OVER ENERGIE BIJ ELEKTRICITEIT,

107

y-,

OYER. ENERGIE BIJ ELEKTRICITEIT.

ACADEIISCÏÏ PEOEPSOHEIFT

na machtiging van den rector magnificus

H, P, G, QUACK,

gewoon hooglkeeaak in de ïacüiteit ekk kechisgelebrdiikid,

Met toestemming van den academischen senaat

volgens besluit der wis- en natuurkundige faculteit,
TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD

van

»E HOOGESCHOOL TE UTKECKT,
TE VERDEDIGEN

op ZATERDAG 18 APRIL 1874, des namiddags ten 1 ure.

JOHANNES PAULUS VAN DEß STOK,

geboren te Zuilen.

Utrecht,

Stoom-Boekdrukkerij en Steendrukkerij „de Industrie."

(k. a. manssen.)

1874.

«PL

ri"

\' "S

AAN

i^ijn Hooggeachten Grootvader

I. A. STRICKEPv

t..

î\'Â\'yi,

. -«sr-r-..

äC

...... ...... _

\' » ^ " " » t ^ISr «\'te\'

^og één plicht, de aangenaamste hy het promoveeten,
^^yft my over te vervullen.

Van harte zeg il ü allen, Professoren der philoso-
phische faculteit, danl niet alleen daarvoor, dat Gy my
f^e tvetenschap helt leeren liefhébben, maar vooral ooh
\'\'^oor de vele bewysen van vriendschap en belangstelling,
flic ih van Uwe zijde mocht ondervinden.

In het bizonder danh iJt U, geachte promotor Professor
G^RiNwis, voor de weUviïlende wyze ivaarop Gij de leiding
\'>nyner dissertatie hebt op U genomen; hierin, als aUyd,
hebt G-y getoond veel voor Uwe leerlingen over te hebben.

HOOFDSTUK I.

Behoud Tan \'t arbeidsTeriiiogen en potentiaal.

§ 1. Voor ieder stelsel, waar de voorwaarden, aan
^\'elke de punten die dat stelsel bepalen, moeten vol-
doen niet veraoderlijk zijn met den tijd, geldt de ver-
gelijking :

dX|-mv^ = 2\'(Xdx YdyH-Zdz).....(1)

d. i. de elementairarbeid, door de bewegende krachten
Verricht bij eene elementaire verplaatsing, wordt ge-
meten door de aangroeiing der levendige kracht gedu-
\'\'ende den tijd waarin die krachten werkzaam waren.

De krachten, waardoor men steeds de voorwaarden
kan vervangen, komen hierin niet voor; volgens hypo-
these onafhankelijk van den tijd, stellen zij drukkingen
of spanningen voor, wier resultante geen arbeid verricht
en loodrecht staat op den doorloopen weg.

In \'t geval dat de bewegende krachten centraalkrachten
zijn, die alleen afhangen van den afstand der werkzame
punten onderling, is dx Y dy Z dz) een volko-
men differentiaal eener functie U der coordinalen en de

totale verandering der levendige kracht vi\'ordt gemeten
door de verandering dier functie

i .Tm — i- 2-m vx\'^ = J^\' d ü = — üx . . . {i}

U wordt de potentiaalfunctie genoemd en heeft tot
hoofdeigenschap dat de differentiaal ten opzichte eener
willekeurige richting de composante der kracht in die
richting aangeeft.

Bij \'tbeschouwen van een stelsel, alleen overgelaten
aan de werking der deeltjes onderling, laten beide leden
der vergelijking eene analyse toe, die tot nadere
defmieering der daarin voorkomende grootheden kan
leiden.

§ 2. De totale levendige kracht van een stelsel wordt
gegeven door de vergelijking:

mv2 = i Mvi^ i/i muï.......(3)

waarin M de totale massa is, ih de snelheid van \'t zwaarte-
punt en u de snelheid der punten ten opzichte daarvan.

Beschouwen wij nu twee punten met de massa\'s e en e
en decomponeeren wij hunne snelheden v en v\' ieder
in twee richtingen, de eene volgens hunne verbindings-
lijn r, de andere volgens eene richting loodrecht daarop.

De eerste composanten mogen zijn: a en a\', de
tweede: (f en (3\', de richtingscosinussen

Zijn eindelijk {x, y,z), {x\',y\',z), y,, z^,) de

3

coördinaten der heide punten en van \'t zwaartepunt, dan is;

(e f\') Xi = e X e\' x\'

= .........(5)

(6 é\') Zj = 6 z e\' z\'
dx , dx\' , , ,

= .....(6)

dz . „ dz\'

= ^=c« ri3

door differentiatie van (5) verkrijgt men:
. , Adxi_ dx ,dx\'

  ^ dT

^ dT......^^^

/ I _ dz ,dz\'

Verheft men de vergeUjkingen (7) in het quadraat
en substitueert daarin de vergehjldngen (6), zoo wordt:

2 6 £\' a\' a a\' 2 £ f\' p 1(3\' 2 £ a (3 a 1
2 £ £\' al ^ a\' 2 £ ê\' ap a 2 £ a\' (3 ap.

De waarden van (£ £r en {e e\'Y

verkrijgt men uit de vorige vergelijking door respec-
tievelijk a in 6 en c, ^ in m en n, p in q en r te

veranderen.

Hun som geeft volgens (4) en wanneer men bedenkt
dat:

a^\' b= c^ = 1

P m\' 1

p\' q\' -1- r\' = 1

al bm -f-cn = o

ap bqH-cr=:o

lpH-mq nr = cos. §\') = cos 0

Stelt men in deze vergelijking a en a\' gelijk o, dan
volgt hieruit de snelheid /, die \'t zwaartepunt zou ver-
krijgen onder den invloed der snelheden en alleen:

2 —  ^ cos 0

deze waarde in de vorige vergelijking substitueerend,
verkrijgt men;

O/] • • (8)

Ook I m u^ splitst zich in twee deelen; de snelheid
van ê\' b. v. ten opzichte van \'t zwaartepunt wordt ver-
kregen door de snelheid Vi, met tegengesteld teeken,
aan die massa mede te deelen.

Noemen wij die u\', zoo is:

u\'^ = V,\' v\'^ — 2 Vi v\' cos {\\\\ v\')

Hierin heeft v^ de waarde door (8) bepaald, de
richtingscosinussen van v^ zijn:

1 dxi \'1 dz,

dt \' ^ dt \' ^ ^

die van v^ zijn:

a a\' p b ,

uit deze gegevens en uit:
vindt men:

U\'2
of

LW; Vdt/J

ds

wanneer men tt de relatieve snelheid der beide massa\'s
dt

ht op
noemt.

Beschouwt men eveneens de snelheid der massa £ ten
opzichte van \'t zwaartepunt, dan verkrijgt men:

KI)" - (

{a e\'Y LMt

hun som geeft dus:

m - (1)1

ï M kunnen wij de uitwendige levendige kracht noemen,
zij is constant voor een stelsel, alleen aan inwendige
krachten onderworpen; | i:e u^ is de inwendige levendige
lu^acht.

