting bij het beginpunt der te meten lijn, terwijl de tweede den ketting op het terrein uitlegt, de daarin aanwezige kronkels verwijdert en de gebogen schakels rechtbuigt. De tweede persoon, die al de

-ocr page 106-



		86 MEETLATTEN, MEETKETTING , MEETBAND. pennen bij zich heeft, strekt den ketting recht en in de richting van den te meten afstand, brengt het handvat bij den grond en steekt door de uitholling in het dwarsstuk eene pen verticaal in den grond. Na het handvat van de pen afgenomen te hebben sleept hij den ketting voort, terwijl de man, die achter aan den ketting is, volgt tot hij bij de pen gekomen is. Deze legt nu zijn handvat om de pen, terwijl de kettingsleper den ketting weer recht en in de richting strekt en het uiteinde door een pen aan- geeft. Bij het verder nieten neemt de man, die zich achter bij den ketting bevindt, telkens de gebruikte pennen mede, zoodat uit hun aantal dat der uitgemeten kettingen elk oogenblik kan worden nagegaan. Is men tot bij het eindpunt van den te meten afstand gekomen, dan geeft het aantal pennen bij het achtereinde van den ketting het aantal malen aan, dat men twintig meter heeft afgemeten, terwijl de geheele meters en de decimeters .op de schakels van den ketting worden afgeteld. Is de te meten afstand langer dan 12 (resp. 7) kettingen, dan worden, zoodia de kettingsleper de ll^ll° (resp. G^(lc) pen heeft uit- gezet, hem de 10 (resp. 5) overige pennen, die zich achter bij den ketting bevinden en een rond aantal van 200 (resp. 100) meter voorstellen, overgegeven; doordat men 11 (resp. 6) pennen heeft, blijft bij dat overgeven altijd een pen in den grond, om het uiteinde van den ketting nauwkeurig aan te geven. § 85. De ketting moet natuurlijk de juiste lengte hebben, en aangezien deze zeer licht verandert, door het langwerpig worden der ringen, zoo moet men zich dagelijks bij liet meten van de juiste lengte daarvan overtuigen. Men spant den ketting daartoe op een vlak terrein met behulp van twee meetpennen uit en meet met twee vijfmeterlatten den afstand van de middelpunten der twee pennen na. De afwijking, die hierbij gevonden wordt, kan dan, waar zulks noodig is, in rekening gebracht worden, en mocht die afwijking te groot worden, dan laat men den ketting opnieuw op lengte brengen. Evenals met de meetlatten moet ook met den meetketting steeds in horizontalen zin gemeten worden; kan men daarbij den ketting niet op den grond leggen, dan moet men het uiteinde van den ketting daarop overbrengen, door de meetpen goed verticaal in den grond te steken. Is de hoogte daarvoor te groot, dan laat men de pen onder het uiteinde verticaal hangen en dan naar omlaag vallen, in welk geval zij op het terrein de projectie van

-ocr page 107-



		MEETLATTEN, MEETKETTING, MEETBAND. 87 het uiteinde des kettings zal aangeven. Is het terrein zoo ongelijk, dat de ketting over het grootste gedeelte van zijne lengte vrij komt te hangen, dan is het wenschelijk een korteren ketting of slechts een deel van den ketting te bezigen. Bij zeer groote hoogteverschillen, zooals kunnen voorkomen bij het meten dwars over een dijk, is het beter die stukken met behulp van meetlatten te meten. § 86. Mcctband. De stalen meetbanden, die tegenwoordig meer en meer in gebruik komen, bestaan uit eene reep gehard staal van 10 a 20 meter lengte, 45 a 20 millimeter breedte en \'/» millimeter dikte. Zij zijn aan de uiteinden evenals de ketting van handvatten voorzien en verder, door daarop vastgeklonken kope- ren plaatjes van verschillenden vorm. in meters en decimeters verdeeld. Zij worden geheel op dezelfde wijze gebruikt als de mectketting.

-ocr page 108-



		HOOFDSTUK X.

		AFSTANDSMETER. § 87. Inrichting. Het bepalen van afstanden met de afstands- nieters, die bij het landmeten in gebruik zijn, berust op de berekening van een langgestrekten driehoek ABC (fig. G9), waar- van de kleine basis BC door een baak gevormd wordt, die zich op het eene uiteinde bevindt, terwijl de tophoek A en een van de andere hoeken door den eigenlijken afstandsmetcr, in het andere uiteinde van den te meten afstand, bepaald worden. De inrichting van den afstandsmeter kan dan zoodanig zijn, dat men aan hoek A eene standvastige waarde geeft en de daarbij behoorende lengte van de basis BC op de baak afleest, of dat men steeds een zelfde basis BC op de baak neemt, en den daarbij behoorenden tophoek A meet. Van de vele verschillende inrichtingen, die tot het meten van afstanden volgens bovengenoemd beginsel dienen, zullen wij er slechts een beschrijven, die tegenwoordig bij het landmeten meer en meer gebruikt wordt en aan ieder instrument, dat van een goeden kijker voorzien is, kan aangebracht worden, door op het diaphragma aan de kruisdraden A en B (fig. 68), nog twee andere draden C en D, evenwijdig aan den horizontalen draad, toe te voegen. De baak, die hierbij gebruikt wordt, is de gewone zelflees- baak, die in fig. 75 of 76 voorgesteld is en in het volgende hoofdstuk uitvoeriger ter sprake komt. § 88. Het nieten Tan afstanden bij horizontale vizierlij n. Laten M en N (fig. 70), de punten zijn, waarvan de horizontale afstand

-ocr page 109-



		8!)
		AFSTANDSMETER.


		D bepaald moet worden, dan plaatst men de baak MH in het eene punt, het instrument, met de as waarom de kijker kan draaien, boven het tweede punt en richt den kijker op de baak. Veronderstellen wij nu eerst dat de vizierlijn ABE, door den middelsten draad A bepaald, daarbij horizontaal komt; en laat dan B het optisch middelpunt van het objectief en A, C en D de drie horizontale draden voorstellen. Is de kijker op de baak gericht en zuiver daarop ingesteld, dan zal men twee punten G en H van de baak zien samenvallen met de twee horizontale draden C en D; leest men dus bij die twee punten op de baak af, d. i. bepaalt men de afstanden MG en MH, dan vindt men, door die twee van elkaar af te trekken, de lengte GH = h, die als basis moet dienen bij het bepalen van den afstand. Om die punten G en II op de baak te vinden, hebben wij slechts den loop van twee lichtstralen na te gaan, waarvan de eene uit C, de andere uit D komt. Van al de lichtstralen, die wij daartoe kunnen kiezen, zijn de stralen CK en DL, evenwijdig met AB, de meest doelmatige; deze worden door het objectief zoodanig gebroken, dat zij door haar buiten-brandpunt F gaan en verlengd zijnde, de baak in de bedoelde punten G en H snijden. De driehoek FGH heeft nu een voor alle afstanden constanten tophoek � want die hoek is tevens de tophoek van den gelijk- beenigen driehoek KLF, die een constante basis en een constante hoogte heeft � en dus is de horizontale afstand FE evenredig met GH = ft, zoodat wij FE gelijk Ah mogen stellen. Voegen wij hierbij den afstand FO = F -f- C = B, dan vinden wij voor den afstand MN = D bij horizontale vizierlijn: D = A/( B, waarin A en B twee constanten zijn, die afhangen van de afme- tingen van het instrument en dus voor ieder instrument afzonderlijk moeten bepaald worden. Wat de constante B aangaat, daarvan is de waarde boven reeds gebleken; en wat A betreft, de uitdrukking daarvoor kunnen wij gemakkelijk uit de gelijkvormige driehoeken FGH en FKL vinden; de eerste heeft tot basis h, tot hoogte Ah, de tweede tot basis KL = CD = d, den afstand der draden, en tot hoogte den brandpunts-afstand BF = F; daaruit volgt dus: � hoogte__A/i__ F basis h d of:

-ocr page 110-



		90
		AFSTANDSMETER.


		§ 89. Het melen van afstanden Itij hellende vizicrlijn. Is de vizierlijn, door den middelsten draad gevormd, niet horizontaal, maar maakt zij met den horizon een hoek z, die op den daartoe aanwezigen cirkelrand wordt afgelezen, dan moet bovenstaande formule eenc kleine wijziging ondergaan. Zij OFE (fig. 71) die vizierlijn, F het buiten-brandpunt, FG en FH de lichtstralen, die van de twee andere draden komende naar dat buiten-brandpuut gebroken worden, dan is GH = /t de afstand, die op de baak wordt afgelezen. Trekken wij nu in E eene lijn G\'H\' rechthoekig op FE, dan is volgens bovenstaande formule de schuine afstand OE gelijk aan A/t\' B, als G\'H\'= ft\' gesteld wordt. Aangezien nu hoek HEH\' = GEG\' =« is en de hoeken MIE en GG\'E weinig van een rechten hoek verschillen (doordat HFE en GFE altijd zeer klein zijn), zoo mogen wij voor H\'E en G\'E respectievelijk schrijven HE co». « en GE cos. «, en dus is h\' = Gil\' = Gil cos. x = h cos.a, waardoor de uitdrukking voor den schuinen afstand OE overgaat in: bh cos. -f-B. Hieruit vinden wij nu onmiddellijk voor den horizontalen afstand D, door vermenigvuldiging met cos.a:* D = A/j cos-, x -f- B cos. x. § 90. Bepaling van de constanten. Ter bepaling van de con- stanten A on B kan men twee wegen inslaan: men kan de grootheden, waarvan zij afhankelijk zijn, door directe meting aan het instrument vinden en daaruit dan de constanten berekenen, of men kan ze bepalen, door met den afstandsmeier eenige lijnen na te meten, die op eene andere wijze, b, v. met meetlatten, naauwkeurig gemeten zijn. Ter bepaling van B volgt men liefst den eersten, ter bepaling van A den tweeden weg. Ter bepaling van B meet men afzonderlijk F en C; de eerste grootheid, de brandpunts afstand van het objectief, kan gemak- kelijk gevonden worden door het diaphragma in het binnenbrand- punt te brengen � door op een ver verwijderd voorwerp te richten � en den afstand van dat diaphragma tot het objectief te meten; de tweede grootheid, de afstand van het objectief tot de as van het instrument, kan onmiddellijk gemeten worden; beide te zamen geven dan de constante B met eene voor het doel gewenschte nauwkeurigheid. Ter bepaling van A meet men met het instrument een afstand, die ook met behulp van twee meetlatten nauwkeurig bepaald is; uit de formule voor het afstandsmeten volgt dan onmiddellijk:

-ocr page 111-



		91
		AFSTANDSMETER.


		. D � B ^X = ~h-\' waarin D, B en h bekend zijn en waaruit men dus A kan vinden. Meestal zal men die proef voor eenige niet al te kleine afstanden herhalen, om uit die verschillende waarnemingen eene nauw- keurigere waarde van A te kunnen afleiden. § 91. Het meten van hoogteverschillen. Is de inrichting van het instrument zoodanig, dat alleen bij horizontale vizierlijn kan gemeten worden, dan is het hoogteverschil van de punten O en M (fig. 70) gelijk aan ME � II, gelijk aan de aflezing bij den midden- draad; d. i. het voetpunt van de baak, ligt beneden de horizontale as van den kijker, op een afstand gelijk aan de aflezing bij den middendraad. Is aan het instrument een cirkelrand aangebracht tot het meten van verticale hoeken, zoodat men ook bij hellende vizierlijn kan waarnemen, dan kan het instrument ook dienen tot het meten van het hoogteverschil van het voetpunt der baak en de hori- zontale as waarom de kijker draait. Uit fig. 71 volgt namelijk, als wij de horizontaal OP trekken, dat het voetpunt M der baak op een afstand MP = ME � EP beneden het punt O ligt. ME is nu de aflezing II bij den mid- dendraad, terwijl EP gemakkelijk gevonden wordt uit den recht- hoekigen driehoek OEP, waarin de rechthoekszij de OPr=D = A/t vos, x* -f- B cos. x is, terwijl de hoek x direct wordt afgelezen; uit dien driehoek volgt dus: EP = (A/t cos, x -\\-* B cos. x) tg x == = A/t sin. :>. cos. x -f- B sin. x-=.\\ Ah sin. 2 x -f- B sin. x. Zoodat het gevraagde hoogteverschil gelijk is aan: II � (i A/i sin. 2 x B ar. x). § 92. Ccntralisccrcmle lens. De groote moeielijkheid bij het gebruik van dezen afstandsmeter is het telkenmale berekenen van do grootheden Ah cos, x* -f- B sin. x en J A/t sin. 2 x B sin. x. Deze berekening zou veel eenvoudiger worden, als men de inrichting zoodanig kon maken, dat B juist gelijk nul en A een rond getal b. v. 100 werd. In dit laatste geval heeft men bij horizontale vizierlijn onmiddellijk den afstand in meters, als men h in centimeters op de baak afleest, terwijl men voor hellende vizierlijn slechts met cos¹, x voor de afstanden en met \\sin. lx voor de hoogteverschillen behoeft te vermenigvuldigen; twee

-ocr page 112-

AFSTANDSMETER.

berekeningen, die met een speciaal daarvoor ingerichte rekenliniaal
gemakkelijk kunnen uitgevoerd worden.

Bovengenoemde voordeelen kan men verkrijgen, door in den
kijker een centraliseerende lens aan te brengen, dat is eene lens,
die zich tusschen de draden en het objectief op een bepaalden af-
stand van het objectief bevindt, en het punt, van waaraf de afstand
evenredig is met de op de baak afgelezen hoogte h, naar het
midden van het instrument verplaatst.

Zij RST (fig. 72) die centraliseerende lens op een afstand
BRz=e van de objectieflens verwijderd en daarmede zoodanig
verbonden, dat zij niet met de draden mee beweegt, bij het
instellen op de baak HG.

Trekken wij dan weer uit C en D de lichtstralen CS en DT
evenwijdig met AE, dan worden deze gebroken naar het brand-
punt Q van de centraliseerende lens; verder gaande ontmoeten
zij de objectieflens, worden daar gebroken alsof zij uit het punt
P kwamen en ontmoeten eindelijk de baak in G en H. Aangezien
nu de. hoek KPL constant is, zoo is de afstand PE evenredig
met Gl� = h en dus MN = D = Ah -f- OP.

Ter berekening van OP merken wij op, dat P het virtueele
beeld van Q is ten opzichte van de objectieflens, zoodat:

PB BQ~ F

is, waaruit volgt: PB� \' -_i?r ==_r~₇�^-, als f do brand punts-
r � lS(i r � � / � e

afstand der centraliseerende lens voorstelt. Hieruit vinden wij

eindelijk voor OP:

OP = OB � PB = O � ^J^zH.
1\' ■ �� e

Willen wij dus OP gelijk nul maken, d. i. het punt P in de
as van het instrument brengen, dan moeten wij:

of:

C.F

f=e

C-t-F

maken, waardoor dus de constante B uit de formule voor het
afstandsmeten vervalt.

-ocr page 113-

AFSTANDSMETER.

§ 93. Wat de grootheid A betreft, daarvoor vinden wij uit de
gelijkvormigheid van de driehoeken PGH en PKL:

PE _ PB _ F {e �f) J_
HG^-HL~F f� e \' KL"

Uit de gelijkvormigheid der driehoeken QKL en QST volgt

verder:

1 QR f \\


KL^-QB	. ST"	*e ■*	*-fT*
F (e-f)	f	l	Ff		1
F /�« e	-f	d	^-F /-	- e	d

en dus:

Om nu aan A eene waarde te geven, die door een rond getal
voorgesteld wordt, moet men den afstand d der draden gelijk
nemen aan:

Ff 1
F-hf�e\' A\'

waarin A dat ronde getal voorstelt.

Het is echter moeielijk de draden op zoodanigen afstand aan te
brengen, dat men voor:

F-f-/� e" d
het gewenschte getal juist vindt; aangezien echter de constante A
ook afhankelijk is van den afstand e der twee lenzen, zoo kan
men, als A slechts ten naastenbij de juiste waarde heeft, door
eene kleine wijziging in den afstand der twee lenzen, waartoe de
gelegenheid aanwezig is, aan A de gevorderde waarde geven.
Wel is waar zal door het veranderen van e de waarde van

B=OP = C�pA-7� ^met meer gelijk nul blijven, de geringe

waarde echter, die deze grootheid daardoor verkrijgt, kan men
zonder bezwaar verwaarloozen,

Immers, uit bovenstaande formules kan men gemakkelijk af-
leiden, dat, als men A met a vermindert, door het wijzigen van
den afstand e, B in plaats van nul dan gelijk wordt aan:

(C-r-F)^.

Heeft men dus bij het opspannen der draden er voor gezorgd,
dat de constante A tot op b. v. 2 °/₀ na de gevorderde waarde
heeft, en is b. v. C F=:50 centimeter, dan wordt, door het

-ocr page 114-



		94
		AFSTANDSMETEU.


		verplaatsen der centraliseerende lens, OP hoogstens =50 X TKn� 1 centimeter, eene grootheid, die b\'y het meten met den afstands- meter, kan verwaarloosd worden. Om den afstand der lenzen te regelen, zoodanig dat A de juiste waarde heeft, plaatst men de baak op een afstand van juist 100 meter voor het instrument en ziet of men daarop tusschen de draden den juisten afstand afleest (b. v. voor A = 100, een meter of voor A = 200, een halve meter); leest men te veel af, dan moet men de lenzen iets verder uit elkaar brengen, leest men te weinig af, dan moet men ze een weinig tot elkaar bren- gen, zoolang tot men de juiste aflezing verkrijgt.

-ocr page 115-



		HOOFDSTUK XI.

		WATERPASINSTRUMENT. § 94. Waterpassen. Onder het hoogteverschil van twee punten verstaat men den verticalen afstand van het eene punt tot het waterpassevlak, dat door het andere punt gaat. Ter bepaling van dit hoogteverschil kan men boven beide punten een waterpas vlak aanbrengen en de afstanden van beide punten tot dit vlak meten; het verschil der twee afstanden geeft dan het gevraagde hoogte- verschil. Deze methode voor het bepalen van het hoogteverschil van twee punten staat bekend onder den naam van waterpassen. Het waterpas vlak wordt voor bovengenoemd doel verkregen door middel van het waterpasinstrument, bestaande uit een kijker, die om eene verticale as kan draaien, zoodanig dat de vizierlijn altijd horizontaal is en dus bij de beweging een horizontaal vlak beschrijft. De bepaling van de afstanden der twee punten tot dit vlak geschiedt met behulp van de waterpasbaken, waarop men afleest de punten waar de horizontale op de baken gerichte vizierlijn deze treffen. § 95. Waterpasbaken. Men onderscheidt twee soorten van wa- terpasbaken: zelfleeslalcen en baken met bordjes. De zelfleesbaak bestaat uit eene platte lat van goed rechtdradig hout, van onderen van een ijzeren schoen voorzien en op het wit ge- schilderd voorvlak in decimeters en centimeters verdeeld; van de verdeeling, die zoodanig moet zijn ingericht, dat men met den kijker daarop kan aflezen, zijn in fig. 75 en 70 een paar voor- beelden gegeven. Van den onderkant van den voet als nulpunt

-ocr page 116-



		96
		WATERPASINSTRUMENT.


		beginnende zijn de decimeters naar boven door rechtopstaande cijfers genummerd. De verdeeling gaat niet verder dan in centimeters; valt de horizontale draad van den kijker tusschen twee deelstre- pen in, dan kan men het aantal millimeters gemakkelijk schatten. De baak met bordje bestaat uit een vierkante lat, waarlangs een bordje op en neer geschoven kan worden. Dit bordje ter grootte van ongeveer 25 centimeter is, zooals fig. 74 aanwijst, in vier deelen verdeeld, waarvan er gewoonlijk twee wit en twee rood geschilderd zijn. Het wordt door den baakhouder, op aan- wijzing van den waarnemer bij het instrument, zoo lang naar omhoog of naar omlaag geschoven, tot de horizontale draad van den kijker juist de horizontale afscheiding op het bordje dekt. Eene schaalverdeeling, op een der zijkanten van de baak aan- gebracht, geeft den baakhouder dan de gelegenheid den afstand van die lijn tot den voet der baak te bepalen. Het tijdroovende van door verschuiving op aanwijzing van een ander het bordje op de juiste plaats te brengen en de wijze waarop men hier van den baakhouder afhangt, zijn oorzaak, dat deze baken door de zelfleesbaken meer en meer verdrongen worden. Ten einde zich bij het gebruik van den verticalen stand der baak te kunnen overtuigen, is soms terzijde daaraan een schiet- lood of een doosluchtbel aangebracht. § 96. Waterpaslnstmiuent. In lig. 77 is een waterpasinstrument voorgesteld, dat op de eenvoudigste wijze is ingericht. De kijker AA en het daaraan evenwijdige niveau BB\' zijn vast aan elkaar en aan de daarop loodrecht staande as verbonden. Deze as kan in de bus C draaien en door middel van de stelschroeven DD, waar- mede het instrnment op den drievoet steunt, verticaal gesteld worden. Met behulp van de correctieschroef B is het mogelijk de richtlijn van het niveau, dat om B\' kan draaien, loodrecht op de as te stellen en door middel van de schroefjes EE, die op het diaphragma werken, kan de vizierlijn van den kijker evenwijdig aan die richtlijn gemaakt worden. Dit zijn de twee eischen waaraan het waterpasinstrument moet voldoen. De laatste is echter de voor- naamste. Is namelijk aan den eersten eisch niet geheel voldaan, dan zal de as niet juist verticaal gesteld worden en, bij het richten in verschillende richtingen, de bel niet blijven inspelen. Doet men echter telkenmale, voordat men op de baak afleest, de bel inspelen, dan is, als slechts aan de 2^de voorwaarde nauwkeu- rig voldaan wordt, de vizierlijn telkens horizontaal.

-ocr page 117-



		97
		WATERPASINSTRUMENT.


		Geheel hetzelfde geldt wat betreft de opstelling van het instru- ment; d� as moet namelijk verticaal gesteld worden, zoodat, welken stand men ook aan den kijker geeft, de vizierlijn steeds horizontaal is. Mocht echter de as niet zuiver verticaal zijn, dan zal de vizierlijn niet altijd horizontaal blijven; neemt men echter de uitwijking van de bel door de stelschroeven weg, dan is bij de aflezing de vizierlijn horizontaal. Hoofdzaak is het dus, dat de vizierlijn en de richtlijn onderling evenwijdig zijn en dat tijdens de aflezing de bel inspeelt. De twee andere voorwaarden moeten daarom niet geheel ver- waarloosd \'worden. Mocht namelijk de richtlijn te veel van den rechthoekigen stand op de as, of de as te veel van den verticalen stand afwijken, dan zou men, bij het doen inspelen der bel, zooveel aan de stelschroeven moeten draaien, dat de vizierlijn merkbaar hooger of lager zou komen te liggen, welke verandering in hoogte onveranderd als fout in de meting zou overgaan. § 97. Opstelling en gebruik. Ter bepaling van het hoogtever- schil van twee punten plaatst men het instrument zoo, dat men op de baken, op die twee punten geplaatst, kan allezen. De as wordt eerst zoo goed mogelijk verticaal gesteld en dan op een der baken gericht. Speelt de bel dan niet volkomen in, dan doet men haar eerst inspelen door middel van de stelschroef, die zich het dichtst onder den kijker bevindt, en leest daarna op de baak den stand van den horizontalen draad af. Vervolgens richt men op de tweede baak, doet opnieuw de bel inspelen en leest weer af. Het verschil der twee aflezingen geeft dan het hoogteverschil. Mocht de vizierlijn niet zuiver evenwijdig zijn met de richtlijn van het niveau, dan zal men in de meting eene fout maken, die men echter kan elimineeren door de standplaats van het instru- ment zoodanig te kiezen, dat het op gelijke afstanden van de twee baken verwijderd is (waterpassen uit het midden). Men maakt dan bij beide aflezingen dezelfde fout in denzelfden zin en deze vernietigen elkaar dus bij het aftrekken. jj 98. Regeling. In welke volgorde de regeling moet plaats hebben, n. 1. of eerst de richtlijn rechthoekig op de as en dan de vizierlijn evenwijdig aan de richtlijn moet gebracht worden, of omgekeerd, is geheel afhankelijk van de inrichting van het instrument. Bij het instrument, in fig. 77 voorgesteld, moet men S. 7

-ocr page 118-



		98
		WATERPASINSTRUMENT.

		beginnen met de richtlijn loodrecht op de as te plaatsen. Wat deze regeling betreft, daarvoor kunnen wij verwijzen naar hetgeen daaromtrent vroeger in hoofdstuk III gezegd is. Het onderzoek naar de evenwijdigheid van richtlijn en vizierlijn geschiedt op het terrein. Men plaatst daartoe op twee piket- paaltjes A en B, (lig. 73), op ongeveer honderd meter van elkaar, twee waterpasbaken, stelt het instrument in het midden bij C op en leest bij inspelende bel op deze baken de hoogten H en h af. Het verschil H�h dier twee aflezingen geeft dan zuiver het hoogteverschil van de bovenkanten van de twee piketten, ook al is de vizierlijn niet evenwijdig aan de richtlijn, zooals uit de figuur duidelijk blijkt. Plaatst men nu het instrument in D op eenigen afstand achter een der baken, dan zal men, op beide baken bij inspelende bel aflezende, hetzelfde hoogteverschil moeten vinden. Is echter, zooals in de figuur verondersteld is, de vizierlijn niet evenwijdig aan de richtlijn, dan geeft het verschil H\'�h\' van de twee aflezingen niet hetzelfde hoogteverschil. Doet dat geval zich voor, dan moet men met behulp van de correctieschroeven, die op het diaphragma werken, de fout herstellen. Om uit te maken in welken zin het kruispunt der draden ver- plaatst moet worden, doet men het best eerst op de dichtstbij zijnde baak, dat is hier B, af te lezen, en uit die aflezing h\' en het bekende hoogteverschil II � h op te maken, wat men op de andere baak zou moeten aflezen; leest men daarop, zooals in de figuur is voorgesteld, minder af, dan helt de vizierlijn naar beneden en men moet het kruispunt der draden dus een weinig naar omlaag brengen. Is het verschil tusschen hetgeen men moest aflezen en hetgeen men werkelijk afleest jj, dan zal men de draden zooveel moeten verplaatsen, tot men op de baak A, in het in de figuur onder- stelde geval: afleest, waarin n voorstelt, het hoeveelste gedeelte de afstand BD van den afstand AB der baken is. Heeft men deze aflezing op de tweede baak verkregen, dan leest men nog eens op de eerste en dan op de tweede af, om te zien of het instrument nu goed geregeld is. Ten einde, bij het aflezen op de baak, van de geheele lengte van den horizontalen draad gebruik te kunnen maken, moet men er voor zorgen, dat hij loodrecht staat op de as van het instrument.

-ocr page 119-



		99
		WATERPASINSTRUMENT.


		Van den juisten stand van den draad overtuigt men zich door op een punt te richten en de kijker om de as te draaien; blijft de draad daarbij steeds door hetzelfde punt gaan, dan is het goed; zoo niet, dan moet men de fout herstellen, door het diaphragma een weinig te verdraaien, waartoe bij de meeste instrumenten op de een of andere wijze gelegenheid is. § 99. Niveau-eerde. Niet bij alle waterpasinstrumenten zijn kijker en niveau, zooals bij het in fig. 77 voorgestelde, onderling en met de as vast verbonden. Bij vele instrumenten kunnen kijker en niveau, hetzij te zamen, hetzij ieder afzonderlijk, van de overige deelen van het instrument verwijderd worden, om daardoor eensdeels de regeling te vereenvoudigen, anderdeels de fouten in de regeling van het instrument te kunnen elimineeren, ook al waterpast men niet van uit het midden. Strikt genomen, kunnen al die instrumenten op de bovenbe- schreven wijze behandeld en geregeld worden, zoo men er slechts voor zorgt de bewegelijke deelen steeds in denzelfden betrekke- lijken stand te gebruiken. Door de gewijzigde inrichting dier instrumenten kan men echter ook langs een anderen weg tot de regeling geraken en zoo men wil, de fouten van regeling bij de meting elimineeren. Die methoden van regeling en meting zijn echter voor iedere bijzondere inlichting verschillend, zoodat wij, om volledig te zijn, al de verschillende constructies afzonderlijk zouden moeten behan- delen. Wij zullen ons hier er toe bepalen een van de eenvoudigste van die waterpasinstrumenten naarder te beschrijven en daarop de bijzondere wijze van regeling en de eliminatie der fouten aan te wijzen. Wij kiezen daartoe de in fig. 78, voorgestelde niveau- eerde van Lenoir, zonder door die keuze in het minst andere constructies bij deze te willen achterstellen. Het in fig. 78 voorgestelde instrument bestaat uit een cirkel- rand C, die door middel van drie stelschroeven D ondersteunden horizontaal gesteld kan worden. Op dien cirkelrand rust, met behulp van twee vierkante en even hooge blokken FF, de kijker AA. Op diezelfde blokken FF rust eindelijk het niveau BB\'. Dit niveau kan dus van den kijker en de kijker van den rand afge- nomen worden. § 100. Regeling van den nivenu-cerclc. De evenwijdigheid van vizierlijn en richtlijn kan hier, ten minste in verticalen zin, waarop het vooral aankomt, verkregen worden door:

-ocr page 120-



		100 WATKRPASINSTRUMENT. 1°. de richtlijn van het niveau evenwijdig te brengen aan den onderkant van het niveau, en 2°. de kijker te centreeren, d. w. z. de vizierlijn evenwijdig te brengen met het vlak gaande door de boven- of de onder- kanten der blokken FF. Wordt aan beide eischen voldaan en plaatst men niveau en kijker op de in de figuur aangewezen wijze op elkaar, dan zal bij inspelende bel de vizierlijn horizontaal zijn. Om te onderzoeken of aan de eerste voorwaarde voldaan is, doet men, zooals reeds in § 21 is behandeld, de bel inspelen en draait dan het niveau op de blokken 180\' om eene verticale as om. Speelt het niveau nog in, dan is het goed, anders moet men de uitwijking der bel voor de helft met behulp van de cor- rectieschroef B wegnemen. Om te zien of de kijker goed.gecentreerd is, richt men op een baak en leest af, draait men nu den kijker het ondersteboven en leest weer op de baak af, dan zal men dezelfde aflezing moeten verkrijgen. Leest men niet hetzelfde af, dan is de kijker niet goed gecentreerd en moet men de afwijking voor de helft met behulp van de correctieschroeven EE wegnemen. In plaats van op eene baak, kan men voor dit onderzoek ook op een wille- keurig punt richten; na het omkeeren van den kijker moet men dan op hetzelfde punt gericht zijn. Het is duidelijk dat de twee blokken FF bij dit instrument juist dezelfde hoogte moeten hebben. Het onderzoek daaromtrent is eenvoudig: plaatst men het niveau op de blokken en doet men het met behulp van de stelschroeven DD inspelen, dan moet het, als men de blokken onderling verwisselt, zonder daarbij ook het niveau om te keeren, nog inspelen. Doet het dit niet, dan moet men de blokken laten afslijpen. § 101. Eliminatie van de fouten van regeling. De opstelling en het gebruik van het instrument komt geheel op hetzelfde neer, als bij het vroeger beschreven waterpasinstrument in § 97 is aan- gegeven. Men stelt eerst den rand zoo goed mogelijk horizontaal, door het niveau, dat op de blokken geplaatst is, eerst evenwijdig te brengen met de verbindingslijn van twee schroeven en het daar- mede te doen inspelen, en het dan in eenen stand, rechthoekig op den eersten, met behulp van de derde stelschroef tot inspeling te brengen. Vervolgens richt men op eene der baken, doet de bel juist inspelen en leest af\' en herhaalt dit ook voor de tweede baak.

-ocr page 121-



		401
		WATERPASINSTRUMENT.

		Bevindt het instrument zich op gelijke afstanden van de twee baken, dan zijn hierdoor tevens de fouten ge�limieerd, die in het regelen van het instrument mochten overgebleven zijn; be- vindt het zich niet op gelijke afstanden van de twee baken, dan kan men die fouten elimineeren door het doen van eene tweede meting, als men daarbij den kijker het ondersteboven legt, en het niveau 18CP om eene verticale as omdraait. Is de kijker namelijk niet goed gecentreerd, dan zal men b. v. den eersten keer een zekeren afstand te hoog aflezen, maar daarna door het ondersteboven leggen van den kijker evenveel te laag aflezen, zoodat deze fouten elkaar bij het nemen van het gemid- delde elimineeren. Op gelijke wijze zal men door het omdraaien van het niveau, den eenen keer evenveel te veel als den anderen keer te weinig aflezen, zoodat deze fouten elkaar ook opheffen. De fouten, voortspruitende uit het niet even hoog zijn van de twee blokken, kunnen door de meting niet ge�limineerd worden; op de juiste afmetingen der blokken moet dus goed gelet worden.

-ocr page 122-



		HOOFDSTUK XII.

		BAROMETER. § 102. Kwik- en metaalbarometer. Daar de drukking, die de lucht op verschillende plaatsen op een vlak van dezelfde grootte uitoefent, afhankelijk is van de hoogte, waarop zich dat vlak bevindt, zoo is het mogelijk uit de op twee punten gemeten drukkingen der lucht het hoogteverschil dier twee punten te bepalen. Het werktuig, waarmede de drukking der lucht gemeten wordt, is de barometer. Het wordt in twee�rlei vorm gebruikt: als kwikbarometer en als anero�de. De kwikbarometer is uit de na- tuurkundige handboeken genoeg bekend, zoodat het niet noodig is hem hier in bijzonderheden te beschrijven, te meer daar hij voor het eigenlijke hoogtemeten, ten gevolge van zijne lastige behandeling en zijn moeielijk transport, voor den ingenieur van betrekkelijk weinig waarde is. Hij wordt alleen gebruikt om er de aanwijzingen van de anero�de mee te vergelijken, zooals hier- onder zal blijken, De meting met de anero�de of metaalbarometer berust op het bepalen van de vormverandering, die eene luchtledige doos on- dergaat ten gevolge van de verandering van de drukking dei- omgevende lucht. Van de verschillende inrichtingen, die aan de anero�de gegeven zijn, zullen wij hier alleen die van Naudet nader beschrijven en het gebruik daarvan aanwijzen, omdat de anero�de

-ocr page 123-



		103
		RAROMETER.


		onder dezen vorm liet meest voor het beoogde doel gebruikt wordt. § 103. Beschrijving Tan de anero�de van Xaiulol. Op de plaat AA, (fig. 79), die zich op den bodem van de met eene glazen plaat gedekte messing-doos bevindt, is de zooveel mogelijk lucht- ledige doos BB bevestigd. Deze doos is van een zeer dunnen bodem en een eveneens zeer dunne en golfvormig gebogen deksel voorzien, dat door de drukking van de lucht naar binnen endoor zijn eigen veerkracht naar buiten gedrukt wordt. In het midden op dat deksel is een zuiltje C bevestigd, dat door de zwanenhals- vormig gebogen veer D naar omhoog gedrukt wordt en dus de veerkracht van het deksel vermeerdert. De spanning van de veer en de drukking van de lucht op de doos zullen nu evenwicht maken. Verandert de drukking van de lucht, dan wordt het evenwicht verbroken; er heeft eene kleine vormverandering in de veer en de doos plaats, die zoolang vermeerdert tot het evenwicht weer hersteld is. Neemt de drukking van de lucht toe, dan wordt de doos ingedrukt en de veer wordt door het dalen van het zuiltje C sterker gespannen. Neemt de drukking af, dan verkrijgt de spanning van de veer de overhand en trekt het dek- sel van de doos naar omhoog. Bij het grooter worden van de drukking der lucht gaat dus de veer naar omlaag, bij het kleiner worden naar omhoog. Om deze kleine verandering in den stand der veer te kunnen meten en daaruit de luchtdrukking te kunnen afleiden, wordt die verandering door een stel hefboomen sterk vergroot (ongeveer 150 maal) op een wijzer overgebracht en op eene schaalverdeeling afgelezen. Hiertoe is aan de veer D de staaf E bevestigd, die door mid- del van de staaf F de beweging van de veer op de as HH over- brengt; de staaf K brengt deze beweging weer over op de fijne ketting L, die op het trommeltje M gewonden is, dat op dezelfde as N zit als de wijzer P, en die altijd gespannen wordt door de spiraalveer R. "Wordt de luchtdrukking dus grooter, dan gaan de veer D en de staaf E naar omlaag, de as HH draait met de staaf K naar rechts, het kettinkje wordt van de trommel afge- wonden, de trommel en de naald moeten dus te zamen omdraaien in de richting van de wijzers van het uurwerk. Wordt de lucht- drukking daarentegen geringer, dan gaan de veer en de staaf naar omhoog, de as HH en de staaf K draaien naar links en de

-ocr page 124-



		104
		BAROMETER.

		veer R doet nu de trommel en den wijzer zoolang naar links draaien, tot het kettinkje weer gespannen is. De wijzer P beweegt zich over eene schaalverdeeling, die meestal in gelijke doelen verdeeld is, en de drukking in centimeters of millimeters moet aanduiden, op de wijze als zulks door den kwik- barometer gedaan wordt. Het is hierbij natuurlijk noodig, dat de verhouding van de hefboomen zoodanig gekozen wordt, dat bij eene vermeerdering van de drukking met een millimeter kwik de wijzer ook juist eene verdeeling vooruitgaat. Daarom is het schar- nierpunt G verplaatsbaar door middel van de twee correctieschroefjes a en b. De verbinding daarvan met de as IIH heeft namelijk plaats door middel van het plaatje c, dat door het tegenwicht S tegen de punt van het schroefje b gedrukt wordt. Om eindelijk te zorgen dat bij eene bepaalde drukking, bijv. bij 7G0 millimeter, de aanwijzing van de anero�de juist overeen- komt met die van een tot de temperatuur nul herleide kwikbaro- meter, kan de spanning van de veer D door middel van de schroef T gewijzigd en daardoor de wijzer verplaatst worden. De regeling van de anero�de met behulp van de schroeven a, J en T wordt door den instrumentmaker verricht. Het is zaak later aan den stand dier schroeven niets te veranderen en de zich vertoonende afwijking tusschen anero�de en kwikbarometer liever op de aanstonds te behandelen wijze in rekening te brengen. Daar de temperatuur van de anero�de van veel invloed is op hare aanwijzing, zoo is ter bepaling van die temperatuur in de wijzerplaat een thermometer IJ aangebracht. Bij het gebruik moet men zorg dragen, dat de anero�de eene gelijkmatige temperatuur bezit, die dan door den thermometer wordt aangewezen; men moet daartoe de anero�de steeds in het foedraal laten en dit alleen even openen om den stand van den wijzer en van den thermo- meter af te lezen. § 104. Herleiding van de anero�de-aflezin? tot kwikhoogte. Ter bepaling van de drukking der lucht met behulp van de anero�de heeft men slechts den stand van den wijzer op de wijzerplaat af te lezen. Daarbij moet men zorgen, de anero�de horizontaal te houden, omdat anders het tegenwicht S niet goed werkt, v��r het aflezen op het glazen deksel te kloppen om de traagheid van het kettinkje te overwinnen, en het oog te plaatsen in een vlak, dat loodrecht op de wijzerplaat staat en door de naald gaat, om daardoor de parallax bij de aflezing te vermijden.

