Het Beginsel

van iiu

door

\'^j\'/r
ifc:
■a -

• •«4

fc.

• » m

<»Oi

> V ^

* y

.6

e «

41 » . ••

ï »

- ; V -,

• •

\'.NT

. * -r ^ , \' >
\' . r/

* » • . : » .

; f

■ liv

^ f\'f*\' ^ ."Mi ■ ■

\' ^ fï^t-.

t\' - \'i.
Ïi-

HET liEÜlNSEL VAN IIUYGENS.

Typ. F. J. BELIXFAKTE voorh. A. D. SCHINKEL te \'s-Oravcnhage.

1

Het Beginsel van Huygens.

PROEFSCHRIFT

TEn VEnKHUOINO VAN BKN GBAAI) VAN

Iflxtor in dc Mis- m Ualuurkuiulc

AAN DE jpliJKS-JJNIVERSITEIT TE JJtRECHT,
NA MACHTIGING VAN DEN RECTOR-MAONlFICUS

DR. H. WEFERS BETTINK,

Uooglccrnar In do Facultolt der Wis- en Natuurkunde,
volgens üesluit van den senaat der universiteit
TEGKN DE IIEDENKINGEN VAN

DE FACULTEIT DER WIS- EN NATÜÜRKUNDE

TE VERDEDIGEN

op VrydaK 26 Januari 1000
(les namiddags tc l uren,

DOOR

DAN I KL IMKTKR .MO IJ..

geboren te Westervoort.

A
\\

^ li

jJrf^ECHT. — ji. VAN j^UFKEL.
1 1)00.

■y :

■iff-,

li»f^Ty. ,> p .j-l j y,

..Jl\'

V- \'

•I

>ï \'ri\'-^ •

lïi

¥

> -

RUKSUNjyER^TEJTTEUTl^^^^^^^^^

17&4 iJr«

UDERS.

f. w

m\'

51

1 ;

te

j

Hoavel ik reeds voor ongeveer twee jaren de Univei\'sitcit heb
vei-laten, is het mij een behoefte f/, llooglccrarcn in dc Faculteit
der JTttS- cn Natuurkunde, dank te zeggen voor Uw ondenuijs
in collegezaal en laboratorium.^ en nict minder voor Uw
vricndschappelijkcn cn leerrijken omgang daarbuiten.

JFrt is U bekend, Ilooggekei\'de V. A. Jui-ius, Hooggeachte
Promotor, hoe groote dankbaarheid mij vervult voor Uw zorgvul-
dige leiding van mijn studiën. Toch is het mij een vreugde dien
dank hier openlijk te kunnen uitspreken, niet het minst voor Uw
krachtigcn steun en voorlichting bij dc samenstelling van dit
proefschrift.

Amorsfoort, Dec. 1890.

: \'^feW - .Jtf!

- - - ^ . i;

- f

P? ■ ■ ■

INHOUD,

niadz.

INLEIDING................... 1

I IO O F D S T U K I.

IviRCiiiiOFr\'s formiileering van het beginsel van
Huygens

L Potentiaalfunctie eener golfbeweging.......11

2. Afleiding en beteekenis van K i r c h h o f f\'s formulcering
van het beginsel van Huygens........10

3. Mathematische bezwaren in te brengen tegen dc wijze
waarop Kirchhoff zijn formulcering van het be-
ginsel van Huygens afleidt, en exacte afleiding
diuirvnn.................24

HOOFDSTUK H.

Algemoono beschouwingen over golfbewe-
gingen.

1. Phnseoppervlakken. Phnscsnelheden. Voortplantingssnel

beid vivn dc grens eener golfbeweging.....

2. Harmonische golfbeweging van oneindig kleine tril

lingsperiüde...............

SUitionaire golfbewegingen. Vorm der potentiaal. Stand
vastigheid vun het trillingsgetiil.......

•l. Verschijnselen aan do grenzen eener stationaire golf
beweging............\' . . . .

HOOFDSTUK HL
Bolvormige golfbewegingen.

Bladz.

1. Eenige vormen van potenüaalfuncties van bolvormige
golven.................70

2. Phasesnelheden van eenige soorten van bolvormige
stationaire golfbewegingen..........74

3. Vorm der potentiaal eener begrensde bolvormige
golfbeweging...............82

4. Berekening van de voortplantingssnelheid der grens
van een bolvormige golfbeweging door middel van

het theorema van Kirchhoff........94

HOOFDSTUK IV.

Willekeurige golfbewegingen.

1. Voortplantingssnelheid van de grens eener wille-
keurige golfbeweging . . ..........104

2. De differentiaalvergelijking der golfbeweging voor
functies van den vorm Gjjsint/;........ll(i

CONCLUSIES..................128

STELLINGEN.................135

INLEIDING.

In zijn „Traité de la Lumière" i) Chap. I, pg. 17 en
18 houdt Huygens de volgende beschouwing:

„11 y a à considérer, que chaque particule de la matiere,
dans laquelle une onde s\'etend, ne doit pas communiquer son
mouvement seulement à la particule prochaine, qui est dans
la hgne droite tirée du point lumineux; mais qu\'elle en donne
aussi nécessairement à toutes les autres qui la touchent, et
qui s\'opposent à son mouvement.

^ De sorte qu\'il faut

qu\'autour de chaque par-
ticule il se fasse une
onde dont cette particule
soit le contre. Ainsi si
D C F est une onde
emanéo du point lunii-
neu.K A, qui est son cen-
tre; la particule B, une
de celles qui sont com-
^"\'S"*"" prises dans la sphero

DGF., aura fait son onde particulière K G L, qui touchera
l\'onde D G F en C, au mesme moment que l\'onde principale,
emanée du point A, est parvenuO en DGF; et il est clair
qu\'il n\'y aura que l\'endroit G do l\'onde KGL qui touchera

1) Do vollcdigo titol is:

Traito do la Lumioro, où sont uxpliqut\'oH loa cnusoH tlo oo qui luy arrive»
dans lu Ucfloxion ot dans la Itofraction ct particulioroniunt dans l\'ctranR«
Kofraction du Cristal d\'Islande, par C. II. I). Z, avec un Discours do lu Cnuso
do la Pesantour. A Loido, olioz l\'iorro vnn der An, MDCXC.

Tonde DGF, sçavoir celuy qui est dans la droite menée par
A B. De mesme les autres particules comprises dans la
sphere DGF, comme bb, dd etc. auront fait chacune son onde.
Mais chacune de ces ondes ne peut estre qu\'infiniment foible
comparée à l\'onde DGF, à la composition de laquelle toutes
les autres contribuent par la partie de leur surface qui est
la plus éloignée du centre A.

L\'on voit de plus que l\'onde DGF est déterminée par
l\'extreraité du mouvement, qui est sorti du point A en cer-
tain espace de temps ; n\'y ayant point de mouvement au de là
de cette onde, quoy qu\'il y en ait bien dans l\'espace qu\'elle
enferme, sçavoir dans les parties des ondes particulières, les-
quelles parties ne touchent point la sphere DGF.\'\'

Dit is nagenoeg alles wat Huygens zelf zegt omtrent
zijn zoo beroemd geworden beginsel. Er blijkt duidelijk uit
dat Huygens aannam, dat een deel der beweging op zeker
oogenblik van A uitgegaan, op een later tijdstip gevonden
werd niet uitsluitend op het oppervlak DGF, maar ook
binnen het oppervlak DGF o^ de deelen van de „ondes par-
ticulières" welke niet den bol D CJP raken.

Verschillende natuurkundigen na Huygens hebben van
zijn beginsel een formuleering gegeven die meer omvat dan
Huygens zelf zegt. Het komt mij voor dat men de bedoehng
van Huygens het best kan brengen in den vorm: „Elk deeltje
dat in beweging gekomen is, kan voor het vinden van eenig
ander golfoppervlak dan dat waarop het zelf gelegen is, be-
schouwd worden als een middelpunt van trilling." i)

Fresnél spreekt het aldus uit: „Les vibrations d\'une
onde lumineuse dans chacun de ses points peuvent être re-
gardées comme la somme des mouvements élémentaires qu\'y
enverraient au même instant, en agissant isolément, toutes
les parties de cette onde considérée dans une quelconque de
ses positions antérieures."

Dit is reeds iets meer; het geeft den grondslag van de

1) V. A. JuliuB. Leerboek dor Nnhiurkundo. Dordo dool, dorde druk
pg. 14.

2) Oeuvres dc F r o s n o 1. I pg. 293.

methode die Fresnel uit hetgeen Huygens gezegd heeft,
heeft afgeleid voor de bepaling van den bewegingstoestand
van een deeltje op een bepaald oogenblik.

Beer i) houdt de volgende beschouwing naar aanleiding
van dat beginsel:

„Hört der Punkt F mit seinem Leuchten nach einer Zeit
T auf, so erhalten wir neben der äusseren Grenze der be-
ginnenden Lichtbewegung eine innere Grenze der aufhören-
den. Wie jene, wird auch diese eine Kugel sein, deren Mit-
telpunkt P ist, und deren Radius sich stetig mit der Ge-
schwindigkeit V verlängert. Nach der Zeit T, die grösser als
T sei, wird sich daher dei-jenige Theil des Aethers in Bewe-
gung befinden, welcher in einer Kugelschale von den Radien
vT und v{T\' — T) liegt. Bei wachsender Zeit erweitert sich
diese Schale gleichförmig; ihre Dicke aber bleibt constant.

Von dem Hergange bei der Fortpflanzung des Lichtes
können wir uns auch noch eine von der vorhergehenden
etwas abweichende Vorstellung bilden. Für die Zeit ^ seien Z,
p und A\'j (Fig. 2) die äus-

sere und innere Grenze
einer Lichtwelle. Jeden
Punkt der zwischen
Kl und Kl gelegenen
Aethermasse können
wir uns nun als Mit-
/ telpunkt einer neuen
Lichterregung denken.
Nach der Zeit t wird
sich z. B. der Zustand
eines Punktes von
K^ auf die Punkte der Kugel /.*, übertragen haben, deren
Mittelpunkt j-Jj ist, und deren Radius v t gleichkommt. Con-
struiren wir für alle Punkte von Ki die zugehörigen Kugeln
so leuchtet ein, dass nach der Zeit t der Zustand von Jv,
sich auf die Punkte derjenigen Fläche übertragen hat, welche

1) Uoor, Einleitung in die huhoro Optik PR. 18. llraunsohwoig bij Viowpg
und Solln 1853.

jene Kugeln insgesammt berührend umhüllt. Jene Kugeln
werden aber umhüllt von zwei Kugelflächen, deren Centrum
der leuchtende Punkt P ist, und von denen die äussere K[
den Radius v T vt, die innere K[\' den Radius v T —vt
hat; die letztere Kugel lassen wir unberücksichtigt; von der
ersteren aber wissen wir aus dem Vorhergehenden, dass sie
wirklich der Ort der Punkte ist, auf welche sich der Zustand
von Ki nach der Zeit t überträgt. Dieselbe Construction
liefert uns für jeden Schwingungszustand der Welle eine
äussere und innere Fläche, von denen wir jene als den Ort
der Punkte, auf welche sich der fragliche Zustand übertragen
hat, beibehalten. Und der Inbegrilf dieser äusseren Flächen
ist der Ort, nach dem sich die ursprüngliche Welle nach
Verlauf der Zeit t fortgepflanzt. Die innere Grenze der neuen
Welle ist die Kugel wefche die den Punktender Fläche
Kl entsprechenden Kugeln ki nach Aussen hin umhüllt. Das
mitgetheilte Verfahren, von einer Welle zu einer ihrer spä-
teren Lagen überzugehen, würde auch dann anzuwenden sein,
wenn die ursprüngliche Welle eine andere als kugelige Ge-
stalt besässe. Die dem Verfahren zu Grunde liegende Vorstel-
lungsart heisst nach ihrem Erfinder das Huyghens\'sche
P rincip."

Hier ^ordt dus in de eerste plaats aangenomen dat, wan-
neer de beweging in P ophoudt, na een zekeren tijd de ge-
heele beweging besloten is tusschen de oppervlakken K^ en
Ki. Dat dit werkelijk zoo is zal ik in Hoofdstuk Hl be-
wijzen, maar het is zeker niet iets dat uit het beginsel van
Huygens voortvloeit. Opmerkelijk is dat Beer van de in-
wendig omhullende K[\' eenvoudig maar zegt: „die letztere
Kugel lassen wir unberücksichtigt".

Die inwendig omhullende werd dan ook door Poisson
aangehaald als een groot bezwaar tegen hetgeen Fr e snel
uit het beginsel van Huygens afleidde. In een brief aan
F res nel waarvan hij een extract heeft gepubliceerd i) en

1) Poisson. Annales do Chim. et de Physique, t. XXII p. 270, Cahier
do Mars 1823.

t

die is opgenomen in de Oeuvres de Fresnel t. II pg.
206 s. s. zegt Poisson op pg. 209:

„Je vous ferai aussi remarquer que, dans le raisonnement
qui vous a conduit à la formule de la page 287 de votre
Mémoire sur la diffraction i) rien n\'exprime que le point
P 2) soit situé au delà de l\'onde A M F, et que, s\'il était situé
en deçà de cette onde, le même raisonnement appliqué mot à
mot vous conduirait à une formule semblable pour exprimer
la vitesse qu\'il reçoit. Il suivrait donc de vos principes que
l\'onde A M F, même quand elle est complète, devrait produire
du mouvement en deçà et au delà de sa position; conclusion
qui suffirait pour montrer qu\'il y a un vice quelconque dans
votre manière d\'envisager la question. Et, en effet, la pro-
duction d\'une nouvelle onde en avant de celle que vous con-
sidérez, et la non-communication du mouvement en arrière,
n\'ont lieu qu\'à raison d\'un rapport déterminé qui subsiste,
dans l\'onde donnée, entre les condensations et les vitesses
propres des molécules fluides, et nullement à raison de l\'in-
terférence des ondes élémentaires parties de tous les points
à des instants différents."

Het antwoord van Fresnel: 3)

„Je conviens que le principe do la composition des petits
mouvements doit s\'appliquer à ce cas comme à celui que j\'ai
considéré; mais si les éléments dans lesquels je conçois l\'onde
divisée ne peuvent pas envoyer de mouvemént de ce côté,
même en agissant isolément, il est clair que la résultante des
ondes élémentaires sera nulle. Je ne vois donc pas qu\'il résulte
de mes principes qu\'une onde doive produire des mouvements
rétrogrades,"

kan dan ook als weinig afdoendo gelden.

Maar Poisson had nog meer bezwaren. In dien zelfden
brief wees hij er Fresnel op dat do uitwijking die een
deeltje kreeg bij de berekeningswijze van Fresnel evenredig

n Oouvres do KrcHiiol t. I pg. 313.

\'i) P is het punt waarin Kroancl hürckcnt do intensiteit dor beweging
uitgezonden door iillo doeltjes van liot golffront .1 M h\\

3) Oeuvros do Frosnoi t. 11 pg. 219.

4) Oeuvrca do Frosnoi t. II. pg. 208.

6

was met de golflengte, wat toch vrijwel onaannemelijk mocht
heeten, of men moest onderstellen dat de invloed van een
golfoppervlak-element omgekeerd evenredig was met de golf-
lengte, wat even onaannemelijk was.

F res nel zag zeer wel in dat het beginsel van Huygens,
zooals hij dat had geformuleerd en toegepast, niet tot uit-
komsten overeenkomende met de verschijnselen zou leiden,
indien hij aannam dat de intensiteit van de secundaire golven
in alle punten even groot was. Hij zegt : i)

„L\'impulsion qui a été communiquée à toutes les parties de
l\'onde primitive étant dirigée suivant la normale, les mouve-
ments qu\'elles tendent à imprimer à l\'éther doivent être plus
intenses dans cette direction que dans toute autre ; et les rayons
qui en émaneraient, si elles agissaient isolément, seraient d\'autant
plus faibles qu\'ils s\'écarteraient davantage de cette direction.

La recherche de la loi suivant laquelle leur intensité varierait
autour de chaque centre d\'ébranlement présenterait sans doute
de grandes difficultés ; mais heureusement nous n\'avons pas
besoin de la connaître, car il est aisé de voir que les effets
produits par ces rayons se détruisent presque complètement
dès qu\'ils s\'inclinent sensiblement sur la normale, en sorte
que ceux qui influent d\'une manière appréciable sur la quan-
tité de lumière que reçoit chaque point P peuvent être regardés
comme d\'égale intensité."

Later heeft Presnel 2) in antwoord op een aanval van
Poisson getracht de wet af te leiden volgens welke men
moet aannemen dat de intensiteit over de verschillende punten
van een zelfde secundaire golf verdeeld is. Is M een punt van
een secundaire golf met A als middelpunt en verder G het
punt waar die golf wordt gesneden door de golffrontsnormaal
gaande door A, dan zou volgens Fresnel de intensiteit van
de secundaire golf in het punt ilf evenredig zijn met de cosinus
van hoek M A G. Deze cosinuswet is echter zeer weinig
vruchtbaar gebleken en aan een uitdaging van Poisson ^J)

1) Oeuvres do F r o s n o 1 t. I pg. 295.

2) Oeuvres do Frosiiol t. II pg. 221.

3) Oeuvres de F r c s n o 1 t. II pg. 22G.

*

om de berekening der intensiteit met behulp dier wet nu eens
uit te voeren voor een zeer eenvoudig geval, waarin de uit-
komst te voren bekend was, heeft Fresnel niet voldaan.

Trouwens het is gebleken i) dat in een ander geval de
berekeningswijze van Fresnel tot een onjuiste uitkomst
leidde. Is P een lichtgevend punt, M een bol met P als
middelpunt en C een punt gelegen buiten dan vindt men
voor de phase in O, indien men deze berekent door middel van
de secundaire golven door M uitgezonden volgens de bereke-
ningswijze van Fresnel, niet wat de rechtstreeksche be-
schouwing geeft, maar een phase die ~ grooter is. Jamin
et Bout y 2) zeggen naar aanleiding hiervan:

„On ne s\'est pas arrêté à ce résultat bizarre d\'une analyse
évidemment incomplète, lequel ne paraît pas susceptible d\'inter-
prétation physique."

