-J7 Jknt /jyo-.
/

Oïer eenige aantallen yan kegelsneden,
- die aan acht Yoorwaarden voldoen. -

A. A, Dalhuisen.

\'W-

-"-s.

.sCv

4r

Over eenige aantallen van kegelsneden,
- die aan acht voorwaarden voldoen. -

F

Over eenige aantallen van kegelsneden
die aan acht voorwaarden voldoen

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD

VAN

Doctor in de Wis- en Natuurkunde

aan de Rijks-Universiteit te Utrecht
na machtiging van den rector magnificus

Dr. J. M. S. BALJON

HOOÖLEEIIAAU IN DE FACULTBIX DKR GODGELEERDHEID

volgens besluit van den senaat der universiteit

TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE

Faculteit der Wis- en Natuurkunde

TE VERDEDIGEN

Op Maandag 17 April 1905 des namiddags ten 4 ure

ALEIDA ALBERDINA DALHÜISEN

geboren te Kampen

Stoomdrukkerij „de Industrie" J. Van Druten - Utrecht

1905

RIJKSUNIVERSITEIT UTRECHT

1291 5025

-V-

^ i\' \' «

JT\'fttlih - r

^

\' " A

i V

AAN MIJNEN VADER

EN

DE NAGEDACHTENIS MIJNER MOEDER

Gaarne maak ik van de mij hier aangeboden gelegenheid
gebruik, om mijn hartelijken dank te betuigen aan de Hoog-
leeraren in de Faculteit der Wis- en Natuurkunde voor hunne
welwillende leiding bij mijne studiën, zoowel in als buiten de
collegezaal. Dat een groot deel van dien welgemeenden dank
U toekomt, Hooggeleerde J. de Vries, Hooggeachte Promotor,
behoef ik U nauwelijks te verzekeren; Uwe belangstelling in
mijn werk zal ik steeds dankbaar gedenken.

INHOUD.

Bladz.

Inleiding.................1

HOOFDSTUK I.
Bepaling der aantallen P^ P /y™ T p\' . . 4

HOOFDSTUK II.

Bepaling der aantallen kegelsneden, die aan acht voor-
waarden voldoen.............19

HOOFDSTUK III.

Bepaling der aantallen ontaarde kegelsneden, die aan
zeven voorwaarden voldoen..........38

HOOFDSTUK IV.

Over stelsels van OO^ kegelsneden en daardoor gevormde
oppervlakken.....^..........54

Overzicht der uitkomsten...........77

Stellingen................79

r ■ -

y

m-

INLEIDING.

§ 1.

In zijn ,,Kalkül der abzählenden Geometrie" geeft Dr. H.
Schubert in Hoofdstuk IV, § 20, eenige tabellen, die een over-
zicht geven van aantallen kegelsneden, welke aan acht gegeven
voorwaarden voldoen. Deze tabellen zijn afgeleid uit twee
andere, welke aantallen ontaarde kegelsneden aanwijzen, die
aan zeven voorwaarden voldoen. Die afleiding geschiedt met
behulp van twee eenvoudige formules, die betrekkingen aan-
geven, welke bij stelsels kegelsneden tusschen de grootheden
5 en vj bestaan. Hierin stelt voor:

(M het aantal kegelsneden, waarvan het vlak door een ge-
geven punt gaat.

V het aantal kegelsneden, die eene gegeven rechte snijden.

p het aantal kegelsneden, die een gegeven vlak aanraken.

^ eene ontaarding van den tweeden graad.

\'/I eene ontaarding der tweede klasse.

Door Dr. Schubert zijn echter slechts enkele voorbeelden
gegeven van de bepaling der uitkomsten, die in de tabellen
der ontaardingen neergelegd zijn, en uit deze tabellen zijn
alleen door berekening, met behulp van bovengenoemde for-
mules, de aantallen kegelsneden afgeleid, die aan acht voor-
waarden voldoen.

Daarom heb ik mij in dit proefschrift ten doel gesteld, eenige
aantallen kegelsneden, die aan acht gegeven voorwaarden
voldoen, te bepalen enkel met behulp van het beginsel van
het behoud van het aantal en tevens de geheele afleiding
van de tabellen voor de ontaarde kegelsneden hierin te geven.

2

Hierbij heb ik gebruik gemaakt van eenige, in die richting
verkregen resultaten, die door Prof. Dr. J. de Vries reeds zijn
neergelegd in eene mededeeling: „Over het aantal kegelsneden,
die acht gegeven rechten snijden" (Verslagen Kon. Academie
van Wetenschappen te Amsterdam, X, 1901, bl. 192) en op
deze uitkomsten heb ik verder voortgebouwd.

Tevens heb ik een onderzoek ingesteld naar de oppervlakken,
die ontstaan uit stelsels van OO^ vele kegelsneden, die aan
zeven voorwaarden voldoen.

§ 2.

Als men de aantallen kegelsneden zoekt, die voldoen aan
de voorwaarden /y.™ waarin m.-f n r = 8, krijgt men

voor de mogelijke waarden van m, n en r de volgende tabel:

Hierin stelt voor:

{z het aantal kegelsneden, waarvan het vlak door een be-
paald punt gaat.

V het aantal kegelsneden, die eene gegeven rechte snijden.

p het aantal kegelsneden, die een gegeven vlak aanraken.

Deze tabel zal im berekend worden volgens het beginsel
van het behoud van het aantal. Dit beginsel luidt aldus:

Het aantal figuren, dat aan bepaalde voorwaarden voldoet,
verandert niet of wordt oneindig groot, als men de voor-
waarden continu wijzigt.

Als men met behulp van dit beginsel de tabel zoekt, moet

3

men uitkomsten gebruilven, verkregen in twee andere tabellen,
die hier volgen:

Hierin stelt voor:

P het aantal kegelsneden, die door een gegeven punt gaan.
2\' het aantal kegelsneden, die eene gegeven rechte aanraken.
/•>!, y en p hebben dezelfde beteekenis als in de eerstge-
noemde tabel.

Wij gaan nu eerst de laatstgenoemde tabellen zoeken.

HOOFDSTUK I.

Bepaling der aantallen
P^y" p\\ P/y™ T/x"^

P^ De voorwaarde P^ geeft aan, dat de kegelsneden door twee

gegeven punten Pi en Pg moeten gaan. Verder moeten ze
vier gegeven stralen vi, ys, V4 snijden.

Legt men drie van deze stralen, b.v. yi, >2, vs in een vlak (p,
dan ligt in een willekeurig vlak door Pi Pg geene kegelsnede,
die aan de vraag voldoet, omdat ze den doorgang van vi, yg,
yg, y^ met Pi en Pa moet verbinden. Dit is alleen mogelijk,
wanneer de vier doorgangen collineair zijn of als twee dier
doorgangen samenvallen.

Het eerste gebeurt, als men een vlak legt door Pi P2 en
den doorgang van y^ op In dit vlak voldoet dan het
samenstel der rechte Pi P2 met de rechte, die haar door-
gang op (p met den doorgang van yi verbindt.

Het tweede gebeurt, als men een vlak legt door Pi Pg en
een der drie snijpunten van yi, y2, ys- In elk dezer vlakken
ligt eene eigenlijke kegelsnede, die voldoet en op deze wijze
vindt men dus nog drie oplossingen.

In het geheel voldoen dus vier antwoorden aan de vraag.
Volgens het genoemde beginsel van het behoud van het
aantal is dus

P^ y^ ^ 4.

P^ y^ p- De kegelsneden moeten weer door twee gegeven punten
Pl en P2 gaan, verder drie stralen yi, y2, ys snijden en een
vlak p aanraken.

Legt men vi, vg, vs in een vlak CD, dan kan men het vlak
aanbrengen door Pi, P2 en een der drie snijpunten van
>2, >3. In dit vlak zoekt men het snypunt met de over-
blijvende V en de snijlijn met p. Men vindt dan hierin hvee
kegelsneden door vier punten, die eene rechte aanraken. Men
vindt drie zulke vlakken, dus 3X2 = 6 oplossingen.

Hier is geene ontaarding van den tweeden graad mogelijk,
omdat dan uit een punt van p eene rechte getrokken zou
moeten worden naar Pi of P2, die tevens op eene der rechten
y moest rusten. Dus heeft men:

P2 ySp = 6.

P2 . 2 2

~JL.P_i De kegelsneden gaan weer door de punten Pi en P2, snijden
twee gegeven stralen en en raken twee vlakken pi en p2 aan.

Laat men de rechte Pi P2 snijden door vi, dan voldoen
alleen kegelsneden in het vlak, gebracht door Pi P2 en vi.

Zooals later bepaald wordt, is de waarde van y® p
er liggen dus in genoemd vlak vier kegelsneden door drie
punten, die twee rechten aanraken en ieder is dubbel te tellen,
omdat zij vi tweemaal snijdt. Dit geeft dus acht eigenlijke
kegelsneden, die voldoen.

Hier voldoen geene ontaardingen aan de vraag, omdat Pi P2
niet gesneden wordt door >2 en door de snijlijn l van pi en P2,
en er uit een punt van l geene rechte door Pi of Pa mogelijk
is,- die tevens op va rust.

Dus dan vindt men ook in het algemeen:

P2 ^ g_

vier

. 3 T^

-JLtl. De kegelsneden moeten door Pi en P2 gaan, eene gegeven
rechte y snijden en drie gegeven vlakken pi, ^2, ps aanraken.

Men laat hier weer Pi P2 door y snijden, dan voldoen alleen
kegelsneden in het vlak door Pi P2 en y gebracht. Zooals
later bepaald wordt, is de waarde van /x® y® p^ vier; er liggen
dus in genoemd vlak vier kegelsneden door twee punten,
welke drie rechten aanraken. Iedere kegelsnede is dubbel
in rekening te brengen, omdat zij yi tweemaal snijdt. Zoo
vindt men dus acht oplossingen.

G

Hier voldoen geene ontaardingen, omdat het snijpunt der
drie vlakken p niet op de rechte Pi P2 ligt en men uit dit
snypunt ook geene rechte naar Pi of P2 kan trekken, die
tevens op y rust. Dus is

= 8.

De kegelsneden gaan door Pi en P2 en moeten vier vlakken
pl, p2, p3, Pi aanraken.

Men legt hier drie vlakken, pi, p2, p-s, door eene rechte l,
dan zal geene eigenlijke kegelsnede aan de vraag kunnen
voldoen, hnmers deze zou door Pi en P2 moeten gaan en l
aanraken, wat in het algemeen onmogelijk is, omdat l en
Pl P2 niet in één vlak liggen.

Eenig vlak door Pi P2 gebracht, geeft in de snijlijnen met
pi, p2, pa drie raaklijnen, die door één punt gaan. De kegel-
snede moet dus ontaarden en daar ook p^ moet aangeraakt
worden, is de eenig mogelijke oplossing eene ontaarding van
den tweeden graad in het vlak door Pi P2 en het snijpunt
van Pi met l. Deze zal achtmaal in rekening gebracht moeten
worden. Immers de rechte Hs als snijlijn van ifM^ee der vlakken
pi, p2, ps bepaald, dus moeten ook slechts twee dezer vlakken
voor de ontaarding dubbel in rekening gebracht worden.
Ook pi gaat door het dubbelpunt, zoodat deze ontaarding
achtmaal te tellen is.

Er voldoen hier geene ontaardingen der tweede klasse,
omdat Pl P2 de rechte l niet snijdt.

In het geheel zijn er dus acht oplossingen, zoodat men heeft:

P2 / = 8.

P fj. Hier moet het vlak der kegelsneden door een gegeven punt
jx gaan, terwyl de kegelsneden zelf door een gegeven punt P
moeten gaan en vijf stralen yi, y2, ys, Vi, ys moeten snijden.

Legt men drie van de vijf stralen in een vlak <p, dan kan
men een vlak aanbrengen door P, door jj. en door een der
snijpunten van yi, y2, yg. In dit vlak bepaalt men de snijpunten

niet de overige drie rechten en vindt dan door vijf punten
ééne Ivegelsnede, die voldoet. Zoo zijn er in het geheel drie.

Verder kan men de transversaal t leggen uit F opy4env5;
vervolgens brengt men een vlak door [z en t, dan snijdt dit
vlak het vlak Ó volgens eene rechte, die met t eene ontaarding
van den tweeden graad vormt, welke voldoet.

Legt men eindelijk het vlak door /x, door F en door het
snijpunt Q4 van met Cp, dan kan men de snijlijn bepalen
van dit vlak {[j, P Q4) met het vlak cp. Zij deze snijlijn de
lijn t\', dan legt men uit F eene transversaal op t\' en op vs
en deze vormt rnet t\' eene ontaarding van den tweeden graad,
die voldoet. Zoo vindt men ook eene ontaarding in het vlak
door P, [j. en Q5, welk laatste punt de doorgang van ys op (p is.

In het geheel zijn er dus zes oplossingen, waaruit volgt

Hier moeten de kegelsneden door een gegeven punt P gaan,
vier stralen >1, va, >4 snijden en een vlak p aanraken, terwijl
haar vlak door een punt gaat.

Legt men weer yi, vb, vs in een vlak cp, dan voldoet elke
kegelsnede tn het vlak, gebracht door P, /x en een der snij-
punten van yi, y2, >3, welke de overige stralen snijdt en het
vlak p aanraakt. Men vindt twee kegelsneden in genoemd
vlak, die door vier gegeven punten gaan en den doorgang
van p met dit vlak aanraken. Daar vi, y2, ya drie snijpunten
hebben, vindt men op deze wijze 3X2 = 6 oplossingen.

Legt men een transversaal t uit P op y4 en den doorgang l
van p met (p, dan kan men een vlak brengen door /x en f.
Dit vlak snijdt cp in eene rechte t\', die met t een lijnenpaar
vormt, dat men dubbel moet tellen, omdat p door haar dubbel-
punt gaat.

Brengt men eindelijk het vlak door P, fj. en den doorgang Q4
van y4 met cp, dan snijdt dit vlak het vlak in eene rechte
Men verbindt P met het snijpunt van t" en p door eene
rechte t\'", dan vormt t\'" met t" een lijnenpaar, dat eveneens
dubbel is te tellen.

8

In het geheel zijn er dus 6 2 2 = 10 oplossingen, zoodat
men heeft

P [j. p = 10.

P [j. V® p^^ De kegelsneden moeten door P gaan, drie rechten >1, ^2, >3
snijden en twee vlakken pi en p2 aanraken, terwijl haar vlak
door een gegeven punt /x gaat.

Legt men vi, uz, vs in een vlak (p, dan kan men een vlak %
aanbrengen door P, fy. en een der snijpunten van vi, yo, >3.
In dit vlak x liggen dan vier kegelsneden, welke door P, het
genoemde snijpunt en den doorgang der overblijvende rechte
gaan, terwijl zij de doorgangen van en p^ rnet % aanraken.
Daar er drie snijpunten van vi, va, vs zijn, vindt men op deze
wijze 3 X 4 = 12 oplossingen.

Legt men het vlak door P, door het snijpunt van (p met
de doorsnede l van pi en p^ en door het punt [x, dan snijdt
dit vlak het vlak ó in eene rechte t. Verbindt men dan P
met het snijpunt van t en l door eene rechte t\', dan vormt t\'
met t een lijnenpaar, dat voldoet en viermaal is te tellen,
omdat pi en p^ door haar dubbelpunt gaan.

Eene ontaarding der tweede klasse is hier niet mogelijk,
omdat uit P geene rechte kan rusten op vi, va, vs-

Dus in het geheel zijn er 12 -t- 4 = 16 oplossingen,
zoodat men vindt:

P fy^y^p^. De kegelsneden moeten door P gaan, twee stralen yi en >2
snijden en drie vlakken pi, pz, pa aanraken, terwijl haar vlak
door een punt [y., gaat.

Legt men pi, p^, ps door eene rechte l, dan kan men een
transversaal t leggen uit P op vi en l; brengt men een vlak
door /X en t, dan snijdt dit vlak de rechte y^. in een punt Q2;
verbindt men Q2 met het snijpunt van t en l, dan vormt deze
rechte met t eene ontaarding van den tweeden graad, die
voor vier is te tellen. Immers de rechte l is als snijlijn van
twee der drie vlakken p volkomen bepaald en elk vlak door l
is raakvlak aan de kegelsnede. De beide bepalende vlakken 0,

9

die door liet dubbelpunt der ontaarding gaan, maken, dat
deze ontaarding viermaal in rekening gebracht moet worden.

Daar men eene dergelijke oplossing vindt met de transversaal
uit P op V3 en l, zijn dit samen acht oplossingen.

Beschouwt men het regelvlak van den tweeden graad door
>1, V2, l, dan moet men door de rechte P [ji, een raakvlak aan
dit quadratische regelvlak aanbrengen. Dit is op twee manieren
mogelijk, en h is zoodoende op twee manieren bepaald. Men
zoekt nu de beide snijpunten van deze rechten met l, en
verbindt deze met P. Zoo vindt men dus Ucee ontaardingen,
die elk voor vier zijn te tellen; dit geeft weer 8 oplossingen.

In het geheel zijn er dus 16, zoodat

P IJ, u^

Hier gaan de kegelsneden door P, snijden ui en yg en raken
pl, Pi, p3, pi aan, terwijl haar vlak door een punt /y, gaat.

Legt men pi, p^, ps. door eene rechte l, dan brengt men het
vlak door P, /x en het snijpunt S van l met pi. Dit vlak
snijdt y in een punt Q. Verbindt men S met P en met Q,
dan voldoet deze ontaarding van den tweeden graad en is
voor acht te tellen, omdat l door twee der drie vlakken p
bepaald is en pi tevens door het dubbelpunt gaat.

Legt men verder de transversaal uit P op y en l, dan vol-
doet deze ontaarding der tweede klasse, want haar vlak is
bepaald, omdat dit nog door (j. moet gaan. Ze geldt voor
vier oplossingen, omdat ze y dubbel snijdt en dubbel door
P gaat.

In het geheel zijn er dus 12 oplossingen en men heeft dus:
P [j. y p^ = 12.

Hier moeten de kegelsneden door een punt P gaan en vijf
vlakken ^i, p-i, pi, p5 aanraken, terwiji haar vlak door f-^
zal gaan.

Legt men weer pi, p^, pa door eene rechte l, dan voldoet
vooreerst de ontaarding der tweede klasse, gevormd door de
verbindingslijn t van P met het snijpunt S van l en pi. Haar
vlak is bepaald, daar dit door /y. gaat, en de straalpunten

10

liggen in S en in het snijpunt van t met p^. Deze ontaarding is
dubbel te tellen, omdat zij tweemaal door P gaat.

Zoo vindt men er nog eene, als men F met het snijpunt
van l en pa verbindt.

Legt men eindelijk de transversaal uit P op / en op de
snijlijn van p^ en p5, dan vormt deze transversaal ook eene
ontaarding der tweede klasse die dubbel te tellen is en Avaar-
van het vlak bepaald is, omdat het door y. gaat. De straal-
punten liggen op l en op de snijlijn van p^ en pe,.

In het geheel vindt men dus 6 oplossingen, zoodat
P (Z p\'> = 6.

§ 3.

P V®. Het aantal kgelsneden, die door een gegeven punt P gaan
~ en zes stralen ui, >3, >4, va, y& snijden, kan men vinden, door
VI, V2, >3 in een vlak (p te leggen.

Eigenlijke kegelsneden vindt men, als ze door P en een
der snijpunten van vi, V2, va gaan en de overige vier rechten
snijden. Volgens de gevonden waarde voor P® y\'\' is dit aantal
vier voor elk der snypunten van vi, V2, vs; dus in \'t geheel
vindt men zoo hvaalf oplossingen.

Legt rnen de transversaal uit F op 74 en vs, dan snijdt deze
het vlak (p in een punt S; verbindt men S met den door-
gang Qs van ye met (p^ dan vormen deze beide rechten een
lijnenpaar dat voldoet. Men vindt er drie op deze wijze
omdat men V4, vs, va op drie wijzen twee aan één kan com-
bineeren.

Verbindt men de snijpunten Qs en Qa van vs en ve met (p
en legt men de transversaal uit P op V4 en deze verbindings-
lijn, dan vormt deze transversaal met die verbindingslijn een
lijnenpaar. Ook hier vindt men er drie.

In het geheel zijn er dus 12 eigenlijke en 6 ontaarde kegel-
sneden, zoodat

P y« = 18.

P v^ p. De kegelsneden moeten door P gaan, verder vp stralen
vi, V2, VS, V4, ys snijden en een vlak p aanraken.

11

Legt men weer drie stralen yi, >2, >3 in een vlak cp, dan
voldoen vooreerst alle kegelsneden door P en een der snij-
punten van yi, yg, ys, welke op de overige drie rechten rusten
en p aanraken. Volgens de gevonden waarde voor P^ y^ p
is dit voor elk der snijpunten van yi, ya en ya zes, dus voor
alle samen 18.

