/

liTi^i^T?^"^\'^—TTf

[iiHi.iiitil^

jJ. jJ. VAN RiJN.

mm

EN

VALENTE MASSAS,

A

bl.—

L qu.
192

it

■ -i

...... , ;:./): -

î" . -vv-ih/

.«ré

. > S\'

i

^ -1:1

\' \' \'\'S

■ A

/ ^ \' s.

, V

-, - f. •

tii\'-

TEAAGHEIDSMOMENTEN

EN

EQUIVALENTE MASSAS.

■i-y

fen»

II

Tvn. j. VAN BÜKKHOVKN, ütieohl.

TKAAGHEIDSMOMENTEN

EN

QUIVALENTE MASSAS

PROEFSCHRIFT

TKH VKHKRUOrNG VAN DEN GHAAl) VAN

lloxtor in k Uis- en llatnurlinnde

AAN DE j^lJKS-fjNIVERSITEIT TE yXRECHT,

NA MACHTICING VAN DEN IIEGTOR-MAGNIFIGUS
IIooglecFHar in de Faculteit der Letteren en Wijsbegreerte,

VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT

TROKN I)K ÜRDENKINGEN VAN DE KACULTEIT DER WIS- EN NATUUKKUNDE

TE VKRDEDIGEN

op Vrijdag den 10\'\'®" October 1890, des namiddags ten 3 ure,

JOHANNES JACOBUS VAN RIJN,

geboren te Boxmeer,

UTRECHT,
J. VAN HOEKHOVEN,
ISflO.

.\'r

•v..

1
■4\'

i 1

I

• V

AAN MIJNE OUDERS

; . . 1
, S

\' " f î \' iiii

\\

\'f

Aati het einde mijner academische loopbaan gekomen,
breng ik gaarne mijtten oprechten dank aan U, Hooggel.
Heeren, Professoren in de Faculteit der Wts- en Natuur-
kunde, wier onderwijs en voorlichting ik heb mogen ge-
nieten.

Met innig leedwezen herdenk ik den overleden Hoog-
leeraar Buys Ballot, aan wiens onderwas ik zoo veel
verschuldigd ben.

Hooggel. Grinwis, hooggeachte promotor, sedert tal van
jaren hebt gij mij, onder allerlei omstandigheden, door
uwen raad voorgelicht en mij bij mijne studiën gesteund.
Ontvang daarvoor. alsmede voor uzve hulp bij het samen-
stellen van dit proefschrift, mijnen hartelijken dank.

i-

.... L«. Mmmw^

- .y ~

»

E E E A T A.

TJ1 1 1 , ^ , constante , constante
Bladz. 4 regel 11 v. boven staat : —,-rr— lees :

Eimr\'\')

14 » »

13 » onder

I O » »

5 » »

- Xm

» : der- moet vervallen
» : liggen lees: ligt
» : de » : een

mm^^sm

lliipii

nSlltS

iîiPsÂÎ

ïtfiiiPiiPiMÂi

Ü

r N TT C) U T).

HOOFDSTUK I.

TraagheidsellipsoYden. — Traagheidsmomenien.

Bladz.

A. Bepalingen................................i

B. Traagheidsellipsoïden.............2

C. Hoofdtraagheidsassen.............8

D. Berekening van traagheidsmomenten............24

a. Methode van Huyghens..................24

jS. Berekening door Integratie.........29

7. Bepaling der traagheidsmomenten door Differentiatie. 35

(?. Met behulp van Symmetrievlakken......37

£. Traagheidsmomenten van Omwentelingslichamen. . 40

Methode van Townsend..........42

/j. Methode bij gelijkvormige stelsels.......44

Si. Met behulp van toegevoegde middellijnen .... 48

i. Inversie methode.............50

E. Traagheidsmomenten van eenige stelsels......K2

XII

HOOFDSTUK II.
Traagheidsproducten.

Bladz.

A. Invloed van de draaiing der vlakken om eene as. . . 6i

B. Invloed van evenwijdige verplaatsing der as ... . 64

C. Draaiing der as om een vast punt.......71

D. MoHR-LAND\'sche Methode......................76

HOOFDSTUK III.

Equivalente massas.......S9

A. Stelsels die ten opzichte van eene bepaalde as gelijke
traagheidsmomenten hebben..........90

B. Theoremas over equivalente stelsels.......105

C. Toepassingen...............108

D. MöBius-GRASSMANN\'sche methode........118

Literatuur.................127

Stellingen................129

HOOFDSTUK 1.

Traagheidsellipsoiden, — Traagheidsmomenten.

A. Bepalingen.

I. — Is OT de massa van een punt van een massa-
stelsel en p de afstand van dat punt tot een punt O.
dan wordt de som der producten van elk massadeeltje
van het stelsel met het vierkant van zijn afstand tot O,
voorgesteld door (mp\'^), het Polaire traagheidsmo-
ment van het massastelsel ten opzichte van het punt O
genoemd.

Bepaalt men de som der producten mr"^, waarin r
den afstand tot een rechte lijn beteekent, dan noemt
men ü [mr\'\'\') het Traagheidsmoment ten opzichte van
die lijn.

Bepaalt men ten slotte de som der producten mq"^,
waarin q den afstand tot een vlak beteekent, dan wordt
Z {tnq\'\'\') het Vlakte traagheidsmoment ten opzichte van
dit vlak g-enoemd.

2.

Neemt men in een vlak een punt O aan, en richt

men in O de normaal op
het vlak, dan is

= jr» r""
waaruit volgt:

= ^{mp\'\') — 2:{mq\'\')
of het Traagheidsmoment
ten opzichte van ON is
gelijk het Polaire traag-
heidsmoment verminderd
met het Vlakte traagheids-
moment.

B. Traagheidsellipsoiden.

3. — Neemt men een punt O als oorsprong van een
rechthoekig coördinatenstelsel in de ruimte aan, en brengt
men door O eene lijn, welke met de coördinatenassen de
hoeken «, (i en / maakt, dan kan men het traagheids-
moment van een massastelsel ten opzichte van die lijn
vinden, want

q = X Qos « y cos ^ ^ zcos y
dus 2:[mp\'\') = -f- 2:{my\'\') -f en

2:{mq^) = cos"" u l.imx\'\') cos\'\'^ i:{my^) cos^\' y ^(wz^)
2 cos ^ cos y 2:(myz)
2 cos y cos a Z{mzx)
^ 2 cos u cos |ï 2{mxy)

waaruit

2:{mr\'\') = (i — cos"^«) ^mx\'^) (i — cos\'\'^)
-j- (i — cos^y) 2\\mz\'^) — 2 cos § cos y 2{myz) —
— 2 cos y cos a I^{mzx) — 2 cos tt cos ^ 2i(nixy)
of daar: cos\'^a cos\'^(S cos^y = i is

2\\mr\'\') = cos^cc 2:m{y\'\' 2^) cos\'\'^  x"")

cos\'^\'y  jr^) — 2 cos |3 cos y 2:{myz) —

2 cos y cos a Z{mzx) — 2 cos a cos 2\\mxy).

Stel nu ter verkorting-:
A = 2;m{y\'\' z^) B = i:m{z^x^) C == {x\'\'
D = 2:{myz) E = 2(mzx) F = Zimxy\')

dan wordt het traagheidsmoment:

= A cos^a -f B cos^^ -)- Ccos^y — 2 D cos ^ cos y —
2 E cos y cos a. — 2 F cos a cos (i,
terwijl het Vlakte traagheidsmoment na invoering

van A\'^^imx"") B\'= Zimy"^) C\'= wordt

Zimq"^) — A cos^a B\' cos\'^li C cos^y 2 D cos ^ cos y

2 E cos y cos u 2 F cos ct cos ,
terwijl het blijkt dat de grootheden A, B, C, A\', B\',
C\', D, E en de volgende eigenschappen bezitten.

IA^B^C

2". A-\\-B C=2P, waarin P het polaire traag-
heidsmoment beteekent.

3». A^ A\' =P.

4». D.

5». A.B>F\\

6». (A-i- B—C) (B C — A) ^
7«. C) C—^) C—

4. — Noemt men Af de totale massa van het stelsel en
kiest men een grootheid k, zoodanig dat Ei^mr\'^) = Mk\'\'\'
is, dan noemt men k den traagheidstraal.

Zet men nu op elke as («(?/), aan weerszijden van O
stukken O M af, wier lengten omgekeerd evenredig zijn
met den wortel uit het traagheidsmoment ten opzichte van

die as, dus O AI — q = of =

en kiest men de constante zoodanig dat, daar

Eimr"^) — k\'^Zm is, o/è = fMs, dus _

waar f een constante is, die nog willekeurig gekomen
kan worden, dan wordt

Zifnr\'\') = E fn . — A cos^a -)- B C cos^/ —
P J

- 2 Z> C£>S (} cos y - 2 E cos Y cos « - 2 F cos a cos ({ ,

of na vermenigvuldiging met q^ en bedenkende dat
Q cos a, Q cos li en p (:os y de coördinaten x, y en z van
de punten M zijn, dan ontstaat voor de meetkunstige
plaats der punten M de vergelijking
Ax"- By\'\' Cz^ — 2 Dyz — zExz — z Fxy = 2:{m. f").
Hieruit blijkt dus, dat de punten M op een oppervlak
van den tweeden graad liggen.

5. — Daar nu, volgens de bepaling, een traagheids-
moment een positieve grootheid is, volgt hieruit dat

0 = 1/ bestaanbaar is, en dat derhalve het

^ V

oppervlak van den tweeden graad een Ellipsoïde moet
zijn, die den oorsprong van coördinaten tot middel-
punt heeft.

Daar de onderling rechthoekige coördinaten assen wille-
keurig gekozen zijn, kan men deze assen altijd laten
samenvallen met de assen van de Ellipsoïde waardoor de
grootheden

D = i:{myz), E = 2,{mzx) en = Zimxy)
nul worden en onze vergelijking zich vereenvoudigt tot
Aa;^ By^ ^ Cz-" = . t^ . . . . (i)
wat de Cauchy-Poinsofsche traagheidsellipsoïde genoemd
wordt, terwijl A, J5 en C Hoofdtraagheidsmomenten en
de coördinatenassen Hoofdtraagheidsassen zijn.

Is het punt O het zwaartepunt van het massastelsel
dan heet de Ellipsoïde Centraalellipsoïde.

6. — Handelt men op dezelfde wijze bij het vlakte-
traagheidsmoment

= A cos\'^u B\' cos\'\'^ C cos\'^y 2 £> cos ^ cos /
2 E cos Y cos a 2 F cos a cos (ï
den traagheidstraal l noemende en aan weerszijde van O
op de normaal stukken O M= q uitzettende die omge-
keerd evenredig zijn met den wortel uit het vlakte traag-

heidsmoment, dus Q = V^ ^^ot/") ^ kiest men nu de

constante weder zoo, dat _ jg^ ^g^j^ krijgt men

^ nz

A\'x-"- By"" Cz"" ^ 2 Dyz2 Ezx^ 2 Fxy = Z{m .t")
of herleid op hoofdassen

... (2)

wat de Ellipsoïde van Binet genoemd wordt.

7. — Noemt men de Hoofdtraagheidstralen van {f) a,
b, c, zoodat dus A=: 2im . a^ B = Hm . b^ C—2\'M.c^is,

dan wordt (i)

a-\'x^ bY c\'z\' =

Past men nu de methode der reciproke voerstralen toe,

dan is de reciproke ellipsoïde

^ ^ \'

want beschrijft men om O een bol met straal t en bepaalt

voor alle punten M
eener figuur hare
pool vlakken ten op-
zichte van den bol
dan omhullen die
vlakken eenefiguur
die de reciproke van
de eerste genoemd
wordt. Snijdt dus
het poolvlak den
voerstraal
O M — Q in M\'
waardoor dus OM\' — k den afstand van O tot het pool-
vlak aangeeft, zoo is Qk =

2 ^2

Trekt men nu aan —5 tt H—-> = i een raakvlak,
a\'- h\'- c\'-

dan is de vergelijking van dit vlak

waar X, Y, Z loopende coördinaten zijn; want in het alge-
meen is de vergelijking van het raakvlak aan f{x, y, z) — o,

De cosinussen der richtingshoeken (/, m, n) van de
normaal uit O op dit vlak zijn

cosm = — —.

dX\'dZ

^^ dv\'-dZ~ bh

X

cos l = -r, .

