-

-

-. V-\'

f.-■ \' "r

f^^ ::- -

J

* ■ ■ ■ \' .
"V > \'

1 •\'»-. . \'v

•r -

M

DE FUNC\'J^IE VAN GREEN.

:

h

11-

BSX^

DE FUNCTIE VAN GREEN.

P K O E F S C H R I F T

ter verkrijging van den graad
van

DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE,

aan de

RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT,

NA MACHTIGING VAN DEN REGTOU MAGNIFICUS

Mr J. A. FRUIN,

nOOOL££EAAK IN DE YACULTKIT DER HECIITSOELEKSDIIEID,

VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVEllSITEIT

EN

OP VOOIIDIIACIIT DER WIS- EN NATUURKUNDIGE rAGULTElT,
TE VEllUEDIOEN
op Vrijrtag:, den IB""" Juni 1879, <lcs iiainl(l«ljiffs to 2 iircn,

door

GERHARDUS JOANNES LEGEBEKE,

Gr.nonEN tk KAMl\'liN.

gedrukt bij g. a. van hokten, te utrecht.

AAN MIJNE OUDERS.

is,-

Verhinderden mij de omstandigheden van «7^\' onderwijs, Hoogge-
leerde Heer en, Hoogleeraren der IVis- en Natuurkundige Faculteit,
gebruik tc maken, steeds mocht ik echter van uwe zijde belangstelling
en welwillendheid ondervinden. Daar, waar het noodig was, kon ik
altijd op uwe hulp rekenen. Het is mij eene aangename plicht u daar-
voor openlijk mijnen dank te betuigen.

De vriendelijke wijze, waarop gij, hooggeachte üudrmans. mij in
de practische astronomie den laeg weest, zal bij mij steeds in dankba-
re herinnering blijven.

Hooggeachte promotor, hooggeleerde (iRiNwis, sedert tal van jaren,
onder allerlei omsta^ndighcdcn, hebt gij mij door uwen raad 7\'oorge-
licht, zijt gij nüj bij mijne studie behulpzaam geweest. Ontt\'ang
mijneh hartelijken dqnk voor het vele, dat ik u verschuldigd ben.

INHOUD.

Bladi.

INLEIDING.............■....... 1

EERSTE HOOFDSTUK.

Beschounvinoen over de potentiaal in het algemeen en de

\' functie van O reen in het bijzonder........ 3

§ 1. Voornaamste eigenschappen van do potentiaal. Definitie

van P| cn P,, funetiën voor cen oppervlak S..... 3

§ 2. Eigenschappen van P, en P,, funetiën afgeleid uit het

theorema van Green............. 7

§ 3. Onmiddellijk gevolg van die eigenschappen voor eeno

massaverdeeling over S............ 8

, § 4. Volgens Gauss on Dirichlet is het i)robleom, in do inlei-
ding genoemd, bepaald............ 10

§ 5. Equipotentiale vordeeling van massa over een oppervlak. 11

§ 6. Functie van Green. Definitie van G, en G„.....12

^ 7. Betrekkingen tusHchon do potentiaal-waardon ecner lading

Qvor S in punten binnen cn buiton S cn op S. . . . 14
§ 8. Verdere bosehouwing van do theorie vnn Green ... 15

§ 9. Centrobariseho lading. Dielithcden p, en ..... 16

§ 10. Do betrekkingen uit § 7 op andere wijzo afgeleid ... 17
§ 11. Vorfichillendo dofinltiea van do functie van Green. . . 19
TWEEDE HOOFDSTUK.

Wijze van bepalino van de kunctie van Green en haue

algemeene eioenschaiu\'en.............21

§ 1. Methode der ovonwiehtsvlakkcn..................21

§ 2. Toepassing op do functie van GUEEN.......24

§ 3. Gl is eeno synunotriselie functie........ .

X -^

Bladz.

§ 4. Eigenschappen der lading, waarvan de dichtheid is . 26
§ 5. G„ is eene symmetrische functie. Massa van de lading,

waarvan de dichtheid is...........27

§ 6, De eigenschappen in § 4 zijn gevolgen van algemeene

waarheden.................29

§ 7, Betoog van de waarheden uit § 6 voor bijzondere ver-

deeling der massa..............31

§ 8. De tweede eigenschap in § 5 is ook een gevolg van eene

algemeene stelling..............33

DERDE HOOFDSTUK.

De functie van Green voor het oppervlak van een bol en

VAN EEN PARALLELOPIPEDUM. TOEPASSINGEN.......35

§ 1, Onder welke voorwaarden Gj en G„ volgens de methode
der evenwichts-oppervlakken algemeen kunnen berekend

Avorden..................35

§ 2. G, en G, bij een bolvlak............36

§ 3. pi en bij een bolvlak............37

§ 4. Toepassing op een bepaald vraagstuk.......59

§ 5, Afleiding van eene formule van Dirichlet.....41

§ 6. Toepassing van die formule op een bepaald vraagstuk . 44
§ 7. Ontwikkeling van de potentiaal eener lading op den bol

naar kogelfunctiën..............45

§ 8. Ontwikkeling eener gegeven functie naar kogelfunctiën , 48

§ 9, G, wordt berekend voor een rechthoekig parallelopipedum, 40
VIERDE HOOFDSTUK,

Algemeene vorm van Vi en V„ functiën bij een col en bij eene

ROTATIE-ELLIPSOÏDE. TOEPASSING OP DE FUNCTIE VAN GREEN, 55

§ 1. Algemeene beschouwing............55

§ 2. Vi en V„ functiën bij een bol..........56

§ 3. Toepassing op de functie van Green.......60

§ \'4. Vi en Y„ functiën bij eene rotatie-ellipsoïdo..........61

§ 5. Oplossing van hot algemeene probleem voor dat oppervlak. 66

§ 6. Toepassing op een bepaald vraagstuk.......68

§ 7. Toepassing ter bepaling van do functie van Green . . 69
§ 8. Vergelijking van twee methoden tot oplossing van het

algemeene probleem.............70

INLEIDING.

Het is bekend, dat George Green in liet jaar 1828 uitgaf
„An Essay on the Application of inatliematical Analysis to the
Theories of Electricity and Magnetism", waarin eene theorie van
de potentiaal ontwikkeld werd, door Tiiamson cn Tait ¹) lercchl
„die wundervollen green\'sclien Theorie des Potentials" genoemd.

De verhandeling van Green hleef nagenoeg onbekend tot het
jaar 1850, toen zij in Crelle\'s .lournal für die Mathematik -]-)
overgedrukt werd. Gedurende dien tussclienlijd werden vele re-
sultaten, door Green reeds gevonden, op nieuw verkregen door
Gauss, Ciiasles, Thomson en anderen.

De beschouwingen van Green blijven steeds in vele opzichten
merkwaardig cn worden gedeeltelijk nog gevolgd in dc leer van de
potentiaal. Zoo treedt ook veelal de functie van Green op bij
dc allciding der stelling: dat het altijd en slechts op eene wijze
mogelijk is, over een gegeven oppervlak, massa zoodanig le ver-
deden, dat (le polcnlianl in ieder punt van dal oppervlak ccnc
gegeven waarde aanneemt. Die functie bewijst bij hel beloog
eenigen diensl, cn verdwijnl later geheel; ccnc uitzondering is het

1  Thomson und Tait. Handbuch dor Thoorotischen Pliysik, Doutscho
Uoborsetzung von Helmholtz und Wertheim. II Thoil § 527, 503.
t) Grelle. Journal für dio Mathematik. Band, 39, 44, 45.

dat haar vorm voor een bijzonder geval nader bepaald wordt,
zooals o. a. bij Riemann ¹). Dat plotsehng optreden en even
spoedig verdwijnen wekt terecht eenige verwondering en gaf mij
aanleiding tot een nauwkeuriger onderzoek van genoemde functie.

De bovenvermelde stelling leidde Green af door gebruik te
maken van de naar hem genoemde functie. Green\'s betoog
is echter niet geheel wiskundig en staat in zooverre beneden
het zuiver analytische bewijs, dat Dirichlet f) later gaf. Ook
Gauss deelde in zijne „Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die
im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden
Kralle" §) eene alleiding mede voor de genoemde stelling, welke
boven die van Green is te stellen. Niettegenstaande dus twee
wegen bekend zijn, om dezen „herrlichen Salz" te beloogen,
vindt men nog gebruik gemaakt van de functie van Green — zoo
o. a. door Clausius in zijne bekende potentiaal-leer — en met
reden, want, zooals in het eerste hoofdstuk blijken zal, heeft
hare invoering een eigenaai\'dig voordeel. In dat hoofdstuk wordt
nagegaan in welk verband de functie van Green staal lol de al-
gemeene leer van de potentiaal, en de wijze waarop Green de
genoemde "stelling alleidde, met die van Diiiiciilet vergeleken.
De volgende hoofdstukken zijn gewijd aan de beschouwing van
de functie op zich zelve en aan de wijze, waarop zij bepaald
wordt.

1  Riemaxn. Scliwero, Elektriciteit und Magnetismus. 187G.

EERSTE HOOFDSTUK.

over de potentiaal in iiet algemeen en de functie van

Green in het bijzonder.

§i. Twee maleriëele punten en m, waarvan de reclilhoekige
coördinaten «, (}, y en x, y, z zijn, trekken elkander aan, vol-
gens Newton\'s wet, met eene kracht

F —tui

~ E\'

zoo E den afstand van /t en m voorstelt. De componenten van de
kracht door ^u op m uitgeoefend zijn

/im a — X ^m dE d 1

/tm dE

E\' dy
fim dE_ d 1

Z:

K\' E ~

Hetzelfde geldt van cen systeem matei\'iëele punten fii mei coör-
dinaten «1, fii, y^; al.sdan worden de componenten van de kracht
op ni uilgcoefend voorgesteld door

Y V \'

^ dx El
(11

\\ r= m2>i-p -TT
(ly Ei

7 V ^

I*

dV „ dV „ dV
X = m-T-, Yrrrm—, Z=m—.
dx dy dz

De componenten X, Y, Z zijn derhalve de partiëele afgeleiden
van V naar x, y en z, vermenigvuldigd met de massa m. De uit-
drukking mV heet de potentiaal van dc massa\'s |Ui ten opzichte van
de massa m in het punt x, y, z; de grootheid V zelve de poten-
tiaal van het systeem fti in het punt x, y, z; in het laatste punt
wordt dus hierbij de eenheid van massa gedacht. De grootheid V
is, zoolang het punt x, y, z niet in een der punten «i, (5i, yi valt,
even als hare afgeleiden eindig en continu, llarc tweede afgeleiden
voldoen aan de vergelijking van Laplace
d=V d®V d=V

Op oneindigen afstand wordt V nul of liever, zoo
is, blijven de waarden

_dV _dV „„dV
RV, R\' —, R- — en R- —
dx dy dz

steeds eindig, hoe groot x, y cn z ook mogen genomen worden\'.

Vullen de massa\'s continu een lichaam, of zijn zij verbreid
over een oppervlak, dan wordt de potentiaal in het j)unt x, y, z.

fdm

— fc
~J E

waarbij dc integratie moet\'uitgestrekt worden over het gebied,
waarbinnen dc massa\'s liggen.
Volgens bekende definitie is bij een lichaam
dm =z Q da d/? dy — <ïdr

cn bij een vlak

dm zzz pdff

waarin dr bet volume-clement en dff het oppervlaklo-eiemcnt in
«, (5, y voorstelt, terwijl o do dirlitlieid is in dat ptml, die in

liet algemeen eene eindige en continue functie van en y ge-
rekend wordt.

Men lieeR dus voor een lichaam en voor een vlak respectievelijk

=ƒƒƒ!

V = / /IdcT.

E

Noemen wij het oppervlak, dal het lichaam begrenst, waarbin-
nen in het eerste geval de massa verdeeld is, S, en hel opper-
vlak , waarover in hel tweede geval de massa uilgebreid is, even-
zoo, dan zullen in het algemeen de eigenschappen der functiën Y
verschillend zijn, naar gelang hel punt x, y, z buiten S, op S of
binnen dal oppervlak gelegen is. In hel eerste geval vertoonen de
beide functiën V, of de potentiaal van een lichaam cn van een
oppervlak, volkomen dezelfde eigenschappen, cn wel juist die, welke
zooeven voor hel systeem opgenoemd zijn.

\'1°. Zij zijn, even als hare afgeleiden, eindig cn conlinu.

2°. Zij voldoen aan de vergelijking A V ~ 0.

3". Op oneindigcn afstand blijven de uitdrukkingen

nv.ii\'^^.ivf c„if!|l\'

dx dy dz

steeds eindig.

Functiën, die voor alle punU^n huilen zeker oppervlak S aan deze
drie voorwaarden voldoen, noemen wij in het vervolg 1\\, of V„
functiën van hel oppervlak S.

AYordl hel punt x, y, z binnen S gedacht, dan zijn de eigen-
schappen van dc polenliaal eener vlaklelading en van een lichaam
verschillend. Wel blijft bij beide in alle punlen binnen S de ])o-
lenliaal, evenals hare eerste afgeleiden, eindig en conlinu, maar de
Iweedc afgeleiden voldoen bij een oppervlak nog sleeds aan V — O,
hirwijl bij een lichaam de vergelijking van I.ArLACE in die van
PoissoN overgaat, nl.

waarin ^ de (lichlheitl voor.<ïteII in hel puni x, y, /.

-6

De potentiaal van een oppervlak in cen binnenpunt voldoet dus
nog aan de voorwaarden 1 en 2, zooeven genoemd; eene functie,
die, voor alle punten binnen een oppervlak S, deze twee eigen-
schappen vertoont, wordt in het vervolg dikwijls voorgesteld door
P, of Y,

Zij ten slotte het punt x, y, z in het oppervlak S gelegen. Nu
is het de potentiaal van eene massa over S uitgebreid, waarop
vooral de aandacht moet gevestigd worden. Nemen wij drie punten
aan, één binnen S, één daarbuiten en één op hel oppervlak ge-
legen, en wel

P P P

waarin potentiaal-waarden

V. , Y, , Y„
zoo dan P; en P„ samenvallen in P,, heeft men

Lim. Y, — Lim. Y„ = V...............i)

zoowel bij een lichaam als bij een oppervlak. Tevens is het-
zelfde te zeggen bij een lichaam van de eerste afgeleiden. Dit
is niel zoo bij eene oppervlakte-lading. Zij in P, eene normaal op-
gericht en zijn de punten Pi en op die normaal gelegen, zoo men
dan Pi langs de normaal naar binnen het clement dn, en P^ naar
builen hel element dN laat doorloopen, dan zal de functie Y, aan-

(lY dY

groeien mei -^dn en V„ met -r^dN. Yallen nu P, en in P,,
® dn dN

dan is in het algemeen bij eene vlaktelading

. ■ .........

waarin q weer voorstelt de dichtheid in P.. Hij ccn oppervlak is
dus de eerste afgeleide van de potentiaal bij doorgang door bet vlak

dY

discontinu; met de waarde van — voor een punt op S, wordt

dan ook steeds bedoeld een der beide limieten, waarvan bet verschil
— huQ bedraagt. Wij laten in het vervolg, daar, waar zonder ver-
klaring duidelijk is dat een der genoemde limietwaarden bedoeld
wordt, meestal het wooid limiet weg. De vergelijking 2) vindt
dikwijls geschreven

/dV\\ /dV\\

.............

§ 2. In de potentiaal-leer, vooral waar sprake is van de potentiaal
cener vlakte-lading- over een oppervlak S, vervullen de l\'uncliën
Pi en P„ van S eene belangrijke rol. Verschillende eigenschappen
van deze lunctiën vindt men onmiddellijk uit hel bekende theorema
van Green, dat hier in herinnering wordt gebracht.

Laten U en V twee lunctiën zijn van dc coördinaten x, y, z,
die met hare eerste afgeleiden eindig en continu blijven voor alle
punten binnen een oppervlak S, dan geldt de betrekking

=  JuAVdr............4)

waarin dn naar binnen gerekend wordt.

Zijn U cn V beide lunctiën van S, dan is zoowel AU als
AV=:0, dus:

= ...........

