1 ..

■ •

V\'It j

- . ^ \' ••

«.

E

i ■ ^

Ir.\'.

ij-. ».
ir\' -

0:\'

w.i

«T

km:

:

M,

JÄt- -TS

m

V " f • ■ V^

m-

. •■■s

M;

.ri\'.

DE SINGULIERE OPLOSSINGEN

DIFFERENTIAAL VERGELIJKINGEN

DE EERSTE OUDE MET TWEE VERANDERLIJKEN.

• i\'io \'-rvmn\'X-.^^ ."ia

■ " : ■

■ ■■ -i ; \' • ... .

DE SINGULIERE OPLOSSINGEN

VAN

DIF F H11K N TIA A L V E l{ G H L IJ KIN G E N

YAN

DE [[RSÏÏ OBDE MET TWEE VERUNDERLIJKEIl.

ACADEMISCH PROEFSCHRIFT,

TER VEUKRIJOINO VAN DEN GRAAI)

van

DOCTOH IN DE WE- M MTÜÜHKÏÏNDE,

aan DE

HOOGESCHOOL TE UTRECHT,

NA MACIiriiilNü VAN DEN HEGTOn MAGNtFlCUS

D\'". H. VAN HERWERDEN,

OKWOOft IIOOGLKKRAAR IN DK rACl\'LTKIT DKR BESPIKQKLKNDE WIJSBKOKKRTK KW LKTTEREN,

MET TOESTEMMING VAN DEN ACADEMISCIIEN SENAAT

VOLGENS BESLUIT DER WIS- EN NATUURKUNDIGE FACULTEIT,

TK VKlU)EI)JOf:N
Op Woon8(1 Hg (len 20"\'" Doconiber 187(J, des iinudddags len 1 ure,

DOOK

PETRUS MARINUS HERINGA,

GEUOREN TK TII.UUIIO.

UTItKCIlT, — 0. A. VAN IIO K T K N , — 187«.

, .., . -, , : ^ i - ■ \\ , • t

; ïï A ■ ^^ 1\' • " ■>■ -

■ " V.\'ï " . ..

-.ia::! V/

: ï \' . : ■ i\'\\ \' \'O- i

: / L
. . i\' ■

AAN MIJNE OUDERS.

■ST. - ; . ■

Aan hel einde van mijne Academische loopbaan,
is hel mij ecn aangename plicht, U, Hooggeleerde
Heeren, Professoren in de Wis- cn Naliinrkundigc
facuUeil, mijnen dank tc brengen voor de welwillend-
heid, die ik steeds van U mocht ondervinden.

Inzonderheid dank ik U, Hooggeachte Promotor C. II.
C. Guinwis, voor hel nitslekend onderwijs, dal ik zoo
lang van U mochl genieten cn voor dc bereidwilligheid,
waarmede gij mij bij de bewerking van dit Proefschrift
hebt terzijde gestaan,

U, Hooggeleerde C. II. D. Huys TUllot. breng ik

VIII

mijn harlelijhen dank voor hel degelijk onderricht, dal
ik van U heb genolen

De welwillende raadgevingen van U Corneille L.
Landré bij mijne wiskundige slndie, vooral in den
laatsten tijd, zullen bij mij allijd in dankt>are herin-
nering blijven.

INHOUD.

Bladi.

Inleiding.........................1

Hoofdstuk I. Geschiedkundig overzicht..............2

Hoofdstuk II. Verband tusschen de algemeene integraal en de singuliere

oplossing..........................11

5 1. De algemeene integraal onder de vormen y = f(x , a) en x = f(y, a) 11
a. De verschillende kenmerken ter afleiding van dc singuliere

oplossingen......................11

/9. Nader onderzoek van de verschillende kenmerken......13

J 2. Dc olgemeenc integraal onder den vorm F(x, y, a) = 0 . . . 18
IX. Dc verschillende kenmerken ter afleiding vau singuliere op-
lossingen .......................

p. Noder onderzoek der verschillende kenmerken.......20

y. Onderzoek van Houtain................25

$ 3. Dc algemeene integraal onder den vorm F(x, y) = a.....30

«. Afleiding van do singuliere oplossing...........30

Dc integreercndc factor................3i

J 4. lleetkundige beteekenis.................38

ö. ^leetkundigo beteekenis van do singnliero oplossing.....38

/?. Meetkundige beteekenis van dc kenmerken. Theorie van Tim-

meitalans.......................44

J 5. Criterium voor do singuliere oplossingen..........48

«. Wanneer dc olgemeene integraal bekend is........48

/?. Wanneer de algemeene integraal niet bekend is......50

$ 6. Hesultaat afgeleid uit de vorige beschouwingen.......50

Bladz.

Hoofdstuk III. Verband tusschen de differentiaal vergelijking en de

singuliere oplossing......................60

dy

$ 1. Differentiaal-vergelijking onder den vorm f(x, y,—) = 0. . . 60

dx

dy

§ 2. De differentiaal-vergelijking ouder den vorm-r-= f(x, y). . . 67

dx

tt. Oplossing van Laplace.................67

fi. Oplossing van Boole.................71

y. Oplossing van Timmermans...............73

§ 3. Criterium voor de singuliere oplossing.

meemans..............

J 4. Onderzoek van de verschillende kenmerken.........80

a. In hoeverre kan men verwachten, dat de vergelijkingen, die
men door middel van de kenmerken vindt, aan de differentiaal-
vergelijking zullen voldoen...............81

Zullen do vergelijkingen, die men door die kenmerken vindt,
cn die aan de differentiaal-vergelijking voldoen, singuliere oplos-
singen zijn......................91

/Sj. Onderzoek van Boole................91

Onderzoek van Zajackkotski.............97

$ 5. Resultaat afgeleid uit de voorgaande besehouwingeu.....99

INLEIDING.

Singuliere oplossingen van de diflerenlioal-vergclijkin-
gen zijn integralen, die niet uit de algemeene integraal
zijn af tc leiden door aan de willekeurige constante eene
bepaalde waarde te geven.

Van deze bepaling uitgaande, hebben wij petrachl zoo
nauwkeurig mogelijk het verband aan le toonen tusschen
dc singuliere oplossing cn dc algemeene integraal en tus-
schen de singuliere oplossing en de dificrenliaal-vergelij-
king; daarbij hebben wij de theoriën, die door verschil-
lende wiskundigen gegeven zijn, nagegaan en hel verband
tusschen die theoriën aaiigcloond. De algemeene integraal
en de dilïcrcntiaal-vergelijking liebhcn wij daarbij in alle
mogelijke vormen voorgesteld.

De resultaten van ons onderzoek hebben wij afzonderlijk
incdcgedceld aan hel einde van dc twee hoofdafdcclingeu,
waarin wij hel verdeeld hebben. Wij hopen duidelijk
aangetoond le hebben, welke zekerheid ons de theorie
yci\'fi.

HOOFDSTUK 1.

Geschiedkundig Overzicht.

Daar de singuliere oplossingen nauw samenhangen
mei de algemeene inlcgi\'alen, is het le begrijpen, dal
men reeds bij den aanvang van hel onderzoek der alge-
meene integralen op vraagstukken slnitle, die van dc
theorie der singuliere oplossingen albingcn.

Leibnitz \') geelt een weg aan, orn dc kromme lijn te
vinden, die ontstaat door de opeenvolgende snijding van
een oneindig aantal kromme lijnen, welke door dezcllde
vergelijking worden voorgesteld, terwijl men in die ver-
gelijking dc willekeurige constante laai veranderen.

Hij paste (lil loc op hel vraagstuk: dc kromme lijn Ic
vinden, waarbij ecnc zckcic betrekking beslaat tusschen
de normaal en bel dcci, dal door dc normaal van dc
abscis wordt afgesneden. Zooala bekend is kunnen wij de
normaal voorstellen door

cn hel deel afgesneden door de normaal van dc abscis-
as door

1) Nova calculi (liflereDtialis applicatio. Act. dc Lcipzig IG9K

x y-r •

\' dx

Is nu de betrekking tusschen deze beide gegeven,
dan komt men in hel algemeen tol de difierentiaal-ver-
gelijking :

Stellen wij b. v. hel geval, dal de eene in het quadraal
gelijk is aan de andere vermenigvuldigd met een conslantc,
dan hebben wij , dal :

dv

lost men iiieruit 2y-t^ op, dan is:
dx

of \'

2]/y cx-y=

Hiervan is de integraal

j cx — y\'-{-X = h.

of

_ cx — y\' = (h — xr,

cn als men lizzia — - stelt, verkrijgt men:

£1

y\' -fx\' — 2ax -f- a\' — ac = 0,
zooals uien ziel dc vergelijking van een cirkcl, waarvan
hel middelpunt op den afstand a van den oorsprong ligt
eu waarvan de slraal zzzt-^üc is.

1*

Dit is van de gegeven difTerentiaal-vergelijking de alge-
meene integraal met de willekeurige constante a; ten einde
hiervan de singuliere oplossing af le leiden, differenlicerl
men ten opzichte van a; dit geeft:

— 2x 4- 2a — c == O,
c 2x

of

deze waarde van a gesubstitueerd in de vergelijking des
cirkels geeft de vergelijking

y—CX -

die van een parabool.

Zoo losl men nu algemeen hel vraagstuk op ; men kan
ook de singuliere oplossing rechtstreeks nit de ditfercn-
liaal-vergelijking vinden.

Leibnitz echter losl dc dilferentiaal-vcrgehjking niel
op. Hij necrnl dadelijk aan , dal dc cirkel eene oplossing
van hel vraagstuk is, daar de cirkel een constante siraal,
dns een constante normaal heeft en men deze dtis zoo
kan nemen, dal zij in een bepaalde verhouding is met
den afstand van hel middelpunt tol den oorsprong.

.Iean Bernouilli i) heeft dit vraagstuk weder op eene
andere wijze behandeld. Hij beschouwt twee normalen,
die oneindig dicht bij elkaar zijn gelegen en vindt dan,
dal de aangroeing van de normaal staal lol de aangroeing
van hel deel der as, begrepen .tusschen hel snijpunt der
normaal en den oorsprong, gelijk de sub-normaal staal
lol de normaal. Noemen wij dus weder dc normaal b cn
hel deel der as a dan hebben wij:
db a — X

da

* 1) Oeuvres de Jean Beenouili.i . Tome III: Leçon XIV.

Bovendien vormen de normaal, de ordinaal en de sub-
normaal een recblboekigen driehoek; daarom is:

—IA

Uil deze Iwee vergelijkingen vinden wij nu:

Nemen wij nu weder aan, dal b en a verbonden zijn
door de vooi\'waarde

b = i^iic,

dan liebbon wij nog
db

da - r a
SubsliUiecien wij dil in de waarden van x en y dan is:

x = a-|- cn yi^]/"»«-!-.
Waariiil a gecliininccrd zijnde, volgl:

Dus ook weder hel zelfde rcsullaal.

Hij deze wijze van handelen, cvcnuiiii als bij die van
Leiiinitz, is ccnig denkbeeld lc vinden van licl oplossen
van dil vraagstuk door middel van het inlcgrccrcn van
een diiïercntiaai-vcrgciijking, langs welken weg men juist
hel ware verhand kan opmerken, hetwelk cr lusschon
dc verschillende oplossingen beslaat.

Taii.or 1) kwam het eerst rcchlslrccks van do ditTcrcii-
liaal-vorgelijking lol de singidicrc oplossing.
Hij was namenlijk lol deze vergelijking gekomen:

1) Mcthodus incrcmcutorum, 1716.

6

Ten einde deze le inlegreeien, diiïerenticcrde liij en
vond loen:

-2xy 2(l x=)^\'

d\'Y dv

Hieraan voldoel zoowel-r-^ O als xy — (1 x")-7^=:ü;

dx® j V I jj^

uil deze laalsle vindl men:

dy _ xy .

dx

welke gesubililueerd in de oorspronkelijke vergelijking geelf:

Dil noeml bij een singuliere oplossing,
d\'v

Inlegreeren wij y^zzrO,
ux

dan vinden wij:

y = ax -j- b.

Waarin a en b verbonden zijn door de voorwaarde:
b—

lüven als T.mlor kwam ook Clairault \') door dillc-
renlialie lol eene oplossing.
Clairault kwam daarloe, loen bij uit de vergelijkingen
(x — z) f(z) y — <p(z) en dy =r l^z) dx ,
z wilde eliminccren. Dil deed hij door dc ecrslc te dil-
ferentieeren en in hel resultaat de waarde van dy uil dc
tweede te subslilueeren. Hierdoor verkreeg hij de ver-
gelijking:

Hieruit ontslaan twee waarden van z, dc ééne door
de vergelijking:

f(z)-(x-z) f\'(z)-i-^\'(z) = 0, .
de andere door:

u____ . , _

1) Mémoires de racadémie des sciences de Paris. (1734).

dz = O of z z= a.
Welke in de oorspi\'onkelijkc vergelijking gesubslilueerd ,
twee oplossingen geven.

Door dilferenlialie kan jnen dus de waarde van z be-
palen cn daardoor uil do gcgcvcnc vergelijkingen cjiuii-
neeien.

Nemen wij nu hel bijzondere geval, dal z gelijk hel dif-
dx

ferenliaal quolienl —zurp is, dan is i"(z) ook p, en dan

J

vvordl dc ecrslc veigelijking:

y — xp 4- <)P(P) — p"-.
of y xp-f i/;(p).
Uil welke differentiaal vergelijking wij dus p kunnen
climinecrcn, door middel van dilferenlialie. Hel resul-
taat van die eliminatie geeft de twee vergelijkingen,
y = cx -f v; (c).
en y=zxf(x)
Welke laatste een singuliere integraal is.
Clairault beschouwde nog deze diflerenliaal-verge-
lijking:

df(x , y) _ / dy^

lU. y)

waaraan altijd

f(x,y) = 0

voldocl, daar

df(x, y) f(x , y) ip y, ^^ dx is.

(^LAiitAULT nöemlf(x, y) = 0 ccn singuliere oplossing;
dal is echter niet allijd waar, daar deze oplossing ook
dikwijls uit de algemeene integraal is af lc leiden.
Want dc algemeene integraal van dezen vorm is:

f(x,y)=ai;

voor a = 0 wordl deze
f(x , y) 0.

Ook Eüler i) verkreeg door diüerenlialie Iwee inte-
gralen van difTerenliaal-vergelijkingen , die hij anders niel
kon oplossen. Ilij noemde die mogelijkheid een paradox
van de integraalrekening.

Zooals men ziel, zijn de verschillende wiskundigen langs
verschillende wegen lol deze singuliere integralen ge-
raakt. Geen van allen Irachlle cchler deze aiwijkingen
lol dc theorie terug le brengen. De iheorie van Lai\'LACe
is als eene eerste poging Ic beschouwen.

Laplace heelt zijne theorie gegeven in ecu verhande-
ling onder den lilcl: Sur les solnlions parliculières des
équalions différentielles Ilij verdeelde zijn onderzoek
in de zes volgende problemen:

1\' Tc bepalen, zonder dal men dc algemeene inlegraal
kenl, of een oplossing van dc differentiaal-vergelijking
dy pdx al of niel begrepen is, in dc algemeene integraal;
waarin p een functie is van x , y.

2® Al dc singuliere oplossingen tc vinden van de dif-
fcrenliaal-vcrgelijking dy r=r pdx.

3® Tc bepalen, zonder dal men dc algemeene integraal
kent, of een oplossing —O van dc diifcrenliaal-vcrgc-
lijking d\'v—pdx^ een parlicidicre integraal is,

• \' r • .. dy

waarin cn p functies zijn van x , y cn ^ •

4® Al de singuliere oplossingen tc bepalen van dc dif-
ferentiaal-vergelijking d\'y = pdx\'.

5® Tc bepalen of eene oplossing fi — 0 ccnc singuliere

1) Exposition do quelques Par.idoxes dn calcul intégral. Rccucil dc l\'Aca-
demic de Berlin, 1756.

2) Mémoire de racadetnic des sciences dc Paris, 1772.

oplossing is, van de differenliaal-vergelijking met drie
veranderlijken dz r=: pdx qdy.

6® Al de singuliere oplossingen van de vergelijking
dz z= pdx -1- qdy te vinden.

Zooals wij zien omvat dil, ten cei-sle een systematisch
onderzoek naar een kenmerk, om de singuliere oplossin-
gen van particuliere integralen te onderscheiden en ten
iweede een onderzoek naar alle mogelijke singuliere op-
lossingen.

liet verhand echlcr, dal cr heslaal tusschen de singu-
liere ojjlossing en de algemeene intcgi\'aal schijnt Laplack
niet opgemerkt lc hchhen.

Zijne verhandeling heelt ook levens het gebrek, dal
dc voorbeelden schaarsch zijn; zoo ergens, dan is hel
zeker bij singuliere oplossingen noodig veel voorheoldcu
le geven.

Dc volmaakslc theorie, die gegeven is, is die van La-
giiange. Deze gaf zijne denkbeelden over singuliere op-
lossingen hel cersl in ccnc verhandeling onder den titel \'):
Sur les inlegralcs parlicnUèves des équalions diffévenli-
ellen. Deze verhandeling nuinl boven die van Laplack
uil door dc vele vooihocldcn. Ilij loonl in deze vcr-
handcling voor hol eerst hel ware verband aan , dal cr
lusschen dc singuliere oplossing cn dc algemeene integraal
bcslaal. In ccnc afzonderlijke verhandeling hccfl hij
eenige schooiic locpassingen van zijne iheorie gegeven.

Eindelijk hccfl hij in zijne Calcul des (onctions zijn
Ihcorie nog eens uiteengezet. De meclkundige beteeke-
nis laat hij hierhij bijna geheel achterwege.

1) Oeuvres (lc liAiiKANoE par Scrrct. Tuiii. IV pag. I.

2) Iduiti pag. 5S6.

.1) Leçon XIV cii volgende.

10

Laplace en Lagrange kunnen dus aangemerkt wor-
den als de grondleggers van de theorie der singuliere op-
lossingen.

Vele schrijvers hehbcn zich na hen bezig gehouden
met dc theorie nader tc bevestigen. De resultaten van
hunne onderzoekingen zijn zooveel mogelijk in de vol-
gende hoofdstukken opgenomen.

HOOFDSTUK II.

