us H:OO3-ESCH:OOI, T:E3 rrTs-sosT,
TE VERDEDIGEN
op Zaterdag den Juli 1875, des namiddags te 3 ure,

Aan het einde mijner academische studiën gekomen, is het mg
s-angenaam, een openlik woord van dank te richten tot allen, wier
onderwas ik vroeger of later mocht genieten.

In de eerste plaats tot U, Hoogleeraren der Wis- en Natuur-
kundige Faculteit. Was het ook gedurende slechts korten tyd, dat
ik Uwe lessen kon bgwonen, ik zal ze m^, niet minder dan de
vriendelgke behandeling, van TJ ondervonden, immer met genoegen
berinneren.

"Vooral U, Hooggeachte Promotor, Hooggeleerde Griimwis, ben
veel verplicht. Mocht ik toch van het oogenblik, dat ik, by
bet afleggen van het admissie-examen voor de Koninklyke Academie
Delft, voor het eerst met TJ in kennis kwam, meermalen Uwe
Welwillendheid ondervinden, vooral gedurende myn studietyd in
Ütrecht, hebt 6y mij daarvan herhaaldelijk de duidelijkste blyken
gegeven. Waar ik Uw raad of Uwe hulp behoefde, hebt Gy
die verleend met eene hartelykheid, die my met innige dank-
baarheid jegens U vervult, en hoeveel ik aan U verschuldigd ben,
\'W\'at mijne wetenschappelijke vorming aangaat, dit vermag ik niet
IQ woorden te brengen. Is het mij dus een aangenamen plicht, U
\'\'■oor dat alles mijnen hartelijken dank te betuigen, ik waag het
tevens den wensch er bij te voegen: blijf mij ook voor het vervolg
genegenheid en belangstelling schenken.

Ik voel mg gedrongen hier ook eenige Hoogleeraren en Leeraren
der Polytechnische school te gedenken, en hun mijne erkentelijkheid
te betuigen voor hetgeen zij tot mgne ontwikkeling hebben bgge-
dragen en voor den vriendschappelgken, soms zelfs vertrouwelijken
omgang, waarmede enkele mij hebben vereerd. Mogen zij mij
hunne vriendschap nimmer onthouden!

Ten slotte mag ik niet verzuimen, onder hen, aan welke ik veel
verschuldigd ben, U te noemen, waarde Landké ! Veel heb ik van
ü geleerd in de uren, die we zamen hebben gewerkt, en de om-
gang met ü" heeft ook op mijne latere studiën een heilzamen in-
vloed uitgeoefend. Ik heb er behoefte aan, ü daarvoor nogmaals
mgne dankbaarheid uit te spreken, al zijt Gij daarvan ook wel over-
tuigd. Steeds zal ik het mg tot eer rekenen, U onder mgne vrien-
den te mogen tellen.

Tweede vorm der bewegings-vergelijkingen van Lagrange . 8
Reductie van het aantal nieuwe variabelen tot het kleinste

6. Over verschillende vraagstukken, die zich kunnen voordoen
betreffende impulsies en snelheden.........

Het gebruik der bewegings-vergelijkingen voor h.et onder-
zoek naar de stabiliteit van het evenwicht.

Onder de talrijke werken van Lagrange is zonder twijfel
„Mécanique analytique" een der belangrijkste.

Lagrange legt in dit werk, waarvan de eerste druk in
1788 yerscbeen \'), aan de behandeling van zijn onderwerp
een geheel nieuw beginsel ten grondslag: het beroemde
principe der virtueele snelheden, en ontwikkelt hieruit,
langs geheel analytischen weg, al de reeds op andere
^ijze gevonden wetten der theoretische mechanica. In
dit werk worden door hem medegedeeld de algemeene
^ewegings-vergelijkingen van een materiëel stelsel, waar-
aan de punten aan zekere voorwaarden moeten voldoen,
e^i wel worden deze vergelijkingen verkregen, door het
^ovengenoemde principe toe te passen op een ander, dat
eenigen tijd te voren, in 1742, door d\'Alembert was ge-
bonden, of liever nog, door dezen het eerst in bepaalden
Vorm was uitgesproken.

Lagrange stelt echter die bewegings-vergelijkingen niet
alleen in den meest algemeenen vorm op, maar hij heeft
"^ok nog, door het invoeren van nieuwe veranderlijken,

^ O De tweede druk verscheen in 1811; de derde werd, herzien en met be-
aanteekeningen vermeerderd, in 18B6 door Beetrand uitgegevan

Die tweede vorm der bewegings-vergelijkingen is
hoogst merkwaardig, en het is te verwonderen, dat, terwijl
de eerste in bijna alle latere werken over Mechanica is
opgenomen, van dien tweeden, veel eenvoudiger en even al-
gemeenen vorm slechts zelden, en alleen terloops, wordt
gewag gemaakt.

Hetgeen men daarover vindt, komt voor in de wer-
ken van geleerde genootschappen, o. a. in de Compt^^
rendus de l\'Académie des Sciences, in verschillende mathe-
matische journalen, bijv. in dat van Liouville, in de leer*
boeken van Jacobi, Schell, Thomson en Tait, en van en-
kele andere schrijvers; maar toch is de litteratuur over
dit onderwerp zeer beperkt, en bovendien in zeer verschil-
lende werken verspreid.

Met het kiezen van dezen tweeden vorm der bewegingS\'
vergelijkingen van Lagrange tot het onderwerp mijo®\'"
dissertatie, beoogde ik nu in de eerste plaats de aandacb^
op dit punt te vestigen door verschillende van de daarover
verspreide stukken te verzamelen, ze toe te lichten of aä»
te vullen, waar het mij wenschelijk voorkwam en ze zoo-
veel mogelijk tot een afgerond geheel te verwerken, ^^
in de tweede plaats daarbij, voornamelijk door het ge^®"
van enkele toepassingen, het groote gemak te doen ui^\'
komen, dat die tweede vorm voor het in vergelijkio^
brengen van mechanische vraagstukken aanbiedt.

§ 1. Zooals bekend is, drukt het principe van d\'Alembert
■•lit, dat de verschillende krachten, die op al de materiëele
punten van een zeker stelsel werken, op elk oogenblik
evenwicht maken met de traagheidskrachten dier punten, dat
i8i met de krachten, die gelijk en tegengesteld zijn aan de
krachten, welke de werkelijke beweging dier punten zouden
kunnen veroorzaken, wanneer alle pujiten van het stelsel
vrij waren. Met andere woorden: volgens het principe van
d\'Alembert, houden de krachten, die op de verschillende
punten van een stelsel werken en de weerstanden dier pun-
ten tegen de versnellingen, die zij in een willekeurig be-
wegingsgeval aannemen, op elk oogenblik elkaar in even-
wicht.

Verbindt men deze stelling met het principe der vir-
tueele snelheden, dan verkrijgt men de bekende algemeene
vergelijking voor de beweging van een stelsel materiëele
punten:

xi, yi, zi zijn de coördinaten van zeker punt van het stelsel,
mi is de massa van dat punt, X, Y, Z zijn de parallel aan
de assen genomen componenten van de op dit punt wer-
kende reaulteerende kracht, terwijl

Deze vergelijking (1) is nu de onbepaalde of variatie-
vergelijking der beweging en levert onmiddellijk, voor het
geval dat het stelsel vrij is (dat wil zeggen, dat de mate-
riëele punten ongehinderd de inwerking van de daarop
werkende krachten kunnen volgen, dus dat alsdan de

h enz. allen van elkaar onafhankelijk zijn) de bekende
bewegingsvergelijkingen van een materiëel punt, doordat
we de coëfficiënten van Sa?, ^z enz. nul stellen. Men
krijgt dan:

in het geheel als het stelsel uit n materiëele punten
bestaat, Zn dergelijke vergelijkingen door i alle geheele
waarden van 1 tot en met n te geven.

We spreken in het bovenstaande en in het vervolg dik-
wijls van een stelsel materiëele punten. We meenen daar-
mee, dat de punten niet geheel en al onafhankelijk van
elkaar zijn, dat ze onderling invloed op elkaar uitoefenen,
zoodat zich een enkel punt niet kan bewegen, zonder dat
deze beweging invloed uitoefent op die van de andere
punten.

In deze vergelijking stelt het eerste lid voor den arbeid
der krachten mixi] miyv, mizi, die gelijk en tegengesteld
2ijn aan de traagheidskrachten der punten, die de werke-
lijke beweging zouden kunnen voortbrengen, wanneer de
punten vrij waren, en ze over de wegen \'§zi werkten.

Het tweede lid stelt den arbeid voor, dien de krachten,
Welke inderdaad op de punten werken, verrichten, als ze
liiinne aangrijpingspunten over dezelfde wegen verplaatsen.

geldt voor een geheel willekeurig stelsel materiëele pun-
Is het stelsel vrij, dan zijn Sy, enz. van elkaar
■volkomen onafhankelijk; maar bestaan er tusschen de coör-
dinaten der verschillende pimten zekere betrekkingen, zijn
derhalve eenige, bijv. m voorwaarde-vergelijkingen tusschen
de coördinaten der punten gegeven, dan zijn de Sa?,

niet allen onafhankelijk meer, maar slechts Zn — m van
die variatiën, en de m overige zijn functiën van deze. De
bewegingsvergelijkingen der verschillende punten zijn dan

niet meer zoo eenvoudig. De boven bedoelde voorwaarde-
vergelijkingen kunnen ook nog wel bovendien den tijd ex-
pliciet als variabele bevatten, wanneer bijv. sommige deelen
van het stelsel zich volgens eene bepaalde wet moeten be-
wegen.

Geven we aan het stelsel eene zekere virtueele verplaat-
sing, dan zal aan de voorwaarde-vergelijkingen if=0,
JV = O enz. door de coördinaten der punten van het stelsel
voldaan moeten worden, vóór die verplaatsing en na die
verplaatsing. We zullen dus, indien we de vergelijkingen
differentiëeren ten opzichte van x, y, z enz. en den tijd als
constant beschouwen, de volgende m betrekkingen hebben,
waaraan die variatien van de coördinaten moeten voldoen:

Door deze m vergelijkingen kan \'men nu m variatien
elimineeren uit de vergelijking (3), en door dan de coëflS.-
ciënten der overblijvende \'^n — m variatiën, die onathanke-
lijk van elkaar zijn, nul te stellen, verkrijgt men de — m
differentiaal-vergelijkingen van het vraagstuk, welke in ver-
eeniging met de m voorwaarde-vergelijkingen een stelsel
van Zn vergelijkingen vormen, waaruit men alle 3?» va-
riabelen in functie van den tijd kan bepalen.

Deze eliminatie kan op zich zelf reeds lastig zijn, maar
heeft bovendien het nadeel, dat de uitdrukkingen, die men
ten slotte verkrijgt, niet symetrisch zijn, omdat men aan
enkele variatiën, die men elimineeren wil, de voorkeur
geeft; bovendien is de geheele behandeling niet zeer alge-

meen: de vorm der vergelijkingen, die men door elimi-
natie van enkele variabelen verkreeg, zou toch geheel
anders worden, als het aantal der voorwaarde-vergelijkingen
eens veranderde.

Al deze nadeelen heeft Lagrange vermeden door de toe-
passing van eene methode, die reeds door Euler in de
vraagstukken van maxima en minima met vrucht was aan-
gewend, namelijk die der multiplicatoren.

Vermenigvuldigt men de vergelijkingen (4) respectieve-
lijk met een onbepaalden factor A, f/, enz. en telt men ze allen
bij (3) op, dan krijgt men:

Bepaalt men nu de onbepaalde factoren a, yi, enz. zoo-
danig , dat de coëfficiënten van de m afhankelijke variatiën
in deze vergelijking (5) wegvallen, en stelt men daarna
de 3® — m coëfficiënten der overige onafhankelijke variatiën
nul, dan verkrijgt men de volgende dfi vergelijkingen:

Waarbij men i alle geheele waarden van 1 tot en met n
moet geven, en A, enz. in alle vergelijkingen dezelfde zijn.

De termen, die in dit geval in het tweede lid meer voor-
komen dan in de bewegingsvergelijking van een vrij stelsel,
möti — Xi, myi — Yi, mzi ~ Zi,

drukken natuurlijk uit den invloed, dien de verbindingen,
waaraan de punten moeten voldoen, uitoefenen op de krach-
ten, die er op werken.

Wil men de grootheden A, fz enz. bepalen, dan heeft men
de voorwaarde-vergelijkingen tweemaal ten opzichte van t te
differentiëeren en vervolgens de tweede differentiaal-quotien-
ten van x, y, z enz. uit (6) hierin te substituëeren. Hen
verkrijgt dan m vergelijkingen ter bepaling der m groot-
heden A, ft, enz.

2 mi {xi Ixi -f- yi tyi -f zi tzi) = 2 (Xi Ixi -j- Yi Syi -f Zi tzi)
Ai SiV-f enz. (7).

Zijn de krachten X;, Y», Zj enz., die op de diverse pun-
ten werken, zoodanig, dat ze de partiëele differentiaal-quo-
tienten zijn van eene zelfde functie U der coördinaten, dan
laat zich de laatste vergelijking (7) ook aldus sqhrijven:
2 mi {k Ixi -f yi lyi -f zi ^zi) — W X -f (a enz. (8).

Deze functie U is door Hamilton krachtfunctie genoemd;
ze bestaat in alle gevallen, wanneer de krachten, die op de
punten van het stelsel werken, voortdurend naar vaste cen-
trums gericht zijn, en wel functiën zijn der afstanden tot
die centrums. Ook is dit het geval, als de krachten be-
staan in onderlinge aantrekkingen of afstootingen tusschen
de punten van een stelsel, en waarvan de intensiteit eene
functie der afstanden tusschen die punten is.

§ 4. Wanneer een stelsel uit n materiëele punten be-
staat, en tusschen de coördinaten dier punten m vergelij-
kingen gegeven zijn, dan zijn derhalve de coördinaten niet
allen onafhankelijk van elkaar; we kunnen dan, zooals boven
gezegd is, de Zn coördinaten uitdrukken door Zn — m, coördi-
naten die men hiertoe naar willekeur heeft uitgekozen, en
die geheel onafhankelijk van elkaar zullen zijn.
Had men bijv. de Zn coördinaten .....xn

4. , = «m 1, «m -1- 2 — ^»ï -f 2 Vi » ~
We hebben dus nu de Zn variabelen uitgedrukt door de Zn — ,
die we hebben uitgekozen.

Nu is het echter in de meeste gevallen niet wenschelijk,
die Zn coördinaten op deze wijze uitte drukken door Zn — m
van hen, die men daartoe heeft uitgekozen, maar "verkiese-
lijker is het, in hunne plaats andere variabelen in te voeren,
die functiën der coördinaten zijn, en wel in even groot aantal,
als er onafhankelijke veranderlijken voorkomen.

Nemen we derhalve xm y — zekere functie van Zn-m
nieuwe veranderlijkeneene andere functie dier zelfde
veranderlijken enz., dan is het duidelijk, dat men aldus alle
Zn oorspronkelijke veranderlijken y, .s enz. kan uitdrukken
in 8?^ — m nieuwe variabelen, en dat deze door oplossing
uit de vergelijking, xm j^. functie nieuwe variabelen enz.

als functiën der oude variabelen kunnen bepaald worden. "We
zouden echter ook, door niet van alle m voorwaarde-verge-
lijkingen gebruik te maken, slechts enkele bijv.
coördinaten kunnen elimineeren en de coördinaten kunnen
uitdrukken door de — Tc overblijvende.

