J-. - ■■
OUER
/nONOIPEN.
S..; a-
Q. V. BEEK.
Diss •
Utrecht
1907
i
-—
-A\'
•ïfei-
im
-ocr page 4- -ocr page 5-OVER MONOIDEN.
-»
C- A r ^^ oj!^
próefschrift ter verkrijging van
den graad van doctor in de wis-
en natuurkunde aan de rijksuni-
versiteit te utrecht na machtiging
van den rector magnificus dr. s.
d. van veen hoogleeraar in de
faculteit der godgeleerdheid
volgens besluit van den senaat der
universiteit tegen de bedenkingen
van de faculteit der wis- en
natuurkunde te verdedigen op
vrijdag 5 juli 1907 des namiddags
te 3i uur door
geboren te barneveld
-ocr page 8- -ocr page 9-Het is mij een aangename taaie U, Hoogleeraren in
de Faculteit der Wis- en Natauricunde, mijn welge-
meenden danlc te betuigen voor het onderwijs, dat iic
van U mocht ontvangen.
Inzonderheid richt i/c mij daartoe tot U, Hoogeieerde
JULIUS. Als assistent op het Physisch Laboratorium
ben Ui meer dan anders in de gelegenheid geweest veel
van U te leeren.
Niet minder gevoel iic mij aan U verplicht, Hoog-
geleerde DE VRIES, Hooggeachte Promotor, voor alles,
waf Gij voor mij geweest zijt.
Uw belangstelling en voorlichting, bij het vervaardigen
van dit proefschrift ondervonden, zullen mij steeds in
dan/cbare herinnering blijven.
VOORWOORD.
HOOFDSTUK I. De Monoïde M".
Bladz.
§ 1. Bepaling der Monoïde.......1.
§ 2. Rechten door den top.......6.
§ 3. Rechten buiten den top.......10.
§ 4. Klasse der Monoïde........25
§ 5. Veelvoudige punten op de Monoïde . . 32.
HOOFDSTUK 11. De Dimonoïde D".
§ 1. Bepaling der Dimonoïde......36.
§ 2. Rechten door een top.......38.
§ 3. Rechten buiten de toppen ..... 43.
§ 4. Andere Constructie eener Dimonoïde. . 50.
§ 5. Klasse der Dimonoïde.......53.
§ 6. Veelvoudige punten op de Dimonoïde . 55.
HOOFDSTUK 111. Eigenschappen van bundels al-
gebraïsche krommen, afgeleid
uit eigenschappen der Monoïde.
§ 1. Aantal dubbelpunten........60.
§ 2. Klasse der omhullende van alle buigraak-
§ 3. Aantal krommen met een buigpunt in een
§ 4. Kromme der buigpunten......76.
ERRATUM:
Bladz. 16, 3e reg. v. ond. lees: /z—1 in plaats van/z-f-l.
-ocr page 12-Wanneer men een ruimtekromme door liare verge-
lijkingen bepalen wil, kan men in navolging van
Cayley *) gebruik maken van den kegel, die de kromme
uit een willekeurig punt projecteert.
De graad van dezen kegel is in het algemeen de-
zelfde als die der kromme.
Daar elk punt der kromme tot een beschrijvende
lijn van den kegel aanleiding geeft, kan omgekeerd op
elke beschrijvende lijn steeds op zoodanige wijze een
punt bepaald worden, dat de meetkundige plaats dezer
punten een ruimtekromme oplevert, die met den kegel
van gelijken graad is.
Een oppervlak van graad n, dat in den top van den
kegel een (n—l)-voudig punt bezit, zou daartoe kun-
nen dienen.
Immers zoo\'n oppervlak wordt door elke beschrij-
vende lijn van den kegel buiten den top slechts in
één punt gesneden.
Cayley noemt een dergelijk oppervlak een monoïde,
terwijl het singuliere punt, dat er op voorkomt, de
top geheeten wordt.
Het zal nu geheel van den aard der ruimtekromme
afhangen, welke monoïde haar op genoemde wijze op
een projecteerenden kegel insnijdt.
Zonder hier op echter in te gaan, komt het mij be-
langrijk genoeg voor, de eigenschappen eener monoïde,
zelve te onderzoeken en de resultaten daarvan, in dit
proefschrift neergelegd, zullen uitmaken in hoeverre
dit onderzoek vruchtdragend is geweest.
HOOFDSTUK I.
§ 1, Be- Gaan we uit van een monoïde van graad n en leg-
palingder gen we, ten einde de vergelijIcing van liet oppervlalc
Monoïde. in een geschiilcten vorm te verlcrijgen, een lioelcpunt
van een coördinatentetraëder in den top.
Zijn Xi, X,, X3 en X^ de iioelcpunten van dien
tetraëder en zij X^ in den top der monoïde gelegen,
dan brengt dit met zich mede, dat de coördinaat x^
slechts tot de eerste macht in de vergelijking van het
oppervlak mag voorkomen.
Deze vergelijking kan dan als volgt geschreven
worden:
Hierin stellen A en B functies voor, welke homogeen
zijn in x^, x.^ en a;,, terwijl de graad ervan aangegeven
wordt door den bovenaan geplaatsten index.
Een homogene functie van graad n raet drie ver-
anderlijken bevat in het algemeen i (n 1) (n-{-2)
termen.
In het linkerlid der vergelijking (1) komen dus
4 n (n 1) i (n-fl) {n 2) = n(n 2) \\
termen voor.
Om de n (n -j- 2) constanten in dit Hnkerlid te be-
palen zijn nu evenveel vergelijkingen noodig, waaruit
volgt:
Een mouoïde m" is door het veelvoudige punt en
n (n 2) andere punten bepaald.
Keeren we nu terug tot vergelijking (1).
Het oppervlak er door voorgesteld gaan we door-
snijden met een vlakkenbundel, waarvan de as een-
voudigheidshalve gelegen is in de tetraëderribbe X, X3.
De vergelijking van dezen bundel is:
Door x^ uit (1) en (2) te elimineeren, verkrijgen we:
Dit is de vergelijking van een kegelbundel van graad
n met centrum in X^.
Geven we a in vergelijking (2) een bepaalde waarde,
d.w.z. beschouwen we de doorsnede van een bepaald
vlak uit den vlakkenbundel met de monoïde, dan is
(3) de vergelijking van den kegel, die deze doorsnij-
dingskromme uit X, projecteert.
Met elk vlak uit den vlakkenbundel komt alzoo een
kegel uit den kegelbundel overeen.
Er bestaat derhalve een projectief verband tusschen
deze beide bundels.
Dat de meetkundige plaats der doorsnijdingskrommen
van overeenkomstige exemplaren uit beide bundels een
monoïde oplevert, blijkt analytisch door uit de verge-
lijkingen (2) en (3) den parameter a te elimineeren,
waarbij dan weer vergelijking (1) voor den dag komt.
Intusschen valt op te merken, dat de kegelbundel,
waarvan hier sprake is, geen willekeurige kan zijn.
Uit vergelijking (3) toch blijkt, dat van de n" basis-
ribben van den kegelbundel, welke geleverd worden
als doorsnijdingsrechten van den kegel B = O en den
samengestelden kegel x^pS\'^ o er /z stuks in één
vlak gelegen zijn, n.1. in het vlak x^ = 0.
Ditzelfde vlak bevat de as van den vlakkenbundel.
Bovendien moet de projectieve verwantschap zoodanig
geregeld zijn, dat met het vlakx, = O uit den vlakken-
bundel de kegel a^i A^\'^ ^^ = O uit den kegelbundel
overeenstemt.
Bij substitutie van A = oo in de vergelijkingen (2)
en (3) is dit gemakkelijk in te zien.
Alles samengevat is nu het resultaat:
Een monoïde M^ is te beschouwen als de meetkun-
dige plaats der doorsnijdingskrommen van overeen-
komstige elementen van een vlakkenbundel en een
projectief daarmee verwanten Icegelbundel van graad
n, indien van den laatste n basisribben in één vlak
gelegen zijn en dit vlak de as van den vlakkenbundel
bevat.
Tevens moet het als element van den vlakkenbundel
toegevoegd zijn aan een kegel, welke samengesteld is
uit dit vlak en een kegel van graad n—1.
Deze stelling is langs synthetischen weg ook wel
te bewijzen.
Daartoe doorsnijden we kegel- en vlakkenbundel met
een willekeurig vlak. Daarin liggen dan een stralen-
bundel en een krommenbundel, waartusschen projectief
verband bestaat, \'t Is nu maar de vraag welke kronune
door deze beide bundels voortgebracht wordt.
Met een willekeurigen straal uit den eenen bundel
komt een kromme uit den anderen bundel overeen,
zoodat er van de voortgebrachte kromme al n punten
op dien straal gelegen zijn.
Behoorde het centrum van den stralenbundel er ook
toe, dan zou dit aantal daardoor met één vermeerderd
worden. Dit is echter niet het geval.
Door het centrum gaat wel een kromme van den
krommenbundel, maar van deze laatste kromme moeten
dan n 1 punten op een rechte liggen, te weten:
de n basispunten en genoemd centrum. Deze kromme
zal dus ontaarden in die rechte en een kromme van
graad n — 1,
Nu is aan deze rechte uit den stralenbundel dezelfde
rechte en een kromme van graad n—1 toegevoegd.
Op die rechte liggen dan al vast n—\\ punten en nog
een punt, dat op te vatten is als het snijpunt van de
twee samenvallende rechten.
Hiermede is aangetoond, dat het centrum van den
stralenbundel niet op de voortgebrachte kromme komt
te liggen, zoodat een willekeurige straal er niet meer
dan n punten van bevat, waarmede dan tevens bewe-
zen is, dat de vlakken- en kegelbundel, waarvan we
uitgingen, een oppervlak van graad n bepalen.
Dat dit oppervlak een monoïde is met den top in
het centrum van den kegelbundel, blijkt als volgt.
Wanneer het doorsnijdingsvlak van zooeven door
den top van den kegelbundel gelegd wordt, bevat het
een straleninvolutie van graad n en een projectief daar-
mee verwanten stralenbundel, terwijl de verbindingslijn
der centra als straal uit den stralenbundel toegevoegd
is aan zichzelf en aan n—\\ andere rechten, door het
centrum der straleninvolutie gaande.
Dit is een geval van gereduceerde ligging [der eerste
orde 1).
1 Emil Weyr: Beiträge zur Curvenlehre, Wien, Alfred
Holder, § 50.
6
Op die verbindingslijn liggen dan in het involutie-
centrum n—\\ punten der kromme van graad n, welke
in ons doorsnijdingsvlak wordt bepaald.
Hieruit volgt, dat dit vlak het oppervlak van graad
n snijdt volgens een kromme met een («—l)-voudig
punt.
Dit oppervlak is derhalve een monoïde met den top
in het centrum van den kegelbundel.
ten door oc, O.......(1)
§ 2. Rech- Uit de vergelijking eener monoïde :
ten door
den top.
volgt, dat op zoo\'n oppervlak n{n—\\) rechten gelegen
zijn.
Het zijn de doorsnijdingsrechten der beide kegels
A = O en B = 0.
Leggen we nu de tetraëderribbe X^ X^ in één dezer
rechten, dan moet het linkerlid der vergelijking van het
Oppervlak bij substitutie van x^^^—o deelbaar zijn door
x^ en omgekeerd.
In dat geval is deze ribbe een enkelvoudige rechte
der monoïde.
De vergelijking wordt dan:
[uW X. ....
-ocr page 19-Hierin zijn de functies U en V liomogeen in X2 en
x,, terwijl de graad ervan weer door den bovenaan
geplaatsten index aangegeven wordt.
De vergelijking (2) bevat nu twee termen minder
dan de vergelijking (1), waaruit volgt, dat zoo\'n rechte
door den top voor twee enkelvoudige gegevens telt,
indien de top eenmaal vastgelegd is.
Dit is ook wel meetkundig in te zien, want liggen
twee punten met den top op één rechte, dan bevat
deze n -f 1 punten der monoïde en moet er dan
geheel op liggen.
Wanneer we nu door zulke rechten door den top de
monoïde bepalen willen, dan hebben we er op te letten,
dat ze niet willekeurig aangenomen kunnen worden.
Uit vergelijking (3) van § 1 volgt toch, dat deze
n {n—1) rechten met nog n in één vlak gelegen andere
rechten de n\'\' basisribben van een kegelbundel moe-
ten vormen. Nu is zoo\'n kegelbundel bepaald door
i n (/2-|-3)—1 rechten door één punt, zoodat we van
de monoïde er slechts
i tl (/24-3)- n-\\ = \\ (/2-I) {n 2)
willekeurig door den top aannemen kunnen.
Dit telt volgens het voorgaande voor {n—1) {n-\\-2)
enkelvoudige gegevens, waardoor er buiten deze rechten
nog n-\\-2 willekeurig te kiezen punten overblijven.
Bevat de monoïde een /:-voudige rechte door den
top en voordt de tetraëderribbe X, X, daarin gelegd,
dan moet het linlcerlid der vergelijlcing bij substitutie
van x^ =0 deelbaar zijn door x^ en omgekeerd.
Volgens de notatie van zooeven is dan de vergelij-
king van het oppervlak:
n—k—l. ,# 1) n—k—2. ,
.......(3).
