A- qu.
192

--- -\' .......X. •......

jT, r

I \'

.....

h« V

viy

-at-

p >1 ^

\' i\' r ^

ic*^--
i.\' \'

STELSELS VAN BOLLEN,
DIE EEN KUBISCHE RUIMTEKROMME AANRAKEN.

\'Sf-

Stelsels van Bollen,
die een kubische ruimtekromme aanraken.

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD
VAN

Doctor in de Wis- en Natuurkunde

aan de Rijks-Universiteit te Utrecht
OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS

DR. JAN DE vries

Hoogleeraar in de Faculteit der Wis- en Natuurkunde

VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT

TEGEN DE BEDENKINGEN VAN

DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE

TE VERDEDIGEN
op Maandag 2 November 1908 des namiddags te 4 uur

DOOR

ALBERT WILLEM GROENMAN

geboren te \'s-Gravenhage.

bibuotheek\' m^

IKSUNiVEFtO;; r
g T R E C H T.

P. DEN BOER

senatus veteranorum typographus et librorum editor

Utrecht — igo8

AAN MIJN OUDERS.

.-■Stf-

Het verschijnen van dit proefschrift is mij een welJcome
aanleiding U, Hoogleeraren in de Faculteit der Wis- en Natuur-
kunde, die tot mijn ivetenschappelijke vorming hebben hijgedragen,
mijn groote erkentelijkheid voor Uw onderwijs te betuigen.

In het bijzonder hoop ik, dat Gij, Hooggeleerde De Vries,
Hooggeschatte Promotor, mijn dank wel zult willen aarvaarden.
Het bewerken van dit proefschrift heeft mij de gelegenheid
gegeven ten volle te gaan waardeeren, welken bezielenden invloed
het hijwonen Uwer colleges heeft uitgeoefend en welken krachtigen
steun het heeft geschonken bij het streven naar wetenschappelijken
arbeid.

Groote verplichting gevoel ik ook jegens U, Hooggeleerde
Kapteyn. Uio vriendschappelijk en bemoedigend woord zal
hij mij in even dankbare herinnering blijven als Uw opgewekt
^n boeiend onderw^.

INHOUD.

Bldz.

INLEIDING.................1

Hoofdstuk L

Onderzoek van een bijzondere quadratische lijnen-

verwantschap in het platte vlak........5

Hoofdstuk ii.

Quadratische oppervlakken van een stelsel met vier
graden van vrijheid, die meervoudig of veelpuntig

raken aan een kubische ruimtekromme.....36

Hoofdstuk III.

Quadratische oppervlakken van een stelsel met drie
of minder graden van vrijheid, die meervoudig of
veelpuntig raken aan een kubische ruimtekromme . 63
Hoofdstuk IV.

Methode van Sturm............75

Hoofdtuk V.

De bollen, die meervoudig of veelpuntig raken aan
een kubische ruimtekromme.........8B

STELLINGEN................93

INLEIDING.

De aantallen en systemen van bollen, die een ruimte-
kromme van den derden graad meervoudig en veelpuntig
aanraken, zijn reeds meermalen een onderwerp van studie
geweest.

In 1894 publiceerde E. Timeeding in zijn „Inaugural-
Dissertation" verschillende eigenschappen uit de krom-
mingstheorie van de kubische hyperbool. Haar drie punten
in het oneindige en een willekeurig punt van die kromme
worden gekozen als basispunten van een homogeen coör-
dinatenstelsel. Het gelukt langs dezen weg belangrijke ver-
eenvoudigingen in de oplossing van het vraagstuk te brengen,
maar voor een analoog onderzoek van de kubische parabool
en kubische parabolische hyperbool zou de methode geheel
gewijzigd moeten worden. Bovendien is de geldigheid der
resultaten voor de algemeene kubische ruimtekromme niet
bewezen.

1) „Ueber die Kugeln, welche eine cubische Eaumeurve mehrfach
oder mehrpunktig berühren". Strassburg, Strassburger Druckerei und
Verlagsanstalt, vorm. E. Schultz & Co., 1894.

1

Met de afleiding van dezelfde bijzonderheden voor de alge-
meene kubische ruimtekromme houdt Sturm zich bezig in
een artikel, getiteld „Metrische Eigenschaften der B^"\'^). Met
behulp van de theorie van hoogere involuties op een rationale
ruimtekromme vindt Sturm getallen, die overeenstemmen
met de resulaten van Timerding voor de kubische hyperbool.
Van deze methode vindt men een overzicht in Hoofdstuk IV,
pag. 75.

Het is echter gemakkelijk in te zien, dat voor een derde-
graadsruimtekronime, die het vlak in het oneindige raakt
(kubische parabolische hyperbool) of osculeert (kubische para-
hooi) verschillende veelpuntig of meervoudig rakende bollen
uiteen zullen vallen in het vlak in het oneindige en een
eindig vlak. Voor die gevallen hebben de algemeene resul-
taten van Sturm nog slechts betrekkelijke waarde. Ter onder-
kenning van de aantallen dier ontaardingen in de uitkomsten
is het noodzakelijk een anderen weg te volgen. In dit proef-
schrift zijn de resultaten van een dergelijk onderzoek neer-
gelegd.

Om echter zooveel mogelijk de beschouwingen tot het eindige
gebied te beperken, is in de plaats van het systeem bollen der
ruimte (d. i. het stelsel quadratische oppervlakken door den
imaginairen bolcirkel) een systeem quadratische oppervlakken
beschouwd, die een in het eindige gelegen vaste kegelsnede
gemeen hebben. Met dankbaarheid vermeld ik, dat Prof. dr.

1) Zeitschrift für Mathematik und Physik, Band XI, pag. 1.

P. Zeeman te Leiden mij deze opvatting aan de hand heeft
gedaan.

Gemakkelijk kan de geldigheid der gevonden resultaten
door projectie ook voor het systeem bollen der ruimte be-
wezen worden.

Daar voor het bedoelde onderzoek de kennis van een
bijzondere quadratische, involutorische lljnenverwantschap in
het platte vlak noodzakelijk is, wordt deze in Hoofdstuk I
volledig behandeld.

HOOFDSTUK 1.

Onderzoek van een byzondere quadratische lijnen-
verwantsehap m het platte vlak.

§ 1. De bijzondere lijnenverwantschap, die in dit hoofd-
stuk onderzocht zal worden, is door de volgende gegevens
bepaald.

In een vlak v zijn drie punten Pj, Pg en P3 als basis-
punten van een net van kegelsneden gegeven, benevens een
vaste kegelsnede Kg. Een lijn l snijdt Ka in twee punten A
en B, die in het algemeen een exemplaar Lg van het net
bepalen. De lijn l\', die de overige twee snijpunten der kegel-
sneden Ka en Lg verbindt, zal de aan l toegevoegde rechte
worden genoemd. Het is duidelijk, dat op deze wijze in het
algemeen de rechte lijnen van het platte vlak involutorisch
gepaard zullen worden.

Deze verwantschap zal behandeld worden vooreerst indien
het net van kegelsneden gegeven is door drie gescheiden
basispunten, dan indien twee der basispunten en ten slotte

als alle basispunten samenvallen. Bovendien behoort voor
elk dezer gevallen afzonderlijk beschouwd te worden de
onderstelling, dat Ka door geen, één, twee of drie der basis-
punten gaat.

§ 2. Het net is bepaald door drie niet samenvallende
punten Pi, Pj, P3.

Be vaste kegelsnede Kg gaat door geen dezer punten.

Van het homogene coördinatenstelsel, dat gebruikt zal
worden, zij P^ P2 P3 de assendriehoek. De rechte lijn l heeft
met Ka twee punten A en B gemeen. De kegelsnede door
Pi) P2; Psj A en B zal Kj nog in twee punten C en D
snijden; CD of V is dan toegevoegd aan AB oi l. In het
algemeen worden de lijnen van het platte vlak aldus één
aan één involutorisch aan elkander toegevoegd. Een uitzon-
dering daarop vormen de zijden van den fundamentaaldriehoek.
Snijdt bijvoorbeeld Pj Pa de kegelsnede Kj in A\' en B\', dan
zal de lijn P^ Pg niet één exemplaar van het net bepalen,
maar elke lijn door P3 zal met P^ Pj een ontaarde kegel-
snede van het net vormen. Aan P^ Pa zijn dus alle lijnen
door P3 en aan elke lijn door P3 is Pi Pa toegevoegd.

Derhalve:

De lijnen van het platte vlak zijn in deze verwantschap
op involutorische wijze in paren gerangschikt, maar elke
lijn door één der basispunten is toegevoegd aan de lijn door
de beide overige basispunten, en de lijn door twee der hoek-
punten van den assendriehoek aan alle lijnen door het derde
hoekpunt.

In het algemeen zal een kegelsnede worden voorgesteld
door de vergelijking

Aiix^a A22X22 4- A33X32 2A12X1X2

2A23X2X3 2A3jX3XI 0.

Ter vereenvoudiging der formules zullen wij aan de homogene
coördinaten een zoodanige beteekenis hechten, dat voor de
vaste kegelsnede Kj de coëfdciënten A^ = A22 = A33 = 1
zijn, zoodat Kg wordt voorgesteld door

K2 = Xi2 Xa^ X32 2 ag Xj Xg 2 aa x^ Xg -f
2 ai X2X3 = 0.

De lijn l, voorgesteld door

= 0;

zij toegevoegd aan de lijn l\', bepaald door

«

^1X1 J^aXa 4- 3^3X3 == 0.
Het exemplaar van het net, dat door de snijpunten van
Ka en l, derhalve door de snijpunten van Kg en Z\' gaat,
behoort tot den bundel van kegelsneden, bepaald door Kg
en de ontaarding {I l\') en heeft dus tot vergelijking
K2 — LL\' = 0.
Daar deze kegelsnede door P^, Pg en P3 gaat, moeten de
coëfficiënten van x^^^ Xg^ en Xg^ gelijk aan nul zijn.

Dit geeft de volgende betrekkingen tusschen de coördinaten
van toegevoegde rechten:

vjt - 1,
= 1.
- 1\'

De vergelijking van een punt in lijncoördinaten is:

Pl Pa P3 h = 0;

derhalve heeft de toegevoegde figuur tot vergelijking
^

>ll

Of

Pl Ma P2 Pa Ml = O-
Dit stelt een kromme van de tweede klasse voor, die aan
de drie zijden van den assendriehoek raakt.
Hieruit volgt dus:

Deze involutorische lijnenverwantschap is qua-
dratisch.

De kegelsnede, ontstaan door transformatie van een punt,
blijkt na herhaalde transformatie weer in het oorspronkelijke
punt over te gaan, zoodat het involutorische karakter der
verwantschap ook hier gehandhaafd is. Daar echter de raak-
lijnen Pj Pa, Pa Pg en Pg P 1 in de punten (waaiers) P3, P^
en P2 worden omgezet, behooren deze drie punten tot de
volledige transformatie der kegelsnede

Pl >l2 Ms P2 Ml Ma P3 Ml M2 - 0;
welke figuur dus inderdaad van de vierde klasse is.
Met Fl, dus

= O,

komt overeen

M2 Mz = O,

of

- O en vj^ = O,
dus de punten Pj en P3.

9

M. a. w.:

Een stralenbundel wordt omgezet in het raak-
lijnenstelsel van een kegelsnede, beschreven in
den fundamentaaldriehoek.

Voor de basispunten is de toegevoegde kromme
van de tweede klasse ontaard in de beide overige
basispunten.

Een willekeurige kromme van de w^« klasse wordt in
lijncoördinaten voorgesteld door

en dus getransformeerd in

^ 4 4 -A- .....= 0

of

.....0;

dus in een kromme van de klasse 2 n, die elk der zijden
van den assendriehoek tot M-voudige raaklijnen heeft.

Raakt de gegeven kromme p maal aan een zijde van den
fundamentaaldriehoek, bijvoorbeeld Pg P3, dan is in de ver-
gelijking dier kromme de hoogste macht van slechts
(n—p) en de klasse der getransformeerde kromme wordt dan
verlaagd tot 2 n—p, zooals een eenvoudige substitutie aan-
toont. Daar in de vergelijking der getransformeerde kromme
de hoogste macht van jj^i s (n—p), van 3^2 echter n, raakt deze
n maal aan Pg P3 en {n—p) maal aan Pj Pg en aan P2 P3. De
kromme, aan deze kromme toegevoegd, is dus van de klasse:
2 (2 n—p) -n — 2 (n—p) n n

10

en is, zooals de algebraïsche substitutie aantoont, identiek
met de oorspronkelijke.

Ook meetkundig blijkt gemakkelijk de invloed van de
raking der gegeven kromme Cn aan de zijden van den
assendriehoek op de klasse der getransformeerde kromme.
Immers raakt Cn bijvoorbeeld éénmaal aan Pj Pg, dan
komen met deze raaklijn alle lijnen door Pg overeen. De
getransformeerde kromme wordt dus gesplitst in een kromme
van de klasse één (het punt Pg) en een kromme van de
klasse 2w—1.
Derhalve:

Een kromme van de klasse n wordt omgezet in een
kromme van de klasse 2n~p, als p voorstelt het totaal
aantal malen, dat de gegeven kromme raakt aan de zijden
van den fundamentaaldriehoek.
Uit

hMi = 1;
hMs =

volgt voor de dubbelrechten, dat zijn de lijnen, die in deze
verwantschap met zichzelve overeenstemmen,

= ± 1
sS == ± 1
± 1.

De dubhdrechten worden dus bepaald door:

Xi Xg Xg =: 0.
Schünbaar stellen deze vergelpingen acht lijnen voor,

11

maar zij zijn twee aan twee identiek, omdat hun linkerleden
alleen in teeken verschillen.

Derhalve:

Deze quadratische transformatie heeft vier
dubbelrechten.

Dit resultaat is een andere uitdrukking voor de eigenschap,
dat in een net van kegelsneden vier exemplaren een dubbele
aanraking hebben met een gegeven kegelsnede.

§ 3. Het net is bepaald door drie niet samenvallende punten
Pi, P2 en Pg.

De vaste kegelsnede Kg gaat door één dezer punten.

Zij Pi het punt, dat op Kj ligt. De drie basispunten Pj,
P2 en Pg van het net zullen wederom tot hoekpunten van
den assendriehoek worden gekozen.

Een lijn l heeft met K2 twee punten A en B gemeen,
die een exemplaar van het net bepalen. Deze kegelsnede
heeft nog twee punten met Kg gemeen, waarvan Pj één
punt is. Aan een willekeurige lijn is derhalve in het alge-
meen één lijn door P^ toegevoegd. Een lijn door Pj bepaalt
op K2 nog één punt C; hierdoor gaat een enkelvoudige
oneindigheid exemplaren van het net; aan de rechte Pj C
zijn dus sv^^i lijnen toegevoegd. Elk punt van K2 bepaalt één
exemplaar van den bundel kegelsneden door Pj, P2, Pg en
C; derhalve gaat door elk punt van Kg één lijn, toegevoegd
aan Pj C. Daarom kunnen de ooi ^an Pi O toegevoegde
lijnen geen kromme omhullen; zij vormen dus een stralen-
bundel. Daar aan elke lijn door Pi 0. a. de lijn P2 P3 is

12

toegevoegd, ligt het centrum van dezen bundel op Pg P3.
Men besluit hieruit;

Aan een willekeurige lijn is één rechte door P^ toegevoegd,
maar met een lijn door Pj komt een stralenbundel overeen,
waarvan het centrum op P2 P3 ligt.

