i

mif^

Ä

iV -.J

il

.r\'-.\'f^)

mn

mm

m

VU

aijr

■-v ,

n

W-\'V

m

if X^icjix,;

îMM

N

M-

Vi

r.

I /

u

rW-

"Ni

vi

;V

V.

\'. < :

r\'-V-î:-\':-:\'^\';

m

Toepassing der .Waarscliijnlijklieids Eekeniug

OP

Levensverzekering en Sterfte-Statistiek.

. vv.

______-,

IS- ■ ^"■^fv,:

Q/S6 Llt6.-: / -6 /S^S^

Toepassing der Waarsehijnlijkheids-Hekening op
levensvepzeifeping en Stepfte-Statistiek.

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN

J0£t0r in ik m $at«urlumde

AAN DE jR.ijks-jJNIVERSITEIT TE JJtRECHT
NA MACHTIGING VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS

DR. J. J. P. VA LET ON JR..

Hoogleeraar In de Faculteit der Godgeleerdhoid,

volgens besluit van den senaat der universiteit
TEGEN DE BEDENKINGEN VAN

DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE

TE VERDEDIGEN

op Dinsdag 7 Juni 1898,

des namiddags te 3 uur,

DOOR

JOHANNES HENDRIKUS PEEK,

geboren te Culenborg.

bibliotheek der
flüKSUNIVERSi : r:iT
-^^^- UTRECHT.

Gedrukt bij F. J. BELINFANTE, voorh.: A. D. SCHINKEL.
1898.

» i

, tTi -.ir. , ■ - —

I n v/Xl-tJ;.

■ifU-

■

m

v;

/ t..

•Vv\'

: ...

fX

^AN

DE NAGEDACHTENIS MIJNER pUDERS.

ii V

- > \'■ ., V

m

r

li\'-

■ \'1 M .\'^ï.\' -

Aan het einde mijner Academische studiën gekomen, gevoel ik mij gedrongen,
mijn oprechten dank te betuigen aan allen, die mij hierbij behulpzaam zijn geweest,
in de allereerste plaats aan U, Hoogleei\'aren van de Faculteit der Wis- en Natuur-
kunde der TJniversiieit te Amsterdam, voor het hooggeivaardcerd onderwijs, dat ik van
U mocht ontvangen.

In het bijzonder echter aan U, hooggeachte Promotor, hooggeleerde Kapteijn,
gevoel ik mij zee)\' verplicht voor den steun, dieto ik bij het schrijven van mijn
Proefschrift van U mocht ondervinden en voor de tvelwillendhcid, waarmede Gij mijne
promotie hebt op U willen nemen, toen omstandigheden mij verhinderden, mijne
studiën aan de Amsterdamsche Universiteit te voleindigen.

\' j

S®"\'- : ■r-\'\'\'^ \' \' \' \' \' \\ ■

i: \' ■!■ *

... ■

Mêm

INHOUD.

Blz.

Voorbericht................................xi

HOODSTUK I.

Wet der groote getallen..........................i

Middelbare fout.............................8

Theorie der gemiddelden.........................10

Gemiddelde fout............................14

Waarschijnlijke fout...........................15

Foutenwet eener lineaire functie van eenige grootheden...............1(5

<

HOOFDSTUK II.

Toepassing van de wet der groote getallen op de sterfte............19

Opvatting der verhoudingen p als kansen....................27

Jaarlijksche sterftekans..........................28

Sterftekracht..............................30

Verzameling van sterftewaarnemingen....................33

Het bijeenvoegen van personen van gelijken leeftijd................33

Het scheiden der jaren van geboorte.....................33

Het scheiden van geboorte- en sterfjaar....................33

Het combineeren van waarnemingen verricht in verschillende kalenderjaren.......39

Waarschijnlijkheid van afwijkingen in het aantal dooden op verschillende leeftijden
onder een personeel waarbij in- en uittreden plaats heeft..........42

HOOFDSTUK IH.

Afronding.................................55

Toepassing van de methode der kleinste kwadraten op de afronding..........G2

Gevolgen dezer methode van afronden.....................G7

HOOFDSTUK IV.

Reserve..................................tt

Totaal Risico ...............................T9

x

Blz.

Middelbare fout..............................83

Aantal levenden............................84

Aantal dooden.............................85

Lijfrente...............................85

Tijdelijke verzekering tot uitkeering bij overlijden . ...............86

Fouten in de premiën..........................87

Verzekering op meer hoofden........................88

Middelbare fout, indien de berekening is verricht op grond der afgeronde sterftekansen. ... 89

Risico.....•............................. 89

Verzekering tot uitkeering bij overlijden tegen eenige premie............90

Lijfrente...............................91

Uitgestelde en tijdelijke lijfrente. . .....................92

Verzekering tegen jaarpremie........................93

Verzekering tot uitkeering der eenheid bij overlijden tegen gelijkblijvende jaarpremie .... 94
Verzekering tot uitkeering op den leeftijd x m of bij vroeger overlijden (gemengde verzekering) 99

Verzekering op meerdere hoofden......................99

Verbindingsrente............................100

Weduwenpensioen............................101

Opvatting van een contract van levensverzekering als eene opeenvolging van onafhankelijke spelen 103

Toepassing hiervan 1° op lijfrente......................107

„ „ 2° op verzekering tot uitkeering der eenheid bij overlijden tegen tijdelijke

premiebetaling...........................107

Berekening van het risico op weduwenpensioen uit het jaarlijksch risico.........112

Idem op verbindingsrente . ........................114

HOOFDSTUK V.

Waarschijnlijkheid van verschillen tusschen de ware en de gemiddelde reserve. . ii6

Risico Reserve...............................123

Opslag..................................126

Maximum van verzekerd bedrag.......................128

Mathematische hoop op winst........................129

Toepassing..............................131

HOOFDSTUK VI.

Overzicht der vroeger verschenen verhandelingen over het risico........133

Tabellen.

Stellingen.

Errata.

VOORBERICHT.

Tot de keuze van dit onderwerp als stof voor eene dissertatie vond ik
aanleiding in mijne werkzaamheden als chef van het Bureau Statistiek bij het
Rijks-pensioenfonds voor Weduwen en Weezen van Burgerlijke Ambtenaren. Bij
gelegenheid van de afronding der sterftekansen, berekend uit waarnemingen op deze
ambtenaren, deed zich namelijk de vraag voor, of de sterftekansen inderdaad als
kansen mogen worden beschouwd, zoodat de wet van Bernouilli op de sterfte-
waarnemingen toepasselijk is. Een aanknoopingspunt voor dit onderzoek meende
ik te vinden in de waarnemingen van Quételet, waaruit blijkt, dat de waarschijn-
lijkheid van afwijkingen der individueele lichaamslengten van de gemiddelde bij een
groot aantal personen door de foutenwet van Gauss is gegeven. Hetzelfde feit werd
later geconstateerd ten opzichte van andere grootheden, door Galton zelfs wat
betreft de verstandelijke vermogens van verschillende personen. Ofschoon dus in de
natuur de genoemde foutenwet algemeen schijnt te gelden en hieruit zou volgen,
dat de waarschijnlijkheid eener combinatie van eigenschappen een product is van
dergelijke foutenwetten, bleek het beoogde doel hier evengoed te kunnen worden bereikt,
door aan te nemen, dat deze waarschijnlijkheid door eene" willekeurige functie is
gegeven. Zoo ontstonden de beschouwingen van blz. 19—38, die onmiddellijk tot eene
opvatting der grootheden als kansen voerden, zoodat de beschouwingen van

xii

hoofdstuk I op de sterfte van toepassing bleken. De sterftekansen lo kwamen
daarbij als afgeleide grootheden uit de verhoudingen p voor den dag en bleken
eenvoudiger eigenschappen te bezitten dan deze laatste.

Aan de vraag, of de wet van Bernouilli op de sterfte verschijnselen van
toepassing is, knoopt zich vast die naar de mogelijkheid, om het risico van levens-
verzekeringmaatschappijen als functie van de verhoudingen p of w neer te schrijven,
welke met de eerste tegelijk bevestigend moest worden beantwoord. Eene theorie
over opslag, risico-reserve en maximum van verzekerd bedrag, teneinde aan te
wijzen in welke richting eene rationeele ontwikkeling van de theorie der levens-
verzekering mogelijk is, scheen mij niet overbodig toe.

Ten slotte werd nog een kritisch overzicht toegevoegd van de theorieën der
vroegere schrijvers betreffende het risico, omtrent welke de meeningen der verzeke-
rings-wiskundigen uiteenloopen.

Teneinde den lezer eenigszins vertrouwd te maken met de numerische waarden
der in dit proefschrift behandelde grootheden, werden eenige tabellen toegevoegd.
Aan allen, die mij bij de berekening daarvan zijn behulpzaam geweest, breng ik
hierbij mijnen dank.

HOOFDSTUK I.

WET DER GROOTE GETALLEN.

We denken in eene vaas een onbepaald groot aantal kogels, waarvan een
aantal So genummerd met O, Sj met 1,... . met l en daaruit « trekkingen gedaan.
We vragen nu wat is de kans, dat onder de « kogels er zich Wq bevinden genum-
merd met O, n, met 1, ni met l, zoodat Wq ïi, H-...... ui = a.

Bij elke trekking zijn de kansen om kogels te trekken met de nummers
O, 1, 2......l resp.

•\'^0 „ „ „
-- = Pn -= Pl......- = Pl

S„, Vm s^

O O O

zoodat 1.

De kans in eene bepaalde volgorde % n,......ui kogels te trekken wier

nummers met de indices van n overeenstemmen is derhalve

tlQ «1 Hl

Po Pl.......Pl

Het aantal verschillende volgorden, waarin zij kunnen voor den dag komen,
wordt gevonden door te nemen het aantal onderlinge permutatiën van a voorwerpen,
waaronder n^ »i «i......gelijke, en is dus

_o!_

I ?j, 1.....n,!

De kans op het trekken van de genoemde aantallen kogels is derhalve

/ \\ «! »"O "1 "i

.....^.......

waarin nog steeds 2\'n = a en 2\'j) = 1.

"We kunnen vragen voor welke waarden der grootheden n deze kans het
grootst is.. Om dit te kunnen nagaan, redeneeren we volgenderwijze. Bij 2 elkaar
uitsluitende gebeurtenissen met de waarschijnlijkheden po en 1 —po is de kans op
7?o-maal voorkomen van het nummer O

no! (« - «o)! ^

Deze kans zal maximum zijn voor die waarde van ?io, waarvoor

/(9A,-l)</(no)>/(no l),

waaruit gemakkelijk als voorwaarde wordt gevonden dat no het geheele getal moet
zijn, liggende tusschen:

«Po Pü en apo Po — 1-

Voor deze waarde van n^ wordt dus ook 9 maximum bij vaste maar wille-
keurige waarden van ni 112.....Ui mits hare som slechts «— rio zij. Denken

we deze «0 gebeurtenissen en hebben we de waarschijnlijkste verdeeling der over-
blijvende cc — «0 gevallen op gebeurtenissen met kansen pi P2.....Pi, dan heeft

de geheele zoo verkregen verdeeling tot kans het product der kansen op beide ver-
deelingen en is derhalve maximaal. Om de waarschijnlijkste verdeeling der « — no
gebeurtenissen te vinden, kunnen we op gelijke wijze vragen wat daartoe de waarde
van ni moet zijn. De kans op ni gebeurtenissen is

(« —?io)! / Pl Pi \\"-no — ni

(« —^W! / Pl V^ /i _ Pl Y

\\ l-pj

(«—) r^ r^ en ^ ^ -1.

stellen we hierin no = apo eo, welke to gelegen is tusschen po en po — 1, dan
worden deze grenzen

«Pl -1- (1 - ^o) en api (1 - eo) -1\'

Het hiertusschen liggend geheel getal noemen we fi.
Wat de waarschijnlijkste waarde van Wj zal zijn hangt af van de waarde van
fo, d. i. van wq. Op dezelfde wijze voortredeneerende, blijkt de waarschijnlijkste waarde

van ni afhankelijk van «o-f fi ----Het blijkt dus, dat het waarschijnlijkst

stel waarden der n afhankelijk is van de volgorde waarin het maximum wordt
bepaald, zoodat er meerdere stellen mogelijk zijn. We zullen echter aantoonen dat de

Th

verhouding bij steeds toenemende « tot een bepaalde limiet nadert, mits we de

onderstelling maken dat ap voor alle grootheden p van de orde « blijft.

Zij in een stel no = «po «o, th = api f,,----ni_i = derhalve

M

71/ = « Pl We vinden dan als waarschijnlijkste waarde van n^ het geheel getal

O

gelegen tusschen

(a— no — ril... —

en («—?io — Ui... — n,_i)

«P, —(1-f"\' fm) en «Po —^f— (1—f\'" \'<») — 1

1—^\'m

O

zoodat fs is gelegen tusschen

O

1) "
Is f,v positief, dan is f^. kleiner dan —^^— (l—-T»\' f„,) zoodat 2\'\'» «„, daardoor klei-

1—-l\'m p,n

O

-Ir- d-^"\' of 1 - -^f- (

Ps

-i-- =2m t,„

Ü

en het bedrag waarmede ^f door vermeerdert ten hoogste —^— kan be-

O

dragen, een bedrag dat hoogstens = 1 kan worden.

«-1

Is negatief, dan is de P grens positief. De tweede kan negatief zijn en

O

X

de grootste negatieve waarde die -l\'"» <„, daardoor kan bereiken, wordt

O

I)

zoodat ook de negatieve waarde van t hoogstens met de eenheid kan toenemen.

M

In geen geval kan derhalve de absolute waarde van ^i\'^e^ grooter zijn dan het aantal

O

der grootheden p. Is dus het aantal van deze klein tegenover « en zijn alle van

Th

zoodanige orde dat dit ook tegenover «p het geval is, dan zal — p^ tot limiet heb-
ben bij steeds toenemende waarde van «. We zullen in het vervolg « steeds groot
denken en alle p denken te voldoen aan de genoemde voorwaarden. In dat geval is
de waarschijnlijkste waarde van n^ ap,.

Nemen we « proeven, dan kunnen de verhoudingen ül^ .....

a a a a

enz. worden bepaald. We kunnen vragen welke de kans is, dat deze verhoudingen
, , • • . Si van Po, pi, p2, . . . Pl zullen afwijken, hetwelk samengaat met ver-
schillen ado, aöi, «öj, . . . . a 8i tUSSChen apo, api, ocp^., .... api en «o,

712, . • . . W/, zoodat deze laatste grootheden, wanneer we ado, a 8i, a 82.....a 81

resp. vo, Vi, V2,. . . .vi noemen, worden

« Po \'Vo, «Pl Vi, ap.2 Vo, ■ ■ • " Ps Vs .

De functie 9 (no ni .... Us) geeft hierop het antwoord. Aangezien

r (n 1) = 71! en r (n 1} = V 2 ttu n*" e-" e 1.2 n 3.4 n^ 5.6 n^.....

waarin Bs de s^^ Bernouilliaansche coëfficiënt voorstelt, is evenzeer

n! = y 2 nn n" e-" e 1.2 n 3.4 n^ 5.6 n»\' \'"\'
B B B

De reeks — ----is semi-convergent. Breken we haar bij

den term af en schrijven we voor Bi en B2 de bekende waarden en ^ dan

O öU

wordt

n ! =Y 2nnn\'^e-"e 360)i=i

Verder de macht van e ontwikkelende, wordt
1 1

1

12n 360\' 2 Ll2n 360n3j^\'" 28871»

derhalve n ! = 1/ 2 tt ti 71" e-" (1 /i), waarin fi eene grootheid

voorstelt, die bij het toenemen van n steeds afneemt, zoodat we dan iil^met zeer

groote nauwkeurigheid vinden uit de formule n \\ = V2!t n n" e-", die in haar com-
pleeten vorm het eerst door Stirling is gegeven. Met behulp dezer formule «!, tiq!,

ni\\,____w,! verdrijvende, vinden we voor 9

y 2n a a" « „ „
K w"\' e""\'____w;*\' .....

J !

waarin nog steeds = « en =1, en hetwelk kan worden geschreven in den vorm
0 0

V^ 2 TT a / " Po / " Pl \\/ " Pi

(^r(^)---(^y

1/ 2 Trng V^ 2 jr Mj , . . . 2 rr JI,

In plaats van n^ invoerende «ps , wordt dit

_V^ "__/ "Po \\«iJ0 "0/ " Pl \\"Pl fl / « \\ K ffj 4 V, _

]/^n^ V 2 7tny .... \\ «Po «o / V « Pi v, /......\\ « P/ / ~

_ 2rr« 1 ^«Po t^o^ 1 "\\«Pl vi/" 1 ^"Pi Vj

" VY^, .... (i,^) .......(

^ «Po^ ^ «P/ ^ np/

Nu is
log

zoodat de logarithme kan worden ontwikkeld in eene reeks. Dit doende wordt

= («p. (- .....) =

= -— -TTTTr C) 2 -.... (— 1)"

\' 2.3«2p,a .......„(„_i)„«-ip^M-i......

1 I I f ,

zoodat f -j =C » 2«p, ^ n {n - l) trn-i p^ n-i ^

In V 2~?r »Is = 1/2 ?r (n p, v,) Is togenover «p, zeer klein. Door v^ te verwaar-
loozen wordt de kans op grond der voorafgaande ontwikkelingen

■C O 1.2 O rtp,^ 2.3 O «»P«* ^ n(»»—1) O «"-V"\'

|/2 Jt apQ 1/2 w « p, , , . , ]/2 5ï « pj

< ( {

Nu is V, = — up, en dus v, = Ji;» 71, — «li^p, = O, en reduceert zich der-

«0 0

halve de gevonden kans tot

1 \' V.s-2 . 1 I Vs3 , , 1

1/2 apo K 2 ^ «Pl . . ., 1/2 TTrt

De exponent van e is hier eene reeks, waarvan we den term voorstellen
door t„.

V

Is elke v^ klein tegenover de bijbehoorende terwijl—— de grootste voor-

V tv

komende waarde van — vertegenwoordigt, dan is —^ < -7--en convergeert

de exponent van e sterk. Is Vg van de orde V «Pg, dan zal de waarde van den ex-
ponent van e te meer naderen tot die van den eersten term naarmate « grooter is.
We zullen in het vervolg de formule slechts toepassen op gevallen, waarin « groot

is en Vg van hoogstens dezelfde orde als We behouden daarom slechts den 1®

term der reeks, en vinden zoo

I

Y 2 7t tt — 27»

e 0 2 ttpg

Y 2 it a pq y a p^ ... .Y 27t api

welke uitdrukking derhalve de kans voorstelt om op een groot aantal « kogels er
«Po Vo, api vi, ... api V/ te trekken met nummers O, 1, 2 ... indien de kans

I

op het trekken van een kogel met het nummer s ps bedraagt, zoodat = 1 is. In

0

I

deze formule is -S"« Vg = O, zoodat bij hare toepassing in het oog moet worden gehouden
0

1-1

dat vi = — j: V, en in den exponent eene zuivere 2® graads-functie van 1—1 der af-

0

wijkingen moet worden gedacht.

Het is gemakkelijk in te zien, dat men in het geval van 2 kansen wier som
gelijk 1 is, op de wet van Bernouilli terugkomt. Deze kansen p en 1 —p noemende,
vinden we

^ ^ - P. 2 \\np ^ a{\\—p)/ =

y 2 Ttap l/TlTa (1 _ p) K\'i ?r « p (1 _ p)

We zullen nu denken dat alle afwijkingen met eenige kans op waarschijnlijk-

heid kleiner zijn dan y«p en dat yap groot is.

