ONDERZOEK

DER

TRILLENDE PLATTE YLIEZEN.

^ 4k^ \' Vi^ ^ /

ONDERZOEK

der

TRILLENDE PLATTE VLIEZEN.

TEH VERKRUaiNG VAN DEN GRAAD VAN

DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE,

AAI DE HOOGESOHOOL TE UTRECHT,

NA MACHTIGING VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS

D^ C H. C. GRINWIS,

GEWOON HOOGLEEBAAR IN DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE,

^ET TOESTEMMING VAN DEN ACADEMISCHEN SENAAT

VOLGENS BESLUIT VAN DE FACULTEIT DEE WIS- EN NATUURKUNDE,

TE VERDEDIGEN
Op Donderdag , 24 Juni 1875, des namiddags ten 7 ure,

DOOK

lACOBUS CORNELIUS KAPTEYN,

GEBOREN TE BAKNaVKLU.

BARNEVELD,
P. ANDRERE MENGER.
1875..

il ! } k n \'-f M

Ul J \'^.il j

m

^Ehjci naljn© Ouders.

Gaarne betuig ik, by het in \'t licht geven van dit
geschrift, openlik mgnen dank aan de Hoogleeraars in
de Wis- en Natuurkundige faculteit voor hetgeen zg
gedaan hebben voor de ontwikkeling van mgn ver-
stand.

Aan U in de eerste plaats, Hooggeleerde Grinwis,
die het wel op ü hebt willen nemen mijn Promotor te
ziju en die nooit, gedurende mgnen geheelen studietgd,
in gebreke waart in alles wat in Uwe macht stond, my
de behulpzame hand te reiken.

U, Hooggeleerde Buys Ballot, hartelyken dank voor
al wat ik van ü leerde en wat Gg voor mij hebt
gedaan.

En Gy, Hooggeleerde Van Rees, die, na het eindigen
van Uwen loopbaan als Hoogleeraar nog t^d en moeite
overhad, om ook mg in de stndie der Mechanica in te
leiden en die zoo bereidwillig Uwe hulpmiddelen ter
mgner beschikking heb gesteld, wees overtuigd van
mijne erkentelgkheid.

INHOUD.

Bladz.

Hoofdstuk I. Inleiding.............I

§ 1. Doel van de studie der trillende vliezen . 1

§ 2. Historisch overzicht................2

Hoofdstuk II. Rechthoekige vliezen..........6

§ 1. Analytische voorstelling der quaestie . . 6
Oplossing door particuliere integralen . . 7
Algemeene oplossing voldoende aan voor-
waarde (2)....................7

Bepaling van de constanten A en B . . 9

Andere oplossing.........12

Rangschikking der toonen en knooplgnen
van het rechthoekige vlies, waarvan de
vierkanten der zgden onderling onmeet-
baar zgn...........13

Het vierkante vlies . .......16

Enkelvoudige toonen die het vlies geven kan. 16

Knooplgnen...........20

Rechthoekige vliezen waarvan de quadraten

der zgden onderling meetbaar zgn . . 28
Hoofdstuk III, Vliezen van den vorm eens gelgk-

zgdigen driehoeks........30

1.

inhoud.

Bladz.

Algemeene oplossing........30

Invoering van nieuwe coördinaten . . . 30
Algemeene oplossing Toor nog onbepaalde

begintoestand . ,.......32

Bepaling van de constanten A uit den be-
gintoestand . . . . ......38

Oplossing ingeval ook de beginsnelheid

willekeurig gegeven is......51

Rangschikking der toonen. Knooplgnen .
Groepeering der enkelvoudige toonen en
bepaling van het aantal termen behoorende

bij denzelfden toon........

Oplossingen in geheele getallen van de
vergelijking ^ 4- = m\'. .
1 ft en 1/ onderling ondeelbaar . .
ft en V hebben een\' gemeenschappe
lijken factor ....
Toonen van gelijke hoogte.

b. Knooplijnen.......

Hoofdstuk IV. Cirkelvormige vliezen .
§ 1, Invoering van poolcoordinaten

Afleiding der algemeene oplossing, welke

voldoet aan de voorwaarden (3) en (4)
Bepaling der constanten A en B . .
Rangschikking der toonen. Knooplgnen

Behandeling der vergelijking

1 —

l.(n 1)

Vlies begrensd door twee concentrische
bogen en twee stralen......

94

inhoud.

Bladz.

Hoofdstuk V. Elliptische vliezen......96

§ 1. Invoering van nieuwe coördinaten ... 96

§ 2. Particuliere integralen van (15) .... 100
§ 3. Ontwikkeling van Pj en Pj en de daarbg
behoorende R\'s volgens de opklimmende

machten van cf........102

§ 4. Bepaling van Q en vorm van de waarde van w 107

§ 5. Algemeene oplossing ....... 110

§ 6. Enkelvoudige toonen. Knooplynen . . 114
Hoofdstuk VI. Vergelijking der uitkomsten van

theorie en waarneming......117

§ 1. Voorloopige opmerkingen......117

§ 2. Overzicht der theoretische uitkomsten voor

het vierkante vlies.......119

§ 3. Resultaten der theorie voor het cirkelvor-
mige vlies..........120

§ 4. Proeven van Savart.......122

§ 5. Proeven van Marx........123

§ 6. Proeven van Bourget en Bernard . 128

§ 7. Invloed van den tegenstand der lucht . . 135

/mMC\'M^

HOOFDSTUK 1.

inleiding.

§ 1. Doel van de studie der trillende vliezen.

Waar wij eene mathematische theorie met de proeven
te vergelijken hebben, zal zich steeds de zwarigheid voor-
doen , dat de lichamen van de natuur niet volstrekt vol-
doen aan de voorwaarden, waarop de theorie is gegrond
en waarvan wij wel genoodzaakt zyn uit te gaan om niet
te stuiten op onoverkomelijke analytische bezwaren. Bij
de benadering, waarmede wij ons dus moeten tevreden
stellen, hebben wij recht des te nauwkeuriger overeen-
stemming tusschen proeven en theorie te verwachten,
naarmate het lichaam waarop wg experimenteren, minder
verschilt van de abstractie, die wij theoretisch kunnen
nagaan. ■— Om deze reden is de studie der vliezen zeer
belangrijk voor de theorie der Elasticiteit, die eene zeer
kleine dikte en volmaakte homogeniteit eischt; zij zijn
in dit opzicht boven de platen te verkiezen, by welke de
dikte nooit onmerkbaar, de homogeniteit twijfelachtig en
de wijze van ondersteuning gebrekkig is.

Behalve dit is eene studie van de trillende vliezen
onmisbaar in de theorie van het gehoor, welke natuurlijk
zich daarop moet basereu.

k.

1

§ 2. Historisch overzicht.

Niettegenstaande dit hebben zoowel wiskunstenaars als
natuurkundigen zich in de eerste plaats bezig gehouden
met de platen en dateert eene grondige beschouwing der
vliezen eerst van den laatsten tijd.

Wat de vorige eeuw ons daarover opleverde is van
weinig of geen beteekenis en wordt door P o i s s o n als
»quelques essais infructneux" gekarakteriseerd, hoewel
daaronder stukken voorkomen van L. E u 1 e r. Deze laatste
gaf zelfs reeds de vergelyking der platte vliezen 1), maar
het bewijs daarvan liet te veel te wenschen over om
daarop eene volledige theorie te bouwen.

Ook de proeven in dien tijd op vliezen gedaan, hebben
weinig waarde.

De proeven toch van Riccati en Euler worden door
C h 1 a d n i afgekeurd en wat hy zelf daarover in zijne
Akustik geeft, bepaalt zich tot gissingen.

Wij kunnen dus aannemen dat de wetenschappelijke
behandeling van ons onderwerp begint met het proef-
ondervindelijk onderzoek van Savart en de mathemati-
sche beschouwingen van Poisson.

Van dezen laatsten bezitten wy twee verhandelingen
over elastische lichamen. De eerste dateert van 1812 en
is opgenomen in de mémoires de VInstitut de France van
dat jaar. Hij leidt daarin de algemeene vergelijking af
voor het evenwicht en de beweging der elastische opper-
vlakken, welke ook reeds eenige jaren vroeger door
Sophie Germain was gevonden. Het bijzondere geval
van de platte oppervlakken geeft hij daarin niet. Hiertoe

1) Nov. commentat. Academ. Petropolit. Tom X.

3

gaat liy eerst over in zijne tweede verhandeling 1), het
eerste grondige werk over de theorie der trillende platte
vliezen. Het is in dit werk dat de strenge afleiding van
de vergelijking

d^w „ /d^w d^w-^
___ _ /"i

/cLw dw\\

dt\'^ ydx"^ dy\'\'
wordt gegeven, welke de grondslag is van de theorie.

Bij de integratie daarvan bepaalt Poisson zich tot
het algemeene geval van het rechthoekige eu een bijzon-
der geval van het cirkelvormige vlies (n.1. het geval dat
10 in bovenstaande vergelijking slechts functie is van t
en r en niet van 0, waardoor de diametrale knooplijnen
worden uitgesloten.) Hg stelt zich tevreden met het af-
leiden der algemeene wetten en treedt niet in de details
van eene classificatie der toonen en knooplgnen.

Lijnrecht, in strijd met de door Poisson gegevene
theorie, welke voor een bepaald vlies slechts ééne serie
van toonen toelaat, zgn de waarnemingen van Savart
een paar jaar vroeger gedaan, met het oog op zijne theorie
van het gehoor. Hij vindt dat een vlies elke willekeurige
toon kan voortbrengen en breidt dezen regel zelfs uit
over alle lichamen, zoowel de snaarvormige als die waar-
van alle drie afmetingen van dezelfde orde zijn. Eerst iu
den allerlaatsten tijd is door de proeven van B o u r g e t en
Bernard, de dwaling van Savart bewezen en de oor-
zaak daarvan aangetoond. Wg komen daarop terug als wij
de proeven met de uitkomsten van de theorie vergelijken.

1) Mémoires de l\'Institut VIII !839. Behalve deze twee verhandelingen,
bestaat cr nog eene van Poisson, voorkomende inde Annales de Chimie
et de Physique t. 37 pag. 837. Deze , gewoonlijk de kleinere genoemd in tegen-
stelling met de bovengenoemde, lieten we onvermeld omdat zij slechts een
overzieht is van de resultaten der grootere.

Ondertusschen was bij dit essentieel verschil van proe-
ven en berekening een nader onderzoek van de quaestie
dringend noodzakelijk. Toch is er, behalve de proeven
van Marx, 1) die minder de bevestiging van de theorie
op het oog hadden, zoo goed als niets over de vliezen
geschreven, totdat het vraagstuk weer door Lamé is
opgevat in zijne Leçons sur VElasticité. Daarin geeft hij
de oplossing van een nieuw geval, dat, waarin het vlies
den vorm van eenen gelijzijdigen driehoek heeft, en waarbij
hij groote analytische netheid bereikt door het invoeren
van een nieuw soort van coördinaten, voor het eerst door
hemzelf gebruikt in zijne Theorie Analytique de la Cha-
leur. Bovendien geeft hij de volledige ontwikkeling van
het geval der vierkante vliezen.

Met het doel, de uitkomsten door Lamé verkregen
aan de waarneming te toetsen hebben B ourget en Ber-
nard talrijke proeven op vierkante vliezen in het werk
gesteld 2). De resultaten van dit onderzoek verdienen,
om de zorgvuldige wyze van waarneming , alle vertrouwen.
Ook de cirkelvormige hebben zy aan proeven onderwor-
pen , nadat eerst de theorie daarvan door Bourget 3)
geheel algemeen is ontwikkeld en de berekening der
numerische waarden van de afmetingen der knooplynen
met hunne correspondeerende toonen met veel zorg is ge-
geven. Door deze proeven zyn de beweringen van Sa v ar t
voldoende wederlegd. Toch geven ook deze proeven eene
afwijking van de theorie, die misschien daarin zyn\' grond
heeft, dat in de algemeene vergelijking waarop de theorie

1) Schwcigger—Seidels Journal, Bd 65 en 66 (5 en 6 .Se serie."»

2) Annales de Chimie et de Phys. 3e serie t. 60.

3) Annales de 1\'BooIe Normale [11 1866.

is gebaseerd de weerstand van de lucbt niet in aanmer-
king is genomen. Wy komen hierop terug in het laatste
hoofdstuk.

Behalve aan de werken van genoemde auteurs, herin-
neren wy aan de theoretische behandeling van de platte
vliezen van Riemann 1) en Mathieu 2). Aan dezen
laatsten zijn wij nog de behandeling van het elliptische
vlies 3) schuldig. De talrijke analytische bezwaren aan
dit geval verbonden, zyn gelukkig door den auteur over-
wonnen; wy stellen ons voor in het 5" hoofdstuk daar-
van een overzicht te geven.

In het voorgaande gaven wy een overzicht van hetgeen,
voor zoover ons bekend is, over de trillende platte vlie-
zen is geschreven. Wij willen nu achtereenvolgens de
verschillende vormen van vliezen behandelen, voor welke
de integratie gelukt is, om daarna de resultaten van
proefneming en theorie te vergelijken.

1) Partielle diff, Gleichnngen 1869,

2) Cours de Physique Mathématique 1873.

3) Liüuville. Jonrual de Mathématique 13, 1868.

HOOFDSTUK II.

KJiCHTHOEKIGJü VLIEZEN.

§ 1. Analytische voorstelling cler c^uaestie.

Wij beschouwen steeds homogene vliezen, van con-
stante zeer kleine dikte en waarbij de krachten, die we
in het vlak van het vlies en loodrecht op den omtrek
aannemen, langs dien omtrek overal dezelfde waarde
hebben.

Leggen wy een loodrecht assensysteem in het vlak van
het vlies, dan is de algemeene differentiaal vergelijking
der beweging (zie Lamé, Leçons sur l\'Elasticité p. llö)-
d?w „ rdho d^w\'

_ 3 ^dho d^w\'\\

^ dy^ J

waarin :

w de oneindig kleine verplaatsing is van eenig punt
van het vlies. Deze verplaatsing is bij de afleiding der
vergelijking (1) aangenomen loodrecht te zijn op het
oorspronkelijk oppervlak.

x,y de rechthoekige coordinaten van eenig punt,
t de tyd.

F

c^ eene constante — - als F de constante normale treK-
9

kracht langs den rand voor de eenheid van oppervlak en
jj de densiteit voorstelt.

Voor het geval van de rechthoekige vliezen, dat wij
gaan behandelen, hebben wij behalve aan (1) te voldoen
aan de condities langs den rand. Leggen wy de assen
langs de zijden van het vlies zoo moet

I rr O voor ^ =r o en y — o
\\w = O » ™ ^ » y — l\'

welke uitdrukken, dat de rand onbewegelijk is. Ook aan
den aanvangstoestand moet worden voldaan, aangezien
natuurlijk zoowel de oorspronkelijke vorm van het vlies,
als de snelheid van elk punt willekeurig gegeven kan
zyn en dus

(3) w ■:=if(ie,y)\\ooxt — o
» tz=zo

§ 2. Oplossing door particuliere integralen.

a. Algemeene oplossing, voldoende aan de voor-
waarden (2).

Trachten wij aan de vergelijking te voldoen door

w " X Y T waarin X eene zuivere functie van x
Y » » » » y
T » » » ■ » t voorstelt.
Brengen wij deze waarde in (1) en deelen wij door
XYT zoo komt

1 (^\'T _ d\'X c\' <fY
Y ^ X d^\' " \' ■ Y dy\'

Het eerste lid hiervan is eene zuivere functie van t,
terwijl het 2® lid alleen cc en y bevat. Elk lid van de
vergelgking moet dus eene constante waarde hebben.
Evenzoo elke term van het tweede lid afzonderlek. Geven
wij aan deze constanten negatieve waarden, omdat de
beweging periodisch zijn moet en zy dus

T \' X \' Y djf

zoo bestaat tusschen de constanten h, k, y de betrekking

De integratie dezer drie vergelijkingen geeft

T =: A cos -f B sin yt
X = C cos lix -f D sin hx
Y rr E cos ky -Y ¥ sin ky en dus
(k) w ~ (A cos 3\'i -}- B sin yt) (C cos hx -f D Sin hx)

(E cos % -I- F sin ky)-
Om nu aan de condities (2) te voldoen, moet, daar voor
X ~ O w =:o wat ook y en t C ~ o zyn
y — O w O » X » E = o»

i

x~l to=zo sin hl —O .•. hl— in Arr^ïi

i\'

y — l\' w ~o sin hl\' = o kl\' — %\'n k =
Stellende dus A D F = k,, en B D F = B-, zoo is
(5) w — cos yt Bj,. sin yt) sin in t sin i\'^ \'^
waarin i en i\' willekeurige maar geheele getallen zyn en

(6), = ,«

9

Ook de som van alle particuliere oplossingen zal vol-
doen aan (1) en (2).

