U.. - ..v.v\'.- iV.UA)> -vC _______________

m

m

DE VIRIAAL

EN

HARE BKPEEKENIS IN DE ]\\IECHAN1CA.

stoomdruk van J. van Doi^kiioven to Ulieclit

DE VIRIAA

EN

HARE BETEEKENIS IN DE ^^lECHANICA.

•tx-..

PROEFSCHRIFT

TEH VEnKnur.ixo van den ghaau van

^octnr in de IDifj- en iatuuiihunde

AAN DE J^IJKS-yNIVERSITEIT TE pXRECHT

na uekomen machtioino vax DEN nECTOI« magnificus

D". G. H. LAMERS

llooglecraar in de Kncullcit van Godgeleerdheid
en

MKT TOK STK M JIINO VAN DKN A C A DKMI SC II MN SENAAT

TKdKX I)i: IIKKKXKIXOKN DKK WIS- K.N NATUUKKUXDIOK KACUI.TKIT
TK VKIIDKDIOKX

op Vrijdag den l\'""" Juni 1888, des namiddags ten 3 ure,

LAM15HRTU8 VAN ELFIMNKIIOF,

Koboron to NIJKERK (Voluwo).

ÜTKKCHT. — J. VAN liüliKllOVEN.
1S8S.

%M mijne diulcvö.

Aan het einde mijner Academische studiën breng ik
gaarne mijnen dank aan U, Hooggel. Heeren, Professoren
bij de Faculteit der IVis- en Natuurkunde, \'Mier onderwijs
ik heb mogen genieten.

In het bijzonder geldt dien dank U, Hooggel. Heeren
Buys Ballot, Grinwis cn Kapteyn, voor al 7vat gtj tot
mijne vorming hebt bijgedragen, voor de bexvijzen van
"^vekoillendheid mij meermalen betoond.

Hooggel. Grinwis, hooggeachte promotor, utv steun bij
dit proefschrift en de blijken moer vriendschap zullen mij
steeds in dankbare herinnering blijven.

E R 11A T A.

iU\'
krachten

k\',

dt
MB\'
dor

trachten

x.

dt\' ■
M\'jr.

van den

. . \' \', \'t

HOOFDSTUK 1.

Bepaling, verschillende vormen en hoofdeigenschappen
der viriaal.

BEPALING EN VERSCHILLENDE VORMEN DER VIRIAAL.

§ I. Wanneer een krachtenstelsel is gegeven, zoodat
ons de grootte en richting van iedere kracht on daarbij het
aangrijping-spunt bekend zijn, dan weten wij voor iedere
kracht de composanten langs de coördinatenassen A\', J\'
benevens de coördinaten van het aangrijpingspunt
y on z. Door telkens een der laatste met een der
eerste tot een produkt te combineeren, verkrijgen wij
do negen uitdrukkingen:

X, x V, x Z,
y X, y V,

s A-, s y, s Z.

In drie van deze, n.1. x X, y V en s Z, valt de
richting van de krachtcomposante samen met de daarin
voorkomende coördinaat van het aangrijpingspunt; in de
zes andere staan beide loodrecht op elkander. De dimensie
van al deze grootheden is klaarblijkelijk lijn x kracht
(.M l\'\' r-2), en is dus die, welke men sedert lang als
moment heeft gcdelinioerd. Hot is waarschijnlijk naar

aanleiding hiervan, dat Schweins het genoemde zestal
met den naam „Drehmomente" en de drie andere, welke
blijkbaar niet dien invloed op het stelsel hebben, met
den naam „Fliehmomente" betiteld heeft. De verhande-
lingen, waarin deze benamingen voorkomen, en waarin
hij de hoofdeigenschappen dezer grootheden mededeelt,
zijn te vinden in Crelle\'s Journal, Bd. XXXVIII en
XLVII. In deze verhandelingen worden vooral de eigen-
schappen nagegaan der grootheden ^ {x X y Y) voor
vlakke krachtenstelsels, en {x X y V -{- z Z)
voor stelsels in de ruimte. Zonder aan deze grootheden
eenigen naam te geven, heeft toch reeds Möbius in zijne
„Statik" de beteekenis van den vorm ^^ {x Xy Vz Z)
voor het evenwicht in vele opzichten in het licht
gesteld.

§ 2. Een veel grootere beteekenis, vooral voor de toe-
gepaste mechanica op natuurkundige vraagstukken heeft
deze grootheid verkregen, sedert Clausius in 1870 in
eene voordracht in de „Niederrheinische Gesellschafft für
Natur- und Heilkunde" een bewegingsvergelijking mede-
deelde, waarin de gemiddelde waarde dezer grootheid
voor een zich in stationaire beweging bevindend stelsel
optreedt. Aan de halve negatieve waarde van dit ge-
middelde, de grootheid — \'/i - X ■{- y V z Z)
heeft hij den naam: viriaal gegeven.

Toch is in deze geen eenstemmigheid gebleven. Zoo
heeft Grinwis in een verhandeling voorkomende in de
„Verslagen en Mededeelingen der Koninklijke Academie
van Wetenschappen 1884", ten einde de grootheid in
verband tc brengen met de kinetische energie van het
stelsel, den naam viriaal toegekend aan de uitdrukking
- 7, {X X-{- y V z Z).

In het werk van Dr. W. Scheix „Theorie der Bewe-

gung und der Kräfte" komt het woord viriaal voor als
benaming voor de uitdrukking

— S {x X y Y z Z).
Wij zullen in de volgende bladzijden eenvoudigheids-
halve met deze laatste bepaling medegaan.

Tevens zullen wij voor deze grootheid dikwijls het
teeken F gebruiken en dus stellen wij bij definitie
F = — {X X y V z Z)
Voor één enkele kracht is dan de viriaal bepaald door
de vergelijking

F - {X X y Yz Z).
Indien meerdere krachten op een punt werken, blijft
dezelfde vorm der functie bestaan, mits men dan A\', Y
en Z als de composanten der resultante dier krachten
beschouwt.

§ 3- Aan de viriaal eener kracht wordt een anderen
vorm gegeven op de volgende wijze.

Stellen r de voerstraal vati het aangrijpingspunt cn R
kracht voor, dan is

= — rR cos (r, A\')
Noemen wij dc projectie van A\' op de voerstraal van
bet aangrijpingspunt P cn nemen P positief in dc richting
van de verlengde voerstraal, dan is

-- {X X y Y z Z) = - r P........(i)

In de benaming door Schweins ter aangehaalder plaatse
ingevoerd i* dus rP het Fliehmoment der kracht A\'.
Projccteeren wij daarentegen R op een lijn loodrecht
op r door het aangrijpingspunt on noemen wij die pro-
jectie Q, dan is rQ het Drehmoment. Wil men deze
woorden in onze taal overbrengen, dan zou mon de
nrehmomente „werkzame momenten" kunnen noemen,

want alleen deze komen in de bewegingsvergelijkingen
voor. De Fliehmomente, die geen invloed op de beweging
hebben, mogen dan „verloren momenten" genoemd worden,
§ 4. IMen kan evengoed de voerstraal r projecteeren
op de richting der kracht, en zoo wij die projectie p
noemen, dan is

- {X X \\ y Y z Z) = - p R........(2)

Uit (i) en (2) volgt

r P = p R

en dus liggen de uiteinden van R on P, de oorsprong
en het voetpunt der loodlijn uit O op de lijn R neerge-
laten op een cirkel.

§ 5. Maakt men onderstellingen omtrent den aard der
krachten, dan kan men verschillende vormen voor de
viriaal afleiden.

Bestaat er ten opzichte van het stelsel een coördinaten-
functie, er gal genaamd — zoodanig dat iedere compo-
sante der in een willekeurig punt van het .stelsel aan-
grijpende kracht uitgedrukt kan worden door het negatieve
partieele differentiaal-quotient van dat ergal ten opzichte
van de aan die composante gelijknamige veranderlijke —
dan zijn, indien U het ergal voorstelt:

——, r= - — , — •

è X ^ y ^ z \'

en vervolgens wordt

P = -2: {xX-^ y Y zZ)

^ ^ jV r— s ^ .
0 X ■ 0 y Os;

Is daarenboven het ergal [/ een homogeene functie

der coördinaten, dan kan, indien l\' den graad der functie

aanduidt, volgens een eigenschap der homogeene functieön

geschreven worden

P = k U.

In dit geval staan viriaal en ergal in een constante
verhouding tot elkander.

Bij constante krachten is /è = i , dus wordt
F = U,

Bij krachten, waar het ergal van den — i s*®" graad is,
zooals bij newton\'sche aantrekking naar den oorsprong is

F = — U.

§ 6. Wordt een punt aangetrokken of afgestooten door
eene kracht, die een functie is van den afstand tot een vast
centrum, dat als oorsprong van coördinaten genomen
wordt, en welke kracht gericht is langs den voerstraal,
clan kan men die kracht aanduiden door

R = ^ {r).

Dan is

C/ = — J (p (r) dr

en dientengevolge

^U . . O Y

— = — (/) —.

O X O X

Daar nu

r-" x-" s^

zijn

O _ X ^ _ 2 ^ = £.

^ ~ 7\' ^ r\' r\'

derhalve zijn

.V £ (r), Y=l\\r (r), Z = = (O

waaruit volgt

F ~ {X X y Y z Z) = — r Cf (r).
Is U tegelijkertijd een algebraïsche homogeene functie
van den /-«len graad, dan volgt uit deze vergelijking en
de laatste der vorige ])aragraaf:

i\'f^{r)dr=rq>{r)...........(3)

De onderstelling

q, (r) = Cr»

waarbij wij aannemen, dat « — i is, voldoet aan de
voorwaarde, dat het ergal een homogeene functie der
coördinaten is. Hierdoor wordt

U = —

71 i

Bedenken wij nu dat

k = n I

dan blijkt aan de vergelijking (3) voldaan te zijn.
Dan is de viriaal

F — —

voor n = I

F = — Cr^

voor 7/ = — 2

r

§ 7. Een anderen vorm heeft CtAusms \') aan de viriaal
gegeven door een splitsing in te voeren tusschen de uit- en
inwendige krachten. Geven wij het onderscheid door aan-
hechting van de indices c en i aan, dan volgt uit de
beteekenis van het teeken dat
- y {x X-\\.y Y z Z) = — {X Xi-\\-y Yi-^-z Zi)

is, of

F = Fi F,.
Men noemt dan Fi de inwendige, Fe de uitwendige
viriaal.

§ 8. Nemen wij aan, dat de inwendige krachten werken
langs de verbindingslijnen der deeltjes, en gelijk en
tegengesteld zijn; en beschouwen wij dan eerst twee deelt-

\') Clausius. I\'ogg. Ann. Jubclband.

jes, op elkander werkende met een kracht /. terwijl wij hun
afstand z/ noemen, dan is voor het eerste deeltje dat
• 5 2,, tot coördinaten heeft (x^, , s^, die van het
tweede deeltje) de X-composante der kracht

-A-i = ^^^ /

derhalve

y V- __) /■

Evenzoo voor het tweede deeltje

X = /

en

(x, —x,) x^ f
— j J\'

Door optelling

= -

Insgelijks

1\', n = - ^^^^ /

Summeeren wij dit over alle deeltjes der massa, dan
wordt de inwendige viriaal

Fi = J/.

§ Q. Bij vaste (onveranderlijke\') lichamen mogen wij aan-
nemen, dat alle deeltjes steeds ten opzichte van elkander
in evenwicht zijn. Indien dus op het lichaam, terwijl
het in rust verkeert, een krachtcnstelsel aangrijpt, dan
moeten steeds aan ieder punt de uitwendige krachten
met de inwendige evenwicht maken. Daardoor is aan
ieder punt de resultante van alle zoowel uit- als inwen-
dige krachten nul, en dus ook de viriaal voor ieder

8

punt nul. Maar dan is ook de viriaal voor het geheele
stelsel nul, zoodat wij verkrijgen

- Z A f Fe = O

of wel

2 é f = — Fe.

Bij gassen mogen we als eerste benadering aannemen
dat er tusschen de deeltjes geen krachten werken; in
dat geval is

Fi = o.

Bij vloeistoffen \'heeft van der Waals in zijn Acad.
proefschrift „Over de continuïteit van den gas- en vloei-
stoftoestand" de waarde van Fi op de volgende wijze
bepaald. Wij mogen de deeltjes in het inwendige der
vloeistofmassa als in evenwicht beschouwen. De viriaal
der op die deeltjes werkende krachten is dus nul. De
deeltjes aan de oppervlakte echter worden door de
attractie der overigen naar binnen getrokken. Deze
oppervlaktespanning mogen wij wegens de geringe dikte
van het laagje behandelen als een druk op de opper-
vlakte der vloeistof. Zij dan de grootte van dien druk
per eenheid van oppervlak N, dan werkt in een punt
X, y, z van het oppervlak een kracht — N d , indien
d (T het oppervlakte-element voorstelt. Deze kracht is
volgens dc normaal op d a naar binnen gericht. Laten
de richtingscosinussen dezer normaal cc, (i, y zijn cn de
hoek, dien de normaal met den voerstraal r maakt
dan is

x Xi y Yi -f- z Zi = — N d (s [x a y ^ z y)

= —\' N r d a cos (f.

Bij summatie over het geheele oppervlak wordt dus

Fi = N j r cos (f d 0.

Nu is echter r cos ff d ^ x inhoud der py ra-
mi de, die da tot basis cn den oorsprong tot top heeft.

De integratie geeft dus het totale volumen van het
lichaam. Zij dit ü, dan is dus

Fi = 3 Nv.

Werkt op een lichaam een uitwendige druk normaal
op de oppervlakte, en stelt p daarvan de grootte
per eenheid van oppervlak voor, zoo verkrijgt men rede-
neerende als boven, voor de viriaal van die drukkrachten

F ipv.

§ I o. Hebben wij een stelsel evenwijdige krachten, wier
gemeenschappelijke richting ten opzichte van de coördina-
ten-assen gegeven wordt door de hoeken «, ^ en /. dan
vinden wij vopr de viriaal van zulk een stelsel
F ^ — (^x X ^ y Y -f 2 Z)
= — {cos a. R -}- cos |3. j)- cos y. z R)

De coördinaten van het middelpunt der evenwijdige
krachten worden bepaald door de vergelijkingen

\\ 2: R= y:x R, y^ A\' = A\', 2, R = s R.

X

Zij daarenboven de voerstraal van het centrum r^ en de
hoek, dien deze maakt met de richting der krachten O, zoo is
cos a. V A\' R -I- cos 2\' y R cos y. 2" 2 R =
{x^ cos a -f y^ cos s, cos y) 2\' R = r^ cos & 2 R,
waaruit volgt

F — — r^ cos ^ A\'.
De viriaal van een stelsel evenwijdige krachten is dus
gelijk aan de viriaal van huti resultante aangrijpende in
het middelpunt van het stelsel.

Voor de zwaartekracht verkrijgen wij, als fc de voer-
straal van het zwaartepunt voorstelt:

F = — Tc cos {y 2\' ///^ = — JJ/f rc cos O.
§11. Denken wij een stelsel massapunten in ieder van
welke een massa dm aanwezig is. Door den invloed van
de in P aanwezige eenheid van massa ontstaat tusschen
P en ieder punt Q twee gelijke en tegengestelde krachten.

lO

Wij nemen aan, dat die krachten evenredig zijn aan de
massa\'s \'m Q en P en aan zekere funtie van den afstand.
Op die wijze grijpen in P een aantal krachten aan, wier
totale viriaal wij wenschen te bepalen. Evenzoo de viriaal
van het stelsel, dat door de verschillende punten Q en
de daarop aangrijpende krachten gevormd wordt.

In P grijpt onder invloed van Q oen kracht aan, wier
composanten zijn
\'Zj

X = — (f (q) dm
Q

Y = dm

Q

c—s

qp (p) dm.

— {xX-\\-yY-\\-zZ) =
Nu is

=    {c-zY.......

waaruit volgt

ö p _ a—X O 0 _ b—y ^ q _ c—z

da Q b Q ^ d c C\'

Dit invoerende, verkrijgen wij

do. rd p , . () e

-{xX-\\-yY zZ)= a ^ b\'^ 4-c

\\ Oa O b d c

Stellen wij nu

(f) (Iq=HI (e)

7\' (c) dQ — d 1// (e)

<ï\' io) V- = -T-

O a O a

11

en dus

En bij summatie wordt de totale viriaal der in Paan-
grijpende krachten

= ƒ

Hierbij hebben de integratiën betrekking op het
lichaam; derhalve zijn a, b, c ten opzichte dier betrek-
kingen als constanten te beschouwen.