Deze coördinaten zullen dan natuurlijk niet allen van el-
kaar onafhankelijk wezen, maar nog gebonden zijn door de
nog niet gebruikte voorwaarde-vergelijkingen, waaruit na-
tuurlijk ook die h bepaalde coördinaten geëlimineerd zijn.

Voert men nu wederom nieuwe veranderlijken in, func-
tiën dier 3» — h coördinaten, ten getale van h, dan zul-
len deze nieuwe variabelen niet allen onafhankelijk van el-
kaar zijn, maar, indien men in de niet gebruikte voorwaarde-
vergelijkingen die nieuwe variabelen invoert, nog door deze
gebonden zijn.

Op deze wijze kan men derhalve een grooter of geringer
aantal nieuwe variabelen invoeren, en min of meer voor-
waarde-vergelijkingen, waaraan deze nog moeten voldoen,
overhouden.

Elimineert men door middel dezer vergelijkingen even-
veel variabelen, dan kan men dus ten slotte tot het eerste
geval terugkeeren, waarbij men natuurlijk het kleinste aan-
tal variabelen verkrijgt, die nu geheel onafhankelijk van
elkaar zijn, dat is door geen enkele voorwaarde-vergelijking
meer gebonden zijn.

§ 5. De bewegings-vergelijkingen van Lagrange nemen
nu een zeer eenvoudigen en hoogst merkwaardigen vorm
aan, als men zulke nieuwe variabelen invoert, en vooral, als
men haar aantal, zooals boven is aangegeven, zoo gering
mogelijk neemt.

ook nog den tijd expliciet, dan zullen in den regel ook de
functiën der nieuwe yariabelen, die de oude uitdrukken,
den tijd expliciet bevatten en derhalve van den vorm zijn:

Gaan we nu na, wat ér van de algemeene vergelijkingen
Wordt, in geval we deze nieuwe yariabelen enz. in-
voeren, en de voorwaarde-vergelijkingen M=0, N—O
enz. functiën van t en der coördinaten zijn.
Vooreerst is dan:

Substitueeren we deze waarden in het tweede lid der
Vergelijking (7), dan gaat deze over in:

Evenals nu in de vergelijking (7) X;, Yi, Z;, de aan de assen
evenwijdige componenten zijn der krachten, die op de verschil-
lende punten van het stelsel werken, voor het eerste recht-
hoekige coördinatensysteem, evenzoo kunnen we nu Q^, Q2
enz. beschouwen als de algemeene componenten der krach-
ten, die op het stelsel werken, genomen voor het nieuwe
stelsel coördinaten of veranderlijken.

Het is duidelijk, dat Qi, Qj enz. wederom onmiddellijk
overgaan in de X;, Y;, Z;, als we het aantal nieuwe variabe-
len nemen 3«, en = iCj —x^ enz. stellen.

Wij hebben dus het tweede lid der vergelijking O)
een anderen vorm gegeven, en ons blijft nu nog de veran-
dering van het eerste lid dezer vergelijking over. Men
kan daartoe, zooals Lagrange heeft aangetoond, gemak-
kelijk geraken, en hierop berust werkelijk een der groote
voordeden dezer methode voor de behandeling van ver-
schillende dynamische vraagstukken, doordat dit eerste lid
zich laat uitdrukken door de partieële differentiaal-quotiën-
ten van de uitdrukking der halve levendige kracht,

"vau het stelsel, wanneer we namelijk ook hierin de waar-
den van xi, yi, ^ in de nieuwe variabelen invoeren.
We vinden dan voor:

^^ifferentiaal-quotienten vanajj,% zi, ten opzichte van voor
zoover t in die uitdrukkingen van xi^ y;, z\'i in functie van^,

Waarm [q, q^, {q, q^), {q^ q^ enz. voorstellen de coëfficiënten
Van \'qi\'q^, enz. in de ontwikkeling van T. Het zijn be-
kende functiën van t, qi, q^ enz., die uit de voorwaarden
■^an het vraagstuk kunnen bepaald worden. A stelt het
geheel der termen voor, die ook t expliciet kunnen be-
"^atten en waarin \'q^, \'q^ enz. slechts in den eersten graad voor-
konaen.

Die collectiefterm A vervalt, ^^ x, y, z enz. uitgedrukt
in geen t bevatten. In dat geval is T eene

homogeene kwadratische functie van , enz. en al de
coëfficiënten, die er in voorkomen, zijn uitsluitend bekende
functiën van de nieuwe veranderlijken.

Na deze uitweiding gaan we over tot de vervorming
van het eerste lid der vergelijking (7). Men kan dit
schrijven:

De tweede term van het tweede lid dezer vergelijking is
klaarblijkelijk niet anders dan IT ^\'h^\'Lmi (xi^ yi^
of, als T in de nieuwe variabelen is uitgedrukt:

daar bij het variëeren de tijd t als constant wordt beschouwd.
De eerste term van het tweede lid levert na die invoering

Dergelijke vergelijkingen heeft men nu evenveel, als er
nieuwe variabelen zijn ingevoerd. Deze zijn nu nog niet
allen onafhankelijk van elkaar, maar nog door enkele
voorwaarde-vergelijkingen: M =: O, N = O enz. gebonden.
De vergel. (22) leveren, in verband met die voorwaarde-
vergelijkingen, een voldoend aantal vergelijkingen ter be-
paling van de nieuwe variabelen in functie van t, als men
uit (22) de onbepaalde factoren A, [x, enz. elimineert.

De boven opgegeven vergelijkingen (21) stellen nu den
tweeden vorm voor der bewegings-vergelijkingen van La-
grange \'). Ze gelden voor geheel willekeurige variabelen,
die men verkiest in te voeren, en zijn derhalve algemeener
dan die, waarbij men uitsluitend van rechthoekige coördi-
naten gebruik maakt.

§ 6. Zooals reeds boven is aangestipt, nemen de bewe-
gingg-vergelijkingen van Lagrange een bijzonder eenvoudi-
gen vorm aan, als men bet aantal nieuwe variabelen zoo
klein mogelijk neemt. Men heeft dan met geen voor-
"w^aarde-vergelijkingen meer te doen; deze worden door de
iiieuwe yariabelen identiek nul, en in de formule (21) val-

Zijn bijv. de voorwaar de-vergelijkingen van een vraag-
stuk , iPii — = O en {x^ — -f {y^ — y^f —
•ian kan men als nieuwe variabelen aannemen en en

Bij invoering dezer nieuwe variabelen q^ en q^, worden,
Zooals men ziet, de voorwaarde-vergelijkingen identiek nul.

Voor het geval dat er eene krachtfunctie bestaat, dat
derhalve X;, Y/, Z» de partieële differentiaal-quotiënten eener
önkele functie U van de coördinaten zijn, Is:

waarin alle waarden van 1 tot en met het getal, dat
aanwijst het aantal onafhankelijke variabelen, kan aan-
nemen.

§ 7. Indien eenige der nieuwe variabelen, die voorko-
men in de uitdrukking voor T, niet voorkomen in die voor
U, dan wordt natuurlijk voor deze variabele de bewegings-
vergelijking :

Voorbeeld. Twee materiëele punten van de massa\'s
m en m-^ zijn door een staaf zonder massa verbonden. Deze
staaf is om een harer punten, dat vast is, beweegbaar in een
horizontaal vlak. Het punt m kan vrij langs de staaf
glijden, »j, ia op onveranderlijken afstand a van het vaste

punt op de staaf bevestigd. Aan het punt m wordt eene
zekere beweging medegedeeld. Wat zal de beweging van
dit stelsel zijn, en wat is de weg van het punt ml
De kinetische energie van dit stelsel is:

De bewegings-vergelijkingen zijn dus (in dit geval be-
staat er geen krachtfunctie):

Uit de boven opgegeven bewegings-vergelijkingen van
dit vraagstuk is nu gemakkelijk af te leiden de differen-
tiaal-vergelijking der baan van het punt m:

Het geval, dat we boven beschouwden, en dat we hier
met een voorbeeld hebben toegelicht, zal zich steeds voor-
doen , wanneer men te doen heeft met stelsels, welker pun-
ten naar vaste centrums worden aangetrokken of afgestooten
met krachten, afhankelijk van de afstanden dier punten tot

die centrums, als men die afstanden en de hoeken^ welke
de voerstralen om die centrums doorloopen, als verander-
lijken aanneemt. Zoo verkrijgt men hijv. hij de beweging
van een materiëel punt om een vast aantrekkend centruna,
volgens de Newtonsche wet, wederom de integraal, welke
het principe der vlakken levert.

§ 8. Wanneer de functiën U, T en de voorwaarde-ver-
gelijkingen onafhankelijk van den tijd zijn, dan geldt, zooals
hekend is, het principe der levendige kracht, en we kunnen
2qk vervangen door dqj^, derhalve voor de virtueele ver-
plaatsingen de werkelijke verplaatsingen nemen, die de
punten in een tijd dt ondergaan. We kunnen aldus uit den
tweeden vorm van Lagrange\'s bewegingsvergelijkingen (25)
het principe der levendige kracht afleiden.

Telt men de vergelijkingen (25) op, na ze respectievelijk
vermenigvuldigd te hebben met dqi, dq.^, enz., dan komt,
als men integreert:

ben, ala T onafhankelijk is van t, T eene homogene
kwadratische functie van q^, q^ enz., derhalve, volgens de
bekende eigenschap der homogene functiën:

§ 9. De tweede vorm der bewegings-vergelijkingen van
Lagrange leent zich bijzonder tot het in vergelijking bren-
gen van verschillende vraagstukken, en levert, indien men
de variabelen met oordeel kiest, in vele gevallen de diffe-
rentiaal-vergelijkingen in een vorm, geschikt voor de inte-
gratie of gemakkelijk daartoe te brengen.

De grootste moeielijkheid, die zich hierbij voordoet, is
gelegen in het bepalen van de waarde van T en van de
algemeene krachtscomponenten Qt, in de nieuwe variabelen
Uitgedrukt, of, indien er eene krachtsfunctie bestaat, het
bepalen van deze.

Het is daarom misschien niet onbelangrijk, omtrent
die waarden der algemeene krachts-componenten Qt eene
enkele opmerking te maken, en eens na te gaan, wat ze
eigenlijk voorstellen, omdat we daardoor in vele gevallen
die waarden onmiddellijk kunnen neerschrijven, en anders
Vrij omslachtige berekeningen kunnen besparen.

in de formule (7) eene uitdrukking Q, J^i Q2 enz-
in de vergelijking (13), toen we van variabelen Veran-
derden.

voor den virtueelen arbeid der krachten X;, Y;, Z;, welke op
de verschillende punten van het stelsel werken, als ze hunne
aangrijpingspunten over de virtueele wegen dw;, lyi, ^zi ver-
plaatsen.

Evenzoo moet derhalve de uitdrukking Sg-j-f-Qj Sg\'i-j- enz.
voorstellen een even grooten arbeid, dien de algemeene
krachtscomponenten verrichten, als ze over de virtueele ver-
plaatsingen der aangrijpingspunten ^q^ werken, of als
de veranderlijken eene variatie of virtueele verandering
, Sg-j enz. ondergaan.

Stellen nu de variabelen q^, q^ enz. hoeken voor, die het
stelsel om verschillende assen doorloopt, dan moeten na-
tuurlijk Qi, Q2 enz. de krachtscomponenten, die met deze
variabelen overeenkomen, voorstellen het moment van zekere
kracht ten opzichte van de as, waarom q^, q^ enz. wordt
beschreven. Deze kracht en dit moment zijn in enkele ge-\'
vallen onmiddellijk te bepalen.

Heeft men bijv. een enkel punt, waarop krachten
X, Y, Z werken, kan dit punt slechts bewegen om
zek«re as, en noemen we q den hoek om die as door-
loopen, dan is X^x YSy de virtueele arbeid

van Y en Z; deze moet derhalve gelijk zijn aan
Qi Sg-,. Qi is dan het moment der krachten X, Y en Zof
van hare resultante ten opzichte dier as.

Nog in eenige andere gevallen is het mogelijk de waar-
d.en dier momenten onmiddellijk aan te geven, zooals bij
de behandeling van enkele vraagstukken wel blijken zal.

Stelt echter de nieuwe variabele eene lijn voor, dan is
de beweging van het aangrijpingspunt der algemeene krachts-
componente geen draaiende maar een glijdende; dan stelt
Qjfc, die daarbij behoort, ook geen moment maar eene
kracht voor, en dan is dus, zooals behoort, Qjt^p wederom
de virtueele arbeid door Qfc verricht, als het aangrijpings-
punt over den lineairen weg Iqu wordt verplaatst.

Bij de toepassing der bovenstaande theorie op enkele
vraagstukken zal het hier opgemerkte duidelijker worden.
We zullen zien, dat men daardoor in de meeste gevallen
veel gemakkelijker tot de bepaling der algemeene krachts-
componenten kan komen, dan dat we, zooals anders noodig
zou zijn, in de uitdrukking voor Q/k,

§ 10. Beschouwen we bijv. vooreerst eens de beweging
van een materiëel punt, en nemen we polaire coördinaten
{f, ê, Cp) aan. Op dat punt werken de volgende krach-
ten; A in de richting van den voerstraal, B loodrecht op
vlak POa en O loodrecht op den voerstraal in het vlak

We zullen dan voor de algemeene krachtscomponenten
Toor de drie onafhankelijke veranderlijken r, 6, 0 vinden:

B en C brengen geen verandering in de lengte van den voer-
straal te weeg; de virtueele arbeid van B en C, als om
varieert, is derhalve nul, die van A is A\'Sr; bijgevolg
is A de algemeene krachtscomponente voor de verander-
lijke r.

Evenzoo, als ö en <p om M, variëeren , krijgen we
voor de momenten yan A, B, O om de assen, waarom ^
en Cp beschreven worden, Cr en BrSinö.

Verifiëeren we nu deze uitkomsten, door op de gewone
wijze de algemeene krachtscomponenten uit te rekenen.

We moeten daartoe A, B, O ontbinden yolgens de assen
en de coördinaten van P {a;,y,z) uitdrukken in de nieuwe
veranderlijken r,é,<p. We vinden daarvoor dan:

Y, ASinöCosc?), — BSin^p, -fCCosöOoscp,
Z, ABnóëincp, -fBCo8<|), C Cos ^ Sin (?),

(A Sin ö Cos (?) — B Sin 0 -f O Cos ö Cos Cp) Sin Ö Cos Cp
(A Sin ö Sin (?) -f B Cos (?) -f C Cos ê Sin (?)) Sin öSm(p,

leiden, en zoo komen we ten laatste tot de drie differentiaal-
vergelijkingen der beweging:

zeer gemakkelijk de bijzondere gevallen van de beweging
van een punt in een plat vlak voor pool-coördinaten afleiden-
§ 11. Twee materiëele punten, waarvan de massa\'s eu
m^ zijn, zijn door een onrekbaar koord zonder massa ver-
bonden; m kan ziek slechts bewegen over een plat vlak,
dat met een verticale lijn een hoek ot, maakt; ra, beweegt
zich ook over een plat vlak, dat met de verticale lijn een
hoek i3 maakt. Het koord gaat door een zeer klein rin-
getje, dat op de gemeene doorsnede der twee vlakken is
aangebracht. Welke is de beweging der beide punten?

