Boek Nummer

zendingnummer

Titel

12173

Het vraagstuk der rechtlijnige centraalbeweging, als bijdrage voor de kritiek onzer
hedendaagsche beoefening der wiskunde : opmerkingen en nadere toelichting

Auteur

Plaats

Uitgever

Jaar

Druk

Deel

Signatuur

Verblijfplaats

Paginas

FileNames

FoutievePaginas
Bijzonderheden

Schuringa, Pieter

Zierikzee

1873

MAG: Qoct 2583

Utrecht

titel l-tite!6, 5-66, [i]

I2173titell.tif- I2l73titel6.tif, I217300O5.tif-
12l730066.tif, 12l73n00l.tif

maandag 29 september 2008

Page 121 of 181

-ocr page 2-

HET VRAAGSTUK

DKIt

|kMpij$ 0[eRtra#«o«jpjj,

\'Jt

al*,.

� .

BIJDRAGE VOOR DE KRITIEK

ONZER

HEDENDAAGSCHE BEOEFENING DER WISKUNDE.

OPMERKINGEN EN NADERE TOELICHTING,

DOOK

D*. P. SCHURINGA.

Stuit» est dementia, cum tot ubique
.... occurras periturae parcere chartae.
Juv. Sat. I.

""\' v

9 ._r

�\'t �

-.# �

ZlliUlKZEI!,

H. L.AKENMA N.
18 7 3.

�*�

�

&«?..

-ocr page 3-

v*\\v* ^,^/?5

Q. oct.

2583

-ocr page 4-




		HET VRAAGSTUK

		DER

		RECHTLIJNIGE CENTRAALBEWEGING.

-ocr page 5-

-ocr page 6-

6\'isdi

HET VRAAGSTUK

DER

li^Wijm^ �^entrasltewtjpi,

ALS

BIJDRAGE VOOR DE KRITIEK

ONZER

HEDENDAAGSCHE BEOEFENING DER WISKUNDE.

Opmerkingen en nadere toelichting,

DOOR

D». P. SCHURINGA.

Stulta est dementia, cum tot ubique
.... occurras periturae parcere chartae.
Juv. Sat. I.

ZIERIKZEE,

H. LAKE

-ocr page 7-



		11

		nadere bespreking licht zou ontaarden in datgene, wat de heer Korteweg (bl. 2) terecht aanduidt als woordenzifter ij. Eene hoofdzwarigheid van Dr. Schouten ontmoeten wij in eene vraag, die zich vertoont op bl. 6 van »Welke waarde" enz., de vraag namelijk, in welke richting (in het krachtcentrum) de versnelling wordt aangenomen te werken. Helaas, onnoodig bezwaart deze vraag den schrijver. Er ontstaat geheel geene vraag; de vraag is eens voor al gedaan: een punt beweegt zich rechtlijnig naar een aantrekkend centrum d cc heen, onder eene gegevene wet der versnelling: . = f (x)j men waagt: wat zal in dat centrum van die beweging worden? Wij hebben hier te doen met eene algemeene versnellings-wet, die ook in \'t krachtcentrum wordt ondersteld dezelfde te blijven, zoodat ook daar (» Welke waarde" bl. 5) »de versnelling gericht is volgens de lijn, welke het bewegende punt met het centrum verbindt." Wil men de «bovenstaande vraag" doen, dan is zij onbepaald, en de vele willekeurige hypothesen, waarmede men haar kan beantwoorden, doen even zoo vele afzonderlijke vraagstukken ontstaan, gelijk bijv. dat in » Welke waarde," bl. 9. Op die wijs krijgt men wel een bepaald vraagstuk, doch niet liet moeilijke vraagstuk, dat in deze en de vorige eeuw zoo dikwijls hoofdbreken heeft gekost, en als «bijzondere omstan- digheid" zich voordoet bij het algemeen geformuleerde probleem der centraalbeweging, zonder bij-onderstellingen. Dit historische vraagstuk is het, dat blijkens \'t eerste hoofdstuk van het ^Onderzoek" etc. bedoeld is door Prof. v. Gr.; en bij eene opmerkzame lezing van het geschiedkundig overzicht in dat hoofdstuk, zou het Dr. Schouten gebleken zijn, dat hier voor »vragen" noch «onderstellingen" ruimte was. Ter toelichting hiervan is het voldoende, enkele gedeelten in herinnering te brengen uit de reeds door Prof. v. G. geleverde aanhalingen, bij diens oplettende studie van de litteratuur dezer zaak. Op bl. 6 van hot y>Onderzoek" blijkt uit Newton\'s woorden, dat deze telkens de wet der versnelling (kracht) opgeeft, bijv.: »ubi vis .... decrescit in maiore quam triplicata rationo altitu- dinis," en »at si vis vel decrescat in minore quam triplicata

-ocr page 8-



		Stulta est dementia, cum tot ubique .....occurras periturae parcere chartae. Juv. Sat. I. 1. De in Juni des vorigen jaars verschenene brochure: «Onderzoek eener bijzondere omstandigheid der centrale bewe- ging," door Dr. P. van Geer, gaf den schrijver dezes aanleiding tot de uitgaaf van een opstel, getiteld: »De vrije centraalbe- weging in de rechtlijnige baan" etc. In verband met de te voren in mijn academisch proefschrift uitgesprokene meening, heb ik getracht in dat opstel de gronden te ontwikkelen eener opinie, lijnrecht tegenovergesteld aan de conclusie, door den genoemden hoogleeraar getrokken in het ter spraak gebrachte vraagstuk. Met het doel om op te bouwen meer dan af te breken, heb ik mij tot zelfs in den vorm aangesloten aan de beschouwingen van Prof. v. G., tot zoover, als die mij juist voorkwamen, om vervolgens des te beter de afwijking te doen uitkomen daar, waar naar mijn inzien de onjuistheid gelegen was, en een ander gezichtspunt moest worden gekozen. Met voorbijgang der meer ondergeschikte bloote ophelderingen, strekten mijne beschouwingen tevens tot weerlegging van de toelichtingen des hoogleeraars, in zoover als die eene we ten- schappelijke redeneering inhielden, en bestemd waren om door klemmend verband met bekende zaken de voorgestane meening te steunen. Sedert de uitgaaf mijner brochure zijn intusschen nog eenige geschriften uitgekomen, die betrekking hebben op hetzelfde onderwerp. Van den heer D. J. Korteweg verscheen in No- vember d. v. j. eene brochure, getiteld: »Nasporingen omtrent de bijzondere omstandigheid der centrale beweging, onlangs door Dr. P. van Geer onderzocht," � waarop spoedig, in

-ocr page 9-



		(i

		December, volgde: »Welke waarde hebben de resultaten van den hoogleeraar Dr. P. van Geer en die van Dr. P. Schuringa, gevonden bij het onderzoek eener bijzondere omstandigheid der centrale beweging? Beantwoord door Dr. G. Schouten." Ein- delijk, in de vorige maand, verscheen ) van mijn bovengenoemd opstel eene beoordeeling van den heer J. Versluys, tevens auteur eener bijna gelijktijdig verschenen brochure: »De Fouten, die voorkomen in een gedeelte van Prof. van Geer\'s Geschrift over centrale beweging." De strekking der drie laatstgenoemde brochures is zeer uiteenloopend. De verhandeling des heeren Korteweg heeft slechts het onderzoek der onderhavige quaestie ten doel, en onthoudt zich bijna geheel van opzettelijke bestrijding der verschillende meeningen in dit vraagstuk. De conclusien in dit geschrift stellen de oplossing der quaestie voor als onbepaald, of althans onbeslist. Het opstel van Dr. Schouten daarentegen beoogt voornamelijk de kritiek, beschouwt het vraagstuk als onbepaald en onoplosbaar, en concludeert tot staking van het onderzoek. Het stukje: ?>De Fouten"* eindelijk, bevat de op- somming van vijftien of zestien uit ruim tien bladzijden bijeen- verzamelde »fouten" van Prof. van Geer. Het dertiental bladzijden, waarin nu die fouten zijn aangewezen, is dus te beschouwen als eene proeve van zuivere kritiek. Dit laatste geldt natuurlijk ook van de bovengenoemde kritiek mijner brochure; ��ne slot-opmerking daarin betreft echter een ernstig punt: het is die, waarin de beoordeelaar het verband beseft der aanhangige quaestie met de geschiedenis van de beoefening der wiskunde, en op grond daarvan aan mijn opstel zekere belangrijkheid toekent, met het oog op de ^beoefening !) In no. 4 van het «Schoolblad," Courant voor L., M. en Gymn. Onderwijs, onder redactie van J. Versluys en C. A. van Riet. Deze beoordeeling wordt in het volgende bedoeld, indien van de y>kritick" mijner brochure wordt gesproken. De gemolde courant bevatte reeds in Juni 1872 deze belofte van den heer V.: »Wij zullen afwachten of anderen de jongste ponnevrucht van Prof. v. G. de plaats aanwijzen, die haar toekomt. Wij hopen dat het geschieden zal door iemand, die bepaald mechanica en verwante vakken tot zijne studievakken gekozen heeft; zoo niet, dan zal ik, ofschoon mijne studie eene andere richting genomen heeft (sic), die taak op mij nemen in een afzonderlijk geschrift."

-ocr page 10-



		-

		7 der wiskunde in ons vaderland." Deze laatste vaderlandsche snaar vond ook bij mij weerklank: de kennis onzer vaderlandsche beoefening der wiskunde is van hoog gewicht, en juist deze quaestie der rechtlijnige centraalbeweging heeft enkele bijdragen opgeleverd, die inderdaad voor die kennis belangrijk zijn. In \'t bijzonder wil ook ik daarom in de volgende bladen eens een\' kritischen blik trachten te werpen, en wel vooral op den inhoud der drie bovengenoemde laatst uitgekomene brochures. Voor zoover zij het werkje van den heer Korteweg betreft, kan deze kritiek zich bepalen tot enkele opmerkingen, nevens aanwijzing en motiveering der onjuistheid van sommige ge- zichtspunten. Anders is het echter met de twee overigen. Dr. Schouten meent dat het bekende vraagstuk eigenlijk geen vraagstuk, en dus voor de beoordeeling der resultaten het onderzoek der beschouwingen overtollig is. Iets minder, ver gaat de heer Versluys: deze gelooft in zijne kritiek, dat de zwaarste der »fouten" bestaat in verkeerde toepassing der methode van Cauchy. � Deze beide excepties nu moeten onverbiddelijk worden afge- wezen. Dit aan te toonen, en daardoor het argelooze der na�viteit in het licht te stellen, die stoutweg dergelijke excepties opwerpt, is eene meer verdrietige dan moeilijke taak, waarvan echter de vervulling misschien niet overtollig is voor de al of niet deskundige lezers der bedoelde brochures en der bewuste kritiek. Die taak is mij bovendien een zekere plicht. Immers de mis- vatting van Dr. Schouten ontstaat ten deele uit miskenning der, vroeger door mij opzettelijk voorbijgegane, geschiedenis van ons vraagstuk, � terwijl de hoofdgrief van den schrijver der »Fouten" te wijten is aan den beknopten vorm der for- mules, waardoor die criticus blijkbaar in de war is gebracht, en die in mijn vorig opstel (zie ald. bl. 11) om bovengenoemde reden opzettelijk in aansluiting aan Prof. v. Gh was gekozen. Daarom bespreek ik ook de y>Fouten," ofschoon tevens als toelichting tot de bovengenoemde kritiek. Voor het overige zal de hoogleeraar v. Gr. zelf ongetwijfeld niet het antwoord schuldig blijven op elke betamelijke en wetenschappelijke be-

-ocr page 11-



		8

		strijding zijner meeningen in de eens ter sprake gebrachte quaestie. Deze nadere toelichtingen, alsnog verschuldigd, blijkens de mogelijkheid der brochure van Dr. Schouten, en der kritiek van den schrijver der »Fouten," wensen ik aan te brengen in geregelde aansluiting aan den logischen gedachtengang dezer zaak, en voorts aan de orde in mijn vroeger opstel gevolgd. Intusschen beantwoordt deze volgorde ook ten deele aan de chronologische opvolging, zoodat ik de kritiek van den heer V. grootendeels eerst behoef te bespreken na de denkbeelden van Dr. Schouten. 2. Ons probleem is niet een dynamisch, maar een cinematisch vraagstuk. Men heeft te doen met eene gegevene versnellingswet, waaraan de beweging van ��n enkel punt is onderworpen, van welke beweging diensvolgens de zuiver geometrische theorie moet gevonden worden, onafhankelijk van den aard der de versnelling veroorzakende krachten, en van den invloed der massa\'s op deze beweging. De begrippen van arbeid en levende kracht zijn dus aan dit vraagstuk vreemd, hetwelk dan ook vroeger steeds in het oog is gehouden. Daarom is eene algemeene bedenking, die ik in de eerste plaats tegen de brochure van den heer Korteweg wil maken, deze, dat zij op verschillende plaatsen (bl. 14, 24, 44, 63) spreekt van levende kracht, arbeidsvermogen, te verrichten arbeid en moleculen. Evenwel is hier van belang het algemeene dynamische principe: dat bij eene bestaande krachtfunctie (»ergal"), � waaraan dit geval eener centraalkracht beant- woordt, � gedurende de geheele beweging de aangroeiing der levende krachten slechts van de aanvangs- en eindpositi�n afhangt, � of, dat bij een »conservatief systeem" de som der »potentieele" en »cinetische energie" standvastig is. Dit principe nu grondt zich ter laatster instantie toch op de overeenkomstige cinematische wet, die geldt voor ��n enkel punt, en gevonden wordt door de eerste integratie der bewegings-vergehjking. Vandaar dat men de genoemde wet evenzeer kan toepassen bij onze cinematische beschouwing van ��n bewegend punt,

-ocr page 12-



		f) mits men in plaats van levende kracht en aangroeiing van den arbeid, spreke van het vierkant der snelheid, en van \'t product van versnelling en afstand tot het centrum. Uit de mogelijkheid, om de versnelling uit te drukken in functie van den afstand, vloeit dan ook in ons vraagstuk voort, dat het vierkant der snelheid, dus ook deze zelf, slechts van den afstand afhangt, en in het algemeen voor denzelfden af- stand steeds dezelfde waarde zal verkrijgen. Of echter dit laatste ook het geval zal zijn, indien het bewegende punt inmiddels d��r het krachtcentrum, en de bovenbedoelde integraal d��r oneindig groot passeert, dit wordt aan rechtmatigen twijfel onderhevig. Niet eerder zal men deze gevolgtrekking uit het principe der levende kracht hier mogen toepassen, dan nadat aangetoond is, dat bij dien doorgang de plotselinge vergrooting der integraal nul moet zijn. De in 7>Nasporingen" op bl. 26 gevoerde algemeene rede- neering nu, over die soort van »limiet-overgangen," welke de heer K. in zijne § 3 bedoelt, zou � daar er geen bepaalde limiet-overgang werkelijk wordt uitgevoerd, � slechts dan eenige waarde hebben, indien men a priori daarbij voor alle gevallen mocht aannemen het bestaan eener algemeene wet. Zoodanige wet, staande boven de verschillende bijzondere ver- snellingswetten, zou slechts kunnen worden geleverd door een (dynamisch) principe, zooals de bovenbedoelde gevolgtrekking der gelijke snelheden bij gelijken afstand. Die waarde der genoemde redeneering is thans echter afwezig, want de algemeene gel- digheid van dit principe vereischt juist hier bevestiging. Iets dergelijks geldt van de algemeene redeneering aan het slot der vorige § 2 op bl. 24 der iNasporingen." Terecht ge- voelt aldaar de heer K. dat tu&schen geene en eene oneindig kleine verplaatsing geen onderscheid mag gemaakt worden (verg. hierachter § 5), en vindt daarom het verlies van snelheid in het krachtcentrum onverklaarbaar en onwaarschijnlijk. Doch de volstrekt algemeene geldigheid van \'t principe van behoud der (levende kracht en) snelheid is, wegens analogie met alle overige gevallen, bloot waarschijnlijk voor dit geval, waar het strenge aantooiien juist nog afhangt van de waarde der singuliere integraal.

-ocr page 13-



		10

		Die waarschijnlijkheid, (de oorzaak dor vaste meeningen van Kobins, d\'Alembert, Laplace ) e. a.), te verheffen tot zekerheid, dit is het doel der quaestie, wier belang geenszins uitsluitend indirect en analytisch, maar ook direct voor de Physica wellicht grooter is, dan wij vermoeden. Niettegenstaande de gevestigde dynamische principes, zoude echter de cinematica in dezen het antwoord moeten schuldig blijven, indien dat antwoord van de eigenlijke Analyse afhing. De taak der analyse* is hier echter ten einde, juist omdat het niet aankomt op \'tvinden der eigen- schappen van het geheel, maar alleen op de elementen zelf. Daarom kunnen wij, ofschoon hier schijnbaar eene ontdekking wordt vereischt, ook geen baat vinden bij de zoo bij uitstek analytische nieuwere methoden, te meer omdat de toepassingen daarvan op de eigenlijke cinematica uit den aard der zaak schaarsch zijn. (Zie intusschen nog hierachter, § 13). Daarom eindelijk, wordt dat antwoord alleen, maar ook volkomen, ge- leverd door kritisch onderzoek der begrippen van oneindig klein en groot; der continu�teit van tijd en ruimte, en der beteekenis van functien en onafhankelijke veranderlijkheid. (Verg. y>De vrije C," §§ 5 en 12, en hierachter § 5 vgg.) 3. Gaan wij over tot den analytischen aard van het vraag- stuk, en tot de brochure van Dr. Schouten. Daar ik ook dit- maal bij ondergeschikte zaken mag noch wil verwijlen, ga ik met stilzwijgen enkele opmerkingen voorbij van bl. 5, wier

		1) Zie Dr. P. v. G. »Onderzoek" enz. bl. 15, 24, 27 en 28. In de Nachr. der Kon. Ges. der Wiss., Doe. 1872 heeft Clausius eene verhandeling gegeven over nieuwe door hem afgeleide betrekkingen bij stationaire centraalbewegingen. Ofschoon in dit stuk, zoowel als in een vorig daarbij behoorend (Nachr. 1871, S. 245), het rechtlijnige als bijzonder geval optreedt, als n.1. p of q = 0 wordt (N. 1872, S. C25 en 630), zegt C. slechts, dat dan \'t punt zich «geradlinig dem Centrum zu uiid vom Centrum fortbewegt," docli roert niet aan de quaestie, wat er bij de passage d��r \'t centrum wordt van het principe van \'t behoud van arbeidsvermogen, door hem steeds ondersteld (vg. S. 623 ben.) als algemeen voortvloeiende uit zijne algemeene hypothese: E = constant.

