. /VI ..

- M ::.....■

, : ■

Sl(x)nulrukkcrij „de Industrie" J. Van Dkuten - Utrecht

>905

Aan het einde van mijn proefschrift gekomen is het mij
een aangename taak U, Hoogleeraren der Wis- en Natuur-
kundige Faculteit, mijn dank te betuigen voor het onderwijs,
dat ik van U mocht ontvangen.

In het bijzonder voel ik mij verplicht aun U, Hoog-
geleerde De Vries, Hooggeachte Promotor, door Uwe
voortdurende belangstelling in mijn werk en door de vele
raadgevingen die ik in verschillende omstandigheden van
U ontving.

§ 5. De involutie I3 op een rationale vlakke C3. . . 47
6 en 7. De involutie I2 fip een kromme van de viorde

	I.
§	2.
§	3-
	4-
	5-
§	6.
	1\'

§ II. Het geslacht van het regelvlak (Pi Pg) . . .
§ 12. De ruimtekromme waaraan de vlakken (P, Pj P3)

«Hebben • wij een stelsel van puntenparen Pj Pj, zoo dat
Pj en P2 elkaar ondubbelzinnig\' bepalen, dan noemen wij
zoo\'n puntenstelsel eene involittic van den tweeden graad of
eene I2.»

Een bundel kegelsneden bepaalt op een willekeurige rechte
/ zoo\'n involutie. Immers neemt men op / een punt dat we
Pj noemen dan bepaalt dit punt met de vier grondpunten
Al A2 A3 A4 van den bundel een kegelsnede die /, behalve
in P|, nog in een tweede punt snijdt Dit laatste punt noemen
wij nu P2. Het is, wainieer J^i bekend is, geheel ondub-
belzinnig aangewezen. De kegelsnede (A, A2 A3 A4) Pj P2
is echter ook bepaidd zoodra het punt P2 gegeveji is. Dan
vinden wij bij P2 het zelfde punt Pi w;uirvan wij vroeger
uitgingen.

Men zegt nu dat de punten Pj cn P2 aan elkaar zijn
tfoegcvoegdt, dat wil tlus zeggen dat wanneer we één van
dib punten weten, het andere ook aangewezen is.

Het is duidelijk dat \\oov alle punten])aren door de ver-
scliilleiide e.xemplaren van den kegel.snedenbundel op / inge-
sneden, hetzelfde kan gezegd wcirden en dat wo op die
main\'er op de lijn / een .stelsel van oneindig veel punteni)aren
hebben verkregen, dat voldoet iian de bci)aHng van eene
involutie van den tweeden graad aan het begin van deze
S ge.steld.

We kunnen gemakkelijk drie iKiren eener {2 verkrijgen
door ons te bedienen van de drie ontaarde kegelsneden
ga^ulde door do vier b;isi.spunten.

Door middel van de algebra laat zich het begrip van
involutie even goed verstaan. Voor de algebraïsche voor-
stelHng der involutie kiezen wij op de drager l een wille-
keurig punt X dat nulpunt van telling wwdt voor de afstanden
of abscissen van alle punten der lijn l tot aan dat nulpunt
X. De stand van een punt Pj op / is dan door de abscis x
bekend, tenvijl evenzoo de plaats van een punt P2 door de
bijbehoorenden abscis 3\' kan gegeven worden.

a x y b (x y) c = o . . . . (i)
waarin a, b en c bepaalde coëfficiënten zijn, dan blijkt on-
middellijk dat wanneer het punt Pi en dus de x bekend is,
de y ondubbelzinnig wordt gevonden en andersom, wat
weder hierop neerkomt dat de punten P] en P2 elkaar vol-
komen bepalen, of m. a. w. dat Pj en P2 «toegevoegde»
punten zijn. Maar het is eveneens duidelijk dat welk punt
men ook op / als Pi kiest, men diuirbij .steeds één punt P2
zal vinden en dat dit laaLste punt weder het eerste kan
opleveren.

De beschouwde toestand van de oneindig vele punten eener
rechte lijn / is .slechts een bijzonder geval eener meer alge-
meene gedachte. Het kan n.1. zijn dat aiin het punt P is
toegevoegd het punt Q, miuir dat nu het punt Q niet het
punt P aangeeft maar een ander punt van /. Er besta.\'in
dan eigenlijk twee punten.stel.sol op /: het stelsel (P) en het
stelsel (Q). Men noemt ze collocaal, omdat zij op denzelfden
drager zijn gelegen. Elk punt van l is oj) te vatten als een
j)unt P van het ééne stelsel en wij.st dan het toegevoegde
punt Q van het andere stelsel ;uin. Mjuir noem ik dat eerste
punt Q\'(=P) dan hoort er een punt P\' bij dat niet het ge-
noemde punt Q is. Wel zijn de punten der lijn / één ;uin
één ;uin elkaar toegevoegd, welk verband men een projeciiej
verband noemt, of ook pnyectieve verwantschap. Door eene
bilineaire vergelijking van de gedaante

axy bx cy-f d = o . , . . (2)
is zij volkomen bepjuUd, wat na het gezegde geen verdere

toelichting behoeft. Stelt men nu in deze laatste vergelijking
de coëfficiënten van x en y aan elkaar gelijk, dus b = c,
dan komt vergelijking (i) te voorschijn, waarmee is aange-
toond dat de quadratische involutie een bijzonder geval is
van eene verwantschap één aan één, gedacht tusschen de
oneindig vele punten eener rechte lijn.

§ 2. Wij keeren terug tot de vergelijking (i) der quadra-
tische involutie, en schrijven die in den vorm

ten opzichte van het nieuwe nulpunt M. Onderstellen we
het geval $ = pj, dan wordt (3)

waaruit blijkt, dat er steeds /rcrr punten D| en D2 bestaan,
die met hun toegevoegde punt sjunenvallen. Men noemt ze
de (iuhhclpun/t n der (]uadratische involutie. Ook uit verge-
lijking (i) volgt het ontniddellijk; men .stelle .slechts x=y
wjuirdoor een quadratische vergelijking in do parameter x
onLsUuit waarvan de beide wortels de twee dubbelpunten
dor I2 vortegonwoordigon. M.uir de vorm (4) hooft het voor-
deel dat daaruit eenvoudig is to zien, dat het nieuwe nul-
punt M hot midden is der beide dubbelpunten I)| en Dj.
Meetkundig laat zich vergelijking (3) nu op de volgende
wijze schrijven, wanneer P,, P2 eon willekeurig iiiiar dor I2

liotgeen eenvoudig wil zoggen dat de punten Pi en Pj door
de dubbelpunten dor involutie harmonisch worden go.schcidon,
welke stelling voor directe omkeering vatbaar i.s.

bestaanbaar maar ook onbestaanbaar kunnen zijn; imagi-
naire dubbelpunten komen in het volgende geval voor.
De verwantschapsvergelijking der quadratische involutie had
den vorm

zij bezit klaarblijkelijk hvcc onafhankelijke coëfficiënten, d. w.z.
elke quadratische involutie is door twee paren volkomen
bepaald, of anders: wanneer twee paren gegeven zijn, kan
men alle andere paren vinden.

Stel nu de paren A,,A2 en Bi,B2 7.ijn op de drager /
gegeven. Richt men nu op A, A2 en B] B2 als middellijnen
twee cirkels op en neemt iian dat zij de snijpunten S en S\'
hebben. Wij zien dan dat S A, ± S A2 en S B| _L S B2.
Kiest men C] willekeurig op / en verbindt C, met S, dan
staat in S maar één lijn loodrecht op C) S. Snijdt deze
loodlijn de lijn / in het punt Q, dan geldt SCi ± SC2. Bij
eiken willekeurigen straal C] S, wordt slechts één andere
gevonden Q S, en omgekeerd doet C2 ^ weder Cj S terug-
vinden. Breiden we de bepjding, aan \'t hoofd van deze §
genoemd, uit tot stralen van eene waaier dan blijkt dat al
de rechte hoeken in \'t punt S gevormd eene stralcninvolutic
uitmaken van den tweeden gnuid.

De snijpunten van toegevoegde .stralen n.1. de punten
A|,A\'2; B|,B2; Ci,C2 enz. zijn nu vanzelf in een I2 gerang-
schikt Door het i)unt S of ook door het ten opzichte van
/ .symmetrisch gelegen punt S\' is de I2 volkomen bepaald.
De twee paren Ai,A2 en B1.B2 geven aan waar de punten
S en S\' zijn te vinden en hiermee is. de .stelling dat elke
quadratische involutie door twee jiaren volkomen bej^aaUl
wordt ook meetkundig opgehelderd.

Bij de .straleninvolutie {S) is het best;uin van (1uhbrhX.rS\\Q\\\\
ten eenenmale onmogelijk en de bijbehoorende punteninvo-
lutie op / kan dan ook geen r///^^^\'/puntcn vertoonen. Wij
hebben hier een geval van imaginaire dubbelpunten ver-
wezenlijkt Men kan ook zeggen de jxiren der bedoelde
involutie worden ingesneden door alle cirkels gjuinde door

de punten S en S\', en de onmogelijkheid van het onstaan
van dubbelpunten is weder in te zien.

In geval de paren Ai.Aj en Bi.Bj zoo gegeven zijn, dat
de segmenten Aj Aj en Bj Bj elkfiar uitsluiten, zal de be-
sproken constructie falen; we volgen dan een anderen weg.

Ergens in het vlak beschrijven wij een willekeurigen cirkel
en nemen diiarop, eveneens willekeurig, het punt M, aan.
De lijnen Mi A, en Mi A2 snijden op den cirkel de punten
Xi X2 in; de lijnen Mi Bi en Mi Bj de punten Yi, Yj.

Denken wij juin alle stralen door Mj of van den waaier
Mj, dan vormen dc op eiken straal gelegen snijpunten met
den cirkel de paren eener quadratische involutie. De stralen-
bundel (M,) geeft op dezelfde wijze een involutie van den
tweeden graad. De beide collocale involuties hebben de paren
(X,,X2) en (Yi,Y2) gemeen; zij zijn derhalve identiek, d. w.z.
de beide w;uuers (Mi) en (M2) snijden dezelfde involutie op
den cirkel in. Of ook de verbindingslijnen van toegevoegde
l)unten eener I2 op een cirkel gaan door een vjist punt
Hier het punt M2.

Is het punt M2 uit de twee gegeven i)aren Ai, A2 cn B,, B2
gevonden, dan trekken we een willekeurigen straal door M2,
die de snijpunten Zi Z2 oplevert Projecteer deze uit Mi,
dan wijzen de lijnen Mi Z\\ en Mi Zj op de lijn / het ixuir
(Ci,C2) der involutie ;uui, waartoe ook Ai,A2 cn Bi, bo-
luxiren. Uit M2 gaan nu of twee reüele of twee imaginaire
raaklijnen aan den cirkel.

In het eerste geval zullen de beide raakpunten K| en R2
de duboeljnmten voorstellen der involutie (X, Y), en zij zullen
uit M| geprojecteerd noodwendig de beide bestaanbare dubbel-
punten der op / gelegen involutie (A B.) aanwijzen.

(iing de eerste constructie .slechts in één geval door, de
laatst be.siirokene is in f>f\'it/r gevallen te gebruiken.

Lettende op de drie ontaardingen zien wij de bekende
stelling van Desargues dat de overstaande zijden van
een volledigen vierhoek op een rechte drie paren eener
zelfde involutie insnijden.

2. Elke I2 bezit twee dubbelpunten. Door vier punten gaan
derhalven steeds twee kegelsneden die een gegeven rechte
aanraken.

3. Ligt de gegeven rechte in het oneindige dan blijkt dat
er door vier willekeurige punten stèeds twee parabolen
gaan.

zoodat elke groep door één harer punten, onverschillig welk
volkomen bepaald is, dan noemen wij zoo\'n puntenstel.sel eene
involutie van den gniad of eene lp.»

^Vlgebraïscli kan men de involutie viin den p*^" graad, op
de lijn l als drager gelegen, voorstellen door de vergelijking

wïiarin a\\ en functies van den p*"" graad in x zijn. De
coördinjiat x is te rekenen van af zeker nuljiunt op den
drager / en A is een parameter. Zoodra men aan A een
bepjudde wiiarde toekent, levert de vergelijking (i) voor de
veranderlijke x blijkbaar p waarden. ^ Elke wiuirde van a
geeft een groep van p punten aan.

Is omgekeerd een punt P, door de abscis Xj gegeven dan
wordt door de substitutie dezer abscis in de vergelijking (i)
de parameter A gevonden cn zijn de p wortels van verge-
lijking (i) bepaald. Hieruit is te zien dat door één punt jP,
.steeds een groej) van p punten bepaald wordt waartoe ook
dat punt Pi zelf behoort, terwijl het weder onverschillig is
van welk punt der groep men uitgaat.

De mogelijkheid bestaat dat de vergelijking (i) voor een
bepaalde waarde van A twee gelijke wortels bezit. In zoo\'n
geval is hare afgeleide nul. Eliminatie van A tusschen ver-
gelijking (i) en hare afgeleide zal eene vergelijking van den
graad 2 (p—i) in a: doen ontstaan d.w.z. «Elke involutie
van den p®" graiid bezit 2 (p— i) dubbelpunten».

Neemt men op den drager der lp twee nulpunten aan, dan
kan men de plaats van een punt bepalen door de verhouding
der afstanden tot die twee nulpunten en met homoge^ne
coördinaten werken.

De functies u en v zijn nu van den p"^" graad in Xi en X2.
Voor dubbelpunten der lp moet nu gelden:

Deze functionjuil determinant is van den graad 2 (p—i),
waaruit het bovengenoemden resultjuit weder blijkt

Op .soortgelijke wijze is te onderzoeken of dc lp drie- of
meervoudige elementen bezit . Maar in \'t algemeen zijn die
er niet

Is er een i)-voudig element en nemen \'wij dit tot nulpunt
van telling, dan is de lp voor te stellen door

Zij heeft (p— i) wortels de nul zijn d. w.z. «Elk p-voudig
punt vervangt (p—i) dubbelpunten». Ergens anders liggen
er nog (p— i).

is weder te zien dat de lp door twee groepen volkomen
bepaald is; want dan zijn de functies aP en bP bekend, waar-
mee de vergelijking der lp kan samengesteld worden.

De lp die wij tot nu toe op een rechte hebben beschouwd,
laat zich onmiddellijk op elke rationale. vlakke kromme over-
brengen.

In de eerste plaats op eene kegelsnede. Nemen we op
een gegeven kegelsnede een willekeurig punt en projecteeren
wij uit dat punt de lp, die op een rechte in hetzelfde vlak
is gelegen, dan .snijdt de projecteerende .stralenbundel op de
kegelsnede eene puntenreeks in, welke ook eene lp is, wegens
de overeenkomst één aan één tusschen de punten der beide
reeksen.

Worden de toegevoegde punten door rechte lijnen twee
aan twee verbonden, dan is de vnuig: wat is de omhullende
van al deze verbindingslijnen?

De khssfi la;it zich makkelijk bepalen. Immers door \'n
willekeurig punt Fj van de kegelsnede Q kunnen niet meer
dan (p— i) nuiklijnen der omhullende g;um; nl. alleen die
welke het bedoelde punt P, met de (p— i) punten P2,... Pp
verbinden die door de involutie ;um het punt P, zijn toe-
gevoegd.

De klasse der omhullende of der zoogenaamde in\'volufie-
kromrnc is derhalve (p— i).

zagen dan ook vroeger dat de verbindingslijnen van toege-
voegde punten eener Ij op een cirkel door één punt gingen.

Bestaan op een kegelsnede twee involuties, bijv. eene
lp en eene Iq, dan hebben zij involutiekrommen waarvan de
klasse achtereenvolgens is (p— i) en (q— i).

De beide omhullenden zullen blijkbaar (p—i) (q—i)
gemeenschappelijke raaklijnen bezitten. Zoo\'n raaklijn ont-
staat, wanneer de twee collocale involuties een paar gemeen
hebben, zoodat twee collocale involuties lp en Iq steeds
(p—i) (q—i) paren gemeenschappelijk hebben.

De involutiekromme der lp en de drager Q hebben 2
(P— O gemeenschappelijke raaklijnen. Wat beteekenen die
voor de lp? Het zijn eenvoudig de 2 (p— i) raaklijnen die
men in de dubbelpunten der lp aan de kegelsnede kati
trekken.

Onder vcrtakkingsfyunt verstaat men een punt wjuirvoor
twee toegevoegde punten siurjenvallen. Zoo zal een groep
van / toegevoegde ])unten waaronder een dubbelpunt P| =
P2, (p—2) vertakkingspunten bezitten P3 — Pp. Aan elk
der punten P3____Pp is immers het dubbelpunt Pi = P2 toe-
gevoegd.

Dc 2 (p— i) dubbelpunten der lp doen dus 2 (p— i) (p— 2)
vertakkingspunten ontstaan.

Uit een vertakkingspunt P3 gaan naar het bijbehoorende
dubbelpunt Pi = p2 de twee nuiklijnen P, P3 en P2 P3, die
sjunenvallen, il. w. z. elk vcrtakkingspnut is de involutie-
kromme gelegen. Zoo liggen er 2 (p—1) (p—2) punten
der omhullende op de kegelsnede, m. a. w. de graad der
involutiekromme is

Dubbelraaklijnen kan de involutiekromme niet bezitten;
daarvoor nioe.sten in één groep minstens twee dubbelpunten
voorkomen en dat is in het algemeen niet het geval

Voor het geslacht der omhullende is makkelijk te vinden
g = \'/2 (p — 2) (p — 3).

We zien uit het bovenstaande dat eerst een cubischc
involutie een eigenlijke involutiekromme bezit en wel een
ijivolutickcgelsncdc.

De I3 op de kegelsnede Q is door de twee drietallen
Ai,A2, A3 en B,,B2,B3 volkomen bepeuild, en de zes ver-
bindingslijnen dezer beide drietallen raken nu aan een tweede
kegelsnede kj. Gieten we dit resultaat in een bekenden
vorm dan krijgen we:

«Zijn twee driehoeken beschreven in zekere kegelsnede
dan raken hunne zes zijden ;um een nieuwe kegelsnede».

Wij zien, dat er een heel stelsel van driehoeken bestaat
die aan dezelfde voorwiiarde voldoen.

In \'t algemeen is de omhullende der 1,, niet ration;ud.
Met geslacht kan verminderen, wanneer in één groej) der
involutie meer dan één dubbelpunt aanwezig i.s. Dan wordt
he\'t geslacht der involutiekromme voor elk meerder dubbel-
punt met één verlaagd.

Een groep der lp bepaalt \'/2 j) (p»— r) nuiklijnen jum de
omhullende die door Va (p— 1) (p-j- 2) raaklijnen ])C|);udd i.s,
zooals volgt uit hare kkisse. En zoo zien wc licht in dat
de omhullende der verbinding.slijnen van toegevoegde pjiren,
o. a. door één volledige groep der lp en (p—i) geheel
willekeurige puntenparen bojKudd is, terwijl dau ook de
involutie zelf bepjudd zal zijn.

Zoodra op een kegelsnede twee paren A,,A2 en Bi,B2
gegeven zijn, is een I2 bepaald, d. w. z. dat we dan alle
paren kunnen vinden. Zoek slechts het snijpunt ^^ der
lijnen A),A2 en B|,B2. Iedere willekeurige lijn door il/zal
dan een ander paar der involutie bevatten. Dit punt M is
niets anders dan het reeds besprokene khissepunt cler ont-
ajirde involutiekromme.

De cubische involutie is door twee drietallen (A) en (B)
bepaald. Hoe vinden we dan de overige drietallen?

Daartoe nemen we op de kegelsnede het punt P willekeurig
aan. De twee ontaarde kegelsneden (PA|, A2A3)en(PB,,
B2 B3) bepalen de vier grondpunten P, Q, R. S van een
bundel. Omdat nu één der basispunten nl. het punt P óp
de kegelsnede is gelegen, zullen de excmi^laren van den
bundel eene I3 voortbrengen op de kegelsnede van uitgang.
De ontaarde kegelsnede (OS, PR) levert een 3«; groep (C.)

Is nu op de kegelsnede eene cubische involutie gegeven
door de beide groepen (A) en (li) dan is het mogelijk het
drietal te bepalen waarvan één i)unt C3 vooruit aangewezen is.

De lijnen A2 A3 en B2 1^3 bepalen het punt S. Trek nu
C3 S dan .snijdt deze lijn het punt P in. Dc rechte Q Ai
cn P B| geven nu oj) B2 B3 cn \\i A3 do jjlaats der b.isis-
punten Q en K. aan. Trek nog Q R en men vindt de punten
C| en C2 die met het vooraf bepaalde punt (\'3 ééne groej)
vormen, (ieef C3 telkens anderen standen, dan zijn op deze
wijs alle groepen der I3 te verkrijgen.

Men kan ook uit deze constructie zien dat de I3 door één
drietal (A) en twee i)aren B3 en Ci,C2 volkomen bepaald
is. Immers deze bejialen het punt (J. Do lijn A| O geeft
\'t punt P. 1 Iet punt S wordt gevonden als het snijpunt van
A2 A3 cn B2 terwijl A2 A3 door C| C2 in het vierde b.isis-
punt R wordt gesneden, waardoor tle bundel weder bekend is.

constructie. Stel gegeven de viertallen (A) en (B) van een I4
op een kegelsnede.

De ontaardingen (Aj A2, A3 A4) en (Bi B2, B3 B4) leveren
vier snijpunten, die een bundel kegelsneden bepalen. De
derde ontaarding levert een derde viertal (C). Door her-
haalde toepassing dezer constructie vinden wij zooveel groepen
als wij willen.

Zoo kan een stralenbundel, die uit \'n punt M een op een
rechte gelegen quadratische involutie projecteert, als de duale
omzetting dier I2 worden beschouwd. De stralenbundel met
M als middelpunt is dan eene quadratische straleninvolutie.
Zij zal twee dubbelstralen bezitten.

Bestaat op een rechte een lp dan kunnen wij op dezelfde
manier, door projectie uit een willekeurig centnun J/, een
.straleninvolutie van den p*"" gnuid verkrijgen, wiuirin nu 2
(p—i) dubbelstralen tumwezig zijn.

I lebben wij een .sch.uir van kegelsneden d. w. z. alle kegel-
sneden die aan vier Vtuste rechten raken, en trekken wij uit
een willekeurig punt M de raaklijnen aan de exemplaren
van de .schaar, dan vormen die raaklijnen eene I2.

In de .scluuir komen drie ont;uirdingen voor n.1. de drie
pjuir overstaande hoekpunten van de volledige vierzijde ge-
vormd door de vier va.ste rechten. Wij vinden hieniit de duale
stelling van Desargues dat n.1 de drie paar overstaande
hoekpunten van een volledige vierzijde, uit een willekeurig
punt door drie paren eener zelfde .straleninvolutie geprojec-
teerd worden.

Trekken wij in elk punt van een jnmteninvolutie I2, die
geplaatst is op een kegelsnede, de raaklijn dan worden de
nuiklijnen der kegelsnede in de paren eener I2 g(Tatigschikt.
Dat de meetkundige plaats der .snijpunten van toegevoegde
stralen ifi dit geval eene rechte lijn /// is, volgt hieruit dat

op elke raaklijn slechts één punt dier meetkundige plaats is
gelegen. Zijn van zoo\'n straleninvolutie twee paren bekend,
dan wordt door hunnen beide snijpunten de stand der lijn
m gevonden. Elke twee raaklijnen uit een punt van m
vormen nu een paar der involutie. De dubbelstralen zijn de
raaklijnen in de snijpunten van vi met de kegelsnede.

Op dezelfde wijze kunnen wij ons de raaklijnen aan een
C2 gerangschikt denken in de groepen eener I3. De meet-
kundige plaats der snijpunten van toegevoegde raaklijnen of
de zoogenaamde involutiekromme zal nu een kegelsnede zijn.
Immers elke raaklijn wordt door twee toegevoegde gesneden.
Wij krijgen zoo een stelsel driehoeken om de kegelsneden
van uitgang beschreven, waiirvan de hoekpunten liggen op
een nieuwe kegelsnede.

Wanneer nu in \'t algemeen de raaklijnen aan een kegel-
snede eene I,, vonnen, zal de involutiekromme V van den
graad (p—i) zijn. Bevindt zich nog eene involutie 1,, op de
kegelsnede dan heeft die eene involutiekromme T\' van den
graad (q—i). De beide involutiekrommen hebben (p—i)
(q—i) snijpunten m. a. w. de collocale raaklijneninvoluties F,, en
I,, hebben (p—i) (q—i) gemeenschapix\'lijke i)aren.

