A. qu.

192

de oplossing-

ÜÜATERNION-VERGELIJKIMEN.

Typ. J. VAN BOEKHOVEN, Utrecht.

RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT

1903 4457

DE OPLOSSING

VAN

ATERNION-VERGELIJKIN&EN

PROEFSCHRIF

ter verkrijging van den graad van

^flctör in k ^is- en \'^atnnrhnnde

AAN DE JR.IJKS-]JNIVERSITEIT TE pXRECHT ,

na machtiging van den rector-magnificus

D^ J. A. O. OUDEMAï^S,

Hoogleeraar in de Faculteit der Wis- en Natuurkunde,

EN MET TOESTEMMING VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT

TEGEN DE BEDENKINGEN DEE WIS- EN NATÜÜEKUNDIGE FACULTEIT
te verdedigen

op Maandag den April 1890, des namiddags ten 3 ure,

PIETER THOMAS GßlWIS,

geboren te Delft.

^ -sa

t

V . ^ - ■ - . >

■îPî«

- - -

j,, j W .

, ---Ai , \' \' -

>

/>^AU mijne Puders

. - «««M-•

Aan het einde mijner academische studiën hreng ik
gaarne mijnen oprechten dank aan de Hoogleeraren bij
de faculteit der Wis- en Natuurkunde, wier onderwijs
ik heb mogen genieten.

Inzonderheid hen\' ik den Hoogleeraar Kapteyn erken-
telyk voor zijn degelijk onderricht en de mij betoonde
welwillendheid.

Met weemoed herdenk ik den onlangs overleden Hoog-
leeraar Buys Ballot, aan wiens onderwijs ik veel ver-
plicht ben.

Mijnen hooggeachten Promotor dank ik voor zijne leiding
en voor den steun, mij bij het samenstellen van dit proef-
schrift verleend.

E E E A T A.

Bladz. 3 reg\'. i v. b. waarden, voor; .• waarden

voor.

„ 19 „ 2en3v. o. „ (1 /); „ (i — ƒ)•

„ 20 „ 9„iov. b. „ (i j?); „ (i —ƒ).

- 32 „ 5 .. 9 " " "l/i; "1/— I-

„41 „II „ „ „ zoodat, „ dan is.

w

63 „ 5 V. O. „ cos ^ ^

lees: = j/\'

COS\'^ —
a

. . . .. ... .

- - -

......N \'

r

I H O U D.

Bladz.

EERSTE HOOFDSTUK. Vectorvergelijkingen .... i
TWEEDE HOOFDSTUK Quaternionvergelijkingen van den

eersten en tweeden graad...........15

DERDE HOOFDSTUK. Quaternionvergelijkingen van den

derden graad...........• • • ■ 33

VIERDE HOOFDSTUK. Coplanaire Vectoren. .... 39
VIJFDE HOOFDSTUK, Nader onderzoek omtrent het aan-
tal wortels der klasse q"^ = qa b........67

STELLINGEN................77

•■ii

i - tf

>

r.

\'T TT

. ,.......^^^

....... ^ --^i-^f^ ""A

f-t

^ f -^r^r^ . .a „ - . \' \' " I

ç . ^

d

X

HOOFDSTUK I.

Vectorvergelijkingen,

§ I. Eene quaternion-vergelijking van den eersten
graad ten opzichte van een onbekend quaternion q, laat
zich zoo algemeen mogelijk voorstellen onder den vol-
genden vorm:

Zbqa Zd.S. b\'qa\' V. b"qa".f= c,
waarin b, a, b\', b\'\', a", e, f, en c gegeven quater-
nions voorstellen en waaruit q bepaald moet worden.
Vervangt men in den derden term V.b"qd\' door b\'\'qa" —
S. b"qd\', dan neemt de quaternion-vergelijking de volgende
meer eenvoudige gedaante aan

Zbqa Zd.S.b\'qa\' = c.

De oplossing eener zoodanige vergelijking kan steeds
teruggebracht worden tot die eener lineaire vector-ver-
gelijking, zooals uit het volgende blijkt.

Neemt men van beide leden der bovenstaande verge-
lijking de scalar- en vectorgedeelten, zoo geeft zij twee
nieuwe vergelijkingen.

Bij toepassing der formules:

S.rq = S rSq S. Vr Vq en
V. /[iu = /S.^oc — ^S. ya -(- aS.(i/,

waarin r, q quaternions en «, (3, y vectoren zijn, worden
deze laatste vergelijkingen tot de twee volgenden herleid
wk 4- S. ij\'q = en

W1J  Q)q ^ I VaS. ÖQ VbS. aQ VdS.{ Va\'b\')Q \\=Ve,

waarin w = Sq, q ~ Vq, liSdS. b\'a\' ba = h

fj\' = ZSd V.a\'b\' -Y ZV.ab Q = Vb Sa — Sb Va)
f] =ZV.ba^Z VdS. b\'a\' h\' = Z{SbSa — Vb Va).
Elimineert men w uit deze twee vergelijkingen, en stelt
ter bekorting hiji\' &) = r hVc ~ i]Sc = y, dan
vindt men eene vergelijking van den vorm

= . . . . (I)

waarin a , a\'....., (i , . .\'. . . en / gegeven vectoren

zijn en r een gegeven quaternion.

De oplossing van de quaternion-vergelijking van den
eersten graad wordt dus teruggebracht tot die van
eene lineaire vector-vergelijking. Schrijft men deze in
den vorm

cpQ = y........(II)

en opereert men hierop met (jt- ~ dan vindt men

Q = C^- y.

Het probleem komt dus neer op het bepalen van de
omgekeerde functie cp ~

§ 2. Behandeling van eenige eenvoudige voorbeelden.

i V. aoli = y, waaruit q op te lossen.

Past men hierop de bewerkingen S. a en toe, dan is :
S. cc V. = S. a^Ql^ = a^S. ^q = S. uy en
S.^V. UQ^ = S. l^Qa = ccQ = S. [3y
waaruit volgt aS. = a - ^ S. ay en

^S.ccQ S.^y.

Daar de gegeven vergelijking ook kan geschreven worden
aS. ^S. ttQ — fjS. a[i = y

krijgt men, na substitutie der bovenstaande waarden, voor
de beide eerste termen

a - ^ S.af^ ^S.^jy — y

^ =---s:^-

Zijn «, (i, y coplanair, dan is S. a^y = o.
Na operatie met S. a(j op de gevonden waarde van q
krijgt men bij deze onderstelling

„ . S[SS.uy SaS.^y~S.ai3y S. a^y

-^^--

mits S. «j5 niet gelijk nul is.

De oorspronkelijke vergelijking wordt dan

uQ^ = y en dus q = k ^ y[i "
2¹. V. a^Q = y, waaruit q op te lossen.
/ = V.{S.  = QS.a^ V.{V.a§)Q.

Hierop met A". Va^i opereerende , heeft men

aliy = S. a[i

daar S.V.afi V.(V. SJ F. ^^ = o.

Deelt men beide leden der vergelijking

s. a^y = S. adgS. cc^ door S. «(5

en telt deze dan bij de gegeven vergelijking op, dan is:

, S. aliy .
y H----a O- = waaruit

O. ap \'

- 1

S.

3". V.UQ — y, waaruit q te vinden. Stelt men, daar
S. ttQ onbepaald is gelaten, S. ao = x, dan geeft dit, op-
geteld bij de gegeven vergelijking,

0!() — X -j- y.
derhalve ^ = a " (x y).

1 Elke functie cp bepaald door het eerste lid der verge-
lijking (i) heeft de volgende eigenschappen :

. 4

I qf,(() ff T.....) = (jpp qpr.....

2®. dcpQ = -j- d^) — (jpy = (^dQ.

3®. (fUQ = a(fo, waarin a eene scalargrootheid.

De functie q){q>Q) stelt men voor door de ^-malen

herhaalde operatie met deze functie qp op ^ door

In analog^ie hiermede is cjp ~ ^ ^ = qp ^ \'\' (9 ~ i)) en zal
de ?2-malen herhaalde operatie met g) ~ ^ voorgesteld wor-
den door (f - Q.

§ 4. Verwante functies. Opereert men op de vector-
functie met S. a, dan volgt uit de algemeene vergelijking

(i.Q = .EccS.iiQ ^ V.TQ......(i)

waarin r een quaternion voorstelt,

s. aq)Q — 2: S. (ja S. ^q S. aV. tq

= i: S. Q^ S.ffa S.a V.{Sr -f Vr)Q
= i:s. S. aa ^ S.Q V.{Sr)a — V.{ Vr)a
= 2: S. q[3 S. au S.i^V. Kra
S. a,f Q = S. -5\'. «ff V. KrG\\

Stelt men nu

= Z ^ S.aq^ V. ICrQ .... (ia)
zoodat, (^\'(ff) = Z [3 «ff "l" V. Ktg
dan is S. (yqj() = S. gqj^G......(2).

De functie i// wordt de verwante van cp genoemd. Zij
verschilt daarmede door de verwisseling van « en ^ en
door de verandering van het quaternion r in het gecon-
jugeerde. Wederkeerig volgt, daar KKr = r is, dat <fi
de verwante functie is van cfi^, zoodat men ook heeft

S. gcpff = S. (Tip\'()......(3).

Telt men de vergelijkingen (2) en (3) op, dan vindt men
ff((ip -f cp\')^ = 4- (jp\')ff.

Hieruit blijkt dus, dat de functie tp tp\' verwant is
aan zich zelf.

Is (j = ^, dan is S. = S. Qqi^Q en

— (jp\')? = O.

De vector {{p — (jp\')(5 staat dus loodrecht op Men
kan nu stellen ((jp — K Sq, waarin d een bepaalde

vector is, die loodrecht staat op (q? — (jp\')o. Bijgevolg is

= T ((jp   T — <ip\')?

=

ivG = i i SQ-

Eene lineaire vector-functie verschilt dus van de met
haar verwante functie slechts een term van den vorm
V.8Q.

Ook het product van twee willekeurige operaties geeft
eene aan zichzelf verwante operatie, men heeft toch

S. gqjip\'a = S. (jp\'cr ijp\'^ ~ S. q)\'Q (p\'o ~ S. aqjqi\'^,
q)q>\' blijkt dus zelfverwant te zijn.

Is (jP -f- ^ eene nieuwe lineaire vector-functie, waarin g
eene scalargrootheid, dan is

a((p 4- = ffn ffgQ
S. ff(cf = S. Qcp\'a  = S.

§ 5. Omkeering van qi. Eerste methode.

Iedere vector kan in het algemeen uitgedrukt worden
als de som van drie niet coplanaire vectoren , die ieder met
reëele coefficienten verinenigvuldigd zijn.

Men kan dus cp ^(j uitdrukken in termen van q , qjQ en
cp^Q, mits deze drie vectoren niet in een zelfde vlak zijn
gelegen.

Zij ~ cp^Q ^ XQ yq.Qzcp^Q .... (4)

opereert men op deze vergelijking met 9 ^, dan is

— xq) ~ Q = yQ ^ Zq.\'Q -f (jp V >
de omgekeerde functie is dan uitgedrukt in termen van
directe operaties.

De coefEcienten .a;, y, z, zijn onafhankelijk van q en
kunnen bepaald worden, door q achtereenvolgens te ver-

vangen door drie bekende vectoren en de drie resultee-
rende vergelijkingen op te lossen.

Zijn Q, q)Q en cp\'^Q coplanair, dan heeft men eene ver-
gelijking van den vorm

cp^Q = UQ -j- dq)Q of

(f^Q = acpQ èqt\'^Q,
= abq (a
zoodat eveneens coplanair is met q en

§ 6. Toepassing van het omkeerproces op een voorbeeld.

