\':<?

v\\*

\'U-i �


	� .-tl.� �	�

. * m

?*��


		* >
		*\| ,_rm "i**
*vC\'\' ..**
SD RL Sim
9H
tSs
^^ l B-Zl II\' ^L VEN ]	^S-.^ �
L 121 - 181 j		* s � * �
¹ \'JL*	� . -^ * �
L^	*-^^ < Itl**

��

*�«

* � ■#

-ocr page 2-

Wirvo \\^/S

■.


	■	.
	-
	\'	1
	\' �	.

■

� ■

-ocr page 3-

,i> ;�

\'■

r , � <

\'/ri

■ v-i ...-,.. � ;

�

v . rU\' ,.r,\'

-ocr page 4-

-ocr page 5-

"V2

GONIOMETRIE,

RECHTLIJNIGE en BOLVORMIGE

TRIGONOMETRIE!

MET VRAAGSTUKKEN TKR �OEPASSIKG.

DOOK

B. L. VRIES,

Leeraar in ile Wiskuudc bij het Koninklijk Instituut voor de Marine.

�-*K8��

NIEUW E Dl EP,

L. A. L AU REU.

J875.

.0$

-ocr page 6-





		■ *

		� «■-«

		BIBLIOTHEEK UNIVERSITEIT UTRECHT

		A06000030571313B

		3057 131 3

-ocr page 7-



		GONIOMETRIE, /<f/ RECHTLIJNIGE en BOLVORMIGE TRIGONOMETRIE, we� vraagstukken ter toepassing.

		DOOK

		� B. L. VRIES, Leeranr in de Wiskunde bij het Koninklijk Instituut voor de Marine.

		BIBLIOTHEEK-B® - RtJKSUNIVERSrTEfT UTRECHT COLL THOMAAS96**
		*\'s*


		NIEUWEDIEP, L. A. LA�KE IJ. 1875.

-ocr page 8-



		.

		Sloomsiielpei\'Bdruk van A. A. ltakker Cz.

-ocr page 9-



		VOORBERICHT.

		Voldoet dit werkje aan een lang gevoelde behoefte? Niettegen- staande de schrijver deze vraag niet volmondig met ja zou durven beantwoorden, heeft hij eindelijk toch tot de uitgave besloten, vooreerst met het oog op zijn eigen onderwijs en ten andere omdat het, naar zijn gevoelen, hier en daar toch enkele wenken bevat, die in grooter kring nuttig kunnen zijn. Zonder te uitvoerig te zijn bevat het toch alles wat en voor het onderwerp zelf en met het oog op de verdere wiskundige studie�n noodzakelijk is.

-ocr page 10-



		Hij de behandeling der bolvormige driehoeksmeting heb ik de beschouwing van den rechthoekigen driehoek vooraf laten gaan, dnar dit door de regeling der studie�n aan het Koninklijk Instituut voor de Marine gevorderd wordt. Stelselmatiger ware het, het derde hoofdstuk in de volgende orde te behandelen § IS, § 16, § 17, § 18, § 14, § 15, J 19, § 20, § 21 en § 22.

		NiEinvEDiEP, Maart 1875.
		DE SCHRIJVER.

-ocr page 11-



		T N H O U 1).

		EERSTE HOOFDSTUK. Goniometrie. § 1. Verklaring van de goniometrische betrekkingen. . bl. 1. § 2. Verhoudingen tusschen de goniometrische betrek- kingen van denzelfden boog........«5. § 3. Over de teekens der goniometrische betrekkingen . � 9. § 4. Goniometrische betrekkingen tusschen verschillende bogen...............� 18. § 5. Verhoudingen tusschen bogen, die door goniome- trische betrekkingen gegeven zijn......� 27. § 6. Samenstelling der sinustafels en gebruik der logarith- men-sinustafels............� 30. § 7. Oplossing van goniometrische vergelijkingen en het geschikt maken van stelkunstige vormen voor bere- kening door logarithmen.........#37.

-ocr page 12-



		TWEEDE HOOFDSTUK. Rechtlijnige Trigonometrie. § 8. Oplossing der rechthoekige driehoeken .... hl. 47. § !). Berekening van het oppervlak of den inhoud des rechthoekigen driehoeks.........� 51. § 10. Oplossing der scheef hoekige driehoeken . . . � 53. § 11. Berekening van het oppervlak of den inhoud van den scheefhoekigen driehoek.......� 64. § 12. Toepassing van de rechtlijnige trigonometrie op eenige vraagstukken tot de werkdadige meetkunst (Geodesie) behoorende.........«68.

		DERDE HOOFSTUK. Bolvormige Driehoeksmeting. (S ph e ri sch e Trigonometrie.) § 13. Voornaamste eigenschappen van den bolvormigen driehoek.............// 91. § 14. Afleiding der formules ter berekening van de rechthoekige driehoeken uit de figuur .... _w «JU. § 15. Berekening der rechthoekige bolvormige drie- hoeken ..............ii 101. § 10. Analytische afleiding van de grondformules der bolvormige driehoeksmeting......._u 110. § 17. Afleiding der grondformules uit de figuur . . «115.

-ocr page 13-



		§ 18. Afleiding van de formules ter berekening der rechthoekige bolvormige driehoeken uit de grond- formules.............bl. 118. § 19. Afleiding der grondfjrmules door middel van de rechthoekige bolvormige driehoeken en van nog ccnige nieuwe betrekkingen.......�119. § 20. Berekening der scheefhoekige driehoeken . . . � 122. $ 21. Herleiding van een heek tot den horizont . . � 142. § 22. Berekening van het oppervlak van den bolvor- migen driehoek...........� 144.

-ocr page 14-

De lezer gelieve de volgende onnauwkeurigheden te verbeteren:


	)1.	14,
	II	15,
	II	18,
	II	19,
	II	24,
	II	27,

regel 18 v. b., staat: 1, moet zijn: OO.

i, 7 v. o., � 7, � ,i 8.
fig. 8, ontbreekt de letter D.
ii ", ii n ii L).

regel 1 v. o., staat: (65), moet zijn: (55).
� 9 v. o., � 2cot.a, ,i � 2cot.2a
n(n � 1) (n � 3)

14 v. b.,

moet zijn:

81,

2.3
n(n � 1) (n

2.3

8 en 12 v. o., staat in den noemer van de breuk
ig.fi, moet zijn: cos.^.

10,


� 42,	ii	5 v	. b., staat:	sm.itp, moet zijn:	2p.
� 44,	n	6 en	7 v. b	� II	2cot.p, � �	2cot	*.i<p.*
ii °3,	ii	13 v	. 0.	II	de sinus ti ii	den	sinus.
n 54,	ng-	12, i	staat:	0, moet zijn: M.
ii 62,	regel 6	V. 0.	, staat: (b � c)², moei	; zijn	: (b e)\'.
i, 71,	n	0	V. 0.,	//	den, �	ii	de.
/, 76,	n	12	v. b.,	n	A en B, �	ii	a en b.
	ii	10	V. 0.,	ii	/?\',	n	/?�
ii 78,	ii	:i	v. b�	ii	EAD,	n	EAC.
n 87,	ii	12	V. 0.,	n	BAD = BCE�,	ii	BAD -fBCE.
,i 91,	ii	0	V. 0.,	ii	elkander, �	n	elkander geplaatste.
ii 94,	ii	17	V. 1).,	ii	BV,	ii	B\'C\'.
i, 100,	n	KI	V. 0.,	ii	cos.(180�B)=,�	ii	cjs.(180�C)=.
«117,	ii	9	V. b.,	ii	(180 � c), �	ii	(180 � C).
� 126,	ii	o	V. b.,	ii	C > A,	"	C < A.
�129,	ii	1	V. b.,	ii	r,	ii	c.
� 134.	ii	11	V. b.,	ii	voorwaarde is, �	ii	voorwaarde voldaan is.
� 139,	ii	5	V. b.,	ii	hoek, _w	ii	zijde.
� 143,	n	5	V. 0.,	ii	sin.\', �	ii	sin.²*.

-ocr page 15-



		EERSTE HOOFDSTUK. Goniometrie.

		§ i. Verklaring van de coiiioinetrimehe betrekkingen. 1. Bij de beschouwing van den driehoek, zoowel van den reehtlijnigen als bolvormigen, komen zes samenstellende dcelen of elementen in aanmerking, namelijk de drie zijden en de drie hoeken, tusschen welke zulk een verband bestaat, dat drie van deze zes elementen gegeven of bekend zijnde, de driehoek door constructie geheel kan worden bepaald, en dus de onbekende elementen kunnen worden gevonden. In de lagere Meetkunst heeft men deze con- structi�n leeren uitvoeren, en toen tevens kunnen opmerken, dat onder de gegevens voor een rechtlijnigen driehoek, minstens ��n zijde moet voorkomen. Deze manier om de onbekende elementen van een driehoek te vinden laat echter geen groote nauwkeurigheid toe, en al vroeg was men er op bedacht de onbekenden door bere- kening uit de gegevens af te leiden. Men stuitte echter dadelijk op de zwarigheid om rechte lijnen met hoeken te vergelijken of met elkander te verbinden, daar deze beide grootheden niet door dezelfde maat of eenheid kunnen gemeten worden. Deze moeilijk- heid is men te boven gekomen door in plaats van de hoeken zekere lijnen in rekening te brengen, die van deze hoeken afhangen, dat is, die te gelijk met deze hoeken veranderen en waarvan, om- gekeerd, deze hoeken afhangen. Het onderzoek naar de eigenschappen dezer lijnen en naar de betrekkingen, die er tesschen bestaan, heeft het aanwezen gegeven aan een tak der wiskunde, dien men Goniometrie of meetkunst der hoeken noemt, terwijl de berekening der onbekende elementen van 1

-ocr page 16-



		�:

		den driehoek uit de gegevens door middel der goniometrie den niiiim van Trigonometrie of driehoeksmeting draagt, die weder onderscheiden wordt in rechtlijnige en spherische of bolvormige driehoeksmeting. 2. Zij, fig. 1, AFA\' een halve cirkel, beschreven met een wille- keurigen straal AO, en B een punt iu den omtrek van dien cirkel, Fig. 1. dan is de boog AB de maat van den hoek AOl?. Tot de gonioinetrische lijnen van dezen hoek of boog behooren nu, in de eerste plaats de koorde AB; vervolgens de lijn BC, die uit het eene uiteinde van den boog loodrecht valt op den straal, die door het an- dere uiteinde gaat; verder de lijn Al), zijnde dat gedeelte van <le raaklijn aan het eene uiteinde van den boog, begrepen tusschen dit raakpunt en het punt ]), waar de verlengde straal OB, gaande door het andere uiteinde van den boog, deze raaklijn snijdt, en eindelijk het gedeelte OJ) van den verlengden straal OB, begre- pen tusschen het middelpunt des cirkels en het snijpunt met de raaklijn. Om deze lijnen echter in de berekening te kunnen opnemen, moeten zij in getallen worden uitgedrukt, dat is, gemeten worden door een gemeene maat of eenheid, waartoe geen geschiktere kan gekozen worden dan de straal des cirkels, want daardoor blijven de betrekkingen tusschen de genoemde lijnen en den straal des cirkels, tot welken de boog AB of de hoek AOB behoort, dezelfde, zoolang de betrekking van den boog AB tot den cirkel, waartre hij behoort, dezelfde blijft. Noemt men nu den boog AB of den hoek AOB ter bekorting

		AB , a, en den straal r, dan is ---- de koorde,		BC , Al) � de sinus, � de tan- r r


		gens en----- de secans van den boog of hoek a, en neemt men nu r =: 1, dan worden de goniometrische betrekkingen van den boog a op de volgende verkorte wijze aangeduid:

-ocr page 17-



		��5

		AB =r koorde.ii. BC = sin.a. AD = tg.a. 01) = sec.a. Trekt men verder den straal OF loodrecht op AO; PG raaklijn aan het uiteinde F van dezen straal en BE loodrecht uit het punt B op OF; dan is, volgens liet voorgaande BE = sin. (90° � a). FG = tg. (90° � a). OG = sec. (90° � a). Deze betrekkingen zijn derhalve de sinus, tangens en secans van het complement van den boog a, dat is, het zijn de complements- sinus, complements-tangens en complements-secans van a, waarvoor men kortheidshalve cosinus, cotangens en cosecans zegt. Men heeft dus nog de volgende goiiioinctrische betrekkingen: BK zzz cos.a. FG = cot.a. OG =: cosec.a. AC EF Hierbij kunnen nog gevoegd worden � en ��, die men sinus-versus en cosinus-versus noemt, hetwelk wordt uitgedrukt door AG = sin.vers.a. EF � cos.vers.a. Daar BE evenwijdig met AO en BG met OF is, is BE = OC en dus ook OC = cos.a, zoodat men door den cosinus van een boog verstaat de betrekking van liet gedeelte van den straal, begrepen tassehen het middelpunt des cirkels en het voetpunt van den sinus tot den straal. Nog kan men opmerken dat: 1°. de sinus, de cosinus en de straal; 2°. de tangens, de secans en de straal en 3°. de cotangens, de cosecans en de straal de zijden zijn van rechthoekige drie- hoeken. 3. Men kan de verschillende goniometrische betrekkingen ook op de volgende wijze bepalen. Zij, lig. 2, in driehoek ABC de hoek A recht, dan is:

		1*

-ocr page 18-

De sinus van hoek B = a, do betrek-
king tusschcn de overstaande rechthoekszijde
AC en de hypotenusa, dus:
AC

8U1.8 = _m

])e cosinus van lioek B = a is de be-
trekking tusschen de aanliggende rechthoeks-
zijde A.B en de hypotenusa; dus:

Kg. 2.

AT?

cos.a = _w-

De tangens van hoek ]? z= a is de betrekking tusschen de

overstaande rechthocks/.ijde en de aanliggende, dus:

AC AC AB sin.a

^tg-a � AB � W ^: W ~ "cotjT
De cotangens van hoek B = a is de betrekking tusschen de

aanliggende rechthoekszijde en de overstaande, dus:

AR _ AI? AC eos.a 1

eot.a _ _AC _ ^- : j^t = ^rjj- = -j^-

De secans van hoek I? = n is de betrekking tusschen de hypo-
tenusa en de aangrenzende rechthoekszijde, dus:

BC 1?C Al? 1

sec.a = jy\\ = bc ^: W ~ ~c^a~\'
De cosecaus van hoek 1? = a is de betrekking tusschen de
hvpotenusa en de, overstaande rechthoekszijde, dus:
BC ISC AC 1

AC "" BC \' BC " " sin.a

k Indien, Hg. 8, de boog AB
Fig. 8.

= \\ic =z 45° is, dan is
OBC een gelijkbeenige recht-
hoekige driehoek, wiens hypo-
tenusa 1 is, derhalve heeft men:
BC = OC = fin.ijr �

cjs.iar = il/2.
Ook de driehoek O Al) is
gelij\'tbceuig en rechthoekig,
derhalve :
tg.fcr = 1.

01) = sec.}*- = y/�,
cot. (90° � a), en sec.u

cosec. (\'J�° � a)

en daar tg.a ==
is, volgt daaruit

-ocr page 19-

.->

COt.-Jfl- = 1.

cosec.|;r = j/2.
Indien, tig. 4, boog Al? = ^ir =: 60° is, dan zijn de drie-
Pig. 4. hoeken OBC en OA1) rechthoe-

� kige driehoeken met een scherpen
hoek van 30°, waarin, zoonls men
weet, de zijde over den hoek van
30° gelijk is aan de halve hypo-
tenusa. Hieruit volgt alzoo:
OC = cos.6()° = a.
BC = sin.60° = ||/3.
OD = sec.fiO⁰ =: 2.
AD = tg.60° = |/3,
en daar sin.30° = cos.(i0°,cos.30^o= sin.C0°, tg.(J0° = eot.30°,

sec.fiO

is, heeft men ook nog :

sin.30° == ->.
cos. 30° = ||/3.
cot.30° = j/3.
cosec.30° = 2.
waardoor, zoo noodig, nog nader blijkt, dat de goniometrische
betrekkingen niets anders zijn dan getallen, die in de figuur door
lijnen worlen voorgesteld.

5 2.

Verhouding\'*\'» tussehen de gonioinelrlsehe betrek-
kingen van denzelfden boog.

5. Reeds uit de opmerking aan het slot van 2 in de vorige §
heeft men kunnen besluiten tot zekere onderlinge afhankelijkheid
tussehen de gonioinetrische betrekkingen van een zelfden boog. Er
bestaat echter nog meer verband, zelfs zoodanig dat een der goni-
oiuetrische betrekkingen bekend zijnde, de overige daaruit kunnen
worden afgeleid.

-ocr page 20-

"De driehoeken OBC, OAD en OEF, fig. 5, die alle rechthoekig
Fig. 5. en onderling gelijkvormig zijn,

geven namelijk

BC² -f-Of"- = OB².
OA- -f AD\' =OD».
OE² -j-EF¹ = OF», dat is:
sin.\'a -j- cos.-\'a := 1.
1 -|- tg.²a = sec.²a.
1 -)- cot.\'a = cosec.²a.
terwijl uit de gelijkvormigheid

X¹dat is

van OBC en OAD volgt:
OC : OA :: BC : AD z= OB : 01),
cos.a : 1 =: sin.a : tg.a zz 1 : sec.a,

sin.a

waaruit: tg.a =

cos.a
1

sec.a =

Evenzoo geeft de gelijkvormigheid van de driehoeken OBC en OEF:

OC : EF = BC : OE = OB : OE,
dat is: cos.a : cot.a = sin.a : 1 � 1 : cosec.a,

cos.a

waaruit: cot.a :=

sm.a
1

cosec.a =:

Vergelijkt men de uitdrukkingen voor tg.a en ot.a, dan blijkt
nog dat:

tg.a =

cot.a

hetgeen ook gevonden kan worden uit de gelijkvormigheid der

driehoeken OAD en OEE.

Vatten wij nu alles samen, dan hebben wij het volgende stelsel
van formules:

Uit sin.²a -\\- cos.²a r= 1 volgt:

sin.a = j/(l � cos.²a).....(1)

cos.a = j/(l � sin.²a).....(2)

l/(sin.²a -f- cos.²a) =: 1......(3)

Uit 1 -(- tg.²a = sec.²a volgt:

-ocr page 21-



		7

		seo.a = \|/(1 -f tg.²a)...... (4) tg.a = j/(sec.²a � 1)..... (5) l/(sec.²a � tg.²a) = 1...... (6) Uit 1 -)- oot.²a = cosec.²a volgt: cosec.a = \|/(1 -\\- cot.²a)..... (7) cot.a = \|/(cosec.²a � 1) . . . . (8) \|/(cosec.²a � cot.²a) = 1..... (9) Verder heeft men: sin.a 1 tg.a = ------- = �� .... (10) cos.a cot.a ^v \' cos.a 1 cot.a = -:-----=------ .... (11) sin.a tg.a ^v \' sec.a = -------.......(12) cos.a 1 cosec.a = �.�■ .......(13) sin.a ^v \' Uit de drie laatste formules blijkt nog gemakkelijk: tg.a X ^c°t.a = cos.a X ^sec-ⁿ � ^s^ⁿ-^a X cosec.a = 1 . (14) en hieruit: sin.a = ----------.......(15) cosec.a cos.a = ------.......(16) sec.a ^v zoodat volgens de aangenomen spreekwijze de sinus, de cosinus en de tangens van een boog het omgekeerde zijn van den cosecans, den secans en den cotangens van dien boog en omgekeerd. Nog ziet men uit de figuur gemakkelijk, dat sin.vers.a � 1 � cos.a.....(17) cos. vers. a =z 1 � sin.a.....(18) is. Merkt men verder op dat de koorde AB door den straal OL, die er loodrecht op getrokken is, tegelijk met den boog AB == a, midden door gedeeld wordt, dan ziet men, dat: BG = sin.-§-a is, en dus koorde.a =: 2 sin.^a......(19) en eindelijk, omdat AB² = AC X ^ AO = 2 (1 - OC) is, koorde.²a � 2 (1 � cos.a) .... (20) 6. Door middel der gevonden formules zal men nu gemakkelijk elk der goniometrische betrekkingen in een andere kunnen uit- drukken, om daardoor formules te verkrijgen ter berekening eener

-ocr page 22-

bepaalde goniometrische betrekking als een andere gegeven is. Zij
bijv. sec.n gegeven, dan zou men oni siu.\'i te vinden, aldus
kunnen te werk gaan. Vit form. (1) heeft men namelijk

sin.a = |/(1 � cos.-a)
en uit form. (16)

cos.n = -------

sec.a

door deze laatste waarde in de eerste vergelijking te substitueeren,

vindt men voor het gevraagde

.... 1 i/(sec.²a � 1)

sin.a = |/(l �---------) = t�:-----------------.

sec.²a sec.a

Om den sinus te berekenen als de tangens gegeven is, heeft men
uit het laatst gevondene, door gebruik te maken van de form. (5)
en (4)

t�.a
sin.a =: �ttz�\'-f���-

waaruit men verder, door volgens form. (10) voor tg.a te schrijven

cot.a

"^u� - |/(cut.»n 1)
en hieruit door toepassing van form. (7)

sin.a z= ---------->

cosec.a

zoodat men heeft:

.,,, . , y/(see.-a � 1) _ tg.a _

sin.a =z 1/(1 � COS.²a) = ---------------------� ~~..,~~ ~~, .~~�r-r �

^y ^K \' sec.a |/(l-(-tg.\'^!a)

1 _ 1

|/(cot.²a -|- 1) cosec.a\'

waardoor dus de sinus van een boog in elk der overige goniome-
trische betrekkingen is uitgedrukt, en berekend kan worden als
een van die alle gegeven is. Op gelijke wijze kan men met elk
der andere handelen.

De wijze van afleiding is echter voor vele wijzigingen vatbaar,
zooals in het algemeen de herleiding van alle goniometrische formules.

Om bijv. den sinus te berekenen als de tangens gegeven is, kan
men in form. (15) voor cosec. a substitueeren de waarde uit form.
(7) en daarin voor cot. a de waarde uit form. (11), waardoor men heeft:

1 1 1 tga

sin.a �

cosec.a |/(1 cot.\'a) 1/0- ^) l^lC tg.^a)

even als boven.

-ocr page 23-



		9

		7. Men oefene zich door de beantwoording der volgende vragen: 1°. Bereken de waarde van de goniometrische betrekkingen van {sr, \\t en \\ir door den sinus als bekend aan te nemen. 2°. Bereken de goniometrische betrekkingen van den boog wiens sinus is \\ (� 1 -)- j/5). 3°. Als tg.a = \\/(5 -j- 2 j/5) is, wat zijn dan de overige goniometrische betrekkingen ? 4°. Als osec.a = 1/(2 -\\- 2 j/5) is, hoe groot zijn dan de andere goniometrisclie betrekkingen? 5°. Bereken al de goniometrische betrekkingen van den boog van 30°. (i°. Insgelijks van dien van 18°. 7°. Insgelijks van den boog van 54° en van 72°. 8°. Druk elk der goniometrische betrekkingen uit in elk der andere. 9°. Als sec.a = � � \|/5 is, hoe groot zijn dan de overige goniometrische betrekkingen ? 10°. Als sin.x == a is, wat vindt men dan voor de andere goni- oinetrische betrekkingen van den boog x?

		§ 3. Over de teekens der goniometrische betrekkingen. 8. Tot nog toe beschouwden wij de goniometrische betrekkingen alleen ten opzichte van bogen in het eerste kwadrant of van hoeken kleiner dan 90° of \\x. Wij zullen thans onderzoeken hoe het daarmede gesteld is in de overige kwadranten, waarbij wij kort- heidshalve alleen van bogen zullen gewagen, dewijl voor de over- eenkomstige hoekeu dezelfde opmerkingen gelden.

-ocr page 24-

Zij daartoe, tig. f>, AOAi het eerste, A1OA2 het tweede,

A2OA3 het derde en
AOAa het vierde kwa-
drant. Indien wij dan
onderstellen dat de ver-
lengde straal OB ligt op
OA, dan is boog AB = 0,
en blijkbaar

sin.O⁰ = 0.
Laat nu de straal OA
onbewegelijk, de straal
OB daarentegen om liet
middelpunt beweegbaar
ondersteld worden, dan
kunnen wij dezen straal
achtereenvolgens den ge-

Fi*. 6.

XEi. \\E

B\'K

heelen omtrek doen doorloopen, waarbij dan al dadelijk blijkt
dat de sinus in het eerste kwadrant grooter wordt, naarmate de
doorgeloopeu boog aangroeit, totdat, tle doorgeloopen ruimte een
kwadrant zijnde, de beweegbare straal op OAi valt en dus de sinus
gelijk aan den straal is. Derhalve

sin. 90° = 1.

Wordt de doorgeloopen ruimte grooter dan een kwadrant, bijv.
gelijk aan den boog ABi, dan ziet men den sinus weder afnemen,
totdat, de doorgeloopen ruimte gelijk 180° zijnde, het beweegbare
been op OA2 valt en alzoo in het verlengde van het vaste been
OA ligt; alsdan ziet uien dat

sin. 180° =r 0.

Neemt men nu den stand der lijnen in het eerste kwadrant als
positief aan, hetgeen natuurlijk geheel willekeurig is, dan blijkt het
dat de sinus van bogen in het tweede kwadrant nog positief is,
want de lijn B1C1 is in volkomen denzelfden toestand als BC ten
opzichte van AAa, waarop zij beide loodrecht staan. Onderstelt
men verder AB = A2B1, dan is BC � B1C1 en dus, den boog
AB gelijk den boog A2B1 gelijk a stellende, is

sin.a =. sin. (180° � a) = sin. (V � a),
dat is: de sinus van een boog is gelijk aan den sinus van zijn supplement.

Zet men de beweging voort in het derde kwadrant, dan ziet men

-ocr page 25-



		11

		den sinus weder aangroeien, totdat, het beweegbare been op OAa vallende, de doorgeloopen ruimte 270° en de sinus weer 1 gewor- den is. In het vierde kwadrant neemt de sinus weer af om voor .\'5<i0° op nieuw 0 te worden. In deze kwadranten is echter de stand der lijnen B2C2 en BaCa tegengesteld aan den stand der lijn BC en dus de sinus van bogen in het derde en vierde kwa- drant negatief. Wij hebben derhalve: sin. 270° = � 1. sin. 360° = �. Derhalve alles te samen nemende: sin.�° = 0. sin.90° = 1. I sin. 180° = 0. > . . . . (21) sin. 270° 5= � 1. I sin. 360° = 0. ) 9. Omtrent den cosinus merke men op, dat als het beweegbare been OB op OA ligt, de cosinus alsdan 1 is. Brengt men nu het been in beweging, dan ziet men den boog aangroeien, terwijl de cosinus afneemt, om gelijk 0 te worden als OB valt op OAi en dus het beweegbare been een boog van 90° heeft doorloopen. Bij verdere aangroeiing van den boog groeit de cosinus ook weder aan, totdat hij voor 180° gelijk 1 is. In het derde kwadrant neemt de cosinus weder af, terwijl de boog aangroeit om voor 270° op nieuw gelijk 0 te worden, waarna hij in het vierde kwa- drant nogmaals aangroeit en voor 360° weer gelijk 1 is. In het eerste en vierde kwadrant wordt de cosinus echter op OA gemeten, van het niiddelpunts rechts, terwijl hij in het tweede en derde kwadrant van het middelpunt links op het verlengde van OA gemeten wordt en dus in tegengestelden toestand verkeert. Daar wij nu alle lijnen in het eerste kwadrant positief ondersteld hebben, is de cosinus alzoo positief in het eerste en vierde en negatief voor bogen in het tweede en derde kwadrant. Wij hebben diensvolgens:

		cos.0° cos.90° cos. 180° cos. 270° cos. 360°		=z 1. � 0. = � 1. � 0. = 1.

-ocr page 26-



		1:2

		Is AB z: Aa]?i = n, dun is 00 � 001 en dus: cos.ii =z � cos. (180° � a) = � cos. (jr � a), derhalve: de cosinus van een boog is gelijk aan den negatieven cosinus van zijn supplement. 10. Om den toestand van den tangens in de verschillende kwadranten te beoordeelen, trekke men een rnaklijn aan het punt A, dat is aan den oorsprong der bogen; denkt men zich nu deze rnaklijn boven en beneden dat raakpunt tot in het oneindige ver- lengd, dan noemt men deze lijn de lijn der tangenten, omdat de tangenten van a!le bogen op deze lijn geteld of gemeten moeten worden. Men ziet nu lichtelijk in dat de tangens van 0° gelijk 0 is; voor aangroeiende bogen in het eerste kwadrant groeit ook de tangens aan, daar het bewegende been <)B meer en meer nadert tot een stand evenwijdig aan de lijn der tangenten. De afstand van het snijpunt D dezer twee lijnen tot het raakpunt A wordt derhalve steeds grooter, totdat de beide lijnen, op het oogenblik dat de doorgeloopen boog gelijk 90° is, evenwijdig loopen. .Kr heeft dan geen snijding plaats en men zou dus eigenlijk niet kun- nen spreken van een tangens van !)0°. Daar de wording van den tangens voor aangroeiende bogen in het eerste kwadrant echter duidelijk doet zien dat, hij tot oneindig groot nadert, zegt men dat de tangens van 90° oneindig groot is. Is het beweegbare been of de verlengde straal in den stand 01? i gekomen en alzoo de doorgeloopen boog een boog in het tweede kwadrant, dan kan deze lijn de lijn der tangenten niet snijden, tenzij men haar door het middelpunt O verlengt, maar dan heeft die snijding plaats beneden het raakpunt A en dus zijn de tangenten van bogen iu het tweede kwadrant in ecu stand, tegengesteld aan dien van het eerste kwadrant. Zijn dus de tangenten van bogen in het eerste kwadrant positief, dan zijn zij iu het tweede kwadrant negatief. Te gelijkertijd ziet men in dit kwadrant de tangenten afnemen als de bogen aangroeien om voor 180° gelijk 0 te worden. In het derde kwadrant heeft de snijding niet de lijn der tangenten weder plaats door het verlengde van den beweegbaren straal boven het raakpunt A en dus zijn de tangenten in dit kwadrant positief, terwijl men tevens kan opmerken, dat de tangenten tegelijk met de bogen aangroeien, zoodat de tangens van 270° weder oneindig groot is. In bet, vierde kwadrant snijdt de beweegbare straal de

-ocr page 27-



		13

		lijn der tangenten weder beneden liet punt A, en zijn zij dus op nieuw negatief, terwijl zij voor aangroeiende bogen in dit kwadrant afnemen oin voor 360° gelijk 0 te worden. Wij hebben dus: tg.O⁰ = 0. i tg.90° = oo. / tg. 180° � 0. .....(23) tg. 2 70° = CO. \\ tg. 360° = 0. ¹Verder ziet men weder gemakkelijk in dat: tg.a = � tg. (180° � a) = � tg. («■ � a) is, derhalve: de tangens van een. boog is gelijk aan den negatieven tangens van liet supplement van dien boog. 11. Het onderzoek van den cotangens, secans en cosecans zul nu geen zwarigheden meer opleveren. Door de lijn der cotangenten verstaat men de aan weerszijden tot in het oneindige verlengde raaklijn aan het punt Ai, dat op \'M)° afstands ligt van het raakpunt voor de lijn der tangenten. Het positieve gedeelte dezer lijn strekt zich, ingevolge het voor- gaande, rechts van het raakpunt en het negatieve gedeelte links van dit punt uit. . Men zal dus vinden dat de cotangens positief is in het eerste en derde, negatief daarentegen in het tweede en vierde kwadrant, even als zulks met den tangens het geval is. Wij hebben dus: cot.O⁰ = CO. 1 ot.90° = (». j cot, 18(1° � co. >.....(24) cot. 2 70° = 0. \\ cot. 300° = CO. \' en cot.a = � cot. (180° � a) zz � cot. (sr � a), de;halve is ook: de cotangens van een boog gelijk aan den nega- tieven cotangens van zijn supplement. 12. Om voor den secans en cosecans over den positieven en negatieven toestand te kunnen oordeelen, nierkc men op, dat deze geteld of gemeten worden op den beweegbaren straal ot\' zijn ver- lengde door het middelpunt heen, van dit middelpunt tot aan het snijpunt met de lijn der tangenten of cotangenten. Wanneer dus deze snijding plaats heeft door het beweegbare been zelf, dan zijn zij positief, negatief daarentegen als het verlengde van dit been

-ocr page 28-

de lijn der tangenten of cotangenten snijdt. Men zal dus vinden
dat de secans positief is in het eerste en vierde, negatief in het
tweede en derde kwadrant; de coseeans positief in het eerste en
tweede, negatief in het derde en vierde kwadrant, en verder dat:

sec.0° = 1. |
scc.90° = OO. /
sec. 180° = � 1. > . . . . (25)
sec. 270° = CO. \\
sec. 360° = 1.
see.a = � sec. (180° � a) = � sec. (ir � a),
dus ook: de secans van een boog gelijk aan den negatieven secans
van zijn supplement.
Evenzoo

oosec.O⁰ = CO. i
cosec.90° = 1. f
cosec. 180° = CO. ,^v .... (26)
cosec. 270° = � 1.1
cosec. 360° = 1. )
cosec.a � cosec. (180° � a) � cosec. (ir � a),
dat is: de coseoaus van een boog is gelijk aan den coseeans van zijn
supplement.

18. Omtrent den sinus-versus zij opgemerkt, dat die voor 0°
gelijk 0 is en voor 90° gelijk 1, terwijl zij voor bogen in het
tweede kwadrant grooter dan 1 wordt, daar de sinus-versus geteld
wordt op de lijn AAj van het punt A af, tot aan het voetpunt
van den sinus. Voor bogen grooter dan 180° neemt hij blijkbaar
weder af om voor 270° gelijk 1 en voor 360° gelijk 0 te worden.
Wat den cosinus-versus aangaat, deze is voor 0° gelijk 1 en voor
90° gelijk 0, terwijl hij in het tweede en derde kwadrant blijft
aangroeien, zoodat hij voor 180° gelijk 1 en voor 270° gelijk 2
wordt, waarna hij weder afneemt, totdat hij voor 300° op nieuw
gelijk 1 is. Wij hebben alzoo:


sin.vers.0°	�	0.	cos. vers. 0°	:=	1.
sin.vers.90°	r=	1.	cos.vers.90°	�	().
sin.vers. 180°	�	2.	cos.vers. 180°		1.
sin.vers. 270°	=	1.	cos.vers. 270°		2.
sin.vers. 360°	�	0.	cos.vers. 360°	�	1.

-ocr page 29-



		15

		14. Niets belet om den bewegenden straal OH, na het door- lo�pen van een geheelen omtrek nogmaals een- of meermalen den omtrek te doen doorloopen, en in dezen zin is liet dan ook dat men spreekt van bogen in het 5^C, 6°, 7^e, 8^C, !)^c enz. kwadrant. Het is duidelijk dat de verschillende goniometrisehe betrekkingen alsdan alle op nieuw dezelfde toestanden doorloopen. De eenige uitzondering hierop maakt de koorde, zooals blijkt uit fig. 7. Voor den boog van 0° is de koorde gelijk 0. Laat men nu den boog aangroeien, dan groeit ook de koorde aan totdat zij voor 180° gelijk 2 wordt; bij verdere aangroeiing neemt de koorde weder af, om voor 3(50° gelijk 0 te worden, terwijl men nu lichtelijk inziet, dat bij ver- dere beweging van de koorde de punten A en B onderling van plaats verwisselen, en dus de koorde in het 5^e, 6^C, 7^C en 8^e kwadrant negatief is, om daarna weder positief te worden. Dit blijkt ook uit fonn. (19), want stellende daarin a = 360° -\|- a\', dan heeft men: koorde (360° -f a\') = 2 sin. (180° -f ± a\') en dus is de koorde van een boog in het 5^e, 6^e, 7^e en 8^e kwa- drant, indien a\' ^> 0 en <^ 360° ondersteld wordt, gelijk aan tweemaal den sinus van een boog in het 3^C of 4^C kwadrant, der- halve volgens de beschouwing in 7 negatief, wordt a\' ^> 3611°, dan wordt ook 180° -\|- � a\' ^> 360° en dus de koorde weder pnsitief. 15. Trekken wij nu al het behandelde in deze § samen, dan verkrijgen wij daardoor de volgende tabel, die ons een beknopt overzicht geeft van den toestand der goniometrisehe betrekkingen in de verschillende kwadranten.

-ocr page 30-

0°

1»

00°

2^C

180°

3<=

270°

300°

enz.

kw.

\\r.

kw.

7T.

kw.

f*.

kw.

2t.

kw.

�1

enz.

cosinus...

�1

�

enz.

tangens...

�

on/,.

cotangens

�

enz.

■�

� L

�

enz.

coseeans..

�1

enz.

Wij hebben in deze tabel de sinus-versus, cosinus-versus eu
koorde niet opgenomen, daar zij in de goniometrie en trigonometrie
niet dan zeer zeldzaam voorkomen.

Met weinig moeite merkt men nog bet volgende op:
1°. De sinus en coseeans zijn ponlief in het \'eerste eu tweede,

negatief in het derde eu vierde kwadrant.
2°. De cosinus en secans zijn positief in het eerste en vierde,

negatief in het tweede en derde kwadrant.
3°. De tangens en cotangens zijn positief in het eerste en derde,

negatief in het tweede en vierde kwadrant.
4°. De tangens en cotangens zijn positief als de sinus en cosinus

hetzelfde teeken hebben; negatief als deze met verschillende

teekens zijn aangedaan.
5°. Als de sinus gelijk 0 is, is de cosinus gelijk 1 ; is de

tangens gelijk 0, dan is de cotangens CO, en zoo de secans

1 is, is de coseeans OO en omgekeerd.