Dit ailes mag niet als een verwijt tegen Fresnel gelden;
integendeel bewijst het hoe zijn intuïtie hem hielp zwarigheden
te overwinnen of tijdelijk op zijde te zetten, die een Poisson
het voortgaan onmogelijk maakten. In tegenstelling met Pois-
son kende Fresnel aan het resultaat zijner beschou-
wingen de hoogste waarde toe ; of die beschouwingen zelt
volmaakt exact waren liet hem vrij koud, want de juistheid
zijner resultaten kon hij aan het experiment toetsen. In dien
geest uit hij zich zeer kras aan het slot van boven aangehaalden
brief:

„Peut-être direz-vous encore que je suis arrivé à des résul-
tats justes en raisonnant faux. Au reste, si cette mauvaise
manière de raisonner me conduit îi des vérités nouvelles,
comme je l\'espère, elle m\' aura procuré tous les avantages
qu\'on peut retirer des bonnes méthodes, la facilité des décou-
vertes et l\'exactitude des résultats."

1) Stokos. On tlio Dyn, Th. of Dillruotioii. Trnnsiictiona of thu Cambr.

rhil. Soo. Vol. IX, pg. \'2 (20 Nov. 1819). Math, and l\'hys. l\'npora Vol. II,
pg.

AV. Voigt. Zur Frcsnersclicn Thuor. dor Diirruotionserschcinungon. Wicd.
Ann. 3, pg. 533. 1878.

2) J a ni in et IJouty, Couru do Physique. Paris 1887. t. III. 3. pg. 3ü5.

8

Maar wel blijkt hieruit dat het beginsel van Huygens
in zijn meer eenvoudigen vorm of zelfs in den vorm, waarin
Fresnel het bracht, physisch onjuist is.

Daarom kwam het mij niet onbelangrijk voor in de eerste
plaats de voortplanting van een bolvormige verstoring aan
een wiskundig onderzoek te onderwerpen. Daarmede zal ik
mij bezig houden in het derde hoofdstuk van dit proefschrift
en daarbij gelegenheid vinden om Poisson\'s opmerking be-
treffende het terugloopen der golven en evenzoo Stokes\'
zonderling resultaat te weerleggen.

Wij zullen daar doen zien dat, indien het punt A gedurende
eenigen tijd middelpunt van verstoring is geweest, er eenigen
tijd later alleen beweging bestaat binnen een deel der ruimte
besloten tusschen twee bollen met A als middelpunt, en dat
de voorstelling, die Beer zich vormt van de voortplanting
van een bolvormige verstoring, (zie pag. 3) juist is; dat nl.
indien op zeker oogenblik alleen beweging wordt gevonden
binnen de bolschaal K2K1 (zie figuur 2) er t sec. later alleen
beweging binnen de bolschaal iT^/fj bestaat. Indien men aan
de secundaire golven physische beteekenis toekent, zou slechts
een deel der energie aanwezig binnen K-,Ki binnen ICR[
worden teruggevonden en dus ook buiten die schaal beweging
moeten bestaan volgens de wet van behoud van arbeidsver-
mogen. Kennen wij dus physische beteekenis toe aan die
secundaire golven en aan de beschouwingen van Huygens,
dan komen wij in strijd met de wet van behoud van arbeids-
vermogen. Dit geeft ons recht te zeggen, dat het beginsel van
Huygens tot strijd voert met de wet van behoud van
arbeidsvermogen en derhalve physisch onjuist is.

Hiervan echter mogen wij den genialen grondlegger van de
theorie der golfbeweging geen verwijt maken, vooreerst toch
was hem de wet van het behoud van arbeidsvermogen onbe-
kend en bovendien moet men naar mij voorkomt aan zijn
beschouwingen geen physische maar slechts een meetkunstige
beteekenis toekennen. Van die beschouwingen toch zegt
Huygens in onmiddellijke aansluiting met voorstaande aan-
haling : „Et tout cecy ne doit pas sembler estre recherché
avec trop de soin, ni de subtilité; puisque Ton verra dans la

suite, que toutes les proprietez de la lumiere, et tout ce qui
appartient a sa reflexion et a sa refraction, s\'explique prin-
cipalement par ce moyen.\'.\'

De hier bedoelde verklaringen der wetten van terugkaatsing
en breking nu bestaan slechts in zijn bekende meetkunstige
constructies van den teruggekaatsten en den gebroken straal
van een vlakke verstoring door een vlakke grenslaag. Huy-
gens heeft die beschouwingen naar mij voorkomt alleen
gehouden om die constructies te motiveeren. Daar, waar
Fresnel door Poisson in het nauw gedreven physische
beteekenis hecht aan de secundaire golven en b.v. gaat
spreken over de verdeeling der intensiteit over die golven,
beginnen de onjuistheden en wijkt hij mijns inziens van
de voorstellingen van Huygens af.

Hoewel het dus zeer te betreuren is dat Huygens zelf
geen scherpere formuleering aan zijn denkbeelden heeft ge-
geven, zijn hem dunkt mij de onjuiste resultaten door anderen
daaruit afgeleid niet toe te rekenen, maar heeft men slechts
het recht aan zijn beginsel meetkunstige beteekenis toe te
kennen, n.1. in zooverre het ons de grens der beweging leert
vinden en ons een middel aan de hand doet om uit een vorig
golffront een volgend te construeeren. Wij hebben er zijn
geniale beperking in te bewonderen dat hij zelf dat ook deed.

In Hoofdstuk III zal ons blijken dat slechts voor etherbe-
wegingen van oneindig kleine golflengte do gollFrontsconstructie
van Huygens voor bolvormige en vlakke golven geheel
juist is.

Toen ik deze quaestie had onderzocht, deed zich als van-
zelf de vraag aan mij voor: hoe staat het met de gollïronts-
constructie van Huygens voor golven van willekeurigen
vorm? Daartoe had ik dus het volgende vraagstuk te be-
handelen: indien gegeven is dat een gesloten oppervlak A
golffront is voor een beweging die zich voortplant naar buiten
toe, is dan de uitwendig omhullende van bollen met gelijken
straal beschreven om alle punten van A voor die beweging
ook een golffront? De behandeling van dat vraagstuk maakt
in eenigszins gewijzigden vorm den hoofdinhoud uit van
Hoofdstuk IV.

10

Tegenwoordig duidt men met den naam beginsel van
Huygens dikwijls aan een theorema door Kirchhoff afge-
leid en dat ons in staat stelt om uit een golfbeweging die op
eenig oogenblik gegeven is, de beweging na een willekeurig
tijdsverloop af te leiden. Toen ik zooeven het beginsel van
Huygens physisch onjuist noemde, bedoelde ik daarmede
natuurlijk geenszins dat theorema van Kirchhoff hetwelk
in den laatsten tijd volmaakt streng bewezen is. Integendeel,
van dat theorema dat de oplossing van alle vraagstukken over
golfbewegingen in een isotroop medium impliciet bevat, zal ik
juist gebruik maken om het physisch onjuiste in het beginsel
van Huygens en in de formuleering ervan door Fresnel
aan te toonen.

Met de afleiding en de bespreking van dat theorema heb ik
mij bezig gehouden in Hoofdstuk I, terwijl in Hoofdstuk II
eenige algemeene besprekingen van golfbewegingen worden
gehouden.

Ten slotte wil ik nog opmerken dat ik nergens heb inge-
voerd de voorwaarde dat de golflengte der beweging oneindig
klein is. Doet men dit wel, dan worden de berekeningen veel
eenvoudiger, maar dan gelden de beschouwingen slechts (bij
benadering) voor lichtbewegingen en verliezen nagenoeg geheel
haar beteekenis. Hoewel ik dus in het vervolg de nomenclatuur
voor lichtbewegingen gebruik, kunnen op etherverstoringen
van eindige golflengte de verkregen resultaten evengoed worden
toegepast. Juist voor znlke electromagnetische golfbewegingen
verkrijgen zij naar mij voorkomt hun beteekenis en met het
oog daarop\' is het dat ik de voortplanting van etherverstoringen
heb bestudeerd.

HOOFDSTUK L

KIRCHHOFF\'S FORMULEERING VAN HET BEGINSEL
VAN HUYGENS.

I. Potentiaalfunctie eener Golfbeweging.

In de volgende beschouwingen zullen we ons voorstellen
te doen te hebben met een goltbeweging in den homogenen
en isotropen ether. Zulk een golfbeweging wordt beheerscht
door drie van de coördinaten x, y en z en van den tijd t
afhankelijke functies Ï7, V en W, die moeten voldoen aan de
part. diff. verg.

^ = (1)

waarin a een constiinte is voor den ether en A do bekende
notatie is voor den operator

Indien we ons plaatsen op het standpunt van de elastici-
teitstheorie van het licht en derhalve den ether beschouwen
als een elastisch onsamendrukbaar medium en licht als een
zich daarin transversaal voortplantende verstoring, dan wordt
een lichtbeweging bepaald door de ontbindingsuitwijkingen
V en w van een etherdeeltje langs de coördinatenassen en dan
worden die functies v en w uit bovengenoemde functies
ü", V en W afgeleid door middel van de vergelijkingen:

(2)

12

w

Indien dus U, V en W gegeven zijn, dan wordt in de
elasticiteitstheorie van het licht een lichtbeweging door de
vergelijkingen (2) volkomen bepaald en omgekeerd, indien de
lichtbeweging gegeven is, dan kunnen de dan gegeven functies
u, V en w steeds worden geschreven in den vorm (2), terwijl
de daarin voorkomende functies U, V Qn W voldoen aan de
diff. verg. (1). Voor iedere lichtbeweging is dus in de elasti-
citeitstheorie voldoende de bestudeering van die functies U,
V en W die onderling onafhankelijk zijn maar moeten voldoen
aan (1).

Aanvaarden we de electromagnetische lichttheorie en be-
schouwen we derhalve den ether als een electrisch en mag-
netisch polariseerbaar medium en hcht als de voortplanting
daarin van electrische en magnetische schommelingen, dan
wordt de electromagnetische toestand van den ether en dus
de lichtbeweging bepaald door de volgende twaalf functies van
X, y, z en t :

3F, 5), de ontbondenen van het electrisch moment per
volume eenheid;

P, de ontbondenen van het magnetisch moment per

volume eenheid;

X, Y, Z, de ontbondenen van de electrische kracht;

L, M, N, de ontbondenen van de magnetische kracht.

Evenals v en lo hangen ook deze functies van drie functies
U, V en W af en worden daaruit afgeleid door middel van de
vergelijkingen:

13

Hierin zijn f en constanten voor het medium, die in den
vrijen ether gelijk 1 worden en Ä is de constante, waardoor
men van het electromagnetische naar het electrostatische maat-
stelsel overgaat, zoodanig dat in eenheden van het C. G. S.
stelsel ongeveer

A =

3.10\'O •

Evenals in de elasticiteitstheorie is dus ook hier, indien U,
V en JV gegeven zijn, een lichtbeweging geheel bepaald en
omgekeerd, indien de lichtbeweging gegeven is, dan kunnen de
electrische on magnetische ontbindingskrachten en ontbindings-
momenten steeds worden geschreven in den vorm (3). Ook
hier is dus voor iedere lichtbeweging de bestudeering der func-
ties C7, V en IV voldoende.

Terwijl echter in de elasticiteitstheorie de functies C/, V
en W moeten voldoen aan (1) maar onafhankelijk zijn van
elkaar, moeten in de electromagnetische lichttheorie de
functies ü, V en W behalve aan (1) ook nog voldoen aan
de betrekking:

en zijn hier dus niet onafhankelijk van elkaar.

(4)

14

Daar in de elasticiteitstheorie U, Ven TF onafhankelijk van
elkaar zijn, kunnen we daar eens onderstellen :

U = q>,
V = O,
IF = O,

waarin q> voldoen moet aan (1). Door de beweging (5) samen
te stellen met twee andere dergelijke bewegingen, waarvan
voor de eene ü" en F en voor de andere U en W nul zijn,
keeren we tot het algemeene geval terug. Omgekeerd kan
een willekeurige lichtbeweging steeds in drie zulke bewegingen
ontbonden worden. In plaats van de vergelijkingen (2) krijgen
we dan :

= O,

(C)

d q>

77

In de electromagnetische lichttheorie moeten U, V en W
voldoen aan (1) en aan (4); dit is het geval zoo we stellen:

U =
V =
\\V =

terwijl <pi en gi voldoen aan (1), maar onafhankelijk kunnen
zijn van elkaar.

De beweging (7) kunnen we splitsen in drie bewegingen
door beurtelings twee der functies ip, tp, en (j^i gelijk nul te
stellen.

We blijven dus algemeen, indien we één dezer bewegingen
bestudeeren, b.v.

(2)

15

f; = O,
V = —

3z

_ 5 qp

waarin <f een oplossing is van (1). Dan worden de vergelij-
kingen (3):

X = 47r

V 4 ^
1 = 4 tt — 1

f

Z = 4
7. = O,

M = 4 TT - ,

— A fi f —

Volgens beide lichttheorieën kan dus iedere lichtbeweging
worden gesplitst in drie andere, die elk door één functie <]p
worden beheerscht, welke alleen onderworpen is aan de voor-
waarde dat zij moet voldoen aan (1).

In de elasticiteitstheorie kunnen we door middel der ver-
gelijkingen (6) en in de electromagnetische lichttheorie door
middel van (9) voor een dezer drie bewegingen alle lichtvec-
toren berekenen. Do bestudeering van één functie «p, die aan
(1) voldoet, is dus volgens beide theorieën voldoende.

Von Helmholtz gebruikt in zijn „Vorlesungen über
die Electromagnetische Theorie des Lichts" do uitdrukking
„Wellenpotential". Ik zal die\'uitdrukking overnemen en
de functie cp aanduiden met den naam „potentiaal der
golfbeweging".

Een willekeurige lichtbeweging heeft dus volgens het boven-
staande drie potentialen, maar kan steeds worden gesplitst in

16

drie bewegingen waarvoor telkens twee der potentialen nul
zijn. Met de bestudeering van één dezer drie bewegingen
en dus met de bestudeering van één potentiaal kunnen
we volstaan.

2. Afleidingen beteekenis van Kiechhoff\'s formuleering
van het beginsel van huygens.

Door Kirchhoff 1) is een theorema afgeleid, dat gewoon-
lijk wordt genoemd de formuleering van het beginsel van
Huygens door Kirchhoff, en dat ons in staat stelt om
uit de waarde, die een functie, welke voldoet aan de diff.
verg. der golfbeweging (1), op een gesloten oppervlak s heeft,
te berekenen de waarde dier functie in eenig punt binnen s
gelegen. Daartoe moet binnen s de ether continu zijn ; binnen
s mogen dus geen vreemde lichamen of lichtbronnen zich be-
vinden. Bij de afleiding van dat theorema wordt van het
beginsel van Huygens geen gebruik gemaakt en evenmin
volgt de juistheid der golflfrontsconstructie van Huygens er
onmiddellijk uit. Daarom komt het mij voor, dat er weinig
reden bestaat, om dat theorema te noemen de formuleering
van het beginsel van Huygens. Waarschijnlijk heeft het dien
naam gekregen, omdat als basis der bestudeering van licht-
verschijnselen in den isotropen ether het beginsel van Huy-
gens door dat theorema kan worden vervangen.

Kirchhoff leidt zijn theorema op de volgende wijze af:

Indien Ü en V twee functies zijn van r, y en die met
haar eerste diff. quot. naar ï-, y en z binnen een geheel be-
grensde ruimte (welke uit verschillende gescheiden deelen kan
bestaan) eenwaardig en continu zijn; indien dr een element
van die ruimte is en ds een element van haar oppervlak s
(hetwelk eveneens uit verschillende gescheiden deelen kan
bestaan); en indien N de normaal is op het oppervlak s naar

1) Kirchhoff. Sitz. Bor. d. Kün. Acad. d. Wissonsoh. zu Berlin vom 22
Juni 1882 pg. 641. Wiedem. Ann. Bd. 18 pg. 6G3. 1883.
GoBamm. Abhandl. von Kirchhoff, Nachtrag pag. 22.

17

binnen toe getrokken, dan is volgens het theorema van Green

=f\'lr(VAU-UAV).

Hierin stelt Kirchhoff U=(p, terwijl (p een functie is die
voldoet aan de diff. verg. der golfbeweging (1).

Van 7, welke functie we zoo aanstonds nader zullen be-
palen, neemt Kirch hoff aan dat zij ook aan (1) voldoet.
Het theorema van Green gaat dan over in:

J V\'^^iV 5iV/ «^\'J ^ ^ C>t/

Vermenigvuldigen we beide leden met dt en integreeren over
t tusschen de negatieve en positieve grenzen — t\' en t", dan is

• (10)
-t\'

Kirchhoff stelt nu

waaiin r„ de afstand is van eenig punt x, ?/ en z tot oen
willekeurig vast punt o. Deze onderstelling is geoorloofd,
want dan voldoet V aan (1) voor eiken vorm van F.

Betreffendo F onderstelt Kirchhoff:

l/* en F\' (C) zijn oneindig klein voor iedere eindige
positieve of negatieve waardo van C;

7\'\'(C), is nooit negatief, wat ook C moge zijn;

3V /.\'(C)(U = 1, (11)

indien wo deze integraal nomen van oen oindigo negatiovo tot
een eindige positieve waardo van C-

Zij nu gegeven een ruimto geheel- begrensd door een opper-
vlak s, waarbinnen de ether homogeen is en waarbinnen geen
lichtbronnen voorkomen. Het punt o kiezen wo binnen die
ruimto. Dan is binnen dio ruimto cp continu on eindig on ook
V behalve in het punt o, waar V oneindig groot wordt.

We mogen dus (10) toepassen op de ruimte begrensd door s en

2

18

een oneindig klein bolletje met straal B, dat we om het punt
O leggen. Van dat bolletje zij clS een oppervlakteelement.
Verder kiezen we f zoo groot, dat voor de geheele ruimte s
. de uitdrukking r„ — at\' negatief en eindig blijft.