Aldus is aan elke lijn P^ C één punt van Pg Pg toegevoegd,
waardoor alle aan P^ C toegevoegde lijnen gaan. M. a. w. er
bestaat een projectieve verwantschap tusschen de punten-
reeks Pj P3 en den stralenbundel Pj. Tweemaal zal een
punt van P2P3 op den overeenkomstigen straal vallen en
dus een straal door Pi met zichzelve overeenstemmen.

Derhalve:

Het stelsel van toegevoegde lijnen heeft twee dubbellijnen,
die door P^ gaan.

Van een stralenbundel door een willekeurig punt Q is elke
straal s ook te beschouwen als een exemplaar van den
stralenbundel door het snijpunt van s met Pg P3 en dus
toegevoegd aan een bepaalde rechte door P^. Bovendien is
de straal Q P^ toegevoegd aan een stralenbundel met cen-
trum op P2 P3. Een willekeurige stralenbundel wordt der-
halve omgezet in een waaier door P^ (met projectieve ver-
wantschap der stralen van beide bundels) en een stralenbundel
met centrum op F2 P3, dus in een ontaarde kromme van de
tweede klasse.

Een willekeurige kromme van de n^^ klasse wordt om-
gezet in een w-maal te tellen waaier met centrum P^ en
n waaiers, wier centra op Pg P3 liggen. Immers elke raaklijn
aan de kromme is toegevoegd aan een straal door P^, uit-

13

gezonderd de n raaklijnen door Pj, die in stralenbundels
met middelpunten op Pg P3 worden getransformeerd. En
elke straal door Pj is toegevoegd aan n raaklijnen, daar de
toegevoegde bundel van dien straal n raaklijnen bevat.
Deze resultaten gaan we nu algebraïsch afleiden.
In de vergelijking van Ka ontbreekt de coëfllciënt van
Xj^ en aan de coördinaten Xg en Xg wordt een zoodanige
beteekenis gegeven, dat de coëfficiënten van en Xg^ de
positieve eenheid zijn.
Derhalve is

Ka = Xa^ -f X32 4- 2a3XiXa 2a2X2X3 4- 2aiXaX3 0.

Ben lijn l,

Xi ^3X2 X3 = O,
zij toegevoegd aan de lijn l\',

Ml Xi 3^2X2-1- Ms X3 = 0;
dan volgen uit het feit, dat

Ka — L L\' = O

tot het net van kegelsneden door Pj, P2 en Pg behoort, de
transformatieformules

Ml = O,
Ma — 1-

De vergelijking van alle lijnen door èèn punt is
(Pl Aqi)Xi 4- (P2 4- Aqa)X2 4" (Ps  = 0; (\')

u

zij wordt omgezet in

P2 ^<12 Ps
Of

(Pa   (P2 Aq2)X3 = O, (2)

dat zijn alle lijnen door P^, projectief toegevoegd aan de
stralen van den gegeven bundel.
Voor

QLi

echter wordt in (i) de coëflaciënt van x^ nul en dus dezelfde
coëfficiënt van de toegevoegde lijn onbepaald. Aan die lijn
is derhalve toegevoegd de stralenbundel

A^Xi 4- Ps--X2 -f P2--X3 = O,

\\ (li / \\ /

die tot centrum een bepaald punt van Pg P3 heeft.

Derhalve:

Een willekeurige waaier wordt omgezet in een ontaarde
kromme van de tweede klasse.
En:

De lijnenverwantschap is een bijzondere invo-
iutorische en quadratische.
De lijn

l = Xi fa Xa I3 Xg =0

wordt omgezet in

= — x. — x, =0

d.i. een lijn door P^.

15

De lijn

m = Xa Xg =0

wordt getransformeerd in

m\' EE Axi ^Xa ^Xg = O
waarin A onbepaald is, dus in een waaier met centrum op
P2P3-

Een kromme van de w^e klasse wordt vastgesteld door

Al^i» Bl^a\'^ C^gH D^i"-!^^ 4......= 0

en getransformeerd in

^  .....-O

of na herleiding in een vergelijking, homogeen in j^a en 3^3,

Bjjs" .....= O,

dus in n waaiers met centra op P2 Pg en in

J^i» = O

d. i. de waaier met middelpunt Pj, n maal geteld.
Voor de dubbellijnen geldt:

= O,
f2 == ± 1,
f3 = ± 1.

Er zijn-dus twee dubbellijnen, voorgesteld door
± X2 ± Xg 0.

§ 4. Be vaste kegelsnede Kg gaat door twee der drie
punten, die het net bepalen.

Indien P^ Pg Pg tot coördinatendriehoek wordt gekozen en

16

de kegelsnede Ka door Pa en P3 gaat, kan deze voorgesteld
worden door:

Ka = Xi2 ag Xi Xa aa x^ Xg a^ Xg X3 = 0.

Indien l,

toegevoegd is aan l\',

  3^3 = Oj

volgen uit het feit, dat tot het net van kegelsneden door
Pl, P2 en P3

Ka — L L\' ^ O

behoort, deze coëfficiëntenbetrekkingen van verwante lijnen:

= 1;
= O,
- 0.

Een willekeurige lijn
wordt dus getransformeerd in

Xi 0.

De lijn

Xi f2 Xa O

wordt omgezet in

Xi  = O,

dus in een waaier Pg.

Evenzoo is een lijn door P2 toegevoegd aan den stralen-
bundel P3.

Een willekeurige waaier Q wordt dus getransformeerd in
de twee stralenbundels, die tot centra hebben Pa en P3;

17

immers een willekeurige straal wordt omgezet in P2P3,
maar QP2 in den waaier P3 en QP3 in den waaier P2.

De toevoeging der rechten is dus een by-
zondere quadratische en involutorische
lijnenverwantschap.
De lijn

Xi = O

wordt getransformeerd in

Xi Ax, -f /iXa = O,
d, z. alle lijnen van het vlak en is derhalve ook aan zich-
zelve toegevoegd, dus dubbellijn der verwantschap.

De coëfficiënten van de vergelijking der dubbellijnen
volgt uit:

= O,
= O,

dus de verwantschap heeft slechts één
d u b b e 11 ij n :

Xi = 0.

§ 5. JDe vaste kegelsnede Kg gaat door de drie basispunten
van het net van kegelsneden.

Daar de kegelsnede door Pj, Pg, P3 en de beide snij-
punten van een lijn l met Kj vijf punten met Kg gemeen
heeft en er dus mede samenvalt, is de toevoeging der lijnen
in het algemeen onbepaald.

Een uitzondering vormen de zijden van den fundamentaal-
driehoek, waarmede alle lijnen door het tegenoverliggende

2

18

hoekpunt overeenkomen, en elke lijn door een hoekpunt,
waaraan de tegenoverliggende zijde is toegevoegd.

§ 6. Het net van kegelsneden is bepaald door drie punten,
waarvan twee samenvallen.

De vaste kegelsnede gaat door geen dezer punten.

Zij gegeven, dat de kegelsneden van het net gaan door
de vaste punten Pj, Pg en in P^ raken aan een gegeven
rechte P^ Qg, terwijl Qg op deze lijn willekeurig gekozen is.
Als assendriehoek van het homogeen coördinatenstelsel wordt
Pi P2 Q3 gekozen.

Een exemplaar van het net van kegelsneden zal Kg in
vier punten snijden en deze zullen op drie verschillende
wijzen in twee paren te verdeelen zijn, die telkens twee
involutorisch aan elkander toegevoegde rechten bepalen.

Als ontaardingen van het net gelden de lljnenparen, die
ieder bestaan uit Pj Qg en een lijn door Pg, zoodat P^ Qg
aan alle lijnen door Pg is toegevoegd. Ook de lijn P^ P2
vormt met elk der lijnen door P^ een ontaard exemplaar
van het net, is dus aan alle lynen door Pg, derhalve ook
aan zichzelve toegevoegd en geldt in de lljnenverwantschap
als dubbelrechte.

Het is mogelijk de beteekenis der coördinaten zóó te be-
palen, dat de coëfficiënten van x^^^ Xg^ en XgX^ in de
vergelijking der vaste kegelsnede de positieve eenheid zijn.

Indien Kg gegeven is door

Kg = Xi2 _i_ Xa^ agg XgS -f a^g Xj Xg

ag 3 Xj Xg x-j Xi = O

19

en een paar toegevoegde lijnen l en l\' door

Z = Xi fa X2 X3 = O

en

l\' = -f Vji X2 5^3X3 - O,

dan stelt

Ka — L L\' = O

een exemplaar van het net voor.

In de vergelijking van het net van kegelsneden ontbreken
de coëfl3.ciënten van x^^ en Xa^, omdat alle exemplaren gaan
door Pj en Pa en ontbreekt de coëflaciënt van x^ X3, daar
de kegelsneden in P^ aan Pj Q3 (Xg = 0) raken.

Hieruit volgen deze drie betrekkingen tusschen de lijn-
coördinaten van toegevoegde rechten:

U = 1,
= h

Door herleiding vindt men hieruit

1

=

= -r-;

of

Een punt met de vergelijking

Pifi P2?2 Psl^s =0
wordt getransformeerd in

20

Pl Mi M2 Pa Mi^ P3 — Pa Ma M2 = O,
d. i. de vergelijking van een kromme van de tweede klasse,
rakende aan Pj Qg en in Pg aan PiPa-
Derhalve:

De involutorische lijnenverwantschap is
quadratisch.
Voor

Ml = O,
= O

vindt men

O,

d. w. z. met Pj Qg komen alle lijnen door P2 overeen, en
omgekeerd.

Aan Pj Pg zijn alle rechten door P^ toegevoegd en om-
gekeerd.
Immers uit

Ml = Ö,

M2=0

volgt

0.

Dus wordt Pj met de vergelijking

= O

getransformeerd in

Mi M2 = O,
d. i. in de punten Pj en Pg;
en P2, voorgesteld door

1^2 O

in

Mi^ = O
d.i. het punt P^, dubbel geteld.

21

Een willekeurig punt op P^ Qg met de vergelijking
Pil^i Pa =0

wordt omgezet in

Pl  P3 - P3 Vl2 ~ O,

dus in Pg en een bepaald punt op P^ Qg.

In het algemeen stemt met een kromme Cn van de
klasse n overeen een kromme Can van de klasse 2n. Zij
de vergelijking van Cn in lijncoördinaten:

Afi-   .....= 0,

dan blijkt uit de transformatieformules dat, indien Cn raakt
aan P^ Pg (met de lijncoördinaten = O en f2 = 0) of aan
Pj Qg = O en 1^3 = 0) de klasse van de getransfor-
meerde kromme met één wordt verlaagd. Of Cn raakt aan
P2 Qg, is van geen invloed op de klasse van de getrans-
formeerde kromme; immers deze zijde van den assendrie-
hoek is een willekeurig gekozen straal door P2.
De dubbellijnen der verwantschap zijn bepaald door

fi^ = 1,
= 1,

of door

1^1 = ± 1,
f3 = ±

Daar fg lineair afhangt van is het teeken van den
coëflflciënt fg der dubbellijnen bepaald door dat van
Er zijn dus twee eigenlijke dubbellijnen

22

in deze verwantschap; maar de zijde Pi Pg moet, zoo-
als pag. 18 gevonden is, ook als dubbellijn beschouwd worden.

§ 7. Het net van kegelsneden is bepaald door driepunten,
waarvan twee samenvallen.

De vaste kegelsnede gaat door één dezer punten.
Indien de kegelsneden van het net aan de zijde Pi Qg
van den assendriehoek raken in Pi en door Pj gaan, heeft
men te onderscheiden of de vaste kegelsnede Kj door Pi
dan wel door Pg gaat.
Ten eerste. Kj gaat door Pj.
Als de vergelijking van Kg is

Xi^ agg Xg^ R^g Xj Xg -j" agg Xg Xg Xg Xj = O,

van een rechte l

Xi X2 is Xg = O

en van de toegevoegde lijn l\'

Xi ^2 Xg = O,
dan verschaft de betrekking

K2 — LL\' O
de volgende transformatieformules:

h = 1,
— O,
= 1,

of

1

- -T\'

-

23

Een waaier met de vergelijking:
(Pi   (P2 Aq2)x2 -j- (pg Aq3)x3 =0

wordt getransformeerd in:

(Pl   iPi — P3 ^(Qi — <Ï3)1X3 = O

en in het resultaat der transformatie van den waaierstraal,
waarvoor men heeft

Deze straal wordt omgezet in:

-  ^ X2 (pi P3 ^ (qi ~ qa)

^2 / C. ^2

waarin onbepaald is.

Een waaier wordt dus omgezet in twee stralenbundels,
derhalve in een ontaarde kromme van de tweede klasse,
waaruit volgt:

De beschouwde involutorische lijnenverwant-
schap is een bijzondere quadratische.
Een rechte lijn

Z = fl Xi 4- fa Xg f3 — O
wordt in het algemeen omgezet in:

V   = 0;

dus in een lijn door
Omgekeerd, een lijn door Pg,

m = fiXi f3x3 = O,
wordt getransformeerd in

m\' = — Xi A X2 X3 = O,

? 1

dus in een waaier, wiens centrum op Pj Qg ligt.

24

Een kromme van de n^e klasse Cn wordt in lijncoördinaten
voorgesteld door

A^i^\' B C D 4-.....=0,

en getransformeerd in

- ..... =0.

De vergelijking der getransformeerde kromme is homogeen
in en ^jg en van den graad n; deze-bestaat uit w waaiers
met centrum op P^ Pj, terwijl bovendien

= O,

(d. i, de waaier met middelpunt Pg) n maal geteld, als een
gedeelte der getransformeerde kromme beschouwd moet
worden.
Voor de dubbellijnen geldt:

= O,
= 1.

Er zijn dus twee dubbellijnen, die beide door Pj
gaan.

Ten tweede. Kg gaat door P^ zonder P^ Qg te raken.
Indien de vergelijking van Ka is

Xj^ 9-3 3 ~h aj: 2 Xj X2 -f" aag Xj Xg -}- Xg Xj O
en

Z = 1^1X1 Xa 4- fg Xg =0
toegevoegd is aan

V = 4- ;^2X2 4-^^3X3 = O,

volgen uit

Ka — LL\' = O

25

deze betrekkingen tusschen de coëfficiënten:

^t = O,

-h =
of, indien niet gelijk is aan nul,

j^i = O,
1

yj2 - -T\'
s 2

1

= F\'

Een waaier

(Pl   (P2 4- Aq2)X2 (Pa Aq3)X3 = O

wordt omgezet in

(Pl   (P2  = O

en in het transformatieresultaat van den straal, waarvoor

Qi

Hiervoor vindt men

/^Xi -f (P2qi - Piq2)x3 = 0.
Dus alle waaiers worden getransformeerd in de ontaarde
kromme van de tweede klasse, bestaande uit de waaiers
met centra Pj en Pj.
Een willekeurige lijn

Xi fa Xa 4- 1^3 X3 = O

wordt omgezet in

fiXa 1^2X3 - O,
dus in een lijn door Pf

26

Een lijn door Pi is echter toegevoegd aan alle lijnen door
één punt. Immers, voor

vindt men vooreerst
dus

1

h = J"

Daar

1

= F

en ;j3 onbepaald blijft, wordt l\' voorgesteld door

fs X2 ^tXg = 0.

Voor de dubbellijnen geldt

fi = O,

. -1
— y •

Hunne vergelijking is dus

^l^Xi ± l^iXi X3 = O,

met

= 0;

derhalve is

Xg r= O

de eenige dubbellijn van deze verwantschap.