Eene belangrijke betrekking verkrijgt men, indien voor U geno-
men wordt "Ir, waarin E, voorstelt den afstand van ccn punt P

El

(x, y, z), binnen of op S, lol een vast punt PI (x\', y\', z\') binnen S.

Dc uitdrukking ^ is nicl eindig evenmin\'als hare afgeleiden zoo

X, y, z in x\', y\', z\' valt. Dc gelijkheid kan dan ook slcchls
toegepast worden voor de ruimte ingesloten door S cn door hel
oppervlak van ccn bol, waarvan P/ hel middelpunt is en dc straal
f genomen wordt. Door f siccds kleiner tc laten worden, vindt men

in dit geval, zoo weer V = V, eene \\\\ functie is,

. .........

waarin V,\' dc waarde is van V, in hel punt x\', y\', z\'.,
Ten einde voor dc l uimtc builen S dc stelling van Green loc to

-8

passen, denken wij ons eerst die ruimte begrensd door een bol met
straal R; dan geldt voor het deel, tusschen S en het oppervlak van
dien bol gelegen, de vergelijking ^ waarin nu de integratie zoo-
wel over S als over het oppervlak van den bol moet plaats hebben,
terwijl nu de differentiatie naar de normaal binnen die ruimte ge-
trokken, moet geschieden; welke bewerking voor het oppervlak S

voorgesteld wordt door
° dN

Onderstellen wij thans, dat U en V beide P„ functiën zijn van het

oppervlak S, dan volgt uit de derde voorwaarde, waaraan die functiën

voldoen, dat de integralen voor het oppervlak van den bol, zoo R

sleeds grooter wordt, gezamenlijk =0 zijn, derhalve is ook dan

/^■u^ = »............

i

Wordt weer in 4) voor U gesubstitueerd de waarde waarin E„ nu

voorstelt den afstand van P (x, y, z) lol een vast punt PJ (x\', y\', z\')
builen S gelegen en zij weer Y eene Y„ functie, dan vindt men

even als vroeger

" ........

waarin Y„\' voorstelt de waarde, die Y„ in hel punt x\', y\', z\'aan-
neemt.

-9

dezelfde waarden aannemen, kunnen beschouwd worden als de poten-
tialen eener vlaktelading over S.

Zij nl. de Pi functie Y, en de I\\ functie Y« en hare waarden
aan het oppervlak Y,, dan wordt aangetoond dat Yj de poten-
tiaal voorstelt in punten binnen S eener lading, waarvan de
dichtheid is

en Yu de potentiaal in punten buiten S van diezelfde lading. In-
derdaad uit ö) volgt

y dn Ei ] Ei dn
4

En neemt men nu in aanmerking, dat — eene P« functie is voor
S, dan volgl uil 5\')

..........

Ycrder is —zoodal men door optelling van

dn El dN Ei

7) cn 8) verkrijgt

of

waaruil blijkt, dat de waarde, die Y,\' in hel geheel willekeurige
punt x\', y\', z\' binnen S aanneemt, de potentiaal is eener lading
over S met dc aangegeven dichtheid. Door gebruik te maken van
dc vergelijkingen c) en 6) vindt men eveneens

Over een opjicrvlak S is dus steeds ccnc massa tc verdoelen, zoo-
dal dc potentiaal in allo punten binnen S ccnc gegeven waarde
aanneemt en cvonzoo dc potentiaal buiten S, zoo die gegeven

\'10

waarden binnen S uitgedrukt worden door eene Pj functie van S,
die buiten door eene P« functie cn voor punten van S geldt.

De dichtlieid dezer lading en daarmede de massa is geheel be-
paald, zoodat er slechts ééne verdeeling mogelijk is.

§ 4 De vraag kan thans gesteld worden: zal ook iedere P„ func-
tie van het oppervlak S kunnen beschouwd worden als de poten-
tiaal in buitenpunten cener massaverdeeling over S, cn is die mas-
saverdeeling geheel bepaald? Geldt hetzelfde van ccne geheel wil-
lekeurige Pi functie voor punten binnen S? De potentiaal-theorie
van Gauss en het beginsel van Dirichleï beantwoorden onmid-
dellijk beide vragen, en doen tevens eene nieuwe eigenschap ken-
nen. Geheel analytisch bewijst Diriciilet — „er beslaat voor ze-
ker oppervlak S eene, maar ook slechts ééne P, functie, die in
alle punten van S gegeven waarden aanneemt, die voor de ver-
schillende punten van het oppervlak eindig zijn en continu in
elkander overgaan. Ook bestaat er eene, maar slcchls ccne P„
functie, vvaarvan hetzelfde geldt." llcl bewijs voor deze gewich-
tige stelling komt voor in do reeds genoemde „Vorlesungen" cn is
in verscheidene leerboeken overgenomen; zoodat hel hier kan ach-
terwege blijven.

Dc vragen, zoo even gesteld, kunnen derhalve bevestigend be-
antwoord worden.

Is ccne Pa funclic gegeven, dan zijn dc waarden van die functie
voor hel oppervlak S bekend cn dan is er volgens Diriciilet ccnc P,
functie aan tc wijzen, dio voor alle punten van S dc waarden aan-
neemt, waarin dc P« functie overgaat. Die funclic en de gcgcvcnc
kunnen beschouwd worden als polonlialcn in punten binnen cn
builen S cener lading over dal oppervlak, \'die daardoor volgens dc
voorgaande paragraaf geheel bepaald wordt. Ilclzolfde kan gezegd
worden zoo cr3no Pi funclic gegeven is. Maar verder, zoo voor alle
punten van S eindige, continu veranderende waardon gegeven zijn,
dan kan men eene P, en ccnc P„ funclic aanwijzen, welke voor
punten van S die waarden aannemen, llcl algcincoiie probleem

-w

over een gegeven oppervlak, zoodanig massa te verdeden, dat de
potentiaal van die massa in alle punten van dat oppervlak gege-
ven waarden aanneemt is dus mogelijk en bepaald. Mocht de massa
gegeven zijn, dan kan die massa zoodanig over een gegeven op-
pervlak verdeeld worden dat de potentiaal in ieder punt van dal
oppervlak eene waarde heelt evenredig mei eene gegeven grootheid.

§ 5. Liggen gegeven massa\'s binnen een oppervlak S, hetzij
over vlakken uitgebreid, waarvan S er een kan zijn, hetzij continu
binnen een lichaam veerdeeld, of in punten opgehoopt, dan is over
S altijd eene massaverdeeling aan te brengen maar slechts ééne,
die in alle punten van S dezelfde potentiaal hcelX als die massa\'s.
Dc potentiaal toch van die verdeeling over S is in punten builen
S eene P„ functie en evenzeer geldt dal van de potentiaal der
massa\'s binnen S gelegen; beide I\\, fnnclien hebben aan hel op-
pervlak dezelfde waarde — volgens de stelling van üiriciilkt
zijn zij dus volkomen dczelUle. llijgevolg is hel mogelijk eene
massa verdeeling over S aan Ie brengen, die in de oneindige ruimte
builen S dezelfde |)olcnliaal te voorschijn roept als de massa\'s bin-
nen S, cn die verdeeling is geheel bepaald. Hel bepalen der dicht-
heid van dc gevraagde massa verdeeling is slechts ccn bijzonder
geval van hel algemeene probleem, aan hel eind van dc vorige
paragraaf besproken. Waren de massa\'s builen S gelegen, dan
zou er eene, maar ook slechts ééne verdeeling van massji over S
mogelijk zijn, die in de ruimte binnen S dezelfde potentiaal hecll
als dc huilen gelegen massa\'s. Dal werkelijk beide verdcelingen
mogelijk zijn is a priori waarschijnlijk. Immers, zoolang men
huilen de massa\'s zelve blijlt — hier huilen hel vlak S in hel eer-
ste geval — vertoonen de polenlialen eener lading over S cn
van de massa\'s binnen S volkomen dezelfde eigenschappen; hel
is dus Ie verwachten, dal de eene massaverdeeling wel zal kunnen
vervangen worden door de andere. Dal dil\'werkelijk zoo is, en
dat tevens de nieuwe massaverdeeling over S geheel bepaald is,
leert het beginsel van Diiuciilet.

In plaats van de massa\'s binnen of huilen S te vervangen door

-12

door eene lading over S, die voor punten buiten of binnen S equi-
potenliaal is met de gegeven massa\'s, kan men eene verdeeling over
S eischen, waarvan de aantrekking die zij uitoefent op punten
buiten of binnen S dezelfde is als die van de gegeven massa\'s.

Zij de potentiaal van de massa\'s v en van dc gevraagde lading
over S, V, dan moet in dit geval:

dv_^ ii —

dx dx\' dy dy\' dz dz

zijn, waaruit

v nz V -f constante.

Liggen de massa\'s binnen S, dan is op oneindigcn afstand, zoo-
wel V als V gelijk nul, derhalve

v=:V

of in dit geval is de verdeeling dezelfde als die hierboven bespro-
ken is. Zoo de massa\'s buiten S liggen, moet over S eene massa
verdeeld worden, waarvan de potentiaal in alle punten op S en
binnen S een constant verschil vertoont met de potentiaal der
massa\'s buiten S. liet is duidelijk, dat die constante moet gege-
ven zijn, om ook nu de lading geheel te bepalen.

G. Al de hoogst belangrijke waarheden, die in het voorafgaande
slechts kort aangegeven zijn, volgen dus zeer eenvoudig uit het
beginsel van Dirichlet in verband met de stelling in § 3. Green
vond in zijne genoemde verhandeling dit alles reeds, maar mindei\'
eenvoudig, en evenmin kon hij dc stellingen geheel wiskundig
bewijzen. Evenwel verdienen dc beschouwingen van Green uil
een zeker oogpunt belangslelling. Uil hel beginsel van Dirichlet
toch volgl, dal voor ieder oppervlak S ééne P, en ééne P« functie
is aan Ic wijzen, die in alle punlen van S gegeven waarden aan-
nemen, maar Dirichlet geell geen enkel middel aan de hand, om
die functiën Ie vinden. Verder dan tol hel beslaan en het geheel
bepaald zijn van P, en P„ komt men niet. Green nu geell voor
ieder der functiën eene uitdrukking. We gaan thans over lol hel
uiteenzetten van de methode van Green , en wel in de eersle plaats
zullen wij dc functie, naar hom genoemd, deiiniccren.\'

-3

Zij S een oppervlak en P/ (x\', y\', z) een punt binnen S, dan is
de Pj lunclie van de coordinaten x, y, z, die zoo het punt (x, y, z)

in S valt overgaat in de waarde waarin Ei den afstand voor-

stelt van dat punt van S tot P- , de functie van Green voor
punten binnen S. Ligt het punt x\', y\', z\', buiten S in P„\', dan
is dc P„ functie van x, y, z, die zoo x, y, z, in S valt, overgaat in

ï^, waarin weer E^ de afstand is van het punt op S tot P«

L\'u

de functie van Green voor punten buiten S. We zullen deze lunc-
tiën respectievelijk voorstellen door Gi cn G^.

Beide lunctiën zijn volgens de gegeven deünitie afhankelijk van
dc coordinaten van het punt PI of PJ (x\', y\', z\'), welk punt wij
hel vasle puni zullen noemen, cn van de coordinaten x, y, z, terwijl
dc vorm dien zij aannemen zal afhangen van hel oppervlak S. Uil
hel beginsel van Dirigiilet welen wij onmidcllijk, dal beide lunctiën
beslaan cn geheel bepaald zijn; immers Gi is ccnc Pt lunclie van
S en G„ ccnc P„ functie, cn van beide zijn dc waarden die zij
voor punten van S aannemen, gegeven.

Green bewees het beslaan van zijne lunctiën door dc volgende rcdc-
nccring, waardoor wij tevens hare physischc bctcckcnis Iccrcn kennen.

Laat hel oppervlak S een volkomen geleider voor clcclricilcil zijn
cn in hel punt P/ ccnc hoeveelheid clcclricilcil —1 opgehoopt;
zoo dan de geleider mol dc aarde in verbinding wordt gebracht,
zal dc negatieve clcclricilcil wcgslroomcn cn de geleider ccnc po-
sitieve lading vertoonen. Dc potentiaal van dc clcclricilcil in
Pj\' cn van de lading op S zal op ieder j)unl van S ccne constante
waarde moeten bezitten, cn wel, daar ilc geleider met dc aarde
in verbinding staal, ccnc waarde nul. Zij dus U dc potentiaal
van dc lading op S, dan is in ieder punt van S

u—
El

Uz=i
l\'^i

üc potentiaal van liczc lading in punlcn binnen Ö is ccne

\'14

Pj functie en wel eene Pj functie, die aan het oppervlak de waarde

~ aanneemt. Het is derhalve de functie Gi. Hiermede is aange-
fc\'i

toond, dat de functie beslaat, en daar op een gegeven oppervlak
S door de electriciteit in P/ eene volkomen bepaalde lading gein-
duceerd wordt, zoo is tevens bewezen, dat Gj eene geheel be-
paalde functie is. Op dezelfde wijze loont men het bestaan der
junctie aan, door in PJ weer de eenheid negatieve electriciteit
opgehoopt Ie denken. De potentiaal in punten builen S van de
geinduceerde electriciteit op den geleider S met de aarde in ver-
binding gebracht, is nu de functie Ga. Merken wc nog op, dal
in hel eerste geval de potentiaal van de geinduceerde lading in

i

punten builen S noodzakelijk zal zijn^, derhalve de dichtheid der
geinduceerde lading volgens de betrekking s^) in § 1.

Evenzoo de dichtheid der lading in het tweede geval geinduceerd

7. Nadal bewezen is, dat de functie Gi en G« beslaan en
geheel bepaald zijn, kunnen wij niet alleen aanloonen, dat, zoo
de potentiaal eener massaverdeeling over S in alle punten van S
gegeven is, ook dc potentiaal in alle punten binnen en builen S
en dus ook de dichtheid bekend is, maar wc vinden levens uil-
(h\'ukkingen voor hare waarden in willekeurige punten Pi en PJ.
Zij nl. de potentiaal der massaverdeeling over S in punten op
S gegeven V, en hare waarde in punten binnen S gelijk V,, dan
is volgens ").

........»)

Kn siibslilueerl men nu in de vergelijking 5) voor Ui de functie
Gj, dan heell men

dii

0 = ..... >«)

-477

i5/

Aan het oppervlak is echter Gi ~ ^, zoodat door aftrekking uit
9) en 10) volgt

Evenzoo heeft men, zoo V„ voorstelt de potentiaal der massa ver-
deeling in punten builen S, uit 6\')

J dN E„ J E„ di\\
en uil de vergelijking s\'), zoo voor U„ genomen wordt G„

...........n,

De vergelijkingen n) cn H\') geven derhalve de waarden Y/ en
V„\' van V| cn V„ respectievelijk aan in de geheel willekeurige pun-
ten Pi\' en PJ (x\', y\', z). Tol hel vinden van die waarden is, zoo
de funetiën Gi cn G„ bekend zijn, slechts eene integratie uit le voeren
over hel oppervlak S.

8. De betrekkingen n) cn H\') zijn in de voorgaande paragraaf
afgeleid in dc onderstelling, dal V, en V„ de potentialen zijn eener
massaverdeeling over S. Dij hare allciding zijn echter slechts toe-
gepast de vergelijkingen 5) en benevens s) en c), waarvan
dc beide eersten voor alle Pi funetiën van S gelden, en het laatste
paar voor alle P„ funetiën. Dc betrekkingen ii) en n) gelden
dus respectievelijk voor iedere Pi en iedere P« functie van hel opper-
vlak S, en wij besluiten daaruit, dat dergelijke funclicn geheel be-
paald zijn, zoo hare waarden voor punten van het oppervlak S
gegeven zijn. Geen recht geven ons echter de vergelijkingen ii) cn
om le besluiten dat er dus steeds eene P, functie beslaat, die
voor alle punten van S bepaalde waarden aanneemt; evenmin eene
P„ functie. Zoover als wij tot nu loc de theorie van Gheen gevolgd
hebben, leidt zij ons nog lot geen der belangrijke waarheden in
§ h cn 5 aangeduid.

