^t» ^^ f»» ^

ixn

S, JW 7

a;
mit

DE VERDEELING DER ELECTRICITEIT

OVER EEN

GELEIDEND BOLVORMIG SEGMENT.

/

•V- -.ç-f.

:i ■ i

••: /ä\' f

ZT/r

DE VEIIDEELING DER ELECTRICITEIT J ^ o

OVER EEN

GELEIDEND BOLVORMIG SEGMENT.

AMEMISCE PEOEFSCHEIF

NA MAGTIGING \'/AN DEN RECTOR MAGJJIFICUS

Dr. Th.. WilL EKGELMANN,

Hoogleeraar in de Medische Faculteit

MET TOESTEMMING VAN DEN ACADEMISCIIEN SENAAT

VOLGENS BESLUIT DER WIS- EN NATUURKUNDIGE FACULTEIT,
TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD

VAN

Doctor in de Wis- en Natuurkunde,

HOOGESCHOOL TE UTRECHT,

TE VERDEDIGEN

op MAANDAG 2 JULI 1877, des namiddags ten I ure,

DOOK

AMTOINE GALEKÜS JEAN KORBERT fRAITZEI,

GEBOREN TE GORIiNCUEM.

i^ibliotheik

SiUKSUNIVBm

n m ijnt n ^in^tt

EN

it nn^ïlütïftïui$ mijner Jlü^ÏtFr.

V - \'\' \' \'-V "•-rM

i

Bij het vertaten der Academie gevoel ik mij gedrongen U, Hoog-
leeraren in de Wis- en Natuurkundige faculteit, mijn opregien dank
Ie betuigen voor al hetgeen gij gedaan hebt tol bevordering mijner
I wetenschappelijke opleiding.

^ U, Hooggeleerde Grinwis , hoog geachte Promotor, dank ik in het

, bijzonder voor de bereidivilligheid, waarmede gij mij bij de vervaardiging

mijner dissertatie zijt behulpzaam geweest, alsmede voor het degelijk
onderrigt, dat ik zoo hier als elders van U heb mogen genieten, het-
• welk steeds bij mij in dankbare herinnering zal blijven.

h .

0 : V-

INHOUD.

Hoofdstuk I.

Overzigt der verschillende methoden.

A, Overzigt van het vraagslui<. Elementaire behandeling
door Beer en Green.

§ 1. Overzigt van liet vraagstuk.

§ 2. Bepaling van de betrekking tusschen de uit- en inwendige potentialen
en de potentiaal aan de oppervlakte van de over een bol willekeurig verdeelde
eleetriciteit.

§ .3. Methode van Beer.

§ 4. Methode van Green.

B. Methode van Thomson.

§ 5. Eleetrische digtheid op de cirkelplaat bij gewone verdeeling, afgeleid
uit de digtheid op de ellipsoïde. Potentiaal op de cirkelplaat en andere formule
voor de digtheid. Electrisch beeld van een gegeven massa-punt; dat van een
electrisch oppervlak. Betrekking tusschen de electrische digtheid in eenig
punt van een gegeven plat vlak of bol-oppervlak en de digtheid in het
overeenkomstige punt van het electrisch beeld. Bewijs daarvan voor den bol.
Potentiaal van het electrisch beeld. .Daaruit volgende verdeeling over het
electrisch beeld, alsof zijn oppervlak afgeleid ware en onderinfluentie-werking
stond. JN\'og andere forraulen voor de electrische digtheid op de cirkelplaat,
Digtheid op het electrisch beeld.

§ G. Electrische verdeeling over een geïsoleerd bolvormig segment, zonder
influentie. De verdeeling is in overeenstemming met de proeven van Earaday
en met de uitkomsten der methoden van Green en Beer,

§ 7. De verdeeling der electriciteit over een bolvormig segment en cirkel-
vormige plaat, die afgeleid en slechts onder den invloed zijn eener, in een
willekeurig punt O geconcentreerde, hoeveelheid electriciteit — q.

Bijzondere gevallen.

G. Methode van Lipschitz.

§ 8. Verdeeling der methode.

a. De electrische yerdeeling over eene afgeleide cirkelplaat.

§ 9. Formule voor de digtheid van de lading op een -willekeurig gesloten
oppervlak S, dat afgeleid is, geïnduceerd door de negatieve electriciteits-
eenheid, geconcentreerd in een vast punt O buiten S. Voor het geval dat S
eene afgeplatte omwentelings-eilipsoïde is, drukt men de regthoekige coör-
dinaten X, y en z , alsmede den omgekeerden afstand van twee punten

D en D\', uit in de elliptische <j , p., (p. a — ^ y — 1, waarin p alle waarden
van O tot oo kan verkrijgen, wordt bij den overgang van de ellipsoïde in
een cirkel aan de oppervlakte gelijk nul. Neumann\'s ontwikkeling van de

waarde van in eene reeks volgens de kogelfuncties van Laplace. Uitwendige

potentiaal en electrische digtheid der op de ellipsoïde geïnduceerde lading.

§ 10. Potentiaal en electrische digtheid van de lading over de afgeleide
cirkelplaat; overeenstemming van de waarde der digtheid met die, welke volgt
uit de digtheid op de ellipsoïde bij den overgang van deze in het cirkelvlak.
Neumann\'s ontwikkeling toegepast op de som van twee omgekeerde afstanden;
voor het geval dat het influencerende punt O ligt in de as van het cirkelvlak
vindt men gemakkelijk een eindigen vorm voor de potentiaal. Verdere
handelwijze van Lipschitz.

§ 11. Ook als C een gansch willekeurig punt is verkrijgt men, doch langs
een anderen weg, voor de potentiaal een eindigen vorm, die al de ver-
eischte eigenschappen bezit. Meetkundige beteekenis dezer potentiaal-functie.
Eindformule voor de electrische digtheid op de afgeleide cirkelplaat.

h. De electrische verdeeling over een toolvormig segment.

§ 12. Vaststelling der gegevens met betrekking tot het bolvormig segment
]?. Eigenschap van de te vinden potentiaal-functie V der geïnduceerde lading
Eormule voor de electrische digtheid. Electrische verdeeling ingeval het
influencerende punt O ligt in het middelpunt N des bols, en daaruit volgende
verdeeling eener gegevene hoeveelheid electriciteit Q over het geïsoleerde
segment, zonder influentie. Hoeveelheid electriciteit Qg der geïnduceerde lading
voor eene willekeurige ligging van O. Wiskundige stelling; kenmerk voor
de ligging van het overeenkomstige punt C\'.

§ 13. Hierin gaat men over tot het zoeken van V, en vindt daarvoor
verschillende vormen naar gelang van de ligging van het punt O en van het
punt O, waarin de potentiaal genomen moet worden. Hieronder is het geval,
dat het punt 0 met het middelpunt N zamenvalt, niet begrepen. Daarna
wordt de juistheid dezer vormen voor V aangetoond.

§ 14. Vormen voor de potentiaal ingeval het punt C ligt ia het middelpunt
N. Met betrekking tot de ligging, die het punt C alzoo hebben kan, vindt

II

men ook nog de waarden van V, als C een punt des bol-oppervlaks is, waarvan
liet gegeven segment F een deel uitmaakt, maar niet op P gelegen.
^ § 15. T)e electrische digtkeid op het afgeleide bolvormig segment F gevonden

uit de waarden der potentiaal.

§ 16. Grrenswaarde van het produkt van de electrische digtheid (die steeds
positief blijft en oneindig groot wordt aan den rand) in een punt O, zeer digt
bij den rand gelegen, met den vierkantswortel uit den afstand van O tot den
rand. Electrische digtheid voor het geval dat de punten C en N in elkaar
vallen. Waarden der geïnduceerde hoeveelheden electriciteit Q,, en Q^ , de
laatste wanneer het punt C met het middelpunt N zamenvalt, waardoor dan
ook de gewone verdeeling der hoeveelheid electriciteit Q bepaald is,

D. Methode van Kötteritzsch,

§ 17. Aard der methode. Overeenkomst tusschen de uitwendige potentiaal
van electrische massa\'s, gelegen binnen een gegeven bol-oppervlak, en de
uitwendige potentiaal der op dat oppervlak geheel willekeurig verdeelde
electriciteit. Uit- en inwendige potentiaal en electrische digtheid der lading, op
het afgeleide boi-oppervlak door genoemde vaste electrische massa\'s geïnduceerd.

§ 18, Gegevens met betrekking tot den vorm en het electrisch evenwigt
des geleiders. Aanneming van een polair coördinaten-stelsel, dat het middel-
^ punt O der schijf tot pool heeft, en waarvan de hoek 0 gerekend wordt van

af het naar het influencerend punt Q toegekeerde deel van de as der schijf.
Constructie van het electrisch beeld van de oppervlakte der schijf ten opzigte
van een bol-oppervlak, uit C als middelpunt beschreven met een straal a -<1 h,
de halve dikte der schijf. Aequivalent te verplaatsen electrische massa\'s.

§ 19. Hier heeft een gedurig aequivalent overbrengen plaats van electrische
massa\'s, gelegen binnen het oppervlak van het electrisch beeld van de opper-
vlakte der schijf, op dat beeldoppervlak, waarbij telkens het laatste gedeelte
van § 17 gebruikt wordt, en behalve het reeds vermelde polair coördinaten-
stelsel nog twee andere gebezigd worden, die de middelpunten der bol-opper-
vlakken, de electrische beelden van de beide evenwijdige grensvlakken der
schijf, respectievelijk tot polen hebben, en waarvan men de hoeken en
rekent van af de naar O toegekeerde deelen van de as der schijf. Uit de
alzoo verkregene waarden der digtheid op het electrisch beeld laat zich dan
verder de waarde der electrisclie digtheid op de schijf zelve afleiden.

XII

Hoofdstuk TI.

Vergelijking van de uitkomsten en .nadere gevolgtrekkingen
der methoden, en behandeling van de grensgevallen
(cirkelplaat en bol-oppervlak).

§ 20. Overeenstemming tusschen de uitkomsten der methoden van Beer
en Green. Electi\'ische digtheid op het gansche bol-oppervlak.

§ 21. Electrische digtheid op het afgeleide bolvormig segment, als het
influencerende punt C ligt in de as, hetzij binnen of buiten het bol-oppervlak,
uit Thomson\'s algemeene formule voor de digtheid. Van de omstandigheid ,
die plaats heeft, ingeval het punt C met het middelpunt M zamenvalt, wordt
gebruik gemaakt tot het bepalen der verdeeling eener willekeurige hoeveelheid
electriciteit over de beide zijden van een geïsoleerd bolvormig segment, zonder
influentie; electrische verdeeling over den ganschen bol en de cirkelplaat.
Afgeleide waarde der electrische digtheid , wanneer het punt C gelegen is op
het verlengde oppervlak van het segment. Electrische digtheid op het afgeleide
bol-oppervlak.

§ 22. Aanwijzing van het verband tusschen de formulen voor de electrische
digtheid van Thomson en Lipschitz , door die van den laatsten te herleiden
tot een vorm , die identisch ia met de som van de waarden der electrische
digtheid aan weerszijden van het segment; daarbij aangenomen hebbende, dat
het influencerende punt C in de as ligt. Overeenstemming tusschen de uit-
komsten, wanneer het punt C met het middelpunt zamenvalt; wanneer dat
punt zich bevindt op het verlengde oppervlak van het segment.

§ 23. Waarde der electrische digtheid op de met den grond verbondene
cirkelplaat, afgeleid uit die der digtheid op het bolvormig segment volgens
de methode van Lipschitz, in overeenstemming met de vroeger gevondene.
Bijzondere gevallen, waaruit weder de overeenstemming blijkt met de uitkomsten
volgens Thomson.

§ 24. Waarde der electrische digtheid op het met den grond verbondene
bol-oppervlak, afgeleid uit die der digtheid op het bolvormig segment volgens
de methode van Lipschitz.

§ 25. Overeenstemming van de door Lipschitz verkregene uitkomsten met
de benaderde oplossing van het vraagstuk door Green.

§ 26 Bepaling der electrische digtheid volgens de methode van Kötteritzsch ,
toegepast op het geval, dat de bolvormige schijf overgaat in den ganschen bol.

Slotwoord.

HOOFDSTCJK 1.

Overziet der verschillende methoden.

A. Overzigt van liet vraagstuk. Elementaire behandeling

door Beer en Grreen.

§ 1. Het onderwerp, waarover hier gehandeld wordt, betreft de
wijze, waarop de electriciteit in den evenwigtstoestand verdeeld is
over de oppervlakte eener geleidende schaal van oneindig kleine dikte,
die den vorm heeft van een bolvormig segment (hieronder ook de
cirkelvormige plaat en bol als grensgevallen gerekend), alsmede over
eene bolvormige schijf, waarvan de beide evenwijdige grensvlakken
aan elkaar gelijk zijn; hetzij de geleider geïsoleerd en, na eene zekere
lading ontvangen Ie hebben, buiten alle infliientiewefking- gesteld is,
zoodat er eene gewone electrische verdeeling plaats heeft; hetzij de
geleider door een oneindig dunnen draad mei den grond verbonden
en onder de influentie is van uil- of inwendige vaste electrische
massa\'s.

Verscheidene geleerden, Thomson, Lipschitz, Green, Beer, Kötte-
ritzsch hebben zich uitvoerig met dit vraagstuk bezig gehouden.

De methoden van Green en Beer zijn evenwel beperkt tot het
bijzonder geval dat de geleider een geïsoleerd bolvormig segment is,
dal zeer weinig van een bol verschilt; derhalve eene zeer dunne bol-
vormige schaal met eene kleine cirkelvormige opening. Beide hebben
hiertoe gebruik gemaakt van hel verband dat er bestaal tusschen de
uit- en inwendige potentialen en de potentiaal aan de oppervlakte van
de over een bol willekeurig verdeelde eleclriciteil.

§ 2. Laat van deze de veranderlijke digtheid q zijn, R de straal
van het boloppervlak, dan is de potentiaal van de lading in een punt

5

P binnen den bol, op den afstand r van het middelpunt M, den oor-
sprong der coördinaten

=  enz. . . . . (1)

waarin X^, Xj enz. functiën zijn van de beide andere polaire coördi-
naten ff en <p van het punt P.

In een buiten den bol gelegen punt P\', welks coördinaten zijn r\',
ff en (p, is

Vu = Xo-^--f-X, -^enz.....(2)

r r ^ r^

zoodat, als Vi = f(r) en Vu = F(r\'),

volgt

of .....0)

Noemt men n de normaal in eenig punt gerekend van de opper-
vlakte naar buiten, dan heeft men

= _ ")= dVi __ fl = f. (R) _ p. (R), . . (4)

dn dn dr dr\'

terwijl uit de eerste vergelijking (3) verkregen wordt

waaruit voor r = R aan de oppervlakte

F\'(R)= —r(R).......(5)

R

Door de tweede vergelijking (3) te diflferentieëren, vimit men evenzoo

fYR) = _ïffi_F\'(R);.....(Q)

waardoor (4-) na beurtelingsche substitutie van (5) en (6) verandert in

Laat de eenheid van electriciteit geconcentreerd zijn in een punt Q
buiten den bol op den afstand a van het middelpunt, U de potentiaal
dezer electriciteit in eenig punt P binnen den bol; dan zal, als deze
is afgeleid,

Vi ü = o.

Alsdan gaat de ecrsie vergelijking (7) over in

r. flÜ Ü

N^oernende nu den afstand PQ, 1 en hoekQMP, zoo is
waaruit

dl _ r — a cos a
dr = ^ \'

_ ^ 2a cos a — ir

dr \' dr— l^dr"" F \'

Aan de oppervlakte r=R, zoodal

_ -2R2 — -2aR cos « — R2 _ a^

of

_ R2 — a^

? — ■ ■ .......^^^

de digtheid van de lading, op de oppervlakte des afgeleiden bols door de
eenheid in Q geïnduceerd, in een element ds, waarvan de afstand tot Q
gelijk aan 1 is. De potentiaal V in het uitwendig punt Q van eene
geheel willekeurig over den bol verdeelde lading is nu, als V de
potentiaal van deze lading in ds

. . . . (0)

waarbij de integratie over het geheéle boloppervlak rnoat worden
uitgestrekt.

Door raiddel van de tweede vergelijking (7) verkrijgt men op over-
eenkomstige wijze voor de potentiaal V\' in een inwendig punt Q\'

R2 —a\'^ rV

ƒ_ — r V

"^WR-Jl-^^\'«- • ■ - (10)

1*

waarin nu q de digtheid in ds op den afgeleiden bol g eïnduceerd door
de eenheid in het punt Q\', op den afstand a\' van M , en 1\' van ds.

§ 3. Uitgaande van (9) en (10) is de methode van Beer de volgende.

Laat K de constante waarde zijn van de potentiaal der lading in de
massa waaruit hel bolvormige segment bestaat, V de veranderlijke
waarde der potentiaal op het ontbrekende deel van het boloppervlak,
die altijd kleiner dan Iv is. Vooronderstel dan, dat men integreerde
over het geheele boloppervlak, alsof daarop de potentiaal overal gelijk
aan K ware, dan zoude op het ontbrekende deel de waarde K—Tie
groot genomen zijn, zoodat, om de uit- of inwendige potentiaal van
het gegevene segment te vinden, de uit- of inwendige potentiaal van.
het geheele boloppervlak (die hierop de waarde R heeft) in eenig punt
moet verminderd worden met de uit- of inwendige potentiaal van
het ontbrekende segment in datzelfde punt, die op dal segraenl K—V
tot waarde heeft. Aldus verkrijgt men volgens (9) en (10) voor de
uit- en inwendige potentialen V^ en Vj van het gegevene segment

KR a^ —V,
= .....(11)

.....

waarin de integratiën alleen over het oppervlak van het ontbrekende
bolvormige segment moeten worden uitgestrekt.