Onder die voorwaarden komen in de rechterzijde van (10)

d V

slechts waarden voor van F en , waarin Vo at eindig

3 t

positief of eindig negatief is, en die dus oneindig klein zijn.
Van de vergelijkingen (10) blijft dus slechts over:

In de tweede integraal is

F(R at)

V =

Jl

■JN It SR

Noemen we nu da een ruimtehoekelement, waarvan het
punt O hoekpunt is, dan is

dS = R^da

en dus

of daar B oneindig klein is:

f^\'^ i\'^\' - F ^ = -l\'^Z« 7\'\'(a/) = ^ 4TT n J\'i^O ,

waarin (p„ voorstelt de waarde van 9 in het punt 0 op den
tijd t.
Nu is volgens (11)

fdt F (at) =
J _/\'

19

en tot de waarde dezer integraal hebben alleen bijgedragen
de elementen in de buurt van ^ = o, dus

r\'" 1

Jdi q>At)F(at) = —cpo(.o),

waarin (pdo) voorstelt de waarde van (f in het punt o op

tijd t = O.

De tweede integraal uit (12) wordt dus

Thans gaan we de eerste integraal van (12) transformeeren;
na omkeering der integraties wordt zij

5 V

hierin is

J „ sN J r„ aro

— I —I a

terwijl in na uitvoering der differentiatie gesteld moet
aN

worden t = — —. Stollen wo dus
ct

dan wordt

jN ar„ \' V a/

Vervolgons is

aV d F (r„ a O

5 iV sN r„

s-L

1

20

en dus

f\' aV / 1 dro f\'\' dF(ro at)^„

wat door partieele integratie van de laatste integraal overgaat in

- 9 (--) — U «O Ï-

a ^ \\ a! avo a N J J_^,

% r^ Fira at)dt.

an aN J_^.at ^ ^ ^

De tweede term is nul omdat F voor een eindig argument
verdwijnt en de laatste term herleidend volgens (11) krijgen we:

J_

aV r„ 1 / ro\\ 1 ar„ {9 q>\\

Derhalve wordt (12):

\' J r\' r„ 1 / r„\\ 1 ar„ /aq>\\ 1 . / r„\\ "1 in

ƒ

Verleggen we nu den tijdsoorsprong, zoodat het oorspron-
kelijke aanvangspunt het tijdstip t wordt, dan is

1

A r,\\ C 7 r M ^ au (i! 1 rl, r„\\\'

Merken we nu nog op dat

(. \\ a r„

aN "^v a) nr„ aN

indien we onder den operator in het tweede lid dezer

^ aN

21

3 7* d

vergeliiking verstaan den operator —~ . -, dan kunnen we

^ ® aN dVo

ons resultaat in den vorm brengen:

To(0= cZs,

waarin

Q =

dN To

terwijl f de beteekenis heeft:

Indien we dus de potentiaalfunctie <p eener golfbeweging op
een gegeven oppervlak s kennen bonevens haar dift\'. quot. op
dat oppervlak naar den tijd en naar de normaal op het opper-
vlak, dan geven de vergelijkingen (13) ons de potentiaalfunctie
in eenig punt 0 binnen s gelegen.

De vergelijkingen (18) vormen de zoogenoemdo formuleoring
van Kirclihoff van het beginsel van Huygens.

Om de vergelijkingen (13) te kunnen interproteeron merken
WO op, dat indien do functie <p alleen afhangt van r en van
t, do dift". verg. (I) to integreeron is en dat dan haar meest
aigemeene oplossing den vorm heeft:

In dio onderstelling hebben wo te doen mot bolvormige
golven en r is do afstand tot hct middelpunt der golven.

ÜG eerste term stelt voor do potentiaal van een bolvormige
golfbeweging dio zich van hot middelpunt verwijdert, en do
tweede term stelt voor do potentiaal van een bolvormige
golfbeweging dio zich naar hot inlddelpunt toe beweegt.

Dus do tweede integraal uit Kirchhoff\'s theorema n.1.

.f^/O-^)\'"

22

stelt voor de potentiaal die in het punt o wordt verwekt
door bolvormige golven die uitgaan van alle elementen van
het oppervlak s, indien

ds

voorstelt de potentiaal door een element ds verwekt in een
punt op afstand r van ds gelegen.

Om ook de eerste integraal te kunnen interpreteeren, stellen
we ons voor op het oppervlak s een soort dubbellaag van
positieve en negatieve middelpunten van verstoring. Met een
negatief middelpunt van verstoring bedoelen we een punt, dat
bolvormige golven uitzendt, waarvan de potentiaal negatiefis.
De afstand der lagen zij dN. Van de beweging verwekt door
een bolvormige golf uitgaande van een element ds der buitenste
laag zij de potentiaal in eenig punt op afstand r van dat
element gelegen

, 1

— ds -

dN

en in datzelfde punt zij de potentiaal verwekt door het bij-
behoorend element der binnenste laag

ds--j-^y ds

r dN dN

De potentiaal door beide elementen te samen verwekt in
dat punt is dan gelijk aan de som dezer beide potentialen
(want de diff. verg. der golfbeweging is lineair), en dus gelijk
aan

ds ■ ^

dN To

zoodat de eerste integraal uit Kirchhoff\'s theorema, n.1.

_

3 N To

23

kan worden opgevat als de potentiaal der beweging verwekt
in het punt o door positieve en negatieve middelpunten van
verstoring, die in een dubbellaag van de boven omschreven
aard zijn gerangschikt op het [oppervlak s en bolvormige golven
uitzenden.

De vergelijkingen (18) kunnen we derhalve aldus uitspreken :

Ieder golfbeweging binnen een gesloten ruimte
waarin het medium continu en isotroop is en
waarbinnen zich geen middelpunten van versto-
ring bevinden, kan worden opgevat als te worden
verwekt door bolvormige golven die worden uit-
gezonden door middelpunten van verstoring, die
deels in een enkelvoudige deels in een dubbellaag
gerangschikt zijn op het oppervlak s dat die ruimte
omsluit.

De vergelijkingen (18) leeren ons dus de potentiaal door een
willekeurige golfbeweging verwekt, berekenen uit de potentiaal
van denkbeeldige bolvormige golven. Wat betreft de golfbe-
weging binnen s mogen we dus voor de werkelijke middel-
punten van verstoring genoemde denkbeeldige middelpunten
van verstoring substitueeren die gelegen zijn op s.

Ook Huygens en Fresnel maakten in hun beschouwingen
van secundaire bolvormige golven gebruik; maar terwijl zij
die bolvormige golven als werkelijk, bestaande voorstelden en
als wordende uitgezonden door ieder deeltje dat in beweging
gekomen is krachtens de beweging die hot in werkelijkheid
heeft, moeten de secundaire golven waarmede we Kirch-
hoff\'s theorema interpreteerden als geheel denkbeeldig worden
beschouwd: physisch toch is hot bestaan van zulk een dub-
bellaag van positieve en negatieve middelpunten van verstoring
niet denkbaar cn in ieder geval is van zulk een dubbellaag
op het oppervlak s in werkelijkheid geen sprake.

24

3. Mathematische bezwaren in te brengen tegen de wijze
waarop Kirchhof f zijn pormuleering van het
beginsel van Huygens afleidt, en
exacte afleiding daarvan.

Tegen de wijze waarop Kirchhoff zijn formuleering van
het beginsel van Huygens heeft afgeleid, zijn bezwaren in
te brengen.

In de vergelijking (10) pg. 17 vervangt Kirch hoff de
functie F door

Fjro at)
ro

Daar V een waardig en continu moet zijn binnen de ruimte
s waarover de integratie wordt uitgevoerd, moet dat ook met
F het geval zijn.

De mogelijkheid nu, dat er een functie F bestaat die con-
tinu is binnen die ruimte en tegelijkertijd voldoet aan de
voorwaarden genoemd op pag. 17, is zeer twijfelachtig.

F (C) toch moet voor een eindige positieve of negatieve
waarde van C oneindig klein worden en tevens moet f F
genomen tusschen een eindige positieve en een eindige
negatieve grens gelijk aan 1 zijn. Men wordt daardoor wel
genoodzaakt aan te nemen dat F (C) in de buurt van C = o
oneindig groot wordt. En daar verder voor C eindig F (C)
oneindig klein is ondersteld, moet F (C) indien men C van o
laat toenemen tot een eindige waarde, hoe klein ook genomen,
veranderen van oneindig groot tot oneindig klein. Er is reden
om aan te nemen dat aan dezen eisch niet door een continuo
functie kan worden voldaan. Hoe het zij, voor de mogelijkheid
dat er een functie bestaat die aan dien eisch voldoet en die
in de buurt van het punt C = o wel continu blijft, heeft men
geen voldoenden waarborg.

Kirchhoff zelf geeft i) een voorbeeld van zulk een functie
F en kiest den vorm :

1) G. Kirohh(^ff. Vorleaungon übor Mathomntiucho Optik, pg.\'24. 1891.

25

V 1-

Indien f* hierin een oneindig groot positief getal voorstelt dan
voldoet F (X) aan de haar gestelde eischen, zooals eenvoudig
is na te gaan. Maar dan is

-JT\'

en stellen we hierin C = — dan

f*

3 F (O _ _i

Voor oneindig groot is dus in het punt C = — O"-

eindig groot en dus F{1;) discontinu.

Nemen we aan dat /t niot oneindig groot is, maar zeer
groot, dan is F (C) wel continu maar dan voldoet F (C) niet
meer aan de eischen op pg. 17 genoemd.

Do bezwaren tegen do invoering van do functie F boven
genoemd blijken dus op Kirchhoff\'s voorbeeld van toepas-
sing to xijn. Bovendien zou men do invoering eenor functie,
die aan zulke bijzondere voorwaarden moet voldoen, on in hot
eindresultaat niot meer voorkomt, als overbodig en misplaatst
kunnen beschouwen.

Omdat Ki rchhoff\'s theorema den grondslag uitmaakt van
mijn onderzoekingen on een volmaakt oxact bewijs dus ge-
wenscht voor mij is, zal ik van do volo andero alleidingon dio
van dat theorema zijn gegeven er onkolo besproken.

Von Holmholtz staat in zijn „Vorlosungen übor dio
Electromagnetischo Thoorio dos Lichts" zeer lang bij hot be-
ginsel van Huygens stil. Bij do alleidingvan Kirchhoff\'s
theorema volgt hij Kirchhoff nagenoeg goheol. Voor do
functie F kiest hij echter een ander voorbeeld n.1.

^"(0 = T

26

waaruit volgt

^ _ 1 2c C .
n

stellen we hierin Ç = c, dan

_ _ 11
I n Uc ^

Gemakkelijk is na te gaan dat voor c oneindig klein F (O
aan de gestelde eischen voldoet, dat dan echter

9 Ç

in het punt Ç = c oneindig groot wordt en dat daar derhalve
F (O discontinu is. Onderstellen we zooals Helmholtz doet,
c niet oneindig klein maar zeer klein dan blijft F (C) wel
continu, maar voldoet niet meer aan de eischen van pg. 17.

Terwijl dus in de oorspronkelijke afleiding die Kirchhoff
van zijn theorema gaf, aan de continuïteit van Z\'"* moest worden
getwijfeld, is in zijn latere afleiding, waar hij voor F een
bepaald voorbeeld kiest, evenals in de afleiding van von
Helmholtz de discontinuiteit van F en dus het niet meer
vervuld worden der drie voorwaarden aan F op pg. 17 gesteld,
aan te toonen.

Het komt me voor, dat tegen do invoering van ioderen
anderen vorm, dien men voor F zou kunnen kiezen, dezelfde

bezwaren zouden zijn in te brengen.

«

Poi ncaré (leçons sur la théorie mathématique do la lumière,
professées 1887—\'88) bespreekt evenals von Helmholtz het
beginsel van Huygens zeer uitvoerig. Op zeer eigenaardige
wijze leidt hij een formuleering van dat beginsel af. Zijn for-
muleering is minder algemeen dan die van Kirchhoff en is
zeer eenvoudig uit die van Kirchhoff af to leiden, hoewel
hij onafhankelijk i) van Kirchhoff heeft gewerkt.

1) Aiiii hot slot dor voorrcdo viin goiiocmd wcrk, dio gcdatcord ia Deceinbcr
1888 zcgt Poinoarô: diin« lo clmpitro rolatif à la diflraction j\'ai dôvoloppi!
des idéos que jo croyaifl nouvollos. Jo n\'ai pas noninus K i r c h h o f f <lont lo
nom aurait dû »\'tro citô à cliaquo ligno. Il ost onooro tonips do réparer cct
oubli involontaire. Jo m\'cinprcsso do lo fairo en renvoyant aux Sitzungsbo-
richto Juni 1882. .

27

Poincaré tracht te vinden de algemeene oplossing der
diff. verg.

d^ cp

= (1)

dt^

en beschouwt als zoodanig een functie van x, y, z en t, die

identiek aan (1) voldoet en voor t = o overgaat in een arbi-

^ ^ (p
traire coordinatenfunctie, terwijl evenzoo —^ voor t = o in

dt

een andere arbitraire coordinatenfunctie overgaat.
Die aanvangswaarden van cp en beschouwt P o i n c a ré

51

als gegeven en hij tracht dus het volgende vraagstuk op te
lossen: indien van een golfbeweging gegeven zijn de aanvangs-
waarden van (p en , vraagt men de waarde van rp in

(3 t

functie van de coördinaten en den tijd to bepalen.
Daar de aanvangswaarden van (p en gegeven zijn, is

3 t

do bewoging van alle deeltjes op tijd nul bekend. Volgens de
beschouwingen van Huygens zullen dan op den tijd t alle
deeltjes bolvormige golven verwekt hebben, waarvan de stralen
zijn r = at, en dus zal een deeltje x, y, z op den tijd halleen
bereikt worden door bolvormige golven die uitgezonden zijn
door do deeltjes, welko gelegen zijn op een bol met straal r = a f
om het punt x, y, s als middelpunt. Noemen we y\', z\' do
coördinaten van een element ds van dien bol en houden we
in het oog, dat voor bolvormige golven wier potentiaal slechts

F

van ?-on^ afhangt, do oplossing van (l)don vorm heeft, dan

brengt do voorstolling van Huygens or ons toe om to ondor-
zooken of aan (1) voldaan wordt door

cp.ixyzi)^ jli^l^- ds, (M)

waarin F is een nog nader uit do initalo gegevens tobepulen
coördinatonfunctie, terwijl die integraal moot worden genomen
over het oppervlak van eon bol mot straal r = at om hot
l)unt X, y, z als middelpunt.

28

Om te onderzoeken of (14) voldoet aan (1), merken we op
dat bij een differentiatie van (14) naar de coördinaten de straal
r = at van den integratiebol standvastig blijft, maar het
middelpunt van den bol oneindig kleine translaties clx, dy,
ds verkrijgt. Dan krijgt dus ieder punt op den integratiebol
translaties dx\', dy\\ dz\\ die juist gelijk zijn aan dx, dy en
dz; derhalve

d qii _ rdF ^

dx ~ J 9«\' T ■

9Vi ^ r^^\' ds

dx\' J r

en dus

of

(15)

Bij diflerentiatie naar t krijgt de straal r = at een aan-
groeiing. Het middelpunt van den bol blijft op zijn plaats, maar
het element ds verplaatst zich in de richting van den straal.
Om die differentiatie naar t to kunnen uitvoeren, noemen wo
da het ruimtehoekelement, waaronder het element ds uit het
middelpunt\' van den bol wordt gezien, dan is

ds == r^d(f

en

\'Pi

= jFrda.

Geven we nu t een aangroeing dt, dan krijgt r eene aan.

5 /<\'

groeiing dr = adl en F een aangroeiing — dr, terwijl da

d r g

daarbij constant blijft. Voor(16) is dus de operator—r gelijk-
waardig met a^ ~ , zoodat

29

= a-^Jrrda = nj F da arj ^^ da .

dF

waarbij we wel moeten onthouden dat - kortheidshalve is

sr

geschreven voor

3 F d^ iJ^ dF de

dx d r dy 9 r Yz W\'

Nu is het volgens het theorema van Green:

waarbij de laatste integraal moet genomen worden over het
volume van don bol, waarvan dr een element is. Waaruit
volgt:

(17)

zoodat

f^da -^[AFdr.
Differentieeren we deze verg. nog eens naar t, dan

d f^

of in vorband met (17)
dl\'

Nu beduidt

9 Ta „ ,

= 7

Jaf.

do aangroeiing dio ƒ A F dr verkrijgt, indien we r oen aan-
grooiing dr geven, en is dus gelijk aan de waarde van ƒ A Fdr
genomen over het volume van den bolschil besloten tusschon

30

de boloppervlakken r en r dr; van die bolschil is ds dr
eén volumeeleraent, dus

^ jj jAFds di

of

j I^AFdr j dr = ^^JAi^ds

of

I^AFdr = JAFcIs-,

zoodat wo ten slotte hebben gevonden

^ = (18)

waaruit in verband met (15) volgt, dat (14) een oplossing is
van (1).

De oplossing (14) is echter nog niet de oplossing die Poin-
caré zoekt, want deze moet twee arbitraire functies bevatten.
Om een tweede particuliere oplossing te vinden merken we

op dat indien cpi eene oplossing is van (1), ook aan (1)

s t

voldoet. Dit do oplossing (14) volgt derhalve als tweede op-
lossing

JTj--T- \'

waarin wo het recht hebben voor F^ oen andere functie te
kiezen dan de functie F in (14).
Nu is weder

d r F, d r d r

<7-2

of

• = (20)

3]

Daar (l) lineair is zal ook de som van (14) en (20) vol-
doen aan (1), zoodat we krijgen als oplossing

of

? = ƒ (f ^ ^ . (21)

Deze oplossing bevat twee arbitraire coördinatenfuncties en
is dus de oplossing, die Poincaré zoekt. Daar Poincaré

de aanvangswaarden van qj en als gegeven beschouwt,

T? t

moeten we F en F^ nog daarin gaan uitdrukken. We duiden
die aanvangswaarden aan door (<p)a en (-f ) •

^ d t \' O

We kunnen (21) in den vorm schrijven:

= ƒ (rF -f aF, -f ar da , (21)

en laten wo hierin t en dus r tot nul naderen, dan

s

{q>)o = \'inaFt ,

en dus

= At, • (22)

4 TT rt

Om ook F te berekenen gaan wo do vergelijking
differontieeren naar /, dan

dep c> CF, , (\'Fy ,

nu IS

77 ƒ7 = 77 = ^ƒ\'

32

en volgens (18)

dt^

zoodat

waardoor we krijgen

^ = ajpda arj\'^da n^-rƒ AF^da .
Stellen we hierin ^ en dus-r gelijk nul, dan

(IJL) =.4naF

\\ at fo

en dus

F = m) . (23)

éna \\ dt \'O ^

Doormiddel van (22) en (23) zijn de onbekende functies Fm
Fi uitgedrukt in de als gegeven beschouwde functies {(p)„ en

) en gaat (21) over in

t O

= 1 r(J_(ll) 4--l(„), l-^W,;«.