Laat nu ^ de dichtheid voorstellen in het punt {x,y, z)
terwijl dv = (ix dy dz is en stellen wij

(6)
(7)

^a \' " ö ^ \' " ^c)
Gaan wij nu over tot het stelsel der punten Q.
Op dm werkt een kracht (f (q) dm, welks compo-
santen zijn

a—x

(f) (q) dm

r= ^ cp (e) dm
e

Z = — q (e)

. Dan is de viriaal in Q:

a—x

X

Uit (4) volgt:

e _ x—a y!> Q _ y—^ ^ ^ _ Ezz£.

^y

12

Dus

(x X yY = 

y O X èy

Uit (5) volgt evenals boven

^ (,) ^ _ ^ V\' (e)

Dus ook

-{xX^yY-\\-zZ)=.

Vervolgens wordt bij summatie, als wij de viriaal der
op het lichaam werkende krachten F noemen,

F ={[x ^  ^  2 ^

J { ^ X öjy Ö2

Of als 11 de dichtheid voorstelt:

Beschouwen wij ieder der termen afzonderlijk, dan is

— 2- X X

= jjdydzlfixip (e)] — ƒƒƒ fi ip (o) dx dy dz

-III

Indien ds het element der oppervlakte voorstelt, en
a, ^, y de hoeken, die de buitenwaarts gerichte normaal
met de assen maakt, is

dy dz = ds cos a
ƒƒ dy dz [— Ij, (p) xp ((>,) —......]

= f [— V (Pi) ^^^ «I ds^ -j- ATj tp (ej a, ds^ . . ]

j^ft X cos u (q) ds.

I

13

In verband met (6) wordt nu
— Z xX=jfixcos cchj{q) ds—[/—jX lp (p) ^ dv.
en de viriaal

F = J (x cos a y cos ß z cos ■/) flip (e) ds—^ U~

ip ((>) dv.

zi

Of als {)^ de hoek tusschen de normaal en voorstelt,

F = fr cos 9 ^ flip {(>)ds—3 / f^- ^ J)\' ^ ^ V\' (i>) •
J vx Oy O zJ

Herleiden wij nu deze laatste integraal.

Noemen wij daartoe de hoeken, de (t met de assen

maakt ij, dan zijn

q cos ^ = x—a ; q cos y = y—d; q cos = z—c.

Door differentiatie met constante hoeken verkrijgen wij

.„j. dx X—a dy y—b ^ dz z—c
tos I = — =-;cos 1!=-/- — ^-; cos C =-T- = —

a (> Q (i [> a (I

waaruit volgt
X = a -Y {i

Door invoering dezer waarden wordt de bedoelde
integraal

l \\>X Oj)\' O zJ
f (bi ^ ^ -I- bi p], ^

= A ^ B.

De grootheden rt, ^ en zijn constanten ten opzichte
van de integratie. Wanneer wij nu A in drie gedeelten
splitsen, is hot eerste

« j" ^ ((,) d7> = a fff ^^ xp ((>) dx dy dz

14

= ajj dy dz j jp (q) ^ dx
= «ƒƒ dydzluy^{q)-\\-a jfi^^ dv
= a [fi tf, (q) cos « ds—a li dv

of daar ^_ ^ (P)
d da

a ({{>) dv = a l Tji (o) cos « fl^s 4- a (ip (q) ft dv
^ dx d aJ

b fp^ lp (n) dv = b f fi i{t (g) cos ^ ds-{- b ^ C »l\' (») ft dv
J dy J d bJ

^ JPz ^ ^^^ dv = cjfi yj (q) cos / ds i-c ^ j yj (n) ju dv

-------opt.

A=ffd cos ^^

J J y da d b d c J

Om B te herleiden schrijven wij

ƒ ^ e V ((?) dv.

Het volumen-clement dv vervang-endc door de uit-
drukking {p- d Q dx verkrijgen wij

Nu is

Dus rcdenccrcnde als boven

B=zjfi tp(Q)i, cos O, ds—3 U — ƒ p dm.

Indien het punt P binnen de massa ligt, geeft de term
[ip (p) q \'/t] behalve de integraal j /t yj (q) q cos ds nog

15

de integraal ƒ ip (q) ft dt voor p = o. Voor krachten,

die aan positieve machten van q evenredig zijn, of aan
de — iste^ — of — macht van q wordt deze
term nul en blijft dus buiten rekening.

Is de kracht evenredig aan dan is ip [q) =—
en geeft deze term dus de constante grootheid 7s
Bij krachten, wier negatieve exponent 5 of meer is,
wordt deze term 00.

De gevonden waarden voor A en B in de uitdrukking
voor de viriaal substitueerende, wordt deze in verband
met (7)

j{rcos&,—dcos~Qcosa^)ip{0)^1 ds—Fp -j-j p^p^d/u.

Do uitdrukking r cos — 5 cos — q cos is de
projectie van den omtrek van den gesloten driehoek O QP
op do normaal op het oppervlakte-element ds en is alzoo
gelijk nul.

Ten slotte wordt

F -f- Fj> = j (><}> ((>) dm.

De integraal is een coördinaten-functie, afhankelijk van
de plaats van doch niet van den oorsprong.

In het bijzondere geval, dat de aantrekking plaats
heeft volgens de wet van Newton, is

\'P (c) =

en

— de potentiaal der massa in P.
Dan wordt

j Q (j. (q) dm = ƒ ()~\' dm

tevens is

i6

en dus

waaruit in dit bijzondere geval volgt
F ^ Fp = — V.
In woorden: „De som der virialen der beide stelsels
is gelijk aan de waarde der potentiaal in P met tegen-
gesteld teeken genomen."

Plaatsen wij P in den oorsprong, dan is Fp = o en dus
F - V,

wat een zeer groote analogie tusschen viriaal en poten-
tiaal aantoont en met § 5 overeenstemt.
Geldt bijv. de wet van Weber, dan is

(£q
df]

en dus

V ((>) = -

en

=f

Dan wordt

F-j- Fp -h (/= 2 I p ^^^ dm.

§ 12. Is in Pniet de eenlieid van massa, doch een massa
rZ/z/j, en noemen wij die in Q ter onderscheiding dm^,
dan is volgens boven

A\' = Q q> ((>) dm^ dm^ — Fp

= I (f<j> (e) dm, dm — a ^ 4- ^ -

J I O fl I

Maakt nu P ook deel uit van een stelsel massapunten,
en noemen wij de totale viriaal van het stelsel Q: F, ,
die van het stelsel P.\'I^^ dan is bij integratie

\'1 = ƒƒ Q <J\' (c) dm, dm^ — j ap^

17

Maar deze laatste integraal is F^, derhalve is

= /"ƒ P (?) dm^ din^

Indien de wet van Newton geldt en dientengevolge

de wederkeerige potentiaal

— ƒƒ

is, verkrijgen wij

= -

Valt het stelsel P met het stelsel Q samen, dan ver-
krijgen wij de viriaal der tusschen de massa\'s onderling
werkende krachten; wat wij vroeger de inwendige veriaal
genoemd hebben. Deze is dan

1 Iet cijfer Va volgt uit het feit, dat bij het samenvallen
alle massapunten dubbel worden en dus iedere kracht
tweemaal optreedt. Hij het bepalen der inwendige viriaal
moeten wij echter deze slechts éónmaal nemen, on moet
de integraal door 2 gedeeld worden.

Vergelijken wij dit met § 8 zoo zien wij dat de hier
gevonden uitdrukking dezelfde is als de daar bepaalde
in eenigzins gewijzigden cn meer uitvoerigen vorm. \')
1 Geldt ten opzichte der werking de wet van Newton
en is do potentiaal der massa ten opzichte van zich zelf:

dan is ook nu

Fi^—W\'

\') III § 8 ontbreekt voor 2\' // / de factor %, dtuir in die uit
drukking v zich uitstrekt over de coinbinatieCn der punten twee
aan twee.

B. HOOFDEIGENSCHAPPEN DER VIRIAAL.

§ 13. Zij Fq de viriaal ten opzichte van den oorsprong,
dan is

(xx y K ZZ).
Om nu de viriaal ten opzichte van een punt O,
(Xj , Zj) te bepalen, kiezen wij Xf , , z, als oorsprong
van een nieuw coördinaten-stelsel. Wanneer nu de
richtingscosinussen van de nieuwe X-as a, •/ zijn, die
van de nieuwe K-as a\\ •/, die van de nieuwe Z—as
a", (3", y" f hebben wij de volgende betrekkingen
x = x, -j- ax\' -i- a\'/ a"2\'

z = z, /y

waaruit

= « (x—x,) -f |5 O\'-y.) (2—2.)

y = «\' (X-X,) 13\' O\'-)\',) 4- / (z-c.)
Verder zijn

v\' = a\'xy-j- / Z

z\' = a" X (3" y z.

Zij nu \'

Ft = — ^ {x\' X\' -t-. y y z\' z\')

dan is

F, = {.{x-x,)x O\'-y.) y (z-z,)Z]

of wel

F, == F,-}- 2: (X, X y,y-}-z, Z).
Door invoering van de grootheden

A X, B ^ 2: y, C = 2: Z

wordt dit

= Ax, c-zr

tg

De hoeken zijn uit de uitkomst verdwenen; van daar
de eigenschap:

„De waarde der viriaal is alleen afhankelijk van de
plaats van het punt, dat men als oorsprong kiest, niet
van de richtingen der coördinaten-assen."

Dit blijkt ook uit de uitdrukking van § 3 namelijk
F = — r R cos {r, R).

Schrijven wij de vergelijking in de gedaante
= F, ~ {X, A y,B ^ z, C)
zoo zien wij, dat de viriaal in O gelijk is aan de viriaal
in öj, vermeerderd met de viriaal van de resultante der
krachten aangrijpend in het punt O, genomen ten opzichte
van O.

Op de drie grootheden

= v ^y z-z V), M,, = {z X-x Z),K = {X V-^\' X)
dezelfde transformatieën toepassend, worden voor den
nieuwen oorsprong
= « C /i) 1? A-\\-x,C) y B A)

K = C-f c, B) -f A X, C) -h B j, A)

= «" C^z,B) ^ ii\'VM-z, B-^y, A).

En dus

= A x, B-\\-y,Ay\' (8)

en ook deze grootheid is onafliankelijk van de richting
der coördinaten-assen.

§ 14- Vragen wij voor welke punten in de ruimte de
viriaal nul is, dan vinden wij deze meetkundige plaats
uit de vergelijking

Ax -f By Cz -j- F, = o.

l^it stelt een plat vlak voor, welks normaal met de
assen hoeken maakt, wier cosinussen evenredig zijn aan
B en C.
Hij

krachtonstelsels, dio in een plat vlak gelegen zijn.

20

vinden wij op dezelfde wijze een meetkundige plaats
van de gedaante

Ax -h By F^ = o.

Het vlak noemt men hoofdvlak; de lijn hoofdlijn
der virialen,

§ 15. Volgens § 13 is de viriaal in een punter, , y^ , s,
bepaald door de vergelijking

F, =F„ Ax, By, Cz,.

Daaruit blijkt, dat voor alle punten van het vlak
Ax By Cz {F,~F,) = o
de waarde der viriaal constant is. Dit vlak is even-
wijdig aan het hoofdvlak.

Bij vlakke stelsels verkrijgen wij op dezelfde wijze
lijnen van constante viriaal, evenwijdig aan de hoofdlijn.
Hun vergelijking is

Ax By iF,-F) = o.

§ 16. Indien we ons drie punten x, , y,, , x^ , y^, z^,

> J>\'3 > "3 voorstellen, gelegen in een rechte lijn, hebben
wij uit het voorgaande de drie vergelijkingen
F,=F, -h Ax, By, -f Cz,
F,=F„ -t- By, Cz,
/\'; = /\'; Ax, H- By, 4- Cz,

Door vermenigvuldiging resp. met x,—x,, .r,—x, ,
x,—xj, daarna met y,—}\',, y^—y,, yt—)\'2 "ok met

-z,, z, —Zj cn in hot oog houdend dat

_ ^

en dat

"3

verkrijgen wij

F. 0-3-.)\',) -f = o

(S3-S,) /-; =0.

i

2 i

Legt men nu het punt x^, jj\'^, z.^ in het hoofdvlak en
de beide andere punten aan weerszijden evenver van dat
vlak verwijderd, dan zijn:

Na invoering hiervan worden de drie vergelijkingen
/r =_jr

Ergo, de virialen op gelijke afstanden van het hoofd-
vlak aan weerszijden genomen zijn gelijk en tegengesteld
in teeken.

Legt men x^ , , 2, , in het hoofdvlak dan is = o
en verder

== = y—yx = tTL
y^^-yi 23—2,

Of: de virialen ten opzichte van punten aan dezelfde
zijde van het hoofdvlak verhouden zich als de afstanden
van die punten tot het hoofdvlak.

Hovenstaand bewijs dezer eigenschappen is volgens
ScHWKiNs. Een eenvoudiger bewijs is het volgende:
Kiezen wij het hoofilvlak tot A\'J^-vlak, hetgeen wij doen
door in de vergelijking daarvan, n.1.

Ax By Cz-\\- F„= O

tle grootheden

A = B = F^ = o, C = A\'
te stellen. Hierdoor wordt de viriaal in de punten

. , c, en , y^, 2,

F, = A\'2,
F, = A>2,

Dus
en voor

F, F, 2, = - 2,

Voor vlakke krachtenstelsels gelden dezelfde eigen-
schappen ten opzichte van de lioofdlijn.

22

§ 17- Als wij een enkele kracht P beschouwen, aan-
grijpend in een punt x^^y^, Zj is hare viriaal
F, = -{x,X-yry, F z, Z)

Het blijkt dus dat het hoofdvlak door het aangrijpings-
punt gaat. De negatieve viriaal is dan
— F^ = Pr cos {P,r)

Het moment van die kracht ten opzichte van den
oorsprong is

G = Pr sin {P,r)
• Zoo blijken moment en negatieve viriaal elkander in
zekeren zin aan te vullen.

Indien het aangrijpingspunt op de richting der kracht
verplaatst wordt blijft G constant. Zulks is niet het geval
met F.

§ i8. Bij vlakke krachtenstelsels kan men het stelsel
terugbrengen tot een resultante R welks composanten op
de assen A en B zijn en een koppel = (x Y\'—y A\').

Dit koppel is nul voor alle punten der centraal-as, die
tot vergelijking heeft

Bx — Ay — = o.

De hoofdlijn der virialen (zie § 14 bldz. 20) is,
Ax By 4" /\'o = O.

Deze twee lijnen staan alzoo loodrecht op elkander (mi
de coördinaten van hun snijpunt zijn

_ BG, -AF,, • _ _ AG,, -f yy/>:.
--> - -^^--

Dit punt noemt men het middelpunt (astatisch centrum)
van het stelsel. Ten opzichte daarvan zijn het moment
en dc viriaal van het stelsel beide nul.

Herleidt het systeem zich tot een koppel, dan zijn A
en B ieder gelijk nul. Zoo wij alsdan de waarde van het
koppel ten opzichte van het punt at, , y^ als oorsprong
G^ noemen, zoodat (8)

23

= — y, A

is, dan zijn (§ 15)

G, = G^ en F, — F^^.
Dus: èn het koppel èn de viriaal zijn voor het geheele
vlak constant.

Dan zijn, als en de aangrijpingspunten der

koppelkrachten zijn

G =

of als P de grootte der krachten en A, A^ de afstand
hunner aangrijpingspunten is, terwijl hun verbindingslijn
een hoek « met de richting van P maakt
F— — A^ A^. P cos a
G— A, A^. P sin «.
Valt A, yij met de richting van P samen, dan is het
stelsel in evenwicht, want dan is

= O

en is

F=—A, A^. P.
Derhalve een constante grootheid. Eerst wanneer A,
en ^ij samenvallen is ook F=o.

§ 19. Bij krachtenstelsels in de ruimte hebben wij
behalve drie krachten yl, B, C ook de drie koppels
z = v y^^ J^f^ v a- Z), 2 (x X).

De vergelijkingen van de ccntraal-as, de lijn, waarvoor
de as van het resulteerend koppel met de resultante
samenvalt, kunnen ongeveer naar Schell „ Theorie der
Bewegung und der Kräfte" Th. I, Cap. IV, § 10 afgeleid
worden op de volgende wijze:

Daar G, onafhankelijk van «, jï, enz. is, (8. § 13)
nemen wij een evenwijdig coördinaten-systeem, dan is
voor een willekeurig punt .r, y, z als oorsprong

^L—Cy ■ Bz; J/, = M—Az -f Cx; N == N—BxAy.