Echter kunnen wij , voor "t geval van een afgesloten

ee\' /ds\\^

stelsel, ook i^-qr^X^/ constant beschouwen;\') even-
min als de levendige kracht van \'t zwaartepunt kan zij
haar equivalent vinden in den arbeid door de krachten,
tusschen a en t\' werkende, verricht, daar deze beweging
loodrecht geschiedt op de richting der kracht.

Deze beschouwingen uitbreidende over een willekeu-
rig aantal punten, vindt men voor de levendige kracht

van een stelsel, de massa\'s weer algemeen noemende:

.....(«)

waarin de summatie moet worden uitgestrekt over alle
mogelijke combinaties, twee aan twee, der punten van
het stelsel.

§ 3. In vergelijking (2) beduidt f d U den arbeid,

verricht bij vormverandering van \'t stelsel.

Denken wij ons weder twee massa\'s die op elkander

werken , f d U zal dan den arbeid voorstellen door de

R

onderlinge kracht verricht, indien de massa\'s, onder
den invloed dier kracht, van den afstand n tot den
afstand r zijn gekomen.

Deze integraal laat zich splitsen in twee deelen:

[."du-f r du,

»f c K

waarin c eene constante is voor \'t beschouwde stelsel.

De vergelijking (2) wordl dan:

j;dlJ . .(lü)

of

1 i:rav; /;dü  /;dü . . (H)

Zij duidt aan dal in ieder systeem, waarbinnen
centraalkrachten werken, in iederen stand de som van
de levendige kracht en den arbeid noodig om \'t stelsel
van uit dien stand in een bepaalden anderen, aangeduid
door c, over te voeren, constant is.

Men kan nu voor de potentiaalfunctie in plaats van

evengoed aannemen dU, onverminderd de hoofd-
eigenschap in § 1 aangegeven, daar echter c voor ieder
stelsel afzonderlijk zou moeten bepaald worden, is het
wenschelijk de waarde van c oneindig groot te nemen,
terwijl hierbij bovendien nog komt dat de potentiaal-
functie der in de natuur voorkomende krachten, voor
oneindig, steeds o is.

Het is echter ons voornemen , niet P dU; maar f dU

J 00 «/ r

potentiaal te deünieeren. De potentiaal eener massa
in eenig punt wordt dan: de arbeid door de inwendige
krachten verricht, wanneer de eenheid van massa van
uit dat punt zich tot op oneindigen afstand voortbe-
weegt, terwijl de hoofdeigenschap dan wordt:

De composante der bewegende kracht, volgens eene
Willekeurige richting, wordt gegeven door de partieele
diflerentiatie der potentiaal volgens die richting, met
omgekeerd teeken.

De begrippen potentiaal en potentieele energie worden
hierdoor identisch, zooals uit (11) blijkt.

§ 4. Noemt rnen dus:

/:dü=v,

dan wordt hierdoor (il):

I- i^mv\' Yr = Constante.....(12)

Substitueert men hierin de waarde in (9) voor de
levendige kracht gevonden,

= C.....(13)

De constante hierin kan bepaald worden als de waarde
van de eerste term van \'t eerste Hd als V^ = o wordt
d. i. voor r oneindig groot, of als de waarde van Vr

, , - dr
voor t geval dat = o is; noemen wij deze waarde

dan krijgen wij voor den algemeenen vorm der
potentiaal de beide waarden:

V ~V IV mm^ /drV

~ "" ^ ^ m -Mn\' VdtA • • • ■

HOOFDSTUK II.

Vorinen waarin de energie optreedt bij statische elektriciteit.

§ 5. Definities.

Onder energie van een elektrisch stelsel wordt verstaan
arbeid, dien dat stelsel ingevolge zijn elektrischen
toestand kan verrichten, dus alleen de potentieele ener-
gie; zij wordt gemeten door den arbeid, die noodig is
geweest om aan dat stelsel die hoeveelheid energie mede
te deelen.

Volgens de boven gegeven definitie van potentiaal
^vordt dus de energie steeds gemeten door de waarde
dier potentiaal.

Stooten b. v. twee punten elkander volgens zekere
^\'^et af, dan wordt de energie van dit stelsel, wanneer
®en der punten zich in een bepaalden stand ten opzichte
\'t andere bevindt, zoowel gemeten door den arbeid,
dien uitwendige krachten moeten verrichten om dat
punt van uil oneindigen afstand in dien stand te brengen,
^Is door den arbeid , dien de inwendige krachten ver-
dichten, wanneer dat punt lot op oneindigen afstand

iO

wordt afgestooten; dezen laatsten arbeid nu hebben wij
als potentiaal gedefinieerd.

Eveneens wordt de energie van een geladen stelsel
gegeven door den arbeid noodig om die lading van uit
oneindigen afstand tot het systeem te voeren, of door
de potentiaal op zich zelf.

Verder volgt uit de definitie, dat de potentiaal van
een geladen stelsel op eene zekere hoeveelheid el. in
eenig punt, evenredig is aan die hoeveelheid, daar onder
hoeveelheid el. eene grootheid wordt verstaan, die ge-
heel analoog is met wat men massa noemt bij gewone
krachten.

Onder de algemeene uitdrukking )->de potentiaal van
een conductor\' verstaan wij den arbeid, dien de elek-
trische krachten verrichten, wanneer van uit een wille-
keurig punt binnen den conductor, de eenheid van el.
tot op oneindigen afstand wordt gebracht, gesteld dat
dit gedaan kon worden zonder de lading te veranderen.

Wordt dus de lading n malen grooter dan wordt
ook de potentiaal van den conductor n malen grooter.

Stellen wij de potentiaal van een conductor, geladen
met een hoeveelheid el. e, voor door V en noemen wij
de potentiaal, indien de lading gelijk aan de eenheid
was, W, dan is dus:

V=:We...........(1)

§ 6. Energie van een geladen systeem.
Denken ¹) wij ons een systeem verdeeld in deelen,
klein genoeg dat de potentiaal in ieder constant zij.

1  Clerk Maxwell. Electricity and Magnetism I pag. 89.

n

Die deelen mogen geladen zijn met hoeveelheden el.
voorgesteld door:

ei, e^, eg, enz.
en hunne potentialen mogen zijn

Vi, V,, V3, enz.
worden de ladingen n maal grooter dan worden ook de
potentialen

nV,, nVä, nV3,
veranderen wij nu n in n dn, dan geven wij aan de
deelen ladingen:

61 dn, 65, dn, 63 dn, enz.

De arbeid hiertoe noodig is:

n Vi Cj dn, n V^ ea dn.....enz.

