- i- y :

; r-

fil- !.

- - ?

..... . . m

1 .T

AAN DE j^IJKS-yNIVERSITEIT TE pXRECHT ,
na machtiging van den rector-ma gnificus

Hoogieeraai- in de Faculteit der Rechtsgeleerdheid,
VOLGHNS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT,

Bij het voleindigen mijner academische studiën gevoel
ik mij gedrongen mijn innigen dank te betuigen aan allen,
die van mijne kindsheid af, tot mijne vorming hebben

Vooral mijn dank aan U, Hooggeleerde Heeren,
Professoren in de faciliteit van Wis- en Natimrkiinde,
wier onderwijs ik heb mogen genieten en wel in het
bijzonder aan U, Hooggeleerde Heeren Buijs Ballot,
Grinwis, Oudemans en Kapteijn, met wie ik, te^igevolge

van de door mij gekozen richting, meer in aanrakifig
kwam, voor het vele goede dat ik van U mocht leeren,
voor de groote welwillendheid, mij steeds betoond.

Ten zeerste gevoel ik mij jegens U verplicht. Hoog-
geschatte Promotor, Hooggeleerde Oude mans voor de
krachtdadige hulp, waarmede U.H.G. mij bij het samen-
stellen van dit proefschrift heeft ter zijde gestaan.

Multiformi luna ambage torsit ingenia contem-
plantium et proximnm sidus ignorari maxime
indignantium.

Uit de waarneming blijkt, dat de maan in verschillende
opzichten afwijkt van de wetten, die Kepler gegeven
heeft voor de beweging der hemellichamen om een centraal-
lichaam; met andere woorden: de maan is onderhevig
aan storingen, die door de zon en de planeten worden
teweeggebracht. Deze storingen worden onderscheiden
in periodieke en seculaire storingen; deze hebben be-
trekking op den vorm en de ligging der maansbaan,
gene zijn afhankelijk van de plaats, die de maan op
een zeker oogenblik in hare baan inneemt.

schouwen en verdeelen die daartoe in drie rubrieken.
Tot de eerste rubriek behooren die storingen, welke
onafhankelijk zijn van den elliptischen vorm van aard- en
maansbaan namelijk de Variatie en de Parallactische Ver-
effening; tot de tweede behooren die, welke veroorzaakt
worden door den elliptischen vorm der aardbaan, namelijk
de Jaarlijksche Vereffening; tot de derde eindelijk, die
afhangen van den elliptischen vorm der maansbaan,
rekent men de grootste storing: de Evectie, de voort-
gaande beweging der apsidenlijn en de Middelpuntsver-
effening.

Vreemd moge het schijnen, dat ik de laatste vereffening
onder de storingen heb opgenomen, daar ieder weet,
dat zij geene storing d. i. geene afwijking is van de wet
van Kepler, maar ik doe dat uitgaande van de zienswijze
der ouden, die elke afwijking van den cirkelvorm als
anomalie beschouwden en die dan ook aan de aequatio
centri den naam gaven van eerste ongelijkheid.

Alvorens tot de historische behandeling van mijn onder-
werp overtegaan, zal ik eerst de verschillende hier
opgenoemde storingen verklaren. Daar al deze storingen
alleen invloed hebben op de grootte van radius vector
en op de lengte, zal ik, Möbius volgende, de reeds
op zich zelf weinig hellende baanvlakken (de helling is
hier circa 5°) van aarde en maan beschouwen als samen

\') Zie Möbius : Elemente der Mechanik des Himmels § 96 en
Kaiser: De sterrenhemel, bewerkt door Oudemans § 175, 176.

te vallen. Later, wanneer ik tot de historische ontwik-
keling der maanstheorie overga, zal ik ook aantoonen,
hoe de ouden de helling der maansbaan en den terug-
gang der knoopenlijn in rekening brachten.

Om de Variatie en de Parallactische Vereffening te ver-
klaren, zien wij af van den elliptischen vorm der aard-
en maansbaan. Wij onderstellen dus, dat de maan zich
in een cirkel om de aarde beweegt; het is duidelijk, dat
de maan in eene synodische maand verschillende standen
ten opzichte van zon en aarde inneemt. Bij Nieuwe Maan
staat de maan tusschen zon en aarde; de maan, die dan
dichter bij de zon staat dan de aarde, wordt sterker
aangetrokken dan de aarde, zoodat de afstand van maan
en aarde grooter wordt; dit laatste zal, hoewel in ge-
ringer mate, het geval zijn bij Volle Maan. In de kwar-
tieren worden aarde en maan evenveel door de zon
aangetrokken, zij zullen dus wegens de convergentie der
verbindingslijnen met de zon, tot elkander naderen en
derhalve zal de afstand der maan tot de aarde kleiner
worden. In de syzygiën wordt dus de snelheid der maan
kleiner daar haar afstand tot het centrale lichaam, in casu
de aarde, grooter wordt; in de quadraturen wordt zij
grooter; maar daar de werking in de syzygiën die in de
quadraturen overtreft, wordt de gemiddelde snelheid kleiner
en dus de gemiddelde omloopstijd grooter. De baan der maan
wordt bij Nieuwe en Volle Maan uitgerekt, bij Eerste en
Laatste Kwartier ingedrukt, zoodat zij de gedaante verkrijgt
van eene ellips, waarvan de groote as naar de zon gericht is.

Wat de richting betreft, waarin op de aangegeven
oogenblikken de maan uit de aarde gezien wordt, deze
bHjft onveranderd. Dit is echter niet het geval in de
tusschengelegen plaatsen der baan; daar is zij nu eens
vóór dan weder achter de plaats, die zij zou innemen,
wanneer de zon niet aanwezig was. Is toch de maan
voorbij hare conjunctie met de zon, dan wordt zij door
de zon sterker aangetrokken dan de aarde; de zon houdt
haar dus in haren loop terug, met andere woorden zij
ondergaat eene vertraging. Deze vertraging blijft aan-
houden tot Eerste Kwartier; na Eerste Kwartier wordt
de aarde sterker aangetrokken dan de maan; de aan-
trekkingskracht der aarde wordt verminderd of wat het-
zelfde is de maan wordt betrekkelijk afgestooten, haar
loop wordt dus versneld; deze betrekkelijke afstooting
houdt aan tot Laatste Kwartier maar heeft na Volle Maan
geene versnelling maar integendeel eene vertraging ten-
gevolge. Na Laatste Kwartier komt de maan weder
dichter bij de zon en wordt dus sterker aangetrokken,
welke werking hare beweging naar Nieuwe Maan steunt
en dus weder eene versnelling tengevolge heeft. Deze
versnelling bij Nieuwe Maan heeft eene verlenging der
loopbaan tengevolge in de richting loodrecht op den
voerstraal der aarde; de werking op de afstanden echter
zou eerder de loopbaan in de richting van dien voerstraal
verlengen, maar het blijkt, bij wiskundig onderzoek, dat
de werking, die de zon op de snelheid der maan uit-
oefent, meer uitwerkt dan die, waardoor zij de afstanden

van maan en aarde wijzigt, dientengevolge neemt de
maansbaan de gedaante eener ellips aan met de kleine as
naar de zon gericht.

Door deze wijziging der snelheid ondergaat de richting
waarin wij de maan van de aarde uit zien, eene verandering.
Zooals wij reeds zeiden is die richting onveranderd in de
syzygiën en quadraturen, doch is de maan in het eerste
en derde octant vooruit, in het tweede en vierde achteruit,
d. w. z. in het eerste en derde octant is de maan verder
dan eene denkbeeldige maan, die zich zonder storing
door de zon om de aarde beweegt; in het tweede en
vierde is zij daarbij ten achteren. Deze storing draagt
den naam van Variatie. Haar bedrag wordt uitgedrukt
door 39\' 29", 7 sin 2 (X—V), waarin X zonslengte en
V maanslengte is.

Het verschil in aantrekking der zon op aarde en maan
werkt bij Nieuwe en Volle Maan wel in denzelfden zin,
maar het is bij Nieuwe Maan grooter dan bij Volle Maan,
zoodat de vertraging na Nieuwe Maan grooter is dan de
vertraging na Volle Maan en dus de maan bij Eerste
Kwartier iets ten achteren, bij Laatste Kwartier vooruit
zal zijn. Deze vereffening heet de Parallactische Vereffening
en wordt uitgedrukt door 2\' 2", i sin(}^—X\') (Damoiseau).

Brengen wij nu den elliptischen vorm der aardbaan in
rekening, dan zien wij, daar de aarde en dus ook de

\') Zie Möbius : Elemente der Mechanik des Himmels, De coëfficiënt
is van Damoiseau.

maan in den winter het dichtst bij de zon, in den zomer
er het verst afstaan, dat de invloed der zon op de maan
in den winter grooter zal zijn dan in den zomer. Daardoor
wordt de omloopstijd der maan in den winter sterker
vergroot dan in den zomer. Deze storing of ongelijkheid
draagt den naam van Jaarlijksche Vereffening. Zij is
evenredig aan sin o! zijnde a\' de middelbare anomalie
der zon en heeft ii\' 13\'\' tot coëfficiënt

Nog een gevolg van den elliptischen vorm der aardbaan
is, dat de synodische omloopstijd der maan in December
en Januari ongeveer 4 uur grooter is dan in Juni en Juli,
want daar de schijnbare beweging der zon in de eerste
maanden grooter is dan in de laatstgenoemde, zal de
maan langer werk hebben, voordat zij weder met de zon
in conjunctie is.

Uit de excentriciteit der maansbaan volgt dadelijk, dat
de maan zich niet in alle punten harer baan met dezelfde
snelheid beweegt; heeft men dus de middelbare plaats
der maan bepaald, dan moet men daaraan eene vereffening
aanbrengen om de ware plaats te vinden; deze vereffening
draagt den naam van Middelpuntsvereffening, die dus,
zooals ik boven reeds zeide, geene storing is, maar door
de ouden als zoodanig werd aangemerkt.

Ook de rechtloopende beweging der apsidenlijn der
maansbaan is een gevolg van hare excentriciteit; zij
volbrengt eene omwenteling in 8 jaar en 311 dagen.

De verklaring dezer storing is zeer ingewikkeld; Clairaut
werd eenigen tijd door de voortgaande beweging van de

apsidenlijn der maansbaan in twijfel gebracht, of hier
Newton\'s wet van de algemeene aantrekking wel doorging.