V ^ ^^

daar

V c\'

A7

CöJ l — -t: . k

y 1 2 ,

r^ . k en cos . n — k

X

a cos l= — . k b cos m —r ■ k c cos n— — .k
a ■ b c

waaruit

a^ cos^ /-l-b^ cos^ m c^ cos^ n = -f-^

XCl O c

d^ cos"^ ly b"^ cos\'\'- m c\'^\' cos^ n = k^

en daar OM . OM\' — é^ dus /è = — is

a^ cos"^ / cos"^ m c^ cos^ n =

e

of omdat q cos l — x q cos m — y q cos n = z
de coördinaten van M zijn

bY ^\'z\' =

dus ligt M op de Cauchy-Poinsot\'sche ellipsoïde en is
het bewijs geleverd.

8. — Past men dezelfde methode toe op de Ellipsoïde
van Binet.

A\'x"" B\'y^ C\'z^ = Alt\'
dan krijgt men van deze de redproke, zijnde

A\' ^ B\' ^ C AI
zoodat men ten slotte 4 Ellipsoïden heeft

Ax\'^ By\'^ Cz"" = Ali". . . (Cauchy-Poinsot).

A\'x\'\' ffy"- -f Cz"" = AI(\\ . . (Binet).

^ = ^ . . . (Clebsch).

^ ^ \' jf ■ ■ ■ (legendre).

Hiervan zijn dus de 3® en 4® ellipsoïde de reciproken
van de i® en 2®.

C. Hoofdtraagheidsassen.

g. — In 4. — is de traagheidsellipsoïde
Ax\'^ By"" Cz^ — 2 Dyz — 2 Exz — 2 Fxy = ^\'m .
gevonden, waaruit blijkt dat de traagheidsproducten ten
opzichte van de assen de halve coefficienten zijn van
— yz\\ — xz en — xy.

Bij herleiding der ellipsoïde op hoofdassen verdwijnen
deze coefficienten.

Nu noemt men de assen waarvoor D = E = F = o is,
hoofdiraagheidsassen van het stelsel.

Daar nu elke ellipsoïde drie hoofdassen heeft, bezit elk
stoffelijk stelsel minstens drie hoofdtraagheidsassen.

10. — Wil men de hoofdassen van bovenstaande elhp-
soïde U~ O vinden, dan kan men de eigenschap ge-
bruiken dat het raakvlak aan de ellipsoïde in het uiteinde
van den voerstraal o(a/iy), van het middelpunt naar

hët punt (xyz) getrokken, loodrecht op den voerstraal
staan moet.

Daar nu de richtingscosinussen van den voerstraal en
van de normaal in (xyz) van het vlak U — o evenredig
zijn met

dU

= Ax — Fy — Ez^ Q(Aa — Fß ~ Ey)
= —Fx By — Dz = p(— Fa Bß— Dy)

y en = ~ Ex — Dy Cz = q(— Ea — D^ Cy)

zoo moet, willen deze lijnen samenvallen
Aa—F§—Ey=Xot j

— Fcc B^—Dy=X^ . . . . (i)

— Ea — D^ Cy = Xy zijn\'

waar de beteekenis van X duidelijk wordt door respec-
tievelijk de vergelijkingen met a, (3 en / te vermenig-
vuldigen en hunne som te nemen, waardoor men krijgt

Schrijft men dus (i) in de gedaante

Fa {T—B)^  ny = ol . . (2)

Ea  B^(T — C)y = o\'

en elimineert hieruit a, y dan krijgt men een derde
machtsvergelijking waarvan de determinant is
T— A F E

F T—B Z) =o. . (3)

E D T— C

De 3 wortels T^, T^ en T.^ dezer vergelijking gesub-
stitueerd in (2) geven de 3 bijbehoorende richtingen
Kl\'i/i) («il^ï/i) en (a.tl.y.) der hoofdassen.

II. — Daar de g-rootste halve as met den kleinsten

lO

hoofdtraagheidstraal enz. overeenkomt, kan men nog een
anderen weg volgen tot het opsporen der hoofdassen,
namelijk

Acx^ Bß"" C/^ — 2 Z)ßy — 2 Eyu — 2 laß = 7
ten opzichte van «, ß, y tot maximum of minimum
maken, door de vergelijking naar «, ß, y te differen-

dT dT

gelijk nul te stellen, waar-

da dß dy
door men hetzelfde resultaat verkrijgt.

12. — Wil men onderzoeken of de 3 wortels van (3)
reëel zijn, dan kan men dit doen door (3) te vermenig-
vuldigen met D, E en F

{T~A)D DF DE

EF (T—B)E DE = O

EF DF (T— C)F

en de 2® horizontale rij van de i®, alsmede de 3® van de
2® af te trekken, waardoor de determinant wordt
{T—A)D — EFDF—{T—B)E o

O [T—B) E— DF DE— {T— QF = o

EF DF {T—C)F

Deelt men nu de verticalen rijen door D. E en F en

= L; B

L M-
7-

o
EF
D

of na herleiding
EF

L — T

O

N— T
T — N

EF
E

M— T

11

welke vêrgelijking in de gedaante

I I I

L — T M—T\'^ N—T D.E.F

gebracht, doet zien dat, indien ZiV^ is. de 3 wor-
tels liggen tusschen — 00 en Z; Z, en M/ M en TV of
tusschen Z en M/ M en N; iV" en -f naargelang
D.E.F positief of negatief is; want voor T — —^00
zijn de 3 eerste termen nul en dus het linksche gedeelte
negatief.

Heeft T een waarde iets kleiner dan Z, dan is de
eerste term positief en zeer groot, dus het linksche ge-
deelte positief.

Er ligt dus een wortel tusschen — 00 en Z.

Ligt T tusschen L en M en zeer digt bij Z, dan is
de eerste term negatief en zeer groot, dus het linksche
gedeelte negatief.

Ligt T echter dicht bij M, dan is de tweede term
positif en zeer groot, dus het linksche gedeelte positief.

Er ligt dus een wortel tusschen Z en M.

Ligt T tusschen M en N en zeer dicht bij M dan is
de tweede term negatief en zeer groot, dus het linksche
gedeelte negatief.

Ligt T echter dicht bij N dan is de derde term posi-
tief en zeer groot, dus het linksche gedeelte positief.

Er ligt dus een wortel tusschen M en N.

Men vindt dus dat, indien D.E.F positief is de 3
wortels liggen tusschen

— 00 en Z; Z en M; M en N
terwijl men op dezelfde wijze vindt, dat indien D.E.F
negatief is, de 3 wortels liggen tusschen

Z en M; M en N; N en 00.

12

13- — Is er nu een rechte Hjn gegeven en wil men
weten of die rechte lijn in eenig punt hoofdas van het
stelsel is, terwijl men tevens dat punt en de beide
andere hoofdassen in dat punt wil vinden, dan neemt
men die rechte lijn als z as aan en een punt O van die

lijn als oorsprong van
\\y\' \' ^ coördinaten. Stel nu

dat er een punt C is op
afstand CO = h waar-
voor die lijn hoofdas
is, en laten Cx\' en
Cy\' de twee andere
hoofdassen zijn.
De assen Cx\' en Cy\' geprojecteerd worden OX\' en OY\'
makende met OX en OY den hoek 0, dan is
x\' ~ X cos 0 -j- y sin 0
y — y cos @ — sin 0
s\' = z — h

Zmx\'z = cos QZmxz sin QZmyz — h{cos QSmx sin QZmy)
Zmy \'z\' = cos Q2^myz — sin Q2^mxz — h(cos QZmy — sin Q2^mx)
2^mx\'y\' ={cos\'\' 0 — sin\'\' Q)Zmxy cos 0 sin 0{2:my^ — Znix\'\'\')
daar A = 2:m{y ^ z en B = 2:m(x ^ z is, wordt het

2:mx\'y\' = F. cos 20 ^^^ . (A — B).

Opdat de z-as hoofdas worde, moet

I,mx\'\'i = O en Zmy\'z\' = o zijn en daar OX\' en OY\'
de twee andere hoofdassen zijn, moet ook I^mx\'y\' ~ o
zijn, waardoor men dus krijgt:

cos 02imxz sin 0Eniyz — h{fos 0Zmx sin 0Zmy) = o. . . (i)
cos 0Zmyz — sin 0Zmxz — Mcos 0Ziny — sin 02,mx) = o. . . (2)

F cos 20  .(A — B)= O

(3)

13

iF

(3) geeft tang 20 = ^.........(4)

De vergelijkingen (i) en (2) moeten door dezelfde
waarde van h voldaan worden.

Elimineer dus uit (i) en (2) h

_cos sin QHmyz _ cos Q^lmyz — sin 92:mxz

cos QZmx sin QiEmy cos 0Xtny — sin ®Zmx

dan geeft dit na vereenvoudiging

Zmxz 2^my — 21myz Xmx.......(5)

voor de voorwaarde waarop de z-as in een punt hoofdas zij.

(5) in (i) substitueerende geeft

, I, myz 2: mxz ,,,

h = = —........(6)

my 2, mx

De vergelijking (6) geeft dus de voorwaarde aan
waarop de 2 as in een punt hoofdas is, en de waarde
van h geeft de ligging van dit punt.

De beide andere hoofdassen kunnen dan door middel
van de vergelijking (4) gevonden worden.

14. — Hieruit volgt:

IIs 2 mxz = O en -i\' myz = o dan worden (i) en (2)
voldaan door h — o dat is, 2 mxz = o en myz — o
zijn de voorwaarden dat de z as hoofdas is in den
oorsprong.

2". Is het stelsel een vlakke plaat dan is z = o dus
2 mxz = 0 en 2\' myz = o. Dus één der hoofd-
assen in een punt van een vlakke plaat is de
normaal in dat punt. op die plaat.

3". Is het stelsel een omwentelingslichaam begrensd
door 2 vlakken loodrecht op de as, dan is die as
in elk zijner punten hoofdas, want elke door-

14

snede loodrecht op de as is een cirkel, bijgevolg

mxz = O en 2" myz = o.
uit vergelijking (4) blijkt dat er meer waarden

n

van 0 voldoen en wel 0 4-??.— want

2

tg 2(0 ^ • ^ = (2 0 nn) = tg 2 ©

waardoor dus de assen in het x\'y\' vlak onderling
loodrecht zijn.

5". Omdat (4) onafhankelijk is van h, ziet men dat,
zoo er meer pünten waren waarvoor de z as
hoofdas is, die hoofdassen (namelijk de twee overige
assen loodrecht staande op de z as), alle paarsge-
wijze evenwijdig met elkander zouden loopen.

In dat geval zou (6) meer dan één waarde voor
h moeten geven, wat alleen mogelijk is, indien
2 myz = O; mxz = o; 2 my = 0 en mx = o
is, dit sluit in dat de lijn door het zwaartepunt
gaat en hoofdas is in den oorsprong, en daar de
oorsprong willekeurig genomen kan worden, hoofdas
is in ieder harer punten.

15. — Daar z niet in de vergelijking (4) voorkomt,

volgt er uit dat, in-
dien de gegevene
lijn hoofdas is in een
punt C, de andere
twee hoofdassen in
C evenwijdig zullen
__zijn aan de hoofd-
assen van het gepro-
jecteerde stelsel in O.

Zoekt men bijvoorbeeld de hoofdassen van een recht-

15

hoekigen driehoek ABC in den rechten hoek, dan is,
omdat het stelsel een vlakke plaat is, één der hoofd-
assen de normaal in C.

De twee anderen zijn bepaald door

7 2 2

Nu is A = MM

6 6

12

6 ab

dus tg. 20 = -Yr-= —1-----r-

^ M. „ a^ — b\'

6"

of =

i6. —■ Zijn de hoofdassen OX, ÖF en OZ in het
zwaartepunt O en de traagheidsmomenten ten opzichte
van die assen bekend, dan kan men op de volgende
wijze de hoofdassen in eenig punt P, liggende in het
XY vlak, en de traagheidsmomenten ten opzichte van
die assen vinden.

Een der hoofdassen in P is de normaal op het xy vlak,
want zijn / en ^ de coördinaten van P dan zijn de vgor-
waarden opdat die normaal hoofdas is, 2:mix —■ p) z = o
en 2m{y — q)z o vervuld; want O is het zwaartepunt
en de coördinatenassen zijn hoofdassen.

Om de beide andere assen te vinden, stellen wij dat
A en B de traagheidsmomenten ten opzichte van OX en
O Y zijn en wel A^ B.

