A. qu.
192

■4 " ■. .

V r. ■ \'

• V

t ■ .■>

■•■••ft...

\'t. .. . .

■

V

J. ,

v.»-

■■M

• M

• \' :■ \' \'
/ -t\'

fiVl-.;-\'

■ l" > ■

OVER ASYMPTOTISCHE ONTWIKKELINGEN,

: ........; .., ,• :, jrs\'^v ;..... - : . ^

.ifemrf

Kï\' \' ......

\' rl"\'?.,-. .. ■ \'ï V

i

- > v

OYER ASYMPTOTISCHE ONTWIKKELINGEN

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD
van

DOCTOR IN DE WIS- EN NÄTOÜRKÜNDE

AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT

NA MACHTIGING VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS

Dr. j. m. s. baljon

hoooleekaau in de faculteit der godgeleeudheid

VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT

tegen de bedenkingen van de

FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE

TE VERDEDIGEN
OP WOENSDAG 1 MAART 1905, DES NAMIDDAGS TEN 4 URE

doou

eERRIT GORNELIS AUGUST VALEWINK

oeboiien te AMEHSFOORT

HAARLEM
I)K ERVEN LOOSJES
1905

■ - ■ ■ - ^ -..si

■ - ■ f- ^ \' ■i \' ■ ■ •/■ . .

(flail \\niync ^r-oinu.

:

■ i

•vVtj

V
t

. /

ym

■ ^ : „ •Hi\'^.JfT

.... ^

%

-, 1 i-^\'-;. • -V.^ ! Li. . ^

Aan het einde van dit \'proefschrift gekomen, is het
mij eene aangename taak U, Hoog leeraren in de
Faculteit der Wis- en Natuurkunde, die tot mijne
vorming hebben hijgedragen, mijn dank te betuigen.

Inzonderheid geldt die dank U, Hooggeleerde Kajoteyn.
Uwe welwillendheid en belangstelling, Hooggeachte Pro-
motor, zullen mij steeds in aangename herinnering blijven.

U, Hooggeleerde Julius, de Vries en Nyland mijn
dank voor de hulp, die, wHnneer ik ze ook inriep, mij
steeds door U werd verleend.

\' .»\'■ r

•S:\'

àr:.

INHOUD.

Blz.

Inleiding.................................................... 1

Hoofdstuk I. Oudste onderzoekingen.

I. La Place................................ 3

n. Cauciiy.................................. 5

Hoofdstuk II. Ontwikkeling in reeksen.

I. Methode van Stieltjes................... 11

II. Toepassing op li-functie................... 17

Hoofdstuk III. Definitie van Poincaiuï. Bewerkingen en Toe-
passingen.

I. Definitie.................................

II. Bewerkingen............................. 38

III. Toepassingen............................. 51

Hoofdstuk IV. Bepaling van sommige asyniptotisclie ontwikke-
lingen door middel van oen dilTerontiaalvergelüking........ 07

Hoofdstuk V. Toepassing op dillerontiaalvergelijkingen......... 74

Hoofdstuk VI. Vervolg.

I. Methode van Knese»..........................................101

II. „ „ Houn..............................................108

III. „ „ Jacoijstual ................................115

IV. Voorbeelden.............................. 118

Noot 1..........................................................................................................130

Noot II............................................................................................................184

Noot IH..........................................................................................................180

Noot IV............................................................................................137

Stklunoen.................................................. 139

fe\'

! ■• ■

INLEIDING.

1. De Euler Mac-Laurinsche sommatie-formule is:

p—\\ ra-\\-ph Ji

h ^ f{a rh) = f{x) dx—-^\\r{a -{-ph) - f{a)|

V (- 1) ^^ _ (1)

waar de 5\'s de Bernoulliaansclie getallen voorstellen, n.1.

O 1 7. 1 7. 1

= - ; B,= - ; enz.

i?2n i stelt de restterm voor, die verschillende vormen
kan krygen (zie Noot I).

Wanneer nu in formule (1), die voor elko waarde van
n geldt:

Hm R2n i = 0........... (2)

M=3XP

wordt, dan gaat \'t tweede lid voor lim7i = oo over in een
convergente reeksontwikkeling, wier som volkomen over-
eenstemt met de waarde van het eerste lid. Dit is echter
in den regel niet het geval.

2. Soms bezit R^n i de eigenschap, met toenemende
waarden van n eerst af te nemen en voor een bepaalde
waarde 7?, van n eene (betrekkelijk zeer kleine) minimum-
waarde te krygen, zoodat dan de reeks:

n 73 7,2»\'

V (-1).-1 ip-i ia ph) - (a)! ... (3)

by toenemende waarde van n tot n\\ too, ook mot toene-
mende nauwkeurigheid de wiuirde van het eerste lid
aangeeft.

1

- 2 -

Wordt n grooter genomen dan wi, dan wordt Bzn i weer .
grooter en reeks (3) geeft dan de waarde van het eerste
lid met des te minder nauwkeurigheid aan, naarmate men
n laat toenemen,

3. Legendre noemde deze reeksen semi-convergent (de
semi-convergentie werd \'t eerst ontdekt door Euler) en
Stieltjes heeft dezen naam behouden voor de door hem
onderzochte ontwikkelingen.

Semi-convergente reeksen zijn dus zulke divergente
reeksen, waarbij de som van een behoorlijk (eindig) aantal
termen de waarde van een gegeven uitdrukking, met be-
trekkelijk groote benadering, aangeeft. Deze benadering is
niet, zooals bij convergente reeksen, zoo nauwkeurig als
men wil, doch is door den aard van de reeks beperkt.

Voor rekenkundige berekening is de theoretisch iville-
keurig (jrooic benadering door convergente reeksen niet
van zooveel belang als de betrekkelijk (jroote benadering
door semi convergente reeksen.

4. Zeer belangrijke semi-convergente reeksen worden
uit (1) gevonden, zooals b. v. b. de voorstelling van:

........... (4)

»>=0

die uit (1) te verkrijgen is door f{x) te vervangen door
log X. Deze reeks werd reeds door Stihlino behandeld,
voordat formule (1) bekend was.

Gewoonlijk noemt men de semi-convorgentn uitdruk-
king voor

v

2\' log r

of wel die, voor do meer algemeene vorm :

logr{x-\\-\\)
de formule van Stirlino.

HOOFDSTUK I.
OUDSTE ONDERZOEKINGEN.

I. Laplace.

1. Laplace maakt in zijn „Tiiéorie analytique des proba-
l)ilités" (1812) gebruik van eenige reeksen, die in hunne
eerste termen zeer snel convergeeren, wier convergentie
vermindert en eindigt met over te gaan in divergentie.
Dit is echter geen beletsel voor \'t gebruik van die reeksen,
want, wanneer de eerste termen genomen worden, waarby
de convergentie snel is, krygt men een rest, die verwaar-
loosd mag worden. Deze rest toch is de ontwikkeling van
een algebraïsche functie of van een integraal, wjuarvan de
wjuirde zeer klein is in betrekking tot \'t geen voorafgjuit.

2. Als voorbeeld beschouwen we do ontwikkeling in
oen reeks van do integrajil:

(It

waarvan Laplace de afleiding niet geeft.

jr.-\'\' (It kan op verschillende wyzen ontwikkeld worden.

Om tot don vorm van Laplace to komen gaan we op de
volgende wüze to werk:
Stel

dus =

_ 4 -

Er komt dan:

je at- ^
_P , i f dp _

T xTïÖgp T
— L. p -L p i- f ^^p —

_i p . i p .3. i p .3.5.1 p

2 {logpyi^ \' 22 (/o^r^)\'/^ \' 2^{logpyi* \' 2-1

2t ^ \\...... ^ \'

Voor de grenzen T en oo komt er dus:
r 7. 1 I i.3.5 , I

^^ = W r - -22^ ~ -WW I • ^^^

Deze reeks is divergent, hoe groot ook de waarde is,
die men aan T toekent; men kan echter, zonder merkbare
fout de eerste termen gebruiken.

Nemen we de eerste vier termen, dan zal de rest van
de reeks zijn:

1.3.5.7

2^ Jt .........

Nu is deze grootheid, afgezien van het teeken, kleiner
dan de term

2». T\'

die onmiddellijk voorafgaat; d. w. z. men heeft:

e-ï"\' 7 - ...

^>-2-Jr—.........

want:

_ [e- \'T— -

Jt ~Jt

- 5 -

dus:

J, ts ^ 4 • yo®

maar deze laatste uitdrukking is kleiner dan:

-Z"

Tl

als we slechts 4Ï^>7 of kiezen.

Hieruit blijkt de waarheid van (4) voor een betrekkelyk
kleine waarde van T; zoodat voor groote waarden van T
de eerste termen van de gevonden reeks genomen kunnen
worden, zonder merkbare fout te maken.

II. Cauchy.

3. Cauchy toonde op elementaire wyze aan, i) dat
sommige divergente machtreeksen, steeds tot die soort
behooren, welke Poincaré later asymptotische noemde.
Bü do reeks van STiuLiNa on by een menigte andere
reeksen vond Cauciiy, dat de eerste der verv/aarloosde
termen juist een bovenste grens is voor de correctie.

4. Deze eigenschap is evident voor een meetkundige
reeks met reöelo termen, want, nemen we een positieve
variabele x en een positief getal /c, dan is:

• \' • • ^ -TTTT^ ••• (1)

k-{-x k k^ \' " \' (/c .-c)

.......... ®

Wanneer we dus een meetkundige reeks met reöolo

\') Coniptoa Rondus, 1843. T. XVII.

- 6 -

termen en afwisselende teekens bij een zekeren term af-
breken, zal de eerste verwaarloosde term een bovenste
grens zijn voor de begane fout en de overeenkomstige
correctie zal \'t zelfde teeken hebben als die term.

Dezelfde eigenschap geldt voor elke reeks, die gerang-
schikt is naar opklimmende machten van de variabele en
voortgebracht wordt door de ontwikkeling van een ratio-
neele of een transcendente functie, die ontleed kunnen
worden in enkelvoudige breuken van den vorm:

h

k -\\-x

waar li en k positief zijn, öf in breuken van den vorm:

n

waar h positief en k reëel is.

Er wordt dus geöischt, dat de vergelijking, die men
krijgt door \'t omgekeerde van de gegeven functie gelijk
nul te stellen, slechts reëele negatieve wortels heeft öf
imaginaire wortels, zonder reëel deel.

Dezelfde eigenschap komt ook toe aan de ontwikkeling
van bepaalde integralen, genomen van den oorsprong uit-
gaande en waarin dergelijke functies onder het integrajil-
teeken voorkomeji al of niet vermenigvuldigd met factoren,
die binnen de integratiegrenzen altyd positief blyven.

5. De reeks van Stirling is de ontwikkeling van zulk
een integraal. Wanneer men bij die ontwikkeling allo
termen verwaarloost, waarin de getallen van BtmNOULLi
voorkomen, dus reeds bij den eersten term ophoudt, dan
komt er een resultaat, dat door Liouville gevonden is.

Hetzelfde geldt voor de ontwikkeling van /"(.r) wanneer
fiSJC) een een waardige analytische functie voorstelt, maar
zóo dat:

= ...... <3)

- 7 -

(t)

wanneer we veronderstellen, dat de residus in den eer-
sten term van het tweede lid genomen worden voor alle
wortels der vergelijking:

7k=\'.............

en wel in bepaalde volgorde. (Zie hierover Noot II.)

Nemen we aan, dat deze wortels alleen negatief reëel
of zuiver imaginair zijn en ontwikkelt men nu in \'t tweede

lid van (3) —^ in een reeks, volgens opklimmende

Cü """ ^

machten van x, waarby elk der partiëele residus van ƒ(«)
positief is, dan zal men eene ontwikkeling van /\'(x) ver-
krijgen, die weer dezelfde eigenschap heeft.

Ook heeft de ontwikkeling van een integraal van den
vorm:

fa

u/\'(x)dx............. (5)

f

J O

deze eigenschap, als de factor tusschen do grenzen o en
a positief is.

6. Een eenvoudig voorboold wordt gevonden door te
stollen :

of

.......... (ß)

Vergelyking (4) giuit dan over in:

en deze heeft tot wortels do refiolo fen imaginaire loga-
rithmen van de eenheid, d. w. z.:

- 8 -

2mii (n = 0,1,2...., —1, - 2,.....)

(3) geeft dan de ontwikkeling:

__l___ i , 1 4_ 1 , 1

— 1 1 — X 2 X—27ri x — i^ri

1 , 1

x-^2 ni a; 4 TT i

en dus:

l!_i__1 lUof 1 |. 1 I-

Hier hebben we nu te doen met een ontbinding in breu-
ken van den vorm:

2

rc2 Ä2

Door de getallen van Bernoulli in te voeren vindt men
voor alle waarden van x:

X X 2]~2l 4! 6!

Bn x2»-2 Bn l . (Ö < 1).....(7)

- (2n)! ^ (2n 2)r ■ • ■ ^ • ■ ■ ^ f

(Zie hierover Noot III).

Stellen we nu door u een reöele functie van x voor, die,
tusschen de grenzen a en van x, niet van teeken ver-
andert, dan krijgen we uit (7)

ff\' 71 1 1 1 , -ßi f\' , Bn ft\' „ , ,

6-]CZ. - .. .
waar ö < 1,

7. Hierdoor zijn we in staat log r (z) in een reeks te
ontwikkelen.
De formule van Binet is:

- 9 -

logr{z)={z—  . .(9)

waarin:

.......

In \'t algemeen is:

Formule (8) geeft dan:
^, ,_ -öi Bz \\ B\'i Bn

(äHriiwhüs^- • ■ («<i) • • • • (11)

8. Stellen we in (11) n=l, dan krygen we de formule
die Liouville reeds gevonden heeft, nl.:

= ............(12)

waardoor voor (p(z) als bovenste grens gevonden wordt:

lè...........

9. Wordt in formule (8) «=0 en b = oo genomen en
stollen we:

u = x\'\'. e-®-\'\'

waar k oen positief getal is, maar overigens willekeurig,
dan komt er:

Br, nfc 2n-l) ./^n i 

10. Door in (14) te substitueeren:

- 10 -

7-^^ = 1 4-  • • •

1 —e-^

komt er, als we k \'> 1 veronderstellen •

1 . 1 _ 1 1 BiTik-h 1)

• • • 7. 1 1 i, \' 1 \'

ël-    - 1) _ Bn i r{k 2n l)

41 -f-----(2„j!  (2« l)! ^

Als k tusschen 1 en 2 ligt en z groot genomen wordt,
geeft (15) \'t middel om met groote benadering de som te
bepalen van:

co 1

1

"=o (z-f-n)\'\'

HOOFDSTUK II.
ONTWIKKELING IN REEKSEN.

I. Methode van Stieltjes.

1. Stieltjes 1) onderzocht eenige ontwikkelingen van
den vorm:

ƒ•(„)=,„„ ........(1)

a a-

die men niet onbepaald mag voortzetten, zoodra het gebil-
berekening geldt, wanneer ze divergent zijn.