De geheele arbeid is dus:

 .....enz.) n dn

Herhaalt men dit proces een oneindig aantal malen,
telkens eene oneindig kleine lading aanbrengend, dan
wordt de totale arbeid:

Stellen wij hierin = = dan verkrijgen wij
den arbeid, noodig om aan de deelen van\'tbeschouwde
stelsel de ladingen e, ei .... • enz. mede te deelen
of, wat hetzelfde is, de energie der lading:

Q = |^(Ve)..........(2)

öit (1) volgt: .........(2)

zoodat de energie van een geladen stelsel evenredig is
^an \'t quadraat zijner lading.

12

Andere uitdrukkingen identisch met (2) zijn:

1 n

Q = -^J"Vdq voor el massa\'s

ƒ V^ ds voor vlakteladingen

2

voor conductoren.

Eene andere methode*), alleen van toepassing op
geleiders, volgt uit den arbeid dien de elektrische
krachten verrichten, wanneer de geleider gelegenheid
heeft zich te vergrooten en dus de lading wordt uitge-
breid over een verwijderd niveauvlak, aangeduid door V=C.

De kracht op de eenheid van el. aan \'t oppervlak
uitgeoefend is:

F = 2 TT^

Deze eenheid wordt voortbewogen langs den normaal
aan \'t niveauvlak, waarvan dn een element is, de arbeid
wordt dus voor de hoeveelheid el. qós in \'t element ds:

^ ds ƒ F dn = 2 ds dn

Vallen de grenzen van \'t nieuwe niveauvlak in het
oneindige, dan is C = o en wij verkrijgen voor den
totalen arbeid of de energie:

Q = 4ve

*) C. H. C. Grinwis: Over de energie eener el. lading. Versl. en
meded. der Kon. Akad, van Wetensch. Afd. Natuurk. 2de Reeks. Deel VI,

13

§ 7. Toepassingen,
a. Bol.

1 e^

EnergieU =

Wordt de straal m malen grooter, terwijl de hoe-
veelheid el. dezelfde blijft, dan w^)rdt de totale energie
w malen kleiner.

De energie van de eenheid van oppervlak verandert

echter in verhouding van 1 tot

In dezelfde verhouding verandert de energie bij eene
cirkelvormige plaat.
b. Omwentelingsellipsoide.
De potentiaal wordt gegeven door de formule:

^ — \'iJ O

waarin a de lange as en tevens de omwentelingsas voor-
stelt. De integratie geeft:

1 e

V =

2 a e 1 — e.......

indien Vq.^ — b^ — ac

De straal van een bol die, bij gelijke lading, gelijke
energie bezit, wordt gegeven door de vergelijking:

1 e
K 2 ae " 1 — e

I , l e

IS deze straal kleiner dan de groote as maar grooter
dan de kleine as:

F-IT- T .....

\'14

De verandering in energie die de ellipsoide ondergaat
indien haar vorm verandert, zonder dat de lading toe
of afneemt, wordt gemeten door de totale verandering
der potentiaal:

■e Qde

i _ 1 1 -f e
i—e= ^ie^\'l-e

a e

Na ontwikkeling in reeksen vindt men , dat de toename
der lange as de energie vermindert, toename der excen-
triciteit daarentegen de energie vermeerdert. Men ver-
krijgt nl:

dY

e -1- c e® n e® -f-

de "" ~ a (.3 " \' 5 " 7

Intregeert men deze vergelijking van o tot e, dan
verkrijgt men, na vermenigvuldiging met | Q, hoeveel
energie een ellipsoide meer bezit, dan een bol van een
straal gelijk aan de groote as, wanneer de lading even
groot blijft.

De conditie, waaraan de veranderingen van a en e
onderworpen zijn, wil de energie dezelfde blijven, ver-
krijgt men door (5) gelijk o te stellen; zij wordt:
(h _ 2 de _^

(6)

De vraag of er verband bestaat tusschen oppervlak,
inhoud en energie wordt beantwoord door deze verge-
lijking te substitueeren in de differentiaalvergelijkingen
van oppervlak en inhoud. Deze zijn, daar:

KT=

Opp. =2ïra2 (l — e^
Inh. =j Si^n (\'1

15

, Vx_e^ \\

d.Opp = 4 Tra da H — e^ H--— Bgsin ej

11

~ 2 Tra^ de (2 e — -  Bgsin e j

d Inh. = 4 Tra^ da (1 — e^) — | jra^ e de
of na ontwikkeling in reeksen :

d. Opp. — 4, ^a da (2 — e^ — e^ — ^^ e«. enz.)

-4ua^de(3e 3;5eB ^7 e^ . . . enz.)

terwijl (6) ontwikkeld geeft:
da /2 26 502 , , \\

elimineert men met behulp van deze vergelijking da in
de beide vorige differentiaalvergelijkingen zoo verkrijgt

men:

= de (4  .....enz.)

\'l 6

dO = — 2 jta^ de (g-y 9 e^ .....enz.)

Zij geven aan hoe inhoud en oppervlak veranderen
indien de excentriciteit zóó verandert dat de energie
dezelfde blijft.

Integreert men ze tusschen 0 en e zoo verkrijgt men
hoeveel de inhoud en oppervlak van een bol van gelijke
energie verschillen met die eener ellipsoide.

Hieruit blijkt dus dat de energie van een omwen-
telings-ellipsoide, die van vorm verandert, zonder daarbij
van inhoud of oppervlakte te veranderen, in geen dier
beide gevallen constant blijft.

16

§ 8. Influentie.

Behalve de energie, die ieder geladen stelsel voorstelt,
moet hier nog in rekening gebracht worden de energie
door de onderlinge werking der systemen veroorzaakt;
deze laatste wordt gemeten door de potentiaal der stel-
sels op elkander.

Daar op ieder systeem evenveel positieve als negatieve
el. wordt geïnfluenceerd, verandert de energie der stelsels
door influentie niet, terwijl iedere conductor die afgeleid
is, geen energie representeert.

Werken vaste elektrische massa\'s, die een potentiaal
ü bezitten, op een conductor, geladen tot een potentiaal
V, zoo wordt de totale energie voorgesteld door:

yVe 4 Ju /Vu dq -^-JU,? ds . . (7)

De eerste term stelt voor de energie van den con-
ductor, de tweede die der el. massa\'s, de beide laatste
termen, die blijkbaar aan elkander gelijk zijn, wat men
zou kunnen noemen de relatieve energie.

Het teeken u onder de potentiaalteelvens beduidt uit-
wendig.