Later zag hij zijne dwaling in en toonde aan, dat de
wet van Newton den voortgang der apsidenlijn geheel
verklaarde. \')

De grootste storing, die de maan ondervindt, is de
Evectie-, zij heeft tot uitdrukking i° 20\' sin | 2 ( X-—X\' — a\\.
In de syzygiën en in de quadraturen smelt zij met de
aequatio centri samen; in de syzygiën toch is X—X\' =
0° of = 180\'\' en dus 2 ( X—X\') — o of 360°, derhalve
sin j 2 ( X—ïf ) — a j = — sin a; in de quadraturen
is X—X\' = 90° of = 270°, en dus 2 ( X—X\' ) = 180°
of = 540° = 180°, derhalve sin {2 ( X-—X\' ) — a\\ ~
sin ( 180 — a) = sin a. Daar nu de aequatio centri even-
redig is aan sin a, zoo zal deze bij Volle en Nieuwe
Maan door de evectie verkleind, bij de kwartieren daaren-
tegen vergroot worden; is echter op die plaatsen de
apsidenlijn tevens naar de zon gericht, waardoor a, zijnde
de anomalie der maan, gelijk 0° of 180° wordt, dan
wordt de evectie nul.

Men veronderstelle, dat zich in de maansbaan nog eene
denkbeeldige maan beweegt, die tegelijk met de maan
haar perigeum verlaat en tweemaal zooveel tijd noodig
heeft om er terug te keeren, dan hangt de evectie af

van de plaats, die de denkbeeldige maan inneemt evenals
de variatie afhangt van de plaats der maan.

In de volgende bladzijden zal ik eene zwakke poging
aanwenden om de historische ontwikkeling dezer storingen
te schetsen; daartoe moet de volgorde eenigszins anders
worden, zoodat het eerst de aequatio centri, dan de evectie,
daarop de variatie en eindelijk de jaarlijksche en paral-
lactische vereffeningen zullen behandeld worden, daar
aldus de chronologische orde harer ontdekkingen is. Ik
verdeel daartoe dit proefschrift in drie hoofdstukken.

In het eerste zal behandeld worden: de maanstheorie
van Ptolemaeus, die ons van zelf leidt tot de aequatio
centri en de evectie; in het tweede de variatie, terwijl in
het derde hoofdstuk een kort gewag zal worden gemaakt
van de parallactische en jaarlijksche vereffeningen.

Nauwkeurigheid der bepaling van de siderale, synodische,
anomalistische en draconitische omloopstijden der 7naan door
Hipparchus en Ptolemaeus. Bekendheid van Ptolemaeus
met den tertLggang der apsidenlijn.

Claudius Ptolemaeus, die omstreeks 130 j. n. Chr. te
Alexandrië leefde, heeft ons in zijne [xaOr^ixaxixTj aóvxa^is,
gewoonlijk „Almagest" genoemd, de sterrekunde van zijn
tijd overgeleverd, zich baseerende op zijne eigen waar-

\') Zie: K^au^jou UrolsuLatov f/a^\'ïji/artxr/C cuvra^Ewj ßtßliov Texaprov zat

nemingen maar vooral op die van Hipparchus, die ongeveer
150 j. V. Chr. op Rhodus leefde en van wien slechts
enkele werken tot ons zijn gekomen, als:

zijn sterrencatalogus, die onder aanbrenging van
praecessie door Ptolemaeus opgenomen is in de
Almagest.

In dit hoofdstuk zullen wij nagaan, wat Hipparchus en
Ptolemaeus voor de maanstheorie hebben gedaan en zullen
daarbij bemerken, dat de beweging der m.aan bij de ouden
reeds vrij nauwkeurig bekend was. De waarnemingen,
waarop beiden hunne maanstheorie opbouwden, bepaalden
zich voorloopig tot de maansverduisteringen, daar men
daarbij de parallaxis der maan buiten rekening kon laten, het-
geen met zonsverduisteringen en met sterrebedekkingen niet
het geval was. Bij eene maansverduistering staat de
maan diametraal tegenover de zon en kan men hare
plaats precies bepalen uit de lengte, die de zon op dat
oogenblik heeft.

De oudste waarnemers hadden reeds bemerkt, dat de
maan zich met eene ongelijke beweging in lengte en
breedte beweegt, dat zij niet gelijke tijden noodig heeft
om op nieuw door de ecliptica te gaan, noch om tot
dezelfde breedte terug te keeren. Bovendien \'wisten zij,
dat de snelste en langzaamste bewegingen achtereenvolgens
in verschillende punten van de ecliptica plaats hadden en
dat ook de grootste noorder- en zuiderbreedten op ver-

schillende punten vielen; met andere woorden zij waren
bekend met den voortgang der apsidenlijn en met den
teruggang der knoopenlijn. Om nu de beweging der
maan te leeren kennen, zochten zij het getal dagen, die
vast een zelfde getal lunaties en eene zelfde hoeveelheid
van beweging in lengte in geheele getallen of in deelen
van den omtrek bevatten. Zij vonden die periode gelijk
aan 6585 V3 dag en noemden haar Saros. In dat tijds-
verloop telden ze ongeveer 223 lunaties, zagen ze de
anomalie 239 maal tot dezelfde waarde terugkeeren, de
breedte, d. w. z. het argument van breedte, 242 maal
en vonden ze voor de som van beweging in lengte 241
omtrekken en bovendien 10 , die de zon in denzelfden
tijd boven hare achttien omwentelingen t. o. v. van de
vaste sterren had doorloopen.

Om een geheel getal te krijgen, vermenigvuldigden ze
al die getallen met 3 en kregen dan voor de periode
19756 dagen, welk getal zij s^eXiyfJió; d. i. ontwikkeling
noemden. In dien tijd zagen zij de maansverduisteringen
op dezelfde wijze terugkeeren.

Hipparchus heeft echter op grond van zijne eigene
waarnemingen en van die der Chaldaeërs aangetoond,
dat dit getal niet juist is; hij vindt, dat de periode moet
zijn 126007 dagen en i uur. In dit tijdsverloop vond
hij 4267 synodische maanden, 4573 restituties der anomalie
en 4612 onwentelingen in lengte min 7 7^°, die de zon
nog zou moeten doorloopen hebben om 345 omtrekken
afgelegd te hebben. Door het aantal synodische maanden

en het aantal restituties der anomalie door hun gemeenen
deeler 17 te deelen, vindt hij dat in 251 synodische
maanden 269 restituties der anomalie plaats hebben en
bovendien geeft hij op, dat in 5458 synodische maanden
5923 restituties van het argument van breedte plaats
hebben. Uit deze getallen vindt hij gemakkelijk de mid-
delbare bewegingen der maan en den duur der synodische
maand. Deze laatste vindt hij gelijk aan 29^^ 31\' 50\'\' 8"\'\'

//////

Midd.dag.beweging in lengte: 13° 10\'34\'\'30""\'30
„ „ „ der anomalie: 13° 3\'53" 38

Middelbare beweging in lengte min middelbare beweging
in anomalie is gelijk aan de middelbare beweging der
apsidenlijn. Deze bedroeg dus dagelijks volgens Ptole-
maeus 6\' 41\'\', hetgeen geeft voor den omloopstijd der
apsidenlijn 8 jaar en 310 dagen. Evenzoo vindt men
met de getallen van Ptolemaeus voor de omwenteling der
knoopenlijn 18 jaren en ruim 210 dagen.

Ptolemaeus vond, dat deze waarden wat de bewegingen
in lengte en in elongatie betrof met de zijne overeenkwamen.
Voor de bewegingen in anomalie en van het argument

argument V. breedte: 13° 13\' 45\'\' 39\'" 48"" 56\'"" 37"""
Met deze getallen stelt Ptolemaeus tafels op voor deze
4 bewegingen in perioden van 18 jaar, in enkele jaren,
in maanden, dagen en uren, zoodat hij voor elk tijds-
verloop de middelbare bewegingen kan bepalen.

Ptolemaeus vindt de methode, die Hipparchus gebruikte
om de theorie der bewegingen van de maan op te bouwen
noch eenvoudig, noch gemakkelijk. Hij zal dat nu op
zijne wijze doen en begint met de demonstratie van de
eerste anomalie, de eenige, zegt hij, die door de astro-
nomen vóór hem is bemerkt, daarna zal hij overgaan
tot de tweede ongelijkheid, die het grootst is in de quadra-
turen en in de syzygiën verdwijnt. Hij bewijst eerst, dat
hij even goed gebruik kan maken van de hypothese van den
epicykel, als van die van den excentriek, maar hij zal
de eerste hypothese gebruiken voor de eerste ongelijk-
heid en zal de excentriek pas invoeren bij de bloot-
legging der tweede ongelijkheid. Gaat hij uit van de
hypothese van den epicykel, dan zal, daar de maan eerder
tot hetzelfde punt in den dierenriem terugkeert dan tot

hetzelfde punt der anomalie, de epicykel altijd in gelijke
tijden grootere bogen op de ecliptica doorloopen, dan
de maan op den epicykel. In de onderstelling van den
excentriek zal de maan op den excentriek een boog door-
loopen , gelijk aan dien van den epicykel, maar de excen-
triek zal om het middelpunt van den dierenriem draaien
in denzelfden zin als de maan en wel met eene hoeveelheid
gelijk aan het exces van beweging in lengte op de beweging
in anomalie. Hij stelt nu als volgt zijne hypothese.

Onderstellen we in de spheer der maan een cirkel con-
centrisch aan de ecliptica en in hetzelfde vlak gelegen, en een
anderen cirkel, die met den eersten concentrisch is, maar
met diens vlak een hoek maakt gelijk aan dien , waarmede
de maan in breedte afwijkt en die zich tegen de orde
der teekens in beweegt om het middelpunt der ecliptica
met eene hoeveelheid van beweging gelijk aan het exces
van de beweging van het argument van breedte op de
beweging in lengte. Op dezen hellenden cirkel als defe-
rent beweegt zich een epicykel volgens de orde der teekens
overeenkomstig de beweging in lengte en in dien epicykel
de maan tegen de orde der teekens overeenkomstig de
restitutie der anomalie. Door de helling en de terug-
gaande beweging van den deferent aan te nemen hebben
wij reeds de helling der maansbaan en den teruggang
der knoopenlijn in rekening gebracht.

\') Exces der beweging in lengte op de beweging in anomalie =
beweging der apsidenlijn.

Ptolemaeus gaat nu uit van drie eclipsen, die door de
ouden zijn waargenomen en berekent daaruit het verschil,
dat door de anomalie wordt veroorzaakt, en hoe groot
hij den straal des epicykels moet aannemen, opdat zijne
hypothese overeenstemme met de werkelijke beweging der
maan; daarna herhaalt hij dezelfde berekening met drie
eclipsen, die door hemzelven te Alexandrië zijn waarge-
nomen en komt dan tot dezelfde resultaten. Wij zullen
de berekening door middel van de drie eerste eclipsen
hier laten volgen. De drie eclipsen zijn alle waargenomen
te Babyion, de tijd is teruggebracht tot middelbaren tijd
te Alexandrië.

De eerste eclips had plaats in het eerste jaar van Mar-
dokempad van den 29®^™ op den 30®\'®°der egyptischemaand
Toth; haar midden viel des avonds te 40™ M. T. Alexandrië.