\' ^ \' ATi J^ar \\ at\'O r^^r/« I y ar )
•

Deze integraal moet worden genomen over een bol met straal
r z= at om het punt x, ?/, z. Wo zullen daarom voor de
duidelijkheid schrijven:

^ r{l aqi 1 a(j) 1 ) ,

^ J1 - -jt 7--Tr \\

t^o

Dit is do formuleering door Poincaré aan het beginsel
van Huygens gegeven; zij leert ons de lichtbewcging in
eenig punt op den tijd t kennen uit de lichtbeweging op den
tijd nul op een bol met straal r = at om dat punt beschre-

33

ven. Uit Kirchhoff\'s formuleering is zij gemakkelijk af te
leiden. Volgens dat theorema (verg. 13) is

waarm

Nu heeft in

aN r„

^ ^ T d

de operator de beteekenis -vr —i derhalve
^ dN dN drc ^

a

Passen we Kirchhoff\'s theorema in dezen vorm toe opeen
bol met straal r = at\' beschreven om het punt o, dan is
r =ro = a t\' en daar N de normaal is op s naar binnen ge-
trokken, wordt

dN ar ai-o \'

dus

Uo ^ «r ^ r

of als we hierin stollen t\' = dan is

V=o 4 nJ jr2 ^ ar dt ^ r dr \'
en dit is jnist de formuleering van Poincaré.

34

Poincaré\'s formuleering is dus niets anders dan een
speciaal geval van het theorema van Kirchhoff en minder
algemeen.

Poincaré vermeldt niet de voorwaarden waaronder (24)
geldt, maar uit zijn afleiding kunnen we die voorwaarden gemak-
kelijk voor den dag brengen. Stilzwijgend neemt hij aan, dat
de functies F en F^ en haar differentiaalquotienten naar de
coördinaten continu en eindig zijn op den integratiebol; verder
heeft hij om het verband tusschen die functies met (9)0 en

op te sporen den straal van dien integratiebol tot nul

\\ d t 0

laten naderen. De continuiteitsvoorwaarden van F^ F^ en haar
differentiaalquotienten moeten dus ook binnen dien bol ver-
vuld zijn, wat bovendien ook nog geeischt wordt door de
toepassing van het theorema van Green.

De voorwaarden waaronder Poincaré\'s theorema geldt
zijn dus dezelfde als voor dat van Kirchhoff, n.1. dat open

binnen den integratiebol 9 en met haar afgeleiden naar de

d t

coördinaten continu en eindig zijn. Physisch gesproken : binnen,
op en op oneindig kleinen afstand van den integratiebol mogen
geen vreemde lichamen of lichtbronnen voorkomen.

Men zou kunnen meenen, dat de particuliere oplossing

rFCx\'y\'z\') ,
<Pi = j r

in het punl r = 0 oneindig wordt; dit is niet zoo, want stellen
we in die integraal ds = r^da en laten we dan r en dus t
tot nul naderen dan vinden we

cpi(xy zo) =

Evenzoo blijft de tweede particuliere oplossing in het punt
r = 0 eindig; zij heeft in dat punt de waarde 4 na Ft of
wel ((f>)o.

Van de eerste oplossing ligt dus het particuliere daarin, dat
de aanvangswaarde van de potentiaal nul is, en van de tweede

35

oplossing, dat de aanvangswaarde van het difFerentiaalquotient
naar den tijd van de potentiaal nul is, want

a CF,

en dus

_ fEi
dt ~ af\' J r

of volgens (18)

= -Caf

dt rj

Of

Stellen we hierin t en dus r gelijk nul, dan :

Ana^AF^r

= 0.

r—o
t=o

Terwijl ik dus niet geloof, dat tegen do exactheid van
Poincaré\'s afleiding iets is in te brengen, komt het mij
echter voor, dat hij geon recht heeft zijn oplossing de alge-
moene oplossing van de diff, verg. der golfbeweging to noemen.

Door toepassing n.1. van het"beginsel van Huygens leidt
Poi ncaré twee particuliere oplossingen van (1) af. In beido
oplossingen ligt dus het principe opgesloten dat de waardo van
qp in eenig punt op tijd t alleen afhangt van de beweging op
tijd 0 op een bol met straal r — at om dat punt beschreven.
Alleen in de onderstelling, dat dat principe juist is, is Poin-
caré\'s oplossing de algemeene te noemen, en verdienen do
functies F en Fi, dio expliciet niet afhangen van ion waarin
1/ X« -f tß z^ = r^ den naam arbitraire functies.

A priori zou men geneigd zijn to meenen, dat de beweging
op tijd t in eenig punt niet alleen zou afhangen van de be-
weging op tijd nul op een bol met straal r — at om
dat punt beschreven, maar ook van do beweging op tijd nul

86

in alle punten binnen dien bol. Het bewijs dat dit niet zoo
is ontbreekt bij Poincaré; zooals Poincaré de verg. (24)
heeft afgeleid mag zij dus niet de algemeene oplossing van
(1) worden genoemd, maar slechts een formuleering van het
beginsel van Huygens.

Een korte en zeer elegante afleiding van Kirchhoff\'s
theorema geeft Gutzmer i); zonder van een hulpfunctie
gebruik te maken leidt hij op volmaakt exacte wijze dat
theorema in zijn algemeene gedaante af.
Volgens het theorema van Green (pag. 17) is

= (25)

Stellen we hierin ü — —, waarin r« voorstelt den afstand

To

van eenig punt x, y, z tot een vast punt o binnen s gelegen,
dan is U overal continu en eindig behalve in het punt o.

Daarom leggen we om dat punt een bolletje met straal E
en mogen dan het theorema van Green toepassen op de
ruimte besloten tusschen s en dat bolletje.

Noemen we van dat bolletje dS een oppervlakteelement,
dan is daar B oneindig klein is

waarin F» voorstelt de waarde van F in het punt o.

En indien we even een polair hulpcoürdinatcnstelsel in-
voeren r, qi met het punt o als oorsprong, dan is

r 3 V r^ C^^ l d V

TT .27t ^y ^

--y, firn d D- dm,

O Jl

1) Outzmor. .Ioiirii.ll für dio Matlionmtik. Crollo. Ild. 11» pff. m

37

5 V

en dus, daar ~ ~ op het bolletje eindig is, is voor R = o

Jlo

5 F

-- \' dS = o .
dN

Zoodat (25) wordt:

1
^_

(26)

waarin de eerste integraal alleen genomen moet worden over
het oppervlak s en de tweede over de ruimte besloten
tusschen s en het bolletje li.
Nu is

•

en dus

r 1

dz = O .

Noemen wo verder dz\' een volumeolemont van het bolletje
en voeren we weder hetzelfde coördinatenstelsel r, xO-, q) in,
dan is

JjAV(lr\'=J ƒ J yAVf\'mniy diy dr d,p .

Daar li oneindig klein is, mogen wo A V als oen constante
beschouwen, dus

Jj^ AVdT\' = liAV ƒ J^-öin d dr dij, ,

en ook deze integraal verdwijnt voor li = o.
Do laatste integraal in (26) is dus gelijk aan

38

en deze integraal mogen we uitstrekken over de geheele
ruimte door s omsloten. Derhalve

terwijl de eerste integraal genomen moet worden over het
oppervlak s en de tweede over de ruimte door s omsloten.

Van dit theorema, dat in de potentiaaltheorie i) een ge-
wichtige rol speelt, gaat Gutzmer uit.
Hij stelt hierin

7=

waarin (f){xyzt) is de potentiaalfunctie of meer in het alge-
meen ieder functie die voldoet aan (1). .

V is dus de functie die we krijgen indien we in (p in

T

plaats van t schrijven i--

Oj

Binnen s moet V en dus ook cf. continu en eindig zijn
evenals haar eerste diff. quot. naar a:, y en z. Physisch
gesproken: binnen s, op s, of op oneindig kleinen afstand
buiten s, mogen zich geen lichtbronnen of vreemde lichamen
bevinden.
Dan wordt (27)

.al ^ j
y, O = ƒ j <p(t- - --^^ j de -

(28)

Noemen wij nu kortheidshalve
a Cf (O d qj (O .. d IJl (O ff.

-dir = \' "i^T" ^^^\' -JT- \'

d\'cpCt) _ , s\'^jt) _ g\'XO = ^ a)

1) Groon. An K^aj\' on tho nppliontion of Mnth. Aniil. to tho Tlicory of
Electr. and Magnet. 1828 art. 3 oq. (3) - Mathom. papers p. 27.

39

dan is

3r„

5a; ~ "Pi V a/ a dt d x \'

- <Pn J - gt g^

4. 1. V / _ J_ \\

o2 5 <2 Vdx/ a dt

âx" •

Houden we nu in het oog, dat
en dat

#

Aro= - ,

\' w

dan volgt hieruit

J^^/t-\'j!) ^^(pJt-^)

a ( dl dx dt 52/ <?< \'d s \\

«2 dfi au dt

Vereenigen wo hiervan do eerste .drie termen door middel
van

dan is

2

40

ar„ dt

d^At-\'j)

a/ aro V a\' dro ^^ \\ af du

 Tt TZ.

a{ dt dX dt dy dt dZ

Voegen we hiervan de eerste en laatste term samen, dan

dy

V a! dz a dt . ) a dt n

of

A .(f 2 5a / 2 5 g)

De laatste integraal uit (28) wordt derhalve

Nu is cZr = ro^ dr„ rfir, wanneer dr een ruimtehookolement
is met het punt o tot hoekpunt, en dus

ƒ -aTT^ = ƒ ƒ - --a.r \'

waarin li voorstelt den afstand van ccn element van het
oppervlak s tot hot punt o, of als we partieel integreeren:

41

Hierdoor gaat (29) over in

j r" \\ a\' a dt J af

nu is

R^da = — cos (NIl)ds = — ^ ds ,

dus

dr = - -j -J^-

We kunnen in het tweede lid li vervangen door r«, dan

waardoor (28) overgaat in

^ , C[ , r„\\ 1 \'^V a! dVo «/ ,

-^i^oy.^.i) ---- -^^-

Nu is

dcpll-^ ,

V g/ _ /■ //_M__L V

dN a) a dt dN

indien do functie ƒ hierin de boteokenis heeft

on dus

1

Dit is Kirchhoff\'s formuleering van hot beginsel van
Huygens. Het theorema van Kirchhoff blijkt dus niets

42

anders te zijn dan een transformatie van het theorema
(27), indien we daarin stellen

V = (p[xys i-^) ,

terwijl qp moet voldoen aan de diff. verg. (1) der golfbewe-
ging en binnen, op en op oneindig kleinen afstand buiten s
continu en eindig moet zijn evenals haar diflF. quot. naar de
coördinaten.

Deze afleiding van Kirchhoff\'s theorema is volmaakt
exact.

Eindelijk zal ik nog bespreken een bewijs door Beltrami
van Kirchhoff\'s theorema gegeven. Op verschillende wijzen
heeft hij dat theorema afgeleid i).

• Het bewijs dat ik hier laat volgen heeft het eigenaardige
dat Beltrami daarin een algemeener theorema afleidt,
waaruit door een eenvoudige substitutie Kirchhoff\'s theo-
rema direct volgt.

Indien de coordinatenfunctie V eindig en continu is binnen
een ruimte s waarvan ds is een oppervlakteelement en dr
een volumeelement, terwijl N de normaal is naar binnen
gerekend, dan geldt zooals we bewezen het theorema (27).

Nu is, indien we partieel integreeren volgens de methode
van Green:

1

a —

— -s dr = — I- — cos (Nx) ds — ---— d

Jr„ ax^ \'\' Jr„ ax ^ ^ J ax ax

- -fl tZ ds f— — — dr
Jro dx aN ^ ax dro ^

en dus

ri A Tr 7 r\\ (aV a X . aV a y av a z\\ ,

j_ A Fc^r = (- ^ - y!^ - ds

n ,a_v ^^Siv tl il\\ dr
\\ax aro dyar^ az arj

1) U O 11 r a m i. Ilendiconti d. Ucalo Acad. dei Lincoi 1892 T Bcincstro pg. 99.
]{endiconti d. Iloalo Acad. dei Lincei 1895 2° scmostro pg. 29 on pg. 51.
liendiconti d. Ilealo Instituto Loinbardo sorio II vol. XXII 1889.

43

of

TIattj /"i^^j.ri^i^j

— A VdT = — — —^ ds-i- — dr.

Door dit te substitueeren in het theorema (27) krijgen we

^ 1

4nK= fv —4: ds - -1- dr . (30)
j dN J ^ ^

Dit is het theorema van Gauss hetgeen door Beltrami
als uitgangspunt wordt gekozen.

Beltrami stelt zich voor een coördinatenfunctie C/, waarin
behalve de letters a:, ?/ en ^ ook nog de letter To voorkomt.
Spreken we nu af door het symbool ("J aan te duiden een
differentiatie naar de grootheden x, y, z en Vo voor zoover
ze expliciet in (7 voorkomen, dus een differentiatie naar
de letter, dan

ax^\'iix\' ~ iSz ön ~ dx\' (Sx Ör„ \'d ro \'

verder

± (1 LL) = J_ ^ _L "^\'JL _ 1 \'UI ^^

dx\\ro i)x\' ~ >0 Sx^ ro liX dra ^^o r„~ öx d r„

Sommeeren wij deze vergelijking over x, y en s, dan

-La n (UI) —}

^ \\ro öxf 7-0 ^ ^ ro{d r, 5 ( Jr» ö 7\'„i

waarin A ;ianduidt don operator ^ -^o , of

- ^ t ÖV) üiö^^ - A =0. (31)
Nu stellen wo in (30)

D To

terwijl we aannemen, dat U en haar eerste afgeleiden naar
ic, y en 5 eindig en continu zijn binnen s, dan wordt (30)

44

1

d —

4 . t,. = r(c/ - .. as- {V - r, If

jv brJdN J dro^ dr/To\'

A TT C S (U\\ d ro ^ ra f.j Ö U\\ dr

wat door middel van (31) overgaat in
, rr C\'^ (U\\dr„ , , rdv/Ö\'-U ^ \\ r ,, a /I i)U\\

Nu is, wanneer we een bekende notatie volgen

dT2 — {~ —)=_/— V cos (Nx) = — - ds ,

J ax\\ro öx\' J n dx J rg

waarm

u = V

" öx- aN\' .

waardoor we krijgen

Duiden we nu aan door U, wat er wordt van q,, indien we

T

daarin i "vervangen door t--, zoodat

it

U = (p (x,y,z, i —,

terwijl q een oplossing is van do dill\'. verg. (1) dor golfbe-
weging, dan is

d IJ__1 a U

d « 3 t \'

a\'-U

* i)rj " a^ af\' \'

45

dus

S\'U _ 1 a^cp

ö ~ 5 <2 ^

Nu is volgens de notatie, die we zooeven aannamen

S^U d^U d^U

of

^

Volgens de diff. verg. (1) is derhalve
iPU

- AU O.

Daardoor valt de volumeintegraal uit (32) weg en wo
houden over

4 TT (Jl (a-O IJo Zo t) =
To /3N To ~öx \'\'

Nu is volgens onze vroegere notatie

en dus

3 (p {xyz t — ^^

en

■ -r;----y —iï" = - \' - â) .. N-l^.JN......—rt------

46

en derhalve

1 / t \\

^ J\\dN aj ar^ 3 N dt r„ \' \\ al)

Dit is het theorema van Kirchhoff.

We zien dus dat Kirchhoff\'s theorema is te beschouwen
als een speciaal geval van het theorema (32) door Beltrami
afgeleid. Voor functies die voldoen aan de diff. verg. (1) der
golfbeweging is Beltrami\'s theorema onmiddelijk in dat
van Kirchhoff om te zetten.

Ten slotte kunnen we nog opmerken, dat, aangezien Kirch-
hoff\'s theorema geldt voor ieder functie die voldoet aan de
diff. verg. (1), we dat theorema niet alleen mogen toepassen
op de potentiaalfunctie eener golfbeweging maar even goed op
de ontbindingsuitwijkingen en op de electrische en magne-
tische ontbindingsmomenten en ontbindingskrachten. Het is
n. 1. eenvoudig in te zien, dat al die lichtvectoren aan de
diff. verg. (1) voldoen, daar de potentiaal qp een oplossing
moet zijn van die diff. verg.

y\'

HOOFDSTUK II.

ALGEMEENE BESCHOUWINGEN OVER GOLF-
BEWEGINGEN.

1. pliaseoppervlakken. pliasesnelheden. voortplantinqs-
snelheid van de grens eener qolfrewegino.

We kunnen eens onderstellen dat de potentiaal cp eener
golfbeweging den vorm heeft

(]P = X sin V\', (33)

waarin x ön y niet periodische, maar overigens willekeurige
functies zijn van x, y, z en t. Deze vorm zal blijken algemeen
genoeg te zijn voor de potentiaal van trillende bewegingen.
Daar 9 moet voldoen aan do diiï". verg. (1) der golfbeweging,
zal er tusschen ^ en i/» een verband moeten bestaan, dat
we vinden door (33) te substitueeren in (1) en dat we later
zullen bespreken.
We zullen noemen

X amplitudo der potentiaal,
V\' de phase der potentiaal,

en verder aannemen als maat voor de intensitoit van
do potentiaal. Mot dit laatste wordt natuurlijk niet bedoeld
dat y^ evenredig zou zijn met de energie der beweging.

Door middel van de vergelijkingen (0) en (9) zijn te bere-
kenen alle grootheden die een licbtbeweging bepalen, zoowel

48

in de elasticiteitstheorie als in de electromagnetische hcht-
theorie.

In de elasticiteitstheorie zijn volgens (6) de ontbindingsuit-
wijkingen :

u = O ,

- _ ^ f - _ ^ l

a ui

sm Ti; — Y —- cos -w
a z ^ a z ^

a z

a (f a y . , a lp

w = —~ = —L. sm w y —- cos xp ,

ay ay ^ ay

waaruit eenvoudig is af te leiden:
u = O .

a lil

Ut -1- are tg --7t

a l

az

a w
l —

^ay \' ay\' ^

of, indien we stellen:

a xji
77

V\'i ,

az
arff

dan wordt (34)

n — O,

V = sin («/\', -tt),

*

w = \'f^ sm .