I Heeft (pQ den vorm —■a\'^tS. Ïq — öyS.jQ — c\'^k S. kq
= aH qij = öy qik ~ c\'^k

dan is

(pV= aS by cf\'^k = c^

= a S

Substitueert men nu in de vergelijking (4) voor q ach-
tereenvolgens y, k, dan heeft men

— a^ = X ya^ sa\'*

— b^ = x ^yb-" ^ zb\'\'
~ c® = ^  ze"

zoodat a^ za" ya-\'^ x = o

b"" zb" yb^ X = O
c^ -f zc" -f yo\'^ X = O.
De grootheden a^, b\'^, c\'^ zijn dus de wortels van de
derde-machtsvergelijking

De coefiicienten dezer vergelijking zijn derhalve
^ = — a^-\'c-\', y = aH\'\' b^c\'\' en z  c^)

Deze waarden in de vergelijking (4) substitueerende >
vindt men

—  V (\'^hY

Stellen wij nu q)Q = /, zoo wordt
?  - -f b\' W V j .

7

2 Heeft q)Q den vorm   \' behoort cp

tot een ellips; q, cpg en zijn dan coplanair, zoodat

= XQ yqiQ.

i . ]

Nu is qpï = — <jpy = — ^

= — en cf\'j = ^^

Substitueert men nu in de vergelijking cp\'^Q = xq -{-yfQ,
voor Q achtereenvolgens en j, dan heeft men

en i = - xj\\

zoodat xa\'^ —ya\'^ — 1=0 en

xh\'^ — yb"^ — I =0.
Nu zijn en b"^ de wortels van de vierkantsvergelijking
xl\'^ —yl — I — O,

waaruit volgt:

^ = 4- ^^ en aH^ = — -

en dus

? b")
^ ^ = ~ a^^--

Stelt men nu cpQ ^ y, zoo wordt
p _ py^ _

§ 7. Methode van Hamilton.

Men kan bijv. steeds twee vectoren X en zoodanig kie-
zen , dat V. l^u = (pQ; na operatie met S. X en S. fi heeft
men dan S. XqiQ = 0 en S. /^cpo = o, tevens geven deze
vergelijkingen door de invoering der verwante functie cp\'
S. Q(p\'X = 0 en ^S". Q(p\'f^ = o.

Uit deze twee laatste formules blijkt, dat q loodrecht
staat op de vectoren cp\'X en (p\'^; de vector V. (p\'lq\'^, die

loodrecht op hun vlak staat, heeft dus dezelfde richting
als de vector q, zoodat mg ~ V. tp\'X^f\'fA., waarin m een
scalar voorstelt. Nu is ook p =:qp - ^ V.X^, waaruit volgt
m(fj - V.lfx = V. qi^lqj\'fj.......(5).

Het komt er nu nog op aan de constante m te bepa-
len en het tweede lid uittedrukken in functie van den
vector V. Xfi. Zij v een vector, niet coplanair met 1
en fA,. Na operatie op vergelijking (5) met (p\'r, krijgt
men door rekening te houden met de hoofdeigenschap
der verwante functies

mS. cf\'vcf " V. XjA, = mS. v(pcf~ V.X/a. — mS. Ifiv
= S. qi^X qi\'cp\'p
S. (p\'X qi\'/A. (\\)V

m =

S. Xu v

Deze grootheid m is onafhankelijk van de bijzondere
waarden van X, fi, v.

Vervangt men X, ft, v door drie nieuwe vectoren
X\'  , -f r^v en /  >

dan is: cp\'X\' = p(p\'X qq>\'u -j- r cp\'v

qpV ^ pi(f\'X -f q^cp\'si r^cp\'v
(pV = p^Cf\'X  

waaruit men afleidt

zoodat de teller en de noemer van de breuk, die m
uitdrukt, in dezelfde verhouding veranderd worden.

Verandert men 9 in (f ^ g, in de vergelijking (5),
waarin g een scalar is en noemt men ittg de waarde.

die de constante door deze transformatie verkrijgt, dan is

(9 \\-g)-^V. V = V.  glu

= V. q\'X q\'u g   lil

of

. . (6)

wanneer men stelt y V.l^= Vilq\'i», -)- qf\'^i«)-
In de bovenstaande vergelijking is

^ S. lixv

of mg = m m^g m^g\'\' g\\

waarin »«j en m^ twee nieuwe scalarconstanten, wier

waarden zijn

^ _ S (Icp\'fiq/p /Uf\'fCp\'l -f- pcp\'llfi\'iu)

^ S. Xfiv
_ S-}- fivq^X -(- pXq\'n\')

~ srv

Substitueert men in vergelijking (6) voor mg zijne
waarde, dan krijgt men de gelijkheid

{m 4- m^g m^g^ -{-g^) {cp g) \'V.ln =

Na operatie met (j) is

{m m^g m^g\'\' -f ^^^ V. X/a. =

l^-^gin ^(p "  ï) V.

waaruit volgt

m^ = cp\'^ mep " ^
<p X\'

De tweede symbolische gelijkheid geeft ^ = — (p en
deze in de eerste gesubstitueerd, geeft de symbolische
vergelijking

mep ~ = m-^ — z^^qp 4- g»^ . . . . (7).
Deze vergelijking bevat de volledige oplossing der
lineaire vectorvergelijkingen.

lO

§ 8, Voorbeelden van toepassing der methode van

Hamilton.
IZij <fQ = V. (XQ^ = y

dan is cc S. ^q — q S. ^ S. ag = y — q)Q en

^ S. UQ - p -5". «j3 -f- « = (pQ = cpQ

cpo is dus eene zelfverwante functie. Kiest men A = «,
fi — ^ en V — y, dan is

(jp\'A = (f)cc = «2/3, (f\'iA = (jp/3 = ^^DC, (p\'p = V. ay^.
Nu is

_ ■ P« ■ V.ay^) _ g-\'pSi^a V. ay^)

S. a§y S. cc^y

Voor V. ay^ substitueerende a S. ^y — y S. a^ ^ S. ay
vindt men m = S. a^.
Schrijft men evenzoo in

m, = -^r^ . «|5 V cc . aP V. ay^. ^ V. ay[3)

voor V. ccy^ de bovengenoemde waarde, dan vindt men
m^ = — a^P, daar S^S.ay en SaS.^y = o.
Evenzoo is

= .^.y a.a[i\\y al3V. ay^) = — S. «|3,

zoodat

Voor het laatste vectorproduct kan men schrijven
aS.{V. ayii) (5 — K [ayii) S. a^ ^ S. (K ay(3} «

of

— V. (ccy^) S. cc S. cc^S. I^y-j-a S. ^\'\'S. ay — cc S. (3y S. «(3

-i- (3 S. a\'\' S. ^y (i S. cc^ S. ay — (3 «(3,

zoodat

a-\'S.ay (i-\'S.[3y - y
—---\'

11

welke waarde van o met de vroeger gevondene over-
eenkomt.

2°. V. UQ = y = CfQ.

Stel X — a, fx = y en v = ay.

Nu is \'v\'q ~ V\' —■ «Q = V- Qcc,

zoodat S.qWyq\'(ay) ^^

O. ay^ccy)

m^ = — a"^, m.^ = O
en de vergelijking in q) wordt nu a\'^q — = o.

Na operatie met qp - ^ is

<jP~V — cpr O
a

of Q = V. ay q - ^ O.

a

Stelt men «p - ^ o = ö, dan volgt uit — o
V{aV. «(t) = O,
waaruit blijkt dat V. aa ~ o of a = xa, zoodat
Q = a-\'^ (x y).

§ 9. De vraag kan gesteld worden, wanneer zullen
de richtingen van q en qQ samenvallen, of wat hetzelfde
is, wanneer zal de operatie q op een vector q toegepast >
diens richting niet veranderen. Alsdan moet qiQ = zq
zijn of V. QqQ = o, verder := z\'^q, q^Q = z^q.

Deze waarden gesubstitueerd in de vergelijking
(qp® —■ m^q)"^ m^q — m) q = o
geven de vergelijking

(2® — m^z"^ m^z — m) Q = O,
zoodat 2 een van de drie wortels s^ en moet zijn
van de derde-machtsvergelijking

s^ — m^s\'^ -{-m^s — m = O

Onderstelt men, dat de drie wortels van deze vergelij-

I 2

king allen reëel zijn, en de drie richtingen worden aan-
geduid door Oj , o^ en , dan moet noodzakelijk

(<f> — ^i)Qi = O, (<f — S^) = O en ((jp — jg) q^ = o.
Een willekeurige vector q kan volgens deze drie rich-
tingen, die hoofdrichtingen worden genoemd, worden
ontbonden, zoodat

... (8)

waarin de coefficienten scalargrootheden zijn.

Opereert men hierop met qp — , dan zal

((jP — ) (i = - ^l)  — -^l) •

Dus doet de operatie qj — s^ van een vector q zijne
composante evenwijdig aan q^ verliezen.

Nu met (jp — s^ opereerende, komt er

Evenzoo

(qp S^) (q> — S^) Q = X^ {S^ — ~ ^3) Q2

(qp — S^) — X^ (s^ — S^) {s^

De uitdrukkingen
(qp —Ji)((jp —(qp—.ïi) (qp —.^3)0 en {(p — s^) {cp ~S^) q
leveren dus de drie gezochte hoofdrichtingen op.

Zijn de twee wortels i\'j en .jj gelijk, dan zal men na
operatie met (p — s^ op de vergelijking (8) hebben

(qp — = x^ (i-i — s^) Pi

dus zal de richting q^ gegeven zijn door (cp — s.^) q.

Opereert men integendeel met gj — ^^ op deze zelfde
vergelijking (8), dan is

(qp — -yj e = (i-2 — i-j)  x^Q^).

Dus is een willekeurige vector (t in het vlak q.^q^ , in
richting gegeven door (tp—s^) q , wat ook q zij.

Voor het geval alle drie wortels s^^, s.^ en s^ gelijk zijn,
krijgt men na operatie met qi — s^ op de vergelijking

& =    ^sPs

{(f — s^ ) Q = O.

13

Elke vector in de ruimte is dan eene hoofdrichting.
In het geval, dat de drie wortels van de vergelijking

— m^s"^ m^s — m = O

allen bestaanbaar zijn en ongelijk, vormen de drie hoofd-
richtingen pj, Q^ en (>3 een drievlakkigen hoek, dien wij
hoofddrievlakkigen hoek kunnen noemen.

Daar {q, — Jj) pj = o, zal men ook hebben S.Q{qj — j-j) = o
en wegens de eigenschap der verwante functies ook

—-^i)? = O......(g)

Dus is elke vector van den vorm (q)\'\' — ) (j loodrecht
op Q^. Evenzoo is elke vector (qi\' — s^) q loodrecht op q^.
Bijgevolg is de vector ((jp\' —^ j-^) (cp\' — s^) q, waarvan men
de richting kan noemen, loodrecht op q^ en q.^.
Evenzoo zijn de richtingen

(<■/ — s^) ((,/ — s^) O en (q)\' — s,) (q.\'— s,)
of en respectievelijk loodrecht op de vlakken

pjpj en (>2 03 • drievlakkige hoek, gevormd door 0/,

en (»3\' is dus de drievlakkige poolhoek van den oor-
spronkelijken. Daarom heet hij ook verwante drievlak-
kenhoek.

Is de functie (f zelfverwant, dan zijn de drie wortels
der vergelijking

— m^s\'^ m^s — m = O
allen bestaanbaar.

Zij, om dit te bewijzen, -f 4 — i een van de
wortels en it, — i de waarde, die er uit voort-

vloeit voor den correspondeerenden vector, dan is

, (pi K— i) = k K^i) fel -f- ffi K— 1)1

waaruit volgt

qP?i = C^i — k en (^(Tj = (Tl -f 4 .
Opereert men op deze vergelijkingen respectievelijk

, j

l\'ii j met S. ffj en S. en trekt de leden van elkander af, dan is

\\ waaruit volgt = o en de bestaanbaarheid van de drie

I wortels der vergelijking

j\'® — m^s — m — O

dus aangetoond is.

De vectoren der hoofdrichtingen , q^ en moeten
bij de verwante functies noodzakelijk bestaanbaar zijn.

De vergelijking (9) wordt hier ((j — j\'j) ^ = o wat
ook Q zij. Uit deze formule blijkt, dat ^^ loodrecht staat
op het vlak van o^ en q^.

