TE UTRECHT

BREEDTEBEPALING YAN DE STERREWACÏÏT

TE UTRECHT
uit (loorgaiigon in den Eorston Verticaal.

iiJi; -

K

J^cL

ireedtdjepaliDg van k Sterrcwacli

s

te Utrecht
UIT ])OOEOtAXGEN IN Dm EEESTEN YERTICAAL.

PROEFSCHRIFT

TEIl VEIIKUIJGIKG VAN DEM GHAAI) VAPi

DOCTOR IN DE WIS- Ei\\ STBRIIEKUNDE

AAX ])E KIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT,
NA MACHTIGING VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS
DR. J. J. P. VALETON JR.

Iloogiccraar in de faculteit der Godgeleerdheid,

Volgens Besluit van den Sonaat der Universiteit
TEGEX DE BEDENKINGEX

.VAN DK FACULTEIT DEIl WIR- EN NATUUUKUNDE

TE VERDEDIGEN"

OP

Donderdag A November IS07, des 7iamidda(js ten 4 ure

1)0011

JAN CORNELIS BOLT,

I.ecranr nan liet Gymnasium Ie Tiol,

OEIJOllEN TE ARNHEM.

TIKL. — I). MMS. — 1897.

■■^r:;-.\'.; \'v

Üb

Inleiding.

In navolging van de bekende dissertatie i) van Prof. Dr. J. A. C.
Oudemans heb ik getracht de poolshoogte van de Sterrewaciit te Utrecht
te bepalen. Op raad van mijn Promotor heb ik een geringer aantal
waarnemingen gedaan, dan door hem gesciiied is, omdat z. i. twaalf
avonden ieder met een twaalftal waargenomen doorgangen voldoende
zouden zijn. Het resultaat van deze waarnemingen: een vrij nauwkeurige
bepaling der (h\'aadafstanden, de collimatie-fout en de azimulhale fout
en ten slotte \'t gemiddelde van een honderdtal breedtebepalingen stol
ik me voor hier te behandelen.

EERSTE HOOFDSTUK.
Over voorbereidende maatregelen.

Er bevindt zich op de Sterrewacht te Utrecht juist zoo\'n instrument2)
als dat, waarmede de waarnemingen voor de reeds aangehaalde dis-
sertatie gedaan zijn. Alleen het dradennet is ten mijnen behoeve eenigs-
zins anders gemaakt. Aan weerskanten van den middendraad zijn hier
drie draden geplaatst, ieder op 0,2 m.m. afstand. Hieruit leidde ik
vüorloopig af, dat de aequatoriaal draadafstand van de uiterste draden
tot den middendraad ongeveer 4G tijdssecunden 3) zijn zou, in verband
met den brandpuntsafstand van den gebroken kijker, den invloed van
het prisma verwaarloozende.

Het instrument is op een stevigen pilaar van Escauzynschen steen
bevestigd, die zich voor een groot deel onder den grond uitstrekt en
zich in de meridiaanzaal bevindt. Boven dezen pilaar kan een luik
geopend worden voor het doen der waarnemingen in den eersten Verti-
caal, waardoor een strook van den hemel zichtbaar wordt, gericht
Oost-West, gaande door het zenith en gelegen tusschen de grenzen
35° 45\' West en 36° 8\' Oost.

Met behulp der formule

sin. § r= sin. y cos. z,

waarin = de breedte der waarnemingsplaats ,
(J = de declinatie der ster
en z = de zenithsafstand der ster,
vindt men hieruit als grenzen voor

39° 48\' 20" West
39° 34\' 40" Oost.

Ik besteedde de uiterste zorg om \'t instrument voorloopig zoo goed
mogelijk te rectificeeren; het niveau bleef bij heen en weer laten
kantelen \'tzelfde aangeven: de bel werd behoorlijk in \'tmidden gebracht.

De collimatiefout werd met behulp van \'tzich in diezelfde zaal be-
vindende universaal instrument, dat geregeld voor tijdsbepalingen gebruikt
wordt, zoo goed mogelijk nul gemaakt.

Den stand, waarbij de azimutliale fout zoo gering mogelijk was,

3

bepaalde ik nauwkeurig uit den bekenden stand van het Universaal
instrument. Zoo spoedig als ik een bepaling Oost en West van een
zelfde ster gedaan had, rectificeerde ik dit nog nader. Toch is bij de
berekening gebleken, dat beide fouten nog grooter gebleven zijn, dan
ik dacht. Gelukkig kunnen echter die fouten volkomen scherp in
rekening gebracht worden.

Als van zelf wees zich de sterrenlijst uitliet Berliner Jahrbuch aan:
niet alleen om een voorloopige lijst der doorgangen in den Oost-West
Verticaal te maken\', maar ook omdat daaruit gemakkelijk de declinatie
en rechte klimming voor iederen datum, noodig voor de latere bere-
keningen, te vinden is.

Tusschen .de reeds opgegeven grens van 39° 34\' 40" (of 39° 48\' 20")
en 52°5\' 10",5, de breedte van Utrecht, vond ik 49 sterren. Bij \'t op-
maken van de lijst der doorgangen door den Oost-West Verticaal,
gerangschikt naar de uren, vond ik in elk uur eenige doorgangen,
behalve voor \'t veertiende uur sterretijd.

Uit de reeds gebruikte formule:

COS. z =--

sin. m

en uit een andere, uit dezelfde figuur ontleend,

COS. t =

tg.y

waarin t de uurhoek voorstelt,

is het duidelijk, hoe de doorgangen (T en T\') gevonden zijn.
Ten overvloede laat ik hier nog een voorbeeld volgen:

a Aurigae 80.

log. sin. o"
log. sin. ®

= 45° 53\' 30", 8
9,85014
9,89701.