Zet men nu op de as van het grootste moment stukken

af, aan weerszijden van O, OS — OH — i

i6

zijn de hoofdassen in ^ en evenwijdig aan de coördi-

natenassen, om-

--^ dat^eni^pun-

/ ten zijn in een

der hoofdassen

/

van het zwaar-
tepunt.
Het traagheids-
moment ten op-
zichte van OX

is = yi en ten opzichte van

iiy = B M. on^ B -^{A — B) = A
dus gelijk dat ten opzichte van OX.

*) Het traagheidsmoment ten opzichte van een as is namelijk
gelijk aan het traagheidsmoment ten opzichte van een daarmede
evenwijdige as gaande door het zwaartepunt, vermeerderd met
het product van de totale massa met het vierkant van den

afstand tusschen de beide assen; want
laten h en h\' twee evenwijdige assen
zijn, r en r\' de afstanden van een
massapunt m tot die assen ,en S de
afstand der assen. Nu is

mr\'"^ _ „ir"^ _ 2mr§ cos A m .
dus

Unr\'\'^ = intr"^ — 2S imr cos A S\'^im.

Brengt men door de as h een vlak
loodrecht op S, dan is r cos A = x de
afstand van m tot dit vlak en
imr cos A = imx = x^ lm.
Onze formule wordt dus

imr"- = \'ï.mr\'^— sSx, lm -j- §-im.

Gaat de as h door het zwaartepunt van het stelsel Z dan is

imr\'\'^ = imr"^ SHm.

17

Elke rechte lijn door S of H in het jtrjy-vlak getrokken
is dus hoofdas in dit punt en het traagheidsmoment ten

opzichte van die as
r is A. Trek dus SP

en HP, dan zijn de
traagheidsmomenten
ten opzichte van die
lijnen gelijk. Daar P
in een hoofdvlak ligt ^
deelen de hoofdassen den hoek SPH (in- en uitwendig)
middendoor.

Indien men dus met
S H tot brandpun-
ten een Ellips of Hy-
perbool beschrijft, zijn
de raaklijn en nor-
maal PT en PG in
een punt P hoofdas-
sen in P. De punten S ea. H worden brandpunten van
traagheid genoemd.

17- — Het traagheidsmoment ten opzichte van de

raaklijn kan men nu vinden door uit O een lijn MN te
trekken, makende met de x-a.s een hoek 0, en uit^\'en H
loodlijnen SN en MH op MN, dan is het traagheidsmo-

ment ten opzichte van MN gehjk aan

A cos"" 0 « sin\'\' 9 = A — (A — B) sin\'\' 0
= A — M{OHsin . HM\'\'.

Trek nu PT evenwijdig aan MN, dan is het traag-
heidsmoment ten opzichte van P2" gehjk aan

A ~ M{HAfy M(MVy M{MV^ - HM\'\')
= A A/(HV. SZ).

A~B

a\'\' ~ 5\' = = -
Af. é\'\' = B Jf- Af. a\\

,— dus

A Af{HY. SZ)^ A \\ Af. = B-j- Af. a\'

Hpy

Af

Om het traagheidsmoment ten opzichte van

PG te vinden, trekt
men uit en op
PG de loodhjnen SV
en HL, dan is het
traagheidsmoment
^^^ - X ten opzichte van OD
gehjk aan

B cos\'\' 0 -I- A sin\' 0
= A - {A — 7i) cos\'\' 9 = A — M. HL\'.
Het traagheidsmoment ten opzichte van PG is dus
gehjk aan

A — Af. HL\' M.LU\' = A — Af {HL — LU){HL ^LU)
^ A — Af. HU. SV.

A— n

Bij de Hyperbool is = OS\' =

A — M.d\' = B-Ji~Af. a\'.
Men kriigt dus

Hii<s

19

A — M{HU. SV) = A — =

19. — De brandpunten van traagheid zijn gemakkehjk
te vinden voor eene Ellips met assen 2a en 2b.

Daar namelijk de traagheidsmomenten van eene ellips
ten opzichte van de groote en kleine as respectievelijk

M. — en M. — zijn, is de kleine as de as van het groot-
4 4

ste moment en liggen dus de brandpunten van traagheid
op de kleine as.

Daar nu yi = il/. — en B — M. — is, wordt de af-
4 4

stand dier punten tot O

OS == OH

20. — De punten S en H liggende op de X-as, dus
in het XK-vlak hebben, zooals gebleken is, de eigen-
schap dat de traagheidsmomenten ten opzichte van alle
lijnen in het XK-vlak door en Afgetrokken gelijk zijn.

Zijn er nu dergelijke punten in de ruimte, punten der-

derhalve waarvoor de

Z\'

Ellipsoïde een bol
wordt ?

Laat O het zwaar-
tepunt en OX, OY
en OZ de hoofdassen
in het zwaartepunt
zijn. Wil dan
zulk een punt zijn,
dan moet

I^my\'\'!! = Zmx^z\'
— Zmx\'y\' — O zijn

20

X^ a x\', y = [i z = / 2\',

dus — (3) (2 — = O; 2:jn(x — «) (2 — /) = o;

2:m{x — ") (y — (i) = O

dat is

2myz — (3 21mz — / I^my M. f^y — o
2mxz — « Zmz — / 27nx -)- M. ay o
Zmxy — « — ji i/. Uji = O.

Daar O het zwaartepunt is en de coördinatenassen
hoofdassen zijn, vereenvoudigen onze vergehjkingen zich
dus tot M(Sy = O May = O Mali = o
of a|3 — O ay = O ^y = o.

Hieruit volgt dat 2 van de 3 grootheden «, j? en / nul
moeten zijn. Stel (S — o en / = o.

Het punt P moet dus liggen op een van de hoofdassen
in O, en is nu P\'.

Daar de traagheidsmomenten ten opzichte van de 3
assen in P\', die evenwijdig aan de coördinatenassen zijn,
A; B Ma-" en C Ma"" zijn,

moet C = B en A = B-\\- Ma"^ zijn, dus

waardoor men dus de punten S en H vindt, en daaruit
besluit dat deze de eenige punten zijn, waarvoor de
Ellipsoïde een bol wordt.

21. — Is een lichaam herleid tot zijn hoofdassen in
het zwaartepunt O en zijn A, B en C zijn hoofdtraag-
heidsmomenten, terwijl de massa van het lichaam als
eenheid wordt aangenomen, en wil men dan de hoofd-
assen en hoofdmomenten in eenig willekeurig punt P
opsporen, dan construeere men een oppervlak van den
tweeden graad, confocaal met de traagheidsellipsoïde,
waarvan de vierkanten der halve assen zijn a^ — A
P z= Bl en €"^=€4-1, wat dus voor de traagheids-

21

ellipsoïde p = i een confocale Ellipsoïde

^fljTl  l C 1 ^ \' \' l^epale nu het

traagheidsmoment ten opzichte van een raakvlak aan het
confocale oppervlak.

Zijn «, en / de hoeken die de loodlijn op een raak-
vlak met de coördinatenassen maakt, dan is het traag-
heidsmoment ten opzichte van een vlak door O evenwijdig
aan het raakvlak

A B^y C _ ^^ C cos^y).

Telt men hierbij op het vierkant van den afstand
tusschen de beide evenwijdige vlakken, te weten

{A 4- ;i) cos\'\' « (/i ;i) cos\'\' |ï -f (C -f A) cos\'\' y
dan krijgt men voor het traagheidsmoment ten opzichte
van een raakvlak

B-ir C—A

2 I -- 2

Hieruit blijkt dus dat de traagheidsmomenten ten
opzichte van alle raakvlakken aan een oppervlak confo-
caal met de traagheidsellipsoïde dezelfde zijn.

Al deze vlakken zijn hoofdvlakken in het raakpunt,
want brengt men een willekeurig vlak door P, dan zal,
indien het confocale oppervlak een Ellipsoïde is, het
raakvlak evenwijdig aan het vlak door P, verder van
den oorsprong liggen dan dit vlak, dus zal het traag-
heidsmoment ten opzichte van een vlak door P kleiner
zijn dan dat ten opzichte van een raakvlak aan de confo-
cale Ellipsoïde door P. Het raakvlak aan de Ellipsoïde
is dus het Hoofdvlak van het grootste moment. Daar
men door een gegeven punt, 3 confocale oppervlakken
kan brengen, namelijk een Ellipsoïde, een Hyperboloïde

22

met 2 takken en een Hyperboloïde met één tak, vindt
men op dezelfde wijze redeneerende, dat het raakvlak
aan de confocale Hyperboloïde met 2 takken bet Hoofd-
vlak van het kleinste moment is, en het raakvlak aan de
Hyperboloide met i tak het Hoofdvlak is van het
tusschenliggende moment

De normalen op de 3 confocale oppervlakken door P
zijn de hoofdassen in P, want wanneer 3 onderling lood-
rechte lijnen elkander in het gegeven punt P ontmoeten
en zoodanig zijn, dat zij als coördinatenassen aangenomen
de producten Zmxy\\ Zmyz-, 2mxz nul maken, dan zijn
die lijnen hoofdassen in het gegeven punt.

De hoofdas van het kleinste moment is normaal op de
confocale Ellipsoïde, en van het grootste moment normaal
op de confocale Hyperboloïde met 2 takken, want de
som van de traagheidsmomenten van een stelsel ten
opzichte van een vlak door een gegeven punt en de
normaal in dat punt is constant en gelijk aan het traag-
heidsraoment van het stelsel ten opzichte van dat punt.
Neemt men namelijk het gegeven punt als oorsprong en
het vlak als xy vlak aan, dan is C -f C = Hmr"^ onaf-
hankelijk van de richting der assen.

Hieruit volgt A = ^ ^ ^ .

Het traagheidsmoment ten opzichte van P is

f

want het traagheidsmoment voor eenig coördinatenstelsel
is gelijk het traagheidsmoment voor een daarmede even-
wijdig coördinatenstelsel met het zwaartepunt als oorsprong
vermeerderd met het traagheidsmoment van de totale
massa in het zwaartepunt ten opzichte van het eerste
coördinatenstelsel.

23

De traagheidsmomenten ten opzichte van de normalen
aan de 3 confocale oppervlakken door P wier parameters
zijn Aj; en worden dus

l, , OP\' — Aj en OP\'

22. — Indien de hoofdassen in het zwaartepunt tot
coördinatenassen gekozen zijn, kan men als volgt te
werk gaan om de voorwaarden op te sporen opdat een
gegeven rechte lijn

^ —f_y—g_z — h
l \'

(O

m n

in een bepaald punt hoofdas worde.

Wil die rechte lijn hoofdas zijn in een punt, dan moet
zy in dat punt normaal zijn op

(2)

A B l\'^ Cl

hlieruit volgt dat men krijgt:

AT

= un. . (3)

A X - ^ 1 ==

De waarden van jy, z uit (3) in (i) gesubstitueerd geeft

Hieruit fi elimineerende krijgt men

_ l \'m_m n_ n l

-A^- B^-C^ ■ • • (4)

voor de voorwaarde dat de rechte lijn hoofdas is in een

bepaald punt.

X, y, z uit (3) in (2) substitueerende geeft

-f n\') = ~ — (AP Bm\' Cn\').

Men kent dus nu X en terwijl (3) de coördinaten
X, y, z van het punt bepaalt.

24

D. Berekening van Traagheidsmomenten.

«. Methode van Huyghens.

23. — In het vierde deel van zijn Horologium oscilla-
torium onder het opschrift „de centro oscillationis" bewijst
Huyghens , dat de lengte van den enkelvoudigen slin-

^_Ilmr\'\'

Zmr

Ten einde nu Zmr\'\' te vinden, bezigt Huyghens een
wigvormig lichaam.

Indien men namelijk door de raaklijn aan het vlakke
grondvlak van een recht cilindrisch lichaam getrokken,
een vlak brengt dat met het grondvlak een hoek van
45° maakt, dan ontstaat een wigvormig lichaam begrensd
door 2 vlakken, die genoemde raaklijn gemeen hebben,
terwijl de zijwand van het lichaam loodrecht staat op het

grondvlak. De op het grondvlak geprojecteerde afstand
LA van het zwaartepunt der wig tot de raaklijn wordt
subcentrica genoemd.