De kans op afwijkingen gelegen tusschen v^ en v^, v[ en vj, . . . en is

l/2?rapo ..l/2frap, / e ^^Po dvoi e ^"PidVi-../ e ^\'\'Pi-i ^"pi dvi-i

^ v\'o

Nemen "we alle grenzen tusschen — en c», dan wordt hiervoor gemak-
kelijk 1 gevonden.

De vorm / _ _ (t^o

/-» 00

/ 2 ( 1 . _L_\\ _ O „ («0-1- • • • _ («O r, . . .
= i 2apJ 2«2np, dvt-i

*J — oo

toch is analoog met

I -ax^-lhx, !   ƒ _ «(x-f-) - ,

#e dx — t e a dx = / e ^ aJ a dx,

ty — oo — oo — oo

t/ttA^

waarvoor gevonden wordt y^« «> zoodat na de eerste integratie overblijft

__ _ (vo t>i... vi-\'i)^ (vo 4-^1... vi-^y 1 _

^ \' -e \'^"Pl 1 1

J. __2 « p,-i 2 « JX -

\' 2ap^_j \' 2 «Pi

IX— --- (Vo 4- t?t . . . -f Vl-^y

\\/PL±lt± ^p

en we voor de kans na de 1° integratie vinden

oo z^ oo /\'»-I-00 2

r^iFTT^i .. 1/2 rr «K2/ ^"P^dVo / c 2«pj-a 2 « (p,-f-

C/ — oo — oo *-/ — oo

zoodat we opnieuw een volkomen gelijksoortigen vorm te integreeren hebben.
Gemakkelijk blijkt, dat we na de laatste integratie overhouden-——- "

K27I «(po

wat blykbaar 1 is, evenzeer als bij de wet van Bernoüilli.

In het volgende zal meermalen de volgende vraag moeten worden beantwoord.
Hebben we te doen met eene functie der aantallen ap -f v, nl. -f vo -f

dan zal tengevolge der afwijkingen v in F evenzeer eene afwijking worden waarge-

nomen. Wat is de kans dat deze zal zijn gelegen tusschen x en x dx? De vraag
zal hier slechts worden beantwoord voor het geval F lineair is. In dit geval zij

F = acp =mo [apo Vo) mi («Pl Vi)........ mj («p^ Vi)

en dus de afwijking

X = moVo m^Vi..... miVi

i-i

of, wijl Vi= - Vs,

O

X = Vo (wio — m,) Vi (mi — m^)..... Vi^i (m;_i — m,).

Zij V (x) de kans op eene afwijking x, dan is die op eene afwijking gelegen

tusschen O en x, indien we stellen V^\'^a ^ ^^

y 2 ?r a Po . . . 1/2 rç it Pl

d Vi-i

(«lo — nii) vo — 4- (m/.2 — mi) vi.2
(mi-i — nii)

zoodat we door differentiatie naar x vinden
M\'(x) = C2 i e~2apidv,... / ^ 2api.i~ 2 api.1 (m« — mi)^ 2apj(mM —m/^ dv\\

1 1/ 2 TT ra
waarin Ca = - ^ ^^--------—, ---

— w/ y 2 TT « po ... K 2 TT tt pj

Gemakkelijk zien we in, dat de integratie ons ten slotte zal voeren op eene
functie van den vorm V (a;) = ae~ c^. Wijl / = 1 is, moet a = ^^^ zijn, zoodat

•7- 00 I

we op de gewone foutenwet komen. De berekening van de grootheid c, die we
modulus der foutenwet noemen, kan echter niet eenvoudig geschieden door uitvoering
der integraties, waarom een andere weg moet worden ingeslagen. We voeren daartoe
in het begrip:

Middelbare Jout (erreur moyenne, error of mean squares, mittlerer Fehler).
Het is de wortel uit de som der producten, die men verkrijgt door het quadraat van
elke fout met hare kans om voor te komen te vermenigvuldigen; we noemen haar

__ \'1

c,^. Volgens de definitie is derhalve ■= VSf(x)xidx. Hier is f{x) = ^^« De

integratie uitvoerende, vinden we dus c,„ = c of c^ =2 cl,. Voor ci kan volgens

deze definitie onmiddellijk worden geschreven

m

__oo oo 2(2\'« Vi)2

ƒ / »_ ,2

tf^^kv^^^^pv^hti^^,/ ...../ ^ 2«po 2«pi 2«pm |(mo-m()«o (»ii-to,)vi... (mm-7novmi dr^drg... dvm

CX — oo Ky — oo

We kunnen splitsen in integralen van de vormen

M

.....^o\'^r - - dti... dv,.^

„ t/_oo

M

__l/2gr«_ / / _ t>o2 _ ui2 _ _o_

/ ...../ e 2«po 2«p; (m, — m,)(w,-m,)v.t;,dr«

t/ - oo •_/ - CJO

waarvan de eerste door uitvoering der integraties behalve die naar v, volgens de
methode van blz. 7 gemakkelijk wordt teruggebracht tot

2 TTn (ms — Mt;)^
V2naps l/2¥7r(r—JPj)

P«)/ ® ^ " 2 «(1 - Ps) rf

— oo

en de tweede door alle integraties behalve die naar Vr en uit te voeren, tot

__/^»H-CO /\'• 00

]/" 2 ff « (mr — m<) (nu — mi) Ê__i _ J^___(t)r vs)\'^

(1 -pr - Ps) / ^"P\'-VrdVr / ^ 2nps 2 « (1 - pr -p«) t,,

• x— oo 9 / ^ OQ

Ofschoon het- uitvoeren dezer integraties, vooral dat der tweede, ingewikkeld
is, worden na herleiding daardoor resp. de zeer eenvoudige uitkomsten verkregen:

« p, (1 — p,) (jn, — miY en —aprp, (mr — m,\') (m, — m{).

Door summatie vinden we voor het quadraat der middelbare fout

(\' )
a j^\'« p, (1 — p,) (m, — m,)« — v 2: pr p, (mr — m,) (m, — m,)\'

waarin de laatste dubbele summatie moet worden uitgestrekt over alle waarden van
r en s behalve l, terwijl r en s niet gelijk mogen zyn. Van de laatste beperking
afstappende kan er voor worden geschreven

/ M M M M \\

a p, (1 —p,) (m,— m,y — 2> 2:" p.r Ih (mr — m,) — mi) 2:« p/ (m, — mt)^ [

/ 0 00 0 )

( M /■! M I

of « p, (m, — w,)«—2\' Pr Ps (mr — m,) (m, — m,) .

(O 00 )

10

Door de summaties ook over l uit te strekken ondergaat de uitkomst geene
verandering, terwijl er dan voor kan worden geschreven

r\' ( \' ) "1

a Zs Ps (nis — ^ly —l^sp, (mg — m,)^ .

Lo ( O ) J

Na ontwikkeling blijkt deze formule geheel symmetrisch te worden in de
grootheden m en p, zooals ook was te verwachten, en neemt zij den vorm aan

De modulus van de gevonden foutenwet moet derhalve zijn

2 tt\\i: ni^p — (j: mpy j

Deze zeer eenvoudige uitkomst is het eerst langs geheel anderen weg door
H. Laurent verkregen, bij gelegenheid van zijn onderzoek over het maximum van
verzekerd bedrag. De hier gevolgde methode schijnt algemeener in de toepassing;
later komen wij hierop terug. De uitkomst laat zich zeer eenvoudig vertolken, en
wel in verband met een hoofdstuk der waarschijnlijkheids-rekening dat door Gauss
is bedacht, namelijk de

Theorie der gemiddelden. De gemiddelde waarde der lineaire functie rp kan
ook bepaald worden uit « proeven. Bij elke der « proeven blijkt zij eene der m tot
waarde te hebben, b.v. bij de P mi. Hare gemiddelde waarde in de « proeven
bedraagt dus

1 "

- 2:t 771.

« 1

De juiste gemiddelde waarde van (p bedraagt

I

77lsPs = a.

O

Bepalen we nu volgens de theorie der gemiddelden van Gauss de gemiddelde
waarde van

/I « \\2

(- Zc m: -a)

dan vinden we

m^ — g^
cc

We noemen dit het quadraat der middelbare fout in het gemiddelde uit de

11

l

tt proeven. In deze formule is = -T« ^^^ (j^ i ^g gemiddelde waarde van de
quadraten der m,.

In de functie F is de fout « maal grooter dan in cp en dus het quadraat der
middelbare fout

a - a2).

Buiten de voorafgaande ontwikkelingen om hadden we dus de uitdrukking
voor de middelbare fout onmiddellijk kunnen neerschrijven. Dit is evenwel niet
geschied, omdat we ook de fouten wet der functie F noodig hadden.

De grootheid —-— is eene maat voor de nauwkeurigheid, die we bereiken

door voor qp het gemiddelde te nemen van « proeven.

De gemiddelde waarde van het quadraat van het verschil tusschen de uit-
komst eener enkele waarneming en de juiste waarde van qp definieerende als
quadraat der middelbare afwijking, bedraagt dit quadraat

{ms—ajp.

i

In aanmerking nemende dat ü^p, = 1 is wordt, dit gemakkelijk herleid tot

0

m^ — a^.

Het quadraat der middelbare fout in het gemiddelde van a waarnemingen is
dus « maal kleiner dan het quadraat der middelbare afwijking eener enkele waar-
neming. Afgezien van den vorm der wet die de kans op fouten in qp als gemiddelde
uit a waarnemingen aangeeft, zal de gemiddelde waarde van het quadraat der fout
dus tot O naderen, als « onbepaald groot wordt. Volgens welke wet dit geschiedt
blijft in de genoemde theorie der gemiddelden onbeslist. Deze foutenwet kan nu op
grond der voorgaande ontwikkelingen worden aangegeven. Zij is namelijk dezelfde
als die voor de functie F. Alle fouten y in qp zijn namelijk a maal kleiner dan de
overeenkomstige fouten a; in F. De kans op fouten tusschen x en a; dte in wordt
aangegeven door de formule

1

C ]/Jr

12

waarin

\\

Vervangen we nu x door ay, dan wordt de kans dat de fout in F zal zijn
gelegen tusschen y en y dy

CiVn

waarin

Zs mj^ Ps — [Zs m,Ps )
O \'

stellen we p =/(m—a), dan kan f{m—a) worden opgevat als eene foutenwet
van den meest algemeenen vorm, zoodat door de voorgaande theorie de foutenwet
van het gemiddelde uit « waarnemingen algemeen is aangegeven.

Uit het voorgaande blijkt dat, niettegenstaande de foutenwet der functie F
eene benadering is, de uit die wet berekende middelbare fout op volkomen nauw-
keurigheid kan aanspraak maken.

De middelbare afwijking eener enkele waarneming van het gemiddelde kan
evenals de functie q> uit de waarnemingen worden bepaald. Is namelijk « zeer groot,
dan zal volgens de wet van Bernouilli elke waarde van m bij benadering volgens
hare waarschijnlijkheid zijn vertegenwoordigd. Dan kan voor a

1 "
a\' = — Zt mt,
a 1

en dus voor

m^ — a^ — ^s (nis —af ps
O

1 " 1 i-\'
- Zt mi — a\'
« 1 ( )

worden geschreven.

De quadraten zoowel der theoretische middelbare afwijking (1), als van de uit
waarnemingen bepaalde (2) hebben de merkwaardige eigenschap minimaal te zijn; de

I

uitdrukking (1) wordt namelijk grooter voor elke andere waarde van a dap Zsmsp^

(2) voor elke andere waarde van a\' dan -

1 "

13

Deze eigenschap kan gemakkelijk door differentiatie worden bewezen. De beste
uitkomst die voor de gemiddelde waarde van 9 uit a proeven kan worden verkregen,
wordt dus gevonden door de quadraatsommen (1) of (2) tot minimum te maken.
Wij stelden zooeven

I

Zs vtsPs = a
0

i

Hieruit wordt, wijl p« = 1 is, gemakkelijk afgeleid

0

I I

V.? msPs =a Pg
u 0

en

I

ims—a)ps = 0.

0

Voor eene willekeurige betrekking p = cp(\'m) wordt deze vergelijking

ƒ 00

{m — a) (f (m) dm = 0.

-00

Of m — a = X stellende en <p {a x) = f (x) \'

ƒ400

xf(x)dx = 0

-00

Uitgedrukt in x, wordt nu het quadraat der middelbare fout

00

I x^f{x)dx

\'\' — eo

waarin ƒ (x) de kans is dat m de juiste waarde a met x zal overtreffen. Met behulp
der betrekking

r-\\ 00

I xfix^dx^O

— 00

wordt gemakkelijk eene eigenschap der middelbare afwyking bewezen, namelijk:

Het quadraat van de middelbare afioijking eener grootheid u, die de som is
van eenige elementaire onderling onafhankelijke grootheden, van haar gemiddelde is
gelijk aan de sojn der quadraten van de middelbare afwijkingen van elk der elemen-
taire grootheden van haar gemiddelde.

Laten de afwijkingen van het gemiddelde bij de elementaire grootheden resp.

14

zijn xi, X2,.....a^m, en de kans dat deze afwijkingen voorkomen resp. worden uitge-
drukt door de functiën

fl f2 («2),......fm («m).

De samengestelde kans op fouten tusschen xi en Xi d x.^, X2 en x^ d x^,.......

en d x„, bedraagt dan

/"l («1) A (<^2)......fm{Xm) dxydx^.....dXm,

terwijl de afwijking der grootheid u van haar gemiddelde dan is

a^i a^a ...... a;„,.

Het quadraat van de middelbare afwijking der grootheid u van haar gemid-
delde wordt daardoor

/•j (x^)dxi j h (Xi) dx2... dx^-i I fm M {x^ x^i .....-1- a;,„)2 dx,„

— 00 * —00 —00 ~~oo

waarvoor door ontwikkeling, daarbij gebruik makende van de betrekkingen

/ 00

fs {x,) Xs d a;, = O en I f^ («,) dxs = l

- 00 —exs

gemakkelijk wordt gevonden

m

^ J -eo

waarmede de eigenschap is bewezen. Hebben we nu dus eene functie

V = 91 <)P2 ..... (P»,

en is de middelbare afwijking van van haar gemiddelde f, = waarin

m, en a, de hiervoren uiteengezette beteekenis hebben, dan volgt uit de bewezen
eigenschap dat het quadraat van de middelbare afwijking der grootheid yj van haar
gemiddelde bedraagt

= i» («1,2 —0,2)
1 1

Gemiddelde fout. Zij wordt gevonden door eene fout van bepaalde grootte te
vermenigvuldigen met hare kans om voor te komen en de som te nemen dier
producten, afziende van het teeken. Is de kans dat eene fout is gelegen tusschen
X en X dx f{x)dx, dan is de gemiddelde fout derhalve

( f{x)xdx I f{—x)xdx
J 0 Jo

15

IsJ ƒ(x)a;dcc = O dan volgt hieruit dat de twee deelen der gemiddelde fout

gelijk zijn. Dit is dus overal zoo waar x de afwijking voorstelt van het gemiddelde
uit een groot aantal proeven. Dit is o.a. het geval bij alle billijke spelen en ook bij
verzekeringscontracten, voor zoover de preraiën zijn berekend op grond van juiste en
toepasselijke sterftetafels en indien we afzien van den opslag. In al deze gevallen
geldt dus ook de zooeven bewezen eigenschap der middelbare afwijking.

Stelt ƒ (x) de kans voor dat op een verzekeringscontract door de maatschappij
een bedrag ter waarde van x zal worden gewonnen, ƒ(—x) dat een gelijk bedrag
daarop zal worden verloren, dan is het eerste deel de mathematische hoop op
winst, het tweede die op verlies. De mathematische hoop op winst of verlies is
derhalve de helft der gemiddelde fout. Is ƒ (z) = <p (x% dan zijn de 2 deelen steeds
gelijk. Zulk eene foutenwet heet symmetrisch.

Voeren we de integratie uit ingeval

dan vinden we voor de gemiddelde fout gemakkelijk

Cj = 0,5642 c

De Franschen, Engelschen en Duitschers noemen deze fout respectievelijk
moyenne des erreurs, mean error, Durchschnittsfehler.

Waarschijnlijke fout. Is de kans dat de fout beneden zal blijven gelijk
aan die, dat zij dit bedrag zal overtreffen, dan noemen we c„ de waarschijnlijke fout.
e,,. Moet dus zoo zijn, dat

/► Cw

f(x)dx=\\

■ClO

In ons geval derhalve is

C,0

Uit de tafels voor de 0-functio vinden we dat hieraan wordt voldaan door

= 0.4769 of c,o = 0.4769c.

c

16

Hebben we in plaats van fouten afwijkingen, dan kunnen we analoge definities
geven van gemiddelde, middelbare en waarschijnlijke afwijking. Niet altijd wordt
deze analogie van fouten en afwijkingen doorgevoerd. Zoo noemt Dormoy wat boven
als gemiddelde afwijking is gedefiniëerd „écart moyen", in plaats van zooals men zou
verwachten „moyenne des écarts."

Foutenwet eener lineaire functie van eenige grootheden. Stellen we de groot-
heden voor door Oi, a^,----a„, hare fouten door Zi, z^,.....a;„, eene lineaire

functie door mi airrii a2 ........ m„ a„, dan is de fout in deze :

g = mi Xl m2X2 ...... mn Xn.

Zijn de kansen dat de fouten der grootheden liggen tusschen Xi en

Xi-\\- dxx, X2-\\- dzi,.....Xn en x^ dxn resp.

A (%) /à rfiCï ,----/n (a^n) dXn

dan is de samengestelde kans

fl (a^l) fi i^l)----fn{Xn)dXidXi.......dxn.

Zij nu de kans dat de fout in de lineaire functie zal zijn gelegen tusschen
y en y dg

<P (y) dy

dan kan die, dat zij zal zijn gelegen tusschen o en op 2 manieren worden neerge-
schreven, hetwelk aanleiding geeft tot de volgende identiteit

y — (mi XI -I- «12 X2 .....H- m„.i a;„.i)

I q)(y)dy = I fl (a:i) dxy j f2(xj) dx^... / /„-i (xn-i) d Xn-i / fn (a;„) d

t/O rj — ta xJ — co t.J ~ co

,J mi Xi -f-

m H

waaruit door differentiatie volgt
, 9 (3/) = / A (^i)dxi ƒ A (x.2)dz2... / fn-i(xn-i) — fj-—-\\dx„-i

KJ — 00 kJ — 00 %J— co

.£1? 1

Is nu ƒ, (Xi) = e Ci2, ƒ2 {X2) = ^^ e enz.
dan kunnen de integraties worden uitgevoerd en vinden we

1 _ yi

17

waarin

c2 = J,Ij2cj2 _f. ......^

De foutenwet der lineaire functie is dus van denzelfden vorm als die der

1

grootheden zelve. Men zegt daarom dat de foutenwet -^y— e c^ zich reciproceert.

Omgekeerd kan worden aangetoond, dat wanneer de som van twee grootheden

1

eene foutenwet heeft van den vorm -,/-—e c^, terwijl eene dier grootheden eene

C y 7t

foutenwet heeft van denzelfden vorm maar met modulus c,, de andere grootheid

slechts eene foutenwet kan hebben van denzelfden vorm met modulus Vc^ — cf^.