Verband tusschen de algemeene integraal en de
singuliere oplossing.

§ 1. De n I gcniccne integraal onder de
vormen y — l"(x , a) en x zzr f(y , a)

«. De verschillende kenmerken Ier afleiding van de
sinijulicre ojdossinycn.

Zij

(1) yr=:r(x,a)

de algemeene integraal; a is de willekeurige conslanlc,
welke bij de integratie is ingevoerd.

De vraag is, of cr ook nog een integraal is, die ook
aan dc diflerentiaal-vergclijking voldoet, maar geen par-
ticuliere waarde is van dc algemeene inlegraal (1).
Stellen wij, dal deze is:

(2) y = cr{x).

Als cr zulk een vorm beslaat, kan dc/.c altijd nil (1)
afgeleid worden door a gelijk aan ccnc bepaalde functie
van X IC stellen, welke fiinclic door dc vergelijking
(3) f(x,a)=qp(x)

bepaald wordt.

12

Uil (1) verkrijgl men de diflerenliaal-vergelijking door
a uil (1) le subslilueeren in de vergelijking

dy_df(x , a)

dx dx

Uil (2) verkrijgt men de diflerenliaal-vergelijking door
alleen (2) le dilïerentieeren; deze is dus

^__d9(x)

dx dx

dy

Beide waarden, die men voor -p vindl, moeten gelijk

il X

zijn. De tweede beval ecliler alleen x, de eerste x en
y; wij moeien dus in de eerste y nog vervangen door
9i(x), ol\' wat lietzcllde is, a vervangen door dc waarde
uil vergelijking (3) verkregen. Wij komen hierdoor dus
lol hel resultaat, dat, wanneer wij a 1= i/;(x) stellen,

^_df{x , i/^(x)]

dx dx

en ook dal

dy__dr(x,»/;(x)} df[x..Kx)} ^^
dx" dx ^ óip dx
en deze kunnen alleen in twee gevallen gelijk zijn;

p.......df{x,v;(x)]_^

Ólp

o! als wij voor i/»(x) weder a plaalscn:

^ ■ ,• ... . dr(x,ii;(x)]

2\'als die term onmerkbaar is ten aanzien van - -------

dx

cn dil kan niet anders, of deze laalsle moet oneindig
groot zijn.

df *
In hel eerste geval is — geheel bepaald, in het

da

tweede alleen maar in zooverre, dal i//(x) hel quotiënt niet

13

oneindig grool mag mai<en. In hel eersle geval is hel
dv

quolienl ^ onbepaald, en kan alle waarden hebben; in

hel Iweede geval is hel bepaald en heefl slechls de
waarde oo. Uier zullen wij laler op lerugkomen bij de
meelkundige beleekenis. (zie § 4).

Wanneer de algemeene inlegraal den vorm
X f(y , a)

heefl, koml men lol een analoog resullaal, als men dezen
op dezelfde wijze behandell als den vorigen vorm.

dv dx

Door middel van de vergelijkingen = 0 ^ = 0

^zzico ^=z:cx) kunnen wij dus de conslanle a bepa-
dx dy

len, zoodal zij, gesubslilueerd in de algemeene vergelij-
king, een singuliere inlegraal geell.

Ken singuliere inlegraal moei len niinsle een van deze
vergelijkingen voldoen. Wij noemen daarom deze verge-
lijkingen de kenmerken der singuliere inlegralen.

I?. Nader onderzoek van de verschillende kenmerken.
Wij zullen omlrenl de kenmerken, waardoor wij sin-
guliere oplossingen kunnen vinden, deze iwee vragen
irachlcn le bcanlwoorden i).

1®. Zullen alle oplossingen, die men verkrijgl, sin-
gulier zijn?

2« In hoeverre zijn de oplossingen verkregen mcl dc
verschillende kenmerken dezelfde?

Wal de eersle vraag aangaal, een paar voorbeelden
zijn voldoende, om le doen zien, dal men mei de ver-
kregen kenmerken niel allijd singuliere oplossingen ver-
krijgl.

1) Voor (lc mogelijkheid vnn ccn oplossing te verkrijgen, verwijzen wij
uaar de meetkundige beteekenis, f 4.

14

1® Voorbeeld: y = a(x —a)-
Gedifferenlieerd len opzichte van a geeft dit,
dv

^ = —a)(x-3a)

Wij kunnen dus voor a de beide waarden x en -^x
suhslitueeren, dan verkrijgen wij de beide oplossingen

Y=:0 en Y =--

^ ^ 2y

De eerste oplossing kan echter ook verkregen worden

door a r= O te stellen, dus is deze als een particuliere

inlegraal le beschouwen.

2® Voorbeeld y a\'(x — 3a)

^ = 2a(x — 3a) — 3a\'

dy 2

dus T — O voor a = - X en voor a = 0; de eerste geeft
da 9

4

de singuliere oplossing y rzr ^^ x^ de Iwecdc de par-
ticuliere inlegraal y=:0.

liet is dus noodzakelijk aan een verkregen oplossing
le kunnen onderzoeken , ol\' zij id dan niel singulier is
Daar hel onderzoek alle uiogclijkc oplossingen geldt, zul-
len wij dit behandelen na de verschillende vormen, waar-
onder de algemeene integraal kan voorkomen, te hebben
nagegaan. (Zie § 5).

Wat de tweede vraag aangaat, daaromtrent kunnen wij
dit vaslslcllcn:

l® De singuliere oplossingen, die voortvloeien uil hel
dx

kenmerk -t-z=:0, moeien ook begrepen zijn onder die,
da

dy \' dy

welke voortkomen uil dc kenmerkenO cn~—cyo.

da dx

♦ Wanneer uien een zeilde integraal oplost len opzichte

15

van y en ten opzichte van x, kan men in hel eerste
geval slechts singuliere oplossingen verkrijgen door de
dv dv

kenmerken -7^ = 0 en-T^=:co en in het tweede geval
da dx

door^rrrO en ^ =: 00, De vergelijkingen

da dy da

dv

-r^ = co kunnen alleen maar voldaan worden door func-
dx

lies van a en x of x alleen; en iedere functie van a en x,

die hij eliminatie van a ecn singuliere integraal geeft

dv dy

moet -7^ = 0 of-7^ = 00 voldoen,
da dx

dx

Aan de vergelijkingriz O kan voldaan worden of door

a gelijk een functie van y tc stellen; ol\'door a een con-
stante waarde le geven, of door y een constante waarde
le geven. In het eersle geval kan nien y tusschen die
liinclie en dc algemeene integraal climineeren. Verdwijnt
a nu niel te gelijk met y dan verkrijgt men a als een
fiinclic van x. Geeft nu de ecrslc waarde van a ecn sin-
guliere integraal, dan zal deze tweede hct ook doen, en

dy dy

die moet dus aan dc kenmerken -— — Oen -r^zizoovol-

da dx

doen. Veidwijnl a Ic gelijk met y, dan doel ons dit x

als een constante kennen en voldoel allijd aan de voor-

1 \'lx ^ dy

waarde O of -r^ —cxs.
dy dx

liet tweede geval, als a constant is, kan geen aanlei-
ding geven tol singuliere oplossingen.

In hel derde geval als een constanlc waarde van y

—O maakt, geell eene waarde van y, in de algemeene

da

integraal gesubililueerd, a als een functie van x, die,

16

wanneer zij een singuliere inlegraal geeft, ook weder aan

dy dy

de kenmerken en =00 moei voldoen,

da dx

2® De singuliere oplossingen, die wij verkrijgen door

= cc, kunnen niet overeenkomen met die van co,
dy dx

daar ^ niel le gelijk nul en oneindig groot kan zijn ;

de oplossingen, die daar uit voortvloeien, moeten aan de
dy

voorwaarde -7^—O voldoen.,
da

dx dy

Immers uil -r-=i:c«o volgl ü of\' y = een con-

dy ® dx

slanle waarde, welke waarde van y in de algemeene in-
legraal gesubilueerd, x als een functie van a doel ken-
nen, welke funclie, voor hel geval dal zij een singidiere

dy dv

integraal geeft, moei voldoen, daar zij^zzroo

niel kan voldoen

Wij kunnen dus volslaan met de kenmerken = O cn

da

= cc te onderzoeken, daar zij tevens, die van 4-— O cn
dx . j . jj^

in zich bevatten.

Passen wij het voorgaande óp ccn paar voorbeelden loc.
Zij gegeven de algemeene integraal:

y —ax-|-)/l-a\';

, • dy a

dan IS X--, . .

da

\' Opgelost len opzichte van x, verkrijgt men dan:

17

1/l-a^

il

Ilel eerste kenmerk geeft x=— , hel tweede
suhslitueeren wij deze laatste in de al-

1/(1 —a\'\')\'

gemcene integraal dan verkrijgen wij de eerste. Beide
geven de singuliere oplossing

y^V/I T
In dit geval komt dus dc singuliere oplossing voort-
komende = 0 overeen mei die van^~0.
da da

Zij nog gegeven de algemeene inlegraal
y = a 4- i/x.

dv

nierhij wordt-p oo voor x —0; x = 0 is een singu-

(JX,

liere oplossing; dezelfde oplossing verkrijgen wij wanneer

wij X oplossen en ten opzichte van a difterenliecren.

Wij vinden dan

(lx (lx

— — 2 (a — y), dus ^ = O geeft a = y,

hetgeen in dc algemeene inlegraal gesuhslilueerd ook
x = 0 geeft.

In dit geval komt dus dc singuliere oplossing voorl-

dx dv

vloeiende uit — O overeen met die van -r^ z= oo.
da dx

dv

IlooLE •) merkt ook op, dal dc oplossingen van -p — O

ua

l) A trcatise on dilT. cquations 8\'\'<i cditlon,

2

18

dx

en ^=0 niet altijd overeenkomen, zonder ze echter lot

dx

de kenmerken

dx ~ dy
Daar de singuliere oplossingen gegeven door

ook gevonden worden onder degenen die voortkomen

uit -^zrrO, is hel ook voldoende de kenmerken r=0
dx \' (la

dv

en -T^ = O le onderzoeken,
da

§ 2. De^ al gemeene integraal onder den
vorm F(x, y , a) = 0.

«. De verschillende kenmerken Ier afleiding van sin-
guliere oplossingen.

Terwijl Boole voornamenlijk den vorm y zzz f(x , a) aan-
neemt, zoo behandelt Lagrangk alleen dezen vorm

(6) F(x,y,a)—O
als algemeene integraal.

Uit (6) verkrijgt men de difTerenliaal-vergelijking door
(G) le differentieeren en tusschen hel resullaal cn (0) a
le climineeren. Zij a uil (6) opgelost rz:r(x,y), dan is hct
resultaat van die bewerking

•dF(x.y.f)\'

dy

a=f(x,y)

Ten einde (6) in een singuliere vergelijking le ver-
anderen, moei a ()p(x, y) gesteld worden en om
dan de difierentiaal-vergelijking al tc leiden, hehocll
men alleen le dilïerentieeren. Men verkrijgt dan dc ver-
gelijking

dF(x^ y , (f) , dF(x. y,(p) dF(x.y, (j,)/-d.p tUp

dy ^ dqp \\dx \' dy

19

Opdat nu deze vergelijking dezelfde zij als (7) moet
dF

=0 zijn, en moet f(x , y) (p(x , y) gesteld worden.
dF

De vergelijking — = 0, bepaalt de funclie ()p, endoor
uqp

die waarde in (6) voor a te subsliluecren stelt men ook
werkelijk (p(x , y) — f(x, y).

Nemen wij nu a weder voor <p dan bepaall de ver-
dF

gelijking = 0 de functiën die (6) lol een singuliere

oplossing maken.

Wij hebben gemeend de afleiding van de dilTerenliaal-
vergelijking uil de algemeene integraal en uil de singuliere
oplossing in dezen vorm te moeten geven, daar zoo dui-
delijk uil koml, dal men werkelijk dezelfde dilfercnliaal-
vergclijking kan krijgen, hoewel men bij de eersle afleiding
a elimineert na de difl\'erenlialie, en bij de Iweede aflei-
ding a gelijk aan een zekere funclie slcll.

Hoole slaat, wanneer de vergelijking in dezen vorm
gegeven is, den volgenden weg in. De singuliere oplos-
singen moeten aan de voorwaarden == O en m O

da da

voldoen; zoo men x als standvastig beschouwt , is

(W

dy_ da

da —

dy

neschouwl men y als onveranderlijk, zoo is:

dx__ da

da— ÏÏF\'
dx

2*

20

dy dx ., , dF

en — zi]n beide nul wanneer — — O is. fllen ziet

da da da

ecbter, dat aan de voorwaarden ook voldaan wordl, vvan-

dF tlF

neer — = 00 en —=0013. Hel kan dus zijn, dal uil

deze twee laatste vergelijkingen ook eene singuliere op-
lossing voortkomt.

Nader onderzoek der verschillende kenmerken.

dF

Lagrange neemt alleen hel kenmerk -r-=z:0 aan;

da

daaruit volgt, dal dan de singuliere oplossingen zoo-

, dy , dx
wel als — O maken
da da

dit niet altijd hel geval is.

dv

Boole geeft geen acht op de voorwaarden
of ^ izr oo; daar

dy

dy_ dx

dy

..... dF dy

ziel men dal hel oneindig zijn van -^zzr 00 maakt;

. dF , dx ,, dF

terwijl uil -^=1=00 volgt ^ — 00; alleen wanneer —

dF dy

en — heide oneindig zijn heeft ccn onbepaalde waai de.

Hel kan zich voordoen, dal men door middel van de
gevonden kenmerken funcliën vindl, die noch singuliere
oplossingen, noch particuliere integralen zijn.

Nemen wij bijv.

x-fa —i^[3a(2y -a)J=:r ü,

21

hiervan vindt men:

ÓF _ :ia
dy — i/[3a(2y-a)j\'

wordl dus voor 2y = a oneindig groot. Subslilueerl

men deze uitdrukking voor a in de algemeene integraal,
dan vindt men:

(8) x 2y=zO.

Dc dificrcnliaal-vcrgelijking i.s,

Hieraan voldoet (8) niel.

CiATALAN 1) meent, dal de afwijking alleen plaats heelt

, , , dF dF

bil de kenmerken: —— rzioo.

dy dx

Ilij voert hier geene gronden voor aan.

Uaaiie 2) heefl aangetoond, waar de oorzaak ligt.

Zooals wij gezien hebben is:

dy_ da

dy

dF dv

Is nu -r-z=:0, dan zalniel altijd gelijk nul zijn;
da da

dF

cvenzoo wanneer ——00 is. In hel ecrsie geval hangt

dit van den noemer in het tweede geval van den lellcr af.
Onderzoeken wij nu de vergelijking,

X -j- a — i/[3a(2y — a)] O,

dan is

1} Jourual (lo 1\'Ecolc polytccbniquc, torn. 81.
2) Journnl v. Crellk, Uand 98.

32

■ 1 3(y-a)

i/[3a (2y — a)]

___3a

i/[3a(2y-a)]

1__3(y-a)

i^[3a(2y-a)]
3a

i/[3a(2y-a)J
Men ziel dus, dal voor 2y — a = 0 zoowel de nee-
dy

mer als de teller oneindig groot worden, heeft dus

da

voor a 2y, een onbepaalde waarde. Vermenigvuldigt
men echter teller en noemer met

i/[3a(2y —a)] dan vindt men:

--[i/{3a(2y-a)}-3(y-a)J.

Stelt men nu y dan vindt men:

A

2y=:a kan dus geen singuliere oplossing leveren.
Raaue stelt daarom dezen regel vast :
Iedere vergelijking, die de quolicnlen

üa da
en

dy dy

gelijk nul maakt cn waaruil a doormiddel vanF(x, y, a) z=0
geelimineerd is, voldoet aan de difierenliaal-vergclijking;
en die vergelijking zal dan levens een singuliere oplos-
sing zijn van de diflerenliaal-vergelijking wanneer zij door

23

geen conslanle waarde van a uil dc algemeene inlegraal
kan ai\'gcleid worden.

Ten einde een waarde van a le verkrijgen, die (ö) ge-
lijk nul maakl zoude men a uil de vergelijking

J/[3a(2y-a)] -3(y-a) —O
kunnen oplossen. Eenvoudiger is hel echler de waarde
van don worlelvorm in de algemeene inlegraal te substi-
tucci\'cn dan verkrijgt men:

x-f-a:i=3(y-a),

ofa=:i(3y-x).

Substitueert men deze waarde van a in dc algemeene
integraal dan volgt:

3(y x)-t/[3(3y-x)(5yH-x)}z=0 of
x\'4-2xy — Sy\'zriO.

llelgeen een produkt is van de vergelijkingen,
X — y = O cn 3y X 0.
welke vergelijkingen de diflercnliaal-vcrgelijking voldoen
cn singulier zijn.

Catalan meent, dal, wanneer dc vergelijking niel
onafhankelijk is van a, wij dan altijd een singuliere
oplossing verkrijgen. Dit misl cchler allen grond; dc
volgende vergelijking is noch oen voorbeeld van het
tegendeel.

(a - X -i- y)3 - 3(x -f y) (a - x y)= 1 = 0.

Hiervan is:

^:=:;j(a-x-|-y)(a-3x-y)
dF

™ = -G(a-x-|-y) (a-2x)
^=:-6(a-x4.y)(x y)

24

dus:

dy_3(a-x4-y) (a-3x-y)
da 6(a—x y)(x-|-y)

dy dx

Yoor a — x-f-y=0 wordl noch noch — gehjk

\'" da

dF

nul, terwijl ^ wel nul wordl. Niellegenslaande wij hier
da

dus een functie hebben, niet onafhankelijk van a, die
dF

O maakt, verkrijgen wij geen oplossing van de

differentiaal-vei\'gelijking.

Daarentegen geeft a — 3x — y
lossing.

Wij kunnen nu het verband tusschen de kenmerken
van een vergelijking onder den vorm y = f(x, a) en van
de vergelijking onder den vorm f(x, y, a)=:0 nader be-
palen.

In (|3) van § 1 zijn wij tot hel besluit gekomen dal
het slechts noodig is de kenmerken

oo le onderzoeken.