49

De ontbindingsuitwijkingen hebben dus juist denzelfden
vorm als de potentiaal; zij voldoen evenals de potentiaal aan
de diff. verg. (1) der golfbeweging, maar zijn niet onafhan-
kelijk van elkaar, daar tusschen v en w het verband bestaat:

^" 4^=0, (37)

dy de

We kunnen dus voortaan v of w beschouwen als een
geheel willekeurige functie van den vorm i sin v, die aan
geen andere voorwaarden is gebonden, dan dat zij een op-
lossing moet zijn van (1). De bijbehoorende waarde van w
of v moet dan ook een oplossing zijn van (1) en met v of xo
samen voldoen aan (37).

In de electromagnetische lichttheorie worden uit de poten-
tiaal cp de electrische en magnetische ontbindingsmomenten
en ontbindingskrachten berekend door middel van de verge-
lijkingen (9). Daar de electrische en magnetische krachten
gelijk zijn aan de momenten vermenigvuldigd met een con-
stante, knnnen we met de berekening der momenten volstaan.

Stellen we weder als boven:

"JJ " 5(1 sin V\'i en ^ = y, sin rf>, ,

dan vinden we volgens (9)

d \'/i . c» ï/\'i d fl . d n>i

■ = - sm ./-, - X, :-cos .//, — sm — Xi -, 7 cos V\'2 ,

c z iT 3 c y c y

5)

d \'t l . d I/\' >

= -^ J-sm./\'.  ,

3 d t\\ • d 1/\'|

-ffsm,/\'.  z.y^cos./\'. ,

£ = 0,

^^ = V\'.  cos V\'. ,

d Y i . d l/\' j

50

waaruit eenvoudig is af te leiden

dyj,
d z

llL
3 z

9 \'/\'2

i. ^ V
i/\'2 are tg--^^--TT

^ li

f ^ dx \' \' d X \'

dx

{ = O,

VM are tg

dt

tlh
dt

tl

il\'.2 are tg —--n I

dt

stelt men hierin de waarden van Zi, X2, t/\'i en v\'2 uit
(35) dan zijn de electrischo en magnetische momenten uitge-
drukt in \'/ en i/\'-

In de vergelijkingen (30) en (38) komen alleen voor uit-
drukkingen van den vorm 1 sin >/\' We zullen daarin steeds
aan de uitdrukkingen vóór en onder den sinus de namen
amplitude en phase geven en het kwadraat van de am-
plitude weder aannemen als maat voor de intensiteit\'

Onder phaaeoppervlakken zullen we verstaan opper-
vlakken, wier vergelijking men verkrijgt door de phase gelijk

51

te stellen aan een constante, en daarin aan t een vaste
waarde te geven.

Uit (36) volgt, dat de phaseoppervlakken van de ontbin-
dingsuitwijkingen V en w verschillend zijn, en dat er dus in
het algemeen geen oppervlakken bestaan, waarop op hetzelfde
oogenblik zoowel de phase van v als de phase van lo con-
stante waarde heeft. De phaseoppervlakken der ontbindings-
uitwijkingen vallen samen, indien haar phases gelijk zijn of
een standvastig verschil hebben. Is dit het geval dan kan
men spreken van phaseoppervlakken der uitwijking; deze
bestaan dus slechts in bijzondere gevallen.

Uit (38) blijkt, dat er in \'t algemeen evenmin oppervlakken
bestaan, waarop op eenzelfde oogenblik alle drie de electrische
ontbindingsmomententen constante phase hebben; voor cE is
er zelfs in het algemeen geen sprake van phaseoppervlakken.
We kunnen wel de beide termen, waaruit c£ bestaat, afzon-
derlijk beschouwen en voor ieder van die termen van phase-
oppervlakken spreken. In het bijzondere geval, dat deze beide
phaseoppervlakken met elkaar samenvallen en ook samen-
vallen met de phaseoppervlakken van en 3 (waartoe noodig
is, dat de phases van ï, en 3 gelijk zijn of constante
verschillen hebben), kunnen we aan die oppervlakken den
naam phaseoppervlakken van het electrisch moment (of van
de electrische kracht) geven.

Ook de phaseoppervlakken van de magnetische ontbindings-
momenten blijken volgens (38) in \'t algemeen verschillend te
zijn. Vallen zo samen, dan kunnen we ze noemen phaseop-
pervlakken van het magnetisch moment (of de magnetische
kracht).

Ons doel is na te gaan of de constructie van Huygens
juist is. Daartoe zouden we moeten onderzoeken of de om-
hullende van bollen die met gelijken\' straal zijn beschreven
om alle punten van eenzelfde phaseoppervlak van de poten-
tiaal, van de uitwijking of van het electrisch of magnetisch
moment, weder een nieuw phaseoppervlak oplevert.

We zagen dat voor de beweging waarvan (33) de potentiaal
is, zoowel voor de uitwijking als voor de electrische of mag-
netische momenten, in het algemeen geen phaseoppervlakken

52

bestaan, Daarom zullen we niet de juistheid van de constructie
van Huygens gaan onderzoeken voor die phaseopper-
vlakken, maar voor de phaseoppervlakken van de potentiaal,
van de ontbindingsuitwijkingen en van de electrische en
magnetische ontbindingsmomenten (of krachten).

Stel dat Q{xy zt) de phase is van de potentiaal, van een
der ontbindingsuitwijkingen, of van een der electrische of
magnetische ontbindingsmomenten, dan heeft het phaseopper-
vlak daarvan tot vergelijking

Q {X7jzt) = Constant,

indien we hierin t als standvastig beschouwen.

In een punt van dat oppervlak richten we een normaal op
van lengte diV"; de uiteinden van die normaal noemen we de
punten P en Q en de coördinaten dier punten x, y, z en
X dx, y dyz dz-, dan is

Q{(it-\\-dt) = 0(p,o

I? t

Kiezen we hierin dt zoodanig dat

dan is volgens de vorige vergelijking de phase in Q op tijd
t dt gelijk aan de phase in P op tijd t. We kunnen dus
zeggen dat in dt secunden de phase zich in de richting van
de normaal op het phaseoppervlak voortbeweegt over een
afstand dN, indien dt en dN zijn verbonden door de
laatste vergelijking. De phase snel held, die we zullen aan-
duiden door de letter a\', kunnen we dus deflnieeren door de
formule:

53

of

3 0

f a t

" =--70-\'

dN

indien we ter afkorting stellen

a0 _ ax a9 ay aQ az

a N ~ ax aN ay aN az a N \'

hierin beteekent dan a\' de phasesnelheid langs de normaal
op het phaseoppervlak in die richting waarin we clN positief
noemen; daarvoor zullen we steeds die richting kiezen,
waarin de phase zich voortbeweegt.

Door middel van (39) kunnen we berekenen de phasesnel-
heid van de potentiaal, van de ontbindingsuitwijkingen of van
dè electrische of magnetische ontbindingsmomenten (of krach-
ten) door in (39) voor (■) in te voeren de phase der potentiaal
of van een dezer lichtvectoren.

Zal de constructie van Huygens voor de phaseopper-
vlakken gelden, dan moet de phasesnelheid voor ieder phase-
oppervlak standvastig zijn, of duidelijker gezegd dan moet (39)
voor a\' een waarde opleveren die constant is of die een
functie is alleen van 0.

Indien a\' gelijk is aan de con.stante a uit de diff. verg.
der golf beweging, eerst dan mag de constructie van Huygens
worden toegepast met bóllen van straal r = at, zooals bij de
elementaire verklaring van de verschijnselen van terugkaat-
sing, breking cn buiging zo wordt toegepast op de golfopper-
vlakken der beweging. Onder golfoppervlakken moeten ver-
staan worden do zooals wo zagen slechts in bijzondere gevallen
voorkomende phaseoppervlakken der uitwijking of der mo-
menten.

Ons onderzoek naar de juistheid der constructie van Huy-
gens komt dus neer op do berekening van de phasesnelheid
a\' door middel van (39).

Tot nu toe gebruikte ik de uitdrukking voortplantings-
snelheid der verstoring opzettelijk niet. Voor het een-

54

voudigste soort bolvormige golven dat zich laat denken, nd.
dat waarvan de potentiaal den vorm heeft — sin m (r — a t),

waarin A enm constanten zijn, zijn reeds de phasesnelheden
der potentiaal, der ontbindingsuitwijkingen en der ontbindings-
momenten verschillend, zooals we zullen zien. We zouden
dus niet weten aan welke van al dezer phasesnelheden we
den naam voortplantingssnelheid der verstoring zouden moeten
geven. Bovendien komt het mij voor, dat in het deel der
ruimte, waar alle deeltjes reeds in verstoring zijn, het geen
zin heeft te spreken van de voortplantingssnelheid der ver-
storing en deze al zeer moeilijk te definieeren zou zijn.
Anders is het gesteld aan de grens der beweging.
Indien een deeltje P gelegen is in het oppervlak, dat de
beweging op tijd t begrenst en Q is een deeltje gelegen op
de grensnormaal in P opgericht terwijl PQ^clN, en indien

de grens der beweging op tijd i-f-rfi het deeltje Q bereikt,

d N

dan moeten we onder verstaan de voortplantingssnelheid
van de grens der verstoring in het punt P. Het is deze
snelheid die bepaald is voor lichtbewegingen door Fizeau»
Foucauld, Römer, Bradley e. a. en die zooals we zullen
zien steeds gelijk is aan de constante a uit de diff. verg.
(1) zoowel voor lichtbewegingen als voor electrische golfbe-
wegingen van grooter trillingsperiode.

In de elasticiteitstheorie van het licht onderscheiden
we dus:

1° de voortplantingssnelheid van de grens der beweging,
2" de phasesnelheid van de potentiaal,
3® de phasesnelheid van de ontbindingsuitwijkingen.
In de electromagnetische lichttheorie onderschei-
den we:

1® de voortplantingssnelheid van de grens der beweging,
2" de phasesnelheid van de potentiaal,
3® de phasesnelheid van de electrische ontbindingsmomenten
of krachten,

4® de phasesnelheid van de magnetische ontbindingsmo-
menten of krachten.

55

2. Harmonische golfbeweging van oneindig
kleine TRILLINGSPEBIo\'dE.

Gewoonlijk worden slechts bestudeerd potentialen van den
vorm

waarin r is de afstand van eenig punt tot een vast punt,
het middelpunt der beweging, a de constante uit de diff.
verg. der golfbeweging en O en A constanten samenhangende
met de intensiteit en de periode der beweging,
Voor dezen vorm van qi is in onze notatie

2 71 _ ^^

Z = v\' T ^^ - " ^ \'

-/\', = = Y (r ± «0 - \'-vro tg ,

2 TT

Onderstellen we dat -y- oneindig groot is, dus dat we

ons op een afstand van hot middelpunt der beweging be-
vinden dio oneindig groot is t. o. v. )., dan wordt

2 TT TT

./., = i/.j = (r aO— ,
Cz 2 TT r . _ £]/

Zi == ^a pi — j.3 p •

Verder worden dan do in (38) 9nder het teeken are tg
voorkomende uitdrukkingen alle positief of negatief oneindig
groot, want de tellers dier uitdrukkingen bevatten alle een

2 TT ?\'

diff. quot. van V\'i en t/>i en daarin treedt —als factor op;
later gaan wo dit uitvoeriger na.
In die onderstelling kunnen we dus in (38) voor allo are tg

in de plaats zetten -h ^ of — ^, zoodat de phaso van do

56

electrische en magnetische ontbindingsmomenten en krachten

2 TT •

gelijk wordt aan ~ {r±at) vermeerderd of verminderd met
eenige malen ^.

Als oneindig groot is vallen dus de phaseoppervlakken

van de potentiaal en van alle ontbindingslichtvectoren samen,
en de phasesnelheid is dan voor alle gelijk.

Die samenvallende phaseoppervlakken worden dan golffron-
ten of golfoppervlakken genoemd en de phasesnelheid,
die volgens (39) gelijk is aan a, heet dan de golffrontssnel-
heid of wel de voortplantingssnelheid der verstoring.
Daar echter in het gebied gelegen binnen de grenzen der be-
weging alle deeltjes reeds in verstoring zijn, lijkt mij binnen
dat gebied die laatste naam ook hier minder gelukkig gekozen.
Gouy 1) heeft er het eerst op gewezen, dat de onder-

2 TT r

stelhng —oneindig groot en de daaruit voortvloeiende ver-
eenvoudiging van de uitdrukking der phase zelfs voor licht-
bewegingen niet steeds is geoorloofd. In het focus n.1 is

^ TT T

-- — gelijk aan nul en dus de phase der ontbindingsuitwijkingen

A

gelijk aan

-p- {r:ï.at),

terwijl op een afstand van het focus, die t. o. v. 7. oneindig
groot gesteld kan worden, de phase gelijk is aan

Dit phaseverschil ^ heeft hij door zijn bekende elegante proeven

gedemonstreerd.

De verklaring daarvan is voor geluidsgolven gegeven door
Gouy en voor lichtgolven door V. A. Julius. Laatstge-

1) Gouy. C. U. T. 110, p. 1251, 1890; ibid. T. 111, p. 33 ot p. 910, 1890.
Ann. de Ciiim. et dc Pliys. Ge série, T. 24, p. 115, 1891.

57

noemde toonde tevens aan i) dat voor cilindrische golven dit
phaseverschil gelijk is aan

Het is gemakkelijk in te zien, dat wanneer in den alge-
meenen vorm der potentiaal <p = ^ sin i/>, de diff. quot. van
1/1 naar x, y, z m t zeer groot zijn t. o. v. de diff. naarrc, y,
z en t van i, alle phaseoppervlakken van (36) en (38) samen-

2 TT r

vallen. Deze onderstelling is analoog met de onderstelhng —j—
oneindig groot of l oneindig klein t. o. v. r.

Het is vooral met het oog op electrische trillingen, dat ik
de onderstelling l oneindig klein t. o. v. r niet overneem.

Bovendien zullen we voor de potentiaal niet den specialen
vorm (40) aannemen, maar de vergelijkingen (33) tot (38) in
haar algemeenen, vorm behouden.

il. Stationaire golfbewegingen. Vorm der potentiaal.

Standvastigheid van het trillingsgetal.

In de elasticiteitstheorie van het licht noemt men een golf-
beweging stationair, indien eenzelfde deeltje telkens na een-
zelfde tijdsverloop met dezelfde snelheid in hetzelfde punt
van zijn baan terugkeert. Amplitude en trillingstijd van de
ontbindingsuitwijkiiigen moeten dan van den tijd onafhan-
kelijk zijn; deze voorwaarde is noodig en voldoende. Hieruit
volgt dat de amplitude een functie moet zijn alleen van do
coördinaten en de phase een functie van de coördinaten en
den tijd, die lineair is in den tijd.

Voor een stationaire golfbeweging waarvan de potentiaal
den vorm (33) heeft moeten dus do öntbindingsuitwijkingen v
en w den vorm hebben

F = nxyz) sin  t r,{x y z)\\. (41)

In analogie hiermede kunnen wo in do electromagnetische
lichttheorie een golfbeweging stationair noemen, indien do

1) V. A. Julius. Arch. Nuorl. T. 28. p. 22G—244.

58

electrische en magnetische ontbindingsmomenten (en krachten)
den vorm (41) hebben.

Nu moeten de ontbindingsuitwijkingen en ontbindings-
momenten even goed aan de diff. verg. der golfbeweging vol-
doen als de potentiaal zelve, dus:

3i F

^ = a^ A F.

3 f\'

Nu is:

dus:

af =

cosj/; tf2\\,

waarin door - wordt aangeduid een som die zich symme-
trisch over X, y en s uitstrekt. Verder is:

zoodat we krijgen:-

A f- 2 < 14 IÉ (l^f; ^ Sin 1A. < /w

• •

Geven we aan x, y en 2 vaste waarden en laten we t regel-
matig toenemen dan bewegen zich sinj/i ^/ij en cosj/i i/:^}
periodisch tusschen — 1 en 1. En daar voortdurend boven-

59

staande verg. gelden blijft, moet dus:

en

li ff- lilf /-A A (/-A/i = 0.

Deze beide vergelijkingen moeten doorgaan voor ieder
waarde van t. Volgens de coëfficiënt van t^ uit de eerste
verg. moet dus:

-(iir-.

waaruit volgt:

SU df^

en dus:

/i = C,

waarin C een constante is.
Onze beide dill". verg. worden daardoor:

(42)

Voor een stationaire golfbeweging hebben dus de ontbin-
dingsuitwijkingen, de ontbindingsmomenten en de ontbindings-
krachten den vorm:

F = r{xyz) sinj/i(.r2/5)  (43)

terwijl f en fi moeten voldoen aan (42).

Uit (43) blijkt dat de trillingstijd dier functies hetzelfde is

60

voor alle deeltjes, want de trillingstijd d. w. z. de aangroeiing
die we aan t moeten geven om de phase een aangroeiing 2 ir

te doen verkrijgen is gelijk aan en das onafhankelijk

zoowel van de coördinaten als van den tijd.

De onderstelling (41) dat de trillingstijd onafhankelijk is
van den tijd, brengt dus met zich dat de trillingstijd dan
noodzakelijk bovendien onafhankelijk moet zijn van do
coördinaten.

Als dus door een lichtbron (of electrische verstoringsbron)
een stationaire golfbeweging wordt uitgezonden, is op grooten
afstand van die bron de trillingstijd juist dezelfde als in de
nabijheid ervan. Gaat een stationaire golfbéweging door een
focus dan is in het focus de trillingstijd juist dezelfde als er
buiten; de trillingstijd is van de veranderingen in
de amplitude onafhankelijk.

Indien we aannemen dat een willekeurige golfbeweging mag
worden beschouwd als te zijn de opvolging van een reeks
stationaire bewegingen, dan mogen we die stelling uitbreiden
voor een willekeurige golfbeweging. Zij is met de experi-
menten in overeenstemming.

We gaan thans onderzoeken welken vorm we aan de po-
tentiaal moeten geven, opdat de beweging stationair zij, m. a. w.
opdat de ontbindingsuitwijkingen en de ontbindingsmomenten
den vorm hebben:

F = f[xuz) B\\n\\fi{xyz)^Gt\\

P = sin Ci fJ, cos C^ . (44)

= en =/"sin A ;

fJi en (h zijn dan periodische coördinatenfuncties.