Evenzoo kan men aantoonen, dat q^ loodrecht staat
op het vlak

Is de functie q> zelfverwant, dan zijn derhalve de drie
vlakke hoeken van den hoofddrievlakkenhoek allen recht.

1 \'i

HOOFDSTUK H.

Ouaternion-vergelijkingen van den eersten en tweeden graad.

§ lO. a. Quaternion-vergelijkingen van den eersten graad.

Hamilton heeft eene eenvoudige oplossing gegeven voor
den volgenden vorm van lineaire quaternion-vergelijkingen
aq qh = c,

waarin a, b c gegeven quaternions zijn en het onbe-
kend quaternion q moet bepaald worden.

Vermenigvuldigende achtereenvolgens met Ka en door
b, heeft men

{TaYq -}- Ka. qb = Ka. c
en aqb qb\'^ = cb

(Ta) V 4- {KaA\\- a)qb qb ^ = Ka. c cb,

de factor q kan nu links gebracht worden in het i®\'® lid
q j {Tay 2 Sa. b \\ Ka. ccb,

waaruit

Ka. c -j- cb
^^ {lay ^ zSa.b^^b\'\'\'

Iedere vergelijking van den vorm a\'qb\' c\'qd\' = e kan
hiertoe herleid worden, door vermenigvuldiging met c\' —
en door b\' "

i6

- 1 -f qd\'h\' - ^ = eb\' - 1
of c\' a\' = A d\'b\' \' ^ = B en c\'- ^ eb\' - ^ C
stellende, heeft men de vergelijking tot den vorm
Aq qB = C teruggebracht

De vergelijking q"^ — aqqb, die schijnbaar van den
tweeden graad is, geeft na vermenigvuldiging met q
en door q "

I

of ^ - 1 = r stellende ,

br ^ ra = \\.

Dus is ook deze vergelijking tot eene lineaire quater-
nion-vergelijking van den vorigen vorm aq ^ qb ■= c
teruggebracht.

§ i Quaternion-vergelijkingen van den tweeden graad.

De quaternion-vergelijking van den tweeden graad, zal
in het algemeen voorgesteld kunnen worden door de ver-
gelijking

Ea^qa^qa -f Eb^qb = c,
waarin q het onbekende quaternion is.

Door daarin voor q zijne waarde w ix jy ^ kz en
de analoge waarden voor de gegeven quaternions te
substitueeren, en de coefficienten der grootheden i, j, k,
aan beide zijden gelijk te stellen, krijgt men vier nieuwe
vergelijkingen tusschen de vier gezochte scalars w, x,
jy en z, en een aantal gegeven scalars, die in het alge-
meen van den tweeden graad zullen zijn.

Elimineert men x, y en 2 uit deze vier vergelijkingen,
dan verkrijgt men volgens het theorema van Bezout
(zie o. a. Serret, Algèbre supérieure) voor w in \'t alge-
meen eene vergelijking van den zestienden graad; even-
zoo zal men voor x, y z vergelijkingen van den zes-

17

tienden graad verkrijgen, zoodat men voor eene quadra-
tische vergelijking in het algemeen zestien wortels (reëel
of imaginair) kan verwachten.

§ 12. Eenvoudige oplossing van de bijzondere klasse
q"^ = qa b.

Van deze vergelijking kunnen, zooals later blijken zal,
slechts zes wortels bepaald worden. Vervangt men q door
zijne waarde w ^ ix jy kz, a en b door hunne over-
eenkomstige waarden

e ß^gj hk en e\' -^fïh\'k,

dan is

(w -ix k-i)"^ = (w zjs; -\\-jy -j- kz) {e ß-\\\'gj-\\- hk)

j^e\' ^f\'i^gj-^h\'k.
Stelt men in beide leden dezer vergelijking de scalar-
gedeelten en de coefi&cienten van j en k gelijk, dan
vindt men de volgende vier betrekkingen tusschen de
vier onbekende scalars w, xy en z

w"^ — x"^—y"^ — z"^ — ew—fx—gy — hz-\\-e\'
zwx = fw ex -\\-hy — gz-\\-f\'
2wy = gw — hx ey -)- fz g\'
2wz — hw gx — fy ez-\\- h\'.
Nemen wij i". het bijzondere geval

a = fi, b = g\'j, dan is

(w zx -f-yjy 4" = {w ix -^-jy kz)fi-\\- g\'j ,
w^ — x^ —y"^ — 2wxi 2wyj-\\- zwzk =
fwi —fx — fyk -^fzj g\'j.
Na gelijkstelling der coefficienten van i, j en k en der
beide scalar gedeelten, volgt

w"^ — x"^ —y"^ — = — fx
2WX = fuo
2wy =fz^g\'

\\ 2WZ = — fy-

3

Aan de vergelijking kan voldaan worden door

= o en X ~ — ■
2

In het eerste geval geeft de eerste vergelijking

P

daar y = o en z = —^

Men vindt dus in dit geval voor q de waarden

T

4

.4 r)

die bestaanbaar zijn, wanneer ƒ ^ ^ ^g\'■

In het geval geeft de eliminatie van 2 uit de twee

_ 2Wg

laatste vergelijkingen, jv = ^ ^^^

van y in de vergelijking gesteld, z = —yöT^T^i\'

De waarden van , jv en z in de i^te vergelijking gesub-
stitueerd geven

.2 \'

4 - 

waaruit volgt f^ ^w"^ = ± zg\'

= -r

_ 2Wg\'

fl ^ — ±2g\'

jV IS nu = ^
zoodat

= ^g\' —f

19

f

Z3 = - en z, = - .

De vergelijking ^^ = £/? ^y geeft dus de zes volgende
wortels

4 P)

q, = - \\ 1X2/ {^ - i - r .j- ^ k
fe = - ^ V-^g\'-f ^  -P ■/ {k.

De vier laatste wortels kunnen nog eenvoudiger ge-
schreven worden

q,=-\\ I y ) - k)

//V

2 r - > . - , 2

Voorbeeld =

20

Hier is a = fi ~ ^t b — g\'j = loj.
zoodat /— 5 en = lo.

Substitueert men deze waarden voor f en g\', dan
vindt men

ff y?^

i —\' zk = —
i- 2/è = — zk

lx

=

2 V zL

Andere voorbeelden.
Ongelijke wortels.

3oj öj = gi — , q^ = i— ^k
q^ = loqi\\oj q^ = 8?\'— 4>è , q^ = 2t —
q"^ = 2^qt300/ = ibi— 12k, ^^^ = 9?— 12^
78/ 9«— 6/è,

Gelijke wortels.

q^=2qi 2J

q^ = ^qt 8/ q^z=q^=2 {i— k)
q\'^ = 6qi 187 = ^^ = 3 /è)
= Sqt 32/ = = 4 («■ — k).
Ilji In het algemeen zal de vergelijking

q"^ = 2nqi -f- ^n\'^j
tot reëele wortels hebben q^ = q^ = n (i — k).

2°. q^ = qe e\'

waarin e en e\' geen quaternions, maar scalars zijn.
In dit bijzondere geval derzelfde klasse

q"^ = qa b is a — e en b = e\'.

2 I

De vier betrekkingen tusschen de onbekende scalars
w, X, y en z worden nu

w^ — —y"^ — z^ = ew e\'
2WX = ex
2wy = ey
2WZ — ez.

Is X = O, y = O en z = o, dan geeft de vergelijking
■w\'^ — ew —e\' = O de twee wortels

w.

zoodat

2 ■ V 4 \' - 2 V 4

e e\'^ e^

Is w=-, dan is---x"^—■ y"^ — z"^ —--\\-e\'

2 4 2 \'

z\' ^ = O.

In dit geval is het vraagstuk onbepaald. Van het
vector gedeelte wordt alleen de lengte = -j-jv^-j-

niet de ligging bepaald, zoodat elk quaternion van
den vorm

waarin l een willekeurige eenheidsvector is, aan de ver-
gelijking q^ = eq e\' voldoet.

Het aantal wortels dezer vergelijking is derhalve
oneindig groot.

Substitueert men hierin voor q zijne waarde

w ix jy kz, dan is

w\'^ — x\'^ —y"^ — z^.-f- zwxi-^- 2wyj ^ zwzk =
{w ix -\\-jy kz) e -y fi.

22

Hieruit leidt men de vier volgende vergelijkingen af

w^ — x\'^—y^ — z^ = ew
2WX = xe ^ f
2wy = ye
2WZ = ze.

Het is noodzakelijk, dat y = o en z — o.
Substitueert men toch in de 2^6 vergelijking voor w

de waarde —, dan zou men tot resultaat krijgen / = o.

Uit de vergelijkingen

w\'^ —■ = ew en 2wx = xe

kan men nu gemakkelijk x elimineeren, men krijgt dan

de volgende vergelijking in w

fi

w"^ — .—--^ = ew

(2w — e)-\'

of —■ Szej^e-j-— we^ — =

Voorbeeld. Zij gegeven de vergelijking
= — ? 3 1/2 . i
dan is e = — i /= 3

De vierde-machtsvergelijking in w wordt nu

-[-   -}-w —^ 18 = O.

Hieraan voldoet w = i,
dan is = - = = V/2.

, 2W — e 2 -f- I

!ilj q = I \\y2 . i is dus eene oplossing.

j Ook w = .—-2 voldoet aan de vierde-machtsvergelijking.

;j I De daarmede overeenkomende waarde van x is —"|/\'2,

| zoodat ook q = — 2 — iXs . voldoet.

- 4°. =

w"^-- x\'^-jV^-z"^ 2WXt2wyj -{- 2Wzk =

(w -{- -ix  gt.

Hieruit volgt:

w"^ — x\'^-jV^ — z^ — —fx

23-

2 WX = fw -\\-g

2wy =fz
2WZ == —fy.

Na eliminatie van w, y en z vindt men de volgende
vergelijking in

— ^^ xf= O

(2^ -/) =
of

_ _ X\' - 4V /\') O

De waarde van w vindt men dan uit de 2^6 vergelijking.
Voorbeeld. = — ^.qi 41/^3 . i.

Hier is g = 4I/3 en / = — 2.

De vergelijking in wordt dan

48 — 20x\'^ — —ibx^ — 8x = o of

x^ -j- 2X — 12 = 0

x^ — i en = — 3 wortels dezer vergelijking.
Men vindt dan

^ _ 4 k3

2X^ - f 2 -f- 2

= 1/3 i en q^ = — 1^3 — 3?
zijn dus oplossingen van de vergelijking
= — 4 1/3 . i.
De twee andere wortels dezer vierde-machtsvergelijking

zijn imaginair.

5«, =

Substitueert men hierin voor zijne waarde

w -f- ix -\\- jy kz, dan is

W\'^ -- X"^ -jK^ -■ 2WXt 2wyj 4- 2wzk =

{w ix jy kz) fi -{- e.

11

11

.24

Deze laat zich weer in de vier volgende vergelijkin-
gen splitsen

w"^ — x\'^ —y^ — z^ = —/x e

2WX — wf

2wy =■ zf
2WZ = —yf. .
In dit geval is het even als in het voorgaande nood-
zakelijk dat jv — o en z = o.

Elimineert men nu uit de twee eerste vergelijkin-
gen, dan krijgt men de volgende vergelijking in w
w"^ ƒ^ — 4^) = O. ,
Hieraan voldoen

\\f \\f

w^=o, e--, — e--

\\ 4 ■ 4

en daarmede correspondeeren de volgende waarden van x

zoodat de vergelijking q^ = qfi e de vier volgende
wortels heeft

ft -1 f =-7

Voorbeeeld. q^ = ó^qi -f- 3.

Hier is f= 4 en ^ = 3

zoodat q^ = (2 -f- i) i = 3?\'

1% = (2 — i) i = i
% = V— I 2?

li = —V — I 2«.

ƒ-2

Is e = — dan zijn alle vier wortels gelijk.