-ocr page 125-



		105
		BAROMETER.

		De drukking, die men op deze wijze afleest, is echter niet de- zelfde, die een kwikbarometer bij nul graden zou aanwijzen; om hiertoe te geraken, moeten aan de aflezing nog verschillende cor- ti�n aangebracht worden. Deze zijn: 1°. De temjieratuurs-correctie. Is de temperatuur van deanero�de t°, dan zal zij eene andere aanwijzing opleveren, dan bij de temperatuur van smeltend ijs; de daarvoor aan te brengen correctie zal natuurlijk veranderen met de temperatuur. Bij de aneo�de van Naudet is uit proeven gebleken, dat die correctie in verreweg de meeste gevallen evenredig is met de temperatuur en dat zij van de anero�de-aflezing moet worden afgetrokken. Zij dus b de zoogenaamde tempera- tuurs-co�fficient, (die meestal tusschen 0.06 en 0.18, voor de temperatuur naar den honderddeeligen thermometer, gelegen is), dan is de aan de anero�de-aflezing aan te bren- gen tomperatuurs- correctie: � bt; 2°. De verdeelings-correctie. Is de anero�de niet zuiver geregeld, zoodat eene verandering van 1 raM. in den stand van de anero�da niet overeenkomt met eene verandering van 1 mM. kwik in de drukking der lucht, maar bijv. met (1 -f- c), dan zal, als de anero�de van 760 mM. tot A stijgt, de luchtdrukking niet met A � 760, maar met: (A � 760) (1 c) = (A � 760) - - c (A � 760) zijn toegenomen; komt de anero�de-aflezing dus bij 760 mM. met die van den kwikbarometer overeen, clan zal zij nu c (A � 760) lager staan en de anero�de-aflezing A moet dus met de correctie c (A � 760) vermeerderd worden. 3°. Standcorrectie. Zijn deze twee correcti�n aan de anero�de- aflezing A aangebracht, dan zal deze meestal nog een con- stant verschil met de op nul graden gereduceerde aanwij- zing van den kwikbarometer opleveren. Om er dus deze aflezing uit af te kunnen leiden, moet er nog eene derde correctie a worden aangebracht, die den naam van stand- correctie draagt. Is dus A de aflezing van de anero�de, t hare temperatuur en B₀ de op nul graad gereduceerde aanwijzing van den kwikbarometer, dan is: B₀ = A -f- a � bt -f- c (A � 760).

-ocr page 126-



		406
		BAROMETER.


		Bij metingen in hooggelegen landen, waar de gemiddelde druk- king veel minder is dan 760 mM., is het beter in plaats hiervan eene waarde aan te nemen, ongeveer overeenkomende met ^e gemiddelde drukking. § 105. Yeranderingen van de constanten van «Ie anero�de. De twee constanten J en c, voortspruitende uit den invloed van de temperatuur en de niet juiste regeling, zijn voor ieder instrument verschillend en moeten dus voor ieder instrument afzonderlijk be- paald worden. Voor hetzelfde instrument zijn zij echter constant; zelfs na grootere tijdsverloopen heeft men slechts geringe wijzi- gingen in die constanten kunnen opmerken. Niet alzoo wat de standcorrectie a betreft. Bij betrekkelijk geringe veranderingen in luchtdrukking en temperatuur, en bij eene voorzichtige behandeling, blijft bij eene anero�de, die reeds geruimen tijd in gebruik is, die correctie werkelijk constant; alleen bij een nieuwe anero�de bemerkt men eene zeer langzame en geleidelijke toeneming van die correctie. Bij grootere verschillen in luchtdrukking is de correctie soms ook met die drukking eenigszins veranderlijk en moet men dus voor verschillende waarden van de drukking die correctie bepalen. Daar men bij het meten met de anero�de altijd slechts met be- trekkelijk kleine verschillen in drukking te doen heeft, zoo doet men het best de constanten a en c te bepalen voor de gemiddelde luchtdrukking, die bij de meting voorkomt. Wordt de anero�de echter aan schokken of aan grootere tem- peratuurs- of drukveranderingen blootgesteld, dan ontstaan groo- tere veranderingen in de standcorrectie, die soms van blij venden aard zijn, soms ook langzamerhand na onderscheidene dagen, soms eerst na eenige weken, geheel of gedeeltelijk verdwijnen. Hieruit volgt, dat de anero�de steeds zorgvuldig moet behandeld worden, dat zij niet aan schokken of aan groote veranderingen in drukking of temperatuur mag worden blootgesteld, ten minste niet tijdens of kort voor de meting, dat men de standcorrectie meermalen moet bepalen en dat men de meting zoo moet inrich- ten, dat eene verandering in de standcorrectie zooveel mogelijk ge�limineerd wordt. § 106. Bepaling van de constanten b en c. Ter bepaling van de constanten b en e moet men de aanwijzing van de anero�de ver- gelijken met die van een in de nabijheid geplaatsten kwikbarometer.

-ocr page 127-



		107
		BAROMETER.

		Ter bepaling van den temperatuurs-co�fficient b, doet men de vergelijking bij verschillende temperaturen, die liefst zoover mo- lijk uit elkaar liggen. Deze verschillende temperaturen zijn \'s win- ters gemakkelijk te verkrijgen; door de anero\'ide eenige dagen in een verwarmd vertrek en vervolgens eenige dagen in de buiten- lucht of in een vertrek, waar niet gestookt wordt, met den kwikbarometer (die natuurlijk op zijn plaats kan blijven) te ver- gelijken. Men moet echter zorgen de anero\'ide niet af te lezen, voordat zij lang genoeg aan dezelfde temperatuur is blootgesteld geweest en dus eene gelijkmatige temperatuur heeft aangenomen, gelijk aan die, welke door den thermometer wordt aangewezen. Ook dient daarbij de anero\'ide niet aan sterke plotselinge veran- deringen van de temperatuur blootgesteld te worden, omdat daar- door, zooals boven reeds gezegd werd, eene verandering in de stand correctie kan onstaan, waarvan eene fout in de bepaling van b het gevolg zou zijn. Heeft men twee vergelijkingen gedaan en daarbij op de anero\'ide afgelezen A en A\' met de temperaturen t en t\', en heeft men den kwikbarometer afgelezen en op nul gereduceerd en daarvoor gevonden B₀ en B\'₀ dan is: B₀ = A � bt a c (A � 760) B₀\'=A � bt\'-\\-a c(K.\'� 760). Zijn die twee vergelijkingen gedaan bij barometerstanden, die weinig van elkaar verschillen, dan mag men a - - c (A � 760) = a c (A\' � 760) = a_t stellen; uit bovenstaande vergelijkingen volgt dan: B� � B�\' = A � A\' � b (t � t\') of: ,,_(B₀\'-A)-(B₀-A) t � t\' Zijn er meer overeenkomstige aflezingen bij een ongeveer ge- lijken barometerstand gedaan, dan worden daardoor verschillende vergelijkingen van den vorm: B₀ � A = «, � bt B₀\' � A\' = «, � bt\' B₀" � A" = a_t � bt" enz., verkregen, waaruit b volgens de methode der kleinste vierkanten kan worden opgelost. Wil men van deze rekenwijze geen gebruik maken, dan kan op de volgende wijze eene vrij goede benaderde

-ocr page 128-



		108 BAROMETER.

		waarde voor b gevonden worden. Men neemt de vergelijkingen bij hooge en die bij lage temperatuur ieder afzonderlijk, telt de vergelijkingen in iedere groep samen en vormt op die wijze ^tvee vergelijkingen met de onbekenden a, en b, waaruit deze gemak- kelijk te vinden zijn. Ter bepaling van de constante c van de verdeelings-correctie, wordt de anero�de bij verschillende barometerstanden met den kwikbarometer vergeleken. Indien men de vergelijking slechts gedurende eenigen tijd vooral des winters dagelijks verricht, wor- den die verschillende standen teweeggebracht door de natuurlijke veranderingen, waaraan de luchtdrukking onderhevig is. De be- rekening van de constante c geschiedt op dezelfde wijze, als boven is aangegeven voor de constante b; het is hierbij echter niet noodig alleen die waarnemingen te gebruiken, die bij dezelfde temperatuur zijn verricht, aangezien men den invloed van de tem- peratuur door middel van den vooraf bepaalden temperatuurs- co�fficient kan in rekening brengen. § 107. Bepaling van de standcorrectie. Moet de anero�de alleen dienen tot het bepalen van betrekkelijk geringe hoogteverschillen bij barometerstanden gelegen binnen de grenzen, waarbij de be- paling van b en c heeft plaats gehad, dan kan men de standcor- rectie a als constant beschouwen. ledere vergelijking van de anero�de met den kwikbarometer geeft dan eene bepaling van die constante volgens de vergelijking: a � B₀ � A -f- bt � c (A � 760). Daar echter deze constante zoo aan verandering onderhevig is, moet men hare waarde meermalen bepalen of haar invloed bij de meting elimineeren. Komen bij de meting barometerstanden voor, die veel afwijken van die, waarbij de bepaling van de constanten b en c heeft plaats gehad, dan mag men daarbij de waarde van a niet zonder voorafgaand onderzoek als constant aannemen. Men moet dan de anero�de met den kwikbarometer vergelijken bij groote verschillen in luchtdrukking, om daaruit de veranderlijkheid van a met den barometerstand op te maken. Deze vergelijking kan op twee�rlei wijze plaats hebben. Men kan op natuurlijke wijze die drukverschillen verkrijgen, door de anero�de op verschillende hoogten met den kwikbarometer te ver- gelijken, of op kunstmatige wijze door de vergelijking onder de luchtpomp te verrichten.

-ocr page 129-



		109
		BAROMETER.

		De eerste methode is tijdroovend en lastig, doordat men met beide instrumenten een berg moet bestijgen, waarbij de instru- menten tevens aan allerlei ongevallen zijn blootgesteld, die on- nauwkeurigheden in de uitkomsten kunnen voortbrengen. De tweede methode vereischt een bijzonder daartoe ingerichten toestel, waarin men de lucht zeer langzaam kan verdunnen, den stand van de anero�de kan aflezen en de drukking van de lucht kan bepalen.

-ocr page 130-

-ocr page 131-



		B. OPMETINGEN.

		HOOFDSTUK XIII. ALGEMEENE GANG DER METING. § 108. Kaarten. Bij het opnemen van een terrein stelt men zich meestal ten doel, van dat terrein eene kaart op de een of andere schaal te vervaardigen. De schaal van de kaart en de meerdere of mindere volledigheid waarmede de details opgenomen moeten worden, hangen af van het verdere doel, waarvoor de kaart zal. dienen en waarvoor dus de opneming wordt verricht. Wij zullen ons hier slechts bezighouden met de opneming van een terrein van zoodanige uitgebreidheid, dat de aarde daarbij als een plat vlak kan beschouwd worden. Dit is bij de nauw- keurigheid, die men bij de hiervoor beschreven instrumenten en methoden van meting bereikt, nog het geval, als het terrein zich in geen richting verder dan 10 uren gaans uitstrekt. In dit geval verstaan wij onder een kaart eene volgens zekere schaal ver- kleinde projectie op een plat en horizontaal vlak, van de punten en lijnen, die op het terrein voorkomen. § 109. Net en detailmcting. Bij het opnemen van een terrein moet men steeds zorgen van het groote in het kleine te meten, dat wil zeggen, dat men eerst het terrein als het ware in groote trekken moet opnemen, door de betrekkelijke ligging van slechts enkele weinige punten en lijnen van dat terrein nauwkeurig op te meten en in teekening te brengen. Ten opzichte van het aldus

-ocr page 132-



		112
		ALGEMEENE GANG DER METING.


		verkregen geraamte of net worden dan de kleinere details opge- meten en geteekend. Gaat men op deze wijze te werk, dan ver- krijgt men eene gelijkmatige nauwkeurigheid in alle deelen van de opneming, doordat de fouten, die bij elke meting begaan wor- den, zich niet nadeelig ophoopen in eenig gedeelte der opmeting. Door eerst het net, dat slechts uit weinige lijnen en punten be- staat, nauwkeurig op te nemen, verkrijgt men een stelsel vaste punten, waaraan de d�tailpunten zooveel mogelijk elk afzonderlijk worden vastgelegd; zoodat de fouten, bij de bepaling van het eene detailpunt gemaakt, zonder invloed zijn op de bepaling van de anderen. § 110. De verschillende methoden van opmeting. De opmeting zoowel van het net als van de details, door middel van afstanden en hoeken, heeft plaats volgens verschillende methoden, waarvan wij de voornaamsten hier in het kort zullen uiteenzetten. 1°. De co�rdinaten methode. Laat in figuur 80, A, B, C, enz. eenige van de op te nemen punten voorstellen, dan kan men de plaats van die punten ten opzichte van de lijn OP op het terrein bepalen, door uit die punten de loodlijnen Aa, Bi, Cc, enz., op de meetlijn OP neer te laten en de afstanden 0«, Ob, Oc, enz., benevens de loodlijnen «A, 5B, cC, enz. te meten, waardoor dan de co�rdinaten van die punten ten opzichte van een rechthoekig co�rdinaten- stelsel bepaald zijn. 2°. De voerstraal-methode. Volgens deze methode worden de punten A, B, C, enz. fig. 81, allen met een centraalpunt O verbonden, door het meten van de voerstralen OA, OB, OC, enz. en van de hoeken POA, POB, POC, enz., die zij met eene bepaalde richting OP maken. 3°. De basis-methode. De punten A, B, C, enz. fig. 82, worden hierbij aan de basis PQ, waarvan de lengte nauwkeurig bepaald wordt, vastgelegd door het meten van de hoeken APQ, BPQ, CPQ enz., en van de hoeken AQP, BQP, CQP enz., die de lijnen, uitgaande van P en Q, met de basis maken. 4°. De driehoeks-methode. De volgens deze methode op te nemen punten A, B, C, enz., fig. 83, worden door de verbin- dingslijnen AB, BC, AC, enz., tot een stelsel van drie- hoeken vereenigd. Een van de verbindingslijnen bijv. AB wordt gemeten en dient dan als basis voor het geheele

-ocr page 133-



		H3
		ALGEMEENE GANG DEIt METING.


		driehoeksnet, waarvan verder alle hoeken gemeten worden. De lengten van de andere verbindingslijnen worden door berekening uit de basis AB en uit de gemeten hoeken ge- vonden. 5°. De veelhoelcs-methode. Bij de veelhoeksmeting vormen de punten met hunne verbindingslijnen een veelhoek, die zoo- als in lig. 84 gesloten of zooals in fig. 85 open zijn kan. De betrekkelijke ligging dei\' punten wordt dan bepaald door het meten van de onderlinge afstanden der punten en van de hoeken, die deze afstanden in die punten samen maken. § 111. Bij de detailmeting zijn het vooral de onder 1, 2 en 3 van de vorige paragraaf genoemde methoden van meting, die in toepassing komen. De bij de co�rdinaten-methode benoodigde meetlijnen, de bij de voerstraal-methode benoodigde centrale pun- ten en de bij de basis-methode benoodigde bases worden gevonden in de lijnen en hoekpunten van het net. De onder 4 genoemde driehoeksmeting is voor de detailmeting ongeschikt, terwijl de veelhoeksmeting daartoe alleen clan met vrucht kan worden toe- gepast, wanneer het er op aankomt enkele weinige rechtlijnige grensscheidingen op te nemen, die dan van zelf reeds een veel- hoek vormen. Bij de opneming van het net komen de onder 1, 2 en 3 ge- noemde methoden alleen in aanmerking bij een weinig uitgestrekt terrein, dat in alle richtingen kan overzien worden. Bij een eenigszins uitgestrekt terrein zijn het de driehoeks- en veelhoeks- mcthoden die in toepassing komen. Daar waar de omstandigheden zulks toelaten, is de driehoeks- methode aliijd boven de veelhoeks-methode te verkiezen en wel omdat men daarbij bijna uitsluitend te doen heeft met het meten van hoeken, dat veel gemakkelijker en nauwkeuriger geschieden kan, dan het meten van de vele afstanden, die men bij de veel- hoeks-methode noodig heeft. Voor de enkele basis, die bij het driehoeks-net voorkomt, kan men een daartoe bij uitstek geschikt terrein opzoeken en aan het meten van die basis de noodige zorg besteden, om die te meten met eene nauwkeurigheid overeenko- mende met die van de overige metingen; iets wat bij het groote aantal van de te meten afstanden voor de veelhoeks- methode niet mogelijk is. Een verder voordeel van de driehoeksmeting is ge- legen in de voortdurende controle, die men op de meting kan S. 8

-ocr page 134-



		*\\u*
		ALGEMEENE GANG DER METING.


		uitoefenen, door meer hoeken te meten dan strikt noodig zijn voor de berekening van het net, eene controle die bij de veelhoeks- meting slechts zeer schaars en gebrekkig aanwezig is. De veelhoeks-methode in menig opzicht bij de driehoeks-methode achterstaande, is echter in vele gevallen de eenig mogelijke en wel vooral daar, waar men te doen heeft met een bedekt terrein. Op een dergelijk terrein, waar een driehoeksnet geheel onmo- gelijk is, kan men altijd nog langs de wegen en paden, die er in voorkomen, een veelhoek aanbrengen. In dergelijk geval stelt men het net samen uit eenige aaneengesloten veelhoeken, die deels gesloten veelhoeken, deels open veelhoeken vormen, en waarvan de laatsten uitgaande van een punt van een vo- rigen veelhoek, sluiten op een ander reeds opgenomen punt. (Zie fig. 100). Dikwijls doet het geval zich voor, dat in het driehoeksnet ge- deelten gelegen zijn van dien aard, dat het daarover niet kan uitgestrekt worden; in die gedeelten moet men dan door veel- hoeksmeting, aansluitende aan de punten van het driehoeksnet, de noodige lijnen en punten bepalen, om daaraan de d�tails te verbinden. (Zie fig. 98.) Het net bestaat dan zooveel mogelijk uit een driehoeksnet, aangevuld, waar zulks noodig is, door een stel van veel- hoeken. Soms ook doet men het net bestaan uit een betrekkelijk gering aantal driehoeken en vult dit dan aan met verschillende veel- hoeken, die zoo goed mogelijk met de driehoeks-punten verbonden worden en de noodige meetlijnen voor de detailmeting opleveren. (Zie fig. 99.) Bij de opneming van een zeer lang gerekt terrein, zooals veelal bij het opmeten van het trac� van een weg voorkomt, is de veelhoeksmeting van zelf de aangewezen weg tot het verkrijgen van de noodige meetlijnen voor het opnemen van de details. § 112. Het ia teekening brengen van de opmeting. Bij het in teekening brengen van het op te meten terrein heeft men te onderscheiden of de opmeting plaats heeft met het planchet of dat zulks geschiedt met eenig ander instrument, waarbij de on- middellijke uitkomsten der metingen in cijfers verkregen worden. In het eerste geval heeft het teekenen op het terrein plaats ge- lijktijdig met de opmeting, in het laatste geval moet dit later t\'huis geschieden.

-ocr page 135-



		115
		ALGEMEENE GANG DER METING.


		Het in teekening brengen van de uitkomsten der metingen, die in cijfers gegeven zijn, kan op twee�rlei wijze plaats hebben. Men kan het terrein juist op dezelfde wijze in teekening brengen, als waarop het is opgenomen, d. w. z. de gemeten afstanden en hoeken direct met den dubbelen decimeter en den transporteur op het papier overbrengen, of men kan eerst door berekening de co�rdinaten van alle punten ten opzichte van een rechthoekig assen-stelsel bepalen en de punten dan met behulp van die co�r- dinaten in teekening brengen. De eerste methode vereischt weinig of geen berekening, zij geeft daarentegen, voor het geval dat een volgend punt telkens ten opzichte van een vorig punt moet worden in teekening ge- bracht, door de geringe nauwkeurigheid, die bij dat teekenen bereikt kan worden, aanleiding tot eene nadeelige ophooping van fouten. Bij de tweede methode is deze ophooping niet te vreezen, aangezien men de berekening zoo nauwkeurig kan maken als men verkiest en de fouten van teekening zich niet voortplanten, door- dat elk punt afzonderlijk wordt in teekening gebracht; zij geeft daarentegen meer werk, wat de berekening betreft. Voor het in teekening brengen van het net, dat slechts uit een gering aantal nauwkeurig opgenomen punten bestaat, zal men dus de laatste methode volgen. Het geringe aantal punten maakt het berekenen van de co�rdinaten niet zoo bezwarend; terwijl de ophooping van de fouten in het teekenen volgens de eerste me- thode, de bij het opmeten verkregen nauwkeurigheid zou te niet doen. Bij het in teekening brengen van de details zal men echter den tweeden weg volgen, aangezien het groote aantal dier punten de berekening van de co�rdinaten onmogelijk zou maken, en de ophooping van fouten hier niet zoo zeer te vree- zen is, doordat de verschillende details direct aan het net worden verbonden. § 113. Het verkennen van het terrein en het vaststellen van het net. Alvorens men met de opneming van eenig terrein be- gint, moet men zich van zijne gesteldheid goed op de hoogte stellen, door het in alle richtingen te verkennen, om daardoor te weten te komen, wat opgenomen moet worden en hoe die opne- ming het gemakkelijkst zal uitgevoerd worden. Bestaan er reeds kaarten van het op te nemen terrein, dan kan men daarvan, hoe onvolledig zij soms ook mochten zijn, bij die verkenning een goed gebruik maken. Op die kaarten, zoonoodig op het oog

-ocr page 136-



		110 ALGEMEENE GANG DER METING.

		eenigszins bijgewerkt, kan men dan het net voor de opmeting ontwerpen. Heeft men dergelijke kaarten niet tot zijne beschik- king, dan moet men beginnen met een schets van het terrein te vervaardigen, door de voornaamste wegen, grensscheidingen en andere voorname terreinvoorwerpen zoo goed mogelijk op het oog en den pas op te nemen. Een eenvoudig instrumentje tot het meten van enkele hoeken of liever van enkele richtingen, bijv. een zakboussole, kan daarbij van veel nut zijn. Heeft men het terrein goed verkend en eene schets daarvan vervaardigd of eene bestaande kaart zooveel noodig bijgewerkt, dan ontwerpt men daarop het net voor de opneming. Aangezien dit net voor het grootste gedeelte uit een driehoeksnet zal be- staan, zoe moet men in de eerste plaats een geschikt terrein opzoeken voor het meten van de basis. Vervolgens kiest men de andere driehoekspunten zoodanig, dat zij een geschikt driehoeks- net vormen, dat op eene voordeelige wijze met de eindpunten van de basis verbonden is, en waarvan de zijden en hoekpunten zoo gelegen zijn, dat de op te nemen d�tails ten opzichte van die zijden of punten zoo gemakkelijk en nauwkeurig mogelijk kunnen opgenomen worden volgens de methode, die men daarvoor ge- kozen heeft. Voor die gedeelten van het terrein waarover men het driehoeksnet niet kan uitbreiden, ontwerpt men dan een stelsel van veelhoeken, dat zoo goed mogelijk aan de in de na- bijheid gelegen driehoeks-punten aansluit. Heeft men op deze wijze het net voorloopig vastgesteld, dan moet men zich opnieuw naar het terrein begeven, om na te gaan, of het vastgestelde net in alle deelen zoo kan behouden blijven, of dat het in een of ander opzicht nog gewijzigd moet worden, om het gemakkelijker en nauwkeuriger te kunnen opnemen en het beter in verband te brengen met de op te nemen d�tails. § 114 Het uitzetten van liet net. Is het net eindelijk voor goed vastgesteld, dan gaat men over tot het uitzetten er van, door de verschillende hoekpunten werkelijk op het terrein zicht- baar aan te geven. De wijze waarop dit geschiedt, hangt van omstandigheden af. Heeft men te doen met een betrekkelijk klein terrein, waar de hoekpunten dicht bij elkaar liggen en dat in korten tijd wordt opgenomen, dan kan men die punten eenvoudig door vlaggebaken aangeven. Dit zijn ronde stokken van 4 a, 5cM. middellijn en 2 a 3 meter lengte, die van onderen van een ijzeren schoen voorzien zijn.

-ocr page 137-



		117
		AI.GEMEENE GANG DER METING.


		Is de meting van langeren duur en moet men de baken op grootere afstanden kunnen zien, dan neemt men daarvoor dunne sparren, die 0,8 al M. in den grond worden gegraven en door een drietal schoren in den verticalen stand worden gehouden. Om deze sparren op grootere afstanden te kunnen herkennen, wordt aan het boveneinde soms een bosje stroo, een mand, een vlag of iets dergelijks bevestigd. Deze voorwerpen dienen alleen om de baken op grooteren afstand te kunnen terugvinden; het richten moet steeds plaats hebben op de baak zelve, die men, om ze beter te kunnen zien, met kalkwater wit maakt. Bij sommige metingen, zooals bijv. bij de kadastrale metingen, is het wenschelijk de driehoekspunten op zoodanige wijze op het terrein aan te geven, dat zij later, lang na de meting, nog ge- makkelijk teruggevonden kunnen worden; om veranderingen, die op het terrein hebben plaats gehad, op eenvoudige wijze te kun- nen opnemen en in de bestaande kaarten te kunnen overbrengen. Hiertoe geeft men die hoekpunten door hardsteenen aan, die dan natuurlijk zoodanig geplaatst moeten worden, dat zij niet hinder- lijk zijn voor den landbouw. Deze steenen laat men boven den grond uitsteken of zij worden na afloop der meting en wegneming der baken met grond over- dekt, zoodat zij niet beschadigd kunnen worden. Heeft men dio punten later weer noodig, dan kan men uit de daarvan opge- maakte beschrijving gemakkelijk de plaats vinden, waar men moet graven om het oude hoekpunt weer te voorschijn te brengen. Tot hetzelfde doel wordt ook gebruik gemaakt van draineer- buizen, die verticaal in den grond geplaatst worden, en met grond overdekt worden. § 115. Het opnemen van het net en van de details. Is het net op deze wijze uitgezet, dan kan men eindelijk tot de eigenlijke opmeting overgaan. Meestal zal men daarbij beginnen met het net afzonderlijk op te meten om daarna over te gaan tot de d�tail- meting. De berekeningen, die vooral bij het net noodig zijn, zal men t\'huis verrichten op de dagen, die men niet voor den veld- arbeid kan bezigen. Worden de d�tails opgenomen met instru- menten waarbij men de uitkomsten in getallen verkrijgt, dan kan die berekening zelfs na de d�tailmeting worden uitgevoerd; heeft, de opneming van de d�tails echter plaats met behulp van het planchet, dan moet de geheele berekening zijn afgeloopen, voor- dat men met die opneming kan beginnen en men is dan soms

-ocr page 138-



		118
		ALGEMEENE GANG DER METING.


		genoodzaakt onderscheidene dagen daaraan te besteden, die beter konden gebruikt worden voor den terreinarbeid. De achtereenvolgens te verrichten werkzaamheden bestaan dus in het opmeten van het net, het berekenen van het net, het be- rekenen van de co�rdinaten der hoekpunten, de d�tailmeting en het in teekening brengen. In de volgende hoofdstukken zullen deze onderdeden ieder afzonderlijk behandeld worden.

		-♦�

-ocr page 139-





		HOOFDSTUK XIV.

		CO�RDINATEN-BEREKENING. § 116. Rechthoekige co�rdinaten. Het co�rdinaten-stelsel, dat bij het landmeten gebruikt wordt om de hoekpunten van het net in teekening te brengen, is het rechthoekige co�rdinaten-stelsel. Wat betreft de keuze van den oorsprong en de richting der assen, daarbij heeft men te onderscheiden, of de meting geheel op zich zelve staat of dat zij aansluit aan andere bestaande metingen. Staat de meting geheel op zich zelve, dan is men geheel vrij in de keuze van de assen. Als oorsprong der co�rdinaten zal men dan meestal een punt van het driehoeksnet kiezen en wel een punt, dat op het terrein altijd gemakkelijk kan worden terugge- vonden, bijv. een kerktoren of ander verheven punt, dat als hoekpunt geschikt is. Staat de meting in verband met andere metingen, dan zal men meestal het daarbij gebezigde co�rdinaten-stelsel overnemen. Beide metingen moeten dan natuurlijk in minstens een punt aan elkaar aansluiten, waarvan dus de co�rdinaten bekend zijn, die dan als uitgangspunt voor de verdere berekening kunnen dienen. Het co�rdinaten-stelsel is ten opzichte van het net volkomen bepaald, als men de co�rdinaten van ��n punt van dat net kent en tevens den hoek, die een van de lijnen van het net met een der assen maakt. Deze drie grootheden kan men dus in het eerste geval naar willekeur kiezen, in het tweede geval moeten zij uit de vroegere meting worden afgeleid. Voor deze afleiding naar Hoofdstuk XVII verwijzende, zullen wij die grootheden hier als bekend aannemen.

-ocr page 140-



		120
		CO�RDINATEN-BEREKENING.


		Wil men in liet eerste geval, zooals zulks meestal plaats heeft, als lichting van een der assen den meridiaan aannemen, dan moet men van een der lijnen van het net het azimuth bepalen; de wijze, waarop zulks geschiedt, zal aan het eind van dit hoofd- stuk worden uiteengezet. § 117. GegeTcns voor de berekening. Ter berekening van de co�rdinaten van de punten A,, A₂, A₃, enz. (lig. 86), uitgaande van de bekende co�rdinaten X₀ = OB₀ en Y₀=B₀A₀ van het punt A₀, verbindt men die punten tot een doorloopenden veel- hoek, zooals in de figuur door getrokken lijnen is aangegeven; van dien veelhoek moet men dan kennen: de lengten van de zijden, die wij door a₀, a,, (u enz. zullen uitdrukken, en de hoeken, die zij met een van de assen, bijv. de Y as, maken, en die wij door a₀, a_t, �₂ , enz. zullen voorstellen. Wat de eersten betreft, deze worden bij het meten volgens de veellioeks-methode door directe meting gevonden, bij de driehoeks- methode vindt men ze uit de berekening van de driehoeken, zoo- als bij de driehoeksmeting nader zal worden uiteengezet. De hoeken, die de zijden met de Y as maken, en die wij met den naam van azimuthen zullen bestempelen, in de onderstelling, dat de Y as de richting van den meridiaan volgt, worden bij de meting volgens de veelhoeks-methode met de boussole door directe meting gevonden, in alle andere gevallen moeten zij door bereke- ning uit de hoeken van den veelhoek worden afgeleid, hetzij dan, dat die opmeting heeft plaats gehad volgens de veelhoeks-methode en men die hoeken dus onmiddellijk gemeten heeft, of dat zij door samentelling van verschillende hoeken van het driehoeksnet moeten gevonden worden. § 118. Berekening der azimntlien. Om de berekening van de azimuthen en van de co�rdinaten zoo eenvoudig mogelijk te maken en vergissingen daarbij zooveel mogelijk te voorkomen, is het zaak zoowel de azimuthen als de hoeken in eene bepaalde richting te tellen. Als zoodanig zullen wij voor het vervolg aannemen de richting, waarin de wijzers van het uurwerk zich bewegen. Ter bepaling van het azimuth van eene lijn, brengen w� dan door het eene eindpunt daarvan eene lijn evenwijdig met de Y as en laten die zoolang in de richting van de wijzers van het uurwerk draaien, tot zij met de eerste lijn samenvak in de richting, waarin d,e berekening plaats heeft. Op deze wijze zijn in figuur 86 door

-ocr page 141-



		121
		CO�RDINATEN-BF.REKENING.


		gestippelde boogjes de azimuthen aangegeven, in do onderstelling dat wij bij de berekening den weg A₀ , A,, A₂, enz. volgen. De hoeken A,, A,, enz., zullen wij op dezelfde wijze bepalen, door de lijn waar wij van daan komen in de richting van de wijzers van het uurwerk te laten draaien, tot zij samenvalt met de lijn, waar wij ons verder langs bewegen. Op deze wijze zijn in lig. 8G de verschillende hoeken A bepaald en door getrokken boogjes aangegeven. Houdt men streng aan deze richting voor do hoeken vast, dan wordt het azimuth van eene volgende lijn steeds afgeleid uit dat van de vorige door bijtelling van den hoek A en aftrekking van 180\'; of in formule gebracht: <� = �_, A� � 180°. (1.) Verlengen wij namelijk A₀A, tot D, dan wordt het azimuth x, = CA,A₂ gevonden, door bij het azimuth 3₀ = CA,D van A₀A, op te tellen den hoek DA, A₈ = A₀A, A, � A₀A,D = A, � 180\', waar- uit volgt: x_l =₀ A, � 180^J. Dezelfde rcdeneering op de andore hoekpunten toepassende, vindt men steeds dezelfde betrekking tusschen het azimuth van de vorige en dat van de volgende zijde, waaruit dus bovenstaande algemeene formule volgt. Mocht men bij de berekening hier of daar eene negatieve waarde voor het azimuth vinden (zooals b. v. voor «_f in fig. 86), dan kan men die in eene positieve veranderen door bijtelling van 360". Mocht men voor het azimuth eene waarde vinden grooter dan 360 , dan kan men daarvan 360" aftrekken. Uitgaande, van het op de eene of andere wijze bepaalde of ge- geven azimuth van een* der lijnen (b. v. het azimuth x₀ van AjA,), kan men dus, door bovenstaande formule herhaaldelijk toe te passen, de azimuthen van al de andere lijnen berekenen. § 119. Berekening der co�rdinaten. Zijn op deze wijze de azi- muthen van al de lijnen bekend, clan kan men gemakkelijk de co�rdinaten van al de punten berekenen. Uit fig. 86 volgt na- melijk voor de abscis X, :=OB, van A, : X, = OB, = OB� BoB, = OB₀\'- - EA, = X₀ «₀ *sin.* _x� en voor de ordinaat Y, == B, A, van datzelfde punt: Y, = B, A, = B₀E = B₀A₀ -f- A₀E = Y₀ - - «� cos. «₀.