In de 7® stelling bewijst Huyghens dat de inhoud der

25

wig die van een lichaam is, hetwelk het grondvlak tot
basis en de afstand FA van het zwaartepunt van het
grondvlak tot de raaklijn tot hoogte heett. Verdeel ACB
in kleine gelijke deeltjes en richt op die deeltjes parallel-
opipeda op. Zij LA de subcentrica van de wig. De hoogte
van een parallelopipedum zooals GK is gelijk aan den
afstand van een deeltje G tot AE\\ het product van GK
met GH is dus gelijk het deeltje G met het vierkant van
GH. De som der producten van alle parallelopipeda met
hunne afstanden tot AE is gelijk aan het product van de
wig ABD met den afstand AL. Dus is de som der pro-
ducten van de deeltjes G met de kwadraten van hunne
afstanden tot AE gelijk aan het product van ACB met
een rechthoek tot zijden hebbende FA en LA. Daar nu
ACB gelijk is aan het prodiict van een deeltje G met het
aantal van die deeltjes volgt er uit dat de som van de kwa-
draten der afstanden tot AE gelijk is aan den rechthoek
op FA en LA vermenigvuldigd met het aantal deeltjes.

26

Daar KD = HA, EiDG) = Z{AF) =n.AF is,
zoo blijkt

= n . HA\' 2/Z4 . n . AF n. AF. AL
= n.HA\'\' in . HA . AF ^ n . AF^ n.AF.FL
= n.HF\'\' yn.AF .FL.
Gaat HK door het zwaartepunt F dan is
^{GKy = n.AF.FL.
e r r

\\

A

My

Kir

E

j)

¥

r

y

H

Zij ABCD een lichaam, en in E een lijn loodrecht op
het vlak van teekening.

Breng nu door de lijn in E twee onderling loodrechte
vlakken {EAC, gaande door het zwaartepunt) en EG.

Verdeel het lichaam in gelijke kleine deeltjes zooals F,
dan is FE^ = FG\'^ y- FH\\

Zij nu OQP een vlakke figuur in het slingervlak van
ABCD en van gelijke hoogte met ABCD en zoo gecon-

27

strueerd dat de lijnen QQ, RR, enz. evenwijdig zijn aan,
en overeenkomen met de vlakken AIM, NN, enz.

Verdeel OQP in evenveel deeltjes als ABCD De lijnen
<2(2 en RR evenwijdig aan de vlakken MM en NN ge-
trokken , zijn zoodanig dat de verhouding van RR tot <2 Q
dezelfde is als die van NN XoX MM, dan zullen er in
het segment RQQR evenveel deeltjes aanwezig zijn als
in het segment NMMN. De som van de kwadraten der
loodlijnen uit NMMN op EG neergelaten zal dus gelijk
zijn aan de som van de kwadraten der loodlijnen uit
RQQR op EG neergelaten.

Zij op dezelfde wijze SYTZ een vlakke figuur van
gelijke breedte met ABCD en loodrecht op zijn slinger-
vlak, dan zal de som van de kwadraten der loodlijnen
uit KLLK op EAC neergelaten gelijk zijn aan de som
van de kwadraten der loodlijnen uit VXXV op EAC
neergelaten.

Zij ABCD een doorsnede van het lichaam en is in de
evenredig-e fie-uur OQP, die in het slingervlak is, de

28

afstand fPP gegeven, waarop het zwaartepunt van de
halve figuur OPV van de as OP ligt, dan kan men de
som der kwadraten van de afstanden der deeltjes van het
lichaam ABCD tot het vlak EC bepalen.

Alle secties NN, MM enz. moeten echter gelijkvormig
zijn, en het vlak EC moet door de zwaartepunten van
hen allen gaan, zooals het geval is bij prismas, pyra-
miden, enz.

Laat BD de grootste der genoemde secties zijn, en
in B een lijn opgericht evenwijdig aan de as in E.

Zij BC de afstand "van het zwaartepunt van de sectie
BD tot de lijn in B en BK de subcentrica van de wig
op BD. Zij J het midden van PV. Indien nu

/IP: P<I) =-\'- rechthoek BCK: een ruimte Z
dan is Z maal het aantal deeltjes van ABCD gelijk aan
de gevraagde som der kwadraten van de afstanden tot EC.

Zij NX de afstand van het zwaartepunt van de sectie
NN tot de lijn in N evenwijdig aan die in E getrokken
en NF de subcentrica van de wig op NN.

De kwadraten van de afstanden der deeltjes van het
vlak BD en NN tot het vlak EC zijn dan respectievelijk
BC. CK. H en NX. XF. n\', indien er n en n\' deeltjes
zijn in BD en NN.

Nu staat de rechthoek BCK tot NXF als BD\'\'-. NN\'.

Het aantal deeltjes van BD staat tot dat van TViVals
die secties zelve dat is als BD\'^-. NN\'^.

Dus BC CK. n : NX. XF . n\' BD": NN" of in de
overeenkomstige figuur = VV^ : KR\'\'.

Hieruit volgt dat de som der kwadraten van de secties
van het lichaam tot die van een cilinder BDSS met
hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte zich moeten ver-
houden als de som van alle VV, RR\'\' tot evenvele VV
dat is, als het omwentelingslichaam om OP tot een

29

cilinder VViiSi met basis W en hoogte OP, dus als de
producten der beschrijvende vlakken (OPVen den recht-
hoek PSi) met de afstanden der zwaartepunten P(P en
P/f ; OPV en PSi verhouden zich als het lichaam ABCD
tot den cilinder BDSS dat is, als het aantal deeltjes van
ABCD tot het aantal deeltjes van BDSS-, terwijl PtfJ
zich tot Pd verhoudt als Z tot BCK-, dus de som van de
kwadraten van de afstanden der deeltjes van ABCD tot
EC verhoudt zich tot de som van de kwadraten der
afstanden van de deeltjes van den cilinder BDSS tot EC,
als Z maal het aantal deeltjes van ABCD tot den recht-
hoek BCK maal het aantal deeltjes van BDSS-, en hieruit
volgt dat Z maal het aantal deeltjes van het lichaam gelijk
is aan de som van de kwadraten der afstanden tot EC.

|3. Berekening door Integratie.

24. — Ten einde bij vlakke figuren het traagheids-
moment door Integratie te bepalen, verdeele men de
figuur door lijnen evenwijdig aan de as in oneindig dunne

strooken. Indien men
dan verder den inhoud
van een strook uit-
drukt in functie van
den afstand tot de as
kan men, door Inte-
gratie , zeer gemakke-
lijk tot het traagheids-
moment der figuur
komen.

Wil men bijvoor-
beeld het traagheids-
moment van een drie-
gaande door een van

30

zijne hoekpunten bepalen, dan verlengt men BC tot in D,

dan is ABC = ABD — ACD

dus

Inhoud strook = ydx terwijl y. § — x ■. ^

dus y ~ I, ^ ^ ^

g _^

waardoor inhoud strook = l. \'----dx.

f

Beteekent nu (F) onderaan T het traagheidsmoment
ten opzichte van de F-as, dan is dus

Noem de loodlijn uit C op AY. . . . y dan is evenzoo

= 72 • vindt dus

fji _ y\\

maar M — ^ zijnde

Zoekt men het traagheidsmoment ten opzichte van AX
en noemt men do loodlijnen uit B en C op AX. ... en

dan is T^,,= (P §\'/

Dc grootheden

A = 2:m{y\'\' z^), B = 2:m{z\'\' -f x");
C = 2Lm{x\'\'  zijn in dit geval (2 = 0),

A = Zmy\'\' B = ^mx"" C = Zin{x\'\' jy^),
dus C= A^ B of

^(normaal) ^(H

^(normaal in A) = f ^^ p

M

31

^(V) = ^ \'

Wordt de hoek XAY kleiner, dan wordt ß kleiner en
dus ook . Valt A V langs AB dan is ß = o en

^ (AB) 6 ■

Valt AK binnen den driehoek dan is ß negatief dus
dan is het traagheidsmoment

25. — Heeft een lichaam een massa /<w dan is, indien
het lichaam homogeen is

T= fi ƒ y^äi

maar dm = dydx dus

j ^^ j y^dy

Heeft men dus een homogeene rechthoek, met zijden
2a en 2b en wil men van dien rechthoek het traagheids-
moment ten opzichte van eene as opsporen, welke as
door het centrum van den rechthoek evenwijdig aan een
van de zijden loopt, dan is

y

3

32
3./

T =

of daar A f = 4 ab^ is

Evonzoo 7",,„ = Af . —
O) 3

derhalve

a\' b\'\'

T, \' = Af
(normaal)

26. — Heeft men een Ellips met assen 2a en 2b en
verdeelt men die ellips in strooken evenwijdig aan de
l\'-as, dan is de inhoud van een strook gelijk ydx, als dx
de dikte der strook voorstelt. Daar de Ellips 4 kwa-
dranten heeft, vindt men voor het traagheidsmoment
ten opzichte van de l\'-as.

Y ^(D =

maar uit de vergelijking van de

i___^J

O

volgt

fa _

T.^, = 4« . — I x\'V a\' — x\' dx.
ajo

Stel X — a sm (f, dan is

b r- \'

7" — fi . — .a* \'4 sm\' gj eos\' tp df
\' a j 0

= . - . a* f \' sin\' 2(f) öqi

= 1}

33

cos 49"

= - . uda^.
4

finaè

Evenzoo vindt men

en dus

a^ è^

^(normaal) ^\'

Voor den cirkel wordt b = a dus

a-

T. = M.

(normaal) 2

27. — Uit de vergelijking der Ellipsoïde

^ I 7 1 ^ _

^ "T"

QN= ty^a^^x\'

34

dus inhoud schijQe

bc

= (tt . /W. QN) = p . nia-^ — x^).
Bij de Elhps heeft men gevonden

(normaal) l. 4 J

dus hier daar de x-a.s normaal op de Elliptische schijf
is en gebruik makende van

7 — T A- T

(normaal) " ^ ^(r.)

dus

4

a

bc

\'(A-)

= — firrabc

. 5

daar Af = — /xnabc is, volgt dus

Evenzoo vindt men

en

5

a-" 4- b^

35

dus blijkt de volgende algemeene regel bij symmetrie
lichamen

Som der kwadraten van de

beide andere onderling

loodrechte, halve assen

symmetrie as \\ ----

) 3 of 4 of 5

waarin de noemer 3, 4 of 5 is, naargelang het lichaam

rechthoekig, elliptisch of ellipsoïdisch is.

y. Bepaling der traagheidsmomenten door
Differentiatie.

29. — Wil men het traagheidsmoment van een dunne
schil bepalen, dan kan men dit door Differentiatie doen,
indien het traagheidsmoment van het lichaam dat door
die schil wordt ingesloten bekend is, benevens de wet
volgens welke het volumen bij Differentiatie toeneemt.

Men weet dat het traagheidsmoment van een Ellipsoïde
met assen 2a; 2b en 2c ten opzichte van de a as is

M. —^^— of Ttqabc .-!-.

5 5

Laat de Ellipsoïde zeer weinig in grootte toenemen,

dan is het traagheidsmoment van de schil

.

*L nqabc . -

5 I

Is de schil gelijkvormig met de eerste gedaante zoodat
dus — = / en — = ^ is, dan is het traagheidsmoment van

(X O/

de schil

^(a) = ^ i Vs ^Qpq ■ ^^^ • I = Va ngpq {p\' q\') a"da.
Daar nu M = "L noabc — "L nopqa^ en dus

36

m = dM = /^nQpqd\'\'da is, zoo is het traagheidsmoment
van de schil \' —

Voor een bolvormige schil \\s a = b = c dus
t == ^/j ma\'.

30. — Wanneer een Ellipsoïde verdeeld is in oneindig
dunne lagen, terwijl de dichtheid van laag tot laag ver-
andert, maar in elke laag constant is, kan men met
behulp van deze methode het traagheidsmoment van de
Ellipsoïde vinden.

Laat het traagheidsmoment van de Ellipsoïde van con-
stante dichtheid afhangen van zekeren parameter a,
dan kan men dit traagheidsmoment voorstellen door
T = ^{a) . D.

Het traagheidsmoment van de schil is dan
t=dT= IDq,\' (a) da.

Wordt D nu veranderlijk met a dan is, D voorgesteld

door p, T — \\ (a) da.

J 0

Als voorbeeld neem ik een Ellipsoïde met halve groote
as-fl en q = ka dan is

dT= % nkpq 4- a\'-da

T,. = \\ nkpq ip\' q^)

dM = ^nqpq a\'^da — ^nkpq a^da

Af = nkpqa\'^ il

= %

= % -f-

31. — Als voorbeeld neem ik een bol waarvan de

37

dichtheid in het centrum afneemt naar den omtrek toe,
dus Q = Q^ — fir

T= % Mr\'

= "/is
dr= \\ nqr\'dr

T= njgr*dr

= % n

Met behulp van Symmetrievlakken.