1

Zij de foutenwet der eerste grootheid ^ y— e ci2, die der andere ƒ (xj), dan is
Xy =y en •

/-» CO ^X-2 = y — Xl fty

/ / / 1

CiV^ j e ci2tZxi# f(x^dx2= t c2 d?/

t/-oo */.T2 = —a;i c/O

waaruit door differentiatie naar y volgt

^ / c» •.......(,)

Het vraagstuk komt nu hierop neer de functie ƒ uit deze vergelijking op te
lossen en aan te toonen dat zij als eenige oplossing toelaat

1

f(y) = e Ca» , waarin Cj^ = c® — c^^ is.

cj|/ }t

Het 1° lid vertoont veel overeenkomst met een integraal der differentiaal-
vergelijking

iï _ Ell.fl!?

4 dy^

De eenige oplossing van deze, onder voorwaarde dat voor i — o <p = ƒ (//) wordt, is

-00 (y — lyi

fa)e dX,

—00

voor welke door verandering van variabelen kan worden geschreven

00 _

f(.y-^i)e clUdx,

18

Nu wordt (jp voor t = 1 identiek met het P hd van (1) zoodat

1 -t.

De oplossing der difF. verg., die voor f = O in de gevraagde functie y overgaat,
wordt dus voor t = 1

1

c ca

cY n

Vervangen we t door 1 t\' dat moet die oplossing der diflf. reg. voor = O
worden

1

— e c^

cY~it

terwijl bovenstaande differentiaal-vergelijking door deze substitutie overgaat in

at\' 4 ay^

Van deze bestaat slechts ééne oplossing die aan de genoemde voorwaarde
voldoet, namelijk

^ -1- oo

(y -

e ca (Z I

c,

welke achtereenvolgens kan worden herleid tot

y^ OO

Voor f = — 1 moet deze ƒ (i/) leveren, zoodat
de eenige functie kan zijn die aan de voorwaarden van het vraagstuk voldoet.

HOOFDSTUK IL

TOEPASSING VAN DE AVET DER GROOTE GETALLEN

OP DE STERFTE.

Denken we gelijksoortige individuen samengebracht van gelijken leeftijd en
gelijke constitutie, dan zullen deze bij plaatsing in eene gelijke omgeving, gelijktijdig
overlijden.

De constitutie is een samenstel van verschillende elementen. We onderstellen,
dat deze numerisch kunnen worden voorgesteld door xt, x^, x^,.....x„.

De levensduur is onder overigens gelijke omstandigheden functie van de con-
stitutie. Is m de leeftijd bij overlijden, dan is derhalve

Lossen we uit de vergelijking m = F(x^, x^, x^,... x„) de elementen xi,x2,.....Xn

op, dan is er een « aantal stelsels van waarden van xi,x2,......x,, denkbaar, zoo-
dat met oo veel constituties in eene gelijke omgeving een gelijke levensduur zal
overeenkomen. Zijn de elementen, waardoor de constitutie is bepaald, continu ver-
anderlijk, dan kan dit ook met m het geval zijn.

Denken we het aantal individuen

met bepaalde waarden van a:i,a;j,xg,....k^
eene continue functie v («n «a» • • • x») van deze grootheden, zoodat we voor het aantal

met constitutie-elementen gelegen tusschen x, ena;, -f rfx,, xj en Xj rfxj,.....Xn en

x„ dx„ kunnen schrijven :

lp (xi,x2,....x„)dxi dx2....dx„,

dan zullen deze allen op gelijken leeftijd m overlijden, die, zooals boven gezegd, is
bepaald door de vergelijking:

m = F{Xi,X2,.....x„)

20

terwijl we het totale aantal, dat. tusschen de leeftijden o en m overlijdt vinden door
te -berekenen

ƒ J "J ^ • ■ ■dxidxi. ...dxn

waarin de integraties tusschen behoorlijke van m afhankelijke grenzen moeten
worden verricht.

Het aantal individuen, dat tusschen O- en m-jarigen leeftijd overlijdt, voor-
stellende door IN(m)dm komen we tot de vergelijking:

J*^ (m) dm=J J----.Jiff (xi, X2,----x„) dxidxQ----dx„

Differentiëerende onder het integraalteeken vinden we:

N(m)= ƒ ƒ...........Jifi (xi,x2, X3,.... x„) dxi dx2... dx„

rm l

N(m) kan\'eene continue functie van m zijn en evenzeer N(m)dm, dat is het aantal

individuen dat tusschen twee opeenvolgende leeftijden m en m 1 overlijdt.

Eene verzameling van een onbepaald groot aantal gelijksoortige individuen
levende in eene gelijke omgeving en waarin het aantal met de constitutie-elementen
a:j,x2,...x„ eene functie van deze grootheden is noemen we eene verzameling I.

rm l

Zetten we N(m)dm uit als ordinaat bij de abscis m en doen we dit voor

m

alle waarden van m dan vormt de aaneenschakeling der punten eene lijn, aange-
vende hoeveel personen tusschen de leeftijden m en m 1 overlijden. De grootte der
ordinaten hangt af van het aantal individuen in verzameling I. Is l de hoogst bereik-
bare leeftijd dan kunnen we dit aantal voorstellen door fN(m)dm. Deelen we eerst
alle ordinaten hierdoor en zetten we dus- af

m 1

N (m) dm

N (m) d m
0

dan krijgen we eene nieuwe lijn. We noemen deze lijn en de functie die zij voorstelt

21

de sterftewet der verzameling 1. We stellen

rm l

IN (m) dm

^ «M

N (m) dm

dat is de kans voor een individu om op leeftijden tusschen m en m 1 te over-
lijden voor door pm-

In werkelijkheid kan de omgeving waarin de individuen leven zeer ver-
schillend zijn. We kunnen haar definieeren als het totaal der invloeden door de
buitenwereld op het individu uitgeoefend. Deze zijn van verschillenden aard. Denken
we dat die van gelijken aard numerisch kunnen worden uitgedrukt door 2/1,2/2, •• • 2/m
waarin elk der indices op eenen invloed van bepaalden aard betrekking heeft, dan
is de meest algemeene vorm waarin de afhankelijkheid van m van de grootheden
X m y kan worden uitgedrukt

m = I<\\ («i.aja, 2/,, 2/2, • • • • 2/t)

Zal het nu mogelijk zijn dat het aantal individuen, hetwelk tusschen de leef-
tijden m en m 4-1 overlijdt, eene functie van m alleen is, dan moet het aantal
bijeengebrachte individuen met constitutie-elementen tusschen xi en xi dxi, x^ en
Xi dxi enz. en die aan invloeden van eene waarde gelegen tusschen 2/1 en 2/1 dyi,
2/2 en 2/2 df/i enz. zullen zijn blootgesteld kunnen worden uitgedrukt door

V\'i (xijXa,.... yu ........yt) dxi dx^.... dxn dyi dy^.... dyt

Voeren we nu dezelfde bewerkingen uit als op blz. 20, dan komen we weer
tot eene sterftewet, die de verhouding van het aantal dat tusschen de leeftijden m
en m -f 1 overlijdt tot het totaal aantal bijeengebrachte individuen als functie van
m aangeeft.

Beschouwen we de personen gelijktijdig geboren in eene stad, provincie of
land. Er is dan geene reden om aan te nemen dat de vorm der functie t/»i onafhan-
kelijk zal zijn van het tijdstip waarop de individuen worden geboren. Integendeel
mag worden verwacht dat vooral door wijziging der uitwendige invloeden t/^i voort-
durend verandert, terwijl de verandering van i/\'i ook op t/\' haren invloed kan
doen gelden. Dit zal eene verandering van N (m) en dus van de sterftewet van
opvolgende generaties ten gevolge hebben. De uitkomsten der statistiek wijzen op
eene verschuiving der sterfgevallen naar de hoogere leeftijden, zonder dat evenwel

22

het algemeen karakter der sterftewet eene ingrijpende wijziging schijnt te onder-
gaan. De sterftewetten waargenomen op personen levende onder gemiddeld veel
gunstiger invloeden dan geheele bevolkingen, vertoonen toch met de sterftewetten
dezer laatste eene in \'t oog vallende overeenkomst. Men zou geneigd zijn daaruit op
te maken dat het karakter der functie ip onveranderlijk is. Langen tijd heeft men
geloofd aan het bestaan eener vaste sterftewet. Misschien is voor dit geloof nog
plaats bij invoering der voorwaarde dat de uitwendige invloeden konden worden
geëlimineerd, dus voor de verzameling L

Ter onderscheiding zullen we eene verzameling van een onbepaald groot aan-
tal gelijksoortige individuen van gelijken leeftijd, waarin het aantal met bepaalde
waarden der grootheden x en y eene functie van die waarden is, eene verzameling
II noemen.

Kenden we de functie Fi en waren we in staat de grootheden x en y te
meten, dan zou voor elk individu het oogenblik van overlijden met zekerheid vooraf
kunnen worden aangegeven. Nu dit niet het geval is, kunnen op het leven van een
enkel individu geene verwachtingen worden gebouwd. We zullen evenwel nagaan of
dit wel kan op dat van een groot aantal a individuen en ons daarom afvragen in
hoeverre dit geval kan worden gebracht binnen het bereik van de wet der groote
getallen, om zoo de uitkomsten van het vorige hoofdstuk en verdere daarop te gronden
ontwikkelingen in toepassing te kunnen brengen.

We kunnen vragen naar de voorwaarden waaraan «individuen van den leeftijd r
eener verzameling II moeten voldoen om geacht te kunnen worden door trekking uit de
levenden van den leeftijd r dezer verzameling te zijn verkregen. Gemakkelijk erkennen
we als voorwaarde, dat de waarden der grootheden x en y met gelijken index öf
voor alle « individuen gelijk moeten zijn, öf dat op het voorkomen van bepaalde
waarden dier grootheden slechts eene kans mag bestaan en zij dus b.v. niet in bepaalden
getale mogen zijn vertegenwoordigd. Dezelfde eisch moet worden gesteld ten opzichte
van het voorkomen onder de « individuen van combinaties van bepaalde waarden
der grootheden x en y. Ook mogen bepaalde waarden van x en y oï combinatiën
daarvan slechts door het toeval zijn uitgesloten tenzij de uitsluiting volledig is, zoo-
dat die combinaties onder de « individuen in het geheel niet voorkomen. Het voor-
komen van bepaalde combinaties kan afhankelijk zijn van het beroep, indien we met
« personen te doen hebben, zoodat een bepaald beroep slechts een zekere kans mag
hebben onder de « personen voor te komen. Het uitsluiten van sommige combinaties

23

kan samenhangen met het uitsluiten van sommige beroepen en ook met keuring.
Ingeval de « personen aan eene keuring waren onderworpen, moeten de daarbij
gestelde eischen voor allen zijn gelijk geweest of er mag slechts eene kans bestaan
op het onder hen voorkomen van personen aan wie bepaalde eischen werden gesteld.
Zijn daarentegen aan een aantal ßi bepaalde eischen gesteld geworden, aan een ander
aantal ßa andere enz., dan kan het totaal aantal « = ^ (5 der individuen niet door
trekking worden verkregen geacht. In dat geval zouden we de ßi personen uit eene
eigen verzameling II moeten getrokken denken, evenzoo de ß^ enz. Het ligt voor de
hand ons af te vragen of dit soms ook bij gelijktijdig geborenen eener geheele bevol-
king het geval kan zijn. Er zijn daar omstandigheden zooals beroep, welstand der
ouders, die in bepaalden getale voorkomen en op de waarden van sommige der
grootheden x en y onder de geborenen van invloed kunnen zijn. Ook nu kunnen we
voor elk der beroepen, graden van welstand of klassen verzamelingen II denken, en
de geborenen dier klassen door trekking uit hunne eigene verzamehng verkregen
denken. De geborenen dier klassen zijn evenwel niet in bepaalden getale vertegen-
woordigd, zoodat niet een bepaald aantal ßi trekkingen uit ééne der verzamelingen
moet geschieden. Er is nu slechts eene waarschijnlijkheid dat eene trekking uit eene
bepaalde verzameling moet plaats hebben, welke waarschijnlijkheid is bepaald door
de talrijkheid en het generatief vermogen der klasse waarop de verzameling betrek-
king heeft. Het proces waardoor de gelijktijdig geborenen kunnen worden geacht te
zijn bijeengebracht is dan hetzelfde als wanneer we in plaats der vaas van het 1"
hoofdstuk er meerdere denken van verschillende samenstelling, en zoo geplaatst, dat
er een bepaalde kans bestaat bij trekking in eene bepaalde vaas terecht te komen.

Denken we n vazen. Laat de kans om in de s° terecht te komen worden voor-
gesteld door g,, die om als we er eenmaal in zijn terechtgekomen, daaruit het nummer
r te trekken p^\'®\'- Doen we nu « trekkingen, dan is het waarschijnlijkst aantal malen
dat zich daaronder het nummer r zal bevinden

1

Het waarschijnlijkst aantal malen dat men in de vaas .s zal terechtkomen
bedraagt «Noemen we het aantal malen dat dit werkelijk zal gebeuren dan
bedraagt het waarschijnlijkst aantal malen dat zich hieronder het nummer r bevindt
en volgens de wet van Bernoüilli de middelbare afwijking tusschen dit en

24

het ware aantal

zoodat de middelbare afwijking in het aantal dat het nummer r op de « trekkingen
zal voorkomen bedraagt

\'Vh^sPr^H^-Pr\'"^)...........(1)

1

Nu kunnen de aantallen ^ nog verschillende waarden hebben, zoodat hiermede
de middelbare afwijking nog niet is gevonden.

Om deze te berekenen redeneeren we volgenderwijs. Het waarschijnlijkst aan-
tal malen dat het nummer r zal worden getrokken bedraagt

1

zoodat de afwijking die in dit aantal zal voorkomen kan worden voorgesteld door

h w -f i^p.w^i?,
1 1

of stellende 8

2s « gr, 5 j? W p/\'^ v^
1 1

Aangezien v onafhankelijk zijn, kunnen we de quadraten der middel-

bare fouten tengevolge van elk der deelen afzonderlijk berekenen. De som van deze
geeft dan het quadraat der totale middelbare fout. Het quadraat van de middelbare
fout tengevolge van het 1® deel bedraagt

welk deel op eene kleine van hoogere orde na overeenkomt met het onder (1)
neergeschrevene.

Voor het tweede kunnen we de. berekening uitvoeren met behulp van de
formule

a\\2:m? q — {Z m
(zie bl. 10) waarin m, We vinden dan

25

Daardoor wordt het quadraat van de totale middelbare fout

1 1

Stellen we

is q^pM =
1

dan gaat deze uitkomst over in

aPr{l — Pr)............(2)

Dezelfde waarde voor het quadraat der middelbare fout zou zijn verkregen,
indien we den inhoud der n vazen in eene enkele hadden overgebracht en uit deze
de trekking verricht. Pr zou dan de kans zijn geweest om een kogel met het nummer r
te trekken, zoodat nu het voorkomen van bepaalde waarden van x en y onder de
« personen weer alleen van het toeval afhangt.

Deze uitkomst was te verwachten. Dat het vraagstuk langs een eenigszins
omslachtigen weg is opgelost geschiedde met eene bepaalde bedoeling. Trokken we

een bepaald aantal /J kogels uit elke vaas, zoodat (i^,----alle eene vaste

waarde hadden, dan zou de formule (1) de middelbare afwijking van het aantal
getrokken kogels met het nummer r van het waarschijnlijkst aantal aangeven. De
gemiddelde kans om een kogel met het nummer r te trekken zou dan bedragen

" 1

De middelbare afwijking zou nu evenwel niet zijn

V«f ii.p,.^\'^ (1-4 f ........

maar door de formule (1) zijn gegeven. Is

1 " 1

dan is de gemiddelde kans gelijk, zonder dat dit met de middelbare afwijkingen het geval
is. Gemakkelijk kunnen we aantoonen dat de uitkomst onder (2) in deze onderstelling
grooter is dan het quadraat van de formule onder (8). Dit feit nu wordt door J. Bertrand
(zie zijne „Calcul des Probabilités" blz. 313—315) aangevoerd als bezwaar tegen de
toepassing van de wet der groote getallen op de sterfte. Zijn bezwaar zou gegrond

26

kunnen schijnen in gevallen waarin de aantallen ^ voor telling vatbaar zijn, zoodat
kan worden vastgesteld hoeveel kogels uit elke vaas zijn getrokken. We zijn dan in
staat die aantallen uiteen te houden en verkrijgen door dit te doen eene kleinere
middelbare afwijking, derhalve grooter precisie. Zoolang we evenwel tegen de moeite
aan de scheiding verbonden opzien, blijft ons wel niets anders over dan de « personen
als uit ééne verzameling getrokken te beschouwen, maar kunnen we niet verwachten
daardoor dezelfde nauwkeurigheid te zullen bereiken als bij splitsing in groepen. Waar
toch de aantallen aan het toeval zijn overgelaten, heeft dit laatste grooter speel-
ruimte, zoodat de middelbare afwijking dan grooter zal zijn. Kan het evenwel
gebeuren dat, ofschoon de aantallen in elk voorkomend geval kunnen worden geteld,
zij in de gevallen waarvoor de uitkomsten tevens moeten gelden, kunnen verschillen,
dan zou de grootere precisie verkregen door de scheiding der groepen slechts eene
schijnbare zijn. Naar mijne meening ziet Berteand deze mogelijkheid over het hoofd.
Bestaat er in zulke gevallen voor eiken kogel eene kans dat hij uit eene bepaalde
vaas is voortgekomen en berekenen we in deze onderstelling de middelbare afwijking,
dan komen we weer tot de formule onder (2),

We zullen in het vervolg meermalen de kans/(a;) da: moeten berekenen dat eene
zekere grootheid, betrekking hebbende op « personen en die eene lineaire functie is van
de grootheden m, hare waarschijnlijkste waarde met een bedrag gelegen tusschen x en
x dx overtreft. Reeds zagen we dat deze kans door de gewone foutenwet wordt aange-
geven. Moeten nu onder de « individuen er worden getrokken geacht uit verzameling
IF\', (52 uit verzameling IP» enz., dan kunnen we voor elk aantal (i^ de kans berekenen
dat de lineaire functie een bedrag gelegen tusschen ?j, en van hare waarschijn-

lijkste waarde zal afwijken. Aangezien nu deze kans kan worden voorgesteld door
1

_L^e"\'^ dj/s, wordt ƒ (x) volgens het op blz. 16 bewezen theorema eveneens van

den vorm -i—g-J", waarin
cy !t

C\' = i\' C.-

1

en = ii\'r m,2 pM — (iv m^ p/\'^fj

(o O )

Zijn de kansen p van gelijke rangorde slechts weinig verschillend voor de n verza-
melingen, dan kan het toegeven aan het bezwaar van Bertrand slechts een geringe^i

27

invloed hebben op den modulus zonder dat dit invloed heeft op den vorm van de
foutenwet der grootheid. Bovendien zagen we dat de middelbare afwijking in de
onderstelling dat de aantallen (3 door het toeval worden bepaald grooter is dan
die in de onderstelling van Bertrand, zoodat door de berekeningen uit te voeren
in de onderstelling dat de trekking uit eene enkele verzamehng plaats heeft, de
bereikte nauwkeurigheid in geen geval wordt overschat. Ook bij de theorie der waar-
schijnlijkheid van afwijkingen in sterftekansen zal blijken dat het toegeven van het
bezwaar van Bertrand slechts een geringen invloed kan hebben op de waarden der
moduli. In het vervolg zal daarom de wet der groote getallen zonder nadere beschou-
wingen worden toegepast op de sterfte onder a personen. We kunnen daarbij het
geval van bepaalde aantallen ook denken uitgesloten.