25

Men heeft dan

Voorbeeld. q^ = zqi

Hier is q^ = q^ = q^ = q^ = ü

§ 13. Algemeene oplossing der vergelijking q"^ = qa b.

Methode van Hamilton.

Schrijven wij q = q), zoodat tw en p scalar-

en vector-gedeelte zijn van het quaternion zq — a.

De vergelijking wordt nu

(w qY 2aw aq Qa= za^ 2aw-\\- z^a-^ 4*5
of {wqYag — =

Stel

dan is (w -]- — P« «g = c -j- 2/

W^-f--j- 27üq zV. ag = cZ;^.

Stelt men in deze vergelijking de scalar- en vector-
gedeelten aan elkander gelijk, dan geeft zij aanleiding
tot twee nieuwe vergelijkingen

-j- =: c en K (zü cc) g = y.

Uit deze twee vergelijkingen moet ^ worden geeli-
mineerd. Daartoe opereert men op de 2^6 vergelijking
met S. cc

S. a (zü a)Q = S. ccWQ — S. aWQ  —

wS. (w a) Q — S. ay

w{w a) Q = Wy s. ay
WUQ w\'^Q = S. (xy Wy.

Neemt men van beide leden de tensors, dan geven
hunne vierkanten

I T(waQ -f- w^q) y=\\T{S.ay^ Wy) \'\'

26

Met toepassing der formule

iTqy = {Sqy-{Vqy
is W\'^u\'^q\'^ — W^q\'^ {S. ayY — w\'^y\'^.

Substitueert men voor q"^ zijne waarde c — w"^, dan is

Deze vergelijking geeft zes wortels voor w.
De correspondeerende waarden van q vindt men uit
de vergelijking

_ Wy S. ccy _ wy(w — a) S. ay{w — «)_

w(~ ya 4" S. «/)-[" V — a S. ccy _

w(w- — a^)

V. ya , w\'^y — « S. ay

w

q is dus

V.

= t ______________ , .

2 ziw"^ — a^) 2

W\' —

waarin w een van de wortels der zesde-machtsvergelij-
king is. Deze kan ook geschreven worden

(w"^ — a^) {w^ — c) -h ïfV^ — «V^ — (V.ccyy — O

of

(w^ — a\'\') (w^ — ayy = o.

De gewone vierkantsvergelijking x"^ — cx -{- y\'^ — o,
waarin y\'^ = —(T/)^ <^0 heeft twee reëele wortels, één
positief en één negatief, ^^ en —K^. Dus wanneer
Ta = l, TV. ya = m is

/{x) - 4- h\') (x ^^

Nu is

/(o) myo.

Daar /(— 00) = — 00 is het duidelijk, dat de derde-

27

machtsvergelijking /(x) = o in het algemeen drie reëele
en ongelijke wortels heeft, namelijk een wortel X-^ , die
positief is en een anderen x^, die negatief is en

algebraïsch grooter dan ieder van de twee negatieve
getallen —h"^ en — P en een derden x^, ook negatief en
algebraïsch kleiner dan elk van deze twee getallen.

De algebraïsche vergelijking van den zesden graad in
w heeft daarom twee reëele en vier imaginaire wortels
(± > ± 1 ± )» elk waarvan ééne be-

paalde waarde van q overeenkomt en dus ook ééne be-
paalde waarde van q.

Er geven dus van de zes wortels der quadratische
quaternion-ver gelijking slechts twee aanleiding tot reëele
quaternions, terwijl de andere vier wortels imaginaire
quaternions opleveren,

§ 14, Voor het geval « en / loodrecht op elkaar
staan is S.a/ = o en een van de wortels der derde-
machtsvergelijking f{x) = o verdwijnt, derhalve blijven
twee wortels van de vergelijking in w\'^.

Om in dit geval de correspondeerende waarden van q
te vinden, moet men terugkeeren tot de twee oorspron-
kelijke vergelijkingen

w^ -{- — c en V. (w -j- ccJq =
en daarin ze» = o stellen, zoodat q^ = c en V. ag — y.

Nu is

c{Ta) — = —{T.aq)\'\' = —{Smq) ^ ^ (VMQ^

(S. uqY = — c(Tay = «V

ag = = {y^ cc^c) ^ S. ag = t^ = — O\'\'
= r ^ = r — t

zoodat men vindt

Q^ — oc ~ y —a^ t

28

^^ 2 \'2 \' 2

Ö„ ——--a~ ^ y--a~ ^ t.

^^ 2 \' 2 2

Is nu t reëel en van o verschillende, zoodat

o.

dan zijn c en c -[- «^ negatieve scalars en de vergelijking
x^ — (c a^) X P = o heeft twee reëele en negatieve
wortels; dus vindt men vier imaginaire waarden van w
uit de vergelijking w^ —■  = o.

Zijn de twee wortels van de vergelijking in x
x^ — — en ^ï^j = —
waarin u en v reëel zijn, zoodat u^ -{-Z)^ = — (c a^)
en wv = t, dan zijn de wortels der vierde-machtsvergelij-
king in w

W^ = I , — U\\/- I , zeig =: V\\/- I,

Wg = — v\\/— I

waarin —■ i een imaginaire scalar is.

Voor het geval dat t reëel is, geven de vier gevon-
dene waarden voor w, de volgende imaginaire waarden
voor q ,

= K— I • fz q, = q\'3 — K- I •

q, ^ q\\ K— I • A q, = ^-q",

waarin , q\\, q\'\\, vier reëele quaternions zijn,

namelijk

/ i // _ ^^ r. / \\

, _à ay ,, _ / 1

~ 2 ^  ^ \' 2 V\'

Is P = c\'^a\'^ y^ <(^0, dan is t een imaginaire scalar

29

van den vorm fX^— i , waarin t\' reëel is; de twee uit-
drukkingen voor en worden dan imaginaire qua-
ternions.

De vergelijking x\'^ — {c a\'^)x ca"^ y\'^ ■= o heeft
nu een positieven en een negatieven wortel. In dit geval
zijn de zes wortels van de quadratische vergelijking

q\'^ z=: qa b

= K-I • q-1 = -K- i •
= fz K— I • fi = 9\'3 — K— I •

9s = /s q\\ % 9\'5 — 9\\

waarin q\\ , q\'\\, q\\, , q\\, q\'^ zes reëele quaternions
zijn met de volgende waarden

q\\ = !(« «-V)

Voorbeelden.

q\'\' = ^qi iq;-

Hier is « == 52", (— 25 40/) — c = — 25
25 H-40;) = 2/, y = 20J, S.ay==0.
De zesde-machtsvergelijking in w wordt nu

50W\' 22$) = O.
De vergelijking w^ sow^ 225 o heeft tot wortels
w"^ = — 25 ±20, zoodat men voor de zes wortels der
zesde-machtsvergelijking vindt,

Wj = o, w^ = O, w^ = 5, w^ — 5,

wg = 3k—5. ^e = — 3 k— 5-

Nu is

9i 

I 1 I

rt = —a A— «
11 2 \'2

- 1 . _ 1 a - 1 5 ^ _ _ 3
\'2 2 2

I ook

— — k voor w^ en w^

40

1 ^ook 5 ,

/ 2 2\\ — -- = - k voor w, en w^,

2{w^ — cc^) 40 2 ® "

zoodat

1/-5

=

waarin e en e\' scalars zijn.

Hier is Va=^o, y = o, c =
De twee oorspronkelijke vergelijkingen

w"^ q"^ = c en V.{w-^a)Q=y
worden in dit geval

w ^ 4" = ^^ en V.WQ = o.
Hieraan kan voldaan worden door

w ■= ± ^e\' e"^, Q =z O

en ? = i 1/^4^\' ^^ ? w = O

zoodat men voor oplossingen vindt

waarin een willekeurige eenheidsvector is. Het aantal
oplossingen is dus oneindig groot.

Is c r= e^ ^ O, dan is bestaanbaar.

Is c = 4e\' e^ <^0, dan is bestaanbaar.

3". = 2q-]r i.

31

Hier is Va = a — o, c = 4 , y — 21.
De twee oorspronkelijke vergelijkingen worden hier

ey^ -]- ^^ = 4 en wq = 2t.
Elimineert men hieruit g, dan krijgt men de volgende
vergelijking in w

W^ - — 4 = 0

W^ = -{- , W^ = - ]/ 2 2 1X2

W3 = ]/"2---2I/2 , W^ ---- — - 2I/2.

Substitueert men w^ en ïü^ in

a V. ya i^r 1/ — W ~ ^ «S, ay

dan vindt men, daar  2\\y\'2 = 1,098

q^ = 2,098 0,455 . i
== — O\'OQS — 0,455 . 2
W3 en w^ zijn imaginair, zoodat deze aanleiding geven
tot twee onbestaanbare wortels.

Hier is a =~i y =

4 4

De twee oorspronkelijke vergelijkingen

w"^ q"^ — c en V. (w a)Q ~ y

worden in dit geval

1 I 2 9 5 •

-j- ? — — ^ en wq = ^ i,

daar hier de richting van q met die van a moet samen-
vallen , zoodat V aQ — O.

Men kan nu uit deze twee vergelijkingen q elimineeren;
men krijgt dan de volgende vergelijking in iv.

16 16

32

Men vindt hieruit de volgende waarden voor w,

4 4

Daarmede correspondeeren de volgende waarden van ^

Qi = — Qi = I,

zoodat men de vier volgende oplossingen vindt

li,

=I\' -f ■ ri/—=-\' (I j K-

HOOFDSTUK III.

Ouaternionvergelijkingen van den derden graad.

§ i6. Substitueert men in de quaternionvergelijking
van den derden graad, voor het onbekende quaternion,
w ix jy kz en analoge waarden voor de gegeven
quaternions, dan zal de quaternionvergelijking aanlei-
ding geven tot vier nieuwe derde-machtsvergelijkingen,
waaruit men drie van de vier onbekenden w, x, y en z
kan elimineeren.

Volgens, het theorema van Bezout zal men dus voor
w in het algemeen eene vergelijking kunnen verwachten
van den of een en tachtigsten graad.

§ 17. Behandeling van de quaternionvergelijking
q^ = ga è.

Substitueert men voor q zijne waarde w ix kz

en voor de gegeven quaternions a en b de waarden

en e\' fi -f g\'j h!k
dan verandert de vergelijking in

wiw\'^

2V — ^^ —y^ — z\'^)k—

4. {e^fi ^gj -f hk) -f- e\'-Yf\'i g\'j-Yh\'k.

3

34

Deze laat zich splitsen in de vier volgende vergelij-
kingen

w{ w"^ — — — 32^) = —/x — gy — zh e\'
x^yw"^— x"^— jV^— z"^) = wfxe— zg ^yhf\'
— x"^— y\'^— z\'^) = wgye — xkzfg\'
z — x\'^ — y"^ ■— 2^) = wh ze ^ xg —yf h\'

Bijzondere gevallen.

1°. Zij gegeven de vergelijking
q^ = e\'

dan worden de vier bovenstaande vergelijkingen
zü"^ —■ ix\'^ — — 32^) = ew e\'
— x\'^ — y\'^ — 2^) = xe
y (y\'^w\'^— x"^— y"^— 2^) — jK^
2 {iw\'^ —■ x\'^ —\' jy^ —■ 2^) = ze.

Stelt men x = y = z = o, dan wordt w bepaald door
de volgende vergelijking

w^ — ew — e\' = O.

Stelt men sw"^ — x\'^—y"^ — z^ = dan heeft men
ter bepaling van de vergelijking

wiw"^ — gw^ 3e — = e\'
of —■ zezv -j- e\' — O.

Voorbeeld. Zij gegeven de vergelijking
q\' = — q— 10.
dan is e — — i en / = — 10.

De eerste derde-machtsvergelijking wordt nu
tü^ je; 4" = O
zoodat aan de gegeven vergelijking voldaan wordt door
q^ 2

== I  4

^3=1— 4.

De tweede derde-machtsvergelijking wordt nu
SW^ -f- 2OT — 10 = o.

Hieraan wordt voldaan door w = i.