32. — In het algemeen heeft men tot het vinden van
traagheidsmomenten de hoofdassen voor het zwaartepunt
noodig. Nu kan men deze gemakkelijk vinden, wanneer
de massaelementen ten opzichte van een vlak t symme-
trisch liggen, dat wil zeggen wanneer deze elementen
paarsgewijze gelijke massas bezitten en elk paar op een
normaal op dit vlak aan weerszijden op gelijke afstanden
van dit vlak liggen.

Want zulk een normaal is hoofdas voor zijn voetpunt.
Kiest men namelijk het voetpunt tot oorsprong van een
rechthoekig coördinatenstelsel en de normaal tot 2-as dan
is Zimyz) = o en Z(mxT) = o. Is er nu nog een tweede
symmetrie vlak t\' loodrecht op het eerste f, dan zijn de
lijnen die in een willekeurig punt van de snijlijn dezer
vlakken t en t\' loodrecht op die vlakken getrokken
worden 2 hoofdassen. Heeft men dus 3 onderling lood-
rechte symmetrie vlakken, dan snijden deze vlakken

38

elkander volgens 3 hoofdassen, en daar hun snijpunt het
zwaartepunt is, zijn deze assen hoofdcentraalassen.

Dan heeft men slechts

A\' = Zx\'^dm B\' = Zy-\'dm C = Hz\'\'dm
te vormen, waarin dm = gdv = qdxdydz is, om te vinden
A 4- 2\') dm = B\' C\'

B = 2X2\' x-") dm = C A\'
C = ^{x-\' jv^) dm = A\' B\'
en dus is ook het traagheidsmoment ten opzichte van een
willekeurige as, die de hoeken a, y met de coördi-
natenassen maakt, bekend

T = A cos\'^u 4- B cos\'^ C cos\'^y.

I.egt men door een punt {xyz) drie vlakken loodrecht
op de coördinatenassen en noemt de doorsneden Qx, Qy
en Qz zoo is

A\' j qx\'^Qx dx

ƒ qy-\'Qydy
C =f qz^Qz dz.

B\'

33. — Nemen wij als voorbeeld het rechthoekig Paral-
lelopipedum (aèc) dus

y = Qbc r 2 x\'dx = A

2

B\' = Qca l I y\'^dy = ^V
~ 2"

C\' --- qab ^ zV2 = mc\'

A= ^\'^m {è^ -f c^) B= tV m (c^ a^)

ia\' -f

ma-

39

dus is het traagheidsmoment voor een v^illekeurige as,
die de hoeken a, (5, y met de hoofdassen maakt:

r = OT j c-") cos\'\'« (c\' cos""^ P)cos-\'y [.

De vergelijking van de reeks Cauchy-Poinsot\'sche EUip-
soïden vi^ordt dus

en de vergelijking van de reciproke

= 12.

34.— Heeft men een Ellipsoïde met halve assen a, b, en c

■Ta Tï 72 — I

dan is de vergelijking der doorsnede loodrecht op de JT-as

Men verkrijgt dus

Qy = nca

en dus

- a A I

A\' — ngbc x\'^ i---\\dx——nQa^c = -ma\'\'.

J - a \\ ^ \' \'5 5

Evenzoo

B\'=-mb^ en C\'=-mc\'\'

5 5

dus c^) B = a^)

5 5

40

Het traagheidsmoment voor eene as, die de hoeken
a, y met de hoofdassen maakt, is dus

Voor de Omwentelingsellipsoïde

^^ jV^

5 ^ ^ 5

— r\'

Voor den bol

A^B= C= T=^-ma\\
5

f. Traagheidsmomenten van Omwentelingslichamen.

35. — Kies een punt O van de omwentelingsas tot
oorsprong, de as zelve tot .;\\;-as en 2 daarop en onder-
ling loodrechte assen als y- en z-as.
Dan is

A\' = 2:x\'\'dm

B\' = 2:y\'-dm ^C = ZzHm = i^XjV\' = \\A
B = C A\' = -f x-\')dm = C = A\' B\'
= ^{x-" y\')dm = A\'
Men heeft dus alleen A en A\' te kennen. Het volumen-
element krijgt men door het lichaam te snijden:

i". door 2 Meridiaanvlakken gaande door de jv-as ma-
kende met het snijvlak de hoeken (jp en qs di^:
2door 2 cilinders om de ^-as op afstanden r en r dr.
3". door 2 vlakken loodrecht op de x-as op afstanden
X en X dx van den oorsprong.

41

Hierdoor is dm — Qrdrdqdx.

Daar ook nog r\' = y\' z\' is, volgt

A = Q j ^^ f O ƒ

rb r2v: rr

A\' — Q / x\'dx / fl^ip I rdr

Ja J O J O

rb /•271 fr

m = Q j J J

De grenzen zijn r = o en ^ =

de vergelijking van het omw^entelingsvlak is;

qi = O en qp = 2 TT;
X = a en X — è de grensvlakken loodrecht op de ;i:-as.

A^i^re r l/(x)rdx

"= r x\'\\f{x)Ydx

J a

ng f U{x)Ydx )

•! a I

T = A cos\' a B cos\' I? C cos\'r =
= A cos\' a {A\'-\\-\\A) {cos\' § cos\' y) =
= A cos\' a (A\' ^A) {i — cos\' a)
T = AA\') (i A — A\') cos\'«.

36. — Voor een omwrentelingscilinder r tot straal en
h tot hoogte hebbende is

a= — \\h b — \\h /(x) = r en m~ nqr\'h
A = ^ Tri>r*/i = ^ mr\'
A\'= ^-^ugr\'h^ = ^^mh\'
B=C=\\m{r\'-\\-yi\').

37. — Voor een omwentelingskegel, hoogte h en
straal grondvlak r, wordt als de top tot oorsprong geko-
zen wordt f{x) = ^ x\\ a ~ o\\ b — h.

42

A

Het Traagheidsmoment voor de Hoofdcentraalas lood-
recht op de as van den kegel is

Methode van Townsend.

38. — Townsend heeft bewezen dat, als een symme-
trische vlakke figuur wentelt om een lijn evenwijdig aan
de symmetrieas, dan zal, indien M de massa, K de
traagheidstraal en ö de afstand tot de omwentelingsas is
T= -f zijn.

Bewijs.

jy dto = mk\'\'

dM— luQ {y -)- du)
dT= zuQ {y -f- èydm

T — 2nQ ƒ(jV -f
T = 27re f(y\' iy^ ^yö^ -f dco.

Nu is

ƒ liyü\'dco = sS\'^Jydw —
ƒ y^ dw

27TQ {sdy\'\' dm dw)

= 2ttq {^Smk^ -f to)
== 2nQw5 (ik^ -f d^)
Misk\' d\\

43

39- — Wil men nu het traagheidsmoment van een ring
bepalen, dan zoekt men eerst, daar de ring ontstaat door
wenteling van een cirkel om een lijn, buiten den cirkel
maar in het vlak van den cirkel gelegen, met behulp
van de Integratiemethode, het traagheidsmoment van den
cirkel, ten opzichte van een middellijn, evenwijdig aan de

as en past dan
de methode van

ïownsend toe.

Men vindt dus
massa laagje
= (Kydx

au

Stel X ~ a sin

T^^^ = 4|U J^ a^ stn\'\' q>(a^ — a^ sin^ qp)^ . a cos qi e/q>

=.v f:

n

= ffV -

4

_ fina\'^

(!/) ~ 4 ■

Daar /= na\'\' dus M=una\' is, zoo volgt

waaruit k\'\' — — ■
4

Door toepassing van de stelling van Townsend ver-
krijgt men dus, daar = is

4

44

7], Methode hij gelijkvormige stelsels.

40. ~ Worden 2 gelijkvormige stelsels in evenveel
gelijkvormige elementen verdeeld, dan verhouden de
elementen zich als hunne afmetingen, dus voor lineaire
afmetingen is de verhouding t, voor vlakken i ^, voor
ruimteafmetingen

Ten opzichte van 2 gelijkstandige assen verhouden
zich dus hunne traagheidsmomenten als f^, t*,

Noemt men dus de traagheidsmomenten ten opzichte
van die beide assen T en T\' dan is

T = T
waarin = 3; 4 of 5 is.

41. — Heeft men bijvoorbeeld eene rechte lijn AB = l

met eene massa m en deelt
lï Z, men die lijn door een wille-

keurige as h middendoor,
en trekt aan het uiteinde
A eene daarmede evenwij-
dige as h\\ dan zijn BZ en
AB gelijkvormige stelsels
ten opzichte van de gelijk-
standige assen h en h\'.

Het traagbeidsmoment
van AB ten opzichte van h
is gelijk het traagheidsmoment van AZ en van BZ ten
opzichte van h, dus is het traagheidsrftoment van BZ
ten opzichte van h het halve traagheidsmoment van AB
ten opzichte van h.

Noemt men nu het traagheidsmoment van AB ten
opzichte van h ... . T en het traagheidsmoment van AB
ten opzichte van h\'... . T\', dan is het traaeheidsmoment

45

AB

van BZ ten opzichte van ^ = ^ en daar ^^ = t — 2

JIj ^

is, krijgt men

^ AB (h\') ~ ^ \' ■ J ^^B (ft) ~ 4 T^b (hy

Noemt men nu ö de afstand der evenwijdige assen,
dan geldt in het algemeen

T\' = M^\'

dus in ons geval

T\' — T

^ AB (h\') - ^

waaruit in verband met bovenstaande vergelijking volgt

m n ■ •
= — l\' stn-

AB(h)

42. — Kiezen wij als tweede voorbeeld een paral-
lelogram.

Het traagheidsmo-
ment is de som der
traagheidsmomenten
van de 4 Parallelo-
grammen AZ-, BZ-,
CZ en DZ welke onderling congruent zijn, dus is f — 2.

^Z en CZ hebben evenals BZ en DZ gelijke traag-
heidsmomenten ten opzichte van een willekeurige as-Ä
door Z, welke as niet in het vlak van het parallelogram
behoeft te liggen.

Men heeft dus

^JC(h) ~ ^ i^AZ^CZih)^ ^BZ=DZ(,h))-

Trek door A een as h\' evenwijdig aan h, dan is dus
T — T\'

^AZ-CZ(K) \'\' AHKy

Trek door B een as h" evenwijdig aan h, dan is dus

46

T.

AO{h)— ^ AZ(h\') ^"bzqi")).

Daar nu de parallelogrammen CZen AC, alsmede DZ
en BD gelijkvormige stelsels zijn ten opzichte van de
assen h en h\' als ook van h en h" en é = 2 is volgt,
als Tj^cQi\') "^"acqi\'\') d® traagheidsmomenten van het
geheele parallelogram zijn ten opzichte van h\' en h!\'

= 2*. Z\'

AZ= CZÜt\')

J"\' - T _ T"

AC(h\'\') " • BZ= DZ(h) - ■ -L BX= DZ(V\'r

Noemt men p en q de afstanden van de as h tot de
assen h\' en h" dan is

Mq-"

dus krijgt men

TAC,.)  = 2 M{p- q\')

in verband met het bovenstaande

Als 3® voorbeeld
nemen wij een drie-
hoek ABC met massa
m. Hij is de helft
van het parallelogram
A CBC met massa
M = 2m. Trekt men
door het uiteinde P
van de zwaartelijn CP
eene as-A\' evenwijdig

aan de willekeurig
getrokken as h door

het zwaartepunt Z

van den driehoek, dan

47

is het traagheidsmoment van den driehoek ten opzichte
van A\' het halve traagheidsmoment van het parallelogram
ten opzichte van h\'.

Volgens 42 is dus
waarin — / = BD en 3/ =

I

(3/)

CE de loodlijnen zijn uit

i? en C op h\' neergelaten.

Brengt men een vlak loodrecht op de assen h en h\\
dan is y de projectie van AB = c op dit vlak en CE = 3/
de projectie van CP op dit vlak.

Daar Z op \'/s van CP ligt, is dé projectie van PZ,
dat is PP, op dit vlak = p.

Om dus het traagheidsmoment T van den driehoek
ABC ten opzichte van h te vinden, moet men van T\'
aftrekken m . p\'\'\' waardoor men vindt

^ABC(H) = ^ 

Noemt men nu cf, jï, 3^ en 3^ de projecties op dit
vlak van BC = a, AC—b, AQ en BR dan vindt men

evenzoo

en

^ ABC(h)
waaruit dus volgt.