27

§ 8. Het net van kegelsneden is bepaald door drie punten,
waarvan twee samenvallen.
De vaste kegelsnede gaat door twee dezer punten.
Er zijn weer twee gevallen te onderscheiden.
Ten eerste. De vaste kegelsnede Kg gaat door P^ en Pg.
Voor dit geval worden de transformatieformules, zoo-
als gemakkelijk uit § 7 blijkt, daar de coëfllciënten van
Xi^ en Xg^ nu nul zijn in de vergelijking van Kg, uit-
gedrukt door

f 1 = O,
1^2 = O,
fl fa J^i = 1-

We willen hier alleen de dubbellijnen bepalen. Daarvoor
geldt

fi^ = O,
= O,

dus

Xg = O

is de eenigste dubbellijn.
Ten tweede. Kg raakt in P^ aan Pi Qg.
In de vergelijking van Kg zijn de coëlïlciënten van Xi^
en Xi Xg nul en worden de transformatieformules

f 1 = O,
1^2 =
fl fs = 0;

28

dus van de dubbellijnen worden de coëfficiënten gevonden door

Hx-" = O,
= 1,

=: O of = onbepaald,

dus

^2 /^Xg = O

is als een waaier van dubbellijnen op te vatten.

De overige resultaten vindt men, mutatis mutandis, ge-
makkelijk door vergelijking met § 4.

§ 9. Hd net van kegelsneden is bepaald door drie piinten,
loaarvan twee samenvallen.

De vaste kegelsnede Kg gaat door de drie basispunten van
het net.

Evenals in § 5 blijkt, dat de lijnenverwantschap geheel
onbepaald wordt.

§ 10, Het net van kegelsneden is door drie samenvallende
punten bepaald.

De vaste kegelsnede gaat door geen dezer punten.
Het net bestaat uit de kegelsneden, die in een bepaald
punt een gegeven kegelsnede driepuntig raken.

Zij de assendriehoek Pj Q2 Q3, waarin Pj Qg de gemeen-
schappelijke raaklijn van de exemplaren van het net is, met
Pl als raakpunt. We kiezen Qj Qg zoodanig, dat één der
kegelsneden van het net tot vergelijking heeft

Xi X, — Xo2 = 0.

29

Een tweetal ontaardingen van kegelsneden, die tot het
net behooren, zijn

Xg^ = O

en

Xg Xg O,

zoodat het net voorgesteld kan worden door:

aXg^ -[- b Xg c (Xj Xg — Xg^) — 0.

Aan de coördinaten zullen we een zoodanige beteekenis
hechten, dat Kg de volgende vergelijking heeft

Xi2 -j_ AggXgS -{- X32 -[- AiaXi Xg Agg Xg Xg Xg x^ = 0.

Indien de lijn

Z = Xi 4- l^g Xg 4- fg Xg = O

toegevoegd is aan

l\'  j^gXg ;j3Xg = O,

dan stelt

Kg - L L\' = O

een exemplaar van het net van kegelsneden voor. Tusschen
de coëfficiënten bestaan dus de volgende betrekkingen:
li J^i =

1 — I3 = — Ajg 4- I2 Mt,
1 = ll

Hieruit volgt

1

(li - I3) I3 I2 , Ajg 1

ll^ ll^ tl
h - I3

=

30

of

[(Ai2 Ss^ - Il I2 - Il
: Il (Il - I3).

In het algemeen komt met een punt, in lijncoördinaten
voorgesteld door

«lil «2I2 «3I5 = O
overeen een kromme van de tv^eede klasse, met de verge-
lijking,

(«1 «2^-12 «2  — «2I1I2 - («2 «3)lll3

«2l3\' = O,
die dus in Pj aan P^ Q3 raakt.

De involutorische lijnenverwantschap is dus
quadratisch.

In het algemeen is aan een rechte een bepaalde rechte
toegevoegd. Een uitzondering vormen de rechte lijnen door
Pj, die allen aan de lijn P^ Q3 toegevoegd zijn, en omge-
keerd de lijn P^ Qg, die getransformeerd wordt in elk der
lijnen door Pj. Immers

1^3X3 = O

wordt, daar

= O

omgezet in

fs\'Xa = 0.

Langs den omgekeerden weg zou men algebraïsch kunnen
aantoonen, dat P^ Q3 aan alle lijnen door P^ is toegevoegd;
maar meetkundig blijkt dit gemakkelijker. Pj Qg vormt toch
met een lijn door P^ een ontaard exemplaar van het net
van kegelsneden.
Substitutie van de gevonden transformatieformules in de

31

vergelijking van een kromme van de klasse n geeft op
dezelfde wijze als in § 2 en § 6 is afgeleid:

Een kromme van de klasse n wordt in een kromme van
de klasse (2 w — p) omgezet, als p voorstelt het aantal
malen, dat de gegeven kromme buiten P^ raakt aan P^ Qj.
Raakt de gegeven kromme aan P^ Qg in P^, dan wordt de
klasse van de getransformeerde kromme met 2 verminderd.
Voor de dubbellijnen geldt

= 1,

2I1I2 = 1 -
Daar I3 en I2 lineair afhangen van is er slechts
één dubbellijn in de verwantschap.
De coëfficiënten van deze dubbellijn zijn
li = ± 1,

?2 = ± (iAia I),
I3 = ± 1

Bovendien blijkt uit de meetkundige beschouwing, dat de
lijn Pj Qg als dubbelrechte te rekenen is, daar P^ Qg, twee-
maal geteld, een ontaard exemplaar van het net van kegel-
sneden is. Om ook langs algebraïschen weg dit resulaat
te bereiken, merken we op, dat in het algemeen aan de
rechte

li^i ^2X2 ^3X3 =0

toegevoegd is

\'(Il-I3)l3 I2  1\\

Xg=0

of

32

Il -  - (Ala 1) h)

 ~ l3)X3 = 0.

Door substitutie van

= O

en

Is = O

in de vergelyking van de lijn en haar toegevoegde, blijkt
dat de rechte

Xa = O
aan zichzelve toegevoegd is.

§ 11. Het net van kegelsneden is bepaald door drie samen-
vallende punten.

De vaste kegelsnede gaat door één der basispunten van
het net.

De vergelijking der vaste kegelsnede Kg, die door P,
gaat, is:

■^22 "f" ^12 ^ 1 ^2 -^23 ^2 ^3 "i" ^3 — O

en uit deze vergelijking, in verband met § 10, volgt gemak-
kelijk voor de transformatieforniules:

Ml = O,

(Il - I3) I3 I2 , 1

=----—

li^ li^ Il

Il -I3

Ma ~

li^

Derhalve is in het algemeen aan een lijn toegevoegd een

33

lijn door P^, want als de coëfficiënt fi, van de vergelijking
van een lijn niet nul is, moet de coëfficiënt van de toe-
gevoegde rechte nul zijn.
Een lijn door P^ wordt voorgesteld door:

fa^a  ~ O-

Om de coëfficiënten der toegevoegde rechte af te leiden,
gebruiken we de betrekkingen (vergelijk pag. 29)

== O,

^ — = — \'^12 h 12 Iu
1 = fl 2^3 1^3
Substitueert men hierin

h = O,
dan vindt men gemakkelijk:

3^2 = onbepaald,

1^3 2 1^3 - ^2

" = ——\'

dus aan een rechte door P^ zijn alle stralen van een waaier
toegevoegd, waarvan het centrum op P^ Qg ligt.

Een kromme van de klasse n wordt derhalve omgezet in
n waaiers met centra op P^ Qj en den waaier P^, n maal
geteld.

Meetkundig blijkt gemakkelijk, dat Pj Q3 de eenige
dubbelrechte van de quadratische 1 ijnen-
verwantschap is.

34

§ 12. Het net van kegelsneden is hepaMd dow drie samen-
vallende punten.

Be vaste kegelsnede ra^kt in het gemeenschappeli/jk punt
aan de gemeenschappelijke raaklijn van alle kegelsneden van
het net.

Indien Ka aan Pi Q3 raakt in P^, is haar vergelijking:

-h X32 -f AjgXjXa A23X2X3 = O

en volgt door vergelijking met § 10, dat de transformatie-
formules zijn:

JJi = O,

1 — f3 = - 4- fl h
Il >J3 hifi = O-

Dus een willekeurige lijn is toegevoegd aan Pi Q3.

De lijn Pj Qg is toegevoegd aan alle lijnen van het vlak,
dus ook aan zichzelve. Pi Q3 is dus te beschouwen als
dubbelrechte.

Voor de coëfficiënten van een rechte, toegevoegd aan een
willekeurige lijn door P^, vindt men:

= O,
>l2 ~ onbepaald,

1 Ai2

=----•

S3

Dus aan een lijn door Pi zijn alle lijnen door Pi toege-
voegd.

35

§ 13. Het net van kegelsneden is bepaald door drie samen-
vallende -punten.

De vaste kegelsnede K^ is een exemplaar van dit net van
kegelsneden.
De lijnenverwantschap in v is onbepaald.

HOOFDSTUK IL

Qnadratische opperylakken yan een stelsel met yier
graden yan vrijheid, die meeryoudig of yeelpnntig
raken aan een knbische ruimtekromme.

§ 1. In de ruimte is de kromme van den derden graad,
Kg, in vele opzichten het analogen van de kegelsnede in
het platte vlak. Dit blijkt o. a. hieruit, dat van Rg de klasse
overeenstemt met den graad en dat elke kubische ruimte-
kromme rationaal is.

De volgende eigenschappen van Rg zullen herhaaldelijk
toepassing vinden.

Een kromme van den derden graad is bepaald door zes
wrillekeurige punten.

Door een willekeurig punt der ruimte gaat één bisecante
van Rg en gaan drie osculatievlakken.

Een willekeurige rechte wordt door vier raaklijnen van
Rg gesneden.

Hieruit volgt, dat het raaklijnenoppervlak aan een kubische
ruimtekromme van den vierden graad en de derde klasse is.
Dus ook de doorsnijding van het raaklijnenoppervlak met

37

een willekeurig vlak is van den vierden graad en de derde
klasse. Van deze vlakke kromme komt elk punt ondubbel-
zinnig overeen met één punt van Rg, dus de doorsnede van
het raaklijnenoppervlak van Rg met een plat vlak is ratio-
naal.

De kubische ruimtekromme wordt uit één harer punten
geprojecteerd door een kegel van den tweeden graad.

Een quadratisch oppervlak heeft zes punten met Rg ge-
meen; Rg ligt dus geheel op dat oppervlak, indien de kromme
er zeven punten mee gemeen heeft. En daar een quadratisch
oppervlak door negen punten gegeven is, kan elke kubische
ruimtekromme als basiskromme van een net van quadratische
oppervlakken beschouwd worden.

§ 2. Zij gegeven een kubische ruimtekromme Rg en
een vlak v, dat een willekeurigen stand heeft ten opzichte
van Rg. In het vlak v, dat Rg in de drie punten P^, Pa en
Pg snijdt, is een vaste kegelsnede Kg aangenomen als basis-
kromme van een systeem van quadratische oppervlakken.
M. a. w. van dit systeem zijn vijf punten gegeven en daar
een quadratisch oppervlak door negen punten bepaald is,
bestaat het stelsel uit «=4 tweede-graadsoppervlakken. Deze
snijden op de kubische ruimtekromme zestallen punten
in, waarvan elk zestal door vier punten bepaald is. Derhalve
wordt door het beschouwde systeem quadratische oppervlakken
op Rg een involutie van den zesden graad en den vierden
rang Ig ingesneden.

Een exemplaar Ej van het systeem quadratische opper-

38

vlakken door Kg moge met Rg het zestal punten Sj, 83, Sg,
S4, S5 en Sg gemeen hebben. Dit zestal is op tien verschil-
lende wijzen in twee drietallen te verdeelen. Door één drietal
van zulk een paar, bijv. door S^, 83 en Sg denkt men zich
een vlak s, dat v in een lijn l snijdt. Deze lijn l heeft met
Kg twee snijpunten A en B, waardoor een exemplaar O2 van
het door Rg gedachte net quadratische oppervlakken bepaald
is. De doorsnijdingskromme van O2 en v is een kegelsnede
door Pi, P2, Pg, A en B, die Kg bovendien in twee andere
punten C en D snijdt. De beide beschouwde quadratische
oppervlakken Eg en O2 hebben dus gemeen het coplanaire
vijftal punten S^, Sg, Sg, A en B; derhalve ligt de kegel-
snede, door die vijf punten bepaald, op beide oppervlakken.
Hun vierde-graadsdoorsnijding is dus uiteengevallen in twee
kegelsneden; daaruit volgt, dat het andere vijftal punten,
dat zij gemeen hebben en waarvan geen punt in het vlak s
ligt, op de andere der beide kegelsneden moet liggen. Der-
halve liggen de punten C en D met S^, Sg en Sg in één
vlak s\'; m. a. w. CD of V is de snijlijn van s\' met v.

In het vlak v zal de lijn l\' toegevoegd heeten aan l. Op
deze wijze worden de lijnen van v in paren verdeeld, zoo-
danig dat men heeft:

Twee rechten van v zijn aan elkander toegevoegd, wan-
neer hun vier snijpunten met Kg op één kegelsnede van
het net door P^, P2 en Pg liggen.

In Hoofdstuk I is afgeleid, dat deze lijnenverwantschap
involutorisch en quadratisch is.
Om de beteekenis van zulk een lynenpaar nog nader in

39

hei licht te stellen, toonen we aan, dat door de zes snij-
punten van Eg met twee resp. door l en l\' gaande, overigens
willekeurige vlakken een exemplaar van het systeem qua-
dratische oppervlakken door K2 gaat.

Immers, indien deze zes snijpunten zijn Q^, Q2, Qg, Q*,
Q5 en Qe, kan door K2 en vier dezer punten Q^, Qj, Qg en
Q4 een quadratisch oppervlak F2 gedacht worden. Met het
tweede-graadsoppervlak O2 door Rg, A en B heeft dit opper-
vlak wederom twee kegelsneden gemeen. Veronderstelt men,
dat Qi, Qa, Qg en ? in één vlak liggen, dan ligt één dier
kegelsneden in dit vlak en de andere moet dan door de
gemeenschappelijke punten O, D en Q4 der beide opper-
vlakken Fa en O2 gaan. De beide overige snijpunten van
het oppervlak Fa met Rg liggen dus ook in het vlak (?\', Q^)
en zijn derhalve de punten Qg en Qg. M. a. w.:

Twee toegevoegde rechten bepalen «s^vlak-
kenparen, waarvan de zes sn ij punten met Rg
op een quadratisch oppervlak door Kj liggen.

De verschillende veronderstellingen over het al of niet
samenvallen van Pj, Pj en Pg en over de ligging van Kj
t. 0. van die punten, zooals die in Hoofdstuk I behandeld
zijn, hebben nu de volgende beteekenis verkregen.

Als Pl, Pg en Pg drie gescheiden punten zijn, is het vlak
V een snijvlak van Rg; vallen twee dier punten samen, dan
is V raakvlak en vallen de drie punten tezamen, dan is v
osculatievlak van Rg.

Liggen één of meer dier punten op Kg, dan heeft die
kegelsnede deze punten met Rg gemeen.

40

§ 8. Het vlak v is een snijvlak van de derde-graads-
ruimtekromme en de vaste kegelsnede Kg in v gaai niet door
êén der drie snijpunten van v en Rg. (Zie Hoofdstuk I § 2).

Een quadratisch oppervlak door Kj zal drievoudig raken
aan de kubische ruimtekromme, indien de zes snijpunten
twee aan twee samenvallen. In dat geval vallen de beide
verbindingsvlakken van drie snijpunten samen en dus de
toegevoegde lijnen Z en V. De lijnenverwantschap heeft vier
dubbellijnen, dus:

Vier stelsels van «»i quadratische opper-
vlakken door K2 raken drievoudig aan Rg.