24

Daar G^ evenwijdig aan R (de resultante) moet zijn, is

^ — Ml — ^ — ^

A ^ B ~ C ~ R

en dus

CM^—BN, =o.

Na invoering

O) x—A {By Cz) = BN—CM

of

R-\'x—A {Ax By Cz) = BN—CM.
Een vlak door den oorsprong, evenwijdig aan het
hoofdvlak der viriaal hèeft tot vergelijking
Ax ^ By Cz=o

Noemen wij het snijpunt van dit vlak met de centraal-as
I, t], C. dan verkrijgen wij

A^ Bl] CC = o

en

/e»? = BN—CM.
Dit in bovenstaande vergelijking gesubstitueerd geeft
R-" {x—^) = A {Ax By-\\- Cz)

of

x—^ __ Ax By-\\- Cz
A — R-"

De vergelijkingen van dc centraal-as zijn derhalve

x—^ __ y—t] __ 2—C
A — B — C \'

waarin

I = B N—C M; R-^ij = C L—A N;
RH = AA/-\'BL.
Hieruit blijkt dat dezo lijn loodrecht staat op het
t hoofdvlak der viriaal. Dc coördinaten van hun snijpunt zijn

_ BR CF

^ — > y—V ; s - C •

25

§ 2 O. De hier voorgaande eigenschappen kunnen met
behulp van de methode der quaternions op eenvoudige
wijze behandeld worden. Is namelijk (i een vector, die
een kracht voorstelt, aangrijpende in een punt welks
vector « is, dan is het werkzame moment (Drehmoment)
ten opzichte van den oorsprong Va ^ en het verloren
moment (Fliehmoment) Saß. Dat beide grootheden
elkander aanvullen behoeft bij deze wijze van voorstelling
geen nadere uiteenzetting. Samen vormen zij het i^roduct
« ß dat het totale moment van [i ten opzichte van den
oorsprong moge genoemd worden. Verder is
R= 0 = 2; Faß, F = 2\'Sa(i

De vergelijking van de centraal-as laat zich gemak-
kelijk afleiden uit de eigenschap, dat voor een punt van
die as het resulteerend werkzame moment als vector
met R moet .samenvallen. Stelt dus / den vector van een
punt der centraal-as voor, dan moet

F (a -y) (3 =j)\'R

zijn. Nu is

V f/ (a—y) ß = a - FyR

dus moet

R = G— V y R.

Opereert men hierop met ó\'r dan verkrijgt men
y R^ = Sc. R.

Derhalve

VyR = G—R- \' 5\'G R = — R F O R"\'

waaruit volgt als vergelijking der centraal-as

y = FG R~\' -f R.

Eon stelsel is reduceerbaar tot een enkele resultante,
als men maken kan, dat

G — Fy K = O
of met S R opereerend, als

ó\' r G = o............(9)

26

Voor een punt y is de viriaal

f, = S{oL—y) § = F—Sy r.
De viriaal is constant voor alle punten y, waarvoor
Sy K = F—Fj = co7isf. = —T s^ — n r^
S{y—n r) r = o.
Dus in een vlak loodrecht op r. De lengte der loodlijn
uit den oorsprong op dit vlak is klaarblijkelijk

rr f, —^f

n T K = -1-—
T r

Het hoofdvlak vinden wij door k, = o te stellen; de
hierbij behoorende waarde van n noemen wij dan is

en de vergelijking van het hoofdvlak
S (/—p r) r = o

of

Sy r = f..............(10)

Verder is

n rR = / y-R

of

f, = {p-n) K\\

In woorden: de viriaal ten opzichte van een wille-
keurig punt is evenredig aan den afstand van dat punt
tot het hoofdvlak.

Substitueert men de waarde van y uit de vergelijking
van de centraal-as in (10), dan vindt men voor den
vector van het snijpunt

5r = AT r\' = f = / r^

of

X p

dus

^ r» = \'^g r-1 -1- /r

of omdat p — v

= f r-\' -f fg r-\'.........(m)

HOOFDSTUK II.

De viriaal in de Statica.

A. ASTATISCH EVKNWICIIT..

«. Vlakke krachtcnstclscls.

§ 2 1. Wanneer een stelsel krachten aangrijpt aan een
stolsel punten, die onderling onveranderlijk verbonden zijn,
cn hot krachtenstelsel is in evenwicht, dan zal in het alge-
nieen, bij een willekeurige verplaatsing van dat stelsel
het evenwicht verbroken zijn. Nu kan iedere verplaatsing
van een systeem beschouwd worden als een voortgaande
verschuiving, gevolgd door een draaiing om een zekere
•"^s, die men bij een vlak systeem loodrecht op het vlak
van het stelsel denkt. De verschuiving hoeft op het
ovenwicht geon invloed, de draaiing echter wel,

ï^aten wij nu de voerstralen der aangrijpingspunten
om een punt in het vlak. dat wij als oorsprong kiezen
een hoek (p draaien, terwijl dc krachten in grootte en
richting constant blijven, dan zijn de coördinaten van een
punt .r, y geworden x",/ en wij hebben do betrekkingen
y = X- cos <f — y sin f
y\' = X sin <p y cos ip.

28

Voeren wij de volgende bekortingen in:
2:X=A;i; V= B; S {x K-^\'X) = G; —Z {xX y V) = F.

Nu hebben wij na de draaiing
Z {x\' Y^ X)=Z xY cos qi —Z y Ysin (p — Zx X sin cp —S y X cos (f
G\' — F sin (f G cos q>
{x\'X-\\-y\' Y) =—2" xXcos (p ZyXsin cp —2" at Ysiu 9 —Zy Ycos <f
F^ = F cos cp —G sin 9.

Daar echter het stelsel vóór de draaiing in evenwicht
was, zijn

A=B=G^O

dus

G\' ■=■ F sin (p
F\' ■= F cos (p

Het stelsel is derhalve aequivalent geworden aan een
koppel, waarvan het moment is F sin (p. Een draaiing
van go° of 270° zou dus dit moment zijn grootste positieve
of negatieve waarde geven n.1. ± F; terwijl een draaiing
van 180° het stelsel op nieuw in evenwicht gebracht 1
zou hebben. Een draaiing over een rechten hoek j
had het resulteerend koppel gelijk gemaakt aan de
oorspronkelijke viriaal.

Een stelsel zal alleen dan bij een willekeurige draaiing !
in evenwicht blijven als F=o. j

Daar volgens § 18 de viriaal van een \\\\\\ evenwicht
zijnd stelsel constant is voor alle punten van het vlak,
blijkt het, dat deze voorwaarde onafhankelijk is van den
oorsprong van coördinaten, dat dus het resulteerend
koppel enkel afhangt van de grootte van den hoek van
draaiing, en derhalve alleen dan het stehsel in astatisch
evenwicht is, als ook de viriaal van het oorspronkelijk
\'stelsel gelijk nul is.

De viriaal verandert bij draaiing van 180° van toeken.
Bij draaiing van 90® of 270° wordt dc viriaal gelijk ± G,

29

dat is, gelijk het oorspronkelijk koppel. Bij astatische
stelsels is de viriaal steeds nul.

§ 2 2. Indien het stelsel niet in evenwicht is, kan men
vragen of het mogelijk is het door bijvoeging van een
kracht in astatisch evenwicht te brengen en zoo ja,
waar die kracht dan zal moeten aangrijpen

Noemen wij de composanten dier kracht A"", en en haar
aangrijpingspunt a", , j)\',, dan moet dus voor willekeurige qp

A -f- A\', = O
B -f = O

A\',-^\', J) sin 9 J = o.

Het evenwicht zal dus bewaard blijven, als
F—x^ A\',-;-, FA x^ -f By^ = o
G-\\-Xt r,-^\', A\', = G — Bx^ Ay, = o.
Maar volgens § i8 zijn dit de vergelijkingen van de
centraal-as en van de hoofdlijn der viriaiil. De gevraagde
kracht is dus hiermede bepaald zoowel in grootte on
»"ichting als ten opzichte van de plaats van het aan-
grijpingspunt (het snijpunt der juist genoemde lijnen).

§ i8 gaven wij aan dit punt den naam middelpunt.
Daar dit punt in eigenschappen overeenkomt met het
middelpunt van evenwijdige krachten, wordt deze naam
gerechtvaardigd. Voor de coördinaten vonden wij .
_ B r?—A F __ A G^- li F
- Irqr/yr\'- yj\' ^ JP
Indien wij een systeem evenwijdige krachten hebben,
die alle een hoek met de A-as maken, zijn
A = cos q:. B = st\'u (p .
G = sift (p. l\'xP—coscp. 2: y P,
F = — cos q>.2: X P—sin q,. y P.
en worden de coördinaten van het astatisch centrum

Xq - -p , j)\'(l ^ p

30

Dit zijn juist de coördinaten van het middelpunt der
evenwijdige krachten.

§ 23. Ware echter het oorspronkelijk stelsel aan een
koppel aequivalent of in evenwicht, dan zijn

A = jB=o

en onverschillig of G al dan niet nul is, toch worden
de coördinaten van het astatisch centrum tv.; terwijl de
grootte der kracht nul wordt. Een stelsel, dat zich tot
een koppel herleidt, is dus niet door toevoeging van
een enkele kracht astatisch te aequilibreeren, wel echter
door twee krachten. Rekenende als boven, hebben wij

y, K = o
(G r, -f r, —y, X, —y, X,) cos 9

 — —y\\ K) \'/\' = O-

Uit de eerste twee

= —r, en dus —

Gesubstitueerd in de derde

G {X, -X,) V, —{y\\ —y,) X, = o
F — {x, —x,)X,—{y, —y,) F, =0.

Wij hebben dus ter bepaling van zes onbekenden
slechts twee vergelijkingen. Daaruit zien wij, dat een
dergelijk krachtenstelsel op een oneindig aantal wijzen
met behulp van twee krachten in astatisch evenwicht te
brengen is. Tevens moeten die twee krachten een koppel
vormen, waarvan zoowel het moment als de viriaal gelijk
en tegengesteld moeten zijn aan het moment en de viriaal
van het gegeven krachtenstelsel. Is het oorspronkelijk
stelsel alzoo in evenwicht, dan moet de -arm A, A, van
het koppel met de richting der beide krachten samenvallen.

§ 24. Möuius heeft aangetoond, dat, wanneer men bij een
vlak krachtenstelsel alle krachten naar een willekeurige
richting ontbonden heeft on men dan van het daardoor

31

ontstane stelsel parallel-krachten het centrum zoekt, de
meetkundige plaats van dat centrum een voor ieder
stelsel bepaalde lijn is, onafhankelijk van de richting
volgens welke men de krachten ontbonden heeft. Hij
geeft aan die lijn den naam centraal-lijn. Om de
vergelijking dezer lijn te vinden, kunnen wij de krachten
naar twee willekeurige richtingen ontbinden, van ieder
dezer stelsels het centrum zoeken en vervolgens de lijn
bepalen, die door die centra gaat. Wij kiezen voor de
eenvoudigheid de coördinaten-assen als richtingen.

Dan is het centrum der A\'-composanten («,,

«, P. - -j-

t)at der }^-composantcn («j,

^ZxV ^ V

a,--» Pi — li

De vergelijking der centraallijn, die door deze beide
punten gaat, is

■ I I I
a,

^

of

A

ZxX ZxV
y ZyX Zyy
Kiest men deze lijn zelve als richting, langs welke
\'iien (Ie gegeven krachten ontbindt, zoo vindt men op
deze lijn een punt als centrum dier ontbondenen.
l^it punt is het ccntraal-punt.

Kiezen wij dus dc centraal-lijn als A-as cn het centraal-
punt als oorsprong, dan moeten

= = «, = o

of wel

.r A\' = O, Zy A\' = O, Zy }\' = o.

B

32

Dus dan worden

G^E xY Qxi F=o.
In dit coördinaten-systeem is nu de verg-elijking van
de centraal-as

Bx — Ay — 2: X V=o
en de vergelijking van de hoofdlijn der viriaal
Ax By = o.
Op de centraallijn liggen, gelijk wij gezien hebben,
twee merkwaardige punten, het centraalpunt en een
tweede punt, dat wij verkrijgen, door de ontbondenen
van alle krachten te vormen volgens een richting lood-
recht op den centraal-lijn, en van die ontbondenen het
middelpunt te bepalen. In het centraalpunt snijden
elkaar volgens het bovenstaande dc centraallijn en de
centraal-as; in het tweede punt, de centraallijn en de
hoofdlijn der virialen. Deze twee punten vormen alzoo
met het astatisch centrum een rechthoekigen driehoek,
die aan het laatstgenoemde punt zijn rechten hoek heeft.

§ 25. Indien in de vergelijking van dc centraallijn de
onderdeterminanten:

A B v^-A\' ExY

— O

zijn wordt de centraallijn onbepaald, maar dan zijn
«1 = «1 en (3, = jïj en vallen deze punten met het
astatisch centrum samen. Is het stelsel tot een koppel
reduceerbaar, dan zijn A — B — o en de drie lijnen
komen alle op oneindigen afstand.

Is het stelsel in astatisch evenwicht, dan worden al
deze lijnen onbepaald.

Krachtcnstclscls in dc ruimte.

, § 2b. Wij voeren de volgende notatieön in:

l - V y=zi 2: Z=C

33

^ jt a" = <7,, ^X Y= a^^ X Z — a^^

-i\' y X = a^, a,, 2,\'y Z =

— («11 4- «33)
Cl = -H il/"^ N-\' =

§ 27. Bij een stelsel evenwijdige krachten, wier rich-
tingscosinussen a, (*}, / mogen zijn, hebben wij

j^\'zP, il/=« 2zP—y IxP, 2:xP—a 2yP,

F = — (« V A- P .r / - 2
Substitueeren wij deze waarden in de gevondene voor
het snijpunt der centraal-as met het hoofdvlak der viriaal
(zie § ig) dan worden deze

R X = A\' P, R y = y P> P = = ^ s P-
Maar dat zijn juist de coördinaten van het astatisch

centrum dor krachten.

§ 28. In het algemeen heeft een krachtenstelsel geen
astatisch centrum.

Projecteert men alle krachten op onderling evenwijdige
lijnen, wier richtingen door «, [i, y bepaald worden,
^an kan men van die projecties, die een stelsel even-
wijdige krachten vormen, het centrum bepalen. Zijn de
coördinaten daarvan weder .v, dan is de projectie
van een kracht P op de gegeven richting
" a\' 4- j\' /

en men vindt

A\' = „ y] 4- /y ~\\-y C,
Rx = « 4- ^\'lï / \'

Ry =: (t ffj, 4- ji a^T, 4- Y "ï3 \'
RZ — M^/,, 4-(^«32 y^\'ii-
Elimineert men hieruit dan verkrijgt men als

meetkunstige plaats der centra het vlak

34

Dat vlak is door Möbius centraal-vlak genoemd.
Voor het geval, dat men tot projectie-richting de rich-
ting der resultante van het stelsel kiest, worden

en men vindt dan een punt in het centraalvlak:

--"J^ >J0— /,>!

Dit punt is het centraalpunt van het stelsel.

Ontbindt men de krachten naar drie loodrecht op
elkander staande richtingen, waarvoor men de coördi-
natenassen neemt, en zoekt de centra dier stelsels, dan
vindt men eveneens het centraalvlak. Die centra zijn

Hierdoor een vlak brengend komt men op het centraal-
vlak terug.

Kiest men dit als A\'K-vlak, dan zijn

o , a^, r:.. o ,

Dan bepalen de X- cn }-composanten in het vlak de
centraallijn, en, zoo men die dan als A\'-as kiest, moeten

: o,

Neemt men nu het centrum der aan de centraallijn

35

evenwijdige composanten. zoo vindt men het centraal-
punt der centraallijn.

Kiest men dit als oorsprong, dan is

en

M——fl,,, N—a,

Het hoofdvlak der viriaal gaat dus door den oorsprong.
De snijlijn van dit vlak met het centraalvlak heeft dan
tot vergelijkingen

A X -f- By = o, z — o.

Als de minores ten opzichte van de eerste kolom van
den determinant nul zijn, is het centraalvlak onbepaald
en men heeft een stelsel vlakken, die echter allen de
centraallijn bevatten, In dat geval zijn de vergelijkingen
dier lijn

I A B

x a„ <7,2

Z f7n,

-------j............ o--------

paald wordt, dan hebben wij niets dan een centraalpunt,
lot dit einde moeten

S 29. Wij zullen nu de onveranderlijk aan elkander
verbonden aangrijpingspunten dor krachten van een stelsel
laten draaien om een as door ilen oorsprong en zien,
Welke veranderingen dit in het stolsel geeft.