-46

Daartoe is het noodig te bewijzen, dat er werkelijk voor leder
oppervlak eene Pi en eene P„ functie bestaat, die in punten van
S willekeurige gegeven waarden kan aannemen. Weet men dat,
dan zijn die functiën, zoo de gegeven waarden Y. zijn, de functiën
bepaald door de integralen ii) en H\'). Met nadruk wordt hierop
gewezen, daar het voorkomt, dat deze zaak niet genoeg in het
oog wordt gehouden. Green bewijst inderdaad, dal de functiën,
bepaald door ii) en ii\') P, en P„ functiën zijn, die aan het op-
pervlak S dc gegeven waarden aannemen. Dit bewijs, gedeellelijk
steunende op gronden, aan de electricileilsleer ontleend, komt
voor in het laatste deel van § 5 van zijne tweede verhandeling, en
nadat genoemde stelling bewezen is, kan men al de vroeger ge-
vonden waarheden, onmiddellijk afleiden. Nu hel beginsel van
Dirichlet — of ook zoo men wil de beschouwingen van Gauss —
veel eenvoudiger en geheel wiskundig dezelfde uilkomsten geell
als de theorie van Green, is het niel aan Ie hevelen, deze thans
nog te volgen, om de theorema\'s uit § h en 5 Ie vinden. Zijn
deze echter eenmaal afgeleid, dan kan men als bijzondere toe-
passing van het beginsel van Dirichlet vragen de G, cn G„
functie voor een oppervlak S te bepalen. Die functiën zijn dan
niet alleen als een toepassing van het genoemd beginsel be-
langrijk, maar zijn zij bekend, dan is door middel van de be-
trekkingen 11) cn 11\') het algemeene probleem, nl. eene Pi of
P„ functie voor dat oppervlak S Ie vinden die in alle punlen
van\' S gegeven waarden aanneemt, lol eene integratie terugge-
bracht.

§ 9. Reeds in O is eene physischc beteekenis der functiën G, en G„
gevonden. Zeer eenvoudig is ook het bepalen van die funclien
op Ie vatten als eene der massaverdcelingen over S, die in §5 be-
sproken zijn. Gi is eene Pi functie, die in [)unten van S de waarde
\\ 1

— aanneemt, terwijl in alle punten op S cn builen S de po-

Ei l^Ji

lenliaal voorstelt eener massa 1 in P\', geplaatst. G, is derhalvo
de i»olonliaal eener massaverdeeling over S, die in alle jMuilen hui-

-479

ten en op S equipotentiaal is met eene massa i binnen S in
PI of wat hetzelfde is: zij is de potentiaal eener massaverdeeling
over S, die ieder punt buiten S aantrekt, als ware in P- eene
massa -f- \'1 geplaatst. Thomson voerde voor deze verdeeling den
naam van centrobarische verdeeling in, en noemde P- het attrac-
tiecentrum. Op dezelfde wijze is G„ op te vatten als de poten-
tiaal in punten buiten S van eene massaverdeeling over S, die
voor alle punten binnen S dezelfde potentiaal te voorschijn roept
als de massa -f- 1 in PJ gedacht. Zooals reeds bleek in § 5, is hel
hier niet voldoende te zeggen, dal G^ de potentiaal is eener mas-
saverdeeling over S, die op alle punten binnen vS eene attractie
uitoefent als ware in P, eene massa-j- i geplaatst; slechts, zoo de
constante G nul is, zal G„ werkelijk de potentiaal van die lading
over S zijn. Overeenkomstig met zoo even zullen wij ook deze
verdeeling eene centrobarische noemen met PJ als attractiecentrum.
Van beide verdeelingen is de dichtheid onmiddellijk te bepalen uil
de betrekking

, (IV. , dV„

Zij de dichtheid van de eerste verdeeling pi, cn van de tweede
(>„, dan vindt men

1 (I /■[

1 d /I \\
An dN VET 7

oi\' dezelfde dichtheden als bij de electrische lading op S geinduceerd
door de hoeveelheid electriciteit — I achtereenvolgens in P/ (!n PJ
geplaatst, zie § G. De formules ii) en ii) gaan zoodoende over in

= JcnV.d......................12)

\'(.uV.da....................12\')

§ iO. De belangrijke betrekkingen i2) en 12\') j^an men ook di-
rect. aileiden en geheel in ovcreenslemming met de beschouwing
in de vorig(i jiaragraaf. Laai V voorslcllon de poicniiaal van massa\'s

-48

Mj in punten Pj geplaatst en v de \'potentiaal van massa\'s m^ in pun-
ten Pj gedacht; laat verder Vj de waarden aangeven, die V aan-
neemt in de punten pj en Vj de waarden van v in de punten P,,
dan geldt

.................13)

Natuurlijk, want beide uitdrukkingen stellen niets anders voor

dan de som van alle combinatiën wanneer Ej de afstand is

Ej

van twee willekeurige punten Pj en p^.

Nemen wij nu over S eene massaverdeeling aan, waarvan de
potentiaal in een punt «, y wan S is V. en de dichtheid in
een punt «\', y\', q\' en nog eene tweede massavérdeeling, waar-
van de dichtheid in «, j?, is p, en de potentiaal in y\'
dan is volgens i^)^ zoo het oppervlakte element in «, y
genoemd wordt da en dat in «\', dir\'

• — jy.\'o\'ó^\'...........•. 1^)

Zij nu de dichtheid p, die ccncr massaverdeeling, zoodanig, dal

1 1

hare potentiaal in ieder punt van S gelijk zij aan -p-of gelijk aan —,

waarin E, cn E„ weer voorstellen de afstanden van dat punt
van S tot een punt P,\' of PJ (x\'y\'z) binnen of buiten S gelcgcrf,
dan volgt uit zoo wo q on het eerste geval p, cn in hel
tweede q^ noemen

|v.p.da=: J\'plda\'................ 15)

................16\')

Dc laatste integralen zijn echter vol<,^ons dcfinilio dc waarden
van V. in P! on in PJ of V/ cn \\J. dus

ƒ

De vergelijking i^) werd hel eerst door Gauss gegeven in § 19

in

van de genoemde, „Lehrsätze" en daar wordt opgemerkt, dat men
ze ook toepassen kan zoo de massa\'s over een zell\'de vlak verdeeld
zijn — streng bewezen wordt het evenwel niet. Men kan dil
echter onmiddellijk uit de stellingen 5) en van Green afleiden.
Zij van de eene verdeeling de uitwendige potentiaal Y„, de inwen-
dige Yi en hare waarden aan het oppervlak Y,. Yan de andere
verdeeling de overeenkomstige grootheden Y/, Y.\', dan geven de
vergelijkingen 5) en 5\')

waaruit door oi)telling

(k.

ol, zoo de dichtheid bij de eersle verdeeling t» en bij de l\\veode(>\'
genoemd wordt, volgens de bekende betrekking

IY. p\'dff = ƒ Y.\'mla.

H. Aan hel einde van dil hoofdstuk zij nog opgemerkt, dal
evenals door Maxwell \'), als delinilie voor de hmcliën GienG„is
aangenomen dal zij aan hel oppervlak respcclievelijk overgaan in

1 en Ir- Dikwijls, zoo bij Clausius, Riemann en anderen, wordl
Itii

de Greensche fnnclie voor punlen binnen S genoemd de functie
en voor punlen builen S, de hmclie

1) M.wwkll. A Treutiso on Kloctricity and Magnotisni. Vol. I. pug.
li:». lijj Maxwki.l, ovon als in do vorliandcdiiigon van Gukkn, is hot
tct\'kpn voor (I| on (1„ omgekeerd.

0)

-482

^JO

= p--Gu-

De integralen ^i) en ii*) worden dan geschreven

................ 16)

............... 16\')

Dij deze definitie is de functie van Green voor punten binnen

i

S geen Pi (functie meer, daar — en de afgeleiden daarvan niet voor

alle punten binnen S eindig blijven; de waarde der functie aan
het oppervlak is nu nul. Hetzelfde geldt van de functie van Green
voor punten buiten S. \'t Komt mij voor, dat bet beter is de
functie van Green te bepalen, zooals hier boven is geschied; ove-
rigens zijn de eigenschappen der funetiën Gi en G„ gemakkelijk te-
rug te brengen tot die van de funetiën Gi en

TWEEDE HOOFDSTUK

wijze van repallng der functie van green en hare

algemeene eigenschappen.

§ 4. Zooals in hel vorige hoofdslnk gebleken is, is hel bepalen
der funclicn van Green, of der cenlrobarische dichlheden een
bijzonder geval van hel algemeen probleem: over een opper-
vlak S eene massa zoodanig le verdeelen, dal deze vlaklclading in
alle punlcn builen en op S equipolenliaal is mei eene massa bin-
nen S, of equipolenliaal mei eene massa builen S, voor alle pun-
ten binnen of op S. Door (ïreen werd eene mei bode aangewezen,
waarnaar de dichiheid van die Ycrdccling in vele gevallen onmid-
dellijk kan berekend worden.

Oiulerslellen wij nl. dal hel oppervlak S ccn evenwichlsbpper-
vlak is voor Iwcc massa\'s M, en Mj, waai\'van M, geheel binnen
S en iMj builen S gelegen is. Zij de polenliaal van M, cn Mj res-
peclievelijk V, cn V,, cn slcllen wij

M, -f U, = M -
cn V,-f-V,r=V
dan gcldl voor ieder pmil P, van hel oppervlak S

V — conslanle

Vcrplaalsl men l\\ over hel oppervlak over eene lengle ds,
dan is

ds

en derhalve is de kraclil, waarmede dc eenheid van massa in P. of

zooals men het uitdrukt het punt P, aangetrokken wordt, gericht
volgens de normaal van het oppendak en is in grootte gelijk

dn"

Ten eerste kan nu onmiddellijk over S zoodanig massa ver-
deeld worden, dat deze lading in alle punten builen S equipolcn-
tiaal is met M,. In dat geval moet de potentiaal in buitenpunten
zijn V,; binnen S moet dc potentiaal eene Pj functie wezen, die
aan hel oppervlak overgaat in V,. Maar voor punten van S geldt

V = C

of V,-fV,z=C

V, — C —

Neemt men derhalve voor de potentiaal in binnenpunlen C — V»,
dan voldoet deze funclic aan alle voorwaarden. Dc polenlialen dei-
gevraagde lading zijn derhalve

V, zz: G — V,

Voor de dichtheid n heeft men

, dV. , dV„
dV, _d(G —V,)_ dVs

dn dn dn

dV„ _ (IV. _ (IV.

(IN (IN " dn

\'1 /dV. , dVA -1 (IV

/fTT \\dn dn/\'

/fTrVdn dn/ An du
dV

Nu is-r- de kracht, waarmede dc ecnluiid van mas.sa in I\'
dn

door dc massa\'s M. cn M» wordt aangcli\'okkcn; noemen wij die
kracht K, dan is ook

r

C> = — Iv

47r

«

Dc polf.\'nliaal in (,\'cn punt binnen S is

Yi —C —Y,

Yoor ccne oneindig kleine verplaatsing ds in willekeurige rich-
ting ds heell men

dV dV„

ds

ol\' icdei\' punt biimen S wordt door de oppervlakte-lading aange-
ti\'okkcn met eene kracht gelijk aan de aantrekking door Mo op dal
punt uilgeoelcnd, maar tegengesteld gericht. Buiten S is

ds ds

waaruit hlijkt, zooals men reeds weet, dat ieder punt buiten S
oj) volkomen dezelfde wijze woi\'dt aangetrokken door de lading op
S als door de massa M,.

Al hel voorafgaande geldt evenzeer zoo de massa Mj oneindig
ver verwijderd gedacht wordt, of S een evenwichlsoppervlak is van
-Ml en die massa geheel omsluit. Men heell dan Y, — C en
dY,

(In

Keiie lading over S, waarvan de potentiaal in alle punten van S
en dus ook binnen S constant is, noemen wij eene evcnwichlsla-
(ling over S. Zoo de potentiaal in alle punten van Szz: ! is,
spreken wij van de evenwichtslading van S en hare potentiaal in
een punt l\\ builen S heet II, hare dichtheid in ieder punt van hel
oppervlak y. Is de poicniiaal in ieder punt van dan is

zij in P. gelijk (1// cn hare dichlheid eveneens Bekend is
hel, dat deze verdeeling van massa in de leer der slalischc cleclri-
cileit een groote rol speelt, en daarom meestal niet als een hijzonder
geval zooals hierboven, maar als voornaamste geval behandeld wordt.

Ten tweede lra(;hlcn wij ovci\' S eene lading te bepalen, die in
alle punten binnen S equipotentiaal is niet de massa M». Van die
lading is de |)olcnliaal in punten binnen en op S

V. zrr V,.

Voor het [)unl P. heelt men

of

Nu kan men echter in dit geval voor de potentiaal in punlen
builen S niet nemen C — V,. Deze functie toch gaal wel voor hel
oppervlak over in V« en voldoet ook aan dc eersle en tweede voor-
waarde, die de P„ functiën beheerschen, maar niel aan de derde, —
op oneindigcn afstand neemt zij de waarde G aan. Wordt echler
genomen

dan voldoet aan alle voorwaarden der 1\\ functiën en is dus ook
de potentiaal der gevraagde lading. Deze potentiaal is echter nog
niel bekend, tenzij de potentiaal van de evenwichtslading over S
langs anderen weg gevonden is. Voor de dichtheid vindt men dan
i idV, . d

\'1 dVo , d A, ,, \\

Volgens definitie is — = /, derhalve

dV, dV,

dn \' dn

Is C = O, dal wil zeggen S eén evenwichlsvlak van potentiaal
nul voor de massa\'s M, en Mj, dan is

• V, = V„ V„ = -V,,

471 dn

en derhalve de massa-verdecling geheel bekend. •

Wordt slechts gevraagd over S eene massaverdeeling Ie b(!palen,
die op alle punten binnen S dezelfde aantrekking uitoefent, als dc
massa Mj, dan is, volgens § 5 van hel vorige hoofdstuk, dil vraag-
stuk niel geheel bepaald, —eene bijzondere oplossing is dan echler
steeds aan te geven, nl.

v,=v,-(:, v.=_v.,

§ Laat de massa M, —-|- i zijn, dan volgl uil hel vooraf-
gaande, (lal onmiddellijk dc limclie G, bekend is voor hei vlak S, met
het punl, waarin dc massa -j-1 ligt, als vast punl of atlraclic-centrum.

In dal geval is V, =-rl-en (1,-0 — V., eveneens\'is

-25

1 /d 1 , dV,

An \\dn E, dn/\'

Zoo de massa M3=: 1 is, kent men de lunclie van Green
niet, tenzij de ijovengenoemde grootheid TI voor het oppervlak S
bekend is, of S een evenwichtsoppervlak van potentiaal nul mocht
zijn. In het eerste geval is

G„ = G7Ï —V.
l /dV. , d 1\\ , ^

In het tweede geval

p V ^ , d 1\\

Ook bij deze bepaling van G„ is weder het punt waarin de massa
-f- \'I ligt het attractie-centrum.

§ S. Nadat in de beide voorafgaande paragrafen eene methode
is aangegeven, om in enkele gevallen de funetiën van Green wer-
kelijk te berekenen, gaan wij thans over tot de eigenschappen, die
zoowel deze funetiën als de massavcrdcelingen, waarbij zij als po-
tentialen behoorcn, vertoonen.

Ten einde die eigenschappen op hoogst eenvoudige wijze te vin-
den, ga men uil van dc betrekkingen eu 12\') van hel eerste
hoofdstuk en wel ten eerslc

V,\'=z|v.(,A .................1)

waarin V,\' dc waarde ecner l\\ functie voorstelt in hel punt P/,
die aan het oppervlak de waarde V. aanneemt. Verder is pi\'dc
dichtheid eener lading, die in punten buiten en op S tot potentiaal

heell jl- cn in punten (x, y, z) binnen S lot potentiaal G,; het is
El

dc dichtheid ccncr ccntrobarischc lading, waarvan P/ het attraclic-
ccntrum is, of van de cicclricilcit door eene hoeveelheid electrici-
tcit— 1 in Pi\' op S, met dc aarde verbonden, geïnduceerd.

