J

Over Rationeele Functies

beboerende bij

een Riemannsch Oppervlak

E. VAN DE KAMER

mmm

mtm

■L\' ,

IT... ,
1\'

i\'s

> ■ \'ï-
... - .^-M-.

OVER RATIONEELE FUNCTIES

BEHOORENDE BIJ EEN

RIEMANNSCH OPPERVLAK

1 I"

„mlS.\'i\'jlg^

1291 5306

OVER

RATIONEELE FUNCTIES
behoorende bij een Riemannsch Oppervlak.

PROEFSCHRIFT

TER VEniiRIJGlNG VAM DEN GRAAD

S Siïlii«

AAN DE JIIJKS-UNIYERSITEIT TE PTRECHT,

NA MACHTIGING VAN D12N HEGTOR-MAGNIFICUS

JD^. -W- E: ^ IE» T E 3Sr,

IIOOGLBERAAR IN DB FACULXEIT DER WiS- EN NATUURKUNDE,

volgens besluit van den senaat der universiteit

TEGEN DE ÜEDENKINGUN VAN DE

FACULTEIT DEE WIS- EN NATUURKUNDE

TE VERDEDIGEN

op Vrijdag 12 Juli 1901, des namiddags ten 2 ure,

DOOR

ELIZABETH VAN DE KAMER,

geboren te MIDDELBURG.

Utrecht,
J. VAN BOEKHOVEN,
1901.

v: .1.

i V-V\' <

r ■ ■

ri- r • \' ,.

^an mijne Puders.

v.. .

5 .

Met vreugde maak ik gebruik van de miß hier aangeboden
gelegenheid, om mijn hartelijke^i dank te betuigen aan de
hoogleeraren in de faculteit der Wis- en Natuurkunde voor
hunne leiding hij mijn studiën en hunne hidp ook huiten de
collegezaal. Dat een groot deel van dien toelgemeenden dank
TI toekomt^ Hooggeachte Promotor, behoef ik TJ loél niet te
verzekeren, TJwe nooit falende helayigstelling in mijn werk zal
bij mij steeds in dankbare herinnering blijven.

1

rj,:.

\'i \'

INHOUD.

Buaz.

INLEIDING..................... 1

HOOFDSTUK I.

Lückonsatz..................... 5

HOOFDSTUK II.

Do vergelijking van het Eiemannsche oppervlak af to leiden uit
do rationeele functies.................48

HOOFDSTUK III.

Fundamentale geheele functies afgeleid uit de vergolyking van
het oppervlak...................70

HOOFDSTUK lY.

Toepassingen op integralen lato^ giß en ßdo soort en rationoelo
functies......................94

■ - J .(-Ù.\' KÏ\' i.-\';

\'v ■ .

, . ... i:

. ■

•i.

ERRATA.

Pag. lU, regel 9 v.o.: _ 3 ;L3 8 l. in plaats van — 3 3 Ag en

„ 114, „ 7 „ A3 —2,3 — 1 — — A2.

4" hVHy-x)- Al(1-4 3^30;
„ 114, „ 5 „ R{x,y) =--------------.

?) 114, „ 4 „ in plaats van h.

„ 115, „ ivb- —— 1 — ^1 ^3

„ 115, 3 laatste regels schrappen.

u li; -ir — — ti-i^

f\' I

«ia (tß-1)i.^ o- ^^ T-. • •

--------. , A U

■Sib

.[A nuv 8jtóBlq nt

. r — I

. £ ,011 ; «

.lifjqq.K\'icI\'jH al\'j^oi 8 ,G1 f

le

■m

INLEIDING.-

Volgens SOHOTTKY (Grelle, Bd. 83, Conforme Abbildung
mehrfach zusammenhängender ebener Flächen) is de stelling,
bekend geworden als de „Lückensatz" door Prof. Weibesteass
behandeld op diens college (Wintersemester 1874—75), toen
hij een theorie heeft gegeven van de algebraïsche functies
en hare integralen als inleiding tot de Abelsche functies.

In zijn verzamelde werken, voor zoover die tot heden
verschenen zijn, komt geen hoofdstuk voor, waarin destel-
ling uitvoerig besproken wordt; slechts in een brief van
3 Oktober 1875 aan Prof. Schwaetz \') wordt ze in het kort
vermeld. Weieesteass schrijft daar het volgende:

„Ist zwischen zwei veränderlichen Gröszen x^y, irgend
eine irreductibele algebraische Gleichung gegeben, so nenne
ich die Gesammtheit der diese Gleichung befriedigende Werthe-
paare (rc,^), das durch die Gleichung definirte Gebilde^
jedes einzelne Paar aber eine Stelle (Punkt) dieses Gebildes.

Es werde irgend eine bestimmte Stelle (a, &) des betrach-
teten Gebildes ausgewählt, so lässt sich leicht zeigen, dass
es unendlich viele rationale Functionen von {x, y) giebt, die
nur an dieser Stelle unendlich grosz werden. Unter diesen
giebt es nothwendig eine vom niedrigsten Grade, — icli

1) Vers. Werke, 13d. II, pag. 235.

2

will eine solche Zj nennen — und es ist klar, dass dann
jede andere von der Form u -j- (i ist, wo a, ß Constanten
bezeichnen. Unter den übrigen, d. h. denen, die von höherem
G-rade als sind, wähle man eine (z^) vom niedrigsten Grade
aus, ebenso eine (zj von denen, deren Grad höher als der
von (z.^) ist u. s. w. So erhält man eine unendliche Reihe
von Functionen:

Zj , , z^,

deren Grade:

V\\1 >\'\'1-, v^, ... .

eine steigende Reihe bilden, und die der doppelten Bedingung
genügen, dass sie alle nur an der Stelle (a, ö) unendlich
grosz werden, und zugleich jede andere Function .e von der-
selben Beschaffenheit sich in der Form:

. 4- ß, 4- «2  • • • ««

darstellen lässt, wo , . . . , «„ Constanten\' bedeuten.

Es lässt sich ferner leicht zeigen, dass in der Reihe der
Zahlen:

v^ , v-i, 1 . . . .

von einer bestimmten an jede um eine Einheit gröszer ist,
als die unmittelbar vorhergehende.

Ist fj 1, so ist die Gleichung f {x^y) = 0 von der
Beschaffenheit, dass sich. alle Werthepaare {x, y) in der
Form:

x = B, {t) y = B, it) 0

1) Ri (.t), R^ (t) stellen voor rationeele functies van t; immers is de
laagst bestaanbare, orde v, = 1, dan is er een rationeele functie s van
de Iste orde mogelyk; een bepaalde waarde z = t verkrijgt die functie
slechts in één punt (x, y) van het oppervlak\', derhalve komt met één
waarde 2; = t ook maar één waarde van x en één waarde van ?/ over-
een; zoowel 2/ als x kunnen dus worden voorgesteld als rationeele
functies van een parameter t.

ausdrücken lassen. In jedem ändern Falle müssen daher in
der Reihe:

«inige ganze Zahlen fehlen, die mit k^ ... . bezeichnet
werden mögen

Durch sehr einfache Betrachtungen zeige ich nun dass:

erstens zwar nicht diese Zahlen k selbst, wohl aber ihre
Anzahl für alle Stellen (a, b) dieselbe ist — ich nenne sie
Q — und

zweitens für alle Stellen mit Ausnahme einer beschränkten
Menge singulärer (und zwar algebraisch bestimmbarer) die
in Rede stehenden fehlenden Zahlen die folgenden sind:

1,2,..

(Hieraus werden Sie erkennen, dass q die Bedeutung hat,
die ich sonst diesem Buchstaben gebe)."

Hoe Weierstrass de stelling bewezen heeft is mij onbe-
kend ; hoogst waarschijnlijk rust zijn bewijs op algebraïsche
gronden, in • aanmerking genomen een gedeelte uit denzelfden
brief, waarin hij zijne opvatting omtrent de behandeling der
theorie van de algebraïsche functiën duidelijk kenbaar maakt.

Hij spreekt zich daar aldus uit:

.... „Je mehr ich über die Principien der Functionen-
theorie nachdenke — und ich thue dies unablässig —, um
so fester wird meine Ueberzeugung, dass diese auf dem
Fundamente algebraischer Wahrheiten aufgebaut werden muss,
und dass es deshalb nicht der richtige Weg ist, wenn um-
gekehrt zur Begründung einfacher und fundamentaler alge-
braischer Sätze das „Transcendente" um mich kurz auszu-
drücken , in Anspruch genommen wird — so bestechend auch
auf den ersten Anblick z. B. die Betrachtungen sein mögen,
durch welche Riemann so viele der wichtigsten Eigenschaften
iilgebraïscher Functionen entdeckt hat. (Dass dem Forscher
-SO lange er sucht, jeder Weg gestattet sein muss, versteht

sich von selbst; es handelt sich nur um die systematische
Begründung)."

Sedert Weierstrass zljn fundamentale stelling uitsprak is
men zich meer en meer gaan bezighouden met het hoofd-
stuk , waarop zij betrekking heeft, d. i. de rationeele functies
behoorende bij een onherleidbare algebraïsche vergelijking

De zaak is op verschillende manieren aangepakt, en de
zoogenaamde Lückensatz met hare toepassingen komen mij
belangrijk genoeg voor, om ze in bijzonderheden na te gaan.

Ik wil dus eerst het bewijs geven van de stelling van
Weierstrass en het aantal en de plaats der ontbrekende
orden zooveel mogelijk nader bepalen; daarna uit een stel
fundamentale functies de vergelijking van het oppervlak
afleiden, waarbij ze behooren, en omgekeerd de fundamentale
functies opzoeken behoorende bij een gegeven oppervlak;
ten slotte met behulp dier fundamentale functies een alge-
meene vorm geven voor de Abelsche integralen en
soort.

Een vrij eenvoudig bewijs van de Lückensatz, dat berust
op de eigenschap van een normaalintegraal soort om
p perioden te bezitten, geeft Baker in zijn „Abelian Func-
tions;" met p wordt bedoeld het geslacht van de vergelijking

Nöther (Grelle, Bd. 92, pag. 301) daarentegen neemt als
uitgangspunt het theorema van Riemann-Rooh , en ofschoon
beiden de zaak algebraïsch opvatten is hun behandeling zoo
zeer verschillend, dat het wel de moeite waard is beide
bewijsvoeringen te beschouwen.

HOOFDSTUK I.

Lückensatz.

§ 1, Beivijs van Baker.

Het is mijn voornemen bij het bewijs van Baker ook diens
notatie te volgen, die uitmunt door groote\'beknoptheid.

Zij gegeven een onherleidbare algebraïsche vergelijking
tusschen 2 variabelen x en y van den vorm:
{x, IX r {X, Ik {x, 1)., .... 1\\=0
waarin (x, voorstelt een algemeen polynomium in .x van
den graad aangegeven door den index X,:; onder onherleidbaar
wordt verstaan, dat het linker lid niet kan worden voor-
gesteld door het product van 2 rationeele uitdrukkingen van
denzelfden vorm, maar van lager graad in y. Kortheidshalve
schryven we die vergelijking in het vervolg f {x, y) = 0.

Men verstaat onder een rationeele functie behoorende bij
het oppervlak f{x, y) = O een functie, die éénwaardig is op
dat oppervlak en een eindig aantal polen bezit van eindige
orde; zoo\'n functie kan ontbonden worden in elementen.

Nemen we de punten (a,, . . ., a^) aan als polen eener
rationeele functie E (a?, y), wanneer n.1. ai voorstelt een
bepaald punt (.cc,-, ?/,) van het oppervlak f{x,y) = 0. Al die
punten (a,, . . ., a^) liggen in het eindige gebied en vallen niet

6

samen met de vertakkingspunten van het oppervlak; mocht
die voorwaarde oorspronkelijk niet vervuld zijn, dan kan
men altijd zorgen, dat er aan voldaan wordt door middel
van een birationeele transformatie. De orden der polen
mogen respectievelijk zijn , > • • • ? ; het principale
gedeelte zij :

L\'^^  . .. . 1 . 2 . . . - 1) (^ZT^J

waarin de A\'s constanten zijn.

Verder stelt rl voor de normaalintegraal 2" soort \'), die
oneindig wordt in het punt a; zooals bekend is bezit ze
alleen perioden aan de doorsneden b van het oppervlak. We
onderstellen n. 1. dat het oppervlak volgens de methode van
Riemann tot een enkelvoudig samenhangend oppervlak is
gemaakt door middel van 2 stel doorsneden; de doorsneden a,
die om de openingen heengaan, de doorsneden b, die uitgaan
van een punt in de doorsneden a en in dat zelfde punt
terugkeeren. (Zie Forsyth, Theory of Functions pag. 366).

Dan is:

V

i = k

E{x,y)-. JS A r:. A, r^. -f . . . Dl\'^ I

i = 1 L

een Abelsche integraal, die nergens oneindig wordt, die
bovendien geen perioden bezit aan de doorsneden a, derhalve
gelijk is aan een constante
Dus mogen we schrijven:

A r:^ A^ D.^ r:^ ....n^
Uit deze fundamentale formule kan vrij eenvoudig de stelling

1) Bakee schryft voor de normaal integraal 2» soort r^\'", wanneer
c het punt is, waar die integraal nul wordt,\' in de volgende beschou-
wingen komt echter die nul niet voor, zoodat het onnoodig is haar
aan te geven.

2) Appell et Goursaï, Théorie des Fonctions Algébriques pag. 254.

van Wbibrstrass worden afgeleid. Immers het rechter lid
van de laatste vergelijking is in \'t algemeen geen éénwaardige
functie, daar de normaalintegralen 2" soort perioden bezitten
aan de doorsneden zal het een éénwaardige functie voor-
stellen, dan moet er aan zekere voorwaarden voldaan zijn.
Die voorwaarden zullen we eerst nagaan voor een eenvoudig
geval, n. 1. voor een rationeele functie, die ^slechts enkel-
voudige polen bezit, k in aantal.

Daaraan moge de volgende definitie voorafgaan.

Een punt a^ is afhankelijk van de punten ttj, a^, . . . , a,
indien voor alle geheele positieve waarden van i van 1 tot^j,
waarin p aangeeft het aantal normaalintegralen P^® soort =
geslacht van het oppervlak, geldt de betrekking:

Sii (a,) Sii («,) -f .Uj («2) . • . . 4- («O-

Daarin stellen ... , ju, constanten voor en iii (a) is de
periode van de integraal T;\' aan de i\'\'" doorsnede b.

Is s — p, dan kunnen we de grootheden u, .. 1.1, bepalen
uit de s vergelijkingen (a^ . . . a, worden onafhankelijk van
elkaar ondersteld).

Is s y p, b. v. s — q — p en q} O, dan kunnen we q van
de grootheden ,a willekeurig aannemen en de overige bepalen
uit de vergelijkingen.