16. Om zich bovenstaande tabel gemakkelijk eigen te maken en

in het geheugen te prenten, is het voldoende zich goed vertrouwd

te maken met den toestand van sinus en cosinus; door toepassing

der formules (10), (11), (12) en (18) kan men dan daaruit den

toestand der overige goniometrisehe betrekkingen afleiden. De

eenige zwarigheid, die zich daarbij zal voordoen, is, dat uien uit

sin.a

de figuur vindt tg. 270° = OO, terwijl uit tg.a = ------- volgt

cos.a

tg. 270° = � CO. Schijnbaar bestaat hier dus een tegenstrijdig-
heid. De waarde van tg. 270° is echter de grens voor den overgang

-ocr page 31-



		17

		van den positieven tot den negatieven toestand, en kan alzoo als het einde van den eersten of als het begin van den tweeden be- schouwd worden. Hetzelfde geldt voor cot, 180°. 17. De goniometrische betrekkingen bevestigen wat reeds in de Algebra (/.ie Vkies, I. D. § 139) is opgemerkt, dat namelijk een grootheid niet van den positieven tot den negatieven toestand kan overgaan, zonder vooraf 0 of OO geweest te zijn. Bij den sinus en cosinus ziet men dien overgang plaats hebben door 0; bij den tangens en cotangens beurtelings door 0 en CO; bij den secans en cosecans alleen door CO. Men mag echter die stelling niet om- keeren, en uit het nul of oneindig groot worden eener grootheid besluiten tot het veranderen van toestand. Men heeft hiervan een voorbeeld iu den sinus-versus, die in de vier eerste kwadranten positief is; voor 360° wordt hij 0, terwijl hij in het vijfde en de volgende kwadranten weder positief is. Ook de cosinus-versus verkeert in dit geval. 18. Tot nog toe beschouwden wij de bogen in de verschillende kwadranten als positief. Laat men echter den bewegenden straal OB in tig. 6, in plaats van uit het putit A naar boven, beneden- waarts draaien, dan zullen de doorgeloopeu bogen als negatief moeten worden aangemerkt, en dan ziet men gemakkelijk iu, dat de goniometrische betrekkingen van negatieve bogen in het l^e, 2^e, 3^e en 4^e kwadrant eigenlijk zijn de goniometrische betrekkingen van positieve bogen in het 4^C, 3^e, 2^C en l^c kwadrant, zoodat men heeft: sin. (� a) = � sin.a. cos. (� a) = cos.a.

		tg- (� ») = � tg-»-		■ (28)

		cot. (� a) = � cot.a. sec. (� a) = sec.a. cosec. (� a) = � cosec.a. / De goniometrische betrekkingen van negatieve bogen zijn dus negatief, behalve de cosinus en secans, die positief blijven.

		2

-ocr page 32-

§ 4.

QoiiiometriNche betrekkingen tusschen
verschillende bogen.

19. De goniometrische betrekkingen, die er tusschen twee of
meer verschillende bogen bestaan, worden alle afgeleid uit twee
formules, vervat in de beide vergelijkingen

sin. (a b) = sin.a cos.b cos.a sin.b
en cos. (a b) =: cos.a cos.b sin.a sin.b,
waarin a en b twee geheel willekeurige bogen voorstellen, die vol-
strekt onafhankelijk; van elkander zijn, en die beide of een van
beide weder als de som of het verschil van twee of meer wille-
keurige bogen kunnen beschouwd worden.

Om deze beide formules te bewijzen onderstellen wij, dat in tig. 8
Tig. 8. de boog AB = a en de boog

BC = Hl) = b is, dan is boog
AC = a � b en boog Al) =
a -J- b. Trekt men nu de lijnen
CE, BP en DG loodrecht op den
straal OA, dan is:
. CE=sin.(a�b); OE=cos.(a�b).
BE=sin.a; OF=cos.a.
DG=sin.(a-f-b)j OG=cos.(a-j-b).
Trekt men verder de koorde Cl) en loodrecht daarop den straal
OB, dan deelt deze de liju CD in II midden door, en dan is:
1)11 = sin.b en OH = cos.b.
Don- nu nog de lijn HL loodrecht uit II op OA en de lijnen
HJ en CK loodrecht uit II en (\' op DG te trekken, heeft men,
omdat in driehoek CDK de zijde CD midden Iot is gedeeld:
DJ = .IK; HL = JG.
JII = JCK = GL = LE,
en hierdoor:

CE = sin. (a � b) = KG = JG

- .IK = HL

DJ:

DG = sin. (a b) = JG -f DJ :

:HL DJj

(Aj

OE = cos.(a�b) =OIi-f LE=OL-fGL=OL-fJH

OG = cos. (a b) = OL � GL = OL � JH;

Nu is in de gelijkvormige driehoeken OBF en 01 IL

OU : 011 = OF : OL = BE : HL,

dat is: 1 : cos.b = cos.a : OL =: sin.a : HL.

-ocr page 33-



		lil

		en hieruit: OL = cos.a cos.b. III; = siu.a cos.b. In de gelijkvormige driehoeken OBF en DJH is verder: OB : DH = OF : DJ = BF : JU, dut is: 1 : sin.b z= cos.a: DJ = sin.a : JH, waaruit: DJ = cos.a sin.b. JII = sin.a sin.b. Door nu deze waarden te substitueeren in de vergelijkingen (A) komt er : sin. (a � b) = sin.a cos.b � cos.a sin.b . . (29) sin. (a -\|- b) = sin.a cos.b -(- cos.a sin.b . . (30) cos. (a � b) r= cos.a cos.b -f- sin.a sin.b . . (31) cos. (a -j- b) � cos.a cos.b � sin.a sin.b . . (32) waardoor de beide formules bewezen zijn. De leerling oefene zich vooral in het bewijzen dezer stelling door een figuur waarin de bogen ook in andere kwadranten gele- gen zijn. 20. Men kan deze formules ook op de volgende manier bewijzen. 2ij in tig. 9 boog AB = a, en boog AC =z b, dan is boog BC == a � b. Trekken wij nu ] CD en BE loodrecht op AO en BG en CII loodrecht op OA i, welke laatste loodrecht staat op OA, dan is: CD = sin.b; OD = cos.b; BE = sin.a; OE = cos.a; Nu is in den rechthoekigen driehoek BCF BC² = CF² -f BF².....(a) waarin BC = koorde (a � b), CF == ccs.b � cos.a; BF � siu.a � sin.b, en dus verandert vergelijking (a) met toepassing van form. (20) in 2 ! 1 � cos. (a � b)! = (cos.b � cos.a)² -\\- (sin.a � sinb)² =z(cjs.\'-b -j- cos.²a � 2eos.a cos.b-f- sin.\'a -)- sin.²b � 2sin.a siu.b, of, omdat volgens form. (3) sin.²p -f- cos.²p = 1 is cos. (a � b) =z cos.a cos.b -j- sin.a sin.b. Door toepassing van form. (1) heeft men dan verder: 2*

-ocr page 34-



		20

		sin.(ei�b)=j/ 11�cos.²(a�b) \| =\|/ \\ 1�(cos.acos.b-}-sin.asin.b)\'-\' \\ =[/(l�cos.²acos.²b�sin.²asin.²b�2sin.asin.b cos.acos.b) door hierin cos.²a =: 1 � sin.²a en sin.²a =: 1 � cos.²a te nemen, verkrijgt men: sin. (a � b) = ]/ \| 1 � (1 � sin.²a) cos.²b � (1 �cos.²a) sin.\'b � 2sin.asin.b cos.a cos.b i � j/(l -\\- sin.²a eos.²l> �cos.²b � sin.²b-j- cos.-\'a sin.²b � 2sin.a sin.b cos.a cos.b), of daar � (sin.²b -)- cos.²b) = � 1 is sin. (a � b) zz \|/(sin.²a cos.²b -j- cos.²a sin.-\'b� 2sin.a sin.b cos.a cos.b), waaruit: sin. (a � b) = (sin.a cos.b � cos.a sin.b) en daar voor b =: 0 de vergelijking moet overgaan in sin.a =; sin.a, kan alleen het bovenste teeken in rekening komen, en alzoo: sin. (a � b) = sin.a C3s.b � cos a sin.b. Stellen wij nu in beide a � b = c, dus a =r b -f- e, dan wordt sin.c = sin. (b -f- c) cos.b � cos. (b -j- c) sin.b. cos.c = cos. (b -)- c) cos.b -\|- sin. (b -\\- c) sin.b. Beschouwt men hierin sin. (b -)- e) en cos. (b -j- c) als onbe- kcnden, dan kan men die daaruit op de gewone wijze oplossen. Vermenigvuldigt men daartoe de eerste. met cos.b en de tweede met sin.b, dan vindt men door optelling c is.b sin.c -\|- sin.b cos.c = sin. (b -)- c) (sin.-\'b -}- C3s.²b), derhalve, daar sin.\'b -f- cos.²b =: 1 is: sin. (b -j- c) zs sin.b c js.c -f- cjs.b sin.c. Vermenigvuldigt men daarentegen de eerste vergelijking niet sin.b en de tweede met cos.b, dan vindt men door aftrekking: cos. (b -)- c) � cos.b cos.c � sin.b sin.c. 21. Men kan echter uit cos. (a � b) = cos.a cos.b -\|- sin.a sin.b en sin. (a � b) = sin.a cos.b � cos.a sin.b op eenvoudiger wijze tot cos. (a -f- b) en sin. (a -(- b) geraken. Onderstelt men namelijk b negatief, dan gaat a � b over in a -}- b, en volgens form. (28) is sin. (� b) = � sin.b en cas. (� b) = cos.b, waar- door men onmiddelijk heeft: cos. (a -\|- b) r= cos.a cos.b � sin.a sin.b. sin. (a -)- b) := sin.a cos.b -(- cos.a sin.b.

-ocr page 35-

22. Het eerste gebruik dat ^W\'J ^van ^{\'^e bewezen formules zullen

maken, zal zijn het opsporen der goniometrisclie betrekkingen tus-

sclien bogen, die een of meer kwadranten verschillen. Onderstellen

wij daartoe vooreerst a = 90°, dan is sin.a = 1 en cos a = 0,

en dm wordt niet toepassing van de form. (10), (11), (12) en (13)

sin. (90° b) = cos.b.

cos. (90° b) = sin.b.

tg. (90° b) =: cot.b.

(33)

cot. (90° b) = tg.b.

sec. (90° b) =z cosec.b,

cosec. (90° b) = see.b.

Stelt men a =: 180°, dan wordt sin.a = 0 en cos.a =. � 1

en men vindt op dezelfde wijze:

sin. (180° b) = sin.b.

cos. (180° b) = � cos.b.

tg. (180° b) = tg.b.

(34)

cot. (180° b) = cot.b.

sec. (180° b) = � scy.b.

cosec. (180° b) =: cjses.b.

Neemt men a =: 270°, waardoor sin.a � � 1 en cjs.a = 0

wordt, dan heeft men

sin. (270° b) = � cos.b.
cos. (270° b) = sin.b.

tg. (270° b) = cot.b.

(35)

cot. (270° b) = tg.b.
sec. (270° b) = cosec.b.
cosec. (270° b) = � sec.b.
Neemt men eindelijk a = 360°, waardoor sin.a = 0 en cos.a
wordt, dan vindt men:

sin. (300° b) = sin.b.

cos. (360° b) = c�s.b.

tg. (360° b) = tg.b.

(36)

cot. (360° b) = cot.b.

ses. (360° b) = ses.b.

cosec. (360° b) = cosec.b.

Uit de formules (33), (34), (35) en (36) blijkt, dat de gonio-

metrische betrekking van eenigen boog b gelijk is aan de gonio-

inetrische betrekking met compleinentsbenaming van dien boog b

-ocr page 36-

opgeteld bij of afgetrokken van een oneven aantal malen 90°; en
dat de goniometrische betrekking van een boog b gelijk is aan de
gonioinetrische betrekking van denzelfden naam van dien boog b
opgeteld bij of afgetrokken van een even aantal malen 90°, mits
men in beide gevallen op het verschil in teeken lette. Zoo heeft
men bijv.

sin.40° = cos.50° = � cos. 130° z= sin. 140° = � sin. 220° =
� C3S. 230° = cos. 310° = � sin. 320° = sin. 400° = enz.

23. Uit bovenstaande formules is verder nog gemakkelijk af te
leiden, dat men in het algemeen hebben zal:

sin.a = sin. (2mr -)- a) = sin. J (2n -(- 1) tc � a j
cos.a = cos. (2ii5T a)

tg.a = tg. ( ut -f a)

(37)

cot.a = cot. ( \\\\ir -f- ^a)
sec.a = sec. (2iit a)
cosec.a = cosec. (2ii3- -)- a) r= cosec. J 2n-j- 1) ar � a !
waarin voor n elk positief of negatief geheel getal kan genomen
worden.

24. Ziehier eenige opgaven ter oefening.

Men pass� de formules (33), (34), (35) en (36) loc op elk van
de volgende goniometrische betrekkingen:

1°. Op sin.72°; sin. 230°; cos.25°; cos. 105°.

2°. Op tg.34°; tg. 200°; cot,32°; cot, 305°.

3°. Op sec.50°; sec. 110°; cosec.20°; cosec. 210°.

4°. Breng terug tot goniometrische betrekkingen van bogen in
het eerste kwadrant:


		sin.	1G0°;	cos.	130°
		sin.	230°;	COS.	200°.
		sin.	320°;	COS.	310°
		sin.	380°;	COS.	370°
5°.	Insgelijks:
		1».	140°:	cot.	110°
		tg.	220°;	cot.	200°
		*«■	330°;	cot.	350°
		tg-	400°;	cot.	410°,
0°.	Nog
		sec.	125°:	casec.	175°.
		se 3.	215°;	cosec.	195°.
		sec.	305°;	cosec.	325°.
		sec.	305°;	cosee.	425°.

-ocr page 37-



		2:J

		7°. Vindt de formules sin. (a � b) en sin. (a -[- b) uit die voor cds (a � b) en cos. (a -f- b) door toepassing van fonn. (33). 25. Met weinig moeite kan men nu door onderlinge verbinding van de formules (29), (30), (31) en (32) een tal van nieuwe for- mules vinden. Wij zullen ons echter beperken tot de onmisbaarste en meest gebruikelijke, liet aan den leerling overlatende dit getal te vermeerderen. Men telle de fonn. (30) en (29) op en trekke ze ook van elkander af, en doe zulks eveneens met de formules (31) en (32) dan komt er: sin. (a -f- b) -(- sin. (a � b) = 2siu.a cos.b. sin. (a -j- b) � sin. (a � b) zz 2eos:a sin.b. cos. (a � b) -(- cos. (a -)- b) =: 2cos.a cos.b. cos. (a � b) � cos. (a -(- b) =: 2siu.a sin.b. en stelle hierin a -)- b r= p en a � b = q, waardoor a = �(p -j- q) en b = \|(p � q) wordt, dan heeft men: sin.p -\|- sir.q = 2sin.-§(p -f- q) cos.\|(p � q) . . (38) sin.p � sin.q r= 2sin4(p � q) cos.i(p -\|- °.) � ■ (39) cos.p -\|~ cos.q = 2cos.$(p -f- q) cos.\|(p � q) . . (40) cos.q � cos.p = 2siu.\|(p -\|- q) sin.-^p � q) . . (41) Deelt men form. (29) door (30) en (31) door (32), dan heeft men: sin. (a � b) _ sin.a cos.b � cos.a sin.b sin. (a -\|~ b) sin.a cos.b -j- cos.a sin.b cos. (a � b) _ cos.a cos.b -f- sin.a sin.b cos. (a -(- b) cos.a cos.b � sin.a sin.b en nu in beide vergelijkingen teller en noemer der tweede leden deeleude door cos.a cos.b, vindt men met toepassing van form. (10) en (11) sin. (a � b) tg.a � tg.b cot.b � cot.a ____i______i � �----------!� � ------------------- f4\') sin. (a -)- b) tg.a -j- tg.b cot.b -j- cot.a \' \' � \'* cos. (a � b) _ l-f-tg.titg.b cot.a cot.b-\|-1 cos. (a -\|- b) "" 1�tg.a tg.b cot.a cot.b � 1 ^ \' Deelende (39) door (38) en (41) door (40), dan heeft men: sin.p � sin.q _ sin.\|(p � q) cos.�(p -f- q) sin.p -f" sin.q ~~ cos4(p � q) sin.$(p -f- <l) cos.q � cos.p _ sin.\|(p -f- q) sin.\|(p � q) cos.q -\|- cos.p ~ cos.-\|(p 4~ q)"cos.�(p � q)

-ocr page 38-



		24

		sin.a cos.ii 1 en daar ------ rz tjr.a en �� = cjt.a rz ---- is, veranderen de cjs.a " sm.a tg.a beide laatste formules met toepassing van form. (10) ea (11) in: sin.p � sin.q _ tg.j(p � q) _ C3t.\|(p -f- q) sin.p sin.q \' tg.-J(p -j- q) \' cot.-J(p � q) cos.q � cos.p cos.q cos.p = *<P - **<P = ______________1___________ COt.i(p - q) COt.(p q).....⁽⁴⁵⁾ Deelt men sin. (a b) door cos. (a b), dan komt er: sin. (a b)__sin.a cos.b c^s.a sin.b cos. (a b) c;s.a cos.b sin.a sin.b waaruit, na teller en noemer door cos.a cos.b gedeeld te hebben en met toepassing van form. (10) en (11) tg.a tg.b cot.b cot.a tg. (a b) = ~~; - ~ "~~ , = �------~~~, - ,~~ (10) ° ^v � \' 1 tg.a tg.b cot.a cot.b 1 ^K \'* en omdat cot.a = �� is, heeft men uit de laatste door deze op tg.a » 1 =: 1 te deelen 1 I tg.a tg.b cot.a cot.b X 1 cot. (a b) = ~~, 1 "~~ = ----~~., , T~~ (47) ^v � \' tg.a tg.b cot.b cot.a ^v \' Stelt men in de form. (30), (.32), (4G) en (47), in de beide laatste echter alleen voor het bovenste teeken, a =: b, dan bekomt men : sin.2a == 2sin.a cos.a........(48) cos.2a == cos.²a � sin.²a......(49) 2tg.a 2cot.a tg.2a = -,------^CL�r = �n---------T ■ � � (50) ^B 1 � tg.²a cot.-a � 1 *■ \' 1 � tg.²a cot.\'-\'a � 1 cot.2a =-----Sr--------= �s�l------� � � (51) 2tg.a 2cot.a ^v \' Uit cos.2a := cos.²a � sin.²a heeft men, door volgens form. (1) cos.²a = 1 � sin.²a of sin.²a = 1 � cos.²a te substitueeren: cos.2a = 1 � 2sin.²a.......(52) en cos.2a = 2cos.²a � 1.......(53) 1 � os.2a waaruit: sin.a = {/-------�-------.......(54) 1 4- cos.2a cos.a = y/-----�x-------.......(«5)

-ocr page 39-

en liierin 2a = p stellende, waardoor a := �p wordt, verkrijgen wij:

1 ---- CJS.p

sin.ip = \\/-------jj------.......(56)

1 4- cos.p
cos.*p = V-�Cj-----^L.......(57)

waaruit door deeling:

,1 � cos.p

*«*P = ^1 COS.p

.......(53)

CJt.Jp = ^/t�\'---------^l-.......(59)

¹ ^y 1 � cos.p \'

Stelt men in (4G) en (47) b = 45°, waardoor tg.b = eot.b = 1

wordt, dun heeft men, in aanmerking nemende dat

tg.a = cot. (90° � a) en cot.a = tg. (90° � a) is:

/ a-o, i/ioro \\ tg.a� 1 1�ot.a , ,

tg.(a�4o°) = cot.(135°�a) = f��■ = (60)

- tg.a-(-l 1-(-cot.a ^v \'

14-tg.a cot.a-l-1
tg.(a 45°) = cot. (45°�a) = ~~,~"~~ = ~~; ,~~ (61)
° ^v \' \' ^v \' 1�tg.a cot.a�1 ^v \'

tg.a-l-1 14-cot.a
oot.(n� 45°) = tg.(135°�a) = ~~_t^r -S~~ = ~~, .~~ (02)

1�tsf.a ot.a�1

cot,(a-f45°) = tg. (45°�a) = ~~: , "~~ = ~~, _■_,~~ (63)
^v \' \' \' l-|-tg.a cjt.a-|-l

26. Men leide nu de volgende formules af:

sin.a 1 � cos.a

1°. tg.ia =

1 -f- cos.a ~ sin.a

osec.a � cot.a = tg.|a.

cjsec.a -j- cot.a = cot.^a.

sec.a � 1 r= tg.a tg.-|a.

sec.a -|- 1 = tg.a cat.^a.

tg.-Ja -f- cot.^a =: 2cosec.a.

cot.ia � tg.-Ja = 2cot.a.

1 � tg.²a

�i�-�� = cos.2a.

1 tg.-\'a

2°. sin.(45° -f b) = cds.(45° �b)= $ (cos.b -f sin.b) \\/ 2.

cos.(45° -|- b) = sin.(45° �b)= * (cos.b � sin.b) \\/ 2.

1 � sin.a = 2sin.²(45° � ia) = 2cos.^J(45° -f *a).

1 - - sin.a = 2os.²(45° � ia) = 2sin.²(45° -j- |a).

-, -~~T ^S?"\'^a~~ = tg.²(45° � -ia) = cot.-\'(45° ia).

-ocr page 40-



		ar,

		3°. cot.(45° � -Ja) � tg.(45° � la) = 2tg.a. tg.(45° � Ja) cot.(45° � -Ja) = 2sec.a. 4°. sin.²p � sin.²q = sin. (p -f- q) sin. (p�q) =cos.²q � C3s.²p. cos.²q � sin.²p =z cos. (p -(- q) cos. (p�q) = cos.²p� sin.\'q. sin. (45° -f- a) -f- sin. (45° � a) = cos.aj/2. sin. (45° -f a) � sin. (45° � a) = sin.aj/2. sin. (30° -f <0 sin- (30° � a) = cos.a. cos. (30° � a) � cos. (30° a) = sin.a. $\|/(l a\'m.si) � ll/(l � sin.a) = sin.$a. 1\|/(1 -f- ^sin-^a) WO- � sin.a) = cos.la. 5°. Hoe vindt men uit de beide laatsten 1 � cos.a 1 -f- cos.a � sin.-la = y/-------g------ cos.Ja = y-------~------^; 6°. Hoe vindt men: sin.a = 2siu.Ja cos.la = 2²sin.Ja cos.la cos.-Ja = 2³sin.�a cos.la cos.\|a cos.la z= 2¹sin._T\'_(ra cos.la cos.-Ja cos.Ja cos.-Ja? 7°. Hoe vindt men: 1 . 1 sin.a = 2"cos.-Ja cos.Ja cos.Ja cos._T\'_��a......cosr^.a sinr^.a? Aanm.) Als n in deze formule zeer groot is, dan kan men voor 2ⁿsin.^;a schrijven a, en dan is: a m sin.a sec.-Ja sec.Ja sec.-J-a sec._T\'_��a......enz. waaruit voor a = 90° r= \\ic. \\ir � sec.�a-sec.-Ja-sec.y\'jir......enz. 8°. Hoe leidt gij de volgende formules af? ! sin.a cos.b cos.c \\ ~\\- sin.b cos.a cos.c \\ � sin.a sin.b sin.c. -j- sin.c cos.a cos.b \' ! sin.a cos. (b-)-c) \'i -(- sin.b cos. (a-\|-c) \\ -\|- 2sin.a sin.b sin.c. -)- sin.c cos. (a-f-b) J / cos.a sin.b sin.c \\ C03. (a -j- b -)- c) � cos.a cos.b cos.c � \| -f- cos.b sin.a sin.c j _< f-f- cos.c sin.a sin.b) ! cos.c cos. (a-f-b) ] -f- cos.b cos. (a-f-c) > � 2cos.a cos.b cos.c. -J- cos.a cos. (b-J-c);

-ocr page 41-

9°. Leidt af do formules:

sin.3a = 3sin.a �� 4sin.³a.
cos.Sa =4c3s.³a�■ 3cjs.a.
sin.5a r= Ssin.a �■ 20sin.*a -f- l�ein.\'a.
10°. Als a b -f c = 90° is, dan is:

1 � sin.\'a � sin.²b �� sin.\'c =: 2sin.a sin.b sin.c.
sin.2a -|- sin.2b -|- sin.2c = 4 cos.a cos.b cos.c.

voor a b -f c = 180° is:
sin.2a -j- sin.2b -f- sin.2c r= 4sin.a sin.b sin.c.
sin.²c � sin.²b ■� sin.-a -j- 2sin.a sin.b cos.c ss 0.
cos.²a -(- cos.²b -f- cos.² e -f- 2cos.a cos.b cos.c z= 1.
siu.a -J- sin.b -f- sin.c = 4c3s,ia cos.^b cos.-ic.
tg.a tg.b -f- tg.c = tg.a tg.b tg.c.
cot.a cot.b -\\- cat.a cot.c -(- cot.b oot.c = 1.

voor a-f l){c = 3G(J° is:
cos.²a -f- cos.²b -)- c.")s.²c � 1 =: 2cos.a cos.b cos.c.
tg.a -f- tg.b tg.c zz tg.a tg.b tg.c.
1 � tg.a tg.b � tg.b tg.c � tg.a tg.c = sec.a sec.b sec.e.

Op welke wijze kunnen deze formules gevonden worden?
11°. Af te leiden de formules:

2tg.a

= sin.2a.
= cos.2a.

1 tg.²a
1 � tg.²a

1 %.»a

tg.a -(- cot.a =z 2cosec.2a.

cot.a � tg.a = 2cot.a.

tg.a -f- tg.b -f- tg.c � tg.a tg.b tg.c
*»� (» ^h ^c) = 1 _ tg.a tg.b � tg.a tg.c � tg.b tg.c^-

§ 5.

Verhoudingen tiiSBchen bogen, die door gonio-
inetrische toetrekkingen gegeven zijn.

27. Wanneer siu.x = a is, dan is x de boog, welks sinus a
is, hetgeen men uitdrukt door de vergelijking
x = Bg (sin. = a).
Evenzoo beteekenen de vergelijkingen

-ocr page 42-



		28

		y = Bg (cos. = b) z = Bg (tg. = c) y is de boog waarvan de cosinus b is; z is de boog welks tangens c is, waaruit dus volgt: cos.y = b. tg./. = c. Is sin.a := x, dan is cos.a = 1/(1 � x-); tsr.a rr-------------- \|/(1 - x») 1 1 cot.a =z----------------; see.a = rVTt---------«\\; cosec.a = � ; en x J/(l �� x-j x hieruit beeft men dan: ar=Bg.(sin.=x)=Bg(eos.=H/(l�x»j)=Bg(tg.=~~^₍₁^__x~~ ) = _ / 1/(1�x²)\\ i 1 \\ / 1 \\ =Bg. (cat.=-------------]=Bg. (se,.=:_l/(1__x2))=Bg. (cosec.=--). Door deze schrijfwijze kan men uit de gevonden formules vele verbindingen afleiden tusscben twee en meer bogen, die door gonio- melrisehe betiekkingen gegeven zijn. Daardoor ontstaan derhalve een reeks formules, die in zekeren zin het omgekeerde zijn van de boven gevondene. Een paar voorbeelden zullen voldoende zijn om den weg aan te wijzen, dien �nen bij de ontwikkeling te volgen bebbe. 28. Stel dat twee bogen bepaald zijn door hun tangenten, dat men dus heeft tg.x = a en tg.y = b, en dat gevraagd wordt de som en het verschil dezer bogen door de gegevens te berekenen, dan kan men op de volgende wijze te werk gaan. Men neme een formule, waarin de som en het verschil van twee bogen voorkodj�ii, in dit geval bij voorkeur form. (46) tg.x tg.v * (* ± rt = T tg.x tg.y\' dan volgt daaruit volgens de aangenomen schrijfwijze x v =: Bg tg. = ~~, � ;~~------;---- � � b \\ e 1 tg.x tg.y/ en daar tg.x = a en tg.y = b is, heeft men x =: Bg (tg. = a) en y = Bg (tg. = b), waardoor de laatste vergelijking overgaat in: Bg (tg. = a) Bg (tg. = b) = Bg (tg. = ~~_I^a-^±_a _b~~) en hierdoor is aan bet gevraagde voldaan.

-ocr page 43-

■Stelt men a = b, dan vindt men uog:

8Bg (tg. = a) = Bg. (tg. = x-ZTal)

waardoor de dubbele boog bekend wordt uit den tangens van den
enkelen boog.

Als tweede voorbeeld zij gegeven sec.x = a en tg.y = b,
waaruit men de som en het verschil der bogen wenscht te bepalen.
Er is nu geen formule, waarin de beide gegevens te gelijk voor-
komen ; met eenige meerdere herleidingen zal men echter aan het
gevraagde kunnen voldoen.

Men neme bijv. de formule

sin. (x y) = sin.x cos.y cos.x sin.y,
waaruit:

x y = Bg ! sin. = (sin.x cos.y cjs.x sin.y) |

Daar nu sec.x = a is, vindt men uit form. (16) cos.x =: �

en uit form. (1) sin.x = j/ll � �) =-----�;--------. Evenzoo

vindt men uit tg.y = b door form. (4), scc.y = |/(l -f- b-\') en

hieruit door fjrm. (16) en (1) cos.y = ~~,,. ,~~ ~~■ ,,~~ en sin.y =

�.

Men heeft dus:

i/{\\ b\')

Bg(sec.=a)±Bg(tg. =b)=Bg| sin. =(_fl^^± [^P T)) i
of:

l/(�2 � 1) b\\

Bg (sec. = a) ± Bg (tg. = b) = Bg (sin. = *^y ^ )

Men �/.:>» deze uitkomst echter spoediger verkregen hebben door
de formule

tg.x tg.y

tg. fx v) = ~~, - - ,~~ ■
° ^v � � \' l tg.x tg.y

/ tjr.x tg.v \\
waaruit: x v =r Bg (tg. = ~~, � .~~------r*� )■

1 tg.x tg.y\'

Nu is uit sec.x � a, volgens form. (5) tg.x =l |/(a\' � 1)
dus:

Bg. (sec. = a) Bg (tg. = b) = Bg (tg. = ~~JfcfflU~~

-ocr page 44-



		30

		29. Ter oefening dienen de volgende opgaven: 1°. Als eos.a r= x is, bepaal dan den boog a door middel van al de goniometrische betrekkingen. 2°. Insgelijks als tg.a = x is. 3°. Ook als sec.a =: x is. 4°. Als ccsec.x =z a en cosec.y = b is, vraagt men de som en het verschil dezer bogen, alsmede de dubbele bogen te bepalen. 5°. De waarde Vciu x te vinden uit. de vergelijkingen: Bg (tg. = \|) � Bg (tg. = \|) = Bg (tg. = x). 2Bg (tg. = i) -f Bg (tg. = \|) = Bg (tg. = x). Bg (tg. = i) Bg (tg. = f) = Bg (tg. = x). 6°. Los x op uit de vergelijking Bg (tg. = (x 1)) = 3bg (tg. = (x � 1)). 7°. Men vraagt x te vinden uit: a.bg (cos. = �2a~ ~~ ^8-bg ^^C0S- ⁼ ^L~�~) ~ ^b" 8°. Insgelijks uit: r.Bg (tg. = ~^) r.Bg (tg. = -"^) - r.Bg (tg. = �)= b.

		§ 6.

		Samenstelling der siiiustafels en gebruik der logarithineii-siniicitafcls. 30. Door sinustafels verstaat men de tafels, die de sinussen bevatten van alle bogen tiissclien 0° en 90°, met opkliinming van 1", 10" of 30". Behalve de sinussen bevatten zij echter gewoon- lijk ook de cosinussen, tangenten en cotangenten, en sommige, zoo als de zeevaartkundige tafels van Brouwer, zelfs de secanten en cosecanten ; waarbij dan nog gevoegd zijn tafels van evenredige deelen voor de bogen, die niet onmiddelijk in de tafels te vinden zijn. Naarmate van den graad van nauwkeurigheid, die men bij de berekeningen noodig acht, zijn deze goniometrische betrekkingen in meer of minder decimalen uitgedrukt. Zoo heeft men de zoo-

-ocr page 45-



		81

		genaamde kleine tafels met 4 of 5 decimalen; de tafels van Brouwer bevatten er 6, terwijl de grootere tafels er 7 of meer geven. Daar eeliter de berekeningen met goniometrische betrekkingen over het algemeen in producten en quoti�nten bestaan, of gemak- kelijk daartoe kunnen gebracht worden, heeft men in de zooge- naamde sinustafels niet de ganiometrische betrekkingen zelve, maar hare logaritlnnen opgenomen, die met behulp der gewone loga- rithmentafels, of ook uit rechtstreeksche berekeningen door daartoe geschikte reeksen bepaald zijn. "Wij zullen thans in enkele woorden trachten aan te toonen, hoe men de goniometrische betrekkingen van alle bogen heeft kunnen vinden. 81. In de Algebra (zie Vries, 2^c deel § 307) wordt bewezen, dat il�1 � n (n�1) (n�3) _n_3 . sin. wip = n cos. tpam.tp�---------�Tq--------^cos- f8in.tp-f-* is. Wanneer nu ip een zeer kleine boog, bijv. van 1" is, dan heeft cos.tp en dus ook cos. lp een waarde, die zeer weinig van 1 ver- schilt, die er ten minste zoo weinig van verschilt, dat zulks geen invloed heeft op de eerste zes decimalen, terwijl siu.tp dan ook zoo weinig van ip e:i van 0 verschilt, dat men s\'m.ip gelijk ip en sin.\'p gelijk 0 mag stellen. Men heeft dus door ip gelijk aan den boog van 1", dat is gelijk ~~. �.. .... �~~-g- te nemen: sin.n" r= n sin.1".....(a) Verder volgt uit: sin.co __x tg-P = -:;_s� � siu.p (1 � sin.» ■\' of na ontwikkeling van het binoinium: tg.cp � sin.cp -\\- \\su\\.^atp -\\-..... dat, indien ip yen klein is, -�sin.³cp zoo klein zal zijn, dat zulks weder geen invloed op de zesde decimaal van nin.ip kan uitoefenen. 5 Is bijv. lp = bg. 5\' = ~~₁ �,, �..~~ 7r � 0,0014544..., dan is de waarde van -Jsin.\'cp <[ 0,00001)00015... en heeft dus hoogstens invloed op den achtsten of negenden decimaal. Men mag dus voor bogen kleiner dan 5\' tot in 6 decimalen gerustelijk stellen: tg.tp = sin.ip.

-ocr page 46-



		32

		Daar nu verder sin .<p < <p < tg.p is, blijkt daaruit, dat voor dergelijke kleine bogen zooveel te meer sin. ip = ip en dus sin.1" = l". Men berekene dus de lengte van den boog van 1" door de formule ^h«- ^l" = ~~180.60.60~~ * ~ 0.0000048481.... en vindt daaruit de sinussen van alle bogen van 1" tot 5\' van seconde tot seconde, door de formule (a). Door nu verder de formules sin.2a =: 2sin.a cos.a cos.2a ■=. \\ � 2sin.²a of de meer algemeene sin. (a -f- b) =: 2 sin.a cos.b � sin. (a � b) cos. (a �\|� b) = 2 cas.a cos.b � cos. (a � b) toe te passen, berekent men de sinussen en cosinussen van alle bogen tussclien 0° en 1°, met aangroeiing van zooveel seconden als men verkiest. Verder weet uien dat sin.45° = cos.45° = i\|/2, en cos.60° =z sin.30° =z \\ is. Door de formules 1 � cjs.a 1 -)- cos.a sin.-Ja = y-------g------ en cos.\|a = \|/-------^------■ kan men dan den sinus en cosinus van de bogen van 22°30\', 11°15\', 5°37\'30" enz. en van 15°, 7°30\', 3°45\', 1°52\'30" enz. berekenen. De rijde van den ingeschreven regelmatigen vijflioek onderspant een boog van 72°, en die van den tienhoek een boog van 36°. Volgens form. (19) is dus: sin.36° = \\ ^/(10 � 2 j/5) en sin.18° = � (� 1 -f- \|/5), zoodat men door bovenstaande formules ook de sinuseen en cosi- nussen van \'J°, 4°30\', 2°15\' enz. kan vinden, waarna men verder door de formules (29) en (31) de sinus en cosinus van 6° = 15° � 9° en dus ook van 3° en 1°30\' kan vinden. Op deze wijze, of door de vier laatste formules uit vraagstuk 4 van 26 komt men tot den sinus en cosinus van alle bogen tusschen 0° en 45°, terwijl men voor de opklimming met kleine waarden, bijv. van 1\', gebruik kan maken van de benaderingsformules

-ocr page 47-

sin. (n° -f- 1\') = sin.a -f- cos.a sin.1\'
cis. (ii° -f- 1\') = cos.a � sin.a sin.1\',
waarin cos.1\' = 1 genomen is.

Pe formules (10), (11), (12) en (13) geven dan de overige
goniometrische betrekkingen.

l)c goniometrische betrekkingen van de bogen van 45° tot 90°
zijn door bovenstaande berekening van zelf bekend, ingevolge de
formules (38) voor het onderste teeken.

32. De wijze, waarop de logarithmen van de verschillende goni-
ometrische betrekkingen in de tafels gevonden worden, hangt
natuurlijk geheel af van de inrichting dier tafels. Een verklaring
van een diei tafels zou dus weinig nut hebben, en zullen wij dus
hier niet geven, te meer daar elke tafel gpwoonlijk zulk een ver-
klaring bevat. Alleen zij, met het oog op de tafels van Brouwer,
die bij de Marine in gebruik zijn, nog opgemerkt, dat deze de
logarithmen bevatten van alle ^oniometi�sohe betrekkingen, zoodanig
dat de logarithmus van den sinus naast dien van den eosenans,
van den tangens naast den cotangens en van den e >sinus naast
den sesans staat. Deze schikking is gekozen met het oog op de
berekeningen in de trigonometrie, die veelal bestaan in het zoeken
van het product van twee getallen, dat door een derde getal moet
gedeeld worden. Om dit door logarithmen uit te voeren, zou men
de som moeten nemen van twee logarithmen en deze som vermin-
deren met een derde logarithmus.