-ocr page 142-



		122 CO�RIMNATF.N-BEREKKNING.

		Op dezelfde wijze te werk gaande, vindt men tusschen de co�r- dinaten van een willekeurig punt en die van het onmiddellijk voorafgaande steeds dezelfde betrekking, zoodat men algemeen kan schrijven: X� =X�_ , a�_, sin. «�_, (2.) Y« = Y�_, «�_, cos. «�_,. (3.) Door deze twee formules herhaaldelijk toe te passen, vindt men uitgaande van de aangenomen of gegeven co�rdinaten van het punt A₀, achtereenvolgens de co�rdinaten van al de andere hoek- punten. § 120. Het in teekening brena-en van de punten, door middel van de co�rdinaten. Tot het in teekening brengen van de. punten door middel van de co�rdinaten, trekt men op het papier, op onderlinge afstanden van 1 d\\I., twee stel lijnen, evenwijdig aan de twee rechthoekig op elkaar staande assen. Bij eene schaal van \'\'�ooo wordt hierdoor het terrein in rechthoeken van 100 M. zijde verdeeld. Tot het in teekening brengen van het punt A lig. 88, waarvan de co�rdinaten b. v. zijn X �260, Y=175 M., en dat dus valt binnen het vierkant BB\'DD\' tig. 88, zet men op de twee opstaande zijden de afstanden BC = B\'C\' = 75 M. af, trekt de lijn CC\' en zet daarop het stuk CA = 60 M. af, alles natuurlijk in dezelfde verhouding (\'/₁₀₀₀) verkleind. Heeft men op deze wijze al de punten uitgezet, dan kan men, ter controle van die bewerking, de onderlinge afstanden van die punten op de kaart meten, en vergelijken met de bekende waar- den van die afstanden, zooals die door directe meting of door de berekening gevonden zijn. § 121. Het berekenen van de lengte en van het azimuth van eene lijn uit de co�rdinaten van de eindpunten. Het omgekeerde vraag- stuk : uit de co�rdinaten van de punten A₀ en A, fig. 87 den afstand A₀A, en het azinmth x van de verbindingslijn dier punten af te leiden, doet zich ook soms voor. Ter oplossing hiervan vinden wij uit de formules van de vorige paragraaf: A₀A, sin. x =z X, � X₀ en A₀A, cos. x = Y, �Y₀, waaruit door deeling volgt:

-ocr page 143-



		123
		CO�RDINATEN-BEREKENING.


		� Heeft men uit deze formule het azimuth berekend, dan vindt men voor de lengte van de lijn A₀A, de twee volgende uitdrukkingen: A� A, = -^A-\'^-° en A� A, = h------�S, (5.) sin. a cos. er. \' die dezelfde uitkomst moeten geven on daardoor eene controle voor de berekening opleveren. Omtrent form. (4) dient nog opgemerkt te worden, dat daar- door twee azimuthen bepaald worden, die 180^J van elkaar ver- schillen, overeenkomende met de twee azimuthen van de verbin- dingslijn der twee punten, dat is het azimuth van AoA,^:^ en dat van A,A₀, in de Oguur 87 door .% aangegeven. Om uit te maken welke waarde van « uit form. (4) het azimuth a van A₀A, is, heeft men slechts de teekens van X,�X� en Y,�Y₀ na te gaan; aangezien deze grootheden respectievelijk evenredig zijn met den sinus en den cosinus van het azimuth, zoo zijn de teekens dier trigonometrische lijnen bekend en dus ook het quadrant waarin de hoek a gelegen is. § 122. Berekening van de geograuhische lengte en breedte. Be- halve door hunne rechthoekige co�rdinaten, worden de punten ook wel gegeven door hunne geographische lengte en breedte. Wij zullen dus moeten nagaan, hoe men uit de bekende lengte en breedte van een punt A₀ (fig. 89), die vaneen tweede punt A( kan vinden, als dat punt, ten opzichte van het eerste bepaald is door den afstand A₀A, =a, en door het azimuth a van A�A, in het punt A₀. Wij zullen ons daarbij alleen tot eene eerste benadering bepalen, die volkomen voldoende is bij de betrekkelijk korte afstanden, die bij het landmeten voorkomen. Zijn A₀P en A,P de meridianen van de twee punten, CP de eerste meridiaan, B₀ en Bj de breedten, L₀ en L, de lengten van A� en A,, en stellen wij B,=B₀ 6 en L,:=L₀-M, dan moeten wij de twee kleine hoeken b en l berekenen. Nemen wij op A₀P een punt E op dezelfde breedte B, als het punt A,, dan komt A₀E overeen met het te berekenen breedte- verschil b. Daar nu de bogen A₀A,, A�E en A₍E klein zijn, zoo mogen wij A₀EA, als een vlak rechthoekig driehoekje beschouwen, waaruit volgt: (voor b uitgedrukt in lengtemaat): b=A₀E=acos.a; of als wij de straal volgens welke de meridiaan gekromd is door R, voorstellen, dan is b in seconden uitgedrukt: b = �^206265".

-ocr page 144-



		124
		CO�RDINATEN-BEREKENING.


		Ter bepaling van het lengteverschil l = L_t �L�, vinden wij uit denzelfden driehoek EA, � o sin. x, �n aangezien de straal van den parallelcirkel, op de breedte B,, waarop deze lengte gemeten wordt, gelijk R₂ cos. B, is, zoo is het lengteverschil in seconden uitgedrukt: ""\'"�" _20626y lij COS. li_l Wij vinden dus voor de breedte en lengte van A, : B, = B₀ ^ii� 206265\', (6.) en : ^l<=^l« i^b7²⁰⁶²⁶⁵\'- W Beschouwt men de aarde als een bol, dan is de kromming in alle richtingen dezelfde en voor R, en R₂ kan men dan den straal van den bol nemen. In werkelijkheid is de kromming in de richting van den meridiaan andeis dan die in eene richting lood- recht daarop; om hiermede rekening te houden moet men: ^Ri = ^R r.----~~. . . ^,~~^r ^en ^rj ~

	(1 � e^% sin\\ B₀)^:i\'2 V 1 � «?^J sin". B, nemen, waarin R de straal van den equator en e de excentriciteit van de meridiaanellips voorstelt. In deze formules mag men, omdat B, en B₀ slechts weinig van elkaar verschillen, in plaats van B, ook B₀ bezigen. § 123. Invloed van de convergentie der meridianen on de bere- kening der aziuiuthcii. Heeft het terrein eenige uitgestrektheid in de richting loodrecht op den meridiaan, dan mogen de azimuthen, zooals die hiervoor bij de berekening van de co�rdinaten zijn gevonden, niet direct bij bovenstaande formules toegepast worden. Aangezien de meridianen niet evenwijdig loopen, maar naar de pool convergeeren, zoo vallen de parallellen aan de Y-as niet samen met de meridianen en geven de berekende hoeken x dus niet zuiver de azimuthen aan. Om hiermede rekening te houden moet men aan form. (1) eene kleine correctie aanbrengen, die voort- spruit uit het verschil van het azimuth van de lijn A�A, fig. 89, bepaald in de twee punten A₀ en A.,. Dat azimuth in A, gemeten: namelijk PA,D, is niet meer (zoo- als in fig. 86) gelijk aan het azimuth « = PA₀A, in A₀ gemeten, jnaar is een zekere hoek J¹ grooter.

-ocr page 145-

125

CO�RDINATEN-BEREKENING.

Uit den driehoek A₀PA,, dien wij hier als een bolvormigen
driehoek mogen beschouwen en waarin:
A₀P = 90³-B₀A,P = 90\' �B,
hoek PA₀A, = a.

hoek PA, A₀ = 180\' � TA, D = 18CT � * � �
is, vinden wij door toepassing van den sinus-regel:

sin. PA, A₀__sin. PA₀

sin. PA�A, sin. PA,
of:

sin. {x -f- <�)__cos. B�__cos. (B, � b)

sin. x ~ cos. B, cos. B,

Ontwikkelen wij in bovenstaande uitdrukking sin. (x - - �) en
cos. (B, � b) en stellen, sin.J=zJ-, sin.b = b, cos. J=l en cos. J= l,
hetgeen wegens de kleinheid dier hoeken geoorloofd is, dan vin-
den wij :

, cos. x . sin. B.

1 - - * -t� =l-t-b----^

sin. cc cos. r>,

of:

J = b tg. B, tg. x = 1!?±± _tg, b, tg. a 20G2G5\' =

_ asin^x ^ 20G265" = l sin. B,.
Ii cos. B, \'

De aan het azimuth aan te brengen correctie, bij den overgang
van A₀ naar A,, wordt dus uitgedrukt door: /% »«***■� ^\'\'V

j> ₌ �^LfL^_Bl 206265\' = lsi».B_t. (8.) ^ **�*"

§ 124. Astronomische azimutlisbeimling. Zooals hiervoor is aan-
geduid, moet men, indien eene der co�rdinaten-assen evenwijdig
met den meridiaan zal loopen, het azimuth van een der lijnen
van het net bepalen, Komt het daarbij niet op groote nauwkeu-
righeid aan, maar is het alleen te doen om de richting van het
noorden aan te geven, ten einde zich beter op het terrein te
kunnen ori�nteeren, dan kan dat azimuth met behulp van een
boussole bepaald worden. Wordt echter eene grootere nauwkeu-
righeid vereischt, eene nauwkeurigheid overeenkomende met die,
welke bij de opmeting van het net wordt bereikt, en is het niet
mogelijk door aansluiting aan bestaande metingen met genoegzame
zekerheid dat azimuth af te leiden, dan moet men zijne toevlucht
nemen tot eene astronomische bepaling van dat azimuth.

-ocr page 146-



		126
		CO�RDINATEN-BEREKENING.


		Met verwijzing naar de bestaande leerboeken voor cosmogra- phie, voor wat betreft de astronomische begrippen en benamin- gen, zullen wij hier in het kort aangeven, hoe men, met behulp van de bij het landmeten gebruikelijke instrumenten, dat azimuth kan bepalen, met eene voor liet beoogde doel voldoende nauw- keurigheid. § 125. Correspondcerende sterslioogten. Een vaste ster, volgt bij hare schijnbare dagelijksche beweging aan den hemel oen baan, die in den meridiaan haar hoogste punt (culminatie-punt) bereikt. Bij twee standen, voor en na de culminatie, als de ster zich op dezelfde hoogte bevindt, maken de hoogtecirkels van de ster aan weerszijden gelijke hoeken met den meridiaan. Meten wij dus in beide gevallen den horizontalen hoek tusschen de ster en de lijn, waarvan wij het azimuth willen kennen, dan is de halve som dier twee hoeken het gevraagde azimuth. Zij in lig. 90, TN de richting van den meridiaan, TS en TS\' de richtingen van de ster in de twee standen voor en na de culminatie en TA de lijn, waarvan wij het azimuth willen bepalen, dan meten wij den eersten keer hoek ATS = m, de tweede maal ATS\'=«; het arith- metisch gemiddelde �^� geeft dan den gevraagden hoek NTA. Bij de practische uitvoering richt men met een theodoliet eerst op het punt A en dan op de ster in den stand S; uit het ver- schil van de twee aflezingen vindt men den hoek m. Vervolgens laat men den theodoliet staan, tot de ster na de culminatie weer ongeveer dezelfde hoogte bereikt heeft, richt den kijker dan op de ster zonder hem om de "2^de as te draaien en wacht tot de ster zicli op den horizontalen draad bevindt, waarna men den verti- calen draad, door draaiing om de l^ste as, ook op de ster brengt. Door nu, na op den eersten cirkelrand afgelezen te hebben, weer op A te richten en af te lezen vindt men hoek n\\ waaruit eindelijk , . , m - - n , . het azimuth «==�^� volgt. Het tweemaal richten op A is noodig om daardoor de fout, voortspruitende uit eene verdraaiing van den theodoliet, tusschen de twee metingen, die geruimen tijd na elkander plaats hebben, te elimineeren. Op deze wijze te werk gaande kan men zelfs in dien tusschentijd het instrument opbergen, zoo men er slechts voor zorgt, dat de vizierl\'rjn van den kijker bij de twee metingen denzelfden hoek met den horizon maakt.

-ocr page 147-



		127
		CO�RDIN ATEN-BEREKENING.


		De ster, die men voor deze meting kiest, moet, om de meting onder de gunstigste omstandigheden te verrichten, zich bij eene geringe hoogte in een vlak bevinden, ongeveer loodrecht op den meridiaan. Wegens de onregelmatige straalbuiging bij al te geringe hoogte, moet men echter geen waarnemingen doen bij hoogten kleiner dan 10°. § 126. Correspoudeereiide zonshoogteii. Tot hetzelfde doel kan men ook de zon bezigen; daarbij moet men echter, omdat het niet mogelijk is op het middelpunt te richten, de zon aan de draden laten raken, de eene keer rechts de tweede keer links, of omgekeerd, zooals in fig. 91 is voorgesteld. Aangezien echter de declinatie van de zon niet constant is, zooals die van de vaste sterren, zoo zullen de hoeken NTS en NTS\' niet meer aan elkaar gelijk zijn; aan het arithmetisch ge- middelde van m en n moet dus eene correctie worden aangebracht. Stellen wij dat bij de eerste meting hoek NTS = A-f-a en bij de tweede NTS\'=zA� a is, dan volgt uit de figuur, als wij aan i», n en x dezelfde beteekenis als boven hechten: x = ATN = ATS NTS = m - - A a x = ATN = ATS\'� NTS\' = n � A -f- a waaruit volgt, door samentelling en deeling door twee: m-\\- n x = �------1- a, zoodat de aan te brengen correctie gelijk is aan a. Ter bepaling van deze correctie, die den naam van meridiaan- correctie draagt, denken wij ons, om onze standplaats als middel- punt, een bol beschreven, met de eenheid als straal, en in fig. 92 op het horizontale vlak geprojecteerd. Eene verticale lijn, door het middelpunt getrokken, snijdt dat oppervlak in een punt T, het toppunt; eene lijn naar het middelpunt van de zon getrokken, snijdt den bol in het punt S, dat dus op den bol de plaats van de zon vertegenwoordigt. Een grooten cirkel door S en T ge- bracht, geeft den hoogtecirkel der zon aan; de lengte van boog ST is de zeniths-afstand of het complement van de hoogte. Trek- ken wij eene lijn evenwijdig met de aardas, dan snijdt deze den bol in het punt P, dat den naam van pool draagt. Het vlak van den grooten cirkel door T en P gebracht, geeft h�t meridiaan vlak aan. De boog NP is dan de poolshoogte of geographische breedte, PT het complement van de breedte. Trekken wij nog de boog van den grooten cirkel PS, dan is de lengte daarvan de poolsafstand

-ocr page 148-



		428
		CO�RDINATEN-BEREKENING.


		of het complement van de declinatie van de zon. In den driehoek PTS, die den naam van parallactischen driehoek draagt, geeft ver- der de hoek bij T het azimuth van het hemellicht, en de hoek bij P de uurhoek van dat hemellicht aan. Stellen wij nu de geographische breedte van de standplaats B, de hoogte van de zon h, de declinatie van de zon op den middag D, en op het oogenblik van de eerste waarneming U�<��, dan is: PT=90 �B, TS = 90°�h, PS = 90^J �D-f-^, <PTS = A-f-r/, en uit den driehoek PST volgt dus: cos. PS = cos. PT cos. TS - - sin. PT sin. TS cos. PTS, of: sin. (D � J) = sin. B sin. h -f- cos. B cos. h cos. (A -f- «). Op overeenkomstige wijze vinden wij uit A PTS\', waarin S\' het middelpunt van de zon bij de tweede waarneming voorstelt, en waarvan op dat oogenblik de declinatie D-f-J¹ is: tin. (� -f- J) = tin. B sin. h cos. B cos. h cos. (A � «). Trekken wij deze twee vergelijkingen van elkaar af, dan vinden wij : 2 cos. D sin. <� = 2 cos. B cos. h sin. A sin. a, of, aangezien if en a kleine hoeken zijn: cos. D ^a = ^----�------�~-�"" cos. IS cos. h sin.* A Stellen wij den uurhoek TPS, die overeenkomt met den tijd, die er nog moet verloopen voor de culminatie, dus ongeveer de helft van het tijdsverloop tusschen de twee waarnemingen, door de letter t voor, dan is in A PTS: sin. PS _ sin. PTS . cos. (D � J) _ sin. (A ") sin. TS sin. TPS cos. h sin. t Laten wij in deze vergelijking de kleine hoeken f en a ten opzichte van D en A weg, dan vinden wij:-----,\'-\'-.��» = -.� > ¹ ° cos. U sin. A sin. t waardoor de correctie overgaat in: _ J- ~ cos. B sin. t De hierin voorkomende grootheid � is de toeneming van de declinatie der zon in den tijd t. Is ft. de toeneming der declinatie in 48 uren, dan vermeerdert zij in een uur met �- en dus in ( uren met -js-, waardoor wij ten slotte vinden: n� *

		a =		48 ros. B sin. t

-ocr page 149-



	CO�RDINATEN-BEREKENING. 129 Wat betreft de grootheden p, t en B, die in deze correctie voorkomen, daarvan vindt men de eerste door het verschil te nemen van de declinatie van de zon op den volgenden en den vorigen dag, zooals men die in astronomische jaarboekjes vindt. De tijd t kan men voldoende nauwkeurig vinden door het tijds- verloop tusschen de twee waarnemingen met een zakuurwerk te bepalen en door 2 te deelen. De breedte B eindelijk kan men gemakkelijk uit eene goede kaart overnemen. § 127. Grootste digressie. Volgt men met den kijker van een theodoliet eene ster S (fig. 93), die tusschen de pool en het toppunt culmineert, dan zal men die ster naar het westen zien uitwijken, tot zij in S, gekomen, hare grootste westelijke uitwij- king (digressie) bereikt heeft, waarna zij als het ware zicheenigen tijd langs den verticalen draad beweegt. De ster keert nu naar den meridiaan terug, culmineert in S₂ (onderste culminatie) en wijkt naar het oosten uit, tot zij in S₃ hare grootste uitwijking bereikt en zich weer in westelijken zin gaat bewegen. Meet men bij een dezer standen, die op de beschreven wijze gemakkelijk kunnen gevonden worden, den horizontalen hoek tusschen de ster en de lijn, waarvan het azimuth moet bepaald worden, dan vindt men dat azimuth door aftrekking of bij telling van den hoek, dien bij die standen de hoogtecirkel van de ster met den meridiaan maakt. Dezen hoek, die in de figuur door PTS, = PTS₃ = A wordt voorgesteld, kan men gemakkelijk berekenen. Daar de ster den kleinen cirkel SSjS₂S₃ met P als pool beschrijft en TS, en TS₃ bij de grootste uitwijkingen daaraan moeten raken, zoo zijn de hoeken PS,T en PS₃T van de parallactische driehoeken recht. In die rechthoekige driehoeken zijn nu bekend: PT = 90°�B en PS,= ==PS₃:=9(F�D, als D de declinatie voorstelt; wij vinden dus: * S,TP = rf». S₃TP = ⁵-^J =$^\|, sm. PT sm. PT of:

	4 * sm. A = �	os. D


cos. B De poolster is voor deze meting de meest gunstige ster, omdat zij door hare langzame beweging een geruimen tijd in de grootste digressie blijft. § 128. Stershoogte. Men kan eindelijk het azimuth van eene lijn bepalen, door den horizontalen hoek te meten tusschen die S. 9

-ocr page 150-



		130
		CO�RDINATEN-BEREKENING.

		lijn en eene ster op een willekeurig oogenblik, trekt men hiervan den hoek af, dien de hoogtecirkel van de ster met den meridiaan - maakt, als die ster zich ten oosten van den meridiaan bevindt, of telt men dien hoek er b\'y, wanneer de ster zich in het westen bevindt, dan heeft men het gevraagde azimuth. Het bepalen van dien hoek kan geschieden door gelijktijdig de hoogte van de ster te meten. In dat geval zijn in den parallac- tischen driehoek PTS, fig. 92, de drie zijden bekend en men kan den gevraagden hoek, die door PTS wordt voorgesteld, dus gemakkelijk berekenen. Men moet er e:hter op bedacht zijn, dat de hoogte, die met behulp van den theodoliet gemeten wordt, niet de ware hoogte van de ster is. Ten gevolge van de straalbuiging ziet men namelijk de ster altijd te hoog, zoodat eerst nog voor die straalbuiging eene correctie moet worden aangebracht. Om de meting onder de gunstigste omstandigheden te verrichten moet men weer eene ster kiezen, die zich bij eene niet te groote hoogte, zoo dicht mogelijk bij het oost- of westpunt van den horizon bevindt. Hoogten beneden de 10\' zijn echter wegens de onregelmatige straalbuiging te vermijden. § 129. Eenige opmerkingen omtrent bovenstaande metingen. Zooals wij bij de behandeling van den theodoliet gezien hebben, zijn de fouten in de regeling van des te grooteren invloed op de meting, naarmate de elevatie van de vizierlijn grooter is. Hier dus, waar men b\'y de sterren of b\'y de zon altijd met betrekkelijk groote elevatiehoeken te doen heeft, moet men er voor zorgen, dat het instrument zoo goed mogelijk geregeld is; en dat men steeds door het doen van twee metingen in twee verschillende standen van den kijker, de nog overgebleven fouten elimineert. Het behoeft geen betoog, dat men om dezelfde reden goed moet zorgen voor de juiste verticaal-stelling van de eerste as. Kan men de azimutlis-bepaling met behulp van de sterren niet in de schemering verrichten, maar moet men daarmede tot\'s nachts wachten, dan is het meestal zoo donker, dat men de kruisdraden in den kijker niet meer kan zien. In dergelijk geval moet men op de een of andere w\'y\'ze de lichtstralen, van eene ter zijde aangebrachte lichtbron, door het objectief in den kijker doen vallen, om zoodoende het gezichtsveld en de draden zichtbaar te maken.

-ocr page 151-



		HOOFDSTUK XV.

		DRIEHOEKSMETING. § 130. Vorm van het net. Voor de opmeting van het net volgens de driehoeks-methode, moet dit net bestaan uit een aan- eenschakeling van driehoeken, waarvan dan minstens een zijde (basis) en verder alle hoeken gemeten worden. De grootte en vorm van de driehoeken, de ligging van de basis en hare ver- binding met het driehoeksnet, hangen voor een groot gedeelte van het terrein af. Voor de nauwkeurigheid van de opmeting moet men er echter voor zorgen, dat de driehoeken zooveel mogelijk gelijkzijdig zijn, dat de hoeken dus niet te scherp of te stomp worden; hoeken kleiner dan 20 a 30 graden moet men zooveel mogelijk vermijden. De basis, zoo die niet een van de zijden van het net vormt, moet door een stel driehoeken, dat aan dezelfde voorwaarden voldoet, met een dier zijden veibonden worden. De basis, zoo er slechts een is, tracht men zooveel mogelijk in het midden van het net te brengen; meet men zooals aanstonds zal behandeld worden voor de controle meer bases, dan worden deze zooveel mogelijk gelijkelijk over het net verdeeld. § 131. Bnsisineting. Het meten van de basis, die den grondslag vormt voor de afmetingen van het geheele net, moet met de uiterste zorg geschieden. Men moet daarvoor dus een vlak, zoo mogelijk horizontaal, terrein kiezen, liefst den zijkant van een rechten weg of een vlak weiland, waarop de basis met behulp

-ocr page 152-



		432
		DRIEHOEKSMETING.


		van meetlatten twee- of meermalen gemeten wordt, om uit het gemiddelde van die metingen de lengte zoo nauwkeurig mogelijk te vinden. Zijn er meer bases, dan worden zij allen op dezelfde wijze gemeten. Daar hun aantal altijd zeer klein is, kan men aan die meting alle noodige zorg besteden om een goeden grond- slag te krijgen voor de berekening van het net. Kan men voor de basis geen horizontaal terrein vinden, dan neemt men daarvoor een hellend maar vlak terrein, meet de basis langs dat hellende vlak en herleid den gemeten afstand tot den horizon, door het hoogte verschil van hare twee uiteinden te bepalen. § 432. Hockineting. Het meten van de hoeken geschiedt met behulp van den theodoliet of de sextant. Met den theodoliet kan men eiken hoek afzonderlijk meten of men kan bij eene rond- meting achtereenvolgens op alle in den omtrek gelegen hoekpunten richten. De laatste wijze van meten is meestal de voordeeligste. Heeft men den theodoliet bijv. in A, flg. 97, opgesteld, dan richt men achtereenvolgens op B, C, D, E, F en ten slotte weer op B, om zich daardoor te overtuigen, dat tijdens de rondineting de theodoliet niet op den voet verdraaid is. Door de aflezingen twee aan twee van elkaar af te trekken, vindt men dan al de hoeken. Met ��ne meting van de hoeken zal men zich nooit tevreden stellen, minstens zal men de hoeken tweemaal meten, waarbij men dan tevens van het doorslaan van den kijker en het ver- draaien van den rand partij zal trekken, om de fouten van het instrument zooveel mogelijk te elimineeren. Tevens is het wen- schelijk bij die tweede meting in omgekeerde volgorde op de ver- schillende punten te richten. Wil men eene nog grootere nauw- keurigheid bereiken, dan zal men de hoeken meermalen meten, waarbij men dan, op de wijze in § 40 behandeld, zorgt voor de systematische eliminatie van de fouten van den rand. Bij het meten volgens de repetitie-methode met den theodoliet en bij het meten met de sextant, moet natuurlijk elke hoek afzonderlijk gemeten worden, Ook hierbij zal men eiken hoek minstens twee malen meten, om daardoor vergissingen te voor- komen en een nauwkeuriger resultaat te verkrijgen. § 133. Ceutreeren der hoekeu. Bij de driehoeksmeting doet zich somtijds het geval voor, dat het instrument niet in de verticaal van het hoekpunt kan worden opgesteld. Dit geval

-ocr page 153-



		133
		DRIEHOEKSMETING.


		doet zich onder anderen voor, als men tot hoekpunten neemt kerktorens, bliksemafleiders of andere terrein-voorwerpen, of in- dien het hoekpnnt door eene baak is aangegeven, die men niet kan wegnemen om het instrument in de plaats te stellen. In dergelijke gevallen moet men het instrument terzijde van het hoekpunt, zoogenaamd excentrisch opstellen, en uit de daar ge- meten hoeken door berekening de hoeken in het ware hoekpunt afleiden. Deze berekening noemt men het centreeren der hoeken. Zij A, fig. 94, het hoekpunt van de te meten hoeken, A\' de standplaats van het instrument, dan meet men hoek BA\'C in plaats van BAC; in de twee driehoeken ABG en A\'CG, die beiden BGC tot buitenhoek hebben, heeft men nu: BGC � BAC - - ABA\' = BA\'C - - ACA\', of: BAC = BA\'C - ABA\' -f- ACA\'; in de driehoeken ABA\' en ACA\' hebben wij verder: AA\' AA\' sin. ABA\' = t-=- sin. AA\'B, en: si?u ACA\' = -tt: sin. AA\'C; AB AC en aangezien de hoeken ABA\' en ACA\' altijd zeer klein zijn, zoo kunnen wij de sinussen door de bogen vervangen, en vinden dus voor die hoeken uitgedrukt in seconden: ABA� AA^lA^B^₂₀₆₂₆₅� AB en: ACA^~~^AA\'t^AA\'^C~~206265\'. AC Door deze waarden in de uitdrukking voor BAC te substitueeren, vinden wij eindelijk: BAC = BA\'C � ~~^Ak\' ""-J^³~~ 206265\'\' ~~^AA/ *�_,~~ �- 206265". AB AC Op geheel overeenkomstige wijze vinden wij: CAD = CA\'D � ~~^AA ^_r,^AAC~~ 206265" ^AA\' ^i\'J^ 206265", A.O A-D** DAE = DA\'E _ ^AAl~~tn^AA,D~~ 206265" ~~AA\'«n. AA\'E~~ ^^^ AD Abj EAF = EA\'F = AA^AA^E₂₀₆₂₆₅� AA^AAF _2yAE AF FAB = FA\'B- A\'.AAT_2Q6265, AA>« AA\'B _206265o. At Ad

-ocr page 154-



		134
		DRIEHOEKSMETING.

		waarbij alleen valt op te merken, dat de hoeken AA\'B, AA\'C, AA\'D, enz. altijd moeten geteld worden van de lijn AA\' af, draaiende in de richting van de wijzers van het uurwerk tot aan de lijnen AB, AC, AD, enz.; zoodat bijv. de twee laatsten dier hoeken grooter dan twee rechte hoeken en de sinussen dus negatief worden. Voor de berekening van bovenstaande correcti�n moet men de afstanden AB, AC, enz. kennen, waarvoor men echter met be- naderde waarden kan volstaan, zoodat men die afstanden door eene voorloopige berekening met de niet gecorrigeerde hoeken uit het driehoeksnet kan vinden. Verder moet men den afstand AA\' en een der hoeken AA\'B, AA\'C, enz. kennen, die men door directe meting vindt of zoo dit niet mogelijk is, uit den plattegrond van het bouwwerk, waarvan het hoekpunt een deel uitmaakt, afleidt. § 134. Controle. Voor de berekening van het driehoeksnet is het strikt genomen niet noodig, alle drie de hoeken in iederen driehoek te meten; zelfs zou men in enkele driehoeken in het geheel geen hoeken behoeven te meten; zoo bijv. in fig. 97: heeft men daar de lijn AB als basis en in ieder van de 4 drie- hoeken 1, 2, 3 en 4, twee hoeken gemeten, dan is ook de 5^dc driehoek volkomen bekend en zou het dus overbodig zijn daar hoeken te meten. In werkelijkheid zal men echter trachten om in alle driehoeken zooveel mogelijk alle hoeken te meten, eensdeels om daardoor eene controle op de meting te verkrijgen, anderdeels om uit al die gegevens een nauwkeuriger resultaat te kunnen afleiden. Om dezelfde reden wordt meestal ook meer dan een basis gemeten. Bepaalde men zich alleen tot het meten van het strikt noodige, dan zou eene fout, bij een of meer van die grootheden gemaakt, onopgemerkt blijven en een groot gedeelte van de daarop gegronde berekeningen onjuist zijn. Heeft men echter meer grootheden gemeten dan noodig zijn, dan bestaan tusschen die grootheden zekere betrekkingen; voldoen de uitkomsten der meting niet aan die betrekkingen, dan wordt men daardoor gewaarschuwd, dat bij de meting van de een of andere grootheid een fout gemaakt is, die men moet herstellen alvorens tot de berekening over te gaan. Bij de driehoeksmeting heeft men, door het meten van alle hoeken en van onderscheiden bases, de gelegenheid om zoo

-ocr page 155-



		135
		DRIEHOEKSMETING.


		volledig mogelijk controle op de meting uit te oefenen, waardoor die methode van opmeting verreweg de voorkeur verdient boven de veelhoeks-methode, waarbij, zooals wij in het volgende hoofd- stuk zullen zien, de controle zeer gebrekkig is. De betrekkingen, waaraan de gemeten hoeken en afstanden van het net moeten voldoen, zijn de volgenden: 1°. In eiken driehoek moet de som van de drie hoeken 180° zijn. 2°. In de punten waaromheen alle hoeken gemeten zijn, zooals de punten A, D, E, II, K en 11, in fig. 97 en die wij centrale punten zullen noemen, moet de som van de hoeken 360° zijn. Meet men de hoeken met den theodoliet, door achtereenvolgens op de verschillende punten te richten en dan de aflezingen twee aan twee van elkaar af te trekken, dan zal de som van zelf 360^J zijn; dit geeft dus geen controle. Men kan op deze wijze alleen controle verkrijgen als men de hoeken met de sextant gemeten heeft, of indien men met den theodoliet iederen hoek afzonderlijk gemeten heeft. 3°. Indien men van eene zijde uitgaande, langs eene reeks driehoeken, de lengte van die zelfde zijde berekent, dan moet deze uitkomst overeenstemmen met de waarde waarvan men is uitgegaan. Bij een driehoeksnet, op de eenvoudige wijze samengesteld als door fig. 97 wordt aangegeven, waar de driehoeken enkel tegen elkaar liggen, zonder gedeeltelijk over elkaar heen te vallen of zonder dat daarin zoogenaamde diagonalen voorkomen (de verbin- dingslijnen van de toppunten van twee verschillende driehoeken, bijv. eene lijn AK), kan men deze voorwaarde het gemakkelijkst in formule brengen, door de driehoeken te beschouwen, die om een centraal punt liggen. Die voonyaarde luidt dan als volgt: Het product van de sinussen van de rechts gelegen basis- hoeken moet gelijk zijn aan het product van de sinussen van de links gelegen basishoeken; of, wat voor de berekening gemakkelijker is: de som van de logarithmen van de sinussen van de rechts gelegen basishoeken moet gelijk zijn aan de som van de logarithmen van de sinussen van de links gelegen basishoeken. Drukken wij in verband met fig. 97 de hoeken uit, door de bij het hoekpunt geplaatste letter met het nummer van den driehoek als index, dan zijn, in de om het centrale punt A gelegen drie- hoeken, B,, C,, D,, E_t, Fj de aan de rechterzijde, en 0,, D,,

-ocr page 156-



		136
		DRIEHOEKSMETING.


		E₃, F₄, E_s de aan de linkerzijde van de respectievelijke bases gelegen hoeken. Tusschen die hoeken en de zijden van de drie- hoeken bestaan nu de volgende betrekkingen:

		AB ^� AF \' waaruit door vermenigvuldiging onmiddellijk volgt: sin. B, sin, C₂ sin. D₃ sin. E₄ sin. F₅ = sin. C, sin. D₂ sin. E₃ sin. F,_t sin, B₅! of, wanneer wij van beide leden de logarithmen nemen: log. sin. B₄ -f- log, sin. C₂ log. sin. D, -f- log. sin. E₄ -f- log. sin. F₅ = = log. sin. C, - -log.sin.D₂ -f-log. sin.E₃ -f-log.sin.F₄-1-log.sin.B_s. (1.) 4°. Heeft men meer dan een basis gemeten, zooals bijv. de lijnen AB en RT in fig. 97, dan moet, als men, van de lengte van een daarvan uitgaande, de lengte van d� andere berekent, deze overeenkomen met de lengte, die men door directe meting gevonden heeft. Bij een klein driehoeksnet zal men die beide bases aan twee tegenovergestelde uiteinden van het net meten, bij een grooter net neemt men een basis in het midden om daarop de berekening te steunen en brengt dan langs den omtrek van het net verschil- lende contr�le-bases aan. § 135. Vereffening der fouten. Toetst men de uitkomsten der waarnemingen aan bovenstaande voorwaarden, dan zullen zij meestal daaraan niet volkomen voldoen, kleine verschillen, voort- spruitende uit de kleine onvermijdelijke fouten van waarneming, zullen zich altijd vertoonen; alleen als de verschillen groot zijn, wijst dit op fouten, die opgespoord en verwijderd moeten worden, alvorens men tot de verdere berekening kan overgaan. De kleine verschillen, die zich altijd vertoonen, moeten nu in de eerste plaats over de verschillende gemeten grootheden verdeeld