Als nu Q de constante electrische digtheid behoorende bij de poten-
tiaal K over den geheelen bol, q\' en q" de digtheden op het binnen-
en buitenvlak van het gegevene segment beteekenen, dan komt er,
wanneer men de lading over den geheelen bol q noemt, en gemakshalve

_L fKzzïds-^,.......(13)

stelt, waar 1 de afstand is van het element ds tot aan het punt van
het gegevene segment, waarin de digtheid gezocht wordt,

Q K ,,
.......

47tH da\' J I\'s )
^ /(a=:R)

\\ a^ ln\\{ j ^

a®—R2 d rK—^ , \\

• ^J ds . .(16)

^(a = R)

waaruit blijkt, dat q\' en q" gelijke teekens. hebben, omdat Jq en q
beide met K in teeken overeenstemmen. Voorts is K—V aan den rand
der opening nul, en in het midden van het ontbrekende segment
een maximum. In dit punt is "V gelijk aan het verschil van de poten-
tiaal K van den geheelen bol en die van het ontbrekende segment,
voor welke laatste men wegens de kleinheid der opening de potentiaal
v mag nemen van het cirkelvlakje, dat den rand tot omtrek heeft.
Beteekent de schijnbare middellijn der opening in het middelpunt
van den bol, dan is \')

v = \'inQ I ]/ (^R2sin2 0 R2 (1 — cos ^^ — R (1 — cos^)}
= ^uQ — cos^) ^ R (1 — cos )

= sin^

waaruit volgt, dat in elk ander punt van hel ontbrekende segment

K—V < V ,

en men dus met zekerheid als grens kan aannemen

— 1 1

K—V < K sin ^ ^ ot< ^tt^R sin ^ ê.

Daar eindelijk

ƒ ds = R (1 — cos X SttR = AnW^ sin^ i- ff;

vindt men

< sinsi-

waarin 1 de kortste afstand is van hel punt van het binnenvlak waar
de digtheid is Jq tol aan den rand, waarvoor genomen kan worden
de afstand lot aan het middelpunt der opening, indien deze zeer klein
is. Als b. v. de schijnbare middellijn der opening 16° bedraagt,

zal ^ voor punten, op 45", 90°, 135° en 180° van het midden der

t)

opening verwijderd, kleiner zijn dan 0,00266; 0,00031 j 0,0001\'S en
0,00009. ¹)

§ 4\'. Daar met de constante waarde K dei- potentiaal in den even-
wigtstoestand aan het oppervlak van hel gegevene bolvormige segment

S, indien er geene opening was, de electrische digtbeid >—75 zou over-

4 JTll

eenstemmen, zoo noemt Green de algemeene waarde der digtheid in
eenig punt van het bol-oppervlak 0, en die van de overeenkom-
stige potentiaal in een daarbinnen gelegen punt Q\'K V; welke laatste
aan lid bol-oppervlak overgaat in K V, zoodat over het geheele
segment SV=ro, en vergelijking (iO) verandert in

K V

ds,

4nR
R2—a\'g

47TR \'

R^ — a\'^

AnR "

(17)

waar de integraal a\'lleen over hel oppervlak van het ontbrekenile bol-
vormige segment s moet worden uilgeslrekl, dal men als vlak kan
beschouwen.

In elk punt van s is dan

_ 1 dV ...

dn\' ^

waarin n de naar binnen gelrokkene normaal van hel oppervlak, en

K , . K

= 0 Ofö =--

47TR 4jrR

Door deze beide waarden van o aan elkaar gelijk Ie stellen, verkrijgt
Green, na uit het zeer digt bij het vlak s gelegen punt Q\' de loodlijn
X = R — a\' op s, waarvan de tweede en hoogere magten kunnen wor-
den verwaarloosd, ingevoerd te hebben,

— K^ d^ r V

.......(1«)

R dx^

waar de integraal zich uitstrekt over het geheele vlak s, en x op het
einde der bewerking gelijk nul gesteld is.

Orn de waarde van V uit deze vergelijking te vinden, maakl Green
verder gebruik van de potentiaal in het punt Q\' en de aantrekking in
de rigting van x eener oneindig dunne omwentelings-eilipsoïde, waarvan
het cirkelvlak s de aequator is. V bekend zijnde, wordt de algemeene
waarde van V door (17) bepaald, en men verkrijgt voor de electrische
digtheid a\' in een element dS\' van het binnenvlak van S op korlen
afstand van den rand

dJV_l dV_ KaB _
® An ■ Ón^Au ■ l^nW\' • ■ ■ ^ ^

waarin a de straal van s, en k de afstand van het middelpunt der

opening tot aan het element dS\', terwijl grootheden van de orde-j-^zijn

verwaarloosd geworden.

De electrische digtheid a\'\' in het overeenkomstige element dS" aan
de buitenzijde van S

.......\' ■ w

zoodat voor punten, die wel op korten afstand, maar niet in de onmid-

delijke nabijheid van den rand gelegen zijn

= .......

waaruit blijkt, hoe gering de electrische digtheid op de binnenzijde reeds
is op eenigzins merkbaren afstand van den rand, terwijl voor een zelfde
element van S de digtheid met de grootte der opening toeneemt.

De berekeningen, die Green aangeeft, laten aan duidelijkheid zeer te
wenschen over; zijne uitkomsten stemmen echter, zooals wij later zullen

aantoonen, overeen mei die, welke Beer langs een meer geleidelijken
weg verkreeg.

Wij zullen\'nu een overzigt geven van de achtereenvolgende methoden
van Thomson, Lipschitz en Kötteritzsch.

B. Methode van Thomson ¹}.

§ 5. Over de oppervlakte eener geleidende, geïsoleerde, en buiten
de inducerende werking van uitwendige electrische massa\'s zich bevin-
dende ellipsoïde is in den evenwigtstoestand de daaraan medegedeelde
electriciteit zoodanig verdeeld, dat hare digtheid q in elk punt P der
oppervlakte evenredig is aan de loodlijn 1 uit het middelpunt op het
raakvlak in dat punt neergelaten , zoodat

_9_; . . . (1)

inpqr n A / X^ Y® I Z® \\ ^ ^

waarin Q de totale hoeveelheid electriciteit, p q en r de halve assen,
en X y en z de regthoekige coördinaten van het punt P zijn.

Door in deze formule, na eliminatie van z, r = o enq=:pte
stellen, verkrijgt men voor de electrische digtheid ter weerszijde van
eene oneindig dunne cirkelvormige plaat, waarvan de straal is p, op een
afstand t van het middelpunt de waarde

Q ^ .9)

Uit de uitkomsten van proefnemingen van Coulomb omtrent de elec-
triciteitsverdeeling op een koperen plaat van 10 duim middellijn,
waarvan de dikte wel niet vermeld is, doch die als zeer gering moet
worden beschouwd met betrekking tot de middellijn, blijkt, dat de
waarden van de digtheid in punten op verschillende afstanden van den
rand der plaat, zooals de waarneming die geeft, vrij wel overeenstem-
men met die welke voor dezelfde punten door, berekening uit (2)
gevonden worden, uitgezonderd in de onmiddelijke nabijheid van den
rand. Alleen zijn de waargenomene digtheden iets kleiner dan de bere-

9

kende, hetgeen zich daaruit Jaat verklaren, dal de dikte v^^el gering
maar toch eindig was.

De potentiaal V in eenig pnni M van de oppervlakte der plaat heeft
lot waarde

.........

welke onafhankelijk van den afstand van M tot aan het middelpunten
dus constant is. üit loont Clansius aan met behulp van (2) voor de
digtheid in P, en door M als oorsprong van polaire coördinaten aan
te nemen *)

Trekl men door het punt P eene willekeurige koorde Hl, dan is,
daar de middellijn gaande door P in dit punt verdeeld wordt in twee
segmenten, die gelijk zijn aan p t en p —t,

p3_i2 = HP.PI.

Hierdoor gaat (2) na substitutie van ^^ voor Q over in

TC

.....• ■ . • • (4)

Zij gegeven een bol, welks straal is a, en een punt q daarbuiten,
waarin eene electrische massa m geconcentreerd is op den afstand r

van hel middelpunt; dan noemt Thomson de massa—-^m, geconcen-

a®

Ireerd in het punt q\', gelegen op den afstand r\'= ^ -van hel middel-
punt des bols in den voerstraal gaande naar het punt q, het electrisch
beeld van m, en omgekeerd deze laatste massa het electrisch beeld
van de eerste.

De aaneenschakeling der electrische beelden met betrekking tot den
zelfden bol van al de punten van een electrisch oppervlak vormt het
electrisch beeld van dal oppervlak. Zoo is hel electrisch beeld van
een plat vlak of bol een bol, waarover de electriciteit zoodanig is
verbreid, dat tusschen de digtheden q en in eenig punt P van de
gegevene oppervlakte en zijn beeldpunt p de betrekking beslaat

Q —

(5)

10

Laat, om zulks voor den bol te bewijzen, CM en M\' de middel-
punten der bollen zijn, GM = c, den straal van den bol om M gelijk
aan R, en om M\', het middelpunt van het beeld, gelijk aan R\'.

Men trekke uit C Iwee voerstralen, snijdende den bol en zijn beeld
in de punten P, P,, Q, Q, en p, p,, q, q,, zoodal Z PGM = qp,
Z PGPi = dg); voorts uil M en M\' de twee aan twee evenwijdig zijnde
stralen naar deze snijpunten, en de loodlijnen PL en pl op GMX;
dan is, als ZGPM = «, in driehoek GPM

c : R = sin et: sin qp,

waaruit « = Rg sin ^^sin

Verder is Z PMX =z<p a,Z CMQ = ia —ZmX^ a —<p ,

Z CMQ, = (a da) — (q, H- d(p),
waaruit door aftrekking volgt ZQMQi = da—dqp.

Zoo is ook Z PMPi = da dqp.

xNog is GP = r = c cos (p 4-1/ (R^—c^ sin^ q,),

c GOS 9 — K (R®— c^sin^q,)

_ R2 •

Rij de rondwenteling nu van de figuur om GM beschrijft elk der
bogen PP, en zijn beeld ppi de ronde oppervlakte van eene bolvormige
schijf. Alsdan is, de digtheid ^ eene functie van 9 zijnde, de
oppervl. schijf geleider = bg PP, X SttPL = QreRr (da -f- dep) sin qp,
» » beeld = bg pp, X S^rpl = S^rR\'r\' (da — d^) sin 9,

■M

massa beeld = ^ X ^nRr (da 4- dq)) sin 9 x — - -= — Sir^Ra (doe -f dqp) sin <p,

R a d«-F-doj c^ —R2 da dffl

dielheid beeld o — — -nr ■ - • 1-----, p = — --• -r &.

^ ^ \'R r da — d(p ^ ar da — d9

Deze uitdrukking wordt na differentiatie van a en herleiding

- R\') (■cos(p4-|/(R^—c^sin^ y) ___ (c^ — R^) r\'
ar\' ■ c cos (p - |/ (R^ — c^ sin^ <p) ^ ~ ar\' \' (c^ — R^) r\'

dat is = — pi ? ¹) w. t. b. w.

Hetzelfde resultaat verkrijgt men voor het plat vlak.

Noemt men nu G de potentiaal van de gegevene lading in een wille-
keurig punt A, G\' de potentiaal van het eleclrisch beeld in het punt
A\', beeldpunt van A, dan is

= .......(ö)

waaruit volgt dat, daar de potentiaal V der lading van het gegevene
oppervlak O in alle punten van O constant is, de potentiaal V\' van
het eleclrisch beeld 0 in verschillende punten van 0 omgekeerd even-
redig is aan hun afstand r\' van het punt C, en stellende — aV = q, wordt

.........(7)

Het electrisch beeld van eene geleidende, oneindig dunne cirkelvor-
mige plaat of bolvormig segment, waarvan de potentiaal aan de opper-
vlakte is V, ten opzigte van een bol uit een willekeurig punt G als
middelpunt met den straal a beschreven, is dus een bolvormig segment,
dat eveneens is geëlectriseerd als eene oneindig dunne schaal van den-
zelfden vorm, die afgeleid en slechts onder den invloed is van eene
hoeveelheid electriciteit aV = —q, geconcentreerd in G.

Voor de cirkelvormige plaat gaat dan (4) over in

•......(8)

a V HP. PI

1  Dat deze betrekking ook dan nog waar is, als de oppervlakte een
wällekeurigen geometrischen vorm heeft, vindt men gansch algemeen bewezen
in W. Thomson u. P. G. Tait. Handbuch der Theoretischen Physik. Erst"",
Bd. Zw. Th. § 513—515.

12

Zijn nu h, p en i respectivelijk
de beeldpunten van H, P en I, en
dus boog hi, beeld van fll, de
doorsnede van het electrisch beeld
O, v^elks verlengde oppervlak door
het middelpunt C gaat, met het
vlak door Hl en C , dan is

CH=:

Cp\'

CP = Cp : Ch of
en derhalve driehoek

Cp Ch
CHP gelijkvormig met driehoek Chp,
weshalve

iiD V, CH.CP _ a^

Uit de gelijkvormigheid der driehoeken CPI en Cpi eveneens volgende

PI = pi
HP.PI =

Ch Ci \' Cp"\'

Voor de electrische digiheid in P verkrijgt men dus

q.Cp

Q--

Het eerste lid van (10) constant zijnde voor alle koorden zooals Hï,
is ztdks met het tweede lid ook het geval voor alle vlakken doorCp,
die een op een door C en p willekeurig gebragt boloppervlak wille-
keurig getrokken doch onveranderlijken cirkel in punten zooals h en i

snijden. Doch -^„-constant zijnde, is p,

Cp ■ tih.bi

In geval C een pool is van den onveranderlijken cirkel is Ch = Ci
constant, dus ook hp.pi constant ; dat is: het produkt van de beide
koorden uit een willekeurig punt p van een gegeven boloppervlak naar de
snijpunten van een op dat oppervlak getrokken vasten cirkel met een

constant.

\'13

vlak door p, en één der beide polen van dien cirkel heeft altijd dezelfde
waarde, hoedanige stand dit vlak ook hebben moge.

Als verder D het midden is van Hl en m het midden van boog
hi, dan is

HP.PI = DH3— DP2,

hp.pi = mh2—raps, ] ... . (12)
Ch.Gi = mC®— rah®;

waarvan de beide laatste vergelijkingen worden verkregen door toe-
passing van de goniometrische formule

sin (f g) sin (f— g) = sin® f— sin^ g

op de helften van de hoeken aan het middelpunt van den cirkel hCip ,
waarvan de koorden zijn: in het eerste geval hm enpm, in het tweede
Cm en hm.

Door substitutie van (11) in (5) verkrijgt men, met inachtneming
van (12) en opmerkende dat Cp = r\', voor de electrische digtheid in
het beeldpunt p

\' = q -1/ niC — mh\' ,

^ ïin^v"^\' ^ nïh» — mp^.......^ ^^

I

Gaat het vlak, door Hl en G gebi\'agt, tevens door het middelpunt f
von hel bolvormig segment o, dan is fh=b, die in de plaats komt
van mh, de koorde uil hel middelpunt van het segment naar den
rand getrokken, en de laatste formule wordt

Daar hierin de straal van het boloppervlak , wa irvan o een gedeelte
is, niet voorkomt, zoo zal (14) ook doorgaan in hel geval dat die
straal is oneindig groot; dal is, voor de electrische digtheid in een
willekeurig punt p Ier weerszijde van eene oneindig dunne cirkelvor-
mige plaat, waarvan de straal is b, die afgeleid en onder den invloed
is van eene hoeveelheid electriciteit gelijk aan — q, geconcentreerd in
een in het vlak der plaat doch builen den rand willekeurig gelegen
punt G.,

§ 6. De verdeeling der electriciteit over de oppervlakte van een bolvor-
mig segment o, dat geïsoleerd is, en waaraan eene zekere lading is
medegedeeld, zonder influentie, wordi tot het geval van influentie terug-

9

gebragt. Zij toch V\' de in den evea-
wigtstoestand door o constante po-
tentiaal der lading, dan is deze
verdeeüng dezelfde als die zoude
plaatshebben, ingeval o ware afgeleid
en onder den invloed van electrische
massa\'s, zoodanig verbreid over een
het segment omsluitend oppervlak S,
dat zij daarbinnen eene constante
potentiaal — V\' blijven voortbrengen.
Is nu S een boloppervlak, concen-
^ trisch met dat waarvan o een gedeelte

is, terwijl de stralen van beide oneindig weinig verschillen, dan is de

Y\'

digtheid der inducerende lading gelijk aan —middellijn van S

^ \' Ji\'TlU

gelijk d zijnde. De digtheid van de lading, op de bolle zijde van o door
de oneindig digtbij gelegene elementen van S geïnduceerd, is dan
V\'

-Fterwijl elk element van het overige gedeelte van S op de holle

en bolle zijden ladingen van gelijke digtheid induceert, waarvoor (14-)
van toepassing is.