Daar de potentiaal op den conductor V Uu is en deze
constant moet zijn, zoo wordt (7):

4(VH-ü.)e |-/Udq-l-4 ƒ^u dq .... (8)

Is de geleider met den grond verbonden of aanvan-
kelijk neutraal, dan is de eerste term gelijk nul. De
energie wordt dan :

Q=4/Udq /Vudq

17

Q==-|-/üdq y ......(9)

Hierin zijn Uu en q tegengesteld van teeken zoodat
Q kan worden voorgesteld door:

0 = w-—p

d- i. door de aanwezigheid van den afgeleiden conductor
Wordt de energie der eL massa\'s verminderd, hetgeen
te verwachten was, daar er arbeid moet aangewend
borden om den geinflaenceerden conductor te verwijderen,
^ij influentie van twee geleiders op elkander wordt (7) :

tJ V ^ ds -|~/U ds\' N^q\' ds\' ^Jüu ds

JVeds
u„=—Ju £\'ds\'

waarin e en e\' de dichtheden zijn der, door de eenheid
"^an el., op de conductoren geïnfluenceerde ladingen,
Wanneer deze niet geïsoleerd zijn.

De energie wordt dus uitgedrukt door:

~ V ƒ6dsƒds\' - ^U ƒds\' ƒ?ds

« en Q zijn omgekeerd van teeken; het hangt dus af
van de teekens van V en U of de energie vermeerderd
ef verminderd wordt, wanneer twee conductoren onder
elkanders invloed gebracht worden.

HOOFDSTUK III.

Arbeid bij elektrodynamische werking.

§ 9. Weber\'s grondformule.

Weber\'s grondformule geeft de bewegingsvergelijking
van twee elektrische deeltjes die zich onder elkanders
invloed bewegen en is dus geschikt tot direkte toepas-
sing op de formulen (14.) en (15) van Hoofdstuk I.

^ — — 0,2 VdF/ c2 dtV

Indien met de elektrische deeltjes verbonden zijn massa\'s
m en m\', zoo wordt de versnelling, die men verkrijgt
door beurtelings de kracht door de beide massa\'s te
deelen en deze quotienten op te tellen:

3 6\' / jl /^Y ^r d\'- r\\

TH dt^;

ee

noemen wy :

d^ r
dt^

19

dt^ ^^^^^ Vdt-
waarin: f M = —

deze differentiaalvergelijking kan gebracht worden tot
lineaire vergelijking der eerste orde, stellen wij:
dr__d^r_dp

hierna: ps = t

^ 2f(r). t = f(r)
geïntegreerd geeft deze vergelijking:

2 c2 a r C

=_ j
Vdt/ r

correspondeert met eene waarde van ^ = o de waarde

van r, r^, zoo is dus:

/^Y^ 2c^a r —r^

Vdt/ —r~2a ■ r, ~ ..... ^^^

Ook deze vergelijking laat verdere integratie toe.
Stelt men:

r _ 2a = p2
I jXlZo fPldp

l^lS l. (P »^P^ Sa-rJ |

*) R. Lobatto. Lessen over diff. en integr. rekening II pag. 57.

2¹

20

dr

- = O, I\' = r^ en t = O

j Kr - 2a Kr -r^^)

Kr„-2a

Zijn de elektrische deeltjes ongelijknamig van teeken,
d. i heeft er aantrekking plaats, dan wordt de formule:

^ - 21/ ä"^ 1

Wij hebben nu alle gegevens om de potentiaal met
behulp der vergelijking:

^_1 m m

2 mm

te bepalen. De vergelijking (1) geeft:

2c^a

/dry _ ^

Vdt/oo ~ r

hiermede wordt (3) met behulp van (1):
V = ^ . L° —

2a

Elimineert men tusschen deze vergelijking en (i) r^.

21

dan verkrijgt men voor de potentiaal de waarde die
Weber daarvoor heeft gegeven:

......(«)

Bewegen zich de elektrische deeltjes binnen twee
draadelementen die met hunne verbindingslijn hoeken O
en O\' maken, zoo wordt: *)

/dr\\\'\'

2" = — 8 uu\' cos. O cos. O

^dt

£ ds, e\'
a £ u = i

ee

en daar bovendien l, — = o, vindt men:
r \'

ii\' cos. O cos. 6\'

_ . -

voor de uitdrukking der potentiaal van twee elementen
op elkander.

§ 10. Ampères elementairformule.

Om de potentiaal van Ampères elementairformule te
vinden zullen wij terstond den arbeid bepalen dien de
elektrodynamische krachten verrichten, wanneer het ele-
ment ds\' van uit zijne primitieve hgging, evenwijdig
aan zich zelf, in willekeurige richting tot op oneindigen
afstand wordt voortbewogen.

Het element ds moge tot coördinaten hebben: x, ij, z,
het element ds\': x\', ij\', z\', hun afstand in dezen stand

1846.

zij r^ en de cosinussen die hunne richting met r^
maken: cos. en cos. OJ. Voeren wij het element
ds\' weg in eene richting aangeduid doör de richtings-
cosinussen: I, m en n en beschouwen wij ch\' op het
oogenblik waarop het een afstand a heeft afgelegd,
terwijl wij r den afstand, 0 en 0\' de hoeken, die ds
en ds\' in dezen stand met r maken, noemen.

Bij evenwijdige wegvoering blijft de hoek tusschen
de elementen constant.

n • / N cos. (r. ö) ö

Dan IS: cos. (r. a) -y—^^-

r^ COS. O\'O - ■ O COS. (ff. ds\')

cos. 0 - -2--\'

r

Ampères formule luidt:
ii\' ds ds\' ^

= —-pa-- (cos. £ — ■\'/a cos. 0 COS. 0\')

De gezochte arbeid wordt dus voorgesteld door:

J^ F cos. (r.a)da. ........(9)

Schrijft men nu nog voor r de waarde:

r^ = ff^ -f 2 ff r^ cos. (r„ ff)

zoo is men blijkbaar door de bovenstaande formulen
in staat de te onderzoeken integralen alleen afhankelijk
van ff te maken.

Volgens (9) hebben wij na te gaan de integralen:

/co cos. (r ff) ,

-r—^ d ff

O r

23

co cos. 0 cos. 0\' cos. (r. o)

Mei behulp van (8) worden deze integralen.

/»oo (r„ cos. (r„ ff) o) d (j „
-/. voos. ö„cos. öj^

% Tq {cos. öo cos. (ff ds\') cos. cos. (o. ds) }

fco (r^ cos. (r^g) q)(;d g

Jo (a^ r,^ 2ar,cos.(r,cT)) \'\'

/ JS / J (r„ cos. (r,^ (j) 4-ff) aM a

V. cos. (ff ds) cos. (ff ds) J ^

De respectieve waarden dezer vier bepaalde integralen
zijn, afgezien van de constanten:

. 1

1

1 COS. (r^ ff)
1 1

^ l cos.(r„ff)

De vergelijking (9) of de gezochte arbeid wordt
hierdoor dus:

^""\'-^"^»ii\'dsds\'. . (W)

i-o -------- 2

COS. (ff ds\') cos, cos, (ff ds) ■— 2 cos, (ff ds) cos, (g ds\') ..,

n

(1 cos. (r„ ff) )