Nu hebben wij gezien, dal voor de vergelijkingen onder

dy dF

den vorm F(x, y, a) r= O -ji z=z O is, wanneer-5-= O

da da

18 of ——00.

dy

w dF ^ . dF

Wanneer

O is, moei — niet gelijk nul zijn.

O dan is, daar
dF

dy_ dx

1?\'
dy

25

dy dF

= wanneer -r- levens niel geliik nul is.
dx dx ^

Om dus de singuliere oplossingen volgens dezen weg

le bepalen, zoude men alle drie de kenmerken moeien

onderzoeken.

wordt ook gelijk nul wanneer = en als dan
da ^ dy

dF .

levens — niel oneindig groot is.

Hel oneindig zijn van ^ maakl ^ = O wanneer niel
dF

le gelijk is; de oplossingen, die hieruit voorl-

dx

komen, komen overeen met die 7- = 00 maken.

dy

Wij kunnen dus mei deze gegevens nagaan, welke oplos-
singen van de vergelijkingen onder den vorm F(x, y, a) O
overeenkomen met de oplossingen van de vergelijkingen
onder den vorm y = f (x, a).

Dc algemeene integraal, op welke wijze van de Iwee
ook gegeven, moei dezelfde singuliere oplossingen geven.
Onderzoek van IIoutain.
llouTAiN •) gecfl aan de theorie van Lagrange een uit-
breiding ; hij neemt er de kenmerken en ^ — 00

bij op. llij brengt dc theorie lerug lol deze drie stel-
lingen :

1°. Men verkrijgt al dc singuliere oplossingen van ecn
diiïerenliaal-vcrgclijking van de eersle orde met twee ver-
anderlijken door middel van dc eliminalie van a tusschen
de algemeene integraal en hct partieelc dilTcrenliaal-quo-

1) Des solutions singulières des équntions différentielles. 1854.
Mémoire couronné. Extrait des annales des universités dc Belgique.

26

tiënt daarvan len opzichte van de conslanle, welk diffe-
rcnliaal-quoliënl gelijk nul gesleld is, of tusschen de al-
gemeene integraal en de parlieele difTerentiaal-quotiënlen
len opzichte van x en y, welke gelijk oneindig grool
gesteld zijn. Uit de vergelijkingen, die men daaruit ver-
krijgt, neemt men degene, die de differentiaal-vergelij-
kingen voldoon en niet de algemeene inlegraal.

2°. Welke ook de vorm van de algemeene inlegraal is,
van een differentiaal-vergelijking van de eerste orde met
twee veranderlijken, de toepassing van de kenmerken,
om er de singuliere oplossingen uit af le leiden, geefl
altijd dezelfde resultaten.

3°. Wanneer do algemeene integraal van eene differen-
tiaal-vergelijking van de ecrsie orde met twee verander-
lijken een algebraïsche i) functie is van x en y, kan men
haar altijd onder een zoodanigen vorm brengen, dat de
singuliere oplossingen van dc veranderde algemeene inle-
graal zijn af le leiden, alleen door de eliminatie van de
i|; willekeurige conslanle tusschen de integraal en het par-

!;■: licelc differentiaal-quotiënt len opzichte van de constante,

iir welk quotiënt gelyk nul gesteld is.

\' Zooals wij zien, omval de cer.stc stelling helgccn wij
in (§ 2 a) in het kort ontwikkeld hebben. I3y de beschou-
;! | wing, die hij aan hel einde van hel bewijs dezer stelling

■ toevoegt, komt hij langs een cenigszins anderen weg tot

i\';^ ! dezelfde resultaten als wij in hel eind van (§ 2 /?) verkrijgen.

De tweede stelling is alleen bewezen mei betrek-

I) Oiiilcr Algiïbrnïschii functie versliiiui wij een fuiic\'ii!, waarin met ver-
anderlijke grootheden, die daarin voorkomen niet anders dan algebraïsche
bewerkingen gedaan worden.

Onder algebraïsche bewerkingen verstaan wij optellen , aftrekken , verme-
nigvuldigen, deelen cn machtsverheffing met constante exponenten dus ook
wortehrckking.

27

dF

king lol de drie kenmerken 7-:

da

^ dF dF

dy dx

iiel bewijs zuilen wij bier mededeelen.

Wij moeien daarloe eerst de afleiding van de kenmer-
ken zooals IIouT.iin die geeft, vermelden.

Dc algemeene inlegraal F(x , y , a) O geefl gcdifleren-
lieerd als a veranderlijk is:

dF . . dF . , dF

;j^dx -dy j-da

zoodal

da da

dy

Opdal dus

(10).....-

dF
dy

dF

:oo.

waaraan voldaan kan worden door -r--

da

dF

Op dezelfde wijze vindt men ook

Hel voorname doel is dus, dal bet quolienl (10) nul wordt.
Voor dc tweede stelling is bel noodig aan le toonen,
dal bel quotiënt (10) niel verandert, hoe men ook F(x, y, a)
verandere, als tevens bij die verandering de betrekking
lusschen x, y en a dezelfde blijft.
Wij hebben echter ook gevonden (zie § 2, «) dat

dF

dy_ da

däT"~ (W"

dy

28

Quotiënt (10) is dus de verhouding tusschen de ver-
anderingen van y en a. Als dus de verhouding tusschen
y en a dezelfde blijft, zal de verhouding tusschen de ver-
anderingen ook dezelfde moeten blijven; anders is het
eerste niet mogelijk.

liet quotiënt (10) blijft dus constant voor dc verschil-
lende vormen en zal dus ook voor dezelfde vergelijkingen

dF

nul moeten worden. Maakt dus die vergelijking — niet
dF

nul, dan zal ^ oneindig groot moeten zijn.

Wat de 3® stelling betreft, daar er ondersteld is, dat
de algemeene integraal F(x, y, a)z=rO een algebraische
functie is, zoo kan men uit deze de noemers en vvor-
telteekens door met een functie van x, y en a te verme-
nigvuldigen en door machtsverheffing doen verdwijnen.

De vergelijkingen -^zzzco cn ^z=zcx5 kunnen dan niel

meer door eindige termen voldaan worden, er blijft dus
dF

alleen de vergelijking-^zzi O over.

Hierbij moet echter nog aangetoond worden: 1". dat,
wanneer men de algemeene inlegraal met een functie van
X en y vermenigvuldigt, die toch aan de diflerenliaal-
vergelijking blijft voldoen, 2°. dal wanneer men dc alge-
meene inlegraal lol ecn macht verheft, die dan ook aan
diflerenliaal-vergelijking blijft voldoen.
Bewijs van hct eersle.

Zij F(x, y, a) — 0,dQ algemeene inlegraal van f(x, y, p)^

De vergelijking f O ontslaat uit de eliminatie van a

tusschen de vergelijkingen.

\' dF dF

F = 0, en ~ dx ^dynzO.
dx \' dy ^

29

Indien men nu de algemeene integraal mei een functie
(]p(x, y, a) mO vermenigvuldigt, moei qp. F — O ook vol-
doen aan de vergelijking f 0.

De vergelijking (p.Fr=0 gedifTcrentieerd geefl:
<ï.dF 4- Fd(p =: O

of daar F = O,

(11).... (pdF=0.
Deze vergelijking mocl voor alle waarden van 9 vol-

. . dF , I O • ,

daan worden dus is — dx 4- -r-dv = 0, waar uil volgt
dx dy ••

a=zi//(x, y, p), hetgeen in (11) gesuhslilueerd geelt

cp{x, y, vO X F(x, y, i{j) = 0,
hel welk de differentiaal-vergelijking is van de oorspron-
kelijke integraal vermenigvuldigd met een factor.
Bewijs van het tweede.

Ondcrslellcn wij, dal de algemeene integraal den vorm
heeft,

(p,(x, y, a)--()P3(x, y, a)]/qp,(x, y, a) = 0,
deze gedifTcrcnliccrd geefl.

(11)« dqp, — d(pj ]/\'(p3 — 92 ■

VerhclTcn wij de algemeene inlegraal lol de m-de macht,
dan verkrijgt men:

welke gcdiflcrentiecrd geefl :

n.9,\'" -\' d9, nKyij" -\' . 9jd9j 9j\'"d93,

of (U)r d.p, - (^Y --^93

\\9i/ o\'9i

Uil (11)/^ vindt men echter ook

m

1/^3

93/

^93/ \' 1/93""\'

welke in (11))\' gesuhslilueerd ook (11)« geven.

30

§ 3. De algemeene integraal onder den
vorm F(x,y)zz=a.

a. Afleiding van de singuliere oplossing.

Zij dus (12).....F(x,y)=za

de algemeene integraal.

Van deze vergelijking verkrijgt men de differentiaal-ver-
gelijking eenvoudig door le differenlieeren. Dus

dF j , dF ,
-dx ^-dy=0.

Hetgeen de zoogenaamde exacle differentiaal-vergelijking
is. Hieriiil vindl men hel differenliaal-quoliënl

dy_ dx

dy

Geeft men nu a eene veranderlijke waarde, dan moet
sleeds de waarde van hel differenliaal-qnoliënl helzeirde
hlijven. Beschouvvl men a als veranderlijke, dan geell (12):
1 , dF , ,

dan is

Ë!

^__ J_

dx ~ ^^ dx ^ \'

dy dy

dy

Opdal dus deze ~ gelijk zij aan de eerste, moei, daar

da 1

— verondersteld is niei gelijk nul le zijn, ^ O zijn

dy

of ïjü^cc.

dy

dF

31

. (lx dv , da 1 ,
Kvenzoo is , =—-^ 7-777 en tiaar
(ly (IF \' (ly^

(lx dx

dx dy ,, dF , .. ,

-zzz: — -— moelbliiven, nioel ook =00 zijn. In
dy ^ •• \' dy

dx

dv

liet geval dus dal ^ onafhankelijk moei hlijven, moei

zoowel ^ als ^ oneindig grool worden. Worden zij

dF

niel beide le gelijk oneindig grool bijv. alleen — dan is
dv

ji = co en verkrijgl men dc singuliere oplossingen,

(IF

die daarmede overeenkomen; is alleen zz: dan

dy

. dx

is , =00.

dy

. dF dF

iMen ziel dus dal de kenmerken — — coen—c<3

dx dy

wanneer zij afzonderlijk voorkomen, overeenkomen mei
de kenmerken ^ nz co en ^ = 00 van dc vergelijking

opgelosl len opzichle van x of y. Komen zij echler beide le
zamen voor, dan zijn daarin de singuliere oplossingen opge-
sloten, die men door jj^ —cn -j^\' — O verkrijgt.
Voorbeeld :

l-fx^

gedifferentieerd, geefl dit:

32

]/l - f 2x(xy

1 x^

Men ziet c

US, dat de coëfficiënten van dx en van dy
beide oneindig groot worden voor y = terwijl

x

de waarde van

- is, hetgeen afgeleid is uil

y —1/^1-j-x^ welke vergelijking dus een singuliere op-
lossing is, daar zij tevens uil de algemeene integraal kan

dx

afgeleid worden door a

Lossen wij de algemeene integraal len opzichte van y
op, dan is:

y — ax 4- |/l — a\'
dy a

d^

-r^ — x —

l/l-a\'

dy

-7^=:O geeft dus:
da °

hetgeen in de oorspronkelijke vergelijking gcsubslilueerd
geeft: 

Zij verder gegeven dc algemeene inlegraal:

y l/^ — X=a,

door difTerenlialie verkrijgt men
* dy—-r—da.

l/b^

dF

33

Hierbij is alleen cc , wanneer b = x is, heigeen

dv

dus ook tevens -^ = 00 maakt,
dx

Uit hel voorgaande volgl dus, dat de exacte diflerentiaal-
vergelijkingen w^el singuliere oplossingen kunnen hebben
Het is immers-voor een singuliere oplossing niel nood-
zakelijk, dat de diflerenliaal-vergelijking dezelfde is, als
die van de algemeene integraal. maar wel, dal hel difleren-
liaal-quoliënl van de singuliei\'c oplossing gelijk is aan hel
differenliaal-quoliënl van de algemeene inlegraal, wanneer
hierin de waarde van de singuliere oplossing is ingevoegd.

liet kan nu zijn, dal dan ook levens de iniegreerende
factor oneindig grool wordt, hoewel dit niet noodzakelijk is.
Bijvoorbeeld de vergelijking:

r ,_- 2x(x ]/i 4-^:17^)1/1 X\' - f-.

i-f-x^ —^—^
(x]/l-fx\'-y\')dyz:=0
wordt exacl, als men mcl

-----3_ ........... vermenigvuldigt, en deze factor

wordt ook voor |/ï~ x\' — f =z O oneindig grool.
IVaarentegen wordt de vergelijking:

X__2x(x 4-{/1 -f- x\'-y\'}-,

-1- 2- ^ - ^ Jdy —O

exacl, wanneer men mcl • J^ ,, vermenigvuldigt. Deze

i X

l\'aclor wordt niel oneindig grool voor ]/ 1 4- x^ —

3

34

|3. De integreerende factor.

Na het vermelden van het onderzoek van IIoutain in
(§ 2 y) zoude het misschien den schijn hehhen als of § 3
geheel overbodig is, daar de vergelijking in den vorm
F(x, y) — a zeer gemakkelijk als een verwante vorm
van F(x, y, a) kan beschouwd worden. Wij hebben echter
deze § 3 vooral gegeven, om de verkeerde meening te
bestrijden, als zouden de exacte diflerenliaal-vergelijkingen
geen singuliere oplossingen hebben.

Dil wordt nog bevestigd door het volgende voorbeeld.
Van de exacte difTerenliaal-vergelijking

dy — ^—--=0

is de algemeene inlegraal

y — ]/x —a = c.

Hiervan is x =: a een singuliere inlegraal.

IIoutain geeft in hel tweede deel van zijne verhan-
deling, waarin hij toepassingen behandelt, eene geheele §
over de vorming van den inlegreerenden factor door mid-
del van singuliere oplossingen.

Hij bewijst daarin de volgende twee stellingen:

1® Iedere singuliere oplossing geell eene oneindige
waarde aan den integreerenden factor.

2\' Indien (3 of - de inlegreercnde factor is van de
?

1 dv

vergelijking P q ^ —^ — ^ deze verge-
lijking voldoen.

Uit deze laatste leidl hij weder de drie volgende af:

1\' Indien de factor, die de vergelijking Pdx -f- Qdy O
exact maakt, ^ is, is ^ — Q een particuliere integraal.

35

2= Indien - de factor is. die de vergelijking Pdx

Qdy = O exact maakt, is O een particuliere of een

dF

singuliere oplossing, al naarmate de vergelijkingen ^

dF

en — — co voor F een constante of een veranderlijke

dy

waarde geven.

Uit deze twee vereenigd volgt:
3® De particuliere integralen en singuliere oplossingen
zijn factoren van den integreerenden factor.

In de tweede van deze drie laatste stellingen is de uit-

dF

drukking: al naar mate de vergelijkingen — — oo en
dF

-p ^ co voor F een constante of veranderlijke waarde

J

geven , niel duidelijk.

Wij hebben daaroui getracht uitgaande van de 2\' stel-
ling van llouTAiN en steunende op hetgeen wij in (§ 3 «)
gezegd hehhen, het geheele duidelijker voort tc stellen.
Wij plaatsen dus voorop de 2® stelling:

Indien of — dc intcgiecrendc factor is van dc vcrgc-
P

1 dy

lijking P-j-—y-zziO dan zal [i = O deze vergelijking

U A

voldoen.

Al naar mate ^ of i de intcgrecrcnde factor is, heeft

men dc voorwaarde voor de intcgreerbaarheid:
d(/3P) _ d(/3Q)
dy dx

dy dx

36

Wanneer men de differentiatie uitvoert en de tweede
met —vermenigvuldigt, verkrijgt men de twee verge-
lijkingen

dQ-

dy dx \' \' Ldy

dy dx

O worden beide vergelijkingen
.....

Maar uit —O volgt:

Voor |5

dy dy dx

Hetwelk in (14) gesubstitueerd geeft:

dy dy dx

of

0.

Dus —O voldoet de differentiaal-vergelijking.

Dit bewijs is van Euler, bij maakte daarbij de opmer-
king, dal wanneer |3 de inlegreercnde factor is cn j9zzzO
P of 0 oneindig maakl, dal dan dc vergelijking (13) zich

dP

niel vereenvoudigt lol (14), daar dan ook — z= co is cn

dus ^ onbepaald.

Jean Tremuley 1) heeft echter opgemerkt, dal men
die zwarigheid kan vermijden door de differentiaal-verge-
lijking zoodanig le veranderen, dal P en Q geen noemers
hebben.

1) Mém. de 1\'Ac. des sc. de Turiu 1700—91.

37

Kulrr maakte ook zwariglieid voor hel geval, dal

= P of Q deed verdwijnen, en i de inlegreerende

factor is. Thembi.ev heefl echler opgemerkt, dal, wan-
neer bijv. P —O is tengevolge van |5 = 0, alsdan wel
(13) overgaat in

0^=0,

maar dal ook levens daar Q niel nul is,

dx

Dus dc vergelijking —O geefl y een conslanle
dv

of aan de dilferenliaal-vergelijking wordl dan

locli voldaan.

Daarenlcgen is hel wel een uilzondering hel geval,
dal I? van den vorm e" is, waarin u eene functie is zonder
noemer; deze factor in dc voorwaarde van inlcgrccrbaar-
hcid gebracht, geefl

dy dx dy dx

Welke vergelijking niet mol (13) overeenkomt.
Wanneer rnen dus P cn () zonder noemers maakl, is
de stelling van Euleu juist voor algcbraische functies.

Hetgeen uit deze stelling volgt, is dus ook alleen maar
zeker voor die functies.

Wij hehhen nu gezien in (§ 3. «), dal voor singuliere
dF dF

oplossingen ^ of of beide oneindig grool moeten

w

worden.

Onderstellen wij dus nii, dat in de difTerentiaal-verge-
lijking dc noemers zijn weggemaakt cn zij fx — O een

38

dF

singuliere oplossing, dan moet deze bijvoorbeeld— on-

ÜX

eindig groot maken en de differentiaal-vergelijking voldoen.
dF P

Daar~-=zP(5of- is, zoo zal, daar P niet oneindig

U fj

wordt, |3 of i oneindig moeten zijn. Wij kunnen dus vast-
§

stellen voor algebraïsche functies, dat wanneer de diffe-
rentiaal vergelijking geheele vormen tol coëfficiënten heeft,
de singuliere oplossing den integreerenden factor oneindig
grool moet maken.