(XJ PO X u

(7) tv = V V (Aji- cos yt Bjj, sin yi) sin in 1 sin i\'n^

i—O i\'~o ^ l\'

b. Bepaling van de constanten A en B zoodanig., dat
aan de voorwaarden 3 en 4 loordt voldaan.

Wij maken nu gebruik van de onbepaaldheid der coëf-
ficiënten A en B om ook de voorwaarden (3) en (4) te
vervullen. Stellende i ~ o in (7) en de afgeleide daarvan,
zoo vinden wg als vergelijkingen voor deze constanten:

/ rv) rsj ^ y

2 2 Ajj. sinw - sin i^n- — f{x,y)Qn

, i = O i ~ O l l\'

(8) (

s s y B;;, sin %n - sin %\'n ± ~ p

i — O ï — O ^ t

Ontwikkelen wg nu de functies van het tweede lid
volgens Fourier\'s methode in dubbele sinusreeksen, zoo
zal de gelgkstélling der afzonderlgke termen ons terstond
de waarde der coëfficiënten geven.

Om de gewenschte ontwikkeling te verkrggen, hebben
wg slechts de algemeene formule van Fourier een
weinig te vervormen, waardoor zg eeneii vorm aanneemt
analoog aan dien van het eerste lid van eene der verge-
lijkingen (8).

Volgens dit theorema toch is 1)

1 r-o c c

9 («, y) ~ —, r r dl dii 9 {l, 7)

^GC ™ — _ f^^ — - —

M — - co M = - os \' —C

nm ,, . nn . .

cos (A—£f) cos — {l*\'~y).

c c\'

1) Zit\' O. a- Riem a nu. Partielle Diff. Gleiohuiigen p 93.

10

Veranderen wij de somteekens in andere, die zich,
evenals die van (8), van O tot uitstrekken, zoo heb-
ben wij algemeen

iN^ rsj

^ A cos mh cos nh ~

m — -(X> n — -oo
<:<> r O CVJ

~ ^ A cos mh
-f>0
^ cos nk ^ cos nk
-c^ O

rsj rsj oo fv;

— \'2 ^ A cos mh cos «yb — 4 â cos mh cos nk

. ^ 0 m rr 0 M rr 0

en dus kunnen wij schreven
1 fv;

ƒ" J\'" dl d^ <p i^.ß)

C & ta —0 n—o — c — C\'

mn ,, , n^

- —X) cos

Als wij nu aannemen dat 9 (j;, ?/) slechts voor positieve
waarden van de veranderlijken gegeven is, zooals dit in (8)
het geval is, zoo laat deze formule zich vereenvoudigen.

Ontwikkelen wij de cosin. en schrijven de x\'s en y\'s
buiten het integraalteeken zoo komt

1

X

9 i^^y) =

cx\'

nny

mnx

2 s cos -COS ^^ pc dl cos — n- cos

c c\' C C\'

, „ „ . mnx . nnu ^ „ . m^K p, . nnft- \\

-[- s .2- sin-sin -— ƒ di\' sm-y ^ dii sin — <P W

f " d^i cos
c\' ^ . c c\'

f. C ^ ^r C .. C J

11

Daar nu f (.c^y) slechts voor positieve waarden van
X en y gegeven is, kunnen wij hare waarde voor nega-
tieve x\'s en IJS geheel willekeurig nemen. Nemen wij
<p {x,—y) — 9 {x,y) dan wordt

/ COS -9 (k,iA dl»- =

\'\' -O\' a\' ^ \'

J\\ cos ÜÜ^! <p{l.i>\\di»\'-^ r <p {l,!^) di^ —

& O C\'

/ ^ 7/ \\ /^o\' .

f ^ cos -- t,/^ — 9 rfi" =

/\'\'"" nnfi , , /», nniA

^ cos —L éV\' J \' cos -y s® {k.^11) dii o,

af ö ^

terwyl

\'\' . nnu

-O- Sia — <f> M d(l —
c

J\\ sin ^ p sin!^^ ^^ d, rr

c\' Cf

2 sin —\' a.(i) dii.
^ O c\'

Bygevolg als wy de integralen in (i nu vóór die vau
X schrijven

2

"P = — X
cc\'

\' V • mnx . nny /\'c . nnn ^c . mnl . ^ ,,

2 .S- sin-sin sm dn P sin — 9 (^,/it) d^

c c\' " c c

mnx . n-nry ^c- ■ nn\\i mnX

4- 2 i cos — sin —2 r sin —i / cos-f dX

c c\' \'\' O c\' c

Zy nu alweer, daar <p {x^y) voor negatieve x\'s wille-
keurig is

12

9 (—«,</) = — 9 (»,?/) dan is eveuzoo

. mnl , ,, o / " ■ \'^Tii v 7,

J sin-9 {}■}*) dl —zj^ sin-9 {l,^) dl en

c

J cos <p d^ — 0. Daardoor is dan eindelgk

—C C

4 , mnx . nnij 0 ..c

n—o n=o

. mnl . TLnii „ N t: J
sin-sin —^ 9 f^) dl di^.

G C\'

Dit is de vorm dien wg zochten en die analoog is met
het voorste lid der vergelijkingen (8). Willen wij ze
volmaakt in overeenstemming brengen zoo behoeven wij
slechts te nemen

orr^ m=i m\'—i\' en snccessievelgk f—f of

en eindelijk

A,= ^ ff sin sin J- / (A dl d,

lil tJ O ^ O I l\'

-R 4 ^V . inl _ inii \\ j-i 1

Oit / / sin sin F (A u) dl d(i

lil J o\'J 0 I l\'

waardoor de coëfScienten in (7) gegeven zgn en dus w

geheel en al is bepaald.

§ 3. Andere oplossing.

Wg kunnen de oplossing van het voorgaande vraag-
stuk ook anders geven, waardoor beter in het oog zal
vallen in hoeverre het gevonden resultaat algemeen is.
Wg zullen vinden dat (7) algemeen is, onder de eenige
aanname dat na eenigen tgd het vlies zijne vorige ge-
daante herneemt. De duur dezer periode zg 2

De integraal van (1) is eene functie van x-, ^ \'
nemen wij w=z<P {x, y, t) dan behoeft men deze func-
tie slechts te zoeken tusschen de grenzen

13

- 4 ^ r\'l /- i\' r\'n . mnX .

9 («, y, f) ~ —- J JJ sin —- sin

Lin ^ O O O -71 L

. mnX . Vttm

Sin ~ - sin - cos p {v~f) <p (X,/x, v) dl di* dv.

Deze is steeds ~ o voor x — o en y = o
en ook voor n~l y ~ï aangezien

m en n geheele getallen voorstellen. Ontwikkelen wij
hierin de cos. in aanmerking nemende dat de bepaalde
integraal = constante, dan is

<p {x, y, t) — ssr sin--sin —^ [A cospi5 B sin pt\\.

l i

Zal nu deze functie voldoen aan de vergelijking (l)
zoo moet v — cn 1/ < 2L-. z. a. wii terstond vin-

den door de functie in (l) te substitueren.

De coëfficiënten worden weer berekend evenals bij de
vorige oplossing. Eindelgk blijkt dat v t) — (p [t) en

(p{2n — t)~(p{~-t) zoodat de gevondene oplossing, die
geldig is tusschen de grenzen — men ji, buiten die gren-
zen periodisch wordt.

§ 4. Rangschikking der toonen en knoop-
lijnen van het rechthoekig vlies waarvan
de vierkanten der zij den onderling
onmeetbaar zijn.

Wij vonden (zie fonn. (7) ).

14

(7) W=: s s (A;;, COS yt Bji sin y t) sin in ~sin i n\'L

i t

Elke term hiervan kan geheel alleen bestaan als de
begintoestand een bijzondere is; want hadden wij in de
form. (10) gegeven

X y

K sin sin k\' n \'r-

y

F (.«,y) rrr H sin kn-^^ sin k\' n ^

zoo zouden alle A\'s behalve A^^
en alle B\'s behalve B^j.
verdwijnen omdat steeds alle integralen als deze

• J ^ • 7 ^ ,

Sin /!; - sin k\' „ - dl

Elke term van (7) stelt dus eene mogelijke vibratie
voor waarvan de periode is (vgl. form. (6) ).

2n 2

-en het aantal trillingen per

c (/ l!. seconde

r

V\'

N {ii\') = c iXil , waarin de notatie

^ ■ 2 p i,^

N (^■ i\') aanduidt de hoogte van den toon, gegeven door
den term waarin de beide getallen i en voorkomen.

Het aantal toonen, dat een rechthoekig vlies kan voort-
brengen, is dus even groot als het aantal van elkaar ver-
schillende waarden van y, dus in het algemeen oneindig.
Willen wij deze toonen ieder afzonderlijk beschouwen,
zoo wordt daartoe vereischt alle termen iu de form. (7)
te vinden, die denzelfden toon voorstellen of m. a. w.

15

alle waarden van K en K\' te vinden, die voldoen aan
de vergelijking

y P 7F
Schrijven wij deze

i\'^ — K\'^ rzr (K^ — i") ~ zoo blijkt terstond, dat,

L

als P en V^ {I en l\' de zijden van het vlies) onderling
onmeetbaar zijn, het eerste lid een geheel en het tweede
een onmeetbaar getal is. Aan deze vergelijking kan dus
niet worden voldaan, dan door K — i, K\' — zoodat
met elke toon slechts éen term correspondeert. Alle toonen
van het rechthoekige vlies, waarvan de vierkanten der
zijden onderling onmeetbaar zijn, vormen dus oneindig
veel reeksen, analoog met die van de snaar. De grond-
toon van elke reeks is een toon N i\') waarin i en i\'
betrekkelyke priemgetallen zyn, terwijl alle overige ter-
men derzelfde reeks worden voorgesteld door .N(m?\', m??).

Met eiken toon correspondeert één enkel systeem knoop-
lijnen, waarvoor in

tv (A;;. cos yt 4- B^j, sin yt) Sin --sin i\'n-

V t

op elk oogenblik (dus onafhankelijk van t) tv ~ o is.

De meetkunstige plaats der knooplijnen is dus gegeven
door

sin in - sin in ± zzz o
l l\'

waaraan voldaan wordt door

16

y — o
t

De eerste en laatste waarden van beiden, stellen den
rand voor; de overige i — 1 en i" —■ 1 lijnen respective-
lijk // de zijden.

§ 5. Het vierkante vlies.

a. Enkelvoudige toonen die het vlies geven kan.

Bij het vierkante vlies is l ~ l\' ~ a.
2a

T=-

^ \' 2a

De termen, die denzelfden toon geven als N {i i\') moeten
voldoen aan de vergelyking

Om alle oplossingen hiervan te vinden schrijven wij

f i\'^ ={i->r i\' l/—1) (i — i\' l^—l).

Ontbinden wij nu elk dezer twee complexe factoren in
zijne priemfactoren , aldus :

i 4- f — („ ^ («, V— 1)\'\'. . <r qr
i __ i\' i/_l ^ („ - ^ py-iy («, _ i/-1)*. . . q,^^
waarin de q\'s de rëeele priemfactoren zijn, die zich niet
in complexe factoren laten ontbinden, d. i. niet gelijk
zijn aan de som van twee quadraatgetallen. Volgens be-
kende theorema\'s uit de getallen theorie zijn deze alle

17

van den vorm 4 -}- 3, aangezien alle rëeele priemgetallen
van dien vorm ook complexe priemgetallen zyn en die
van den vorm 4 n -j- 1 zich steeds laten voorstellen als
de som van twee vierkanten of, wat hetzelfde is, als het
product van twee complexe factoren. Behalve deze factoren
kan eenig getal dan nog slechts als ondeelbare factor het
getal 2 hebben dat zich laat schrijven
(1 1/ — 1) (1—[/—1). Bij gevolg iaat zich r schrijven
rr- z^ (« y-lf U, ft

(«i-AvZ-l)\'\' . . q^\'qi""\'-

Het product van alle complexe factoren laat zich hieruit
gemakkelijk op verschillende wgzen als het product van
slechts twee complexe factoi\'en schrgven. Om alle wijzen
te hebben waarop dit kan geschieden behoeven wg slechts
te schrgven

i"^ — q"\' q^i . . (m ni/—l)(m—rt)/—1)
en dan te nemen voor m n —1 een product bestaande
uit factoren waarvan er een genomen is uit elk paar
factoren <* /3 — 1. Het product der overblgvende fac-
toren zal dan m—n —1 zgn. Doen wij dit zoo dikwijls
als mogelijk is, zoo vinden wg -f 1) (ibi 1) . . .
wijzen, waarop t in twee complexe factoren
{m n xy—1) q^ qv\\ . . en {m—n —1) <7/ . .

kan worden ontbonden en dus hetzelfde aantal voor de
wijzen waarop

r ~ 1? a- (m® H- n^) g^» q^^" . . =r (m q" q/ . .f

{n qp . .f rr:. A\'^ -f- B^

kan worden gemaakt.

Hiermede is dus het vraagstuk opgelost. Nemen wg
als voorbeeld r = 85

2

18

85 = 5. 17 - (2^ 1) (4\' 1) — (2

(4  (2_i/_l) (4_i/-l)

(2 ]/--l)(4 .f.]/—1)=:7 4-61/ — 1 dus is de andere factor

7—6 y—l 

(2 1/ —1) (4—1/—1) =9 2 i/-—4 dus is de andere factor

9 -2 1/—1 = f 2\'

(2—1/—1) (4 -f i/—1)-:-9—2 t/—1 dus is de andere factor

9 2 K—1 m\' -L = 9\'
(2 — 1/\'—l) (4 ~i/—1) ~ 7—6 v/—1 dus is de andere factor

7 6 i/—1 m^ -}- = 7-2 - 6^

Rangschikken wij nu de toonen, die het vierkante vlies
geven kan. Ook hier zijn oneindig veel reeksen van toonen

mogelijk. De laagste term van elke reeks is — V^v

waarin r een getal is, dat niet door een quadraat deel-
baar is en gelijk is aan de som van twee quadraten.
L a m é noemt r het argiiment van de reeks en noemt
het enkel, dubbel enz. naarmate r zich volgens het voor-
gaande op één, twee enz. wgzen in de som van twee
vierkanten laat ontbinden. De andere termen van elke
serie worden gegeven door de formule

N — m ~ l^T

2a

waarin m elk geheel getal kan zijn.

Behalve deze reeksen is er nog eene onvolledige reeks

\'5 - 10 - . . . - . . .

2a 2a ^ ^ 2a

waarvan het argument 1 is.

Van al deze toonen hebben alleen die waarin i =« i®
éénen term. Elke andere toon waarvoor r ^ heeft
minstens 2 termen, de ééne waarin i = n, = /ï ^^

19

andere waarin ^=r/3, ?\'\' = «. Dit duidt Lamé aan door

de notatie N i welke dus beteekent dat de toon N

de twee termen N {i i\') en N (?? ï) beeft. — In \'t alge-
meen heeft een toon evenveel termen als de vergelijking

-:r r TO^ oplossingen heeft. Zoo heeft de toon — i,/85

2a

vier termen. Wij duiden dit aldus aan:

De toon 13 1 i/85 — ^ ^ISI\'-\'.SS heeft 10 termen
\'2a 2a

want:

13285 = 132.5.17 — (22 3^)2 (2^ l^) (4= P) —
— (2 3 ƒ (2-3 p^—lf (2 4- IP--1)

(2-1/-1) (4 1/-1) 4-1^-1)
(2 3 1^—1)2(2 sx\'-l) (4 1/-1) ™ — 107

54 13^.85 — 107\' 542

(2-4-3 f (2 i^-l) (4—=r — 69

98 1 692 98^
(2 3 lx"-1)2 (2-1^-1) (4 1/-I) — — 21

-f II81/—1 2P 118^
(2—3 (2  (4  — _ 107

54I/—1 107^ 542
(2 4-3 (2-1X--1) (4-1^—1) = 107-

-_541/—1 542-1-1072
(2—3 i^—ly (2 H- 1^—1) (4-1/—1) 21 -

— 1181^—1 118^ 212
(2—3 y^—lf (2—1) (4 4- l^—i) =z 69—

—98 98^ -4- 692

(2—3 l/ —1)2 (2-11^-1) (4—1/—1) = 107—

—541/—] ••• 542-f 1072

20

(2 3 I/-1) (2-3 (2 -4- 1) (4 1^—1) "

rr- 13 (7 6 l^—1)9P 78=
(2 3 1/-1) (2-31^—1) (2 i^—l) (4—1^-1)
--13 (9 -1)117^ 26=
(2 3 i^ — l) (2—3 l^—l) (2-1/—1) (4 -h IX-—1) —
— 13 (9—2 1/—1)26^ 4- 117\'

(2 3 1^—1} (2—3 (2—1,--

= 13 (7—6 V--—1)78\' 9V
Wij hebben dus de notatie

(54 ) V98

b. Knooplijnen.