Zulk eene divergente ontwikkeling heeft echter eene
bepfialde beteekenis, als men haar beschouwt als een sym-
bolische wyze van uitdrukken, waarmede men wil aan-
geven, dat:

Urn F (a) = lUo

a = oo

Urn. a ji^\'Ctt) — ?»o! = Wh
(! = « I I

Hm a- \\f («) — nio — — { =

II = CD \\ I

Hm a" j F (a) - m. -- ... -=
(»=00 ( " " !

enz.

\') Kcchorcho.s sur quelques aórios sonii-convorgoiitcs. (Tlièso do
doctorat) Aiuiales du l\'ócoie iionnalo supérieure 1880.

- 12 -

2. Als toepassing van de handelwijze van Stieltjes moge
het volgende dienen: ,

"Wordt een functie F{a) uitgedrukt door een reeks, die
voor groote waarden van a, er een asymptotische voor-
stelling van geeft, dan is:

Urn F (a) — rtio

a=!x>

een eerste benadering voor F (a). Zoo is dan:
Urn a \\ Fia) — nio t = Wh

a=qo

een betere benadering en de volgende uitdrukkingen geven
telkens weer een betere benadering.
Kiezen we als voorbeeld:

rl paz_ 1

F(a) = e-^ ---dz..........(2)

Jo Z

dan is:

/I po-z _ 1 r\\

—^dz I e^dz
iini r {a) = am -—--=lim — =

00

1 e^-l

= Urn-= O

a=oo a = i» C"

zoodat we volgens \'t bovenstaande krijgen:

trio =■ 0.

Eveneens vinden we nu:

1

lim a \\ F ia) — mo j = lini a F{a) ■

= liïH a F (a) = lim —---=

6"- 1

= ---= hm —TT-ïT = 1

a a-

- 13 —
zoodat dan gevonden V70rdt:

mi — 1. I

Op gelijke wijze worden gevonden:

Hm a laF(a) — 1| =1

0 = 00

lima ja^Fia) - a - H=2

a — cc

enz.

Hieruit volgt dan de ontwikkeling:

3o z a a- a^

3. Om nu door zulk een reeks de waarde van F{a) te
vinden, moet de complementaire term bepaald worden,
d.i. de term, die men by een bepaald aanüil begintermen
van de reeks moet voegen om de werkelyke waarde van
F{a) te krygen. Die bepaling biedt in \'t algemeen groote
moeilijkheden, als men een behoorlijke benadering wil
hebben; slechts in enkele gevallen gehoorzamen de coëffi-
ciënten m aan een zóo eenvoudige wet, dat die bepaling
op vry gemakkelyke wyze geschieden kan. In verschillende
gevallen, waar de teekens der coëfficiënten afwisselen, is de
nauwkeurige wjiarde van F(a) gelegen tusschen de n\' en
(n 1)\'" term. Om deze reden werden de reeksen semi-
convergent genoemd, welke uitdrukking door Stieltjes
echter meer algemeen werd opgevat, die ze n.1. ook ge-
bruikt om reeksen te benoemen, waar de teekens allo
golp zyn.

Zoo komt hy dan tot de onderscheiding van reeksen
van de eerste en van de tweede soort.

4. By reeksen van de tweede soort, b.v.b.:

1 _i_ 1 _L2\'. . 3! , , (H-1)! ,
«

redeneert Stieltjes op de volgende wyzo:

i

- 14 -

Zij F{a) een bepaalde functie van a, symbolisch uit-
gedrukt door:

dan is, voor een bepaalde v^aarde van a:

F{a)=Ti-]-T2-}-T^ ... Tn B.n. \' . . (5)

waar dus de rest voorstelt, die aan de eerste n termen
van de reeks moet toegevoegd worden om F{a) te krijgen.
Is nu a vast en dus F (a) bepaald, dan zal E„ bij toe-
nemende watirden van n eerst positief zijn; daar echter de
reeks meer en meer tot oo nadert bij toenemende waarden
van n zal stellig eindigen met — oo te worden.

Er is dus een waarde n waarby i?„ overgaat van positief
tot negatief, dus nul is. Beschouwt men nu En als een
continue functie van ?i en kan men een geheel getal als
waarde voor n bepalen, waarvoor

Bn = 0............. (0)

is, dan geeft deze ?i \'t rangnummer van die terra van do
reeks, waarachter geen restterm meer behoeft gevoegd te
worden d.w.z. die term, waarbij men moet ophouden om
de nauwkeurige waarde van F(a) door middel van de
reeks te verkrygen.

De gevonden waarde voor » zal echter in \'t algemeen
niet een geheel getal zijn. Neemt men nu het naastgelegen
kleinere en ook het naastgelegen grootere geheele getal,
dan verkrygt men twee grenzen voor de rest, die gowoonlyk
niet ver uiteen liggen, daar de overgang van teeken moesüil
in de nabijheid van den kleinsten term phmts heeft.

Wanneer men als oplossing van

K = 0

- 15 -

de waarde N heeft gevonden, dan is deze waarde te
schrijven als

waar n het grootste geheele getal voorstelt, dat bevat is in N.

De beste benadering zal dan zyn:

5. De benaderde oplossing van (6) is altyd van den vorm:

„ = ....... (7)

a a-\'

\'t Is echter dikwijls geschikter a als onbekende te be-
schouwen en eerst de coëfficiënten (i te bepalen van de
ontwikkeling

....... (8)

Do reeksen (7) en (8) hebben gelyken vorm en karakter
als de oorspronkelyke

1.

71/ \\ I Wil , nio I

Enkele dor coëfflcienten worden berekend; verdere be-
rekening is zeer lastig, daar ze geen eenvoudige wot volgen,
\'t Onderzoek van de oorspronkelyke reeks is zoo terug-
gebracht tot dat van (7) \'t welk veel ingewikkelder is.
Men vraagt och tor den wortel van (6) slechts met zekoro
benadering to bepalen en diuir do nauwkeurigheid van (8)
toeneemt naarmate n grooter is, is \'t slechts noodig (7)
en (8) te benaderen door a en n voel kleiner wanrden to
geven, dan die, wiurvan men zich moet bedienen by do
oorspronkelyke reeks. Do verkregen benadering zal altyd
meer dan voldoende zyn.

ß Do behandeling van do reeksen van de eerste soort
kan, tot op zekero hoogte, in overeenstemming gebracht
worden mot die van ;-oekson van do tweede soort. Zy zulk
oen reeks:

- 16 -

Tl - Ts Ts - 2^4 .. .. ± ß„.....(9)

waarbij Ti.T^----Tn en Bn positief zijn en waar:

Rn<Tn en i?n<r„ i........(10)

is. Dit laatste volgt uit het positief zijn van Rn terwijl:
Tn^En-l-^Rn..........(H)

Men ziet dus dat Rn-\\ en Rn elk afzonderlijk kleiner
zijn dan !r„, zoodat dus ook:

Rn < Tn-\\-l

Inplaats dat de kleinste term opgezocht wordt, zoekt men
het minimum van Rn door oplossing van de transcendente
vergelijking:

^ = 0............(12)

dn

De waarde van n, hieruit gevonden, verschilt zeer wei-
nig met het rangcijfer van den kleinsten term, waardoor
de volgende opmerking, die bij verschillende gevallen ge-
maakt kan worden, te verklaren is:

Stellen we, dat de wortel van (12) tusschen n en n — l
valt, dan zal by benadering:

Rn-l = Rn

zijn (zooals uit een figuur gemakkelijk te zien is) en de
begane fout zal een klein breukdeel van Rn zijn; hieruit
volgt dan weer dat Rn ten naastenbij de helft van 2\\i is,
zoodat de fout van:

een klein deel van Tn is en wel kleiner naarmate w groo-
ter is.

Voegen we hierby dat in \'t onderhavige geval R

n in een

semi-convergente reeks te ontwikkelen is volgens afdalende
machten van w, dan latit de eerste term van deze ontwik-
keling zien dat:

*

— 17

IS voor n = co.

11. Toepassing op li-functie.

7. De integraallogarithme geeft een voorbeeld van de
tweede soort:

r" du

li{a)=r

J O

Deze integraal is onbepaald als a > 1 is; dtuironi neemt\'
men de principale waarde, die volkomen bepaald is.
"Voor a > 1 is dus :

du

f\'-\'j^ r

Jn logu ;i4

frt logu Ji 8 logu\\
Vervangt men hierin a door c» en stelt men verder:

dan komt er:

I rl-e p-a,- t-r^ p-af )
H (e«) = e« Hm / ,-dv ƒ — dr ... (14)

s=o(\'\'o Ji sl-r )

Substitueer hierin:

^ = 1 H-...

( fi-» lx\'

im. f J\'" r-«\'\' dr | r" r-\'"\' dr = —\'

Hm

e

dan wordt de uitdrukking:
H (c") = e"

— 18 —

waarin:

fl—e fi—av

rl-s .,n p-av r» ß-ar

Rn = V—  • • • (Iß)

d.i. de principale waarde van de integraal:

C» ß—ar

— dr

fo 1-r

De vorm, die i?„ hier aanneemt, doet zien, dat de waarde
van Bn afneemt, naarmate fi grooter wordt.

De eerste term van de uitdrukking voor B„ bepaalt de
orde van i?„; daarin is r altijd kleiner dan 1, zoodat die
term kleiner is, naarmate n grooter genomen wordt.

8. We willen nu een benaderde oplossing zoeken voor
de vergelijking:

Bn^O.............(17)

Stellen we a = n 7/ dan krijgen we:

= Hm I T^ dv -f r e-\'i" dl\' j.. (18)

Rn moet ontwikkeld worden in een semi-convergento
reeks volgens afdalende machten van n.

Het stellen van a=n-{- ij beteekent, dat de rest van een
term Tn beschouwd wordt, in de buurt van de kleinste
term, want ?/ is een eindig getal.

Daar het orh eene benadering te doen is, mogen we die
stukken verwaarloozen, welke ten opzichte van do andere,
sneller afnemen dan eenige negatieve macht van n.

We verwaarloozen daarom:

ar r (^„-.•■•„,....(19)

Jo l- r Ji /, 1 -

en behouden:

R„ = uJ ...(20)

£=ü ( Jl-/> 1 - Jl-f-B 1 —!

— 19 —

waarin h en k eindig en positief, maar overigens wille-
keurig zijn.
Beschouwen we eerst:

Jl-h 1 -

re-\'\' wordt mäximum voor j\'=1. Stel:
re-" = c-i-\'"\'
en 1 — r = t

dan is:

(l — t}e\' = e-\'\'............(21)

Voor kleine waarden van x is f te ontwikkelen in een
reeks van den vorm:

t=aiX-\\-ao .T-\' «3 -f ... o^, ... (22)

waarvan we nu de coöfflcienten a willen bepalen.
Uit (21) vinden we:

t-hlor/d-

of:

f t- _
^ - — - y -------

Verwaarloozen we hoogoro machten van t, dan krygen
we als eerste benadering:

/ = X 1^2

zoodat: a\\ = 1^2

is. Om de andere coëfficienton te bepalen, merken we op dat
uit (21) onmiddollyk volgt:

= - O..........(23)

Door (23) 11 malen» te differentieoren en diuirna .r = Oen
< = 0 te stellen, krygen wo de recurronto betrekking:

n (tx fN, 4-(//-l)frja„-i (» - 2)f/:)  = - 2(/„_i(»^2)

— 20 —

Gaan we nu uit van ai = dan worden de andere
coëfficiënten gevonden.

Hetzelfde resultaat is nog wat gemakkelijker te bereiken
door in (23) de veronderstelde reeks (22) te substitueeren
en dan de waarden van a^ enz. door toepassing van \'t theo-
rema der onbepaalde coëfficiënten te berekenen. Er komt
dan :

(ai a; a^ .r2 «3 . ..) (a^ 2 ao rc 3 a^ (c^ ----) =

= 2x{\\. — aix — aosc:- — a^a^ — . . . )

of:

«12 a; «1 «2 a- 0.3 ai a^ ar* «i «5 .\'r® .....

2 ai aox^ a^^a^x^-^ 2a2a4rr5 .....

3aia3.\'r\'\'^ 3a2a3.\'ri-i-3a32.\'c5-|-.....

4aia4ar* 4a2rt4.\'ï® .....

.....=

= 2 rr - 2 ai - 2 «2 .\'c\'^ - 2 as .r* - 2 ai —.....

waaruit onmiddellijk gevonden wordt:

2 1 2 1
ai=1/2; (12 = - 5 jg ; -[^5 5 K 2; enz.

zoodat:

\' - k ■ fis • •

Hieruit volgt:

Verder vinden we hieruit:
_ _ i-i/ó r - 1 r2-4- -- 1/2 -- (

Schrijven we:

2!" \' 3!

21 —

en substitueeren we hierin de gevonden reeks voor dan
krijgen we, na rangschikking:

Substitueerende krijgen we ten slotte:

Ji-h 1 - \'\'

xjl- ...... . . (25)

3 9 ■ \'.....) x

(De bepaling van f\' en wordt hierachter besproken).

of:

c-\'/" dr = rV\'"\' I 1 -c ^l\'j/la — . (2(5)

Jl-ft 1 — J\' Jf\' I

waarin de coëfficiënten A alle polynomia in zyn, b.v.b.:

enz.

De waarde p van do bovenste grens in (26) hangt af
van de positieve grootheid h. Nu wordt h zóó gekozen,
dat do reeks:

1 .....

convergent blijft in \'t geheele integratie interval, zoodat h
dus een eindige grootheid is, onafhankelyk van n. Ook is
h onafhankelyk van v, want de straal van de convergentie-
cirkel van de reeks;

- 22 -

.....

is onafhankelijk van jj. i)

Dus h is een numerieke constante. —
Om de integraal:

l fc ii,n- y)n

c-\'" dl

\'1

op analoge wijze te behandelen, kiezen we:

re-" =

en: ~ 1 =t

zoodat =

is. Nu ontwikkelen we t als:

^ = ai re — ao x- «a — a4 • • • •

waarin «i , oo , enz. dezelfde waarden hebben als zooeven.
Er komt dan:

ji 1-j\'

= _ e-n-v j 1 _ _ As .-6-\' • •• j -(27)

waar de coëfficiënten A dezelfde beteekenis hebben als
in (26).

Dit zullen we\' nu eerst aantoonen.
Uit:

r — I — i = X — rto X- (h — (li • • • (-fi)

volgt:

dr = dt= \\ (ii — 2 (lo X 3 a,] x-^ — 4 rv\' .. . . | dx
en uit:

\') Immers do grootste waarde van \'/ is 1. 1« de convorgontiestraal
nu zóó gekozen, dat de reeks eindig is voor >/ = 1, dan is die straal
vanzelf convergentiestraal voor gebroken waarden van v.