Zij dS zulk een element gelegen in het punt G, dan bevat dit eene

Y\'dS

hoeveelheid electriciteit gelijk aan--^^^ weerszijden van o

eene lading induceert, waarvan de digtheid in het punt p volgens (14) is

b^

v\'ds Y

b^ — fp2 •

Als nu Mh een straal is naar den rand van o, makende den hoek
hMf=6 met de as gf, terwijl hoek fMp^^s, hoek fMG = 6\', en de
hoek tusschen de vlakken fMp en fMG gelijk aan ip, dan volgt uit
de gelijkbeenigheid der driehoeken en uit den bolvormigen driehoek Gfp

d^

b2 = fh2=^ (l — cose), fp2=^(l-~cos^),fG2= — cos^),
= — (1 — cos GMp) = (1 —cos ff cos 9 —sinsin»p cost/;).

Door substitutie dezer waarden en van dS=: ^ d" sin en inte-

\'15

gralie, de totale electrische digtheid op de holle zijde van o in p
noemende, wordt

V\'

O =--r V (cos 6 — cos ^)sin eAd x

^ 87T3dV/(cos<p — cos6)J

s

/d-i//

ï

X

cos ^ cos qp — sm O sm (p cos yj

Nu is \') als a > b

^^^TTF) { V (h^) ^g\'l } C ;

drp _

a 4- b cos lp k (a^ — b^)

Stt

da//

O 1 — cos (9 cos qp — sm sm cp cos lp cos cp ■— cos ff \'
V\' /-»/(cosf — cos (?)sin

__f\'

(jp — COSê) \'\'

Stelt men nu nog (cos £ —- cos (?) = x, en opmerkende dat in het
algemeen

fx^dx /• dx , , X

J c qr-^l c= X - Kc. Bgtg J/- G.

dan wordt

ry (cos £ — cos ff) sin edo _ ^ f s^dx _

cos cp — cos O -\'^"cös^" —Tos £ -t- x^

= 2 I K (\'1 cos £) — V/ (cos cp — cos£) BgtgV/ ^ \' ] ,

(. ^ r ^ ® ® cos (J) — cos £ )

" -BgtgK h (15)

i COSg)— COS £ COSqp—\'COSf )

16

of ook lïiel invoering van fp = t, <1 en b
V\'

waarbij voor de electrische digtheid op de bolle zijde van o nog ge-
voegd moet worden

L...............(17)

In geval d = x) verdwijnt (17) en gaat (ld) over in
V\'

q = _\' zijnde de electrische digtheid aan weerszijde van

eene geïsoleerde, oneindig dunne cirkelvormige plaat, waarvan de straal
is b, op den afstand t van het middelpunt; hetgeen met (2) en (4)
volmaakt overeenstemt.

Thomson heeft uit (16) en (17) de getallenwaarden berekend van de
electrische digtheid in het geval van de vlakke schijf en het bolvormige
segment, waarvan de doorsnede met een vlak door de as is een boog
van 10°, ^20°, 90°, 180°, 270° en 340°, en wel voor het middelpunt
en de 5 punten, die den boog van het middelpunt naar den rand in
zes gelijke stukken verdeelen, en in elk geval de constante coëfficiënt
zoodanig gekozen, dat het gemiddelde der digtheden op de holle en
bolle zijden in het middelpunt gelijk aan de eenheid zij. Uit die ge-
tallen blijkt, dat reeds bij eene zeer geringe kromming (10° en 20°)
de hoeveelheid electriciteit op de bolle zijde merkbaar grooter is dan
die op de holle zi,jde, alhoewel de gemiddelde digtheid in eenig punt
uiterst weinig verschilt van de digtheid in het overeenkomstige punt
van de vlakke schijf; terwijl, naar mate het verschil tusschen den boog
en den geheelen omtrek kleiner wordt (270° en 34.0°j, het streven der
electriciteit om zich alleen op de buiten-oppervlakte te bevinden meer
en meer toeneemt; zooals in overeenstemming is met de proeven van
Faraday omtrent geïsoleerde holle geleiders, waarbij aangetoond wordt,
dal op de binnen-oppervlakte bijna geene electriciteit aanwezig is , als
ook met de uitkomsten der methoden van Green en Beer ter bepaling
der electricileits-verdeeling op eene geïsoleerde, zeer dunne bolvormige
schaal, waarin zich eene betrekkelijk kleine cirkelvormige opening bevindt.

Wij laten de door Thomson berekende waarden van de electrische
digiheid hier volgen.

17

Schaal.
Boog 180».

1,0000
1,0009
1,0041
1,0118
1,0316
1,1060

§ 7. De verdeeliïig der electriciteit over de oppervlakte van een bol-
vormig segment of cirkelvormige plaat o, die afgeleid en alleen onder
den invloed is van eene hoeveelheid electriciteit — q, geconcentreerd in
een v^rillekeurig punt G, wordt nu gevonden uit de verdeeling over
het electrisch beeld O ten opzigte van een boloppervlak, uit G als
middelpunt met een willekeurigen straal a beschreven. De door O

2

I

18

constante polentiaal V van 0 is dan gelijk aan ---3-, zoodat volgens

(16) en (17) de electrische digtheid van Ü, en daaruit de digtheid
Q van 0 door (5) bepaald wordt.

Beschouwen wij daartoe nevensgaande figuren, vvaarvan de eerste
het geval voorstelt dal o is een bolvormig segment, met de holle zijde
naar G gekeerd; terwijl in het tweede geval o is eene cirkelvormige
plaat. De beide polen van den rand van O zijn g\' en f, en die met
betrekking tol o, even als vroeger, g en f; het vlak der figuur is het
vlak door G, g\' en een willekeurig punt p van o; en hpie het beeld
van HPIg\'. Noemt men nu van O de middellijn d\', de koorde uit f\'
naar den rand b\', en f\'P t\', dan is

d\'2 — b\'2 = g\'[P = g\'F = g\'H.g\'I.
en b\'3 — t\'2 = HP. Pl. ¹)

1  Deze vergelijking is afgeleid uit de algemeene met de van (12)

\'19

De electrische digtheid op de holle zijde van O in hel puni 1\'
wordt dan

«\'H-l\'l „„,„■,/ P\'H-8\'I

(18)

ÜP.Pl

a»

Ook nu is = = C^ -ei-^- .... (\'19)

.....

Laat nog k de afstand zijn van C tot o, waarvan de middellijn d
negatief is, als o de bolle zijde naar G gekeerd heeft, dan volgt

i aM .... (21)

k ^ d —k ~ k(d —k)

Na substitutie dezer waarden in (18) en (5), en voor r\' Gp schrij-
vende, verkrijgt men voor de electrische digtheid in het punt p op
de van G afgekeerde zijde van o (de holle of bolle zijde, als o bol-
vormig is, naarmate G buiten of binnen het boloppervlak ligt, waarvan
O een gedeelte is)

qk(d — k) f Gp ^ ^ eh. ei r Gn ^ ^ eh. ei i)

«= L W1 cr hiTiï - B® \'t\' [ cf K J

waarbij voor de electrische digtheid op de naar G toegekeerde zijde
nog gevoegd moet worden

k).........

Cf ^

liet punt e kan men, onafhankelijk van O, door constructie uil de
gegevens van G en o bepalen. Want uit (19) volgt

eh : ei = Gh : Gi.......(-24)

waarin h en i de snijpunten zijn van den rand van o met een wille-
keurig vlak door Gg\'. Gaat dit vlak nu door het middelpunt M van
één der beide segmenten, o, dan gaal hel ook door hel middelpunt
van het andere, en levens door de beide assen f\'g\' en fg, zoodat,
als 1 en n de snijpunten zijn van den rand van o met genoemd vlak,
in eene middellijn is, en

el:en=Gl:nn.

2*

20

Alzoo snijdt de lijn Gv , die den
^ hoek IGn midden door deelt, In in

een punt v, waardoor ook de
deellijn van hoek 1 e n gaat; maar
alle punten, die deze eigenschap
hebben, liggen in een cirkelom-
trek, waarvan de middellijn uv
gevonden wordt door in G de lood-
^ lijn op Gv te trekken, snijdende

het verlengde van In in u; e is
dus het ontmoetingspunt van dezen
cirkel met het verlengde oppervlak van o.

Brengt men nu een vlak door Gep, dat den rand van o in h en i
snijdt, en meet eh, ei, hp, pi, Gp en Ge, dan wordt de electrische
digtheid in het punt p verder door berekening uit (22) en (23) gevon-

den. Daar evenwel de verhouding

gelegen zijn in een willekeurig vlak door pe, zoo mag men in plaats
van Gep nemen het vlak pef. Alsdan is volgens de 3e en 2© van (12)
eh. ei = fe2 —fh2 = fe2-~b2;
hp. pi = f h® — fp3 b® — fpl

Hierdoor verandert (22) voor de digtheid op de van G afgekeerde
zijde (tevens het accent weglatende) in

_qk(d

.fe^b^

y h^ —

Ge ^ —

q in het middelpunt M, dan is
1 ^a

Gp = Ge = k=2d, ^^^^ in (16); echter

met dit onderscheid, dat van twee bolvormige segmenten van gelijke
afmetingen, waarvan het eene is geïsoleerd, buiten influentie, en geladen
2a

tot eene potentiaal het andere afgeleid en onder influentie van eene

electrische massa —q in het middelpunt, de lading op de holle zijde
van een van beide dezelfde is als die op de bolle zijde van het andere.
Als o is eene cirkelvormige plaat, d==oo en

-21

1 Ce ^ h^- ip^ ^^

waarbij voor de eleclrische digtheid op de naar G toegekeerde zijde
nog gevoegd moet worden

(27)

Daar in dit geval e met u zamenvalt, is

f-Ii Cn Gl _ Gn Cl
2 ^^ Gn —Cl Cn —Cl\'

waarin b de straal van de plaat. Gn en Cl berekent men uil de gege-
vens voor den betrekkelijken stand van C en o, en daaruit en uit de
aldus gevondene waarde van fe, Ge.

Ligt het punt G in het vlak van de plaat, doch buiten den rand,

dan is k = 0, Ge = 0 en lim -^—=1; zoodat (27) verdwijnt, en (26)

verandert in (14) voor de electrische digtheid ter weêrszijde van de plaat.

fe

Indien G in de as ligt, fe = oo, Ce —xj en ^ = 1, en men verkrijgt

voor de digiheid op de van G afgekeerde zijde van o

__ qk f Gp _Cp__

en voor de digiheid op de andere zijde

(30)

Gp3........

In dit geval is de digtheid in het middelpunt der plaat, als
q =

op de van G afgekeerde zijde

1 / k n , k

op de andere zijde

waaruit Thomson de volgende waarden berekend heeft, en daarbij den
straal van de plaat als eenheid aangenomen.

C. Methode van Lipschitz.

§ 8. Deze bestaat uit twee afzonderhjke deelen , die met elkaar in
naauw verband staan, namelijk

a. De electrische verdeeling over eene afgeleide cirkelplaat.

b. Die over een afgeleid bolvormig segment, waarbij voor de
gewone electrische verdeeling het influencerende massapunt wordt ge-
plaatst in het middelpunt des bols.

a. De electrische verdeeling over eene afgeleide cirkelplaat. ¹)

§ 9. Zij gegeven een willekeurig gesloten oppervlak S, dat afge-
leid is, en een vast punt G daarbuiten, waarin de negatieve electri-
citeits eenheid is geconcentreerd, dan zal, als men den afstand van
G tot eenig punt P, op S of daar binnen gelegen, r noemt, de

potentiaal der op S geïnduceerde lading ^ in P ^ zijn.

Is n de naar buiten getrokkene normaal van het oppervlak, dan
heeft men

1  E. Lipschitz. Beiträge zur Theorie der Vertheilung der statischen und
der dynamischen Blectricität in leitenden Körpern. (Crelle\'s Journal Bd. 58,
S 19—43).

\'I

23

(iVu

_ Atcq,

dn dn

waarin Yu de uitwendige potentiaal, die aan de oppervlakte overgaat

. 1

in — •

r

Men neme voor het grensvlak S van den geleider eene afgeplatte
omwentelings-ellipsoïde, waarvan het middelpunt M de oorsprong der
regthoekige coördinaten, en de omwentelings-as de z-as zijn. De
lengte van de as in den aequator hedi^aagt 2a , die van de omwente-
lings-as 2c, de excentriciteit e, zoodat a^ — c^ of e^ positief, en e
eene positieve en bestaanbare grootheid zijn zal.

Laat X,, Yi, z, de coördinaten zijn van een punt D; Xj, y^, z^ die
van een punt Ü\'. In plaats van deze voert men drie nieuwe in, namelijk:
de halve as in den aequator der ellipsoïde, gaande door D en confocaal
met de gegevene, en twee hoeken, die de plaats van het punt daarop
bepalen, zoodanig dat

MA = Xj = aj sin cos i/zi,
AB = y, = Bj sin sin xp^,
BD =z, = l/(8i2_e2)cos ff,,
en

= aj sin ff^ cos ipi,
Vj = Ö2 sin ff^ sin tpi,
zj —1/(82® — e^) cos e^. ■

Uit de figuur blijkt,
dat de hoek is
tusschen het XZ vlak
en het vlak door D en
MZ; en e, de hoek
IQL, die gevonden
wordt door het vlak
DMZ te laten wen-
telen om MZ, totdat
het zamenvalt met
hel XZ vlak, en uit
de nieuwe plaats Q
van het punt D in dat
vlak als middelpunt
met QI = MHi = Ci
als straal een cirkelboogje te beschrijven, dat MX in I snijdt.

24

De hoek e doorloopt alle waarden van O tot üt, de hoek xp van O tot
Is d de afstand der punten D en D\', dan vindt men

\\ _ _1______

1 cos cos e^ — 2aj a^ sin e^ sin e^ cos {ipi —1/^2)3

Stelt men—<7,2 = 1 en cos (^j

dan gaan de vergelijkingen (2) over in

XI zr: e 1/(1 — ]/(i — cos ,
y, z= e |/(1 — K(1 — fot^) sin V ,,

zi — ey^tj;

en zoo ook voor het punt D\'. Hierin zijn de regthoekige coördinaten
uitgedrukt in de elhptische a, /u. en ■■p.
En (3) wordt

1 1 _

2 - (Tl® -- £7^2 --2(t, CTJ -

Omdat de ellipsoïde is afgeplat zal t eene positieve grootheid maal
i zijn, die alle waarden van O lot 00 kan verkrijgen, en K(1 —0^)
bestaanbaar en positief. Aan de oppervlakte der gegevene ellipsoïde

(7 = (7^= c. zoodat = O bij den overgang van deze in een

cirkel, die e tot straal heeft.

Neumann heeft de uitdrukking (5) ontwikkeld in eene reeks volgens
de kogelfuncties van Laplace, (die ook doorgaat in geval de elhpsoïde
is verlengd) en daarvoor gevonden

elTK 2 1 ) ^ Pn.m Km (h) Pn.n> (f.) X

n = O m O

Xcosm{-i,-i,),¹) . . (6)

1  Entwickhmg der in elliptisclien Coördinaten ausgedrückten reciproken
Entfernung zweier Puncte u. s, w. von Herrn I. Neumann. (Crelle\'s Journal
Bd. 37, S. 35).

25

waarin n en m alle positieve geheele getallen van O af, P^niC«^) en
Qn.mC«^) de particuliere integralen der differentiaalvergelijking

da \'

d (1 — a^)

(„(„ .,)-1=0

en wel

n(n-1) g

n(n — 1) (n — 2) (n —
2.4-.(2n—1)(2n —3)

Aa^ \'

. . (9)

Ja — £ (j l 1

en evenzoo Pa.ui(/w) door verwisseling van a met F is eene geheele
functie van (t van den n—graad, en gelijk aan de som van
die termen in de ontwikkeling van P^ o(o) logvolgens de magten

van —, die niet verdwijnen als -7=30; terwijl O- ^oor

a

\'l

de afgeplatte ellipsoïde, 3- = pi zijnde, komt 2i Bgtg — ¹) in de plaats van

waarbij de boog alle waarden kan hebben tusschen

^ en 0.

Eindelijk is bn.m = ,—^^ , bn 0 = 4- en tevens voorondersteld
/7(n m) • 2

f 1 .

"T i

Laat nu voor het geheel willekeurig punt D het vaste punt C ge-
nomen worden, waarvan dan o-j, , -Xi de coördinaten zijn, <t, fi,ip
die van het punt waarin de potentiaal Vu gezocht wordt. Daar Vu op
oneindigen afstand , d.i. voor 5-= 00 , verdwijnen moet, en als = c^o

1  E. Lobatto, Lessen over de Hoogere Algebra 1862 Blz. 300 (16).

26

gelijk is aan hel omgelieeide van den afstand der punten («^i, fii.ii)
en (7, fi, ■\'p), zoo zal

n — 00 in=:n p

V„ = (2n 1) X

^ I. = 0 m = 0 Un.mlH

Opmerkende dal het element van de normaal

_ e —

en dat nog

zoo verkrijgt men uit (1) met behulp van (6), (10), (11) en (12) voor
de eleclrische digtheid q

__\' S (^n 1 ) S b

^ ~ MVii - .0^) - t O "■"\'KJ^)

XP„.„(^^)Pn.m(^i)cosm(^ —-Xl) . (13)
in hel punt der oppervlakte, waarvan de beide andere coördinaten zijn
/ii en ■i\'.