Legt men de transversaal t uit P op y^ en op de snijlijn
I van p met cp en vervolgens uit het snijpunt van ^ en ^ de
transversaal t\' naar het snijpunt Qs van ys met <p, dan vor-
men t en t\' een lijnenpaar, dat dubbel te tellen is, omdat p
door haar dubbelpunt gaat. Zoo vindt men er nog een, dus
dit geeft samen vier oplossingen.

Verbindt men de snijpunten Q4 en Q5 van y4 en yö, dan
snijdt deze verbindingslijn den doorgang l in een punt S.
S met P verbonden geeft dan de tweede rechte van een
lijnenpaar, dat voldoet en dubbel te tellen is, omdat p door
haar dubbelpunt gaat.

In het geheel vindt men dus 18 -p 4 2 = 24 oplossin-
gen, zoodat

P y^ p = 24.

De kegelsneden moeten door P gaan, vier stralen yi, y2, ys, V4
snijden en twee vlakken pi en p2 aanraken.

Legt men weer yi, yg, ys in een vlak cp, dan voldoen voor-
eerst alle kegelsneden door P en een der snijpunten van
>2, ys, welke de overige twee rechten snijden en pi en p2
aanraken. Volgens de gevonden waarde voor P^ y^ p^ is dit
aantal voor elk der drie snijpunten acht, dus in het geheel
vindt men op deze wijze 24 oplossingen.

Als de doorsnede van pi en p2 het vlak cp in een punt S
snijdt, verbindt men P met S. Deze rechte Avordt tot een
lijnenpaar aangevuld door de verbhidingslijn van S met den
doorgang Q4 van y4 met (p. Deze oplossing geldt voor vier,
omdat en p2 door haar dubbelpunt gaan.

Men vindt dus 24 4 = 28 oplossingen, zoodat

P yi = 28.

12

Hier gaan de kegelsneden door P, snijden drie gegeven
rechten vi, yg, vs en raken aan drie vlakken pi, pz, ps.

Legt men vi, yg, vs weer in een vlak Ó, dan voldoen alle
kegelsneden door P en elk der drie snijpunten van yi, us, us,
welke de overblijvende rechte snijden en pi, ps, pa aanraken.
Volgens de gevonden waarde voor P^ y p^ is dit aantal voor
elk der snijpunten acht, dus in \'t geheel 3 X 8 == 24.

Hier voldoet geene ontaarding van den tweeden graad, omdat
het snijpunt van pi, p2, ps niet in cp ligt en uit een punt geene
rechte kan gaan, die op drie stralen rust. Ook voldoet geene
ontaarding der tweede klasse, want eene rechte kan uit een
punt niet op vier stralen rusten. Dus is

p = 24.

P y^ p\'^. De kegelsneden moeten door P gaan, twee stralen yi en ya
snijden en vier vlakken pi, p2, ps, \'pi aanraken.

Legt men hier drie vlakken pi, p2, ps door eene rechte l,
dan voldoen vooreerst kegelsneden in het vlak door P en l
gebracht. Hierin vindt men behalve P nog de twee snypunten
met yi en yg en behalve l nog den doorgang met p^. Er zijn
vier kegelsneden door drie punten, welke twee rechten raken,
maar elk van deze oplossingen moet dubbel geteld worden,
daar de raaklijn l hier dubbel in rekening moet woorden gebracht.
Daarom vindt men op deze wijze 4X2=8 oplossingen.

Ook voldoet de ontaarding van den tweeden graad, die
gevormd wordt door de rechte, gaande door P en het snij-
punt Q van pi, p2, p3, Pi en de rechte uit Q op yi en ys. Deze
oplossing is voor acht te tellen, want de rechte l is dubbel
te tellen en pi gaat door het dubbelpunt.

In het geheel vindt men dus 8 8 — 16 oplossingen, zoodat
P y^^ = 16.

P y p^. Door P moeten de kegelsneden gaan; verder moeten ze
eene rechte y snijden en vijf vlakken pi, p2, ps, pi, p6 aanraken.

Legt men pi, p2, pa door eene rechte l, dan voldoen hier
alleen kegelsneden in het vlak door P en 1. Hierin zijn vier
kegelsneden door twee punten, die drie rechten raken. Elk

13

moet echter dubbel geteld worden, omdat ook hier de rechte
I weer dubbel te tellen is.

Eene ontaarding is hier niet mogelijk, want pi, p2, ps, pi, fb
gaan niet door één punt en uit P kan geene rechte gaan op
en verder door de twee snijpunten van l met p4 en pa of
naar vi, I en de snijlijn van p^ en pt>. Dus is

V y

Hier moeten de kegelsneden door P gaan en verder zes
gegeven vlakken pi, p2, pa, pi, pó, pis aanraken.

Legt men weer drie vlakken pi, p2, pa door eene rechte I,
dan voldoen alleen kegelsneden in het vlak, gebracht door
P en l. In dit vlak liggen het punt P en behalve l nog de
drie doorgangen van pi, pó, pe. Men vindt dus hierin üvee
kegelsneden, die door een punt gaan en vier rechten aan-
raken, maar ze zijn dubbel te tellen, omdat de rechte l weer
dubbel als raakliin moet worden opgevat. Dit geeft dus
2X2 = 4 oplossingen.

Eene ontaarding voldoet hier niet, omdat p\\, p2, pa, pi, p5, ps
elkaar niet in één punt snijden en er ook geene transversaal
mogelijk is uit P naar l en door het snijpunt van pi, pt, ps of
door \'t snypunt van pi, p2, pa, pi en op de snijlijn van pó en pe.
Dus is

P = 4.

De voorwaarde T geeft aan, dat de kegelsneden eene ge-
geven rechte t moeten aanraken. De kegelsneden moeten
dus liggen in eenig vlak door t. Daar haar vlak eveneens
door een gegeven punt (x gaat, is het vlak dus volkomen
bepaald. Verder moeten de kegelsneden vier gegeven stralen
>2, ya, Vi snijden.

Men legt drie stralen vi, ua zoodanig; dat de snijpunten
Qii Q2, Qs met het vlak cp der kegelsneden in eene rechte n
liggen en zoekt verder het snijpunt Q4 van met cp. Dan vol-
doet als eenige oplossing de rechte n met de verbindingslijn

14

van Q4 met het snijpunt van n en t. Deze ontaarding van
den tweeden graad is dubbel te tellen, daar t door het dub-
belpunt gaat. Zij is ondubbelzinnig bepaald en eene eigenlijke
kegelsnede voldoet niet, omdat drie punten in eene rechte
liggen. Dus is

T [j. = 2.

T fj. p. Het vlak (p der kegelsneden is weer bekend door de rechte t
en het punt [j.. Verder moeten de kegelsneden drie gegeven
rechten vi, vs, vs snyden en een vlak p aanraken.

Men legt t door het snijpunt Q van y met het vlak Cp en
tevens daardoor de snijlijn l van p met (p. Verder zoekt men
de snijpunten Q2 en Qs van y2 en ys met cp. Nu voldoet
alleen de ontaarding van den tweeden graad, gevormd door
de rechten Qi Q2 en Qi Qs. Deze geldt echter voor vier,
daar er twee raaklijnen door haar dubbelpunt gaan. Zij is
ondubbelzinnig bepaald en er voldoet hier geen eigenlijke
kegelsnede, omdat er twee raaklijnen door een punt der kegel-
snede gaan.

Men vindt dus:

T ,66 y V == 4.

Tfy.y^p^. De rechte t en het punt (j, bepalen weer het vlak (p der
kegelsneden. Bovendien moeten de kegelsneden twee gegeven
stralen yi en U2 snijden en twee gegeven vlakken, pt en p2,
aanraken. Men legt hier de snijlijnen h en h van pi en p2
met (p door het snijpunt Qi van yi met cp. Verder zoekt men
het snijpunt Q2 van y2 met (p. Dan voldoet hier alleen de
ontaarding der tweede klasse Qi Q2, die voor vier oplossingen
geldt, daar yi en ya dubbel worden gesneden. Deze ontaarding
is ondubbelzinnig bepaald en daar er ook hier geene eigenlijke
kegelsnede voldoet, heeft men

T fy. y^ p^ = 4.

Tfy.yp^. De voorwaarden T, y. bepalen weer het vlak (p der kegel-
sneden, en deze moeten dan eene gegeven rechte y snijden en
drie gegeven vlakken pi, p2, fs aanraken.

Men legt pi en p2 zóó, dat hare snijlijnen h en I2 met het

15

vlak Q door het snijpunt Q van y met <p gaan. Verder zoekt
men de snijlijn k van pa met Ó. Hier voldoet alleen de ont-
aarding der tweede klasse, gevormd door de verbindingslijn
van Q met het snijpunt van I3 en t. Deze is dubbel te tellen,
daar zij y dubbel snijdt, en daar zij ondubbelzinnig bepaald
is en er hier geene eigenUjke kegelsnede voldoet, is

T IJ. y =

JtJ^- Weer is het vlak cp bekend en de kegelsneden moeten vier
gegeven vlakken pi, p2, ps, pi aanraken.

Men legt ,01, p2, ps zoo, dat hun snijpunt in cp valt; dan zoekt
men den doorgang k van p^ met cp. De eenige oplossing is
de ontaarding der tweede klasse, gevormd door de rechte, die
het snijpunt van pi, p2, ps verbindt met het snijpunt van Z4 en
de gegeven raaklijn t. Deze oplossing is ondubbelzinnig bepaald.

Er voldoet hier geene eigenlijke kegelsnede, daar drie raak-
lijnen door een punt gaan. Men vindt dus

^ = 1.

§ 5.

Hier moeten de kegelsneden een gegeven rechte t aanraken
en vijf stralen yi, y2, ys, vs snijden.

Laat men t snijden door yi en y2, dan voldoen vooreerst
kegelsneden in het vlak gebracht door t en yj en in dat door
^ en y2. In elk vlak vindt men ééne kegelsnede door vier
punten, die t aanraakt, omdat een dezer punten op t ligt en
dus het raakpunt is. Deze ééne oplossing zal echter dubbel
gerekend moeten worden, omdat zy als twee samengevallen
kegelsneden beschouwd moet worden. Als n.1 de vier punten
buiten t liggen, voldoen twee kegelsneden; laat men een dezer
punten tot t naderen, dan verschillen deze twee kegelsneden
steeds minder en valt het punt op t, dan zijn ze samengevallen.
Daar tevens vi of y2 dubbel ge.sneden wordt, geeft dit voor
beide vlakken samen 8 oplossingen, die voldoen.

Legt men eene transversaal op t, ys, y4, ys, dan vormt deze
transversaal met t eene ontaarding van den tweeden graad.

IG

Er zijn twee transversalen op de vier rechten en elke oplossing
is dubbel te tellen, omdat de raaklijn t door het dubbelpunt
gaat. Zoo vindt men dus nog vier oplossingen.

In het geheel zijn er 12 oplossingen, dus vindt men

T v^ p. De kegelsneden moeten eene rechte t raken, vier stralen
vi, V2, Vs, snijden en een vlak p aanraken. Men laat ^ weer
snijden door yi en ya, dan voldoen vooreerst kegelsneden in de
vlakken door t en yi en door t en yg. In elk dier vlakken
zijn tweemaal twee samengevallen kegelsneden, omdat ook
hier een der snijpunten op t ligt. Elke oplossing is dubbel
te tellen, daar yi of va tweemaal gesneden wordt. Zoo vindt
men dus 16 oplossingen.

Verder voldoet de rechte t met de transversaal uit het
snijpunt van t met pi naar ya en Vi] deze oplossing moet
viermaal in rekening worden gebracht, omdat t en pi door
het dubbelpunt gaan.

In het geheel zijn er dus 16 4 = 20 oplossingen, zoodat
men heeft

T -A p = 20.

T y® p^. Weer raken de kegelsneden eene rechte t; verder snijden
zij drie stralen vi, yg, ys en raken twee vlakken pi en p^ aan.

Men laat t weer snijden door yi en va, dan voldoen voor-
eerst kegelsneden in het vlak door t en yi, die door twee
punten gaan en drie rechten aanraken. Dit zijn hier tweemaal
twee samengevallen kegelsneden, die elk dubbel te tellen zijn,
daar zij yj dubbel snijden. Zoo vindt men dus acM oplos-
singen; ook zijn er acht in het vlak door t en ya, dus in
het geheel 16 oplossingen.

Hier voldoet geene ontaarding van den tweeden graad,
omdat t de snijlijn van pi en p2 niet snijdt.

Ook voldoet geene ontaai\'ding der tweede klasse, want eene
rechte kan niet op vijf stralen rusten. Dus is

T y®

17

^ifp^ Weer raken de kegelsneden aan t, verder aan drie vlakken
ps, en zij snijden twee stralen yi en >2.

Men laat t weer snijden door vi en y2, dan voldoen alleen
kegelsneden in de vlakken door t en yi, en t en n. In elk
dier vlakken ligt ééne kegelsnede, die als twee samengevallen
kegelsneden te beschouwen is. Zij snijdt yi of yg dubbel en
is dus voor vier te tellen. In beide vlakken samen geeft dit
dus acht oplossingen.

Er voldoet hier geene ontaarding van den tweeden graad,
omdat t niet door het snijpunt van pi, ^2, ps gaat.

Evenmin voldoet eene ontaarding der tweede klassC; want
uit een punt is geen rechte te trekken, die op drie gegeven
rechten rust. Dus is

De rechte t wordt aangeraakt door de kegelsneden en deze
moeten tevens op een straal y rusten en vier vlakken pi, p2,
pa, Pi aanraken.

Men laat t snijden door de snijlijnen I12 en Ui van pi en
po. en van pa en pi,, achtereenvolgens in de punten P12 en P34.
Als men het vlak brengt door t en I12, voldoet hierin de
ontaarding der tweede klasse, die gevormd wordt door de
verbindingslijn n van P34 met het snijpunt van genoemd vlak
met y. Deze ontaarding is dubbel te tellen, omdat zij de
rechte y tweemaal ontmoet.

Eveneens vindt men zulk een dubbel te tellen ontaarding
in het vlak door t en hi. Dit geeft dus samen vier antwoorden.

Er voldoen hier geene eigenlijke kegelsneden en geene ont-
aardingen van den tweeden graad, zoodat

T y pi = 4.

De kegelsneden moeten weer de rechte ^ aanraken en boven-
dien vp gegeven vlakken pi, p^, pa, pi,^p5.

Weer legt men de snijlijnen I12 van pi en p2 en ki van
pa en p^ op de rechte t. Er voldoen hier alleen kegelsneden
in de vlakken door t en ^12 en door t en hi. Als In de

18

rechte t m Pi2, en Ui haar in P34 snijdt, voldoet in het vlak
door t en ?i2 alleen de ontaarding der tweede klasse, gevormd
door de verbindingslijn van P34 met het snijpunt van lu en p^.
Deze oplossing is enkelvoudig.

Zoo vindt men eveneens eene ontaarding der tweede klasse
in het vlak door t en Ui en daar er verder geene eigenlijke
kegelsneden en geene ontaardingen van den tweeden graad
voldoen, is het totale aantal antwoorden hier twee. Dus is

Tp^ = 2.

HOOFDSTUK IL

Bepaling der aantallen kegelsneden, die voldoen aan
acht voorwaarden.

De voorwaarde (jJ^ geeft, aan, dat het vlak der kegelsnede
door drie gegeven punten gaat. Dit vlak is daardoor dus
volkomen bepaald. Verder zoekt men de snijpunten Pi, P2, Ps,
P4, P5 van vi, y2, vs, V4, vó met het vlak der kegelsnede.

Legt men Pi, P2, Ps op ééne rechte, dan voldoet aan de
vraag het samenstel van deze rechte met de verbindingslijn
van P4 en P5 als ontaarding van den tweeden graad. Dit is
blijkbaar de eenige oplossing, zoodat volgens het beginsel van
het behoud van het aantal in het algemeen ook slechts ééne
oplossing voldoet. Dus is

Door de voorwaarde is weer het vlak der kegelsnede
volkomen bepaald. Men zoekt de snijpunten Pi, P2, Ps, P4
van dit vlak met yi, yg, vs, y4. Tevens bepaalt men de snijlijn
I van dit vlak met p.

Legt men de rechten yi, y2, vs zóó, dat Pi, P2, Ps in eene
rechte lijn t liggen, dan is t de eene rechte van een lijnen-
paar, dat voldoet. Het dubbelpunt ligt in het snijpunt S van
t en l en de andere rechte is de verbindingslijn van P4 en S.
Deze oplossing is blijkbaar slechts op ééne wijze mogelijk,
doch is dubbel te tellen, omdat p door haar dubbelpunt gaat.
Men vindt dus

[J y^ = 2.

20

y^ p^. Hier is het vlak weer bepaald; de kegelsneden moeten drie
gegeven rechten vi, V2, vs snijden en twee gegeven vlakken
pi en p2 aanraken. Men zoekt de snijpunten Pi, P2, Ps van
vi, ^2, vs mêt het vlak der kegelsnede en tevens de snijlijnen
h en h van dit vlak met pi en p2.

Kiest men pi en p2 zóó, dat h en I2 door Pi gaan, dan
voldoet als eenige oplossing de ontaarding van den tweeden
graad, gevormd door Pi P2 en Pi P3. Ze is voor vier te
tellen, omdat er twee raakvlakken door haar dubbelpunt gaan,
zoodal men heeft

2 ^ 4_

(j-^ v\'^ p^. Weer is het vlak bepaald en de kegelsneden moeten twee
gegeven rechten vi en ^2 snyden en drie gegeven vlakken
pi, p2, ps aanraken. Men zoekt hier de snijpunten Pi en P2
van yi en >2 met dit vlak der kegelsnede en de snijlijnen
h, I2, h van pi, p2, ps met dit vlak.

Men legt pi en p2 zoodanig, dat h en h door Pi gaan.
Hier voldoet alleen de ontaarding der tweede klasse Pi P2,
waarvan het eene straalpunt in Pi en het andere in het
snijpunt van Pi P2 met h ligt. De oplossing is blijkbaar slechts
op ééne wijze mogelijk, maar is voor vier te tellen, omdat
VI en >2 dubbel gesneden worden. Men vindt dus:

fyjyp\'^. Het vlak is bekend en de kegelsneden moeten ééne rechte
y snijden en vier gegeven vlakken pi, p2i ps, pi aanraken. Men
zoekt de snijlijnen h, h, Is, h van het vlak [y.^ met pi, p2, ps, pi
en het snijpunt P van y met het vlak

Men kiest pi en p2 zóó, dat h en h door P gaan. De
eenige oplossing is hier eene ontaarding der tweede klasse,
gevormd door de verbindingslijn van P met het snijpunt Q
van Is en U. De beide rangpunten zijn P en Q. De oplossing
is dubbel te tellen omdat zy y dubbel snijdt, dus is

21

Het vlak is bekend en de kegelsneden moeten vijf ge-
geven vlakken px, p^, ps, pa, pi, aanraken. Men zoekt de snijlijnen
h, h, k, h, Ib van pi, p2, ps, Pi, p5 met /x® en kiest pi, p^, ps zoo,
dat h,l2,ls elkaar in één punt snijden. Zij dit punt P en zij
Q het snijpunt van li en h, dan is P Q de eenige oplossing,
die voldoet. De straalpunten van deze ontaarding liggen in
P en Q, en daar deze oplossing enkelvoudig is, heeft men:

§ 2.

2 g

^i-L: De voorwaarde (jJ^ zegt, dat de kegelsneden in vlakken liggen,
die door twee gegeven punten, dus door eene gegeven rechte
gaan. Verder moeten de gezochte kegelsneden zes gegeven
stralen vi, 3/2, n, Vi, >5, vs snijden.

Men kan hier de gegeven rechte {j} snijden door drie van
de zes stralen, b.v. door vi, va, n. Kegelsneden, die aan de
vraag voldoen, vindt men in de vlakken door [j} en v\\, {j} en
>2 en IJ? en vs. Men zoekt dan de snijpunten van zulk een vlak,
b.v. van vlak vi), met de overige lijnen v, dus hier met
>2, Vs, V4, V5, V6. Door deze vijf snijpunten gaat ééne kegelsnede,
die echter dubbel geteld moet worden, daar zij v\\ tweemaal
snijdt. In de drie genoemde vlakken vindt men dus samen
oplossingen; dit zijn eigenlijke kegelsneden.

Verder zijn er twee transversalen van (j?, Vi, >5, >6 en elk
van deze beide vormt met {j} eene ontaarding A\'^an den tweeden
graad, die voldoet.

Er zijn dus zes eigenlijke en twee ontaarde oplossingen,
zoodat men heeft

(j} y^ = 8.