Nu is:


sin.a	=	eosec.a	en dus log.sin.a =r � log.cosec.a.
cos.a	=	1 sec.a	«	log.cos.a rz � log.sec a.
tg.a	=	1 cot.a	//	log.tg.a � � log.cot.a.
cot.a	=	1 tg.a	//	log.cot.a ■=. � log.tg.a.
sec.a	=	1 cos.a	ii	log.sec.a = � log.cos.a.
eosec.a	₌	1	ii	log.cosec.a == � log.sin.a.

sin.a

Moet dus ecu van de logarithmen uit de eerste leden dezer
vergelijkingen worden afgetrokken, dan kan men daarvoor den

-ocr page 48-



		84

		overecnkomstigeu uit de tweede leden nemen; maar daar deze negatief moet genomen worden, verandert de aftrekkiug in een optelling en wordt dus de bewerking eenvoudiger. Nog volgt uit deze vergelijkingen: log.sin.a -f- log.cosec.a = 0 enz. De logarithmen van sinus en cosecans, tangens en cotangens, cosinus en secans staan dus tot elkander in dezelfde verhouding als een getal tot zijn arithmetisch complement. Zie Tri es, Algebra 2^e deel, aant. 1). 33. Met behulp der logarithmen-sinustufels lost men de twee volgende vraagstukken op. 1°. Yoor een gegeven boog den logarithuius van eeuige gonio- melrische betrekking te vinden. 2°. Voor den logarithmus van eeu gegeven goniometrische be- trekking den boog te vinden. De volgende opgaven kunnen ter oefening dienen. Zoek de logarithmen van de volgende goniometrische betrekkingen: 1°. a = sin.87°44\'23" g = tg.54⁰38\'21" b = cos.l8°13\'22" h = cot.61°34\'35" c = tg.89°54\'36" i = sin.6°3\'17" d = cot.72°13\'23" k = cos.l9°15\'36" e = sin.36°15\'42" 1 = cot.43°2ri0" f = cos.29°47\'47" m = tg.62°44\'36" 2°. a = sin.l43°44\'40" g = tg.l04°36\'25" b = cos.l09°15\'33" h = eot.ll7°25\'33" c = tg.l25°14\'32" i = sin.l56°32\'15" d = cot.l20^o4613" k = cos.l08°13\'25" e = siii.l27°21^,21" 1 = tg.l78°17\'36" f = cos.95°15\'43" m = cot.l63°24\'24" 3°. a = sin.l89°25\'31" g = tg.243°52\' b = cos.l97°22\'17" h = cot.l97°13\'13" c = tg.263°19\'25" i = sin.206°15\'43" d = cot.l93°25\'17" k = cos.l99°15\'36" e = sin.259°36\' 1 = tg.219°41\'32" f = cos.l87°29\'ll" m = cot.247°23\'17"

-ocr page 49-


4°	ii = sin.92°]	5 \'37"	g = tg.282°24\'30"
	b = cos.125	>33\'43"	h = cot.93°32\'35"
	c = tg.0°36\'l5"	i = sin.386°15\'43"
	d = oot.l43°45\'	k = cos.305°33\'43"
	e = sin.36°l7\'40"	1 = tg.22°17\'18"
	f = cos.819°20\'88"	m = cot.268°20\'45"
Zoek de botten hehoorciule bij	de volgende goniometrische be-
trekkingen:
5°.	8.921765 =	log.siu.ii	8.693542 = log.cos.g
	9.163215 =	log.cos.b	11.193254 = log.tg.h
	11.198276 =	log.tg.c	9.327815 = log.sin.i
	8.376509 =	log.cot.d	7.939210 = log.cos.k
	9.217395 =	log.sin.e	9.475936 = log.tg.1
	10.932151 =	log. tg. f	7.102465 � log.tg.m
ir.	9.631273(�	i = log.cos.a	10.976345(�) = log.cot.g
	10.021907(�	) = log.tg.b	8.697857(�) = log.sin.h
	11.198254(�	= log.cot.c	8.387047(�) = log.cos.i
	7.321695(�;	= log.cos.d	9.216543(�) = log.sin.k
	9.456302(�]	= log.tg.e	10.123456(�) = log.tg.1
	8.312156(�)	= log.cot.f	10.193150(�) = log.cot.m
7°.	8.793254	= log.cos.a	11.438204(�) = log.cot.g
	10.980021	= log.cot.b	11.543276 = log.tg.h
	12.46321S	= log.tg.c	9.948576(�) = log.sin.i
	8.637219	= log.cos.d	8.563219 = log.cos.k
	9.219873(�)	=: log.sin.e	9.488280 = log.sin.i
	9.902143(�)	r= log.cos.f	9.852260(�) = log.cos.m
34.	Het zal niel	ondienstig zijn een voorbeeld te geven hoe
men	een berekening	met logarithmen gewoonlijk inricht. Daartoe
diene	de berekening i	,ui tp uit
	sin.o	i . > - b)	sin.(« -f- /?) cos.2a

cos./? ^v (a -- b) tg.(2« � (3) cosec.-fr/?\'
waarin a = 76.3457, b = 62.1594, x = 56⁰15\'37",/?=:14^o39\'25"is.
])c bewerking komt aldus te staan:

= 56°15\'37"
= 14°39\'25"

■2x=: 112°31\'14"

(3 = 14°39\'25"

2«�/?=99°51\'49"

a = 76.3457
b = 62.1594

a b = 138.5051
a � b = 14.1863

i/3 -

7°19\'42".5

-ocr page 50-



		30

		log. (ii � b) = 1.151 «6!» log.sin.(« 0) � 9.975453 l>g.os.2x = 9.583216( -) a.c.log. (a 1») =r 7.868584 a.c.log.lg.(2* � /?) = 9,240234(�) ii.c.log.cosec-1/? = 9.105706 6.915012 2--------------------

		8.457506 log.sin.a = 9.919899 a.c.log.cos./? =10.014368

		log.8in.jp = S.391773 <p = 1°24\'44" of 178°85\'16". Op dezelfde wyze berekene men de onbekende uit de volgende opgaven: sin.a cos.b 8°. ts.a=-r-------j-r-----_r-_rr,alsa=12 7⁰15\'33"enl)=19⁰25\'13"is. * ^r sin.(a�b)cos.(a-)-b) tg.(a�b)cot.(2a�b) 9°. Xe.m� ~~. \'~~�~~\| , .~~ alsa= 56°19\'34"enb=76°32\'56"is. ⁸ ^r sin. (2a -f- b) sin .(a b)cos. (2a-f b) 10°. cot.p=.�-k�A�T?�5�\\al8a= 67⁰15\'39"enb=13°24\'25"is. ^Y tg.(3a�b)cot.(a�21)) (a³� b³)sin.(p�q)tg.(p-fq) 11°. 8iu.g>=~~; , ,, _n\' \',,\' \' ,~~alsa = 0.64321,b =0,59027, ^r (a b)cos.(2p q)cot.(2p-q) \' \' \' p = 126°15\'34" en q = 97°7\'52" is. a.sin.(x-f-v�p)cos.(x�2v-h¹) , 12 . sin.tp�iil/i��j^-----\'-�j�r-T�-,------^K-r<i~\\ ^!\|ls a == 0.25734, b = ^Y ^v b.tg.(2.\\�y-j-p)sin.(x � _v-f-3p) 6.19035, x = 125°15\'25",y = 36°27\'39" en p = 212°36\'is. i»o � .^(a²�b³)siii.(2p-q)cot.(p-fq) _ftolQ�. , 13 . m\\.<t)z=\\/, ~~� , ■ ...~~-----tz�;�-� � -�ls u = 0.21965, b == ^y * (a--f-b-\')cjs.(2p-f-q)lg.(p�2q) 0.37654,1-g.tg.p = 10.769325 en 1. g.sin.q = 9.021369 is. ijo , 2sin.(a b) »(p»-q\')tg.(2a�b)8iu.(a-\|-2b) 14 . «gp�^ _s._(a_bf (p-fq\')c08.(2a-\|-b)eos.(a� 2b) ^alS P ~ 1.20675, q = 1.49832, a = 125°14\'36" en b = 176°25\'7"i8. ,-o � s(a»44>\')t_g.(gp q)»in.(p gp) . ��.,«, 13 . 8in._P=aV _{tt,__ht)* ₈j_n._(2q__p)cog._(p_«,) ■«� ■ - 0.021367, b = 0.060475, log.cos.p = 9.963917(�) en q = 83°17\'43"is.

-ocr page 51-



		��17

		5 7. Oplossing van goniometrische vergelijkingen en liet geschikt maken van stelkunstige vormen voor berekening door logarithinen. 35. Bij het toepassen der algebra op meetkunstige vraagstukken, waarin hoeken als onbekenden voorkomen, komt men gewoonlijk tot eindvergelijkingen, waaruit men die onbekenden, door middel der goniometrische belrekkingen moet oplossen, terwijl dan gewoon- lijk de verkregen waarde neg voor berekening met logarithmen geschikt moet gemaakt worden. Dit laatste kan met behulp der bekende goniometrische formules, soms echter eerst door het in- voeren van hulpbogen, altijd ges/hieden. Wij zullen voor beide bewerkingen, door eenige voorbeelden den weg trachten aan te wijzen. Voorbeeld 1. <p op te lessen uit de vergelijking: cosp sin.» � sin.p cos./? = c i%.ip sin.fa -)- J3) -f- 2eos.p. Men deele de vergelijking door cos.p, dan komt er: sin.* � eos./? tg.p = sin.(« -(-/?) -f- 2 sin.x � sin.(a -)-/?) � 2 en hieruit: Ig.p = ---------------^---------------, , / sin.�sin.(jt /?)� 2. derhalve: _? =* Bg(tg. = -----------~~_C03/g^~~ ). waardoor ip bekend is, terwijl de overige waarden van tp, volgens form. (37), begrepen zijn in wr -\\- <p. Zijn echter x en /3 in graden gegeven, dan kan men ook <p in graden bepalen uit: log.tg.f = log. 1 sin.x � sin.(a /?) � 2 ! � log.cos./?, maiir dan kan de logariihmus van den teller moeilijk bepaald wor- den, omdat hij, als een drietermige vorm, niet voor logarithmische berekening geschikt is. Om den teller dus kgarithmisch te maken, merke men op dat de beide eerste termen het verschil zijn van de sinussen van twee bogen, waarop men form. (39) kan toepassen en waardoor hij dan overgaat in: 2sin. (� ifi) cos. (* -f i/?) � 2 = � 2 ! 1 sin.J/3 cos.(* -f i/31. Daar na ain.\\/3 cos.(sc 4- \\&) altijd kleiner dan 1 is, kan men

-ocr page 52-



		:S>

		deze waarde beschouwen als den sinus of cosinus van eenigen boog S en dus stellen: sin.-\|/? cus.(a -(- i/3) = cos.S . . . . (a) en daar nu, form. (57) 1 -f cos.J = 2cos.²�5 is, zoo wordt 4cos.4? **** = - -^70-\'** waarin S bekend is uit vergelijking (a). Had men sin.\|/? cos.(« -\|- �/?) = sin.J gesteld, dan zou men 1 -)- sin.S verkregen hebben, en om dezen vorm logarithmisch te maken, zou men voor 1 kunnen schrijven sin.90° en dan wordt, met toepassing van form. (38) 1 sin.S = sin.90° -f sin.? = 2sin.(45° -f- &) (cos.(45° � ±2); daar echter 45° � \\<i het complement is van 45° -}- fS, heeft men 1 -f sin.? = 2sin.²(45° -f ±S) � 2cos.²(45° � �?). Het gebruik van hulpbogen ? is van uitgebreide toepassing bij het logaritlnnisch maken van gonioinetrische of algebra�sche vormen. Welke betrekking men gebruiken mag hangt natuurlijk af van de waarde van den vorm. Is die waarde geheel onbepaald, zoodat het niet mogelijk is te beoordeelen of zij kleiner of grooter dan 1 is, dan stelt men daarvoor tg.? of eot.?, of ook wel tg.²? of cot.²?, daar de tangens van een boog alle waarden tusschen -\\- CO en � CO kan hebben. In ons geval hadden wij dus tg.²? kunnen stellen en hadden dan verkregen: 1 -f tg.²? = sec.²?. Voorbeeld 2. De waarde van tp te berekenen uit: a.sin.p -f^- h.cos.p =: c. Men heeft: b.cos.p = e � a.sin.f) of b \|/(1 � sin.²^) � c � a.sin.p; brengt men nu de vergelijking in het vierkant, dan komt er: b²(l � sin.²p) =i e² � 2ac sin.p -\\- a\'sin.\'p en hieruit: (a² -f- b²) sin.²p � 2acsin.p � (b² � e²) = 0, zoodat ip door middel van een vierkantsvergelijking zou gevonden worden, en wel door een vorm die niet voor logarithmische bere- kening geschikt is.

-ocr page 53-



		89

		Wij zullen hierop Liter terugkomen. Men kan de oplossing van bovenstaande vergelijking echter zoo inrichten, dat men tot geen vierkantsvergelijking komt. Men deele daartoe door a, dan heeft men: . ^b ^c sin.o - - � cos.w = � ^r \' a ^r a b Dewijl de waarde van � op geenerlei wijze bepaald is, stelle b sin.a men � = tg.a = ------, dan komt er: a ° cos.a sin.a c siii.07 -4- ------ cos.to rr � ^r \' cos.a ^r a en na verdrijving der breuk am.ip cos.a -j- cos.ip sin.a z= � cos.a, c dat is: sm.((p -\\- <x) = � cos.a, waaruit door logarithmen ip -\\- a en dus <p kan worden bepaald. Men vindt dan voor ip twee waarden, ip en 180° � <p, terwijl de overige waarden begrepen zijn in de vormen 2na^--f-p en (2n-f-l) ir�ip. Tot de bestaanbaarheid wordt gevorderd c � cos.a <" 1, a ^» dus c.cos.a < a. b cos.a Had men � =: cot.a = �� gesteld, dan zou men hebben a sin.a ° c gevonden: cos.(p � a) = � sin.a. Voorbeeld 3. Uit de vergelijking sin.(a -\|- <p) cos.tp sin.p "r sin.^ot � ^) <p op te lossen. Men verdrijve de breuken en heeft dan na vermenigvuldiging met 2: 2sin.(a -f- <P) sin.(a � ?>) -f- 2sin.p cos.tp z= 2sin.p sin.(a � (p), dat is, na toepassing van de form. (41) en (48), cos.2p � cos.2a -\\- siu.2p = cos.(a � 2<p) � cos.a =: cos.a cos.2ip -j- sin.a sin.2^> � cosa, waaruit:

-ocr page 54-



		III

		1 � cos.a) cos.2p -\|- (1 � sin.) sin.2p = cos.2a � cos.. Volgens form. (53) is cos. 2a = 2cos.-\'a � 1, dus cos.2a�cos.a = 2cjs.²a^cos.a � 1 = (2cos.a-\|-l) (cos.a� 1), derhalve: (1 � cos.a) cos.2p -j- (1�siu.a) sin.2p = (2cos.a-)-l) (cos.a�1), of im deeling door 1 � cos.a 1 � sin.a cos.2p -f ~~_} _ _�0S~~~ sin.2p = � (Scos.a -f 1). 1 � sin.a � sin.J Stellende nu �-------------- = tg.� =r -----», dan komt er: 1 � cos.a c:>s.d cos.(2p � 5) = � (1 -(- 2cos.a) cos.S. 1 � siu.a Ter bepaling van den hnlpboog S moet �----------- logaritlunisch gemaakt worden. Daartoe heeft men: 1 � sin.a _ sin.90° � sin.a _ 2siii.-\'(45⁰ � ja) sin.²(45° � ja) 1�-cos.a^- 1�cosa 2sin.²-J-a sin.² ja Vergelijk de form. (39) en (50). Om 1 -f- 2cos.a logaritlunisch te maken stelle men 2cos.a r= tg.^a, dan wordt , � ,,. . _A.o_l{ sin.(i5° u) sin.(45⁰ u)l/2 1 2cos.a = 1 tg.^a = tg.4o° tg.,a= .., =-----^v ; ^\'^v* , ig.fi-l]/2 tg.^ zoodat men, ter berekening van ip, het volgende stelsel van verge- lijkingen heeft: sin.=(45° �ja) *** = ------��T�a^------^; � = ^2c�S-^a n ^ sin.(45° -f _M) y/2 en cos.(2a> � d) =:� ----------;---------------cos.d. 36. Wij zullen thans nog enkele vo >rbeelde:i geven van de op- lossing van algebra�sche vergelijkingen met toepassing der gonio- metrie, om daardoor tot uitkomsten te geraken, die voor logarith- misclie bewerking geschikt zijn. Voorbeeld 4. Zij bijv. x =r i/-�;�� ^v p q � �i Men heeft x � \|/--------- en daar p ^> q moet zijn, opdat de waarde van x re�el zij, kan men � == cos.a stellen en bekomt dan

-ocr page 55-



		41

		1 � cjs.a ^X = ^1 cos.* = �«- ^fo�- ^⁵⁸)\' zoodat nu x zonder worteltrekking en door logarithmen kan wor- den gevonden. Voorbeeld 5. De onbekende op te lossen uit de vergelijking V(a b x) � \|/(a � b x) \|/(a b x) y/(a - b x) ~ ^c\' Men deele eerst teller en noemer door \|/a, dan is: 1/(1 �x)-\|/(l-�x)

		*Ka ~) k\'a-r)*

		Indien nu a, b en c re�ele waarden hebben, dan kan men b . a � x = sin.^>, dus x = -y sin.^ stellen, daardoor wordt \|/(1 ain.p) � \|/(1 � siii.p) _ \|/(1 -f- sin.p) l/(l � sin.p) � ^c � � � W deelt men nu weder teller en noemer door \|/(1 -\|~ ^s\'"-�>)> ^enneemt men in aanmerking dat, volgens form. (44) 1 � sin.9 sin.90° � sin.^ 1 -f sin.p ⁼ sin.90° sin.p ⁼ R(⁴⁶ � W is, dan heeft uien: 1 � tg.(45° � j<p) _ 1 tg.(45° � ty) ~ °\' dat is, na toepassing van form. (<>3), tg-aP = C, zoodat x bekend wordt uit de beide vergelijkingen a tg.^ip = c eo x = y sin.p. Ter herleiding van de breuk in vergelijking (a) had men ook kunnen gebruik maken van de beide laatste vergelijkingen uit 26. 4^e. Voorbeeld 6. /ij de vergelijking x \|/(p � q x²) = r. Hiervoor kan men schrijven: Zijn dus p, q en r re�ele waarden en daarenboven p en q beide positief, dan moet �x² ^ 1 zijn. Men stelle dus: q p � x² = sin.²cp of x == sin.w 1/�> p r r V _q

-ocr page 56-



		42

		dan heeft men: x cos.9 j/p = r, p dus sin.» cos.» rp- := r, ^2r \\/l of sin.2» = ---------> ^Y P waaruit voor sin.2» twee waarden gevonden worden, die elkanders supplementen en derhalve voor » twee waarden, die elkanders complementen zijn. Men heeft dus om x te vinden: 2r \\/\\> p p sin.2p =: ---------, xi z= %\\\\\\.<p J/� en xa zz. cos.» j/� 37. De vergelijkingen van den tweeden graad met re�ele wor- tels kunnen alle met behulp der goniometrie worden opgelost. Onderstellen wij vooreerst, dat in de algemeene vergelijking Ax² -f Bx -f C � 0 C C positief zij, dan substitueere men x = v^/j-, waardoor de ver- gelijking overgaat in: Cy² By \|/j ^C = ° en na deeling door Cv J_ _R_ ^y y � ^� J/AC\' Daar y alle willekeurige re�ele waarden hebben kan, stelle men verder: y = tg.», dan is: B tg.» cotip = � pjfjy ■»t � i sin.» cos.» sin.²» -f- cos.²© Nu is : tg.» 4- cot.» = -----l- _\|_ -----l � �, ^r ^r-------Z �- cos.w i sin.» sin.» cos.p ²��r- en hierdoor dus : sin.2» 2 B

		sin.2» � J/AC 21/AC of sin.2» == � �=��> wiiaruit voor 2» twee waarden, die elkanders supplementen en voor

-ocr page 57-



		4:5

		f twee waarden, die elkanders complementen zijn, gevonden worden. Hierdoor wordt y zz tg.ip of y = cot.p en dus de beide wortels xi := tg.ip \\/t en xa =z cot.ip y~r- De vergelijking sin.2p = � �^� geeft nog aanleiding tot de volgende beschouwingen. Is 2J/AC > B of 4AC > B², dan is sin.2p > 1 en dus de beide wortels imaginair, die dan niet verder kunnen bepaald worden. Is 2\|/AC = B, of 4AC = B², dan is sm.2<p = ± 1, naar gelang B negatief of positief is, dus 2<p =: 90° of 270° en f = 45° of 135°. In het eerste geval is tg.(p = cot.^j = 1; in het tweede tg.<p z= cot.tp = � 1. In beide gevallen dus de wortels gelijk. Is 21/AC < B of 4AC < B², dan is sin.2p < 1 en dus de beide wortels re�el. Is B negatief, dan is sin.2^3 \'positief, dus 2y?<^ 180° en (p-<C 90°, derhalve tg.<p en cot.^o beide positief en alzoo beide wortels positief Is B positief, dan is sin.2p negatief en ligt dus 2ip tusschen 180° en 3G0°; ip derhalve tusschen 90° en 180° en alzoo zijn dan tg.p en cot.p beide negatief, zoodat alsdan de beide wortels nega- tief zijn. Is C = 0, dan is sin.2p = 0, dus %<p = 0° of 180° en f == 0° of 90°. Hierdoor wordt tg.p = 0 of OO en cot.p=00 of 0. Derhalve: xi == 0 X ° en X! z: 0 X OD. De eerste waarde is klaarblijkelijk 0;. 0 X °° stelt echter een onbepaalde waarde voor, die in elk bijzonder geval kan bepaald worden. Zoo hebben wij hier uit Ax² -f Bx = 0 B xi r: 0 en X! = � -r> A B derhalve is 0 X OO = � T" Is de derde term negatief, dan stelle men even als boven in de vergelijking Ax² Bx � C = 0. C x = y J/Ti dun heeft men na substitutie

-ocr page 58-



		4 1

		Qy» -f By j/j � C = O on nu weder door Cv deelende en dan y = tg.tp stellende, ver- krijgt niPii B cot.p - tg.? = p^- eos.p sin.p cos.²p � sin.²y> Nu is cot.0 � ts.<p rr -.� � ------ =: -----:---------------- = ~ sin.55 c~>$.<p sin.^o cos.tp 2cos.2w �:�-»� = 2cot.w, sin. 2(0 ^r B derhalve 2eot.p r= ,~~. ,,~~� 2\|/Af! Of tg.29 = �j----- Hieruit vindt men voor 2<p twee waarden, namelijk \'2<p en 1S0° -j- -2p en daardoor voor p twee waarden, <p en 0U° -\\- <p of y = tg.p en y = tg.(90° -\|- 9) = � cot.p, zoodat de beidt\' wortels zijn c c x 1 = tg.p \\/-r en x 2 � �■ co\\.<p ^/t» die derhalve altijd verschillende teekens hebben. Over de g\'oniometrisehe oplossing: van derde-inachtsvergelijkiiigen zie men Vries, Oplossing van hoogere-maehtsvergelijkingen. 38. Ter verdere oefening dienen de volgende opgaven. 1°. Bereken den sinus en cosinus van 3°, 6°, 0°, 12° en 15°. _ a.sin.a -f- b.cos.a 2°. Te berekenen x = 1/-----------�7�:---- als a = 15.2(573, ^v a.cos.a � b.sin.a b = 27.3124 en x = 147°15\'37" is. 3°. Bereken ip uit de vergelijkingen: a.sin.²? -f b.cos.²p == e, nis a = 6.33679, b = 3.1287 en e == 3.7654 is. a.sin.p b.coe.p � e, als n = 6.3879, b = 0.92168 en c = 0.21376 is. a.tg.p b.cot.p = e, als a = 123.765, b = 713.046 en c = 8176.543 is. 4°. <p op te lossen uit de vergelijkingen: sin.(a -f" f) � sin.(« � tp) = siii.2^). cos.tp cos.(y> � a) rz a. sin.^J s\'m.(<p � a) = a.cos.²^. cos.(* � tp) � cos.(« -j- <p) = ^sec.�(p�«)c.i8ec.\|(p-J-«).

-ocr page 59-



		45

		5°. tp op te lossen uit de vergelijkingen: a.sin.(f> -j- «) -f- b.sin.f^) -\|~ /?) = c. a.sin.(p -\\- x) -\\- b.cos.(tp -)-/?) e.sin.9 = 0. cos.(p -(- a) cos.(p -)-/?)=: a. a.sin.p -j- b.cos.2^ =r e. fi°. Verdeel den boog \\it iu twee deelen, wier tangenten tot elkander staan als 1 : 2. 7°. Bepaal de waarde van tp uit de vergelijking: -isiu.x cos./? tg.²p � 2sin.(a -f- /?) cos.(* � /?) tg.p -)- 5sin.2x cos.(2x -f^- /?) =: 0, waarin * = l�9°l 7\'35" en /3 = S2^o,.l\'40" is. 8°. Te bewijzen dat: Bg (tg. = x) Bg (tg. - j-^^) = Jt is. 9°. Wat is grooter sin.2a of 2sin.a? 10°. Men vindt cos.3a = \|/(1 � sin.^!8a) = (3ccs.a � 4eos.³a); hoe wordt hierbij het teekeu van den wortel bepaald ? 11°. Bewijs dat sin.tl a � sin.(n � l)a cos.a -j- cos.(11 � 1 )a sin.a is. 12°. De waarde van x en y te bepalen uit de evenredigheden sin.x : sin.y = 2 : 1 en os.x : cos.y = 1:2. 13°. Bereken tp uit du vergelijking: sin.a -f- sin.(9�a) -f- sin.(2p-\|-n) = sin.(y)-)-a) -f- sin.(2p�a). 14°. Logaritlnnisch te maken den vorm 1 -f- sin.A -f- cos.A. sin.ii � cjs.b 15°. Insgelijks �-------.-----�r- ⁰ ^J sin.a -f- e >s.l> 16°. De waarde van tp te berekenen uit: sin.a cis.b -f- tg.a cot.b ejs.0 1� -----------j�j------1�--------------T~\' ^r ir -\\- bg (sin. = e) wanneer a - 25°42\'ll", b = 17°13\'31" en c = 0.9345 is. 17°. Den boog \\ir te verdeden in twee deelen, wier sinussen tot elkander staan als 7 : 9. 18°. Tot een gediante te herleiden, geschikt voor logarithmische 2cos.²a � 1 � cos.2a cos.-\'a berekening, (\'en vorm -----------------^--------7,-------------� ^D cos.2a ccs.-a 19°. tp te bepalen uit de vergelijking: tg.(a -f- 9) � &�(« � f) �* MH.*P- 20°. Wat is de waarde van de uitdrukking

-ocr page 60-



		46

		(a² � b²) (sin.at -f sin,/?) c (pos./? �� cos.) als a = 87.5, b = 18.01, c = 3.25, = 85°13\'17" en /? = 115°12\'48" is. 21°. Men vraagt tien tangens van den halven boog in den tan- gens van den heelen boog uit te drukken. 22°. <p te berekenen uit de vergelijking: sec.p = cos.9 -)- 2sin.y>. 23°. Een cirkelkwadrant te verdeelen in drie dcelen, wier tan- genten tot elkander staan als 3, 5 en 7. 24°. x op te lossen uk de vergelijking: sin.²x -(- cos.²x -\|- tg.²x -\\- cot.²x -(- sec.²x -f- cosec.²x = n. 25°. Van welken boog maken de sinus, de tangens en de straal een harmonische reeks uit? 26°. Wat is de waarde van <p in de vergelijking: 3sin.-\|p � 4sin4p. 27°. Men vraagt <p op te lossen uit de vergelijking: (2cos.2p -f- 6) cos.p � 3 -f- (4sin.\|a -\|- sin.f) sin.ja = (cos.4a � 4cos.-joc) cos.foc -(- 2sin.2^ sin.p. 28°. Insgelijks uit de vergelijking: sin.» sin. 2 <p n�i----^:----w�-------�T~-----^ a(l � sin.ep) (1 -f- 2sin.a>) =: (1 -\\- sm.<p)* (1 � 2sin.y>) \' ^2V r/ v 1 tv 3 -f- 2 \|/2 � Ssin.-\'y 4(1 -f- sin.p) (1 � Ssin.p) 29°. Men vraagt x en y op te lossen uit de vergelijkingen: x\|/(l� _x») y\|/(l�;y²)=a en xl/(l-y²) yl/(l-x²)= b. 30°. Welke waarde hebben x en y in de vergelijkingen: x 1 (y !)(!� sin.q) ;�\|----:� = -------------:---------------- en (x � 1) tg.at = 1 -f- sin.a sin.* \' ° (1 � y) cos.* -f- 2sin.. 31°. De som der sinussen en die der cosinussen te vinden eener reeks van n bogen die met gelijke verschillen opklimmen. (Zie de eerste formule van 26. 4°). 32°. Wanneer y = \|/[isin. -(- \\/ \\ Jsin.oc -(- \|/(\|sin.* -\\- enz. tot in het oneindige)] \| is, hoe vindt gij dan een eenvoudiger uitdrukking voor y. 33°. Met behulp van de formule cot.\|a � tg.�a = 2cot.a te vinden itg.ia itg.ia Itg.la ^tg.^a .... ^tg.^a = 1 1 gjcot.g-a �cot.a.

-ocr page 61-

TWEEDE 11 O O F D S T U K.

Rechtlijnige Trigonometrie.

« 8.

Oplossing der rechthoekige driehoeken.

39. In § 1 is gezegd wat men door Trigonometrie of driehoeks-
meting verstaat. De zwarigheid, waarvan daar gesproken is, is door
het behandelde in Hoofdstuk 1 weggenomen, daar men door middel
der sinustafels, de goniometrischc betrekkingen, of hare logarithmen,
voor eiken gegeven hoek of boog en omgekeerd, bepalen kan. Wij
zullen dus nu aantoonen, hoc men de gevonden formules kan aan-
wenden ter berekening van de onbekende elementen des recht-
hoekigen driehoeks.

Laat daartoe, fig. 10, ABC een driehoek zijn, rechthoekig in A.
Fig. 10. Indien men dan B als het middelpunt

van een cirkel beschouwt, die met BC!
als straal beschreven is, dan is:

AC . , AB

sin.B en t

= cos.B,

derhalve:

AC = BCsin.B en AB =
BCcos.B.

Beschouwt men echter AB als den straal van den cirkel, die uit
B beschreven is, dan heeft men:

AB = *�*�
derhalve: AC = ABtg.B.

De hoek B het complement zijnde van C, heeft men dus de
volgende formules:

-ocr page 62-



		48

		AC = BCsin.B = BCcjs.C. AB = BCsin.C = BCcos.B. AC = ABtg.B = ABcot.C. AB = ACtg.C = ACcot.B. Men vergelijke ook § 1. 3. 40. Men is echter gewoon de zijden aan te diiiden door de- zelfde kleine letters, die bij de overstaande hoeken staan, zoodat in een rechthoekigen driehoek, waarin A de rechte hoek is, a de hypotenusa, b en c de beide rechthoekszijden zijn, de gevonden formules worden dan: b = a.sin.B =z a.cos.C I c = a.sin.C = a.cos.B j � ( ) b = c.tg.B � c.cot.C I c = b.tg.C = b.cot.B I ■■■(-) dat is, in woorden: 1°. Elke rechthoekszijde is gelijk aan deu sinus van den over- st aan den, of den cosinus van den aanliggenden hoek, ver- menigvuldigd met de hypotenusa. 2°. Elke rechthoekszijde is gelijk aan den tangens van den over- staanden of den cotangens van den aanliggenden hoek, ver- menigvuldigd met de audere rechthoekszijde. Men zal opmerken, dat de form. (2) ook uit (1) kan afgeleid worden. Men heeft namelijk door deeling: b a.sin.B a.cos.C c \' ~ a.cos.B a.sin.C b dat is : � = t" B zz cot.C. c ° of b= c.tg.B = c.cot.C. Neemt men de som der kwadraten van de beide formules (1), dan vindt men: b² c² = a² (sin.²B cos.²B) = a² (sin.²C cos.²C), waaruit: b\'^J ~\|- c² z= a². 41. Met de formules (1) en (2) en het theorema van Pythagoras kan men alle gevallen, die bij de rechthoekige driehoeken voor- komen, oplossen. Zij bevatten ieder drie elementen van den drie- hoek, waarvan er twee gegeven moeten zijn. Daar nu in een rechthoekigen driehoek vijf veranderlijke grootheden voorkomen, zoo zouden er zooveel gevallen zijn, als het aantal velschillende combinati�n van vijf grootheden, drie aan drie bedraagt.

-ocr page 63-



		*g

		5.4.3 Dit aantal is: ~~₁ � .,~~ = 10. Onder dit aantal komen echter verscheidene voor, die van elkander niet wezenlijk onderscheiden zijn, zoodat er inderdaad slechts vier verschillende gevallen voor de oplossing van den rechthoekigen driehoek zijn, namelijk: 1°. Gegeven de hypotenusa en een der scherpe hoeken. 2°. Gegeven een rechthoekszijde en een der scherpe hoeken. 3°. Gegeven de hypotenusa en een der rechthoekszijden. 4°. Gegeven de beide rechthoekszijden. Eerste geval. 42. Zij gegeven de hypotenusa a en de hoek B. Ter berekening der onbekenden heeft men: C = 90° � B, b = a.sin.B, en c = a.cos.B form. (1) Voorbeeld van berekening. Zij a = 217.496 en B = 53°17\'13". Men heeft C = 90° � 53°17\'13" = 36°42\'47". log.a = 2.337452 log.a = 2.337452 log.sin.B = 9.903979 log.cos.B = 9.776561 log.b = 2.241431 log.c = 2.114013 b = 174.354... c = 130.021... Tweede geval. 43. Zij gegeven de rechthoekszijde b en de scherpe hoek C. Ter berekening der onbekenden heeft men: b B = 90° � C, e = b.tg.C, form. (2), a = ^^j, form.(l) Voorbeeld van berekening. Zij b = 7392.08 en C = 1°55\'4". Men heeft B = 90° � 1°55\'4" = 88°4\'56". log.b = 3.868767 log.b = 3.868767 log.tg.C = 8.524838 ac.log.cos.C =10.000243 log.C = 2.393605 log.a = 3.869010 e = 247.517 a = 7396.22 Aanmerking. Ue gegeven hoek had ook de overstaande kunnen zijn; de formules zouden dun zijn: b c = b.cot.B. u = -s�s- \' sin.B

-ocr page 64-



		50

		Derde geval. 44. Zij gegeven de hypotenusa a en de rechthoekszijde b. Ter berekening van de onbekenden heeft men: c = {/(n- � b²) = j/(a � b) (a -f b), sin.B = cos.C = 7 , fonn. (1). Voorbeeld van berekening. Zij a = 4885C, en b = 47870. Men heeft: a b = 96726, a � b = 986. l_og.(a _ b) = 2.993871 log.b = 4.680063 log.(_a -f- b) = 4.985543 ac.log.a = 5.311082

		7.979420 log.cos.C = 9.991145

		log.c = 3.989710 C = ll^o31\'50".5 c = 9765.87 B = 78°28\'9".5. Aanmerking. Is de zijde b ten opzichte van a zeer klein, dan kan men den hoek C nauwkeuriger vinden door de formule: a � b tg.lC = j/j-,-? die gevonden wordt uit: i_i , _r, , A � cos.C . j a . ,a � 1) 1 -f- cos.C 1 a -f- b want als de hoek C weinig van 90° verschilt, dan zijn de ver- schillen der logarithinen voor kleine verschillen van den hoek zeer groot, en daardoor minder geschikt voor nauwkeurige berekening; �\|C is dan echter dicht bij 45° en de verschillen van de logarithmen der tangenten zijn dan meer evenredig met de verschillen der bogen. Vierde geval. 45. Gegeven de beide reclithoekszijdeu b en e. Ter berekening der onbekenden heeft men: 1) tg.B = cot.C = -, fonn. (2), en a = j/(b² c²). Daar echter \|/(b\'-\' -f- o\') niet voor logarithmische berekening geschikt is, berekent men de zijde a liever door een der formules: b b c c sin.B cos.C sin.C \'" cos.B Voorbeeld van berekening. Zij gegeven b = 630.763, en c = 470.1915.

-ocr page 65-



		5]

		Men heeft: log.b = 2.799866 log.b = 2.799866 ac.log.c = 7.327726 ac.log.sin.B =10.095958

		log.tg.B =;10.127592 log.a = 2.895824 B = 53°17\'53" a = 786.727 C = 3�°42\'7" Aanmerking. Wanneer de verhouding tusschen de beide recht- hoekszijden zeer groot is, dan kan men de hoeken berekenen door de formule: 2bc , _r 2bc tg.2B = ;---------p�-.-----i�rr 01 tg.2G = Ti----------T�n-----i-----7, (e � b) (c -f- b) ° (b � e) (b -f- e)\' die men vindt uit: 2lg.B *-^2B = ~~i -Vb~~\' door daarin tg.B =: - te substitueeren. De berekening van B ° c ° door deze formule geeft nauwkeuriger uitkomsten, hetzij B dicht bij 0° of dicht bij 90° is, want in beide gevallen zijn de ver- schillen der logarithmen zeer groot, terwijl zij kleiner zijn en dus meer evenredig met de verschillen der bogen voor 2H.

		§ 9. Berekening van het oppervlak of den Inhoud des recht hoekigen drlehoeks. 46. Eerste geval. Men heeft [ = -Jbc en daar b =z a.sin.B en c = a.cos.B is, wordt I =: �a²sin.B cos.B en dus volgens form. (48) I = Ja\'sin.aB = ia²sin.2C. Tweede geval. Substitueert men in I = -jbc de waarde van c = b.tg.C = b.cot.B of b =: c.tg.B = c.cot.C, dan verkrijgt men : I = -Jb²tg.C = Jb²cot.B = ^c\'-tg.B = ic²cot.C. 4*

-ocr page 66-



		52

		Derde geval. Men substitueerc in I � \|bc voor c de waarde \|/(a^J � b²), dan komt er: I z= ity/(a � b) (a -f b). Vierde geval. Men heeft: 1 = ibc. 47. Men berekene de onbekende elementen van een rechthoe- kiger! driehoek, als gegeven zijn: l°.a=:73.26; C=49°12\'20^tf. 7°.a=:^,Jl8.4; b= 621.3. 2°. b = 493; B = 30°14\'. 8°. b �2632; e =3252.45. 8°. 8 = 506.9; c = 383.9. 9°. a = 1471.62; B = 29°50\'. 4°. b = 27.3153; c=35.77. 10°. b = 206.05; C=23°41\'. 5°. a = 4264.3; B = 33°30\'47". 11°. a = 197471.4; c=185u53. 6°. c = 6545.23;B=:25⁰47\'7". 12°. b = 626.79; c=74.9. Door welke formules worden in een rechthoekigen driehoek de onbekenden bepaald, als gegeven zijn: 13°. De som of het verschil der rechthoekszijden en cerr der scherpe hoeken? 14°. De som of het verschil van de hypoteousa en eeir der rcchts- hoekszijden, met een der scherpe hoeken? 15°. De omtrek 2S en een der scherpe boeken? 16°. Hoe groot is de straal van den in- en omgeschreven cirkel van een rechthcekigen driehoek, waarvan een der rechthoeks- zijden en een hoek gegeven zijn ? 17°. Hoe groot zijn de zijden eens rechthoekigen driehoeks, als gegeven zijn het oppervlak I en een der scherpe hoeken. 18°. Bereken het oppervlak van een rechthoekigen driehoek uit de loodlijn, die uit het hoekpunt van den rechten hoek op de Inpotemisa valt en een der scherpe hoeken. 19°. Van een rechthoekigen driehoek gegeven zijnde de som of het verschil der rechthoekszijden en de hypotenusa, vraagt men elk der elementen te bepiden. 20°. Als van een rechthoekiger) driehoek gegeven zijn de straal van den il geschreven ciikel en een der scherpe hoeken, vraagt irrn »1 de overige elementen te bepalen. 21. Te bewijzerr dat in een rechthoekigen driehoek %.i(B - C) = Vy^l\\ en tg.(J5° - p) = l/j^fj; is.

-ocr page 67-



		53

		§ 10.