35

De beide andere wortels zijn imaginair, x, y en z
kunnen in dit geval niet afzonderlijk worden bepaald.

Men heeft
zoodat

en dus elk quaternion van den vorm

q == I ± 2/,

waarin l een willekeurige eenheidsvector is, aan de ge-
geven vergelijking voldoet.

Zoo zullen o. a. voldoen

q = \\ ^ 21 q = \\ — 21

q = Y -Y 2j q = i — 2j
q = \\ 2k q = ^ —

Het aantal wortels is dus oneindig groot.

q\' = fi.

De vier vergelijkingen Avorden in dit geval

— — 3S^) = O
■— y"^ — z^) = /

Z^) = O
Z^) = O.

Uit de vergelijking blijkt, dat ydi"^ — x\'^—y"^—z^
niet gelijk nul zijn kan, zoodat men in de derde en vierde
vergelijking noodzakelijk ji/ en z nul moet stellen.
Men kan dan zv en uit de vergelijkingen

w{ w\'^ — ^x^) = O en

— x\'^) = f

oplossen. Zij w^ = ^x^, dan is x{gx^ — x\'^) = ƒ of 8x^ = f.
Uit de vergelijking w"^ — = o kan dan w bepaald
worden.

Is w = O, dan is = — f.
Voorbeeld.
Hier is
en dus

36

De beide andere wortels zijn imaginair.
Nu is w^ — ^x^ = 9 dus ïy = ± 3

zoodat ^ — 3 -f ]/3 . t en

q = — 3 l/\'3 • 2 voldoen.

Is w = O, dan is x^ = — 241/3
zoodat ook q = — A^i • i voldoet.
3°.

Hier is a ■= o b = fi gj.

In dit geval worden de vergelijkingen

w"^ — 3x^ — sy^ — 3Z^) = o
x(3w^— x^— jy^—
yiiw"^— x\'^— y^—

— — jV^—■ z^) = o.

Uit de drie laatste vergelijkingen blijkt, dat 2 nood-
zakelijk gelijk nul moet zijn.
Stelt men w = o, dan is

— yix""y\'\') = g

dus = —y.

Deze waarde van ^ in de vergelijking gesteld geeft

= g>

3

zoodat y^ ~p~qry2 ■

Is w^ = 3(^2 dan is ^zü^ = g{x^ jV^)-

De en vergelijking worden nu
x(8x\'8y^) = /
y(8x\'

Bij deeling van deze twee vergelijkingen vindt men

X = —y, en substitueert men deze waarde van jv in de
g

37

laatste vergelijking, dan vindt men

Voorbeeld. Zij g = 3\'|/\'2 en ƒ = 3, zoodat de gege-
ven vergelijking is q^ = 3/-j- .j, dan is, wanneer
men w = o stelt,

y = — 1/^2 is de reëele wortel van de vergelijking

y^ -f- 2\'|/\'2 = o.
Daarmede correspondeert x = — i, zoodat q = —i—\\/\'2 .j
eene oplossing is.

Stelt men w"^ = lix"^ -h j^O» ^^^ i®

V. 21 4

Aan de derde-machtsvergelijking y^ — 4^^ ~ ^
doet y —

K2

Hiermede komt overeen = —;——- = —

\\/z.\\/2 2

4

3 , i • 1 i 3 , i • , i •

^ 2 2 2-\' ^ 22\' 2-\'

zijn dus ook oplossingen der quaternionvergelijking.

De vier vergelijkingen worden nu

w{ w"^ — — — 32^) — e — xf

— — y^ — z^) = /w

— — y\'^— z^) =/z

— ^^— y"^— z^) = —/y.
Uit de twee laatste vergelijkingen volgt

38

zoodat de twee eerste vergelijkingen worden
w{ w\'^ — ^x^) — e—■ xf
x^^w"^ — x\'^) — fw.
De laatste vergelijking kan geschreven worden in den
vorm van eene vierkantsvergelijking in w, namelijk

_
3

die tot wortels heeft

_ /
tx

m

bX V ció:

Brengt men deze waarden van w in de vergelijking
wiw"^ — = e — xf over, dan is

260

q-\' - - 2qt —

27
260

f= 2, ^ =
Aan de vergelijking

\' I 1 A I 2 x"^. 2 \'Xf \\ x"^ 2)_

voldoet X = 2.
Hieruit volgt

zoodat het quaternion q = ~ ^ 21 aan de vergelijking

3

voldoet.

HOOFDSTUK IV.

Coplanaire Vectoren.

§ i8. Zijn a, y drie coplanaire vectoren, wier vlak
met dat van een gegeven rechten versor ï samenvalt,

dan zal het symbool — y een bepaalden vector 8 in het
gegeven vlak voorstellen; men kan zich toch het qua-
ternion — in het vlak t gedraaid denken, totdat « met
y samenvalt

Deze zelfde vector S kan ook voorgesteld worden door
het symbool — ß. Door eene teekening blijkt toch dui-

a

delijk, dat de operatie — op den vector y, hetzelfde resul-

taat heeft, als de bewerking - op den vector ß.

Men kan dus zeggen, dat 8 de vierde evenredige is
tot de drie vectoren a, ß en 7. De beide middelsten van
zulk eene coplanaire betrekking tusschen vier vectoren
kunnen dan verwisseld worden.

40

Men kan eveneens schrijven

— = — geeft /
« /

zoodat ook de beide uitersten « en 3 van zulk eene
betrekking kunnen verwisseld worden.

§ 19. Vallen de beide middelste vectoren van zulk
eene coplanaire betrekking samen, dan heeft men eene
betrekking tusschen drie vectoren «, ^ en / van den
volgenden vorm

r^^ß of

« y

Men heeft nu ook de betrekking

n «

Nu is

zoodat men de volgende algemeene formule heeft

«

yyJ

De bovenste teekens worden genomen, wanneer de
hoek tusschen de vectoren « en y door /3 zelf gehalveerd
wordt; de onderste teekens daarentegen, wanneer deze
hoek door —■ (3 wordt gehalveerd.

§ 20. Men kan het begrip van eene gedurige evenre-
digheid tusschen drie vectoren op vier en meer coplanaire
vectoren uitbreiden, en daardoor eene theorie van de
hoogere machten en wortels van quaternions vormen.

41

Vormen de vier vectoren «, (3, / en 5 eene gedurige
evenredigheid, dan is :

S y ß S y ß

—= - en dus - x^ X-
y ß a y ß a

X of- =
a cc

zoodat het laatste quaternion een derde-machtswortel van
het eerste is, want

Stelt men zich voor, dat f5\' en |3" twee even lange
vectoren in hetzelfde vlak zijn, die men krijgt door twee
op elkander volgende positieve draaiingen van af , en
waarvan ieder het derde deel van een cirkelomtrek be-
draagt, zoodat

-tof

~ ~ (5. " ~ (3

[tY-itV-,
UJ J ~ •

j l«J

zoodat men eveneens schrijven kan

42

hoofdcubiek-wortel van het quaternion g-enoemd en aan-
geduid door het symbool ^Q.

§ 21. Breidt men het begrip van eene gedurige even-
redigheid uit op ^ I coplanaire vectoren «j, a^, «3, . ..
«n dan is

«n _
a

Duidt men den hoofdwortel van de vergelijking = Q,
waarin Q een werkelijk quaternion is, aan door X^Q,
dan zal in het algemeen een wortel van de vergelijking
q^ = Q aldus kunnen worden voorgesteld,

1 1

de factor i heeft n verschillende waarden, die van de
verdeeling van een cirkelomtrek in n gelijke deelen
afhangen.

§ 22. Voorbeelden.

Quaternions, wier vlak samenvalt met dat van den
rechten versor i, zullen voorgesteld worden door de alge-
meene formule

q = x -^-iy,
waarin en jy twee scalargrootheden zijn.

Schrijft men het quaternion q in den vorm -, dan is

7]3 ^ 713 .

X ■= ~ QOS& en T = TFT stn^,

la Ia

wanneer & de hoek van het quaternion voorstelt.
Zij gegeven de vergelijking

q\'=i 1X3

dan is S. q^ = i en V. q\'^ = "1/3 .

Wordt het lid van de vergelijking nu in den vorm

- geschreven, dan is tang ^ ^^ = ^ = ]/\'3

CC cc % ■

43

dus ^^=60°
a

en ^ ^ _^

cos Z.1
«

Zii een van de twee wortels — - dan is — 30° en

Ta: Ty = Ty 7]?.
Kiest men Ta — i, dan is:

{Tyy^2 en Ty = ]y2,

derhalve zal

een van de twee wortels zijn.

De andere wortel wordt voorgesteld door

— ^ = — i^ó —-K2 .

a 2 ^ 2 ^

Tweede Voorbeeld q^ = i ^" ƒ

Zij i j k een vector « = Ta . Uu.
Stelt men dan Ua = l., dan is, daar

Ta = ^ 1/3.

^ I K3 •

De twee reëele coplanaire quaternions, die aan deze
vergelijking voldoen, zijn volgens het bovenstaande

fi =   . / en = - jl^ö - jK^ . /.

2-4- ; k

Substitueert men daarin voor / zijne waarde , .—- ?

K3

dan worden de oplossingen

q. =tK6 ^Kö . i K6 . ƒ . k

en

f2 = - 7K6 .. - J k6 .y-

44

Derde Voorbeeld. q^ — 8l.

Wanneer men het Hd in den vorm ^ schrijft, is

90° en 7|3 = 8Ta.

«

y

Is de hoofdwortel q

tt

dan is

/ ^ = = 30° en Ty = ^8.Ta of ^ = 2
« 3 ^ / 2«

bijgevolg- is q^ = Sq^ Vq^ = ï.

Evenzoo zal voldoen q^ = ~, waarin Tb = zTa en

«

= 30° 120° = 150°
«

dus is = = —1^3

g., =- waarin 30° 2 x 120° = 270°

« cc

en 7f = zTa, zal ook voldoen.

Vierde Voorbeeld. q"^ = —■ i 1/3 • i-

Schrijft men het 2"^® lid in den vorm —, dan is

«

120° en 7]3 = 27«.

«

De hoek van den hoofdwortel q^ bedraagt nu

I 2 O*^

-— 30° en Ty = . Ta

zoodat

q, = Sq, -i- Vq, = ^^3 . 1^2 j . « ^

45

Eene tweede oplossing zal zijn waarin

/ ^ = 90° 30® = 120° en rd = 1^2 . Ta,

zoodat

q, = Sq^ = - I1K2 -h jlKiS .

Ook zal voldoen q, waarin

«

^ i = 210° en Zé = IK2 . r« ,
«

zoodat = —jlKiS—j IK2 . i

evenzoo q, =-, waarin ^ - = 300° en T^ — 2 . Ta.

« « K 7

zoodat i]4/2 — i 15/18 .

Voorbeeld. q\'^ = — 5 7« ƒ
Nu stelt 7?\' ƒ 4- iik een vector A voor, en is

Tl =  = 5k3.

Stelt men UI = l, dan kan men de vierde-machtsver-
gelijking ook schrijven

== — 5 5 k3 .
Schrijft men het lid in den vorm van een quotiënt

van twee vectoren —, dan is
a

ZÊ^^ j 20° en 7|5 = loTcc.
«

Men gaat dan op dezelfde wijze te werk, als bij het
voorgaande voorbeeld en vindt dan de vier wortels

<h == 71^90 7IK10./.
= —ilKio il^go . l.

46

^^ =1^10 — iiMgo . I

Nu is -f 5/è = 51^3 • I

en dus   •ƒ 7 K3 ■

Substitueert men deze waarde van l in de vier wor-
tels, dan is

q. = —il^/iO ^ KlO . / — 15/10 .ƒ -^I^IO . k.
11 \'10 10 \' 2

\'7.1 = ~ J 1^90 — ^ly90 • ^ -~ 1^90 .y— -iKgo . k.