= ...........(29)

- 23 -

volgt:

- t^log{l t)=- x^

of:

T Y ----

Hoogero machten van t verwaarloozende, krijgen we:

of: t — x\\/~2.

zoodat: «i = 1/2

Door (29) te differentieeren komt er;

Substitueeren we (28) hierin, dan komt er:

(«1 X — a.» a.i - .. .) («i - 2 «o x 3 rt.-j .x-\'\' - .. .) =
= 2 x{\\. -{■ ayx — a-i X- as .tr\' — ...)

Door geiykstolling van coöfilcienten en door gebruik to
maken van ai=i/\'2, komt er dan:

2 1 — 2
ai =1/^2; a, = - ; a. = -^; =

en dit zyn dezelfde waarden als by de vorige berekening.
Dus is:

»

Hieruit volgt weer:

— 24 —

dx

en verder:
dr _

Voeren we de deeling uit, dan komt er:

Verder is:

e-\'i" = e-w \\) — Q-n g-v\' =

en:

zoodat de integraal wordt:

- IJ. -^r c- ^ I 1 - ^ ...j j 1 I - i -f... jl^

Voeren we de vermenigvuldiging uit, substitueeren we
de reeks voor t en rangschikken we naar a;, dan komt er:

ri k _

ji_fi 1 - r ~~

dx

waaruit de overeenkomst van de coGfficienten A in beide
gevallen blijkt.

— 25 —

Uit:
volgt:

— r logv — — 1 —.\'C2
Voor de grens r=l é komt in de plaats do grens

T-4 Ï —

Verwaarloozen we hoogere machten van t dan volgt dus
hieruit:

of =

als onderste grens.

We kiezen nu k zoo, dat de bovenste grens in \'t tweede
lid van (27) ook weer j) wordt. Voegen we (26) en (27)
stimen, dan vallen de stukken weg, die oo worden voor f
(of f\') = 0.
Nemen we dus f = 0, dan krygen we:

i-h 1—Ji S 1—r

= 2e-»-\'/ f\'c-"^\' I Al Aa M .r« ... | ... (80)

j O

f O-"-\'\'x" (lx (X>0)
Jj,

voor n = 00 sneller tot nul naderen, dan eenige negatieve
macht van n; een benaderde waarde voor (30) zul dus
gevonden worden als:

2 6\'-»-\'/ j c-"\'\' Ji </x = Al c-\'-" ~

— 26 —

of voor V » in de plaats stellend a en Ai vervangend
door de gevonden waarde, vinden we:

2jt

\'V

De verwaarloosde stukken:

r» (re-»\' " „„ ,

I -\'—e-\'^\'(Ir en / V--e-\'^ dr

Jo 1 —\'\' h k 1 —\'\'

hebben geen invloed op de ontwikkeling van Bn volgens
afdalende machten van n. In de eerste integraal toch is
de grootste waarde van

re-*\' — d

waarin ö een positieve echte breuk is, zoodat we vindon:

rl-li r^./j-vV» fjn r 1

Jo 1 — \'\' « Jh

Ö» f
h Jh

waar de breuk sneller afneemt dan eenige negatieve
macht van ?i.
In de tweede integraal stellen wo

i\' = I w

en zien dan, dafde absolute waarde er van kleiner is dan:

J Ic

k

Kiezen we een grootheid > -[- 1 die aan:
voldoet, dan is:

1 < c voor u > k

en dus is:

— 27 —

-7 f\'(1 e-"» fi-\'/" < Ce-\'"\' O" T)-\'" (^m

/t\' Jk ti J li

Nu zien we, dat:

sneller afneemt, dan eenige negatieve macht van de
tweede integraal mag dus ook verwaarloosd worden.

Formule (30) levert dus de gevraagde ontwikkeling in
den vorm:

of wel:

,/l , 5 ,, 2r3 .. I , 1 , 25 \\ 1 , (

Uit den vorm van (31) maakt men op, dat de waarde
van die

Rn = 0

iniuikt, ontwikkeld kan worden als:

waarvan de coüfllcienten [i bepaald worden, door substi-
tutie van deze reeks in de gelyk nul gestelde vorm tus-
schen accolades van (31), door middel van onbepaalde coöf-
licienten.
Zoodoende vinden we:

1 . 8 . . 184

Djuir we gesteld hebben, vinden we;

" = " 8 -4ÏÏ5 " 2551Ö ■ • • •

28 —

1 8 1 , 16 1
= 3- -4Ö5- ä 2-55r5- \' "

9. Wanneer we dus de benaderde waarde van de wor-
tel van

Bn^O

N noemen, dan wordt \'t resultaat:

= ..... i

\' \' !... m

AT- - 1 I 1-4-

^ 3 ■ 405 \' a 25515 ■ a^ "

met een orde van nauwkeurigheid, die gegeven wordt door;

Kf

e\'

10. Door een getallen voorbeeld springt \'t voordeel van
\'t gebruik van de ontwikkeling van Stieltjes boven dat
van andere reeksen direct in \'t oog.
Willen we\' b.v.b. de waarde van bepalen, dan is:

e\'*=10io

dus: • « = 23,025851

en: 22,692

We moeten dus 22 termen van (34) nemen cn de 23«\'«
0,692 maal. Op deze wijze wordt dan gevonden: _

li (]010) = 455055614, 2227 0,692 X 0,5246 =
= 455055614, 585

Als nauwkeurige waarde is berekend:

^i(lOiO) —455055614, 5866

door middel van de reeks:

— 29 —

a , rt- , a^

li {e±-) = % ± ^ ± ^ ± enz. i)... (85)
maar dan moeten veel meer termen gebruikt worden.

10. Om te zien welke term van (35) van directen in-
vloed op de tweede decimaal is stellen we:

a"

0,01 en nemen m. ! == r (»-f-2)

n. n!

Nemen we logarithmen en maken we gebruik van de
reeks voor logr{n-\\-2\\ dan krijgen we:

of:

n log a — 0« log (n 2) -f 0,4343 {n 2) -

- log {27t) =-2

Daar verwacht kan worden, dat n vrij groot is, is:
, 2(n-f 2)~

zoodat:

1,3022 (« 2) — 2.7244 — (n %) log {n -}- 2)

0,4843 (n 2) — log {2n) = _ 2

of:

1.7965 (n 2) — {n ^h) hg {» -\\-2) = 0,8225
By beide leden —l<>9 {n2) optellende, komt er:
1,7965 (;/ 2) — {u 2) log (n 2) = 0,8225 —1/2 log (n -f- 2)

\') waarin C = 0,5772150040015.128006065 ... = constanto van Euleii
volgons Soi.dnek. Tiiéorio ct tables (rune nonvollo fonction transcen-
dente. München 180<).

— 30 —

waaruit:

De teller van de breuk in \'t tweede lid is veel kleiner
dan de noemer, dus is bij benadering:

2) = 1,7965

of w 2 = 62,46

Nauwkeuriger: log (n 2) = 1,7955

waaruit: n 2 = 62,44

zoodat er ruim 60 termen gebruikt dienen te worden.

Op dezelfde wijze vinden we, dat n — 62 genomen moet
worden om directen invloed op de derde decimaal te hebben.

11. De integraallogarithme levert voor een argument
kleiner dan de eenheid een reeks van de eerste soort.

li (a) moet voor dit geval dan geschreven worden in den
vorm li Nu is:

rp-v. /•» p-av

— (hl — — e-« ^^dr .... (36)

Door hierin te stellen:
1

=Z 1 _ -I- r^ — -f......± r"

1 r

Of: TT7 = \'—

komt er :

li(e-a) — — e-af (3-«\'- 11 —r r\'-i-.. . .jdr... (37)
J O

nu is:

r" 1 r "I ® y

I e-\'«" =---j- — =

Jo a. . Jr, a Jo

= — f r\'-^ (•-\'"■ dr \'
a Jo

— 31 —

Deze bewerking voortzettend, zien we:
i

zoodat dan:

......

Uit (37) volgt dan:
Door weder

a = 9i -h fj

te stellen, kunnen we I?„ weer in een reeks ontwikkelen
volgens afdalende machten van evenals dat gedaan is
bij

Er komt dan:

(ïïï - è rè è" ä) ik • V •

Nemen wo nu:

(In

dan zien wo, dal do waarde voor die hieraan voldoet,
to ontwikkolen is als:

waaruit dan weer volgt:

of door omkooring:

,1 = «,-f u„ -f- . . . .

32 —

Bij uitvoering wordt gevonden:

enz.

n — a — TT— . • . • enz.
6a

12. Door partieele integratie vinden we direct:

r -11 -14-(_ IV. L

i / . r

dus:

lï

^^^^ V 1« a2 ^ aß a-» ^ ^ ^ ^ a" i I

Hieruit vinden we:

[-„. (± _ ..(_,)., <„! „n £

1-1 T 00

- 33 -

Uit:

N = a - . . .

ba

volgt, dat we 10 — ^ d. w. z. (daar \'t ons om benade-

59

ring te doen is) 9 termen moeten nemen en ^ van de tiende.

li C^\'-io^ — — ^^^___ï__h —____! —

\' (10 lO\'-^^lO^\' .......j-

= - 0,00000454 X 0,09154563 =

= - 0,000000415617 .........

Voor negen termen wordt gevonden :

- 0,000000415782 ____

Volgens opgave van Houëll is:

0,000000416

14. Nemen we =(lO-^o)

dan is hier:

a = 23,02585 .... en dus
iV = 23,01861 ----

zoodat we moeten nemen 23 tonnen on 0,01861 maal do

248to.

Er wordt gevonden:

li (10-10) = - 0,000 000 000 041 68 ......

waarby verwaarloosd is.
De 24«»o term toch is:

0,000 000 000 000 975 13 .....

Om zekere benadering to krijgen, boliooven wo do be-
rekening niet zoo ver voort te zetten.
Do uitdrukking:

N = a- ^

1

geeft allóen aan, hoever do rooks voortgezet moot worden

3

- 34 -

om de hoogst mogelijk bereikbare nauwkeurigheid, volgens
deze methode, te verkrijgen.

14. Ten slotte zullen we nog drie berekeningen uit-
voeren, waar a kleine waarden heeft.

a. Voor li (0,5) = li (e-«)
is a = 0,69312

= ^ = 0,45271 .....

6a

Daardoor vinden we:

O 45971

Door gebruik te maken van drie termen van de reeks
van Bretschneider

a; ~ x\\ l.x l {l.x-\\-\\)\\{l.x)\'^ ilx-^2\\
__^_212!___I

vinden we: (0,5) 0,324.

De werkelijke waarde is

li (0,5) = - 0,37867 ......

Eén term van de reeks van Stieltjes geeft dus grooter
nauwkeurigheid dan drie van die van Bretschneider.

h. Ter bepaling van li substitueeren we a= 1 en

krijgen dan:

< 1 2\' 81 4\' I

- I ^ i ^ 1 1^1.....I ^

\') Theoriae logarithrai integralis lineamento nova. Crollo. Bd. XVII.
ï) Dezo zolfdo reeks, ontstaat door in do reeks van Bretscukeideii
(Crelle. Bd. XVII):

" a; xlx ( Lx (la)^ ^ )

to substitueeren x = e.

- 35 -

Nu is (lus:

zoodat een benadering is:
Werkelijk is:

/i = - 0,21938 ......

c. Nemen we nog

= !1 1 21 3! •• "! ■• I,

zoodat:

dan vinden we:

1,7740. . . .

De werkelijke waarde is:

1,8951.....

De hiatste drie voorbeelden bevatten kleine waarden
voor «, hoewel de reeks bedoeld is voor groote waarden.
Toch vinden we uitkomsten die betrekkelyk weinig van
de ware waarden verschillen; waiiruit, in verband met
de geringe moeite om do gevonden uitkomsten te ver-
krijgen, wèl do bruikbjuirheid van de aangewende reeksen
blükt. (Zie Noot IV.)

HOOFDSTUK III.

DEFINITIE YAN POINCARÉ. BEWERKINGEN.
TOEPASSINGEN.

I. Definitie van Poincaré.

1. Poincaré geeft de definitie in den volgenden vorm i):
Een functie F(a) heeft tot asymptotische ontwikkeling
een divergente reeks van de gedaante:

m\\ , m-2. I •

„2 4:

. Q I I Wn 2 I

wanneer de uitdrukking:

\'a» \\F{a) - Sn\\

voor iedere positieve geheele waarde van w tot nul nadert,
als a (steeds reöel positief) onbepaahl toeneemt.
Dus moet dan:

of

Urn rt» I F{a) - Sn | = Hm f = O

a = 00 n = 3ï

Sn Stelt dus de som der eerste n -f-1 termen van do
reeks voor.

We schrijven dan:

_ F{a) co Sn

\') Acta mathoinatica 8.

- 37 -

2. Wanneer een functie eene asymptotische ontwikkeling
heeft, dan is deze ook de eenige; want stellen we eens,
dat de functie twee zulke verschillende ontwikkelingen
toelaat, dan is dus:

(L Cc" 0/

en ook:

dan moet:

{nio - Po) Oni - P\\)\\a-----V {mn - pn f» - f\'n) = O

(.1/ Cl

of mo=po

mi=2h
enz. .

- i^n f« - \'\'n=0

waaruit volgt, dat beide ontwikkelingen volkomen gelijk
zyn.

3. Hot omgekeerde is echter niet waar, d.w.z. een ge-
geven asymptotische reeks kan verschillende functies asymp-
totisch voorstellen.
Beschouwen we de funtie c-", dan zien we:

Urn (■-<» = 0 = /»O

n = 00

Hm a (C-" — mo) = O = m\\

a et>

H)n II\' ( C-" — lila ——)=() =
enz.

t

waaruit blykt, dat de asymptotische ontwikkeling van c-"
identiek nul is.

- 38 -

Is dus gegeven de asymptotische ontwikkeling:

en tellen we daarbij of

^.e-« =0 0 0 enz.

dan zien we, dat ook:

= ----

G/ tlji

is. Er bestaan dus functies M{a) zoodanig dat:
li7n a" M (a) = O

a = 00

voor elke (positieve geheele) waarde van w. De asymptoti-
sche ontwikkeling van F(a) is dan tevens die van

F{a) Ä. M(a).

Willen we dus hebben, dat een gegeven reeks de asymp-
totische voorstelling is van een bepaalde functie, dan die-
nen we nog voorwaarden te stellen b.v.b. dat de bedoelde
functie de integraal moet zijn van een gegeven differen-
taal vergelijking.

II. Bewerkingen op asymptotische ontwikkelingen.

4. Wanneer eenige functies asymptotisch voorgesteld
kunnen worden, dan blyft, bij \'t toepassen van bewerkin-
gen op die functies, de asymptotische voorstelling bestaan,
d. w. z. de asymptotische voorstelling van som, verschil,
product en quotient van twee of meer functies wordt ge-
vonden uit som, verschil, product en quotient van de
asymptotische voorstellingen dier functies.

Dit is analoog met \'t geen bij convergeerende reeksen
geschiedt.