-ocr page 157-



		137
		DIUEHOEKSMETING.


		worden, zoodat de aldus gecorrigeerde hoeken en afstanden nu volkomen aan bovenstaande voorwaarden voldoen. Het bepalen van de daartoe aan die grootheden aan te brengen eorrectien noemt men het vereffenen der fouten. Dit vereffenen der fouten, wil het op de voordeeligste wijze geschieden, moet plaats hebben volgens de methode der kleinste vierkanten; de berekeningen echter, die daarvan het gevolg zijn, zijn zoo omslachtig en langvvijlig, dat zij de moeite niet zouden beloonen, die men, bij een eenigszins uitgebreidt net, bij het gewone landmeten, daaraan zou moeten besteden. Wij zullen ons daarom bepalen tot het aangeven van eene benaderende be- rekening voor de vereffening van de fouten, die, gegrond op de theorie der kleinste vierkanten, bij een betrekkelijk zeer geringen arbeid, eene voor het doel meestal voldoende nauwkeurigheid oplevert. § 136. Bij een driehoeksnet, samengesteld als het in fig. 97 voorgestelde, zal men niet gelijktijdig de fouten in alle driehoeken vereffenen, maar ieder stel driehoeken, dat om een zelfde cen- traalpunt gelegen is, afzonderlijk beschouwen, om daarin de fouten te verdeelen. Zoo zal men b. v. eerst de vijf driehoeken nemen om het punt A gelegen, dan de zes driehoeken om het punt D; daarbij zal men dan echter aan de driehoeken 2 en 3, die eens voor goed zijn vastgesteld, niets meer veranderen, maai- de fouten alleen op de hoeken van de driehoeken 6, 7, 8 en 9 vereffenen. Vervolgens overgaande tot het punt E, zal men daar de fouten verdeelen alleen over de hoeken van de driehoeken 10, 11, 12 en 13 en dus die van de driehoeken 3, 4 en 9 onveranderd laten. Zoo voortgaande zal men in H de vier driehoeken 14, 15, 16 en 17, in K de twee driehoeken 18 en 19 en in R de twee driehoeken 20 en 21 nemen, om daarop de fouten te verdeelen. Bij een dergelijk stel van driehoeken neemt men eerst in iederen driehoek de som van de drie hoeken en wat deze som meer of minder dan 180° is, verdeelt men gelijkelijk over de drie hoeken. Telt men nu de aldus gecorrigeerde hoeken in het centrale punt samen, dan zal men meestal niet juist 360\' vinden, het verschil verdeelt men dan gelijkelijk over die hoeken; aan- gezien hierdoor de som van de drie hoeken in eiken driehoek niet meer 180" blijft, zoo moet men aan elk der basishoeken de helft der correctie met het tegengestelde teeken aanbrengen. In fig. 97 zal men dus dit verschil voor een vijfde gedeelte op elk

-ocr page 158-



		138
		DRIEHOEKSMETING.


		der hoeken om het punt A en voor een tiende deel op elk der basishoeken moeten vinden. Past men op de basishoeken, waaraan nu reeds twee kleine correcti�n zijn aangebracht, de vergelijking (1) van § 134 toe, dan zal daaraan meestal niet volkomen voldaan worden. Om hieraan te voldoen telt men b. v. bij alle rechterbasishoeken een zelfde correctie op en trekt die van al de linkerbasishoeken af. Ter bepaling van deze correctie, die wij door x zullen voorstellen en die evengoed negatief als positief kan zijn, hebben wij dan een- voudig de betrekking: log. sin. (B_k - - x) -\\- log. sin. (C₂ ■ - x) -f- log. sin. (D₃ -f- x) -f- log. sin. (E,, -f- x) -f- log, sin. (F₅ � � x) =z log, sin, (C, � x) log. sin. (Dj � x) -f- log. sin. (E₃ � x) - - log. sin. (F₄ � x) -f- log, sin. (B₅ � x); waarin B,, C,, enz. de gemeten hoeken met de twee reeds aangebrachte correcti�n beteek enen. Ter oplossing van x uit deze vergelijking merken wij op, dat aangezien x altijd zeer klein is, wij voor log. sin. (B, -f-) mogen schrijven {leg. sin, B_t-\\-xS_bt),* als x in minuten uitgedrukt wordt en A de aangroeiing van log. sin. B, voor eene minuut beteek ent, eene grootheid, die wij uit de logarithmentafel vinden, door het verschil te nemen van twee opvolgende log. sin. Op deze wijze vinden wij: log. sin, (B, -f- x) ■==. log. sin. B, -f- x A_blleg. sin. (C₂ -f- #) =. log. sin. C₂ -f- x A_cilog. sin, (D₃ x) z=z log. sin. D₃ -\\-x A^ log. sin. (E₄ -f- x) = log. sin. E₄ - ■ x A,_tlog. sin. (F₅ - - x) = log. sin. F₅ -f- x A/-₅ log. sin. (Cj � x) =. log. sin. C, � x A_c, log. sin\' (D₂ � x) � log. sin. B₂ � x A,/₂log. sin. (E₃ � x) = log. sin. E₃ � x A_e3log. sin. (F,, � cc) rr: log. sin F₄ � x A^ log. sin. (B₅ � x) = log. sin. B₅ � x Aj_s waardoor de vorige vergelijking overgaat in: log. sin. B, log, sin. C₂ -f- log. sin. D₃ - - log. sin. E₄ -f- log. sin. F₅-f- x (A_H - - A_CJ - - Aj₃ A_ti -f- Afy) = log. sin. C, log. sin. D₂ log. sin. E₃ -f- log. sin. Y\\ -f- log. sin. B₅ �a; (4_C( - -Aj₂ -f-A_(J -f- ^ Af- stellen wij nu door R de som van de logarithmen van de sinussen van de rechts gelegen basishoeken, door L de som van

-ocr page 159-



		139
		DRIEHOEKSMETING.


		de logarithmen van de sinussen van de links gelegen basishoeken en door S de som van de aangroeiingen voor een minuut van al die logarithmen sinussen voor, dan wordt deze vergelijking: R-t-icS � L = O, of:

		waardoor de aan te brengen correctie bepaald is. Voor de driehoeken om het punt D zal men nu eerst in de driehoeken 6, 7, 8 en 9 de som van de drie hoeken tot 180\' maken. Dan de zes hoeken om D samentellen. daarbij uit 2 en 3 de gecorrigeerde hoeken nemende en uit 6, 7, 8 en 9 de ge- meten hoeken met de eerste correctie; hetgeen men hierbij meer of minder dan 3�(T vindt, wordt dan gelijkelijk op de vier hoeken D₆, D₇, D₈ en D₉ verdeeld. De basishoeken in diezelfde drie- hoeken 6, 7, 8 en 9 verkrijgen een half zoo groote correctie met het omgekeerde teeken. Eindelijk toetst men de basishoeken aan vergelijking (1) § 134, waarbij men voor de driehoeken 2 en 3 weer de gecorrigeerde en voor 6, 7, 8 en 9 de gemeten hoeken met de twee tot nu toe bepaalde correcti�n moet nemen. Wordt aan die voorwaarde niet juist voldaan, dan wordt aan ieder van de basishoeken van 6, 7, 8 en 9 weer een kleine correctie aan- gebracht, bepaald volgens form. (2.), waarbij dan onder i; alleen moet verstaan worden de som van de aangroeiingen van de logarithmen der sinussen van de basishoeken in G, 7, 8 en 9. Op dezelfde wijze gaat men nu te werk met de driehoeken om E, waarbij dan alleen aan de hoeken van 10, 11, 12 en 13 correcti�n worden aangebracht, enz. § 137. Bestaat het net uit eene aaneenschakeling van drie- hoeken , zooals in fig. 96 is voorgesteld, die tusschen twee nauwkeurig gemeten bases AB en LM gelegen zijn, dan zorgt men eerst dat in eiken driehoek de som der hoeken 180" is, en gaat dan na of de beide bases samen overeenstemmen. Uit fig. 90 vindt men namelijk de betrekking: AB sin. A, sin. B₂ sin. G₃ sin. D₄ sin, E₅ sin. F₆ sin, H₇ sin. G₈sin. I₉ sin. K,₀=LM sin. C, sin. D₂ sin. E₃ sin. F₄ sin. G₅ sin. H₆sin. I₇ sin, K₈ sin. L₉ sin. M₎₀. Wordt aan deze vergelijking niet juist voldaan, dan moet aan al de daarin voorkomende hoeken eene correctie x worden

-ocr page 160-



		140
		DRIEHOEKSMETING.


		aangebracht, die op dezelfde wijze als in de vorige paragraaf bepaald wordt. De nauwkeurigheid van de opmeting van dergelijk net kan men veel vergrooten en de controle veel vermeerderen door, zooals in fig. 95 is voorgesteld, ook de diagonalen AD, CF, enz. te nemen en dus het geheel te verdeelen in een stel vierhoeken waarin beide diagonalen voorkomen. De vereffening van de fouten kan men dan in dier voege uit- voeren, dat men elk van de vierhoeken ABCD, CDEF enz. afzonderlijk beschouwt. Nemen wij den vierhoek ABCD, dan moet de som van de 8 gemeten en in de figuur door letters aangegeven hoeken gelijk aan 3G0° zijn; is dit niet het geval, dan wordt het verschil gelijkelijk over de 8 hoeken verdeeld. Vervolgens moet «₂ c, =zd_i-\\-b₁ zijn; een verschil hierin wordt gelijkelijk over die vier hoeken verdeeld. Hetzelfde doet men met de hoeken a,, b₂, c₂ en d_n als niet aan de voorwaarde a₁-\\-b_i^,=e_i-\\-d_ivoldaan is. Eindelijk moet nog voldaan worden aan de betrekking: sin. a_t sin. b_t sin. c, sin. d_t = sin. o₂ sin. b₂ sin. c_% sin. d_a. Wordt daar- aan niet juist voldaan, dan wordt de daarvoor aan al de hoeken aan te brengen correctie -±. ^x op dezelfde wijze bepaald, als in de vorige paragraaf is aangegeven. § 138. Berekening der driehoeken. Zijn de fouten in het drie- hoeksnet vereffend, dan kan men overgaan tot de berekening van het net, die hier bestaat in het berekenen van de lengten van alle zijden. Aangezien in iederen driehoek alle hoeken bekend zijn, kan deze berekening gemakkelijk volgens den sinusregel plaats hebben. Begint men bij driehoek 1, waarvan de zijde AB direct gemeten is, dan kan men daarin de twee zijden BC en AC berekenen. De laatste dient dan weer als basis ter be- rekening van driehoek 2, de daarin gevonden zijde AD dient weer voor driehoek 3, enz. Komt men op deze wijze tot drie- hoek 5, dan vindt men daarin wederom de bekende zijde AB; de overeenstemming van de berekende waarde met die, waarvan men is uitgegaan, geeft dan eene controle op de berekening. Der- gelijke controle op de berekening vindt men telkens daar, waar een zelfde lijn uit twee verschillende driehoeken gevonden wordt. Zoo bij voorbeeld, als men de driehoeken berekent in de volgorde in fig. 97 aangewezen, bij de berekening van DE uit 3 en 9, van EF uit 4 en 13, van HK uit 8 en 17, van KL uit 10 en 19 en van RS uit 18 en 21.

-ocr page 161-



		141
		DRIEHOEKSMETING.


		Het grootste gedeelte van de logarithmen sinussen, die men bij deze berekening noodig heeft, zijn reeds opgezocht bij de vereffe- ning der fouten; men kan daaruit do log. sin voor de gecorri- geerde hoeken, die men hier noodig heeft, vinden, door daaraan de correcti�n x A (zie § 136) aan te brengen. § 139. Co�rdinaten-berekening. Al de zijden van hot drie- hoeksnet bekend zijnde, kan men nu overgaan tot de berekening van de co�rdinaten, op de wijze, als in het vorige hoofdstuk is aangewezen. De lengten van de zijden, die men daarbij noodig heeft, vindt men uit de vorige berekening; de hoeken door sarnentelling van de gecorrigeerde hoeken van het driehoeksnet. Bij die berekening zal men niet alle punten tot ��n veelhoek verbinden, maar liever van een punt uitgaan en langs verschil- lende wegen, dus langs verschillende punten, telkens op een zelfde punt eindigen, om daardoor het ophoopen van de kleine fouten, die ontstaan door het verwaarloozen van de hoogere decimalen, tegen te gaan en om telkens controle op de berekening te hebben. Zijn b. v. in fig. 97 van het punt B de co�rdinaten bekend of aangenomen, dan kan men, vandaar uitgaande, langs CGPQ, langs ADHR, langs AEKR en langs FNMLS gaande, telkens op het punt T sluiten. Verkrijgt men daarbij voor T telkens dezelfde co�rdinaten, dan is dit een bewijs voor de juistheid der berekening. Vindt men eene afwijkende waarde voor de co�rdinaten uit een der veelhoeken, dan wijst dit op een fout in de berekening van dien veelhoek. § 140. Opneming van liet drielioeksnet met lx>lialp van liet planchet. De opneming van het net met behulp van het planchet is niet toe te passen, tenzij het terrein eene zoo geringe uitgebreidheid heeft, dat het in zijn geheel met alle d�tails op ��n planchet kan opgenomen worden. Bij een grooter terrein zou men eerst het net op kleine schaal op een planchet moeten opnemen, en het dan moeten vergrooten om er de details in te brengen, waardoor natuurlijk de fouten in de opneming met het planchet ook ver- groot worden. In dergelijk geval moet men het net met de nauwkeurigere instrumenten: theodoliet of sextant, opnemen en het planchet alleen voor de d�tails bezigen.

-ocr page 162-



		142 DRIEHOEKSMETING.

		De opneming met het planchet, die wij hier zullen behandelen, heeft dus alleen betrekking op een klein driehoeksnet. Bij die opneming moet men beginnen met de basis AB te meten en op verkleinde schaal op het planchet te teekenen; zij deze daar aangeduid door ah. Men stelt het planchet dan op in A fig. 97, dus met a boven A en ah gericht op B, en richt nu achtereenvolgens op C, D, E en F en trekt langs de liniaal de overeenkomstige lijnen. Het planchet in B opstellende en ori�nteerende op A, kan men, door op C en F te richten, uit de snijding van de langs de liniaal te trekken lijnen met de vroeger uit a getrokkene, de punten c en / vinden, die de punten C en F van het terrein voorstellen. Gaat men nu naar C, stelt daar het planchet op en ori�nteert het op A, dan kan men, voor men nieuwe punten bepaalt, op de meting controle uitoefenen, door op B en E te richten en te zien of de zijkant van de liniaal respectievelijk door de punten h en f gaat. Op deze wijze voort- gaande, verkrijgt men telkens door de snijding van twee lijnen de nieuwe punten op het planchet en kan men voortdurend op de meting controle uitoefenen, door op al de zichtbare en reeds opgenomen punten te richten en na te gaan of telkens de zijkant van de liniaal door het overeenkomstige punt van het planchet gaat. Ten slotte kan men dan op de heele opneming nog eene controle uitoefenen, door een of meer conti�le-bases te meten en deze met de op de teekening te meten lengten te vergelijken.

-ocr page 163-



		HOOFDSTUK XVI.

		VEELHOEKSMETING. § 141. Vorm Tan het net. Aan de veelhoeken, die tot aanvul- ling van een driehoeksnet dienen, moet men een zooveel mogelijk gestrekten vorm geven, zoowel voor het geval, dat men uitsluitend veelhoeken bezigt om de noodige meetlijnen te verkrijgen (fig. 99), als dat zij zich alleen over die gedeelten van het terrein uitstrek- ken, waar geen driehoeken aan te brengen zijn (fig. 98). Die veelhoeken moeten dus langs den kortst mogelijken weg van het eene eindpunt naar het andere gaan, hetzij dat deze eindpunten driehoekspunten zijn, bijv. B, 1,2, 3, E � B,4,5,6, F, fig. 98, en A, 1, 2, 3, 4, C � C, 5, 6,7, B, fig. 99, of punten van reeds bepaalde veelhoeken, bijv. A, 7, 8, 9, 5, � 2,12,13,14, 6, fig. 98, en D, 11,12, 2 � 2,13,14, 6, fig. 99. Zal het geheele net door veelhoeksmeting worden opgenomen, dan begint men met om het op te nemen terrein, zoo dicht mogelijk langs de grens daarvan, een grooten gesloten veelhoek ABCDEFG, fig. 100, met een zoo gering mogelijk aantal zijden aan te brengen. Deze veelhoek wordt dan door open veelhoeken, die weer een zooveel mogelijk gestrekten vorm hebben, in kleine deelen verdeeld, om daardoor de noodige meetlijnen voor de d�tailmeting te verkrijgen. In fig. 100 heeft men bijv. eerst den veelhoek A, 1, 2, 3, 4, E aangebracht en dan het punt 2 met de punten C, D en G verbonden door de veelhoeken C, 8, 7, 2, � D, 10, 9, 2 en G, 5, 6f 2; verder heeft men F met 3 door F, 11,12, 3 en A met 8 door A, 13,14, 8, verbonden, enz. Deze veelhoeken zijn weer

-ocr page 164-



		144
		VEELHOEKSMETING.


		door kleinere veelhoeken, die in de figuur zonder verdere aan- duiding aangegeven zijn, vereenigd. § 142. Opmeting. De opmeting van de veelhoeken geschiedt �f door het meten van de zijden en van de hoeken tusschen die zijden, �f door het meten van de zijden en van hunne azimuthen. De zijden worden tweemaal gemeten met behulp van de meet- ketting, van den meetband of van meetlatten, of met behulp van den afstandsmeter, indien het hoekmeet-instrument daarvoor is ingericht; in dit laatste geval zal men de zijden van uit beide uiteinden meten, om zoodoende grove fouten te voorkomen. Heeft de meting van de hoeken plaats gehad met behulp van theodoliet of sextant, dan worden volgens § 118 de azimuthen en verder volgens § 119 de co�rdinaten berekend. Bij het meten van de azimuthen met behulp van de boussole vervalt natuurlijk de eerste berekening, zoodat men onmiddellijk tot de berekening van de co�rdinaten kan overgaan. De wijze van opmeting van de veelhoeken is alleen in zoo verre van invloed op hun vorm, dat men bij de opmeting met instru- menten, waarbij hoeken gemeten worden (theodoliet, sextant, planchet), de zijden liefst zoo lang mogelijk maakt en hun aantal zoo klein mogelijk neemt; bij de opmeting met de boussole daar- entegen liefst een groot aantal kleine zijden neemt. In het eerste geval moet men vooral zeer korte zijden vermijden, omdat deze aanleiding geven tot groot-e fouten in de hoeken, die zich op alle daaruit berekende azimuthen voortplanten. Kan men dergelijke korte zijden niet vermijden, dan moet men zorgen het instrument zoo zuiver mogelijk in de verticaal van het hoekpunt te plaatsen en zoo zuiver mogelijk op het midden van de baken te richten, die de beenen van den hoek aangeven. § 143. Aansluiting aan ontoegankelijke pnnten. Tot het drie- hoeksnet behooren soms punten, zooals kerktorens, bliksem-aflei- ders, enz., die moeilijk of in \'t geheel niet toegankelijk zijn, van waaruit men dus geen hoeken kan meten en wier afstanden tot andere terreinpunten niet direct bepaald kunnen worden. Moet een veelhoek aan zulk een voor de meting ontoegankelijk punt verbonden worden, zooals b. v. in fig. 101, waarin A dergelijk punt voorstelt en A, 1,2, 3, enz. de daaraan te verbinden veelhoek is, dan wordt de afstand Al bepaald door middel van een klein driehoekje Ala, waarvan men de hoeken in 1 en a en de basis

-ocr page 165-



		145
		VEELHOEKSMETING.


		a 1 meet. Meestal wil men ook den hoek B A1 kennen, dien de lijn Al met de driehoekszij de AB maakt. Daartoe kiest men het punt 1 zoodanig, dat van daaruit het driehoekspunt B kan gezien worden en meet hoek A1B. In A AB1 zijn dan bekend AB (uit het driehoeksnet), Al en hoek A1B, zoodat men met behulp van den sinusregel hoek AB1 kan vinden, Door de som van de twee hoeken AB1 en A1B dan van 180° af te trekken, vindt men den verlangden hoek BA1. Kan men voor het punt 1 geen plaats vinden, van waaruit het punt B (of eenig ander punt van het driehoeksnet) kan gezien worden, dan is het niet mogelijk den hoek bij A te vinden en mist men daardoor een van de hierna te vermelden controles op de meting. § 144. Controle. De controle is bij de veelhoeksmeting veel minder volledig, dan bij de driehoeksmeting. Zoowel bij een ge- sloten als bij een open veelhoek heeft men, als alle hoeken en alle zijden gemeten zijn, hoogstens drie voorwaarden, waaraan de gemeten grootheden moeten voldoen, en die dus op de aanwezig- heid van fouten in de meting kunnen wijzen, zonder echter aan te kunnen wijzen in welk gedeelte van den veelhoek de fout moet gezocht worden. De drie genoemde voorwaarden bestaan daarin, dat de sommen van de hoeken, alsmede van de grootheden asin.a en acos.a (zie § 119), vooraf bekend zijn en die sommen daaraan dus gelijk moeten zijn. Nemen wij eerst een open veelhoek, bijv. B,l,2,3, E, fig. 98 en hebben wij daarin gemeten de hoeken CB1 = A₀, B12 = A, 123 = A₂, 23E=A₃, 3ED = D� en zijn\'de azimuthen z_m en a� van BC en ED bekend, dan vinden wij volgens § 118: *"o = ^am ■ -* ^Ao** «, = «₀ 4- A, � 180

		«� = «�_, A� �180\', waaruit door samentelling volgt: «_B = ^ SA� p.180\', of: sA = «� � «_m-\\-p. 180^L, (1.) waarin p een geheel getal voorstelt. Gaan wij uit van de co�rdinaten X₀Y₀ van het punt B, dan vinden wij volgens § 119, voor de co�rdinaten van de andere S. 10

-ocr page 166-



		146 VEELHOEKSMETING.

		punten en ten slotte voor die van D, welke laatsten wij door X�Y_Hvoorstellen : X, = X₀ - - a₀ sin. a₀ Y, = Y� - - a� cos. x₀ Xj rr X, -f- o, sin. a, Y₂ = Y, -f- a, cos. a_t X� = X�_₄ - - «�_, sin. «,,_, Y� = Y�_, - ■ (/�_, cos. ,�, waaruit door samentelling volgt: X� = X₀ -f- S a sin.x* Y� = Y₀ Srt cos.a of: S a �\'irt. a = X� � X₀ Sa cos. a = Y� � Y₀. (2. 3.) Bovenstaande drie vergelijkingen zijn de drie voorwaarden, waaraan de gemeten grootheden bij een open veelhoek moeten voldoen. Bij den gesloten veelhoek worden zij nog eenvoudiger, doordat wij daar op hetzelfde punt terugkomen, waardoor X�=Xo, Y_(I = Y_IJ en a_n=.a_m wordt, zoodat bovenstaande vergelijkingen overgaan in: SA =p. 180° Sa sin. et = O s« cos. a=zO. (4.5.6.) Het getal p in bovenstaande formules voorkomende is afhan- kelijk van het aantal zijden van den veelhoek, zijn vorm en de richting waarin hij doorloopen wordt; in ieder bijzonder geval is dit getal echter gemakkelijk te vinden. Worden van den veelhoek niet de hoeken maar de azimuthen van de zijden met behulp van de boussole gemeten, dan vervalt de controle op de hoeken en men houdt slechts de twee controle- vergelijkingen (2.) en (3.) of (5.) en (6.) over. § 145. Vereffening der fouten. Slechts zelden zullen de waar- genomen grootheden aan de in de vorige paragraaf afgeleide voor- waarden juist voldoen. De kleine verschillen, die zich daarbij vertoonen, moet men dan weer zoo goed mogelijk over die groot- heden verdeelen. Eerst zal men daarbij de afwijking, die vergelijking (1.) vertoont, gelijkelijk over de gemeten hoeken verdeelen. Met de aldus gecorrigeerde hoeken berekent men eerst de azi- muthen x en vervolgens de grootheden a sin. a. en a cos. et. Komen hunne sommen niet overeen met de waarden, die zij volgens for- mule (2.) en (3.) resp. (5.) en (G.) moeten hebben, dan moeten de verschillen verdeeld worden over de grootheden asin,a en a cos. cc.

-ocr page 167-



		147
		VEELHOEKSMETING.


		Bij deze verdeeling zal men meestal kunnen volstaan met die verschillen te verdeden, \'evenredig met de absolute waarden van de grootheden a sin, x respectievelijk a cos. a, of evenredig met de lengten der zijden a, of evenredig met de sommen van de zijden a en de absolute waarden van a sin. cc resp. a cos. x. Vooral de laatste wijze van verdeeling, die in de uitvoering slechts weinig omslachtiger is dan de twee anderen, geeft meestal de gunstigste verdeeling der fouten en is dus te verkiezen daar, waar de te verdeelen fouten eenigszins groot zijn. Zijn niet de hoeken maar de azimuthen met de boussole ge- meten, dan vervalt natuurlijk de eerste vereffening en men kan onmiddellijk overgaan tot de berekening van de grootheden asin.x en a cos. x en tot het verdeelen van de daarin voorkomende fouten. Zijn eindelijk de grootheden asin.x en acos.x verbeterd, dan kan men met behulp daarvan de co�rdinaten van de verschillende hoekpunten berekenen. Op deze berekening heeft men dan de controle, dat men uitgaande van de bekende co�rdinaten van het eene uiteinde, de bekende co�rdinaten van het andere uiteinde moet terugvinden. § 146. Voor gesloten veelhoeken kan men geheel dezelfde be- naderingsmethode ter verdeeling van de fouten toepassen, als hier boven is aangegeven. Bij den hoofdveelhoek, die, zooals in fig. 100, den grondslag uitmaakt voor de geheele meting, zal men echter meestal iets nauwkeuriger te werk gaan. De fouten aangewezen door de formule sA = o zal men evenals hiervoor op de n hoeken van den veelhoek verdeelen. De fouten aangewezen door de for- mules Sast». xz=o en Zacos.x=zo, zal men, omdat de hoeken meestal veel nauwkeuriger gemeten zijn dan de afstanden, op de lengten der zijden moeten verdeelen, volgens de methode van do kleinste vierkanten. Zonder in nadere d�tails over die methode te treden kunnen wij volstaan met hier aan te voeren, dat volgens die methode aan iedere zijde a eene correctie moet worden aangebracht, bestaande uit de som van twee deelen, waarvan het eene evenredig is met de pro- jectie van a op de X as, en het andere met de projectie van a op de Y as. De aan de zijde a aan te brengen correctie is dus: Aa sin. x -f- Ba cos. a, (7.) waarin A en B twee te bepalen constanten zijn.

-ocr page 168-



		148
		VEELHOEKSMETING.


		Worden deze correcti�n aan de zijden a aangebracht, dan ver- anderen de grootheden asin.x en acos.a daardoor met: (Aa sin. x - - Ba cos. x) sin x = Aa sin³, x -f- Ba sin. x cos. x (8.) (Aa sin. x � ■ Ba cos. <) cos. « = Aa sin. x cos. a* -f-Ba cos². «. (9.) Zijn nu Sa sin. a en Sa cos. x niet gelijk O, maar respectievelijk gelijk aan �D* en �Dy, dan moet men de constanten A en B zoodanig bepalen, dat de sommen van de correcti�n (8.) en (9.) respectievelijk gelijk zijn aan -l-D* en -{-Dij, waaruit men dus ter bepaling van A en B vindt: ASa sin³, x - - Bsa sin. x cos. x = D, ASa sin. x cos. x ■ ■* BSa cos³, x = Dy. (10.) De uit te voeren berekeningen zijn dus de volgenden: vooreerst het berekenen van de grootheden a sin. x en a cos. x, en het nemen van hunne sommen. Verschillen die sommen slechts zeer weinig van nul, dan kan men die afwijkingen volgens de vorige paragraaf verdeelen; verschillen zij meer van nul, dan berekent men de grootheden asin³.x, asin.acos.x en acos³.x en telt die samen, waardoor men de co�ffici�nten van de vergelijkingen (10.) vindt, die door oplossing de waarden van A en B leveren. Met behulp daarvan en van de reeds berekende grootheden a sin³, x enz. vindt men volgens (8.) en (9.) de aan a sin. x en a cos. x aan te brengen correcti�n. Zijn deze aangebracht, dan kan men daaruit onmid- dellijk de co�rdinaten van de hoekpunten berekenen; de correcti�n voor de zijden zelf te berekenen is natuurlijk overbodig. § 147. Veelhoeksvertakkingen. Heeft men niet te doen met een enkelen veelhoek maar met een stelsel van veelhoeken, die in enkele punten aan elkaar sluiten, zooals bijv. de veelhoeken B, 4, 5,6, F � A, 7,8,9,5, en G,10,11,5 in fig. 98, dan kan men twee wegen inslaan. Men kan eerst dien veelhoek nemen, die langs den kortsten weg twee driehoekspunten vereenigt en in ieder opzicht de meeste waarborgen oplevert voor eene nauwkeurige opmeting, en de fouten in dien veelhoek eerst geheel vereffenen. Zij dit hier b. v. de veelhoek B, 4, 5, 6, F, dan wordt daardoor het punt 5 bekend en hieraan kunnen nu de twee andere veelhoeken verbon- den worden, alsof 5 een vast driehoekspunt was. Zijn de andere veelhoeken echter van dien aard, dat zij ook eene goede opmeting waarborgen, dan is het beter de fouten in

-ocr page 169-



		149
		VEELHOEKSMETING.


		die veelhoeken samen te vereffenen, waartoe men als volgt te werk gaat. Uitgaande van de vier punten A, B, F en G berekent men langs de vier daaraan aansluitende veelhoeken het azimuth van eene in het knooppunt 5 eindigende lijn, waarvoor men op die wijze vier verschillende waarden zal vinden, die wij door «_A, a_B)«_F en «_Q zullen voorstellen en die onderling kleine verschillen zullen vertoonen. Voor het azimuth van die lijn neemt men dan een gemiddelde a aan en verdeelt de verschillen «a� «, «b� ^a> «f � a en «g � « gelijkelijk over de hoeken van de veelhoeken A5, B5, E5 en G5. Bij het nemen van het gemiddelde « moet men er echter op bedacht zijn, dat die waarde «a, «b, enz. een grooter vertrouwen bezit, die op een kleiner aantal hoeken berust. Om dit in rekening te brengen vermenigvuldigt men iedere waarde a met een factor en deelt de som der producten door de som van de factoren, zoodat men vindt: _a _ Pk ^ak Pb ^aB 4-fff «e -hl\'o a_Gpk pb -hpv pg De factoren p, die den naam van gewichten dragen, moeten nu des te grooter zijn naarmate het aantal hoeken van den veelhoek kleiner is, wij zullen die hier dus omgekeerd evenredig met dat aantal kunnen nemen. Zijn op deze wijze de hoeken gecorrigeerd, dan kan men daar- mede de azimuthen x en de grootheden asin. cc en «cos.« bere- kenen, en, uitgaande van de co�rdinaten van de punten A, B, F en G, langs de verschillende veelhoeken, de co�rdinaten van het punt 5 berekenen. Uit de verschillende waarden X«, Y_a, Xj, Yj, X/, Y/, X^enY^, die men op deze wijze voor de co�rdinaten van 5 vindt, neemt men een gemiddelde: Pa Pb-hpf Pg Y �■ P\'^Ya ± P^Yi ±�f Y/ P9 ^Yff* Pa Ph Pf-hPt waarbij men de gewichten p_a, pt, enz. omgekeerd evenredig kan nemen met de lengten (Sa) van de overeenkomstige veelhoeken. Zijn op deze wijze de co�rdinaten van punt 5 bepaald, dan verdeelt men de verschillen X_a � X, Y� � Y, enz. wederom volgens

-ocr page 170-



		150 VEELHOEKSMETING.

		§ 145 over de grootheden a sin. a en a cos. a en berekent daar- mede de co�rdinaten van de overige veelhoekspunten. § 148. Opneming met belinlu van het planchet. Bij de opneming met het planchet van een veelhoek b. v. B, 1,2,3, E, fig. 98 plaatst men het planchet, waarop reeds het driehoeksnet of mins- tens de punten B en E en de richtingen BC en ED zijn aange- geven, boven het beginpunt B, ori�nteert op het punt C en richt de liniaal op 1. Trekt men nu langs de liniaal eene lijn en zet daarop de lengte van BI, die men met een ketting, meetband of meetlatten laat meten, of die men met den kijker van de vizierliniaal bepaalt, zoo die er voor is ingericht, op verkleinde schaal af, dan heeft men punt 1 in teekening gebracht. Men gaat nu naar punt 1, ori�nteert op punt B en brengt, evenals boven, punt 2 in teekening. Op deze wijze gaat men voort, tot de geheele veelhoek opgenomen is. De controle is hier in hoofdzaak dezelfde, als bij de opmeting met theodoliet of sextant: het laatste punt van den veelhoek moet samenvallen met het punt E op het planchet, en zoo men het planchet in E opstelt en ori�nteert met behulp van 3, dan moet, als men op D richt, de liniaal langs de 1\'yn ED op het planchet vallen. Nog op andere wijze kan men bij deze meting controle ver- krijgen. Kan men namelijk uit verschillende veelhoekspunten een zelfde punt van het terrein, b. v. een kerktoren of ander verheven punt zien, dan richt men daarop uit al die punten en trekt telkenmale eene lijn langs de liniaal, al deze lijnen moeten dan door een zelfde punt gaan, dat tevens de plaats van den kerktoren op het planchet voorstelt. Komt men ergens in een hoekpunt, waar de zijkant van de liniaal niet meer door hetzelfde punt gaat, dan wordt men daardoor gewaarschuwd voor eene fout, die men moet opzoeken alvorens verder te gaan.

-ocr page 171-



		HOOFDSTUK XVII.

		SECUNDAIRE DRIEHOEKSMETING. § 149. Hoofddrichoeksnet. Voor de opmeting van een terrein van groote uitgebreidheid, zooals een geheel rijk of eene geheele provincie, is het niet doelmatig daarover een driehoeksnet uit te breiden op de wijze als hiervoor is beschreven, met zoodanige zijden, dat ten opzichte daarvan de d�tails onmiddellijk kunnen opgenomen worden. Door het zeer groote aantal kleine driehoekjes, die daartoe aan elkaar gevoegd moeten worden, zouden de fouten in de verschillende metingen zich zoodanig ophoopen, dat men tot zeer onnauwkeurige uitkomsten zou geraken. Het algemeen beginsel van altijd van het groote in hot kleine te meten moet hier verder worden uitgebreid. Men begint eerst met over het geheele terrein een driehoeksnet uit te breiden van een zoo klein mogelijk aantal groote driehoeken, die zoo nauwkeurig mogelijk worden opgemeten en berekend. Aan dit driehoeksnet van de eerste orde wordt dan een driehoeksnet van de tweede orde verbonden, waardoor dus eene nieuwe reeks punten vastgelegd wordt. Op deze wijze verkrijgt men eene menigte punten, zoo gelijk mogelijk over het terrein verdeeld, die daarop als het ware een uitgebreid net vormen, om daaraan de punten en lijnen te kunnen verbinden ten opzichte waarvan men de d�tails zal opmeten. Voor de hoekpunten van het net van de l^8te orde neemt men punten, die op een duurzame wijze bevestigd worden, om ze na een lang tijdverloop nog nauwkeurig te kunnen terugvinden. In een vlak terrein, zooals in Nederland, is men genoodzaakt

-ocr page 172-



		152
		SECUNDAIRE DRIEHOEKSMETING.


		daarvoor hooge kerktorens te nemen, om de driehoekszijden zoo groot mogelijk te kunnen maken; in meer bergachtig terrein neemt men liever punten op den vasten grond, die dan door zware steenen duurzaam worden aangewezen. Als hoekpunten van het net van de tweede orde neemt men zooveel mogelijke alle op het terrein aanwezige vaste punten, die goed zichtbaar zijn en gemakkelijk kunnen teruggevonden worden, zooals torens, enz. Bij de opmeting van de driehoeksnetten van de eerste en van de tweede orde, worden grootere en nauwkeuriger ingerichte instrumenten gebezigd, dan hiervoor beschreven zijn, en bij de berekening wordt de gebogen vorm van het aardoppervlak in rekening gebracht; die opmetingen en berekeningen vallen dus buiten het bereik van het landmeten, dat in dit werk behandeld wordt. Wij zullen ons hier er toe bepalen met in algemeene trekken aan te geven hoe de punten, die het net voor de d�tailmeting vormen, aan de punten van de driehoeksnetten van de eerste en tweede orde, wier betrekkelijke ligging wij bekend veronderstellen, ver- bonden worden, eene verbinding die den naam van secundaire driehoeksmeting draagt. § 150. Secundair\' driehoeksmeting.* Bij de secundaire drie- hoeksmeting worden de punten alleen door hoekmeting aan het groote net vastgelegd; het meten van een basis is daar geheel overbodig, aangezien de afstanden door berekening worden ge- vonden. Het vastleggen van de punten van het net voor de d�tailmeting aan het groote driehoeksnet, kan in hoofdzaak langs twee ver- schillende wegen plaats hebben. Be vast te leggen punten worden tot een zelfstandig driehoeksnet vereenigd en dit net wordt aan de hoekpunten van het groote net verbonden; of elk vast te leggen punt wordt afzonderlijk verbonden met de hoekpunten van het groote net of met reeds vroeger vastgelegde punten. § 151. Het vastleggen door een net van driehoeken. In lig. 102 zijn de punten 1, 2, 3 en 4 met A en B tot een ketting ver- eenigd en met behulp van de punten A en B in het groote net ingepast. Nadat al de hoeken van de op te nemen driehoeken gemeten en de fouten daarin vereffend zijn, gaat men tot de be- rekening over, die op de volgende wijze kan plaats hebben.