Hoe het ook zij met de wet der afwijkingen, de gemiddelden die uit de « per-
sonen kunnen worden gevonden door waar te nemen welk aantal onder hen tusschen
twee leeftijden m en m 1 overlijdt en dit te deelen door het totale aantal « zullen
tot eene bepaalde limiet naderen indien « toeneemt, zoodat we een beeld krijgen van
de gemiddelde sterftewet, die in de samengestelde verzameling gedurende het tijdvak
van waarneming heerschte. De hiertoe vereischte waarnemingen worden verzameld
door de sterfte-statistiek.

Opvatting der verhoudingen p als kansen. We kunnen het volgende vraagstuk
stellen. In eene vaas zijn « kogels, in eene tweede zijn dezelfde onbepaald groote aan-
tallen loten met bepaalde nummers als in het probleem van blz. 1 kogels met die
nummers. Tegelijk met het trekken van een kogel uit de P\'® vaas wordt een
nummer uit de 2" getrokken en dit nummer op den kogel aangeteekend. De kans
voor elk der « kogels in de 1° vaas om het nummer .s te krijgen bedraagt nu p,
en is gelijk aan de kans om in het vraagstuk van blz. 1 een kogel met het nummer
s te trekken. Voor alle kogels is die kans gelijk. Vragen we nu naar de kans
dat ïJo kogels het nummer O, >i, het nummer 1, ni het nummer l zullen krijgen,
dan blijkt deze dezelfde als om in het vraagstuk van blz. 1 kogels te trekken
met het nummer O, ni met het nummer 1, enz. De vraagstukken zijn dus uit een
mathematisch oogpunt aequivalent. Toch kunnen we eigenlijk niet zeggen dat in het
vraagstuk van blz. 1 elk der a te trekken kogels eene kans heeft op een bepaald
nummer. Die nummers toch zijn er reeds vóór het trekken op aangegeven. Het
vraagstuk van de kans dat onder « personen er n^ zullen overlijden tusschen de leef-

28

tijden O en 1, % tusschen 1 en 2, enz. is pricipiëel hetzelfde als dat van blz. 1. We
kunnen dus eigenlijk niet zeggen dat ieder der « personen eene gelijke kans heeft te
overlijden tusschen de leeftijden m en m 1, zooals in het vraagstuk der 2 vazen elk
der « kogels eene gelijke kans heeft om met een bepaald nummer te worden gemerkt.
Zoo sprekende en het vraagstuk oplossende komen we evenwel tot dezelfde formules
als wanneer we ons nauwkeurig uitdrukken. De spreekwijze kans van overlijden
moeten we dus als eene beknopte uitdrukking beschouwen voor het juiste begrip.

Haar letterlijk opvattende en dan de kans berekenende dat onder « personen
er no zullen overlijden tusschen de leeftijden O en 1, ?ii tusschen 1 en 2 enz., komen
we evenwel tot juiste uitkomsten. In het vervolg zullen we op deze wijze te
werk gaan.

Hoewel het ook voor de hand lag uitgaande van de voorafgaande beschou-
wingen allereerst de grootheid pm te bespreken, is deze toch voor de statistiek niet
het meest gewichtige gemiddelde der verzameling II. Zij kan namelijk worden opgevat
als de kans voor een levende van den leeftijd x, waarbij de verzameling aanvangt,
om te overliiden tusschen de leeftijden m en m ]. Hare waarde zal dus afhangen
van den aanvangsleeftijd x. Wel bestaat dit verschil slechts in eenen constanten
factor, zoodat pm graphisch voorgesteld een vast karakter vertoont, maar ter beoor-
deeling van de meerder of minder gunstige sterfte is zij ongeschikt. Daartoe moet
de voorkeur worden gegeven aan een ander gemiddelde der verzameling II, namelijk de

Jaarlijksche sterftekans. Zij is het quotiënt van het aantal individuen der ver-
zamehng II dat overlijdt tusschen de leeftijden ïn en m 1 en het aantal, dat den
leeftijd m bereikt. We stellen haar voor door w^. Volgens definitie is dus

J\'m l

N(m) dvi

m

W„, =

N(m) dm

waarin l den hoogstens bereikbaren leeftijd der verzameling II voorstelt.

Heeft p een continu beloop, dan zal dit ook met w het geval zijn. We kunnen
ons tot opgaaf stellen ook deze kans af te leiden uit waarnemingen op de «
personen.

Het waarschijnlijkst aantal onder deze, dat overlijdt tusschen de leeftijden m
en m 1 is, zagen we, ap^ en de waarschijnlijke afwijking daarvan:

0.6745

29

Het waarschijnlijkst aantal, dat den leeftijd m bereikt is:

/ m-l 1

« 1 — p, ,
( O )

terwijl de middelbare afwijking zal bedragen :

I [ ) 1 y ^^^^^ \'

[/ « ps\\i — — y

0(0] Om\'

De jaarlijksche sterftekans,\' die uit « personen kan worden bepaald, zal dus
a priori tot waarschijnlijkste waarde hebben:

«Pm

m-l

« (1 — JTï p,0

O

fM-1

Overlijden a2:sp .j. X personen tusschen de leeftijden o en7Ji, ap„, ö tusschen

O

m en m 1, dan bedraagt het aantal levenden aan het begin van den m-jarigen

m-l

leeftijd «(1—X\'p,) — terwijl als sterftekans zal worden waargenomen, indien we

O

m-l

nog apm= dm en « (1 — ^-^p,) = l,„ stellen,

O

lm Im^ Im\'^ Im^

zoodat bij kleine waarden van ö en l kan worden geschreven

(lm ^ <f ^ Adni

lm lm Im\'^

waarin dus eene fout is ter waarde van -f .

l\'m l\'m

Vervangen we ~ door dan wordt de uitdrukking voor de fout f -1-

\'m t^m f/m

Hierin zijn ti en l niet onafhankelijk, zoodat de middelbare fout in de jaarlijksche
sterftekans niet wordt

K rü"!—nr = ^ """ >

\' lm* lm* lm

maar èene andere wijze van combineeren van 8 en 1 moet worden toegepast.
Volgens hoofdstuk I is de samengestelde kans, dat de fout in den teller die in

30

^^-

y 2 rra

!T a pj Tt a p„, nr a (1 —.T« p«) O

Dit is tevens de kans op eene afwijking 4- ^^^^ in de sterftekans. Het

vm tm

quadraat der middelbare afwijking in deze wordt derhalve

(/ [/ 2!rpm (/ {l — 2spi)J " t/ o Mm lm /

De uitvoering der integraties levert volgens blz. 10 « l^m^p— (^mp)^!, waarin

... 1 m-l m

Wfl = mi = m2 = O, = pi = Pm,p-2 = 1 — , zoodat het quadraat

tm ^m O O

der middelbare afwijking wordt

cZ

«p^ door Pm door (1 —en f door w„, vervangende, wordt dit

O ^m

achtereenvolgens

O

1\'". - ^ -t;;;^ f - f - ^ f = ü" "ü ^^" t\' p^)
——

Dit is dezelfde middelbare afwijking als zou zijn verkregen, indien i„m-jarige
personen aan eene sterftekans w^ waren blootgesteld. Deze opvatting is derhalve met
de vroegere gelijkwaardig.

De hier gevonden middelbare afwijking is die, welke a priori in de sterftekans
der a personen is te wachten. Vandaar dat in den noemer de waarschijnlijkste
waarde van voorkomt en niet lm—K zooals dat het geval moet zijn, indien
men eenmaal L — ^ m-jarige levenden heeft overgehouden.

Sterftekracht. We zagen vroeger, dat het aantal individuen, dat in verzameling
II overlijdt op leeftijden tusschen m en m dm, kan worden voorgesteld door

N (ni) dm.

31

Deze dooden mogen volgens het zoo juist behandelde worden beschouwd als
gedurende den tijd dm te vallen uit

N (m) dm

m-jarige levenden. Het quotient

N (to) dm

h

gedeeld door dm, dus

Nfm)

N (m) dm

noemen we de sterftekracht op den leeftijd m. Het waarschijnlijkst aantal dat uit l„,
m-jarige personen overlijdt tusschen de leeftijden m en \'m -f d m bedraagt

j N (m) dm

(to) dm

Wijl ieder der l„, personen gedurende den tijd dm onder observatie blijft,
is de totale observatie-tijd l,n dm. We zien dus dat het waarschijnlijkst aantal dooden
tusschen de leeftijden m en m -f dm wordt gevonden door dezen totalen observatie-
tijd te vermenigvuldigen met de sterftekracht.

Met behulp der sterftekracht, die voor eiken leeftijd vi eene bepaalde waarde
heeft, die we zullen voorstellen door i„, kan het waarschijnlijkst aantal dooden, dat
onder een bepaald aantal personen over eene willekeurige tijdruimte is te wachten
in integraal vorm worden geschreven. Is het aantal personen onder observatie op
x-jarigen leeftijd Ij,, dan bedraagt het aantal dooden dat daaruit valt tusschen de
leeftijden x en y

lm im dvi

Het verband tusschen de sterftekracht en de jaarlijksche sterftekans is een-
voudig. Volgens definitie namelijk is:

— dl„, = l„, i„, dm

of = — i„ dm

(m

32

Integreeren we tusschen m en m 1, dan volgt hieruit

rm i

1 _ - imdm

\'m-fl — ^m e J m

derhalve

/\'m l

w ^m 1 -, - hm dm

\'m

In -im = — r ^ richting der raaklijn voor bij den leeftijd m aan

de lijn, die we verkrijgen door lm als functie van m uit te zetten. We noemen deze
de lijn der levenden. Haar beloop is van dien aard, dat de richting der raaklijn op

weinig na samenvalt met die der koorde, getrokken tusschen de leeftijden m--\\

en m zoodat bij benadering

p = derhalve im = -^-^ is,

dm 2

door welke betrekking de sterftekracht gemakkelijk wordt berekend uit de levenden
der sterftetafel.

De sterftekracht vindt toepassing waar men het waarschijnlijkst aantal
dooden wil berekenen te verwachten bij personen, wier observatie niet over een vol
jaar loopt, zoodat dit aantal niet in de kansen w of p kan worden uitgedrukt. Zij
het aantal observaties van dezen aard het waarschijnlijkst aantal dooden daaruit

met behulp der sterftekracht berekend t^, dan zou ^ voor de h^ personen de gemid-
delde kans zijn om gedurende hunnen observatie-tijd te overlijden. De middelbare

afwijking wordt nu evenwel niet gevonden door voor w^ ~ te substitueeren in de

hj;

formule

V hx Wx (1 — Wjr),

en wel omdat men de hj, personen in dit geval niet door trekking kan verkregen
denken, tenzij de duur der observatie voor elk der h^c personen dezelfde was. In de
praktijk brengt men evenwel den observatie-tijd niet voor elk der personen nauw-
keurig in rekening, maar denkt de personen door trekking verkregen uit verzame-
lingen, zoodat ieder der h^ personen eene kans heeft om een zeker deel van het jaar
onder observatie te hebben doorgebracht. In de onderstelling dat de kans van in- en
uittreden in alle deelen van het jaar dezelfde is, blijkt dan, indien h^ groot is, de
waarschijnlijkste observatie-tijd voor personen die in een zelfde jaar intreden ^
voor personen die bij leven uittreden evenzeer, voor personen die in hun jaar van

33

intrede ook weer bij leven uittreden (Zie blz. 44—51 van Landré\'s Wiskundige
Hoofdstukken voor Levensverzekering.) Berekenen we nu het waarschijnlijkst aantal
dooden onder de hj, personen op grond van de samenstelling der verzamehng te
wachten en bedraagt dit aantal tj, dan wordt de middelbare afwijking weer gevonden
door in de formule

V hx tfi (1 — Wx)

voor tVx te substitueeren

Door den observatie-tijd aan het toeval over te laten geven we eenige precisie
prijs, welk nadeel evenwel niet opweegt tegen de vele moeite verbonden aan de
bepaling van den nauwkeurigen observatie-tijd.

VERZAMELING VAN STERFTEWAARNEMINGEN.

Het bijeenvoegen van personen van gelijken leeftijd. Tot nog toe werd aangenomen,
dat we beschikten over een groot aantal gelijktijdig geborenen. Het spreekt vanzelf
dat dit eene fictie is. Denken we de functie V\'i onveranderlijk, dan kunnen we om
een groot getal te krijgen de geborenen eener willekeurig lange periode bijeen nemen
en als gelijktijdig geborenen beschouwen. Alles wat omtrent gelijktijdig geborenen is
gezegd, geldt dan ook voor deze personen. Deze methode werd vroeger algemeen
toegepast. Zij heeft evenwel het nadeel dat zij niets kan leeren omtrent de veran-
derlijkheid der functie xpi, maar integendeel vooropstelt dat het tijdstip van geboorte
geen invloed heeft op de samenstelling der verzameling H. Is dit wel het geval, dan
vinden we bij deze wijze van combineeren eene sterftewet die een gemiddelde is
\'voor de periode, over welke de geboorten zijn bijeen genomen.

Het scheiden der jaren van geboorte. Voor de periode waarvan boven sprake is
kan een kalenderjaar worden genomen, indien het personeel waarvoor de sterftewet
moet worden bepaald een voldoend aantal personen van gelijk geboortejaar bevat.
De invloed van het jaar van geboorte wordt dan niet verduisterd. Dit gunstige geval
kan zich evenwel slechts voordoen bij talrijke bevolkingen van geheele rijken,
provinciën\'of zeer groote steden.

Het scheiden van geboorte- en sterfjaar. Door Prof. van Pesch is voor laatstge-
noemde gevallen eene methode bedacht, waarbij personen van hetzelfde geboortejaar

34

in bepaalde kalenderjaren worden waargenomen en hoewel de waarneming niet over
personen van volkomen gelijken leeftijd loopt, is aan zijne wijze van doen groot
voordeel verbonden.

"We denken het kalenderjaar in eenige gelijke deelen verdeeld en het aantal
geboorten waargenomen, dat in elk dier deelen valt. Is het aantal geboorten groot
genoeg, dan zal blijken dat de verhouding van het aantal geboorten in elk dezer
tijdsdeelen tot het totaal aantal in het kalenderjaar waargenomen geboorten voor
alle kalenderjaren nagenoeg dezelfde is. Op dit feit is de bedoelde methode gegrond.
Zij is door Prof. v. Pesgh toegepast bij het berekenen der sterftetafels voor Neder-
land. Hij neemt daartoe de geborenen van een kalenderjaar bijeen en neemt waar
hoeveel uit deze in elk volgend kalenderjaar overlijden. We zullen nagaan welke
nieuwe onderstelhng aan de vroegere moet worden toegevoegd om ook op de uit-
komsten van deze wijze van sterftewaarneming de wet der groote getallen te mogen
toepassen en nagaan of de nauwkeurigheid lijdt onder het waarnemen der sterfte
op personen van niet volkomen gelijken leeftijd.

Noemen we de verhouding van het aantal geboorten in het tijdsdeel gelegen
tusschen de deelen « en « c?« tot het aantal geboorten over het geheele jaar
qada, waarbij wordt gedacht dat g« is waargenomen op een onbepaald groot aantal
geboorten. Denken we nu voor elk tijdsdeel du eene verzameling II van een onbe-
paald groot aantal Gqada personen, waarin G onbepaald groot maar voor alle ver-
zamelingen II hetzelfde is en doen we al deze verzamelingen bijeen, dan kunnen
uit de zoo verkregen verzameling, die we III noemen, de in een bepaald kalender-
jaar geboren personen door trekking worden verkregen geacht, indien we mogen aan-
nemen dat de afwijldngen van de waarschijnlijkste verdeeling der geboorten daarover door
het toeval wordt bepaald.

We zullen nu onderzoeken welke de kans is voor een persoon, door trekking
uit verzameling III verkregen, om te overlijden in een kalenderjaar, m jaar verwijderd
van dat waarin de geboorte viel. Deze kans is de verhouding van het aantal per-
sonen dat van verzameling III overlijdt in het m® kalenderjaar tot het totaal aantal per-
sonen, dat deze verzameUng bevat. Het eerste aantal wordt volgenderwijs berekend.

De Gqa da personen, geboren in het tijdsdeel du van het kalenderjaar, hebben
aan het begin van het m® kalenderjaar tot leeftijd m — u, zoodat het aantal dat
daaruit in het m® kalenderjaar overlijdt kan worden voorgesteld door

35

en het totale aantal dat van verzameling III in het 771" kalenderjaar overlijdt door

J 0

Het totale aantal personen in verzameling III bedraagt

G

Jq,i da = G,
0

wijl de som aller kansen qada weer 1 moet opleveren. De gevraagde kans voor
een persoon, door trekking uit verzameling III verkregen, bedraagt derhalve

qn Pm-n da.

O

Door deze kans, die we pj noemen, te substitueeren voor p in de formule
\' Vap(l—p)

verkrijgen we de middelbare afwijking die is te verwachten in het aantal dooden
onder « personen in een kalenderjaar, dat m jaren van dat waarin de personen
werden geboren is verwijderd.

Het is duidelijk dat een volkomen bepaald gemiddelde is uit de waarden
die Pm-n kan hebben voor verschillende waarden van « gelegen tusschen O en 1.

De methode van Prof. v. Pesch is derhalve even nauwkeurig als wanneer
personen van gelijken leeftijd worden geobserveerd. Waar het te doen is om de ver-
anderlijkheid der sterfte met de verschillende kalenderjaren van geboorte en over-
lijden na te gaan, mag zij derhalve volmaakt worden genoemd. Indien men zich
evenwel ten doel stelt met de kansen pj eene sterftewet te construeeren, die zal
gelden voor personen van volkomen gelijken leeftijd, is het nog noodig het verband
te kennen tusschen p„, en zoodat we moeten berekenen

ß

Om dit te kunnen doen moeten onderstellingen worden ingevoerd.
10. De samenstelling der verzamelingen II is onafhankelijk van het tijdstip van
geboorte, waarop deze betrekking hebben. We kunnen dan schrijven

36

derhalve

Pm\' = fqaPm-a da
J O

2°. Pm.a = Pm—a {pm—pm-l)
waaruit volgt:

Pm\' = Pm — fgu(Pm ~ Pm-l) « da
J O

3». qu, = = g«.
Wijl

fqa da =
Jo

is, volgt hieruit = 1,

derhalve

Pm\' = Pm — iVm — Pm-l)Ja da = ^ (pm Pm-l)

of, op grond van de onderstelling onder 2°.,

De eerste p die we uit p\' kunnen afleiden is p^i, zoodat we uit de kansen p\'
niets kunnen afleiden omtrent po.

Ofschoon de ondersteUing onder P niet onbetwistbaar juist is, gaat men toch
ook daarvan uit bij waarneming van personen van gelijken leeftijd. De onderstelling
onder is voldoende nauwkeurig, behalve voor de jeugdige leeftijden. Die onder 3"
is niet geheel juist. Uit de bevolkingstafels van Nederland over het tijdperk 1840—
1851 blijkt b.v. dat q^ maximum is voor Maart, minimum voor Juni. Door Prof.
v. Pesch is evenwel aangetoond (zie de bijdragen van het Statisch Instituut N". 3
1885) dat de invloed dezer ongelijkmatige yerdeehng der geboorten op de juistheid
der uitkomsten zeer gering is.