Deze vergelijking bevat k (k-\\-\\) termen minder dan
vergelijking (1). Een A:-voudige rechte door den top
telt dus voor k (k-\\-l) enkelvoudige gegevens.
Gaan we nu eens over tot een (/z—l)-voudige rechte,
dan telt die voor n (n—1) enkelvoudige gegevens.
Buiten deze rechte kunnen dan nog 3 n willekeurige
punten ter bepaling van zoo\'n monoïde aangenomen
worden.
Elk punt dezer rechte is een (/j—l)-voudig punt en
kan daarom als top der monoïde opgevat worden.
Een willekeurig vlak, door de (/2—l)-voudige rechte
gebracht, moet nog een rechte op de monoïde insnijden.
We hebben dus te doen met een oppervlak, dat oneindig
veel rechten bevat, die alle de («—l)-voudige rechte
snijden.
Onze monoïde is derhalve een regelvlak.
-ocr page 21-9
Een enkelvoudig oneindig stelsel van rechten kan
men aan 3 voorwaarden laten voldoen. Denken we
ons nu twee willekeurige vlakke doorsneden van ons
regelvlak, dan moeten al die rechten, behalve op de
{n—l)-voudige rechte, ook daarop rusten.
Die vlakke doorsneden hebben beide een {n—1)-
voudig punt\'^in de (/2—l)-voudige rechte der monoïde,
waaruit volgt;
Een monoïde m\'^ met (/z—l)-voudige rechte is te
beschouwen als de meetkundige plaats van alle rech-
ten, die rusten op twee vlakke krommen van graad n
met een (/z—l)-voudig punt en op de verbindingslijn
dier twee singuliere punten.
Men kan zich zoo\'n regelvlak ool< wel op de vol-
gende manier ontstaan denken.
Gaan we namelijk uit van een vlakke kromme van
graad n met een (n—l)-voudig punt. Door dat punt
laten we een rechte gaan, die niet in het vlak der
kromme gelegen is. Nemen we nu op de rechte en
op de kromme een puntenreeks aan, waartusschen
projectief verband gelegd wordt. Dit is mogelijk, daar
rechte en kromme beide van geslacht nul zijn.
De verbindingsrechten van overeenkomstige punten
in de beide reeksen vormen nu zoo\'n regelvlak.
Immers het gebeurt n—\\ maal, dat een punt der
-ocr page 22-10
reeks op de kromme in het («—l)-voudige punt terecht
komt, zoodat dientengevolge de drager der puntenreeks
een (/z—l)-voudige rechte op het voortgebrachte regel-
vlak wordt.
Daar een willekeurig vlak door deze veelvoudige
rechte nog maar één nieuwe rechte van het regelvlak
kan insnijden, moet dit van graad n zijn. Elke rechte
ervan is toegevoegd aan een punt der vlakke kromme.
Het oppervlak is derhalve van geslacht nul, wat dan
ook van elke vlakke doorsnede geldt.
Er kunnen bij een monoïde m\'^ op zijn hoogst
i(/z—1) {n—2) dubbelrechten door den top gaan, want
dit is het maximum aantal dubbelpunten bij een vlakke
kromme van graad n.
Hierbij telt een A:-voudige rechte voor i k (k—1)
dubbelrechten.
Het oppervlak van Steiner is een voorbeeld vaneen
monoïde van graad 4 met 3 dubbelrechten door den top.
§ 3. Rech- Zooals we gezien hebben is een monoïde met ge-
ten bui- geven top door n (« 2) punten bepaald,
ten den Nemen we hiervan n-\\-\\ stuks op een rechte, dan
top-*) moet deze rechte geheel tot het oppervlak behooren.
Verg. J. de Vries: Surfaces algébriques renfermant un
nombre fini de droites. Archives Teyler, sér. II, t, VHI,
§5-§ll.
11
Leggen we nu in zoo\'n rechte de tetraëderribbe
Xj X3, dan wordt de vergelijking van het oppervlak:
Daar deze vergelijking n -f 1 termen minder bevat
dat vergelijking (1) van § 1 blijkt, dat een rechte bui-
ten den top, ^zooals wel te verwachten was, voor/z-f-1
enkelvoudige gegevens telt.
Het vlak door deze rechte en den top moet nu een
kromme van graad n met een {n—1)-voudig punt
insnijden. De rechte zelf behoort reeds tot die kromme,
zoodat er niets anders overblijft dan een ontaarde
kromme van graad n—\\ met een (/z—l)-voudig punt
en wel het samenstel van n—1 rechten door één punt.
Hieruit volgt dus, dat het optreden van een rechte
buiten den top gepaard gaat met een bijzondere ligging
van /2~1 rechten door den top. Deze moeten n.1. in
één vlak liggen.
Bij een kubisch oppervlak met dubbelpunt wordt
daaraan steeds voldaan, omdat n — 1 = 2.
De 6 rechten door den top kunnen op 15 manieren
twee aan twee gecombineerd worden, waaruit volgt,
dat een dergelijk kubisch oppervlak 15 rechten buiten
het dubbelpunt bevat.
Gaan we nu onze monoïde, door vergelijking (1)
-ocr page 24-12
bepaald, eens doorsnijden met een vlakkenbundel, waar-
van de as gelegen is in de rechte buiten den top.
De vergelijking van dien vlakkenbundel luidt:
Door uit de vergelijkingen (1) en (2)^te elimineeren,
krijgen we de verschillende kegels, die de doorsnijdings-
krommen van monoïde en vlakkenbundel uit den top
der eerste projecteeren.
Die kegels hebben tot vergelijking:
= 0.....(3).
Iedere kegel bevat het vlak x^ = o, terwijl er een
kegelbundel van graad n—\\ overblijft.
De vergelijking daarvan is:
3(«-l) . ^-1) _ ^......(4).
Door A uit vergelijking (4) en (2) te elimineeren
krijgen we vergelijking (1) terug. Daar nu voor elke
waarde van A een vlak uit den vlakkenbundel met een
kegel uit den kegelbundel overeenstemt, is tevens het
analytisch bewijs geleverd van de volgende stelling.
Een monoïde N^ met een rechte buiten den top is
te beschouwen als de meetkundige plaats der door-
snijdingskrommen van een kegelbundel van graad n — \\
en een projectief daarmee verwanten vlakkenbundel.
De as van dezen vlakkenbundel wordt op de monoïde
een rechte buiten den top.
13
Het bewijs der stelling kan ook als volgt geleverd
worden.
Een willekeurig vlak bevat van vlakken- en kegel-
bundel steeds een stralen- en krommenbundel, waar-
tusschen ook een overeenkomst één aan één bestaat.
Deze krommenbundel is van graad n-~\\.
Op eiken \'straal uit den stralenbundel liggen n—1
snijpunten met de toegevoegde kromme. Het centrum
van den stralenbundel bepaalt een kromme uit den
krommenbundel. De hieraan toegevoegde straal snijdt
deze kromme in het centrum van den stralenbundel
en n—2 andere punten. Genoemd centrum ligt dus op
de kromme, die in ons doorsnijdingsvlak door de beide
bundels wordt voortgebracht. Een willekeurige straal
bevat derhalve van deze kromme steeds n punten, zoo-
dat ze van graad n is.
De vlakken- en kegelbundel, waarvan we uitgingen,
bepalen daarom een oppervlak van graad n.
Daar nu het centrum van den stralenbundel steeds
op de kromme gelegen is, welke in zoo\'n willekeurig
snijvlak wordt voortgebracht, moet de as van den
vlakkenbundel een rechte van dat oppervlak wezen.
Er rest ons nog aan te toonen, dat dit oppervlak
een monoïde is.
Denken we ons daartoe een vlak door de as van
den vlakkenbundel en het centrum van den kegelbundel.
14
Als vlak van den eersten bundel is het toegevoegd
aan een kegel van graad n—\\ cn bepaalt derhalve
n—\\ rechten door één punt.
Dit vlak snijdt ons oppervlak dus volgens een kromme
van graad n met een (n—l)-voudig punt, reden
waarom het een monoïde is.
Willen we van eenige rechten door één punt uitgaan
om daardoor zoo\'n monoïde te bepalen, dan hebben
we in aanmerking te nemen, dat deze rechten niet
willekeurig mogen zijn. Ze moeten toch behooren tot
de basisribben van een kegelbundel van graad n—1.
Een dergelijke bundel is bepaald door i (/i—1) (n 2)
—1 elkaar in één punt snijdende rechten.
Nemen we ter bepaling van de monoïde zooveel
rechten door één punt aan, dan hebben we, daar ieder
van deze rechten van twee enkelvoudige gegevens telt,
nog over enkelvoudige gegevens te beschikken.
Hieruit blijkt, dat we de monoïde dan nog door een
willekeurige rechte en drie willekeurige punten kunnen
laten gaan.
Dat er buiten den top eener monoïde nog meer
rechten kunnen voorkomen, kan op de volgende manier
aangetoond worden.
We weten, dat zoo\'n monoïde door den top en
-ocr page 27-15
n (n 2) punten bepaald is. Leggen we nu telkens
n 1 dezer punten op een rechte vast, hetgeen n maal
gebeuren kan zonder het aantal n {n-\\-2) te overschrij-
hen, dan zien we, dat de aldus bepaalde monoïde n
rechten bevat, die geheel buiten den top gelegen zijn.
Gaan we nu eens van een monoïde uit, die n zulke
rechten h^ bevat.
Een rechte gj^^, rustend op en en gaande door
den top, bevat dan van de monoïde « 1 punten en
ligt er daarom geheel op.
Bij twee rechten A^ en hj^ behoort steeds één rechte
gj^^. Het aantal dezer laatste rechten vinden we door
de n rechten twee aan twee te combineeren. Dit levert
ons dus i n (/z—1) stuks.
Iedere rechte g rust op twee rechten h, terwijl elke
rechte h door n—1 rechten g gesneden wordt. Immers
een rechte h bepaalt met den top een vlak, waarin
n—\\ rechten g moeten liggen.
Beschouwen we eens ter toepassing een kubisch
oppervlak met dubbelpunt en noemen we die drie
rechten buiten den top in navolging van Schläfli:
h,, en h,,.
Hierbij behooren dan de rechten g^, g^ en g^ door
den top en wel als volgt:
16
g, rust op h,, en g^ rust op h,^ en en
g, rust op en
Iedere rechte g rust dus op twee rechten, terwijl
hier ook elke rechte h, n-—1=2 rechten g ontmoet,
want:
snijdt g, en g„ h,, snijdt g, en g, en
snijdt g, en g^.
Door het dubbelpunt van het kubische oppervlak
gaan 6 rechten g. Deze kunnen op 20 verschillende
wijzen drie aan drie gecombineerd worden, waaruit
volgt, dat op zoo\'n kubisch oppervlak 20 dergelijke
configuratie\'s voorkomen.
Daar n (n2) = n (nl)n hebben we, wanneer
er n rechten op de zooeven beschreven wijze aange-
nomen zijn, nog over n punten de vrije beschikking.
Leggen we deze op een rechte vast, die één der n
gegeven rechten snijdt, dan moet ook die rechte ge-
heel op de monoïde liggen.
Een monoïde kan derhalve buiten den top
rechten bevatten, mits twee ervan elkaar snijden.
Behalve deze twee snijdende rechten h^ en ge-
heeten komen er dan nog ni|tl willekeurige rechten
h^----^^j^X vöor. Deze laatste geven aanleiding tot
i(/2—1) {tl—2) rechten g door den top, die geheel op
-ocr page 29-17
de monoïde liggen, terwijl ze elk op twee rechten h
rusten.
Het vlak door den top en /z, geeft /z—1 rechten g.
Evenzoo het vlak door den top en/Za. Deze 2 (/z—1)
rechten zijn dezelfde als die, welke verkregen worden
door de vlakken door den top en één der rechten h^----
in verband met /z, tn h^ te beschouwen.
In het geheel gaan er door den top dus i (n—1)
{n—2) 2 (n-1) = i (/z—1) (/z-f2) rechten der
monoïde, die elk twee rechten h ontmoeten.
Ook hier snijdt elke rechte h n—\\ rechten g.
Wilden we dit eens controleeren bij een kubisch
oppervlak met een dubbelpunt, dan zouden we door dat
punt 5 zulke rechten g verwachten.
Nemen we voor de twee snijdende rechten buiten
den top Äij en h^^, dan hebben we voor de twee
willekeurige rechten h^^ en h^^, h^^^n h^^, h^^ en
h^^ of /Z23 en h^^. Welke twee we nu ook kiezen,
ze bepalen geen andere rechten g bij de 4 rechten
gi, g2, g3 en door h,, en h,, vastgelegd.
Dit komt daardoor, dat de rechten g, behoorende bij
Au en Äg^, zelve 6 rechten h bepalen, want bij een
kubisch oppervlak ligt steeds een rechte h in het vlak
van twee rechten g.
lÖ
Zooals wel duidelijk is, zijn ook andere liggingen
van rechten buiten den top mogelijk. Het kan immers
voorkomen, dat meerdere rechten h elkaar snijden.