-ocr page 173-



		SECUNDAIRE DRIEHOEKSMETING. 153 De lengte van een van de zijden, b.v. Al, neemt men als onbekende aan, en kan dan daarin de lengten van al de andere zijden, door middel van de gemeten hoeken, uitdrukken. Projecteert men nu den veelhoek A 1 3 B op de lijn A 1 en op een loodlyn daarop, dan zal men voor die projecties AD en BD vinden twee uitdrukkingen van den vorm Va en Q«, waarin a de lengte van de onbekende zijde Al, en P en Q twee getallen voorstellen. Uit deze waarden voor AD en BD volgt nu voor AB: AB = l/AD²- -BD² = VPV QV = a l/P²4-Q²; en daar de waarde van AB uit het groote driehoeksnet bekend is, vindt men onmiddellijk: AB

		l/P^J Q² waardoor de zijde Al gevonden is; met behulp hiervan worden de lengten van al de andere zijden berekend. Om nu ook de co�rdinaten van de punten 1, 2, enz. te kunnen berekenen, moet volgens Hoofdstuk XIV ook het azirnuth van de lijn Al bekend zijn. Hiertoe heeft men in driehoek ABD: . _._n BD Q ^^BAD=AD=TT\' waaruit hoek BAD gevonden wordt. Deze hoek, opgeteld bij het bekende azirnuth van de lijn AB, geeft onmiddellijk het gevraagde azimuth van Al, waarmede nu de berekening verder volgens ge- noemd hoofdstuk kan worden voortgezet. Bij een lang gestrekt terrein kan men op deze wijze telkens de punten, die tusschen twee hoekpunten van het groote net gelegen zijn, tot eene ketting van driehoeken vereenigen en deze aan die twee hoofdpunten verbinden. Bij een terrein, dat zich in alle richtingen uitbreidt, zou men op deze wijze te werk gaande binnen iederen driehoek van het groote net eene open ruimte verkrijgen, zooals in den driehoek ABC van lig. 102, terwijl de betrekkelijke ligging van de daar omheen gelegen punten , die tot verschillende kettingen van drie- hoeken behooren, ten opzichte van elkander minder goed bepaald zijn. In dergelijk geval gaat men te werk op de wijze als in driehoek BCE is voorgesteld, verbindt alle punten in den driehoek tot een samenhangend net, vereffent daarin de fouten en verbindt dit net met de drie hoekpunten van den grooten driehoek.

-ocr page 174-



		154
		SECUNDAIRE DRIEHOEKSMETING.


		Hiertoe wordt het net eerst op de boven beschreven wijze aan een van de zijden b. v. BC vastgelegd, waarna men de co�rdinaten van alle hoekpunten berekent. Voor het punt E zal men dan in het net van kleine driehoeken in het algemeen andere waarden vinden dan in het net van groote driehoeken. Om nu de aan- sluiting ook aan dit punt te verkrijgen, worden ten slotte aan de co�rdinaten van alle punten kleine correcti�n aangebracht, die volgens de een of andere benaderingsmethode berekend worden. § 152. Het vastleggen van ieder punt afzonderlijk. Bij het vast- leggen van het punt 1, fig. 103, aan de punten A, B, C, D en E kan men op verschillende wijzen te werk gaan. Men kan van de in de fignur gevormde driehoeken al de hoeken meten, of alleen de hoeken in de hoofdpunten A, B, C, D en E, of alleen de hoeken in het vast te leggen punt 1. In de beide eerste ge- vallen worden de lengten van de lijnen Al, BI. enz. onmiddellijk door den sinusregel gevonden en daaruit gemakkelijk de co�rdi- naten van het punt 1 berekend, uitgaande van de bekende co�r- dinaten van de hoofdpunten en vnn de gemeten hoeken. In het derde geval moet men de onbekende hoeken bij de hoofdpunten en de onbekende afstanden tot die punten, volgens het bekende vraagstuk van Snellius vinden en dan de co�rdinaten op dezelfde wijze berekenen. Welke wijze van opmeting men zal volgen, zal van verschillende omstandigheden afhangen; in de meeste gevallen zal echter de laatste weg, dus die met behulp van het vraagstuk van Snellius, de voorkeur verdienen en wel, omdat de punten van het groote driehoeksnet meestal torenspitsen zijn, van waaruit het dus zeer moeielijk, zoo niet onmogelijk is, de hoeken te meten en deze dan nog meestal gecentreerd moeten worden, waardoor de opme- ting en berekening niet weinig bemoeielijkt worden; hierbij komt nog dat van uit het hooggelegen punt op den toren de vast te leggen punten op het terrein zeer moeilijk te zien zijn, aangezien deze zich tegen den grond projecteeren. Bij het meten van uit de vast te leggen punten is men daarentegen in zeer gunstige omstandigheden; men kan die punten zoodanig kiezen dat het instrument daar gemakkelijk opgesteld kan worden en dus het centreeren van de hoeken geheel ontgaan wordt, terwijl de hoog- gelegen torenspits zich meestal tegen de lucht zal projecteeren, waar die zeer gemakkelijk kan worden waargenomen. Verder leeren uitvoerige beschouwingen, dat bij de verbinding aan een

-ocr page 175-



		SECUNDAIRE DRIEHOEKSMETING. 155

		zelfde aantal gegeven punten, de vastlegging door meting in het vast te leggen punt meestal nauwkeuriger is, dan door meting in de gegeven punten. Dezelfde redenen, waarom de 2^de wijze van meten bij de 3^llcachterstaat, gelden in hoofdzaak ook voor de l^stc, alleen zal deze nauwkeuriger resultaten leveren bij een zelfde aantal gegeven pun- ten; men moet daarbij echter niet uit het oog verliezen, dat, in een dergelijk geval, die wijze van meten ook dubbel zooveel arbeid vordert. Wil men haar met de anderen vergelijken, dan moet men het aantal gegeven punten, waaraan het vast te leggen punt verbonden wordt, bij de eerste kleiner nemen dan bij de derde, en in dat geval zal de nauwkeurigheid van de vastlegging niet grooter zijn. Blijkt uit het bovenstaande dat de opmeting volgens Snellius in de meeste gevallen te verkiezen is, zoo neemt dit niet weg, dat zich gevallen kunnen voordoen, waarin men met vrucht de 2^de en soms ook de l^ste van de boven beschreven wijzen van meten kan toepassen. § 153. Keuze tusschen beide methoden. Het vastleggen van de punten, door deze tot een net van driehoeken te vereenigen, dat aan twee of drie punten van het groote net wordt verbonden, heeft het voordeel, dat de betrekkelijke ligging van de punten, die tot dezelfde groep behooren, goed bepaald is; daar staat echter tegenover dat de punten, tot verschillende groepen behoorende, onderling slecht bepaald zijn, zooals dit bijv. in fig. 102 het geval is met de punten 2 en 4 ten opzichte van 5 en 8 en ten opzichte van 12 en 13; en zoo als dit het geval zal zijn met de punten, die vastgelegd zijn aan den driehoek BCE ten opzichte van de punten, die aan een anderen driehoek verbonden worden. Deze wijze van opmeting is dus goed toe te passen daar, waar betrekkelijk kleine deelen van het terrein afzonderlijk worden op- genomen, die dus door ��n d�tailnet kunnen overspannen worden, dat dan op de beschreven wijze aan het groote net verbonden wordt. Dit geval doet zich onder andere daar voor, waar iedere gemeente, zooals zulks in sommige landen geschiedt, afzonderlijk wordt opgenomen, zonder dat het verband met andere gemeenten in acht genomen wordt. Moet daarentegen de geheele opmeting een geheel vormen, dan kan men het verband van de verschillende deelen beter verkrijgen, door ieder punt afzonderlijk vast te leggen. Men moet dan

-ocr page 176-



		156
		SECUNDAIRE DRIEHOEKSMETING.


		echter zorgen die punten niet alleen vast te leggen aan de pun- ten van het groote driehoeksnet, maar ze tevens te verbinden aan de in de onmiddellijke nabijheid gelegen punten, die reeds vastgelegd zijn. Een voorbeeld hiervan geeft fig. 104.: A, B, C, D, E, F en G zijn de bekende punten van het groote driehoeksnet. Het punt 1 wordt nu vastgelegd aan de punten A,B,C,DenG; het punt 2 aan B, C, D en 1; het punt 3 aan B,C,Den2; het punt 4 aan D, C, 2 en 3; het punt 5 aan D, C, 2 en 4, enz. Zooverder gaande, verbindt men de opvolgende punten steeds aan de om- liggende punten van het groote net en de in de onmiddelijke nabijheid gelegen en reeds bepaalde punten van het d�tailnet, en verkrijgt daardoor eene goede verbinding van de punten zoowel aan het hoofdnet als onderling. Het verder verloop van de meting, in fig. 104 voorgesteld, kan gemakkelijk uit de figuur worden nagegaan. De vastlegging heeft plaats in de volgorde van de cijfers bij de punten geplaatst, door middel van de lijnen, gaande naar de hoofdpunten A, B, C, enz. en naar de d�tailpunten met een lager rangnummer.

-ocr page 177-



		HOOFDSTUK XVIII.

		D�TAILMETING. § 154. Algemeen overzicht. Het opmeten van de d�tails van het terrein en het vastleggen daarvan aan het net. zoodat zij in dat net gemakkelijk en nauwkeurig in teekening kunnen worden gebracht, kan op verschillende wijzen geschieden. Men kan daarbij de onmiddellijke gegevens der meting in getallen verkrijgen, waar- naar de d�tails later worden in teekening gebracht, of men kan met behulp van het planchet de meting in dier voege inrichten, dat het gemetene direct op het planchet in teekening gebracht wordt. In het eerste geval kan men de meting verrichten volgens de in § 110 besproken co�rdinaten-methode, waartoe slechts zeer eenvoudige instrumenten, namelijk een �querre met een meetket- ting, meetband of meetlatten noodig zijn, of volgens de daar besproken voerstraal-methode, waartoe een bijzonder daartoe in- gericht instrument vereischt wordt, namelijk een theodeliet met eene inrichting tot het meten van afstanden. Bij de opneming met het planchet bezigt men de basis-methode of wel de voerstraal-methode; voor eene goede toepassing van de laatste is het wenschelijk dat de vizierliniaal voorzien is van eene inrichting tot het meten van afstanden. Om de d�tails op doelmatige wijze met het net te verbinden, moet men bij het ontwerpen van het net reeds bedacht zijn op de wijze, waarop de d�tails zullen worden opgenomen, om daar- naar het net te kunnen inrichten. Zoo zal men bij het opnemen volgens de co�rdinaten-methode, waarbij de lijnen van het net

-ocr page 178-



		158
		D�TAILMETING,


		als assen, of zooals men ze noemt als meetlijnen, dienen, die lijnen zoo dicht mogelijk langs de op te meten d�tails zoeken te brengen en ze zoodanig kiezen, dat langs die lijnen gemakkelijk kan gemeten worden. Bij de opmeting volgens de voerstraal- methode zal men daarentegen moeten zorgen, dat de hoekpunten van het net, van waaruit men de d�tails zal opmeten, zoodanig gelegen zijn, dat de op te meten d�tails van daar goed kunnen gezien worden. Bij de opmeting volgens de basis-methode ein- delijk, waarbij de lijnen van het net telkens als bases voor de opneming dienen, zal men die lijnen zoodanig moeten kiezen, dat de op te meten d�tails gunstig ten opzichte daarvan gelegen zijn en uit beide uiteinden kunnen gezien worden. § 155. D�tail mei ing met meel keil ing, meel lm ml of meetlatten en �querre. Be wijze van opnemen volgens de co�rdinaten-methode zal het best uit een voorbeeld zijn na te gaan; kiezen wij daartoe het in fig. 105 voorgestelde terrein. Be punten A, B, C en D stellen vier van de hoekpunten van het net voor, de verbindings- lijnen daarvan dienen als meetlijnen ter opmeting van de op het terrein voorkomende wegen, grensscheidingen, gebouwen, enz. Begint men te meten van A naar B, dan kan men op de meetketting onmiddellijk aflezen de afstanden tot punt A van de snijpunten van de lijn AB met de zijkanten der wegen en met de grensscheidingen. Van punten buiten de meetlijn AB gelegen, zooals de punten a, b, c en d, laat men loodlijnen op de meetlijn neer, leest op de ketting de afstanden van de voetpunten der loodlijn tot het punt A af, en meet met behulp van een meetlat de loodlijnen zelf. Wil men van eene kromlijnige grensscheiding, zooals bijv. de zijkant van den weg tusschen a en q, onderschei- dene punten opnemen, dan richt men uit enkele punten, zooals bijv. e en f, loodlijnen op, waardoor men de punten h, k, enz. vindt. Van al het opgenomene moet nauwkeurig aanteekening gehouden worden. Op het geheugen mag men daarbij niet vertrouwen, maar men moet de aanteekeningen zoodanig maken, dat iemand, die niet bij de meting is tegenwoordig geweest, het terrein volgens die aanteekeningen kan in kaart brengen. Als voorbeeld van aanteekening moge fig. 106 dienen. Gaandeweg met de meting maakt men een schets van het terrein, waarop alle lijnen, die op het terrein aanwezig zijn, getrokken worden; terwijl de lijnen, die voor de meting gediend hebben, doorstreep- of stippellijnen worden aangegeven. Al de cijfers, die betrekking

-ocr page 179-



		159
		D�TAILMETING.


		hebben op de gemeten co�rdinaten, worden geschreven in eene richting, loodrecht op de richting waarin zij gemeten zijn; zij stellen steeds de afstanden voor op de meetlijn tot het beginpunt ₍en op de loodlynen de afstanden tot aan de meetlijn. Zoo zal men bij de punten h en k altijd schrijven de afstanden eh en ek en niet eh en hk. Gemeten lengten, die geen betrekking hebben op de co�rdinaten, worden geschreven evenwijdig aan de lijn waarin zij gemeten zijn en tusschen haakjes of tusschen twee streepjes geplaatst, (zie bijv. bij de in de schets voorkomende gebouwen en bij de lijnen lm, mn, np, ivx, xij, ijz, enz.). Van gebouwen en andere kunstwerken, die een regelmatigen plattegrond hebben en waarvan niet alle punten door co�rdinaten kunnen worden vastgelegd, worden twee of drie punten op boven beschreven wijze opgenomen en verder de plattegrond op zich zelf opgemeten, zooals uit de in de schets voorkomende gebouwen kan blijken. Zijn er gedeelten van het terrein, die niet of moeielijk ten op- zichte van de meetlijnen, die het net oplevert, kunnen opgenomen worden, dan moet men daarvoor hulpmeetlijnen aannemen. Zoo zal men bijv. den weg qr gemakkelijker ten opzichte van de hulpmeetlijn st opmeten. Deze hulpmeetlijn verkrijgt men door tijdens de meting langs AB bij s een baak te laten staan, die men in de schets (lig. 106) door een vlaggetje aangeeft; hetzelfde doet men bij t tijdens het meten langs AC, en legt dus op deze wijze de nieuwe meetlijn aan het groote net vast. Voor de op- neming van drie van de op de schets voorkomende gebouwen heeft men als hulpmeetlijn genomen de in u op AB opgerichte loodlijn uv. § 150. Controle op de meting. � Het teekenen van de d�tails. Bij de meting moet men tevens zooveel mogelijk op controle bedacht zijn. Deze kan men langs verschillende wegen verkrijgen: of door de punten ten opzichte van verschillende meetlijnen op te nemen, zooals bijv. de punten l,m,n en p, of door de onderlinge afstanden dier punten op te meten, of bij rechte grensscheidingen door daarvan minstens drie punten op te meten, die dan in de kaart op eene rechte lijn moeten liggen. Vooral dient men bij het vastleggen van hulpmeetlijnen op controle bedacht te zijn, door, waar zulks mogelijk is, die hulp- meetlijnen door middel van minstens drie punten aan het net te verbinden.

-ocr page 180-



		460
		D�TAILMETING.


		Het in teekening brengen van de d�tails geschiedt, zooals in § 112 is aangegeven, op dezelfde wijze als waarop zij zijn opge- nomen. Nadat het net door middel van de co�rdinaten van de hoekpunten is in teekening gebracht, zet men langs de meetlijn niet behulp van den dubbelen decimeter de daarlangs gemeten afstanden af. Uit die punten richt men vervolgens loodlijntjes op, waarop de daarlangs gemeten afstanden worden uitgezet. De aldus in kaart gebrachte punten worden nu onmiddellijk volgens de aanwijzingen van de schets vereenigd, en de deelen, die niet door co�rdinaten zijn opgenomen, b\'ygeteekend. Is aldus het op- genornene in teekening gebracht, dan worden daarop al de voor de controle gemeten afstanden nagemeten en met de aanteekeningen vergeleken. Komen deze afstanden goed uit, dan kan de kaart in inkt worden gezet en verder worden afgewerkt. § 157. D�tailnieting met theodoliet en afstandsiueter. Bij het opmeten van de details met behulp van een theodoliet, waarvan de kijker tot afstandsmeter is ingericht, plaats men het instru- ment in een hoekpunt van het net en richt eerst, om de meting te orienteeren, den kijker op een ander punt van het net en leest den stand van beide noniussen op den eersten cirkelrand af. Om nu de verschillende daaromheen gelegen punten op te nemen, gaat een baakhouder met de voor het afstandsmeten bestemde baak achtereenvolgens op die verschillende punten staan; de waarnemer bij het instrument richt daarop en leest de punten af, waar zich de twee voor het afstandsmeten bestemde draden op de baak projecteeren alsmede de standen van de noniussen op de twee cirkelranden. Deze vier grootheden bekend zijnde is het punt volkomen be- paald en de baakhouder gaat naar het tweede op te nemen punt, enz. Tijdens of v��r de meting maakt men van het op te nemen terrein een schets, waarop al de op te nemen punten worden aangewezen en in de volgorde, waarin de waarnemingen plaats hebben, genummerd worden. De waarnemingen zelf worden in een vooraf klaargemaakt en bijzonder daarvoor ingericht zakboek opgeschreven met dezelfde volgnummers, die op de schets voor- komen. Punten, die moeielyk van uit de standplaats van het instrument, maar gemakkelijker ten opzichte van andere reeds opgenomen punten kunnen opgenomen worden, plattegronden van gebouwen

-ocr page 181-



		101
		D�TAILMETING.


		enz. worden met de daarbij behoorende afmetingen in de schets opgeteekend. Is een gedeelte van het terrein gemakkelijker op te nemen ten opzichte van een ander punt, dat niet tot het net behoort, dan wordt zulk een nevenpunt door eene dergelijke meting aan het net vastgelegd en van daaruit de meting voortgezet. § 158. Controle op de meting. � Het in teekening brengen vau de d�tails. Controle op de meting verkrijgt men door een zelfde punt van uit twee standplaatsen waar te nemen, dat gemakkelijk kan geschieden voor die punten, die op de grens gelegen zijn van de uit de twee standplaatsen op te nemen terreingedeelten. Verder verkrijgt men eene controle door met meetketting, meet- band of meetlatten de lengten der grensscheidingen na te meten en deze later met die uit de teekening te vergelijken. Heeft men op de beschreven wijze al de d�tails van uit de verschillende punten opgenomen, dan bestaan de verdere werk- zaamheden in de berekening van de afstanden en het in teekening brengen der punten. Voor de berekening moet men eerst de twee aflezingen op de baak van elkaar aftrekken, waardoor men de in § 88 door h voorgestelde grootheid vindt, om daaruit met behulp van den op den tweeden cirkelrand afgelezen elevatie- hoek a de afstanden te berekenen, hetzij volgens de algemeene formule D =r A7( cos. ²a -f- B cos a, of, zoo de kijker van een cen- traliseerende lens voorzien is, met behulpvan de veel eenvoudigere T) = Ah cos.cc.* Door in de staten voor het aanteekenen der waarnemingen twee kolommen, de eene voor h de andere voor � te bestemmen, kan die berekening onmiddellijk in die staten worden uitgevoerd en opgeteekend. Het in teekening brengen geschiedt met een daarvoor bijzonder ingerichten op hoorn of stevig papier geteekenden transporteur, die in fig. 107 op de halve grootte is voorgesteld. Het middelpunt van den transporteur wordt met behulp van eene fijne naald in in het hoekpunt A, fig. 108a, van waar uit de opmeting heeft plaats gehad, vastgezet; vervolgens wordt de zijkant AM gelegd langs de lijn AB, die op het terrein gediend heeft om de meting te orienteeren, en op de teekening een pijltje P gezet bij de aflezing, die men verkregen heeft bij het richten op B. Dit pijltje dient nu als index bij het in teekening brengen van de opgenomen punten. Heeft men voor een punt 1, fig. 1084; een hoek van bijv. 110 afgelezen en een afstand van 85 meter S. 11

-ocr page 182-



		162
		D�TAILMETING.


		berekend, dan draait men den transporteur totdat de aflezing 110" bij het pijltje P komt en zet langs den straal AM op den afstand van 83 meter, verkleind op de schaal van de kaart, het punt 1 uit. Op deze wijze worden nu achtereenvolgens alle punten uitgezet en hetbijbehoorend nummer met potlood bijgeschreven. De punten waarbij men op den cirkelrand aflezingen heeft ver- kregen grooter dan 180\', zooals bijv. punt 2. fig. 108c, waar die allezing gelijk aan 240^J ondersteld is, worden in teekening ge- bracht langs den straal AN, die hiertoe eveneens verdeeld is. Om zich hierbij niet te vergissen wordt soms de becijfering langs AN en de daarbij behoorende graadverdeeling 180° � 360° in het rood aangegeven, terwijl die langs AM en de verdeeling 0° �180¹" zwart is. Zijn op de beschreven wijze de punten in teekening gebracht, dan worden zij op de wijze als in de schets is aangegeven ver- eenigd en de opmetingen, die nog op de schets voorkomen, bij- geteekend. Eindelijk zal men de voor de controle opgemeten lengten op de kaart nameten, en zoo deze daarmede overeenkomen tot het verdere afwerken van de kaart kunnen overgaan. § 159. D�tailmeting met het planchet. Bij de d�tailmeting met behulp van het planchet, moet men, indien de opneming van het net niet met behulp van het planchet heeft plaats gehad, begin- nen met de op het planchet vallende hoekpunten daarop met behulp van de berekende co�rdinaten in teekening te brengen. Zal men nu de d�tails volgens de basismethode opnemen, dan worden de op te nemen d�tailpunten door baken aangegeven, het planchet boven een punt van het net opgesteld, geori�nteerd door middel van een in de nabijheid gelegen hoekpunt, op de verschil- lende baken gericht en daarbij telkenmale een lijn langs den zijkant van de liniaal getrokken. Plaatst men nu het planchet op een tweede punt van het net en richt weer op dezelfde baken, dan zal de snijding van de nu te trekken lijnen met de overeen- komstige lijnen, die uit het eerste punt getrokken zijn, de pro- jecties van de op te nemen punten op het planchet aangeven, die nu onmiddellijk kunnen vereenigd worden om de noodige grensscheidingen enz. aan te geven. Bij deze opneming moet men niet te veel punten te gelijk nemen en bij de op het planchet getrokken lijnen door korte aanduidin- gen alle verwarring tusschen de lijnen trachten te voorkomen. Ook moet men zorgen dat de lijnen, die een punt bepalen,

-ocr page 183-



		163
		D�TAILMETING.


		elkander niet onder te scherpe hoeken snijden, waardoor dat punt onnauwkeurig zou bepaald worden. Dergelijke punten moet men nader bepalen door uit een derde punt van het net er op te rich- ten, of door een hulppunt op bovenbeschreven wijze te bepalen, waar men later met het planchet gaat staan, om die punten nauwkeuriger er op over te brengen. Ook kan men dergelijke hulppunten bezigen tot het opnemen van die deelen van het ter- rein, die niet of moeielijk van uit de hoekpunten van het net zijn op te nemen. § 160. Bij de opneming volgens de voerstraal-methode richt men, nadat het planchet in een punt van het net behoorlijk is opgesteld en geori�nteerd, op de op te nemen punten; trekt tel- kens eene potloodlijn langs den zijkant van de liniaal en zet daarop op verkleinde schaal den afstand uit, dien men onmiddellijk laat meten. Is de vizierliniaal niet ingericht tot het meten van afstanden, dan is deze wijze van opneming alleen met vrucht toe te passen voor die punten, welke in de onmiddellijke nabijheid van het planchet liggen; de overige punten moet men dan volgens de basis-methode opnemen. Is de liniaal daarentegen tevens ingericht tot het meten van afstanden, dan kan de geheele opneming volgens de voerstraal- methode plaats hebben. De baakhouder gaat dan met de haak achtereenvolgens op de verschillende op te nemen punten staan; de waarnemer richt op de baak en leest af waar de draden zich op de baak projecteeren. Uit deze aflezingen, in verband met de aflezing op den verticalen rand berekent hij onmiddellijk den afstand, dien hij op verkleinde schaal langs de door de liniaal aangegeven richting uitzet. Die d�tails van het terrein, die niet of moeielijk op de aange- wezen wijze kunnen opgenomen worden, meet men later ten opzichte van andere d�tails op en brengt ze onmiddellijk volgens die opmeting in teekening. § 161. Controle op de meting. Ter controle van de meting kan men verschillende punten op meer dan eene wijze opnemen, door bijv. uit drie punten er op te richten, of door ze uit twee punten volgens de voerstraal-methode te bepalen, of men kan na afloop van de meting de lengten van verschillende grensscheidingen met

-ocr page 184-



		164
		D�TAILMETING.


		ketting, meetband of meetlatten laten opmeten en vergelijken met de op het planchet na te meten lengten. Aangezien bij de opneming met het planchet de d�tails onmid- dellijk in kaart zijn gebracht, zoo kan men na die opneming onmiddellijk overgaan tot het in inkt zetten en verder afwerken van de kaart.

-ocr page 185-



		HOOFDSTUK XIX.

		INHOUDSBEPALING. § 162. Algemeen overzicht. Naast het vervaardigen van een kaart van het opgenomen terrein, vindt men soms als nevendoel van de meting het bepalen van de inhouden van de verschillende opgenomen perceelen. In enkele gevallen is dit het uitsluitende doel van de meting. Heeft de meting alleen ten doel het bepalen van de grootte\' van een terreingedeelte, dan zal men ze zoo inrichten, dat men uit de opgemeten grootheden onmiddellijk den vereischten inhoud kan vinden. Moet het terrein tevens in teekening gebracht worden, dan kan men twee wegen volgen: men kan de meting zoo inrichten, dat uit de opgemeten grootheden voor het in kaart brengen, tevens de inhouden kunnen berekend worden, of men kan eerst het terrein in teekening brengen en dan uit de teekening de ver- eischte inhouden afleiden. Bij de opneming met het planchet kan men natuurlijk alleen den laatsten weg volgen. § 163. Opmeting van enkele perceelen. Is het alleen te doen om den inhoud van een perceel te vinden, dan zal men dat perceel op het terrein in eenvoudige figuren verdeelen, van ieder afzonderlijk den inhoud bepalen en deze inhouden dan samentellen. Het in fig. 114 voorgestelde perceel kan men bijv. op de daar aangewezen wijze in driehoeken verdeelen en de inhouden van de verschillende driehoeken afzonderlijk vinden door het meten van de drie zijden van eiken driehoek, of door het meten van de

-ocr page 186-



		166 INHOUDS!? EPALING.

		basis en de hoogte, of door het meten van twee zijden en den ingesloten hoek. Men kan datzelfde perceel ook op de in fig. 115 aangewezen wijze in rechthoekige trapeziums en rechthoekige driehoeken verdeden, door op eene willekeurige meetlijn AH uit de verschillende hoekpunten loodl\'ynen neer te laten en van de aldus gevormde figuren de inhouden bepalen, door meting van de loodl\'ynen en van de op de meetlijn AH afgesneden stukken. In plaats van de stukken Ai, bc, cd, Ag, gf, fe en ed te meten, kan men ook meten de afstanden Ag, Ab, Af, enz., met andere woorden de co�rdinaten van de verschillende punten bepalen en daaruit op de in de volgende paragraaf te behandelen wijze den inhoud berekenen. Bestaat de begrenzing van het terrein uit eene groote menigte kleine zijden, of uit eene gebogen lijn, zooals in fig. 116, dan beschrijft men eerst in dat terrein een veelhoek met een gering aantal groote zijden, die zoo goed mogelijk aan de omgrenzing aansluiten, meet deze op bovenbeschreven wijze op en voegt daarbij de inhouden van de afgesneden stukken. Deze stukken worden gevonden door uit de punten a, b,c,d,e, enz. loodlijnen op BC neer te laten en aldus de co�rdinaten van die punten te bepalen, waaruit dan de inhouden berekend wor- den. Bij eene begrenzing door eene gebogen lijn vervangt men die door eene gebroken lijn, die er zoo nauw mogelijk aansluit en neemt die op bovenstaande wijze op. In sommige gevallen, als men op het op te nemen terrein zelf niet kan komen (bijv. bij de opmeting van perceelen bosch of water), moet men daar omheen een veelhoek aanbrengen, (ig. 117, en van zijn inhoud aftrekken de som van de inhouden van de deelen gelegen tusschen dien veelhoek en de grens van het op te nemen terrein. De inhoud van den grooten veelhoek zal men dan ook meestal niet volgens de hiervoor beschreven wijze kunnen bepalen; men zal dan volgens een van de vroeger be- schreven methoden den veelhoek opnemen en de co�rdinaten van de hoekpunten berekenen, om dan daaruit den inhoud te vinden. § 164. Berekening uit de gegevens van de d�tailineting. Heeft men de d�tails van eenig terrein opgenomen volgens de in § 155 beschreven co�rdinaten-methode, dan zijn van de hoekpunten van ieder perceel de co�rdinaten, ten opzichte van zeker assen-stelsel, bekend, en daaruit kan men als volgt de inhouden berekenen.

-ocr page 187-



		167
		INHOUDSBEPALING.


		Zij in fig. 118 een dergelijk perceel voorgesteld; X, :=OB,, Y,=:B_IA₁, X₂ = OB₂, Y₂=B₂A₂, enz. de co�rdinaten van de verschillende hoekpunten, dan is de veelhoek door de ordinaten van zelf in rechthoekige trapeziums verdeeld, die men allen af- zonderlijk kan berekenen. Zes van deze trapeziums A, A₂ B₂ Bj, enz......en A�₁ A₇ B₇ B_n4_, moeten als positief, de vier overige, A₇A,B₈B₇,...... en A₁₀ A, B, B,� als negatief in rekening ge- bracht worden; omdat bij de zes eerste ook medegerekend is de inhoud tusschen de lijn A, A_I0A₉A₈A₇ en de X-as, welke inhoud weer moet worden afgetrokken. Beschouwen wij nu nader het trapezium A_MA�₄., B�₁ B�, dan is de inhoud daarvan BsBn-t-, ~~"""\'~~�^--------�- of in de gemeten co�rdinaten uitgedrukt: i(X,₁-X.)(Y._I Y»). Volgens deze formule kan men de inhouden van alle trapeziums vinden en let men daarbij goed op het teeken van X_{B 1} � X� dan worden van zelf de inhouden van de af te trekken trapeziums negatief, zoodat men enkel die producten met inachtneming van hun teeken heeft samen te tellen, waaruit dus voor den inhoud volgt: is(X_{H 1} -X.)(Y�_I-f-Y�). Laat men uit de punten Aj, A₂, enz. loodlijnen neer op de Y-as in plaats van op de X-as, dan kan men eene dergelijke formule voor den inhoud afleiden, namelijk: i�(Y.₁-Y.)(X_lrt.₁ X.). Beide formules kunnen nog vereenvoudigd worden, door de daarin voorkomende gelijke termen met verschillend teeken weg te laten en de overige termen anders te rangschikken, waardoor men vindt: i S Yn (X_{fl 1} - Y_,) en 4 S X� (Y_{H I} - Y�_,). Door de inhouden volgens deze beide formules te berekenen, verkrijgt men in de overeenstemming van de resultanten eene goede controle op de berekening. § 165. Is het terrein opgenomen volgens de voerstraal-methode (§ 157), dan zijn van de verschillende hoekpunten de pool-co�rdi- naten bekend en daaruit kan men weer den inhoud vinden.