-ocr page 14-



		12

		rationo altitudinis, vel crescat in altitudinis ratione quacunque," � doch nimmer spreekt van de geringste bij-hypothese voor \'t cen- trum zelf. ^J) Evenmin doet Euler zulks, zie »Onderzoek," bl. 8: »hoc quidem veritati minus videtur consentaneum; vix enim apparet ratio, cur corpus celeritate sua infinite magna, quam in centro acquisivit, in aliam potius plagam, quam in" CB, sit progres- surum; praesertim cum huius celeritatis infinitae directio sit secundum hanc plagam." Ook de conclusie in het volgende voorbeeld: »Eo autem.....suspendendum," wordt alleen uit de algemeene wet mathematisch afgeleid, aan eene nieuwe hypothese voor \'t krachtcentrum wordt niet gedacht. Evenmin in het aangehaalde t. a. p. bl. 9 : de verschillend uitvallende resultaten blijken eenvoudig te worden veroorzaakt door de verschillend aangenomene algemeene versneUings-ivetten. Ook in d\' Alembert\'s redeneering, bovenaan bl. 23 van het »Onderzoek," is geen spoor van eene speciale hypothese voor het centrum. "Wel is er eene zoodanige op bl. 23 beneden, doch dit is iets geheel anders, eene op zichzelf staande zaak : »un paradoxe g�om�trique." Ons voornaam problema beschouwt d\'Alembert even als Robins en Laplace, hij meent n.1. ook, dat het punt moet d��rgaan: » passer outre, comme il y pass� �vi- demment;" � en beseft dat men niet, als Newton, de recht- \') Do tegenstelling door Prof. v. G. bedoeld, ligt in het vroegere »vel � vol," en onderscheidt dan slechts het positieve of negatieve van \'t eerste deel dor beweging, � of wel zij ligt in het »at si," en wijst dan blijkbaar op het al of niet arriveeren in \'t centrum. Doch aangaande het verdere der beweging schort Newton eenvoudig zijn oordeel geheel op. Intusschcn is dit eene werkelijke tegenstelling, zij \'t dan ook met andere bedoeling dan Prof. v. G. het wil, terwijl op bl. 31 ben. van het nOnderzoek" geene tegenstelling, maar eer eeno gelijkstelling voorkomt, waarbij echter tusschen »maar" en «zoodanig" blijkbaar \'t woordje toch wordt bedoeld. Deze redactie-»fout" wordt echter door den schrijver der yiFouten" (bl. 14) niet versmaad, om daarin eene onzinnige begrips-»fout" te vinden. Do zoodoende gemaakte vergelijking is of geen fair play, of een gevolg er van, dat die schrijver het geciteerde hollandsch of het daartegenover gestelde latijn niet nauwkeurig heeft gelezen. Van gelijken aard is wat bovenaan bl. 11 der ��Fouten" wordt «aangewezen." Wij hebben hier klaarblijkelijk slechts te doen met eene schrijf-sfout" van Prof. v. G.: y�r vooraf) �). *i (X)* *\\ X /*

-ocr page 15-



		13

		lijnige mag beschouwen als bijzonder geval der kromlijnige baan. Ook Legendre gebruikt eene bij-onderstelling, doch van anderen aard: op het ongeoorloofde daarvan is gewezen door Prof. v. G. op bl. 59, en door mij op bl. 52. Laplace daarentegen doet zulks niet: niettegenstaande de conjectuur van Prof. v. G. op bl. 27, komt het mij voor, dat gene, waar hij zijne juiste meening uitspreekt, slechts het alge- meene cinematische vraagstuk op het oog heeft. Het op deze wijs historisch bekende en eenvoudig genoeg geformuleerde probleem weet van verdere vragen noch hypothesen, en de vraag op bl. 9 van »Welke waarde" is even vreemd daaraan, als aan de »quaestie door Dr. v. G. gesteld en door mij behandeld." Want ten onrechte beweert Dr. Schouten op bl. 7, dat ook Prof. v. Gr. een ander probleem dan het historische (en het mijne) had gesteld, door willekeurige onderstellingen voor het krachtcentrum te maken. De »zelfde richting" in »Onderzoek" bl. 58 beteekent blijkbaar niet «zelfde zin" of »zelfde teeken," maar «zelfde rechte lijn," zie ook \'t slot van dien volzin; terwijl daarentegen het «tegenovergesteld gerichte" van bl. 33 niets anders kan bedoelen dan: sin tegenoverge- stelden zin werkende." Ofschoon \'t meer correct ware geweest, hier met ^richting" steeds rechte lijn te bedoelen, en het teeken door y>zin" aan te duiden, is toch de bedoeling voor wie met oordeel lezen wil duidelijk genoeg. Men vindt dan overal bij Prof. v. G-. de meening, dat de versnelling in \'t centrum alleen werkt in de richting van, en in een\' zin tegenovergesteld aan de beweging op dat oogenblik; eene meening, die geene y>aan- genomene onderstelling," maar eene stilzwijgende gevolgtrekking is, wier onjuistheid mij voldoende het geheele verschil verklaart tusschen \'s hoogleeraars meening en de mijne. Want mij komt het juist voor, dat in \'t centrum de ver- snelling werkt in elke richting, dus ook in den twee�rlei zin, die in aanmerking komt op de richting, welke de (naar slechts ��ne zijde) oneindig groote snelheid op dat oogenblik heeft. Deze omstandigheid, dat in het krachtcentrum de versnelling alle richtingen, en in die allen (snaar alle zijden") even groote intensiteit heeft, is geene «onderstelling," doch wel noodzakelijk.

		�

-ocr page 16-



		14

		De versnelling heeft steeds de richting der verbindingslijn van bewegend en centraal-punt; die lijn (richting), anders steeds bepaald, wordt in \'t krachtcentrum onbepaald; deze onbepaaldheid moeten wij erkennen, zonder willekeurig nieuwe «voorwaarden te kiezen." Bij de samenvalling toch van bewegend punt en centrum, wordt door \'t enkele punt, waarin nu de lijn overgaat, eene lijn vertegenwoordigd met de lengte nul (oneindig klein), en van alle mogelijke richtingen (verg. y>Naspor.," bl. 8); ) .en volgens die lijn werkt eene versnelling, wier grootte wordt a uitgedrukt door termen van den vorm lim �, d. i. voor alle o richtingen oneindig groot, maar gelijk. Noodzakelijk* is deze gelijkheid, omdat er geene verscheidenheid is, omdat er niets blijkt van noodzakelijkheid der ongelijkheid: omdat � of Ax de aangroeiing der onafhankelijke veranderlijke is. Uit het slot zijner bl. 7, zoowel als uit al het vorige, blijkt dat ook Dr. Schouten w�l denkt aan eene oneindig groote versnelling op het in \'t centrum gekomen punt, welke, \'t zij positief of negatief, slechts ��ne bepaalde richting heeft, doch volstrekt niet aan eene daar in alle richtingen oneindig groote versnelling, zooals toch blijkens \'t boven aangetoonde onvermij- delijk volgt uit de algemeenheid der wiskundige begrippen en der gegevene versnellingswet. "Wat de oneindig groote snelheid in \'t centrum aangaat, op bl. 8 noemt Dr. Schouten haar »zeer" groot, doch sniet oneindig groot." Dit laatste is blijkbaar zoo niet gemeend: zie den aanhef van bl. 10, en de uitkomsten op bl. 19 en 20, waarin lim � = lim B- � 0 moet worden gesteld. Dat verder (bl. 8) in het centrum \'t punt aan geene versnelling onderworpen is, moet zeker bedoeld zijn van den totaal-invloed der versnelling op de snelheid, en stemt dan volkomen overeen met »De vrije Centraalbew.," bl. 6 en 36 boven.

		!) Ook: evenals de hoek «, dien oen vector x maakt met eene vaste as, tengevolge der continu�teit van de ruimte moet aangroeien door alle waarden tusschen « en a 5T, indien die vector x over zal gaan in den vector � x, evenzoo blijft dit ook waar voor een\' nulvector, en heeft in het punt.-c = 0, a. tegelijk alle waarden tusschen a. en « t.

		�

-ocr page 17-



		15

		Hier is ook de plaats tot bespreking van het door Dr. Schouten op zijne bl. 31 aangevoerde. De daar bedoelde plaats uit mijne brochure is volgens mijne uitdrukkelijke vermelding slechts bestemd om te dienen: als eene spoging tot verklaring eener zaak, wier heldere voorstelling ons onmogelijk is." Het geldt daar \'t momentaan oneindig groot worden der snelheid. Deze overgang heeft werkelijk plaats: de snelheid, eerst eindig, wordt oo, en kan dit alleen worden door de positief oneindig groote versnelling. Op deze volgt de negatief oneindig groote versnelling, in eene successie, die van gelijktijdigheid niet is te onderscheiden, en nu is de snelheid weer eindig. Dit nu trachtte ik op bl. 49 te verklaren op grond der limiet-formule: dcc doe � = oo, waaruit volgt: dl = �, zoodat dt � O moest zijn, zelfs al ware dx niet = 0. Mijne redeneering geldt slechts voor punten, die onmiddellijk aan, d. i. in \'t krachtcentrum liggen, en men kan door deze redeneering niet »bewijzen" de gelijktijdige aanwezigheid in alle punten der baan, maar slechts in de zoodanige, die een eindig getal punten van \'t centrum verwijderd zijn, d. i. op een afstand nul. De hier besprokene misvatting ontstaat door \'t voorbijzien dezer laatste waarheid, en bewijst weder, hoe noodzakelijk het is, acht te geven op de ware beteekenis van \'t oneindig kleine. Dr. Schouten echter »beweert" op zijne bl. 8 beneden, »dat de redeneering over de singuliere integraal en de oneindig kleinen, voorkomende in mijne verhandeling van bl. 11�27," met onze quaestie »niets te maken heeft." Deze ontmoedigende uitspraak zou plotseling een geheel vel treffen. Echter blijft mijne bescheidene meening, dat vooral in deze quaestie, wier oplossing geheel van de waarde der singuliere integraal afhangt, zorgvuldig dient gelet te worden op den aard der begrippen van oneindig klein en groot, die wij hier telkens ontmoeten. Ja juist dat onderzoek, in verband met het wezen der onaf- hankehjke veranderlijkheid, levert hier de eenige, maar ook de volkomene oplossing. 4. In zijne tweede afdeeling, bl. 10�21 licht Dr. Schouten

-ocr page 18-



		l�

		zijne hoofd-bedenking tegen het bewuste vraagstuk toe. De schrijver wil aldaar hetoogen, dat, s do weg en t de tijd zijnde, de 1° en 2e afgeleiden � en --; niet meer mogen beschouwd worden als resp. de snelheid en versnelling voor te stellen voor zulke punten, waar deze en de volgende afgeleiden oneindig groot worden. Wat daarbij \'t gebruik der Taylor\'sche reeks betreft, daargelaten hare meerdere of mindere doelmatigheid tot het vinden van afgeleiden (Lagrange), vereischt het geene moeite om aan te toonen, dat die reeks Dr. Schouten hier niet gediend heeft, om zelfs \'t geringste te vinden of te bewijzen. AVant vooreerst zou de geheele redeneering slechts toepasselijk kunnen zijn op den bewegings-toestand in ��n enkel punt: het krachtcentrum. V��r \'t bereiken van dat punt, en na de passage er d��r, gelden in allen gevalle de gegovene bewegingswetten; dezen zijn toepasselijk zoolang het punt zich aan ��ne der zijden van \'t centrum bevindt, waarbij ter weerszijde de afstand zoo gering kan gedacht worden als men verkiest: onbepaald tot nul kan naderen. De discontinu�teit bestaat slechts in ��n ondeel- baar punt van overgang. Daarom kan er ook (zie de eindconclusie van Dr. Schouten op bl. 17) geene spraak zijn van eene afzon- derhjke >nuet" der versnelling voor eene beweging in dat punt, zooals voor eene reeks van punten (vg. bl. 11). Dit punt, gelijk elk ander, kan niet nader bediscussieerd worden: het is onbe- stemd, enkelvoudig, gelijk nul; men kan het alleen beschouwen als aanwijzing eener limiet, waartoe van weerszijden de (overigens eindige en gestadige) waarde der versnelling noodzakelijk nadert bij afnemenden afstand; en die limiet-waarde is, volgens de /a \\ ��nige gegovene versnellingswet: f (x) � X j � ), onmisken- baar = oo. (Van waar ter wereld weet ook anders reeds in den aanhef op bl. 10 de schrijver, dat in \'t centrum do snelheid en versnelling oneindig groot worden, als »de algemeeno formules daar niet geldig zijn."?) Maar verder: Uit de bekende voorwaarden voor de geldig- heid der Taylor\'sche reeks besluit Dr. Schouten, dat de

-ocr page 19-



		47

		differentiaal-verhoudingen of afgeleiden: � = � s en � = � v (s is eene functie alleen van t), niet meer de snelheid en versnelling voorstellen in dat enkele punt, alwaar die afge- leiden co worden. Mij komt het voor, dat hier eigenlijk geene conclusie te pas komt. Al wat men in dezen kan zeggen, ligt in hetgeen men reeds a priori weet, en dat is, dat juist voor het punt der discontinu�teit, het krachtcentrum, de reeks van Taylor in \'t geheel niet mag worden toegepast. Wij leeren niet door \'t gebruik der Taylor\'sche reeks, dat in het »point critique" de achtereenvolgende afgeleiden niet de snelheid en versnelling voorstellen (?), omdat zij oo worden, maar wij weten, dat zij oo worden, en zien daaruit, volgens de bekende voor- waarden der reeks van Taylor, dat deze (en die van Maclaurin) hier in \'t geheel niet van dienst kan zijn. Dr. Schouten heldert zijne bovenbedoelde redeneering (?) door eenige voorbeelden op, zie bl. 44, 48 en 20. Overeenkomstig de meening, dat in de discontinu�teits-punten � en � niet de at at* snelheid en versnelling voorstellen, tracht hij nu in die voor- beelden de juiste waarde van snelheid en versnelling voor zoo- danig punt te vinden, en gaat daartoe uit van de definities: ,r ., , aangroeiing van den weg snelheid = grenswaarde van--------------------------, en versnelling = aangroeiing van den tijd aangroeiing der snelheid , . , grenswaarde van----------------------------. Deze definities ziin zeer aangroeiing van den tijd juist, maar dan ook � volkomen rechtzinnig. Immers wat be- teekent het eerste anders dan wat wij gewoonlijk uitdrukken door �, en wat het tweede, dan -j- of-p? (Zie ook bl. 44, reg. 5). Doch nu moeten die grenswaarden der twee bedoelde ver- houdingen werkelijk gevonden worden. De schrijver heeft die in zijne voorbeelden zonder moeite in zoover gevonden, dat er nog aan ontbreekt het leggen der laatste hand. In de ten slotte opgegevene uitkomsten komen n. 1. nog voor de grootheden � en 3-, zijnde de onbepaald (tot nul zie bl. 42) afnemende, 2

-ocr page 20-



		1.1

		d. i. oneindige kleine deelen (elementen) van den tijd t. Deze tijd is bij Dr. Schouten, die uitgaat van de eindige bewegings- vergelijking s = f (t), de onafhankelijk veranderlijke, over- eenstemmende met bl. 11 beneden. Er ontbreekt dus nog slechts aan de uitkomsten, dat voor die elementen onafhankelijk en zelf- standig tot de limiet werkelijk worde overgegaan, dat is dat s. en e nog = 0 worden gesteld. Uit de laatst gemaakte opmerkingen blijkt, dat Dr. Schouten de snelheid en versnelling t�ch heeft gekarakteriseerd als resp. = � en �, en daarvoor nu door limiet-overgang de waarden zoekt; � hetwelk volkomen in orde is. Doch nu heeft de schrijver, in overeenstemming met zijne meening betreffende het exceptioneele der omstandigheden in het discontinu�teits- punt, voor dit punt verkozen om niet langs den gewonen, maar langs een\' om-weg die waarden van � en � te bepalen. Voor de snelheid neemt Dr. Schouten (als wij door t het tijd- stip der discontinu�teit aanduiden, en s = f (() de eindige bewegings-verg. is) voor ds : lim f (t) � f (t � 3-), waarbij S- de (oneindig klem wordende) aangroeiing A t van den tijd voorstelt. Zoo wordt dan lim ��------�-^----------, � en ook S- nog lim �-------��, � de voorstelling der snelheid. Op analoge wijs worden de twee met het discontinu�teitspunt overeenkomende waarden der versnelling volgens de handelwijs van Dr. Schouten verkregen, door aldaar de grenswaarden te nemen van de verhouding der aangroeiingen van tijd en snel- heid. Dit is alles juist, doch thans de verdere bepaling. De door Dr. Schouten gekozene voorbeelden bevatten allen 3Je machtswortels. Zoo is in het op bl. 18 en 19 behandelde voorbeeld f (t) = & t � a. Om nu van lim lt \' waar f (t) eene gebrokene macht met den exponent */s voor- stelt, de waarde te vinden, zou men naar den gewonen regel uit de beginselen der differentiaal-rekening moeten te werk

-ocr page 21-



		m

		gaan, volgens welke �-�------\'� � y_s (t � a³) is. De afleiding van dezen regel kan men doen steunen op de differentiatie van een product, of op de eigenschappen der logarithmen, of wel op rechtstreeksche algebra�sche deeling, of ook op de Newton\' sche binomiaalformule; in allen gevalle ter laatster instantie natuurlijk op de eigenschappen der getallen. Nemen wij hier, waar toelichting hoofdzaak is, eene zeer bekende afleiding, n.1. de in de derde plaats genoemde, die eerst wordt uitgevoerd voor geheele positieve exponenten, doch daarna door middel van machtsverheffing, substitutie en herleiding wordt uitgebreid, en ook op geheel willekeurige exponenten toepas- selijk gemaakt. Men heeft, % bijv. � t � a³ zynde:-----= limi�I-----i--------- dl At

		=^iim **~~\\t L)-_z~~ =^[(* ^)^m-¹ (* ^r-⁴*** � � � � zⁿ\'~ ]. Men ziet, dat de limietwaarde dezer som van termen noodzakelijk z tot eene macht zal bevatten, 1 lager dan de gegevene. Dit is eigenlijk een gevolg van de deeling door At. Stelt men nu in \'t vorige At = 0, dan komen er m gelijke termen, en: lim (^Z ^A0 ~^z _ _m»»-. De co�f- A« ficient m, eveneens een gevolg der deeling, beantwoordt aan den graad m der gegevene functie. En dit is juist, want de d.f(z)* grenswaarde van \' moet noodzakelijk van den vorm van f afhangen en daardoor bepaald worden. Daarom is een allereerste en verbindende regel, dat men eene afgeleide bepaalt uit den vorm der algemeene functie, en eerst daarna speciale waarden voor de veranderlijke mag substitueeren. Had men in het bovenstaande reeds terstond voor t eene waarde a^s ge- substitueerd, dan zou men door z = 0 verkregen hebben: ( ^d,z ) = 2*