		Oplossing der scheefhoekige driehoeken. 48. De formules ter oplossing der scheef hoekige driehoeken kunnen met behulp van den rechthoekigen driehoek gemakkelijk worden afgeleid. Indien wij namelijk uit een der hoekpunten van een scherp- of stomphoekigen driehoek ABC. tig. 11, een loodlijn Fig. 11. op de overstaande zijde neerlaten, dan ontstaaa in beide twee rechthoe- kige driehoeken, waarin men volgens 39 heeft, mits in acht nemende, dat in den stomphoe- kigen driehoek sin. ABC � sin.CBDis: CD = AC.sin.A = BC.sin.B, derhalve: AC : BC zz sin.B : sin.A, en daar hel onverschillig is uit welk hoekpunt de loodlijn wordt getrokken, zoo heeft men, volgens de aangenomen schrijfwijze: a : b : c = sin.A : sin.B : sin.C \\

		of		sin.A sin.B sin.C \| . . (3)

		a � b � C dat is: de zijden van den driehoek staan tot elkander ah de sinussen der overstaande hoeken. De standvastige verhouding tusschen de zijde en de sinus van van den overstaanden hoek wordt de modulus van den driehoek genoemd, terwijl men den regel zelf, den regel der sinussen zou kunnen noemen. 49. Uit de evenredigheid a : b = sin.A : sin.B heeft men: a -f- ^D ^: * � b � sin.A -\\- sin.B : sin.A � sin.B, dat is, volgens form. (44) _a _j_ b : a - b = tg4(A -f B) : tg.\|(A � B). Daar echter A -f B = 180° � C is, is ±(k -f B) = 90° � *C en dus tg.�(A -f- B) = cot.JC, zoodat de evenredigheid over- gaat in:

-ocr page 68-



		54

		_n _\|_ b : a � b = cot.-JC : tg.\|(A � B) . . (4) dat is: In eiken driehoek staat de som van twee der zijden tot haar verschil als de cotangens van den halven ingesloten hoek tot den tangens van het halve verschil der overstaande hoeken, 50. Uit de evenredigheid (3) volgt, verder: u -f- b : c �z sin.A -J- sin.E : sin.C, of volgens form. (38) en (48) b b : c = sin.-»(A B).cos.�(A � B) : sin.iC.cos-JC. \' XJit A -f B = 180° � C volgt echter \|(A B) = 90° � -»C en dus sin.-�(A -j- B) =: cos.-JC, zoodat de evenredigheid over- gaat in: a -f- b : c = cos.-J(A � B) : sin.-J-C. Op de/elfde wijze vindt men verder: a � b : c = sin.-�(A � B) : eos.-JC. Uit beide heeft men: c.cos.i(A � B) = (a -\|- b).sin.�C. c.sin.\|(A � B) = (a � b).cos.»C. Neemt men nu de som der vierkanten van beide vergelijkingen, dan heeft men, met toepassing der form. (1) en (49), c² = a² -f b= � Bab.cos.C.....(5) dat is: m eiken driehoek is het vierkant van een der zijden gelijk aan de som der vierkanten van de heide andere zijden, verminderd met het dubh�le product dier zijden en den cosinus van den inge- sloten hoek. 51. De formule (3) kan ook, onafhankelijk van den rechthoe- kigen driehoek, op de volgende wijze gevonden worden. Zij

		daartoe, in tig. 12, om den drie- hoek ABC een cirkel beschreven ; trekt men dan de stralen naar de hoekpunten, dan is volgens form.(19) AB jjj = 2sin.->-AOB = 2sin.C. BC jjj = 2sin.iBOC = 2sin.A. AC jjj = 2sin.J AOC = 2siu.B. waaruit onmiddelijk: AB:BC: AC = sin.C: sin.A : sin.B.
		Fie. 12,

-ocr page 69-



		55

		52. De formules (4) en (5) kunnen ook, onafhankelijk van form. (3), uit de figuur worden afgeleid. Men beschrijve daartoe, Fig. 13. in fig. 13, in driehoek ABC uit C met AC als straal een halven cirkel, die BC en haar verleng- de snijdt in 1) en E, en trekke de koorde AD, ~c ^e dan is: BD = a � b, BE = s b ZADC = ZDAC = *ZACE = i(A -f B) ,/BAD = A � ZDAC = A � i(A B) = i(A � B). Nu trekke men verder de koorde AE en verlenge die tot dat zij de lijn BF, die evenwijdig aan AD is, snijdt in F, dan staat BF loodrecht op EF en dan is: ZFBE = ZADC = \|(A B) ZFBA = ZBAD = \|(A � B). Verder heeft men: BD : BE = AF : EF, maar in de rechthoekige driehoeken BEF en ABF is: EF = BF.tg.FBE = BF.tg.\|(A B) AF = BF.tg.FBA =s BF.tg.\|(A � B), waardoor de evenredigheid overgaat in: BD : BE = tg.-KA - B) : tg.�(A B), dat is: a � b : a -f- b = tg.-§(A � B) : cot.-§C. 53. Om de formule (5) uit de figuur af te leiden, heeft men in fig. 11 in den scherphoekigen driehoek: AC² = AB² -f BC² � 2AB.BD en in den stomphoekigen: AC² = AB² -f BC² 2AB.BD. Nu is in den eersten: BD = BC.cos.B en in den tweeden: BD = BC.cos.CBD = � BC.cos.B, waardoor men voor beide verkrijgt: AC² = AB» -f BC» � 2AB.BC.cos.B. 54. De formules (3), (4) en (5) zijn voldoende ter oplossing van alle gevallen, die bij de scheef hoekige driehoeken kunnen

-ocr page 70-



		5C

		voorkomen. Haar aantal zon, even als bij de rechthoekige, tien zijn, zoo er geen gelijke onder voorkwamen; tengevolge daarvan zijn er maar vier verschillende gevallen. De gegevens kunnen namelijk zijn : 1°. Een zijde en twee hoeken. 2°. Twee zijden en den ingesloten hoek. 3°. Twee zijden met een der overstaande hoeken. 4°. De drie zijden. Eerste geval. 55. Zij gegeven de zijde a met de beide hoeken I? en C. Men vindt de onbekenden uit: _ , a.sin.B a.sin.B A = 180° � (B C), 1) = -5�r- = ~~■ ,-� , _f.,~~j ^v \' " sin.A sin.(B -f- C)r a.Bin.C a.sin.C ^f°^rm-(3) ^c ^� sin.A � sin.(B -f- C)) Het is natuurlijk onverschillig welke hoeken gegeven zijn, omdat de derde, het supplement zijnde van de som van de beide andere, daardoor ook bekend is. Voorbeeld van berekening. Zij gegeven: a = 7858, B = 59°35\'36" en C = 50°19\'2". Men heeft: B-fC = 109°54\'38", A = 70°5\'22". log.a = 3.895312 log.a=: 3.895312 log.sin.B = 9.935736 log.sin.C = 9.886260 ae.log.sin.(B C)=10.026768 ac.log.sin.(B C)=:10.026768 log.b = 3.857816 log.c:= 3.808340 b=7208 c = 6431.9 Tweede geval. 56. Zij gegeven de zijden a en b en den ingesloten hoek O. Ter berekening der onbekenden hebben wij de formules (4) en (3) �, a � b a.sin.C b.sin.C tg.-\|(A � B)=----j�7 cot.-KJ ; c = �.�r- = ~~. -,~~ . . fa) ° ^2K \' a -f- b ² \' sm.A sin.B ^w Aanmerking 1. De zijden a en b kunnen alleen door hare betrekking tot elkander of door hare logarithmen gegeven zijn; in beide gevallen kan men op de volgende wijze de hoeken vinden. Men heeft namelijk:

-ocr page 71-



		57

		tg.tfA _ B) = �i cot.K\'. b Men stelle nu - = tg.cp, dan wordt a ^ ~ tg.f(A- B) = �^U cot.iC = tg.(45° - <p) cot.iC. . (b) Voor de zijde c vindt men door dezelfde formule als boven het betrekkingsgetal tot a en b. Aanmerking 2. De zijde c kan echter ook rechtstreeks uit de gegevens worden afgeleid, door de formule (5). Daartoe heeft men: c = \|/(a² -(- b² � 2ab.cos.C). Volgens form. (52) is cos.C = 1 � 2sin.²-\|C, zoodat men door substitutie dezer waarde verkrijgt: c=\|/(a²-\|-b²� 2ab-f4ab.sin.»iC)=\|/\| (a�b)²-f4ab.sin.²iC \|, i 4ab.sin.2iCi of , ₌ ₍.-b)t/[i ~~_(a__b;,~~ j 4ab.sin.²\|C >telt men nu -r�~~__ i _VJ~~ = tg.²p, 2sin.-Jc l/ab / dus: tg.p = ~~- _ _b~~ \| dan wordt: c =: (a � b) sec.p . . . (c) Voorbeeld van berekening. Zij gegeven b = 5169, a = 4627, C = 52°4\'53". Volgens de formules (a) heeft men: a � b = � 542, a b = 9796, J� = 26°2\'26"5. log.(a � b) = 2.733999(�) ac.log.(a -f-b) = 6.008951 log.cot.-JC =z 10.311035 log.tg.�(A �� B) = 9.053985(�) log.a = 3.665299 i(A � B)=� 6°27\'38" log.sin.C = 9.897014 90° � \|C = �(A -j- B) = 63°57\'33"5 ac.log.sin.A = 10.073978 A = 57°29\'55"5 log.c = 3.636291 B=70°25\'ll"5 c = 4328..... Volgens de formules (b) heeft men:

-ocr page 72-

log.bzr 3.713407
uc.las.ii = 6.334701

log.tg.(45° � p) = 8.742960(�)
los:.cot.iC = 10.311035


log.tg.p = 10.048108	log.	tg.f(A � B) =; 9.053995(-	-)
f � 48°10\'1"		i(A � B)= � 6°27\'38"
45°�ip = �3°10\'1"
De formule (c) geeft:
log.n =: 3.665299
log.b =3.713407
7.378706 2-------------- 3.689353

log.sin.$C = 9.642474		log.(a �b) = 2.733999(-	-)
log.2 = 0.301030		log.sec.p = 10.902292(-	-)
ac.log.(a � 1)) = 7.26600l(-	)	log.c = 3.636291
log.tg.a=10.898858(-	)	c=r 4328....

p=97°ll\'38"5

Be negatieve toestand van (a � b) en daardoor van A � B

en 45° � tp had men kunnen vermijden door te schrijven

b � a
tg.-s(B � A) = ,� , cot.|C of door in de formule (c)

|/(a � b)² gelijk b � a te nemen.

Derde geval.

57. Zij gegeven de zijden a en b en de hoek A.

Men vindt de onbekenden uit de formules:

_ b.sin.A a.sin.C b.sin.C

sin.B z=----------; C = 180° �(A B); c= ~~■ .~~ = ~~■ ^~~ �

a \' v i ;> sin.A sm.B

Daar de hoek B door zijn sinus bepaald wordt, geeft dit aan-
leiding tot de volgende opmerkingen.

1°. Is b.sin.A ^> a, dan is sin.B ^> 1, hetgeen ongerijmd is.

In dat geval kan er dus geen driehoek zijn.
2°. Is b.sin.A zzi a, dan is sin.B = 1, dus B = 90°. Is nu

A scherp, dan is de driehoek rechthoekig in B.
3°. Is b.sin.A <^ a, dan is sin.B <^ 1 en dan heeft B twee

waarden, die elkanders supplementen zijn.

Is nu A -C- 90° en a ^> b, dan kan B niet anders dan scherp
zijn. In deze gevallen is er dus maar een driehoek.

-ocr page 73-

Is A <^ 90° en a <^ b, dan voldoen de beide waarden van B
en /ijn er alzoo twee driehoeken. Stelt men toch A =r 90° � 2
en B = 90° 2\', dan volgt uit a < b dat A < B is, dus
90° � 2 < 90° � 2\', waaruit volgt 2 > 5\', derhalve:
A -f B = 90° � 2 (90° 2\') = 180° � (2 ± 2\').
Beide waarden van B maken dus A -\\- B < 180° en voldoen
al/oo aan de gegevens. In dit geval zal men ook voor den hoek
C en de zijde c twee waarden vinden.

De mectkunstigc constructie zal dit nader bevestigen.

Zij, in tig. 14, BAO > 90° en
a ]> b; indien men dan uit C met a
als straal een cirkelboog beschrijft, dan
zal de/e de lijn BB\' snijden in twee
punten B en B\' en er ontstaan alzoo
twee driehoeken, waarvan alleen de
driehoek BAO aan de gegevens vol-
doet.

Doet men hetzelfde in fig. 15,
waarin A <^ 90° en a > b is,
dan ontstaan ook twee driehoeken,
waarvan echter alleen ABC voldoet.

In fig. 16 echter voldoen
beide driehoeken. De driehoe-
ken AB\'C, in tig. 14 en 15,
worden oneigenlijke driehoeken
genoemd ; de zijden AB\' en de
hoek ACB\' moeten als negatief
beschouwd worden, zoo als ook
uit de berekening blijkt, als
men de stompe waarde van B

in rekening brengt.

Merkt men verder op dat CD

b.sin.A is, dan blijkt ook uit

de figuur waarom er, als b.sin.A ^> a is, geen driehoek bestaat.

-ocr page 74-



		lil)

		Dit is namelijk de waarde van de loodlijn CD en deze zou dus grooter moeten zijn dan de straal a, hetgeen niet mogelijk is. Is die loodliju gelijk aan den straal, dan wordt de driehoek blijkbaar rechthoekig. Dit geval heet het twijfelachtige, omdat, daar de hoek A door zijn sinus in rekening komt, er eigenlijk gegeven is: twee zij- den met den sinus van een der overstaande hoeken, waardoor het onzeker is of A dan wel 180° � A bedoeld wordt. De zijde c kan ook rechtstreeks uit de gegevens worden afgeleid, door middel van de formule (5). Men heeft daartoe: a-\' =: b² -\\- c- � 2bc.cos.A, waaruit: c- � 2bc.cosA � (a² � b²) =z 0, en hieruit: c = b.cos.A \\/ \\ b²cos.²A -j- a² � b² ! of c = b.cos.A ]/\\n² � b² (1 � cos.²A)i dat is: c = b.cos.A l/(u² � b²sin.²A). Ook hieruit blijkt, dat als b.sin.A > a is, de driehoek onbe- staanbaar is; is b.sin.A = a, dan wordt c =: b.cos.A en dus de zijde van een rechthoekigen driehoek, waarin b de hvpotenusa is. Is b.sin.A <^, a, dan heeft c twee waarden, die beide positief, ��n positief en de andere negatief, of beide negatief zijn, overeen- stemmende met twee driehoeken, een driehoek of geen driehoek. Tot het positief zijn van de beide waarden van c wordt gevor- derd dat b.cos.A positief zij, dus A <^ 90° en b.cos.A > j/(a² � b²sin.²A), of b²cos.²A >� a-\' � b²sin.²A, waaruit: b² ^> a² of b ^> a. Is slechts een van de waarden van c positief, dan kan dit plaats hebben onder de voorwaarden: 1°. b.cos.A positief, dus A < 90° en b.cosA < \|/(a² � b²sin.²A), waaruit: b <^ a ; of 2°. b.cos.A negatief, dus A > 90° en � b.cos.A < \|/(a² � b²sin.²A), waaruit: b <^ a. Is daarentegen b.cos.A negatief, dus A ~^> 90° en � b.cos.A >■ j/(a² � b²sin.²A), waaruit: b ]> a, dan zijn de beide waarden van c negatief en is er dus geen driehoek.

-ocr page 75-

Even als uit de figuur vinden wij dus:

Twee driehoeken als A <^ 90° on a < l>.

Een driehoek als A < 90° en a > 1).

Geen driehoek als A > 90° en a <^ b.
Men kan nog opmerken dat de buide deelcn, waaruit de zijde c
bestaat, de deelen zijn, waarin die zijde verdeeld wordt, door de
loodlijn, die er uit het overstaande hoekpunt op valt, In tig. 14
namelijk is:

Al) = � AC.cos.A = � b.cos.A.
BD � l/(BC= � CD²) = l/(a* � b\'sin.\'A).
In tig. 15 is:

Al) = AC.cos.A = b.cos.A.
BI) = i/(BC² � Cl)-) = |/(a^s � b-sin.^!A).
In tig. 16 heeft men:

Al) = AC.cos.A = b.cos.A.
B\'D = BD = |/(BC² � CD²) =l/(B\'C²� CD²) = |/(a⁵� b\'sin.\'A).
In tig. 14 is c = AB = Al) -f- HD, waarin Al) negatief.
In tig. 15 is c = AB = AD -f- BD, waarin AD positief.
In fig. 16 is c = AB = AI) � BD

en c = AB\' = AD BD = AD -f B\'I),
waarin in beide AD positief is.
Voorbeeld van berekening.

Zij gegeven a = 477.8, b = 535.3 en A = 51°40\'.
Men heeft:


	log.b = 2,728597 log.sin.A = 9.894546 ae.log.a = 7.320754	B\' A B\' C\'
	log.sin.B = 9.943897 B =: 61°29\'58" A -f B = 113°9\'58" C = 66°50\'2"	= 118°30\'2" = 170°10\'2" = 9°49\'58"

log.a = 2.679246 log.a = 2.679246

log.sin.C = 9.963490 log.sin.C\' = 9.232420

ac.log.sin.A =10.105454 ac.log.sin.A =10.105454

log.c = 2.748190 log.c\' = 2.024120

c = 560 c\' = 105.711

-ocr page 76-



		fi2

		Ter berekening van de zijde c uit de formule c = b.cos.A j/(a² � b-\'sin.²A) moet men [/(a- � bsin.A) vooraf voor logarithmische bereke- ning geschikt maken, hetgeen daar a² > b-\'sin.-\'A is, op de vol- gende wijze kan plaats hebben. b.sin.A Men stelle --------- = sin.co, dan wordt: a ^r bsin.²A !/(«�b^,8in.^aA)=l/a^,(l�------;�)=l/a^�cos.»p= a.cos.ip. a Het is echter duidelijk, dat de hulphoek <p hier niet anders is dan de hoek B en dus wordt: e = b.cos.A a.cos.B, waaruit de beide deelen van de zijde c gemakkelijk te berekenen zijn. Ten gevolge van het dubbele teeken heeft men voor B slechts een waarde in rekening te brengen. Vierde geval. 58. Zij gegeven de drie zijden a, b en c. De hoek A kan gevonden worden uit de formule (5). Men heeft namelijk uit: a² = b-\' -f" e² � 2bc.cos.A. b² -f c² � a* cos.A = -_2Vc Deze uitdrukking voor cos.A is voor logarithmische berekening weinig geschikt. Men herleidt ze daarom op de volgende wijze: Uit form. (56) en (57) heeft men: 1 � cos.A = 2sin.²-\|A. 1 -\\- cos.A =: 2cos.²�A. Men trekke dus de vergelijking af van 1 = 1 en tellc ze er bij op, dan komt er: a² � (b � c)² (a � b -f c) (a -f b � c) 2sin.²\|A _ ^ _ _2bc (b � c)² � a² (a b -f c) (b -f c � a) 2cos.\'iA = _2b(, � _2bc Stelt men nu a ^b ^c = ^2s> ^llan ^wordt:a � b -j- c = 2(s � b) a 4- b � c = 2(8 � c) 1) -f c � a = 2(s � a) en hierJoor verkrijgt men na wortcltrekking:

-ocr page 77-

� u (8 - b) (8 - C)

sin.iA = V----------j^----------

s(s � a)
cos.iA = 1/-----^-----.

waaruit door deeling:

tg.H = t~~/s-bHs-c)~~

s(s � a)

en door tweemaal hot product te nemen:

2
sin.A = ^ |/s(s � a) (s � b) (s � c).

De berekening van den hoek A door sin.A is echter minder
raadzaam, omdat dan onzeker blijft, welke waarde voor A aan de
gegevens voldoet; voor \\S. moet men natuurlijk de kleinste waarde
nein�n.

Voor de hoeken B en C gelden dezelfde formules met verwisse-
ling der letters, zoodat men heeft:

� i-n . > � g) (^s � ^c) � _lf, , > � \'0 (^s � j>)

s(s � b) , s(s � c)

c.Js.iB=|/�-� ; cos.JG = j/�-^�

Voorbeeld van berekening.

Zij gegeven a = 46.3, b = 71.2 en e =z 92.6.
Ter berekening der hoeken zullen wij gebruik maken van de
formules:

(s � b) (s � c) s(s � b)

siu.-lA = |/---------^--------, cjs.|B = j/�^�.

s(s � c)
cos.iC^K�07-

Men heeft:

a = 46.3 log.(s � b) = 1.529559

b = 71.2 log.(s � c) rz 1.095169

e r= 92.6 ac.log.b = 8.147520

2s = 210.1 ac.log.c = 8.033389

s = 105.05 8.805637

2----------------

s � b =: 33.85 log.sin.^A = 9.402819

s � e = 12.45 iA = 14^Q88\'41"

A = 29°17\'22"

-ocr page 78-

log.s = 2.021395 log.s = 2.021395

log.(s � b) = 1.529559 log.(s � c) = 1.095169

ac.log.a = 8.334419 ac.log.a = 8.334419

ac.log.c = 8.033389 ac.log.b = 8.147520


9.918762		9.598503
2		2
log.coa.\|B = 9.959381	log.cos.^C	= 9.799252
iB = 24°23\'46"	iC	= 50°57\'34"
B = 48°47\'32"	c	= 101°55\'8"

Wij hebben de hoeken B en C door den cosinus berekend, om-
dat wij daardoor log.(s � a) niet noodig hadden.

Men kan echter den tweeden onbekenden hoek ook door den
regel der sinussen bepalen.

§ 11.

Berekening van het oppervlak of den inhoud van
den scheefhoekigen driehoek.

59. Eerde geval. Zij, tig. 11, I het begeerde oppervlak, dan is:

I = -*AB X CD,

a.sin.C
maar AB = -.�75�j�ttt en Cl) = a.sin.B,
sin.(B -f- C)

sin.B sin.C

dus I = -ia²-�~~,_p , ,-,.~~�

² sin.(B-f-C)

Tweede en derde geval. Men heeft I = |AB X CD, maar

CD zz a.sin.B z= b.sin.A, dus na substitutie:

I = -|-ac.sin.B = -|bc.sin.A zz -Jab.sin.C,

moetende echter in het derde geval als a, b en A gegeven zijn,

de hoek B vooraf berekend worden om C te kunnen bepalen; men

zal dus ook voor I twee waarden kunnen vinden.

2
Vierde geval. Daar sin.A = r- |/s(s � a) (s � b) (s � e)

is, heeft men na substitutie in I =z |bc.sin.A

I = |/s(s � a) (s � b) (s � c).

-ocr page 79-



		65

		60. M".i oefene zich door het berekenen der onbekende ele- menten van een driehoek, nis gegeven zijn: 1°. 1? = 4°4fl\'38", C = 145°20\'49", a = 629. 2°. B = 138°39\'8", a = 020.s, _c ₌ 1234.5. 3°. C = 113°45\'20". c = 890.2, a = 328.4. 4°. n = 481.6, b = 500, c = 793.8. 5°. A = 54°32\'52", 13 = 50°40\'58", ;i = 614.7. 0°. C = 57°32\'15", n = 1484, b = 4208. 7°. c = 2163, 1) = 877.2, 1? = 22°2\'11". 8°. e r= 032, a = 494, b = 1035.7. 9°. A = 38°44\'39", (! = 49°10\'4", c = 428. 10°. 1) = 120, e = 253.05, A = 55°5l\'32". 11°. a = 953.93, b = 040.3, 1? = 41°20\'21". 12°. a = 572829, b = 787654, c = 982762. 13°. :i:b= 739: «09, C = 5S°10\'2O". 14°. a � 63.548, b = 48.009, A = 05°0\'11". 15°. Van een driehoek gegeven zijnde esn zijde, de som of het verschil der beide overige zijden en den overstaanden hoek, vraagt men de onbekende elementen te berekenen. 10°. Van een driehoek gegeven zijnde een zijde, de som of het verschil der beide overige zijden, en het verschil der aan- liggende roeken, dei driehoek op te lossen. 17°. Van een driehoek gegeven zijnde een zijde met eeu der aanliggende Ir eken, benevens de som of het verschil der Leide andere zijden, den driehoek op te lossen. 18°. Gegeven zijnde twee zijden met den ingesloten hoek, de stukken te berekenen, waarin die hoek door de loodlijn, op de derde zijde neergelaten, verdeeld wordt. 19°. Gegeven een zijde inet de beide aanliggende hoeken, de stukken te berekenen, waarin die zijde verdeeld wordt, door een lijn, welke den overstaanden hoek midden door deelt. 20°. Gegeven twee zijden met den ingesloten hoek, de stukken te bepalen, waarin de hoek verdeeld wordt door een lijn, welke de overstaande zijde midden door deelt. 21°. Gegeveu de som van twee zijden, (\'e ingesloten hoek, en do loodlijn, vallende op de derde zijde, de elementen van den driehoek te bepalen.

-ocr page 80-



		66

		22°. Den driehoek op te lossen als gegeven zijn een zijde, de overstaande hoek en de loodlijn op die zijde. 23°. Van een driehoek gegeven zijnde twee zijden, en de lijn, die den ingesloten hoek midden door deelt, de overige elementen te bepalen. 24°. Van een driehoek de drie zijden gegeven zijnde, de lijnen te berekenen, die de hoeken midden door deslen. 25°. Indien de lengte van drie lijnen gegeven is, welke den tophoek van een driehoek in vier gelijke deelen verdeelen, vraagt men naar de formules om de zijden e;i hoeken des driehoeks te berekenen. 2(5°. Van een driehoek gegeven zijnde de bazis, het verschil dei- hoeken aan de bazis en het verschil der opstaande zijden, vraagt men al de elementen te bepalen. 27°. Uit den top van een driehoek heeft men twee lijnen ge- trokken naar de bazis, waardoor de tophcek in drie onge- lijke deelen verdeeld is; zoo nu deze hoeken, benevens de twee getrokken lijnen gegeven zijn, vraagt men den drie- hoek te bepalen. 28°. Uit de formule sin. ²C�sin.²A�sin.^JB-\|-2sin.Asin.Bcos.C=0, waarin A -{- B -\|- C = 180°, af te leiden de formule c- = a- -\|- b⁼ � 2ab.cos.C. 2\'J°. Indien 11 de straal is van den cirkel om een driehoek be- schreven, heeft men: a b c n

		1°. lt = 2°. R = 3°. U � ■1°. R = 5°. U � 6°. Jt =
		2sin.A ~ 2sin.B ^� 2sin.C ^� 2sin.(B C) 2cos.es¹- \\y ^waatin ^s = ^A ^B ^c> \|/(_aa -J- b^j � 2ab.cos.C 2sin.(J c \\/* ! sin.³(A-\|-B) � 2sin..\\ cos.B sin.(A-f-B)4-siu.\'A I 2sin.B sin.(A -f B) s s sin.A -)- sin.B -j- sin.C "" 4eos.-gA oos.JBcjs.-JC ab.sin.C


	2b.sin.A sin.C Men vraagt deze formules te bewijzen. 30°. Zij r de straal van den ingeschreven cirkel, dan is:

-ocr page 81-



		<!7

		c.sin.Asin.B ^l°- ^r = sin.Asin.Bsin.C \' 2°. r = (s � n) tg.iA. ab.sin.C ^S°- \' = -28� 4\'. r = B.lg.iAty.iBtg.K\'. Aren vraagt het bewijs. 31°. Zij [ het oppervlak van een driehoek, dan is: -Ie-\' 1°. I

	cot.A -f cot.B sin.Asin.B 2°. 1 = -1(11= � b²) -t�:-----�jt- \' sin.(A�B) sin.Asin.B 3°. 1 = !■(» b)^s _cos.₂j(.v _ B;t«r.-i(A Bj\' abc 4s(sin.A -4- sin.B -f- sin.C) 2s\'- sin.A sin.B sin.C 50 \| �__.___________.___________._______ �.sin A -f- sin.B -j- sin.C)¹(i°. 1 = s»tg.iAtg.4,Btg.�C. 7°. I = 8(8 - B) tg.JA. Deze te bewijzen. 32°. Van een vierhoek in den cirkel beschreven zijn de vier zijden gegeven; men vraagt de diagonalen, de niiddellijn des cirkels e:i het oppervlak des vierhoeks. 33°. Men vraagt den inhoud eens vierhoeks uit te drukken in drie van zijn zijden en de twee hoeken, die door deze zijden gevormd worden. 34°. De straal der aarde 636(>198 meter zijnde, vraagt men de lengte van een parallelcirkel op de breedte van 52°22\'30" te bepalen. 35°. Van twee elkandei snijdende cirkels zijn de stralen 13 en 14 en de afstand der middelpunten 15 decimeter. Men vraagt het oppervlak te bepalen van het vlak, dat aan beide cirkels gemeen is. 36°. Van een bolvormig s?gment is het bolvormig oppervlak 324 en het grondvlak 225 vierkante meter; men vraagt den bo< g des grooten cirkels te berekenen, die dit bolvormig segment in twee gelijke en gelijkvormige deeleu verdeelt: 5

-ocr page 82-

37°. In den driehoek ADC gegeven zijnde de lijn 1)]?, die den
hoek 1) midden door deelt gelijk 26.0543. benevens de
hoeken A = �3°17\'35" en C = 86°52\', vraagt men de
�zijden Al) en C\'I), alsmede de stukken AB en BC te bepalen.

38°. Van een driehoek ABC, waarin men een cirkel heeft be-
schreven, is bekend hoek C = 92°5\'17", benevens de lijnen
AD = 17.347 en BI) � 30.82», die uit de hoekpunten
A en B tot het middelpunt D des ingeschreven cirkels ge-
trokken zijn: men vraagt dezen driehoek te bepalen.

3\'J°. Een driehoek te berekenen, als gegeven zijn een der hceken
aan de bazis, benevens de loodlijnen, die uit de hoeken aan
de bazis op de tegenoverstaande zijden vallen.

§ 12.

Toepassing vnn de rechtlijnige trigonometrie op

eeitige vraagstukken tot de werkdndigc inect-

kunst (Geodesie) lielioorende.

a. Hoogtemetingen.

(il. liet ligt �.iet in onze bedoeling hier een overzicht te geven
van de middelen en werktuigen, die men bezigt om in het werk-
dadig» afstanden, richtingen en hoeken te meten. AVie daaromtrent
meer wenscht te weten, kan de daarvoor bestaande handleidingen
raadplegen. Wij zullen ons alleen bepalen tot de behandeling van
enkele belangrijke vraagstukken en amtxmen hoe de trigonometrie
daarbij met vri\'cht wordt toegepas^f.

Vraagstuk 1. De hoogte van een voorwerp, een toren bijv.,
te meten.

/ij, in tig. 17, AB de
Fig. 17.

hoogte van het te meten voorwerp.

Men pk\'itfe ergens, bijv. in 1),

een baken DD\' en mete den

hoek AD\'B\', waaronder die hoogte

uit den top des bakens gezien

wordt, benevens den afstand B\'J)\'

van het baken tot die hoogte.

/ij nu AD\'B\' � x, B\'D\' = a,

DD\' = h en AB = x, dan is

in den rechthoekigen driehoek

AB\'D\':

-ocr page 83-

AB\' = a.tga,
derhulve: x = a.tgx -|- h.

02. Vraagstuk 2. Hetzelfde gevraagd wordende als de voet
des torens ongenaakbaar is.

Indien liet terrein liet toelaat, dan plaatse men, fig. 17, twee
bakens CC\' en Dl)\' van gelijke hoogte in een rechte lijn met den
voet des torens en �nete den afstand CD\' = a der bakens van
elkander. Verder �nete men de hoeken AC\'B\' = /3 en AD\'B\' = x,
waaronder de toren uit de toppen der bakens wordt gezien, dan
heeft men in driehoek AC\'D\', waarin hoek CAD\' z= x � /? is:

a.sin.x

AC\' =

maar in driehoek AC\'B\' is:

sin.(at � /?�

a.sin.asin./?

AB\' = AC\'.sin./? =

a.sin.xsin./?

dus: AB = -:�;---------yr. -f- h.

sin.(« � /3) >

NB. In het vervolg zullen wij de hoogte der bakens buiten
rekening laten, daar zij slechts bij de berekende hoogte vati het
voorwerp behoeven opgeteld te worden.

63. Vraagstuk 3. Indien de voet des torens ongenaakbaar
is en het niet mogelijk is twee bakens in reshte lijn met den voet
des torens te plaatsen, kan men op de volgende wijze de hoogte
bepalen.

Men plaatse, fig. 18, in willekeurige richting twee bakens C en

Fig. 18.

1) van gelijke hoogte en mete CD = a.

Verder mete men uit den top van elk
der bakens, de hoeken waaronder men
den toren, en die waaronder men den
top des torens en van het andere baken
ziet. Indien men dan vindt hoek ACB=zx,
hoek ACI) =: /?, hoek ADB = y en
hoek ADC =z S, cu men de hoogte
AB = x stelt, dan heeft men in drie-
hoek ACD:

a : AC : AI) = siii.(/3-f 3): sin.J i sin./?,
waaruit:

-ocr page 84-

waaruit:

n.sin./?
tin.08 2)

a. sin. S

en AD

AG =

sin.(/? -f- ?)
Nn is in driehoek ABC\':

x = AC.sin.a
of in driehoek ABD:

sin.f/? 2)\'
n.sin./Ssin.y

x = AD.sin.y �

^/ Sltl.(/3 -j- d)

Tusschen de gemeten hoeken bestaat dus de betrekking
sin.asin.J r= sin./3sin.y,
of sin.* : sin./? =z ein.y : sin.5,
die al/.oo als middel van onderzoek voor de juistheid der meting
kan dienen.

64. Vraagstuk

Men plaatse, fig.

4. Nog kan men op de volgende wijze werken.
19, in willekeurige lichting drie bakens A, B
en C in een rechte lijn, wier onder-

linge afst inden AB == a, en BC = b
gemeten worden. Vervolgens �nete
men de hoeken EAD = a, EBD = /?,
en ECD � y, waaronder men den
toren uit den top van elk der bakens
ziet. Laat men nu uit D de lood-
lijn DP op AC neder, dan is in de
driehoeken ADB en BDC:

AI>²=AB--fBD--f2ABXBl\'\\
CD² =BC - -j-BD² - 2BCXK P-
Stelt men nu DE = x, dan heeft men:

AD = x.cot.a, BI) = x.cot./? en Cl) = x.c.t.?/,
waardoor de beide vergelijkingen, na substitutie, overgaan in:
x-\'cot.-a = a^J -f x²cot.²/3 -f S.i.BP
x\'cot.²^ = b² -f- x²cot.²/? � 2b.BF.
Om BF te elemineeren vermenigvuldige men de eerste vergelij-
king met b en de tweede niet a, dan geeft de som :

x²(b.eot.²* a.cot.²y) = ab(a b) -f x²(a -f b)ot,²/?,

_______________abja b)

waaruit: x _ |/_b(cot _2(X _ _f.._)t _2/?) _j_ _ll(c,_t._2y _ et,*/?/

Ten einde deze uitdrukking meer geschikt te maken voor bere-
kening met logarithinen, kan men de volgende herleiding toepassen.

-ocr page 85-

Men heeft vooreerst:

ot./?j (cot.x -- cot./?) =

cot.\'a -� cot.² ff

(cot.x

cos./?j __sin.f/? � ac) sin.(/? -|- a)

/COS.(3

cos./3

\')(*��

\'sin.3

in./?/ ^_

sin.\'oc sin.-\'/?

il \\sin.ac

^sm.jc sin./?

Op dezelfde wijze vindt men ook:

cot.²y � cot.²/? =

sin.Qg � y) sin.f/? -|- y)

sin.²/? sin.²y
Nu is:

C3t.²3C ---- COt.²/?

a(cot.²y � cot.²/?/

b(cot.²« � cot.²/?)
hetgeen, na substitutie van de gevonden waarden, en herleiding geefi:
a(a -(- b) sin.²<xsin.²/3

sTn7

a) sin.f/? -j- x)
a.sin.²* sin.(/? ■� y) sin.(/? -(- y)
\' b.sin.^sy sin.(/3 � a) sin.(/? -|- a)

Stellende nu de breuk
dan wordt:

a.sin.²a sin.f/? � <y) sin.f/? -\\- y)
b.sin.-\'ysin.f/?� «) sin.f/?-J- x)

*g-²P.

afa b)

= sin.a sin./? cos.p \\Z^JB

a.) sin.f/? -j- a)

Mocht de breuk, die gelijk tg.²jD gesteld is, negatief zijn, dan

kan men haar gelijk tg.p stellen, waardoor de noemer verandert in

sin.(45° -f- ») 1/2 ■
1 tg.» =---------~~-E ^ ^K~~ �

i. Het bepalen van afstanden.
(J5. Vraagstuk 5. Uit een punt den afstand te bepalen tot
een ander ontoegankelijk punt.

Fig. 20. Indien, fig. 20, uit A den

,C afstand tot het ontoegankelijke

punt C moet bepaald worden,
plaatse men in A en een wil-
lekeurig genaakbaar punt B
bakens, op een afstand AB = a,
en mete dan de hoeken CAB=«
en ABC = /?, dan is:
a.sin./?

AC =

sin.(« -f ff)

-ocr page 86-

60. Vraagstuk 6. Het voorgaande vraagstuk op te lossen
zonder hoeken te meten.

Daartoe plaatse men, tig. 20, in A en A\', even «Is in B en B\'
bakens in de richting van C en mete van den vierhoek ABB\'A\'
de zijden AA\', AB en BB\' zoowel als de beide diagonalen, dan
zijn daardoor in de driehoeken AA\'B en AB15\' de zijden bekend
e.i kan men dus de hoeken A\'AB en ABB\' berekenen. Hierdoor
heeft men in den driehoek ABC ee;i zijde met twee hoeken bekend
en kan dus AC worden berekend.

07. Vraagstuk 7. De.i afstand te bepalen van twee punten,
die beide ontoegankelijk zijn.

/ij, tig. 21, A en B de beide ontoegankelijke punten, dan plaatse
Kg. 21. Fig. 2.3.

A --------------^J,fl C

Fig. 22. Fig. 24.

men ergens in C en D twee bakei.s op een afstand CD � a van
elkander en mete de hoeken, waaronder uit elk der bakens de
beide punten A en B, zoowel als een de/er punten e.i het andere
baken gezien wordt. Indien dan hoek ACB = x, hoek BC1) = /?,
hoek CDA = y en hoek ADB = S genieten is, dan heeft men:

AC =

a.sin.y _ti/] a.sin.(y -j- S)

en BC

sin.<> -f [i -f y) ^>;" "^v\' - Din.(/3 y Sy
Hierdoor zijn in driehoek ABC\' bekend twee zijden met den
ingesloten hoek en kan dus de derde zijde AB, volgens 50, ge-
vonden worden.