In plaats van deze gevallen na te gaan, onderzoeken
we eens, of op een monoïde buiten den top een schele
/:-zijde kan voorkomen. Van die ^-zijde denken we de
hoekpunten willekeurig op de monoïde gelegen en
bovendien op elke zijde dan nog n—\\ punten.
Zal nu een monoïde door den top en deze punten
bepaald kunnen worden dan moet:
k ^ k (/z—1) S 2) of:
k ^ n 2.
Op zijn hoogst is er dus buiten den top een (n 2)-
zijde te verwachten.
Bevat nu een monoïde een schele (« 2)-zijde, dan
geeft een vlak door den top en één dezer rechten h
weer aanleiding tot n—1 rechten g, welke door den
top gaan, geheel op de monoïde liggen en op twee
rechten h rusten.
In het geheel zijn er dan i (n—1) (n 2) zulke
rechten g.
Onderzoeken we dit eens nader voor het geval
n = 3.
Een kubisch oppervlak met een dubbelpunt moet nu
door dit laatste en een schele vijfzijde bepaald wezen.
19
Zoo\'n schele vijfzijde kan dan als volgt genoemd
worden:
h^^, en h,,.
Hierbij behooren dan de 5 rechten g^, g^, g^, g,
en g^. Deze rechten geven ook nog aanleiding tot de
volgende schele vijfzijden :
|
h,. |
en |
^35- | |||
|
en | |||||
|
his |
en | ||||
|
en | |||||
|
/Z, 2 |
h,s |
en | |||
|
hts |
h,. |
en | |||
|
h,s |
en |
ht.. | |||
|
fis. |
hió |
en |
ht.- | ||
|
en | |||||
|
hts |
^24 |
en | |||
|
^2 5 |
ht. |
en |
Vijf rechten g uit het dubbelpunt geven, zooals blijkt,
in \'t geheel aanleiding tot 12 schele vijfzijden. Er gaan
door het dubbelpunt van het kubisch oppervlak 6 zulke
rechten g. Deze kunnen op 6 verschillende wijzen vijf
aan vijf gecombineerd worden, waaruit volgt, dat er
72 dergelijke schele vijfzijden op een kubische monoïde
voorkomen.
Wanneer op een monoïde een veelvoudige rechte
-ocr page 32-20
door den top voorkomt, dan kan het oppervlak buiten
den top ook nog wel rechten bevatten.
Het geval van een (n—l)-voudige rechte is al be-
handeld in § 2. Dat van een (n—2)-voudige rechte
willen we nu eens gaan beschouwen.
Kiezen we onzen coördinatentetraëder evenals in § 2,
dan wordt de vergelijking van het oppervlak:
Door den top dezer monoïde gaan behalve de veel-
voudige rechte nog 3 n—A andere rechten. Men vindt
ze als doorsnijding der beide kegels:
Bij eliminatie van x^ uit de vergelijkingen (6) en
(7) blijkt, dat dit aantal rechten juist is. Immers dan
ontstaat een vergelijking van graad 3 n—A en homo-
geen in x^ en x^. Deze vergelijking stelt dan 3n—4
vlakken door de rechte X^X, voor, wat op evenveel
rechten door den top der monoïde ziet.
Dit aantal is ook als volgt af te leiden.
Elk vlak door de (n—2)-voudige rechte snijdt op de
monoïde een kegelsnede in, welke steeds door den
top gaat. Zoo dikwijls het nu gebeurt, dat een derge-
21
lijke kegelsnede ontaardt, bevat de monoïde een rechte
door den top.
Ten einde dit te onderzoeken, doorsnijden we de
monoïde met den vlakkenbundel die de {n—2)-voudige
rechte tot as heeft.
De vergelijking van dezen bundel is:
De eliminatie van x^ uit de vergelijkingen (5) en
(8) geeft nu :
(«--2)r ^ ^ An-2) , //^-l)
x„
ƒ ƒ
2 (n—2) , {n—\\) I 2 («)]
Hierin zijn ƒ en ^ polynomia in /., waarvan de graad
door den index aangegeven wordt.
De vergelijking (9) stelt de kegels voor, welke de
kegelsneden, door den vlakkenbundel ingesneden, uit
Xg projecteeren.
De factor x^^\'^ ^^ wijst op de (n—2)-voudige rechte,
welke tegelijk met elke kegelsnede ingesneden wordt.
Voor elke waarde van \\ waarvoor de bekende in-
variant van dit stelsel kegels nul wordt, hebben we
met een ontaarding te doen. Dus als:
2 ƒ(«—2)
-ocr page 34-22
Bij uitwerl<ing blijlct, dat zull<s voor 3 n—4 waarden
van A plaats vindt, waarmede ook langs dezen weg
het bestaan van evenveel rechten door den top der
monoïde is aangetoond.
In het linkerlid der vergelijking (5) komen 5/2—1
termen voor, dus 5n—2 onafhankelijke constanten,
waaruit volgt, dat een monoïde met een (n—2)-voudige
rechte door den top door deze twee gegevens en nog
5n—2 punten bepaald is.
Daar nu 5 n—2 > 4 (/2-j-l) voor n > 6, zou men
denken, dat een monoïde van graad zes of hooger met
een (n—2)-voudige rechte door den top nog 4 wille-
keurige rechten kan bevatten.
Zonder ontaarding is dit echter niet het geval.
Gaan we n.1. uit van een rechte l en een punt O
daarop en verder van vier willekeurige rechten /z,,
Äg en /Zj. Zal / nu een (/z—2)-voudige rechte eener
monoïde, met top in O, kunnen wezen, terwijl dit opper-
vlak bovendien nog de vier rechten h bevat, dan moet
elk vlak door ./ een kegelsnede insnijden, die door O
gaat en op de rechten h rust.
We beschouwen een bijzonder geval en leiden daaruit
den graad van het oppervlak dezer kegelsneden af.
Daartoe nemen we aan, dat h, op / rust. In het vlak
(/ /zj ligt dan een bundel kegelsneden, die aan de
23
voorwaarden voldoen. Nu wordt h^ door elke kegel-
snede tweemaal gesneden, zoodat het vlak {I h^) ook
tweemaal tot het bedoelde oppervlak behoort. Verder
bestaat dit uit het oppervlak, gevormd door de kegel-
sneden, die op Ag en h^ rusten en bovendien nog
door O en het snijpunt P van / en gaan.
De rechten h^, h^ en Ag bezitten 2 transversalen,
die / snijden, zoodat de rechte / tweemaal tot het laatst-
genoemde oppervlak behoort. Immers / behoort dan
tweemaal tot een ontaarde kegelsnede, die aan de voor-
waarden voldoet.
Elk vlak door / snijdt dus een kegelsnede en nog
een tweevoudige rechte in. Het oppervlak is dan van
graad 4 met de drievoudige punten O en P op de
tweevoudige rechte l.
Bij dit oppervlak komt nu nog het tweemaal te tellen
vlak (/ h,).
Op dit samengestelde oppervlak zijn O en P vijf-
voudige punten en / een viervoudige rechte.
Indien nu / en elkaar niet snijden, dan blijft het
resultaat, dat de kegelsneden, in de vlakken door /
gelegen, gaande door O en rustend op h^, h^ en
h^ een oppervlak van den zesden graad bepalen,
waarop O een vijfvoudig punt en / een viervoudige
rechte is.
Hieruit volgt nu, dat een monoïde m\'^ met een {n—2)-
-ocr page 36-24
voudige rechte door den top en 4 rechten buiten den
top bestaan moet uit een dergelijlc oppervlalc van den
zesden graad met nog (n —6) vlalclcen door die veel-
voudige rechte.
Beschouw^en we nu een monoïde met een {n—2)-
voudige rechte door den top O, terwijl er buiten den
top nog 3 willekeurige rechten A,, h^ en h^ voorko-
men. In elk der vlakken (Oh,), (Oh,) en {Oh,) lig-
gen dan behalve de rechten 3 en 3, die door
O gaan en resp. op A, en h,, h, en h, en h^ en h^
rusten, nog n—3 rechten der monoïde.
Dit zijn al in het geheel 3 n—6 rechten door den top.
De ontbrekende twee worden aangetroffen in de vlak-
ken door / en de twee transversalen van A,, A3 en/.
Controleeren we dit eens bij een kubisch oppervlak
met dubbelpunt.
Naar Schläfli\'s notatie nemen we voor de rechten
buiten het dubbelpunt A^, en A^,.
Daarbij behooren dan de drie rechten door het dub-
belpunt g, en ^3. Is nu g^ de (/z—2)-voudige
rechte, dan zijn A^^ en A^« de twee transversalen van
zooeven.
Ze bepalen met g^ de twee andere rechten door het
dubbelpunt n.1. g, en g,,.
25
Buiten den top kan een monoïde geen andere dan
enlcelvoudige rechten bevatten. Immers een willelceurig
vlal< door den top doorsneed de monoïde dan volgens een
K^ met een (n—l)-voudig punt en nog een ander veel-
voudig punt, hetgeen zonder ontaarding niet mogelijk is.
§4. Klasse Zooals bekend is, wordt de klasse van een opper-
derMo- vlak verkregen als het aantal gemeenschappelijke pun-
noïde. ten van het oppervlak en de beide eerste poolvlakken,
behoorende bij twee willekeurige punten. Om dit voor
een monoïde te onderzoeken hebben we na te gaan,
hoe die poolvlakken zich in den top der monoïde
gedragen.
Daartoe gaan we uit van een monoïde, voorgesteld
door de vergelijking :
Het eerste poolvlak van X5, heeft dan tot vergelijking:
Die indices 2 wijzen op een partiëele differentiatie
naar x^.
Het oppervlak, door vergelijking (2) voorgesteld, is
klaarblijkelijk een monoïde van graad n—1 met den
top in X^.
26
Op analoge wijze vinden we het eerste poolvlak
van Xg :
A.C-".. B.(")=»......(3).
Het aantal snijpunten der oppervlakken (1), (2) en
(3), verminderd met het aantal gemeenschappelijke
punten in X^, levert de gevraagde klasse.
De beide poolvlakken (2) en (3) geven als doorsnij-
ding een ruimtekromme van graad (/z—1)% waarvan
(n—2)^ takken door X, gaan. Immers in een wille-
keurig vlak door X^ liggen twee krommen van graad
rt—1 met (rt—2)-voudig punt in X,.
Daar bezit dat vlak dus (rt—2)\' punten, aan beide
poolvlakken toebehoorende, zoodat hun doorsnede
(rt—2)\'- takken door X^ moet zenden.
Onze monoïde heeft in X^ een (n—l)-voudig punt.
Elk der (rt—2)\' takken heeft daar rt—1 punten met
haar gemeen.
De drie oppervlakken hebben alzoo in X^ (rt—1)
(rt—2)^ gemeenschappelijke punten en buiten X^ is
dit aantal derhalve:
rt (rt-1)^ — (rt—1) (rt—2)^ = (rt—1) (3 rt—4),
waarmede de klasse der monoïde gevonden is.
Voor rt = 3 geeft dit 10, hetgeen overeenstemt met
wat we van een kubisch oppervlak met een dubbelpunt
weten.
27
Komt op een monoïde een rechte buiten den top
voor, dan kan dit oppervlak voorgesteld worden door
de vergelijking:
= O.....(4).
Het eerste poolvlak van een willekeurig punt bijv.
Xj heeft dan tot vergelijking:
= o . . (5).
Dit poolvlak bevat de rechte X^Xg niet, waaruit
volgt, dat het optreden van een rechte buiten den top
geen invloed heeft op de klasse der monoïde.
Met een ^-voudige rechte door den top is dit wel
het geval.
Is er bijv. een /r-voudige rechte in gelegen,
dan is volgens § 2 de vergelijking van het oppervlak:
Het eerste poolvlak van heeft dan tot verge-
lijking :
En het eerste poolvlak van Xg :
-ocr page 40-28
U,"^\' .....
V. . = « (8).
Beide poolvlalclten zijn Icraclitens liunne vergelijliingen
monoïden M^ ^ met top in X„ en met X„Xi als
(Ä:—l)-voudige rechte.
In een willekeurig vlak ligt van elk poolvlak een
kromme van graad n—l met een (Ä:—l)-voudig punt
op X,Xi, zoodat van de (n—l)\' snijpunten dezer
krommen (/ï:—1)\' stuks op X^X^ gelegen zijn.
Buiten X.X^ doorsnijden de beide, poolvlakken elkaar
dus volgens een ruimtekromme van graad (n—1)^ —
Deze zendt (n—2)\' — {k—\\y takken door X,.
Immers een willekeurig vlak door X^ snijdt elk der
beide poolvlakken volgens een kromme van graad n—1
met een («—2)-voudig punt inX ,,. Bij de {n~2y snij-
punten, die deze krommen in X,, gemeen hebben, zijn
dan de (A\'—1)\' punten geteld, die de beide krommen
op de {k—l)-voudige rechte gemeen hebben.
Bovendien bezit de ruimtekromme nog eenige pun-
ten op X, Xj.
Hun aantal wordt als volgt gevonden.
Een willekeurig vlak doorX^Xj snijdt de beide pool-
-ocr page 41-29
vlakken volgens deze l)-voudige rechte en een
kromme van graad n—k met een {n—k—l)-voudig
punt in X,.