Van elk dier stelsels liggen de polen ten opzichte van het vlak
V op een rechte lijn; men toont dit op de volgende wijze aan.

Indien d één der vier dubbellijnen is en L en M de snij-
punten van d met Kg zijn, is het mogelijk een quadratisch
oppervlak O2 door Rg, L en M te leggen. Elk exemplaar van
den vlakkenbundel met as d bepaalt een quadratisch opper-
vlak F2 door K2, dat in de drie snijpunten van dat vlak
aan Rg raakt. De kegelsnede door die drie snijpunten en
door L en M is identiek met de doorsnede van dat vlak met
O2, daar de beide kegelsneden vijf punten gemeen hebben.
Daar P2 e^i door het vlak v worden gesneden in twee
kegelsneden, die elkaar in L en M aanraken, hebben alle
quadratische oppervlakken door Ka, die drievoudig raken
aan Rg en waarvan de drie raakpunten coplanair zyn met
de dubbelrechte d, als gemeenschappelijke raakvlakken in
L en M de raakvlakken in die punten aan Og. Ten opzichte
van alle exemplaren van dat stelsel quadratische opper-

41

vlakken heeft d dus als gemeenschappelijke poollijn de door-
snede d\' dier beide raakvlakken. En daar de pool van v voor
elk exemplaar op de poollijn van d moet liggen, zijn de
polen van v ten opzichte van alle exemplaren gelegen op d\',
dus op een rechte lijn, q. e. d.

Op elke dubbelrechte d der lijnenverwantschap in v steunen
vier raaklijnen van Rg. Een vlak door zulk een dubbellijn
en een daarop rustende raaklijn bepaalt op de boven om-
schreven wijze een aan Rg drievoudig rakend quadratisch
oppervlak door Kj, waarvan in dit geval twee raakpunten
zijn samengevallen. Derhalve:

Er zijn zestien tweede-graadsoppervlakken
in het stelsel, die met Rg één vierpuntige
en één tweepuntige aanraking hebben.

Het osculatievlak in een punt van Rg snijdt v in een
raaklijn der doorsnede D4 van het raaklijnenoppervlak van
Rg met het vlak v. Op de toegevoegde rechte steunen vier
raaklijnen. Hieruit volgt:

In elk punt van Rg raken vier quadratische
oppervlakken van het stelsel driepuntig, die
elders een tweepuntige aanraking met Rg hebben.

De raakvlakken in een punt van Rg snijden het vlak v
in een stralenbundel. De toegevoegde lijnen omhullen een
kromme van de tweede klasse. Deze heeft met de door-

3

snijding D^ van het raaklijnenoppervlak zes raaklijnen ge-
meen. Aan zes stralen van den waaier zijn dus lijnen toe-
gevoegd, waardoor een osculatievlak van Rg gelegd kan
worden. Men besluit hieruit:

42

In elk punt van R3 raken zes door Kg gaande
quadratische oppervlakken tweepuntig, die
elders een driepuntige aanraking hebben.

De aan een raaklijn r van D^ toegevoegde lijn r\' snijdt
D4 in vier punten. Snijdt de lijn r\' de rechte r in het raak-
punt met dI, dan gaat door r\' één raakvlak aan Rg, dat
Rg raakt in het osculatiepunt van het osculatievlak door r.
Aan één punt van D4, beschouwd als raakpunt van een
rechte r kan men de vier snijpunten van de toegevoegde
rechte r\' met D® toevoegen. Aan één snijpunt (alle lijnen
door dat punt) zijn dan de zes raakpunten toegevoegd van de
zes raaklijnen aan D4, die toegevoegd zijn aan waaierstraten
(zie pag. 41). Op de rationale kromme D^ \'is op deze wijze
een verwantschap (4, 6) bepaald. Daar deze tien coïncidenties
heeft, blijkt in verband met het voorgaande:

Er zijn in het stelsel tien quadratische
oppervlakken met vijfpuntige aanraking.

Indien de lijn r\', toegevoegd aan een raaklijn r van D*,
zelve raaklijn aan die doorsnijdingskromme is, dan bepalen
die lijnen twee osculatievlakken, dus een dubbel osculeerend
quadratisch oppervlak van het systeem. D^ wordt door de
quadratische lijnenverwantschap getransformeerd in een
kromme van de zesde klasse, die achttien raaklijnen met d\'
gemeen heeft. Aan één raaklijn van D^ is involutorisch één
raaklijn van de getransformeerde kromme toegevoegd. Dus
aan een gemeenschappelijke raaklijn der beide ki\'ommen is
gelijktijdig één raaklijn van D4 en één raaklijn van de getrans-
formeerde kromme toegevoegd. Derhalve, daar de toevoeging

43

ondubbelzinnig is, moet aan een gemeenschappelijke raaklijn
ook een gemeenschappehjke raaklijn zijn toegevoegd. De
achttien gemeenschappelijke raaklijnen moeten dus in negen
paren verdeeld worden, waaruit volgt:

In het stelsel zijn negen dubbel oscu-
leerende quadratische oppervlakken.

§ 4. Het vlak v is een snijvlak van de derde-graadsruimte-
kromme en de vaste kegelsnede Kg in v gaat door één der
drie snijpunten P^ van Rg en v. (Zie Hoofdstuk I, § 3),

Op Rg wordt door het stelsel quadratische oppervlakken,
dat Ka als basiskromme heeft een involutie van den vijfden
graad en den vierden rang ingesneden, want elk quadratisch
oppervlak van het stelsel is bepaald door vier punten van Rj
en heeft behalve P^, vijf snijpunten met de kubische ruimte-
kromme. Derhalve moeten de quadratische oppervlakken, die
driemaal raken aan Rg, P^ tot één der raakpunten hebben.
Inderdaad gaan de dubbellijnen der quadratische lijnenver-
wantschap door Pj. Het aantal dezer dubbelrechten is twee*
Dus er zijn twee stelsels van quadra-
tische oppervlakken van het stelsel, die
driemaal raken aan Rg.

Daar elke dubbelrechte een unisecante van Rg is, steunen
buiten het snijpunt P^ nog twee raaklijnen op de beide
dubbellijnen.

Er zijn derhalve vier quadratische opper-
vlakken door Ka die in Pj raken en elders
een vierpuntige aanraking hebben entwee

u

oppervlakken van het stelsel, die in P^een
vierpuntige aanraking hebben en elders
raken.

Door een punt van Rg gaat één osculatievlak. Dit snijdt
het vlak v volgens een rechte l, waaraan in het algemeen
één rechte 1\' door P^ is toegevoegd. Hierop steunen buiten
Pj twee raaklijnen.

Er zijn derhalve twee quadratische oppervlakken, die in
een bepaald punt Q van Rg deze kromme driepuntig raken
en bovendien Rg buiten P^ raken; en er is één quadratisch
oppervlak, dat Rg in Q osculeert en in P^ raakt.

Aan den doorgang van het osculatievlak door Pj zijn alle
rechten door een zeker punt van Pj Pg toegevoegd en er
zijn dus oneindig vele quadratische oppervlakken van het
stelsel, die Rg in P^ osculeeren eu elders raken.

De doorgang van het raakiynenoppervlak van Rg met het
vlak V is een kromme van den vierden graad en de derde
klasse, die door P^, Pg en Pg (de snijpunten van Rg en
gaat. Alle raakvlakken in een punt van Rg snijden v in een
waaier, waaraan in het algemeen toegevoegd zijn de stralen-
bundel met centrum Pj en een waaier met centrum C op
Pa Pa-

Pj is een keerpunt van D^. Dus door Pj gaat één raaklijn
van D4, die in P^ aan die kromme raakt. De waaier met
het centrum O bevat drie raaklijnen aan D4. Er zijn dus
drie quadratische oppervlakken van het stelsel, die Rg in
één punt raken en elders buiten Pj osculeeren en één exem-
plaar, dat Rg in datzelfde punt raakt en in P^ osculeert.

45

Aan de doorgangen van de raakvlakken van Rg in Pg is
de lijn P^ Pg toegevoegd, die in het algemeen geen doorgang
van een osculatievlak van Rg zal zijn. Hetzelfde geldt voor
de doorgangen der raakvlakken van Rg in Pg, die aan PiPj
zijn toegevoegd.

Indien men twee vlakken toegevoegd noemt, als zij zes
punten op Rg insnijden, die de snijpunten zijn van Rg met
een quadratisch oppervlak door Kg, dan zijn volgens het
voorgaande aan één osculatievlak twee raakvlakken en aan
drie vlakken van een bundel met een raaklijn van Rg als
as een osculatievlak toegevoegd. Op den doorgang D4 van
het raaklijnenoppervlak van Rg met v kan men de raak-
punten A der doorgangen van osculatievlakken toevoegen
aan de snijpunten B van raaklijnen van Rg in toegevoegde
raakvlakken. Aan één punt A zijn dus twee punten B en
aan één punt B drie punten A toegevoegd. Blijkbaar heeft
men hier een puntenverwantschap (2,3) op een rationale
kromme. Er zijn vijf coïncidenties, dus er zijn vijf osculatie-
vlakken, die met het toegevoegde raakvlak de raaklijn aan
Rg gemeen hebben.

Er zijn dus vijf quadratische oppervlakken
van het stelsel, die buiten P^ een vijfpun-
tige aanraking met Rg hebben.

Bovendien is een quadratisch oppervlak mogelyk met vijf-
puntige aanraking in P^, want van dat oppervlak zijn negen
punten gegeven.

Dubbel osculeerende tweede-graadsoppervlakken hebben
noodwendig één osculatiepunt in P^. Aan den doorgang van

46

het osculatievlak van Rj in P^ zijn alle stralen van een
waaier toegevoegd, wiens centrum op Pg P3 ligt. Deze stralen-
bundel bevat drie raaklijnen van D^, dus drie doorgangen
van osculatievlakken van Rg met v.

Er zijn dus drie dubbel osculeerende qua-
dratische oppervlakken in het stelsel, (één
osculatiepunt is voor elk der drie exemplaren het punt Pi).

§ 5, Het vlak v is een snijvlak van de kuhische ruimte-
kromme en de vaste kegelsnede Kg in v gaat door twee snijpunten
P2 en Pg van Rg en v. (Zie Hoofdstuk I § 4).

De quadratische oppervlakken van het stelsel hebben
behalve de punten Pg en Pg nog vier snijpunten met Rg.
En daar juist vier punten een exemplaar van het stelsel
quadratische oppervlakken bepalen, wordt er door dat stelsel
geen involutie ingesneden op Rg. Hieruit volgt reeds, dat
verschillende gevallen van bUzondere aanraking van qua-
dratische oppervlakken van het stelsel aan Rg zich bij deze
ligging der punten P2 en Pg niet zullen voordoen.

De quadratische lijnenverwantschap heeft slechts één
dubbellijn, nl. de lijn P2 Pg-

Er is derhalve één systeem van o^i aan
Rg drievoudig rakende quadratische opper-
vlakken van het stelsel door Kj.

Deze oppervlakken hebben allen de raakpunten Pj en Pg
gemeen.

Op de dubbelrechte P2 Pg steunen slechts de raaklijnen in
Pj en Pg, want P2 Pg is bisecante van Rg.

47

Er zijn dus twee quadratische oppervlak,
ken met één vierpuntige aanraking (respec-
tievelijk in P2 en in Pg) en één tweepuntige aan-
raking aan R3.

De volgende resultaten behoeven geen nadere toelichting.

In elk punt van R3 raken twee quadratische oppervlakken
van het stelsel, die respectievelijk in Pj en in P3 osculeeren.

In elk punt van Rg osculeeren twee quadratische opper-
vlakken door Kj, welke Rg, achtereenvolgens in Pg en in
Pg, aanraken.

Er zijn twee, respectievelijk in Pg en in Pg, vijf-
puntig aan Rg rakende quadratische opper-
vlakken in het stelsel.

In het stelsel is één dubb el, in de punten
Pg en Pg aan Rg osculeerend quadratisch
oppervlak.

§ 6. iïei vlak v is een snijvlak van de kubische ruimte-
kromme en de vaste kegelsnede Kg in v gaat door de drie
snijpunten van Rg en v. (Zie Hoofdstuk I, § 5).

Daar de lijnenverwantschap in v onbepaald is, geeft dit
geval geen aanleiding tot bijzondere opmerkingen over meer-
voudig of veelpuntig aan Rg rakende quadratische opper-
vlakken, die door Kg gaan.

§ 7. Het vlak v is een raakvlak van de kubische ruimte-
kromme. De vaste kegelsnede Kj in v gaat door geen der
snijpunten van Rg en v, (Zie Hoofdstuk I, § 6),

48

De quadratische lijnenverwantschap in v heeft twee eigen-
lijke dubbellijnen.

Derhalve zijn er twee stelsels van <»1
quadratische oppervlakken door Ka, d i e
drievoudig raken aan Rg.

Indien P^ het raakpunt van Rg met v is en Pg het snij-
punt, dan is de lijn P^ Pg ook als een dubbelrechte van de
verwantschap te beschouwen. Een vlak door P^ Pg moet dus
ook drie punten Pj, F2 en S op Rg insnijden, die als raakpunten
van een quadratisch oppervlak door Kj met Rg zijn te be-
schouwen. Inderdaad, een ontaard quadratisch oppervlak,
bestaande uit het vlak v en het vlak, dat Rg in S raakt en
door Pa gaat, is vooreerst een exemjilaar van het stelsel
en ten tweede vallen de zes snijpunten met Rg twee aan
twee samen. Er is een enkelvoudige oneindigheid van der^
gelijke ontaarde quadratische oppervlakken, behoorende tot
het stelsel.

De doorgang van het raaklijnenoppervlak van Rg met v
is een kromme van den vierden graad en de derde klasse.
Indien v echter raakvlak aan Rg is, ligt één der lijnen van
het raaklijnenoppervlak van Rg geheel in v en is dus de
doorgang uiteengevallen in de raaklijn Pj Qg in P^ en een
kromme Dg van den derden graad en de derde klasse. Met de
twee eigenlijke dubbellijnen der lijnenverwantschap in v heeft
deze kromme zes snijpunten, m. a. w. op deze beide dubbel-
lijnen steunen, behalve Pi Qg, zes raaklijnen.

Er zijn dus zes quadratische oppervlak-
ken van het stelsel, die één vierpuntige en

49

één tweepuntige aanraking met Rg hebben.

Als ontaarde quadratische oppervlakken met dezelfde
bijzondere aanraking aan Rg vindt men het vlak v, dubbel
geteld en het vlak v met het osculatievlak van Rg in Pg.
Bovendien is het vlak v met elk raakvlak van Rg in P^ een
ontaard quadratisch oppervlak van het stelsel, waarvan de
zes snijpunten zijn samengevallen in één viervoudig en één
tweevoudig snijpunt. Voor elk dezer ontaarde elementen ligt
het viervoudig snijpunt als raakpunt en het tweevoudig
snijpunt als snijpunt in een raakvlak van Rg, dat door een
dubbelrechte en een daarop steunende raaklijn gelegd is,
evenals voor de zes niet ontaarde quadratische oppervlakken
met dezelfde bijzonderheid.