-ocr page 188-



		168
		INHOUDSDEPALING.

		Stelt in fig. 119 A, A,....A, het perceel voor, waarvan de inhoud berekend moet worden, en is O het punt waaruit het is opgenomen, dan zijn a,=OA,, «₂�OA₂ enz. de bepaalde lengten van de voerstralen, en a_l = POA,, «₂ = POA₂ enz. de aflezingen op den horizontalen cirkelrand. De te meten figuur wordt door de voerstralen in een stel van driehoeken verdeeld, waarvan tel- kens twee zijden en den ingesloten hoek bekend zijn en waarvan de inhouden dus te berekenen zijn. Van driehoek A_BOA_{B 1}, bijv. zijn bekend de twee zijden, OA� = a_n en OA�-h =a_ni, en den ingesloten hoek A�OA�i = POA,m-i�POA� = «�^ �s»; de inhoud van dien driehoek is dus $ a� a_n i sin. (x_{n i} � x_n). Berekent men op deze wijze de inhouden van al de driehoe- ken, dan vindt men in hun som den inhoud van den veelhoek A, A₂.... A₇, namelijk: { S a_n a�-(-i sin. (x_{n l} � a_H). Letten wij bij die berekening goed op het teeken van sin. (a_{n i}�x�), dan worden de inhouden van de driehoeken A₅OA₆, A₆OA₇, A₇OA,, die eigenlijk afgetrokken moeten wor- den, weer van zelf negatief, zoodat men bovenstaande producten eenvoudig heeft samen te tellen met inachtneming van hun teeken. Bij beide wijzen van opneming, zoowel volgens de co�rdinaten- als volgens de voerstraal-methode, moeten al de hoekpunten van het te berekenen perceel ten opzichte van hetzelfde co�rdinaten- stelsel opgenomen worden. Daar waar dus perceelen aan elkaar sluiten, die ten opzichte van verschillende assenstelsels worden opgenomen, moet men de aansluitingspunten ten opzichte van beiden opnemen, wat bij de opmeting meestal reeds gedaan wordt voor de controle op de meting (zie: § 156 en § 158). § 166. Berekening nit de meting op de kaart. Bij het bepalen van de inhouden uit de kaart kan men dezelfde methoden volgen, als hiervoor zijn behandeld voor de berekening uit de directe gegevens van de meting. Men kan het terrein in een stelsel van driehoeken verdeelen en daarvan het gemakkelijkst basis en hoogte meten, of men kan de rechthoekige co�rdinaten van de hoekpun- ten ten opzichte van een willekeurig aangenomen assenstelsel op de kaart meten en daaruit den inhoud berekenen. Bij perceelen door een groot aantal kleine zijden begrensd zal men eveneens

-ocr page 189-



		169
		INHOUDSDKPALING.

		eerst een veelhoek daarin aanbrengen, met een zoo gering moge- lijk aantal groote zijden, en de berekening daarvan, evenals van de afgesneden stukken, op de beschreven wijze uitvoeren, waarbij nu natuurlijk alle maten uit de teekening genomen worden. Bij kromlijnige begrenzingen kan men de berekening hier aan- merkelijk bekorten, door de ordinaten op onderling gelijke afstan- den te nemen, waardoor die afstand overal als factor voorkomt en men dus de co�rdinaten maar heeft samen te tellen (van de twee uiterste moet men natuurlijk slechts de helft in rekening brengen), en de som met den constanten afstand heeft te verme- nigvuldigen. De bepaling van den inhoud uit de kaart kan eindelijk ook nog geschieden door den veelhoek eerst in een driehoek van gelijken inhoud te vervormen en den inhoud hiervan te berekenen uit de gemeten basis en hoogte. In de volgende paragraaf wordt een instrumentje beschreven om deze bewerking op eene eenvoudige wijze uit te voeren, zonder op de kaart andere lijnen te trekken dan de basis van den driehoek. De bepaling van de inhouden uit de kaart is altijd onnauwkeu- riger dan de berekening uit de onmiddellijke gegevens der meting. Vooral bij zeer lange maar smalle perceelen, die veelvuldig voor- komen, zal de berekening uit de kaart niet zeer nauwkeurig zijn, doordat eene fout in de meting van de breedte van veel invloed is op den inhoud. Bij de opneming met het planchet, waarbij geen andere bere- kening dan die uit de kaart mogelijk is, neemt men in die geval- len de voorzorg, om minstens de breedten van dergelijke perceelen door directe meting op het terrein te bepalen, om daardoor de nauwkeurigheid van de inhoudsbepaling te verhoogen. § 167. Trausformatenr. Zoo als boven is aangegeven, kan de inhoud van een perceel ABCDEFGH flg. 109 gevonden worden, door dat perceel tot een driehoek C\'DE\' van gelijken inhoud te vervormen en daarvan den inhoud te bepalen door het meten van de basis CE\' en de hoogte DK. Voor deze vervorming vereenigt men de punten A en C en trekt door B eene lijn BB\' evenwijdig daaraan, tot zij de lijn AH inB\' snijdt; wordt nu CB\' getrokken, dan is A ABC =z A AB\'C en de lijn B\'C kan dus de twee lijnen AB en BC vervangen. Vereenigt men nu B\' met D en trekt CC\' daaraan evenwijdig tot zij in C\' het verlengde van HA snijdt, dan is, als men D metC\' vereenigt

-ocr page 190-



		170
		INHOUDSBEPALING.


		A CDB\' = A C\'DB\' en de 1\'yn CD kan dus de twee lijnen B\'C en CD of de drie lijnen AB, BC en CD vervangen, zonder dat daar- door de inhoud van het perceel verandert. Op overeenkomstige �wijze worden aan de andere zijde van het perceel de lijnen HG, GF, FE en ED door de lijn E\'D vervangen, zonder dat de inhoud gewijzigd wordt. Men heeft dus nu den driehoek C\'DE\' veikregen, die volkomen denzelfden inhoud heeft als het oorspronkelijke perceel en van dien driehoek kan den in- houd bepaald worden door het meten van de basis CE\' en de hoogte DK. Het in fig. 110 voorgestelde instrumentje, dat den naam draagt van transformateur, is bestemd om deze bewerking op eenvoudige wijze te verrichten, zonder op de kaart meer lijnen of punten aan te teekenen als het verlengde van de basis AH en de twee eind- punten C\' en E\'. Dat instrumentje bestaat uit een koperen plaat P, die langs een liniaal Q kan verschoven worden. Een beweegbare arm RS is om het punt R, dat op dien arm door een streepje is aangegeven, draaibaar. Wordt die arm tegen de plaat P aangesloten, dan loopt de zijkant RS evenwijdig met den kant van de plaat P,die langs de liniaal Q beweegt. In dichtgevouwen toestand wordt de transformateur langs de, zoo noodig verlengde lijn AH, die als basis wordt aangenomen, gebracht, en de liniaal Q er tegen aan gelegd en stevig op de kaart vast gehouden. Het streepje R wordt nu bij het punt A flg. 109 gebracht, de arm RS geopend en door draaing om het punt R de zijkant daarvan langs het punt C gebracht. Door de transformateur nu langs de liniaal te verschuiven, tot de zijkant van den beweegbaren arm door B gaat, komt het punt R in B\'; in plaats van dit punt aan te teekenen wordt de arm door draaing lang D gebracht en dan door verschuiving langs C, waardoor het punt R in C\' komt, welk punt nu op de kaart wordt aange- teekend. Aan de andere zijde van het perceel gaat men op gelijke wijze te werk, door verschuiving van den transformateur wordt het punt R in H gebracht, waarna men den zijkant van den arm RS achtereenvolgens door verdraaing in F, door verschuiving in G, door verdraaing in E, door verschuiving in F, door verdraaing in D en eindelijk door verschuiving in E brengt, waardoor het punt R in E\' komt, welk punt nu weer op de kaart wordt aan- geteekend.

-ocr page 191-



		171
		1NH0UDSBEPALING.


		Zoo als uit het bovenstaande blijkt, wordt telkenmale bij de verdraaing een hoekpunt overgeslagen en bij de verschuiving de arm naar het onmiddellijk voarafgaande punt terug gebracht en eerst wanneer de bewerking geheel is afgeloopen het laatste punt op de als basis aangenomen zijde aangeteekend, zoodat geen van de in de figuur aangegeven constructielijnen behoeft getrokken te worden en ook de punten B\' G\' en F\' niet behoeven aangeteekend te worden. § 1G8. Pool-planimeter. Ter bepaling van de inhouden van perceelen op de kaart heeft men instrumenten, die onmiddellijk don inhoud geven, zoo men slechts met een stift den omtrek van de figuur volgt. Van deze instrumenten, die den naam van planimeter dragen, zal hier slechts het eenvoudigste en meest gebruikte, namelijk de pool-planimeter behandeld worden. De pool-planimeter, in fig. 111 voorgesteld, bestaat uit een staaf AD, die aan het eene uiteinde A van een stift voorzien is, waarmede men den omtrek van de te meten figuur volgt, terwijl het rolletje C, dat zich aan het andere uiteinde bevindt en om de as EE kan draaien, over het papier heenglijdt. Die staaf is verder in het punt B door eene as verbonden aan de staaf BP, die om het punt P van de schijf F, als om een pool kan draaien. Volgt men nu met de stift A den omtrek van eene willekeurige figuur, dan ondergaat het rolletje C, bij zijne beweging over het papier, eene omdraaiing, die evenredig is met den inhoud dier figuur. Om dien inhoud te vinden, heeft men dus slechts de omdraaiing van het rolletje C te meten en met een zekeren co�ffi- ci�nt te vermenigvuldigen. Om die omdraaiing te kunnen meten, is aan het rolletje een trommel G verbonden, die in honderd ge- lijke deelen verdeeld is en waarop men dus de onderdeelen van de omdraaiing kan aflezen, terwijl de heele omdraaiingen door middel van eene schroef zonder eind op het schijfje H worden overgebracht en daarop worden afgelezen. De afstand van de as B tot de stift A kan veranderd worden, om daardoor aan den co�ffici�nt, waarvan boven sprake was, eene bepaalde waarde te geven. Is de stand van de as B voor eene bepaalde waarde van den co�ffici�nt eens nauwkeurig bepaald, dan kan men die op de verdeeling op den staaf AD met behulp van den nonius aflezen en bij later gebruik met behulp van die verdeeling en van de aangebrachte micrometerschroef de as weer

-ocr page 192-



		172
		INHOUDSBEPALINO.

		in dien zelfden stand brengen. Enkele standen der as, overeen- komende met bepaalde waarden van den co�ffici�nt, die bij het gebruik veel voorkomen, zijn op AD door streepjes aangegeven, die bij den index gebracht worden, die zich tegenover den nonius bevindt. Naast de fijne stift A bevindt zich veelal een tweede stift, die aan den onderkant vlak is afgeslepen en op het papier rust om te voorkomen, dat de stift A er indringt. § 169. [nhoudsbeualing met den pool-planlmeter. Laat in iig. 112 P de pool voorstellen, waarom de stang PB draait, laat ver- der AC de tweede stang, die in B met de eerste verbonden is, bij A de stift en bij C het rolletje bevat, voorstellen; dan zal, als A het element AA.\' van den omtrek der figuur AA\'E volgt, het rolletje den weg CC\' afleggen. Laten wij uit C\' eene loodlijn CD op BC neer, dan kunnen wij ons den weg CC\' ontbonden denken in de twee deelen CD en DC\'. Bij het doorloopen van het eerste gedeelte zal het rolletje niet om zijne as draaien, bij het doorloopen van het tweede wel en daarbij zal zich van het rolletje een stuk afwentelen gelijk aan CD. Meten wij die om- wenteling in deelun van den omtrek (2;rr) van het rolletje en stellen wij die elementaire omwenteling door du voor, dan is: CD = <2rr du. Het in de figuur gearceerde gedeelte, dat door de stangen PB en BA doorloopen wordt, en dat wij kunnen beschouwen als het element dl van den te meten inhoud, is, op oneindig kleinen van hoogere orde na, gelijk aan den inhoud van den rechthoek ABB\'A", dien wij verkrijgen door B\'A"//BA en AA"//BB\' te trek- ken, plus den inhoud van de twee sectoren A\'B\'A" en BPB\'. Verlengen wij nog A"B\' tot C" en trekken de loodlijn CD door tot C", dan is de inhoud van den rechthoek AA"B\'B=:ABxC"D, of, als wij AB = a, BC=B\'C=J en hoek A\'B\'A"=CB\'C"=rfi stellen: Inhoud AA\'B\'B = a (DC -\|- CC) = a {2r du* bd-p). De inhoud van den sector A\'B\'A" is gelijk iB\'A\'^Jxhoek A\'B\'A"= \\ad.L>* en die van sector BPB\' als wij BP = c en BPB\' = </_?stellen: jBP² hoek BPB\' =ic²d?. Deze drie inhouden bij elkaar voegende verkrijgen wij de diffe- rentiaal-uitdrukking : dl = a (2»r du -\\- bdb) - - » a^J<ty { c^!dj. = = Adu- - abd-4> ■ ■ i a²rf^ \| c²d_?.

-ocr page 193-



		173
		INHOUDSBEPALING.


		Bij het doorloopen van de figuur AA\'EA van het punt A af tot hetzelfde punt, wordt de integraal van dl de inhoud I van do liguur; de integraal van du wordt de geheele omdraaiing U van het rolletje. Bij het integreeren van d? en d\\p moeten wij twee gevallen onderscheiden: 1. Pool buiten de figuur. Be integraal van dv wordt hier, aan- gezien de stang PB in haren oorspronkelijken stand terugkomt en daarbij dezelfde hoeken in positieven en negatieven zin doorloopt, gelijk nul; hetzelfde heeft plaats met de integraal van ety; wij vinden dus: I = AU. 2. Pool binnen de figuur. Is de pool P binnen de te meten figuur gelegen, dan komt de stang PB wel weer in denzelfden stand terug, maar eerst na een hoek van 360\' doorloopen te heb- ben, evenzoo de staaf BA, waaruit volgt; fd±=zfd?=zlT; en waardoor bovenstaande formule overgaat in: I = AU -1- (2ab -f- a² -f- c²) * = AU -f- B. Be formules voor de berekening van de inhouden worden dus: Pool buiten: I = AU. Pool binnen .■ I = AU -f- B, waarbij de twee constanten A en B tot waarden hebben: A = 2rar B = (lab a² ■ c²) sr. Aangezien de constante A evenredig is met de lengte van de stang AB =. a, zoo kan men, door die lengte goed te kiezen, de constante A gelijk aan de eenheid of gelijk aan 10 of gelijk aan een veelvoud van 10 maken, waardoor de berekening natuurlijk aanmerkelijk vereenvoudigd wordt. Zooals in de vorige paragraaf werd opgemerkt is hiertoe de as B langs de staaf AB verplaatsbaar en eene verdeeling aangebracht, om daarop den stand der as af te lezen. § 170. Kegeling van den ulanimeter en bepaling van de constanten. Zooals wij boven zagen, wordt aan een van de twee constanten eene bepaalde waarde gegeven door regeling van de lengte van AB. Van de tweede wordt de waarde afzonderlijk bepaald. Be- halve deze regeling moet ook onderzocht worden � en zoonoodig met behulp van de daartoe bestemde correctieschroefjes geregeld worden � of werkelijk aan de voorwaarde voldaan is, waarop de afleiding van vorenstaande formules berust, namelijk of de as van

-ocr page 194-



		174
		INIIOUDSBEPALING.

		het rolletje C evenwijdig loopt met het vlak, gaande door de punt van de stift A en de as B. Gaan wij eerst tot het laatste onderzoek over, dan meiken wij op dat eene berekening, overeenkomende met die, welke ons de formule voor den planimeter gegeven heeft, leert, dat als de as CB van het rolletje C van de richting der lijn AB afwijkt, inden zin zooals door fig. 113 is aangewezen, dat men dan den inhoud van een willekeurige figuur, die gelegen is buiten den cirkel, om de pool P, met de straal l/«² c² beschreven, te groot, daar- entegen die van eene binnen dien cirkel gelegen, te klein gevon- den wordt en wel des te meer, naarmate die figuren verder van dien cirkel verwijderd zijn. Hieruit volgt een eenvoudige wijze van onderzoek; men meet met den planimeter tweemaal dezelfde figuur, maar plaatst de eene keer de pool zoover mogelijk van de figuur, de tweede keer zoo dicht mogelijk er bij; geeft nu de eerste meting een grooteren inhoud dan de tweede, dan heeft er eene afwijking plaats als in de figuur is aangewezen; bij een klei- neren inhoud is natuurlijk de afwijking in tegengestelden zin. Eens de zin van de afwijking bekend zijnde, kan men met behulp van de correctieschroefjes (de schroefjes K in fig. 111), den stand der as in de gewenschte richting wijzigen en onderzoeken of dan den vereischten stand verkregen is. Is de stand van de as onderzocht, dan kan men de lengte van den arm a regelen, door eene figuur van bekenden inhoud na te meten en te zien of daaruit voor de constante A = 2;r ar, de juiste waarde volgt. Zoo niet dan wijzigt men de lengte van a zoolang tot die waarde voor A verkregen is, en leest dien stand dan op de stang AD af. De voor dit onderzoek benoodigde figuren van bekenden inhoud kan men verkrijgen door eenvoudige figuren, zooals cirkels, recht- hoeken of driehoeken, zuiver op papier te teekenen en uit de met een dubbelen decimeter te vinden afmetingen de inhouden te be- rekenen. Ook worden bij de planimeters voor dat doel zooge- naamde proefdrkels geleverd; deze bestaan uit een koperen plaat, waarin enkele cirkels van bekenden inhoud gegrift zijn, of uiteen dun koperen plaatje, waarin eenige fijne gaatjes op nauwkeurig bekende afstanden zijn aangebracht. Zet men dergelijk plaatje met eene fijne naald door een der gaatjes op het papier vast en steekt de punt van de stift des planimeters in een ander gaatje, dan kan men aan die stift een cirkel van bekende straal om de naald laten beschrijven.

-ocr page 195-



		INHOUDSBEPALING. 175

		Is eindelijk de lengte van de stang a geregeld en haar stand nauwkeurig voor later gebruik verzekerd, dan kan men de waarde van de constante B bepalen, door eene figuur van bekenden in- houd te meten met de pool daar binnen geplaatst. Zoowel bij de metingen voor bovenstaande regeling als voor het bepalen van de constante B, zal men niet op een enkele meting afgaan, maar een gemiddelde uit eenige waarnemingen nemen. Ook later bij het gebruik van den planimeter zal men voor de controle iedere figuur met den planimeter minstens tweemalen meten. Verder moet men er voor zorgen het rolletje C steeds over papier te laten gleiden en niet over de tafel of de teeken- plank waarop de kaart is gespannen. § 171. Krimpen van het papier. Wordt het papier voor het teek enen van de kaart op een teekenplank gespannen, iets wat bij het planchet altijd moet geschieden, dan zal bij het lossnijden het papier krimpen; het krimpen heeft ook plaats bij het wasschen van eene teekening al is zij ook niet opgeplakt. Op dit inkrimpen van het papier, dat soms meer dan een percent kan bedragen en dus van veel invloed is op de uit de kaart af te leiden afmetingen en inhouden, moet behoorlijk gelet worden. Het beste zal zijn al de afmetingen uit de kaart te bepalen voor dat deze gekrompen is, dus voor dat zij wordt afgesneden of voor dat zij in kleuren wordt afgewerkt. Kan dit om de een of andere reden niet geschieden of moet men later op die kaart nog meer inhouden bepalen, dan moet men de inkrimping behoorlijk in rekening brengen. Het beste middel hiertoe is, dat men de ruiten, die dienen tot het in teekening brengen van de hoekpunten van het net door middel van hunne co�rdinaten (zie § 120), door dunne inktlijnen aan- geeft; door dan de inhouden van deze figuren met behulp van den planimeter na te meten of te berekenen uit de direct te meten lengten der zijden en te vergelijken met de oorspronkelijke in- houden, vindt men de inkrimping van het papier en de hiervoor, aan de door meting op \'de teekening verkregen inhouden, per- centsgewijze aan te brengen correcti�n. Diezelfde lijnen kunnen nog tot een ander doel dienen; heeft men namelijk den inhoud van eene groote figuur te bepalen, waarin verschillende van die rechthoeken voorkomen, zooals, bijv. het perceel abod in lig. 120, dan heeft men alleen den inhoud van het om die vierkanten heen liggende gedeelte, dat in de

-ocr page 196-



		176
		INHOUDSBEPALING.


		figuur door arceering is aangewezen, uit de kaart te bepalen en dit te voegen bij den inhoud van de binnen de figuur gelegen vierkanten. Het is duidelijk dat in dit geval de correctie voor het krimpen van het papier alleen in rekening gebracht moet worden voor het werkelijk uit de figuur bepaalde gedeelte, niet voor den inhoud van de vierkanten. Iets dergelijks heeft plaats, indien, zooals in lig. 121, binnen de figuur eenige driehoeken van het net gelegen zijn. De inhoud daarvan kan zeer nauwkeurig uit de opmeting van het net ge- vonden worden en men heeft alleen het omliggend gedeelte op de kaart te meten en wegens het krimpen van het papier te ver- beteren. § 172. Controle en vereffening der verschillen. Bij de bepaling van de inhouden der perceelen moet, evenals bij elke meting, controle w�rden uitgeoefend; deze kan men bij ieder perceel af- zonderlijk uitoefenen, door den inhoud op twee verschillende wijzen te bepalen; bijv. door de figuur op twee verschillende wijzen in driehoeken te verdeelen. Eene dergelijke controle hebben wij ook reeds aangevoerd bij de berekening uit de rechthoekig co�rdi- naten der hoekpunten, dat was echter alleen eene controle op de berekening niet op de meting. De voornaamste controle, die men op de inhoudsbepaling uit- oefent, bestaat daarin, dat men de inhouden van de perceelen, die samen eene groep vormen, samentelt, de figuur door deze perceelen gevormd afzonderlijk opmeet en beide inhouden samen vergelijkt. Een groot verschil tusschen beide inhouden wijst na- tuurlijk op eene fout, die opgespoord en verbeterd moet worden. Kleine verschillen zullen altijd voorkomen ten gevolge van de onvermijdelijke fouten in de waarnemingen. Aangezien de in- houdsbepaling van grootere figuren alt\'y\'d veel nauwkeuriger is, dan die van kleinere, vooral ook als men daarbij gebruik maakt van de nauwkeurig bekende inhouden van de vierkanten op-de kaart of van de driehoeken of veelhoeken van het net, zoo zal men de inhouden van die groote figuren behouden en bovenge- noemde kleine verschillen percentsgewijze over de verschillende perceelen verdeelen. Iets dergelijks heeft plaats bij eene planchet-opneming. Het terrein op een planchet voorgesteld is namelijk meestal begrensd door een rechthoek van nauwkeurig bekenden inhoud. Heeft men nu de inhouden van alle geheele en gedeelten van perceelen,

-ocr page 197-



		177
		INHOUDSBEPALING.


		die op het planchet voorkomen, gemeten, dan moet hunne som gelijk zijn aan den nauwkeurig bekenden inhoud van het op het planchet voorgestelde terrein. Kleine verschillen worden hier wederom percentsgewijze verdeeld. Mocht het planchet een te groot aantal perceelen bevatten, om op deze wijze genoegzaam controle op de inhoudsbepaling uit te oefenen, dan verdeelt men het planchet eerst in vier of meer gelijke rechthoeken, die ieder op dezelfde wijze behandeld worden.

		S.
		12

-ocr page 198-



		HOOFDSTUK XX.

		TRIGONOMETRISCHE HOOGTEMETING. § 173. Waterpas vlak. De richting van het vrij hangend schiet- lood geeft, zooals bekend is, de richting van de zwaartekracht aan. Een vlak, dat in ieder punt rechthoekig op die richting staat, draagt den naam van waterpas- of niveauvlak, het is het vlak, dat gevormd wordt door het bovenvlak van een stilstaand water. Twee punten in hetzelfde waterpasse vlak gelegen worden gezegd even hoog te liggen; zijn zij in verschillende waterpasse vlakken gelegen dan wordt hun hoogteverschil bepaald door den afstand van die twee\' weterpasse vlakken of door den afstand van het eene punt tot het waterpasse vlak van het andere. Zoolang de horizontale afstand van de twee punten, dat is de projectie van den aftand der twee punten op een waterpas vlak, gering is, kan men die waterpasse vlakken als onderling even- wijdige platte vlakken beschouwen. Zoo die afstand echter slechts weinige honderdtallen van meters overschrijdt, wordt de invloed van den gebogen vorm van de aarde reeds duidelijk merkbaar en moet men dien dus in rekening brengen. Wij zullen daarom bij onze beschouwingen omtrent het hoogtemeten de niveauvlakken niet als evenwijdige platte vlakken maar als concentrische bolop- pervlakken te beschouwen hebben. Strikt genomen zijn de waterpasse vlakken geen boloppervlakken, maar omwentelings-ellipso�den, waarvan de kromming dus in verschillende punten en in verschillende richtingen verschillend is en die zich niet overal op denzelfden afstand van elkaar bevinden. De kleine verschillen, die daaruit voortvloeien, zijn

-ocr page 199-



		TKIGONOMETRISCHE HOOGTEMETING. 179

		echter van dien aard , dat wij daarvan mogen afzien; alleen zullen wij voor den straal van den bol, die het niyeauvlak voor- stelt, dat samenvalt met het oppervlak der zee, den zoogenaamden gemiddelden straal in het beschouwde punt nemen. Deze ge- middelde straal, veranderlijk met de geographische breedte, wordt voorgesteld door de formule: \'l-e^! sin.* B ^� 1 � eⁱ sin¹. B \' waarin a de halve groote as (straal van den aequator), b de halve kleine as, e de excentriciteit -------------- en B de geographische breedte voorstelt. Stellen wij hierin de door Bessel aangegeven afmetingen der aarde, namelijk: «=6377397 meter, � = 6356079, « = 0,0816968 en voor B de gemiddelde breedte voor Nederland 52^J10\', dan vinden wij: R= 6382650 meter, log.R = 6,80500. § 174. Straalbuiging. Een tweede omstandigheid, waarmede men rekening moet houden, indien de punten, waarvan het hoogteverschil bepaald moet worden, eenigszins van elkaar ver- wijderd zijn, is de straalbuiging. De lichtstralen, die van een lichtgevend punt uitgaan en zich in eene homogeene middenstof voortbewegen, vormen rechte lijnen. De lucht, die hier de middenstof vormt waardoor de lichtstralen tot ons komen, is niet homogeen, maar bestaat, indien zij vol- komen in evenwicht is, uit concentrische lagen, die eene des te mindere dichtheid bezitten, naarmate zij hooger gelegen zijn. Een gevolg hiervan is, dat de lichtstralen niet in rechte lijnen tot ons komen, maar volgens gebogen lijnen en wel volgens lijnen, die in verticale vlakken gelegen zijn, en den hollen kant naar de aarde keeren, zoodat alle voorwerpen schijnbaar hooger gelegen zijn, dan in werkelijkheid plaats heeft. De invloed van de straalbuiging is niet altijd even groot, maar naarmate de verandering van de dichtheid der lucht van de eene tot de andere laag grooter of kleiner is, ten gevolge van eene verandering in de luchtdrukking of in de temperatuur, zijn ook de lichtstralen meer of minder gekromd; zoo is na een helderen nacht en bij een onbewolkten hemel, als de onderste luchtlagen sterk zijn afgekoeld, de straalbuiging op haar grootst, maar neemt

-ocr page 200-



		180
		TRIGONOMETRISCHE HOOGTEMETING.


		bij het warmer worden dier luchtlagen af, totdat zij in den namiddag een minimum bereikt, zij wordt dan weer grooter en blijft toenemen tot na het ondergaan van de zon. Op een dag daarentegen, waarop de hemel voortdurend bewolkt is en waarop er dus weinig verandering in de temperatuur plaats heeft, ver- andert de straalbuiging ook slechts zeer weinig. Een tweede verschijnsel, dat met de straalbuiging in zeer nauw verband staat, is de zoogenaamde deining of onrust der beelden. Als de luchtlagen zich niet in een evenwichtstoestand bevinden dan zullen, bij de beweging, die de lucht ondergaat, de van een zeker voorwerp tot ons komende lichtstralen, telkens door lucht- lagen van andere dichtheid heengaan en daardoor dus telkens anders gebroken worden, hetgeen zich voor het oog voordoet alsof dat voorwerp zich in eene snelle op- en neergaande bewe- ging bevindt. \'s-Ochtends, als de onderste luchtlagen sterk zijn afgekoeld, heeft men een sterke deining, die echter langzamerhand afneemt, doordat de zon de onderste luchtlagen verwarmt, totdat gedurende eenige oogenblikken een toestand van evenwicht in de luchtmassa intreedt en de beelden in rust zijn. Daar de zon echter voortgaat met de onderste luchtlagen te verwarmen, zoo zal het evenwicht weer spoedig verbroken worden en de deining weer opnieuw intreden. Eenige uren voor zonsondergang, als de uitstraling van de aarde de overhand verkregen heeft boven de verwarming door de zon, treedt er wederom een evenwichtstoe- stand in, waarbij de beelden gedurende eenige uren in rust ver- keeren. Na den ondergang der zon neemt de deining wederom een aanvang. De oogenblikken, waarin de beelden zich in rust bevinden en waarop de straalbuiging eene gemiddelde waarde bereikt, zijn voor het hoogtemeten de meest geschikte oogenblikken van den dag. Op de overige gedeelten van den dag zal men door de deining minder juist kunnen richten, en de veranderde straalbui- ging moeielijk goed in rekening kunnen brengen. § 175. Trigonoinetrische hoogtemeting op korte afstanden. Zijn de punten A en B, fig. 122, waartusschen het hoogteverschil gemeten moet worden, in horizontalen zin niet ver van elkaar gelegen, dan kan men van de aardkromming en van de straal- buiging afzien. Het waterpasse vlak van A wordt dan een plat vlak, dat AU\' tot doorsnede heeft, met het verticale vlak gaande door A en B. De afstand BB\' = h van het punt B tot dit vlak,

-ocr page 201-



		TRIGONOMETRISCHE IIOOGTEMETINO. 181 is het gezochte hoogteverschil. Bepaalt men nu, hetzij door directe meting of als dit niet mogelijk is, hetgeen meestal het geval zal zijn, door driehoeksmeting, den horizontalen afstand AB\' en door meting met een van de vroeger behandelde instru- menten den elevatiehoek BAB\' = e van den lichtstraal BA, dan vindt men voor het hoogteverschil onmiddellijk uit de figuur: h = atg. e. (1.) Meestal is het niet mogelijk het instrument, waarmede de elevatiehoek gemeten wordt, juist te plaatsen in het eene punt en daarmede op het andere punt te richten. De hiervoor aan te brengen correctie kan gemakkelijk bepaald worden. Zijn P en Q, fig. 123, de punten waarvan men het hoogteverschil QQ\' wil kennen, en heeft men het instrument in A op eene hoogte k boven het punt P geplaatst en gericht op het punt B op eene hoogte l boven Q gelegen, dan geeft bovenstaande formule het hoogteverschil BB\' van de punten A en B. Uit de figuur volgt dan onmiddellijk voor het hoogteverschil QQ\': QQ\'z= BB\'-}-� � l=atg, e k � l, (2.) zoodat de aan te brengen correctie gelijk is aan k � /. § 176. Trigononietrische hoogtemeting op groote afstanden. Zijn de punten, waartusschen het hoogteverschil bepaald moet worden, verder van elkaar gelegen, dan moet de kromming der aarde en de straalbuiging in rekening gebracht worden. Zijn, in fig. 124, A en B de twee punten, waarvan het hoogteverschil bepaald moet worden, DD\' het waterpasse vlak overeenkomende met het gemiddeld oppervlak der zee, en C het middelpunt van dat water- passe vlak, dat wij als een bol oppervlak beschouwen, dan zal, als men uit C als middelpunt, met CA als straal de cirkelboog AB\' trekt, deze het niveauvlak van A voorstellen en dus BB\'=A het te bepalen hoogteverschil zijn. In driehoek ABC is: BAC�ABC BAC � ABC BC � AC_ ⁹\'____2_J _^____2___ BC AC^- BAC ABC^- ACB tg.----₂----ctg. ~2~ Aangezien nu AC = B\'C is, zoo vindt men onmiddellyk voor het gevraagde hoogteverschil: i nn »/-< /n/~i . »/-i\\. ACB BAC � ABC h = BC � AC = (BC - - AC) tg. -^- tg.-------^--------

-ocr page 202-



		182
		TRIGONOMETRISCHE IIOOGTEMETING.


		Daar ACB altijd een zeer kleine hoek is, zoo mag de tangens van de helft van dien hoek door den boog, dien wij door i C zullen voorstellen, vervangen worden, waardoor het product van de twee eerste factoren in bovenstaande formule overgaat in: dat niets anders voorstelt dan den horizontalen afstand a van de punten A en B, gemeten ongeveer ter hoogte van die punten, zooals die door directe meting gevonden wordt, of zooals hij door driehoeksmeting uit een ter zelfde hoogte gemeten basis wordt afgeleid. Vervangt men dat product dus in de formule door hare waarde a, dan vindt men: BAC � ABC ,� . h = atg.-------g-------- (d.) Brengt men niet de ter hoogte van de punten A en B gemeten afstand in rekening, maar de zoogenaamde tot het oppervlak der zee herleide afstand DD\'=ra, dan moet aan bovenstaande formule eene kleine correctie worden aangebracht. Zijn namelijk AD = H en BD\' = H\' de hoogten der punten A en B boven het oppervlak der zee, dan gaat de formule voor k, als men wederom tg.\\C=iG stelt, over in: , 2R H H\',, BAC � ABC **h =----_s-----O. tg. -**

	2 �� BAC �ABC H H\' , BAC �ABC. = ^RC- 9----g-----\'---2^_ ⁹\'----2"----\' RAC ABC of, als men RC = DD\'=: a stelt en opmerkt dat RC tg.-------^------- op weinig na het hoogteverschil h voorstelt, zoodat men in den _ BAC�ABC , h , laatsten term C. tg.-------^-------door -^- mag vervangen, dan gaat die formule over in: BAC�ABC , H-f-H\' h h � atg.-------_g---------1------2~ RT = BAC�ABC , H\'² H² ...* = ^a*-------2------- 2R -2R\' ⁽⁴⁾

		§ 177. Waarnemingen nit een uiteinde. Er blijft nu nog over het bepalen van de twee hoeken BAC en ABC; daarbij heeft men twee gevallen te onderscheiden, of men namelijk alleen de

-ocr page 203-



		TBIGONOMETRISCHE HOOGTEMETING. 183

		elevatiehoek in ��n punt, bijv. A, meet, of dat men het ook in het tweede punt B doet. Bij het meten van den elevatiehoek in A wordt de hoek ge- meten tusschen de richting, waarin de lichtstralen van B tot ons komen en de horizontaal, dus tusschen de raaklijn AF aan de gebogen lichtstraal AB en de raaklijn AG aan den cirkelboog AB\'. Stelt men dien elevatiehoek FAG=re, dan moet men daarvan den hoek FAB = <?, die den invloed van de straalbuiging voor- stelt, aftrekken, om den hoek BAG te vinden. Merkt men nog op, dat GAC = 90° is, dan vindt men: BAC = 90°-t-e � �. Voor den hoek ABC vindt men nu uit de figuur, als ACB=C gesteld wordt: ABC=180^C� BAC�ACB=180°�90°� e J� C=90^D�e-K�C en dus: BAC�ABC (90°_f._e_<0 �(90^D� « \' � C) , ._, -------2-------�--------------------2--------------------= « �<M-jC, waardoor (3.) overgaat in: h = atg.(e � <r-{-\\C). (5.) De in deze formule voorkomende middelpuntshoek C kan men gemakkelijk vinden door den horizontalen afstand der twee punten door den straal R van de aarde te deelen. De hoek ^, die den invloed van de straalbuiging aangeeft, is gebleken even- redig te zijn met dien zelfden middelpuntshoek, zoodat men daarvoor mag schrijven /* C, waarin n de co�fficent van de straal- buiging is. Zooals wij in § 174 gezien hebben, is de straalbuiging en dus ook de co�ffici�nt n niet altijd even groot, maar veranderlijk van het eene oogenblik op het andere. Bij de rust der beelden heeft die co�ffici�nt een gemiddelde waarde 0,08, maar kan in abnormale gevallen zelfs tot 50 a 100°/o zoo in positieven als negatieven zin daarvan afwijken. Aangezien men die verandering van den co�f- fici�nt ix moeilijk in rekening kan brengen, is door eenzijdige meting van den elevatiehoek, vooral bij groote afstanden geene groote nauwkeurigheid te bereiken. Indien de afstanden niet al te groot zijn, kan men C en � als kleine grootheden beschouwen, waarvan de 2^de en hoogere mach- ten verwaarloosd mogen worden en daardoor formule (5.) nog

		\' :■

-ocr page 204-



		184
		TRIGONOMETRISCHE HOOGTEMETING.


		vereenvoudigen. Ontwikkelt men die formule volgens de reeks van Mac-Laurin , en verwaarloosd daarin die 2^de en hoogere machten van C en �, dan gaat zij over in: , _t , aftC � ) h-=.atg.e-\\----^5J�;------- cos¹, e* of, als men C en f door hunne waarden: -^- en (xC=ijl -^- ver- K lx vangt en voor den cosinus van den meestal kleinen hoek e de eenheid schrijft: h = atg.e-h^(l�<2(),* (6.) a¹ a¹ waarin dus 5-5 den invloed van de aardkromming en ^^ den invloed van de straalbuiging aangeeft. § 178. Gelijktijdige wederkeerigc waarnemingen. Meet men niet alleen den elevatiehoek e in het punt A, waardoor men vindt: BAC = 90° e � �, maar meet men ook den elevatiehoek c\' in het punt B, dan is: ABC = 90° e\' � i> als <f\' den invloed van de straalbuiging in het punt B voorstelt. Uit deze twee uitdrukkingen volgt: BAC�ABC_(90 e � J) � (90 e\'�J^r)_e � e\' J�t\' 2 � 2 ^� 2 \'2 \' waardoor (3.) overgaat in:

		, . (e �e\' <r�f\\ h = atg. (-2--------g-j,

		waarin nu alleen het verschil van de invloeden der straalbuiging in A en B voorkomt. Richt men de meting zoodanig in, dat de elevatiehoeken e en e\' in de punten A en B gelijktijdig gemeten worden, dan kan men, indien het hoogteverschil niet al te groot is, de twee cor- recti�n J¹ en <?\' aan elkaar gelijk stellen, waardoor uit bovenstaande formule de invloed van de straalbuiging geheel verdwijnt en zij dus in den volgenden eenvoudigen vorm overgaat: h = atg.�g� (7.) Door de gelijktijdige wederkeerige waarnemingen wordt dus de invloed van de straalbuiging ge�limineerd en daardoor is men dus