De kegelsnede en T hebben 2 (p—i) snijpunten ontstaande
uit de raakjnuiten der 2 (p—1) dubbelstralen. Elke dubbel-
straal wordt door (p—2) toegevoegde stralen gestUHlen, welke
raaklijnon aan P zijn en tegelijk aan do kegelsnede. De
kegelsnede en V hebben dus 2 (p—1) (p—2) gemeenschajv
poHjke raaklijnen. Het blijkt hieruit dat de k/asst\' van
moet zijn (p—i) (p—2).

Bovendien volgt uit k = n (n — 1) — 2 3 — 3 x, waarin 5 == o
dat ook K — O.

Het geslacht der involutiekromme is hetzelfde voor do
punteninvolutie als voor de raaklijneninvolutie.

Een volledige groep raaklijnen eener lp geeft V2 p (p—i)
punten van de involutiekromme. Deze laatste is van den
graad (p—i) en zal derhalve door één volledige en (p—i)
willekeurige raaklijnenparen bepaald zijn.

Twee groepen van p raaklijnen bepalen de involutiekromme
r, omdat zij de lp bepalen. In elke groep zijn Va p (p—i)
punten van F gelegen, en in \'t geheel zijn door twee groepen
p (p—^i) punten bepaald. Doch F is van den graad (p—i)
en daarom door V2 (p—i) (p-|-2) punten bepaald.

dan volgt dat zoodra p 2 twee volledige groepen van
raaklijnen meer punten der involutiekrommen geven dan
voor haren bepaling noodig zijn.

Zoo is bij een raaklijnen I4 de involutie krommen F van den
derden graad. Twee groepen raaklijnen leveren 12 punten
van F, die reeds door 9 punten bepaald i.s. En zoo zien wij
dat de 12 hoekpunten van twee volledige vierzijden gevormd
door nuiklijnen aan één kegelsnede op een K3 liggen.

Bovendien blijkt dat een I4 van raaklijnen aan een kegel-
snede door drie drietallen is te bepalen. Want zij leveren
ons 9 punten der involutiekromme, die dcuirmee bep.udd i.s.
De I4 is dan ook bepaald.

Behalve op eene kegelsnede kunnen wij de lp van een
rechte overbrengen op iedere rationale kromme. Immers
iedere kromme van het ge.slacht nul kan vertegenwoordigd
worden door een puntenreeks op een rechte. Neem bijv.
een cubische kromme met een dubbelpunt I) dan zal dc

stralenbundel met D als centrum de C3 punt voor punt
projecteeren op een willekeurige rechte.

Omgekeerd is nu de involutie lp van een rechte over te
brengen op de kromme C3 door middel van den waaier D.

Maar in \'t algemeen zullen wij de C„ van geslacht nul
moeten projecteeren door een bundel _ 2 gaande door
de \'/2 (n—1) (n — 2) dubbelpunten der €„ en nog (n — 3)
willekeurige punten.

Ieder exemplaar van den bundel heeft nu één veranderlijk
snijpunt met de Q. Door de raaklijnen aan de exemplaren
van den bundel te trekken in één der beisispunten, wordt de
bundel vervangen door een waaier.

De snijpunten van dezen wajiier met een willekeurige rechte
stemmen nu een a£Ui een overeen met de punten der

Met het bepalen van de involutiekromme T der lp op een
rationale Cn geplaatst, zal het niet zoo eenvoudig ga;m, als
toen de kegelsnede draag.ster was.

Bij een Ij, die zich op een C3 met een dubbelpunt D
bevindt, is terstond op te merken, dat bij het punt D twee
toegevoegde punten behooren; dat dus uit I) twee raaklijnen
a;ui de involutiekromme gaan, die dan een kegelsnede is.

Is op diezelfde C3 eene 13 a;unvezig, dan worden aan het
dubbelpunt D vier punten toegevoegd en wordt de ^Vf/ssr
der omhullende vier.

Maar wanneer de Cn algemeenen wordt is van te voren
over r niets te zeggen, wat of XV/mr aangaat Alleen

het jir,\'s/fic/// zal hetzelfde zijn als we vroeger vonilen, toen
de lp op een kegelsnede werd beschouwd.

Stel toch de lp gegeven op een rationale Cn. Beeld de
C„ met de lp er op, af oj) een kegelsnede. We zien dan op
die kegelsnede eene involutie Jp ontstaan. Met de lijn Pj l\'j
die twee toegevoegde punten der lp verbindt, zal nu over-
eenkomen dc lijnen P\' P" die de overeenkomstige punten
van de involutie Jp bevat

De raaklijnen der omhullenile T van lp stemmen een aan
een overeen met die der omhulkMule van Jp. Do involutie-

kromme F van de involutie lp heeft in dit geval het zelfde
geslacht als de omhullende de;- involutie Jp op de kegelsnede.
• Yoor het geslacht van F geldt dus evenals vroeger

Tevens zal men licht inzien dat het aantal dubbelpunten
der lp ook geene verandering kan ondergaan en 2 (p— i) blijft.

De verdere behandeling der involuties vereischt de kenin\'s
der verwantschap-stheorie. Wij willen haar in dit hoofd.stuk
ontwikkelen.

Denken wij ons twee rechten en op elk een nulpunt, dan
laten de punten van de ééne lijn zich door de abscis x en die
van de andere zich door de abscis;)\';uinwijzen. Be.scliouwen
we nu de vergelijking

Deze vergelijking is van den gnuid // in 3\', terwijl de
coëfficiënten functies van x zijn van den graad ///.

Nemen we een punt X op de ééne lijn en .substitueeren
we de bijbehoorende ab.scis x in de vergelijking (1), zoo zien
we dat al de coëfficiënten A, B. . . . T bekend worden en
dat wij voor de onbekende y uit ilie vergelijking // waarden
kuinien berekenen.

Wordt dus op de ééne lijn één punt X willekeurig aan-
genonuMi, dan zijn diuirdoor // punten Y bei)aal(l.

Maar bij het willekeurig juingenomen punt Y zijn op
dezelfde manier /// punten X te vinden.

De genoemde vergelijking legt een verband tusschen de
punten X van een bejxudde rechte en de punten Y van een

andere rechte en wel zoodanig dat met één punt X overeen-
komen n punten Y, en met één punt Y overeenkomen in
punten X. Men zegt nu, dat tusschen de punten X en Y
een verwantschap (m, n) bestaat, of ook dat de puntenstelsels
(X) en (Y) in m—n— ledig verband staan. Ieder stelsel op
zichzelf heet, wanneer het op een rechte of in \'t algemeen
op \'n rationalen drager wordt gevonden, een rationaal clcmcn-
tcnstclscl.

Laten we de beide rechten, waarop we de stelsels (X) en
en (Y) dachten, in één vlak vallen, dan is licht te begrijpen
dat zij tegelijkertijd op een kegelsnede kunnen voorkomen.
Daartoe kiezen we slechts een willekeurig punt M op een
in het bedoelde vlak gelegen kegelsnede Q. Projecteer uit
M de beide stelsels (X) en (Y), en de punten der Q worden
gerangschikt in dezelfde verwantschap (m, n).

De beide rechten wiiarop we de puntenstelsels (X) en (Y)
dachten, mogen we ook laten samenvallen. Maar dan hebben
we aan één nulpunt genoeg. De veranderlijken x en y uit
vergelijking (i) stellen in dit geval afstanden tot hetzelfde
nulpunt voor, vandaar de mogelijkheid dat zij aan elkaar
gelijk worden, en een punt X met zichzelf overeenkomt
Het is een punt X = Y dat tot beide stel.sels behoort. Men
noemt zoo\'n punt gemeenschappelijk iuui beide puntenstelsels
een coïncidentie.

Hun aantid is gemakkelijk te vinden. Schrijven we de
verwantschapsvergelijking verkort

dan vinden wij de bedoelde punten door x = y te stellen
in die vergelijking, wa.irdoor ze in x\'of in y van den graad
(m n) wordt; m. a. w. «elke verwantschap (m, n) bezit (m n)
coïncidenties».

Met één punt X komen n i)unten Y overeen. Vallen twee
van deze n punten V .siunen dan spreekt men .van een
dubbelpunt. Het punt X wiuirvoor twee bijbehoorende
punten ¥ zijn siimengevallen heet een vertakkingspunt.

Algebraïscli is hun aantal te vinden door te vragen, hoeveel
gelijke wortels y, heeft de vergelijking f (x, y) = o bij een
bepaalde waarde van x? ^

Men elimineere y uit f(x,\\\')=o en uit hare afgeleide
naar j)-, en zal een vorm verkrijgen in x van den graad 2 m
(n— i), hetgeen beteekent dat het stelsel X 2 m (n— i) ver-
takkingselementen bezit of dat het stelsel Y 2 m (n — i)
dubbelpunten vertoont.

Men verkrijgt dit resultaat ook als volgt. Willen we be-
rekenen het aantal dubbelpunten van het stelsel X, dan
zoeken we het verband dat er tusschen die pünten X onder-
ling bestaat Met één punt X komen overeen // punten Y,
en met ieder dier punten Y nog (m— i) andere punten X.
Tusschen de punten X onderling bestaat dus eene verwant-
schap met symbool

Zij bezit 2 n (m — i) coïncidenties d. w. z. het .stelsel X bezit
2 n (m—i) dubbelpunten en het .steLsel Y evenveel vertak-
king.spunten.

DiMiken we nog steeds dat de stelsels (X) en (Y) op de
zelfde rechte als drager voorkomen met het zelfde ludpunt
dan is het mogelijk dat bij een zeker punt X beluxirt een
ander jiunt Y en dat hetzelfde ])unt X als een punt be-
.schouwtl het eerste punt Y ojilevert, dat dan nu een punt X
moet heeten. Men kan immers elk punt A als oen jmnt
X en als een punt Y beschouwen.

Bij zoo\'n punt A bohooren in \'t algemeen twee verschil-
lende punten; n.1. bij de opvatting A=X het punt V\' en
bij de beschouwing A = V het punt X\'. Is nu X\' = Y\'
clan hoeft men een zoogenaamd invohttorisch paar (X =

I lot snelst vindt imMi het aantal involutori.sche jxiren langs
den algebraï.schen weg uit de verwantschapsvorg(Mijking:

Beschouw deze vergelijkingen als voorstellende twee alge-
braïsche krommen van den graad (m -f- n); die hebben (m -f- n)^
snijpunten. Alle wortels der vergelijking f (x, x) hooren er
ook onder. Dat zijn er (m n).

Zij geven volgens vroeger de coïncidenties Jian. De sub-
stitutie X = O geeft slechts n waarden y. Derhalve liggen ///
punten in \'t orjeindige op de Y-as, voor de eene kromme en
11 punten op de Y-as in \'t oneindige voor de andere kromme.
Op de J^-as vinden we daardoor m n snijpunten. Op de
X-£is evenzoo. We houden nu over

voor het aantal snijpunten dat wij bedoelen. Het aantal
involutorischc paren is nu de helft daarvan dus

^ 2. Willen we het laatste resultaat langs anderen weg
afleiden dan zouden wo de verwantschap (m, n) tu.sschen de
punten eener kegelsnede kunnen bestudeeren. We zagen
reeds hoe zoo\'n verwantschap op een kegelsnede ontstiuin
kan, en noemen de oneindig vele punten der kegelsnede
wanneer ze in het ééne .stelsel gedacht worden X, in het
andere Y. We zullen het dus hebben over de verwantschap
(X, Y) op eene kegelsnede. I Iet symbool dier betrekking is
(m, n). Kvenals bij dc 1,, op een kegelsnede is ook hier te
spreken van eene direetiekromme, of omhullende van ver-
binding.slijnen van toegevoegde punten; deze is uiterst be-
langrijk.

Bij een willekeurig punt A = X [tl w. z. het punt A in
het .stelsel (X) gedacht] behooren n punten Y, terwijl bij dat
zelfde punt A = Y behooren /// punten X, zoodat in\'t geheel
aan elk willekeurig punt der kegelsnede (m -f n) inmten
toegevoegd zijn, of anders do<ir elk willekeurig p\\int dor

Zoodra we er in slagen het aantal snijpunten van F met
de kegelsnede te bepalen, is de graad van de omhullende F
bekend.

Stellen we ons even zoo\'n snijpunt P voor, dan is het
duidelijk dat uit dat punt P twee samengevallen raaklijnen
aan de directiekromme moeten gaan, want P zal immers óp
die directiekromme liggen.

Het punt P is een vertakkingspunt wanneer van de toe-
gevoegde punten er hvce samenvallen bijv. P\' = P". Maar
dan vallen de raaklijnen P P\' en P P", die uit P vertrekken
aan F, ook .siimen, wat met zich meebrengt dat zoo\'ji punt

op F ligt. Derhalve liggen alle vertakkingspunten iler
(m,n) op F. Dat zijn er uit de beide .stelsels (X) en (Y)
•simien 2 m (n — i) 2 n (m — 1).

Ze liggen vanzelf op de kegelsnede en wij zien dat de directie-
kromme F en de kegelsnede bezitten 2 ni (n—1) 2 n (m — 1)
snijpunten.

Dit zijn nog niet alle snijpunten. Het is denkbaar dat
een punt X .sjunenvalt met een der toegevoegde punten Y.
Buiten het bedoelde punt X = Y liggen dan (m—i) punten
X en (n—1) punten Y. Men kan djuirom uit dat punt
(m n — 2) raaklijnen aan T trekken. \\Ve vonden echter
voor de kl;isse van P het gc^al (m n), zoodal blijkt dat
<le lijn die de .simengevallen punten X en Y verbindt voor
Ircee raaklijnen geldt. Die lijn is tevens raaklijn aan tle
kegelsnede in hel punt X==Y. liet blijkt ons hieruit dat
de kegelsnede en F elkaar in zoo\'n jnml X = Y aanraken.
We hadden intusschen ook (>v(Migoed over een eoïucideutie
XsY kunnen .spreken. Want dan hebben we zoo\'n punt
X dat met één der toegevoegde punten Y .s;unenvalt. De
dirt\'ciiekronnne F on de kegelsnede hebben dan ook even-
veel aanrakingspunten als er coïncidenties der (m, n) bestaan,
(lus (m n). Zij vertegenwoordigen natuurlijk dubbel zoo-
veel snijpvmten. liet totale aantal .snijpunten tusschen de

directiekromme F en de kegelsnede is nu 2 m (n — i) -(- 2 n
(m — i) -}- 2 (m -f- n) = 4 m n. De orde van F is alzoo = 2 m n.

Hun aantal zullen we berekenen uit het aantal invobito-
rischc paren der (m, n), waar het ons eigenlijk om te doen was.

Herinneren we ons weder de oneindig vele punten der
kegelsnede, vertegenwoordigende\'twee puntenstelsels (X) en
(Y) in m — n-ledig verband en projecteeren wij ze uit twee
geheel willekeurige centra A en B, door de stralenbundels
(x) en (y). Dat er nu tusschen die waaiers (x) en (y) ook
eene (m, n) bestaat, spreekt vanzelf, en door dualistische om-
zetting van het voorafgaande volgt dat de meetkundige
plaats der snijpunten S van toegevoegde stralen de graad
(m -f- n) moet hebben. Trouwens, men ziet het evengoed
rechtstreeks. De beide stralenbundels (x) en (y) teekenen
op een willekeurige rechte een puntenstelsel of met symbool
(m, n), of met (m -f- n) coïncidenties. En dat zijn alle punten
S, hetgeen beteekent dat de graad der meetkundige pkiats
van S is (m -f- n).

Gemakkelijk zien we ook in dat de meetkundige plaats
van S in het centrum A een ///-voudig en in centrum B
een «-voudig punt zal hebben.

Projecteeren we nu op de ander mogelijke manier, d. w. z.
het stelsel (X) uit B en het stelsel (Y) uit door dc .stralen-
bundels (x\') en (y\') dan ontstaat een andere meetkundige
plaats van punten S\' die weer een kromme van den graad
(m -f n) is, miuir nu met een //-voudig punt in A en een
///-voudig punt in H.

De krommen (S) en (S\') hebben in \'t algemeen (m -f n)2
snijpunten. Hoe zijn die te verantwoorden? Terstond zien
wij er nm in het centrum A en evenveel in centrum B.
Buiten A en B, d.w.z. ergens anders, dus nog (m^-j-n^)
.snijpunten.

Denken we ons eens zoo\'n snijpunt S = S\'. Do eenvoudigste
voorstelling van het ontstiuui van zoo\'n punt S = S\' is
dan dat het stralenpaar x,y met het stralenpaar x\',y\'

samenvalt, d. \\v. z. x = x\' en y = y\'. Dan moet vanzelf
S = S\'. Doch x = x\' en y = y\' is onmogelijk zooals een
figuur ons doet zien. Is dan x = y\' en y = x\' mogelijk?
Zeer goed. We hoeven slechts te letten op een coïncidentie
X = Y. Projecteeren zoo\'n punt X = Y uit A dan blijkt
x = 3\'\'; projectie uit B geeft evenzoo x\' = y. Er zijn (m n)
coïncidenties, waardoor (m-f-n) snijpunten S = S\' gevonden
zijn. Xu schieten er nog m(m—i)-|-n(n—i over.

Zij X = Y en X\' = Y\' zoo\'n puntenpaar. Wat gebeurt
er nu bij projectie uit A en B, alsook andersom? Dan wordt

waaruit volgt dat het snijpunt (x, y) = (x\',y\') en het snijpunt
(x,y) = (x\',)f\') beide één punt S leveren.

Een invohitorisch paar geeft derhalve tot twee punten S
aanleiding, waaruit we dan ten slotte zien, dat het over-
schietende aantal snijpunten nl. m (m—i)-}-"("—i) kan
verklaard worden door de aanwezigheid van i/2m(m— i)-|-
Va n (n — i) involutorische i)aren.

De twee simienvallende verbindingslijnen der punten X =
Y en X\' = Y\' vormen blijkbaar een dubbclraakltjn van F.

De directiekrommen P tier verwantschap (m, n) is nu van
klasse (m -{- n), van graad 2 m n, en bezit Va j m (m — 1) -f-
n (n— i)j dubbelraaklijnen.

De duale beschouwing gehouden over eene (m, n) tusschen
raaklijnen aan eene kegelsnede kan nu opleveren eene
diri\'ctiekromnH\' (dat is de meetkundige plaats van snijpunten
van toegevo(>gde raaklijnen) waarvan de graad (m n) en
<l(ï klasse z m n i.s, voorzien van

in X van den in y van den graad. Zij bezit V2
im(m—i)-)-n(n—O ! involutorische paren. In het geval
dat m = n, zijn er m (m—i) involutorische paren. Vinden
we er meer, dan beteekent dat, dat de krommen (S) en (S\')
der voorgaande paragraaf die nu van den graad 2 m worden,
meer dan 4 m^ snijpunten bezitten, m. a. w. dat de krommen
(S) en (S\') samenvallen. Elk punt S is dus ook een punt S\'.
Daarvoor moeten alle paren der verwantschap (X, Y) involu-
torische zijn, vandaar dat men spreekt van eene involutorische
verwantschap. Ze heet ook wel eene symmetrische verwant-
schap. Want zoodra de vergelijking f (x, y) = o symmetrisch
is, [waar\\\'oor m = n moet zijn en de coëfficiënten zoodanig dat
door de verwisseling van x en y de vergelijking niet ver-
andert], zijn alle paren dier verwantschap involutorisch.

Met het punt P = X komen dan m punten Y = Q over-
een, terwijl met hetzelfde punt P=Y dezelfde /// punten
Q = X overeenstemmen, wat het kejimerk van involutorische
paren is.

Wc beschouwen als voorbeeld een invoIutoris<\'he verwant-
.schap (2, 2) afgebeeld op een kegelsnede C^. Zij do kogol-
snede D^ de directiekromme. We kiezen op C^ het wille-
keurige punt X on trokken uit X tweo raaklijnon aan D\',
w.\'uirdoor op C^ de punten Yj on Yj worden ingesneden.
Uit het punt Y, =X\' ga;ui dan twee raaklijnon aan D^
die de punten X = Y|\' en Yj\' insnijden op C\'. W.xs Yj =
Yj\', dan hadden we een cubi.sche involutie, w.uirin do punten
X, Y|,Y2, oen gesloten groep vonnen.

Immers de groep X. Yj.Yj, bojwalt drie raaklijnen. Kies
nog twee raaklijnen P|, Pa en l\'i.I^- Do driotallen X, Yj.Yj
en Pt.Pj, P3 bepalen een cubi.sche involutie. Do involutio-
kegolsnede dezer cubi.sche involutie hooft vijf nuiklijnen

Gemakkelijk is uit het bovenstaande af te leiden dat een
cubische involutie bepaald is door een drietal en twee paren.
Zij Ai,A2. A3, het gegeven drietal; Bi,B2 en Cj, C2 de beide
paren.

Elk dezer punten is toegevoegd aan twee andere; behoort
dus tot eene (2, 2). Van de directiekegelsnede dezer (2,2)
zijn vijf raaklijnen gegeven, die tevens raaklijnen van de
involutiekegelsnede zijn. De twee bedoelde kegelsnede vallen
samen en derhalve zijn de involuties weder identiek. Wij
vonden het laatste in \'t vorige hoofdstuk langs anderen weg.

De symmetrische verwantschap (m, n) zal (m m) = 2 m
comcidcutics bezitten, dat zijn punten die met hun toegevoegde
siimenvallen.

Zijn luin het punt X tic m punten X\' toegevoegd en vallen
van deze lajiLste punten er twee .siinien, dan hebben we een
dubbelf)Hut X\', met het punt v^^Vi\'rtakkiugsclcmcut. liet
aantal van beide is 2m(m— 1).

Men kan zich op een zelfde kegelsnede v<M)rstellen eene
verwantschap (m, n) tegelijk aanwezig met eene involutie lp.

Zij hebben directiekrommen van kl.ussi» (mn) en (p—i).
I let aantal gemeensehap|H^lijke raaklijnen dier beide krommen
is derh.dve (m-f" ") (P"-«)« Anders gezegtl:

«Eene verwantschap (m, n) en eene lp die «-ollocaal zijn
hebben .sletnls (m n) (p—1) genieenschap|H\'lijke ijaren».

Een .symmetrisch elementen.siel.sel (m, n) heeft eene directie-
kromme van kla.ss(; ///. Is zoo\'n stelsel collocaal met eene

op von kogelsuLHle dan zullen er blijkbaar m(p—i) ge-
nieen.schapjK\'Hjke jKiren zijn.

Twe\\« stelsels (m, n) en (m\'.n\') hebben (ni-}-n) (m\' n\')
J^«\'nu\'ensehap|K\'Hjke paren »-n twee .symmetrische stels(»ls
("1. ni) en (m\', m\') zullen //////\' gemeenschapjX\'Iijke jïJiren be-

Twee verwantschappen beide met symbool (m, n) moeten
(m -f- n)2 paren gemeen hebben, en

Twee symmetrische stelsels beide van graad m, moeten
paren gemeen hebben wanneer zij collocaal zijn.

Worden de besprokene stelsels door projectie overgebracht
op andere rationale dragers dan zullen de genoemde stellingen
blijven gelden.

De verkregene resultaten zijn ook algebraïsch te verkrij-
gen uit de meermalen gebruikte verwantschap-svergelijking
f(x,y) = o.

Volgens de gegevene bepaling van involutie moe.st elke
groep van p elementen, door één dier elementen onverschillig
welk, bepaald worden.

We spraken dan over eene involutie van den p«"" graad;
we hadden er bij kunnen voegen «cn van den eersten rang,
want er be.staan ook involuties van hoogeren rang.

BcjwiinK. «Onder eene involutie van <len graad cn den X\'" rang
verstiiat men een elementen.stel.sel be.sta.\'inde uit groepen van
p elementen, waar elke groep door k willekeurige elementen
bepaald i.s.»

Het .symbool voor zcK)\'n .stel.sel is Ij^. Voor de lp is nu
k=i, vand.uir • dat we dan over eene involutie van den
eersten rang zouden kunnen praten.

Dergelijke puntenstel.sels laten zich gemakkelijk denken.
Eene vlakke cubi.sche kromme wordt door alle rechten uit
het vlak, gesneden volgens dc gr()e{x;n eener involutie van
den derden griuid en den tweeden rang. Ij.