- 39 -

5. Optelling en aftrekking.
In:

0/ th" (t

en

zyn f» en tn

kleine grootheden, die by \'t aangroeien van
a meer en meer tot nul naderen; dus zal in:

F {a) Fi (a) = {nio m\'„) \'

a

Vlo 7h\'O I m„ m[ n I ^ »I

a" \' rt"

(fn f\'n) aan dezelfde eigenschap voldoen, zoodat de som
der asymptotische voorstellingen van de gegeven functies
de asymptotische voorstelling van de som dier functies is.

Men zegt dan kortweg, dat \'t geoorloofd is asymptoti-
sche ontwikkelingen op to tellen en af te trekken.

6. Vermenigvuldiging.

Nemen we weer dezelfde functies met hunne asympto-
tische ontwikkelingen als zooeven, dan zien we by ver-
menigvuldiging:

F [a) X Fl («) = »lo m\'o -]-----

tv

, Vin ni-> -f- nii m\'x -f- )n<i m\'o , ,
-- ............

, mo m\'n /»I  • •  o i ^\'n tn\'O , .

" rt" a"

1 m {m\'n ^\'n)

"\'•J m n—l n \'nj I I

•i "f" -1-

I {^n ^n) {»l\'n ^\'H)

- 40 -

of:

r. / n v/ / x - i »«o wi\'i mi m\'o i ,

F (a) X Fl (a) = nio m\'o -^^--h.........

(l

I nip m\'n mi m\'n-i • • • m\'o m,, y

«« ft» \'

waar 57, bij onbepaalde aangroeiing van onbepaald afneemt,
want 1; is van dezelfde orde als en t\'n-

Wanneer dus twee of meer functies voorgesteld kunnen
worden door asymptotische reeksen, dan kan hun product
voorgesteld worden door \'t product van hunne asymptoti-
sche voorstellingen.

7. Hieruit volgt onmiddellijk, dat een macht met geheele
exponent van een asymptotisch ontwikkelbare functie voor-
gesteld kan worden door de gelijknamige macht van de
asymptotische ontwikkeling van die functie.

Als tweede gevolg verkrijgen we hieruit, dat een poly-
nomium, waarvan de termen machten zijn van een functie,
die asymptotisch oniwikkelbaar is, asymptotisch te ont-
wikkelen is, als we voor de termen van \'t polynomium
hunne asymptotische ontwikkelingen in de plaats zetten.

/-{F) = Ao-\\-Al F A2 F-^ H----\\-Aj, Fi\'

is dus asymptotisch te ontwikkelen, als men weet:

8. Deeling.
Wanneer we nemen:

Ka) - mo

\') \'t Product eindigt bü don term mot ; deze toch geeft don
graad van nauwkeurigheid van do ontwikkeling aan.

- 41 -

dan is:

1

( mo a lUo a- lUo a"

Stellen we hierin:

m 1 >»2 I , ?«n f»

- •• ••

dan is\'

Deze reeks zal convergeeren als

I \'K«) I<1;

als a iuingroeit tot oo, nadert q> tot nul.

is dus als een polynomium te beschouwen.
Wanneer dus nio -A O krygt men hier als (luotient do

asymptotische ontwikkeling van ^^

F(a)

Do deeling van twee asymptotische ontwikkelingen is
zoodoende teruggebracht tot vermenigvuldiging, onder voor-
waarde echter, dat de term mo van den deeler niet O is.
Hebben we de asymptotische ontwikkelingen:

P/ \\ I \'"1 1 I _ c\'

(l d"

en Fl {(i) .-O — ••■ =

(Z d"

dan is ile asymptotische ontwikkeling van \'t quotiënt dezer
functies:

t

(«) JL^V A /». _ J-

-rrs - A - - ----

F{a) Vlo Ulo\' mo\'*

- 42 -

9. Door directe deeling, van de asymptotische ontwikke-
lingen van twee functies op elkaar, vinden we:

Fl (a) _ m\'o . yn\'i vip — m\'„ J_ ,
F{a) \' ~ä

I m\'2 nio- — 711\'1 Mo mi — m\'o mg m^ m\'o rni- 1 ,

, m\'z nio ^ — m\'2 mo ^ mi — m\'i mg - 711-2 m\'i momi- — m\'o mo-7ns^2m\'o motnim^i—m\'p mi^ J^
 r-T—

m

enz.
De (n term is:

m\'nmo*\' — ...... Wq** t\'n — m\'o fn J_

\' a"

stel nu: --^rj-= V

waar ?/ dus een grootheid voorstelt, die evenals

fft en f\'n

bij aangroeiende waarde van a, oneindig klein wordt.
Er komt dan:

{(i) _ ^ I I I I An V

d. i. dus de asymptotische ontwikkeling van \'t quotiënt
van de gegeven functies. Ook hier zien we dat tUo niet
nul mag zyn.

10. Worteltrekking.

Ook zal een zekere machtswortel van een functie, die
asymptotisch ontwikkeld kan worden, asymptotisch voor-
gesteld worden door de wortel van de ontwikkelitig van
de functie.
Is gegeven:

n/ v_ i mi . , i

dan zal:

- 43 -

14- ^  _J_____|_

nio a mo rt- w?o .

moeten zijn. Het tweede lid toch mag, volgens \'t binomium
ontwikkeld worden, want door a groot genoeg te nemen,
kan men de waarde van de reeks, die op 1 .volgt zoo klein
maken als men wil, dus:

1 - A^ji .....

L imiott \\pmo p\\p /2!wo-l«-

waaruit blijkt:

Um. j [F (a)f^ - mo^^\'\' | = Hm f = O

enz.

m. a. w. is asymptotisch te ontwikkelen en wel

volgens de wortel uit de ontwikkeling van F{a).

11. Uit het voorgaande volgt nu, dat een algebraïsche
functie van eenige functies, die elk voor zich asymptotisch
ontwikkeld kunnen worden, ook voor zulk eene ontwik-
keling vatbaar is.

Wanneer dus f een algebraïsche functie voorstelt en
verder:

a \' a- a"

enz.

asymptotisch ontwikkelde functies zyn, dan is ook \'t tweede
lid van:

— 44 —

7,1 7-- ZT- r- ^ _ A I L _1_ \\ AnVn

fii . . .)=Ao — ... —--

een asymptotische reeks.

12. Integratie.

Nemen we een functie F{x) die asymptotisch ontwik-
kelbaar is b.v.b.:

yw ,, _ I m , m-2 , nin fn

dan is:

f"\' ( T^/ X nii I , /""> ( 1112 I m-i , 1 "\'«i , I

.lo •\'

(lx

(Wij brengen hier de termen m^ en in het eerste

QCi

lid om integralen te vermijden, die geen zin hebben).

Nu laten we «i onbepaald aangroeien en onderzoeken
dan, wat er van het tweede lid wordt.

I 1 m , I nii , , 1 tUn . f\'n / ,x
^ .....^^

" dx

mod. f ■^dx</inf

J (I X Ju

waar /i„ de grootste waarde voorstelt, die kan krijgen
als X \'t interval a tot oo doorloopt. Dus is:

_ mod. f\'n ^ ."» 1

mod

-Ja X" a«-!

zoodat f\'n = O , waar //«od. ö < 1 is.
n — 1

*

— 45 —

Hieruit volgt, dat tot nul nadert. Bijgevolg is \'t tweede
lid van («) werkelijk de asymptotische ontwikkeling van
\'teerste lid.
Schrijf de integraal in den vorm:

waar «o een bepaald getal is, dan zien we, dat de eerste
van deze twee integralen een constante is.
Noemen we deze G\\ dan is:

n,F(x) - mo - — I (h\'.= Cl - r F{x)dx
J a \\ ) J Oo

7)1,, {a — a,,) -f 7ni log
F (x) (lx = m„ a log aG —

J_ _ 1 C

Door a een bepaalde waarde te geven kan G bepaald
worden.

13. Hebben we de asymptotische gelykheid:

,, (;r, I) ro /; ? /\\ /:, ... i" f„

waar f„ , /j enz. functies zijn van x alleen of van x en ?
beide en veronderstellen we, dat de uitdrukking:

waar </„ de som van do eerste (n 1) termen van de reeks
voorstelt, uniform tot nul nadert (wht ook x zü) als 5 tot
O nadert, dan is er dus oen getal <• to vinden, onafhanke-
lyk van x en alleen afhankelük van I, dat tegelykertyd
O wordt met f, zoodanig, dat:

m>(l{i, - ^

- 46 -

Integreeren we nu:

mod - f f dx

Jxo Jx„

Daar f onafhankelijk is van x, wordt dit:

fXi

mod I (q[ — rpn) dx < I» f {Xi — Xo )

JXo

mod. f (<f\' — q\'n) dx < 7;
waar Urn. = O is.

5 = 0

Hieruit volgt de asymptotische gelijkheid:

ƒ {X, I) dx \'JO ƒ /; cte I ƒ A H-----h ƒ A« fte

die we wilden bewijzen.

14. Differentiatie mag op asymptotische ontwikkelingen,
in \'t algemeen, niet toegepast worden. Uit de integratie
n.1. volgt dat, wanneer een functie F{a) een asymptotische
ontwikkeling heeft, de afgeleide F\'{a) tot asymptotische ont-
wikkeling zal moeten hebben de afgeleide van de asympto-
tische ontwikkeling van F{a).

Dit gaat dus slechts door voor \'t geval, dat F\'{n) voor
asymptotische ontwikkeling vatbaar is.

Nemen we b.v.b. een functie F{a) zoodanig, dat voor
alle waarden van n

lim\\a\'\'F{a)\\=0

a = co ■ •

is, dan is zijn asymptotische ontwikkeling identiek nul. De
afgeleide van de functie behoeft echter deze eigenschap niet
te vertoonen, terwyl de afgeleide van de asymptotische
ontwikkeling wèl nul moet zijn. F\'(a) is dus niet asymp-
totisch voor te stellen.

- 47 -

Beschouwen we b.v.b.:

F (ft) = e-« sin (<?«\')

Hier is:

Urn (e«\')i =0

n = ao

voor alle waarden van n.
De afgeleide van de functie is:

C-«. e«\'. 2ft. cos (e«\') - c"« . (e"\')

waarvan de eerste term voor Urn a = oo niet tot nul na-
dert; dus kan die afgeleide niet asymptotisch worden voor-
gesteld.

15. Geval waar differentiatie geoorloofd is.
Als een functie en zyn afgeleide beide door asymptoti-
sche reeksen voorgesteld kunnen worden, krijgen we de
reeks van de afgeleide functie door de reeks van de functie
term voor term te differentieeren.
Hebben we n.1. de asymptotische voorstellingen:

71/ X I 1 ffh I I /IN

= — ............(1)

en

.........(2)

dan is bij definitie :

lim Fiu) = mo . . . . ,................. • . (3)

arma

Hm a \\F{a) — I ..................(4)

rt = ao

Hm a-\' j F{a) - mo - | = m..............(ó)

(i «3 00 i (t \\

Hma^\\F{a)-mo-^-^[ = »>,.........(0)

■—^ i (/(tl

0 = 00 ^

enz

- 48 -

mx m2

lim a" F (a) - mo —

a

a = oo i

en evenzoo:
limF\'ia) =Po

limcfi \\F\'{a) -jJol =2h
(» = 00

lij7i a-
(1 = 00

lim aP

a = oo

lim a» F\' (a) - jh -

Wanneer de limiet van een functie van zekere variabele
tot een eindige bepaalde waarde, of tot nul nadert, wan-
neer de variabele tot oneindig nadert, dan zal de limiet
van de afgeleide van die functie niet van nul kunnen
verschillen.

Zy toch :

Urn F (a) = mo

dan is ook:

Hm F {a i) = m„

wat ook i- zij. Dus:

of als men t oneindig klein laat worden:
lim F\' (a) = 0

Dit, in verband gebracht inet (8), levert ons:

Po = (^..........

(13)

- 49 -

waardoor (9) overgaat in:

lim a F\' {a) ....\'......(14)\'

* a=ioo

Door (4) te differentieeren krijgen we:

Urn \\aF\'{a)\'\\-{F{a) - Wo)| =0.....(15)

O =00

Uit (3) en (14) volgt echter, dat \'teerste lid van (15)
Pi is. Dus:

= O.............(1(5)

Daardoor gaat (10) over in :

Urn a\'^\\F\'{a)\\= Pi.........(17)

Door (5) te differentieeren krijgen we:
Urn ïa^ I F\' ia) ^ j -f j F (a) - mo - = O
of:

Hm [cfi F\' ia) m, H- 2 1« (F («) - vio) - Wi j] = O . . (18)
« = 06

Volgens (-1) en (17) is \'teerste lid van (18) dus
moet:

P2 wil = O

zyn of

p.y = - )lli..........

en daardoor gaat (11) over in :

lim.n\'^\\P{a)

Door (6) te differentieeren krygen we:

Hm ïa^ j F\'ia) ^ | 3«^ | F ia) - m^
«=soo LI a" a ] (

of:

- 50 -

Volgens (5) en (20) is \'t eerste lid van (21) pz 2^2,
zoodat dan

P\'i = O

of: Pi — - 2»t2............(22)

Gaan we op deze wijze door, dan vinden we in \'t alge-
meen :

Pr=-{r - \\)mr-i.........(23)

Substitueeren we dit in (2) dan krijgt deze den vorm :

\' a- a^ a-i

die ook verkregen wordt door de termen van de asymp-
totische reeks van (1) stuk voor stuk te dififerentieeren.

16. Tweede geval waar differentiatie geoorloofd is.
Zij

ij (x, I)

de oplossing van een differentiaalvergelijking:

met parameter I en zij:

.....

een divergente röeks, die formeel aan de vergelyking vol-
doet, terwijl die reeks zoodanig is dat de asymptotische
gelijkheid

bestaat d. i. dat:

voor 1 = 0
De functies f zijn functies van x en
Zij nu S\' de reeks, die men verkrijgt door S term voor

4

- 51 -

term te difterentieeren, dan zal S\' formeel aan die diffe-
rentiaalvergelijking voldoen, die men verkrijgt door de
oorspronkelijke differentiaalvergelijking naar x te differen-
tieeren.

Om ,dit te bewijzen behoeft men slechts op te merken,
dat:

dx^ \\dx\'^ dy\' dx)

deelbaar is door wanneer men weet dat
deelbaar is door

III. Toepassingen.

17. We gaan nu van eenige functies do asyniptotisclie
ontwikkelingen zoeken,
zy gevraagd

(I

te ontwikkelen, waar a positief reöol en do integratie weg
ook reëel gestold wordt.

F («) = fV-\'\' dt =- d t"«\'-\'\' =

Ja J tt it

® f" 1

1 ..3.5... (2»-1)

T 2» Ja~

- 52 -

De som van de eerste (w 1) termen noemen we
hier gebruiken we {n 1) termen, waarvan de eerste O is.
Dus:

dt

moa. i F(a) - S„ l<

^ . 5 .. (2;?-3) a^

2» a2»-i

1.3.5... (2n-3) 1

<

2"

Zoodat dus:

Hm a" I (û) - Sn i < lim 1 \' ^ • 5^.. (2»-3) _ 1 ^ ^^ ^ ^

a — oo n = -xi ^ " a = oo

18. Zij gegeven:

00

«=i a îi

waar c een positieve constante < 1 is.