ö O

tf -r ----^-l^/io.y—

10 lo\'^ 2 ^

Zesde Voorbeeld. q^ = —• 3I/3 -f- ^\'-j- 4/

Zij i -)- 4_;\' 8/è = een vector X en UI = l, dan is

n = =9-

Schrijft men het lid in den vorm van een quotiënt

van twee vectoren dan is
a

Z ^ = 120° en T{i = 6I/3 . T«.
Is de hoofd wortel — —, dan is ^ — =

° en

a «

= Ta.

Nu is 15° = = 7 K

en sin 15° = "j/\'

en derhalve

47

T ^__16 ___lö

=  K3 • 1/108  — K3 .1/108 . /

^^ dan is ^ - == 45° i5° = 60°

(X Ci

16

T8 = iXioS . Ta.

cos 60° = — ,

i i

i

=7Kio8 I K3 . /

= — . Hier is - =

16

Tt = "I/108 . Ta.

cos 105 = — sin 15

sin

T 16 ^__^___

= —jKio8 1X2—1X3 —1X2 K3 . ^

(u 150°, 150 = — -1/3, sin 150

(Xr CXf 2 —

I r

= —jKios 1/3 —/ •

j

Verder voortgaande vindt men q^ = — q^

Substitueert men nu voor / zijne waarde ^ ^ ^ ^^ 1

dan vindt men
16

lx

16

48

16

]yio8

jK3

2

16

K108

K3

2

§ 23. Wil men van eene vergelijking van den vorm,

q^ = a

waarin a een gegeven quaternion is, waarvan het vlak
met dat van een rechten versor i samenvalt, de imaginaire
met a coplanaire wortels opsporen, dan substitueere men

q = K— I .x\' -\\-{y K— I -yy
X, x\', y en y zijn hier reëele scalars, terwijl x\' en y
niet gelijktijdig = o mogen zijn.

Voorbeeld. q^ = \\ ^ ]/\'3 . i.

Bij substitutie vindt men
x"^—zxx\' yZ—i—^yy\'XX—-i-)- 2xyi—^x\'y\'i
2I/— I {yx\' y\'x) = I -f- ly^ . i.

Deze vergelijking laat zich in de vier volgenden splitsen

xx\' — yy\' = O
2xy — 2x\'y\' ■=■ X^i
x\'y -f- xy\' =■ o.

Elimineert men uit de tweede en vierde vergelijking
dan vindt men

y{x"^ -j-y^) — O
zoodat y = O en daarom ook x = o.

De eerste en derde vergelijking worden nu
y^ — x\'^ = I en 2Vy = — 1/^3.

Bij eliminatie van x\' krijgt men

4y^

3 __ ,

49 -

of y^ = z stellende

z^ —z—^ = o
4

zoodat z = - ± v - ^ - ± i.

2 V 4 \' 4 2

Van deze twee waarden mag men slechts 2 = j kiezen,
daar y\'^ = z noodzakelijk positief moet zijn, derhalve is

y = ±Kf =±7^6
de bijbehoorende waarden van zijn

zoodat men voor de gevraagde oplossingen van de gege-
ven quaternion-vergelij king vindt

q, K-I 7K6 K- I

= K-I - ^ K6 K— I •

§ 24. Hamilton heeft in zijn werk „Elements of qua-
ternions" aangetoond, dat eene quaternion-vergelijking
van den vorm

Fnq = - 1 q^t - ^ . . . . ^n = O

waarin , q^____q^ gegeven reëele coplanaire quaternions

zijn, steeds \'nP- quaternion-wortels, reëel of imaginair, in
het gegeven vlak bezit. Schrijft men al de quaternions,
die in deze vergelijking voorkomen, in den vorm van een
paar, dan is

Fnq = Fnix iy) = Xn-\\- iYn.

Deze reëele scalarfuncties Xn en Y^ zijn met betrek-
king tot de beide gezochte scalargrootheden x en y van
de n^^ macht; zij bevatten bovendien de zn gegeven
reëele scalargrootheden x^, y.^^ , . . . . Xn, yw

4

50

De quaternion-vergelijking F^q vervalt nu in de beide
scalar-vergelijkingen

Xn = o en Yn = o.

Elimineert men y uit deze twee vergelijkingen, dan
krijgt men eene algebraïsche vergelijking van den graad
n"^ in Men vindt dus n\'^ wortels van den vorm

q = X ty, die aan de vergelijking Fnq = o voldoen.

De vergelijking q\'^ = ga b, waarin « en ^ in het-
zelfde vlak gelegen zijn, bezit dus vier met a en b copla-
naire wortels.

§ 25. Men kan zich de vraag stellen, van de door
Hamilton behandelde klasse van vergelijkingen q\'^ = qa-\\- b,
waarin hier a en b aangenomen worden in hetzelfde vlak
gelegen te zijn, de reëele, met a en b coplanaire quater-
nionwortels optesporen, door als voorwaarden, waaraan
de gevraagde quaternions moeten voldoen, te stellen

{Tqy = T{qa b) en 2/ q = Z_{qa ^ b) of

{Tqf = Ticia -Yb) en q = Z_{qa 360°.

Deze twee gevallen moeten van elkander onderschei-
den worden.

Zijn de gegeven quaternions

a = — en b = — •
u a

1°. Onderstel.

a / a

Eerste geval.

Stelt men

en een van de reëele wor-
5

tels q=-, dan ïs

51

, Zl = ZA 4--1

ß [ß a ^ a)

/X ^ /S l
ß a \' \'

Uit deze gelijkheid volgt, dat de vector X binnen
^ ^ moet gelegen zijn.

Viel toch X buiten ^ ^, dan zou zij aanleiding geven
tot de gelijkheid

/ ß /X
X a ß\'

welke onmogelijk is, omdat ^ ^ — moet zijn.

Trekt men van beide leden der vergelijking (i) ~

af, dan is

......

Heeft men nu den vector a\' zoodanig getrokken, dat
ß a \'

z A = z

X

= T

{ß a ^ a_

of _ ZXi 1)

(Tiiy Ta ......^

In het paralellogram op 5 en A beschreven, heeft men
de betrekkingen

K ■ k O

oi /5-f-x / d

Stelt men ^^^---— = qi, dan is, daar

52

d — w / S d -l- w

^--- = -- en ^^ = -

l 2 k 2

wegens formule [\\d).

Substitueert men in vergelijking (2) voor X) zijne

uit (3) afteleiden waarde, dan volgt

Uit vergelijking (3) volgt verder
Tl sin (jp

sin — {d — Cf)

Uit de twee laatst gevonden vergelijkingen kan men
Tl elimineeren, door de laatste vergelijking in het kwa-
draat te verheffen en de twee waarden van [Tiy aan
elkaar gelijk te stellen; men krijgt dan tot resultaat

r^ii^j

sin\'^ (jp

2

Th Ta

Stelt men Jf^i — bekende grootheid, dan is

2 sin (jp) sin — — (jp)

sin (jp

d = c (i — cos\'\'\' (jp)

cos q)
COS\'^ (jp — cos (jp

I = o..

Lost men cos q) uit deze vergelijking op, dan vindt men

(p =--- ± — \\/ ^c^ -h ^c COS d A^

COS

2C 2C

Is (f) eenmaal bekend, dan is men in staat uit de even-
redigheid

53

TX te berekenen, men vindt dan

Th sin cp

TX =

sin ^(d — (jp)
Men vindt nu ook gemakkelijk, daar

/3 2 ^ a

/X . O , / X s

Ligt X\' in \'t verlengde
van X, dan kan men deze
voorwaarde ook schrijven

Trekt men van beide

t
«

I? . «~ ~ X\' \'

Stelt men weder Z ^ ^ — g, ^ dan is

~ i8o° — w —

54

Nu is
zoodat

Derhalve is

cc /, K

2

d— (jP

Men gaat nu op dezelfde wijze te werk, als in het
eerste geval.

Uit de vergelijkingen = —^—^

(r/3)

kan men t) en Tl elimineeren.

Men krijgt dan de vergelijking

stn^ cfi

Na herleiding vindt men, evenals in het eerste geval,
de vergelijking

„ , cos cp cos d

cos\'\' w 4------1=0.

^ c c

Is qp bekend, dan berekene men Tl uit de vergelijking

Tl _ sin q,

\'d (jp^

T8

stn

Men kan nu ook Z _ bepalen, daar

, Al

/3 \' a V

= 180° -f- j((p öf)

2 2 «

180° ^^

55

Beschouwen wij nu nader de vergelijking (4) waarin
c en d veranderlijke grootheden zijn. Wordt de wortel,
die met het positieve teeken correspondeert, kortheids-
halve, „de I®*® wortel" en die, welke met het negatieve
teeken overeenkomt, „de wortel" genoemd, en wordt

ondersteld, dat d niet =0 of 180°, en dat 2c ^ 1 is,
dan kan de waarde van den wortelvorm varieeren tus-
schen 2c — I en 2^: De i®*^® wortel is dan i

en ^ — I, en daarom bij de bovengenoemde onderstel-
ling steeds reëel.

De 2*1® wortel is bij deze onderstelling ^ ■—— i en

— I, of, daar i is, ^ — 3 en — i. Deze wor-

tel is dus imaginair.

Is 2c, dan varieert de waarde van den wortelvorm
tusschen i — zc en i 2c.

De i^t® wortel is dan i en ^ — i, zoodat deze

bij de onderstelling zc steeds reëel is.

De 2"^® wortel is dan —• ^ i en ^—• ^--i of,

daar ^ ^ 2 is, — i en ^ — 3.

Laatstgenoemde wortel is dus bij de onderstelling,
I ^ 2C, imaginair.

Is zc = I, dan varieert de waarde van den wortelvorm
tusschen o en 2.

De I®\'® wortel is dan i en ^ —^ i en daarom reëel;

de wortel — i en ^ —■ 3, dus imaginair.

Behandelen wij nu het geval, dat d = o is.

De 1®^® wortel is dan = i en de 2"^® wortel — — ---- i.

c

56

Is ctys q) = I, dan bepale men in het eerste geval TX
uit de vergelijking

TX Tb _ [TXy
Ta ~~ {T^Y\'

Men vindt dan

TX = ffl^\' ± — ViJ^y \\iT^yT8Ta.
zTa 2 Ta

Daar TX positief moet zijn, vindt men slechts ééne
waarde, die voldoet.

In het tweede geval bepale men TX uit de vergelijking
Th ~ TX _ {TXy
Ta ~ {T^y- ■

Men vindt dan

TX = —  — ViT^y ThTa.

2Ta ~ 2 Ta

Hieruit vindt men ook slechts ééne waarde van TX,
die voldoet.

Wanneer d niet = i8o° is, vindt men dus, zoowel in
het eerste geval, als in het tweede geval, één reëel qua-
ternion, coplanair met « en <5, dat aan de gegeven ver-
gelijking q"^ =. qa ^ b voldoet.

Ons blijft nog over, het geval te onderzoeken, dat

d = i8o° is. Onderscheiden wij weder \\ en i.

Is 2c^ dan is de i®^® wortel — i ^— —. Deze va-

c

rieert tusschen i en — i, en is dus steeds reëel.
De wortel is dan = —^ i.

Is Qos q = — I, dan bepale men in het eerste geval
TX uit de vergelijking

TX — Th __ {TXy
Ta ~ {T^y

waaruit men vindt

TX = ± — ]/{TC^y — ^{T^y ThTa.

2 Ta 2 Ta

57

Men vindt Meruit reëele positieve waarden voor
wanneer {T^yy^TÖTa, of, wat hetzelfde is, wanneer
aTSTU /

JIW^

Dit strijdt evenwel tegen de onderstelling.

In het tweede geval geeft de wortel geen reëel qua-
ternion, dat aan dè vergelijking ^^ = -]-<5 voldoet,
daar de richting van % met die van a\' moet samenvallen,
wanneer en <p beiden i8o° zijn.

Is =: i8o° en 2<7 ^ i, dan is de i®^® wortel = — i

en de wortel — — -j- i, dus imaginair.
c

Alleen in het eerste geval, vindt men dan reëele qua-
ternions, die aan de vergelijking q"^ = qa b voldoen,
daar bij den i®\'®" wortel de richting van 1 met die van
a\' moet samenvallen.