Daar de electrische momenten den vorm (44) moeten hebben
zal volgens (9):

61

= sin G\'t (Ji cos C\' t,
. = 1^5 sin C"t (5c cos C"^,

waarin /5i, i?^.. ./ïg functies van x, y en z zijn en G, C\' en
C" constanten; de functies en de constanten G zijn echter
niet onafhanlielijk van elkaar, want:

en ^(A) ±m ±{L)=o-,

dus:

sin C\'t cos G\' t = sin G" t i\'^« cos G" t, (45)
3z 3z ay dy

en

sin C t cos C i -f sin G\' t

3 X 3X ay

cos C\' t sin G-t ^^^ cos G"f = o.

3y 3Z 3Z

Indien deze vergelijkingen (45) en (46) gelden voor ieder
waarde van t, dan zijn daardoor de functies (> en de constan-
ten G zoo bepaald, dat ï, 5) en 3 den door (9) vereischten
vorm hebben.

De verg. (45) heeft de gedaante:

^ sin ai B cos at = ^\'sina\'ien B\'cos a\'t. (47)

Differentieeren we deze verg. tweemalen naar t en deelen
wo de aldus verkregen verg. door (47), dan vinden we:

«2 = a\'2.

62

en dus

a\' = jh O;

waardoor (47) overgaat in:

{A^^A\') sin ai (B — B\') cos at = o;

indien deze verg. zal gelden voor ieder waarde van t dan
moet zoo A, A\', B en B\' onafhankelijk zijn van t:

A = ± A\' en B = B\'.

Zal dus (47) gelden voor ieder waarde van t en zijn A, A\',
B en B\' onafhankelijk van t, dan volgt daaruit:

«\' = O ,

A\' = ± A, (48)

B\' = B.

Derhalve volgt evenzoo uit (45):

C"= ± G\' ,

C" = C\', ^

Ih. = -f- Ih

- dZ \'

dz \' I

/ï« =

Door het stel (49) gaat (46) over in:

llLsmCt Ih cos Ct flh sin C\' l ÜlL" cos C\' l
dx dx dif dy\'^

of

63

dx sx

Evenals uit (47) volgt (48), zoo volgt uit deze laatste ver-
gelijking daar zij moet gelden voor ieder waarde van t en de
coëfficiënten van sin. en cos. van t onafhankelijk zijn:

C\' = ± C,
Jx\' ~

Uit (49) en (50) volgt:

C\' = ± C,

C"= C,
=

zoodat:

C\' = ± C,
of: = 

\' 3 X •? V

Si

=

3 X 3 y

i?» = ±

32

i^o =

3 X 3 e

f = - -A) = - (tT» T?)  \'

T- = j ffy = 7x3 y   \'

sin C( /iJioCos Ct);

64

en hieruit volgt:

cp = ± 1^9 sin Gt [ho cos Gt.

Dezen vorm waarin /ïg en ^jo willekeurige periodische coör-
dinatenfuncties zijn, moet de potentiaal hebben, opdat de
electrische ontbindingsmomenten zijn van de gedaante (44).
Het is eenvoudig in te zien dat als cp dien vorm heeft ook
de magnetische ontbindingsmomenten en de ontbindingsuit-
wijkingen den vorm (44) zullen verkrijgen en ook voor deze
vectoren is gemakkelijk te bewijzen evenals we het boven
deden voor en 5 dat die vorm van (p daartoe nood-

zakelijk is.

We kunnen dus zeggen :

Opdat een lichtbeweging stationair zij, moet zoowel in de
elasticiteitstheorie als in de electromagnetische lichttheorie de
potentiaal <p den bovenstaanden vorm hebben, en als g> dien
vorm heeft dan is de beweging stationair.

Daar ^g en ^lo willekeurige periodische coördinatenfuncties
zijn, kunnen we voor cp ook schrijven:

(p = a sin Ci (i cos Gt.

Dan krijgen we:

7/2 ^ 3 zy y® \' \\d if d e^l\' \'

"7""" dx è y ax dy ...........a X ay

A. = m = -li- «sinC^ V- (i cos Ct,

f ax a B ^ a X a z a x a e \'

S = O,

JK = W acosCt—

Af^f a z a t ^ a z a z \'

= - G «co9C< G (ÏRinCl.

Afi( s y a i \' ^ y ^ y

65

Stellen we deze uitdrukkingen samen door middel van de
vergelijkingen:

B]

\' Ij i

yl sin a 4- ^ cos a = YA \'^ -f B^ sin | a are tg —j,

en

^ sin a — 5 cos a = YA^ B^ sin | d— are tg ,
dan krijgen we

- = «in !c< arctg Jf^\'f

d y"^ d £2

sinic^ arctg-i^l,
f ^ \\a X dyJ ^ X ay) j j\'

5 X a y

i- = \'( Bin j arctg j,

f \\d X 31! ^ \\d X 3 ef ( )\'

3 X 3 z

« =0,

3 B

= VW^m I "i- -"! •

■

De trillingstijd al dezer liclitvectoren is ^.

Voor een stationaire golfbeweging is dus de trillingstijd
zoowel van de electrische en magnetische ontbindingsmomenten
en krachten, als ook van de potentiaal zelve en van de ont-
bindingsuitwijkingen (zooals eenvoudig is uit te rekenen) het-
zelfde."

5

66

Ook voor 3B bestaan hier phaseoppervlakken.

De phase van de potentiaal, van de ontbindingsuitwijkin-
gen, van de electrische en van de magnetische ontbindings-
momenten en krachten is echter ook hier in \'t algemeen
verschillend.

Definieeren wij de golflengte van de potentiaal, van de
ontbindingsuitwijkingen, momenten en krachten als te zijn de
normale afstand van twee phaseoppervlakken, waarvoor de
phase een verschil 2 n heeft (voor eenzelfde waarde van t),
dan zijn dus de golflengten der potentiaal en der ontbindings-
uitwijkingen, momenten en krachten verschillend en voor al
deze grootheden bovendien afhankelijk van de coördinaten
maar onafhankelijk van den tijd.

Bij een stationaire beweging is dus voor alle lichtvectoren
de trillingstijd gelijk aan dezelfde constante, de golf-
lengte echter is wel onafhankelijk van den tijd, maar is
voor elk dier lichtvectoren gelijk aan een andere coördinaten-
functie.

Door voorbeelden zullen we dit in het volgend hoofdstuk
nader toelichten.

4. Verschijnselen aan de grenzen van een stationaire

golfbeweging.

Stel dat een of meer verstoringsbronnen A in stationaire
beweging verkeeren en dat op tijd U de beweging die zij
hebben verwekt in het omgevend medium, wordt begrensd
door een oppervlak S, zoodanig dat de deeltjes op -S op tijd ti
hun beweging beginnen. Op tijd is dan rust buiten <S en
binnen S is beweging. Op tijd i, is dus ook op S rust en de
deeltjes op S hebben dan nog geen arbeidsvermogen van A
ontvangen. Van dat oogenblik af deelt de golfbeweging door
A verwekt aan de deeltjes op S voortdurend arbeidsvermogen
mede. Dit arl^eidsvermogen dragen zij voor een deel over aan
de verder gelegen deeltjes, maar ze behouden zelf ook een
gedeelte, waardoor de som van hun arbeidsvermogen van

67

plaats en van beweging langzamerhand grooter wordt. Gedu-
rende het begin van hun beweging dragen de deeltjes op »S
dus minder arbeidsvermogen over dan zij ontvangen. De golf-
beweging die dan het oppervlak »S passeert, verhoogt dus de
energie van de deeltjes op S.

Na eenigen tijd echter, b.v. op tijd t^, is de beweging van
de deeltjes op S stationair geworden, d. w. z. ze keeren dan
telkens na eenzelfde tijdsverloop met dezelfde snelheid in het-
zelfde punt van hun baan terug. De som van hun arbeids-
vermogen van plaats en van beweging blijft dan standvastig;
de golfbeweging die dan het oppervlak S passeert, verhoogt
de energie van de deeltjes op S niet meer.

We stelden ons hier op het standpunt van de elasticiteits-
theorie van het licht en spraken van de beweging der
etherdeeltjes; het is echter duidelijk dat in de electromagne-
tische lichttheorie een analoge redeneering kan worden ge-
houden; ook hier wordt door de verstoringsbronnen aan den
ether arbeidsvermogen medegedeeld en wel in den vorm van
een electrische en een magnetische polarisatie.

Volgens beide theorieën hebben wo dus het recht te zeggen:

lo. Een golfbeweging die zich voortplant in de buurt van
de voorste grens der beweging en wel in dat deel,
waar de beweging nog niet stationair is geworden, ver-
liest bij haar voortbeweging een deel van haar arbeids-
vermogen of m. a. w. ondergaat een demping.

2e. In het deel der ruimte dat zoover van de grenzen der
beweging verwijderd is, dat deze daar stationair is ge-
worden, plant een golfbeweging zich voort zonder
arbeidsvermogen te verliezen.

Het woord demping moet hierbij goed worden opgevat; niet
de beweging van eenzelfde deeltje dat in do buurt der voorste
grens ligt ondervindt een demping, integendeel de energie
en dus de amplitude van zulk een deeltje neemt toe; maar
de golfbeweging die door de bronnen A wordt uitgezonden,
ondervindt in de buurt der voorste grens een demping,
omdat zij het arbeidsvermogen van de deeltjes die zij passeert
verhoogt.

In de buurt van de achterste grens van een stationaire

golfbeweging heeft juist het omgekeerde plaats. Om dat in te
zien stellen wij dat op zeker oogenblik t% de bronnen A op-
houden een golfbeweging uit te zenden. De deeltjes op
grooteren afstand van A en die zoover van de voorste grens
verwijderd zijn dat hun beweging stationair is, zuUen dan
pas ophouden een stationaire beweging te hebben nadat dit
het geval is met de dichter bij A gelegen deeltjes; het onder-
ling verband toch tusschen de uitwijkingen en de snelheden van
alle in stationaire beweging verkeerende deeltjes is zoodanig,
dat er voortdurend arbeidsvermogen van deeltje op deeltje
in de richting van de bronnen af wordt overgedragen, zonder
dat (zoolang als de bronnen arbeidsvermogen leveren) daarbij
het arbeidsvermogen dier deeltjes toe- of afneemt.

Dat overdragen van arbeidsvermogen van deeltje op deeltje
blijft voortgaan ook nadat de bronnen A hebben opgehouden
arbeidsvermogen te leveren; het gevolg daarvan is dat de
voorste grens der beweging door blijft gaan met zich voort
te planten juist als toen de bronnen nog wel energie leverden.
Daar dus voortdurend arbeidsvermogen wordt overgedragen
in de richting van de bronnen af, zal noodzakelijk het arbeids-
vermogen van de deeltjes in de buurt dier (niet meer energie
leverende) bronnen afnemen, en weldra zullen de deeltjes die
aan die bronnen grenzen in rust zijn gekomen.

Het is hieruit duidelijk, dat we op zeker oogenblik
nadat de bronnen hebben opgehouden energie te leveren,
kunnen oriderscheiden vier oppervlakken Si, /Sj, S^ en Su
zoodanig dat de voorste en S\\ de achterste grens der
beweging vormt, dat tusschen Si en S3 de beweging stationair
is en dat tusschen S\\ en S-i evenals tusschen S^ en S^ de
beweging niet stationair is. Het arbeidsvermogen der deeltjes
tusschen Si en Si dus der deeltjes in het voorste niet
stationaire gebied neemt toe totdat de beweging dier deeltjes
stationair is geworden; het arbeidsvermogen der deeltjes
tusschen St en S^ dus der deeltjes in het achterste niet
stationaire gebied neemt af totdat die deeltjes tot rust-zijn
gekomen. ^

Indien we een galvanische keten op tijd Ti sluiten dan
heeft pas op tijd T-i de stroom zijn volle sterkte verkregen,

69

daar er gedurende dat tijdsverloop een deel van het arbeids-
vermogen dat door de batterij wordt geleverd aan het
omgevend medium wordt overgedragen en dit maakt tot een
magnetisch veld. Verbreken we nu op tijd Tz den keten, dan
is eerst op tijd Ti de stroomsterkte nul geworden; het
arbeidsvermogen dat het magnetisch veld op tijd Ï3 bezat
onderhoudt den stroom gedurende den tijd T^ tot T^. De
tijdgrenzen Ti, T^, ïs en Tn zijn eenigszins met de ruimte-
grenzen Si, Si, 83 en S\\ te vergelijken.

Hoe we in de uitdrukking van de potentiaal eener begrensde
door stationaire bronnen verwekte verstoring rekening kunnen
houden met die verschijnselen in de buurt der grenzen,
zullen we later doen zien. Daarbij zullen we ons laten leiden
door het aangehaalde beeld van den extrastroom. Die grens-
verschijnselen maken dat ook op de grenzen der beweging de
potentiaal, de ontbindingsuitwijkingen, ontbindingsmomenten
en krachten continue functies blijven, zooals voor de toepas-
sing van Kirchhoffs theorema noodzakelijk is.

Bij niet stationaire golfbewegingen zullen zich aan de
grenzen dergelijke verschijnselen voor moeten doen; zo zijn
daar echter niet zoo scherp to omschrijven. De deeltjes in
de voorste grens moeten in beweging wordon gesteld en
dragen dus minder arbeidsvermogen over dan zij ontvangen;
do deeltjes in de buurt der achterste grens dragon arbeids-
vermogen over zonder dat hun door de bronnen nieuw
arbeidsvermogen wordt toegevoerd en komon daarom tot rust.

HOOFDSTUK III.

BOLVORMIGE\' GOLFBEWEGINGEN.
1. Eenige vormen van potentiaalfuncties van bolvormige

golven.

De eenvoudigste onderstelling die we voor bolvormige
golven kunnen maken is, dat de potentiaal cp behalve van
den tijd alleen een functie is van den afstand r tot het
middelpunt der golven. Kiezen we dat middelpunt tot oor-
sprong van coördinaten dan kunnen we de diff. verg. der
golfbeweging

= a^Acp (1)

transformeeren tot

^ = ^ (52)

Hiervan is de algemeene oplossing

cp = i F, (r aO ^ (r-at) , (53)

waarin Fi en F<i arbitraire functies zijn. De eerst term van
cp heeft blijkbaar betrekking op een convergeerende en de
tweede op een divergeerende golfbeweging.

De uitdrukking (53) is de eenvoudigste vorm van de poten-
tiaal van bolvormige golven. Daar cp hier slechts afhangt van

71

r en t en dit dus ook met haar phase het geval zal zijn, is
ook de phasesnelheid der potentiaal een funtie alleen van 7\'
en t en dus naar alle richtingen dezelfde.

Uit (53) zijn andere meer ingewikkelde potentialen van
bolvormige golven af te leiden.

Indien we n.1. (1) dilferentieeren naar x krijgen we:

d x) ax

Is dus (f een oplossing van (1), dan voldoet ook en

s cc

evenzoo zijn dan ook en oplossingen. Door

a y a z at

ieder dezer oplossingen weder naar x, y,zQnt te differentieeren
vinden we weder nieuwe oplossingen, enz. Verder zullen
sommen dezer oplossingen ook weder oplossingen zijn, daar
(1) lineair en homogeen is.
Uit de oplossing

\'Pi /^X»--««) (54)

kunnen we dus vooreerst afleiden do oplossing

<p2 =-7^ - F(r — ai)

^ a X r ^ \'

(55)

i\'X\'-- «O y,F\'(T-at).

Noemen wo den hoek dien r miuikt met de Z as cn /
den hoek tusschen het Z X vlak en het vlak gaande door r
en de Z as, dan is

X = r cos / sin

en dus

/ li\' p\\
\'f\'i - (—-p —) f^oB y ein {y, (56)

waarin F en F\' zijn geschreven voor F{r—at) en F\'{r-at).

72

De beweging (56) is reeds veel ingewikkelder dan (54);
haar potentiaal is niet onafhankelijk van de richting. In het
YZ vlak is cos / = o, langs de Z as is sin = o, terwijl
langs de X as zoowel sin {)■ als cos afgezien van het teeken
hun grootste waarde hebben. In de punten waar de X as
den bol snijdt heeft de potentiaal afgezien van het teeken
haar grootste waarde en neemt van die punten als polen
beschouwd naar het aequatorvlak YZ af. Aan beide zijden
van den aequator heeft de potentiaal verschillend teeken en
is op den aequator zelf nul. Met grooter worden van r nemen
beide termen waaruit (56) bestaat af, maar de eerste het
snelst. Ver van den oorsprong behoeven we dus slechts de
laatste term in aanmerking te nemen en de eerste is over-
wegend in de buurt van den oorsprong.

Door (55) nog eens naar x te differentieeren krijgen we de
oplossing

— j.3 ^ j.5 ^ j.1 ^ \' j.2 ^ f.3 ^ \'

Of

F F\' IZ F 3 F\' F"\\

- V T") (57)

De eerste twee termen zijn van / en ü onafhankelijk en
stellen dus een deel der potentiaal voor, dat zich naar alle
zijden met gelijke phasesnelheid en intensiteit uitbreidt. Het
tweede deel wordt vermenigvuldigd met cos^/ sin^O\'; deze
richtingsfactor is nooit negatief, bereikt zijn maximum I op
de X as en is in het YZ vlak nul. Het deel der potentiaal
door de laatste termen van (57) voorgesteld, is dus langs de
X as het grootst en neemt van daar naar het YZ vlak af
tot nul. In het YZ vlak overheerscht het eerste deel; hot
laatste overweegt voor grootere waarden van r in de buurt
van de X as.

Op deze wijze voortgaande kunnen we potentialen van
steeds ingewikWder vorm afleiden. Door (55) naar y tediffe-
rentieeren krijgen we b.v. de oplossing

73

d y \\ r^ r^ /
r 9 r \\ r» rV

- ^ CiE. 3 F F"\\

Nu is

X = r cos •/ sin en y = r sin sin O-,

dus

ßF 8 F\' F"

róF \'ÓF\' , F"\\

fi

De richtingsfactor heeft hier al weer ingewikkelder vorm.
Langs de Z", Y en Z as is de potentiaal nul en zij bereikt
haar maximum voor n = 90" en / = 45" dus in het JC F vlak
midden tusschen de X en Y as in.