Dus voor s is elk willekeurig punt op het oppervlak
afhankelijk van de punten a^ . . . a,.

Volgens het voorgaande kunnen we een rationeele functie
met k enkelvoudige polen aj . . . a^ voorstellen door:
R {X, = A, r:. ^^ r:, -f ... -f A, r;,

Zal het tweede lid een éénwaardige functie zijn, zooals
behoort, dan moet:

(a,) A., ) . . . A, Sè, (a,) = 0 i=l, 2,..., p.

Hieraan kan niet worden voldaan tenzij eenige van de
punten . . . a^ afhangen van de overige onafhankelijke
punten. Nu rangschikken we de punten zóódanig, dat
«1, «2, . . ., onafhankelijk zijn, «, 1, . • . «i- afhangen

van de overige onafliankelijke punten. Hieruit mogen we
afleiden, dat de volgende functiën éénwaardig zijn:

R, = A\'o Al n Al ... r; Al r:,.
Daarentegen zijn de functiën:
R, = Al r;

= ^^ n r:^ ... r;,

stellig niet éénwaardig; hun aantal bedraagt s, als er s onaf-
hankelyke punten zijn in de groep.

Breiden we nu het aantal punten uit en beschouwen een
groep gerangschikt in de volgorde:

«1, «2, . . . «e.-ïj Q\'ft-y. i • • •  i • • •

\\ ■ • • aQ.,; aq, \\ • • ■ ««n • • •  1 • • •

waarbij we onderstellen, dat de punten:

onafhankelijk zijn, en de onderstreepte punten:

- f, 1 • • • ) «ft - 1 • • • ^ft\'
afhankelijk zijn telkens van al de voorafgaande onafhankelijke
punten.

We hebben nu zooveel\' punten genomen, dat het aantal
onafhankelijke punten juist p bedraagt, derhalve gekozen:

- g,) - g. -(?,) ••• {Qk - qn -Qk-i) =
Qk — — —

en het aantal afhankelijke punten =-gi • • •

Dan zal elk volgend punt üq^ i afhangen van de voor-
gaande onafhankelijke punten, meer dan p onafhankelijke
punten zijn toch niet denkbaar.

We kunnen nu vormen de rationeele functies:
1 AQi — ii } r"

B«, = AS\' 4;_„ 4; r;,^
= n ... i\';«

Daarentegen kunnen:

iï, = 4 4 n-f 4 r:,

ie,. _== - - r^. ... =_ ^

niet éénwaardig zijn tenzij al de coëtiicienten A nul zijn.
D. w. z. voor elk van de onafhankelijke punten ontbreekt er
een rationeele functie, die in dat punt en de voorafgaande
onafhankelijke punten oneindig loordt; er zijn p en niet meer
dan p van die punten, derhalve ontbreken er ook p rationeele
functies, v

Uit de uitdrukkingen voor • • -^fi/,_i kunnen

we:

"C,-?, 1\' • • ^ "C.-?. 1 ••• ^ "«/,_!

oplossen en uitdrukken in de overige r\'s. Na substitutie
van de gevonden waarden vinden we dan een rationeele

10

functie, die oneindig wordt in de punten «j , > • • • > - g^ \'

R (X, = n r:^ . . .  

- 1 - 1 • • • "Q, ^Q, \'\'e. 1 1
■•■ "Q.-9.  "Q.-i. i ^Q.-\'h i

Zal het linker lid éénwaardig zijn, dan moet:

(«l) ■ ■ • fQ,

— i^Qi — ?i) "f" 1  l)

H- • • •  J • • • "Q,-n («ÖA-«/.) = O

i=l, 2, . . ., p.
Dat vereischt == = , . . — = O, omdat onder-

steld werd, dat:

onafhankelijk zijn; en dus wordt de meest algemeene vorm
voor de gezochte rationeele functie:

R{X^y) — /^Ci - 1 -R«. - ï, 1 • . . i\'q, Rq,

  i -^ö.-\'A i • • • "Qk -i ^Qh-v

De functie bevat q^ -f -f ..._]_ _]_ 1 willekeurige
constanten, d. i. evenveel als het aantal afhankelijke punten
bedraagt plus één additieve constante.

§ 2.

Als limietgeval kunnen we beschouwen een rationeele
functie, die slechts in één punt a van het oppervlak oneindig
wordt en wel tot de orde. Die functie kan geschreven
worden in den vorm: -

= A A, n A n ... A„Dr\' r::,
waarin A„ ^ 0.
De voorwaarde, dat R„ een éénwaardige functie voorstelt is:

A^ Si, (a) A, D„ .Qi(a) ...^A„D:-\'Sii(a)=.0

11

Hieraan kan slechts worden voldaan, als een van de
kolommen afhangt van de overige, in denzelfden zin, als in
het voorgaande geval, d. i. indien:

D: (a) == (a) . . . D: \'\' ih (a)
2 \' ii; («) ••• HnDr\' Sii (a).
voor i = 1, 2, . . ., p.

Zoo krijgen we een splitsing der kolommen, sommige,,
die onafhankelijk, andere,, die lineair afhankelijk van de
overige zijn. Als we groot genoeg kiezen bedraagt het
aantal der onafhankelijke kolommen p, nooit meer dan p.
Er zijn dus p waarden van n, die we A;,, . . \\ zullen
noemen, waarvoor geen rationeele functie kan bestaan, in
één punt van het oppervlak en tot één van de orden
/^i, ^"2, . . ., kp oneindig.

In dezen vorm heeft Weierstrass de Lückensatz gegeven
en tegelijk definieert hij het geslacht van een oppervlak, als
het aantal ontbrekende orden van rationeele functies oneindig
in één enkel punt van dat oppervlak.

§ 3.

We kunnen nu aantoonen, dat de index van het laatste
punt, waarvoor geen correspondeerende rationeele functie
bestaat, niet grooter kan zijn dan 2p— 1.

Beschouwen we nog eens de puntenreeks uit § 1, maar
laten voorloopig het laatste punt weg; dan hebben we de
punten:

Volgens de definitie op pag. 7 is een punt a afhankelijk
van de punten , , . . ., b,, wanneer:

^^ («) = (ö,)  (Ö2) • • •  (ö.) . (")

Vermenigvuldigen we die p vergelijkingen respectievelijk

12

met willekeurige coëfficiënten A,, A.^, . . ., Aj, en tellen de
kolommen afzonderlijk op, dan zal blijkbaar:

A, (a) (a) = 0. . ((i)

het gevolg zijn van:

A, (ö,) ^ (ö,) . . . A, (b,) = O

...................(/)

A, (br) A, n, (&,.) . . .  = O

Is omgekeerd het eerste lid van ([i) nul tengevolge van
het bestaan der betrekkingen dan geldt ook de verge-
lijking («) en is het punt a dus afhankeliik van de punten
(b, . . . b,).

Zal er voldaan zijn aan:

S2 (x) = A, .Q, (x) -j-A, S2, (x) ... -h A^ Si, (x) = O
in al de punten a^, a^, ..., dan moeten daarvoor

evenveel lineair onafhankelijke functies van den vorm Si (x)
nul worden, als er onafhankelijke punten in de reeks voor-
komen. Dat aantal bedraagt voor de beschouwde reeks:

- öi - - • ■ •  Q,-,) =

= Qk — g, — .. — Qh — 1
terwijl in dit geval Q/, — . , .—q,^ — 1 == j? — 1 en niet
gelijk \'p, omdat we het punt Qj, — qj, weggelaten hebben.

Uit die lineaire betrekkingen, voor het punt a^),te
schrijven in den vorm:

A (««.-J A («e.-J  = O

kunnen we Q/, — q^— . ... —<?/,— ! coëfficiënten A op-
lossen, zoodat er, slechts p — (Qi, — g, — ... — qn— 1)
overblijven, waarover we vrij beschikken kunnen; dat geeft
dus nog p — (Qk — qi — ... — q^ — 1) functies Si (x) die
nul worden in al de punten a, , . . . Noemen we

het aantal lineair onafhankelijke grootheden Si (x), die ver-
dwijnen in al de beschouwde punten r 1, dan is dus:
T -\\r 1 p ~ {Qu — q^ — ... — qi,. — 1).

13

Zij Q = Q,^ — gy, — 1 het totale aantal punten; 2 4- 1 het
aantal willekeurige constanten, dat optreedt in de meest
algemeene rationeele functie, die de Q gegeven punten tot
enkelvoudige polen heeft, dan is zooals we weten g -j- 1 =
aantal afhankelijke punten vermeerderd met één, dus
(2 4- 1 = g, . . . _)_ 1; en uit het bovenstaande

volgt onmiddellijk:

een uitdrukking voor het bekende theorema het eerst afgeleid
door Riemann (Ges, Werke, 1876, pag. 101) en algemeen
bewezen door Roch (Crelle 64).

Het is bekend, dat de perioden aan de doorsneden h van
het Riemannsche oppervlak van de normaalintegralen
soort op het teeken na gelijk zijn aan de afgeleiden van de
p normaalintegralen 1®\'« soort \'); schrijven we de laatste als
volgt:

\'\' \'y ly

dan gaat na substitutie ii (x) over in:

A (fl (X, y) A.^ (f.^ . . ■ Ap ifp (x,y) = 0.

Die functie wordt nul in 2 ^ — 2 punten, want we kunnen
haar interpreteeren als een toegevoegde van den graad {m — 3),
indien we f {x,y) — O interpreteeren als een vlakke kromme
van den graad. Die toegevoegde snijdt de kromme

f (x,y) = O in hoogstens (2p — 2) punten (behalve de veel-
voudige punten), 2 p — 2 is dus het maximum aantal nullen
van ^^ {X).

Is het aantal punten Q, waar de rationeele functie on-
eindig tot de eerste orde moet worden grooter dan 2 p — 2,
dan is het niet mogelijk er een toegevoegde van den graad
>n — 3 doorheen te leggen; derhalve bedraagt het aantal

•) Appell et Gouksat, pag. 155, pag. 320.

14

lineair onafhankelijke functies fi(co), dat nul wordt in die
punten:

r 1 = 0.

Voor de beschouwde puntenreeks bedroeg het aantal onaf-
hankelijke punten:

Q, — gi — . . . — q, — 1 = — 1;
derhalve wordt er, volgens:

r 1 = p — (Qk — qi — ... — q^ — 1) = 1
in al die punten ééne functie Si (x) nul; hun aantal kan dus
niet grooter zijn dan 2 p — 2, want zooals we gezien hebben
wordt er in meer dan 2 p — 2 punten geen enkele S2 (x) nul;
dus is:

of

hetgeen te bewijzen was.

Uit het bewezene in § 1 en 2 volgde, dat^ orden ontbreken;
alleen bestond nog de mogelijkheid, dat het aaUtal p eerst
werd bereikt, wanneer we een oneindige reeks van punten
beschouwden; uit hetgeen nu is aangetoond, blijkt, dat het
aantal p zich onder een beperkt aantal punten bevindt.

§ 4.

Voorbeeld;

y _ l\'fi\' (x , y) ^^ moge. voorstellen een Abelsche integraal

soort, dan is q>(x,y) = 0 een toegevoegde van den
graad — 3) en we noemen de snijpunten van die toege-
voegde met f (x,y) O «i, «2, . . ., «2^-2; a zij een wille-
keurig punt op de kromme/"(a;, y) = O, dat echter niet mag
samenvallen met een van de nulpunten van (p {x, y) ^ 0.

Er kan dan niet bestaan een rationeele functie, die in de
punten ai, azj.-.a^p-^, a oneindig wordt tot de eerste

15

t

orde; daar het punt a den index 2 p — 1 zou verkrijgen
wordt hier het uiterste geval hereikt, dat volgens de voor-
gaande stelling mogelijk is.

Het aantal willekeurige constanten, dat die functie zou
moeten bevatten is volgens het theorema van Riemann—Rooh:

1—p 1 =p,
Immers t -f 1 is nul, omdat het aantal punten, waar de
functie oneindig tot de eerste orde moet worden grooter is
dan 2 p — 2.

Zal nu:

X Xl Fa^ • • • 4- p - 2 -Ta^j, _ g 4" hp- \\ ^a
een éénwaardige functie voorstellen, dan moet:
h(öi) ... Up-^(a3;,-3)  = ^

Vermenigvuldigen we de vergelijkingen respectievelijk met
coëfficiënten . . . ^^ en tellen de kolommen op, dan moet
blijkbaar:

^ (a) ... -i-A, Si, (a) ] == O

zijn, omdat door de punten «i, . . voldaan wordt aan:

iii (ai) A, Sh («i) . . . ^ (ai) = ü

Al (a2,,_2) A ih (a-ip^z) -j-. . .Ap Sip = 0.

Maar a valt niet samen met een van de punten: .

de toegevoegde (p of wel S2 (x) (zie pag. 13; heeft niet meer
dan 2p — 2 nullen, hieruit volgt dus

u = 0.

])e gezochte functie zal dus enkelvoudige polen hebben,
alleen in de punten ai, . . ., a^p^z en zal zijn van den vorm:
h \'H {x, y)  • .. lp if\'p (so, y) ^

waarin de 9 functies voorstellen afgeleiden van integralen
eerste soort, zoodat zoowel de teller als de noemer een
toegevoegde van den graad m — 3 is; de functie bezit het
behoorlijke aantal constanten.

16

Het punt a hangt niet af van de punten «i, . . ., a3p_3,
wel hangen {p — 1) van die punten af van de p — 1 overige,
immers door p — l onafhankelijke punten is een toegevoegde
van den graad m — 8 volkomen bepaald. Onderstrepen we
de afhankelijke punten, dan kunnen we de reeks aldus
schrijven:

«1, «3, . . ., ttp^i, cip, üpj^i^ . . ., a^p^i, a

zoodat men onmiddellijk inziet, dat elk nu volgend punt af
moet hangen van de voorafgaande onafhankelijke punten.
We kunnen dus wel vinden een rationeel e functie, die
oneindig tot de eerste orde wordt in de punten:

flj, ftj, . . . tt^ p — 2, Cl ^ a\' /

of een rationeele functie, die oneindig tot de eerste orde
wordt in «i, . . . a^p-o en oneindig tot de tweede of hooger
orde in een punt a.

Uit het bewezene volgt:

lil = 1 zoodra iJ > 0.

Want bestaat er een rationeele functie die in één
punt van het oppervlak oneindig wordt tot de eerste orde,
dan stelt (_Ri)" voor n . . . oo een rationeele functie

voor van elke willekeurige orde; er zouden er dus geen ont-
breken, hetgeen in strijd is met de bewezen stelling.

§ 5.