Van de {n—ky snijpunten dezer beide krommen
liggen er dan {n—k—\\)- stuks in X,. Buiten X, be-
zitten die krommen dus (/z—k)- —{n—k—1)^ gemeen-
schappelijke\'\'punten.
Het vlak dezer krommen bevat (/z—1)® — {k—1)-
punten der ruimtekromme.
Daarom bezit de ruimtekromme
[(n—\\y — (k—iy] — [(n~k)\'— {n—k—\\y] punten
op X,X,.
We hebben gezien, dat de ruimtekromme (/z—2)® —
(k—1)^ takken door X^ zendt, zoodat ze op X^ X^ buiten
X, nog [(n-iy-(k-\\y]-[(n-ky-(n-k-\\y]
— {{n—2y — (A:—1)^] =2k-2 punten bezit.
Zij P een dezer punten.
Daar P op de monoïde m" en op het eerste pool-
vlak van X, gelegen is, heeft PX, de beteekenis eener
raaklijn aan de monoïde m"
De ruimtekromme zal de monoïde m" daar der-
halve in k-{-\\ punten snijden.
Buiten X^X^ wordt de oorspronkelijke monoïde
door de ruimtekromme dan in :
30
n [(n-1)^ - {k-\\y] - (n-1) [{n-iy- - (/^-l)^] -
- (^ 1) (2 k—2) = (n-1) (3 n-A) - {k-\\) (3 k \\)
punten gesneden.
Dit getal geeft de klasse der monoïde m"\', waarmede
aangetoond is, dat de A:-voudige rechte de klasse met
{k—\\) (3A:-fl) verlaagt.
Op een monoïde kunnen buiten den top nog andere
singuliere punten voorkomen.
Stellen we ons een monoïde met nog een p-voudig
punt voor, en gaan we eens na, in hoeverre de klasse
der monoïde daardoor verlaagd wordt.
Ligt de top in X^ en het j3-voudige punt inXg, dan
mag in de vergelijking van het oppervlak de coördinaat
x^ tot geen hooger macht voorkomen dan tot de
macht n—p.
Die vergelijking moet er dan als volgt uitzien:
......(9).
U en V zijn homogeen in x^ en .r,, terwijl de boven-
aan geplaatste index den graad aangeeft.
Deze vergelijking bevat p\' termen minder dan ver-
-ocr page 43-31
gelijking (1), zoodat een p-voudig punt op een monoïde
voor p\'\' enkelvoudige gegevens telt.
Op een willekeurig oppervlak echter telt een p-vou-
dig punt voor ip{p-\\-\\) (p 2) enkelvoudige gegevens,
hetgeen af te leiden valt door de vergelijking van zoo\'n
oppervlak te beschouwen in verband met die van een
oppervlak, waär een dergelijk p-voudig punt op voor-
komt.
Om nu de klasse der monoïde, voorgesteld door
vergelijking (9), te bepalen, gaan we het eerste pool-
vlak van Xi en X^ beschouwen.
De vergelijking van het eerste poolvlak van Xj is:
-f ^V^P^x^\'^-P W^P \'^J\'-P-\'
Het eerste poolvlak van X^ is nu:
Beide poolvlakken zijn monoïden M met top in
X4 terwijl ze in X3 een (p—l)-voudig punt bezitten.
Tevens volgt uit hunne vergelijkingen dat de rechte
XjXi op beide als (p—2)-voudige rechte voorkomt.
32
Op de oorspronkelijke monoïde is het een (p—1)-
voudige rechte, wat uit vergelijking (9) af te leiden is.
De beide poolvlakken doorsnijden elkaar volgens
een ruimtekromme, waartoe de rechte X^X^ {p—^Y
maal behoort. De restdoorsnijding is derhalve een
ruimtekromme van graad (n—\\)\'\' — (p—2)^
Deze laatste zendt nu {n—2)- — (p—2)® takken door
Xt en (p—1)^ —{p—2)\' takken door X3.
Elke tak door X^, snijdt de oorspronkelijke monoïde
in n—\\ en elke tak door Xg in p punten.
Hieruit volgt, dat de ruimtekromme de oorspronke-
lijke monoïde buiten Xg en X^ nog in
n [(n-1)^ - (p-2)^] - (n-1) [{n-2y~ - (p-2)^] -
- P [(P-1)^ - (P-2)^] =(/2-l) (3n-4)-(p-l)
(3 p—4) punten snijdt.
We zien derhalve, dat een p-voudig punt op een
monoïde de klasse met (p—1) (3 p—4) verlaagt.
Voor de waarde p = 1 blijft de klasse onveranderd
en voor de waarde p = 2 wordt ze twee lager.
Komt op een willekeurig oppervlak een p-voudig
punt voor, dan wordt de klasse daardoor met p (p—1)\'
verminderd, wat na het voorgaande wel duidelijk is.
§5. Veel-
voudige jj^ jjg vorige paragraaf is de klasse afgeleid voor een
punten op
deMonoï- monoïde, waarop nog een p-voudig punt voorkwam,
de. De mogelijkheid van zoo\'n p-voudig punt buiten
33
den top bleek wel uit het bestaan van vergelijking (6).
De vraag kan nu gesteld worden, hoeveel dubbel-
punten zijn er op een monoïde buiten den top wel te
verwachten. Hiervoor is een bovenste grens te vinden.
Zij O de top der monoïde en P een willekeurig punt
buiten het oppervlak. Het eerste poolvlak van P is dan
/
een monoïde van graad n—1 met den top eveneens
in O. De doorsnijdingskromme van de beide opper-
vlakken bezit daarom (n—1) (n—2) takken door O,
waaruit volgt, dat de raakkegel uit P in OP een (n—1)
(n—2)-voudige ribbe bezit. Zoo\'n veelvoudige ribbe
op een kegel telt voor i (n—1) (n—2) [(n—1) (n—2)—l]
j dubbelribben.
Het aantal keerribben op den raakkegel uit P vinden
we als het aantal snijpunten, buiten O gelegen, van
de monoïde en het eerste en tweede poolvlak van P.
Het tweede poolvlak van een willekeurig punt t. o. v.
een m\'^ is steeds een monoïde m" ^ met den top
in hetzelfde punt als de oorspronkelijke monoïde.
Is de vergelijking der monoïde toch:
dan is het eerste poolvlak van een punt buiten de
monoïde gelegen bijv. van X, :
En het tweede poolvlak van X^ :
-ocr page 46-34
waarmede het bewezen is.
De 3 oppervlakteen (1), (2) en (3) hebben in den
top (n—1) {n—2) {n—3) gemeenschappelijke punten, dus
daarbuiten nogn (n—1) (n—2) — (n—\\)(n—2) (n—3) =
= 3 (n-l)K/2-2).
Het aantal keerribben op den raakkegel uit P is der-
halve : 3 (n—1) (n-2).
Het aantal dubbelribben van dien raakkegel wordt
langs een omweg afgeleid.
De klasse van den raakkegel is, wanneer we het
aantal dubbelribben d noemen :
n in-l) [n (n—1)—1] — (n—l)(n—2) [(n—l)(n-2)~l]—
— 2rf —3 X 3(n~l)(n-2).
Deze klasse is dezelfde als die van de monoïde.
Daarvoor is in § 4 de waarde (n—l) (3 n—4) ge-
vonden. Door deze twee uitdrukkingen aan elkaar ge-
lijk te stellen, vinden we voor het aantal dubbelribben
de waarde: 2 (n—l) (n—2) (n—3).
Bezit nu een monoïde een dubbelpunt, dan geeft dit
aanleiding tot een dubbelrechte op den raakkegel, want
het eerste poolvlak gaat steeds door zoo\'n dubbelpunt.
Het aantal dubbelpunten op de monoïde is daarom
aan een bovenste grens gebonden. Immers het aantal
dubbelrechten op een kegel van graad m is in maximo
i (/n—1)(/72—2).
-ocr page 47-35
Is het aantal dubbelpunten der monoïde x, dan vindt
men de hoogste waarde van x uit de volgende verge-
lijking:
i [n{n~\\)- \\]{n{n-\\)~2]==\\{n-\\){n-2)[{n-\\)
(n—2)-- 1]4-3(/2—l)(/2—2) 2(n—1)(/2—2)(n—3)
/
Hieruit volgt x == {n—2) {2 n—3).
Controleeren we dit resultaat eens voor het geval
n=3, dan blijkt dat op een kubisch oppervlak met
dubbelpunt niet meer dan 3 andere dubbelpunten kun-
nen voorkomen. Dit stemt overeen met wat bekend is
van de kubische oppervlakken.
HOOFDSTUK II.
§ 1. Be- In de laatste paragraaf van het vorige hoofdstuk is
paling der ggj^jgj^en, dat op een monoïde buiten den top nog
Dimo-
noïde andere veelvoudige punten kunnen voorkomen. Voor
het geval van een p-voudig punt, is de vergelijking
van het oppervlak afgeleid. Daarvan uitgaande is ge-
makkelijk in te zien, dat de vergelijking van een mo-
noïde, in het bezit van nog een tv\\^eede (n---l)-voudig
punt, als volgt geschreven kan worden:
Hierin stellen A, B, C en D homogene functies in
ic, en x^ voor, terwijl de graad door den bovenaan
geplaatsten index wordt aangegeven.
De beide coördinaten x^ en x^^ komen slechts tot de
eerste macht voor, waaruit blijkt, dat de punten Xg en
X4 de beide (n—l)-voudige punten op het oppervlak
zijn.
Zoo\'n monoïde met twee toppen wordt een dimonoïde
geheeten.
Het linkerlid van vergelijking (1) bevat An termen,
-ocr page 49-37
dus An—1 onafhankelijke constanten, waaruit volgt,
dat een dimonoïde door haar beide toppen en 4/2—1
andere punten bepaald is.
Zoo\'n dimonoïde kan echter ook wel anders bepaald
worden. Doo;-snijden we, ten einde dit aan te toonen,
de dimonoïde, voorgesteld door vergelijking vl), met
den vlakkenbundel, die de tetraëderribbe XgX^ tot as
heeft.
De vergelijking van dien bundel is dan :
De eliminatie van x, uit de vergelijkingen (1) en (2)
levert ons:
Dit is de vergelijking van een kegelbundel van graad
n, welke bepaald wordt door de beide kegels:
B^^-^^x, = o en
De eerste hiervan bezit XaX^ als (n—l)-voudige ribbe.
De tweede is samengesteld uit het vlak x^=o en
een kegel van graad n—\\ met XgX^ tot (/z—2)-voudige
ribbe.
De vlakkenbundel (2) is projectief verwant met den
kegelbundel (3), want met een bepaald vlak stemt een
bepaalde kegel overeen. De verwantschap is zoodanig
geregeld, dat met het vlak x^=o uit den vlakken-
38
bundel de kegel a^j [C^^ uit den ke-
gelbundel overeenstemt, wat voor de waarde A — 00
blijkt.
De meetkundige plaats der doorsnijdingskrommen
van overeenkomstige elementen uit de beide bundels
is de dimonoïde, waarvan we uitgingen.
Dit wordt bewezen door A uit de vergelijkingen (2)
en (3) te elimineeren, waarbij we dan weer op verge-
lijking (1) terecht komen.
Een dimonoïde kan derhalve ook langs synthetischen
weg geconstrueerd worden evenals we dat bij de mo-
noïde gezien hebben.
§ 2. Rech- Uit de vergelijking der dimonoïde, zooals we die in
ten door ^^ voorgaande paragraaf aangetroffen hebben, is on-
een top.
middellijk af te leiden, dat de verbindingslijn der beide
toppen een {n—2)-voudige rechte op het oppervlak is.
Bij substitutie van wordt het linkerlid toch
deelbaar door xj^ ^ en omgekeerd.
De vraag doet zich voor hoeveel van de n{n—1)
rechten, die door den top eener monoïde gaan, nu in
die (n—2)-voudige rechte door beide toppen wel opge-
hoopt liggen ? Voor de beantwoording dezer vraag moet
eerst nagegaan worden, hoeveel rechten er buiten die
[n—2)-voudige rechte door een top aangetroffen worden.
39
Dit kan als volgt gevonden worden.
Elk vlak door de {n—2)-voudige rechte moet nog
een kegelsnede insnijden, gaande door de beide toppen
der dimonoïde. Ontaardt nu zoo\'n kegelsnede, dan
geeft dit steeds een rechte door eiken top. Om nu te
onderzoeken hoe dikwijls dit gebeurt, doorsnijden we
de dimonoïde met den vlakkenbundel, die de verbin-
dingslijn der toppen tot as heeft.
Is de vergelijking der dimonoïde:
dan is de vergelijking van den vlakkenbundel:
Gaan we x„ elimineeren uit deze vergelijkingen, dan
is het resultaat:
O . . . .........(3)
De uitgevallen factor x/^ ^ wijst op de {n—2)-
voudige rechte, ƒ en ^ zijn polynomia in A.
In (3) hebben we de vergelijking van de kegels, die
uit Xj de kegelsneden projecteeren, welke door den
vlakkenbundel worden ingesneden.
De waarden van A, welke een ontaarding van zoo\'n
kegel opleveren, vinden we uit de vergelijking:
40
,f
g
f
{n-2)
(4)
= O.