De laatste term dezer uitdrukking hangt af van a;
bestond er echter een potentiaal voor Ampères elemen-

tairforraule, dan moest de gezochte arbeid onafhankehjk
zijn van de richting en alleen afhangen van den begin-
en eindtoestand. Amp|res formule strijdt dus tegen
het beginsel van \'t behoud van arbeidsvermogen. Is
een der stro omen gesloten b. v. s zoodat daarover
tusschen dezelfde grenzen moet geïntegreerd worden,
zoo geeft de laatste term van (10) de drie volgende
integralen te onderzoeken:

r cos. Oo- cos.(ff ds\') r cos. cos. (ffds)
J r. (1 cos. r^ ff \' J r„(l cos. r.ff)

■o(l

cos. (ff ds). cos. (ff ds\')
cos. (r„ ff) )

De eerste en laatste integraal verdwijnen bij integratie
over den gesloten stroom s daar de term cos. (ff, ds\')
ten opzichte van s constant is en r^, cos. (r^ ff) en cos.
(ff, ds) zich, met behulp der vergelijkingen der kromme
s, zóó laten vervormen, dat de integralen teruggebracht
worden tot den vorm:

fl\'^pia) da

die noodzakelijk verdwijnt (Zie Noot).

Ditzelfde valt van de tweede integraal niet te zeggen,
hare waarde is niet te bepalen.

Evenmin dus als voor twee elementen geeft Ampères
formule voor de kracht door een gesloten stroom op
een element uitgeoefend, eene waarde, die het bestaan
eener potentiaal aangeeft.

Bij integratie over s\' verkeert de eerste integraal in
\'t zelfde geval als de tweede bij integratie over zoodat
bij integratie over twee gesloten stroomen alle integralen

25

verdwijnen en Ampères formule een bruikbaren vorm
blijkt Ie bezitten waarvan de potentiaal is:

daar echter\')

dr dr

^ ~ ds \' ^ —

zoo is:

cos. O. COS. O

dsds\'

r ds ds

bij gedeelten integreerend over s:

c dr ^(t), /dr\\2 fi ^ ( ^ ,

J \'\'

as

ds

rcos. £ ,

dr

omdat tusschen de gelijke grenzen 2 en \'1 verdwijnt.
Men kan dus voor de potentiaal schrijven:

\'!/\'rcos.£.. 1 r rcos.ö. cos. Ö\'.,
^ = J—iidsds\'=--jJ J--p-- 11 dsds\'

Deze laatste vorm toont de overeenkomst aan met de
potentiaal die uit Weber\'s formule volgt, wanneer men
abstraheert van het teeken. De potentiaal onder den vorm

is het eerst ingevoerd door F. E. Neumanis. f)

Hij ging uit van eene door Ampère gemaakte opmer-

26

king dat een gesloten stroom, wat zijne dynamische
werking betreft, vervangen kan worden door een mag-
netisch dubbeloppervlak, dat dien stroom tot grenslijn
heeft. Neumann wijzigde dit in dien zin, dat hij zich
zulk een vlak belegd dacht met elementairslroomen en
met behulp van Ampères formulen hiervoor, kwam hij
tot zijn potentiaalvorm, die de basis vorrnt van zijn
inductiewet. Zijn potentiaal, bekend onder den naam
van Neumann\'s integraalwet, geldt blijkens de afleiding
alleen voor gesloten stroomen.

In vele gevallen, voornamelijk bij inductieverschijn-
selen, is echter noodzakelijk de elemenlairpotentiaal
of ten minste de potentiaal van een gesloten stroom op
een stroomelement te kennen.

Deze questie, die door Ampères formule niet wordt
opgelost, is in den laatsten tijd een punt van zorgvuldig
onderzoek geweest.

Uit de bovenstaande vormen blijkt dat, met gelijk
recht, voor de potentiaal van twee elementen op elkander
genomen kan worden:

i i\' COS. 6 , , , ,,

— dsds\'..........(li)

i i\' COS. 6. COS. 6\'

dsds\'.....(12)

...COS. s, i i\' COS. (9. COS. ö\' ,,

— ii\'—^ ds ds -h 2---- ds ds\' . . (13)

ii\' cos. ê .cos. cos.ö\'

--- ds ds — 11-^^- ds ds\' . . (14)

daar al deze vormen, indien éèn stroom gesloten is,
hetzelfde resultaat geven, terwijl iedere term hierbij ge-
voegd mag- worden die, in dat geval, eveneens verdwijnt.

27

liet blijkt hieruit hoe gevaarlijk het is uit een inte-
graalwet terstond tot een elementairwet te besluiten.
Het weinig gedefinieerde karakter van Ampères wet,
reeds vroeger door Grassmann¹) aangetoond, is aan
dezelfde oorzaak te wijten; het is even ongeoorloofd
zegt Carl Neumann in zijne Elektrische Kräfte als wilde
men uit de vergelijking a b = c d het besluit trek-
ken dat a = c en b = d.

Helmholtz heeft beproefd f) alle tot dien tijd aan-
gegeven vormen voor de elementairpotentiaal, waarvan
die van Maxwell:

cos. O cos. O\') ds ds\'

Ons nog te noemen overblijft, onder één vorm, zoo
algemeen mogelijk, te vereenigen.

Hij voegt hiervoor bij Neumann\'s vorm (11) de uit-
drukking :

d^ r

^ " d^\' ^^
die blijkbaar, omdat zij eene volkomen differentiaal is
ten opzichte van 5 en Si, verdwijnt als een der beide
stroomen gesloten is.

i — k

Stelt men nu:

waarin k willekeurig is, dan wordl de potentiaal:
1 ii\'

{(1 k)cos. 6-f-(1 — k) cos. öicosö\') dsds\' (15)

1  Pogg Ann. Bd. 64.
t) Crelle\'s Journal Bd. 72.

28

zooals blijkt indien men in het oog houdt dal

dr^

= — COS. £

ds\'

Yoor k = 4 stemt deze uitdrukking (15) overeen met
Neumann\'s vorm (11), voor k= —1 met Weber\'s
vorm (12), voor k = 3 en k = —3 met de door ons
in (13) en (14) aangegeven vormen, voor k = o ein-
delijk met Maxwell\'s potentiaal.

Men kan echter de zaak van eene andere zijde be-
schouwen dan wij gedaan hebben; in plaats van Ampère\'s
formule voorop te stellen, kan men Helmeioltz\'s alge-
meene potentiaal aannemen en vragen hoedanig hierdoor
Ampères wet zou worden veranderd.

Bij nader onderzoek naar de gevolgen der aanname van
Helmholtz, komt Prof. Grinwis¹), door terstond uit
(15) de composanten der kracht te berekenen, tot het
resultaat dat de werking dan niet als eene kracht volgens
de verbindingslijn mag worden beschouwd (behoudens
het geval k = 1); maar dat dan daarin krachten zijn
opgenomen in de richtingen der elementen, die bij ge-
sloten stroomen verdwijnen.

Carl Neumann heeft de questie omtrent het al of niet
bestaan eener elementairpotentiaal uitgemaakt door de
ervaring tot scheidsrechter in te roepen f).