Er zijn {p — (p 1) punten (niet noodzakelijk ver-
\'punten) van het oppervlak f {x, = zóódanig,
dat er een rationeele functie bestaat in één zoo\'n punt on-
eindig tot de p^" orde {p > 1) en in alle andere punten van
het oppervlak eindig.

Dit resultaat en enkele van de volgende zijn afgeleid door
Hurwitz (Math. Ann. 41. pag. 407).

Een rationeele functie, die in een punt a van het opper-

17

vlak oneindig wordt tot de orde, eischt, dat er voldaan
is aan de volgende voorwaarden:

Ai Sii (a) ils D, iii («) ... A Dr\'fii (a) = O
= 1, 2, . . .,

Of wel:

.........Si,(x)

DShix), D ih (pc) ......n(2p{x)

= O voor x = a.

Dp -1 .Qi (X), Dp -KQ^ix). . .Bp-^ Sip [x]

Die determinant kan niet identiek nul worden, omdat er
geen lineaire betrekking tusschen .Qi (x), . . Sip (x) mag be-
staan. In elk geval is er dus maar een eindig aantal punten,
waarvoor een rationeele functie bestaat in één dier punten
oneindig tot de p^" orde.

We weten, dat:

X

indien Vi. . . Vp voorstellen p lineair onafhankelijke normaal-
integralen soort; is v een algemeene integraal soort,
dan mogen we schrijven:

dv

dv \' dx
\'dvy dvi d^v
^ Jv \' dx^

,dxj

dvi d^ V
\'dv \' d¥p\'

Na substitutie wordt:

dv\\^p(p i)
clx}\'^

18

waarin:

is een rationeele functie, die alleen in de nullen van dv

dv

oneindig wordt, de teller dvi kan immers niet oneindig
worden, omdat het de afgeleide is van een Abelsche integraal
soort; ook dv is de afgeleide van een integraal P^» soort
en wordt derhalve in {2 p — 2) punten nul.

Daaruit volgt, dat een, rationeele functie is van de
orde 2 p — 2; zoo wordt alleen oneindig in de nullen
van dv-, wier aantal 2 {2 p — 2) bedraagt; f is dus een

d V

d^ V

rationeele functie van de orde 2 {2 p — 2); eindelijk is ^^^

een rationeele functie van de orde p (2 p — 2); zoodat we
mogen besluiten, dat een rationeele functie is van de orde:

pAp^D (2p-2) = {p - 1) p (p 1).

19

6.

Voorbeeld:

x^ ^ y^ {ax ^hy cy— = S.

De algemeene integraal soort is van den vorm:
Ax -{- By G

f,

waarin A, B, G constanten voorstellen. Voor den teller
kunnen we ook schrijven:

B (f^a {xy) G 3 {x y),
wanneer de cfi functies voorstellen toegevoegden van de orde
m — 3. Dan wordt
n (a; y) ^p {x, y)

....... n

1

B (jri {x y) qa {x, y) ^

liX f

/ w

1

.q.>l{X,y),. ..

fy \' v

Na behoorlijke vereenvoudiging neemt die determinant den
vorm aan:

D q:i, D (f2,

(jP3, . . . Dp-^ Cf>j,

ing van de punten J = O neer-
komt op het bepalen van de punten, waar de kromme:

-een contact van de p\'^" orde heeft met de kromme f{x, y) — 0.

Voor de gegeven vergelijking, waarvoor p = 3, wordt
eenvoudig gelijk aan — aan welke betrekking voldaan
wordt door de buigpunten van de kromme f {x, y) — 0.
Een kromme van den graad zonder singuliere punten

20

bezit 24 buigpunten, dat is juist het vereischte aantal

(j9—l)i?(p 1).

Beschouwen we een bepaalde kromme waarvoor p = 3

die ongeveer nevens-
gaanden vorm heeft.
In de buurt van het
punt X — O kunnen
we ontwikkelen als-
volgt :

en we willen nu construeeren rationeele functies in het punt
rc = O, y = 1 respectievelijk oneindig tot de , en
hooger orde.

Dat de eerste orde ontbreken moet zoodra _p > O hebben
we al besproken; ook de tweede orde ontbreekt in het punt
(O, 1), immers een toegevoegde van de (m — 3)\'^" orde, (d. i.
een rechte voor m = 4), die de kromme in het punt (O, 1)
aanraakt, heeft tot vergelijking y— 1 = 0; een tweede toe-
gevoegde gaande door de 2 overige snijpunten van y — 1 = 0
met de kromme, valt met de lijn (?/ — 1) = O samen, daar
die rechte in dat punt een contact heeft van de 3\'^" orde met
f (Xjy) = O, hetgeen blijkt uit de differentiaalquotienten

dy cl^y d^y ,, , n

di-dé\'dé\'\'\'^\' nul voor !/ = l,x = 0.

• Kiezen we voor noemer een kegelsnede, die de kromme
in het punt (O, 1) aanraakt, dan snijdt die kegelsnede de

21

kromme in nog 6\' andere pmiten; een 2^® kegelsnede door
die 6 snijpunten valt noodzakelijk met de eerste samen,
derhalve geeft ook dit geen oplossingen; zooals hieruit volgt,
zullen ook krommen van hooger orde dan de tweede , geen
rationeele functie geven zooals we zoeken.

Een rationeele functie oneindig tot de tweede orde\'in dat
punt is dus niet te constueeren.

Een rationeele functie te vinden in het punt (0, 1) oneindig
tot de derde orde.

Een toegevoegde van den graad {m — 3) die in dat punt
een contact moet hebben van de tweede orde en er een
heeft in dit geval van de derde orde is ^ — 1=0. Een
willekeurige rechte gaande door een van de 4 contactpunten
heeft tot vergelijking Ax-\\-B(;y —= waarin A en
B arbitraire constanten voorstellen; dus wordt de functie,

00

die we zoeken van den vorm-r B\\ m bevat 2 wille-

y — 1

keurige constanten, waarvan één additieve, terwijl volgens
het theorema van Riemann-Roch dat aantal moet bedragen:

g= 4-(r 1) 4-1 = 3- 3 1 1 = 2,

juist zooals we gevonden hebben.

Als een speciale vorm van de gezochte functie mogen we

CC

aannemen--

y — 1

Een rationeele functie te construeeren in het punt (O, 1)
oneindig tot de orde.

De rechte y —^1=0 heeft in het beschouwde punt een
contact van de derde orde met de kromme = een

willekeurige rechte niet gaande door het punt (O, 1) heeft
tot vergelijking Ax-{-By-\\-G = 0^ dus de functie, die we

A X A- B v G

zoeken krijgt den vorm-——, ; ze bevat 3 arbitraire

y — l \'

constanten, zooals behoort, daar:

=  4-1) 4-1 = 4- 3 2.

22

A cc I C

We vonden, dat-^— voorstelde een rationeele functie,

^ — 1

oneindig tot de derde orde in het punt (O, 1), derhalve
kunnen we als speciale vorm van een rationeele functie in

Ij

dat punt oneindig tot de orde aannemen

Een rationeele functie in het punt (O, 1) oneindig tot de
ö"^" orde is niet te construeeren; immers een rechte kan geen
contact hebben van de orde in het punt (O, 1), daar

dx\' ~

Zal een kegelsnede ax"^ -\\-hy"" -^2gx-\\-2fy-\\-c — 0

in het punt (O, 1) een contact hebben van de orde, dan
moeten we voldoen aan de voorwaarden:
ax^ -\\-2hxy -^hy^ 2gx-\\-2fy = Q

o"

II

dx^ ^ dx dx^ ^ ^ • ^ \' ^ dx^

dx\' dx^ ■ ^ ^ ^ 1 "dx\'\'
We vinden daaruit de volgende waarden voor de coëlïi-
cienten:

a = 0; h = 0\', g = 0-, f= — ö; c = b,
zoodat de vergelijking der kegelsnede wordt:

_ 2 y ^ I == O of (y - ly = O-
ze bestaat dus blijkbaar uit twee samenvallende rechte lijnen
en heeft in het beschouwde punt 8 punten met de kromme
f (x,y) —O gemeen.

Wilden we nu een tweede kegelsnede leggen door 3 van
^de contactpunten, dan gaat die stellig ook door een want
ze wordt voorgesteld door {2 gx by — c) (?/ — 1) = O,

dx^

23

we kunnen dus geen rationeele functie vinden, die alleen in
het punt (O , 1) oneindig is tot de ö\'^" orde. De ontbrekende
orden voor dat punt zijn dus:

= 1, fej 2, A\'s = 5.

Een rationeele functie te construeeren in het punt (O, 1)
oneindig tot de zesde orde.

De kegelsnede {y — 1)^ = 0 heeft in het beschouwde punt
een contact van de zevende orde met de kromme; een
tweede kegelsnede, die in het punt (0, 1) een contact heeft
van de eerste orde, heeft tot vergelijking:
ax\'\' {2 gx ^hy— l){y—
wanneer we n. 1, voor de algemeene vergelijking der kegel-
snede aannemen:

ax\'^ ^2hxy -{-2gx -\\-2fy -\\-l=Q>

zoodat de rationeele functie alleen in het punt (O, 1) oneindig
tot de orde kan worden voorgesteld door:

J^i2gx-^hy—l) {y - l) \'
^ " "" - 2 y 1

waarin X, a, g, h arbitraire constanten zijn. Volgens
Q — (1=P — (r - -1) moet het aantal willekeurige constanten
juist 4 bedragen, daar ^ = 6,^9 = 3, r l= 0, er gaat
immers geen rechte, d. i. geen toegevoegde van de (w — 3)\'^«
orde door de 6 punten.

Als speciale vorm van een rationeele functie in het
beschouwde punt oneindig tot de orde mogen we nemen:

[y - If \'

Een rationeele functie te bepalen in het punt (O, 1) oneindig
tot de zevende orde.

De noemer blijft {y — 1)-, terwijl we den teller verkrijgen
door een kegelsnede op te zoeken, die een contact van de
nulde orde heeft in het punt (O, 1"); die wordt voorgesteld door:
ax^ -\\-2hxy — —

24

zoodat de rationeele functie wordt:

ax^ Jixy 2gx — 1)0/ — 1)
1)"- ^ \'

waarin 5 arbitraire constanten zooals behoort; een speciale

CC "?./

vorm der functie is ^-

0/ — 1)\'

Een rationeele functie oneindig in het punt (O, 1) tot de
achtste orde vinden we in de gedaante:

ax^ hxy ^hy^ gx f y -^l

(?/ - ly-

/2

ir

of meer speciaal ^^ .

Voor rationeele functiën tot hooger orden oneindig moeten
we contact hebben van hooger orde en zullen dus krommen
van de derde en hooger orde moeten gebruiken.

De gevolgde wijze van afleiding, tenminste voor de rationeele
functies van hooger orde dan de 5\'\'®, dient alleen ter ophel-
dering; we kunnen er n. 1. heel gemakkelijk een van de
zesde orde verkrijgen door die van de S\'\'® orde in het
kwadraat te brengen, zoo geeft het product van die van de
derde - met die van de vierde orde een rationeele functie
oneindig tot de zevende orde, enz.

De rationeele functies in het punt x = 0, y=l oneindig,
worden dus:

X y _ x^ xy y"-

—\' —\' \' \' —\' _ 1)2 \' _ 1)2 \' (y/ _ 1)2 \'

X?- y

(y - ly^ \' {y -ly^"-
§ 7.

Bestaat er een rationeele. functie, die in één punt a van
het oppervlak oneindig wordt tot de orde, en verder
overal eindig is, dan zal er in het algemeen geen rationeele

25

functie bestaan, die in dat zelfde punt oneindig wordt tot
de {p orde; immers zou dan tegelijkertijd voldaan

moeten zijn aan:

Al lii {a) D (a) .. . Dp-^Üi {a) = 0 i=\\,2,..p
en

Bl D P.i (a) -Bg D\' Sii (a)-i-. ..Bp Dp .Q; (a) = 0 i=l, 2,..p.

Volgens pag. 17 was die eerste voorwaarde gelijkwaardig
met Jx = ^ voor x = a\\ de tweede komt overeen met

= 0. Evenals voor J, kunnen we voor aan-

toonen, dat ze slechts in een beperkt aantal punten kan
verdwijnen; in \'t algemeen vallen de punten, waar /J = 0 en

waar = O niet samen; zijn echter beide gelijktijdig nul
Ct cc

in één punt van het oppervlak, dan volgt daaruit één
betrekking tusschen de moduli van het oppervlak, wier
aantal dan 3^ — 4 bedraagt in plaats van Sp — 3.

Bezit een kromme van den 4\'\'«\'^ graad en het 3\'\'® geslacht
een osculatiepunt, (Zie § 6), d. i. een punt, waar een rechte
een contact heeft van de derde orde met de kromme, dan
kunnen we construeeren een rationeele functie, die in dat
punt oneindig wordt tot de en een in datzelfde punt
oneindig tot de 4\'\'" orde. Omgekeerd kunnen we uit diè
twee functies, zooals we later zien zullen, de vergelijking
van het oppervlak afleiden in den vorm:

i/ yx{x -{- a) ai x^ -f aj «3 x Ö4 = ü

die slechts p — 4 arbitraire constanten bevat.

Een rationeele functie, die in één enkel punt oneindig
wordt tot lager orde dan de zal in \'t algemeen niet voor-
komen. Daarvoor zou moeten voldaan zijn aan:

Al O; (a) D (a) . . . 4- A, D\' -\' Sii (a) = O

i = 1, 2, ... p terwijl r } p

26

of aan een zeker aantal minoren afgeleid uit de matrix:
-Qi (a) . . . D:-\' Sii (a)

Evenals voor z/^ kunnen we voor elk dier minoren aan-
toonen, dat ze slechts een beperkt aantal nullen bezitten,
die nullen zullen in \'t algemeen niet samenvallen. Doen ze
dat wel, dan bestaan er ook één, of meer, betrekkingen
tusschen de (3 p — 3) moduli van het oppervlak.

§ 8.

In § 3 hebben we aangetoond, dat de index van het
laatste punt, waarvoor geen correspondeerende rationeele
functie bestaat, niet grooter kan zijn dan 2. p — 1. In deze
paragraaf zullen we bewijzen dat de hoogste orde, waarvoor
geen rationeele functie bestaat, die slechts in één punt a
oneindig wordt tot die orde en verder overal eindig is, lager
is dan 2 p.

Laat /tl, voorstellen de ontbrekende orden,

zoodanig gerangschikt, dat Zji < /^s < . . . < kj,.