Door een punt van Rg gaat één osculatievlak van Rg.
Aan den doorgang van zulk een vlak met v is in het vlak
V één rechte toegevoegd. Deze rechte heeft met Dg drie
snijpunten. Aan één osculatievlak zijn dus, behalve het
vlak V, drie raakvlakken van Rg toegevoegd, zoodanig dat
het osculatievlak en elk der raakvlakken een quadratisch
oppervlak van het stelsel bepalen, dat Rg in een bepaald
punt osculeert en elders raakt. Hieruit volgt dus:

In elk punt S van Rg osculeeren drie qua-
dratische oppervlakken aan Rg, die de kubi-
sche ruimtekromme elders raken.

Bovendien is het osculatievlak in S van Rg met het vlak v
als een ontaard quadratisch oppervlak te beschouwen, dat
aan de voorwaarden voldoet.

Dg is van de derde klasse en raakt aan P^ QginP^; dien-

50

tengevolge is de getransformeerde kromme van de vijfde
klasse. Vijf stralen van een waaier, n.1. de raaklijnen uit
het waaiercentrum aan die kromme van de vijfde klasse,
zijn aan raaklijnen van Dg toegevoegd. Dit beteekent, dat
van alle raakvlakken in een punt van Eg vijf vlakken aan
een osculatievlak van Rg zijn toegevoegd. Dus:

In elk punt van Rg raken v ij fquadratische
oppervlakken van het stelsel aan Rg, diede
kubische ruimtekromme elders osculeeren.

Een raakvlak bepaalt op Dg een punt M. als snijpunt
van de raaklijn van Rg in dat raakvlak en een osculatievlak
een punt N als raakpunt van dat vlak met Dg- De ver-
wantschap der punten M en N, behoorende tot toegevoegde
raak- en osculatievlakken, is volgens het vorige (3, 5). Er
zijn acht coïncidenties, dus:

Het aantal aan Rg vijfpuntig rakende qua-
dratische oppervlakken van het stelsel is
acht.

Een ontaard quadratisch oppervlak, dat aan de voor-
waarde van vijfpuntige aanraking aan Rg voldoet en tot
het stelsel behoort, is het vlak v met het osculatievlak
van Rg in P^.

In het stelsel quadratische oppervlakken, gaande door Kg,
zal een dubbel osculeerend exemplaar voorkomen, indien
aan een raaklijn van Dg in de quadratische lijnenverwant-
schap in v weer een raaklijn van Dg is toegevoegd. De
kromme Dg van de derde klasse wordt omgezet in een
kromme van de vijfde klasse, want Dg raakt in P^ aan een

51

zijde van den coördinatendriehoek, wat de klasse van de
getransformeerde kromme met één vermindert. Deze heeft
met de oorspronkelijke kromme vijftien raaklijnen gemeen.
Daar de toevoeging der lijnen in het vlak v ondubbelzinnig
is, moet een gemeenschappelijke raaklijn der beide toege-
voegde krommen met een gemeenschappelijken raaklijn over-
eenstemmen. Een uitzondering vormt de lijn P1Q3, die wel
aan beide krommen raakt, maar toegevoegd is aan elk der
lijnen van den waaier met centrum Pg, dus aan een raaklyn
aan ieder der krommen. De overige veertien gemeenschappe-
lijke raaklijnen zijn dus in zeven involutorisch aan elkander
toegevoegde lijnenparen te verdeelen.

Derhalve zijn er zeven dubbel osculeerende
quadratische oppervlakken in het systeem.

Aan de lijn P^ Qg is de waaier Pg toegevoegd. In Pg heeft
Dg een keerpunt, dus er is slechts één raaklijn uit Pg aan

3 3

Dg mogelijk. Deze raaklijn van Dg is dus ook toegevoegd
aan een raaklijn van Dg. Een ontaard dubbel osculeerend
quadratisch oppervlak van het stelsel wordt hierdoor be-
paald, bestaande uit het vlak v en het raakvlak aan Rg in
Pg, dat door Pg P^ gaat. Inderdaad zijn de zes snijpunten
dezer beide vlakken met Rg samengevallen in twee drie-
voudige.

§ 8. Het vlak v is een raakvlak van de knbische ruimte-
kromme. De vaste kegelsnede Kg in v gaat door één der sny-
punten van Rg en v. (Zie Hoofdstuk I § 7).

1°. Rg raakt aan v in Pj, Kg gaat door Pg.

52

Daar de quadratische lijnenverwantschap twee dubbellijnen
heeft, die beide door Pg gaan, volgt hieruit:

Er zijn twee stelsels van «»i quadratische
oppervlakken, gaande door Kg, die in drie
punten aan Rg raken. Één van die drie punten is
telkens Pg.

Daar de dubbelrechten unisecanten van Rg zijn en het
snijpunt met Rg gemeen hebben, steunen buiten P^ Qg nog
twee raaklijnen van Rg op elk der dubbelrechten, waarvan
de raaklijn van Rg in Pg gemeenschappelijk is voor beide
dubbellijnen.

Er zijn derhalve, de ontaarde quadratische oppervlakken
van het systeem verder buiten beschouwing latend, vier
exemplaren van het systeem quadratische
oppervlakken door Kj, die één vier- en één
tweepuntige aanraking aan Rg hebben.

De snijlijn van v en een osculatievlak van Rg is toege-
voegd aan een lijn door Pg. Hierop steunt, behalve in Pg en
buiten P^ Qg, één raaklijn van Rg. Er is dus één quadratisch
oppervlak van het stelsel, dat Rg osculeert en elders buiten
Pg raakt en één dat Rg in hetzelfde punt osculeert en
in Pg raakt.

Alle raakvlakken in een punt van R» snijden het vlak v
in een waaier, die omgezet wordt in een waaier met cen-
trum Pg en een waaier, wiens centrum M op P^Qg ligt.
Aan de doorsnijding Dg van het raaklijnenoppervlak van Rg
met V raakt één straal van den waaier Pg in Pg zelve en
drie stralen van den waaier M, n.1. P^ Qg en twee andere

53

lijnen. In een punt van Rg raken dus twee quadratische
oppervlakken aan Rg, die elders buiten Pa aan Rg osculeeren.

De meermalen afgeleide verwantschap op Dg, waarvan
het aantal coïncidenties het aantal buiten Pg vijfpuntig
rakende quadratische oppervlakken van het stelsel aangeeft,
wordt dus aangewezen door (1,2) en heeft drie coïncidenties.

Buiten Pg raken derhalve drie quadrati-
sche oppervlakken van het stelsel vijfpun-
tig aan Rg, en daar van een quadratisch oppervlak, dat
in Pg vijfpuntig aan Rg raakt en door Kg gaat, negen punten
gegeven zijn, is er bovendien één in Pg vijfpuntig aan Rg
rakend quadratisch oppervlak van het stelsel.

Dubbel osculeerende quadratische oppervlakken hebben
noodzakelijk één osculatiepunt in Pg. De doorgang met v van
het osculatievlak aan Rg in Pg wordt omgezet in een stralen-
bundel, waarvan het centrum op P^ Qg ligt. Deze heeft drie
raaklijnen aan Dg, waaronder PiQg, dus:

Er zijn twee aan Rg dubbel osculeerende
quadratische oppervlakken in het stelsel.

2«. Rg raakt aan v in P^, Kg snydt P^ Qg in P^.

Alle quadratische oppervlakken door Kg snijden de raaklijn
Pj Qg van R3 in P^ en derhalve is een oppervlak van het
stelsel met bijzondere aanraking in P^ noodzakelijk ontaard.

De lijnenverwantschap heeft één dubbelrechte, n.1. PiPg.
De 00^ quadratische oppervlakken, die drievoudig raken aan
Rg, hebben dus één aanrakingspunt in P^ en zijn ontaard in
het vlak v en een raakvlak door Pa.

54

Daar de dubbelrechte bisecante is, steunt behalve P^Qg
één raaklijn in Pg op de dubbellijn. Een niet ontaard aan
Rg eens twee- en eens vierpuntig rakend quadratisch opper-
vlak van het stelsel is er dus niet.

De doorgang van een osculatievlak van Rg wordt in het
algemeen omgezet in een lijn door P^. Behalve P^ Qg steunen
op deze rechte twee raaklijnen van Rg.

Er zijn dus twee quadratische oppervlakken van het stelsel,
die in een bepaald punt aan Rg osculeeren en buiten P^
aan Rg raken en één ontaard oppervlak, dat in datzelfde
punt Rg osculeert en in P, raakt.

De bundel van vlakken, die Rg in één punt raken, snijden
V in een waaier. Deze wordt omgezet in twee waaiers,
achtereenvolgens met centra P^ en een punt M van Pi Pa-
Uit Pi kan men behalve PiQg, geen raaklijn aan Dg trek-
ken; uit M drie raaklijnen.

Er raken dus in een punt van Rg drie quadratische
oppervlakken van het stelsel, die buiten Pj aan Rg oscu-
leeren.

Er volgt hieruit, volgens de meermalen aangewende
afleiding:

Buiten Pj raken vijf quadratische opper-
vlakken van het stelsel vijfpuntig aan Rg.

Een dubbel osculeerend quadratisch oppervlak door Kg
moet noodzakelijk één osculatiepunt in P^ hebben. De door-
gang met V van het osculatievlak in Pj is P^ Qg. Deze wordt
getransformeerd in een waaier met centrum Pg. Dit punt
ligt op Dg en op Rg; er is dus slechts één osculatievlak van

55

Rg door dat punt mogelijk. Derhalve is er één dubbel oscu-
leerend quadratisch oppervlak door Kg, dat ontaard is in het
vlak V en het raakvlak in Pg door P^.

§ 9. Het vlak v is een raakvlak van de kubische ruimte-
kromme. De vaste kegelsnede Kj in v gaat door twee snij-
punten van Rg en v. (Zie Hoofdstuk I, § 8.)

1°. Rg raakt het vlak v in P^. Kg gaat door P^ en Pg.
Pl Qg is de raaklijn in v aan Rg.

PiQs is de eenige dubbellijn van de lijnenverwantschap
in V, hieruit volgt:

Er zijn cc^ quadratische oppervlakken van het stelsel,
die drie raakpunten met Rg hebben. Zij hebben alle de raak-
punten Pl en Pg gemeen en zijn ontaard in het vlak v en
een raakvlak van Rg door P2.

Op PiPg, bisecante van Rg, steunt in Pi één raaklijn, nl.
PiQg en één raaklijn in Pg.

Er is derhalve één (in het vlak v en het osculatievlak
in Pg) ontaard quadratisch oppervlak door Kg, dat Rg eens
tweepuntig (in PJ en eens vierpuntig (in Pg) raakt. Het
quadratisch oppervlak, dat Rg in Pi vierpuntig en in Pg
tweepuntig aanraakt, is ontaard in het vlak v, dubbel
geteld.

Gemakkelijk blijken de volgende resultaten:

In elk punt van Rg raakt één quadratisch oppervlak van
het stelsel, dat elders, nl. in Pg. osculeert.

In elk punt van Rg osculeert één quadratisch oppervlak,
dat elders, nl. in Pg, aan Rg raakt.

56

Er is één quadratisch oppervlak van het
stelsel, dat Rg vijfpuntig raakt, nl. in Pg.

Er is geen dubbel osculeerend tweede-graadsoppervlak van
het stelsel.

2°. Rg raakt het vlak v in P^ en heeft in dat punt als
raaklijn P]_ Qg. Kg raakt P^ Qg in Pj.

Daar P^ Qg o. a. een dubbellijn der lijnenverwantschap in
V is en tegelijkertijd raaklijn aan Rg, zijn de vlakken door
Pj Qg raakvlakken aan Rg en vallen dus van de drie snij-
punten er twee samen. Derhalve zijn er tvi quadratische
oppervlakken van het stelsel, die Rg vierpuntig in P^ en
elders tweepuntig raken.

Elke lijn door P^ is als dubbellijn op te vatten. Dus
zijn er quadratische oppervlakken van het stelsel,
die in drie punten een tweepuntige aanraking aan Rg
hebben; al deze oppervlakken hebben het raakpunt P^ aan
Rg gemeen.

Verder blijkt gemakkelijk:

In elk punt van Rg raken quadratische oppervlakken
van het stelsel, die in P^ osculeeren. Yan deze quadratische
oppervlakken zijn nl. acht punten gegeven.

In ieder punt van Rg osculeeren oo^ quadratische opper-
vlakken van het stelsel, die elders, nl. in P^, raken,

In elk punt van Rg osculeert één quadra-
tisch oppervlak van het stelsel, dat ook
in Pj osculeert.

Er zijn oc^ quadratische oppervlakken van

57

het stelsel, die in P^ een vijfpuntige aan-
raking met Rg hebben.

§ 10. Het vlak v is een raakvlak der kubische ruimte-
kromme. De vaste kegelsnede gaat door de drie gemeen-
schappelyke punten van Kg en v. (Zie Hoofdstuk I, § 9).

Over de meervoudig of veelpuntig aan Rg rakende qua-
dratische oppervlakken door Kg zijn geen bijzondere opmer-
kingen te maken, daar de lijnenverwantschap in v geheel
onbepaald is.

§ 11, Het vlak v is een osculatievlak van de kubische ruimte-
kromme. De vaste kegelsnede Kg gaat niet door hei osculatie-
punt van Rg en v. (Zie Hoofdstuk I, § 10).

De doorgang met v van het raaklijnenoppervlak aan Rg is
in dit geval ontaard in een kromme van de tweede klasse,
Dg, en de raaklijn Pi Qg aan Rg in v dubbel geteld.
Immers, daar v zelve osculatievlak aan Rg is, kan men door
een punt van v overigens nog slechts twee osculatievlakken

aan Rg leggen en zijn er dus door elk punt van v slechts twee

2 2

raaklijnen aan die doorgangskromme Dg mogelijk. Dg moet
in Pl aan Pi Qg raken, omdat v het raakvlak in Pj aan het
raaklijnenoppervlak is.

De lijnenverwantschap heeft één eigenlijke dubbelrechte en
bovendien is Pj Qg als dubbellijn te beschouwen. Hieruit volgt:
Er is één stelsel van ooi quadratische op-
pervlakken door Kg, die in drie punten raken
aan Rg.

58

De vlakken door P^ Qg hebben met Rg een raakpunt en
een snijpunt gemeen en ieder punt van Rg kan zulk een
snijpunt zijn. Hieruit volgt, dat het raakvlak in een punt
van Rg, dat door P^ gaat, met het vlak v een ontaard qua-
dratisch oppervlak vormt, dat met Rg een vierpuntige aan-
raking in Pi en een tweepuntige aanraking heeft. De dubbel-
lijn Pi Qg geeft derhalve aanleiding tot een stelsel van ooi
ontaarde quadratische oppervlakken, die in drie punten aan
Rg raken, maar van die drie raakpunten zijn twee samen-
gevallen.

Op de eigenlijke dubbellijn steunen, buiten Pi Qg, twee
raaklijnen aan Rg.

Er zijn dus twee niet ontaarde quadrati-
sche oppervlakken van het systeem, die Rg
vierpuntig en tevens tweepuntig raken.

Door een punt van Rg gaat één osculatievlak. Aan de
doorsnijding van dit vlak met v is in het algemeen één
rechte toegevoegd, die twee snijpunten met D^ heeft, waar-
door dus twee raakvlakken van Rg gaan. Bij een osculatie-
vlak behooren dus twee raakvlakken van Rg, die elk met
het eerstgenoemde vlak een oppervlak van den tweeden
graad vormen, die zes punten met Rg gemeen heeft.

In een punt van Rg osculeeren derhalve
twee quadratische oppervlakken door Kg,
die Rg elders, buiten Pj, aanraken.