Nu wij de toonen hebben gerangschikt en de verschil-
lende termen kunnen vinden, die bij één\' toon behooren,
kunnen wij de knooplijnen beschouwen, welke zich bij
eiken toon zullen voordoen. Beginnen wij bij het een-
voudigste geval:

heeft slechts één term; zal

noe

— (A cos y« _)_ B sin -^t) sin

a a

gelijk nul zijn van voor alle waarden van t, zoo moet

nX . ny

Sin — sin —

Hieraan voldoen op het vlies geene
andere pnnten dan die waarvoor
oc — O oï (f -rz-a

N(I.l)

y — o » yz:::.fi
d. VV. z. er zijn geene andere plaatsen van
randen

21

2\' ~ isr f^^ = 5 heeft twee termen en dus als

V.17 2a

w ~ (Al 2 cos yf Bl 2 sm yi) sm--sin

a a

, Tl • V • ^TTir . nn

(A2.1 cos yt Bj.i sin y t) sin-------sm —^

Ct ct

gelyk nul zal zyn voor elke t zoo moet

7[X \'^Tiy 271X . 7iy

A,sin — sm----- A,, sin -sin-= o

a a a a

nx . ^Tty 2txx . rry

B,2 sin sin —^ B,i sin — sin--= 0

a a a a

of als wy de sinussen van den dubbelen boog ontwik-
kelen

) =

TIX .

sin-sin

a a ^ \' a a

Hieraan wordt in de eerste plaats voldaan door

7IX . T.y

sin —— sin - ~ 0

a a

welke weer uitdrukt dat de randen kuooplynen zyn. De
andere factoren = 0 gesteld geven algemeen slechts één
enkel punt, het middelpunt (zie fig. 2); immers kan

N(?)

22

aan bovenstaande vergelykingen, behalve door de randen,
slechts voldaan worden door gelyktydig

"^y n nx n

— - en —

a \' 2 a 2

1 1

te nemen , d. i. alleen door het punt x — -a, y

In het gewone geval zal de toon N dus slechts het
middelpunt als knooppitni hebben. Is evenwel de begin-
toestand zoodanig dat Aa.! ^i.a — is, zoo worden
de beide factoren tusschen haakjes gelijk. By gevolg zal
in dat geval de kromme

. 7, y . 71X

C0S-- -I-A,. cos — 0.
a a

eene knooplijn zijn. üe vorm van deze knooplijn hangt
af van de constanten ^ en Ai ^
Is de begintoestand zoodanig dat

A].5 = 0, zoo is a ~ ^ Cf d. i, eene middellyn // y as,

eene knooplijn (zie fig. 3)
als = zoo = d. i. eene middellyn Ij x as,

eene knooplijn (zie fig. 4)

als Ai.3 — A2.1, zoo is d. i. de diagonaal tegenover

den oorsprong (zie fig. 5)

als Ai.3 ~ — A2.1, zoo is x-\\- a d. i. de diagonaal,
welke door den oorsprong gaat (fig. 6).
Voor elke andere waarde der constanten is de knooplijn
eene kromme, die door het middelpunt gaat en w^aarvan
de holle kant steeds naar dezelfde diagonaal is gewend,
zoodat zij in het middelpunt een buigpunt heeft.

2a

— N (2.2) = 2 ^ 1/2 heeft slechts éénen term.
2(1

De vergelijking van de knooplijnen is:

N (2.2) . 271e .

sin -— sin ■— — O

en dus

. 2-nM ,, . TtX TiX

Sin — "O 01 sin — cos — ~ o

a a a

deze geeft x — a of x

a

. 2ny p .

sin —- 01 sin -— cos — o

a a a

™ . 1
.-.!/ — a of .y = a

d. i. de randen on twee middellonen evenwydig aan de
zijden.

4«. — N — -i ^ÏO heeft 2 termen.
UJ 2a

Wij krijgen even als in het 2" voorb. deze twee verge-
lijkingen , waaraan gelgktijdig moet worden voldaan:

. . 7IX . Sn^ . . STIX . Try
Al 3 Sin — sin — As 1 sin — sin - ~ o
a a a a

„ . Tïx . \'dTsy „ . . -ny

Bi.s sin sm — B3.1 sin — sin _ 0

a a a a

maar sin ™ sin lï (4 cos ^^ —1); wij kunnen dus

. nx . yn

schrijven met weglating van den factor sin — sin —

(X Oj

die weder den rand geeft

71V r

A,3 (4 cos^ ^ - 1) As.! (4 cos^--1) — O en

24

(4 cos\' ^ - 1) Bs, (4

a a

Aan deze twee vergelijkingen voldoen algemeen slechts

deze paren waarden

cos\' ^ - 1) = O

a , a

IJ — - met X = -
3

a

, - 3

_ a

"" 3

3

d. i. vier Imoo^pimten (zie fig. 8) liggende op de plaats
van sngding der lijnen, j) aan de zijden, welke het vlies
in 9 gelijke vierkanten verdeelen.

(?)

Is evenwel A^.i B^ g = Aj 3 Bj^, zoo worden de twee
bovenstaande vergelykingen dezelfde en er is bijgevolg
eene knooplijn aanwezig, wier vergelyking is

25

Is As.!™ O S> » COS =: 1 ƒ = - eny---2"(fig.i0.)

a 2 3 3

welke respectievelijk lynen aanduiden, // de zijden, die

vlies in drie gelijke deelen verdeelen. .

Is Ai.2 — As.! zoo is

2 cos^ - 2 cos^ - 1 ^ O of

a a

. Ssra; , 2wy

1 cos - -f cos .—^ ~ 0.

a a

eene geslotene kromme waarvan het centrum met dat van
het vlies samenvalt en die zoodanig is dat juist een derde
der beide diagnalen daarbinnen ligt (zoodat zij door de
4 punten van fig. 8 gaat.)

4^ — Algemeen heeft de toon N ^^ een knooplijn-

systeem dat gegeven is door de vergelykingen

. . pTtx . qny , . . gnx . mtj

A,,., sm -— sm i---f- A,,p sin -— sm — = O en

a a a a

By., sin ^ sin ^ sin sin ■= 0.

a a a a

Nu is steeds

sin mx — sin a (m cos "" iV— ----------- cos

1. 2. O.

sin^ (s "l" — ----),

Als wij door deze formule de bovenstaande sinussen
ontwikkelen blijkt, dat beide vergelijkingen de factor

sin — sin— hebben. Bijgevolg is de lyn, voorgesteld

Cl a

door sin — sin — — O d. i. de rand eene knooplün s.a
a a

natuurlijk. — Maar bovendien wordt aan de beide boven-

26

staande vergelgkingen voldaan door alle punten voor welke
gelijktijdig

P^ï/ _

= lm

of rr:

d. i. door alle punten
a _ , «

X — h - ~ k -

V

a «

m - ,IJ — n-

Ueze vergelijkingen stellen voor de punten

a

y —

y —

X rr: 2. - f met een van

P )

de wraarden

(p~l)

en verder

Trekken wg de lijnen, // de zgden, welke het vlies in
p® gelgke vierkanten verdeelen dan zgn dus de (p—1)
sngpunten dier Ignen knooppunten. Evenzoo de {q—1)\'
sngpunten der Ignen die het vlies in (f gelgke vierkan-
ten verdeelen, zoodat er steeds voor den toon N K

•27

{p—1)\' f {q—ly punten zyn aan te wijzen, die steeds
in rust zijn. (Als A^.^ B^., = A,,., Bp., zoo is er een knoop-
lijn. Deze knooplyn moet steeds door alle knooppunten
gaan).

b.v. De toonen N en N hebben respectieve-
lijk 2- = 5 en ~ 13. Knooppunten wier
ligging duidelijk is uit de figuren 11 en 12.

fig. 12.

De toonen N hebben {p—1)" knooppunten, lig-
gende op de snyding der lijnen evenwydig aan de zijden
en die het vlies in p^ gelijke vierkanten verdeelen.

Deze voorbeelden doen genoegzaam zien, hoe men te
werk gaat om bij eiken toon de correspondeerende knoop-
lijnen te vinden. Het is duidelijk dat er, met uitzondering

c »

: i" (d. i. de toonen

2a \'

.) voor eiken toon een on-

eindig aantal knooplijnen bestaat. De gezamenlijke knoop-

28

lijnen, behoorende bij denzelfden toon, noemt men het
knooplynenstelsel van dien toon.

Een overzicht der mogelyke toonen geven wy in het
laatste hoofdstuk.

§ 6. Rechthoekig vlies waarvan de quad ra-
ten der zyden onderling meetbaar zyn.

Zij ? ~ ^ ^^^ ^^^

N (i i\') =z ^ l^eTT\' iS i\'\'

Er zullen dus weder evenveel termen met eiken toon
correspondeeren, als er wyzen mogelyk zyn waarop

zich in de som van twee termen «F en ^k\'^ Iaat ont-
binden.

Zyn ook l en l\' zelf onderling meetbaar en is
l~ rpu l\' — p^ dan is

welke toon evenveel termen heeft als
li yi

r rz: _ verschillende oplossingen in geheele getallen-

Voor de toonen N [kn, V^) d. i. die waarvoor i en
respectievelijk door « en deelbaar zijn, is het aantal
trillingen per seconde

rrr - 1/F k\'\\

Deze vergelijking is dezelfde, welke bij het vierkante
vlies is behandeld. Bij gevolg bevinden zich onder de

29

toonen die het vlies geven kan, steeds alle toonen van
het vierkante vlies waarvan de zijde pis. De knooplijnen,
die deze toonen vergezellen , verdeelen het vlies in » ^ kk\'
gelijke rechthoeken, immers de vergelijking der knoop-
lijnen is

. ka Tix . k\'^ ny
sin----sin - rr O or

pn pp

. k-nx k\'iry
sin -sin -o

V V

waaraan op het vlies voldaan wordt door
X rrr O y — O

. " k k\'
k k\'

k k\'
— f =zp

k k\'

— ap

d. 1. behalve de randen door uk—l en pk\'—l lijnen
respectievelijk evenwijdig aan de zijden. Deze verdeelen
het vlies in a^ kk\' rechthoeken of z. a. wij deze verdeeling
ook kunnen opvatten: in vierkanten waarvan elk als
het gewone vierkante vlies trilt, n.1. elk met k knoop-
lijnen // de eene en k\' knooplijnen // de andere zijde.

HOOFDSTUK HI.

vliezen van den vorm eens gelijkzudigen driehoeks.

§ 1. Algemeene oplossing,
a. Invoering van nieuwe coördinaten.

Het bezwaar van de integratie eener partieele diflfe-
rentiaal-vergelgking, bestaat gewoonlgk in de condities
waaraan de integraal aan den rand moet voldoen. Ge-
woonlijk zal dus de oplossing des te gemakkelgker zgn,
naarmate die condities zicb eenvoudiger laten voorstellen.
Zulk eene eenvoudige voorstelling kan dikwijls worden
bereikt door de invoering van nieuwe coördinaten die b. v.
voor onze quaestie zoodanig moeten zgn, dat lo ^ ^
wordt door aan die coördinaten bepaalde, constante waar-
den te geven, zooals de rechthoekige coördinaten dit
toelieten voor het geval van een rechthoekig vlies. Lame
heeft zulk een coördinatenstelsel, geschikt voor het drie-
hoekig vlies, gegeven in zijne Theorie analytique de la
Chaleur, bg het onderzoek naar de beweging der warmte
in het regelmatige driehoekige prisma.

Zg O het middelpunt en l de straal van den cirkel,

31

ingeschreven in den gel^kzijdigen driehoek. Trekken wij
dan door eenig punt van het vlies lijnen evenwijdig aan
de zijden, zoo noemt hij de loodlijnen P, P\', P" op die
lijnen uit o neergelaten, de coördinaten van dat punt.

Door de invoering dezer coördinaten wordt onze quaestie
deze:

eene functie w te vinden, die voldoet
aan de algemeene differentiaal-vergelijking

(1) ^ - (tl 4.

^ ^ dt"\'~ dfJ

en zoodanig is dat

(2) w =0 voor P\' = l, F" = l onafhankelijk van t en

dio

(8) w en — = o voor t ~ o.

(tt

Het geval dat ook -— eene willekeurige functie van x

dt

en y is, laat zich , zooals wij zullen zien, gemakkelijk aflei-
den, als eens de oplossing voor — ~ O is gevonden.

dz

Eindelijk nemen wij ten 4« aan, dat de begintoestand
sy metrisch is t. o. van de P as. Zeer gemakkelijk zullen
wij, als «, «\'. n" de hoeken zijn, die de P, P\', P" as
respectievelyk met de x as maken, de transformatie-for-
mules vinden:

■ X cos « -I- ^ sin « P
X cos n\' y sin = P\'
X cos n y sin a" — P" waaruit nog volgt

p p/ p// ~ O

32

b. Algemeene oplossing voor nog onbepaalde begintoestand.
Schrijven wij nu de particuliere integraal van (1), die

voldoet aan ~ — o in den vorm

dt

w ~ A cos yt (C cos Aa; - - D sin hx) (E cos ky F sin ky^

zoo zien wij dat in de nieuwe coördinaten uitgedrukt iv
eenen vorm zal hebben als deze:
w — A cos yt [B sin (m P j. « P\' p P") 4-

C cos (m P n P\' P P")]

waarin volgens (4)

m P f n P\' -f p P* (m cos a -i- n cos «\' - p cos «") x

(to sin « J^ n sin a\' p sin (/) y
Substitueeren wg deze waarde van w in (1) zoo vinden
wg als conditie waarop zij eene particuliere integraal

van (1) is
f

- = {rn cos « H- n cos n A-p cos «\'V -f- (m sin m 4- « sin «\' 4-

C\'

4- p sin a"y — -f «2 2 « m cos («—«\') 4- 2 jo to

cos («—«") 4-2np cos («\'—«\'0

maar cos («—«\') — cos^ («— «\') — cos («\' — «") — — ^ en dus

(U

f

(5) - — m® \'\'\' — knp -hpm mn).

Uit de symetrie van deze conditievergelijking is het
duidelijk dat voor alle navolgende bogen de daarmede
correspondeerende y dezelfde is:

mP H- «P\' pV" pV «,P\' 4- rnF"

nV -\\.p?\' -f mP» «P .f toP\' -j- pV"

pP toP\' 4- n^" mP pV\' 4- nP"

53

Wy kunnen daarom de som der sinussen en cosinussen
van al deze bogen tot eene particuliere solutie vereenigen,
elke term afzonderlijk met eene arbitraire constante ver-
menigvuldigende. Op deze wyze verkrijgen wij eenen
vorm voor w bestaande uit 12 termen, die wij evenwel
tot 6 kunnen reduceeren als wy voor de constanten K en L,
welke by den sinus en den cosinus van denzelfden boog
bebooren, scbryven:

K rr: B cos h L rr; B sin b enz.

daardoor wordt

(6) = A cos y t [B sin (mP -f nP\' -j- pP"
-(- C sin {7iP pP\' 4 rn^" D sin (;9P -f toP\' nP\'\' -hd) -j-
E sin (^P 4- nP\' mP\'\' e) F sin (nP mP\' pP" ƒ) .f
G sin (mP ^P\' nP" -f-

Beginnen\' wy nu met de vierde conditie.

Men ziet gemakkelyk in dat,, als M\' een punt is sy-
metriscb t. o. der P as met het punt M,

P(MO = P(M); F (M\') ~ P\'\'(M); P" (M\') = P\'(M).

De verwisseling van P\' en P" moet dus geene verande-
ring in w te weeg brengen (want als (6) voorstelt de
verplaatsing van het punt M, zoo zal diezelfde formule
als P\' en P" verwisseld worden, voorstellen de verplaat-
sing van hefc punt M\', die gelyk moet zijn aan die van
M, ten minste voor t ~ ó). Daar deze verwisseling P
onveranderd laat, moeten de termen waarin P denzelfden
coëfficiënt heeft by die verwisseling in elkander overgaan.
Zoo moet de eerste term waarin voor P\' wordt geschreven
P" en omgekeerd, den laatsten geven enz.