Doordat de observatie dikwijls bij leven eindigt en ook personen op zekeren
leeftijd onder observatie komen is het onmogelijk personen waar te nemen van af
hunne geboorte tot aan hunnen dood en uit deze waarnemingen onmiddellijk de
kansen p af te leiden. Steeds echter kan de jaarlijksche sterftekans onmiddellijk

37

uit de observaties worden afgeleid. "VVe stellen in verzameling III de verhouding -j^

13

van het aantal personen A, dat overlijdt in het 7n® kalenderjaar tot het aantal B dat
in leven is aan het begin daarvan voor door ivj en zullen onderzoeken hoe wj met
w„, samenhangt. Gemakkelijk zien we dat

J O

Om B te berekenen, bedenken we dat van het aantal Gg-ad« dat in het
tijdsdeel da is geboren, aan het begin van het me kalenderjaar nog in leven zijn

G ?« da j — d£ = -da fN (s) ds

J I N(s)t/s ( ■S(s)ds

"\'•«Jo ./O

zoodat het tweede aantal bedraagt:

r^-f*qnda /n (s)ds = - f Qada j N {s)ds / N (s) ds

I O ^

Nu is

f N(s>rf.s

(s) ds

de kans voor een pasgeborene om aan het begin van den leeftijd m — \\ nog in leven
te zijn, zoodat

j 1,t dn J N (s) ds

ft)-\'

lOm\' = tO,„_l

ß\'(s)ds
jm-1

De grootheid /t laat zich gemakkelijk berekenen. We vinden namelijk

fN (sUfs = - fx (m -1 - y) rfy

m — rt ft _ i.

Ontwikkelen we N {m — \\ — volgens de reeks van Taylor, en breken we deze

38

bij den 2"° term af, dus stellen we bij benadering

N(m-|-2/) = N(m--^)-2/N\' (m-i)

dan wordt door uitvoering der integraties gevonden

1

. I» -

N (s) ds = (« -1) N (m - i) - 1 (« -1)2 N\' (m - 4)

^ n

en

J O J tn — a

Nu is

N\'(m-l)

X (s) ds

1

m--

overal waar de lijn der dooden stijgt kleiner dan het verschil der sterftekansen op
de leeftijden m — 1 en m -f 1 zoodat daar

-- < W,n 1 — W„,- i = A lOm- 1

/ N(s)ds

en we derhalve kunnen stellen

Alleen op hooge leeftijden kan de invloed van ^ merkbaar worden. Daar even-
wel is toch geene nauwkeurige bepaling der sterftekansen mogelijk. De zeer jeugdige
leeftijden zijn reeds vroeger uitgesloten. Voor alle andere mogen we dus stellen

tOm\' =

Het is de grootheid wJ die door Prof. v. Pesch in de bovenaangehaalde ver-
handeUng voor de kalenderjaren 1870—1879 wordt bepaald. Hij berekent dan tevens
op grond van de theorie der middelbare fout de middelbare afwijking (1) tusschen
de sterftekansen wJ voor verschillende kalenderjaren.

(1) Zjjne methode onderstelt dat de foutenwet symmetrisch i» en iu alleen toepasselijk indien do
sterftekansen alle zijn berekend uit een geljjk aantal waarnemingen. Bij benadering is dit laatste in do
tafels van Prof. van Pesch het geval.

39

Invloed van het kalenderjaar van geboorte en overlijden. Berekent men naast
deze middelbare afwijking die uit de formule

— W,„\')

dan blijkt deze veel kleiner dan de experimenteel bepaalde. Daarentegen is het
verschil zeer geriilg voor de jaren 1880—1889 (zie „Bijdragen tot de statistiek van
Nederland N". V"). In de genoemde verhandelingen wordt aangetoond dat de ver-
schillen tusschen de theoretisch te verwachten en de experimenteel bepaalde mid-
delbare afwijking aan geene andere oorzaak kunnen worden toegeschreven dan aan
het feit dat elk kalenderjaar eene andere sterftekans heeft. Het blijft daarbij nog in
het midden in hoeverre het verschil wordt veroorzaakt door den invloed van het
jaar van geboorte. Het is evenwel niet aan te nemen dat deze invloed eenigszins
belangrijk zou kunnen zijn.

Zijn de sterftekansen niet dezelfde voor verschillende generaties, dan moet de
verzameling III bij de trekking voor elke generatie anders worden samengesteld. De
verschillen in de waargenomen sterftekansen veroorzaakt door dit verschil in samen-
stelling zijn dan onafhankelijk van het aantal waarnemingen, waaruit die sterftekansen
zijn berekend. In de sterftetafels van Prof. v. Pesch blijkt bij vergelijking de middelbare
fout, zooals die is bepaald uit de proeven, van dezelfde orde als die we uit de formule

t

vinden. Bij een aantal waarnemingen, 100-maal kleiner dan het aantal, dat aan die
sterftetafels ten grondslag ligt, zou dus de invloed van het kalenderjaar tegenover
de afwijking tengevolge van het toeval kunnen worden verwaarloosd.

Het comhineeren van waarnemingen verricht in verschillende kalenderjaren.
Hebben we te ,/i^i, w «i-j-i, w • • • • berekend uit aantallen waarnemingen tci, ct^, «s«"-,
elke groep waarnemingen betrekking hebbende op een bepaald kalenderjaar, dan is
uit het voorgaande reeds duidelijk hoe uit die verschillende waarden van de

waarschijnlijkste waarde dezer grootheid kan worden bepaald in de onderstelling dat
het kalenderjaar geen invloed heeft. De trekking der 2: u personen, waaronder 2: d,„
sterfgevallen, kan dan geacht worden uit dezelfde verzameling III te hebben plaats
gehad, zoodat we op grond der proeven zouden besluiten dat de waarschijnlijkste

40

sterftekans bedraagt

d„, a w"

i: a 2: a \'

waarin de sommaties over de verschillende kalenderjaren moeten worden uitgestrekt.
Heeft het kalenderjaar invloed en stellen we de juiste waarden der sterftekansen
die voor de verschillende kalenderjaren golden voor door

itom j, j.....enz.

en hebben we de gemiddelde waarde van deze noodig, dan is, wanneer het

aantal kalenderjaren n bedraagt, de beste waarde voor dit gemiddelde, die uit de n
kalenderjaren kan worden gevonden

n

1 _ 1_\'I

- ——

Volgens de theorie der gemiddelden zal deze waarde, als n toeneemt, steeds
meer naderen tot de juiste. Nu zijn evenwel dé ware kansen bekend,

maar slechts de waargenomen waarden die van de juiste waarden een bedrag

afwijken. De kans dat dit verschil is gelegen tusschen Xs en x, dx, bedraagt

1

(f (X,) dx, = ^^y— C c,2 dXs

waarin

Cg = -

Is nu ook de kans f{vg)dv^ gegeven dat het verschil «t^m i—\'"\'m i zal zijn

gelegen tusschen en cüv, dan is de samengestelde kans dat de verschillen x
zijn gelegen tusschen x en x dx, de verschillen v tusschen 1; en 1; dv

»=11

li (f>{x,)f{v,)dx,dv,............(1)

»=1

De waarschijnlijkste waarde van w\'m l, die uit de waarnemingen over n
kalenderjaren kan worden afgeleid is nu die, waarvoor de uitdrukking (1) maximum
wordt. Zij bevat als onafhankelijke grootheden

... benevens

41

welke laatste grootheid evenwel in de eerste n kan worden uitgedrukt. Dit geschied
zijnde moeten de differentiaal-quotienten van (1) naar de eerste n grootheden voor de
waarschijnlijkste waarden er van O worden. We krijgen zoo n vergelijkingen, waaruit
de waarschijnlijkste waarden van sïü,,,^! kunnen worden opgelost en daarna ook die
der verschillen v.

Is de vorm der functie ƒ bekend op constanten na, dan kunnen de waarschijn-
lijkste waarden der verschillen v in deze worden uitgedrukt. We kunnen daarna (1)
de constanten door functiën der verschillen v vervangen, waardoor we een voldoend
aantal vergelijkingen krijgen, waaruit de waarschijnlijkste waarden der constanten
kunnen worden opgelost.

.Hf!

Stellen we cp (v,) = c , (2)

C J/ JT

dan is (zie blz. IG—17) de kans dat v, = — zal zijn gelegen tusschen
8, en S, (lö,

^ ^^ dö,. (3)

Vn (c*

Kenden we c\', dan zou nu de beste waarde voor w,„4.i worden gevonden door

" 8 2

1

tot minimum to maken. Is evenwel c\' niet bekend, dan moet dit geschieden met do
uitdrukking (1). Dit geeft aanleiding tot n vergelijkingen van den vorm

- - G^t^. i - i f = O. (4)

Na hieruit ««\',„ 1 benevens v^ to hebben opgelost, substituöeren wo do zoo gevonden

9 »

waarden in de vergelijking c\'^ = 2:» v,"^, (5)

n—1 1

waardoor volgens do theorie der middelbare fout de waarschijnlijkste waarde van c\'^
in dio van kan worden uitgedrukt. Uit de zoo verkregen vergelijking kan dan C\'\'worden
opgolost. Door optelling dor verg. (4) vinden we

(0)

Is c, voor allo waarnemingen hotzelfdo, dan wordt hieruit gemakkelijk afgeleid

tl

2.\'« ds

Is daarentegen w,„^L = dan volgt uit (G) = 4— \' i^)

42

Ten onrechte meende Prof. v. Pesch in de ,,bijdragen van het statistisch insti-

1 "

tuut N® 3 1885" dat de beste waarde voor w,„ l zou zijnïü\'f\'i. Ofschoon men

2 ni "^2

in de later verschenen „Bijdragen tot de statistiek van Nederland N" V" deze meening
niet meer terugvindt, wordt de juiste methode ter berekening van de beste waarde
voor daarin evenmin aangegeven. Aangezien de aantallen waarnemingen over

de verschillende kalendeijaren in beide werken evenwel slechts weinig verschillen, is

1 "

volgens (7) op weinig na = — •

^ Tt \\ 2

1 "

Stellen we nu --Zs = A., ,

2 2

1 1 "
dan is bij benadering A^ = en (c^ c\'^) = —_ zs A^^.

2 n—1 1

Nu berekent Prof. v. Pesch in de aangehaalde werken hoe dikwijls A een zeker

veelvoud is van 0.6745 en daarnaast hoe dikwijls dit het geval moet

n—1 1

zijn in de onderstelling, dat de waarschijnlijkheid voor A, om te zijn gelegen tusschen
8g en 8g dds door de formule (3) is gegeven. Uit de overeenstemming zou men
meenen te mogen opmaken dat formnle (8) inderdaad de foutenwet van d is. Wijl
nu 9 van denzelfden vorm is, zou dan uit de op blz. 17—18 bewezen stelling volgen
dat ƒ eveneens van dien vorm moet zijn.

WAARSCHIJNLIJKHEID VAN AFWIJKINGEN IN HET AANTAL DOODEN OP
VERSCHILLENDE LEEFTIJDEN ONDER EEN PERSONEEL, WAARBIJ
IN- EN UITTREDEN PLAATS HEEFT.

In het hoofdstuk omtrent de wet der groote getallen is eene uitkomst afge-
leid, die onmiddellijk deze waarschijnlijkheid aangeeft bij een personeel waarin geen
in- of uittreden plaats heeft. Zijn de kansen voor een individu van den leeftijd x om
te overlijden tusschen de leeftijden ® en a; -f 1, a; -}-1 en a; 2, a; -f 2 en a; -f 3, enz.
resp. .......Pt,

de afwijkingen in de waarschijnlijkste aantallen dooden tusschen die zelfde leeftijden

......Vi, dan is het op blz. 1—10 behandelde onmiddellijk van toepassing, zoodat

voor de kans op die afwijkingen wordt gevonden

/\'-i

y^TiT j- _____L 4- li_L!

-, ---e \\2itp;c 2npx l \' 2api-i 2 api )

y\'jTrrtpx y2 n a px-^i----]/2 7t n pi ^ \' ^

We zullen nu trachten om die kans evenzeer te vinden voor een personeel
als het eerstgenoemde.

43

Zij a^ een aantal personen van den leeftijd m aanwezig bij den aanvang der
observatie, ym het aantal dergenen die aan het begin van het m® levensjaar onder
observatie komen, f„, het aantal dergenen die aan het tjegin van hetzelfde levensjaar
bij leven uittreden, zoodat tm—\'/m=^m, dan zijn de gevallen d\' van overlijden in
het eerste jaar slechts te wachten uit «„—(3„, personen, in het tweede uit
in het derde uit «„—/?m i—i^m a enz., in het s®

jaar uit

s i-1

«,„ — Zt - dm t

O O

Laten de waarschijnlijkste aantallen dooden in het eerste jaar zijn d„„ in het
tweede d^ i, in het De sterftekans der (5„, personen in het eerste jaar

is dan —in het tweede - —-— , die

«m—Pm «m-p,,,--Pm 1

der BnM—Zt , f in het s® jaar

O O

«m — 2r< — dm t

O O

De kans op een aantal dooden d\',„ in het 1® jaar is derhalve

(«m — /^m)! / dm \\d\'m/am — firn —cfm\\«m — fim — d\'i/i

d\'»n!(«m — firn —d\'m)! \\«m— dm/ \\ «m—firn )

Dit aantal dooden gevallen zijnde, is de kans op een aantal in het
2e jaar

(«m — t^m — /^m-fl — d\'m)! /_dm l__\\d\'m l /«m—/^m—/^ni-t-1—dm—dm l\\«wi—lim—/i^m 1—d\'m—d\'m 1

d\'m l!(,rtm—/i\'m—/?m l—d\'m—d\'m l)! \\«m—/i\'m—/!/in l—dm/ \\ «m —/^m —/^m l —dm /

Nadat de aantallen ......gevallen zijn, is de kans op een

aantal in het (s-fl)®\'" jaar:

(«„, - it - S ^„.4,)! / , \\ / «m - ^m t - rfm-l A «»• - ^^ dm t - i\' dm t

_O_O_1___^m s_ 1 / (1_O__I "

d («„ - it ^„, 1 - i\' d\'„,^,)i\\a„, - il - S d„ i/ - i\' -

0 0 0 0 0 0

en nadat dit geschied is, die op een aantal in het {s 2)\'^" jaar:

»fl * / ^ ^ ^ » 1 S-ll ^ S 1 Jt 1

(«„, - 2:t / \\ / «m- - d„, \\ " f " fd\'m t

0 0 1 "m « l 11" O I O O

ï-l-l « 1 1 » 1 " / \\ *
00 0 0 00

Volgens de theorie der samengestelde waarschijnlijkheden is dus do kans op hot achtereenvolgens vallen der aantallen dooden

d\'„,) fi^\'m-fl, .... rf\'m n,

s l s
_O_O_

,v4-l .V

, «m-

s s

.s=n - - d,„ t) O

11 _2_i!_;;_

O O

0 O

Do formule van Stirling toepassende vinden we hiervoor

.s l ■

(lin-Ht , " , /■;„, <--\'d\'m f

O O " O

__O__O__

.V . A"

(\'\'m t-\'^^ d\'m t

s

d„, i)

n s s "

2:s d\'m O ds

O O .0 O

>

waarin voor ^,„ « 1 O moet worden gesubstitueerd.

Gemakkelijk blijkt dat de exponent van e nul wordt. Het product van

s l s ? l s s s s s

«„ — - -i,\' d\',„ t\\ «\'" - " - / «m - — -\' \\ «\'" - f ~ f

__ii_ 1 " " en ( -?-?-----I

a„,-^m t-^^ d\'m l,

O O

s l

~" , waarin v = i\' — i\' d^ t = i\' - = « = «« — — ^^ d,n t, a\' = «„. — —

\\ a \' Va\'—r/ 000 0 00 00

45

Noemen we dit product P, dan vinden we:
Nep. log. P = (a—v) Nep. log. (1 — (a\'-v) Nep. log. ^ = (a-v) Nep. log. (1 — {a\'—v) Nep. log. (1 —

o\'

of uitwerkende

, /« , 1 1 v3 1 \\ , , , , /V . i V^ , 1 V^ . ,

, 1 , \\ 1 «2 1 1 V» , r« , 1 v3 , , 1 v» ,1 t;2 , 1 r» ,

"^na"\'-! a\' 2 a\'2 " " n—1 a\'"-! 2 ^ Va a\'/ 6 ^ Va« a\'V

, 1 J 1__1 \\ ^ T?» /I 1 \\ / 1 , 11, 1 1 \\ ~ T?» a\\ / 1 1 1 4- \\

Of, wijl o\' — a = zoodat a en a\' weinig verschillen:

jgw s i I? n—1 _ /gw 8 1 « v» _ ygm s i /IJl I I £L , .. 4. "" J_____\\

aa\' 2 \'Un—1) a"-2 — aa\' ^ ^a\'^-^ " aa\' \\ 2 3a 4a2 ^ "")

bij benadering.

De reeks tusschen haken zal sterk convergeeren indien v is van de orde V~a
of kleiner. Alleen den eerstep term behouden we en vinden dan:

/^m s l

O

p^e^i-\'n-ffim t-^Um t) of,«„.-= stollendo,

O
2

O

p = Op dezelfde wijze (^f"^\' idJ^Ts^^\'"^\'""

ontwikkelende, wordt gevonden:

c 2 dm x O d^m ï

Voor de gezochte kans vinden we derhalve:

»=,.-1 [/ - - f \'^\'n t)

n

\' O

____1____

0 0 ü

* i

,1-1 (2,\'< J«,^.,) „ „ „
4. V,___2___V» , _ V, "

6*

46

Valt het laatste aantal dooden tusschen de leeftijden 7n n en m n 1, dan
houden we nog over als factor

«„. — ^^ ßm t — -St dm t \\ «\'» - f ^ro t - f - f

n n 1 u " "

«m--2\'i ^m t--2"\' d\'m t,

O O

Dezen op dezelfde wijze behandelende als de gelijksoortige vormen wordt gevonden

.ïm sf

--^^--

O 2 (am- ßm t - dm t)

0 0

stellende «,„ — 8m = L en am - ßm t — dm t = L n i,

O O

waarin dan Im n i het waarschijnlijkst aantal personen voorstelt dat aan het

einde der observatie nog in leven is, vinden we derhalve voor de gevraagde
kans:

y 2 7t{lm s-\'2t ê,n i)

Jr {dm s d\'m s)

_ 0\'\'m s _0__, _O_

Q " 2dm « 2lm n l (, 2 ?m s l (?m s l />m s l)

Zijn Vi en Vd zeer groot, dan kan in den factor tusschen accoladen 3 tegenover d en

s

zt 8m t tegenover Im s i worden verwaarloosd, zoodat we dan voor den factor overhouden

n (Im S I Am ï l) V2 Ttdm s \'

waarvoor kan worden geschreven, wijl   — Im s dm s ,

1/2 JT lm ,

/=0 V^ ^ {Im s — dm \'s) V2~ndm S \'

waardoor de eindformule voor de kans wordt

V2 7r Im S__} — j 2dm , 2 lm n 1 t\' " ilm >-dm ,)

j 1/2 TT (U « - dm ,). 1/2 TT dm .j

Indien alle O zijn gaat deze formule naar behooren over in de vroeger voor
dat geval gevondene.

47

Is aan het einde der observatie geen der geobserveerde personen meer in

n tJ-1

leven dan is ^m n i = 0, dus ook -T« Sm s = O, zoodat dan (L n = —^m s is en de

O O

kans derhalve v^ordt

V2 7fU s I f\'2dm s 2dm n 2 lm s 1 (.Im s — dm s)

\\s=0 V^2 n (2m s — dm s) 1/2 7t dm jjj

Zijn alle klein en van de orde VT dan zal de 3® term van den exponent
op de waarschijnlijkheid van afwijkingen slechts geringen invloed hebben.

Bij het afleiden der formule is ondersteld dat we gelijktijdig geboren
personen observeerden. Het is evenwel duidelijk, dat we evengoed bepaalde
leeftijden hadden kunnen nemen, waarop personen onder observatie komen en daar-
buiten treden, in welk ge val we dus tot volkomen dezelfde formule zouden zijn gekomen.