De coördinaten der beide pimten voor rechthoekige
assen zijn zes in getal; voorwaarde-vergelijkingen, waaraan
die coördinaten moeten voldoen, zijn er drie, namelijk de
twee vergelijkingen der vlakken en de uitdrukking, dat het
koord van constante lengte is. Men moet dus het vraag-
stuk kunnen terugbrengen tot een met drie onafhankelijke
veranderlijken, en het ligt voor de hand hiervoor te nemen:
10. de afstand van m tot het ringetje; 2". de hoeken, die
de voerstralen van elk der punten maken met een vaste
lijn in elk der vlakken, bijv. met de gemeene doorsnede
der vlakken of met eene lijn, loodrecht op die doorsnede.
Doen we dit laatste. Het is duidelijk, dat deze variabelen
onafhankelijk van elkaar zijn en, als ze bekend waren, de
toestand van het stelsel volkomen zouden bepalen.

De krachten, die in dit stelsel werken, reduceeren zich
tot de zwaartekracht en zijn Ti — mg, = rn-^g.

— mgd{r Cos Ù Oos x)-\\-migd{{I—r) Cos Cp Cos /3.)
JJ—m gr Cos i Cos oi.-\\\'m^g {I—r) Cos (p Cos (2,
als we de constante der integratie nul nemen.

= mg Cos Ô Cos a — Mig Cos Cp Cos /3.
= — mgr Cos a Sin é
— — ^ {I—r) Cos <p Sin (p.

mr^ ö 2mr Ir— — mgr Cos tx. Sin ö
—^ — —r) <p r— — m^g {I—r) Cos (3 Sin Cp
— mrQ^-\\-mi (l—r)Cp\'^ =
mg Cos 6 Cos X—Cos Cp Cos (3.
§ 12. Zooals deze vergelijkingen hier zijn opgegeven^
2ijn ze niet onmiddellijk op te lossen. We zullen ons
•iaarom bepalen tot het onderzoek van enkele bijzondere

gevallen, waarbij we omtrent de waarden van m en /3,
<p en ê zekere onderstellingen zullen maken:

2°. Evenzoo vinden als i» = O, /3 — 90°, d en(p constant zijn:
[m -f- m,) f == gm Oos ö, en als ö = O is:

3". Is » = 90° en (3 = 90°, en nemen we cp en ^ variabel,
dan krijgen de bewegings vergelijkingen den volgenden
vorm, dien we in enkele gevallen gebeel kunnen oplossen:
ffif.2 ^ _{_ 2mrr è = — mgr Cos <x Sin S
m^ {I—rY p — {I—r) rp— — m^g {I—r) Oos (3 Sin P
(m f — mr {I—r) p"^ = mg Cos ö Cos ot, — mi g
Cos (p Cos /3;
waaruit:

Dit zijn dus reeds twee eerste integralen der bewegings-
vergelijkingen. De derde vergelijking wordt, als we van
de gevonden integralen gebruik maken:

Wil men nu de vergelijking van den weg van het punt
^ vinden, dan kunnen we uit de laatste vergelijking, door
öiiddel van è = dt elimimeeren en krijgen

Welke vergelijking, als Ci nul is, gemakkelijk kan opge-
lost worden. Alsdan is de beweging van mi gericht naar
het vaste punt. Men vindt zoo doende:

Het hier behandelde geval is ook een bijzonder geval
Van een vraagstuk, voorkomende op bl. 126 van het tweede
deel van Jullibn (Problèmes de Mécanique ration-
nelle). De daar gevolgde methode, om tot het opstellen der
bewegingsvergelijking te geraken, is echter eene geheel
de

De beweging van m is die van een materiëel punt naar
een vast centrum, getrokken door eene kracht, die daarvan
uitgaat. De wet dier aantrekking, of de spanning van het
koord, dat aan die kracht gelijk is, is merkwaardig.

Bij een zoodanige beweging van een punt, aangedaan door
eene kracht van het centrum uitgaande, is de componente
der totale versnelling in de richting van den straal, zooals
bekend is:

en dit is gelijk aan de spanning S van het koord.
Uit de bewegings-vergelijkingen volgt echter dat:

Het bijzondere geval, dat m door een stoot eene bewe-
ging in eene cirkelvormige baan krijgt, en m, in rust ge-

laten wordt, is yan belang, omdat dan de beweging yan m
stabiel is, en eyenzoo m-^^ in een stabielen eyenwichtstoestand
verkeert. De stoot, dien m ontyangt, moet yoor dit geyal
klaarblijkelijk loodrecbt op den yoerstraal gericbt zijn, en
aan dit punt eene snelheid v geyen, die men aldus bepaalt:

Dit resultaat had men ook kunnen verkrijgen uit de
overweging, dat de middelpuntvliedende kracht bij de cir-
kelvormige beweging van m natuurlijk gelijk moest wezen
aan de spanning van het koord, dat is, aan m, g, derhalve:

§ 13. Een vast lichaam kan zich om een vaste as
bewegen en draagt een tweede as, waarom een tweede
lichaam zich bewegen kan. Wat is de beweging yan dit
stelsel?

1°. Geval. Nemen we aan, dat de beide assen even-
wijdig zijn. Zijn 0 en de hoeken, die respectievelijk ge-
blaakt worden met een vast vlak door, een vlak gaande
door beide assen en een vlak door de tweede as en het
Zwaartepunt van het tweede lichaam gebracht, dan is het
duidelijk, dat deze beide hoeken, die onafhankelijk van el-
kaar zijn, den stand van het stelsel volkomen bepalen. Verder
is « de afstand der beide assen en ó de afstand van het
zwaartepunt van het tweede lichaam tot de tweede
as (fig. 2).

De snelheid van het zwaartepunt van B is de resultante
der beide snelheden a(p en è\\p, welke samen een hoek ^—0
insluiten. Het kwadraat dier snelheid is dus:

Cpi -f 2aè0 Oos {(p—en als nu m en »ï, de
massa\'s der beide lichamen voorstellen, dan is de kinetische
energie van dit stelsel:

als j de traagheidsstraal van het eerste lichaam A om de
eerste as, en die van B om eene daaraan evenwijdige
as door het zwaartepunt voorstelt.

Daar nu verder, zoo er uitwendige krachten op dit stelsel
werken, deze, zooals we gezien hebben, tot algemeene
krachts-componenten momenten van koppels $ en ^ geven-
op ^ en j5 om de eerste en tweede as werkende, zoo
worden de bewegings-vergelijkingen de volgende:

Nemen we nu eens aan, dat de beide assen horizontaal
zijn, en dat alleen de zwaartekracht op dit stelsel werkt,
dan is de krachtfunctie U klaarblijkelijk niet anders dan

^^ f mg d{h Cos <p) m^g d {a Cos (<p oi)-{-1 Cos (ip »))
Cos <p -f 7n^g a Cos {(p a) H-\' m^g b Cos ö^),

als namelijk h de afstand is van het zwaartepunt van het
eerste lichaam tot de eerste as en a, den hoek voorstelt,
tusschen het vlak door de heide assen en het vlak door de
eerste as en het zwaartepunt van het eerste lichaam.

Nemen we verder (?) of den stand van het vaste vlak
zoodanig aan, dat (?) = O is als het zwaartepunt van A
loodrecht beneden de eerste as is (fig. 2).
Uit de waarde van U volgt:

Werken er op dit stelsel geen uitwendige krachten, dan
zijn en Y nul, en we verkrijgen door optelling der beide
Vergelijkingen en integratie de eerste integraal:

Ditzelfde vinden we ook, als T -j- O nul is.
Deze uitdrukking stelt nu voor ket moment der hoeveel-
heid van beweging van het geheele stelsel, want het is
de som van mj^ 0,

welke zijn de momenten der hoeveelheden van beweging van
het eerste lichaam om de eerste as, van het tweede lichaam
(de massa in het zwaartepunt vereenigd) om die eerste as
en van de draaiende beweging\' van het tweede lichaam om
eene as door het zwaartepunt. Die som is nu constant.

In dit geval nu kan men de oplossing van het vraag-
stuk tot de kwadraturen terug brengen; want uit de laatste
vergelijking kan men afleiden 4i en (p uitgedrukt in —^
en ^—(p, en wel:

welke waarden in T gesubstitueerd, eene vergelijking geven
in 0—ip, ^p —0 en constanten; daar, in het geval er geen
krachten op het stelsel werken, T constant is. Deze laatste
vergelijking en die van de momenten der hoeveelheden va»
beweging zijn nu voldoende ter bepaling van 0 en
functie van i. Onderzoeken we thans een paar bijzondere
gevallen van dit vraagstuk.

Nemen we aan, dat beide assen horizontaal zijn, dat allee»
de zwaartekracht op het stelsel werkt, en dat de hoeken
^P en 0 zeer klein zijn, voorts, dat hoek iX nul is, en de

Wde lichamen zich reduceeren tot materiëele punten yan
de massa\'s m en m-^, dan wordt bij dit bewegingsgeyal j ~h
en k=:0, en we hebben dan te doen met de beweging yan
twee materiëele punten m en m^, waaryan m op een staaf
zonder massa, die in zeker punt is opgehangen, beyestigd
is, en wel op een afstand ^ van dit vaste punt; terwijl aan
het andere eind van die staaf beweegbaar verbonden is
eene tweede staaf zonder massa, welke op een afstand h
van dit einde een tweede punt m^ draagt.

Daar we in dit geval \\p—0 nul kunnen nemen en
zoowel als xp^ kunnen verwaarloozen, zoo reduceeren zich
de bewegings-vergelijkingen tot;

Tot dit geval laat zich het algemeene geval gemakkelijk
terugbrengen; want voor de onderstelling, die we boven
aannamen, waren de bewegings-vergelijkingen:

{mj\'^ 4" »Kj a-) ^ - -m-^ ab {mk -{-m^ a) g Cp O
m^ aèp m^ k^) p -{-gm^^ óp = 0.

We hebben dus nu maar te bepalen de massa\'s M en M^
en op welke afstanden H, A en B deze geplaatst moeten
\'Worden, opdat de beweging van het stelsel van twee licha-
Dien om twee parallelle horizontale assen, waarvan de eerste
Vast is, overeenkome met die van twee materiëele punten,
Zooals we boven beschouwden. We kunnen die waarden be-
palen uit vijf vergelijkingen:

De simultane vergelijkingen (1) of (2) zijn nu volgens
de bekende metbode gemakkelijk op te lossen. Stel bijv.
een particuliere integraal 0 = e^V-?- m ^ = {x
dan is:

— r mlir\' g (mh -j- m,-ja) — gm,-^ a/^i = O en — ra — brfx g = O?
waaruit

welke vergelijking in bet algemeen twee wortels r geeft-
Hierdoor krijgt men dus de integraal:

= Sin (t/^ i «i) <«2 A-s Sin (V^ ^s)-
Nemen we aan, dat de massa van bet eerste licbaam nul
is, en het tweede lichaam eene homogene of niet homo-
gene staaf, dan levert het algemeene vraagstuk onmiddel-
lijk de bewegings-vergelijkingen van eene staaf, opgehangen
met een harer einden aan een dun onrekbaar koord zonder
massa, als die staaf zeer weinig uit haar verticalen even-
wichtsstand is gebracht en alleen aan de werking der zwaar-
tekracht is overgelaten.

2° Geval. Nemen we aan, dat de beide assen elkaar
rechthoekig kruisen. Stel, dat de eerste as verticaal, dus
de tweede horizontaal zij, en laten na zekeren tijd 0 en de
hoeken zijn, die respectievelijk gemaakt worden 1° door
een vlak door de eerste as en loodrecht op de tweede as,
met een vast vlak door de eerste as gaande en 2° door
een vlak door de tweede as en het zwaartepunt van het
tweede lichaam gebracht, met een horizontaal vlak. Deze
beide van elkaar onafhankelijke hoeken bepalen wederom
den stand van het stelsel, (fig. 3).

Zij vervolgens a de afstand der beide assen, l de afstand
van het kruispunt op de tweede as tot het vlak door
tet zwaartepunt van het tweede lichaam loodrecht op de
tweede as gebracht, en c de afstand van dit zwaartepunt
tot de tweede as, dan is de snelheid van dit zwaartepunt

de resultante van (a cCos-^) Cp, h <p, e-p, en wel is het
kwadraat dier snelheid, zooals men spoedig inziet:

(a -f c Cos (p^ 6-2 (p\'- — 2bc ip ^ Sin -p;
derhalve de kinetische energie van het stelsel :

J is de traagheidsstraal van het eerste lichaam om de ver-
ticale as, & die van het tweede lichaam, om eene as even-
wijdig aan de tweede as door het zwaartepunt gaande.

Derhalve zijn de bewegings-vergelijkingen, als zich de
algemeene krachts-componenten weer reduceeren tot de mo-
menten van twee koppels om de eerste en om de tweede as,
op het eerste en tweede lichaam werkende in vlakken lood-
recht op die assen:

Werkt op dit stelsel alleen de zwaartekracht, dan is de
krachtfunctie klaarblijkelijk:

m-^ I {/c2 -f c2) — öccp Sin -p {a\'\\- c Cos ^z) c Sin\\p ==
gm^ c Cos \\p, (4)

Deze vergelijking toont dus aan, dat de som van de mo-
menten der hoeveelheden van beweging, ten opzichte van
de loodrechte as van het eerste lichaam mj^ <p, en die van
het tweede lichaam (de massa in het zwaartepunt vereenigd
gedacht) m-^ p {a-\\-c Cos \'py m^ h {bp — cp Sin p), con-
stant is.

Passen we het bovenstaande eindelijk eens toe op het
volgende eenvoudige bijzondere geval, dat ^ = O en « — O
is, dan zijn de bewegings-vergelijkingen:

Stel nu, dat we de massa m kunnen verwaarloozen, en
dat het tweede lichaam zich reduceert tot een materiëel
punt, dan is dus yl; = 0 en heeft men:

Voeren we Tervolgens in plaats van ^ den hoek | 90°—tp
in, dan zijn de vergelijkingen:
0 ••

Neemt men nu nog eens aan, dat Cp constant is r= w, de
hoeksnelheid om de eerste as, dan heeft men natuurlijk
slechts te doen met de eene vergelijking,

zooals men ook langs anderen weg en wellicht nog een-
voudiger had kunnen vinden. Deze uitkomst stemt overeen
met die, welke van de oplossing van dit speciale geval
in Jullien II, p. 258, gegeven is.

§ 1. We hebben tot dusverre alleen beschouwd het ge-
val , dat op het stelsel materiëele punten aanhoudende krach-
ten werken. We moeten nu nog nagaan, wat er van de
bewegings-vergelijkingen wordt, ingeval er impulsies op het
stelsel werken, en we het aantal variabelen door middel
van de voorwaarde-vergelijkingen, waaraan de coördinaten
der punten moeten voldoen, tot het kleinste getal terug-
brengen. Zooals bekend is, kan men gemakkelijk uit de al-
gemeene dynamische vergelijking :

waarin X/, Y/, Z/ voorstellen de componenten der impul-
sies in de richting der assen, die op het punter;, yi, zi,
werken.

M=:0, JV=:0 enz., functiën der coördinaten, dan komt
men weder door de methode der multiplicatoren tot de
volgende 3» symetrisclie formules:

waarin i alle geheele waarden van 1 tot en met 7t kan
krijgen. Heeft men uit deze vergelijkingen de m onbe-
paalde coëfl3.ciënten A, pt, enz. geëlimineerd, dan geven de
Zn—m overblijvende vergelijkingen, gecombineerd met de
m voorwaarde-vergelijkingen, een aantal van Zn vergelijkin-
gen ter bepaling van x, y, z, enz. in functie van i.