Woidt in dc bovonslaande Ibinuile voor Y. gesubstitueerd —,

-488

waarin voorstelt den alstand van het punt xyz lot een punt
van S, dan zal V/ de waarde eener Pj functie in hel punt PI zijn,

die aan het oppervlak overgaat in ^, hel zal derhalve volgens de-
finitie de GREENsche functie zijn met hel punt xyz als vast punt
of als attractie-centrum; noemen wij deze G/, dan is

De integraal in deze vergelijking is echter eveneens volgens de-
finitie de potentiaal der centrobarische lading met P- als attractie-
centrum in het punt xyz— of de functie Gj; derhalve

G. —G;

Is dus ovei\' eenig willekeurig oppervlak S eene centrobarische
lading gebracht met een punt P! als attractie-centrum, dan is de
potentiaal van die lading in P^ gelijk aan de potentiaal in P\\ eener
lading over S, waarvan Pi het attractie-centrum is. De functie Gj is,
behalve van den vorm van het oppervlak S, afhankelijk van de
coördinaten x\',y\',z\' en x,y,z. De functie G| ontstaat natuurlijk
door in Gi x\',y\',z\' met x,y,z tc verwisselen en omgekeerd; uil
de betrekking G, = GJ volgt dus: de functie Gi is eene summc-
Ivische functie der coördinaten x\', y\', z\' en x, y, z.

«

§ 4. Evenals de vorige eigenschap uil \') gevonden werd door

in \') voor V. de waarde ^ te substilueeren vindt men uil dezelfde

vei\'gelijking andei\'c cigenscha[)pcn door aan V, achtereenvolgens ver-
schillende waai\'den toe te kennen.

Zij V, =: C, dan is ook Y,\' — C, en heeft men

G — ƒC()id(T

-1 = Jpidff.

De gezamenlijke massa, die zich op S bevindt, is derhalve gelijk
aan die welke in het atlraclic-centrnm moet gedacht worden, of ook

-27

(le hoeveelheid electncileit geïnduceerd op den algelcidcn conductor is
is gelijk en tegengesteld met de inducccrcndc clcclricilcil in PI

Voor het verder onderzoek nemen wij den oorsprong van ccn
rcchlhockig coördinaten stelsel in Pi of in hel atlraclic-ccntrum.
Wordt nu V. achtereenvolgens gelijk x, y cn z genomen, dan zul-
len , daar x, y cn z Pi funcliën van S zijn, ook in alle punlcn van
S de waarden, die bij de aangenomen waarden van V. behooren,
respectievelijk zijn x, y cn z.

Men liccll derhalve, daar in P/ x=:0, y O cn z == ü is

O zz: jxff^da, ü — ƒ ypid(T, j

llcl zwaartepunt van deze ccntrobarischc lading ligt derhalve
in hel atlraclic-ccntrum. Evenzoo vindt men door voor V, achter-

eenvolgens tc nemen

xy, xz, yz.

0 = Jx)\'(),diT, Onr ƒxzp,d(T, (Izz: ƒ yzp.dir.

Nccml men achtereenvolgens

cn V.iii:(x^ z^)-(y=-f z=)
dan is weer in alle punlcn binnen S

cn V,=:(x\' z\')-(y^ z\')
daar deze beide waarden van Vi ook nu nog P, funcliën zijn.
Weder is in beide gevallen gelijk nul, waaruil

ƒ(x\' y\')«.<l<T = — ƒ

Poinsüt\'s traagheids-ellipsoïde der ccnlrobarischc lading is dus
in hel atli\'aclic-ccnlrum ccn bol.

T). Oiulcrzockcn wij thans dc lading, waarbij G„ als potentiaal
behoort, of wel dc ccnlrobarischc lading met PJ als allraclic-ccnlrum.

lli(jrlo(\' wordt uilgcgaan van dc betrekking

jwojhi

-28

Zij in alle punlen van S weer V, = waarin Ihans ^^ voor-

slell den afsland van een punt van S tot een willekeurig punl
X, y, z builen S, dan is

fpadff

A\'

en V\'„ is nu de waarde der P„ functie in hel punl (x\'y\'z),

1 .

die aan hel oppervlak overgaat in —; hel is dus weer de

waarde der functie G„ in x\',y\',z\' mei het punt xyz als vast punt;
noemen wij deze functie G\'„, dan is

\'pudp

G\',

A

Maar de integraal in het tweede lid is volgens definitie de polen-
liaal der centrobarische lading over S mei als altractiecenlrum
in hel punl x, y, z, of G„, bijgevolg

G\'„ — Gu

waaruit weer volgl, dat de GRp:ENsche functie Gu ccna symmetri-
schc funclie van x\', y\', z\' en x, y, z is.

Substitueert men in voor V. eene constante waarde C,
dan is Y„ in alle punlen builen S eene P« functie, die aan het
oppervlak dc waarde (i aanneemt, deiiialve volgens de voorgaan\'de
paragraaf

V„ = GW

In P\\ (x\'y\'z) is nu
of CJ7„ / Cpadff

/

Dc massa der clcclricileil op den geleider S, met de aarde ver-
honden, geinduceci\'d door de hoeveelheid eleclricitcil— I in P\\, of
ook de massa der centrobarische slofverdeeling over S, waarvan
P\\. hel allraclie-centrum is, lieefl dezelfde waarde als de polenliaal
van de evenwichtslading van S in hel |)unl

Blijkbaar geeft de substitutie van dc funetiën x, y enz. voor
V, hier geen eenvoudige uitkomsten. De ligging van het zwaarte-
punt, enz. van deze lading blijven dus geheel onbekend.

§ (). Dc resultaten in § A verkregen zijn gevolgen van zeer
algemeene waarheden, die thans worden afgeleid. Zij S een
oppervlak, dat eene massa M geheel omsluit en laat over S eene
lading aangebracht zijn, die in alle punten buiten en op S
equipotcntiaal is met de massa M. Zoo dan de potentiaal der
massa Y genoemd wordt en de i)otentiaal der lading over S
in punten buiten S cn op S respectievelijk Y„ en Y., is zoowel
Y„ als Y, gelijk Y. Nu is volgens het theorema van Green
1« Hoofdstuk 4).

Y AUdr

u A .............

Zij hierin U ccnc willekeurige functie van S, en Y dc poten-
tiaal van de massa M, die zooals reeds gezegd is geheel binnen
S ligt, cn gedacht wordt continu verdeeld tc zijn binnen ccn
tweede oppervlak S\' dan kan men de gelijkheid toepassen voor
de geheele ruimte binnen S. Tevens weet men, dat steeds
gelijk nul is cn A^ overal gelijk nul, behalve in punten x,, y,, z,,
binnen S\', waar .

is, zijnde (,), de dichtheid in x,, y,, z,.

Men heelt dus, zoo j een integratie over het oppervlak S cn ƒ

ccnc integratie ovci\' dc ruimte ingesloten door S\', voorstelt:

.....

Neemt men verder in weer U — \\\\ maar voor Y dc potentiaal

der massaverdeeling over S in punten binnen S of Y,, dan is

.......

-30

Aan het oppervlak is echter V V,, dus door en \'>) af te
trekken

Uit de betrekking- — /iTr« -jj^ volgt, daar —
dV .

=--p is

dn

I = ..............6).

welke vergelijking ook, zoo (>d(ï = dm en (>,tlr = diUi gesteld
wordt, kan geschreven worden

ƒ P.dm = ƒ IVhii, ..............7).

Neemt men nu voor P, achtereenvolgens dezelfde functiën als in
^ waarbij echter de oorsprong van het coördinatenstelsel in
een willekeurig punt gedacht wordt, dan vindt men wederom

ƒ dm =

ƒ xdni z= ƒ x,diii, ƒ xydm =ƒ x,y,din,
ƒ ydm = ƒ y,dm, ƒ xzdm = ƒ x,z,dm,
ƒ zdm =: ƒ z,dm, ƒ yzdm z= ƒ y,z,dm,
ƒ (r f)dm-
== ƒ (x\'4-z=)dm—ƒ (x,- z,=)dm,

Wordt derhalve over S eene lading gebracht, die in alle punten
buiten S en op S dezelfde iioteiitiaal heell als eene massa M binnen
S, dan gelden de volgende eigenschappen:

1". Dc massa der lading is gelijk aan de massa van M.

.SI

Hel zwaarlepunl der lading vall zarnen mei hel zwaarte-
punl van M.

3°. in ieder punl hebben de Iraagheidsellipsoïden van de lading
en van M dezellde hoofdassen.

Zoo de Iraagheidsmoinenlen van de massa M len opzichte
van drie willekeurige rechthoekige assen A\', 11\', C\' cn van de lading
len opzichte der zelfde assen A, B, C zijn, dan is
A —A\' = B —B\'=G —C\'.

Dc eerste eigenschap is bekend, evenals de eigenschappen in § h,
welke laatste voor Tuomson \') gevonden werden. De tweede eigen-
schap werd door Liouville ontdekt en de cn door Thomson f),
nl. voor hel bijzonder geval, dal S ccn evcnwichlsoppervlak is
der massa M en over S ccnc cvenwichlslading uitgebreid wordt.

Voor ccn willekeurig oppervlak zijn zij hier, naar ik meen,
voor hel eerst algclcid. l]ij dc allciding is ondersteld, dat dc
massa iM continu verdeeld is bitmcn dc gchccle ruimte door S\' in-
gcslolcn. Volledigheidshalve wordt in dc volgende paragraaf aan-
getoond, dal geheel hetzelfde geldt, zoo de massa M opgehoopt
mocht zijn in matcricclc punlcn of over hel oppervlak S\' ver-
deeld is.

§ 7. in dc beide gevallen, hierboven genoemd, kojnl hel cr
slcchls op aan dc vergelijking 6) nl" 7) tc leiden, waaruil de
eigenschappen 1 lol h onmiddellijk volgen. Zij dc potentiaal van
de massa, over S\' verdeeld, in inuilcn builen S\' V\'« cn in |)unten
binnen S\' V\'i, dan moet dc i)olcnliaal der lading over S in punten
l)uitcn S V\'„ zijn, cn stellen wij die polcnliaal binnen S V,, dan
kunnen wij dc stelling van (Ihkkn «) toepassen voor dc ruimte
tu.sschen S cn S\' cn licctl men, zoo 11 (!cn Pt funclic is voor hel,
oppervlak S cn Vz=rV\'„ genomen wordt.

dV \'

p.\'^ ............»)

Neemt men verder weer ü = Pj en V = Vi dan geldt voor S

.............

Daar aan het oppervlak S de lunctiën V.\' en V, dezelfde waarde
hebben, vindt men uit 8) en 9)

/"v^P\' 1 fp /^dV» dVA

/dV \'

r-w................■»)

Eindelijk volgt uit 3) zoo nog eens ü = Pi en V = V,\' geno-
men wordt voor het oppervlak S\'

.............■\')

dP dP

Nu is ^ = —-jj^, dus door optelling van en ii)

Is¹ in do de dichtheid q cn in dp\' cvenzoo p\', dan geldt dus

ƒ l\\Qi\\a = I P.-(,\'dff\' .............12).

waardoor dus ook voor dit geval de vergelijking bewezen is.
Zijn in punten massa\'s /ij opgehoopt, dan is de potentiaal

van die lading in een punt buiten of opSz= zoo Ej den af-

stand voorstelt van dal punt lot Pj. Dc polenliaal van de lading

over S is dus en dezelfde waarde heell V.r

*

Nu volgt uit 6) Hoofdstuk

Zoo Pj de waarde voorstelt der functie Pi in het punt P^. Hier-
uit volgt

Zij verder de potentiaal van de lading over S in punten binnen
S gelijk V,, dan is

Door allrekking vindt men nu op de gewone wijze

................ 13).

Dat deze vergelijking ook onmiddellijk uit de bekende vergelij-
king i\'\') van het vorige hoofdstuk kon opgeschreven worden, valt
in het oog.

s; 8. Zoo over het oppervlak S eene lading uitgebreid is, die
in alle punlcn binnen en op S equipotcntiaal is mei eene massa
.M builen S gelegen, dan zal men door ile stelling van (ïheen toe
le passen vooi\' de ruimte buiten S, vergelijkingen vinden, over-
eenkomstig met die in ö) cn 7) afgeleid, en wel

..............

t

ƒ \\\\gdo = ƒ P.Vda\' .............. 12)

................

Neeml men hierin P. gelijk C (constante), dan is P„=(\'j/cn
men vindt uil

ƒ ƒ //iCi\'lr

en ovcnicnkonjstige bctrckkingtni uit \'2\') en >«\'). Hieruit blijkt,

u

dat de eigens(;liap aan het slot van § 5 gevonden voor de grootte
der massa eener centrobarische lading ook een bijzonder geval is
van eene algemeene eigenschap.

De betrekkingen 6), 12), 13) cn de overeenkomstige, hierboven
genoemde, zijn geheel algemeene vergelijkingen, die men verkrijgt,
zoo eene willekeurige massa over eene oppervlakte S op de be-
kende wijze verdeeld wordt; de vergelijkingen

en \\Jz=zj\\.o^dQ

zijn te beschouwen als bijzondere gevallen daarvan, die verkregen
worden bij de verdeeling over S van eene massa -j- I in één
punt gedacht.

DERDE HOOFDSTUK.

de functie van green voor het oppervlak van een ilol
en van een parallelopipedum. toepassingen.

§ i. Is een oppervlak S een evenwichls-oppcrvlak voor Iwcc
massa\'s M, cn JL en wel M, binnen S gelegen on M. builen S,
dan kan men zoo ÄI, = 1 is, op do wijze, zooals in hol vorige
liooldsluk is aangegeven, onmiddellijk do lunclio Gi voor dal opper-
vlak berekenen bij hol punl, waarin de massa -j- 1 ligl als vasl
punt ol\' allraclic-ccnlrum.

Ton cindo eclilcr dc funclic G, lo kennen bij con willekeurig
punl als all radio-cent rum, is hol noodig, dal S kan beschouwd
worden als oon oppervlak van conslanlo potentiaal voor ccnc
massa1, waar ook binnen dal oppervlak geplaatst, on cono
bekende massa Mj buiion dal oppervlak. Slcchls Iwcc ojjpervlakkcu
zijn bekend, die aan dozo voorwaarde voldoen, on wel bot opper-
vlak van ccn bol cn dat van oen rcchlhockig parallelopipcdum.

Zoo van do boido massa\'s iM, cn .M., waarvan S oon cvcnwichls-
opjMM\'vlak gedacht wordt, iMj -f- \' \'s» funclic G„ voor

S onmiddellijk tc bcrokoncn, bchoorcndo bij hel i)unl, waarin Ma
ligt als vasl punl. Slcchls is hel in dit geval nog noodig, om G„
gchool Ic kennen, dal S ccn cvcnwichls-oppcrvlak van polcnliaal
nid is, of dal do i)0l0nliaal van dc cvenwichlslading van S ccnc
bekende grootheid is. Ook hierbij geldt holzolfdc als zooovon is
oi)gom(!rkl; ton einde G„ algemeen Ic kunnen berekenen, dal wil

SB

zeggen bij een wilieiieurig punt buiten S als vast punt, is het noodig,
dat S kan beschouwd worden als een evenwichtsvlak van eene
massa i, waar ook buiten S geplaatst, en van eene geheel be-
kende massa Mi binnen S. Het bolvlak is het eenige vlak, waar-
van men weet, dat het aan deze voorwaarde voldoet.

In de volgende paragrafen gaan wij over lot het bepalen der
funclien van Green voor hel bolvlak en tol de toepassing van die
funclien; ten slotte zal de funclie Gi voor een rechthoekig paral-
lelopipedum berekend worden.

§ 2. Zij S een bol met een straal a en middelpunt M en Ai
een punt geheel willekeurig binnen den bol aangenomen, op een
afsland r van het middelpunt gelegen, dan verlengt men MAi en
neemt op dal verlengde een punl A„ aan, zoodanig, dat
MA,XMA„=:al ■
Het punl A„ buiten den bol heet hel geconjugeerde punl van
Ai, en nu is volgens bekende eigenschap van het bolvlak, zoo
P, een punl op dat vlak voorstelt,

...................

Is de afsland van A„ lol M gelijk r\', dan is rr\' — a\' of - zzz

a «r

De vergelijking kan derhalve geschreven worden

2)

Ai/>. r KP. ................ \'

of \'

...............