De raakvlakken van de quadratische oppervlakken van
het systeem, die in een gegeven punt aan Rg raken, gaan
allen door de raaklijnen aan Rg in dat punt en snijden dus

59

op V een waaier in. Deze wordt omgezet in een kegelsnede,
die Pj Qg in P^ raakt, dus met D^ de raaklyn in Pj gemeen
heeft. Behalve P^ Qg hebben deze beide krommen van de
tweede klasse nog twee gemeenschappelijke raaklijnen. Twee
doorgangen van raakvlakken in een gegeven punt van Rg
met V zijn dus toegevoegd aan doorgangen van osculatie-
vlakken aan Rg.

Dus in een punt van Eg raken twee quadra-
tische oppervlakken van het stelsel, die
buiten P^ aan Rg osculeeren.

Op Da zijn aan het raakpunt van den doorgang l van
een osculatievlak toegevoegd de beide snijpunten van de
lijn l\', waarin l wordt omgezet. Aan zulk een snijpunt (alle
lijnen door dat punt) zijn twee raakpunten van doorgangen
van osculatievlakken toegevoegd. De vier coïncidenties van
de verwantschap (2,2) op Dg beteekenen:

Er zijn vier quadratische oppervlakken
van het stelsel, die buiten Pj^ een vijfpun-
tige aanraking met Rg hebben.
Da raakt aan Pj Qg in P^ en wordt getransformeerd in

een kromme van de tweede klasse. Immers, is de verge-
2

lijking van Dg

«fi\' Hs^ cfifa (^fi^s = O,
dan is de vergelijking der getransformeerde kromme

j----c---- c-

60

Na herleiding van deze vergelijking blijkt ze dezelfde ter-
men te hebben als de vergelijking van D^. Deze kromme
en haar getransformeerde hebben dus de raaklijn in P^ ge-
meen. Daar ze bovendien nog twee raaklijnen gemeen hebben,
heeft Dj één paar aan elkander toegevoegde raaklijnen; dus:

Er is één niet ontaard quadratisch opper-
vlak door Kg, dat dubbel osculeert aan Rg.

§ 12. Rei vlak v is een osculatievlak van de kubische
ruimtekromme. De vaste kegelsnede Kg snijdt de raaklijn van
Rg in v in het raakpunt P^. (Zie Hoofdstuk I, § 11).

In de door deze gegevens bepaalde lynenverwantschap in
V is de raaklijn P^ Qg aan Rg de eenige dubbellijn. Daar een
niet ontaard quadratisch oppervlak niet tegelijkertijd door
Kg in V kan gaan en in het punt P^ van Kg aan v raken,
zijn er geen quadratische oppervlakken van het systeem, die
Rg in drie punten raken. Evenmin zijn er quadratische
oppervlakken van het systeem, die één vier- en één twee-
puntige aanraking aan Rg hebben.

Aan den doorgang van een osculatievlak, die een raaklijn

aan Dg is, is in het algemeen een lijn door P^ toegevoegd.

2

Daar P^ een punt van Dg is, steunt, behalve P^ Qg, nog één
raaklijn op deze toegevoegde rechte. In een punt van Rg
osculeert dus één quadratisch oppervlak, dat elders raakt.

Aan den waaier, dien de raakvlakken van Rg in één punt
op V insnijden, zijn twee stralenbundels toegevoegd, n.1.
één waaier met centrum P^ en een tweede met centrum op
Pj Qg. Immers elke straal van een waaier is toegevoegd

61

aan een llju door P^, behalve de straal die door P^ gaat,
welke aan een stralenbundel is toegevoegd met middelpunt
op Pi Qg. Dj raakt aan Pj Qg in Pi, dus behalve Pi Qg is er
één raaklijn aan D^ toegevoegd aan een straal van een waaier.

Dit beteekent, dat er één quadratisch oppervlak door Kg
in een punt van Rg raakt, dat elders aan Rg osculeert.

De meermalen aangehaalde verwantschap op Dg is dus
een (1, 1) met twee coïncidenties.

Derhalve zijn er twee quadratische opper-
vlakken door Ka die een vijfpuntige aan-
raking aan Rg hebben.

Daar alle quadratische oppervlakken door Kg het punt Pi
van Rg bevatten, zou een dubbel aan Rg osculeerend opper-
vlak van het systeem één osculatiepunt in Pi moeten hebben.
Indien het quadratisch oppervlak niet ontaardt, is dit on-
mogelijk. Tweemaal osculeerende quadratische oppervlakken
bevat het systeem dus niet.

§ 13. Het vlak v is een osculatievlak der kubische ruimte-
kromme. De raaklijn Pj Qg van Rg in v raakt aan de vaste
kegelsnede Kg in v (zie Hoofdstuk I § 12).

Dubbelrechte der lijnenverwantschap in v is PiQg. Derhalve
zijn er 00^ quadratische oppervlakken door Kg, die driemaal
raken aan Rg, maar twee raakpunten zijn van al deze tweede-
graadsoppervlakken samengevallen in Pj, zoodat men heeft:

00^ quadratische oppervlakken van het
systeem hebben één vierpuntige en één
tweepuntige aanraking.

viit

Daar een quadratisch oppervlak met Rg zes punten gemeen
heeft en elk exemplaar van het systeem in P^ twee punten
met Rg gemeen heeft, is geen vijfpuntig rakend quadratisch
oppervlak door Kg mogelijk, tenzij dat raakpunt in P^ valt.
Omdat een vijfpuntige aanraking in P^ tezamen met Kg
acht punten van het quadratisch oppervlak geeft, heeft men:

Er zijn oo^ quadratische oppervlakken, die
in Pj vijfpuntig raken aan Rg en door Kg
gaan.

Op dezelfde wijze vindt men:

In elk punt van Rg osculeeren oo^ quadratische opper-
vlakken van het systeem, die in P^ aan Rg raken,

In elk punt van Rg raken oo^ quadratische oppervlakken
van het systeem, die in P^ aan Rg osculeeren.

In elk punt van Rg osculeert één quadra-
tisch oppervlak door Kg, dat bovendien in
Pl aan Rg osculeert.

§ 14. Het vlak v is een osculatievlak der kubische ruimte-
kromme. De vaste kegelsnede Kg in v heeft een driepuntige
aanraking aan Rg. (Zie Hoofdstuk I § 13).

Daar in dit geval de lijnenverwantschap in v geheel on-
bepaald wordt, zijn er geen bijzondere opmerkingen te maken
over meervoudig of veelpuntig aan Rg rakende quadratische
oppervlakken door Kg.

HOOFDSTUK HL

Quadratische oppervlakken yan een stelsel met drie of
minder graden van vrijheid, die meervoudig
of veelpuntig raken aan een kubische
ruimtekromme.

§ 1. Indien de quadratische oppervlakken, die de kubische
ruimtekromme in zes gescheiden of ten deele samenvallende
punten snijden, door een vaste kegelsnede Kg in een gegeven
vlak V gaan en bovendien door een vast punt P der ruimte,
dan behooren die oppervlakken tot een stelsel, waarvan zes
punten gegeven zijn. Derhalve bestaat dit stelsel uit oo®
exemplaren. Drie punten op de kubische ruimtekromme
zullen dus in het algemeen een quadratisch oppervlak van het
stelsel bepalen. Het door die drie punten gaande vlak snijdt
het vlak v in een rechte lijn l. De drie overige snijpunten
van dit tweede-graadsoppervlak met Rg en daarmede het
vlak door die drie punten, zijn volkomen bepaald. Dit vlak
moet het vlak v snijden in de lijn l\', die volgens de in
Hoofdstuk I bestudeerde quadratische lijnenverwantschap
aan l is toegevoegd. Immers in Hoofdstuk II, § 2 is afgeleid,

viit

dat elk paar puntendrietallen, waarin de zes snijpunten met Rj
van een quadratiscli oppervlak door Kg te verdoelen zijn, een
vlakkenpaar bepaalt, dat v in twee toegevoegde lijnen snijdt.

M. a. w. zal met een vlak door l één bepaald vlak door l\'
overeenstemmen, zoodanig dat de zes snijpunten met R^ van
dat vlakkenpaar op een quadratisch oppervlak van het be-
schouwde stelsel liggen.

In het algemeen worden de vlakken der ruimte op deze
wijze één aan één aan elkander toegevoegd. Het vlak v zal
echter tezamen met elk vlak door het vaste punt P een
ontaard regelvlak van het systeem vormen. Is dus omgekeerd
in het algemeen elk vlak door P aan v toegevoegd, voor een
enkelvoudige oneindigheid van vlakken door P wordt het
toegevoegde vlak onbepaald.

Immers indien in een vlak door P een kegelsnede ligt, die
door de drie snijpunten met R3, de beide snijpunten met K^
en door P gaat, dan kan door deze kegelsnede en Kg een
bundel quadratische oppervlakken van het stelsel gelegd
worden. Want Kg, die geheel op het quadratisch oppervlak
ligt, bepaalt vijf punten van het oppervlak en een andere
kegelsnede, die Kg in twee punten snijdt en ook op het
oppervlak moet liggen, geeft drie nieuwe punten. Dus de
beide kegelsneden tezamen geven de acht punten, die den
bundel bepalen.

De doorsneden met v van deze vlakken door P, die een
kegelsnede bevatten, gaande door de drie snijpunten met Rg,
de twee snijpunten met Kg en door P, zijn gemakkelijk op
te sporen. Daartoe denkt men zich den bundel quadratische

viit

oppervlakken; die door Rg (zeven punten) en P gelegd kan
worden. Alle exemplaren van dezen bundel bevatten drie
punten van de bisecante door P, hebben dus deze lijn
gemeen. De kegelsneden, waarin de oppervlakken van den
bundel het vlak v snijden, bevatten dus alle de snij-
punten Pi, Pg en Pg van Rg en het snijpunt S van deze
bisecante; derhalve zijn deze kegelsneden in een bundel
vereenigd. Elk exemplaar Eg hiervan behoort tot het net
van kegelsneden door P^, Pg en Pg, bepaalt dus met Kg in
V drie paar toegevoegde lijnen. Zij zulk een lijnenpaar (m,
m\'), dan kan men door één dier lijnen, m, en door P een
vlak leggen, dat het door Eg gaande exemplaar van den door
Rg en P bepaalden bundel quadratische oppervlakken zal
snijden in een kegelsnede, die gaat door de beide snijpunten
van m met Kg, door P en door drie punten van Rg. Het
vlak (m, P) is dus een vlak met de verlangde eigenschap.

De bundel van kegelsneden met de basispunten P^, Pg, Pg
en S bepaalt een enkelvoudige oneindigheid van lijnenparen
der quadratische lijnenverwantschap in het vlak v. En elk
vlak door zulk een lijn m en door P heeft dus de eigenschap
een kegelsnede door de verlangde zes punten te bevatten. De
exemplaren van den door deze kegelsnede en Kg bepaalden
bundel quadratische oppervlakken hebben nog drie snijpunten
met Rg en de vlakken door die puntendrietallen gaan door
de toegevoegde lyn m\'.

We komen dus tot de volgende slotsom.

De toevoeging der vlakken,\' zooals omschreven is op
pag. 64, is ondubbelzinnig, met uitzondering van de vlakken,

viit

die door een rechte in v van het type m gaan, welke vlak-
ken alle aan het vlak (m\', P) toegevoegd zijn, terwijl het
vlak {m, P) in het bijzonder aan alle vlakken van den bundel
met as m\' is toegevoegd.

In de punteninvolutie van den zesden graad en den derden
rang, welke de quadratische oppervlakken door Kg en P op
Rg insnijden, zijn de drietallen snijpunten van vlakken van
het type (m,P) dus neutrale drietallen.

Ter bepahng van de omhulde der vlakken (m, P) onder-
zoeken we de omhulde der lijnen m in het vlak v. Lijnen
van het type m zijn, zooals is afgeleid, de gemeenschappe-
lijke koorden van de vaste kegelsnede Kg,

Kg = XjS Xg® Xg® -[- 233X^X2 -i" 2a^XgXg -f- 2a^Xgx^ = O

en van de exemplaren van een bundel kegelsneden in het
vlak V, die tot basispunten heeft de drie snijpunten P^, Pg
en Pg der kubische ruimtekromme (als hoekpunten van den
fundamentaaldriehoek aangenomen) en het snijpunt van de
bisecante van Rg door P.

Ter wille van de symmetrie der formules zullen we dit
laatste snijpunt S geven als vierde snijpunt van twee be-
paalde exemplaren van het net van kegelsneden door de drie
hoekpunten van den fundamentaaldriehoek, dus S volgt uit
PgXiXg PiXgXg 4- PgXgXi = O I
qg Xi Xg qi Xg Xg qg X3 Xi = O 5

en de bundel van kegelsneden door P^, Pg, Pg en S is ge-
geven door:

(Ps ^ qg) Xi Xg (Pl A qi) Xg Xg (pg A qg) Xg Xj = 0.

viit

Indien m en m\' twee der bedoelde toegevoegde rechten
zijn, dan is

Kg — MM\' = O
een exemplaar van dezen bundel.

Tusschen de lijncoördinaten van m en m\' bestaan dus de
volgende betrekkingen:

fi^i = 1
= 1
1^3% = 1
2^3 ~ — faJ^i = /^(Ps ^Qs)
2 ag — fl % ~ fg = ft (P2 A qg)
2 ai — fa % — fa % = ^ (Pl ^ <ïi)
waaruit drie betrekkingen volgen tusschen de lijncoördinaten
van een rechte van het type m

fa fl
fl fs

2 a2 — - — ~ = P2 -f Al A qg
fs fl
fa fs

2% - ^ — ^ = /^Pi ^Aqi

Door eliminatie der beide factoren en /tA blijken de
lijncoördinaten van een lijn van het type m te moeten vol-
doen aan

2a, - - -

;r P2

- - Pl

= 0.

68

of

In loopende lyncoördinaten is dit de vergelijking van een
kromme van de derde klasse, die raakt aan de zijden van
den fundamentaaidriehoek en bovendien SPi, SPg en SPg
tot raaklijnen heeft.

De kromme heeft geen dubbelraaklijn en is dus van den
zesden graad.

Derhalve omhullen de vlakken (m, P) een kegel van de
derde klasse en den zesden graad. De vlakken door de bisecante
P S en resp. door Pj, Pg en Pg zijn raakvlakken van dezen kegel.

§ 2. We gaan thans over tot het bewijs der volgende
zeven stellingen.

1. Zes exemplaren van het stelsel qua-
dratische oppervlakken, gaande door een
vaste kegelsnede Kg in een vlak v en door
een punt P buiten dat vlak, die Rg in een
gegeven punt A raken, raken Rg bovendien
elders.

Bewijs.

De vlakkenbundel, die de raaklijn r aan Rg in A tot as

viit

heeft, snijdt op v een waaier in. Elke straal hiervan bepaalt
ondubbelzinnig een vlak door de raaklijn r en dit vlak snijdt
Rg, behalve in A, dubbel geteld, nog in één punt B. Door
B gaat één exemplaar van den bundel quadratische opper-
vlakken, die Kg bevatten, door P gaan en aan Rg in A raken.
Dit exemplaar heeft met Rg nog drie snijpunten C, die elk
het bedoelde quadratische oppervlak bepaald zouden hebben.
Door r en elk der punten C kan een vlak gelegd worden,
dat V in een straal c van den waaier snijdt. Voegt men den
straal, die de snijlijn is der vlakken [r, B) en v, aan de
drie stralen c toe, dan is op deze wijze in den waaier een
verwantschap (3, 3) bepaald. Deze heeft zes coïncidenties
en elke coïncidentie heeft de beteekenis, dat twee der vier
snijpunten van de Rg in A rakende quadratische oppervlakken
zijn samengevallen. Derhalve raken zes exemplaren van het
beschouwde stelsel quadratische oppervlakken, die Rg in A
raken, bovendien de kubische ruimtekromme nog elders.