^ 5

\'i—lLX: H®^ der kegelsnede moet weer gaan door eene be-

paalde rechte /z^. De kegelsneden moeten op vijf gegeven
stralen yi, ya, ya, yi, vb rusten en een gegeven vlak p aanraken.

Laat men ook hier de rechte snijden door drie stralen
vi, y2, ys, dan voldoen kegelsneden in de vlakken door en vi,
en ^2 en en vs- Men zoekt in zulk een vlak, b.v. in

22

vlak (yJ vi), de snijpunten P2, Ps, P4, Ps met de overige stralen
V2, VS; V4, V5 en de snijlijn l met p. Er zijn in het vlak vi)
dan hvee kegelsneden door P2, P3, P4, P5 die l raken; beide
z^n dubbel te tellen, omdat zij vi dubbel snijden. De drie
genoemde vlakken bevatten dus 3X4 = 12 oplossingen in
den vorm van eigenlijke kegelsneden.

Er voldoet hier ook eene ontaarde kegelsnede, want als
men het snypunt van met p zoekt, vindt men daaruit ééne
rechte, die op V4 en vs rust. Deze rechte vormt met eene
ontaarding van den tweeden graad, die dubbel is te tellen,
omdat p door haar dubbelpunt gaat.

Men heeft dus 12 eigenlijke en twee ontaarde oplossingen,
zoodat men vindt:

y6 ^ = 14.

[x^u^p^. De vlakken der kegelsneden gaan weer door de rechte

de kegelsneden moeten vier gegeven stralen vi, vs, vs, V4 snijden
en tw^ee gegeven vlakken pi en p^ aanraken.

Men laat hier weer snijden door vi, y2, vs. Kegelsneden,
die aan de vraag voldoen, liggen in elk der vlakken door
en vi, /X® en y2 en en vs. Men zoekt de snijpunten van
zulk een vlak b.v. van vlak {y^ ui) met y2, va, V4 en de snij-
lijnen met pi en p2.

In dit vlak {y^ vi) vindt men dan volgens het vroeger ge-
vondene vier kegelsneden door drie punten, welke twee rechten
aanraken. Elke kegelsnede moet dubbel in rekening gebracht
worden, omdat zij yi tweemaal snijdt. In de drie genoemde
vlakken vindt men dus 3 X 8 = 24 oplossingen in den vorm
van eigenlijke kegelsneden.

Er voldoet hier geene ontaarding van den tweeden graad,
omdat pi en p^ elkaar niet in één punt snijden.

Ook eene ontaarding der tweede klasse is niet mogelijk,
want op vi, y2; Va, V4 kan geene rechte rusten. Dus is

y^ p^ = 24.

y^ p^. Weer gaan de vlakken door verder moeten de kegel-
sneden drie gegeven stralen yj, y2, vs snijden en drie gegeven
vlakken pi, pt, ps aanraken.

23

Laat men weer snijden door yi, >2, vs, dan zullen kegel-
sneden, die aan de vraag voldoen, liggen in elk der vlakken
door en yi, /x^ en y2 en /x^ en vs. Van vlak (/■x^ vi) zoekt
men de snijpunten met V2 en ys en de snijlijnen met pi, p2, ps.
In dit vlak liggen dan, volgens het vroeger gevondene, vier
kegelsneden, die door twee punten gaan en drie rechten aan-
raken, maar elk is dubbel te tellen, daar zy vi tweemaal
snijdt. In de drie genoemde vlakken vindt men dus 3 X 8 = 24
oplossingen in den vorm van eigenlijke kegelsneden.

Er voldoen hier geene ontaardingen, omdat pi, p2, ps de lijn
/x^ niet in één punt snijden en er geen transversaal mogelijk
is op lU^, vi, yg, ys en op de snijlijn van twee vlakken p.

Men heeft dus

/x" y"

Door de rechte gaan de vlakken en de kegelsneden
moeten twee gegeven stralen yi en yg snijden en vier gegeven
vlakken pi, p2, ps, pi aanraken.

Men legt hier het snijpunt der vlakken pi, p2, ps op de rechte
dan vindt men geene oplossing in een willekeurig vlak
dooi\' [u.^, omdat daarin de kegelsneden door twee punten
zouden moeten gaan en vier rechten aanraken.

Men vindt wel eene oplossing in een vlak door yß en een
der drie snijlijnen van pi, p2, ps. In dit vlak zoekt men de snij-
punten met yi en y2 en de snijlijnen met de overige vlakken p.
Men vindt dan vier kegelsneden, die door twee punten gaan
en drie rechten aanraken. In de drie genoemde vlakken
vindt men dus 3 X 4 = 12 oplossingen in den vorm van eigen-
lijke kegelsneden.

Er voldoet hier ook eene ontaarding der tweede klasse.
Legt men n.1. eene rechte uit het snijpimt P van ^s op
>1 en y2, dan kan men hierdoor en door een vlak brengen.
In dit vlak voldoet dan de genoemde rechte als ontaarding
der tweede klasse; de rangpunten liggen in P en in het snij-
punt der rechte met p^. Deze ontaarding zal viermaal in
rekening gebracht moeten worden, omdat yi en y2 dubbel
gesneden worden.

24

Eene ontaarding van den tweeden graad kan niet voldoen,
omdat pi, p2, pa, Pi elkaar niet in één punt snijden.

Men vindt hier dus twaalf eigenlijke en vier ontaarde oplos-
singen, dus

pi

(jJ^ V p^. Het vlak der kegelsneden gaat weer door [j,^ en de kegel-
sneden moeten een gegeven rechte u snijden en vijf gegeven
vlakken px, p2, pa, pi, p5 aanraken.

Men legt hier het snijpunt P van pi, p2, pa weer op (j.^, dan
voldoet geene oplossing in een willekeurig vlak door omdat
de kegelsneden daarin door een punt moesten gaan èn vijf
rechten aanraken.

Wel voldoet eene oplossing in het vlak door en een
der snijlijnen van pi, p2, pa. Legt men b.v. het vlak door
en de snijlijn van pi en p2, dan zoekt men het snijpunt van
dit vlak met v en de snijlijnen met de overige vlakken p. Er
liggen in dit vlak dan twee kegelsneden door één punt;, die
aan vier rechten raken. In de drie vlakken, die men kan
aanbrengen, liggen dus 3X2 = 6 oplossingen in den vorm
van eigenlijke kegelsneden.

Ook hier vindt men eene ontaarding der tweede klasse,
die aan de vraag voldoet. Legt men n.1. de rechte l uit P
op y en op de snijlijn van pi en pa, en brengt men het vlak
door [x^ en l, dan voldoet l als ontaarding. De rangpunten
liggen in P en in het snijpunt van l met de doorsnede van
Pi en p-o. Deze ontaarding is dubbel te tellen, omdat zy y
dubbel snijdt.

Daar er hier geene ontaarding van den tweeden graad
voldoet, vindt men zes eigenlijke en twee ontaarde oplos-
singen, dus

y p^ = 8.

p^. Legt men hier weer het snijpunt P van pi, p2, pa in de ge-
geven rechte /x®, dan voldoen er eigenlijke kegelsneden in elk
der vlakken door en eene der snijlijnen van pi, p2, pa. Men
vindt in zulk een vlak dan vijf rechten^ waaraan de kegel-

25

sneden moeten raken, dus in elk der drie vlakken ééne op-
lossing.

Eene ontaarding der tweede klasse vindt men in het vlak
door en het snijpunt Q van pi, p^, pe. Deze ontaarding
wordt gevormd door de verbindingslijn van P en Q en heeft
hare rangpunten in P en Q. Ze vormt een enkelvormige
oplossing.

Daar er hier geene ontaarding van den tweeden graad
mogelijk is, heeft men drie eigenlijke en ééne ontaarde oplos-
sing, zoodat

[x^ p\' = 4.

§ 3.

Het vlak van elke kegelsnede, die aan deze vraag zal vol-
doen, moet door een gegeven punt [u, gaan; verder moeten de
kegelsneden zeven gegeven stralen vi, va, vs, n, >6, snijden.

Legt men drie van deze stralen, b.v. vi, va, vg in een vlak c^,
dan voldoen vooreerst alle kegelsneden door een der snij-
punten P van die drie rechten, welke op de overige vijf
stralen rusten, terwijl hare vlakken door /x gaan. Door elk
der punten P gaan zes zulke kegelsneden, volgens de vroeger
gevonden waarde van P fz v®. Zoodoende vindt men 3X6 = 18
eigenlijke kegelsneden, die aan de vraag voldoen.

Als de rechten V4 en vs het vlak Ó in P4 en P5 snijden,
bepaalt deze rechte P4 P5 met jj. een vlak, waarop vg en y?
twee snijpunten Qe en Q? leveren. De rechte P4 P5 in vlak (p
vormt dan de eene en Qs Qt de tweede rechte van de ont-
aarding van den tweeden graad. Daar men zoo zes combi-
^ naties van V4, vs, V6, vt kan maken, vindt men dus op deze
wijze zes ontaarde kegelsneden.

Als P4 de doorgang van v^ met cp is, verbindt men f/., met
P4 en zoekt de transversaal van /x P4, vs, ve, v?. Zij deze t,
dan snijdt het vlak door /x en t het vlak 0 in eene rechte t\\
die met t een lijnenpaar vormt, dat aan de vraag voldoet.
Er zijn hier twee transversalen op vier rechten en men kan
V4, V5, ye, yt op vier wijzen drie aan één combineeren, zoodat
nien op deze wijze 4X^ = 8 oplossingen vindt.

26

Legt men eindelijk eene transversaal t" op >4, vs, y^, yi, brengt
een vlak aan door y en t\'\\ en zoekt de snijlijn van dit vlak
met (p, dan vormt deze de tweede rechte van een Ipienpaar,
dat voldoet; t" is de andere rechte. Omdal y4, ys, ye, yj twee
transversalen t" hebben, vindt men op deze wijze hree ont-
aardingen van den tweeden graad.

In het geheel voldoen dus 18 eigenlijke en 16 ontaarde
kegelsneden, dus

y y\' = 34.

y y® p. Hier moeten weer de vlakken der gezochte kegelsneden
door y gaan en de kegelsneden moeten zes gegeven stralen
vi, ys, VS, ys snijden en een vlak p aanraken.

Legt men weer drie stralen yi, y2, ys in een vlak (p, dan
voldoen vooreerst kegelsneden nit een der snijpunten van
yi, V2, ys, welke op de overige vier rechten rusten en wier
vlakken door y gaan, terwp zij het gegeven vlak p aanraken.
Dit aantal is 10, volgens de vroeger gevonden waarde voor
P y yi p. Voor de drie snijpunten van yi, y2, ys samen vindt
men dus 3 X 10 = 30 oplossingen.

Zijn P4 en P5 de snijpunten van y4 en ys met cp, terwdjl p
het vlak (p in den doorgang l snijdt, dan verbindt men P4 en
Ps door eene rechte t; deze snijdt l in een punt S. Brengt
men een vlak door fy. en t, dan snijdt dit ye in een punt Qs.
Verbindt men S met Qo door eene rechte t\', dan vormen t en t\'
eene ontaarding van den tweeden graad, die voldoet, en
dubbel te tellen is, omdat p door haar dubbelpunt gaat. Men
kan y4, ys, ve op drie wijzen twee aan één rangschikken; dus
zoo vindt men 3X2 = 6 oplossingen.

Verbindt men y met het snijpunt P4 van y4 met (p, dan
kan men eene transversaal t" leggen op y P4, ys, ys en de
snijlijn l van p met cp. Legt men door y en t" een vlak,
dan snijdt dit vlak het vlak (p in eene rechte t\'", die met t"
eene ontaarding vormt, welke voldoet, en dubbel te tellen is,
omdat p hiervoor als raakvlak dubbel telt. De vier rechten
y P4, ys, ye, I hebben twee transversalen, en men kan y4, ys, ye,

27

op drie wijzen twee aan één combineeren; dus vindt men
hier 3X2X2 = 12 oplossingen.

Eindelijk zoekt men de transversaal t van vs, vs, ? en legt
een vlak door /x en t, dan snijdt dit vlak het vlak Ó in een
rechte t\', die met f een lijnenpaar vormt, dat voldoet en
dubbel te tellen is, omdat p door het dubbelpunt gaat. Daar er
te\'ee transversalen t zijn, vindt men hier 2X2 = 4 oplossingen.

In het geheel zijn er dus 30 6 12 4 = 52 oplos-
singen, zoodat

/X p = 52.

ttJ^^^P^ De vlakken der gezochte kegelsneden moeten weer door /x
gaan; de kegelsneden moeten verder vijf gegeven stralen vi,
vi, V5 snijden en twee vlakken pi en p2 aanraken.

Legt men vi, vs, vs in een vlak (p, dan voldoet in (p de ont-
aarding der tweede klasse, gelegd door de punten Q^, Qs,
waarvan het vlak door /x gaat en de straalpunten in de snij-
punten met pi en pz liggen. Deze ontaarding zal voor 16 te
tellen zijn. Als men n.1. de doorgangen Q4 en Q5 verbindt,
snijdt deze rechte de .stralen vi en vg, die het vlak (p bepalen.
Bovendien zal ze elke rechte in <p, dus ook va, snijden en
omdat cp bepaald wordt door twee rechten, moeten de snij-
punten met deze beide bepalende rechten voor de ontaarding
dubbel gerekend worden. Daar de figuur vj ook Ui en vs dubbel
snijdt, zal ze 16 maal in rekening gebracht moeten worden.

Verder voldoen alle kegelsneden door een der snypunten
van vi, yg, V3, waarvan het vlak door y gaat, en die de overige
stralen snijden en pi en p2 aanraken. Dit aantal is voor elk
der snypunten 16, volgens de waarde van P /x v® p^. Zoo
vindt men in het geheel 3 X 16 = 48 oplossingen.

Trekt men uit (.1en doorgang S van I12 = (pi ps) op cp de
transversaal t op Vi en ys en legt vervolgens een vlak door
IX en t, dan snijdt dit het vlak cp in eene rechte t\', die met
t een lijnenpaar vormt, dat voldoet en voor vier geteld moet
worden, omdat pi en p2 door het dubbelpunt gaan.

Verbindt men Q met S door een rechte f en legt men
een vlak door y en f, dan snijdt dit vlak vs in een punt

28

dat, met S verbonden, de tweede rechte t\'" van een lijnen-
paar geeft, dat voldoet. Deze oplossing is eveneens voor
vier te tellen. Men vindt ook vier oplossingen, door Qs met
S te verbinden.

In het geheel zijn er 16 48 4 8 = 76 oplossingen,
dus heeft men

IJ^ y5 ^

jj^ v\'*\' p^. De vlakken der kegelsneden gaan door /x; de kegelsneden
moeten verder vier gegeven stralen vi, vs, >4 snijden en drie
gegeven vlakken pi, p^, ps aanraken.

Legt men weer vi, vg, vs in een vlak Ó, dan voldoen de
ontaardingen der tweede klasse, die bepaald zijn door den
doorgang Qi van op (p en het snijpunt van twee der door-
gangen van de vlakken p. Deze oplossingen gelden elk voor 8,
omdat ze y^ snijden en op vi en va rusten; daar de laatste
twee het vlak ó bepalen, wordt dan elke rechte in (p, dus
ook >3, gesneden. Daar er drie zulke ontaardingen zijn, geeft
dit 3 X 8 = 24 oplossingen.

Verder voldoen aan de vraag alle kegelsneden door een
der snijpunten van yi, y2, ys, waarvan het vlak door pi gaat
en die de overige twee stralen snijden en pi, p^, ps aanraken.
Volgens de waarde van P fj. p^ is dit aantal voor elk dier
snijpunten 16^ dus in het geheel 3 X 16 = 48.

Men vindt hier verder geene ontaarding van den tweeden
graad, die aan de vraag voldoet, omdat het snijpunt der drie
vlakken p niet in (p ligt.

In het geheel zijn er dus 48 24 = 72 oplossingen, zoodat
men heeft

fj^ y4 pS ^ 72.

Deze uitkomst kan men ook nog anders krijgen. Indien
men n.1. niet drie rechten y in één vlak legt, maar drie vlakken
p door ééne rechte, kan men ook dit aantal bepalen.
y^ p^- Men zoekt hier kegelsneden, waarvan het vlak door (j. gaat
en die verder vier gegeven stralen yi, ya, ys, y4 snijden en drie
gegeven vlakken pi, pi, ps aanraken.

29

Legt men hier de drie vlakken p door een rechte l, dan
voldoen allereerst de kegelsneden, die l raken, yj, vs, vs, v^
snijden en waarvan het vlak door /x gaat. Dit aantal kegel-
sneden is twee volgens de vroeger gevonden waarde voor
T (j. Daar echter l reeds bepaald is als snijlijn van twee
vlakken p, moet ze als dubbele raaklijn worden opgevat en
is elke oplossing dubbel te tellen. Op deze wijze vindt men
dus vier oplossingen.

Legt men verder eene transversaal t op vi, ya, va, h eu brengt
men dan een vlak door t en [x, dan snijdt dit vlak de rechte
in een punt. Dit verbindt men met het snijpunt van t en l;
dan vormt deze verbindingslijn met t een lijnenpaar, dat vol-
doet en voor vier te tellen is, omdat l door haar dubbelpunt
gaat. De rechten yi, ya, vs, I hebben twee transversalen en er
zijn vier rangschikkingen drie aan één van yi, ya, vs, mogelijk,
dus hier vindt men 4 X 2 X 4 = 32 oplossingen.

Zal de eene rechte t\\ van een lijnenpaar rusten op n en ya
en de andere t^ op ys en y^, dan zijn ti en ifa beschrijvende
lijnen van de quadratische regelvlakken (yi, ya, T) en (ys, y4, O-
Men zoekt nu uit (j. een gemeenschappelijk raakvlak aan beide
regelvlakken. Er zijn er vier; één daarvan kan men niet
gebruiken en wel het vlak door [j. en Immers de vier
snijpunten van yi, ya, ys, >4 met het vlak door (j. en l vormen
een volledigen vierhoek, waarvan de diagonaalpunten in
\'t algemeen niet op l liggen. Er blijven drie bruikbare
gemeenschappelijke raakvlakken over, dus vindt men hier
drie oplossingen. Elke oplossing is voor vier te tellen, omdat l
door het dubbelpunt gaat en verder zijn er drie combinaties
mogelijk van yi, ya, vs, y4 twee aan twee. Men vindt dus
3 X 4 X 3 = 36 oplossingen.

In het geheel zijn er dus 4 32 36 = 72 oplossingen
mogelijk, zoodat

y^ 72.

De vlakken van de kegelsneden gaan door een gegeven
punt en verder snijden de kegelsneden drie gegeven stralen

Va, ys, terwijl zij vier vlakken pi, p^, ps, pi aanraken.

30

Om dit aantal te vinden, legt men drie vlakken pi, p2, ps door
eene rechte l-, dan voldoen vooreerst alle kegelsneden, die l
aanraken, n, V2, vs snijden en raken, terwijl haar vlak door
y gaat. Dit aantal is vier volgens de vroeger gevonden waarde
voor T y y® p. Daar echter l als snijlijn van twee vlakken p
bepaald is en derhalve voor de kegelsnede, die l raakt, elk
vlak door l raakvlak is, moet de rechte l als dubbele raaklijn
worden aangemerkt. Elke oplossing is dus dubbel te tellen
en op deze wijze vindt men dus 4X2 = 8 antwoorden op
de vraag.

Legt men verder een transversaal t uit het snijpunt S van
l met /34 op vi en dan kan men een vlak aanbrengen door
(x en t. Dit vlak snijdt vs in een punt Q3, en als men S
met Qs verbindt door eene rechte t\', voldoet met t als
lijnenpaar. Daar l dubbel geteld moet worden en tevens door
het dubbelpunt gaat, terwijl ook p^ door S gaat, moet deze
oplossing voor acht tellen. Omdat men drie rechten op drie
manieren twee aan één kan combineeren, vindt men op deze
wijze dus 3 X 8 = 24 oplossingen.

Legt men eindelijk een transversaal t op vi, >2, vs, l, dan
voldoet deze als ontaarding der tweede klasse, waarvan het
vlak door y gaat. De rangpunten hggen op l en p^,. Daar
men twee transversalen t kan leggen op vi, 72, vs, l, voldoen
er dus 2 X 8 = 16 oplossingen, want elke t is voor acht
te tellen, daar zij vi, V2, vs dubbel snijdt.

Samen zijn er 8 24 16 = 48 oplossingen dus

IJ, y3 ^

y y^ De vlakken der kegelsneden gaan door y en de kegelsneden
moeten twee rechten yi en y2 snijden en vijf vlakken pi, p2,
ps, Pi, ps, aanraken.

