Combinatorische Configuraties in
Meerdimensionale Ruimten.

• ■ ..-A-\'V. :

\'.....

, A \' ■ *

SK

ÄSälii^

Combinatorische Configuraties
* * * in Meerdimensionale Ruimten

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN HEN GRAAI)
VAN

Doctor in de Wis- en Naitimrkuncle

aan de Rijks-Universiteit te Utrecht

na machtiging van den rector magnificus

Dr. A. A. W. nUBRECHT

hikwliticttair t» hK FAaULTKir hui« Wi». r..x XATUOHmim«

volgens HESLUrr van den senaat der universiteit

TKOBN IIK imnKSKINdKN VAN

de i-\'aculteit der wis- en natuurkunde

te verdedigen

op Dinsdag 6 Mei 1902, des namiddags te 3 uren

IXKIK

JACOB ARNOUD CARP

^i^Hïiï^^ geboren tc Gki.droi\'

■- ■■ y -TO»\'^? ■ \' \'-.v^J

A \' \' \'». . ■ \' ■ \' • "\'S»*\', ■ i

m

ij \'sM) .

\'Tv*- ■:.

tf, \' ■

Jiij hef einde mijner academische dmlien is het mij een
behoefte U Jfoogleeraren in de Faculteit der ir/«- en Xatuur-
Ictnide mijn oprechten dank te hefuigen voor het onderwijs, daf
ik van U mocht ontvangen.

Vooral IJ Hooggeleerde W. Kapteijn geldt dezen dank, zoowel
roor uwe heldere nooit te vergeten colleges, als voor uwe onver-
flauwde en hartelijke helangsfclling,

U Hooggeachte Promotor, Hooggeleerde Jan dk Vjues mijn
dank voor den mij, hij de samemtelling van mijn proefschrift,
zoo bereidwillig verleenden steun.

De even leerzame als aangename uren mei U doorgebracht,
lloogijelevrde A. A. NiJi.AM), wien ik het voorrecht had in zoo
verschillende omstandigheden te leeren waardeeren, zullen mij
steeds in dankbare herinnering blijven.

.... . ^ . \'

■ .-\'.Mi:--.

INHOUD.

nidz.

Inleiding. De Meerdimensionale Ruimte.....1

«

IIooKDSTUK 1. floinbinatorisclie Configuralies in hel al-
gemeen ...........♦.)

llooKDSTrK 11. Kipcii.schai)p(;n dor floiiihinalorische con-

fipuratio in i........38

■ i

■ ^

- . •

r. \'.v."
. / * \' ■■■

INLEIDING.

De Meerdimensionale Ruimte.

L Duiden we de ruimte van n afmetingen aan door
hol symbool R», dan wordt eon pnnl aangewezen door bet
symbool Ro, een recble door Ri, een jilal vlak door Ra enz.

Een Rs ontslaat door een Ri uil een, builen die Ri ge-
legen, R» te projecteeren.

lOen Ra ontslaat door een Ra nit een, builen die R*
legen, Ro te projecleeren.

Een Rj <lelinieeren we nn als to qnlslaan door alle punlen
vnn een Ra uil een R«, builen »lie Ra gelogen, Ie projecleeren;
evenzoo een R» als te ontslaan «loor allo i)unlon van een
R,i,_i uil een R«, builen dio R;,_i gelegen, Ie i)rnjecteeren.

S \'1. Evenals eon Ra, in een Ra, door eon Ri sUïcbls in
(\'•(\'•n R„ gesneden wordl, lenzij de Ri geheel in do Ra ligi,
zoo wordl ook een Ra, in een R4, door een Ri slecbls in
é(\'\'n R„ cn door een Ra sIccliLs in een Ri gesneden, tenzij

2

die Ri en Ha geheel in de Ra liggen. Werd de Ra toch door
de Ri in meer dan één R„ gesneden, dan kon door die 2
Ro van de Ra een Ri gebracht worden met welke Ri de
gegeven Ri dan zou samenvallen. De gegeven Ri zou dus
geheel in de gegeven Ra liggen. Sneed de Ra de Ra behalve
in een Ri ook nog in een R« dan zouden we, in de Ra,
door die Ri en Ro een Ra kunnen brengen. De gegeven Ra
zou dan met deze Ra samenvallen en dus geheel in dc Ra
liggen.

§ 3. Een R» wordt dus bepaald door n -f-1 willekeurige
punten d, w. z. punten waarvan er niet meer dan /j I in
één R;, liggen.

Hieruit volgt dal, wanneer een Rw I willekenrigt!
punlen van een Ry, {m > p) beval, «leze Ry» geheel in de
R/;, gelegen is. Er kan toch door die f)-\\-\\ punlen van d(?
R/// een Ry, gebracht worden welke geheel in die R,,/ gehigcn
is. Di; beide R;, zonden <hm /> ! punlen gemeen hebben en
dus samenvallen.

We zien bovendien, dat een R» 00" punlen beval en een
punl vnn een R« dns bepaald wordl door n enkelvoudige
gegevens (b.v. coördinaten). Alleon torb n zulke gegevens
kunnen hej vereischte aantal 00" punlen opleveren.

3

§ 4. Twee willekeurige ruimten R«, en Rw, die achlerccn-
volgens bepaald worden door »> 1 en vn -f 1 pnnlen,
behooren beide tol een ruimte Rw/ >H,-fi, welke door die
\'» WJ1 2 punten bepaald wordt. Do ruimten R«, on R,;,,
snijden elkaar in \'t algemeen niet. Hebben zij echter één punt
{gemeen, dan liggen zij in de ruimte R,« „t^, welke kan gelogd
worden door de  1 punten, die de R;» en R»,, bo-

l)alen. Hebben R,« cn Rw, ccn Ra, dus a l punten, Komoon,
dan liggen R,« on Rw, in con ruimte Rw w,-«, wolko door
do III uil -f- 2 — (ff -f- 1) = -f- vil — f/ -}- 1 pimten, dio de
Rw en Rw, bopaloii, kan aangebracht worden.

Wordt R,„ —(1 = R» gostold, dan blijkt, dal in con R»
twoo ruimten R«, on R,», elkaar volgons oon Rn snijden als
lil "\'1 — f = \'I, dus

(f = m i/ii —

Is (1 = 0 dan snijdon zij elkaar iii oon onkel puiii. Is a
nogatiof dan hobbon zij goon olomont gomoon. Is »; > lui
dan kan i/ hoogstens = nu zijn, in wolk geval m = v is on
Hw», gohoel in R,» ligt.

Tweo in R» gologon ruimten Rm on Rw, snijden elkaar
tlus in oon nilnito Ra als:

<1 = m mi — M.

4

Rff wordt door een S*" ruimte R;«., in een ruimte R^j ge-
sneden als:

dl = f/ Dhi — n

«1 = m )«i »\'a — 2 n.

Rrt, wordt door een 4" ruimte R;«^ in een ruimte R«.. ge-
sneden als men heeft:

(li — (tl >"3 — 11

(tl = )n   »hi — 8

enz. Eindelijk wordt de ruimte Rff,-, <loor een l)*" ruimte
R///, volgens een gesneden als:

(Is-1 — \'\'.f—a »1.« — »
i — s

(la—i — ^ mi — s u.
1 = 0

(.«<4- 1) willekeurige ruimten R;«, R/;/,,.....R/;/„ allen

gelegen in één R», snijden elkaar dus volgens een rniinle
l\\j> als:

i = n

p= mi — SIK.

i = o

S \'y. Uil hel voorgaande volgt, dat twee in een R« ge-
legen ruimten R;/_i elkaar snijden in een Ra (7,_i) —= R;/_s;
drie ruimten R«_i in een Raf^-o — a» = R«—n niinilen
R,j_i in een Ro.

O

Evenals door n willekeurige punten een Rn-i wordt aan-
gewezen bepalen in een R« n willekeurige ruimten Rm_i een
punt. We noemen nu de R„ en de R«—i twee duale ruimten
in de R«.

Terwijl m -f 1 willekeurige punten een R;« bepalen, snijden
m -f 1 willekeurige, in R» aangenomen, R«-! elkaar volgens
een R (/« i)(h—i)—>« »t = Rh—m—i. We noeinen nu R„, en
Hn—in—i ook duale ruimten in de R» on in \'t algomoon noemen
we tweo ruimton duaal, wanneer do som dor indices = a — 1
is. Is n oneven, dan hoeft mon oen ruimte, die mot zichzolf
duaal is, n. 1. voor m = n — m — l of m = —

S 0. Een ruimte R«—i wonlt bepaald door n willokourigo
puiiton. Daar dezo punten goliool willokourig zijn, liangon
<Io oigoiischa])p{!n van oon dergelijke ruimte uiLsluitoiid af van
hol aantal piuiton waardoor dio ruiinto bojjaald wordt.

Wo kunnen uit n punten goon groep van .s punten vormoii,
zondor logolijkortijd OO vool groepen van n — s punten lo
verkrijgen, zoodanig, dal dio k-\\- n — n puiiton to sanu\'n do
1 bepalen. In oen ruimte R«—i Irodon dus logolijk njol
wn niimto R.s_i 00 volo ruimten op. d. w. z.

^%\'<ilijk mot oon ruimte R,s—i Irodoii alle mol haar dualo
luiniten op.

G

Elke eigenschap van een ruimte R^—i is een functie uit-
sluitend van het aantal der punten, welke die R«—i bepalen,
dus een functie van s. Tegelijk met deze functie van .s
treedt echter dezelfde functie van (/j — ,><) op, welke functie
een analoge eigenschap van een ruimte R«_s_i aangeeft.

Treedt een groep van s punten, dus een I^s-i, in verband
met een groep van p punlen, dus een R^j—i, dan krijgen we
een eigenschap van die Iwee ruimten, welke een functie is
van li en p. Tegelijk met deze functie treedt dan op een
functie van n — s en s — p, welke een analoge eigenscbnp
aangeeft van een R,i_a—i in verband mei een

Voorbeeld 1. Stel n = 4-, n = 8, p= i.

Drie Ra .snijden elkaar in één R«. Deze eigenschap kumien
we beschouwen als een functie van 8 en 1, waarbij de con-
slanterr 3 en 1 optreden. Nu moet dus ook gelden een
eigenschap voor n — 3 = 4 — 8 = I en ii— 1 = 8, waarbij
dezelfde constanten optreden dus: drie Ri-a-i bepalen één
Rt_i_i of drie Ro bepalen één Ra.

Voorbeeld ± In een Rm_i snijden vier R.^-i elkaar vol-
gens een Ri (»—i)_3(;i—i) = Rij»-3;i-i. We hebben bier dus
een eigenschap, welke we kunnen beschouwen al.s een fnnclie
van .s en — waarbij de constimten 4 en 1 oj)lreden.

7

Uier is p = — 3u en dus n — p = — -1-s. Er moet
nu ook geldon een eigenschap welke te beschouwen is als
dezelfde functie van n — s en In—is en wol vier Rh_s—i
bepalen een lint—is-i.

In Ran—1 is de som der indices van twee duale ruimten
gelijk aan — dus het tweevoud van don index /« — 1
(Ier met zichzelf duale ruimto, R«—i. Is s — 1 > — 1 dan
is —.s— 1 <;i— I. Mooton we dus b. v. bij 2 R.*_i
sproken van elkaar snijden, dan moeten we bij
sproken van te zamen bepalen. Is toch do index van oen
ruinito <» — I b.v. golijk aan « — 2 dan snijdon twoo dorgo-
lijko ruimton in oon Ri«—i elkaar volgons oon i{s(„_ï)_(s„_i)
= ll.-a, d. w. z. zij snijden elkaar niet. Is daarontogon do
indox van lïon ruimto > »t — 1 b. v. golijk aan h, dan bopalou
twoo dergelijke ruitnton gooii andoro in de Rs«—i gologon
ruimto, want dio tweo R» worden bepaald door 2 (/»I)
puuton, wolkcï daar zij lot (!on Rï«_i Ixihooroii, dio Ra»—i
zolf b(?palon.