2. Twaalf quadratische oppervlakken door
Kg en P raken Rg vierpuntig.

Bewijs.

De doorsnijdingskromme van het raaklijnenoppervlak van
Rg met V zij D, en het punt Gr op D zij het snijpunt
van de raaklijn r in A van Rg. Volgens de voorgaande
stelling zijn er zes quadratische oppervlakken van het stelsel,
die Rg in A en bovendien elders raken. Men denkt zich in
de zes aldus bepaalde raakpunten de raaklijnen getrokken
aan Rg en voegt de snijpunten dier zes raaklynen met D
toe aan het punt Gr. Daar aan elk punt op D op deze wijze

viit

zes punten toegevoegd zijn, is op D een puntenverwantschap
(6, 6) met twaalf coïncidenties bepaald. Het aantal dezer
dubbelelementen geeft aan, dat van twaalf tweemaal aan
Rg rakende exemplaren van het stelsel quadratische opper-
vlakken de beide raakpunten tezamen zijn gevallen of
m. a. w. dat twaalf quadratische oppervlakken van het stelsel
vierpuntig raken.

3. Er zijn zes quadratische oppervlakken
door Kg in v, een punt Pder ruimte en twee
punten G- en H van Rg, die Rg elders raken.

Bewijs.

De kegelsnede Kg en de punten P, G en H zijn tezamen
gelijkwaardig met acht grondpunten van een bundel quadra-
tische oppervlakken. Een punt A van de kubische ruimte-
kromme bepaalt dus een exemplaar Eg van den bundel, dat
bovendien nog drie snijpunten met Rg heeft. Voegt men op D
(doorsnijdingskromme van het raaklijnenoppervlak aan Rg
met v) het snypunt van de raaklijn van Rg in A toe aan de snij-
punten der raaklijnen van Rg in de overige drie snijpunten
van Eg en Rg, dan ontstaat op D een verwantschap (3, 3),
met zes coïncidenties. Zes quadratische oppervlakken van
den bundel raken Rg dus elders dan in G of H.

4. Er zijn negen quadratische oppervlak-
ken door Kg in v, een punt P der ruimte en
een punt G van Rg, die de kubische ruimte-
kromme elders driepuntig raken.

Bewijs.

Door Kg, P en G is een net van quadratische oppervlakken

viit

bepaald. In een punt A van Rg raakt één exemplaar van het
net. dat nog drie snijpunten B, B\', B" met Rg heeft. Op de
kromme D in v vs^orden aan het snijpunt van de raaklijn
van Rg in \'A toegevoegd de snijpunten der raaklijnen in B,
B\' en B" aan Rg. Volgens de vorige stelling gaan door B
zes quadratische oppervlakken, die elders raken. De op deze
wijze op D bepaalde verwantschap wordt dus voorgesteld
door (3, 6). Het is duidelijk, dat de negen coïncidenties be-
teekenen, dat negen quadratische oppervlakken van het net
elders dan in A driepuntig raken.

5. Er zijn zes en dertig quadratische op-
pervlakken door Kg en door een punt P der
ruimte, die de kubische ruimtekrommme
eens tweepuntig en elders driepuntig raken.

Bewijs.

Van het stelsel quadratische oppervlakken door Kg en P
zijn zes punten gegeven en een exemplaar daarvan is dus
door drie punten bepaald. In elk punt van Rg is dus een
quadratisch oppervlak, behoorende tot het stelsel, dat oscu-
leert aan de kubische ruimtekromme. Op deze wijze be-
schouwd, bepaalt elk osculatievlak, en ook elke doorgang
van zulk een vlak met v een exemplaar van het stelsel.
Deze doorgangen der osculatievlakken vormen het raak-
lijnenstelsel der snijkromme D van het raaklijnenoppervlak
van Rg met het vlak v. Daar elk quadratisch oppervlak
van het beschouwde stelsel een oppervlak is, dat door Kg
gaat, moet volgens Hoofdstuk II het verbindingsvlak der
overige drie snijpunten van zulk een osculeerend quadratisch

viit

oppervlak het vlak v snijden in de lijn, die in de quadratische
lijnenverwantschap toegevoegd is aan den doorgang van het
osculatievlak van Eg. Voor het algemeene geval is de door-
gang van het raaklijnenoppervlak van de derde klasse en den
vierden graad, D^, dus zullen de lijnen, die toegevoegd zijn
aan de raaklijnen dier kromme, een kromme van de zesde
klasse D® omhullen. Elke der raaklijnen aan D® zal gesneden
worden door vier raaklijnen van Eg, Door zulk een raaklijn
gaat één vlak £, dat met het osculatievlak oo door de toege-
voegde lijn zes snijpunten op Eg bepaalt, waardoor een
quadratisch oppervlak van het systeem mogelijk is. We
noemen de vlakken £ en toegevoegde vlakken.

We onderzoeken thans de verwantschap op D®, waarbij
aan de snijpunten met een raaklijn aan D® worden toegevoegd
de snijpunten met de lijnen, die raken aan Eg in de snij-
punten van het vlak s door diezelfde raaklijn aan D^. Door

3 6

een punt P van D4 gaan zes raaklijnen van D , waardoor
gezamenlijk zes vlakken gaan, die ieder aan een osculatie-
vlak van Eg zijn toegevoegd. Deze zes vlakken hebben acht-
tien snijpunten met Eg en de raaklijnen van Eg in die punten
bepalen op Eg achttien punten Q, toegevoegd aan een punt P,
Door een punt Q van D^ gaat één raaklijn van Eg.

Het raakpunt op Eg zij G. Volgens de voorgaande stelling
gaan door G negen quadratische oppervlakken van het stelsel,
die Eg elders driepuntig raken; m. a. w. door G gaan negen
vlakken, die op de boven omschreven wijze toegevoegd zijn
aan een osculatievlak. Op de negen doorgangen dier vlakken
steunen zes en dertig raaklijnen van Eg of aan een punt Q

viit

zijn zes en dertig punten P toegevoegd. De onderzochte ver-
wantschap op D4 wordt dus uitgedrukt door (18, 36) met
vier en vijftig coïncidenties.

Zulk een coïncidentie heeft in het algemeen de beteekenis,
dat een vlak, dat toegevoegd is aan een osculatievlak, een
raaklijn bevat, dus een raakvlak is. Een uitzondering vormen

de achttien raaklijnen, die uit de snijpunten van R3 en v aan

6 6
D te trekken zijn, daar in die snijpunten op de raaklijn aan D

een raaklijn van Rg steunt, zonder dat in het algemeen het

aan een osculatievlak toegevoegde vlak door één dier lijnen

die raaklijn van Rg zal bevatten.

Er zijn dus 54 —18 = 36 quadratische oppervlakken van
het beschouwde stelsel, die Rg tweepuntig en elders drie-
puntig raken.

6, Twaalf quadratische oppervlakken door
Kg en twee punten der ruimte osculeeren
aan de kubische ruimtekromme.

Bewüs.

De quadratische oppervlakken door Kg en twee punten der
ruimte vormen een net. De exemplaren van dit net, die
door een vast punt van Rg gaan, hebben bovendien nog vijf
snijpunten met R3, zoodanig dat één dier punten de vier
overige bepaalt. Op Rg wordt op deze wijze een verwant-
schap (4, 4) met acht coïncidenties vastgelegd. Dit beteekent,
dat acht exemplaren van het net die bovendien door een
gegeven punt S van Rg gaan, aan Rg elders raken in een
punt Tn (n = 1, 2.... 8).

In elk punt T van Rg raakt één exemplaar van het net

7i

aan die kromme. Dit exemplaar heeft bovendien vier snij-
punten S met Rg.

Tusschen de punten S en T bestaat op Rg dus een ver-
wantschap (8, 4). De twaalf coïncidenties hebben blijkbaar de
beteekenis, dat er twaalf quadratische oppervlakken van het
net osculeeren aan Rg.

7. Tien quadratische oppervlakken door
Kg en drie punten der ruimte raken aan R^.

Bewijs.

Een exemplaar van den door Kg en drie punten der ruimte
bepaalden bundel quadratische oppervlakken is door één
punt van Rg bepaald en heeft bovendien nog vijf snijpunten
met Rg. Elk dezer punten bepaalt ook weer dat exemplaar
van den bundel, zoodat op Rg een puntenverwantschap (5, 5)
is vastgelegd. De tien coïncidenties beteekenen, dat tien
quadratische oppervlakken van den bundel twee samenval-
lende snijpunten of raakpunten op Rg hebben.

Opmerking.

Hoewel de resultaten van dit hoofdstuk door de methode
van Stuem (Hoofdstuk IV) ook afgeleid worden, scheen het
toch niet zonder belang deze stellingen nog langs anderen
weg te bewijzen. Het is hier weliswaar evenmin gelukt bij
bijzondere veronderstellingen over Rg ten opzichte van v het
aantal niet ontaarde gevallen met zekerheid vast te stellen,
maar dat de graad en de klasse van den doorgang met v van
het raaklijnenoppervlak aan Rg invloed hebben, komt met deze
bewijsmethode duidelijk te voorschijn (zie o. a. stelling n®. 5).

HOOFDSTUK IV.
Methode Tan Sturm.

§ 1. Ter opsporing van de aantallen quadratische opper-
vlakken van een systeem met een gegeven aantal graden
van vrijheid, die meervoudig of veelpuntig raken aan een
kubische ruimtekromme, maakt Stubm gebruik van eigen-
schappen van involuties op een rationale ruimtekromme.

Vooraf mogen de bewijzen gaan van een paar minder
bekende eigenschappen, die veelvuldig toepassing zullen
vinden.

zal beteekenen een involutie van den graad en
kden rang, zoodanig dat h punten een groep van n punten
bepalen.

Eigenschap I.

In een involutie I^ op een rationalen drager zyn {k 1) (n—k)
groepen met een {k -}- l)voudig élement.

Bewijs.

Nemen we een groep, die bepaald is door een A;-voudig
punt. Aan dat punt zijn {n — k) enkelvoudige punten toege-
voegd, die tot dezelfde groep behooren. Bij elk enkelvoudig

viit

punt P kan men (k — 1) punten kiezen en bepaalt daardoor,
behalve P, een groep van (w — 1) punten. M. a. w. een
enkelvoudig punt legt op den rationalen drager een involutie
~ J vast. Is de te bewijzen eigenschap juist, dan heeft deze
k (n — k) groepen met een /c-voudig punt.

Aldus zijn aan een ft-voudig punt {n — k) enkelvoudige
punten toegevoegd en aan een enkelvoudig punt k {n — k)
;c-voudige punten. Deze verwantschap {{n -— k), k {n ~k)\\
heeft -f- 1) {n ~ k) coïncidenties of {k 4- l)-voudige
punten.

Is deze eigenschap derhalve juist voor (/; — 1) en (w — 1),
dan is zij ook waar voor k en n. En daar k — 1 en n
de bekende stelling geeft, dat een involutie twee dubbel-
punten heeft; is de eigenschap bewezen.
Eigenschap II.

a) Een involutie I^^ bevat 4" 1) — ^ 4" 1) — — ^—1)
groepen met een (t -f- lyvoudig en een {k — ^ lyvoudig élement,
k

imnneer ^ t ^ k.

(k \\ 2

_4_lj {n—k)X{n—k—l)

groepen met twee 4- i^-voudige elementen,
Bewys.

Evenals een enkelvoudig punt op een rationalen drager
van een mvolutie I^ een tweede involutie bepaalt, zal
een {k — i)-voudig punt op denzelfden drager een involutie
^l-ft f vastleggen.
Volgens eigenschap I bevat deze involutie {t 4- 1) {n — k)

viit

groepen met een {t -f- l)-voudig punt. Deze groepen van
(w — k t) punten bevatten ieder {n — k — 1) enkel-
voudige punten.

We zullen aan het [k — ^-voudig punt toevoegen de
{n — k—l) (i 1) (w — /(;)enkelvoudige punten X^, die in
alle groepen van de involutie f , , , met een {t 1)-

/C -j- t

voudig punt tezamen voorkomen.

Om op te sporen, hoeveel (k — ^)-voudige punten in deze
verwantschap aan een enkelvoudig punt X^ zijn toegevoegd,

n — l

stellen we dit aantal symbolisch voor door t!^ \\ \\ De be-

_ j

teekenis van dit symbool is, dat in de involutie _ j, die
het punt op den drager bepaalt, er Z^ Z J\'\' groepen voor-
komen met een {t -f- l)-voudig en een (k — ^)-voudig element.
Want alleen de (fe—i)-voudige punten, die in een dergelijke
groep voorkomen, zijn in de onderzochte verwantschap aan
Xi toegevoegd.
Met dezelfde symbolische schrijfwijze is dan in de involutie
het aantal groepen met een {t -f- l)-voudig en een {k — f -f-1)-
voudig element uitgedrukt door Z^\'

En daar het aantal van deze bijzondere groepen in ge-
vonden wordt door het aantal coïncidenties van de verwant-
schap der punten X^, en der {k — ^-voudige punten op den
drager van heeft men de volgende betrekkingen

Z^\'\' = (i 1) (w - fc) (w - fc - 1)

1 \' = (i 1) {n - ft) (n - - 1)

Z

viit

Hieruit volgt, door optelling

z^\'\' = 1) - O - - ^ -1) zi L ft , •

^n - & i aantal groepen, dat een (f l)-voudig en

een enkelvoudig element hebben in de involutie l\' , ,

Tl K -4* t

In deze involutie zijn volgens „Eigenschap I" {t 1) (w •— k)
groepen met een {t -f- l)-voudig element en{n — k —1) enkel-
voudige elementen, dus het gezochte aantal groepen met
één {t l)voudig en één enkelvoudig punt is

zl\' 1 ft i = 1) - \'i;) - -fe - 1)

Dus is ten slotte

Z^\' ^ =(i l) {k -^ 1) n — k) {n — k—l).

Is

of

dan is zoowel het -f-l)-voudig als het (k — t-f l)-voudig
punt een U-j-l)-voudig element, en is dus het totaal aantal:

^ -\' = iJ (n - A;) (n - k -1).
Iedere groep bevat dan twee 1^-voudige groepen.

§ 2. Het stelsel quadratische oppervlakken, dat door een
vaste kegelsnede Kg gaat, snijdt op de kubische ruimte-
kromme Rg een involutie Ig in. Indien het vlak v, waarin

viit

Kg ligt, niet een snijvlak, maar een raak- of osculatievlak
aan Rg is en er derhalve onder de quadratische oppervlakken
door Kg met bijzondere aanraking aan Rg ontaardingen voor-
komen, zullen de eigenschappen I en II niet kunnen dienen
om de aantallen der ontaardingen af te zonderen van de
aantallen der niet ontaarde quadratische oppervlakken.

het vlak v een snijvlak van Rg terwijl geen der snij-
punten van Rg en v op de vaste kegelsnede Kg ligt.

De involutie Ig, die door alle quadratische oppervlakken
door Kg op Rg ingesneden wordt, heeft volgens eigenschap I
{k 1) (w — Ä) = 10 gi-oepen met een {k -f 1)- of vijfvoudig
punt. Dus:

Het systeem quadratische oppervlakken
door Kg heeft tien exemplaren met vijf-
puntige aanraking.