Legt men drie vlakken pi, p^, ps door eene rechte /, dan
voldoet elke kegelsnede in het vlak (1, y), die l raakt, yi en y2
snijdt en p^ en pa aanraakt. Dit zijn er vier volgens de waarde
van T y y^ p\'^. Ieder moet tweemaal in rekening gebracht
worden, omdat l dubbel te tellen is. Dit zijn dus 8 op-
lossingen.

31

Legt men een transversaal t op l, vi, yg en de snijlijn Z45
van p4, en p^, dan voldoet deze ontaarding der tweede klasse,
waarvan het vlak door /x bepaald is. De rangpunten liggen
op l en hb] de oplossing is voor vier te tellen, omdat vi en va
dubbel gesneden worden. Daar er twee transversalen t zijn,
vindt men dus 8 oplossingen.

Legt men de transversaal uit het snijpunt Q van l met p^
op vx en yg, dan voldoet deze als ontaarding der tweede klasse,
waarvan het vlak door bepaald is. De rangpunten liggen
in Q en in den doorgang met p^,. De oplossing moet viermaal
in rekening gebracht worden, omdat zij n en yg dubbel snijdt.
Zoo vindt men ook vier antwoorden uitgaande van het snij-
punt van l met pó.

Dus in \'t geheel zijn er 8 8 4 4 = 24 oplossingen of

y^ p" = 24.

De kegelsneden moeten eene rechte y snijden en zes vlakken
pl, p2, Pb, Pi, pa, p6 aanraken, terwijl haar vlak door /x gaat.

Legt men weer pi, P\'i door eene rechte l, dan voldoet
vooreerst elke kegelsnede, die l en p^, ^5, ps raakt, terwijl zij y
snijdt en haar vlak door y gaat. Volgens de gevonden
waarde voor T y y p^ is dit aantal twee. Elke oplossing is
dubbel te tellen, omdat l dubbele raaklijn is. Zoo vindt men
dus vier antwoorden.

Legt men de transversaal uit het snijpunt Q van l met
Pi op y en op de snijlijn ?b6 van p^ en pa, dan is dit eene
ontaarding der tweede klasse, waarin het vlak door /x gaat.
De rangpunten liggen in Q en op hs; de oplossing is dubbel
te tellen, omdat ze y dubbel snydt. Men kan driemaal zulk
een snijpunt met l vinden, heeft dus 3X2 = 6 oplossingen.

Eindelijk voldoet de rechte uit het snijpunt S van p^, pa, pe naar
I en y als ontaarding der tweede klasse, waarvan het vlak
door (X gaat. De rangpunten liggen op l en in S; deze
oplossing is dubbel te tellen, daar zy y dubbel snijdt.

In het geheel zijn er 4 6 2 = 12 oplossingen, zoodat
men vindt

(X y = 12.

32

[X p\'\'. De vlakken gaan door y en de kegelsneden raken de vlak-
ken pl, p2, pa, Pi, Pb, p6, pl aan.

Legt men pi, p2, pa door l, dan voldoet de kegelsnede, die
l, Pi, p5, pe, pi raakt en in het vlak door y ligt. Zij vervangt
twee oplossingen.

Legt men de rechte door het snijpunt S van l met pi naar
het snijpunt R van pö, ps, pi, dan voldoet deze rechte als ont-
aarding der tweede klasse, waarvan het vlak door y gaat;
R en S zijn haar straalpunten.

Ook de snijpunten van l met pa, pe, pi geven zulk eene
oplossing, zoodat er samen 2 4 = 6 zijn. Dus is

[j. p\'^ = 6.

Hier moeten de kegelsneden acht gegeven rechten vi, va, >3,
>4, V5, vi, V8 snijden.

Legt men drie rechten, vi, va, vs, in een vlak cp, dan vol-
doet vooreerst de kegelsnede in vlak <p, die door de snijpunten
van Vi, 1/5, VS, VT, ys met vlak cp gaat. Deze kegelsnede is voor
acht oplossingen te tellen, omdat n, va, vs tweemaal gesneden
woorden.

Verder voldoet elke kegelsnede door een der snijpunten
van vi, V2, V3, die de overige zes rechten snijdt; volgens de
vroeger gevonden waarde voor P y® vindt men 18 kegelsneden
voor elk der drie snypunten van ui, va, va. In het geheel
geeft dit dus 3 X 18 = 54 kegelsneden.

Zoekt men de snijpunten P4 en P5 van n en vs met cp,
dan kan men de transversaal zoeken op P4 Ps, ve, yj, ys- Deze
transversaal vormt met P4 P5 eene ontaarding van den twee-
den graad, die voldoet. Daar er twee transversalen van vier
rechten zijn en men ^4, ys, ve, yj, ys op tien wijzen drie aan
twee kan rangschikken, vindt men op deze wijze 10 X 2 = 20
oplossingen.

1) Zie Dr. J. de Veies: «Over het aantal kegelsneden, die acht ge-
geven rechten snijden» (K. A. v. W. te A. 1901, X, blz. 194).

33

Men zoekt de transversaal t van Vd, ve, v?; snydt deze (p
in T, dan verbindt rnen T met het snypunt Ps van vs en Cp.
Het stel rechten ^ en T Ps vormt dan eene ontaarding, die
voldoet. Hier heeft men dus samen 5 X 2 = 10 oplossingen,
want er zyn tivee transversalen t en vijf combinaties vier aan
één van V4,2/5, vg, vi, vs.

In het geheel voldoen dus 8 54 20 10 = 92 kegel-
sneden, zoodat men heeft:

V« = 92.

£• Hier moeten de kegelsneden zeven rechten vi, V2, vs, V4, va,
V6, V7 snijden en een vlak p aanraken. Men legt weer vi, va, va
in een vlak cp.

Vooreerst voldoen dan in het vlak cp twee kegelsneden door
de vier snijpunten met V4, V5, ve, v?, welke de snijlijn van p met
cp aanraken. Elk van beide is voor acht te teUen, omdat
zij vi, V2, V3 dubbel snijdt. Zoo vindt men dus 16 eigenlijke
kegelsneden.

Verder zoekt men het aantal kegelsneden door elk van de
drie snijpunten van vi, V2, vs, welke op de overige vijf rechten
rusten en een gegeven vlak aanraken. Volgens de vroeger
gevonden waarde van P v® is dit aantal 24 voor elk der
snijpunten; dus in het geheel vindt men op deze wijze
3 X 24 = 72 oplossingen.

Zoekt men de snijpunten P4 en Ps van en vs met cp,
dan vormt P4 P5 eene rechte van een lijnenpaar, dat voldoet
en v^raarvan het dubbelpunt hgt in het snijpunt S van P4 P5
met den doorgang van op Cf); de andere rechte is de trans-
versaal uit S op Ve en 1/7. Daar iedere oplossing dubbel te
tellen is, omdat p door het dubbelpunt gaat, en men y4,,v5, ve, vt
op zes wijzen zoo rangschikken kan, vindt men hier 6X2 = 12
oplossingen, die voldoen.

Legt men eindelijk eene transversaal t op V4, vs, ve en de
snijlijn n van Cp en p, dan is dit de eene rechte van een
lijnenpaar dat voldoet. Het snijpunt S van t met n is het
dubbelpunt en de verbindingslijn van S met den doorgang P7
van VT op cp is de tweede rechte van het lijnenpaar. Daar

34

de vier genoemde rechten tioee transversalen t hebben, en
elke oplossing dubbel te tellen is, omdat p een dubbel raak-
vlak is, terwijl men vs, ve, vt op vier wijzen drie aan één
kan rangschikken, vindt men op deze wijze 4X2X2 = 16
ontaardingen. In het geheel zijn er dus 16 72 12 16
= 116 oplossingen, zoodat

yV = 116.

P^\' Hier moeten zes stralen vi, V2, vs, V4, vs, ve gesneden entwee
vlakken pi en p^ aangeraakt worden.

Legt men weer vi, V2, vs in een vlak (p, dan voldoen voor-
eerst vier kegelsneden in dit vlak, die door de snijpunten van
V4; V5, V6 met cp gaan en de doorgangen van pi en p2 met cp
aanraken. Daar elke kegelsnede vi, V2, vs dubbel snijdt, moet
zij achtmaal geteld worden en men vindt zoo dus 4 X 8 = 32
oplossingen.

Verder voldoet elke kegelsnede door een der snijpunten van
VI, V2, V3, die op de overige vier rechten rust en de twee vlakken
p aanraakt. Dit zijn er voor elk van die drie snijpunten 28,
wegens de vroeger voor P y^ p^ gevonden waarde. In het
geheel vindt men er hier dus 3 X 28 = 84.

Legt men uit het snijpunt S der doorgangen van pi en p2
met cp de transversaal op V4 en vö, dan is dit de eene rechte
van een lijnenpaar, dat voldoet. S is het dubbelpunt en de
tweede rechte is de verbindingslijn van S met den doorgang
van V6 op cp. Dit lijnenpaar moet voor vier oplossingen ge-
rekend worden, omdat pi en p2 door haar dubbelpunt gaan.
Men kan V4, ys, vö op drie wijzen twee aan één combineeren,
zoodat men hier dus 3X4 = 12 oplossingen heeft.

In het geheel zijn er 32 84 12 = 128 oplossingen,
zoodat

y® p^. De kegelsneden moeten hier vp stralen vi, y2, vs, V4, vs snijden
en drie vlakken pi, p2, ps aanraken.

Legt men yi, y2, ys weer in een vlak cp, dan voldoen aller-
eerst vier kegelsneden in dit vlak cp, die gaan door de snij-

35

punten van Ui en vö met (p en de doorgangen van pi, p2, ps
met (p aanraken. Elke kegelsnede is voor acht te tellen,
omdat zij vi, vs tweemaal snijdt. Dit geeft dus 4 X 8 = 32
oplossingen.

Verder voldoet elke kegelsnede door een der drie snijpunten
van VI, V2, V3, die op de overige drie rechten rust en de drie
vlakken p aanraakt. Dit zyn er 24 volgens de vroeger ge-
vonden waarde van P y® p^. Op deze wijze vindt men dus
3 X 24 = 72 oplossingen.

Daar pi, p^, ps het vlak cp in het algemeen niet in één punt
snyden, voldoet hier geene ontaarding met het dubbelpunt in d).

Ook voldoet geene ontaarding der tweede klasse, want die
zou op de doorsnede van twee der vlakken èn op vijf rechten
moeten rusten.

In het geheel voldoen dus 72 32 = 104 oplossingen,
zoodat

104.

Hier moeten vier stralen vi, yg, va, gesneden en vier vlakken
pi, p2, ps, Pi aangeraakt worden.

Men legt weer yj, y2, ys in een vlak dan voldoen vooreerst
twee kegelsneden in cp door het snijpunt van y^ met cp, die
de doorgangen van pi, p2, ps, pi met c^) aanraken. Iedere kegel-
snede is voor acht te tellen, omdat zij yi, vs dubbel snijdt.
Zoo vindt men dus 2X8 = 16 oplossingen.

Verder voldoen alle kegelsneden door een der drie snij-
punten van yi, y2, vs, welke op de overige twee rechten rusten
en pi, p2, ps, pi aanraken. Volgens de vroeger voor Py^^\'\'\'ge-
vonden waarde zijn er voor elk punt 16, dus in het geheel
3 X 16=48.

Daar er geene lijnenparen met het dubbelpunt in cp en geene
ontaardingen der tweede klasse mogelijk zijn, welke laatste
op zes rechten zouden moeten rusten öf door een punt gaan
en op vier rechten rusten, vindt men hier samen 16 48 = 64
oplossingen, zoodat

V

36

^ p^ De kegelsneden moeten drie gegeven stralen yi, ys; ys snijden
en vijf gegeven vlakken pi, p^, ps, pi, pa, aanraken.

Legt men yi, ya, yg in een vlak (p, dan voldoet hier voor-
eerst de kegelsnede, die de vijf snijlijnen van pi, p^, ps, pi, pb
met cp aanraakt. Deze eenige oplossing is voor te tellen,
omdat zij yi, ya, ys dubbel snydt.

Verder voldoet elke kegelsnede uit een der snijpunten van
n, ya, ys, welke op de andere rechte rust en vijf vlakken aan-
raakt. Volgens de gevonden waarde voor P u p^ is dit aantal
acht. Uit de drie snijpunten vindt men dus 3 X 8 = 24
oplossingen.

Daar hier geene ontaardingen van den tweeden graad met
het dubbelpunt in Ó mogelijk zijn en er ook geene ontaar-
dingen der tweede klasse voldoen, omdat eene rechte niet door
een bepaald punt kan gaan en tegelijk op vier rechten rusten,
voldoen hier 8 24 = 32 oplossingen, zoodat

p^ = 32.

p^- Hier moeten de kegelsneden twee rechten yi en yg snyden
en zes vlakken pi, p^, ps, pi, p5, ps aanraken.

Legt men hier drie vlakken, pi, p2, ps, door eene rechte t,
dan voldoen alle kegelsneden welke t raken, yj en V2 snijden
en |ö4, pb, ps aanraken. Volgens de vroeger gevonden waarde
voor T y^ p^ is dit aantal 8. Daar echter t bepaald is als
snijlijn van twee vlakken p, zoodat elk vlak door t ook raak-
vlak is, moet t als dubbele raaklijn gerekend worden. Iedere
oplossing is dubbel te tellen, zoodat men hier 16 oplossingen vindt.

Eene ontaarding der tweede klasse kan hier niet voldoen,
want uit het snijpunt van pi, p&, ps is geene rechte mogelijk,
die op yi, ya, t rust.

Ook is geene ontaarding van den tweeden graad mogelijk,
omdat pi, p2, ps, pi, pö, ps elkaar niet in één punt snijden. Dus is

y^ = 16.

y p\\ De kegelsneden snijden de rechte y en raken de vlakken
pi, p2, ps, Pi, Pb, ps, pi aan.

Legt men weer pi, p^, ps door eene rechte t, dan voldoen

37

de kegelsneden die t raken, v snijden en p^, pó, ps, pi aanraken.

Dit aantal is vier volgens de gevonden waarde voor T v
Elke oplossing moet echter dubbel geteld worden, omdat t
als dubbele raaklijn is op te vatten. Dit geeft dus 2X4 = 8
oplossingen.

Daar hier verder geene ontaarde kegelsneden mogelijk zijn,
omdat pi, p2, ps, Pi, p6, ps, pi elkaar niet in één punt snijden en
ook geene rechte te trekken is door twee punten, die op v
zal rusten, is hier

y p\' = 8.

Om het aantal kegelsneden te vinden, die aan acht gegeven
vlakken pi, p2, ps, pi, ps, pe, pi, ps raken, legt men Aveer drie der
vlakken door eene rechte t. Hier voldoen alle kegelsneden
die t en pi, p&, pe, pi, ps aanraken. Volgens de gevonden waarde
voor T p^ is dit aantal twee. Elke oplossing is echter om
meer gemelde reden dubbel te tellen, zoodat men hier vier
antwoorden vindt.

Verder zijn er geene ontaardingen mogelijk, omdat pi, p2, ps.
Pi, p5, pe, pi, ps elkaar niet in één punt snijden en evenmin
pó, pe, pi, ps. Men heeft dus

/j® = 4.

HOOFDSTUK III.

Bepaling der aantallen ontaarde kegelsneden^ die aan
zeven voorwaarden voldoen.

§ 1.

Wij willen nu de aantallen ontaardingen van den tweeden
graad en de tweede klasse vinden, die aan zeven voorwaarden
voldoen. Deze moeten wij n.1. gebruiken, wanneer wij nagaan
de stelsels van OO^ vele kegelsneden, die aan zeven voor-
waarden voldoen.

Als S voorstelt eene ontaarding van den tweeden graad en
yj eene ontaarding der tweede klasse, terwijl y en de meer-
genoemde beteekenis hebben, ontstaan de volgende tabellen:

en;

Schubert geeft in zijn Kalkül der abzählenden Geometrie, blz. 93,
94 slechts de afleiding van vier dezer aantalJcn,

39
§ 2

if^^jA Door de voorwaarde yJ is het vlak ó der ontaardingen
bepaald; deze moeten verder vier gegeven stralen vi; vs,
snijden.

Men zoekt de snijpunten Qi, Q2, Qa, Q4 van vi, ^2, vs, V4 met
het vlak cp, dan voldoen aan de vraag de drie lijnenparen
van den door Qi, Q2, Qs, Qi gevormden volledigen vierhoek.
Ieder is enkelvoudig, zoodat er dus drie oplossingen zijn en
men heeft

^ yi = 3.

\' p. Door is weer het vlak cj) bepaald; zoekt men de snij-
punten Qi, Q2, Qs van vi, y2, >3 met vlak cp en den doorgang
l van p en cp, dan moet het dubbelpunt van elke ontaarding,
die voldoet, op l liggen. Men verbindt Qi met Q2, dan snijdt
Qi Q2 de rechte l in een punt, en hieruit trekt men de rechte
naar Qs. Dit samenstel voldoet aan de vraag, maar geldt
voor twee oplossingen, omdat l hier dubbele raaklijn is. Men
kan hier de punten Qi, Q2, Qs op drie wijzen twee aan één
combineeren, zoodat men in het geheel 3X2 = 6 oplossin-
gen vindt en

De voorwaarde bepaalt weer het vlak cp der kegelsneden.
Verder moeten deze twee rechten vi en snijden en twee
vlakken pi en p2 aanraken.

Het dubbelpunt der ontaardingen, die aan de vraag voldoen,
ligt in het snijpunt der doorgangen h en I2 van pi en ^2 met
cp. Verder zoekt men de beide snijpunten Qi en Q2 van vi
en >2 Jnet cp, dan voldoet als eenige oplossing het samenstel
der rechten uit het genoemde dubbelpunt naar Qi en Q2.
Deze eenige oplossing is voor vier te tellen, daar pi en p2
beide door het dubbelpunt gaan, zoodat

^ p^ = 4.

Door is het vlak cp bekend, maar omdat de drie gegeven
vlakken pi, p2, ps dit vlak Cp in het algemeen niet in één punt

40

snijden, wat toch voor eene ^ noodig is, voldoet hier geene
oplossing aan de vraag. Dus

^ p^. Daar evenmin de vier gegeven vlakken pi, p^, ps, p^ het vlak
(p in één punt snijden, is hier geene oplossing mogelijk, zoodat

^ l^J pi = 0.

§ 3.

^ De voorwaarde geeft aan, dat het vlak der gezochte

kegelsneden door twee gegeven punten, dus door eene gegeven
rechte moet gaan. Verder moeten de gevraagde ontaardingen
vijf gegeven stralen ut, vs, >4, snijden.

Legt men eene transversaal h op yi, V2, vs en dan is
het vlak van de ontaarding bepaald; dit is n.1. het vlak door
en tl gelegd. Dit vlak snijdt Vi en V5 in twee punten
Qi en Qs en deze verbindingslijn Q4 Qs vormt de andere rechte
tz van de ontaarding. Men kan n, 1/2, vs, ys op tien manieren
drie aan twee combineeren; door elk drietal met gaan twee
transversalen, zoodat men in het geheel 10 X 2 = 20 oplos-
singen vindt. Dus

^ y^ = 20.

S /x^ y^ p. Ook hier g?an de vlakken der gevraagde kegelsneden door
eene vaste rechte /z® en verder moeten de kegelsneden vier
gegeven rechten vi, ya, ys; yi snijden en een gegeven vlak p
aanraken. Het dubbelpunt der ontaarding moet dus in ^ liggen.

Men legt eene transversaal ti op vi, V2, vs\', deze snijdt p
in het dubbelpunt; het vlak door (z^ en ti is dus het vlak
van de ontaarding. Dit vlak snijdt y4 in een punt Q4, en
Q4 verbonden met het bovengenoemde dubbelpunt, geeft de
tweede lijn t2 van Er zijn nu vier combinaties van yi, V2,
ys, y4 drie aan één mogelijk; elk drietal bepaalt met (jJ^ twee
transversalen; elke doorgang van p met het vlak van ^ is
dubbele raaklijn^ zoodat elke oplossing dubbel te tellen is.
Op deze wijze ontstaan er 4X^X2 = 16 ontaardingen.

41

Men kan ook de vier rechten vi, va, vs, n twee aan twee
combineeren. Elk tweetal bepaalt met [x^ een quadratisch
regelvlak en [x^ is een beschrijvende lijn van beide regel-
vlakken. Deze twee regelvlakken snijden p volgens twee
kegelsneden, die vier punten gemeen hebben, waarvan er één
op /X® ligt. De overige drie snijpunten geven ieder eene
rechte, die op /x^ n, vs, vs, Vi rust. Een combinatie van twee
dezer rechten vormt eene ontaarding er zyn op deze wijze
drie verschillende ontaardingen te krijgen, die elk dubbel te
tellen zijn, daar p door het dubbelpunt gaat. Menkanyi,y2,
ys, op drie wijzen twee aan twee combineeren, zoodat men
hieruit 3X3X2 = 18 oplossingen vindt.