Von Helmholtz i) noemt verstoringen als waarvan (56),
(57) en (58) de potentialen zijn, „Zusammengesetzte Kugel-
wellen". Strikt genomen zijn van al deze golfbewegingen de
potentiaalphaseoppervlakken niet bolvormig. Ik zal ze echter
toch met den naam bolvormige golfbewegingen aanduiden.

We kunnen in (54) het — teeken door het teeken ver-
vangen en mogen dus in (56), (57) en (58) hetzelfde doen ;
zij worden dan do potentialen van convergeeronde bewe-
gingen.

1) Von Holmliültz. Vorloaungcn über dio Klootromngn. ïhoorio dot)
Lichta. Huinburg und Leipzig 1897.

74

2. Phasesnelheden van eenige soorten van bolvormige
stationaire golfbewegingen.

Als eerste voorbeeld kunnen we kiezen een speciaal geval
van (54) n.1.

C . O r — at
(f) = — sin 2 tt —^— . (59)

De phasesnelheid a\' der potentiaal vinden we volgens (39) uit

, d t
a\' — —

9Q \'
ö N

waarin 0 is de phase der potentiaal.
In ons geval is dus

Q = 2n —^— ,

a 0 _ _ ^ £_0 _ ^ _

TT" TN ~ dr ~ l \'

dus

a\' = a.

De phasesnelheid van de potentiaal (59) is dus gelijk aan a.
Als tweede voorbeeld kiezen we

deze potentiaal is van den vorm (56).
Stellen we ter afkorting ^ = m, dan is

Cx . . Cm X .

(j) = — sin m(r — at) H--— Cü8m(r — at),

75

of

Cx___

(f = -j V 1-l-m^ r^ BÏii »i(r —a<) —arctg mr

T

Hier is dus

0 = wj (r — at) — are tg mr,
d O 3 Q d Q m3 »-2

= — ma,

dus:

5 &

TW - " m^r«)\'

3N

of

= • (61)

De met (60) overeenkomende convergeerende beweging heeft
tot potentiaal

daarvoor vindt men evenzoo voor de phase:

0 = m(r at) — are tg mr ,

3 e 3 0 3 (■) m^ fS

— ma.

dt \' 3N 3r l

en dus

Dit is juist dezelfde uitdrukking als (61). Zoowel van (60)
als van (62) stelt dus (61) voor de phasesnelheid der potentiaal.

Voor r oneindig groot t. o. v. X is de phasesnelheid gelijk
aan a; voor r oneindig klein t. o. v. X is de phasesnelheid
oneindig groot.

76

Bedroeg die snelheid overal a dan zou de phase der poten-
tiaal tusschen twee punten gelegen op afstanden Ri en B-,
voor en achter het focus een vermeerdering verkrijgen
m (Ei Bi)] nu echter bedraagt de phasevermeerdering
tusschen die punten

m (Ri -f i?2) are tgm Ri -f are tgm R^.

De phasevermeerdering die het gevolg is van die grootere
phase snelheid is dus

are tg m Ri are tg m R^.

Zijn m Ri en m Bi zeer groot, d. w. z. Bi en B2 zeer groot
t. 0. v. l, dan wordt die phasevermeerdering dus gelijk aan
n. Die phasevermeerdering komt overeen met een wegvoor-

sprong ^ of A.

Nemen we thans eens aan dat de potentiaal den vorm
heeft

(C . „ r — oA]

(jp =- — 8m2 7r —— , (63)

dx ay i r

wat een bijzonder geval is van den vorm (58).
Stellen we weder ter afkorting ~ = m, dan vindt men

Cxv________• i / X 3«ir i

9 = -f (3 m r)^ smjm (r-at)- are tg

Hier is dus

i STTir
(:/ = m(r-a/) — are tg ^ _ ,

waaruit men vindt:
a0

- = — ma,

a i
f

5ri

a 9 af-) rri^r

aN ar 9 -l- 3 m^r- m* r» \'

77

en dus

9 3 7n2 r2 TO^ r*

a\' = a

m\' r

of

m •

Voor de met (63) overeenkomende convergeerende bewe-
ging is

(O . n r ai)

w = - — sm 2 TT —— .

d xdxj [r X

Men vindt hiervoor

^ ^ . .s . Smr

0 = m (r aO - are tg ^^^ ,

waaruit voor de phasesnelheid der potentiaal weder de
waarde (64) volgt.

Voor r oneindig groot t. o. v. I is de phasesnelheid weer
gelijk a; voor r oneindig klein t. o. v. A is zij weer oneindig
groot.

De door die grootere phasesnelheid (grooter dan a) ver-
kregen phasevermeerdering bedraagt tusschen twee punten
gelegen op afstanden Ri on Jij voor en achter het focus voor
do gecombineerde potentiaal (63), (65):

8 m r

arc tg g-

-J» L.

Is m Ri oneindig groot, d. w. z. Ry oneindig groot t. o. v. X,
dan is

- , 8mr

are tg .5--

® ö—m^r-

in>

Zijn i?i en Ri beide oneindig groot t. o. v. >, dan wordt de

78

geheele phasevermeerdering derhalve 2 n; deze phasevermeer-
dering komt overeen met een wegvoorsprong )..

We vinden hier dus de dubbele phasevermeerdering en den
dubbelen wegvoorsprong als bij het vorige voorbeeld.

Ten slotte zullen we nog berekenen de phasesnelheid der
potentiaal

52 j c . „ r — at]
9 = ^r^ — sm 2 TT —-— . (66)

Stellen we weder ^ = m, dan vindt men:

n____; jn f f Q ^_i

(f> = -^ViSx\' — f\' — m\'x^rY (3aj2 —r2)2 7n2r2sinjw(r —aO-arctg

Hier is

0 = m(r — at) — tvrctg „-r-r,-„ , .. ,

en dus

d t

Hier zijn de phaseoppervlakken der potentiaal geen bollen,
want in 0 komt behalve r en t ook x voor. Hier is dus niet

d 0 _ 3 (■)
d N ~ 3 r\'

Om to berekenen hebben we volgens (39)

3 0 30 3x 90 3 y d03e

TTT "TTt "X"

3 N 3 x 3 N 3 y dN ^ 3 e 3 N

of

*

79

Nu is

i!^ - IL ^

dx ~ er dx () X \'

indien we door ö aanduiden een differentiatie naar de let ter
X, d. w. z. een differentiatie waarbij we alleen naar x diffe-
rentieeren voor zoover x als zoodanig in ©voorkomt; verder:

d G) d (■) d r d 9 d Ö d r

en

d y d r d d z dras

Dus:

d 9 89 X

d r 8x r \'

Voert men deze differentiaties uit dan vindt men:

d 9 _ ni^r^ ]/>•* ■{■\'Im\'^r-x^ — \'lr\'^x\'^ m^x^ — iSrn\'^^\' hx\'^
JN~ (3- H—wi\'-\'x\'-! r\'Y -f m^ r\'Cèx\'^—r\'^y \'

en dus

d_9

, ^__^ ^ (Ba;"—fi — 4- tnir\'i (Sx^—r^__.

" ~ fJ? Vr* -f 2 m\'^ Wx* — 2 r\'^ a;» — ü m\'^ ir" 5x^\'

d N

Stellen we hierin x = 7\' cos «, dan :
_ ^__(3cos2n — cos^ay m^r^(3cos^« — _

nï^r\'^Y 1-f 2w»\'\'\'r\'\'\'co8^«— 2cos"^a -f ï/iVcos"«—G»»\'\'\'r\'\'\'cos"«-|- öcos*« "
Voor mr oneindig groot, dus r oneindig groot t. 0. v. P. is
a\' = a;

voor m r oneindig klein, dus r oneindig klein t. 0. v. X is

a\' = 00.

Behalve van r hangt hier de phasesnelheid der potentiaal
ook af van de richting «, dus van den hoek, dien r maakt
met de Xas.
In het YZ vlak is cos « = 0, dus daar is

80

of

dit is juist de uitdrukking (61).

Langs de Xas is cos « = 1, dus daar is

, _ (2 — rrfi 4 m^r^

" ~ " m2r2(2 —771^2) •

De phasesnelheid der potentiaal is dus oneindig groot in
den oorsprong (het focus) en ook in de twee punten gelegen
op de X as waarvoor w^ r\'^ = 2.

Voor de met (66) overeenkomende convergeerende golfbe-
weging is

Hiervoor vindt men weder:

0 = OT (r -h a O — are tg 5—5-\\-, „ „ ,

zoodat de phasesnelheid der potentiaal (68) weder gelijk is
aan de uitdrukking (67).

Voor de gecombineerde beweging (66), (68) is do phasever-
meerdering der potentiaal tusschen twee punten gelegen op
afstanden Ri en voor en achter het focus, boven wat zij
zou zijn indien de phasesnelheid was a, derhalve:

TO r (3 _ r2)

.2 a;2 r\'i J ^ L\'\'^^® 3 a;2 —, — m^ x\' f^ J <

mr(3co82«-l) -]"2

are tg

■m

- , 7nr(3eo82« - ])

are tg n—7,—-^.7-5——

3 cos2 a — 1 — m\'^ r\' 0092 a

Onderstellen we rtiRi oneindig groot en cos « = 1, dan is:

mr(3cos2« —T) r

^arc tg y ^ _ ^ _ „j., C082«J „

81

Zijn mRi en mR-^ beide oneindig groot dan wordt dus
voor cos « = 1 de geheele phaseverandering gelijk aan
De wegvoorsprong is a.

Tot nu toe hebben we slechts berekend voor eenige voor-
beelden de phasesnelheid der potentiaal en we hebben
gezien dat deze zeer verschillende waarde kan hebben, maar
dat in de onderstelling dat l oneindig klein is t. o. v. r, zij
steeds gelijk wordt aan a.

We zouden thans voor die verschillende voorbeelden
kunnen gaan berekenen de phasesnelheden van de ontbin-
dingsuitwijkingen en van de electrische en de magnetische
ontbindingsmomenten en ontbindingskrachten.

Daarvoor worden die berekeningen echter zeer uitvoerig
en daarom zal ik slechts de phasesnelheden vermelden voor
ons eerste voorbeeld

C . „ r — at
(jP = -j;- Bm 2 TT —— . (59)

2 JJ.

Men vindt indien men weder tor afkorting stolt — = m:

K

\'t =0,

= — — -Vrn\'r\'m\\\\m{r—al) — nro tg wr — 7rj,

d Z T ( )

= = ^l/i tn^rJsin j«»(r—a«)—arctg7nrj,

d y T ( )

$ cl2fP C ____——--

— — ^ = 1/jri —3x2— x^)!-« -f m» r-« (»•■\'-3 xO\'-»

V 3 z O y T \\

sin in (r — at) — txro tg -,, - ,, ..7-, —sr — tt ,

( ^ \' ^ r\'—3x2—m2r^(r2—x^) )

J) ^2(1) Cxy.,^-;- . ( / .X 1

> = Jrh = -W  (3mr)2 smjwi(r-aO-arctg3 ,

^ = Jxh = ^ n3-m2r2)2 (3mr)2 sin|m(r -«O" -rctg

G

82

P O,

=--= m\'-^r^ sin m(r-at)-aicigmr

3 1, a f j.3 \' ^ O 2\'

yl/tf d ij d t

Indien-men l oneindig klein onderstelt t.o.v.r en dus tnr
oneindig groot, dan worden de phases al dezer lichtvectoren
gelijk aan m(r — at) k^ en al de phasesnelheden worden

dan gelijk aan a. Maakt men die onderstelling niet dan zijn
de phasesnelheden grooter dan a. De hieruit voort vloeiende
wegvoorsprong tusschen twee punten gelegen voor en achter
het focus op afstanden die t. o. v. l oneindig groot zijn,
bedraagt voor de ontbindingsuitwijkingen en de magnetische
ontbindingsvectoren n en voor de electrische ontbindings-
vectoren 2it.

Voor lichtgolven waarvan (59) de potentiaal is, kan men
dus zeggen, dat op eenigen afstand van het focus alle phase-
snelheden gelijk zijn aan a. In de buurt van het focus is
echter voor ieder waarde van "K de phasesnelheid gi\'ooter
dan a.

.1. Vorm der potentiaal eener begrensde nolvormioe

golfbeweging.

Indien we onderstellen dat van een bolvormige diver-
geerende verstoring de potentiaal een functie is alleen van
r en van i, dan is haar meest algemeene vorm:

9 = i F {r-at). (54)

Indien de golfbeweging plaats heeft in den vrijen ether dan
moet F bovendien nog voldoen aan zekere continuïteitseisclien,
die in de elasticiteitstheorie en in de electromagnetischo
lichttheorie verschillend uitvallen.

83

In de elasticiteitstheorie is een physische eisch waaraan
(]D voldoen moet, dat overal waar geen vreemde lichamen of
hchtgevende punten aanwezig zijn, de uitwijkingen en de
snelheden der etherdeeltjes eindige en continue functies zijn
van den tijd. Volgens de vergelijkingen (6) hangen de ont-
bindingsuitwijkingen der beweging waarvan (54) de potentiaal
is, samen met F en F\' en dus de ontbindingssnelheden met
F\' en F". Zal dus (54) in de elasticiteitstheorie voorstellen
de potentiaal van een golfbeweging in den vrijen ether, dan
moeten F, F\' en F" eindige en continue functies zijn.

In de electromagnetische lichttheorie hangen de electrische
en de magnetische momenten en krachten eener golfbeweging
waarvan (54) de potentiaal voorstelt, volgens de vergelij-
kingen (9) samen met F, F\' en F" en dus de snelheden dezer
vectoren met F\', F" en F\'". Zal dus (54) in de electromag-
netische lichttheorie voorstellen de potentiaal van een golf-
beweging in den vrijen ether, dan moeten F, F\\ F" en F\'"
eindige en continue furicties zijn.

Stellen we ons nu voor dat de beweging waarvan (54) de
potentiaal is, wordt begrensd door twee boloppervlakken om
het middelpunt van verstoring hetwelk we kiezen als oor-
sprong van coördinaten, dan zullen in beide theorieën op tijd
i = O de lichtvectoren en hun snelheden binnen een ruimte
S omsloten door twee bollen met stralen Vi en r^ om het
middelpunt van verstoring van nul verschillen en overal daar
buiten nul zijn.

In de elasticiteitstheorie hangen die uitwijkingen en snel-
heden samen met F, F\' en F"; daar moeten dus binnen S
de functies F, F\' en F" vogr t = o een eindige en continue
waarde hebben en daar buiten overal nul zijn, waaruit volgt
dat voor t = o ook op de bollen Vi en r.j de functies F, F\' en
F" gelijk nul moeten zijn.

In de electromagnetische lichttheorie zijn de eischen waar-
aan F voldoen moet nog zwaarder. Daar moeten F, jP\', i\'\'" en
F\'" voor t = O binnen S eon eindige on continuo waarde
hebben, buiten S nul zijn en dus ook nul zijn op de bollen
Vi en Vn.

Volgens Fourier\'s theorema is de uitdrukking

84

— {da f f (fi) COS a (x — fi) d
^Jo Jc

tusschen de grenzen c<.x<id gelijk aan f{x) en buiten die
grenzen overal nul.

Maken we van dit theorema gebruik dan kunnen we aan-
toonen dat 9 aan de haar gestelde eischen voldoet zoo we
haar schrijven in den vorm:

— \\da fF{n)cosa{r—at—ii)d[i-,
i=t nrj^

mits bovendien F voldoet aan de continuïteitseischen,
d. w. z. dat in de elasticiteitstheorie F, F\' en F" door de
geheele ruimte eindig en continu zijn, en voor t — 0 op de
bollen Tl en r^ gelijk zijn aan nul, terwijl in de electromag-
netische lichttheorie diezelfde voorwaarden gelden voor F,
F\', F" en F\'".

Aan die eischen voor F kunnen we voldoen door te stellen

F(r — at) = G(r-at) f(r—at), (70)

waarin f de waarde is die F verkrijgt op grooten afstand
van de grenzen (zie het laatste gedeelte van Hoofdstuk II),
terwijl G een factor is die samenhangt met de verschijnselen
aan de grenzen, welke we aldaar bespraken, en dien we zulk
een vorm zullen geven dat F aan de haar gestelde eischen
voldoet.

Uit (70) volgt:

F\' = Crf -f fi/". * \\

V\'= G\'f 2(rr Gf\', \' i (71)

F\' = G\'"f 30" r 3G\'r Gf\'. )

G moet dus voldoen aan do volgende voorwaarden:

Elasticiteitstheorie, Electromagn. Lichttheorie,

aan de grenzen : G = 0, G\'= 0, G\'0, (; = 0, G\'= 0, G\'— 0, G" = 0,

ver van de grenzen : G = l, G \' = 0, G\' = 0, G = 1, G \' = 0, G" = 0, G "= 0.]

85

Aan die eischen voldoet G zoo we stellen in de elastici-
teitstheorie :

— «1 (r-at —Tl)\'

1 —e

en in de electromagnetische lichttheorie:

\\_—«2(r2—r aty

zooals eenvoudig is na te gaan; «i en stellen voor con-
stanten.

We zouden voor G ook wel andero vormen kuimen kiezen
en willen door de voorbeelden (73) en (74) slechts aantoonen
dat we aan G geen onmogelijk te vervullen eischen stelden.

Indien in een gesloCen keten van weerstand en coëflicient
van zelfmductie L een electromotorfsche kracht E werkzaam
wordt, dan is na isec. de stroomsterkto gelijk aan i, indien:

r

Voor zeer grooto waarden van t is

E

In do uitdrukking voor de stroomsterkto treedt hier dus op
—

de factor i — e L . Wo wezen aan het eind van het
vorigo hoofdstuk op een zekero overeenkomst dio bestaat
tusschen het verschijnsel van den extrastroom en de ver-
schijnselen aan de grenzen eener golf beweging. Naar. analogie

van den factor 1 —c L zijn do uitdrukkingen (73) on
(74) gekozen.

In \'t vervolg nemen wo echter voor G geen bepaalden
vorm aan, maar onderstellen slechts dat G voldoet aan do
vergelijkingen (72).
Volgens (71) hebben we dan:

86

Elasticiteitstheorie, Electromagn. Lichttheorie,

aan de grenzen: F = o, F\' — o, F" = o, F = o, F\' = o, F" = o, F" = o, ■

I (75)

ver van de grenzen: F=f,F\' = f\\F"^f, F = f, F\'= f\', F\'= f", F"" = f". )

G doet dus slechts in de buurt der grenzen zijn invloed
gevoelen.