Alle kwadratische oppervlakken, die Rg in een bepaald
punt raken, hebben buiten het raakpunt nog vier snij-
punten met Rg en een exemplaar van het systeem is door
het raakpunt en nog twee punten van Rg bepaald. Derhalve
wordt een involutie I4 op Rg ingesneden.

Hieruit volgt: Van alle quadratische oppervlakken van
het systeem, die Rg in een bepaald punt raken, zijn er zes,
die Rg elders osculeeren.

Alle quadratische oppervlakken door Kg, die Rg in een
bepaald punt osculeeren, snijden op de kubische ruimte-
kromme een involutie Ig in, waarin vier groepen met een
tweevoudig punt.

Dus: Van alle quadratische oppervlakken van het systeem,

viit

die Rg in een bepaald punt osculeeren, zijn er vier, die Rg
eiders raken.

Derhalve raken in één punt A van Rg zes quadratische
oppervlakken van het systeem aan die kromme, die boven-
dien Rg osculeeren in een punt B en osculeeren in één punt
B van Rg vier quadratische oppervlakken van het systeem,
die in een punt A bovendien aan Rg raken.

Tusschen de punten A en de punten B op Rg bestaat
derhalve een verwantschap (6, 4). De tien coïncidenties hebben
de beteekenis, dat er tien quadratische oppervlakken door Kg
gaan, die een vijfpuntige aanraking met Rg hebben, zooals
reeds gevonden was.

Om te bepalen het aantal quadratische oppervlakken door
Kg, dat één vier- en één tweepuntige aanraking met Rg
heeft, gebruikt men eigenschap IIa en substitueert

Ä; 4, n = 6 en i rr 1.
In de involutie Ig zijn derhalve

1) (Ä; _ ^ 4- 1) — Ä;) (w — Ä; — 1) = 16

groepen met een viervoudig en een tweevoudig punt.

Derhalve gaan door Kg zestien quadrati-
sche oppervlakken, die één vierpuntige en
één tweepuntige aanraking met Rg hebben.

Substitueert men in de formule van eigenschap IIb

dan vindt men:

81

^ (— l)^ in— k) (n — /c — 1) = 9,

of:

Door Ka gaan negen aan Rg dubbel oscu-
leerende quadratische oppervlakken.

Dit zijn dezelfde resultaten, die in Hoofdstuk II, § 3 werden
verkregen, met uitzondering van de systemen driemaal aan
Rg rakende quadratische oppervlakken door Kg. Deze methode
eigent zich immers slechts om die puntgroepen met bij-
zondere punten te vinden, waarvan in de involutie eindige
aantallen voorkomen.

§ 3. Indien het vlak v een snijvlak van B^ is en de
kegelsnede K^ in v gaat door één der snijpunten P^ van R^
en Vf dan bepalen vier punten op Rg een quadratisch opper-
vlak door die punten en door Kg en dit oppervlak heeft buiten
het vaste snijpunt P^ vijf snijpunten met Rg. De aldus door
het systeem quadratische oppervlakken op Rg ingesneden
involutie is derhalve van den vijfden graad, vierden rang.

Het aantal quadratische oppervlakken door
Kg, dat buiten P^ een vijfpuntige aanraking
met Rg heeft, is volgens eigenschap I vijf.

Immers:

(k 1) {n — k) = 5.

De quadratische oppervlakken van het systeem, die in een

2

bepaald punt aan Rg raken, snijden op Rg een involutie Ig
in. Volgens eigenschap I osculeeren dus drie van deze
quadratische oppervlakken elders aan Rg.

6

viit

De quadratische oppervlakken, die in een bepaald punt E^
osculeeren, bepalen op Rg een involutie I^. Volgens dezelfde
eigenschap raken twee dezer oppervlakken elders aan Rg.

In één punt A van Rg raken derhalve drie quadratische
oppervlakken door Kg, die elders in een punt B aan Rg
osculeeren en in één punt B osculeeren twee quadratische
oppervlakken van het systeem, die in een punt A aan Rg
raken.

De vijf coïncidenties van de tusschen de punten A en de
punten B aldus op Rg bepaalde verwantschap (2, 3) bewijzen
nogmaals, dat er vijf vijfpuntig aan Rg rakende quadratische
oppervlakken door Kg gaan.

De eigenschap II heeft in haar formule een factor {n—k—1);
deze formule levert dus nul, indien de graad en de rang der
involutie één verschillen. Er zijn derhalve geen quadratische
oppervlakken door Kg, die buiten P^ een tweepuntige en een
vierpuntige aanraking (if = 3) aan Rg of twee driepuntige
aanrakingen (Z 2) hebben. Dit is ook onmogelijk, omdat
buiten Pj een quadratisch oppervlak slechts vijf snijpunten
met Rg heeft.

Maar alle quadratische oppervlakken door Kj, die in P^
aan R, raken, snijden op Rg een involutie I4 in. Er zijn dus,
volgens eigenschap I, vier elders vierpuntig rakende quadra-
tische oppervlakken.

Evenzoo leert de involutie welke de in P^ vierpuntig
rakende quadratische oppervlakken van het systeem op Rg
insnijden, dat er onder deze oppervlakken twee zijn, die
elders Rg raken.

viit

De quadratische oppervlakken, die door Kg gaan en in P^
aan Rg osculeeren, snijden op Rg een punteninvolutie Ig in.
Er zijn dus hieronder drie bovendien elders aan Rg oscu-
leerende quadratische oppervlakken.

Vallen twee punten van JR,^ op K^ in dan snyden de
quadratische oppervlakken door Kg geen involutie op Rg in
en geeft deze methode dus geen resultaten.

§ 4. Ten slotte willen wij eenige resultaten, behandeld
in of behoorende bij Hoofdstuk III, ook met behulp dezer
eigenschappen afleiden.

Alle quadratische oppervlakken, die door Kg en een vast
punt der ruimte gaan, vormen een systeem van oo^ exem-
plaren en snijden op de kubische ruimtekromme een involutie

3 3

Ig in. Volgens eigenschap I zijn er in Ig twaalf groepen
met een viervoudig element, en volgens eigenschap Ha
zes en dertig groepen met een twee- en een drievoudig
element.

Door Kg en een vast punt der ruimte gaan
derhalve twaalf quadratische oppervlakken,
die Rg vierpuntig raken en zes en dertig qua-
dratische oppervlakken, die Rg eens driepun-
tig en eens tweepuntig raken.

Alle quadratische oppervlakken, die door Kg en een punt
der ruimte gaan en bovendien Rg in een gegeven punt raken,
bepalen op Rg een involutie I4.

In dezen bundel zijn derhalve zes quadratische opper-
vlakken, die Rg ook elders raken.

viit

Een net van quadratische oppervlalcken, met K^ en twee
punten der ruimte als basiselementen, snijdt op R3 een
involutie Ig in. Derhalve:

In een net van quadratische oppervlakken
zijn twaalf exemplaren, die aan Rg osculeeren
en twaalf dubbel aan Rg rakende exemplaren.

Een bundel van quadratische oppervlakken bepaalt op Rg
een involutie Ig, waarin tien groepen met een tweevoudig
punt.

Er zijn\' derhalve in een bundel tien quadra-
tische oppervlakken, die aan Rg raken.

HOOFDSTUK V.

Itollen, die meervoudig of veelpuntig raken aan
een kubische ruimtekromme.

§ 1. Alle bollen hebben den imaginairen bolcirkel genaeen
en een quadratisch oppervlak, dat den imaginairen bolcürkel
bevat, is een bol. Derhalve vormen de bollen een systeem
quadratische oppervlakken door een vaste kegelsnede en
kunnen de aantallen van meervoudig of veelpuntig aan een
kubische ruimtekromme rakende bollen uit het voorgaande
gemakkelijk worden afgeleid. Het vlak v van de vaste kegel-
snede Kg is in dit geval het vlak in het oneindige. En
blijkbaar bepalen de verschillende veronderstellingen, die in
het tweede hoofdstuk gemaakt zijn over het gedrag der
kubische ruimtekromme ten opzichte van het vlak der vaste
kegelsnede en ten opzichte dier kegelsnede zelve, de soorten
van kubische ruimtekrommen, indien voor het vlak v het

viit

vlak in het oneindige gekozen wordt en voor vaste kegel-
snede de imaginaire bolcirkel.

Indien de kubische ruimtekromme één of drie punten met
den imaginairen bolcirkel gemeen heeft, is zij imaginair.
We zullen de resultaten van het voorgaande onderzoek op
het bollensysteem ten opzichte van reëele, kubische ruimte-
krommen toepassen.

§ 2. Kubische hyperbool.

Deze kromme heeft met het vlak in \'t oneindige drie niet
samenvallende reëele punten gemeen.

Dit geval stemt overeen met Hoofdstuk II § 3, waaruit
onmiddellyk volgt:

Er zijn vier stelsels van ooi bollen, die drie-
voudig aan een kubische hyperbool raken.

Daar het middelpunt van een bol diens pool is ten opzichte
van het vlak in het oneindige, volgt hieruit:

De middelpunten der drievoudig aan een
kubische hyperbool rakende bollen zijnver-
eenigd op vier rechte lijnen.

Verder vinden wy:

Er zijn zestien bollen, die met een kubische
hyperbool één vierpuntige en één tweepun-
tige aanraking hebben.

In elk punt van een kubische hyperbool
raken vier bollen driepuntig, die elders twee-
puntig aan die ruimtekromme raken.

In elk punt van een kubische hyperbool

viit

raken zes bollen tweepuntig, die elders os-
culeeren.

Er zijn tien bollen, die vijfpuntig raken aan
een kubische hyperbool.

Er zijn negen dubbel aan een kubische hy-
perbool osculeerende bollen.

§ 3. Kubische parabolische hyperbool.

Deze kromme heeft drie reëele punten met het vlak in
\'t oneindige gemeen, waarvan twee samenvallen.

Hoofdstuk II, § 7 behandelt het analoge geval voor een
systeem quadratische oppervlakken door een vaste kegel-
snede.

Men leidt hieruit af:

Er zijn twee stelsels van oo^ bollen, die aan
de kubische parabolische hyperbool drie-
voudig raken. De middelpunten van elk dier
bollenstelsels liggen op een rechte.

Er zijn zes bollen die één vierpuntige en
één tweepuntige aanraking hebben met de
kubische parabolische hyperbool.

In elk punt dier kromme osculeeren drie
bollen, die elders raken en raken v ij f bollen
die elders osculeeren.

Er zijn acht bollen, die vijfpuntig raken
aan de kubische parabolische hyperbool.

Er zijn zeven aan die kromme dubbel os-
culeerende bollen.

§ 4. Kubische parabool.

Deze kromme heeft met het vlak in het oneindige drie
samenvallende punten gemeen.

Door toepassing van Hoofdstuk H § 11 vinden wij:

Er is een stelsel van co^ bollen, die drie-
voudig raken aan de kubische parabool. De
middelpunten liggen op één rechte.

Erzijn twee bollen, die de kubische para-
bool eens vierpuntig en eens tweepuntig
raken.

In een punt der kubische parabool raken
twee bollen, die elders osculeeren en oscu-
leeren twee bollen, die elders raken.

Er zijn vier bollen die de kubische para-
bool vijfpuntig raken.

Er is één bol, die de kubische parabool
dubbel osculeert.

§ 5. De circulaire kubische ruimtekrommen.

In de §§ 5, 9 en 13 van Hoofdstuk II vindt men de analoge
gevallen voor het systeem quadratische oppervlakken door
Kg in het vlak v. Er is in die paragrafen afgeleid, dat geen
exemplaar van het beschouwde systeem quadratische opper-
vlakken één der behandelde bijzondere aanrakingen met Rg
heeft, tenzij in de gemeenschappelijke punten van Kg en Rg.
Derhalve zullen de bollen, die een dergelyke bijzondere aan-
raking aan deze soort kubische ruimtekrommen vertoonen,
één of twee aanrakingen in punten van den imaginairen

viit

bolcirkel hebben. Daarom is het in dit verband niet van
belang de resultaten der §§ 5, 9 en 13 op het bollensysteem
der ruimte toe te passen.

§ 6. We willen ook de resultaten van Hoofdstuk Hl § 2
toepassen op het bollensysteem der ruimte ten opzichte van
de kubische hyperbool.

Door een punt der ruimte gaan twaalf
bollen, die de kubische hyperbool vier-
puntig raken.

Door een punt der ruimte gaan zes en
dertig bollen, die de kubische hyperbool
tweepuntig en elders driepuntig raken.

In een bollennet zijn twaalf exempla-
ren, die de kubische hyperbool osculeeren.

In een bollenbundel zijn tien exempla-
ren, die de kubische hyperbool raken.

■ ---usai«»

-i« tf^e f -^H-Ifî^ fie ff ï

STELLINGEN.

STELLINGEN.

I.

Men onderscheide naar het gedrag in het oneindige veertien
soorten van derde-graadsruimtekromraen.

n.

Ten onrechte beschouwt Wilhelm Rulf als een eigenschap,
dat een rechte één punt in het oneindige heeft.

Cf. Wilhelm Rulp. Elemente der projectivischen Geometrie.

m.

Het beginsel der dualiteit voere men in de projectieve
meetkunde in, onafhankelijk van de pooltheorie.

IV.

Bij transformaties door coëflaciëntenbetrekkmgen zijn coëf-
ficiënten, die gelijk aan oo of een macht van oo worden,
te vermijden.

viit

V.

Ch. Laöeange\'s aanname van sFinflniment petit absolu"
voert tot ongerijmdheden.

Cf. Académie Royale de Belgique. Bulletin de la Classe
des Sciences, 1903, N®. 8, pag. 1062.

VI.

Cikot\'s opmerkingen over reeksen in het „Wiskundig
Tijdschrift", S^e jaargang, Juli N®. 4, pag. 194, zijn gedeel-
telijk onnoodig, gedeeltelijk onjuist.

VII.

Tegen de wijze van behandelen van de homogeen gepolari-
seerde bol in Abraham und Föppl\'s „Theorie der Elektrizität, I"
§ 42, zijn bezwaren.

VIII.

De berekening van Thomson in „Popular Lectures" over
de orde van grootheid der atomen uit de dikte van vloeistof-
lamellen berust op een hypothese, die aan bedenking onder-
hevig is.

Cf. Sir W. Thomson „Constitution of Matter" pag. 155.

IX.

Bij vervanging in berekeningen van een natuurlijken licht-
straal door twee onderling loodrecht gepolariseerde stralen
voert men een hypothese in.

viit

X.

De temperatuur van Cagniaed de la Tour en de kritische
temperatuur zijn practisch dezelfde.

XI.

De relatieve sterkte van de gele tegenover de groene
heliumlijnen in de chromosfeer van de zon is onvoldoende
verklaard.

XII.

Bij bronnen, die licht met continu spectrum uitzenden,
kan de bolometer de relatieve verplaatsing t. o. van den
vyaarnemer doen kennen.

XIIL

Het streven van Prof. Sissingh om voor de kunsttermen,
zooveel mogelijk Nederlandsche uitdrukkingen te bezigen,
verdient geen aanbeveling.

Cf. „Leerboek der Natuurkunde" door Dr. J. Bosscha,
Vierde Boek, Tweede Stuk, Inleiding.

ERRATA.

pag. 18 r. 9 v. o. staat: „Pg", moet zijn: „Pi".
pag. 25 r. 9 v. o. wordt gelezen:

»(P«qt — Pt««)*. (Paft. — Paaa)^» ^tXa = 0."
pag.25 r. 6 v. o. staat: „Pa", moet zijn: „een punt op P^ Pg".

\'USr\' tê::

- - - \' fai.

rP

m

\' : ï-

■ p: -i
r

¥

1