Alle vlakken der ruimte .snijden een rationale ruimie-
kromme Rp volgens de groepen eener involutie van den
pf" graad en den derden rang, D.

Door k geheel willekeurige elementen wordt een groep
van p elementen bepaald. Natuurlijk k p. Neem nu eens

is nog slechts ét\'n ander willekeurig punt noodig om een
groep van p punten te bepalen, als wij het tenminste over
eene /////Zr/zinvolutie hebben. Denk verder de gekozen (k — i)
punten als vast, dan blijkt dat de veranderlijke punten eene
Ip_k4-, vonnen van den eersten rang.

voorkomen etT\'Waarin bovendien een dubbelpunt aanwezig
is. Toch hoeft zoo\'n dubbelpunt niet steeds buiten de (k — i)
punten e te vallen, want elk dier punten zal in een bijzonder
geval dubbelpunt kunnen worden. Men mag immers elk
der punten e als dubbelpunt be.schouwen en dan is telkens
een groep van p punten bepiuild.

Zoodra li^t punt Ck_, er willekeurig bij gekozen wordt, zijn
er 2(p—^X) groepen be|>aald met oen dubbelpunt 1), zooals
boven bleek. Een willekeurig dubbelpunt 1) zal echter mot
de (k — 2) i)unten e oen heele groep van / punten v.ustleggen,
of één pun^ D bej);ialt (p — k) punten Ck_,. Wo zien tu.sschen
de punten I) en de punten 0k_, eene verwantschap ont.st.uui
van tien vorm ^ •

Zij bezit volgens vroeger 3(p —k) dubbelelenïenten; zoo
va;ik valt oen punt l) met oen punt ek_, .s.imen.

De .siunenvalling van een punt 1) met oen punt doet
een drinHmdig punt ont.st.uin, ni. ;u w. (k — 2) willekeurig ge-
kozi\'n elementen zullen in .Up-—k) groi\'iKMi met oen drie-
voudig eI«Mnent voorkomen. W«\'der zal elk (h\'er (k — 2) v.uste
i\'lementcïn als drievoudig mogen aangenomen worden, waar-
door ti\'lkens »MMi gT«>ep van / punten bej);»aKI i.s.

willekeurig punt ek_2 voldoende zijn om 3 (p — k) groepen
met een drievoudig punt te bepalen, en wordt bij die
(k — 3) punten c een punt gevoegd, dan is een heele
groep bepaald of wel zijn dan (p — k) punten eic_2 aange-
wezen. Tusschen de punten en et _ 2 bestaat daarom eene
verwantschap met symbool

De 4(p — k) dubbel elementen dezer verwantschap zijn
4 (p — k) viervoudige punten der involutie, en het blijkt hieruit
dat (k — 3) geheel willekeurig gekozen elementen in 4 (p — k)
groepen met een vien\'oudig element voorkomen. Elk der
(k — 3) vaste punten e is ook als viervoudig element op te
vatten, waardoor telkens een groep van p elementen be-
paald is.

liet algemeene re.sultaat is uit het besprokene af te leiden.
Worden n.1. (k — l) willekeurige elementen v.\'ustgehouden
dan komen die in (l-f- i) (p — k) groepen tegelijk met een
(1 -f- i)-voudig element voor. Voor het grensgeval I = k — 1
zien we dat ieder punt e der involutie Ijj in k (p — k) groepen
met een k-voudig element voorkomt Een k-voudig element
bepiudt echter een heele groep van j> punten dus nog (p — k)
punten e. De verwantschap tusschen de punten e en de
k-voudige punten der moet derhalve voorge.steld wf)rden door
j(p-k), k(p-k)!.

Zij geeft (k-f-\') (p — punten der involutie IJ"^ .uui die
(k -}- i)-voudig zijn.

In elke involutie vaji den p*"" gnuul on den rang is
het juintal der (k i)-voudigc elementen

Men kan steeds X\' punten geheel n;uir willekeurig kiezen,
.steeds zal een groep van /> punten bejxiald zijn. Zor» kan
men ze ook laten .samenvallen twee, drie. enz. tot A- toe.
Elk punt als X\'-voudig element opgevat zal ook een groep
van / punten bo|xdt.\'n. Valt nu een der toegtn-ocgde punten
mot \'t X--voudige .siimon dan ontstaat oen (k-f- i)-vou{lig punt

§ 6. In een P zal iedere groep van p elementen door
twee geheel willekeurig gekozen elepienten bepaald zijn.
Doch het komt voor dat twee elementen ei en 62 geen
groep bejjalen. Het eenvoudigste is dat we weten de beide
elementen ej en 02 komen voor in hvcc groepen. Dan moeten
zij noodzakelijk in alle groepen der P thuis behooren.

waarin de functies f van den p"" graad in de veranderlijke
X zijn. Zijn nu twee elementen ei en 02 bekend dan weten
we de bijbehoorende waarden Xi en X2, die gesubstitueerd
in de genoemde vergelijking, twee van die vergelijkingen
doen ontstaan, zoodat uit dat tweet;d de beide parameters
Ai en A2 oplosbiiar worden.

Zet nu in de bovenstaande vergelijking de gevonden
waarden van Ai en A2, dan heeft men ééne vergelijking van
den /V" gnuid in de veranderlijke x. De p wortels dezer
vergelijking be|xilen nu de p elementen eener groep, w;uir-
onder ook de gegevene Ci en ej. Zoo vinden we tian de
groep van p elementen z(M)dra er twee gegeven zijn. Ook
kan hieruit blijken dat het geheel onverschillig i.s, van welke
twee elementen men oorspronkelijk uitging.

Maar in geval nu de functies fo en fi twee groepen voor-
stellen, die beide het paar ei ej bevatten, zullen zij een
factor p bevatten van den hvrniru graad in .v. De verge-
lijking p»=o levert dan de elementen ei cn ej op.

Handelt men als boven door de beide wortels van 0 = o
in de vergelijking der I* te .substitueeren dan ont.slaan twee?
vergelijkingen

!><• «\'enige oplossing is A2=o, zoodal de groep die ei en
bevat gevonden moet wonlen uil de vergelijking

hebben en wij zien daaruit dat wanneer twee elementen
ei,e2 in twee groepen voorkomen, zij in de oneindig vele
groepen voorkomen, voorgesteld door de laatste vergelijking.
Zoo\'n paar noemt men een neutraal elementenpaar.

De rechten van het vlak teekenen er eene P op af. De
raaklijnen in den knoop geven het neutrale puntenpaar zooals
blijkt bij projectie op eene rechte.

Houden we het element e, vast dan zijn de overige ele-
menten in een Ip_, gerangschikt. Evenzoo wanneer we een
geheel willekeurig element ej vasthouden; dan houden we
eene Jp_, over. Dit zagen we vroeger. Die beide involuties
Ip-i en jp_, hebben (p—paren gemeen, waaronder be-
grepen zijn alle paren gevormd uit de (p — 2) elementen,
die met e, cn Cj een groep vormen. Deze (p — 2) elementen
vertegenwoordigen V2 (p— 2) (p—3) gemeenschappelijke paren,

Hij eene P komen op dezelfde manier neutrale drietallen
voor. Wordt hot willekeurig gekozen element 0| vjLstge-
houden dan blijft eene over, met Va (p — 2) (p — 3) neu-
trale piiren, terwijl elk neutraal p:uir mot het v;tste punt C|
een neutnuil drieud oplevert. We vinden hieruit dat elk
element dor Ii in V2 (p—2) (p—3) neutrale drietallen optreedt-

(rjuin wij over tot eene en houden wij twee olumenten
Cl cn ej v»Lst dan .schiet er eene over met V2(p — 3)
(p — 4) neutrale jKiren, die met Ci en Oj evenveel neutrale
viertallen vormen.

Twee willekeurige eh?menten eener IjJ komen in V2 (p — 3)
(p — 4) neutrale viertallen voor.

Het algemeene resultaat zal zijn dat (k — 2) willekeurig
gekozen elementen eener in

In een IJ5 mag men steeds i\' elementen geheel willekeurig
kiezen, en men kan ze daarom luin k voorwaarden laten
voldoen. Men kan vragen naar het aantal groepen met k
dubbelelementen. Bij eene I® dus naar het aantal groepen
met twee dubbelelementen. We hebben afgeleid dat elk
element ei eener P in 2 (p — 2) groepen met een dubbel-
element D voorkomt In zoo\'n groep zijn dan aan het ele-
ment oi nog (p — 3) dergelijke elementen c toegevoegd.
Voeg nu twee elementen C\\ en c aan elkiiar toe wanneer
ze met D in één groep liggen. Zij vormen dan een sym-
metrisch elementen stelsel met kenmerkend getal 2 (p — 2)
(P — 3)\' Dit stelsel bezit 4 (p — 2) (p — 3) dubbelelementen
D\', die dus niuxst het dubbelpunt D in een zelfde groep
vof)rkomen. Van D\' uitgaande vindt men ook het dubbel-
element I). Derhalve zijn er 2 (p—2) p — 3) groepen in

Hoeveel groepen met drie dubbelelementen zijn er nu bij
oene Ji? We houden weer één element oi vjust dan vonntMi
de overige eene die 2 (p — 3) (|) — 4) groe|)en met twee
dubbelelementen bezit In zoo\'n groep zijn nog (p — 5)
elementen e; tu.sschen de «»lementen v\\ en o be.staat blijk-
b.uir eene synnnetrische overeenkomst-van den graad 2 (p — 3)
(p — .|) (p — s), welke 4 (p — 3) (p — 4) (p — 5) dubbelelemen-
ten heeft Zij komen echter drie aan drie in één groep voor.

Op eenzelfden drager stellen wij ons voor eene P en eene
I^, en wij willen onderzoeken hoeveel groepen van drie
elementen die twee involuties gemeen hebben.

Een element p van de involutie P bepiuilt\'nog (p— i)
andere elementen p\'\\ elk dezer elementen p\' bepa;ilt met
het eerste element / eene groep der P. Er zijn nu (p—2)
elementen p en (c} — 2) elementen q over. Valt \'n element
p met een element q sJmien dan zijn de drie elementen p,
p\' en p = q aan de beide involuties gemeen. We zoeken
dus het verband bestiuuide tusschen de bedoelde elementen
p cn q.

Een element p bepcUilt (p— i) elementen der P. welke
\'/2(p— I>\'\'^\'\'en (p, p\') vertegenwoordigen, terwijl elk

Een element q viisthoudende, vormen de overige elementen
eene die met de P gemeen heeft (p—i)(q — 2) jKU-en.

Zij heeft ^h {p — i){p — 2) [i] — 2) dubbelementen; zooveel
gemeen.schapjHilijke driet.dlen moeten er nu zijn. M.uir zoo\'n

drietal (p, p\', p") staat gelijk met drie paren en diuirom is
het aantal gemeenschappelijke drietallen der I\' en I\'

Het aantal viertallen elementen dat eene involutie P en
eene involutie P gemeen hebben, vindt men op een soort-
gelijke wijze. Kies drie elementen p, p\' en p" der uit
één groep, dan bepalen zij (p — 3) elementen p der I\' en
(q — 3) elementen tj der P, en wij hebben slechts het aantal
gevallen p = q te bepiden.

terwijl door elk zoo\'n drietal (p — 3) punten p zijn ;uinge-
wezen. Uit het gezegde ziet men licht in dat tu.ssclien de
elementen jT »»n de overeenkomst

dubbelementen bezit. Zcx^veel genn\'en.scliapjH\'lijke viertallen
moeten er dan ook zijn.

M;uir één viertal .stiuU gelijk met vier drietallen, vantlaar
dat het aantal gemeens<-hap|H*Hjko viertallen eener I,, en eener
ten .slotte is

De behandelde gevallen geven ons het recht om in het
algemeen te beweren dat het aantal groepen van (k -f- i)
elementen, gemeenschappelijk aan een involutie I\' en aan
eene involutie P voorgesteld zal worden door

Op soortgelijke wijze vindt men als oplossing van de meest
algemeene vraag, dat eene involutie I^\' en eene involutie

groepen van (k -f- k\') elementen gemeen hebben. Alleen de
berekening is meer omslachtig. (*)

Als eenvoudige toepas.sing van de voorgjuinde algemeene
beschouwingen over involuties van hoogeren rang, zullen
wij behandelen de involutie van den derden gr.uid en tweeden
rang, welke op een cubische kromme met een dubbelpunt
wordt ingesneden door alle rechten uit het vlak.

Een P bezit \'/2 (p—i)(p — 2) neutrale jwen en bijgevolg
bezit de P slechts één neutnud puntenixuir, dat blijkb.uir in
het dubbelpunt-1) is te vinden, want iedere rechte doorliet
pimt D geeft een tlrietal der involutie terwijl steeds twei\'
punten in 1) vallen. liet i).uir 1)^ = 1)^=1) behmirt dus in
oneindig vele groeixïn thui.s.

Wij nemen in het vlak een willekeurige rerhte / en projeo
teeren op die rechte / de involötio en wel uit het (lubb«\'l-
punt 1). Op / ontstaat dan mede eene Jj als afljeelding van
de involutie op d(? cubische kromme. D(H)r middel van etMi

(*) Zie vcK>r dc rcchl»trcck«chc .iflcidinjj v.in «lil rmtilta;« 0. K. Nr<iTKRKN,
IVi>cf«:hrifl. Ulrcchl 1901.

op / gelegen nulpunt X mogen wij de verwantschapsver-
gelijking der P schrijven .in den vorm

waarin de veranderlijke x de abscis van een punt der lijn /
ten opzichte van X voorstelt

Het blijkt dadelijk dat wanneer men twee punten kent,
daardoor een derde punt bepaald is.
Voor X3 is te vinden

De twee onbekenden X| en X2 kunnen nu gevonden
worden uit de vierkantsvergelijking:

Hieruit vinden wij twee punten die met elk willekeurig
punt des dragers / een drietal der J* vormen, liet is het
neutrale paar. Zij worden geproj(M:leerd tUxir de raaklijnen
in ln\'t dubbelpunt I).

In een IJ; is hel aantal (k-j- i)-vou(lige elementen (k-}- t)
(P—k), zo<Klat de Ij drie tlrievoudige elemenl«\'n zal bezitten.
Hm ze te vinden .stellen wij in de viTwantschapsvergelijking
Xi=:xas=sxi; zij wordt d.^n:

De drie wortels geven de drievoudige punten aan. llicruil
^Jlijkt dal de C3 drie buigpunlen zal beziiten.

Sleetls is één iler drie wortels reOel en wij mogen het
bestaanbare drievoudige punt als nulpunt N aannemen. Dan

moet de laatste vergelijking een wortel x = o bezitten, wat
eischt dat 33=0. Voor de twee. andere drievoudige punten
houden wij de vierkantsvergelijking

De voorafgaande vierkantsvergelijking der neutrale punten
heeft tot discriminant D = a^ (4 ao ag — 3 aj) en zoo zien wij
dat D en D\' steeds van teeken verschillen.

Is D>o dan wil dat meetkundig zeggen, er bestaim twee
reëele neutrale punten. Het gevolg is dat dan D\'c^o en
dat er twee buigpunten imaginair moeten zijn. Anders ge-
zegd: heeft de cubische kromme twee reCele dubbelpunts-
raaklijnen dan bezit zij slechts één bestaanbaar buigpunt.

Is echter D<;o en bezit de C3 alzoo een geïsoleerd punt
dan is D\'^o d. w. z. alle buigpunten zijn reëel.

Zijn D en D\' beide nul dan vallen de twee neutrale punten
samen; zij vormen een neutraal dubbelpunt der J^ Dan
vallen ook twee buigpunten samen en wel in het keeqnmt
dat de C3 alsdan bezit. Hebben wij een cubische kromtnc
met een knoop dan kunnen wij de drager / der involutie Jj
of de zoogenaamde beeldrechte evenwijdig aan een dubbel-
punLsnuiklijn nemen en het nulpunt X daar kiezen waar de
andere dubbelpunLsnuiklijn de beeldrechte .snijdt, wiiardoor
wij de vergelijking der J» kunnen vereenvoudigen. De al-
gemeene vergelijking w;is

De neutrale punten moeten nu drxir X|=o en x, = 00
gegeven worden. Voor deze beid(; .substituties moeten wij

Heeft in een ander geval de C3 drie reOele buigpunten
B en een geïsoleerd punt I dan kunnen wij de beeldrechte
/ evenwijdig aan de lijn I B, nemen en het nulpunt d;uir
waar I Bj de beeldrechte snijdt.

Hieraan moeten nu x=oenx = CXD voldoen wat slechts
gaat wanneer «lo = a3 = o. De vergelijking der J» vereen-
voudigt zich in dit geval tot den vorm

Is ten slotte de C3 voorzien van een keerpunt K en één
reëel buigpunt dan kieze men de beeldrechte / evenwijdig
;uin de lijn K B en hel nul|)unt in het neutrale dubbelpunt
der involutie. V(K)r x, =Xj = o moet nu X3 onbe|);udd
worden, hetgeen vereischt dataj = a3=o. Omdat verder
«uui de vergelijking der drievoudige punten x = CXD moet
voldoen, volgt ao = o, en wordt de vergelijking der Jj ge-
conden.seerd tot

De drievoudige punten worden gevonden uit x^ = o
d.w.z. dat twee buigpunten in het keerpuiit liggen.

Aan het eind van het eerste hoofdstuk is gebleken, dat
de punten eener rationale vlakke kromme C„ in de groepen
eener involutie lp kunnen gerang.schikt worden, en dat van
de involutiekromme f (of de omhullende van de verbinding.s-
lijnen van toegevoegde punten der lp) het geslacht onver-
anderd bleef V2 (p—2) (p — 3) en ook het aantal dubbel-
punten der lp te weten 2 (p — i). We moeten nu de klasse
en den graad van V gjum bepalen.

Wc kiezen een punt M buiten dc Cn tot centrum van een
waaier. De stralen van dezen w.uiier M bepalen op de
Cn een zogenaamde centrale involutie !„. Wordt vervol-
gens de kn)mme Cn punt voor punt afgebeeld op eene ke-
gelsnede C2 dan vinden wij op die kegelsnede de twee
involuties Jp en J„. Zij hebben involutiekrommen van de
khusse (i>— i) en (n— i). Die krommen bezitten dus (p— i)
(n—1) gemeen.schap|)elijke raaklijnen hetgeen wil zeggen
dat de Jp en \'de J„ op de kegelsnede (p—i) (n—i) ge-
meenschappelijke jwiren hebben.

Maar dan moeten de lp en de !„, die ojj de kronnne
C„ voorkwamen, ook (p—1) (n—i) gemeenschapix-lijke
IKiren bezitten, d. w, z. uit het willekeurige punt M gaan
(p—i) (n—i) nuiklijnen juui de involutiekromme I\'; hare
kl.xsse is derhalve bepjiald door

Het zelfde re.suU;uit is te verkrijgen, door het punt M «\')p
de kromme Cn te kiezen. Dan gaan uil M = P, (p 1)

door den waaier (M) op de kromme €„ te voorschijn ge-
roepen, is nu eene !„ _ „ die met de gegeven lp zal gemeen
hebben (n — 2) (p—i) paren.

Bijgevolg gaan door het punt M (p — 1) (" — 2) (p — i) =
(p—i)(n—i) nuiklijnen aan T of evenals boven

De rationale vlakke kromme Cn bezit het maximum aantal
dubbelpunten. We weten dus

De kromme Cn en de omhullende moeten dien.svolgens
2 (p—i) (n—1)2 gemeenschappelijke raiiklijnen bezitten.

Hoe is het ontsta;in tlier raaklijnen te verklaren? Uit
drie verschillende oorzaken.

In dc eerste phuiLs geeft een dubbelpunt D der lp oen
raaklijn in I) ;uin de kromme Cn. die tevens raaklijn ;uin
r i.s, omdat zij de twee .siunengevallen toegevcK\'gde punten
I) verbindL Zoo ont.sUuin 2 (p—i) gemeenschapix\'lijke
nuiklijnen, want er zijn 2 (p— i) dubbelpunten in de lp.

In de twetnle i)laats hebben we te letten op de punten
S, die door de verbindingslijnen van toegevoegde jnmten
op de kromme C„ wonlen ingasneden. Z<k) geeft de lijn

\'*2 {B| en Pj zijn toegevoegde punten der lp) natuurlijk
(n — 2) snijpunten .S met C„. Vallen nu twee van die pun-
ten .s.imen dan is de lijn P| Pa raaklijn aan de kr«)mmo
C„ in dat roincidenliepunt S en ze is reeds niaklijn aan V
omdat ze twtr tcM\'gevoegde pimten P| en l\'a der involutie
I,. verbindt; dus hebben we zw e<\'n gemeenst:hapiH\'lijke
raaklijn van C„ en P gevonden. Hoe gr«K)t is nu dal
.\'uinial dubbelpunten .S?

D.uirvoor be.schouwen we tli\' verwantschap, die tusschen
til* punten S onderling bi\'sl.uit; wij nm-men twee punten .S
S\' aan elkaar toegevoegd, zo<Hlni hunne verbindingslijn
Jwin r nuikt

terwijl iedere raaklijn (n — 3) punten S\' draagt. Bij één
punt S behooren derhalve (p—i) (n—2) (n — 3) punten
S\' en omgekeerd bij een punt S\' evenveel punten S. De
symmetrische verwantschap (S, S\') heeft zoodoende tot ken-
merkend getal (p—i) (n — 2) (n — 3), zoodat wij voor het
gezochte aantid dubbelpunten S = S\' vinden

In de derde plaats moet gelet worden op de verwantschap
tusschen de punten P en S, die op een zelfde verbindingslijn
Pi P2 liggen. Immers, doet zich dit geval voor P2 = S,
dan moeten de krommen C„ en P elkaar in zoo\'n punt
P2 = S aanraken en de gemeenschappelijke ra£iklijn in het
niakpunt der krommen is dan voor twee te tellen. Bij een
punt P behooren (p—i) (n — 2) punten S, omdat P met
(p—i) toegevoegde punten kan worden verbonden cn op
ieder van die verbinding-slijnen (n — 2) punten S te vinden zijn.

Dfxir een punt S gaxin (p—i) (n — 2) nuiklijnen luin P,
die elk twee punten P bevatten. Wij zien hieruit, dat de
verwantschap tusschen de punten P en S tot symlMK)l zal
hebben

Di\'ze overeenkomst bezit 3 (])—i) (n — 2) coincidentie.s.
die evenveel .nuikpunten van P en C„ doen ontst;uin. liet
hieruit v(K)rtkomcndc aantal gemeenschappelijke nuiklijnen is

De involutiekromme P zal ook een jumtal dubbelnuikiijnen
liezitten. Hen dubbel raak lijn ontst.uil, wanneer <le rechte

PP\' nog een ander paar Q, Q\' der involutie lp bevat De
lijn P P\' snijdt de kromme Cn nog in (n — 2) punten S.
Aan zoo\'n punt S = Q is in lp b.v. toegevoegd het punt O\'.
Wij voegen nu aan elkïuir toe het punt O\' en de (n — 3)
punten S\' die op de rechte QPP\' zijn gelegen. Aan het
punt Q\' zijn door de involutie (p— i) punten Q toegevoegd,

Tusschen dc punten Q\' en S\' bestaat derhalve een .sym-
metrische verwantschap met kenmerkend getal (n — 2) (n — 3)
(p—Zij bezit dubbel zooveel coïncidenties Q\' = S\'.
Is echter Q\' = S\' dan hebben wij oen dubbelraaklijn, waarop
telkens vier coïncidenties tegelijk liggen. Wij zien hieruit,
dat het iuintid dubbelnuiklijnon r\'2 van F moot zijn

Kenvoudigor vindt men hot Juintal r\'2 door op te merken,
dat een dubbelraaklijn ontstaat, waniu;er de lp on hot stelsel
(S, S\') eon gemeenschapiK\'lijk jwar hebben. Zij zijn op
te vatten als twee symmetri.scho verwantschappen van de
graden (p—1) on (p—i)(n — 2)(n—3). Zooals bekend i.s,
hebben die (p— i)^(n — 2){n — 3) gomoenschap|K\'lijko jKiren,
w.uiruit blijkt

Zijn P, P\', P". toegovoegile punten tier lp, dan zijn do
lijnen PP\' en PP" raaklijnon aan F.