Vormen we nu den determinant:

O, iix (x),.............

waarin , . . ., constanten voorstellen, en ontwikkelen die
volgens de elementen van de eerste kolom:

V. = Xl m 4- h <P2 (X) -i- ... -h lp q\'p (x).

27

De grootheden, die we hebben voorgesteld door:
qpi (a;), . . ., (fp (x)
zijn afgeleiden van integralen soort; qpi (x) wordt in een
punt x = a nul tot de orde 1), tot de orde

— 1), eindelijk (fp {x) tot de orde {kp — 1).
Want beschouwen we den minor (x):

Si,{x), Si2{x),.......................,-%{x)

D^\' - ^ Si, (a), -1 (a) ,........, - ^ Si, (a)

ZUr-1-1 .(<>1 (a), JD^-I-\'^ Sisia), .. D^v-1"^ (a)
D^. i-i si^ (a), D^r i-i Sis (a), . . D\'^r i-^ Sip (a)

_ D\'p - ^ Sii (a), D\',-\'Si, (a),......... D\'p -\' Sip (a)

Differentieeren we q.^ (x) naar x, dan verandert alleen de
eerste rij van den determinant; in het punt x = a worden
alle afgeleiden van lager orde, dan de (K-iY^ -nul, maar
de afgeleide van de orde kr _ i wordt daar niet nul. Immers:

1". Een afgeleide naar x van lager orde, dan de (^v_
en wel van een der orden — 1), (A;. — 1),...,(/(;,_ i — 1),
geeft een determinant, die voor x = a 2 gelijke rijen ver-
toont en dus nul is.

2». Een afgeleide van een orde lager dan de {K — ,

maar niet van de orde {ki — 1), {k^ — 1)_____ — 1), wordt

nul, omdat zoo\'n Di^ - ^ Sii {a) een lineaire functie is van
D\'\'^-^ Sii(a) . . . D\'r-i ^sii(a). Immers zal een rationeele
functie in een punt a oneindig worden tot de j?\'^® orde, dan
moet voldaan zijn aan:

Sii (a) Ao D Sii (a) Ap D» -1 Sii (a) = O

i = 1, 2, p.

Voor p =ki, . . kp kan niet aan die voorwaarden worden
voldaan, wel voor andere waarden van p. Daaruit volgt
echter, dat Di^ - ^ Sii (a) een lineaire functie is van:
D^-.-i _____ B\'r-^Sii (a),

28

zoodra niet gelijk is aan een der getallen ki, ... we
kunnen dan de afgeleide van de (,« — 1)\'\'® orde herleiden
tot een determinant, wier bovenste rij slechts elementen
nul bevat.

8". De afgeleide van de {K — orde kan niet nul
worden in het punt x = a, omdat ze, afgezien van het
teeken, gelijk is aan den minor van liet element (1, 1) in den
determinant V.^, fin die minor kan niet nul worden de
beteekenis van de getallen ki, .. in aanmerking genomen.

Of afgeleiden van hooger orde in het punt x = a nul
worden is nu onverschillig; we hebben hiermee aangetoond,
dat (fl, {x) in X ~ a een nul heeft van de orde K — 1;
daaruit volgt onmiddellijk, dat qpi (x) niet nul wordt inx = a,
immers ki= l.

Verder wordt (f), {x) nul tot de orde k^ — 1; daar (jf^^ {x)
de afgeleide is van een integraal soort, kan ze nul
worden tot hoogstens de (2 p — 2)\'\'® orde, waaruit volgt:

p — l dus stellig k,, <: 2 p.

Voorbeeld:

yi — O ?/- — 4 = 0.

In het osculatiepunt {x = 0,y = 1) konden we niet bepalen
een rationeele functie van de P\'®, 2\'^® of 5\'^® orde, de ontbre-
kende orden zijn voor dat punt ki= l, = k% = 5 dus
Ki^p.

Bestond er een buigpunt van de kromme, dat niet tegelijk
osculatiepunt was, dan zouden evenais in het vorige geval
de rationeele functies van de en orde ontbreken,
bovendien zou er geen rationeele functie van de orde
bestaan. Immers, daar het punt geen osculatiepunt is, kan
een rechte geen contact geven van de B"!® orde; construeeren
we een kegelsnede, die in dat punt een contact heeft van
dfe 8\'\'® orde, dan snijdt die kegelsnede de kromme in nog 4
andere punten, waarvan echter twee in het buigpunt moeten

29

vallen immers elke kegelsnede, die in het bnigpunt 4 punten
met de oorspronkelijke kromme gemeen heeft zal er nood-
zakelijk 6 in dat zelfde punt met de kromme gemeen hebben;
een tweede kegelsnede, gaande door die 4 snijpunten zal
geheel met de eerste samenvallen, dus is voor het bnigpunt:
= 1; 1^=1 2-, A3 = 4.
In een punt, dat noch osculatiepunt, noch bnigpunt is,
ontbreken de rationeele functies van de 2\'^® en orde;
want wilden we b. v. construeeren een rationeele functie in
dat punt oneindig tot de 3\'^® orde, dan zouden we gebruik
moeten maken van een kegelsnede, die in dat punt een
contact had van de 2\'\'® orde met de kromme; die kegelsnede
heeft nog 5 snijpunten met de kromme, maar leggen we
een tweede kegelsnede door die 5 punten, dan valt ze
noodzakelijk met de eerste samen, derhalve ontbreekt de
rationeele functie in dat punt oneindig tot de orde.

Nu is voor dit geval = 1, /co = 2, = 3 . dus ook
K < 2 P.

§ 9.

Indien A\'o > 2, d. w. z. als we niet to maken hebben met
een hyperelliptische vergelijking, dan is:

/h 4- . ■ . pl
Hoe groot die som is voor de hyperelliptische vergelijking
kannen we gemakkelijk berekenen, de hyperelliptische ver-
gelijking is gekarakteriseerd door het bestaan eener rationeele
functie in één enkel punt oneindig tot de 2\'\'" orde dus
bestaan ook alle orden, die veelvouden zijn van 2; dan is:

. . . = 1 4- 3 4- . . . 2 p - 1 =
Nemen we aan, dat de laagste orde, waartoe een ratio-

1) Zie Bakek, pag. 80.

30

neele functie in één enkel punt oneindig wordt de m\'^^ is;
dan kan er niet bestaan een rationeele functie van de orde
k,. — m, want daaruit zou de bestaanbaarheid volgen eener
rationeele functie van de orde A;,.; evenmin kan een der
getallen •/ci, k^. ... een veelvoud van m zijn.

Zij nu Ti een van de onbestaanbare orden en wel de
hoogste, die congruent is met i voor modulus w. Dan is
Ti = I m -]- i en de getallen ri-—m.,Yi — 2 m,..., w ,
die alle kleiner zijn dan r,, moeten voorkomen onder de
grootheden k^k^. Geven we nu aan i alle waarden
van 1 tot m — 1, dan zal het tafeltje:

1, 1 «z, 1 4- 2 w, . . . , ri

2, 2 4-w, 2-f2w,...,r2

m — 1, (w — 1) m, (w — 1) 2 m, . . . ,

alle getallen fei, . . ., kp en geen andere bevatten; immers is
Ti = I m i, dan kan er geen orde V -m % bestaan,
waarin < A, omdat uit het bestaan dier laatste orde, in
verband met de m^® orde, de bestaanbaarheid zou volgen
der orde X m i.

De onderstelling, dat twee getallen in het tafeltje hetzelfde
zouden zijn, leidt tot een ongerijmdheid; was b. v.:

am 1 = 0^ 3

dan zou (h — a) m 2 zijn en daar 2 het verschil is van
2 getallen, die elk kleiner zijn dan m, kan dat nooit een
veelvoud van m zijn.
Het aantal in het tafeltje voorkomende orden is:

V =
of

m p = (n -1 -f m) (rs - 2 m) ... (?\'„, -1 - -1)

m {m — 1)

\' V J l m

... _ 1 = mp —

31

Voor de som der onbestaanbare orden kunnen we schrijven:

Ti {Ti — m)-\\- . . . -j- (m i) -f i

J —1

(n w—

7,1—\\

2 iiV 2mi~a

\' 2m; = i
Nu is:

\'«-1 . ^ m (m — 1). .3 ^ 1 ^^^ __ ^^ ^^ ^^^ _

t = 1 ^ i =. 1 O

waardoor het bovenstaande overgaat in:

1 m — \\

^ 2 m i^x

m (m — 1) — (m — 1) (2 m — 1).
Substitueeren we nog in den tweeden term de voor

OT —1

^ Ti gevonden waarde:
i = 1

m — 1

ri — {2p—\\)

1

X2 - 1) 1)

of

—-^(m —l)(m —2).

. Bereikt r; de maximumwaarde 2 p — 1, dan wordt:
2 p — 1 — r; ^ O;
blijft n beneden het maximum, dan is 2 p—l — r,- > O, dus

1 m—\\

de term r,-

2 m i = 1 \'

Is nu m > 2, dan is -g- (m — 1) (w — 2) ook een positieve
grootheid en dus

32

Sluiten we het geval, dat ^ = 0, uit, dan kan m niet
gelijk 1 zijn. Is m = 2, dan is noodzakelijk > 2, dus is
niet Si < p^. Immers uit het bestaan eener rationeele functie
oneindig tot de tweede orde in één enkel punt, volgt het
bestaan der functies van alle even orden, er blijft dus voor
de getallen ki, . . . , kp niet anders over dan:

1, 3, 5,..., 2 p — 1, wier som =

Hetzelfde resultaat geeft ook de formule:

1 OT-i 1

daar voor dit geval zoowel de tweede als de derde term
nul is.
Voorbeeld:

y* — (x — a) {x — b) (x — c) {x — d) (x — e).

Volgens de formule van Riemann is het geslacht van deze
vergelijking 6. De kromme door de vergelijking voorgesteld
heeft dus geen dubbelpunten.

In een gewoon punt kunnen we construeeren rationeele
functies, die respectievelijk oneindig zijn tot de orden 7, 8, 9,...,
de ontbrekende orden zijn dan 1, 2, 3, 4, 5, 6, wier som
inderdaad

In de punten, waar J = O wordt (zie pag. 17) bestaan
ih \'t algemeen de orden 6, 8, 9, . . . , de som der ontbre-
kende orden is dan 1 2 -f 3- 4 -f 5 7 = 22, ook.< p".

Tenzij we bijzondere betrekkingen aannemen tusschen de
Qp — \'S moduh van het oppervlak, kunnen zich geen andere
gevallen voordoen. Maar ook dan nog blijft de som steeds

< want is b. v. ^ = O tegelijk met /J =: O, (zie pag. 25)

Ct CV ^

dan is de som der ontbrekende orden:
^ 1 -f 2 3 4 5 8 = 23 nog < <

§ 10-

33

Er zijn minstens 2 -f- 2 verschillende punten, waarvoor
rationeele functies bestaan in een van die punten oneindig
tot de of lager orde en verder overal eindig.

In een nul van had qpi (x) een nul van de —•
orde, qj2 (x) een nul van de (h — orde enz.; blijkbaar
zijn de orden van al die nullen verschillend. Daaruit leiden
we af, dat er geen homogene lineaire betrekking kan bestaan
van den vorm:

gji (x) «3 (jp2 (fl?) . . . (fp {x) = O
waarin de grootheden constanten voorstellen. Daar :

gedelinieerd zijn als afgeleiden van p integralen soort
is dus:

lil J <Pi (x) dx ^ ,«2 (x) d X -i- ... -j- ^ip I cpp (x) d X

weer een Abelsche integraal soort en wel een algemeene.
We kunnen dus Sii (x), . . ii^ (x) uitdrukken als lineaire
functies van q)\\{x), ... , cfp (x) b. v.:

üi (x) = Ci^ 1 (jta (X) -f Ci,2 <f2 («;) ... C;,^, {x)
1,2, .. .p.

Door substitutie van deze waarden in den bekenden deter-
minant /Jx gaat deze over in:

n{x), ,...............

D^ (pi (x), D^ <13 ,........., D,qjp(x)

O

Dr\' fl (x),Dr\' f2 (x),... Dr\' (x)
waarin 0 voorstelt de determinant van de coëfficiënten c.

De determinant heeft in elke nul van^^ een nul van
de orde:

(ki~l) ... (kp-p) = ki /c, ... ft,- -U(i> 1).

34

De C is een constante, dus volgt hieruit, dat /J^ in elk
van zijn nullen verdwijnt tot de orde:

/Cl . . . I P{P -h 1)

of indien k^ 2 tot een orde kleiner dan ^ p (p — 1), dan

is immers ki k^ 4- kp ( pl

Laat er r verschillende punten zijn, waarin z!^ nul wordt
en noemen we de orden respectievelijk:

, m-j, ... , nir,

dan weten we:

mi 4- nh . . , mr = (p — 1) p {p 1).
Ook is nu: ^

mi m.^ . ••• = r . p (p — 1)

dus: ry2p^2.

Bestaat er een functie oneindig tot de orde in één
enkel punt, is dus Ag > 2, dan is ki k^...-{- kp ^ p"^,

derhalve heeft z/^ nullen van de orde p (p — 1) en uit

het bovenstaande volgt, dat dan het aantal r juist 2 p 2 is.

§ 11.

We kunnen nu voor verschillende waarden van p vindèn
de orden A, tot welke z/^ verdwijnt, uit de vergelijking:

Daarna uit:

mi 4- m^ . . . 4- m, = r . l
de waarde van r, d. i. het aantal verschtllende punten, waar-
voor een rationeele functie bestaat oneindig tot lager orde,
dan de {p -f- AVe vinden dan het volgende tafeltje:

35

Geometrische
beteekenis.

onbep.

10

12

36

Voor de kromme van geslacht 4 b. v. lezen we uit dit
lijstje het volgende:

Bestaat er een rationeele functie, die in één enkel punt-
van de kromme oneindig wordt tot de tweede orde, en
verder overal eindig is, dan zijn er niet meer dan 10 ver-
schillende punten, waar functies voorkomen, die oneindig
worden tot lager orde dan de {p en die zijn van de
orden 2 en 4. • Op die kromme zullen bovendien voorkomen,
gewone punten, wier aantal r, zooals we zien, onbepaald
blijft.

Zijn de ontbrekende orden 1, 2, 4, 5, dan zijn er 30
verschillende punten, waarvoor rationeele functies oneindig
tot lager orde dan de {p -f- bestaan; maar er zijn er
ook 30, als de ontbrekende orden in één punt zijn 1, 2, 3, 6,
die twee gevallen kunnen zich dus op éénzelfde kromme
voordoen; bovendien kunnen er op die kromme gewone
punten liggen, waarvoor de ontbrekende orden zijn 1, 2, 3, 4.

De nu volgende tafel geeft de verschillende mogelijkheden
voor i? — 2, 3, 4, 5, 6, 7; de eerste kolom geeft aan het
geslacht; de tweede de verschillende gevallen, indien (1&
laagst bestaande orde is de tweede; enz.