O ,
{n-2)
Deze kan herleid worden tot:
of wel:
r T —g^r —O. . (5).
Wanneer voor een waarde aan de vergelijking
ƒ(« 2) _ ^ voldaan wordt, dan zal de kegel, die de
doorsnijdingskromme van het vlak x^ = x^ met
de dimonoïde projecteert, tot vergelijking hebben :
«s / (^^o) -^x.x.g (A J -\\-x\\ g (A J = O . (6).
Deze kegel ontaardt steeds in het vlak x^ = o en
een vlak:
{n-\\) (n)
Het vlak x^ = o geeft met het vlak rc, de
lijn Xg X4, zijnde de (n—2)-voudige rechte der dimo-
noïde.
Het vlak, voorgesteld door vergelijking (7), geeft met
het vlak aj^ = een rechte, die met Xg X, in
één vlak ligt. Dit vlak is een torsaalraakvlak der
dimonoïde. Er zijn n—2 waarden A^.
41
Het komt dus n—2 maal voor, dat een rechte door
den top der dimonoïde in de verbindingslijn der toppen
valt. Bovendien bevat de dimonoïde dan steeds n—2
rechten, die buiten de toppen die verbindingslijn snijden.
Voor n=3 vinden we het bekende resultaat, dat een
kubisch oppervlak met 2 dubbelpunten één rechte be-
vat, die op de verbindingslijn dezer dubbelpunten rust.
Heeft A echter zoodanige waarde, dat voldaan wordt
aan de vergelijking:
{n-\\) .(n—l) (n) An—2)
g^ V —gr \' = O, bijv. voor A==A,,
dan geeft dit een ontaarde kegelsnede in het vlak
= A, Xj.
Dit zal voor 2 n—2 waarden van A plaats vinden,
waarmede aangetoond is, dat door eiken top der dimo-
noïde 2 n—2 rechten gaan.
Bij een kubisch oppervlak met twee dubbelpunten
gaan er dan, zooals bekend is, door elk dubbelpunt
4 rechten van het oppervlak.
Keeren we terug tot de dimonoïde. Uit de vergelijking
van het oppervlak volgt, dat er door eiken top n (n—l)
rechten gaan.
Door eiken top hebben we er al 2 n—2 aange-
troffen. Verder waren er n—2 rechten, die de ver-
bindingslijn der toppen sneden. Langs die verbindingslijn
42
vallen dus 2 n{n—\\) — 2 {2 n—2) — {n—2) = 2n\'
— 7 n-{-Q rechten.
Voor n=3 geeft dit 3, wat ook moet, omdat die lijn
door de toppen een enkelvoudige rechte van de ku-
bische dimonoïde is en daarom dan in het geheel 4
maal geteld moet worden.
Dat er bij een dimonoïde door eiken top 2 n—2
rechten gaan, is ook als volgt aan te toonen :
De vergelijking (1) doet toch zien, dat de rechten
door den top X^ moeten liggen op de beide kegels:
en B^"-^) D^\'^) = o.
De gemeenschappelijke rechten hiervan liggen in de
2 n—2 vlakken, bepaald door de vergelijking:
welke ontstaat door uit de twee vergelijkingen (8)
te elimineeren.
Hiermede is het bestaan der 2 n—2 rechten door X^
bewezen. Op dezelfde manier kan dit voor X3 gebeuren.
Behalve de rechte door de beide toppen kan een
dimonoïde geen veelvoudige rechten bevatten. Zoo\'n
rechte zou dan steeds buiten één der toppen gelegen
43
zijn, waarvan de onmogelijlciieid in § 3 van liet vorige
hoofdstuk aangetoond is.
3. Rech- In § 1 hebben we gezien, dat een dimonoïde door
ten bui- ^g beide toppen en 4 n—l andere punten bepaald is.
ten de
toppen ^^ ^^^^ laatste n 1 op een rechte,
dan moet deze rechte geheel op het oppervlak gelegen
zijn.
Het vlak door deze rechte en een der toppen snijdt
steeds n—1 rechten door dien top in, waaruit volgt,
dat het optreden van een rechte buiten de toppen ge-
paard gaat met een bijzondere ligging van n—l rechten
door eiken top.
Bij het kubisch oppervlak met twee dubbelpunten
liggen altijd n—1 rechten door den top in één vlak.
Volgens het in § 2 behandelde gaan er 4 rechten
door elk dubbelpunt. Hiervan heeft men 6 combinaties
twee aan twee, zoodat er buiten de twee dubbelpunten
6 rechten op het oppervlak voorkomen, waarvan er
geen enkele de rechte door de dubbelpunten snijdt.
Om buiten de toppen nog 3 rechten vast te leggen
zijn 3 n-|--3 punten noodig. Dit is mogelijk, wanneer:
4 n—l > 3n-f3
of: n > 4 is.
-ocr page 56-44
Zijn O en P de toppen der dimonoïde, dan moet
een vlalc door O P steeds een l<egelsnede insnijden.
Het oppervlak is dan de meetkundige plaats van alle
kegelsneden, die door O en P gaan en op die 3 rechten
rusten. Het is gemakkelijk in te zien, dat dit oppervlak
van den vierden graad moet zijn. Zijn de drie gegeven
rechten A,, h^ en Ag en zij a één der tv^ree rechten,
die op OP, Al, A^ en Ag rusten. Het lijnenpaar (O P, a)
vormt dan een ontaarde kegelsnede, die aan de voor-
waarden voldoet. Eveneens het lijnenpaar (O P, b),
indien b de andere transversaal is van OP, A^, A^ en
A3, zoodat OP tweemaal op het oppervlak voorkomt,
waaruit weer volgt, dat ieder vlak door O P een kromme
van graad 4 insnijdt, waarvan O en P dan 3-voudige
punten zijn.
Uit het voorgaande blijkt nu, dat een dimonoïde
d\'^ met drie willekeurige rechten buiten de toppen ont-
aarden moet in een D" en n—4 vlakken, welke door
de verbindingslijn der toppen van de D\'\' gaan.
Voor het geval, dat twee der 3 rechten A een punt
S gemeen hebben, bevat het vlak door O P en S nog
een punt der andere rechte A. Deze 4 punten bepalen
dan in dat vlak een bundel kegelsneden, die alle aan
de gestelde voorwaarden voldoen,
45
Dat vlak behoort dan tot de D^, waardoor er dan
een kubisch oppervlak met dubbelpunten in O en P
overblijft.
Beschouwen we nu eens het geval eener dimonoïde
met toppen O en P en twee willekeurige rechten h^
en Äj. Zoo\'n dimonoïde kan van willekeurigen graad
zijn, daar 4n—1 steeds grooter is dan 2/z-i-2 vanaf de
waarde n=2.
OP, h^ en h.^ bepalen een hyperboloïde. Deze
laatste doorsnijdt de dimonoïde volgens een ruimte-
kromme van graad 2 n. De rechte O P behoort (/i—2)-
maal tot deze kromme, want het is een enkelvoudige
rechte der hyperboloïde en een (/z—2)-voudige rechte
der dimonoïde.
h^ en /Zj behooren tot beide oppervlakken en dus
ook tot hun doorsnijding.
Uit O kan men een rechte a^^ der hyperboloïde
trekken, die en snijdt. Deze rechte behoort ook
tot de dimonoïde, daar ze er /z 1 punten mede ge-
meen heeft. Een dergelijke rechte b^^ is ook uit P te
trekken.
De ruimtekromme bestaat dus al uit /z 2 rech-
ten, zoodat er een R „ overblijft.
iZ Zt
Deze laatste moet ontaarden in n—2 rechten.
Om dit aan te toonen beschouwen we een punt A
-ocr page 58-46
dezer ^ steeds een rechte / der hy-
perboloïde, die OP, /Zj en /z^ snijdt. Deze rechte heeft
in het snijpunt met O P n—2 en in A en de snijpunten
met /z, en /Zg nog 3 punten met de dimonoïde gemeen
en ligt daarom geheel op dit oppervlak.
Elk der punten van de R „ geeft dan aanleiding tot
TL
een rechte / der dimonoïde. Dit oppervlak zou oneindig
veel rechten bevatten en dus een regelvlak zijn.
Bovendien gaat elke rechte buiten de toppen verge-
zeld van 11—\\ rechten door eiken top, waaruit volgt,
dat is ons geval de dimonoïde door eiken top oneindig
veel rechten zou bezitten.
Deze ongerijmdheid doet ons nu besluiten, dat de
ruimtekromme R ^ moet ontaarden in n—2 rechten,
ft JL
die OP, A, en /Z;; snijden.
Was dit laatste niet het geval, dan brachten ze even-
als een niet ontaarde kromme R « oneindig veel
rechten der dimonoïde met zich mede.
Van die n—2 rechten gaat er geen enkele door een
top.
Immers een willekeurig vlak door O bijv. snijdt uit
de dimonoïde een kromme van graad n met een (n—1)-
voudig punt in O en uit de hyperboloïde een kegel-
snede door O. In O liggen dan n—\\ snijpunten van
beide krommen. Verder snijdt dat vlak h^, h^ en
47
waardoor er buiten O nog 2 n — {n—\\) — 3 = n—2
punten op te sporen zijn. Dit zijn echter juist de snij-
punten, die dit vlak met de R oplevert, waarmede
11 ^
bewezen is, dat deze ruimtekromme geen enkelen tak
door een - top der dimonoïde zendt, daar voor P een
dergelijke red;eneering geldt.
Een vlak door één dezer n—2 rechten en O P moet
uit de dimonoïde een kegelsnede snijden, welke door
O en P gaat. Klaarblijkelijk ontaardt deze hier in die
rechte zelf en in O P.
De n—2 rechten zijn dus dezelfde als die, waarvan
het bestaan op een willekeurige dimonoïde in de vorige
paragraaf bewezen werd.
Daar toonden we toch aan, dat op een dimonoïde
buiten de toppen steeds n—2 rechten voorkomen, die
op de verbindingslijn der toppen rusten.
Behalve deze n—2 rechten bevat een dimonoïde,
waarop buiten de toppen de rechten h^ en voor-
komen, door eiken top 2 n—2 rechten, zooals in § 2
werd afgeleid.
In het vlak (O, AJ liggen behalve a^^ nog n—2
rechten a\' door O. Het vlak (O, AJ bevat buiten a^^
nog n—2 rechten ß" door O.
Zoo liggen er in het vlak (P, A,) met b^^ nog/z—2
rechten b\' door P en in het vlak (P, AJ komen met
ook n—2 rechten b" door P voor.
48
Verder ligt in iiet vlak (OP, a^^) nog een rechte
öo door P. Eveneens in het vlak (OP, b^^) nog een
rechte a^ door O.
Zoo\'n rechte a\' zal een rechte b\' nooit snijden.
Hadden ze namelijk een punt gemeen, dan moest
dat een punt S der rechte wezen. In dat geval gingen
door S 3 rechten van de dimonoïde, hetgeen niet kan,
of S was een singulier punt van het oppervlak. Dit is
echter buitengesloten.
Een rechte a\' moet getroffen worden door een rechte
uit P. Dit kan niet anders dan een rechte b" zijn.
Onze dimonoïde bevat door O de rechten a^, a,,,
n—2 rechten a\' en n—2 rechten a". In \'t geheel dus
2 n—2 rechten, zooals ook moet.
Zoo ook 2 n—2 rechten door P. Iedere rechte door
O is gepaard aan een rechte door P.
Bij de (n—2)-voudige rechte O P behooren de n—2
rechten, die haar snijden.
Het oppervlak bevat daarom 3 n~4 paren van rech-
ten buiten de rechten h, en h.^.
Gaan we dit eens controleeren voor het geval n=3.
Door het eene dubbelpunt O gaan dan de 4 rechten
a\', a", a, en a,,.
Het vlak (o\', a^) snijdt nog een rechte h^ op het
oppervlak in. h^ moet de volledige doorsnede van dit
49
vlak snijden en daar zij de rechten a\' en a^ kruist zal
ze h^ snijden.
b\' en b^ kruisen a\' en zoodat ze rusten moeten
op /z,. Deze rechte ligt dus ook in het vlak {b\', bj.
Het vlak (a", aj bepaalt op het oppervlak een
rechte h,, di^ door h, gesneden wordt.
b" en b,, kruisen a" en a^, dus snijden ze /z,.Deze
ligt daarom in het vlak (b", öj.
Het vlak (a\', a") bevat nog een rechte /z^, die h^
en Aj kruist.
ö,., en èo kruisen a\' en a", waaruit volgt, dat h.^
in het vlak {b^,, b^) gelegen is.
Het vlak üq) levert een rechte h^ op, die /z^
en ook h., kruist.
Daar nu de rechten b\' en b" de rechten a,^ en b^
kruisen, moet /z,, in het vlak {b\', b") liggen.
Voor de volledigheid kunnen we hieraan toevoegen,
dat /Zi in de vlakken {a\', OiJ en {b\', b^^), h, in de
vlakken (a", a,,) en (b", b,,) ligt.
Nu bevat een kubisch oppervlak met twee dubbel-
punten steeds een rechte h,, die hun verbindingslijn
snijdt.