Noemt men de potentiaal van twee stroomen op
elkander Y en de levendige kracht der ponderabele massa
T, dan zal voor ieder tijdelement, volgens de definitie

1  Bijdrage tot de theorie der elektrod. potentiaal Kon, Ak. v. Wet. afd.
Natuurk. 2<ie Reeks Deel V.

t) Die elektrischen Kräfte 1873. pag. 74.

29

van potentiaal in hoofdstuk I gegeven, de vergelijking
gelden:

enz.) . . (16)

da "" \' da\'

waarin a, a enz. de parameters zijn, die de hgging
van een der stroomen ten opzichte van den anderen
bepalen.

Noemt men nu de potentiaal van twee elementen op
elkander v, dan is:

V = V ds ds\'
en stelt men: dT SI dT^

waarin dan clT^ den arbeid beduidt door \'t element ds
op ds\' uitgeoefend, dan wordt (16):

= . . en.) . (17^

lien integraalwet van dezen vorm kan dus overeen-
stemmen met een elementairwet van den vorm:

enz.). . . (18)

Het recht van bestaan van deze elementairwet is dus
gebaseerd op het bestaan eener elementairpotentiaal.
Past men nu deze vergelijking toe op een stroomring
uit twee deelen A en A\' samengesteld, waarvan A
draaibaar is om eene gegevene as, A\' daarentegen vast
ligt, terwijl de andere stroomring B vervangen wordt
door eene solenoide, waarvan de geometrische as met de
draaiingsas samenvalt¹), zoo zal de relatieve stand tus-
schen A en de solenoide bij draaiing niet veranderen.

1  Faraday\'s rotatietoestel. Wiedemann Bd. II pag. 142 187:3.

30

De door de solenoide, gedurende een tijdeleraent,
op het deel A uitgeoefende arbeid heeft dan de waarde:

dT = - -

da

waarin a de draaiingshoek is en de integraal moet uit-
gestrekt worden over de geheele solenoide en het be-
wegelijk gedeelte A van den geleider.

Daar echter hun relatieve stand niet verandert, is
deze arbeid nul; bevindt zich dus A in rust dan is B
niet in staat beweging in het leven te roepen, hetgeen
met de ervaring in strijd is.

Het resultaat is dus :

Dat voor gesloten stroomen Neümann\'s integraalwet
van kracht is.

Dat voor één gesloten stroom en één element de
potentiaalvorm door Helmitoltz aangegeven moet ge-
bruikt worden als de meest algemeene.

Dat een elementairpotentiaal, die dezelfde eigenschap-
pen heeft als die van Neumann, van nl. een maat te
zijn tegelijk voor den gedanen arbeid en de aangewende
kracht, niet kan beslaan.

HOOFDSTUK IV.

Inductie.

§ 11. Wetten der Inductie.

De vergelijking van \'t behoud van arbeidsvermogen:
dT dV=o

in het vorige hoofdstuk (form. (16)) opgesteld, heeft
alleen betrekking op de potentiaal van Ampères kracht
formule, alleen dus voor de ponderornotorische krachten
die de evenwichtstoestanden, waaruit die formule is af-
geleid, bepalen.

De inductieverschijnselen bewijzen echter dat er nog
andere, zuiver elektrische krachten in \'t spel zijn, die
analogie vertoonen met die bij de statische elektriciteit
beschouwd; m. a. w. dat een stroom, afzonderlijk be-
schouwd, een zeker potentieel arbeidsvermogen voorstelt,
dat zich uit in den extrastroom bij opening of sluiting
en dat er eveneens zulk een arbeidsaequivalent beslaat,
wanneer twee stroomen zich in elkanders nabijheid be-
vinden, hetwelk in\'actueele energie wordt omgezet wan-

32

neer die strooraen buiten elkanders invloed worden
gebracht.

Om een maat voor deze energie te vinden, stellen wij
ons voor dat het elektrische agens, vloeistof of materie,
gevormd wordt door eene elastische stof, wier even-
wichtstoestand door uitwendige krachten kan veranderd
worden.

Zijn de composanten dier uitwendige kracht op de
eenheid van massa in \'tpunt m (r», 2) X, Y en Z
en bevindt zich de elastische stof in rust, dan geldt de
vergelijking der hydrostatica :

dp ^o (X dx Y dy Z dz).......(1)

waarin dp de aangroeiing in druk voorstelt, indien men
van \'t beschouwde punt overgaat tot het punt {x dx,
y-\\-dy,z di) en q de densiteit in\'t punt (;»,?/, 2) die ,
bij eene elastische stof, eene functie is van p. Even
goed kan men echter in de bovenstaande formule de
coordinaten van m constant beschouwen en X, Y en Z
veranderlijk met den tijd.

(X dx-f Ydy Z dz) wordt dan de arbeid door de
uitwendige kracht op de eenheid van massa in den tijd
dt verricht en dp de verandering in druk, die in dien
tijd in \'tpunt m heeft plaats gegrepen.

Bevindt zich de elastische stof in beweging , dan
wordt (1):

dp = ? (X dx -f- Y dy -1- Z dz) — dv^ . . . . (2)

waarin v de snelheid; is dus die snelheid constant of
kan de levendige kracht dier slof verwaarloosd worden ,

33

zoo wordt de verandering in druk onafhankelijk van
de snelheid der beweging.

De formule (1) kan geschreven worden:

dp = ? dV............(3)

waarin V de potentiaal is der krachten werkende op
de eenheid van massa.

Om nu de kracht te vinden die een stroomgeleider
s, waarin een stroom I loopt, op de eenheid van
massa in het stroomelement da uitoefent, hebben wij
slechts de formule van Ampère te beschouwen om te
zien dat wat daar intensiteit genoemd wordt, in nauw
verband moet staan met wat bij gewone krachten massa
genoemd wordt.

Het is dus logisch voor de potentiaal dier kracht
aan te nemen Helmholtz\'s potentiaal gedeeld door F,
indien een stroom van deze intensiteit zich in den ge-
leider ff bevindt.

Noemen wij dus:

Y == — I r {(1 K) cos. 6 -f- (1 — K) cos. O enO\'} ,
dan wordt de potentiaal der krachten, die een gesloten
stroom s uitoefenen op de eenheid van massa in
\'t element da ,

-^ds

Nemen wij nu aan, zooals algemeen gedaan wordt,
dat bij den galvanischen stroom de voorwaarden ver-
vuld zijn waardoor (2) gelijk wordt aan (1), ra. a. w.
dat men te doen heeft met gelijkvormige stroomen of
dat aan het elektrisch agens geen inertie wordt toegekend,
zoo wordt de loenaraie in. druk:

/> V

34

dp der. d. j y ds..........

De overeenkomst van deze formule met die door
F. E. Neumann gegeven voor de door inductie ont-
wikkelde elektrom. kracht, is volkomen indien men de
verandering in druk gelijk stelt aan de elektrom. kracht.