Treden meer personen in, dan er levend uittreden, dan is § negatief, maar
blijft de formule overigens volkomen toepasselijk.

De gevonden formule is niet zonder belang, daar het later zal blijken dat zij
de fout leert kennen in het berekend aantal levenden eener sterftetafel. Bovendien
stelt zij in staat om, indien eene sterftewet bekend is, de waarschijnlijkste waarden
der daarin voorkomende constanten te bepalen en zoo tot eene theoretiseh juiste
afronding van sterftetafels te geraken.

De kans dat 8„, ligt tusschen en (y„, i tusschen ö\'m ien enz. bedraagt

d^m C 0 \'<^\'\'" "4-1 0 2lm s l{lm s — dm s)

ni n ^ tJ\'\'ni l

Ten einde de som aller kanseri te vinden moeten als grenzen worden genomen
— co en We zullen bewijzen dat de integratie dan 1 oplevert.

We beginnen die naar uit te voeren en schrijven daartoe voor de

integraal

j 00 _____  V \'

7/ Yl\'" ___C -\'»n n l —

ïrrO

48

Deze is nu van den vorm / g "

waarin a = ö-t^— ^^— en dus gemakkelijk is te herleiden tot:

^ dmA-n ^ tm n 1

■m n ^ tm n l

n-1

is

2 rfm n ^m n 1 2 dm n^m n l \' 2^m jt l

en derhalve^ = (S = YÏ^TzT.\' ^^^

a \\o ^^m n l tm n ^o \' ^\'m n\'m n 1

/n-1 \\2

wordt na integratie gevoegd bij — — en geeft daarmede

- (f fu^ ~ 2l„, „L n l\\ - ~ ^f L nL n l " ~ ^f \'

Gemakkelijk blijkt verder dat het deel van den factor

__V2 n rfm n_ jj^g^ V^r ^ y— K2 d^ n V2 ^m n l

V2 n (Im n — dm n) V2 U dm n V~a V 2 Im n

overgaat in 1. We houden derhalve na de eerste integratie over:

. 00 __-

....../ ,Lo l/2;rdm . s=o ^

> t/- 00

Blijkbaar komen we op denzelfden vorm terug. Bij de integratie naar ^,„ ..-1
gaat eene rol spelen en we willen aantoonen, dat we dan nog op denzelfden

vorm terugkomen. Daartoe schrijven we de door de 1® integratie verkregen uitkomst
als volgt:

^ ___________ _0_ , y _O_w

y 2 71 U^t ^ dm s 2 /m n q ^ lm ,-\\-l (Im s — dm ») ^

TT^ C

(im ï — dn s) V\'i -f dm s

(5 V«-l - - -

^-2 Im n {lm n-1—dm n-l) " dm n-l \'2 Im n \'2/m n (im n-1 — dm-fn-l)j ^

_ O ,V i ("v) ,V \\ / ^__fim n__\\ ) 2

^ «m ...l ^ m sj 2 dm n-l)/ j „ , n-l •

«=0

49

Deze integraal wordt op dezelfde wijze behandeld. Hier is:

^m n C?ni n—1__ßm n__^m n  _ lm n-1 — dm n-1 — Im n __ImA-n-l_,

2(im n-l ^m n 2 IrnJfnilm n-l-2 dm n-l ^in n 2 (im iiA — t^m n-l) 2 (Imn^—1 — dm n-\\) dm n-l

Stellende b = b\' ï« , „ is

\'m sj
O

1 _ßm-\\-n_ ^»14 K—1-dm n—1-ßm n

2lm n 2 Im n (.Im n-l—dm n—l) 2 Im nGm n-l -rfm ii-l) 2 {lm n-1—rfm n-l) \'

derhalve

^ __ 2 dm n-l (^» »-1 — dm n-l)_1___dm n-1_

a ^m n-l 4 {lm n-1 — rfm n-l)® 2 lm n-1 {lm n-1 — d,„ n-l) \'

derhalve

a - 2 lm n-1 {l,n n-l-dm n-l) " 7

Dit geeft met

/ 1 _1_\\2

[2 Im n 2 /„, „ {lm n-1 - rf«. n-l)/ V^ " ~ 2 {L n-1 - dm n-l) V^

,.1-2 2

te zamen genomen

2 ^m n-l

Na de 2e integratie blijft derhalve over:

/1i-2 \\2 / n

/^ 00 ___ Vj _ iJ^_L • V, __l_

f / V2 T Im S 2dm s 2 lm n-1 7 2 i,„ , l (/„. ,.-dm ») ™ ,

......./ /io /io •

- oo %J —oo

Het is nu duidelijk dat we na elke integratie tot denzelfden vorm terugkomen,
waarin evenwel telkenmale een der is verdwenen, zoodat we na de t° integratie overhouden:

-» 00 ___d-m f _ \\ 0_/_ _\\o /

/ _V2 Tt lm » - 2 dm , 2 lm n-t 1 ^ ~ 2 I„. » l (lm , - «/m »)

......./ ;io /i

of, n — t = s stellende ,

yO oo _______

/ / • 1/2 TT /„, .t__2 </„, ( 2;m »-|-l 2/,„ r l(fm r —rfm r) 7/

/......./ \' /io •

t/-e» «y-oo

«I .1 . . " \' " rt < Ärf ** , y • \' . .

50

Na de n® integratie wordt s O en houden we derhalve over:

/ 1/2 Om—dm) ^ / 1/2 —dm) ®

*/_oo «/-oo

De som aller kansen blijkt dus ook hier 1 te zijn.

Voor we overgaan tot toepassing der formules willen we eerst nog de vol-
gende vraag beantwoorden, analoog met eene reeds vroeger gestelde (zie blz. 7—10).

M

Hebben we eene functie van alle d\' = d b en bovendien van l\'m n i = Im n i—^t^m-i t,

O

dus F(d\'m, d\'m i, ••• • d\'m n, l\'m n i), dan zal de waarde dezer functie een verschil

vertoonen met ____dm n, L n i)- We vragen nu wat is de kans dat dit

verschil zal zijn gelegen tusschen x en x dx. Evenals op blz. 7 wordt F lineair
ondersteld of wel de afwijkingen ô zoo klein dat F na ontwikkeling volgens de reeks
van Taylor bij den tweeden term kan worden afgebroken. Op volkomen dezelfde
wijze als vroeger blijkt ook hier, dat de kans op een verschil gelegen tusschen x en

1

X da; is gegeven door de formule —^7= e ci dx, zoodat we ons hier kunnen beper-

C [/ TT

ken tot de berekening der constante c.

In de gemaakte onderstelling kan F als volgt worden uitgedrukt in de afwij-
kingen d en zekere constanten .u.

»

F= flm{dm dm) flm l {dm 1 ^m l) • • • • /*m n (dm n "H^m n) flm n liL n l—-^\'^m t,

zoodat X = fl^öm /4m l 8m l...... l*m n ^m n — /^m n l (Sm ^m l^ ------(^m w) =

= (l^m—f*m n l) Sm (/^m l — /*m n l) ^m 1..... (^t-n i. — ^t/n n l) ^m n.

Wij hebben derhalve te berekenen :

(n \\ 2 \' / *

2:» \'ïm ï) „.1 /9m s l i^t J\'m t)

O \'\' V,_12_i— V

2 Im s l {Im s — t/m »)

/"» 00 _V, __

_1/2 TT lm !__7 2dm s 2im n l „

ï=0 1/2 7t (Im s — dm s) 1/2 7t dm s

X {(t*n>-f*m n l) ^m---- (/<m n-f*m n l) ^m n f d8m dd,„ l----dSm n

We zullen deze integralen trachten te splitsen in andere van den vorm

/-» OO X^ OO

—ax^—2bx, , b.., ƒ —aa:*—. , bs .
e {x -fdx en f e {x -) dx.

51

De eerste geeft zooals bekend is e a , de tweede 0. We zullen ze door (1) en (2)
onderscheiden.

Laten alle integraties van blz. 49 naar tot zijn uitgevoerd, dan is

bij die naar

«-1

f Sm t

en

2 {Im s—dm s)dm s \'

derhalve

-— = J-

We gaan nu voor den vorm

(f^m—^m "r ((«„, 1—^m l .... {f^m n—/^m n l) ^m n

schrijven:

fm n (<5m ,. s    \'S ... . (3)

\'wi n O O

Om de grootheden v uit te drukken in de coefficienten der afwijkingen S,
hebben we n 1 lineaire vergelijkingen met ?i 1 onbekenden op te lossen, zoodat
deze splitsing altijd uitvoerbaar is en op slechts e\'éne wijze.

Noemen we Hm x—Hm n i = fi\'m i, dan wordt langs eenvoudigen weg gevonden:

_,.f ,,, d,„ x l ?tn a l—C^tii g l cfm j 2 tm x 1-Im x i-dm x 2 dm x S

Vm x = l* m i—/t\'m i ij--/t „, x 2-1--i--«i ar 3-i--ï-■ ■

Im x l tm xfl fHi-i-A--|-2 tw-fï l tm x 2 Im x \'i

waarvoor ook kan worden geschreven:

„ , d„, x ï ,, Im x l—rfm g 1 rfm jr 2 „ hn x l—C^m ï l ^m n 1
fm x—t*m x—fl„, x l-,--/*m x-|-2 -ï- 1. ....... —."m x l -j. ....... -7- •

l»l4-x-l-l (ni-^T-UI (i>iXt-I-0 (mXirJ-l (m-|-n

Ontwikkelen we het quadraat der uitdrukking (3), dan valt — uiteen in inte.

Jd

gralen van de vormen (1) en (2). Die van den vorm (1) komen voor vermenigvuldigd
met quadraten der grootheden r, die van den vorm (2) met dubbele producten dezer
laatste. We houden dus alleen de quadraten over, terwijl de factor van wordt

^ t^m x . ,

52

zoodat de gezochte integraal wordt:

g2 n dm-irx

2 = -J—^ (Im X-dm i) V^mJrX\'

We zullen thans aantoonen dat deze uitkomst overgaat in indien

de aantallen O zijn; dan toch»is

Im s ~ ^m i l ,

zoodat vm x dan wordt:

"\'m x = P-m x-1   ......t*m n lhi n l\\

tm x l

Berekenen we nu den coefficient van fi^m x- De term met v\'m levert daartoe

(dm xV d,„

die met f^Y ^ (Wi-^^m i)

die met ^\'m x i ^^^ {l,n^x-r-dr. x-i)

die met v\'^ x (Wx—f^m x),

. f\'m x

derhalve te zamen,

, „ / 1 _ d„, z-i___■ ________^

Wx/m x-l ^mim l/ l

Tot den coëfficiënt van leveren:

,2 1 ^ r! d

y\'ni 72--,

t iii l \'m

Tg—-d,„ xdm ydm l jr^

t »1 2 \'m 1

Zij nu X kleiner dan y dan levert verder:

,2 1_ ^ tl /J Im x

y m x-l i2— am xClm yam x-l ,

en ten slotte

Im x l tm x

53

en derhalve te zamen

j J ( 1 , f^m x-l , <^»1 1-2 , , d,„ ^

«mf A. J, — J--H -J--J- J--J- ....... -J-J- < — —J--

[ t-m i t-m x t-nj x-l \'■m x—1 \'\'m x-2 tm l t-m ) «-n»

In dit bijzonder geval wordt de integraal derhalve, omdat dan C n i =

w i « 1 (J-i , n i .1 1 d , d , d , /» ! d ,

Vx ,.2 , W , _^x »2 " _9 Va Tu ,, , , "m x^Hi y _ , l v^ „2 "»i x / v, «m x_\\ /

— ® m i «m x-»( x —^--^ -i® -if /^m x -- = lm \\ H- >n x —ï--l /im x —j-I 1

O O l,„ O O lm ( O l,a lm \' )

of, in het onderstelde geval = t),,,^^. zijnde,

\'m

(" 1 ,11 1 yii

l,n M^« xi^». x — ( iWHi xPm x) •

(0 \\ O \'\' )

C2

We zijn nu in staat om de waarde der grootheid - ook voor eene verzameling,
waarin uittreden voorkomt onder een anderen vorm te brengen. Gemakkelijk blijkt
dat Vm x in \'t algemeen geval kan worden herleid tot:

- /^«. x l (l  - ^ (1  (1  -......

^m-t-x l \'m x l ^ tm x 2 \' \'ni x l ^ tm x 2 \' ^ ^m i 3\'

Nu is

(i„. x . (l  (l ^f^)...........(l f^)

\\ tm x 2\' ^ t„, ar 3/ tm x s \'

het aantal dooden dat op {m x 5)-jarigen leeftijd zijn zou gevallen, indien na den
(m a; l)-jarigen leeftijd geen gevallen van uit- of intreden waren vooigekomen,
zoodat

\'\'»I X = f\'m X\'

Derhalve is

wX

" O tm x O

wijl volgens definitie de jaarlijksche sterftekans voorstelt.

Noemen we het aantal levenden op (m a;)-jarigen leeftijd voor het geval, dat
geen uit- of intreden van af den leeftijd m had plaats gevonden dan is indien

we het waarschijnlijkst aantal levenden uit de (?„, , personen op den leeftijd m x
door (i\',;!\'^-/^ voorstellen

ri X O t„,J.x O

11»

54

Dit invoerende vï^ordt:

Nu zou wm rc (1 — ^ de waarde zijn der grootheid - voor de l\',„ per-

0 ^

n

sonen ingeval geen uittreden plaats had. Verder is — "««m i) y^ o: de

s

waarde derzelfde grootheid voor de personen, die op den leeftijd m s uittreden.
"We kunnen nu overgaan tot den vorm

qI

en vinden dan voor de grootheid ^der personen, waarvan er uittreden op

den leeftijd m s

/n l n 1 1 n [n 1 n 1 1

( O O ] 1 ( « s )

waarin de index (m x) aanduidt dat de kansen p behooren bij den leeftijd m x.

HOOFDSTUK III.

AFRONDING.

Nemen we aan dat de grootheden wier berekening geschiedt op grond van
sterftewaarnemingen een continu beloop zouden hebben indien het aantal dezer waar-
nemingen onbepaald groot was, dan zal het beloop, indien het aantal beperkt is, door
toevallige afwijkingen toch discontinu blijken. De afleiding uit dit discontinu beloop
van het waarschijnlijkst continu beloop zullen we afronding noemen.

d\'

Hebben we uit de waarnemingen voor alle leeftijden x het quotient-

t x-l

O O

der grootheden van blz. 43 afgeleid, dan kan met behulp hiervan de berekening van
alle andere grootheden geschieden. Hebben we dus het waarschijnlijkst beloop van
dit quotiënt bepaald, dan is daarmede het waarschijnlijkst beloop van alle andere
grootheden bekend. Nu is met het waarschijnlijkst beloop van den teller ook dat van
den noemer bekend, zoodat we slechts het waarschijnlijkst beloop van d\' behoeven
vast te stellen, om dat van alle andere grootheden te kennen. De regel van Bayes
opent ons den weg ter oplossing van dit probleem. Zij handelt over de waarschijn-
lijkheid van oorzaken.

Laat eene gebeurtenis het gevolg kunnen zijn van verschillende elkaar uitslui-
tende oorzaken. Laten pi, pi, ... de waarschijnlijkheden voorstellen dat ieder dier
oorzaken

in werking treedt, qi, .... de waarschijnlijkheden, waarmede ieder
dier oorzaken indien zij werkt de gebeurtenis tot stand brengt, dan is de waarschijn-
lijkheid ä posteriori dat, de gebeurtenis voorgevallen zijnde, deze aan de oorzaak
moet worden toegeschreven:

_Mf_

Pl Pa ......P"

Het bewijs dezer stelling komt voor in elk leerboek van waarschijnlijkheids-
rekening. In den laatsten tijd is eene bedenking geopperd tegen vele toepassingen,

56

die van dezen regel worden gemaakt (*); waarin deze bedenking bestaat zal in het
vervolg ter sprake komen.

De waarschijnlijkste oorzaak is nu die waarvoor bovenstaande breuk maximum
is. Aangezien de noemer eene constante waarde heeft, komt het maximum der
breuk overeen met dat van den teller.

Passen we den regel toe op de waargenomen aantallen dooden d\', dan moeten
als oorzaken worden beschouwd alle mogelijke stelsels van waarden der aantallen
dooden d. Er bestaat geen bezwaar tegen de aanname dat de kansen p, die de waar-
schijnlijkheid aangeven der mogelijke stelsels van waarden der d, gelijk zijn, en wel
omdat ons a priori van de omstandigheden die op de sterfte invloed kunnen hebben
quantitatief niets bekend is, maar voor elk bijzonder geval de grootte van den
invloed uit de waarneming moet blijken, Goldsghmidt evenwel maakt tegen deze
gelijkstelling bezwaar, omdat vroegere waarnemingen daarmede zouden worden gene-
geerd. Ons inziens is dit niet het geval, maar kan het in aanmerking nemen daar-
van slechts ten gevolge hebben dat de grenzen waarbinnen zich de mogelijke stelsels
der d bewegen dichter bijeen komen.

Nemen we dus aan, dat alle kansen p gelijk zijn, dan valt het maximum der
breuk samen met dat van q. Nu bedraagt q volgens blz. 46

-i--- yg O m s O___, y, _2_

e O 2 /„, „ i ^ O 2 U s i {U^s - .

«=0 n {lm > — dm s) V2 n dm s

Derhalve moet minimum worden

n s

„ n-1 ßm s 1

2:» ^ -2__ _-_= ƒ {S)

O 2dm s 2 O 2 l„, s l {.Im t — dm s)

Hierin zijn d de verschillen tusschen de waargenomen en de h priori waar-
schijnlijkste aantallen dooden. Kunnen de laatste worden uitgedrukt in eenige

constanten rj, ra,----r„, dan moeten de differentiaal-quotienten naar deze grootheden

O zijn, derhalve

^=0,^=0,.....=

Uit deze vergelijkingen moeten dan de constanten worden opgelost.
Op meerdere wijzen kan deze quadratische functie der n -f 1 afwijkingen 8

{") Dr, Ludwig öoldschmidt, die Wahrsclieinliohkeitsrechnung.

57

worden gesplitst in de som van n 1 quadraten van lineaire functiën dier groot-
heden. Deze lineaire functiën zullen overeenkomen met fouten in grootheden die van
de aantallen d\' afhankelijk zijn. De meeste van deze zullen geene eenvoudige betee-
kenis hebben. "We zullen nu aantoonen dat er eene splitsing mogelijk is, welke voert
tot grootheden, die eene zeer eenvoudige beteekenis hebben, namelijk de sterfte-
kansen. Om deze als functiën der d\' en dus hare fouten A als functiën der 8 neer
te schrijven hebben we

r-l

dm r ^m r d,„4.r /^ I - . O

7 . _ V; A . . ^ «H. r/ \\

zoodat de fout in w^ r wordt

r-l

\\"m r hn r /

We komen zoo tot n 1 lineaire vergelijkingen, waardoor ö^ tot in de A„,
tot kunnen worden uitgedrukt, zoodat ö,„ tot kunnen worden vervangen

door lineaire functiën der A. Dit doende krijgen we eene zuivere graads-functie
der A,„ tot A,„ „.