§ 2. Yoeren we nu ook hier wederom nieuwe variabelen
in, functiën van x, y, z en t, dan zijn dus omgekeerd
X, y, z functiën dier nieuwe variabelen q-^, q^ enz. en van
t, en derhalve:

Telt men nu de overeenkomstige leden der vergelijkin-
gen (1) na ze respectievelijk met \'^xi, lyi, Izi, vermenig-
vuldigd te hebben, bij elkaar op, dan verkrijgt men:

substitueert men in deze vergelijking de boven gevonden
Waarden van Sa?, "Sy, "^z, enz., dan wordt het tweede lid
dezer vergelijking:

de algemeene krachts-componente voor de variabele q^^ heb-
ben genoemd, evenzoo zullen we nu Q\'j de algemeene com-
ponente der impulsie voor de veranderlijke q-^ noemen.

Het eerste lid van bovenstaande vergelijking kan men
Weer door middel van de uitdrukking der kinetische energie

gemakkelijk in functie der nieuwe variabelen omzetten.
We vinden toch terstond uit de waaren xi, yi, %i:

Q\'i hl ö\'o enz. AJif ± (z^N enz. (3)
welke vergelijking onmiddellijk vervalt in vergelijkingen
van den vorm:

Dergelijke vergelijkingen keeft men in even groot aantal
als men nieuwe variabelen q^, q^ enz. beeft ingevoerd. Ze
geven ook weer terstond de bekende vergelijkingen voor
impulsieve bewegingen voor de gewone rechthoekige coör-
dinaten als = enz. stelt.

Van bijzonder belang is het ook weer in deze onderzoe-
king, als we het aantal nieuwe variabelen, dat we wille-
keurig meer of minder groot kunnen nemen, door middel
van de voorwaarde-vergelijkingen van het vraagstuk tot het
geringste getal reduceeren. We doen dit, door van alle
voorwaarde-vergelijkingen gebruik te maken, zooals dit xn
het voorgaande hoofdstak is aangewezen. De nieuwe varia-
belen voldoen dan van zelf aan die voorwaarde-vergelijkin-
gen, maken die derhalve identiek nul, en uit de boven-
staande vergelijking (3) krijgt men dan de eenvoudige for-
mules:

Ouderstelleii we nu nog verder, dat de m voorwaarde-
"«vergelijkingen N=Q enz. den tijd t niet expli-

ciet bevatten, en is dus ook T daarvan onafhankelijk, dan
gelden natuurlijk nog dezelfde formulen (5), maar bevatten
geen t meer expliciet, en men heeft dan:

§ 3. We kunnen deze formulen ook nog op eene andere
wijze afleiden, en daardoor nog beter van het wezen der
zaak een duidelijk begrip krijgen.

Voor Ixi, ^yi, "^zi mogen nemen de oneindig kleine ver-
plaatsingen, die de punten na een zekeren tijd werkelijk
Ondergaan, en daar deze verplaatsingen evenredig zijn aan
snelheden in die richtingen, zoo is:

Deze vergelijking beteekent derhalve, dat de door den
stoot geleverde arbeid, die op het stelsel de uitwerking
lieeft van de kinetische energie te vermeerderen, gelijk is
aan de halve som van de producten der componenten van den
stoot en der overeenkomstige componenten van de snelhe-
den der aangrijpingspunten.

Nemen we nu yoor de bepaling van de algemeene compo-
nenten der impulsie voor de nieuwe variabelen q^, q^ enz.
dezelfde wet aan, dan luidt deze: de toename der kine-
tische energie van een stelsel of de arbeid, daarop door
eene impulsie uitgeoefend, is gelijk aan de halve som der
producten van de componenten der impulsie en de overeen-

komstige componenten van de snelheden der aangrijpings-
punten. Deze snelheids-componenten , enz. zijn dezelfde,
als ze boven zijn bepaald.

Nemen we nu aan, dat deze krachts-componente een
zeer kleinen tijd r op het stelsel werkt, dus een stoot uit-
oefent, dan is, als Q,s de algemeene impulsie-componente
voorstelt:

Werkt nu op een stelsel, dat zich in beweging bevindt,
een stoot, waarvan de algemeene componente door boven-
staande formule wordt uitgedrukt, en zijn de toenamen der
snelheids-componenten, die bijv. aanvankelijk \'q^, q^ enz.
waren, Vq^, Vq^ enz., dan is de gemiddelde snelheid ge-
durende den stoot:

ki > è ^^ enz.,
zoodat ingevolge de bovenstaande bepaling de arbeid, door
den stoot verricht, zal zijn:

en zoo we nu aannemen, dat de toenamen der snelheids-
componenten , Vq^ enz. oneindig klein zijn, derhalve ten
opzichte van \'q-^, q.^ enz. kunnen verwaarloosd worden, dan
wordt de bedoelde arbeid eenvoudig:

Deze arbeid wordt nu besteed om de kinetische energie
te vermeerderen, dus heeft men:

Nemen we verder aan, dat de stoot zoodanig zij, dat
er alleen eene verandering der snelheids-componente
plaats vindt, en dat de andere snelheids-componenten q^, q^
enz. onveranderlijk blijven, dan is, daar T alleen functie
is van q^, q^ enz., q^ enz., en daar we kunnen aanne-
Utten, dat de coördinaten g-,, q^ enz. gedurende den stoot
uiet veranderen, zoodat we deze als constant kunnen be-
schouwen :

als , Q^ enz. voorstellen die bijzondere impulsie-compo-
iienten, welke alleen de verandering der variabele te
Weeg kunnen brengen. Deelen we deze vergelijking door
en geven we acht op de waarde van:
dT

De eerste en de laatste uitdrukking zijn nu lineaire func-
tiën van q^, q^ enz., zoodat hieruit volgt:

De componenten der impulsie, die we een stelsel moe-
ten mededeelen om alleen eene verandering Iq, der snel-
heids-componente te weeg te brengen, zijn derhalve:

Moet er dus eene verandering der snelbeids-componente
worden veroorzaakt, of moet deze snelheid aan een in
rust zijnd stelsel worden medegedeeld, dan zijn de hiervoor
noodige componenten der impulsie:

En zal een stelsel uit den toestand van rust eene snel-
heid aannemen, waarvan de componenten zijn q^, q^ enz.
ten gevolge van een stoot, dan moeten de componenten
daarvan, zooals men terstond inziet, de waarden hebben:

§ 4. Deze uitdrukkingen, geheel in overeenstemming
met die, in de vorige paragraaf gevonden, geven dus nu
de oplossing van het vraagstuk: de impulsie (waarvan
Pi, enz. de componenten zijn) te bepalen, die noodig
is om een stelsel, dat in rust verkeert, eene bepaalde
snelheid (waarvan q^, q^ enz. de gegeven componenten zijn)
te geven, wanneer de kinetische energie T gegeven is als
eene kwadratische functie dezer snelheids-componenten.

Zij stellen tevens voor de componenten der hoeveelheid
Tan beweging van een willekeurig zich bewegend stelsel
Baateriëele punten voor de aangenomen algemeene varia-
belen.

§ 5. Er kunnen natuurlijk gevallen voorkomen, waarbij
de questie anders is gesteld, waar juist gevraagd wordt:
uit de gegeven impulsie-componenten de initiale snelheids-
componenten af te leiden, als ook T gegeven is in functie
van de impulsie-componenten. Dan zijn de bovenstaande uit-
drukkingen niet onmiddellijk aan te wenden, en we zullen
deze derhalve hebben te vervormen, zoodat we zoo moge-
lijk terstond op de gestelde vraag het antwoord bekomen.

Daartoe hebben we op te merken, dat T is eene homo-
gene kwadratische functie van q^, q^ enz., en dat dus,
volgens de leer der homogene functiën:

Differentiëeren we deze uitdrukking ten opzichte van
Py, p^ enz., en beschouwen we daarbij T, q-^, q^ enz. als
functiën van p^ enz., dan is:

waarin {q^ — q^), of algemeen {q, q,) = (qs qr) <i- i-
de coëfficiënt van (/r in de uitdrukking voor ps is gelijk
aan de coëfficiënt van <}s in die voor p^. Dit volgt onmid-
dellijk uit de wijze, waarop pi, p^ enz. uit T worden af-
geleid.

Het spreekt nu van zelf, dat als we uit deze homogene
lineaire vergelijkingen in yj,!/^ enz. deze grootheden op-
lossen en uitdrukken in p^tp^ enz., waarbij dan de coëffi-
ciënten weer alleen functiën der variabelen zulle»
zijn, we uitdrukkingen zullen bekomen van dezen vorm:

m. a. w. de coëfficiënt van p,. in de uitdrukking van y«
is gelijk aan den coëfficiënt van ps in die van <}r, zooals
men gemakkelijk kan aantoonen. \')

1) Als px ~ a,i IJl -F üi, qt -f- o!„ enz.
Pj = Cii ([i -f- 02 \'/2s -I- «28 q^ -1- enz.

en D de determinant [a 11, öjï, «33, , . , . ö7m) voorstelt, terwijl de minor
determinant en door Drs worden aangewezen, dan is, zooals bekend if ■

a r—11 f\' »\'—12 • • O »"—1 s—j. . ... a r—1 s—1.....ö r—ln

Het is dadel^k te zien dat — zal zyn, als men algemeen
<iirs = chr heeft, of als de determinant symetriek is. Dit is nu
het geval in den tekst, daar hier de coëfficiënten «,,, a^,, enz. voor-
atellen (q^qj, (q^q^) enz., en we hebben aangetoond, dat {qrqs)~
iq^qr) is.

Maken we nu van deze eigenschap gebruik, dan laten
zich de bovenstaande uitdrukkingen (9) veranderen in:

§ 6. Behalve de vraagstukken, in de beide voorgaande
paragrafen besproken, kunnen er nog andere voorkomen,
waarvan de oplossing niet direkt is af te leiden uit de verkre-
gen uitkomsten. Indien namelijk de snelheden ofdeimpul-
sies gevraagd worden, terwijl er gegeven zijn eenige voor-
waarde-vergelijkingen, tusschen de impulsies en de snclhe-

^©n, waaraan de beweging van het stelsel moet voldoen, en
Wel in even groot aantal als er onafhankelijke variabelen
2ijn, dan kan men voor de oplossing van het vraagstuk,
gebruik maken, behalve van deze voorwaarde vergelijkingen:
i{f=0,i\\r-o, enz., van de formulen: (7) of (14):
dT . dT

Men heeft dan, als er 3»—m onafhankelijke variabelen
2ijn, dubbel zooveel vergelijkingen, ter bepaling van de
2(3»—m) groothedenjss en ^s, die in het vraagstuk voor-
tomen.

Een bijzonder geval hiervan is natuurlijk dat, waarbij
tusschen de snelheden alleen een zeker aantal Qx,) betrek
kingen gegeven zijn, en wel lineaire vergelijkingen met con
stante tweede-leden, en men bovendien weet, dat de im
pulsies zoodanig gericht zijn, dat ze op alle snelheden
die aan eene andere reeks van (/3) homogene lineaire ver
gelijkingen tusschen de snelheden, voldoen, geen invloed
bebben. Het geheele aantal oi-\\- vergelijkingen moet
natuurlijk weer gelijk zijn aan het getal onafhankelijke
veranderlijken. Men heeft dan terstond de oplossing van
het vraagstuk in de vergelijkingen (7) of (14) benevens
bet geheele getal voorwaar de-vergelijkingen.

We kunnen echter die oplossing nog eenigszins wijzigen.
Men kan namelijk uit die cx, vergelijkingen tx,—1 variabe-
len naa,r willekeur elimineeren, en dus overhouden eene
enkele lineaire vergelijking met een constant tweede-
lid.

Elimineeren we door middel dezer zelfde vergelij-
kingen, diezelfde variabelen ook uit de andere /3 verge-
lijkingen , dan hebben we dus het vraagstuk gereduceerd tofc
een met minder veranderlijken.

Nu kunnen we wederom andere variabelen invoeren, functiën
dergenen, die we hadden, we kunnen deze beschouwen
als nieuwe snelheids-componenten, en ze zoodanig kiezen,
dat een daarvan gelijk is aan de functie der snelheden in
de eene vergelijking met het constante lid, die men heeft
overgehouden, en dat de andere snelheids-componenten ge-
lijk worden respectievelijk aan de (3 functiën der snelheden,
die oorspronkelijk gegeven waren, en die zoodanig waren
ondersteld, dat de impulsies geen invloed uitoefenden op
de snelheden, welke daaraan voldeden. Doen w^e dit nu,
dan hebben de impulsies, die nu op het stelsel werken,
de eigenaardigheid, dat ze geen uitwerking hebben op welke
snelheids-componente ook, behalve op die eene, welke
gegeven is. Werkt bijv. op een in rust zijnd materiëel
stelsel, eene impulsie, waardoor enkele deelen daarvan
plotseling met zekere gegeven snelheden in beweging ko-
men , dan kan men die impulsie beschouwen als eene die
aan bovenstaande voorwaarden voldoet, en de snelheden
der punten aanmerken als de algemeene snelheidscompo-
nente, die gegeven is. Er wordt dan gevraagd de overige
snelheids-componenten te bepalen.

door de vergelijkingen (7) of (14): -—

djOs ^ cUls

Maken we eerst eens gebruik van de vergelijkingen (14)-

Het spreekt van zelf, dat [^i^i], [ii q^l-, fe ïa] enz , de
coëfficiënten der termen van T, bekende functiën zijn der
variabelen q-^, q^ enz , die van den aard van het vraagstuk
afhangen en daaruit kunnen worden opgemaakt.

Hadden we gebruik gemaakt van de vergelijkingen {a)
en (7), dan hadden we gevonden:

§ 7. De beweging, die door een materiëel stelsel wordt
aangenomen, nadat het de inwerking eener impulsie heeft
ontvangen, bezit de merkwaardige eigenschap, dat de aan-
genomen kinetische energie een maximum is, d. w. z.
grooter is dan de kinetische energie, die het stelsel zou
verkregen hebben, wanneer het eene andere beweging had
aangenomen, die met de voorwaarde-vergelijkingen van
het vraagstuk niet in strijd is.

Euler is de eerste geweest, die deze eigenschap heeft
aangetoond, en wel voor het geval van een onveranderlijk
materiëel stelsel. Hij hewees, dat als zoodanig in rust zijnd
stelsel een stoot ontvangt, de aangenomen kinetische energie
om de as, waarom het stelsel aanvangt te bewegen, steeds
een maximum of minimum moet wezen.

Lagrange heeft later deze stelling uitgebreid voor het
geval van veranderlijke stelsels materiëele punten. Het
bewijs, dat hij hiervan heeft gegeven, komt hierop neer.
Voor een vrij maar onveranderlijk stelsel, waarop impul-
sieve krachten werken (X\', Y\', Z\') gelden de vergelijkingen:

Stellen nu w, de componenten der hoeksnelhedeu
voor der rotaties om de assen O X, OY, O Z, dan is, daar
p, cc, cp voor alle punten van het stelsel dezelfde zijn:

Voor een veranderlijk materiëel stelsel kan men nu vol-
gens Lagrange evenzoo schrijven:

waarbij dan a, ß, y voorstellen die gedeelten van de snelhe-
den der punten, welke afhankelijk zijn van hunne plaats-
verandering ten opzichte van elkaar, of liever van een die^
punten, dat men willekeurig heeft gekozen.