Dit geeft:

34

B = G h g
(7) J D E d — e

ƒ P — C ƒ\' rr: c. Bij gevolg wordt

(8) w = A cos yt

[B sin (mP 4- nP\' -f pP" b) -}- csin(nP mP" -}- c)
4- D sin (pP 4- mP\' nV"\\d) D sin (pP -{- nP\' wP"
C sin(7iP mP\' -j- pP\'\' c)4- B sin {m\'P pF\' nP" b)}.

Om nu aan de conditie (2) te voldoen, elimineeren wij
eerst P" door de vergelijking P 4- P\' 4- P" = O (zie (4).
Er komt

M7 — A cos yï [ B sin { (m—p) P {n—p) P\' -i- 6 )
C sin ( (n—m) P (p—m) P\' c }
ü sin [ (p—n) P {m—n) P\' -j- }
4- D sin {(p—m) P 4- (n—m) P\' ) 4-
4- C sin { (jï—p) P 4- (m—p) P\' 4- c }
B sin ( (m—n) P 4- (p—ti) P\' 4- ^ ) ]•
Voor P = l moet w z=z O zgn en moeten dus de
termen, waarin P\' denzelfden coëfficiënt (met omgekeerd
teeken) heeft, tegen elkander wegvallen. Bijgevolg
/ (to—p) l b = (n—m) l—h ihi

(9) < (n—p) Z -j- c == (to—n) l—c 4-
{ [p—n) l d — (to—jo) Z -d 4-

De som van deze drie geeft

TT

Op dezelfde wijze geeft de conditie zo — O voor P rr: Z.

(10) B C rr D

? (to—n) I d — {p—to) Z—c 2aff

(11) ] (n—p) l h — {m—n) l—d 4-

( {p—m) l c rr {n—p) l—h 4- 23?!
waarvan de som is

h c d — {a Sf § d) tt zoodat

(12) « 4- /? <T = A ft 4- = A.

35

Tellen wij de vergelykingen (9) 2 aan 2 op, , zoo komt
( 2 (c -h cZ) ™ (2m—«-p) I 2 {li v) -n-

(13) 2 {d -^h) = {2n—p—m) ^ 2 („ tt

f 2 (& -f c) = (2^—m—«) I 2 {l -Ir m) Tt

Uit de vergely kingen (11) vinden wij voor dezelfde
grootheden

2 (c = -2 (2m—n—p) l é an

(14) 2 (J è) — —2 (2n—p—m) I 4 ^n
2 (è c) — —2 {2p—m—n) l 4 dn.

Deze beide vereenigende

[ 3 {2m—~n—p) l = 2 (2«—ju—n

(15) I 3 {2n—p—m) l z= 2 {2^—v—).) n
f 3 {2p—m—n) l — 2 {2d—X—iC)

Eindelijk als wij deze 2 aan 2 aftrekken

n {n-p) — ^ [2 {^-S) ii-v] n = [(2 f) -

— (2<J ï\')] 271

9^ (j>-m) = 2 [2 {3-a) ^-a] == [(2,ï »-) —

— (2« A)]

91 (m~n) = 2 [2 («— X—i^] n = [(2« -{- l) —

- (2i? H- 2,,
waaruit, als B\' eene willekeurige constante is

9lm = 2 (2a A) TT -f. B\'

9ln — 2 (2^ TT B\'
2Zp 2 (2(T 4- TT B\'.
Om è, c, c? te vinden, trekken wy (14) af van
2 d) = 2 {a ^ n, er komt:

2& = 2 (2m—n—p) Z 2 (—« ^ 4- J) TT
2c == 2 (2n—p—w) Z 4- 2 («—^ (J)

2d 2 {2p-~m~~n) Z H- 2 (« t^)

3*

36

Hierin de waarden (15)

2 1

bz=~(2a-(i -v) -h (— « ^ <J) ?r — - [A H- 2 (A- «)]

-A) TT («-I? -f- TT = 1 [A 2 (iU-/?)] TT

2 1
d = - (2ö—7^—(i) TT (« /3—J)

O O

Merken wij op, dat wij de constante B\' in de verge-
lykingen (16) kunnen weglaten, omdat die, zooals ge-
makkelyk is in te zien, door de vergelyking P P\' -f P" = 0
toch terstond kan worden geëlimineerd, zoo zullen wij
de gezochte particuliere integraal hebben als wij in (8)
substitueeren

(10) B = C=:D

2« r3

2« r3 -I

(18) { (2ß u) (19)^ c

2n r3 -t

met de conditie (12)

Schijnbaar is deze oplossing, waarin 5 der constante,
geheele getallen willekeurig zijn, algemeener dan die van
Lamé, bij wien 3 constanten voorkomen, wier som = 0
moet zijn. Toch zyn de toonen, die beide vormen geven,
dezelfde, aangezien in m , n, p waarvan y (zie form. (5))
en dus ook het aantal vibraties afhangt, slechts drie
willekeurige constanten voorkomen, welke ook aan de
voorwaarde onderworpen zijn, dat hare som = 0 is, als

37

2jj

wij in (16) slechts nemen B\'— — —A, wat volgens het

bovenstaande gedaan kan worden zonder schade voor de
algemeenheid der oplossing.

Nemen wg dus evenals hsimé n — ß = 3 — o A=- o
en substitueeren wg de daardoor gevondene waarden van
m, n, p, a, b, c in (8), zoo komt
(19) w = A GOS Y t

?!
91

sin ^^ P y P\' A P" 3(^1)

27!

-fsin — (J- P -r A P\' P" -}- ^vl)

tjL
2n

sin — (j\'P 4-3^0

sin — (jtt P 4- A P\' ^ P" 4- \'èiil)

sin — (A P P\' 4- (t. P" 4-
y t-

met de conditie

(20) A 4- ft = O
waarin a, /», v willekeurige, positieve of negatieve, geheele
getallen voorstellen, maar die niet de waarde ?iul mogen
hebben, omdat daardoor, zooals lichtelgk te zien is, w
verdwgnt.

Voor y vinden wg volgens form. (5)

(O^ \\ 2

2

38

of, als wg I elimineeren door (20)

4 TT-\'c^

of eenvoudiger door de zyde a — 2l l/\'B in te voeren.

4 nc
3 ~a

c. Bepaling van de constanten A.

De waarde (19) met de voorwaarden (20) en (21) vol-
doet nu aan alle vereischten, behalve aan de eerste con-
ditie (3). Om ook hieraan te voldoen, nemen wij de som
van alle particuliere xo\'b (19) en trachten dan zóó over
de nog willekeurige constanten A te beschikken , dat ook
deze laatste voorwaarde wordt vervuld.

Stellen wy kortheidshalve de waarde (19) van w,
voor door;

(22) 10 = Au cos yt
dan is de algemeene oplossing

(23) lo — \'^k.u cos yt.

By gevolg is

(K) "Z k-u — f of voluit geschreven

AiMi AgMa . . AiMi -f. . . Aa f . .
de vergelyking waaruit de constanten moeten worden be-
paald. Om dit te bereiken vermenigvuldigen wij met
Ukdxdy en integreeren over het geheele vlies. Daardoor
zal Ai geïsoleerd worden, omdat alle andere termen uit
de vergelijking verdwijnen; want X^Ma dxdy — o bij
eene integratie over het geheele oppervlak, behalve voor
n — h.

39

Bewijs hiervan. Aangezien lo voldoet aan de vergelijking

2 fd\'w d^w\\

\\dx\' ^ dy\')
is de differentiaal-vergelijking van u

(24) —, —, — o

dxr dy\'

y-

als wij ~ ~ nemen. Deze vergelyking geldt evenzeer
c

voor eene particuliere solutie van den vorm lo — K\'u sin ft.-
Als byzonder geval is dus ook
dho^ d^iu ,

^ ^ d,^Un = O.

ds? dy\'

Vermenigvuldig met Uk dx dy en integreer over liet ge-
heele vlies

da?

Nu is, integreerende over x
J Uk-

,, , / dunV"^ duk du^ j y

dx dx

Hierin zyn Xi en de abscissen van punten aan den
omtrek. Maar langs den geheelen omtrek is w^f, ~ ^ ^n
dus de eerste term van het tvireede lid rr o; by gevolg

dMu du,

ff:^ % = - ff

evenzoo zal

. duk du„
ff

40

Deze gelijkheden in (25) gebracht geven

^ ^ ^/duj^du duu du\\ ^ ,

ff^/A-Élè 1 ¥)

Eveneens zullen vrij vinden, als wij in (24) m = Mj
schrijven

^ ^ ^ ^fdui. du^ duidu,\\

« ff u, i, =fA-i *

Het verschil van deze vergelgkingen geeft :

als het element van het oppervlak door do wordt voor-
gesteld. Bggevolg

(26) J^ u^ u^. do 0 als n en ^ ongelgk zgn.
Het is daarom dat wg in de particuliere oplossing de
6 bogen, die dezelfde jr, gaven tot ééne oplossing hebben
vereenigd.

Nu wij elke constante op deze wgze kunnen afzonde-
ren, hebben wg geene zwarigheid meer te overwinnen,
dan die van de integratiën. Deze zullen in behandeling
en uitkomst verschillen, naarmate twee van de getallen
V gelijk zijn, of dat alle verschillende waarden heb-
ben. Wij zullen daarom de termen waarin = ^ en dus
V ~ — 2a is, bij elkander voegen en schrijven (zie (K) )

(27) f {x,y) = A;^ ^ ^^ ^ ^ ^ Al,3 u,,, .X. Al., w,., -j-

■ • • Kn

Kl  A3.3 «2.3 A2.4 W2.4

. -i-

.....

Kl^l.1

41

Bepalen wy eerst de coëfficiënten van de laatste reeks.
Vermenigvuldigen wij ter weêrszy met u^^ do en inte-

greeren over het geheele vlies, dan zal volgens (26)

(28)

Hierin is

= 2 sin — [X (P P\'_2 P") 3xq

2 sin — [x (P~2 P\' P") S^q

2 sin ~ [x (—2P P\' P") —
of daar P P\' P" = o

u^^ = 2 sin — (Z-P) 2 sin ^ (Z—P\') 4-

Ojk

2sin-_ (^_F\')

of, als we invoeren

(29) l—F = p ; Z—P\'=p\' ; l—F\'^p"

zoodat p, p\', p" de afstanden tot de zyden voorstellen,
die gebonden zyn aan de conditie
(30) p p\'

(31) = 2 sin p 2 sin _ p\' 2 sin --^P"-

Nemen wij verder voor een element van het oppervlak

een parallelogram waarvan de zyden Ij loopen aan de

zijden van den driehoek p\' = o, p" = o [zie fig. 13].

Daarvan is de

hoogte = dp\' en de

kc 2

basis = cm" ~ --------—- dp" en dus

sinm" 1/3

V-3

42

dp\' df.

Wij kunnen dus (28) schrijven, deelende door-

fl "n dp" = A,,/; dp\'fl^-^- df.

In het laatste lid kunnen wij ook de tweede integraal
uitstrekken van o tot 3Z, al we het resultaat halveeren
d. i. de waarde van de integraal u^^ do over den drie-
hoek ABC = de helft van de waarde der integraal over
de ruit ABDC.

Want: als m\' symetrisch is t. o. v. BC met een wille-
keurig punt m van het vlies, dan is, als wij de coör-

43

dinaten van m\' noemen />., jf)„\', terwyl die van m zyn

\'Po — —P

~ p\' -f 2p cos 60° ~ jo\' -[- p

pj\' ~ p" 4- 2p cos 60° ^ p" p.
Bi] gevolg is de waarde van de functie

n • ^ . IttX , , s ,

Ufo^ in m\' ™ — 2 sm — p -}- 2 sm __ (p\' p)

\'2 sm — (p p )= —2 sm__ p — 2 sm-p — sm --p

\'si^^ m Sl 3r

wegens de gelijkheid (30).

De waarde van de functie u^-^ voor het punt m\', ver-
schilt dus van die in het punt m (vgl. (31)) alleen in
teeken. Dientengevolge is de waarde van f f\'^^\'xx do over
den driehoek BDC gelijk aan de waarde van die integraal
over den driehoek ABC, die dus weder gelijk is aan de
helft van de integraal over de ruit ABDC. q. e. d.
Wij mogen dus ten slotte schrijven:

(32) s:dp\'uy,^ f dp" "dp dp"

waarin Mj^^ de waarde (31) heeft.

Nemen wij kortheidshalve — rr: k zoo is

ói

1

- Uf^-^- z=. sin^ kp ■ sin^ kp\' sin"^ kp"

-I- 2 sin kp sin kp\' 2 sin kp sin kp" 2 sin kp\' sin kp"

Deze in (32) geeft aanleiding tot de volgende inte-
gralen

44

ff sin^ kp dp\' dp" = ff sin^ ~ (3Z—p\'—p\') dp\' dp" z=z

óL

= dp\' sin\' k (p\' p") dp- =

ff sin® kp dp\' dp" = dp" f" sin\' kp\' dp\'
ff sin kp" dp\' dp\'\' =z f dp\' f sin\' kp" dp"
Nu is algemeen

h 31 2i A 3

J ^ sin t dt — dus onafhankelgk van h. Bo-
venstaande drie integralen zgn dus elk voor zich gelgk aan

3^ 9 27

- / en. hare som =

Z ^ " 2 2

Voor de andere integralen is

ff sin kp sin kp! dp\' dp" = — f^^ sin kp\' dp\'

sin A (p\' p") dp" =

= f/ sin kp\' dp\' f/ " sin kq dq

evenzoo

ff sin kp sin kp" dp\' dp" — sin kp" dp"

f/\'-^" sin kqdq
ff sin kp\' sin kp" dp\' dp" — — ff sin kp\' dp\'

f:\'sin kpUp\'

maar

r il . 27[X

J ^ sm z dz~ O.
Bijgevolg zgn deze drie integralen = o en is dus ten slotte

Deze in (32) geeft
(31) -^.fUp\' nx.y)dp"

w^aarin men f (x^y) gemakkelgk tot eene functie van p\'
en p" maakt met behulp der formules (4) en (29).

45

Zoeken wij nu de coëfficiënten der termen waarin x en
l* verschillend zyn. Deze zijn gegeven door de vergelijking

V

Vervormen wy de waarde van uy^^ door eliminatie van
P (met behulp van P -f P\' 4- P" = 0) en invoering van
de formules (29), terwyl wy kortheidshalve schryven

(35) fi — v = \\ V — A = A —
zoo komt

(36) «^=:A B-{-C D-|-E F
waarin de letters verkorte uitdrukkingen zijn voor

^ A = sin —^ {v, p\' — fc, p") B sin (f^, p" — ^^ p\')

In 2n

(37)^C! = sin V\' - "i P\'0 D = sin - f — v^ p\')

2n 2n

E = Sin P\' — V") F = sin ^^ {v^ f — p\')

De nieuw ingevoerde grootheden Aj, v^ voldoen klaar-
blijkelijk (vgl. (20)) aan

(38)  ., = 0.

(39) vi — f*i=z 3a xi — vi — 3/^ /»I — A, = 3^
vsraaruit weer terstond

(40) (mod. 3).

By het zoeken van de integraal ƒ ƒ u^^ dp\' dp" hebben
Wy dus te maken met 21 termen, aangezien
(41) -f B^ -I- C^ -I- D^ -h E^ -(- F^ 4-

4- 2 [AB H- AD -f BC -(- CF DE -f- EF -f
4- AC 4- AE BD BF CE 4 DF 4
AF 4- BE CDJ.

46

Behandelen wij in de eerste plaats de integralen van
de termen in den quadraatvorm

ƒX AW ^jy^r % (\'■ ï-\' -p")

Den tweeden factor hiervan schrgven wg

1 — cos - {v,p\'—

2 91

~ • /Anvi , 4niA- \\ ■ 4ji "
Sin f —i p\' — —- — sin — Vl f

L V ^ 3 ; 91 J

2

en dus, vermenigvuldigende met dp\' en integreer ende.

f-inVi ^ 4;xfti A

3 J

welke met invoering van (35) geeft

AviJi ~

■ COS

3 3 J

maar aangezien (i^ ~ v^ (mod. 3) hebben de twee laatste
termen dezelfde waarde. Zij

2/ti»\'i \\ An /

4ui,r 4^171 4A,7Ï

— cos —

3

(43)   i- ^

Z \\ 45x / Ml

2 \\ An y Ml »"I
De andere quadraattermen van (41) geven in plaats

1

47

van den factor
1

1

1*1

Bij gevolg zullen wij hebben:
(44) Som der quadraattermen geintegreerd
/ 91 y Ai z^i fi

27ZVolgens (38)

tn /

en omdat , fii, , geen van alle O kunnen zijn, bij
de veronderstelde ongelijkheid van a, fi, v.