Dit alleen is nog niet voldoende, bekend moet tevens zijn de door-
gang door den eersten draad. Hiervoor is noodig te weten, den afstand

der draden, dien we hierboven aangaven te zijn IG secunden. Noemen
we dit aantal f d. i. \'t aantal secunden, \'twelk een ster noodig heeft,
om in den aequator van een der uiterste draden tot den middelsten
te komen, dan zal later blijken, dat \'taantal secunden 6, \'twelk een
ster in den eersten Verticaal noodig heeft op een zenithsafstand z ge-
vonden wordt uit de formule:

9 = —J__

sin. f sin. z

Zooals verder gemakkelijk in te zien is, wordt dus T veranderd met
een bedrag ± 0 en z met een bedrag ±-15 0 cos. o -t). De geheele lijst
vindt men opgegeven aan het einde van dit werk als Tabel I. De be-
rekening hiervoor is, evenals alle andere, dubbel gedaan.

TWEEDE HOOFDSTUK.
Over de waarnemingen.

Mijn eerste waarnemingen dateeren van 23 Oct. \'95. Wanneer ik op
een avond met een bepaalden stand van het instrument begon, b.v.
met Oculair Noord aangegeven, dan zette ik meestal op dien avond
mijn waarnemingen met dezen stand van het instrument voort, om op een
volgenden avond met Oculair Zuid te vervolgen. Alleen trachtte ik zooveel
mogelijk evenveel oostelijke als westelijke doorgangen te observeeren.

De meegedeelde Tabel 1 geeft voldoende aan, hoe ik daarbij te
werk ging. De hemel was bijna altijd gedeeltelijk bewolkt. Hierdoor
is het me dikwijls overkomen, dat ik een ster niet aan alle zeven draden
kon waarnemen, liet dradennet werd verlicht door een metalen spiegeltje,
boven het objectief met een ring bevestigd, dat \'tlicht van een gas-
lamp op de gewenschte plaats terugkaatste. Deze lamp verlichtte tiivens
de pendule van Casseres, die op eenigen afstand van den pilaar tegen
een verticale zerk was aangebracht. Tusschen de waarnemingen in las
ik het niveau af. De helling der horizontale as bleef gedui\'ende den
geheelen avond vrij wel constant, zelfs voor de verschillende avonden
bleek de toestand vrijwel dezelfde te zijn gebleven. Ook na omleggen
gaf\'t niveau geen verandering aan voor de dikte der tappen. Ik deed
hierover laier uitvoeriger proeven, die dit bevestigden. Het oculair-
buisje bleef onaangeroerd om de collimatiefout niet te veranderen.
Mijn waarnemingsboekje vermeldt voor elke .ster behalve den tijd der
zeven draad passages een der vier standen van het instrument. Ster
Oost of We.st en Oculair Noord of Zuid.

\'t Eerste, wat ik na alloop mijner waarnemingen deed, was uit alle
waarnemingen zoo nauwkeurig mogelijk de draadafstanden te berekenen,
waarover ik in de volgemle bladzijden uitvoeriger hoop te zijn. Ik
begon daartoe de draadpassages te nummeren. Voor Oculair Noord
Ster Oost is dezelfde volgorde in acht te nemen als voor Oculair Zuid
Ster West. Eveneens voor de beide andere standen. Verder leidde ik

ü

dan de tijden af door de ster besteed, om de afstanden te doorloopen
van een der zijdraden tot den middendraad. Ik begon willekeurig voor
\'teerste met I, II enz.
Ik heb derhalve:

Oc. N. Ster O. Oc. N. Ster W.

Oc. Z. Ster W. Oc. Z. Ster O.

I VII

, II VI

III V

IV IV

V III

VI II
VII I

Als voorbeeld hiervan geef ik:

^ Persei W.
Oc. Z. z = -17°22\'.

doorgang 4" 25"» 50®,O

Neem ik den middendraad als juist aan, dan geeft dit met de
klokcorrectie een voorl\'oopige proef.

24-" 38% 4
klokcorrectie 1 20,:^
25 58,7

Ik kan dus hiervoor ook gebruik maken om het azimiith te bepalen.
Ik vind dit als een aantal secunden t, zijnde \'t verschil van de rechte
klimming, voorloopig uit de waarnemingen berekend, en de rechte
klimming, ontleend aan het Berliner Jahrbuch. Om nu den hoek a
te vinden, welken \'t instrument verzet moet worden, is \'tnog noodig
met sin. ^ en 15 te vermenigvuldigen of in formule:

^ a = \'15 t sin. 9.

Als voorbeeld geef ik een azimuthbepaling ontleend aan de en

waarneming van den eersten avond:

Oct. 23 9 Persei O. O" 11\'» 42% 1
W. 2 59 18 ,5

2 3 11 0,G

1 35 30 ,3

correctie der pendule 1 15 ,0

1 36 45 ,3

Volgens Berl. Jahrb. 1 37 9 , 4

24,1

Hieruit blijkt, dat \'tinstrument verzet dient te worden:
a = 15" X 24,1 X sin. <p = 285",2 = 4\' 45",2.

DERDE HOOFDSTUK.
Berekening der draadafstanden.

De reeds hiervoor gebruikte formule:

6 =_L_

sin. O sm. z

of in meer exacten vorm

f

5 =

sin. <5 COS. (? sin. (t ± 0)

is gemakkelijk aldus te bewijzen.