Het is toch, zooals Bertrand hieromtrent opmerkt, duide-
lijk, dat men een willekeurige verplaatsing van een ver-
anderlijk stelsel beschouwen kan als te zijn ontstaan uit de

verplaatsing van liet stelsel, als onveranderlijk gedacht,
en uit de daarop volgende betrekkelijke verplaatsing der
punten onderling.

Dit is nu, zoo het schijnt, wat Lagrange bedoelt;
de totale snelheid van a;, dus Je, is samengesteld uit de
snelheid, die x zou hebben, als het stelsel onveranderlijk
was, d. i. zü>—yCp, waarbij weer a, Cp voor alle pun-
ten dezelfde zouden zijn, en uit de snelheid, die x in
den tijd di zou verkregen hebben, omdat het samenstel wel
veranderlijk is, dat is x; x kan dus alle mogelijke waarden
hebben, is in het algemeen voor alle punten verschillend,
is afhankelijk van f, hetwelk van de voorwaarde-vergelij-
kingen tusschen de coördhiaten der punten afhangt; maar
is in ieder geval, evenals zulks /3 en 7 zijn, onafhankelijk
van Cp, 03,

In de vergelijkingen (3) zijn dus de eenige variabelen
öc, y, % entpjCp, w, daar de coördinaten gedurende den
korten tijd van den stoot als constant gedacht worden.
Variëeren we dus de waarden (3) dan is:

Deze uitdrukkingen zijn derhalve dezelfde als in het ge-
val van een onveranderlijk materiëel stelsel. Als we nu de
vergelijkingen (1) vermenigvuldigen met dCp, S«, en
optellen, dan krijgt men na substitutie der waarden (4):

^Sy zS^) = s (X\'Saj ySy Z\'S^)
kan men afleiden, als men Sy, S2: enz. aanneemt even-

2 2 OT (x S X-f ^ S y i 5 i) = 2 (X\'S Y\'^ y-f Z\'§ ^i). (6)
ITit de vergelijkingen (5) en (6) volgt nu:

derhalve T, de kinetische energie van het stelsel, moet
een maximum of minimum zijn.

Bertrand heeft in den derden druk van Lagrange\'s Méea-
nique analytique aangetoond, dat, als we de variatiën door
5 voorgesteld niet oneindig klein nemen, hoewel we ze
steeds zeer klein onderstellen, de verandering, welke de
kinetische energie ondergaat voor eene andere beweging
dan die, welke het stelsel werkelijk aanneemt, steeds nega-
tief is, dat derhalve voor de werkelijke beweging iTsteeds
een maximum is.

De hier besproken stelling is later door Delaunay in het
5de deel van het Journal de Mathématiques van Liouville
langs een anderen weg, namelijk door de gewone me-
thoden der maxima en minima, bewezen. Ook Sturm en
Bertrand hebben nog andere bewijzen bekend gemaakt,
van welke dat van Sturm hier nog in hoofdzaak volgt.
Een stelsel materiëele punten, waarvan de coördinaten
aan de m. voorwaarde-vergelijkingen 3/= O, iV=0 enz.,
die van den tijd onafhankelijk zijn, moeten voldoen,
heeft eene impulsie gekregen, waarvan de componenten
op de verschillende punten zijn X\', Y\', Z\', enz,, en ten-
gevolge waarvan ze aanvangen te bewegen met snelheden\'

Welke tot componenten hebben x, ij, i, enz. Stel na,
dat men het stelsel eene andere beweghig doet aannemen,
doordat men bijy. onmiddellijk na den stoot de coör-
dinaten der punten noodzaakt te voldoen aan nog andere
\'V\'oorwaarde-vergelijkingen Jf\' = O, JV = O, die evenzoo
onafhankelijk van den tijd zijn, dan zal daardoor de be-
weging, die oorspronkelijk zou aangenomen zijn, noodzake-
lijk veranderen, en moeten dus, ingevolge het principe
van d\'Alembert, de werkelijk verkregen hoeveelheden van
beweging der punten vau het stelsel evenwicht maken met
de hoeveelheden van beweging, in tegengestelde richting
genomen, die ze oorspronkelijk hadden of die hun is mede-
gedeeld.

Waarin i^\'j, ij^, de componenten der snelheden voorstel-
len, die nu de punten aannemen.

Maar zooals we ondersteld hebben zijn de voorwaarde-
Vergelijkingen van t onafhankelijk, en mogen we dus de
S«, Sy, ^z, enz. evenredig nemen aan de werkelijk aange-
nomen snelheden. Doen we dit, dan kan men schrijven:

en daar het tweede lid noodzakelijk positief is, zoo is dus
de kinetische energie T der vrije beweging grooter dan
de kinetische energie T^ der gedwongen beweging en
Overtreft deze met een bedrag, gelijk aan de kinetische

energie der beweging, die met bet verschil der snelheden
bij beide bewegingen overeenkomt.

Ten slotte kunnen we door invoering van nieuwe onaf-
hankelijke variabelen, ten getale van ^n—m, als er m voor-
waarde-vergelijkingen zijn, op de volgende wijze geheel
a.lgemeen de boven opgegeven stelling bewijzen.

stel nu, dat we zoodanige beperkingen der beweging in-
voeren, dat de punten van het stelsel de snelheids-compo-
nen enz. aannemen, en laaty^yj, enz. de ina-

pulsie-componenten voorstellen, welke deze snelheden uit
den toestand van rust hadden kunnen veroorzaken, dan is
de energie dezer gewijzigde beweguig:

Nu zijn natuurlijk —]Pxt —A» enz. de impulsie-
componenten, die op het stelsel werken, juist ten gevolge
der ingevoerde beperkingen. Beweegt zich derhalve het
stelsel zoodanig, als het door deze beperkingen wordt ge-
richt, dus met de snelheids-componenten q^, enz,, dan
verrichten deze impulsies daarop geen arbeid, en we heb-
ben dan:

Juist dezelfde uitdrukking vindt men voor pi \'q\\ p^, q\\ 4- enz.
door ys met q\'s en met te verwisselen, derhalve verkrggt
nien:

V\'i. yi p\'^ y\'a p\'a kz enz. =:joi q\\ -f^^ q\'^ pzqz enz.
p\'i q\'l p\'o. y\'a p\\ k\'z enz. =:p\\ \'q\\ p^ q^ -f p\'z q\\ enz.
of:

Het tweede lid dezer vergelijking is natuurlijk de kine*
tische energie der beweging van het stelsel, als het de
werking van een stoot —, enz. had ondervonden.
Deze kinetische energie is natuurlijk positief, en dus is T
voor de natuurlijke beweging een maximum. De kinetische
energie, die ontstaat, wanneer op zekere materiëele punten
stooten werken, is derhalve grooter, wanneer zich die pun-
ten geheel vrij, onafhankelijk van elkaar, kunnen bewe-
gen, dan wanneer ze op een of andere wijze met elkaar
samenhangen, bijv. op onveranderlijken afstand van elkaar
moeten blijven, enz.

§ 8. Eene andere merkwaardige eigenschap der impul-
sieve beweging, met die in de voorgaande paragraaf
behandelde in nauw verband, maar als het ware het om-
gekeerde van deze, is, dat, als van een in rust zijnd
materiëel stelsel enkele deelen plotseling door een of an-
dere oorzaak genoodzaakt worlen, met bepaalde gegeven
snelheden in beweging te komen, en door hxrnne bewe-
ging die der andere deelen te veroorzaken, de aangeno-
men kinetische energie van het stelsel een minimum
zal zijn, d. i. kleiner zal zijn dan wanneer de bewe-
guig, door het stelsel aangenomen, eene andere was ge-
weest, maar toch steeds de voorwaarde, betrekkelijk de
snelheid van enkele bepaalde deelen, vervuld blijft.

In dit geval is dus niet de stoot gegeven, zooals in
de vorige paragraaf, maar de snelheid van enkele punten.
Het bewijs dezer eigenschap volgt zeer gemakkelijk uit
hetgeen reeds betrekkelijk dit geval is medegedeeld in
§ 6, waar het als toepassing van een bijzonder bewe-
gingsgeval van een materiëel stelsel in het algemeen is
uitgewerkt. We kunnen toch, even als daar geschied is,

ons die snelheden, welke enkele punten aannemen, denken
als eene enkele snelheids-componente , voortgebracht door
eene enkele impulsie-componente en aannemen, dat de
andere impulsie-componenten nul zijn.

Nemen we nu aan, dat f-^, p-xi enz. voorstellen de
impulsie-componenten, die eene andere beweging, waarvan
\'/i\') q^, q^) enz. de snelheids-componenten zijn, zouden kunnen
voortbrengen. De kinetische energie, die het stelsel bij
deze beweging zal aannemen, zal dan zijn:

De verdere termen, die anders voorkomen, vallen weg,
omdat P2, p^, enz. nul zijn.

Is nu ook bij die tweede beweging de voorwaarde be-
trekkelijk de snelheid dier enkele punten vervuld, dan be-
teekent dit, dat de snelheids-componente qi — Hi is, en
verkrijgt men:

De tweede term in het tweede lid dezer vergelijking
stelt blijkbaar voor de kinetische energie der beweging van
het stelsel, die overeenkomt met het verschil der snelheden
in de eerste en de onderstelde tweede beweging; deze
term is dus noodzakelijk positief, en derhalve is T altijfi
kleiner dan T\', m. a. w. de energie voor de werkelijk aan-
genomen beweging is een minimum.

De hier algemeen bewezen eigenschap is van zeer groot
belang voor de oplossing van een aantah vraagstukken,
zooals wel blijken zal bij de toepassing op enkele.

Ofschoon men nu bij deze toepassingen de variabelen
wel zoodanig zou kunnen kiezen, dat de snelheden, die
enkele punten aannamen, als een enkele snelbeids-compo-
nente te voorschijn kwamen, zoo is dit toch slechts zelden
doelmatig, en, behalve dat die keuze niet altijd gemakkelijk
is, is het ook niet noodig. Weet men toch, dat de kinetische
energie een minimum moet zijn, en heeft men nu eens
niet de veranderlijken gekozen, zooals ze boven waren aan-
genomen, dan heeft men m ieder geval betrekkingen tus-
schen die veranderlijken, die ons in staat stellen deze te
bepalen volgens de bekende methoden voor het zoeken van
maxima en minima van zekere uitdrukkingen, wanneer
er tevens voorwaarde-vergelijkingen gegeven zijn.

(2) bewegen, welke as gedragen wordt door een tweede
lichaam Ä (massa m), dat zelf om een vaste as (1) even-
wijdig aan (2) zich kan bewegen. Door een of andere
oorzaak wordt zeker punt C van het lichaam £, gelegen
op een afstand c van de as (2), en wel in het vlak door
de as-(2) en het zwaartepunt van B gaande, in horizontale
richting eene snelheid q medegedeeld, in een vlak loodrecht
op de beide assen (fig. 4). Men vraagt de initiale hoek-
snelheden van A en £ om de assen (Ij en (2) te bepalen.
Nemen we weer de onafhankelijke variabelen pmCp&an,
die den stand van het stelsel bepalen, evenals in het vraag-
stuk §13 van het eerste hoofdstuk en evenzoo de andere no-
tatiën, daar gebezigd, dan heeft men voor de uitdrukking
der kinetische energie van dit stelsel:

q — a cp Cos 0 cp Cos p.
Daar T een minimum moet zijn, moet STnul zijn , derhalve:

dT — mp\' p d\'p m-i^ a^ <p dp -{- m,^ ahp Cos (p—p) dp
ab p Cos ip—p) dp -f -f F) p d\'p = 0. (1)

We hebben toch alleen 0 en ip als de variabelen aan te
zien, omdat gedurende den tijd van den stoot de coördi-
naten p en p geene verandering ondergaan.

Vermenigvuldigen we nu deze laatste vergelijking met
A, tellen haar dan bij de eerste op, en stellen w^e ver-

volgens de coëfficiënten van dp en # nul, dan vinden we
de beide vergelijkingen:

een stelsel van drie vergelijkingen van den eersten graad
in 0, p en A vormen, waaruit men deze grootbeden kan
bepalen.

Gaan we nu na, wat er van deze vergelijkingen wordt
in het bijzondere geval, dat de hoeken p en 0 oorspron-
kelijk nul of zeer klein zijn, zoodat men in dit laatste ge-
val voor Oos (p~0), Oos 0, Cos p de eenheid nemen kan.
De drie vergelijkingen worden dan:

(a^ b — a^ c) — mj^ c
Mj (a^ b"^ — (b^ k\'\'-) (mj^ -j- m^ a^))
a^ yi _ (^Ï {mf- m^ a?-)

"We kunnen uit deze waarden van 0, p en A gemakke-
lijk opmaken, hoe groot c moet zijn, opdat het eerste
lichaam A in rust blijve, 0 dus gelijk nul zij.

Üit deze algemeene oplossing laten zich die van een
paar interessante bijzondere gevallen gemakkelijk bepalen.

1". Nemen we aan, dat het lichaam B zich reduceert
tot een homogene staaf, en het lichaam A in een dun on-
rekbaar koord zonder massa overgaat, dan moet dus m == O,

^, ^en A zijn nu in bekende grootheden uitgedrukt, terwijl
liet duidelijk is uit de eerste formule (6), dat A voorstelt
de

grootte van den stoot, die deze beweging zou kunnen
teweegbrengen, als hij werkte op het punt c in de richting
<ier snelheid q.

welk resultaat in overeenstemming is met hetgeen de the-
orie ons langs anderen weg leert; want, daar de hoek-
snelheid van de staaf voorstelt, heeft men:
• _ _ qm _ I Mg %h

is derhalve gelijk aan het moment, van den stoot gedeeld
door het traagheidsmoment ten opzichte der draaiingsas.

Daar verder — 6 5c -f- steeds positief is voor be-
staanbare waarden van 5 en c, zoo is dus voor c < | 5, 4\'
positief. Neemt c toe tot | è dan neemt 0 af tot nul,
en wordt c grooter dan ^b dan is 0 negatief, is nul
als c = b, negatief voor c < i en positief voor c> b.

Geresumeerd:
is c < J, dan is 0 positief en ^ negatief;
c > 5 en < I dan zijn 0 en positief;
c > I 5, dan is 0 negatief en 4/ positief.

Is nu nog a = 00, dan is <p — O dus 0 constant.
dat geval beweegt zich de tweede as langs eene rechte KjO
evenwijdig aan zich zelve. Yoor de snelheid van verplaat-
sing der as vindt men:

Men heeft dus hier de oplossing van het vraagstuk: de
initiale beweging te bepalen van een homogene staaf, die
aan het uiteinde een asje draagt, dat er loodrecht opstaat,
dit asje rust op een horizontaal vlak, waarin een gleuf is,
waardoor de staaf heen gaat; in de richting van die gleuf
ontvangt de staaf een stoot. Wat is de hoeksnelheid, waar-
mee deze om dit asje aanvangt te bewegen, en wat is
de initiale snelheid, waarmee dit asje zelf vooruitgaat?

Nemen we ten slotte het geval, dat a = 0 is, dan zijn
de vergelijkingen van het vraagstuk:

A is derhalve, zooals duidelijk blijkt, de grootte van den
stoot. Zooals uit de verschillende verkregen uitkomsten
te zien is, zijn deze in volkomen overeenstemming met de
resultaten voor de eenvoudiger gevallen langs anderen weg
verkregen.