Samen zijn er dus 18 16 = 34 oplossingen, zoodat

^ (jJ y^ p = 34.

h^^p--. Het vlak van elke figuur 5 moet gaan door /y.^; verder
moeten de kegelsneden drie gegeven stralen yi, ya, ys snijden
en twee gegeven vlakken pi en p2 aanraken. Het dubbelpunt
van elke oplossing moet dus liggen op de snijlijn /12 van
pi en p2.

Men legt eene transversaal U op /x^, vi, ya, dan snijdt h
de rechte I12 in het dubbelpunt, en het vlak van ^ is bepaald
door en h. Dit vlak snydt ys in een punt Qs en de ver-
bindingslijn van Qs met het genoemde dubbelpunt geeft de
tweede rechte ifa van S. Men kan vi, ya, vs op drie manieren
twee aan één combineeren. Elk tweetal geeft met /x^ en Ï12 twee
transversalen, zoodat er 3X2 = 6 oplossingen zijn. Daar
twee raakvlakken door het dubbelpunt van 5 gaan, is elke
oplossing voor vier te tellen, zoodat

^ IJ? p^ = 24.

^•^llfli Volgens de voorwaarde p^ zijn drie gegeven vlakken raak-
vlakken, zoodat het dubbelpunt der ontaardingen met een
gegeven punt samenvalt. Het vlak der kegelsneden moet
door fx^ gaan en is dus volkomen bepaald door fu,^ en het
snijpunt van pi, p%, p%.

42

De beide gegeven rechten en va snijden dit vlak in Qi
en Qa, en als men het snijpunt van pi, p2, pa met Qi en Q2
verbindt, vormen deze rechten eene ontaarding die voldoet.
De oplossing is blijkbaar slechts op ééne wijze mogelijk, maar
is voor acht te tellen, omdat elk der vlakken p als dubbel
raakvlak moet opgevat worden.

Men heeft dus:

^ y p^. Aangezien de voorwaarde p^ beteekent, dat het dubbelpunt
der ontaardingen, die zullen voldoen, in vier gegeven vlakken
p moet hggen, en dit in het algemeen onmogelijk is, heeft
men hier geene oplossing. Dus is

S p^. Daar ook vijf vlakken in het algemeen elkaar niet in één
punt snijden, is

^ [j/ p" = 0.

§ 4.

^ y y". Het vlak van elke ontaarding, die zal voldoen, moet door
een gegeven punt y gaan en de kegelsneden moeten zes
gegeven stralen vi, ya, Vi, y-o, ye snijden.

Men kan hier twee stellen oplossingen vinden, omdat men de
zes rechten y op twee wijzen kan verdeelen n.1. vier aan twee
en drie aan drie. In het eerste geval voldoet de ééne rechte
van 5 aan y^ en de andere aan y^; in het laatste geval vol-
doen beide rechten aan y®.

Als een der lijnen ti van ^ op vier rechten yi, yo, ya, V4 rust,
is het vlak van deze ontaarding bepaald door y en ti. Dan
zoekt men de snijpunten Qs en Qs van ys en yg met dit vlak,
en de verbindingslijn van Qs en Qg is de tweede rechte t^
van Omdat de combinatie vier aan twee van zes rechten
op 15 verschillende manieren mogelijk is en elk viertal rechten
twee transversalen heeft, vindt men op deze wijze 15 X 2 = 30
oplossingen.

43

Als iedere rechte der ontaarding op drie gegeven rechten
moet rusten, beschrijven ze dus ieder een quadratisch regel-
vlak. Men moet dus een vlak zoeken, dat door y gaat en
eene beschrijvende lijn van beide regelvlakken bevat, m.a.w.
een gemeenschappelijk raakvlak door aan die regelvlakken.
Er zijn vier zulke gemeenschappelijke raakvlakken en er zijn
tien verschillende rangschikkingen drie aan drie mogelijk,
zoodat men op deze wijze 10 X 4 = 40 oplossingen vindt.

In het geheel zijn er 30 40 = 70 oplossingen, dus
^ fj^ 70.

Weer moet het vlak van elke ontaarding, die voldoet, door
een gegeven punt /x gaan, terwijl de kegelsneden vijf gegeven
rechten vi, va, vs, V4, vs moeten snijden en een gegeven vlak p
aanraken.

Men kan hier weer het geval onderscheiden, dat de eene
rechte van cf op vier stralen vi, va, vs, Vi rust en de andere op
y», en het geval, dat de eene rechte ui, >2, n snijdt, terwijl
de andere Ui en vö ontmoet.

Voor \'t geval een der rechten van S, b.v. ti, op vi, y2, ys,
rust, is het vlak van S bepaald door het punt en de rechte
tl. Men zoekt nu het snijpunt Qs van ys met dit vlak, dan
is de tweede rechte t2 van ^ de lijn, die Qs verbindt met het
snijpunt van ti en p\\ immers het dubbelpunt van 5 moet in
p liggen. Daar er twee transversalen rusten op yi, y2, ys, y4 en
men de vijf rechten y op vijf manieren vier aan één kan
rangschikken, vindt men 5X2 = 10 ontaardingen. Elk is
echter dubbel te tellen, omdat p een dubbel raakvlak is, dus
men vindt op deze wijze 20 oplossingen.

Als de eene rechte van ê, b.v. ti, op drie rechten yi,y2, ys
rust, dan is de meetkundige plaats van ii een quadratisch
regelvlak. Het vlak van S moet door /x en ti gaan, is dus
een raakvlak uit /x aan dit quadratische regelvlak.

De tweede lijn t^ van 5 moet in het vlak door y en ti
liggen en op y4 en ys rusten. Men kan volgens het beginsel
van het behoud van het aantal onderstellen, dat y4 en ys elkaar
in een punt L snijden, dus in één vlak A liggen. Een trans-

versaal van v^ en >5 moet dus öf door L gaan öf in A. liggen.

Gaat tl door L, dan moet het vlak van ^ door en L
gaan. Men moet dan door de rechte y L een raakvlak aan
het bovengenoemde quadratische regelvlak aanbrengen. Dit
is op twee manieren mogelijk en t\\ is zoodoende op twee
manieren bepaald. Nu snijdt t\\ het vlak p in het dubbelpunt
en de verbindingslijn van dit dubbelpunt met L is t^. Men
kan vi, ^3, ^4, vs op 10 manieren drie aan twee rangschikken;
elke rangschikking geeft twee ontaardingen en elke ontaarding
is dubbel te tellen, omdat p een dubbel raakvlak is. Hier
vindt men dus 10 X 2 X 2 = 40 oplossingen.

Ligt t2 in A, dan moet, daar t^ het vlak p in het dubbel-
punt snijdt, dit dubbelpunt liggen op de snijlyn van A en p.
Op deze snijlijn moet dus ti ook rusten en daar deze tevens
rust op vi, Vb, vindt men hier twee rechten ti die voldoen.
Verder kan men hier ook 10 combinaties maken; elke rang-
schikking geeft twee rechten ti, dus twee ontaardingen, en
iedere ontaarding is dubbel te tellen, omdat p een dubbel
raakvlak is. Ook hiervindt men dus 10X2X2 = 40 oplossingen.

In het geheel zijn er 20 40 40 = 100 antwoorden, dus

^ IX p 100.

Weer gaat het vlak der ontaarding door een gegeven punt//.
en verder moeten de ontaardingen vier rechten vi, vg, vs, V4
snijden en twee vlakken pi en p2 aanraken. Het dubbelpunt
der S moet dus op de snijlijn I12 van pi en p2 hggen.

Legt men eene transversaal ti op vi, y2, vs, h 2, dan is het
vlak der ontaarding bepaald door y en ti. Het snijpunt van
tl met I12 is het dubbelpunt; verbindt men dit punt met het
snijpunt Q4 van V4 met het vlak door [x en ti, dan is deze
verbindingslijn de rechte tz van

De rangschikking drie aan één van vi, vg, vg, V4 is op vier
wijzen mogelijk; elke rangschikking geeft tz^fee transversalen ^i,
dus twee ontaardingen en elke ê is voor vier te tellen,
omdat pi en p2 dubbele raakvlakken zijn. Zoo vindt men dus
4 X 2 X 4 = 32 oplossingen.

45

Laat men de eene reclite U van ^ rusten op v\\ en v^ en
de andere rechte h op vs en y4, dan is h eene beschrijvende
lijn van het quadratische regelvlak (vi, va, l\\ 2) en h van (vs, V4, l\\ 2).
Men zoekt nu uit y een gemeenschappelijk raakvlak van deze
beide regelvlakken. Er zijn vier gemeenschappelijke raak-
vlakken; één van deze kan men niet gebruiken n.1. het vlak
door y en /12, de gemeenschappelijke beschrijvende lijn van
beide regelvlakken. Immers de vier snijpunten van vi, us, n
met het vlak door y en In vormen een"* volledigen vierhoek,
waarvan de diagonaalpunten in het algemeen niet op h 2 liggen.
Er blijven dus drie bruikbare gemeenschappelijke raakvlakken
over. Men kan vi, V2, vs, V4 op drie wijzen twee aan twee
combineeren; elke combinatie geeft drie oplossingen en elke
oplossing is voor vier te tellen, daar px en p^ dubbele raak-
vlakken zijn. Op deze manier vindt men dus 3 X 3 X 4 = 36
oplossingen.

In het geheel voldoen dus 32 36 = 68 antwoorden, zoodat
^ A p\' = 68.

Weer gaan de vlakken der ontaardingen door een gegeven
punt terwijl de kegelsneden drie gegeven rechten vi, >2, vs
moeten snijden en drie gegeven vlakken pi,p2,pa aanraken.

Het dubbelpunt moet hier dus liggen in het snijpunt P van
Pi, p2, pa- Pe eene rechte h van ^ gaat door P en rust op
vi en y2, is dus geheel bepaald. Dan is door y en ti ook het
vlak van ^ bepaald en als va dit vlak in Qs snijdt, is de rechte
P Qs de tweede lijn tz van die ook volkomen bepaald is.
Bij deze rangschikking krijgt men dus slechts ééne ontaarding S,
die echter voor acht tellen moet, daar pi, p2, pa dubbele raak-
vlakken zijn. Omdat men vi, ^2 en vs op drie wijzen twee
aan één kan rangschikken, vindt men dus in het geheel
3 X 8 = 24 oplossingen, zoodat

^ jx y^ p^ = 24.

Hier zou de voorwaarde p^ eischen, dat het dubbelpunt
der ontaarding tegelijk in vier vlakken moest liggen. Omdat

46

dit in het algemeen onmogelijk is, heeft men

IJ^ p-i = 0.

S // V p^. Om dezelfde reden is

S (M p^. Eveneens vindt men

§ 5.

^ y\'\'. Hier moeten de ontaardingen zeven gegeven stralen vi, vz, va,
V4, VS, Vc, V7 snijden. De eene rechte U van r) snijdt vi, V2, va, >4,
de andere is een transversaal h van 2/5, ve, v? en fi. Daar er
35 combinaties vier aan drie van vi, va, V4, vs, vs, v? zijn,
terwijl elke rangschikking twee transversalen tx geeft en elke tx
twee transversalen h, krijgt men hier 35 X 2 X 2 = 140 op-
lossingen. Dus is

^ = 140.

^ y® p. Hier moeten de kegelsneden zes gegeven stralen vx, vg, va, V4,
VS, V6 snijden en een gegeven vlak p aanraken. Het dubbel-
punt van 5 moet dus in p liggen. Men kan hier twee stellen
oplossingen vinden.

Men legt de transversaal tx op vi, V2, va, V4 en uit het sny-
punt van tx met p de transversaal op vs en ve; deze is dan
de andere rechte fa van è. Men kan 15 combinaties vier aan
twee van n, va, va, V4; ys, ve maken; elke rangschikking geeft
twee rechten tx en elke oplossing is dubbel te tellen, omdat p
door het dubbelpunt gaat. Op deze wijze vindt men dus
15 X 2 X 2 = 60 oplossingen.

Laat men tx rusten op vi, va, va en i!a op V4, vs, ve, dan vormen
tx en t2 ieder een quadratisch regelvlak, welke beide regel-
vlakken p ieder in eene kegelsnede snijden. Deze kegelsneden
hebben vier punten gemeen, waardoor dus een tx en een fa gaan.
Daar er tien combinaties drie aan drie van yi, ya, va, y4, vs; ve
mogelijk zijn, terwijl iedere rangschikking vier ontaardingen

47

geeft en elke ontaarding dubbel te tellen is, omdat p een dubbel
raakvlak is, heeft men hier 10X4X2 = 80 oplossingen-

In \'t geheel zijn er 60 80 = 140 antwoorden, dus is

= 140.

De ontaardingen moeten hier vijf gegeven stralen vi,
V4, vó snijden en twee gegeven vlakken pi en p2 aanraken. Het
dubbelpunt der ontaardingen ligt dus op de doorsnede h^
van pi en p^.

Legt men een transversaal h op vi, va, vs, ^12, dan kan men
uit het snijpunt van h en ht ééne rechte t2 vinden, die op
Ui en y5 rust. Daar er 10 combinaties drie aan twee van
Vi, ^2, V3, zijn, terwyl iedere rangschikking twee transver-

salen tl, dus twee ontaardingen geeft en elke ontaarding voor
vier te tellen is, omdat pi en p2 door het dubbelpunt van d
gaan, heeft men hier 10 X 2 X 4 = 80 oplossingen, zoodat

Sy-^p^^ 80.

Hier snijden de kegelsneden vier gegeven stralen yi, ys, vs, V4
en raken drie gegeven vlakken pi, pz en ps aan. Het dubbel-
punt ligt hier in het snijpunt P van pi, p2, ps-

Men legt de transversaal ti uit P op yi en ^2 en de trans-
versaal (2 uit P op ys en y^. De ontaarding blijkt hier volkomen
bepaald te zijn, doch geldt voor acht oplossingen, omdat
pi, p2, ps dubbele raakvlakken zijn. Men kan yi, ^2, vs, \'M op
drie wijzen twee aan twee rangschikken en vindt dus 3 X 8 = 24
oplossingen.

Men heeft dus

= 24.

\\ 3 4

De ontaardingen moeten drie rechten vi, yg, vs snijden en
vier vlakken pi, p2, ps, pi aanraken. Daar echter het dubbel-
punt in het algemeen niet in vier vlakken tegelijk ligt, heeft
men hier geene oplossing, zoodat

^ y^ / = 0.

^y^p^. Om dezelfde reden is

5 y2 5 ^

^ V p^. Eveneens is

y p\'\' = 0.

Iq-^. Ook is

§ 6.

■/j fj} y^. De onlaardingen der tweede klasse, die aan deze voor-
waarden zullen voldoen, moeten vier gegeven rechten vi, va, y^, v^
snijden, terwijl haar vlak door drie gegeven punten gaat. Dit
vlak is dus geheel bepaald en aangezien vi, ya, vs, y^ dit vlak
in vier punten Qi, Q2, Qs, Qi snyden, die in het algemeen niet
op ééne rechte liggen, is dus in het algemeen geene oplos-
sing mogelijk. Dus

\'/j (j.^ y^ p. Ook hier is het vlak der ontaardingen door bepaald,
maar omdat de drie gegeven rechten yi, ya, ys dit vlak in drie
punten Qi, Q2, Qs snijden, die in het algemeen niet op ééne
rechte liggen, is

vj [x^y^p^. De voorwaarde bepaalt weer het vlak van yj, en dit vlak
wordt door de gegeven rechten yi en ya in twee punten Qi
en Qa gesneden. De verbindingslijn Qi Qa is de lijn l van
die dus volkomen bepaald is. De beide rangpunten zijn de
snijpunten van I met de gegeven vlakken pi en p2. Aange-
zien yi en ya de lijn l in een dubbelpunt snijden, is deze
eenige oplossing voor vier te tellen, zoodat

v) /y.® y p^. Hier is het vlak van v\\ bekend en verder moeten een ge-
geven straal y gesneden en drie gegeven vlakken pi, p^, pa
aangeraakt worden.

49

Men zoekt de snijlijnen wi, nu van ^i, pa met het vlak
dan zal één rangpunt liggen jn het snijpunt van twee der
drie lijnen n. Dit rangpunt bepaalt met het snijpunt Q van
V en de lijn l van vj. Het snijpunt van l met de derde
der snijlijnen n is het tweede rangpunt. Daar men ni, «2, «3
op drie wijzen twee aan één kan rangschikken, en elke op-
lossing dubbel te tellen is, omdat y de lijn l snijdt in een
dubbelpunt; zijn er 3X2 = 6 oplossingen. Dus is

■/I (j/ y p^ = 6.

p^. Het vlak wordt door de vier vlakken pi, p^, pa, pi gesne-
den volgens een volledige vierzijde, Avaarvan elke twee over-
staande hoekpunlen als rangpunten kunnen worden opgevat.
Er zijn drie combinaties twee aan twee der vier snijlijnen
ni, n2, na, n^ van pi, p2, pa, pi met zoodat er drie oplossingen
zijn en dus

1 y^. Hier gaan de vlakken der ontaardingen door twee gegeven
punten, dus door eene gegeven rechte Verder zou de
lijn l van v) op vijf gegeven stralen vi, y2, ya, yi, ys moeten
rusten, wat in het algemeen onmogelijk is, dus

H yJ = 0.

IZ-i^y^^. Hier zou de lijn l op de rechte en op de vier gegeven
stralen yi,y2,yajyi moeten rnsten, wat niet kan, zoodat ook

V) yV = 0.

\'\'\'j^^p^. liier moet de lijn l van vj rusten op en op drie gegeven
stralen yi, y2, va, terwijl de rangpunten in de twee gegeven
vlakken p hggen. Men legt een transversaal op yi, ya, ya;
zij is de lijn l van Vj, die pi en p2 in de rangpunten snijdt.
Omdat er tivee transversalen rusten op yi, ya, ya en elke
oplossing voor acht te tellen is, omdat l de drie rechten
yi. ya en vs dubbel snijdt, is het aantal oplossingen 2X8 = 16, dus

50

>) De lijn l van >) moet op /x^ en op twee gegeven stralen

Ui en P2 rusten, terwijl de rangpunten in de vlakken p moeten
liggen.

Men kan hier niet het snijpunt der drie vlakken pi^ p^, ps
als eene rangpunt aannemen, want uit dit punt kan geene
rechte getrokken worden, die op vi, va rust. Men kan
echter wel de lijn l op (jJ^, yi, V2 en de snijlijn ni2 van pi en p2
leggen, dan snijdt l de lijn «12 in het eene en het vlak ps in
het tweede rangpunt. Men kan de vlakken pi, p2, ps op drie
manieren twee aan één combineeren; elke rangschikking geeft
hvee transversalen en elke oplossing is voor vier te tellen, omdat l
de stralen n en U2 dubbel snijdt, dus vindt men 3 X 2 X 4 = 24
oplossingen, zoodat

Vi = 24.

vj y p\'^. De ontaarding rust op [jJ^ en den gegeven straal yi en
moet de vier gegeven vlakken pi, p2, pa, pi aanraken. Men kan
hier twee stellen oplossingen vinden.

Laat men de lijn l van vj gaan door het snijpunt P123 van
de vlakken pi, p2, pa en rusten op y en dan ligt het eene
rangpunt in P123 en het andere in het snijpunt van l met pi.
Men kan pi, p2, pa, pi op vier wijzen drie aan één combineeren
en elke oplossing is dubbel te tellen, daar zij y dubbel snijdt,
zoodat men hier 4X2 = 8 oplossingen vindt.

Laat men de lijn l van rusten op (jJ^, y en de doorgan-
gen ni2 van pi en en nsi van pa en ^4, dan ligt het eene
rangpunt op ni2 en het andere op nsi. Er zijn voor elke
rangschikking twee transversalen van v, /x^, W12, nsi en men
kan pi, p2, pa, Pi op drie manieren twee aan twee rangschikken.
Bovendien is elke oplossing dubbel te tellen, daar y dubbel
gesneden wordt, zoodat men op deze wijze 2X3X2 = 12
oplossingen vindt.

In het geheel zijn er dus 8 12 = 20 oplossingen, zoodat
(M^ y p^ = 20.

vifj^p^. Hier moet rusten op (x^ en de rangpunten moeten in de
gegeven vlakken pi, p2, ps, Pi, ps liggen.

51

Men kan hier vj leggen door het snijpunt P van drie der
vijf vlakken en haar laten rusten op en de snijlijn der
overige twee vlakken p. De lijn l van is dan volkomen
bepaald en daar men pi, p^, ps, p^, pa op 10 manieren drie aan
twee kan rangschikken, zijn hier tien oplossingen mogelijk.