■ \' -./\'s

) \' /

38

1, 2

1, 2, 4
1, 2, 5

1, 2, 4, 5, 7, 8
1, 2, 4, 5, 7, 10
1, 2, 4, 5, 8, 11

1, 2, 3, 5, 6, 7

1, 2, 3, 5, 6, .9

1, 2, 3, 5, 6, 10

1, 2, 3, 5, 7, 9

1, 2, 3, 5, 7, 11

1, 2, 3, 6, 7, 11
2, 3, 4, 8, 9

2, 3, 4, 7, 9

2. 3, 4, 7, 8

2, 3, 4, 6, 11

2, 3, 4, 6, 9

2, 3, 4, 6, 8

2, 3, 4, 6, 7

1,-2, 4, 5, 7, 10, 13
1,2,4,5,7, 8,11
1,2,4,5,7, 8,10
1, 2, 3, 5, 7, 9, 13
1,2. 3, 5,7,9,11
1,2, 3, 5, 6, 9, 13
1,2, 3, 5,6,9, 11
1,2, 3, 5, 6,7,11
1, 2, 3, 5, 6, 7, 10
1,2, 3,5, 6,7,9

89

1, 2, 3, 4, 5, 6, 13

1, 2, 3, 4, 5, 6, 12

1, 2, 3, 4, 5, 6, 11

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10

1, 2, 3, 4, 5, 6, 9

1, 2, 3, 4. 5, 6, 8

40

Het is wel duidelijk, dat er eenig verband moet bestaan
tusschen het aantal mogelijke gevallen voor verschillende
waarden van p, het is mij dan ook gelukt een bepaalde
betrekking op te sporen.

Is de laagst bestaanbare orde de {p dan is voor
elke waarde van p het aantal mogelijkheden gelijk aan de
éénheid.

Is de laagst bestaanbare orde de jö\'i«, dan is dat aantal
voor opklimmende waarden van p: 1, 2, 3, 4, 5, . . .; die
getallen vormen een rekenkundige reeks van de orde.

Is de laagst bestaanbare orde de {p — dan wordt
het aantal (Zie het lijstje op pag. 42):

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 56, . . .
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...

een rekenkundige reeks van de 2\'^« orde.
Is de laagste orde de {p — 2)\'^®, dan wordt de rij:

1,2,6, 10, 17, 28, 44, 66, 95, . . .
4, 7, 11, 16, 22, 29, . . .
3, 4, 5, 6, 7, . ..

een rekenkundige reeks van de 3\'\'® orde.
Is in \'t algemeen de laagst bestaanbare orde de:

{p — {n < p),

dan vormen de getallen, die het aantal mogelijkheden aan-
geven voor opklimmende waarden van jj, een rekenkundige
reeks van de {n 1)®\'® orde.

Dat de eerste getallen van elke rij niet tot de rekenkundige
reeksen behooren is terstond in te zien, als men het ontstaan
dier getallen nagaat; de rekenkundige reeks van de 3*1® orde
begint eerst met den 3\'\'\'» term en elke volgende reeks be-
gint 2 termen verder.

41

De reeksen zijn zeer gemakkelijk uit elkaar af te leiden,
daar steeds de reeks van de orde de rij der eerste ver-
schillen vormt van de reeks van de (q orde.

In de volgende tafel geven de getallen in de kolom
aan de waarden van die in de andere kolommen het
aantal mogelijke gevallen voor de daarboven aangegeven
laagst bestaanbare orde.

42

43

^^ARE ORDEN:

10. 11.

§ 13.

44

Een ove>rzicht van het bewijs, dat Nötheii geeft voor de
stelling van Weierstrass moge hier volgen; een en ander
daarover is te vinden in Crelle, Bd. 92, pag. 303 en Bd. 97,
pag. 223.

Nöther spreekt de Lückensatz aldus uit:
Onder de rationeele functies gedefinieerd door de onher-
leidbare algebraïsche vergelijking f (.x, y) = 0 bestaat er geen,
die in één enkel, maar willekeurig gekozen punt van /"(.-r, y) — ^
oneindig wordt tot de orde ,u 1.

Zij q 1 het aantal willekeurige constanten, dat optreedt
in een rationeele functie, die in /t willekeurige punten van
f (x,y) — O oneindig wordt tot de orde, dan kunnen
Ave die rationeele functie schrijven:

^ ^ «O n -f «1 (j^\'i . ■ . <hj^ ^ «1 (jPi ■ • • «y q,/
^ \'ifü "

Avaarin voorstelt een toegevoegde kromme van den graad
(m — 3) gaande door de ^ gegeven punten •, . . . stellen
voor toegevoegden van denzelfden graad als ^^ gaande door
de overige 2^ — 2 — snijpunten van met /"(x, y) = 0.

Nemen we nu aan, dat slechts in een enkel punt a nul
wordt en daar tot de orde, terwijl /< het kleinste getal
is, (u < p -f 1) waarvoor dat in een willekeurig punt van
f (x, ?/) = O mogelijk is.

In dat geval kan q niet anders zijn dan 1. Immers was
^ > 1, waren er b. v. 3 constanten-, dan zouden we een
toegevoegde van de (m — 3)^® orde kunnen leggen door het
punt a en we hielden dan nog 2 willekeurige constanten
over, derhalve zouden we een rationeele functie:

«u f\'o «1 <iPi
<ï\'o

verkrijgpn, die alleen in het punt a oneindig werd, maar tot

45

de — lyt" orde, terwijl we toch de als de laagst
mogelijke orde aannamen.

De onderstelling g < 1 zou leiden-tot E^ = G, dat is niet
langer een rationeele functie.
Er blijft dus over g = 1.

Volgens het bekende theorema van Eiemann—Roch uitge-
drukt in de formule Q — q = p — (r 1) is nu het aantal
lineair onafhankelijke functies qp, dat nul wordt in het punt a
tot de orde juist j?) — .u 1 en zooals we weten (zie
pag. 12) komt dat aantal overeen met — 1 lineair onaf-
hankelijke condities.

De condities, waarop de kromme in het punt a een
contact heeft van de (,« — orde met f{a\', y).— O schrijven
we als volgt:

1) = O; 2) (d .p)„ == O; 3) 2 {d (p)« (cf- (,,)„ = 0;...
.. . 4- (« - 1) {cl -f . .. (cZ^-S)« = O

waarbij wordt ondersteld, dat de differentiaal-quotiënten

If • il S\' \' • • f{x, y) = 0.

Echter stellen de eerste (« — 1) vergelijkingen reeds — 1
onafhankelijke condities voor; want nemen we aan, dat die
vervuld zijn en onderstellen, dat ze mijider dan — 1 onaf-
hankelijke voorwaarden in zich sluiten, dan moeten er in
het punt a meer dan p — .u -f 1 lineair onafhankelijke
functies nul worden tot de {li — l)®\'" orde; volgens het
theorema van Riemann—Roch was dan > 1 en we zouden
een rationeele functie verkregen, die in het punt a oneindig
werd tot de (,« — l)®\'® orde in strijd met de onderstelling,
dat de laagst mogelijke orde is.

Derhalve stellen de eerste — 1 vergelijkingen ook u — 1
onafhankelijke voorwaarden voor en is de daarvan een-
voudig het gevolg.

• Nu was a een willekeurig punt van f {xy) — O, de
redeneering blijft dus gelden, indien we een oneindig dicht

46

bij a gelegen punt op de kromme beschouwen, Daarvoor
zijn de ^ voorwaarden:

1) gv, -\\-id 9)« - 0; 2) 2 (d {d\' q,), = 0. ..

. . . - 1) n C" — 1) (d iv)a . . . (d\'^-\' q-X = O

,u) u ,« (d (d^ ^ 0.

Ook hier vertegenwoordigen de eerste (,u — 1) vergelijkingen
(fl — 1) onafhankelijke condities, terwijl de laatste daarvan
het gevolg is.

Zoo voortgaande komen we tot het volgende resultaat:

Zoodra (r = O; — . . ------^ O in een willekeurig

punt a, dan js ook:

dx^-^\'~ \' dx\'\' ~ \' ^

tot de differentiaal-quotiënten van oneindige orde toe.

Maar dan valt ook de kromme van den (m — 3)\'\'"" graad
samen met de kromme f\'(x, y) = O en is dus f (x^y) = {)
geen onherleidbare vergelijking, zooals toch het geyal moet
zijn. Derhalve is ook < p -f 1 eeji onmogelijkheid voor een
willekeurig gekozen punt.

Hieruit volgt, dat wanneer we alle rationeele functies
opzoeken beboerende bij de onherleidbare algebraïsche ver-
gelijking /■(.«,?/) = O, die in een willekeurig gekozen punt
(een eindig aantal punten uitgezonderd) oneindig worden tot
de orde, de orden ^t = 1, ... p ontbreken, alle orden
kunnen bestaan.

Immers voor ;u > jj is r 1 — O en het aantal willekeurige
constanten dat 1 stellig ^ 1.

Nöther toont nu aan, dat er voor elk punt (d. w. z. ook
voor het eindige aantal punten, dat we uitgezonderd hebben)
eenzelfde aantal orden niet kan bestaan. Terwijl echter
Weierstrass het geslacht p definieert , door het aantal ont-
brekend^. orden, bewijst Nöther omgekeerd, dat er steeds

47

■p\' orden ontbreken en dat het getal p\' gelijk is aan het op
een der bekende manieren gedefinieerde geslacht p.

Uitgaande van de stelling van Riemann—Roch gebruikt hij
daartoe scharen van puntengroepen op de kromme f{x, y) = O,
daarby onderscheidende bewegelijke en vaste, d. w. z. van
de parameters der schaar afhankelijke en onafhankelijke
punten.

Op dat bewijs zullen we hier niet verder ingaan, daar dan
een uiteenzetting over die scharen van puntengroepen (zie
Math. Ann. VII; Crelle, Bd. 98, pag. 275) niet zou kunnen
ontbreken, die ons te ver zou voeren.

HOOFDSTUK H.

De vergelijking van het oppervlak af te leiden
uit de rationeele functies.

§ 1.

Zij On een rationeele functie alleen oneindig tot de N\'^"
orde in een willekeurig punt (x\'o, y^) van het oppervlak
f(x, y) = 0 en verder overal eindig. Noemen we a\' de
laagst mogelijke orde, waartoe een rationeele functie in dat
punt oneindig kan worden, dan kunnen we alle werkelijk
bestaande rationeele functies oneindig in het punt (ito, yo)
voorstellen door g^a h waarin i < a. Het aantal ontbrekende
orden was eindig, derhalve zal i alle waarden aannemen van
i = 0 tot i = a — 1.

Laat ,ui a i de laagste orde voorstellen congruent met i
voor modulus a; en beschouwen we de volgende rationeele
functies:

9ni i/^a « 1 ) Ö\'ft, « 3, ■ . . _ 1 rt (a - !)•

Is nu m a i een van de bestaanbare orden, dan kan
volgens de onderstelling m niet kleiner zijn dan ; we kun-
nen dus een constante l bepalen, zoodanig dat:

(J,aa i = A^r™"\'\'; g^.a i di^a j\'
waa|:m ,(t a ; < m a i.

49

Behandelen we g^a j op dezelfde manier en gaan zoo
voort, dan komt er ten slotte een vergelijking van den vorm:

gma i = -f -B „ 1   3 "f • • •  _ i « (« -1),

waarin de coëfficiënten A^ B, . . K geheele functies zijn
van ga.
Voorbeeld:

• f {X, IJ) = — O ~ x\' 4: = 0.

Op pag. 24 hebben we gevonden voor de rationeele functies
alleen oneindig in het punt x = O, y = 1 van het oppervlak:

X y

y-V\'-y-V
___ X y _ y^

^ {y - 1)^\' ~ (y - 1)\'\' ~ (2/ - 1)^\'

^^ y cc y^ y^

= (^-il-1)3; ö\'io = ; - ; gn = jy.

Dus is:

x\'

ga = g^ =

y~V

x

^ y—l y — l\' .2/ —1.

\\j

waarin i, if, jV, P constanten zijn.

Noemen we r een willekeurige bestaande orde, dan kunnen
we dus het volgende stel vergelijkingen neerschrijven:

f/, = „ 1 . . . iTi _, a (a — 1)

g\\ =   i . . .  « (a — 1)

= Aa-l   ■ ■ ■ - 1 1 « — 1-

4

50

Zijn die vergelijkingen lineair onafhankelijk, dan kunnen
we daaruit de (a — 1) onbekenden:

fi\'lü, fl 1 5 ■ • • , 9iJ.a _ 1 « (a — 1)

oplossen, d. w. z. ze uitdrukken in (/« en g^.
B. V.:

C/r-, Cl ....... ifl

9r — , Ca ....... K<i

Qy., a 1 =

1

Ba — \\i Ca_i, . . . —1

ö\'r \'-A-1, ----

of in \'t algemeen:

g^.a i = {gr —Al) Qi,i -\\- {gl — A) Qi,^ . . .

De ^\'s zijn functies van (7„, maar niet noodzakelijk geheele
functies.

Zijn daarentegen de \'vergelijkingen niet Hneair onafhan-
• kelijk, dan zullen er een of meer betrekkingen bestaan van
den vorm:

Pl {g, - Al) P, {gl - A) •.. C^r\' - A -i) - O,
waarin Pi een geheele rationeele functie in ga voorstelt; of:

P.-igr\' Pfl-2 gr\'

indien:

- [Pl P„_i A_i] = P
Zij de orde van P«_i in ^f«: ; die van P„_3 enz.;
dan is de orde tot welke een* term Pi.gl oneindig wordt in
het punt x,^ n^:

a Ik \'I\' k-

Die van P^.- ^/f is:

a r k\'.

Nemen we aan, dat P^. g\'\',! een term is van dezelfde orde

51

als Pkgl, zooals er minstens één moet voorkomen, dan is:

a h -{- r k = a -f r k\'
a{l,-U.) = r{k\' -k)
_ h — h.
a ~~ k\' — k \'

Zoowel k als k\' is kleiner dan a, dus ook hun verschil,
dan is het duidelijk, dat r en a een gemeenschappelijken
factor moeten bezitten.