= M«^ iï^ r^)

Nu is echter

(bpY = «ï -f (ï^ 2«/? cos C

yï =  2aß COS C

{tpY = -
Evenzoo vindt men

{bqy = 2{p y») -

48

fr

r\'

li

bijgevolg  r\') a\'  dus

=

&. Met behulp van toegevoegde middellijnen.

44. — In Journal de l\'École Polytechnique Cah. XVI
bewijst Binet de stelling: „De 3 assen van een punt
^ij „waarvoor als coördinatenassen de vergelijkingen 2mxy

„= 2myz — 2mxz = o gelden, zijn toegevoegde tniddel-
„ lijnen van de reciproke biner\'sche traagheidsellipsoïde
„voor vlakken door dit punt."

Want is P een vlak door het snijpunt dezer assen,
«, (1 en y de hoeken die de normaal op P met de assen
maakt en q de afstand van een punt m{xyz) tot dit vlak
dan is q — x cos a ^ y cos § ^ z cos y dus.

Imq\' — Zm — Xm (x cos a y cos ^ -j-z cos y)^
= cos\'\' a Xmx\'\' cos\'\' ^ Zmy\'\' cos\'\' y Zmz\'\'.
Stelt men nu Zmx\'\' = a"\' Xm Zmy\'\' — b\'\'Zm en Zmz\' —
c\'\'21m dan krijgt men voor den traagheidstraal z\'voor het
vlak P de waarde

i\'\' = a\'\' cos\'\' u b\'\' cos\'\' (} -\'r c\'\' cos\'\' y.
Het vlak loodrecht op het uiteinde van ï\'aangebracht,
omhult, als het daarmede evenwijdige vlak P verandert,
de reciproke binet\'sche traagheidsellipsoïde en wanneer
Xg, y^ en Zg de stukken zijn die op de coördinatenassen
worden afgesneden, dan is

Xg cos a = yg cos ^ = Zg cos y — i
waardoor men dus verkrijgt

_ ^ -L ü 1 £l

Dit is dus de voorwaarde die er tusschen Xg, yg en Zg
moet bestaan, opdat het vlak raakvlak aan deze Ellip-
soïde zal zijn.

Xg, y„ en z„ kunnen vervangen worden door de coör-

49

dinaten van het raakpunt, want heeft men een Ellipsoïde
op scheefhoekige assen

waarvoor, omdat de producten xy, yz en zx ontbreken,
zp, 2q en zr toegevoegde middellijnen zijn en zoekt men
de voorwaarde, opdat het vlak

1

Zo

deze Ellipsoïde raakt, dan is de vergelijking van het
raakvlak

^ I — ,

Door toepassing van de methode der onbepaalde coeffi-
cienten volgt

y \\ z i

yo

of.

Substitueert men nu de coördinaten van het raakpunt
X, y, z in de vergelijking van de Ellipsoïde, dan krijgt
men als voorwaarde dat het vlak, hetwelk van de assen
de stukken x^, y^, Zg afsnijdt, de Ellipsoïde in het punt
{xyz) rake:

X

\'^o" 7o" Zo"
Deze voorwaarde vergeleken met

a\'

1

I =

doet ons dus zien dat het vlak hetwelk van de assen
de stukken x^, y^, z^ afsnijdt, raakvlak is in het punt

{xyz) aan de Ellipsoïde —^ ^ H--ï = i dat za, zb

CL O C

en zc toegevoegde middellijnen zijn.

50

45- — Als voorbeeld nemen wij een scheef Parallelo-
pipedum, waarvan de ribben p, q en r zijn, terwijl Z
het zwaartepunt en de assen ZX, ZY en ZZ evenwijdig
loopen aan de ribben.

Blijkbaar is ƒ yzdm = j xzdm ~ J xydm = o

= p"-
12 ^

of b^ = q-\'
12 ^

De assen door Z zijn dus toegevoegde middellijnen van

pi q-l -t-

en de Hoofdtraagheidsassen zijn de assen van de Ellipsoïde

T2 H--i H—» = ff\'.

p q f

Neemt men x = \\p\\ y = \\q en z-=\\r, dan gaat deze
Ellipsoïde door de 8 hoekpunten van het Parallelopipe-

dum, terwijl dan (j^

51

Indien dan P over de gegeven figuur loopt, vormt P
een figuur die de inverse van de gegeven figuur ge-
noemd wordt.

Noem de overeenkomstige volumina van P en P\' dv

en dv\' en de dichtheden p en q\', terwijl dm de opening

van den elementair kegel in O is, dan is

k" k\'\'
dv\' = r\'"\' dadr\' — —.dm . dr,
r\' r\'

want het negatieve teeken valt wegt, omdat als r toe-
neemt, r\' afneemt, want steeds moet rr\' — k\'\' — const, zijn.

/È®

dus dv\' — —4 dmdr

Nu is, als- men de afstanden van P en P\' tot een wil-
lekeurige lijn door O x en x\' noemt, x •. x\' = r \\ r\'
r\'

dus x\' — X . —
r

dv

y k\'\'

daar — = , is, volgt hieruit x\'\'\'dv
r r

Nu is q\'dv\' = dm\' en qdv — dm dus
dv\' Q dm\'

q\' \' dm

Ex\'\'\'dm\' zal dus gelijk Sx\'^dm
. 10

is, dat wil zeggen:

zijn, als

Q

Indien een homogeen lichaam geïnverteerd wordt ten
opzichte van een punt O en de dichtheid van het door
inversie gevormde lichaam omgekeerd evenredig is met

52

de lo\'\'® macht van den afstand tot O, dan hebben
deze twee lichamen gelijke traagheidsmomenten voor
alle rechte lijnen door O getrokken.

E. Traagheidsmomenten van eenige stelsels.

47. — Bij omwentelingslichamen kan men de JT-as als
omwentelingsas aannemen, dan is de massa van een
volumenelement inqrdxdr. Het traagheidsmoment ver-
krijgt men dus door integratie van inqr^dxdr

T^2nQ r dx f^ y*dx

J Xo J O ^ J

en deze integraal is gemakkelijk te vinden indien men y
weet uit te drukken in functie van zooals bij de vol-
gende 5 toepassingen:

a. De beschrijvende lijn van een bol is een cirkel

x\' jy^ = d\' dus jv* = {a- — x\'^yx^— — a\\x — a

^ J -a 15

daar M — uqü^ is, volgt
3

5

è. De beschrijvende lijn van een cilinder is een rechte
lijn evenwijdig aan de as; dus y — r; is A de hoogte

dx^"^ r\'h.

M = Tiqr\'\'-h

c. Een parabool jy^ — px wentelende om zijn as be-
grensd door het vlak x = h geeft een paraboloïde.

y* =

53

nqh\'p

_Mhp

12

d. De beschrijvende hjn van een kegel is een rechte
lijn y = ax-, straal grondvlak r; hoogte kegel = h.

jy* = a\'^x\'^ x^ = O ] X — k a =

h

X

2

M = —nr\'ho
3

Mr\'.

lO

e. Van een afgeknotten kegel, stralen grond- en
bovenvlak a en b, hoogte h, is de beschrijvende lijn
y d\'X b, als & de tangens van den halven tophoek is.

dus

t^AM.\'-^..

TO fl\' — b^

48. Neemt men de omwentelingsas als jy-as en de
straal van het grondvlak als ;v-as aan en wil men dan
het traagheidsmoment ten opzichte van de x-as van den
kegel vinden, dan is in het algemeen

T=nQ f\' (xy i x\')^
ju. 4

54

dus bij onzen afgeknotten kegel
a — X

r- \'re p ( (a-x)^ I

^ ja r — 4

_Txq a^x\'^ 2ax^ , (4

] \\>

=11 . K -- I-: i

daar — P) is, volgt

49. — Het traagheidsmoment van een bolvormig seg-
ment ten opzichte van
een as loodrecht op
het grondvlak?

Stel

OX evenwrijdig aan
CD op afstand

Men heeft EP= x
PW =\\2r — {h — x)\\{h — x).
Het traagheidsmoment ten opzichte van CD is

= y = J f^\\2r—{k — x)\\\\/i — xydx

3 2 \' 10

55

r — \\h

Het traagheidsmoment ten opzichte van OX is dus:

r — \\h

50. — Zoekt men de Enveloppe van een rechte lijn
van constante lengte die zich beweegt, steunende op
2 rechthoekig^e coördinatenassen, dan vindt men

x^ j^^ai
Het traagheidsmoment T^^^ of T^^^ van een kwadraat
van deze kromme vindt men door gebruik te maken van:

waarin y = ; Q de doorsnede en q de dichtheid is.

jV = (J — x^y
dx xl

dus y^ = (J — xY
dy \'^yj
dx x\\

a\'^x\'^ — sa^x^ sax

dus

Evenzoo

51. — Voor Polaire coördinaten gebruikt men:

\'dr

d9

rnx\'\' Pidd.

56

Het traagheidsmoment van een cirkelboog, waarvan de
straal a en de middelpuntshoek / is? De polaire ver-
gelijking van den cirkel is

r = 2a cos 0

\'dr

= stn"\' 0

\\d0]

4«^ cos"\' 0 . 2a sin"\' 0d0.

Nu is

2a^j 4 sin^ 0 cos^ 0d9 = 2a^ f sin^ 20d0 =

= a^j(i — cos 40) d0 =

0--sin 40

4

T,. = qqa^ 0 — -sin 40

^(a;) = 2 sin Y cos y).

52. — In het ;C2-Vlak ligt de kromme z = ^ x\'\',

OC "

(de parabool z = — waarvoor a = \\ is)

2a

in het xy-vlak. de kromme y — W^2X^

(de ontwondene van de parabool jV = | A / ^^

V a

waarvoor a = i is).

Op beide krommen zijn cilindervlakken evenwijdig aan
de y en z-as gebracht. Wat is en voor de

doorsnede dezer vlakken?
Men gebruikt hier

57

z = —x\' \\

\' dz

X

dx

y = \\{2xY

dy _2 I bx\'

dx\'\'^ \' 2 \'

^(x) = 11 ^ K(i 2X X\') dx

= qq IJ
- ?? (A tVV h x\')
^ioo) = qe 15^\') .

dx

= qg

U 20 4 24

^(y, = TIÏ- (40 30^ öx\' 5^\') .

53. — Indien u de hoek is tusschen den straal van
den cirkel naar het punt (xy) en de verticaal door het
middelpunt, dan is bij de Cycloïde

X = a(u —- stn tl)
y = a(i — cos u).
Om T^^^ en T^^^ te vinden gebruikt men

^(y)-^i^ f(yx - yoW^^

j

waarin 8 = dikte van het vlak en o de dichtheid is.

dus

58

dx = a(\\ — cos ii)du

I f

Jq a\\\\cos u)\'^ a{\\—cos u)du

\'^(OC) f O

Nu is ƒ (i — cos uy du =

— ƒ (i—cos uf) cos"^ u — cos^ u ^ cos\'^u) du

6 cos\'- U = i cos 2U -)- 3

4 cos^ tl — cos -i- i cos u
i I , I

COS^ U — --- cos A--cos 2U -V- —

8

(i — cos uY du = ^^ n

daar ndga\'-

T = a

(X) 36

Evenzoo

54. — Gebruikt men Polaire coördinaten, dan heeft men

Het traagheidsmoment van een Elliptischen ring (bin-
nenste Ellips tot halve assen hebbende a-, b, de buiten-
ste a, ; b.y

y\'

a^ ^ h^ — ^

a\'\'cos\'\' 9 -I- B^sin^e

59

\' I I \' _ /î

-=«; _ = - = — Pi

(«J 2 cos\'\' 0 ^ J/«^ 0)^

I

{u\'\'cos\'\'Q ^ P sin\'&)\'■

sin\'\' 0de

0 (a\'\'cos\'\'0 ß^sin\'\'ey
Stel tg 0 = X dan is

r

Stel nu ßx — ay dan is

0 (a\' ß\'tg\' 0)-\'

m a

- 0 (i jcT ""

— I

.1 ^-JV^J

= M \'f ^ r4-ir-

I 2 li ^ 2 J 0 I

X--
X--

TC

\'4

dus

4 4 "\'\'■4

55. — Is de as loodreccht op het vlak, dan geldt:

1816

dus voor de Cycloïde van 53 is

= Ma^ en = ^^ - 35) Ma^

56. — Resumeerende blijkt dus uit het behandelde dat
de Integratiemethode de meest algemeene is ter opspo-
ring van traagheidsmomenten, dat echter bij lichamen
waarvan de dichtheid volgens een bepaalde wet verandert
met voordeel de methode door Differentiatie te gebruiken
is. Verder is gebleken dat indien men symmetrievlakken
in een lichaam kan vinden, hiervan gebruik gemaakt kan
worden, daar men dan slechts de grootheden A!\\ B\'\\ en
C\' behoeft te berekenen, terwijl dit bij omwentelings-
lichamen nog gemakkelijker wordt, daar dan slechts A
en A\' behoeven opgespoord te worden.