Daar j5 = o de vergelijking voldoet, moet als (S de in-
iegreerende factor is, ^ een particuliere integraal zijn.

Omtrent - is niels met zekerheid te bepalen, of hel een

11 ^

11 particuliere dan wel een singuliere oplossmg is.

§4. Meetkundige beleekenis.

a. Meetkundige beleekenis van de singuliere oplossing.
Zij y — f(x , a) de vergelijking van een le beschouwen
kromme lijn. Laten wij de conslanle a veranderen, dan
verkrijgt men een reeks van gelijksoortige kromme lijnen,
die elkaar achtereenvolgens snijden. Voor twee naast
elkander gelegen kromme lijnen, zijn voor een zelfde

dy

abscis de ordinaten yen y -f- i^da. In hel snijpunt

da

dv

van die twee krommen moet dus , = 0 zijn. Klimi-

da

dy

neercn wij nu a lusschen O, cn dc vergelijking

da

der kromme, dan verkrijgen wij een vergelijking voor dc
meetkundige plaats der punten waar de verschillende
krommen elkaar aciilercenvolgcns snijden. Volgens hel-

39

geen wij in § 1 beliandeld hebben, zal deze kromme lijn
ook dc singuliere oplossing voorstellen van dc dilTerenliaal-
vergelijking, waarvan yz=r(x,a) de algemeene integraal
is. De singuliere oplossing en de algemeene inlegraal heb-
ben een zelfde diflerentiaal-quoliënt; de eene en de andere
kromme lijn hebben in dal snijpunt dus een zelfde raaklijn.

De diflerenliaal-vergelijking van een dusdanige verge-
lijking verbindt dus ten eerste eene oneindige reeks van
krommen van dezelfde familie, die niet verschillen dan in
dc waarde der constante, len tweede een kromme, die
al de eerste krommen raakt, enveloppe genaamd; men
kan dus die verschillende krommen beschouwen als eene
enkele kronuue mol een oneindig aantal lakken, die
onderling verhonden zijn door dezelfde vergelijking. Dus in
ieder punl van de rakende kromme zijn twee lakken die
dezelfde raaklijn hebben, de eene, dal is de rakende kromme
zelf, dc andere dc kromme, die zij in dal punl raakt.

Wij hebben in \'l algemeen aangenomen, dal die snij-
punten een kromme lijn vormen. Wij zullen nu dc
gevallen, die kunnen voorkomen, cenigszins nader be-
schouwen.

Dc plaats van die punlen hangt samen met de eliminatie

dy

van a lusschen y zzz f(x , a) en ^ r= 0. Wij kunnen

hierbij twee gevallen onderscheiden: dc cHminalie kan
plaals hebben of kan niet plaats hebben.

Die eliminatie kan plaals hebben, wanneer a als een functie
dy

van X uil ^ = a is op te lossen, en dus gesubsliluecrd

kan worden in de algemeene inlegraal. In dil geval heb-
ben wij eene rij van punten, die eene .singuliere oplossing
voorstellen, indien deze niet met ccn particuliere inte-
graal samenvalt.

40

dv

In het tweede geval wordt -r^ of door een constante

da

dv

waarde van a of x gelijk nul, of kan in het geheel

niet gelijk nul zijn. In dit geval zijn er enkele snijpun-
ten of in het geheel geene.
Voor het eerste geval zij gegeven:

y ax — a\';

hier is

dy__a

waarvan wij de singuliere oplossing vinden:

Voor het tweede geval kunnen wij len eerste dit alge-
meene voorbeeld geven:

y = al"(x);

dy

hierhij is = f(x). Suhslitueeren wij in de alge-
da

meene inlegraal f(x) —O, dan krijgen wij:

y = 0.

Wij zien dus, dal dc vergelijking y — af(x) van a onaf-
hankelijk is voor de punten (y=:0 xr=x,) (y xzrrxj)
enz. waarbij x, , x. enz. de wortels zijn der vergelijking
f(x)=:0; al dc krommen dus, die men door y —af(x)
kan voorstellen, .snijden elkaar in\'die punten.
Zij verder gegeven:

y = a\'f(x);
dv

hierbij is da ~

dy •

Voor azrzO is -7^=: O en ook voor alle wortels van
da

f(x) — 0. De abscisas is dus een particuliere integraal.
Zij verder nog gegeven:

41

y = f(x) a;
da

dy

Hier is iiel dus niel mogelijk, dal is, en er is

dus voor deze kromme langs dezen weg geen enveloppe
le vinden.

Ten einde alle singuliere oplossingen te vinden,

dx

zouden wij ook nog moeten onderzoeken, of ^ O
geene nieuwe kromme lijnen gaf; wij zullen echter,

dy

daar bel ook voldoende is.

dx

CX3 heeft plaats, wanneer die

vergelijking een lijn voorstelt, die evenwijdig loopt mcl
de y-as. Wij zullen dil rechtlijnige enveloppen noemen,
in hel algemeen wordt op dil kenmerk veel lc weinig
acht geslagen.

Gaan wij nu na, of wij in dc vergelijkingen, waar wij geen
singuliere oplossingen vonden, zc nu wel kunnen vinden.

Ten eerste:

y—af(x).

y = aM\'(x)
y = r(x) a;
1

Dc wonds van de vorgcliiking -r;—izz 0 maken in alle

n J P ji^j.^

42

dv

drie de gevallen ^ — co. Dil zal daarom ecliler niel

altijd aanleiding geven tot de rechtlijnige enveloppen.
Nemen wij hijv. de vergelijking:

y ~ a]/l-|-x;

hierin is:

dy _1 a

dv

Voor X — — 1 wordl co, maar wij zien ook

dx

dal y dan nul is; dus hoe men a ook laat veran-
dy

deren, allijd is alleen maar oneindig in hel punt

(x —- 1, yz=0.)

Zoo wordt van de vergelijking

wanneer x = —1 is, 4^=: co en Y = a; dan is dus
dx

voor alle waarden van a, als men deze van —oo lol

dy

-f-oo laat veranderen, hel punl waarin ^ co wordl

op de lijn gelegen. In dil geval verkrijgen wij

dus wel zulk een rechtlijnige enveloppe, een enveloppe
namenlijk van de parabolen voorgesteld door de alge-
meene integraal.

Stellen wij echter in de algemeene inlegraal a = f(x),
dan zien wij, dat voor x — — 1 f(x) een bepaalde waarde
verlangt cn dal aan hel punl {x=r—l,y —f(—i)]
dy

de plaals is, waar = oo wordt.
Al de krommen dus, die door

f(x)

43

wonJen voorgesteld, zullen op de lijn — 1 een punt

hebben, waarvoor^ oneindig groot is.

In dit geval is dus x =:— 1 geen enveloppe, maar
een raaklijn, die een reeks krommen van verschillende
soorten raakt.

dv

Een algemeene regel, wanneer ^izzcc aanleiding

geefl lot een rechtlijnige enveloppe, is niel te geven.
Uil den eersten vorm

y = af(x),

is wel le besluiten, dal, wanneer hel oneindig worden
van f\'(x) samengaat mot hel nul worden van f(x), cr
dan niet zulk een enveloppe ontstaat.

dv

Zooals wij gezien hebben, geeft hel kenmerk ^ —cc

slechts aanleiding tol rechtlijnige enveloppen, liet dif-
rcrenliaal-quoliênl is dus voor die oplossingen constant.
Laten wij dc coördinaal-asscn draaien, dan maakl dc
lijn, die dc singuliere oplossing voorstelt, met de abscis-
as geen rcchlcn hoek meer, maar een hoek gelijk aan het
complcmcnt van den draaiings-hock ; noemen wij dc nieuwe
coördinaten y\' en x\', dan is voor dc rechllijnige enveloppe
dy\'

als a dc draaiingshoek is van dc assen.
Nemen wij bijv. dc vergelijking:

X — b is dc vergelijking van zulk een rechtlijnige en-
veloppe van dc kromme lijnen door de eerste voorgesteld
Laten wij nu de coördinaat-assen draaien; noemen wij
den sinus van den draaiingshock « cn den cosinus (3, dan is
y — x\'a -f- y\'/J en X x\'/9 — y\'a j

44

de vergelijking wordt dus (de accenten zijn verder weg-
gelaten) :

x« y|3 = ]/x|3-y« "b a;
lost men hier y uit op, dan vindt men:

=F — 4a«|5 -f 4x(5 — 4bß\') ];
beschouwen wij hierin a ook als variabel, dan is

— 1

dx ~ L"\'\' — 4a«/3 4x|? — 4bi3»)

I ___\\

V — 4aa|3 4x(? — 4b|5=)/dx.

i

Stellen wij hierin a = --— dan wordt

«

dx «

Men ziet dus, dat het oneindig worden van

geen deze soort van singuliere oplossingen gecfl, niets
anders is dan een bijzonder geval van de rechte lijnen,

dy

die men verkrijgl door -p ecn bepaalde waarde te geven.

ii \\

dy

Dil volgt ook daaruit. dat die enveloppe, van ^ «,

ontstaan doordal men de krommen evenwijdig aan de y-as
laai bewegen; maar men kan ze ook langs iedere wille-
keurige rechte lijn laten bewegen.

(?. Meetkundige beteekenis van de kenmerken. Theorie
van Timmermans.

IIoutain behandelt de meetkundige beteekenis van de
vergelijking in den vorm F(x, y, a) ::= 0. Hij voegt
(laar nog aan loc de beteekenis van de vergelijkingen

45

dF _ „ dF dF

^ — u — — oo, — — oo. Uit laatste zullen wij hier

overnemen, daar hel een bevestiging is van hetgeen wij
vroeger behandelden en wij levens eene bedenking legen
de bewering van [Ioutain kunnen mededeelen.
Indien vergelijking F(x,y,a) = 0 een algebraïsclie
. dF

is, dan is — =izO een kenmerk om de gelijke waar-
den le vinden van de oplossingen der vergelijking F =r O,
hel zij , dal deze oplossingen singuliere ol" particuliere in-
tegralen zijn.
dF

— =oc bepaalt de waarde vana, die voor eenzelfde

x,y een maximum of minimum doel worden; evenzoo be-
dF

paalt — n: oo de waarde van a, die voor een zelfde

y,x een maximum of een minimum doel worden.

Deze meening van IIoutain steunt hierop. Wij vonden
namelijk zie (§ 2, ;\'):

dy_ dx da da .

dx \'

(iy (ly

co maakl dus — = 0, dc voorwaarde vooreen

dx

mogelijk maximum van y. Evenzoo ook wordt --:=zO,
dF

voor -7- —co; wanneer dan cchlcr in hel eerste geval
dx

dF ... , . (IF
niet levens -r- — oo is, en in hel tweede geval -7-— co.
dx dy

Wij hebben cchlcr gezien, dal, wanneer slechts écu van

46

beide oneindig groot is, wij rechtlijnige enveloppen heb-
ben. Dan is dus y eigenlijk geen maximum.

Voor de niet rechtlijnige enveloppen moeten beide te

dv

gelijk oneindig groot zijn, daar -^onbepaald moet zijn.

dF

Op de meetkundige beteekenis van — zooals IIoutain

die gegeven heeft, steunt de theorie van Timmermans i).

Zij F(x, y, a)=:0 de algemeene inlegraal van de dif-
ferenliaal-vergelijking f(x, y, p) rrzO. Wij onderstellen ,
dat de vorm der integraal algebraïsch is, en geen wor-
tels en noemers beval, en dat f4 de hoogste macht van
a is, die er in voorkomt. Men kan dan de inlegraal
onder den volgenden vorm brengen:

(a — a,) (a — aj) (a — 83).....(a — a^) = O,

waarin a,.....a^* de wortels van de vergelijking voor-

siellen. Wanneer men de vergelijking F=:0 vereenigt
dF

met de vergelijking —, drukl mende gelijkheid van meer-
(Ja

dere worlels van a uit. Zij komen dus vereenigd over-
een met de vergelijking a, rz: a^, waarin men i cn k door
\'1, 2, 3 . .../i acblereenvolgcns kan vervangen, en dc
vergelijking a, — ai, is die van de snijpunten der krom-
men a — aizrrO cn a — a^zzrO, waarin a gelijk is.
Ue vergelijking dus, ontstaan door dc eliminatie van
dF

a tusschen Fz=:0 cn —= 0, behoort aan de snijpunten

der integralen:

a — a, = 0,a — 85 = 0.....a—a^ = 0.

Als de verschillende wortels rationeel zijn, stellen zij

i) Mémoire dc 1\'ncadcmic des sclciices dc Hruxellcs. 1842.

47

verschillende soorten van krommen voor; daar wij echter
reeds gevonden hebben, dat de singuliere oplossingen
door een vergelijking moeten verbonden worden, kunnen
deze alleen voorkomen, als er wortelvormen zijn, en deze
wijzen aan, dat de verschillende krommen door een ver-
gelijking verbonden zijn.

Die vormen onder het worteltceken gelijk nul gesteld,
stellen een kromme voor, die de opeenvolgende snijpun-
ten bepaalt, van de twee krommen a — ai =i O en a —
a^. Men kan echter een wortel doen verdwijnen zoowel
door de functie qp cr binnen, gelijk nul te stellen, als
door een factor ip er buiten gelijk nul le stellen. Men
kan dus de vergelijking a, — a,, vervangen door 9 — O
en lp — O. Voldoen nu ook de vergelijkingen 9 — O en
T/; —Oaan de differentiaal-vergelijking, dan zijn de ver-
gelijkingen singuliere oplossingen of particuliere integra-
len, wanneer zij de algemeene inlegraal niet of wel vol-

dF

doen. Daar de vergelijking —O al de vergelijkingen

ai — ak in zich beval, kan men den volgenden regel vast-
stellen :

Ten einde de singuliere oplossingen le verkrijgen van
een differentiaal-vergelijking van de eerste orde met twee
veranderlijken, waarvan de algemeene integraal een alge-
braïsche functie is, moet men deze inlegraal ten opzichte
van dc constante oplossen. Indien dc waarde van a geen
wortel beval, zal er geen singuliere oplossing zijn; is er
wel een wortel, dan moet men de functies, die onder
de verschillende wortels slaan, gelijk nul stellen, ol\'ook
dc functies, die door die wortels vermenigvuldigd wor-
den; cn indien deze vergelijkingen de diffcreniiaal-vcr-
gelijking voldoen en niet de algemeene integraal, dan is
dil een singuliere oplossing.

48

Voorbeeld:

Van de differentiaal-vergelijking

dy

X— m

is de algemeene integraal

ai^x — m -f- "^y — n

Deze opgelost ten opzichte van a, geeft:

a = I [^\'{x — m) ± ]/"X —m-f^y —n]

Hieruit vindt men de drie singuliere oplossingen.

X —m-]-4\'^y —n,

X —m = ü,

y-n=rO.

§ 5. Criterium voor de singuliere
oplossingen.

«. Wanneer de algemeene integraal bekend is.

Wanneer men de algemeene integraal kent, kan men
dezen regel geven:

Ten einde te bepalen, of een integraal een singuliere
oplossing of een particuliere integraal is, moet men een
van de veranderlijken x of y tusschen dc verkregen inte-
graal en dc algemeene inlegraal climineeren. Indien men
de andere veranderlijke van de dan verkregen vergelij-
king kan doen verdwijnen door aan dc constanlc een
bepaalde waarde te geven, dan is de verkregen oplossing
een particuliere integraal; indien men dil echler niel
kan, een singuliere oplossing

Voorbeeld:

Van de diflerenliaal-vergelijking:

49

is de algemeene inlegraal:

f — 2ay 4- x\' — a- = 0.
Aan de vergelijking voldoen:

x= -f y^ = O en x= 2y=\' z= 0.
Elimineerl men lusschen beide en de algemeene inle-
graal X, dan verkiijgl men dc vergelijkingen:

2ay 4- a- = O en 2ay -f y\' -j- a~ 0;
de eersle wordl door az=0 voldaan, dc Iweede door geen
één waarde van a. ïen einde zeker le bepalen, dal geen
waarde van a voldoel, kan men dil nog opmerken. Wan-
neer de eene vcrandcilijke bijv. x gcelimineerd is, krijgl
men in hel algemeen ccn functie van dezen vorm:

y lïy.i\') 9(i\') =
daar wij y onbepaald moeten laten, moeien (jp(a) en f(y , a)
afzonderlijk nul worden, ol do wortels van qp(a) ui: O
moeien f(y , a) nul maken, anders is hel niet mogelijk, dal
elke waarde van a i)cidc nul maakt.
Bij enkele gevallen volgt de beslissing spoediger; 1® in-
dF

dien -^ — 0 vun dc algemeene inlegraal F(x, y, a) O
ua

aan a een constante waarde geell.

2« Indien a slechts in den eerslcn graad voorkomt in

dF

F(x, y , a) = 0; zij konU dan niet voor in —= Ü,

da

welke vorm dan slechts uil x cn y bestaat; in dit geval
dF

is -7- = 0 een particuliere integraal. Immers heeft
da

hel subsiiluecrcn van a — O of van de verkregen func-
lic van x cn y in de algemeene integraal hetzelfde
resultaat.

Deze laatste opmerkingen zijn van IIoutain ; zij komen
overeen met helgeen wij in § 4 gegeven hebben. Wan-
neer dc algemeene inlegraal hekend is, heelt IIoutain

4

50

uit de theorie van Timmermans nog eene andere me-
thode afgeleid, om singuliere oplossingen te herkennen.

Wij zullen die hier achterwege laten, daar zij alleen
voor algebraïsche functies van locpassing is en de me-
thode boven gegeven van algemeene strekking is. Bo.
vendien is de redeneering geheel overeenkomstig hetgeen
wij later geven (zie II. III. § 3). llicr volgl alleen kort
het resultaat.

De regel van Timmermans (zie § 4 |3) onderstelt twee
gevallen, dal de functie onder den wortel zelf en de
functies, die met den wortel vermenigvuldigd zijn, gelijk
nul gesteld, de differentiaal vergelijking voldoen. Na-
menlijk Xll — O en (f> — 0.