Nu keeren we de zaak om en stellen, dat zoodra a en r
relatief priem zijn, het stel vergelijkingen hneair onafhan-
kelijk is, hetgeen uit het voorgaande gemakkelijk is af te
leiden; in het vervolg kiezen we nu altijd zóó, dat r relatief
priem is met a, dan kunnen we elke rationeele functie:

a 1 , • . • , _ 1 a (« - 1)

uitdrukken in Qa en gr.
Uit de betrekking:

gma i = A B g^j^^a l • ■ • ^//i^a _ i « (a - 1)

volgt onmiddellijk, dat we ook elke rationeele functie, die
alleen oneindig wordt in het punt {x^ y^) uit kunnen drukken
in g„ en gr, immers als het stel vergelijkingen op pag. 49
lineair onafhankelijk is, dan kunnen we daaruit:

9lJL,a -Ly • • • ) ffl^a — 1 « (« - 1)

oplossen, Maar ook g" is éen rationeele functie, dus:

gr = A -f i . . .  

waaruit volgt:

X ii ^r\' • . • 9r 4- 0.
L\\, L.2, ..., L„-\\ zijn geheele functies van ga, maar L
kan niet anders dan een constante zijn, omdat gr alleen
oneindig wordt, wanneer g„ oneindig wordt. Met elke waarde
van gr correspondeeren r punten van het oorspronkelijk
oppervlak, waarin g^ die bepaalde waarde aanneemt; in het

52

algemeen dus ook r waarden van omdat slechts voor
bijzondere gevallen de waarde van g^ in 2 punten hetzelfde
is. Dus is de hpogste macht tot welke g^ in de vergelijking
voorkomt de r\'\'®, wordt in het punt {x^ y^) oneindig tot
de orde a X derhalve kan geen anderen coëfficiënt
hebben dan een constante.

De gevonden vergelijking is onherleidbaar, er kan immers-
geen betrekking bestaan van den vorm:

■ L,gl-\\-  L^-^gl-\' . . . i« = O,

waarin k <^a.

Ze stelt dus voor een Riemannsch oppervlak, waarvoor
ga en gr de onafhankelijk en de afhankelijk veranderlijke zijn.

Elke rationeele functie, die oneindig wordt in een ander
punt van het oppervlak b. v. in {x^ y^) tot de orde rj ,
kunnen we door vermenigvuldiging met een of meer factoren
van de soort {ga — E^ y» omzetten in een rationeele functie,
die alleen oneindig wordt in het punt {x^ y^) van het opper-
vlak , wanneer n. 1. ga — in het punt x^ y^ een nul bezit
van de P\'® orde.

Willen we b. v. de rationeele functie ---------^, die in het

y—l\'

punt x — 0, y l van het Riemannsche oppervlak voor-
g,esteld door y^ — h y"- — -)-- 4 = O oneindig wordt tot de
orde omzetten in een rationeele functie, van de soort

f 2\' ^^ X = O, y = 2 van datzelfde opper-

vlak oneindig wordt tot de 4\'"® orde, dan moeten we stellen:

y

Xy-^VyZl
en dus vermenigvuldigen:

X

y — l\\y-2

Dus kan elke rationeele functie worden omgezet in een

53

rationeele functie, die alleen oneindig wordt in het punt
(xo yo) van het oppervlak en kan dus worden uitgedrukt als
functie van Qa en g,.. Derhalve stelt:

voor een Riemannsch oppervlak, waarin het oorspronkelijk
birationeel kan worden omgezet. Kunnen we de transfor-
matie vinden, waardoor de vergelijking in g„ en g,. overgaat
in een vergelijking in x en ?/, dan hebben we dus uit 2
bestaande rationeele functies ga en gr {a relatief priem met r)
de vergelijking van het oppervlak afgeleid.

Het getransformeerde oppervlak bezit een vertakkingspunt
in het oneindige, waardoor alle bladen van het Riemannsche
oppervlak heengaan.
Immers:

waarin Li. . . L„ geheele functies voorstellen van g^, maar
L een constante is, dus:

i Ö\'r {Qa, l)l ~ ^ 4- . . . {ga, 1), _ 1 gr (ö\'« , l)r.

Stel gr = — dan gaat de vergelijking over in:

V X

1

= O

______ n/\'a rp\'r

L x"- ... (!, x\')r y\'" — O \'\' •

Voor x\' = 0 of = 00 vinden we = O, d. w. z.y\' = Q
of wel gr — co] er zijn dus a gelijke waarden ^r,. = oc, of
door het vertakkingspunt in het oneindige gaan alle a bladen
van het Riemannsche oppervlak.
De functies:

(1 ) ö\'ft, a 1 , i/ft, « 2 , • • . , _ rt _ l)

vormen een fundamentaal systeem geheele functies t. o. v.
de vergelijking:

i • ■ . i« - 0.

...

W

54

Alle rationeele functies op het oppervlak kunnen in dat
stel functies worden uitgedrukt en wel zóódanig, dat aan de
dimensievoorwaarde is voldaan.

Die laatste uitdrukking eischt echter eenige verklaiing.

De dimensie eener geheele functie (onder een geheele functie
te verstaan een rationeele functie, wier polen alle liggen in
de punten x = ca van het oppervlak) wordt gebruikt door
Hensel (zie Grelle 105, 109, 111; Acta Math. 18). Zij b.v. h
zoo\'n geheele functie en laat er k vertakkingspunten zijn
voor X = oo, waar het aantal samenkomende bladen van het
Riemannsche oppervlak respectievelijk bedraagt:

tüi -f- 1 , Züg 1 , . . . , Wi- 1.

De functie h moge in die k punten oneindig worden tot de

orden ri, /-g, . . ., en

kleinste geheele positieve getal grooter dan —; noemen

Wi —p 1

we (j -f- 1 het grootste van de zoo verkregen geheele getallen ,
dan ïs blijkbaar (; 1 het kleinste positieve geheele getal

zóódanig, dat ^^ • h eindig is in alle \' punten x = oo-,

Hensel noemt nu p 1 dimensie van de geheele functie h.

Zoo noemt men (t -j- 1 de dimensie eener rationeele functie g,
die- in de punten CO — oneindig wordt tot verschillende
orden, indien a --f- 1 het kleinste geheele positieve getal is,
zóódanig, dat (x — ^ (J eindig is in alle punten x = x^y
Voorbeeld:

00 *

De rationeele funtie---q- behoorende bij het oppervlak:

y — l

_ 5 _ ic^ 4- 4 = O

t = 0, ^ = 1, oneindig a
haar dimensie is dus 3; een rationeele functie, die in het

55

punt X = 0 oneindig wordt als —5- heeft eveneens tot

x\'^

dimensie 3.
Is nu b. V.:

gma i = iffa, 1)A, {ffa^  l • • • "^(i/«, i/fi« _ 1 « (« - D\'

Zij (T 1 de dimensie vang,„„ j; (Ti 1 die van i, (>2 1
van gi^^ a i enz., en Ai, Aa,..., A die van (g^, 1)a, , • • •, {g^,
dan is de voorwaarde, dat geen der grootheden:

, <Tl 1 , . . . , fffl - 1 1

grooter mag zijn, dan (t 1, de zoogenaamde dimensievoor-
waarde.

Harkness and Morley , ïheory of Functions, p. 262 geven de
bepaling van een fundamentaal systeem volgens Kronecker; de
conditie, dat de som der dimensies zoo klein mogelijk zal
zijn, wordt niet ingevoerd, zóódat de functies in dien vorm
niet dienen kunnen om het geslacht der vergelijking te
bepalen.

De fundamentale functies bezitten verschillende belangrijke
eigenschappen, die ik in een volgend hoofdstuk wil behan-
delen, in verband met de methode om een fundamentaal
systeem te vinden.

Hier willen we nu nagaan, wat de kanonische vergelijking
van het oppervlak wordt, afgeleid uit de fundamentale func-
ties. Volgens sohotïky (Conforme Abbildung mehrfach zu-
sammenhängender ebener Flächen, Grelle, Bd. 83) zijn die
kanonische vormen door Weierstrass aangegeven, terwijl
Weierstrass schrijft, dat ze door Mevrouw Kovalevsky voor
hem zijn berekend.

Bij AVeierstrass kan ik ze echter niet vinden; en Sgiiotïky
geeft er maar enkele.

56

§ 2.

Hier volgen nu die kanonische vormen voor = 1, 2, 3,
eenige vormen voor p = 4 en de algemeene vormen voor
het geval, dat de laagst bestaanbare orde de i\'^\'\' is voor
i = 2, 3, 4, 5.
Voor p = l hebben we slechts na te gaan het geval
= 1; voor p = 2 het geval = 1, Äj = 3, want ki = 1,
kz = 2 geeft eenvoudig gewone punten van het oppervlak,
die de vergelijking niet determineeren; zoo moeten we voor
p = 3 alleen onderzoeken de gevallen:

ki=:l, As = 2, h = 5,
. 1, Ä3 = 2, A:3 = 4,

ki-= 1, k2 = 3, ks = 5,

en kunnen het geval ki — l, \' k«^ — 2, ks= S buiten beschou-
wing laten.

P = l; ki = l,
ga= 92-,  9i-

Er zal bestaan een betrekking van den vorm:

9n^a \\ ^ (92> 1) A 4- gs (92, 1) k
en in het bijzonder:

de kanonische vorm van AVeierstrass.
Stellen we:

y = 9i— 1),

dan gaat de laatste vergelijking over in:

1

2 {g,, l)i 4- (g,, 1), = (g,, 1)3 ?/ - (9^, l)i I iO^, l)i
of:\'

57

Voeren we nu nog in x = ag^ h, dan kunnen we deze
constanten a en ö zóó kiezen, dat de vergelijking den vorm
aanneemt:

ix^ — g^x — gz
waarin g^ en g^ de uit de theorie der elliptische function
bekende constanten voorstellen, niet te verwarren met de
rationeele functies g^ en g-i. Door x met een constante factor
te vermenigvuldigen kan men bereiken, dat één van de twee
constanten een vooraf bepaalde waarde verkrijgt, zoodat de
vergelijking slechts 1, d. i. 2p — 1 parameters bevat, het-
geen het juiste aantal is zoodra er een rationeele functie van
de orde bestaat i).

§ 3.

p ]h=l \\ /Cs == 3.

Het hyperelliptische oppervlak is gekarakteriseerd door het
bestaan eener rationeele functie in een enkel punt van het
oppervlak oneindig tot de 2\'^® orde, derhalve zullen we ook
in dit geval een hyperelliptisch oppervlak vinden, bepaald
door — 1) parameters.

g« — g«.; g,.,a i ^ gö = gr,
g\\ = {gi, 1)5  1)2.

stel:

y^g-.—^(ö\'2,I)2,

dan gaat de vergelijking over in:

V" = B (g^):

waarin B {g^) voorstelt een geheele functie van g.^ van den
vijfden graad. Stellen we nog:

X = m g« n

1) Baker, Abelian Functions pag.

58

en beschikken naar willekeur over de constanten « en
dan kan de vergelijking van het oppervlak worden:

y^ = x^ a x^ ^ h x^ c X d.

Vermenigvuldigen we x met een factor, dan kan één der
constanten een vooraf bepaalde waarde verkrijgen, zoodat
het oppervlak afhangt van \'S — 2p — 1 constanten, zooals.
behoort,

§ 4.

p = \'è. A\'i = 1; A-2 = 2; 7fg = 5.

üa = gi\\  l =9i = 9r-,  2 =9^ = 91

Voor een willekeurige rationeele functie mogen we schrijven:

9,na i^9l (9s, Oa {9-i, 4- l)v.
Derhalve bestaat ook de betrekking:

9I = (9i, 1)1 9i {9i, 1)2 (ö\'s, 1)4.
Deze. vergelijking, die 10 constanten bevat stelt een

Riemannsch oppervlak voor; stellen we y =1/4,--^ (9s, 1)it

. dan gaat ze over in:

1 . , 1

y\' y\' (9-i, .1)1 -3- y (^3, i)ï ^ (ö\'«, Dl = y\' 1)1

1

-9- (ö\'s, l)ï ö\'s, 1)1 I 2/ ^ l)l I 1)2 (^3, 1).
of

y-\'^y {Agl ^ Bg, C) Dgt Egl F,jl

Vervangen we nu g?, door ax -{■ h, dan kunnen we over
dé constanten a en ö zóódanig beschikken, dat de verge-
lijking den volgenden vorm aanneemt:

/i) J^ J^ y\'j? ^ d x^ ^x1] =
Vermenigvuldigen we x met een factor, dan kunnen we

59

aan één der coëfiicienten een vooraf bepaalde waarde geven
en de vergelijking wordt ten slotte:

y^ t! {x a) «i x^ • a^ x^ -f «3 a; a^ = O,

een vorm, dieö — — 3 — 1 parameters bevat. In het
algemeen is het aantal parameters 3^? — 3, maar uit het
bestaan eener rationeele functie oneindig tot de orde, en
een oneindig tot de 4:\'^« orde in eenzelfde punt volgt één
bepaalde betrekking tusschen de 3p — 3 vertakkingspunten,
wier plaats het oppervlak bepaalt; het aantal parameters der
vergelijking wordt dus 1 minder dan 3 p — 3.

Vervangen Ave in dezen laatsten vorm y door en

X door y \'^i P^S- kunnen we door behoorlijke

keus der constanten de vergelijking omzetten in:

_ 5 _ 4 ^ O

p A;] = 1; Ag = 2; A;., = 4,

Qa = = (Jl\'"  i = Ui = 9r-

Er bestaan betrekkingen van den vorm:

Qma i —

voor alle waarden van m a i, die bestaanbaar zijn; stellen *
we de geheele polynornia in 9^ voor door Grieksche letters,
terwijl de indices aangeven de orden dier geheele functies,
dan kunnen we de volgende vergelijkingen opschrijven:

9I = c<igT\\- (il 9^ «3 j
9i 9i = /I i/7 «2.95 «4 • • • • (1)
(J: ^ ih 97 i\'is 9^ p\'i
waaruit we een vergelijking tusschen g-^ en of tusschen
9^ en ^3 zullen aüeiden, die de kanonische vergelijking van
het oppervlak zal voorstellen.

In de eerste plaats vervangen we g^ door g^ — yit 9i cloor
9i — «3, waardoor de vergelijking overgaat m 9^9^ = a^y

60

<3e vorm der beide andere vergelijkingen verandert hierdoor niet.
Uit het systeem:

g\\ = «1 öi /5i ö\'ó «3

0\'.gT= .....(2) -

(fl = ih 91 -f [h )

kunnen we afleiden:

9i 91 == «1 {h 9i Ih 9ö 4- ßi) /5i «4 «3 9i = «i 9: (
9i 97 = ßi -H ih («1 97 ßi 95 «3) ßi 9i = (h97\\\'
Deze betrekkingen kunnen alleen bestaan, wanneer de
coëfRcienten van g^ en beide leden dezelfde zyn. Immers,
daar g-i, g^, g^ fundamentale rationeele functies zijn, kan
elke rationeele functie worden uitgedrukt in den vorm:

(x, 1);, {x, 1);,,  9i 1)a, 97-

(Zie Baker, pag. 56).