De lijnen AB en CD kunnsn ten opzichte van elkander verschil-

-ocr page 87-

lende standen hebben, zoo als blijkt uit de figuren 22, 23 en 24.
liet is echter niet. moeilijk de gevonden formules voor eiken bijzon-
deren stand te wijzigen.

OS. Vraagstuk 8. Men kan liet vorige vraagstuk omkeeren,
namelijk den afstand der ontoegankelijke punten A en B bekend
onderstellen en den afstand der punten O en 1) door berekening
vinden.

Men mete daartoe, lig. 21, even als in vr. 7 dezelfde hoeken in
de punten O en 1) en construeere verder op een willekeurige lijn
c I niet behulp van de hoeken x, /?, y en <S een vierkoek abed,
dan is het duidelijk dat deze vierhoek gelijkvormig is niet den
vicrlnek ABC\']). Gemakshalve neme men cd gelijk aan de eenheid
der gebruikte maat, en berekeae door de formules uit het vorige
vraagstuk de lengte van ab. Zij nu de afstand Al? = b, de be-
rekende lengte van ab =: d ea de onbekende f\'I) � x, dan vindt
men deze uit de evenredigheid:

AB : ab = Cl) : ed,
of b : d � X : 1,

b
waaruit: x =r t �

09. Vraagstuk 9. Indien van vier punten, gelegen in een
re.\'hte lijn, de afstand tusschen het eerste en tweede punt, en
tusschen het derde en vierde punt bekend is, den afstand tusschen
het tweede en derde punt te berekenen.

Indien, tig. 25, AB � a en 01) =r b gegeven zijn, dan mete

men eigens uit een willekeurig
D punt P, mits niet gelegen op de
lijn Al), de hieken Al\'B = x,
Bl\'C = /? eii CPD r= y, waar-
onder men uit dit punt elke twee
der punten in de lijn AD ziet.
Stelt men nu

BC = x en x -f 0 y = S,
dan heeft men in de driehoeken
ABP, BCP, CDP en ADP:
BP =r sin.» : siti.A

! X

sin.C : sin./?
sin.y : sin.C

PD : (a -f b -f x) = sin.A :

fin.i

-ocr page 88-

waaruit door vermenigvuldiging:

ab : x(a -(- b -\\- x) = sin.otsin.y : sin./?siu.5,

ab.sin./?sin.?

deihalve: x² (a 4- b) x � �;-----�.------ = 0

¹ ^v ■ sin.x sm.y

en hieruit:

x = � J(a 4- b) | 1/ (a -f b)»

-v i / _ - v j v i / i sin.xsin.y

Voor liet bovenste teeken heeft men derhalve:

_x ₌ _ _i(a _b): i - ^(i �

4ab.sin./?sin.J

-f- b)\'sin.«3in

Om deze waarde van x voor logarithmische berekening g<s:\'hikt
te maken, stelle men:

4ab.sin./?sin.5

(a -j- b)-sin.otsin.y

x = � 4(a -)- b) (1 � sec.<p).

1�cos.tp 1�cos.«o sin.o

dan wordt:

.Maar 1�sec,

<p=�----------^r=��-------^rX----~ = � tg.-J» tg.»,

^r cos.tp sin.o ^/ncos.� ° ^Jr °^r

derhalve: x = -i(a -f- b)tg.�®tg».

De tweede wortel, negatief zijnde, is daarom buiten rekening

gelaten.

c. V r o j e c t e e r e n van punten enz. op bet
horizontale vlak.

70. Vraagstuk 10. Twee punten A en B in het horizontale

vlak gegeven zijnde, den top C van een verheven voorwerp op dit
vlak te projeeteeren.

Men nietc daartoe, lig. 2(i, den afstand AB = ader twee punten,

benevens de hoeken BAC = a
en ABC = /?, waaronder men
uit elk der punten A en B het
punt C en het andere punt ziet.
Indien nu ook nng de hoek
OBD = y gemeten wordt, die
de verticaal in het punt B met
den gezichtsstraal maakt, dan
kan men de lengle der lijnen
AC\' en BC\' berekenen, waardoor
dan de plaats van het punt C\',

Fisr. 2(i.

-ocr page 89-

zijnde de projectie van f\' op liet horizontale vlak, bepaald wordt.
Men heeft namelijk in den driehoek ABC:

a.sin./J __ a.sin.a

BC =

sin.(« (3) ^� sin.(« -f (3)

Verder is hoek C\'IU) recht, dus C\'BC = 90° � y en derhalve
in drieh .ek CW -.

n.sm.xsiii.y
sin.(* (3)
a.sin.acos.y

BC\' = BC.siu.y
CC\' = BC.cos.y :

siu.(* -f 13)
Xu is in driehoek ACC:

AC\' = |/(AC^! � CC») = |/(AC CC) (AC � CC¹).
71. Vraagstuk 11. Hetzelfde gevraagd zijnde, indien de
punten A en B niet beide in het horizontale vlak gelegen zijn.
Behalve de gegevens in het vorige vraagstuk, mete men nog,

lig. 2 7, den hoek ABD = S,
welke AB niet de verticaal
maakt. Alsdan heeft men, even
als in vr. 10:

a.sin./?


	AC	sin.(a (3)
	BC	n.sin.x
	- sin.(« /?)
	BC\'	a.sm.xsin.y
	" sin.(« (3)
	CC\'	a.sii).3tc:s.j/

sin.(« /?)
Verder is in driehoek AA\'B, hoek ABA\' = 90° � S, derhalve:

A\'B =: a.sin.S en AA\' = a.c;s.J.
Trekt men nn AC" evenwijdig aan A\'C\', dan is:

CC" = AA\' en dus CC" = CC\' � ("C"
en hieruit:

A\'C\' = AC" = j/(AC -f CC") (AC � CC"),
zoodat nu de driehoek A\'BC kan geconstrueerd worden en dus de
plaats van het punt C in het horizontale vlak bepaald is.

72. Vraagstuk 12. Den hoek ACB, waaronder men uit eenig
punt C in het horizontale vlak, twee punten A en B in de ruimte,
bijv. twee sterren, waarneemt, opliet horizontale vlak te projecteeren.

-ocr page 90-

Zij, (ig. 28, de hoek ACB = x de gemeten hoek, welks pro-
jectie a\'Cb\' = f be-
paakl moet worden.
Men mete dan de hoe-
ken ACC\' = /? en
B(\'(!\' = /?\', die de
geziehtsstralen AC en
BC met de verticaal
in het punt C maken,
en neme op die ge-
ziehtsstralen twee pun-
ten A en B zoodanig
dat «C = bV>, gelijk
den straal der sinustafels is; verder trekke men de loodlijnen aa\'
en bli\', vereenige de punten a\' en b\' en a en b door rechte lijnen
en trekke nog ad evenwijdig aan a\'b\', dan is:

aa\' = cos./? Ca\' = sin./?

bh\' � cos./?\' Vb\' = sin./?\'

rtr^ =z a\'b\'

bd = bb\' � db\' � bb\' � aa\' = cos./?\' � cos./?.

Nu is, in den reahthoekigen driehoek abd:

ab- = ad- -j- bd² ;

maar in driehoek «CA is:

«A² = «C² AC² � 2aC.�C.c;s.a = 2■ � 2cos,a
en in driehoek a\'Cb\' ■.

a\'b\'"- =ad- � a\'C- b\'C- � 2«\'C.4\'C.cos.p,
dat is: ad\'² := sin.²/? -|- sin.²/?\' � 2sin./? sin./?\' cos.95,
terwijl: bd- = (cos./?\'�cjs./?j²�cos.²/?\'4-cos.²/?\'�2cos./? cos./?\' is.

Hierdoor verandert de eerste vergelijking in:
2 � 2cos.a = sin.²/? -f- sin.²/?\' � 2sin./? sin./S\' as.ip -f- cos.²/? -(-

cos.²/?\' � 2cos./? cos./?\',
of, na vereeniging van termen en deeling door 2:

1 � co?.* = 1 � siu./?sin./?\'cos.p � cos./?oos./?\',

cos.* � cos./?cos./?\'

waaruit: cos.p

Om deze formule geschikt te m

sin./?sin./?\'
ir logarit

cos.at � cos./?cos./?\'
sin./?sin./?\'

schc bereke-

ning heeft men:

1 � cos.^j =z 1

-ocr page 91-



		77

		dat is: cjs.f/?�/?\')�cjs.« 2sin.\|(-f/?�/?\')siii.-K«�/? /?\') 2sill. - l«p= ��:�->,�:----,,,-----=-----------------:-----g�.---->,_r----------------, ^Jr sui./ff sm.p siu./jsin./j derhalve: sin.4» = r/------------------:�~�:��-,------------------ -^r ^y* sin./j sin./j Dit vraagstuk, waarop wij bij de bolvormige trigonometrie terug zullen komen, is bekend onder den naam van Herleiding van een hoek tot den horizont.

		tl. P r o b 1 e m a v a n S n e 11 i u s. 73. Vraagstuk 13. De onderlinge afstanden van drie punten ;\\, B en C bekend zijnde, vraagt men uit een vierde punt D den afstand van dit punt tot elk der punten A, B, C te bepalen. Dit vraagstuk, een der belangrijkste in de geodesie, kan door eonstruetie op een der volgende wijzen worden opgelost. Men me\'.e, tig. 29, uit D de hoeken ADB = p en BDC = q, waaronder men twee der drie plaatsen ziet en heeft dan de vol- gende constructi�n. 1°. Men besclirijve op AB en BC als koorden cirkelsegmenten, die respectievelijk de hoeken p en q bevatten, dan zal het snijpunt D ,� dezer beide segmenten het gevraagde punt zijn, en dan kan de lengte der lijnen AD, BD en CD met behulp der schaal, waarmede de driehoek ABC beschreven is, wor- den gemeten. 2°. Men bcrekcne door de formule AB Ssin.p den straal van een of van beide cirkels uit de voorgaande con- structie, en trekkc niet die stralen de beide cirkels waardoor liet punt I) bepaald wordt. 3°, Men denke, tig. 30, een cirkel om den driehoek ADC,

-ocr page 92-

7«

Fisr. 30.

welke de lijn BI) snijdt in E; indien
men dan AE en CE trekt, is hoek
EAD gelijk hoek BDC gelijk q en
hoek ECA gelijk hoek ADB gelijk p.
Hieruit volgt de volgende constri>c:ic.
Trek in den driehoek ABC\' uit A
e:i C twee lijnen, die elkander in E
snijden en die met AC boeken ma-
ken, gelijk aan de genieten hoeken
(| en p; laat men uit B door E een
lijn BI) gaan, dm ligt het punt 1)
op deze lijn. Om dit punt 1) nader
te bepalen, uierke men op dat hoek
men trekke dus Al) zoodanig, dat

CAI) gelijk hoek CEP
daaraan voldaan worde.
4°. Onderstel, fig. 31,
Fix. 31.

dat op een der zijden AB als koorde een
cirkelsegment beschreven is, dat den

hoek p bevat, en dat M het middel-
punt van dezen cirkel zij. Trekt men
nu ML loodrecht op AB, dan is
AB = -�AB en hoek AML = pj
, derhalve:

ML = J.YB.cot.p.
Men berekene dus door de ge-
vonden formule deze loodliju, waar-
door de phiits der middelpunten van
beide cirkels gevonden is even als in de tweede constructie.

Om door berekening liet vraagstuk op te lossen neemt men van
den bekenden driehoek ABC, fig. 29, als gegeven aan AB =: e,
BC zr a en hoek ABC = x, en stelle verder hoek BAD = x en
hoek BC\'D = y, dan is in den vierhoek ABCD:

\'x y = 360° � (* p -f q),
dus: i(x y) = 180° � i(« -f p -f q) = fi,

zoodat men slechts x � y moet trachten te vinden.
Daartce heeft men in de driehoeken ABB en BCD:

e.sin.x a.sin.v
B� =

sm.p sm.q

e.sin.x sin.q = a.sin.v sin.p

waaruit

-ocr page 93-



		7\'-\'

		of: sin.x : sin.y = a.siu.p : c.sin.q c.sin.q .Stellende nu : �-.� = tg.p. n.sin.p °^r dan is: sin.x : sin.y = l : tg.p nn.x � sin.y 1 � Ig.p en hieruit: -.-------;----:�- = �j�:�-� sin.x -f- sin.y 1 -\|- \\g.ip t<r l(x __ \\) dat is: 7^77�r�=-\' = tg.(45° � ip), tg-K* y) "^v ^r derhalve: tg.(x � y) = tg.45° � <p)* tg,i(x v), zoodat «ij voor de berekening het volgende stelsel formules hebben. tg.ffl = ----:----.......W ⁿ ^r a.sm.p -i(x y) = 0 = 180° � ( -f p q). . (2) tg.-Kx - y) = tg.(45° � p)tg./?. ... (3) _AD ₌ �»-ft ^x>.....(I) sin.p e.sin.x a.sin.v ,., BD = �.----- = -7�- .... (o) sm.p sin.q _CD __ «�^si»-(\'i y).....₍₆₎ sin.q Indien de drie afstanden AB, AG en BC gegeven zijn, kan men de hoeken A en C berekenen. l)c hoeken x en y uit bovenstaande formules gevonden hebbende, is in driehoek ACD bekend een zijde en de beide aanliggende hoeken x � A en y � (\', waaruit dan verder Al) en CD kunnen gevonden worden. 7-i. Aanmerking. In de voorgaande oplossing is het punt 1) ondersteld buiten den driehoek ABC en wel in den hce\'v ABC. Dit punt kan echter ten opzichte van de punten A, B e:i C ep verschillende wijzen gelegen zijn; waardoor bij rechtstreeksche op- ljsfing de gevonden fjrmules meer of minder wijziging zullen ondergmn. Deze wijzigingea zijn echter ook uit de figuur af te leiden, door behoorlijk te letten op de veranderingen, die de ele- men\'.en der figuur ten opzichte der oorspn nkelijke figuur hebben ondergaan. Het zal niet ondienstig zijn deze verschillende standen van het punt D achtereenvolgens te beschouwen en na te gaan welken in- vloed dit op de formules heeft. Eerde geval. Is de sjiu der hoeken p -f^- q = 180°, tig. 32,

-ocr page 94-

dm ligt liet punt D iii de lijn AC en
daar dan sin.p = siu.q is, veranderen

do forniulos in:

Fis

\'g-P = ~
l(x -f y) = /? = 90° � -lx

tg.-K* � V) = *S-(^° � <p) ootlx
x = A, y = C;
_v do overige formules blijven onveranderd.

C Men kan dan ecliter Al) gemrikke-
lijkor vindon door op te merken dat in den driehoek ABD oen
zijde on twco hoeken bekend zijn.

Tweede geval. Is, tig. 33, de som dor hoeken p -f- <( ~^> 180°,

dan ligt het punt l) binnen
don driehoek ABC; daar deze
hoeken echter door hun sint\'s
in rekening komen, ondergaan
do formules geen verandering.

Derde geval. Voor dit en
de volgende gevallen kan nio:i
aannemen, dat het punt D zich
van dn linker- naar de rechter-
hand verplaatst, te gelijk met
liet stelsel van lijnen, dat uit 1) naar A, B en C getrokken is, en

oeilijk zijn don toestand der hoeken p, q, x en y
die lijnen on de onveranderlijke lijnen AB en BC

kan het niet min verband tot

te bcoordeclen.

Ligt nu, tig. \'i-i, het punt 1) in i\\ei\\ hoek A\'CB\', dan is boek p

neg in denzelfden toestand,
maar q is ten opzichte
van BC van stand veran-
derd en negatief gewor-
den. Hoek x is �ing
in denzelfdeu toestand,
maar y is overgegaan in

A.4=

den overstonipen hoek BCD,

die in den driehoek �DC
in rekening gebracht wordt
door den hoek BCD rr
360° � y. Daar nu <p

te ge�jk met q negatief wordt, heeft men:

-ocr page 95-



		«1

		\|(_X _\|_ 360° � y) = /? = 180° � l(a p � q), dat is: /? = \|(y � x) = «« -f p � q) tg.Kx � 360° 4- y) = tg.->(y � x) tg.(45° -f p) of: tg.(x -f y) = tg.i(v � x) tg.(45° -f f).* De formules (4), (5) en (6) blijven onveranderd, want sin. � q = � sin.q, en sin.(� q -f- 360° � y) =� sin.(q-}-y) zijnde, zal (\'D onveranderd blijven. Vierde geval. Ligt, fig. 35, het punt 1) in den hoek BAC, dan

		P�r. 35.
		blijft p onveranderd, q wordt negatief, x is nog positief en y gaat over in 360° � y. De for- mules onderg.ian dus dezelfde verandering als in het derde jreval.


		Vijfde geval. Ligt, tig. 36, het punt 1) in den hoek C\'BA\', Fig. 30. dan zijn p en q beide negatief ge- worden, x wordt insgelijks negatief en y gaat over in 360° � y. Men heeft dus: /? = K-* 360° � y) = 180° � K* � P � q). dat is: /? = Kx y) = i(«-p-q) tg.\|(x- y) = tg.i(� x-360° y) = tg.-! 180<4-Kx-y)=-tg.Kx-y), dus: tg.i(x � y) = - tg.(45° - f) tg./?; de overige formules blijven onveranderd. Zesde geval. Ligt, Hg. 37, D in den hoek ACB, dan is de heek p negatief, q positief, x negatief en y positief. (3 = i(y - x) = 180° � i(« � p q) Men kan echter ook y aan- merken als te zijn overgegaan in 360° -)- y, waardoor men verkrijgt: 6

-ocr page 96-

S:2

K>\' � ^x) = Uv � q � «).

hetgeen blijkbaar op het/elfde neerkomt, danr

tg.(180° � i(x � p -f p) = tgifp � q � «).
Dewijl ip (e gelijk met p negatief wordt, is:

tg.tf� ^ � y) = tg.(45° p) tg./?,
of tg.^x -f y) = � tg.(45° <p) tg./?.

De overige formules ondergaan geen verandering.
Zevende geval. Ligt, lig. 38, liet punt ]) in den boek C\'AB\',
Fig. 38. dan is p negatief, q positief,

x negatief en y positief. De
toestand is dus dezelfde als
in het zesde geval.

Achtste geval. Liggen de
punten A, ~[\\ en (\' op een
rechte lijn, dan is x = 180°.
C Men heeft alsdan :

i(x y)=0=»O°�|(p q)
tg.tfx � y) =

tg.(45° � <p) c:>U(p q).

De oveiige formules blijven onveranderd.

Negende geval. JVlijkt het, dat de som der hoeken x, p en q
gelijk 180° is, dan liggen de punten A, B, C en I) in den omtrek
van ren cirkel, en het vraagstuk is onbepaald, dewijl liet punt ])
dan in elk willekeurig punt van (\'en omtrek genomen kan worden.
Uit de formules is dit ook gemakkelijk af te leiden. Men heeft toch:
/? = |(x y) = 90°

c.sin.q

sm.q

^■<P = :

sm.p

c a

�:� en �� ?ijn de \'middellijn van den cirkel, dei halve
sin.p sm.q �\' � "

want

<P =

45° en hierdoor

tg.*(x � v) = tg.(45° � tp) tg./? rr 0 X OO,

waaruit de onbepaaldheid genoegzaam blijkt.

Verder volgt uit:

c.sin.x ii.sin. v

BD � �.----- = -v�>

sm.p sm.q

dat de grcotste lengte van J3D gelijk is aan de middellijn van den

-ocr page 97-

cirkel, want

gelijk nan deze middellijn zijnde, zal
90°, maar voor elke grootere of

sin.p sin.q
niet veranderen voor x =

kleinere waarde van x of y kleiner worden.

Men kan de bsweging van het punt I) ook vau de rechter-
naar de linkerhand doen plaats hebben ; dit zal echter tot dezelfde
uitkomsten moeten leiden.

Gebruikt men iu de verschillende gevallen de formules onver-
anderd, dan zal het teeken van de afstanden AD, BD en CD de
plaats van dit punt aanwijzen. Zoo zal, in tig. 34 en 35, AD en
131) positief zijn ten opzichte van AB; Cl) is echter negatief ten
opzichte van BC. Ook BI) is negatief ten opzichte van BC.

In tig. 3(5 zijn de drie afstanden negatief ten opzichte van AB
en BC

In tig. 37 en 38 zijn AD en BI) negatief ten opzichte van AB;
BD en CD positief ten opzichte van BC.

Ook ten opzichte van AC zou men den toestand der lijnen AD
en CD kunnen beoordeelen.

Vraagstuk 14. De afstanden te bepalen van twee punten
E tot drie andere punten A, B en C, wier onderlinge af-

bekend zijn.

Zij, in tig. 39, ABC de driehoek,
gevormd door de punten A, B en C,
wier ligging bekend is, en D en E de
punten, wier afstanden tot de drie
eerste punten moeten bepaald worden.
Men mete de hoeken ADB =: «,.
BDE = /?, DEB = y en BEC = S,
waaronder men uit elk der punten
D en E twee der punten A, B en C
waarneemt, dan heeft men de volgende
constructie. Men construeere aan de

75.
D en
standen

IJ*

-ocr page 98-

Fig. 40. uiteinden d en e, van een wille-

keurige lijn de, fig. 40, de ge-
meten hoeken a, /?, y en S, dan
ontstaat daardoor ren vierhoek
bdef, die gelijkvormig is met
den vierhoek BDEF in fig. 39;
trekt men nu b/, dan worden de
hoeken dfb = j) en b/e = ^ he-
kend en is het vraagstuk terugge-
bracht tot het vorige. Menkanalsnu
den vierhoek BAFC door een der constructi�n uit vr. 13 constru-
eer� en daarna, ter bepaling van de punten I) en E, gebruik
maken van de gelijkheid der hoeken DBF = db/, en EBP = eb/;
of men trekke uit een willekeurig punt van AF een lijn, makende
met AF ecu hoek x en trekke dan uit B een lijn BI) evenwijdig
aan deze lijn. Op dezelfde wijze; bepaalt men het punt E.

Om door berekening het vraagstuk op te lessen stelle men,
i\'g. 30, hoek BAD = x en hoek BCE = y. en neme verder als
gegevens aan de zijden AB = e en BC = a, benevens den inge-
sloten heek B. In de driehoeken ABD, BDE en BCE heeft men
dan de evenredigheden:

c : BI) = sin.�x : sin.x
BI) : BE = sin.y : sin./?
BE : a = sin.y : sin.J,
waaruit door vermenigvuldiging:

c : a =: sin.a sin.y sin.y : sin.x sin./? sin.<�,
of sin.x : sin.y = a.sin.a sin.y : c.sin./? sin.J.

c.sin./? s\'ui.S
Men Stelle nu: ■ .. . =z tg.p,

a.sin.a sin.y
sin.x � sin.y
sin.x -f- sin.y
tg.|(x � y)

dan is:

� tg.p\'

waaruit:

= tg.(45° - <p),

tg-i(x yj

tg.Kx � y) =

lg.-l(x -f y) tg.(45^c

r)-

Nu is in den vijf hoek ABCDE:

x -f y = 540° � (« -f /? -f y -|~ $ -f B),
of j(x y) - 270° � \\{% -|-/? _y-|-J-|_B = p
AVij hebben dus het vokende stelsel formules:

-ocr page 99-



		83

		c.sin./? sin.S tg.p = ~~■ ■~~-----........(1) tg-( - v) = tg-(45° � p) tg.p......(2) p = 270° _K« /? y J B) . (3) AD = ------~~\\ -¹- ^;~~ .......(4) c.sin.x BD = -:-----..........(5) ii.fin. v BK = -7�/-..........(li) Slll.d ^v n.sin.fv 4- S) _DE _ gDjl�^g y) BK.sin.(/? y) sin.y sin./? Bit vraagstuk, waarvan liet voorgaande slechts een bijzonder geval is, laat omtrent de ligging der punten B en K ten opzichte van de punten A, B en C dezelfde onderstellingen t;.e, als het probleim van Sxellws. De wijzigingen, die de formules hierdoor ondergaan, kunnen echter, na de uitvoerige behandeling van het voorgaande vraagstuk, geen moeilijkheden meer opleveren. 7<i. Vraagstuk 15. Drie plaatsen, A, B en C, fig. 41, zijn Fig. .41. in ligging gegeven. Uit een vierde punt j$ I) kan men den hoek ADB =z p waar- nemen ; maar om de punten B en C te gelijk te kunnen zien, moet men in de richting van BD teruggaan tot in E; hier meet men den hoek TSEC =: q; ^ ___:.q indien nu tevens de afstand DE = S bekend is, vraagt men de plaats der punten D en E ten opzichte van A, 1? en C te bepalen. Dit vraagstuk, dat een andere uit- * breiding van het problcma van .Sxellius is, kan op de volgende wijze geconstrueerd worden. Zij, lig. 42, ABC de driehoek gevormd d\'jor de punten A, 1? en C\'.

-ocr page 100-



		86

		Fig. 42.

		Men beschrijve op All en T?C als koorden cirkelsegmenten, die de hoeken p en q bevatten, dan moet D op den eersten en E op den tweeden cirkel liggen. Het vraagstuk is dus teruggebracht tot het trekken eener lijn DE tusschen deze twee cirkels, die de gegeven lengte S hebbj. Daartoe trekke uien uit G een lijn CF, makende met BC een hoek ECE =: p; vereenige het siiijpuut P van deze lijn met den tweeden cirkel door een rechte lijn niet A en be- sclirijve op AF als koorde een cirkelsegment, dat den hoek p bevat. Vervolgens trekke men in dezen cirkel uit F de koorden FG en Fff gelijk aan den gegeven afstand S en trekke nu uit B de lijnen HE en Ti�e, evenwijdig aan deze koorden, dan zijn de punten

-ocr page 101-



		87

		D eu E, en d en e de begeerde punten; want trekkende de lijnen AG, \\g, EF en eV, dan Iiceft men: BCF = BEF � FGA = p en daar BE evenwijdig aan FG getrokken is, is DEFG een parallellogram en dus : DE = FG = J. Verder hc:\'ft men lyV � 180° � p en FeB = 180° � FEB = 180° � p, en daar de evenwijdig is aan Fy, is ook deVff eea parallelogram en dus de = S. Er bestaan alzoo twee paren van punten, die aan het vraagstuk voldoen, indien S kleiner dan de middelliju van den cirkel op AF is. Is S gelijk aan die middellijn, dan is er maar een paar punten, terwijl het vraagstuk voor geen oplossing vatbaar is, indien S grooter dan die middelliju mocht zijn. Om het vraagstuk door berekening op te lessen neme men, tig. 41, als bekenden aan AB = e, BC = a en //ABC = jt, benevens de waargenomen hoeken p en q en den afstand T)E = S. Xu is: BAD = BCE = 300° � (* p q) = 2/3 en stelle verder: BAD = /? x en BCF = /? � x, dan heeft men, in de driehoeken A.DB en BCF: c.sin.Q? -f s) a.sin.(/? � x) BI) = --------�---------- en BF = --------:----------> sin.p sm.q a.siu.(/? � x) c.sin.(/? -f- -^x) ^,lus: sTn^i � B��5 = ^S\' of: a.sin.p sin.(/?� x)�c.sin.q sin.(/? -j- x) = Jsin.p sin.q. c.sin.q Stellende nu �:� =: tg.p, dan wordt, na deehng door a.sin.p a.sm.p ° ^r\' o i Jsin.q sin.(/? � x) � tg.psin.(/? 4- x) = �� » dsin.q of: (1 � tg.p)sin./?cos.x � (1 tg.p) cos./? siu.x = �-jj- (1 � tg.p) ain.jfl .________3sin.q ⁰¹¹ ^hieruit: (l 4. tg.p)oos./?^C08-^x ^_ ^Slll-^X - n(l 4- tg.p) cos./?\' Stelt men nu weder:

-ocr page 102-



		88

		(1 � i%.<p) sin./3 _ � sin.,a *ei z%_e»4* = <⁴⁵° - >�* =* «« = =j?* dan komt er: sin.^ . Jsin.q ------- cos.x � sin.x =: ~7j�i�:-----v-------a C09.fi a(l -f- Ig.p) cos./� Ssin.q cjs./z of sin/u � x) rr �r:�;�-----:------w ^Kr \' a(l -f- tg.p) cos./j cos.(45° � e) j/2 en daar 1 -f- tg.tp = -------------------------- is: ¹ ° ^r cos.p Jsin.q cds.,k cos.p sin.O � x) = ._ixos�_c�s_(₄₅o___?,-₎j_/2- Men heeft derhalve het volgende stelsel formules: p - 180° - i(« p q).....(1) c.sin.q Ig.ffl = �r-3...........(2) ° * a.sin.p ^v \' tg./* = tg.(45° � p) tg./?.......(3) Ssin.q cos.,u cos.p Bin.Cju � x) = _a._C0S._/j_C08.(4₅o__?))l/2 .... (4) c.sin.fp 4- /? -I- x) AD � ------^l T ~~^H ^ \'~~......(5) sin.p ^v \' � c.sin.(/? 4- ^x) BI) = -------~~■ -- ^;~~........(fi) sin.p ^v \' a.sin.(q -4-/3* � x) CE = -------~~^KH~~ T ^H--------......(7) sin.q ^v ^J ~~a.sin.(/? - x)~~........ sin.q Daar men voor fi � x -twee waarden vindt, is het vraagstuk voor twee oplossingen vatbaar. Is de breuk in form. (4) gelijk 1, dan vindt men ��n oplossing; is die breuk grooter dan 1, dan is het vraagstuk onbestaanbaar; al hetgeen met de c instructie volko- men overeenstemt. Voor S � 0 gaat het vraagstuk in dat van Snelml\'s over. 77. Ter toepassing volgen hier nog eenige vraagstukken. 1°. Om de hoogte van een toren te vinden bepaalt men ergens in het horizontale vlak een bazis lang 52,934 meters en meet a:in het eene uiteinde dezer bazis den hoek waaronder men den toren ziet gelijk 32°19\'53" en den hoek, waar- onder men den top des torens en het andere uiteinde der

-ocr page 103-



		89

		bazis ziet op 09°23\'18", terwijl men aan hel andere uiteinde den toren ziet onder een hoek van 32°5S\'15". Vrage de hoogte des torens en den hoek, waaronder men uit het tweede uiteinde der bazis den top des torens en het andere uiteinde ziet? 2°. Tot het berekenen van de hoogte eens anderen torens meet men op een rechte lijn de afstanden AB = 33,703 en BC = 42,197 meters, terwijl de toren uit A gezien wordt onder een hoek van 48°23\'32"; uit B onder een hoek van 53°43\'31" en uit C onder een hoek van 49°15\'27". -Men vraagt de hoogte des torens. 3°. Indien, in tig. 20, AA\' � 00, AB = SC, A\'B = 97, AB\' r= 81 en BB\' = 38 meters is, vraagt men den af- stand van A naar C te bepalen. 4°. Den afstand van twee ontoegankelijke plaatsen A en B te bepalen, als de afstand van twee andere plratsen C en ]> 7C.9 meter bedraagt en de hoeken, waaronder men uit C de plaatsen A en B, alsmede de plaatsen B en D ziet 14°59\'5" en 35°10\'25" bedragen, terwijl de hoeken, waar- ouder men uit 1) de plaatsen A en B en de plaatsen A en C ziet, gevonden zijn 30°54\'50" en 19°25\'40". 5°. In tig. 22 is Cl) = 00,527, ACB � 69°15\'34", BGD = 37°9\'51", ABC =: 40°5\'21" en ADB = 117°43\'39". Vrage de lengte van AB? 0°. Wanneer in fig. 20 AB = 50.75 meter, ACB r= 12°4\'18", BCD = 27°13\'20", CDA = 20°l�\'24" en ADB= 32°4\'6" is, hoe lang is dan CD? 7°. Vier plaatsen, A, B, C en D, liggen op een rechte lijn. Uit een willekeurig punt P bevindt men, dat de gezichts- stralen naar A en B een hoek van 17°15\'41", naar B en C een hoek van 23°21\'57" en naar C en D een hoek van 8°19\'49" maken. Als men nu verder weet, dat de afstand van A naar B 92,0735 en van C naar D 117,820 meters bedraagt, vraagt men den afstand van B naar C en tevens de afstanden van P naar elk der punten A, B, C en 1). 8°. Twee plaatsen A ea B liggen 072,95 meter van elkander. Uit A ziet men den top eens torens C en het punt B onder een hoek van 54°19\'32"; uit B ziet men de punten

-ocr page 104-



		90

		A en C onder een hoek van 76°19\'47", terwijl de gezichts- straal van B naar O met de verticaal in B een hoek van 27°23\'45" maakt. Men vraagt de plaats van den voet des torens in het horizontale vlak, dat door de punten A on B gaat, te bepalen ? 9°. Twee sterren A en B worden waargenomen onder een hoek van 13°17\'54"; de gezichtsstraal naar A maakt met de verticaal van den waarnemer een hoek van 85°19\'40" en die naar B een hoek van 87°53\'25". Men vraagt de projectie van den hoek tusschen deze twee sterren op het horizontale vlak te bepalen? 10°. Jn tig. 27 is AB = 073,45 meters, CAB = 63°51\'30", (\'BA = 54°19\'42", CBI) = 35°35\'35" en ABD = 80^o15\'40". Men vraagt de projectie van het punt C in het horizontale vlak ? 11°. Uit een punt 1), tig. 29, meet men de hoeken ADB en BDC; de eerste vindt men 45°17\'35" en de tweede 86°39\'24". Als men nu weet, dat de afstand van A naar B 132(5, van B naar C 1530 en van A naar C 1428 nieters is, hoc ver ligt dan 1) van elk dezer plaatsen? 12°. Uit geodesische metingen west men, dat de toren der Westerkerk te Amsterdam en de groote kerk te Haarlem een afstand hebben van 16789,3 nieter; de Westerkerk te Amsterdam en de stadswaag te Alkmaar 29977 meter; de stadswaag te Alkmaar en de groote kerk te Haarlem 28882,fi nieter. Indien nu waargenomen is op den toren te Wijk aan Zee den hoek van Amsterdam en Haarlem 42°37\'5" en dien van Amsterdam en Alkmaar 88°32\'10", vraagt men hoe ver "Wijk aan Zee van elk dier steden verwijderd is. 13°. In tig. 39 is BC = 3998,5 ; AB = 45�7 ; ABC = 113°27\'30"; ADB =z 39°27\'20" ; BDE = G5°S\'30" ; BED = 74°49\'50" en BEC = 33°55\'10". Men vraagt hieruit den afstand der punten I) en E onderling en tot de punten A, B en C te bepalen. 14°. Indien men weet, dat in tig. 41 AB = 580,93, BC = 409,875, AC = 081,13, DE = 265,237 meter s; verder ADB = 64°29\'19" en BEC = 28°21\'34", hoe groot zijn dan de lijnen AD, BD, BE en CE?

-ocr page 105-



		DERDE HOOFDSTUK. Bolvormige Driehoeksmetinrj. (S p h er is c h e � r i g o u o m e t r i e).

		§ 13. Voornaamste eigenschappen van den bolvormi\|?eit driehoek. 78. Een bolvormige driehoek is dat gedeelte van liet oppervlak Eig. 43. van een bol, dat begrepen is tus- /E schen drie groote cirkels, die elkander niet volgens dezelfde �niddellijn snijden. Door de onder, linge snijding van die drie rirkcls ontstaan acht driehoeken, die twee aan twee bij tegenoverstand gelijk en gelijkvormig zijn. Deze driehoeken zijn, Hg. 43: ABC, A\'BC, ABt:\', ACB\', A\'B\'C\', AB\'C\', A\'B\'C, A\'C\'B, van welke de onder elkander de gelijk en gelijkvormige zijn. 79. Men kan den bolvormigen driehoek ook nog anders bepalen. Wanneer men, tig. 43, uit het middelpunt M des bols, drie wille- keurige, doch niet in hetzelfde vlak gelegen, stralen MA, MB en MC trekt, en door elk paai dezer stralen vlakken brengt, dan ont- staat een drievlakkige hoek, en nu is het duidelijk, dat de snijding van de zijvlakken van den drievlakkigen boek met het oppervlak van den bol den driehoek ABC doet ontstaan. Hieruit volgt dan

-ocr page 106-



		92

		van zelf, dat de zijden van den bolrormigen driehoek de vlakke hoeken zijn van den drievlakkigen lioek. 80. Door den hoek A des driehoeks verstaat men, lig. 48, den hoek EAD gevormd door de raaklijnen in liet punt A aan de beide elkander in dat punt snijdende cirkels getrokken. Daar deze raak- lijnen loodrecht sta:in op den straal MA of op een der ribben van den drievlakkigen hoek, zoo blijkt, dat de hoeken van den bol- vorinigen driehoek niet anders zijn dan de standhoeken van den drievlakkigen hoek. Eij alle verdere beschouwingen van den bolvormigen driehoek wordt deze ondersteld ontstaan te zijn door de snijding van drie groote cirkels, terwijl de zijden altijd kleiner dan 180° zijn. 81. Elke bolvormige driehoek bevat dus zes elementen, de drie hoeken en de drie zijden, die alle in graden «orden uitgedrukt en dus onafhankelijk zijn van den straal des bols. Tusschen deze zes elementen bestaat zulk een nauwe betrekking, dat drie van de zes vol- doende zijn om de overigen te bepalen. Ifet onderzoek naar deze betrek- kingen maakt het onderwerp uit van de bolvormige driehoeksmeting. 82. Uit het nauwe verband tusschen den drievlakkigen hoek en den bolvormigen driehoek volgt, dat de eigenschappen van den eersten onmiddelijk kunnen overgebracht worden op den bolvormi- gen driehoek, zoodat wij voor dezen de volgende vier eigenschappen hebben. 1°. De som der drie zijden is altijd kleiner dan vier rechte hoeken. 2°. De som van twee der zijden is altijd grooter dan de derde zijde. \'�°. De som der drie hoeken is altijd grooter dan twee en kleiner dan zes rechte hoeken. 4°. De som van twee der hoeken verminderd met den derden is altijd kleiner dan twee rechte hoeken. De hoeken en zijden van den bolvormigen driehoek worden ge- woonlijk op dezelfde wijze aangeduid als in den rechtlijiiigen; de genoemde eigenschappen geven dus de vier formules: 1°. _a b -f c < 4H. 2°. a -f b > e, a -f c > b, b -f e > a. 3°. A-fB-fC>2R< 6R. 4°. A B � C<2R, A C � B < 211, B C �A<2K. S3. Wanneer men, tig. 44, twee der zijden AC en AB dts

-ocr page 107-



		93


		Fis» 44.		flriehoeks ABC verlengt totdat


		zij elkander ia A\' nogmaals snijden, dan zullen do bogen ACA\' en ABA\' ieder gelijk ISO⁰ zijn. De driehoek BOA\' lieeft dus met den oorspronke- lijken gemeen de zijde BC en een gelijken overstaanden hoek A\'; want de hoeken A en A\' zijn beide de standhoeken der vluk- ken ACA\' en ABA\', terwijl de beide overige zijden en hoeken de supplementen zijn van de overeenkomstige elementen in den driehoek ABC. De driehoek A\'BC wordt daarom de mpplementsdriehoek van ABC genoemd. Elke driehoek heeft diis drie supplementsdriehoeken. Nu is in driehoek A\'BC: A\'C A\'B BC < 4H, dat is: (180° � AC) (180° � AB) BC < Ui, derhalve: AC -f AB > BC, waardoor, onafhankelijk van den drievlakkigen hoek, bewezen is, dat de eeiste eigenschap des bolvormigen driehoeks ;ds bewezen aangenomen zijnde, daaruit de tweede voortvloeit. 84. De boog EP, tig. 44, uit een der hoekpunten A ;ils pool met een straal gelijk aan de koorde van het kwadrant beschreven, zal de maat van den hoek A zijn, want de bogen AD en AE elk !\'0° zijnde, zullen de stralen MD en ME ieder loodredit op de middel�jn AA\' staan en dus hoek DME de standhoek der vlakken DAM en EAM, dat is gelijk A zijn. 85. Als men uit de hoekpunten A, I? en C, tig. 45, van een bolvormigen driehoek als polen, groote cirkels beschrijft, dan ontstaan door de snijding dezer cirkels acht driehoeken, die uien de pool- of aspunts-driehoekai van den driehoek ABC noemt. In engeren zin verstaat men evenwel door pooldriehoek alleen dien driehoek, die Y geheel of* gedeeltelijk om of in den oor- spronkelijken is gelegen. * 86. De pooldriehoek heeft de be- langrijke eigenschap, dat zijne drie

-ocr page 108-

zijden on hoeken respectievelijk de supplementen zijn van de hoeken
en zijden des oorspronkelijkeu driehoek*.