Iu Witi liooll het middolsto paar dualo ruimton do iudicos
n en (« — |) en is dus van olk ander paar dualo ruimton
\'Ie iiidox van d(; <!ono > dio van do andoro n— I. Is
dc indox ^ b.v. golijk aan « I, dan wonion twoo dor-

8

gelijke ruimten bepaald door 2 (n 2) punten, welke te
zamen, daar zij in een Rs-« gelegen zijn, deze Ra n bepalen.
Twee dergelijke ruimten snijden elkaar echter volgens een
R2(m i)—2» = Ra. Is de index ^n—1 b.v. gelijk aan
n — 1, dan snijden twee dergelijke ruimten elkaar volgens
een R2(«—i)—2/1 = R—2, d, w. z. zij snijden elkaar niet. Zij
bepalen echter een R2(«—1 1)—1 = Ra«—1.

Een eigenschap van ruimten R»—1, Ry,—1 enz., uitgedrukt
door een functie van s, p, enz., geeft dus tegelijkertijd aan-
leiding tot een correspondeerentle eigenschap der ruimten
R„_ s—u R;t—1, enz., uitgedrukt door eenzelfde functie van
n — s, n — p, enz., vooropgesteld echter, dal we de uitdruk-
kingen „dlatar snijden\'\', „bepalen", „(jdvjen zijn in", „fjuon
door", enz. van de eersle eigenschap in de iweede eigenschap
o]) gepaste wijze verlalen.

HOOFDSTUK I.

Combinatorische Configuraties in het
algemeen.

I. Onder oen ronihinaforiarlic amjiijuratie iii een
verslaan we een zoodanig samenstel van ruimten H^,—t,..

Ha, Hï, Hl on Ho, dal do domenlon kunnen

voorgesteld worden, helzij door de comi)inalies zonder her-
lialing der (.s — 7)" klasse, helzij door de combiiialies zonder
herhaling der — 7)\'\' klasse vaii n getallen. In hel
eci-sle geval zullen we een dergelijke conllgin-atie a;indiiidon
door/> l T in hel tweede geval door/» 1 y

S \'2. Ue comhinalorischo eonliguralies ;»-t l T zijn voor
l» = I onder/oehl door Dr. Jan dk Viuks in de Maihcimthrhv
Anmih\'n lid. 34 en .W „Uober eine (latliing regehnAssigor
elxMier Conliguralionen", waar ook hel beslaan dezer con-
\'ignralies in hel i)lalte vlak hewe/.en wordl. Hel volgende»
bewijs voor hel heslaan dezer conlignralies is gegeven door

10

Dr. H. Schubert in de Hamburger Mittheilungen van 1883
,Ueber eine gewisse Familie von Konfigurationen".

Is in een R« een groep van n willekeurige punten gegeven,
flan kan door elke s dezer punten een R^—i gebracht worden,
door elke (s— 1) dezer punten een Rs_2. Op deze wijze
ontstaan Rs_i en (^^j) R.v—2. Nu snijdt een Rj elke
Rs_i volgens een Ri en elke R«—2 volgens een Rn. Deze
Ri en Ro vormen een in Ra gelegen combinatorische con-
figuratie. Want elke groep van .s punten waardoor ecn
R.,_i is gelegd, bevat .s groepen van s — 1 punten, die olk
een R^—« bepalen. Een R,v_i bevat dus k maal een R.s_a
en dus liggen ook op elko Ri van do configuratie » punten
Rm. Verder kan elke groep van « — 1, oon R.y—a bepalende,
punten met (n — -f- 1) punten ecn groop van oon R.s-_i
bopalonlle, punton vormon, zoodal dus olko R.y-» ligt in
(n —  1, d.w.z. olk (;onfiguralioi)unt ligt in (» — .s-f I)

configuraliorechton.

Wordt elk der oorspronkelijke n punten .in do R.v aan-
geduid door oon dor getallen van 1 lol n on stoods hol
snijpunt van de Ra mol oon, (.s—I) punten bovattondo,
R,s._a door hol .samonstol dor bij dio (.f — 1) punbür bo-
liooronde gi^tallon, dan vonnon do getalleiigroopon belioorondo

11

hij (Ie (g^i) Ro van de configuratie alle combinaties zonder
herhaling der (ö-— 1)® klasse van de getallen van 1 lot
terwijl de s in één Ri liggende Ro worden aangeduid door
de .f combinaties der (s—1)\'\' klasse van .s dier n getallen.
Duiden we evenzoo de snijlijn der Ra met een, door s punten
bepaalde, R.s—i aan door de, bij die i- punten behoorende
getallen, dan zien we dat alle Ri van de configuratie worden
voorgesteld door combinaties zonder herhaling der s" klas.se
van do getallen van I tot lerwijl de (n —« I) door
één cf.pnnt gaande cf.reclilon de getallen, welke in de
notatie van dit punt voorkomen gemeen bobben en aan dezo
gelalleii voor olk dezer lijnon nog een dor overige (/i — .s-f-I)
gelallen wordt toogovoogd.

lOr beslaat dus bij olk golallonpaar .s (» ^ .s1) oon «-r.

Dozo comb. cl\', welke ontslaan uil oon ;i-hook bohooroiido
lot (\'en .s-dimonsionale ruimte, vormen oon familie van 00^ of.
<laar zoowol ;< als .s 00 kunnen worden. Zij vonnon oen
oiulordool van ooii familie van 00\'\' ef\'. waarvan hol beslaan
is aangetoond door Vkiu)NK.sk, MalhniKifixrlte Aiiiidlni lid. !!).
,Ik\'haiidlung der i)rojeetivisi\'lion Verhrdliiisse dor Räume von

12

verschiedenen Dimensionen durch das Princip des Projicirens
und Schneidens" en die op soortgelijke wijze uit een «-hoek
in een ^--dimensionale ruimte ontstaan.

§ 3. Rangschikken we namelijk n punten van een R.^ in
groepen van s, («— 1) en (s — 2) punlen en snijden we
de hierdoor bepaalde ruimten R«—2 en R«—a door

een Ra, dan krijgen we in deze Ra een cf. bestaande uil

Plaatsen we de n punten in groepen van .s, (s—I), (s — 2),
(ff — 3) punlen en snijden we de hierdoor bepaalde R.s_i,
II.S—a en Rj(_.i door een Ri, dan ontslaat in deze
R, een cf. van (j) Ra, 1) Ha, G-ij)

Zoo voortgaande kunnen we ten slotte uit de n punten
groepen vormen van si (.s — 1), (.s — 2), .... 3, 2, I piuilen
en de\'hierdoor bepaalde Rs- 1, R»—2, .... Ro .snijden door
de R.k zelf. Hel resultaal hiei-van is de volledig n-lioek in
de .s-dimensionalc ruimle, waarin elk punt verbonden is mei
elk ander punl door een Ri, elke 3 punten verbonden zijn
door een Ra, elke i punlen verbonden door een Ra, ....
. . . elke s punten verbonden door een R«—1.

Door n willekeurige in een R.v gelegen i)unli!n worden
(^«^jR^-y,-. bepaald, welke door

13

snijding mot een IV , opleveren (\';) . . . .

legen, terwijl oen Ry, bevat:

-------(A)""

elke R;,—I bevat:

.... (;:z;)R„

olkc bovat:

u,> 11,.-V-.. (.171.) IV-,-......(:;-\'!) H-

Worden do 11 i)unton in R.s wodoroni aangowozon door
do golallon 1 tot dan worden do R.«—1 on dus ook do
hioruit door .«snijding met oon R/h 1 verkregen
godnid door do combinatios zondor liorhaling van do a" klasse
dor golallon van I tol 11; do R/»—1 door do combinatios

zondor liorlialiiig van do (.t— 1)" klasso van do golallon van
I tol n onz.; Ion slotto do Ro door do combinatios van

<lo {.< — /))" klasso van do golallon van I tol n, l<>rwijl do
(« — 7) _i wolko Ic zanion in óón Ryj—fy liggon wordon
voorgesteld door do (x — 7) combinatios der — 7—klasso

14

van de getallen, die in de notatie van die R/<—7 voorkomen.

Voor y> = 2 ontstaat een cf. in de driedimensionale niimte,
bestaande uit (j\') R., (^^j) Ri en

Ri zijn gelegen .sRi en (S) elke Ri draagt « —(.s—IjR^

en (JZJ) " - -

dus een cf.

/ /h—  (h—.\'» 1) .s

De meest algemeene comb. cf. verkrijgt men door in een
R., de R.«—1, .... welke achtereenvolgens

aangewezen worden door de combinaties der s", (.s—1)", . .
(x—pY klasse van n in die R.v gelegen i)unleii, Ie snijden door
een Ry, i. Er ontstaat dan in die R/< t eon cf.

I li. y p )11. ^ r"

f n „ =

•) SitziingKlM\'rirhlcn «Icr Kal«. Ak. d. WiHsciiwh. iti Wion. JUI. C.

«

Al)th. 11. ür. .Iax pk Vuil-><. iLVIht rannilichc (\'onfignratioiioii, wcldu!
8ich nuH (Icri rcgclinrissigei» l\'oly^lern licrieiloii Inriscn.»

15

(«-. 1) II, (^.i;) K,-

, ts-l)

Cii)..-, ^^^ . \\

(«-.) : ^ CO

S 4. Uitgaande van de .s\'-dimensionale mimte kumien \\ve
een cf. ])-\\-l T op do volgondo wijzo voorslollen. Eon pnnl

voorgesteld door (.>{—p) getallen, b.v. I, 2, 11,.....(,«<—;>),

draagt do «—(.\'«—p) rechten, dio iiet .symbool van dal piml
bevatten, dns do rochlon:

I, iN 3......(«-/>), ("-/\' 1)

1, 2, n......is-p), is-p ^2)

I, 2, ......(^»-/O, n.

Op olk dezer rechten liggen, behalve het i)unl 1,2, . . .

«

. . . (.s—(lat wij hol conlrum C zullen noomon, nog (s—/>)
andere pimton, overoonkomonde met de overige combinatios
dor {«—/O" klas.so van dc 1) getallen, welke bot sym-

bool (>onor lijn vormen. Zoo liggen b. v. in do lijn 1, 2, \'.1,...
. . . (.s —/)), (.s —-f 1) bohalvo C\', de punten

l, :{.......(«-//4-I)

I, 2, a.......

IG

2, 3, 4,.........(.•>■-/>), 1)

in de lijn 1, 2, 3,......— (s —7> 2) behalve C,

de punten

1, 2, 3,......(.s--/> 2)

1, 2, 3,......{,-p\\ (.s--y> 2)

2, 3, 4.......(s- pl (s-i> 2).

Eliv punt eener cf. p lTj* kan dus beschouwd worden
als centrum van n — (« — p) lijnen, terwijl op elk dezer lijnen
nog (s — p) cf.punten liggen.

Deze punten vonnen (x — p) veelhoeken, wier hoekpunten
liggen op de n — (s — p) rechten door bel centrum gaande.
Een dergelijke veelhoek wordl gevormd door de punlen waar-
van de symbolen (.< — p—1) getallen mei bel symbool van
bel^eenlrum gemeen hebben.