Men bepale nu Tl uit de vergelijking
Tl — T8 _ {Tiy
Ta ^ {T^y
die, zooals wij boven gezien hebben, twee reëele posi-
tieve waarden voor Tl geeft, wanneer

Is eindelijk d= i8o° en zc = i, dan hebben wij een
merkwaardig geval.

De i®^® en de 2"^® wortel zijn dan beiden = — i.

Bij elk van de wortels vindt men twee positieve, reëele
en gelijke waarden van Tl, zoodat het eerste geval vier
reëele, met a en b coplanaire quaternions oplevert, die
aan de vergelijking q^ = qa b voldoen.

Het tweede geval levert dan om de bovengenoemde
reden, geen reëele quaternions op.

2°, Onderstel ^ ^ en 2

a ^ a ^ a

58

Zij a zoodanig- getrokken dat Z ^ ZÉ..

O cc

Trekt men nu beide leden
der bovenstaande vergelijking van Z — af, dan is

Ô

X ~

Stelt men de bekende

« /3 d

12 l 2
Nu kan men weer uit de vergelijkingen

rd-Ycp\'

= TX : sin q>= Tb •. sin

(Tiy _ T(8 X)
(T^y ~ Ta
TX en T{8 A) elimineeren, waardoor men, evenals bij
de i®^® onderstelling, de volgende vergelijking krijgt

cos (jp cos d

en

cos"^ cp -f-

Is q) bekend, dan is

59

zA — Z^\' _ / g ^

§ X

= Z^ _ iZÉ^ 1 iZi I ^
a 2 a 2 (i 2

Tweede geval.

|5 a

Trekt men beide leden
dezer vergelijking van

Z — af, dan is
a

zil zi i

Stelt men Z! = qp, dan is

« A p

X 2

X 2

De hoek (p wordt dan, evenals bij de onderstelling

bepaald door de vergelijking

„ , cos qp cos d

cos^ qp --^ —--1=0.

c c

6o

Is (f niet = O of i8o°, dan berekene men TX nit de
vergelijking

TX sin cp

-1

Men kan nu ook Z ^ bepalen, daar
a 2

« 2 a 2 p 2

1

2 « 2

Hier gelden dezelfde opmerkingen omtrent de wortels

der vergelijking

„ , cos cp cos d

cos^ cp -4-----— i = o

^ \' c c

als aan het slot van de i®*^® onderstelling.

Is echter 2^: i erx d = i8o°, dan vindt men nu in

het tweede geval twee reëele quaternions, die aan de

vergelijking q^ = qa h voldoen.

Is i8o° en 2c = i, dan vindt men nu in het tweede

geval vier gelijke reëele

ƒ5 quaternions, die aan de

vergelijking q^ = qa b

voldoen.

3®. Onderstelling.

a ^ a
Eerste geval.

2

^ a \'

6i

Trekt men beide leden dezer vergelijking van af,
dan is Z^^

a [i l

Zii ^ ^ ~t ^ = 9 en 2 ^^ ■— ^ — dan is

0 aa

/d l_/§ /I

1 cc [3

« (3 ^ «

a a l

_d—cp

2

^ V IS dan = -—•
A 2

De hoek 9 wordt dan, evenals bij de vorige onder-
stellingen, gevonden uit de vergelijking

, , cos w cos d

cos^ cp H------1=0

c c

en TX uit

TX sin cp

Td . [d~cp
sin \' ^

2

Men bepale nu als volgt:

Z^lI

(5 « l

a I « 2 «

Tweede geval. 2 ^ ^ = ^ ^ ^ •

(3 «

62

Beide leden met 180°

a a

krijgt men

^Ais dan =180°-\'^.
0 2

De hoek (jp virordt dan even-
als bij de vorige onderstelling

gevonden uit de vergelijking

cos (p cos d

cos\'^cp

c c

Tl bepale men dan uit de vergelijking
TX sin qp

T8

sin

/ ^

Is (p bekend, dan kan men - berekenen, als volgt:

ZA

/d-hX

180=

A «

l^iz^U

a 2 cej cc
2 a 2

Het zij hier opgemerkt, dat bij deze onderstelling

2 Z^—— Z^ — d ]^an varieeren tusschen o en 720°.
« a

Zoo zal men bijv. niet alleen voor 2c = i en 180°

63

maar ook voor 20 = i en ^^=540° vier reëele qua-
ternions vinden, die aan de vergelijking = qa -\\- h
voldoen.

§ 26. De voorwaarde, dat twee quaternions

q = \'W -Yjy "h kz en q\' -^.w\' ix\' ^jy\' kz\'
in hetzelfde vlak zijn gelegen, is dat

^ _y

x\' y\' z\'

Is toch aan die voorwaarde voldaan, dan staan hunne
vlakken loodrecht op vectoren, die dezelfde richting
hebben.

Zij kunnen dan geschreven worden

q = w -f--Y-z"^ .1 en

q\' = W\' -Y l/^^\'^ y z\'^ . l
waarin l de eenheidsvector

__ ._!__y__ __z_ ,

aanduidt.

Wil men het quaternion q — w \\/x"^ -j-jF^ . / in
den vorm — schrijven, dan is

-. = constante.

^ « w

jF^ z^ w^.

§ 27. Voorbeeld. Zij gegeven de vergelijking

(— 4K6 2i\\y2 yK6 3^1/2)

De vlakken van de beide gegeven quaternions vallen

64

hier samen, daar

I K3 3

1, \'1 "2

De eenheidsvector l is hier =--1- — X^Z H—k.

24 4

De tangens van den hoek van het quaternion — is

i 5 i

——, en die van het quaternion — is--— derhalve is

K3 « 1/3

en

a cc

Men heeft hier te doen met de eerste der drie onder-
stellingen , daar Z ^ grooter is dan 2 Z

a a

O

a \' u

T S

Verder is 4 en 8I/2.

J cc la,

Kiest men Ta = i, dan is =: 4 en = 81/\'2
2TaT8 ■ ^ ^

dus

De vierkantsvergelijking in cos q wordt nu

, , cos w
cos^ qi H--— — 1=0.

De i®*^® wortel van deze vergelijking is

coscp —----1--= - 1^2 ,

21/2 21/2 2

zoodat q) = 45°, daar q niet grooter kan zijn dan 180°.

2 a
78 sin (p

en TX

sin i(d—q>) ij/\'2 — 1X2
^^ 4 T /—^—

en

65

sin 52°3o\' = sin (30° 22°3o0 = - j/ 2 I/2 - — 3K2

4 4

^Töi-52°30\' = ^«?-r(30° 22°3o\') =-1X6 31/2 —-]/\'2 —l/\'2.

4 4

Men behoeft nu slechts in:

Tl . / X , ■ /I j. l

voor , Tp , cos ^ — , sin j en l de respectievelijke

waarden te substitueeren, om het gezochte quaternion q^
te vinden.

Na eenige herleiding vindt men dan

=1/6 1/3-I (K2 I K3)

De hoek van den tweeden reëelen quaternion-wortel,

^ / I ^

dien wij — zullen noemen, is 180° — — ^ —,
/3 \'22a

zoodat 2 77°3o\'.

Tl\' bepale men uit de vergelijking
Tl\' sin cp

Td \'

sin

Men vindt dan

8 16

Tl\' —-5—7 = 1 I -, ^ en

cos 22 30 1/ 2 1/2

Tl\' 4

= 21/^4 — 21/2.

T^ V"2 1/2

Nu is

cos z^fio\'= cos{2,oo°—22°3o\') =^^1X2 1/2 — ^1/^6 — 3 I/2

sin2Tf3o\'=sin{3oo\'—22°7,0\') = -]/\'2—1X26 3I/2,

4 4

66

Substitueert men deze waarden in

A\' Tl\'C /l\' . /l\'

dan vindt men na eenige herleiding

1

HOOFDSTUK V.

Nader onderzoek omtrent het aantal wortels der
klasse q^ = qa b-

§ 28. Een quaternion laat zich op twee wijzen voor-
stellen, namelijk 1°. als de som van een vector en een
scalar, in welk geval het zich in den vorm j — w -j- zir
jy kz laat schrijven, waarbij ï", j en k drie onderling
rechthoekige vectoren zijn, en 2\'^. als een quotient van

twee vectoren —. .

a

In het laatste geval, waarbij het operatiekarakter van
het quaternion duidelijker op den voorgrond treedt, is
het voldoende, dat behalve het vlak en de hoek der beide
vectoren, de verhouding hunner lengten (tensoren) be-
kend zij, om het quaternion geheel te bepalen.

Beide schrijfwijzen voor een quaternion laten zich
gemakkelijk in elkander omzetten, wat voldoende uit het
voorgaande hoofdstuk blijkt.

Noemt men bij de tweede schrijfwijze § den bovenvector

en a den onderveetor van het quaternion —, dan is het

a

• 68

duidelijk, dat twee quaternions, waarvan de \'ondervec-
toren in een zelfde vlak liggen en elkander snijden, niet
aan elkander gelijk kunnen zijn, tenzij hunne boven-
vectoren ook in dit zelfde vlak gelegen zijn.

Een eerste vereischte voor de gelijkheid van twee
quaternions is toch, dat hunne vlakken samenvallen of
evenwijdig zijn.

Is nu de quaternionvergelijking q\'^ = qa b, waaruit
q moet opgelost worden, gegeven, dan kan men zich de
gegeven quaternions a en b zoo verplaatst en gedraaid
denken, dat de bovenvector van a en de ondervector
van b samenvallen, zoodat zij respectievelijk kunnen voor-
gesteld worden door ^ en — •
° pa

X

Voldoet het quaternion q = — aan de gegeven verge-

lijking, dan kan men zich dit quaternion zoo verplaatst
en gedraaid denken, dat de ondervector in het vlak

van het quaternion — ligt en het snijpunt der vectoren

met het snijpunt van de vectoren a en ^ samenvalt.

Het is dan de vraag de
ligging van den bovenvec-
tor te bepalen.

Nemen wij aan, dat deze
vector niet in het vlak

- ligt.
a

Zij verder T^a, = Ta

Z«.

T^\' — Tß en in het

69

CC yL

vlak — gelegen, If de snijlijn van het vlak — met het

p (i.

X

vlak — en V\' die van het vlak ^ met het vlak — •
a fi a

Denkt men zich nu het quaternion ^ in zijn vlak ge-
draaid, totdat « met jW en (3 met samenvalt, dan zal

X

het quaternion qa voorgesteld worden door — . Dit qua-

fA.

ternion wordt nu in zijn vlak gedraaid, totdat de richting
van zijn ondervector met die van l" samenvalt. Evenzoo

V

wordt het quaternion — in zijn vlak gedraaid, totdat de

richting van zijn ondervector met die van l" samenvalt.
De quaternions qa en b kan men nu samenstellen, daar
zij een gemeenschappelijken ondervector hebben. De
ondervector van het quaternion qa b zal dus gericht
zijn volgens V en de boven vector zal buiten het vlak

y

— moeten vallen.
u

X

Het quaternion q"^ zal in het vlak — moeten gelegen

\\t

zijn. Men denkt zich evenzoo dit quaternion in zijn vlak
gedraaid, totdat zijn ondervector in richting met X\' samen-
valt. De ondervectoren van de quaternions qa b en
q^, die gelijk moeten zijn, liggen dus in hetzelfde vlak
en snijden zich, terwijl hunne bovenvectoren buiten dat
vlak gelegen zijn. Volgens het bovenstaande kunnen de
twee quaternions in dit geval niet gelijk zijn. Men komt

dus, door aantenemen dat de vector X buiten het vlak —

«

ligt, tot eene ongerijmdheid.

y

De vector X moet dus noodzakelijk in het vlak —
gelegen zijn.

70

Vallen nu de vlakken van de quaternions % en - samen,

/3 a

dan moet ook de vector l in hun gemeenschappelijk
vlak gelegen zijn.