De tweede eclips had plaats in het tweede jaar van
Mardokempad van den i S\'^®\'^ op den 1der zelfde
maand Toth; haar midden viel des avonds te 11^ 10™
M. T. Alexandrië.

De derde eclips had plaats in het tweede jaar van
Mardokempad van den 15\'ien Qp ^jg^ ló^®\'^ der egyptische
maand Phamenoth; haar midden viel des avonds te 40™.
M. T. Alexandrië.

Met behulp van Ideler: Mathematische und technische
Chronologie, heb ik deze data op de christelijke aere terug-
gebracht en gevonden resp.:

De zon bevond zich op deze drie data respectievelijk op:
2472° K, i3V4° K en "ÏÏP en waren dus hare lengten:
354° 30\', 343° 45\' en 153° 15\' en dus de ware lengten
der maan 174° 30\', 163° 45\' en 333° 15\'.

De ware beweging in lengte der maan was dus respec-
tievelijk in de intervallen tussehen de eerste en tweede
en tussehen de tweede en derde eclips:
349° 15\' en 169° 30\'.

Tussehen de tweede en derde eclips zijn verloopen
176 dagen 20^ 12™; hiermede vindt men uit de tafels
voor de middelbare bewegingen der maan het volgende:

In het eerste tijdsinterval midd. bew. in lengte boven het
aantal geheele omloopen 345° 51\' en in anomalie 306° 25\'.

In het tweede tijdsinterval midd. bew. in lengte 170° 7\'
en in anomalie 150° 26\\

Verschil 3° 24\'

Boog ACB (zie fig. I) is dus gelijk aan 306° 25\', deze
boog voegt bij de middelbare beweging in lengte 3°

Boog BAC is = 150° 26\' en trekt van de middelbare
beweging in lengte 0° 37^ af.

Het pijltje stelt de richting van beweging der maan voor.
D is het middelpunt van den deferent, K dat van den
epicykel ABC, waarin de maan zich van A over C naar
B beweegt. De maan bevindt zich tijdens de eerste eclips
in A, tijdens de tweede in B en tijdens de derde in C.
Verder is EZ ^ AD, EH J_ CD, CT _L EA en KX BD.

Van B naar A uit D gezien wordt dus van de mid-
delbare beweging afgetrokken 3° 24\', omdat daar de
beweging plaats heeft tegen de richting der groote pijl
in, welke richting de rechtloopende beweging aangeeft,

Van A naar C wordt bij de middelbare beweging ge-
voegd 2° 47\', dus is in het geheel boog BAC substractief,
daar C uit D gezien rechts van B ligt; de aequatie ver-
andert dus in dien boog niet van teeken, hetgeen ten
gevolge heeft, dat in dien boog het perigeum niet kan
liggen, want in het perigeum zou de aequatie nul wor-
den en dus, na er doorgegaan te zijn, van teeken ver-
anderen, wat in het onderhavige geval niet plaats heeft.
Daar boog BAC < 180°, valt dus ook het centrum K
links van de lijn BD.

Z BDA = 3° 24\' waarvan 360 4 rechte maken
Z BDA = 6° 48\' ,, 360 2 „ „ , dus
boog onderspannen door EZ — 6° 48\' waarvan de cirkel
om DEZ er 360 bevat en dus koorde EZ = 7° 7\', waar-
van DE er 120 heeft. Telkens wanneer er gesproken
wordt van een boog onderspannen door eene lijn, wordt
er bedoeld de boog van den cirkel, die beschreven is
om den driehoek, waarvan de lijn eene zijde is.

ZBDA= 6°48^ „ 360 „
ZEAZ = 46°47\', „ 360 „
en dus boog onderspannen door EZ — 46° 47\' waarvan
cirkel om AEZ er 360 heeft, dus koorde EZ = 47° 38\' 30\'\'\'
waarvan AE er 120 heeft.
Uit de evenredigheid:

47° 38\'30\'\': 7°7\' = 120: volgt:
AE = 17° 55\' 32\'\', waarvan EZ er 7° 7\' en DE er 120 heeft.
Z BDC 0° 37\' waarvan 360 4 rechte maken,
z BDC = 14\' , 360 2 „
dus boog onderspannen door EH = 1° 14\', waarvan de

\') In het eerste boek der Almagest geeft Ptolemaeus koorden tafels.
Het behoeft geen betoog dat de berekening die we nu doen volgens
de tegenwoordige trigonometrie veel sneller kan geschieden. Zie Oude-
mans: Het probleem van Snellius opgelost door Ptolemaeus in
de Verslagen en mededeelingen der Kon. Acad. v. Weienschappen.
2de reeks. Deel XIX.

cirkel om DEH er 360 heeft, dus koorde EH = 1° 17\' 30\'\',
waarvan DE er 120 heeft.

Daar ( BAC - 150° 26\' is, is
Z BEC = 150° 26\', waarvan 360 twee rechte maken
Z BDC - 1° 14-, „ 360 „ „

Z ECD - 149° 12\', „ 360 „
dus boog onderspannen door EH = 149° 12\' waarvan
cirkel om CEH er 360 heeft, dus koorde EH — ii5°4i\' 21\'
waarvan EC er 120 heeft.
Uit de evenredigheid:

115° 41\'21\'\': 1° 17\' 30\'\' = 120: X volgt:
CE — 1° 20\'23\'\' waarvan DE er 120 heeft.
(CA = 96° 51\' en dus Z AEC = 96° 51\', waarvan
360 twee rechte maken. CT onderspant een boog van
96° 51\', waarvan de cirkel om CET er 360 heeft en dus
de boog onderspannen door ET = 83° 9\'\'

dus koorde CT = 89° 46\' 14", waarvan EC er 120 heeft,
en koorde ET--79° 37\'„ „ „ „
Uit de evenredigheden:

I ET = o°53\'2I\'

Q n / waarvan DE = 120^

dus koorde AC — 89° 46\'14\'\', waarvan de diameter
van den epicykel er 120 heeft.

CE = 7° 2\' 50\'\', waarvan de diameter van den epicykel
er 120 heeft, dus onderspant CE een boog CE van
6° 44\' , waarvan de epicykel er 360 heeft.

(BCE = 157° 10\' y" en dus BE - 117° 37^32",
waarvan de diameter van den epicykel er 120 heeft.

BE is dus kleiner dan de diameter van den epicykel;
het middelpunt van den epicykel kan dus niet op BE
liggen, maar ligt buiten (BACE.

DK^ == 3600 472700° 5^32\'^ = 476300° 5\'32"
DK = 690° 8\'42\'\', waarvan KM er 60 heeft.
Uit de evenredigheid:
60: 690° 8^42\'\' = ;t:: 60 volgt,
KM ^ 5° 13\', waarvan DK er 60 heeft.
Aldus vond Ptolemaeus den straal van den epicykel
uitgedrukt in dien van den deferent.

Laat nu uit K eene loodlijn KX op DB neer.
DK = 690° 8^ 42" NE - V2 BE - 58° 48\' 46"

Uit de evenredigheid:
690° 8\'42\'\': 120 == 690° 2\'34\'\': volgt:
DN = 119° 58\'57\'\', waarvan DK er 120 heeft en
de boog onderspannen door DN ^ 178° 2\', waarvan de
cirkel om DKN er 360 heeft.

of = 89° i\' „ „ vier
dus ( MX - 89° i\' en ( LBX - 90° 59\'
(BE =157° 10\' ( BX ^ 78° 35^

V, BE - (BX= 78° 35\' ( LB = 12° 24\'
Dus was de maan bij de tweede eclips van het apogeum
verwijderd 12° 24\'

Z DKN == 89° dus Z KDN - 0° 59\'
De ware plaats der zon was 13° 45\' K dus
de „ „ „ maan „ 13° 45\' W dus de mid-
delbare lengte der maan tijdens de tweede eclips 13° 45\' -f
0° 59\' — 14° 44\' want de ware maan is bij de
middelbare ten achteren.

Zooals we gezien hebben vindt Ptolemaeus dus voor
den straal der epicykels 5° 13\' en voor een afstand van
12° 24\' van het apogeum een Trpoa&apai\'psat? van 0° 59\'
of eene aequatio centri van — 0° 59\'.

Ik zal nu den straal van den epicykel uitrekenen volgens
de tegenwoordige wijze van rekenen en daardoor de
nauwkeurigheid van de berekening van Ptolemaeus staven.

We hebben ( ACB = 306° 25\', ( BAC = 150° 26\',
( AC ^ 96° 51% ( AB = 53° 35% Z ADB = 3° 24\',
Z CDB = 0° 37% Z ADC = 2° 47% Z AEC =
14 ( AC = 48° 25\' 30".

Ik maak gebruik van de volgende formules, die dadelijk
uit de figuur kunnen gevonden worden:

Staat er bij de logarithmen DE of r, dan beduidt dit
dat de getallen, waartoe de logarithmen behooren, met
DE of r moeten vermenigvuldigd worden.
AKC

l sin BDC = 8.031919
/j/«ECD = 9.984120

/ CE

l AE

EC
AC

Dezelfde berekening herhaalt Ptolemaeus met drie eclip-
sen , die door hemzelven te Alexandrië zijn waargenomen
en wel:

De eerste in het 1jaar van Hadrianus in den nacht
van 20 op 21 Payni des avonds te 11^ 15"^.

De tweede in het ig\'^® jaar van Hadrianus in den nacht
van 2 op 3 Choïac des avonds te 11^.

De derde in het 20®^® jaar van Hadrianus in den nacht
van 19 op 20 Pharmouthi te 4^ na middernacht.

De data dezer drie eclipsen zijn volgens de christelijke
tijdrekening, respectievelijk:

Hij vindt dan voor den straal van den epicykel 5° 14\',
waarvan de straal van den deferent er 60 bevat. Verder
vindt hij, dat de maan zich tijdens de tweede eclips op

04° 3 van het apogeum bevond en dat daaraan beant-
woordt eene Ti^po^\'&acpafpsati; van 4° 20\' of een aequatio
centri van — 4° 20\'.

De ware plaats der zon was tijdens de tweede eclips
25° 10\' ini en dus de ware plaats der maan 25° 10\' T
en dus de middelbare plaats der maan op 29° 30\'\' T-

Aldus bepaalde Ptolemaeus de eerste ongelijkheid of
aequatio centri der maan. Zij bereikt haar maximum,
wanneer de lijn getrokken van de aarde naar de maan
den epicykel raakt; dan is sin. aeq. centri = en dus
de grootste aequatie zelve = 5° . Wij weten, dat de
grootste waarde der middelpuntsvereffening is 6° 17\'.
Hierop komen wij bij de bespreking der evectie terug.

Bovendien begaat Ptolemaeus eene fout, door voor den
straal 57^° te stellen, terwijl zijne beide gevonden waar-
den slechts 5° 14\' en 5° 13\' zijn.

Dit moet toegeschreven worden aan de zucht der ouden
om met ronde getallen te werken.