In den rechthoekigen boldriehoek met Zenith, Pool en Ster tot
hoekpunten geldt:

tg. (90 — ?) = COS. t tg. (90 — $)
of COS. t tg. d" cotg. 9

Schrijven wij deze in den vorm:

O = sin. <? COS. 9 — cos. <? sin. o cos. t.........(I)

Passen we den cosinusregel toe op den driehoek, met Pool, Noordpunt
en de Ster op een der zijdraden, zuidelijk van den middendraad, dan is:

COS. (90 f) ^ COS. O cos. (90 — o) sin. o sin. (90 — (?) cos. (180 — t 0)

of— sin. f = COS. 9 sin. d\' — sin. 9 cos.cos. (t — 0)

en in verband met (I).

sin. f rz: cos. siu. 9 (cos. (t — 0) — COS. t)........(A)

Bevindt de Ster zich op een der zijdraden, noordelijk van den
middendraad, dan is:

cos. (i)0 — f) = cos. 9 cos. (90 — 0^)—sin.9 sin. (90 — 0^) cos. (180 — t —0)
of sin. f cos. 9 sin. d — cos. <? sin. 9 cos. (t

en na herleiding als zooeven:

sin. f COS. sin. 9 (cos. t — cos. (t ö))........(H)

9

Nu is cos. (t — 0) — COS. t = 2 sin. | 9 sin. (t — i 9)
en COS. t — COS. (t ö) = 2 sin. i Ö sin. (t 10)
waardoor de formules A en B worden:

sin. f = 2 COS. ^ sin. o sin. ^ 0 sin. (t ± 0).
Is dus 0 en f klein, dan vereenvoudigt zich de formule:

0 =..............(11)

sin. O cos. o\' sin. (t ± -J 0)

waarbij dus \'t plusteeken geldt voor een doorgang voorbij een draad
ten noorden van den middendraad, en \'t niinusteeken voor een door-
gang voorbij een draad ten zuiden van den middendraad.

Zooals ik boven al opgemerkt heb, is 0 uit de waarnemingen voor-
loopig bekend. Met behulp van de gemiddelde bereken ik voor iedere
ster een waarde van f, om dan weer uit \'t gemiddelde van deze laatste
een nieuwe 0 te berekenen. Als voorbeeld van een berekening van f
uit 0\', geef ik hier weer « Aurigae. Uit het Berliner Jahrbuch
ontleen ik de (J\'s voor de waarnemingsavonden en hieruit leid ik de Ts
af. In de berekening gebruik ik dan de gemidilelde /.

a Aurigae 8ü.

Berekening van t en log. cos. $ sin. © voor de waarneiningsavonden.

waaruit ik aileid:

t = 3Ü\'\':U\'52"
en log. cos. $ sin. ^ = 9,7390i.

Oc. Noord.

10

Oc. Zuid.

Met behulp hiervan bereken ik f voor Oc. N. en Oc. Z afzonderlijk:

Oc. Noord.

log. cos. $ sin. ® 9,73964

11= 30° 31\' 52"

Oc. Zuid.

Als\'gemiddelde van Noord- en Zuid-berekeningen vind ik nu* het

volgende overzicht.

-11

Waarden van /\',
waarbij de sterren gerangschikt zijn naar opklimmende o.

De hierbij behoorende logarithmen zijn
I 1,20858 I 1,03443 | 0,74001 j j 0,73632 | 1,03619 j 1,23744

Met behulp van de methode der kleinste quadraten heb ik ook
hiervoor de middelbare fout berekend en gevonden als:

0,019 I 0,015 i 0,013 ! I 0,014 | 0,010

Een andere wijze om deze laatste te berel^enen is aldus:
Uit f=6 sin. ^cos. <?sin. (t ± |ö) volgt,
als we de middelbare fout in f noemen

iV \'t verschil tusschen gemiddelde en waargenomen ö,
n \'t aantal keeren waargenomen
en M \'t aantal draden

13

Of op deze wijze ineens een gemiddelde waarde voor alle zes draad-
afstanden :

\'1,005
— 0,301

0^704"

-102

0,0075

Hieruit blijkt, dat de verschillen Noord en Zuid nu zoo goed als
nul geworden zijn. .

Men kan de formule

f = 5 cos. $ sin. (p sin. (t ± ^
opvatten als te zijn van den vorm

i\'= m 0
waarin mc^l.

In mijn waarnemingen varieerde 0 tusschen (y Cygni) en

üO^e\'^- (® Persei), zooals uit de later mee te deelen Tabel II blijken zal.
Ik vind voor f = ± iG^"-, m. a w. m varieert tusschen en Als
dus de waarde van 0 voor verschillende sterren omtrent 32®""=- is en O®,4
met de Juiste waarde verschilt, dan verschilt de berekende f voor
de zuidelijke sterren ± 0®2, terwijl voor sterren met een 0 = 90®\'=\'\'-
onder die zelfde omstandigheden dit verschil maar 0>\',07 wordt, \'t Meest
gewenscht is dus de f te berekenen uit sterren met een groote O,
(1. z. zijn sterren, wier declinatie weinig minder dan 52° is, hoewel
\'t maken van een fout daarin veel waarschijnlijker wordt. Daar ik
betrekkelijk weinig waarnemingen van deze soort bezit, heb ik de f
uit alle sterren berekend. Men kan zelf over de uitkomst oordeelen.
Ik merk hierbij op, dat O een verschil van twee waarnemingen is en
dus een dubbele fout heeft.

Den invloed van de collimatiefout heb ik aldus nagegaan.