Bestonden er echter één of meer betrekkingen van den
vorm:

{x, 1)^ -f (x, ^3 4- (oc, 9i -1- (X, g^ = 0.
dan zouden we daaruit één van de functies b. v. grj kunnen
oplossen, d. w. z. g-i uitdrukken in en <75. Maar dan
kunnen we élke rationeele functie uitdrukken in .93 en g^,
met coëfficiënten, die rationeel zijn in x. Stellen ßi, ßs, ßi
polynomia in x voor, dan bestaan dus ook de volgende
betrekkingen:

ßit/ = (x, 1), -f- (x, 1),, g, (x, g,
ih y\' = (X, 1), (X, 1),; g, (x, g,
ih = (X, l)r (x, 1)., 9, (x, g,.
Elimineeren we daaruit g-i en g^, dan blijft er iets over als:
1)« 4- (X, 1),, y (x, 1)«, y^ (x, 1)«,, = O

een betrekking in strijd met de onderstelling, dat de verge-
lijking van het oppervlak onherleidbaar zou zijn; voor p = \'è
is d§ graad van het oppervlak minstens = 4.

61

Uit de betrekkingen:

(Ji gl = «I yi {h gt [h) «i «s gi = «i g^

il = /52 «-t ih («1 gi -f g-o «s) g^ = «4 gi
volgt dus:

Ui — «1 = O; «1 -f «3 = O; «i (3i «4 — O

«1 — «3 = 0; [33 (h = 0; «4 (is ui ^ 0.

Zoo min «1 als [Js kan nul zijn, daar b. v. uit iVg = O zou
volgen g] = gn (h en uit «1 = O: gl = (\'h <75 «3, betrek-
kingen , die immers volgens pag. 52 niet mogen bestaan. We
kunnen dus afleiden:

— — (?3; «t = «1 i^s; c<i = — UI [ii . . (5)

Deze voorwaarden zijn afgeleid in de onderstelling, dat:

g^ giXg^ = giX gl
g-. g7Xg7 = giX gl

Nemen we omgekeerd aan, dat die voorwaarden vervuld
zijn, dan kunnen we daaruit afleiden, dat de producten
g^ g] en g^ g\\ éénwaardig zijn; bovendien is dan elk polyno-
mium in g^ en g^ éénwaardig. Immers elk product van ge-
heele machten van g^ en gj kunnen we schrijven als:

gl, gi of g-, g-,. k.

De eerste twee producten kunnen slechts op één manier
uit de vergelijkingen (2) worden afgeleid, ze zijn dus uit
den aard der zaak éénwaardig. Zij ook k éénwaardig en
geschreven in den vorm Lgq Mg^, -f iV, dan behoeft slechts-
aangetoond te worden, dat:

g, {L Mg, g^ 4- Ng^) = g^ (L gj g^ Mgl Ng^).

Daarvoor is noodig:

g^ g] = gi -gig^o] g^. <75 gi = g-i gl

Aan deze voorwaarden is voldaan tengevolge van de

62

betrekkingen (5), die betrekkingen zijn dus voldoende om te
maken, dat elk polynomium in g^ en g-^ éénwaardig is.

Substitueeren we de voor «g, «4 en gevonden waarden
in de vergelijkingen (2), dan gaan deze over in:

é = «1 fh •— «1 )

= .....(6)

Qi = «1

waaruit voor de vergelijking van het oppervlak volgt:

^ — i^i «1 (53 — = 0.

Deze vergelijking bevat 11 constanten; vervangen we nu
a g^ h door x en c g^ -\\r d g^ e door y, dan kunnen we
over 5 constanten beschikken en houden de vergelijking over
b. V. in den vorm:

-\\-yx{A X -i- 5) {Gx\' -D r«\'- = 0

die 3p — 3 = 6 constanten bevat, zooals behoort.

p = 3. 7ci = 1;. = 3; As = 5,
ga=^g-2;  = gr-

Hier vinden we onmiddellijk voor de vergelijking van het
oppervlak:

= (r/s, l)s (.(/3, 1)7-

Stel:

^ = fi\'r —(0^3, l)s

dan gaat die vergelijking over in:

waarin B voorstelt een rationeele functie van g^ van de
zevende orde. Stellen we nog x = ag^ -\\-b, dan kunnen we
zoodanig over de constanten a en b beschikken, dat de ver-
gelijking den vorm aanneemt:

♦ y\'^ Ax^ B x^ Ga? I)x^^Ex F=0

63

of wanneer we x met een constanten factor vermenigvuldigen:

y^ x^ ttiX^ a^ x^ a^x^ a^ x a^ = 0.

zoodat de vergelijking van het oppervlak ten slotte 5 = 2p — l
parameters bevat.

§ 5.

De normale vergelijking van het oppervlak te bepalen,
indien de laagst bestaanbare orde is de indien de laagst
bestaanbare orde is de 3\'^", enz.

ki = l; hy 2,

9a — = 9ip l — 9r-

Vergelijking van het oppervlak:

f/ap 1 = .92;) 1 (f73 ; (ö\'a , 1)3 ;; 1-
stellen we y = g^p^^--i- (.gax = ag^ b en ver-
menigvuldigen dan nog x of y met een constanten factor,
waarover we vrij beschikken kunnen, dan houden we in de
vergelijking juist de 2 p — 1 voor het hyperelliptische opper-
vlak vereischte parameters over.

= 1; = 2; h > 3,
9a = 9■!>\'■> \\ = 9x\', « -h 3 = 9r
Er bestaan vergelijkingen:

9l= oc gr-^ ti 9, y ]

= .....

9y 4- C )

waarin de G-rieksche letters polynomia in g-i voorstellen,
wier orden eerst bekend z^n, als we x en y kennen. Uit (1)
kan worden afgeleid:

8 g, = a 8 ^ {t g, i} g^ l) y gy
8 = , (« g, ^ y) ^ a 8 g.

(2)

(3)

64

en uit de vergelijkingen (2) volgt:

— (5 = 0:  «(5 [U = 0 I

f«rfC = 0; f ^ —,) = 0; f / -1-/>(Ï = 0 j"

of

=r — {>; ö = r, c == — « f.

Na substitutie dezer waarden van /, 5, T in de verge-
lijkingen (1) gaan deze over in:

li a

gx= u
9. = ^ ^

(fy = t 9x 9v — " ^
welke laatste betrekkingen de volgende vergelijking voor het

oppervlak geven:
♦

9l = rtgl — § fi 1

of ^ .... (5)

gl = {} cf,—ai fl 1

Beide geven de normale vorm voor alle oppervlakken,
waarvoor een rationeele functie bestaat oneindig tot de 3\'\'®
orde in één enkel punt,

1; /ca^ 2; 3; ft^ > 4 ,

9a = 9i\\ \\ = 9x\', 9n-, <i-[.\'i9y\\ a^\'S, — 9z-
De volgende betrekkingen zijn mogelijk:

9z «1 9x h^y-^- /I

9y 9z = h

9x 9z = "3 (h 9y ^3.
De Grieksche letters stellen voor polynomia in g^, wier
orden volgen uit x, y, z.

Door eliminatie van en g, vinden we voor de verge-
lijking van het oppervlak:

gl — gl («3 n) — gl («3 h — \'a^ yi) 4-

^  gz (— «1 (^i — n «2 [h -f Si «3) —

- «1 {is S2 — [il «3 8s -f /3i «3 (^2 -f Öi «2 (is = 0.

65

Behalve de betrekkingen (6) bestaan echter ook:

gl = «4 ^r^ 1^4 Qy ^ y^g^J^ ö^ j

Qx 9y =«5 0\':. [h P\'y /5  . . . (7)

(fx — «6 f>\'6 gy -r re 9z-\\- Sq ]

Uit (6) en (7) kunnen we de volgende vergelijkingen
vinden:

Uygl = gygz.g.; g^gl = g^. gyg, = gy ■ g^g.-

Deze leveren de voorwaarden:

«1 «5 «4 n «2 — «3 «3 = 0

«1 1^5 ih §4, - «2 i^S = O

«1 /6 -/i - = O

«1 «O [h «5 /I «3 ï>\\ - «3 - ih «2 = 0

, «1 (h ih ih /I ih — «3 ih = O

«1 /6 ih — <53 = O

- «3 «6 - 1^2 «3 «5 ih = O

— «2 iSe «3 ih, ih ih <Ï3 = O

— «3 /O «3 /5 1^3 = O
«1 (55 (h 71 \'^2 - «2 = O

«1 ^e l^l l>"5 /I ^3 - «3 ^3 - iSs 82 = O I

— «2 «3 »^S [Ï\'S = 0.

Beschouwen we «4, «5, «c, ih, ih, /t, /s, /c, <>\'5, (^e
als onbekenden, dan kunnen we telkens uit 3 van de ver-
gelijkingen (8) de 12 grootheden . . . öe bepalen. Zoo
wordt b. V.:

waarin o gesteld is voor «3 — /i; u voor «2 —

Soortgelijke uitdrukkingen vinden we voor . . ., /s,
terwyl de determinant in den noemer voor die 9 grootheden
dezelfde is. Blijkbaar moeten dus de 9 polynomia:

5

66

^ 3 » /

— «3 p\'i p «1 cr "ï ^2; «2 e («1 l^s —«3 — («2 ff -]- «1 (ïg);
(cr 4" "3 q) («1 — «3 i^i) — («2 q — Ih <h) ;

-(7 («1 «3 «2 «1 («3 ? «1 CÏ3) ;

-(«3 [h Q -f- «1 «1 l\'^\'s ff ;

Q {h («1 — ih «3) — (\'ï ih -f- ih ^s);
"1 («2 <^3 — 03 <53) — j\'ii «2 ;
«1 — «3 Ö3; ös («1 /33 — ih «3) —/33
deelbaar zijn door

«ï (53 — «1 «3 |5i — .«2

Dan volgt uit de laatste 8 vergelijkingen van het stel (8):

= "3 /6 — /4; 35 — 0/5 — (Ss /4; tS« ~ \'j /6 — ^3 /5.

/ci ^ 1; A;3 = 2 ; A;3 = 3; = 4; A^s > 5.

\\ = 9x\'i i = 9y\'i 9iJ.:,a S = 9s\\ 9fJL^a i = 9u\'

Uit:

9I = «1 ih 9y 71 <5i
9^ 9u = «3 9x -1- f2
9y 9u = h 9y ^3

9x 9u = «4 9x 1^4 gy 4-/4 0\'. f4
volgt de vergelijking van het oppervlak in den vorm:

Daar we echter ook

9]^ 9I, 9x9y, 9x9^, 9y9:
kunnen uitdrukken in 9,, met coëfTiciënten, die

polynornia zijn in 95, kunnen we uit:

9^ 9I = 9z 9u . 9u-, 9y 9I =9y9u- 9n\\ 9x . in -=9x9n. 9u
9y .9zgu = gz. 9y 9u] 9x -9.9^ = 9.\' 9x 9«; 9x . 9y 9u =9y ■ 9x 9«
een reeks voorwaarden afleiden, waaraan de coëfficiënten
moeten voldoen. We vinden, dat 24 determinanten van de
ze^de orde deelbaar moeten zijn door:

67

waarin:

Q = «2 at «3 - «2

(7 =: «3 «4, - fJi «3 t^\'s «3 /3 «2

. r = «4 - «4 - fl «3 «3 «1-

Het is duidelijk, dat de voorwaarden, waaraan de coëffi-
ciënten moeten voldoen ingewikkelder worden, naarmate de
laagst bestaanbare orde hooger is.

Tot slot van dit hoofdstuk volgen de vergelijkingen be-
boerende bij eenige waarden van p. Daarin is voor p = S
niet opgenomen de mogelijkheid = 1, Zjj = 2, As = 3,
om de in § 2 vermelde reden; in \'t algemeen dus niet het
geval ki = 1, ko = 2 , . . ., kp = p.

9-6, 97, 98

90, 9ö, 91

91, 97,

9h 9i, 9i, 9l
(Ji, 9i, 96, 9n

9I = {92, 1)4 f/o {9^., l)a.

97 = ßi 97 «3 72 97 «2 «3.

9I = «1 9I \'\'"\'\'3 9-0 «5.

9t = 9I ((53 <)~3) 0-9 {h <^"3

(^2 «3 f5.1, -f «3 fjg) Ui {h Si

4" «3 f2 [h «3 /3
9\\ =n9l^ ßi gl 73 9i «1 -A\'

gt = (n i5i) gl (73 «3 /i Tm]

_ ^3 /i) g-Q «1 /53 71 -f

1, 3, 5, 7, 9

5 1, 2, 4, 5, 7

0 1, 2, 4, 5, 8

5 ! 1, 2, 3, 5, 6

1, 2, 3, 5, 7

1, 2, 3, 5, 9
1, 2, 3, 6, 7

gz, gn

g-i, gs, gio \'
g^, 97, gn
gi, 97, g^, giQ

gi, ge, gs,, gn

gi, g«, g7, gn
gi, gt, gl, gn

gh = ly.gn 4- {gi, i)n-

s 2 ^

= ßi gl ^ «2 «3 <78 «2 «4.

g7 = «2 f77 «1 «3 gi 4- «ï «5.
g) = (fl 7i)ö\'7 4- («3 «5i «3 4-^1 «I
71 «2 f\'»"! 4- «3 fl) gi 4- «1 «3 «4 ßi
9o = Qh «3) gt 73 «4
4" «3 73 «.I ßä 4- «3 ßs)
4" «4 ß\\ 73 4" f^s «5 4- «3 (Jj
ö\'7 = ((5i «1) g] (73 -f «3 «1 ßi
«173 4- «3 |5i) gi 4- 73 ß?> «3 (^3 §
gn = {ßs «3) .7114- («1 ß-i 4- «3 ßi

«3 ßü «3 p\'4 4- "5 A\'s) g\\

4" «3 ßi 74 4" «3 ßi ßt 4" «1 «5

69

X\' = a X.

((\'53/3^2 ■
i\' 4-
y ==9d —^ (ö\'s, 1)4; ^ = a f/s l>-

x\' — C\'. X.

y = agT{-bgl-{-cgi d\\ x^eg^-^-f.
y = ag; hg^ c; =: dg^ e.

bovendien 9 betrekkingen, zie pag. 66.
y = ag5-\\- hgi-\\- c; x = dgi-]- e.

y = ag^-^ hgi-[- c\\ x-=dgi-\\- e.

7 = 2jt} — 1.

7 =3^ — 3 —2.
7 = 3^9 — 3 — 2.

9 = 3i) — 3.

7 = 3p —3 —2.

6 = —3 —3.

y = Qn — (^73, 1)5; ^ = agi 4- h.

x\' =. u X.

y = ag8-}- hgl-^cg-i d-,x = eg-^^f.
y^cigT-Y ö(734-Cf/s4-x^eg-i f.

y = agT ^hgi^ c\\x ^ dgi e.

y

y = agT ^hg^^ c\\x ^ dgi-\\- e.
y=cign cg^-{-d-, x = eg., 4-/".