-ocr page 205-



		185
		TRIG0N0METR1SCHE HOOGTEMETING.


		in staat veel nauwkeuriger uitkomsten te verkrijgen, dan door de waarnemingen uit een uiteinde. § 179. Bepaling van den co�ffici�nt der straalbniging. De co�ffi- ci�nt i.* voor de straalbuiging kan men bepalen, indien men twee punten heeft, waarvan het hoogteverschil bekend is. Uit (5.) volgt namelijk, als h bekend is en men daaruit <f oplost: S=ze-\\-\\ C � Bgtg. �, of, na deeling door C: h j. Bg tg.� � e t = -Q* = {-------------Q---------- (8.) Indien het hoogteverschil van de twee punten onbekend is, kan men dien co�ffici�nt ook uit de gelijktijdige wederkeerige waar- nemingen afleiden. In driehoek ABC, fig. 124, is namelijk, zooals wij boven gezien hebben: BAC = 90°-l-e � er, ABC = 90°-4-e\' � J\', ACB = C. Daar nu de som van deze drie hoeken 180° moet bedragen, zoo is: e-f-e\' C � cT� <f\'=0 of d-r- �\'= e-f-e\'-}-C of, als wij voor de gelijktijdige wederkeerige waarnemingen <f = <�\' = pG stellen : 2^C = e- -e\' C, en dus: e e\' C f =*------^------ (9.) Heeft men van uit ��n punt de hoogteverschillen van een menigte in den omtrek gelegen punten te bepalen, dan is het practisch niet wel mogelijk al die hoogteverschillen door gelijk- tijdige wederkeerige waarnemingen te vinden. Men zal dan van enkele van de voornaamste punten de hoogten bepalen, door ge- lijktijdige wederkeerige waarnemingen en van al de anderen door eenzijdige waarnemingen. Door deze laatste waarnemingen dan te verrichten tusschen de gelijktijdige wederkeerige waarnemingen van de hoofdpunten, kan men de nauwkeurigheid van de uit- komsten aanmerkelijk vermeerderen door telkens den co�ffici�nt u

-ocr page 206-



		186
		TRIGONOMETRISCHE HOOGTEMETING.


		te bezigen, zooals die uit de gelijktijdige wederkeerige waarne- mingen volgens formule (9.) wordt berekend. Hetzelfde doel zal men ook zonder gelijktijdige wederkeerige waarnemingen kunnen bereiken, als van een der omliggende punten het hoogteverschil met het punt van waarneming bekend is. (formule 8.) Het is duidelijk, dat zoowel (8.) als (9.) eene des te nauw- keurigere waarde voor ij. zal geven, naarmate de punten verder uit elkaar gelegen zijn, zoodat men, zoowel in het eene als in het andere geval, voor de bepaling van p punten zal kiezen, die zoover mogelijk uit elkaar liggen. § 180. Afstand waarop twee voorwerpen wedcrkeerig zichtbaar zijn. � Kimdniking. De hier ontwikkelde formules geven het ant- woord op eenige vraagstukken, waarvan het nuttig kan zijn de oplossing hier aan te stippen. Als het punt A, fig. 125, zich op een hoogte AD=zH boven het oppervlak der zee bevindt, dan zal men op dat oppervlak kunnen zien tot het punt B. waar een lichtstraal, uitgaande van A, juist het oppervlak raakt. Van uit B gezien, wordt het punt A, waarvan het hoogteverschil met B gelijk is aan H, waar- genomen onder een elevatiehoek nul. Stellen wij dus in (6.): h = H en e = 0, dan vinden wij: H = ^(l-V), (10.) ^DB=«=\|/S= <"■> Ligt een tweede punt E op een hoogte D\'E = H\' boven het oppervlak der zee, dan zal dit uit A nog zichtbaar zijn, als de lichtstraal EA in B het oppervlak der zee juist raakt. Zoo even vonden wij DB = I / ^""^, , op overeenkomstige wijze /OH\'P vinden wij: D\'B = \|~~X___~~ waaruit door samentelling volgt, voor den grootsten afstand waarop de punten A en E wederkeerig zichtbaar zijn: _____ DD^DB D\'B^/^-^/W-r-l/H\'V (12.) Bevinden \'wij ons in A, dan zien wij de vrije kim in de rich- ting van de raaklijn AF aan den lichtstraal AB, deze maakt met

-ocr page 207-



		187
		TRIGONOMKTRISCHE HOOGTEMETING.


		de horizontaal AG, een hoek GAF, die den naam van kimduiking draagt, en die, zooals wij bij de sextant gezien hebben, in reke- ning gebracht moet worden bij het meten van de hoogte van hemellichten op zee. Van uit A gezien, zien wij het punt B onder een elevatiehoek gelijk aan de kimduiking, maar met omgekeerd teeken; van uitB gezien, zien wij het punt A onder een elevatiehoek nul. Stellen wij de kimduiking dus door K voor, dan moeten wij in formule (7.) e door �K en e\' door nul vervangen, en aangezien B op eene hoogte H beneden A gelegen is, zoo moeten wij h in �H veranderen, waardoor wij vinden: � H = � a tg. \\ K, of, aangezien K een kleine hoek is: a Stellen wij hierin de boven (formule 11.) voor a gevonden waarde, dan vinden wij voor de kimduiking: K= g_ =\\/l^zM^.* ₍₁₃.) /2HR V U ^yi�,} Substitueeren wij in de formules (10.), (11.), (12.) en (13.) voor R en f* de gemiddelde waarden: R = 6382650M en ,u:=0,08 en drukken wij den afstand a in kilometers de hoogten H en H\' in meters en de kimduiking K in minuten uit, dan vinden wij de volgende gemiddelde uitkomsten: Hoogte H, waarop een voorwerp boven het oppervlak der zee moet gelegen zijn om op een afstand a nog zichtbaar te zijn: H = 0,658 o». Afstand a, waarop een voorwerp ter hoogte H boven het op- pervlak der zee gelegen, nog zichtbaar is: a = 3,9l/B7 Afstand waarop twee voorwerpen, ter hoogte H en H\' gelegen, onderling nog zichtbaar zijn : 3,9{l/H l/�r"}. Kimduiking voor een punt, ter hoogte H boven het oppervlak der zee gelegen: K = l,76k^/H7

-ocr page 208-



		HOOFDSTUK XXI.

		WATERPASSEN. § 181. Waterpassen uit het midden. Het bepalen van het hoogteverschil van twee punten kan geschieden door boven die twee punten een waterpas vlak aan te brengen en de afstanden van beide punten tot dit vlak te meten. Het verschil van die twee afstanden geeft onmiddellijk het gevraagde hoogteverschil. Aangezien voor eene niet al te groote uitgestrektheid, het water- passe vlak een plat vak is, zoo wordt dit vlak aangegeven door de verschillende standen van de vizierlijn van het in Hoofdstuk XI beschreven waterpas-instrument. Het bepalen van de afstanden van de verschillende punten tot dat vlak geschiedt door aflezing op de in § 95 beschreven baken. Het bepalen van het hoogteverschil van de punten A en B, fig. 127, geschiedt dus op de volgende wijze. Nadat op beide punten de waterpas-baken AE en BF geplaatst zijn en het water- pas-instrument in C is opgesteld, richt men den kijker op de eerste baak en leest daarop bij inspelende bel, bij het punt E den afstand AE = � af. Vervolgens richt men op de tweede baak en leest daarop weer bij inspelende bel, bij het punt F den afstand BF = l af. Het verschil k � l geeft dan aan, hoeveel het tweede punt (B) hooger dan het eerste (A) ligt. De plaats van het instrument ten opzichte van de twee baken, is niet onverschillig voor de nauwkeurigheid van de meting. Door het instrument midden tusschen de twee baken, of minstens op gelijke afstanden van beide baken te plaatsen, wordt de fout, die men maakt, als het instrument niet volkomen geregeld is, dat

-ocr page 209-



		189
		WATERPASSEN.

		wil zeggen, als de vizierlijn van den kijker niet juist evenwijdig loopt met de richtlijn van het niveau, door de meting volkomen ge�limineerd. Is de vizierlijn namelijk bij horizontale richtlijn een weinig naar boven gericht, dan zal men op iedere baak eene te groote hoogte aflezen, en wel zal hetgeen men te veel afleest evenredig zijn met de afstanden DE en DF van het instrument tot aan de baken. Zijn die afstanden dus gelijk, dan zijn de gemaakte fouten ook gelijk en vallen bij het aftrekken tegen elkaar weg. Het is hoofdzakelijk om deze reden, dat men zooveel mogelijk altijd uit het midden waterpast. § 182. Aardkrominiiig en straalbuiging. De aardkromming en straalbuiging doen zich bij het waterpassen gevoelen, zoodra de afstand van de baak tot het instrument eenigszins groot wordt. Den invloed daarvan kan men gemakkelijk afleiden uit de formules in het vorige hoofdstuk ontwikkeld. Het waterpassen is als het ware slechts een bijzonder geval van het trigonometrisch hoogte- meten, in zooverre men daarbij zorgt, dat de elevatiehoek de waarde nul heeft. Het punt E, waar men op de baak AE afleest, is dus niet juist op dezelfde hoogte als het punt D gelegen, maar ligt volgens formule (6.) Hoofdstuk XX, als men daarin e = o stelt: fid-fcO hooger, waarin a de afstand DE voorstelt. Om dus een punt te vinden op gelijke hoogte met D, moet men bovenstaande grootheid van de aflezing k aftrekken. Op dezelfde wijze vindt men op de baak BF een punt op dezelfde hoogte met D bij de aflezing: als a\' de afstand DF voorstelt. Trekt men nu de twee afstanden h � hk(1�2y«) en l��r(1 � 2/*), van de punten A en B tot het waterpasse vlak door D, van elkaar af, dan vindt men voor de hoogte van B boven A: Uit bovenstaande uitdrukking blijkt, dat de invloed van aard- kromming en straalbuiging evenredig is met het verschil van de vierkanten van de afstanden tot de twee baken. Neemt men die afstanden dus aan elkaar gelijk, dan worden die invloeden ook

-ocr page 210-



		190
		WATERPASSEN.


		ge�limineerd; dit is dus eene tweede reden, waarom men steeds zal zorgen, zooveel mogelijk uit het midden te waterpassen. Strikt genomen is de co�ffici�nt van de straalbuiging ij. bij beide aflezingen niet altijd volkomen dezelfde, maar als men de twee aflezingen onmiddellijk achter elkaar doet, kan men met vol- doende nauwkeurigheid de standvastigheid van dien co�ffici�nt aannemen. Meestal zal men den afstand tot de baak niet grooter nemen dan 100 a 120 meter en dan is de invloed van de aardkromming en straalbuiging op iedere aflezing (�r(1�2^)1 zoo klein, dat eene kleine verandering in /x van geen beteekenis is. § 183. Aaneengeschakelde waterpassing. Indien het hoogtever- schil van de twee punten meer bedraagt dan de lengte van de waterpasbaken, of indien de afstand zoo groot is, dat men op de baken niet meer met voldoende nauwkeurigheid kan aflezen, dan kan men het hoogteverschil niet meer direct op boven beschreven wijze vinden. Men moet dan zijne toevlucht nemen tot eene aaneengeschakelde waterpassing. Moet het hoogteverschil van de punten A en B, fig. 131, be- paald worden, dan neemt men eenige tusschenpunten C, D, E, F, enz. aan; bepaalt dan achtereenvolgens de hoogteverschillen van A en C, C en D, Den E, enz., tot men eindelijk in B komt. De algebra�sche som van al die hoogteverschillen geeft dan het hoogteverschil van A en B. De tusschenpunten C, D, E, enz., kunnen meestal willekeurig gekozen worden; men moet er echter voor zorgen, dat beide keeren, dat men op dezelfde baak afleest (bijv. op baak C van uit G en H), het voetpunt van de baak juist op dezelfde hoogte staat. Daartoe slaat men een houten piketpaaltje in den grond en plaatst de baak daarop. Gemakkelijker nog is het in fig. 126 voorgestelde waterpaspiket, zijnde een zware ijzeren bout, die van boven bolvormig is afgerond, opdat de baak daarop geplaatst zich steeds op hetzelfde punt zou bevinden. De aan het piket verbon- den beugel, die, als de baak op het piket zal geplaatst worden, omgeslagen wordt, dient om het piket uit den grond te halen en gemakkelijk te kunnen meenemen. Het bepalen van het hoogteverschil van twee opvolgende tus- schenpunten noemt men een slag; de baak en het piket, die zich daarbij v��r het instrument bevinden in de richting waarin men

-ocr page 211-



		/

		WATERPASSEN. 191 waterpast, worden v��rbaak en v��rpiket genoemd; de andere achterbaak en achterpiket. § 184. Elimineeren der fouten. Aangezien de fouten, bij de verschillende slagen begaan, zich allen ophoopen in het eindresul- taat , zoo moet men zorgen alle fouten en vooral die, welke steeds in denzelfden zin voorkomen, zoo goed mogelijk te elimineeren. Men moet dus zorgen zooveel mogelijk uit het midden te water- passen , om daardoor de fouten van het instrument, de aardkrom- ming en de straalbuiging te elimineeren. Is men om de een of andere reden genoodzaakt een slag te maken met ongelijke afstanden, zooals bij K, fig. 131 is voor- gesteld, dan moet men de daardoor wellicht onstane fouten onmiddellijk bij den volgenden slag vernietigen, door hierbij de afstanden in tegengestelden zin ongelijk te nemen. Men zal de afstanden EL en LF dus zoodanig nemen, dat LF � EL = DK � KE is, waardoor de fout van het instrument volkomen ge�limineerd wordt. De straalbuiging en aardkromming zullen alleen dan volkomen ge�limineerd zijn, als DK = LF en KE = EL is, maar aangezien bij de geringe afstanden, die bij deze wijze van waterpassen worden genomen, die invloeden zelf reeds zeer klein zijn, zoo heeft men hierop niet al te streng te letten. Verder moet men zorgen, dat de baak, die bij den eenen slag voorbaak was, bij den volgenden achterbaak wordt en omgekeerd, om daardoor de fout te elimineeren, die ontstaat, als van een of van beide baken het nulpunt niet juist overeenkomt met het on- dervlak van de baak. Den afstand tusschen baak en instrument moet men niet al te groot nemen; omdat het anders niet meer mogelijk is met vol- doende nauwkeurigheid op de baak waar te nemen. Bij een goed waterpas-instrument stelt men dien afstand het best op 100 meter; bij instrumenten met een minder goeden kijker of een niet al te gevoelig niveau, moet men hem echter geringer, misschien op 50 meter, stellen. Ten gevolge van de onrust der beelden, die zich soms op een afstand van 100 meter reeds zeer hinderlijk voordoet, is men dikwijls genoodzaakt, ook bij een goed instru- ment, de slaglengte in te krimpen. § 185. Uitvoering van de aaneengeschakelde waterpassing. Bij de uitvoering van een eenigszins aanzienlijke waterpassing heeft men behalve het waterpasinstrument noodig: twee waterpasbaken,

-ocr page 212-



		192
		WATERPASSEN.


		twee waterpaspiketten, een hamer voor het inslaan der piketten en een meetketting met de noodige pennen. Verder moet men beschikken over minstens drie helpers, waarvan er twee, die den naam van baakhouders dragen, hoofdzakelijk belast zijn met de behandeling der baken, terwijl de derde den waarnemer behulp- zaam is bij het dragen van het instrument, enz. Uitgaande van het punt A wordt een afstand AG van bijv. 100 meter afgemeten en daar het instrument opgesteld, nogmaals 100 meter verder in C wordt een waterpaspiket ingeslagen en daarop evenals op het \'punt A een baak geplaatst, die door den baakhouder verticaal gehouden wordt. Met behulp van het instrument, dat men ondertusschen in G heeft opgesteld, wordt nu achtereenvolgens telkens bij inspelende bel op de achterbaak A en de voorbaak C afgelezen. Het verschil dezer twee aflezingen geeft dan het hoogteverschil van het punt A met het voorpiket. Meestal zal men om vergissingen te voor- komen op beide baken tweemaal aflezen, welke aflezingen dan natuurlijk overeenkomstige uitkomsten moeten opleveren. Voor die tweede aflezing is het goed het instrument op te nemen en op- nieuw op te stellen, zoodat het iets hooger of lager komt te staan; om daardoor bij andere verdeelingen op de baak af te lezen. Geven de beide aflezingen slechts weinig verschillende hoogteverschillen, dan wordt daaruit het gemiddelde genomen. Is de meting van uit G afgeloopen, dan legt de baakhouder bij C zijn baak bij het piket neer en is evenals de andere baak- houder, die zijn baak medebrengt, behulpzaam bij het meten van de volgende afstanden CH en HD. De baakhouder, die vroeger in C was, gaat naar dat punt terug en plaats zijn baak weer op het piket, de andere slaat in D een piket en plaatst daarop de baak, die zich vroeger in A bevond en dus nu voorbaak wordt. Is de meting van uit H afgeloopen, dan neemt de baakhouder in A het piket uit den grond, om het weer in punt E te bezigen en er zijne baak op te plaatsen. Op deze wijze voortgaande komt men eindelijk tot het laatste tusschenpunt F; daar laat men den afstand FB opmeten, plaatst het instrument op de helft van dien afstand en meet nu weer het hoogteverschil van F en B, waarna de meting is afge- loopen. § 186. Daar men bij het waterpassen geen controle op de meting heeft, zoo kan men nooit op eene enkele waterpassing

-ocr page 213-



		193
		WATERPASSEN.


		vertrouwen, maar moet men steeds eene tweede verrichten, hetzij in dezelfde richting, hetzij in tegengestelde richting (terug-water- passing). Alleen voor het geval dat men bij het einde van de waterpassing op het uitgangspunt terugkomt (kring-waterpassing) of indien men verder waterpassende sluit op een punt, waarvan het hoogteverschil met het uitgangspunt bekend is, heeft men controle op de meting en kan men dus met ��ne waterpassing volstaan. Bij eene eenigszins uitgestrekte waterpassing is het zaak om van afstand tot afstand vaste punten, zooals bijv. den bovenkant van een steenen plint of van den dorpel van een deur of van een raam, of de in de volgende paragraaf te beschrijven kruishouten, als tusschenpunten aan te nemen. Hierdoor bereikt men vooreerst het voordeel, dat, als de waterpassing op de een of andere wijze in het ongereede mocht geraken, men niet noodig heeft van het beginpunt af opnieuw te waterpassen, maar bij het laatste vaste punt kan beginnen. Neemt men ook bij de tweede waterpassing diezelfde vaste punten in de waterpassing op, dan kan men, zoo de twee metingen niet met elkaar sluiten, onmiddellijk nagaan tusschen welke van de vaste punten de fout begaan is, en heeft men dus alleen dat gedeelte van de waterpassing te herhalen om de fout te herstellen. § 187. Overbrenging van het peil. Om de hoogteligging van verschillende punten met elkaar te kunnen vergelijken wordt de hoogte van ieder punt bepaald ten opzichte van een vast water- pas vlak, dat den naam van Peil draagt. Hier te lande en in Duitschland wordt als zoodanig algemeen het Amsterdamsche peil gebezigd, ongeveer overeenkomende met den gemiddelden stand van het IJ bij Amsterdam v��r de afslui- ting bij Schellingwoude, en gelegen op 9 voet 5 duim Amsterd. maat (=\'2,6762 Meter) beneden de middenwaarde uit de hoogten van het midden der groeven in de marmeren steenen, met op- schrift �Zeedijks Hoogthe zijnde Negen voet vijf duym boven Stads Peyl", in de Oude Haarlemmersluis, de Nieuwe-brugsluis, de Kolk- sluis, de Kvaansluis en de West-Indischesluis te Amsterdam. Om in de verschillende deelen van het land de hoogten van alle punten ten opzichte van dit A. P. gemakkelijk te kunnen bepalen, heeft men door middel van aaneengeschakelde waterpassingen dat peil door het geheele land verspreid; door namelijk van eene menigte vaste verkenmerken de hoogten boven dat peil te bepalen. S. 13

-ocr page 214-



		194
		WATERPASSEN.


		Van een dergelijk punt uitgaande, kan men nu door eene aaneen- geschakelde waterpassing de hoogte van een willekeurig punt boven A. P. bepalen en op die wijze ook meer vaste verkenmerken verkrijgen. Voor vaste verkenmerken wordt meestal gebruik gemaakt van den in lig. 128 voorgestelden kruishout, die aan den achterkant van eene veer voorzien is, die in eene horizontale voeg van het metselwerk van eenig hecht bouwwerk wordt ingedreven. De kop van dezen bout is van voren van een kruis voorzien van welks horizontalen arm de hoogte boven A.P. wordt opgegeven. Van de plaats waar zoo een bout geslagen wordt, moet een zeer nauwkeurige beschrijving gegeven worden, om daardoor later dien bout gemakkelijk te kunnen terugvinden en zijne identiteit met volkomen zekerheid te kunnen vaststellen. Hiertoe is het niet alleen noodig het bouwwerk aan te geven, waarin zich de bout bevindt en de zijde van het bouwwerk waar die bout is ingeslagen, maar zijne plaats moet nauwkeurig worden opgegeven door de afstanden tot andere vaste punten van het gebouw, zooals de zijkanten van deuren en ramen, de onder- of bovenkanten van dorpels of kozijnen, enz. Tot hetzelfde doel wordt gebruik gemaakt van de in fig. 129 en 130 voorgestelde peilmerksteentjes, die 24 cM. hoog en 36 cM. breed zijn en voor het grootste gedeelte in het metselwerk worden ingelaten. Op het voorvlak wordt de hoogte van het midden van de horizontale streep, bij fig. 129, of van het platte vlakje ah, bij fig. 130, boven Amsterdamsch peil ingebeiteld. Daar de plaats van deze peilmerksteentjes meestal veel minder nauwkeurig omschreven is, dan die van de kruishouten en zij veel meer in het oog springen, waardoor zij, bij vernieuwing van gebouwen, allicht worden op zij gelegd om later weer ongeveer terzelfde plaatse te worden ingemetseld, loopt men groot gevaar eene foutieve aanwijzing van het peil te verkrijgen. Om deze reden zijn de kruishouten verre boven de peilmerksteenen te ver- kiezen. Bij de in 1875 en volgende jaren uitgevoerde nauwkeurigheids- waterpassing bestaan de hoofdmerken uit een bronzen bout, 9 of 15 cM. lang en 20 bij 20 mM. in het vierkant, die over eene lengte van 50 m.M. cilindrisch uitgeboord is. Deze brf�t is be- schermd door eene daarvoor geplaatste bronzen plaat, lang 20, hoog 12 cM., die van eene groef voorzien is, welke in hetzelfde horizontale vlak met de as van het boutgat ligt; dit boutgat is

-ocr page 215-



		195
		WATERPASSEN.

		door eene ronde opening van 13 mM. in de plaat zichtbaar. De secundaire merken bestaan uit een dergelijken bout zonder plaat. Ter verificatie of aan het merk op de een of andere wijze eenige verandering mocht gekomen zijn, zijn boven en onder ieder dier merken twee kleine boutjes als verklikkers toegevoegd en de afstanden daarvan tot den bout gemeten. § 188. Het opnemen van lengte- en dwarsprofielen. De door- snede van het terrein met een verticaal vlak noemt men een lengteprofiel, onverschillig of de doorgang van dat vlak met een horizontaal vlak eene rechte, gebogen of gebroken 1\'yn is. De verticale doorsneden van het terrein, volgens vlakken rechthoekig op de richting van een lengteprofiel, noemt men dwarsprofielen. De opmeting van het lengteprofiel heeft plaats door eene aan- eengeschakelde waterpassing, waarbij de waterpaspiketten natuurlijk geplaatst worden in de lijn volgens welke het lengteprofiel moet worden opgenomen. Om zooveel mogelijk punten van het lengteprofiel op te nemen, zal men telkenmale de hoogte van de vizierlijn boven den grond meten, om daardoor ook de hoogten van de punten H, K, L, M, N, O, enz., fig. 132, boven het aangenomen peil te vinden. Telt men namelijk bij de gevonden hoogte van het voorpiket boven het peil, de op de voorbaak afgelezen hoogte op, dan vindt men de hoogte van de vizierlijn boven peil, trekt men hiervan de hoogte van de vizierlijn boven den grond af, dan heeft men de hoogte van de standplaats van het instrument boven peil. Op deze wijze vindt men de hoogten van de punten A, H, B, K, C, L, D, M, E, N, F, 0, G, enz. boven peil, terwijl met behulp van de ketting hunne onderlinge afstanden gemeten wor- den, waardoor dus die punten gemakkelijk in teekening kunnen gebracht worden. Voor dat in teekening brengen is het gemak- kelijk, dat de afstand van baak en instrument steeds een zelfde rond aantal meters, bijv. 100 of 50 bedraagt, zoodat men niet dan bij uiterste noodzakelijk daarvan afwijkt. Gaat men op deze wijze te werk, dan moeten punten, zooals a, b en c, die voor het lengteprofiel van veel belang zijn, omdat daar de helling van het terrein verandert, als tusschenpunten wor- den opgenomen, door daar even een baak te plaatsen en daarop af te lezen; trekt men die aflezingen van de hoogte van de over- eenkomstige vizierlijn boven peil af, dan vindt men de hoogten van die punten boven peil. De plaats van die punten in horizontalen

-ocr page 216-



		196
		WATERPASSEN.

		zin wordt bepaald door hun afstand tot aan het instrument te meten. Op dergelijke wijze worden ook alle andere punten bepaald, die niet direct tot het lengteprofiel behooren, maar toch voor het doel, dat met de geheele meting beoogd wordt, van nut kunnen zijn. Het opnemen van de dwarsprofielen geschiedt, zoo zij niet al te uitgebreid zijn, gelijktijdig met de opmeting van het lengte- profiel; door een waterpasbaak achtereenvolgens op de verschillende op te nemen punten te plaatsen en daarop met het instrument, dat nog op eene standplaats van het lengteprofiel staat, te richten en af te lezen. Door deze aflezingen van de hierboven bepaalde hoogte van de vizierlijn boven peil af te trekken, vindt men de hoogten dezer punten boven peil. Hun plaats in horizontalen zin wordt bepaald door het meten van hunne afstanden tot aan het lengteproliel. Zijn de dwarsprofielen te uitgebreid om op deze wijze opgenomen te kunnen worden, dan slaat men bij het opnemen van het lengteprofiel houten piketten in den grond ter plaatse waar de dwarsprofielen genomen moeten worden en bepaalt daarvan de hoogten. Na de opmeting van het lengteprofiel worden dan de dwarsprofielen opgenomen, op de wijze als boven voor het lengte- profiel is aangegeven en waarbij telkens wordt uitgegaan van de even vermelde houten piketten. § 189. Overbrengen van het peil over breede rivieren. Bij het overbrengen van het peil over eene breede rivier kan men niet meer door korte slagen en gelijke afstanden voor en achter het instrument, de fouten van het instrument en de invloeden van aardkromming en straalbuiging elimineeren. Daar bij de groote afstanden, die men hierbij kan aantreffen, die invloeden zich zeer sterk doen gevoelen, zoo moet men bijzondere voorzorgen nemen, om al die invloeden zoo goed mogelijk te elimineeren. Moet het peil overgebracht worden van het piket A naar het piket B, fig. 133, en kan men ergens ongeveer midden in de rivier bij C op een eiland, zandbank of iets dergelijks een baak aanbrengen, dan kan men daardoor de afstanden aanmerkelijk verkorten en de fouten elimineeren door twee slagen te nemen, waarbij de afstanden bij omkeering gelijk zijn. Kiest men namelijk de plaatsen D en E voor het instrument en de plaatsen A en B voor de piketten zoodanig, dat DC = CE en AD=EB is, dan zal men, bij de meting uit D, eene groote fout by.de aflezing op

-ocr page 217-



		197
		WATERPASSEN.

		de voorbaak, bij de meting uit E eene even groote fout bij de aflezing op de achterbaak maken; deze twee fouten heffen elkaar dus op. Dit opheffen van de fouten heeft, voor zooverre betreft de invloed van de aardkromming, altijd plaats; voor de fout van het instrument en van de straalbuiging alleen onder voorwaarde, dat de fout van het instrument dezelfde gebleven is, en dat de co�ffici�nt van de straalbuiging tusschen de metingen in D en in E niet veranderd is. Daarom moet men dus zorgen, dat het instrument zoo voorzichtig mogelijk wordt overgebracht, en dat de waarnemingen zoo kort na elkaar plaats hebben, dat men mag veronderstellen, dat de straalbuiging tusschentijds niet veranderd is. Kan men aan deze laatste voorwaarde niet voldoen, doordat het water te breed is, of doordat bij de overvaart moeielijkheden ondervonden worden, dan moet men zijne toevlucht nemen tot gelijktijdige waarnemingen. Door twee verschillende waarnemers worden de waarnemingen in D en in E gelijktijdig met twee ver- schillende instrumenten gedaan, en daardoor dus zoo goed mogelijk de invloed van de straalbuiging ge�limineerd. Het is echter duidelijk, dat hierbij de fouten van de instru- menten niet ge�limineerd worden, dat dus in de uitkomst nog voorkomt het verschil van de fouten, voortgebracht door de twee instrumenten. Om nu deze fout te elimineeren wordt dezelfde meting herhaald, nadat men de instrumenten voorzichtig verwis- seld heeft, om de fout voor en na de verwisseling gelijk te doen zijn. Aangezien nu bij de tweede meting dezelfde fout, maar in tegengestelden zin, gemaakt wordt, heffen die fouten elkaar op. Is men niet in de gelegenheid eene baak in het midden te plaatsen, dan stelt men eerst het instrument in D, fig. 134, en leest op beide baken A en B af. Vervolgens plaatst men het instrument in E en bepaalt weer het hoogteverschil tusschen A en B. Door het gemiddelde van die twee uitkomsten te nemen worden dan weer de fouten ge�limineerd, indien men er voor gezorgd heeft, dat DB = EA en DA = EB is. Het is duidelijk, dat hierbij weer dezelfde voorzorgen als boven genomen moeten worden en dat, als de waarnemingen in D en in E niet kort genoeg achter elkaar kunnen geschieden, men de straalbuiging door gelijktijdige aflezingen met twee instrumenten moet elimineeren, terwijl het elimineeren van de fouten dier instru- menten dan weer plaats heeft door het verwisselen daarvan. Zijn de afstanden niet al te groot, dan kan men bij deze meting de gewone waterpasbaken bezigen. Bij grootere afstanden moet

-ocr page 218-



		198
		WATERPASSEN.


		men echter afzonderlijke baken of borden daartoe laten vervaar- digen , waarop de verdeelingen door des te grootere vakken worden aangegeven, naarmate de afstanden grooter zijn. Aangezien de fouten in de aflezingen op de baken met derge- lijke groote vakken niet gering zullen zijn, en alle fouten door de groote afstanden belangrijk vergroot worden, zoo moet men onderscheidene aflezingen doen of meermalen de overbrenging ver- richten, om door het nemen van het gemiddelde uit de verschil- lende hoogteverschillen de fouten in de einduitkomst zoo gering mogelijk te maken. Het spreekt van zelf, dat men voor deze metingen het gunstigste gedeelte van den dag zal uitkiezen, als de deining zoo gering mogelijk is.

-ocr page 219-



		HOOFDSTUK XXII.

		BAROMETRISCH HOOGTEMETEN. § 190. Nauwkeurigheid Tan de barometrische hoogtemeting. De drukking, die de lucht in eenig punt uitoefent, afhankelijk zijnde van het gewicht van de zich daarboven bevindende lucht, moet met de hoogte langzaam afnemen. Door het meten van de druk- king der lucht in twee verschillende punten, met behulp van den barometer, moet het dus mogelijk zijn het hoogteverschil van die twee punten te bepalen. Bevindt de luchtmassa zich in evenwicht, dan bestaat er eene eenvoudige betrekking tusschen de luchtdrukking en de hoogte. Daar zich echter bij het meten die evenwichtstoestand nooit vol- komen voordoet en men de verstoring van het evenwicht moeielijk in rekening kan brengen, zoo ontstaan daardoor fouten, die, ge- voegd bij de fouten voortspruitende uit het bepalen van de drukkingen zelf, en de andere grootheden zooals bijv. de temperatuur, die men bij de berekening noodig heeft, oorzaak zijn, dat de resul- taten door de barometrische hoogtemeting verkregen, op verre na de nauwkeurigheid niet bezitten van de trigonometrische hoogte- meting en van het waterpassen. Aan de door barometrisch hoog- temeten verkregen hoogteverschillen kan men alleen, wat de geheele meters betreft, waarde hechten; de onderdeelen van den meter zijn niet meer te vertrouwen. Het groote voordeel van de barometrische hoogtemeting is echter gelegen in de gemakkelijkheid, waarmede men van een groot aantal zelfs betrekkelijk ver van elkaar verwijderde punten de hoogten kan bepalen, al is het ook met eene eenigszins geringere

-ocr page 220-



		200
		BAROMETRISCH HOOGTEMETEN.

		nauwkeurigheid. Bij voorloopige opnemingen dus, waar groote nauwkeurigheid bijzaak, vlugheid van werken hoofdzaak is, kan die wijze van hoogtemeting met vrucht worden toegepast. § 491. Baroineter-formnlc van Babinet. Ten einde de betrek- king na te gaan, die er bestaat tusschen de luchtdrukking in twee punten en hun hoogteverschil, zullen wij den evenwichtstoestand nagaan van de lucht, die zich bevindt in een verticalen cilinder, waarvan de doorsnede gelijk aan de eenheid is, en waarvan grond- en bovenvlak in dezelfde waterpasse vlakken liggen, als de pun- ten, waarvan het hoogteverschil zal bepaald worden. Stellen wij de drukking ter plaatse van het benedenste punt P kilogrammen per vierkanten meter, ter plaatse van het bovenste punt P\' kilogrammen per vierkanten meter, dan wordt de in den cilinder aanwezige lucht naar boven gedrukt met eene kracht van (P�P\') KG. Deze kracht nu wordt opgewogen door het gewicht van de zich in den cilinder bevindende lucht. Is het hoogtever- schil van de twee punten h meters en y het gewicht van een kubiekmeter lucht, dan is het gewicht van de in den cilinder aanwezige lucht yh, waaruit dus volgt: <yh =. P � P\', of: V Het gewicht y van de lucht, afhankelijk zijnde van de tempe- ratuur en de luchtdrukking, zoo moet dat gewicht in die groot- heden worden uitgedrukt. Zoo wij ons vooreerst tot kleine hoogte- verschillen bepalen, dan kunnen wij voor de drukking der lucht het gemiddelde van de drukkingen in de beide uiterste punten, dus \\ (P - - P\'), aannemen. Voor de temperatuur mogen wij eveneens het gemiddelde tusschen de temperaturen in die punten nemen. Stellen wij die temperatuur door t, de uitzettingsco�fficient der lucht door a, het gewicht van een kubiekmeter lucht bij 0° en 760 mM. kwik door y_B en het gewicht van een kubiekmeter kwik door s voor, dan is volgens de wet van Boyle: � H^p ^P\') 1 ^r ^� ^r° 0,76.s !- -««� Deze waarde in bovenstaande uitdrukking voor h overbrengende, vinden wij: , 2x0,76X5 P-P\' ,, , _A

-ocr page 221-



		201
		BAROMETRISCH HOOGTEMETEN.


		Aangezien de drukkingen P en P\' evenredig zijn met de tot nul herleide barometerstanden B₀ en B\'₀ en in bovenstaande verge- lijking alleen de verhouding van P tot P\' voorkomt, zoo mogen wij deze vervangen door de verhouding van B₀ tot B₀\', waardoor die uitdrukking overgaat in: ^,t ⁼ ^K(1 ^BSB7\' ⁽¹° 2 x 0 76 X s waarin K de constante waarde -------^!---------voorstelt. Stellen wij r₀hierin voor s en y₀ hunne waarden 13596 en 1,29277, dan vinden wij K = 15986. Bovenstaande formule, die meestal den naam van de formule van Babinet draagt, is alleen voor betrekkelijk kleine hoogtever- schillen toe te passen, aangezien bij de bepaling van <y slechts bij benadering met de verandering van de drukking rekening gehou- den is. Tot eene hoogte van 2 a 300 meter blijft de daaruit ontstane fout echter nog verre beneden de fouten, die uit andere oorzaken voortspruiten, zoodat men tot die hoogten bovenstaande eenvoudige formule gerust mag toepassen. § 192. Barometer-formule van Laplace. Ten einde nauwkeu- riger de betrekking op te maken, die er bestaat tusschen de barometerstanden en het hoogteverschil, moeten wij de differen- tiaal-vergelijking voor het evenwicht opmaken. Beschouwen wij daartoe de lucht, begrepen tusschen twee vlakken, respectievelijk op de afstanden z en z-\\-dz boven het benedenste punt gelegen, dan is het gewicht van die lucht gelijk aan ydz. De drukking ter hoogte z gelijk aan p stellende, zoo is die ter hoogte z-\\-dz gelijk aan p-{-dp, en dus de drukking, die de lucht in opwaart- sche richting ondervindt: p � (p-\\-dp) = � dp. Dezen drukking gelijk stellende aan het gewicht van de lucht vinden wij: dp =� -ydz. Aangezien de beschouwde luchtlaag eene geringe dikte heeft, zoo mogen wij voor de berekening van y de drukking overal gelijk aan p stellen, waardoor wij vinden: p 1 ^y � ^ro�7f6T7\'rT^\'

-ocr page 222-



		202 BAROMETRISCH HOOGTEMETEN. waarin <y₀, s, a ent dezelfde beteekenis als in de vorige paragraaf hebben. Substitueeren wij deze waarde in bovenstaande vergelijking en deelen wij door p, dan vinden wij: �t�______�°_____dz p� 0,76 x«(l-t-«) Integreeren wij nu deze vergelijking en beschouwen wij daarbij de temperatuur, die slechts weinig met de hoogte verandert, als constant, dan vinden wij: Nep. log.p = 0-0^%�->., waarin C de constante van de intregatie is. Aangezien nu voor z=zo,* p = P de drukking in het benedenste punt moet zijn, zoo is C = Nep. log. P; en daar voor z=zH, p gelijk moet worden aan de drukking P\' in het hoogste punt, zoo vinden wij: Nep. log. P\' = Nep. log. P - ~~^ _x~~ ~~?₍₁~~ ^ of: , 0,76 X * ,. , ,* _Ar , P h = �---------(1 -h xt) Nep. log. -~r. p Vervangen wij in deze uitdrukking de verhouding -^ wederom door ^g°- en vervangen wij de Neperiaansche logarithmen door �t» o gewone, dan vinden wij, als wij den modulus 0,43429448 door M voorstellen: A = K\'(1 *f)log.h- (2.) ^D o 0 76 X s waarin K\' de constante waarde �------^- vooi\'stelt. Stellen wij daarin voor s, y₀ en M de bekende waarden, dan vinden wij voor den co�ffici�nt K\' van bovenstaande formule, die meestal den naam van de formule van Laplace draagt, de waarde: K\' = 18404. § 193. Volledige barometer-formule. Bij de afleiding van boven- staande formules is alleen rekening gehouden met de drukking en de temperatuur van de lucht. Met de overige omstandigheden, die invloed hebben op de verandering van de drukking der lucht met de hoogte, en waarvan de voornaamste zijn: de vochtigheid

-ocr page 223-



		BAROMETRISCH HOOGTEMETEN. 203

		der lucht, de verandering van de zwaartekracht met de geogra- phische breedte en hare verandering met de absolute hoogte, kan men voldoende rekening houden door, voor de co�ffici�nten K en K\' eene eenigszins andere waarde te nemen, overeenkomende met den gemiddelden vochtigheidstoestand der lucht en de gemiddelde geographische breedte en absolute hoogte, waarop de waarne- mingen plaats hebben. Om te laten zien hoe die co�ffici�nten bepaald worden, geven wij hier zonder bewijs de volledige barometer-formule: &=18404(1 0,002573cw2 /3)(d ^-) (l-f-0,377^ (1 at) %.-\|? (3.) waarin /3 de gemiddelde geographische breedte, H de gemiddelde hoogte boven de zee, R den straal der aarde, e de gemiddelde spanning van den waterdamp en b de gemiddelde barometerstand voorstelt. Door nu voor &, H, e en b gemiddelde waarden in te voeren, geldende voor de streek waar de waarnemingen gedaan worden, wordt de co�ffici�nt K\' van de formule van Laplace: K=l8404(1 0,002573cm.W1 SrW1 0,377 ±\\ (4.) en bij vermenigvuldiging met 2M. vinden wij voor den co�ffici�nt K van de formule van Babinet: K= 15986 (1-f- 0,002573 cos. W 1 S ] ( 1 -h 0,377 -f- ) (5.)