Na deze berekening gedaan te hebben gaat Ptolemaeus
er toe over om de middelbare beweging in anomalie,
zooals Hipparchus die gevonden had, te verbeteren. Wij
hebben die verbetering reeds in § i opgenomen.

In het midden van de tweede der oude eclipsen was
de middelbare plaats der maan op 14° 44\' en hare
anomalie van het apogeum 12° 24\'.

In het midden van de tweede der eclipsen, waarge-
nomen door Ptolemaeus was de middelbare plaats der
maan op 29° 30\' T en hare anomalie van het apogeum 64° 38\'.

Dus volgt hieruit, dat in het tijdsverloop tusschen die
beide eclipsen de maan in hare middelbare beweging
heeft afgelegd boven de geheele omtrekken 224° 46\' in
lengte en 52° 14\' in anomalie.

het 2^® jaar van Mardokempad des avonds te 11^ 10"^
tot den Choïac van het 19*^® jaar van Hadrianus des
avonds te 1gelijk aan 854 egyptische jaren 73 dagen
en 23^ 50™ of met toepassing der tijdsvereffening 854
egyptische jaren 73 dagen en 23\'^ 20™ aan welks tijds-
verloop wij vinden uit de tafels, die Ptolemaeus voor de
middelbare bewegingen der maan in het derde hoofdstuk
van het vierde boek gegeven heeft, dat boven de geheele
omtrekken beantwoorden 224° 46\' in lengte en 52° 31\' in
anomalie» De beweging in lengte strookt dus volkomen met
die, welke uit de waarnemingen van Ptolemaeus volgt, maar
die der anomalie is 17\' te groot. Hij verdeelt nu die 17\'
over den verstreken tijd en vindt dan, dat hij van de
dagelijksche beweging in anomalie, zooals die door Hip-
parchus gegeven is, moet aftrekken 11"" 46""\' 39""" en
vindt dan voor de dagelijksche beweging in anomalie
13° 3\' 53" 56\'" 17"" 51..... 59.......

Ptolemaeus kiest nu tot epoche den i®\'®" dag der egyp-
tische maand Toth van het eerste jaar van Nabonassar.

\') Het egyptische jaar bestond uit 12 maanden elk van 30 dagen en
bovendien nog 5 /ii^ipxi snxy6iisvo:i, die achter de laatste maand werden
gevoegd.

In dien tijd is volgens de tafels de beweging in lengte:
123° 22\' en de beweging in anomalie: 103° 35\'.

De middelbare plaats der maan bij het midden der
tweede eclips was 14° 44\' ^^ , dus middelbare lengte 164° 44\'.

Derhalve middelbare lengte bij den aanvang der peri-
ode van Nabonassar 164° 44\' — 123° 22\' = 41° 22\'dus
11° 22\' b\'.

De anomalie was bij de tweede der eclipsen 12° 24\',
dus bij den aanvang der periode van Nabonassar 12° 24\' —
103° 35\' = 268° 49\'-

Ten slotte geeft Ptolemaeus eene tafel, waarmede men,
als de anomalie gegeven is, de irpocdacpatpsatc vindt, welke
upo^dapafpsai? of aeq: centri negatief is, wanneer de
anomalie < 180° en positief wanneer zij > 180° is, wordende
de anomalie altijd geteld van het apogeum. Daarom
wordt de eerste helft der loopbaan de substractieve, de
tweede helft de additieve genoemd.

De waarneming van de afstanden der maan tot de
zon, zoowel van Hipparchus als van hemzelven, deden

Ptolemaeus zien, dat deze waarnemingen niet overeen-
kwamen met de berekeningen, die gedaan waren met
inachtneming der eerste anomalie. Er moest dus nog
eene ongelijkheid zijn, die de oorzaak was, dat waarne-
ming en berekening niet overeenkwamen. Het bleek hem,
dat die ongelijkheid nul was in de syzygiën en ook in
de quadraturen, wanneer dan tevens de maan in het
apogeum of perigeum van den epicykel was; dat zij
echter het grootst was in de quadraturen, wanneer dan
tevens de aequatio centri het grootst was, dat zij boven-
dien altijd dê absolute waarde der eerste ongelijkheid
vergrootte.

Hieruit volgt, dat de verhouding van den straal des
epicykels tot dien van den deferent niet constant is,
zooals wij bij de beschouwing der eerste anomalie heb-
ben aangenomen, maar dat zij integendeel eene veran-
derlijke waarde bezit. Wilde Ptolemaeus dus zijne hypo-
these met de waarneming doen overeenkomen, dan moest
hij den straal van den epicykel nu eens grooter dan
weder kleiner doen worden. Om aan dit bezwaar te ont-
komen , liet hij den epicykel zich langs een excentrischen
cirkel bewegen, waardoor hij nu eens dicht bij de aarde
was, dan weder van haar verwijderd was, zoodat zijn
straal, hoewel op zich zelf constant blijvende, van de
aarde uit onder een verschillenden hoek gezien werd.
Hij stelde nu zijne hypothese zoo, dat het middelpunt
des epicykels tijdens de quadraturen in zijn perigeum,
tijdens de syzygiën in zijn apogeum was.

Hij nam een cirkel concentrisch aan de ecliptica en
gelegen in het vlak der maansloopbaan, welken cirkel
hij zich eenparig liet bewegen tegen de orde der teekens
in om de polen der ecliptica met eene hoeveelheid gelijk
aan het verschil der bewegingen van het argument van
breedte en van de lengte, dus gelijk aan de achteruit-
gaande beweging der knoopenlijn, die ongeveer 3\'daags
bedraagt. De maan beweegt zich op een epicykel tegen
de orde der teekens in overeenkomstig de restitutie der
eerste ongelijkheid. Hij nam nu in dit vlak der maans-
loopbaan twee eenparige aan elkander tegengestelde
bewegingen aan om het middelpunt der ecliptica; de eene
beweging doet het middelpunt van den epicykel volgens
de teekens draaien overeenkomstig de beweging van het
argument van breedte; de andere doet het centrum en
het apogeum van den excentriek draaien tegen de orde
der teekens in met eene hoeveelheid, die gelijk is aan
het verschil van de dubbele elongatie en de beweging
van het argument van breedte. Bovendien vergete men
niet, dat het middelpunt van den epicykel altijd op den
excentriek blijft. Het middelpunt van den epicykel door-
loopt dus in één dag 13° 14\' volgens de teekens; op de
ecliptica is dus de beweging 13° 11\' in lengte, omdat de
geheele cirkel zich in i dag 3\' heeft achteruit bewogen.
Het apogeum van den excentriek is in één dag terug-
geloopen een hoek gelijk aan tweemaal de dagelijksche

beweging in elongatie verminderd met de dagelijksche
beweging van het argument van breedte = 24° 23\' —

Door de tegengestelde richting der beide bewegingen,
die beiden plaats hebben om het middelpunt van den
dierenriem, zal die van het middelpunt des epicykels van
die van het middelpunt des excentrieks verschillen de som
van 13° 14\' en 11° 9\' — 24° 23\', hetgeen het dubbele is
der dagelijksche beweging in elongatie. Hieruit volgt,
dat de epicykel in ééne maand tweemaal den excentriek
zal doorloopen.

standen der maan t. o. v. zon en aarde resp. bij Nieuwe
Maan, Eerste Kwartier, Volle Maan en Laatste Kwartier,
terwijl fig. 11« ons een beeld geeft van den stand i dag
na Nieuwe Maan.

Zij in alle figuren A het noordelijkste punt, dat de
maan bereikt, B het punt, waar de lijn, die uit het
centrum der ecliptica naar het centrum des epicykels is
getrokken, den concentriek ontmoet, E het middelpunt
der ecliptica en dus de plaats der aarde, Z het centrum
van den excentriek en H het centrum van den epicykel.

Na i dag zal het noordpunt niet meer in het begin-
punt van T zijn, maar op 29° 57\' K; daar echter het
geheele vlak van teekening in deze beweging deelt, ver-

ändert de achteruitgang der knoopenlijn niets aan de
betrekkelijke ligging van epicykelcentrum en centrum
van den excentriek. Wat is er nu na één dag gebeurd?
Beschouwen we daartoe fig. II®. Het middelpunt van den
excentriek Z is tegen de teekens in gedraaid om het centrum
der ecliptica E een boog AD = 11 ° 9\' en EA een boog
volgens de teekens om E gelijk aan AB ==: 13° 14%
zoodat het middelpunt van den epicykel, die zich altijd
op den excentriek blijft bewegen, is gekomen in H.
(BD is dus gelijk aan 24° 23\' — 2 X 12° 11\'30\'\' 2 X
elongatie. De afstand tussehen het apogeum van den
excentriek en het middelpunt van den epicykel bedraagt
dus tweemaal de elongatie. Bij Eerste Kwartier (zie fig.
IP) is de elongatie 90°, dus (BD = 180° en staat dus
het middelpunt van den epicykel diametraal tegenover het
apogeum van den excentriek en is dus zelf perigeum;
hetzelfde heeft plaats bij Laatste Kwartier (zie fig. IP),
waar de dubbele elongatie 450° bedraagt, dus ook dan
bevindt zich het centrum van den epicykel het dichtst bij
de aarde. Bij Volle Maan is de dubbele elongatie 360°
en bevindt zich dus het epicykelcentrum in het apogeum
van den excentriek. Door deze hypothese heeft dus de
tweede ongelijkheid geen effect in de syzygiën, want
daar blijft de verhouding van den epicykelstraal tot dien
van de ecliptica juist dezelfde, als wij haar voor de eerste
ongelijkheid gevonden hebben. In de quadraturen daar-
entegen, waar het centrum des epicykels het dichtst bij
de aarde staat, is deze verhouding het grootst. Om nu

het maximum dezer tweede ongelijkheid te vinden heeft
Ptolemaeus de afstanden van zon en maan waargenomen,
op het oogenblik, dat de ware beweging der maan
nagenoeg gelijk was aan hare middelbare, dat is dus,
wanneer de lijn uit de aarde naar de maan getrokken
den epicykel raakt, want dan geeft de eerste ongelijkheid
de grootste Tcpo^OacpafpsaK;; dat bovendien de maan in een
harer kwartieren was, zoodat de epicykel in het perigeum
van den excentriek was en dat zij ten slotte in den
nonagesimus was en dus geene parallaxis in lengte had.
Wanneer al deze voorwaarden vervuld zijn zal men de
grootste upo^dacpafpsai!; vinden en hij vond haar onder die
omstandigheden gelijk aan 7° 40\', terwijl hem de waar-
nemingen tijdens de syzygiën slechts voor maximum
5° gaven, Om aantetoonen, dat 7° 40\' werkelijk de
maximumwaarde is heeft Ptolemaeus ons twee waarnemingen
overgeleverd, die aan de gestelde voorwaarden voldoen.