De oplossing van het geval, dat het eerste lichaam A
zich tot een materiëel punt in de tweede as, en het lichaam
£ zich tot een materiëel punt in het zwaartepunt van B
reduceert, laat zich even gemakkelijk uit de algemeene op-
lossing afleiden. Het gemak waarmede, volgens deze me-
thode der algemeene variabelen, die we hier hebben toe-
gepast op de bewegings-vergelijkingen van Lagrange voor
impulsieve krachten, de uitkomsten zijn verkregen ook
in meer samengestelde gevallen, springt duidelijk in het
oog, en maakt deze methode zeer boven andere methoden,
welke men wel zou kunnen aanwenden, verkieselijk.

liet voorgaande hoofdstuk met hetrekking tot de algemeene
krachts-componenten gedaan hebben, wat de algemeene in-
pulsie-componenten eigenlijk beteekenen.

Nemen we daartoe nog eens de beide eerste formulen
(3) van het voorgaande vraagstuk voor oogen, dan is het
dadelijk in te zien, dat, als we ze aldus schrijven:

m, ab Oos (p—p) <p »2, P = Ac Oos p,
de eerste leden dezer vergelijkingen voorstellen

dat deze derhalve zijn, hetgeen we vroeger als de alge-
meene impulsie-componenten hebben aangemerkt, dus:

Daar, zooals we gezien hebben, A moet worden aange-
merkt als voor te stellen de grootte van den stoot, zoo
blijkt hieruit, dat de algemeene impulsie-componenten in
dit geval (nu de variabelen p en p hoeken zijn om twee
evenwijdige assen doorloopen) voorstellen: de producten van
den stoot met de projectiën der afstanden van de twee aan
twee op elkaar volgende assen, en van de laatste as tot
het aangrijpingspunt van den stoot in de loodlijn op de
richting van den stoot.

Deze producten zijn derhalve de momenten van zekere
hoeveelheden van beweging, ten opzichte van de verschil-
lende assen, die in het stelsel voorkomen, en waarom de
hoeken p en p worden beschreven.

Dit is nu geheel algemeen het geval. Evenals we in^
het voorgaande hoofdstuk voor de algemeene krachts-com-

pon enten vonden, in liet geval dat de veranderlijken hoeken
Voorstellen, het moment van koppels om de verschillende
draaiingsassen, evenzoo blijft ook voor de algemeene im-
pulsie-componenten dezelfde uitspraak geldig, indien we
overal in plaats van krachten hoeveelheden van beweging
stellen.

De overeenkomst tusschen deze momenten van hoeveel-
heden van beweging en de algemeene impulsie-componenten
eenerzijds, en de momenten van koppels en de algemeene
krachts-componenten anderzijds, is zeer merkwaardig. We
willen nog door een enkel voorbeeld toelichten, dat ook in
het geval van impulsieve beweging, zoo de variabele geen
hoek voorstelt, maar eene lineaire grootheid is, de algemeene
impulsie-componente, daarbij behoorende, ook geen moment
eener hoeveelheid van beweging voorstelt, maar zelve eene
hoeveelheid van beweging of impulsie is. De overeen-
komst , waarop we boven doelden, gaat bij gevolg ook in
dit geval door.

Vraagstuk. Aan eene staaf, die in een plat vlak kan bewe-
gen, en aanvankelijk in rust verkeert, wordt een stoot in
dat vlak medegedeeld, waardoor het gestooten punt met
eene snelheid q aanvangt te bewegen.
Welke beweging neemt die staaf aan?

Zijn w en w de componenten der snelheid, waarmee het
zwaartepunt aanvangt te bewegen, en is ^ de initiale hoek-
snelheid, dan moet men dus u, v (p bepalen, en heeft
men, als w en y de coördinaten van het getroffen punt
zijn, ten opzichte van assen door het zwaartepunt gaande,
voor de componenten der snelheid van het getroffen punt:

Is derhalve q die snelheid zelf, en stellen / en de
richtings-cossinnssen dier snelheid voor, dan is;

Nu zijn weer Mm en Mv gelijk aan—en—, de alge-
meene impulsie-componenten, en in dit geval gelijk aan
de componenten der impulsie zelf; u erx v zijn nu ook
geen hoek-snelheden meer, maar stellen lineaire snelheden
voor. Hiermede is het bovengezegde derhalve aangetoond.

Het gebruik der !3ewegings-verge!ijkingen voor liet
onderzoek naar de stabiliteit van het evenwicht.

§ 1. Wanneer een stelsel yan tï materiëele punten, waarop
krachten werken, in zekere configuratie in evenwicht is,
en het door de eene of andere oorzaak een weinig uit den
evenwichtsstand wordt gebracht, en wel zoodanig, dat de
verplaatsingen der verschillende punten zeer klein zijn, en
ook de snelheden, welke die punten hebben, op het oogen-
blik, dat het stelsel weder aan zichzelf wordt overge-
laten, zeer klein zijn, dan laat zich door middel van den
tweeden vorm der bewegings-vergelijkingen van Lagrange
gemakkelijk onderzoeken, of de afwijkingen, die het stelsel
van uit dien evenwichtsstand zal bekomen, na verloop van
eindige tijden zeer gering zullen blijven, dan wel of die
afwijkingen voortdurend grooter zullen worden. In het
eerste geval moet het evenwicht natuurlijk stabiel zijn; de
beweging van het stelsel is dan eene trillende beweging-
om dien evenwichtsstand. In het tweede geval is het even-
wicht onstandvastig.

De omstandigheid, dat de afwijkingen van den even-
wichtsstand en de snelheden der punten zeer klein zijn bij
den aanvang der beweging, maakt, dat we de bewegings-
vergelijkingen van Lagrange, die, in den algemeenen vorm,

waarin we die in het eerste hoofdstuk hebben leeren ken-
nen , slechts in enkele gevallen onmiddellijk te integreeren
zijn f tot een eenvoudiger vorm kunnen brengen, dien men
volgens de bekende methoden altijd kan integreeren. Die
bewegings-vergelijkingen worden dan namelijk lineaire diffe-
rentiaal-vergelijkingen der tweede orde met constante coëffi-
ciënten, en hiervan kan men altijd de integralen bepalen.

Het spreekt wel van zelf, dat deze oplossing alleen geldt,
zoo lang ook nog de onderstelling omtrent de kleine af-
wijkingen en geringe snelheden geldt, en dus alleen voor
die configuraties, welke onmiddellijk in de nabijheid van
den even wichtsstand zijn gelegen.

Gaan we na, wat er wordt van die bewegings-vergelij-
kingen, ^an vinden we, dat, als de coördinaten der punten
van het stelsel aan zekere m voorwaarde-vergelijkingen
M — 0, iV=0 enz., die van den tijd onafhankelijk zijn,
moeten voldoen, we wederom door middel dezer vergelij-
gen het aantal van ^n variabelen kunnen reduceeren tot
— m — i van elkaar onafhankelijke veranderlijken , q^
enz., welke tot de oorspronkelijke coördinaten x, y,z enz.
in de volgende betrekkingen zullen staan:

Nemen we echter aan, zooals we boven onderstelden,
dat de afwijkingen uit den evenwichtsstand zeer gering

2ijn, en dat die evenwiclitsstand zelf overeenkomt met
y==.h, z — c of met met g\',, enz. =0, dan zullen we
de tweede en hoogere machten dezer waarden mogen ver-
waar loozen in de uitdrukkingen van x, y, z enz. en dus
hebben:

Hierbij zijn natuurlijk a, a^, a^, h, h^ enz. bekende con-
stante coëfficiënten. Voor de waarde der kinetische energie
T Tinden we:

waarin dan ook weer (qi q^), (g-j q^) enz. bekende coëfficiën-
ten zijn. T is derhalve eene homogene kwadratische functie
van q^ enz. en onafhankelijk van q^, q^ enz.; derhalve:

§ 2. Dergelijke vergelijkingen heeft naen natuurlijk in
even groot aantal als er onafhankelijke variabelen bestaan.
Wat het tweede lid dezer vergelijkingen aangaat, zoo is
dit in het algemeen van den vorm:

wanneer men ook weer , enz. zeer klein onderstelt,
en derhalve de tweede en hoogere machten verwaarloosd
mogen worden, terwijl tevens Q,k onafhankelijk is van de
differentiaal-quotiënten van g»,, enz.

De simultane lineaire differentiaal-vergelijkingen, die nu
bij het onderzoek naar de stabiliteit van het evenwicht van
zeker stelsel gebruikt moeten worden, zijn:

Deze vergelijkingen laten zich mx volgens de bekende
methoden algemeen integreeren; want stellen we:

(2, ^^ <l^) (S\'t 23) A^ V enz. =
A^ A^ (A Ai V -{- enz.
2i) {q, 2 J A V (22 23) enz. =
\'Jj -f ^ \'Ai v enz.

welke vergelijkingen, ten getale van dti — m ~ i, vol-
doende zijn ter bepaling van fi, v enz. in even groot
aantal, en daar we, door eliminatie van ^, v enz. uit deze ver-
gelijkingen, overhouden eene vergelijking in A^, zoo zullen
alle wortels dezer vergelijking voldoen, en voor eiken wor-
tel kan men dan wederom een stel waarden van ft, v enz.
bepalen.

Men vindt nu voor de waarden van qx, q^ enz. voor
een enkelen wortel A^, ingeval deze reëel en positief is, de
volgende uitdrukkingen:

Zijn ecliter enkele wortels negatief, dan zou men voor
zoodanigen wortel gevonden hebben:

In geval er paren gelijke, hetzij reëele of imaginaire
wortels voorkwamen, dan zou men voor qi, q„ enz. na-
tuurlijk uitdrukkingen verkrijgen, die in plaats van den
constanten factor Os te hebben, coëfficiënten hadden, waarin
ook de tijd expliciet voorkwam.

De oplossing, die we nu hebben, voor het geval, dat
we van een enkelen wortel A^ der vergelijking (4) gebruik
maken, is echter eene particuliere integraal. De alge-
meene krijgen we door de som van alle bijzondere oplos-
singen te nemen. In die som van termen in de uitdruk-
kingen van qi, q^ enz. kunnen nu voorkomen termen van
den boven opgegeven vorm of wel termen met coëfficiënten,
functiën van t, al naarmate de wortels A^ zijn positiet,
negatief, imaginair, of deze wortels allen zijn ongelijk of
dat er paren gelijke onder voorkomen.

De iiier verkregen uitkomsten moeten nu beslissen over
den aard der beweging, die bet stelsel aanneemt, als men
ket, na bet uit den evenwichtsstand zeer weinig verwijderd
te hebben, aan zichzelf overlaat, en wel, of die beweging
periodiek is, of dat bij toenemenden tijd het stelsel zich
boe langer hoe meer van den evenwichtsstand verwijdert.

Wat de arbitraire constanten in de uitkomsten voor g\'j,
enz. aangaat, deze kunnen natuurlijk bepaald worden uit
de initiale waarden van q^, q^ enz. en van qi, q^ enz.,
welke bekend ondersteld worden^

§ 3. Voordat we ons echter nader met de beschouwing
dezer vergelijkingen bezig houden, willen we eerst de zaak
nog eens langs een anderen weg behandelen, en wel
bepaaldelijk het geval nagaan, dat er eene krachtfunctie
bestaat.

Daar de krachtfunctie U eene functie is alleen van de
coördinaten, zoo is de algemeene vorm van U deze:

maar nemen we nu aan, dat in den evenwichtsstand, wan-
neer qi,q^ enz. nul zijn, ook U nul is, dan ia A~0 en,
daar de vergelijkingen

natuurlijk ook gelden, als het stelsel in den evenwichtsstand
is, derhalve als q^, q^ enz. en q^, q^ enz. nul zijn, zoo
volgt hieruit terstond, daar ook
dT

TJ wordt derhalve eene homogene kwadratische functie
van den tweeden graad der variabelen, zoo we namelijk
ook hier onderstellen, dat we de derde en hoogere machten van
q^, q^ enz. in de uitdrukking van U mogen verwaarloozen.

waarin weer q^, [q^ q^ bekende constante coëlEciënten
zijn. Daar nu bovendien ook T eene homogene kwadrati-
sche functie van q-^, q^ enz. is, zoo kunnen we door de
volgende lineaire transformatie, waarbij w^e andere variabe-
len invoeren, de uitdrukkingen van T en ?7vervormen, de
eerste tot eene som van kwadraten der eerste differentiaal-
quotiënten der nieuwe variabelen ten opzichte van t, en
de tweede tot eene som van kwadraten der nieuwe varia-
belen zeiven, waarbij elk kwadraat met zekeren bepaalden
factor is vermenigvuldigd.

te onderscheiden van de rechthoekige coördinaten, die we
gewoonlijk gebruiken).

Door deze substitutie worden de waarden van , q^ enz.:
q^ —l^ X m^ ij n^ z enz.

Het is er nu maar om te doen, deze waarden te substi-
tueer en in de uitdrukkingen voor T en U, en dan de
coëfficiënten l, m enz. zoodanig te bepalen, dat de nieuwe
vorm van T en TJ, dien we wenschten, te voorschijn komt.
Dit is nu altijd mogelijk; want het aantal coëfficiënten
l, m, tl enz. bedraagt —my — i^; zooveel vergelijkingen
moeten we dus ook hebben ter bepaling dier coëfficiënten.

Na substitutie van de waarden (8) in T, stellen we de
coëfficiënten der tweede machten van x ,y= O; dit geeft
dus een stel van i vergelijkingen in. l, m enz.; door vervol-
gens de coëfficiënten der producten x y,x % enz. nul te stellen,

de uitdrukking van U de waarden (7) substitueerende en de
coëfficiënten der producten xy,xz enz. nul stellende, krijgen
% (i—1)

Men heeft alzoo met eene bepaalde substitutie te doen,
en vindt bij gevolg, dat het in het algemeen mogelijk is

waarbij a., fi, y enz. positieve of negatieve, maar steeds
reëele coëfficiënten zijn , die men kan verkrijgen door de
waarden van l, m enz. te substitueeren in de uitdrukkingen
der coëfficiënten van x^, y^, z^ enz. van Ü.

Zijn ot,—f{l^ m^ enz.), /3 {l^ m^ enz.), y — /ii \'m^ enz.)
/(^,menz.)—enz.)—/3=:0, ƒ,1 enz.)—7=0of

Men kan dus, daar ƒ m enz.), ƒ, m enz.) enz. bekend
zijn, a, (2, y enz. beschouwen als de wortels eener verge-
lijking van den graad i, waarvan de coëfficiënten afhangen
van de bekende waarden van m enz., die uit den aard
van het vraagstuk op de boven aangegeven wijze bepaald
moeten worden, en waarvan de wortels allen reëel zijn.

Voor de bewegings-vergelijkingen vinden we nu bij
deze nieuwe variabelen y, enz.:

Cj, Ou, enz. zijn willekeurige constanten, die men uit
^den gegeven initialen toestand zou kunnen bepalen.

§ 4. Vergelijken we nu eens de hier verkregen uitkom-
sten met die, welke op pag. 75 verkregen zijn, als we
ook daar aannemen, dat er eene krachtfunctie bestaat, ei^

Nemen we nu de initiale beweging van het stelsel eens
zoodanig, dat de constanten C^, C^ enz. Cjc, cjc enz. in
allen nul zijn, behalve G^ en en verder, datg\'^, q^ enz.
nul zijn, dan beperken we derhalve de beweging van het
stelsel zoodanig, dat er slechts eene enkele beweging over-
blijft of dat er slechts nog een enkele variabele bestaat.