De integralen der dubbele producten zijn niet alle
analoog, maar vormen drie groepen, Bg de rangschik-
king van (41) vormen de 6 eerste termen eene groep
waarin de beide factoren denzelfden coëfficiënt voor p\' of
p" hebben; bij de 6 volgende is de coëfficiënt van p" in
den éénen factor gelyk aan den coëfficiënt van p\' in den
anderen en omgekeerd, terwijl de beide andere coëfficiën-
ten verschillend zijn. Eindelijk zyn in de drie laatsten,
de coëfficiënten van p\' en p" in de beide factoren ver-
wisseld.

Onderzoeken we dus de algemeene integraal

Oji O

(45) h=r: s: ^^^ —up-\'^p") ~ - «r) ^p\'dp-

waarin Qff.i:,d geheele getallen zyn. Ontwikkelende volgens
de formule

sin a sin 6 = — cos {a—b)

27rr

(46) 2k = p cos ^

48

De eerste integraal hiervan geeft:
91

1" integr. = — dp" [sin —[

27r(r
■

— sin— (tf—ö) p
91

cos —

1 r 

\' cos-- —

— cos-1-— cos- 1

3 3

De tweede integraal vindt men uit deze eerste door
verandering van q—t in § t en a—6 in ff -{-6.
Men heeft dus:

\'91 Vi 1

r-cos 

3

2n (ff-O)

1

\' cos--— cos-— —

(ff 6)

2n (cr ö)
COS--------j- 1

- i

Voor de eerste groep, b. v. voor AB hebben wg
Q = = d = T = —Al,- deze waarden in

(47), geven voor den eersten term

_ L (5Y J_ (2 - cos - COS ;
2 \\27r/ \\ 3 3 /\'

de tweede term is oneindig omdat a -f ö = 0. Voor dit

49

geval evenwel gaat de vorige wijze van integreeren niet
door. Substitueeren wy echter deze waarden terstond in
den tweeden term van (46) zoo komt voor dien term

— O volgens (39)

en dus

27TU, 4:7IU,

cos —cos-

Nu is
4

"3 V • 3

Stellen wij dus (vgl. (40) )
2

2nuj ^TtVi 271^1 » j . ,

COS —— = COS-= cos--= O dan is ook

3 3 3

(48)

4:7tVi 4:71\\
: COS -- = cos -^ = (J.

3 3

Daardoor wordt

2 ff AB dp- dp" = - [^ly I (1 - J).

■\'71\' IX.1

Wij vinden analoge waarden voor de andere integralen
dezer groep en voor hare som
(49) Som der 6 eerste integr. =

De substitutie van ^ = yj, a = ^^, t — \\, ö —»/, in (47)
geeft, aangezien de eerste term = O wordt,

2 = 1 J(2 - cos lp - cos 2;;\':)=

— _ 2 i_ (1 - J) volgens (48)

\\27t / jttiAi

4

50

en (daar Ai »/i = o)

(50) som der 6 integr. 2® groep ~

fiAi

= _ 4 Y

Al Ml

Eindelek als q — vi, tr ~ m, t — — i^, d = ~~ ^

■■■ 2 .yj APdp\'ir = 2 (|y [1 - 00.

en dus

(51) Som der 3 integr. groep =

=\' (i; ..

Bggevolg als wy de som nemen van (49), (50) en (51),
blijkt het dat de som der integralen, correspondeerende
met de dubbele producten in (41) — o is, en wij hebben dus

s:r: dp- = (vgi. (44))

waardoor uit (34)

A,^ = sfdp\'s:-^\' f (.,3.) dp"

Hiermede is de quaestie geheel opgelost, want wij
kennen nu in de algemeene oplossing, w— 2 k m cos y t,
alle coëfficiënten.

Wy vatten het gevondene samen in de formule

(53) ï u^^ cosy« ï

A=:o A = flA = o

waarin

A^^ de waarde (33) en A^^de waarde (52) heeft, terwijl

51

respectievelijk door (31) en (36) worden

d. Oplossing in geval ook de beginsnelheid van het
vlies willekeurig gegeven is,

Wg kunnen eindelijk het geval van het symetrisch
trillende driehoekige vlies in zyne grootste algemeenheid
opvatten en voldoen aan

(1) tl^ c\' ,

df ^ df

terwijl voor

dw

(3\') t=. O w == f {x,y) = F

Immers: Zg lo^ eene functie, die voldoet aan (1) en
aan de voorwaarde

en w^ eene functie voldoende aan (1), zoodanig dat

(a) {10,\\ O en = F

dan zal w — to^, -f w^ klaarblgkelijk voldoen aan (1) met
de voorwaarden (3\').

Nu hebben wij w^ in het voorgaande gevonden.
Voor w^ zal zijn

w^ — A.\' V sin y T eene particuliere oplossing, welke in
(1) gebracht, dezelfde vergelijking voor v geeft als die,
welke wij voor u vonden (vgl. (24) ). Bygevolg zal zijn
w^ -j=. 2 Af u sin y t
De constanten worden bepaald door de coiiditie (a),
welke geeft

^ A\'y M — F {x,y)

4*

52

Geheel op dezelfde wijze als hierboven, vinden wij
daaruit

(54)

ƒ\'\' dp\' „ F

welke waarden dan, met die, welke gegeven zijn door
(33) en (52), in de algemeene oplossing

(55) w = J. u^ (A^^ cos y ^ A\';^;^ sm yO

fSJ) oo

s

moeten worden gesubstitueerd.

§2. Rangschikking der toonen. Knooplijneii.

a. Groepering der enkelvoudige toonen en bepaling
van het aantal termen behoorende hij
denzelfden toon.

Elke term van de voorgaande oplossing kan weer af-
zonderlek bestaan. De trillingsduur van zulk eenen
enkelvoudigen toon wordt gegeven door

y T = Het aantal trillingen per tgdseenheid

N (^c,.) rr 1 = 1- ]/ volgens (21)

De toonen door deze formule voorgesteld, kunnen wy
in evenveel reeksen groeperen, als er argumenten zyn
van den vorm m fj^ i^v v\', die niet gelijk aan, noch
deelbaar door een vierkant zijn. Elke term van zulk eene

53

2c

reeks is dan voor te stellen door — k vm, vsraarin ^ = 1

8a

is voor den grondtoon der reeks en voor de overige ter-
men respectievelijk alle mogelijke gelieele vpaarden door-
loopt. Bovendien komt er nog ééne onvolledige reeks
voor waarvan het argument 1 is. De basis van deze groep
stelt geen\' toon voor omdat als wij of v—o nemen,
w verdwynt (vgl. bldz. 20) en er dus geen vibratie be-
staat , zoodat iM,^ /»j/ -f- v^ nooit = 1 zijn kan. Het aantal
termen van deze laatste reeks is even groot als het aantal
oplossingen dat fiv U toelaat voor Ji.

Met denzelfden toon kunnen meer dan één term cor-
respondeeren. Om alle termen te vinden, die denzelfden toon

^m\' geven, hebben wij alle oplossingen in geheele

3a

getallen te zoeken van de vergelijking

ft? ftv v\'^ = m\'

«. Oplossingen in geheele getallen van de vergelijking
f^i ftv v\'^ = m\'.

De behandeling van deze vergelgking is niet zoo een-
voudig als die van de vergelyking, welke bij de vierkante
vliezen voorkomt. Wij zullen trachten bij de oplossing
zoo kort mogelijk te zijn.

Vermenigvuldigen wij onze vergelyking met 2, om den
middelsten term dien coëfficiënt te geven, zoo is de ver-
gelijking

(1) 2nv 2"\' = 2m\' = m

welke gemakkelijker te behandelen is. Zoeken wij hiervan
in de eerste plaats slechts die oplossingen, waarin m en f
onderling ondeelbaar zijn. Het geval dat er ook oplos-

54

singen ^ en v zijn, die eenen gemeenschappelyken factor
hebben leidt men gemakkelyk daaruit af.
1®. — en V onderling ondeelbaar.
Wanneer wy den vorm
(2) 2,3^ 2xy 4- waarvan de déterminante D = — 3
is 1) transformeeren door de substitutie

X — ^jlX\' qy\'

y vx\'ay\' of, zooals deze substitutie gewoonlijk
in de getallentheorie wordt geschreven,

(fJtt

] zoo zal de eerste coëfficiënt den vorm (1)

aannemen. Wij zullen n.1. vinden de uitdrukking

(4) mx\'"^ 4- 2nx\'y\' ly"^ waarin

(5) w = 4- 2i»»\' 4- 2^\'

(6) n = 4- 4- j/g 4- 2va.

Om l te vinden, merken wy op dat de déterminante
van den nieuwen vorm (4) zooals gemakkelyk te vinden is 2)
D\' _ vqf D _ 3 (/«ff — vq)\\

Stel nu dat wy de willekeurige constanten ç en zoo
kiezen, dat

(7) i<tff — = 1
zoo zal de déterminante van den nieuwen vorm gelijk
zijn aan die van (2) en dus

1) De deteiminant n.1. is = het quadraat van den haJven
coëfficiënt van xy verminderd met het product der coëfficiënten
van en y^.

2) Algemeen toch wordt de vorm

ax^ 4 4- cy^, waar D = — «c, door de substitutie (3) tot

waarvan de determinante

D\' = [af*Q -f 6 (»-9 f^Tf cv<rf~-{a(i\'-\\-2bf^v cv\'\')(aQ\'\' 2bQ(T-\\-CiT\')
= (6® — ac) (ficf — vqf = D (ftcr — vqy q. e. d.

55

(8) h

Hierdoor verkrijgt dus (4) den vorm

TO« 2nx y\' --y\'^

m

of zooals men gevvoonlijk schrijft, den vorm

n\'^ 3\\

(9)

m

Aangezien nu de vorm (2) en de vorm (9) dezelfde
determinante hebben en (9) uit (\'2) door eene substitutie
als (3) verkregen is, waarin ^t, v ^ q. a geheele getallen
zijn, zoo zijn (2) en (9) equivalent 1) d. w. z, dat ook
wederkeerig (2) uit (9) af te leiden is. Er bestaat dus
eene substitutie in geheele getallen waardoor (9) weer den
vorm (2) aanneemt. In (9) is evenwel n niet geheel wille-
keurig maar, omdat l een geheel getal moet zijn, moet
3 deelbaar zijn door m en dus moet — 3 quadra-
tische rest zijn van m en n moet zijn een wortel vande
congruentie

(10) —3(modm).

Aan deze congruentie kan op oneindig veel wyzen wor-
den voldaan. Kennen wij al deze waarden van n en alle
mogelijke substituties waardoor elke vorm (9) in (2) over-
gaat, zoo kennen wij alle waarden die de transformatie-
constanten hebben kunnen en daarmede alle waarden
van t* en V voldoende aan (1). Wij hebben daartoe even-
wel niet alle wortels van (10) noodig, maar alleen de

1) Zie voor het bewijs hiervan o.a. Dirichlet. Vorle.s. über Zahlerith.
§ 56 pag. 445.

5ê

onderling incongruente, die steeds slechts in beperkt aan-
tal aanwezig zgn; want nemen wg in plaats van eene
zekere waarde n eene andere, die daarmede congruent is,
zoo veranderen daardoor alleen de constanten en
niet H en V, zoodat wg daardoor geene nieuwe voorstelling
van m krijgen. Om dit aan te toonen behoeven wg omge-
keerd slechts te bewgzen, dat door het aannemen van
andere waarden van tr en n alle met zgne oorspron-
kelgke waarde congruente waarden en geene andere
doorloopt.

Dit nu blijkt terstond, want; laat zgn o\' en q\' een ander
paar constanten, voldoende aan

(Itff\' — J/^\' 1,

Trekken wg (7) hiervan af zoo komt

ft («T\'—<T) = f (§\'—§),

maar wij hebben aangenomen dat f*-env onderling ondeel-
baar zijn; bg gevolg moet q—q door f* deelbaar zgn,
en dus

\' zzz 6 of rz: 9 -I- (ttö a\' — a vd

waarin ö alle mogelijke positieve en negatieve geheele
getallen kan voorstellen. De waarde n\' van met q ,
correspondeerende, wordt volgens (6)

n\' = 2/64? -f /Mff\' vg\' -f 2v<r —n-\\- mö.

Als dus ö alle mogelijke waarden doorloopt, doorloopt
n\' alle mogelgke waarden die congruent zgn met n en
geene andere. Wat te bewgzen was.
. Beschouwen wg dus nu alleen een volledig stel incon-
gruente wortels van (10). In de getallen-theorie wordt
bewezen dat het aantal daarvan, als m oneven en niet

57

deelbaar door 3 is, is, waax\'in n voorstelt het aantal
deelers van m, die den vorm 3/i 1 hebben 1). Als m deel-
baar is door 3 zoo kan de congruentie nog meer wortels
hebben. Is m\' even, zoo moeten, aangezien m\' —
is, f en ï\' beide even zijn en vallen zij dus niet onder het
nu beschouwde geval dat fn. en v onderling ondeelbaar zgn.

Stel dat wg deze wortels gevonden hebben, dan hebben
wij op elk daarvan den vorm

/  3\\

(9) ( m, -I

\\ m ^

te construeeren en het vraagstuk wordt gereduceerd tot
deze quaestie:

Alle substitutiën te vinden waardoor (9) in (2) overgaat.
Wij zullen al deze substitutiën kennen als wg
1®. Eene substitutie gevonden hebben waardoor (9) in
(2) overgaat (waardoor natuurlijk ook de omgekeerde sub-
stitutie terstond te vinden is) en

2\'^. Alle substitutiën opgespoord hebben waardoor (2)
in zich zelf verandert d. w. z. denzelfden vorm behoudt.

Want: laat zijn L ééne substitutie waardoor (2) in (9)
overgaat en laat T voorstellen alle substitutiën waardoor
(2) in zichzelf verandert, zoo zal door elk paar substitu-
tiën LT natuurlijk (2) in (9) omgezet worden. Bijgevolg
behooren deze substitutiën L T alle tot de gezochte S
substitutiën waardoor (2) in (9) wordt getransformeerd.
Maar niet alleen behooren zg daaronder, te zamen geven
zij ook al deze S substitutiën en wel elk slechts eenmaal,
want: laat L\' zgn de omgekeerde substitutie van L,
waardoor dus (9) in (2) overgaat, zoo heeft elke samen-

1) Vgl. b. v. Dirichlet t. a. p. § 37.

58

gestelde substitutie SL\' ten gevolge, eerst een verandering
van (2) in (9), daarna weêr van (9) in (2), zoodat SL\' in
het geheel eene verandering van (2) in zichzelf te weeg
brengt, hetzelfde dus wat T alleen doet, Wy kunnen
dit kort zoo schryven

SL\' = T.

By gevolg is ook SLL\'rrrTL maar L en L\' heffen
elkaar op en dus S — T L d. w. z. elke S kan worden
voortgebracht door de substitutie L met eene der substi-
tutiën T. Bovendien treedt op deze wijze elke substitutie
slechts éénmaal op , want, daar T L = S is, terwijl L
steeds dezelfde transformatie voorstelt en elke T slechts
eenmaal voorkomt, zoo zal ook elke S niet meer dan eens
te voorschijn komen.