Men heeft dus

(X y®. Hier gaat het vlak van >) door een gegeven punt /x en
moet Vj zes gegeven stralen vi, va, n, V4, vs snijden. Daar
eene rechte niet op zes rechten kan rusten, is in het alge-
meen geene oplossing mogelijk, zoodat

Vj [X y® = 0.

p. Daar de lijn l van ^/j in het algemeen niet op vijf gegeven
stralen kan rusten, is

Ij [j, p = 0.

^jxjAp^ Het vlak van moet door een vast punt (x gaan en vj
moet vier gegeven stralen yi, y^, us, V4 snijden en de rang-
punten in pi en p^ hebben.

Men legt de transversaal l op vi, yg, vs, V4; dan is het vlak
der ontaarding bepaald door y en l. De rangpunten liggen
in de snijpunten van l met pi en met p^. Daar op yi, va, vs, V4
twee transversalen l rusten, en iedere oplossing voor 16 te
tellen is, omdat yi, yg, vs, V4 dubbel gesneden worden, voldoen
er 2 X 16 = 32 antwoorden, dus

y 32.

\'Ayv^^ Het vlak van ^ gaat weer door y en verder moeten drie
gegeven rechten yi, ya, vs gesneden en drie gegeven vlakken
pi, P\'i, ps aangeraakt worden.

Men legt eene rechte l op vi, va, n en de snijlijn W12 van
pi en p2. Het vlak van Vj is dan bepaald door y en l. In
«12 ligt het eene en in ps het tweede straalpunt n.1. in hun
snijpunten met l. Men kan ^2, ps op drie manieren twee

52

aan één combineeren; elke rangschikking geeft twee transver-
salen l, elke oplossing is voor acht te tellen, omdat yi, va, vs
dubbel gesneden worden en men heeft dus 3 X 2 X 8 = 4\'8
oplossingen, zoodat

^/j [X y^ p\'^. Weer gaat het vlak door y; hier moeten twee rechten
yi en ya gesneden en vier vlakken pi, p^, pa, pi aangeraakt
worden. Men kan hier weer twee stellen oplossingen vinden.

Legt men l door het snijpunt P van pi, p^, ps en op ut en yg,
dan is het vlak van yj bepaald door en l. Het eene rang-
punt is het snijpunt P der vlakken pi, p^, ps, het tweede
rangpunt is het snypunt van l met p^. Men kan p\\, p2, ps, pi
op vier manieren drie aan één combineeren en elke oplossing
is voor vier te tellen, omdat ui en yg dubbel gesneden worden.
Men vindt dus 4 X 4 = 16 oplossingen.

Legt men l op yi, yg en de snijlijnen «12 van px en p^ en W34
van ps en p4, dan is het vlak weer door y en l bepaald. De
snijpunten van l met «12 en «34 zijn de rangpunten. Men
kan pi, p2, ps, /34 op drie wijzen twee aan twee combineeren;
elke rangschikking geeft tivee lijnen l en elke oplossing is
voor vier te tellen, omdat yi en y2 dubbel gesneden worden.
Hier vindt men dan 3 X 2 X 4 = 24 oplossingen.

In het geheel zijn er 16 24 = 40 oplossingen, dus

IJ, pi == 4Q.

Het vlak van ^ gaat door [j. en moet ééne rechte y snijden
en vijf vlakken p\\, p2, ps, p^, pó aanraken.

Men kan de lijn l van -/i door het snijpunt P van pi, p2, ps
trekken en op y en de snijlijn W54 van p5 en pi laten rusten.
Men kan pi, p2, ps, pi, ps op tien manieren drie aan twee rangschik-
ken en elke oplossing is dubbel te tellen, omdat y dubbel
gesneden wordt.

Dus er zijn 10 X 2 = 20 oplossingen, zoodat

V) (x y = 20.

Het vlak gaat door (x en er moeten zes gegeven vlakken
pl, P2, ps, pi, Pó, pü aangeraakt worden.

53

Men legt hier l door de snypunten P van ^i, p2, ps en Q
van Pi, p5, pe- Het vlak van >) is dan door fx en l bepaald.
De zes vlakken pi, p2, ps, pi, pa, ps kan men op tien wijzen drie
aan drie combineeren, zoodat er 10 oplossingen zijn en dus

p^ = 10.

Jj y"\'. De lijn l van vj kan niet op zeven rechten rusten, dus

^ p. De lijn l van vj kan ook niet zes rechten snijden, dus

V V = 0.

\'^u^p^. Ook kan de lijn l van niet vijf rechten ontmoeten, dus

yö ^^ = 0.

^y^p^. Daar l ook niet tegelijk op vier rechten en op de snijlijn
van twee vlakken p kan rusten, is

p^ = 0.

De lijn l kan niet drie lijnen y snijden en tevens twee
snijlijnen der vlakken p, zoodat

V3 pi = 0.

p^. Ook kan de lijn l niet op twee lijnen y en eene snijlijn van
twee vlakken p rusten en door het snijpunt der overige drie
vlakken p gaan, zoodat

^y^ = 0.

^ y De lijn l kan niet de rechte y ontmoeten en door twee
punten n.1. de snijpunten van pi, p2, ps en p^, p^, pe gaan, dus

^y p\'^ = 0.

Vj p\\ Daar de lijn l niet door de snijpunten van pi, p2, ps en van

~ Pi, p5, pe kan gaan en tegelijk in één van deze twee punten
het vlak p-^ ontmoeten, is dus

HOOFDSTUK IV.

Over stelsels van CXD^ kegelsneden en daardoor gevormde

oppervlakken.

§ 1.

Hier vindt men het stelsel kegelsneden, waarvan het vlak
gegeven is door de voorwaarde [j,^. De kegelsneden moeten
vier stralen n, va, vs, snijden, dus gaan door de vier snij-
punten Pi, Pa, P3, P4 van f/J met vi, va, vs, Dit stelsel is
klaarblijkelijk een bundel kegelsneden.

De bekende twee parabolen hierin vindt men, door er een
raakvlak bij te nemen en dan de snijlijn van dit raakvlak
met f/J naar het oneindige te laten gaan. De voorwaarde
fy.^ y^ p gaf twee kegelsneden, die hier dus tot parabolen
worden.

De bekende ontaardingen van den bundel ziet men terug
in de voorwaarden: ^ fx^ y^ — ^ en vj /z® = 0.

Als bijzonder geval van dezen bundel kegelsneden vindt
men een cirkelbundel, en wel als de snijpunten van yt en va
met /X® in de cyclische punten van het vlak liggen. Alle
cirkels van dezen bundel gaan door P3 en P4, dus de meet-
kundige plaats hunner middelpunten is de middelloodlijn
op P3 P4. _

/X® y® p. Hier vindt men een stelsel kegelsneden, waarvan het vlak
/X® is. Alle kegelsneden gaan door de snijpunten Pi, Pa, P3
van de rechten yi, ya, ys met en raken de snijlijn l van p
met aan.

In dit stelsel zijn vier parabolen, want neemt men er een
tweede raakvlak p bij, dan ontstaat de voorwaarde /x® y® = 4

55

en laat men nu de sniilijn van dit vlak p naar het oneindige
gaan, dan worden deze vier kegelsneden tot parabolen.

De ontaardingen van dit stelsel vindt men uit de voor-
waarden ^ y^ p = 6 en Tj yß y\'^ p = 0 en dit zijn drie lijnen-
paren, die elk dubbel in rekening gebracht worden.

De meetkundige plaats van de middelpunten der kegelsneden
zal hier eene kromme van den vierden graad zijn met vier
punten in het oneindige. De vier parabolen in het stelsel
y® p geven vier middelpunten in het oneindige, dus de
meetkundige plaats moet ook deze punten in het oneindige
bezitten.

Een bijzonder geval krijgt men ook hier, door twee snij-
punten b.v. die van yi en ya met naar de cyclische punten
te brengen. Alle cirkels gaan door het snijpunt Ps van ys
met /X® en raken de snpijn l van p met /x® aan. Een dezer
cirkels is M A, als A het voetpunt der loodlijn uit Ps op l is
en M het midden van P3 A. Verder voldoet als grensgeval de
lijn in het oneindige met de rechte door P3 evenwijdig met
deze heeft haar middelpunt dus in het oneindige. De meet-
kundige plaats der middelpunten zal hier een parabool zijn
met M tot top en symmetrisch ten opzichte van Ps A.

l-\'-^y^p^. Dit stelsel kegelsneden ligt weer in het vlak en alle
exemplaren moeten gaan door de snijpunten Pi en Pa van
jjJ^ met yi en ya en de snijlijnen h en h van /x® met pi en
ƒ52 aanraken.

In dit stelsel zijn vier parabolen, want neemt men er een
derde raakvlak bij, dan ontstaat de voorwaarde y^ p^ =
en deze kegelsneden worden tot parabolen, als men de snijlijn
van /X® met dit derde raakvlak naar het oneindige verlegt.

Men vindt hier de ontaardingen uit de voorwaarden
J /X® y^ p^ — 4 en -/j (x^ y^ = 4 en wel ééne viervoudige ont-
aarding van den tweeden graad en ééne viervoudige ontaarding
der tweede klasse.

De meetkundige plaats der middelpunten van de kegelsneden
in dit stelsel is eene kromme van den vierden graad met vier

56

punten in het oneindige, immers de middelpunten der vier
parabolen liggen in het oneindige.

Een bijzonder geval van dit stelsel kegelsneden vindt men,
als men Pi en P2 in de cyclische punten legt. Er ontstaat
dan een stelsel cirkels, die ^i en h aanraken, zoodat de meet-
kundige plaats hunner middelpunten gevormd wordt door de
twee deellijnen der hoeken, die h en U met elkaar maken.

(jJ" V p^. Het vlak /x® der kegelsneden is weer bekend en alle kegel-
sneden moeten eene rechte y snijden en drie vlakken pi, pa
aanraken; zij gaan dus door het snijpunt P van y met /x® en
raken de snijlijnen h, h, h, van pi, p^, ps met aan.

In dit stelsel vindt men de parabolen, door er een vierde
raakvlak bij te nemen, waardoor de voorwaarde v = 2
ontstaat. Men verlegt de raaklijn in naar het oneindige
en vindt dan twee parabolen.

De ontaardingen van dit stelsel vindt men uit ^ [x^ u p^ = 0
en \'/I (x^ y p^ = dus zes ontaardingen der tweede klasse, die
echter drie dubbel getelde zijn.

Men vindt hier geen cirkelbundel als bijzonder geval, daar
er geen twee punten gegeven zyn, waardoor alle kegelsneden
moeten gaan.

p^. Dit stelsel kegelsneden in /x® bevat alle exemplai^en, die
de snijlijnen h, I2, k, h van pi, p^, ps, pi met /z® aanraken. Dit
is klaarblijkelijk eene schaar kegelsneden. De eene parabool
der schaar vindt men, als men er een vijfde raakvlak bij
neemt, zoodat de voorwaarde p^ — 1 ontstaat, en vervolgens
de snijlijn van dit vijfde raakvlak met naar het oneindige
verlegt.

De bekende ontaardingen van de schaar vindt men terug
uit ^ (x^ p^ — O en -/j [x^ p^ = 3, dus de drie ontaardingen der
tweede klasse.

Ook hier vindt men geen cirkelbundel als bijzonder geval.

57
§ 2.

V®. De kegelsneden, waarvan de vlakken door twee gegeven
punten, dus door eene gegeven rechte gaan, en die vijf
stralen vi, va, vs, v^, vs snijden, vormen een oppervlak van den
achtsten graad. Immers zoekt men het aantal snijpunten van
dit oppervlak met eene willekeurige rechte, m. a. w. het aantal
kegelsneden, dat voldoet aan [j,^ y®, dan is dit aantal acht.

De gegeven rechte zal eene zesvoudige rechte op dit
oppervlak zijn. Legt men n.1. een willekeurig vlak door
dan vindt men daarin, behalve de rechte slechts ééne
kegelsnede, die de vijf rechten vi, va, vs, V4, vs ontmoet. Daar
de doorsnijding in dit vlak van den achtsten graad is, moet

zesmaal tot het oppervlak behooren. Uit eenig punt van
zullen dus zes kegelsneden van dit stelsel gaan; hieruit vindt
men eene vroeger gevonden waarde terug, n.1. P (u, y® = 6.

Dan volgt hieruit, dat de kegelsneden, die voldoen aan de
voorwaarde P y v^, dus door een gegeven punt gaan, vier
stralen snijden en hun vlak door een bepaald punt zenden,
een oppervlak vormen van den zesden graad. Op dit opper-
vlak zal P [j. eene viervoudige rechte zijn; want legt men
eenig vlak door P dan vindt men daarin, behalve de rechte
P y, slechts ééne kegelsnede, welke door vijf punten gaat.
De doorsnede is van den zesden graad, dus de rechte P
moet viermaal tot het oppervlak behooren.

Het punt P zal op deze rechte een vijfvoudig punt zijn,
omdat de eene icegelsnede er ook nog door gaat.

Uit elk punt van P y gaan dus vier kegelsneden van dit
stelsel, zoodat men hier weer terugvindt P^ y\'^ = 4.

De kegelsneden, die voldoen aan de voorwaarde P- v®, dus
door twee punten gaan en drie stralen snijden, vormen der-
halve een oppervlak van den vierden graad. Hierop is Pi Pa
eene dubbelrechte, omdat een willekeurig vlak door Pi Pa als
doorsnede behalve Pi Pa slechts ééne kegelsnede bevat. De
punten Pi en Pa zijn drievoudige punten op dit oppervlak,
daar deze ééne kegelsnede ook door beide punten gaat.

Op de zesvoudige rechte van het oppervlak, gevormd

58

door de kegelsneden, die aan de voorwaarde y® voldoen,
vormen die kegelsneden eene verwantschap, waarin met elk
punt der eene reeks zes punten der andere overeenkomen.
Deze (6,6) bevat 12 coïncidenties; dus vindt men hier terug,
dat T yö = 12 is, want elke coïncidentie geeft aan, dat eene
kegelsnede raakt aan y/.

Op dit oppervlak vindt men ook rechte lijnen, gevormd
door de ontaarde kegelsneden. Omdat n.1. S y® = 20 en
Vj y^ yö = O, liggen er 20 ontaardingen van den tweeden graad
of 40 enkelvoudige rechten op dit oppervlak.

Ook de rechten yi, yg, ys, y^,, ys liggen op het oppervlak, daar
zij door alle kegelsneden gesneden worden. Zij zijn enkel-
voudig, want een w^illekeurig vlak door y\'^ geeft slechts ééne
kegelsnede, die haar snijdt.

Een willekeurig Adak cp snijdt het oppervlak in eene kromme
van den achtsten graad met een zesvoudig punt L, den door-
gang van cp met de zesvoudige reclite y^. De klasse dier
kromme zij k, dan is k = n(n — 1) — 2 5 —3 z, waarin n
den graad der kromme, S haar aantal dubbelpunten en haar
aantal keerpunten voorstelt. Omdat het zesvoudige punt L
telt voor X 6 X 5 dubbelpunten en er verder geene dubbel-
of keerpunten zijn, is ^ = 8 X 7 — 6 X 5 = 26. Uit het zes-
voudige punt L gaan naar deze kromme dus nog 26 — 2X6 = 14
raaklijnen. Aan het vlak Cp zullen dus 14 kegelsneden van
het stelsel moeten raken en omdat cp geheel willekeurig ge-
nomen is, vindt men hier terug, dat y^ y® = 14 is.

Er zullen 14 parabolen op dit oppervlak liggen, want legt
men het vlak cp in het oneindige, dan worden de 14 kegel-
sneden, die cp aanraken, tot parabolen.

De meetkundige plaats der middelpunten van de kegel-
sneden in liet stelsel (fx^ y®) is eene ruimtekromme van den
14en graad; immers er liggen 14 punten in het oneindige.
Elk vlak door /x^ geeft slechts ééne kegelsnede door vijf punten,
dus één punt der meetkundige plaats buiten y,^. Dus yJ
wordt 13 maal door deze ruimtekromme gesneden.

59

\'ilj^th kegelsneden, die aan deze voorwaarde voldoen, vormen

een oppervlak van den graad. Immers het aantal snij-

punten van dit oppervlak met eene rechte wordt bepaald
door de waarde van yJ^ y® p en deze is 14.

De rechte /x® is eene tienvoudige rechte op dit oppervlak.
Legt men n.1. een willekeurig vlak door dan liggen, be-
halve /x^, in dat vlak twee kegelsneden, die door de vier
snijpunten met vi, vs^ vs, V4 gaan en de snijlijn met p aanraken.
Daar de doorsnijding van den graad 14 is, moet/x^ tienvoudig
zijn. Uit elk punt van yJ^ gaan dus 10 kegelsneden van dit
stelsel, waaruit men terugvindt, dat F y y^ p = 10 is.

De kegelsneden, die voldoen aan de voorwaarde P y y® p,
vormen dus een oppervlak van den tienden graad met eene
zesvoudige rechte P y, omdat een vlak door P (x behalve deze
rechte twee kegelsneden bevat en de doorsnede van den
tienden graad moet zpi.

Uit elk punt van de rechte P y gaan dus zes kegelsneden
van dit stelsel, waaruit weer volgt, dat P^ y® = 6 is. Dus
de kegelsneden, die voldoen aan de voorwaarde P^ y^ p, vormen
een oppervlak van den zesden graad met een dubbelrechte
Pl P2, want een vlak door Pi P2 bevat, behalve deze rechte,
nog twee kegelsneden, en de doorsnijding moet van den graad
zes zijn. De punten Pi en P2 zijn dan viervoudige punten
op dit oppervlak, omdat de beide kegelsneden ook door Pi
en P2 gaan.

Op de tienvoudige rechte van het oppervlak {(j/ y\'^ p)
bepalen de kegelsneden eene verwantschap (10, 10). Deze
heeft 20 coïncidenties, zoodat door 20 kegelsneden wordt
aangeraakt, waaruit men terugvindt, dat T y^ p = 20 is.

Op dit oppervlak liggen ook rechte lijnen, gevormd door de
ontaarde kegelsneden in het stelsel y^ p. Omdat c) y\'^
en i/j y^ p — O, vindt men hier 34 ontaardingen van den
tweeden graad, dus 34 rechte lijnen, omdat elke figuur ^ in
het genoemde aantal voor eene dubbele oplossing is gerekend.

Ook de rechten yi, ya, ys, yi liggen op dit oppervlak, omdat
alle kegelsneden op hen rusten. Zij zijn evenwel dubbel-
rechten, omdat een vlak door twee kegelsneden bevat.

60

die n, V2, vs, Vi snijden. Door elk punt van yi, va, vs, gaan
dus twee raakvlakken aan het oppervlak.

/x^ y^ p^. Het oppervlak, dat gevormd wordt door de kegelsneden,
die aan deze voorwaarde voldoen, is van den graad 24, omdat
p^ = 24.

Een willekeurig vlak door (x^ geeft vier kegelsneden, die
door de drie snypunten met yi,y2, va gaan en de snijlijnen
met pi en p^ aanraken. Daar de doorsnede in dit vlak van
den graad 24 is, moet /x^ eene zestienvoudige rechte op dit
oppervlak zijn. Uit elk punt van (x^ gaan dus 16 kegelsneden,
waaruit men terugvindt, dat is.

De kegelsneden, die aan de voorwaarde F (x y^ p^ voldoen,
zullen dus een oppervlak van den graad 16 vormen, waarop
F y eene achtvoudige rechte is. Immers in een vlak door
F y hggen, behalve P [x zelf, vier kegelsneden door drie punten,
die twee rechten aanraken. Uit elk punt van P/x gaan dus
acht kegelsneden van dit stelsel, waaruit volgt dat P^ y^ p^
= 8 is.

De kegelsneden met de voorwaarde P^ y p^ vormen dus een
oppervlak van den achtsten graad. Omdat in een vlak door
Pl P2 vier kegelsneden liggen en de doorsnijding van den graad
acht is, ligt de rechte Pi Pa niet op dit oppervlak. De punten
Pl en P2 zijn echter viervoudige punten op dit oppervlak,
want in elk vlak door Pi en P2 gaan vier kegelsneden door
beide punten.

De rechten yi, ya, ys zijn viervoudige rechten op het opper-
vlak {y^ y^ p\'^). Immers in een vlak door /..t^ liggen vier kegel-
sneden, die deze rechten snijden.

Verder hggen op dit oppervlak nog rechte lijnen, gevormd
door de ontaarde kegelsneden van het stelsel [x^ y® p\'^. Deze
vindt men uit ^y® = 24 en Vj (x^ y^ p^ = Iß en dit zijn
zes viermaal getelde ontaardingen van den tweeden graad en
twee achtmaal getelde ontaardingen der tweede klasse. Op
dit oppervlak liggen dus nog 12 -j- 2 = 14 rechte lijnen.