-ocr page 22-



		20

		lim = lim At"^1-4 = 0^m ~ ^f, terwijl men door lale>< in de werkelijk juiste afgeleide diezelfde waarde te substitueeren, �� } = m.0^m . Door de eerste on- dt /_ai geoorloofde handelwijs, � wa^ardoor de algebra�sche ontwikkeling, die eeniglijk tot den vorm der gederiveerde kan leiden, ter zijde wordt gesteld, � wordt de nauwkeurige waarde. der afgeleide belet voor den dag te komen: men heeft wel gedeeld, en krijgt dus een quoti�nt van ��n graad lager, doch men heeft niet uitgedeeld, en mist daardoor den Jiarakteristieken co�ffi- cient m. Dit nu is de handelwijs, gevolgd in de voorbeelden, die Dr. Schouten bewerkt op bl. 14, 19 en 20. De daar onder- nomene bepalingen van grenswaarden zijn niets anders, dan herhalingen der ontwikkeling van de afgeleide eener macht, n.1. voor den exponent %. Bij die ontwikkeling wordt echter hier de bovenbedoelde misslag begaan, dat te vroeg, nog v��r het vinden van den algemeenen vorm der afgeleide, wordt gesubstitueerd eene speciale waarde: resp. t � 0 en t � a³(bl. 14, r. 6 en bl. 19, r. 1). Wij verkrijgen daardoor, in plaats van eene nieuwe, en volgens des schrijvers meening en intentie voor dit geval betere, limietbepaling, � niets dan eene onnauwkeurige differentiatie, wier eenvoud den strengen ernst der kritiek ontwapent. ) Aan de op die wijs verkregene uitkomsten ontbreekt v��r A t = S- of 6 overal de co�ffici�nt m, d. i. hier de factor V₃, en »de waarden \') Op bl. 36 wordt later in een «voorbeeld" nogmaals hetzelfde gedaan, en eerst x* = 0, dan S = 0 gesteld, om daardoor te bewijzen: »dat voor __1 \\ x = 0, �� niet meer de afgeleide van � is." Alsof men ooit eene limiet- as* ° x � verhouding van 2 oneindig kleinen direct, zonder hulp van ��nige algemeene betrekking, en na substitutie eener speciale waarde voor x kon vinden, en niet de eenig mogelijke weg daartoe juist de algemeene functie was (verg. bene- den, § 5). Door \'t stellen eener singuliere specUle waarde, welke die functie oo doet worden, maakt men het middel tot limietbepaling illusoir, dat in haar algemeenen vorm gegeven is.

-ocr page 23-



		21 voor v en <p gevonden," zijn dus «driemaal" te g^-oot. (Verg. bl. 19). a Op bl. 14, regel 6 moet het zijn: lim g-xrrr, en op dezelfde

		1 wijs op bl. 19 bovenaan voor de snelheid: lim g ^-----,enhier- ± 2 door ook voor de daaruit afgeleide versnelling: lim g 3. rj,�� Evenzoo moet het dus op bl. 20 zijn: hm % 5~ \'³, en lim y₃ 3- ~~ \'. Gaat men nu eindelijk inderdaad* tot de limiet a over, door s en S- � 0 te stellen, dan komt op bl. 14: o $,-----, d. i. \'t zelfde, wat door t = 0 voortvloeit uit de algemeene a formule: v = ~~_Q ,3,-----~~Zoo ook komt nu op bl. 19: v ₃ � � = 1 ±2 o ^�, en f ₀3 _ ₀ = g ^�_r, d. i. hetzelfde, wat voor t = a³ volgt uit de op bl. 18 opgegevene algemeene formules voor v en f. Al deze uitkomsten hebben de waarde 00 of � 00.

		Het tot hiertoe gezegde geeft aanleiding tot de volgende opmerkingen: 1\', Bij vermijding der boven aangewezene onnauwkeurigheid zou Dr. Schouten, � voor \'t centrum juist dezelfde snelheid en versnelling vindende, die terstond volgen uit de algemeene formules, � geleid zijn tot de ontdekking, dat zijne meening aangaande \'t illusoir zijn der algemeene versnellingswet eene misvatting is. De conclusies op bl. 17, ja wellicht ook de vorige en latere bladzijden, waren dan achterwege gebleven. De vermeende zelfstandige en nauwkeurigere limiet-bepalingen zijn merkwaardige voorbeelden van schijn-resultaten. In \'t bij- zonder mag de beoefenaar eener wetenschap, die van de be- schouwing der oneindig kleinen moet uitgaan, niet lichtelijk meenen, dat een ernstig onderzoek der methoden en begrippen

-ocr page 24-



		22

		met de in die wetenschap voorkomende quaestien »niets te maken heeft." 2". De twee waarden, die in \'t krachtcentrum de versnelling 2 , heeft, n.1. lim ~~g ^~~~~__r~~, blijken ook hier weder in absolute waarde gelijk te zijn, nu niet de afstand x of s, maar t de onafhankelijke veranderlijke is, zijnde lim 3- = dt. Daar ook van deze onafhankelijke veranderlijke de oneindig kleine aan- groeiingen («elementen") als gelijk moeten gelden (zie )>Vrije Centr.," § 5), heeft terecht Dr. Schouten voor de tijdsverschillen onmiddellijk v��r en na de passage door \'t centrum -j- 3- en � 3- gesteld. Ook hier wordt dus weer bevestigd, dat in het centrum de beide versnellingen volgens de bewegingsrichting oneindig groot, maar tegengesteld-gelijk zijn, \'t geen den totaal-invloed op de snelheid nul maakt, daar die twee versnellingen elkaar opheffen (verg. boven § 3), zoodat het punt ��n oogenblik is in sdirectioneele rust" (Thomson en Tait, Treatise on Nat Ph�os., § 245). 3^e. Op bl. 20 beneden zegt Dr. Schouten, dat e »zeer 1 weinig" van 0 verschilt, en �jt^- »wel zeer groot doch eindig" is. Daar (verg. boven en § 5) lim s = lim A t = dt onbepaald tot nul genaderd zijnde, aan de limiet werkelijk nul wordt, moet (verg. ook t. a. p. bl. 12) de bedoeling zijn, dat lim s 4 oneindig weinig, d. i. niets van 0 verschilt, en lim �^r-onein- 6 /* dig groot is. Daardoor zal Dr. Schouten op bl. 20 beneden 1 niet slechts verkrijgen lim �jt = oo, maar deze uitkomst, die t. a. p. voor de snelheid in \'t centrum verkregen wordt uit de algemeene snelheids-formule (blijkens den factor y₃), in de onderstelling, dat de versnelling in \'t centrum nul is, stemt volkomen overeen met die (gecorrigeerde), welke boven voor de snelheid in het centrum kwam, bij de positief en nega- tief oneindig groote versnelling. Dus blijkt: dat bij die twee�rlei onderstellingen in de uitkomsten geen «onderscheid" bestaat,

-ocr page 25-



		23

		en werkelijk de versnellingen -\|- oo en � oo samen eene absolute versnellingswaarde nul opleveren. (Over het onjuiste der vergelijking van de versnelling met een\' tangens, in plaats van met zijne afgeleide, zie »jDe vrije C," bl. 36).

		Op nog enkele punten uit het geschrift van Dr. Schouten kom ik hierachter terug. i) Intusschen merk ik reeds hier op, dat bij dien schrijver verschillende dispositien aanwezig zijn, om het ten slotte met mij eens te worden. Immers blijkens \'t hierboven gezegde, zal ook Dr. Schouten in \'t centrum de oneindig groote waarden van snelheid en versnelling verkrijgen, de laatste �n positief �n negatief. Yerder stelt deze schrijver

		\') Voor de »niet geringe font" van bl. 29�31 mag ik zulks overbodig achten, daar Prof. v. G. zelf wel aan Dr. Schouten de noodige opheldering verschaffen zal. Do redeneeringen ten bewijze dat de cirkel slechts kan doorloopen worden bij eono versnellingswet: f (or) z= � �, en niet bijv. bij de algemecne gravi- tatie-wet: f (x) = �- zijn echter niet voldoende om ons de illusie te ont- � x* nemen, dat bij de planeten-beweging de cirkelvormige baan als bijzonder geval kan voorkomen. Tot het inzicht, dat de wet, naar welke do versnelling ver- andert met den afstand r, niet te pas komt als r constant blijft, zou Dr. S. dr gekomen zijn, door op bl. 30 ben. uit )� =; const. af te leiden: �� = 0 of l\' n"¹__r^m = 0, d. i. r = \|>: de straal standvastig = den aanvangs-afstand, zoodat deze standvastigheid, �n do versnellingswet of m, onderling onafhankelijk zijn. De 2 bekende formules bovenaan die bladzijde geven door de substitutie _ca P � p = r inderdaad F = �;: \'t geen leert, dat niet de wet der versnel- ling F, maar deze zelf omgekeerd evenredig aan r³ is. Eene wet der versnel- ling komt niet meer in aanmerking sedert de genoemde substitutie, die slechts bij den cirkel kan bestaan, zoodat men inderdaad gesteld heeft: r constant. Daar nu i/₂ c den standvastigen sector in de tijdseenheid, en v de snelheid 1)2 beteekent, wordt door c² =zrⁱv^� de vorige verg.: F := �. Dit nu is de formule die jeugdige beoefenaars der werktuigkunde gewoon zijn te vinden, en waaruit zij dan meenen af te leiden, dat de baan een cirkel is, zoodra slechts de xcentripetaal-kracht" F, welke overigens ook hare wet zij, loodrecht op de richting der aanvangs-snelheid v, en z�� groot is, dat F = �.

-ocr page 26-



		24

		ook symmetrische beweging in \'t geval dat de versnelling in \'t centrum [absoluut] nul is (bl. 32), en neemt op bl. 19 en 37 terecht de aangroeiingen Jen e overal gelijk: daar dit gelijk men weet voor de afhankelijke veranderlijke niet kan zijn, is het natuurlijk onder de algemeene restrictie: voor de onafhan- kelijke veranderlijke. Misschien wordt door het hier en nog hier achter opgemerkte Dr. Schouten overtuigd, dat: 1\'. Geene afzonderlijke onderstelling mag gemaakt worden aangaande ��ne bepaalde richting der versnelling in \'t kracht- centrum ; 2\'. de reeks van Taylor hier niet dienen kan; 3^e. het krachtcentrum op zichzelf niets is, slechts de gemeen- schappelijke limiet van het positieve en negatieve deel der beweging aanduidt; 4". de berekeningen van bl. 19 niets zijn, dan gebrekkige differentiaties, en 5^e. de «correctie der begrensde integralen en der methode van Cauchy" (bl. 36�38) slechts eene vergissing is: zie hier- achter, § 7. Indien dat inzicht is verschaft door deze nadere toelichting, dan zal ik mij geluk kunnen wenschen met de verklaring van Dr. Schouten op bl. 8: dat er thans »geene sprake is van zwarigheid," »geen enkel bezwaar hoegenaamd bestaat." 5. In nagenoeg alle takken der wiskunde heeft men gedurig te doen met de oneindig kleinen, d. i. waarden, die absoluut kleiner zijn, dan elke gegevene of te denken grootheid. Aan deze omschrijving, die met. den naam oneindig klein vrij wel overeenstemt, voldoet all��n nxd. Daarom wordt algemeen gezegd, dat het oneindig kleine de nul heeft tot limiet, d. i. tot absolute waarde. Daarom is in een plat vlak een oneindig klein richtings-verschil = geen richtings-verschil, en dus snijding op oneindigen afstand = m\'rf-snijding (parallelisme). Voor ver- gelijking, bij wijze van arithmetische optelling of aftrekking, zijn de oneindig kleinen dan ook niet vatbaar, of wel het re- sultaat is in beide gevallen nul. Evenzoo moet, wanneer niets

-ocr page 27-



		25 naders gegeven is, de verlwuding van twee oneindig kleinen = �, d. i. onbepaald zijn. Toch kan tengevolge van gegevene be- trekkingen deze onbepaaldheid in eene bepaalde waarde overgaan, eene zekere limiet hebben, die zelfs oneindig groot kan worden, in welk laatste geval men in eenigszins oneigenlijken zin spreekt van oneindig kleinen van verschillende orden. De limiet-waarden, die de verhouding van twee oneindig kleinen somtijds aanneemt, vinden wij uit door vergelijkingen gegevene betrekkingen tusschen de eindige grootheden, waarvan de oneindig kleine waarden genomen worden. Wij moeten daartoe deze laatsten beschouwen terwijl zij oneindig klein worden, tot hare limiet nul naderen en overgaan, om uit het blijven der pasgenoemde betrekkingen voor eindige waarden, af te leiden de limiet-betrekking bij den overgang tot oneindig klein. Deze oneindig klein wordende grootheden noemt men differentialen. Dus blijkt, dat het vinden van differentiaal- verhoudingen eene limiet-bepaling, en deze limiet-overgang aan de voorwaarde der continu�teit gebonden is. Deze laatste en het begrip van limiet-verhouding, zijn dan ook sedert Cauchy de ware en rationeele basis der differentiaalrekening, en de vroegere poging van Lagrange, om uit de grondslagen dezer wetenschap het oneindig kleine te weren, is vruchteloos geweest. Naar het pas opgemerkte, is de beteekenis der differentiaal dx die van: symbool van \'t oneindig kleine in wording. In dezen zin is het, dat vele schrijvers de tot nul naderende hoeveel- heid veranderlijk noemen, zie bijv. Sturm, Anal. I, p. 6. In dezen zin zegt ook Schl�milch (Comp. d. h�h. An. I, § 59): »Unter der Voraussetzung namlich, dass x die unabhangige Yariable ist, bedeutet [de differentiaal] dx einen gegen die Kuil convergirenden, im �brigen aber willk�rlichen Zuwachs des x, den man Z. B. dadurch bilden kann, dass man Ax = i � setzt, und «das Gebiet der nat�rlichen Zahlen durchlaufen a. liisst." Men ziet, dat zoolang « zeer groot, maar overigens willekeurig is, Ax onbepaald maar eindig blijft, doch dit eerst in \'t oneindig kleine dx overgaat, als a oneindig groot, dus de

-ocr page 28-



		26 i waarde van Aa? = � nul wordt, waarmede de veranderlijkheid van <* en van dx moet eindigen. Daarom zegt Sturm ook (An. I, p. 18) dat eene differentiaal-verhouding minder is eene verhouding der limiet-aangroeiingen, dan wel de limiet eener verhouding, want »les accroissements, �tant nuls a la limite, n\'ont pas d proprement parler de rapport." De evenwel somtijds nog aangetroffene miskenning van \'t be- grip oneindig klein, schijnt mij alleen verklaarbaar door eene verwarring van zeer klein met oneindig klein: «la confusion entre 1\'infiniment petit et Ie tr�s-petit, que 1\'emploi do deux lettres d et A, pour designer successivement les momes accrois- sements, peut faire naitre dans certains esprits" (Gerono: Nouv. Ann. 1873). Evenwel verhouden zich die twee begrippen als iels en niets, want de verbinding van \'t begrip oneindig met dat van klein is niets dan eene negatie van elke grootheid. Men kan zich het oneindig kleine evenmin als eene grootheid voorstellen als \'t oneindig groote (verg. Locke, On human underst., B. 2, XVII, § 7), maar als wij het noemen, dan duiden wij \'t residtaat aan na, de oneindig herhaalde afneming, d. i. de limiet of nul.

		De heer J. Versluys intusschen meent in zijne kritiek, dat »het oneindig kleine iets anders is dan nul," en gebruikt evenzoo op bl. 12 der »Fouten" de tegenstelling: »dat de versnelling in een bepaald punt, niet werkt gedurende een\' oneindig kleinen tijd, maar voortdurend verandert." De slot-redeneering der tweede »fout," bl. 5�6, komt dan ook daarop neer, dat ons bewegend punt op verschillende oneindig kleine afstanden van \'t centrum, in posities die niet met \'t centrum of onderling samenvallen, met verschillende, maar toch allen oneindig groote versnellingen en snelheden zou zijn aangedaan. Zoodanige uitkomsten mogen niemand verbazen, die eerst heeft zien wer- ken met 1, 2, 3 enz. maal oneindig klein, alsof daar niets ge- heimzinnigs in steekt. De berekening op bl. 5 der i>Fouten," strekkende om ook een cinematisch voorbeeld te geven, wil ik

-ocr page 29-



		\'27

		niet hard vallen, niettegenstaande de ongewone handelwijs, om x in plaats van t te elimineeren, waardoor geen positief en negatief deel der beweging (ten opzichte van \'t centrum) kan worden onderscheiden, en de uitkomsten voor p en v op den duur eene snelheid en versnelling aantoonen, die voor eeuwig imaginair zijn. Maar de formules beneden op bl. 5, veel her- innerende aan die van Dr. Schouten op bl. 49, (zie boven, §4), zijn met de daaruit getrokken conclusien inderdaad ergerlijk. Dat men toch bijv. niet inziet het simpele, bloot analytische feit, dat bij «weglating van grootheden die oneindig klein zijn ten aanzien van wat men behoudt," ook S ten aanzien van 1 in dit geval is, en dus = 0 moet gesteld worden, zoodat alle zes formules in plaats van verschillende, gelijke uitkomsten geven, n.1. � oo! Dat men niet begrijpt, hoe hier onmogelijk die «weglating" tot vergelijking van 3 gevallen, of tot eenig ander resultaat dienen kan, daar er geene limiet-verhouding wordt bepaald, wijl slechts in den noemer oneindig kleinen voorkomen. Cl De breuk � wordt oneindig klein op het oogenblik dat x oneindig groot wordt. Hoe verklaart nu de heer V. aan zijne leerlingen, dat � = 0, indien «oneindig klein iets anders is dan nul" ? Op welke wijs wordt aan die leerlingen verzekerd dat sin cc ------- = 1 is, voor waarden van cc, die niet nul zijn ? Hoe kan de behandeling van de elementen der nieuwere meetkunde eenige volledigheid erlangen, zonder de waarheid: snijding op oneindigen afstand = met-snijding, door evenwijdigheid (vg. boven)? (Daargelaten nog de beteekenis dier waarheid o. a. in de leer der koppels, en bij eenige optische formules). Voorbeelden als de pas aangehaalde zijn overigens in menigte te vinden, vooral bij de inhoudsbepalingen in de gewone meet- kunde, en bij den cirkel. Nu kan men wel in de plaats dier inhouden enz., voortdurend spreken van de limiet, waartoe de inhouden of omtrekken der hulpfiguren naderen, zie J. Versluys, Leerboek der vlakke meetkunde, waar de eigenschappen der on- meetbare grootheden »met de vereischte juistheid zijn behandeld,"