Zoeken wij dus nu in de eerste plaats ééne substitutie,
waardoor de vorm

! m , n ,---f ovei\'gaat in

^ m /

(2) (2, 1

Om deze reductie te volvoeren, brengen wy (9) onder
zijnen gereduceerden vorm, waaronder men een\' vorm
verstaat waarin de 3® coëfficiënt > coëff. > 2 x ab-
solute waarde 2" coëff,. is. Dit kunnen wij bereiken door
eenige achtereenvolgende transformaties van den vorm

^_^ j^y Schryven wij nl. ter verkorting (9) op deze wijze

(13) (a, b, c)
zoo neemt deze door de substitutie^ _ ^ ^^^en vorm aan
(14) {c, — b — cd,a-t-2böi-cd\')

59

waarin de eerste coëfficiënt dezelfde is als de laatste van
(13) 1) of korter

(15) {c, d, e)
waarin de waarden van d en e blijken uit (14). — Wij
kunnen nu ö gemakkelijk zoo kiezen dat 2 (c?) < c
((dl) aanduidende de absolute waarde van d). Is dan te gelijk
ook c < e zoo is de vorm gereduceerd. Zoo niet, zoo

voeren we weder in de substitutie ^_j ; er komt

(e, —d—eö, c -h 2dö\' eöof
(16) (e , f , g )
waarin wij alweer d\' zoodanig nemen dat

2 (/) 5 e

Op deze wijze voortgaande, moet eindelijk de laatste
coëfficiënt grooter worden dan de eerste, want volgens
de veronderstelling dat (15) nog niet gereduceerd is, is
e < c en dus de eerste coëfficiënt van (16) kleiner dan
die van (15). Evenzoo zal telkens de eerste coëfficiënt
van eenen getransformeerden vorm kleiner zijn, dan die
van den voorgaanden vorm. Eindelijk moet dus de eerste

coëfficiënt ^ worden aan den laatsten, aangezien ge-
makkelijk blijkt dat beide steeds positief blyven. Zoodra
dit nu het geval is, is de vorm gereduceerd. Nu laat het
zich bewgzen 2) dat steeds twee equivalente, gereduceerde,
quadratische vormen identisch zijn, behalve de vormen

1) Gewoonlijk wordt, waar dit het gevaJ iy, (44) een naar
rechts verwante vorm van (43) genoemd.

2) Vgl. Dirichlet t. a. p. § 64 pg. 470.

60

(a, i a, c) en (a, h, a), die respectievelgk equivalent zijn

met (a, — ^ a, c) en (a, — 5, a).

Bijgevolg moeten wg bij de reductie van den vorm (9)
steeds ten slotte komen tot den vorm

(2, ± 1, 2)

waarvan wg dien met het onderste teeken, terstond den

fO—l\\

gewenschten vorm geven , door de substitutie ^y-

De ééne gezochte substitutie is hiermede gevonden en
deze is het resultaat der successieve transformaties

UM-?:)........

zoo noodig nog met de substitutie ^^ Al deze ach-

tereenvolgende transformatiën laten zich gemakkelijk tot
ééne transformatie vereenigen z. a. wij zullen zien.

Ons blijft nu alleen nog over, alle substitutiën op te
sporen waardoor de vorm (2, 1, 2) in zichzelven over-
gaat ; zoodra wij deze nog zullen hebben gevonden en wg
passen die toe op de reeds verkregene voorstellingen van
7n onder den vorm (2, 1, 2) (waarvan er ééne corres-
pondeert met eiken wortel van (10) ) zullen wg alle mo-
gelgke wijzen hebben, volgens welke m zich in dien vorm
laat voorstellen. Zg dus » en y een stel waarden vol-
doende aan

(2) 2x\' 4- 2coij 2/ — m,
dan zijn gevraagd alle substitutiën

c:)

welke (2) in zichzelf veranderen.

61

Voeren wij de substitutie (17) uit, zoo komt
2 «y f) x" 2 (2«/3 «(T x\'y\' -f-

-I-  ^

zal deze weêr den vorm (2) hebben, zoo moet
(18) = l

(19) 2«/9 «<J /Jy 4- 2y(T = 1

(20) 

Trekken wg het vierkant van (19) af van viermaal
het product van (18) en (20) zoo komt

(21) — /3y=:0 (welke alleen uitdrukt vgl. form.
(7) dat de determinante van den gezochten vorm = die
van (2) moet zgn).

Deze substitueerende in (4) geeft

(22) /ïy yJ = O
welke wij, met « vermenigvuldigd, aftrekken van (18) ver-
menigvuldigd met Er komt

y (i^y — = (9 en dus volgens (21)
(23)

Evenzoo geeft (22) vermenigvuldigd met y afgetrokken
van (18) » »5

(« y)(^« — /3y) = 5 of volgens (21)
(24) « — J = — j,.
Substitueeren wg nu (23) in (21) dan is
aS — — y^ -h 1 en deze verbonden met (24) geeft

(25) —-f-4.
Als wg nu a 4- ^ = < stellen zoo is

(26) { ^ — — ï

r = L.
2

m

Hierin zijn t en y twee geheele getallen , zoodanig dat:

P Bf 4.
Deze vergelijking heeft slechts 6 oplossingen, welke zijn:
^ = ± 1 y ~ ± 1

t — ± 2 Y = 0.

Hiermede correspondeeren de ö eenige mogelijke sub-
stitutiën, die een\' vorm als (2) geven:

1 — r

uLD G "ï) r:

Deze zelfde transformatien gaan door als wy niet "
-}- 2xy -f- 2\'if\' maar in eens a;" «j/ vervormen willen.
Met eiken wortel van (10) correspondeeren dus 6 op-
lossingen.

2®. ^ en V hehhen eenen gemeenschappelijken factor.

Zij 8 de grootst gemeene deeler en dus in
— e n! v~sv /a\' en v\' onderling ondeelbare getallen.
Wij zoeken dan de oplossingen van

2 2 fx\' / -h 2 = 2m\' — m
bijgevolg moet m\' door e^ deelbaar zyn; deelende komt:

M, welke weêr op de

boven behandelde wyze wordt opgelost.

Wij hebben dus dezen regel voor het vinden van alle
oplossingen der vergelijking ft^ v -b m\'.

1®. Als = geen factor heeft, die een zuiver

quadraat is, zoo zoek de incongruente wortels van
— 3 (mod. m).

63

Construeer op elk daarvan een\' vorm als ( m, n,

\\ m

en breng dezen onder den gereduceerden vorm (2, 1, 2).
De substitutiën, die daarvoor moeten worden gebruikt,
geven ons elk één paar waarden en »- voldoende aan
2 ut\' ■ • 2 tJ\' -f 2 j/2 — m; elk paar levert weer 6 paar op-
lossingen door de substitutiën (27).

2®. Heeft m factoren ......die een zuiver

vierkant zijn, zoo komen bij de mogelyk op deze wijze
gevondene waarden van j» en v, nog evenveel paar waar-
den als de vergelijkingen

P

<YYi

lx"" y" z=z-~

oplossingen toelaten; de hierdoor gevondene waarden zyn
respectievelijk gelijk aan alle waarden van
px\\py\'; p\'x", p\'y"-,.....

Toonen van gelijke hoogte.

Hiermede is de volledige oplossing gegeven van het
vraagstuk: alle waarden j«, en ^ in geheele getallen te
vinden, welke voldoen aan

.«»2 -1- f^ -1- j/2 _

Zoeken wij nu de toonen van gelyke hoogte, zoo moet
wel aan deze vergelijking worden voldaan, maar niet elke
oplossing daarvan geeft daarom eenen afzonderlijken term
van w. Want wij merken op:
F. — Als n een wortel is van

= —(mod. m) zoo is ook — n een wortel daarvan.
Zij nu en x het stel waarden dat n ons geeft,

64

zoo zal met — n correspondeeren het stel — /«■, — " !
zooals blgkt uit de vergelyking (6). Twee stellen waar-
den, die alleen in teeken verschillen [want ook x heeft
klaarblykelyk in beide oplossingen dezelfde waarde met
verschillend teeken] geven niet aanleiding tot verschillende
termen z. a. men terstond ziet uit den vorm van zulk
een\' term [zie form. (19) bldz. 19]. Hierdoor wordt het
aantal oplossingen dus gehalveerd.

2". — Veronderstellen wy dat «, /3 één paar waarden
is van ft. en v De substitutiën (27) geven ons daarvoor
in de plaats de 6 oplossingen.

[—/3,«- -/3]   

Hiervan kunnen wij er drie weglaten, die met de
overigen alleen in teeken verschillen. Er blyven dus 3
oplossingen over

Deze geven respectievelyk, daar a -j- i«. -f v O

A — /ï — («4-^)

v — ~ v = »

Uit den vorm van de particuliere oplossing van w
(form. 19 pag. 19) blijkt nu terstond, dat ook deze 3
oplossingen één en denzelfden term geven.

Het aantal verschillende termen die met den toon

N(fi »")= .—m\' overeenkomen is dus ten slotte

gelijk

3a

aan het halve aantal incongruente wortels van

(10) z® = _ 3 (mod. m)
waarin m — 2m\'. Om deze oplossingen te vinden hebben

65

wy slechts, als de wortels van (10) gevonden zijn, laat
ziju ±: • • • • te construeeren de vormen

[m, a, -— ) (m, b,---) enz.

^ m / \\ m \'

en de substitutiën te zoeken, waardoor deze den vorm
(2, 1, 2) aannemen. Deze substitutiën geven terstond alle
oplossingen.

Eindelyk nog deze ééne opmerking. Door den aard van
het vraagstuk, dat eischt: alle toonen te vinden van ge-
lijke hoogte als N (/«■,»-) is steeds ééne voorstelling gegeven.
Wy kunnen gemakkelyk nagaan, met welken wortel
deze correspondeert en behoeven dan nog alleen de op-
lossingen te zoeken bij de overige wortels.

Passen we nu het voorgaande toe op eenige voor-
beelden.

V. Gevraagd alle termen te vinden die denzelfden toon
geven als

N (3 . 1). Hier is m\' rr 13 m zz: 2 . 13
m\' is oneven en niet deelbaar door 3 en verder van
den vorm 3 A 1; bijgevolg heeft de congruentie
z" E — 3 (mod. 26) slechts 2 incongruente wortels, die
natuurlyk slechts in teeken verschillen en waarvan wij er dus
slechts één\' hebben te beschouwen. Derhalve is er maar
ééne solutie; deze nu is gegeven door de quaestie zelf.

Alle oplossingen van de vergelyking /J  — m\'

zouden hier zyn

±(1,-4); ±(1,3); ±(4,-3).

2®. Gevraagd de toonen van gelyke hoogte als N (9 . 1).

Hier is m\' = 91 en dus m = 182 = 2 . 7 .13.

Twee deelers hebben den vorm 3 /t 1 terwyl m\'
oneven en ondeelbaar door 3 is; bij gevolg beeft

5

66

3 (mod. 182), 2" ~ 4 incongruente wortels. Deze
vindt men gemakkelijk 1). Ze zijn
±19, ± 33.
De hiermede correspondeerende vormen

{m, n, zijn, als we slechts één teeken nemen

(182, — 19, 2) en (182, 33, 6).
De oplossing (9, 1), die gegeven is correspondeert met
den wortel — 19, immers aan

(7) H-a — f4» 1 kan voor ^ = 9, j/ — 1 voldaan
worden door o- = I ^ = 8. Door deze waarden geeft
de vergelijking (6) n ~ 163. Door het kiezen van andere
^\'s en ff\'s zijn evenwel alle hiermede congruente ge-
tallen te verkrijgen en dus ook n — 19 aangezien
143 = — 19 (mod. 182). Wij hebben dus slechts te redu-
ceeren den vorm

(182, 33, 6).

Substitueeren wij hierin ^ ^ ^ j zoo verkrijgen wij

(vgl. form. (14))

(6, — 33 — 6j, 182 -h 66(J
zal nu 2 (33 -f 6(T) < 6 zoo moet ^ < — 5 zijn ;
zij ^ — 5 zoo wordt onze vorm
(6,-3,2).

Hierin is nog de 3® coëfficiënt grooter dan de eerste
en deze vorm is dus nog niet gereduceerd.

O 1 N 1 ,

) zoo komt
»/ /

Substitueeren wij weder (
(2, 3 - 2<ï\',

i) Hiervoor bestaan verschillende methoden. Het sniilst worden
de wortels wel gevonden door de indirecte methode, <1i<\' Ganss de
methodus excludonis noemt. Vgl. Gauss Werke I, p, SSS.

67

weêr moet 6 — 4(1 <2 S >1. Zij 1 zoo komt
(2,1,2) welke gereduceerd is en den gewenscliten vorm
keeft.

Wij gebruikten hierbij de transformaties

UJ)-(Ji)-

Nu is algemeen, zooals gemakkelijk te zien is, de uit-
komst van twee achtereenvolgende substitutiën:

^r dy 8\')

en dus

Door deze substitutie gaat dus (182, 33, 6) over in
(2,1, 2). Keeren wij deze substitutie om, om de trans-
formatie ( y j te hebben waardoor (2,1, 2) in (182, 33, 6)

overgaat zoo vinden wy, omdat alweer algemeen het om-
gekeerde van de substitutie

of als wy de omgekeerde teekens nemen ^ = 6 , ^ 5.

Bij gevolg N (9 . 1) = N (6 . 5).
Het geheele aantal voorstellingen van ^^ ij,v -j- ^^ = 91 is 12
en wel ± (1, 9); ± (1,-10); ± (5,6); ± (5,-11);

±(6,-11); ±(9,-10).
3^ Zy gegeven w\' = 532 = 2^ 7 . 19 m = 1064 =

2.2\\7.19.

Aangezien m\' even is kunnen
iH en V

geene onderling ondeelbare waarden hebben (immers

5*

68

beide moeten even zijn, om een even getal vooi-t te bren-
gen). Maar rn\' beeft den quadratisclien factor en. bij
gevolg hebben wij de oplossingen te zoeken van

■ ■ 2 . 7 .19 ^ 266.
^\'e—3(mod. 266) heeft 4 wortels, daar 7 en 19 beide
den vorm 3h -j- 1 hebben; deze wortels zijn

n=±23, n=±61.
De daarop geconstrueerde vormen (één teeken nemende) zyn
(266, 23, 2) (266, 61, 14).

De eerste wordt terstond gereduceerd door de transfor-
matie ^ ^ ^^ ^ waarvan volgens (B)bet omgekeerde is

Hierdoor verkrijgen wg dus het stel

itutie J

(266, 61, 14) wordt door de substitutie
(14, 9, 6) deze weer » »

( 6, 3, 2) en deze
( 2, 1, 2).

Nu is volgens (A) (zie vorige bladz)

O 1\\ / O 1\\/ O 1
_1 _5j —2) V—1 —2
1 —2
5 9

waarvan het omgekeerde is (volgens (B))
—13 —3
4 2
wordt en dus

N(—24, 2)-N(-26, 18).

69

b. Knooplijnen.

Wy kunnen nu steeds alle termen vinden, die den-
zelfden toon geven, en zijn daardoor in staat eiken toon ^
die bet vlies geven kan, afzonderlijk te beschouwen en
de knooplgnen na te gaan, welke die toonen verge-
zellen.

De algemeene vergelijking der knooplijnen van die
toonen, welke slechts één\' enkelen term 1) hebben is

U — O.

Door vervorming van de in de form. (36) bldz. 45 ge-
vondene uitdrukking voor kunnen wij deze schrijven

nk , Tik,

(28) O — sin - (p\' p\') cos ~ (p\'—p\')
-h sin (p\' -!- p\'0 cos (p\'—p")

sin (p\' -1- p\'0 cos ^ (p\'—p")

waarin Aj rr - v- v—k ; y, — k—^ en p - p\' p" = 3L
Beschouwen wij de gevallen waarin de knooplijnen
rechte lynen zyn.

1". en V beide even. In dit geval is ook a even. Aan
(28) wordt dan klaarblykelyk voldaan door

^ (p\' f") = in of p = 3Z (1- i i).
ol ö

Het is duidelijk dat i slechts de waarden 1 of 2 hebben

1) De laagste toonen van het vlies hebben alle slechts éénen
term. Zij verhouden zich als de vierkantswortel uit de getallen
3. 7, 9, 12, 13, 19, 21, 27, 28, 31, 37, 39, 43, 48, 49,.....•

70

kan. Iu het laatste geval is bovenstaande vergelijking,

de vergelijking der zijde p — o, in het andere geval vin-

g

den wij p zz: -l, welke een lijn aanduidt, gaande door
Ji

het midden van de loodlijn op de zijde p~o en even-

wijdig met die zijde.

Bovendien wordt vol-
daan aan (28) door

2^■ l

2«. ,

2

welke voor i = o geeft

p\'—p" =±-L Hier-
4

door worden twee lijnen
voorgesteld loodrecht op
de zyde pz=.o en wier

voet _ van de lengte der zijde, van de uiteinden ver-
8

wijderd is. Deze 3 knooplijnen komen dus altijd voor bij

de toonen N (2.2), N (2.4).......

2®. Een der getallen ^tj, , deelbaar door 3 zon-
der ™ O te zijn. De beide anderen zijn in dit geval ook
deelbaar door 3 (vgl, form. (40) pag. 24).

De tweede factor van eiken term zal nu = o wor-
den als

2^-4-1 3

[p\'—p") =r ± ---tt en dus p\' ■— p" ~ ±: d. i.