Uit de formule

_f=Osin. (pcos. ^sin. (t — ^0)........>••(!)

volgt, als ik bij een collimatiefout c de fout in de waarneming c\' noem:
c\' = 0 sin. (}) cos. ^ sin. (t — | c)...........(II)

Noem ik de f, die ik nu vind f\' dan is

f\' c\' = (O c) sin. 9 cos. ö^ sin. (t — J. (O c)) . . . . (111)

Uit II en 111 volgt nu
f\' = sin. 9 cos. {(O c) sin. (t - - c sin. (t - .l) j . . . (IV)

14

Na uitwerken en hierbij

c , c 0 ,

COS. — = 1 COS. —— = i

2 2

. C C . C 0 C 0

sin__= — sm__= —L_

2 2 2 2

stellende, wordt (IV)

f\' = sin. 9 c6s. § j 0 sin. t— cos. t 5 c j ......(V)

Uit I en V vind ik derhalve:

f—f\'=:sin.9cos.<?cos.t(0c ^j........(VI)

Daar c uitgedrukt wordt in boogsecunden, wordt deze laatste for-
mule, na de termen van hooger graad verwaarloosd te hebben,

9 c

f— f\' =-sin. 9 COS. ® COS. t........(VII)

sin. 15" ^ \' ^ ^

De grootste 0, die ik gebruikt heb, is die van 9 Persei zijnde Oü«®*^-,
de grootste c 17".

Hiervoor vind ik f — f\' = 0%0G.

Hieruit blijkt hoe klein deze fout is, zoodat ik haar niet in rekening
behoefde te brengen.

VIERDE HOOFDSTUK.

Reductie op den middendraad.

De in \'t vorige hoofdstuk ontwikkelde methode geeft genoegzaam
aan, hoe men weer uit \'t aantal secunden f, dat een ster noodig
heeft om in den aequator van een der uiterste draden tot den middelsten
te komen, kan berekenen \'t aantal secunden 9, dat een ster op een
zenithsafstand z, noodig heeft, om in den eersten Verticaal van een

der uiterste draden tot den middelsten te komen.

___

cos. § sm. 9 sm. (t — -J 0)

Ik laat hier weer \'t zelfde voorbeeld volgen, op bl. iO vindt men
gemakkelijk log. noemer en op bl. 12 staat log. f.

a Aurigae.
Oc. Noord.

122

Voor al de gebruikte sterren geef ik in Tabel II de tijdsintervallen.

Bij de .reductie op den middendraad kan zich \'t geval voordoen, dat
de verschillen onderling zoo groot zijn, dat men meent beter te doen
deze niet mee te nemen. Als criterium nam ik daarvoor aan: laat ik
als grootste verschil in de aequatoriaal-intervallen toe 0=^,4, dan zal ik
als grootste verschil in mijne berekeningen voor \'t gemiddelde uit de
zes berekende en een waargenomen middendraad, kunnen aannemen,
zooveel maal 0^4 als dit interval op deze berekende is begrepen, b.v. voor
O Persei met 6\' = ± 90®««=- en voor f = ± 10®®«=- O X 0^4 = 2^,4.

Gelukkig ben ik daar altijd onder gebleven.

Als voorbeeld geef ik weer:

a Aurigae O. Oc. N.

Zooals men uit \'t voorbeeld ziet, berekende ik ook de quadraten van
de verschillen van de gemiddelde en berekende doorgangen in ^^^ sec.
Om hieruit de middelbare fout te vinden, moet ik dit alles tot
aequatoriaal tijdsecunden herleiden, dat is dus vermenigvuldigen met
cos.2 ó\'sin.2 9 sin.2 t, een factor, dien ik al gebruikt heb. De uitkomst
deel ik door:

\'t aantal draden — aantal keeren waargenomen — zes.

Ik vind hiervoor m = 0vl4:

d. i. de middelbare fout begaan bij de waarneming van óón doorgang
door een draad in aequatoriaal tijdsecunden

VIJFDE HOOFDSTUK.

Bepaling van de waarde van een niveaudeeltje.

Tusscheii de sterwaarneraingen in, las ik nu en dan het niveau af.
De resultaten bleven op één avond vrij wel dezelfde; tevens droeg ik
zorg, dat de helling klein was, liefst kleiner dan één deeltje.
"Uit een voorbeeld blijkt voldoende, hoe de helling bepaald wordt:

20 Nov. \'95 Oc. Z.

Stand van
links.
•18,0
25,5

Som of
lengte der bel.
43,8
43,8

0,()

— 0,15

Op dienzelfden avond vond ik:

— 0^ 15

— O , 25

— O , 50

— O . 10

Deze bepalingen verschillen onderling weinig. Ik kon dus een gemid-
delde waarde aan \'t einde van iederen avond aannemen.

Met een niveau-onderzoeker van Eutel onderzocht ik de waarde der
deeltjes. Dit toestel bestaat uit een horizontale tafel met een vork voor
\'t niveau, rustende op drie schroeven, twee aan \'t eene uiteinde,
dienende om \'t tafeltje horizontaal te stellen, en de derde aan \'t andere
uiteinde met een zeer lijnen schroefdraad en een nauwkeurig in
honderd deelen verdeelden schroef kop.

Op \'ttafeitje kan over \'tniveau een deksel, met glas van boven,
gezet worden, om het tegen stralende warmte van buiten te beschutten.
Ik breng nu \'t niveau, of liever alleen de tubus, in de vork onder \'t

18

kastje. Ik regel de beide schroeven links zoo , dat er een aflezing kan
plaats blijven hebben, als de andere schroef verzet wordt; beginnende
met den schroef kop op nul te zetten, lees ik \'t niveau af, en herhaal
dit, nadat de schroef kop op 13, 26 en 39 gezet is. Ditzelfde herhaal
ik negen maal, maar begin met den schroef kop, na iedere keer de
beide schroeven links geregeld te hebben op 10, 20 tot 90 toe.
Ik vind dan:

22 Aug. \'96 te 11" 50 tot 12" 35.
Stand van Stand van \'t niveau Lengte

den schroefkop.