Deze beide rechten vormen een volledige doorsnede
van het oppervlak. De rechten h^ . . . . /z, kruisen
alle de verbindingslijn der dubbelpunten, zoodat ze
op /Z; moeten rusten.
50
De rechten h, en h^ snijden ell<aar en liggen dus
met Äj in één vlak. Hetzelfde is het geval met de
rechten h^ en h^. Het vlak door h^ en h, moet nog
een derde rechte insnijden en dat kan geen andere
dan h^ wezen.
Door h.. gaan derhalve 3 drievoudige raakvlakken
van het oppervlak, welke geheel buiten de dubbel-
punten liggen.
Andere drievoudige raakvlakken buiten de dubbel-
punten kunnen niet voorkomen, omdat alle rechten
van het oppervlak snijdt.
§4. An- vorige paragraaf is een dimonoïde beschouwd
dere cou- als de meetkundige plaats der kegelsneden, die door
structie ^^^^ ^^^^^ punten gaan en op drie gegeven rechten
eener di-
monoïde. rusten. Immers elk vlak door die beide vaste punten
bevatte daarbij van de gegeven rechten drie punten,
waardoor een kegelsnede bepaald werd.
Men zou nu de drie gegeven rechten kunnen ver-
vangen door een ruimtekromme van den derden graad.
Daarvan liggen in elk vlak door de twee vaste punten
ook altijd drie punten. Op die manier wordt dan weer
in elk vlak een kegelsnede vastgelegd.
De meetkundige plaats dezer kegelsneden is echter
een kwadratisch oppervlak en geen dimonoïde.
De rechte door de beide vaste punten kan toch nooit
-ocr page 63-51
tot het oppervlak behooren, daar een ruimtekromme
van den derden graad geen trisecanten bezit, zoodat
genoemde rechte geen deel uitmaken kan van een ont-
aarde kegelsnede, die aan de voorwaarden voldoet.
Wel kunnen we tot een dimonoïde komen door uit
te gaan van een rationale ruimtekromme van den vijf-
den graad.
Nemen we daarop twee vaste punten O en P aan.
Elk vlak door deze bisecante O P bepaalt op de
kromme nog drie punten, waardoor een kegelsnede
vastgelegd wordt, die door O en P gaat.
Om te komen tot den graad van het oppervlak der
kegelsneden, die door den vlakkenbundel met O P
tot as bepaald worden, merken we op, dat een bise-
cante eener rationale ruimtekromme van den vijfden
graad buiten hare steunpunten nog twee trisecanten
draagt 1).
De rechte O P behoort dus tweemaal tot een ont-
aarde kegelsnede, die aan de voorwaarden voldoet.
Op het gevraagde oppervlak is zij daarom een dubbel-
rechte.
In een willekeurig vlak door O P Hgt dan steeds
een doorsnede van den vierden graad met twee drie-
1 Zie G. K. Nugteren: Rationale ruimtekrommen van
de vijfde orde. Dissertatie. 1901. Hoofdstuk IV, §6.
52
voudige punten. Het oppervlalc der beschouwde Icegel-
sneden is derhalve een dimonoïde van graad vier.
Door O gaan nog 3 trisecanten der ruimtelcromme.
Deze geven aanleiding tot 3 bisecanten door P. Zoo
gaan er door P ook 3 trisecanten, welke op haar
beurt 3 bisecanten door O bepalen. Zoo\'n trisecante
veroorzaakt immers steeds een ontaarde kegelsnede.
De 6 rechten door eiken top onzer dimonoïde zijn nu
op deze wijze ook aangetoond.
Dat omgekeerd op een dimonoïde D" met toppen O
en P een rationale ruimtekromme R^ bepaald kan wor-
den, die door O en P gaat, blijkt als volgt.
Denken we ons een kegel van graad vier met O tot
top. Laat O P en 3 der 6 rechten op de dimonoïde,
door O, enkelvoudige rechten op dezen kegel zijn,
terwijl de overige 3 rechten door O er als dubbelrech-
ten op voorkomen.
Deze rechten tellen samen voor 13 enkelvoudige
beschrijvende lijnen. Daar een kegel van den vierden
graad door 14 rechten door den top bepaald is, moet
een dergelijke kegel altijd mogelijk zijn.
Hij snijdt de dimonoïde volgens een ruimtekromme
van graad zestien. Hiertoe behoort O P tweemaal, 3 der
rechten door den top elk tweemaal en de overige 3
elk éénmaal. De restdoorsnede is dan een ruimte-
kromme van den vijfden graad. De kegel bezit het
53
maximum aantal dubbelribben, waarom de ruimte-
kromme, die er door geprojecteerd wordt, rationaal
moet zijn.
In een willekeurig vlak door O hebben dimonoïde
en kegel buiten O vier gemeenschappelijke punten.
De ruimtekromme R,g zendt dus 12 takken door O.
De 11 rechten, waaruit ze met de R^ bestaat, gaan
alle door O, zoodat de R^ éénmaal door O moet gaan.
Hetzelfde geldt voor het punt P.
Door O gaat een bundei kegels van den vierden
graad, waarvan elk exemplaar op de dimonoïde zoo\'n
R5 insnijdt. Immers de gegeven rechten telden voor
13, terwijl er ter bepaling van zoo\'n kegel 14 noodig
zijn.
Hieruit volgt, dat op een dimonoïde D"* een enkel-
voudig oneindig stelsel rationale ruimtekrommen van
den vijfden graad te bepalen is, die alle door de top-
pen gaan en daar dezelfde trisecanten bezitten, terwijl
ze nog twee trisecanten, die op de verbindingslijn der
toppen rusten, gemeen hebben.
§5. Klas- In § 4 van hoofdstuk I is voor de klasse eener
se der di- monoïde, waarop nog een p-voudig punt voorkomt,
monoïdt. vvaarde gevonden :
(/z-1) (3n-4)-(p-l) P-A).
Substitueeren we hierin voor p de waarde/z—1, dan
-ocr page 66-54
geeft dit voor de l<lasse eener dimonoïde 6/z—10.
Voor een kubisch oppervlak met twee dubbelpunten
geeft dit voor de klasse de waarde 8, zooals behoort.
De klasse eener dimonoïde is met behulp der eerste
poolvlakken van twee willekeurige punten buiten het
oppervlak af te leiden.
Gaan we daartoe uit van de dimonoïde voorgesteld
door de vergelijking:
De hoekpunten X, en X, liggen niet op het oppervlak.
Het eerste poolvlak van X, heeft vergelijking:
Volgens de notatie van vroeger wijst de index 1 op
een partieele differentiatie naar x^.
Op analoge wijze vinden we voor de vergelijking
van het eerste poolvlak van X, :
A, o (3).
Beide poolvlakken zijn weer dimonoïden, met de
toppen in X3 en X^, terwijl X3 X, voor beide een
(n—3)-voudige rechte is.
Buiten deze rechte doorsnijden de twee poolvlakken
elkaar volgens een ruimtekromme van graad(n—1)2 —
(/2—3)= 4/z—8.
\'tls er nu om te doen, hoeveel takken deze ruimte-
kromme door X3 en X4 zendt.
55
Om daartoe te komen, merken we op, dat een vlak
door Xg X^ de beide poolvlakken moet snijden volgens
de (n—3)-voudige rechte en een kegelsnede door Xg
en X,. Deze twee kegelsneden hebben dan nog twee
punten gemeen. De ruimtekromme bezit in het door-
snijdingsvlak 4 n—8 punten. Twee ervan liggen in de
2 snijpunten dier beide kegelsneden, zoodat er voor
de punten Xg en X^ An—10 overblijven.
Om reden van symmetrie moeten daarvan 2«—5
in Xg en 2 n—5 in X^ liggen, zoodat onze ruimte-
kromme R^ door eiken top der dimonoïde 2 n—5
takken zendt.
De ruimtekromme en de dimonoïde hebben in het
geheel n (4 n—%) gemeenschappelijke punten.
Om de klasse te vinden moet dit aantal nog ver-
minderd worden met de {n—1) (2/2—5) punten, die
in elk der toppen opgehoopt liggen.
De klasse der dimonoïde is dan 6/2—10, wat
overeenstemt met het resultaat aan het begin dezer
paragraaf.
§6. Veel- Voor het onderzoek, of op een dimonoïde nogveel-
^voudige yQ^^jgg punten kunnen voorkomen, gaan we na, hoe
de dimo- vergelijking van het oppervlak er uit moest zien,
noïde. indien bijv. in het hoekpunt X„ nog een p-voudig
punt gelegen was. In dat geval moeten in die verge-
56
lijking de termen in x, van de graden n, n—\\ tot
n—p-\\-\\ ontbreken, zoodat die naar de bekende notatie
als volgt geschreven kan worden:
Hieruit blijkt, dat zoo\'n oppervlak steeds ontaardt
in p—2 vlakken en een dimonoïde van graad
n-p 2.
Zonder te ontaarden kan een dimonoïde dus hoog-
stens dubbelpunten bezitten.
Hun aantal is echter beperkt.
Komen er bijv. drie dubbelpunten voor, dan zal het
vlak door deze punten de dimonoïde snijden volgens
een kromme met een (n—2)-voudig punt op de (n—2)-
voudige rechte en nog drie dubbelpunten.
Dit is alleen dan mogelijk, indien men heeft:
i (n-1) (/2~2) > i (n-2) (n-3) 3.
of n > 5.
Is de kromme, door het vlak der drie dubbelpunten
ingesneden, ontaard, dan is het bestaan van drie der-
gelijke punten op een dimonoïde van graad vier nog
wel mogelijk. Bij een ontaarde kromme toch is het
aantal mogelijke dubbelpunten grooter dan bij een niet
ontaarde.
57
Evenals bij de monoïde gescliied is, I<unnen we liier
een bovenste grens voor het aantal dubbelpunten op
een dimonoïde afleiden.
Beschouwen we daartoe een dimonoïde, bepaald
door de vergelijl<ing:
In de vorige paragraaf hebben we gezien, dat het
eerste poolvlalc van een willekeurig buiten het opper-
vlak gelegen punt X^ weer een dimonoïde is, waar-
van de vergelijking er als volgt uitziet:
De oppervlakken (2) en (3) doorsnijden elkaar vol-
gens een ruimtekromme van graad n (n—1).
Hiertoe behoort de verbindingslijn der gemeenschap-
pelijke toppen (n—2) (/z—3) maal, zoodat er een ruimte-
kromme van graad 4 n—Q overblijft.
Deze ruimtekromme zendt door X3 zoowel als door
X, (n—l)(n—2) —(n—2)(/z—3)= 2 n—4 takken.
De raakkegel uit X^ aan de dimonoïde bestaat dus
uit (11—2) (n—3) maal het vlak x.^ =0 en een kegel
van graad 4/2—6, waarop X, X, en X^ X^ beide
(2 /2—-4)-voudige ribben zijn.
Deze kegel bevat nu behalve de twee veelvoudige
ribben nog eenige keerribben en dubbelribben.
Het aantal keerribben wordt gevonden door het
tweede poolvlak van X^ te beschouwen.
58
Daarvan is de vergelijl<ing volgens de bekende notatie :
De oppervlakken (3) en (4) doorsnijden elkaar
buiten X3 X, volgens een ruimtekromme van graad
(/2—1)(/2—2) —(/2—3)(«—4) = 4/2-10. Immers het
tweede poolvlak is weer een dimonoïde met Xg X^
tot (n—4)-voudige rechte.
Van die ruimtekromme gaan door elk der
punten X3 en X, (n—2) (n—3) — (n—3) (n—4) = 2n-6
takken. Ze doorsnijdt de oorspronkelijke dimonoïde
daarom buiten de toppen in :
n (4 n—l0) — 2 (n—l) (2 n—6) = 6 (n—2) punten.
Hieruit volgt, dat de raakkegel uit X^ 6 (n—2)
keerribben bezit.
Het aantal dubbelribben op den raakkegel kunnen
we verkrijgen door op te merken, dat de klasse van
den raakkegel dezelfde is als van de dimonoïde. De
klasse van den raakkegel is dus ook 6n—10.
Elke (2 n—4)-voudige ribbe op dien kegel vermin-
dert de klasse met (2 n—4) (2 n—5), daar ze voor half
maal zooveel dubbelribben telt.
Daar een keerribbe de klasse met 3 verlaagt, vinden
we het aantal dubbelribben d uit de vergelijking:
6 n—10= (4 n—6) (4 n—7) — 2 (2 n—4) (2 n—5) —
— 18(n—2) —2üf.
59
Dit levert ons : cf = 4 {n—2) {n—3).
Komt nu op de dimonoïde een dubbelpunt voor,
dan brengt dit een dubbelribbe op den raakkegel met
zich mede. Het aantal dubbelribben op den raakkegel
kan nu zekere waarde niet overschrijden.
Noemen we het aantal dubbelpunten der dimonoïde x,
dan vinden we de hoogste waarde van x uit de vol-
gende vergelijking:
i (4 n—1) (4 /z—8) = (2 n—A) (2 /2—5) 6 {n—2)
4 {n-2) (n-3) x.
Het linkeriid geeft toch het maximum aantal dubbel-
ribben op den raakkegel aan.
Deze vergelijking geeft voor x de waarde 2 {n—2).
Op een dimonoïde kunnen dus niet meer dan 2 {n—2)
dubbelpunten voorkomen.