De substitutie kan op eenvoudige wijze plaats hebben. We beginnen met
(ï,„4.„ te verdrijven en schrijven daartoe f{S) als 2®-graads-functie van namelijk:

(«■1 \\2

-1 - 1- -^

2 d,„ n 2 ^m-fn-flj " " 2 L n-f-l 2 /„i n 1

waarin Im n i evenals vroeger het aantal personen voorstelt, dat aan het einde der
waarneming nog in leven is. Voor den coëfficiënt van ^^m-fn kan worden geschreven:

^m-t-n_ _

2 Im n l rfm-fn 2 d,„ n (1-tUm n) \'

voor dien van 2

ti-i

O

\'2 l,„ „ {l~-w„, „} \'

58

voor het derde deel

/n-l v a

In t)

__\'

zoodat het geheel kan worden gebracht in den vorm

n-l /«-l \\ 2 />i-l \\ 5

r) /A2 8r,i t

"m n / O m n , q O , ^ O \' l , M)_,___

(,72— -r— —72-7 -97-

ni n "m n \'m n ^ ,„ „ ^ t„

,2

2(1—V2„. „ dm n im n t^m n \' 2 /,„ „

n-l /it-1 .2

^ «„. » /q,» n O_y 0 , _ ^

2(1—L n / ^ .2L n

/\'i-l \\2 /n-l \\-2

^ /Am nV , ^ O  ffi = _1 __ 4. (p

2(1 —2L n 2w,„ „(l~tV„, „) ^ 2C n

t/ii n

Verder is

/n-l V /»-l \\2 / * \\2

\' L _ V. 1 O \' „ \\ O \' .

2 l„,-f-n O 2(im s 2 0 2 —

Schrijven we dit als 2® graadsfunctie van dan wordt de coëfficiënt van

1 1 _ _^m n_

2 rfm n-l 2 2 -rfm n-l)

hetwelk kan worden herleid tot

k

\'\'m n—1

2 (^m n-1 — C^m n-l) <^m n-l 2 (1 -

«-2

De coëfficiënt van 2 5„, „_i is

O

ßm n

2 Zm n 2 /m n (^m n-l-d,n n-i) 2 [Im n\'-l-2 /m-|.n-l (1 — \'M\'m n-l)

zoodat

,n l \\ 2 /n-2 .2 / * .. \\ 2

1»_1 -f 9 = ^ -f V, Q ^ _1 _ V,__12__

— \'W\'m n-l) O 2 O 2 ^„, » 1 (^m » rfm »)

^m n-l

59

Met dezelfde wijze van omzetting kunnen we dus voortgaan, zoodat we ten
slotte vinden

2 Wm r (1 - Wm r) 2 (1 - Wm) ~ O 2 d - ~ ^

Im r

Vergelijken we deze uitkomst met de op blz. 30 gevonden waarschijnlijkheid
eener fout in de sterftekans, dan volgt daaruit dat deze fouten voor opvolgende
leeftijden als onafhankelijke grootheden mogen worden beschouwd.

Zonder deze eigenschap der sterftekansen in het licht te stellen, maakt
wittstein op blz. 29 zijner „Mathematische Statistik" daarvan gebruik. Evenzoo
beschouwt hij in zijn Mathematisch Risico de kansen p zonder bewijs als onafhan-
kelijke grootheden, en komt daardoor tot foutieve resultaten. In eerstgenoemd werk
is hij gelukkiger geweest.

We zien dat in de moduli der fouten in de sterftekansen het waarschijnlijkst
aantal levenden optreedt. Daar de waargenomen aantallen groot moeten zijn, zal bij
toepassing der theorie, in plaats daarvan bij benadering het waargenomen aantal
kunnen worden genomen.

We zullen in het vervolg "" . het gewicht der waargenomen sterftekans
Wjc\' noemen.

We zijn nu tot het resultaat gekomen dat de waarschijnlijkheid van afwij-
kingen in de berekende grootheden w\' van veel eenvoudiger vorm is, dan die van
afwijkingen in de waargenomen grootheden d\', en dat voorde waarschijnlijkste waarden
der verschillende grootheden de som van de quadraten der afwijkingen in de sterfte-
kansen vermenigvuldigd met haar gewicht minimum wordt. Het is dus het meest
voordeelig de afronding te verrichten op de kansen w\'. Daartoe is nog slechts noodig
eene formule te kennen, waardoor w in zekere constanten wordt uitgedrukt. Zij deze
formule = F{t, X, V, Z,...U)en noemen we —-= gi dan moet minimum

Wt (1 — w,)

worden

Wl M

2 V\' (A) = gt -Fit, X, y, Z,.... f7) j

in

Er zijn meerdere zulke formules bekend, waaronder die van Makeham en van
wittstein de voornaamste zijn. De eerste luidt:

waaruit volgt wt = 1—smi, waarin t de leeftijd, It het aantal levenden van dien
leeftijd, on do overige letters constanten voorstellen, terwijl m = ^r\'-\'.

60

De tweede formule is van den vorm

— (M—O" , 1 „ —{mty

wt = a \' ^

De formule van Gompertz, hoewel de oudste, kan als een bijzonder geval van
die van Makeham worden beschouwd, en wordt verkregen door in de laatste s. = 1 te
stellen.

Zullen de differentiaal-quotienten van \\p (A) naar de constanten in deze lineair
kunnen zijn en dus vergelijkingen worden verkregen, waaruit de waarden der constanten
die/(ö)oft/^(A) tot minimum maken kunnen worden berekend, zoo is het noodig dat
F eene lineaire functie dier constanten zij. Het is duidelijk dat dit in de formules
van Makeham en Wittstein niet het geval is. Er bestaat evenwel een eenvoudig
middel om de berekening der constanten wat ook F zij te kunnen terugbrengen tot
die van andere die slechts lineair optreden. Zij

Wt =F(t,X,Y,Z,....U).

Zijn benaderingen der constanten Xo, Yq,----Uo bekend, dan kunnen de waarschijn-
lijkste waarden worden voorgesteld door

X=Zo 4-a;

Wijl X, y, slechts kleine grootheden kunnen zijn, isontwikkehng geoor-

loofd volgens de reeks van Taylor met verwaarloozing van quadraten of producten
der A, zoodat we mogen stellen

aF dF dF

waarin enz. functiën van ^zijn, terwijl voor de constanten hare benaderde waarden

d Xq

zijn gesubstitueerd. We hebben nu eene vergelijking waarin de constanten
lineair voorkomen, zoodat hare waarschijnlijkste waarden zonder verder bezwaar
kunnen worden berekend.

Het kan voorkomen, dat de berekening waarden voor x, y,.. .u levert, die
niet als voldoende klein kunnen worden beschouwd. De onderstelling waarvan bij de
berekening is uitgegaan is dan niet vervuld, zoodat de uitkomst niet als juist kan
worden aangemerkt, en A^\'o x, Yo y, enz. de waarheid niet nader komen dan
A\'o, Yo, enz. De benaderde waarden Xo, F«,----Uo worden gewoonlijk gevonden uit

61

een aantal waarnemingen gelijk aan dat der constanten. Het is dan noodig een
ander stel waarnemingen te kiezen, en daäruit andere benaderde waarden AV, I^o\'j---
te zoeken. Om tegemoet te komen aan dit bezwaar, dat zich vooral zal voordoen, waar
de functie F de waarnemingen slechts gebrekkig kan weergeven, zooals dit vooral met
sterfteformules zonder rationeelen grondslag en in \'t bijzonder met die van Wittstein
het geval is, bedacht deze (¹) een ander middel om tot vergelijkingen te komen, hneair
in constanten welke functiën zijn van A\', Y, Z,.. .. U, zoodat de waarschijnlijkste
waarden dezer laatste kunnen werden berekend, zoodra die der eerste zijn gevonden.

Uit F{t, X, Y,.... U) tracht hij daartoe eene andere x (Fd)) af te leiden, die
als lineaire functie kan worden opgevat van een gelijk aantal constanten als in F
voorkomen.

Tegelijk met de uitdrukking

»n u
m

zal

m ii

m

minimum worden, indien voor alle waarden van t de betrekking bestaat

■ 9t ^

g/ \'i Wt\'-F{t)

waarin c voor alle waarden van t hetzelfde is.

Daar de teller der breuk tusschen accoladen ^ A) — ^ (w) en de noemer

IV -b A — w = A is, kan voor deze breuk bij kleine waarden van A worden geschreven

Dit invoerende, wordt
axü \'

Wijl g het gewicht is der verschillende tu\', moet derhalve het gewicht der
grootheden xi\'^\'^t\') worden

— 9t yj )

waarin c eene\'willekeurige constante is, voor welke 1 kan worden genomen, terwijl

11»

1  Dn» Mntlieiuntischu Gesotz dor McnscIiHcheu Sturbliohkuit.

62

^ slechts bij benadering behoeft bekend te zijn en uit het beloop van f (w/) kan

QjUj

worden berekend. Wordt aan x dit gewicht toegekend, dan zal dus x/» (A) tegelijk met

»n n

Ei g\'t \\ X {w\'t) — t (-f = V\'1 (A\') minimum worden. We hebben dan slechts x

m

te berekenen, deze als waarnemingsgrootheid te beschouwen, en de waarschijnlijkste
waarden van ^{FQm r)) te berekenen. Kan nu x zoo worden gekozen, dat de con-
stanten van F in i{F) lineair optreden, dan kunnen onmiddellijk fouten vergelijkingen
worden neergeschreven, die lineair zijn in de constanten, zoodat de verdere bereke-
ningen regelmatig afloopen. Nemen we tot voorbeeld de formule van Gompertz

waaruit gemakkelijk wordt gevonden

Wt= 1 — m\'i*
We kunnen hieruit achtereenvolgens afleiden :

1 — Wt = m\'\',

log (1 — Wt) = q^ log w,
log log (1 — = t log q -f log log m.

Beschouwen we derhalve als nieuwe constanten log q en log log m, dan treden
deze in x (wt) — log log (1 — w,) lineair op.

Slechts in uitzonderingsgevallen zal deze methode tot direct resultaat voeren.
Bij toepassing op de formule van Wittstein is dit niet het geval. Hoe laatstge-
noemde niettemin langs dezen weg de constanten zijner formule heeft berekend, zal
hier niet worden uiteengezet.

\' Toepassing van de methode der kleinste quadraten op de afrondvig. Op blz. 60 is
gebleken dat het berekenen van de constanten eener sterfteformule steeds kan
worden teruggebracht tot het berekenen -der k constanten x, y, z,----in

Wt = F{t, Ao, Vo,.. . . Uu) -j^x -jyr^ ■ ■ ■ ■TÏr,

De juiste waarde overtreft de waargenomen waarde ^c/niet eene fout t, ;\'derhalveis

Wt — 7Vt\' = ft

63

of

Wt = w/ 4- ét,

zoodat

of stellende

aF aF , , sF j ^
— , =

Eene dergelijke vergelijking kan worden neergeschreven voor alle leeftijden
waarvoor sterftekansen zijn berekend. Deze n l vergelijkingen heeten lineaire fouten-
vergelijkingen. Zij worden gewoonlijk geschreven in den vorm

a,x b,y c,z ----= k, f,

waarin a,, b„ c,, enz. de differentiaal-quotienten voorstellen. Is de jongste leeftijd waar-
voor eene sterftekans is waargenomen m, de hoogste m n, dan is s = t 1 — m,
terwijl s alle waarden krijgt van 1 tot n 1.

Voor de waarschijnlijkste waarden der grootheden x, y, z,____n moet nu

11 1

g, (o, X h,y c,z ----—

I

minimum zijn en dus de differentiaal-quotienten dezer som nul worden. Gemakkelijk
vinden we daaruit de vergelijkingen

[art(/] X [ahg-\\ y [ac*;] 2 .....= [aZ-^;]

[%] a;  y [%] z .....= [iZ-^;] .....(1)

\\cag\'] X [cbg\'] y [cc(7] z -f.....= [c^-^]

n 1

waarin [ai*/] = enz.

1

Deze vergelijkingen denken we opgelost volgens de methode van Bezout. Om
X op te lossen vermenigvuldigen we de eerste met xQu de tweede met xQ^ enz. en

64

denken de vergelijkingen opgeteld. Bepalen we nu de grootheden ^Qr zoodanig, dat

xQi M -1- xQ, \\hag-] ^Q., [cafl-] .... = 1 (.20,

iahg-] \\hhg-] [chg-] .... = O (,22),

[oicg-] \\hcg-] [cc^r] .... = O (,23),

dan wordt x = [akg\'] [ökg] ^Q-i ----

Op dezelfde wijze vinden we

7j = [akg] [bkg] • • • •
waarin de grootheden ^Qr moeten worden berekend uit de vergelijkingen

yQi [aag] ^Q^ [bag] .... = O (s,2i),

lahg-] yQ, [66^] .... = 1 (^22),

[%] ....= O (A)-

De vergelijkingen en (j,2) zijn 2 van de h stelsels betrekkingen, waartoe
deze wijze van oplossen aanleiding geeft.
Stellen we

X = «1 a2 A\'2 «3 • • • • «n l ^"« 1 »

?/ = ki 4- ^2 • • • • i^n i 1

dan is

«1 = ai gi xQi <71 xQi Cl gi Mi^ — (x4i),

«2 = a-i g2 xQi-^ h Oi xQi-^ <h 9ixQi-^--------(»42),

= ai /7i yQv hl Pl yQ-i Cl g^ .... (A),
^2 = a2 /72 b-ig^i yQi CiOiyQ^ --------(J/42),

enz.

Vermenigvuldigen we {Ai) met a,, (A) met oj en tellen op, dan wordt

65

gemakkelijk gevonden in verband met de vergelijking (:r3i)

[aa] = 1.

"Vermenigvuldigen we daarentegen (a;4j) met ij, met b^, enz., dan vinden
we door optelling

[ia] = 0.

Evenzoo blijkt

[ca] = O, [da] = O, enz.
Op analoge wijze wordt uit de vergelijkingen gevonden:

[a|5] = 0, [/>|?] = l,[c;3] = 0, enz.........(5) ■

Gebruik makende van de zoo gevonden betrekkingen, leiden we uit de verge-
lijkingen (4) op dezelfde wijze af:

Is de fout in h f,, die in Z-j fi, enz. en stellen we de fouten in x, y,
respectievelijk voor door f,, f,,, t»,----f,„ dan is

«x = [«f], fy = [(5f],enz...........(7)

Noemen we de middelbare fout beboerende bij de eenheid van gewicht mo,

dan is

„ ïJJfl® - ÏWo® O win* 5 ÏHo^___

■jii.s = -JL mo2 = — .... mj= —, = —enz.
9i 92 9x 9y

Nu volgt uit de betrekkingen (7)

mj^ = [a- m«] = Trio\'

waaruit voortvloeit in verband met de betrekkingen (5) en (8)

— = , — =/^a, enz.
9x 9y

Lossen we derhalve x, ?/, enz. op als lineaire functiën van [akg], enz., dan is

9

66

de coëfficiënt van [ahg\'] in de vergelijking (2^) —, die van [bkg\'] in de vergelijking
(2^) 1 , enz.

Hebben we nu eene functie der constanten X, Y,Z,...U, namelijk q> {X, Y,Z,... ü),
dan is de waarde van deze bij benadering

en dus de fout in 9

of stellende

iq = Aix Bfy Cii

Substitueeren we hierin de waarden van fy, enz. uit de vergelijking (7)
dan wordt

11 1

=  C/, ....)

1

waaruit met behulp der vergelijking (8) gemakkelijk wordt afgeleid

J_ {Aus B(is C,
g-i- 9s

Door ontwikkeling volgt hieruit, in verband met de vergelijkingen (5) en (6),
1

9<(

Uit de voorgaande theorie zullen we eenige betrekkingen afleiden. De fout in
de afgeronde sterftekans wordt nanielijk verkregen door in (9) te stellen

A = a„ B= b„ C = c„ enz.
Noemen we het gewicht dezer afgeronde sterftekans g,\' dan is

A- =   b, {,Q2 .....

67

waaruit volgt door vermenigvuldiging met g^

= a, a, g, ^Qx h h.g^ yQi .... a, h, g, «QO

Denken we deze verhouding neergeschreven voor alle waarden van s, dan
blijkt de som der tweede leden overeen te komen met de som van de eerste leden
der vergelijkingen {y%), (.23), enz. De tweede leden dezer vergelijkingen zijn 1.
Aangezien haar aantal gelijk is aan het aantal constanten h, volgt hieruit de een-
voudige betrekking

i\' l n

f fr = ^ (10)

1 ;h

We zullen de fout in na afronding door voorstellen. Zij bedraagt

iJ = a, h, (,, c,e,-\\-..........(11)

of

f;r, f^l

door hare waarden uit de vergelijkingen (7) vervangende

= ..... (12)

Vermenigvuldigen we deze vergelijking met en denken we de zoo verkregen
vergelijking neergeschreven voor alle waarden van s, dan vinden we door optelling
in verband met de vergelijking (5)

• [«f\'] = [«f] = (13,)

Vermenigvuldigen we de vergelijking (11) met en handelen verder op dezelfde
wijze, dan vinden we

= i^,-] = (18„)

We krijgen zoo k vergelijkingen overeenkomende met het aantal constanten.
Terwijl de fouten t een onregelmatig beloop hebben, loopt t\', dat is de fout die na
de afronding overblijft, regelmatig. Bij die afronding behouden zooveel onafhankelijke
lineaire functiën der fouten als er constanten zijn in de formule dezelfde waarde.

Gevolgen dezer methode van afronden. Voor de betrekking (10) kan op grond

68

der vergelijkingen (8) worden geschreven \'

ii l rn 1 m \'2 h

Of =

1 m,^ n 1 1 m/ ïi 1

Het eerste lid der laatste vergelijking is het aantal malen dat het quadraat der
middelbare fout gemiddeld kleiner is geworden. Is dus Jc = n l, d. w. z. het aantal
constanten gelijk aan het aantal sterftekansen, dan blijft de middelbare fout in elk
van deze bij de afronding gemiddeld dezelfde. In dit geval is dan ook geene afronding
mogelijk. Is Jc kleiner dan dit aantal, dan wordt de middelbare fout in elke sterftekans
gemiddeld kleiner. De gemiddelde verkleining van de quadraten der middelbare fouten
voor en na de afronding blijkt alleen afhankelijk ysiU het aantal constante^i der sterfte-
formule, niet van de wijze waarop zij er in voorkomen.
Beschouwen we de functie

\'S{LUs M^, .
1

waarin L, M, N enz. willekeurige constanten zijn. De fout in deze bedraagt, indien
we voor w, de afgeronde sterftekansen substitueeren,

»1 1

{Lu, 4- M^,  .) f/ = L [«f\'] M e\'] \'] .. . .

1

en bij substitutie der onafgeronde sterftekansen

n 1

V» (i«, N/s ....) és = L [«0   Nlyt-] ....

1

Uit de betrekkingen (13) nu volgt dat de fouten en dus ook de middelbare
fouten in beide gevallen gelijk zijn, zoodat we komen tot de stelling:
De middelbare fout in elke lineaire functie der sterftekansen

n 1

Ps W,

1

waarin

P, = Lu, M^, iVy, ....

heeft dezelfde icaarde hetzij ice gebruik maken van de afgeronde of onafgeronde
sterftekansen.

Slechts bij uitzondering zal eene lineaire functie in dezen vorm kunnen worden

69

gebracht, tenzij het aantal constanten gelijk is aan het aantal sterftekansen als
wanneer dit het geval is met elke lineaire functie. Deze mogelijkheid is evenwel uit-
gesloten, wijl dan van afronding geen sprake is.

n

Hebben we te berekenen de willekeurige lineaire functie en maken

O

we daarbij gebruik van de onafgeronde sterftekansen, dan bedraagt de fout

n 1

Ps (13>

1

Voeren we berekening uit met de afgeronde kansen dan bedraagt zij

« i

P f\'

1

of op grond der vergelijking (12)

n 1 " 1

(«, P,a, Psbs  ••.■) = P/ fs-

1 1

Door te stellen

2 P, as = L, 2 P, h, = M, P, c, = iV, enz.
blijkt dat P/ steeds is van den vorm

Lug 4- il/ff, -f ....