§ 10. Wanneer de gegevene ellipsoïde overgaat in hel cirkelvlak,
waarvan e de straal is, vallen de beide punten ((To, ^i, -4.) en (a-o, — ft, ■•P)
in één punt van dat vlak zamen, en behoeft men y, in de alsdan komende
uitdrukking voor de eleclrische digtheid, die uit de som van de beide
waarden van het tweede Hd van (13), na daarin cro = 0 gesteld te
hebben, bestaan zal, slechts Ie laten veranderen van O lol H-1 voorde
verschillende punten van het cirkelvlak.

Wij laten hier de door Lipschitz opgegevene waarden der funcliën
Pn.mC^) .Qn m(^) ^^ harer afgeleiden voor 5- = O volgen.

(n — m) oneven.

27

Onra(Ö) vindt men in de aangehaalde verhandeling van Neumann, na
eenige aldaar voorkomende drukfouten te hebben verbeterd; terwijl
P\'ii.m(O) en Q\'n,in(0) in de eene kolom gelijk zijn aan Pn.JO) en Q„.m(Ü)
in de andere, als men in deze laatste m met de eenheid vermeerdert,
volgens de ook bij Neumann gevonden wordende betrekkine;en

Hieruit blijkt dat uit (10) die termen verdwijnen waarvoor n — m
oneven is, en dat voor de overblijvende termen

P..m(Q) _ i

Qn.ru(0)-U-

Duidt men daarom de tweede sommatie aan door zoo verkrijgt
men voor de potentiaal van de lading over het cirkelvlak

„p ^ / - II,m Vn.mV / Vn ni MP n.m

Tre Q Q

X cos m (xfj — yj, ). (14)

De totale electrische digtheid q wordt bepaald door het verschil der
differentiaal quotiënten van Vu ten opzigte van de normaal ter weerszijde
van het vlak, en daar deze gelijk doch tegengesteld van teeken zijn, is

^ = "^eV I ^^ t --

X cos m (yj — yjj). (15)

Dat deze uitdrukking met (13) overeenstemt, als men volgens de
laatste de som neemt der electrische digtheden in de punten (c7„,
en (ffo — en dan Og = O stelt, volgt uit de eigenschap der groot-
heden dat voor (n — m) even Pii.m(—i«-) == en voor
(n — m) oneven = — Pn.m^A zoodat in genoemde som alleen
die termen overblijven, waarvoor n — m even is, d. i. waarvoor

1 b

____„ 0\' fO^

Past men de ontwikkeling volgens (6) voor het omgekeerde van den
afstand der punten (a, f.c, -i) en (oi, ^i, , waarvan de algemeene
term, behalve door een voor de gansche reeks constanten factor, van
den algemeenen term der dubbelreeks (14) alleen daarin verschilt, dat
in den laatsten Q^ j^ (a) de plaats van P^ ,n(o) vervangen heeft, ook

28

toe op den omgekeerden afstand der punten («r, — en ((7i, A,),
en neemt de som van beide uitdrukkingen, daarbij de bovengenoemde
eigenschap der Pn.m (,«) in het oog houdende, dan komt er

1 1 00 n

y K 1/ K (— ~ ^^ 2(2n 1)2 .m ^n.m n.m

X Pn.m Pn.mW cos . (16)

Voor het bijzonder geval nu, dat het vast punt G ligt in de as van
het cirkelvlak P^^= O en P^q O^i) = 1 > waardoor (14), nadat

nog voor Q^^ o (t^) de integraal uit (9) in de plaats is gesteld, overgaat
in de enkelvoudige reeks

1

= . (17)

en (16), na verwisseling van t met de tusschen 1 en — 1 gelegene
bestaanbare grootheid e, zoo als geschieden mag, verandert in

^ ^ =if (2n l)P,.o(.)Q,.o(-JP,.oC«), (18)

waarin n, even als in de voorgaande vergelijking, alleen een even
positief getal kan zijn.

Door omwisseling van de orde der sommatie en integratie wordt dan
1

1 . .........., A de

1

(19)

waarbij K(cr, ^i, 1) = 1 — — —
Of, als men de integratie uitvoert

29

van m zij, er altijd een factor GmC«) bestaat, waardoor de grootheden
Qn.m (7) uit de Pn.tn^f) door integratie worden verkregen; hij komt tot
de betrekking

1

waarvan de vergelijking voorQ^ oH van Neumann een bijzonder geval
is, en vindt ten slotte voor de potentiaal in het algemeene geval een
eindigen, met (19) overeenkomstigen vorm, een dubbel-integraal, die
evenwel voor verder onderzoek weinig geschikt is, zoodat daartoe een
anderen weg moet worden gevolgd.

§ 11. Daar namelijk de gevraagde potentiaalfunctie voor ^«1=1
in (20) overgaat, en verder aan de vergelijking van Laplace

~r j„2 i„2 ^

dx® ^ dy^ \' dz^
voldoen moet, die door de coördinaten cr, fi,,-^ verandert in

-  __= 0, . (22)

en het zeer lastig is te onderzoeken, of aan deze laatste door functiën,
die in vorm met (20) overeenstemmen, al of niet voldaan wordt, zoo
voere men het quadraat van het quotiënt van den afstand der punten
en (o-i, ^ii,door den straal e, of K in plaats van --p als
coördinaat in, met behoud van de beide andere coördinaten a en f^.
Hierdoor wordt (22) voor eene functie V

in het punt (5", ,04, K)

dCl-O^

dr r -, d^V

- 2

4.K) ^

d^Y dV

  3 = (23)

Het blijkt nu, dat door substitutie van

^ bglg(-.... (24)

\\ — a- (T. \'X, /

in (23) deze vergelijking identiek, en derhalve ook aan (22) voldaan
wordt, terwijl men uit deze eerste particuliere integraal eene tweede
verkrijgt, als men f^^ door —^x vervangt, dat is

30

1 , |/K(<t,

l/K -i-\', —-Pi) _ ^ _

welke uitdrukking- gelijk is aan die, welke uit (24) ontstaan zoude
zijn door verwisseling van ^ met — want

K ((7, ,U, -p, — -^i) K (3-, -— /z, \'i;, Ji, --LI).

Alzoo heeft men voor de gevraagde potentiaalfunctie

II __i V -P, \'^x)

Tre

(25)

^ bg.tg ^ \' ~~ ^ \' ^

f K K {t, -i^, (Ti , — /Xj , I) -O- (TI — I

waarin de in hunne tangenten uitgedrukte bogen tusschen O en tt
moeten worden genomen.

Dat het tweede lid dezer vergelijking voor elk punt (O, ^h., -l) van het

1

cirkelvlak verandert m -;-r^ blijkt uit de geliikheid van

1 1

e |/K(0, f., -p, <r„ p, -

en omdat

Overigens wordt de waarde van dat tweede lid op oneindigen afstand
van het cirkelvlak gelijk nul, en heeft het voor de gansche ruimte, met
uitzondering van het cirkelvlak, nog de eigenschap van met inbegrip
zijner naar elke willekeurige rigting genomene differentiaal-quotienten
eindig en continu te zijn, zoodat het al de eigenschappen eener potentiaal-
functie bezit, waarmede de waarheid van (25) bewezen is.

Wal de meetkundige beteekenis van Vu betrelt, merke men op, dat
deze de som is van twee uitdrukkingen, waarvan de tweede uil de eerste
verkregen wordt door daarin — /tj in de plaats van ^^ Ie zetten; waaruit
volgt dal, als eenmaal de elementen van de eerste door de ligging der
punten f^i, ■pi) en 0(7,^, -^) bepaald zijn, men het vaste punt

(t^, fix, slechts behoeft te vervangen door het punt ((Tj, — fii,-p^),
gelegen op hel verlengde van de loodlijn uit G op hel cirkelvlak neêr-
gelaten, en op gelijken afstand als G van dat vlak, en dezelfde construc-
tie voor de tweede uitdrukking te maken. Laat nu OP de loodlijn zijn
op hel cirkelvlak, M het middelpunt van den cirkel, OU en OT gelrok-
ken naar de uiteinden der middellijn UMPT, dan is, als = pi enpositief,
volgens de vergelijkingen (4)

\' MP - e |/(1 -h p^) — , OP = ep,(., ÖT = 2e,

31

en dus

I pV\' (l 1/ (1 p2)l/ (1 — fi^) )\'} .
or = e2{ pV-h{l~y (1 p^) 1/ (1 - f^\'))\'} ;

of

OU = e (K(1 p®) j/(l — ^c\')) en OT = e {v (1 p^) — (1 —

Noemende den hoek UOT?;, dan zal

0Ü2 0T2 —UT\'

cos fj — -

2 0U.0T

I COSTJ (0U 0T)2—ÜP 4eHl P®j —

2 4 OU.OT 4e2 (p^

1 ,/14-cos77 p .1 u

Als fi. negatief is

cos

Laat nu eveneens de loodlijn uit het vaste punt op het cirkelvlak
neergelaten GPj zijn, de middellijn üjMPjTien den hoek UjCT^ j/^, dan
heeft men, naarmate positief of negatief is

cos = Px . {±Vi\\ _

Hierdoor wordt

en de tangens, waarvan de boog moet worden genomen, in de eerste
uitdrukking van (25)

e. el/K((r,,a, ,73-, -x.j)

y.2).  cos

waarin e de straal van het gegeven cirkelvlak, eKK(a-, pi, a-^, de

afstand van O tot G, de midden-evenredige tusschen de

lijnen OU en OT, e  de midden-evenredige tusschen Güi en

—^ I ^ I \\

^—I de cosinus van net halve verschil of van de

halve som der hoeken UOT en UjGTi, al naar gelang de punten O en
C zich aan dezelfde of aan verschillende zijden van het vlak bevinden.

T

De totale electrische digtheid q der lading, op de afgeleide cirkel-
plaat door de negatieve electriciteits-eenheid in C geïnduceerd, kan nu
gemakkelijk uit de potentiaal Vu dezer lading worden gevonden.
Volgens (11) toch is voor a- = 0 hel differentiaal "(juotient van Vu ten
opzigte van de normaal aan die zijde van het vlak waar ^ positief is

^lAiL ); aan de andere zijde heeft het dezelfde waarde, maar met

At /

tegengesteld teeken.
En omdat

d / 1 \\ d / 1

<7 = 0 <r= O

tg—)-d- -..X—rv^

<7=0 <T=0

wordt

<T = 0

waarin K heteekent K (O, <7^, •^\'i), en de bij de tangenten be-
hoorende bogen tusschen O en re moeten worden genomen. Deze uit-
drukking kan nog vereenvoudigd worden, want stelt men gemakshalve
K K

-= ß, dan komt er

ßP\'-\'i

bg. tg (- ß) - bg. tg^ = re - 2 bg. tg = 2 bg. tg - ,

Tt Tt

in welke laatste evenwel de boog tusschen de grenzen -h ^ en — ^
ligt Door substitutie in de vergelijking

vindt men ten slotte voor de electrische digtheid in hel punt (O, f-i, -p)

waar de bgtg ^^ tusschen en — ^ gelegen is, en,« alleen po-
sitief mag worden genomen.

h. De electrische Terdeeling? over een bolvormig segment.

§ 12. Zooals reeds aan het begin der methode gezegd is, komt
het hier hoofdzakelijk neder op het bepalen der electrische verdeeUng
over een afgeleid bolvormig segment F, dat onder de influentie-wer-
king staat van de negatieve electriciteits-eenheid, geconcentreerd in
een willekeurig gelegen vast punt C daarbuiten.

Den stand van dit segment kiest men zoodanig , dat de cirkel-
omtrek , waardoor het begrensd wordt, zich in een horizontaal vlak
bevindt, en het segment daarboven. Als oorsprong van een regthoekig
coördinaten-stelsel neme men hel middelpunt M van dezen cirkel, waar-
van de inhoud is S, en de z-as vertikaal naar boven. Noemende dan
den straal van S e, den straal van het boloppervlak B, waarvan het
segment een deel uitmaakt, rQ, zoo heeft hel middelpunt N des bol-
oppervlaks tot coördinaten x = 0, y = 0, z = a ^ —
waar a gelijk aan de positieve of negatieve eenheid moet worden ge-
nomen, naarmate het segment F grooter of kleiner dan het halve bol-
oppervlak is.

De te vinden potentiaalfunctie V der geïnduceerde lading is eene
potentiaal voor de gansche ruimte met uitzondering van hel oppervlak
F, die de eigenschap hebben moet van in het punt O gelijk te zijn
aan het omgekeerde van den afstand der punten G en O, als dit
laatste punt op F gelegen is, en nul, als het op oneindigen afstand
van F ligt.

V bekend zijnde, wordt de electrische digtheid q in het punt O
van F bepaald door

_/4vn.......

m .......

\\ /ro (?r„ \\ /r —

waarin r de voerstraal NO, waarvan de naast de haakjes slaande vor-
men de waarden zijn, en ^r^ eene oneindig kleine positieve groot-
heid. Maar omdat men eene lading over een bolvormig segment be-
schouwen kan als eene lading over den ganschen bol, waarvan de
digtheid in elk punt buiten dat segment gelijk nul is, heeft men in
plaats van (28) _

1,.....(29)

r„ —

34

welke vergelijking dezelfde is als de eerste van (7) aan het begin dezer
verhandeling, en doorgaat voor elke v/illekeurige electriciteits-verdeeling
op het boloppervlak.
Ingeval het punt C ligt in het middelpunt N, heeft de potentiaal

over het geheele oppervlak van F de constante waarde —, zoodat, als

Qn de hoeveelheid electriciteit op F is, deze daarover eveneens ver-
deeld zal zijn als dezelfde hoeveelheid over F, geïsoleerd en buiten
influentie. Eene gegevene hoeveelheid electriciteit Q , medegedeeld aan
het geïsoleerde segment, verdeelt zich dan zoodanig , dat de digtheid is

— Q en de potentiaal ^V, de grootheden en V betrekking hebbende
Un Un

op de geïnduceerde lading, in het geval dat C met N zamenvalt.

Wat ook in het algemeen de ligging van het punt C moge zijn ,
zoo kan de hoeveelheid electriciteit Qc, waaruit de daardoor geïndu-
ceerde lading bestaat, altijd zonder integraalteeken worden uitgedrukt,
en wel in de potentiaal in het punt G van de lading geïnduceerd door
de negatieve eenheid in N. Want beschouwt men twee ladingen over
een zelfde oppervlak, waarvan de eene gebonden is door het punt G
met de digtheid qo en de potentiaal Vc in het punt O der oppervlakte,
de andere door het punt N, digtheid ^n, potentiaal Vn, dan zal volgens
■eene stelling van Gauss ¹)

ƒ ^c Vn dco = ƒ ^n Vc dco ,
waarin dco het element van het boloppervlak B en de integralen zich

l

uitstrekken over het oppervlak F. Maar Vn = — , Vc gelijk aan het

ï\'o

omgekeerde van den afstand der punten G en O, zoodal het tweede
hd der vergelijking de polentiaal is der ladingen in hel punt G, dat
is Vn, als hierin de coördinaten van O door die van G worden ver-
vangen. Hierdoor verandert bovenstaande betrekking in

/^cda>==:Qc = roVn,c.......(30)

Wanneer het segment F in hel geheele boloppervlak 8 overgaat,
staat het bepalen, van de polentiaal der lading, op den afgeleiden bol
door een eleclrisch massapunl leweeggebt-agl, in verband met de

35

volgende wiskundige stelling: Laat in de regte lijn uit N naar het
inducerende punt G getrokken, en aan dezelfde zijde van ^ als G een
punt G\' genomen worden, zoodanig dal NG. NG\' = r^^, dan heeft
men, als O een willekeurig punt van het boloppervlak is, de even-
redigheid

OG:OG\' = ro: NG\' = NG :ro ...... (31)

Hierbij kan G zoowel binnen als buiten B gelegen zijn. Bevindt zich
G binnen B, dan Hgt G\' er builen, en omgekeerd. Omdat men in het
vervolg dezer methode onderscheid moet maken in de ligging van een
punt G binnen B boven en onder het vlak S, zoo zal voor de plaats
van het overeenkomstige punt G\' een kenmerk worden verkregen door
gebruik te maken van de opmerking, dat voor elk punt G van S het
overeenkomstige punt G\' behoort tot het segment S\' buiten B van hel
boloppervlak door N en den cirkelomtrek, waardoor F begrensd wordt.
Men noerae de ruimte, omsloten door het cirkelvlak S en het segment
F, R, de i^uimte, die ingesloten wordt door S en het onderste segment
van B, R^; verder, indien het segment F grooter dan het halve bol-
oppervlak B is, dat is voor « = 1, de ruimte tusschen het onderste
segment van B en het segment S\'R\'^, en de overblijvende uitwendige
ruimte R\', maar voor a = — 1 de ruimte, ingesloten door F en S\', R\',
en de overblijvende uitwendige ruimte RV Heeten de ruimte, waarin
het punt G gelegen is, en die, waarbinnen het overeenkomstige punt
G\' zich bevindt, corresponderende ruimten, dan zijn volgens het voor-
gaande zoodanige altijd de ruimten R en R\', alsmede Rj en R\'j.