Voor n=3 is dit aantal 2. Dit stemt overeen met
het bekende feit, dat een kubisch oppervlak niet meer
dan 4 dubbelpunten kan bezitten.
HOOFDSTUK III.
Eigenschappen van bundels algebraïsche krom-
men, afgeleid uit eigenschappen der monoïde.
§l.Aan- Denken we ons een monoïde van graad n 1, waarop
tal dub- jj^jj-gj-, (jgj^ |.Qp j^Qg ggj^ rechte voorkomt,
belpun-
ten. Zoo\'n monoïde wordt voorgesteld door de verge-
lijking:
Elk vlak door X^ X, snijdt de monoïde volgens
deze rechte en een kromme van graad n. Doorsnijden
we de monoïde nu met den vlakkenbundel doorX^X.,
en projecteeren we alle doorsneden uit X^ op een
willekeurig vlak, bijv. het vlak x^—o, dan ontstaat in
dat vlak een krommenbundel van graad n, daar door
elk punt van het vlak steeds een kromme gaat.
Verbindt men toch zoo\'n punt P met X^, dan be-
paalt deze rechte nog een punt Q der monoïde.
Door Q wordt een vlak uit den vlakkenbundel vast-
gelegd, hetwelk de monoïde snijdt volgens een kromme
door Q. Wordt deze geprojecteerd uit X.^ op het vlak
x,=o, dan levert dat in dit vlak een kromme door
P op.
61
Analytisch blijkt dit ook eenvoudig.
De vergelijking van den vlakkenbundel is:.
Door A uit de vergelijkingen (1) en (2) te eliminee-
ren ontstaat de volgende vergelijking van een kegel-
bundel van ^raad n :
Elk vlak, dus ook het vlak doorsnijdt dezen
bundel volgens een krommenbundel van graad n.
De n\'\' basisribben van den kegelbundel zijn de
doorsnijdingsrechten der beide kegels k=o en B=o,
Ze behooren tot de n (n l) rechten der monoïde
door den top. Ze snijden het vlak in de n-
basispunten van den krommenbundel.
Komt het nu voor, dat een kromme uit den krommen-
bundel een dubbelpunt bezit, dan moet de kromme,
waaruit ze door projectie ontstaan is, ook van een
dubbelpunt voorzien zijn. In dat geval is er dus een
vlak uit den vlakkenbundel, dat de monoïde volgens
een kromme met een dubbelpunt doorsnijdt.
Een zoodanig vlak is een raakvlak aan de monoïde.
We zien derhalve, dat elk raakvlak uit den vlakken-
bundel aanleiding geeft tot een kromme met een dubbel-
punt in den krommenbundel. \'t Is er dus om te doen,
hoeveel vlakken uit den bundel de monoïde aanraken.
Om daartoe te geraken beschouwen we de eerste
-ocr page 74-62
poolvlakken van twee punten, op de as van den vlak-
kenbundel gelegen. Wie kiezen daarvoor de punten
X, en X3.
Het eerste poolvlak van X„ heeft tot vergelijking:
As^^^-r, =0.......(4).
Zoo vindt men voor het eerste poolvlak van X3 :
........(5).
Uit deze vergelijkingen blijkt, dat beide poolvlakkken
monoïden m" zijn, die beide met de oorspronkelijke
monoïde den top en de rechte X^ Xg gemeen hebben.
Het aantal raakvlakken door X, Xg aan de monoïde
wordt geleverd door het aantal gemeenschap-
pelijke punten der oppervlakken (1), (4) en (5) buiten
X^ en de gemeenschappelijke rechte.
De beide poolvlakken hebben tot doorsnijding een
ruimtekromme van graad n \'^. Hiertoe behoort de rechte
Xj Xg, zoodat er eene kromme van graad n-—\\ over-
blijft.
Deze ruimtekromme zendt («—!)\' takken door X^
omdat beide poolvlakken in X, een (n—l)-voudig
punt bezitten.
Verder liggen er nog eenige punten van de ruimte-
kromme op X2 Xg.
Om dit aantal op te sporen, leggen we door X, Xg
een willekeurig vlak. Dit snijdt de beide poolvlakken
63
buiten de rechte X^ X^ nog volgens een kromme van
graad n — l. Het vlak bevat dus (n—l)\' punten der
ruimtekromme buiten X., X».
In het geheel liggen n^ — 1 punten dezer kromme in
dit vlak, zoodat er n\' —1 —(n—1)\'= 2 n—2 punten op
Xj Xg moeten liggen.
/
In elk dezer punten heeft die rechte X, X3 het ka-
rakter eener raaklijn aan de monoïde, omdat het een
punt der monoïde is, dat tevens op het eerste poolvlak
van X2 of X3 gelegen is.
De ruimtekromme snijdt daarom de monoïde daar
ten plaatse steeds in twee punten.
Dit is ook wel anders af te leiden.
Een vlakkenbundel door X2X3 doorsnijdt de monoïde
volgens die rechte en een systeem krommen van graad n.
Deze krommen bepalen op die rechte een involutie
De 2 (n—l) dubbelpunten dezer involutie wijzen er
op, dat de kromme van graad n de rechte X^ X, daar
aanraakt, zoodat de ruimtekromme de monoïde daar in
twee punten snijdt.
Buiten den top en de rechte X, X3 hebben de opper-
vlakken (1), (4) en (5) daarom :
(n-f 1) (n^—1) — n (n—1)^ — 2 (2 n—2) = 3 {n—\\y
gemeenschappelijke punten.
De monoïde bezit dan evenveel raakvlakken door
Xj X3, waarmede bewezen is, dat in een bundel al-
64
gebraïsche krommen van graad n steeds 3 (n—l)-
krommen met een dubbelpunt voorkomen.
Gaan we nu eens uit van een monoïde m", voorge-
steld door de vergelijking:
Doorsnijden we dit oppervlak met den vlakkenbundel:
.............(7)
dan worden alle doorsneden uit geprojecteerd door
den kegelbundel
Deze wordt door het vlak x^ =0 gesneden volgens
een krommenbundel van graad n. Het is duidelijk, dat
er van de n- basispunten in dezen bundel n op
X, X3 liggen en wel daar, waar deze rechte den kegel
B = 0 en de M^ snijdt.
Daar de klasse der monoïde (n—1) (3 n—4) bedraagt,
komen in den krommenbundel al vast zooveel krommen
met een dubbelpunt voor.
Nu liggen er in het vlak x^=o buiten X^ X3 nog
n^—n basispunten. Hiervan zijn er slechts i n (n-\\-3) —
— n—1 noodig om dien bundel te bepalen. De overige
liggen met deze noodzakelijk geassocieerd.
Nu zijn i n {n-{-3) — n—l punten juist voldoende
om een kromme van graad n—1 te bepalen.
65
Deze kromme vormt met XjXg een ontaarding uit
den bundel.
Ze wordt door X, Xg in n—\\ punten gesneden,
zoodat er op deze rechte dan n—1 dubbelpunten voor-
komen.
In het geheel komen in den krommenbundel weer
/
(n—1) (3 n—4) -f n—1 = 3 (n—1)^ dubbelpunten voor.
De kromme van graad n—1, welke we hier ontmoet
hebben, speelt nog een andere rol.
Daar elke rechte door den top de monoïde nog in
één punt snijdt, kunnen we de monoïde punt voor
punt afbeelden op een plat vlak. Hierbij wordt elke
rechte door den top slechts in één punt afgebeeld.
Doen we dit op het vlak dan wordt de top
afgebeeld in de doorsnede van dit vlak met den raak-
kegel A= O. Deze kromme is dezelfde als die, welke
deel uitmaakte van de ontaarde kromme in den krom-
menbundel van zooeven.
Komt in een bundel algebraïsche krommen een k-
voudig basispunt voor, dan wordt daardoor het aan-
tal dubbelpunten in dien bundel met (k—1) (3 k-\\-\\)
verlaagd.
Om dit aan te toonen, gaan we uit van een monoïde
-ocr page 78-66
met een rechte buiten den top en een /:-voudige
rechte door den top.
Een dergelijlic monoïde l<an door de volgende ver-
gelijking voorgesteld worden:
U^"^ ] [V-^^ ...
Het eerste poolvlak vanX, heeft dan tot vergelijking :
U/^^] .. -f
Klaarblijkelijk is dit een monoïde m\'^ met de rechte
X^Xg buiten den top X, en X, X^ als (A:—l)-voudige
rechte door den top.
Het eerste poolvlak van X^ zal nu een dergelijke
monoïde m\'^ moeten zijn.
Buiten de beide gemeenschappelijke rechten doorsnij-
den deze poolvlakken elkaar nog volgens een ruimte-
kromme van den graad n^—{k~\\y—\\.
Deze zendt {n—\\y — {k—\\y takken door X,.
Verder bezit ze 2 n—2 punten op X^ Xg en buiten
X, nog 2k—2 punten op X, X,.
67
Dit wordt op een soortgelijlte wijze aangetoond
als in het begin dezer paragraaf en in § 4 van Hoofd-
stuk I.
Daar is ook aangetoond, dat de ruimtekromme in
hare punten op X, X3 twee, en in hare punten buiten
X^ op X^ Xj, /r-fl punten met de oorspronkelijke
/
monoïde gemeen heeft.
Buiten deze rechten heeft de ruimtekromme dan met
de monoïde M^^^ :
_ n[{n-\\y -{k-m-
—1) (2k—2)— 2(2n—2)= 3(n—l)\'—(k—l) (3A: 1)
gemeenschappelijke punten.
Dit is het aantal raakvlakken door X^ Xs aan de
monoïde waarvan de raakpunten nietopX^Xg
en X, X, liggen.
Doorsnijdt men nu de monoïde met den vlak-
kenbundel door X, X3 en worden de doorsneden uit
X^ op het vlak x^=o geprojecteerd, dan ontstaat
in dit vlak een bundel krommen, die alle in X, een
it-voudig punt bezitten.
In dien bundel komen dan nog 3 (n—1)= — (/<:—1)
(3/c-j-l) krommen met een dubbelpunt voor.
Hiermede is bewezen, dat in een bundel algebraïsche
krommen het aantal dubbelpunten door een it-voudig
basispunt met (k—l)(3/:4-l) verminderd wordt.
68
§2. Klas- Gaan we uit van de monoïde, voorgesteld door de
sederom- ijj^j
hullende , . , .
van alle x, x, = o . . .......(1).
buigraak- In § 1 is aangetoond, hoe uit deze monoïde een bun-
hjnen. algebraïsche krommen in het vlak = o wordt
afgeleid.
Het aantal buigraaklijnen door Xg, in dezen bundel
voorkomende, stemt overeen met het aantal inflexie-
raaklijnen der monoïde door Xg.
Dit aantal wordt gevonden met behulp van het eerste
en tweede poolvlak van Xg.
De vergelijking van het eerste poolvlak van Xg luidt:
Die van het tweede poolvlak is:
.......(3.)
Het aantal snijpunten der oppervlakken (1), (2) en
(3), buiten X^ en X^ Xg gelegen, bepaalt nu het aantal
inflexieraaklijnen door Xg.
Daar het tweede poolvlak een monoïde is met
de rechte X^ Xg buiten den top X,, doorsnijden die
beide poolvlakken elkaar buiten Xj Xg nog volgens
een ruimtekromme van den graad n(/2—1)—1.
Deze laatste zendt (n—1) («—2) takken door X^.
Een willekeurig vlak door X, X^ bevat buiten deze
rechte van beide poolvlakken steeds(/2—l)(n—2) punten.
69
De ruimtekromme tieeft daarom op X, nog
n{n~-\\) — {n—\\){n~2) = 2n—2 punten.
De ruimtekromme snijdt de oorspronkelijke monoïde
dan in
(« 1) [n (n—1)-1] - n (n—1) (n—2) — (2 n~3) =
= 3n(n—2)\'-f 2 punten.
Het raakvlak in Xj aan de monoïde bevat door X 3
twee inflexieraaklijnen, die geen aanleiding geven tot
buigraaklijnen voor den krommenbundel.
De eene inflexieraaklijn is X^ X3 en de andere is
de raaklijn in X, aan de doorsnede van het raakvlak
en de monoïde. Immers deze doorsnede bestaat uit
X^ X3 en een kromme door X3. Er blijven dus 3 n (n—2)
inflexieraaklijnen door Xg over, die buigraaklijnen door
Xg in den krommenbundel doen ontstaan.
De klasse der omhullende dezer buigraaklijnen is
derhalve 3 n (n—2).
Ook hier willen we den invloed van een /:-voudig
basispunt in den krommenbundel onderzoeken.
Daartoe gaan we uit van de monoïde voor-
gesteld door vergelijking (9) van de vorige paragraaf.
Deze monoïde bevat buiten den top X^ de rechte
X^ Xg en door den top de A:-voudige rechte X^Xj.
De krommenbundel in het vlak uit deze
-ocr page 82-70
monoïde afgeleid, bezit dan in X^ een ^-voudig basis-
punt.
De buigraaklijnen door X3 in dezen bundel zijn
ontstaan uit inflexieraaklijnen der monoïde door X,.
Om liun aantal te bepalen hebben we het eerste en
het tweede poolvlak van X3 noodig.