-ocr page 30-



		28

		door middel van een hoofdstuk (uit Duhamel) over limieten, enz. (Voorrede). Het bedoelde hoofdstuk begint met eene y>be- paling," waarin «voortdurend" zou moeten zijn »onbepaald"; de bedoeling wordt nu eerst duidelijk door de nadere ophelde- ring: »dat het verschil tusschen eenige grootheid en hare limiet nooit nul, maar [ten laatste (bl. 78)] Jdeinei\' wordt dan eenige grootheid.\'" (»Nooit" beteekent in geen eindigen tijd, en »ten laatste" beteekent hier: in het oneindige; daarom: kleiner dan eenige grootheid, d. i. oneindig klein, = nul)\' Noemt men nu telkens de limiet der hulpfiguur, en niet de waarde dier limiet, dan is dat woord slechts eene vermomming, want eindelijk moet het er toch uit, dat de gezochte grootheid die limiet is, zie bijv. J. Versluys, Lb. der Stereom., bl. 55 : y>Elk der twee sommen heeft dus tot limiet de pyramide," en vgg. Nu verschillen, volgens het bekende t. a. p. herhaalde bewijs, de bedoelde prisma-sommen onderling een prisma, dat »zoo klein kan wor- den als men wil," d. i. aan de limiet oneindig klein. Indien nu dit oneindig kleine verschil niet nid is, dan mogen in de zoo even aangehaalde woorden de 2 limieten niet [onderling en] aan de pyramide gelijk worden genoemd, en is het eene onge- oorloofde onnauwkeurigheid, dat in het bewijs van § 115 op de volgende bl. 56, uit de gelijkheid van 2 zulke sommen tot de gelijkheid der pyramiden (limieten) wordt besloten. Dezelfde aanmerking past op «blijkbaar tot dezelfde limiet," in § 256 van het eerstgenoemde ^Leerboek," op de theorie der raaklijnen, en op de hoofdstukken over cirkel, cilinder, kegel en bol. ^J) Zoude wellicht de integraal-rekening aanleiding kunnen geven tot de misvatting omtrent het oneindig kleine, en tot de tegen- werping, dat eene rij van termen, die tot limiet, d. i. tot waarde nul hebben, niet als som (integraal) eene eindige waarde kon opleveren? In dat geval mag ik antwoorden met de opmerking, die \'t meest geschikt is, om ook bij de leerlingen eene mogelijke overeenkomstige bedenking te beantwoorden, betreffende waarden 1) In § 278 van Kcmpees, Beg. der Meetk., II, 1867 tracht men te vergeefs \'t oneindig kleine en den limiet-overgang bij de pyramide te ontwijken, want de onderstelde standvastigheid der breuk f moet juist bewezen worden (2^C Gev. en § 286).

-ocr page 31-



		29

		als lim(i ±Y = e en lim ^ ^ 3^P ininf. ₌ \\ ��j : � de opmerking namelijk, dat men w�l heeft factoren V ~~t~ en termen, die oneindig weinig verschillen van 1 en 0, maar dat daarentegen ook hun aantal oneindig groot is, en deze beide oneindigheden onderling zijn verbonden op eene bepaalde manier, waarvan juist de gevondene waarden gevolg en uitdrukking zijn. Voor eene eindige optelling ware de tegenwerping all��n juist.

		Grondslag en uitgangspunt der geheele differentiaalrekening is eene definieerende vergelijking van den vorm: _T.-----r� � ° ° ° hm A t lim -r�. Op zichzelf zou n.1. -�-r� = -pr onbepaald zijn, doch all��n eene gegevene eindige vergelijking tusschen x en t stelt ons in staat, om door toepassing daarop van de methode Aa; 0 der limieten de ware waarde lim 7� van dat � te vinden. A t 0 Bij die toepassing, bij \'t afleiden van de grondregels der diffe- rentiaalrekening, wordt gedurig werkelijk gesteld: lim A x = 0, (waar n.1. A x niet als term der verhouding, maar op zichzelf beschouwd voorkomt), \'t «Weglaten van grootheden, die on- eindig klein zijn ten aanzien van wat men behoudt," kan n.1. alleen gerechtvaardigd worden door deze waarheid: oneindig klein, vergeleken met \'t eindige, d. i. in werkelijke waarde, = nul. Op die wijze volgt uit de gegevene vergelijking x � f (t): dxc /\\ cc lim Aa; = f (t) lim At en jr = lim -^- ~ f (t). En waar men nu hieruit later afleidt: dx � f¹ (t) dt, is dat steeds dx eene omzetting dier verg. : -r � f¹ (t). Evenzoo bij al der- gelijke gevallen. Daarom heeft bovenaan op de tweede bl. 4 der »Fouten" de schrijver ongelijk. Men neemt daar een\' op zichzelf beschouwden tijd dt, of wel zelfs 2dt. Op zichzelf is

-ocr page 32-



		30 dt � Idt � 0; all��n kan men hebben de limiet-verhouding: dx TT- = 2, waar 2 eene snelheid is, en geen onbenoemde factor. Het vinden der waarde van de limiet-verhouding y.�j� tusschen twee veranderlijken hangt dus geheel af van \'t gegeven zijn eener betrekking: x = f (t). Had men te doen met slechts ��ne onafhankelijke (ruimte-) veranderlijke x, zoodat de limiet-verhouding tusschen twee opeenvolgende aangroeiingen Aa; en Aa?¹ dezer zelfde variabele moet gevonden worden, dan komt geene dergelijke betrekking te pas, maar hangt alles af van de wijze waarop men x zelf laat veranderen. Hie� geeft nu de onderstelde (zie boven) en steeds gegevene continu�teit der ruimte, en de definitie der onafhankelijke veranderlijkheid de ware waarde aan de hand dezer onbepaalde uitdrukking: lim A�i 0 lim Ai "" "5"\' Die continu�teit veroorlooft de elementen eener rechte lijn als oneindig klein en gelijk te beschouwen, \'t welk noodzakelijk is voor het grondbeginsel betreffende de onafhankelijke veran- derlijkheid. De verandering der onafhankelijke variabele, aan geene wet gebonden dan die der continu�teit, zou zonder de analytische toepassing dier continu�teit willekeurig zijn, doch de analyse zelf heeft behoefte aan eene bepaling daaromtrent. De 2° differentiaal d-y eener afhankelijke veranderlijke y � f(x) zou geene bepaalde beteekenis hebben, indien men er niet onder verstond: het verschil van twee opeenvolgende waarden van dy, verkregen door tweemaal achtereen aan de onafhankelijke x dezelfde oneindig kleine aangroeiing dx te geven. De opeen- volgende oneindig kleine deelen derzelfde onafhankelijke veran- derhjke zijn dus door definitie gelijk, hetwelk van algemeene bekendheid is. Waar men in leerboeken de differentiaal dx als oneindig-klein wordend, nog als tot nul naderend, dus verande- rend beschouwt (zie boven), bepaalt men toch uitdrukkelijk, dat twee opeenvolgende dx op dezelfde wijs tot nul naderen, dus steeds en ook aan de limiet, als gelijk moeten beschouwd worden, zoodat dx met betrekking tot x constant is: elke dx

-ocr page 33-



		gelijk is aan die dx, welke aan de volgende waarde van x be- antwoordt. In dien zin laat Schl�milch op zijne hierboven aangehaalde woorden volgen: »Ebendesswegen ist dx nicht von x abhangig, sondern constant in Bezichung auf x, wie es sich sonst auch andern moge," (Zie hierboven de aanhaling, en »Welke waarde," bl. 33 en 34). Waar wij dus in de Analyse ontmoeten de, limiet-verhouding van twee opeenvolgende oneindig kleine aangroeiingen derzelfde onafhankelijke veranderlijke (gelijk lim -=- = lim � in ons pro- bleem, verg. »De vrije C," § 5), daar zijn wij verplicht ons te houden aan de in die Analyse aangenomene beginselen, en die limiet-verhouding � \\, d. i. lim t\\ = lim S of p = q, te stellen. 6. De definitie eener begrensde integraal («integrale d�finie"): /² f () dm,* als som van de waarden der gegevene differen- tiaal {aangroeiingen der integraal), is beter dan die als verschil van de grenswaarden der integraal (vg. »de vrije C," bl. 23), omdat bij deze laatste de algemeene onbegrensde integraal als reeds bekend ondersteld en op de al of niet algemeene inte- greerbaarheid van f (x) dx geanticipeerd wordt. Dit is het standpunt van Cauchy en de nieuweren. Uit het boven gezegde is het echter duidelijk, dat het ons onmogelijk is, om als som van differentialen de waarde der begrensde integraal werkelijk te vinden. Kunnen wij door limiet-overgang eene verhouding van oneindig kleinen bepalen, eene berekening der bedoelde som is ons onmogelijk, omdat bij optelling de differentialen niet »integreeren," maar slechts door \'t oneindige der som eene eindige waarde geven. Daarom kan ook in weerwil der betere definitie, de waarde der begrensde integraal onmogelijk door optelling rechtstreeks gevonden worden, en moet de, niet indirecte of benaderende, berekening steeds geschieden door eerst tot de oorspronkelijke functie (de onbe- grensde integraal) terug te gaan, en dan werkelijk toch \'t ver- schil van aanvangs- en eindwaarde dezer integraal te nemen. De discontinu�teit van functien bestaat, (behalve somtijds in

-ocr page 34-





		32 \'t aannemen van imaginaire waarden), in gevallen als ons probleem in het aannemen van twee verschillende waarden ^te gelijker tijd. (Vg. Schl�m., Comp. d. h�h. An., Einl. III). "Wij hebben hier te doen met dat geval van discontinu�teit, waarin de functie f (x) onder \'t integratieteeken , niet lim [f (a -\\- S) � f (a � ri)] = 0 geeft voor zekere waarde a van m, indien J en i) tot 0 naderende aangroeiingen van x zijn, die men ook met q e en p e kan aanduiden, als ook e eene tot 0 naderende grootheid is. (Zie »Onderzoek" enz. en »D� vrije Centr") In dit geval nu is het niet geoorloofd te stellen: /² f (x) dx � F (x.₂) � F ()), als a ligt tusschen x₁ en _a, i en / f (x) dx �* F (x) is. De reden is, dat indien ook lim [F (a -\\- S) � F (a � >»)] niet = 0 is, de integraal in het punt x =z a eene sprongswijze verandering ondergaat, die naar de boven gegevene opvatting niet behoort tot de waarde der begrensde integraal, niet als eene aangroeiing mag beschouwd worden, daar zij niet beantwoordt aan eene aangroeiing der veranderlijke x. Die sprongswijze verandering, het limiet-ver- schil: lim [F (a -\\- 2) � F (a � ij)], kan = 0 zijn, en dat beantwoordt aan de «voorname waarde" der begrensde integraal: ook mijn eerste opstel strekt om aan te toonen, dat zulks in ons probleem inderdaad het geval is. In het algemeen moet echter juist die plotselinge verandering, waarvan hier alles af- hangt, afzonderlijk en nauwlettend onderzocht worden, en daartoe strekt de methode van Cauchy. De plotselinge vermeerdering der integraal bij het disconti- nu�teitspunt x � a, zou men meer rationeel als eene plotselinge waarde-verandering der willekeurige integratie-constante C of der initiale waarde kunnen aanzien, overeenkomstig met de bovengenoemde opvatting der begrensde integraal, en met Cauchy in C. rend. t. XXIII, p. 788. In allen gevalle is, daar in ons vraagstuk f (x) dx de differentiaal van Vs ^v* voorstelt, de aan x_% beantwoordende waarde van V� v² � die waarde voor x_vplus de waarde der begrensde integraal (aangroeiing) tusschen de grenzen ^x_i en #₃, plus de plotselinge vermeerdering, � zoo-

-ocr page 35-



	33 dat de eigenlijke begrensde integraal gelijk is aan de vermeer- dering van V₂i>³ in het geheele interval, minus de plotselinge vermeerdering (der constante). De waarde van Va v² blijft voor �lk punt die van F (as) -\\- Comt. Noemt men nu die waarden Yoor de punten »₁₍ lim (a � yj), lim (a -f- S) en _Xi respec- tievelijk Va Vi~, Va v₀², Va v_₀² en Va ^l>a³> ^en ^Z� de oorspronkelijke willekeurige constante C (= � F (c₀) als voor _x = o,* ^v � 0 was), dan kunnen wij, in de schrijfwijs de plotselinge vermeer- dering en C tusschen j j bijeenvoegende, schrijven: V,V = F(_Wl)-f O; V» V = F (i) [Hm F (a - q) - F (»,)] C ; Vi v-o² = F (0 [lim F (a � n) � F fa)] \| C [Hm F (a>-f J) � lim F ( o � >?)] \| ; Va v₃a =P(x,)-f[limF(a�>j)-P(oj,)]4-[F(a!₃)�limP(o-fJ)] 4- {C [limP(o J) � limF(a � »)] \| ; dusVof² � V₃i>i²=[limF(a�»)�F(ap₁)]-f-[F(a5_i!)�limF(a J)] -j- {lim F (a -J- 3) � lim P (o � »)} , d. i. daar de integraal voor \'t inwendige van elk der intervallen : x₁ tot lim (a �17), en lim (a -j- S) tot a�₈, continu is: V, t>a² - Va V = Hm f^a_x~* f (x) dx* ^a/^5f ()«» -f \| lim F (o 3) � lim F (o � >})}. Het verschil tusschen Va ^vi² ^en Va ^vo²> �n dat tusschen Va ^v-o³en Va \'^ya² i^s aangroeiing* (begrensde integraal), maar \'t verschil tusschen ¹/₃ v₀² en Va ^v-o³ i^s plotselinge vermeerdering, d. i. men moet, gelijk geschiedt in goede leerboeken (Herr, Schl�milch, Sturm) het laatstgenoemde verschil niet tot de begrensde integraal rekenen, en behoort derhalve te stellen: f^XJj{x) dx = lim �""" f(Adx lim f^_df(x)dx.(k) Hiermede wordt nu: Vs «V � Va vx = f^X* f (x) dx* {lim F (o ) � lim F (o � ») J of f^XJ_Lf{x)dx=-^lUv^~V₃V� jlimF(a-H) � limF(a�»)J , d. i. de begrensde integraal (aangroeiing): / ?f(x) dx* wordt 3

-ocr page 36-



	34 gevonden door do totale vermeerdering ^�/_a i>₈* � >/₃ u,² � F (x^) � F (.e,)te verminderen met de plotselinge vergrooting lim [F (a -f- S) � F (a � >j)]. Hetzelfde geeft (A), naar de gewone manier berekend, n.1.: f^x~f{x)dx = lim F (o � u) � P(aj₁) P(»_!I)� limP(o J), of /"** f<)dx=\'E(x_fi�\'F(xi)�* [lim F (a J)-lim P(o�>j)],.. (1) d. i. de waarde der begrensde integraal fff (x) dx wordt gevonden door deze integraal, � berekend naar de gewone manier, n.1. door \'t verschil der grenswaarden voor te_a en _lf � te vermm- deren met de plotselinge vermeerdering. Deze laatste is dus een correctie-term,* en (voor dit afzonderlijk geval noch aan eene som van »aangroeiingen," noch aan eene »aanvangs"- en »eind"-waarde denkende), kan men bij definitie dien term, dat limiet-verschil, ook onder den vorm eener begrensde integraal voorstellen, door kortaf te schrijven: lim [F (« S) � F (a � »,)] = lim f^a ^S f(x) dx. .. . (2) Deze «begrensde integraal" is dan geen deel eener begrensde integraal in gewonen zin, daar het geene aangroeiing is, en de grenzen lim (a � >j) en lim (a -f- S) geheel samenvallen. Cauchy geeft daarom aan deze soort van «begrensde integralen" een\' afzonderlijken naam, en definieert ze als ^singuliere begrensde integralen." ^!) Door deze notatie wordt eindelijk (1): f^ f (x) dx = F (a) - F (,) - Mmfl *J(x) dx,
		� � (3)
of f* f (x) dx = F* (o,) � F (x,) limf" T f(x) dx, terwijl men heeft: y.₂v^-y₂v₁^F(_X2)-F(_a-_i)=^f(x)dx \\imy^%l±^S_yjf(x)d_x,* de integraal tusschen de grenzen x₁ en x.₂ behoorlijk volgens den aanhef dezer §, als som der aangroeiingen opgevat zijnde.

	\') M�moire sur la theorie dos int. tl�f., van 22 Aug. 1814, 1825; en vele latere stukken.