Do lijn PP\' bevat nog (n - 2) punten S. We voegen
d«\' punten S <mi P" aan <\'lkaar lo«> on bosohouwon do ovor-
«\'enk«)msl (P",S). Door elk punt S gaan (p i)(n —2)
raaklijnon aan F, die elk een jKuir PP\' leveren, waar aan
Mkons (j) — 2) punten P" d(H)r de involutie zijn loogovoogd.
l^us ;»an elk punt S zijn (p i)(p — 2)(n — 2) punten P"
toeg(.vo(>g(|.

Uit P" gaan (p—1) raakiijiUMi, die elk eon punt P leve-
ren en elk punt P boiuiall (p — 2) raaklijnen, dus (p i)
i) punten S. .Maar nu heb ik elke raaklijn iwivmaal

geteld. Derhalve zijn aan elk punt P" toegevoegd V2 (p— i)
(p — 2) (n — 2) punten S. Het blijkt uit het bovenstajinde,
dat de verwantschap (P", S) ^h (p — i) (p — 2) (n — 2) coïnci-
denties moet hebben. Wordt echter P" = S, dan Hggen op
de lijn P, P\', S, drie punten der involutie lp nl. P, P\' en
P" = S. Die lijn is dan een drievoudige raaklijn aan P.
De drie punten P,P\' en P" op zoo\'n drievoudige raaklijn
gelegen zijn allen als een coïncidentie der verwantschap
(P",S) op te vatten.

g\'=\'/2(p-2)(p-3).
Wij zien hienu\'t dat het ge.slacht md is voor p = 2 of
p = 3 d. w. z. voor de (luadratische en de cubische involutie.
De involutie kan punt vw)r punt afgebeeld worden op een
willekeurige kegelsnede Cj, waaro|) wij dan eene J^ krijgen.
De omhullentle Fo van deze laatste involutie moet lielzelfde

geslacht hebben als de omhullende F van K Blijkba^ir is
de omhullende van de (p — iklasse en dan is het ge-
slacht van Po

want in het algemeen heeft Po geen dubbelra;iklijnen.
Xu geldt algemeen voor het geslacht van P

2r\' = (p— i)(n —2)(n p^n —3).
Hiermee is het bewijs geleverd, dat ^3\'=ois. hetgeen wij
steeds als meetkundig duidelijk juumamen.

Wij hebben in het vmrgjuuule den graad n\' van de in-
volutiekromme P langs indirecten weg bejxudd. Wilden wij
dien gr.uid //\' rechtstreeks beidden dan zouden wij het aantal
snijpunten van C^ en P kunnen zoeken.

Snijpunten van C!^ en P ontstaan in de vertakkingspun-
ten der I . Innners uit het punt I\', gjuin de raaklijnen

•vunen dan vallen ook de raaklijnen I\'i en I\'i l\'i uit Pj
Jum I\' getrokken sunen, met het gev«)lg dat het vertakkings-
punt P, op P terecht komt liet aantal snijpunten van
t\'n p op deze wijze ontslaan is 2(p—i){p—2). overeen-
stemmende met het aantal vertakkingselemenien der I^.

Uit de vorige fxiragraaf is gebleken dat de kn)mme
t\'" de omhullende P elkaar in 3 (p—i)(n — 2)punten aan-
raken. Daartloorzijn 6(p— i)(n — 2).snijpunten veraniwo«)rd.

hel geheele juinial snijpunten laat zirh op deze manitT
"ifl niakkelijk l)eivden.

Zij gegeven de involutie lp tusschen de raaklijnen eener
vlakke rationale kromme Cn. Zoo\'n lp kan bijv. ontstiian
door in de punten eener punteninvolutie van den pc" graad
de raaklijnen te trekken.

Een groep van / toegevoegde raaklijnen bepaalt een iiantal
snijpunten, die ik .S\'zal noemen, en wij gaan nu de meetkundige
plaats zoeken van de snijpunten .S\'der toegevoegde raaklijnen.

De graad n\' dier kromme S is eenvoudig te vinden. Wij
vragen slechts hoeveel snijpunten van toegevoegde raaklijnen
op een willekeurige rechte l gelegen zijn. De raaklijnen
uit de punten van l aan de kromme C„ getrokken vormen
eene Iv, wanneer k de klasse van Cn voorstelt Wij zoeken
nu het aantal paren dat de involutie Ik gemeen heeft met de lp.

Om dit aant^il te vinden beelden wij de C„ en d.mnnee
de lp en de Ik af op eene kegelsnede.

Voor de nuiklijneninvolutie Jp iian de kegel.snede is de
involutiekromme (S\') van den gnuid (p—i). De involutie J^
£uin de kegelsnede heeft eene involutiekromme van den
graad (k—i). De involutiekronunen van Jp tMi Jk hebbt-n
zmxloende (p— i)(k— i) snijpunten, tl. w. z. J,, en Jk hebben
(p— i)(k— i) gemeenschapix\'Hjke jxiren. De I,, en Ik iuui
tle Cn hebben bijgevolg evenveel gemeenschappelijke jiiiren,
wfuirmee bewezen is tlat er op elke willekeurige lijn/, (p—i)
(k— i) punten .S\' vtx^rkomen. De graad n\' van de involutie-
kn)mme (S) blijkt alzoo te zijn

We gaan venier met tle beixiling v.in het aantal dubbel\'
punten è\'2 van tle invt)lutiekromme (S). lieschouwen wij
de toegevoegde .stralen p en p\' tlie tïlk.uir .snijtlen in het
punt .S\'. Uit .V g.uin tian nog (k — 2) nuiklijnen / aan tle
kromme Cn. Noemen wij t!\'(!\'n tlezer nuiklijnen tsq tlan is
djuiraan toegevoegd de nuiklijn tj\', en i\\ met <j\' bejvilen het
snijpunt .V\'. Huiten tle nuiklijn t = ti gaan dcnir .S\' nt)g
(k 3) raaklijnen t\' en tieze alle voeg ik loe aan tle nuik-

lijn q\', en beschouw de verwantschap (t\', q\'). Aan de nuik-
lijn q\' zijn toegevoegd (p— i) raaklijnen q en op elke
raaklijn q liggen (k — 2) (p—i) punten .S\'. Bovendien gaan
door elk punt S (k — 3) raaklijnen t\', zoodat ten slotte aan
elke raaklijn q\' zijn toegevoegd (p—(k — 2) (k — 3)
raaklijnen t\'. De overeenkomst (t\', q\') is blijkba^ir symmetrisch
en zij zal dientengevolge 2 (p—O^C^ — 2)(k — 3) coïnci-
denties moeten bezitten. liet gevolg van het voorkomen
eener coïncidentie q\' = t\' is dat het punt S\' met het punt
S samenvalt Er ontstaat dan een dubbelpunt S = S\' der
involutiekromme. Door het dubbelpunt S = S\' loopen nu
de vier lijnen q = t, q\' = t\', p en p\'. Majir het is duidelijk
dat p en p\' ook twee coïncidenties p = t\', zullen vertegen-
woordigen. Het met de coïncidenties q\' = t\' overeenstem-
mende aantal dubbelpunten S = S\' is daarom

Om het aantal drin\'oudigr punten te bei>;dcti, dat de
involutiekronnne bezit, redeneeren wij op de volgende manier.
E<\'n drievoudig punt zal ontstaan wanneer drie ;uui elk.uir toe-
gevoegde raaklijinMi bijv. j). j)\' on p" tloor één punt .S\' gaan.
Dan is dat punt .S\'natuurlijk drievoudig. We lotton op de ver-
wantschap tusschen do raaklijnon t en p". De raaklijnen p
i\'n p\' be|)alon hel .snijpunt .S on de (k — 2) andere raaklijnon
uil .S\' ;uin de kromme Cn noem ik /. Valt zoo\'n raaklijn /
mol een raaklijn p" .s.unon dan gaan drie loegovoogdo
raaklijnen j). j)\' on p" door één puiU .S\', dal dan drievoudig
wordt Een nuiklijn t boiwalt (p—i)(k—1) punten .S,
maar wij mooU\'n de (p — 1) punten .S tloor tlo UH\'govoegdo
r-uiklijnon van l op l ingosnotlen niet hebben. Bij iV-n raak-
lijn I boluKiron tlorhalvo (p—i)(k —i) punten S, terwijl
elk punt S (p —2) raaklijnen p" aangivft Bij tV-n raaklijn
f boh(H>ron tlus (p—i)(p—■ 2)(k — 2) raaklijnen p".

Door één raaklijn p" zijn (p — O loogovot^gdo raaklijnen /
liejxuiltl, die i/j(p—i)(p —2) punlou S aangtwen, terwijl
elk punt S nog (k — 2) raaklijnen / boiwalt Bijéén r;uikHjn
f vintien wij zo<Klt>ende Va (p— i)(p — — 2) nuiklijnen p".

De overeenkomst (t, p") bezit nu (p — i ) (p — 2) (k — 2)
coïncidenties. Gaan echter de drie raaklijnen p, p\' en p"
door één punt S dan is S drievoudig, maar er moet op gelet
worden dat nu elk der drie raaklijnen p, p\' en p" een
coïncidentie p" = t voorstelt Vandaar dat het aantal drie-
voudige punten der involutiekromme (S) is

Om de i\'lassf k\' van de involutiekromme (S) te bepalen,
gebruiken we de formule van PlüCKER

In ons geval is n\' = {p—i)(k—i), en y = ^\'j-{-3 ^\'3,
want om de formule toe te passen, moeten eerst alle drievou-
dige punten tot dubbelpunten herleid worden.
Wij vinden daardoor

Een cubische kromme C3 met een dubbelpunt in 1) nemen
wij als dr;uig.ster eener involutie Ij. Om dc Ij te krijgen
mogen wij twee paren Ai.Aj en willekeurig op C3

De cubische kromme C3 cn de omhullende Tj hebben
6 .snijpunten. De nuiklijn A, Aj .snijdt de C3 -nog in eon
punt P=Ii2. Uit P=B2 g.\'iat nu nog de nuiklijn IV, Ui
aiin lie omhullende I\'j. Wanneer nu ilo lijn A, Aj tU* cubische
kromme nuikt in het punt Aj, zal PêI^^Aj worden en
moet (y)k A, = B| worden, d.w.z. do twi\'o nuiklijnen, die
in \'t algemeen uit hel punt P aan l\'a gJuin, zijn hier .siinion-
g(ïvallen, en we kunnen zeggen dat zij elkiuir toch nog in

P = 1^2 = A2 snijden. Zoo zien wij dat het punt P = R2 = A2
óp de omhullende Pj valt, en dat P2 de lijn Ai Aj in het
punt A2 zal aanraken.

Zoo\'n punt P = A2 is eene coïncidentie van de verwant-
schap (A, P). Deze bezit het symbool (1,2) zoodat er drie
coïncidenties bastaan.

[Uit een punt A] gaat n.1. slechts ééne raaklijn Ai Aj die
ook .slechts één punt P op de C3 insnijdt En uit een wille-
keurig punt der C3 dat ik als een punt P kan beschouwen
gaat maar eene raaklijn van de soort P Ai A2. Bij één punt P
beluHiren dus twee punten A. De andere nuiklijn uit
verkrijgt men door P als een punt der I2 te beschouwen.
Uit P=Bi gaat dan nog de raaklijn Pdoch die bedoelen
wij niet]

De drie coïncidenties wijzen er op dat de cubische
kromme C3 en de involutiekromme P2 elk.uir in drie punten
raken. Hierdoor zijn de 6 .snijpunten van C3 en Pj U" verklareti.
De omhullende P2 is dus een drinnaal-rakcnde kegelsnede.

De C3 is van de viertle khtsse en \\\\ van de tweede.
I lunne acht gemeenschapjK\'lijko raaklijnen zijn nu gemakkelijk
te verklaren, De drie raakpunten van C3 en I\'j Iev(Ten er
ze.H (Ml de iHïide dubbelpunten der Ij geven er nog twee bij.

Twee willekeurige drietallen A,,.\\2, A3 en M|, Bj op
een kromme (\'3 met een knoop I) beivd(?n een involutie I3.
N\'olgfns onze gevonden resultaten heeft de involuti(^ I,, op
i\'ene kromme C„ eene omhullende P waarvan de kl.xsst»
k\'=(p— |)(ii— i)endegr;iad n\'=ï(p— 1 )(2n-|-p—0).

Uit het dubbelpunt I) gaan vier raaklijnen aan P d. w.z.
tie Htssr van 1\' is k\' = 4. Z(KHloe«ule bezitten Cj en P<

i6 gemeenschappelijke raaklijnen. Hun ontstaan is als volgt
te verklaren. De involutie I3 bezit 2 (p—i) = 4 dubbel-
punten, waarmee vier gemeenschappelijke raaklijnen ver-
klaard zijn. Snijdt de lijn Aj A2 de cubische kromme in
een punt P dan zien wij gemakkelijk in dat de verwant-
schap (A, P) tot symbool heeft (4, 2). [Want uit het punt Ai
gaan de twee raaklijnen A, A2 en Aj A3 die elk één punt P
aanwijzen, terwijl uit een punt der C3, als een punt P op-
gevat, vier raaklijnen aan P kunnen getrokken worden, doch
slecht:; twee van de soort P Cj Q; de andere twee verbinden
P = B, met zijn beide toegevoegde punten B2 en B3. Bij
één punt A behooren dus twee punten P en bij één punt P
vier punten A.] Deze overeenkomst (4, 2) heeft 6 coïncidenties,
waaruit blijkt, dat de krommen C^ en p-" elkaar in 6 punten
R aanraken; hierdoor onLstiian 12 gemeenschapixilijke raak-
lijnen. We hebben dus de 16 gemeenschappelijke nuik-
lijnen verklaard.

De involutiekromme P bezit cVv/ drin^oudigc nuiklijn. Zij
ontstaat uit de lineaire groep die de I3 bezit. Immers, zoo-
dra de drie toegevoegde punten P,,P2, P3 collineair d. w.z.
op ééne rechte liggen, is die rechte P, P2 P3 eene drie-
voudige raiiklijn der omhullende P.

We kunnen het zien uit tle verwantschap besUiande tu.s-
.schen het punt A3 en het snijpunt P van tle lijn A| Aj
met de cubische. Dat is eene (1,2) met tirie coïncidenties
die ééne drievf)udige nuiklijn bevatten.

Mïuir eigenaardig is een antlere afleiding. We hatltlen
de involutie I3 bejwald dfK)r de beide drietallen Ai.Aj, A3
en Bi.Ba, B3. Nemen we nu het punt P gt»het?l willekeurig
op C3 Juin dan kunntni wij ons tienken tle kegelsneden

Khuirblijkelijk hebben de kegelsneden en /3 nog
snijpunten (J en R buiten de C3.

Dc bundel kegelsneden bepaald door de vier grondpunten
D, P, Q, R snijdt C3 in de groepen eener cubische involutie J3
[immers één punt Xj op de C3 aangenomen is voldoende
om een exemplaar van den bundel aan te wijzen, en die
kegelsnede snijdt dan nog de twee punten X2 en X3 op
C3 in]. Doch men ziet dat de involutie J3 ook de twee
groepen (A) en (B) bevat en derhalve dezelfde involutie is
als de I3 van uitgang. We namen het punt P geheel naar
willekeur op de C3 aan. Het blijkt hieruit dat elke cubische
involutie I3 op een cubische kromme door oneindig veel
bundels van kegelsneden kan worden ingesneden. In den
bundel D P Q R komt voor de ont;uirding (D P, Q R). Het
deel Q R moet nu drie punten P der C3 bevatten. Die drie
punten Pj Pj P3 vormen het eenige lineaire drietal dat dc
I3 bevat cn de lijn Pj Pj P3 is de gezochte drievoudige
raaklijn der omhullende l\\

Ten .slotte is er nog ccn derde manier om het bestaan
van een lineaire groep Pj Pj P3 bij elke I3 op oen C3 aan to
toonen. Alle rechten uit het vlak nl. snijden de C3 volgons
eon I» en deze hoeft met de bo.staando I3 steeds één tlrietal
gomtion, zooals uit hot vorige hoofilstuk bokentl is. F.n tlat
is dan de lineaire groep P tier cubi.sche involutie I3.

l^uigs algebrai.schen weg kuit zich ook gemakkelijk .uin-
tfvjnon dat eene I3 en eene steeds t\'én drietal gemt>en
hebben. We zagen tlat tle P Vf)or to stellen is dtK)r tie
vergelijking

Zio vorig htviftl.siuk. Op s(V)rigt«lijko wijze I.uit zich nu tlo
cubische involutie tlfK)r twee vergelijkingen van tlenzelftlon
vonn vcrlegenwtx>rtligon

1)0 X, Xj Xj -I- 1), (x, xa 4- Xj Xj 4- X3 X,) j
-f 1)2 (X, Xj -f Xj) -f bj = O I ^^^^

Deze beide vergelijkingen zijn lineair in Xj xj en (xj X2)
zoodra het punt X3 gegeven is; dan kan men uit die twee
vergelijkingen het product x, X2 en de som (xj X2) op-
lossen. Daarna kan men eene vierkantvergelijking samen-
stellen waarvan X] en X2 de wortels moeten worden. Uit
die vierkantsvergelijking vindt men dan Xj en X2 in functie
van X3. Bij één punt X3 worden dus nog twee punten Xj
en X2 gevonden, d. w. z. de beide vergelijkingen (2) .stellen
eene cubische involutie voor.

Willen wij nu het gemeen.schappelijke drietal van de I3
en de I32 hebben, dan zoeken wij slechts de waarden x,, X2
en X3 die aan de drie bovengenoemde vergelijkingen tegelijk
voldoen. Het zijn drie trilineaire vergelijkingen. Maar nemen
wij nu Xi X2 X3, S xi X2 en v x, als onbekenden £uin dan worden
het lineaire vergelijkingen waaruit die onbekenden Xj X2 X3,
S Xi X2 en ^ Xj zijn op te lo.s.sen. Met deze drie waarden
kan men nu eene vergelijking van den derden graiid s;imen-
stellen, welker wortels de waarden van X| X2 en X3 bepiden.
Dit is dan het gezochte drietal dat de I3 en de I32 steeds
gemeen hebben.

Ter bepiding van den graad n\' van V* g:uin wij het
aiintal .snijpunten van C3 met P zoeken.

De 6 genoemde nuikpunten R van C3 en P^ geven 12
snijpunten. Verder zal. wanneer A2 = A3 i.s, de raaklijn
A| A2 met de nuiklijn A| A3 sjimenvallen, w;uird«K>r het
punt A) op komt. De vier dubbelpunten der I3 doen
zoo vier .snijpunten ontstaan. lUn-endien vormen de mak-
lijnen van de .sf)ort PX, X2, PV| V2 eene cjuadrati.sche invo-
lutie, met twee dubbelstralen zootlat hitTmee nog twee
snijpunteti worden verklaard. In \'t geheel zijn er mi iK,
waiiruit voortvloeit dat de involutiekromme P .van den 6<-n
gnuid is Pj.

Een kromme van de vierde orde met een drievoudig
punt O, is van het geslacht nul en kan ons derhalve dienen
als draagster eener quadratische involutie I2.

Wij nemen het punt S\' van C4 willekeurig, en letten op
de kegelsnedenbundels bepaald door de basispunten

Die bundels doen nog twee andere quadratische involuties
op de C4 ontstaan, die een i^uir S"S"\' gemeen hebben.
Wij hebben dus de conische groeiien

waaniit blijkt dat een bundel kegelsneden met de grond-
punten (0,S\',S",S"\') eene involutie I2 in.snijdt, die do jxiren
P] P2 en Q| Q2 bevat Doch dan is /.ij noodzakelijk de
involutie van uitgang, want eene involutie I2 is door tweo
p;iren volkomen boixuikl. Modonkende dat het punt S\' vol-
komen willekeurig word gekozen, mogen wij zoggen, dat
iedere quadratische involutie I2 op oen C4 met drievoudig
punt df>or on<.\'intlig veel kt\'gel.snedonbundols kan worden
ingo-snotlon, terwijl tlt^ veranderlijke basispunten S eene
cubisohe involutie I3 vormen.

Wij noemen do involutie (S) toogovoogd aan do (]ua(ira-
tisoho. Van do ontaardingon van don bundel (O. S\',S",S"\')
leveren de drie dooien OS\',OS" on OS\'" geen juron dor I3.

Alloon (lo roduon S\'S", S"S"\' on S\'S"\' geven juron
<ler Ij. Wij hebben hier drie j^iron dor I3 die met drie
l>;iron der Ij op óóno rochlo liggen.

Steeds ligt elk jxiar dor (juadratischo involutie op oen
rechte m<\'t oen jviar tlor KwgovcH\'gdo. Innnors beschouw
l»ei jKiar Aj.Aa der (luadratischo involutie on laat <lo ver-
bindingslijn A, Aj do C4 nog in do heide punten T\' T"

ontmoeten. Dan moet blijken, dat T\'T" een paar der toe-
gevoegde I3 vertegenwoordigt Hiertoe kiezen we ergens
een ander paar Bi,B2 der I2 en merken op dat de vijf
punten O, B,,B2,T\',T" een kegelsnede bepalen, die nog een
achtste snijpunt T\'" met de C4 heeft We kunnen nu zeg-
gen dat door de vier punten O, T, T\', T" twee kegelsneden
gaan nl. (O, r, r\', T\'" B,. Bj) en de ontaarde kegelsnede
(O T\'", T\' T") waarvan de eerste het paar Bi, 132, de tweede
het paar Ai,A2 der I2 insnijdt; de bundel kegelsneden be-
paald door de vier grondpunten O, T\',T",T"\', doet derhalve
op de gegeven C4 de aanwezige quadratische involutie ont-
staan en hiermee is bewezen dat de punten T\'T" toege-
voegde punten der «toegevoegde» zijn.

De verbindingslijnen Ai,A2 van de paren der quadra-
tische involutie I2 zijn de raaklijnen der omhullende P^; en
tegelijkertijd zijn het de verbindingslijnen van toegevoegde
punten T\', T" der cubische involutie en dus raaklijnen van
de involutiekromme behoorende bij de I3; zoodat de beide
toegevoegde involuties I2 en I3 de zelfde involutiekromme P\'
hebben. Door deze kenmerkende eigenschap zijn wij in
.staat, de verdere bijzonderheden van P^ op andere wijze te
verkrijgen, dan in het algemeene geval eener I,,. \\^K>r de
omhullende P der I2 geldt

D.uir de I2 en de I3 eene gemeen.schappelijko involutie-
kromme hebben is elk punt der Q het .snijinmt van drie
raiiklijnen juui P, want elk punt der (\'< is dan* als een punt
P der I2 maar tevens als een punt S\' der I3 ;uui te zien.
Op zoo\'n manier zijn aan h(?t punt P, =S\' toegevm\'gd drie
punten nl. Pj. S" en S\'", dus gaan door elk punt tier
drie raaklijnen d.w.z. de kl;us.se tier omhullentle P i.s drie.

Dat de Q en PJ elk.uir in zes punten R raken, volgt uit,
de verwantscluip besuuuule tus.schen de puiUen A en .S der

De I3 bezit 2 (p—1) = 4 vertakkingseleinenten V\' en
evenveel dubbelpunten V" = V\'" die vier snijpunten van
C4 met r^ en vier gemeenschappelijke raaklijnen in de
punten V" = V"\' verklaren.

De snijpunten van C* met T liggen in de vertakkings-
punten V\'; want de beide uit V\' vertrekkende raaklijnen
V\' V" en V\' V" zijn samengevallen.

Zoo hebben C4 en f^ 6 X 2 4 = 12 snijpunten en de
omliullende is dan van den vierden graad P.

Eene I2 en een I3 hebben twee p;iren gemeen.schappelijk.
De gevonden dubbelraaklijn bevat die twee jviren.

De 18 gemeenschappelijke raaklijnen van C^ en PJ laten
zich uit het lK)venst;uinde licht verklaren.

7. Als bijzonder geval der Ij op de C4 met een drii*-
voudig j)unt O gaan wij na wat er gebeurt, wamieer in
het punt O een jKiar ()\'()" der I2 is gelegen. Xu zal de
khuvse der omhullende P met één verlaagd wonlen en O
Wordt een kl.xssepunt De verbinding.sHjn der punten O\'O"
is immers onbeixiald. De eigenlijke involutiekromme is een
^rgr/snn/r P^.