De eenvoudigste veelhoek in een Hy^ i, welke niel in een
ruimle van lager orde gelegen is, wordt bepaald door /> -f 2
]Mmlen (door 1 punten zouden we toch een 11;» kmnien
brengen). Een dergelijke veelhoek wordl door Vkhonese eon
foiKhniinifaalpi/rawidc van de ruimle H;, i genoenid.

Liggen de overeenkomstige hoekpunten van oen aantal

«

veelhoeken op lijnen door éón j)unl (! gaande, dan booten
*

17

die veelhoeken perspectief. Een gevolg van deze porspoctiove
ligging is, dat twee hoekpunten van een veelhoek niet tle
overeenkomstige hoekpunten van een andere veelhoek liggen
in de Ra, welke bepaald wordt door dc 2 hoekpunten van
een dezer veelhoeken en het punt C; dat 2 tripels van over-
eenkomstige hoekpunten liggen in een Ra, bepaald door eon
dezer tripels en hot punt C; dat 2 «i-tallen van ovoroon-
komstigo hookpunten liggen in een R»,, bepaald door oon dior
»/-tallen en hel punt C.

Worden do hookpunton dozor (.>« — p) voolhookon paars-
gewijze door rechten verbondon, dan snijdon 2, door ov(>reon-
komsligo j)aren hookpunton getrokken Ri, daar zij in óón Ra
liggen, elkaar volgons oen R«.

Wordon door tripels hookpunton van elko veolhook ruinilon
Ra gobracht, dan snijtlon do ovoroonkoinstigo Ra, daar zij in
óón R;i gologon zijn, elkaar

2 aan 2 volgons oon Ra.a.—= Ri
en „ R:i.a-a.s = Ro.

Worden door quadrupols hookjjunton van olkon vo(!lhook
R:i gobrarht, dan snijdon do ovoroonkomsligo R», daar zij in
óón 11, gologon zijn, elkaar

2 aan 2 volgons oon Ra.3 —t = Ra

18

3 aan 3 volgens een R3.3.—2.4 = Ri

4 „ 4 , „ R4.3—3.1 = Rf).

Worden door (/? l)-tallen hoekpunten van eiken veelhoek
R;j gebracht, dan snijden de overeenkomstige R;,, daar zij in
één R;> i gelegen zijn, elkaar

2 aan 2 volgens een Ra.y,—^;,-!-!) = R;,—1

3 „ 3 , , R3.p—ü(p i) = T^p—i

/> ! » P l r » 1)/>-;>(ƒ) 1) = R«-
Worden door {p 2HalIen hoekpunten van elke veelhoek
R;, i gebracht, dan snijden de overeenkomstige R/j i» «hnar
zij in één 2 gelegen zijn, elkaar

2 aan 2 volgens een R;,

3 „ 3 , , R

/> 2 „ p 2 „ „ Ro.
Worden door (« — /<)-talIen hoeki)unlen van elke veelhoek
gebracht, dan snijden de overeenkomstige Ws—p—i,
daar zij in één R»—gelegen zijn, elkaar

2 aan 2 volgens een R.,_;,_s!

3 „ 3 , „

a—p „ K—p „ „ Ro.

19

Worden ten slotte door .s-tallen hoekpunten van elke veel-
hoek Rt—i gebracht, dan snijden do overeenkomstige R.s—i,
daar zij in één Rs gelegen zijn, elkaar

\'2 aan 2 volgens een Rs—2

» « » ru—3

s—p „ s—p „ „ R;,.

Projectoeren we de aldus vorkregen figuur uil een wille-
keurig punt van do R« op oon met dit punt duale ruimtcï
dan wordt iedere R„ goprojocloord o}) de R.,_i als een:

Ri 1—1 (.■»—i;—« =.Ro
iedere Ri gepi\'ojocleerd op do Rs_i als oen :

Ri I (s—i)—» = Ri
iedere R-.. goprojecfeord op do Rs_i als een :
Ri 3—1 {s—i)—s = Ra

iedere Rn—j geprojecteerd op do Rn_i als oon:

I^i (8—i)—1 («—1)—« == R.s—2
iedere R.*—1 geprojocteord op do R>—1 als een:

Ri «—1 («—!)—« = R.«—I

KIko in de R,s gelogen ruimt(! wordt dus gei)rojoctoord als
oen ruimte van dezelfde ordo, doch mi gelogen in oon R.s—i.

20

Projecteeren we nu alle in deze Rs—i gelegen ruimten
op een in die ruimte gelegen R«—2, dan wordt wederom elke
raimte vervangen door een van dezelfde orde, terwijl de
ruimten R«—2 de ruimte Rs—», waarop geprojecteerd wordt,
zelf opleveren en dus verdwijnen.

Zoo voortgaande, blijft er eindelijk bet oorspronkelijk aantal
Ro, Ri . . . . R;,, R;) i over, allen gelegen in één R;,4-2.
Projecteeren we deze ruimten op een in die R;) 2 gelegen
R;, i, dan krijgen we in die R;) i bet oorspronkelijk aanlal
Ro, Ri, . . . . R;,, dat we in de Rs geconstrueerd hadden,
tenvijl alle ruimten van hoogere orde verdwenen zijn.

Deze in een ïip i gelegen ruimten Ro, .... R;j behooren
allen lol de cf. p IT ®, zooals volgt uit het .symbool, dat
wij hen moeten toekennen, terwijl hel aanlal Rr/, dal we in
de i geconstrueerd hebben overeensleni! mei bol aantal
Ry van de cf. 1 T We liobben tocb g(!conslrueerd de
volgende ruimten Ro:

Het punt C..........\' . . 1.

De iioekpunten der (.<—;>), (« —.>f-|-/>)-hoeken, [n—p) (n—s p)

Elke 2 hoekpunten van 2, (« — .s-f ;>)-boeken

geven één R...........f^—f l\')

21

Elke 3 hoekpunten van 3, (n —s-f ;))-hoeken
geven één R...............(V)

Elke (x—p) hoekpunten van {s—p), (>t—s-f-^j)-

hoekon geven één H..........(-j;) ("7I;")

Aa..lai R.............. („»^X\'

Ruimten Ri:

(/»— s-\\- p) rechten door C.......« — .s -f

Elke 2 hoekpunten van elke (n — .s-f/>)-hoek

geven oen R,...........(V) (""r^\')

Elko 3 hoekpunten van olkc 2, (u — -f p)-

hoekon geven ó\'ón R,........(V\') (""3"\')

Elko 1- hookpunton van elke 3, (u — p)-

hoeken geven óón R,........("".r\'\')

Elko (.•< —/\'-|-l) hookpimton van olko (.s—/»).
(„_/,-f,).i,ooken geven óón R, . . . . (jlj;)

Aivntal R,..........................l)

Ruimton Ry,:
♦) Zio Idz. irj.

22

Elke p hoekpunten van een [n — s yy)-hoek

geven met het punt C één R^;.....

Elke (/> !) hoekpunten van elke (n — s />)-

hoek geven één R,,........(V) (""it")

Elke (p 2) hoekpunten van elke 2, (n—

hoeken geven één R;,........(V)

Elke hoekpunten van elke 8, (n—s y^)-

hoeken geven één R;,........(Y\') (\'7 3^\')

Elke s hoekpunten van elke («—/>), (u—
hoeken geven één R;,........gij;)

Aantal l\\j,............

De somiiialies van bovenstaaiiilo rceksun wol ilcn (SMiiakkulijli
uitgevoerd volgens een methode van Prof. va.n drn Ikiic. *)
, , /, , l\\"-(»-/\') (1 j)«

♦) „Do coiiHtructlc figuur enz.". Vcrwl. cn .Mcdodwiingcn iler Kon.
Akml. V. WctciiHC-h. 3» llcck«. J)ccl V blz. \'Jü7.

23

Het aantal R« is nu gelijk aan den coëflicient van xP in
het 1° lid dezer identiteit, dus gelijk aan

(n—(s—/>)) ~ (.s—/;)

Het aanlal Ri is gelijk aan den coëflicient van dus
gelijk aan

(n-{s—p)-l) ^ (.s-/\' l)
enz.

Een cf. kan dus geconstrueerd worden, wanneer

gegeven zijn (« — />) in een Rn perspectief gelegen {n—s-\\-p)-
lioeken.

Al nu)el ik hel bewijs schuldig blijven, zoo meen ik hieruil
te mogen besluiten, dal een y» f I T ook bepaald is door
(.s — />) in een Ry) i i)ersi)eclier gelegen (n—.><-|-/\')-boeken.

Wordt een o}) een in dezelfjie 11;) 1 gelegen R/i

geprojecteenl, dan ontstaat in die Ryi een pT

S 5. Wij noemen de i)unten, waarin 2 Ri, elk bepaald door
2 hoekspunlen van een (h — « -f />)-hoek, elkaar snijden, de
punten do; die, waarin R«, elk bepaald door 3 hoekpunten
van een (n — .s -f /;)-büek, elkaar snijden, de p\\mlen (/i; die,
waarin i Ra, elk bepaald door i hoekpunten van een (ii—n-j-p)-
hoek, elkaar snijden, de punlen (h; die, waarin (/-f-2)

L>4

Rt i, elk bepaald door (» 2) hoekpunten van een («—
hoek, elkaar snijden, de punten ai.

Noemen we verder elke Ri volgens welke 2 R2, elk bepaald
door 3 hoekpunten van een [n — .v /))-hoek, elkaar snijden
een Ri olke Rt volgens welke 3 R.t, elk bepaald door
1- hoekpunten van een (»1 — s /;)-hoek, elkaar snijden een
Ri elke Ri volgens welke (t 2) Rt a, elk bepaald door
(/■ 3) hoekpunten van een [n — s -H />)-hoek, elkaar snijden
een Ri bi.

Noemen we elke Ry, volgens welke 2 Ryj i, elk bepaald
door ip 2) hoekpunten van een (» — s />)-hoek, elkaar
snijden een Ry, po; elke Ry> volgens welke 3 R/; 2, elk bepaald
door ip 3) hoekpunten van een (n — « /O-hoek, elkaar
snijden een Ry, pi; elke Ry> volgens welke (<-|-2) R; y,-t-i,
elk bepaald <loor (tH-/^ 2) hoekpmilen van een (»— «-j-/))-
hoek, elkaar snijden een Ry, pi, dan bevat een y^ l T zooals
volgt uil do opsomming der R«, Ri . . . . Ry, op blz. 20,21
en 22, dus:

C 5) ("7 t\'\')

("7 t") "j"-
C ;;) ("7 t")

25

C s) (\'; ;i£) IV

Als i > q is, liggen in een een aantal R^ qi ■

= \'

Vt 7 2;\'

terwijl door een R,y qi gaan oon aantal R/ li =

_ /«—« /)—(»■ 7 2)\\ _ /H—s /)—(»■ 7 2)\\

W \' \'-^Ml \'Z ^V V t-q y

liidion / >7 is, liggen in oon R/

als j ^ /, eon aantal R\'y qj =

ais i <Cj<Ci f — q-\\- 1, con aantal i\\,j qj =

als y>t-f \' — 7, oon aantal ^^ qj =

lorwijl door oen R7 7/ gaan, als / ^ y, oon aantal R/ // =

< 2)-(y 7 2)^
als ./ -f 7 — / <C / <C A eon aantal R/ // =

als een aantal W,

919

Vragen Ave naar de grootste waarde, welke de index i van
een R»^ qi kan hebben, dan moeten we twee gevallen onder-
scheiden.

1®. Is 71 — « ^ dan komen voor de ruimten:
R(, «O tot en met as—p—2.
Rl , „ „ bs—p—2.