^-ij dan door draaiing om de as /Miet punt il/in M\'
gekomen en zij

.V H J x y ity
% V

36

C = 2 V, ^ 2.

De richtingscosinussen van
O P zijn l, ft, r.

De lijn M\' in staat loodrecht
op O P en O m.
Dus

l d X n ^ y r z/ 2 = O
^Jx IJ Jy ^Jz—o

{.\'ixy {jyY -f lüli\':

Hieruit

J X _ ^y__ _ ^z

it C — VI] v ^ — C jy — }t I
2 7nM

^ _ , („ I (p._„ lY

2 VlM

■ 4- .u"^ V\'\') (P c^) - (;. t ,,4- „ I^y

2 P m tg
__2 _ <£

~~ O m sin {P O vi) — ^ 2 •

Hieruit

= 2 fg\'l I (2 \\ s)- O\' V, y)

^2 = 2/^1 jO\' 4- V, ^h\') - V, X)

37

waaruit weder

cig ^ /J X » d y — fiJz=2{fiz — f}),

~ fJx-\\- c/g\'^ Ay -Ir l A Z = 2 (i\'X — Iz),

H^x — l Ay Az = 2 {ly — /i x).

Oplossend

2

fi— ). dg I

= 2 1 j , __ ij ^ j",, ^ ^fg _ ^ ^ „ J ^

Door deze draaiingen zijn de veranderingen van L, M,
^ en F

J L = ZZAy — ZVAz,
/! Af — V XAz — Z ZAx,
A N = V VAx — Z X Ay,
A F =— V XAx — 2\' VAy — Z Z A z.

Na substitutie

L,

^ " I - ^ /i^) (m^ - [>\' ^^^ 7

sfn^t _ jij- ^ ^ ^^^^ _ ; a) ^ ^^^ „ A
- a,, _ /. c/g J -f {a,,

Voeren we nu in

«II «12 «13 ^ = «,
«21 «22 «23 \'\' =
«31 «32 «33 "

Z;. -f Nv=Ö.

Dan hebben wij
J L= 2 sm\'\'\'^ \\ fi y — v ^ -{-}. F ctg \'i - (ï

2x2 2

JM= 2 sin^\'^ j (3 c/^ I 4 ^ « (/\'c/^ — (ï
z/ iV= 2stu^\'^^ j / ctg ff • -.u « (Fctg ^ —

X« -1- üctgl

" Hiermede zijn bij een gegeven draaiing om een gegeven
as de veranderingen bepaald

§ 30. Men kan ook omgekeerd als L, // M, // N
gegeven zijn, krachten )., u, r, tp to bepalen. Daartoe
elimineert men uit de drie eersten (i cn y, dan komt er

k i l] ^ ^^ (^-Z\' ^\'\'i\'l) " - /« ctg 1] J A^}.

Stelt men nu
3 J V2 7 Q\' L -f .« d J/
dan worden de drie eerste vergelijkingen

39

% Lcfg\'^-Y V ^ M— /i d N

Telt men deze op na ze respectievelijk met X, ii, v
vermenigvuldigd te hebben, zoo geeft dit

»  / r~s— % {IJ L f /t J M V ctg ^ = o.

Hieruit komt

.........(t3)

Indien men do waarden voor «, (ï terug sub-

stitueert , vindt men ter bepaling der onbekenden
T\' ft, i>, waarbij de betrekking 4" fi^ 4" = \'
bestaat, de vier vergelijkingen

- N) 14- — s) f, -f {a,, -!- % ^ •• — Vu ^fctgl-^ O,
Krf Kn-^)\'\'- O,

\\ JL)). 4- (J/i- % J/)/, 4-(yV4- Va

Hieruit moeten eerst )., ft, r en geëlimineerd worden,
^an s bepaald en daaruit door lineaire vergelijkingen de
overige onbekenden.
De

vergelijking voor s is

- V, N a,, - s a,,  J/ , ^ ^

J\'-j-s

Hieruit vindt men vier waarden voor s.

40

De verandering der viriaal is dan gemakkelijk uit
A F = — 2 (i^-f j) te berekenen.

§ 31. Wanneer wij nu het bijzondere geval nagaan,
dat het stelsel in evenwicht is, en wij dan een draaiing
zoeken, waarbij dit evenwicht behouden is gebleven,
moet in onze vergelijkingen

L = o-, M = 0, N=o\\ d L = O-, J M = o-, J N= o;
en dus

«21= «12\' «32 =«23»

gesteld worden, stellen wij verder

= D

•^33

dan worden de vergelijkingen

(«ii — -y) «12 «31 v — ^
«12 («22 —  «23 " = O

«31 «23 («33 — " = O
{F-Y s)D=o

Stellen wij als eerste geval D niet = o, dan moet
— F — s zijn. Gesubstitueerd in de drie vergelijkingen

maakt ze onmogelijk, tenzij men ze eerst met /g j vermenig-
vuldigt, want dan kunnen ze door «j = o voldaan worden.
Doch dit is de oorspronkelijke stand.
Het tweede geval is D = 0.
Men kan het coördinatenstelsel zoo leggen, dat

«13 = «23 = «31 = O

wordt. Dan is

Verder hebben wij dan
(fl,,—5);. = o, {a,,~s)fi = o, {a,,—s)y = o,

41

De wortel = o,, geeft = i, /t = o, v = o, q = n,
de wortel j = a,.^ geeft = o, ft = i, t- = o, q, = n,
de wortel s = a^, geeft P. = o, /t = o, r = i, q = tt.
De evenwichtsstanden worden alsdan door draaiing om
een der coördinaten-assen over een hoek van i8o° uit
elkander afgeleid. De bij iedere stand behoorende viriaal,
zoo die bij den oorspronkelijken stand

= — («.1

is, wordt

== — (H- «II —«lï—

= —(—«ii 4-«2i—«.„).

- — (—«,, -«22 «V,)-

§ 32. Heeft de vergelijking

{F^s)D = O
twee gelijke wortels s = — F dan kan men jr — — Fm D
substitueeren. Doen wij dit tevens in de andere verge-
lijkingen, zoo verkrijgen wij

(«M   «li «31 \'\' = 0>

«12 («22  «23 " = O. • • • • (\'4)

en

I^e onderlinge onafhankelijkheid der drie vergelijkingen
voor I\' is zoodoende voor alle waarden van 7 ge-

waarborgd; dozo grootheid is bovendien uit de rekening
gevallen. Bij iedere willekeurige draaiing om de zoo be-
paalde as blijft dus het evenwicht bewaard. Het stelsel
\'s ten opzichte van dien as astatisch,
^ulk een as noemt Mömus een evenwichts-as.
Een stelsel bezit dus een evenwichts-as of nict, naar-
"late A al of niet = o is.

42

De waarde s = — geeft verder in (13)

J F= O

Indien dus een stelsel draait om een evenwichts-as,
blijft de viriaal constant. En omgekeerd, indien bij
draaiing volgens willekeurigen hoek om zekere as de
viriaal van een in evenwicht verkeerend stelsel constant
blijft, is die as een evenwichts-as. Wil men echter weten
of een gegeven as evenwichts-as kan zijn, dan moeten
l, it, V aan elke der drie vergelijkingen (14) voldoen.

Dan is van zelf A — o. Vraagt men of de Z-as bijv.
evenwichts-as kan zijn, dan hebben wij

). — O , u ~ O, ;•■=!,

en moet derhalve

~ o, a^^ — o, a^^ F= o,

of wel

ZzX^o, ZyZ—o, .V-f n= o.

§ 33. De grootheden )., u, r zijn evenredig aan de
coördinaten van een willekeurig punt der evenwichts-as.
Vervangen wij ze door x, y, z in (i.}), dan stellen deze
vergelijkingen drie platte vlakken voor, die door den
oorsprong gaan; en dc conditie A .= 0 zegt, dat die drie
vlakken door een zelfde lijn gaan. Deze lijn is dan de
evenwichts-as. Indien echter

(ö,, 4- 70 : <7, j: r/,, = ff, j: {a^^ /<\'): a^^ a^, : : -f /-\')
wordt die evenwichts-as onbepaald. Men komt tot deze
verhoudingen, zoodra men vraagt, wanneer een stelsel
twee assen tegelijk bezit.
Er volgt uit

I

(«3 3

Substitueert men dit in (14), dan herleiden alle drie

43

zich tot de vergehjking

X , y , z

"in "31 "12
ledere lijn in dit vlak is dan evenwichts-as.
Zal een stelsel ten opzichte van drie assen in astatisch
evenwicht zijn, dan moet voldaan worden aan de volgende
twaalf voorwaarden:

In dat geval is het stelsel in evenwicht ten opzichte
van iedere willekeurige as door den oorsprong. Het is
m. a. w. volkomen astatisch.

§ 34. Is A niet = o, dan heeft het stelsel geen
evenwichts-as door den oorsprong.

Möiuus heeft echter aangetoond, dat een in evenwicht
zijnd stelsel door toevoeging van twee gelijke en tegen-
gestelde krachten steeds astatisch ten opzichte van oen
willekeurig gegeven as kan gemaakt worden. Laten de
composanten dier krachten en hun rcsp. aangrijpings-
punten gegeven zijn door

A, , J, , A^, } j, Zj

en

.V,, , c, .r,, , s,

Zoo hebben wij dus eerst

A| = — Aj, ^ I ~ — ^ i • ~ »

en worden dc nieuwe waarden van enz die wij

met accenten zullen aangeven

"" KSj-CJA;  (=1 —

Het nieuwe stelsel moet in evenwicht zijn, dus
1 = I • 3 = 1 • \'^\'is = \'^\'s 1

44

Maar daar het oorspronkelijk stelsel in evenwicht is,
zijn

«12 =«2I • «13 = «31 \'

Uit deze volgt

■^2—^1 _ j>\'2 —_ ^2 — "i

P-:

\'2 "2 ""2
De krachten moeten derhalve gericht zijn langs de

lijn, die hun aangrijpingspunten verbindt.

Voor de viriaal van het nieuwe stelsel vinden wij

F\' = F~{x,-X,) -y,) Z,

of wel

F\' = F-P,r = F F,.......(15)

Noemen wij de cosinussen der hoeken, die r en P,
met de assen maken «, ^, y, dan zijn

X,—X,=ra, y,—y,=r{i, z,—z,=ry.

Alles in aanmerking genomen, worden onze verge-
lijkingen (14)

[«. 2-^2« [«22 ^^-^2(1^2-0].« [«23-^2/^/]"= O,

[«3.-^2« [«23 -^2 /]." [«33 -t- F—F,{y,- !)];.= O.
Of wel

(«II I^) \'- l «12 «31 \'\' = I .). up ii -j- « I-),

«12^- («22 n «23 A • / \'•) ,

«31 «23 («33 n = (« yl-i-atifi y^—i . r) .

De

aangnjpmgspunten zijn uit de berekening wegge-
vallen, terwijl voor de grootte der krachten\'en den
afstand hunner aangrijpingspunten alleen F.^ in de verge-
lijkingen voorkomt. Als men dus een koppelarm ge-
vonden heeft, voldoen alle daaraan evenwijdige lijnen,
mits de viriaal slechts een bepaalde waarde hebbe.

45

Stellen wij verder

« X -f ,u ■/ v~k

(«11 P) «12 «31 \'\' = « I

«12 -f («22 F) II = b J.......(l6)

«31 «23 4- («s:, /O = J, *

Dan zijn

a /] = F.i{i< A — l),
b J — X — /(),

c j = f.i{-/ a - i\').

Vermenigvuldigen resp. met l, u, r en optellen geeft
(ff X 4- .u -1- <r r) j — f., (x^ — I).

ld.

met (t, (i, }\'

a u b (i -j- c y •= O,
tenzij J = o; in dat geval echter was de lijn /../i,»-
reeds vooruit evenwichts-as, wat niet verondersteld is.
Met a, b, c en optellen

J = — F.^ (ff ). -f b}i-\\-c /\')

of Wel

= ........

verder nog

, X» = («?. /;/• -\\-ciy

daaruit «,

Vragen wij bijv. hoe groot de viriaal moet zijn, en
hoe de krachten gericht moeten wezen, opdat de Z-as
<ivcnwichts-as worde. Dan moet

X = O, /< — O, 1 = 1.

Dit geeft

ffj, = ff /ƒ, ffj, = A //, (ff,, F) = r
\'.al,  /\'T:.

_ ^ _ \'U. 

46

§ 35- Een stelsel dat niet in evenwicht is kan steeds
door toevoeging- van twee krachten in evenwicht gebracht
worden, zoodanig dat dat evenwicht ten opzichte van
een gegeven as astatisch is.

Laten P, en de beide krachten zijn aangrijpende
in de punten x,, y, , z, en x.,, y.^, z., en stellen wij
= f a;, r--^(ï.,, i-j, a", fj)\'.,a;, ^-t-c,a;-j-s^Ai\'

3 = «23 <13 ^ «in 2, Z, S,

F\'= F-]-F,, F,^-X, A\\ -y, -z, Z, A.-j)-, Z.\'

dan moet voldaan worden aan de vergelijkingen
A i A", H- A\'. — O, n\'i., — a.,,,

li J\', -I- F, = o, a\'rx —

C-l- Z, I- Z. =o, a\'.,,

n " = O-

Het blijkt, dat wij slechts negen vergelijkingen ter be-
paling van twaalf grootheden hebben. Het vraagstuk heeft
duji een oneindig aantal oplossingen. Voeren wij nog in
x.^ — X, ■-■= r u , z^ -z,=ry.

dan kunnen x^, y^, z.^ geëlimineerd worden.

Indien wij nu de lijn r evenwjjdig aan de gestelde
evenwichts-as willen maken dan noemt Moinus zulk een
as hoofdas van het stelsel. Zoo wij deze beperking
invoeren, geeft dit

u — /., (>\' — (1, y = /\'.

Deze waarden substitueerend en x^ , z^, A\', J\',, Z, ,
y elimineerend, verkrijgen wij
(«M   O^\' —C)r O.

(flj, —y, j- F i c, Cf-A\', A)a Qz-^o,

(flj,-~z,A) ?. -{- (a,, — 2, B) u -I- /-\' A-, A -\\-y, B)v^o,

47

terwijl uit de vergelijkingen =«2/ enz. volgt:
(«23 — «ia —y\\ 2, B)  A -j- x, C) u

(«12 — «21 -1-A) r = O.

Voert men verder in
-I — = 5 . \'\' — 2| = .Tl . . (18)

zoo is

I H- V \'h \'\' C — O

en wij verkrijgen

Bi:—Ct; I-- (ff,, -j- F) -j- »i 1 fi f — O,

CI — yi c ffj, /. ! (ffjj -1- .« -i- ff, J = o,
A .i-B^ 1- ff,, l 4 ff,, I- (ff„ -i- /\') r -.0,
A^ B C : L }. -I- M ,i I- JV /-.
Uit deze door eenvoudige omwerking

«21 \'\' («22 4- \'\' «23 \'-\'\'—«31 ." — «3 2.""—(«33 i\'^O." \'\'
-I {Ak -r Bfi Cr)^ = O,

«3, f «.lï /\'V- \'•-(«,, ," ~«13

-t- (A /. B 11 -f C r) tj —O,

(ff,, I-/\'\')/.;• l-\'^ii." H \'^in." \'\'—«21 —(«Ï2-|"/\'V-."—
!■ {Al Bu -f- C,U=-o.
En verder door eliminatie van »/, C uit deze en de
vier vergelijkingen (19)

{B ff,, — C ff„ -f A L) -1- iC r/,, - A ff,, -1- BJ/)fi^

(^lff„-/yff,, I C/V)/.M-(C«n.-^«2i ^\'^(«22—«33)).""

-f(y]ff,, - Ca,,

•f(//ff.,,—yiff,, c>,, -ffj,));..« — O.......(20)

en uit dc drie eerste van (19)
(W(ff,, l-ZO yy./,, I C\'ff,,);.

(ylff,, ^ /iff,, f C(ff„ f /•\')) O......(21)

Vervangen wij door x,y, z dan .stelt de verge-

lijking (20) een kegelvlak voor en (21) een plat vlak.

De top van den kegel ligt in den oorsprong, het
platte vlak gaat door den oorsprong. Er bestaan dus

48

2 hoofdassen, i hoofdas of geen hoofdassen naar mate
deze vlakken elkander snijden, raken of buiten den
oorsprong geen punt gemeen hebben. De grootheid r
is uit de berekening gevallen en kan dus willekeurig
gekozen worden.