Ilij loonl nu aan, dal de vergelijkingen i/; = O slechls
particuliere integralen kunnen zijn, terwijl de vergelijkin-
gen (p = O de singuliere oplossingen moeten bevatten.

(?. Wanneer de algemeene inlegraal niel bekend is.

Voordal wij lol de beschouwing van de verschillende
methoden, die men gevolgd hccfl, overgaan, dienen
wij op le merken, dal die beschouwing in Iwcc deelen
verdeeld is, waarvan hel eersle deel handelt over dal
criterium, dat geheel onafhankelijk is van dc wijze,
waarop men die oplossingen heefl gevonden cn waarbij
dc herkenning geheel steunt op het verschil, dal cr\'bc-
slaal lusschen de singuliere oplossing en de algemeene
oplossing. Dit hebben wij hier. gegeven; hel tweede deel
kan eerst behandeld worden in het volgende hooldsluk,
wijl daarbij de kennis van de afleiding der singuliere
oplossingen uil de diflercnliaal-vergelijkingen vereischl
vvordl.

Zooals uil hel eersle lloofdsluk blijkt, heeft Lai\'lace
zich voornamelijk met het eersle deel bezig gehouden.
Drie van de zes problemen, waarover hij in zijne mcmoire

51

handelt, zijn ter herkenning van gevonden oplossingen.
Wij zullen hier kort de methode van Laplace uit-
eenzetten.

Wanneer men een particuliere integraal door een kromme
lijn voorstelt en de gegeven oplossing —O evenzoo,
dan kan men de eerste kromme lijn zoo bepalen, dat zij
de tweede in een bepaald punt snijdt. \\s ^ —O nu een
particuliere integraal, dan moeten de twee kromme lijnen
geheel samenvallen; vallen de twee kromme lijnen dus
niet samen, dan is hel geen particuliere inlegraal, maar
een singuliere oplossing.

Zijn y\' en Y\' de ordinaten van de beide kromme lijnen
voor de abscis x «, terwijl x en y de coördinaten van
hel snijpunt zijn, dan is:

^ ~~ ^ " dx 1. 2 dx\' \' 1 . 2 . 3 dx\' .....

.....

— ^ ^ dx ^ 1 . 2 dx\' ^ 1 . 2 . 3 dx^ ^

Voor het geval dus, dat }i = 0 ccnc particuliere inte-
graal is, mocl slccds y\'=: Y\' zijn, waaruit de volgende
voorwaarden volgen:

^-Izzz^, ^\'^Ü.ii—lüy enz
dx dx\' dx\' dx\'\' dx" dx^

Zij gegeven de vergelijking:
ol" _

........(k— r v _

Hiervan is de algemeene inlegraal y—ax-f-*^!—a\'.

Ook voldoen de vergelijkingen:

y — x=rOen yz= ^x\'-}- 1.

üc eerste verkrijgt men door a=l le stellen, dc

4*

52

tweede door a = , te stellen.

]/x= l •

Wanneer men (15) difTerentieert, verkrijgt men:

d\'v

De eersle vergelijking y — x —O geeft ook

en de tweede v = = geeft:

d^y _ 1

Men ziet dus, dat de dilferentiaal-quotiënten van de
eerste allijd met die van de" diflerenliaal-vergelijking zul-
len samenvallen, lerwijl de tweede bij bet tweede difle-
rentiaal-quoliënt i-eeds afwijkt.

De eersle is dus een particuliere inlegraal, de tweede
een singuliere oplossing.
Zij nog gegeven:

of

(16)........-jj^rz:

De algemeene integi aal hiervan is y a\'(x — a^; ook
voldoen de vergelijkingen y==(x — 1)\' cn y\'zzz-^-

Dc eerste verkrijgt men door a ~ 1, de tweede door
a rz: ^ le stellen.

Wanneer men (IG) diflerentieci l. zoo komt:

dx\' \' 1/ ,

V x\'y-4i \'

53

Subslilueerl rnen hierin y=:(x—1)\' dan wordl
di^—

heigeen overeeni<oml mei hel Iwcede dinerentiaal-quoliënl
van y = (x—1)\'. Ten einde nu zeker le kunnen be-
siuilen, of\' y — (x — 1)" een parlicuhere inlegraal is, mocl
men ook nog de hoogere diflerenliaal-quoliënten van (16)
onderzoeken; hel geval kan zich dus voordoen, dal men
uooil mei zekerheid kan zeggen, van welke soorl ecu

inlegraal is. Subslilueerl men y\'" —— dan verkrijgl men:

dx\'"~4 o\'
De waarde van de onbepaalde breuk blijkl nul le zijn;
dus is

hclgcen overeenkoml mei hel iweode difterenliaal-quoliënl
I x\'

van y" ——. Deze vergelijking is een singuliere oplos-
sing, om dil echler op deze wijze aan le looncn, zoude
men nog verder moeien diiïerenlieeren.

Ten einde dc onzckci\'heid van dezo melhodc le ver-
mijden, zoekt Lai\'lack, sleuncmic op hel behandelde ken-
merk ccno andere cincnschap van de singuliere 0[)l0ssingcn.

Ilij {»aal daarbij van dcondcrslclling uil, daly = 0 een
inlegraal is. Wanneer dit hel geval is, moeten v, v\\ t>", enz.

d y d\'y

= 0 zijn (r i>\' y" zijn dc diHcrentiaal-quotiënlfin ^

enz. algcleid uil dc inlegraal, hier y = O cn door
P |>\'. p"» p\'" tinz. stellen wij dezelfde din«renliaal quotiënten
voor, maar afgeleid uil dc diflerenliaal-vergelijking.)

54

Onderstellen wij nu, dat p ontwikkeld is, volgens de
opklimmende positieve machten van y dus

(17)..... p = fy° -i- fy»\' -4- f\'y"" enz.

f, f\', f" zijn functies van x.
Differentieert men (17) dan heefl men:

dp_dy

dx dx

nfy^-\' nTy\'-\'-I- enz.

dv

Substitueert men hierin voor ^ zijn waarde dan
heefl men:

df\' df\'

- jjpy t.-. (n n\') f Pyn n\' -. pnz. y- ^ yn.

Op dezelfde wijze vindt men:

p" = n(2n — l)fY—»4- enz.
en zoo ook de volgende diflerenliaal-quotiënten. Deze
quotiënten kunnen dus gelijk nul zijn, wanneer n gelijk
aan of grooler dan 1 is, y = 0 is dan een particuliere
inlegraal; is dil niet het geval, dan hebben wij met
eene singuliere oplossing le doen, daar dan de hoogere
differentiaal-quotiënten uiteenloopcn.

Tol dil bijzondere geval dal y —O eene oplossing is,
brengt bij nu het algemeene geval, fi = 0 terug. Het-
geen, eenigszins gewijzigd, hierop ncërkomt.

Wanneer n = 0 eene oplossing is, kan men tusschen
de dilferenliaal-vergelijking en /t = O, y elimineeren, zoo-
dal de vergelijking van den vorm ^ = f(x,^) wordt.

Ontwikkelt men nu f(x, ft) volgens dc opklimmende po-
sitieve machten van fi, zoodal:

(18)..... ^ =

waarbij 1, 1\'____functies zijn van x, dan koml men, even-
als bij het vorige onderzoek uaar y = 0, lol hel be-

55

sliiil, dal = 0 een singuliere oplossing is, als ncl
en een parliculiere als n > 1 is. Wanl, wanneei- men (18)

dillcrenlieerl, ziel men, dal d ^cowordt, vvanneerncl,

(Ü

en O, wanneer n>l is.
Daar

djti_d/t dy dfi

d.x dx dy

moet, wanneer fi=zO een singuliere oplossing is, het
differentiaal quotiënt ten opziclile van x, van

du , du

of

............4_ \'IV , dpcV^®"

dV \' dy= dx dy

Bijvoorbeeld:

dy_ny 1 x\' —y\'
dx~" l x\'

Stellen wij hierin fi=\\/x\' -f 1 dan verkrijgt men:

it — \'^"jti\'.jJ^ ^ —/♦ —\'\'x\' i

dx~ " x\' l

Hierin is { de laagste exponent van/«; dc vergelijking

y — -f 1 ü is (lus een singuliere oplossing.
Stellen wij echter /i = y —x, dan is

_ x/i — 1 -4- ^ 1 — /i\' — 2/iX

dx~ r x»

Ontwikkelen wij den worlelvorm, dan is

d^_X.U — xu — \'jfi" — f/rx\' enz.

dx — 1 x\'

Dc laagste macht van /x is > 1, dus is y — x O ecnc
particuliere inlegraal.

56

Subslilueeren wij ook de verschillende waarden van fi
in (19), dan vinden wij voor de eerste vergelijking, dat de
noemer oneindig groot wordt, dus de hreuk zzzO, hetgeen
ook bevestigt, dal het een singuliere oplossing is. Suhsli-
tueeren wij daarentegen y — xmiO, dan is de noemer
nul, dus de geheele breuk oneindig grool; dil bevestigt
dus ook, dat hel een particuliere oplossing is. Deze wijze
van Laplace, om singuliere oplossingen te herkennen,
steunt op het ontwikkelen van functies volgens de op-
klimmende positieve machten van een der veranderlijke.
Is dit niel mogelijk dan is het ook niel mogelijk hiermede
te hepalen of een oplossing singulier is.

Dc eigenschap, welke wij zooeven bewezen hebben,
namelijk dal, wanneer de differentiaal-vergelijking onder

den vorm = ^ is, enfi=:0 een singuliere

integraal is, alsdan de exponent van tusschen O cn 1
moet liggen, gebruikt Poisson \'), om den factor te vin-
den, waarmede men de differentiaal-vergelijking moet
vermenigviddigen; opdat de singuliere oplossing cr niel
meer aan voldoet.

Boole leidt uil dil bewijs van Poisson oen ander ken-
merk af, om dc singuliere oplossing te herkennen, het-
geen echter inderdaad hetzelfde is als hclgcen Laplace
gebruikt.

Boole 2) komt daarbij tot den regel: Wanneer dc ver-
gelijking ^ = 0 aan de differenliaal-vcrgehjking voldoet,
dan brengt men de diiïcrenliaal-vcrgclijking onderden vorm

1) Sur les solulions partirnlicrcs cte. Journal dc l\'Ecolc Polytcchniqnc
Tom. VI.

Zie SDpplementare^\' volume png. .10.

57

Bepaal dan dc integraal ^ — waarin M gelijk is aan

O

f(x,|u) ol\' aan r(x,^) met weglating der factoren, die voor
^ — O niet verdwijnen of oneindig groot woiden.

Is deze inlegraal • nr ü dan is /i —O een singuliere
oplossing.

Hebben wij naujelijk voor de algemeene inlegiaal:

Dan is

dx"^d/i dx~ \'

óft_ dx

d^

»1/t _ il/t

/- (i/t _ il/t

Wanneer —O een singuliere oplossing is. is K(x,0)
niet constant, wanl, als dil liet geval was, dan behoefde
men C maar die waarde tc geven om /i —O als ccn par-

(IF

liculicrc inlegraal te vinden. — is dus niel gelijk nul,

wanneer ft —O is.
Nu is:

dF

" ïïï »

58

Hierbij is II de gemiddelde waarde van ^ lusschen de

dl\'

"d^

1

grenzen der inlegralie, en in dit geval is dus H:

dK(x,Q)\'
dx

dus heeft H geen oneindige waarde, en daar

verdwijnt de geheele integraal voor fi~0.
Voor een particuliere inlegraal, zegt Uoole nu, is

dF

F(x, 0) een constante, dus verdwijnt — voor |U — O, dus

II = ^^ — co en dan zoude de integraal niel gelijk

nul zijn. Boole vergeet cchter, dat men die gemiddelde
waarde 11 alleen kan invoeren, wanneer geene der

waarden van — oneindig grool is, dal men dus in
, /i)

dal geval geheel anders zoude moeten inlegreeren. Boven-
0

dien is toch allijd J^ F(x) dxrrrO; menkan uildeboven-
o

beschouwde integraal dus niels anders dan nul verkrijgen.

Ilei criterium van Boole schijnt ons derhalve van geen
waarde le zijn.

Daarenboven geefl hij niet den weg aan, om in f(x,/4)
den faclor tc vinden, die voor fi = o verdwijnt; de eenige
weg, om zulk een faclor lc vinden, is dc methode van
Laplace ; door f(x,/i) volgens dc opklimmende machten
van fi te ontwikkelen; ten einde dus hel criterium van
Boole le gebruiken, moet men ook eerst dut van La-
i\'lace bezigen.

59

Cauchy lioml langs een anderen weg lol hetzelfde
resultaat als Poisson en Boole ; om dezelfde reden kun-
nen wij zijne wijze van herkennen niel hillijken.

§ 6. Resultaat afgeleid uit de vorige
beschouwingen.
Wij kunnen hel resullaal der vorige § § kort samen-
vatten.

1® Is van een diflerenliaal-vergelijking de algemeene
inlegraal bekend in den vorm y = f(x , a), dan kan men
al de singuliere oplossingen niel alleen afleiden maar ook
scheiden van de parliculiere inlegralen, die met de sin-
guliere oplossingen tegelijk verkregen worden. [§ !• § 5« ]
2® Is van ecn differentiaal-vergelijking de algemeene in-
tegraal bekend in den vorm K(x , y, a) — o of F(x, y) a,
dan kan men al de singuliere oplossingen niel alleen\'af-
leiden, maar ook scheiden van de parliculiere integralen,
die met de singuliere oplossingen tegelijk verkregen wor-
den, indien men daarbij cchler oplet, of aan den eisch
van Haabe voldaan wordt. [§ 2. § 3. § 5«.]

3" De singuliere oplossing is dc vergelijking van de
enveloppe aan de krommen\', waarvan de algemeene inte-
graal de vergelijking is. f§ 4«.]

4® Is van een diflerenliaal-vergelijking dc algemeene
integraal bekend en is die algemeene integraal een alge-
braïsche vorm, dan geelt de theorie van Timmermans een
zekeren weg, om de singuliere oplossing le vinden. f§ 4/3.]
5® Is van een diflerenliaal-vergelijking de algemeene
integraal niet bekend, dan kunnen wij uil hel voorgaande\'
nog geen weg vinden, om dc singuliere oplossingen le
bepalen; wel kan men een vergelijking loelsen, of hel al
ol niet een singuliere oplossing is, wanneer die oplossing
aan de eischen van § 5/J voldoel.

HOOFDSTUK IIL

Verband tusschen de differentiaal-vergelijking en de
singuliere oplossing.

§ 1. De differenliaal-vergelij king onder
den vorm f^x.y, =: o ,

Ten einde de singuliere oplossing uil de algemeene
inlegraal

F(x , y , a) = 0
af le leiden, eliiriineeren wij a lussclien deze inlegraal en

dK

Dc diffcrenliaal-vcrgelijking verkrijgen wij door a le
eliminecrcn lussclicn

dF , dK dy

.........ih dTdi""^"

cn de algemeene inlegraal.

Slellen wij a opgclosl uil (1) =<p(x,y,p) dan is dc
dilferenliaal-vergelijking

(2).......... F(x , y , = O.

Diiïerenlieeren wij deze, dan verkrijgl men \'

* dx \' dy dx d(p dx

01

liet eersle gedeelte verdwijnt, wij verkrijgen dus:
dqp dx

Aan deze differentiaal-vergelijking van de tweede orde

dF

voldoen de vergelijkingen (2), 9 —a en — =r 0.

dqp

Elimineert men p tusschen (2) cn 9 = a, dan verkrijgt
men de algemeene integraal F(x , y , a) z= 0.

. . dF

lühmmeert men p lusschen (2) cn -p- — 0 dan komt

d^

ccn singuliere oplossing. Inuners is in heide vergelijkin-
gen p alleeu hegrcpeu in de l\'unctic men kan dus
p climinecrcn door 9 le elimineeren; daar nu <fi m a is,
is de eliminatie dezelfde als of men a lusschen

df\' IV

(la

elimineerl, hetgeen, zooals wij vroeger gezien hebben,
een singuliere oplossing kan geven.

Uit het voorgaande blijkt ihis, dal de mogelijkheid
beslaat, om dc vergelijking die men verkrijgl door dc dif-
iercntiaabvergelijking, in twee factoren te onthindcn,

waarvan de ccnc ^ de andere is, door welke fado-
dx d(f

ren men zoowel dc algemeene als ilc singuliere oplossing

kan vinden.

Voorbeeld :

(3)........

p p-
dit gedillercnliecrd geeft:

of

62

, dqp xp\' dF y , X

dus 1,—= —.

dx p d^ p p-

Uil volgl:

dx

qp = a.
p

Elimineert men tusschen deze en (3) p, dan verkrijgt
men de algemeene inlegraal:

X® — 2ay — a\' — b = O,
en elimineert men p tusschen (3) en

d<jp p \' p\'
dan koml: x= y® — b = O,

hetgeen de singuliere oplossing is.

Hel heeft echter bezwaren de vergelijking, die men ver-
krijgl door de dilfercntiaal-vcrgelijking le differcnlieeren,
in de verlangde factoren le ontbinden; op de volgende
wijze kan men echler die zwarigheid vermijden.

Stellen wij de gegeven dinerentiaal-vergelijking voor
door f(x,y,p) —O, dan kan deze van (-2) slechts door
een factor verschillen; wij hebben dus:

f(x. y, p) = /5F(x ,y,(p);
deze gcdiircrentiecrd geefl:

df , , df , df ^dK d^ ,

(i\' is het differenliaalquoliënt van len opzichle van x.
f(\'x V d)

Daar F(x, y , qp) z= ^^\' J\'\' jg, wordt (4), als men die

waarde daarin substitueert

df , , df , df dF (iq, ,

dflp

In hel Iweede lid is p\' opgesloten in ; dit tweede lid

dx

63
dF

kan dus door middel van —=0 verdwijnen, oriallian-

d(p

kelijk van de waarde van p\'; dil moei in liel eersle lid,
dal mei hel iweede idenliek moei zijn, ook plaals kunnen
hehben, en dil kan hel niel anders dan door ndddel van
de vergelijkingen.

dr ^ df , df

— =0 en-^p —= 0.
dp dy ^ dx

Dc eliminalie van p lusschen = O en de diüereniiaal-
\' dp

vergelijking geell nu de singuliere oplossing evenals de
vergelijkingen:

dF

— —O en F(x,y,9)=rO.