	RJ\' \' \' b , Stellen wij bijv. voor Nederland gemiddeldP = hT\\0\', H = 0, e = 10mM., geldende voor de zomermaanden, en i= 760mM., dan vinden wij: K = 16056 en: K\' = 18484 § 194. Hulpmiddelen voor de berekening van de hoogteverschil- len. Bij de opneming van een groot aantal punten met behulp van de anero�de, zal men de berekening van de hoogteverschillen volgens de hiervoor behandelde formules door middel van vooraf berekende tabellen trachten te vereenvoudigen. Twee�rlei soort van tabellen worden tot dat doel gebruikt. De eene soort steunt op de formule van Babinet, die wij als volgt kunnen schrijven: ^A ⁼ ^K^\|-\'(B�-B₀\') = _Wi(B₀-B₀\'); (6.)

-ocr page 224-



		204 BAROMETRISCH HOOGTEMETEN.

		waarin dan m de hoogte voorstelt, overeenkomende met ��n mM. verschil in barometerstand. Van deze waarde van m, dielangsaam met de gemiddelde temperatuur t en de som der barometerstanden verandert, kan men eene tabel met dubbelen ingang vervaardigen. Zoekt men dan in die tabel, met behulp van de waarden van t en B₀ B_o\' de waarde van m, dan heeft men deze slechts te vermenigvuldigen met het verschil B₀ � B\'₀ van de twee barome- terstanden, om het hoogteverschil te vinden. De tweede soort van tabellen berust op eene vervorming van de formule van Laplace. Voor deze formule mogen wij namelijk schrijven: . {�,760 760) h = K log.^r,-----K log. �{ (1 «) of, als wij: K %.�=�= H en:Kfoar. =-7-= H\', stellen: = H\' � H-t-«(H\' � H). (7.) Maakt men nu eene tabel met enkelen ingang, van de waarden 760 van H =rK log.* -=- die den naam van ruwe zeehoogten dragen, (omdat zij de hoogten boven de zee aangeven, in de onderstelling dat de barometerstand bij het oppervlak der zee 760 mM. bedraagt en de gemiddelde temperatuur nul is) dan kan men daarin voor B₀ en B₀\' de overeenkomstige waarden van H en H\' vinden. Hun verschil geeft het ruwe hoogteverschil, dat nog gecorrigeerd moet worden voor de temperatuur. Van de daartoe aan te brengen correctie «t (H\' � fl) kan men eene kleine tabel met dubbelen ingang vervaardigen, waarin men de waarde van die correctie vindt, voor de overeenkomstige waarden van t en H\' � H. Tot hetzelfde doel, het vereenvoudigen van de berekening, bezigt men ook bijzonder daarvoor ingerichte rekenlinialen en graphische tafelen, die wij hier niet nader zullen bespreken. § 195. Horizontale afstand der punten. � Gelijktijdige waar- nemingen. Bij de hierboven ontwikkelde formules is verondersteld, dat de drukkingen in twee verticaal boven elkaar gelegen punten bepaald zijn; zij zijn echter evenzeer van toepassing wanneer de punten niet verticaal boven elkaar gelegen zijn, omdat als de lucht in evenwicht is, in de punten, die in hetzelfde waterpasse vlak gelegen zijn, dezelfde drukking heerscht. Is de lucht niet in

-ocr page 225-



		205
		BAROMETRISCH HOOGTEMETEN.


		evenwicht, dan zal de drukking in die punten niet volkomen de- zelfde zijn, en men zal dus eene fout maken, die des te grooter zal zijn, naarmate de verstoring van het evenwicht en de hori- zontale afstand der punten grooter zijn. Men moet daarom ver- mijden, direct het hoogteverschil van punten te bepalen, die al te ver van elkaar verwijderd zijn. Ook moet men vermijden , het hoogteverschil direct te bepalen van punten, die zich in zeer on- gelijke meteorologische toestanden bevinden, zooals bijv. punten aan weerszijden van een bergrug. Verder zijn wij uitgegaan van de onderstelling dat op beide punten gelijktijdige waarnemingen gedaan worden. Dit laatste is noodig omdat de drukking van de lucht in den loop van den dag op dezelfde plaats langzaam verandert. Men is dus genoodzaakt met twee anero�den en twee waarnemers de metingen te ver- richten. Wel kan men de meting met ��n anero�de verrichten, maar dan moet men na een niet al te lang tijdsverloop (bijv. een uur) op het uitgangspunt terug komen en daar opnieuw de anero�de waarnemen, om de verandering van de luchtdrukking te kunnen nagaan. Uit die twee waarnemingen kan men dan door inter- polatie evenredig met den tijd, de barometerstanden afleiden, die gelijktijdig hebben plaats gehad, met de op de andere punten waargenomen anero�de-aflezingen. Deze wijze van handelen zal alleen dan juiste resultaten ople- veren, als de drukking van de lucht in den tusschentijd evenredig met den tijd veranderd is. Heeft de verandering niet op die wijze plaats, dan ontstaat daardoor dus eene nieuwe bron van fouten voor de meting; zoodat dan ook de metingen met ��ne anero�de eene mindere nauwkeurigheid bezitten, dan de gelijktij- dige metingen met twee anero�den. Zij kunnen echter bruikbare resultaten leveren zoo men zorg draagt na een niet al te groot tijdsverloop op hetzelfde punt (of een ander punt waarvan de hoogte bekend is) terug te keeren en geen waarnemingen te doen bij stormachtig weer, als de barometerstand aan onregelmatige veranderingen is blootgesteld. Van de verschillende grootheden die, behalve de luchtdrukking, op het hoogteverschil van .invloed zijn, wordt, zooals uit § 493 blijkt, alleen de temperatuur rechtstreeks in rekening gebracht. Deze moet dus met behulp van een thermometer in beide punten worden bepaald. Het gemiddelde van beide temperaturen wordt in de formule ingevoerd.

-ocr page 226-



		206
		BAROMETRISCH HOOGTEMETEN.


		§ 196. Uitvoering der meting met twee anero�dcn. Heeft men van eene menigte punten op een terrein de hoogten barometrisch te bepalen en zijn van eenige dier punten de hoogte bekend, dan zal men achtereenvolgens de punten opnemen, die om de bekende punten heen gelegen zijn. In het punt van bekende hoogte wordt een anero�de opgesteld, die wij den naam van stand-anero�dezullen geven en die op bepaalde tijden, bijv. om het half uur of om de tien minuten, wordt afgelezen. De tweede anero�de, die den naam van veld-anero�de draagt, dient om op de verschillende punten den barometerstand te bepalen. Aangezien het bij de hoogtemeting hoofdzakelijk aankomt op het verschil in barometerstand en de standcorrectie van de anero�de daarop van veel invloed is, zoo moet men de verandering, die deze kan ondergaan hebben, zorg- vuldig elimineeren. Men plaatst daartoe, voordat de meting met de veld-anero�de aanvangt, de twee anero�den naast elkaar en leest die minstens 3 malen met tusschenpozen van bijv. 10 minuten gelijktijdig af. Zijn de aflezingen van beide anero�den tot kwik- hoogten gereduceerd, dan zullen zij dezelfde aanwijzingen moeten geven; doen zij dit niet, dan geeft hun verschil de correctie aan, die aan de aflezingen van de eene anero�de moet aangebracht worden om deze vergelijkbaar te maken met de aflezingen op de andere, Wanneer men \'s avonds thuis komt, worden de twee anero�den weer samen vergeleken, om zich te overtuigen, dat de correctie onveranderd gebleven is. De waarnemingen, die op de verschillende punten van het ter- rein zijn verricht, zijn opgeteekend met den tijd waarop zij gedaan zijn. Met behulp van dien tijd kan men dan uit de waarnemingen met de stand-anero�de, des noods door interpolatie, de correspon- deerende barometerstanden vinden. Is op het terrein geen genoegzaam aantal punten van bekende hoogte aanwezig, dan moet men de hoogten voor de standplaatsen van de stand-anero�de, door de anero�de-meting zelf bepalen. De bepaling van deze hoofdpunten van de meting moet echter nauw- keuriger geschieden, dan die van de overige punten en daarom moet men hiertoe onderscheidene aflezingen doen. Men richt de meting dan als volgt in. \'sOchtens bij het vergelijken van de twee anero�den spreekt men af, waar het volgende hoofdpunt zal gelegen zijn, en wanneer de waarnemer met den veld-barometer daar zal aankomen. Deze begeeft zich dan op weg, neemt de noodige punten op en zorgt v��r of op den bepaalden tijd in het bepaalde punt te zijn. Daar aangekomen, wordt zijn anero�de

-ocr page 227-



		BAROMETRISCH HOOGTEMETEN. \'207

		stand-anero�de en wordt om de tien minuten afgelezen. De waar- nemer met de vroegere stand-anero�de blijft nu nog eenigen tijd waarnemen, tot hij minstens drie gelijktijdige waarnemingen, met tusschenpoozen telkens van 10 minuten, met de nieuwe stand- anero�de heeft en gaat dan op weg, hetzij direct naar het volgende hoofdpunt, hetzij tot het doen van waarnemingen op tusschen- punten, al naar men heeft afgesproken. Op het hoofdpunt aan- gekomen, worden de twee anero�den weer met elkaar vergeleken, waarna men van dat nieuwe punt uit, weer op dezelfde wijze kan voortmeten. Daar de bepaling van de hoogteverschillen der hoofdpunten door drie gelijktijdige waarnemingen geschiedt, zullen ze natuurlijk nauwkeuriger dan die der nevenpunten bepaald worden. Men moet echter steeds zorgen de ophooping van fouten zooveel moge- lijk tegen te gaan, door zooveel als het kan aan punten, waarvan de hoogten nauwkeurig bekend zijn, aan te sluiten. § 197. Uitvoering der meting met ��n anero�de. Aangezien men bij de meting met een anero�de telkens na een niet al te lang tijdsverloop op het uitgangspunt of op een ander bekend punt moet aansluiten, en de nauwkeurigheid van die meting geringer is, dan die met twee anero�den, zoo kan men een uitgestrekt terrein moeielijk met ��n anero�de goed opnemen, als er niet het noodige aantal vaste punten aanwezig is. Zijn deze niet aanwezig dan moet men door waterpassing langs de wegen, zich de noodige vaste punten verschaffen, waarvan men bij de anero�de-meting kan uitgaan. Aangezien men hier slechts met een anero�de te doen heeft, zoo valt bij het nemen van het verschil van twee barometer- standen, de stand-correctie van zelf weg; indien zij ten minste in den tusschentijd niet veranderd is, waarvoor men door voorzich- tige behandeling moet zorgen, te meer daar men hier de controle door de vergelijking met een andere anero�de mist. Bij de aflezing op de vaste punten moet men echter niet op eene enkele aflezing vertrouwen, maar liefst 2 of 3 aflezingen na korte tusschenpoozen doen; omdat eene fout in die allezing, na- tuurlijk alle hoogtebepalingen foutief maakt, iets wat niet het geval is bij eene fout in de aflezing op een der andere punten. Na een kort tijdsverloop, liefst niet langer dan ��n uur, komt men op het uitgangspunt terug, om daar opnieuw den baro- meterstand waar te nemen. Is deze veranderd, dan wordt de

-ocr page 228-



		208 BAROMETRISCH HOOGTEMETEN. verandering, zooals wij boven reeds zagen, evenredig met den tijd verdeeld. In plaats van op het uitgangspunt terug te komen, kan men ook op een ander bekend punt aansluiten. Uit het bekende hoogteverschil (h) en den aldaar waargenomen barometerstand (B\'₀) kan men dan met behulp van de barometerformule, den baro- meterstand (B₀) in het eerste punt berekenen en daarmede op dezelfde wijze handelen, als of hij daar zelf was waargenomen.

-ocr page 229-



		HOOFDSTUK XXIII.

		OPNEMEN VAN HOOGTELIJNEN. § 198. Hoogtclijnen. Om van een terrein eene duidelijke voor- stelling te maken, waarin men alles, wat op het terrein betrek- king heeft, kan terugvinden, is het meestal niet voldoende het terrein alleen in horizontale projectie voor te stellen. Uit de ver- vaardigde kaart moet men tevens de hoogte van ieder punt van het terrein, hetzij direct, hetzij door eene eenvoudige constructie of berekening, kunnen vinden. Te dien einde zou men van een zeker aantal punten van het terrein de hoogteligging kunnen bepalen en in de kaart door cijfers kunnen aangeven. Uit eene dergelijke kaart kan men wel al het noodige afleiden, zij geeft echter een zeer slecht overzicht van het terrein. Men moet veeleer trachten de voorstelling van het terrein zoodanig te maken, dat daarop als met een oogopslag het relief van het terrein te zien is. Eene duidelijke voorstelling van het relief van het terrein, ver- bonden met een volledige aanwijzing van de hoogteligging van de verschillende punten, verkrijgt men door de kaart van hoogte- lijnen of niveau-lijnen te voorzien. \' Denkt men zich het terrein gesneden door een stelsel water- passe vlakken, dan zullen deze op het terrein een stelsel van lijnen bepalen, waarvan alle punten dezelfde hoogte hebben. Deze lijnen op de kaart overgebracht, geven onmiddellijk een duidelijk overzicht van het beloop van het terrein, van de hellingen, van de hoogste en laagste punten, enz. S. 14

-ocr page 230-



		210
		OPNEMEN VAN HOOGTELIJNEN.

		Neemt men die niveauvlakken op onderling gelijke afstanden, en schrijft men bij enkele der daardoor voortgebrachte niveaulijnen de hoogte, dan kan men van elk punt van het terrein de hoogte uit de kaart vinden, op de niveau-lijnen direct uit de hoogten dier lijnen, en voor tusschengelegen punten door eene eenvoudige interpolatie. Tevens geeft de onderlinge afstand der lijnen een overzicht van de grootte der hellingen van het terrein in de ver- schillende punten. De verticale afstand aan de hoogtelijnen te geven, hangt hoofd- zakelijk af van de schaal van de kaart, maar ook eenigszins van den aard van het terrein. Is de schaal van de kaart grooter, dan kan men meer niveau-lijnen in de kaart opnemen en de ver- ticale afstand daarvan dus kleiner nemen. Bij een vlak terrein, Waar de hoogtelijnen in horizontale projectie, in vergelijking met een bergachtig terrein, verder uit elkaar liggen, kan men het- zelfde doen. De verticale afstand der niveau-lijnen is dus zeer verschillend; in meters uitgedrukt kan men daarvoor ongeveer nemen: het cijfer, dat de schaal van de kaart uitdrukt, gedeeld door een getal gelegen tusschen \'250 en 5000, natuurlijk zoodanig, dat het aantal meters een rond getal is. § 199. Algemeen overzicht. Het vervaardigen van eene kaart met hoogtelijnen kan op twee verschillende wijzen plaats hebben: men kan de hoogtelijnen op het terrein zelf bepalen en dan in kaart brengen, of men kan van eene menigte punten van het terrein de hoogten bepalen, deze in kaart brengen en dan daaruit op de kaart de hoogtelijnen afleiden. De eerste methode is zeker de nauwkeurigste; zij is echter zeer omslachtig, langwijlig en daardoor kostbaar. Zij wordt tegenwoor- dig dan ook weinig meer toegepast; alleen daar waar het in betrekkelijk vlak terrein, op eene eenigszins groote nauwkeurig- heid aankomt, zooals bij irigaties enz., is zij met vrucht te ge- bruiken. De tweede methode van meten gaat veel sneller en is dus minder kostbaar. De nauwkeurigheid van de opneming staat wel eenigszins bij de vorige achter; dit is echter meestal geen bezwaar, terwijl ze zoo noodig gemakkelijk kan vergroot worden, door het aantal op te nemen punten te vermeerderen. § 200. Bepaling van de hoogtelijnen op het terrein. De bepa- ling van de hoogtelijnen op het terrein geschiedt met behulp van

-ocr page 231-



		OPNEMEN VAN HOOGTELIJNEN. 211 het waterpasinstrument. Uitgaande van een vast punt, kruishout, peilmerksteentje of dergelijk, waterpast men voort, tot men ge- komen is ter hoogte van de op te zoeken niveau-lijn. Natuurlijk moet men daartoe op het terrein zelf terstond de berekening ver- richten. Is men eindelijk zoover gevorderd dat de vizierlijn van den kijker 0,5 !x 1,5 M. boven die hoogtelijn gelegen is, en heeft men nauwkeurig de hoogte der vizierlijn berekend, dan kan men daaruit onmiddellijk vinden, hoeveel men op de baak moet aflezen, opdat haar voetpunt juist in een punt van de gezochte lijn ligt. De baakhouder verplaatst nu zoolang de waterpasbaak, tot wer- kelijk die aflezing verkregen wordt en geeft dit punt op het terrein door een baakje aan. Hij gaat dan een tweede, derde, vierde punt, enz. op die wijze opzoeken, voor zoover ze van de stand- plaats van het instrument nog genoegzaam zichtbaar zijn. De opnemer zoekt vervolgens eene nieuwe standplaats voor het instru- ment op, om van daaruit de niveau-lijn verder te vervolgen. Het bepalen van de hoogte van de vizierlijn in de nieuwe standplaats geschiedt natuurlijk door het voortzetten van de gewone water- passing, waarbij men alle voorzorgen heeft in acht te nemen, vroeger bij de aaneengeschakelde waterpassing behandeld. Tevens zal men voor de controle van de meting er voor zorgen, ten slotte weer op een punt, waarvan de hoogte bekend is, te sluiten. Heeft men op deze wijze eene hoogtelijn opgezocht, dan kan men op dezelfde wijze overgaan tot het opnemen van een tweede, een derde, enz. Al die verschillende hoogtelijnen zijn dan op het terrein door enkele punten met behulp van baakjes aangegeven, en worden volgens een van de vroeger behandelde methoden op- genomen en in kaart gebracht. Bij het opzoeken op de beschreven wijze van de hoogtelijnen, kan eene baak met bordje grooten dienst bewijzen; door het bordje te plaatsen op de hoogte waarop de kijker gericht moet zijn, ontgaat men het vermoeiende allezen, kan men veel vlugger werken en heeft men minder aanleiding tot het maken van fouten. Zijn de hoogtelijnen dichter bij elkaar gelegen, dan de lengte van de baak bedraagt, dan kan men van uit eene standplaats gelijktijdig meer hoogtelijnen uitzetten, waardoor de arbeid natuur- lijk bespoedigd wordt. § 201. Bepaling van de hoogtelijnen op de kaart. Ter bepaling van de hoogtelijnen op de kaart wordt van eene menigte punten van het terrein de hoogte bepaald en deze bij de projecties dier

-ocr page 232-



		212
		OPNEMEN VAN HOOGTELIJNEN.


		punten in de kaart geschreven. Heeft men die punten zoodanig gekozen, dat men de verbindingslijn van twee punten op het terrein nauwkeurig genoeg als eene rechte lijn kan beschouwen, dan kan men op die lijn door eene eenvoudige constructie of door eene eenvoudige berekening het punt vinden, dat op eene bepaalde hoogtelijn gelegen is. Heeft men op die wijze eene menigte punten bepaald van de te construeeren hoogtelijnen, dan worden de punten van dezelfde hoogtelijn vereenigd, waardoor de hoogtelijnen geconstrueerd zijn. Het is zelfs niet altijd noodig die punten zoo dicht bij elkaar te nemen, zoo men slechts zorgt de punten in profielen te ver- eenigen, volgens de helling van het terrein. Door die profielen met behulp van de op deze wijze verkregen punten in teekening te brengen en deze door lijnen te snijden op de hoogten van de te construeeren hoogtelijnen, kan men gemakkelijk in die profielen de punten van gegeven hoogte vinden en in de kaart overbrengen. In fig. 135 is hiervan een voorbeeld gegeven. De punten waar- van de hoogten gemeten zijn, zijn door cirkeltjes aangegeven en de hoogten er bij geschreven. De profielen, gevormd door de punten tusschen A en B, C en D enz., zijn in fig. 136 geteekend, door de op de kaart gemeten afstanden naast elkaar uit te zetten en door op de loodlijnen in de aldus bepaalde punten getrokken, de bepaalde hoogten af te zetten. Deze profielen zijn nu verder ge- sneden door de lijnen op 50, 60, 70, enz. meter hoogte gelegen, waardoor men de snijpunten ah cd, efgh, enz. verkrijgt, die in fig. 135 worden overgebracht, door de afstanden te meten tot aan de naastby liggende verticaal van een punt in fig. 135 gegeven. De op die wijze in de verschillende profielen bepaalde punten van gelijke hoogte worden nu door lijnen vereenigd. Tot het teekenen van de hoogtelijnen moet men goed bekend zijn met het terrein en het moet dus steeds gedaan worden door denzelfden persoon, die de opneming verricht heeft. Bij de op- neming van het terrein zal hij er voor zorgen op de schetstee- kening den algemeenen loop der hoogtelijnen op het oog zoo nauwkeurig mogelijk aan te geven, om zich daarnaar bij het teekenen der lijnen te kunnen regelen. Voor dat de hoogtelijnen in inkt getrokken worden, is het goed de ontworpen lijnen op het terrein zelf nog eens na te gaan, om zoo doende vergissingen of fouten, die ingeslopen mochten zijn, nog te verhelpen. Het aantal punten, waarvan de hoogten bepaald moeten worden om de hoogtelijnen te construeeren, is niet alleen afhankelijk

-ocr page 233-



		213
		OPNEMEN VAN HOOGTELTJNEN.


		van de schaal van de kaart en van de nauwkeurigheid, die men van de opneming verlangt, maar ook van den vorm van het terrein en van de goede keuze der punten. Het is moeielijk hieromtrent bepaalde aanwijzingen te doen; bij een weinig oefe- ning met die opneming zelf, zal men spoedig op het terrein leeren zien, waar men voor de opneming meer punten noodig heeft en waar men met een geringer aantal kan volstaan, om overal de vereischte nauwkeurigheid te verkrijgen, zonder de meting door de opneming van te veel punten langwijlig en kostbaar te maken. § \'202. Het ontwerpen van hoogtelijnen op bestaande kaarten. Bestaat er van het terrein, waarvan de hoogtelijnen moeten op- genomen worden, eene kaart op de vereischte schaal, dan kunnen die lijnen daarop geconstrueerd worden. Men heeft dan slechts de hoogten te bepalen van de verschillende punten van het terrein, die op de kaart voorkomen, om deze onmiddellijk daarop te kunnen overbrengen. Daar waar deze punten niet voldoende zijn, zal men no\'g van andere punten de hoogten bepalen en deze in kaart brengen, door hun plaats te bepalen ten opzichte van de op de kaart aanwezige lijnen en punten, met zoodanige nauw- keurigheid, als voor het doel noodig is. De wijze, hoe de hoogten der punten bepaald worden, is ver- schillend al naarmate van het doel der meting, de vereischte nauwkeurigheid en de gesteldheid van het terrein. Bij een vlak terrein kan de bepaling van de hoogten der punten het best door waterpassing geschieden. Men begint dan daarbij met langs de hoofd- en andere wegen door het op te nemen terrein nauwkeurige waterpassingen uit te voeren en aan de punten van bekende hoogte aan te sluiten. Bij deze waterpassingen zal men zorgen een zoo groot mogelijk aantal vaste punten te ver- krijgen, om daarvan bij de verdere metingen te kunnen uitgaan; men zal daartoe bij vaste bouwwerken nauwkeurig de hoogten van gemakkelijk terug te vinden punten opnemen of kruishouten in- slaan en de hoogten hiervan bepalen; op en langs de wegen zal men de zich daar bevindende mijlpalen, grenssteenen als anders- zins in de waterpassing opnemen; waar deze niet aanwezig zijn, kan men in enkele hoornen kruishouten slaan of waar deze ook mochten ontbreken, zal men door het inslaan van flinke houten piketten zich tijdelijk vaste punten verschaffen. Is deze hoofd- waterpassing, die als het ware het geraamte of het net van de

-ocr page 234-



		214
		OPNEMEN VAN HOOGTELIJNEN.

		opmeting vormt, afgeloopen, dan kan men tot de eigenlijke meting overgaan, waartoe men aaneengeschakelde waterpassingen tusschen de verschillende vaste punten uitvoert en bij iedere standplaats van het instrument zooveel in den omtrek gelegen punten opneemt, als van daaruit bepaald kunnen worden. Op meer geaccidenteerd terrein is de opneming met het water- pasinstrument tijdroovend, doordat men alleen met horizontale vizierlijn kan werken en dus daardoor uit een zelfde standplaats slechts weinig punten kan bepalen. Gemakkelijker in dat geval is een instrument, voorzien met de in Hoofdstuk X beschreven inrichting tot het meten van afstanden en waarmede op de in § 91 beschreven wijze, tevens hoogteverschillen bepaald worden. Dit instrument wordt op een punt van het terrein geplaatst, van waar men een menigte punten kan opnemen en hiervan worden dan op de beschreven wijze de hoogteverschillen met het instrument bepaald. Deze meting moet eveneens steunen op eene water- passing, die langs de hoofdwegen het terrein als met een net overspant. Bij deze waterpassing zorgt men vaste punten te ver- krijgen in de nabijheid van die punten, waar later het instrument zal geplaatst worden; wordt dan van een dezer punten het hoog- teverschil met het midden van het instrument bepaald, dan vindt men daaruit de hoogte van dit midden boven het algemeen vergelijkingsvlak. en uit deze hoogte de hoogten van al de andere punten. Plaatst men het instrument boven een punt van het terrein, dat ook op de kaart voorkomt, dan kan men tevens eene controle op de opmeting uitoefenen, door ook op den horizontalen rand af te lezen; want deze aflezing, gevoegd bij de vereischte aflezingen voor de hoogtebepaling, geeft tevens richting en lengte van de voerstralen, die volgens § 157 de verschillende punten bepalen. Bij de opneming van eene geheele landstreek met behulp van de anero�de zal men eerst weer door eene waterpassing zich de noodige vaste punten verschaffen, waaraan de andere door anero�de- meting worden vastgelegd (zie § 196 en 197). Alleen bij eene voorloopige opneming, die moet dienen om het terrein op te zoeken, dat door nauwkeurige opneming voor een of ander ont- werp nader moet bestudeerd worden, zalmen, zoo de waterpassing niet reeds bestaat, deze achterwege kunnen laten, omdat die opneming meestal eene mindere nauwkeurigheid toelaat en niet al te veel tijd mag kosten.

-ocr page 235-



		OPNEMEN VAN HOOGTELI.INEN. 215

		8 203. Het opnemen Tan Uoogtelijnen door middel van lengte- en dwarsprofielen. Bestaat er van het op te nemen terrein geene kaart, dan moet de hoogtebepaling gepaard gaan met de bepaling van de horizontale projecties van de punten. Dit kan geschieden door middel van lengte- en dwarsprofielen of volgens de in § 157 geschetste wijze van opnemen volgens de voersjraal-methode. Bij een lang gestrekt terrein, zooals dat veelal voorkomt bij het ontwerpen van spoorwegen en van andere gemeenschapswegen, neemt men in de lengte van het terrein een lengteprofiel op en rechthoekig daarop eene menigte dwarsprofielen op de wijze als in § 188 is aangewezen. Als men deze lengte- en dwarsprofielen werkelijk teekent, dan kan men, door daarin lijnen te trekken op de hoogten, overeenkomende met de te construeeren hoogtelijnen, onmiddellijk punten dezer lijnen bepalen en in de kaart overbrengen. Bij het opnemen van een geheele landstreek op deze wijze moet men eerst door een net de begin- en eindpunten der pro- fielen in horizontale projectie vastleggen en door eene waterpas- sing de hoogten van eenige vaste punten bepalen, waarvan men bij de opneming van de profielen uitgaat. § 204. Het opnemen van hoogtelijnen met den als afstandsmeter ingerichten theodoliet. De thans meest gebruikelijke wijze van opmeten is de in § 157 geschetste opneming met den tot afstand- meten ingerichten theodoliet. De wijze hoe de punten in hori- zontale projectie worden opgenomen is daar ter plaatse uiteengezet. Voor de hoogtebepaling heeft men volgens § 91, behalve de reeds voor de horizontale projectie afgelezen grootheden h en a, alleen nog noodig de hoogte af te lezen, waarop de middendraad zich op de baak projecteert. Daar het hierbij echter niet op een enkelen centimeter aankomt, zoo kan men voor die hoogte ook nemen het gemiddelde van de aflezingen van de twee andere draden, zoodat men met de volgens § 157 afgelezen grootheden volstaan kan, om de punten niet alleen in horizontalen maar ook in verticalen zin volkomen vast te leggen. Bij de opneming van een geheele landstreek zal men beginnen met deze eerst met een net te overdekken, waarvan de hoekpunten de latere standpunten van het instrument zullen zijn. In de na- bijheid van ieder punt wordt een piket geslagen en de hoogten van al deze piketten door waterpassing bepaald. Bij de detailmeting plaatst men nu eerst de baak op het piket en bepaalt uit de

-ocr page 236-



		216 OPNEMEN VAN HOOGTELIJNEN.

		daarop afgelezen hoogten de hoogte van het midden van den kijker, ten opzichte waarvan dan later al de andere punten in hoogteligging bepaald worden. Is het bij de opneming alleen te doen om de hoogtelijnen, niet om de grensscheidingen, enz., dan kiest men de op te nemen punten zoodanig, dat de hoogtelijnen daardoor zoo goed mogelijk worden bepaald. Is het tevens te doen om de grensscheidingen, enz. in kaart te brengen, dan begint men met daarvoor de noodige punten op te nemen, en voor zooverre deze niet voldoende zijn voor de hoogtemeting, worden zij dan door andere punten aangevuld. Bij de opneming van een lang gestrekt terrein, waarbij men de geheele breedte van de op te nemen strook van eene stand- plaats van het instrument kan overzien, zal men voor het net meestal een gestrekten veelhoek nemen. Deze veelhoek wordt dan meestal met hetzelfde instrument gelijktijdig met de d�tails op- genomen en dan ook de hoogte van een volgend punt uit die van een vorig punt met hetzelfde instrument bepaald. De op- volgende standpunten van het instrument, het net van de op- meting vormende, moeten natuurlijk nauwkeuriger dan de d�tail- punten bepaald worden; hiertoe wordt als men van A naar B gaat, de afstand van A tot B en het hoogteverschil van beide punten met het instrument zoowel van uit A als van uit B bepaald. Tevens kan men ter controle een derde punt nemen, dat uit beide standplaatsen zoo in horizontalen als in verticalen zin bepaald wordt. § 205. Opneming in bosschen. De grootste moeielijkheid biedt de opneming in dicht begroeide bosschen aan. Eene nauwkeurige opneming is daar zeer dikwijls geheel onmogelijk, zonder in het bosch veel hout om te hakken. Meestal echter kan men er met eene veel minder nauwkeurige opneming volstaan. Moeten later aldaar werken worden aangelegd, die eene nauwkeurige opneming vereischen, dan kan men uit de minder nauwkeurige opneming gemakkelijk die deelen uitkiezen, die voor het werk in aanmerking kunnen komen en ze nauwkeuriger opnemen; de aan\'die opneming besteede grootere moeite en kosten worden dan opgewogen door de mindere uitgebreidheid van het terreingedeelte waarover zij zich uitstrekt. De opneming van dergelijk boschrijk terrein kan moeilijk op de boven beschreven wijze geschieden. In dergelijke gevallen kan men door de wegen, paden of open gedeelten, die het bosch

-ocr page 237-



		OPNEMEN \\AN HOOGTELI.INEN.

		aanbiedt, of die men zich op min kostbare wijze kan verschaffen, zooveel mogelijk gestrekte veelhoeken met korte zijden met behulp van de boussole opnemen. Voegt men aan de boussole eene in- richting toe tot het meten van verticale hoeken en meet men daarmede telkens de hellingen van de zijden van den veelhoek, dan kan men de hoogten van de hoekpunten berekenen, deze in teekening brengen en daaruit de hoogtelijnen afleiden. Neemt men hierbij voor de lengten der zijden in schuine richting gemeten de lengte der ketting of van den meetband (10 of 20 meter), dan kan men gemakkelijk uit eene tafel van de natuurlijke consinussen en sinussen de horizontale afstanden en de hoogteverschillen aflezen, waardoor de berekening aanmerkelijk bekort wordt. Op deze wijze zijn in fig. 135 tusschen de punten U,V, WenX drie veelhoeken opgemeten, die voldoende zijn om een groot gedeelte van de hoogtelijnen tusschen 00 en 160 meter te bepalen.