Uil 2) blijkt (lat hel bolvlak een cvenwiclilsvlak van polenliaal
nul is voor eene massa 1 in A| en eene massa — ^ in A„ ge-
plaatst. Evenzoo uil 2) dat hel bolvlak als een dergelijk vlak kan
beschouwd worden voor eene massa -{- 1 in A„ en eene massa

— in A| geplaatst. Daar A, en ook A„ ieder op zi(^i z(!lf geheel

37

willekeurig kunnen geplaatst worden, voldoet dus het bolvlak aan
de voorwaarden, in de voorgaande paragraaf genoemd. Volgens
§ \'1 van het tweede hoofdstuk zijn nu onmiddellijk de funetiën
Gi en G„ aan te geven. Laat jP, een willekeurig punt binnen S
zijn, en P, een punt buiten S, dan is

r KPi
en

r ^

Un--.

r\' AJ\\

Weder zou men kunnen opmerken G| is eene P, functie van

4

S, die volgens 2), zoo Pi in S valt, overgaat in ; zij is dus de

Aii ,

functie van Green voor S met A, als vast punt. Hetzelfde kan
men zeggen van G„.
Laat de afstand van Pi lot M gelijk J zijn cn de bock tusschen

a\'

PM en AiM gelijk dan is, daar MA„ = ^ is, inden driehoek

PMK

KPi = i y a^ -f Y\'J\' — 2a\'r^cos»

of \'

G "

j/\'"\' ~ Sa\'r^cos,\'^

Zij evenzoo de afstand van lot iM gelijk J\' (!n de boek
tusschen PJ\\ en A„M gelijk O\', dan vindt men eveneens

a

Dczc uitdrukking voor G, cn G„ vertoonen volkomen dcnzclfilen
vorm, cn sc.hrijll men in G,. voor r\', J\' en O\' ook r, J en
dan is

G. — "

§ i). Ter Ix^paling van de dichlliedcn (>, cn ()Jieen men, volgens
O van licl eer.stc hoofdstuk

~ hn dN VE,
waarin Ei gelijk is aan AiPj en E„ gelijk dus

Ei =

E„ = |/a\' J\'" — 2a//\'cos{^

Verder is — Lim.

dn

d / d
en -TTf = Lim.

dN" =

Men kan dus weer schrijven

1 r d ( a

Ol, „ =: zp-r- um.

hu ■ L d J I ya» _ 2a JcosO-

j/^a" -)- rJ — cosO-

waarin-hcl bovenste leeken bij «i behoort, en het onderste bij q.
De diirerentiatie uitgevoerd, vindt men

a cosa — J

= Lim.

An

(a\'\' J\' — 2a/icosa)\'
a(aVcos{> — Y^d) ]

en ten slotte

1 r\' —a^»

= -T..........

a(a\' -I- r- — 2arcos^^)T

Ter bepaling van dc dichtheid had men ook kunntiii uilgaan

van tie betrekking op pag.

1 ..

K.

An

^ Ü|) de eenheid van massa in P. wordt nl. eene krachl uilgeoe-

Ü\' . . 1 1

i» I 1

i lend ,-77; = rr: volgens P.\\i (in eene kra(iil volg(!ns hel ver-

j Ai/\', JV

lengde vim \\J\\ \'\'

1

39

E K

Nu is 7^=- oi" E\'=:—; dus werken in P, twee krachten
ti a r

nl. eene kracht — en eene welke met elkander een hoek ma-
ti\' ati*

ken, die het supplement is van hoek AiP,A„.

Dc resultante van die krachten is de derde zijde van ccn drie-
hoek, waarvan ccn hoek gelijk Ai/^A» is, cn dc beide aangrenzende
zijden zijn

1 r . r aE r ,,
rq cn -p, ol -F5 • — cn — . L.
L\' aE\'\' aE\' r aL\'

Deze driehoek is gelijkvormig met dnchock AiP,A„, want dc zijden

om hoek AiP,A„ zijn in den laatsten driehoek — cn li; dus zal de
resultante zijn

Nu is A,Au — ^ — r — —-—; dus

aE\'

or _ -1 a\'—r

^\' — /^TT aE= ■
Op volkomen dczcHdc wijze kon bci\'ckcnd worden. Dc bekende
betrekkingen cn \'2\') pag. 15 worden nu

-I

-L^l!^-.........5)

Wv.-^irü^-.........n

^""J a(a\' r= — -Jai-cosf))^
ol\'

Y. -^^^^^^^^-T^»«^........

4 Alvorens verdere gevolgen uit bovenstaande betrekkingen
af tc leiden, i)asscn wij zc Uw. om werkelijk over ccn bol zoodanig

AO

massa te verdeelen, dat de potentiaal van die massa in ieder punt
van den bol eene gegeven waarde aanneemt.
Laat die waarde in ieder punt P van den bol S zijn

V, zz: G cos /

waarin G eene constante voorstelt en y den hoek tusschen den
straal MP en den straal MN naar een punt N van den bol getrok-
ken. In een punt A, dat respectievelijk

Ai A. A„

genoemd wordt, al naar het binnen, op ol\'buiten Sligt, bepalen
wij de waarden der potentiaal van de gevraagde massaverdeeling,
en wel Vi en V„.

Zijn deze bekend, dan vindt men op dc gewone wijze dc dicht-
heid Q in het punt A,.

Als grondvlak van een poolcoordinaten stelsel wordt aangenomen
een vlak door het middelpunt loodrecht op MA, als oorsprong het
middelpunt, en het eerste normaal-vlak woi\'dt door N gebracht.
De coordinaten van het punt P zijn dan
a, & en cp,
waarin O- dc hoek is tusschen MA cn MP en qj dc standhoek der
normaal-vlakken door N cn P gebracht. Zij dc hoek tusschen
MA cn MN —dan zijn de coordinaten van het punt N

«, en o.

Men heeft dan

cos / =:cos O- cos ^ -j- a\'m & sin ^ cos <p
dus\' V. = C (cos tO\' cos (5 -}- sin O\' sin (3 cos 9).

Dc Ibrmule 6) is nu onmiddellijk te gebruiken; wij geven dc
grenzen van dc integraties aan en schrijven
d(i = a\' sin dd{>(l(jp,

dan is

\\r ^ / 5 ( Z"\' ^osS COS& sinO ,

(yo(a\' r\'—2arcosa)\' J„

, f" sinösin\'o- , C^" ,1

-f- I -=-rosqpd^iL

; „(a^-j-r—2arcos;>)^ J „

A\\

De laatste integraal in deze som is blijkbaar nul, zoodat slechts
overblijll te bepalen

cosO-sinO^d^ i f^r d / ,
--- —--1 a- r—2arcos{>

Het resultaat van deze integratie is verschillend naar gelang men
V„ of Y, bepaalt. In het eerslc geval vindt men
cosO^sinO\'dö\' _ 2

, f\'\'_dcosa__ 2a

a"

Derhalve Y« — C — cos S.

r" \'

In bet tweede geval wordt gevonden

Y, C- cos S.
a \'

ïei\' bei)aliug van (», merkt men op

1 /(IV. , dY.s \\ so ^

Q

Dc gevonden waarden zijn slechts afhankelijk van (i, zooals

tc vci\'wachten was, cn men heell

r a"-\'

Yi=:G-cosiJ, V. = Ccos/5, V„ = G~ cos/3
a 1\'

Blijkbaar is dc som der massa, over den bol verdeeld, gelijk nul.

§ 5. Door gebruik te maken van de inlegriden 5) cn s\') iq
verband met dc gelijkheid

bestaal de mogelijkheid, de dichtheid q cener gevraagde massa-
verdeeling onmiddellijk uil te drukken in de gegeven waarde van
de potentiaal voor het oppervlak. Zoodoende verkrijgt men de
merkwaardige uitdrukking voor q, die door Diriciilet is afge-
leid *). De eenige moeilijkheid bij deze allciding is hierin gele-
gen, dat de uitdrukkingen

(dr)r=« ^^ (dr)r=«

zoo men onmiddellijk en 5\') gaat difiercntiëercn, onbepaald worden,
daar de vorm onder hel integraalteekcn bij de grenzen oneindig
groot wordt, \'t Is daarom noodig deze vergelijkingen eerst tc
transibrmceren, daartoe schrijvcn wij:

V / \' r sin{> do ,

V = -j V.dqp

waarin hel bovenste teckcn behoort bij V, cn het onderste bij Y„,
of wel hel bovenste bij r < a en hel onderste bij i\' > a. llcl
coordinalcnslclscl is aangenomen als in § 2. Dc integratie, in
zooverre zij op qp betrekking hcctl, denken wij uitgevoerd cn wel zij
\'1 f^\'\'

waarin f (&q)) = V,.

F(v\')-) stelt dan voor dc gemiddelde waarde van dc polcnliaal over
ccn parallelcirkel met een sphcrischcn straal tO\'uil A. bcschrcvcn. Nu is
a\\r / O f sin

y o(a\'-f-—-ai\'cosf^)\'^

of bij gedeelten gcinlcgrcerd

= 4-1" — 2ar cosof\'

\' \' \' y o(a\'-fr- —2arcos{^)\'^

♦) Lejeune Dikichlet. Ucber einen neuen Ausdruck zur IJestimmung
der Dichtigkeit der unendlich dünnen Kugclscliale etc. Abhandlungen-
Akademie zu Berlin 1850. pag. 99.

43

Hieruit volgt:

4) r——,

_r\' — a\'^ — r a cosx\'^) F^ö-) dO\'

Jo (a=-f r^ —2arcos»)^

\\dr/r=. a ^ a ^j^^asmii-^

zp Lim. r^C—r acosfl-)FXO)d»

^ i O (a\' r —2arcos{^)^

De hovcnslo leekens behooren weer bii Lim f^) cn dc

\\dr/r=.

onderste bij Lim ^^^ • De eerste integraal in bovenstaande

uitdrukking heell in hel algemeen eene eindige waarde, daar F\'(O\')
te gelijk met sin lol nul nadert *). De laatste integraal is voor
r = a nul, zooals onmiddellijk blijkt, derhalve
/\'"Va _ -1 1 -1

waaruit:

1

U"; 2asin«

............7)

J O sm ^ f^ ( ^

Ten einde dus de dichtheid in een punt A, tc bepalen, moet
hel eerst F (i7) gezocht worden, waai\'loe de integratie

-TT y O

Is r (Oiji) i\'(cos/), waarin / den hoek lussclien MS en een
bepaalden straal MN voorstcll, dan heell men even als in hel
vorige vraagstuk

♦) UiKMANX. Öcliwcro, Elcktricitilt und Magnotismus. pag. Ml.

U

— f(cOS cos i? -j" sin ^ sin cos qj)
1 f^^

F(ü) — r((^os {f cos |5 4" sin sin cos <p)d(]p —

Jtt y o

cos -}- sin sin j? cos 9)dqp.

Is de liinclie onder lieL inlegraalleelven eene geheele ralioneele
functie van cos dan kan men de integratie uitvoeren en heelt
dan Q teruggebracht tot eene enkelvoudige integraal. Eigenlijk

hciioell slechts eene geheele rationeele functie van cos O- te zijn.

§ 0. De gevonden uitdrukking voor q passen wij toe op het
vraagstuk: „Eene gegeven massa m zoodanig over een bol met
straal a te verdeden, dat in ieder punt op het holvlak de poten-
tiaal evemedig zij met het vierkant van den afstand van dat punt
tot een gegeven diametraalvlak, waarvan de pool in een punt N ligt."
Dij dezelfde notaties als vroeger, is in een punt P

V, Ca\'cosV = c cosV

waarin c eene constante, die moet bepaald worden. Ter bereke-
ning van de dichtheid in A. heelt men

c f\'^

F(cos- xJ cos\'sin\' & sin\'cos\'cp

tt / o

-f- 2cos O cos (3 sin 9 sin (3 cos 9) (I9

of na integratie

F {&) z= c {cos\'& cos\'i? -f- ^ sin\'(3)

F\' {») =z c (sin\'/? — 2 cos\';?) cos O sin
= c (1—.i cos\'/3) cos O- sin

i\\ii is in 7)

F (n) — c cos-fi
f ^ F\'(a)da ,, , , cos a sin , 4

45

derhalve in A,

Ten einde c le bepalen gaal men uil van de belrekking
m r= 27ra\' j q sin ^ dj?.

Subslilueei\'l men vooi* q de gevonden waarde, dan vindl men

1

na eenvoudige inlegralie m=-Tj-ac ot\'czr:—, dus

O m

/r

cn in dalzelldc punl is

V. — — cos\'(?.
a

llcl is nicl noodig, dal de gegeven polenliaalwaardcn iii de ver-
schillende punlcn van Sdoor eene (uikelc lunclie van 9 en 9 wor-
den voorgesleld. Zoo bchandell Diiuciilet hel vraagsluk, waarbij

V, 1= cos y is, zoolang / < en V, O is voor / >

De dichiheid wordt dan uilgcdnikl door ccnc elliptische integraal
van de derde soort , die tol volledige elliptische integralen van
de eerste cn tweede soort kan terug gebracht worden.

55 7. Uitgaande van dc uitdi ukkingcn 5) cn 5\') voor V, cn V„ kan
men de |)Otcntiaal van ccnc vlaktelading over het oppervlak van
den bol ontwikkelen in ccnc reeks van kogcll\'unclien.

Dit is niet dc eenvoudigste weg om tol die ontwikkeling tc ko-

♦) IllKMAKN t. u. 1). piig. 140 zügt: „Zur Horechnung von q ist dio Formol
nicht brauchbar. Violmolir Imt nmn zu diosoni Zwock sio in cino Uoilio
von Ivugclfunctionon zu ontwickoln". Do oorsto uitspraak is zokor onjuist,
on wat overigen» do ontwikkeling in kogelfunetion aangaat: Dhuciii.kt
brengt juist do bekende uitdrukking voor de dichtheid in kogelfunetion tot
dn uitdrukking 3) terug. In do nu\'osto gevallen is liet echter botor do uit-
drukking voor (> in kogolfunctien onniiddollijk to gebruiken.

men en bovendien is de ontwikkeling zelve een bijzonder geval van
de algemeene ontwikkeling, die in het volgend hoofdstuk gegeven
wordt, maar zij brengt ons tot eene belangrijke eigenschap, waarom
zij reeds hier eene plaats vindt.

Laten de coordinaten van een punt A, hetzij Aj A„ of A,, zijn

r, q>

cn van een punl P op den bol

a

en de hoek tusschen iMA cn MP gelijk w zijn, dan gaan de inte-
gralen 5) cn 3\') over in

V,.. = hf f f" d,\' r V.--J . sin M»\' »)

J\' }<• (o\' r —-Jarcoscoyï

1* 31

Stelt men verder in Vj hel quotiënt - = é en in V„ evenzoo-zr:

a ■ r

t, dan is steeds t Cl, en men heeft

V, = - ; f^d,\' r V.-l^Ii!-,. sin .\'d.\' ..... 0)

yo y« (1 — 2fC0Sco-{-rr

en

V - f « r d,\' f V. . sin .\'d.\'.... O\').

^^^\'\'Jo Jo (i -I-cos co
Zoo lang f<1 is, beeft men, volgens Newton,

-------= ^P„(cosco)f" .........1")

(\'1 — cos co f-y
wadrin P„ (cos co) dc kogclfunctic van de eerste soort is van cos co
cn wel

1.3.5...(2n —1) / „ n(n—1) , „,
Beide leden van lO) geditTcrcnliccrd gfccfl

cos co — f ^ n / \\ n

3 O

(\'1 — cos co -f tY

cos co — S^o IW X n

-— -5\'2nP„ (cos (oy.