Terwijl het beloop van P willekeurig is, wordt dat van P\' geheel bepaald door

het beloop van «, en / in verband met de constanten L, If en N. Dientengevolge

treden in de fout der functie 2:Pw fouten op van alle waargenomen sterftekansen,

p\'2

indien we gebruik maken van de afgeronde. In welke gevallen grooter of

pi

kleiner zal zijn dan kan niet in \'t algemeen worden gezegd (*).

Konden we bij de afronding gebruik maken van do ware sterfte-formule, dan
" i

zou de fout -ï"* P, f,\' eene toevallige zijn. Nu we deze niet kennen, worden, indien
we berekenen op grond der afgeronde sterftekansen stelselmatige fouten ingevoerd.
Het is daarom beter alle berekeningen te verrichten met behulp der onafgeronde
sterftekansen. Is het om de een of andere reden noodig dat do berekende grootheden

(♦) Qoninkkoiyk blijkt diit kan worden gobraoht in dun vorm

(2\' Pa)2   ---- 2 ^Qj (.T Pa) (2\' Pb) -----

wolko ook goinnkkelijk wurdt güvondon uit forinulo (9) door tu stollen .1 = i\'At, B — 2:Pb, enz.

9«

70

een regelmatig beloop vertoonen, dan kan de afronding geschieden, nadat de bereke-
ning uit de onafgeronde sterftekansen heeft plaats gehad.

Ofschoon het bestaan eener algemeene sterfte-formule aan twijfel onderhevig
is, geeft de formule van Makeham de sterftekansen soms met verrassende nauw-
keurigheid weer. Ten einde na te gaan in hoeverre dit het geval is bij de 1® ambte:
narentafel, werden volgens eene methode van King en Habdy (*) de constanten
dezer formule berekend. In afwijking van de gebruikelijke wijze van doen werden
daartoe de levenden afgeleid met behulp der onafgeronde sterftekansen en wel uit-
gaande van 94516 op den leeftijd 24V2, welk aantal door interpolatie uit dat der 1«
ambtenarentafel werd verkregen. Deze levenden werden verdeeld in 4 groepen, elk
van 15 leeftijden, gelegen tusschen 25Vj en 84V2. Uit de som van de logarithmen
der levenden van deze 4 groepen werd voor de constanten gevonden:

h = 105357
s = 0.99591
g = 0.99915
q = 1.0974

In tabel I vindt men eenige grootheden, die op deze berekening betrekking
hebben, benevens het met behulp der constanten berekende aantal levenden en de
daaruit afgeleide sterftekansen. Verder is daarin eene kolom opgenomen, aangevende
de verbindingsrente op 2 hoofden van gelijken leeftijd, berekend op de zoo verkregen
sterftetafel. Zooals bij alle in dit proefschrift uitgevoerde becijferingen is de rentevoet
op 3 % aangenomen. Uit deze verbindingsrente kan zooals bekend is met behulp van
bovenstaande constanten die op ongelijke leeftijden worden afgeleid.

Uit de tabel blijkt hoe nauwkeurig de formule van Makeham de sterftekansen
der burgerlijke ambtenaren tusschen de leeftijden 22 en 92 kan weergeven. Eene
graphische voorstelling zou dit nog veel duidelijker in het licht stellen. Vergelijkt
men daarmede de door Dr. MouNiERff) voor de H\'" tafel verkregen resultaten, tot
welke vergelijking noodig is uit de aantallen levenden de sterftekansen af te leiden,
zooals door mij inderdaad is geschied, dan blijkt hoeveel beter aansluiting de 1®
ambtenarentafel vertoont. Evenzoo is het met de andere door dezen wiskundige op

(♦) Journal of the Institute of Actuaries XXII pag. 200.
(t) Archief voor de Verzekorings-wetenschap, Maiirt 1896.

71

de formule van Makeham berekende tafels, al geeft ook de 1« Mannentafel der 20
steden eenigszins betere uitkomsten.

Ofschoon het de voorkeur verdient de onafgeronde sterftekansen aan de bere-
keningen ten grondslag te leggen, zijn niettemin de afgeronde sterftekansen van
belang waar het noodig is vergelijkingen te maken tusschen de eigenaardigheden van
verschillende sterftetafels. Ook zijn het alleen de afgeronde sterftekansen, die zich er
toe leenen om in graphische voorstelling te worden gebracht.

De vele methoden voor de afronding in gebruik zijn vrij uitvoerig en volledig
uiteengezet door Dr. J. P. Janse (¹). We zullen deze hier niet behandelen. Slechts
zal nog worden verklaard volgens welke methode de 1" Ambtenarentafel door den
schrijver van dit proefschrift is afgerond. Om eene eerste benadering te verkrijgen
werd ondersteld, dat de juiste sterftekansen over een 5-jarig beloop eene rekenkun-
dige reeks van de 1® orde vormen, en dat dus de lijn der juiste sterftekansen eene
slechts geringe kromming vertoont, zooals voor alle leeftijden boven 21 het geval is.
Voor w^ nemende .

1

5 -2

bedraagt de middelbare fout hierin en is dus merkbaar kleiner dan die in

elke afzonderlijke waarneming. Door de zoo op de leeftijden lö\'/i, 20Vj, 25V2 enz.
bepaalde punten werd eene regelmatig loopende lijn getrokken, waarlangs de sterfte-
kansen werden afgelezen. Welk gebruik van deze is gemaakt zal later blijken.

De onderstelling waarvan hier werd uitgegaan is niet voldoende nauwkeurig.
De lijn der sterfteKansen toch vertoont eene regelmatige kromming, zij keert bijna
overal hare bolle zijde naar de as der leeftijden. Nauwkeuriger is het dns te stellen

= a^ 8 bx s^

1

Hieruit wordt voor — Wxa, gevonden
5 -a

1

-— \'k;,^. -f 2
O -2

waarin h^ ov£ral positief is. We mogen derhalve aannemen dat de lijn der sterfte-

1  Ovor do Constructie on Afronding van Storftotnfüls. Acnd. Proofsolir. 1885.

72

kansen door de beschreven afronding in haar geheel een weinig naar boven is ver-
schoven. Bovendien kon langs dezen weg met het gewicht der waarnemingen geen
rekening worden gehouden. Verder is de verkregen graphische voorstelling daarvan
afhankelijk, op welke leeftijden de gemiddelden der waarnemingen van 5 opvolgende
leeftijden worden bepaald, zoodat door verschillende groepeering 5 verschillende lijnen
kunnen worden verkregen. Een ander nadeel is dat de getrokken lijn weinig karak-
teristieks heeft. Om deze bezwaren te ontgaan, werd aangenomen, dat de betrekking
tusschen 11 achtereenvolgende sterftekansen met voldoende benadering kan worden
weergegeven door de formule

zoodat met behulp van de methode der kleinste quadraten de waarschijnlijkste
waarden van w^, a^ en b^ konden worden berekend. Wijl

w\'x g = "I" hebben

we daartoe

= {w\'x s — Wx — a^s — bx sy,

zoodat minimum moet worden

—5

Wx, üj: en bjc moeten nu zoo worden gekozen dat

aiüx dbx

We komen zoo tot 3 vergelijkingen

«X Wx «x Yx = Ax,
Wx /x ttx Vx bx = Bx,
ïx Wx öx Cx bj, =Cx ,

waarm

5 5 5

= ßx = «{9x s - 9x-s). Yx = (i7x » 9x-i),

-5 1 1

tlx = i\' s^ (Px . — gx->), Cx = i(5\'x . 9x-»), ^x = S

1 1 _8 .

5 s

Bx = s {gx , w\'x , — 9x-, w\'x-,), C^ = s^  gx-, w\'x-,),

73

uit welke vergelijkingen gemakkelijk wordt gevonden

wx ^ Ax - Bx "  O.

■tlx J^x Jix

waarin

Hx = «x Cx — -15,2 Cx 2 — y/.

het gewicht der zoo gevonden Wx bedraagt

Ex
Yx lx — nx^

Bij toepassing dezer methode op de ambtenaren-tafel werden bij de leeftijden
öiVa—Sö\'/i resp. de waarden 0.0244, 0.0179 en 0.0180 verkregen, die abnormaal van
de vorige en de volgende afwijken en waarschijnlijk moeten worden toegeschreven
aan den invloed van de bijzonder groote fout in de ongecorrigeerde sterftekans van
den leeftijd 50Vi, zoodat de gevonden minima voor die leeftijden als onbruikbaar
moeten worden beschouwd. Inderdaad bleken bij berekening ook de waarden van a,
en h^ abnormaal, zoodat de minimum-kromme voor die leeftijden van anderen aard
is dan de sterfte-kromme. De sterftekansen dier 3 leeftijden werden daarom door
gewone interpolatie afgeleid uit de voorafgaande en de volgende.

De beschreven methode kon alleen de sterftekansen leveren op de leeftijden
27Vï—86V2. Haar beloop blijkt inderdaad uit de volgende tabel voldoende regelmatig
om in graphische voorstelling te kunnen worden gebracht, wat met het oog op het
nog beperkt aantal waarnemingen een zeer gunstig resultaat kan heeten.

10

74

Voor we van deze methode afstappen dient nog te worden opgemerkt, dat,
indien we stellen

ÏÜX , = iVx sa^ s^ /Jx 4- s^ Cj

nog altijd wordt gevonden:

1 1\' , n(7i l).

75

derhalve

Waren de gewichten der waarnemingen gelijk, dan zouden dus a^ en c^ in het
geheel geen invloed hebben op de waarde van tv^. Nu de gewichten verschillend zijn,
was het noodig Ox mede in de formule op te nemen. Evenwel mag worden ondersteld
dat het verwaarloozen van c^ slechts geringen invloed kan hebben op de waarde van
Wx, zooals ook uit eene opzettelijk daartoe ingestelde berekening bleek.

Bij eene vroegere toepassing dezer methode op de 1® ambtenarentafel werden
voor Wj. overal abnormale waarden gevonden, waarom werd ondersteld dat de methode
tot onbruikbare minima voerde. Daarom werden a^ en bj, berekend uit de sterfte-
kansen, afgerond volgens de eerste methode en na substitutie dezer waarden in de
vergelijking

«X Wx i^x «x rx f>x = ^x

hieruit opgelost. De uitkomsten dezer afronding komen voor in de 1® Wetensch.
balans van het Weduwen- en Weezenfonds. Later is gebleken dat eene fout in den
coëfficiënt van die in de formule voor w^ optreedt, de oorzaak was dat de methode
toenmaals is mislukt. Aan de hier medegedeelde resultaten kan met grond de voor-
keur worden gegeven boven die welke voorkomen in de Wetenschappelijke balans.
Beneden 27\'/2 en boven Sl^k werd de lijn der sterftekansen door graphische afronding
voltooid en de sterftekansen op die leeftijden daarvan afgelezen.

Voor we van dit hoofdstuk afstappen, willen we nog in \'t licht stellen wat
het gevolg zou zijn, indien onder de l„, r waarnemingen van den leeftijd in r een
zeker telbaar aantal waren geweest met de sterftekans een ander oven-

eens telbaar aantal il,,,^^ met de sterftekans aWm r enz. en dat het bezwaar van
Bertrand daarbij gegrond was. Door de verschillende groepen te scheiden en voor
elk van deze de waarschijnlijkheid van afwijkingen en de sterftekansen te berekenen,
vinden we volgens het voorgaande voor de groep il„ r (A), voor iln r

V\'i(A), enz.

Om nu de kans te berekenen dat de som der afwijkingen, behoorende bij denzelfden
leeftijd m r voor de verschillende leeftijden zal zijn gelegen tusschen bepaalde
grenzen, stellen we

t

Im r ^mJfr — 2* glm r t^m r •
1

76

Volgens de methode van blz. 16 vinden we dan voor de kans dat deze som
zal zijn gelegen tusschen en A^ r d/\\m r

1 _ . O C^m r

--e ,

V/

r=0

waann

2 \'

= -ji--(J- — sW,n r) sL r ÏS.

t m r 1

Op het zoeken van de waarschijnlijkste waarden der afwijkingen zou dus ook
dan nog de methode der kleinste quadraten van toepassing blijven. Slechts de
gewichten zouden anders zijn.

Door de groepen bijeen te houden en de gemiddelde sterftekans

1 t

sL r sWm r

Im r 1

als voor de Z„, r waarnemingen gelijkelijk geldende te beschouwen zouden we
namelijk hebben gevonden ^

2 \' 1 \'

lis ^lOm r (1 — 1- slm r ^^m r) »^m r •

72 »--m-t-r .

t m r 1 fm r 1

Daar de grootheden w slechts weinig van den index s kunnen afhangen, terwijl
w bovendien voor alle leeftijden klein is, blijkt gemakkelijk dat het verschil tusschen
deze en boven gevonden waarde voor c^^ r slechts zeer gering kan zijn, derhalve ook
dat tusschen de gewichten. Door dus voor deze de laatstgevonden waarde als juist
aan te nemen wordt bij toepassing van de methode der kleinste quadraten in alle
voorkomende gevallen voldoende nauwkeurigheid bereikt.

HOOFDSTUK IV.

RESERVE.

We denken een verzekerde i van den leeftijd q, en onderstellen dat deze over-
lijdt op een leeftijd gelegen tusschen q x en g\' .i; 1. Zij de contante waarde
van de uitkeeringen, die de verzekeringsmaatschappij in dat geval aan den verze-
kerde zal hebben gedaan die van de bedragen welke zij in den vorm van
premiën van den verzekerde zal hebben ontvangen m\'^g^x),; dan moet de maatschappij
thans het bedrag

in kas hebben om aan hare verplichtingen tegenover dien verzekerde te kunnen
voldoen. We noemen dit bedrag de ware reserve van den verzekerde i. Zij kan
negatief zijn.

Vooraf kan van den leeftijd van overlijden niets bekend zijn en dus ook niet
van de ware reserve voor den verzekerde i. \'Hebben we een groot aantal verzeker-
den a, dan is de ware reserve

rt

f ^(7 x).-

evenmin bekend. Het bedrag dat de maatschappij voor den verzekerde i als reserve
in kas houdt, is de gemiddelde waarde der ware reserve. Is de kans voor den ver-
zekerde i om te overlijden tusschen de leeftijden <7 xen7 a; l ^(j x),\', dan is
derhalve de reserve F,- volgens definitie

l-J l-q l-q

0 0 O

waarin den hoogstens bereikbaren leeftijd der sterftetafel voorstelt.

10*

78

De gemiddelde reserve kan dus worden opgevat als het verschil van 2 andere
grootheden. De eerste van deze is de mathematische hoop van den verzekerde, de
tweede die der maatschappij.

De gemiddelde reserve voor de « verzekerden te samen is de som van die
voor elk der verzekerden afzonderlijk. Derhalve bedraagt zij

« K l-q

Zi Vi = .

1 1 O

Voor het verschil tusschen de ware en de gemiddelde reserve wordt gevonden

n « H

("^(V x).- — Vi) = i — \'tn{q x)iP(q x)i\\ •

De opvatting der reserve als gemiddelde der ware reserve veroorlooft de toe-
passing der op blz. 10—14 behandelde theorie der gemiddelden. Uit deze volgt dat de
gemiddelde waarde van het quadraat van dit verschil voor een enkelen verzekerde
i bedraagt

O O O

en volgens de eigenschap aan den voet van blz. 13 voor de a verzekerden te zamen

U l-q n l-q l-q ^

10 10 O

Ingeval de « contracten gelijk zijn, wordt dit -

l-q l-q l-q l-q l-q

O O O 0 0\'

Elk der termen van c^^ tusschen accoladen kan worden berekend door een
groot aantal a gelijke contracten te onderstellen. In het geval van « gelijke con-
tracten i wordt

= 2 «! i (vx m,ipxi)%

n ?

Deze uitkomst hebben we slechts door « te deelen om een term van cj^^ te
vinden.

Schrijven we de reserve voor een groot aantal gelijke contracten op als
lineaire functie der achtereenvolgens te verwachten dooden d, dan vinden we de fout

79

in de reserve door vervanging der aantallen d door de afwijkingen d in deze. De
coëfficiënten dezer laatste zijn dan de constanten m. Langs dezen weg kunnen deze
derhalve steeds en gemakkelijk worden bepaald. De methode van een groot aantal
gelijke contracten te denken heeft bovendien nog een ander voordeel, dat aan het
licht zal treden bij de theorie van het jaarlijksch risico, en vooral bij de toepassing
hiervan op verzekeringen op meerdere hoofden. In dit laatste geval zullen we er door
tot formules geraken die uit den vorm Zm^p—^Zmpf niet kunnen worden afgeleid.

In het voorgaande is ondersteld, dat de ware kansen p ons bekend zijn.
Stellen zij sterftekansen voor, dan is dit niet het geval, maar zijn hare waarschijn-
lijkste waarden a posteriori bepaald uit waarnemingen over een vroeger tijdperk.
Daarom kan de gemiddelde reserve niet worden bepaald op grond der ware, maar
slechts op grond der a posteriori bepaalde kansen. Om nu de gemiddelde afwijking te
berekenen der ware van de gemiddelde reserve berekend op grond der a posteriori
bepaalde sterftekansen, moeten we het vraagstuk nog anders beschouwen. We zullen
nu hiertoe overgaan en daarbij aan de middelbare afwijking tusschen de gemiddelde
reserve berekend op grond der è, posteriori bepaalde sterftekansen en de ware reserve
den naam geven van

TOTAAL RISICO.

Hebben we sterftewaarnemingen over een zeker tijdvak, dan is overeen-
komstig het vroeger gevondene de kans op afwijkingen gelegen tusschen 8 en 8 -f d8
in de aantallen dooden tusschen bepaalde leeftijden

m n 2 .1

_ _ ^ _ "x^___m__^^ •______"\'_

«=m ( x=m y-lndj. y "i ■!t IJLx — dj)

waarin L n i het aantal personen voorstelt, dat aan het einde van het tijdvak nog
in leven was.

Evenzoo vonden we op blz. 6 voor de kans op toekomstige afwijkingen
tusschen en v^ .... v^ t-i ©n  in de aantallen tusschen bepaalde

leeftijden te wachten dooden uit « personen van den leeftijd q

a

^ ^^ _2;, __ü__

ƒ v,,,!,)]! V, = -------6 P7 . 2 « ....

1=7 yinitpj Y\'iJt n ...yjiTt ft pq i

waarin q-\\-1 l den hoogstens bereikbaren leeftijd der sterftetafel voorstelt.

80

De samengestelde waarschijnlijkheid dezer gebeurtenissen, ook in het geval
dat zich onder de « personen alle of sommige der Im n i personen bevinden, die aan
het einde van het vroeger tijdperk nog in leven waren, bedraagt derhalve

s=m n s=g /-l

F ... Vg i.,.. n 8s n Vg.

s=m S=(l

De ware reserve is eene lineaire functie qpi van het aantal sterfgevallen dat
in de toekomst tusschen bepaalde leeftijden zal blijken voor te komen. De gemiddelde
reserve berekend uit de a posteriori bepaalde sterftekansen is eene lineaire functie
92 van de gedurende het tijdperk van waarneming tusschen bepaalde leeftijden waar-
genomen gevallen van overlijden. De gemiddelde reserve berekend op grond der
ware sterftekansen is dezelfde lineaire functie van het waarschijnlijkst aantal dooden
dat op grond der ware sterftekansen bij de waarnemingen was te wachten. Het verschil
der laatste 2 grootheden is dus dezelfde lineaire functie der afwijkingen namelijk