Voorbeeld.

Uil de dilTcrenliaal-vergelijking

p=(x\' — b) — 2xyp — x= O

volgl:

2 [p(x\' - b) - xy] p\' - 2(yp x) = Ü.
Elimineert men nu p lusschen p(x\'—h)—xyzzrOen
de diiïerenliaal-vergelijking, dan vindl men dc oplossing :
y\' — h zz: 0.
Ten einde na le gaan, of dil ccn singuliere oplossing
kan zijn, kan men dezen weg volgen

Wanneer= O ovcrcenkoml mcl — —Omoei-^i^p-l-
dp ócp dy

lÜi mei f(x. y, p) cn zal dc eliminalie van

(ir tl r (if*

p lusschen —=0 en -r-pH--r- = 0 ook dezelfde sin-
\' (lp dy\' dx

gulicre oplossing moeien opleveren; krijgl men dus niel
dezelfde vergelijking, dan heefl men ook geen singu-
liere oplossing.

64

Voor de singuliere oplossing verkrijgt p\' dus den vorm
Voorbeeld.

(xp-y) (xp-2y) x=\' = Ü;

hieruit volgt:

x(2 xp - 3y) p\' - xp\' yp 4- 3x= = O,

waaruit:

x(2xp-3y) •
Stellen wij dus teller en noemer van deze breuk gelijk
nul, en elimineeren wij p tusschen beiden dan verkrijgen wij :

4x

Dezelfde vergelijking krijgen wij, als wij p tusschen
2xp — 3y = 0 cn de differentiaal vergelijking climineei en.
Wanneer wij uil

^ df

dy \'\'dx
^ ~~ ^ \'

dp

de hoogere diflerenliaal-quotiënlcn bepalen, zien wij, dat
p\'p" enz. ^ zijn, wanneer hel de singuliere oplossing
geldt.

Deze melhodc. waarop wij de singuliere oplossingen
uil de dinerenliaal-vcrgelijking arteiden is, cenigszins ge-
wijzigd, die van Laghange.

Wij hebben daarbij gezien, dal dc singuliere oplos-
singen , die uit de algemeene integraal door het kenmerk
dF

— —O verkregen worden, dezelfde zijn, dicde waarde
d a

p\', onbepaald maken. Lagrange beweert hierbij niel, dat

65

wanneer eene vergelijking aan deze voorwaarde voldoet,
die vergelijking dan singuliei- is, maar alleen dat zulks
mogelijk is.

De theorie van Poisson steunt op de volgende stelling:
Iedere diflerenliaal-vergelijking van de eersle orde met
twee veranderlijken, kan veranderd worden in een dif-
ferenliaal-vergelijking, bestaande uil twee factoren, waar-
van de eerste al de singuliere oplossingen bevat en de
tweede niel voldaan wordt door die oplossingen.

dc diflerenliaal-vergelijking. llieruil kunnen wij y elimi-
neeren, door y gelijk een functie tc stellen van x en een
nieuwe in lc voeren veianderlijke z. Zij dus
y = <p(x . z).

Dan is

dx V \' V~~dx \' dz dx\'

Om deze nu in iwee factoren le ontbinden, waarvan de
ccnc het diilcrenliaal-quolicnt niel beval en de andere wei,

zoude ^ ccn faclor moeten zijn van ^ — f^x,<]p(x, z)^.

Eenvoudiger cchlcr is het dil verschil gelijk nul lo stel-
len en dus de vergelijking lc ontbinden in Iwee factoren.

dffi ^ dz

O cn — = 0.
dz dx

iMcn ziet dus, dal, wanneer men voor y — q>{\\,7.)dc

algemeene integraal neemt van ——f(x, y), waarin z de

arbitraire conslanle is, dat dan, de diflerenliaal-vergelij-
king zich ontbindt in de twee vergelijkingen:

4

66

Oen =
dx

dy

De eerste beter bekend onder den vorm — weten wii,

da

bevat al de singuliere oplossingen.

Uit deze stelling van Poisson leidt men nu de twee
volgende regels af.

I. Om de singuliere oplossingen te vinden, van eene
dilferentiaal-vergelijking van de eerste orde met twee

dv

factoren, waarvan de eene -r^niet en de andere wel bevat.

dx

Deze eersle factor, gelijk nul gesteld, zal al de singu-
liere oplossingen van de diiïerentiaal-vergelijking bevallen.

II. Om de singuliere oplossingen van een differentiaal-
vergelijking van de eerste orde met twee veranderlijken
te vinden, lost men deze vergelijking ten opzichte van
dy

op, en zoekt men den groolsten gcmecnen declcr van

dy

den teller en noemer der breuk, die men voor ~ heeft

dx

verkregen; deze grootste gemeene declcr tot nul herleid
bcvat de gezochte oplossingen.

Zoonis men ziet, steunt deze wijze van oplossen van

dy

PoissoN op het onbepaald worden van y^. Dc oplos-

dx

dy

singcn, die -p bepalen, worden hierdoor buiten geslo-

(J A

ten; de methode van Poisson is dus verre van algemeen ,
helgeen ook nog blijkt uit het feit, dat wij vroeger ook

reeds aantoonden, dat ^

da

♦ De theoriën van Lagrange cn PotssoN zijn alleen van
toepassing als de dilfercntiaal-vcrgelijking idgebraïsch is-

67

§ 2. De differentiaal-vergelijking van

dv

den vorm ^=:f(x , y).
a. Oplossing van Laplace.

Laplace zoekt de singuliere oplossingen van de diffe-
rentiaal-vergelijking gebracht onder den vorm

Hij gaat hierbij van de bekende eigenschap uit, dal
dc inlegreerende factor (5 door de singuliere oplossing
oneindig groot wordt en dal dus de singuliere oplossing

een factor moet zijn ^an-i. Gesteld dus, dal men den

inlegreerenden factor gevonden heeft, zoo koml hel er

op aan, dien factor van — le bepalen, die lol nul herleid,

oplossingen zijn van dy rrr pdx.
Indien men ju een van deze factoren noeml, en indien

men de vergelijking differenlieerl, verkrijgl men

P

dyr=/dx; fizzzO moet dan aan deze differenliaal-verge-
Iljking voldoen, evenzoo aan dy — pdx, cn dus ook aan
dy — pdx — dy /\'\'x — O

of aan

r-V = 0.

H moot dus een factor zijn van y — p, bijgevolg is de ge-
meene factor van ^ cn — p een inlegraal van dy — pdx.

Men dient daarna dan nog te bepalen, of hel ecn singu-
liere oplossing dan wol een particuliere integraal is.

In de meeste gevallen kent men de algemeene inlegraal
en den inlegreerenden factor niet, men moet dus ecn

5*

68

anderen weg zoeken, om de singuliere oplossing onafhan-
kelijli daarvan le bepalen. Laplace gebruikl daarloo dc
getransformeerde vergelijking (18) [zie /5. § 5 Hoofdsl. II.]
d/t — juiidx.

Waarin h = I-f-° ^nz., een singuliere op-
lossing en n <1 is. Daar nu ook

Zoo is

dy ^ dx

en daar dy = pdx

heefl men ^

_dx

(5).

d/t d/i

tiy (ly

Nu onderstelt men verder, dal ft van den vorm y ~ ^ is,

zijnde v een functie van x, dan is ^ — 1 cn — — — .
^ dy d.\\ dx\'

dan verkrijgen wij voor liet dilfercntiaal-quotiënt van (5)

len opzichte van y

dp „ 11 I „dh

Wanneer dus n <C 1, hetgeen plaats heefl als /i — O

1

dy

u is dus een factor van

dp

dy

ïcn einde dien faclor te vinden, dilTercnticcrt hij O;

dy

69

gesteld, dal dil geeft:

dy — qdx.

Hieraan moei voldoen. Daar n ook tevens aan dy zz: pdx
(iioel voldoen, erlangen wij op dezelfde wijze als boven,
dat /i tc gelijk een factor moei zijn van p — q — O en

van ^=0. Wij kunnen hieruit ^ bepalen.

d7

Lapl.4CE geeft hierbij het voorbeeld:

, — xdx , .
dy =--- hiervan is

y-l/x\'-fy^-a\'

 - ]/x\' -f- y\' - a\'.

dp
dy

y _ a\'[y\' - a= - y VlTff
en p — q =-

4y -

Men ziel, dal ]/ x\' y" — de eenige gemeene faclor
is; hel is dus een singuliere oplossing cn de eenigsle.
Lai\'lace neemt hierbij de eigenschap van den inlegrcercn-
den faclor aan; wij hebben echter in (§ 4 11. 11) doen
uitkomen, dal de iniegreerende faclor alleen dan oneindig
grool wordt, wanneer dc cocfficiënlcn in dc vergelijking
geheele vormen zijn.
In zijne verhandeling zegt hij, dal men op dezelfde

wijze zal vinden, dal^^ = 0 moet zijn; hij bedoelt hier

dx

cchlcr zeker ——O hetgeen uil hel voorgaande gemak-

d-
_P
dx

70

kelijk is af te leiden. Houtain geeft de theorie van La-
place vereenigd met die van Legendre i).

Hij geeft de theorie in de volgende drie stellingen:

I. Men verkrijgl al de singuliere oplossingen van een
difTerenliaal-vergelijking van de eersle orde met twee ver-
anderlijken, wanneer van de oplossingen, die men ver-
krijgt door de eliminatie van p tusschen de differentiaal-

elf

vergelijking f(x , y , p) r= O en de vergelijkingen — = O,

•^=00,^1=00, diegene neeml, welke de differen-
tiaal-vergelijking voldoen en niel in de algemeene inte-
graal begrepen zijn.

II. Welke ook de vorm van de differentiaal-vergelijking
zij, de singuliere oplossingen zullen altijd dezelfde zijn.

IIL Men kan een differenliaal-vergelijking, welke een
algehraïschen vorm heeft, allijd ondereen zoodanigen vorm
brengen, dal de singuliere oplossingen alleen door het
df

kenmerk — r=r O uil de differenliaal-vergelijking zijn af
te leiden.

Yan de eerste stelling geell hij drie bewijzen. hel
eersle bewijs is algemeen, de Iwee laatsten alleen van
toepassing als dc differenliaal-vergelijking een algehraïschen
vorm heeft. De twee laatste bewijzen geeft hij ook ieder
voor de twee gevallen, dal de vergelijking is onder de
vormen F(x , y , p) — 0 en p = F(x . y).

Ten einde niel al le uitvoerig te worden hebben wij
die bewijzen niel medegedeeld. De stellingen hebben wij
alleen medegedeeld als een bevestiging van hel voorgaande.

Dc tweede stelling is ook een noodzakelijk gevolg van
de tweede stelling van (y § 2 11. 11).

1)\'Memoires de I\'aeademie des scieiires dc Paris. 1812.

71

d r df

Wij hebben dus deze drie keninerken — = 0, — = 00,

dp dx

dl\'

— =: 00.

dy

llel kenmerk van Lagrange is op de wijze in hel eind
van (|5) te geven in de beide laalsle le herleiden.
Oplossing van Boole.
Bij den weg, dien Boole volgl, om de singuliere op-
lossing uil de dilTerenliaal-vergelijking af le leiden steil
hij zich ook de difTerentiaal-vergelijking voor, onder den

dv

vorm — —

\'m (6)......y=:f(x,a)

de algemeene inlegraal, dan verkrijgen wij de dilTeren-
liaal-vergelijking door a uil (6) in
.....

te subslilueeren, zoodat men verkrijgt

(8).....pz=:9(x,y).

Verder hebben wij

dp _dp da

dy da dy

dy dxda \' da\'

dp _ d , dy

dy dx da■
Op dezelfde wijze vindl men:

dx Vp^ — dy da
Dc vraag is nu, wal de waarde van de diflercntiaal-

quotiënlcn is, wanneer-^ —O cn O is, dus de

logarilhmen van deze functies oneindig grool zijn.

72

d , dy , r • . logTü(x-4-h,a)—logv/(x ,a)

— log ~ = de limiet van —^—-^,

dx ® da h

als h tol nul nadert.

Wanneer T/;(x,a) gelijk nul is, moeten x en a tegelijk
veranderen, opdat de waarde nul blijve; verandert dus
X alleen, dan blijtl de functie niet nul; dus logv;(x-|-
h , a) niet gelijk oo maar wel y>(x , a); de geheele waarde
blijft dus oneindig groot; daar dus bij een singuliere

oplossing of^=:0 of

da da

heeft, moet er ook altijd of aan ^

J

of aan beide vergelijkingen voldaan worden.
Omgekeerd is hel echler niel zeker, dal iedere ver-

gelijking die ^^ ^ oneindig grool maakl, een sin-
guliere oplossing is.

Boole trachl aan le toonen, dat behoudens enkele
uilzonderingen de gevonden kenmerken zekerheid geven;
in hoeverre dil beweren gegrond is, zullen wij in een
der volgende § § onderzoeken. Zooals wij zien, komen
Boole en Laplace lol dezelfde kenmerken.

De kenmerken van Boole onderscheiden zich in zoo-
verre gunstig van hel kenmerk van Lagrange, dat zij

dv (lx

berusten op de beide kenmerkenO cn = O,

da da

welke beide kenmerken, zooals wij gezien hehhen, alle
oplossingen in zich bevallen.
Lagrange heeft ook nog oj) de volgende wijze twee

73

andere kenmerken afgeleid, die bijna geheel met die van
Boole overeenkomen.

In § 1 van dil hoofdsliik hadden wij de differenliaal-
vergelijking onder den vorm

F(x , y , 9) = 0.
Lossen wij hier p uil op, zoodal p — — f(x , y) is, en
subslilueeren wij deze in de vergelijking zelf, dan ver-
krijgen wij een idenlieke vergelijking; de verschillende
parlieele differenlialcn moeien dus verdwijnen. Wij vin-
den dus:

dx-^dqp dx d(p dp dx

dF , dF dq) dF d(p dp ^

cn -j—h-r^—T"!^

dy dqp dy dqo dp dy

llieruil vindl men:

dp_ dx d^ dx dp_ dy \' dqp dy

dx dF \' dy dF dqp

dqp dp dqp dp

daar nu hij singuliere oplossingen ^ — 0 is, zoo wor-

dqp

den dan

dp dp

—cc cn cc.

dx dy

dl

Volgens Boole zoude -r^—cc moeien zijn, maar daar

dx

d-

-7^=--^ is, zoo komen dc kenmerken als p zelf

dx p\' dx \'

niel gelijk niil is, overeen.

Oplossing van Tlmmehmans.

Ti.M.MEii.MANS heefl uil dc verschillende worlels der dif-

74

ferentiaal-vergelijking len opzichle van p een weg gevon-
den, om dc singuliere oplossingen uit de differentiaal-
vergelijking af le leiden.

Zij f(x,y,p) —O

een differenliaal-vergelijking van de eersle orde mei Iwee
veranderlijken; wij onderstellen den vorm algebraïsch;
zij /tt de hoogste macht van p. Zijn nu p,, Ps, Ps... P/<
de waarden van p, dan kan men de differenliaal-verge-
lijking schrijven onder den vorm:

(P — P.) (P — P=) (P — P3)----(P — Vf^) = 0.

De vergelijking

dp

onderstelt dus de gelijkheid van twee of meer wortels.

Is de waarde der wortels rationeel, dan geeft ^ z=Ode

dp

vergelijking der raakpunten van twee krommen van ver-
schillende soort.

(Jf

Komen er echter wortelvormen in voor, dan omval — = O

dp

ook de vergelijking der raakpunten van de krommen die
door een vergelijking verhonden zijn.

TiM.MER.MANS Icidt liicrujl den volgenden regel af:

Ten einde dc singuliere oplossingen Ic verkrijgen van ecn
differentiaal-vergelijking, die een algehraïschen vorm heeft,
moet men deze vergelijking icn-opzichte van p oplossen

Indien p geen w^orlel beval, is er geen singuliere op-
lossing; in hel legenovergestelde geval slclt men de func-
ties onder de worlelleekens gelijk nul, of ook dc func-
ties, die de wortels vermenigvuldigen; en indien deze
vergelijkingen aan dc waarde van p voldoen,«en niel aan
de algemeene integraal, dan zullen dil singuliere oplos-
singen zijn.

75

Daar sommige differenliaal-vergelijklngen van transcen-
dente functies algebraïsclie vormen zijn, zoo omvat deze
regel nog meer singuliere oplossingen dan de regel van
(§ 4, 11 11).

Voorbeeld.

De singuliere oplossingen le bepalen van dc dilTeren-
liaal-vergelijking

Dc algemeene inlegraal hiervan is:

a\' —2a ly-|-(ly)\'^ = x-|-y.

Hierop is dus de regel van (§ 4j3, H 11) niel van toe-
passing. Lossen wij de diflerenliaal-vergelijking len op-
dy

zichte van op, dan heefl men,
dx \'

dx y

§ 3. Criterium voor de singuliere oplossing.
Onderzoek van Timmehmans.

Zooals wij gezien hehben zijn hij een diflerenliaal-
vergelijking van algehraïschen vorm , dc oplossingen be-
grepen in dc vergelijkingen, die men vci\'kiijgl door dc
vormen onder hel woriclleekcn gelijk nid tc stellen of
ook door huimc lactorcn gelijk nul le stellen. De eerste
vci\'gelijkingcn zullen wij door «p zi: O aanduiden, de
tweede door xp=:0.

neschouwen wij eerst dc vergelijkingen ifi — 0. Wan.
neer zij aan dc dilTerenliaal-vergelijking voldoen, stellen zij
dc vergelijking voor van ccn kromme, die aan twee krom-
men raakt, waarvan zij dc vergelijkingen gelijk maken.

Zij p = 7r(x, y) Óen van dc vergelijkingen. Onlwikke-

76

len wij deze naar de opklimmende machten van ip dan
hehben wij

p = Ao -f A,v; -f Aji/r -f.....

Als 1/» —O hieraan voldoet, moet

dl/;

\\ -

Ao — — •

aip

Dit gesuhstitueerd geeft:

maar
dus

di/< = 1/; ^ [A, -f- h.xp -f ....] dx,

óip =r t//M dx

.dy

stellen.