Snijdt de lijn P| Pj de (\'4 in de punten S\'S" dan vormen
de punten .S in dit geval een i/ntn/rn/isr/ir inv«)hni«\' Jj.
i>e nuiklijn welke het punt ()"\' verbindt met het punt dat
door I2 aan ()"\' wordt toeg<\'vot?gd .snijdt ile C4 in de beitle
punten O\' en O", zoodat ()\'()\'\' een jxuir i.s, ook van de
toegevoegde Jj, De verwantschap tusschen de jjunten I* en S
is eene (2, 2), waann\'t volgt dat de kromme (\'4 in vier punten
K door Pj .uingeraakt wonlt, of dat l\'j eene viermaal rakende
l^egel.snetle is. \'1\'rekt men in zjkVii punt K de nuiklijn, dan
\'"•\'ijtlt ze nog twee punten \'V op de (\'4 in. die beide aan het
raakpunt R zijn to»\'g(»voeg(l. Is nu één punt R b«\'kend.

dan weten we van de involutie I2 of J2 twee paren n.1. O\'O"
en R met één van de tangentiaalpunten T. De involutie
I2 of J2 is daardoor bepaald en de omhullende Ta ook. Het
blijkt dat door één punt R de drie andere raakpunten ge-
vonden worden, of dat de punten R eene involutie I4 vor-
men; want het is op oneindig veel manieren mogelijk op de
Q quadrati.sche involuties in te snijden die een paar in het
punt O hebben, zoodat er ook oneindig veel groepen R
ontstaan.

De algemeene I2 kon ontstaan door een bundel kegel-
sneden met grondpunten O, S\', S", S\'", waarin alleen <9 een
vast punt was en S\', S", S\'" tot eene I3 behoorden. Neem
nu bijv. S\' ook va.st en zoo dat O\'= S\'wordt dan beteekent
dit dat alle kegelsneden de raaklijn t\' in O\' aan de C4 aan-
raken; neem verder aan dat de punten (S" S\'") een J2 vormen.
We krijgen op deze manier een bundel kegelsneden die de
vaste rechte t\' in O\' raken en wjuarvan dc twee vcrandclijke
grondpunten een J2 vprmen, terwijl op de Q een quadra-
ti.sehe involutie J2 ontstemt Bovendien wordt elk jxuir der
I2 met elk pa.\'ir der J2 door een kegclsnetle verlwnden.
Omdat men de involutie J2 op oneindig veel manieren op C4
kan kiezen zal bij elke\' nuiklijn in O een oneindig iuint<U
bundels behooren.

In ons geval is nu de cubiscln» involutie J3 overgegjuin in
oen quadratische J2 en hot punt O. Hij cHin nuiklijn t\' be-
hooren derhalv(? oneindig veel krommen P. wa;irvan de
nuikpunt««n R (?on bi(iuadratisclie involutie vonnon, die blijk-
baar fundamcnfaal is, tl. w. z. alleen afliangentle van de
kromme C4.

In \'t geheel ontmoeten we zoo drie funtlamontaal-involulics
op tle C4 cn tlric .stelsels van vionnaal rakende.kegolsnetlen.

De toogcvoegtle involutie J2 mogt» een dubbelpunt lurbbon
in D|; do buntlel bejxudtl tltxir l)| on tit; nuiklijn in O\'"
.snijdt f)p do (\'4 t»en I2 in met twee tlubbolpunlen l)„ en !)\'„.
Kr zijn tlerhalve twee kegolsnetlen tlie C4 in D| en vertier
resp. in Dn en D\'i, raken. De jviren ()\',()" en D, Dn bo-
liden eene involutie I2.

Leggen we de kegelsnede, die raakt in D,, Dn en O\'",
dan blijkt dat het paar D] Du van I2 met O\'" wordt ver-
bonden door een kegelsnede, die hetzelfde paiir D| Dn nog
eens insnijdt, en omdat elk piuir van I2 met elk paiir v.m J2
door een kegelsnede wordt verbonden, die in O\'" raakt,
volgt dat D| Dn ook een paar van de toegevoegde involutie
J2 moet zijn. O\' O" is nog een gemeen.schappelijk paar.
De twee involuties I2 en J2 zijn in dit geval identiek of
sainengev^allen. De involutiekromme r2 was een kegelsnede
d. w. z. uit elk punt Pi der Q gingen twee raaklijnen die Pj
verbonden met P2 en met P\'2 [wanneer P2 door I2 en P\'2
door J2 axin het punt Pi is toegevoegd]. Af.uir I2 =J2; dus
P2 = P\'2 cl. w. z. uit een willekeurig punt Pi der kromme C4
giuin .steeds twee .samenvallende raiiklijnen aan deomhullendel^
wat er op wijst dat P ontjuird is in een dttbbclpnut

Iedere lijn door ^ bevat twee jwren der Ijsjj en het
is duidelijk dat de twee dubbelinnUen der I2 =J2 door twee
nuiklijnen uit ^ aan C\'4 moeten aangewezen worden. De
overige vier raaklijnen zijn op deze manier natuurlijk niet
te verklaren. Echter zijn. twee clubbc^lra^iklijnen der C4 als
een ont;uircling.svorm der viermaal-rakende kegel.sncHle P op
te vatten. Hun snijpunt is dan Hiermee zijn de zcrs
raaklijnen uil ^ Juin C4 verkl.uird.

De jviren ()\',()" en D|, D\'n bei^ilen (ïvenz(H) een I2 die
niet haar toegevoegde J2 .s^unenvalL De beide andere dubbel-
raaklijnen der C\'4 zijn clan als de vierm.uil-rakende kegel-
J^ni\'de tl\' l)e,schouwen.

De vier dubbelraaklijnen hebben zes .snijpunten die we ^
kunnen noemen. Elk Z(K>\'n j)imt ^ is op te vatten als
middelpunt van een waaier die t»en fundameiUale I2 insnijdt,
Z\'Kxlat op elke .stnuil twee jxiren voorkomen.

Bij hel jKUir ()\'()" belKK^ren twen» funclamentaalinvolulie.s
^•n iwee ontaarde kegelsniMlen gevormd (l«K)r cle vier dubbel-
raaklijnen d,, dj, dj, d|. Stel dal bij cle eene» involutie behoort
\'•\'•i iKiar (I, (I2, met hel .snijpunt =
^■•■»nzelf bij (Ie andere involutie hel juar dj.d^ mei ^34 zs-dj d,.
^Vani Wits dit niet het geval. z«KHlal hij de tweede involutie

behoorde het paar dj.ds dan hadden de bedoelde involuties
behalve het paar O\', O" nog het op de dubbelraaklijn dj
gelegen paar gemeen en vielen zij samen, wat niet kan
wanneer zij door waaiers met verschillende centra moeten
ingesneden worden.

We nemen aan dat aan de fundamentaalinvoluties
die het paar O\' O" gemeen hebben en zijn toegevoegd
» » »O\' O\'" » » Ai3enA24
, , > O" O\'" » » A23enAi4
De punten Dj en Dn vormden een paar der eene Ij.
De punten D, en D\'n vormden een paar der andere Ij
welke aan O\'O" was toegevoegd. Bijgevolg moeten dc
punten Di,Dn, A12 op eene rechte liggen en evenzoo dc
punten D,, D\'n, As«-

Bepiden we eene involutie Ij door het p.uir O\'O" en het
dubbelpunt D|, dan zijn volgens boven de punten Dn en
D\'n dc dubbelpunten der toegevoegde Jj.

Dezelfde involutie Ij kuit zich bepalen door het pjuir O\', O"
en het tweede dubbelpunt D\',. zoodat ook dan Dn en D\'n
de dubbelpunten der toegevoegde Jj zijn; dus best;uin de
kegelsneden, die de C4 raken, achtereenvolgens in O\'",!)\',, D\'n-
Op dezelfde manier als boven bepiden de jwren ()\',()"
en D\',, Dn eene involutie die met haar toegevoegde siimen-
valt. Zoo ook de piiren O\', O" en D\'i, D\'n.

De punten D\',,Dn vormen een p;uir der ééne involutie,
dc punten D\'i,D\'n een jviar der andere involutie, die ;uin
O\'O" is toegevoegd. Bijgevolg moeten de jnmten D\'i, D\'n,
A34 op een rechte liggcMi en evenzoo de puntcMi D\'i, D n, A12;
want wij hadden al de collineain? dri«\'tallen D|, Dn, Ai2 en
Di.D\'n, A34- liebben hiennee de stelling bewezen dat

dc punten A«2 en Ai« tle nevenhoekpunten r.ijn van den
vierhoek 1), Dn D\'i D\'n die in de C^ beschreven is. De punten
A»2 en A3< natuurlijk v.xst, m;uir de punten D zijn
veranderlijk, zoo<lat de punten A«2 en Aj« ^\'e nevenhoek-
punten van oneindig vele in C4 beschreven vierhoeken zijn.
Hetzelfde geldt voor een ander jvuir punten A» zowlat we
tot algémeene uitkomst verkrijgen:

«Elke twee overstaande hoekpunten der door de dubbel-
raaklijnen gevormde vierzijde zijn twee nevenhoekpunten van
oneindig vele in C4 beschreven vierhoeken.»

§ 8. De ixvolutie I3 op een kro.m.me van de vierde
orde met een drievoudig punt. (*)

Is op een C« met drievoudig punt O een cubische invo-
lutie I3 gegeven, dan heeft die eene involutiekromme F van
de klasse k = (p — 1) (n — 1) = 6. Dit blijkt ook daaruit dat
aan het punt C) zes punten zijn toegevoegd.

We willen laten zien dat uit twee drietallen der I3 is af
te leiden door welken bundel zij is ingesneden.

De drietallen Ai.Aj, A3 on li,, lij, B3 bop.don met het
punt O twoe kegel.snedenbundels (O A, Aj A3) en (O H, Bj B3)
die op de C4 twee quadratische involuties insnijden. Deze
hebben stctxls een jxiar F\', F" gemecn.schappelijk.

De kegel.snwlen (O A, A^ A3 F\'F") en (O B, B, F\'F")
bezitten nog een vierde gemeenschappelijk .snijpunt Q dat
buiten de kromme C4 ligt. Hieruit zien wij dat de kegel-
sneden (O /\'• P" {) A, Aj Aj) en (O P\' P" (,) B, Bj B3) een
bundel (O F\' F" Q) be|Kden die op C4 do gegevene cubi.sche
«nvolutie aftoekent.

Do onuuirdingen uit den bunilol wijzen ;uui tlat er twoe
liiUMlro groejx\'n tier I3 besl;uin, ztxHlat F*^ twee tlricvoutligo
»"•■uiklijnen bezit, en bovendien volgens vrwger \'/2(p—1)^
("•—2)(n — 3)==.| tlubbelraaklijnon. Derijalve is het go-
«laeht ///// en tle ortle Z/Vv/.

Do kromme C^ en l\',«; hebben 36 gomoenst^hapiK\'lijke
•"aaklijnon en snijpunten die t)p tlo bi»kentlo manier te
Verklaren zijn.

Als bijzontlor geval kunnen wij .umnemon tlat do I3 een
imr ()\',()" bevat. Xu wtmlt dc t)mhullontIe ontjuinl. 7.e
\'it^stjuii dan uit oen kromme I\'» en hel punt O. Wij zagen

vroeger dat eene I3 door een drietal en twee paren kon
bepaald worden. Wij kiezen daarvoor het drietal A,, A2, A\'3
en de paren Bj, B2 en O\', O", waardoor wij weder den
bundel kunnen vinden die de bedoelde I3 doet ontstaan. Leg
de kegelsnede Ai, Aj, A3,0\'", O\'", dus rakende in O\'" en
let op het punt P dat zij op C4 aangeeft Dan de kegel-
snede Bi,B2,P,0"\',0"\' dus eveneens rakend in O\'", De
beide kegelsneden leveren nog een snijpunt Q op buiten
C4, De vier punten (0"\'0"\'PQ) bepalen een bundel die
op de C4 eene I3 insnijdt en wel de gegevene.

Immers één exemplaar geeft het drietal Aj, A2, A3, een
tweede geeft het paar B,,B2 en de ontaarde kegelsnede
(O\'" P, O\'" Q) wijst op een drietal dat het paar O\', O" bevat
De lijn P Q draagt een drietol der I3 en is dus drievoudige
raaklijn der involutiekromme.

Verder blijkt gemakkelijk dat fs nog drie dubbelriuik-
lijnen bezit en dus eene fj is van geslacht nul.

Wij willen in deze paragnuif eens nagiuui hoe involuties
op een gegeven rationale kromme C„ kunnen ontslaan.

D.uirtoe brengen wc de kromme Cn in doorsnijding mei
eenbuntlel krommen B,„ van den graatl ///. Wij zien iladelijk,
dat de snijpunten P van <\'lk exempl.uir B,„ met de kronnnen
Cn een punhnigroep vormen, die d<M)r één punt P, onver-
schillig welk, bep;uil(i i.s, want intrl elk punt P is een kromme
van den bundel :umgewezen. De ligging der basispunten
is echter van invloeci op d(> komende involutie.

De kronnne C„ van het geslacht nul bezit.ten h(v)gsie
V2 (n — I) (n — 2) dubbelpvmlen 1). Wij .stellen dit geval
a;inwezig. Dan bepalen j Va (n — 3) n — 1 { = Va (n^ 3
n —2) dubbelpunten D een bundel krommen (B„_j) van
den graad (n — 3), terwijl er dan nog Iwr dubbelpunten
I), en D2 overblijven. Dit is dc bundel van den hc^)g.sien
graad, dien wij door de dul)belpunlen kunnen bejxilen. .Men

noemt de involuties door dergelijke bundels ingesneden wel
fundamnttalc involuties, omdat zij met de kromme Cn gegeven
zijn. Een exemplaar Bn-j heeft met de kromme Cn na-
tuurlijk n(n — 3) snijpunten waarvan (n^ — 3n — 2) in de
punten D terecht komen. Buiten deze punten D wordt de
Cn derhalve door elk exemplaar van den bundel Bn_j in
slechts twee punten F gesneden.

Wij zien zoo op de gegeven Cn een fundamentale involutie
van den heccdcn graad Fj ontstaan, die met Cn bekend is.
Deze involutie F2 onderscheidt zich van de in het vooraf-
gaande besprokene. Immers nemen we D, = Pi aiui, dan
snijdt de daardoor aangewezen kromme B„_3 de Cn voor
de tweede maal weer in Di = Pj. Derhalve zijn de dubbel-
punten D| en I^ jxiren der fundamentale involutie Fj en
dit is bijzonder, want in \'t algemeen zullen geen twee toege-
voegde punten van een I2 in een dubbelpunt liggen. Elke
quadratische involutie is door twee jxiren volkomen bep;uild
en onze F2 dus ook. Z«>o beixilen dan de punten en 1)2
d<\' bedoelde F2. Maar elk ander jxuir punten I) beixuilt een
zekere fundamentale involutie F2. Hieruit volgt dat het
«uuual mogelijke fundamentale involuties van den fnurdt-n
gnuul op een C„ overeen.stemt met lu«t :uuUal combinaties
tier punten D twee ;uui twee.

Passen we op deze I"\'2 tle vroeger gevonden fonnuk\'s Uk»,
d<x»r i)=2 te stellen, dan vinden wij voor de gnxnlH-ih-n,
die op de involutiekromme P betrekking hebben

k\'=ï(p— i)(n— i)=:n— I,
r\'j = «/2 (n — 2) (n -- 3) (p — 1 -= Va (n — 2) (n — 3),
r\'3 = \'/j (p-i)(p~2)(n-2) = o.
n\' = (p — ,) (2 n -1- p — 6)« 2 n — .j = 2 (n — 2).
g\'== i/2(p—2)(p —3) = o.

In de eerste plaats «uulergaat dt» khssck\' eene vermindering,
^^■•\'uu in 1), en in Dj ligt een fxiar der l\'j. De punten Di
D, zijn iwee kl;uss<\'punlen van P. D«\' eigiMilijke omhul-
lende lu\'eft nu de kl.usse k\'=sn 2=n —3.

een kromme van den vijfden graad, fundamentale involuties
van de tweede orde ontmoeten. De involutiekromme F is
dan een kegelsnede.

De Cn en F van de klasse k = 2 (n—i) en k\' = n — 3
zijnde moeten 2 (n — i) (n — 3) gemeenschappelijke raaklijnen
bezitten. Zij ontstaan

2°. Uit de coïncidenties der ver\\vantschap(S, S\'); de snij-
punten der lijnen P, P2 met de Cn zijn punten S; de (S, S\')
bezit het s3\'mbool [(n — 4) (n — 3)] met dubbel zooveel
coïncidenties.

30. Uit de coïncidenties der overeenkomst (P, S) die voor
te stellen is door [(n — 2), 2 (n — 4)]; dus (n — 2) -}-\'2 (n — 4)
= 3n—10 gevallen P = S. De kromme C„ en F zullen
elkaar in P = S aanraken. We moeten derhalve (6 n — 20)
gemeenschappelijke raaklijnen rekenen.

Omdat I\' van het g<»slacht ind is, zal men voor het aantal
dubbelraiiklijnen vinden

r\'2 = \'/2 (k\' - I) (k\' - 2) = \'/2 (n - 4) (n - 5)
wjuiruit v(X)r den gnuid van F is af te leiden
n\'==:2(k\'-i) = 2(n-4).

Zoekt men het iuinUd r\'2 door het cUintal jxiren te bejKden
dat het stel.sel (S,S\') met de Ij gemeen lieeh, dan vindt
men te veel, want dit .uintal is (n — 4){n — 3) en d.uiruit
zou volgen

het paar D\',, D",, de andere elk een paar Pi Pj. Op elk
dezer (n — 4) raaklijnen is D\'i, D"i een paar (Si S\'). Van
het aantal paren dat (Si S\') met I2 gemeen heeft, liggen er
dus 2 (n — 4) in Di en D2. Deze paren leveren geen dubbel-
raaklijnen, zoodat wij nu voor het aantal dubbelraaklijnen
vinden

De dubbelpunten der Cn bepalen een bundel hoogstens
van den graad (n — 3), waardoor eene Fa ontstaat Bejmlen
wij bundels door minder dubbelpunten, dan ontstjuin funda-
mentale involuties van hoogeren graad.

Zoo bepalen V2 (n^ — 5 n -f- 2) punten D een bundel (Bn -4)
van gTJuid (n — 4), w.uirvan de exemplaren op de kronnne
Cn eene involutie F„_j doen ontstaan.

Min.stens moet weder n = 5 zijn; we krijgen dan een F3,
ingesneden door een bundel van den eersten graad bejxuild
door één basispunt D. Dit zijn de futulamentale cubische
involuties die door do w.-uuers met middelpunten 1) worden
ingesneden. Zoo zijn er natuurlijk zes.

Hot .\'uuital ongebruikte dubbelpunten is steeds \'/2(n—i)
(n — 2)—\'/2(n^—5n-|-2)==//. Die // inmten D zijn juron
tli\'r l\'\'n-a cn W(Hlor // kliLssepunton der omhullende 1\'. We
vinden d.uiruit voor de klasse k\' dor involutiekromme

N\'order zullen wij dit ivulorzook echter niet voort zotten.
Alleen n«)g de opmerking, dat op een C„ mot hot maximum
•\'uuual dubbelpunten Va (n — 1) (n — 2) centrale fundamentale
\'nvolutios aanwezig zijn. Blijkbaar liggm [Va(n—1)

Ten slotte is het geval denkbaar, dat er onder de singu-
liere punten der Cn veelvoudige punten voorkomen. Ook
dan zijn fundamentale involuties mogelijk. De gegevens
worden nu echter te onbepaald om er verder iets over te
zeggen.

§ IO. Een tweede manier om involuties te verkrijgen,
leveren de bundels waarvan de basispunten zoo zijn gekozen
dat alle dubbelpunten D er toe behooren. De dubbelpunten
bepalen op zichzelf geen bundel. Er moeten nog eenige
punten naar willekeur bij genomen worden; \'t zij op, \'t zij
buiten de gegeven kromme Cn. De bundel van den laagsten
graad, die aan genoemde voorwaarde voldoet, is een (Bn - »)
van graad (n — 2). Het juuiUd bepalende punten is

Er zijn \'/2(n—i)(n — 2) punten D. We moeten dus nog
V2 (n2 — n — 4) — \'/2 (n2 — 3 n -f 2) = n — 3 punten B bij dc
dubbelpunten kiezen om een bundel (Bn-,) te bejKden.

Met is duidelijk, dat nu geen i^iren der involutie in de
dubbelpunten der C„ kunnen terecht komen. Dergelijke
bundels leveren ons het meest algemeene geval. Op deze
wijs moeten we de involutie I,, ontst;uin denken die wij in
de eerste paragr;uif van dit hoofd.stuk bespraken. Alleen
voor deze involuties gelden tU? aldaar gevoiulen formule.s.

Worden alle (n — 3) punten B buiten de C„ .uuigenomen
dan ontsta;it eene involutie Want een exempl.uir B„_,

geeft n(n —2) snijpunt met de C„, terwijl er(n—i)(n —2)
in de dubbelpunten D liggen. Het overschietende .uiiUal

Men ziet oogenblikkelijk dat, wegens ile vrijheid, die be-
.stiuit in het ïuinncmcn der (n — 3) punten B. mits zij slechts
buiten de C„ liggen, het .umtal der involuties I„_, zeer
grwH is. Verder kan men, dw^r telkens één der verander-

lijke punten B op de Cn te kiezen, den graad der involutie
verlagen tot twee. Men heeft dan (n — 4) punten B op
Cn te nemen.

Door kundels van den graad (// — 2) worden dus invo-
luties lp aangewezen van p = 2,.....tot p = (n — 2).

Verder gaande bepalen we een bundel (Bn _ ,) van den
graad (n — i) door [Va (n — i)(n 2)— i]= V2(n2-4- n — 2)
punten, waaronder de dubbelpunten D der Cn begrepen zijn.
Er blijven Va (n^ n — 4) — </2 (n^ _ 3 n 2) = 2 n — 3 ver-
anderlijke basispunten B over, die mede óp of buiten de
Cn kunnen gekozen worden. In het eerste geval heeft elk
exempliuir B„ _ , met de kromme Cn gemeen n (n — i) —
(n2 — 3 n 2) = 2 n — 2 = 2 (n — i) .snijpunten P. Er ontstaiit
dus eene Ij ,„ _ „.

Telkens punten B óp de C„ nemende, kunnen wij ook
met deze bundels ten slotte eene quadratische involutie
in.snijden.

D<K>r bundels van den graad (// — /) worden invtjluties
I|. ingêsniHlen van p = 2 tot......])s=2(n—i).

Wij kuimen op deze manier involuties van ietleren graad
"p onbejïiiald vtïel wijzen verkrijgen.

I let be.staan van veelvoudige punten tegelijk met dubb(>l-
punten I) Is weth-r op verschillende wijzen denkb.uir; m.uir
tlie gevallen zijn te onbejxiald om V(K)r eenige behandeling
vatbjuir te zijn.

S M. Een th\'rde manier om involutie.s te doen onl.siaan
•>estaat hierin, dat we a/A\' ba.si.sjnmten B th\'kn)nune

\' let eenvoudigste geval is dan tlat we sitvhts tV-n basis-
punt B aannemen. De tiaartloor beiwaltle waaier B zal
eene centrale invt)Iutie Involutie I„ doen ont.siaan.
ï«\'nvijl iH\'n |„ In \'t algemeen eene involutiekromme P van
kIjisM\' k\'«ss(n—1)\' heeft, zal P hier tmlaard zijn in het

Het volgend geval is dat wij een bundel kegelsneden
(B2) hebben met de vier basispunten buiten de Cn- Er
ontstaat eene Ijn waarvan in alle punten D paren liggen.

Op deze wijs voortgaande, zien wij dat een bundel (Bn,)
op de gegevan kromme eene involutie lp van den graad
p = mn zal aangeven. De graad p is steeds een veelvoud
van het getal n.

Onderstellen wij verder dat er basispunten op de C„ komen,
mits buiten de dubbelpunten D, dan geeft een waaier met
centrum B op de Cn eene involutie In-i. In \'t algemeen
snijden dan bundels (B^) involuties van den graad (mn—i)
..........tot den graad (m n — b) in, als b het aantal basis-
punten voorstelt Men krijgt weder involuties van iederen
graad. Xog op andere wijzen kunnen involuties ontstian.
Wij zullen die echter niet beschouwen.