HOOFDSTUK HL

De fundamentale functiën te vinden behoorende bij een
gegeven vorm van de vergelijking f {x,ij) = O.

(Zie Hbnsel, Acta Mathematica, XVIII).

§ 1.

In het vorige hoofdstuk hebben we iündamentale systemen
van geheele functies leeren kennen, en met behulp daarvan
de vergelijking van het oppervlak opgebouwd. Is deze
gegeven, dan willen we nu nagaan, hoe uit die vergelijking
de functies bepaald kunnen worden.

Onder een fundamentaal systeem van rationeele functies
behoorende bij de algebraïsche onherleidbare vergelijking
f {x,y) = Q zullen we verstaan een stel rationeele functies
1, ,,..,(;„_ 1 alleen oneindig in de n punten x = a van
het oppervlak en zóódanig gekozen, dat elke rationeele
functie G, die alleen oneindig wordt in die n punten x = a
kan worden uitgedrukt in den vorm:

1

...

en wel zóó, dat aan de dimensievoorwaarde is voldaan.
(Voor het bewijs, dat er altijd zoo\'n systeem bestaat, zie
Baker, pag. 49).

Qn-X

X — w

71

Is nu H een geheele functie, wier dimensie = ^ 4- 1. Dan
1

is —. E eindig in alle punten x — co; hetzelfde geldt

voor ;---^ ^ , , H: die laatste functie wordt echter 00 in de

{X — ^ \'

punten x = a. \'Wordt H niet in alle punten x — a nul,

dan zal de dimensie van H. ^^_^^^^ ^ ^ gelijk zijn aan ? 4" 1.

H
(x — ajf
zijn dan (« 1).

Stelt gi, .,.,(/„_ 1 voor een stel rationeele functies, zooals
we juist beschouwden en wier dimensies bedragen ffi 4- 1 ?
..., (T„_i 4- 1, dan bestaat er dus een betrekking:

X-Jx U — «

1

X — a

welke aan de dimensievoorwaarde voldoet. Dus is

<ï 4-1 ^ X; a; 1 1, 2,...,(m—1),

en stellig 1 ^ X; d; 1.
We kunnen dus ook schrijven:

(1, a; — a\\ — - K -1

waarin nu Ai/i„_i niet meer oneindig worden in het
punt X — a.

De uitdrukking voor iïkunnen we nu nog vervangen door:
(1, /«! ... (1, K-x («)

waarin:

Pi 1 = « — (Ti 4- 1 = C> 1 — («^i — t\'i) ^ ? 1
Pi stelt n. 1. voor de dimensie van de geheele functie h; elke
term in het rechter lid van de vergelijking («) heeft lager

\'■tt - 1

72

dimensie dan de functie H, we noemen nu (1, /ïj, .. ., /z„_i)
een fundamentaal systeem van geheele functies, waarin elke
geheele functie kan worden uitgedrukt, met coëfficiënten,
die polynomia zijn in x.

Voor een rationeele functie oneindig tot de r^® orde in één
enkel punt van het oppervlak kunnen we schrijven:

^

La? — a\'

waar, indien weer ai 1 de dimensie van gi is, voor elke
term geldt de 1 ^ r.

Omgekeerd is de meest algemeene uitdrukking van dezen
vorm, waarin li, , de bovenste grens bereiken, die,

deze voorwaarde in aanmerking genomen, mogelijk is, een
rationeele functie van de verlangde soort. Zoo\'n algemeene
uitdrukking bevat:

z 1 (Ax 1) ... 1)

d. i.

r 1 (r — ffi) . . . (r — (t„_I)
= nr — ((Tl . . . (7„_ i) 1

willekeurige constanten.

Als we r maar groot genoeg kiezen bestaat er altijd zoo\'n
•rationeele functie en ze bevat nr —p 1 constanten, waarvan
één additieve (zie Baker § 37). Daaruit volgt:

Evenzoo is voor een fundamentaal systeem van geheele
functies, wier dimensies respectievelijk zijn «i. . . o„ _ i.

l\'i ■ . . !?»-l =!\'>•
§ 2.

We willen nu onderzoeken welke eigenscllappen karak-
teristiek zijn voor een systeem fundamentale functies.
Sfelt 1, /tl, . . ., /^„-i een dergelijk systeem ^\'e/ieeZefuncties

73

voor, dan kan er geen betrekking bestaan van den vorm:
(x, 1)^ (x, IV^ . . . 4- (x, -1 = 0.

Immers, bestonden er /c van deze betrekkingen, die onaf-
hankelijk van elkaar waren, dan zouden we k van de
functies li kunnen uitdrukken als lineaire functies van de
overige n — 1 — k, met coëfficiënten, die rationeel zijn in x.
Dan zouden we ook de geheele functies ?/,..., _
y - ^ (de [3\'s zijn geheele polynomia in x) kunnen uitdrukken
als lineaire functies van de n — k onafhankelijke functies h
met coëfficiënten, die rationeel zijn in x.

Door eliminatie van deze w — 1 — k functies h verkrijgen
we een vergelijking:

A A^y . . . = O

waarin de coëfficiënten A rationeele functies van x voor-
stellen; deze betrekking is echter in strijd met de onderstelling,
dat de vergelijking van het oppervlak onherleidbaar zou zijn.

§ 3.

Het is niet mogelijk, dat de lineaire functie

Al hl -f Ao . . . -f A;,_i 7i„_i,

waarin de A\'s constanten voorstellen, dezelfde waarde heeft
in 2 punten met dezelfde x voor alle waarden van A.

Beschouwen we een punt x, waarin geen vertakkings-
punten voorkomen. Noemen we respectievelijk «i. . .
de waarden van de functies h^ . . . h„ _ i in deze 2 punten x,
waar de functies hi. . . h,, _ i aan elkaar gelijk zijn; dan
kunnen we coëflicienten ui. . . ^t^,_i bepalen, zoodanig, dat

«1 {hl — «]) ... ,(t,. _ 1 (/<„ _ 1 — _ i)

niet alleen in de 2 punten, waar de waarden van h dezelfde
is, nul wordt, maar ook in de overige n —2 punten, die
uit de gekozen waarde van x volgen. Zij c de waarde van

74

X, waarvoor dus geen vertakkingspunten bestaan, dan is:
Ml (Ih — ai) ■ • • 4- ^u-i {K - 1 — ^»-i)]

X — c

in geen der punten x = c oneindig, het is derhalve een
geheele functie. Maar dan zouden we ze ook kunnen uit-
drukken in den vorm:

(rc, 1)a4- Ik Ä1 • • • {x, 1)a„_I
hetgeen zou leiden tot een betrekking

{x, {x, 1)^, ÄH- • . .  ^ O,

die volgens § 2 niet mag bestaan.

Bestaat er in het punt x één vertakkingspunt, waardoor
2 bladen heengaan, terwijl dat punt x geen verdere vertakkings-
punten bezit, dan kunnen we op dezelfde manier bewijzen,
dat er geen functie

X Al • • •
voor alle waarden van l nul kan worden in dat vertakkingspunt
tot de 2"^® orde.

In \'t algemeen geldt de stelling:

Wanneer ,. . ., _ i alle nul worden in een punt van
het Riemannsche oppervlak, dan kunnen ze niet alle nul
worden in een punt met dezelfde re; en in een vertakkingspunt
kunnen ze niet alle nul worden tot de 2\'^® orde.

Beschouwen we 2 systemen geheele fundamentale functies
1, Hl, E-2, . . ., iJ»_ 1 en 1, Al,\'Aa, . . ., _ 1, dan bestaan
de volgende betrekkingen:

Hl = (x, l)i (x, 1)1,1 hl (x, 1),,3 h (x, 1)1,„_i K_i
Hz — (x, 1)3 -f (x, 1)3,1 hl -f- (x, 1)2,3 As ... -i- (x, 1)2

, H — 1 \' 1

• • • «

1 = (x, 1)„_1 -f- (x, 1)„_1,1 Al (x, 1),._1.2 A2 ...
-f (a;, l)„_i,„_i A„_i

75

De indices A; in (a?, geven eenvoudig aan, dat (x,
een polynomium is van de orde, die behoort in de rij van
Hi en in de kolom van Jh.

Noemen we Hi\'^ de waarde, die Hi aanneemt in het
blad van het Riemannsche oppervlak, dan kunnen we de
volgende identiteit neerschrijven:

Verhef die in het kwadraat, dan is de algemeene term van
den determinant in het eerste lid

H?\' Hf^ Hi\'\' -f- . . . Hf Hf\'.

Deze uitdrukking wordt alleen oneindig voor x= oo, het
is dus een geheel polynomium in x. Stellen we de deter-
minant [(rc, = dan kunnen we schrijven:

(1, iZ"i, = . ^ (1, /ii, . . .

waarin J (1, Hi, . . . H„_i) voorstelt de determinant

" [H?\' Hf\' . . . Hf\' H}""\').

i=ij=1

De /J noemt men de discriminant van het stelsel, waarop
ze betrekking heeft. Beschouwen we een geheele functie
ij = y^ (waarin ß = (x, 1);^), dan kunnen we evenals voor
de H functies een betrekking afleiden:

r/\'-i) = V\' (1, /^i, . . .,
waarin weder V^ voorstelt een determinant [(ic, 1);,^], die
echter niet noodzakelijk dezelfde behoeft te zijn als V/f-
Nu is echter het eerste lid gelijk aan:

(,/l) _ ,(2))3 _ . . . (,/n-2) _ ,/« -1))2 (,/»-l) —

een uitdrukking, die niet nul kan worden voor alle waarden

76

Tan X, omdat dan de functie y in alle n punten x
eenzelfde waarde zou moeten hebben; dan wordt echter ook
//(1, Al, . , . , niet nul voor alle waarden van x,

evenmin /I {I, H^, . . . , H„_i).
Er bestaat dus een betrekking

J (1, Ä1, . . . , = VL ^ (1, Hl, ... , iï„-i),

waarin Va een rationeele functie is van x. Hieruit volgt:

V/fXV\' = l

of

Elk systeem fundamentale functies heeft dus op een con-
stanten factor na denzelfden discriminant.

Noemen we hun gemeenschappelijke waarde /h en laat
... 1 Vn voorstellen n willekeurige geheele functies; drukken
we die alle uit in een systeem fundamentale functies, dan
kunnen we komen tot de betrekking:

als M = polynomium in x. Daaruit volgt, dat deelbaar
is op ^ ,..,,?;„); (1, Äi,..., hn - i) is echter een dergelijk
systeem als (1, lyi . . . 7/„_i), derhalve is de discriminant der
fundamentale functies de grootste gemeene deeler der discri-
minanten van elk stel van n geheele functies.

§ 5.

Zij g een willekeurige rationeele functie, behoorende bij de
vergelijking

?/» «1 ?/» -1 -I- «3 - 2 . . . a„ = O

waarin de coëfficiënten «i, . . . , a„ polynomia in x voorstellen.
De 71 waarden, welke die functie kan aannemen voor één
waarde van x, noemen we g^\'^^, g^-\'^, . . . , hun som zij
Zijn iv{x,ij) en i}.i(x,y) 2 polynomia in x en y, dan

77

kunnen we voor g schrijven ^^^^; voor één van de waarden
behoorende bij een bepaalde x, krijgt g de waarde:

r/i} —»y^^)

Vermenigvuldigen we teller en noemer met de {n —1)
andere waarden, die ip (x, y) aanneemt voor dezelfde x:

jx, ip (X, ■■■»/< (X, y\'i - ip [x, yt\' ^Q . . . xp {x, _

{X, ij^\')}..............lp (x, \'

/

dan wordt blijkbaar de noemer een symmetrische functie
van de wortels . . . ze kan dus rationeel worden
uitgedrukt in de coëfficiënten in x. De teller is een rationeele
functie van x en

Elke rationeele functie behoorende bij f (x, y) = O kan dus
worden voorgesteld door:

9 =

waarin J., . . . , A-i,-Z) polynomia zijn in x, die geen
gemeenschappelijken factor bezitten.

Nu kunnen we uit het voorgaande onmiddellijk afleiden,
dat D^ een factor moet zijn van (1,?/,...,?/»-1), indien
g een geheele functie zal voorstellen. "Want zij {x — ay een
factor van D en stellen we

Ai = {x — ay Bi Gi = 1, 2, . . . , w — 1.

De coëfficiënten A hebben geen factor met D gemeen, dus
kunnen niet alle Cs deelbaar zijn door {x — a); zij Gi niet
deelbaar door (x — a).

Maken we nu gebruik van de in § 4 gevonden betrekking:

J (1, iTi, . . ., = Vn • ^ (1, h^lh, . . K-i),

waarin de functies H en h de vroeger aangegeven beteekenis
behouden.

78

Het is duidelijk, dat:

)--(^^ZT^y-

Is nu g een geheele functie, dan is het geheele eerste lid
een geheele functie en dientengevolge ook het tweede Ud;
dat laatste noemen we C en vormen de vergelijking:

De beteekenis van den determinant in het eerste lid in

aanmerking genomen kunnen we hiervoor schrijven:
&

{^zzTafr ^ (1\' • • y\'^ y\' ^• • =v\' ^ (i, K 1).

Maar:

/J (1, y, . . .,/r-^) = V\' ^ (1, . .

Dus:
Cf

^^ _ ^yr ^ (1\' • • ^\'n-l) V\' = V^ • ^ (1 , • • - l)

V _{x — ay

Vi a

en daar {x — d) geen factor is van C; moet V deelbaar zijn
doßr (x — ay en J y"-\'^) door {x — af\'\'. Hieruit

volgt, dat D^ inderdaad een factor moet zijn van /t{l,y,...,y"-\'^),
zoodat D geen andere factoren zal kunnen bevatten, dan die
in // (1, ..., optreden minstens tot de tweede macht.

§ 6.

Voorbeeld.

y^ — hy^ a-ic y — a? «3 = 0.
Voor het systeem geheele functies: • -

1 if —by ai c
=-^^-

79

vinden we de A als volgt:

I 2

1, 1, 1,

aitti aitts aitto

y{\\) 1 y[i)\' yCM •

3, —

ai «3

ö, — 2 ai c, 3

C^ — 2 «3 &

2 2
tti ai

^ ö® c^ — 4 «2— 4 «1 c» 18 ai «2 ö c — 27 a? o|.

Zoo wordt voor het systeem l, y, if\\ ^

1, 1, 1,
^(1,2/,«/\')= 2/(1) 2/(3) 2/(S)
2/(1), 2/?2), 2/(3)

3, ö, . 2aic

ö, ö\'- —2aic, ö«—3&aic 3a?«3

Ö2 _ 2 ai — 3 & ai c -}- 3 a® aj, — «i 0(0® — 2 ai c) — 3ai cö^ 4ai ag&
3, —2c