Nemen we ook aan, voor het geval, dat we ons van de
variabelen x, y, z enz. bedienen, dat de initiale beweging
zoodanig is, dat Gm, GjY>Gy, enz. allen nul zijn, en dat
verder C^ = Cj en C^, — G^ is, dan is het duidelijk, dat voor
dit geval x = is, en dus dat x — is.

Evenzoo kunnen we andere onderstellingen maken om-
trent die initiale beweging, waaruit we dan kunnen afleiden:
jS = Aj,^, y^Ag^\' enz., en hieruit blijkt derhalve, dat
(3 enz. juist zijn de wortels der determinanten-verge-
lijküig (4), die we straks vonden, en daar deze waarden
oi, (3 enz., zooals we gezien hebben, steeds reëel zijn, zoo
is dit ook het geval, indien er eene krachtfunctie bestaat,
met de wortels der vergelijking (4).

Men kan echter ook onmiddellijk aantoonen, dat de ver-
gelijking (4), indien \'Ai = A^ , "Ai = A^, \'Aj = "A^ enz. is
reëele wortels heeft.

Immers gelijk bekend is \'), beeft de vergelijking = O,
welke men verkrijgt door den symetrischen determinant,

nul te stellen, altijd reëele wortels. Kunnen we dus aan-
toonen, dat onze determinanten-vergelijking (4), in die be-
paalde onderstelling eener krachtfunctie, te reduceeren is tot
dezen vorm, dan is daarmede het gezochte bewijs geleverd.

Cj A^—c,
<72 A^-Cj

Cl ai—Al Cl

B^ as—Al bs
{Cs A,— Ci As)^\'
-f (Oi«3—A^®)

waarin A^ B^, A^ =■ C^, B^ = — — cx h^ — c^ zij»-
Nemen we aan, dat we alleen deze drie rijen enkolommei^
hadden; voor meerdere rijen zou toch het bewijs op dezelfde
wijze te geven zijn, doch dit nog al omslachtig worden.
We vinden dan:

1) Brioschi Théorie der Détermin. p. 56. Salmon. Leçons d\'Algèbre super-
p. 29. Cauchy Exerc. de Mathém. IV p. 140.

Het is nu gemakkelijk in te zien, dat we door eene verdere soortgelijke vervorming de vergelijking
eindelijk kunnen brengen tot:

derhalve tot den hoven bedoelden vorm. De vergelijking
(4), waarvan we zijn uitgegaan, heeft dus als deze alleen
reële wortels, hetwelk te bewijzen was.

IJit het bovenstaande hebben we nu gezien, dat de ver-
plaatsing van elk der punten van het stelsel, of de variatie
van elke variabele wordt voorgesteld door eene som van
termen, welke, ingeval de wortels ai, (3 enz. allen negatief
zijn, den vorm Ojt Sin (t/f ^ hebben. In dit geval zal
dus die variatie steeds binnen enge grenzen besloten blij-
ven, als namelijk de Ck ook zeer klein zijn en, hoe de tijd
ook toeneme, q^ bijv. kan nooit grooter worden dan, hoog-
stens gelijk zijn aan:

C\'i C\'zH-enz
Zijn echter enkefë wortels «, /3 enz. positief, dan komen
er exponentiëele termen,

voor; het evenwicht is dan niet stabiel, de uitdrukking
voor geeft dan alleen bij benadering aan, volgens welk®
wet het stelsel den niet stabielen evenwichtsstand verlaat-
Ook kan het voorkomen, dat enkele wortels a, (3 enz-
nul zijn; in dat geval is er onbepaaldheid en is het voor
het onderzoek noodig, hoogere machten dan de tweede m
de ontwikkeling der krachtfunctie op te nemen. Men kan
echter uit de uitdrukking C^^m cj^) afleiden, dat

Uit een en ander blijkt nu, dat omtrent de stabiliteit
van bet evenwicht van zeker stelsel beslist kan worden
naar de waarden van a, 0 enz., of de waarden der wortels
der determinanten-vergelijking in A® (4). Zijn die wortels
positief, dan is het evenwicht instabiel; zijn ze negatief en
ongelijk, dan is het stabiel; komen er positieve en nega-
tieve te zamen, gelijke of paren imaginaire wortels voor,
dan is het evenwicht eveneens in het algemeen instabiel,
tenzij de coëfficiënten der termen, die den tijd buiten het
sinusteeken bevatten, nul waren, hetgeen van den initialen
toestand afhangt. Voor zoodanigen toestand zou dan het
evenwicht stabiel wezen; voor elke afwijking daarvan, die
met die onderstelling niet overeenkomt, instabiel; der-
halve is dan in het algemeen die eyenwichtstoestand in-
stabiel.

We vonden, dat, als er eene krachtfunctie bestaat, deze,
op de boven aangegeven wijze te reduceeren moet wezen tot
eene som van kwadraten der variabelen, en, dat, als elk dezer
kwadraten voorzien is van een negatieven coëfficiënt, het
evenwicht voor alle verplaatsingen stabiel is; zijn enkele
coëfficiënten positief, dan is het instabiel. Maar daar we
aangenomen hadden, dat U nul was in den evenwichtsstand,
en we gezien hebben, dat voor eene zeer kleine toename

gatief zijn, ingeval de coëfficiënten van U in dit geval verkee-
ren, zoo volgt daaruit, dat U een maximum is in den even-
wichtsstand. We krijgen ten slotte tot resultaat: De
krachtfunctie U moet, als er evenwicht is in zekeren
stand van het stelsel, een maximum of minimum wezen,
liet eerste als dit evenwicht stabiel, het tweede als het

instabiel is, terwijl voor bet onverscMllig evenwicht XJ eene
constante waarde behoudt.

Bestaat er echter geen krachtfunctie, zooals we tot dus
verre aannamen, dan heeft men voor het onderzoek naar
de stabiliteit te doen met de determinanten-vergelijking
(4), waarvan de wortels nu reëel of imaginair kunnen
zijn. In het laatste geval komen in de ontwikkeling van

of van den vorm Sin qt, welke aantoonen, dat er alsdan
slingeringen om den evenwichtsstand kunnen voorkomen»
waarvan de amplituden volgens de logarithmische wet met
den tijd toenemen. Het evenwicht is dan natuurlijk instabiel-
§ 5. Als het eenvoudigste voorbeeld tot opheldering der
ontwikkelde theorie kan men het geval beschouwen van een
punt, dat zich op het hoogste of laagste punt van een ver-
ticaal geplaatsten cirkel onder de werking der zwaartekracht
in evenwicht bevindt. Voor het hoogste punt is

als a is de straal des cirkels, en oc, de afwijking van dien
straal van den loodlijn voorstelt.
De krachtfunctie U is dus:

jpositief zijnde, is het evenwicht onstandvastig.
Voor het laagste punt. vindt men evenzoo:

Een tweede voorbeeld, dat vooral geschikt is om de ge-
vallen van standvastig en onstandvastig evenwicht bij bij-
zondere verplaatsingen duidelijk te maken, doet zich voor,
als een punt zich in evenwicht bevindt op een ringvlak en
aan de werking der zwaartekracht is onderworpen.

Stel het ringvlak zoodanig geplaatst, dat de cirkel (1), dien
het middelpunt van den beschrijvenden cirkel doorloopt, ver-
ticaal zij. Door het middelpunt van dien cirkel (1) is eene
verticale lijn getrokken, die het oppervlak achtereenvolgens
in de vier punten A,B, C, insnijdt, ./i is het hoogste punt.

Een materiëel punt, in A geplaatst, zal aldaar in een toe-
stand van instabiel evenwicht verkeeren. In het punt B
geplaatst, neemt het een stabielen evenwichtsstand in, terwijl
de standen B en C in het algemeen instabiel zullen zijn;
maar voor eene verplaatsing bij B in een vlak, loodrecht
op het vlak van cirkel (1), en voor eene verplaatsing bij O
in het vlak van dien cirkel is het evenwicht eveneens
stabiel.

Zij R de straal van cirkel (1), r die van den besckrij-
venden cirkel. Nemen we verder cp en de hoeken, die
het meridiaanvlak van het punt maakt met het verticale
meridiaanvlak, en die de straal van het punt in den be-
schrijvenden cirkel maakt met den straal van cirkel (1), als
de natuurlijk onafhankelijk van elkaar zijnde veranderlijken
aan, dan bepalen Cp en p volkomen de plaats van een punt
op het oppervlak.

1°. Yoor het punt A gelden dan de volgende waarden
van 1/en T: 2 T = r^ {B, r Ooa py cp\\

U= g {B-^r)—ff {B rGoB p) Cos Cp
= gB (1—Cos Cp) gr (1—Cos p Cos p)
dus bij benadering:

De beide vergelijkingen, die ons voor het onderzoek naar
de stabiliteit dienen, zijn nu:

Is dus de initiale afwijking van het punt uit den stand
B zoodanig, dat (p constant nul is, dan is de evenwichts-
stand stabiel, en de verplaatsingen van het punt geschie-
den volgens de wet:

en wel in het vlak van den verticalen meridiaan.
Op dezelfde wijze vindt men voor het punt C,

Is nu hier de initiale afwijking van dien aard, dat tp con-
stant nul blijft, dan heeft ook C eene slingerende beweging
volgens de wet:

Voor elke andere beweging is in de beide laatste geval-
len het evenwicht onstandvastig. Het is duidelijk in te
zien, dat bovenstaande theorie onmiddellijk is uit te breiden en
dat zij van toepassing is op andere oppervlakken, waarop een
punt in evenwicht zou kunnen geplaatst worden, dat onderwor-
pen is aan de zwaartekracht of aan welke andere krach-

ten ook. Voor het standvastig evenwicht is alleen noodig, dat
het oppervlak zich aan eene zijde van het rakende vlak in
dat punt uitstrekke, dat dit raakvlak in dat punt loodrecht
zij op de resultante der krachten, die op het punt werken,
en dat de bolle zijde van het oppervlak gericht zij naar den
kant, waarheen die resultante werkt.

Evenzoo zal in het algemeen, wanneer het oppervlak
gedeeltelijk aan weerszijden van het rakende vlak in het
evenwichtspunt gelegen is, het evenwicht aldaar instabiel
wezen. Het kan evenwel zijn, dat voor enkele bepaalde
kleine afwijkingen uit dien evenwichtsstand, dit evenwicht-
stabiel is.

We hadden de zooeven verkregen resultaten omtrent
de al of niet stabiliteit van het evenwicht in de punten
A, B, C en D ook langs een anderen weg kunnen ver-
krijgen , en wel door toepassing van de leer der maxima
en minima. Voor het punt A bijv. hadden we toch:

Deze zijn nul voor cp ~ o en p = o. Dus U ia ia A
een maximum of minimum. A is derhalve een evenwichts-
stand. Verder is

altijd noodig is, volgt hieruit, dat U in het punt A een
minimum is, dat dus het evenwicht aldaar instabiel moet
wezen.

§ 6. Zooals we gezien hebben, worden de afwijkingen,
die een stelsel materiëele punten, dat aan de werking van
zekere krachten onderworpen en uit een stand van stabiel
evenwicht een weinig verwijderd is, en dat met zeer kleine
snelheid der punten aan zich zelf overgelaten wordt, uitge-
drukt door:

als we > 22 enz. aannemen als de veranderlijken, onaf-
hankelijk van elkaar,\'die den stand van het stelsel volkomen
bepalen. Van bovenstaande vergelijkingen heeft men er
evenveel, als er veranderlijken zijn, terwijl ook het aantal
termen in die ontwikkeling van q^ enz. in het alge-
meen even groot is.

Neemt men eens aan, dat de initiale afwijking zoodanig
is, dat de constanten C^, Cj, C3, c^ enz. nul zijn, dan
heeft men slechts te doen met de eenvoudige harmonische
functiën:

welke de bewegmg van het stelsel bepalen. Elk punt be-
weegt zich dan volgens zulk eene eenvoudige harmonische

Men kan natuurlijk onderstellen, dat het stelsel zóó uit
den evenwichtstand is gebracht, dat C^, enz. nul

Zoo kan men voortgaan, en men kan dus het stelsel
evenveel verschillende dergelijke eenvoudige harmonische
bewegingen, zoogenoemde normale bewegingen, laten uit-
voeren, als er onafhankelijk variabelen zijn. Elke andere
beweging, welke het stelsel zou kunnen uitvoeren, kan
men samengesteld denken uit eenige of uit al die verschil-
lende normale bewegingen. — Zijn de wortels \\/(2
enz. onderling onmeetbaar, dan is het duidelijk, dat ook
de slingertijden der normale bewegingen,

onderling onmeetbaar zullen wezen, en dat het stelsel dus
nooit weder in eene configuratie zal komen, welke het al
eens heeft ingenomen.

Zijn echter die wortels onderling meetbaar, verhouden
ze zich als de getallen a, b, enz., en is n de grootste
gemeene deeler, dan is s/» = m , 1//3 = bv^ enz. Het is

q-^ ~ C^ Sin (ai)i-j;-Cj) -J- C^ Sin (b ij ic^)enz.
ïa = Cl 1«,, Sin (aift -j-C^v Sin {b ii tc^)enz.
enz.

zijnde, deze uitdrukkingen dezelfde waarde zullen verkrij-
gen, als de tijd toeneemt met

Deze tijd stelt derhalve de periode der samengestelde
slingering van het geheele stelsel om den evenwichtsstand
voor.

§ 7. De theorie, die in de voorgaande bladzijden ont-
wikkeld is, laat zich op gevallen der praktijk niet onmid-
dellijk toepassen, omdat de onderstellingen, die we gemaakt
hebben, niet te verwezenlijken zijn. We hebben toch
aangenomen, dat de algemeene krachts-componenten van
den vorm waren:

Qi ö^i enz.,
en wel, dat er geen constante term in voorkwam, en dat ze
ook onafhankelijk waren van de eerste en volgende diffe-
rentiaal-quotienten der variabelen, ten opzichte van t, dus
van de snelheden en versnellingen van verschillende orden
en machten. In de praktijk is dit nu werkelijk niet het
geval. We hebben daar verschillende weerstanden in reke-
ning te brengen, als wrijving tusschen vaste en vloeibare
lichamen, tegenstand van de lucht en nog andere weer-
standen, die in de ontwikkeling van licht, warmte, en
electriciteit hun grond kunnen hebben, welke weerstanden
de zichtbare bewegingen, waarmede we uitsluitend te doen
hebben, tegenwerken.

Om deze nu in rekening te brengen, moeten we in de
ontwikkeling van Qk termen bijvoegen, constante termen
en zoodanige, welke van de snelheden, en versnellingen

- De betrekkelijk eenvoudige oplossing der kwestie yan de
stabiliteit van het evenwicht van zeker stelsel is dan niet
meer te gebruiken.

De werking der wrijving tusschen twee vaste lichamen
bestaat eenvoudig daarin, dat daardoor de oneindig kleine
trillingen, waarmede we tot dusverre te doen hadden, on-
mogelijk worden, en dat door die wrijving elk stelsel,
waarin ze voorkomt in rust of in evenwicht kan blijven
buiten den evenwichtstand, wanneer het slechts binnen ze-
kere , doch eindige kleine grenzen uit dien evenwichtsstand,
waarin geene wrijving werkt, verwijderd is.