De gegeven manieren met elkmir vergelijlcende kunnen
wij de opmerking maken, dat men wel volgens die verschil-
lende methoden involuties van den zelfden graad 7.o\\xV.ViX{\\\\Q\\\\
verkrijgen maiir dat zij toch nooit identiek kunnen zijn.
Immers, is eene involutie lp ontstaan volgens de eerste
manier dan is het eene fundamentale involutie; er liggen
dan een bepaald aanial paren in de dubbelpunten D. Ont-
.sUuit een lp volgens de tweede wijze dan zijn er in ¹tgeheel
geen |xiren in dc dubbelpunten I) gelegen.

\\^)lgens de derde manier is het duiilelijk dat alle dubbel-
punten 1) paren {Ier komende lp zullen v(k)rstellen.

Wegens het verschillend aantal in de punten I) gelegen
paren der lp is zo(Kloendu het insnijden eener zelfde involutie
volgens dc besprokene handelwijzen eene onmogelijklicid.

§ 12. FuNI)A.MF-NTA1.K INV()UniIC.S()l\' KATIONAI.k KKf».M.MKN\'
VAN DKN VIJKDKN C.KAAI). (♦)

We .spraken retnls in \'t algemeen over fimdamentalo
involuties op rationale krommen, maar willen nu de bijzonder-

heden nagaan, die zijn op te merken, wanneer een C5 met
zes dubbelpunten D^ (k = i, 2,3,4,5,6) de draagster der
involutie is.

Klaarblijkelijk snijdt een bundel kegelsneden door vier
punten D een fundamentale F^-^ in, waarvan twee paren in
D5 en in De liggen. Derhalve is de klasse der involutiekromme
Ç met twee te verminderen en dus niet (jj— i)(n—i) = 4»
maxir k\' = 2; m. a, w. de omhullende wordt een kegelsnede

Letten wij op de verwantschap (S, S\') tusschen de punten
S, ingesneden door de verbindingslijnen Pi,P2, dan blijkt,
dat de punten S in dit geval een cubische involutie l-"\'\'"
vonnen, want uit Si = Fi gaan slechts twee raaklijnen n.1.
Pi P2 S\' S" S\'" en S, Sj Q, Qj .S3. De verwantschap (P, vS) is
hier eene (2,3) met vijf coïncidenties P = S, waaniit volgt
dat de omhullende pj-\'\' eene vijfm.uil rakende kegelsnede
van C5 is. IMijkbaar is pj-\'\' omhullende zoowel vof)r Fj-"
als voor de Fj\'^

Deze vijf nuikpunten leveren 10 gemeen.schapjx\'lijke raak-
lijnen. De h\'s\'^ en Fï-\'* hebben .s;imen zes coïncidenties
Wiuinnee de overige zes gemeen.schappelijke raaklijnen van
CJ en (pj ^ verkl.uinl worden.

Ken drietal der I-\'i-^ bejKudt nu\'t de zes dubbelpunten Dk
eene cubische kronnne; dus door twee drietallen wordt een
bundel van cubi.s<\'he kronnnen vastgelegd, w<\'lke de l-\'i-"
tlocl ont.sUum. In de punten Dj en 1)^ liggen twee jKiren
<ler I-\'j, niaar twk lwe(ï jwiren van l-\'j, want zoowel uit Dj
ïJs uit Dft giuit één r.uiklijn aan van de .soort UiQjSi
D\\sD"j. De C3, die het jmr vim F^ in.snijdt, dat in Dj
ligt, moet ncKHlzakelijk daar 1er plaatst? een dubbelpunt be-
zitten, Z(KHlal zij met de overige krommen van den bundel
in 1)^ twee punten gemeen heeft !•> liggen dus twee bxsi.v
pinUen in Dj, wal tengevolge zal hebben, dat alle overige
krt)mmen elkaar in Dj juinraken. .Miuir dan doen zij hel
eveneens in !)<,. Uil l)j gaal een rechle tj waanop een
^irieial der I*\'»-\'* ligt; ij beiKuill mei ile vijf overige dubbel-
punten 1) eene onl.uinie (\'j, besUunde uil de rechle ij en

gevormd door t^ en de kegelsnede kj ^ ^ ^ Deze twee
ontaarde krommen bepalen natuurlijk ook de negen basis-
punten van den cubischen bundel. Er liggen er vier in
Dl Dj D3 D4, twee in D5 en twee in De, derhalve is het
snijpunt van ts en te het negende basispunt

Bovendien moeten de beide ontaardingen elkaar raken
in D5, maar ook in De. Dit kan alleen als de rechte te de
kegelsnede kj^^^^ raakt; en als de lijn ts dan de kegel-
snede raakt want de beide kegelsneden kunnen niet
meer dan de punten D,,D2.D3,D4 gemeen hebben. Alle
krommen van den bundel raken derhalve in D5 aan ts en
in De aan te-

De fundamentale involuties F^-^ en F^-^ met de toege-
voegde involuties Fj-^ en Fs-® hebben de involutiekegel-
sneden pj^ en Deze hebben vier gemeenschappelijke

Moe worden die verklaard? Djuirtoe letten we op de
gemeenschappelijke paren van Fj-^ en Fs-^

Eene lp en een hebben .steeds (p—i)(q—i) paren
gemeen waaruit blijkt dat de Fj\'^ en de F»\'^ twcHJ p;iren
gemeen hebben. Mjuir één jxuir wordt dw)r het dubbelpunt
De geleverd. Met andere noemen we F^^ F^^ of De

verbindingslijn r dezer j)unten snijdt nog in drie punten,
die wij ^Jo^Jö^jö ^jo^^jo\'^Jf. noemen.

De vier gemeenschapiK-lijkc nuiklijnen van Q*^^ en OJ^
worden dus verkl.uird als volgt:

De cubische involuties en I-\'s«\'\' hebben vier jxiren
gemeen, die drie gemeen.s<\'hap|K\'lijke raaklijnen geven, want
één dier jxiren is het dubbelpunt De, «mi de lijn r Ih de
vierde gemeenschapiK\'lijke nuiklijn.

De vier dubbelpunten Di, Dj, Dj, J)4 beiwlen drie ontaarde
kegelsneden, die drie [Kiren F,, Fj, Q,, Oj. I<2 der l-\'J-*^
in.snijden. Blijkbaar beidden de drie lijnen F,,F2, Q|,n2 en
Ri, R2 met de boven genoemde rechten t, en t« een vijfmaal
rakende kegelsnede

pk pk I (jfj 2es centrale kubische involuties. Deze laatste
worden ingesneden door de waaiers met centra Du. Hunne
omhullende, in \'t algemeen bij een I3 van de klasse (p—i)
(n—i) = 8, ontaardt in het driemaal te tellen centrum en
de vijf overschietende punten D.

§ 13. Over stei^ei^ van kegei^sneden die bij invo-
lutjes op rationale krommen behooren. (»)

Bij stelsels van kegelsneden in een vlak beteekent /j. het
aantal kegelsneden door een punt, y het aiuital dat een
rechte aanraakt, i het aantal lijnenparen, yj het .uuiuU dub-
belrechten (puntenparen). Tu.sschen deze vier kenmerkende
getallen bestaiin twee betrekkingen, die men als volgt kan
vinden. Beschouw de willekeurige lijn /. Door elk punt
M van / gjuin ju kegelsneden, die op / /x punten M\' aan-
wijzen. De punten M en M\' vormen een .stelsel (/z.^) met
2 fx coïncidentie.s, welke ontstjuui uit de y kegelsneden, die
^ raken, en de yf dubbelrechten, die / .snijden; dus is

Neem verder een willekeurig punt O als centrum van
tien w.uiier. Aan eiken .str.uil .r uit O raken y kegelsneden;
\'•\'j beixden nog y nuiklijnen s\' uit O. De overeenkom.st

S\') h(»<?ft lot .symb(K)l (y, y) en 2 y coïnciileniii\'s, die onLsi.uin
de f4, ki\'gelsniHh\'n d(K>r \'i middelpunt () en de d lijnen-
I>;m\'n; want de .sinuil uil O n;uir hel snijpunt van een lijnen-
ixi\'ir ^ is («en geval Ss.S\'. Nu geldt derhalve de fonnule

tle nilionale kromme C!„ zij gegeven een 1,, zo<Hlal
P^.V De / punten eener groep combineeren wij vijf aan
^\'\'jf en lellen oj) de kegelsninlen door vijf dezer punten

bepaald. Zij vormen een stelsel [C^]. Wij hebben geen
dubbelrecht dus is •/} = o en wij vinden

Liggen drie toegevoegde punten P P\' P" op één rechte dan
hebben wij een drievoudige raaklijn der omhullende. Hun
aantal is

Elke lijn PP\'P" vormt met een andere lijn die twee tot
dezelfde groep behoorende punten P verbindt een lijnenpaar
van [C2] dus is

Een kegeLsnede van [C^] bevat vijf punten P en (2 n — 5)
punt X. Dfxir een punt P der C„ gaan fx kegel.sncKlen,
Wfiaronder (p— 1)4 die P met vier toegevoegde punteti P\'
verbinden. l£r .schieten (/, — (p — 1 )4 = (2 n — 5) (p — 1)4 ke-
gelsneden over, die vijf punten (J tier lp bevatten en (2 n — 6)
punten X\'; de verwantschap (X, X\') lu;eft \'t .symbool [(2 n — 0)

De 2 (2 n — 6) (2 n — 5) (p — 1 )4 coïncidentit»s X X\' wijzen
op evenveel kegelsned<\'n, die de C„ in X==X\' aanraken.
De 2 (p— 1) dubbelpunten der lp leveren

P = X wordt de bijbehoorende kegelsnede de €„ in P=X
raken en voor twee moeten geteld worden.
Het stelsel (P,X) heeft de fonnule

zoodat er 6 (2 n — 5)(p— 1)4 kegelsneden zijn die Cn raken
en alle als dubbele exemplaren moeten beschouwd worden.
Het totale aantal rakende kegelsneden uit het stelsel [C^]
is nu 4(n — 2)(2n—i)(p—1)4,

De verwantschap tusschen de punten X die met vijf
punten Po\' Pq" Po\'" Po"" po\\ op een zelfde kegelsnede liggen
en de overige (p — 5) punten Po is van den vorm

Zootlra Po = X wordt liggen zes punten Po op één C^.
M;uir ieder dier zes punten is dan als eene coïncidentie op
te vatten, tlerhalve is het juuital kegelsnetlen dat 6 toege-
voegde punten bevat (2 n — ,\'))(p—1)5,

§ t.}. Is p<C5 tian nemen wij (5 — p) willekeurige punten
Alt k == t,,. (5 — p) ;uin, en leggen kegelsneden door die
vjuste punten Ak en de groeiXMi der lp. Om van ons .stelsel
[C^] yx te be|xilen leggen wij de kegelsncnlen door de punten
Ak en c<Mi willekeurig punt Ao. Zij doen op do Cn een
I**,"\' ontstium, die met do I,, (211 — p-|-•) groo|)on van p
punten gemeen hoeft I)<K)r .Ao g.uin dus (2 n — p O
l<egolsn(Hlon, die oen groep dor 1,, bevatten en nu\'n hooft
^=5 2n —p-f- 1; y=2(2n —p-f 1); i«3(2n —p-f 1). Is
P=a2 d;m zijn er drie vjtsio punten A|, Aj, A^ aan te nemen,
en is 5 = 3(211—1).

Dit blijkt ook zih): do lijn A| Aj snijdt C„ bijv. in oen
punt P; verbindt men nu Ai mol \'t aan P loogevtK\'gde
punt P\', dan hoeft mon één Hjnen|Kuir van [C]. In\'t geheel
^■indi men 3 // van deze jviron. Uil oen punt A| gaan
«) lijnon die mi jxiar P, P\' dor U dragen. Kik dezer
rechten vormt mtrl do lijn Af Aj oen lijnenivuir. .\\\'an dozo
vindt men er 3 (n—1). Totaalisdusd 3(i n — 1). Hebben
^^\'»j een Ij, tl»s p=a3, dan nuwten wij fwrr puutcn - ii - /f

er bij kiezen. Dan wordt 5 = 6(n—i). Deze lijnenparen
vindt men als volgt: Vooreerst zijn er (n — 2) collineaire
drietallen PP\'P" die elk met de lijn A, A2 een lijnenpaar
vormen. Snijdt verder de lijn A, A» de C„ in een punt P
dan vormt de lijn P\' P" met de lijn A, A3 een lijnenpaar.
Zoo zijn er w. Ten slotte is elk der punten Ai.Aa colli-
neair met 2 (n — i) paren der I3. Alles te zamen nemende
vindt men 0 = 6 (n — i).

Bij een I4 is p = 4 en heeft men maar één puntAj noodig.
Dan is 5 = 3 (2 n — 3). Want er zijn 3 (n — 2) collineaire
drietallen en 3 (n — i) lijnenparen, waarvan elke der rechten
twee toegevoegde punten der I4 draagt

De verwantschap (X, X\') heeft voor p<!,5 het kenmer-
kende getal (2 n — p)(2n — p—i); de verwantschap (P, X)
het .symbool [p (2 n — p), (2 n — p)]. Nog bedenkende dat
lp 2 (p—i) dubbelpunten heeft vindt men nu voor het
£uintal C2, die Cn aimraken. 2 (2 n — p) (2 n — p — O
-f 2 (2n —p)(p-f i)H-2(p — i) = 2(2n — i)(2n —p-I- i).
Voor een I2 is (X. X\') eene [2n—2](2n —3) die met U
(2 n — 2) (2 n — 3) pjircn gemeen heeft Dan zijn er dus
(n— i)(2n — 3) kegel.sncxlcn die twee jxiren der Ig dragen.

De axiale I,. (Haar ontstaan).
Deze soort van involutie is bij de rationale ruimtekrommen
van bijzonder belang. Wij stellen ons voor dat een rationale
ruimtekromme van den n^" graad !<„ gegeven is en dat wij
een rechte a willekeurig in de ruimte aannemen, welke
rechte wij in \'t vervolg de as a zullen noemen. En wel
omdat wij de rechte n als as van een vlakkenbundel zullen
opvatten. Deze door de Jis a bepiudde vlakkenbundel snijdt
de gegeven R„ volgens de groe|)en eener involutie I,.
Immers, in elk element van den vlakkenbundel« verschijnen
" .snijpunten F met de R„ terwijl elk zoo\'n punt P, onver-
schillig welk. met de lus a etMi vlak van den bundel be|>aalt
en dus de geheele groep van // punten P bej>;uilt. De vol-
gens deze manier voortgebrachte involutie i.s bijzonder
• Omdat alle punten van één groep in één vlak liggen;

Onulat tle gr;uul van ztxi\'n involutie overeen moet
•Htetnmen met tien grjiatl van tle ruimtekromme waart)p zij
geplaal.st wortlt

Een dergelijk puntenstel.sel wonlt nu eene taxiale» invt>-
lutie van tien //m gnuul gentxMntl.

5} 3. HICT KKGKI.VLAK (P| 1*2).
De // tot»gevi>i»g(le punten P eener gr<H\'p der axiale I,
kiten zich 2 aan 2 verbinden (l<K)r lijnen P, Pj, welke rechten

alle in een zeker vlak der vlakkenbundel a zijn gelegen en
daarom noodzakelijk de as a van dien vlakkenbundel moeten
snijden. Stelt men zich voor dat op de aangegeven manier
alle toegevoegde punten door rechte lijnen zijn verbonden,
dan v\'ormen die rechten een regelvlak, dat ik zal noemen
het regelvlak (P, Pa) of \'t regelvlak

De graad n\' van het regelvlak 3 laat zich eenvoudig be-
palen. A\'^olgens bepaling wordt de gniad van een regelvlak
aangewezen door het aantal be.schrijvende lijnen, die een
willekeurige rechte lijn / snijden.

Kiezen wij dan een geheel willekeurige lijn/in de ruimte
en maken haar tot as van een vlakkenbundel. Deze vlakken-
bundel / doet op de gegeven kromme Rn een 2c axiale I„
ontstaan. Het aantal gemeenschappelijke paren der beide
collocale axiale involuties van den n^n graad is (n—1)2.
Wordt met (t,, (13 zoo\'n gemeen.schappelijk piuir bedoeld,
dan ontmoet de lijn Ct, (tj dc lijn /, en deze wordt derhalve
door (n—1)2 baschrijvende lijnen van ^ gesneden; dus is

Uit het bovenstaande volgt de stelling: «twee willekeurig
in de ruimte lumgenomen rechten p en (j worden tiof)r
(n — i)2 bi.sccanten eene rationeele ruimtekromme R„ ge.sneden.

lie.schouw .slechts dc lijn / als ;is van eenen vlakken-
bundel, die op dc geg(»ven !<„ eene axiale !„ insnijdt

liet regelvlak ^ van deze !„ is van gnuid (n—1)2en bezit
derhalve (n—\'1)2 rechten, die de lijn y .snijden, m.uir die
ook p snijden, want j) ligt op het regelvlak f. De bedoelde
lijnen zijn alle bisecanten, want zij verbinden twee ])unten
van R,.

Een punt P| der ruimteknmime R„ bejxudi een groep
vaii n toegevoegde punten der Door P| gaan de lijnen

der oorspronkelijke kromme ]<„ draagt alzoo(n--t) rechten
van p cn dc geheele kromme R„ is een (n— i)-voudigclijn
op het regelvlak p.

(d.w.z, alle vlakken door A) snijdt de R« volgens de groepen
eener I.2 want twee punten Q, en Qj bepalen met\'t punt A
een exemplaar van de schoof en tegelijk een n-puntige groep

elementenjmren, d. w. z. paren die geen" groep van // punten
bepalen wat \'t geval is wanneer de lijn die zoo\'n punten-
pjuir Xi Xg verbindt door A loopt

Blijkt ook zoo: In elk vlak door a liggen Va n (n — i) rech-
ten l\'i IV Daar n\' = (n — 1)2 volgt dat f/ een \'/a (n — 1) (n— 2)-
voudige lijn is.

§ In elk vlak van <len vlakkenbundel («) ligt een groep
van // toegevoegde punten P der axiale In. Wo verbinden
van zoo\'n groep ile punten P|, Pj en ook de punten 1*3,1*4;

rechten P, Pj en P3 P4 zijn lijnen van het regelvlak p.
Hun snijpunt O ligt op een dubbolkromme van p. !•> gaan
immers twee be.schrijvende lijnen van p tloor hot punt O.
He.schouw ik nu een vlak a van den vlakken bundel (a)
"let de // punten P der involutie er in, dan kan ik op de
Juuigegeven manier nu\'ordere punten (J in \'t vlak (jc) tloen
ont.staan. Ter bepaling van hel in vlak gelegen ajuilal
punten (J kan men als volgt rodeneeren:

verbindingsrechlon P.P., die j " ;j j ~- , j
••»"ijpunten ven<x>nen. Hiervan nim»len de // punten P, «lie
elk """ snijpunten vertegenwoordigen afgetrokken

worden. De overblijvende snijpunten zijn dan alle punten Q.
Hun aantal is derhalve

Hiermee is nog niet het totale aantal punten Q gevonden
dat in vlak x is te vinden, want de mogelijkheid bestaiit
dat een punt Q op de as ff terecht komt; wij moeten het
aantal op de as ff gelegen punten Q bepalen en die bij het
reeds gevonden aantal optellen waarna wij den graad van
Q gevonden hebben.

gesneden die toegevoegde punten in vlak x verbinden. Door
Pi gaan er (n — 2) en evenveel ga;in er door Pj. Buiten Pi

nog een lijn q van het regelvlak beixilen. De snijpunten
van deze lijn q met de ;us a voeg ik t(w ;uin het gencwnide
punt K en noem ze punten R\', In het vlak x zijn aan

ook de lijn A\'PiP,. Klke bi.secante voegt ;uin het punt
R evenveel punten R\' toe. zoodal de venvanLschap (R. R\').
die kliuirblijkelijk .symmetri.sch is. tol kenmerkend getal
heeft:

Ze bezit tweemaal zooveel dubbelpunten R = R\'. Is echter
R = R\', dan liggen twee bisecanten met a in één vlak en
is dat dubbelpunt R=R\' tevens een op a gelegen punt
Q geworden. Bovendien blijkt dat zoo\'n coïncidentie dubbel
geteld moet worden.

We kiezen een willekeurig punt A óp de gegeven knimnu\'
Rn. De vlakken .schoof d(M)r dat punt A. bepaalt op de

De verl)iiuling.slijn van zoo\'n neutraaljKiar N|, N» l«K>pt
door het punt A der nnmtekn»nnie en is blijkbiuir een
frisecautf. We zien hieruit dat door elk willekeurig punt

De verwant.schap tu.sschen de punten A en X is,symmeti.sch
t-\'" heeft tot kenmerkend getal [(n ■—2) (n — 3)]. De ver-
wantschap (A.X) zal tegelijk met de axiale involutie 1„ op
t\'t\' ruimtekromme R„ b«»staan »mi met 1„ gemo«Mi heliben
(n 1) („ _ 2) (n — 3) elementenjxu-en. Stelt (\'n, li» een jviar

voor dat tot de (A, X) èii tot de !„ behoort, dan gaat de
lijn G, G2 door A en zal bovendien de as a der axiale in-
volutie snijden.. Maar in dat geval zullen de drie punten
A, Gi en Gg toegevoegde punten der voorstellen, en zij
vormen drie paren der axiale !„ die in \'t algemeen drie
verbindingsrechten bezitten. Deze drie lijnen zijn hier samen-
gevallen vormende de lijn A Gi Gg, waaruit blijkt dat elke
trisecante die de as a snijdt voor drie koorden geldt Het
aantal trisecanten dat op a rust of de graad van het trise-
cantenregelvlak is nu klaarblijkelijk

Alle trisecanten die a snijden behooren tot dc doorsnede
van p met \'t trisecantenopper\\\'lak.

Een willekeurig plat vlak O snijdt het regelvlak ^ volgens
eene vlakke kromme van den gr.uul (n — i die de vol-
gende bijzonderheden .uinbiedt:

tri.secanten die ook op p gelegen zijn. Deze geven derhalve
evenveel 3-voudigc punten in d<? vlakke d(x>rsnctle met p.
Want elke tri.secante is drievoudige rechte f)p p.

Met deze gegevens kuit zich het geslacht der vlakke dfX)r-
snede berekenen dat is volgens bejKiling \'t geslacht van het
///w/////VTcgelvlak p. Xa eerst alle veelvoudige punten be-

hoorlijk tot dubbelpunten herleid te hebben vindt men
_ [(n-i)2-i][(n-1)2-2] _^ (n - I)(n^2)
^ 1.2. 1.2.

§ 6. Rechtstreeks laat.^\' zich ook bej);den,.door afbeelding
op eene kegelsnede Cj. De !„ gaat dan over in een op die
kegelsnede gelegen J„ waarvan de omhullende of involutie-
kromme de kl;us.se heeft (n— i); [want in \'t algemeen zullen
cr geen dubbelnuiklijnen zijn; d.uirvoor moesten er in één
tfroep van toegevoegde punten minstens twee dubbelpunten
voorkomen]. \\\'oor het ge.slacht der omhullende oj) de C,
fs\'i\'ldt nu

g\' = »/2(n-2)(n-3)
en dit is nu tevens het gt\\slacht eener vlakke doorsnede
van het regelvlak p. Immers de verbinding.slijnen P\' P" op
tle (\', .stemmen één iuin één overeen met de rechten van
het regelvlak p en d.uirom (K>k met de punten eener vlakke
t\'fx>rsnede p.

5} 7. toki\'assix<; v<xik n = 3\'
De cubistiu« involutie nKH\'t d(v>r twee tlrietall(?n bejxudd
^•j"- Ik neem diuirom de triiM\'ls Ai.Aj.Ai en
willekeurig op tie gegeven cubi.sche ruimteknnnme ;uin.
^•j bejxden de vlakken x on wiuirvan ik de snijlijn a
\'Jd noemen. He.scliouw ik nu de lijn n als as van e(Mi
^\'•■»kkenhundel. dan <I(M\'t «leze huil.ste op do K3 <\'on a.xlalo
\'3 ontstjuin, die do gogoven groojKMi (A) on (h) bevat on
»\'erhalvo de a.\\iale !j is welke door do beitle jrrot«iMMi be-
P.»ald wortlt.

Door de verbindingslijnen van toegevoegde punten wordt
weder een regelvlak p gevormd. De as // is op ^ gelegen,
want zij wordt door alle lijnen P, P« .gesneden en zij moet
enkelvoudige richtlijn zijn, daar door elk punt van de ruimte
slechts één bisecante kan getrokken worden en dus ook uit
elk punt van a slechts één rechte Pi P« van p kan gaan.