O
13
26
39

10
23
36
49

90
3
10

29 0,9 27,6 26,7

Ieder stel geeft me zes waarden, 3 links en 3 rechts voor 13 rand-
deelen, b.v. voor den stand van den Schroefkop O 39 wordt gevonden.

links 8,7 8,2 7,8
rechts 8,9 8,2 7,7

en eveneens voor den stand 10 — 49

links 7,7 8,1 8,0
rechts 7,7 8,2 7,8

enz. tot

voor den stand 90 — 29

links 8,5 7,9 7,9
rechts 8,6 8,0 7,8

Ik vind als gemiddelde van deze negen bepalingen:

links 8,00 8,02 7,79
rechts 7,94 8,16 7.64

•19

Op dienzelfden dag te 2" 20\'» — 3" lo»" herhaalde ik dezelfde waar-
nemingen en was mijn resultaat:

links 7,87 8,09 7,75
rechts 8,01 8,00 7,00
Neem ik links en rechts gecombineerd, dan vind ik uit deze vier:

Iz=7,97 11 = 8,08 en 111 = 7,71.
De schroef drukte ik af op papier en vond hiervoor:

05 X Spoed = 34,25 mm.
De afstand der schroeven is 540,0 mm., de waarde van een rand-
deeltje is: 1",9 89.
Als waarde van één niveaudeeltje krijg ik dus als eindresultaat:

I 3"25 links. i

TT O OA -11 I Lengte der bel
II 3,20 midden. ; tusschen ^>8 2-\'\'O O
III 3,30 rechts. )

Gemiddeld 3,27ö)

Een correctie voor de dikte der tappen is niet noodig. Dit bleek al bij
\'t doen der waarnemingen, maar ook uitvoeriger proeven bevestigden dit.
Ik vind b.v. voor de helling

18 Juni 1890. Oc. Z. Oc. N.

9 4\'^, 1

3 ,8 4 ,1

3,8 3,7

3 , 9 3 , 7

Gemiddeld 3 ,85 3 . i)

ZESDE HOOFDSTUK.

Berekening der ongecorrigeerde breedte.

Uit de formule:

COS. t — tg. cot. o\'

zou volgen, dat de berekening der breedte voor \'tgeval men de
azimuthale fout en collimatiefout buiten beschouwing laat, eenvoudig
hiermee te vinden is. Uit den waargenomen doorgang T kan ik den
uurhoek t afleiden, daar de rechte klimming van iedere ster voor iederen
avond te ontleenen is aan \'t Berliner Jahrbuch. Eveneens is $ bekend.
De correctie der pendule (x) is en de dagelijksche gang wordt geregeld
in Utrecht bepaald.

Men heeft nu

T\' = T X

t = a — T\' (ster Oost) t = T\' — « (^ter West)

tg. = tg. ^ cost.

Berekening van voor \'20 Nov. \'05.

Oc. Zuid.

X = l-" 19«,47 dagelijksche gang = -f 0«,2282

waarbij t = a —T (Oost).

21

n Aurigae.

Wanneer ik op één avond den Oost- en den West-doorgang van
een of meer sterren geobserveerd heb, bepaal ik de azimuthale fout
voorloopig, en breng deze voor alle sterren aan bij den uurhoek. Immers
een azimuthale fout heeft ten gevolge, dat alle sterren een gelijk bedrag
later door den meridiaan gaan.\') Wel is het nu weer noodig de o\'s te
corrigeeren. Noemen we de gecorrigeerde o <1) dan is:

COS. t|> = cos. 9* sec. a of
Daar a klein is, is sec. a= l ia2 derhalve

cos. <!> = cos. 9\' (1 -f i a-)............(1)

Om cl» — d te vinden, stellen we

I \'

(1) = (j)\' (<]) — 9\')
dus cos. <]) = cos. 9\' — (»1) — 9\') sin. ;p

waaruit na substitutie in (I)

(1) — 0 =z — [ a- cot. 9

Daar a en •!) — 9 in radicalen uitgedrukt zijn, wordt de formule:

— 0\' = — A a- cot. 0 sin. 1"
= — (4.27(31 —10) a^

22

waarin wat tusschen de haakjes staat logarithmisch is. Hoe klein deze
correctie is, toont \'tvolgende lijstje aan:

a <I) — (p\'
5 sec. o", 01
10 » 0,0i
15 » O , 10 enz.

Voor de latere berekening geeft deze wijze van doen veel vereen-
voudiging, maar ook voor de berekening van o\', daar nu o\' niet al
te zeer van © afwijkt. Ik heb een hulptafel gemaakt van secunde tot
secunde tusschen 52° 4\' 40" tot 52° 5\' 35" met behulp van een loga-
rithmentafel met 10 decimalen: hiermee bepaal ik gemakkelijk ö tot
secunden en verder met »Crelle\'s Rechentafeln" de honderdste secunden.

ZEVENDE HOOFDSTUK.

Bepaling van 9 uit

Na de berekening van 9\' blijft nu nog over, om hierin de azimuthale
fout a en de collimatiefout c in rekening te brengen met behulp der
formule:

o\' = <ji i ± a tg. z ± c sec. z

Hierin geldt voor Oc. N. \'t positieve teeken wat de collimatiefout
betreft en eveneens voor Ster Oost, wat de azimuthale fout aangaat.
Laat ik de helling buiten beschouwing, dan schrijf ik liever:

Oc. Z. Ster Oost (f « tg. z =r c sec. z
Oc. N. Ster Oost -f tg. z = -j\' — c sec. z
Oc. Z. Ster West 9 — a tg. z = f -f c sec. z
Oc. N. Ster West 9 — a tg. z = 9\' — c sec. z.