R/\' Po „ „ n />»—/>—2-
Voor n — » = d. w. z. voor de met zichzelf duale
cf. is er dan nog één Ry, /;«—;>—2.

2". Is n — » /i <! .V b. v. n — « /\'==» — O\' — 7); \'hm
komt er in de cf. nog één R,y qs—p—i voor, terwijl voor
R^y i de ma.x. waarde van i is s — j> — voor R^ de niax.
waarde van i is » — p — 2 — {f — 7).

De punten a, lijnen h, vlakken c.....R/, vormen te

zamen de perspecliviteitsliguur der (n—p) perspectief gelegen
{n — « />)-hüeken.

ij (). We hebben eeu fondamentaalpyr^imide in eeu R/j m
genoemd hel samenstel van /> 2 punten met de (\'\'.j") Ri,

R2.....   R;„ welke zij bepalen. EeU

fondamenlaalpyrainide in een R^m 1 i?* een//f 1 en hec;!!

evenveel Hp als Ro, in hel algemeen evenveel R,y als R/,-7.

27

Voor p = 1 krijgen we als fondanienlaalpyramide in het platte
vlak een driehoek, voor p = \'\'l als fondanienlaalpyramide in
de R3 een viervlak.

Tol hoeveel fondamenlaalpyramiden, deel uitmakende van
een p \\T ®, behoort een zeker element van die eonli-
guralie?

In een ;> iT® behoort een R«, zooals gemakkelijk is in te
zien als we het punt beschouwen als centrum van (.s — p)
perspectief gelegen (>j — if />)-hoeken, tol
fondamenlaalpyramiden, daar elke I hoekpunten van een
[n—.s-|-/\')-hoek met het centrum C éen fondanienlaalpyramide
oplevert. Een (n — « /^-hoek geert dus V) f"uda-
mentaalpyramiden en (« — p), [n — .s />)-hoeken geven dus

Rrengen we door het centrum C en een hoekpunt van een
der (n — .s-f-/>)-hoeken een Ri, dan behoort ileze lijn lol
van do (V) (\'V tO fondamentaalpyramidon,
waarin hel punt C voorkomt. Op die lijn liggen («— />-t-l)
ef.puiiton. Elko 2 dezer |)unlon geven aanleiding lol j

fondamenlaalpyramiden, waarloo dio lijn behoort. Een lijn
van oon z\' ir;] behoort dus tol fon-

damentaalpyramidon.

28

Brengen we door C en q lioekpunten van éen {n — «
hoek een dan behoort deze R/y lot fondanien-

taalpyramiden, waartoe C behoort. In een R/^ van de;j iT®
liggen = Ko. Elk dezer punlen is in die

R7 met q van de andere punlen door Ri verbonden, terwijl
die q andere punten 2 aan 2 door Ri verbonden zijn. Elk
punt van een ligt met [s—p) andere punlen op éen

Ri en behoort dus tot (s—p) groepen van (/ l punlen elk.
Een R^ heefl dus = g\'^ocpen van (7 1)

punten, die ieder aanleiding geven lot fondanien-

taalpyramiden. Een behoort dus lot (Y f^) ("^-VÏt\'O
fondamentaalpyramiden.

Een Ry, behoort dus in een lot j* .s)

ib n dam e nt aa I py ra in i d en.

§ 7. Van een d\'. /j iT^^, waarvan de elemenlen R7
worden aangeduid door de combinaties zonder herhaling der
in — qY klasse van u getallen, kunnen we op de volgende wijze
het bestaan bewijzen.

Laten in een R., gegeven zijn n ruimten R.s—1, welke aan-
geduid worden door de getallen van 1 lot «. Twee dezer
snijden elkaar volgons een R.<—2,

3 R.Ï—1 „ „ , , R.Ï—3,
*

29

P R.s—I

Rs-i

Men heeft dus in de gegeven R,*:

(?) (S) (3) -----(")

Projeeleeren we deze ruimton op eon in de gegeven Rn
gologon Rs—1, dan krijgen we in deze R.^—i: R«—2, (") Rs—3,
.... Ro. Projocteeren we deze ruimton op oen in dio
Rs—I gelegen R,*—2, dan krijgen we in deze R.s—2: R.«—3,
.... Ro. Projoetooron wo ten slotte de in oen R;> 2
gelogen ruimton Rp i .... Ro op oon in die R;» 2 gologon
Wp i, dan krijgen wo in deze Wp i: R^,, ,) H;,_i ..

... Ro, wolko to zamou vonnon oon, in die R^j 1 gologon, cf.

/ (;)"\'■ (;=i)>\'"
it. ! 11, \'.

........

R«.

rr")"- /

30

De cf. is dus duaal met de cf. yj l T®.

In heeft een Rw evenveel elementen als ineen
yi-i-ic® een R;j—dementen V{p—<j bevat.

De cf. l \' fj is duaal met zichzelf als i T =
= P  dus als:

.S = 11 — .S /J

of n = 2 a — p.

§ 8. Uitgaande van een R.<r kunnen we ons oen
op de volgende wijze voorstellen.

Zij gegeven een R.o—i C en in deze R«—i, («— R.v—-j.
Door elk dezer R.?—2 gaan bovendien, behalve C\', nog (s —/>)
R.,_i. Deze Rt—1 vormen dus [s — p), (« — s h
waarvan de met elkaar correspondeerende R.v—i door ëén
gaan.

Elke 2 R.S—a in C gelegen, hebben een R2(«_2)_(«_i) =
= R^—s gemeen.

Elke 3 Rs_.2 in C gelegen, hebben een R3(*—2)—i) =
= R.«—4 gemeen.

Elke 7 R«—2 in G\'gelegen, hebben een i)(s—1) =

= R.v—I gemeen.

Elke 2 Rs—1 van een der (.s- —(« —  snijden

31

elkaar volgens een R2(»—i)—.s- = Rs—2. Alle homologe R.s—2
hebben een Rs—3 gemeen, zoodat deze Rs—2

2 aan 2 een R2(s—1)—(s—a i)—i =Rs—1 bepalen.

Opleverende R..-.;

3 aan 3 een R3(s_i)_2{s_3 i)_i = R,v bepalen.

Opleverende ("-.2 ^\') R,;

(.s- -/>) aan (s~p) een R(s—/,) (s—1)—(.s—;>-i) (.y_3 i)_i =
= Ras—;)—» bepalen.

Opleverende (q;) R2..

KIke 3 R.s_i van een der (■•<—/>), (;»— .< />)-Rs—1 snijden
elkaar volgens een R.i(«_i)_2.s = R.s—Allo homologo Rs—3
hebben oen Rs—< gemeen, zoodat dezo R.s—3

2 aan 2 een R,(s_2)_(s_3)_i = Rs—* bepalen.

Opleverende Hs-«;

3 aiin 3 oen R;,(s—3)—1 = R«—1 bepalen.

Opleveroiulo ("-\'\') R^-i;

(.W —//) aan — oon R(s—ƒ,)(«—<)—(.»—ƒ,—3)—i =
= Ris-/»-4 bepalen.

Oplovorondo (^Ij;) ("-f R-...,-;,-^.

32

Elke q Rs—1 van een der {a—p\\ (n — sp)-l\\s—i snijden
elkaar volgens een = Rs—Alle homologe

Rs—fy hebben een Rs—,7—1 gemeen, zoodat deze Rs—r/

2 aan 2 een R2(s—7 1)—(s—7)—1 = Rs—7 1 bepalen.

Opleverende (""J^\'\'\') Rs-7 1;

3 aan 3 een R3(s_y i)_2(s—7)—i-Rs—7 2 bepalen.

Opleverende (Y\') Rs-7 2;

is — p) aan (.s —een (s_,y i)_(s—1) (.<t—7)—1 =

= Ras—y>—7—1 bepalen.

Opleverende Ra.-;,-7-,.

Elke (.•<—;>) R.-?—1 van een der U — p), (h — .s /^)-Rs—1
snijden elkaar volgens een R(s—y,)(«—11)« = Ry,. Alle
homologe Ry, hebben een Ry>—1 gemeen, zoodal deze Ryj

2 aan 2 een Ra(p i)—y;—1 = Hy^ i bepalen.

Opleverende

3 aan 3 een R:((y, i)_ay,_, = Ry, a bepalen.

Opleverende (Vyt^\')

(s—p) aan (s—p) een R(s_y,)(y, ,)_(8_y,_i);,_i = Rs—i bepalen.
Oplevcrmulc (q;) ("-;") 11.,-,. - .

33

Elke sRs—1 van een der (s — p), (n — sp)-R.<,—i snijden
elkaar volgens een = Ro. Deze Ry bepalen

2 aan 2 een R, opleverende Ri?

3 . 3 „ R^ „ (V) ("-r^^i

{s-p) aan (.s-p)een R.,-;,-, opleverende

We hebben thans in de R» geeonslrneeid een figuur be-
slaande uit:

Een R.s-1 C........... 1

........(Y)

Elke 2 R.,—2, waarin 2R.y—i van één (/j—
■Ws-i elkaar snijden, bepalen één . (""o^^\')

Elke {s — p)l\\p, waarin (s—van één
(n — «/<)-Rs_i elkaar snijden, bepalen

............ Ci;:) Cr-V)

a,-............. (.::,,)

(» — s-f-/>) R.S—2 gelegen in de i C . . (» — « /\')
Elke 2R»—1 van een (n—i{-|-yj)-R.*—i snijden

elkaar in één R«-«.........[y)

Elko 2R«_8, waarin 3 Rs_i van één {»—s-\\-p)-
-H.S-, elkaar .snijden, bepalen één R.,_2 . (V)

f

34

Elke (s— waarin {s—p l)Rs—i van
één (n —s /))-Rs—1 elkaar snijden, bepalen

óón R.-............• CsZ^)

Aantal Rs-2........................(s-p l)

Elke p Rs—1 van een (n — s ;))-Rs—i en
de Rs—1 C snijden elkaar volgens een

R(;, 1) = ......

Elke (/> l)Rs—1 van een (n —s-f ;})-Rs—i

snijden elkaar in een Rs-p-x.....(\'7^) (\'V t^)

Elke 2Rs—jï—2, waarin (/;H-2)Rs—i van een
(n — s 4" 2\')-Rs—1 elkaar snijden, bepalen

«n-R»-;-............(?) (7:2")

Elke (.?—;>)Ro, waarin sRs—1 van één (/i—
-Rs-, elkaar snijden, bepalen één Rs-i^-i. (jljj)

Aantal Rs-;>-,........... (")

Snijden wc de aldus in Rs geconstrueerde figuur door een
Ryj-t-i, dan krijgen we in die R;, i een figuur beslaande uil:

t

35

{s-p l)  = ï^i\' l

Q = (;) Ro.

te zamen vormende een yj l C7®, welke bevat

O^i\') ("T-^t")«\'\'^"-

Als < ]> 7 is gaan door een R^ qj
als I ^ < — q een aantal R/ ti =

\\{t p-t 2)-lj p-q 2) \\i 2-0\' 2)}
als i — t-^q <ij ^ i een aanlal R/ ti =

\\i p-t-i-2) \\i 2-U 2))
als i een aanlal R/ ti =

= (J p-\'i \'A

36

lenvijl in een U liggen, als is, een aantal R^ qj —

_ (i p—t 2\\ (i 2\\
~ \\j P-q V \\j 2}

als j\'^ i q — t is, een aantal R^^ =

_ / n-s p—{i-\\-p—t 2) \\ (i 2\\

als i<ij is, een aantal R,^ qj =

_ / n—s p—{i p—t 2) \\ (s—p—{i 2)\\
~ \\(j p—q 2)—{i p—t 2)) \\j 2—(i 2))\'

Een cf. p l CT« i-an dus geconstrueerd worden, wanneer ge-
geven zijn {s—in een Rs lineaal*) gelegen (n — s-f-73)-Rs—i.