De vergelijking c^ = qa -V h, waarin a en b coplanair
zijn, bezit dus slechts wortels, die in het gemeenschap-
pelijk vlak van a en b gelegen zijn. Het aantal wortels
bedraagt dus in dit geval vier. (Zie § 24).

Is a een scalar en b een werkelijk quaternion, dan
kan men gemakkelijk bewijzen, dat alle wortels in het
gegeven vlak b moeten gelegen zijn.

Zij toch een quaternion, dat aan de vergelijking vol-
doet en-waarvan de ondervector in het vlak b gelegen is,
terwijl de bovenvector buiten dat vlak valt, dan kan men
zich het gegeven quaternion b zoo in zijn vlak verplaatst
denken, dat zijn ondervector in richting en grootte met (3

samenvalt. Men kan ook het quaternion — zoo plaatsen,

dat zijn ondervector in richting en grootte met /3 samenvalt.
Nu is een vereischte voor de gelijkheid van de quater-

-1

gegeven quaternion b voorstelt, dat hunne vlakken samen-
vallen. De samenstelling van de vectoren ak en a moet

/L

dus een vector geven, die in het vlak van - gelegen is.

Dit is evenwel onmogelijk, daar twee vectoren, die in
twee elkaar snijdende vlakken gelegen zijn en hunne
uiteinden in een punt der doorsnede hebben, bij samen-
stelling geen vector kunnen opleveren, die in één der
beide vlakken gelegen is. Hiermede is dus aangetoond
dat X in het vlak b moet gelegen zijn.

I

71

Is a een werkelijk quaternion en b een scalar, en is

een quaternion, dat aan de vergelijking voldoet, waar-
van de ondervector |5 in het vlak a gelegen is, terwijl
X buiten dat vlak ligt, dan kan men het quaternion a
zoo kiezen, dat zijn bovenvector in richting en grootte
met /3 samenvalt. Zij de ondervector van a dan dan

/L /3 JL

zal de operatie — op - het quaternion — opleveren. Het

vlak van dit quaternion zal het vlak van A moeten snij-

1

den. Telt men nu bij het quaternion - den scalar b op,

dan zal het vlak van het quaternion niet veranderd wor-
den. Men komt dus, door aantenemen, dat A buiten het
vlak a ligt, tot eene ongerijmdheid. Dus moeten ook
in dit geval alle wortels in het gegeven vlak a gele-
gen zijn.

Het behoeft wel geen betoog, dat meer algemeen de
klasse van vergelijkingen q^ = qa b, waarin n een
geheel positief getal voorstelt, en ö; en ^ in hetzelfde
vlak liggen of kunnen opgevat worden in het door één
van beiden bepaalde vlak gelegen te zijn, geen wortels
kan bezitten, die niet in het gemeenschappelijk vlak
van ö en 3 liggen.

§ 29. Houden wij ons ten slotte bezig met de bepa-
ling van het aantal wortels in het algemeene geval,
namelijk wanneer a en b beiden werkelijke quaternions
zijn en in verschillende vlakken liggen.

Hamilton laat zich daaromtrent onbepaald uit. Na er
op gewezen te hebben, dat de quaternionvergelijking
van den tweeden graad, door substitutie van q~w-\\-
ix -Y jy kz en analoge waarden voor de gegeven qua-

72

ternions, aanleiding geeft tot vier tweede-machtsvergelij-
kingen, waaruit men bij eliminatie van drie der vier
onbekende scalars, w, x, y en z eene zestiende-machts-
vergelijking kan verwachten, zegt hij (zie Lectures on
Quaternions. § 553):

„The particular class of quadratic equations, which is
of the form q^ = qa b, appears to have only six roots;
but probably it should be said, that the ten missing roots^
are for this particular equation, infinite\'\'

Trachten wij, ten einde het aantal wortels nauwkeu-
riger te bepalen, de hierboven bedoelde eliminatie uit-
tevoeren, en de macht van de vergelijking in w te
bepalen.

Men kan de vier scalarvergelijkingen (zie § 12) schrij-
ven, als volgt:

{2W — e) {2X —/) = ef 2hy — 2gz 2/\'
(2^ — e){2y —g) =eg — 2hx zfz -f zg\'
{2W —■ e) (2z ■— h) = eh zgx — 2fy-\\- zh\'.
Stel

2W-6 = 110\', 2X—f=x\', 2y —g=y\', 2z — h = z\'

en e"^-Y ^e"——g\'^ — =

dan worden deze vergelijkingen

zü\'ï -j- c.......(i)

= ^ hy\' ~gz\' 2/\'......(2)

w\'y\' =eg — hx\' -f/z\' 2g\'......(3)

w\'z! =eh gx\' ~fy\' 2h\'......(4)

Verheft men alle leden van de drie laatste vergelijkin-
gen in het kwadraat, en telt dan de vergelijkingen bij
elkander op, dan is

y2 2\'^) = c\' -f {hy\' —gzY -f- (/z\' — hx\'Y
—fy\'Y Aef-V 2f) {hy\' —gz!)

-\\-2{eg^ 2g\') {fz\' — hx\') 2{eh 2^0 {gx\' —fy\'). (5)

73

wanneer men

{ef-Y 2/0\' {eh 2hy~ = c\' stelt.

Voor het 2de lid van vergelijking (5) kan men schrijven

2(Jiy\' -gz\'Y 2{fz\' — hx\'Y 2[gx\' -fy\'Y
4f\'(hy\' —gz\')  - hx\')  - fy\') - hy^

— gh\'-^ -^pz\'^ ~ h^x\'^ — g^x\'\'\' —/y

(ƒ ^y^ kV) / v^ ^y^ 4- Av^

2hgy\'z\' 4- 2fhx\'z 2gfx\'y\'.

Vermenigvuldigt men nu vergelijking (2), (3) en (4)
respectievelijk met ƒ, ^ en /z, en telt ze dan bij elkan-
der op, dan is

-f ^y 4- hz\') = e[P ^^ -f 2{ff\' gg\' 4- M\').

Stelt men het 2^6 lid der laatste vergelijking = d,
dan is

w\' XA\' hzy = .....(6)

Men vermenigvuldigt nu, ten einde daaruit w\' te elimi-
neeren, de vergelijkingen (2) en (3) respectievelijk met
y en x\', de vergelijkingen (3) en (4) met z\' en y, en de
vergelijkingen (2) en (4) met z\' en x\'. Men krijgt dan
de drie volgende vergelijkingen,

—gx\') 2{f\'y\'—g\'x\') -Yy\\hy\' ~gz\')-x\\fz\'—hx\') o
e{gz\'-hy\')-\\-2[g\'z\' —h\'y\') z\'(/z\' —hx)-y\'{^x\'—fy\')=o
e{hx—f%\') 4-2(/2V—/V) ■Yx\\gx\' —fy\')~-z\\hy\' —gz\') =0.

Vermenigvuldigt men deze vergelijkingen respectieve-
lijk met h, f en g, en telt ze dan bij elkander op, dan
vindt men de vergelijking

2h{g\'x\'-fy\') 4- 2f{h\'y\'-g\'z\') 4- 2g[fz\' - h\'x\') =

(^y _ hxr ~fy\')\\

Voor het i®*^® lid dezer vergelijking kan men ook schrijven
_ - 2g\'(fz\' — hx\') — 2h\'{gx\' —fy\'),

zoodat vergelijking (5) na vermenigvuldiging der beide

74

leden met de volgende gedaante. aanneemt

^  ^^ K"-) {x"- y^ z\'^) d\\

Nu kan men de waarde van -4- jy\'^ uit ver-
gelijking (i) in de laatste vergelijking substitueeren,
men krijgt dan

w\'Xw\'^ — 6\') = a;\'V — w\'^if  — C-) d^

of

O.

Deze vergelijking bevat, behalve w\\ niets dan bekende
grootheden; bij substitutie van 2w — e voor zv\' zal de
macht van de vergelijking niet veranderen. Men vindt
dus zes waarden voor w.

Is w bekend, dan bepale men x, y en 2 uit de de-
terminanten

2w — e,/w-\\-/, g
h,gw-{-g\', —f
— g, hw -f- h\', 2W—• e

y =

g

-/
f,2w — e

2W

§ 30. Resumeerende, kunnen wij het volgende omtrent
de wortels der quaternionvergelijkingen van de klasse
qf^ = qa bbesluiten:

75

I Zijn a en b beiden scalars, dan is bet aantal wor-
tels oneindig groot.

2". Zijn a en b coplanaire quaternions, of is één van
beiden een scalar, zoodat zij opgevat kunnen worden in
hetzelfde bepaalde vlak gelegen te zijn, dan is het aantal
wortels vier. Alle wortels zijn dan in het gemeenschap-
pelijke vlak van a en b gelegen. Er zijn dan steeds twee
reëele en twee imaginaire wortels, behalve in enkele
bijzondere gevallen (zie § 25), waarin men vier gelijke
reëele wortels vindt.

3". Zijn flt en ^ beiden werkelijke quaternions-, en in
elkaar snijdende vlakken gelegen, dan is het aantal wor-
tels zes, waarvan steeds twee reëel en vier imaginair zijn,
behalve wanneer S. ay — o en t = o, (zie § 14) in welk
geval vier wortels reëel zijn.

stellingen.

I.

De meening van Hamilton, dat aan de vergelijking
= qa Ar i tien oneindige wortels toekomen, is onjuist.

II.

Bij de door Hamilton gegeven methode ter oplossing
van bovenstaande vergelijking, is het vraagstuk slechts
opgelost, voor het geval dat de gegeven quaternions
diplanair zijn.

III.

De regel door Hamilton gegeven, dat eene compla-
naire qua.ternionvergelijking van den n^^^ graad steeds n
reëele wortels en niet meer in het gegeven vlak bezit,
(Elements of quaternions, § 244) gaat niet algemeen door.

IV.

De oplossingsmethode, waarbij men de quaternionver-
gelijking in scalar vergelijkingen ontbindt, is te verkiezen,
wanneer de vergelijking geen gegeven quaternions bevat,
of wanneer deze in verschillende vlakken gelegen zijn.

V.

Complanaire quaternion-vergelijkingen bezitten geen
wortels, die buiten het gemeenschappelijk vlak van de
gegeven quaternions gelegen zijn.

VI.

De wortels van eene complanaire quaternionvergelijking
van den graad kunnen in n groepen verdeeld wor-
den. Het kan dan evenwel voorkomen, dat meer dan n
wortels tot eene zelfde groep behooren.

VII.

Hierop kan men eene methode gronden tot oplossing
van complanaire quaternionvergelijkingen van den derden
en vierden graad.

VIII.

Een lijncoordinatenstelsel, dat volkomen analoog is
met het gewone rechthoekige Cartesiaansche puntcoordi-
natenstelsel, is niet mogelijk.

79

IX.

Van de methode van den integreerenden factor is voor
de studie der differentiaalvergelijkingen weinig heil te
verwachten.

X.

De ontdekking van de jaarlijksche vereffening der
maan moet toegeschreven worden aan Kepler.

XI.

Het is wenschelijk, het atoomg.ewicht van zuurstof
onveranderlijk = i6 te stellen en dit als standaard te
kiezen voor de berekening van alle andere atoomge-
wichten.

XII.

Ter voorstelling van de holoëdrische kristalvormen ver-
dienen de symbolen van Weiss de voorkeur boven die
van Miller en Naumann.

XIII.

De absolute temperatuurschaal, zooals zij door Thomson
is gedefinieerd, is de eenige rationeele.

XIV.

8o

De formule door Claustos geg-even voor de gemiddelde
waarschijnlijke waarde van de weglengte der gasmole-
culen, die in een in toestand van rust verkeerend medium
verplaatst worden, mag slechts als eene benaderde wor-
den beschouwd.

XV.

Het bewijs voor het beginsel der virtueele snelheden,
zooals dat bij Sturm gegeven wordt, is niet voldoende.

\'memmmm - : ■

\'mM:

W ■ I

i\'vsÉ^eisr\'^ V T i ^ IMMÙHfc - "" K^v-»^