-ocr page 37-



		35 In § 4 der »Vrije Centraalhew." is nu ₂ = �x_xena �* 0; voorts neemt x voortdurend af, en moet voor y> en S dus ge- steld worden � i? en � S, zoodat de verg. (3) wordt : f-^f{x)dx = �(-x_l)-�x_l)-^mf~^f{x)dx) of y ~ °°^l f(x) dx = F(�x{) � F0 ^limf!_ 5 ft#)<to>)\'\' en dit is juist de form. (3) der genoemde § 4. De laatste term daarvan behoort niet tot de hier gezochte* begrensde inte- graal, maar is een correctie-term, die om de waarde dezer integraal te vinden aan het verschil F (� as,) � F (x{) moet aangebracht worden, n.1. de af te trekken ^singuliere integraal": lim / f (x) dx. Voor \'t overige wordt in die § 4 het eerste gedeelte^ van \'t tweede lid van (3) = 0, tengevolge der teeken- bepalingen van bl. 10 boven, waardoor F (as,) = F (� a?j) wordt; /dx 11 /» dx il welke beide integralen, bij inachtneming der teekens, voor x � x₁ en x � � x₂ dezelfde waarden geven; terwijl men ook geene afwijking van dit resultaat ontmoet, indien men voor de integraal van------neemt � Vs l {^x%), of ook Va l �_v Dus wordt eindelijk: / * f(x) dx = lim f _ * f (x) dx, (verg. t>de Vrije C," bl. 11) en komt alles aan op de waarde dezer singuliere integraal, voor welke men ook kan schrijven: 7. De vergelijking, welke door F (i) = F (� #j) voort- vloeit uit (3), n.1.: f~ * f (x) dx = lirnj^* ₃ f («) dx, ^of/^*^Xi ^f* *w > =^iim f± j; f(^m) ».* heeft in het bijzonder de kritische opmerkzaamheid getrokken van den heer J. Versluys. Op bl. 7 der »Fouten" leest men 3*

-ocr page 38-



		36 dat in de uitdrukking: lim ./ i f 00 dx «alleen bij het punt x �* O zou moeten ge�ntegreerd worden." Juister dan «ge�ntegreerd," ware: de limiet-waarde bepaald. In overeen- stemming met het aangehaalde, wordt door denzelfden heer in zijne kritiek mijner brochure gezegd: »dat ik dezelfde fout als prof. v. G. heb begaan, door van de geheele integraal alleen het y>deel" bij het punt van discontinu�teit te nemen, en dit »deel" voor de waarde der geheele integraal aan te zien." De «letterlijke" overeenkomst tusschen prof. v. G. en mij be- staat, hoewel niet door toeval (vg. boven, bl. 7), inderdaad in zoover, dat in de formules op bl. 36 van »Onderzoek" enz. de grenzen waren omgewisseld, en bij mij niet: eene ondergeschikte omstandigheid, tengevolge waarvan echter de op bl. 7 der » Fouten" geciteerde integralen bij mij met omgekeerde teekens voorkomen. Met het straksgenoemde «deel der integraal" nu wordt door den heer V. bedoeld de term lim / T ^� f (oc) dx van prof. v. Gr., en lim / ~_ f(x)dx bij mij; deze bedoe- ling is later gebleken, en blijkt nader uit de aangehaalde bl. 7 der » Fouten." Nopens die opvatting merk ik op: dat deze term geen deel dezer begrensde integraal is. Mijne integraal lim � _ f 00 dx is integendeel de negatief genomene (en dus nu opgetelde) correctie-term:* � lim / *^� f (x) dx,* die van de totale ver- meerdering van Y₂1!² tusschen x₁ en � x_lt* n.1. F (� x_t) � F (x_t) moest worden afgenomen, om de eigenlijke begrensde integraal: f~ ^Xl f (x) dx = lim fl f (x) dx* lim fz _q\\ f* () dx te verkrijgen, verg. formm. (1), (2) en (3) der vorige §. En daar tengevolge der teekens F (� x_x)* � F (%i) = O is, wordt hier als toevallig / ^xf{x)dx ��lim/ " f(x)dx = lim f\\2. f (?) d^x- Den heer Versluys, wien die term een

-ocr page 39-



		*\'M* deel der begrensde integraal schijnt, moet het dan ook wel verbazen, dat bij prof. v. G. dat deel »van teeken veranderd is," zijnde de orde der grenzen: -f-/>s tot �qs (�qi naar -\\- p s bij mij), omgekeerd, en tegengesteld genomen aan de orde der geheele integratie, die bij prof. v. Gr. van negatief naar positief is, (bij mij omgekeerd). Op bl. 7 der vFouten" trekt de heer Versluys de bovenste twee vergelijkingen van elkander af, en verkrijgt aan de rech- terhand: ^lira [/ [\' f () ^(fa /" P !/(») dx fZq/i)] & Dit, zegt de heer V., is = lim / T" . f(x) dx. Hetwelk fout is. Want blijkens de vorige § is / ,,f{c)dx � lim / \\ff(x) dx -j- lim / � (&�) d�, en behoort juist de tweede term van (4): lim / _i_ � (#) ^ niet tot de begrensde integraal: het is de plotselinge vergrooting, de discontinu�teits-sprong. Een criticus behoorde te weten, dat de methode van Cauchy strekt, om juist dit limiet-verschil lim [F (�qs) � F (p s)j af te zonderen. .Naar de manier, waarop de waarde van eiken term van (4) moet worden berekend, wordt (4) gelijk aan: lim F (p c) � F (1) lim F (� q e) - lim F (p c) -f- F (�1) � � limF(�r_i�), d. i. = F(�1) � F(-f-l). Is nu dit = f T j f (x) dx? Dan ware de methode van Cauchy voor discontinue integralen dus overbodig, en zoude men maar, als bij continue integralen, eenvoudig \'t verschil der aanvangs- en eindwaarde kunnen nemen ? F(�1) � P (�\|� 1) is niet aan de discontinue integraal, maar hier aan nul gelijk, want tengevolge der teekenverhou- dingen is in onze integraal F(�x_t) � F (er,). Door hierop te letten, zou de heer V. behoorlijk beneden op bl. 7 verkregen hebben: 0 = 0, in plaats van het resultaat: 0 = / , . f(x) dx, dat nog wel door dien criticus genoemd wordt: »meer dan iets anders geschikt om te overtuigen."

-ocr page 40-



		38

		De termlim / _ f(pc)dx bij mij, is evenmin oen deel dei\' gezochte integraal als bjj Prof. v. G. de omgekeerde term ; tot het inzicht dier waarheid had, behalve door de kennis der Cauehy\'sche methode, de criticus kunnen gebracht worden door op te merken: i°. dat ook bij mij voor dien term do grenzen omgekeerd, tegengesteld genomen zijn aan de orde mijner geheele inte- gratie (van positief naar negatief). Aan het oog der ^kritiek" is dit echter ontsnapt; de heer V. verzekert zelfs, dat »het onderscheid tusschen de handelwijze van prof. v. O. en van mij daarin bestaat," dat ik voor het bewuste »deel" »het teeken onveranderd laat." 2°. Moest de voorgeplaatste syllabe Urn bij den heer V. nadenken en de overtuiging gewekt hebben, dat er niet sprake is van eene integratie tusschen grenzen, die van elkaar verwij- derd liggen, niet van eene som van aangroeiingen, niet van een uitgenomen »deel der integraal," maar van twee onderling en met nul samenvallende grenzen, van eene plotselinge ver- meerdering, wier bedrag vanF(�;cj)� F (x_t) moet afgetrokken worden, om de ware waarde der integraal m-quaestie te ver- krijgen. >)

		\') Nadat de onjuiste kritiek des redacteurs eenmaal deze zaak in het «Schoolblad" ter spraak had gebracht, zond ik aan die courant eenige korte opmerkingen. Ik had daarin het geoorloofde dor hier besprokene korte notatie; /�Ie f(x)dx willen toelichten, doorbloo- VI telijk aan te toonen het overeenkomstige der berekening (verschil der waarden voor boven- en benedengrens), � en zonder aldaar, als te voren in »7)e vrije C," mij te beroepen op Cauchy. Hot eerste is echter minder noodzakelijk, daar \'t hier slechts een vaststellen bij definitie betreft, waarin de groote auteur der metltode ten volle aanspraak op navolging, en rocht heeft tot zijn initiatief: «J\'appelle integrale d�ftnie singuliere une integrale prise relativemont a une ou a plusieurs variables entre des limites infiniment rapproch�es de certaines valenrs attribu�es a ces variables, savoir, de valeurs infiniment grandes ou de

		valeurs pour lesquelles la fonction sous Ie signe / devieut infinie ou ind�- termin�c." Daarom, en wijl toen nog de bepaalde aanwijzing van het bedoelde »deel" ontbrak, heb ik voor het «Schoolblad" liever mijn stukje na opvraging

-ocr page 41-



		.1!)

		Die, trouwens door Cnuchy steeds aangonomene, conditie: lim -J- p t = 0 en lim � q t = 0, is volstrekt noodzakelijk, daar men anders niet zou mogen stellen: f~ ^Xi fto dx = lim f^P_xf{x) dx* -f \\�fZ J¹, f () <� Indien ps en �(/e zee»¹ klein, doch niet oneindigr klein waren, niet <o( nul* convergeerden, dan zou men integendeel moeten stellen: � - * _m _dx=�;;; ,�,,, * �₌ */<) < /^t~_s^qef(x)dx.** En deze laatste term, waarop dan nog de methode van Cauchy zou moeten toegepast worden, zou (negatief genamen!) juist datgene zijn, waarvoor de heer V. lim / � f (^x) dx aan- ziet, n.1. een deel der integraal, en wel het bjj \'t discontinu�- teitspunt gelegene. Merkt men op, dat bij de op bl. 11 beneden der »Fouten" we�rgegevene integratie nog behoort de vervolgens door Prof. v. Gr. uitgevoerde limiet-overgang door e = 0, dan blijkt dit samen weer niets anders te zijn, dan de berekening der »sin- guliere integraal," en de kapitale «fouten" die t. a. p. worden «aangewezen," derhalve te liggen aan de zijde van den «criticus." Door zuivere toepassing van Cauchy\'s methode, wordt daar niet het punt von discontinu�teit vermeden, gelijk w�l Poisson deed, verg. y>De Fouten" bl. 10 en 9. De «afkeuring" op bl. 10 midden is dan ook in zoover ongegrond, want Cauchy wijst in \'t daar aangehaalde wel degelijk eene fout van Poisson aan, n.1. deze, dat door \'t ontwijken van \'t discontinu�teits-pimt het onderzoek der «singuliere integraal" wordt verzuimd, zoodat er a priori onmogelijk iets anders dan de voorname waarde kan verkregen worden. En toch is men verplicht tot die discussie in zoover gewijzigd, dat ik mij bepaalde tot do verzekering 2": dat de bewuste term (de singuliere integraal n.1.) geen «deel der integraal" voorstelt. De logica der «kritiek" verstond hieruit, dat dan oxulk een integraal" (meenende: eene singuliere integraal) de gehecle begrensde integraal moet verbeelden. Zie «Sehoolbl.," 4 Febr. 1873. Volgens zijne beteekenis in deze methode is echter die term noch deel, noch geheel, maar correctie van F (� x_t) � F (x_t).

-ocr page 42-



		Au

		der «singuliere integraal," welke bij Cauchy\'s vroeger onderzoek afhangt van de orde der integratien, zie beneden, § 8. Naar Cauchy\'s methode nu integreert nieu door het geheele veld der integraal, van X\\ tot -\\- 0, en van � 0 tot � a?_t, met vermijding van den invloed der discontinu�teit; ofwel, men neemt voor de integraal: F (a^) � F (#,), verminderd met de singuliere integraal: lim / * f () dx. ^l)*

		Mijne conclusie is, dat in \'t boven besprokene geen blijk is te vinden, dat den lieer J. Yersluys de methode van Cauchy behoorlijk hekend is. Deze criticus beseft blijkbaar zelfs niet de reden dier methode, als gelegen in de beteekenis en waarde van den term lim / _ fifyd®, die, gelijk de skritiek" zich kan herinneren, den naam draagt van singuliere integraal (zie de vorige §). Deze bepaalde integraal, door den heer Versluys afgekeurd" (Schoolblad, 4 Febr. 1873), is een voorbeeld dier Mnt�grales singuli�res, donl l\'id�e appartient a l\'auteur (Cauchy), et cpti peuvent �tre regardces comme mie d�couverte en analyse." (Legendre, Rapport betreffende 22 Aug. 1814). Naar ik hoop, is thans de voorgaande «opheldering" duidelijk genoeg. In \'t geval der integratie tusschen imaginaire grenzen, welke den heer Versluys in \'t algemeen bekend is, heeft men iets, dat met de singuliere integralen overeenkomstig en ten nauwste verwant is: het Mntegraal-residu" : zie nog beneden $ 10.

		\') Met voorbijgang van het «altijd doorloopend" en «geen beteekenis" op bl. 34 ben. en 35 bov., moet ik hier even stilstaan bij bl. 37 van » Welke waarde": de functie waaruit, volgens do beschouwing vau Dr. Schouten, de correctie eener bepaalde integraal moet bestaan, behalve die welke Cauchy heeft gegeven". Deze «correctie" komt overeen met de «singuliere integraal". Inder- daad moet (zie de forin. boven bl. 37 waar gedurig lim of Gr. ontbreekt) lim F (e -j- �) � lim (c�s) noodzakelijk gelijk zijn aan lim $ f (c), enz. De eerst afyetrokkene sing. int. wordt door Dr. S. later wc�r bijgeteld, en dit zal voor de begrensde integraal moeten geven: F (b) � F (a). Dr. Schouten wil eenvoudig niets anders, dan terugkeeren tot de oude definitie: verschil der grenswaarden, ook bij discontinu�teit, \'t Zelfde herhalen de voorbeelden op bl. 38. en de «correcties" aldaar zijn van denzelfden retrograden aard.

-ocr page 43-



		il

		8. Indien wij nu in ons vraagstuk de waarde der singuliere integraal: lim / _ f («) dx werkelijk berekenen, dan is zij gelijk aan de limiet-waarde van F (/> e) � F (q e). ^]) En daar f(x) eene der vormen (1) en (2) van bl. 10 der »Vrije Cen- traalbew." heeft, zal v��r den limiet-overgang, niet uitzondering der macht � 1 van x, F (p s) � F (� q e) bestaan uit termen, die allen tot factor hebben ��, �f wel ��. Voor den term------- neme men de formule: /-------� x J x � Va l (��c²) -\\- C, waardoor men voor het van dien termafkom- stige deel van F (p e) � F (� q e) verkrijgt: %l(q^%s.V) � ^ l (p²s²) ⁼ Ir Hp») ~ "i ^�"«~\' ^� ^�f ^wel ^�l \' V [Wilde men voor de integraal nemen: /j: -)- C, dan zoude de afzonderlijke behandeling der singuliere integraal aanleiding geven tot eenigo onnauwkeurigheid, die dan ook ligt in form. (4) op bl. 12 der y> Vrije C.," daarom is \'t hier gegevene beter. Men kan echter zeer wel de integraal lx gebruiken, mits de gelieele begrensde integraal behandelende naar form. (A) van § 6 hierboven; dit geeft: /�_ _X� _ g_xdx _ fp t_ _(lldx_ p�_Xx _ Vf J X\\ X J X_y x \' J �qt x = _ai Hm [_ l (_p ₄) _j_\\ (_Xi) _ / (_ _Xl) -{-l(�q _S)] = «₁limn^ ^^�l=«₁lim;H = a₁^. I- pe \' Xt\' \' \\pe.l ^l p Er worden hier niet »logarithmen van negatieve getallen genomen," maar zij en de tweemaal voorkomende factor � 1 verdwijnen door deze bekende en geoorloofde transformatie. De heer J. Versluys meent, dat men ook in deze transformatie logarithmen van negatieve getallen moet vermijden, omdat »lo- garithmen van negatieve getallen imaginair zijn, en elk negatief

		�) Ofschoon in ude vrije C." v��raf bl. 11 ondubbelzinnig genoeg is, en he- paald zegt, dat »� tot nul nadert," ware \'t wellicht duidelijkheidshalve heter, in de eerste drie vergg. op lil. 12 v��r elk der leden \'t woordje lim niet weg te laten.

-ocr page 44-



		42

		getal niet ��n maar een onbepaald aantal logarithmen heeft." Men moet dus ook transformatien mot den factor \\/~~i ver- mijden? En de ^kritiek" schijnt thans aan de (niet te vermijden?) logarithmen van positieve getallen slechts ��ne waarde toe te kennen]. Volgens het hierboven aan \'t slot van § 5 gezegde, moet nu q = p of S � >; worden genomen, daar pi en <7eofrjen� aan de limiet niets anders dan de differentiaal der onafhankelijke veranderlijke oc voorstellen, en dus in de analyse als gelijk zijn ondersteld (verg. »De vrije C," § 5 en bl. 22). Eerst hier treedt dus mijne voornaamste afwijking van Prof. v. G. op. <7 S Door die waarheid worden q � p enl � of wel $ � r en l �, en dus alle termen der singuliere integraal, nul, en men heeft in ons vraagstuk: f\'~ ^H f {oc) dx = lim f^lH _r _f f(x) dx - 0.

		Aan mijne meeningen ten aanzien der laatst aangevoerde omstandigheid is de heer Korteweg niet geheel vreemd. Zeer juist is op bl. � en 7 boven, der uNasporingen" de opmerking: dat de geheele uitkomt afhangt van de wijze hoe tot de limiet wordt overgegaan. (Vg. »De Vrije C," bl. 16 en noot ald.) Men zou er bij kunnen voegen, dat op bl. G van vNasp." eene betrekking als: p = q -f- k<x niet mag gesteld worden, omdat de boog daar de onafhankelijke veranderlijke is, wier variatie en limiet-overgang niet willekeurig aan andere wetten mag onderworpen worden, dan de analytische en die der continu�teit. Geen wonder, dat dan ook de heer K., zie blad 4 boven en later, ongezind is, om in ons vraagstuk voor de waarde der totale versnelling in \'t krachtcentrum nul aan te nemen, en de beweging als symmetrisch te beschouwen. Als nu de schrijver slechts bedenkt, dat om bovengenoemde reden op bl. 7 de kleinste deelen van « gelijk, en ook nood- 1 1 zakelijk lim � = � lim �� moet zijn, dan zal hij mij toe-

-ocr page 45-



		43

		stemmen , dat ook de onbepaaldheid in regel 3 van bl. 8 in het bijzonder geval der onaf liankelijke veranderlijkheid overgaat in de bepaalde waarde md. Dezelfde uitkomst moet in datzelfde geval verkregen worden aan den voet van bl. 8, door te stellen: e = >j. Dit is ook toepasselijk op § 2 van den heer K.; ook d&ar moet p = q en op bl. \'23 alleen de tweede onderstelling toegelaten worden. Op bl. 22 is het niet geoorloofd, bepaalde wetten (functien van e) aantenenien en inlevoeren, volgens welke p e en q t tot nul naderen: de onafhankelijke veranderlijkheid eischt, dat lim � = 1 zij. In die § 2 voor q s liever zeggende: � ge, merk ik tegen bl. 23 op, dat men in ons vraagstuk moet stellen lim v = lim v_ � oo. Immers voor de snelheid is in \'t krachtcentrum geene teekenverandering ondersteld, en daarom mag v aldaar slechts ��ne waarde -j- oo hebben, en bestaat de (nog wel voor beide leden) beweerde onbepaaldheid der form. (I) niet. Ook Dr. Schouten neemt op bl. 37 ter weerszijde der dis- continu�teitspunten dezelfde oneindig kleine aangroeiing e, en zegt bovendien uitdrukkelijk, dat wegens de continu�teit »voor alle functies" (bij alle discontinu�teitspunten) »e gelijk moet genomen worden." In overeenstemming daarmede zegt Dr. Schouten op bl. 27 beneden, dat »de waarde onzer singuliere integraal hier nul wordt."