De analogie tusschen de verschijnselen die bij de
werking van uitwendige krachten op een elastisch medium
ontstaan en de inductieverschijnselen is evident; ook
hier ontstaat vermeerdering of vermindering in druk
naarmate het centrum, van waar de kracht uitgaat, nadert
of zich verwijdert en evenzoo ontstaat er beweging der
bestanddeelen, wanneer de werking der kracht ophoudt.

Een populair voorbeeld hiervan geven de eb en vloed
stroomen die zouden ontstaan indien de maan ten opzichte
der aarde werd bewogen.

Het minusteeken in de aangenomen potentiaal verliest
zijne beteekenis na deeling door een der intensiteiten;
men moet dus aan eene willekeurige richting van den
stroom hel teeken plus toekennen om de tegenovergestelde
te definieeren, dan geeft de vergel. (4) de omkeering
van den inductieslroom indien de richting van den inducent
wordt omgekeerd; de wet van Lenz kan echter uit onze
hypothese niet volgen zoolang het mechanisch verschil
tusschen stroomen van tegengestelde richting niet is
aangegeven.

De factor q is bij Neumann constant en heet de
inducliecoëfficient. Om echter te bewijzen dat het con-
stant zijn van dezen factor geene uitgemaakte zaak is,
zij het voldoende de volgende regelen van Neumann
zelf aan te halen.

35

»Indessen giebt es Inductions-Erscheinungen welche
nur durch die Annahme erklärt, werden zu können scheinen
dass eine momentan wirkende Ursache die elektrom.
Kraft nicht bloss momentan inducirt sondern während
einer gewissen, wenn auch äusserst kurzen, Zeit,
Q also nicht constant, sondern eine Function der Zeit ist."

Nemen wij echter aan dat in de meeste gevallen q
als constant mag beschouwd v/orden; dan wordt, volgens
(4), de totale elektrom. kracht gedurende den tijd dt
in den geleider a door den geleider ^ ontwikkeld:

= = ...(5)

als W de potentiaal der beide geleiders, doorloopen
door stroomen van de intensiteit één, op elkander

voorstelt.

Het is natuurlijk dat het hetzelfde is of de verandering
f^Gï" potentiaal ontstaat door verandering van I of van
^^ of van beiden. Nemen wij aan dat W verandert
door wegvoering van een der stroomgeleiders langs den
weg w dan is:

de , ^ dW dw

d- i. de elektromotorische kracht is ieder oogenblik even-
i\'cdig aan de snelheid van beweging; deze vergelijking,
gedeeld door den weerstand, stelt voor wat Neumann
noemt ))differenliaalstroom\'\' geïntegreerd tusschen be-
paalde grenzen van w, wordt de elektrom. kracht on-
afhankelijk van de snelheid; de vergeUjking, gedeeld
door den weerstand, stelt dan Neumann\'s ^integraal-
stroom" voor.

a*

36

Op dezelfde wijze volgen uit het boven aangenomene
de wetten der extrastroomen.

Hier treedt echter ieder element tweemaal op, eenmaal
als inducent en eenmaal als geinduceerd zoodat:

de , d. (2 IP) ,, T dP ,
dt = p dt == I — dt

dl

waarin de eerste term van het tweede lid betrekking
heeft op vormverandering, de tweede op intensiteits-
schommelingen. P beduidt hier dan de potentiaal van
den stroomgeleider op zich zelf.

§ 12. Energie hij induolie.

Reeds in 1847 heeft IIelmholtz in zijne »Erhaltung
der Kraft," voor speciale gevallen, uit de vergelijking
van \'t behoud van arbeidsvermogen de wet der inductie
getracht af te leiden en den inductiecoefficient bepaald.
Beweegt zich nl. een magneet van-\'hard staal, waarin
dus geene inductiestroomen worden opgewekt, onder
den invloed van een geleider waarin een stroom van de
intensiteit I stroomt, dan zal, wanneer de potentiaal
van den magneet op den stroom, doorloopen door de
stroomeenheid, aangeduid w^ordt door v, de stroom
aan den magneet in den tijd dt eene hoeveelheid levendige
kracht mededeelen:

ydv ,

-Idldt

Deze arbeid moet door de batterij geproduceerd worden,
zoowel als de hoeveelheid warmte P R dt in den geleider
opgewekt. Werkt dus in de batterij eene elektrom.
kracht A. dan is:

37

Aldt = PRdt

^^ dt

1 =

R

of is A = O

1 ^
dt

Kiest men de eenheid van weerstand dus zóó dat de
eenheid van stroom gedurende de tijdseenheid eene hoe-
veelheid warmte ontwikkelt aequivaient met de eenheid
van arbeid, dan wordt door de beweging van den magneet
een stroom ontwikkeld, waarvan de elektrom. kracht

. dv
gehjk IS aan

Bij \'t gebruik van deze eenheden is dus de inductie-
coëfficient gelijk aan de eenheid.

Om de vergelijking van \'t behoud van arbeidsvermogen
algemeen te verkrijgen kunnen wij, volgens Helmholtz *),
de wet van Ohm toepassen.

Stroomt in een geleider waarin de elektrom. kracht
4 werkt, een stroom van de intensiteit I, terwijl zich
in de nabijheid een stroom van de intensiteit I\' bevindt,
dan is:-

dt

^^P is de potentiaal van den stroom op zich zelf, groeit
dus de intensiteit in den geleider aan tot I, dan heeft

) Pogg. Ann. Bd. 83 en Crelle\'s Journal Bd. 73.

m

de kracht die den stroom drijft een arbeid te overwinnen
door — PP aangegeven, terwijl, indien de stroom van
ƒ lot O afneemt, eene daaraan aequivalente_ hoeveelheid
warmte ontstaat.

11\'W is de potentiaal der geleiders op elkander; zij
stelt den arbeid voor, dien de krachten der batterij
verrichten moeten omdat zich een stroom i\' in de
nabijheid bevindt, wordt 1\' verwijderd dan ontslaat eene
warmte in den geleider aequivalent met Il\'W.

Dezelfde warmle zal ontstaan in den anderen geleider
voor weli^en de vergelijking geldt:

(I\'PQ , TT,dW
dl dl \'

NOOT.

Dat de eerste en laatste der drie op bladz. 24 voorkomende
integralen bij integratie over den gesloten stroom s nul worden,
kan op de volgende wijze bewezen worden.

De coordinaten van \'t element ds\' mogen zijn: ct, b en c
en die van eenig element van den gesloten stroom in \'t al-
gemeen: cc, \'ij en z.

Daar cos. (ff ds\') constant is, wordt de eerste integraal:

COS. O

ds

r (1 COS. (r ff))

Nu

— 1 —m -

als l, m en n de richtingscosinussen van a zijn.