Als G aan (72) en dus F aan (75) voldoet, is gemakkelijk
aan te toonen dat (69) de potentiaal voorstelt van onze
begrensde bolvormige verstoring, terwijl aan de continuïteits-
eischen voldaan wordt.
Uit (69) volgt n.1.

[da f F i^i) cos « (r — fi)dfi, (76)

t=0 Jo Jr.

en dus is volgens Fourier\'s theorema!

— F (r), indien r, < r < r^;
t=0 ^

dit is juist den vorm door (54) geeischt, terwijl buiten die
grenzen

\'Pr=r= O
t=0

Daar verder volgens (75):

F (Tl) = 0 en F (ra) = o

blijft aan de grenzen continu
t=0

Verder volgt uit (69):

/Ll) = -^ cp^^-£-JdAFif^)asma{r-at-f.)d[^,

\\dx\'r=.r ^ i=t ^Jo J r,
t=t

wat door partieele integratie wordt:

t=t

87

of, daar volgens (75), = o en F{r^) = o:

oo Y 2

(f|) _=—(77)

r—r i/o J r.

t=t
en dus

J^Zj »"i

Volgens Fourier\'s theorema is dus:

_ = - ^ ^ w ^ \' \'•i < < ;

dit is juist de vorm die door (54) wordt geeischt, terwijl
buiten die grenzen

(-il) =0.
<=0

Daar verder volgens (75), F{i\\) = o on F (r.^) = o, blijft
ook aan de grenzen continu. ^^

Geheel dezelfde bewijsvoering geldt voor den juisten vorm
on de continuïteit van (—\\ en (—) , zoodat wo zien

i=0 1=0

dat de eerste diff. quot. van 9 naar de coördinaten (on daar-
mede de ontbindingsuitwijkingen) voor t — 0 door (69) in den
juisten vorm en op continue wijze wordon voorgesteld.

Voor de overige diff. quot. van qp verloopt hot bowijs
hiervan geheel analoog. Zoo is b.v. volgens (69):

(If) _ = ^ F"

r-r ./ 0 Jr,

wat door partieele integratie en door van (75) gebruik to
maken kan worden getransformeerd tot:

88

OO V

(iJ[:) =— fdu fF^(fi)cosa(r~at-

\\dt r==r -^fJo Jrx

en dus:

OO Y

JL fda fF\'(}i)cosu{r-^i)dii.

t=o \'

De continuïteit en juisten vorm liiervan zijn eenvoudig te
herkennen.

Verder volgt uit (77):

r-r l-t r-r J „ J r,

~7F73F\'{fx)usma{r—at— .

J O ^ Tl

Voegen we de eerste en derde term samen door middel
van (77) en herleiden we de laatste integraal door partieele
integratie, waarbij we van (75) gebruik maken, dan:

t=t i=i "
en dus:

<=0 1=0 "
Volgens Fourier\'s theorema is dus

5 f\'x

l<=0

indien r, < r < rj, terwijl buiten die grenzen = o,

^dX r—r

1=0 ,

en ook op die grenzen volgens (75) do continuïteit van
is gewaarborgd. Gemakkelijk kan men er zich van

\\=0

89

overtuigen, dat bovenstaande vorm van (-X) juist dezelfde

is als door (54) wordt geeischt.

Geheel op analoge wijze kan men aantoonen dat volgens
de vergelijkingen (75) in de elasticiteitstheorie de Ie en 2c
diff. quot. van (69) naar x, z en t den vorm hebben door
(54) geeischt en dat zij overal, ook op de grenzen, continu
blijven. In de electromagnetische lichttheorie kan men door
middel van (75) hetzelfde aantoonen voor de Ie, 2c en 3c diff.
quot. van (69). In beide theoriën blijft dus van de liclitvec-
toren en hun snelheden door de geheele ruimte de continuïteit
gewaarborgd, zoo men voor de potentiaal den vorm (69) stelt,
terwijl daarin F den vorm (70) heeft, waarin G voldoet aan
de vergelijkingen (72). In beide theoriën is dus de notatie
geheel dezelfde; alleen zijn de voorwaarden (72) waaraan G
moet voldoen, in de electromagnetische lichttheorie iets
zwaarder dan in de elasticiteitstheorie.

Aan het slot van Hoofdstuk I merkten wo op dat de ont-
bindingsuitwijkingen, \'ontbindingsmomenten en ontbindings-
krachten evengoed aan de dilf. verg. (1) der golfbeweging
voldoen als de potentiaal. Wo kunnen dus ook onderstellen
dat één dezer lichtvectoren den vorm (54) heeft (waarbij dan
is ondersteld dat de andere lichtvectoren in passenden vorm
zijn gegeven). Dan moet dus door de geheolo ruimte (ook op
do grenzen der beweging) dio lichtvector en zijn snelheid
oindig en continu zijn. We kunnen daartoe dien vector weder
schrijven in den vorm (69), terwijl we daarin voor F stellen
den vorm (70) en men ziet gemakkelyk in dat dan G voldoen
moet aan de voorwaarden:

aan de grenzen: G = G\' =■ 0] } .

ver van de grenzen: G = G\' = 0. \\ \'

Aan die voorwaarden kunnen wo b.v. voldoen door to
stellen:

«,(r —a<—r,)-l r^ _ — (ri —r «0

waarin «i en «i weder constanten zijn.

. (70)

90

Een tweede begrensde verstoring die we door middel van
Fourrier\'s theorema wiskunstig zullen voorstellen heefteen
potentiaal van den vorm:

il^C»--««)! (55) •

of indien / en O- weder dezelfde beteekenis hebben als op
pg- 71

(p = cos / sin y- jy F(r — aQ j (80)

Of

(fj = co8/sm{>-1----1---^ . (56)

We onderstellen weder dat op tijd t = o deze beweging beslo-
ten is binnen een ruimte S begrensd tusschen twee bollen
met stralen n en r^ om het midd^punt der golven. De
physische eisch die daardoor aan (f< wordt gesteld is, dat
buiten S alle lichtvectoren en hun snelheden nul zijn, dat
binnen S zij een vorm hebben met (55) overeenkomende en
dat zij op de bollen ri en r2 gelijk nul zijn. In de elasticiteits-
theorie hangen de lichtvectoren en hun snelheden samen met
(p,(p\' en 9" en dus volgens (56) met F, F\\ F" en F\'"-, in de
electromagn. lichttheorie hangen zij samen met 9, tj/, 9" en 9"\'
en dus volgens (56) met F, F\', F", F\'" en F"". Stellen wo
derhalve evenals zooeven

F{r— at) = G{r — at)f{r — at\\ (81)

dan moet G voldoen aan de volgende voorwaarden:

Elasticiteitstheorie, Electromagn. lichttheorie,

aan de grenzen: G = o, 11\'=0, (l\'—o, = (l=o, (r\'=o, (r=o, (l"\'=o, (!"\'=zo, }

ver van de grenzen: = G\' = o, 0"=o, (^"=0-, = U\'=o, Ct"=o, G"=o, (V—o. \\

«

Aan die eischen kunnen we voldoen door in de elastici-
teitstheorie voor<> G te stellen den vorm (74) en in de elec-
tromagn. lichttheorie:

91

\\ _ —(^lir^—r aty

Volgens (81) en (82) hebben we dan:

Elasticiteitstheorie, Electromagn. lichttheorie,

aan de grenzen: F=o, F\'—o, F"=o, F"\'=o, F=o, F\'=o, F"=o, F"=o, F"\'=o, ^ ^g^^

er van de grenzen: F=f, F=f\\ F"=f\\ F"=n l\'"=r- i

G doet dus weder alleen in de buurt der grenzen zijn
invloed gevoelen.

Door middel van F o u r i e r\'s theorema moeten we nu weder
gaan uitdrukken dat buiten S de potentiaal, alle lichtvectoren
en hun snelheden gelijk zijn aan nul en daar binnen in over-
eenstemming zijn met (55).

Daar voor i = o de potentiaal besloten moet zijn binnen S
en deze voorwaarde onafhankelijk is van / en O-, kunnen
we volgens (80) stellen:

a ,1

I m} = jl ir(^) j cos«(r-/0(i/..

Door middel van de identiteit
volgt hieruit

Dezo vorm geeft or aanleiding toe to stellen:

(87)

on dus

OO O »/ f\'i *

oo 1*1

fduf /\'\'(/.)}cos«(r-at-fi)d

92

Ik zal aantoonen dat voor i = o de uitdrukking (56) den
initialen toestand van onze begrensde verstoring volledig en

5(1 }

continu voorstelt, indien we daarin voor —j — F{r — at) j

den vorm (88) in de plaats stellen terwijl F voldoet aan (84)
en dat dan alle lichtvectoren en hun snelheden voldoen aan
de physische eischen en den vorm hebben in overeenstem-
ming met (56).

Indien we in (88) stellen t = o krijgen we den vorm (85) terug.

5(1 )

Volgens het theorema van Fourier is dus—| —P(r- aty^

voor t = O buiten de ruimte S gelijk nul en volgens (84) blijft
haar continuïteit op de grenzen van S bestaan.

Stellen we dus de uitdrukking (88) in (56) dan heeft (p den
juisten vorm en blijft aan de grenzen continu. Ditzelfde
moeten we nu ook nog voor de afgeleiden van (88) aantoo-
nen. Het is gemakkelijk in te zien dat het bewijs daarvoor
geheel analoog is aan dat wat we gaven voor den vorm (69).
Voor het Ie diff. quot. naar x hebben we b.v.

— F(r — at) = - ---— F(r-

^ ^ r a r d r \\ r ^

en dus
d d

dx dr

^ ^^ Jo Jr.^f^ f\'
X at r" d (1 .

X r—atr°° r*"\' 5 ,1 „. . ^ ^ . ,

Indien wo hierin voor do eerste integraal haar waardo uit (88)
invoegen, krijgen we in het tweede lid drie gelijke integralen.
Voegen we die drie samen en herleiden we de laatste inte-

93

graal door partieele integratie (waarbij we van (84) gebruik
maken), dan vinden we:

r ^ /) J.2 gj. J. \\ J J

a U C —!—-^(/O !cos a{r — at —.») dfi

, jr. \'

\'-ff
«/O i/ r,

dx dr

r irr

Stellen we hierin t = o, dan

r« er\\r ^

Buiten de ruimte »S" is deze uitdrukking volgens het theorema
van Fourier en volgens (85) gelijk nul. Op do grenzen van
S is zij volgens (85) en (84) gelijk nul. Binnen S heeft zij do
waarde:

2a; 5 \' 1 J , 2x d i 1 J , x ^» j 1
= -Ti Tjb^\' «i J71 r^*-\') ? JP

Hieruit blijkt dat ook het eersto diff. quot. naar x van
de uitdrukking (88) aan alle eischen voldoet. Voor de hoogere
diff. quot. is het bewijs van den juisten vorm van (88)
geheel analoog. We hebben dus bewezen dat (55) de poten-
tiaal eener begrensde beweging voorstelt, indien wo daarin

5(1 I

voor — j-F(r — ai)j don vorm (88) stellen, terwijl F vol-
doet aan do voorwaarden (84). Door de vergelijkingen (81),

94

(82) en (83) hebben we doen zien dat die voorwaarden aan
F geen onmogelijk te vervullen eischen stellen.

We kunnen ook onderstellen, dat niet de potentiaal, maar
dat een der ontbindingsuitwijkingen, ontbindingsmomenten of
ontbindingskrachten den vorm (55) heeft. Dien lichtvector
kunnen we dan weder schrijven in den vorm (88), terwijl we
daarin voor F stellen den vorm (81) en men ziet gemakkelijk
in dat G dan moet voldoen aan de voorwaarden:

aan de grenzen: Cr = o, G\' = O, G" = o, j
ver van de grenzen: G = l, G\'=o, G" = o, j

Aan die eischen kunnen we voldoen door b.v. te stellen:

 (90)

4. Berekening van de voortplantingssnelheid der grens
van een bolvormige golfbeweging door middel van
het theorema van kirchhopf.

We nemen aan, dat de deeltjes binnen een klein bolletje A
gedurende eenigen tijd een Hchtbeweging hebben uitgezonden,
en dat vervolgens de beweging binnen A en daarbuiten ge-
heel aan zich zelf wordt overgelaten. Op zeker oogenblik daarna
zullen dan alleen in beweging zijn de deeltjes binnen een deel
S der ruimte, besloten tusschen twee bollen met A als mid-
delpunt en met stralen n en r^ (ri >ri). Dat oogenblik kiezen
we als aanvangspunt van tijdstelhng.

We gaan nu onderzoeken, wat er is van de lichtbeweging
op tijd t=zt\' in eenig punt B, welks afstand tot ^ we ^
noemen. We zullen aantoonen dat er in B alleen beweging
is, indien

at\' <Cp < rj -f a .

Voor de potentiaal der lichtbeweging binnen S nemen wo
aan den vorm :

-at). (54)

95

Zooals we zooeven bespraken moet dan qp worden geschre-
ven in den vorm (69), terwijl
we hierin voor F den vorm
(70) stellen, waarin G moet
voldoen aan de voorwaarden
(72).

Om uit de beweging op
tijd nul te bepalen de be-
weging op tijd t\' , constru-
eeren we om het punt B
een bol met straal r\' =aV .
Wanneer dan (p is de poten-
tiaal der beweging, dan weten
we, dat deze op tijd t\' in
het punt B volgens het
theorema van Kirchhoff
in den vorm (24) gelijk is
aan:

^9 . 1 ^ 9 I 1 IJ»

TT ä-p  \'

welke integraal moet worden uitgestrekt over den bol r\'
B, dien we den integratiebol zullen noemen.

Op den tijd t = o zijn qp, -flF en overal nul behalve
^ \' dt dr

binnen de ruimte S. We behoeven dus de integraal (24) slechts
uit te strekken over het deel van den integratiebol gelegen
binnen S.

Op alle elementen ds van den integratiebol, waarop r de-
zelfde waarde heeft, heeft ook de uitdrukking

om

il £± 4. 1

lar> dt r\' dr\'

dezelfde waarde. We kunnen dus als elementrfs in (24) kiezen
het stuk van den integratiebol, dat is gelegen tusschen twee
naastliggende platte vlakken loodrecht staande op A B. Dat
stuk zal het vlak van teekening tweemaal snijden; een dier
snijplaatsen duiden we aan door do letter D.

96

Noemen we nu L D B A — a, dan is

ds = 2nr\'\'^énada.

Verder is

= r\'2 — 2 r\' cos « .

DifFerentieeren we deze vergelijking naar « en houden r\'
constant, dan is

rdr = pr\' sin « da,

en dus

, 2nrr\' ,
ds = - dr.

V

Door dit te stellen in (24) krijgen we

= L tl

2pJ«Ja dt

waarin Ei en R2 voorstellen de kleinste en de grootste waarde
die r op den integratiebol bezit.

Om (24) of (91) te mogen toepassen moeten cp en haar af-
geleiden naar a;, y, z en t voor t = 0 binnen en op den inte-
gratiebol eindig en continu zijn. In het vorig deel van dit
hoofdstuk toonden we aan dat wo daartoe <p moeten schrijven
in den vorm:

1

-L i du F(fi)cos a (r — ai — /i)d,u .
T^Vo Jri

Onder in acht neming der vergelijkingen (70) en (72) leidden
we daaruit af, dat tusschen de grenzen r, en r-i en dus ook
tusschen do grenzen Ri en Bi:

97

Verder is binnen die grenzen :

r r x\'^^^ \' r» • ^ \' ,-3 ^ >\' j\'

en dus

<=0

Vervolgens is:

r2 = p2 _ r\' cos a .

Differentieeren we deze verg. naar r\' en houden daarbij «
constant, dan is

3 r _ r\' — p cos a _ r\'2 r^ — jo^
a r^ ~ r

2rr\'

zoodat

<=0 /=0

Substitueeren we (92), (93) en (94) in (91) dan krijgen wo:

Betreffende de hgging van B hebben we de volgende go-
vallen te onderscheiden:

De geheele integratiebol ligt dan buiten het deel S. Do
integraal (24) is dan nul. In B is dan op tijd t\' de potentiaal
nul; in 7> is dus op tijd t\' geen lichtbeweging.

5

98

2« »"i < P < »"a ï"\' •

De integratiebol snijdt dan wel den bol ra, maar niet den
bol ri. Het punt B ligt dan in het deel S\' der ruimte besloten
tusschen de bollen Vi at\' en r-i -[-at\'. Fig. 3 stelt deze
ligging van B voor. Dan is

El = p — r\' en R^ = r^ .

*

Daar F {ri) volgens (75) gelijk is aan nul, is volgens (95)

1 (p-2r02-j>2

\'Pr=p - -- KV —r ),

1

Fip-r\'),

1=1\' I

of

Ligt dus B binnen S\' dan heeft cp op tijd t\' daar juist de
waarde, die direct uit (54) volgt.

3° ra < p < r, r\'.

In dit geval ligt B tusschen S en S\' in, en do integratie-
bol snijdt beide begrenzingen van S. Dan is

= Tl en R2 = ra.

Daar volgens (75) zoowel F (rj) als F (r.j) gelijk is aan nul,
wordt dan (95) aan beide grenzen nul. In B is dan op tijd
t\' de potentiaal nul. In B is dan geen lichtbeweging.

4° r, < < ra.

In dit geval ligt B binnen S. Er kunnen zich nu vier ge-
vallen voordoen:

a. Ti — p, terwijl ook Ti r\' <Z P •

S en S\' vallen dan voor een deel samen en in dat deel ligt

99

B. De integratiebol snijdt dan r^ wel, maar Vi niet. Dan is

El = p — r\' en R2 = r-i,
en we hebben dan evenals in het tweede geval

h. Ti — r\' < p, terwijl r, r\' > p .

Dan ligt B buiten S\' en de integratiebol snijdt zoowel
als Tl. Dan is:

i?i = r^ en R-i = r^,
en evenals in het derde geval is dan in B geen lichtbeweging.
c. Ti — r\' > p , terwijl rj r\' . <". p .

Dan ligt B in het deel van S en S\' dat samenvalt, en de
integratiebol ligt geheel binnen S. Dan is:

iZj = p — r\' en R^ = p r\',
zoodat (95) wordt:

1