Bij gelijkvormige stelsels heeft men het voordeel dat,
door invoering van een as die op een bepaalden afstand
van de werkelijke as gelegen is, er twee betrekkingen
tusschen de traagheidsmomenten ten opzichte van die
beide assen gevonden kunnen worden, welke twee be-
trekkingen kunnen dienen ter eliminatie van het traag-
heidsmoment ten opzichte van een der assen en ons ten
slotte geeft het traagheidsmoment ten opzichte van de
gegevene as.

De methode met behulp van de stelling van Binet
geeft op eene gemakkelijke wijze de Hoofdtraagheids-
assen , terwijl de Inversiemethode de betrekking tusschen
de dichtheden van 2 lichamen doet kennen, opdat die
beide lichamen dezelfde traagheidsmomenten ten opzichte
van een willekeurige as door een bepaald punt getrokken,
kunnen hebbRn.

HOOFDSTUK IL

Traagheidsproducten.

Haton de la Goupillière geeft in Journal de 1\'École
Imperiale Polytechnique Tome XXI eene beschouwing
over traagheidsproducten, die hij noemt, Theorie Nouvelle
de la Géométrie des Masses en waaraan het volgende
ontleend is.

A. Invloed van de draaiing der vlakken
om een as.

57. — Men kan Hmxy, dat hij het moment ten opzichte
van de z-as noemt, voorstellen door AfXV, waarin Af de

totale massa beteekent, en men dus krijgt XV = ^^^

hetwelk voorstelt een hyperbool op asymptoten.

Wij hebben dus XV = ^ waaruit = •

^ komt overeen met den traagheidstraal en wordt de
parameter van het moment genoemd.

Gaan wij van het stelsel xy over op xW dat met het

62

eerste een hoek ip maakt, dan is

■y x\' =y sin f -j- x cos cfj

jv\' = jV cos (ft — sin (jp
dan volgt

zZmx\'y\' —
= sin 2(jp 2fn{y\'\'- —■ x"\')
-f- 2i:mxy cos 2qp.
Nu is

Zmiy"" — x"") =  z") — -f 2^) = Miy- — v"")

waarin u en ï/ de traagheidstralen zijn ten opzichte van
en jy en noemt men en A de parameters der 2 stel-
sels, dan is

= [u\'\' — f sin 2qp -j- A\'\' cos 2q>
welke grootheid gelijk nul gesteld (voor cp stellende — w)

tg 20)

u\' —

Er bestaat dus voor elke as een vlakstelsel dat een
moment nul geeft.

Zulk een stelsel noemt men een nulvlak.

58. — Neemt men de nulvlakken tot Xy-vlakken aan,
dan wordt de laatste term nul, dus

(Z/ï — V) sin 20
welke parameter voor </> = 45° zijn grootste waarde

p ^ IJl. _

krijgt en Hoofdparameter genoemd wordt, waardoor onze
vergelijking ten slotte wordt

V- -P- sin 2(I>.
Neemt men nu op de lijn, die elk stelselassen midden
doordeelt een lengte gelijk aan den overeenkomstigen

63

Parameter, dan zal de meetkundige plaats der uiteinden
een kromme zijn, wier polaire vergelijking is
r = l sin 20.

Men noemt de kromme een lemniscaat indien het pro-
duct der afstanden van een willekeurig punt dier kromme
tot 2 vaste brandpunten gelijk een gegeven vierkant is;
terwijl, indien de zijde van het vierkant gelijk de halve
brandpuntsafstand is, die kromme een gelijkzijdige lem-
niscaat genoemd wordt, dan volgt daar

X cos (ü) is
r"^ = 2«^ cos 2a).
Stel nu a 2 = 1 en 0 het
azimuth ten opzichte van de raak-
lijn in O en niet ten opzichte van
de as, waardoor w = Q — 45°
wordt, zoo wordt de vergelijking
= P sin 20,

waaruit dus blijkt dat onze kromme een gelijkzijdige
lemniscaat is.

De parameter verandert dus als de voerstraal van
een gelijkzijdige lemniscaat wier halve as de hoofdpa-
rameter is.

Ziet men af van het
teeken van en maakt
men ook in het 2® kwa-
draat de imaginaire lem-
niscaat, dan krijgt men
nevenstaande figuur.

5g. — Zet men echter,
even als bij de traagheids-

64

momenten, stukken af, omgekeerd evenredig met de over-

eenkomstige Parameters, dan krijgt men de vergelijking

C

sin 20

dus f\' = 2r sin 0 . r cos 0 of C\' = zxy

of een gelijkzijdige Hyperbool op asymptoten.

B. Invloed van evenwijdige verplaatsing der as.

Brengt men door het zwaartepunt een vlak lood-
^ - recht op alle evenwij-

^ dige assen, dan be-

hoeft men alleen de
voetpunten O dier
assen te beschouwen.

De overgang van
het eene stelsel op
een evenwijdig kan
plaats hebben door te

stpllpn;

6o.

Zlwaartcouutl

65

x\' = X — I jc\' = jv — n-,

waaruit Zmx\'y\' = Zmxy -j- M\\ri

want l^Zmy en tiHmx zijn nul.

De momenten behoorende bij evenwijdige assen wor-
den evenwijdige momenten genoemd.

Wil men omgekeerd een as vinden waarvan het even-
wijdige moment een gegeven waarde heeft, dan heeft
men slechts de enkele vergelijking

Zmxy.

. Zmx\'y\'
?V = -

M

De assen met hetzelfde moment vormen dus een cilin-
der, een hyperbool op asymptoten tot basis hebbende.

61. — Om de algemeene vergelijking van deze krommen

te vinden, gebruikt
men Polaire coördi-
naten , voor vaste lijn
de nul-as door Z ne-
mende
I = r cos (@ — (P)
ri — r stn (9 — fl»).
Noemt men L de hoofdparameter van de centrale as,
dat is de as door het zwaartepunt, dan is

2 Zmxy T-, •

-== L\' stn 2<lK

M

Maak nu elke as gelijk aan haar parameter; dan is
de meetkunstige plaats der uiteinden

r\'\' sin 2(0 — <I>) — V — L} sin z<t>.
Om den doorgang van dit oppervlak van den tweeden
graad te vinden met het vlak loodrecht op den bundel
stellen wij X == o dus

sin 2(9 — tp) = ~ L^ sin 2<P

66

of een gelijkzijdige hyperbool ten opzichte van de vaste
richtingen.

De deellijn ZA is een der symmetrieassen. Door

0 f/\' 135° te ma-
ken, krijgt men de
doorsnede met het
vlak loodrecht op ZB

en er komt

=

dus een cirkel gele-
gen in het vlak lood-
recht op ZB.

Het is dus een om-
wentelings oppervlak
om ZA, waaruit volgt
dat de parameter der evenwijdige momenten verandert
als de ordinaat van een gelijkzijdige omwentelingshyper-
boloïde met één tak, tot as hebbende de deellijn der
vaste richtingen.

Stelt men in de vergelijking van al deze hyperbolen

0=0 dan is r = ± Z.
Is dus Z,

dan zijn de punten Z\'en F\'
de plaatsen waar alle hy-
perbolen elkander kruisen.
■X Deze punten noemt men
brandpunten. In verband
met 58 blijkt dus dat de
reeks punten van een hoofd-
traagheidsvlak, waarvoor
de traagheidsassen een
vaste richting hebben, een gelijkzijdige hyperbool is, die
tot asymptoten heeft de rechte lijnen door het zwaarte-

67

punt volgens deze richtingen getrokken. Deze hyper-
bolen snijden elkander in 2 brandpunten en hunne toppen
vormen een gelijkzijdige lemniscaat, wier toppen in deze
2 brandpunten liggen.

Voor deze brandpunten zijn de beide traagheidsassen
willekeurig en is de traagheidsellipsoïde een omwente-
lingslichaam.

62. — Het moment van eene as O wordt focaal mo-
ment genoemd als het behoort bij vlakken waarvan er
een gaat door deze as en een der beide focale assen.
Dadelijk zal blijken, dat het geen verschil maakt, welke
der beide focale assen men kiest.

Men kan van het stelsel {O; x\'y) tot {F; xy) overgaan
door te stellen

x\' — X — q

y — y dus

Elmx\'y = Zmxy — qZmy,
Zmxy verdwijnt omdat het moment van F nul is.

Daar — L sin w de ordinaat van het zwaartepunt is, is
Etny — ML sin co dus

2,mx\'y = MLq stn m = AILh
r.h is Hriehnfik FOF\'.

68

Het focale moment van een as O is dus het product
van de totale massa met een driehoek verkregen door
vereeniging met de beide brandpunten,

Hieruit blijkt dat het moment van O dezelfde waarde
heeft voor de beide vlakken OF en OF\'.

Daar de basis FF\' van dezen driehoek constant is,
verhouden de focale momenten zich als de afstanden tot
de lijn door Z en de beide brandpunten.

Het focale moment is dus
^ Mqq\' sin FOF\'
maar in functie van den
hoofdparameter

^ MP sin 2 . FOK
daar OK de hoek FOF\'
middendoordeelt, volgt

P- = , dus is de
hoofdparameter midden evenredig tusschen de afstanden
tot de brandpunten.

63. — Hieruit volgt dat de assen met denzelfden hoofd-
parameter cilinders vormen, waarvan de bases lemniscaten
zijn en waarvan de constante voor ieder de parameter is.
Deze lemniscaten hebben dezelfde brandpunten en ver-
schillen slechts door de waarde van den parameter l.

Maakt men l = L, dan krijgt men een gelijkzijdige
lemniscaat.

Laat men l van de waarde L af onbepaald toenemen,
dan komt men aan het ovaal, dat meer en meer cirkel-
vormig wordt.

Laat men l daarentegen afnemen tot nul, dan komt
men tot 2 afzonderlijke ovalen, die ten slotte de brand-
punten worden.

Zet op iedere as van af zijn voetpunt zijn hoofdpara-

69

meter uit, dan blijkt, dat de hoofdparameter verandert

als de ordinaat van het
oppervlak voortgebracht
door een lemniscaat die
zich zoodanig verplaatst
dat zijn middelpunt en
zijne brandpunten rechte
lijnen loodrecht op zijn
vlak beschrijven, en zich zoo wijzigende dat de constante
steeds de afstand is door het vlak doorloopen.

Wil men den vorm van het oppervlak of liever de
meetkunstige plaats van de toppen der lemniscaten be-
palen, dan ga men als volgt te werk:

Het oppervlak bestaat uit lemniscaten die in evenwij-
dige vlakken boven elkander gelegen zijn. A en B zijn
de inwendige toppen, C en Z» de uitwendige. De meet-
kundige plaats

dier toppen voor
de as loodrecht
op het vlak der

lemniscaten vindt men door op te merken dat, als x den
afstand tot het middelpunt voorstelt, voor den inwendi-
gen top A:

Q = AF = FZ — AZ = L — x is

voor is Q = L X dus q = L ^ x

voor ^ is q\' = AF\' = F\'Z AZ = L ^ x
voor is q\' — L — x dus q\' — L ± x.

Men heeft dus voor de inwendige toppen
= pp\' L-\' — x-\'
dus een cirkel waarvan de middellijn is de brandpunts-
afstand; in de figuur op Bl. 70 voorgesteld door FZF.

Voor den uitwendigen top C is

0 CF = CZ — FZ = X — L

70

voor /? is (>= X L dus q = x if L

voor C is

p\' = CF\' = CZ F\'Z =x L
voor D is q\' = X — L dus = x ± L.

Men heeft dus voor de iiitmiendige toppen

= pp\' — L""

dus een gelijkzijdige
hyperbool op dezelfde
middellijn; in de fi-
guur op Bl. 70 voor-
gesteld door BFB.
Voor de 2® as gelegen in het vlak der lemniscaten

zijn M en N de top-
pen. Noem den af-
stand tot het middel-
punt y dan is

p = AfF= MF =
p\'

dus

dit is ook een gelijk-
zijdige hyperbool; in
de figuur op Bl. 70
voorgesteld door AA.