Dilferentieeren wij nu , terwijl wij A« weder kortheids-
halve opnemen cn ook voor di/; steeds zijne waarde sub-
stitueercn, dan verkrijgen wij

dy

— = A„ -f A.v^-f-A.v/\'-f. ...
d\'y dA„ dA, dA.

d\'y _ d\'Ao

dx\' dx\'

Aan al deze opvolgende vergelijkingen voldoet V\'

deze vergelijking kan dus niets anders dan een particuliere
inlegraal zijn, daar zij geheel met p zz: y) samenvalt.

77

Onderzoeken wij nu de vergelijking qp —0. Noemen

wij fi de exponent van den wortel. Ontwikkelen wij p

1

volgens de opklimmende machten van qp/« dan heeft men:

I 3

p = 4-A\'^qp^-j-. ...
Opdat nu qpz=0 aan deze vergelijking voldoe, moet:

/dq[\'\\

O \'dgj

zijn, dus verkrijgt men:

daar echter

~/dqp\\ /dqri\'

.U j p U/j

Zoo is
of

als wij stellen

3

. i —

dincrentiecrcn wij nu p op dezelfde wijze als hoven, dan
vinden wij:

d\'v d.A dA j lA M\' dA ^ 2 A M\'

y — " -I--• ff" J- i_J__L i/ 4- £_i__L

(f) n q) ft

78

d^A\' 1 / Ov A\'M\'®

dx^ ~ dx^

dx\' dx\'-\'

qp zal aan deze vergelijkingen niet voldoen, wanneer
de \'exponent van qp in den noemer positief is.

qp zal dus mei een der krommen niet geheel samen-
vallen.

Of qp = O een singuliere oplossing is, hangt dus van
den exponent af

Indien de functie qp een geheele macht is van een
functie qp,, zoodat qp zz: qp*, dan is qp een singuliere oplos-
sing of een particuliere inlegraal al naarmate ^ > j/ of
/i < y. In het tweede geval komt de functie qp, huilen
hel worteltceken en is zoodoende een particuliere inlegraal.
Uil de gegeven ontwikkeling kan men ook den graad

if

van de raking der enveloppe bepalen Zoolang i— I<;— .

is hel differenliaal-quolicnl van de enveloppe en de geën-
veloppeerde kromme gelijk; is dan bij hct volgende quo-
tiënt i ^^ ^ —, dan zijn die quotiënten ongelijk en legt
de graad van raking tusschen

cn

ft - V — p

Wanneer een dllTerentiaal-vergelijking f(x\', y , p) z=: O

ccn algehraïschen vorm heeft, kan men haar algemeen
onder den volgenden vorm plaatsen

79

p = , y) , y) [«pCx . y)J\'^

en al de singuliere oplossingen zijn begrepen in de ver-
gelijking cpz=0; difterenlieeren wij nu len opzichle van
X en y dan hebben wij de parlieele diflerenliaal-quolienlen :

- dxp v 7f/(x , v)

. y).

- dt/. , j>(\\ , y) d(j.

J dy^^

b(-v.y)J

—»

qp(x - y)

v— v

deze waarden worden door (p = 0 Iegelijk nul; indien tf

alleen een funclie van x is, is

rz: co cvenzoo is alleen zr: oo, als cp alleen een
dx dy

funclie van v is, en worden cchlcrniel alleen voor
^ dx dy

(f — O oneindig.

De dilTerenliaal-vergelijking kunnen wij ook onder den
volgenden algemeenen vorm plaalsen:

f tp - 3((x . y)]\'* - 1 v.(x , y)]\'* [^(x , = O
hieruit vindt men:

df" r / m"-\'

80

df

Voor cp = 0 wordt p — dus dan is — = 0.

llouTAiN wil uit de theorie van Timmermans nog het

kenmerk van Lagrange afleiden, dal

Wanneer wij namenlijk uil p het tweede dilferentiaal-
quoliënt afleiden, vinden wij:

dx\' dx^dyP^
, y)]

ft—V

, y) J r

en indien wij voor p zijn waarde plaatsen en alles tol
denzclfden noemer brengen krijgen wij:

ï) (dl) • i\') è) \' y) • A

, y)
bK^. y)]

ft — v

Opdat voor qp = O de teller nul worde moeien on

Cly) \' ^^ ^

noch y in de singuliere oplossing voorkomen.

§ 4. Onderzoek naar de verschillende
ken merken.

Wij zullen Irachlcn omlrenl dc gevondene kenmerken
/lc volgende twee vragen tc beantwoorden.

«. In hoeverre kan men verwachten, dat dc vertje-

81

lijkingen, die men door middel van de kenmerken vindl,
aan de differentiaal-vergelijking zullen voldoen.

I?. Zullen de vergelijkingen, die men door de kenmer-
ken vindt, en die aan de differentiaalvergelijking vol-
doen, singuliere oplossingen zijn.

a. DE MorCxAN 1) heeft getracht aan te toonen, dal de

vergehjkingen, die ^^^ ^ oneindig groot maken, of

aan de diiferentiaal-vergehjking voldoen of de meetkundige
plaats aanduiden van de punten, waarvan de kromming
oneindig grool is.

Zij de differentiaal-vergelijking
p = f(.\\-, y)

. df

dan vmdl men uil

dx

d=f

dx^ dxdv

df

OC en co,

dy

d\'f d-f
dxdy dy\' ^

of

dx"

(••\').....nïï- =

dxdy dy^

Dinbrcntieert men dc dillcrenliaal-vcrgclIjking /.elf, dan
verkrijgt men:

.....

. df

P —

iL

dy

l) Trniisftrtion» of the (;nn)bridKe l\'hilosoiihicnl Society vol. IX. pnrt. 2.

G

82

df

Wanneer p\' verdwijnt len opzichle van —, heigeen

plaals heeft als p\' eindig is, dan is
L df

dx

Ij ™.....

dy

en dan zal dus de waarde van p uil (9) de differenliaal-
vergelijking voldoen, daar p in (11) onbepaald is en men
dus door middel van (9) de waarde kan bepalen.

Verdwijnt daarentegen p\' niel, dan kan dil niot anders
dan wanneer p\' oneindig grool is en dus, wanneer dc
gevonden vergelijking de meetkundige plaals van de pun-
ten van oneindige kromming voorstelt.

liet kan daarbij ook voorkomen, dat p\', hoewel oncin-

df , df ,
dig grool, toch len aanzien van -r- ol verdwi nl en

dx dy

dal dus de vergelijking le gelijker tijd een enveloppe voor-
stelt en levens dc punten van oneindige kromming.

ÜARnoux \') maakl in eene mededeeling over hel op-
pervlak, waarin de middelpunlen van kromming van ccn
♦ algebraïsch oppervlak liggen de volgende opmerking:
Wanneer wij ecn dilTcrcnliaal-vcrgclijking beschouwen
bijv. van den tweeden graad van p

Ap\' I5p-|-Gr=:0
waarin A, 13 en C, functiën van x cn y zijn, dan neeml
men in hel algemeen aan, dat de kromme, voorgesteld
door deze vergelijking, een enveloppe hccl\'l en dal deze
enveloppe gegeven wordl door dc vergelijking:
U 15- — 4AC l).

.luist hel tegenovergestelde heeft plaals; in hel alge-
*

Ij Comptcs rciidus dc l\'Acad. des Sclcnees. Tomo LXX, i)ag. 1331.

83

meen liebben de krommen geen enveloppe en de kromme
R = O is de plaats van de keerpunten.

Indien de krouimen een enveloppe hadden, moest de
vergelijking R = O de diiïerentiual-vergelijking voldoen,
dus hebben wij de vergelijkingen:

dx "^dy dx— " dx"~~ 2A

of

^__

dx 2A dy —
Deze laatste vergelijking moet voldaan worden cn daar

R en ^ onafhankelijk van elkaar zijn, zal dat meestcn-

tijds niet plaats hebben.

Tegen deze bewering geeft Catalan eenige voor-
beelden dal R — O wel dc enveloppe voorslcli, zooals hij
dc vcrg(

^^ {^y y= 2) 2y\' -1-1 O

cn

DARnoux 2) heefl daarop zijne stelling nog algcmcencr
bewezen

Zij namelijk gegeven dc dilfeicnliaal-vcrgelijking:

f(x,y. p) —0.
Nemen wij hiervan hel dilTercntiaal-quolient ten opzichte
van p, dan neemt men algemeen aan, dat, wanneer men
lusschcn dil dilfercntiaal-quotiënt gelijk nul gesteld cn
tusschen de dliïcrcntiaal-vcrgclijking p elimineert men
dan een singuliere oplossing zal hebben.

1) C. K. Tomp. LXXl, pag 5U.
ü) (;. W. Tomu LXXl. png 2C7.

n*

84

Hieruit volgt, dat wanneer men uit de differentiaal-
vergelijking [) oplost ea uil de singuliere oplossing y;
dal dan p hel differcnliaal-quolienl moet zijn van y. Het-
geen in hel algemeen niel zal plaats hebben, daar de sa-
menstelling van X in de differenliaal-vergelijking geheel
willekeurig is, en men in de formule een constante door
een functfc van x kan vervangen, zonder dal er iets ver-
anderd wordl , daar de differenliaal-vergelijking niel len
opzichle van x gedifferenleerd wordl.

Uil deze opmerkingen en van de Morgan en van Dar-
Boux blijkt dus, dat omtrent de gestelde vraag niets met
zekerheid is te zeggen; wij kunnen dus alleen de waar-
schijnlijkheid bespreken van de gevallen, die voor kun-
nen komen. De Mohgan en Darhoux behandelen le sa-
men die drie kenmerken, die wij hebben gevonden

iP

dx

moeien voegen

di
P

Mansion \') behandelde in een verhandeling over de
singuliere oplossingen van de differenliaal-vcrgelijkingen
van de eerste orde dezelfde vragen als de Moiigan cu
Daimioux, en koml daarhij lol geheel andere resultaten.
Tegen de Morgan maakl hij dc gegronde aanmerkingen,

ir (J r

dal uil (10) blijkt dal, wanneer oneindig groot

zijn, p\' ook oneindig grool is, dus dal hel geval, dal p\'
oneindig grool is, meestal zal voorkomen ; bovendien zijn

de (liffcrcnliaal-tpiolicnlcn van cn •■j^, zooiiLs de .Mor-
f

1) Bulletins (le 1\'Acnaeinic de Bnix. 187-\'. \'I\'onie Sl.

85

GAN zc geeft, verkeerd, maar moeten zijn;

/clf\\-T dï

0 en — 1

dy/ Ldxdy dy\'\'
Welke vergelijkingen ten gevolge van liet oneindig zijn

^ cn ^ Sßl\'j\'^ "\'d \'"\'\'\'ar niets geen zekerheid

geven, dat dc andere factoren dit zijn. Mansion heelt
daarom een uitvoerig onderzoek ingesteld omtrent deze

. dx- dxdy

Gegeven zijnde een serie van krommen voorgesteld
door dc vergelijking

g.(x, y, a) = O of F(x, a),
ten eerste te zoeken dc envelo|)|)e van deze krommen cn
ten tweede de meetkundige plaats van de punten waar
de kromming oneindig groot is.

Dc vergelijking van de enveloppe van de krommen
voorgesteld door «p(x, y, a) = 0 vindt men door a tc eli-
minceren tusschen

d7) (hp
da dx

cn tusschen

(hii dra
O cn -r^ : = 0.
da dy

Dc jilaats van dc punten, waar dc kromming oneindig
groot is, vindt men door a tc eliiuinccrcn tusschen

A /dV I -V d\'ip , (l\'cp ,v df

(V = O cn -t-7 2 -r-1- P P )
^ \\dx\'~ d.\\dy \' ^dy\'\' / dy

cn tusschen

^dy\'"^ dxdvp dx" pV " dx

oo

dy\' \' " dxdy p \' dx-p
Hieruit ziet men dadelijk, dat, indien men heell:

86

men dan in \'l algetneen een oplossing zal hebben van hel
eersle vraagstuk, welke echter niel hel tweede vraagstuk
zal voldoen; daarentegen, wanneer wij hebben

dx dy

dat dan hel tweede vraagstuk opgelost kan zijn.

In hel algemeen zullen die twee oplossingen niet sa-
menvallen.

Daar

dqp
"ck

p —

dqp

dV

-f-^TrJr.P xrcP

dp_ ,_ dx" \' dxdy\' dy

dx ^

dy

dus p\'=:0, wanneer ~ oneindig grool is. Wij zien

dus, dal hel kan voorkomen, dal de enveloppe samen-
valt mcl dc plaats der buigpunlcn; daar in die punten
p\'i=0 moet zijn i).
Indien wij den tweeden vorm onderzoeken:

(12)...........y=:F(x,a),

dan kan men hel eerste vraagstuk oplossen door a lc
elimineeren lusschen (12) en

da

Ten einde het tweede vraagstuk op tc lossen, moet
men a climinecrcn tusschen (12) cn

1) Zie Lobatto, Diff. en Intcgr. Deel I, png. 128.

87

rjx"^

Uil (12) leicil luen dc dineienliaal-vergelijking ai\', door
a le elimineeren lusschcn (12) en
dF

(13)........i)=:-j-=F\'(x,a).

Zij (M).....y — f(x , p) de diHercnliaal-vergclijking.

Als men lui (p) uil (13) in (14) siihsliluecrl, dan
heefl men:

(15 ).....y = f{x,F\'(x,a)) —F(x,a).

Hij ccnc singuliere oplossing kunnen wij a vervangen
door ccn funclie van x bijv. 3((x) dan is:

(16 )........y = f{x,F\'(x,3((x))}.

Dilfercnliccrl men nu (15) cn (1(5) cn nooml mcu

dc (lincrenliaal-quoliënicn p on [),, dan is:

dx"\'"dF\' dx~\'"dF dx dx

en

df , df dF\'

\' dx^dF\' dx
In dc punlcn, die dc Iwcc kiommcn gcmcon hehhen,
zijn X cn y dczcHdc en is ook a=r*(x), dus dan is:

df dF\' dx

.......=

Voor ccn singuliere oplossing mocl dus:
df dF\' ^ ..

Dil kan zijn, len ccrslc Icngevolge dal:

df „ dy ^ . dp

-TTT, of -r^ir: O of is;

db\' dp dy

dF\'

wanneer mei levens cc; men zal dus een smgu-

dx

88

Here oplossing kunnen verkrijgon, wanneer ujen p elimi-
neert tusschen ^ = co en (14).

dF\'

Wanneer dan ook tevens — niet oneindig groot is,

komt dit overeen met het kenmerk van Lagrange, want
dan is:

df

R = P = ^ en daar

df , df ,
P^d-i djP

zoo is:

P —

dp

dus

Door middel van deze vergelijking van Lagrange ziel
men dan ook levens, dal p\' = c«o is, wanneer p niet

df . df ^ . df
gehjk — is en wanneer-r-^rO is of-r-
® dx dp dx

. In deze gevallen kan dus de kromming oneindig grool zijn.

dF\'

Is = co dan zal er ook een singuliere oplossing

:oo.

kunnen zijn, wanneer

lim. -^iX

dp dx

Is dit produkt verschillend van nul, dan is er geen

dF\'

singuliere oplossing. Is — of p\'

een singuliere oplossing zijn, maar daar p dan niel gelijk

(ir

aan^j- is, is de vergelijking van Lagrange niel voldaan,

89

en de enveloppe is dun levens de meelKundige pluals van
singuliere punlen.

Lagrange Icidl zijn kenmerk ook alleen uil de verge-
dF

lijking — Ü af. Wij hebben reeds vroeger opgemerkl,

U X.

dal hij daardoor niel alle rechtlijnige enveloppes in zijne
beschouwing opneemt.

liet produkt X ~ kan ten tweede ook nul zijn

dF\'

wanneer — = 0 is; dan heeft de enveloppe een ra-
dx

king van de tweede orde met dc omhulde kromme; wanl
de vergelijking der enveloppe is:

y = F(x,x(x))

dus

_ dF dF dx

— dx dx dx

r , dF , (IF ^
of daar -r— of -r-—O, zoo is
dx da

dF

P =

dus

, d=F , (PF dx , dF\'

\'•^d^-^dïïdiik^" icn gevolge van ^

. d\'F

\' — dx\'

Uit (lil onderzoek zou men dus kunnen alleidcn, dal
in hel algemeen dc eliminatie van p tusschen zir oo cn

^ —co aanleiding geell lol singuliere oplossingen cn

slechts hij uitzondering lol de meetkundige plaals der pun-
len , waar dc kromming y oneindig groot is.

90

Dahboux laai dus in zijne beschouwingen, daar hij
d f

alleen hel kenmerk —i=: O opneemt, ook vele rechllij-
nige enveloppes builen behandeling.

Wij kunnen uit dit alles besluiten, dat wij niet met
zekerheid kunnen bepalen, ol\' men iticl dc bekende ken-
merken de singuliere oplos.^ingen kan verkrijgen.

Omtrent het kenmerk van Lagisangh is gebleken, dal
dit niet voor alle singuliere oplossingen van kracht is.

Laghange beschouwt bij zijne theorie ook slechts een
contact van de eerste orde. Hclgcen ook blijkt uil dc
meetkundige beteekenis, die hij aan dc singuliere oplos-
singen geeft. Wij gaven in (§ 4 « II. II.) de volgende
bepaling, die wij aan hem ontleend hehhen: men kan dus
die verschillende krommen beschouwen als een enkele
kromme met ccn oneindig aantal lakken, die onderling
verbonden zijn door dezelfde vergelijking. Dus in ieder
punt van de rakende kromme zijn twee lakken, die de-
zelfde raaklijn hebben, de eene is dc rakende kromme
zelf, de andere de kromme, die in dal punt raakt. La-
grange zegt verder in zijne theorie, dal aan iedere

dy d\'y

waarde van nu een dubbele waarde van -r%nioclbc-
dx dx\'

d\'v

antwoorden cn dat dus -r-i ecu onbepaalde waarde mocl

dx\'

d\'v

hebben, dus -r4;zzr0.

dx\'

op dezelfde wijze als bij dubbele punlcn
^ _ O
dx — O

mocl zijn.

f

1) Otuvrcs de Ii. pnr Serrct. Tome IV. page 39.