§ 36. Ter nadere beschouwing der vergelijkingen
kiezen wij het centraal-vlak als XK-vlak, de centraal-lijn
tot JT-as en het centraalpunt der centraal-lijn tot oorsprong.
Dan zijn (§ 28)

L = a,^, M - — 3, iV = ff, j, F — o,
en de vergelijkingen (20) en (21) worden

4- Aa,, l» {B —«13) = O

Aa,.^ u -f (\'^■^«is -{-^«23) I\' = O.

Het platte vlak blijkt door de X-as te gaan. De beide
hoofdassen en de centraallijn zijn dus evenwijdig aan
eenzelfde vlak.

Stellen we 2, = o dan is uit (18)

^ - j^\'i V =

maar bij dit coördinaten-stelsel is ook

A,i~ B^ = O,

dus

A A-, 4- By, = o.

De doorgangen der hoofdassen door het centraal-vlak
liggen in de snijlijn van dat vlak met het hoofdvlak
der viriaal.

Men kan ook vragen hoe het coördinaten-stelsel gelegd
moet worden, opdat de Z-as een der hoofdassen worde.
Daartoe moet aan de vergelijkingen (20) en (21) voldaan
worden door de waarden

1 = 0, n = o, r = I, x, j)\', = o.

49

Dus moeten

of anders geschreven

= 2>Z = o, = y(xV—yX) = o,

Leggen wij deze ■ vergehjkingen naast die van § 22,
dan zien wij, dat, wanneer wij een krachtenstelsel projec-
teeren op een vlak, dat loodrecht staat op een der
hoofdassen van het stelsel, deze hoofdas juist door het
astatisch centrum van het geprojecteerde stelsel gaat.

De hoofdassen hebben dus voor een stelsel in de
ruimte dezelfde beteekenis als het astatisch centrum voor
een vlak krachtenstelsel.

§ 37. Is het krachtenstelsel herleidbaar tot een enkele
resultante, zoo is

AL-h BA/-{- CN=o.
Kiezen wij dan het hoofdvlak der viriaal tot A\'i^\'-vlak
en de centraal-as tot Z-as, dan hebben wij
A==o, B = o, C = R, L=:o, J/r- o, /\'\'=o,
en dus ook

o.

Dientengevolge zijn

= \'h 1. 1 = «I a. <h I = a

en de vergelijkingen (20) en (21) worden

1 — /< >• —  1 — "22) =

-1- "22 h ■ = O-
Door eleminatie van v verkrijgen wij de vergelijking

en daaruit ter bepaling van /i/P. (dc tangens van den hoek,
dien de projectieën der hoofdassen mot dc A\'-as maken)

Deze vergelijking heeft steeds twee rcëele wortels.
De projectieën dor hoofdassen op hot iioofdvlak der

50

viriaal staan loodrecht op elkander. Verder blijkt uit
de vierde vergelijking- van (19)

C-o,

en derhalve

jV, X — X, li = O,
De beide hoofdassen ontmoeten dus de centraal-as. \'
Men kan daarom hunne projectieën als coördinaten-assen
nemen. In dat geval worden de vergelijkingen der
hoofdassen zelve

«31 ^ «33 2 = — «33). :v = o,

en

«23 ^ («22 «33 —«\'23)\'

In dit stelsel is de vergelijking van het centraal-vlak

(«12«23- -«22«3l)-^ («31 «12"«11 «23)J^\' "1" («1 1 «2 2" «2) = =

x = o,

«22 «33 —«11 «\'23

Het blijkt dat de doorgangspunten der hoofdassen aan
deze vergelijking voldoen.

§ 38. Reduceert het stelsel zich tot een koppel, dan
hebben we in onze vergelijkingen te stellen
A ■= o, B — o, C =■ o
Dit geeft in (19)

(«11 ^- «12 «13 =

«21 («22 F) «23 \'\' = O,

«31 ^- «32/* («33 n \'\' = 0.

LI \\ M fi .{. N o.
Er moet dus voldaan worden aan de beide voorwaarden

:«i.
-=oen r/j,
L

Ji

51

Indien wij het vlak van het resulteerend koppel tot
Xy-vlak kiezen, zijn

L — O, M ^ O,

en dus

«2.1 ~«32> «1.1 ~ «31»

waaruit volgt

V — o.

Zoo er assen bestaan loopen zij dus evenwijdig aan
het vlak van het resulteerend koppel.

Ter bepaling dient ieder der drie vergelijkingen

(«1, /O «I2 = O,

«12 ^ («22 -I- F) = O.

ff,, A ffj, li = o.
De voorwaarde voor het bestaan der hoofdassen is nu

«II f ff,, : ff,, = ff,, : fl„ /•\': ff„.

Deze vergelijkingen geven maar óén oplossing en daar
I, ;/, C uit dc berekening weggevallen zijn, kunnen dus
alle lijnen evenwijdig aan die richting tot hoofdas ge-
nomen worden.

§ 39. Zijn alle krachten evenwijdig aan een zelfde
vlak, zoo kiezen wij dat tot A }\'-v]ak, dan is steed.s
Z — O en dus

ff,, — O, ff,, =0, ff,, = o, C — O,

L = - ff,,, .1/ ■= ff,, , yV = ff,, — ff,,.
Met centraalvlak wordt dientengevolge onbepaald en
de vergelijkingen der centraal-lijn (§ 28) worden

o

Kiezen wij de projectie dezer lijn op het A\')\'-vlak tot
-V-as, dan zijn verder

52

en worden de vergelijkingen (20) en (21)

{Ba,, —Aa,,) (l\'-j-fc\')-j-(A a,, — B a,,) ). = o,
(Aa,, -t-BF)f. = o;

waaruit

, B a^, — A a^^

u — O met 1 = 0 of — = „ •"-,

l B a,, — A a,^

De eerste oplossing geeft de hoofdas

B a,^ Aa,, — Ba„

A^ B^ \' ^ B\' •

Dit is een lijn loodrecht op het vlak der krachten.
De andere as is

Dit is de centraal-lijn zelve.

De vergelijking van het hoofdvlak der viriaal wordt

Ax-\\- By=z a,,.
De eerste hoofdas ligt dus geheel in dit vlak.
Waren toevallig nog a,, = o en «32 =0, dan wordt de
tweede hoofdas (centraallijn)

jy = o, 2 r= O.

Dit is het geval bij een vlak krachtenstelsel.
§ 40, Voor het geval de krachten slechts een centraal-
punt bezitten, valt het centraalpunt van het stelsel met
het centraalpunt der centraallijn samen en zijn

«11 : «12 : «13 = «21 : «22 : «23 = «31 \'• «3a • «33 —A\\B\\C
of als men de coördinaten van het middelpunt (astatisch
centrum) van het systeem , , 2,, noemt

«II —x^A, <72, —y\\ A, <73, A,

«12 = «22 «32 =

<7,3 = C, <723 — J)\'o C. 033 = =0

Dan kiezen wij dat punt als oorsprong, waardoor
\'L — O, M — O, N — O y F •= O
worden. In de vroegere vergelijkingen dit invoerende,
worden P., , r onbepaald en | = »; ■= f = o.

53

Alle lijnen door het middelpunt kunnen hoofdas zijn.
De centraal-as en het hoofdvlak der viriaal gaan door
het astatisch centrum. Men kan, door in dat punt één
bepaalde kracht aan te brengen, het stelsel astatisch
aequilibreeren.

B. Standvastigheid van evenwicht.
w. De cvcnwic/i/s/unctie.

§ 41. Wanneer een zich in evenwicht bevindend stelsel
krachten uit den evenwichtsstand gedraaid wordt, hebben
wij gezien, dat in het algemeen het stelsel acquivalent
wordt aan een koppel. De krachten zullen trachten
alsdan het evenwicht te herstellen en in dat geval wordt
het evenwicht standvastig genoemd of zij zullen
trachten het stelsel nog verder van den evenwichtsstand
te verwijderen, in welk geval het evenwicht wankel-
baar genoemd wordt.

Beschouwen wij eerst een koppel, zijnde een stelsel
van twee gelijke en tegengestelde krachten I\\ en P^
resp. aangrijpende in de punten yi, en A^. Dit koppel
heeft twee evenwichtsstanden. Bij beide valt de ann
van het koppel samen met do richtingslijn der krachten.
In de eeno stand trachten de krachten de aangrijpings-
punten van elkander te verwijderen; in de tweede daaren-
tegen trachten zij de aangrijpingspunten elkander te doen
naderen. In het eerste geval is volgons boven het even-
wicht standvastig; in het tweede wankelbaar.

Gaan wij nu na, wat er is van de viriaal van het
koppel in die twee gevallen.

De waarde dezer grootheid is

54

In het eerste geval valt de richting van P^ samen
met die van de lijn en is dus F negatief. In het

tweede geval is de richting van P^ tegengesteld aan
die van en is F positief. Dus is het evenwicht

standvastig of wankelbaar naarmate F negatief of positief
is. Is F — O dan is volgens vroeger het evenwicht
astatisch.

§ 42. In § 21 hebben wij gezien, dat, als een in
evenwicht verkeerend willekeurig vlak stelsel een hoek (j
uit den evenwichtsstand gedraaid wordt, het aequivalent
wordt aan een koppel zoodat

= F sin ff),

terwijl de viriaal

F\' — Fcos

geworden is. Leggen wij nu naast dit stelsel een koppel
en construeeren wij krachten en koppelarm daarvan zoo-
danig, dat zijn moment en zijn viriaal resp. gelijk G en
F zijn, dan zullen het stelsel en het koppel beide in
iederen stand aan elkander aequivalent zijn; dus ook in
de evenwichtsstanden. In dat geval echter moet volgens
boven bij standvastig evenwicht F negatief en G\' = o
zijn, en bij wankelbaar evenwicht F positief en G\' = o.
Is nu voor de gegeven evenwichtsstand F negatief, dan
moet dus bij standvastig evenwicht\' if = o, bij wankel-
baar qj = TT zijn. Dus als F negatief is, is de aanvangs-
toestand die van standvastigheid. Is F positief, dan moet
voor standvastig ev«nwicht <f- = n, voor wankelbaar
•I — o zijn, terwijl dan de aanvangstoestand die van
wankelbaar evenwicht is. In verband met § 21 zien wij
dus, dat het evenwicht van een willekeurig vlak stelsel
standvastig, astatisch of wankelbaar is, naar gelang de
viriaal negatief, nul of positief is.

§ 43. Volgens § 34 kan een stelsel in de ruimte, dat

55

in evenwicht is, steeds ten opzichte van een wille-
keurige as astatisch gemaakt worden door toevoeging
van een koppel waarvan de viriaal is. Keeren wij
de krachten van dat koppel om, dan wordt zijn viriaal — F.^.
Dit koppel is dus bij draaiing steeds aequivalent aan het
stelsel en dit laatste in standvastig of wankelbaar even-
wicht naarmate F positief of negatief is. Volgens (15) is
F\' — F F^. Hierin is F de viriaal van het stelsel
vermeerderd met de bijgevoegde krachten zoodanig, dat
bij draaiing om A, ;■, die as een evenwichts-as wordt.
Daaruit volgt dat F\' constant is, maar daarom behoeft
F nog niet het tegengestelde teeken van F, te bezitten;
dit zou slechts het geval zijn, als F nul was De viriaal
van het gegeven krachtenstelsel geeft dus door haar
teeken geen kenmerk voor de standvastigheid van het
evenwicht. Er bestaat echter een andere functie, die
Möhius gevonden heeft, welke zulks wel doet.

Uit vergelijking (17)

volgt

/, - ,

waarin dan

5 - {al I bfi-\\-cv)J
of in verband met (16)

^ = {a,, F) V 4 ) 4 n r\'
2 n r -f 2 l r -1 2 ff, j /i.

Nu blijkt ons hieruit dat een stelsel in standvastig of
wankelbaar evenwicht verkeert al naardat S negatief of
positief is.

Tu.sschen beide toestanden ligt het geval, dat S — o is.
Schrijven wij dan voor l, v de daarmede evenredige

56

grootheden x, y, z, dan wordt dit uitgedrukt door de
vergelijking

(«.F) x-^ {a,, F) y-^ {a,, F)

Maar dit is de vergelijking van een kegelvlak, dat de
assen van standvastig en die van wankelbaar evenwicht
van elkander scheidt.

Voor assen op dit kegelvlak gelegen, is, zoo J = o is,
F, niet bepaald maar toch constant, doch voeren we de
waarde J = o in (16) in, zoo zien wij dat dan de lijn
"k, H, V een evenwichtsas is en dus het stelsel om die
as astatisch is.

Is J >< o, dan is op het kegelvlak F, = «>.

In dat geval is = i en dus is de arm van het
koppel gericht langs de draaiingsas. Dit evenwicht waar
bij draaiing een koppel ontstaat, dat op de draaiing
zelve geen invloed heeft, doch de draaiingsas tracht te ver-
plaatsen, heeft MÖUIUS het neutrale evenwicht genoemd.

Laat men bij voorbeeld het stelsel om de Z-as draaien,
dan zijn P. = = o en r = i en vinden wij

en Ket evenwicht is standvastig, zoo ^negatiefis. Nu is

S=-2:{xX.^yY)
en wij zien dus dat de standvastigheid samen hangt met
het teeken der viriaal van de projectie van het krachten-
stelsel op een vlak loodrecht op de draaiingsas.

§ 44. Men kan de coördinaten-assen zoo kiezen, dat
zij samenvallen met de assen van het kegelvlak 6"= o.
Dan verdwijnen na transformatie uit die vergelijking de
termen die produkten van twee der grootheden , , s
bevatten, en de vergelijking van het kegelvlak wordt
c, AT^ Cj^-\'-f 2\'= O,

57

waarin c^, c^, wortels zijn van de vergelijking

= 0 . (22)

(«33 ^)-^

De evenwichtsfunctie wordt in dat geval

= fi-^ c, ,>\\

Zijn nu c^ , c^ en tr, allen negatief, dan is het even-
wicht voor alle assen in de ruimte standvastig. Zijn zij
allen positief, dan is het evenwicht voor alle assen
wankelbaar. In alle andere gevallen is het evenwicht
voor sommige assen standvastig, voor andere wankelbaar,
terwijl beide soorten door het kegelvlak gescheiden
worden.

§ 45. De functie S kan soms in de gedaante van de
som van twee vierkanten geschreven worden; en wel
zoodra bovenstaande vergelijking (22) een wortel nul
heeft. Dit zal het geval zijn, zoodra

"12
«22 F

"31 \'♦23 "3 3

is. Maar dan heeft het stelsel een evenwichtsas, die de
gemeenschappelijke snijlijn is der vlakken

F)x ^riJ^^y -ha^x — O\'

«12   = = O.

«31 «23:>\' («3 3 -I- - O.

Als wij aannemen, dat tr, verdwijnt, hebben wij

Zijn en c^ beide negatief dan is het evenwicht voor
alle assen standvastig. Zijn beide positief dan is voor
alle assen wankelbaar. Is een van beide negatief, zoo
hebben wij

S = — n\' = (m X-\\-n fi) (;// X- n /i).

58

De kegel is dus overgegaan in de beide vlakken
mx «jy = o en mx — ny = o,
die elkander loodrecht snijden en wier snijlijn door den
oorsprong gaat (de Z-as). In twee tegengestelde qua-
dranten is het evenwicht voor alle assen standvastig, in
twee andere voor alle wankelbaar. In welke hangt van
de waarden van m en n af. Voor assen in een der twee
vlakken gelegen is het evenwicht neutraal, alleen voor
de snijlijn (de evenwichtsas) is het evenwicht astatisch.

Reduceert S zich tot een enkel quadraat, dan vallen
de beide vlakken samen en het evenwicht is standvastig
of wankelbaar naarmate de coëfficiënt van dat quadraat
negatief of positief is.

Voor alle assen gelegen in dat vlak, welks verge-
lijking (zie § 33) wordt aangeduid door

X , y . z
— ^ -f — =0,

«2.1 «11 «12
is het evenwicht astatisch.

(i. Maxima cn minima bij het even\'vicht.

§ 46. Niet alleen het teeken der viriaal heeft in de
vragen betreffende het evenwicht een groote beteekenis,
maar ook de waarde zelve der viriaal kan dienen om
den aard van het evenwicht nader te karakteriseeren.
Beschouwen wij daartoe in de eerste plaats weder een
vlak stelsel. In § 21 hebben wij gevonden, dat bij
draaiing over een hoek (y

F\' ~ F cos 1;. G sin f.

Was het stelsel voor de draaiing in evenwicht, dan is
G = O en dus

F\' = Fcosq.

Bij standvastig evenwicht moet dit negatief zijn, bij
wankelbaar positief, maar dan is ook bij het standvastig

59

evenwicht de waarde van F minimum en bij het wankel-
baar evenwicht maximum.