61

Op de 16-voudige rechte /x^ vormen de kegelsneden van
het stelsel [a^ y^ p^ eene verwantschap (16, 16). Deze heeft
32 coïncidenties, doch deze zijn niet alle raakpunten voor
kegelsneden. Op dit oppervlak liggen nl. ontaardingen der
tweede klasse, die op /x^ rusten en dus [j,^ in twee samen-
vallende punten snijden. Daar echter geen rangpunt van deze
ontaardingen op ligt, is dus geene raaklijn der figuur.
Om dus het aantal kegelsneden te vinden, dat aan raakt,
moet men van de 32 coïncidenties aftrekken de 16 coïnciden-
ties, ontstaan uit de snijding van /x^ met de ontaardingen
der tweede klasse. Dus /x^ is raaklijn voor 16 kegelsneden,
waaruit men terugvindt, dat = is.

Daar y^ p^ = 24, is het oppervlak, gevormd door de kegel-
sneden, die aan de voorwaarde /x^ y^ p^ voldoen, van den
243teii graad.

Dit oppervlak bevat yJ als zestienvoudige rechte, want in
een vlak door /z^ liggen vier kegelsneden door de snijpunten
met yi en va, die de snijlijnen met pi, p2, ps aanraken. Daar
de doorsnede van den graad 24 is, moet 16-voudig zijn.
Uit elk punt van gaan dus 16 kegelsneden van dit stelsel,
zoodat P /z V® p^= 16.

De kegelsneden met de voorwaarde P /z y p^ vormen dus
een oppervlak van den zestienden graad. Dit bevat de acht-
voudige rechte P y, omdat in een vlak door P behalve deze
rechte, vier kegelsneden liggen en de doorsnede van den graad
zestien is. Uit elk punt van P y gaan dus acht kegelsneden
van dit stelsel, zoodat F^ y p^ = 8.

De kegelsneden met de voorwaarde P^ p^ vormen dus een
oppervlak van den graad 8, waarop de rechte Pi P2 niet ligt,
want een vlak door Pi P2 geeft als doorsnijding vier kegel-
sneden. De punten Pi en P2 zijn echter viervoudige punten
op dit oppervlak, want in eenig vlak door Pi en P2 liggen
vier kegelsneden door deze beide punten.

Op het oppervlak y^ p^) zijn vi en 1^2 viervoudige rechten.

62

omdat in een vlak door /x^ vier kegelsneden liggen, die op
Ul en n rusten.

Ook liggen er nog rechten op dit oppervlak, afkomstig van
de ontaardingen in dit stelsel en deze vindt men uit 5 (x^ y^ p^
— 8 en Vj y^ p^ = 24. Dit zijn echter ééne ontaarding
van den tweeden graad, die achtmaal in rekening is gebracht
en zes ontaardingen der tweede klasse, die elk voor vier
geteld moeten Avorden. Dan liggen er dus 2 6 = 8 rechten
op dit oppervlak.

Op de zestienvoudige rechte /x® vormen de kegelsneden van
dit stelsel y^ p^ eene verwantschap (16, 16), die 32 coïnci-
denties heeft. Hieronder zijn ook de snijpunten van /x\'^ met
de ontaardingen der tweede klasse en dit zijn er 24. Daar
[x^ hiervoor geene raaklijn is, omdat geen straalpunt op [x^
ligt, zijn er maar acht kegelsneden, die (x^ aanraken. Daaruit
vindt men terug, dat T y^ p^ = 8 is.

De kegelsneden, die aan deze voorwaarde voldoen, vormen
een oppervlak van den zestienden graad, omdat (x^ y^ ^^ = 16.

In [x^ heeft dit oppervlak eene 12-voudige rechte, omdat
een vlak door [x^ als doorsnede, behalve [x^, nog twee kegel-
sneden bevat, die door een punt gaan en vier rechten raken.
Uit elk punt van (x^ gaan dus 12 kegelsneden van dit stelsel,
zoodat men terugvindt, dat P (x y p^ = I\'S, is.

De kegelsneden, die aan de voorwaarde P [x p\'^ voldoen,
vormen een oppervlak van den twaalfden graad met de acht-
voudige rechte P [x. Immers in een vlak door P fx liggen,
behalve deze rechte, nog twee kegelsneden. Uit elk punt
van P [X gaan dus 8 kegelsneden, waaruit opnieuw volgt, dat
PV\' = 8 is.

De rechte y is eene dubbelrechte op het oppervlak {(x^ y p\'^),
want in eenig vlak door (x^ liggen tAvee kegelsneden, die beide
op y rusten.

Verder liggen er op het oppervlak nog rechte lijnen, die
afkomstig zijn van de ontaardingen in dit stelsel. Deze vindt
men uit 5/x® y / = O en (x^ y p\'^ = 20 en Avel alleen 10 ont-

63

aardingen der tweede klasse, die elk tweemaal in rekening
worden gebracht. Dus door yß gaan 10 vlakken, die het
oppervlak langs eene rechte raken.

Op de 12-voudige rechte yß vormen de kegelsneden eene
verwantschap (12, 12), dus met 24 coïncidenties. Hieronder
zijn er 20, afkomstig van de 20 ontaardingen der tweede
klasse en die niet m.eetellen voor raakpunten. Er zijn dus
vier kegelsneden, die yJ^ aanraken, waaruit opnieuw volgt, dat
= 4 is.

p^- De kegelsneden vormen hier een oppervlak van den acht-
sten graad, omdat yJ^ u p" = 8.

In [x^ heeft dit oppervlak eene zesvoudige rechte, omdat
een vlak hierdoor, behalve slechts ééne kegelsnede bevat,
die aan vijf rechten raakt. Uit elk punt van [x^ gaan dus
zes kegelsneden van dit stelsel, waaruit men terugvindt, dat
P = 6 is.

Op het oppervlak (fz^ p^) liggen rechte lijnen, afkomstig van
de ontaardingen in het stelsel. Deze vindt men uit ^ fx^ p^ = O
en VI p^ — 10, dus 10 enkelvoudige ontaardingen der tweede
klasse.

Een willekeurige doorsnede van het oppervlak met een vlak
Ó is eene kromme van den graad 8 met een zesvoudig punt
L. Dit punt is het snijpunt van de zesvoudige rechte /x^ met
(p. Deze kromme is dus van de klasse 8X7 — 6X5== 26
en het aantal raaklijnen uit L aan deze kromme is dus
26 — 2 X 6 = 14. Maar hieronder zijn 10 oneigenlijke raak-
lijnen, want de 10 ontaardingen der tweede klasse geven in
cp ook twee samenvallende punten. Dit zijn in het algemeen
geene raaklijnen voor die ontaardingen, want hare straalpunten
liggen in het algemeen niet in cp. Dus cp wordt door vier
kegelsneden aangeraakt en men vindt hier dus terug, dat
= 4 is.

Op de zesvoudige rechte yJ van het oppervlak (/x^ p^) be-
palen de kegelsneden eene verwantschap (6, 6) met 12 coïn-
cidenties. De tien ontaardingen der tweede klasse op dit

64

oppervlak geven wel coïncidenties, doch geene raakpunten,
zoodat (x\'^ maar door hvee kegelsneden Avordt aangeraakt,
waaruit men terugvindt, dat T p^ = ^ is.

§ 3.

y y\'\'". De kegelsneden, waarvan het vlak door een gegeven punt
(X gaat en die zes gegeven rechten yi, 1/2, vs, vs, vs snijden,
vormen een oppervlak van den 34sten graad, omdat het aantal
snijpunten van dit oppervlak met eene rechte 34 is; immers
y y^ = 34.

Op dit oppervlak liggen yi, ya, yg, Vi, P5, ^s als zesvoudige
rechten, want uit eenig punt P op yi gaan zes kegelsneden
van dit stelsel, omdat P /x y® = 6 is.

Verder liggen op dit oppervlak rechte lijnen, die afkomstig
zijn van de ontaarde kegelsneden in dit stelsel. Deze vindt
men uit ^y\'\'= 70 en de 70 ontaardingen van

den tweeden graad leveren 140 rechten op dit oppervlak.

De meetkundige plaats der kegelsneden, die door een punt P
gaan, vier rechten yi, ya, vs, Vé snyden en Avaarvan het vlak door y
gaat, is een oppervlak van den zesden graad. Immers P y y® = 6,
dus het oppervlak geeft zes snijpunten met eene rechte.

Elk der rechten yi, ya, ys, n is eene enkelvoudige rechte op
het oppervlak (P (x y^), omdat uit elk van haar punten slechts
ééne kegelsnede van dit stelsel gaat. Legt men n.f. een vlak
door P, door een punt P\' van yi en door y, dan ligt daarin
slechts ééne kegelsnede door P, P\' en de snijpunten van dit
vlak met ya, vs, y^,.

Ook liggen er ontaardingen op dit oppervlak, Avant legt
men eene rechte t uit P op yi, va, en vervolgens een vlak
door (X en t, dan vormt de verbindingslijn van de beide
snijpunten van dit vlak met ys en yi de tweede rechte t\' van
een lijnenpaar, dat voldoet. Daar er zes combinaties van de
vier rechten zijn te maken, vindt men dus zes ontaardingen
van den tweeden graad op dit oppervlak; hierop liggen dus,
behalve yi, ya, ys, nog 12 rechte lijnen.

65

(J- y^ p. De kegelsneden, die vijf rechten n, V2, vs; >4, vs snijden, een
vlak p aanraken en haar vlak door y zenden, vormen een
oppervlak van den graad 52, omdat y p = 52 is.

De rechten vt, va, yg, vs zijn tienvoudige rechten op dit
oppervlak, want uit eenig punt op een dezer rechten gaan
tien kegelsneden van dit stelsel, omdat P y p — 10 is.

Verder liggen op dit oppervlak nog rechte lijnen, die af-
komstig zijn van ontaarde kegelsneden. Deze vindt men uit
^ [j, y® ƒ5 = 100 en >) [ji, p == 0. Er liggen 50 dubbelgetelde
ontaardingen van den tweeden graad, dus 100 rechten op dit
oppervlak.

De meetkundige plaats der kegelsneden, die door een punt
P gaan, drie rechten yi, ya, ys snijden en een vlak p aanraken,
terwijl haar vlak door y gaat, is een oppervlak van den tienden
graad, omdat P y p = 10 is.

Elk der rechten yj, ya, ys is eene dubbelrechte op dit opper-
vlak, omdat uit elk harer punten twee kegelsneden van dit
stelsel gaan. Legt men n.1. een vlak door P, door een punt
P\' van yi, en door dan liggen daarin f^i\'ee kegelsneden door
vier punten, die eene rechte aanraken.

Er liggen ook ontaardingen op het oppervlak (P /z y® p).
Legt men n.1. eene rechte t uit P op y\\ en ya, vervolgens
het vlak door y en t en verbindt men het snijpunt van dit
vlak en ys met den doorgang van t op p, dan vormt deze
verbindingslijn met t eene ontaarding van den tweeden graad,
die voldoet. Men vindt drie combinaties van de drie rechten y
twee aan één, dus dit geeft drie lijnenparen of zes rechten
op dit oppervlak.

De kegelsneden, die aan deze voorwaarden voldoen, vormen
een oppervlak van den 76sten graad, omdat y y® p^ = 76 is.

De rechten yt, ya, ys, ui zijn 16-voudige rechten op dit opper-
vlak, want uit eenig punt op yi gaan 16 kegelsneden van dit
stelsel, omdat P y® ^^ = 16 is.

Verder liggen op dit oppervlak nog rechte lijnen, die af-
komstig zijn van de ontaardingen in dit stelsel. Deze vindt

66

men uit 5 y p^ = 68 en p^ = 32. Dit zijn 17 vier-

maal getelde lijnenparen en twee 16-maal getelde ontaar-
dingen der tweede klasse. Dit geeft dus samen 34 2 = 36
rechte lijnen op het oppervlak.

De kegelsneden, die door een punt P gaan, twee rechten
vi en ys snijden, twee vlakken pi en p^ aanraken en haar vlak
door (X zenden, vormen een oppervlak van den graad 16, om-
dat P [x p^ = 16 is.

De rechten yi en ya zijn viervoudige rechten op dit opper-
vlak, want uit elk van haar punten gaan vier kegelsneden van
dit stelsel. Legt men n.1. een vlak door P, door een punt P\'
van yi, en door [x, dan liggen daarin vier kegelsneden, die
door drie punten gaan en twee rechten aanraken.

Er liggen ook ontaardingen op dit oppervlak (P [x y^ p^),
want legt men eene rechte t uit P op yi en op de snijlijn /12
van pi en p2, vervolgens een vlak door /x en t en zoekt dan
het snijpunt Q van v^ met dit vlak, dan vormt de verbindings-
lijn van Q met het snijpunt van t en I12 de tweede rechte t\'
van een lijnenpaar, waarvan t de andere rechte is. Zoo vindt
men er nog een, dus er liggen twee lijnenparen of vier rechten
op het oppervlak.

Ook is er eene~ontaarding der tweede klasse. Legt men
n.1. de rechte t uit P op vi en yg; dan voldoet deze als dubbel-
rechte, waarvan het vlak door en t bepaald is. Hare rang-
punten liggen in de doorgangen van t op pi en p^. Langs
haar ligt een raakvlak door /y. aan het oppervlak.

l^-\' ^^ p^- Dit stelsel kegelsneden vormt een oppervlak van den graad
72, omdat y -A p^ = 72 is.

De rechten yi, yg, ys liggen er op en zijn 16-voudig, omdat
uit een willekeurig punt van yi zestien kegelsneden gaan;
immers P fx u^ p^ = 16.

Verder liggen op dit oppervlak nog rechte lijnen, afkomstig
van de ontaarde kegelsneden in dit stelsel. Deze vindt men
uit ^ a y® p^ = 24 en vj y y® p^ = 48 en wel drie achtmaal
getelde ontaardingen van den tweeden graad en zes achtmaal

67

getelde ontaardingen der tweede klasse. Er zijn dus samen
6 -h 6 = 12 rechten op dit oppervlak.

De kegelsneden, die door een punt P gaan, eenè rechte v
snyden, drie vlakken pi, p^, ps aanraken en hun vlak door [x
laten gaan, vormen een oppervlak van den graad 16, omdat
P IX p^ = 16 is.

De rechte y is eene viervoudige rechte op dit oppervlak,
want uit elk van haar punten gaan vier kegelsneden van dit
stelsel. Immers, legt men een vlak door P, door een punt
P\' van V, en door /x, dan liggen daarin vier kegelsneden door
twee punten, die drie rechten aanraken.

Er liggen ook ontaardingen op dit oppervlak. Verbindt
men het snijpunt Q van de vlakken pi, pa met P door eene
rechte t; legt daarna het vlak door ix en t en zoekt het sny-
punt R van dit vlak met v, dan vormt de rechte R Q met t
een lijnenpaar dat voldoet. Er liggen dus twee rechten op
dit oppervlak.

Legt men uit P de transversaal ^ op y en op eene snijlijn l
van twee der vlakken p, dan voldoet t als ontaarding der
tweede klasse, waarvan het vlak door y en t bepaald is.
Hare rangpunten liggen op l en in het derde raakvlak. Zoo
vindt men er drie, dus er liggen nog drie rechten op dit
oppervlak.

Zoekt men de kegelsneden, die raken aan eene rechte l,
drie stralen vi, vg, vs snijden en haar vlak door (x zenden, dan
vormt dit stelsel (T y y®) een dubbelvlak als ontaarding van
een quadratisch oppervlak. Immers zoekt men het aantal
kegelsneden van dit stelsel, dat eene rechte snijdt, dan is dit
aantal twee volgens de waarde van T jx -A. Deze rechte heeft
dus twee punten met dit vlak Qx, T) gemeen en het vlak is
dus een dubbelvlak.

IX p\'^. Dit stelsel kegelsneden vormt een oppervlak van den
graad 48, omdat ix y® p^ = 48 is.

De rechten yi en yg liggen er op en zijn twaalfvoudig, omdat

uit een willekeurig punt van vi of 12 kegelsneden gaan;
immers P y y p\'^ = 12.

Verder liggen op dit oppervlak rechte lijnen, afkomstig van
de ontaarde kegelsneden in dit stelsel. Deze vindt men uit
S (X p^ = O en Vj y y^ p^ = 40 en wel tien viermaal getelde
ontaardingen der tweede klasse. Er liggen dus tien rechten
op dit oppervlak.

De kegelsneden, die door een punt P gaan, vier vlakken
jöi, p\'i, pa, Pi aanraken en haar vlak door y zenden, vormen
een oppervlak van den graad 12, omdat P y y p^ = 1% is. Op
dit oppervlak liggen geene lijnenparen, omdat pi, p2, ps, pi
elkaar niet in één punt snijden.

Wel liggen er ontaardingen der tweede klasse op, want
legt men de transversaal t uit P op de snijlijnen hz en hi
van pl en p2 en van ps en pi, dan voldoet t als ontaarding
der tweede klasse, waarvan het vlak bepaald is door t en
en de rangpunten liggen in I12 en Isi. Daar men drie zulke
ontaardingen der tweede klasse vindt, geeft dit drie rechten
op het oppervlak.

Ook is eene rechte t mogelijk uit P naar het snijpunt Q
van drie vlakken p; deze ontaarding der tweede klasse voldoet,
want haar vlak is bepaald door y en t en hare rangpunten
liggen in Q en in het vierde vlak p. Omdat men vier zulke
ontaardingen vindt, geeft dit nog vier rechten op het oppervlak.

Zoekt men de kegelsneden, die raken aan eene rechte l,
aan een vlak p, twee stralen yi en va snijden en waarvan het
vlak door y gaat, dan vormen deze een viervoudig vlak als
ontaarding van een biquadratisch oppervlak. Immers zoekt
men het aantal kegelsneden van dit stelsel (T y y^ p), dat
eene rechte snijdt, dan is dit aantal vier, omdat T y y^ p = i is.
Deze rechte heeft dus vier punten met het vlak {y, T) gemeen,
dus {[x T) is een viervoudig vlak.

y" y p^- Het stelsel kegelsneden, dat hieraan voldoet, vormt een
oppervlak van den graad 24, omdat y y^ p^ = 24 is.

De rechte y ligt hierop en is zesvoudig, immers uit elk

69

harer punten gaan zes kegelsneden van dit stelsel, omdat
P y p^ = ß is.

Op dit oppervlak liggen nog rechte lijnen, afkomstig van
ontaarde kegelsneden. Deze vindt men uit ^ y y p^ = O en
Vj yy p^ — \'2,0 en wel tien dubbelgetelde ontaardingen der tweede
klasse. Er liggen dus op dit oppervlak tien rechte lijnen.

Zoekt men de kegelsneden, die raken aan eene rechte l,
aan iwee vlakken pi en p2, die eene rechte y snijden en haar
vlak door y zenden, dan vormt dit stelsel (T % y p^) een vier-
voudig vlak als ontaarding van een biquadratisch oppervlak.
Immers zoekt men het aantal kegelsneden van dit stelsel, dat
eene rechte snijdt, dan is dit aantal vier volgens de waarde
van T [X y^ p^. Elke rechte snijdt dit vlak in vier punten,
dus genoemd vlak is viervoudig.

(X Dit stelsel kegelsneden vormt een oppervlak van den graad 12,

omdat (x y p^ = 12 is.

Op dit oppervlak liggen rechte lijnen, afkomstig van de
ontaarde kegelsneden in dit stelsel. Deze vindt men uit
5 [X ö® = O en jx = 10, dus alleen tien enkelvoudige ont-
aardingen der tweede klasse. Er liggen dus tien rechten op
dit oppervlak.

Zoekt men de kegelsneden, die raken aan een rechte l, aan
drie vlakken pi, p2, pa en waarvan het vlak door [x gaat,
dan vormt dit stelsel T [x p\'^ een dubbelvlak als ontaarding
van een quadratisch oppervlak. Want zoekt men het aantal
kegelsneden van dit stelsel, dat eene rechte snijdt, dan is dit
aantal ttvee volgens de waarde van T (x y p^. Elke rechte
snijdt het vlak (T, (x) dus in twee punten, zoodat deze meet-
kundige plaats een dubbelvlak is.

§ 4.

De kegelsneden, die op zeven rechten rusten, vormen een
oppervlak, waarvan men den graad weer bepaalt uit het aan-

70

tal snijpunten met eene rechte. Deze graad is de waarde
van y®, dus 92.

De zeven rechten vi, V2, vs, vs, ve, >7 worden door alle
kegelsneden gesneden, liggen dus op dit oppervlak. Alle zijn
18-voudig, want P = 18, dus uit elk harer punten gaan
18 kegelsneden.