Wordt een cf. /> 15" * gesneden door een in dezelfde
R;, i gelegen R;,, dan ontslaat in die R;, een cf.

Daar een cf. ;? ! T ® = cf. kunnen wc ons

een combinatorische configuratie op Iwee wijzen ontstaan
voorstellen.

Aangezien een fondamenlaalpyramide evenveel R;, als Ro,
evenveel R;;—5 als R^ bevat is het gemakkelijk in te zien,
dat een R^, van de cf. i^ l ö"® behoort tot (Y\') (\'7 1^\')

♦) Dc beteekenis van do uitdrukking lineaal, ingevoerd door Schuoetku,
Crellc IJd. 100 S 238, ia hier uitgebreid tot de mccrdimeiisionnlo ruimte.
De bedoeling is, dat dc (s—p), {n—s p)-H,-i, zoodanig gelegen zijn,
dat elke {s—p) homologe elkaar snijden volgens R«-2, wclkc

(?J—gelegen zijn in óén

37

fondamentaalpyramiden, een tot

fondamentaalpyraniiden, een tot

fondamentaalpyramiden. We behoeven om dit in te zien de
redeneering van § G slechts dualistisch te vertalen. Een
Ro behoort dus tot — fondamentaalpyramiden.

HOOFDSTUK JI.

Eigenschappen der Combinatorische
Configuratie in Rpo-i.

§ 1. Zal een groep onderling gescheiden pnntenvreemde,
d. w. z. geen cf.pnnt gemeen hebbende /; 1 T in een j} \\T
(m>«) voorkomen, dan moet het aantal punten van de
/) l T deelbaar zijn door hel aantal punten van de ;> i T
Een r voonvaarde is dus:

{s-p) \'\'oor

Voor de notatie van deze configuraties p \\T zijn noodig
ij—^ {s—j) groepen, elk van n getallen, dus in het geheel
• (s—;,)! getallen. Daar elk getal in dezo groepen
evenveel malen moet voorkomen, moet • («—;>) | "

baar zijn door in, dus een 2\' voorwaarde is:
<lcelba,-,r door

Elko combinatie van s — p—1 verscliillende getallen geeft
aanleiding lot "^Zfs-p\'Efj groepen van n getallen, die niet

39

meer dan {s — p— 1) getallen en dus geen punt gemeen hebben;
de notatie van een punt tocb vereischt (s — p) getallen. We

kunnen dus opschrijven • (s-p-l) =

= = (s-y,)\' "-l^i\'^en, die niet meer dan (s—1) getallen

gemeen hebben. Dus juist voldoende om de puntenvreemde

te noteeren. Een 3® voorwaarde is dus:

m — (s — p — 1) deelbaar door n — (s — p — 1).

Wordt dus voldaan de 3 voorwaarden:

Iin — (.s — p — 1) deelbaar door n — (s — p — 1)
00 ( m\\ ( n \\

oe / »«-1 \\ ( n-ï \\

dan beval een l een groep van : punlen-
vreemde /, lT"*. Een dergelijke groep wordt, daar /ij alle
punlen der l T^\'* bevat, als oen boofd-/, l T\'J^-groep aan-
geduid.

Voor n=x worden bovenstaande voorwaarden:

r. m — s deelbaar door />-f- 1
" " (/")

^\'M«-;;:^.) . • (V)

Wordt hieraan voldaan, dan heeft de l T punlenvreonide
hüofd-/M 1 T ^-groepen. Daar een l tJ beslaat uil óon

40

r- S

m

Ryj en de daarin gelegen i, . . . . Ro, bevat een 17
dus in dit geval groepen van : R;^, welke Ry; geen

ruimten van lagere orde van de cf, gemeen hebben en waarin
alle punten van de cf. gelegen zijn, d. w, z. puntenvreemde
hoofd-Ryrgroepen.

Voorbeeld: Een 3 T= (TSJJ ; 286^®; 715^) heeft een
puntenvreemde hoofd-R2-groep dus een puntenvreemd hoofd-
veelvlak, want daar p = 2, s = 4, ??i = 13 is, hehben we:
Ie. 13 — 4 = 9 deelbaar door 3

Cf) = 12 . . (|)=3

3Tj3 heeft dus puntenvretmde hoofd-13-vlakken.

Op dezelfde voorwaarden, waarop een ;> 1 T een punten-
vreemde hoofd-/) 1 7 ®-groep heeft, heefl een p 1 (7 een
R/)-vreemde hoofd-/j 1 C *-groep, welke alle Ry, van do cf.
bevat. Dus als aan die voorwaarden voldaan wordt, heeft een
 een Ry,-vreemde hoofd-/) 1 T groep, die

alle Ry) van de cf. bevat.

Stellen we n = s in genoemde voorwaarden, dan heefl dus
als:

r. m — s deelbaar is door ;> 1.

06 ( m\\ (8\\

41

3«. (.Ü^T^i) deelbaar is door
een Ry,-vreemde hoofdveelhoek, die alle R;, van de ef. bevat,
aangezien /j iC"^ een enkel punt met de daar door gaande
Ri, Ra, ... . R;j voorstelt, d. w. z. dat op dezelfde voor-
waarden een ;> l T een Rn-vreemde hoofd-» 1 T

#fi * S

groep heeft. (Aannemende, dat een éón Ro met de
daar door gaande Ri, R» . . . . Ry, voorstelt.)

Omgekeerd heeft een 1 5" "l—®"*"^\' puntenvreemde hoofd-
l) l(7 ^\'-groepen op dezelfde voorwaarden waarop een 1T
puntenvreemde hoofd-;» 1 T *-groepen heeft. (Aannemende, \'

O

dat een ;> l één Ry, met de daarin gelegen R;>—i ....
Ro voorstelt).

§ 2. Do voorwaarden waarop een groep lijnenvroemdo
y> 1 T ® in een p lT ^^ voorkomen zijn de volgende:

1®. Het aantal lijnen van Z\' i\'*\',^, moet deell)aar zijn door
het aantal lijnen van dus:

1". Voelbaar door

Het aantal getallen noodig voor de notatie dor/> 1 Tj\'^,
(s—y\' i) \' (»—y" l) " deelbaar zijn door m dus:

2\'. (\';\'-;) doolbaar door

Elke combinatio van {s — p) getallen geeft aanleiding lol

42

groepen van n getallen, die niet meer dan (s — p)

n—(s p)

getallen gemeen hebben. Er zijn dus : (s—p) ==

= (s_pVi) : G—groepen mogelijk, dus juist het
benoodigde aantal om alle p lT^ te noteeren mits dns:
3®. m — (.s — p) deelbaar door n — (s — p).
Deze voorwaarde zegt, dat het aantal lijnen door een punt
van p lT ^^^ deelbaar moet zijn door het aantal lijnen gaande
door een punt van 1 T ®.

§ 3. De voorwaarden waarop een p lT^^^ een groep
Rr^-vreemde p lT"\' bevat, zijn:

1®. Het aantal R.^ van een yj iT^^ moet deelbaar zijn
door het aantal R^ van eön T®, dus moet deel-

baar zijn door

2®. Ilet ajintal getallen voor de notatie noodig :

: n moet deelbaar zijn door m dus moet

deelbaar zijn door

3®. Elke combinatie van (» — ƒ)-f y — 1) \' getallen geeft
aanleiding tot groepen van n ^\'ctallen, welko niet

meer dan {s — p-\\~Q—1) getallen gemeen hebben. Er zijn dus

j/ w \\  ?—!)) / n \\ _ / M» \\ . / » \\

iV"—/\' 9-V • \\>i-p q-\\/ V-p q)\' V-p q}

dezer groepen mogelijk, dus juist hel benoodigde aantal om
alle lo noteeren, mits — (s —/> e/— 1) deelbaar

43

is door n — (s— 7 — !)• Deze voor^vaarde zegt, dat het

aantal R^, dat in de cf. p l T gaat door een R^—i deelbaar
«

moet zijn door het aantal R^, dat in de cf. /j 1T ® door
een R^—i gaat.

4®. Het aantal R^, dat in de cf. ;; 1 T ^^^ gaat door een
R^—2 moet deelbaar zijn door het overeenkomstige aantal in
de cf. dus:

deelbaar door («-(«-5 7-2)^,
. 5®. Het aantal R,y, dat in de cf. 1 T ^^ gaat door een
R7—3 moet deelbaar zijn door het overeenkomslige aanlal in
de cf. ;) 1 T dus:

(\'«-(\'\'-5 ^-3)) deelbaar dbor 

(y 2)". Het aanlal R,y, dat in do cf. /j lT^^^ gaal door
oen Ro moei deelbaar zijn door hot overeenkomstige aanlal
in dc cf. ;) ! T * dus:

deelbaar door

Stollen we in do gevonden voorwaarden n = s dan gaan
(loze over in de voorwaarden waarop een een R(/-

vroemde boofd-R/rgroop lioefl.

§ 4. Op dezelfde voorwaarden waaroj) oen een

Ry,_,y-vreenule hoofd-;, 1 7 "^^-groop beval, heefl een ;, l5"

44

een Rry-vreemde hoofd-p i CT ®-groep. Zal een 73
een R^y-vreemde hoofd-y; 1 !7 ^^-groep bevatten, dan is toch
noodig dat:

1®. Het aantal Ro van de p l(7 ^ deelbaar is door hel
aantal van de y) l C® dus:

(A) (A)-

2®. Het aantal getallen |(A) \' noodig voor de

notatie van een dergelijke groep deelbaar is door m dus:

deoltoar door

3®. Elke combinatie van (s — q—1) getallen geeft aan-
leiding tot 1 groepen van n getallen, die niet meer

n——q—

dan {s — q—\\) getallen gemeen hebben. We krijgen dus:

IU-.) : U\'-.) = (.-,) ^ (A). -

het benoodigde aantal groepen van n getallen. Dus moet
7n — (s — q —1) deelbaar zijn door n — (s — 7 — 1), d. w. z.
het aantal R^y, dal ligt in een R^ i in een y> lC7 moet
deelbaar zijn door hel overeenkomstige aantal in ceny> lC,\']
4°, Hel aantal R/^, dal ligt in een \\\\,i e in een p K/^^^,
moei deelbaar zijn door hel overeenkomslige aantal in een
yj l ö-«, dus:

deelbaar door

45

(/)—7 2)® voorwaarde. Het aantal R^, dat ligt in een R;; van
de /j ic^®, moet deelbaar zijn door het overeenkomstige
aantal in de p 15"®, dus:

deelbaar door

§ 5. Heeft een /j ITJ^ een -vreemde hoofd-/> l ru-
groep, dan behooren hiertoe alle R/>—i van de ef. en dus ook
alle ruimten van lagere orde.