2 2

twee knooplijnen loodrecht op de zijde p nr o (zig fig. 15),
die beide een vierde gedeelte daarvan afsnijden. Deze
twee knooplijnen komen dus voor bij al de toonen N (1.4 ,
N(2.5), N(1.7). ......

71

f« en r beide deel-
baar door 3. ^ zal het
dan ook zijn. Vooreerst
hebben wij hier de knoop-
lijnen van het vorig num-
mer, maar vervolgens
ook die , welke gegeven
worden door de verge-
lijking

y ip\' p") — i TT,

waarin i ~ 1 en z 2 respectievelijk geven p 21 eu
p-=:ldA. twee lijnen evenwijdig aan de zijde p — oeu welke
de twee andere zijden in drie gelijke deelen verdeelen.
(Zie fig. 16).

4e. Algemeen ziet men gemakkelijk in:

Als en j\' tot grootst gemeenen deeler hebben t, zoo

zullen er steeds t — 1
knooplijnen aanwezig
zyn evenwijdig met de
zijde pz=. O en onderling
op gelyken afstand.
Bovendien komen er
knooplynen voor, lood-
recht op p O. Het
aantal van deze laatsten
is gelijk aan het dubbel
van het grootste geheele

getal onder - t 1. Hare afstanden tot het midden van

O

de zyde p — o zijn respectievelijk — , 3. — 5—.....

4t 4t it

72

waarin a " de lengte der zgde is. Eindelijk zgn deze
laatstgenoemden de eenige als i^i en vi eenen grootst ge-
meenen deeler t hebben, terwyl «■ en onderling ondeel-
baar zijn.

t* z=z V —2«.

Wij kunnen de vergelyking (28) voor ^ =■ v brengen
onder den vorm

p p\' . p"

O = sin I» TT ^ sin /it ^ ^^ sin ^ ^
Deze vergelyking geeft niets dan de randen als

d. i. voor den grondtoon N (1.1)

algemeen geeft zij 3 (r*—1) knooplynen, waarvan er 1
evenwijdig zyn met elke zijde. Zij verdeelen het vlies in
1«*^ gelyke, gelijkzijdige driehoeken.

HOOFDSTUK IV.

CIRKELVORMIGE VLIEZEN.

§ 1. Invoering van poolcoordinaten.

Leggen wij den oorsprong van het coördinatenstelsel
in het middelpunt van het vlies en voeren wg poolcoor-
dinaten in door te stellen

x — T cos ö y ~r sin ö

zoo wordt de algemeene vergelgking

d?w 2 /cPw \\

vervormd in

clj^w „ /d^w 1 dw 1 d^w

2 /d w l aw 1 d w \\

df

Wg zullen nu aannemen, dat er geen beginverplaat-
sing is gegeven, maar eene willekeurige beginsnelheid.
Wanneer wij de oplossing met deze beperking hebben
gevonden, wordt daaruit, zonder de minste zwarigheid, de
meest algemeene solutie afgeleid voor het geval dat ook
de beginverplaatsing van elk punt willekeurig gegeven is.
Dit geschiedt geheel op dezelfde wijze als dit gedaan is

74

voor het driehoekige vlies. Nemen wy den straal van het
vlies = 1, zoo zijn dus de voorwaarden waaraan w moet
voldoen

(3) w — O voor r = l

{A) w = O » t = O

, , dw „

(5) -- ^ F (r, 0) ^ t = O

§2. Afleiding der algemeene oplossing,
welke voldoet aan de voorwaarden
(3) en (4).

Zoeken we weêr eene particuliere oplossing als

(6) ïo = T R ®

waarin T, R, @ respectievelyk zuivere functies van t, r, 6
voorstellen. De substitutie van (6) in (2) geeft, deelende
door TR®

l fl - 2 (h — I I dU 1 l_ d\'@\\

Het eei\'ste lid van deze vergelijking is eene zuivere
functie van t terwijl het laatste lid slechts r en ö bevat;
bijgevolg moeten zij gelijk zijn aan eene constante — q^ c®,
die wij, als vroeger, negatief nemen, omdat de beweging
periodisch moet zijn.
Hierdoor is dus

d\'^T

(7) =

De blijvende vergelijking laat zich schrijven

r\' d\'Pi r dR , , _ J_

(g) dd\'

75

welke door dezelfde redeneering in 2 vergelijkingen te
splitsen is, welke wij schryven kunnen

(8)

De integralen van (7) en (8) zyn respectievelijk
T — A cos qct B sin qct, welke door de conditie (4) wordt

(10) T = Bsingc« , en

(11) @ = H cos wö K sin nd.

Door in (10) q slechts positieve waarden toe te ken-
nen verminderen wij de algemeenheid der oplossing niet.
In (11) moet, als 6 met 2;t aangroeit, @ weder dezelfde
zyn; hieruit volgt dat n een geheel getal moet zijn, dat
we evenzeer alleen positief behoeven te nemen.

Zoeken wy eindelyk de integraal van (9). Wij kunnen
deze op verschillende wyzen vinden; in oneindigen vorm,
door reeksen of onbepaalde coëfficiënten; in eindigen vorm
door bepaalde integralen. Wij geven hier beide vormen,
omdat zij beiden in het vervolg zullen moeten worden
gebruikt.

1®. Integratie door reehsen.

d\'R 1 dB. ^ . ^ ^

dr\' \' r dr

Wij zien aanstonds, dat, als wy onmiddelyk ontwik-
len volgens de formule

dB \\ , /d\'R

R-

dr

wij, om geene oneindige waarde voor te krygen,

\\dr/o

76

beide ( ^^ ) — o en R„ = o zouden moeten nemen, waar-
\\ dr /»

door weer alle volgende differentiaalquotienten = o wor-
den. De oorzaak hiervan is dat voor r = o, de coëfficiënten
ciR

en R beide ^ worden, omdat zy r en r" in

van

dr

den noemer hebben. Stellen wg evenwel R = r\'y zoo laat
p zich zoodanig kiezen dat ten minste één der beide
coëfficiënten eindig blyft, want door die veronderstelling
wordt de vergelyking

r dr V ï" ^

Wy nemen dus p^ = n^ p = n.
Zij p = n dan is R = r^y.

De vergelyking en hare achtereenvolgende afgeleiden zijn:
dy

-f 1) ^Vy = o
ar

dr dr^ dr

q-r

dr dr

—^ = O.

dr^

De opvolging is duidelijk. Stellen wij nu () = o,
y„ = A en brengen wy deze en de waarden van

y dr^ /

.... uit deze vergelykingen berekend, in

77

<«).....i

De eerste van de vergelgkingen (A) wordt voor r = o

O

dy

dr neemt den vorm ^ aan voor r — o, bygevolg

— O

r

dy j d^y\'

dr . wv- ,
lim — = \\ — f . Men vindt dus
r \\ 1 /

O

/fin = - ^ A

[dry„ 2 (n 1)

Deze waarde invoerende in de 2® vergelijking (A) en
r z= O stellende geeft:

De derde vergelijking geeft

(S). (2 « 3) (|) (S).  = O

d^y dy

hierin is lim - - lim - zoodat

men verkrggt

C^) = __ A

4 (« 4- 1) (n f 2)

Op deze wgze voortgaande en de waarden der differen-
tiaal-quotienten in (B) brengende komt:

78

(12) R = A U waarin
(!)■ ^ (f)\'

(13) U = 1 -

1.7i 1) 1.2(7i l)(n 2)
Voor — n krijgen wij eene tweede particuliere op-
lossing, die met de nu gevondene alleen in liet teeken
van n verschilt, zoodat R\'— Br*"" U\' is. Deze moeten wij
evenwel verwerpen omdat zij voor rz=.o R —■ c>o geeft
d. i. eene oneindige verplaatsing voor het middelpunt van
het vlies, hetgeen ongerijmd is.

2®. Oplossing in eindigen vorm..

Wij kunnen de reeks (13) den vorm eener bepaalde
integraal geven. Algemeen is n.1.

cos   .......

Als wij deze vermenigvuldigen met sin^" m dw en inte-
greeren van o tot jt zoo komt

J\'J^ sin ^^ o) cos (<* cos od) duo — sin\'" Mdtö —

__ — r\'^ sin®" cos^uiduó 4- ——- r-" sin^" « cos\'^ uidu\\...
1.2»\'» \' 1.2.3.4»\'\'\'

nu IS

__ 1.3.5 . . ■ ■ (2 n—1) _

sin" ta dw =z ------- n = IS.

^ " 2.4.6.....2n

sin\'" M cos^ o^ du>— -—r r\'^ sin\'" co die = ^ ^ ^K

1 3

r" sin\'" 00 COS\'® dw = -^r^-K

" {2n -f 2) {2n -f 4)

79

waarvan elk door partiëele integratie uit de voorgaande
is af te leiden. Bij gevolg, na eene kleine herleiding

. , , , ^ 1.3.5 ...V2n — l)

J , sin^\'\' Ü» cos (ot cos ft,) dm = -^^-< U

^ \' 2.4.6... 2n

(iJ (i)\'

1 - , . , ..

l.(n l) \' 1.2.(72 l)(n 2)

Deze vergelykende met (13) is dus

2.4.6 ... 2n 1
(14) U = - - Xr sm\'" w cos {qr cos o,) dw

Hierdoor is dus de oplossing van (9) in eindigen vorm
gegeven.

De waarden, die wij hebben gevonden voor T, R
geven eene particuliere oplossing, voldoende aan de difie-
rentiaalvergelgking (2) en ook reeds aan de voorwaarde
(4) i<j„ = O. Zal nu de conditie (3), w = o voor -/• rr 1,
vervuld zyn, zoo moet ü rr o zijn voor rr 1 en bij
gevolg moet

(ly (!)•

(15) 0-1 —ITÏX

1. (« 1) ^ 1.2(n 1) {n 2)
waardoor q in n gegeven is. Deze vergelyking beeft z. a.
wy zullen aantoonen oneindig veel positieve wortels (de
negatieve nemen wij niet in aanmerking). By elke waarde
van n behooren dus oneindig veel q%. Noemen wy in het
algemeen q^^ de s® wortel van (15) behooren bij de waarde
(als wy die wortels in opklimmende orde gerangschikt
denken) zoo zal de particuliere oplossing, welke aan de
3® en 4e voorwaarde voldoet, zyn

(16) rr R,., cos nd B^, sin nd~\\ sin q^, ct.

80

Voegen wg al deze particuliere integralen samen, zoo
vinden wg als algemeene oplossing

(17) W R„, [A,., cos nd , sin nd] sin d

waarin de constanten A„, en B^, nog moeten worden be-
paald door de laatste conditie (zie (5)) d. i. door de
vergelgking

(18) F (r, 6) =^n., cR»., cos «0-t-B„,. sin nd].

§ 3. Bepaling der constanten A en B.

De constanten kunnen uit (18) niet worden afgezon-
derd door de algemeene formule do~o van bladz.
40, maar worden zeer gemakkelijk gevonden door de be-
trekking

SI n^\' rdrz^o
welke tusschen twee verschillende R\'s bestaat en die zich
nagenoeg op dezelfde wgze laat betoogen als de aange-
haalde formule. Immers R en R\' voldoen aan de verge-
lgking (9) en dus

R;

dr"

d^R

d^R- IJR\' /
dr^ r dr ^^ r^^
welke verbonden kunnen worden tot

Vermenigvuldigen wij deze met rdr en integreeren van
O tot 1.

81

Aangezien dan

^ V dr" dT\' )

dR ^ dR\'

K - — K -

dr dr

c^E,\' \\ / dR O > ,

dr dr J \\ dr dr

is, omdat R en R\' beide rr o zijn aan den rand van het
vlies (d. i. voor r — 1), zoo wordt onze vergelijking

{q^ — q\'\') ^dr = o en dus

(19) X\'^\'^dr — o
als q en q\' verschillend zijn. q. e. d.

Vermenigvuldigen wij nu (18) met cos nddrdd en
integreeren over het geheele vlies, zoo krijgt elke term
van het tweede lid den vorm

c J"^ , R„,,. rdr J^"^ cos nS cos n\'Qdd
c £ , rdr fl ^ cos nd sin n\'edd.

Alle termen waarin n en s\' beide of één van beide van
n en s verschillen vallen dus weg volgens (19). Voor
n\' — w en s\' = s verdwijnt alleen de coëfficiënt van want

Jl\'^ cos nd sin nd ~ o.

De coëfficiënt van wordt Cn R^/rdr

omdat cos^ nQdd ~ n. Bij gevolg is

f^^fl F (r, 0) r cos nödödr — B.J rdr

Evenzoo vinden wij B„„ door met r sin nddrdd te
vermenigvuldigen. Wij hebben dus ten slotte

1 J\'^ F (r, d) cos nddddr

(20) A„ ..

n^m p p 0) R sin nddddr

82

§ 4. Rangschikking der toonen, Knooplijnen.

De volledige oplossing toont aan dat er over het alge-
meen oneindig veel toonen gelijktijdig door het vlies
worden voortgebracht. De begintoestand kan evenwel
zoodanig zijn, dat er slechts één term van die oplossing
blijft bestaan. Bij gevolg .stelt elke term één\' der moge-
lijke toonen van het vlies voor. Beschouwen wij dus
eenen enkelen term.

(22) to = r" ü [A cos B sin nd} sin qct.

De trillingsduur en de hoogte van den toon, hierdoor
voorgesteld, zijn klaarblijkelijk gegeven door de formules

(23) qcT=:2n en

Wij zullen in het volgende aantoonen dat alle waarden
van q verschillend zijn, zoodat er dus, z. a. uit de waarde
van N blijkt, geen twee termen zijn, die denzelfden toon
geven. De algemeene vergelijking der knooplijnen is dus
steeds

r^ü [A cos wö H- B sin ndl — o
welke zich splitst in het stel

(24) = O

(25) U = O

(26) A cos nö B sin nQ — o.

De eerste hiervan geeft r — o als n niet — o is d. w. z.,
behalve voor de termen waarin n — o is , is het middel-
punt steeds een knooppunt.

De tweede vergelijking, is de vergelijking der cirkel-
vormige knooplijnen (vgl. form. (13)). Stellen wij in deze

b

vergelijking qr rr s zoo is r — — en J successievelijk ge-
lijk aan elk der wortels van

83

~~ l.(n l) 1.2(n l)(n 2) .....

welke identiek is met de vergelgking (15). De achter-
eenvolgende waarden van fï zgn dus

zoodat de stralen van de knoop cirkels, welke den toon
N^.^ vergezellen zgn:

(27) r, = , r, = ^____n —= 1.

De laatste hiervan is de vergelgking van den rand, de
daaraan volgende stellen geen plaats op het vlies meer
voor. Wg vinden dus voor den toon N,^,, s — 1 concen-
trische , cirkelvormige knooplgnen, wier stralen door (27)
zullen gegeven zgn, zoodra wg de wortels van (15) kennen.

De vergelgking (26) eindelgk geeft 2n stralen, onder-
ling of gelijke afstand, want schrijven wij

tang ï,d =r.— ^ en zij « de kleinste hoek, wiens tangent

A

is, zoo zal bovendien elke hoek hieraan voldoen

B

voor welken

OC TT

Ö— — d. i. in het geheel 2n waarden, die tel-

n ■n,

kens verschillen.
n

De hoogte van de mogelgke toonen (vgl. (23)) en de
afmetingen der cirkelvormige knooplgnen, kunnen dus
niet anders worden gevonden dan door de oplossing der
vergelgking (15). Wg hebben dus deze vergelgking nader
te beschouwen.

84

§ 5. Behandeling der vergelijking

(IJ (iJ

(15) 0 = 1—_f__^__^_—

1.(^ 1)^ 1.(^ 1) (n 2)

Voor wij overgaan tot de oplossing van deze vergelij-
king, zullen wg aantoonen:
P dat alle wortels reëel zijn,
2® dat er geen twee gelijke wortels voorkomen.
Het bewijs van het eerste is door Poisson gegeven
en is zeer eenvoudig. — Veronderstellen wg dat (15) een

imaginairewortel —-1 heeft, zoo moet ook

51/

— 1 een wortel zijn. Voor deze twee wortels
en voor dezelfde n nu zullen de waarden van R respec-
tievelijk zijn

R^^ = G T)V—l R„= C—D

zooals blgkt uit de vergelijkingen (12) en (13). C en D
stellen reëele functies van r voor. Brengen wij deze waar-
den in de form. (19) zoo komt

ƒ ï (C D\') rdr^ O.

Dit is evenwel ongerijmd, want alle elementen der in-
tegraal zgn positief.