De verhouding van de term tot de (n — 1)®^ term is
kleiner dan 1 als n groot is (behalve wanneer a een nega-
tief geheel getal is) zoodat de reeks convergeert voor alle
waarden van a, behalve negatieve geheele waiirden.

We nemen voor a positieve waarden grooter dan n]
nu is:

1 1 1

a

Doen we dit voor alle wtiarden van n en bouwen we

daarna de oorspronkelijke reeks hieruit op, dan wordt deze:

.......(«)

- 53 -

CD 00

Al = c"; = - » • c" r enz

?j=l n=l

Reeks («) divergeert. We kunnen echter aantoonen dat
{«) een asymptotische ontwikkeling is van F(a) zoodat
F(a) dan berekend kan worden voor groote waarden van a.
Zij:

^ ^ ai\' i

dan is:

c, ® f c" nc" , n\'-c .

„IiLl V aj )« «.■

Dus is:

. T) irnr

\' a „=i a n

00

Nu is; —r— eindig, zoodat:

„cl a n

Hm aP I F (a) - Sj, | = Hm - = 0.

(T=00 <1 = 00 (I «"li (l }l

19. Gaan we uit van:

F(s)=J e-\'^x^-Ulx

dan krygen we door partiöele integratie:
ƒ (lx =  (rt - 1) C--

1

(a-l)(rt-2)...(a-fi) f/.r

- 54 -

waaruit: .

n - T . ^ 1 ^ 1 , a - 1 , (a - l)(a - 2) ,
Jz Z Z^ Z^

De eerste term iHo van de ontwikkeling is O, dus:
2^-^\\F{z)-Sn-i\\=(a-l)(rt-2)..(a-n)^\'»-«-V je

Wanneer deze uitdrukking nul tot limiet heeft voor
z=zco ^ dan is de reeksontwikkeling asymptotisch; x be-
weegt zich tusschen ^ en oc, zoodat altijd:

Er volgt uit:

-X

mod 1F (z) — Sn-i (< (« - 1)... (a - n — 1)

<(a—l)...(a —« —1).—

z

Letten, we niet op het teeken, dan is dus:
Urn j F (z) - Sn-i I < Hm -l^ilH-lll - = 0.

.1=00 r=ao \\(l — U — i) ! S

20. In

\'-Uit

\' X

is X weder reüel positief en de integratieweg is de reöele
as in \'t <-vlak. -
Door partiëele integratie wordt gevonden:

r»

/.» «r-t

— 55 —

Noemen we de som van (w 1) termen weer Sn, dan is:

= l)» i (» !)! r

Jx

mod \\f{x) — Sn\\ =(n l)! dt.

Omdat t zich beweegt tusschen x en oo, is altijd:

e^-« < 1

zoodat dan:

J 3

Hieruit volgt, als we niet op \'t teeken letten:
UrnX" i f{x) — Sn\\< lim —■ = 0.

x«=ao a;=ao ^

21. By \'t zoeken van de asymptotische ontwikkeling van:
\\ log tl -

\' O

maken we gebruik van de eigenschap, dat een asymptoti-
sche reeks geïntegreerd mag worden.
DifTerenteeren we beide leden naar x, dan komt er:

= ^ Tl log u - log (1 - C-") |
dx X J O

c-^«! log u - log{\\ - c"«) l]""

X

Nu is:

logu - log{\\-(r^\'y

~ c-r»

want:

1

1

— 56 —
1
1 -
^ 2! ^

verder is:

\'log u —log {I — e-")

lim

tt = O L

want:
\'1- e-»\'
n(l - e-\'O
, X e""*

] ........

- = - 1 w........) =

[e-^« j log u - log (1 - e"") t
Hieruit volgt:

clx 2x2 ^Jp e«-l/

Door invoering van de getallen van Bernoulli krijgen
we volgens Noot Hl:

- - J- - Ifê— rl - ^ . « ^ - ^ «r>

dx- 2x2 xio\' 12 2! 6!"^

1 l

2x2

Bn(2n-1)! Bn i(2n-i-L)l

(2n-f2)!x2" --J

, ^ _____

i ö.,

- 57 -

Of bij integratie:
_J_ _ Bi . _ Bz

n 1

(2n)2rc!

1 » 7?

7/ c^ C — 27 - 1)P —-i^—

22. Asymptotische ontwikkeling van logr{z).^)
Evenals bij de methode Cauciiy gaan we hier uit van
de formule van Binet: we beschouwen de functie voor
positieve reëele waarden van z.

logr{z)= (2-^) logz-z ^log{2n) q>{z)

f\'^l^g tg (-;•) dx

(>2,70: _ 1

Substitueer hierin de reeks van Leibniz :
, , X X 1 x^ . 1 x^ 1 .t;\' ,

(2n-l)22».-

dan komt er:

/^OO X

0 c2nx _ 1 S Jo 62"-« - 1 & Jo - 1

^00 ,\'(;2»»-l
22/1-1

_ ^ _

7 J„ - 1 2» - 1 - 1

\') Whittakeh. Modern Analy.siö.

- 58 -

Nu is:

fdx _ J_
Jo _ 1 — 4 W "

door dit te substitueeren krijgen we:

42 8 ■ 4. 2.23 5 ■ 4.8.25 7 4.4.2^\' "\' \'

Omdat t\'^ positief is, zien we:
r j dx r t^- dt \\ 1 dx I

want:

Urn

im  

Voor de laatste uitdrukking kunnen we schrijven :

r x^\'^ uïx

— f

{2n-\\-l)z^Jo

of:

Bn l

4(n l)(2n
Maken we hiervan gebruik, dan zien we dat:

/ii 2 .7^2 . 2

- g - rëTF^^" 5\' 4.8.2-\'\'\' \' •

4- /_ nu-i ^ _-I- /_ iv« -1- . «

waarin :

4(n l)(2n 1)2-\'

Voor groote waarden van z is dus altyd:
*

- 59 -

waar lim f = O

i =00

Schrijf de ontwikkeling in den vorm :

z

dan is:

als we niet op \'t teeken letten.

Overgaande tot de limiet zien we dan :

Um 1 sp (z) - S2„-i! < 2. lim « = O

C = 00 5=00

De asymptotische ontwikkeling van log r{z) is dus:
log r (z) co (^s - log z ~ z-ir^ log (27r)

>.. (- 1
2H(2?i. - l) ■ s\'-H-i

23. De asymptotische ontwikkeling van r{z) krijgen
we uit die van logr{z).

1 Jk. _ Jii_

r{z)= s-\'-T (2/r)\'/^ c^- 2ü.4..-\'

waarin :

Door de getalwaarden van do getallen van Bernoulij to
substitueeren krygen we:

/\' (.) . c- I 1 2W - TOW -

_ , I

120(12 3)» \' !

als asymptotische ontwikkeling van do r functie.

WiuTTUAKKii. Modern Analysis.

- 60 -

24. Willen we de asymptotische ontwikkeling bepalen
van:

r(a)

(waar I positief is.)
dan gaan we uit van de formule van Cauchy:

Vervangen wo hierin a door a ? dan komt er:
Door middel van:

ƒ1 _px -I

c^ - 1 e^-l ^ \' 2 . ]o

vinden we dan:

f lo, r «, s,.. Î=f_ j ^ - («-■\'•-•) i

Uit deze formule en:

(I- I/o) log a=- e\') f
leiden we af:

log r{a-[-i)-aloga-\\-a-logy^2i-{^-\'^l2) loga =

Door hierin ^ = 0 te stellen komt er:
*

- (51 -

log r (ff) — a loff a ff — log 1/2 log a =

(d. i. formule (9) van Hoofdstuk I waar x veranderd is in
—X, zoodat 00 verandert in —00, terwijl tevens de gren-
zen verwisseld zijn en daarna \'t teeken veranderd is.)

Door aftrekking vinden we nu:

De functie onder \'t integraalteeken is eindig voor I < 1
en wordt nul voor a=cc; zoodat voor a — co dadelijk de

asymptotische waarde: log ^ ^^ l log a wordt ge-
vonden.

We bepalen de ontwikkeling alleen voor 1 >;>0. Voe-
ren we nu de polynomia van Bernoulli in, waarvoor we
de definitie van Whittaker i) nemen. Het polynomium van
de 71« orde wordt gedefinieerd als de coëfficiënt van

SL

n\\

in do ontwikkeling van:

1

/.

e\'-l

zoodat we hier dan krygen:

X

en dus is:

A-^-i A \\ d) ^«-2 _ li
y\'x u\\ " .rl"

\') Modorn Anulysis. p. 08

- 62 -

Dit substitueerende komt er:

of:

J —w X J-zD J—00 O;

r ....

J —co \'T .

Uit de definitie der polynomia van Beenoulli vinden we:
qi(z) = z

<jf2 {z) — z- — Z

In \'t algemeen is voor ??>2:

6!

De eerste der integralen van \'t tweede lid verdwijnt
omdat «fi (I) — S = 0 is; de tweede wordt door de inte-

gratiegrenzen = — .

0/

Letten we nu op:

ƒ0 m\'

dan krijgen we ten slotte:

Dit is een asymptotische ontwikkeling.

25. Asymptotische ontwikkeling van de Besseische
functie Ir (x).

- 68 -
We nemen de uitdrukking:

2r — 1

____ , IX sin X — —— TT

l/Snaj^Xr T) - ( ^

en beschouwen de functie alléén voor positieve reëele
waarden van x.
Zoeken we nu eerst de asymptotische ontwikkeling van:

waar is.

Door:

te substitueeren, vinden we:

waarin:

.... ..... t

\') wiiittakku. Modern Analysia. p. 200 (gowüzigd).

- 64 -

Wanneer a:=oo wordt en n eindig is, nadert « tot een
limiet, n.1.:

«=--^ j jJ ^^^ jju-^r cl VI

~~{k-n-l)\\\' (n l)! \'\\2x) \'

Hieruit volgt nu dat:

Urn x^ . « = O

.r = 00

is, d.w.z. de reeks vertoont het kenmerk van een asympto-
tische ontwikkeling.
De asymptotische ontwikkeling van f{ti) is dus:

Bij de ontwikkeling van:

verandert i alléén en wel in — i, zoodat we daarvoor
vinden :

Gaan we nu \'substitueeren in de voor I,. (x) gevonden
vorm, dan krijgen we:

- cos \\x--;;- TT —--^----

- 65 -

of:

(-i)\' I

_ j, _ „ I f 1 - i^i >: i

Schrijven we dit uit, dan komt er:

~ " G-I)

) . ( 2 r - 1 I

.....................

( G\'-l)-- 1 I ( 2r-l I

-1---------" • • • • i i" ~ -r- 1

of:

I„ (.r)\'^0 Pn si» (^x - ^^ QnCOS (^X- -- - \' rr^

waar:

- 66 -

n l

n (4r2-l)(4r2-9). ■.(4r2-(4r l)2)

\') Pn en Qn zijn de reeksen, waarvan N. Nielsen gebruik maakt
in: „Sur une intégrale définie". Math. Ann. Bd. 59. 1904.

HOOFDSTUK IV

«EPALING VAN SOMMIGE ASYMPTOTISCHE
ONTWIKKELINGEN DOOR MIDDEL VAN EEN DIFFE-
RENTIAAL VERGELIJKING.

1. De meest algemeene vorm van een differentiaal-ver-
gelijking is:

(1)

^ V dx ^.....

d" 1!

Hieruit is ^^ op te lossen in functie van de overige
grootheden. Differentieeren we nna,r .t, dan kri^jgen we
ll^q^ in diezelfde grootheden uitgedrukt, daar do nieuw

optredende door do eerstgevonden waarde vervangen
wordt.

Geven we nu x een bepaalde waarde « en veronderstel-
len we, dat we voor x = (( substitueerend, krygen:

fdv\\ _ . {d\'^v\\ _

dan volgen hieruit en de gevonden uitdrukkingen voor:

te)..\'
waarden voor deze differentiaalquotienten.

- 68 -

Stellen we

y —

dan krijgen we de uitdrukking:

y = ([ {X) — q 1 « (.«-«) j =

d\'* n

waarin qpW («) de waarde van -j— is, als x daarin door « is

vervangen.
De reeks is dus te schrijven als:

y = (a; - «)  «2 . . .  «n . . . (3)

^ ! Iv l

welke formeel aan vergelijking (1) voldoen zal.

De coëfficiënten u^ , , enz. zijn volgens het boven
gezegde te bepalen, wanneer we slechts «o , «i... ,
kennen.

2. Nemen we als voorbeeld de vergelijking:

x\'^\'^^^ax hy..........(4)

dan willen we een reeks voor y vinden, die formeel aan
de vergelijking voldoet. Stel dat voor x — 0

is, dan moet \'

yn="o = 0

zijn. Uit de gegeven vergelijking volgt:
dy_nx-\\-by

(5)

dx

of

I 7

f(l]l\\ _ f(tx by\\ _ _dx

\\dx)o V \\ 2rf / " " ^ \'

y=o

- 69 -

dit geeft:

of

\\dx)o h

Uit (5) vinden we door differentiatie:

dx"

( clx- \\ dxj I •

Door hierin (6) te gebruiken, komt er-

(d- ?/\\ _ ( (Z.7;\'-\' dx\\
\\dxOo ^ 3.\'C

waaruit volgt:

V dx-Jo \\ dx- dx/o

of

/d-

Zoo doorgaande krygen wo als oplossing:

2/ = - }f 1 .^M-1 . 2 .. (n-1)! • | • (7)

die formeel aiin (4) voldoet.

1

3. Nemen we nu weer do vergelyking (1):

- 70 -

y-. r, • • • = O

en berekenen we de afgeleiden van y voor x = 0 door
naar x totaal te difFerenteeren en voorwaarden te stellen,
dan krijgen we een vorm:

Is deze reeks convergent in zeker gebied, dan stelt ze
in dit gebied een. integraal voor.

Immers, als we y door deze uitdrukking vervangen in F
dan zal men een functie van x verkrijgen, n.1.:

Bij hypothese zijn y en zijne afgeleiden zóo gekozen, dat
F en zijne afgeleiden nul zijn voor x—0. Deze afgeleiden

zijn voor ic=0 Ao, ^i, A^.....dus is de ontwikkeling

van F identiek nul, waaruit volgt, dat de aldus bepaalde
waarde voor ij een integraal van de vergelijking is.

Stel nu, dat de gegeven differentiaalvergelijking een
integraal heeft, die asymptotisch ontwikkeld kan worden
b.v.b.:

I , 7)12 1 I /ü\\
— —......(8)

Hebben bovei]dien de afgeleiden van y tot de n® toe,
elk eene asymptotische ontwikkeling, dan zal (8) formeel aan

F=0

voldoen. Drukken we n.1.

y%. • • •

uit op de wijze, zooals we dit veronderstellen en substi-
tueeren we deze ontwikkelingen in F dan zal men, door
de bewerkingen uit te voeren, die door F worden voorge-
steld, de asymptotische ontwikkeling van F krygen: deze
is echter identiek nul, want (8) is een integraal.