Wij zien verder, dat in elk vlak van den vlakkenbundel
gelegen zijn vier rechten van f, en dat het regelvlak der-
halve van den 4\'° graad is, terwijl de kromme R3 een dub-
belkromme op het regelvlak Pi P2 is;

Ofschoon alle eigenschappen der I3 op een rechte voor
deze op een ruimtekromme gelegen I3 moeten blijven gelden,
wil ik er toch nog een paar rechtstreeks iiantoonen.

Zoo werd reeds bewezen, dat een I3 bepaald is door één
volledige groep en twee paren. Neem ik de groep A|, Aj, A3
en de paren Bi.Bj en Ci.Cj als gegeven aan, dan zijn de
snijpunten der rechten Bi.Bj en Ci,Cs met \'t vlak (Ai Aj A3)
bekend. De lijn door die twee snijpunten is de as a van
den vlakkenbundel, die de I3 zal insnijden. Door vier iwren
is een I3 niet bepiudd; want de vier verbindingslijnen Ai Ag,
Bi Bj, enz. moeten alle de as a .snijden, doch zij be|)alen de
as niet. Zij hebben immers twee tran.sversjUen a en a\'(¹)
Slechts wanneer a en a\' sjimenvallen is de I3 bepjuUd.
Wanneer is dit zoo?

De vier rechten a, b, c, d hebben twee tran.sversjilen, die
8 .snijpunten\'doen onLstJum. I-;igen echter de vier lijncyi
a, b, c, d toevallig op één hyi)erboloïde, dan hadden ze oneiniHg
veel tran.sversalen en w.us de I3 in \'t geheel niet meer be-
I);udd. Mjuu* het kan r)ok gebeuren dat de vierdi? lijn d
Tcuiklijn is ;uui de hyi>erboloïtle d(K>r de drie andere bi>|).\'ial(l,
dus ;uin de hyiK\'rlx^loïde (a, b, c.) Dan hebben de vier krui-

Jirwgt: Drie icchicn u, b, c iaitalcn ren hyi»ctlM>loTilc, welke «l<»i<r «Ie
lechtc J in iw«-e |Ntnien D, cn D, t^-»nc<lcn w(»r«lt. .Moat il<x»r eic |nintcn
D, cn D, IcKijKii twf lijnen van hel »(el»cl wxtrtuc »», A cn «• niei Itchixncn.
Zij »nijden de rcclilenja, l>, c cn d.

sende lijnen a, b, c, d slechts één transversaal. Blijkbaar
wordt nu de h3\'perboloïde (a, b, d) aangeraakt door de lijn
c; evenzoo moet b raken aan de hyperboloïde (a, c, d) en
moet a raken aan de hyperboloïde (b, c, d). Bestiuit één
van deze gevallen, dan is de I3 ondubbelzinnig door vier
paren bepaald.

Ten slotte nog de vraag, hoeveel pai\'en hebben twee
axiale cubische involuties gemeen? De dtjr vlakken-

bundels die de involuties insnijden a en a\' zijn dan bekend.
Het regelvlak door a is van den vierden graad en wordt
door a\' in vier punten A gesneden, w;uirdoor vier lijnen
van regelvlak (a) gjuin, die natuurlijk <Jm-canten van K3
zijn. Omdat ze a\' ook snijden zijn het rechte van \'t regel-
vlak (a\'). Dc beide regelvlakken hebben die vier lijnen
gemeen of m. Ji. w, do involuties hebben vier ixiren gemeen.

Als bijzonder geval ilor axiale Ii ontst;uit de quadratische
mvolutie, zootira de ;is van don vlakkenbundol unisecante
^vordt.

\'^ijn omgekeerd do jviren Aj, A« en B|, Bj eetior I, gegeven
en noemt men <»p d<\' K3 \'n willekeurig punt O dan g.uit
m.uir één .snijlijn l van A| Ag en B, B,. on wol do
\'\'"«jlijn der vlakken OA,A, en OB, B,. Xu is /de as van
vliikkenbundol dio de 1» dool ontstaan. Allo koorden
rusion f)p /. IIol involuliorogolvlak is tlus quadraliseh,
A ^ ^ bundel ligt tlo lijn / on i\\og een

|i l\'f. Wordt O vori)l;uil.si tian kan natuurlijk \'t rogel-
l^vlaklniet veranderen, waaruil wij zien tial tlo koortlon tlo
be.v:hrijventlo lijnon van \'l eene .stolsel vormen, terwijl tlo
\'♦\'U\'intli^^^^,»,, juHson tier vlakkenbuntlols hel andore .stolsel
voorstrllm,^ De koortlon zijn allo bi.socanlon, tlo axsen uni-

Stelt men in de algemeene uitkomsten n = 4 dan komen
de resultaten voor dit geval te voorschijn. Maar als meer
bepaald voorbeeld zal ik het geval n = 4 nog opzettelijk
behandelen.

Alle vlakken door de willekeurig in de ruimte aangenomen
as a, snijden de R4 volgens de groepen eener axiale I4. Het
regelvlak p is van den graad g; de Rj vervult op p de rol
van drievoudige kromme en de as « die van drievoudige
rechte; het eerste blijkt uit het feit dat P, met drie toege-
voegde punten verbonden wordt en het laatste is duidelijk
wanneer men bedenkt dat de vlakkenschoof door een wille-
keurig punt der ruimte op de R4 eene P bepaalt met (/r/r
neutrale puntenparen, d. w. z. door elk punt der as a gjuin
drie bisccantcn.

Maar p bezit nog een dubbelkromme n.1. de meetkundige
pla£its der punten Q. Weet ik hoe v.uik Q op komt, dan
is de graad van (Q) bekend. De verwantschap (R, R\') heeft
tot symbool (3,3) en bezit 6 dubbelpunten R = R\', die
tegelijk punten Q op a zijn.

Echter is elk dubbelpunt een dubbele coïncidentie, zooals
licht blijkt cn er liggen zoodoende drie punten Q op de as
a. Ten slotte blijkt nu de gnuul van de dubbelkn)mme (O)
te zijn 6, terwijl a natuurlijk trisecante van (Q) i.s.

De vlakkenschoof door een punt P\' der R4 doet een P
ontstaan met één neutraal elementenpaar, d. w. z. dwir elk
punt der R4 giuit slechts één tri.secante P\' P" P\'", terwijl
tus.schen die punten P eene I3 be.sUuit, die 2 X 3 = paren
met de axiale I4 gemeen heeft

De bijbehoorende trisecanten moeten allen de ;us <7 .snijden;
doch bedenkende dat zoo\'n trisecante drie paren der I4 bevat,
komen we tot het be.sluit, dat de jus a door (6:3) = 2 tri.se-
canten wordt gesneden, die ook drievoudige rechten van p zijn.

4°. Nog twee drievoudige punten afkomstig van de zoo-
even genoemde op p gelegene trisecanten.

Trek ik al deze singulariteiten in den vorm van dubbel-
punten genomen af van het maximum aantal der kromme
Cpq, dan is het verschil

Het regelvlak p is nu van graad 9 en van geslacht 1,
zooals ook te vinden is door afbeelding op een kegelsnede.

Op de ruimtekromme Rn is een involutie van den p*"" graad
lp gegeven, en wij verbinden alle toegevoegde^ punten P,, Pg
door rechten. De meetkundige plaats dezer lijnen, of het
regelvlak p door al die rechten gevormd, beschouwen wij in
de eerste plajits. Dat de graad van p moet wezen

is niet moeilijk in te zien. Zoek .slechts hoeveel rechten
Pi Pj een willekeurige lijn / ontmoeten.

Diuirtoe be.schouwen we den vlakkenbundel {/), die op
Rn een axiale aanwij.st, welke involutie (n—i)(l>—O
j).iren gemeen heeft met de reeds juuiwezige lp.

De verbinding-slijnen dezer gemeenschappelijke paren liggen
natuurlijk in vlakken door de as /; hun aantal wijst den
graad van p aan.

De rationeele kromme R„ laat zich punt voor punt af-
beelden op een kegelsnede K^, waarop wij dan eene in-
volutie Jp terugvinden, met een onihullende, waarvan de
klasse gelijk is juui (p— i), en waarvan het geslacht derhalve
1/2 (p — 2) (p — 3) is. Want in \'t algemeen is r = o en .steeds
is /3 = o.

De rechten van \'t regelvlak Pi Pg stemmen projectief
overeen met de verbindingslijnen P\' P" der paren van de
Jp. waaruit mag afgeleid worden dat het geslacht van het
regelvlak p ook is

Snijden we nu p met een plat vlak cp, dan is van de door-
snede de graad n\' en het geslacht g\' bekend. Het totale
aantal aanwezige dubbelpunten is dan

Intusschen, de kromme R« van uitgang is blijkbaar (p—i)-
voudige lijn op p en geeft dientengevolge in het vlak cp
?t punten die alle (p— i)-voudig zijn, dus samen \'/2
" (P— O (P— 2) dubbelpivnten vertegenwoordigen.

over; m. a. w. op p ligt een dubbelkromme w.-uirvan de
graad gelijk is aan dit laatste getal.

Volgens eene stelling(*) van Zeuthen geldt: «Best^uit
tusschen de plinten R van de kromme Q, en de punten R\'
van C^\', eene verwantschap, waarin met één punt R overeen-
komen /3\' punten R\' en met één punt R\', /3 punten R,
ter\\vijl het a maal voorkomt, dat twee der (3 punten R en a\'
maal dat twee der j3\' punten R\' siunenvallen, dan zijn de
geslachten D cn D\' van C en C\' verbonden door de betrekking

Om met behulp van dit verband, het geslacht van p to
vinden, voeg ik aan het punt P, toe het snijpunt .S\' van de

verbindingslijn Pg P3 met een willekeurig vlak cp. Aan elk
punt Pi kan ik op die manier Va (p— i) (p— 2) punten
toevoegen derhalve

Wordt nu Pg = P3 = D dan is S^k = S3k. Bij P, behooren
dan (p — 3) dubbelpunten S. Elke groep met een dubbel-
punt D levert dus (p— 2) (p—3) dubbelpunten S. Dus is

A\' = 2 (P— I)(P_ 2)(P~3).
Aan een dubbelpunt D zijn toegevoegd \'/2 (p—2) (p — 3)
punten S. Er zijn 2 (p — i) dubbelpunten in de 1,, derhalve is

A = (p- i)(p - 2)(p —3).
De verkregen waarden in de formule van Zkuthicn\'
voegende, vindt men, omdat 7 \' = 2 y is, achtereenvolgens

-f-2(q_2)-(p-.)(p_3) (p-i)--2 = -2iy
(p_3)(p_,)_(p_3) = 2l)\'
(p-3)(p-2)=2l)\'
D\'=\'/2 (p_2)(P-3).
En hiennee is de uitkomst van de vorige i)aragraaf
teruggevonden.

De / toegevoegde punten P eener groep der 1,, kunnen
drie juui drie door platte vlakken verbonden worden. Deze
vlakken omhullen een zeker ontwikkelbaar oppervlak u en
osculeeren een ruimtekromme (M) die de keerkromme
Van u is. De klasse van dat opj)ervlak of van die ruimte-

kromme (M) wordt aangegeven door het aantal vlakken
(P, P2 P3) die in een willekeurig punt N samenkomen.

Alle vlakken door N bepalen op de gegeven Rn een
involutie I^, welke met de lp gemeen heeft

drietallen. Door X gaan derhalve even zoovele vlakken
Pi P2 P3, d. w. z. de l\'/assr der kromme (M) is gelijk aan het
genoemde getal V2 (p—i)(p—2)(n — 2).

Deze waarde kan ook anders bepaald worden. Twee
punten Pi en Pg bepalen met het punt N een vhik, dat de

wij toe aan P, en Pg, en beschouwen nu de verwantschap
(Pk, QkO, k = 3........p, k\' = 3........n. Een punt P be-
hoort bij 1/2 (p—i)(p — 2) paren Pi.Pa, dus bij evenveel
vlakken (PiPgN), dus bij V2 (p—i)(p—2)(n — 2) punten
Q. Aan den anderen kant bepaalt \'n punt Q den vlakken
bundel met as (Q N), wjuirdoor op een In -1 ontstaat, die
(p—i)(n — 2) paren Pi.P« met de gegeven involutie lp ge-
meen heeft Aan elk punt Q zijn derhalve toegevoegd
(p—i)(p—2)(n — 2) punten Pk. De (Pk, Qk\') heeft nu tot
symbool

Nu de klasse van (Af) bekend is, geeft de genoemde .stel-
ling van Zeuthkn het middel om het grslachl D\' dier
ruimtekromme te bepalen.

/3 = (p — 3). Daar P4 wordt toegevoegd aan het raakpunt
M^i van het vlak Pg Pt Pi en eveneens aan Mj»,, behooren
bij het punt P4, zoodra het geval P2 = P3 = D ontstaat,
\'/2 (p — 3) (p — 4) paren Pk Pi dus even zoovele dubbelpunten
M. Iedere groep met een dubbelpunt D levert (p — 2)-maal
zooveel dubbelpunten M. Daar er 2 (p— i) punten D zijn, is

Is P4 = P5, dan zijn er Ve (p — 2) (p — 3) (p — 4) punten
Ml, wiuirvoor telkens, twee van de (3 punten siimenvallen.

Een vlakke doorsnede tp van het ontwikkelbaar oppervlak
omhuld door de vlakken (Pi Pj P3) is dus van de khusse
k\' = \'/2 (p — i) (p — 2) (n — 2) en van het geslacht D\'. Volgens
Pl.üCKKK is

Hieruit is het aantal der ajunvezige diibbtlraok"!\'lnkkni te
vinden. In elk vlak (p ligRcn dus

dubbelnuiklijnen; w heeft geen dubbelraakvlakken afkom.stig
van groeiH-Mi P„ P«, P3, en P\', P", P\'", die in hetzelfde vlak
liggen.

Wel komen zij voort uit rechten van u die elk;uir snijden,
maar tot verschillende bladen behooren, zoodat do eene in
een vlak P,, P,, P3, de andere in een vlak O^Oj, (>3, ligt.

Er zijn Ve (p — i) (p — 2) (p — 3) (n — 3) vlakken die 4
punten Pj, Pj, P3, P4 bevatten.

Voeg daartoe aan de punten Q welke het vlak P, Pg P3
op Rn insnijdt, de overige punten Pk toe.

Aan een punt P zijn (p — i) punten P\' toegev^oegd,
waardoor Vö (p _ i) (p _ 2) (p — 3) vlakken P\', P", P\'", en
Vö (p — i) (p — 2) (p — 3) (n — 3) punten Q bepaald zijn.

Uit een punt Q gaan V2 (p — i) (p — 2) (n — 2) raakvlak-
ken, waaronder V2 (p — 1) (p — 2) die Q met de toegevoegde
punten Q\'.Q", verbinden. Door Q gaan derhalve V2 (p — 1)
(p — 2) (n — 3) vlakken die een groep P\', P", P\'", bevat-
ten; waaruit volgt dat aan elk punt Q zijn toegevoegd
1/2 (p _ i) (p — 2) (p — 3) (n — 3) punten P^.

[V6(p-i)(p-2)(p_3)(n--3). \'/2(p-i)(p-2)(p-3)(n-3)]
en bezit *lt (p — i) (p — 2) (p — 3) (n — 3) coïncidenties. Deze
coïncidenties liggen 4 aan 4 in één vlak, zoodat het aantal
vlakken Pi, P2, P3, P4, is

Zulk een vlak bevat 6 rechten van p en is 4-voudig nuik-
vlak van u langs 4 verschillende rechten. Voor de kromme
(M) is het een vlak dat in 4 verschillende punten osculeert.

In \'t voorgaande hebben wij gezien dat de door een lp
gerangschikte punten eener Rn een regelvlak p bepalen met
djuirop gelegen bijzondere krommen. En ook dat zij een
ruimtekromme (M) aanwijzen.

Vervangen wij nu elk jjunt der !<„ door zijn osculatie-
vlak of m, a. w. beschouwen we de !<„ als omhullende harer
osculatievlakken, dan giuit iedere verbinding.slijn P] Pj van
het genoemde regelvlak p over in de snijlijn der osculatie-
vlakken ai en «j in de punten Pi en Pj. De toegevoegde
osculatievlakken ddcn derhalve weder een regelvlak (a) ont-

staan. Verwisselen wij graad met klasse dan volgt uit het
voorafgaande dat de graad van («) moet zijn

Maar deze is even goed rechtstreeks te bepalen. Ik zoek
het aantal rechten die een willekeurige rechte l snijden en
merk hiervoor op, dat de osculatievlakken uit de punten van
l een Ik op de Rn vormen; (wanneer k de klasse van Rn is).
De aldus bepaalde lu heeft met de bestaande lp gemeen
(k— i) (p— i) paren, d. w. z. er zijn \'/2 (k—i) (p—i)
snijlijnen van toegevoegde vlakken, die de lijn / snijden.
Dus volgt

De verbindingslijnen Pj Pj stemmen projectief overeen
met de snijlijnen van de osculatievlakken en «j. Het
geslacht van p is daarom ook het geslacht van (<*) of

Het vlak wordt door (p—i) vlakken « gesneden cn
bevat (p—i) rechten van («); raakt aan (p—i) bladen
van (,*) en is \'/2 (p — i) (p t— 2)-voudig raakvlak. Derhalve
zijn al de o.sculatievlakken der kromme Rn V2 (p— i) (p— 2)-
voudige raakvlakken a;in het regelvlak (a).

Op (a) ligt ook de kromme (S) die de meetkundige pkuiLs
is der snijpunten van drie toegevoegde osculatievlakken x.
Voor luuir graad geldt nu

In jum.sluiting met de eigen.schajjjjen der I» op een vlakke
C\'a met een lus (zie Hoofdstuk 11) volgt hier de behandeling

(♦) «Jan I)K VRl^:.s•. Nieuw Archief v«h)r Wiskunde. Twcctlc n-ck»,
Vierde deel, loi —io6.

der P op een cubische ruimtekromme R3, ingesneden door
den vlakkenschoof met centrum M.

We leggen door een willekeurige koorde der R3 een
vlakkenbundel en brengen hierdoor de P punt voor punt
over op een willekeurige rechte g; wij zien dan op g een
T^ ontstaan. Nu is deze involutie voor te stellen door de
trilineaire vergelijking

Hieruit blijkt dat door een willekeurig punt AI der ruimte
drie osculatievlakken gaan.

wordt Xi onbepaald. Dc verbindingslijn der neutrale punten
P2 P3 moet derhalve door M gaan m. a. w. door elk punt M
der ruimte gaat één bisecante.

Wij herinneren ons verder dat reöele neutrale punten op
imaginaire drievoudige punten wijzen cn omgekeerd, terwijl
wanneer twee drievoudige punten siimenvallcn daar ter plaatse
ook een neutraal dubbelpunt onLstaiit.

Zijn de neutrale punten Pi cn Pj reëel, dan is de koorde
M Pi P2 ook reëel, maar gaat door \'t punt M .slechts één
bestiumbaar osculatievlak. Men mag echter het punt M op
do lijn M Pi 1^2 laten verschuiven, het paar Pi P2 zal toch
neutrajd pjuir der komende blijven. In \'t algemeen geldt
dus: Door elk punt van een reëele koorde gaat .slechts één
be.staiinbiuir osculatievlak en door elk j)unt van een imaginaire
bisecante gaan drie reëele osculatievlakken, terwijl door elk
punt van een raaklijn, behalve het tweemaal te tellen osculatic-
vlak van het nuikpunt, nog ccn o.sculatievlak giuit.

Zetten wij deze waarden in de vergelijking der J^, dan
komt men tot de voorwaarde:

Wegens de symmetrie dezer betrekking mogen we beslui-
ten dat nu evenzoo de drievoudige punten At,A2, A3 een
drietal zullen vormen van die J», weiarvan Bj.Ba, B3 de
drievoudige punten zijn.

d. w. z. de drievoudige elementen der J^ stellen ook een
drietal toegevoegde punten dierzelfde involutie voor.

Stereometri.sch beteekent \'t dat de osculatiepunten der drie
osculatievlakken door M in één vlak fx (nulvlak) liggen dat
door J/ (nulpunt) gaat. Miuir wegens de bestaande sym-
metrie geldt algemeen:

Wanneer het vlak y drie punten B|, Ba, B3 en het snijpunt
M der o.sculatievlakken van A|,Ag, A3 bevat, dan bevat het
vlak Ai,Ai,Aj = [jt. het .snijpunt X der osculatievlakken van
B|,Ba,B3.

We voegen op deze wijs punt en vlak in de ruimte ;um
elk;uir toe, zoowel in \'t geval in het vlak werkelijk drie
be.staanbare puiUen liggen als wanneer door een putit drie
be.staanbare os<nilatievlakken gaan.

Giuit uit een j)unt M slechts één reöel osculatievlak en is
Al het o.sculatieinmt dan kan men door M een vlak v leggen
dat de R3 in de rcGele punten Bi.Bj, B3 .snijdt

Is X het nulpunt van > dan is het nulpunt fx van M
beixiald door de drie punten M, X en A|.

Snijdt het vlak fx de kromme .slechts in één rcöel punt A|,
dan kunnen wij in /x een punt X kiezen wiuirdoor drie

bestaanbare osculatievlakken loopen het nulvlak y van N
bepalen. Xu is het snijpunt van \'t osculatievlak van Aj met
de vlakken ^ en y, het nulpunt van jx.
Uit \'t voorgaande blijkt
le. \'t punt M ligt in vlak /x ,

» N » » »
Dus de lijn M X moet de snijlijn der vlakken en v zijn,
of anders.

«Wanneer het punt X\' in \'t nulvlak van AI ligt, is ook M
in het nulvlak van X gelegen.»

§ 15. We beschouwen M en X als middelpunten van
twee vlakkenschooven. Blijkbaar zal nu de vlakkenbundel
door de lijn M X die tripels insnijden welke gemeen zijn
aan de beide involuties Jj door M en X bcpaédd.

Zij vormen eene cubische involutie I3 die derhalve voor
te stellen is door de twee trilineaire vergelijkingen:

ao Xj Xj X3 2 Xi Xj -f- X X as = O
bo X| Xg X3 b| 2 Xi Xg -f- bs ^ X -}- b« = o

Wij maakten hiervan reeds in Hoofdstuk III gebruik.
Stelt men X2 = X3 dan krijgt men na cHmin.\'itie van x,
ter bepaling van dc dubbelpunten der I3 de volgende ver-
gelijking

c\'io x2 -f 2 a, X -f as, a, x^ -[- 2 aj x -j-
box2-|-2b, x bï, b, x2-|-2 bgx-f 1)3

waaruit blijkt dat de I3 vier dubbelpunten bezit.\' I liermce
gaat samen dat door de ;us M X vier raakvlakken ;uin R3
gaan of dat elke rechte der ruimte door vier nuiklijnen ge-
sneden wordt Met ontwikkelbiuir nuiklijnenoppcrvlak der
R3 is derhalve van den vierden griuad.

Snijdt de as van den vlakkenbundel de R3, dan ontstiuit
eene quadratische involutie I2. Deze heeft .slechts twee
dubbelpunten zoodat nu de as buiten de R3 nog door twee

raaklijnen gesneden wordt. Elke unisecante wordt door
twee raaklijnen ontmoet; de beide andere zijn samengevallen
tot de raaklijn in het snijpunt der unisecante met de R3,
zoodat wij zien dat de cubische kromme keerkromme is van
haar raaklijnenoppervlak.

Nemen we de doorsnede van twee osculatievlakken als as
van een vlakkenbundel dan bezit de op g geprojecteerde I3
twee drievoudige punten. Hebben deze de coordinaten
X = p en X = q, dan kan de vergelijking der bedoelde I3
geschreven worden in den vorm

(ïeven we nu één punt Xi dan vinden wij, omdat de i-F \\
majir één bestaanbare waarde bezit en /> zoowel als (/ reOel
zijn, voor Xj en X3 twee toegevoegd imaginaire punten.
De bedoelde I3 heeft dus dit eigenaardige dat al hare drie-
puntige groepen slechts één be.staatibaar punt bezitten.