De eerste waarneming geschiedde in het jaar van
Antoninus^ den dag van Phamenoth te 18^ 45™ (8

Feb. 138 j. n. Chr.) Zij gaf voor de ware plaatsen van
zon en maan respectievelijk 18\'50\' en 9° 40\' ITL; in
den meridiaan stond 4° cT. Berekenen we nu met behulp
der tafels door Ptolemaeus in het vierde boek gegeven
de middelbare plaatsen dezer beide hemellichamen. Sedert
het begin der periode van Nabonassar zijn verloopen

\') De nonagesimus is de groote cirkel, die door het zenith en de
pool der ecliptica gaat.

885 egyptische jaren, 203 dagen, 18 uur en 45 minuten.
Wij krijgen dan voor de middelbare plaatsen:

Brengen we aan de zonneplaats de middelpuntsvereffening
aan, dan krijgen we voor hare ware lengte 318° 50\',
dus juist de waarde, die Ptolemaeus door waarneming
met zijn astrolabium verkregen had.

De elongatie = 270° bewijst, dat er in de quadratuur
waargenomen is, en de anomalie = 87° 19\' geeft de
grootste aequatio centri. Nu is:

De ware beweging was dus 7° 40\' kleiner dan de
middelbare, de TCpoc&acpafpsoi? dus negatief, hetgeen ook
moest, daar de anomalie < 180° is en we in het vorige
hoofdstuk gezien hebben, dat de door de anomalie veroor-
zaakte ongelijkheid in dat geval negatief is, terwijl de
tweede ongelijkheid altijd de absolute waarde der eerste
vergroot.

Het tweede voorbeeld, dat Ptolemaeus geeft en dat
eene waarneming van Hipparchus te Rhodus is, zal ik
nog geven om te doen zien dat Ptolemaeus wel eens
grootheden verwaarloosde, die ook voor zijne instrumenten
zeer goed merkbaar moeten geweest zijn.

Tijd der waarneming: 52®\'® jaar der derde periode van
Calippus, 15 Epiphi 50\'".

Waargenomen plaatsen geven: Ware lengten
O 8° 35\' a € 12° 2o\' b\' 0 128° 35\' € 42° 20\'
De elongatie was 86° 15\'.

619 egyptische jaren ,314 dagen, 17 uur en 45 minuten,
waaruit we vinden Midd. lengten © 130° 27\' C 34° 25\'
Anomalie 257° 47\'.

We vinden dus Ware Maan —• Midd. Maan = 42° 20\' —
34° 25\' — 7° 55\'. Om nu echter toch 7° 40\' te verkrijgen,
zocht Ptolemaeus de ware lengte zon door toepassing
van de middelpuntsvereffening aan de middelbare zon en
vindt dan voor de ware lengte zon 128° 20\', dus 15\' minder
dan uit de waarneming. Nu zegt hij;

Door nu (a) van (jS) af te trekken en waargenomen en
berekende ware zon gelijk te stellen; door dus 15\' te
verwaarloozen komt hij tot het door hem gewenschte
resultaat: Ware Maan — Middelbare Maan — 7° 40\'.

Nu kwam het er nog slechts op aan te weten, hoe
groot de excentriciteit der maansbaan moest genomen
worden, opdat de gestelde hypothese met de waarneming
overeenkwam. Dit was, nu men de maximumwaarde
der ongelijkheid kende, geene moeilijke zaak.

zullen wij spoedig tot het gewenschte resultaat komen.
Gevraagd wordt dus de verhouding van DE: AE.
(figuur III.) Zij ABC de excentriek met centrum in D,
E het middelpunt der ecliptica, A het apogeum van den
excentriek, C het perigeum, ZHT de epicykel, dan is
/ CET, dien de tangens uit E aan den epicykel getrok-
ken met AC maakt, de grootste Tcpoi^dacpatpsat?, dus
Z CET = 7° 40\' waarvan 360° 4 rechte maken of
/CET =15° 20\' „ 360^2 „
dus boog onderspannen door CT gelijk aan 15° 20\',
waarvan de cirkel om CET er 360 bevat, dus CT = 16°,
waarvan CE er 120 heeft, maar CT = 5° 15\' waarvan
EA er 60 heeft.

CE AE = 39° 22\' 60 = 99" 22\' - AC.
DC = V. AC = 49° 41\' en DE DC — CE =
49° 41\' — 39° 22\' = 10° 19\', waarvan AE er 60 heeft
of DE : AE = 10° 19\': 60°, Bovendien vinden we EC :
CT 60 : 8. Aldus is de verhouding van de excentri-
citeit gevonden.

Ten slotte rest ons nog in deze paragraaf na te gaan,
in hoeverre Ptolemaeus de ontdekker der evectie is, die
tot formule heeft: A sin (2 X •— 2 X\' — a). Wij hebben
gezien, dat Ptolemaeus voor de maximumwaarde der
tweede ongelijkheid vond 2° 40\'; nu is de maximumwaarde
der evectie (zie Gyldén, pag. 106) 1° 20\'; hij bepaalde
dus de waarde der evectie tweemaal te groot. De maximum-

waarde der middelpuntsvereffening vond Hipparchus en
nam ook Ptolemaeus aan als te zijn 5° i\'; deze waarde
is 6° 17\', deze waarde was dus ongeveer evenveel te
klein als de evectie te groot was; dit was een gevolg
daarvan, dat in de syzygiën en de quadraturen evectie
en aequatio centri tot een term samenvielen; want bij
Nieuwe en Volle Maan is 2 (X ■— X\') = o en = 360°,
dus wordt de evectie daar — 1° 20\' sin a; daar de
middelpuntsvereffening 6° 17\' sin a is, wordt deze dus in
de syzygiën verkleind en komt dan tot ongeveer de door
Ptolemaeus gevonden waarde van 5°. In de quadraturen
daarentegen wordt de evectie 1° 20\' siit a en dat ge-
voegd bij 6° 17\' sin a, geeft 7° 40\' ongeveer, juist de
waarde van Ptolemaeus.

Wij kunnen dus zonder twijfel Ptolemaeus als de ont-
dekker der evectie beschouwen, evenals Hipparchus van
de aequatio centri, al waren beider waarden niet geheel
overeenstemmende met de waarheid.

De hypothese van den zich op een excentriek voort-
bewegenden epicykel, die ons tot hiertoe gebracht heeft,
verklaart volkomen de phenomenen der maan, wanneer

deze zich in de syzygiën en in de quadraturen bevindt.
Is zij echter niet op deze plaatsen, dan vinden we, wan-
neer wij de plaatsen der maan met de tot hiertoe gevolgde
hypothese berekenen een verschil tussehen waarneming
en berekening, welk verschil opgeheven wordt, zoo er
nog slechts eene kleine wijziging in de hypothese gebracht
wordt. Tot hiertoe namen we aan, dat de apsidenlijn
des epicykels steeds gelegen was in de lijn, die de mid-
delpunten van excentriek en concentriek vereenigt; om
nu de hypothese ook geldig te maken voor de [xsaat dTroaxaast?
nam Ptolemaeus aan, dat de apsidenlijn steeds gericht
was naar een punt op de lijn, die de middelpunten van
excentriek en concentriek vereenigt, dat zich op een
afstand van het middelpunt des concentrieks bevond naar
den kant van het perigeum. des excentrieks gelijk aan den
afstand der middelpunten van excentriek en concentriek.
Duidelijk is het dat deze suppositie in de syzygiën en de
quadraturen geen verschil oplevert, daar dan de richting van
de apsidenlijn naar dat punt samenvalt met de richting naar
de middelpunten van excentriek en concentriek. Deze
kleine slingering der apsidenlijn noemde Ptolemaeus de
irpd^vsuati; xou èiïtxóyloo. Uit de waarnemingen, die Hip-
parchus te Rhodus van de maan gedaan had, leidde
Ptolemaeus deze hypothese af. Wij zullen hem hierbij
volgen. De wanverhoudingen in de figuur wijte men
daaraan, dat wilde men haar naar de ware proportiën
teekenen, de figuur óf te klein zou worden om duidelijk
te blijven, óf te groot om hier op papier gebracht te

197®*^® jaar na den dood van Alexander, 10 Pharmuthi,
18^ 20™ (i Mei 128 V. Chr.)

Waargenomen ware lengten:
O = 37°45\' C = 351° 27\'. Ware elongatie ([ — © = 313° 42\'.

Hieruit afgeleide middelbare lengten:
• 0 = 36° 41\' ([352° 13\'. Midd:elong. C —0 = 3i5°32\'.
Anomalie — 185° 30\'.

Berekent men met toepassing der aequatio centri uit
de middelbare lengte der zon hare ware lengte, dan vindt
men 37^45\', hetgeen met de waarneming overeenkomt.
Bovendien is Midd. Maan — Ware Zon = 314° 28\'.

Het punt van den epicykel, gelegen aan het uiteinde
der lijn, die het middelpunt van den dierenriem met dat
van den epicykel vereenigt, noemt Ptolemaeus het ware
apogeum; het punt, gelegen op het uiteinde der apsiden-
lijn noemt hij het middelbare apogeum.

Zij ABC (zie fig. IV.) de excentriek beschreven om D,
E het centrum der ecliptica en zij om B de maans-epicykel
beschreven. Het middelpunt van den epicykel beweegt
zich volgens de teekens, de maan op den epicykel tegen
de teekens in. Trek DB en ETBZ, dan is Z het ware
apogeum.

De hoek tusschen het middelpunt van den epicykel en
het apogeum van den excentriek is gelijk aan de dubbele
elongatie = 631° , dus inspringende hoek AEB = 271° 4\',
derhalve de uitspringende Z AEB = 88° 56\', waarvan
360 gelijk aan 4 rechte,

Z DEB = 177° 52\', waarvan 360 gelijk aan 2 rechte
dus boog onderspannen door DK = 177° 52\', waarvan
cirkel om DEK er 360 heeft,

j 120: 100 ig\'= I i905g\'::ï;.volgtDK= 10° 19\'1 waarvan DE
■ I 120: 10° 19\'= „ EK= 0° 12\') 10° 19\' heeft.

DB d. i. de straal van den excentriek is in de vorige
paragraaf gevonden gelijk te zijn aan 49*^ 4
BK = l/" DB\'^ — DK\'^ == 48° 36\'

Nu is: Middelbare lengte ([ — Ware lengte O 3 14° 28\'
Ware lengte ([ — Ware lengte 0 = 313° 42\'
dus Middelbare lengte ([ — Ware lengte (£ = 0° 46\'

De middelbare maan bevond zich in T, dus de ware
maan in H, zoodanig, dat Z BEL — 0° 46\' is, waarvan
360 4 rechte maken en Z BEL = i°32\', waarvan 360
2 rechte maken, dus boog onderspannen door BL = 1° 32\',

waarvan de cirkel om BEL er 360 heeft, dus BL — 1° 36\'
waarvan BE er 120 heeft.