§ 13. Wij gaan nu over tot het zoeken van V, en maken daartoe
gebruik van de elliptische coördinaten a, fi, ip, met de regthoekige
X, y, z volgens de onder a vermelde vergelijkingen (4) aldus verbonden

x = e\\^(l (i — fz^) cosip, \\

£7

z = e - fi.

1

Hierin is = pi, als p eene bestaanbare grootheid beduidt, gelegen
tusschen de grenzen O en H- oo, ligt tusschen — 1 en 1, t/j
tusschen O en \'^n, terwijl y (1 —a^) en y {\\ —altijd positief
zijn. Men late even als in a (doch met dit onderscheid dat O hier
niet een geheel willekeurig punt is, maar een punt van hel oppervlak
F; uit O of (o-, yi) eene loodlijn OP op het XY-vlak neder, trekke
de middellijn TPMU, OT, OU en noeme hoek TOÜ^?, dan komt er

3*

36

jT , sin i =

het bovenste teeken bezigende voor fi positief, dat is als O zich boven
S, het onderste voor ^ negatief, als O zich onder S bevindt.¹)

Stelt men V (r^^ — e®) z=: epo = e ^, dan zijn de coördinaten van het

middelpunt N o-== == « = ± 1, en het vierkant van NO volgens
de vergelijking (5) gelijk aan e® (1 —~ rr^ — ^^-^^ar^ a^). De
voorwaarde, waaraan door de coördinaten van O voldaan moet worden,
wanneer dit punt op het boloppervlak B ligt, is derhalve NO^ =ro^ of

^^ — 2aTo o^ = 0.

Van de beide factoren

— — i K(1 — <7/)) a en —(«r„ i |/(\'1 — O) \'

1  Zij nog opgemerkt, dat in het vlak, hetwelk door de deellijn van hoek
TOTJ gebragt loodregt staat op het vlak der flguur, en den cirkelomtrek ,
die i\' begrenst, in de punten f en 1 snijdt Of=: 01 e — aZy ^

sjiidden-evenredige tusschen OT en OTJ, alsook tg :;-f01 =-.

Jh ff

37

waarin het voorste lid dezer vergelijking zich laat ontbinden, zal de
eerste gelijk nul zijn, indien O behoort tot het oppervlak F, en de
tweede gelijk nul, als O een punt is van het onderste segment van B.

Want uit (32) volgt: — gelijk aan tg wanneer O boven S, en

(7 A

\\

gelijk aan — tg-^^\' wanneer O onder S hgt. Door verder de punten

Z en Z\', waarin de Z-as het boloppervlak B snijdt, te vereenigen met
T en U, ontstaan twee hoeken TZÜ en TZ\'U, waarvan de eerste den
constanten hoek t] voor een punt O van F, de tweede den constanten
hoek 71 voor een punt O van het onderste segment van B voorstelt.
Daar nu

ZM = e|/(l — ae^, Z\'M = e K (4 — — «e

vindt men tg-| TZU ^ V(i — — a tg-|-TZ\'ü = K(1 - ^o^) «
zoodat voor elk punt O van F

= .... (33)
en voor elk punt O van het onderste segment des boloppervlaks

 = 0.....(34)

Uit (33) wordt in verband met (4*) afgeleid

of

en uit (34) *

^ =  ^ - , (« -O i - -0^)) - = ,

of

f.=-y{- aia, 1/(4 -o) • m

Het is duidelijk, dat in deze beide laatsten f/. en z negatief zijn
wegens de hgging van O onder het XY-vlak. Voortaan zullen wij de
coördinaten van het inducerende punt G noemen en die van

het overeenkomstige punt G\' a\', i^\', want voor beide punten is de
hoek dezelfde. Als dan x,, jj, z, en x\', y\', z\' respectievelijk de regt-
hoekige coördinaten van die punten beteekenen, zal uit

X =

38

«epg: z — «e p®

volgen

ro® Xx

 — «ep/

z\' — «epo

Omdat z ie = ie (i — <r en z — ie = — ie (\'1 verkrijgt
men, door beurtelings het vierkant van elk dezer beide vergelijkingen
bij de som der vierkanten van de twee eerste van (4\') op te tellen,
en de teekens , en \' bij te voegen

Xx\' yx® (Zx ie)^ = — e^ (a, - (
x\'2 y\'2 (z\'_ie)2 = _e2(<7\'( \' ■

Plaatst men de uit (35) bekomene waarden

e^ (4

x\'2 y\'3 (z\'_aepo)^ =
z\' —«ep =

en

in het tweede lid der

-«epo)^

identieke vergelijking
x\'2 y\'3 (z\'— ie)3 = x\'2 y\'2 (z\' — ae 2(z\' — «e Po)(«e p^—ie) («ep^ — ie)^
dan laat deze zich herleiden tot den vorm

(« e Po — ie)2 (z^ ie)^)

x\'2 y\'2 (z\' - ie>2 = --^--.-L

die door (36) verandert in

of, wanneer de noemer door e^ (1—(Tq^ — —ft^^  en

ipo door ffp vervangen en uit beide leden de wortel getrokken wordt

(37)

waaruit men, door het onbestaanbare van het bestaanbare gedeelte te
scheiden, verkrijgt

± i (— «g-pg-j  dLi{aaofii —^i)

Wat het teeken in (37) en (3^) betreft, dit moet zoodanig genomen
worden dat ^ steeds positief blijft, wat ook de ligging van C moge

39

zijn, zoodal, het zal overeenkomen met het teeken van (—aa^ai f^x),
daar de noemer altijd positief is. Voor een ^punt G in het vlak S
0-1 = 0 en pti positief of negatief, al naarmate dit punt beschouwd
wordt te behooren tot de ruimte R of tot de ruimte R^. Wanneer
a=l, blijft —a^o^-hf/,^ positief, zoolang G boven S ligt; deze uit-
drukking is negatief in een punt G binnen de ruimte, omsloten door
S en het oppervlak, waarvoor —Cq o-j -i-fi^ =0, en wordt weder posi-
tief, zoodra G buiten deze ruimte ligt. Maar als a--- 1, blijft

H-ö"o \'"i f^i negatief, zoolang G zich onder S bevindt, is positief,
wanneer G binnen de ruimte hgt, omsloten door S en het oppervlak,
waarvoor -f- (Jq Oi -f- .«i =0, en wordt weder negatief in een punt C
buiten deze ruimte. Daar nu — aff^ <7 ^ = O het oppervlak S\'
voorstelt, *) en de door S en S\' ingeslotene ruimte voor a = 1

*) Laat O een punt van het oppervlak S\' zijn
in het geval dat « = -1-1, als in nevensgaande
figuur. Tx-ekt men dan de loodlijn OH op de
middellijn NML des boloppervlaks, waarvan
S\' het buiten B gelegene segment is, en plaatst

NM = e J ,

NL:

HC = e|/(l —in
(NM MH) X NL = (NM MH)2 HC^,
dan komt men na herleiding tot eene verge-
lijking , waarvan het voorste lid zich in twee
factoren laat ontbinden, en wel
(— ^ 4- — = 0.
Omdat in dit geval /J.^ negatief is, zal — a-^ in het algemeen eene ne-
gatieve grootheid maal i zijn, zoodat door alle punten van S\' voldaan wordt
aan de vergelijking

— «^o   = 0.

Wanneer a~ — 1, verkrijgt men evenzoo

(<^0 A,) (ö-o /«L \'^i) = O-
Alsdan voldoen alle punten van S\' aan de vergelijking

^ = O >

waaruit volgt, dat — a(T„<T^-{- = 0 in ieder geval het vlak S\' voorstelt.

(De beide andere factoren «r^ j«, — (t^ en /i, a, zijn gelijk nul voor alle

punten van dat gedeelte des boloppervlaks, hetwelk binnen B ligt.)

m

uit de ruimlen R^ en R\'^, voor « = —1 uit de ruimten R en R\'bestaat,
zoo moet in (37) en (38) het bovenste teeken gebruikt worden, als C
binnen R of R\' gelegen is, en het onderste teeken, voor een punt C
in Ri of R\',.

Stelt men nu kortheidshalve

OG^ = e.®K , OG\'2 = e^K\',

zoodat

K\' = 2 ---fJ^-pc\'^-i-i^r\'T\'fy.fz\'-21/(1 -,
k\' = 1 — ^o\' — — SacJoTV^;,

dan is de vorm der potentiaal V in een geheel willekeurig punt O of
{(T, ß, de volgende:

(1.) C binnen R,

O binnen R, Y i7k-- ,-771-gïïT^/^gtg --——r ^

jre ( yji — (Tö-j v{\\ — K. — ö(T

O buiten R , Y =4 \\^^^^^ \'^mxw -^-^ \\ \'

(II) G binnen R\',

O binnen R, V ^^ )-{ \'

jre(VJi __ öffj  y(i ——GO ixji )

Obuiten R, V^-^lx^bgtg--—| ?

nQ (.Fü — ö-ffi  ^/^(l — — ^a\' fj^fx, )

(III) G binnen R^ of R\',,
0 binneoR, ■

O buiten R, 7 =„4 j^ê"«\'« _ -

Hieronder is het geval, dat het punt G met hel middelpunt N za-
menvalt , niet begrepen , maar dit zal later behandeld worden ; de waarden
der in hunne tangenten uitgedrukte bogen zijn hier en overal in hel
vervolg dezer methode tusschen O en re gelegen.

Omdat er slechts ééne functie bestaat, die aan de vroeger genoemde
voorwaarden voor Y voldoet, zoo blijkt uit de volgende beschouwingen,

Al

dat die alle vervuld worden door de voor V gestelde vormen in boven-
staande vergelijkingen , en de juistheid dezer laatste.

1 K

1. In a heeft men reeds gezien, dat de functie bgtr

VK — ö-cr^

der grootheden cr, ix, ■4j eene potentiaalfunctie is voor de geheele ruimte

met uitzondering van het cirkelvlak S, die in een punt (o-, ^j), op

oneindig grooten afstand van S gelegen, verdwijnt. Zoo zal ook de

„ . 1 ^ ^ - J/K _ u 1 y^ii
functie bgtg-;-— 7777 — ,-777 bgtg —-- op onem-

Ü digen afstand van S gelijk nul en eene potentiaalfunctie zijn voor de

geheele ruimte met uitzondering van S en van het ruimtedeel binnen
het boloppervlak, uit C als middelpunt met een naar welgevallen
kleinen straal beschreven. Ligt nu het punt C binnen R, dan is
eene functie van het punt {a, p., 4\') of O, die binnen R gelijk aan

1 VK 1 _VK

fTü tigtg --t:-en buiten R gelijk aan .-7^ bgtg —-—eene

potentiaalfunctie voor de geheele ruimte behalve F, mits er aan het
vlak S, dat met F de grenzen vormt, die de ruimten, waarin elk der
beide genoemde uitdrukkingen respectievelijk de potentiaal is, van elkaar
scheiden, met betrekking tot die functie en hare eerste differentiaal-
quotiënten geene discontinuïteit plaats heeft, want de punten O en C
kunnen in dit geval alleen binnen R, maar nooit daarbuiten in elkaar
vallen. Dat aan deze voorwaarde voldaan wordt, volgt uit de be-
schouwing der beide punten (o, en (0,—y-,^), gelegen digt bij
het vlak S, het eerste binnen de ruimte R, het tweede binnen R^,

zoodat eene kleine grootheid voorstelt, terwijl fc en onbepaald

zijn. Yan hel eerste punt komt men tot het tweede, door in R en

S^ te behouden, en j tot nul te laten afnemen, vervolgens in R^ de

constanten — u. en te behouden en ^ van nul tot f- te laten aan-

1 1

groeijen. Door toepassing dezer handelwijze op de functiën

1 i. ^^ li — j ^ ^ j
,-7ï7 bgtg-,--en r/Tz bgtg--;- wordt de waarde der

Ö & — f^a^ -f VK ^ ® — crcTj. 4-

tweede functie dezelfde als die, welke verkregen zou zijn, door in de
eerste en •4\' onveranderd te laten en y door nul heen continu te doen

afnemen tot —De waarden der functie in quaestie, alsmede die

harer eerste differentiaal-quotienten boven en onder S, sluiten zich
derhalve continu aan elkaar aan, zoodat zij eene potentiaal voor de ge-
heele ruimte behalve F is, die verdwijnt op oneindigen afstand van S
of, van F.

Wanneer het punt G buiten R ligt, zal zoodanige potentiaal zijn

^ _j/j^

eene functie van O, binnen R gelijk aan betg-1-, buiten

KIV - ffffi

1

R gelijk aanp.g

1 |/K\' 1 —VW

2. Daar de uitdrukkingen ^ bgtg ZT^H^. en bgtg zr^^Tq^,

ten opzigte der punten G\' of (s-\', si\'i) en O of (o-, fi, \\p) zich eveneens

verhouden als bgtg enbgtg _ ^^^ ten op-

zigte der punten G en O, zoo ziet men, dat de voor V gestelde vormen
steeds zamengesteld zijn uit twee potentiaalfunctiën, in 1. omschreven,
waarvan elk nog een van (r, fj,, \\p onafhankelijken factor heeft. Hieruit
volgt, dat ook elk der voor V gestelde vormen eene potentiaalfunctie in
het punt O voor de gansche ruimte behalve F is, die op oneindigen
afstand van F gelijk nul wordt.

3. Eindelijk moet men nog aantoonen dal, wanneer het punt
O op F gelegen is, deze vormen overgaan in den omgekeerden af-
stand der punten O en G, d. i. in In dat geval bestaat tusschen
de coördinaten a en ^ van O de betrekking (33)

fi —(«ffo — i V(1 — = O,

en kunnen (37) en (38) gebruikt worden, om K\'en—oa\' fifi\' in <Tj, fi^
uit te drukken. Evenwel vindt men K\' gemakkelijker uit de evenredigheid
(31), die na substitutie der waarden verandert in

e VK : e VK\' = e V{i — ■.eVk\' = e Vk : e V(1 — O . (39)
Voor — crcr\' f^/jt,\' volgt uit (33)

^ — fy^^i — —1—«o-Q—i|/(l——S^)

^ ^ 1(To^)\' —(l wo)—^o\')" H-««^«
Verder komt er door hel eerste hd van (37) met (o- — //), het tweede

i|/\'(l_O- 0)

met ——;-^ (u- fu) te vermenigvuldigen

1 «Tq SE)

H-^\') (o- - (a, - , . .(40)

43

die , door hel bestaanbare van het onbestaanbare te schelden, zich
splitst in de vergelijkingen

— (Ta\' —-—-^ (— ffö-,

Vk

yk \'

waarin men het teeken even als in (37) en (38) moet nemen : het bo-
venste teeken, als C binnen R of R\', en het onderste teeken, als C
binnen R^ of R\'^ ligt.

Volgens (39) en (41) zal nu, wanneer het punt O op F gelegen is,

yk\' 1

--geluk aan-

era-\'-b l^tfi\' ^ " —-{-fifi^

zijn, naarmate C zich binnen R en R\'of binnen

— öcTj 1

Rj en R\'i bevindt. Al de voor V gestelde vormen gaan dan over in
VK 1 V,.. — VK 1

bgtg-

•(To-j ^^i \' VK —ö-ffj w^i i el^l^
waarmede de juistheid der vergelijkingen (I.), (II.), (UI.) is aangetoond.