Verder liggen er nog rechten op dit oppervlak, die afkomstig
zijn van de ontaarde kegelsneden uit dit stelsel. Deze vindt
men uit d = 140 en vj p\'\' = O, dus 140 lijnenparen. Deze
geven echter 70 duhbelgetelde en 140 enkelvoudige rechten,
want elke transversaal op vier der zeven rechten wordt door
twee transversalen op haar en op de overige drie rechten tot
twee kegelsneden aangevuld.

Zoekt men de kegelsneden, die door een punt P gaan en
vijf rechten yi, ya, ys, yi, ys snijden; dan vormen deze een opper-
vlak van den graad 18, omdat P y® = 18 is.

Neemt men op een van de rechten yi, ya, ys, yi, ys eenig punt
P\', dan gaan daardoor vier kegelsneden van dit oppervlak
(P y^), omdat P^ y\'\' = 4 is. Dus elk van die vijf rechten is vier-
voudig op dit oppervlak.

Legt men door P eene rechte t op twee der vijf stralen
yi, ys, yi, vs, dan wordt deze door twee transversalen op t
en de overige drie stralen aangevuld tot twee ontaarde kegel-
sneden. Voor elke combinatie vindt men dus ééne dubbele
rechte en twee enkelvoudige rechten op dit oppervlak. Daar
men yi, y2, vs, Vi, ys op 10 manieren twee aan drie kan com-
bineeren, zijn er 10 dubbele en 20 enkelvoudige rechten op
dit oppervlak.

Men vindt ook nog 20 enkelvoudige rechten, als men op
vier der vijf stralen y eene transversaal t legt en uit P eene
transversaal op t en op de vyfde rechte y. Men vindt n.1.
vijf combinaties vier aan één van yi, ya, ys, yi, vs en telkens
twee transversalen op vier rechten, dus 10 lijnenparen of
20 rechten.

Legt men een vlak door P en yi, dan ligt daarin de vier-
voudige rechte yi; vier dubbele rechten, omdat men uit P
eene rechte naar elk der vier doorgangen van y^, y^, yi, ys kan

71

trekken en deze dubbel te tellen is, daar zij tot twee ontaar-
dingen van den tweeden graad behoort; twee enkelvoudige
rechten door P, n.1. de rechten, die door P gaan, op vi rusten
en de twee transversalen op vg, vg, ontmoeten; eindelijk

de kegelsnede door P en de doorgangen van y2, vs, ui, vs op
het vlak (P vi), w^elke echter dubbel te tellen is, omdat zij vi
tweemaal snijdt. Zoo vindt men ook, dat de graad van het
oppervlak (P y®) is 4 8 2 4 = 18.

Het punt P is een twaalfvoudig punt op dit oppervlak, want
als men let op de doorsnijding in het vlak (P vi), dan gaan
door P vier dubbele rechten, twee enkelvoudige rechten en de
dubbel te tellen kegelsnede.

Ook ziet men gemakkelijk, dat de doorgangen van va, vs, V4, vs
op het vlak (P vi) viervoudige punten zijn, want door eiken
doorgang gaat eene dubbele rechte en de dubbel te tellen
kegelsnede.

V® p. De kegelsneden, die op zes gegeven stralen Vl, >2, Vs, V4, V5, V6
rusten en een gegeven vlak p aanraken, vormen een opper-
vlak van den graad 116, omdat y\'\' ^ = 116 is.

De rechten vi, va, vs, V4, vg, ve liggen op dit oppervlak, omdat
zij door alle kegelsneden gesneden worden. Alle zijn 24-voudig,
want V y^ p = 24, dus uit elk harer punten gaan 24 kegelsneden.

Verder liggen er nog rechte lijnen op dit oppervlak, af-
komstig van de ontaardingen in dit stelsel. Deze vindt men
uit S y\'^ p = UO en vj y*^ p = 0; dit zijn echter 70 dubbel-
getelde lijnenparen, omdat p door haar dubbelpunt gaat. Dus
er liggen 140 rechten op dit oppervlak.

De kegelsneden, die door een punt P gaan, vier rechten
vi, V2, Vs, V4 snijden en een vlak p aanraken, vormen een opper-
vlak van den graad 24, omdat \'P y^ p ^ 24 is. Neemt men op
een der vier rechten y eenig punt P, dan gaan daardoor zes
kegelsneden, omdat P^ y^ p = 6 is. Dus vi, va, vs, V4 zijn zes-
voudige rechten op dit oppervlak.

Legt men uit P eene rechte t op twee der vier rechten v,
dan snijdt t het vlak p in een punt Q. Uit Q trekt men de

72

transversaal t\' op vs en vi, dan vormt t\' met t een lijnenpaar
van dit stelsel. Daar men vier stralen op zes manieren twee
aan tw^ee kan rangschikken, geeft dit zes lijnenparen, dus 12
rechten öp dit oppervlak.

Verder kan men eene transversaal t leggen op vi, >2,^3,^4;
vervolgens het snijpunt van t en p verbinden met P, dan
vormt deze rechte met t een lijnenpaar. Er zijn twee trans-
versalen op vier rechten, dus twee lijnenparen, dus liggen er
nog vier rechten op dit oppervlak.

Legt men een vlak door P en >1, dan ligt daarin de zes-
voudige rechte >1; drie dubbele rechten uit P naar de door-
gangen van y2, >3, Vi met het vlak (P yi); twee dubbele rechten
door P, die op de beide transversalen van yi, yg, ys, y4 rusten
en p in het snijpunt met elk dezer transversalen ontmoeten;
eindelijk de beide kegelsneden door P, die y2, vs, Vi snijden en
p aanraken en die dubbel te tellen zijn, omdat zij yi dubbel
snijden. Ook zoo vindt men, dat de graad van het oppervlak
(P y^ p) 6 6 4 8 = 24 is.

P zal een 14-voudig punt zyn van deze doorsnijding in
(P yi), want door P gaan drie dubbele rechten naar de door-
gangen van y2, ys, vi met (P n)\\ verder twee dubbele rechten
op de beide transversalen van yi, ya, ys, Vi en de beide dubbel
te tellen Icegelsneden.

De doorgangen van ya, ys, y4 met het vlak (P yi) blijken hier
zesvoudige punten te zijn, want door ieder gaat ééne dubbele
rechte en twee dubbel te tellen kegelsneden.

De kegelsneden, die op vijf rechten rusten en twee vlakken
aanraken, vormen een oppervlak van den graad 128, omdat
128 is.

De rechten yi, ya, ys, vi, ys liggen op dit oppervlak en zijn
28-voudig, want F u\'^ p\'^ = 28, dus uit elk harer punten gaan
28 kegelsneden van dit stelsel.

Verder liggen er nog rechten op dit oppervlak, afkomstig
van de ontaardingen in dit stelsel. Daar ^ p^ = 80 en

73

Vj y^ p^ = O, vindt men 20 viermaal getelde lijnenparen, dus
veertig rechten op dit oppervlak.

De meetkundige plaats der kegelsneden, die door een punt
P gaan, drie stralen vi, va, vs snijden en twee vlakken pi en p2 aan-
raken, is een oppervlak van den graad 28, omdat P y"^ p^ = 28 is.
Elk der stralen y is eene 8-voudige rechte daarop, omdat door
elk harer punten 8 kegelsneden van dit stelsel gaan, immers
p2 p^ = S.

De transversaal t uit P op yi en de snijlijn l van pi en p2
wordt door de rechte uit het snijpunt van t en l rustend op va
en Vs tot eene ontaarde kegelsnede aangevuld. Er zijn zoo drie
kegelsneden, dus zes rechte lijnen op dit oppervlak (P y® p\'^).

Legt men eene transversaal t op vi, yg, ys, l en dan uit het
snijpunt van t en l eene rechte t\' naar P, dan vormt t\' met
t een lijnenpaar, dat voldoet. Er zijn twee transversalen op
vier rechten, dus twee zulke lijnenparen of vier rechten op
dit oppervlak.

Legt men een vlak door P en yi, dan ligt daarin de acht-
voudige rechte vi; ééne viervoudige rechte rustend op y\\ en
gaande door P; eindelijk vier kegelsneden door drie punten,
die twee rechten raken en die dubbel te tellen zijn, omdat
zij yi dubbel snijden. Ook zoo vindt men voor den graad
van het oppervlak (P y V®) 8 4 16 = 28.

Op dit oppervlak is P een 12-voudig punt, want als men
let op de doorsnijding in het vlak (P yi), gaan door P ééne
viervoudige rechte en vier dubbel te tellen kegelsneden. De
doorgangen van vlak (P yi) met yg en ys zijn 8-voudige punten,
want door elk gaan vier dubbel te tellen kegelsneden.

P^- De kegelsneden, die op vier rechten yi, yg, ys, V4 rusten en
drie vlakken pi, p2, pn aanraken, vormen een oppervlak van
den 104en graad, omdat y® p^ = lOi is.

De rechten yi, yg, ys, Ui liggen op het oppervlak, want alle
kegelsneden rusten erop. Ze zijn 24-voudig, want uit elk
harer punten gaan 24 kegelsneden, omdat P y^ p^ = 24 is.

Op dit oppervlak liggen ook nog rechten, afkomstig van de

74

ontaardingen in dit stelsel. Omdat d p^ = 24 en Vj y^ p^ = O,
liggen er drie achtmaal getelde ontaardingen van den tweeden
graad, dus zes rechte lijnen op het oppervlak.

De kegelsneden, die door een punt P gaan, twee rechten
y\\ en snijden en drie vlakken pi, p^, pa aanraken, vormen
een oppervlak van den 24®ten graad, omdat P y^ p^ = 24 is.
Elk der rechten yi en va is achtvoudig, omdat door elk harer
punten 8 kegelsneden gaan, immers P^ y p^ = 8.

Verbindt men P met het snijpunt Q der vlakken p door
eene rechte t en legt men uit Q eene transversaal t\' op vi
en dan vormt t\' met t een lijnenpaar, dat voldoet. Op
het oppervlak (P y^ p^) liggen dus nog twee rechte lijnen.

Een vlak door P en vi geeft als doorsnijding de acht-
voudige rechte en vier kegelsneden door twee punten,
welke drie rechten raken; de kegelsneden moeten dubbel
geteld worden, daar zij v\\ tweemaal snijden. Ook hieruit
blijkt dus, dat het oppervlak van den graad 8 16 = 24 is.

Het punt P is achtvoudig, want de vier dubbel te tellen
kegelsneden gaan er door. Om dezelfde reden is het snijpunt
van y2 met het vlak (P yi) achtvoudig.

Zoekt men de kegelsneden, die aan eene rechte l raken en
vier stralen yi, y2, ys, y\\ snijden, dan vormen deze een opper-
vlak van den twaalfden graad. Immers zoekt men het aantal
snijpunten van dit oppervlak met eene willekeurige rechte,
dan wordt dit gevonden uit T y® = 12.

Op dit oppervlak zijn yi, y2, ys, yi dubbelrechten. Legt men
n.1. een vlak door eenig punt van yi en door l, dan liggen
daarin twee kegelsneden door vier punten, die eene rechte
aanraken.

Legt men eene transversaal t op yi, ya, ys, I en vervolgens
een vlak door t en l, dan geeft het snijpunt van yi met dit
vlak de tweede rechte van een lijnenpaar, dat voldoet. Er zijn
vier combinaties drie aan één van de rechten y, dus acht ont-
aardingen, want yi, yg, ys, I hebben twee transversalen. Er
liggen dus 16 rechte lijnen op het oppervlak (T y").

75

De kegelsneden, die aan deze voorwaarde voldoen, vormen
een oppervlak van den 64sten graad, omdat p^ = 64 is.

De rechten vi, V2, ys liggen op dit oppervlak, daar alle kegel-
sneden hierop rusten. Ze zijn 16-voudig, want P y^ p^ = 16,
dus uit elk harer punten gaan 16 kegelsneden van dit stelsel.

Verder hggen er geene rechten op, want^y® = 0 en

De kegelsneden die door een punt P gaan, eene rechte y
snijden en vier vlakken p aanraken, vormen een oppervlak
van den 16™ graad, omdat = is. De rechte y is

eene achtvoudige rechte op dit oppervlak, want uit elk harer
punten gaan 8 kegelsneden van dit stelsel, immers P^ p^ = 8.

De doorsnijding van dit oppervlak met een vlak door P en y
bevat de achtvoudige rechte y en twee kegelsneden door P,
die vier rechten aanraken; deze kegelsneden zijn dubbel te
tellen, omdat zij y tAveemaal snijden. Ook zoo vindt men,
dat de graad van dit oppervlak 8 8 = 16 is.

Het punt P is een viervoudig punt der doorsnede, want de
beide dubbel te tellen kegelsneden gaan er door.

De kegelsneden, die op drie rechten yi, ys, vs rusten, eene
rechte l en een vlak p aanraken, vormen een oppervlak van
den 20sten graad, omdat T y^ = 20 is.

De rechten vi, ya, ys zijn viervoudige rechten op dit opper-
vlak, omdat een vlak door l en eenig punt van yi vier kegel-
sneden van het stelsel {T y® p) bevat.

Legt men de transversaal t uit het snijpunt van l met p
op yi en yg en vervolgens een vlak door l en t, dan geeft
het snijpunt van ys met dit vlak de tweede rechte van een
lijnenpaar, dat voldoet. Zoo vindt men er drie, dus dit geeft
zes rechten op het oppervlak.

Ook ontaardingen der tweede klasse liggen er op. Zoekt
men de twee transversalen van l, yi, ya, ys, dan zijn dit twee
ontaardingen der tweede klasse met de rangpunten op l en in p.
Dit geeft dus nog twee rechte lijnen op het oppervlak (T y® p).

De kegelsneden, die aan deze voorwaarde voldoen, vormen
een oppervlak van den 32sten graad, omdat y® p^ = 32 is.

76

De rechten vi en yg liggen op het oppervlak, daar alle
kegelsneden op haar rusten. Ze zyn achtvoudig, omdat door
elk harer punten acht kegelsneden van dit stelsel gaan,
immers P y /j® = 8.

Verder liggen geene rechten op dit oppervlak, want 5 y^ /j® = O
en ^ \'ß p^ = 0.

De kegelsneden, die door een punt P gaan, en vijf vlakken
pi, p2, ps, Pi, Pó aanraken, vormen een oppervlak van den achtsten
graad, omdat P y /j® = 8 is.

Legt men een vlak door P en de snijlijn l van twee der
vlakken p, dan liggen hierin twee kegelsneden door P, die
vier rechten aanraken. Deze moeten echter dubbel in rekening
worden gebracht, omdat de rechte l door tivee raakvlakken
bepaald is en dus als raaklijn voor deze kegelsneden ook
tweemaal geteld moet worden. Ook zoo vindt men, dat de
graad van dit oppervlak acht is. Het punt P is hierop een
viervoudig punt, daar er twee dubbel te tellen kegelsneden
door P gaan.

De kegelsneden, die op twee rechten vt en yg rusten en eene
rechte l benevens twee vlakken pi en ps aanraken, vormen
een oppervlak van den 16en graad, omdat T y^ p^ = is.

De rechten yi en ya zijn hierop viervoudig, omdat in een
vlak door l en eenig punt van yi vier kegelsneden liggen, die
door twee punten gaan en drie rechten aanraken.

Legt men uit het snijpunt Q van l met pi de transversaal t
op vi en ya, dan ligt deze ontaarding der tweede klasse op
dit oppervlak met de rangpunten in Q en p^. Ook is eene
ontaarding mogelijk uit het snijpunt van l en p%, die op yi
en ya rust, zoodat er twee rechte lijnen op dit oppervlak liggen.

y p ■ Hier vormen de kegelsneden een oppervlak van den 16en
graad, omdat p^ — 16 is.

De rechte y ligt op dit oppervlak en is viervoudig, want
P = 4, dus uit elk harer punten gaan vier kegelsneden.

Verder liggen geene rechten op dit oppervlak, omdat
^ y = O en >j y / = 0 is.

77

De kegelsneden, die eene rechte v snijden en eene rechte l
benevens drie vlakken px, ps, ps aanraken, vormen een oppervlak
van den achtsten graad, omdat T p^ — 8 is. De rechte y
is eene dubbelrechte op dit oppervlak, want in een vlak door
l en eenig punt P van y liggen hvee kegelsneden, die door
één punt gaan en vier rechten aanraken.

De transversaal uit het snijpunt Q van l en pi naar y en
de snijlijn t van ps en ps voldoet als ontaarding der tweede
klasse; hare rangpunten liggen in Q en op t. Zoo vindt men
er drie, dus er liggen drie rechte lijnen op dit oppervlak.

De kegelsneden, die aan zeven vlakken pi, ps, ps, pi, pa, ps, pr
raken, vormen een oppervlak van den achtsten graad, omdat
1/ p\'^ = 8 is. Op dit oppervlak liggen geene rechte lijnen^
w^ant S p\'\' = 0 en vj p\'^ = 0.

De kegelsneden, die aan eene rechte l en vier gegeven
vlakken ^i, ps, ps, pi raken, vormen een oppervlak van den
vierden graad, omdat T u p^ = i is.

Legt men de transversaal t uit het snijpunt P van l en pi
naar het snijpunt Q van ps, ps, pi, dan voldoet ^ als ontaarding
der tweede klasse, waarvan het vlak bepaald is door l en t;
de rangpunten liggen in P en Q. Zoo vindt men er vier dus
liggen er vier rechte lijnen op het oppervlak (T p"^).

Overzicht der verkregen uitkomsten.

p2 = 4 p ^^ ^ 6 P = Ig

P%3 ^ _ 6 V IJ. v^p =iO Vy^ p = 24

= 6 Py ^5 = 8

P^ö = 4

T = 2 T y5 = 12

=-4 TvV =20

= l Ty / = 4

T = 2

2.

Zie Dr. H. Schubert, Kalkül der abzählenden Geometrie, Hoofd-
stuk IV, § 20.

79
^ 3.

y" i

STELLINGEN.

Stellingen.

In zijn „Kalkül der abzählenden Geometrie", hoofdstuk IV,
§ 20, geeft Dr. H. Schubert in twee tabellen een overzicht
van aantallen ontaarde kegelsneden, die aan zeven voor-
waarden voldoen. Het is af te keuren, dat hij deze uitkomsten
geeft, zonder tenminste van elke kolom dier tabellen ééne
uitkomst te bepalen.

II.

De bepaling van het aantal ontaarde kegelsneden, die vol-
doen aan de voorwaarde J v® p, had door Dr. Schubert (Kal-
kül der abzählenden Geometrie, hoofdstuk IV, § 20) uitgevoerd
kunnen worden, zonder gebruik te maken van de symbolische
vergelijking = 2 gs.

III.

In de mededeeling van Prof. Dr. J. de Vries „Over het
aantal kegelsneden, die acht gegeven rechten snijden" (Ver-
slagen der Kon. Academie van Wetenschappen te Amsterdam,
1901, X) vindt men op blz. 194 aangegeven: „dit oppervlak
bevat zeker 140 rechten" Dit is minder juist.

IV.

Eene dubbelrechte j^, die door drie gegeven punten gaat,
is slechts viermaal in rekening te brengen.

V.

Als raen een negatief getal opvat als het verschil van twee
getallen, waarvan de aftrekker grooter is dan het aftrektal,
is de algebra slechts eene uitbreiding van de rekenkunde.

VI.

Bij het bewijs van j^ f (x) ds = f (b) — f (a), kan men

zeer eenvoudig aantoonen, dat een oneindig groot aantal on-
eindig kleine producten verwaarloosd mag worden.

VIL

De wet van den blijvenden spiegelstand geldt alleen vol-
komen, als men het gewicht der lucht verwaarloost en de
temperatuur van het drijvende lichaam en zijne smeltmassa
constant blijft.

VIII.

Het verdient afkeuring, te spreken van: „eene snelheid van
v Meters per seconde".

85

IX.

Het bewijs van de eigenschap, dat bij een\' vlakken spiegel
het virtueele beeld van een punt evenver achter den spiegel
ligt, als het punt ervóór, wordt gewoonliik te omslachtig
geleverd.

X.

Men kan het vraagstuk: „wat is de kans, dat eene rechte
lijn zóó in drie stukken verdeeld wordt, dat deze stukken
een\' driehoek kunnen vormen", zeer eenvoudig oplossen.

XI.

Er moet meer éénheid komen in de behandeling van de
formules voor de lenzen in de verschillende leerboeken voor
Hoogere Burgerscholen.

XII.

De proef van het bevriezen van water door snelle ver-
damping van ether, kan iets gemakkelijker worden ingericht
dan in de meeste leerboeken v/ordt aangegeven.

XIII.

Bij het afleiden van physische betrekkingen moet ook in
de elementaire leerboeken gewicht gehecht worden aan de
grafische voorstelling.

A

^^ V ..........■■ " ^

«T \' 4 \'

r^lT;

______üi _ s V,

-

"

— i