Bovendien is gegeven:

= (X - a)^ (y _ (z - c)^.....(2)

Zijn nu de vergelijkingen waardoor de kromme s bepaald
wordt:

y, Z) = O (X, y, z) = O.....(3)

zoo kan men uit de \\ier laatste vergelijkingen de grootheden
^, y en z elimineeren, waardoor het mogelijk is cos. (r a)
als functie der veranderlijke r aUeen uittedrukken.

dr

Daar nu:

40

zoo wordt de integraal:

die genomen moet worden tussclien gelijke waarden van r en
dus verdwijnt.

De derde integraal:

COS. (a ds)

ds

r (1 COS. (r.cr))

kan om dat

dxdy dz
COS. ((7ds) = -^- l

gesplitst worden in de drie integralen:
1 d X m dv

n d z

_i ü X_ ^ m ay r

r (I COS. (r ff)) \' J r (1 H- cos. (r oj) \' J r (1 4- cos. (r ff))

Door middel der vergelijkingen (1) en (2) kan men nu
r (1 -f- cos. (r ff)) iiitdrukken in functie van os, y en z en uit
de vergelijking die men hierdoor verkrijgt, met beliulp der
vergelijkingen (3), achtereenvolgens telkens twee der ver-
anderlijken X, y en z elimineeren, waardoor alle drie boven-
staande integralen den vorm aannemen:

i ^ («) d«

en dus nul worden.

Het bewijs van het nul worden der tweede integraal van
bladz. 24, bij integratie over den gesloten stroom s\', is
volkomen analoog met dat van het nul worden der eerste
integraal over s.

Beschouwt men dan een bepaald element ds, dan wordt
cos. (ff ds) constant, de coordinaten van ds constant en die
van eenig element van s\' veranderlijk.

H E S E S,

I.

In manchen Bezieliimgen lässt sich von der physischen
Existenz der durch das Potential ausgedrückten Arbeit mit
mehr Eecht sprechen als von der physischen Existenz einer
Kraft. Wilhelm "Webbb.

II.

Webbes methode om tot zijn potentiaalvorm te komen
(Elektrod. Massbestimm, insbes. über die Erh. der Energie 4)
is onjuist.

III.

Ten onrechte beweert Maxwell (Electricity and Magne-
tism Vol. I, 86):

Electricity, as a physical quantity is not, like heat, a form
of energy.

/(O

zoo wordt de integraal:

die genomen moet worden tusschen gelijke waarden van r en
dus verdwijnt.

De derde integraal:

cos. (cf ds)

ds

.(r.a))

kan om dat

dx

cos. ((T ds) = X« 1

gesplitst worden in de drie integralen:
1 d X r m dv

n d;

(1 COS. (r (j)) \' ƒ r (1 cos. (r ö)) \' J r (1- - cos. (r a))
Door middel der vergelijkingen (1) en (2) kan men nu
r (1 -f- COS. (r a)) uitdrukken in functie van ce, y en z en uit
de vergelijking die men hierdoor verkrijgt, met behulp der
vergelijkingen (3), aditereenvolgens telkens twee der ver-
anderlijken x, ^ en z elimineeren, waardoor alle drie boven-
staande integralen den vorm aannemen:

i ^ («) dß

en dus nul worden.

Het bewijs van het nul worden der tweede integraal van
bladz. 24, bij integratie over den gesloten stroom s\', is
volkomen analoog met dat van het nul worden der eerste
integraal over s.

Beschouwt men dan een bepaald element ds, dan wordt
cos. (a ds) constant, de coordinaten van ds constant en die
van eenig element van s\' veranderlijk.

H E S E S,

I.

In manchen Beziehungen lässt sich von der physischen
Existenz der durch das Potential ausgedrückten Arbeit mit

mehr Eecht sprechen als von der physischen Existenz einer
Kraft. wiihbiim "Weber.

II.

Webers methode om tot zijn potentiaalvorm te komen
(Elektrod. Massbestimm, insbes. über die Erh. der Energie 4)
is onjuist.

III.

Ten onrechte beweert Maxwell (Electricity and Magne-
tism Vol. I, 36):

Electricity, as a physical quantity is not, like heat, a form
of energy.

IV.

De questie, welke potentiaal aan de kracht moet worden
toegeschreven die een gesloten stroom op een element uit-
oefent, wordt door het aannemen van Helmhoitz\'s potenti-
aalvorm niet opgelost.

V.

Het is niet mogelijk de wetten der iuductie uit het be-
ginsel van \'t behoud van arbeidsvermogen af te leiden.

VI.

De natuurlijke draaiing van \'t polarisatievlak is een argu-
ment tegen de theorie van Maxwell.

VII.

De formule van ijzerchloruur moet een veelvoud zij]i van
Ee CL.

VIII.

Er zijn niet genoeg redenen om Stbecebbs formulen
van afgeleiden van urinezuur boven die van Kolbe te
verkiezen.

45

IX.

Het zure karakter der hydroxylgroep bij organische ver-
bindingen -wordt bepaald door afwezigheid van Hydrogenium
in de naby gelegen groepen.

X.

De hypothesen der Chemie omtrent valentie en constitutie
kunnen eerst tot hare volle waarde komen, nadat de physica,
door verbeterde quantitatieve methoden, op het gebied van
licht en warmte, de middelen tot kidtiek heeft geleverd.

XI

De geschiedenis der Chemie bewijst, dat hypothesen vaak
schadelijk zijn voor de ontwikkeling eener wetenschap.

XII.

Les phénomènes vitaux sont le résidu de la chimie comme
la chimie elle même était le résidu de la physique,
làttré: La science au point de vue philosophique.

XIII.

Het excretievermogen der plantenwortels mag niet betwij-
feld worden, wanneer men aanneemt dat zij hunne functie
door osmose verrichten.

44)

XIV.

Proeven met afgesneden takken hebben weinig waarde bij
\'t onderzoek naar physiologische eigenschappeD.

XV.

De zware regens der tropische gewesten k\\innen verklaard
worden door het absoi^ptie- en uitstrahngsvermogen van
waterdamp.

XVI.

De fossiele flora en fanna eener geologische formatie geeft
weinig zekerheid omtrent het bij de vorming geheerscht heb-
bend klimaat.

XVII.

Het zou beter zijn kracht, met tijd en ruimte, als elemen-
tair begrip aan te nemen, dan haar schijnbaar te definieeren
als oorzaak van beweging.

XVIII.

Deductie geeft kennis, inductie wetenschap.

XIX.

De statistiek is de eindvorm van onderzoek der positieve
wetenschappen.

XX.\'

47

De natuurlijkste wijze van rangschikking der wetenschap-
pen is voor den wijsgeer, zoowel als voor den natunrhisto-
^eus, die , welke berust op de genealogie.

XXI.

C\'est une erreur de croire que l\'étude des sciences émousse
sentiment de la poesie; bien plus elles ont, quand elles
atteignent certaines hauteurs une naturelle affinité pour elle.

Littré Ampère et l\'electromagnetisme.