De wrijying laat zich, daar ze volgens de ervaring onaf-
hankelijk is van de snelheid der over elkaar bewegende
oppervlakken, als eene de beweging onmiddellijk tegenwer-
kende kracht in de meeste geyallen der praktische werk-
tuigkunde in rekening brengen.

Wat de andere genoemde weerstanden aangaat, deze zijn
wel afhankelijk van de beweging of van de snelheden, zoo-
als zulks weder uit de proeven gebleken is. Wanneer
de snelheden klein genoeg zijn, dan kan men, als eerste
benadering, die weerstanden evenredig aannemen aan die
snelheden. Zoo bijv. bij de beweging yan vaste lichamen
in vloeistoffen.

Deze weerstanden kunnen nu een stelsel nooit in rust of
in evenwicht houden, wanneer het eenmaal, hoe weinig
ook en met hoe geringe snelheid ook, uit een evenwichts-
stand, waarin geen tegenstand werkte, verwijderd is. Het
stelsel zal dan weer slingeringen om dien evenwichtsstand
uitvoeren, en de wet dier slingeringen kan men ook in dit
geval weer streng mathematisch afleiden uit de bewegings-
vergelijkingen; die wet geeft ons dan wederom de noodige

waarvan volgens de theorie der simultane differentiaal-ver-
gelijkingen eene particuliere integraal kan gesteld worden:

Si) {qi Sa) f^ {qi qs) v enz. | A^ _
{Aj^ AsV -{- enz.) a — [a-^-^- a^iJt,-\\- a^v -j- enz.) = O

Uit deze vergelijkingen ten getale van i, het aantal on-
afhankelijk veranderlijken, kan men weer de i grootheden
A, ^ci, !/ enz. bepalen. Elimineert men bijv. de grootheden
itt, u enz. dan houdt men over eene vergelijking in a van
den Si^en graad, van den vorm:

Elke wortel A, uit deze vergelijking verkregen, levert
door substitutie in de vergelijkingen (3) waarden voor (x,, v
enz., en derhalve een stel particuliere integralen der diffe-
rentiaal-vergelijkingen, en daar nu weer de algemeene inte-
graal gevormd wordt uit de som der particuliere integra-
len, heeft men:

Om nu de al of niet stabiliteit van het evenwicht van
zeker stelsel te onderzoeken, kan men nu van deze uitkom-
sten gebruik maken: want ze geven de veranderingen aan,
welke de variabelen na verloop van zekeren tijd zullen
ondergaan hebben. Blijven die veranderingen binnen uiterst
nauwe grenzen besloten, dan is het evenwicht stabiel,
anders niet. De wortels der determinanten-vergelijking
(4) in A moeten dit nu weer beslissen. Zijn die wor-
tels reëel, dan behooren ze negatief te wezen, daar er anders,

zoo ze positief waren, termen van den vorm Ce in de
ontwikkeling van q^, q^ enz. zouden voorkomen, welke bij
toenemende tijden eene eindige waarde zouden aaimemen,
en dus zouden wijzen op eene eindige afwijking uit den
evenwichtsstand.

Zijn de wortels niet reëel, dan behooren toch de reëele
gedeelten dier wortels negatief te zijn, en dus zal het even-
wicht alleen dan stabiel kunnen wezen, als in de uitdrukkin-
gen voor g-j, enz. slechts termen voorkomen van den vorm:

Evenzoo zouden als de reëele deelen der niet reëele wor-
tels positief waren, in de uitdrukkingen voor enz.
termen voorkomen van den vorm:

Het evenwicht zou dan niet standvastig zijn, en de uit-
drukkingen voor g\'j, enz. zouden dan alleen aangeven,
volgens welke wet het stelsel den evenwichtsstand verlaat.
Zulke termen zouden wijzen op slingeringen, waarvan de
amplituden met den tijd grooter worden.

§ 8. Voor het geval, dat zeker stelsel slechts eene enkele
beweging kan maken, dat er dus slechts eene enkele onaf-
hankelijk veranderlijke bestaat, wordt de bewegings-vergelij-
king voor het onderzoek naar de stabiliteit van het even-
wicht van dit stelsel eenvoudig:

Dit geval doet zich bijv. voor, als een materiëel punt
in een middenstof, welker weerstand (A is derhalve nega-
tief), evenredig is aan de snelheid van de zich daardoor
heen bewegende lichamen, in een evenwichtsstand is ge-
plaatst, terwijl de aantrekkende kracht, die op het punt
werkt, als het een weinig buiten dien stand is ge-
bracht, evenredig is aan den afstand tot dien evenwichts-
stand. Zooals bekend is, is bij de eenvoudige harmonische
beweging van een punt, de uitwijking van het punt uit
het middelpunt:

wanneer n^ voorstelt de grootte der vertraging, als de af-
wijking van het middelpunt de eenheid is.

Nemen we nu hij ons geval, dat het punt in eene weer-
standhiedende middenstof geplaatst is en een weinig uit den
evenwichtsstand verwijderd wordt, ook aan, dat de vertra-
ging der beweging n^ bedraagt, als de uitwijking weer één is,
en als er eens geen weerstandbiedende middenstof aanwezig
was, dan zou a— — \'n?\' zijn.

Laat verder A voorstellen de grootte der vertraging, welke
het gevolg is van den weerstand der middenstof voor de een-
heid van snelheid. .

In het eerste geval is de amplitude der slingerende be-
weging om den evenwichtsstand

deze neemt dus in opvolgende gelijke tijdsdeelen met gelijke
breukdeelen af, en de logarithmus dier amplitude,

In dit geval heeft men dus, bij eene uitwijking van het
punt uit den evenwichtsstand, te doen met kleine schomme-
lingen om dien stand, en waarvan de amplitude kleiner
wordt. Die evenwichtsstand is daarom stabiel. Wat de duur
der schommelingen aangaat, deze bedraagt:

Ze is derhalve grooter dan wanneer er geen weerstand-
biedende middenstof aanwezig is, wanneer A=:0 is. De
slingeringen zijn echter allen van even langen duur.

Waarin en C^j. noodzakelijk positieve constanten voorstel-
len, daar de uitwijking q steeds geacht kan worden posi-
tief te zijn bij den aanvang der beweging (als ^ =: O is).

De beide termen in bet tweede lid zijn nu positief. Ze
nemen wel af, als de tijd toeneemt, docb alleen voor i — U^
worden ze nul. Dan is dus ook q nul, en bet punt wederom
in den evenwichtsstand teruggekeerd, terwijl hier tevens
uit volgt, dat het nooit aan den anderen kant van dien
stand kan komen, omdat q niet negatief kan wezen.

Voor het overgangsgeval, namelijk als ^^ = ^ ^ is, is de
periode der schommeling ook weer oneindig groot, zooals men
gemakkelijk uit de grenswaarde, die T in het eerste geval
kan hebben, als tot nul nadert, kan afleiden.

§ 9. Als de eenvoudigste toepassing der theorie in dit
hoofdstuk ontwikkeld, kan men nemen het geval van een
materiëel punt, dat zich onder de werking van zekere krachten
in eene cirkelvormige baan moet bewegen.

Nemen we die krachten geheel algemeen zoodanig aan»
dat hunne algebraïsche uitdrukkingen niet beschouwd kun-
nen worden als de afgeleiden te zijn eener zekere functie
der variabelen, dat er dus geen krachtfunctie bestaat, dan
gelden algemeen ie beide vergelijkingen:

eene particuliere integraal dezer vergelijkingen, dan vinden
we na substitutie dezer waarden:

A® is nu reëel en negatief, als a-\\- b^ negatief en ab^
positief en kleiner dan

Zijn deze voorwaarden vervuld, dan is, zooals we gezien
bebben , bet evenwicht van het punt in den stand x,y stabiel.
We hebben gezegd, dat het punt zich in een cirkel zou
bewegen, we hebben dus niet met twee onafhankelijk ver-
anderlijken te doen, maar met een enkele, namelijk met den
hoek dien het punt, van zekeren aanvangsstand af op den
cirkel heeft doorloopen.

als x — T Oos é, y^r Sin ö en r constant is. Uit de boven-
staande vergelijkingen leiden we af:

De evenwicbtsstanden zullen nu overeenkomen met de
punten op den cirkel, waarvoor de versnelling ö nul is.
Stellen we derhalve $ nul, dan vinden we:

Verdraaien we echter vooraf de assen onder zekeren hoek
<p, zoodanig, dat uit deze uitdrukkmg Oos 2 ê verdwijnt,
dan vinden we, daar ö = öj 0 is:

De evenwichtsstanden zijn nu, als c = O dus ^ =; is, in
de punten waarvoor öj =: O, | tt, tt en | tt is. Dit is het
geval als er eene krachtfunctie bestaat; want dan geldt juist
de voorwaarde, dat 3 of f = O is.

Is dit echter niet het geval, dan worden die evenwichts-
standen bepaald door ê^ ~ nul te stellen, waardoor naen
dan vindt:

Zij die waarde van ö, dan konien die evenwichts-
standen overeen met di = tt—, ^ -}" , | tt—

Uit de formule (2) is op te maken, dat er alleen even-
wichtsstanden mogelijk zijn, dus alleen nul kan worden,
.als £ < ± I (|3—ix); deze voorwaarde stemt overeen met
die, welkt, wij hebben afgeleid uit de bestaanbaarheid der
wortels van de determinanten-vergelijking in (1), waar
we vonden, dat

= K by {a—h^y dus:
j (/3—> of £ < ± 2 (jS—«), evenals boven gevonden is.

Verder blijkt ook nog uit formule (2), dat s voorstelt
eene constante kracht, die werkt loodrecht op den voerstraal
van het punt.

zijn niet allen van dezelfde soort, daar alleen in den
eersten en derden het evenwicht stabiel is. Dit blijkt
daaruit, dat, als kleiner dan is, de versnelling posi-
tief is, en als êj grooter dan \\p is, negatief is; zij
is derhalve steeds gericht naar het punt op den cirkel,
waarvoor ê-i =.\\p is. Evenzoo kan men het evenwicht ook
in de andere standen nagaan.

Nemen we nu eerst eens aan, dat £ < ± | (/3 — is, en
bepalen we uit de vergelijking (2) door vermenigvuldiging
met 2 é df de vergelijking der levendige kracht:

De constante C is te bepalen uit de initiale gegevens of
uit eenige andere voorwaarde, bijv. dat öj nul zal zijn, als
het punt ergens op den cirkel zal zijn aangekomen, nemen
we aan in een instabielen evenwichtstand, dan is dit het
geval voor öj = | jt — \\p. We vinden dan voor C:

Na substitutie dezer waarde van C in de voorafgaande
vergelijking verkrijgt men, door ^i = nul te stellen, eene
transcendentale vergelijking in Ö, waarvan de kleinste nega-
tieve wortel ê\' aangeeft, tot welk punt op den cirkel men
een materiëel punt in rust kan plaatsen, teruggaande van
eenen stabielen evenwichtsstand, ten einde het schomme-
lingen om dien stand uitvoere.

Wordt een punt ergens op den cirkel geplaatst tus-
schen het punt van een stabielen evenwichtsstand op een

afstand ■—2 p voorwaarts daarvan verwijderd, en een
punt op een afstand p — ö\' achter dien evenwichtsstand ge-
legen, dan zal het slingeringen uitvoeren.

Buiten die grenzen geplaatst, zal het punt zich steeds
in denzelfden zin blijven voorwaarts bewegen met eene snel-
heid, die periodiek af en toeneemt, en waarvan het kwa-
draat met iedere omwenteling met 2t£ vermeerdert.

Is £ = i —ß), dan vallen de standen van standvastig
en wankelbaar evenwicht twee en twee samen. Het even-
wicht is dan in het algemeen instabiel. Bepaalt men weer
op bovenstaande wijze de constante der vergelijking van de
levendige kracht, zoo vindt men:

Stelt men nu weer öj = O, en bepaalt men de kleinste
negatieve waarde vaa êy, die aan de vergelijking voldoet,

dan vindt men als boven weer de grens, waar buiten men
een punt op den cirkel niet kan plaatsen, zonder dat de
beweging blijft doorgaan, en het punt gaat dan ook voorbij
den niet stabielen evenwichtsstand.

Is f > I {(3—x). dan zijn de punten van stabielen en in-
stabielen evenwichtsstand imaginair. — Op het punt werkt
dan voortdurend eene versnellende kracht; kan nooit nul
worden. Een punt, ergens op den cirkel in rust geplaatst,
komt in beweging en beweegt zich nu eens met meer, dan
weer met minder toenemende, doch steeds met aangroeiende
snelheid. De versnelling dier beweging neemt periodiek
af en toe. De toename der snelheid is zoodanig, dat het
kwadraat daarvan bij elke halve omwenteling met S tt £
vermeerdert.

De tweede vorm der bewegings-vergelijkingen van La-
grange behoort in de leerboeken der mechanica behandeld
te worden.

Terecht zegt Bchell in de inleiding van zijn leerboek
„Theorie der Bewegung und der Kräfte" dat de verdeeling
der mechanica in de leer van het evenwicht en in die der
beweging onlogisch is.

Het is niet doelmatig de toepassingen der differentiaal-
rekening op meetkunde te scheiden van die der integraal-
rekening.

De definitie, die 8turm [Cours d\'analyse § 20) van diffe-
rentiaal geeft, laat te wensclien over.

De toepassing van algebra op meetkunst beboort reeds
vroeg te geschieden, vooral als grondslag eener latere we-
tenschappelijke vorming.

Het voordeel van het gebruik van logarithmen met vijt
decimalen boven die met zeven decimalen wordt overdreven
voorgesteld.

In de meeste leerboeken der analytische meetkunde wordt
de weg der analyse te veel verlaten.

Het gebruik van modellen bij het onderwijs in de stereo-
metrie is in het algemeen af te keuren.

De spectroscopische onderzoekingen op hemellichamen
vereischen een nauwkeuriger kennis van de ahsorptie-stre-
pen des dampkrings.

De methode van Burgue ter bepaling der snelheid van
het licht {Compt. rend. T. 78, p. 1115) verdient geen
aanbeveling.

Ten einde de industrie meer nut trekke van de weten-
schap , moet er meer samenwerking plaats hebben tusschen
de beoefenaars der wetenschap en industriëelen.

Daar de verdeeling der elementen in metalen en niet-
metalen eene kunstmatige is, behoorde deze ook niet meer
in de nieuwere leerboeken der scheikunde gevolgd te worden.

Ten onrechte wordt in de meeste werken over kristal-
lographie bet diklinische stelsel in het geheel niet behandeld.

De hypotliese, dat het binnenste der aarde vast is, is
waarschijnlijker dan die, dat de kern vloeibaar zou zijn.

Het is wenschelijk, dat het aantal vakken, waarin bij
het eindexamen der hoogere burgerscholen wordt onder-
vraagd, zeer wordt beperkt.

«11	Ö12 . ... Cli tr—1 ....	. . . öi r-Fi----
«21	Oia .... «2 r—1 • . . .
a s—	O s—12 . • a 3—1 r—1 ■ ■	. . a s—1J-—1 .. .
a s u	a i . as-\|-l r—l ■ ■	. . «s lr l . .
	... .a„,—1 .. . .	- • Onr i.....

A^ A^—«1	B, K^—b,	(7i A2—Ci
Ai A^—a^	B^ a2 -bi		= 0,
As A^—»3	Bs K-^-bs	CsX\'-Cs