Het maximum en het minimum vallen alzoo samen
met de evenwichtsstanden van het stelsel en bepalen deze.
Was het stelsel niet in evenwicht, dan is
F\' F cos (j) •— G sin. tp
en is volgens de regels der maxima en minima die
waarde van F maximum of minimum, welke behoort bij
de waarde van q, waarvoor

F sin (f. G cos tj — o
is. Doch § 2 1 zegt ons ook, dat

F sin (f -i- G cos f — G\'
Wij zien derhalve, dat gedurende de draaiing het
maximum of minimum in die gevallen voorkomt, waar

G\' O

d. w. z. zoodra de resultante van het stelsel door don
oorsprong gaat, want dan wordt de vergelijking van de
centraal-as

li X — Ay =■ o.
§ 47. In de ruimte wordt een in evenwicht zijnd
stelsel, zoo het uit dien stand gebracht wordt door
draaiing om een as X, /«, over een hoek aequivalent
aan een koppel.

Uit de formule (12) § 29 zien wij, dat de verandering
van de viriaal bij die draaiing is

// F —— 2 sin^ ^ j l « -I- fi (i -1- )•F -1- i) ctg 1

Was het stelsel oorspronkelijk in evenwicht, dan waren
/, = O , J/ = o , iV — O

en

() r= AP. -f J//I i N V _ O,

derhalve

J F-.- 2 sin-"\'\'
2

6o

Nu is

F = F^ dF,

waaruit volgt

en dus zoo F positief is, maximum voor qp = o en mini-
mum voor cp — TT en zoo F negatief is, juist omgekeerd;
maar dus in beide gevallen is F\' maximum bij wankel-
baar en minimum bij standvastig evenwicht.

§ 48. Is het systeem oorspronkelijk niet in evenwicht,
dan is

J F= — 2 sin^\'l^l « -f -I- r -! F

Nu stelt 8 de projectie voor van den as van het resul-
teerend koppel G der krachten in den oorsprong, wan-
neer die as op de draaiingsas )., .u, i> geprojecteerd wordt.

In dat geval wordt
F\' = (F -j- X u u ^ II y) cos IJl — dsinqi — (X M 4-/I ;\')
en dus maximum of minimum voor de waarde van (ji
voldoende aan de vergelijking

ö cos (p -j- (Fu -f II -}- i> y) sin <p = o.

Wanneer wij nu bij de vergelijkingen (12) L,M,N
optellen, vinden wij

L\' = {i—cos (f>) — — (« -I- }. F) sin ip -j- L,

Af = {i — cos ip) (f a — ).y — fi ö) -f- (/? fi F)sin tp -f M,
N\' ={i — cos ij) {). {{ — it « — ^ li) -}-(;,-}-,, F) sin ip -{- M

Vermenigvuldigen wij deze vergelijkingen resp. met
?.,fi, I\' en tellen ze daarna op, dan verkrijgen wij

= — —cos,p) (F-l-Xu ft(i ^ y)sin<p -| if
= (ï cos <p (F « 4 II y ,r) sin ip
en wij zien daaruit, dat F\' maximum of minimum wordt
zoodra d\' = o, dat wil zeggen, voor die waarde van (jp,
waarbij 4e as van het resulteerend koppel loodrecht op
de draaiings-as is komen te staan.

6i

§ 49. Wanneer een krachtenstelsel om een vaste as

draait en wij de draaiingshoek als onafhankelijk variable

beschouwen, zijn

dx dy . d z ,

— = .u 2 — I\'y, = X — l z, -j- = ). y — ux,
(I if a (/\' <7 (j

en, zoo de krachten als onveranderlijk beschouwd worden

dL_

d.y -

of wel met de beteekenis van § 29

dL I 1 TT dM j , dN , „

\'P

d dq- di\\ )

(." «31 — \'\'«ïl \'\'«12--^-«32 ^-«23--."«13)1

dF

d

Hieruit volgt: F is maximum of minimum, zoodra
lï = o, d. w. z. in geval van evenwicht. F is constant,
als voortdurend = o, d. w. z. bij astatisch evenwicht.
L, Men N zijn tegelijk constant, wanneer tegelijk

« -}-;. -i ... /-\'^o, yJ^-vF—O,

of voluit geschreven

(<7,, F) l -I- <7,3 fi -I <7,3 <• = O ,
(ffjj F) II I <733 I\' = 0,

«31 ^ «3 2 («3 3 -1- F) \'\' =

Wegens het verband tusschen P., /< en r kan dit alleen
plaats hebben, wanneer

«11

<7,

•21

«3 3

In evenwichtstoestand zijn <7, j — (ijy. \'^n ~ «31 < «23 —«32
on deze determinant gaat over in de determinant A van
§ 32. Toch is dit slechts schijnbaar dezelfde, want in

62

§ 32 behoefde de voorwaarde slechts voor één bepaalde
ligging- vervuld te zijn. De beteekenis der hier voor-
komende difFerentiaal-quotienten vordert het voortdurend
vervuld zijn dezer voorwaarde. Differentieeren wij nog-
maals, zoo verkrijgen wij na eenvoudige herleiding
d\'L

du ^ d F__^ ^

d(\\) d (p

d^M d,i , dF 2 V

a (f ^ ff (f ff (f

d-N dy , d F , . ,

a aip a q>

a Cf) aip

In geval van evenwicht wordt deze laatste uitdrukking:

d \'J ^
dip^

en dus is F maximum of minimum naar gelang S positief
of negatief is.

Indien wij nu nog de derde differentiaal-quotienten
bepalen, vinden wij

/• — ), ^^^ — P. a li —/i \'^u — r \'^u 4" j\' y
d ff if

Hieruit volgt: dat alle volgende differentiaal-quotienten
eenvoudig in de twee eerste kunnen uitgedrukt worden;
dat wanneer tegelijk dLjdq. en d\'^Lfd,)\'^ gelijk nul zijn,
L een constante is, want dan zijn alle verdere differentiaal-
quotienten ook nul. Hierdoor wordt het onderscheid

i

63

tusschen de beide determinanten weer opgeheven; want
zoodra in een bepaalde stand u F. F, y v F

en 3 allen gelijk nul zijn, worden ook de tweede difFe-
rentiaal-quotienten = o dus L, M, N en F constant, en
omdat (ï = O is, tevens L = J/= N= o. Dientengevolge
wordt ook weder S = o, wat alles met het vroeger
behandelde overeenstemt. Tevens blijkt uit onze verge-
lijkingen, dat L,xM,N en F allen voldoen aan de
differentiaal-vergelijking

d^ _ _d lp

d(fi^ d (j)
Hiervan is de algemeene integraal

d w • / . \\ • ■

= c, sin (f -1- c.^) =■ m sin tp -j- n cos (f>

en dus

IJl — — /// cos ij, n sin q 4- cons/.

= — M -j- const.

A \\\\) ■= ni — cos <f)) n sin ip

= 2 sin"^ m n cfg \'i^ .

2 I 2

Uit de algemeene waarde van i/» volgt:

d ip

Zoo verkrijgen wij

J i}i = 2 sin"^

Substitueeren wij hierin voor y; achtereenvolgens
Z, Af, N en F, dan komen wij op de waarden van § 29
in juiste overeenstemming terug.

64

C. behandeling met quaternions.

a. Afleiding der grondvergelykingen.

§ 50. De uitdrukking uq — quq~^ stelt voor de waarde
van den vector « in een stand verkregen door draaiing
van dien vector « om de as van het quaternion q, terwijl
de grootte der draaiing den dubbelen hoek van q bedraagt.

Hebben wij nu een stelsel constante krachten ^ aan-
grijpende in de punten u en laten wij die vectoren a
draaien om den as van q den dubbelen hoek van q, dan
blijft Z (i aan zichzelf gelijk. Maar het quaternion « ^
wordt nu

"1 ^ = q uq-^
Gebruik makende van de eigenschap
q = Sq Vq
en van de betrekking

verkrijgen wij:
= 2- {Tq)-^ {Sq Vq) « {Sq - Vq) §

— {Tq)--\'\'USqY 2;c<[i -{-Sq Vq2:u^ — Sq 2 « Vq [i —1\' Vq « Vq (5j
Stellen wij nu

Sq — 7ü , Vq = t»

en, daar wij voor q een versor mogen nemen,

Tq—\\,

dan hebben wij, daar

{Sqy-{Vqy = {TqY,

de betrekking

En derhalve

V I^J = fü\' 2"« w p 2\' a - 70 u Q ^ — 1\'Q u Q
Nemen wij van beide zijden het .scalar- en het vector-
gedeelte f zoo verkrijgen wij
2: Suf(i = 2\' (zü\'\' .S"« ^ -f 7V Sq u^ —W Su Q ^ — Sn « (i (i)

6.S

en

§ 51. Ter herleiding dezer uitdrukkingen maken wij
gebruik van de volgende formulen:

= S^an = — SQa^ — — SQ Vu^,
Vqk^ — q Sa (} — a Sq (i (5 Sq a,
Va n ^ = a Sn p — q Su ^ ^ Sq a ,
Sq a q p — Sn Va q ^ = 2 Sq a Sq ^ — q^ Sa /? ,
VQan^= VnSaQ^-]- VQVuqIJ,

= QSaQ^-{- VquSQH- VQpSQa.
terwijl wij nog de volgende herleiding toevoegen:
Sa ^ = Sp a,
a Va ^ = a— V^ a — (i aVa p,
Saji — q F« = p « p Va^,

Fp « (3 — Fp F« = Fp « Vq F«
qsa(i — asqii-{-[isqa— Vq Va /5 =

QSu(i — ^ Sq « 4- a Ó\'p (S -1- Vq Va (i,

en daar

Sq Vq F«,^ = o

is, wordt

Fp ^sqa= Vq « ^p e Fp Va
Door invoering van al deze herleidingen verkrijgen wij:
2\'Sagp = Sq 2 vap — 2 1\'Sqa Sq fJp^iSa^

cn

2 VugP = 70^2: Va (t-\\-q Sn 2 Va — 2 7t» 2(« ^\'p — p (J)
— 2 2 Fp a Sq^—q Vq 2 Va /J.
§ 52. Denken wij ons nu een vlak krachtenstelsel
zoodanig, dat alle vectoren loodrecht staan op den vec-
tor X: cn dus dc as van het quaternion q evenwijdig aan
k is, dan hebben wij

UQ — k, Ska —O, Skp — o, U2:Vap — k

5

66

en zoo

Tq = r,

Z S uq = 2 S u ^ 2 w r k-" Z T Va ^ r-" k- S Sa ^
en

= ZVa^ — r"-k\'z TV ^zxDrkzSa^.
Indien wij nu aannemen, dat het stelsel in evenwicht
is en na de draaiing weder in evenwicht zal zijn, hebben
wij in deze formule te stellen:

Vaq (f = Z Va ß = O

en dus

Z Saq ß = Z Sa ß -j- r^ Z S a (i
O = 2 7ü r Z Sa ß.
Wij hebben alzoo drie gevallen:
ic: r—TVq = Q\\

dus geen draaiing, en daar

lo-\'j^r\'^ I,

Z Saqß = Z Saß.
ia — Sq = o;

dat is: hoek = dus een draaiing van 18o° en daar

Z S uq ß = — Z S a ß.
3°: ZSc,ß = v = o-,

de draaiing is onbepaald, doch steeds zijn ZSuß cn
Z Va ß beide gelijk nul en dus

Zaß = 0.

Wanneer wij nu « ß het totale moment der kracht ß
ten opzichte van den oorsprong noemen, hebben wij de
stelling:

„Indien een vlak krachtcnstelsel in astatisch evpnwicht
is ten opzichte van een zeker punt in zijn vlak, dan is
het resulteerend quaternion der totale momenten der
krachten ten opzichte van dat punt voortdurend gelijk nul."

67

§ 53- Is het vlakke stelsel niet in evenwicht, doch
vraagt men het in astatisch evenwicht te brengen door
middel eener kracht (3, aangrijpende in het punt ,
zoo moet voldaan worden aan de voorwaarden:

Va, /3, -f V F«i3 = o,
S a, -{- S a ^ = O,

of wel

R = o,
G = O,
«, -f K = O.

Optelling van do beide laatsten geeft:

«I -H F G = O.

^laar

= - r.

Dus

rt, R = K -j- G

of operecrend met V { ) r" \'

«, = r r-\' 4- Vg r- \'
zijnde het snijpunt van ccntraallijn en hoofdlijn der
virialen (zie verg. 11).

§ 54. Koeren wij terug tot do formulen voor stelsels
in de ruimte aan hot einde van § 51 en voeren wij een
functie 9 0 in, dio wij bepalen door de vergelijking
71 O = 2\' (« ^O (3 — O Sa ji),

dan is

S (> (j< Q — — {S (» « S\\i ß — S u ß)

en

Ff,Q = 2\' Fy « Sp ß.
Dan worden onze vergelijkingen:

k\' = Tt;^ K 2 70 S !> t; — 2 Sn (f< (i — K,

G\' = TÜ^G n S\\) G — 2 70 (f Q — 2 V(> tf> o — « <•.

68

of wel, zoo wij de veranderingen van F en G met /I f
en J G aanduiden:

y^JF=wSQG — Sn(pQ.......... . (23)

/] g = q S q g — Vq qi q — w q) q......(24)

Deze laatste vergelijking, zijnde eene tusschen vec-
toren is aequivalent aan drie scalar-vergelijkingen.

§ 55. Nemen wij nu aan, dat het stelsel in evenwicht
is, en dat dat evenwicht door de draaiing niet verstoord
worde, dan moeten wij g = ^ g — o stellen, waardoor
wij verkrijgen

/I V = - 2<5\'(J(J)p,

o = Vq q () 70 q> n.

Wij hebben weder drie gevallen:
ic geval:

T(, = T Vq = o,
dat is: geen draaiing en z/f = o;
2C geval:

w=zSq — o en Vq(pq = o,
dus een draaiing van 180° om een as bepaald door de
vergelijking Vq(pq = o. Daar 7v=o is, is in dit geval
tqz=i;
geval:

q, Q = 0 zonder dat Tq = 0,
Tq cn 70 blijven onbepaald, dus: astatisch evenwicht
ten opzichte van een as bepaald door 7) ^ = o.
Dan is

J F = O, dus f\' = f.
De beide laatste gevallen hangen af van de verge-
lijkingen 9p=o en V Q q> Q = O, wier algemeene op-
lossing wij hier zullen invoegen.

Oplossing der liniairc vector-vergelijking.
§ 56.\' Bij dc oplossing der liniaire vector-vergelijking

q,(, = =y,

69

n

waarin q een onbekende vector is, treedt herhaaldelijk
de geconjug-eerde functie op. Dit is eene functie,
die met 9 verbonden is door de vergelijking

waarin p en a geheel willekeurige vectoren voorstellen.
In geval

is, noemt men de functie <p een aan zich zelf gecon-
jugeerde.

"Volgens Tait „Quaternions" § 92 is
Q S).(i = Vfi y SXQ Vvl Stt e -j- VI iiS V Q . . (25)
waarin P., /t, v drie willekeurig to kiezen niet-complanaire
vectoren voorstellen. In dat geval is
q\'Q sifiy — Vi> S). Q-{-iji V u l S fi Q VlfiSvQ . (26)
Stellen wij in (25) succcssivelijk q = (p vft v, (j\' vv A.
qp Vkii, dan verkrijgen wij achtereenvolgens:
q\' V/i v Sin v = Vfi i\' SI q> Vii y -f- Vj\' l S{i <p V/ii\'-}- VI (i Sf (fi V(i v,

= Vfi V s{ Vfi r).,/;. v^ X s{ V(i V) v VI li s{ Vf,,-) q.\'r,

= Vfi i> Sfi V q>\' l -{■ Fr l S (i V qi\' n VI fi S fi I\' q \' i>,
q, Vi>XSlfil>=Vfi pSpI q\' l VvlSv l fi VI fi S V l q.\' ,
q, VlfiSlfi p = Vfi r l fi q\' X Fr X ó\'fi q\' fi VI fi S l fi q/ j\'.

Stellen wij nu
Sfi ^\'P. p P. q/ ISfi Q Slfi q/ ).S,> Q = j1 si fi,
S fil\'q/fiSlQ-\\-Si>lq/fiSfiQ-{-Slfiq\'\\uSvQ = BSlftv, . . (27)
\'S\' fi V (j/ VSA p -(" .i\' 1\' P. (// t\' Sfi Q -{- Sl fi q\'r S"I\'Q~ C S). fi

dan zijn A, B en C scalars en na substitutie vinden wij
uit (26)

q^QSlfip^A Vfi B Vp l C VI fi.....(28)

Bedenken wij nu, dat uit (25) volgt

y S l fi = Vfi V S l y Vv I Sfi y 4- VI fi Sy,
zoo verkrijgen wij ter oplossing der vergelijking

q, p — /

door substitutie onzer gevonden waarden de vergelijking:
(A — S), y) Vil i; -f {B — Sii y) Vv l {C—Sv y) F/./t = o.