*

V^erwijderen we uit de de R;; behoorende tot die

-vreemde hoofd-/> 1 T "^-groep, dan blijven door elke

Ry,_i [w —(s—l)j —[n —(s—l)j=(»j —n) R;, gaan en blijven
hn\\ / m \\ / « \\| /n\\ / \\ (»t—s l «—s l\\

/ \\ jn—n

- is-i; — R/^

fff_/jj_o\\

Een R/,—2 behoort lot -^^g—jj cf. p 1 T Er gaan toch
door een R/,_2 in een —(«—2)| R;>—1 en in een

r lT\'l, In —(« — 2)1 R;_,. Elke R;,_, behoort tol éen
van de hoofd-/M 1 T "\'-groep. Een R/,_2 behoort dus

\'iiZ-ls—\'J) /\' ^ Verwijderen wc dus de Up dezer hoofd-
T®-groep, dan verliest elko R/,-«, U/\'-

Er blijven dus door ecn R;>—« gaan:

[ 2 )- \\ 2 )= im - «) R,,

Een R;>_n behoort tol : cf.;» 1 t;;, want

door een R/,—» gaan in oen /j itJ^ R/>—1 cn in

46

een p i T terwijl elke R;,_i behoort

tot éen van de hoofd-/? 1 T\'\'-groep. Verwijderen we

de Ry, dezer hoofd-/, 1 T ®-groep, dan verliest dus elke R;;—3
. Ry,. Er blijven dus door een

R,_3 gaan: (-"g-^)) - : («Hj-^

Zoo voortgaande vinden we ten slotte, dat door een R/>—9
(m—s q) . I . . (;«—s 2) , , /in—s q\\ju—ti„

nog gaan \'--{m — n)= [ \'j —R^-

Er blijft dus na verwijdering van de Ry,\'eener Ry,_t-vreemde
hoofd-p i T®-groep uit een cf. p iT over een cf.

I (m—(s—p)\\ m—n

/ l 7>-i ; —

\' (s-p l)

m—{s—p 1)
Wi—n

(s—p) («-p) /

Voorbeeld: Voor p=2 heeft 37 02= (231 154ü\';f; TSlf^J)

lijnen vreemde hoofd-3 T \'j-groepen en ook lijncnvreemde hoofd-

veelvlakken n. 1. ) : Q = 385-vlakken.

4

47

Verwijderen w^e uit 3 T ^^ de vlakken van een lijnen vreemde
hoofd-3 T ^-groep, dan houden we over een cf.

(231 154015. 5775
Verwijderen we uit p iT ^^ de R/, eener R;>—i-vreemde
hoofd-Rp-groep, dan houden we een cf. over, welke uit de
voorgaande kunnen afleiden door ii=s te stellen, dus een cf.

(A) : .(.-,)

ci;,) (A.)\'

Voorbeeld: Verwijderen we uil STg^o vlakken van een
lijnenvreemd hoofd-38ö-vlak dan blijft er over een cf.

(231 1540 0930 ;i)
e». Op de voorwaarden waarop/; ! T een R^-vrecmde
hoofd-/, i r *-groep heefl, beeft/, 1 C7 een -vreemde
hoofd-/, 1 £7 *-groep.

 heefl een R;,—i-vreemde hoofd-/, 1 T*-groep op

de volgende voorwaarden:

P. deelbaar door (^»j)

" « (ri) •

4". . . ("-(r\'^)

48

(p 1)-. (""^V\') . CV-T"\')-

Op deze voorwaarden heeft dus p lC^® een Ri-%Teemde
hoofd-p 15" ®-groep.

Voor n = s heeft dus p lCT®^ op dezelfde voorwaarden
een Ri-vreemde hoofdveelhoek waarop p l T ^^ een
vreemde hoofd-R;,-groep heeft.

Heeft een p \\ 7 ^^^ een Ri-vreemde hoofd-;? l -groep,
dan behooren hiertoe alle Rt van de cf. en dus ook alle
ruimten van hoogere orde.

Verwijderen we uit p 1 5" do Ro, hehoorende tot dio
hoofd-/) l (7 ®-groep, dan bhjven in elke Ri liggen jm—(.9—1)1 —
— |n —(s—1)1 = (m —m) Ro en er blijven over —

Een Ra\'behoort tot "rl^Z^ ^f. cr dus verliest een

^^ls—2) Ro. er blijven dus over (tn — s-\\- 2)

Ro enz. We houden dus ten slotte over een cf.

I ö (PD Ct\')

(WI Vm—n \' / \\ " f \\

\\ , (5) ("-S^ii\'\'^\'\')^\'

49

m—{s—p) \\
(ni—(s—p)\\ m—nj

\\ 7>-i )-tI

Hadden we uit p \\ CT^® een Ri-vreemde hoofdveelhoek ver-
wijderd, dan hadden we een ef. overgehouden, welke uil
bovenstaande wordt afgeleid door n=s te stellen, dus een cf.

Ct\')

m—s

(m—{s—p \\)\\ m—s

I ) irrr

VI-{K-p) ^ \\

■■ (A) ;

/ui—{8—p)\\ tn—s
\\ /\'-l )—/

S 7. Stellen we ;» i r = i (7 dan is:

dus: m = \'-2s — p.
/> l stelt (lus de mol zioli/olf duale connguralio

voor. Deze cf. hooft dus o|) do volgende voorwaarden eon

50

Rp_i-vreemde hoofd-/j lT®-groep en tevens een Ri-vreemde
hoofd-p l T "-® P-groep.

deelbaar door

f-\'r\') • \' ("T\')

Verwijderen we uit een cf. T welke aan deze

voorwaarden voldoet, de R/? van- de vreemde hoofd-
1 T ®-groep en de Ro van de Ri-vreemde hoofd-/, 1 T ®-groep,
dan houden we over een cf.

I /m—{s—p)\\m—n (7H—{s—p 1)\\ in—ti

\\ P-^ - )— \\ ) ^

(?n \\ 7«—n • . / wi \\

Ct\')

ni—n

(.-.) \\

. ( m \\ VI—n

\' \\s-l} —

{m—(8—p l)\\ VI—n «

Waarin m = 2 « — p dus een cf.

51

1\\ 2s—p—n

p-1

\'2 s—p\\ 2 s—p—n

• t •

/s—1\\ 2 s—p—n / s \\ 2 s—t>—n

\\l>-2) {;,-lJ ---/

De cf. heeft een R/,_i-vreemde hoofd-lVgroep

en legeHjk een Ri-vreeinde lioofdveelhoek als voldaan wordl aan:

(s—i)~(\'\'f—i) deelbaar door s.

3*. m—s = s—P „ „ 2

Verwijderen we uil 1 jde H/, van de hoofd-H;,-
groep en de Ro van de lioofdveelhoek, dan houden we over
een cf., welke uil bovenslannde volgl <loor n = s Ie stellen,
dus een cf.

52

fs—1\\ s—p

(V-H")\'-? i ;f;rf)

(1)

Een cf. welk aan de vereischte voorwaarden voldoet is b.v.
3 T Deze cf. heeft een lijnenvreenid hoofdvqelvlak en een
lijncnvreemde hoofdveelhoek. Venvijderen we de vlakken
dezer hoofdveelvlak en de punten dezer hoofdveelhoek, dan
blijft er over een cf.

(112 14 lüx

/.30\\ 14 . /3Ü\\ , m\\ 14 \\

liöj ïö ■ lir,; \' \\\\b) Tö I

IG 14 112/

§ 8. Nemen we aan, dat een p lT^® bevat een groep
van X gescheiden Ry>_i (d, w. z. geen 2 in één Rp ge-
legen). Elke R/,—1 wordt voorgesteld door (s — 1) gclallen.
Deze (s—l)-tallen hebben niet meer dan (.v — 3) getallen
gemeen, dns hebben de x Rp_i ook geen R;>-2 genjeen.
Door de x gescheiden Rp—j gaan x (?» — .s-j- 1) R^,. In elk

53

dezer Ry; liggen (s — 1) van de overige R;,—i. Gaan deze R,,
(s— 1) aan (s— 1) door de overige R;?—i, dan noemen we
de groep van x een neven-x-R/;—i en hebben we:

(s—1) X overige R/>—i gelijk aan x —s l) X bet
aantal overige R/>—i in elke R/;, dus:

(.-Dj ("\'-\' 11G-.)-1 i

Om het benoodigde aantal groepen van (.f—1) getallen lo
krijgen, die sleehts (»--3) getallen gemeen hebben, moeten
we elke combinatie van (s —3) getallen lot een (s—l)-tal maken,
door er 2 van de overige m — («— 3) getallen bij te voegen.
\\Ve krijgen dan } („^Üg) \'-^j—| = GI3) = (s-iï) : -1) = jr
groepen van (."»—1) getallen, dus juisl hel benoodigde aantal.

De tabel voor de nevcn-x-R/j-i bevat («—1) r golallon.
Daar elk getal evenveel malen voorkomt, moet («!!!•_>)
deelbaar zijn door m.

Op de nevcn-x-Ry,_j liggon x (jZl) = (,<-2)\'

van do ef. Dus olko R/;-a ligt in óón van de

Jülke Ry,_3 ligt in van do x R/>_i.

54

® = m X

——ry: van de x R»—i.

m—(s— 2) r

„,, „ , . r/m—(s—5)\\ m—(s—3)\'
ElkeRyj-sligtin [ 2 )—\\—^

van de Rp-^.

Elke Vip—6 ligt in

ElkeR,_,ligtin : f i^) = ("VlV^^) X

de a; R;,-,.

Elke Ro ligt in
1

^ \'V-I-

Voor het beslaan van een neven-a:-R;,_i krijgen we dus
de volgende voorwaarden:
1® (j!!!^) deelbaar zijn door —1).
2\' deelbaar zijn door m.

3® m — s 3 moet deelbaiu- zijn door 2.
4®(m —s 4) (m—s 3) moet deelbaar zijn door 2. 3.
5® (w—s 5) (m—s 4) »/—s 3) moet deelbaar zijn door 2. 3.4.

p®(>//—5 p) (m—1).. ..(m—s 3) moet deelbaar zijn

door ip—1)!
*

55

Dit komt hierop neer, dat, wanneer aan de eerste twee
voorwaarden voldaan is, we een neven-a;-R;>—i kunnen ver-
wachten. wanneer:

a. m — s-f- 1 deelbaar is door alle getallen <C.p
ofi. m —s 3 „ „ , „ , <p.

Verwijderen we de neven-ar-R/,—i uit de p  dan

kunnen we de overblijvende onregelmatige figuur splitsen in
2 configuraties.

1®. De overblijvende Rp—i met alle R/)—a, .....

Ro ^ de R/,, welke door de neven-j;-R;>_i gaan. Deze cf.
hoea: Ro, {j;;,,) R..... R;,-. =

= en = R,,.

Klke R/, verliest éón ïip—i. Kr blijven dus in een R;,, («—1)

Rp-i over. liet aantal R;)_2......Ro in een R/, blijft

onveranderd. Door elke R;>_i gaan («—1) R/,. Hel aantal
overige rnimlen\' in een R;,_i gelegen blijft onveranderd.

Klke R;>—2 verliest één R;j—i, terwijl er (ui—s1) over-
blijven. Hel aantal incidentjes van ruimten R/,—s met R/, =

= (sl\'2) X »»"i\'»\' \'V

_„„ Tï _ i/«\\ / VI \\ WI—« 1 . ( f" \\ — (w>—g-f l)a

een — ^^„oj • ^^.oj — —ry--

56

Rp_3 verliest Vtd^ lerwijl er overblijven -

= (w — s i) Rp-x.