Oin zulks te bewijzen verlenge men, fig. 45, de zijden AB, BC
en AC, die ondersteld worden elk kleiner dan ecu kwadrant te
zijn, tot aan de zijden van den pooldriehoek, dan is:

Ai = Ac = Bc\' = Ba\' = Ca = Vb\' � 00°

en volgens 84:

bc � A, a\'c\' � B, ab\' = C.

I)a:ir verder de hoeken b, c, c\', a\', a en b\' alle recht zijn, is ook:

B\'c = �C\' = Ca\' = c\'A\' = A\'b\' = dB\' = 90°

en hieruit blijkt, dat de punten A\', B\' en C\' respectievelijk de

polen zijn van de zijden BC. AC en AB van den oorspronkelijkeu

driehoek. Derhalve is dan ook:

b\'c\' � A\', ac = B\', a\'b = C\'.
AVij hebben alzoo:

B\'c iC\' = B\'C\' bc = 180°,

waaruit: B\'c\' = 180° � bc = 180°

Op dezelfde wijze blijkt:

A\'C\' = 1S0° � B.
A\'B\' = 180° � C.

Verd

er is:

J\'C Bc\' = b\'c\' BC =

180°,

derhalve: BC = 180° � A\'

en evenzoo: AC = 180° � B\'

AB = 180° � C\'.

Gewoonlijk worden de zijden en hoeken van den pooldriehoek
van die des oorspronkelijkeu onderscheiden door accenten. De
bewezen eigenschap wordt dan uitgedrukt door de formule:
A -f- a\' � B b\' � C c\' = A\' a = B\' b � C -f c =: 180°.

Laat men verder door de punten A en A\' een boog van een
grooten cirkel gaan, die de bogen BC en B\'C\' snijdt in 1) en 1)\',
dan is, daar A\' de pool van BC en A dien van B\'C\' is:

A\'D = AD\' = 90°
eu derhalve: A\'D 4- AD\' = A\'D\' 4- AD = 180°.

De loodrechte bogen in beide driehoeken zijn dus ook elkanders
supplementen.

86. Door middel van den pooldriehoek kan men nu gemakkelijk
de eigenschappen van de hoeken des bolvormigen driehceks afleiden
uit die voor de zijden.

-ocr page 109-



		95

		Volgens 82 heeft, men namelijk, ook iu den pooldriehoek: a\' 4. b\' -f c\' < 4E, dat is: (180° � A) (180° � IV) -f (180° � C) < 4R, waaruit: A -f B -f C > 2R, en daar elk der hoeken kleiner dan 2R is, is ook: A T\'. 4- C < 6E. Evenzoo heeft men: **a\' b\' > c\',** dat is: (180° � A) (180° � B) > (180° � C), waaruit: A -f B � C < 2.1!. l)c overmaat van de som der drie hoeken hoven 211 noemt men het spherucJi exces, en wordt gewoonlijk door de letter E aangeduid. 87. I)e bolvormige driehoeken worden hoofdzakelijk onder- scheiden in: Rechthoekige, als een der hoeken recht is; de beide andere kun- nen dan beide of een van beide scherp of stomp zijn. Dubbel-rechlhoekige, als twee der hoeken recht zijn; de over- staande zijden zijn dan kwadranten; de derde zijde is de maat van den derden hoek, die scherp of stomp kan zijn. Gelijkhoekig-rechthoekig, als de drie hoeken recht zijn; de drie zijden zijn dan kwadranten en de geheele driehoek is het, achtste deel van het oppervlak van den bol. Men kan hem ook gelijkzijdig- rechtzijdig noemen. Scheef hoekig, de drie hoeken kunnen dan of alle, of een of twee scherp of stomp zijn. Zijn alle hoeken scherp, dan heet hij scherp- hoekig. Ts ten minste een der hoeken stomp, dan noemt men hein stomphoekig. Eechtzijdig, als een der zijden een kwadrant is; de beide andere rijden kunnen dan beide of een van beide kleiner of grooter dan een kwadrant zijn. Gelijkbeenig, als twee der zijden gelijk zijn. Gelijkzijdig, als de drie zijden gelijk zijn. �itgdijkzijdig, als de drie zijden ongelijk zijn. 88. In een gelijkbeenigen bolvormigen driehoek zijn de hoeken aan de bazis ook gelijk en omgekeerd. Het bewijs dezer stelling volgt oniniddelijk uit den drievlakkigen hoek, terwijl het omgekeerde door den pooldriehcek kan worden bewezen.

-ocr page 110-



		96

		89. Jn eiken bolvonnigcn driehoek staat over een grooteren hoek een grootere zijde en omgekeerd. Het bewijs dezer stelling is hetzelfde als bij den rechtlijnige» driehoek; het omgekeerde wordt door den pooldriehoek gemakkelijk aangetoond. 90. In eiken driehoek is de som van twee der hoeken groot er of kleiner dan 180°, naar gelang de som der overstaande zijden grooter of kleiner dan 180° is, en omgekeerd. Onderstellen wij, in tig. te, a -f b < 180°, dan is a < 180° � b of a < A\'C en dus, volgens 89, ook A < A\'BC of A < 180° � B, derhalve A -f- B < 180°. Zij voor het omgekeerde A-f-B>180°, dan is A>180° �B, dat is A > A\'BC en daarom, volgens 89, a > A\'C! of «> 180° � b, derhalve a -f b > 180°. 91. Uit de beide laatste eigenschappen volgt nog: Indien de som van twee zijden grooter dan 180° is, dan zal de hoek over de grootste zijde altijd stomp zijn; de andere hoek kan dan scherp of stomp zijn en omgekeerd. Is de som van twee zijden kleiner dan 180°, dan zal de hoek over de kleinste zijde scherp zijn; de andere hoek kan dan scherp of stomp zijn en omgekeerd.

		S 14- Afleiding der formules ter berekening van de rechthoekige driehoeken uit de figuur. 92. Ofschoon het wellicht voor een geregelde orde van ont- wikkeling doelmatiger zou zijn, eerst de algemeene betrekkingen tusschen de zijden en hoeken v in een bolvormige» driehoek op te sporen, ten einde daaruit de formules voor de bijzondere gevallen af te leiden, bestaan er toch gegronde redenen om daarvan af te wijken en eerst de formules op te sporen ter berekening van den rechthoekigen driehoek. Zij daartoe, tig. 46, ABC een bolvormige driehoek rechthoekig

-ocr page 111-

��7

in A, met zijn overeenkom-
stigen drievlakkigen hoek.
Trek dan uit C een loodlijn
op de ribbe MA, en uit den
voet D van deze loodlijn.in het
X vlak AMB, de lijn DE lood-
recht op de ribbe MB; indien
men dan C en E door een
rechte lijn vcreenigt, dan is
CDE ecu rechtlijnige driehoek, rechthoekig in I). Verder is:
CD = sin.b, CE = sin.a, MD = cos.b, ME = cos.a en CED = B.
Nu is iu driehoek DME:

ME = MD.cos.T5MA,

dat is: cos.a = cos.b cos.c......(!)

In driehoek CDE is:

1°. CD = CE.sin.CED,

of: sin.b = sin.a sin.B......(2)

2°. DE = CE.cos.CED = sin.a cos.B,

maar in driehoek DEM is:

DE = ME.tg.BMA = cos.a tg.c,

sin.a cos.B,

Ig.a cos.B .
CD.cot.CED :

MD.siu.BMA

derhalve: cos.a tg.c

of door c )s.a deelende:

tg.c
3°. DE :=

maar in driehoek DEM is:

DE =

(3)

sin.b cot.B,

= cos.b siu.c,

dus: sin.b cot.B = cos.b sin.c,

of door cos.b cot.B deelende:

tg.b = sin.c tg.B......(4)

Het zal nauwelijks noodig zijn op te merken, dat men de letters
b en c en B en C met elkander mag verwisselen, zoodat men ook

heeft:

uit (2) sin.c =: sin.a sin.C,

uit (3) tg.b = tg.a cos.C,

uit (4) tg.c = sin.b tg.C.

Deelt men verder (3) na vervanging der letters c en B door b
ea C op (2), d.in komt er:

sin.B

cos.C

cos.b = cos.a

-ocr page 112-



		98

		en daar cos.a = cos.b cos.c is, heeft men na substitutie en ver- eenvoudiging : cos.C = cos.c sin.B.....(5) dus ook door verwisseling van letters: cos.B = cos.b sin.C. Vermenigvuldigt men de beide laatste vergelijkingen, deelt men daarna door sin.B sin.C en substitueert men cos.b cos.c =z cos.a, dan heeft men ten laatste: cos.a =: cot.B cot.C.....(C>) !)3. De gevonden formules leeren ons dus dal: (1) Be cosinus van de hypotennsa is gelijk aan het product van de cosinussen der beide rechlhoekszijden. (2) De sinus van een der rechthoekszijden is gelijk aan hetproduct van den sinus van den overstaanden lioek en den sinus van de hypotenusa. (3) Be tangens van een der rechthoekszijden is gelijk aan het product van den cosinus van den aanliggenden hoek en den tangens van de hypotenusa. (4) Be tangens van een der rechthoekszijden is gelijk aan het product van den tangens van den overstaanden hoek en den sinus van de andere rechlhoekszijde. (5) Be cosinus van een der scheeve hoeken is gelijk aan het product van den cosinus van de overstaande rechlhoekszijde en den sinus van den anderen hoek. (6) Be cosinus van de hypotenusa is gelijk aan hel product van de cotanrjenten der leide scheeve hoeken. Met weinig moeite zal men de gevonden formules, in woorden overgebracht, in het geheugen kunnen houden. Mocht dit echter nog eenig bezwaar opleveren, dan kan daartoe dienen de zooge- naamde Regel van Nepek. til. Men denke zich, fig. 47, de elementen van den rechthoe- kigen driehoek, met weglating van den rechten hoek, geplaatst, in de orde waarin zij in den driehoek voorkomen, aan de hoekpunten van een vijf hoek, dan luidt de regel aldus:

-ocr page 113-



		on

		Hg. 47.

		De cosinus van elk element is gelijk aan het product van de cjtaiigenten der beide aangrenzende, of gelijk aan het product van de sinussen der beide afgelegen ele- menten, mits men voor de recht- hoekszijden de complimenten neme. Volgens dezen regel heeft men alzoo:

		c A voor a: aangr. cos.a = cot.B cot.(\', afgel. cos.a zr cos.b cos.c, voor b: aangr. sin.b = tg.c cot.C of tg.c = sin.b fg.C, afgel. sin.b = sin.a sin.B, voor c: aangr. sin.c � tg.b cot.B of tg.b z= sin.c tg.B, afgel. sin.c = sin.a sin.C, voor B: aangr. cos.B = tg.c cot.a of tg.c = Ig.a cos.B, afgel. cos.B = cos.b sin.C, voor C\': aangr. cos.C = cot.a tg.b of tg.b = tg.a cos.C, afgel. cos.C = cos.c sin.B. Men behoeft dus slechts de twee gegeven elementen met ieder der onbekenden zoodanig te rangschikken, dat twee van de drie, aangrenzende of afgelegen elementen van het derde worden, en er dan den gegeven regel op toe te passen. 95. De gevonden formules zijn voldoende ter oplossing van alle gevallen, die bij de rechthoekige driehoeken voorkomen, en kunne;!, daar zij alle voor logarithmische berekening gesshikt zijn, onniiddelijk worden toegepast. Zij geven nog aanleiding tot enkele opmerkingen, die bij de berekening in acht moeten genomen worden. 1°. Uit form. (1) en (6) blijkt, dat de hypotenusa kleiner of grooter dan een kwadrant is, naar gelang de beide recht- hoekszijden of de beide scheeve hoeken gelijksoortig of ongelijksoortig vijn. Hieruit volgt verder, dat de hypotenusa grooter is dan elk der rechthoekszijden, als deze beide kleiner dan 90° en kleiner dan ieder der rechthoekszijden, als deze beide grooter dan 90° zijn, terwijl de hypotenusa 7*

-ocr page 114-



		100

		kleiner dun de grootste rechthoekszijde is, als zij ongelijk- soortig zijn. 2°. Uit form. (■!�) en (5) volgt, dat elke rechthoekszijde gelijk- soortig is niet den ovcrliggenden hoek en omgekeerd. 3°. Daar A -f B C > 2R, B C � A < 2R en A -j- B � C <^ 211 is, volgt hieruit door A =R te nemen: B -f C > H en < 3R en B � G < 11, dat is: in eiken rechthoeki�cn driehoek is de som der beide scheeve hoeken grooter dan 1 en kleiner dan 3 rechte hoeken, terwijl hun verschil kleiner dan een rechte hoek is. 96. Merkt men op dat een rechtzijdige driehoek altijd de pool- driehoek is van een rechthoekigen driehoek, dan kan men door toepassing van de eigenschap van den pooldriehoek gemakkelijk de formules vinden voor de berekening van de elementen van den rechtzijdigcn driehoek. Men heeft namelijk voor den rechthoekigen pooldriehoek: cos.a\' r= cts.b\' cos.e\' siu.b\' :z= sin.a\' sin.B\' tg.b\' = tg.a\' cos.C\' tg.b\' � sin.c\' tg.B\' eos.B\' = cis.b\' sin.C\' cjs.a\' = eot.B\' cot.C\'. Boor nu, volgens 85, de eigens.-hap van den paoldriehoek toe te passen, beeft men-: eos.(180° � A) =: cjs.(180³ � B) cos.(180° � C) sin.(18()° � B) = siu.(lS0° � A) sin.(180° � b) tg.(lS0° � B) = tg.(l80° � A) cos.(180° � e) tg.(180° � B) = siu.(180° � C) tg.(180° � b) c~s.(180° � BJ = eos.(180° � B) sin.(180° � e) cos.(180° � A) = cot,(180° � b) cot.(180° � c), dat is: cos.A = � cos.B cos.C sin.B = sin.A sin.b tg.B = � tg.A cos.c tg.B = sin.C) tg.b cos.b = cos.B sin.c cos.A � � cot.b cot.c. Men ziet dus, dat men slechts de groote letters in kleine en de

-ocr page 115-

101

kleine in groote heeft te veranderen, terwijl men in liet tweede
lid van die formules, waarin geen sinus voorkomt, het teeken �
plaatst.

§ 15.

Berekening der rechthoekige bolvormige
driehoeken.

97. Een bolvormige driehoek is volkjmen bepaald door drie
van de zes elementen, en daar bij de rechthoekige steeds een ele-
ment, de rechte hoek, als gegeven kan worden beschouwd, zoo
moet bij deze uit twee elementen het overige kunnen worden ge-
vonden, zooals dan ook uit de formules blijkt.

Daar nu vijf dingen op tien verschillende wijzen drie aan drie
kunnen worden genomen, zouden er ook tien gevallen zijn, als er
geen gelijke onder waren. Hierdoor wordt het aantal gevallen tot
zes verminderd, als namelijk gegeven zijn:

1°. De beide rechthoekszijden.

2°. De beide scheeve hoeken.

3°. De hypotenusa en een der rechthoekszijden.

4°. De hypotenusa en een der scheeve hceken.

5^0, Een rechthoekszijde en de aanliggende scheeve hoek.

6°. Een reehthoekszijde en den overliggenden scheeven hoek.

Eerste geval.

98. Zij gegeven de beide rechthoekszijden b en c.
Ter berekening der onbekenden heeft men:

cos.a =: cos.b cos.c form. (1)

_ tg.c

, . , , � . waaruit: tg.C � -»�r

tg.c = siu.b tg.C / ° sm.b

tg.b = sin.ctg.B | ^for,n- W\'

tg.B
⁰ sin.e

Voorbeeld van berekening.

Zij gegeven b = 109°2\'16", c = 72°25\'.
Men heeft:

-ocr page 116-



		102

		log.cos.b = 9.513473(�) log.tg.c = 10.409080 log.cos.c = 9.480140 ac.log.sin.b � 10.024429

		log.cos.a = 8.993613(�) log.tg.C = 10.523509 a = 95°39\'18"5 C = 73°19\'25" log.tg.b = 10.462098(�) ac.log.sin.c = 10.020780 log.tg.B = 10.482 87 S(�) B = 10S°12\'30". Aanmerking. Ingeval a dicht bij 90° mocht zijn, kan men deze ook vinden door te stellen: cos.b cos.c = tg.p en verder te nemen: 1 � cos.a 1 � tg.p 1 -j- cos.a 1 -f- tg.p\' waaruit: tg.-Ja = \|/tg.(45° � tp). Tweede geval. 99. Zij gegeven de beide scheeve hoeken B en C. Ter berekening der onbekenden heeft men: cos.a = cot.B cot.C form. (6) eas.B B, . _ty i waaruit: c.s.b =r ��7- � cos.b sin. Cl sin.C r, � x> t form. (5), ., cos.(\' = cos.csin.H 1 ^v " cos.l\' " ^C09-^C = HnlT Voorbeeld van berekening. Zij gegeven B � 104°45\'21", c\' = 97°13\'15". Men heeft: log.cot.B = 9.420595(�) log.cos.B = 9.406031(�) log.cot.C � 9.102772(�) ae.log.sin.C =10.003458

		log.cos.a = 8.523367 log.cos.b = 9.409489(�) a = S8°5\'15"5 b = 104°52\'35"5 log.cos.C = 9.099314(�) ac.log.sin.B =10.014505

		log.cos.c = 9.113879(�) c = 97°28\'0"5. Daar de onbekende elementen alle door den cosinus bepaald worden, moeten deze kleiner dan 1 zijn, en dewijl nu de tweede

-ocr page 117-



		103

		leden quoti�nten zijn, die even goed grooter dan 1 zouden kunnen zijn, blijkt het dat de gegevens niet willekeurig kunnen zijn, maar aan een bepaalde voorwaarde moeten voldoen. Deze voorwaarde is, volgens 95. 3°: B-fC>R<3RenB � C < R, want, onderstellende B -}- G < R of > 3R, dan is cos.(B -f- C) positief. Nu is: C3S.(B -\\- C) =: cos.Bcos.C � sin.B sin.C, derhalve: c:s.B cos.C ^> sin.B sin.C, of: cot.Bcot.C > 1. Is B � C ^> R, dan is co?.(B � C) negatief. Nu is: cos.(B � C) = cos.B cos.C -f- sin.B sin.C, waarin cos.B cos.C negatief moet zijn, en dus: � cos.Bcos.C ^> sin.B sin.C, of: � cot.Bcot.C > l. In deze onderstellingen zou dus cot.Bcot.C = c::s.a ^> -\\- \\ of <^ � 1 worden, hetgeen de onbestaanbaarheid van den drie- hoek aanduidt. De voorwaarde van bestaanbaarheid, waaraan de beide hoeken B en C moeten voldoen, kan ook uit de bovenstaande formules worden afgeleid. Uit cos.a = cot.B cot.C volgt: cot.Bcot.C <( 1 en ^> � 1, of: cos.B cos.C <^ sin.B sin.C en ^> � sin.B sin.C, waaruit: cos.(B -f C)< 0 en cos.(B � C) > 0, dat is: cos.(B -f- C) moet negitief zijn, derhalve B -f- C ^> R en -^ 3R en cos.(B � C) is positief, dus B � C <^ R. cos.B Ook uit cos.b = -i�77 kan zulks worden afgeleid. Men heeft sin.C ° toch: cos.B <^ sin.C. Stel nu B = 90° B\' en C = 90° C\', waarin B\' en C\' natuurlijk kleiner dan 90° zijn, dan is: cos.(90° B\') < sin.(90° C), of: sin.B\' < sin.(90° C), derhalve: B\' < 90° O\' en B\' C\' < 90°. Hierdoor wordt:

-ocr page 118-



		104

		B _\|_ C = 180° (IV C) of = 180° (B\' � f"), derhalve: B C > It en < 311 eo B � C = (B\' � C), dus: B � C < K. Aanmerking. Moclit een van de gegevens dicht bij 90° zijn, dan zou men nauwkeuriger uitkomsten verkrijgen door de volgende formules: 1�cos.a 1�cot.Bcot.C eos.(B-f-C\') 71--------=r~i------�i�777- waaruit: tg.Ja=\|/\'�-----pn�7-, l-(-cos.a l-f-eot.Bcot.C ^p * ^y ccs.(B�() 1�cos.b sin.C�sin.(90°�B) _] tg. j K^c ^B) ~ ⁴⁵° ^! 1 cos.b�sin.C sin.(90°�B) " \'*^b ^-^tg.! \|(C�B) -f 45° \| 1�os.c sin.B�sin.(90°�C) _% tg.) \|(B C) � 45° j � elsTc�Mn.B-f sin.(90°� (\'■) " ^tg^C ^� * \\%. I \|(B� O) 4 5° I Ten gevolge van de voorwaarden, waaraan B -)- (\' en B � C e:)S.(B C) moeten voldoen, is -�~~.., ,,,~~ negatief; het teeken�maakt deze waarde echter positief. Verder U -\'(B -f- C) > 45° en < 135°, dus is i(R -f C) � 45° > 0 on < 90° en derhalve de tangens positief; �(B � C) is < 45°, derhalve i(B � C) -f 45° of \|(C _ B) -j- 45° < 90° en dus ojk de tangens positief. Baar verder de zijden van een driehoek altijd kleiner dan 1S0° zijn, zijn de halve zijden kleiner dan 90°, waarom alleen de positieve wortel is in rekening gebracht. De laatste opmerking geldt voor alle worteltrekkingen waardoor de tangens van een der halve elementen bepaald wordt. .Derde geval. 100. Zij gegeven de hypotenusa a en een der rechthoeksyijden b. Ter berekening heeft men: os.a eos.a � cos.b cos." forin. (1). waaruit: coe.c = -----r ^v \' cos.o sin.b = sin.asin.B � (2), � sm.R = -� sin.a tg.b = tg.aeos.C � (3), � e;s.0 -
		tg.a

		Voorbeeld van berekening. Zij gegeven a = 95°39\'20", b = 72°25\'2". Men heeft:

-ocr page 119-



		105

		log.c;s.a = 8.993647(�) log.sin.b = 9.979221 ae.log.cos.b =10.519873 ac.loe.sin.a =10.002119

		log.cos.c = 9.513520(�) log.sin.B = 9.981310 c =r 109°2\'24" B = 73°19\'29" log.tg.b =10.499095 uf.log.tg.a = 8.9957C4(�) log.cos.C = 9.494859(�) C = 108°12\'37". Voor B vindt men twee waarden die elkanders supplementen zijn, omdat hij bepaald wordt door den sinus. Omdat echter, volgens 95. 2°, B en b gelijksoortig moeten zijn, heeft men de kleinste waarde voor B genomen. Het is duidelijk dat de quoti�nten, waardoor de onbekenden gevonden worden, kleiner dan l moeten zijn, en dat dus de gege- vens aan een bepaalde voorwaarde moeten voldoen. Men zal bijv. moeten hebben cos.a <^ eos.b. Haar a en b beide of een van beide kleiner of grooter dan 90° kan zijn, stelle men a = 90° J en b = 90° 5\',\' waarin S en S\' uit den aard der zaik kleiner dan 90° zijn, dan heeft men: cos. (90° i) < 008.(90° S\'), of: nn.S <^ sin.J\', derhalve: S < S\'. Daardoor wordt: a = 90° -f $ < 90° -f- S\' en > 90° � S\', of: a = 90° � 3 > 90° � S\' en < 90° 2\', derhalve moet a gelegen zijn tussehen b en 180° � b, of de hvpotenusa moet gelegen zijn tussehen de rechthoekszijde en zijn supplement. Aanmerking. Mocht de onbekende niet nauwkeurig genoeg dooi- de bovenstaande formules gevonden kunnen worden, dan kan men de volgende formules gebruiken: \\�cds.c eos.b�cos.a � e^c = cos.b cos.a\' ^wanniit: ^t«^c = V*<^a ^b) %-K->)* 1�sin.B sin.a�sin.b __o ,tg-K^a�b) 1 sin.B ~ sin.a sin.b\' " ^�(⁴⁵°�i^B) = ± K_tg^(u-fb) 1�cos.C tg.a�tg.b sin.(a�b) 1 cos.C ~ tg.a tg.b\' " ^{^^C ~ ^sin.(a-fb) He verschillende waarden, die a -}- b en a � b, voor a = 90° S, en b = 90° S\', waarin S < 5\', kunnen hebben, zijn:

-ocr page 120-

106

a -f- b = (90° 2) (90° -f 2\') = 180° -f- ($\' ± 3)> 180°
a � b = (90° 2) � (90° ?\') = � (?\' 2) negatief
a -f b = (90° 2) (90° � 5\') = 180° � (2 2\') < 180°
u � b = (90° 2) � (90° � 2\') =2\'± 2positief,
waaruit blijkt, dat als a -f- b ^> 180° is, a � b negatief wordt;
is a -f- b <^ 180°, dan is a � b positief, en derhalve de vormen
onder het wortelteeken steeds positief.

Voor tg.(45° � -J-B) neemt men den positieven of den nega-
tieven wortel, naar gelang de gegeven b kleiner of grooter dan
90° is.

Vierde geval.
101. Zij gegeven de hypotenusa a er. een der scheere hoeken B.
Ter berekening der onbekenden heeft men:

cos.a == cot.B cot.C form. (6), waaruit: cot.C = cos.a tg.B


	,, (2), sin.1	Ij = sin.a si
	� (5), tg.	c = tg.a co
	Voorbeeld van berekening.
	Zij gegeven a = 25°0\'49", B = 76°13\'24".
	Men heeft:
	log.cos.a = 9.957227 log.sin.a =	9.626170
	log.tg.B =10.610495 log.sin.B =	9.987323
	log.cot.C =10.567722 log.sin.b =	9.613493
	C = 15°8\'24" b =	24°14\'49"
	log.tg.a = 9.668942
	log.cos.B = 9.376828
	log.tg.c = 9.045770

c = 6°20\'25"5.
Van de twee waarden, die men voor b vindt, neemt men die
welke gelijksoortig met B is.

Aanmerking. Indien de zijde b dicht bij 90° ligt, kan men
die nauwkeuriger vinden door te stellen:

sin.a sin.B =s tg.p,
dan heeft men:

1 � sin.b _ 1 � tg.y>

1 -j- sin.b "" 1 -f- tg.p\'
dat is: tg.(45° � |b) = |/tg.(45° � <p),

waarbij het borenste teeken dient als B <^ 90° en het onderste
nis B > 90° is.

-ocr page 121-



		107

		V ij f cl e g e v n 1. 102. Zij gegeven een der reehthoekszijden b met den aanlig- genden hoek C. Ter berekening der onbekenden beeft men: tg.b tg.b = tg.a cos.C fonn. (3), waaruit: tg.a = ----r, � (4), � tg.c = sin.b tg.C _;/ (5), � cas.B = cos.b sin.C. Voorbeeld van berekening. Zij gegeven b = 125°26\'40", C = 95°10\'30". Men heeft: log.tg.b == 10.147623(�) log.sin.b = 9.91098G ne.log.cos.C = 11.044803(�) log.tg.C =11.043029(�) log.tg.a = 11.192426 log.tg.c =10.954015(�) a = 86°19\'35" c = 96°20\'36"G log.cos.b = 9.7fi3363(�) log.sin.C = 9.998226

		log.cos.B = 9,761589(�) B = 125°16\'42". Aanmerking. Indien de hoek B weinig van 90° mocht ver- schillen, dan kan men dien nauwkeuriger vinden uit de formule: tg.\|B = \|/tg.(45° � f), waarin tp gevonden wordt uit tg.p = eos.b sin.C. Zesde geval. 103. Zij gegeven een der reehthoekszijden b en den overstaan- den hoek B. �er berekening der onbekenden heeft men: sin.b sin.b == sin.a sin.B fonn. (2), waaruit: sm.a � -:�t� ^v " sm.B tg.b tg.b � sin.c tg.B � (4), � sin.c = �^ . cos.B c;s.B- eos.b sin.C ,, (5), � sin.C r= ----r ^v \' cos.u Daar elk der onbekende elementen door zijn sinus wordt be- paald, verkrijgt men voor elk twee waarden, die elkanders supple- menten zijn.

-ocr page 122-

108

Men verkrijgt dus twee driehoeken, die aan de gegevens voldoen
en die, daar zij een zijde gemeen en den overstaanden h:;ek gelijk
hebben, elkanders snppleinents-driehoeken zijn. Het is dus dikwijls
of onzeker of niet te bepalen, welke dezer driehoeken de gevraagde
is, en daarom noemt men dit geval liet twijfelachtige geval.

Omdat de sinus altijd kleiner dan 1 moet zijn, zullen de gege-
vens moeten voldoen aan zoodanige voorwaarden, dat de quoti�nten
in het tweede lid kleiner dan 1 zijn.

Deze voorwaarden zijn:

1°. dat b en B gelijksoortig zijn;

2°. dat b < B als zij beide kleiner dan 90°. en b > B als
zij beide grooter dan 90° zijn.

Voorbeeld van berekening.

Zij gegeven b = 93°21\'12", B = 91°41\'17".
Men heeft:

log.sin.b = 9.99925C log.tg.b z=11.232150(�)

ac.log.sin.B =10.000188 ac.log.tg.B = 8.46938S(�)


log.sin.a = 9.999444	log.sin.c =	9.701538
a = 87°6\'10"	c =	30°11\'47"
ai = 92°53\'50"	ei =:	149°48\'13"
log.cos. B	= 8.469199(�)
ac.log.cos.b	=11.232893(�)
log.sin.C	= 9.702092
C	= 30°14\'20"
Ci	= 149°45\'40".

Tot het behoorlijk verbinden der elementen merkc men op dat
e en C gelijksoortig moeten zijn, en dat a kleiner of grooter dan
90° is, naar gelang de beide rechthoekszijden of de beide scheeve
hoeken gelijksoortig of ongelijksoortig zijn. De bij elkander behoo-
rende elementen zijn dus voor den

eersten driehoek tweeden driehoek

b = 93°21\'12" b = 93°21\'12"

B = 91°41\'17" B = 91°41\'17"

a = 87°6\'10" a = 92°53\'50"

c = 149°48\'13" c = 30°11\'47"

C = 149°45\'40" C =r 30°14\'20"

-ocr page 123-

109

Aanmerking. Indien een of meer der onbekende elementen wei-
nig van 90° verschilt, kan men zich van de volgende formules
bedienen:

1�sin.a sin.B�sin.b tsr.-iiB�b)

TT�s�� ~~■ �, ■ .~~, waaruit: tg.(45°� U)� \\/- ~~,_/T> .~~ ,.
l sin.a sin.B sin.b\' °^v ³ ^; -* tg.|(B-(-b)

1-sin.c tg.B-tg.b _/iii.(h-li)

1 sin.c-tg.B tg.b " ^^° �*^cJ-±K_{8in(B b)}1�sin.C os.b�cos.B

�T��^=~~co₈.b co».B~~ .1g.(«°-*C)=±^%.*(B-b)tg.i(B b)

104. Ter oefening zij gegeven:

1°. B = 105°52\'39", C = 138°15\'45",


c	zz	109°2\'24",
C	�	102°57\'21",
b	�	97°28\'6".
c	�	88°20\'49",
1?	__	76°13\'24",
e,	*^zz*	149°48\'12",
c	Z^l	95°52\'48",
B	IZZ	33°44\'40",
e	~	134°55\'6",
B		115°13\'31",
C	~	60°15\',

2°. b = 72°25\'2",

3°. u = 93°4\'7",

4°. a = 88°5\'16",

5°. b = 24°11\'38",

6°. b = 24°14\'49",

7°. b = U3°21\'12",

8°. B = 59°25\'45",

9°. a = 75°5\'44",

10°. a = 70°45\'7",

11°. c = 36°15\',

12°. c = 57°7\'50",

te berekenen de overige elementen.

Van een recht�jdigen driehoek, waarin a =z 90° is, zijn gegeven:

A = 59°50\', B = 5l°27\'l9".

b = 113°53\'36", e = 119°45\'.

A = 118°1\'15", c = 103°22\'8",

C = 6�°5\'18", b = 107°58\'52",

B = 139°53\'42", b = 136°4\'5S",

B = 63°29\'17", C = 150°18\'28",

13°
14°
15°
16°
17°
18°

t(! berekenen de onbekende elementen.

-ocr page 124-



		110

		§ 16. Analytische afleiding van de grondforinules der bolvormige driehoeksmeting. 105. De algemeene betrekkingen tusschen de elementen van een bolvormigen driehoek dragen den naam van grondformules. Zij kunnen alle uit een enkele formule analytisch worden afgeleid. Deze eerste formule, in engeren zin de grondformule genoemd, moet echter met behulp van een figuur worden verkregen. Zij daartoe, fig. 48, M het middelpunt van den bol, op welks

		Fig. 48.
		oppervlak de driehoek ABC


		beschreven is, en MABC den met dezen driehoek over- eenstemmenden drievlakkigen hoek. Zjo men dan in het punt A de raaklijnen Al) en AE aan de bogen AC en AB trekt, die het verlengde der stralen MC en MB in I) en E snijden, en daarna deze punten door een rechte lijn DE veree- nigt, dan is: AE = tg.c AD = tg.b ME = sec.c MD = sec.b. Nu is in de driehoeken AED en MED: DE² = AD² AE³ � 2AD.AE.cds.DAE DE² =MD² -f ME» � 2MD.ME.cos.DME en hieruit, in het oog houdende dat DAE � A en DME =z a is: tg.²b -\\- tg.²c�2tg.b tg.c cos.A =r sec.²b-)-sec.²c�2sec.b sec.c cos.a, of daar in het algemeen sec.²p � tg.²p =r 1 is: sec.b sec.c cos.a ~ 1 -j- tg.b tg.c C3S.A, waaruit, na vermenigvuldiging met cos.bcos.c: cos.a � cos.bcos.c -f- sin.b sin. c cos.A. Daar men dezelfde constructie aan een der beide andere hoek- punten kan verrichten, zoo heeft men door verwisseling der letters: C3S.a := cos.b eos.c -)- sin.b sin.c ccs.A j cos.b = cos.a cos.c -\\- sin.a sin.c cos.B > . . ([.) cos.c == cos.a CDs.b -\|- Bin.a sin.b cos.C )

-ocr page 125-

III

Deze formules bevatten een betrekking tusscheu de drie zijden
en een der hoeken, en worden in de toepassing het meest gebruikt.
Men kan ze den regel voor de cosinussen der zijden noemen.

106. Uit de eerste heeft men:

cas.a � cos.b cos.c

COS.A ZT -----------:�;----:--------------

sin.o sm.c
en dus:

sin.\'b sin.\'-e � (cos.a � cos.b cos.c)²

sin.-\'A = 1 � cas.²A�

sin.²b sin.\'c

of djor in den teller voor sin.-\'bsiu.-\'c te schrijven
(1 � cos.²b) (1 � c:)S.²c), na ontwikkeling:

1/(1 � cos.²a � cos.²b � cos.²c -4- 2eos.a cos.b cos.c)

81I1.A �=. -----------------------------------------:�j----:-------------------------------------------

sm.b sm.c
en ter vereenvoudiging den teller gelijk M stellende:
sin.A M

sin.a sin.a siu.b sin.e

Daar de vorm M symmetriek is, en dus niet verandert als men
de letters a, b en c verwisselt, heeft men ook:
sin.B _ M

sin.b sin.a sin.b siu.c

sin.C M

sin.c \' " sin.a sin.b sin.c

sin.A sin.B sin.C j

derhalve:

sin.a sin.b " " sin.c ! ... (II)
of: sin.A : sin.B : sin.C =z sin.a:sin.b:sin.c /

De::e regel, waaruit blijkt dat de sinussen der zijden evenredig
zijn met de sinussen der overstaande hoeken, noemt men den regel
der sinussen.

De standvastige betrekking tusscheu de sinussen der hoeken en
der overstaande zijden heet de modulus.

J07. Substitueert men de waarde van cos.b uit de tweede ver-
gelijking van stelsel I in de eerste, dan komt er:

e.s.a = cos.a cos.²c -)- sin.a sin.c cjs.c cos.B -|- sin.b sin.c cos.A.

Brengt men nu den eersten term uit het tweede lid over in het
eerste lid, en deelt men daarna door sin.c, dan heeft men:
cos.a sin.c =: cos.c sin.a cos.B -j- sin.b cos.A.