Volgens vergelijking (10) der vorige paragraaf is het
eerste poolvlak van X3 een monoïde m\'^ met X, X,
buiten den top X,., en als (/:—l)-voudige rechte
door den top.
De vergelijking van het tweede poolvlak van X3
luidt:
Het is een monoïde m\'^ ^ met X, X3 buiten den
top X4 en X^X, als (A:—2)-voudige rechte door den top.
De beide poolvlakken van Xg doorsnijden elkaar
buiten deze twee gemeenschappelijke rechten nogvol-
volgens een ruimtekromme van den graad n(n—\\) —
- {k-\\){k-2)-\\.
Deze zendt {n—\\) {n—2) — {k—\\) {k~2) takken
door X^.
Een willekeurig vlak door X^ Xg bevat buiten deze
-ocr page 83-71
rechte van beide poolvlakken resp. een kromme van
graad n—\\ en n—2. Van de (n—l) (n—2) snijpunten
dezer krommen liggen er {k—\\){k—2) op X^X^; deze
behooren dus niet tot de ruimtekromme.
Buiten Xj Xg bezit de ruimtekromme dan in dat
vlak (n—l) (n—2) — (A:—1) {,k—2) punten.
Op Xj X, liggen daarom steeds [n (n—1)—(A:—1)
(A:—2}—1] — [(n—l) (n—2) — (A:—1) (A:—2)] = 2 n—3
punten der ruimtekromme.
Een virillekeurig vlak door X^X, snijdt het eerste
poolvlak volgens deze rechte en een kromme van graad
n-k-f-X met een (n—A:)-voudig punt in X^.
En van het tweede poolvlak bevat dit vlak buiten
X^X, ook een kromme van graad n—Ar-fl met een
(n~A-)-voudig punt in X^.
Van de {n—k-\\-\\Y snijpunten dezer krommen ligt
er één op X^ X3 en behoort dus niet tot de ruimte-
kromme, terwijl er (n—ky op X^ gelegen zijn.
In verband met het aantal takken, dat de ruimte-
kromme door Xj zendt, bevat ze buiten X^ van de
rechte X^ X, :
[n (n—l) — (A:—1) (k—2) —1] — [(n-1) (n—2) —
— (A:—1)(A:—2)] — [{n~k \\y — [n—ky—\\] — 2 k~3
punten.
De ruimtekromme snijdt de monoïde buiten
X,, X3 en X^ Xj daarom in;
-ocr page 84-(« 1) [n in— \\) —ik—\\) {k—2)— i] — [fn-1)(n -2)-
-{k—\\){k—2)\\ — {2 n—3) — k [2 k—3) = 3 n\'—6 n —
— 3k"--\\-^k punten.
Uit Xg gaan nu evenveel inflexieraalilijnen van de
monoïde
Drie dezer inflexieraalclijnen geven echter geen aan-
leiding tot buigraaklijnen in den krommenbundel door
Xg en wel de beide inflexieraaklijnen in het raakvlak
in Xg aan de monoïde en de rechte X, Xg,
welke als de projectie van elke rechte door Xg in het
vlak XgXjX, opgevat kan worden.
In den krommenbundel in het vlak = o komen
dus:
3 n {n—2) — 3 {k—\\y\' buigraaklijnen door X g voor.
Het /<:-voudig basispunt in den krommenbundel ver-
laagt de klasse van de omhullende van alle buigraak-
lijnen derhalve met 3(/<:—1)^
I 1
§ 3. Aan- Is van de monoïde M , waarvan we uitgaan, een
tal krom- j-g^^j^^g jgj^ ^^p jj^ X, X. gelegen, dan is de ver-
men met
een buig- gelping van dit oppervlak :
punt in
punt. ^ ^(2) ^^ «_2 ^
-ocr page 85-73
Het is bel<end, lioe liieruit een Icrommenbundel in
het vlalc x^ = o is af te leiden.
Daar X^X, een rechte door den top der monoïde
is, moet Xj een basispunt in dezen bundel zijn.
XjX, is steeds een der twee inflexieraaklijnen door
een punt P d^zer rechte.
Zoo dikwijls het nu gebeurt, dat de andere inflexic-
raaklijn door P in het vlak PX.X, gelegen is, zoo
vaak komt het voor, dat een kromme uit den bundel
in het basispunt X, een buigpunt bezit.
Dit heeft plaats als de gemeenschappelijke rechte
buiten X^X^ van het raakvlak en het kwadratisch
poolvlak van P in het vlak PX^ X,, gelegen is.
Laat de coördinaten van P:
x^, O, O en \'Ax^ wezen.
De vergelijking van het raakvlak in P is dan :
-/,(v.<\'> AU.<"j y.(v.<\'> U.<"j = . . (2),
De vergelijking van het kwadratisch poolvlak van P
wordt dan :
{n-D A U3 yl (v,,U,, 2y,y,
AU3 3) 2?/3tj,U3^^^ = o.......(3).
De grootheden U en V in de vergelijkingen (2) en
-ocr page 86-74
(3) zijn door differentiatie uit de functies U en V van
vergeiijlcing (1) ontstaan.
Het zijn constanten, zooals uit de beteekenis der
indices wel blijkt.
Was dit niet het geval, dan zouden ze voor de
waarden der coördinaten van P nul geworden zijn.
Het raakvlak en het kwadratisch poolvlak bevatten
beide de rechte X^X,, gelijk wel te verwachten was.
Bovendien bevatten raak- en poolvlak nog een tweede
inflexieraaklijn door P en het is er nu om te doen,
voor hoeveel waarden van A deze rechte in het vlak
P X^ Xg gelegen is.
Zoeken we daartoe de doorsnede van raak- en pool-
vlak :
Dit gebeurt door uit de vergelijkingen (2) en (3) den
coördinaat te elimineeren.
Dit levert een uitdrukking, die deelbaar is door z/,,
wat ook behoort, daar de twee vlakken de rechte
X^ Xj gemeen hebben.
Na rangschikking en deeling door is het resultaat
der eliminatie :
[2!.V.<" (\'.-l)AU,<"l(v.,<\'VAU.<")\'-
A Kv,u., >2\') (v.
75
(v.\'"fAU/")u,<"|=0.......(4).
Deze vergelijking stelt het vlak voor, dat door X,
gaat en door die tweede gemeenschappelijke rechte van
raak- en poolvlak.
Nu moet nagegaan worden voor welke waarden van
A deze rechte in het vlak PX^ X,, komt te liggen.
De vergelijking van dit vlak is
— ............(5).
Door na te gaan of één der vergelijkingen (2), (4) en
(5) door lineaire combinatie der beide andere af te
leiden is, komt men er niet.
Er is hier echter nog een andere weg.
De rechte (2), (4) zal op X^ X^ moeten rusten, dus
dan moet de coëfficiënt van y. in (4) nul worden.
In dat geval blijkt, dat de vergelijking (4) na eenige
herleiding overgaat in vergelijking (5).
De rechte (2), (4) ligt dan in vlak (5).
De coëfficiënt van y^ is in A van den derden graad.
Het gebeurt dus drie keer, dat een inflexieraaklijn door
een punt P van X^X^ in het vlak PX.Xg gelegen is.
Het blijkt dus, dat door elk basispunt in een bundel
algebraïsche krommen drie krommen gaan, die daar
een buigpunt bezitten.
76
§4. Krom- We hebben gezien, hoe de monoïde bepaald
me der ^jqqj. ^g vergelijking:
buig-
punten. x, -f x,=o.........(1)
in verband gebracht kan worden met een bundel al-
gebraïsche krommen van graad n in het vlak
In dit vlak ligt dan op de rechte X^Xg een buig-
punt, zoo dikwijls het gebeurt, dat een rechte door
eenig punt P van X^ Xg tegelijk in het raakvlak, het
kwadratisch poolvlak en het kubisch poolvlak van P
gelegen is.
Immers een zoodanige rechte heeft in P vierpunten
met de monoïde gemeen. Daar X^X,, tot geen kromme
uit den bundel behoort, zal die rechte doorP na pro-
jectie de met haar geprojecteerde kromme in drie
samenvallende punten snijden en derhalve een buig-
raaklijn wezen.
De coördinaten van P mogen zijn o, x.^, \'ax^ en o.
Om nu de vergelijkingen van het raakvlak, het kwa-
dratisch poolvlak en het kubisch poolvlak van P te
vinden, moet berekend worden welke waarde de ver-
schillende differentiaal-quotienten van vergelijking (1)
voor de coördinaten van P aannemen.
Als resultaat dezer berekening vinden we voor het
raakvlak in P de vergelijking:
An) , Qi)
y^ b" > \' = 0........(2)
-ocr page 89-77
en zijn liier polynomia in A van graad n,
ontstaan uit de functies B^"^ en door substitutie
der waarden x,=o en en na deeling door
Voor het kwadratisch poolvlak vinden we:
/
=0.......(3).
Ook hier zijn enz, polynomia in nu
van graad n—l. Ze zijn ontstaan uit de functies
b/"^ enz.
De vergelijking van het kubisch poolvlak wordt:
2y\\y^b,^ y, a,,
De polynomia in A, die hier optreden, zijn van graad
n—2. Ze zijn uit de functies Bj ^ enz. ont-
staan.
De monoïde, het kwadratisch poolvlak en het ku-
bisch poolvlak bezitten in P het gemeenschappelijk
raakvlak (2).
De doorsnede van dit raakvlak met genoemde opper-
-ocr page 90-78
vlakken hebben in P dezelfde twee dubbelpuntsraak-
lijnen.
Een dezer raaklijnen is daar deze rechte op
alle drie de oppervlakken voorkomt, wat uit hunne
vergelijkingen blijkt.
\'t Is nu de vraag, wanneer de andere raaklijn op het
kubisch poolvlak gelegen is. In dat geval moet dit
poolvlak door het raakvlak volgens drie rechten ge-
sneden worden.
Ten einde deze doorsnede te onderzoeken, gaan we
uit de vergelijkingen (2) en (4) y elimineeren.
Het resultaat is:
Vl ü"\' é..- ,n 2y,v., ia"\' b,,
Bij deze eliminatie kon de uitkomst door^i gedeeld
worden, wat een gevolg is van het optreden der rechte
XjXg.
Vergelijking (5) stelt den kegel voor, \'die uit X^ de
kegelsnede projecteert volgens welke het raakvlak het
kubisch poolvlak buiten X^ X^ nog snijdt.
Indien deze kegel ontaardt in twee vlakken zal het
kubisch poolvlak door het raakvlak volgens drie rechten
gesneden worden.
79
In dat geval bevat het kubisch poolvlak een rechte,
die onze monoïde in P volgens 4 punten snijdt.
De determinant, die de waarden van A moet opleve-
ren, waarvoor de kegel (5) ontaardt, is van graad
3(2 /2—2) = 6 (n—l) in A.
Voor evenveel waarden van A heeft zulks plaats.
In het vlak x^=o komen derhalve op de rechte
X3X3 6 (n—1) buigpunten voor, waarmede bewezen
is, dat in een krommenbundel van den graad ri alle
buigpunten op een kromme van den graad 6 (n—1)
gelegen zijn.
m.
-ocr page 93-Bij iiet onderzoelc van algebraïsclie oppervlaklcen zijn
liomogene coördinaten aangewezen.
In een bundel algebraïsche krommen heeft de ligging
van eenige basispunten op een rechte geen invloed op
het aantal dubbelpunten.
De klasse der omhullende van alle buigraaklijnen
in een bundel algebraïsche krommen van den graad
n, wordt met 3 (n—2) verminderd, indien n basispun-,
ten op een rechte liggen.
Kan in de meetkunde naast een analytisch ook een
synthetisch bewijs geleverd worden, dan verdient dit
laatste de voorkeur.
In het algemeen staat een wiskundig bewijs des te
hooger, naar mate er minder berekening in voorkomt.
Het paradoxale antwoord bij het spel van St. Peters-
-ocr page 94-burg vloeit voort uit de redactie van het vraagstuic.
VII.
In de vermenigvuldiging a X b is het wenschelijk
a als vermenigvuldigtal op te vatten.
In het bewijs van Lord Rayleiqh, voorkomende in
The Theory of Sound vol II § 245, dat de energie van
een geluidsgolf voor de helft uit potentieele en voor
de andere helft uit kinetische energie zou bestaan,
wordt aan een gas ten onrechte potentieele energie
toegekend.
De onregelmatige uitzetting van water wordt veroor-
zaakt door de aanwezigheid van dubbelmoleculen.
Röntgenstralen zijn gedeeltelijk gepolariseerd.
Het noorderlicht is een gevolg van de ionisatie der
hoogere luchtlagen door negatief geladen deeltjes, die,
van de zon uitgaande, de atmosfeer binnendringen.
Alle natuurverschijnselen zijn op te vatten als wissel-
werkingen van de materie en het electromagnetische
veld.
\'\'1
4
\'Sl
.1 -v.!
yfe\':
■ \'Mi
-ocr page 96-|
^fs-\'.,\' | |
|
/ |
■4 . -,
m
■ r" J» ... ■ / ■ ^
#
,. i.\' i.-ii
-ocr page 97- -ocr page 98- -ocr page 99- -ocr page 100-