Voor eiken avond heb ik niet afzonderlijk tg. z en secz te berekenen
(laar vier decimalen voldoende zijn, en z alleen in de secunden en niet
in de minuten verandert. Ik kan dus volstaan, met één hulptafel voor
tg. z en sec. z.

Iedere waarneming geeft volgens \'t bovenstaande één vergelijking
van den vorm:

9\' = 9 1 i ± A a ± C c.

waarin a, c en 9 de onbekenden zijn.

Op één avond vind ik dus een stel vergelijkingen, waarvan \'taantal
grooter is dan \'t getal onbekenden. De oplossing geschiedt dan volgens
de methode der kleinste quadraten. \'tGewicht wordt aangegeven, zoo
noodig door \'t aantal draden, waarop de ster is waargenomen. Om

94

\'t overzicht te vergemakkelijken rangschik ik naar de zenithsafstanden.
Ik los eerst voor twee standen Oc. N. en Oc. Z. a en a\' op en na
eliminatie van die a en a\' vind ik c. De coefficient van o is steeds één,
dit vergemakkelijkt het om de normaal vergelijkingen te vinden bij de
eliminatie van Alleen als men de gewichten in aanmerking neemt,
verandert deze coefficient. De coefficient van a is een decimaalgetal
van vier cijfers. Ik heb nu deze vereenvoudiging aangebracht; ik ver-
menigvuldig niet met dezen coefficient om de normaalvergelijking te
vinden als ik a elimineeren wil, maar met een getal, dat twintigmaal
grooter is, en dat ik tevens afrond, b.v. tg. z is voor o Persei 0,2358, dan
vermenigvuldig ik- met 5. Voor één datum (21 Nov. \'95) laat ik hier
een voorbeeld in zijn geheel volgen.

Oc. Noord, gerangschikt naar
gelaten 52° 4\'40".

25

Nemen we de gewichten in aanmerking:

50 ? — 23,3730 a = 471,01 — 55,821 c

1,0500 a
1,9390 a
1,4060 a
2,2974 a
0,7678 a
2,2765 a
3,4825 a
3,8696 a
3,6840 a
4,0480 a
4,8111 a

— 7,189 c

— 7,200 c

— 4,240 c

— 0,426 c

— 2,142 c

— 5,495 c

— 7,819 c

— 8,001c

— 7.038 c

— 8,400 c

— \'8,491 c

— 72,507 c

AVe vinden uit de som West en Oost derhalve deze ééne vergelijking:

50 <p — 23,3730 a = 471,01 — 55,821c
65^^ 30,8325 a = 211,20 — 72,507 c

115?) 7,4589 a =(>82,27 — 128,328 c
0,00180 a = 5,9343 — 1,11590 c

Om nu de vergelijking te vinden, met een grooten coëfficiënt van a,
ga ik op de boven aangegeven wijze t(5 werk:

132

Uit (leze twee vergelijkingen ontleen ik er nu weer één:

— 47-1 ^ 255,8040 a — 4700,40 540,704 o
022 O 324,-1-171 a = 1030,48 — 705,051 c

151 9 570,9211a = — 3075,02 — -105,247 c
^ _ 3,84054 a = 20,3075 — 1,09435 c

Elimineeren we uit beide gevonden vergelijkingen achtereenvol-
gens 9 en a

O \'0,00486 a= 5,9343 —1,11590 c
^ — 3,84054 a = — 20,3075 —1,09435 c

3,77568 a = — 20,3018 0,02155 c
a — — 6,90612 0,00571 c
— 0,06486 a 0,45182 — 0,00037 c

^ 6,3861 —1,11027 c"
Hierbij de weggelatene 52° 4\' 40"

_i ^ r),52_

0= 52° 4\' 51", 906 — 1,1163 c

27

Eveneens vind ik voor 20 Nov. een dergelijke vergelijking, waaruit
c en vervolgens 9 gevonden wordt.

Oc. Z. 20 Nov. O = 52° 5\' 20", 972 1,0980 c
Oc. N. 21 Nov. O = 52° 4\' 51", 900 —1,1103 c

O = 35,000 2,2149 c
c = —15,8319
9 = 52° 5\' 9", 579.

Er blijft over de bepaling van a

20 Nov. a = 0,2055 0,0027 c = O", 1028

21 Nov. a = —0,9001 —0,0057 c = — 7", 0505

Voor 21 Nov. is bij de doorgangen 3P bijgevoegd, correspondeerende
met A a = — 41", 42. Het wezenlijke azimuth is dus 34", 30.

Voor iedere Ster berekende ik afzonderlijk om de proef op de
waarnemingen te maken.

21 Nov. Oc. N. ® Persei W.

O =52°4\'47", 95
A ii — — 1 ,00
C c = 10 ,20
5,52

9 = 52° 5\' 8", 07
Eveneens voor de andere Sterren:

28

21 Nov. 1895. Oc. N.

Nu is, als m de middelbare fout van één bepaling met 7 draden is,

p —q

waarin p \'t aantal waarnemingen hier 12 19 = 31

en q \'t aantal geëlimineerde grootheden hier 4 zijnde a, a\' en c,
waaruit

m = ± 1", CG.