- 71 -

Hieruit blijkt dan, dat de asymptotische ontwikkeling
van y formeel voldoet aan

F — O.

Wanneer er dus integralen bestaan, die door asymptoti-
sche reeksen kunnen worden voorgesteld, dan voldoen deze
reeksen formeel aan de differentiaalvergelijking.

De asymptotische ontwikkelingen van de integralen moe-
ten dus gezocht worden onder de asymptotische reeksen,
die formeel aan de vergelijking voldoen.

Wanneer echter een asymptotische ontwikkeling en de
afgeleiden er van de functie F niet identiek nul maken,
maar er een ontwikkeling aan geven, die asymptotisch nul
is, dan zal de gegeven ontwikkeling niet formeel aan de
vergelijking voldoen en dus ook géén asymptotische ont-
wikkeling van een integraal van de vergelijking kunnen zijn.

5. Door middel van het voorgaande zijn we somtijds in
staat de asymptotische ontwikkeling eener functie, die zulk
eene ontwikkeling bezit, te vinden, wanneer een differen-
tiaalvergelijking bepaald kan worden, waarvan de functie
een integraal is.

Zij b.v.b.:

\'1 c^z _ 1

V = f

J c

Deze functie bezit een asymptotische ontwikkeling, zoo-
als we vroeger (iïoofdst. II. 2) zagen. Door differentiatie
vinden we:

dx Jo z Jo

d.r Jo

of:

- 72 -

De asymptotische ontwikkeling van de gegeven functie
moet nu gezocht worden onder de asymptotische ontwik-
kelingen, die formeel aan deze differentiaal-vergelijking
voldoen.

Zal nu de asymptotische ontwikkeling:

I mi ,mo mn

bestaan, die aan de gevonden vergelijking voldoet, dan
moet:

dy mi 2m2

C\\J —

dx x\'^ x^

en dus:

dy , , mi , mo — mi . m-^ - 2mo .

De asymptotische ontwikkeling van het tweede lid moet
herleid worden tot —. Dit eischt:

X

nio — O ; nii — 1 ; m» — mi ; m^ — 2ni2 ; enz. zoodat de
eenige asymptotische ontwikkeling, die voor y gevonden
wordt is:

1 , 1 , 2! , 3! ,

welke overeenkomt met de vroeger gevondene.
6. Eveneens vinden we de ontwikkeling van :

F (x) = ƒ dt = y
Differentieeren we, dan wordt:

dx Jx

— 177 —

Stel nu:

, mi , m-2 I

dan vinden we bij substitutie:

2 mo — O
2 mi — 1 enz.

waaruit dan volgt:

mo — O ; mi — \'/ï; m^. = 0; m^ = "Vi, enz.
zoodat de ontwikkeling wordt:

. , _L__L_ I Jll. _ iiM 1

2x ^ af\' 2^. ----

evenals in Hoofdstuk III. 14, gevonden is.

7. Ook nog:

nX-t

X

dx X \'^Jx-t

t

waaruit de differentiaal vergelyking volgt:

d l/ _ 1

u ~

Stel weer:

i m\\ , i rth ,

dan krijgen we by substitutie:

tuo = O ; )»i = 1 ; = - l\', ms = 2 !; m^ = - 3 !; enz.
zoodat de ontwikkeling wordt:

/w N 1 1,2! 8! ,

zooals ook vroeger in Hoofdst. III. 17 gevonden is.

HOOFDSTUK V.

TOEPASSINGEN OP DÜFERENTIAAL
y ERGELIJ KINGEN.

1. Fuchs heeft bewezen, dat de noodzakelijke en vol-
doende voorwaarde, opdat de integralen van de vergelyking:

2)my— 0.

voor x=co niet onbepaald zijn, daarin bestaat, dat in de
nabijheid van a: = oo de coëfficiënten ontwikkeld kunnen
, worden in convergente reeksen van den vorm :

- -t- ^^ -r

— i

— "I" ^

X-

_ t>n [

waar a, ft, c,... constante getallen zyn.

In dit geval zal iedere integraal de eigenschap bezitten,
dat ze niet oneindig wordt, wanneer ze met een bepaalde
macht (afhangende van den mird der vergelijking) van x
vermenigvuldigd wordt.

Deze integralen hebben gewoonlijk den vorm:

- 7Ö -

^r I c 1 ü 1 ^ I

waarin de waarde van r bepaald wordt door de vergelijking:

r (r 1) {r 2) •■ (r — 1) - ai r (r 1) -

••• (r m-2) Ö2r(r 1) •• (r -f w-S)--- ±/„, = 0.

Zijn er onder de wortels van deze vergelijking eenige,
wier verschillen geheele getallen zyn, dan correspondeeren
met deze groep wortels, integralen van den vorm:

(^) \'\'^ (s) ^ ■ ■ a;) ^^^ ■ ■

aarin ^u convergente reeksen zijn van den vorm:

.........(5)

De integralen heeten dan alle regulier in do nabyheid
van x = cc.

2. Stellen we nu, dat naby x = co:

I «1 I I

, 1 I ,

(0)

dan kunnen do integralen niet allo regulier zyn.
Substitueeren we dan in (1):

dan komt er:

(7)

76 —

I m ,„ 1 du , m{m — 1) ^ d^u .

w.{m-\\){m-2)
^ 3! dx^ -1- • • •

\\ { I , «2 , \\ I ™ 1 1 m-l ,„_odu.

(m-l)(m-2) I

^ dx^ ^ I ^

/

I /i, I I , \\ ,„ O I m-2 odu .

I {m-2){m-S) dHi . „J .
....................

De coëfficiënt van u, voor zoover die niet afhangt van
X, is dus:

«\'»    H----\\-ko" lo .... (9)

Bepalen we nu de waarde van « zóódanig, dat dit stuk
nul wordt, dan vinden we m waarden

«1 «2 «3 • • • • "in

Stellen we dari:

y = e«»® . u

dan krijgt de vergelijking bij substitutie den vorm:
d"\'u , / . , a\'i , a\'o , ^ d\'^-hi

dx"

I / I I _i_ A

- 77 -

Trachten we aan deze vergelijking formeel te voldoen
door een reeks van den vorm:

^ {.. Al . A2 . I

waar Ao -- O is en waarin \'»i zoo bepaald wordt dat de
coëfficiënt van den term, waarin de hoogste macht van x
voorkomt (d. i. dus nul wordt. Bedoelde coëfficiënt is:

Ao (ko\'Ql h\')

zoodat:

t\'i — —

ka\'

gekozen moet worden, terwijl Ao willekeurig is.

Nu worden de achtereenvolgende coëfficiënten Ai , A2,
enz. bepaald.

De coëfficiënten van .x\'\'\'"", x"\'"^, en zijn:

Ao 112\' ki\' (\'1 s„\' «1 (cn -1) t Al ko\' (c\'i - 1).... (x^\'\'--)

Ao I k2\' ni Si\' (>1 {i>i -ï) to\' qi (qi - 1) («, - 2) 1
yli I h\' 4- ki\' {ni - 1) So\' (qi - ]) (oi -2) 1

-\\-A2\\h\' ko\'{ni-2)\\.................(.\'»•>\'^-\'0

Ao\\h\' kt^\' Cl S-.\' «1 (C\'I -1) \' (\'1 (t\'i - l) (c\'i - 2)

(l\'i-l)(l\'i-2)(«i-3)|
Al I (»1 -l) si\' (C\'i - 1) (\'s\'i -2) to\' (c\'i -1) (t>i -2)(«i -3) j
Ao i k\' ki\' (ni - 2) so\' (c\'i -2) (in - 3) |
 ..................(x^\'\'-^)

Ao I  (c\'l - kn - l)(l\'l -2)H-

ri\' t\'i {<>1 - 1) (i\'i - 2) (c\'i - 3) (lo\' »1 (i\'i -1 )(i.i - 2) («I _ 3) («1 - 4) I
vli 1/4\' /.3\'(c\'I -1) S2\'(c\'i -1) (l\'i -2) /i\' (c\'i - 1) (1..1-2) k\'i -3)

n\' im - 1) ((>1-2) (a -3) (c\'i -4)t
h.\'(tM -2) .si\' (cm - 2) (ei - 3) to\' (oi - 2) («1 -3) (CM -4)1
1 h\' ki\' (c>i -3) (c\'i - 3) (c>i -4) t -I-
-i-.i4i/i\' A\'o\'(c\'i-4)i.................

- 78 -

In \'t algemeen is de coëfficiënt van re"\'"":

Ao I In\' (>. ... /io\' Cl (?i -1),. • • (i>i - « 1) 1
Ai I l\'n-l k\'n-2 («1 - 1) S\'n-3 (Pl - 1)\'(«1 - 2) . . . |

A2 1 l\'n-2 k\'n-3 (Cl - 2) (?1 " 2) - 8) . . . j
.............................

Men vindt dus een reeks:

X X- )

en m—1 analoge ontwikkelingen, die correspondeeren met
de wortels tf2, «3, • • • • «m

8. Deze ontwikkelingen zijn in \'t algemeen divergent;
ze voldoen formeel aan de differentiaal vergelijking, maar
zijn geen integralen.

Dat ze echter niet zonder beteekenis zijn en voor do
bepaling der waarden der integralen, voor groote waarden
van rr, gebruikt kunnen worden, heeft Poincaré aangetoond.
De belangrijkheid van dit resultaat blijkt daaruit, dat vele
reeksen, die in de theoretische sterrekunde gebezigd wor-
den, divergent zijn.

4. Nemen we i) een differentiaalvergelijking van den
vorm:

waarin de coëfficiënten j) polynomia van den graad zijn
en beschouwen we \'t eenvoudigste geval, n.l.:n=: 1. We
trachten y uit te drukken door middel van een integraal

y= f" i\'(2) rr^dz..........(11)

j io

\') PiCAKD. Traitó d\'Analyso. III.

- 79 -

waar de grenzen to en onafhankelijk van x zijn (deze
worden later bepaald) en waar r (z) een functie van 2 is.
Differentieeren we telkens naar ic, dan vinden we:

(12)

Nu berekenen we de producten

V = f \'\' (2) .\'ï; dz = [;■ (2) c\'-^t - jj\' ---vP e-- dz
J in io J >0

dy f\'J /X -r 7 r / \\ F" d (v (z). Z) ,

f(.7. J fo io »0 (\'H I

Do functie r{z) en de constanten en Ci denken wo
ons nu zóo gekozen, dat

[, (z) = O ; [;■ (z) z c-jj\' = O ; enz. [;- (2) 2\'» = ü.

" io io

Zetten we de coëfficiënten van de gegeven vorgelyking
in don vorm:

2)o = aoX b„ ; ih = aix bi ; . . pm = amX-\\-b,n

dan wordt do vergelyking, door gebruik te maken van
(12) en (18):

- 80 -

cl {r (z)

J - ~ "" dz \' " ~ ^^ \'^dz-\'\' ~

dr{z) ■

- . . . —^ »\'(2)

De uitdrukking onder \'t integraalteeken nul stellend,
komt er:

(a„ z\'» ai ---- z a,„) ^ -

- [bo 2\'" - {üo m-Ih)z»«-! - (ai (m - 1) - Ö2).. b,„] r=0

of:

waaruit volgt:

1 rfr(z)_g(z)_  ..

r(z) dz P{z) \' Z-«1 2-«m

Hierin is = — en stellen «1 «2 • • • «w de wortels voor

«O

van

P(z) = 0

(aannemende, dat P(z) geen dubbele wortels heeft).
Integreerende komt er:

log {r (z))=u z Zci log (z - «i ) /co fo^ (z - «2) • • /O» % (z - «„,)
of:

5. We nemen aan, dat er geen enkele betrekking be-
staat tusschen de coüfficienten van (10).

Beschouw éen der punten « b.v.b. «1 en trek door dit
punt in de richting van de negatieve ^-as een lijn even-
wijdig aan de (reëele) ^as na 2 = ^ gesteld te hebben.

Als integratieweg nemen

......................r/ we een lus beginnende in

^...................V \'t punt —00 op de ?-as;

het punt Co betcekent nu

- 81 -

in de figuur liet punt — oo op de De lus geeft dan
als integratieweg: Co ^ cirkel C, met straal r om «i als
middelpunt, H-rCi,
Het punt Cl valt in \'t oneindige met Co op de |-as samen.
Veronderstellen we verder, dat \'t reëele deel van x groo-
ter is dan dat van —,« d. w. z. de correspondeerende inte-
graal :

f\'\' e"- (2 - «i)\'^-\' (2 - . . . {z-u,„fm dz \'
j Co

zal dan een zin hebben (omdat .^ .«<0 is) en de voor-
waarden :

[v (2) f \' =0 ; [r (z) ze*^]^\' =0____[;■ (2). 2\'« e--^]\' = O

so »0 fo

zullen vervuld zijn. Zoo krijgen we dan m integralen van
de gegeven vergelyking.

6. Gaan we nu na, hoe die integralen zich gedragen
voor groote positieve waarden van x.

Aan de algemeenheid wordt niets te kort gedaan door
«1 z= O te veronderstellen en x te vervangen door x - ,
daar /t eindig is en x zeer groot genomen wordt; d. w. z.
we stellen fi = 0 ten opzichte van x.
We krygen dan de integraal:

ƒ 2^\' (2 — «O )\'•■!\'... (2 — «,„)\'\'■"\' e""" dz
—ooc-00

Deze bestaat uit drie deelen, n.1.:

/i = f z\'" (2-«2)^». . . (3-««.)\'\'"\' (\'\'\'""dz

J -00

I2 = j 2*\' (2 —«2)^\' • • • (2—«m)^\'" C\'^\' dz

ƒ., = ƒ 2\'\'\' (2-«2)^«. . . (2-«„,)\'\'•.« e---^ (Iz

- 82 -

Ii nadert tot nul, wanneer x, positief zijnde, onbepaald
toeneemt. Voor z negatief en kleiner dan —r ziet men:

waar ê een positieve grootheid is.

De integraal zal dus een absolute waarde hebben, die
kleiner is dan:

r

a. i. O-\'"-"

X — t

en nadert dys tot nul voor lmx = oo.

Evenzoo nadert het product van de integraal met xï, waar
•/ een willekeurige constante is, tot nul, voor Hm x —oo.

Hetzelfde geldt voor Is , zoodat Jo nog te onderzoeken
overblijft.

Beschouwen we hiertoe eerst de integraal:

I z\'f\' e^ dz
Je

en zoeken we de limiet van \'t product:

^fr. i I e\'^ dz
Jc

voor a; = 00.