Aantal incidenties van ruimten Rp—s met R;; = (^.Is) X {s—^

dus het aantal Rp gaande dooreen R/>_3 = {(3) X

ni—s 1) / \\_s (7/1—g 3) (m—s 1)__s /m—(s—3)\\

5—1 j = V—3/ ~ 3! ""771—s 2\\ 3 /•

Elke verliest : (^V^) terwijl

er overblijven - [(\'""^F\'^^) "Jzi^^] ; (7"!) =

_ /777—(S—m—(8 — l)

V 7—1 ) m—{s—2)

liet aantal incidenties van ruimten Rp—<7 met Rp = X

(s—2) "\'a—i \\ is het aantal Rp gaande door een Rp—9 =

_ (/s\\ / m \\ w—1) ^ \\ /\'«-(a-"?)^ __f_

— \\\\q)\\s-2J — \\ q J„,_s 2\'

Het is dus een cf. waarbij door een Rp—7 een aantal
Rp gaan = (\'""J\'\' voor y=2 lot p.

moet dus ook een geheel getal zijn voor

2=2 lot p, d. w. z.:

s (m —«4-1) moet deelbaar zijn door 2.!
s{m-s l) {m-s 3) „ „ „ „ 3.!

s {vi- Ä 1) («i—s 3).... {m—s-\\-p) „ „ „„ /).!
We hebben gezien, dat (m — s 1) of Oa — 3) deelbaar

57

moeten zijn door alle getallen <! p, aan deze laatste groep
voorwaarden wordt dus voldaan als éen der getallen s,(hj—s 1),
(7/1 — 8 3), .... {m — s-\\-p) deelbaar is door p.

De 2® configuratie heeft dezelfde R;,—i, R/j—2 . . . Ro doch
de overige R;;, dus de die niet door de neven-x-R;,—1 gaan.

Het aantal R/, =

_ /»i\\ _ / VI \\ ni—s l _ / \\ (w—8 1) (w—2« 2)

— \\s) — 7^) •

Het aantal R;, gaande door een R;,—i =

= tn — (s — 1) — (s — 1) = wi — 2 « 2.

Het aanlal R;, gaande door een R;,—7 (\'/ >• 1) =

\\ 1 ) m—8 2\\ V / \\ 7 / vi—s 2\'

§ 9. Op dezelfde wijze als we hierboven neven-.r-Rp_i
hebben afgeleid voor een 1T ^^ kunnen we voor een
neven-x-Ri afleiden. Een dergelijke neven-.c-zijdo
beslaat uil x gescheiden lijnen (zij hebben geen punl gemeen),
terwijl de punlen op deze lijnen gelegen (s— 1) aan (.s— 1)
op do overige lijnen van de cf. liggen. De lijnen van do
neven-x-zijde hebben ook geen vlak gemeen, terwijl alle
vlakken van de cf. door die x lijnen gaan enz.

Stellen wc p = 2, dan zien we, dat een 3 T indien
voldaan wordt aan de voorwaarden

58

(s-2) deelbaar door (s—1)
„

3®. ïM—s 3 deelbaar door 2,
een neven-a;-zijde beval. Op deze rc-zijde liggen alle punten,
van de cf. Na venvijdering der neven-a;-zijde kan de 3 T ^
gesplitst worden in:
1® een cf.

(;«—s 1)» s—1 («—1)\\

(tn \\ m—s 1 / \\ —® 1

s-2) s-\\ \' \\s-2) s-1

[v /

\\

en 2® een cf.

(»«—.-» !) OH-2 2) 7H—2.Ï 2

7TI \\ m—s l . / tn \\ (wi—s 1) (wj—2s 2)

(7M \\ m—s

s-2)

Voorbeekl. De cf. 3 T ^ = (3G ; 84-; 12G J) voldoet aan
bovenstaande voorAvaarden en heeft een neven-12-zijde. Na
verwijdering dezer neven-I2-zijde kunnen we de overblijvende
figuur .splitsen in een cf. (3G 72 jj; 72 jj) en een cf.

Op dezelfde voorwaarden waarop een 3 T een neven-jr-zijde
beval, waarop alle punten van do cf. liggen, beval een 3
een neven-j-zijde, waardoor alle vlakken van de cf. gaan.

59

Na verwijdering van een dergelijke neven-x-zijde kunnen we de
overblijvende figuur splitsen in 2 configuraties en wel 1® een cf.

/ /8\\ S —1 Ml—s l
l2j

(m \\ ?«—s l / wi \\ wi—s l / tn \\

s—1 s—1 (tn—s 1)^1

\\ r"

2® een cf.

ƒ s—1 m—s l \\

/ w< \\(/n—s l) (»n—2s 2) . / m \\m—s l . / \\

U-2;---^ ^

^ s 7«—2s 2 (wj-s 1) (JH—2.0 2)
\\ • -2-

Nemen we aan, dat 3 T een neven-x-zijde heeft, die alle
punten beval dan voldoen m en 8 aan de voorwaarden:
r. ?n — n oneven,
r. deelbaar door

3\'. (,Z,) . . (»-!)

Nemen we verder aan dal 3 r = 3 c ^" ook een
neven-x-zijde beeft, welko alle vlakken beval, dan voldoen
in en .s bovendien aan drie voorwaarden:

i®. m — (ifi — if 2) oneven dus n oneven.
5". („".!_s) = (s) »loelbaar door ni.
Gt. deelbaar door m—s-\\-l,
dan heefl (lu.s 3 r zoowel oen noven-x-zijde, die alle punlen
als een, dio allo vlakken beval. De voorwaarden eischen,

GO

dat s oneven en in—s ook oneven zij, dus dat s oneven en
m even zij. Aan de 6 voorwaarden wordt b. v. voldaan door
3 T In het algemeen zullen de twee neven-x-zijden samen-
vallen als:

(,-2) ^ (»-!) = (.„-:\\2-2) ■■ {»\'-\'\' 2-1),

dus als:

s = m — 6- -f 2
m = 2 (s — 1),

d. w. z. bij de met zichzelf duale cf. 3 t = 3 C7 2(s—i)-

Als de cf. 3 T 2(s—1) een neven-a;-zijde heeft, die alle punten
bevat, dan gaat zij ook door alle vlakken. De cf. 3
heeft een neven-x-zijde als:
1®. 5 oneven is.

2®. deelbaar is door (2s-2).

. 3®. fV\') » " " («-!).
Aan deze laatste voorwaarde wordt steeds voldaan, als
aan de 2® voldaan wordt, er blijven dus slechts twee voor-
waarden over.

Aan de 2® voorwaarde wordt, voor zoover ik het heb kunnen
nagaan, voldaan door elk getal, dat geen macht van 2 is.
Aan de eerste twee voorwaarden wordt dus dopr elk oneven

getal voldaan.

*

61

Verwijderen we in • een 3 de neven-j;-zijde, dan

verliest elk vlak en elk punt één lijn en er blijft over een cf.

/ (I)

5-1

V!

bestaande uit een gelijk aantal punten, lijnen en vlakken.

/ 10 4 5 \\
Voorbeeld: 3t^ = I.\'ïg ; 70 ; r)(5 I
® V 5 4 10/

Na verwijdering der neven-.r-zijde, blijft er over een cf.:

( 10 4 4 \\
5g ; 56 ; 50 I
4 4 10/

Hadden we uil verwijderd allo niet loldeneven-

j--7,ijde behoorende lijnen, dan hadden we overgehouden een cf.:

en ^er).:, ^cr^)
1 .<1-1

§ 10. Wanneer deelbaar is door r b.v. m = rmi dan
kunnen we de m getallen inel behulp waarvan een /) l
genoteerd wordt, verdeden in groepen van r getallen.

1 . . . . r|(r 1) . . . . 2r

We kunnen nu als ;>m > h is in /> )-i T oen cf. aanwijzen,
waarvan de punten, lijnon, .... H,, geon 2 getallen uil één

62

dezer groepen bevatten. Deze cf. heeft dus r^—P Roj

Door elke Ro gaan r [iih —s-\\- p) Ri
„ „ R. „ Ra

„ „ Ro „
In elke Ri liggen (s1) Ro
Door elke Ri gaan r — s ^ — 1) R2
lil „ r^ (\'«.-Y^-^) R3

„ , R. „ R;,

In elke R2 liggen (s — 2) Ri

Door elke R2 gaan r (jni — » p — 2) Ra

G3

In elke Rp liggen s

n R/, » (2) R/J—2

In elke Ry, liggen R;,_3

Rn.

Ilet is dus een cf.

ri-pt\'"\') ■.r\'-P \'f

r /,—!)

§11. Is « = ;;4-2 dan kunnen we ons een /j iTJ^^"
nog op een andere wijze voorstellen, dan als een \'sanienslel
van (.s — p) perspectief gelegen (n — s -f jf>)-lioeken met hun
lierspectivileilsflguur en wel als (» — — 2) twee aan tweo
perspectief gelegen fondamenlaalpyramiden met hun pers-
pectivileilsfiguur cn perspectivileitscentrn, verbindingslijnen,
-vlakken, -Ra, .... -Up dezer centra on verbindingslijnen

G4

van homologe hoekpunten der fondamentaalpyramiden twee
aan tAvee, verbindingsvlakken van homologe hoekpunten van

de fondamentaalpyramiden drie aan drie.....verbindings-

Rp van homologe hoekpunten der fondamentaalp}Tamiden
[p 1) aan [p l).

Uit de notatie volgt toch het voorkomen van de volgende
[n—p—2) fondamentaalpyramiden.

1®. l0; 3), 20^ 3), 3{;) 3)......q) 3).

2". l(/> 4), 2(/j-f4), 3(/> 4)......ip 2){p M

y. l0; 5). 2(p 5). 3(/> 5)......0, 2)(/) 5).

{n—p—^y In, 2jj, 3n,...........{p 2)n.

De perspectiviteitscentra dezer twee aan twee perspectief
gelegen pyramiden worden voorgesteld door de combinaties

der 2® klasse van de getallen (/> 3), .......n.

Zij vormen dus met hun verbindingslijnen, -vlakken, -Rn, . • .
-R;, een p l terwijl do perspectiviteitsfiguur bestaat

uit de punten ik (i=l lot/;-f 2, Z; = 2 tol y; 2) lijnen ikl
(i = 1 lot p-\\-% k = 2 lot /; 2, / = 3 lol p -f 2) vlakken
iklm (i=l lol;j 2, k=2 lot /=3 tolp %m=-i IoI/j4-2)

Rn iklm.....\'?(»=! tol />2,......=

■ G5

De perspectiviteitsfiguur is dus een ^^^

geheel vervat in één Ry,.

De drager der perspeetiviteilscenlra en de perspectiviteits-
figuur vormen twee met elkaar geassocieerde configuraties.

Is n = 2 [p 2), dan zijn ook alle pei-spectiviteitscentra
vervat in één Rp en hebben we dus 2 geassocieerde/> !

In het algemeen kunnen we een/, 1 T beschouwen als
te ontstaan nit {u—t) twee aan twee perspectief gelegen t-
hoeken.

Uit de notatie volgt toch, dat we in een dc

volgende (n—t) twee aan twee iierspeclief gelegen /-hoeken
kunnen aanwijzen.

1®. 1« 1), 2« l), 3« l)......../(/ 1).

2°. l« 2), 2«-|-2), 3(/ 2)........

(«—<)•. 1 2 jj, 3 rt.........^......tn.

De perspectivileiLsccntra dezer twee aan twee perspectief
gelegen /-hoeken worden voorgesteld door do combinalics dor
2" klasse zonder liorbaling der getallen (/ 1). . . . u. Zij
vormen dus mol hun verbindingslijnen, -vlakken, . . . -Rp
een terwijl de porspecliviteitsfiguur beslaat uit do:

959

punten / k i — 1 tot /

lijnen ikl k = ^ioit

l = 3 tot ^

R;, ikl m . . , . q q = p Woit
De perspectiviteitsfiguur is dus een
De duale stelling geldt natuurlijk voor  =

=/7 l welke configuratie dus te beschouwen is als

te zijn ontstaan uit (n — /) twee aan twee lineaal gelegen
/-R;,. (d. w. z. elke («— f) homologe R;> snijden elkaar in
één R;)_i en deze t R;,—i zijn in één R/, gelegen.)