Uit 120: 48° 48\' = i°36\': X volgt: BL o°39\',
waarvan BE er 48° 48\' heeft en BH 5° 15\'

Uit 5° 15\': 120 = 0° 39\': volgt weder BL == 14° 52\',
waarvan BH er 120 heeft en de boog onderspannen door
BL = 14" 14\', waarvan de cirkel om BHL er 360 heeft, dus:

Z EBH = 6° 21\' „ „ vier
dus ( HT tusschen de maan en het ware perigeum = 6° 21

Tijdens de waarneming was de maan op 185° 30\' van
het gemiddelde apogeum, dus 5^30\' voorbij het middel-
bare perigeum. Onderstellen we nu het middelbare
perigeum in M, dan is

( TM = 11° 51\' of Z EBX = 11° 51\', waarvan
360 4 rechte maken of Z EBX = 23° 42\', waarvan 360
2 rechte maken, dus boog onderspannen door EX =
23° 42\', waarvan de cirkel om EBX er 360 heeft.

Uit 120: 48° 48\' = 24° 39\': jv volgt EX =r= 10° 2\',
waarvan BE er 48^48\' heeft en BH 5° 15\'.

ZENB=i54°io\' „ „ „
dus ( onderspannen door EX 154° 10\', waarvan cirkel
om ENX er 360 heeft, dus EX:= 116° 58\', waarvan EN
er 120 heeft.

Uit 116° 58\': 10° 2\' = 120: Jt: volgt eindelijk EN =
10° 18\', waarvan EX er 10° 2\' heeft en DE er 10° 19\'
heeft, dus EN == ED.

We zien dus, dat voor deze waarneming de richting
van de apsidenlijn, zooals Ptolemaeus die in de hypothese
gesteld heeft, geldt.

Met eene tweede waarneming van Hipparchus komt
Ptolemaeus tot hetzelfde resultaat. Daar verwaarloost
hij echter weder 14\', die de berekende ware lengte der
zon met de waargenomene verschilt.

Bij deze waarneming was de Tcpo^ilacpatpsai? i°26\'. ^ Hij
volvoert verder de omgekeerde bewerking en neemt als
bewezen aan, dat DE EN is en komt dan weder tot
de gevonden Tcpo(;{}acpaipeai? van 1° 26\'.

Ten slotte construeert de alexandrijnsche astronoom
tafels, waaruit op elk oogenblik de middelbare plaats
der maan kan berekend worden. Tot zoover gaat de
maanstheorie van Ptolemaeus.

Zooals wij in de vorige bladzijden gezien hebben, vol-
deed de hypothese van eene maan, die zich in een epi-
cykel bewoog, welke laatste weder door een excentriek
gedragen werd, vrij wel aan de waarneming, wat de
lengte en breedte der maan betrof. De derde ongelijk-
heid werd, zooals wij in het volgende hoofdstuk zullen
aantoonen, door Ptolemaeus niet ontdekt; hij schijnt haar
bij zijne waarnemingen niet bemerkt te hebben. De groote
astronoom op het einde der Middeleeuwen, Nicolaus
Coppernicus (1473—1543) opperde in zijn in 1543 te
Neurenberg verschenen werk revolutionibus orbium

coelestiiini\'\' bezwaren tegen de theorie van den alexan-
drijnschen geleerde, die mijns inziens volkomen gegrond
zijn. Vooreerst toch is de hypothese van Ptolemaeus in
strijd met de onderstelling, waarvan zij uitgaat, namelijlc
dat alle bewegingen in de cirkels, waarin zij plaats heb-
ben , eenparig zijn, want al neemt Ptolemaeus aan, dat het
middelpunt des epicykels zich met eene eenparige snelheid om
de aarde als centrum universi beweegt, zoo is de beweging
van dat middelpunt in den excentriek, waarop het gedragen
wordt, toch niet eenparig en doorloopt het in dien cirkel
in gelijke tijden geen gelijke bogen. Bovendien neemt

de anomalie der maan, zooals Ptolemaeus dit woord ver-
staat, wel is waar regelmatig toe, maar de apsidenlijn,
van waar zij geteld wordt, is zelve aan kleine schomme-
lingen onderhevig- (Trpó^vsuati;), zoodat ook hier moeilijk
van eene eenparige beweging kan sprake zijn. Ten
tweede zoude volgens Ptolemaeus de maan in hare qua-
draturen tweemaal dichter bij de aarde kunnen staan dan
in de syzygiën. Want "zegt, Goppernicus , de grootste
afstand der maan tot de aarde bedraagt volgens alle
mathematici 647« aardstralen, terwijl die afstand in de
quadraturen volgens de theorie van Ptolemaeus zou kunnen
gereduceerd worden tot ongeveer 33\'V2o aardstralen en
dus de maan in hare kwartieren tweemaal dichter bij ons
zou kunnen staan dan bij Nieuwe en Volle Maan. Wij
zullen deze uitspraak van Goppernicus narekenen en
daaruit zien, dat zijne berekening goed is. Wanneer de
maan het dichtst bij de aarde staat, staat zij in het peri-
geum van den epicykel, welks centrum dan in het perigeum
van den excentriek staat. Haar afstand van de aarde is
dan (zie fig. III) = EC — CT; EC is = 39^ 3525, CT =
■gg EC = 2470, dus kleinste afstand der maan tot de
aarde = EC — CT = 34^^ 1055- De maan is het verst
van de aarde verwijderd, wanneer zij zich bevindt in het
apogeum van den epicykel, terwijl deze staat in het
apogeum van den excentriek; deze afstand is gelijk aan
AE CT -f 52470 = 65d 2470; deze afstand

is echter volgens Goppernicus — 64.1666 aardstralen;
uit de evenredigheid 65.25:64.17 = 34.10 volgt dan,

dat de kleinste afstand is — 33^ aardstralen, wat onge-
veer gelijk is aan 33\'/20 aardstralen, de waarde die
Coppernicus geeft. De parallaxis der Maan zoude dus
bij den grootsten afstand tweemaal kleiner zijn dan bij
den grootsten, en dus de Maan bij hare kwartieren
tweemaal grooter middellijn, d. i. vier maal grooter opper-
vlakte hebben dan bij hare syzygiën. Dit nu is volkomen
in strijd met de waarheid. Ptolemaeus heeft hier echter
niet op gelet en wel, omdat het hem voornamelijk te doen
was de beweging in lengte der Maan voortestellen en
hem den afstand van dit hemeUichaam van minder ge-
wicht voorkwam. Alleen werd die afstand van belang
bij de ecliptische syzygiën, daar hij dan van invloed was
op de grootte der maansverduisteringen en juist bij de
syzygiën kwam de afstand der maan vrij wel met de
werkelijkheid overeen. De afstand in de kwartieren boe-
zemde hem. geen belang in. En zooals Kempf zegt:
„Warum sollte er also seine Theorie, die den Mondlauf
so gut darstellte, eines Umstandes wegen verwerfen,
welcher ihm von keinem Interesse war, da er doch selbst
als seine Aufgabe angiebt: iretpaadoti [xèv coç Ivi {xaXiaxa
xàç aitXouoTepaç xôov uuo&eastov éfpapjxo\'Cstv xaïç, sv xw oùpavo)

Om aan deze bezwaren tegemoet te komen slaat Cop-
pernicus eene andere hypothese voor, die toch aan de

waarnemingen voldoet. Hij acht het niet noodig een
excentriek aan te nemen om de evectie te verklaren; hij
komt tot dezelfde resultaten als Ptolemaeus door nog een
tweeden epicykel aantenemen. Het centrum van den eer-
sten, of zooals hij hem noemt, den grooten epicykel
beweegt zich rechtloopend in een cirkel in het vlak der
maansbaan om de aarde en volbrengt ééne omwenteling
per siderische maand. Op den omtrek van den grooten
epicykel beweegt zich in ééne anomalistische maand het
middelpunt van den tweeden of kleinen epicykel terugloopend.
Hiermede wordt de elliptische beweging voorgesteld,
volkomen als met de theorie der excentriciteit, zoodat de
excentriciteit ook even goed 2 maal te groot wordt aan-
genomen. Immers volgens de opgave van Coppernicus
is hier de excentriciteit of de straal van den grooten
epicykel gelijk aan 0.1097 2 x 0.05485, als de afstand
van het centrum des grooten epicykels tot de aarde gelijk
aan de éénheid is. In dien tweeden epicykel beweegt zich
de maan zelve rechtloopend en wel zoo, dat zij tweemaal
per synodische maand eene omwenteling volbrengt. Den
straal van den kleinen epicykel neemt Coppernicus =0.0237.
De beweging is nu zoodanig, dat de maan zich tijdens
de syzygiën het dichtst bij het centrum van den grooten
epicykel bevindt, tijdens de quadraturen er het verst van
verwijderd is. Door deze hypothese wordt de parallaxis
der maan in veel geringer mate veranderd, dan het ge-
val was bij de hypothese van Ptolemaeus, want terwijl
deze bij Ptolemaeus bij den grootsten afstand ongeveer

tweemaal kleiner was dan bij den kleinsten, is de ver-
houding der parallaxen bij Coppernicus ongeveer gelijk
aan 5 : 6. Want de stralen der drie cirkels respectievelijk
gelijk aan , en stellende, is de grootste afstand van
maan en aarde — a b — c = i 0.1097 — 0.0237 ~
1.0860 en de kleinste = a — {b — c) — i — 0.0860 —
0.9140, derhalve de verhouding der parallaxen = 914 :
1086 = 5:6.

Coppernicus ontwikkelt nu met zijne hypothese volgens
de waarnemingen van Ptolemaeus en zijne eigene de
eerste en tweede ongelijkheid der maan. Hij komt daarbij
tot dezelfde resultaten als de Alexandrijn. Wij zullen
nu nog zien in hoeverre Coppernicus met Damoiseau over-
eenkomt. Daartoe ontwikkelen we de vergelijking van Cop-
pernicus door middel van de theorie der epicyklische
beweging. Wij hebben hier met drie cirkels te doen, dus
hebben we voor de beweging de volgende formules:

R\' X = X = R L H- r (L /) / cosi^L 1 l\')
R\' sin X - Y - R sin L r sin (L -f- /) r sin (L /

waarin X de ware lengte en L de middelbare lengte is,
/ = - - M en = 2 D, zijnde M de anomalie en D de
elongatie, R is de straal van den deferent, r dien van
den grooten epicykel en r\' dien van den kleinen epicykel,
r\' is in dit geval negatief Nu is

sinMcosHL-j-

^sin (2 D — 2 M)

Verder is X - L - tg (X — L) V.. tg^ (X — L),
maar wij behoeven blijkbaar bij het ontwikkelen van dezen

rr\'

20\' 7 sin 2 M i ■ o\' 4 sin 3 M 8\' 9 sin (2 D — 2 M) —
— I\' O sin (4 D — 2 M);

dus gezamenlijke vereiïening volgens Coppernicus:
X — L = 6° i8\' 2 sin M — 8i\' 5 sin (2 D — M)
20\' 7 sin 2 M o\' 4 si7i 3 M 8\' 9 sin (2 D ~ 2 M) —

Volgens Damoiseau is deze echter, de variatie natuur-
lijk niet medetellende, en de hoogere termen verwaar-
loozende:

X — L = 6° 17\' 3 sin M - 76\' 5 sin (2 D — M)
4- 12-8 sin 2 M — o\' 6 sin 3 M 3\' 5 sin (2 D — 2 M) —

Coppernicus—Damoiseau — — o\' 9 sin M — 5\' o sin
(2 D" M)-f 7\'9^m2M-4- i\'osin3M 5\'4sin(2D—2M)_
Wij zien dus, dat de hypothese van Coppernicus tot
resultaten voert, die vrij wel overeenkomen met die van
Damoiseau. Het verschil tusschen hen is voor:

D = O of 360° : 4\' I sin M -f- 2\' 5 .w? 2 M -f- i\'o sin 3 M,
bedragende in maximo: 6\' 12.