Daar 7., v drie gegeven niet-complanaire vectoren
zijn, moeten

A = Sly,
B = Sfiy,
C = Sy y

zijn. Gesubstitueerd in (27) verkrijgen wij het stelsel
van drie liniaire vergelijkingen tusschen scalars, waaraan
de oorspronkelijke vector-vergelijking aequivalent is: n.1.
if(f)\').S). Q (p^XSj-i Q -j-\'^P«,« (p\'XSi\'Q — SXy Sïfxv, j

S fi V (])\'IXSXQ-];-S vXqj\'fiS^iQSX fiq ^iS V n = Sf^iy SX iii>,\\. . (29)
S[i V (p\'V S). Q -j- iS\'i\' 7. (fi\'ySfi n -f- SXfi q V SV f) — Sp ySX^iv,)

Uit deze drie vergelijkingen vinden wij SXn,SiiQ en
S1; () en vervolgens uit de vergelijking (25) de waarde
van Q.

Een geschikte keuze der vectoren v kan in bij-

zondere gevallen deze vergelijkingen nog vereenvoudigen.

Zoo kan het soms voordeelig zijn voor P., /«, v drie
loodrecht op elkander staande eenheidsvectoren te nemen ;
in (}at geval zijn

Vfi V = l, VV = /t, V). 11 = p, S). 1; = — I
en wij vinden voor onze vergelijkingen:
S). cp IS), n SX <p fi Sfi Q S"l qi V S"Q = — /. /,
Sfi (f) X S X Q SII cp ft /t p \'S\' fi (p p S if n = — .S\' /( y,
^ ip ^ .y p .S* A» 71 /t S fi Q-\\-SpqvSi\'Q = — ^ V y,
terwijl

P = — P, .y P. p — n S fi Q — i\' S t\' Q

en

7/p = — AX — B [I — Cv

wordt.

§ 57.\' In het algemeen echter hadden wij

q,QSXfipz=A Vil p-\\-BVpX-\\-C VXfi

71

en de vergelijkingen (27).

Ware nu gegeven de vergelijking:

(jP (7 = O,

dan moeten wij in onze vergelijkingen (29) / = o stellen,
maar dan wordt er slechts aan voldaan door de waarden
p=:0, S fl Q = O, S V Q = O

en dus

p = O,

tenzij de determinant

S/iyq,\'?. Slfiq/X

S fl V (p\' fl r A. ([/ fl .S\'). fl (p\' fl
S fl V (p\' V S V 7. 71\' i\' S). fl g/ V
worde, in welk geval de vergelijkingen (29) van elkander
afhankelijk zijn. Deelt men ze dan door T p dan blijven
in die vergelijkingen slechts de scalars:

SX Uq, Sfl UQ, SV UQ
ter bepaling over en tusschen deze grootheden bestaat
een betrekking, want uit (25) volgt
Uq SI fl V = Vfi p SI Uq Vv I SfiUQ-\\- VI fl Sv Uq
cn door dit in het vierkant te verheffen vinden wij

-{sifivY={Vfit)\\siuS)\'\'-^{VvmsfiUSY^kVifiYisV UQY
2 SI Uq Sfi UqS. Vil i> Vf l -f- 2 Sfi Uq Sv UqS. Vv ). Vvfi
-\\-2SIUq Sv UqS. VI fi Vfi r.

Ten einde nader uit te werken. maken wij gebruik
van de formulen

SaSSp y—Sa ySpS = S. Va ^ Vyö,
V. Vap Vp y = — (}Sa(} y,
SSaPy = aS(iyS -{-pSyaS-l-ySafiS,
waardoor wij ten slotte verkrijgen

Dc waarde van Tq blijft echter onbepaald, zoodat
ingeval

S" 7/ A (j/ fl (j/ i\' = o

=

72

is, alle vectoren van één bepaalde richting aan de verge-
lijking voldoen, terwijl hun lengte onverschillig is.

Lossen wij namelijk de vergelijkingen (29) voor dit
geval op, dan vinden wij uit de twee eerste bijv.
SlUo ^ Sn Uq ^ Sv Uq
S ). qi\' ). q/ u S fi qi\' ). qi\' S f qi\' ). qi\' fi

Uit de eerste en derde komt hetzelfde, alleen met het
verschil, dat in de noemers q,\' ). q/ /.i vervangen wordt
door q/ V qi^ A. Uit de tweede en derde vergelijking
wordt dit q>\' q>\' v. Toch is dit onderscheid slechts
schijnbaar, want uit de betrekking:
S q/ ). q/ i^i q>\' V = O

volgt

U Vqf ,u q.\'p= Cr Vq/ v qf l = U Vqf l q/ {i.
§ 58. Uit de vergelijkingen:

en

Q S). fi = Vfi V S (? V V IS n Q VI /( S v Q
volgt door vermenigvuldiging:

SQq>Q{sin;>y= A(Vn pysiQ b {Vp ),)^SfiQ c {vi^y s vq

-\\-{BSpQ-\\-CSiiQ)S. ViflVX/i ■\\-{CS).q-{-ASi>q)S. VlfiVfiP
. (ASfi Q BSl n) S. Vfi P Vp l

en

Vq qi q . S ). p = {B Sr q — CSfi q) p. {CS), q —A Sv q)/t

{ASiiq — BSIQ)V.
Daar de vectoren l, ft, v niet complanair zijn, kan dus
aan de vergelijking

Vq q) q == O of (p q = g q
alleen voldaan worden door de vergelijkingen
_ B ^ ^ C

»s\'}. n S fi q S p q
Stellen wij nu de waarde dezer breuken = g dan wordt
A=igSlQ, B = gSfAQ, C=£-SfQ.....(31)

A

73

maar is ook

cp Q SI 11 V {Vfl V S).Q -f V V l S n -{- VI 11 S v Q)
en is volgens (25) voldaan aan

q}Q=gQ of ((Jl —g)Q = 0.
Ter bepaling van g verkrijgen wij door combinatie
van de vergelijkingen (27) en (31) drie homogene verge-
lijkingen in SIq, S\'fi Q, Si> Q n.1.

{Sfiifcfi\').—gSlfi V)SKQ-\\-SI\' ).q)\'}.S}i Q-\\-S).j.ic[/lSvQ =0,
Sn pcp\'fi ó\'P.p -]-(Sp l q\' ft —gSI,« p)Sfip -J- IIq/fiSp() = O, (32)
Sfi pqj\' pSlo-^-Splq)\' pSfin\'{-{S). fi (p\' v —g S ï. fi v)S p Q = O,

In dit geval moet hunne resultante nul zijn, zoodat g
bepaald wordt door de derdemachtsvergelijking:
Sfipq,\').—gSlfip Splq\'X SXfup\'l ^

Sfivq\'fi SpXq\'fi—gSXftP S\'Xftq\'fi = o,

Sfipqi\'p SpXqi\'p SXftq<P—gSXtiP

of uitgewerkt evenals boven met ^ is geschied:

g\' — m^ g^ -^M^g — m^o.......(33)

waarin

jn S X fi p = S q>\' X 7\'\' fi 7\' p

W/, .S\' X ft p = S (X q! fi q>\' P X ft q/ r -f q>\' X tp\' fi p) . (33«)
S l ft P — S {X fi 7/ p ■\\-X 7/ fi p q\' X fi r)
Door substitutie der waarden van g in (32) verkrijgen
wij alzoo naar mate dc vergelijking (33) óón of drie
reëcle wortels heeft, óón of drie richtingen inde ruimte,
volgens welke dc operatie 7/ den vector q niet van richting
doch slechts van lengte doet veranderen.
Verder verkrijgen wij

zoodat bij iedere waarde van g een afzonderlijke waarde
van S p 71 /) behoort.

§ 5g. Zijn alzoo , g.^, do waarden van g cn
t\'j > Qi > C\'3 de resp. waarden van p dan wordt identiek

74

voldaan aan de drie vergelijkingen:

(v —^i) = O, (cp (?2 = O» («P C.-t = O . . (34)

De vectoren q^, q^, q^ vormen den hoofd-drievlakken-
hoek van de functie qp q.

Evenzoo kan men met den geconjugeerden drie-
vlakkenhoek bepalen.

Opdat nu een der wortels g = 0 zij, moet de verge-
lijking (33) of de daaraan voorafgaande determinant door
g = O voldaan zijn, dus moet

m — O of ^ = o.
Of wel, voor dien vector moet

Deze beschouwingen leiden allen tot dezelfde voor-
waarde

Sqi\' /. (j\' n qf i> ~ o.
Uit de vergelijkingen (29) kan, door / = o te stellen,
die vector bepaald worden.

Daar iedere vector q = x q, -\\-y02 is, kan men

op Q successievelijk de operatieën 9 —gi,<p —»\'P —
toepassen.
Dit geeft:

(t —^.i) —-i-y (q> —C2 S (7, —g,) (.,

Uit (34)

0 = x(q) —g, ) -\\-y (q> —g^) O 2 (<r —^"\'3) Qi •
Aftrekkend

(9 —.^■3) = ^ —^3) ei y Cfi Q2\'
En hieruit

Derhalve

(9 — ^2) (9 —^3) 0 = ^2) (^1 — ^3) Pi

(f —^sX\'P y (^2 — iTn) (^2 —) e2 • (35)

(9 — ) (f —ii) e = s (^3 — ) (^3 -^2) (\'3

75

Opereeren wij op deze respectievelijk met ij/ — ,
1\'——^.".5 ^^^ geven alle drie:

if—^i) (t (9—^3) e = O.......(36)

De operatieën ((jp—g,) enz. ontnemen dus aan een
vector p achtereenvolgens zijne composanten volgdns de
kanten van den hoofddrievlakkenhoek.

Daar qi^ de geconjugeerde functie is, hebben wij

S(T(<p—g)c = S(jcp p—^^ap,
= S Q q/a—gS() (T,

= ^ Q (\'P\' —i) ff-

Nu volgt uit

= O,

Q (\'V — ) ?i = Cl (\'p\' = O.

Dus staat (</ —p loodrecht op p,, evenzoo (<[/—p
loodrecht op p^. Dus staat (<ƒ/ —) (t/ —g,) q = n
loodrecht op het vlak door p, cn p^, dus zijn dc beide
drievlakkenhocken complementair.

Is nu qf p = <fi p, dan is dc functie aan zich zelf ge-
conjugeerd, dan zijn dc wortels steeds reëel
en dus ook de vectoren p,, pj, p.,; want ware dit niet
het geval, laat dan

een wortel zijn, dan zou

T ((\'\'2 ^3 = (^2 -1-/3 V- O ((-\'2 (\'3

zijn en dus

T C\'2 = S\\ t\'\'2 (\'\'3 . <J\' = e\'3 .
verder

Nu is p\'j p\'.T steeds negatief en dus moet = o
of wat hetzelfde is, de wortels reöel zijn.

76

Verder moet dan

(?i (9—.Tl)? = 0.

en ^2)^? = o•

Alzoo staat (qp —(qp —^2)0 of q^ , loodrecht op p, en q.^.

§ 60. In de vergelijking (36) de wor-

tels van

—^^ g — O-

Wij kunnen derhalve (36) ook schrijven

(ip^ — m^ gj^ Wj 9 — in)Qz=o,
of wel symbolisch

q/^ — m.2 (fj^ -j- m, (jp — m = o.

Dit is de symbolische derdemachtsvergelijking van
Hamilton (Elements of Quaternions § 346—366; Lectures
on Quaternions § XCVII).

Opereeren wij hierop met gj-\' en zetten dc termen
om, dan is

m q,-\' = w, — Wj 9 7 ^

Hiermede is de inverse functie uitgedrukt in directe
functieën en dus de vergelijking 9 p = / of p = 9"\' / op
de eenvoudigste wijze opgelost, want wij zien hieruit,
dat alsdan

7;/ p = w, / — Wj 9 / -I- 9V..........(37)

Ware nu gegeven y = o, dan zijn tevens 9 y = q,^ y = o
en de vergelijking geeft p = o of m z= o welke laatste
voorwaarde dezelfde is als Sqi\' X 9\' /t q.\'\'i> — o.

Maar uit de vergelijkingen (30) volgt, dat dan de op-
lossing is

Uq = U Vq.\' [i q: v=U Vq/ r 9\' = 1/ Vq/ X 9\' fi . . (38)

Is tevens =0, zoo geeft dit in verband met (33«)
Vq/ fi qi\' If = Vq/ v q/ = V<p\' ). qfi\' /t — O

Of

UqJ l = i/9\' li = Uq! V.

77

j\\Iaar dan voldoet iedere q liggende in het vlak, dat
bepaald wordt door

S Q ijj\' X = SQ (p\' = S Q qi\' p = O.........(39)

Als laatste geval hebben wij, dat ook nog ju^ = o of

X — = cfi^ p = o.

Dan is q geheel onbepaald.

Hiermede is de liniaire vector-vergelijking opgelost.

De oplossing van de vergelijking Vq q n = o volgt nu
uit de derdemachtsvergelijking (33). Deze geeft,^3,
terwijl uit (35) volgt:

Qi = ^(\'P —^2) (<P —^S\'x) Q

e2 =- ^(\'f — ) (\'P — JTI ) e ..........(40)

(?.1 = ^{\'P—S\'i) (v —
waardoor de bijbehoorende eenheidsvectoren gevonden zijn.

§ 61. Indien nu 9 q een aan zich zelf geconjugeerde
functie is, heeft de vergelijking Vq q o = o drie reëele
wortels. De er aan voldoende drie vectoren staan onder-
ling loodrecht, terwijl de tensors onbepaald blijven.
Stellen wij ze nu door j en k voor, dan verkrijgen
wij uit (25)

p t= — t S t Q —j\'Sj Q — k S k Q.

Verder is dan identiek

q { = q j = g^ y, q k = k

en alzoo uit (27)

Daardoor wordt

q, == g, i S i Q g^ jSj Q -f g^ k S k ().

Ook verkrijgen wij

en

7«

terwijl nog

^ ? (s^qY (SjoY^g, (Skoy = . (41)

Deze uitdrukking is een functie van den tweeden
graad in q. Laat men q alle mogelijke richtingen en
lengten aannemen, dan zal S n (p n ook verschillende
waarden verkrijgen. Voor constante waarden van h zal
dus het uiteinde van q steeds eindigen in een oppervlak
van den tweeden graad. Geven wij-nu h verschillende
waarden dan verkrijgen wij op deze wijze een stelsel
gelijkvormige oppervlakken, wier hoofdassen alle samen-
vallen volgens de vectoren ï\', j en k. Indien nu , g,
en g^ gelijke teekens hebben, zijn alle oppervlakken
ellipsoïden. Zij zijn positief wanneer de hoek tusschen

Q en (f Q grooter dan ^, negatief wanneer die hoek < j is.

Zijn twee der grootheden g aan elkander gelijk, dan zijn
de\' oppervlakken omwentelingslichamen om den vector
van de derde grootheid als as. Is een der grootheden
g nul en zijn de beide andere gelijk van teeken, dan
zijn de oppervlakken elliptische cylinders, die den vector
waarvoor (p q = 0 is tot as hebben.

Daar wij veronderstellen, dat g, Cg, C^j is, zullen,
indien dc teekens ongelijk zijn, g, en van teeken ver-
.schillen. Dan vormen de oppervlakken een stelsel hypcr-
boloïden, gedeeltelijk met óón, gedeeltelijk met twee
mantels, welke gescheiden worden door de gemeen-
schappelijke asymptotische kegel S q ij. q = o. Hoe die
twee soorten ten opzichte van de assen geplaatst zijn,
hangt van het teeken van g, en van de operatie rj. af.
Is dan = O, dan worden de hyperboloïden hyperbolische
cylinders, gescheiden door twee elkaar volgens de /-vector
snijden4e vlakken, voor welke S q cp q = o. Voor de
y-vector zelve is dan n = ij. ƒ = o. Zijn twee der groot-

79

heden g geUjk nul, zoo worden de oppervlakken een
stelsel evenwijdige platte vlakken loodrecht op den
vector van de derde grootheid. Voor iederen vector in
één dier vlakken is dan steeds (p n = o. Zijn alle groot-
heden ^ = O, dan is voor iederen vector in de ruimte de
vergelijking q, o = o vervuld.

Voortzetting der behandeling van het astatisch
cvemoicht.

§ 62. Wij zullen nu de gevonden resultaten op het
vraagstuk van het evenwicht toepassen.