§ 14. Alhoewel in deze vergelijkingen de ligging van het punt C
in het middelpunt N is uitgesloten, in welk geval het overeenkomstige
punt G\' zich op oneindigen afstand bevindt, zoo nadert toch de waarde
van V, naarmate G digter bij N komt, tot eene bepaalde grens, die
met het in elkaar vallen der beide punten overeenstemt; en daar N als
1 in de ruimte R, als a = —1 in de ruimte Ri ligt, kan die
grenswaarde voor a—\\ uit (I.), voor a = —1 uit (III.) worden afge-
leid. Van de grootheden A— \' f/J, is dan de eerste oo ; —, K\' en

V K\'

----, wordt — ; a ver-

- (7 ff ^ jC4 (7

vangen cf^, en voor K komt de uitdrukking 1— a^—— fi^ \'iaT^ <Tfi,
terwijl de beide waarden, die men voor V alzoo verkrijgt als a = l
en als « = — 1, vereenigd zijn in:

-Pff,- gaan over in de eenheid,
V J\\

(IV.) G in het middelpunt N,

aVK

VK -a^a af^ \' 1^(1

O buiten R. Y = bg., ^^^ ^ (v)}

Ligt hel punt C op een der oppervlakken, die de ruimten R en Ri,
Rj en R\'j, R\'j en R\' van elkaar scheiden, dan zyn de waarden
van y in de twee gevallen, dat C beschouwd wordt te behooren
tot elk der beide ruimten ter weerszijde van het oppervlak, aan
elkaar gelijk; op de grensvlakte F tusschen R en R\' mag C wegens
den aard van het vraagstuk niet gelegen zijn. Zoo zalmen ook, wan-
neer het segment F in het halve boloppervlak B overgaat, waarbij
(7fl = 0, voor Y dezelfde waarde vinden, hetzij men a~\\ ofa = —1
neemt. Is G een punt van het onderste segment van B, dan vallen
de punten C en C\' in elkaar, en bestaat tusschen de coördinaten
ö-j, /Cij de betrekking

• , — (aao iVO— V)) <^1 = O,

waarin (34) verandert, door ^ en a te vervangen door en a^^;
terwijl men voor V verkrijgt

5 _y

als O binnen R ligt, V = bgtg---,------>

2 VK
als O buiten R ügt, V=-^ bgtg-j—— • \\

^ ïrel/k ^^ —uu. \\

§ 15. Daar nu de potentiaal V van de lading, geïnduceerd op het
afgeleide bolvormige segment F door de negatieve electriciteits-eenheid
in G, voor elke hgging van G gevonden is, wordt verder de digtheid
Q van die lading bepaald door (29)

. dV

= 2

waarin r de voerstraal NO, derhalve! -j—I de was^rde van

dV

als men het punt O binnen de ruimte R tot aan het oppervlak F

verplaatst. Bij het differentieëren nu van V met betrekking tot r is-^
van r onafhankelijk, en noemende x, y, z de regthoekige coördinaten van
het punt (cr, f/., zal

do _ da ^ ^ y do- z — «e Po

dr dx r dy r dz r \'

dfi_^ ^ dn y dfi i — «epo

dr ~ dx r dy r "dz F

45

Hieruit volgt wegens de vergelijkingen (4*)

_(] — ffg) (j — aa^y)_

(fz^ — (T^) V{  ^aa^afi) \'

_— (1 -— /ct^) — _

® dr (fi^ — <7\') V(1 — _ __  • \'\'

*) Deze waarden verkrijgt men op de volgende wijze:
Uit x3 y3 (z-aepo)2 = r2

volgt door differentiatie

dr dr dr

door deze ten opzigte van r te differentieëren

dx_dr_s dy_dr _y dz_^r_z — aepo

ds ï\' dr dy T\' dr dz r \'
terwijl uit de vergelijkingen (é*) wordt afgeleid

s3 _}_ y3 -j- z2 — e2(l _ f72 _ ^3) ,

Verder

^ " — e2(l =/iS) z2 e2,T2 \'

of z2 (e? — s2 __ y2 _ z3) _ ^7» = 0.

Differentieert men deze vergelijking achtereenvolgens ten opzigte van s , y
en z , dan vindt men

dö- __ff d(7__a do-_ 0-2 — 1

dx "" —dy "" ^\' ~ e3 <7 (/x^ — ^s) ^\'
derhalve

_ (1 _ Ö-2 _ O- ^ — 4- aff^ A (1 — — p) (1 — <T2)

/i3—<73 At® —<72 = —ffS
En omdat

d/i__s f ] 0-2 -j __ ^

__/f_ dff^ (1 — ^3) z

dy e3 _ ,,2)

= — (1 — — — — — 1) ^ — (f^-- (1 — At®)

~ — Ö-2 \' [i^ — ff^

46

Deze uitdrukkingen gaan, daar in dit geval het punt O op F ligt, d.i.

over in

da if^ (1 — g^) d,a_ig(l —fi^) ....

Men stelle gemakshalve

— crtr^ ßß^ = V , — tra-\' -{- (Afjt! — v\',
dV

dan moet, om tot de waarde van ^ te geraken, gebruik gemaakt
worden van de uitdrukkingen

dr \\y\\i ^^ V ) \\ y^li\' ^^ K K^ 2 dr K dr \'

1

dr

Wat het differentiaal-quotient betreft, in den driehoek OGN,

waarvan OC^el/K, NC=eI/k, is, als l den hoek O NG be teekent,
K = 1 — o-qS k — 2 K (1 — V ) k. cos 1,

dK

— . , . (-44)

m

En volgens (43)

® W = (- ^^ - (1 - -Mx).

of, als — (Tfi^ fiiTx = T gesteld wordt,

(r a^z;)...... (45)

Door in (44) en (45) a\', pJ respectievelijk in de plaats te zetten van
5-j, en t\' voor (—cr/ i«cr\') te schrijven, zal

e = 2 (^V (4 — <ro®) — k\'. cos , . . . (46)

dv\' — i

Wanneer rnen nu in

d / 1 . , VK K \'1 ^ l , VK

hunne waarden uit (44) en (45) vervangt, wordt de
eerste dezer beide uitdrukkingen na herleiding

e  .....

de tweede

-^o\' cosX) t;

Verandert men daarna in (48) en (49) o-j, in o-\', ft\' , en voegt
e.j^^i^^\'df^.I),,^ factor bij, dan verkrijgt .nen respectie-
velijk de vormen

Vk

k\'-l ^o^ , . -l/K\' 2 /(-t/l-a.^-t/k\'.COsX)^

AS

Uit de beschouwing der vergeUjkingen (1.) (li.) (III.) blijkt nu, dat
/dV\\ V

2 I -T- ) — op eene constante na uit de som van twee der uit-

dr / , Tn

drukkingen (-48), (49), (50), (51) bestaat. Wegens de ligging van O
op F geven (39) en (41) ter herleiding van (50) en (51) de waarden

l/K yi, = --" --Vk

waarin het bovenste teeken geldt, als hel punt G binnen R of R\' ligt,
en het onderste teeken, als G zich in de ruimte Rj of R\', bevindt.
Hierdoor veranderen (50) en (51) in

i/( 1 -^^ v^ tV   r ^

waar het teeken den zooeven genoemden regel volgt, zoodal in het
geval van (I.) de vormen (48) en (53) met het bovenste teeken, in
het geval van (II.) (49) en (52) met het bovenste teeken, in hel geval
van (III.) (49) en (53) met het onderste teeken bij elkaar gevoegd
moeten worden. .Alzoo komt in het geval van (I.) de uitdrukking

en in het geval van (II.) en (111.)

Ten einde deze beide laatste te vereenvoudigen, schrijve men
1 — ö-Q^ — k in de gedaante

— («^0 — i <^1) — («^0 i — ^i) \'

welk produkt, omdat hier — iV{\\—ö-q^), overgaat in

(f. - --\'..)=

terwijl uit ^ — - = — 2 i i/(1 — tr^) volgt

Hierdoor wordt

(1 — g-Q^ — k) 2 i T ^ __ _____T ___T V^ K

1/(1Vil — K

m

Substitueert men nu nog n — bgtg ^^ voor bgtg —

oorspronkelijke vormen (—• <7(7,. H-en (— //.Ö-J voor v enr-,
dan zal men uit (54) en (55) voor de electrische digtheid q in het
punt (3-,^,-i) van het afgeleide bolvormige segment F verkrijgen:

(V.) als G binnen R ligt,

3

^_fLui^/^.-bgtg ^^ N

Q =

(VI.) als G buiten R ligt,

— 1 TT — b t

§ 16. Een nader onderzoek dezer waarden doet zien, dat ^ steeds
positief blijft, zooals ook zijn moet wegens het aanwezen van negatieve
electriciteit in het punt G. Aan den rand van F3- = 0, /Lt = 0, q on-
eindig groot, en daar van punten op het segment, die zeer digt bij

zr„

den rand liggen, de afstand tot dezen ——t^®) bedraagt,

6

terwijl volgens de vergelijkingen (33*)

heeft het produkt van de digtheid q in zoodanig punt O of (o, , i>)
met den vierkantswortel uit den afstand van O tot den rand, naarmate
het punt dezen nadert, de bepaalde grenswaarde

lim. {qyCzvrzr^\')]^ ^ ^___^^ .

^^ V ^ J) ]/(e K1 — <r/)

n \'

waarin het bovenste teeken geldt voor (V.), het onderste teeken
voor (VI.).

Vfanneer de punten G en N in elkaar vallen, wordt de electrische
digtheid als a = l uit (V.), als a=—1 uit (VI.) afgeleid , door daarin

te stellen ff^ =(7o, alsmede, daar — = —iy(l—CTq^) ,

4

50

K= 1 — ffo^  apt\' = — ia 1/(1 — cr^^). a , — aa-h (Tq,« =

— -\'iaV{l [A, ^ waaiMoor zoowel voor «=1 als voor a=— 1

de vergelijking

■ ^ = ^n^/il-ai) (t " - (7) V)• • •

ontstaat.

Vervangt men in de vergelijkingen (IV.) de coördinaten o-, pi van O
respectievelijk door die van G, dan verandert daarin de groot-

heid K — 1 — — — /x^ -f- 2 a (7^ in k, en volgens (30) komt voor
de hoeveelheid electriciteit Qc, waaruit de geïnduceerde lading bestaat,

CbinnenR,Q=l|2^(!^»lbgtg - bgtg

n l V K — (jf, a^ a v <71 / >

" \' (57)

nl Vk ^^ —s-^a^ ai^^ ^ ^ \\ (Tj /)

Bij het in elkaar vallen der punten G en N wordt nu de hoeveelheid
electriciteit Q„ der geïnduceerde lading, waarvan de digtheid in (56)

\'11

is uitgedrukt, en die aan de oppervlakte van het segment F — of -^

eKU ÖQ )

tot constante potentiaalwaardê heeft, verkregen, door in (57) (Tq in
plaats van cr^, a in plaats van ,«1 te zetten. Opmerkende, dat het punt
N als ce = 1 binnen R, als a = — 1 in de ruimte Ri ligt, zoo moet

de grenswaarde bepaald worden, waartoe bgtg _^—

nadert, naarmate de afstand tusschen G en N afneemt; V k wordt
dan onbepaald kleiner, terwijl — m-f-« tot de grens 1 —o-q^ > 1
nadert, zoodat

V r ^ u ^ i

De beide waarden van Qa voor a=l en « = — 1 zijn alzoo ver-
eenigd in de vergelijking

Q. = -iT^r^ bgtg (-ïf)) • •

Qu is de hoeveelheid electriciteit, die, medegedeeld aan het geïsoleerde
en buiten alle influentie-werking geplaatste segment F, zich daarover zoo-
danig verbreidt, dat hare digtheid bedraagt in (56), én de potentiaal V,

51

in (IV.) aangegeven. De electrische digtheid -^—Q en potentiaal V

eener willekeurig gegevene hoeveelheid Q, over F vrij verdeeld, vindt
men derhalve door middel van de zooeven genoemde vergelijkingen ,
verbonden met (58).

D. Methode van Kötteritzsch. *)

§ 17. Deze methode is eene herhaalde toepassing der aequivalente
massa-verplaatsing. Hieronder verstaat men eene massa-verdeeling, die
van de gegevene verschilt, doch zoodanig dat de werking van beide
op punten, binnen gegevene ruimten gelegen, dezelfde is. Hare poten-
tialen in die punten zijn óf gelijk, óf verschillen slechts eene constante.

Voorbeelden van aequivalente massa-verplaatsing zijn:

1. Eene electrische lading van constante digtheid over een bolopper-
vlak vervangende eene evengroote hoeveelheid electriciteit, geconcentreerd
in het middelpunt; waarbij de potentiaal in alle punten buiten en op
het oppervlak niet verandert.

2. Massa\'s, die binnen een willekeurig gesloten oppervlak S liggen,
kan men altijd, maar slechts op eene enkele wijze, aequivalent voor
alle punten van S en van de ruimte daarbuiten op dit oppervlak ver-
plaatsen, zoodat de potentiaal in genoemde punten dezelfde blijft.

3. Voor willekeurig verdeelde massa\'s buiten een gesloten oppervlak
S kan eene massa-verdeeling over S in de plaats gesteld worden, waar-
van de potentiaal voor alle punten, die zich bevinden op S of in de
ruimte daarbinnen, slechts eene constante grootheid verschilt van de
potentiaal der oorspronkelijke massa\'s.

Alvorens nu tot de methode over te gaan, moet de overeenkomst,
die er bestaat tusschen de uitwendige potentiaal van electrische massa\'s,
gelegen binnen een gegeven boloppervlak, met de uitwendige potentiaal
van de op dat oppervlak geheel willekeurig verdeelde electriciteit, aan-
getoond, alsmede de digtheid der lading op het boloppervlak, indien
het afgeleid is, door genoemde vaste electrische massa\'s geïnduceerd ,
bepaald worden.

Kötteritzsch: Lehrbuch der Electrostatik Cap. IV, § 4.

52

Vroeger zagen wij, dat de potentiaal eener gansch willekeurig over
den bol verdeelde lading in een punt P op den afstand r van het
middelpunt, den oorsprong der coördinaten, naarmate r<R of r>R
volgens onze eerste vergelijkingen (1) en (2) zich laat brengen onder
den vorm

Vi=p. p. (i) p. ...=1 p.( ^y,

\'.-.(^-■(ïy-(ï)"- -iH")"\'

waarin R de straal, en de coëfficiënten Pn functiën van de beide andere
polaire coördinaten ^ en (p van het punt P zijn.

Beteekent nu dq het element van de binnen den bol gegevene elec-
trische massa\'s, rj de voerstraal van dat element, a de hoek tusschen r
en r^, dan is de potentiaal van die massa\'s in het uitwendige punt P

/|/(r3 — 2rriI!osa ri3)-
Daar altijd r > ri heeft men

__1

r

|/(r2 —2rrj cosa ri^)
waardoor

^n l

of V^lP\'n\'^

wanneer men stelt:

Nemende voor de willekeurig verdeelde lading de op het afgeleide
boloppervlak door de gegevene electrische massa\'s geïnduceerde:

V-i-Va = 0,

v.=-|F.(5) . . . (1)

53

zoo dat de digtheid

^reVdr drJ

A OD

. . (2)

4; jr tl O

§ 18. De vorm dan van den geleider, waarover de electriciteits-
verdeeling zal worden bepaald, is hier eene bolvormige schijf, waarvan
de beide evenwijdige grensvlakken c tot straal hebben, en op den
afstand h van het middelpunt G der schijf verwijderd zijn. In hel
verlengde van de as dezer geïsoleerde schijf bevindt zich een influen-
cerend massapunt, waarvan de massa Q en de afstand tot G f bedraagt;
terwijl men de schijf zooveel electriciteit heeft medegedeeld, dat in
den evenwigtstoestand de totale potentiaal binnen de schijf en aan de
oppervlakte gelijk is aan G.

A

\\f

2h

Laat G de pool zijn van een polair coördinatenstelsel en de hoek e
gerekend worden van af het naar Q toegekeerde deel van de as der
schijf; a < h de straal des boloppervlaks, uit G als middelpunt be-
schreven, ten opzigte waarvan het electrisch beeld van de oppervlakte
der schijf moei worden geconstrueerd.

De electrische beelden der beide evenwijdige grensvlakken zijn dan

a ^

twee symmetrisch gelegene boloppervlakken ^B en ^^B, die ^ tot straal
hebben, en waarvan de middelpunten zich bevinden in de as op den

54-

afstand weerszijde van C. Yan den rand der schijf is het

electrisch beeld een boloppervlak F, uit C als middelpunt met den

a^

straal—-j-i-^ beschreven. Evenwel komen van „B en F alleen

die gedeelten in aanmerking, waardoor het electrisch beeld van de
oppervlakte der schijf uitwendig begrensd wordt. Daar in alle punten
van het boloppervlak met den straal a de potentiaal der massa Q gelijk

9.

is aan die eener massa-|^Q, geconcentreerd in een punt, dat in de

ga

as ligt aan denzelfden kant van C als Q, en op den afstand j- van C,

zoo zal in de punten van dat oppervlak de potentiaalwaarde van
electrische massa\'s, die men aequivalent op het electrisch beeld van
de oppervlakte der schijf verplaatsen kan, en van de massa Q te zamen
G zijn, als de te verplaatsen electrische massa\'s bestaan uit de massa

aG in het punt G en de massa — ^ Q in het beeldpunt van Q gecon-
centreerd.

Het komt er dus nu voornamelijk op neder, de beide binnen het
electrisch beeld van de oppervlakte der schijf gelegene electrische

massa\'s aG en — yQ aequivalent voor alle punten, die zich huiten

dat beeld bevinden, te verplaatsen.

§ 49. Daartoe brenge men de massa aG op het oppervlak F over,
zoodat hierop de constante electrische digtheid

aG _(c^ h-)G

Om vervolgens de massa--p Q op jB te kunnen overbrengen

moet een nieuw polair coördinaten-stelsel der en r worden aangeno-
men, dat het middelpunt van ,B tot pool heeft, en waarvan de hoek
van af het naar G gerigte gedeelte van de as der schijf gerekend

wordt. De afstand van het massapunt--^ Q tot aan de nieuwe pool

f—2h

ga / e_gu \\

bedraagt dan-^ ——= a® "fhf~/\' men als positief of nega-

tief in rekening moet brengen, naarmate f^2h,,zoodat de potentiaal

55

van genoemd massapunt in buiten ^B gelegene punten zijn zal:

-fQ

j o„! f — 1 f — 2h Y)

O \\ 2h / 2h

a^ \\ n 1

B\'

__n \'

\\ r ^

O

maar volgens (1) en (2), doch met het tegengestelde teeken, kan men
de massa — j- O aequivalent voor alle punten buiten jB vervangen
door eene massa-verdeeling op dit oppervlak met de electrische digtheid

Dat is, als iD"^ de electrische digtheid van deze lading over jB wordt
genoemd

B„=(I^)»os..,. ^.....\'\'\'

Daar echter een gedeelte van het electrisch oppervlak ^B binnen het
electrisch beeld van de oppervlakte der schijf ligt, en wel het binnen
F gelegene gedeelte, zoo brenge men de lading daarvan aequivalent
voor uitwendige punten op F over, en bepale daartoe de potentiaal
van dat gedeelte van ,B met betrekking tot het coördinaten-stelsel,
waarvan de pool ligt in G, in een buiten F gelegen punt P (r, 0\', 9\').
Laat nu behalve G nog Bj het snijpunt van de as der schijf met ,B
zijn, L (q, e, qp) een punt van het gedeelte des oppervlaks ,B binnen
F, de hoek LB,G, dan is

5(i

<?i=7r — cos(?i = — cos2(?.