D = 90° of 270°:— 5\'9 sin M -f- 13\'3 sin 2 M
4- i\'O sin 3 M, bedragende in maximo: 10\'2.

D = 45° : — O\' 9 sin M — 5\' o cos M sin 2 M -f
-f i\'o i-m 3 M 5^4 2 M , bedragende in maximo : 5\' 8.

Om de vraag aan het hoofd dezer paragraaf te beant-
woorden, moeten wij nagaan, wat Ptolemaeus voor de
octanten gedaan heeft en worden we daardoor van zelf
geleid tot eene nadere beschouwing der Tipó^vsuat?.

Zooals wij gezien hebben is de irpd^vsuan; eene kleine
schommeling der apsidenlijn, waardoor de anomalie, d. i.
de hoek, dien de radius vector der maan in den epicykel
maakt met de lijn, die het middelpunt van den epicykel
met diens apogeum verbindt, eene correctie ondergaat.
Noemen wij die correctie Delambre heeft haar in eene

Wanneer we deze breuk in eene reeks ontwikkelen en
de gevonden waarden voor EB en 1 aanbrengen, dan
krijgen we :

aequatie vlg. Ptolemaeus voor het le octant
== — 6° 3\' 3 sin M 18\' 3 sin 2 M — 1\' 2 sin 2> ^

— 1° 17\' I cos M I cos 2 — O\' g cos ^ M.
Wanneer 2 D = 90° is, geeft ons Damoiseau:

— 1° 16\' 5 39\' 5, zijnde 39\' 5 de variatieterm.
Dus : Damoiseau—Ptolemaeus

O\' 6 iTö-s- M — 8\' I 2 M o\' 9 3 M 4- 39\' 5
Is 2 D = 270° of 630°, dan is de laatste term negatief.

Laten we den variatieterm 39\' 5 buiten rekening en
berekenen we het verschil tusschen Damoiseau en Ptole-
maeus voor de verschillende waarden van M, dan krijgen
we voor maximumwaarde van dat verschil 24\', terwijl

het voor enkele waarden van M zelfs nul wordt. Nemen
wij de variatie echter wel in aanmerking, dan groeit het
maximumverschil tot i° 3\' 5 en wijken dus de oude en
nieuwe theorie merkelijk meer van elkander af.

Wij zien dus uit de reeksen van Damoiseau en Ptole-
maeus dat in die van Ptolemaeus de variatieterm 39\' 5
niet voorkomt, dat hij dus de variatie niet heeft gekend
en dat we de ons gestelde vraag volmondig met neen
kunnen beantwoorden.

Waarschijnlijk moet de onbekendheid van Ptolemaeus
met de variatie geweten worden aan minder nauwkeurige
waarneming en berekening.

Tycho Brahe (1546—1601), die zich vooral door zijne
voor dien tijd zeer nauwkeurige waarnemingen eene groote
verdienste jegens de sterrekunde verworven heeft, heeft
in zijn werk ,,Astronomiae instaurataeprogymnasmata\\ dat
voornamelijk handelt over de nieuwe ster van het jaar 1572 ,
die zich toen plotseling in het sterrebeeld Cassiopeja had
vertoond, eene nieuwe hypothese voor de maansbeweging

gegeven, die hij uit zijne eigene waarnemingen over een
tijdsverloop van 27 jaar had opgebouwd. Hij bemerkte
uit die waarnemingen, dat de beweging der maan niet
overeenkomt met de hypothesen, die tot nog toe gesteld
waren, noch met die van Ptolemaeus, noch met die van
Coppernicus; hij vond namelijk in de maansbewegingen
een veel grootere verwikkeling en verscheidenheid van
ongelijkheid, dan tot nog toe door iemand was aange-
nomen. Tycho stelt derhalve om de beweging der maan
te verklaren een andere hypothese en wel de volgende,
waarvan wij de vertaling hier laten volgen. Zij A (zie
fig. V) de aarde, het centrum universi (zooals bekend is
verwierp Tycho het Coppernicaansche wereldsysteem), B
een centrum buiten de aarde, waarom een kleine cirkel
beschreven is, die door A gaat; in dien kleinen cirkel
beweegt zich het middelpunt van den excentriek FPRQ
zoodanig, dat het bij elke ware conjunctie en oppositie
in A is, van daar opklimt naar D en bij elke quadra-
tuur is in C op den grootsten afstand van de aarde.
Op den excentriek beweegt zich het middelpunt van den
epicykel GHIO. Daar nu echter de excentriek en de
epicykel niet voldoende zijn om de ongelijkheid der maan
te verklaren, neemt Tycho nog een cirkeltje aan, welks
centrum zich zoodanig op den eersten epicykel beweegt,
dat het in G is, wanneer de maan in haar apogeum is,
en van daar langs GH naar beneden gaat en na het
perigeum I gepasseerd te zijn, weder opklimt, totdat het
zich na ééne omwenteling der anomalie (die in 27 dagen,

13 uur, i8 minuten en 35 seconden plaats heeft) weder
in het apogeum G bevindt. In dat aangenomen cirkeltje
beweegt zich de maan zoodanig, dat wanneer het cen-
trum in het apogeum G is, de maan in K is, in het
punt, dat het dichtst staat bij het centrum van den eer-
sten epicykel. De beweging nu der maan in dat cirkeltje
is tegengesteld aan, en tweemaal zoo snel als de beweging
van het centrum van dat aangenomen cirkeltje, zij, de
maan, volbrengt n.1. ééne periode in 13 dagen, 18 uur,
39 minuten, 17 seconden en 30 tertsen. Van daar,
wanneer zijn centrum (van het aangenomen cirkeltje) was
op de plaats midden G en I, d. i. bij H of O, dat dan
de maan zelve is in M op den grootsten afstand van het
centrum van den eersten epicykel. Tot hiertoe zien we
dus, dat de hypothese van Goppernicus en Tycho dezelfden
zijn, alleen met dit verschil, dat de deferent excentrisch
is t. O. v. de aarde. Maar daar Tycho door veelvuldige
en nauwkeurige waarnemingen gevonden heeft, dat deze
cirkels nog niet voldoen aan alle verschijnselen en wel
als de maan in de octanten of de plaatsen gelegen mid-
den tusschen de quadraturen en de syzygiën is, wanneer
Zon en Maan anderhalf teeken d. i. 45° van elkander
verwijderd zijn en zich daar bovendien nog eene zekere
ongelijkheid en een vrij duidelijk bemerkbaar verschil voox-
doet, schijnt het noodig nog een ander klein cirkeltje
toetevoegen, waardoor deze Variatie wordt verklaard, in
welk cirkeltje het centrum van den grooten epicykel heen
en weer gaat, niet in den omtrek maar langs den dwarsen

diameter, welke beweging eene prosthaphaeresis veroor-
zaakt, die altijd aan de middelbare lengte der maan moet
worden toegevoegd van de conjunctie en de oppositie af
tot de quadraturen en daarvan moet worden afgetrokken
van de quadraturen af tot de conjunctie en oppositie,
opdat zij de ware plaats van het centrum des grooten
epicykels aangeeft. De beweging nu van deze libratie
van het middelpunt F wordt gemeten door den dubbelen
waren afstand van zon en maan en zij brengt eene maxi-
mumvariatie van 40\' -^o" teweeg, die in het eerste en
derde octant additief en in het tweede en vierde octant
substractief is, zooals voldoende blijkt uit de tafels der
prosthaphaeresis, die hij in zijn werk geeft. De proporties
van deze cirkelomtrekken verhouden zich aldus, dat als
de straal van den excentriek AF = 100000 is , FG
5800, GM = 2900 en BA = 2174 is. De straal van
het cirkeltje om F wordt gemeten door den boog van
40\'\' 30", dien hij onderspant. Uit deze gegeven afme-
tingen der cirkels verkrijgt men voor den grootsten hoek
van de eerste ongelijkheid, die zich voordoet bij Nieuwe
en Volle Maan 4° 58% eene waarde, die weinig verschilt
met die van Ptolemaeus; voor den grootsten hoek van
alle ongelijkheden in de quadraturen 7° 28\', een waarde,
die Vs^ kleiner is dan die van Ptolemaeus.

Op deze wijze verklaarde Tycho Brahe den loop der
maan met inachtneming der Variatie, die hij uit zijne
waarnemingen had gevonden.

In 1836 beweerde Sédillot in de zitting der fransche
academie van wetenschappen, dat Tycho Brahe niet de
eerste zou geweest zijn, die de Variatie had ontdekt,
maar dat zij reeds 6 eeuwen vroeger door Mohammed-
Abul-Wefa-al-Bouzdjani, die omstreeks 975 te Bagdad
leefde, zoude ontdekt geworden zijn. In zijn werk ,,Alma-
gest"" genaamd, beschrijft hij de ongelijkheden der maan.

Hierbij zegt, volgens de vertaling van Sédillot (zie
Nouveau Journal Asiatique T. XVI p. 434), Abul Wefâ
het volgende :

„Section X. De la troisième anomalie (ou inégalité) de
la lune, appelée muhazat (prosneuse).

Item, après avoir déterminé les deux anomalies dont
nous venons de donner la description, et que nous avons
expliquées, l\'une par le moyen d\'un épicycle, savoir la
première anomalie, que nous avons vue constamment lors
des conjonctions et des oppositions, et dont nous avons
reconnu la grandeur par des observations consécutives;
ayant trouvé que dans ces mêmes temps elle ne s\'élève
pas au delà de cinq degrés environ, mais qu\'elle y peut
être moindre, et même quelquefois tout à fait nulle, tan-
dis qu\'en d\'autres temps, c\'est à dire hors des conjonc-

tions et oppositions (l\'auteur arrive ainsi à la seconde
inégalité), nous avons vu qu\'elle peut être plus grande,
parvenant à son maximum, comme nous l\'avons reconnu,
lorsque la lune et le soleil sont près de la quadrature,
et pouvant alors augmenter de deux degrés deux tiers
environ, quoiqu\'elle puisse être moindre et même nulle ;
et nous avons expliqué cette modification (de la première
anomalie par la seconde) au moyen d\'un excentrique.