§ 16. We leggen door de willekeurige lijn / een vlak t,
dat de R3 in Aj.Ag en v\\3 snijdt en noemen het nulpunt P,.
Dnuiit \'t vlak t om /, dan loopt P, over een rechte t.
Immers, zijn M en N twee punten van /, dan moeten de
bijbehoorende nulvlakken fx en y <loor P, gaan. De punten
M cn N zijn vast cn de punten // en > ook. De snijlijn
van fx en v is dus de genoemde lijn/\'. De bisecante Pi Qj Qa
beixuilt met / oen vlak, dat nog een punt Qa op Rj aanwij.st
De lijn Q, Qj snijdt op /\' een punt P, in, dat nu natuurlijk
het nulpunt is van \'t vlak (Pg/). Zoo geeft Q, Q, opeen
punt Pj ;um, dat evenzoo het nulpunt van \'t vlak (Pj/)
voorstelt.

Wij zien hieruit dat de punten (P) een kubische invohuie
op /\' vormen, die uit de as / geprojecteerd wordt door een
kubischen vlakkenbundel. w.uirin (P| /)(Pj/) P3/) een drietal
vonnen.

Liten wij het vlak r in een ra;ikvlak der R., overgaan,
rakende in \'t punt .\\, = Aa = A,g, dan is de raaklijn a,, in

dat punt te beschouwen als grensstand der doorsnede van
twee osculatievlakken in dat punt. Het nulpunt P van t
is nu \'t snijpunt van ajo met \'t o.sculatievlak in A3. De raak-
lijn ai2 stelt dan de bisecante uit P\' voor, zoodat A12 een
paar P,, Q2 der involutie (Q) voorstelt Het blijkt dus, dat
de 4 dubbelpunten der involutie (A) tegelijk de dubbelpunten
der involutie (Q) zijn. Maar 4 punten der Rg kunnen slechts
de dubbelpunten van twee involuties I3 vertegenwoordigen,
want de vier raaklijnen in die punten hebben altijd slechts
twee transversalen l en /\'. Deze l en l\' zijn de assen der
beide bundels, die de involuties moeten insnijden. We noemen
de involuties op l en op /\' toegevoegd. Tusschen hen bestaat
de wederkeerige betrekking, dat elk paar der eene involutie
het neutrale paar is eener kubische involutie van den tweeden
graad waarvan de drievoudige elementen een drietid der
tweede involutie vonnen. Zoo ligt bijv. het piuir Q,, Q2 op
de bisecante Pi Q, Q^. De vlakkenschoof uit P, snijdt op
de R3 eene J^ in, waarvan \'t tweetal Q, Qg \'t neutrale paar is.
Tevens gaan uit Pj ook drie osculatievlakken £ian R3, die
drie drievoudige elementen Ai Aa A3 der Jj luinwijzen. M.uir
volgens \'t voorgaande liggen nu dc drie punten A1A2A3
in \'t vlak ;r, dat door / en P, gjuit en vormen zij dus een
drietid der involutie (A).

Hoort / tot een .stralenbundel waarvan \'t middelpunt het
nulpunt van zijn vlak is, dan valt /\' met / siunen. Men
krijgt dan eene involutie die lum zichzelf is toegevoegd.

Zooals reeds vroeger werd opgemerkt, kan eene I3 niet
alleen door twee drietallen m;uir ook door één drietid Ai Aa A,
en twee paren B,, Ba en Ci, C2 volkomen bepaald worden.

Het blijkt ook hier. Immers de ;is van den insnijdenden
bundel is dan dc lijn, die dc .snijpunten van Bi Ba en C| Ca
met \'t vlak Ai Aj A3 verbindt

Geeft men vier puntenpjiren, dan hebben de door hen be-
piudde koorden twee tran.sver.s;den, die de jussen kunnen
voorstellen van twee bundels. Door vier jxircn zijn derhalve
twee kubische involuties aangewezen.

de vlakken, die elk drie toegevoegde punten bevatten,
een stelsel zoodanig, dat door een punt Pi drie van die
vlakkeng aan n.1. P, P^ P3, P, P2 P4 en P, P3 P4. Zij osculeeren
derhalve een tweede kubische ruimtekromme. Bedenken we
dat de I4 door twee quadrupels bepaald is, dan vinden we
hieruit de stelling: dat de vlakken van twee in een R3 be-
schreven tetraëders osculatievlakken zijn aan een tweede R3.

Drie op R3 willekeurig gekozen viertallen bepalen eene
biquadratischc involutie van den tweeden rang P.

Vormen Pi, Pg, P3, P4 een groep dezer P dan gaiui door
de koorde P, P2 twee vlakken P, Pg P3 en V, Pa P4. die elk
een tripel der involutie dragen. Die vlakken omhullen der-
halve een quadratisch involutieoppcrvlak. Wij zien hierdoor
de stelling bewezen dat drie willekeurige ingeschreven
tetraëders eener R3 aan een zelfde quadratisch oppervlak
omgeschreven zijn.

De vlakken der ruimte snijden op een rationale ruimte-
kromme van den graad eene involutie P in.

Twee punten A en B, die op de ruimtekromme R„ als
vast aangenomen worden, bepalen de as van een vlakken-
bundel, die op Rn eene afteekent. Deze involutie
bezit 2 (n — 3) dubbelpunten, of anders.

Het gevolg is dat (wanneer A = B, d.w.z. wanneer de
as A B raaklijn wordt aan de Rn) «door elke raaklijn 2 (n — 3)
vlakken gaan die nog ergens anders raken». Het zijn alle
dubbelraakvlakken, met raakpunten A en R. De raaklijnen
in de punten R snijden de nuiklijn in A, dus

Stelling:

De vlakken door een willekeurig punt P der ruimte (vlakken-
schoof P) geven op de Rn een P aan, met 3 (n — 2) drievoudige
punten, d. w. z.

Stelling: «Door P gaan 3 (n -- 2) osculatievlakken of de k/assr tier
ruimtekromme is 3 (n — 2)».

De vlakkenschoof door P. bepaidt eene P, die\' 2 (n — 2)
(n — 3) groepen met twee dubbelelemcnten bezit dus
Stelling: «Door elk punt tier ruimte gjuin 2 (n — 2) (n — 3) dubbel-
raakvlakken».

Ligt P op de kromme dan wordt een P _ ^ ingesneden
met 3 (n — 3) drievoudige punten, dus
Stelling: «Door elk punt van de kromme Rn gjuin 3 (n — 3) o.sculatie-
vlakken die ergens\' anders osculeeren.»

Stelling: «Door elk punt der ruimtekromme R„ gaan Va (n — 2)
(n — 3) trisecanten».

De P _ j moet 2 (n — 3) (n — 4) groepen met twee dubbel-
elementen bezitten, dus
Stelling: «Door elk punt der Rn kunnen 2 (n — 3) (n — 4) dubbel-
raakvlakken gebracht worden.»

De vlakken der ruimte snijden op de Rn een involutie
IJ in, die 4 (n — 3) viervoudige elementen bezit, waaruit volgt
Stelling: «Dc rationale ruimtekromme Rn bezit in \'t geheel 4 (n — 3)
vierpuntige osculatievlakken (stationaire vlakken)».

groepen met drie dubbelpunten d. w. z.
Stelling: «De rationale ruimtekromme Rn bezit in \'t geheel V3 (11 — 3)
(n — 4) (n — 5) drievoudige nuikvlakken.»

De P bezit \'/2 (n— i) (n — 2) neutrale elementen, of
Stelling: «Door elk punt tier ruimte g.um 1/2 (n—i) (n — 2) bise-
can ten».

De rechten die de ruimtekromme uit het willekeurig in
de ruimte genomen jjunt P projecteeren, vormen een kegel-
oppervlak van den graad.

liet willekeurige vlak cp snijdt den kegel volgens eene
vlakke kromme kn, die een zeker aantiil ilubbelpunten zal
bezitten. Innnens, gaat door P een bisecante, dan is die
te be.schouwen als doorsnede van twee blatlen. In 0 levert
zoo\'n bi.secante tlan een tlubbelpuiU, en in \'t geheel komen
er \'h (n — i) (n — 2) tlubbelpunten in <p. Dit ;umtal is
echter het maximum aantal dat een vlakke kromme van
tien //"" gnuul kan vertoonen. 1 Iet geslacht der kromme
kn is dus nul.

van den graad (n — i). De vlakke kromme in cp is nu van
den graad (n — i) en bezit hoogstens

Toch blijft het geslacht der vlakke kromme nul, want
door P gaan Va (n — 2) (n — 3) trisecanten die juist het
vereischte aantal dubbelpunten in cp doen ontstaan.

In de doorsnede (p lag de vlakke kromme kn met V2 (n — i)
(n — 2) dubbelpunten. De klasse van k n is dus

Uit elk willekeurig punt Q van cp gaim 2 (n — i) raak-
lijnen aan de vlakke kromme kn; bijgevolg giuui door de
lijn /-• Q evenveel raiikvlakken aan Rn.

Ligt P óp de ruimtekromme dan gaiin in (p door elk punt Q
2 (n — 2) raaklijnen. Door elke unisecante gaan derhalve
2 (n — 2) raakvlakken aan de nn\'mtckromme.

De vlakkenbundel door de willekeurige lijn / geeft oji de
Rn een P, met 2 (n— i) dubbelpunten.

Door elke lijn / in de ruimte giuui dus 2 (n— i) nuik-
vlakken, waarin een even groot juintid raaklijnen dio /.snij-
den. Het ontwikkelbiuir raaklijnenoppervlak is\' van den
graad 2 (n—i). Wegens de projectieve overecn.stemming
tu.s.schen de punten der Rn en hunne nuiklijnen is het ^/\'jA/r///
van het niaklijnenoppervlak nul.

De vlakke doorsnede (p levert mi een vlakke kromme
kz (n - I) van het geslacht nul. Ze moet blijkbiuir (2 n — 3)
(n — 2) dubbelpunten bezitten, die oj) het bestiuin eener
dubbelkromtne op het nuiklijnenoppervlak wijzen. Maar de

raaklijnen in twee opvolgende punten der Rn snijden elkaar,
d. w. z. de ruimtekromme zelf is kccrkrommc van het raak-
lijnenoppervlak. In cp ontstaan n snijpunten met die keer-
kromme, dus // keerpunten.

Voor den graad der diibbdkromvic op het raaklijnenopper-
vlak wordt alzoo gevonden:

Nemen we voor / een secante, dan geeft de vlakkenbun-
del / op de Rn een !„ _ , met 2 (n — 2) dubbelpunten, of
door l gaan 2 (n — 2) raakvlakken, die buiten / de Rn raken.
Het raakvlak door / telt derhalve voor /7fvr.

Nemen wc de lijn l als ^/jrcante dan geeft de vlakken-
bundel door / op de R„ een In_ j met 2 (n — 3) dubbelpunten
Door een bisecante gaxui 2 (n — 3) raakvlakken, terwijl elk
raakvlak in de steunpunten voor twee geldt

Beschouwen we de raaklijn als grensgeval van een bi.se-
cante dan blijkt dat door elke nuiklijn gaan 2 (n ~ 3) dubbel-
nuikvlakken. [Zie 5} i.]

Is dc lijn l trisecante dan snijdt de vlakkenbundel door
/ op de Rn in een In — j, met 2 (n — 4) duobelpunten. Door
elke trisecante gaan derhalve 2 (n - 4) raakvlakken.

Uit een willekeurig punt A der ruimtekromme gaan
1/2 (i> — 2) (n — 3) trisecanten [zie ij 1], die de kronnne elk
nog in twee punten H zullen snijden. De verwantschap
tusschen de pmUen A en B is blijkbaar symmetri.sch en
heeft tot kenmerkend geval

zij bezit derhalve 2 (n — 2) (n — 3) dubbelpunten. Deze pun-
ten A = B wijzen raaklijnen aan, die de kromme snijden in
de ]nnUen M\'; deze snijpunten moeten punten der dubbel-
kromme van het ontwikkelbaar oppervlak iler raaklijnen zijn.
Derhalve Xvvriiunten. Zoo zijn er dus 2 (n — 2) (n — 3).
Iedere raaklijn wordt door 2 (n — 3) nuiklijnen ge.sneden.
De raakpunten van elkaar snijdende nuiklijnen vormen
eene .synnnetrische verwantschap [2 (n — 3)]. Deze heeft

met de venvantschap [(n — 2) (n — 3)] der punten (A, B)
een eiantal paren gemeen dat gevonden wordt door de for-
mule 2 (n — 2) (n — 3)2. Van deze gemeenschappelijke paren
zijn er 2 (n — 2) (n — 3) afkomstig van de raaklijnen die de
Rn snijden. De overschietende 2 (n — 2) (n — 3)(n--4)
paren wijzen op het aantal malen dat de raaklijnen in twee
punten van een zelfde trisecante elkaar snijden. De dubbel-
punten der [2 (n — 3)] zijn de raakpunten der stationaire
raakvlakken (planaire buigpunten).

Dan wordt tevens een trisecante door de onmiddellijk
volgende gesneden en vormt een z.g. «ribbe» van het regel-
vlak der trisecanten.

Het raakvlak door de raaklijn a in een putit A der ruimte-
kromme en door een willekeurig punt P der ruimte wijst (n — 2)
punten B £uin op Rn. Een lijn B P bepaalt een vlakken-
bundel, waarin 2 (n — 2) raakvlakken. Met één punt B komen
dus 2 (n — 2) punten A overeen.

In die gevallen ontstaan dubbelnuakvlakken n.1. wanneer
twee punten B Stimcnvallcn. Maar zoo\'n dubbelpunt B is
ook als een punt A tc beschouwen en dan is A ook een
dubbelpunt Elk dubbelnuikvlak telt dus tweemaal. Hun
ajmtid is dus 2 (n — 2) (n — 3).

Door een punt P der ruimtekrommen gaan 3 (n — 3) osculatie-
vlakken die elk (n — 4) punten Q op Rn aanwijzen. De
punten P en O zijn blijkbaar in een s3\'mmetrische verwant-
schap verbonden die voorgesteld kan worden door het symbool

Hierin komen 6 (n — 3) (n — 4) elementen voor die aan
zich zelf zijn toegevoegd, d. w. z.:

Het laatste stelsel bezit bovendien 6 (n — 3) (n — 4)
(3 n2 — 21 n 3.s) vertakkingselementen. Tot deze verUik-
king.selementen behooren ook de 6 (n — 3) (n — 4) (n — 5)
punten die met een coïncidentie P = Q in een zelfde osculatie-
vlak liggen.

3(n —3)(n-4)2(3 n— 10)
paren van osculatievlakken die een koorde gemeen hebben.

Een willekeurig i)lat vlak tloor een lijn / wordt door de
Rn in // punten gesneden, die \'/j n (n— 1) <5w/-canten be-
palen. Uit elk punt van /g:um \'/a (n — i) (n — 2) bi.secanten.
De lijn 1 is dus een Va (n — i) (n — 2)-vou(lige lijn en het
opiKTvlak O lier bi.secanten is blijkbaar van den gnuul

Een willekeurigiï rechte lijn in de ruimte wordt derhalve
dotir (n — bisecanten ge.sneden, hetgeen ook direct blijkt,
waimeer we d(X)r de laatst bedoelde lijn en vlakkenbundel
leggen. Die heeft d.in tot d(V)rsnede met de kromme een In.

op de Rn zijn nu twee involuties van den //\'" graad aan-
wezig die (n — 1)2 gemeenschappelijke paren hebben. De
verbindingslijnen dezer paren zijn, bisecanten, die de lijn /
maar ook de andere rechte snijden.

Het raakvlak aan O in één der n snijpunten Si van Rn
met een vlak door l bevat de raaklijn Sj in S, aan Rn en
één der bisecanten Sj S2,.......S, Sn-

In elk punt der ruimtekromme R« bestaan nu (n — i)
raakvlakken aan het oppervlak O der bisecanten d. w. z.
Rn is een (n— i)-voudige lijn op O.

Beschouwen we de 11 in een vlak door l gelegen snij-
punten S met de ruimtekromme, dan geven de snijpunten
van in dat vlak gelegen bisecanten </«^3r/punten Q afkomstig
van de op O gelegen dubbelkromme.

Nemen we de lijn / als secante in het punt S, dan valt
het oppervlak der bisecanten O uiteen in den kegel van den
graad (n—i), die de Rn uit S projecteert en een regelvlak
van den graad

blijkelijk (n — 2) raakvlakken welke de raaklijn in Sj ver-
binden met de bisecanten S« S3.....S2 S„. In elk punt der

Rn zijn dus (n — 2) nuikvlakken aan het oppervlak der
bisecanten. Do ruimtekromme Rn is op dat (oppervlak oen
(n — 2)-voudige lijn; (n — 2) bladen van het oppervlak O
gaan door de ruimtekromme.

De iis / van den vlakkenbundel blijft Va (n — i)(n —2)-
voudig. In elk vlak door l bevinden zich nog (n — i) punten
S. Zij geven

punten Q aan, en men vindt dat de dubbelkromme (Q) van
den graad Vs (n _ 2) (n — 3) (n — 4) (3 n — 7) is.

De lijn / kan ook ^/ircante Si Sa zijn. Dan ontstaan tvvee
kegels van den graad (n — i). Het overschietende regel-
vlak is nu van den graad

In het punt S3 zijn nu (n — 3) raakvlakken. De ruimte-
kromme is (n — 3)-voudige lijn op O.

terwijl door elk punt S3 en / één vlak gaat. dat nog (n — 3)
punten S4......vS„ bepaalt of Va (n — 3) (n — 4) bisecanten.]

Nemen wc een /mrcante S, Sa S3 als as eener vlakken-
bundel dan wordt op de Rn eene bepaald. De trise-
cante zelf is een [V2 (n — 1) (n — 2) — 3]-voudige lijn op
het opixjrvlak der bisecanten, ilat nu van den graad

Is het inmt S4 zijn nu (n — 4) raakvlakken. De Rn is
op O een (n — 4)-voudige lijn. De ^^T^wrt\'der dubbelkromme
((J) zal zijn

Om den graad n\' van het oppervlak der trisecanten te
vinden, bc.schouwen wij de verwantschap tusschen twee op
een zelfde tri.secante gelegen punten \\\\ en zoeken het :uuUal

paren welke zij gemeen heeft met de axiale involutie !„ be-
paald door een willekeurige lijn a.

Uit elk punt P, der Rn gaan \'/2 (n — 2) (n — 3) trise-
canten waarop (n — 2) (n — 3) punten P2, P3.

paren gemeen. Miuir met één trisecante vallen drie koorden
samen. De lijn a wordt derhalve door

Een vlakke doorsnede cp is van den zelfden graad n\'.
De ruimtekromme zelf is een V2 (n — 2) (n — 3)-voudige =
I>voudige kromme op het regelvlak. Dc in O gelegen
kromme is dus van geslacht

Staat de lijn P Q in het punt Q loodnicht op tle ruimte-
kromme dan zal dc bol met centrum P en straal P O de
Rn in het voetpunt Q der normiuil aanraken. Is het pimt
P een vas/ i)unt, dan bcjxudt elk punt Q der nnmtckromme
één bol met centrum P, en tleze bol geeft meteen nog
(2 n — I) punten op Rn ;uui. Zoo wortlen tic punten tier
ruimtekromme gerang.schikt in een I^n door middel van con-
centrische bollen. Deze involutie bezit 2 (2 n — 1) = 4 n — 2
dubbelpunten, die tivenwel nit;t alles op normalen tlmir P
wijzen. Immers het vlak in \'t oneiiulige, tlubbel getehl, is

de ontaardingsvorm die de bol met oneindig groote straal
oplevert; de n snijpunten der Rn met het vlak in \'t oneindige
geven dus geen normalen ofschoon die snijpunten dubbel-
punten der Isn zijn.

St: «Door elk willekeurig punt P der ruimte gaan der-
halve (3 n — 2) nomialen».

Een vlak (p door l geeft // snijpunten S met Rn. Het nor-
maalvlak in S snijdt p volgens een lijn die in S normaal
is. De lijn / wordt nu blijkb^uir door // in P gelegen nor-
malen ge.sneden.

De graad van het regelvlak O. der normalen die allen
de willekeurige lijn / .snijden is dus

Op het regelvlak O komt voor een f////5<^r/kromme Q.
Elk vlak door / geeft n normalen gelegen in dat vlak; tlus

Wijs ik de // snijpunten van / met de // normalen tlie
in elk vlak tloor / zijn gelegen, tl(Mir de letters T, . . . T» aan
dan bestaat tusschen tle «ip / gelegen punten \'V een .sym-
metri.sche verwantschaj). Uit T, gaan 3 (n — 2) normalen,
die (3 n — 2) vlakken p tloor / bepalen, terwijl in elk vlak
p weer (n— 1) jnmten liggen.

liet kenmerkende getal tier genoemde verwantschap is tlus
[(3n-2) (n~.)]
met 2 (n — 1) (3 n — 2) coïncitlenties welke tlan tlubbelpunten
zijn tlie tij) / liggen. Doch is /) Z(v>\'n t!oïnci<lenlie, tlan
liggen twee normalen door 1) in t\'én vlak met / en bij t4k
dier beide normalen behooren nu (n — 2) toegevoegde punten,
in plaats van (n—i). Ztw\'n punt /) is tleriialve een ^/wi^/Wr
coïncitleiUie. Op dt^ lijn / liggen zootloende
(n— 1) (3n —2)

Beschouwen we thans het regelvlak gevormd door de
normalen die op een bepaalde krgclsncdo ka rusten. Uit elk
punt van k» gaan weder (3 n — 2) normalen, zoodat kg een
(3 n — 2)-voudige lijn is op het gezochte regelvlak. Het
vlak der kegelsnede zelf bevat weder 11 normalen, die elk
den omtrek van kg tweemaal snijden en dus voor 2 n exem-
plaren zijn te tellen. We vinden zoo voor den graad van
het oppervlak der normalen, die op een gegeven kegelsnede
rusten,

Uit elk punt P der ruimtekromme gaan (3 n — 2) nor-
malen, die in een ander punt der kromme loodrecht staan.
Het normaalvlak in P snijdt n punten in op de R„; en de
(n—i) buiten P gelegen punten Q bepalen normalen, die
in P loodrecht staan. Dus uit die (n—i) punten Q kan
men (n — i) normalen /\';/ P trekken, ^^aar zooals gezegd

één punt Q behooren derhalve (3 n — 2) punten P en bij
één punt P...... (n— i) punten Q.

V2 (3 n - 2) (3 u - 2 - I) \'/2 (n — .) (n - I -1) =
\'/2 (5 n - 2). 3.(n - i) \'/2 (n - i)(n - 2) =
\'/2(n— i).2.(5 , —4) = (n— 0(5 n —4)

Is {R .S*) zoo\'n pajir dan wil dat zeggen dat inet het punt
R zoowel als punt van het j>tel.sel P als als punt van het .stelsel
Q steeds het punt S overeenkomt Dat komt hierop neer
dat de verbindingslijn R S in R èn in S normaal is, of dat
zij dxibbclwoxv^wa^ is. Er zijn alzoo (n— \')(5" — 4)dubbel-
normalen. \'

Voor ///V-Z-rationalc krommen gjum cle eigenschappen tier
involuties, in dit proefschrift behandeld, niet meer door.

liet be.schouwen van involuties met vtr/voiu/igc punten
zal nog belangrijke uitkomsten kuimen geven.

De leer tier verwantschapiKMi is voor de synthetische
behantleling tier rationale kronunen van veel belang.

In de Beschrijvende Meetkunde zijn de benamingen
«horizontaal- en vertikaal projecteerend vlak» zeer onprac-
tisch. Beter is eerste en tweede projecteerend vlak.

De uitdrukking «tegenover een grootere hoek staat een
grootere zijde» is niet op t7vcc willekeurige driehoeken van
toepassing.

De eigenschap dat dc .som van n termen eener reeks
niet verandert, als men de termen onderling verpkuiLst, gaat
niet meer door als n = CO wordt.

De vergelijking van de electriciteit met een onsamen-
drukbare vloeistof is in strijd met onze tegenwoordige
voorstellingen.

Door de proeven van Hertz is de meening, dat de
werking der electriciteit eene werking op af.stand was, on-
houdbaar geworden.

De grondwaarheden der natuurkunde zijn .slechts gedeel-
telijk te vergelijken met de axioma\'s der wi.skunde.


	;



	" a\' »\'

» v,*.

♦.i

■ -

ji

			\'1\' —
1 /\'VK-		:
	r-^j^- ... ■ ■■ - V ; I.

•			•s	•4 •
•				•V
	#		r
1 *	- ■		r •
	\'W	*	«
»				NS ►
-h	A ■			#, «
V. * J			■k •	! \' • . \' t -