Stel zx= — y, op een getal factor na komt er dan:
ƒ y^« e-y dy

langs een cirkel K met straal rx^ uitgaande van een punt
rx in \'t vlak van de complexe variabele ?/. Wo vinden dan:

f y\'\'i e-\'J dy = f e-y y^^ dy f c" dy =

Jk \' J rx Jo

j O

- 83 -

voor x—co, wordt dit:

(e2nfA, _  1)

Dit product is niet nul, behalve wanneer een positief
geheel of nul is, want in dit geval is

[e\'^nik, _ 1) z= O

en r (A-i 1) 0.

Is A;i een negatief geheel dan wordt: r{ki l) = ooen
dus \'t product niet nul.
Gaan we nu terug tot de oorspronkelyke integraal.
Voor voldoend kleine modulus van z, zullen we:

z\'^"\' (2 — «o)*^ . . . (z — «m)^\'»»

ontwikkelen in een reeks van den vorm:

Ao z^^ Al z^-\' i 4- Ao ........

Alleen de eerste term van deze reeks geeft voor .-c = oo
een limiet die van nul verschilt, als de reeks vermenig-
vuldigd is met (\'t geval ki = positief geheel of nul
wordt uitgesloten).

Nemen we de straal van de cirkel G voldoende klein
en beschouwen we weer:

.T^\' i f I AoZ>\'-\'-i-Aiz>\'-\' ^ H-----Irr-^dz

j c

We breken de reeks

Ao-\\-Aiz-\\-A2Z^-\\r. . . .

af by yl„2" zoodat de rost dan i?„ is.

Nu zyn er altijd twee getallen en {> zóódanig to be-
palen, dat:

\\A„\\< u . /j"
Dan kunnen we opschryven:

.... 1-1 I \'H-i

lin <

- 84 -

f Aoz^^ eF^dx -\\----h rr^-\' if Anz^^ \'^^dz f Enz^-\'e^dz. . (14)

J C J C J c

Door zx —-y te stellen gaat de laatste integraal over in:

f Rny^^e-ydy
Jk

waar K een lus is in \'t vlak van de variabele 2/, uitgaande
van \'t punt rx en er in terugkeerend, na om de oorsprong
gegaan te zijn. De modulus is dus, op een getalfactor na,
die onafhankelijk is van ki kleiner dan de modulus van

1 — r

Omdat verondersteld kan worden dat

r«< 1

is, kan men dus n groot genoeg kiezen, opdat de rest van
de som (14) kleiner is, dan welk getal men ook wil, on-
verschillig welke waarde x heeft.
De moduli van de eerste termen gaan over in die van:

f Aoy\'^^e-\'^dy;-f Aiy\'^\' ^e-\'Jdy; ^f e-\'-^ dy; enz.

J K X J K X J Ji

V

\'t Aantal is eindig; elk is zeer klein (want — is zoo klein

CC

men wil^z^rt behalve de eerste, zoodat de limiet der
som gelijk te stellen is aan de limiet van de eerste term,
welke niet nul is. Dus heeft \'t product van de integraal
met ic^\' i (behalve in \'t uitgesloten geval van A;i=:pos.
geheel of nul) voor x = (x> een eindige limiet, die van nul
verschilt.

Geven we «i echter en willekeurige waarde en nemen
wè /I ook weer aan, dan krygen we de integnial:

yi =Jef*\'{z — «i)\'-« (z - «o)\'\'».... (z — »,nf\'" e\'^\'dz

genomen langs de lus, die met «1 overeenstemt.

- 85 -

Om tot «1=0 teruggebracht te worden, moet z dan ver-
vangen worden door z «i en daarna moet \'t zooeven ge-
vonden resultaat toegepast worden op:

yi ■ e-

Zoo is dus gevonden:

Urn [jji . O en <C 00

= oo

als 2/1 de integraal is, die overeenstemt met «i

7. Uit het voorgaande is nu een asymptotische voorstel-
ling af te leiden voor

l/i 1)

Schrijven we n.1.:

e-<*,x xf\'. i = ^^ki-hi f . . . .

J L

r  f zk, dz......(15)

J fj J L

waar de integralen genomen worden langs de lus, die de
uiteinden in \'t oo heeft in de vroeger aangewezen richting
en die om z = 0 gaat, dan zien we, dat elke integraal uit
twee rechte stukken en éen cirkelvormig bestaat. Van de
rechte stukken weten we, dat \'t product van de integraal
met een willekeurige macht van x tot O nadert als x on-
bepaald toeneemt. We hebben dus slechts te beschouwen:

X"\'^^ ƒ Ao Z^\' e--«^ (/2 H----f- .-C^\' l jAn dz

Nu is:

\') PoiNCAnÉ. Acta mathoniatica 8.
Picard. Traité d\'Analyso III.

- 86 -

rc\'^\' i f Al = ^ f r e-y dy

J C X L J rx

g27riA-x r\\jki l g-2/ ^y
Jo

A, rrx »

= —r - 1) / cly —

X J O

— Aj^ {e^nik, _ 1) Vr -I- ^ 1) _ r y^ i i g-y dy
X L Jrx

Verder is:

Hm x^ \\ y^i^^ e-y dy

X = 00 L J rx

en ook de limiet van \'t product van de laatste term van
de reeks van (15) met een willekeurige macht van x is
nul, als X onbepaald toeneemt, want:

1 /t ««-1

f Bnz\'^e^dz

Jc

op een getalfactor na.
Schrijven we:

Ï4r - 1) 1 ^ 1) - r e-v dy j
1=0 L OC\' I J rr. )

Jc

dan vinden we volgens \'t bovenstaande:
Hm x\'^yi x^^-^"^ —

x = ao

— Um i - 1)  

x=oo i=0 ^ J rx

Hm x\'^i w i f z^i dz =

x = ao J C

= _ 1) r (ki Z 1) Htn t

1=0 ® X = 00

- 87 -

Zoodat:

waar f een waarde is, die voor oo verdwijnt.
Dus is:

 .... AT^ I)-

een asymptotische voorstelling.
We kunnen dus schrijven:

, l)(A:i 2)...(A:i n) f»

a;» "" x»J

lim fo = O

X=! CD

\'t welk ook in den vorm te brengen is:

of:

Onderzoekt men op gelyke wyze de uitdrukking:

. = f z,\'(z) e-\'- (Iz
(Ir. Jr,

dan vindt men:

lim. =r 0.

- 88 -

De termen, met uitzondering van die, welke f, bevat,
komen voort uit de differentiatie der gevonden reeks van
y^ (overeenkomende met \'t geen in Hoofdstuk Hl gezegd is.)
Ten slotte wordt gevonden:

waar lim f™ = O-

8. Substitueert men nu deze waarden voor:

\' dx \' dx^ \' ■ ■ ■ \' dx"^ \'
in de gegeven differentiaalvergelyking, dan stelt men de
coëfficiënten van de opvolgende machten van — alle nul,

CO

omdat n een getal is, dat zoo groot genomen kan worden
als men wil. Hierdoor worden dan de coëfficiënten P ge-
vonden.

Door (9) worden m waarden voor « gevonden en met elk
dezer waarden komt eene ontwikkeling van de hier ge-
vonden vorm overeen.

De uitdrukking, zooeven voor ?/, gevonden, valt dus sa-
men met een dier ontwikkelingen, welke in \'t algemeen
divergent zyn.

Hierdoor krijgen wy de stelling van Poincaré:

De m divergente ontwikkelingen van den vorm:

zyn de asymptotische voorstellingen van m integralen, van
de differentiaal vergelijking, wanneer x positief blyft en
onbepaald toeneemt, i)

») Poincaré. Acta Math. 8.

- 89 -

9. Dit theorema van Poincaré blijft onveranderd, wan-
neer men, inplaats van te veronderstellen, dat alle coëf-
ficiënten van de vergelijking

van den eersten graad zijn, aanneemt, dat ze van wille-
keurigen graad zijn. We zullen dit niet uitvoerig nagaan,
maar willen liever deze algemeene stelling toepassen op
de Besselsche differentiaal vergelijking:

d"y

doö
Stel nu:

dan komt er by substitutie:

da-

stel:

«2 1=0 dus « = ± è

én verder:

dan wordt gevonden:

2c. l=0 of 4

,,2| yli (2e-8)«yl2 = 0

waaruit:

1

- 90 -

■ ^ --\'1—i ^
— TT • — ci ■ -"O

(2o—1)« 2«

(2o-3)«

(2(>-5)« 6«

enz.

Deze substitueerend komt er:

y — Ao e"^ rc-\'/a

stelt men hierin u — i en u — — dan komen er twee
reeksontwikkelingen:

4r2-l 1 (4r2_i)(4^,2_9) i i

2/1 — AoC^. x-\'l\'i

4.4

f^ 4r2-l 1 ^ (4r2-l)(4r2-9) 1

4 (-2ix)

Volgens Poincaré zijn deze beide ontwikkelingen asymp-
totische voorstellingen van de integralen van de Bessel-
sche vergelijking. Om hieruit de asymptotische ontwikke-
lingen der integralen T, (x) en Y,. (x) te vinden, heeft men
dus slechts lineaire functies van yi en ?/2 te nemen en de
constanten behoorlijk te bepalen.
We nemen dus:

I,. (x) = A ?/i Byo
Om ^ en te bepalen maken we gebruik van:

r..,,{x) = i-xy (4--li)"

- 91 -

waaruit:

7- / X / 2 / sinX \\

enz.

13 5

Stellen we nu: = —; — ; ; enz. in ?/i en

^

dan komt er:
\'JV

— c« /, 3 3 \\ 1 3 3 \\

Uit:
volgt:

Uit:
volgt:

Uit:

- 92 -

volgt:

= - en B =

zoodat in \'talgemeen uit:

J,(x) =Ayi By2.........(16)

volgt:

A=-^_ en --

i 1/27r i l/27r

of:

I l

^ /

We hadden de vrije beschikking over de wiuirden van
A en B, die willekeurig genomen kunnen worden; we
hebben nu die waarden gekozen, welke de hier voorge-
stelde uitdrukking voor in overeenstemming brengen
met de uitdrukking voor , die op andere wijze gevon-
den wordt.

Schrijf 7/1 en 7/2 als:

. .. , 4;\'2_l I ] (4,\'2_I)(4,,2_9) lil,

= --^^^--21-T-P

4=5 ■ 3 1 ■ 8 i ■ .r\' ■ ■\' j

r^ 4 2i X 42 2! 4
_ (47\'2 —l)(4r2—9)(4i\'2—25) J_ _L J_ 1 I
4-"5 " 3! ■ 8i \' .....j

I

27—1

Stel: X--T-Tt = t;

4

, «

we zien dan:

1

- 93 -

git- Q-it -

i\\X2TTX
_ (4r2-l)(4r2-9)

42

(4r2-l)(4j\'2_9)(4j\'2-25) 1

43

- 1 (4.2-1) (4.2-9) J^ I

ilX^^ \' 4 \'2i\'x\\ 42 • 3! • 22 • rr^^-•)"

(4,,2_9)(4,,2_25) 1 , i

42 ■ 3! ■ 22x2"^ • • "j

(4r2-l)(4i\'2-9) 1 1 , ) . / 2;—l \\ ,

r -—42—- • ^ • • • • j (^—4- V

, 1 /"T 4r2_l 1 (4r2-9)(4r2_25) 11, / 2r-l \\

^V ~x - TT-------3! • • ^^—T-^J •

1! 42

Hier vinden we dus weder:

2r-l

\\/~ jPn sin {x-^-^ n) ro« n)

evenals in Hoofdstuk Hl, 23.

Voor oneindige waarde van \'t argument word vroeger
reeds gevonden:

dit is de eerste term van de zooeven gevonden ontwikke-
ling voor lim x=\'x> d. i. voor zeer groote waarden van x.

10. Om J_,, {X) te ontwikkelen gebruiken we:

W = (- D\' " sin ^.

— 94: —

waaruit voor 2, 3 enz. volgen:

(x) = — x-\'l"- {X sin X cos x)

1 yY\' / . .cos x\\

= — 1/ — . ( sin xi--)

y ttx \\ X J

, , , 1 /"IT /3 sin X . \\

enz.

Stel nu: v = — \'/i ; — \'/i ; — \'i-i in yi en y^ dan komt er:

_ (>ix _ q-ix

2/1,-\'/.—Ti^ \' y^-Vi —

o-ix

^ (i- 7^) 

_ e« 3 3 \\ ,3 3\\

.-V.- 1 - ^-; \' 2/2,-V.-

üit: J-v, {X) = ^2/1, ^2/2,-\'/,

volgt: • ^ = en

Uit: ƒ_./, [x) = ^2/1,-Va Byo-\'U

volgt: ^ =

Uit: ƒ_./, (rc) = vl?/i /^2/2.-v.

volgt: vl = ——en B=- ^

U it: 7-73 {X) = ^//i,-\'/.

volgt: en =

In \'t algemeen zal uit:

- 95 -
I-,. {x) — Aiyi Biy^
2i\'-l

Til

(17)

^V — l

I-. {x) =

waaruit gevonden wordt:
T (4r2-l)(4>-2-9) 1 1 1 1 /

K2 4r2-l 1 (4r2-9)(4>-2-25) 111, ( . / , 2r-l \\

11. Als y geheel is vinden we:

{4r2-l)(4r2-9) 1 1 1
p

f /T" 4r2-l ( 1 (4,2-9)(4r2-25) 111,1/ 2;—l \\

V ^x -w irr- --p--sT- 2^- ^ —r\'V

Hieruit vinden we óok, dat voor geheele waarden van r:

lAx) = {-\\Y l^Ax)
Voor v = 0 zyn /,, (x) en (o;) gelyk. i)

\') Door V to vorandoron in —v blijft de difforentiaalvorgolijking
onvorandord; dan is or nog oen oplossing n.1.:

Dit is dezelfde als do zooevon gevondene.

- 96 -

12. Stel e-^\'^\'—u

dan is in (16) en (17):

a t3 1 ^ 1 75 «

De gevonden particuliere oplossingen yi en y^ komen
overeen met die, welke uit Ir{oc) en T_y{x) afgeleid
worden op de volgende wijze:
Zijn:

7/2 I,, (x) B\\ (x)

dan vinden we, omdat we:

I,. (x) = Ayi B7j2

en J_ „ {x) = Al yi Bi y^

hebben aangenomen, dat:

B — —i--7 , Bi — —-j—7-

1 -[- «» 1 -j-

genomen moeten worden, om de gevonden particuliere
oplossingen yi en y^ te verkrijgen uit de bekende functies

en I_,,{x).

13. Bev/ezen is: i)
d Iy(x) 2 i l \' I

\'t Tweede lid kan volgens de stellingen uit Hoofdstuk Hl
asymptotisch ontwikkeld worden, zoodat ly (a;) een functie

\') Foksyth. Differential equations, p. 161.

— 97 —

is, die, asymptotiscli voorgesteld, gedifferentieerd mag
worden.