Deelt men nu nogmaals door sin.a, en stelt men, ingevolge
sin.b sin.B

�------- ---- �-------- nan villdt "1"" �

-ocr page 126-



		112

		cot.a sin.o = cos.c eos.B -(- sin.Bcot.A, of liever: cot.a sin.c ss sin.B cot.A-f- cos.c cos.B. Substitueert men de derde vergelijking van stelsel l in de eerste, dan verkrijgt men, na dezelfde bewerking: ot.nsiu.b =z sin.Ccat.A -)- cos.b cos.C. Op dezelfde wijze vindt men nog vier formules, door uit stelsel F cos.a en eos.c achtereenvolgens te substitueeren in cos.b, en door cos.a en cos.b te substitueeren in cos.c, welke vergelijkingen men echter gemakkelijker verkrijgt door in de gevondene de letters behoorlijk te verwisselen. Men verkrijgt dan het volgende stelsel: cot.a sin.b =: sin.C cot.A ~\\- ccs.b cos.C \' cot.a sin.c =: sin.B cjt.A -j- cos.c eos.B cot.b sin.ii = sin.C\'cot.B -f- cos.a c;s.C
		.1 . (.in.)
	cot.b sin.c z= sin.A cot.B -)- cos.c cos.A cot.c sin.a =: sin.B cot.C -f- cos.a eos.B cot.c sin.b = sin.A cot.C -(- cjs.b cos.A Deze formules bevatten een betrekking tusschen twee zijden en twee hoeken, waarvan een tusschen die twee zijden is gelegen. Men noemt ze den regel der eotangenten. Om ze gemakkelijk te onthouden merkc men op, dat in elk de drie verschillende letters voorkomen in willekeurige orde genomen; deze schrijft men tweemaal op dezelfde wijze achter elkander, zoo- danig dat de eerste twee letters kleine, de volgende twee groote, dan een klein en ��n groot zijn. Bij de beide eersten voegt men de benamingen cot. en sin., bij de volgende twee dezelfde bena- mingen in omgekeerde orde en bij elk der laatsten de benaming cos. Plaatst men nu := tusschen den tweeden en derden fictor en -\\- tusschen den vierden en vijfden, dan heeft men de begeerde formule. 108. De vergelijking: cos.a sin.c � cos.c sin.a eos.B -\|- sin.b cos.A . . . (a) uit 107 geeft door verwisseling der letters a en c en A en Cj cos.c sin.a = cos.a sin.c eos.B -f- sin.b cos.C . . . (b) welke laatste men ook verkrijgt door de waarde van cos.b uit de tweede vergelijking van stelsel I in de derde vergelijking te sub- stitueeren. Brengt men nu de waarde van cos.c sin.»uit (b) over in (a), dan heeft men:

-ocr page 127-



		113

		cos.a sin.o =z cos.a sin.c cos.\'B -\\- sin.b cos.B cos.G -\|- sin.b cos.A, of, na den eersten term uit het tweede lid in het eerste overge- gebracht en door sin.c gedeeld te hebben: sin.b cjs.asin.\'B � -:----(cos.A -f- cos.1$cos.C). sin.c ^v \' \' sin.b sin.B Xu is, volgens stelsel II, �---- rz -�;=; en hierdoor heeft men \' ° \' sin.c sin.C eindelijk : cos.a sin.B sin.C = cos.A -f- cos.B cos.C, of cos.A = ■� cis.B cos.C -f" sin.B sin.C cos.a. Na behoorlijke verwisseling der letters heeft men alzoo het volgende stelsel: cos.A = � cas.B cos.C -j- sin.B sin.C cos.a \\ cos.B = � cos.A cjs.C -f- sin.A sin.C cos.b > . (IV.) cos.C = � cos.A cos.B -{- sin.A sin.B cos.e J Deze fjrniules geven een betrekking tusschen de drie hoeken en ��n zijde en kunnen den regel voor de cosinussen der hoeken genoemd worden. 109. Xeemt men de som der vergelijkingen (a) en (b) uit 108, dan komt er: sin.(a -)- c) = sin.(a -f- c) cos.B -(- sin.b (cos.A -f- cjs.C), of: sin.b (cjs.A -(- cos.C) = sin.(a -f- c) (1 � cos.B). . (e) Nu is volgens stelsel (II): sin.b sin.A =: sin.a sin.B sin.b sin.C =z sin.c sin.B, waaruit door optelling en aftrekking: sin.b (sin.A sin.C) = sin.B (sin.a sin.c). . (d) Deelt men nu (d) door (c) en nceint men de teekens afzonder- lijk, dan komt er: sin.A 4- sin.C sin.a -I- sin.c sin.B -------------------- � ---------\'--------- V -------------- cos.A -f- cos.C sin.(a -\|- c) ^ 1 � cos.B sin.A � sin.C sin.a � sin.c siu.B cos.A -}- cos.C " sin.(a -f" ^c) 1 � cos.B\' waaruit, na alle uitdrukkingen tot halve bogen te hebben herleid en na behoorlijke vereenvoudiging: os.i(a � c) tg.J(A C) = -----n-----1----(cot.4B ^B "^v \' \' cos.�(a -f- c) ² sin.-i(a � e) _ tg.-J(A � C) = t-y>-----i�(cot.i-B. ° \'^v \' sin.](a -\\- c)

-ocr page 128-



		114

		Door verwisseling der letters heeft men dus het volgende stelsel: cos.i(a � b) te-«^A B) = ~~_cogtt_a _bj~~cot.iC sin.A(a � b) -«^A - ^B> = ~~a,4(ab)~~^COt^ sin.J(a � c) tg.(A � C) = ~^.----:------cat.JB ° \' Bin.$(a -j- c) ² . �. , cos.-J(b � e) W(B V) = jj^-j-Jm.ja wc -^c\' = �Sf^W 110. Substitueert men de waarde van CC8.B uit de tweede ver- gelijking van stelsel (IV) in de eerste, dan heeft men: cos.A = cos.A cos.\'C � sin.A sin.C cos.C cos.b -f- sin.B sin.Ccos.a. Brengt men den eersten term uit het tweede lid in het eerste over en deelt men door sin.C, dan komt er: cos.A sin.C = � sin.A cos.C cos.b -j- sin.B cos.a en door verwisseling der letters A en C en a en c: cos.C sin.A =z � sin.C cos.A cos.b -\\- sin.B cos.c, waaruit door optelling: sin.(A -j- C) = � sin.(A -j- C) cos.b -\\- sin.B (cis.a -\\- cos.c), of: sin.B (cof.-i -)- cos.c) = sin.(A -(- C) (1 -(- cos.b). . (e) Verder heeft men uit den regel der sinussen: sin.B sin.a = sin.b sin.A sin.B sin.c = sin.b sin.C, waaruit door optelling en aftrekking: sin.B (sin.u sin.c) = sin.b (sin.A sin.C) . . (f) en door nu de vergelijkingen (f) elk afzonderlijk d >or vergelijking (e) te deylen, en daarna alles in halve bogen uit te drukken en behoorlijk te vereenvoudigen, verkrijgt men: cos.\|(A � C) *<■ ^c) = ~~co₈.i(A C~~) ^ih siD.J(A � C) tg.i(a � e) = �.�rn�i�7^ tg.ib ° ^av \' sin.\|(A -f- C) ° ^a en verder, even als in 109, door verwisseling der letters het stelsel:

-ocr page 129-

115

cos.|(A � B)
tg.tfa b) = ₀₀₈._i(A _B)tg.ic

sin.KA - B)

*g.«a

b) =

rin.i(A B)^\'²"

cos.-*(A � C)

cjs.i(A C) ^tg,*^b

sin.JfA � C)

Bin.i(A C)^ts\'^ib

cos.-�fB � C)

Ktg.ia

tg.*(a <0
tg.i(a � c)
ts.Kb o)

(VI.)

cm.|(B C)

gin.i(B � C)
tg.Kb - o) = _bM(B Qtg.�a

De fonmiles in stelsel (V) en (VI) zijn bekend onder den naam
van Neperiaantche analogi�n en dienen oin twee hoeken uit den
derden hoek en de beide overstaande zijden, of om twee zijden uit
de derde zijde en de beide overstaande hoeken te bepalen.

Het is duidelijk dat ze steeds twee aan twee moeten gebruikt
worden.

I 17.
Afleiding der groiidforinules uit de figuur.

111. De grond formules, vervat in de stelsels (I), (II) en (III),
kunnen echter ook uit de figuur worden afgeleid.

Zij daartoe, in tig. 49, ABC een bolvormige driehoek, beschreven

op het oppervlak van een bol,
wiens middelpunt in M ligt,
met den daarbij belioorenden
drievlakkigen hoek. Laat dan
uit C de lood lij ii Cl) op het
B vlak AMB neder; trek DE
loodrecht op AM, en 1)F lood-
recht op MB, verder EG even-
wijdig aan DF en III) even-
wijdig aan MB; vereenig ein-
delijk C niet E en F, dan is
8*

-ocr page 130-



		116

		CED = A en CFD zr B, als standhoekeii van de vlakken CMA en AMB, en van de vlakken AMB en BMC, en GED = AMB = c, omdat de beenen van den eenen hoek loodrecht staan op die des anderen. Verder is: MF = cos.a; ME = cos.b. CF = sin.a; CF. = sin.b. Tot het vinden van den regel der cosinussen heeft men nu: MF = MG -f FG........(a) Maar in driehoek MGE is: MG ■=. ME cos.AMB = cos.b cjs.c. In driehoek DHE is: HD = GF = DEsin.GED = DEsin.c, doch uit driehoek CDE volgt: DE = CEcos.CED = sin.b cas.A, dus: GF = sin.b sin.c cos.A, waardoor vergelijking (a) verandert in: cos.a = cos.b cos.c -f- sin.b sin.c cos.A. 112. Om den regel der sinussen te vinden heeft men in de driehoeken CDE en CDF: CD = CE.sin.CED = CF.siu.CFD, dat is: sin.b sin.A = sin.a sin.B. 113. Voor den regel der cotangenten is: GE = GH EH........(b) Nu is in driehoek MEG: GE = ME.sin.AMB = cjs.Ij sin.c. In driehcek CFD: GH = DF = CF.cos.DFC = sin.a cjs.B en in driehoek EHD en CDE: EH = DE.cos.HKD = CE.cos.CED.cos.IIED =r sin.b cos.c con.A. Door al deze waarden in (b) te substitueeren, heeft men: ces.b sin.c = sin.a cus.B -(- sin.b cos.c cjs.A. � i i ��» sin.A Deelt men nu door sin.b en schrijft men -�^ in plaats van �\'�, clan komt er: sin.b cut.b sin.c = sin.A cot.B -f- cds.c cos.A. 114. De drie gevonden formules op den pooldriehoek toepas- sende, hebben wij:

-ocr page 131-



		117

		cos.a\' = cos.b\' cos.e\' -f- sin.1)\' sin.c\' cos.A\' sin.a\' sin.b\' sin.c\' sin.A\' sin.B\' sin.C\' cot.b\' sin.c\' =r sin.A\' cot.B\' -\|- cjs.c\' cos.A\'. Door nu de eigenschap van den pooldi�ehoek loe te passen, komt er: cos.(180° � A)r= cos.(180°�B)c3s.(180°-C)-\|-sin.(180^o�B)sin.(180°-C)cos.(180°-a) sin.(180° �A) __ sin.(180° �B) sin.(180° ��) sin.fl 80° � a) ^� Bin.(180⁶ �b) ^� sin.(180°� c; cot.(180° � B) sin.(180° � c) = sin.(180° � a)cot.(180°- b) -f- coe.(180° � C)cos.(180° � a), dat is: cos.A = � cos.B cos.C -j- sin.B sin.C c^s.a sin.A sin.B sin.C) sin.a sin.b sin.c � cot.B sin.C = � sin.a cot.b -f- cos.C cos.a, of: cat.b sin.a � sin.C cot.B -\|- os.a cos.C. De eerste is de formule voor de cosinussen van de hoeken; de beide andere geven geen nieuwe betrekkingen. 115. De Neperiaansche analogi�n kunnen niet uit de figuur worden afgeleid. Neemt men echter een paar uit een der beide stelsels (V) of (VI) als bekend aan, dan kan men, door gebruik te maken van den pooldriehoek, daaruit een paar uit slelsel (VI) of (V) vinden. Onderstelt men bijv. dat men een paar uit stelsel (V) bekend heeft, dan geeft dit, toegepast op den pooldriehoek: cos.J(a\' � b\') \'«�«^A\' ^B\') = ~~coslla\' b\'j~~ ^Cjt\'*^C\' sin.\|(a\' � b\') tg._KA\' - B\') = ~~_9i�,_Ka, _b>)~~ cot,�C\' en hierop de eigenschap van den pooldriehoek toepassende, ver- krijgt men: cos.i(B � A) tg. 1180°- «. b) \| ^~~_c08,₁₁₈o°_._KA-fB)\|~~^C3t-(⁹⁰° - W sin.J(B � A) tg.i(b - a) = _sin._tl80o__J.₍A B)i^cot-(⁹⁰° ~ ⁱ⁼>\' dat is:

-ocr page 132-



		11S cos.\|(A � B) tg.Ka 1») = _eos.._i(A B)\'"-⁰ sin.i(A � B) tg.Ka-bJ = ~~_gM(A _B)~~tg.ic

		§ 18. Afleiding vnn de formules ter berekening der rechthoekige bolvormige driehoeken uit de grondforiiitilcs. ll�. l)c formules in § 2 gevonden voor de oplossing der rechthoekige bolvormige driehoeken kunnen ook uit de algemeenc grondformules worden afgeleid, door daarin een der hoeken A =: 90° te stellen, waardoor a de hypotenusa, b en c de beide rechthoeks- zijden en B en C de seheeve hoeken worden. Stelsel (1) geeft alsdan: cos.a = cos.b cos.e. Uit stelsel (II) volgt: sin.b = sin.a sin.B sin.e = sin.a ain.C. ["it stels:\'l (III) heeft men: cot.a sin.b =z cos.b cos.0 cot.a sin.c =r cos.c cos.T?, of na herleiding: tg.b == tg.a cos.C tg.c = tg.a cos.B. Verder: cot.b sin.c =: cot.B

		cot.c sin.b = cot.C,

		dit is na herleiding :

		tg.b = sin.c tg.B Ig.c = sin.b tg.C. Uit stelsel (IV) eindelijk: cos.a = cot.B cot.C cos.B = cos.b sin.C cos.C = cos.c sin.B. Stelsel (V) en (VI) leveren geen bruikbare uitkomsten op.

-ocr page 133-

119

§ 19.

Afleiding; der grond forum les door middel van de

rechthoekige bolvormige driehoeken, en van

nog eenige nieuwe betrekkingen.

117. Men kim de grondformules ook afleiden uit de formules
voor de rechthoekige driehoeken, die, zoonls in § 14 is aangetoond,
rechtstreeks uit de figuur zij.i te vinden. Zij daartoe in den scheef-

hoekigen driehoek ABC, t\'g. 50,
CD een boog uit het hoekpunt C
loodrecht op de overstaande zijde
AB getrokken, en stellen wij CD=d,
AD =r p, BD rr q, ACD =: P en
BCD � Q, dan is o = p -f- q
en C = P -J- Q. Mocht een dei-
hoeken A of B grooter dan 90°
zijn, dun valt de loodrechte boog
CD buiten den driehoek, waardoor
het segment der zijde c, dat aan den stompen hoek grenst, zoowel
als het overstaande segment van den hoek C negatief wordt, het-
geen echter op de algeineeue beschouwing geen invloed heeft.
Men heeft nu in de driehoeken BCD en ACD:

l^c

cos.n =: cos.d cos.q
cos.b = cos.d cos.p,
waaruit door deeling:

cos.a cos.q hs.(c

1\')

cos.b cos.p cos.p

of na ontwikkeling van het tweede lid en vermenigvuldi
ging met cos.b :

cas.a = cos.b cos.c -f- sin.c cos.b tg.p,
maar in driehoek ACD is:

sin.b

tg.p = tg.b cos.A = j^cos.A

en hierdoor na substitutie:

cos.a = cos.b cos.c -)- sin.b sin.c cos.A .
sin.d = sin.a sin.B z= sin.b sin.A,
waaruit: sin.a : sin.b = sin.A : sin.B.

(7)
(8)

2°.

tg.d = sin.qtg.B = sin.p tg.A,

-ocr page 134-



		120

		sin.p sin.(e�q) waaruit: tg.B cot.A = ■ = �^r�� = ° sm.q sin.q sin.c cot.q � cos.c, maar in driehoek BCD is: COt.il tg-q = tg.a cos.B, dus pot.q = ^g. en hierdoor wordt: sin.c cot.a tg.B cot.A = --------�.� � cos.c, ⁶ cos.B of: eot.a sin.c =: sin.B cot.A -(- cos.c c.sR. . f9) 4°. cos.B =: cos.d sin.Q cos.A = cos.d sin.P, waaruit na deeling;: cos.A sin.P sin.(C � Q) ocs.B "" sin.Q ~ sin.Q dat is: cos.A ■=. cos.B sin.C cot.Q � cos.B ccs.C, maar uit driehoek BCD heeft men nog: cos.a cos.a sin.B cos.a = cot.B cot.Q of cot.Q. = �^ � _cos _B on hierdoor na substitutie: cos.A =: � cos.B cos.C -\\- sin.B sin.C cos.a . . (l�) zoodat de vier grondformules gevonden zijn. 118. Uit (1) heeft men: cos.a � cos.b cos.c COS.A = ---------:�i�:------------- sin.b sin.c Nu is, zoo als men weet, 1 � cos.A = 2sin.²\|A en l -(- cos.A = 2cos.²\|A; trekt men dus de eerste vergelijking van 1 = 1 af en telt men ze er ook bij op, dan komt er: sin.b sin.c � cos.a -f- cjs.b cos.c cos.(b � c) � cos.a

	2sin.HA = Soos. HA =
		sin.b sin.c sin.b sin.c sin.b sin.c -j- cos.a � cjs.Ij cos.c cos.a � cos.(b -f- c) sin.b sin.c sin.b sin.c


		sin.$(u � b -f c) sin.\|(b � c -f a) of: BllkA = 1/--------------------=�j�:---------------------- ² ^r sin.b sin.c sin.\|Ca 4- b -I- c) sin.^(b -I- c � a) cos.iA == 1/------------------:�;�i-------------------- ² ^Y sin.b sin.c en door a -\\-* b -f- c = 2s te stellen:

-ocr page 135-

121


	,sin.(s � b) sin.(s -	- e)
	sin.b sin.c ,sin.s sin. (s � a)
	sin.b sin.c sin.(s � b) sin.(s -	-c)

sin.-JA = |/

cos.-�A
waaruit na deeling:

tg.iA

sin.s sin.(s � n)
en door liet dubbel product te nemen:

j/sin.s sin.(s � a) sin.(s � b) sin.(s � c).

sin.A = i ■

sin.l) sin.e \'

Na behoorlijke verwisseling der letters hebben wij alzoo liet
volgende stelsel:

. , , /in.(s � b) sin.(s � r) i

sin.JA �

sin.b sin.c
sin.s sin.(s � a)

1/----------------------

" sin.b sin.c

COS.iA

a) sin.(s � c)

sin.(s

sin.JB = |/
cos.|B = |/

sin.a sin.c
sin.s sin.(s � b)

sin.a sin.c
sin.(s � a) sin.(s

(VII.)

sin.*C

sin.a sin.b
sin.s sin.(s � e)

cos.IC ~ 1/------:------:��-----

² ^v sin.a sin.b

11!). Uit C3S.A � � c3S.Bcjs.G -\\- sin.B sin.C os.a volgt:

cos.A -)- cos.B cos.C

CJS.a = ------------:�IS�-�T\\---------

sin.B sin.C
en door deze vergelijking op volkomen dezelfde wijze te behandelen
als in 117 en A -f- B -f C = 2S te stellen, verkrijgt men het stelsel:

cos.S cos.(S � A)

sin.ia = v\'�------!�tT~-�r,------ �

² ^v sm.B sin.C

,cos.(S � B) cos.(S � C)

cos.^a = \\/-

sin.B sin.C
cos.S cjs.(S � B)

sin.A sin.C
cds.(S � A) cos.(S � C)

sin.-Jb = \\/

>(VIII.)

eos.�b = |/

sin.A sin.C

sin.-J-c = y/

cos.S cos.(S � C)

sin.A sin.B

cos.(S � A) cos.(S �

cos.^c = |/
tg.ia = \\/-

sin.A sin.B
cos.S cos.(S � A)
\'eo8.(8 � B) oo8.(S � C)

-ocr page 136-



		12:2

		2 ^Sllia ⁼ ~~sin.B sin.�~~ ^~ ^cos-^Scos-(^s- A)cos.(S-B)cos.(S_C) Daar A -f B -f C = 2S > 2It < Git is, is S > It < 3R, derhalve cos.S negatief; S � A daarentegen is<H{, want B-j-C�A= 2(S � A) ■< 2R, derhalve is cos.(S � A) positief; door het tee- ken � wordt dus de waarde onder het wortelteeken positief. Men had de formules van stelsel (VIII) ook kunnen afleiden uit die van stelsel (VII), door deze over te brengen op den pooldrie- hoek en daarna de eigenschap van den pooldriehoek toe te passen, om tot den oorspronkelijken driehoek terug te keeren. Door deze wijze van afleiden wordt tevens de reden van de verandering van sinus in cjsinus verklaard. 120. Uit stelsel (VII) heeft men verder: sin.(s�b) sin.s sin.(s�c) sin.(s�b) sin.VAcos.fB =-----r------i/�:------~~^J �-----)-------cob.\|C ^J sm.c ^r stn.a sin.b sin.c sin.(s�n) sin.s sin.(s�c) sin.(s�a) cas.iAsin.fB = �:-------l/ �:------■■�;� =------------cos.AC sin.c ^v sm.a sin.b sm.c sin.s sin.(s�a)sin.(s�b) sin.s cos.iAcos.iB =r -�1/--------:------:�;------ = ��sin.AC ² ³ sin.e^K sin.a sin.b sm.c ² � ,» � ,� sin-(s�c) sin.(s�a)sin.(s�b) sin.(s�c) . sin AA sin. VB =-----:-------1/--------i------�:-------� �:-------sin\|C ¹ ² sin.e ^y sm.a sin.� sm.c ^J en hieruit door de twee eersten en de twee hiatsten op te tellen en af te trekken: sin.(s � b) -I- sin.(s � a) sin.tfA B) = �^s---------~~\'_gT_e~~ ---------\'coMC sin.(s � b) � sin.(s � a) ,_ sin.KA - B) = �i--------~~^;_sin,_c~~ ---------cos.AC sin.s � sin.(s � e) cos.i(A B) =: ------------:----�---------- sin.JC ^2V > \' sm.c ² sin.s 4- sin.(s � c) . _ eos.A(A � B) = -------^�.�---------� sin.AC, -^v \' sin.c ³ waaruit na verdere vereenvoudiging: cos.i(a � b) »M(A4-B) = \'cos.AC

		sin.i(a � b) sin.-KA � B) = -----jrj-p-----cos.iC cos.A(a 4- b) «"■KA B) = ~~g^t~~ sin.AC sin.-i(a 4- b) 008.i(A - B) = -----"7 sin.AC.
		(IX.)

-ocr page 137-

123

Uit stelsel (VIII) komt men door dezelfde verbinding en her-
leiding tot dezelfde formules.

Deze formules, die een betrekking bevatten tusschen al de ele-
menten van een driehoek, en die kunnen dienen ter oplossing van
een driehoek in sommige bijzondere gevallen, zijn bekend onder
den naam van de formules van Gauss, hoewel zij wellicht met
meer recht naar Delambhe konden genoemd worden.

121. Deelt men van stelsel (IX) de eerste formule door de
derde, de tweede door de vierde, de tweede door de eerste en de
vierde door de derde, dan geven de quoti�nten de reeds vroeger
gevonden Neperiaansche analogi�n en wel een paar voor de hoeken
en een paar voor de zijden.

§ 20.
Berekening der scheefhoekige driehoeken.

122. De oplossing van den scheefhoekigen driehoek laat zes
verschillende gevallen toe. Er kunnen namelijk gegeven zijn:

1°. De drie zijden.

2°. De drie hoeken.

3°. Twee zijden met den tussehenliggenden hoek.

4°. Twee hoeken met de tusschenliggende zijde.

5°. Twee zijden met een hoek over een dezer zijden.

(\')°. Twee hoeken met een zijde over een dezer hoeken.

Wij hebbeu deze orde van opvolging gekozen omdat de 2^de,
4de _eu (jde gevallen eigenlijk niet anders zijn dan toepassingen van
den pooldriehoek respectievelijk op de l^ste, 3^de en 5^Ue gevallen.
Eerste geval.

123. Zij gegeven de drie zijden.

lste Oplossing. Men heeft ter berekening der onbekende ele-
menten uit stelsel (VII):

sin.(s � b) sin.(s � c)

sin. JA = 1/ --------------■■�;�■■-----------------

³ ^r sin.b sin.c

sin.s sin.(s � b)

cos.iB = |/

sin.a sin.c
sin.s sin.(s � c)

cos.iC = 1/

² ^y sin.asin.b

-ocr page 138-

124

Wij berekenen <Ie hoeken |B en {C door den cosinus, omdat
dan het verschil (s � h) niet gebruikt behoeft, te worden. Men
zou echter, na berekening van A, de hoeken B en C ook kunnen
vinden door:

sin.b sin.A

sin.B ss
sin.C ss

sm.a
sin.c sin.A

sm.a

De gegevens moeten voldoen aan de voorwaarden
_B -|_ b c < 411, a b > c, a 4- c > b, b c > a.

Het is duidelijk dat men voor -JA de scherpe waarde moet
nemen. Berekent men B en C door den regel dtr sinussen, dan
vindt men voor elk twee waarden, die elkanders supplementen zijn.
Van deze beide waarden kan alleen in rekening komen die, welke
voldoet aan het vereischte dut C of B ^> of <^ A moet zijn, naar
gelang c of b ^> of <^ a is.

2^d\' Oplossing. In fig. 50 heeft men in de beide rechthoekige
driehoeken BCD en ACD:

cos.a � cas.d cos.q
cos.b = cos.d cos.p,
waaruit: cos.a : cos.b ss cos.q : cjs.p

ces a � cos.b cjs.q � cjs.p

en hieruit:

cos.a -j- cos.b cos.q -|- cos.p
of: tg.-J(a b) tg.i(b � a) = tg.|(p q) tg.-l(p � q),
derhalve: tg.|(p _ q) r= tg.i(a-f b) tg.^b � a) cot.-Jc,

waardoor de stukken p en q bekend worden, terwijl dan de hoeken
A en B gevonden worden door de formules:

tg.p

tg.p = tg.b cos.A, waaruit: cos.A z= t�t

ig.o

tg.q
tg.q ss tg.a cos.B, � cos.B = r-----

De derde hoek C kan verder door den regel der sinussen ge-
vonden worden.

Voorbeeld van berekening.

Zij gegeven a = 97°18\'22", b = 100°21\'30", e = 90°6\'6".
Volgens de l»^te oplossing lieeft men:

-ocr page 139-

125


il	�	97°18\'22"	log.sin.(s � b)	= 9.838010
b	~	100°21\'30"	log.sin.(s � c)	= 9.906749
c	�	90° 6\' 6"	ac.log.sin.b ac.log.sin.c	= 10.007136 =10.000001
28	�	287°45\'58"
s	�	143°52\'59"		9.751896 2-------------- = 9.875948
s � b	�	43°31\'29"	log.sin.\|A
s � c	⁼	53°46\'53"	A	= 48°43\'24" = 97°26\'48"
log.sin.s	=	9.770436	log.sin.s	= 9.770436
log.sin.(s-�b)	=	9.838010	log.sin.(s � c)	= 9.906749
ac.log.sin.a	~	10.003541	ac.log.sin.b	=10.007136
ac.log.sin.c	2	10.000001	ac.log.sin a log.cos.-J-C	=10.003541
	9.G119SS 9.805994	9.687863
log.cos.JB	= 9.843932
P	=	50°13\'43"	\\�	= 45°43\'24"
\|B	�	100°27\'26"	C	= 9l°26\'48"
Volgens de	■ 2<ie oplossing heeft men:
b	~	100°2l\'30"	log.1g.\|(a b)	=10.808591(-	-)
a	=	97°16\'22"	log.tg.\|(b � a)	= 8.425566
b a	z	197°39\'52" 3° 3\' S"	log.cot.\|c log-tg-Kp � <l)	= 9.999229
b � il	= 9.2333S9(-	)
-!(b a)	=	98°49\'56"	*(p � q)	� _9°42\'44"
i(b - n)	=	1°31\'34"	-Je = \|(p q)	= 45° 3\' 3"
c	�	90° 6\' 6"	P	= 35°20\'19"
*c	=	45° 3\' 3"	\'1	= 54°45\'47"
1 g-tg-P		9.850678	log.tg.q	=10.150956
nc.log.tg.b	=	9.261935(�)	ac.log.tg.a	= 9.107927(-	)
ljg.cos.A	�	9.112613(�)	log.cos.B	= 9.258S83(-	-)
A		97°26\'48" log.sin.c log.sin.A ac.log.sin.a log.sin.C C	B � 9.999999 = 9.996321 = 10.003541 = 9.999861 = 91°27\'	= 100°27\'26"

-ocr page 140-

126

De tweede waarde van C = 8S°33\' voldoet ook aan de voor-
waarde dat C ^> A en <^ I? moet zijn. omdat c <^ a en <^ b
is, terwijl zij tevens voldoet aan de voorwaarde A -j- C ^ 180°
of B C > 180°, omdat a o > 180° en b -f c>180°is.

Uit de eerste oplossing blijkt echter dat C = 91°2G\'4S" is; de
eerste wijze van oplossing is dus verkieslijker, daar zij geen aan-
leiding geeft tot onzekerheid.

Het verschil in de waarde van C in de beide oplossingen, is een
gevolg daarvan dat O zoo dicht bij 90° is.
Tweede geval.

124. Zij gegeven de drie hoeken A, B en C\'.

1ste Oplossing. Ter berekening der onbekende elementen heeft

men uit stelsel (VIII):

sin.^a = y/

cos.S cos.(S � A)

sin.B sin.C
e;ss.S cos.(S � B)

sin.ib = \\/

sin.A sin.C
C3s.(t> � A) cos.(S � B)

COS.ie = Y/---------------:----T�:�ij-------------

\' ^Y sin.A siu.B

De zijden b en c kunnen echter, na berekening der zijde a, ook
gevonden worden door de formules:

sin .a sin.B

sin.b =: -----=�t�

sin.A

sin.a sin.C!

sm.c =: -----_:---------

sin.A
De gegevens moeten voldoen aan de voorwaarden

A B C > 211, A B � C < 2U, enz.
Ten opzichte van b en c uit de laatsle formules geldt dezelfde
opmerking als voor B en C in het eerste geval.

2^dc Oplossing. Men berekenc, fig. 50, vooraf de deelen P en
Q van hoek C. Hiertoe heeft men in de rechthoekige driehoeken
ACD en BCD:

cos.A r= cos.d sin.1\'
cos.B =z cos.d sin.Q,
waaruit: cos.A : cos.B = sin.F ; sin.Q,

css.A � cos.B sin.P � sin.Q,
cjs.A -f- cos.B siu.l\' -)- sin.Q
dat is: tg. KA B) tg.i(B - A) = tg. KI\' - Q) tg*(P Q)

en hieruit: tg.|(P � Q) = tg.$(A -f B) tg.J (B � A) tg.^C.

-ocr page 141-

127

Alsnu de hoeken P en Q bekend zijnde, heeft men :
cos.a = cot.B cot.Q
cos.b = cot.A cjt.1\',
terwijl de zijde c door den repel der sinussen kan worden berekend.
Voorbeeld van berekening.

Zij gegeven A = 1()2°53\'32", B = 63°18\'20", C = 7:i°57\'55".
Volgens de l^9te oplossing heeft men:


		A = 102°53\'32"
		B = 63°18\'20"
		C = 73°57\'55"
		2S = 240" 9\'47"
		S = 120° 4\'53"5
	s	� A = 17°11\'21"5
	s	� B = 56°46\'33"5

log.cos.S = 9.700039

log.cos.(S � A) = 9.980154

ae.log.sin.B =10.04S947

ac.log.sin.C =10.017234

9.746374

log.sin.ia = 9.873187

-|a = 48°18\'41"

"a = 96°37\'22"

log.css.(S � A) = 9.9S0154

log.cos.(S � B) = 9.738713

ac.log.sin.A =10.011088

ae.log.sin.B =10.048947

9.778902

log.cos.S = 9.700039

log.cos.(S�B) = 9.738713

ac.kg.sin.A =10.011088

ac.log.sin.C =10.017234

9.407074

log.sin.4b = 9.733537

log.cos.4c = 9.889451

ib = 32°40\'50"
b = 65°33\'lO"

�c = 39°10\'15"

"c = 78°20\'30"

Volgens de 2^de oplossing lieefc men:

A = 102°53\'32" log.tg4(A -f- B) =10.917096

: 63°1S\'20"
: l��°ll\'52"
; 83° 5\'56"
:�39°35\'12"
:_19°47\'�6"

Irg.tg.i(l) � A) = 9.550171(�)

log.ig.-iC = 9.876841

log.tg.i(P - Q)

B � A

i(B - A)

�(P -- Q) =�05°56\'9"

{C = 1(P Q) = 36°58\'57"5

P =�28°57\'11"5

Q = 102°55\'6"5

log.oot.A = 9.3 59622(�)

log.eot.P =10.257085(�)

log.cos.b = 9.016707
b = 65°33\'40"5

C = 73°57\'55"

3«°58\'57"5

log.cot.B

9.701418

log.cot.Q = 9.360537(�)
log.cos.a = 9.0(il955(�)
a = 96°37\'22"

-ocr page 142-



		128

		De negatieve waarde van P duidt aan dat de loodrechte boog buiten den driehoek, achter den stampen hoek A valt, zooals reeds uit de ongelijksoortigheid van A en B was op te maken. Derde geval. 125. Zij gegeven de twee zijden b en c en den ingesloten hoek A. late Oplossing. Men vindt de onbekende elementen door de formules van stelsel (V) en (VI): sin.J(b � c) tg.^B � C) = -:�f77�r�-rcoUA ° ^,v \' sin.i(b -j- c) cjs.ifb � c) Ig.UB 4- C) = -----TTi�rT\\^cot-7^A ^D ^2V \' \' cos.i(b -f- c) \' sin.ifB C\') cos.i(B 4- C) �� = ~~si�.I(B - C)~~ WC» - ^c) = ~~^Iq~~W» �> of door den regel der sinussen: sin.b sin..V sin.a = �:�ij----- sin.» 2^de Oplossing. In tig. 50, waarin de loodrechte boog uit een der hoekpunten op de overstaande zijde is neergelaten, zoodanig dat daardoor twee der gegevens in een der rechthoekige driehoeken voorkomen, een bijzonderheid, die in al de volgende gevallen moet iu acht geuomen worden, heeft men: tg.p =: tg.b cos.A en. dus q rr c � p. Verder is in de driehoeken BCD en ACD- 1°. cos.a � cos.q ous.d cos.b ;= cos.pcos.d, os.q cos.(c � p) waaruit: cos.a =:-------cjs.b = ----------------cos.b. cos.p cos.p 2°. tg.d = sin.p tg.A = sin.q tg.B, sin.p sin.p waaruit: tg.B � -.� tg.A = -�;----------; tg.A. ° sin.q ° sm.(c � p) ° Door den loodrechten boog uit B op de overstaande zijde te trekken, zou men op dezelfde wijze den hoek C\' verkrijgen. Het is echter duidelijk dat dit alleen een verwisseling der letters B en C en b en c ten gevolge heeft, terwijl p een segment van de zijde b wordt. Men heeft dus, dit in acht nemende, door de formules uit 2°: sin.p\' tg.C = -■�TT---------x tff.A ei: Ig.p == tg.c cus.A. ⁶ sin.(b � p )

-ocr page 143-



		125)

		3<if Oplossing. De onbekende elementen kunnen ook recht- streeks uit de grondfonnules worden afgeleid. De zijde a uit: cos.a = CDS.b cos.c -f- sin.b sin.c cos.A . . (1) De hoek B uit: cot.b sin.c =: sin.A cot.13 -f- cos.c cos.A . . (2) Uc lioek C uit: cot.c sin.b = sin.A cot.C -f~ cos.b cos.A . . (3) welke nog voor logarithmische berekening gesahikt moeten gemaakt worden. Uit (1) heeft men: cjs.a == cos.b (cos.c -)- tg.b sin.c cos.A). Stellende nu: tg.b cos.A = tg.p, / sin.c siu.p\'i dan wordt: cjs.a = cos.b (cos.c 4- ------------1. \\ \' cos.p \' i . � cos.(c � pj dat is: cos.a =z----------------cos.b. cos.p Uit (2) volgt: cot.b sin.c � cjs.c os.A /sot.b sin.c v col.B = --------------:�t-------------- = cot.A ---------r� � COS.C). sin.A \\ cos.A I cot.b Uit tg.b cos.A == tg.p heeft men: -----r = cot.p, en hierdoor: o D\'l COS.A * /cos.p. sin.c \\ sin.fc � p) cot.13 = cot.A ----■-------- � cos.c = ------:--------cst.A, \\ siu.p � sin.p \' sin.p of: tg.B = -T-.----■-----rtg.A. ⁿ sm.(c � p) ° Uit (3) heeft men op dezelfde wijze voor C: ,, _ sin.p\' ^g ^� ~~_sin.(b � p\')~~ ^ts\'^A\' ^Waann ^tg\'^p ~ ^tB-^CC3"-^A- Alen zal opmerken dat de oplossing uit de grondfonnules dezelfde uitkomsten geeft, als die met behulp der rechthoekige driehoeken. Men had echter ook kunnen stellen tg.b Cos.A == col.p en zou dan verkregen hebben: sin.fc -f p) cos.a = ------:---------cos.b sin.p cos.p tg.13 = � -----t�-----, tg.A. ^B cos.(c -f- p; ° Voorbeeld van berekening. /ij gegeven b = 125°23\'85", c = 50°23\'J6", A = 90°56\'43". Volgens de l^,c oplossing heeft men: \'J*

-ocr page 144-

130

b = 125°23\'35"

c = 50°23\'46"

1) � c = 74°59\'49"

b c = 175°47\'21"

-J(b � c) = 37°29\'54"5

i(b -f c) = 87°53\'40"5

A = 90°56\'43"

-iA = 45°28\'21"5

log.sin.i(b � c) = 9.784432 log.cos.i(b � e) = 9.899476

!ic.log.sin.i(b -f c) =10.000293 ao.log.cos.J(b -f.c) =11.434882

bg.ot.iA = 9.992835 log.cjt.|A = 9.992835

log.ig.-|(B � C) == 9.777560 log.tg.|(B C) =11.327193
��(B � C) = 30°55\'46" -|(B -f C) =87°18\'17"

B = 118°14\' 3"
C = 56°22\'31"

lcg.ain.J(B -f C) = 9.999520 log.siu.b = 9.911204

ac\\log.sin.|(B � C) =10.289052 log.siu.A = 9.999941

log.tg.J(b � c) = 9.884950 oc.lcg.sin.B =10.055012

log.tg.-Ja =10.173528 > log.sin.a = 9.966217

-Ja = 56° 9\'13" a = 112°18\'27"

u = 112°18\'26"
Doei- sin.a vindt �r.en twee waarden voor a, waarvan de grootste
genomen is, htewel beide waarden voldoen aan de eigenschap van
90. De berekening van Ja verdient dus de voorkeur.
VcJger.s de 2^de en 3^dc oplossing heeft men:

bg.tg.b =10.148448(�) log.tg.c =10.082292

bg.cos.A = 8.217413(�) log.c s.A � 8.217413(�)


	>< K-W	= 8.299705(�)
	P\'	= �1° S\'32"
	b � p\'	= 126°32\' 7"
	log.sin.p\'	= 8.299599(�)
	b g.tg.A	= 11.782527(�)
	iu.(b � p\')	=10.095019

logtg.p = 8.365861
p = 1°19\'49"
q = c � p = 49° o\'57"
log.cos.(c � p) = 9.816308

log.cos.b = 9.76281 fi(-)
ac.log.cos.p =10.000117 ac.lcg.s

bg.ets.a = 9.579301(�) log.tg.C =10.177145

a = 112°18\'27" C = 5\'J°22\'27"

-ocr page 145-



		131

		log.sin.p = 8.365779 log.tg.A =11.782527(�) ao.log.sin.(c � p) =10.121786 kg.tg.B =10.27O092(�) B = 118°13\'56" liet verschil in de waarden van B en C, in beide oplossingen, wordt verklaard uit de waarde van A, die weinig van 90° ver- schilt, en die in de eerste oplossing door JA in rekening komt. De uitkomsten der eerste oplossing zijn dus meer te vertrouwen. Voor a vindt men geen noemenswaardig verschil, omdat die in beide oplossingen onafhankelijk van A of liever van tg.A gevonden wordt. Vierde geval. 12(5. Zij gegeven een zijde a met de beide aanliggende hoeken B en C. ]it« Oplossing. Men heeft door de Neperiaansche analogie�n: cos.-\|(B � t\') tg-Kb e) = ~~_cos ,_\|(B _C)~~ tg.ja sin.J(B � C) tg.Kb - e) = _giM(B _c)tg.Ja sin.-Ub -f- c) cos.i(b c) ^cot-^A = ~~a..i(bIo)~~^cB -^c) = ~~₀₃₈.;lbIc)~~^^B ^c) De heek A door den sinus te berekenen is niet raadzaam, om- dat het dan weder twijfelachtig* zou kunnen zijn welke waarde in rekening meet gebracht worden. 2> Oplossing.* Uit tig. 50 heeft men weder ter berekening van Q: C )t.Q = cos.a tg.B en P := C � Q. Verder heeft men in de beide rechthoekige driehoeken: eos.A =: cos.d sin.l\' C38.B = cos.d sin.Q, cjs.A sin.P sin.(C � Q) ^waaruit: c^sTl = shTQ = "~s�TQ sin.(C � Q) dus: cos.A = ------^^Q-----cos.B. tg.d =z tg.a cos.Q zz tg.b cos.(C � Q),

-ocr page 146-

132

cos.Q

dus: tg.b =z -----77;-------f\\\\ tg.a,

^b cos.(G � Q) ° \'

terwijl me» voor c, oin dezelfde redenen nis voor C in liet derde
geval, vindt:

cot.Q\' = cos.a tg.C
cos.Q\'
^�^c = cos.(B - Q\') *�"�

3^<le Oplossing. Be grondformules, waaruit de onbekenden
kunnen worden gevonden, zijn:

voorh\'jekA: cos.A = �cos.B cos.C -j- sin.B sin.C cos.a. . (1)

voor zijde b: cot.b siu.a =z sin.C cot.B -|- cos.a cos.C . . . . (2)
voor zijde c: cot.c sin.a = sin.B cot.C -}- cos.a sos.B . . . . (3)

die weder tot logarithmischen vorm moeten gebracht worden.
Uit (1) heeft men:

cos.A == cos.B (� cos.C -f- tg.B sin.C cos.a).
Stellende nu tg.B cos.a = cot.Q, dan wordt:

cos.A = cos.B (� cos.C -j- cot.Q sin.C),
sin.(C � Q)

of: COS.A =: --------:�~----- COS.B.

sin.Q
Uit (2) volgt:

sin.C cot.B -f- cos.a cos.C

/sin.u cat.� \\

�a �� cs.C .