Verder leidde ik hieruit af, de middelbare fout der einduitkomst
(j.,\' aldus:

1 0,231

_0/t00
y 0,G32 =:2pi,

en dus /x = ± O", 32.

ACHTSTE HOOFDSTUK.
Overzicht der waarnemingen.

De ontwikkelde methode geeft aan, welke breedtebepaling iedere
doorgang geeft. Week deze al te sterk af, dan werd die avond her-
berekend zonder deze. Op 21 Nov. b.v. heb ik om deze reden uitgesloten:
74 Cygni W. gevende o = 52°5\' 19", 29 met een gewicht 3.

Zoo heb ik zelfs voor 20 Oct., een der eerste waarnemingsavonden,
een herhaalde herberekening toegepast. Om de berekening te vereen-
voudigen heb ik de gewichten gelijk gemaakt. Soms ook heb ik een
enkele ster, die aan minder dan zeven draden was waargenomen, vóór de
berekening verwaarloosd. Ik kan er bijna altijd van op aan, dat de
oorzaak hiervan is de minder goede luchtgesteldheid. Een enkele blik
op de gevonden vergelijkingen is meestal ook voldoende, om een slechte
vergelijking te onderscheiden van de goede. Op 11 Nov. heb ik om
deze reden er twee van de tien weggelaten.

Op den iO\'®" Nov. heb ik te weinig waarnemingen om een ip te be-
rekenen. Daar de berekening van 9 uit den eersten waarnemingsavond
24 Oct. geen voldoend resultaat geeft, en \'t aantal waarnemingen te
klein is, om een herberekening toe te laten, heb ik dezen avond in
\'t eindresultaat niet meegenomen. Wordt op een avond na de tweede
of derde waarneming \'t azimuth veranderd, dan geven deze doorgangen
een vergelijking met een andere die men later oplost.

Er blijven dan over

— 21", 04

— 12,08
— 10,01

— 15 ,71

— 15 ,8:{

30

De collimatiefout is niet dezelfde gebleven. Noemen we m de middel-
bare fout van één bepaling met 7 draden dan is

p —q

waarin p = 93 \'t aantal waarnemingen en q = 20, daar ik vijfmaal vier
grootheden geëlimineerd heb.
Ik vind:

m = ± 1",96.

Bereken ik verder op dezelfde wijze als hierboven de middelbare
fout der einduitkomst /x met behulp van deze rn, dan vind ik voor deze
tien avonden

± O", 25.

Neem ik evenwel de m op dien avond gevonden, dan vind ik

fx = ± O", 24.
Mijn eindresultaat uit 93 waarnemingen is derhalve

52° 5\' 10", 41

met een middelbare fout

± O", 25.

NEGENDE HOOFDSTUK.
De dissertatie van Prof. OUDEMANS.

In de boven reeds aangehaalde dissertatie van Prof. Oudemans,
(quartoformaat) wordt \'t resultaat van 1405 waarnemingen neergelegd.
Deze zijn gedaan van af Mei ISiS tot Sept. 1849. De dissertatie zelf
verscheen in October 1852. Ze vervalt in twee deelen:

V

I. Narrationes et disquisitiones (p 1 — 90).

II. Tabulae (p.1—144)*.

In tabel XI wordt als einduitkomst gegeven:

O = 52° 9\'27", 39.

De plaats van waarneming was de oude sterrewacht boven \'t academie-
gebouw te Leiden. Een vaste opstelling, zooals ik die gehad hoJ), ontbrak
dus geheel. Bovendien werd op iederen avond in \'t begin en aan \'t
einde der andere waarnemingen een tijdsbepaling genomen. Behalve de
breedte der sterrewacht bepaalde de S. de declinatie van 101 sterren.
Het resultaat hiervan wordt meegedeeld in de laatste tabel XII.
Dr. Hekman S. Da vis publiceerde deze op nieuw in de Astr. Nachr.
Bd. 138 11°. 33 II Sept. \'95.

. Over de dissertatie zelf is het mijne bedoeling niet, uitvoeriger te
spreken. Ik wil er alleen nog aan ontleenen eenige middelbare fouten
en die met de mijne vergelijken.

Prof. OuDEMANS heeft drie maal den afstand der draden bepaald en
vindt hiervoor als middelbare fout van iedere waarde van den afstand
van twee draden:

m=0\'\', 174 (1)1. 11)

m = 0,0858 ( » 12)
m = 0,0727 ( )) 13)

3\'2

Bij mij zijn de aan den voet van blz. 11 gevondene getallen middens
van gemiddeld 124 bepalingen, voor een dergelijk midden zou dus uit
deze getallen volgen

y 124

= O , 008

V 124

1/ 124

ik vind . . O , 015.

Op bl. 5 staat, dat de waarschijnlijke fout voor sterren met een
middelbare declinatie 39° 37\' en die dus ongeveer 30° van \'t zenith af
zijn bij den doorgang in den eersten verticaal is O\'\', 107, afgeleid uit
103 doorgangen bij 053 draden. Voor sterren evenwel met grootere
declinatie, tot 49°, wordt uit 171 sterren en 929 draden gevonden
0^,173, sterren met grootere declinatie worden weggelaten.

Ik vind als middelbare fout begaan bij de waarneming van één
doorgang door één draad in aequatoriaaltijdsecunden:

m = 0^ 14.

In \'teindresultaat van de uitkomst voor o vind ik:

m2z=l",99. .

Op bl. 80 bevindt zich dezelfde waarde voor sterren met een declinatie
tusschen 48° en 52° 9\'

m2 = 1", 23

en voor sterren met een declinatie tusschen 30° en 52°!)\'

m22", 20.