(I - 26 cos co -j- f"\')\'

Al

Hierbij de vergelijiving \'") optellende, vindt men

--^ = l(2n i)P„ (cos co)

— %cos{o ty

Deze waarde in 9) en 9\') substitueerende en levens f door

\' ti
in Vi en door - in V^ vervangende, verkrijgt men, zoo in P(a^\'qr/)

V. = f(^V)is,

a ^ r\' f^Tt fn

Vi =  1) I d(p\' / IW) p„ (costo) sin ^df^\'.... lo)

(■tt o a J g y Q

en

V„ = ^ ^(Sn r^" dq>\' I\\(costo) sin ..... 12\')

O a y O J O

De uitdrukkingen Vi en V„ voldoen aan de vergelijking van

Laplace , AV O, die bij deze coordinaten overgaat in

dTV . 1 d / . dV\\ , i d\'V ,,
T- sm -r- N- = 0.

dr sin d- dö- \\ dx\'>/ sin" ()• dqp"

Substitueert men in deze vergelijking de waarden van Vj en
V„ uil 12) cn 12\') dan vindt men, daar de coelficienlen van de
verschillende machten van r nul moeten zijn, dal de integraal

Y„ —df\'J\'\' IpY) P„ (cosco) sin (h\'da\'.........i:t)

voldoet aan de vergelijking

1 d / . dY„\\ , i d=Y„ ,,,,,,,
— —(sm O- -r- -f -^-ir "r^ 1) Y„ O ...

Nu

is co de hoek tusschen MP en MA en derhalve
cos tü = cos & cos -f- siu O- sin {)■\' cos (qp — cp\')
zoodal volgens H) P„(cosw) eene geheele ralioneele limclie zal
zijn van

cos {)■ , sin O- cos qp en sin & sin qp.

Dc integraties in hebben slö^bls betrekking op en qp\', zoo-
dal ook Y„ eene geheele ralioneele limclic van genoemde groolheden
zal zijn; bov(;n(lien voldoet Y„ aan de vergelijking i^), bijgevolg is
deze grootheid volgens gebruikelijke dcliiiilie *) cenc LAPLACE-liuKitie

*) Todiiuntkk. Troatiso on Laplack\'s funotions ntc. piig. l.")\'».

48

van de n\' orde, of zooals wij veelal zullen zeggen, eene kogelfunctie
van de n" orde. Vermenigvuldigt men Y„ met eene constante, dan
is het produkt nog eene kogelfunctie, zoodat wij gevonden hebben,
dat de potentiaal eener massa-verdeeling op den bol ontwikkeld kan
worden, zoowel in een punt binnen als buiten den bol, in eene
convergente reeks, waarvan de achtereenvolgende termen kogel-
functies zijn.

§ 8. Zij nu de potentiaal van eene vlaktelading op den bol,
die in ieder punt P(aO-\'()p\') tot potentiaal heeft f(0-\'qp\')

in P„ (r&(p)..........

» PiO\'f^.p)..........F\'(rf>(p)

» P,(a&<p)..........

dan is volgens de gevonden ontwikkeling

F\'Crx-^.^) = -f 1) / drp\' / Pn (cos co) sin»\' dO\' \'s)

° ^ J O J O
^ Jo Jo

Laat men in deze uitdrukking r tot a naderen, dan gaat zoo-
wel F\'(ra9) als F(r;^qp) over in f(0-9) en vindt men

A ^ CTT

f(0(p) -f-l) ƒ d(p\' / Pn (coso,) .sinO-\'da\'

J O J O

= if(2n-f 1) Y„...............1«)

471 o

Iedere functie van lO^ en (y, die als potentiaal van eene lading
op een bol in punten van dat oppervlak kan beschouwd worden,
dat wil zeggen, die van O-— o tot n en van 9 = 0 tot

= Stt eindig, continu en geheel bepaald is, kan dus volgens
de hier afgeleide vergelijking in eene reeks van kogclfunctien ont-
wikkeld worden.

Deze bekende en belangrijke stelling werd het eerst door Pois-
SON afgeleid ¹), uitgaande van de integraal in 8). -Afzonderlijk

1  Jourtiiil de l\'Ecolo polytoclmiquo 19 cahier, pag. 145.

49

moei dan aangcloond worden, dal deze inlegraal voor r zz= a
overgaal in f(o-qp) of in de waarde van V, in hel punl, waarvan
de coördinalen zijn a, O- en tt overigens is de onlwikkeling als
hierboven. De genoemde eigenschap is een zoo naluurlijk gevolg
van de vergelijking is), dal hare allciding hier eene plaats ge-
vonden heell. Onderlusschen dient opgemerkt te worden, dal hel
gegeven bewijs in sommige punten niet geheel streng is. Dirich-
let *) toonde de leemten in hel betoog van Poisson aan, en gaf
zelf een geheel analytisch bewijs.

§ 9. Ons rest nog, vóór dit hoofdstuk eindigt, de functie van
Green le berekenen voor punten binnen het oppervlak van een
rechthoekig parallelopipcdum S. Dit oppervlak is le beschouwen
als een evenwichtsoppervlak van potentiaal nul voor een punl mei
eene massa -f-1, geheel willekeurig binnen S gelegen, en van een
stelsel malericelc punlcn, oneindig in aantal, buiten S, waarvan
de ligging gevonden kan worden zoo hel eerste punl bepaald is.
Evenals bij den bol kan men dus ook > voor dit oppervlak dc
functie van Green berekenen, cn wel voor punten binnen S.

Zij A een plat vlak en P ccn materieel punl met eene massa
-f- \'I, builen A gelegen, zoo men dan uil P eene loodlijn op A
neerlaat, op hel verlengde van die loodlijn een punl P\' neeml,
evenver van A verwijderd als P en daarin eene massa — 1 legt,
dan noemt men de massa — 1 hel beeld van de massa -j-\' het
vlak A, en omgckccnl; bel platte vlak zegt men is synnnelriscli
gelegen ten opzichte der massa\'s 1 in P en — 1 in P\'. Voor
deze twee massa\'s is bel vlak A een vlak van polenliaal nul, en hel
is duidelijk, dal dit evenzeer geldt, zoo ccn systeem malcrieelc
punten Ier ccnc zijde van A genomen wordt, en ccn systeem ter
andere zijde, zoodal de punten Iwcc aan twee elkanders becklen
zijn, of, wat hetzelfde is, het vlak A symmetris(\'h geplaatst is,
ten opzichte van tlie malcrieelc punten. Hiervan wordt uitgegaan
bij het be|)alcn der Grekn\'scIic functie voor een parallelopipcdum.

*) Crkm.K. Jouninl für dio Matliomiitiic. IJand 17.

IIkine. Hniidbueli dor Kiigolfunctionon. piig. 432.

50

Het middelpunt van een rechthoekig parallelopidum wordt als
oorsprong van een rechthoekig coordinaten-stelsel aangenomen,
waarvan de assen achtereenvolgens evenwijdig loopen met de
zijvlakken A en A\', B en B\', G en G\', en die vlakken snijden
respectievelijk van de X, Y en Z as stukken af gelijk

H--« -4-5
2 \' ~ 2 \' ~

Laten de coordinaten van een punt Aj binnen S, dat als het vaste
punt beschouwd wordt, x\' y\' z\' zijn en zij in dat punt ccnc
massa -f- 4 geplaatst, dan bepaalt men het beeld van het materieele
punt Al in het vlak A, welk beeld eene abscis a — x\' heell. Ver-
volgens wordt het beeld van het verkregen punt in het vlak A\'
bepaald, waarvan de abscis — 2 a x\' zal zijn; weer het beeld
van dit punt in A enz., welke constructie eene oneindige reeks
van punten oplevert, die verschillende abscisscn bezitten, maar
waarvan de beide andere coordinaten steeds y\' cn z\' zullen zijn.
Evenzoo construeert men het beeld van het punt Ai in A\', waar-
van de abscis wordt — a — x\', het beeld van het verkregen punt
in A met eene abscis 2a x enz. Is de eerste constructie p
malen en dc tweede evenveel malen herhaald, dan verkrijgt men
eene reeks van punten, die in paren kunnen gerangschikt wor-
wordcn, ten opzichte van welke de vlakken A eu A\'symmetrisch
liggen, cn wel zooals hieronder wordt aangegeven, waar p on-
even is genomen.

Vlak A.

54
Vlak A\'.

In het algemeen zullen de coördinaten J, ij, ^ van een der beeld-
punten voorgesteld worden door

? = ma (—1)\'"x\' ^ =

waarin m alle geheele waarden van — oo lol -f- oo kan bezitten,
terwijl de massa in dal punl {—I)\'" is. De polenliaal van die
massa in een punl Pi (xyz) binnen hel parallelopipedum zal zijn

1/N

N (ma (-1)- x\' - x)\' (y\' - y)\' ^ (z\' - z)=

is, en wordt dus nul voor m gelijk lir oo. De beide vlakken A
en A\' zijn derhalve evenwichts-vlakken van polenliaal nul voor al
de geconslrueorde massa\'s, ol\' voor ieder punl P, (xyz) op A ol" A\'
heell men

1/N

Construeert men thans op dezelfde wijze van al de verkregen
punlen dc beeldpunten in de vlakken D en IV dan zullen de vlak-
ken A en A\' nog cvenwiclilsvlakken van polenliaal nul blijven en
dc vlakken 11 en IV eveneens dergelijke evenwichtsvlakken zijn voor
de massa\'s thans door de ruimte verdeeld. De coördinaten van
een der beeldpunten zijn nu

$ z= ma (— i)\'"x\' IJ =1 nl) -f- (— 1 C = z\'

4

en de massa in dat punt is (—1)"" ". Voor ieder punt van A,
A\', B en B\' geldt thans

00 00/_ /1\\m n

^ ^^^—^ = 0
-00 - 00 ]/N

waarin:

N (ma -[- (— 4)" x\' — x)\' (nb -\\-(—iyf — y)^ -f (z\' — z)°.

Worden ten slotte de beeldpunten van al de materiëele punten in de
vlakken G en G\' geconstrueerd, dan vindt men dat de zes vlakken, die
het parallelopipedum begrenzen, evenwichtsvlakken van potentiaal
nul zijn voor alle thans verkregen massa\'s, in de geconstrueerde
punten gelegen. Als coördinaten van een der punten heeft men
| = ma4-(—i rx\' ^ = nb-l-(—l)"y\' C = pc (—1)" z\'
en in dat punt bevindt zich eene massa

^_ ^^ m n p

Alle waarden van — co tot -j- cx> kunnen aan m, n en p toege-
kend worden. Voor ieder punt P, (xyz) op een der vlakken van
S gelegen, weet men

00 00 /_ ^ \\m n p

1/N
waarin

N = (ma (-1)"x\'-x)\'-f (nb-t-(- l)» y\'-y)^-h

Volgens pag. 24 is de gevraagde functie G, de potentiaal der
massa\'s buiten S gelegen in een punt Pi (xyz) binnen S, met het
omgekeerde teeken genomen, en zij Ei weer de afstand van Pi lot
Al, dan is volgens § 11 van hel 1® Hoofdstuk

Daar binnen S slechts de massa1 iri hel punt Ai ligt, is der-
halve Gi de potentiaal van al de massa\'s binnen on builen S in P, ol

00 00 00 /_ /l \\m n p

G, — 2 2 2>—

-00-00-00 1/N

De gevonden uitdrukking voor G, wordt gewoonlijk oj} de volgende
wijze herleid. Volgens bekende eigensc.hap is

53

r ^

of voor n = —

2

ds

I/tt.

1/s-

Neemt men nu s = Nt en beschouwt t als nieuwe variabele, dan is

1/N ]/Jo j/t

en derhalve

„ / dt

—4)" \' > ......... )

_i ^^^

waarin de summaties van — co tot cc moeten plaats liehben.
Neemt men nu in\'

de termen met even waarden van m samen en eveneens die met
oneven waarden, dan is

A — ve-(!>n» «\'- — —

-- yr Q-mi.4Ait-i.im.Stt(x-x\')t

Deze oneindig voortloopende reeksen kan men door ^ funetiën
uitdrukken. Volgens definitie is

00

{>3(z)= =« t)

—oo

derhalve

A=zc (h,(2ai (x — x\') t)

— e -(•-«\'{>,(2ai (x x\' — a) t)

waarin p —

54

Ëvenzoo vindt men voor de beide andere reeksen in

— e \'\' ^3(2bi (y y\' — b) t)

met Q — 4b^t

— e -(\'-"-\'»\'\'OaC^ci (z -f z\' — b) t)
met Q = Sc\' t.

Ten slotte heeft dus Gi den volgenden, zeer samengestelden vorm
e{^3(2ai (x—x") t)

— e c-^\'- \'\' ö-3(2ai (x x\' — a) t)

_ e - (b-yr-.)^. (y y\' — b) t)
—z\') t)

— e \' fl-3(2ci (z -]- z\' — b) t)

VIERDE HOOFDSTUK

algemeene vorm van Vi en V„ functiën bij een bol en bij
eene rotatie-ellipsoïde. toepassing op de
functie van green.

§ \'I. Hel bepalen der functie van Green is, zooals in hel
eersle hoofdsluk bleek, slechls een bijzonder geval van hel alge-
meene probleem: eene massa zoodanig over een oppervlak Ie ver-
deden, dal deze verdeeling in punlen builen dal oppervlak equi-
polenliaal is mei eene massa binnen dal oppervlak, of in punlen
er binnen equipolenliaal mei eene massa, die builen hel opper-
vlak ligl. Daarvan uilgaande zijn in hel derde hoofdsluk, de func-
liën Gl en G„ bepaald volgens eene melhode door Green aangegeven.

Evenzeer kan men hel vraagsluk, dal ons bezighoudt, besdiou-
wen als een onderdeel van hel algemeene vraagsluk: voor een
oppervlak S óf eene Vi funclie óf eene V„ functie te bepalen, die
in de punlen van dal o[)pcrvlak eene gegeven waarde V. aanneemt.
Nu bestaat er eene melhode, waardoor in sommige gevallen dal
algemeene vraagsluk kan opgelost worden. Zoodra nl. voor zeker
oppervlak alle functiën V, of V« onder een algemeenen vorm Ie
brengen zijn, of van eene reeks van die functiën de algemeene
vorm is aan Ie geven, bestaal dikwijls de mogelijkhdd, door de
algemeene uitdrukkingen Ie vergelijken met de gegeven waarden
aan hel oppervlak, deze uitdrukkingen zoo te specialiseeren, dal
zij voor i)unlen van hel oppervlak werkelijk in de gegeven waar-
den overgaan. Zoo gelukte het Lamé het algemeene vraagsluk op

56

te lossen voor punten binnen eene willekeui-ige ellipsoïde — dat wil
zeggen voor de ellipsoïde eene V; functie te bepalen, die aan het
oppervlak gegeven waarden aanneemt *).

Bij eene rotatie-ellipsoïde, hetzij eene afgeplatte of eene ver-
lengde, gaf IIeine de oplossing voor eene V, en eene V„ functie f),
en als bijzondere toepassing leidde Lipsgiiitz daaruit de functiën .
van Green af §). De ruimte laat niet toe in alle bijzonderheden
de ontwikkelingen, die in de genoemde verhandelingen voorkomen,
terug te geven. liet doel van dit hoofdstuk is dan ook slechts de
methode uiteen té zetten, waarnaar het algemeene vraagstuk kan
opgelost worden, en er op te wijzen, hoe, als bijzonder geval,
het bepalen der functiën van Green daaruit kan afgeleid worden.
Het kwam mij daarom niel ondienstig voor in de eersle plaats
hel algemeene probleem voor den bol te behandelen, om eerst
daarna over te gaan tot de rotatie-ellipsoïden; daardoor is hel
tevens mogelijk nog op twee verschillende methoden te wijzen,
die bij de algemeene oplossing kunnen gevolgd worden.