		De heer J. Versluys daarentegen meent, dat de [oneindige kleine] »aangroeiingen der onafhankelijke veranderlijke wel ongelijk mogen genomen worden," en noemt in zijne kritiek de meening, dat die aangroeiingen gelijk moeten zijn, eene dwaling. Toch is die «dwaling" een gevolg van de continu�teit der ruimte, en de onderstelde grondslag der geheele differen- tiaalrekening; zie hierboven. Verder helt de heer V. over tot de meening, dat »in Cauchy\'s methode p en q steeds gelijk moeten genomen worden," en wordt ook in »De Fouten" op bl. 8 gezegd, dat er bowjjs vereischt wordt voor de onderstelling, dat p en q »hier ongelijk

-ocr page 46-



		44

		mogen of moeten zijn." Zoodanig bewijs nu is op zichzelf niet noodig, omdat de ongelijkheid van p eii 7 het algcmeene geval is. Het konde bovengenoemden criticns bekend zijn, dat in het tweede gedeelte van Cauchy\'s M�moire sur la th. des int. d�f. van 1814, waar voor \'t eerst het denkbeeld der singuliere integralen voorkomt, sprake is van eene dubbele integratie, en aangetoond wordt, hoe de onbepaaldheid afhangt van de orde der integratien^- Die dubbele integratie heeft betrekking op \'t vinden der grootte van een oppervlak, waarvan de verge- lijking is: y = f(x, z). De onbepaaldheid, aanleiding gevende tot eene singuliere integraal, kan zich vertoonen na de eerste integratie, dus bij de tweede, die betrekking heeft op ��ne der twee onafhankelijke veranderlijken, terwijl daarbij do grenzen nog functien kunnen zijn der andere variabele. Die grenzen, ontleend aan de vergelijkingen van de projecticn der limiet- krommen van het oppervlaks-element, kunnen discontinu�teits- punten vertoonen, en nu blijft juist de onbepaaldheid bestaan, indien deze punten aldus niet binnen de grenzen, maar juist op den omtrek van \'t element liggen. Dergelijke beschouwingen geeft Cauchy in zijn M�moire sur les int. d�f. pr. entre des Urn. imagin. van 1825, bij \'t integraal-residu, alwaar de complexe z � x -\\~ iy ook aan twee re�ele veranderlijken v en y be- antwoordt. Daar blijkt A = E 2 tt i F ~ 0 te zijn, indien f(z) verdwijnt voor x = 00, welke ook de waarde zij van x, �f omgekeerd, dus bij afhankelijkheid der functie, van slechts ��ne re�ele veranderlijke. Hieruit kan der «kritiek" blijken, dat, terwijl in het alge- meene geval p en g onderling onafhankelijk moeten zijn, daar men, gelijk bij een oppervlak, te doen heeft met twee onafhan- kelijke veranderlijken, het geval gansch anders is in ons probleem, waar slechts ��ne re�ele onafhankelijke veranderlijke in de inte- graal optreedt. Eene onbepaaldheid -jr als deze, bij slechts ��ne veranderlijke, is bloot schijnbaar, en de handelwijzen of defini- tien zelf der analyse kunnen haar steeds doen verdwijnen; zie ook ))De vrije C," bl. 15 ben. Intusschen is het ook in ons vraagstuk ver van overbodig,

-ocr page 47-



		45 de singuliere integraal te onderzoeken, en door verifieering ons te overtuigen, dat hare waarde nul is. Onverantwoordelijk ten minste zou het zijn, indien men in voorkomende gevallen han- delde volgens »De Fouten," bl. 12 ben.: »Bij het geheele onderzoek van de quaestie kan men de versnelling in het centrum wel missen." Dit voorstel oin de geheele moeilijkheid eenvoudig ter zijde te stellen, is het ��nige stellige resultaat, dat y>De Fouten" aanbieden van des schrijvers overdenkingen. In de .volgende § zal ik nog een enkel voorbeeld aanvoeren van het min ge- lukkige licht, waarin zich soms de «kritiek" vertoont, zoodra zij opbouwende zich begeeft op het veld van zelfwerkzaamheid. Eigenlijk is de limiet, waartoe in het vorige p e en q e na- deren, eene gemeenschappelijke, n.1. het ondeelbare punt z�lf, dat hier krachtcentrum is. Daar t aan de limiet geene andere interpretatie kan hebben, dan die als element dx des afstands, beantwoordt het beter aan eene gemakkelijke voorstelling der zaak, indien men p en q beide = 1 neemt: in dezen geest heb ik ook in den aanvang (§ G boven) liever de grootheden pi en q e resp. willen voorstellen door >j en S, voor welke dan lim ri ⁼ � lim S blijkt over te gaan in hm j = lim S. Daar int�sschen, p en q constanten zijnde, p e* en q e evenzeer oneindig klein, en van dezelfde orde, zijn als s, en het hier slechts op de (liraiet-)verhouding aankomt, doet zulks eigenlijk niet ter zake, en kan men voor p en q even goed als de eenheid, nemen twee willekeurige positieve getallen, mits gelijk. 9. Mijn voorslag, om voor de gelijke, maar overigens wil- lekeurige getallen p en q, de eenheid te nemen, gaf incidenteel aanleiding tot zekere controverse, of de eenheid niet of wel tot de «getallen" moet worden gerekend. Het antwoord op deze vraag hangt geheel af van eene vrij willekeurige conventie, deze namelijk, of men getallen als de »namen" der hoeveel- heden, dan wel als die der hoeveelheden �n der eenheid verkiest te definieeren. In \'t eerste geval moet men later zeggen: de cijfers (met uitzondering der 0) zijn teekens voor getallen �n voor de eenheid: men krijgt dus dan een paar woorden minder

-ocr page 48-



		46 in \'t begin, en meer bij de latere gelegenheid. Daar men overigens in \'t vervolg, wanneer het op den aard der dingen aankomt, steeds met grootheden, niet met getallen te doen heeft, bestaat het geheele onderscheid in geringe verschillen als het zoo even genoemde. Met de beteekenis der woorden schijnt het beter te strooken om, gelijk vroeger en grootendeels nog heden, »getal" (van tellen, en synoniem met aantal) als naam voor hoeveelheden-alleen te gebruiken. Zoodanige onbeteeke- nende en tamelijk onverschillige conventies kunnen intusschen geene ongezochte aanleiding geven tot getwist, daar een bloote woordenstrijd hierbij slechts \'t gevolg zou zijn eener met overigens onschadelijke vrijheid gewijzigde woorden&ews. Minder geoorloofd is het, indien men in de wiskunde rede- neeringen gaat bouwen op onjuiste woorden, die men voor «nieuwe" definities uitgeeft, ja zelfs bestempelt met den naam van axiomas, zonder het zelf te merken, dat men niets anders heeft gedaan, dan door die woorden de uitdrukking te vermij- den van het begrip, dat men zou moeten definieeren. Ik mag niet nalaten hiervan een enkel sterk sprekend voorbeeld aan te voeren, nu eene meetkundige grond-definitie geldende, en waarvan ik slechts in minder algemeene bekendheid eene oor- zaak kan gissen voor de omstandigheid, dat de opmerking niet reeds v��r mij is gemaakt. De heer J. Versluys schreef onlangs een paar artikels over de methoden bij \'t meetkundig onderwijs. In ��n daarvan, gericht tegen Dr. Onnen, wordt gezegd, dat Dr. Schl�milch\'s geheele theorie der evenwijdige lijnen »fout" is, en men het begrip van rechte lijn (verbonden met dat van richting) tegen- woordig verkeerd gebruikt. In een vorig artikel wordt door denzelfden «criticus" gewraakt het saxioma:\'* »de rechte lijn is de kortste weg tusschen 2 punten," en wel voornamelijk omdat de leerling (welke leerling toch wel ?) nog niet zou weten, waarin het even lang zijn van eene rechte en eene kromme lijn bestaat, geen begrip zou hebben van de lengte eener rechte lijn, niet de lengte van rechte en kromme lijnen zou kunnen vergelijken. Alsof niet de grondstof, ook van juist de eenvou- digste meetkundige begrippen, door de ervaring alleen en vol-

-ocr page 49-



		M

		doendo wordt geleverd, en daarom definitien als de gewraakte, ontleend aan de waarneming der beweging, en die zoowel wording als mogelijkheid doen inzien, juist de besten en de ��nig-rationeele zijn! De criticus meent, dat op de aangewe- zene «slordigheid de onderwijzers of leeraren niet attent zullen gemaakt zijn, en dat er verstand toe schijnt vereischt te worden, om het uit zich zelven in te zien," terwijl »er zoowel in het buitenland als bij ons voor het grootste deel een zeer groot on- derscheid schijnt te bestaan tusschen wetenschappelijke mannen en leerboekschrijvers." Nu is de schrijver der s> Fouten" tevens auteur van het «Leerboek der vlakke meetkunde, door J. Ver- sluys," in welks voorrede ter «rechtvaardiging" gezegd wordt, dat de axiomas er veel scherper in zijn behandeld dan in de gewone ook in \'t buitenland verschijnende leerboeken, [in welke] «men nog al te vaak van de rechte lijn eene definitie geeft, waarvan sints lang zonneklaar aangetoond is, dat zij logisch geheel onjuist is." Bij de groote rol, die \'t begrip der i-echte lijn ook in ons probleem speelt, nam ik de moeite om dan de definitie des heeren V. eens te raadplegen. Ik vond op bl. 3 dit «Axioma: Door elke twee punten kan men altijd ��n lijn laten gaan, die zich naar twee kanten onbepaald ver kan uitstrekken, en waar- van geen enkel punt van plaats verandert, als men de lijn om die twee plinten laat wentelen. Bepaling: Die lijn noemt men eene rechte lijn." Alzoo door omwenteling. Doch omwen- telingen kunnen slechts plaats hebben in bepaalde vlakken, dat is om bepaalde rechte lijnen, die op die vlakken normaal staan, en onmogelijk is het, zich eene omwenteling voor te stellen, niet om eene door 2 punten gelegde lijn, maar om die punten zelf. Elk eenvoudig menschenverstand beseft dit; de leer der koppels in de werktuigkunde toont het; «moment ten opzichte van een punt" beteekent steeds: «ten opzichte der normaal in dat punt," en zelfs in de analytische mechanica is men verplicht, willekeurige rotaties »om punten" terug te bren- gen tot verschillende omwentelingen om (onderling rechthoekige) rechte lijnen als assen. De heer Yersluys echter, «wiens studie eene andere richting genomen heeft," ziet zulks niet, en laat

-ocr page 50-



		48

		de wenteling geschieden om twee punten, zonder te beseffen, dat hij niets anders doet, dan de rechte lijn te definieeren naar haar gedrag bij de aswenteling om eene .... rechte lijn! Op die wijs laat men zichzelf verschalken door ivoorden. Had men slechts gesproken van «beweging, waarbij 2 punten hunne plaats behouden," dan ware voor den vorm althans de »logica" gered; doch zelfs dan is deze »nieuwe definitie" ver- werpelijk. Want het begrip van zoodanige beweging wordt vaag; met recht zou hier de leerling de mogelijkheid der ver- langde beweging betwijfelen, en vernemende, dat de rechte lijn aan de vraag voldoet, en tevens geleerd hebbende, dat bewe- ging = plaatsverandering is, ons tegenwerpen, dat bij de gestelde voorwaarde der 2 onverplaatste punten, de rechte lijn zich in \'t geheel niet beweegt, en wij hem dus spreken van eene beweging, die .... geene beweging is! Hetwelk wij hem zouden moeten toestemmen, inziende dat hier n�ch van voort- gaande, noch van wentelende beweging sprake mag zijn, en in stilte opmerkende, dat de leerling meer »logisch" is dan wij, zijne leeraren of leerboekschrijvers. Maar ook zou die leerling daardoor te meer kunnen twij- felen aan het recht, waarmede in bovenstaand «axioma," blij- kens de gevolgtrekking 1° op bl. 4, »��ne" eigenlijk de beteekenis heeft van «slechts ��ne." En juist dit is een punt van veel gewicht. De bepaling der rechte lijn zal toch onvermijdelijk gebaseerd moeten zijn op de onderstelling van iets, dat reeds uit de ervaring als het wezen der rechte lijn bekend is. Maar de voornaamste eisch bij de keuze der bepaling, is hot opnemen dier eigenschap, die vooral noodig is voor \'t afleiden en bewijzen van latere eigenschappen, en dat is boven alles het samenvallen van 2 rechte lijnen, gelegd door dezelfde 2 punten. Deze eigenschap moet dus met recht uit de bepaling voortvloeien, en dat is het geval, als men naar de ervaring de rechte lijn definieert als kortste (dus unieke) weg. En wat is nu meer «logisch" en tegelijk paedagogisch: een zoo belangrijk feit als dat der mogelijkheid van slechts ��ne rechte lijn, te ontleenen aan de ervaring, de moeder aller wetenschap, dan wel het te decreteeren bij wijze van «axioma?"

-ocr page 51-



		49

		10. Keeren wij terug tot de boven behandelde integraal, dan maken wij weder de opmerking, dat in de »studie-richting" �van den heer J. Versluys meer voorliefde schijnt geschonken te worden aan het nieuwe in de wiskunde. ^l) Althans in de laatste der »Fouten" (bl. 14 ben.) wordt men onderricht: wat ^tegenwoordig" toch wel de beteekenis is van krom- en recht- lijnige integratie. Deze verklaring schenkt intusschen weinig licht, daar zij ons hoogstens de geometrische interpretatie ont- dekt der imaginaire variabele; ware daaraan nu toegevoegd eenige opheldering betreffende imaginaire functien, d. i. functien der genoemde variabele, dan had gevoegelijk kunnen volgen de verklaring der ^integratie tusschen imaginaire grenzen" (zie »M�moire" daarover van Cauchy in 1825; ook C. rendus, vooral t. XXHI). 1) Ook de tiArchives N�eH. des se. ex. et nat." van 1872 bevatten een «nieuw bewijs der associatieve eigenschap van de quaternion-vermenigvuldiging, door J. Versluys." Opmerkelijk is \'t dat daarin eene fout voorkomt, die in hare soort juist een tegenhanger is van de boven aangehaalde definitie-fout. Op de laatste der zes bladzijden van dat artikel wordt gewezen op eene fout van Dr. H. Hankel, in diens bewijs van \'t distributief principe, \'t welk steunen moet op de eigenschap in §§ 4 en 5 des schrijvers «bewezen." Het eerste en hoofd-gedeelte van dit laatste «bewijs" vindt men bovenaan op de derde blz. De heer V. beschouwt daar 3 «quaternions droits" of «vecteurs": v, v_it v_t en redeneert aldus: (« »,)«» = <t> «,): R «, = ^^; (i> v_t) v_t � -^- f -j^ =: w, «!% De betoogkracht van dit bewijs zou voornamelijk moeten liggen in de vergelijking: -55J-¹ = -g� -^-. Nu zegt de slot-opmerking, dat deze definieerende vergelijking: -� -* = \' , tegelijk de distributieve eigenschap der deeling van «vectoren" uitdrukt. Voor vectoren* in den zin van rechte quaternions, geldt dit eerst na \'t invoeren van de verwisseling dezer laatsten met hunne indices. Het recht daartoe ontstaat echter eerst door de overeenkomst tusschen de wetten bij bewerkingen met (willekeurige en rechte) quaternions, �n bij die met vectoren, speciaal wat betreft de eigenschappen, die voor de laatsten bij definitie zijn vastgesteld. En de zekerheid aangaande die overeenkomst bestaat niet, als men nog voor rechte quaternions het distri- butief principe moet bewijzen. Daarom is het in § 4 nog niet geoorloofd te stellen : ^ = ^ ^ , _of _(v �,)_ _ _v �j^ n.-g^, want daar beteekenen v, v_t en-j^j- «rechte quaternions." Zoodat in dit »bewijs" niets anders wordt gedaan, dan onderstellen hetgeen bewezen moet worden. 4

-ocr page 52-



		50

		De complexe veranderlijke z = x -\\- y \\/~\\ of x-\\-iy be- hoeft niet noodzakelijk »een punt in een plat vlak voor te stellen," maar volgens zekere overeenkomsten (het beschouwen van i = VUl als een teeken van loodrechten stand, of \'t aan- nemen der exponentiaal e¹ ^p � (� 1 jv als richtingsfactor), kan hare geometrische interpretatie zijn: de voorstelling van den vector r van zoodanig punt, d. i. zijn voerstraal naar lengte en richting. Met invoering der geometrische (vectoren-) optelling: AC = AB -\|- BC, wordt dan: z = x -f- iy � r cos p -4- r i sin p = r e¹ ^p = r , waarin de modulus r de absolute ir lengte van genoemden voerstraal uitdrukt, en het argument p den hoek, dien hij maakt met de #-as. Deze interpretatie geeft aanleiding tot het vereenigen van pool- en rechthoekig co�rdinatensysteem onder beknopten symbolischen vorm, en de daaruit ontstaande handelwijs ^J) heeft groote voordeelen boven \'t gebruik der co�rdinaten van Descartes. Door definitie is, tengevolge van de eigenschappen der operaties van optelling en aftrekking: lim A (zj � z) � dx-\\-i dy, en blijkt bij vectoren- optelling en limiet-overgang gemakkelijk, dat z � z₀� f dz onafhankelijk moet zijn van den (recht- of kromhjnigen) weg, door \'t punt z gevolgd tusschen z₀ en z. Eene overeenkomstige eigenschap heeft Cauchy bewezen bij eene functie iv der com- plexe variabele, voor de integraal / wdz, indien die functie »synectisch" is. Nu is door Prof. v. G. en door mij geen beroep gedaan op Cauchy\'s resultaten bij recht- of kromlijnige integratie, maar zijn bloot deze laatste benamingen ook op de integralen in dit vraagstuk ter onderscheiding toegepast; dit nu is de laatstaan- gewezene »fout" des heer en Versluys, die meent, dat demoge-

		\') Zie, behalve o. a. Houel\'s Cours de Calc. Inf., 1872, en Witzschel\'s Grundlinien der neueren Geom., � over den «Calcul directif\' fraaie opstellen van Abel Transon in Gerono\'s Nouv. Ann. de Math. van 1868 en Jan. 1873.