^ CL = BjC sin 7 =■ sin — ^os

Omdat verder de cosinus van den scherpen hoek tusschen de normaal
V in L van iB en de normaal van het boloppervlak, uit C als middel-
punt met den straal q beschreven , gelijk is aan ^ > zoo ontstaat voor
de gevraagde potentiaal in het punt P de uitdrukking

|C2:r

^m (2 m -F 1) R^ Q^ sin ededtp
0 _____

0 -^-{/(^\'-^^rcosa r^)

c

TT rf

waarin cos d = cos LGP = cos 0 cos - - sin d sin e\' cos (9) — (f\').
Stel nu in de ontwikkeling volgens kogelfunctiën

pÖT^^T^^iH^ = I" (cos

voor een oogenblik cos ^ = z, alsmede cos ^ = x, cos e\' = x\', q) — = xp,
dan is

P\'\' (z) = (- \'1)" af P^ (x) P^ (x\') cos m xp, ¹)
0

^n(n-hm)n{n—my - V i.l3....n J \'

W l.3.5...i2n-ir

Hieruit volgt

P° (z) di^ = 2 TT PMx) P" (x\'),

of, als men den hoek cp rekent van af het vlak gaande door de as der
schijf en het punt P, zoodat qp\'^O, en voor z, xp, x, x\', hunne waar-
den weder in de plaats stelt

1  E Heine: Handbuch der Kugelfunctionen, Berlin 1861, S 175.

57

c\'in

J ^ P" (cos = 2 U P\'i (cos ff) P»" (cos ff\').
De potentiaal in het punt P wordt daardoor gelijk aan

O h^ P° (cos ff\') f ^ ^ .«H-ä

P" (cos ff) (2m 1) . sin ^ d ^ =

dv

a3f ^ X l h^) 1 P" (cos ff\')

h

. Pn (cos e) (2m 1) B„ sin ^ d

Vervangt men nu nog ^ door zijne hiervoren gevondene waarde,
tevens opmerkende dat ^ = cos

En de vorige uitdrukking voor de potentiaal gaat over in:

__(^Is)"\'c™)"""

f* cos" \' P" (cos ff) f m (2m 1) sin ^ d ^ =

O

De electrische digtheid op het boloppervlak F der aequivalent over-
gebragte lading van het binnen F gelegene gedeelte van jB zal
dan zijn

af

58

Maar op F was reeds eene lading met de digtheid D\', zoodat voor
de totale electrische digtheid Dj

I O ™

2

(cos^) |n (2n l)B^sin^d^) (5)

B

Een gedeelte slechts dezer electrische lading van F draagt bij tot
de vorming van het electrisch beeld van de oppervlakte der schijf,
een ander gedeelte bevindt zich binnen jB, het overige der lading
binnen ^B, welke beide laatste deelen aequivalent op ,B en jB moeten
worden overgebragt.

Men bepale daartoe vooreerst de potentiaal van het binnen jB gele-
gene gedeelte met betrekking tot het coördinatenstelsel, waarvan de
pool is het middelpunt van jB, in een punt buiten dit oppervlak.
Deze potentiaal heeft, als ffo^ en é>\\ de grenzen zijn der integratie ten
opzigte van ff^, lot waarde

D, sin d(9j d(p

d^
dr

O

of als men integreert met betrekking tot qp

\'i. P° (cos ^i) Dj P° (cos ffj) sin d^^

o \' dv

Wat de grenzen 0\\ en 0\\ der integratie betreft doen zich de gevallen
voor, dat het middelpunt van ^B ligt binnen, op, of buiten het opper-
vlak F, dat is

2h »/(c- h^")\'

59

of

c — hVS.
>

Voor c<hK3

benevens de vergelijlängen

s« sin = sin.,

( ^ ) = COS^ ((9
\\üv J

Voor c = h]/S

en daarbij de vergelijkingen

sm e,

/ \\ 2

( I — COS^ di.
\\ dï\' /

Voor c > h K 3

bestaat de integratie ten opzigte van e^ uit twee deelen: het eene deel
strekt zich uit van = O tot e\\ = bg sin ^ \' het andere

heeft tot grenzen

= « — 2 bgtg , ., = bg sm y ^

met de vergelijkingen

? cos -pz^^Jzn?) cos ^ —
a®

60

In elk geval volgt uit de bijgaande vergelijkingen

sin d

V (e® h2) sin o^ \'

door deze waarde van ^ in elk der eerste vergelijkingen in de plaats
te stellen

sm {e ^i) =--

zoodat hieruit gevonden wordt

sm sm (9,

(6)

- sin® e

(2 h)\'

Met betrekking tot het teeken moet men opmerken, dat voor
c<hV\'3 alleen het bovenste teeken geldt, zoo ook voor c = hV3,
in welk geval

sin ^ = sin 2 e^, q = 2 cos

Voor c > h 1/ 3 moet bij de integratie van = O tot
2 h

d\'i = bg sin y ^^ het onderste, en bij de integratie van

c 2 h

0°t=ir — 2 bgtg tot = bg sin het bovenste teeken

gebruikt worden.

Ook neme men voor^ steeds de positieve waarde.

Wij zullen nu, om verder alle drie de gevallen te gelijk te kunnen
behandelen, in de laatste uitdrukking voor de potentiaal de teekens e^i
en e\'j behouden, en stellen

d^

? - F) ^ Di = Dl ^ = L"^ \'

waardoor de potentiaal zich laat brengen onder den vorm

61

a\' 1

2h

D,ieP" (cos X (^x))

32
2h

e\'.

e\\

De electrische digtheid op het boloppervlak iB der aequivalent
overgebragte lading van bet binnen ^B gelegene gedeelte van F zal
derhalve zijn :

\' C^ h^ f

(7)

ff\'.

0\\

Om vervolgens de lading van het binnen ^B gelegene gedeelte van
het electrisch oppervlak F aequivalent op te kunnen overbrengen ,
moet nog een derde polair coördinaten-stelsel der ff^ en r worden aan-
genomen, hebbende tot pool het middelpunt van ^B en waarvan de
hoek van af het naar G gerigte gedeelte van de as der schijf
gerekend wordt.

Men zou nu de geheele voor ^B gedane berekening moeten herhalen

62

voor jB; maar omdat de nieuwe berekening van de vorige alleen daarin
verschilt, dat e^ in de plaats komt van en re — e den hoek e vervangt,
volgt voor de electrische digtheid jD^ der aequivalent op jB overge-
bragte lading uit (7) terstond:

2h2

BS..

(8)

■P (^j) Dj {e^ P"" (cos sin e^ d e^

Een gedeelte der beide electrische ladingen op ^B en ^B, door (7)
en (8) bepaald, ligt weder binnen het electrisch beeld van de opper-
vlakte der schijf,, namelijk het gedeelte binnen F. Orn dit aequivalent
op F over te brengen, behoeft men geene nieuwe berekening te maken,
maar kan dadelijk de uitkomst uit (5) worden afgeleid. Want deze
nieuwe lading van F bestaat uit twee deelen; het eene daarvan is af-
komstig van de door (7) bepaalde electrische massa op iB en binnen
F, het andere van de door (8) bepaalde electrische massa binnen F
op ïB. De digtheid van het eerste deel, die zich even zoo uit (7) laat
afleiden, als het tweede deel van Di in (5) uit (A) is afgeleid, is
gelijk aan

^P™(c0S(?)§n(2n-f-l),B; sin ^d
O

Op overeenkomstige wijze vindt men voor de electrische digtheid van
\' het van de massa op gB afkomstige deel der lading, met inachtneming

JT / < .. , a2 dn

dat dan, zijnde, q = — ^ cos = — cos

dv

O

J^cos^ ^ ^P® (cos |«(2 n 1) aB^ sin 0 d 0.

JL 0

2

Wordt nu gesteld, dan heeft de electrische digtheid

Dg der gezochte nieuwe lading van F de waarde

\\

0

-) P-(C0S.)

^ ) (9)

Aos™ ^ \' . P"" (cos (?) 1° (2n 1) X B; sin 0 d 0
^ „ 0

bgtg_f

(—ir^cos*"  |n (2n 1)3B; sin d ^ : •

i I

Het gedeelte dezer lading, dat binnen ^B ligt, moet weder aequivalent
voor alle punten buiten ^B op dit oppervlak worden overgebragt, zoo
ook het gedeelte, dat zich binnen ^B bevindt, op ^B; daarna heeft weder
\' een overbrenge van raassa\'s plaats op F enz. zoolang totdat de nog over
te brengen massa\'s geen invloed meer hebben. Daar de verdere uitvoering
der massa-verplaatsing zelve slechts eene herhaUng is van de beide het
laatst verrigte verplaatsingen, levert zulks geene moeijelijkheid meer op,
en kan voor de electrische digtheden ^D, ^D en D op het electrisch
beeld van de oppervlakte der schijf respectievelijk op j.B, jB en F
aan het einde der bewerking tersjtond geschreven worden :

fi4

-j—) P\'ccos^,),

/m 1 ^

COS (^P\'^Ccos^) l)BQsin^d^,

2h .. " ^(10)

P"^ (COS 0,)

h^)

Sr Tin 2

t (^i) J ^ {0t} Dn (^i) P"" (COS 0,) sin e, Ad^,
J w\'Y ^ P"\'(cos â,) sin

3

Ji m I 1

COS ^P\'"(cos^) 

n

h

c

bgtg —

— (-ifj* COS™ ^ (co&0) 1) sin ^ d ^

?

65

De in de waarden van en ^B^ voorkomende digtheid Dq beteekent,

als n > i is, dat gedeelte van de waarde van D, hetwelk men overhoudt,

wanneer alleen de uitdrukkingen F^, die denzelfden aanwijzer n hebben ,

blijven, terwijl al de anderen alsmede de eerste term van de waarde
van D worden weggelaten; deze eerste term alleen is gelijk aan D,.
Daar nu in de uitdrukkingen voor ^D, J) en D de straal a slechts

I

voorkomt m den aan alle drie gemeenschappelijken factor — , en de

electrische digiheid in eenig punt A van de oppervlakte der schijf ver-
kregen wordt door de digtheid in hel snijpunt van het electrisch beeld
met den voerstraal r, uit het middelpunt G naar het punt A getrokken,

met te vermenigvuldigen, zullen de vergelijkingen (10), wanneer

men daarin a door r vervangt, en r als eene constante beschouwt bij
de integratiën, die B en F bepalen, de electrische digtheid in den even-
wigtstoestand uitdrukken, aan de oppervlakte der schijf, waarbij de
totale potentiaal in alle punten binnen en aan de oppervlakte der schijf
dezelfde constante waarde G heeft als bij de verdeeling over het electrisch
beeld op het bol-oppervlak met den straal a. ¹)

1  Kötteritzscli: Lehrbuch der Bleetrostatik S 270, 271.

Grinwis : Wiskundige theorie der Wrijv. Electr. N». 11, 2^ Stelling.

HOOFDSTUK IL

Vergelijking van de uitkomsten en nadere gevolgtrekkingen
der methoden, en behandeling van de grensgevallen
(cirkelplaat en bol-oppervlak).

§ 20. Na een overzigt der verschillende methoden gegeven te hebben,
moeten de verkregene uitkomsten met elkaar vergeleken, dat is: het
verband, dat daartusschen bestaat, opgespoord worden, waardoor het
mogelijk is de eene uitkomst uit de andere af te leiden; en de waarden
gevonden, die daaruit voortvloeijen voor de grensgevallen.

Daarbij zullen wij zooveel mogelijk de volgorde in het vorige hoofd-
stuk in acht nemen, en alzoo beginnen met de overeenkomst tusschen
de uitkomsten der methoden van Beer en Green aan te toonen.

Deze waren (§§3,4) volgens Beer

/ R ®

JQ <2? (-p^si

2 \'

waar Jq de electrische digtheid op het binnenvlak, q-{-J q de digt-

K

heid op het buitenvlak van het bolvormig segment, q — ^^p, ^ K de

constante potentiaal der lading, R de straal van het bol-oppervlak,

1 de kortste afstand van het punt waar de digtheid is ^^ tot aan den
rand, en e de spherische straal der opening zijn.
Volgens Green

KaSj „_ K

waarin cr\' de electrische digtheid in het element dS\' van het binnen-

67

vlak, a" de digtheid in het overeenkomstige element dS" van het
buitenvlak, a de straal van den rand van het segment, en k de afstand
van het middelpunt der opening tot aan het element dS\'.
Daar nu

RSgin^^ 8 /R\\3 . 1 A

(f)\'

i

/R\\s 1 l

welke laatste uitdrukking altijd kleiner is dan 2 j sin® ^^,

volgt hieruit, het teeken daargelaten l

1 \'
l) ■

zijnde de ongelijkheid, waartoe ons de methode van Beer geleid heeft.

Voor het ganscfie bol-oppervlak . = O, « = O, 0-\' =r z/^ O, en [

de constante waarde der electrische digtheid op het buitenvlak gelijk aan |

2^ = 4^- Q -i» ......W

§ 21. In § 7 hebben wij gezien, dat de electrische digtheid q der |

lading, op een afgeleid bolvormig segment 0 geïnduceerd door de hoe-
veelheid electriciteit —• q, geconcentreerd in een willekeurig punt G,
in een punt p der van G afgekeerde zijde van het segment

_qk(d-k) .

Gp^l Ge»/

Ge y b^ —fp2

de electrische digtheid op de naar G toegekeerde zijde

qk(d — k)
^ ^n d. Gps \'

waarin k de kortste afstand van G tot het bol-oppervlak van o, d de
middellijn des bol-oppervlaks, die men negatief moet nemen als het
punt G er buiten ligt, e het beeldpunt der pool g\' van den rand van
het bolvormig segment O, het electrisch beeld van o met betrekking
tot het bol-oppervlak, met den straal a uit G als middelpunt beschreven,
f het middelpunt van o, en b de koorde uit f naar den rand getrokken.

Ligt het punt G in de as van het gegeven segment, dan valt het
beeldpunt e met de pool g zamen, zoodat voor een punt G binnen

5*

68

het bol-oppervlak, waarvan o een gedeelte is, de electrische digtheid
op de bolle zijde

"Cp-. ^ d^ —b^

Ggl/ h^ —fp2

de electrische digtheid op de holle zijde

qk(d —k) ..
.........

Maar voor een punt G buiten genoemd boi-oppervlak is van deze beide
uitdrukkingen de eerste de electrische digtheid op de holle, de tweede
die op de bolle zijde, en d negatief.

Wanneer het punt G met het middelpunt M zamenvalt, bleek het dat
de geïnduceerde lading overeenstemt met de lading over het geïsoleerde

segment zonder influentie, die ^ tot potentiaal heeft en alleen daarin

verschilt, dat bij gewone electrische verdeehng de lading op eene der
beide zijden gelijk is aan de geïnduceerde lading op de andere zijde bij
influentie. Van deze omstandigheid wordt in hetgeen nu volgt gebruik
gemaakt.

Men stelle zich voor de electrische digtheid te bepalen op de beide
zijden in een punt p van een geïsoleerd bolvormig segment o zonder
influentie eener daaraan medegedeelde willekeurige hoeveelheid electriciteit
Q. Laat daartoe in het middelpunt van een ander bolvormig segment,
dat afgeleid en van dezelfde afmetingen is als het eerste, eene electrische
hoeveelheid — q geconcentreerd gedacht worden, die aan de binnenzijde
eene lading Qj^^ met de digtheid aan de buiten- of bolle zijde eene

lading met de digtheid q" induceert. De gewone electrische ver-
deeling der hoeveelheid Q heeft dan zoodanig plaats dat, als Q\' de
lading op de binnenzijde, Q" de lading op de buitenzijde van o beduidt,
zoodat terwijl = electrische digtheden D\'

en D" op de binnen- en buitenzijde van o

D\' _ Q_ r, _ Q II p.„ Q , __ Q , ,

= (VT- ? — -rr- Q , D = -jY" ? — Tf- ? ; • ■ W

de ladingen

(5)

69

Nu is volgens § 7

^ -bgtgl/

" I H

Noemt men verder « den hoek, dien de as van het segment maakt
met den straal naar den rand getrokken, do het oppervlakte-element,
dan heeft men

do = h^^^d^O — cos «), t^ = d^ (1—cos,?),

/• q , q r , h^ 1 — cos ce

a

c ,, A q r .//, . C sin (?d(?