Om in de tweede plaats te bewijzen dat (15) slechts
ongelijke wortels heeft, schrijven wij voor hare waarde
in eene bepaalde integraal, welke terj^tond uit (14) wordt
gevonden door daarin r = 1 te nemen. Men heeft

2.4 . . 1 ^n

^ 1.2.3.....nf^

85

Integreeren wy bij gedeelten zoo is

/n , „

sin « cos iq cos ») d*» =

= (2 n—l),/\'^ sin w cos {q cos w) do> —

— {271 — 1) y^ sin ^^ « cos {q cos »>) cf«
pit

? / „ sin w cos w sin cos w)

De laatste integraal integreeren wy weer bij gedeelten;
daardoor zal dan worden

2.4

1.3 ..... . (2n 1) 7!\'

(2n—1) sin w cos {q cos w) c?» —

— (2n—1) J\'^ sin w cos {q cos w) rf» -{-
(I

———— sin w cos (o cos w) tfw
2n 1 7 „ ^ ^

en bieruit dan weder gemakkelijk

n{n V)

(28) =

(1/

Door differentiatie van (a) verkrygt men

dT^ 2.4 . . 2?^ 1 , . ^ . \' ^

——- =: — —-—-— - / Sin sin(o cos «) cos w dtu

dq 1.3 . . O ^^ \'

welke door partiëele integratie geeft

q

(29)

dq 2{n 1)

86

Nemen wi] nu aan, dat = o twee gelyke wortels had,
dan zou voor de waarde van die wortels, niet alleen

maar ook zijn, en dus ook t„ i = övo1-

(Jj(j

gens (29) en daardoor eindelyk (Vgl. (28))

Brengen wij deze waarden in de achtereenvolgende
afgeleiden van (29)

, ^ d\'T d\'T^
zoo komt -- ~ O, -ï- = 0 ....

dq\' dq\'

zoodat, zooals blykt uit de ontwikkeling van T„ door het
theorema van Marlaurin, identisch — o zou zyn,
welke ook de waarde van q is, hetgeen ongerijmd is.

De algemeene oplossing van (15), die wij nu laten
volgen is gegeven door Bourget 1). Poisson geeft
de oplossing voor het geval dat n — o 2).

Geven wy eerst eenen anderen vorm door de oplos-
sing der differentiaal vergelijking waaraan voldoet en
die gevonden wordt door differentiatie van (29). Er komt

dq^ 2 (w 1) dq 2 (n 1)

hierin de waarde van —volgens (29) en daarna die
dq

van (28) en van T^,, (29), komt

d\'T 2 Jï tM , „
-- -i-l„r=o.

dq^ q dq

1) Annales de l\'Ecole Normale III, 1866 bldz. 72.

2) Journal de l\'Ecole Polyt. XII. p. 350.

87

Stelt men

(30) = zoo vindt men de vergelijking

V = o

(31)

welke het eerst door Sturm is behandeld in het Journal
de Mathémat. pures et Appliquées I p. 174. 1)

Sturm vindt daar voor het verschil t, tusschen twee
achtereenvolgende waarden van q, welke N — o maken,

(32)

waarin y. een getal is tusschen de twee wortels q van
V rr: O, dus ook van rr o. Door deze formule bere-
kent men spoedig de benaderde waarde van de wortels
der vergelgking (15) als de eersten bekend zijn. Als de
waarden van q groot zijn is hun verschil nagenoeg — n.

„2__1

Voor het geval dat de term ^ te verwaarloozen is

.. ^

wordt de vergelijking (31)

d\'Y

-i- V = o

dq\'

waarvan de integraal is

(33) VrrP cos<2-|-Q sin

Trachten we voor P en Q waarden te vinden (als func-
ties der veranderlijke) zoodanig dat (33) de integraal wordt
van (31).

l) Vgl. ook de zeer eenvoudige behandeling van Mathieu.
Phys. Math. p. 107.

Men vindt dat P en Q gegeven zijn door
(34)

welke wg zullen oplossen door de methode der onbepaalde
coëfficiënten. Beproeven wg te voldoen door

P =: A ^^ Al 4- A, q""-\' .....

Q = B 4- B, q\'^-\' B, .....

Wanneer wij deze waarden substitueeren in (34) zoo komt:
m — O

of als wij kortheidshalve schrijven
(35)

4 (ï 1)

Bl — /Ij A
Bs = - 773 B
Bg = 77^/73 77, A
B, = 77i 773 77, 77, B

Hierdoor wordt dan

89

T„ = Y ^ - i\'-H) = q

(A cos O B sm o) I 1 — --f---_______ I

L ^ qi q

(n IJ. ^ i

• • • J

of als wg schrijven A ~ H cos , B ==: H sin ^

(36) T. = q- H cos {q-<p) [l - ^ -i-^\'.... j

/n n^n^n yi

Hierin moeten nog de constanten H en bepaald
worden. Dit kan geschieden door de waarde van T„, uit-
gedrukt in eene bepaalde integraal (a), in eene dergelijke
reeks te ontwikkelen. Wij behoeven daarbij niet alle ter-
men te zoeken; één daarvan is voldoende om, door ver-
gelyking met den correspondeerenden term in (36), de
constanten te vinden. Wij nemen daartoe den term met
den factor q - <«

Vooreerst merken wij op dat wij de integraal, voor-
komende in (a) tusschen de grenzen o en - tt kunnen
nemen, als wij slechts het geheel verdubbelen en dus

0.5 .\'. (2.1^) ^ fj """ ^ ^^^ ^^ ^^^ >

1 ijcos O) 1 —isTOsW.

of omdat cos {q cos «) = - ^ "1" ö ^
A ij,

2.4. . 2??, 1

(37) T. ~

1.3 . . (2«—l);r

O \' O

4*

90

Beschouwen wi] deze beide integralen ieder afzonderlek.
De eerste vervormen wy door de veronderstelling
iq cos (1) = iq — if, waardoor wy zullen vinden

Tt . i?co«a) , /2\\\'

y^-j sin^" 0,(3 dm —

De gewenschte factor q-1» komt hier voor buiten het
integraal-teeken. Men behoeft dus slechts dien term van
de ontwikkeling der integraal te zoeken, welke onaf-
hankelijk is van q.

/ f f

Als wij dit in de integraal invoeren, splitst zij zich in
oneindig veel integralen, waarvan de eerste is

O

Partieel integreerende krijgen wij achtereenvolgens:

O ^ ^ O

l/i\') 1 2»-3 O^_q i/r

y^\'-^er^\'dy^-- (iq) ~

ƒd,y = _ \\ (i.q), e- 1 dy

en dus

91

2

.......

Geen term van het eerste gedeelte van het tweede lid
is onafhankelgk van q. De waarde van de integraal

daarin vooi\'komende, is gelyk aan ^ ^^ verminderd met

Ji

eene reeks van termen, die alle q bevatten 1). Geen van
de overige integralen waarin wg de gezochte integraal
hebben gesplitst, heeft eenen term onafhankelijk van q;
bijgevolg is de gezochte term van de ontwikkeling der
eerste integraal

/iVti 1.8 . . . .(2n—1) 1

Geheel op dezelfde wijze zal men door de substitutie
-f iq cos m = iq-V- y\'
voor den term van de tweede integraal, die (/-n i) tot
factor heeft, vinden:

-(„tè) nfi 1.8.....(2n~-l) 1

Bij gevolg is (vgl. (37)) de gezochte term van ï,

(38) 1.2...n. 2 \' e % J^ ^ >

Deze moet nu gelijk zijn aan den correspondeerenden

— 1»

1) Zie O. a, Lacroix t. 111, p. 507.

92

term van in (36). Schrijven we eerst nog om ons het
vergeleken gemakkelyk te maken

en

( 1 Vti / 1 \\ . / 1 W -\'(»ti)?

welke men vindt door in de formule

(cos X ± — 1 sin a;)™ = cos mx dz — i sin mx

X— te nemen en te schrijven — i

2 2 i

(38) geeft daardoor, als wij hem met den correspondee-
renden term van (36) gelijk stellen

2 [ ( l\\7r

—Hcos (q—ç>)

en dus

|H = 1.2.3.....

Hiermede is de nieuwe vorm (86) van geheel be-
paald. Deze vorm nu geeft eene zeer gemakkelijke op-
lossing voor de q\'s die T^z=o maken. Immers als wij
T,^ -^iz: O maken, laat (36) zich schrijven (met invoering
der waarde (39) van f).

Hl Uj^sth

1) ^

2/ 2

m

zoo komt

A fl V

-q /-^T

of daar cot —- tg (« n)

3 \\ ^

- q q^ q\'

(3-VJÏ f t. ^ V

maar

1 3 i 1

aTctgy = tj — -f

en dus eindelyk als wy aan q weer hare gewone index
geven

(46) =(.-1«- ï)- ^  ■ •

Uit deze formule is q, zeer snel te benaderen. Bourget
in zijne aangehaalde verhandeling bldz. 81 geeft eene tabel
van de waarden der constanten, die bg de berekening
noodig zijn. Ook geeft hy uitvoerige tabellen van de
toonen, welke het vlies geven kan met de knooplijnen,
die deze toonen vergezellen.

94

6. Vlies, begrensd door twee concen-
trische bogen en twee stralen.

Laat de vergelgkingen van deze bogen en stralen zijn

Tzzzl\'-, 6 = 0, O—».
Als wij weer de beginverplaatsing = o nemen, zal, als
W=:TR(h)

de particuliere oplossing of m. a. w. de enkelvoudige
trilling voorstelt, daarin weer

T = B sin qct zijn (vgl. (10))

In

(g) = H cos mö -j- K sin nO (zie (11))
moet nu (^ = O zijn voor 9 = o en ö — «

bij gevolg H = O en = ^ — en dus

R sin i — .

^ a

De voorwaarde dat n een geheel getal moet zyn, ver-
valt; daardoor blijft de tweede particuliere oplossing van
R nu bestaan, zoodat

(fJ (1)\'

m

1 . 1) . 2(n —l)(n—2)

95

Hierin moet R o worden voor r -=.1 en r waar-

A

door q in functie van n en — kan worden bepaald. —

Vormen wij dan eindelgk de algemeene oplossing door
de som te nemen van alle particujiere zoo zullen
de nog onbepaalde constanten daarin, uit de conditie

^ F (r, ö) voor tz= O, moeten worden afgeleid.
dt

HOOFDSTUK I.

HET ELLIPTISCHE VLIES.

§ 1. Invoering van nieuwe coordinaten.
De integratie van de vergelgking

U, W _ 2 / ^ " " \\

voor het elliptische vlies is gegeven door E. Mathieu
in het Journal de Mathématiques pures et appliquées
1868 1). Wij zullen hem niet overal in zgne zeer uit-
voerige beschouwingen volgen, maar een overzicht geven
van zijne resultaten en de wijze waarop die zijn verkregen.

Om de voorwaarde w — o voor den rand gemakkelijk
uit te drukken, voeren wij een stelsel kromlijnige coör-
dinaten in, bestaande uit een stel ellipsen, confocaal met
den rand van het vlies en de orthogonale trajectoren van
deze ellipsen. Deze orthogonale trajectoren vormen, zoo-
als gemakkelijk te bewijzen is, een systeem hyperbeis,
wier groote as en brandpunten samenvallen met die van

1) Vgl. ook zijn\'Cours de Physique Mathématique. 1873 pag. 122-

97

het vhes. Het is duidelyk dat een punt van het vHes
gegeven is, zoodra de afmetingen van de ellips en de
hyperbel, die elkaar in dat punt snijden, bekend zyn.
Het stel ellipsen laat zich voorstellen door de vergelyking:

(1)

waarin c\' de constante liniaire excentriciteit,

en p\' = — c\'^ de assen van elke ellips voorstellen.
De hyperbeis zyn bevat in de vergelyking

(2) ^__l-=l

V t - V

waarin v de groote en / rr ^ — ^ de kleine as is van
de hyperbel. q en p doorloopen voor de verschillende
ellipsen en hyperbeis alle waarden van af c\' tot a (a =
groote as van het vlies).
Stellen wy nu

e^ e"^ __e^—e-^

(3) ^ = ____

(4) ^ = c\' cos « . rz = c\' sin „ 1)

zoo zullen wy « en ^ nemen als kromlijnige coördinaten
d. w. z. waj denken ons elk punt bepaald door de waar-
den , welke « en hebben voor de ellips en de hyperbel,
die elkander in dit punt snyden.

Door middel van deze coördinaten laat de conditie, dat
de rand in rust moet blij ven, zich eenvoudig zóó uit-
drukken

= O voor = const = B.

i) Het laat zich zeer eenvoudig aantoonen dat a voorstelt den
hoek, welken de assymptoot \\an de hyperbel, gaande door het
punt («, /3), maakt met de groote as van het vlieK.

4

98

Elimineeren wij uit(l) en (2) beurtelings -x en zoo
komt, met invoering van de waarden (3) en (4),

(5) XT= C\' —-cos « y-»-\'.......... sin «

2 2

waardoor wij van de coördinaten x en y tot ™, /3 kunnen
overgaan.

Wij hebben dus bij deze quaestie eene functie w te
zoeken, welke, als wij de beginverplaatsing weer — o
nemen, voldoet aan de volgende vereischten:
dhe _ ^ d?w\\

df)

welke wij eerst te transformeeren hebben voor de coördina-
ten «, /?,

(7) IV ■= O voor — A.

(8) w = O » t — O.

dw

(9) — —?\'(«, I?) voor t = o.

U/Z

Nemen wij, om reeds terstond te voldoen aan (8), als
particuliere oplossing van (6).

(10) = sin c^.
waarin u eene functie is van x en y alleen, die volgens
(6) moet voldoen aan:

-, V d?u d^u

dar dy

Voeren wij nu hier in de waarden (5)

_ , e-^ ___

X- C---- pQg (t — c\' cos — li cos n

jL

y— - sin « - c\' 1 sin 1) «i»"\'

99

maar geven wij eerst aan liet eerste lid van (11) zyne
eenvoudigste gedaante, door te stellen
.r y l^Hl —t

X — y ^ — 1 —

zoo vfordt (11)

(12) 4 ^ -

dt dv

waarin men voor t en v uitgedrukt m nc en B vindt
t = c\' cos (« — /S l^ZZi^
w™«\'cos (fit /Sl/ZTY)
welke door differentiatie geven

. . _ / dn _d^

_ /dn __d&\\

_ /da , _dR\\

Uit de 3® en 4e dezer vergelijkingen volgt

^ ^ dt dt dv— d,v

en hieruit weder

(14) O.

d,t dv dt dv

Om nu de vervormde uitdrukking van (12) te vinden,
hebben wij slechts van veranderlijke te veranderen:

du du dn dudfi fd,u _du\\dn

------1-----— — 1/ T — volgens (13)

dt d dt d^ dt \\t/« ^ — ^ d^^ dt ® ^

7*

100

(Pu [dSjt, , , ^- dhi \\d« da

--------— I — -f _ [--)---(_

dt d,v ^dn^ dn dfi/dt dv
/ d^u ^__d^u\\dadf, ^ fdu , ^- dwX d

d^\'^/dt dv \\da d^/dtdv

De laatste term is = o volgens (14). Wegens (13)
is dus

d^u fd\\ j d\'^u \\ da, da

dt dv ^ d»d^) dt dv

d^u d^u\\da da_/d\'u d^u\\ dada_

1 fd?u , dhi

~ 47\'sin(« iï»/—1) sin (a-/?!/—1\' vTT- l^j
maar

2 sin («-1-/2 K—sin («—y3 !/—\'• ) = «os (2^ 1) —

— cos 2« = E (2/8) — cos 2oe

als wg voor de hyperbolische cosinus het symbool E
schrgven.
Bij gevolg

^ _ d\'M _ 2 fd^u d?u\\

~ \'\' \'\' " dT^ " c" [E (~2^)"^"co72;] ^

of eindelijk

flhi dhi
da df

§ 2. Particuliere integralen van (15).
Zij nïi om deze te integreeren.

(16) m = PQ

zijnde P eene zuivere functie van Q eene zuivere functie
van /3, zoo zal men, in plaats van (15) alleen, deze twee
gewone difiPerentiaal-vergelijkingen verkrijgen

101

(17) —  2«)P —O.

(18)

waarin R eene constante is, die voor den cirkel gelyk
het vierkant van een geheel getal is. De zwarigheid van
de oplossing van het nu behandelde vraagstuk bestaat
hoofdzakelijk in het opsporen van de waarde der constante
R en in de ontwikkeling van de functies P en Q.