-ocr page 53-



		51

		lijkheid om van recht- en kromlijnige integralen te spreken, afhangt van \'t gebruik van imaginairen. Deze opvatting schijnt mij eene getrouwheid aan Cauchy, die men noemen mag: »a la chinoise"; zij onderstelt althans vreemde denkbeelden aangaande de algemeenheid der wiskundige begrippen en het verband tus- schen re�ele en complexe (imaginairen bevattende) grootheden. De bedoelde benamingen zijn slechts een gevolg van de bovengenoemde geometrische interpretatie, die door Cauchy eerst later op de imaginairen is toegepast (verg. Nouv. Ex. d\'An. etc. t. IV p. 157), ter verzinlijking zijner te voren bloot opera- tieve en symbolische theorie. Die benamingen zijn dus niet een gevolg van \'t imaginaire, maar juist van de re�ele inter- pretatie, waardoor de complexe aan een\' voerstraal gelijk wordt. Indien nu echter de re�ele veranderlijke werkelijk een voer- straal is, wiens uiteinde in een plat vlak eene kromme of rechte lijn beschrijft, dan zal toch wel a fortiori, � daar conventies nu overbodig zijn, � die interpretatie kunnen gelden? Of: indien eene kromme lijn, waarop eene integraal betrekking heeft, gegeven is, dan zal men toch ook mogen spreken van ^kromlijnige integratie"? (Verg. Cauchy in C. rend. t. XXXIIp. 789: Sur les valeurs principales et g�n�rales des innt�grales curvilignes" dans lesquelles la fonction sous Ie signe / devient infinie en un point de la vcourbe donn�e.") En of men dan daarbij de rechthoekige co�rdinaten vereenigt door eene complexe uitdruk- king, dan wel ze afzonderlijk houdt, of poolco�rdinaten gebruikt, dat zal toch wel \'t recht dier benaming niet wijzigen. De heer Versluys diende te weten of te bedenken, dat de re�ele getallen niets anders zijn, dan bijzonder geval der com- plexe, n.1. als de co�ffici�nt van \\/~^\\ nul wordt. Bij eene verdere studie der werken van Cauchy zal de »criticus" dan ook vinden, hoe gene gedurig opmerkt, dat zijne resultaten «subsistent pour toutes les valeurs r�elles ou imaginaires de la variable". Ja zelfs zegt in C. rend. t. XXIII p. 566 Cauchy uitdrukkelijk, dat «gewoonlijk eene rechtlijnige integraal bedoeld wordt, wanneer het betreft de berekening van re�ele integralen." Verder zijn de voorbeelden, die. Cauchy van zijne rechtlijnige 4*

-ocr page 54-



		52

		integralen geeft, dikwijls van dien aard, dat het imaginaire deel der variabele nul is, zie bijv. C. rend. t. XXIII, p. 736. Dus zal dan toch wel eene integratie langs de a:-as een voor- beeld van rechtlijnige integratie zijn. En dit is juist de recht- lijnige integraal in onze beschouwing, waar de veranderlijke z = x wordt, daar y � 0 is. De heer V. gelooft ook (zie de laatste regels der »Fouten"), dat bij deze kromlijnige integratie en bij re�ele veranderlijken in \'t algemeen, niet toepasselijk is de door Cauchy voor imagi- naire begrensde integralen bewezene eigenschap: »dat bij eene differentiaal, die" (eigenlijk: wier afgeleide, of functie onder \'t teeken) vsynectisch blijft voor alle punten, gelegen tusschen twee verschillende kromme lijnen, getrokken van A naar B, de waarde der begrensde integraal gelijk is, bij integratie van A tot B, langs deze beide kromme lijnen" (liever algemeen: en langs alle tusschen die beiden mogelijke krommen). Eene Dsyncctisclie" functie is eene zoodanige, die tegelijk is vmonogeen" (de afgeleide onafhankelijk van de richting, waarin de veranderlijke groeit), wniform" of Dmonodroom" (zoo, dat aan elke waarde der variabele slechts ��ne waarde der functie beantwoordt), en s>continu" (zoo, dat met eene oneindig kleine aangroeiing der variabele ook eene oneindig kleine aangroeiing der functie overeenkomt). Deze drie eigenschappen nu kunnen op dezelfde wijs attributen zijn van re�ele, als van imaginaire functien, en men is daarom zelfs gewoon te zeggen (en aan te toonen), dat eene re�ele begrensde integraal met monogene afgeleide, kan beschouwd worden als eene synectische functie van elke harer limieten. Inderdaad beteekent dan ook de bovengenoemde door Cauchy bewezene eigenschap niets anders dan dit, dat in het geval van »synexie" de imaginaire begrensde integralen overeenkomstige eigenschappen hebben met die, welke voor re�ele integralen reeds lang te voren bekend waren. De kromlijnige integralen in ons vraagstuk nu stellen de aangroeiing van \'t vierkant der snelheid voor, en zijn inderdaad monogeen. Bij imaginaire integralen heeft Cauchy het aange- toond, en bij re�ele is \'t van algemeene bekendheid, dat de boven gedefinieerde monogenie plaats vindt in het geval, dat

-ocr page 55-



		53

		de te integreeren differentiaal is eene totale (volledige) differen- tiaal. Dit nu is het geval in elk cinematisch probleem waar, als hier, eene krachtfunctie bestaat; ieder weet zulks. Dat de differentiaal inderdaad onafhankelijk van de richting is, wordt bij re�ele veranderlijken bevestigd op bl. 17 van »De vrije C," waar bij kromlijnige beweging toch weder voor de totale diffe- � 2« rentiaal, met verdwijning van s komt: d.v �* �^� dr [verg. (6).] Wilde men de vergelijking (6) transformeeren door invoering van imaginairen, dan zou men in plaats van r stellen: r_p = z = x -j- iy, waarbij men in dit geval eener werkelijke krom- lijnige beweging, x en y in \'t algemeen kan beschouwen als functien van t; dit is juist als in de door Cauchy dikwijls gebruikte aanschouwelijke voorstelling, waarin met hulp der auxiliaire veranderlijke t, x = <p (t) en y = ip_x (t) wordt, \'t geen de studie van de verandering der complexe terugbrengt tot die der beweging van een punt. Daar voorts hier ds uit de vergel. verdwijnt, heeft het geen\' invloed, of men daarvoor naar Cauchy\'s beschouwing nog p = Vete* dy,* (d. i. hier niet volgens de vectoren-additie: ds � dz) wilde stellen, en wordt de vergelijking: d.v² = � � dz. Deze laatste totale diffe- rentiaal blijkt ook nu aan de conditie van monogenie te voldoen. Verder bestaat bij deze kromlijnige integralen met de re�ele r �f de imaginaire z als variabele, telkens bovendien beide, uniformiteit en continu�teit. En inderdaad is dan ook de integraal (waarde der aangroeiing van v²) bij kromlijnige integratie onafliank�lijk van vorm en lengte der tusschen twee punten gevolgde baan. Deze eigen- schap is, � in plaats van «merkwaardig en alles omverwer- pend," � voor \'t hier bedoelde cinematische geval, � waar de variabele der integraal altijd eene ruimte-veranderlijke wordt, � geheel algemeen en aan ieder bekend, wiens »studie-richting" niet gansch de mechanica heeft misgeloopen. Die waarheid vertoont zich onafhankelijk van den imaginairen of re�elen aard der variabele (zie voor \'t laatste geval slechts form. (7) op bl. 17 der y>Vrije C\'."); ook is het niet moeilijk, zich algemeen

-ocr page 56-

te overtuigen, dat die eigenschap moet bestaan bij re�ele be-
grensde integralen, bij welke tegelijk monogenie, uniformiteit
en continu�teit, derhalve vsynexie," bestaat. En voor het overige
strekt hier het geheele onderzoek om aan te toonen, dat de
onafhankelijkheid der resultaten, behalve in het synectische,
tengevolge der wijze van multiformiteit en discontinu�teit, bo-
vendien ook bestaat in het rechtlijnige, monogene maar niet-
synectische geval.

Wilde men voorts bij deze rechtlijnige integratie volstrekt
de imaginaire vormen invoeren, alvorens den naam rechtlijnige
integraal toe te passen, dan hadden onze integralen oorspron-

keiijk den vorm

dx. Laat men de cc-as een\' hoek

� p draaien met behoud van denzelfden oorsprong, dan gaat
x over in r = z = x -j- t y en dx in dz = dx -J- i dy

(\'t welk wegens het standvastige argument p hier tot modulus
heeft p = dr). Dus zoude nu de rechtlijnige integraal komen

onder den vorm / S, ( � ) dz, zoodat de twee ontbondenen

der functie u> � az~ⁿ door de formule van Moivre de waarden
zouden hebben: u = r cos n p en i v = � i r sin n p. Deze
vorm is echter alleen dan dienstig, indien men op onze sin-
guliere integraal Cauchy\'s in formules vervatte resultaten wilde
toepassen, gelijk bijv. \'t geval kan zijn met de residu-rekening,
die hier al een zeer eenvoudig geval zou gelden.

Tengevolge van \'t besprokene theorema betreffende wille-
keurige kromlijnige integratie bij synexie, is n.1. blijkens Cauchy\'s
beschouwingen (zie Ex. de Math. t. I p. 11 en 95, t. U p.
341 en t. IV p. 161) \'t verschil tusschen de waarde der

rechtlijnige integraal / ^z wdz met niet-synectische functie, �n

de waarde derzelfde integraal, genomen kromlijnig en synectisch,
� 2a-tX ^fie* »integraal" residu," dat in ons probleem op slechts
��n discontinu�teitspunt z = a = 0 betrekking heeft. Wordt

dus de integraal / ^z wdz � j ^z ~ndz, dan heeft men voor

�/ ^zo J ^zo ^z

-ocr page 57-



		55 n = 1 : w = f(z)= �, en \'t residu = ^!� [/ (z) (z � a)] z z � et

		_ lim rz~~ z = a L	------1 � . �, daar a � O. z A e = o s


		Is n > 1, dan heeft de verg. t^t = O of z" = O, n gelijke *T\\^z)* wortels O : n is de orde der eerste niet O wordende afgeleide van 1 77-y haar »index" (aanwijzende de orde van oneindig groot der f(z), voor z � a oneindig klein). In dit geval is, tenge- volge der door Cauchy bewezene uitbreiding der Taylor\'sche reeks ook op complexe getallen, het residu & ~~\\J~~ _�rp _J____ lim r^-VczHz � «n-i 1 1.2.3....(w� 1)\' z = a L _dz»-1 J ~ 1.2.3...(n-l) X ^ [^T^l(^T-^a)^M]- ^Deze ^a%eleide blijkt te bestaan m i __ \\n � m uit termen, tot factoren hebbende ------~~2n �1~~------\' ^z00(^^a^; z wegens de factoren ~~» «_i~~> wenp^ 0 en < n zijnde, de termen van \'t residu de waarden -\\-* oo en � oo verkrijgen. In beide gevallen blijft dus \'t resultaat nog onbepaald, hetgeen doet zien, dat de invoering der imaginairen onvruchtbaar is in ons van slechts ��ne re�ele veranderlijke afhangend vraagstuk, en waardoor bevestigd wordt het hierboven in § 2 opgemerkte, omtrent de verhouding der eigenlijke analyse tot dit vraagstuk. 11. Daar bbjkens § 8 de singuliere integraal, en dus ook de plotselinge vergrooting van ¹/₃ v^ in het punt x = 0, nul is, kan men vervolgens voor twee geheel willekeurige waarden v₀ en v van x₀ en x, stellen: V.t* ~ V,V = !�<) - PW......(5) en voor het dynamische geval: V₂mv² � %mv₀² � m�,(x) � mF (x₀),* of als wij � mF (x) = U, en U₀ -J- ^km v₀^s = E stellen: U4-V₃m«² = E; d. i. de som van \'t arbeidsvermogen van plaats en dat van

-ocr page 58-



		56

		beweging (n>potentieele energie" en levende kracht) is gedurende de geheele beweging standvastig, ook als liet materieele punt inmiddels d��r het (bloot geometrisch opgevatte) krachtcentrum �passeert. Dit resultaat laat zich ook tot een willekeurig sy- steem uitstrekken, bij afwezigheid van botsingen. Hoe na substitutie van v₀ en 0, uit (5) door v = 0 terstond blijkt, dat de tweede helft der rechtlijnige baan in absolute lengte aan de eerste helft gelijk, en de beweging symmetrisch wordt, is aangetoond in § 11 van »De vrije Centraalbew." In plaats der uit v = 0 en (5) voortvloeiende verg.: F (x) = F(#₀) � VsV was door Prof. v. Gr. verkeerdelijk gebruikt de alleen voor eenparig vertragende beweging geldige verg.: S = jt", (of in onze notatie :« = \'/, v₀²: -j7a-)- Het ongeoor- loofde daarvan had ik genoegzaam doen uitkomen in § 10 der »Vrije Centr." Dat nochtans in elke der drie hier te bespreken brochures dit punt kritisch, doch met volslagene onjuistheid behandeld zou worden, is een feit, dat men niet had kunnen verwachten, en toch heeft zien gebeuren. In zijne § 1 ontwikkelt de heer Korteweg tegen die formule S = W : lp twee bezwaren. Het eerste is vervat in bl. 13�15, en voor de hierbedoelde zaak zonder vrucht, omdat de prae- missen op bl. 12 onjuist zijn: de geheele discussie is doelloos, omdat in reg. 8 van bl. 12 in plaats van vertraging, in dezen niet is kunnen gezegd worden: eenparige vertraging, gelijk in reg. 4 was gedaan : want alleen voor de a priori als eenparig vertragend bekende beweging geldt de besprokene formule. Het tweede bezwaar is opgeworpen in bl. 15�20, en steunt op de toepassing der reeks van Taylor, van welke reeds op bl. 10 is gezegd, dat zij »immer convergeert en altijd doorgaat, be- halve wanneer de afgeleiden oneindig groot worden." Wat het laatste betreft: de convergentie heeft niet plaats in zeer vele gevallen, waarin de afgeleiden eindig blijven; en het »niet doorgaan" (niet geldig zijn) bij oo wordende afgeleiden is waar, maar bevat dan ook de-veroordeeling van het gebruik dezer reeks op bl. 15�20, juist voor het punt van discontinu�teit in onze quaestie (verg. boven, § 4). (Voor \'t overige is het af te

-ocr page 59-



		57

		keuren, om in plaats van de ware Cauchy\'sche limieten-methode, weer te willen teruggaan (bl. 10) tot de reeksen-ontwikkeling als basis voor het differentiaal-quoti�nt, eene afleiding, die door Lagrange beproefd geworden, doch verkeerd is, vooral wegens de beperkte en a priori betwijfelbare mogelijklieid der ontwik- keling van willekeurige functien in reeksen). De heer K. geeft derhalve twee redeneeringen zonder eenige waarde, in plaats van de rechtmatige bedenking, die door de eenvoudigste be- grippen van differentiaal-vergelijkingen wordt aan de hand gedaan. Dr. Schouten bespreekt deze zaak op bl. 23 en vgg. Wat daar bij mij eene «verkeerde opvatting" en «onderstelling" genoemd wordt, is eene aanhaling der woorden van Prof. v. G., waarvan vervolgens de strekking «blijkt" door het feit zelf, dat op bl. 40 van het ^Onderzoek," sin verband met de toe- lichting tot verg. 5)," deze vergelijking wordt toegepast op eene beweging van geheel anderen aard dan die, waarvoor zij gevonden is, zijnde bij de laatste de hier veranderlijke, ��nig karakteristieke grootheid p constant. Dat voorts (» Welke waarde," bl. 23) bij elke centripetale versnelling S = 0 zal zijn, indien behalve de aanvangs-afstand ook de initiale snelheid v_Q = Ois, zal wel door niemand betwijfeld worden. Maar dat eene voor A geldige formule in eene zelfde omstandigheid A = 0 geeft, waarin eene voor B geldige formule geeft B = 0, daaruit volgt toch niet, dat die formule van A ook in andere gevallen geldt voor B, of zelfs maar tot B in de minste betrekking staat. Op bl. 26 en 27, � ook in een voorbeeld dat herhaalt, niet «aantoont," � betwist ook Dr. Schouten de geldigheid der besprokene formule all��n op grond der oneindigheid van v₀ en p in dit geval, in plaats van te beseffen, dat zij gevonden, bestemd is, uitsluitend voor eenparig veranderlijke beweging, en voor niets anders. De schrijver der vFouten" zegt op bl. 5 uitdrukkelijk: dat »het door Prof. v. G. op bl. 33 gezegde voor eindige grootheden eene waarheid" is, die daarop berust, dat etc. ; en vindt hier all��n bezwaar in de momentane oneindigheid, discontinu�teit, der versnelling. Het is ongelooflijk, hoe zelfs de opzettelijke «kritiek" niet inziet, dat eene formule, verkregen door integratie

-ocr page 60-



		58

		eener differentiaal-vergelijking, waarin de afgeleide constant is, nooit mag worden gebruikt tot het afleiden eener bijzondere uitkomst voor een ander geval, waarin die afgeleide p veranderlijk is. Is dan thans de integratie van differentiaal-vergelijkingen eene verborgene wetenschap, dat de kritiek niet weet, hoe eene ver- gelijking waarin p standvastig, en eene andere waarin p functie van x is, twee geheel verschillende differentiaal-vergelijkingen zijn? Kan men criticus, ja beoefenaar der wiskunde zijn, en aldus miskennen den invloed van het groote onderscheid tusschen standvastige en veranderlijke grootheden ? Die formule x = v₀³: lp is bijzonder geval van deze vergelijking (I): x = (r₀³ � v): \'�lp, (x � 0 voor v = v₀ zijnde), verkregen door integratie der differen- tiaal-vergelijking : d.u³ = � lp dx,* waar p constant is. Is echter p veranderlijk, bijv. = � ax, dan geeft d.v³ = � 2 ax dx deze integraal-vergelijking (II) : %* = (t>₀³ � v"): a, waarin weder x = 0 voor v � v₀ is ondersteld. En nu moet men zelfs het vluchtigste denkbeeld van het wezen eener differentiaal-vergelijking missen, om al kritiseerende te meenen, dat ook maar in ��nig voorkomend geval de vergelijking (I) in plaats van (II) bij eene veranderlijke versnelling gebruikt mag worden.

		In het voorafgaande is v��r en na ongeveer de gansche »/bwte/i"-liJ8t des heeren J. Versluys ter sprake gebracht, en naar ik meen voldoende aangetoond, hoe wij hier telkens te doen hebben met fouten � eener onkundige kritiek. De ��nige hier nog niet besprokene »fouten" zijn het drietal, voorkomende op bl. 10 beneden, en bl. 13. "Wat de laatste op bl. 13 betreft, het voornaamste van \'t daar opgemerkte was «toevallig" reeds te vinden in de noot op bl. 30 der » Vrije C." De overige twee, n.1. bl. 13 boven en bl. 10 ben., betreffen punten als die ik in den aanhef van § 1 hierboven bedoelde. De «kritiek" gaat hier leven van � afval. Ingewikkeld schijnt een vervolg der j>Fouten" toegezegd te worden : de kritiek heeft zich »in de eerste plaats" slechts met bl. 32�41 van \'t »Onderzoek" kunnen bezighouden. Mocht na eenigen tijd een vervolg verschijnen, dan zullen ook bijv. enkele d»-wfc-fouten van bl. 45, 56, 57 zeker der «kritiek" niet ontgaan.