14. Uitgaande van:

vinden we op geheel analoge wijze:

, 1 /"X 4J-2-1 ( 1 (4r\'-\'-9)(4r2_25) 1 1 , |./ 2;\'-l \\
Eveneens vinden we:

15. Door in de bekende betrekking:

-r-^-\\C0S l\'TT T^. —

sin rn \' \' \'

te substitueeren:

ly —p sin « <1 ros «
en ,, = p sin {« \'\' -r) r/ cos {« -f- r ,t)

VO"

2r — 1

on X— ^ 7T = « gestold zijn, komt er:

1-:-psini( 7cos«) — ])(sinucosr.T 4-.cos«sin r.r)

sin /\'TT

— (j,{cos « cos r:r — sin « sin r-r)]
— — p ros «(] sin «

- 98 -

of

Door in:

= sin i\'TT I,, cos VTT. F,, (x)
evenzoo te handelen komt er :

Y__ ,,= sin vtt (p sin «-]-(/ cos «) cos rn (—p cos « <7 sin «) =
= —p» ros (« i\'.T) q sin (« i\'tt) =

■ 1 2r—1 , 1 ■

. j , 2r-l I , ( , 2r-l i
=p mn j X H--— w-j q ros j x --— tt ^

of:

16. Resumeerende krijgen we dus:

\\/fx± OI

r_„(.r)co j/A sin Q„ ros

17. Nemen we verder nog als voorbeeld do differoii-
tiaalvergelijking:

of:

- 99 -

Door hierin y^e^-^.u te stellen, krijgen we een derde-
machts vergelijking op te lossen ter bepaling van drie
waarden voor l.

Kiezen we nu « = — en k —
dan vinden we:

(Pu .dhi / . 7 M if^\'^q;, 7 j c f\\

V •> X , X () x-\' x-^ J

Nu stollen wo:

= "........(\'«)

waaruit volgt:
Do vergelijking gaat dan over in:

stellen wo nu:

dan krygen wo tor bepaling van en van do coëfficionton A :

Ib r.\'l- (.\'U- 0 o = ()
t

A„ j (3?. - O (o - I ) (2/. H-r) rf/. f-V,|\\^-A I j (3/. - (l\'- 1)

100 -

violet\' (si-

A2 j (31 - (n_2)(o- 3) (2/.& c)(o-2) // r/j

^3 I (3/. -  /. = 0

A^ j(si - (« - 3) (n - 4) m c) {n - 3) f {/\\

A, j (^3;. - (O - 4) Ih cj l = 0.

De recurrente betrekking tussclien drie opeenvolgende
coëfficiënten is hierdoor bekend.
Uit de eerste dezer vergelijkingen vinden we;

_ Ib c

I-s;.

Ao is arbitrair. We krijgen dus drie particuliere inte-
gralen ; is elk met een arbitraire consfcinto vermenigvul-
digd, dan vinden we door optelling de algemeene integraal.

HOOFDSTUK VI.
Vervolg.

1. In de hoofdstukken III en V is een kort overzicht
van de methode van Poincaré gegeven; daarby is vooral
\'gelet op het toepassen in de praktijk.

Latere schrijvers zooals Kneser, Horn, Jacobsthal en
Weber hebben differen tiaalvergely kingen van de eerste
en tweede orde onderzocht.

De methoden van de drie eerstgenoemden zullen we in
\'t kort vermelden, zooveel mogelyk echter weder hot oog
houdend op de praktische toepassingen.

I. Methode van Kneser.

2. Kneser onderzocht do reöelo integralen van de diffe-
rentiaalvergelyking:

{Vhi , du ,

= o........ (1)

wluvr:

I f\'i I rt-j 1

= — -— H-----

.c .co
— ; I 1

asymptotische ontwikkelingen met reöele coöfflcienten zyn*

— 102 —

De gezochte integralen kunnen allen door asymptotische
reeksen voorgesteld worden i).

3. Aan het eigenlijk onderzoek gaat een algemeene
beschouwing vooraf over differentiaalvergelijkingen van
den vorm:

waar /", binnen een zeker interval « < x < voor wille-
keurige waarden van y eindig en continu is en steeds \'t
zelfde teeken heeft als y.

Verder geldt de voorwaarde, dat een reëele continue
integraal van de vergelijking voor het geheele gebied
binnen \'t interval ondubbelzinnig bepaald is door voorge-
schreven waarden van w en •

dx

Nu worden de volgende resultaten gevonden:

dv

1°. Van de functies y Qn kan er binnen het inter-
val niet meer dan éen nul worden en deze niet meer dan
een maal.

2°. Wordt verder nog geëischt, dat f tegelyk met y
toe- of afneemt, als x een bepaalden weg doorloopt, terwijl
\'t interval zich -aan den positieven kant tot in \'t oneindige
uitstrekt, dan bezit de vergelijking twee soorten integralen,
maar ook niet meer dan twee.

De eerste soort omvat die integralen, welke steeds aan-
groeiend of afnemend ± oo tot grens hebben. De verhouding
van twee zulke integralen heeft de eenheid tot limiet.

Tot de tweede soort behooren die integralen, wjuirby y en

\') Untersuchungen und asymptotische Daratollung der Integrale
gewisser DifF. gl. bei grossen reellen Werthe des Arguments. Crelle\'s
Journal (1896 - 99). Bd. 116-117-120.

— 103 —

tot nul naderen, terwijl de een steeds aangroeit, de

ander steeds afneemt. Twee integralen van de tweede
soort zijn identiek, zoodra ze in éen punt van \'t interval
gelijk zijn.

4. Onder de beschouwde vergelijkingen ressorteert:

= ......... (2)

waarin

Um (f/ = O

x=co

en a- een positief getal is, terwijl bovendien wordt aan-
genomen dat:

•X

IJ\' (x) dx = eindig is.

Dü integralen van (2) zyn tot do tweo zooovon vermelde
groepen te brengen, n.1.:

(1 ^0......... (3..)

dio steeds aangroeien on voor x=co tot \'t oneindige
naderen en

= a t.)......... (B\'O

Wfuirby //s en ~ tot nul naderen, torwyl do oen steeds

(\'X

aangroeit en do ander steeds afneemt.

Do coëfficiënten Bx on B^ zijn constanten; voor.\'t; = oo
gelden:

lini = /im. f y = Um f\'i = Um <-\'o = O.

5. Vergelijking (2) wordt uit (l) afgeleid, door in deze
to substitueeren:

u =!/ G- VsJ
In de daardoor vorkrogon vergelyking:

— 104 —

c]^

clx^

is de coëfficiënt van een asymptotische reeks, als de
coëfficiënten van (1) asymptotische reeksen zijn (volgens
de stellingen van Hfdst. III.)
De vorm (2) wordt nu verkregen door:

Co = bo--^ — ci^

te stellen, terwijl verder voldaan moet worden aan de eisch:

Cl =öi—Y «O «1=0.

6. De resultaten in art. 4 vermeld, vinden een gewich-
tige toepassing op de asymptotische voorstelling van de
integraal van een lineaire differentiaalvergelijking door een
divergente reeks, die formeel aan de vergelijking voldoet.

In \'t bijzonder toont Kneser nu aan, dat elke integraal
van de differentiaalvergelijking:

dx^

waar de coëfficjent van y een reëele machtreeks is, waar-
van het convergentiegebied niet verdwynt, asymptotisch
kan worden voorgesteld door een reeks:

I "1 I I I "n

X X" x^

7. Analoge onderzoekingen stelde Kneser in omtrent
differentiaalvergelijkingen, wier reëele integralen oscilla-
torisch zijn d.w.z. integralen, die voor groote reëele waar-
den van \'t argument oneindig veel malen verdwynen. In
\'t byzonder wordt de vergelijking:

- 105 -

onderzocht. Ook hier ontbreekt de term met — .

x

Nadat vooraf aangetoond is, dat alle integralen van dezo
vergelijking voor groote waarden van x voorgesteld kunnen
worden door:

ij=Gi cos ax Co sin clc f
wtuirin Ci en Co constanten zyn en
lim f = lim f\' = O

x=oo a;=eo

wordt de asymptotische voorstelling van deze integraal
gegeven, n.1. als:

U ^ CVS ax. j „„ ^. ... a.-, j ..

waarin «<, en i^o willekeurige (Cj en Q> van do vorige
uitdrukking) constanten zijn.

8. De BESSEL\'sche vergelyking:

dx- dx . ^ \'

wordt door de substitutie:

JL

herleid tot:

Daardoor wordt als algemeene integraal gevonden:
// .>5 (r^o i\'OS X sin x) Pn — ("o Sin X - {io cos x) Qn
wjuiruit dus:

u (O ^ - {«O cos X (io sin X) 1\\ — («„ sin x - (io cos x) Qn

— lOH —

(die gemaklvelijk te herleiden is tot den vorm, gevonden in
Hoofdstuk ni art. 25).

9. Ook voor \'t geval, dat de bepaalde integraal:
/ (f\' (x) dx

j x

niet eindig is, worden uitdrukkingen voor y afgeleid. Daar-
door wordt dan de asymptotische voorstelling van de
integralen van de vergelijking:

d-y / .> , Cl I Ca , \\

met reëele coëfficiënten, voor reëele oneindig groote waarde
van X, afgeleid.

Deze voorstelling is:

wajirin «o willekeurig is. De coëfficiënten «i , , enz.
zijn zoo bepaald, dat de reeks formeel aan do vergelijking
voldoet.

Voor negatieve waarden van a krijgen we dus integra-
len, die nul worden voor x=x) ; al deze integralen zyn
dus alleen van elkaar onderscheiden door constante fac-
toren n.1. «0.

Is a positief, dan hebben we door dezelfde formule de
asymptotische voorstelling van alle integralen, die oneindig
worden voor x = co de limiet hunner verhouding is in
dit geval de eenheid.

10. De gevonden resultaten worden door Kneseu ton
slotte gegeneraliseerd voor de vergelyking:

d-y

dx^

waarin:

— 107 —

Kunnen nu een positieve echte breul: y en twee posi-
tieve constante getallen g en fir\'\'gevonden worden, zoo dat
voor x\'>g:

\\xy <i\'{oc)\\<gi en \\iT{x)\\<gi
zijn en dat verder

f MïH^^

Jx X

een eindige grootheid is, terwijl de functies q (.c) en q\'ix)
continu en a en ci reëele constci.nten zyn, dan is:

kleiner dan zekere vaste grens, zoodra x^g is, terwyl
dan ook de integralen van do vergelyking, evenals hunne
afgeleiden voor groote watirden van .-c, tusschen eindige
grenzen liggen.
Die integralen hebben dan den vorm:

!/= Cl c\'Oö\' j-^ logx ax j C,< ain j hg x ux | f
waar Ci on Cj constanten zyn,^terwyl
/i,n f = Um = O

Do algomoene reëele integraal van do vorgelyking.-
f^\'.\'/ I j .) I f-\'i I \'\'-1 I I

wjuirin do coëflicient van //, voor groote waarden van x
convergent is en de constanten a en c reëel zyn, wordt
dan voorgesteld door do reeksontwikkelingen:

(„„ ^ ^ ...) c» lo,j s „,.)

- 108 -

« en (5 zijn reëele constanten, die te bepalen zijn; en
j5o zijn arbitrair.

11. De oorspronkelijke vergelijking:
heeft dus, voor \'t geval dat

Oo — ho —j- «o" < O

4

is, integralen, die asymptotisch voorgesteld worden door:

^ «o J: K\' -CO «

en wanneer:

Co > O is door: ^

II. Methode van Hokn.

12. Vooreerst houdt Horn i) zich bezig met de verge-
lijking van de eerste orde:

..........^^^

waarin k een geheel positief getal voorstelt en f een con-
vergente machtreeks voor kleine waarden van | .i; | en
I y I voorstelt.

De integralen van deze vergelyking worden voorgesteld
door reeksen, welker termen te bepalen zyn. Deze reeksen
zijn, zooals aangetoond wordt, convergent voor voldoend
kleine reëele positieve waarden van a;, wanneer het reëele
deel van f (O, 0) positief is. \'

\') Cbelle\'s Journal Bd. 119 en vlg.

— 109 —

13. Vervolgens onderwerpt PIorn de gevonden integraal-
iiitdrukkingen, die voldoen aan:

(waarin de machtreeksen voor voldoend kleine waarden
van X convergeeren) aan een nader onderzoek en wel:

met betrekking tot hun gedrag bij nadering van x
tot het onbepaalde punt .\'c=0
20. ten opzichte van hun gedrag bij omloop om dit punt.
Eindelijk nog worden die waarden van x, in de omge-
ving van .Tj^O bepaald, waarvoor de integralen gegeven
wjiarden krijgen, in \'t bijzonder bij de nulplaatsen der
integralen.

Het onderzoek onder vermeld, geschiedt door in (2)
to stellen :

y — ?/ O r = l *■ \'• ~

waardoor de vorm van de vergelijking dezelfde blyft, maar
do coëfficiënt van x den vorm krijgt:

(to ai .X   (Ik

Zonder aan de algemeenheid to kort te doen, kan a„ •=■ 1
genomen worden.
Wordt nu:

an.....(3).

luingenomen, dan wordt als algemeene integraal van (2)
gevonden:

.....(4)

Do integratieweg begint by x = 0 in zulk een richting
dat: lim 1 = 0 is.

X = O

14. Do algemeene vergelyking:

— 110 —

wordt formeel voldaan door:

waarvan de coëfficiënten te bepalen zijn.
Nu voert Horn k integralen van (5) in, n.1.:

(Uit\'(4) door 0=0 te nemen). De integratieweg giuit
uit van x = 0^ zóódanig, dat:

(4m —l)7r _ , - (4m l)7r

^ \' < arg. x < ^--—

2k 2/.:

Verder blijft x alleen in deze sector en in do beide aan-
grenzende, d.w.z. arg.x blijft in \'t gebied-

4w-3 ^^ 4m 8

TT tot -- TT .

2/c 2k

Wordt nu een functie aangenomen, waarbij dezelfde
integratieweg gebruikt wordt als voor i/, n.1.:

h- — t-^ r x»-\'--\'^ t dx

J O

dan komt er door partiëele integratie:

f (1 rti X-h c(2 .-i;- ... ((/c / dx=x\'\' t-i f .r"-\' / </x

Jo Jo

of:

1,4- «1 . .. ak-\\ h u-\\ {(\'k \'•) Ir K- ==
Hierdoor wordt dan gevonden:

1 r.x/ = ho 7o 7i . ■. hn A. — Ih A. i • • ■ - Ih A. /.-
of:

00

- 111 -

Vm = - h,. = Cl x ... c„ .r» 7?1 ƒ„ ! ... Bu /„ a-
,. = 0

ö„ i/„ i enz----

Stelt men:

?/„»= C; f„ x"
A = 0

dan wordt bewezen: | f,, | <f
wanneer: | .\'c | <

waarin (>„ een positieve grootheid voorstelt en ara. x in
de aangegeven drie sectoren blijft.
Zoo wordt dan gevonden:

voor: hm. .r = O en ——— < arg. x. < —-