91

Men kan zich echlcr enveioppes denken, die niel de
oinhukie een raking van de n-de orde liebhen, dc voor-
waarden daarvoor zou men kunnen vinden, wanneer men
de vergelijking (17) dilTercnliecrl.

Voordat wij tot de volgende vraag overgaan moeten
wij eerst nog eeno verhandeling van Darhoux i) vermelden,
waar hij eene opmerking maakt, die dc geheele theorie
der singuliere oplossingen nog onzekerder maakt.

Nadat hij nog eens dc kenmerken van Lagrange heeft
afgeleid cn hcpaald, dat dc eliminatie tusschen

tir

r(x,y,p)=:0 en = 0 (zie § 1)

en tusschen

df ^ df , df

Oen ;^P ;Ï- = Ü

dp dy \' \' dx

dezelfde moet zijn, cn daarbij erkent, dat dc singuliere
oplossingen waarbij p en p\'rzzoo zijn, daarbij niet zijn
opgenomen, maakt hij de opmerking, dat men verkeerd
doet, om van alle dincrcniiaal-vcrgclijkingcn aan Ie ne-
men, dat zij integralen hebben, die over hct geheele
vlak continu zijn.

Voorzeker is hot waar, dal dil niet allijd hct geval is;
maar men zal mijns inziens loch hij het afleiden van dc
singuliere oplossing uil de dilfcrcntiaal-vcrgclijking die
hypothese omtrent de algemeene inlegraal moeien stellen,
want daar dc singuliere oplossing niet dc algemeene in-
tegraal samenhangt, moet men hij hel nagaan van dc
kenmerken allijd aannemen, dal er zulk eene algemeene
integraal is.

(i,. Onderzoek van Hogle.

iMel dc tweede vraag houdt voornamelijk IIoole zich

1) Diilktin (les aciciiccs innth. cl nstr. lome IV.

92

bezig. Dal onderzoek is verdeeld in zijne trealise on diff.
equations en in hel supplement daarop, waardoor het
geen goed geheel is geworden.

Wanneer rnen kan bewijzen, dal een particuliere inle-
graal nooit aanleiding kan geven, dal ^ = 00 wordt,
zou daaruit volgen, dat alle oplossingen van dc dilFc-
renliaal-vergelijking, die ^zzz 00 maken, singuliere op-
lossingen zijn.

Boole i) heeft maar getracht aan te toonen, dat dc

particuliere integralen, die = O maken, nooil ^ on-
\' ® \' dx dy

eindig grool kunnen maken.

dv

Gesteld, dal -p = y){x, a) is cn dal deze voor een con-
da

slanle waarde van a nul wordt, dan zal deze lunclic voor
ccn verandering van x steeds dezelfde waarde nul behou-
den, dus in de vergelijking.

lim \'Qg "P^^ h , a) — log , a)
dy h

zijn beide de functies t//(x-|-b,a) cn »//(x,a) nul, dus
dc logarilhmcn cr van —00; dc twee Icrmcn vernietigen
elkaar, dc limiet is dus nul. Boole 2) heeft cchlcr ccn
voorbeeld gegeven, waarbij dc redeneering niet doorgaal;

wanneer namelijk t/;(x , a) van den vorm e\'\'^®^\'*\'^*is,
waarin (p(a) voor ccn waarde van a oneindig grool wordt,
dan is

^_«j)(a){vj(x -}- h, a) — i/j(x , a)}

dy h

1)\'Supplement pnft. 14.

2) Treatise pag. 159.

93

en daar (p(a) niet verandert, wordt die limiet wel dege-
lijk oneindig grool. Daarbij vergeet hij geheel die par-

dv

ticuliere integralen, die -p niet gelijk nul maken, maar

da

toch samenvallen mei een inlegraal, die ontslaat, als men
voor a een i\'unclie van x substitueert, zooals:
y z=a(a — x)".
Voor a = ü en a — x verkrijgt men dezcU\'de integraal

y — O en maakl ^ — oo, en toch noemt men y =r O geen

singuliere oplossing.

Uit deze feilen blijkl al voldoende, dat hel niet moge-
lijk is, vooruil mei zekerheid te bepalen, of de oplossing
singulier, dan wel particulier zal zijn.

llooLK hcprocll echler ook omgekeerd le bepalen, welke
vormen aanleiding kunnen geven tol het oneindig wor-
den van

dy

Ilij hcschouwt daartoe dc vergelijking
!!£—Aio-riy.

dy ~ dx " da

en leidl uil hel oneindig worden van hel tweede lid hel

oneindig worden van het eerste al. Wij worden daardooi-

dus tcruggcbrachl lot dc beschouwing van dc kenmoi-kcn

dy dx
-p cn -p-
da da

Ten ccrslc, zegt hij, kan die vorm oneindig grool
worden ten gevolge van ccn liuiclic onariiankclijk vana,

(lus een liinclic van x, maar, omdat ^ alleen lol oplos-

dy \'

singen met y kan leiden, zoo moet men dil geval maar

overslaan; op hel ongerijmde van deze rcdcnoering is de

aanmerking gemaakt, dat men juisl nu van die functiën

94

van x mocl zien, wat voor een oplossing dit is. Boole
verbetert dit dan ook eenigszins door te beweren, dat,
daar het eene oplossing is van x, men het kenmerk

di

moet onderzoeken, omdat daarmede alleen oplossin-
gen met X kunnen gevonden worden. Illj kan hieruit dus
alleen maar afleiden, dal men beide kenmerken moet
onderzoeken, omdat dan alle singuliere oplossingen le
verkrijgen zijn, maar hieruit blijki nog niel, dal alle
oplossingen singulier zullen zijn.

ICvenzoo kan hel tweede lid oneindig grool worden
voor een functie van a en x dus als a = f(x) is. Dil
geefl ook volstrekt geen zekerheid, dat wij met ecn sin-
guliere oplossing le doen hebben.

Eindelijk koml hij lol hel geval, dal het tweede lid
oneindig grool kan worden tengevolge van een constanlc
waarde van a, en hij leidl hier zelfs een bijzonder soort
van singuliere oplossingen uil af.

Hij stelt dan ^ log ^ = (^(a) i/»(x, a),

da

dus log i//(x , a) dx — i/;(x , a)dx.

<r(«) . n)

Hierin wordl (jp(a) voor ccn bepaalde waarde van
a = — oo. Wij kunnen (18) ook eenvoudiger schrijven

op deze wijze

.......

verdwijnl dus voor a

da

die zelfde a ccn eindige waarde heeft.

95

Uil (19) vinden wij:

Zien wij nu, wal voor een lijn deze vergelijking voor-
slell, lerwijl a=: —oo is.

Nemen wij x zoo, dal > a) sleeds posilief is,\' dan
is allijd y =: F(x). Zoodra ecliler ^(x, a) =:O is; slel dal
dil plaals heefl voor x x^ dan is

cn zoodra door hel nulpunl heen aan den nega-

tieven kant is, verdwijnt hel hcschrijvendc pnnl in hct
oneindige Is daarentegen a = oo, dan zal zoolang
3{(x,a) negatief is, y = F(x) zijn; deze tweede particu-
liere waarde sluit zich dus onmiddellijk aan de andere
particuliere waarde aan.

Voor dc positieve waarde van \' vcrdwijnl hct
punt weder in het oneindige. Voor dezelfde waarde x,
is ook

Deze y komt niel overeen met dc vorige, tenzij f(x,,a)
voor a — — CN5 of oo dezelfde waarde heeft; dan hch-
hcn dc heide particuliere integralen een punt gemeen,
anders niet.

Kr hcstaal dus niel dc minste reden om dit singuliere
oplossingen le noemen, hel zijn zuiver particuliere inle-
dv

gralcn; is alleen maar nul, zoolang als a;((x, a)
da

— oo IS.

Gaan wij nog dc voorhceldcn na, die Moolk geeft.

P y _ qHX.

Voor a — oo cn x positief is y ~ O, dus deze par-
ticuliere waarde valt mcl dc positieve x-as samen; voor
X negatief is y=:oo. Wanneer n — -{-oo, is y O

96

zoolang als x negatief is, dus dan wordt deze particu-
liere inlegraal door de negatieve x-as voorgesteld; wordt
x positief dan is y = oo.

Voor x=:0 is in beide y=:0, dus in hel punt
(x—0,y=0) vallen de heide particuliere integralen
samen.

2® y^c"-"\'

Dil is geheel hetzelfde voorbeeld als hel eerste, als men
X — aizzx\' stelt, dan is:

ï = e"\'

Wij verplaatsen dus de geheele voorgaande constructie
tol in hel oneindige, waar wij ons hij het al verder en
verder wegdenken van den oorsprong, toch nog de voor-
gaande twee particuliere integralen kunnen voorstellen.

Ilel onderzoek van IJoole geefl ons dus geen zeker-
heid, dal de oplossingen, die wij door^ = <^ verkrij-
gen, singulier zijn; integendeel hel kan voorkomen, dal
zij particulier zijn. Dc bijzondere verdeeling van non
envelope en cnvelope species of singular solulions kan
geheel achlervvcge gelaten worden. Kr zijn niet anders
dan singuliere oplossingen, die levens enveloppes zijn;
wij kunnen immers gcenc andere singuliere oplossingen
verkrijgen, dan door een veranderlijke conslanlc cn die ver-
anderlijke constante geeft in de graphische voorstelling,
of eon reeks van snijpunten, of enkele, of gcenc; die reeks
van snijpunten hebben wij leeren kennen als dc graphi-
sche voorstelling van dc singuliere oplossingen; dc voor-
waarde, dal daarbij steeds hel difrercntiaal-quoticnt het-
zelfde is, maakl dal die reeks van snijpunlcn een kromme
lijn voorstelt, die dc opeenvolgende krouune lijnen raakl
cn deze noemen wij de enveloppe.

97

Onderzoek van Zajacukowski \').
Zajacrkowski heeft getnichl aan tc toonen, dat de
oplossingen der dilfercntiaal-vergelijking, die aan de ken-
merken van Laplage

dp p

- = <X3 en — oo.
dy dx

voldoen, altijd singulier zijn.

Kcnigszins gewijzigd toont hij dit op dc volgende

wijze aan.

Wij hchhen gevonden (zie § 5/3 II II) dal, indien ^w z= O
een singuliere oplossing is, in volgens dc opklim-
mende machten van /t, do laagste macht van kleiner
dan 1 moei zijn, dus dan moet

,dx

d-r- OC.
d/i

worden.

Wanneer dus Zajacrkowski hewijsl, dat een vorm
fi = 0, die dc dilferenliaal-vergelijking y) en

dv

ook tevens de vergelijking d = co voldocl, ook moei

dy

voldoen aan

dx

dan moet — O een singuliere oplossing zijn.

(I) *

Als dus u —O een vorm is, die-r^ izzoomaakt, dan is

dx

1) Grdnkrts Arcliiv 187-1 Thcil .50 Png. 175,

98

d/< _I ^ •

{S diiidi, partieele differenliaal-quoliënlen aan)

d/t ^
^ ~ óx

of p =

3y

waaruil volgl

dx (ïx/.ïy\'

dy

5y

Öy öyöxj^ 3y\' \\dx W

IJ UJ 1/

en daar — I t-=-—-

öy

zoo IS

dp

dy 3/u
Daar hel eersle lid voor

O oneindig grool wordl,
nioel dil mei hel Iweede ook hel geval zijn.
d ,

kan niel oneindig worden, omdal I — niel

<ïy dy

oneindig kan worden, daar niel gelijk nul kan zijn;

J

dil kan alleen gebeuren longcvolgc dal in /x, y niel voor-
koml cn zooaU wij zogen

dx

kan nooil nul zijn, dan len gevolge van een funclic van
X cn a of van ccn van beiden, helgeen gesubsliluecrd in
de algemeene inlegraal allijd ccne liuiclic mcl y geell.

99

v j

Daar dus d 1—^ niel oneindig kan zijn, moei 5-t^
Sy O j dx

dx d/i

oneindig grool zijn.

Wij iiebben dus liici\' een ziiivor kenmerk voor do ge-
vallen , dat ^ onlwikkelbaar is volgens de opklimmende

macblcn van fi. Uilgczonderd ccliler nog die gevallen,
waarin een singuliere oplossing cn een parliculicrc inlc-
giaal samenvallen , zooals bij dc vergelijking
y z= a(x — a)^
Dc vergelijking y = c" bccfl lol dillcrcnliaal-vergc-
lijking

Y^ogy

dx X

dil is niel onlwikkelbaar in dc opklimmende posilicve

macblcn van y, terwijl yr=0, in^co maakt. Dil is

dy

dus ccn negatieve bevestiging van den regel van Za.iach-
kowski.

§ 5. Ue sul laat afgeleid uil dc voorgaande
beschouwingen.

1\' Onder welken vorm ook de differentiaal vergelijking
gegeven is, allijd is hel mogelijk dc singuliere oplossin-
gen af lo leiden § 1 cn § 2.

2\' Hij hel afleiden van die oplossingen verkrijgt men
cchlcr tevens particuliere inlegralen. Die singuliere op-
lossingen cn parliculicrc inlegralen van elkander lc schei-
den is zonder de hulp van dc algemeene integraal slochls
mogelijk voor vergelijkingen, die gchrachl onder den vorm

f(x ,/i) ü, waarin fi = O ccn oplossing is, ont-

100 -

wikkelbaar zijn\' volgens de opklimmende positieve mach-
ten van fi. Hierin stemmen de onderzoekingen van La-
place (§ 5/5 11 11) en Timmermans § 3 volmaakt overeen.
Het onderzoek van Zajacrkowski heelt dal soort van

oplossingen ook tot de kenmerken ^ = co en d—= oc

dy p

terug gebracht (§ 4/?,).

3® Aangaande de vraag, of men in \'t geheel wel oplos-
singen zal verkrijgen door de verschillende kenmerken,
meenen wij voldoende bewijzen te hebben medegedeeld,
dat daaromtrent niets met zekerheid vooruit kan gezegd
worden. Integendeel dc opmerking van Darboux heelt
de resultaten nog onzekerder gemaakt. Deze heeft daar
over een nieuwen arbeid aangekondigd (§ 4«).

4® Ook meenen wij uit hel vorige te mogen besluilcn,
dal alle singuliere oplossingen een enveloppe voorstellen\'
en dat de bijzondere soort van Boole voor particuliere
inlegralen moet gehouden worden (§

S T Hl T^Xj ING- K IST.

1.

Voor (le llioorie ilei- singuliere oplossingen dient als
beginsel to worden aangenomen, dat iedere (lillbrenliaal-
vergelijking een algemeene integraal heell.

II.

De methode van don intogreeronden factor heeft meer
cn l)elangrijkcr resultaten opgeleverd dan eenige inte-
greer-methode.

III.

Do (h-aaiing, die oen rechte lijn nuuit ondergaan om
in de richting van een andere lijn to komen, is de hoek,
dien deze lijnen maken.

102

IV.

Dc methode om de verhouding van rechthoeken met
ongehjkc hoogten en gehjke basis te bepalen door deze
als dikke lijnen te beschouwen is af te keuren.

V.

De leer der Quaternions behoort meer toegepast te
worden. , i

VI.

Wiskunde is een uatuur-wetenschap.

VII.

De Ibeorio der capillairc-verschijnselen steunt op ver-
keerde gronden.

VIII.

De opstijging in een capillaii-c buis wordt veroorzaakt
door den benedeni\'and der buis.

IX.

Door do tbeoiie van Faijaday omtront de intluctio
van Klectricitcit komt men niet verder; zij is in wer-
kelijkheid dezelfde als de theorie van dc werking op
afstand.

103

X.

Wat Maxwell (Electricity and Magnetisme) bedoelt
met displacement of Electricity is zeer onduidelijk.

XI.

Ten om-echte antwoordt Lajik op de vraag of de
inwendige samenstelling der vaste lichamen altijd een
raadsel zal blijven: »Oui, si l\'on ne veut aduietti-o que
la matière pondérable, non, si Ion admet on outre
l\'existence de l\'éther."

XII.

De verklaring, die Crooke van den radiometer geeft
is in strijd met de ondulatie-theorie.

XIII.

Bij de nasjioring der ]ilaneten binnen de loopbaan
van Mercurius is vooral veel le verwachten van de
pbotogi-apbie.

XIV.

De theorie omtrent h(;t ontsUian der plaueten-wereld
wordt ten onrechte naar Laim.ace genoemd.

XV.

l)(ï jmjui.ste uitkomst van de theorie van Hermann,

104

omtrent de verbrandingswarmte van samengestelde stof-
fen, is geen bewijs tegen de constitutie-theorie.

XVI.

Het is gewaagd als algemeenen regel te stellen, dat
de natuur een afkeer heeft van zelfbevrucbting.

XVII.

Onjuist zijn de benamuigen Kiem cn Dojer.stok in do
vrouwelijke generatie organen der Plerelmia.

ERRATA.

c»

— lees ; — •

dz " di ■

Ti " Hï \'

„ \' ^T^T.

dv dy

da \' dx

«8 „ 4:?.

f(x,.V.I\') » f(x,.v,p)=0.

i\'i\'--1/-

^Vi—Tl - "

d_F

dy " ilx

2x(x  . 2x(iy .

x\'- \'1 X» — y\'dy „ x»—y» — y)dy.

2x(x  n 2x(xy .

ü— » x—.

1

d/9

d/ï . J/^

I/y — n , 41/y — II.

X — IU il/y — 11;, X — tn — tJ/y — n c= 0.

Iegelijk mil „ tegelijk oneindig.

d«y_p d«y_0
dx> "

- \'S

\\

^ V rtufiwt- -.•.•>.- . ■\'

\\î

- y

: S-

r

JWIii III" «III y ^ . * -

■ .v-.i"

"•V K

: ■ \'f- , • •

••/l-n;

. - .....

\' i ;

■

■N-«v \' - ■ ■

.■■A-ii-L-.:.\' ^

-..O.-il:;\'.

. • " r« ;--,

r

. < ■ l

■¹■ ^ > \\

.\'■■■■}. -. . Î -\'Trc^,

1 

g&P

mmmmrnrnm^^mm^^^m^i^^mMmmfi^

mm

»«S

»«»»iMiî»*»

ÄÄliMii

üÄ^Äi

pÄiSr

iÜÄÄÜIB