Het tweede geval van § 55 eischte tot behoud van
het evenwicht een draaiing van 180° om een as, die
bepaald werd door de vergelijking V()(pQ = o of tp
De vergelijking (33) bepaalt de drie waarden van g,
welke hieraan voldoen; en met behulp van (32) vindt
men de bij iedere waarde van g behoorende waarden van
.S\' Q, S" n en S V q. Hierdoor worden dc richtingen
der vectoren bepaald. Wij weten uit § 55, dat wij
eenheidsvectoren hiervoor nemen moeten. Eenvoudiger
wordt dit doel bereikt uit de vergelijkingen (40).

In ons geval was

en dus

S (f tp {» = Z {S a a S Q ^ — S (S Q S tt (f) = S Q tp\' a,
waaruit volgt, dat dc geconjugeerde functie is

Volgens § 51 is

2:§SQu = 2:«Sn§-]- VQ g

en derhalve

Op <jO i>= 2 tpn-j-QG.

I^it is een bijzonder geval van de algemecne eigenschap

8o

Tait „Quaternions" § 174), dat iedere niet aan zich zelf
geconjugeerde liniaire vector-functie van een aan zich
zelf geconjugeerde verschilt door een term van de ge-
daante Ven.

Hebben wij nu zooals in § 55 met een stolsel te doen
dat in evenwicht is, dan is g = o en dus in dat geval

(p\' Q = (fQ.

Zoodat dan de functie aan zich zelf geconjugeerd blijkt
te zijn.

De vergelijkingen bepalen nu een stelsel van drie
loodrecht op elkander staande eenheidsvectoron, die wij
z\', ƒ, k kunnen noemen, zoodat de eigenschappen van § 61
op ons stelsel van toepassing worden. Stellen wij dus
X = ƒ« =y, v — k zoo vinden wij

g^ iz= 9 = V si^ — iSuf)
en door met Si te opereeren

g^ = — (.S\'« /i -}- Sk « Sk [{).
En alzoo in verband met (41)

Sicpi= v-\\-S i uSi(},
syq,y=v-\\-2:sjc<syi},

Sk,fk = F-\\- k « Sk^.
Na zulk oen draaiing is de viriaal geworden: — zie
vergelijking (23)

f/ = — (f -i- 2 ^ rf .s\' i ,
i/ = -(f 2 v^-ya-sy/?),
f/ = — (f 22: Sku Sk
Schrijft men voor

a = X i y j Ar z k,

dan zijn

2:siusi^=2:xx, 2:SjaSjii=2:yy, 2:SkaSk^=2:zZ,

waarmede onze resultaten overgaan in de waarden in
§ 31 door F^, F^, Fj^ aangegeven.

§ 63. Indien nu een der wortels bijv. gelijk nul is,
is voor dien wortel

^i = —g, = o
en wij komen daarmede op het derde geval van § 55,
want dan zijn voor dien vector tegelijk

en V()cf)Q = o

en dus

(>. e = o.

Daar in dit geval Tq gerekend wordt niet nul te zijn,
wat op het eerste geval zou terugvoeren, maar onbe-
paald blijft, mogen wij de vergelijkingen als door Tq ge-
deeld achten en alzoo q = Uq beschouwen.

Volgens § 57 is er alleen in dat geval een oplossing
mogelijk, wanneer voldaan is aan de voorwaarde
^X (f\' fi 1» = o of fU = O.

Dit is tevens de voorwaarde, opdat de vergelijking
Vf, p = o een wortel o hebbe, zoodat de beide be-
schouwingen tot dezelfde voorwaarde aanleiding geven.

Kiezen wij nu voor X, /t, p drie onderling loodrechte
eenheidsvectoren, dan wordt de voorwaarde (daar g\' = (j)
S (jp), if ft (j) i» = o.

Of bij instelling der waarde van </
S. 2(aSX(i—XSa(J). 2:(uS,iii—f,Su{i). 2(uSp(i—pSa{i).

Stelt men hierin

n — X i z

(i = yy-i-Z/L-,
?.=i, /I =y, j\' — k,
dan gaat deze uitdrukking over in de in § 32 berekende.
Hiermede is in quaternions do voorwaarde voor het
bestaan van een evenwichtsas gevonden. lün de as zelve

82

wordt bepaald uit de voor ons geval luidende verge-
lijkingen (38):

Q = U V(p [iq) i> = C/ V(f p (f) l = U Vcp X (j) ju.

Of bij de invoering der waarde van qp

l [/ (a Sfi p — fl S a (a S p P — p Sa §),
Q = }i7V2:{a Sp(i — p Sa p). 2:{aSl(i ^XSap),
f [/ V2: (« Sip — IS a §). 2: (« Sfip — fiSap),

Daar in dit geval S q q) q = o is, hebben wij ook hier

f\' = f.

Alzoo 2:Saq§ is constant, 2 VagP = o.

Wij zien uit het voorgaande, dat bij draaiing om een
as van astatisch evenwicht het resulteerend quaternion
der totale momenten ten opzichte van een punt dier as
voortdurend tot een scalar gedegenereerd blijft, welks
waarde constant is. Deze waarde behoeft echter niet
zooals voor een vlak stelsel (§ 52) nul te zijn.

Is behalve m ook w, = o, dan voldoet volgens § 60
iedere vector, die ligt in het vlak bepaald door een der
drie vergelijkingen:

SQq)X = SQq>fi = SQ qi p = O.

Dit is het geval van § 32.

Is tevens m, = o dan wordt o onbepaald. Het stelsel
is alzoo in astatisch evenwicht ten opzichte van den
oorsprong. De vereischten hiervoor zijn in quaternions:
2\' P = 0, q, ?. = o, q, fl = o, q) p = o.

§ 64. Dc vergelijkingen van § 56 kunnen ook dienen
ter oplossing van het algemeene geval

welke vergelijking wij getransformeerd hebbcli tot de
gedaante (zie verg. (24)):

% J g = (i S q g — Vq q> q — 7v qi q,

83

Stellen X, fx, v, drie onderling loodrechte eenheids-vec-
toren voor, dan zijn

(p Q = — A X — B — C p,

Q = - X SX Q -- SQ - V S Q.

Stellen wij voor q hierin g of Ag, dan vinden wij

G=--fl S n G — V S t> G,

A G = — X SXAg —• jw SfxAo — p Sp Ag
en nog is

VQ ,p Q = (CS ft Q —BSv Q)X-\\-{AS PQ — CSX p) f,

-\\{BSXQ—ASftQ)v.
Substitueeren wij nu in onze vergelijking (24) deze waar-
den, zoo verkrijgen wij bij splitsing

SX A G = SQ GSX q 4- {CSfi Q — BSv Q) — 70 A,
\'/j Sft AG = SQ G S fi Q (A S p Q — CSX q) — 7ü B,
Sp A G = SqqSpq{BSXQ—ASfi q) — ?(; C,
Dit zijn de drie scalar-vergelijkingen, waaraan (24)
aequivalent is. Door B cn C te elimineeren verkrijgen wij
% [w\'\' -1- {S XQy)SXAG-\\- 7, (.Vq Sft q —70Spq)Sft Ag
\'Z, (^S\' (» ó\' 1/ p -f" 70 Sft p) S p A G — SX p Sq G — 70 A.
Opereeren wij op (24) met Sq, dan verkrijgen wij
S p g p O -f- 7V S Q (/i p .— O
en in verband met de waarde voor A g verkrijgen wij
door eliminatie van A en C en daarna van B en C:
{S X (fi X — .S\' p qi p) .S\' A, p {S X ft S p d g) S ft Q

{S X lp p — \'/, -S\' ft A g) S p Q ^^S X A G = O,
{S" ft (p X — \'/i ** ^^ X p -(- {S ft (f) ft — »S\' p (f p) S ft Q

4" {Sft ip p 4" \'/ï S a A g) Sr p 4- ^ Sft A G = 0,
(S p <p X -}- Sft A g) .s\' X p 4- (.s\' P .ji ft — \'/i SXAg) Sft q

70

4- {S p p — S Q ip p) S p Q -j- — S"p A G = O,

{S X G 4- Vj .S\' J r.) .S\' X Q 4- (.V ft G 4- 7, .S> A g) Sft p
4- (.s\' g 4" Va r p w S Q (p Q = O.

84

Deze vergelijking-en zijn homogeen in S?. o, Sfj q , S i> n
en w, en dus moet
Slcf)}.—SgqiQ, Jg, SXcpv — ^j^SfiJG, SljG,

Sfiqi). — ^l^Sy^G, Sficpfi — SQqiQ, S^cp p-[-^j^SX/fG, SfiJc,
SvqiX-\\-%SfiJG, Svcpn — ^I^SXJG, Sfcpp — -S\'Qq)Q, SV^G,
SXG \'I^SXJg, S^G \'j^SiiJG, SQq^Q.

welke vergelijkingen volkomen dezelfde zijn als die van
§ 30. Door substitutie van de hieruit gevonden waarden
van S Q q)Q vinden wij de bij iedere draaiing behoorende
waarde van //f uit vergelijking (23).

§ 65. Uit het derde geval van § 55 is alzoo gebleken ,
dat, wanneer n een eenheidsvector voorstelt, samenvallende
met de draaiingsas, een constant krachtenstelsel bij
draaiing om die as alleen dan voortdurend in evenwicht
zal zijn, als voldaan is aan de drie voorwaarden
2: p = O, 2: Vu p = O, (pQ = o.

§ § 34—40 toonden aan op welke wijze krachten-
stelsels , die niet aan drie voorwaarden voldeden, konden
veranderd worden door toevoeging van twee krachten,
zoodat zij er wel aan voldoen. Om die gevallen volgens
de hier gebruikte rekenmethode na te gaan, stellen wij
de \'krachten en (J^ en de vectoren hunner aangrijpings-
punten «, en «j. Dan moet- voldaan worden aan de
vergelijkingen

1^2 = 0.
2\' F«|5-f- Va, (i, Va[ (5i=o,
9 p «, -f «j /Jj = p (Sa, /?, -f ^«j

Is ons bekend, dat het stelsel in evenwicht is, dan zijn
2\'(i = O en 2\' Va (i = 0,

dus

en stelden wij

= •/

zoo is aan de tweede vergelijking voldaan.
De derde wordt:

cpq=IX{Q y^ — y SQ y),

waaruit

VQ(PQ = —X VQySQy, SQ(fiQ = XQ^y^ — x(SQyy,
{v.jqQy = x\'{VQySQyy, =-x(VQyy.

Uit deze beide vergelijkingen:

Verder is Fj = »S"«, -f- — ^ Z^»

dus

O () qp p ^ Q <l> (f

\'2 — e

Maar Fj = x y"^ = — x {Tyy
en derhalve

_ (Ei\'

SQUy = ±

TC\'

Sq Uy is de cosinus van den hoek, die / met q maakt,
dus de grootheid, die in § 34 met x is aangegeven.

Uit de formule (17) aldaar is F^ bekend, welke groot-
heid in § 43 uitgedrukt is in de grootheden /I en S.
Wanneer wij nu bedenken, dat

S Q (f n ■= {S Q U S Q ^ - Q^ S(t

en wij, teneinde dit tot gewone coördinaten over te
brengen, de volgende vormen invoeren:
a = xi-\\-yj-\\-zk,

t\' = i- ƒ -}- r L

86

dan wordt na uitwerking

S Q q> Q = S

en

De eenvoudigheid en natuurlijkheid der HMmxoN\'sche
symbolen, zooals zij hier voorkomen, is treffend. Om in
§ 34 en § 43 de resultaten duidelijk en eenvoudig te
formuleeren, waren naar jMöbius de grootheden d en S
ingevoerd, maar scheen hun keuze alleen door den bij-
zonderen aard van het vraagstuk bepaald te zijn.

Bij de behandeling met quaternions is de invoering
dier functieën totaal overbodig geworden, daar de functie
(f), die door hare eigenschappen het geheele vraagstuk
van de draaiing van krachtenstelsels behcerscht, ook nu
alleen voldoende is om deze oplossingen in hun een-
voudigste gedaante te geven.

De in de §§ 41—45 behandelde evenwichtsfunctie is
geen andere dan de reeds herhaalde malen opgetreden
grootheid S(>(j>().

In § 44 zagen wij, dat door een geschikte keuze van
het coördinatenstelsel de evenwichtsfunctie kon geschreven
worden:

P -f

In § 61 vonden wij (verg. (41))

c\' 9 a = GS\' /p)\' ir^ WQY -I- (s k

Is nu

dan is
en dus

Zoo blijkt, wanneer wij de mechanische eigenschappen
uit de §§ 41—45 ter vergelijking leggen naast de meet-

87

kundige eigenschappen in § 6i , dat de eerste als het
ware de vertaling zijn der laatste.

Voor den kegel van het neutrale evenwicht vinden wij
in deze symbolen alzoo

S Q Cf) Q = O.

§ 66. Zoo het gegeven stelsel niet in evenwicht is,
schrijven wij onze vergelijkingen

G-f Va, Va,
(jf) p -1- rt, ^p -f «j ^p = p {S
Om nu de hoofdassen te vinden, elimineeren wij met
behulp van de eerste vergelijking cn stellen tegelijkertijd

«2 = «I ^ t\' >
dan wordt de tweede vergelijking

g — F«, r 4- x vp = o.
Om x te elimineeren opereeren wij met sq., dus

S q g = S q V a, k...........(o)

üe derde vergelijking wordt

(p p = «, p R - p Cf, R.........{ó)

Opcreerende met ó\'r

.S\' R (]p p = o,

of

p R = o.

Dus een plat vlak (het vlak van verg. (21)).
Passen wij op de resultante r de operatie ff\' toe, zoo
wordt r normaal op dit vlak. De operatie 71 op de hoofd-
assen toegepast stelt ze loodrecht op r.

Opereeren wij op {&) met V { ) r dan verkrijgen wij
V{ip p) R = Fa, R ^S\'p R — Vq R .S\'«, r
en hierop met ^"p

S q V(l}> p) r = S q Va, r .S\' p r ,
of ingevolge (a)

S R p 7\' p — S q G S p R = O ,
het kegelvlak (20) van § 35.

88

Indien wij alle krachten j5 projecteeren op de richting
Q is de groote van zulk een projectie — Sq De vector
/ van het middelpunt der aldus geprojecteerde krachten
wordt gegeven door de formule

en dus is

= (9 f) p

en omgekeerd

Opereerende met ^r

Dit nu is in quaternions de vergelijking van het centraal-
vlak; want (> is geëlimineerd, zoodat wij de meetkundige
plaats van de uiteinden der vectoren y verkregen hebben.

Uit § 20 verg. (10) is de vergelijking van het hoofd-
vlak der viriaal

r = f,

Uit {b) volgt

9 (> -(- p »S* «J r = <5" p r

en dus als boven opereerend

Sr(ip -f «1 \' «1 = \' •
Opdat «, dus voldoe aan de vergelijking van het
centraalvlak moet a, voldoen aan

S «, r = f

d. w. z. aan de vergelijking van het hoofdvlak der viri-
aal. M. a. w.: de beide hoofdassen énijden de snijlijn van
het centraalvlak met het hoofdvlak der viriaal. (Zie § 36).

§ 67. Is het stelsel herleidbaar tot een enkele resul-
tante, dan is (9)

»y r g = o.

Dan kiezen wij het snijpunt van de centraal-as met
het hoofdvlak tot oorsprong en moet volgens (11)
\' F R- \' f^G R-\' = o

8q

en daar ook alsdan =o is, zijn dus

f = G = o.
Maar in dat geval is ook

qp\' = 9,

of de functie qp is een aan zich zelf geconjugeerde.

De vergelijkingen van het vlak en van den kegel
worden dan

ikS^R 9 Q = O = S Q q) VL,

k^R p 9 p = O.

Aan deze laatste wordt voldaan door de voorwaarde

Fp 9 p = O

en door te stellen

p = ur.

Hieruit volgt dat de kegel gaat door de drie loodrecht
op elkander staande vectoren /\', ƒ, k, die wortels zijn van
Vq 9 p = o en door den vector r. Daar het vlak
R 9 p = O loodrecht op r staat, moet dit den kegel in
twee reëele snijlijnen snijden. In dit geval zijn dus de
hoofdassen steeds reëel. Door op hunne vectoren de
operatie 9 toe te passen komen ze loodrecht op r te staan.
De substitutieën

9 p = — A). — lifi — Cl\'

SKcp Q = -yli^RP.-B Sk fl — Có\'r i>,

.S\' R p 9 p ^{BS\' p Q — C S p) .^r A (C.y?. p — A Sf p) ..S\'r ft