Ten slotte neem ik nog over een overzicht voorkomende op bl. 83:

breedte. aantjil av. waarn. verscli. einduilk.

TIENDE HOOFDSTUK.
Vergelijking met de uitkomst van anderen

De breedte van Utrecht is nu, voor zoover ik weet, viermaal bepaald.
In 1857/58 leidde Sciiroedrr van der Kolk, toen nog Phil. Cand.,!^)
uit zijn waarnemingen in den eersten verticaal af:

9 = 52° 5\' 10", 53
met een waarschijnlijke fout

w = ± O", 14.

In 1881 vond de toenmalige L^ ter Zee Blauw lo) uit waarnemingen
in den meridiaan met behulp van \'t universaalinstrument

O = 52° 5\' 9", 01
met een waarschijnlijke fout

w = ± 0,2.

Door welwillendheid van Prof. Ouhemans ben ik in staat een nog
niet gepubliceerd resultaat mee te deelen, volgende uit de waarnemingen
van den Ingenieur bij de Rijkscommissie van Graadmeting R. Posthumus
Meijjes, op den Domtoren gedaan voor de Graadmeting in Nederland:

9 = 52° 5\' 9" 93.

Ik heb dus \'t volgende overzicht:

Breedte. Verschil met gemiddelde.

Sehr. V. d. K. 52° 5\'10", 53 O", 40

1^1. 9 ,01 O , 49

P.M. 9,93 0,20

B. 10,41 0.28

Gemiddelde 10 , 13

34

De breedte van Leiden is zeer nauwkeurig door de observatoren,
Kam en van Hennekeler (1862—68) bepaald, n)

9 52° 9\' 19", 96

met een waarschijnlijke fout

w = ± O", 007.

De meridiaancirkel, waarin deze waarnemingen geschied zijn, ligt
7", 47 zuid en 6", 84 west van de oude Sterrewacht te Lei\'den.
Ik gaf hierboven al \'t resultaat op van Prof. Oudemans, zijnde:

^ = 52° 9\' 27", 40.

De overeenkomst is dus schitterend 12),

. «tfi..» AtÉtt^^.^r:

Aanteekeningen.

1. bl. i regel 1 v. b.

Dissertatio astronomica inauguralis exliibens observationes ope in-
striimenti transitorii portabilis institutas., Liigd. Batav. 1852.

2. bl. 2 regel 1 v. b.

Zie voor de beschrijving, behalve de genoemde dissertatie, F. Kaiser.
Het observatorium te Leiden 1838, 3\'\'® Hoofdstuk.

3. bl. 2 regel 7 v. b.

Zooals later blijken zal, vind ik als waarde links 17«, 225,
rechts 10% 182.

4. bl. 4 regel 10 v. b.

Men vindt dit in Chauvenet, Spherical and practical astronomy,
Vol 11 pag. 240.

5. bl. 10 regel 9 v. o.

Als quadratentafel is bijzonder voor dit geval aan te bevelen: Joh.
Heinr. Traugott Miiller, 4-stellige Logarithmen enz., 7° dmk. Bij
den herdruk is deze tafel niet overgenomen. Op 2 bladzijden staan in
drie cijfers de quadraten van 0.001—O,{)!)9.

(•). bl. \'19 regel 10 v. o.

Prof. OuoEMANS was naar aanleiding van dit resultaat zoo vriendelijk
mij \'t volgende te schrijven:

»Ik vind in mijn journaal, dat in Nov. 1885 de volgende waarden
gevonden zijn voor een deeltje van het niveau van Ertel. Tusschen-
schot links

lengte iler bel. 1° deel links. deel midden. deel rechts.

3",415 2", 99 3", 40

27 3,05 3,12 3,09

j

Wellicht zouden bij een lengte der bel = 28 alle drie de getallen
gelijk geweest zijn. Deze bepaling geschiedde meteen niveau-onderzoeker
van hilherrannt en Sciiramnf."

36

7. bl. 21 regel 17 v. b.

Bebalve langs den analytischen weg kan men dit, zooals Prof.
Oudemans gewoonlijk op college deed, door een figuur duidelijk maken.

In den rechthoekigen boldriehoek, met pool en zenith van den hemel
en \'t zenith van \'t instrument is

^ COS. (90 — a) =3 cos. (90 — sin. t

of a — t. sin. 3

daar t en a kleine grootheden zijn.

8. bl. 23 regel 4 v. b.

Deze formule wordt ook gewoonlijk in de handboeken analytisch
afgeleid. Ook uit een figuur is ze te vinden.

bl. 33 regel 2 v. b.

9. Verslagen K. A. v. W. 1859 deel 9 bl. 199.

bl. 33 regel 7 v. b.

10. Astron. Nachr. 101 s. 171.

bl. 34 regel 2 v. b.

11. Annalen- der Sternwarte zu Leiden, I\'d. 2 s. 110—118.

bl. 34 regel 1 v. 0.

12. Kaiser bepaalde in 1838 uit doorgangen in den eersten verticaal
de breedte op

0, r= 52° 9\' 28", 16
met een waarschijnlijke fout ± O", 15.
(Astr. Nachr. ]?d. 17 s. 100; 18 s. 3.)

Tabellen I en II.

TA^Ï^L I

voor de verklariö\'^e pag. (3 en 4).

Tijd van doorgang door den eersten verticaal sterren en de daarbij behoorende zenithsafstand,

naar de ure^ ^^i\'angscliikt.

Afgeleid uit Berliner Jahrbuch (Mittele Ort. ISÖ"\' \'"«scheu de grenzen 39°—52° Toor de declinatie.

DOORCxANG.

ZENITHSAFSTAND.