8 12. Onder de constellatie eener figuur verstaat men het
nu\'nimum aantal j)unten, welko noodig zijn voor de constructie
van die figuur.

Ter bepaling van de constellatie van oon kunnen

we ons afvragen, hoeveel punten bij de constructie wille-
keurig aangenomen zijn.

Kon is boiiaald door een aantal («—.s /;)-lioeken,

groot (s — p), gelogen op (n — .s p) stralen gaande door
oen gegeven punt, het centrum. Dit centrum is bepaald door
p -f- 1 enkelvoudige gegevens, de (n — s-\\- p) stralen door dit
punt zijn ieder bepaald door /> l, dus te zamen door
(yz O (" — « ;/) enkelvoudige gegevens. Op iedere straal

G7

liggon, behalve de twee punten waardoor de straal.bepaald
wordt, nog (s — p—l) punten, ieder door één enkelvoudig
gegeven bepaald. De is dus bepaald door 1

(y 1) {n —s-\\-p)-{-{s — i)—1) (» — s -f /;) = ns —
— (s—p—1) (s 1) enkelvoudige gegevens, dus door
onderling onafhankelijke punten.
Een is dus bepaald door « onderling onafhanke-

lijke punten, zooals ook duidelijk is, want het is een volledige
7/-hoek in de {p l)-diniensionaIe ruimte.

We kunnen dus onderscheiden y^ l soorten van /j-f-lT"]
cn wel:

1°. Configuraties waarbij n.s—(.f—l){s-fl) = üniod./)-|-l.
2\'. , „ ns-{s-p-l){s-{-[)=l , „

ip yy. . « = „ ,

De conilguraties der 1" soort zijn bepaald door een aantal
onafhankelijke punten, dio der 2" soort door een aantal
onafhankelijke punten en één punt oj) de verbindingslijn van
2 dier punten, die der 3" soort door een aantal onafliankelijke
punten en één punt in het verhindingsvlak van 3 dier onaf-
hankelijke punten......die der {p-{- 1)" soort door een

G8

aantal onafhankelijke punten en één punt in de verbindings-
R;, van (/J 1) dier punten.

Een is bepaald door (s — p) lineaal gelegen

(?i — s p)-R;9, d. w. z. door een R;; waarin gelegen zijn
[n — S /9) R/;-i, terwijl door ieder dezer R;;—1 nog (.s — p)
Up gaan. Een p 1 C" ^^ is dus bepaald door (/j 1) 1)
(«-8 //) 1) (/) !) in-s p] {s-p- 1) (/> 1)
enkelvoudige gegevens dus door

1)^  ip ly- jn-s p) {s-p-D {p 1) _

« .? —(s — jp — 1) 1) „ , .... „
= -^^—^^^^ —!—• onafhankelijke R/;.

Een 1 C7 wordt dus door evenveel R;; bepaald, als een
P 1 r^^ door punten bepaald wordt. Een /; 1 1 jr JJ

is bepaald door

n {n—s^-\\-p) — {n—s— 1) (?t—« /> !) _ n s—(.s—l)(.t 1)

Ryj, dus een p iT ^^ is bepaald door evenveel Ry, als punlen,
terwijl een p ï T en een p lT"^^\'^^\' dooreen zelfde
aantal punten of R;j bepaald worden.

STELLINGEN.

. ■ ^ -, ...

-■ \' /
■ ■ • ■ . >

m-

. ; V.

•sr

Stellingen.

I.

Dr. Geoiu; Schekkkhs behandelt in zijn „Anwendung der
Diiïerential- und Integralrechnung auf Geometrie, Bd. II" het
geval, dal in de uitdrukking voor de kronnning van oen
oppervlak in een normaaldoonsnedo
\\__r 2 .s

Q ~ 1 4-

teller en noemer oen lineairen factor in m gemeen hebben en

dezo uitdrukking dus don vorm

I a h m

(> c -f- (/ m

aanneemt.

Het volgende voorbeeld, dal Sr.nEFKEns van dit geval geeft
is onjuist gekozen.

Hoispiol: Wir können auf folgende Art eine Kläeho her-
stellen, die einen reellen Punkt von dieser besonderen Art

72

enthält: Wir construieren in den Ebenen durch die z-A\\e
alle Kreise, die im Anfangspunkt die x (/-Ebene berühren
und deren Miltelpunktshöhe 2 = R linear gebrochen von der
Tangente des Winkels der jeweiligen Ebene mit der x ^-Ebene
abhängt. Dan hat der Anfangspunkt auf der Fläche der
Kreise die gewünschte Eigenschaft.

11.

dßcJtj^iiii\' door 2 .<{—2 als s geen macht van 2 is.

III.

Door wenteling eener kromme om een raaklijn in een
gewoon- punt O dier kromme, ontslaat een omwenlelings-
oppervlak met een dubbelpunt in O.

IV.

In de uitdrukking

l t f! f!

73

waarin z = a; t ij, mag men in e niets anders zien dan
een funclieteeken.

V.

Todhunteh (The functions of Laplace, Lamé and Bessel
§ 7) vergeet, bij de ontwikkeling van jl—a{2 x—in
een reeks geordend naar de opklimmende machten van a, te
vermelden, dat voldaan moet worden aan |a (2 x—n)|<C 1.

VI.

Jordan (Cours d\'Analyse, lome 1, pag. 3G3) geeft hel
theorema:

„La fonction F (hypergeometrische reeks) el deux quel-
, conques de ses conliguös sont liées par une équation lineaire
„ayanl pour coelïlcienls des polynômes du premier degré en x".

De wijzo waarop hij dit theorema voor een bizonder geval
bewijst verdient geen aanbeveling.

VII.

De methode van C. J. Dusk (Nature Febr. 28, March 28, 188\'.))

74

om een getal in zijn prierafactoren te ontbinden, verklaart niet
hoe Fermât op een \\Taag van Mersexxe of 1008955981 GO
een priemgetal was, kon antwoorden, dat dit niet het geval
is, doch het bedoelde getal een product is van 898423 en 112303.

VIII.

Het paradoxale in de paradox van St. Petersburg is een
gevolg daarvan, dat men het vraagstuk verkeerd gesteld heelt.

IX.

Si Ie gain espéré par une ^ spéculation est (50000 fr. et
que V-i soit la probabilité de l\'obtenir, la personne qui devra
recevoir cette somme éventuelle pourra considérer le tiers de
00000 fr. comme un bien qu\'il possède et que l\'on devrait
comprendre dans l\'inventaire de sa fortune. (Poisson)

„Poisson va trop loin" zegt Hertrand ten onrechte van deze
uitspraak. (Calcul des Probabilités pag. 50,)

X.

De sterflestatistiek en de daarop gebaseerde levensver-

«

zekeringtarieven behooren internationaal geregeld te worden.

/O

XL

Een vaas bevat zwarte en witte ballen in onbekende
verhouding. Elke verhouding is even waarschijnlijk. Men
trekt ft malen een bal en krijgt m witte en n zwarte ballen.
Welke is de waarschijnlijkheid dat de (// -f 1)° trekking weer
een witte bal oplevert?

Deze is: —n\'-l-^ (Gondohcet).
tn « 2 \'

Beuthand zegt (Calcul des Probabilités pag. 173) over
deze uitkomst:

,Les applications faites de cette formule ont été jjre.sque
„toutes .sans fondement".

„Repré.senton.s-nous le premier homme au premier coucher
,dn Soleil. II devrait, pendant .sa prennére nuit, .s\'il rai.soime
„connue Coxoohcet, assigner la valeur à la probabilité de
„le revoir. S\'il comprend la question et s\'il !<e la i)ose, les
„chances pour lui seront beaucoup moindre.s. Le Soleil a
„disparu; s\'il est éteint, qui le rallumera? S\'il est tombé
„dans la mer, connnenl en sorlerail-il?"

„Sans avoir cependant la .science j)arfailo que Ini supposent
„les théologiens, le j)remier honnne .se persuadera sans doute.

76

„après ceut apparitions, que le Soleil tourne autour de
„la Terre, rien alors ne doit lui faire craindre un arrêt
„brusque, l\'absence du Soleil au cent et unième jour ne
„l\'étonnerait pas moins pue celle des objets éclairés chaque
„matin par ses premiers rayons; faudra-t-il, en invoquant
„la formule, supposer qu\'après cent jours la probabilité de
„les revoir est j^? L\'absurdité serait précisément la même."

„Le lever du Soleil, après une année, sera pour le premier
,.homme une certitude".

„Si le temps doit la confirmer et l\'accroître, c\'est par la
„découverte des lois astronomiques et non par le succès
„renouvelé d\'un même jeu de basard".

Deze redeneering van Behthand is volkomen onjuist.

XII.

Terecbt zegt Dr. L. Ideleu in zijn Ilaiulbucb der matlie-
matischen und technischen Chronologie, Bd. IL, S. 321:

„Es ist sehr zu bedauern, da.ss Gheooh XIII nicht das Fest
„(Ostern) an einerlei Sonntage, z. B. am letzten des^Mär/
„oder ersten des Aprils, zu feiern angeordnet bat".

77 •

XIII.

Tegen de verklaring van J. C. IL\\pteij.\\ van de bewegings-
verschijnselen, welke worden waargenomen in den nevel om
Nova Perseï, n.1. dat men in dien nevel het licht, door Nova
Perseï uitgestraald, zich ziet voortplanten, bestaan geen ernstige
bezwaren.

XIV.

Ilet ware te wenschen, dat in Nederland van regeeringswege
de Midden-Europeesche tijd werd ingevoerd.

XV.

OiLHEaT zegt in 8 7 van zijn Cours de mécanique analytique:

„Kous disons que deux intervalles do temps sont égaux,
„lorsqu\'un môme corps, ])lacé dans des conditions parfaitement
„idenli(iues de part et d\'autre, exécute pendant ces deux
„intervalles de temps, des mouvements identiques" on in §8:

„Le mouvement d\'un point est uniforme, lorsqu\'il parcourt
„des csi)aces égaux dans des temps égaux, si petits que soient
„cos temps".

78

Hij definieert dus de gelijkheid van tijdsverloopen niet behulp
van de eenparige beweging en de eenparige beweging met
behulp van de gelijkheid van tijdsverloopen.

XVI.

In ,Tiie thermal mea.surement of energy, Lectures hy
E. IL Griffiths; Cambridge University Press 1901", vindt
men op blz. 50 de volgende proef beschreven:

In een U-vormige buis, waarvan de eene ann gesloten is,
bevindt zich een hoeveelheid kwik. De lucht, welke zich in
den gesloten arm boven het kwikniveau bevindt, staat door
een ingesmolten buis in verbinding met een glazen ballon.
Verhit men deze ballon, dan zet de lucht zich daarin uit en
wordt de kwik in de open arm der U-vonnige buis naar
boven .gedreven tot eindelijk een gedeelte van de lucht, welke
zich in de gesloten arm bevindt, ontsnapt. Wanneer de ver-
dunning der lucht in de gesloten arm een zekeren graad
bereikt heeft, begint de kwik sterk te schommelen en blijfl
dit doen zoolang de ballon verhit wordl.

Bij deze proef moet de temperatuur in den gesloten arm
constant blijven.

M ;

Cf

m-

S ^

li"\' ■ "L

^\'■If^iv*^ ■ /IC\'

"ff\' !\' .

■-c: r-■

fiL.■ \' ii«--

■Äf.;.,\'"^\'--: ■m,\':

* A\'

"1 .

1 j ■»,\' ■

■ V V >,i ■

h-

. [ . SA • ) ^ * V » ^ V

mè