Or, après avoir déterminé ces deux anomalies et l\'ex-
centricité, savoir la distance du centre de l\'excentrique
au centre du zodiaque, nous avons trouvé encore une
troisième anomalie, qui a lieu lorsque le centre de l\'épi-
cycle est entre l\'apogée et le périgée de l\'excentrique,
et qui atteint à son maximum lorsque la lune est en trine
et en sextile avec le soleil environ, mais qui n\'a pas lieu
et que nous n\'avons reconnue ni dans les conjonctions et
oppositions, ni dans les quadratures.

Ainsi, après que nous avons déterminé le mouvement
de la lune en longitude et son mouvem-ent en anomalie,
nous avons considéré le temps où, par rapport à l\'épi-
cycle , il n\'y a pas d\'anomalie ; c\'est à dire le temps où
la lune est à l\'une ou l\'autre distance, apogée et péri-
gée , de l\'épicycle ; car, lorsque la lune est dans l\'un ou
l\'autre de ces deux points, elle n\'éprouve aucune des
deux (premières) anomalies, et son mouvement devrait
être égal au mouvement moyen, savoir à celui qui a lieu
autour du centre du monde.

la lune et le soleil est telle que nous l\'avons dit, nous
lui avons trouvé (à la lune) une troisième anomalie d\'en-
viron une demie et un quart de degré (quarante cinq
minutes) \' à peu près. Pour cela nous avons observé la
lune dans les temps indiqués, et nous avons eu son lieu
vrai dans un des degrés du zodiaque (sphère des signes).
Nous avons en même temps cherché son lieu par le cal-
cul , que nous avons corrigé par les deux anomalies
ci-dessus décrites, et nous l\'avons trouvé plus grand ou
plus petit que celui-là d\'environ une demie et un quart
de degré; et nous avons trouvé que cette anomalie est
au-dessous de cette quantité, lorsque la distance de la
lune au soleil est plus petite ou plus grande que le sex-
tile ou le trine. D\'après cela nous avons reconnu qu\'elle
existe indépendamment des deux autres que nous avons
précédemment décrites; or cela ne peut avoir lieu que
par l\'effet d\'une déclinaison (changement de position ou
de direction) du diamètre de l\'épicycle à l\'égard du point
(littéralement : de la direction du point) autour - duquel se
fait le mouvement égal ou moyen, savoir le centre du
zodiaque.

Le diamètre de l\'épicycle ne peut décliner (changer de
position à l\'égard) du point autour duquel a lieu le mou-
vement moyen, sans qu\'il arrive à la lune une anomalie
dans le zodiaque (sphère des signes), et cela parce que
l\'apogée de l\'épicycle varie et que la ligne menée du
centre du zodiaque au centre de l\'épicycle ne passe plus
par le lieu oii elle passe dans les temps où le centre de

l\'épicycle est vers l\'une ou l\'autre distance, apogée ou
périgée, de l\'excentrique, et qu\'ainsi il y a variation dans
la distance de la lune à l\'apogée de l\'épicycle (projeté
sur la sphère des signes). Quant au mouvement de la
lune sur son épicycle, nous avons établi qu\'il commence
à l\'apogée lorsque le centre de l\'épicycle est vers l\'une
ou l\'autre distance, apogée ou périgée, de l\'excentrique;
et, après avoir considéré attentivement ce que nous avons
exposé et déduit pour ce point, nous avons trouvé que
sa distance au centre du monde, vers le côté du périgée
de l\'excentrique, sur la ligne qui passe par les centres,
est égale à la distance qui est entre le centre, du zodiaque
et le centre de l\'excentrique."

Indien de bewering van Sédillot waarheid bevatte, zou
de uitspraak van Laplace en Delambre, dat de Arabieren
niets aan de theorie der ouden hebben toegevoegd, be-
wezen zijn bezijden de waarheid te zijn. De fransche
academie benoemde eene commissie, bestaande uit Biot,
Arago, Damoiseau en Libri om de zaak te onderzoeken;
deze commissie verklaarde zeven jaar later en wel 7 Au-
gustus 1843, dat de zaak niet tot die behoorde, waarover
de academie gewoon is een oordeel uittespreken.

Hiermede was de strijd echter niet geëindigd en vöoral
de tegenwerpingen van Libri legden in den beginne een
groot gewicht in de schaal. Deze toch redeneerde aldus :
Indien Abul Wefâ de derde ongelijkheid der maansbewe-
ging gevonden heeft, hoe komt het dan, dat geen der
latere arabische schrijvers er van gesproken heeft? Zou

het niet mogehjk zijn, dat de passage, die door Sédillot
ontdekt is in en vertaald uit het handschrift van Abul Wefâ
eene interpolatie was in een afschrift van den astronoom
van Bagdad, welk afschrift zou dateeren van na den tijd
van Tycho ?

Op de eerste tegenwerping antwoordde Sédillot, dat
er wel geene latere arabische schrijvers bekend waren,
die over de derde ongelijkheid gesproken hadden, maar
dat dit gemakkelijk daaruit te verklaren was, dat zij juist
niet allen over de maan geschreven hebben en dat boven-
dien de handschriften van de latere schrijvers nog maar
weinig onderzocht waren , zoo dat men daarover nog geen
vast oordeel kon uitspreken. De tweede objectie van
Libri verviel van zelf, daar de oorsprong en de geschie-
denis van het geïncrimineerde handschrift voldoende be-
kend waren; het had toebehoord aan den vader van
Ulugh Beigh, die vóór Tycho geleefd heeft, zoodat er
van eene latere vervalsching of interpolatie geene sprake
kon zijn.

Biot verklaarde zich in 1841 voor de zienswijze van
Sédillot, evenzoo Chasles en Mathieu. Later liep Biot
echter tot het kamp der bestrijders over.

Wanneer wij de vertaling van Sédillot aandachtig
lezen, blijkt het, dat Abul Wefâ het maximum der derde
ongelijkheid opgeeft, wanneer de maan en trine ou en
sextile met de zon is; daar heeft de variatie geen maxi-
mum , daar dit in de octanten valt ; wel echter de Trpôçvsuatç
van Ptolemaeus,

Nog een ander niet minder krachtig argument kan er
aangevoerd worden tegen de onderstelliing van Sédillot c.s.
De Variatie toch is zeer verschillend van de prosneusis ,
dus zal ook de beschrijving van de Variatie zeer verschil-
lend moeten zijn van die der prosneusis en dit is nu juist
niet het geval bij Abul-Wefâ; deze toch schrijft zijne derde
ongelijkheid toe aan de afwijking van den diameter van
den epicykel en zegt Bertrand m. i. terecht : „La
déviation du diamètre de l\'épicycle doit changer l\'anomalie,
et l\'influence, qu\'elle exercera dépendra, cela est évident,
de la position de la lune sur l\'épicycle, c\'est à dire de
sa position par rapport à l\'apogée et au périgée de son
orbite.........et la variation n\'en dépend point."

Uit het bovengemelde kom ik tot de overtuiging, dat
de aanspraken van Abul Wefa, wat de ontdekking der
Variatie betreft, van allen grond ontbloot zijn.

Ten slotte nog een enkel woord over de ontdekking
dezer beide aequaties, waarvan de eerste door Tycho Brahe
het eerst werd vermeld in zijn werk ,,Astronomiae instau-
ratae progymnasmatar Hij geeft daar in eenige weinige
regels aan, dat de middelbare bewegingen der maan niet
gehoorzamen aan de zelfde vereffening der natuurlijke
dagen die de zon teweegbrengt, dat wil zeggen: De
maan geeft eene andere tijdsvereffening dan de zon;
men kan dit door het tafeltje, dat hij laat volgen, corri-
geeren, waar de correctie op de maanslengte gegeven
wordt. Uit dit tafeltje blijkt, dat volgens Tycho de
Hjksche Vereffening een maximum bedrag van g\'só\'" bereikt-

Ter wille van de volledigheid vermeld ik nog, dat de
Parallactische Vereffening, eerst na den dood van Newton
door Clairaut werd ontdekt.

Op deze hoogte stond de kennis der maansbeweging,
toen de groote Newton (1643—1727) door de ontdekking
van de algemeene gravitatie eene andere en strenger
wetenschappelijke richting aan de theoretische astronomie
gaf, waardoor ook de kennis der maansbeweging met
reuzenschreden tot op onzen tijd vooruitging, zoowel in
uitgebreidheid als in nauwkeurigheid.

- \'i-

H.\'.-H: y \'ïpi\'

\'vV\'"-

Niet om de wille der nauwkeurigheid is het aannemen
eener zoogenaamde natuurmaat, zooals de meter is, aan
te bevelen; wel omdat nationale wedijver daarbij ontgaan
wordt.

Er bestaat niet de minste reden om aan te nemen,
dat de zon eene baan om een ander wereldlichaam
beschrijft.

De bedragen, die voor de beweging der sterren in de
richting der gezichtslijn wórden gevonden, zijn nog zeer
onzeker.

Toch had van der Willigen ongelijk, toen hij de moge-
lijkheid ontkende door de verplaatsing der Fraunhofersche
strepen beweging aan te duiden.

Men heeft geen recht te beweren, dat alle nevelvlekken
verder van ons zonnestelsel afstaan dan de naaste sterren.

De electrodynamische formule van Weber is in den
grond even goed eene empirische als die van Ampère.
Die van Weber verdient de voorkeur boven die van
Ampère.

De verklaring door Bidwell van het zoogenaamde ver-
schijnsel van Hall gegeven is hoogstwaarschijnlijk.

De verklaring voorkomende bij Maxwell: ,^Theory of
Heat", voor de beweging van vloeistoffen, door ver-
mindering van moleculaire spanning der oppervlakte, is
onvoldoende.

Het bewijs van het theorema van Leibnitz, door Schlömilch
Comp. Dl, I. § 13 gegeven, is onvoldoende.

De verdeeling van het quadrant in negentig graden ver-
dient de voorkeur boven die in honderd.

• t

Op blz. 32 in de noot staat eene eenigszins onjuiste,
aan Kempf ontleende verklaring van nonagesimus.

Het is het punt van de ecliptica, dat het hoogst boven
den horizon ligt, en dus 90° van de snijpunten met den
horizon verwijderd is.

-f ;

■V . /

r ■ . ^

- ■ i

... V .

y; V -

"A,

1 i

-H;

1 .

Î\'r

...... \'\'"ZifM\'^

■


	F, .-7 n"\' :

	■ •

	\' /

	"i.

	\'V

	-s