\\ cos.a � !

cot.b =:------------

sin.a

= cot

cot.B
Hierin is: ------ � tg.Q en dus:

COS.il

cot.b rr cot.a(sin.C tg.Q -(- cos.C),

cos.(C � Q)

derhalve: cot.b = ---------p;-----cot.a,

cos.Q

01: tg.b = -----ra--------rrr tg.a.

° cos.(C � Q) °

Evenzoo uit (3):

cos.Q\' cjt.C

^tS-^c = -----~~,,. r^~~tg.a eu ------ = tg.Q\'.

cos.(B � Q\') ° cos.a ° ^

Voorbeeld van berekening.

Zij gegeven a = 108°19\'12"5, B= 57°13\'12", C = 120°0\'25".
Door de formules uit de l^,te oplossing heeft men:

-ocr page 147-

133


	B	�	5J°13\'12"
	C	=	120° 0\'25"
B	� c	=■	�62°47\'13"
]?	-f c	�	177°13\'37"
«B	-C)	=.	�31°23\'36"5
KB	-f-c)	=	88°36\'48"5
	;i	�	108°19\'12"5
	*a	�	54° 9\'36"

log.cos.-J(B � C) = 9.931260

!.log.cos.|(B C) =11.616239

log.tg.ia =10.141292

log.tg.|(b c) =11.688791

�(b -f o) = 88°49\'37"5

log.sin.}(B � C) = 9.716764(�)

ac.log.sin.�(B -j- C) =10.000127

log.tg.Ja =10.141292

log.tg.4(b � c) = 9.858183(�)
i(b � o) =�35°48\'25"5

c = 124°a8\' 3"
b = 53° 1\'12"
log.sin.-K\'o c) = 9.999909
ac.log.sin.^(b � c) =10.232801(�)
log.tg.*(B C) = 9.785504(�)

log.oot.iA =10.018214
-i-A = 43°47\'56"
A = 87°35\'52"
Hier is l(b � c) negatief genomen, omdat B <^ C zijnde ook
b <^ c moet zijn.

Door de f jrmule3 uit de 2^de en Z^ie oplossing heeft, men:

log.cos.a = 9.497380(�) log.cos.Q = 9.642110(�)
log.tg.B =10.191135 log.lg.a =10.480031 (�)

log.cot.Q = 9.688515(�) ac.log.cos.(C�Q) =10.001054
Q = 116° 1\' 2" log.tg.b =10.123195
P = (C�Q) = 3°59\'23" b = 53°1\'11"

log.sin.(C�Q) = 8.842469 log.cos.a = 9.497390(�)
log.cos.B = 9.733530 log.tg.C =10.238439(�)

ac.log.sin.Q =10.046403 log.cot.Q\' = 9.735829
log.cos.A = 8.622402 Q\' = 61°26\'28"

A = 87°35\'51" B � Q\' =�4°13\'16"
log.cos.Q\' = 9.679484
log.tg.a =10.480031(�)
ac.log.cos.(B � Q\') =10.001179

log.tg.c =10.160694(�)
c = 124°38\'2"

-ocr page 148-



		13

		V ij f d e geval. 127. Zij gegeven twee zijden n en b met den overliggende;i hoek A. l»te Oplossing, Men heeft ter berekening der onbekende ele-

		menten :

		sin.b sin.A

		sin.B =

		sin.a Bin.(A Bl cos.ifA B) , , �� = ~~sin.j(A-B)~~ «* - ^b> = e^fev^B) «*<� b) _coUC ₌ �f fW-Bj = ~~"\'t~~* Htg-KA B). ² sin.�(a � b) ⁸ ^2V \' cos.\|(a � b) ^ft ^av \' \' Daar de hoek B door zijn sinus bepaald wordt, wordt tot de bestaanbaarheid van den driehoek gevorderd dat sin.b sin.A <^ sin.:i is. Maar zelfs indien aan deze voorwaarde is, kunnen de gege- vens behooren tot twee driehoeken, tot een driehoek, of er kan geen driehoek met die gegevens bestaan. Uithoo&le van deze onzekerheid worden dit geval ea het volgende de twijfelachtige gevallen genoemd. Men kan echter uit de gegevens, mits voldoende aan de voor- waarde sin.b sin.A <^ sin.n, reeds beoordelen cf zij tot twee, een of geen driehoek behooren door de volgende opmerkingen. 1°. Is a > b, a -f- b > 180°, dan is ook A > B en A -f B > 180°. Daar nu A niet scherp kan zijn, zal zoowel B als 180° � B kunnen voldoen, want stellende A = 90° -f- A\' en B = 90° B\', dan is A\' > B\' en zal dus voor beide waarden van B, A -f B > 180° zijn. 2°. Is a < b, a -f b < 180°, dan is ook A < B en A -f B < 180°. Daar uu A niet stomp kan zijn, zal zoowel B als 180° � B voldoen, want wederom A = 90° � A\' en B = 90° B\' stellende, is A\' > B\' en derhalve voor beide waarden van B, A -f B < 180°. 3°. Is a > b, a -f b < 180°, dan is A > B en A -f B < 180°. Hetzij nu A scherp of stomp is, in beide gevallen kan alleen de scherpe waarde van B voldoen. 1°. Is a < b, a -f- b > 180°, dan is A < B en A -f B > 180°. Hetzij nu A scherp of stomp is, B zal stomp moeten zijn om te kunnen voldoen.

-ocr page 149-



		135

		Uit het behandelde in 1° en 2° vindt men mi gemakkelijk den volgenden regel. Kr zijn twee driehoeken, als: A ^ 90°, a ^ b, en a -f b ^ 180°. Er is geen driehoek, nis: A ^ 90°, a ^ b, en » -f li ^ 180°. In alle overige gevallen vervat in 3° en 4° is er een driehoek. Is sin.b sin.A = siu.a, dan is E r= 90° en zal er slechts een rechthoekige driehoek zijn, indien de gegevens aan de eerste voor- waarde voldoen. 2^de Oplossing. In fig. 50 heeft men: tg.p = tg.b cos.A en verder: cos.b = cos.d cos.p cos.a = cos.d cos.q, cos.b cos.p cos.p waaruit: ------ =: ------ =-----;;----------;> cos.a cos.q cos.(c � p) cos a derhalve: cos.fc � p) = -----r^c ^os-P- ^v ■\' cos.b ^l Hierdoor vindt men voor c � p twee waarden q en � q, en dus c = p q, welke beide waarden van c positief en kleiner dan 180° moeten zijn. Voor den hoek C heeft men: cos.P zz cos.b tg.A tg.d = tg.b cos.P = tg.a cas.Q, tg.b waaruit: cos.(C � P) = ��cos.P, lg.ct geldende hier voor C dezelfde opmerking als voor c. Nog heeft men : sin.d � sin.b sin.A rr sin.a sin.B, sin.b sin.A waaruit: sin.B = _sh, _a � 3^de Oplossing. Men kan de onbekenden ook vinden uit de grondforinules: voor hoek B: sin.a : sin.b = sin.A : sin.B......(1) voor zijde c: cos.a =. cos.b cos.c -f- sin.b sin.c cos.A . . . (2) voor hoek C: cot.a sin.b = sin.Ccot.A -f- cos.b cos.C. . . (3) Uit (1) heeft men dadelijk:

-ocr page 150-



		136

		sin.b sin.A sin.B = ------■.--------- sin.a Uit (2) volgt: , . . cos-a eos.c -j- tg.b sin.c cos.A = ��r- Door nu tg.b cos.A = tg.p te stellen, verkrijgt men: cos.a cos.(c � p) � -----r cos.p. ^v ^l\' cos.b ^l Eindelijk heeft men uit (3): cot.A cos.C ■-----r sin.C = cot.a tg.b. ¹ cos.b ⁶ cot.A Stelt men nu -----r = tg.P, dan vindt men: cos.b ■ \' tg.b cos.(C � P) = -r- cos.P. \' tg.a Voorbeeld van berekening. Zij gegeven a = 65°3S\'40", b = 78°20\'30", A = C3°18\'20". Paar A < 90°, a < b en a -f b < 180° is, zullen er twee driehoeken mogelijk zijn. Volgens de l\'^te oplossing heeft men: log.sin.b = 9.990947 log.sin.-»(a � bj = 9.046496(�) log.sin.A = 9.951053 ac.log.9iu.�(a -f- 1») =10.02191-1. ac.log.sin.a =10.040766 log.oU(A � B) =11.030153(�) log.sin.B = 9.982766 logcot.�C =10.098563 1? = 73°57\'55" iC � 51°26\'47"5 IV = 106° 2\' 5" O = 102°53\'35" a � b =�12°46\'50" log.sin.i(n � b) = 9.046496(�) n -f b = 143°54\'10" nc.log.sin.$(a b) =10.021913 ■�(a � b) = � 6°23\'25" log.ot.tfA -- B\') =10.407620(�) tfa b) = 7l°57\' 5" log.tg.\|C\' = 9.476030 A � B =�10°39\'35" ^C\' = 10°39\'35" A � B\' =�42°43\'45" C\' = 33°19\'10" . tfA � B) =- 5°19\'47"5 log.cos.tfA B) = 9.561461 tfA�B\') =�21°21\'52"5 ae.log.cos.�(A � B) =10.001882 A B = 137°16\'15" log.tg.tfa b) =10,486972

		A B\' = 169°20\'25" log.tg-ic =10.050315 -i(A -f B) = 68°38\' 7"5 i-c = 4S°18\'42" tfA B\') = 84°40\'12"5 c = 96°37\'24"

-ocr page 151-

137

log.cos.i(A -f- IV) = 8.967966

ae.log.cos.-*(A � B\') =10.030919

log.tg.i(a b) =10.486972

log.tg.-|c\' = 9.485957
$c\' = 17^cl\' 9"
c\' = 34°2\'1S"
De elementen van elk der driehoeken zijn dus behalve de ge-
gevens :

B = 73°57\'55" B = 106° 2\' 5"

C = 102°53\'35" C = 33°19\'10"

c = 96°37\'24" c = 34° 2\'18"

Volgens de 2^de en 3^ae oplossing heeft men als A = 121°52\',
a = 76°36\', b = 50°16\' is;

lag.tg.b =10.080295
log.cos.A = 9.722588(�)

log.tg.p = 9.802883(�)
p = � 32°25\'20"
log.cos.a = 9.365016
ae.log.cos.b =10.194353
log.c^s.p = 9.92G404

bg.cos.b
losr.tg.A

: 9.805647
:10.206462(�)

log.cot.P =10.012109(�)

P = � 44°12\'5"

log.tg.b =10.080295

a3.log.tg.» = 9.377003

log.cos.P = 9.855455


>) =	9.485773	log.os.(C �	P) = 9.312753
p =	72°10\'46"	f! �	P = 78° 8\'34"
c =	39°45\'26"		C = 33°5fi\'29"
	log.sin ,b	= 9.885942
	log. sin. A	= 9,929050
	ae.log.sin.a log.sin.B	=10.011987
	= 9.82(5979
	B	= 42°10\'30"

log.eos.(c

Omdat A > 90°, a > b, a -f b < 180° voldoet maar een
driehoek, waarin B <�. 90°- Verder is c = p-|-q en C = P -f- Q
genomen, omdat p � q en P � Q beide negatief worden. De
waarden van p en P zijn negatief, omdat de loodrechte boog buiten
den driehoek valt, zooals blijkt uit de ongelijksoortigheid van A en B.

Zesde geval.
128. Zij gegeven de hoeken A en B en de o verliggende
zijde d.

-ocr page 152-

138

l»tc Oplossing. .Men vindt de onbekende elementen uit de
formules:

sin.a sin.B
sin.b = �:�j� \'
bm.A

terwijl c en C gevonden worden uit dezelfde formules als in het

\\ijfde geval.

Door een gelijksoortige redencering als in het vijfde geval, kan
men uit de betrekkingen tuss:\'hen de gegevens afleiden of er twee,
een, of geen driehoek aan de gegevens zullen voldyen. Gemakke-
lijker komt men daartoe echter door de eigenschap van den pool-
driehoek toe te passen op den gevonden regel uit het voorgaande
geval. Men verkrijgt daardoor:

Er zijn twee driehoeken, als:

a < 90°, A < B, A B < 180°.

Er is geen driehoek, als:

a > 90°, A < B, A li^ 180°.

In alle andere gevallen een driehoek.
2*" Oplossing. In fig. 50 heeft men:
1 °. cot.Q = cos.a tg.B

Verder: cos.B = cas.d sin.Q

cos.A = cos.d sin.P = cos.d sin.(O �■ Q),
sin.(C � Q) cos.A

waaruit:

sin.Q ~ c )S.B

cos.A

derhalve: sin.(C � Q) = .�

sin.Q.

eos

2°. tg.q =: tg.acas.B

tg.d =r sin.q tg.B =: sin.p tg.A = sin.(e � q)tg.A,

tg.B
waaruit: sin.(c � q) =. �-r-sin.q.

.\'5°. sin.d zr sin.a sin.B = sin.b sin.A

... . , siu.B .

en hieruit: sin.o = -�r sin.a.

sin.A

Daar C � Q en e � q beide door hun sinus bepaald worden,
vindt men voor beide twee waarden, die elkanders supplementen
zijn. Men heeft dus:

C � Q = P en 180° � P, c � q = p eu 180° � p,
dus: C = P Qenl80° �(P�Q); c = p-f q en 180°� (p�q),
die beide positief en kleiner dan 180° moeten zijn.

-ocr page 153-

139

8*« Oplossing. De grondformules, waaruit de onbekenden
kunnen gevonden worden, zijn:

voor de zijde b: sin.a : sin.b = sin.A : sin.15.....(1)

voor hoek C: cosA = � cos.B cjs.C -}- sin.Bsin.Ccos.a. (2)

voor hoek c: eot.a =in.c = sin.Bcot.A -j- cos.c cos.B . . (3)

Uit (1) volgt:

sin.a sin.B

siu.b r= -----:�;-----

sin.A

Uit (2) heeft men:

eos.A

-^5 = � cos.C 4- tg.Bsin.Ccos.a.

COS.B \' °

Stelt men daarin: tg.B cos. a =: cot.Q, dan wordt:

OS.A

eos.B

= � eos.C -)- sin.C eot.Q

eos.A
en hieruit: sin.(C � Q) = ��^ sin.Q.

l^Tit (3) volgt:

eot.a .

cos.c � -----r, sin.c = � eot.A tg.B

c is.B °

ot.a

en nu -----r; =z cot.q stellende, heeft men :

cos. Il ⁿ \'

eos.c � cot.q sin.c = � cot.A tg.B,

tff.B

waaruit: sin.fc � a) rr .�r sin.n.

^v " tg.A *

Voorbeeld van berekening.

Zij gegeven A = 118°50\', B = 40°13\'5", a = 38°15\'15".
Van de l^8te oplossing zullen wij hier geen voorbeeld geven,
omdat die dezelfde is als in het vorige geval.
Volgens de 2^de en 3\'^,e oplossing heeft men:

log.sin.a = 9.791797

log.sin.B = 9.810030

ac.log.sin.A =10.057483

log.sin.b = 9.659310
b = 27°9\'9"

-ocr page 154-

140

log.eos.a = 9.895020 log.coU =10.103223
lo";.tg.l5 = 9.927168 ac.log.cos.B =10.117129

log.cot.Q = 9.822188 lug.cot.q =10.220352

Q = 56°24\'53" q = 31°3\'3"

log.cjs.A = 9.083284(�) log.tg.B = 9.927168

los.sin.Q = 9.920678 ae.log.tg.A = 9.740767(�)

ac.log.cos.B =10.117129 log.sin.q = 9.712479

log.sin.(C � Q) = 9.721091(�) log.sin.(c � q) = 9.380414(�)
C � Q =�31°44\'39" c � q =�13°53\'36"
C = 24°40\'14" c = 17° 9\'27"

Voor b is de kleinste waarde genomen, omdat B <^ A zijnde,
ook b <^ a is, terwijl voor C en c alleen P -\\- Q en p -\\- q is
in rekening gebracht, daar de beide andere waarden beide grooter
dan 180° zijn.

Ten slotte zij nog opgemerkt, dat men in het eerste en tweede
geval bij voorkeur de formules van de eerste oplossing, in de
overige gevallen liever die van de tweede oplossing gebruikt.

129. Men berekene nu de onbekenden van de volgende drie-
hoeken, waarin gegeven zijn:


a	= 50°36\'39",	b	= 67°21\'40",	c	= 80°12\'21".
A	= 59°29\' 6",	:n	= 54°39\'32",	C	= 92° 0\' 0".
a	= 48°26\'39",	i)	= 51°36\'30",	(\'	= 71°30\'30".
A	= 80°10\' 6",	B	= 58°48\'36",	e	= S6°12\'52".
a	= 67°34\' 6",	li	= 72°30\',	C	= fi9°50\'.
A	= 54°30\',	1!	= 25°37\'22",	a	= 77°50\'42".
a	= 51°34\'36",	b	= 27°34\'18",	c	= 44° 5\'.
A	= 61°56\'42",	B	= 46°50\',	f:	=115°45\'.
a	= 95°30\',	c	= 115°10\',	A	= 97°20\'.
n	= 84° 5\',	0	= 78°,	15	= 61°15\'.
.V	=132°54\',	B	= 99°10\',	(\'	=126°50\'.
a	= 83°30\',	e	= 55°,	15	= 05°40\'.
A	= 33°50\',	B	= 71°15\',	e	= 53°.
A	= 34°22\'17",	a	= 40°18\'29",	e	= 67°14\'20".

1°.

2°.

3°.

4".

5°.

6°.

7°.

8°.

10°.

11°.

12°.

13°.

14°.

15°. A =139°53\'52", B = 42°42\'46", a =109°15\'33".

16°. A = 63°18\'20", B = 73°57\'55", 0 =102°53\'32".

17°. B = 45°45\'45", b = 20°19\'18", c = 95°14\' 8".

18°. Van een driehoek gegeven de zijde a, de hoek A en de

-ocr page 155-



		141

		som of het verschil der beide andere zijden of hoeken, de onbekende elementen te berekenen? 1⁽J°. Indien van een driehoek bekend zijn twee der zijden a en b, benevens de som of het verschil der overstaande hoeken, hoe vindt men dan de overige elementen? 20°. Van een driehoek is gegeven a -f- b =: �, de hoek C en de loodrechte boog d, die uit C op de overstaande zijde valt, hoe vindt men nu de overige elementen? 21°. Als van een driehoek de drie hoeken ieder in het bijzonder scherp zijn, dan zijn ook de zijden kleiner dan een kwadrant. Hoe bewijst gij dit? 22°. Van een driehoek met drie stompe hoeken, zijn de drie zijden ieder stomp, of twee zijn stomp en de derde scherp. Men vraagt het bewijs? 23°. Van een bolvormigen driehoek zijn gegeven twee zijden, benevens de boog welke den ingesloten hoek midden door- deelt, en op de overstaande zijde valt; men vraagt de hoeken en de derde zijde te berekenen. 24°. Waarin veranderen de formules ter oplossing van het eerste, derde en vijfde geval, als de gegeven zijden gelijk, en die van het tweede, vierde en zesde geval als de gegeven hoe- ken gelijk zijn? 25°. Hoe groot zijn de hoeken van een driehoek, wiens zijden alle gelijk 60° zijn? 26°. En door welke formules kan men de onbekenden berekenen als C = A -f B is? cos.^fa � b) 27°. Uit tg.\|(A B) = ~~_cQS ^_a \| _bj~~ cot.^C aan te tooncn, dat als a -f- b kleiner, gelijk of grooter dan 180° is, ook \\ -f- B kleiner, gelijk of grooter dan 180° zal zijn. 28°. Uit een punt genomen in de gemeene doorsnede van twee vlakken, is in elk dier vlakken een lijn getrokken. Indien uu de hoeken bekend zijn, welke die lijnen onderling en elk met de gemeene doorsnede der twee vlakken maken, vraagt men de hoeken te bepalen waaronder deze lijnen op de beide vlakken hellen. 29°. Uit een punt in de gemeene doorsnede van twee vlakken is in elk dier vlakken een lijn getrokken. Zoo nu gegeven

-ocr page 156-



		142

		zijn do standhoek dezer vlakken, en de hoeken die deze lijnen elk met de geniecnc doorsnede maken, zoo vraagt men den hoek te bepalen die deze doorsnede maakt met het vlak dat door de twee lijnen kan gebracht worden. 30°. Van twee plaatsen A en B op aarde is gegeven de lengte « en al en de breedte /3 en J3\'; men vraagt de lengte van den boog des grooten cirkels die door deze plaatsen gaat, in de onderstelling dat beide op noorderbreedte gelegen zijn. En welke veranderingen ondergaat deze formule als de breedte ongelijknaniig is? 31°. Men vraagt de standhoekcn te bepalen van het regelmatig vier vlak, aehtvlak, twaalfvlak en twintigvlak.

		§ 21. Herleiding vnn een hoek tot den horixont. 130. Dit vraagstuk, reeds in 72 door de eigenschappen van den rechtlijnigen driehoek opgelost, zullen wij thans door die van den bolvonnigen driehoek oplossen en het tevens doen dienen als een voorbeeld hoe men kleine bogen in rekening brengt om een gewenschten graad van nauwkeurigheid te verkrijgen. Zij, tig. 51, O een punt op de aarde waaruit men den hoek, waaronder men de beide sterren A en B ziet, heeft gemeten ; in- dien men dan verder de hoogte dezer punten boven den horizont meet, dan heeft men de volgende gegevens : AOT5 =: AI? � a, AOC = AC = « cnBOD = Bl)=/?, terwijl gevraagd wordt hoek COI) = CD = <p. Indien nu 1\' de pool is van den horizont, dan is: AP = 90° � x BP = 90° � (3 en hoek P = Cl> = CO

-ocr page 157-



		143

		on dus in den bolvormige» driehoek ABP: cos.AB = cos.Al\' cos.BP -(- sin.AP sin.BP cos.1\', dut is: eos.a :z: sin.* sin./? -)- cos.* cos./? cos.y?, cos.a � sin.* sin./? waaruit: eos.cp =: ------------------x------ . . . . (li ^T cos.at cos./� ^v \' welke, even als in 72, voor lrgarithmisehe berekening geschikt gemaakt kan worden. Zijn echter de bogen * en /? y.eer klein, waardoor de berekening onnauwkeurig zou worden, dan herleidt men de formule op de volgende wijze: Men heeft: 1 _ ______________1 _ cos.* cus./? \|/(1 � sin.-\')(l � sin.-/?) 1(1 � sin.²)(l � sin.²/?)! ~^- * Ontwikkelt men nu deze macht door het binomium en verwaar- loost men de termen van den vierden graad, dan heeft men: 1 i ~~c :s,* cos./?~~� ^!!�(^si"-\'-^a ^si"-²/3): ^�=l-H(sin.»« 8in./?). Door deze waarde in formule (1) te substitueeren komt er: ccs.ip z=.* (cos.a � sin.* sin./?) 11 -j--J (sin.²* -\|- sin.²/?J! , dat is na ontwikkeling en venvaarloozing der vierde machten: cos.p = cos.a� sin.* sin./? -f- ■§ cos.a (sin.²* -f- sin.²/3). . (2) Omdat nu in de aangenomen onderstelling de zijden AP en BI\' weinig van een kwadrant verschillen, zJ ook het verschil tusecben den hoek P en de boog AB zeer klein zijn. Stelt men dus <p =z a -f- x, dan is x zoo klein, dat cos.x = 1 kan gesteld worden, en dus: cos.p = cos.(a -\\- x) = cos.a � sin.a sin.x. Brengt men dit over in vergelijking (2), dan heeft men: sin.a sin.x = sin.* sin./? � -J-cos.a (sin.²* -f- sin.²/?), 2sin.a sin./? � cos.a (sin.² -4- sin.²/?] waaruit- sin.x = -----------------------=-:-------------------------- 2sin.a en daar sin.²Ja -j- cos.² Ja =z 1 en cos.a � cos.-\'Ja � sin.\'-\'-Ja is, heefc meii verder: sin.x =: 2sin.* sin./?(sin.²-Ja-\|-eos.²-Ja)� (cos.⁵-Ja�sin.\'-Ja) (siii.²*-j-sin.\'-/?j 4sin.Ja cos. Ja of door de termen met sin.²ia en die met cos.²-Ja te vereenigen:

-ocr page 158-



		144

		sin.²fa(sin.<x -f- sin./?j² � cos. ²fa (sin.a � sin./3)²4sin.\|a cos.fa of na vereenvoudiging: sin.x s= ftg.-fa (sin.* -\\- sin./?)² � i[c:>t.-\|a (sin.a .� sin./3j- . . (3) Wegens de kleinto der hoeken of bogen a, /? en x kan men stellen: sin.x : sin.a : sin./? : sin.1" ss x : .« : i/Sv: i, waaruit: sin.x zz x.sin.1" sin.a zz a.siu.1" sin./? = /?.sin.l". Door substitutie van deze waarden gaat formule (3) over in: x = *tg.�a(a /?)² sin.1" � ieot.ia(a � /?)² sin.1" . . (4) Men noemt deze formule de formule vau Legenbre. Men berekent door haar den boog x in seconden, die bij deu gemeten hoek a gevoegd worden om de horizontale projectie te verkrijgen.

		Berekening; van het oppervlak van den holvonnigen driehoek. 131. Indien men het oppervlak van den bol O noemt, eu het spherisch exces A B C � 180° =s E stelt, dan zal het oppervlak van den driehoek, zoo men dit 1 stelt, worden gevonden uit: I = \|x-K). Het oppervlak van een bolvormigen driehoek zal dus onmiddelijk uit de drie hoeken kunnen gevonden worden. Men zal dus in de verschillende gevallen deze hoeken eerst moeten berekenen; in het eerste en derde geval kan E echter onmiddelijk uit de gegevens worden afgeleid. Zijn de drie zijden gegeven, dan heeft men uit de formules van Gjvuss, stelsel (IX):

-ocr page 159-



		145

		cos.�(a � b) sin.\|(A B) = -----------1-------cos.iC cos.i(a -J- b) en cos.i(A B) = ~~^-g~~ _sin.i_C. Schrijft men deze in den vorm eencr evenredigheid, dan wor- den zij: sin.f(A - - B) : cos.-JC = cos.�(a � b) : cos.-jC cos.-§(A -f- B) : sin.^C zz cos.\|(a -f- °) ^: cos.\|c en hieruit: siu.-\|(A - - B) � cos.\|C ccs.\|(a � b) � cos.\|c sin.-\|(A B) -j- eos.-^C ~" eos.-�.(a � b) -\|- cos.^c cos.-\|(A -\|- B) � sin.�C cos.-\|(a -(- b) � cos.^c cos.-§(A -(- Bj -j- 8in.4C "" cos.-J(a -j- b) -f- cos.-\|c of daar cos.\|C = sin.(90° � \|C) en sin.-\|C = cos.(90° � \|C)is: tg.KA 4- B 4- C � 180°) fg~~1(A B--C lS0°~~) = %.«.- b .) t«� b .) a^g±g ^=«. b c)%.«.b-c. Vermenigvuldigt men deze beide vergelijkingen met elkander, en stelt men a -}- b - - c = 2s, dan komt er: tg.\|E = l/tgis tg.i(s � a) tg.i(s � b) tg.j(s � c), zijnde de formule van Lucillek. 132. Zij gegeven de zijden a en b en den ingesloten hoek C, dan kan het spherisch exces op de volgende wijze uit dezelfde formules gevonden worden. Men vermenigvulelige de eerste met sin.-JC, de tweede met cas.-JC, dan komt er door het verschil te nemen: i/a 1 -h j �s ^ccs-i0 ^b) � cos-K* � ") . _f, _cos._i(A B C) =-----------^�~c------------^HnC = sin.-J-a sin.�b � ■ \\ ) � ----------.-------gin.C. CJS.-^J Vervolgens vermenigvuldigt men de eerste met cas.-J-C en de tweede met sin.\|C, dan heeft men door optelling, tegelijk cos.²-\|C = 1(1 cos.C) en sin.^C =: �(1 � ccs.C) fitt\'llciulc: � miTim C38.-j(a�b) (1 cos.C) cos.Ka b)(l-cos.C) ₆₁n.l(A B C) =----------------------y^---------------------- c w.\'Ja cjslb -f- sin. Ja sin.^b cos.C cos.-ie 10

-ocr page 160-



		146

		Deelt men nn de laatste door de eerste, dan heeft men, omdat A -f B -f- C = 180" E, derhalve i(A -f B C) = 90° ^E is: cot.ia eot.ib -j- cos.C cot.iE = �-------?-_FP^z-------- ^J sm.C Om deze formule voor logirithniische berekening geschikt te maken, stelle men als C <[ 90° is: cot.Ja COt.-Jb --------,, � te.²», cos.C ° ~ waardoor cot.-J-E = see.²pcot.C of tg.^E = cos.²9 tg.C wordt. Is C > 90°, dan stelle men C = 90° -\\- C\', waardoor: cot.-ia cot.ib � sin.C\' cot.-?,E =--------------^-tt,----------- cos.C cot.-\|a c:>t.\\b en stellende nu-------�-rr,� =: sec.²© of siu.²a>, naarmate deze sin.C ^r ^r\' uitdrukking gruoter of kleiner is dan 1, dan wordt in het eerste geval: cot-iB = tg.² 9 tg.C\' en in het tweede geval: cot.�E = � cos. ^�<p tg.C\'. 133. Schrijft men de formule (1) onder den vorm: sin.a sin.b sin.C �5V ~T i ) -- 4_COs.ia cjs.-jb cjs.-J-c en substitueert men daarna: 2l/sin.s sin.(s � a)sin.(s � b)sin.(s � c) sin.C =-------------------------:-------i�;-------------:-----------> sm.a sin.b dan komt er: � jp __ \|/sin.s sin.(s � a) sin.(s � b) sin.fs � c) 2cos.$a cos.-Jb cos.-^c .waardoor E ook kan gevonden worden als de drie zijden gegeven zijn.

-ocr page 161-

Het Grieksche alphabet.


	Gewone		Latijnsche
Hoofdletter.	schrijfletter.	Naam.	letter.
A	OL	alpha	A
1!	&	b�ta	B
r	y	gamma	ti
A	s	delta	D
E	c	epsilon	E
Z	s	z�ta	Z
II	\'i	�ta	11
8	5	th�ta	Th
I	t	jota	.1
K	K	kappn	K
A	A	lambda	I,
M	ft	mu	M
N	v	nu	N
Hl		xi	X
0	:	om ik ro n	0
n	X	P\'	1\'
p	0	rho	11
s	0"	sigma	s
T	r	tau	T
T	\'V	upsilon	Y
<i>	9	plu	Hi
\\	X	chi	(\'li
V	f	psi	Ps
il	o>	omega	00

-ocr page 162-

148

Opgaven van eenige waarden van v.

log.ir = 0.497150.
log.2?r = 0.798180.
log.i?r = 0.196120.

3.14159;
6.28319;
1.57080;

0.31831;

0.15915;

0.63662;
9.86960;

0.10132;

9.502850�10.

log.^; = 9.201820�10.

log.- = 9.803880-
log.sr² = 0.994300.

-10.

log.-a = 9.005700�10.

1.77245; log.|/«- = 0.248575.
1.25331; log.[/$ir = 0.098060.

0.56419; log.l/- =z 9.751425-
Nep.log.a- = 1.144730.

-10.

-ocr page 163-

-ocr page 164-



		BIJ TEN UITGEVER DEZES IS MEDE VERSCHENEN: L. A. C. VAN BEEST, Kennen en kunnen. Eerste taallessen en toepasselijke opgaven om schriftelijk ie bewerken. Prijs � 0.23. A. J< LEIJER, Berekening iler inhouden van vlakken en ffg- ehninen, voornamelijk ten dienste v.in varer.s- lie;len, die zich vo.r het examen ter verkrijging van een getuigschrift als ge�xamineerd stuurman trachten te bekwamen. . . . Prijs f 0.90. ---------------.-------_j Autw lorden rp idem.....Prijs � 0.10. -----------------------, het metriek stelsel v.m maten en gewigten vol- gsns de Wet van 7 April 1809 (Staatsblad N°. 57) verklaard. V druk. . Prijs � 0.25. -----------------------, Tabel van maten en gewigten. Plano. 2^C druk. Prijs � 0.15. -----------------------, Handboekje, bevattende de herleiding van oude ellen tot meters en van meters tot oude ellea. Prijs � 0.40. -----------------------, Beginselen van algebra, voor zooverre die noodig zijn tot de berekening der waarde eener gege- vene formule, voor burger-avond-, industrie- �n ambaohtsscholen.....Prijs � 0.20. -----------------------, Quadraat- en Kubusworteltrekking ten dienste van het onderwijs en tot zelfoefening aan- schouwelijk verklaard. Met een plaat. Prijs � 0.50. -----------------------, Beginselen van meetkunde voor burger-avond-, industrie- en ambachtsscholen. Ie stuk. Met 5 platen........Prijs � 0.80. -----------------------, Idem 2^e stuk. Met 4 platen. . Prijs � 1.�.

		Alom verkrijgbaar.

		il



		41

		1 � cjs.a ^X = ^1 cos.* = �«- ^fo�- ^⁵⁸)\' zoodat nu x zonder worteltrekking en door logarithmen kan wor- den gevonden. Voorbeeld 5. De onbekende op te lossen uit de vergelijking V(a b x) � \|/(a � b x) \|/(a b x) y/(a - b x) ~ ^c\' Men deele eerst teller en noemer door \|/a, dan is: 1/(1 �x)-\|/(l-�x)

		*Ka ~) k\'a-r)*

		Indien nu a, b en c re�ele waarden hebben, dan kan men b . a � x = sin.^>, dus x = -y sin.^ stellen, daardoor wordt \|/(1 ain.p) � \|/(1 � siii.p) _ \|/(1 -f- sin.p) l/(l � sin.p) � ^c � � � W deelt men nu weder teller en noemer door \|/(1 -\|~ ^s\'"-�>)> ^enneemt men in aanmerking dat, volgens form. (44) 1 � sin.9 sin.90° � sin.^ 1 -f sin.p ⁼ sin.90° sin.p ⁼ R(⁴⁶ � W is, dan heeft uien: 1 � tg.(45° � j<p) _ 1 tg.(45° � ty) ~ °\' dat is, na toepassing van form. (<>3), tg-aP = C, zoodat x bekend wordt uit de beide vergelijkingen a tg.^ip = c eo x = y sin.p. Ter herleiding van de breuk in vergelijking (a) had men ook kunnen gebruik maken van de beide laatste vergelijkingen uit 26. 4^e. Voorbeeld 6. /ij de vergelijking x \|/(p � q x²) = r. Hiervoor kan men schrijven: Zijn dus p, q en r re�ele waarden en daarenboven p en q beide positief, dan moet �x² ^ 1 zijn. Men stelle dus: q p � x² = sin.²cp of x == sin.w 1/�> p r r V _q