-ocr page 61-



		59

		M�t de vFouten," heb ik tegelijk des zelfden schrijvers vkritiek" mijner eerste brochure kunnen bespreken. Onnavolgbaar in vele opzichten is het, hoe in de aanhaling der noot op bl. 6 hierboven de heer Versluys zelf zijne onbekendheid belijdt met de mechanische deelen der wiskunde, en in den zelfden adem zich opwerpt als rechter in deze quaestie. "Wie echter in ��n onderdeel zich vreemdeling verklaart en betoont, kan die ook bevoegd rechter zijn in andere takken eener wetenschap, wier deelen zoo nauw te samen hangen ? Naar mijne overtuiging heeft door de genoemde be- lijdenis deze criticus ook zijne onbevoegdheid erkend in zaken van »zuivere" wiskunde. Bovendien, de in \'t voorgaande ook uit dit gebied gegevene voorbeelden, ofschoon beperkt in getal door den aard van \'t onderwerp, spreken des te sterker, en bewijzen afdoende de rechtvaardigheid mijner uitspraak. Tot kritiek op algemeen wiskundig zoowel als op analytisch-mechanisch gebied, acht ik den heer J. Versluys onbevoegd, en uit dit oog- punt zal ik voor mij in het vervolg de oordeelvellingen van dien schrijver beschouwen. Ik neem dus hier van den «criticus" afscheid. In de hier uitgesproken meening kan ik voor \'t overige niet alleen staan, want het is onmogelijk, dat op den duur eene kritiek waarde of gezag kan hebben, die zonder juistheid of zaakkennis, te pas of te onpas wordt uitgoefend. Elk Midas- oordeel toch treft den bedrijver der geusurpeerde kritiek, en strekt slechts tot de zichtbare ontvouwing der eigene organische

		.... trahit in spatium, villisque albentibus implet, etc. Zoodanige »ooren" tracht men vruchteloos te verbergen onder de phrygische muts van »kordate" vrijmoedigheid: \'t geheim verraadt zichzelf. 12. In cinematische termen, is de moeilijkheid van ons probleem gelegen in de gelijktijdige oneindig groote waarde van snelheid en versnelling. Die omstandigheid mag men noch weg- cijferen, noch over \'t hoofd zien. Na de hierv��r reeds besprokene Inleiding en §§ 1 tot 3, bevat nu het overige en grootste deel

-ocr page 62-



		60

		der vNasporingen" de toepassing van nog twee methoden, waar- mede de Schrijver het vraagstuk tracht op te lossen door limiet-overgangen, en wel telkens voor het belangrijke, vroeger ook door mij nog afzonderlijk beschouwde geval der versnellings- wet : �(#) = �j. Tegen die twee�rlei limiet-overgangen heb ik om de aangevoerde reden ��n algemeen bezwaar, n.1. dit, dat daarbij de rechtlijnige ten slotte een bijzonder geval wordt eener willekeurige kromlijnige baan. Hierdoor nu voert men willekeurig verhoudingen in, en ontwijkt het punt van disconti- nu�teit, en daarmede de oneindig groote snelheid en versnelling. Door de beschouwing als limiet-geval van kromlijnige banen, voert men vooreerst willekeurige limiet-verhoudingen a priori in; in plaats van eene moeilijkheid, wordt dan het oneindig kleine door die insluipende verhoudingen \'t middel tot het verkrijgen van uitkomsten, die den stempel dragen van \'t algemeene karakter der willekeurig aangenomene kromlijnige baan. In ons vraagstuk nu is \'t absoluut centrale der beweging gegeven; niet: de tan- gentiale aanvangs-snelheid wordt nul, nadert volgens eenige wet tot nul (verg. y>Nasp." bl. 64 boven), maar w�l: zij is a priori absoluut nul. W�l is eene oneindig kleine tangentiale aanvangs- snelheid = nul, doch ofschoon een oneindig klein (nul) worden, tengevolge van algemeen geldige eindige betrekkingen gepaard kan gaan met het optreden van bepaalde verhoudingen aan de limiet, mag men toch niet omgekeerd bij een a priori nul zijn die genoemde betrekkingen en deze bepaalde limiet-verhoudingen willekeurig invoeren. Geene tangentiale aanvangs-snelheid geeft de rechtlijnige, eene als oneindig klein wordend beschouwde aan- vangs-snelheid geeft een bijzonder geval der elliptische baan, (verg. § 9 van mijn vorig opstel). Al ware de beweging te beschouwen als te zijn een limiet-geval, dan zou dit daarom nog niet gelden van den vorm der baan, die slechts het gevolg der beweging is. Daar bovendien dikwijls de algemeen mogelijke kromlijnige banen meer dan ��ne zijn, voert men door deze handelwijs reeds vooraf de onbepaaldheid in, die daarbij veelal het resultaat is. Ten andere wordt door die methode juist de hoofdzaak, de

-ocr page 63-



		61

		discontinu�teit, ontweken. In dit geval bijv. der potentiaal: F(x) � �, of wel f(x) = ~a$, gaat juist de kromlijnige baan niet d��r \'t krachtcentrum, daarbij komen dus de oneindig groote waarden niet voor. En daar men den limiet-overgang bewerk- stelligt op de meetkundige baan-zelf, bij wier algemeene voor- stelling de cinematische beschouwing van snellieid en versnelling ge�limineerd en ter zijde gesteld is, wordt het onmogelijk, om aan de limiet zelf den invloed der oneindig groot wordende snelheid en versnelling tot zijn recht te doen komen. Om deze redenen is elk zoodanig onderzoek door limiet-overgang onge- oorloofd, even als de verklaring van Legendre (vg. y>Nasp." bl. 66); daarentegen zijn de meeningen van d\' Alembert en Laplace (Dr. v. G. »Onderzoek," bl. 24 en 27) met het hier opgemerkte in volkomene overeenstemming. Met de oplossing der quaestie, geformuleerd aan \'t slot der y>Nasporingen," wordt, meen ik, de door mij voorgestelde bedoeld: het op zich zelf beschouwen nu der rechtlijnige baan wordt blijkbaar gebiedend vereischt. Het* meest ter zake dienende gedeelte van § 4 der -»Naspor." bevat eene naar Jullien gevolgde beschouwing onzer rechtlijnige beweging, als limiet-geval der hyperbolische onder de vereenigde werking van twee (met de brandpunten samenvallende) centra. Volgens \'t boven gezegde is de beschouwing als bijzonder (in plaats van afzonderlijk) geval ongeoorloofd, en behoeft de richting der beweging niet in de vereenigde centra plotseling eene afwijking te ondergaan, juist gelijk aan den asymptotenhoek, maar gaat het punt d��r, volgens dezelfde asymptoot. De onmogelijke paradox, dat het zelfde rechtlijnige geval geheel anders zou uitvallen volgens deze limiet-beschouwing, dan volgens die uit de elliptische beweging, bevestigt het in \'t eerste gedeelte dezer § opgemerkte. (Dat het bedoelde geval geen bijzonder geval meer is, blijkt ook uit de limiet-formule voor v? beneden op bl. 36, want deze formule is eigenlijk illusoir, daar immers \'t punt alsdan met �lke waarde der centrale aanvangs-snelheid de recht- lijnige baan moet afleggen. "Voor \'t overige laat de heer K. stil- zwijgend maar terecht c en � c gelijkelijk nul worden, verg. boven § 8). De vroegere verbindingslijn wordt wel onbepaald,

-ocr page 64-



		62 maar de beweging blijft v��r en na symmetrisch ten opzichte van elke door \'t centrum gaande lijn; het tweede deel der baan ligt negatief, en bij deze verwijdering nu tot op gelijken afstand, blijft het karakter der gegevene beweging bewaard, bij onveranderd centripetale versnelling. Naar deze beschouwing is de overeenkomst met het afzonderlijk geval der elliptische beweging (»De vrije C," bl. 28) inderdaad fraai; bij deze is het andere deel der baan eene tweede as der quasi verdubbelde ellips, bij de hyperbool daarentegen de andere helft van de- zelfde der twee voorhandene asymptoten. In het overige der § 4 van y>Nasp." zouden bijv. bl. 41�45 tot verschillende bedenkingen aanleiding kunnen geven; eene der gewichtigste schijnt mij deze: in de tweede formule der r bl. 43 is r_A = -r-: hierin moet die oude r noodzakelijk = co zijn als r niet = 0 zal worden; dus was v = ^j^lf = 0; hoe groot is nu V = v_1a = dK k � 0 v^"S� ? Wat de laatste § 5 der y>Nasp." betreft: afgezien Van de onzekerheid, waarin m. i. bl. 47 ons laat omtrent de onafhan- kelijke veranderlijke, is op die § weder toepasselijk het boven opgemerkte omtrent het ongeoorloofde der willekeurige invoering van bepaalde limiet-overgangen. Deze zijn hier zelfs twee�rlei, door gelijktijdige onderstelling voor \'t algemeene geval, van eene niet-centrale �n van eene in verschillende richtingen onge- lijke versnelling, (ook op bl. 64 en 65). De onbepaaldheid van bl. 47 en 59 wordt daardoor reeds te voren opzettelijk ingevoerd. Op bl. 56, 57 en 58 integreert men voor f\' toch �ver p = 0, dus d��r oo voor \'t afzonderlijk (»limiet")-geval, hetgeen zonder nader onderzoek niet mag geschieden. Men wil daar door middel van \'t kromlijnige geval, waar de disconti- nu�teit niet voorkomt, deze discontinu�teit ontwijken; maar juist d�-t is weer de Legendre\'sche handelwijs, die niet geoor- loofd is. 13. Men mag dus ons vraagstuk niet behandelen door

-ocr page 65-



		03

		limiet-overgang, toegepast op den meetkundigen vorm eener kromlijnige baan; want de rechtlijnige beweging moet geheel onafhankelijk zijn van de uit dien vorm voortvloeiende limiet- verhoudingen, die dan zonder recht den grootsten invloed zouden erlangen op het resultaat. Bovendien zou men op die meetkun- dige manier ontwijken de discontinu�teit, die optreedt bij cine- matische beschouwing der snelheid en versnelling. Slechts dan zou eene zoodanige meetkundige behandeling mogelijk zijn, en tevens vrij van de bij de eerstbedoelde telkens ingevoerde onbepaaldheid, indien men het middel had om daarbij de snel- lieid en de versnelling in de beschouwing op te nemen, indien men m. a. w. het cinematische vraagstuk zelf meetkundig kon behandelen. Met het door hem ontdekte nieuwe systeem van imaginairen (de quaternions), heeft nu werkelijk Hamilton dat bedoelde middel gevonden in den liodograaf. (Zie daarover bijv. Schell, TJieorie der Beweg. u. d. Krafte). Deze eerst sedert weinige jaren bekende kromme lijn schijnt nu juist voor het belangrijke geval, dat f(x) = J-L is, onze beantwoording van het vraagstuk te bevestigen. Door toepassing van den straksgenoemden tak van symbo- lische geometrie op de eindige vergelijking eener kromlijnige beweging, waarbij dan de voerstraal veranderlijke baan-vector, en de tijd veranderlijke scalair is, krijgt men eene bewegings- vergehjking, wier eerste afgeleide weder een veranderlijke vector is, die naar richting en grootte de snelheid voorstelt. Brengt men dezen laatsten vector voor alle oogenblikken der beweging over naar denzelfden oorsprong, en wel den oorsprong der baan-vectoren, dan vormen de uiteinden der eerstgenoemde vectoren eene kromme lijn, den hodograaf. Bij eene centraal- beweging rondom den oorsprong der baan-vectoren x als kracht- centrum, ligt de hodograaf met de baan in een zelfde plat vlak, en o. a. de integratie van den versnellings-vector leert, dat in het geval van f(x) = sL bij eiken vorm der baan de hodograaf een cirkel is, wiens middelpunt ligt op de loodlijn, die in het brandpunt op de groote as wordt opgericht, en wel

-ocr page 66-



		64

		naar die zijde, waarheen in het perihelium de beweging is gericht. De snelheids-vector doorloopt altoos den hodograaf op continue wijs. Dit alles is bekend, en men ziet in, dat de pasgenoemde loodlijn steeds den hodografischen cirkel in 2 symmetrisch-gelijke helften deelt, die geheel of voor homologe gedeelten werkelijk door den snelheids-vector worden doorloopen. Nu hangt de vorm des hodograafs niet van den vorm der baan, doch enkel van de versnellingswet af. Onderstellen wij dus bijv. eene elliptische baan, die zich steeds meer afplat, met behoud van \'t zelfde brandpunt en denzelfden aphelium-afstand, doch zoo, dat met deze laatste lijn eindelijk de baan samenvalt, terwijl aan de limiet het perihelium valt in het brandpunt, tevens vectoren-oorsprong en krachtcentrum. Alsdan zal het punt des hodograafs, \'t welk met de kleinste (aphelium-)snelheid 0 correspondeert, gaan door het krachtcentrum, terwijl de ho- dograaf zelf overgaat in eene rechte lijn, d. i. een\' cirkel met oneindig grooten straal. (Dit stemt ook overeen met de bekende eigenschap, dat de straal des hodograafs, vermenigvuldigd met den (hier steeds 0 wordenden) afstand van het aantrekkend brandpunt tot de raaklijn aan eenig punt des hodograafs, gelijk is aan de in het algemeen eindige waarde der potentiaal, die aan dat punt beantwoordt). De richting dier rechte lijn, limiet van den hodograaf, is de groote as der vroegere ellips, de richting der rechtlijnige baan zelf, en zij strekt zich naar den kant van het perihelium tot in het oneindige uit. En nu is er geene enkele reden om te onderstellen, dat de bovengenoemde algemeene eigenschap van het lialveeren des hodograafs, door de loodlijn in het krachtcentrum op de baan geplaatst, niet meer zou doorgaan in dit limiet-geval. Indien wij dan aannemen, dat die eigenschap ook thans nog geldig blijft, dan volgt daaruit terstond, dat de hodograaf ook naar de aphelium-zijde zich tot in het oneindige uitstrekt. Hieruit blijkt dan, dat het bewegend punt of in het centrum plotseling het teeken zijner snelheid zal omkeeren, of zijne beweging naar de andere zijde voortzetten en symmetrisch volbrengen zal. Wat nu het eerste aangaat, dit is vroeger voldoende aangetoond onmogelijk te zijn (»De vrije C," bl. 37 en 45), indien men

-ocr page 67-



		65

		niet de speciale (hier afwezige) onderstelling maakt, dat in het krachtcentrum eene veerkrachtige botsing plaats vindt. Alzoo moet dan ons resultaat zijn het werkelijk plaats hebben der symmetrische beweging. Deze bevestiging van de uitkomst der in mijn vorig, en in §§ 5, 6, 8 en 11 van dit opstel voorgedragene analytische beschouwing, hoewel verkregen door meetkundige behandeling van het limietgeval, schijnt toch niet onderhevig te zijn aan de bedenkingen, die in de vorige § tegen de daar bedoelde limiet-overgangen zijn gemaakt, omdat men daar had eene zuiver meetkundige beschouwing der baan, waarbij de hier alles beheerschende oneindige waarden der cinematisclie snelheid en versnelling uit het oog werden verloren. Hier daarentegen is het eene beschouwing van \'t meetkunstige beeld der beweging-zelf. 14. Aan het slot mijner ^opmerkingen" gekomen, geloof ik thans van deze quaestie wel afscheid te mogen nemen. Ik wil echter nog de algemeene conclusien nit het geheel mijner be- schouwing hier kortelijk resumeeren. Verkeerd is het om in dit vraagstuk met Prof. van Geer te blijven staan bij de algemeene waarde der singuliere integraal, en zoodoende ook de rechtlijnige baan te beschouwen als bij- zonder (in stede van «afzonderlijk") geval der kromlijnige; � of wel om met den heer Korteweg de rechtlijnige beweging door �imief-overgang (en invoering van bepaalde verhoudingen, met ontwijking der discontinu�teit) te willen afleiden uit de kromlijnige; � of eindelijk om met Dr. Schouten, bij recht- matige waardeering overigens van het kritieke en moeilijke der discontinu�teit, voor \'t historische vraagstuk een ander in de plaats te willen stellen, terwijl men ten onrechte het eerste verklaart voor onmogelijk en onoplosbaar. Maar daarentegen moet men: het vraagstuk zuiver aanvaarden, zooals het historisch v��r ons staat, met zijne niet te ontwijken discontinu�teit; zijne rechtheid, die van zijpaden weet noch omwegen, elke krijgslist teleurstelt, en slechts overwonnen kan worden bij open aanval met het wapen der vruchtbaarste kri- tiek: die onzer eigene methoden en begrippen. 5

-ocr page 68-

"Wat aangaat de meer objectieve kritiek, in de voorgaande
bladzijden beproefd: ik heb uit den aard der zaak haar niet
kunnen terughouden of wijzigen, nu ik eenmaal de zaak opnieuw
ging bespreken, en naar mijn beste weten heb ik getracht mij
te vrijwaren voor eenzijdigheid.

TOEGIFT.

Deze gelegenheid is gunstig, om alsnog enkele vroeger niet
opgegevene misstellingen te verbeteren, in »D« vrije Centr."
voorkomende, en eerst later opgemerkt, maar nagenoeg allen
ontsnapt aan het oog der kritiek:

bl. 42. V��r elk der leden van de eerste 2 \\gg. de

syllabe Urn te plaatsen. / �. ,

» id. In plaats der verg. (4) te lezen: > ,, ..

_lim � � _ «^₌j _[W_ _W] ₌ _ail±

» 47 reg. 32: t lees: z

» 25 en later, telkens voor ��_a te lezen: ^-�. Evenzoo:

x² ^T x²

» 38 reg. 8:-------lees:------of �. Voorts:

⁸ *n xⁿ xⁿ

» 32 » 20: f~^q& lees: f^_

» 36 » 25: d?y lees: �§�

» 37 » 40: achter tangens intevoegen: van den hoek der

raakhjn met de sc-as

d²x d²x

» 43 » 24: -r- lees: -t-₂

,_ , _ /. . cos3«e\\, / . . cos3p�2cos«A

� 47 de noot reg. 2: (4 j-^J lees: [sm₉ ~~4 _8in _?y ^Y~~)-

» 60 reg. 7: achter ��ne intevoegen: absoluut genomene.
Februari 4873.

fot�".

-ocr page 69-



		ERRATA.

		bl. 18 r. 18: limf(t) � f(t � &) lees: \\im[f(t) 16: lees: 7: f V* lees: f* 6: F («!) � lees: F (� af,) � 30: lim (e � e) Zees: lim F (c � e) 7: e³\' en ^^ lees: eⁿ en >?"» 27: ongezind* Zees: niet ongezind 12: j9 en � q lees: pt en �qs. 24: van #, lees: van /, 21: constanten* hes: eindige constanten.