J do = ^ j K(1 C0S«) J

|/(cos e — cos a)

Door cos — cosa = x = z\' te stellen, en bij gedeelten te integreren
ontstaat voor de algemeene integraal achtereenvolgens

tx4- -coso: ^\'(l-1-cos a) r t^x. dx
.dx = xbgtg V -^^- -2-Jl cos«-l-x\'

r ^^ ( f dz }

X = i cosa z^ = 2 | Z - (1 COS a) j | ^OS « Z^

1 4- cos et

= 2 {z - 1/(1 -f- cos «) bgtg ;

zoodat na substitutie en tusschen de behoorlijke grenzen integrerende
Q"^ = ƒ = ^ |« sina—(1 — cos«)^} ;
r »1 . —• cos a q ( . • I /A \\ ^ 7

Qm =J ? do = Q\'^H--2-q=.^|« sina (l —cos«)2 j;

2

= ^ (« sina).

Hieruit volgt, dat (4) en (5) veranderen in
1 — cos cc

A\' Ir./. 1—cos« 7r\\ 1 , ^—cosa Jr\\

70

^^U- —U- , ^rd^—h^l

7ié\\a sin a)

Q

V ba _ p- « — bgtg j/ ^Tzirx^ j ]

\'7rd^(a- - sin«)
Voor den ganschen bol az=zn, b=zd, waardoor

Q\' = 0, Q" = Q, = .

2b

En voor de cirkelplaat, in welk geval «= sin «=— _b^)

Eindelijk kan nog het geval plaats
hebben, dat het punt C gelegen is
op het verlengde oppervlak van o.
Dan bevindt zich de pool g\' op
oneindigen afstand; het beeld-
punt e valt zamen met het punt
G, waaruit volgt Ge = k = O,
en de electrische digtheid wordt
aan elke zijde van hel bolvormig
segment

zijnde formule (14) § 5.
Voor hel geheele bol-oppervlak verdwijnt (2), en geeft (3) op de
naar het punt G toegekeerde zijde van het oppervlak de electrische
digtheid

_qk(d —k)
Sïid.Gp^

waarin d wederom negatief, als G een uitwendig gelegen punt is.

Het in elkaar vallen der punten G en M doet de voorgaande uit-
drukking overgaan in de constante digtheid aan de binnenzijde

Q —

De electrische verdeeling op de afgeleide cirkelplaat zie § 7.

(11)

71

§ 22. Wij vonden (§ 15) voor de electrische digtheid^ in het punt
O of ((T, 1/j) van het afgeleide bolvormige segment F, naarmate het
influencerende punt G (dj. , fi^, t/^i) binnen of buiten de ruimte R ligt,
omsloten door F en het cirkelvlak, waarvan de rand van F de
omtrek is :

H-1 ri——k^1 , . |/K .

f — gp^ — k / \'i ^ ho-tD- KK (Tfi^ — fia^)

waarin de waarde van a in het middelpunt N des bols, alwaar
± 1, naarmate F grooter of kleiner dan het halve bol-oppervlak
is, e de straal van den rand, ro=:eV{l—oq^) de straal des bols,

k = 1 - ao^ - a.^ - ^4- 2 « 0,

en —= a0Q — i|/(l—ffo^); , terwijl de in zijn tangens uitgedrukte

boog gelegen is tusschen O en jt.

Hierbij moet worden opgemerkt dat, wat ook in het algemeen de ^
ligging zij van .het punt G, altijd elk der beide termen, uit welker
som de formule voor de electrische digtheid der geïnduceerde lading
in eenig\' punt van F, mits dat het niet aan den rand gelegen is, be-
slaat, eene positieve waarde heeft. ¹)

Om nu het verband tusschen (V) en (VI) en de vergelijking (25) § 7
van Thomson aan te toonen, zullen wij uitgaan van (VI) en derhalve
aannemen, dat het punt G ligt buiten de ruimte R in de as van het
segment en binnen het bol-oppervlak, als in nevensgaande figuren.

1  Alleen als het punt C zich bevindt op het verlengde oppervlak van F
verdwijnt de term, waarin de in de tangens uitgedrukte boog voorkomt.

72

oj — -i- CM, fiï = — 1.

tJ

Wanneer verder b de koorde Zü, uit het middelpunt van F naar
den rand getrokken, beteekent, dan vindt men voor.het vierkant van a,
de halve groote as der ellips gaande door het punt O en waarvan T
en ü de beide brandpunten zijn

b^ — e=

OZ^;

zoodat

(b^ — e^) (b^ — Og)

^ 1 ga----Ka »

of

i e - OZ^)

b. Z\'M

üaar nu

volgt

10-

Hierdoor wordt

oc

Kb\'^ — 0Z2 c M yh^ — OZ^

Z\'M

b. Z\' M

Z\' M — CM e — ÖZ^)

73

waarin f den kortsten afstand CZ\' van het influencerende punt tot aan
hel bol-oppervlak , waarvan het segment F een deel uitmaakt, aanduidt,
welken afstand wij in Thomson\'s methode k genoemd hebben, terwijl
het aldaar voorkomende beeldpunt e hier met het punt Z\' zamenvalt.

Voor het tweede gedeelte verkrijgt men

— _ (e^ Z\'M.GM)b _ (2ro — f) b. Z\' M
—OZ^) ~ ~ 0G^|/(b2 —0Z2)\'

Daardoor verandert (VI) in
— i rj — NGM 1

2 ^ — bgtg

_ (2ro — f) b. Tl M

r^^ —NG®\'eOG2»/(b®~OZ2)

of

Voor elke andere hgging van het punt G in de as van het segment
laat zich uit (V) of (VI) een dergelijken vorm voor de electrische
digtheid afleiden, zoodat in het algemeen

f(2ro—f)fl ,

bgtg

waar, ingeval het punt G buiten het bol-oppervlak ligt, de middellijn
2ro negatief moet worden genomen. Deze uitdrukking is identisch met
de som der digtheden in (2) en (3) § 21 volgens Thomson, als men
q = 1 stélt.

Wanneer de punten G en N zamenvallen, volgt uit (43) onmiddelijk

4

2^3 r 2

waarin ook (56) na substitutie verandert, dat is gelijk aan de som
der electrische digtheden in (16) en (17) § 6.
Ligt het punt G op het verlengde oppervlak van F, dan zal

V OOi J

n

° \' ~ e 0CV(b2 - OZ^)\' Z\' U. M Z

2e r rUI?_b^

fag — QZ3\' "^\'aafdoor (VI) -wordl

^ OG^ b® — OZ^ ~ 0C2 b^_ 0Z2\' " ^ ^

hetgeen de formule (14) is in Thomson\'s methode, § 5.

§ 23. Om uit (VI) de waarde der electrische digtheid op de met
den grond verbondene cirkelplaat af te leiden, behoeft men slechts
« = — 1, (7 — 0 ^ — oo te stellen. Alsdan wordt

^/(l — <7/) ~ 1/(1 — ^o\') |/(1 — (70®) \'

zoodat het eerste gedeelte van de waarde der digtheid overgaat in

. ^_ hola

Het tweede gedeelte laat zich aldus herleiden

1 ^^ - 1 1 O- V

e® K ^/(l — ~ e® > K K(1 — ^o^)

1 ^ -1-1___L.

1

Alzoo verkrijgt men voor de electrische digtheid q in het punt
(O, fi, ijj) op de afgeleide cirkelplaat

^--re^TvVr l/K^^BtgjTKj\' • • •

waar K gelijk is aan het vierkant van het quotiënt van den afstand
der punten (O, i//) en ((Tj , fi^, ijj^) door den straal e der cirkel-
plaat, de bgtg tusschen H-en — ^gelegen, en fx, alleen positief

mag worden genomen, hetgeen geheel met het vroeger gevondene
(§ 11) overeenstemt.

Ingeval het punt G zich bevindt in het vlak der cirkelplaat buiten
den rand

ö

75

eh de digtheid in het punt O

«-\'.UU" e,«

overeenkomstig met (14) § 5.

Wanneer het punt G hgt in de as op den afstand f van de cirkelpiaat

f .

zoodat de digtheid

5 .ü

of

OG . n ^^ , OG

TT^.OG^ I K(e2 — M02)

ook weder de som der electrische digtheden in (29) en (30) § 7.

§ 24. Uit (VI) laat zich ook de waarde der electrische digtheid
van de lading, op het afgeleide bol-oppervlak door het daarbuiten
gelegene massapunt G geïnduceerd, bepalen. Daartoe schrijve men (Vi),
opmerkende dat hier a 1 , onder den vorm

r„2 NG2

OC\'

fc. OG^

Gaat nu het positieve deel van de as der z door G, dan is

a^ — ^

^ (e = 0)

=i(ro NC),

(6 = 0)

e _ 1 _

- e^) - ro ~ ~ ""\'

76

zoodat voor de electrische digtheid in het punt O op het afgeleide bol-
oppervlak de laatste vorm eenvoudig wordt

welke waarde van die in § 2, verg. (8) alleen in teeken verschilt,
alwaar in het uitwendige punt de positieve electriciteits-eenheid was
geconcentreerd.

Ligt het influencerende punt G binnen het afgeleide bol-oppervlak, dan
volgt evenzoo uit (V) voor de electrische digtheid der geïnduceerde lading

r 2_NG2

........w

Deze uitdrukking gaat, als het punt C met het middelpunt N zamen-
valt, over in

.........

hetgeen ook terstond uit (56) gevonden kan worden.

§ 25. Op het einde zijner methode toont Lipschitz de overeenstem-
ming aan van de door hem verkregene uitkomsten met de benaderde
oplossing van het vraagstuk door Green. In de ondersteUing namelijk

dat a 1 en — eene kleine grootheid is, waarvan de hoogere magten

verwaarloosd mogen worden, vindt Green voor de waarde der potentiaal
in eenig punt van het ontbrekende bolvormig segment, die in § 4
door K V is aangeduid geworden, het produkt van de constante
waarde K der potentiaal aan de oppervlakte van hel gegeven bolvormig
segment F met

yS.

Maar uit de vergelijking (IV) § 14 volgt, dat de potentiaal, op F
1 1

gehjk aan^pp-—^ = — , in een punt (tr, i^, of (x, y, z) van

het benedenste segment des bol-oppervlaks B, waar s- en ^ verbonden
zijn door de betrekking (34) § 13

2 / i \\
_g- ^^^^ \\ W beeft. Drukt men verder (Tq in r,, uit,

77

_i/\'/j. 3_ gg\') j.

en substitueert iag =---, 1/(1 —de vergelij-

6 6/

king (34*)

. = i V(aio, K(1 - .0^)) ,

dan komt voor a = \\

welke laatste wegens de betrekking

overgaat m

e2 — x^ — y^

(ro - e^}) (^/(ro^ - x^ - f) - e^)) j "

Worden nu de hoogere magten van — verwaarloosd , dan mag men
voor bgtg (7)= "l ^ — bgtg (y) schrijven -j of

2 2 r„

1

zoodat, terwijl de constante waarde der potentiaal op F bedraagt

\'O

de benaderde waarde der potentiaal in de punten van het ontbrekende
bolvormig segment is

alzoo overeenstemmende met de door Green gevondene.

§ 26. Bij de toepassing der methode van Kötteritzsch op het geval
dat de bolvormige schijf overgaat in den ganschen bol is op te merken

X

78

dat de beide even-
wijdige grensvlakken
worden de vlakken
Ti en T^ rakende
den gegeven bol in
de uiteinden der mid-
dellijn, waarvan het
verlengde gaat door
het influencerende
massapunt Q, en de
electrische beelden iB
en aB dezer vlakken,
die nu geheel binnen
het electrisch beeld
F van het gegeven
bol-oppervlak gele-
gen zijn, en dat beeld
in de punten B^. en
B^ raken, niet meer

in aannaerking komen. De beide electrische massa\'s aG in het middelpunt

aQ

G des bols en — -y in het beeldpunt van Q geconcentreerd gedacht,

die met het massa-punt Q op het bol-oppervlak met den straal a, ten
opzigte waarvan het electrisch beeld is geconstrueerd, de constante
potentiaalwaarde G opleveren, moeten nu op F aequivalent voor alle
punten daarbuiten worden overgebragt.

Door het overbrengen der massa aG ontstaat op F eene electrische
lading, hebbende de constante digtheid

h^G

4.7ra®

Daar verder f afstand van het middelpunt G is, waarop een
aQ

electrisch massa-punt y in het van G naar Q gerigte gedeelte der

as zou moeten gelegen zijn, om op het afgeleide boloppervlak F
eene lading te induceren, die in alle punten buiten F dezelfde

aQ

potentiaal heeft als het electrisch beeld--^ , zal in een punt O\'

79

aO

van F, dat op den afstand t van het massa-punt ligt, de digtheid
der lading, ontstaan uit de voor uitwendige punten aequivplent

aQ

overgebragte electrische massa--j- zijn

^^ f2 _ t
___h_h^___h2_ Q h2(f2—h^)

4jra®

V^I

h®

l=:V/(f2._2 fh cos^ h^) d\'e afstand van Q tot het punt O, beeld-
punt van O\'.

a®

Na vermenigvuldiging van q^ q^ ^ verkrijgt men voor de
electrische digtheid ^ op den gegeven bol in het punt O
G Q t \' — h^

4-7rh ^nh F

waar h de straal des bols, f de afstand van het infïuencerende punt

tot het middelpunt, j-j- de constante digtheid der vrije, het tweede

deel van q de digtheid der gehondene electriciteit, hetwelk overblijft,
wanneer de bol wordt afgeleid, in welk geval G = 0.

I

SLOTWOORD.

Nog een enkel woord over de methoden zeiven.

Die van Beer en Green zijn alleen benaderings-methoden. In die van
den eersten wordt namelijk voor de potentiaal V der lading over het
gegeven bolvormig segment in het middelpunt van het ontbrekende
segment genomen het verschil der constante potentiaalwaarde K over
den geheelen bol en die van het ontbrekende segment; alzoo het ge-
geven segment daarbij beschouwd als bevattende eene lading van con-
stante digtheid q, terwijl tOch de digtheid veranderlijk is.

Eene andere onnaauwkeurigheid , die ook bij Green voorkomt, bestaat
daarin, dat in de plaats van het ontbrekende segment komt hel cirkel-
vlak , dat den rand tot omtrek heeft.

Naarmate echter de grootte der opening afneemt, hebben beide minder
invloed op de juistheid der methoden.

De methoden van Thomson, Lipschitz en Kötteritzsch zijn alle drie
mathematisch juist. De eerste dezer munt uit door de eenvoudige
wijze, waarop rnen lot de uitkomsten geraakt; de tweede, waarin
benevens de electrische digtheid ook de uitwendige potentiaal en de
grootte der geïnduceerde lading voorkomen, is diepzinnig en zeer
werkzaam; de derde staat, doordien de vorm des geleiders, waarop
zij betrekking heeft, een andere is, niet zoozeer in verband mei de
overige methoden, en is meer theoretisch dan praktisch.

STELLINGEN.

I.

Green\'s methode ter bepahng der electrische digtheid bij gewone

verdeeling in een willekeurig punt van de oppervlakte eener geleidende,

zeer dunne bolvormige schaal, waarin zich eene kleine, cirkelvormige
opening bevindt, is onjuist.

II.

Overeenstemming van de uitkomsten der methode van Green, wat
de electrische digtheid betreft, met die van de methode van Beer heeft
er in zooverre plaats, en kan er ook slechts in zooverre plaats heb-
ben, als dat twee waarden a en x, met betrekking tot eene zelfde
grootheid niet met elkaar in strijd zijn, wanneer zij beide kleiner dan
of hoogstens gelijk aan eene zekere. grenswaarde b zijn.

8-2

III.

De methode van Thomson, die de waarde der electrische digtheid
aan elke zijde van het bolvormige segment afzonderlijk geeft, is ook
wegens hare eenvoudigheid boven die van Lipschitz te verkiezen.

IV.

Zoo men ook de Wiskunde onder de natuurwetenschappen wil rang-
schikken, is die van alle natuurwetenschappen degene, op welker gebied
men het minst aan dwaling is blootgesteld.

V.

liet is wenschelijk dat de theorie der kogelfuncties van Laplace,
wegens hare toepassing in Physica en Astronomie, meer beoefend worde.

VI.

Les causes primordiales ne nous sont point connues; mais elles sont
assujetties à des lois simples et constantes, que l\'on peut découvrir
par l\'observation, et dont l\'étude est l\'objet de la philosophie naturelle.

Fourier.

vn.

De verklaring, die Gauchy geeft omtrent de dispersie van het licht
is niet in alle opzigten aannemelijk.

am

83
VIII.

De wet van Dulong omtrent de soortelijke warmte is niet vast
genoeg gegrond, om daarop eene nieuwe chemisciie theorie te bouwen.

IX.

Ook bij electriciteit moet men denken aan eene werking van een
medium.

X.

De natuurlijke kwarts is niet uit den gesmolten toestand gekristal-
liseerd.

XI.

liet gehalte der dampkrings-lucht aan koolzuur is in den loop der
Lijden veranderlijk.

XII.

Het is niet mogelijk eene scherpe grens te trekken tusschen de begrip-
pen : individu en kolonie.

XIII.

Hel zoogenaamd vormloos zetmeel is in de planten, waar het voor-
komt, niet door kunstmatige drooging ontstaan.

XIV.

84

Bij de nieuwe reoeliog van hel flooger Onderwijs is hel wenschelijk,
dat aan één der drie Rijks universiteiten een observatorium voor Phy-
sische Astronomie verrijze.

B E E A T A.

T .

JÄ

^ •<j:mi M\'

yi

it

r

m

L

\'I t

t

r.t\'\' t

wM^ :

s

■! H - -