71

C. Draaiing der as om een vast punt.

64. — Uit 4 op Bl. 3 volgt dat het traagheidsmoment
ten opzichte van eene lijn die met de hoofdassen de
hoeken a, (i en y maakt, bepaald is door

T= AcM\'a  Ccc?s\'y . . . (i)

Stel nu A ^ C en elimineer «

dus T A.

Voor de maximumwaarde van T moet

(B — A) cos\'(i-j-(C — A) cos\' / = o zijn,

dat is ^ = y = go°, of de lijn valt langs de JT-as.

Door eliminatie van y vindt men dat voor de mini-
mumwaarde van T de lijn moet vallen langs de Z-as.

De reeks assen door den oorsprong gaande, die het-
zelfde traagheidsmoment hebben, vormen Elliptische kegels,
want uit (i) volgt:

y\' z\') = Ax\' By\' Cz\' of

{A— T)x\' (B— T)y\' {C— T)z\' = o.

I Is 7" en stel z = m dan is

{A — T)x\' {B— T) y\' = (T— C)m\'
dat is een Ellips om de z-as.

2®. Is T^ B en stel x = n dan is

(r— B)y\' (r— C)z\' = {A— T)n\'
of een Ellips om de .^r-as.
3®. Is r = ^ dan is

X-- V B— C

of 2 vlakken die een traagheidsmoment B hebben.

Stellen a, b, c waarin a^ b^ c is, de traagheidstralen
voor der 3 traagheidsassen X, Y, Z, terwijl Jfde maxi-

72

mum-as, Z de minimum-as en Y de middelste as is, en
wil men de betrekkingen nagaan, die er bestaan tusschen
de assen uit eenzelfde punt O, dan snijdt men dezen
bundel door een bol met den Hoofdparameter van de
middelste traagheidsas tot straal L = j/"«\'^ — c\'\'. Het
snijpunt van elke as met den bol wordt pool genoemd.

De reeks assen die
hetzelfde traagheids-
moment hebben, vor-
men Elliptische ke-
gels , die vlak worden
voor 2 vlakken ^OY
en i,\'OY welke vlak-
ken met de maximum-
as Xeen hoek f vor-
men bepaald door

tg

65. — Voor elk punt O zijn er dus twee assen C en
C\' waarvan de hoofdparameter nul is.

Deze assen worden
bijzondere assen ge-
noemd en bijzonder
moment van een as
dat met betrekking
tot vlakken waarvan
er een gaat door de
bedoelde as en een
der twee bijzondere
assen. Neem als assen-
stelsel de bijzondere as
^, de middelste traag-
heidsas J^en de looH-

73

lijn op deze twee Laat nu z een willekeurige as
zijn, dan geeft nevensgaande figuur, in het vlak

X = x^ cos cfj — C sin ij.
dus (daar y constant is)

Smxy — — sin (fZm^y,
want de term cos is nul, omdat C bijzondere as is.

In het vlak ^x, Vy

y = F cos 0 — J sin 0
dus (daar C constant is)

Em\'Qy = — sin
want de term cos 0ZmX, Y is nul, omdat Y traagheidsas is.

Men heeft dus

Zmxy = sin qp sin
zx^^y geeft cos ^ = sin (p stn 0 terwijl

= — c\') stn 2f

tg^

I tg\\

is

2mxy = M\\/^{a

dus Zmxy ~ Ml/\'ia\' — è\'\') {è\' — c"") . cos fi

of het bijzonder moment van een as is de projectie van
de middelste traagheidsas.

66. — Daar de uitdrukking van het bijzonder moment
dezelfde is voor de C as, als voor de C\' as, volgt er

uit dat de nul-
^ -—^ ^^ vlakken van een

willekeurige as
deelvlakken zijn
voor de vlakken,
welke die as met
2 bijzondere as-
sen verbinden.

De deelvlak-
ken in z van den

74

boldriehoek zXX verdeelen de basis zoodanig dat
sin ^k sin X,k\'
\'sïnl\'k "" sin l\'k\'
daar de tweevlakkige hoek kzk recht is, vormen de
assen uit O kegels. Wij kunnen bovenstaande evenre-
digheid in de gedaante brengen

sin (f — a) _sin {a — f)

sin (f «) sin {a\' e)
tg i —tg ^ tg (x\' — tge
tg tg a tg ^ tg i
— b\'\'

tg a .tg u\' = tg"" . l

67. — Laat men AI buiten rekening dan is het bijzon-
der moment

stn sin 9 yia\' — b\'\') {b"" — c\')
maar in functie van den hoofdparameter en den hoek l^zk
begrepen tusschen het vlak van het moment en het
nulvlak

I P sin 2 . Izk of \\ P sin CzC.

Men heeft dus

sm q> sin 9 (a^ — b^) {b\'\'— c\'\') ^ P sin l^zl.\'.

De driehoek CzC\' geeft ons

sin O)\'

sin 9 ~ sin . Izl\'
want / zCr = 9
boog CC\' = 2f.

Noemt men nu L de
maximumparameter van Y
^L\' sin 2t =

= —— f^).
Uit deze 3 vergelijkin-
gen volgt
P = U- sin a> stn g/.

75

Noemt men nvi de afstanden van den pool s op den
bol met straal L tot 2 bijzondere assen z/ en J\' dan
wordt het P — AA\'.

De assen van denzelfden hoofdparameter vormen dus
kegels waarvan de richtlijnen spherische lemniscaten zijn,
als men van deze krommen met behulp der polen dezelfde
definitie geeft als van de vlakke lemniscaat met de voet-
punten der assen.

68. — Indien wij op iedere as, van af het middel-
punt, haar hoofdparameter uitzetten, krijgt men een
oppervlak, waarvan de niveau krommen lemniscaten zijn,
en waar de verandering van den hoofdparameter wordt
aangewezen door den voerstraal.

Niveau krommen worden zoodanige kromme lijnen op
het oppervlak genoemd, die eenzelfden constanten para-
meter hebben.

Noem co de hoekafstand tot de minimumas Z in het
bijzondere vlak, dan is voor de uitwendige toppen

= L\' sin (w ± f) sin {w f) Z® {sin^ w — sin\'\' t)
voor de inwendige toppen

P — L\'\' sin {( ± m) sin (f if w) = L"\' {sin\'\' t — sm\'\' w).

Het zijn dus krommen die tot maximum stralen hebben
L cos f en Z sin t of

l^P — c\'\' en l/"^— b\'\'
en waarvan de voerstralen omgekeerd evenredig zijn met
die der Hyperbolen, asymptoot aan de bijzondere assen.

In het middenvlak YZ, als men 0 de hoekafstand tot
Z noemt, heeft men

cos (p — cos (f\' = cos ( cos 0 dus

P = L\'\' sin\'\' a = L" (i — cos\'\' t cos\'\' 0).

76

Het is dus een ovaal tot halve assen hebbende
L sin f en Z

Va\' — J\'

en |/ —

en waarvan de voerstraal omgekeerd evenredig is aan
dien van een ellips.

D. Mohr-Land\'sche Methode.

69. — In „Civilingenieur" Bd. XXXIH. Heft I heeft
Möhr eene verhandeling geschreven „Ueber die Bestim-
mung und die graphische Darstellung von Trägheids-
momenten ebener Flächen" die in hetzelfde tijdschrift
Bd. XXXIV Heft II door R. Land gewijzigd is, in eene
verhandeling, tot opschrift dragende „Ueber die Berech-
nung und die bildliche Darstellung von Trägheits- und
Centrifugalmomenten ebener Massenfiguren."

Het traagheidsproduct van een gegeven vlak F ten

opzichte van twee willekeurige assen PA en PB in dit
vlak, die elkander in een punt P, pool genoemd, snij-
den, kan, indien de afstanden van een element dF van
dit vlak tot PA en PB, a qvl b genoemd worden, voor-

77

gesteld worden door

/„[, = jab . dF = |\'z\'\'dFsmq}^ smqi^,

waarin a = z sin (jt ,, b = z sin gj^ en z = ZP is.

Breng door P een willekeurigen cirkel met straal r,
welke de verlengde poolstralen PA en PP in A^ en B^ snijdt.

Verleng ZP—z tot Z, , dan is A^Z^ = zrsim^\'^ , vol-
gens nevensgaande figuur, waar

AB = r sin», dus
AC=2rsina is.
De loodrechte afstand
van Z, tot A^B^ is dus
zr sin qp, sin (j j.
Denkt men zich dus in
z\'dF

Z. een massa dm =

zr

aangebracht, dan kan men
het traagheidsproduct van
dF — z\'^dFsin qj, sin qj j
beschouwen als het statische moment van de massa dm
ten opzichte van de koorde A^^B^.

Zoekt men dus het zwaartepunt T^ van al deze massas
dm, met de totale massa

fz-\'dF

Up.

m.

waarin het polaire traagheidsmoment van het vlak ten

opzichte van P beteekent, dan is het gezochte \\

traagheidsproduct gelijk aan het statische moment 1

van de massa m^ van het traagheidszwaartepunt ) ■ ■ ■ (I)

Tp ten opzichte van de koorde A^ B^ , die bij de I

beide gegeven poolstralen PA en PB behoort. I

Vallen de beide assen PA en PB samen bijvoorbeeld
in PA, dan gaat het traagheidsproduct over in het traag-

78

heidsmoment van het vlak ten opzichte van de as PA en
de koorde A^B^ over in de raaklijn in A^.

Dit kan men voorstellen door een tweeden cirkel,
wiens middellijn door Af en Tp begrensd is, want de
hefboomsarm Tp C van Tp ten opzichte van de raaklijn
in A^ is gelijk DA^ die door de beide cirkels van den
straal AfA^ wordt afgesneden.

Ter bepaling- van het traagheidsmoment is het dus
niet noodig de raaklijn in A^ te trekken. Het komt er
nu nog op aan, de coördinaten van het traagheids-
zwaartepunt te vinden.

Y

De coördinaten van het algemeene punt Z^ zijn

Xk = r,. sin zw = zr sin w cos qi

X y xy

= zr . — = zr . ~

z z

: r(i cos Z(f) — zr cos\'\' qi = zr .

z

De statische momenten van de in Z, aan te brengen
massas dm —^-^ten opzichte van de coördinatenassen

zr

zijn dus voor:

79

J T- J xy

de r-as xu dm = . zr-^ — xyar

ir z-

.r2

de JT-as yfc = 2r ^ = y\'dF

2r z\'

en de som van de gezamentlijke massas
Zdm — m.0 — — . I„

dus het statische moment van mp van het gezochte traag-
heidszwaartepunt Tp met coördinaten Xtyt ten opzichte
r-as

van de is gelijk aan het moment van de tweede

orde van het vlak F ten opzichte van de
dus uit mp .Xt xydF= I^y

itip .yt = jy\'dF^I^

volgen de coördinaten van het traagheidszwaartepunt Tp,
bij den cirkel behoorende die de X-as in den oorsprong
F aanraakt.

^ = .zr
mp lp

nip lp

70. — Hieruit blijkt dat de coördinaten van het traag-
heidszwaartepunt onafhankelijk zijn van de in de punten
Zj aan te brengen massas, waardoor het zich laat aanzien,
dat men langs anderen weg tot bovenstaande betrekkin-
gen kan geraken.

Neemt men een rechthoekig coördinatenstelsel, waar-
van P de oorsprong is, dan kan men voor een willekeurig
massapunt Z de grootheden xydF en y\'dF beschouwen

II

80

als de statische momenten van massadeeltjes (yäF) wer-
kende in Z ten op-
zichte van de V en
X-as.

Het traagheidspro-
duct ten opzichte van
de V en X-as

I.

=ƒ xydF =
= ƒ x{ydF^

en het traagheidsmoment ten opzichte van de X-as
lx = I y\'äF = I yiydF)

kan men dus beschouwen als het statische moment van
een massa mp, werkende in een punt Tp met coördinaten
Xt, yt, ten opzichte van de V en X-as.

f = j xydF = iHpXt"

= ƒ y\'^dF = Mpyt

Hierbij moet Tp liggen op een rechte lijn gaande door
P en het zwaartepunt der gedachtemassas (ydF) zoodanig
dat de tangens van den hoek welke deze lijn met de
X-as maakt, bepaald is door

Xt dxy

De grootheid mp kan nog naar believen gekozen wor-
den en dan kunnen Xt en yc uit bovenstaande vergelijkin-
gen opgelost worden.

Kies nu m^ gelijk een veelvoud van het polaire traag-
heidsmoment lp — ; z\'dF (omdat lp van de ligging der