§ 2. Zij het middelpunt M van een bol S de pool van een
poolcoördinalenslelsel en zijn van zekei\' punl P de coördinaten

r, & en 9

dan zal zoowel eene V, functie als eene V« funclie van den bol,
als funclie van 0- en qp beschouwd, volgens het theorema, aan
het einde van hel vorige hoofdstuk besproken, ontwikkeld kunnen
worden in eene convergente reeks, waarvan de achtereenvolgende
termen algemeene kogelfunctiën van O- en qp zijn, en wel is vol-
gens bekende eigenschap slechts ééne dergelijke ontwikkeling voor
eene gegeven functie mogelijk. Merr heeft dus

V—fY„ ................... 1)

©

waarin Y „ dc algemeene kogeliünctie is van de n® orde, dat wil
zeggen eene geheele ralioneele funclie van

») Liouville. Journal do Mathématiques. Tome IV. pag. 12G—163,
pag. 351—385.

t) Crei-LE. Journal fi\'ir die Mathematik. Hand 26. jiag. 185.
§) - „ „ „ „ Band 58. pag. 20;

57

sin & cos (p, sin & cos ip, en cos &
die voldoet aan de vergelijking

■ ^ . sin &-r—) ^-r- —j-r -4- n(n i)Y„ = 0... 2)

Dc algemeene integraal van deze vergelijking is *)

00

Y„ (cos (p) cos mqo -f sin m^}.......3)

O

Hierin zijn en willekeurige constanten ten opzichte van
cn (jp, waarin echter nog r voorkomt, terwijl P„„ (x) de toe-
voegde kogcUünctic van de eerste soort voorstelt. Deze functie
staat nl. met de eigenlijke kogclfunctic van de eerste soort,
vorige hoofdstuk H), in het volgend verband

n—m (|"P fx\'i

W = ^ ......

1.3.5....(2n —1)\' ^ dx

of in eene eindige reeks f)

P.. W  enz,).)

Nu moet V voldoen aan dc vergelijking van Laplace , die zooals
bekend is, bij deze coördinaten overgaat in

d^rY , 1 d / . ^ dV\\ , \'1 d\'V „

dr\' \' sin^>d{^\\ d^^/~ sin\'O dö-\'
Men heell dus

® d\'rY„ , \'1 d / . dY„\\ , i d-Y

r -r^ --tt Sin x\'>

dr- sin dO-\\ d{^/ sin\'o d<p

waaruit

...... ^

Trekt men van deze vergelijking 2) af, dan moet

r^-n(n-f 1)Y„z=zO ,,

zijn, cn wordt hierin dc waarde uil 3) voor Y„ gesubstitueerd,

♦) Toduunter. Troatiso on Laplace\'s Functions. § 102.

•j-) Do notaties, hier cn in hot vervolg gebruikt, komen overeen mot dio
van IIKINK in het „Handbuch dor Kugelfunctionon 1878" on zjjn nagenoeg
dezelfde als die van Toduuntku.

58

dan moet volgens bekende eigenschap A^^ en B„„, voldoen aan de
vergelijkingen

en

r^-n(n-l-\'l)B„„ = 0.

Deze vergelijkingen bepalen de grootheden A„„ en B„„ als
funetiën van r. De vergelijking

r^^ —n(n-t-1)f(r)=:0

toch is zeer eenvoudig te integreeren, cn geeft

f(r)=rCr» G\'^

waarin C en G\' willekeurige constanten zijn.

Door derhalve de eigenschap in te voeren, dal ten eerste de
funetiën V kunnen ontwikkeld worden volgens eene reeks van
kogel funetiën, en ten tweede, dat zij voldoen aan de vergelijking
van Laplace, vindt men, dat deze funetiën den vorm moeten
bezitten

00

V ^ Y„, waarin

O

n ,

Y„ = r"^ (cos cos mfp B„„ sin mq] -f

O

•1 ■>

2 P„n, (cos &) {AU cos mqp BL sin m^].

\' O

Km, , A\'„„ cn stellen thans constanten voor, ook on-
afhankelijk van r.

De functie V, blijll eindig voor alle punten binnen S, dus ook
voor het middelpunt, waar r — o is; hieruit volgl derhalve on-
middellijk, dat in de ontwikkeling van Vi alle constanten A\'„„, en
nul moeten zijn, of de algemeene vorm van V, zal zijn

CO n

= 2 r" 2 r„a, (cos {K^ cos mgi B„,„ sin mqp].....«)

O O

Evenzoo is eene der voorwaarden, waaraan de functie V„ moet
voldoen, dal zij op oneindigen afstand gelijk nul wordt, waaruil

59

volgt, dat de constanten A^», in hare ontwikkeling de waarde
nul bezitten. Voor V« vindt men derhalve

V„ ^ ^ i- (cos &) cos mg, BU sin mq,}... s\')

© 1 O

Na op deze wijze den algemeenen vorm van dc lunctiën Vj en
V„ bepaald te hebben, keeren wij terug tot het probleem eene
Vi ol" eene V„ functie tc vinden, die in de verschillende punten
van S gegeven waarden V., die eindig en conlinu zijn, aanneemt.
Nu is y, eene funclie van fl- en qp, die alweder kan ontwikkeld
worden volgens kogelllmcliën, en wel zal in hel algemeen in hel
punt P (ai^qp)

00 n

V. = ^ .2" P„m (cos 0-) {a„„ cos mqp b„„ sin mö-}.

O O

zijn, waarin a„„ en b„„ geheel bepaalde constanten zijn.

De waarden van Vj en V„ in hel punl P(a»\'>qp), zijn uil en s")
onmiddellijk aan te geven en blijkbaar zullen zij overgaan in V,,
zoo genomen wordt

_ ^am 11 _ bom

om --\'^n

a" a"

Derhalve zijn de gevraagde functiën

00 1\'" D

V, = JS\'Pnm (cos ») cos mqp b„„ sin m^}

© a"

V„ =r (cos {>) [a„,„ cos m^ -f b„„ sin mq.].

O I O

Schrijn men de gegeven waai\'de

00

O

dan is

00 |.

■ V _ V

oa" " .................. ^

co

V„z=v" v„................

O 1

Beschouwt men V, en V„ als i)olcnlialen eener lading over S,
dan heell men ter bepaling van de dichtheid dier lading

60

dVi /dVA 1" ,,

dn \\dr/r=:a ao

. /dV.A 1

dN

of

^ l(2n 4)Y„............... 10)

•• /iTra

Ter bepaling- van Yi, Y„ en q is iiel dus noodig Y, in eene
reeks van kogeliuncliën Ie ontwikkelen, maar dan zijn ook de
gevraagde waarden zonder eenige berekening aan te geven. Dat op
deze wijze de beide vraagstukken in § 4 en G van bet derde
hoofdstuk besproken, kunnen opgelost worden, valt in het oog.

§ 3. Na het algemeene vraagstuk behandeld te hebben, is het
bepalen der functiën van Green, slechts eene eenvoudige toepas-
sing. Gi is eene Y, functie der coördinaten van Pi (rö-gj), die aan

het oppervlak de waarde Y, z=: aanneemt, waarin E; voorstelt

liii

den afstand van een vast punt Ai (r\' 9\') tot het punt P. (aO-qp)

4

op het oppervlak. Men heeft dus dc waarde g- te ontwikkelen

volgens kogelfunctiën.

Zij co de hoek tusschen MP en MA, of cos co = cos cos •O--f-
sin & sin 0-\' cos (<p—qp\'), dan is

4 4 " n , s

TT = r — ^ ^"(COS (ü)

l/a\'-l-r\'-—2ar\'cos to ° ^

daar r\' < a is.

Laplace gaf in de Memoires van de Fransche Akademie van 4782
de ontwikkeling van P„ (cos w). Hierdoor vindt men *).

Y. = -! = V P„„(C0S fh) P„„ (cos &\') cos m (qp — qp\') . 11)

ijj O O , a

Ui O O

waarin

= ......

|n-f m

») 1Ieii5,e. Hanabuch, § 73 of Todhunteu. Treatise, § 168.

Gl

terwijl bij m —o slechts de helft van deze waarde voor X moet
genomen worden.

De waarde van G; in Pi (r 9 q>) zal dus zijn volgens 9)

Gi =r ^ i (cos {t) (cos cos m (<p — <p\')

O a O

en van qi volgens lO)

Ci = "A" i (2n -}-1) 4riri (^osP„u, (coscosm(g.—q,\')-.

\'{•Tra O O a

De uitdrukking voor Gi, in het vorige hoofdstuk algclcid, ver-
krijgt men thans door r, le slcllen, dan is

ar\'

a-" \' r\'r,"

\'1 r°

en Gi = 1. V P„„ (cos P„„ (cos 9\') cos m (<p — 7,\')

r O O ,  \'

of daar nu rCr,, is, volgens ii)

P _ft \'1

waarin A„ voorstelt een punl, waarvan de coördinaten zijn r,, O^\'ency\',
d. i. volgens vroegere defmilic het geconjugeerde punl van Ai. De
bepaling der functie G« cn der dichtheid geschicdl nu op vol-
komen dezelfde wijze.

§ h. Thans wordt overgegaan lol dc behandeling van het
vraagsluk voor ccnc rolalie-ellipsoïde. Zij de vergelijking der ge-
geven ellipsoïde S bij een rechthoekig coördinaten-stelsel:

.............

dan is de z-as dc rotatie-as, en dc ellipsoïde zal ontstaan zijn
door dc wenteling van eene ellips om hare kleine as, zoo c" po-
sitief (in naluurlijk kleiner dan a" is, en om hare groole as, zoo
c\' negatief, nl. c imaginair is.

In hel eerste geval noemen wij de ellipsoïde afgeplat, in bel
tweede geval verlengd. Zij nu van ccn punl P binnen of buiten S

62

\\ — Y sin & cos qi
y = r sin ö- sin

z = jXr — c" cos &
dan wordt ieder punt bepaald door de waarden van r, & en qp.
De eerste coördinaat is de waarde van de x of y as cener ellip-
soïde confocaal met de gegevene door P gebracht.

Bij r = a ligt het punt op S, voor r > a buiten S, cn binnen
S voor rCa. Om alle punten in de ruimte aan tc geven, moet
r bij eene afgeplatte ellipsoïde alle waarden van c tot oo door-
loopcn en bij eene verlengde ellipsoïde alle waarden van o tot oo.
Brengt men door P en door de z-as een vlak, dan is dc stand-
hoek van dit vlak en het xz vlak de hoek qp. De zoogenaamde
excentrische hoek & is de hoek tusschen de z-as en de lijn uit
den oorsprong naar het punt getrokken, dat men verkrijgt door
den bol, die met ]Xr — c^ als straal beschreven is uit den oor-
sprong als middelpunt, tc laten snijden door eene loodlijn uit P op
de z-as. neergelaten. Het is duidelijk, dat men 9 van O lot n en
<j) van O tot ^TT moet variëcrcn, om alle punlcn op ccnc der con-
Ibcalc ellipsoïden aan le geven.

Eene Vi zoowel als eene Vu functie, behoorende bij het door de
vergelijking bepaalde oppervlak S, zal nu ccne functie zijn der
coördinaten van ccn punl P (r & qp), dal of binnen of builen S gc-
dachl wordt, en kan als funclic van O- cn qp weer ontwikkeld wor-
den .in ccne convcrgcntc reeks, waarvan de termen opeenvolgende
kogelfunclicn zijn. Volkomen dezelfde weg is hiertoe Ic volgen als
bij den bol; slechts is hel vinden van den algemeenen vorm der
Vi cn V„ funcliën hier veel moeiclijkcr. Heine l. a. p. voert dc
bewerking uit, wij zullen cchlcr, zooals reeds gezegd is, op andere
wijze die algemeene vormen trachten af le leiden en wel door
gebruik tc maken van ccnc ontwikkeling, die .1. Neumann *) hel
ccrsl gegeven heell.

Denken wij ons ccn punt P, binnen S met coördinaten

___^ <P\'

*) Grelle. Journal für die Mathematik. Band 37. pag. 28.

63

en een punt P^ buiten S, waarvan de coördinaten zijn

r, (jo
dan zal, zoo A = Pi Pu is,

1 1

A _ Y- — ffi cos" O- — c^ cos" d-\' —

_ J cos O- cos 0-\' —

\' cos (qp — qp\').

Deze uitdrukking is als functie van & en qp in eene convergente
reeks te ontwikkelen, die voortgaat volgens kogelfunctiën.

Om daartoe te geraken, worden nieuwe coördinaten ingevoerd
en wel

fi\'z=cos&\' a\'=l/ 1

waarin sleeds de positieve wortel bedoeld wordt. Om alle punten
van de ruimte te bepalen moet, bij eene afgeplatte ellipsoïde ol\'
bij c reëel, r alle waarden doorloopen van c tot oo, derhalve a
alle waarden, die men verkrijgt door in « . i voor « alle waarden
van O lot co tc nemen. Dij eene verlengde ellipsoïde, c imagi-
nair, doorloopt r alle waarden van O tol oo en dus a alle waarden

van 1 tot cx>. Voor a = Oo == ^ — % 1\'gt het punt op S.

c

Dc waarden van f* variëeren van — 1 tol -}- 1. is dit vastge-
steld, dan volgl, dat

r —cj/r^

is cn wel moet bij eene verlengde ellipsoïde de positieve wortel en
bij eene afgeplatte de negatieve wortel uil 1 — genomen
worden. Steeds is

en sinx\'h^ j/r^TZ

Bij deze coördinaten is, onder de genoemde overeenkomst,

u

\\ — c]/i — r ]/ 1 — /i" cos qp
y i=:c]/i — ff" ]/l —n\' sinqp.

CGfi

z

1

De uitdrukking voor — neemt nu den vorm aan

J_ _ _1__

A ~ /"2 — ff\' — — iti\' — /i\'" ^iti\' —

waarin ff, en qp de coördinaten zijn van een punt buiten S en
ff\', n\' en qp\' die van een punt binnen S.

\\

De vergelijking van Laplace, waaraan — moet voldoen, hetzij,

men ff, en qp of p\', en qp\' als variabelen aanneemt, komt
onder den volgenden symmetrischen vorm

d A dV i d^V

dff \\ — ff\' dqp\'

~~d/iV ^) i — li:\'dcf\'
Substitueert men nu in het tweede lid dezer vergelijking voor V
\\

de uitdrukking —, die symmetrisch is ten opzichte van ff, en ff\', ft

dan-vindt men na difTerentiatie eene uitdrukking, weer symme-
trisch ten opzichte van ff, fi en ff\', fi\'. Deze opmerking geelt
Neumann aanleiding tot het opstellen van drie diflcrentiaal-vcrge-
i

lijkingen, waaraan — moet voldoen en die de ontwikkeling tol op

de constanten na bepalen. Door drie andere voorwaarden in Ie
voeren, worden ook deze bepaald en zoo vindt men len slotte

li (ff) (ff\') (iti) cosm {q, — tp\') 13)

/A e O O

waarin en P„„ (x) reeds bekend zijn uit § 2 en\'3. Verder
is (^„m (x) de toegevoegde iünctie van de tweede .soort, nl.

05

waarin Q„ (x) de eigenlijke kogelfunctie van de tweede soort is,
die O. a. door eene bepaalde integraal kan uitgedrukt, worden:

Zooals bekend is, heeft men

(x) ~ oo voor Modulus x = cc ¹) en ()„, (x) = 0.
Om nu door middel van deze ontwikkeling den algemeencn
vorm der funetiën Vi en V„ te bepalen, merkt men op, dat iedere
V, functie van S is te beschouwen als de potentiaal eener lading
over S in een punt P {<7 ficp) binnen S.

Denken wij ons dan over S eene lading, waarvan de dichtheid
in een punt S {aj [i\' cp\') gelijk q\' is en zij het oppervlakte-element
in dat punt dco\', dan is:

Vt:

ZOO A\' voorstelt den afstand van P tot S. De ontwikkeling van

—, is bekend uit ^ waarin nu voor ff\', fi\', (p\' moet gesubstitueerd

worden ff, /t, (p en voor o, /i, cp de coördinaten «„, ^u\', 9\'. Men
vindt dan

00 n

V, = V V COS m9A„,„ -{- P„,„ (ff) P„„ {fi) sin m^D«^ }

O »

waarin A„„ — -^k^JQnm (dn) P«,.. (m\') cos mqp\'p\'dco\'

1  Ook in (lozo paragraaf zjjn do notaties vnn IIeine pag. 210 on van
Todhunter pag. 88 gevolgd. Daardoor is do constante X anders dnn bij
Neumann in Crelle. t. a. p. Ik zou liet bjj do scliromolijke verwarring
dio in do notaties voor do kogolfunctios roods bestaat, niet gewaagd hebben
de uitdrukking van N. te verandoron, ware het niet dat do Ibrniulos zoo-
doondo nog meer overoonkomst vertoonden met dio voor don bol. Do waar-
den van do kogelfunetiën voor verschillondo waardon dor voranderlijko ko-
men o. a. voor in do uitnoraendo vorhandeling van F. Neumann. JJeitrügo
zur Theorie der Kugelfunetionen. 1878. pag. 88.

66

Q nm (<To) P nm (jii\') sin mqp\'p\'dco\'

derhalve constante grootheden onafhankelijk van o, /t en qp. De
algemeene vorm der lunctiën V; is derhalve

00 n

Vj = ^ ^ P„„ (ff) {(i) {cos mqpA„„ sin mqpB„„]----

O O

Op volkomen dezelfde wijze vindt men voor den algemeenen
vorm der functiën V„ in een punt buiten S met coördinaten ff /tt en qp

V„ = J1 (ff) P„„, (qp) {cos mqpAL -h sin mç)BL}. • •

§ 5. Nu de uitdrukkingen en !\'\'•\') gevonden zijn kan men
ter oplossing van het algemeene probleem volkomen denzelfden
weg volgen als in het laatste gedeelte van paragraaf 2. Zij weer,
even als daar in ieder punt van den bol, in een punt P, (ff» [i qp)
van de rotatie-ellipsoïde de gegeven waarde V,, dan is V, als func-
tie van {)• en (f te ontwikkelen volgens kogclfunctiën, cn men heefL
in het algemeen

y. —2: P„m (jtt) {a„„ cos mqp -{- sin mqp}......is)

o o

waarin a„„ en b„„ geheel bepaalde constanten zijn. In het punl
P, gaal V, uil i^.) over in:

co n

^ 2: Pnm (ffo) Pan. (n) [Km COS mqp siu mqp}

o o

en V„ uit 14\') in

oo n

2 2: Qon, (ffo) Pnm (m) (A^\'nn. COS mqp -f siu mqp]

o o

Door vergelijking met is) vindt men

P "

B,

nu \'

\'nm

A\'

" Q»m (ffo) Unm (ffo)

De funcliën V, cn V„, die aan hel oppervlak overgaan in

u

V. = 2 2 Pnm (i*) {a„m COS mqp b„„ sin m(p] .

zijn derhalve

67

06 ï. p

Vi- ^ 2 TT T r Pnm (iw) [anm COS m^ -}- sin m^] ... 16)

O O ^^(To)

» Q (a)

V„ zzr ^ ^ (|u) cos mqp -f- b„„, sin mqpj...

O O ((Toj \'

De bepaling van de dichtheid q, die bij de gegeven potentiaal-
waarde V, behoort, is niet zoo eenvoudig als bij den bol. Men heeft

^TrVdn\'^dN;

en, zoo de coördinaten r, en die in het begin van de voor-
gaande paragraaf gebruikt zijn, weder worden ingevoerd

dN~ dr dNdfl dN"^d^ dN\'

Zoowel ^ als ^ is gelijk nul, zoodat nog blijft te bepalen

^ ^ _ dV dff ^
dr dN ~~ dff dr dN\'

Brengt men door het punt r qp eene ellipsoïde confocaal met
de gegevene en laat men uit het middelpunt eene loodlijn neer op
het raakvlak aan die ellipsoïde in r qp, dan is die loodlijn

V —c\'sinV ■ n" ...... \'

V

zooals onmiddellijk is af te leiden. Verder is _

dr p da r

— ^ en V- —

(IN r dr cV

waaruit

p _ i |/l — «T: dV
dN dff c\'ff ~~ dff

Men vindt dus

1 i |/ ^ -- ffo\'

An ffoM d(T dff

Substilueert men hierin de waarden van Vi cn V„ uit i») en i"\')
dan wordt gevonden

1-

08

^ i 1/1^ cosm, b„„sin m,]

^ , ja) dQ„„((T)

Unm (ffo) ---Tnm (Tq)

J » nm \\"0I J

dc dff

Deze waarde van q wordt belangrijk vereenvoudigd door de be-
kende betrekking ¹)

dP^) 2n l

Ten slotte is dus:

__1_

00 » P Cu^

. Jf (2n p 7 ■ . {a„™ cosm(^ b„„ sin nKp] H

O O l „„ ^(Toj VJnm ((JoJ

§ 6. De oplossing van ieder vraagstuk, waarbij gegeven is de
waarde der potentiaal, in de punten der ellipsoïde, kan nu onmid-
dellijk opgeschreven worden door gebruik te maken van de verge-
lijkingen 16») en 18). Laat b, v. gevraagd worden over dc
ellipsoïde S eene massa zoodanig te verdeelen, dat in ieder punt
P, van dat oppervlak V, gelijk zij aan het vierkant der loodlijn
uit het middelpunt op het raakvlak van het punt P, neerlaten.

Zoo de coördinaten van P, zijn (t„, /it en (p, dan is volgens 17)
van* de voorgaande paragraaf

Deze uitdrukking moet volgens kogelfunetiën ontwikkeld worden;

daartoe schrijft men

4 14 4

(4 - —^ —r-

2 —^ \' ao i

Een bekende vergelijking f) geell

:ao.

1  Todiiüntek. Treatiao, § 109.
t) Heüje. Handbuch, pag. 78.

i

69

ffo --O

en -i- = J (2 n 1) Q. (a„) P„

of daar

en Psn i((l) = — Psn i (— f*)

is, heeft men

(To-ft (To -1" ft O

of V, = c\'(To (1 - (To\') 1 (4n -f-1) ((T.) P,. Oi).

O

Uit 16) volgt nu voor de waarde van V, in een punt P, met coör-
dinaten 0, fi, (p,

V, = cVo (i - (To\') 1 (4n 1) ^ ia) K W

O 1 2n V(To;

en uit 16\') voor V„ in een punt P„, waarvan de coördinaten zijn a, fi,q)
V„ = c\'ao (1 - .T„\') (/m -f 1) (a) if^)

O .

terwijl eindelijk is) voor de dichtheid in P, geell

, ± ï (/m 1 r EH^.

Ani y^fi\' — ffo" °

§ 7. In deze paragraaf zullen de uitdrukkingen i"), 16) cn is)
worden toegepast ter bepaling der functiën G, cn G„ en der dicht-
heden Qi en De toepassing, hierboven behandeld, is daaraan
voorafgegaan, ten einde nog duidelijker te laten uitkomen, datde
wijze van bepaling der functiën van Green geheel overeenkomt
met het oplossen van ieder ander bijzonder vraagstuk, waarin dc
waarden van V. gegeven zijn.

De coördinaten van een vast punt A, zijn
a\', n\' en (p\'
die van een punt P| binnen S

ff, . jtt en 9,

i

70

zoo dan Pj valt in P,, waarvan de coördinaten zijn:
do, |tt en qp

zal Gi als iunctie der coördinaten van A, en Pi overgaan in

Ei

i

De ontwikkeling van ^ is bekend uit nl.

•J J oo n

= - i: 2 Km Qnm (lo) P„m W) Pnm (fl) Pnm ifi\') COS lïl ((f — (f")
Eli C O O

wederom is dus de ontwikkeling volgens kogellimctiën van de
waarde, die Gi aan het oppervlak aanneemt, bekend, cn men heeft
derhalve uit

Gi = i J i ^iiiiM p^^ („\') eos m (9 - q,\')

cn uit 18)

1

4nc\']/i—ao\' —(Jo-

00 n p

. (2n 1) ^ jP^ P„„ M (fc\') cosm (<p-cp\').... 19)

O - O 1 nm l^oj

De functie G„ en de dichtheid bepaalt men evenzoo; de
waarde van deze functie aan het oppervlak is

4 = -5 i i^nm Pnm (<T„) Qnm (ff\') Pnm (fl) Pnm (fl\') COS m (qp — ff\') \'
Citt Co»

ZOO Eu voorstelt den afstand van een punt P. (a» /n qp) tot een
vast punt Pu (ff\' jii\' qp\') buiten S. De vergelijking 16\') gccll nu

Gu 1 (<T) Q„„ (ff\') M P„„. cos m(,p-g>\')

Co O Unm IM

waarbij uit

__1_

. I (2n 1) i P.. (fi) P.. (f.\') cos m (,,, -,,/)... 20)

O O Unm V^O;)

§ 8. Aan het einde van onze beschouwingen, hcnnnercn wij
nog eens aan de integralen 12) on 12\') nit i,et eerste hoofdstuk nl.

..................21)

71

en

\'\' .................21\')

waarin thans dco het oppervlakte-element voorstelt. Door deze inte-
gralen worden V; en V„ in een willekeurig\' punt bepaald, zoo V,
gegeven is, en en bekend zijn. De vraag dient gesteld te
worden: waarin gaan deze betrekkingen over bij eene rotatie-
ellipsoïde, en in hoeverre komen de uitdrukkingen, die zij geven
voor Vi en V„ overeen met die in en i«\'). Ten einde dit na
tc gaan is het noodig het oppervlakte-element dco in het punt
P, uit te drukken in dc coördinaten van dat punt (i„ fi cp.
Men vindt: _ _

dto = — c® — Oo\' ]/l — Oo\' dfi d(p

en worden nu in ^i) en 2i\') de waarden van q, crq^, zooeven gevon-
den , ingevoerd dan zal Vj\' de waarde van \\\\ in het punt A, (o\' /i\' cp\')
zijn, zoo de waarde van Vi aan het oppervlak in o»qp gegeven is:

y. = f(& cp).

Eveneens is V„\' de waarde van V„, bij dezellde waarde van V, in
hel punt A„ (a\' ju\' qp\')
Men verkrijgt

Vi\' =11 C2n 1) i -J^ P„.„ U.......22)

^tn o o 1 nm tffoj

v; = .f ^ (2n 4-1) i P«™ H......22\')

\'l\'tr o o Unm (^0)

waarin

r 1

dqp / ifi) cos m (qp — qp\') l({>qp) d^ii

Deze uitdrukkingen zijn geheel dezelfde, als die in en ic\')^
wal a priori tc verwachten was, daar eene geheel bepaalde functie
slechts op ccne wijze in kogelfunctiën kan ontwikkeld worden.
Om duidelijk te maken, dal werkelijk de uitdrukkingen 21) en 21\')
en de vroegere overeenkomen, belioetl slechts opgemerkt te wor-
den, (lal in de uitdrukkingen i*"\') cn \'fi\') ondersteld wordt, dal

72

reeds ontwikkeld is volgens kogelfunctiën. Die ontwikkeling zelve
vindt men echter in het algemeen volgens pag. 48, aldus

471 o

waarin ~ ƒ ^^ ^^

Vervangt men hierin P„ (cos to) door de waarde

P„ (cosco) = } (fi) (fi\') cosm (qp — qp\')

O

reeds op pag. 60 aangegeven, dan vindt men

471 o o

R\' = \' (m\') cos m (9 - cp\') d/t\'

is, en hieruit de uitdrukkingen 22) en 22\') voor V; en V^.
Is dus de ontwikkeling van

in kogelfunctiën niet hekend, maar moet zij volgens den alge-
meenen weg afgeleid worden, dan is het zeker het eenvoudigstq
voor V\'i en V\'„ de uitdrukkingen 22) en 22\') te gebruiken; kent
men daarentegen die ontwikkeling reeds, of kan zij op andere
wijze gevonden worden, dan zijn de Ibrmules i®) en i^\') le verkiezen.

STELLINGEN.

I.

Ter bepaling van de oplossing eener lineaire difierentiaal-ver-
gelijking met constante cociricienten, voor hel geval, dal de hulp-
vergelijking gelijke wortels liecH, verdient de door d\'alembert
gegeven methode geen aanbeveling.

II.

Bij het gebruik maken van symbolische methoden tot het oplos-
sen van difTercntiaal-vergelijkingen komt het voor, dat van een
gedeelte der bewerking de beteekenis niet is aan tc geven. Het
verdient afkeuring, de juistheid van het door zoodanige bewerking
verkregen resultaat te vci\'klaren uit cen algemeen beginsel, dat
niet bewezen wordt, maar volgens Boole „claims a place among
the general relations of Thought and Language."

74

III.

Het substitutie-teeken van Sarrus behoort in de variatie-rekening
algemeen gebruikt te worden.

IV.

Hot is vvonschelijk do metliode van Olbers, ter bepaling eener
parabolische kometcnbaan, af tc leiden op dc wijze, zooals door
Oppolzer ¹) is aangegeven.

V.

In vclc gevallen is dc methode van Oppolzer , ter bepaling eener
parabolische komotonbaan, tc verkiezen boven die van Olbers.

VI.

Voor de bepaling van dc parallaxis der zon wordt dc methode
der Vcnus-overgangen tegenwoordig door andore methoden over-
troficn.

VH.

Do oculair-holiomotcr van Steiniieil is ondoelmatig ingcricht.

VHI.

Bij oon univcrsaal-instrumcnt is dc inrichting, welke dient om
het bovendeel le kunnen omleggen, geheel overbodig.

1  BancJ LVII „Sitzungsbüriclito" der Weener Akademic.

75

IX.

Terecht zegt Kirciiiioff (Mathematische Physik).

„Die Mechanik ist die Wissenschaft von der Bewegung; als ihre
Aufgabe bezeichnen wir: die in der Natur vor sich gehenden Be-
wegungen vollständig und auf die einfachste Weise zu beschreiben.

X.

Er bestaan geen redenen om met Thomson en Tait van het
beginsel van kleinste werking gewichtige toepassingen „in der
abstracten Dynamik und in der Theorie mehrerer Zweige der
Physik" te verwachten.

XI.

Geen wiskundige theorie van de elasticiteit bij vaste lichamen
is bekend, die voldoende kan geacht worden.

XII.

De kinetische gastheorie geell geen voldoende verklaring van
de voortplanting van het geluid.

XIII.

Het is niet waarschijnlijk, dat de aantrekking tusschen electri-
sche massa\'s, op de oppervlakte der aarde geplaatst, afhangt van
de geografische breedte.

XIV.

De bezwaren, die tegen de tweede wet van de mechanische

76

warmtetheorie (wet van Clausius) ingebracht zijn, kunnen voldoende
weerlegd worden.

XV.

Bij de bepaling der verhouding tusschen de electrosta tische en
de electromagnetische eenheid is het te verwachten, dat die me-
thoden, waarbij geen gebruik gemaakt wordt van condensators,
de beste resultaten zullen opleveren.

XVI.

Het feit, dat de snelheid van een met den stroom afdrijvend
ingedompeld vast lichaam grooter is dan die van den stroom,
wordt door Hagen terecht verklaart door de omstandigheid, dat
bij het ■ water verlies van snelheid plaats heeft door inwendige
bewegingen, die bij hel vaste lichaam niet bestaan.

XVII.

Dc halve-cirkelvormige kanalen in het labyrinth van het oor
vervullen waarschijnlijk eene gewichtige rol bij de ruimte-waar-
nemingen.

XVIII.

Die Natur befindet sich in jedem Momente ihrer Existenz in
einem erhaltungsmässigen Zustande. Es ist das höchste Ziel der
biologischen Wissenschaften, die organischen Individuen als erhal-
tungsmässige Glieder des erhaltungsmässigen Naturganzen zu er-
kennen.

^ Möbius. (Zeitschrift für wissenschaftliche Zoologie, 1878.)

77

XIX.

Wir können überhaupt zu keiner Erfahrung von Naturobjecten

\\

kommen, ohne das Gesetz der Causalität schon in uns wirkend
zu haben, es kann also auch nicht erst aus den Erfahrungen, die
wir an Naturobjecten gemacht haben, abgeleitet sein.

Helmholtz. (Physiologische Optik.)

XX.

Onjuist is de volgende redeneering van Buckle *)
The deductive method strikes the senses less than the inductive.
Hence, induction being more accessible to average standings, is
more popular than deduction. Hence, too, the teachings of an
inductive philosophy arc more likely to affect national character
than the teaching of a deductive philosophy.

») History of Civilization in England, vol. V.

VERBETERING.

Bladz. 31. 11 r. v. b. staat 2°. en 3°. lees 3°. en 4°.

■ ys\'-

- St..

mmé.

fv., •

■f

IK^PRlBl

mm

I

r < ■ •

- -■.«"il

h

I/--

\'-f .-• - \'J-

.v., .

> y-v

Vv\'-r\';-!-

■•V

r f ."riv-:?-! ■ \' ΠL-\' ■ ■ \' ^ "