DE BICENTRAtË

ROJECTIE

ka

BAKKER

i

mëmm

V ■

■

■ i\' ;■. ,

-, ^ ■

DE BICENTRALE PROJECTIE

. S5-Ä\'

.-■iÇt,-

-ç:

:

■ - " 1
■ i 1 ,\'i

r

• is.\' \'j-k.-Ä

mmm

u ü A

DE BICENTRALE PROIECTI

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD
VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE, AAN
DE RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT OP GEZAG VAN
DEN RECTOR MAGNIFICUS Dr. H. ZWAARDEMAKER,
HOOGLEERAAR IN DE GENEESKUNDE, VOLGENS
BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT,
TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT DER
WIS- EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN OP DINS-
DAG 30 NOVEMBER 1909, DES NAMIDDAGS 4 UUR

door

NANKE BAKKER

GEBOREN TE IJLST.

pp

\'S-GRAVENHAGE — C. BREDÉE

V V i

1  - STOOMDRUKKERIJ — KOCH & KNUTTEL — GOUDA

Bij het voltooien van dit proefschrift is het me een
aangename taak U allen, Hooglceraren der Wis- en
Natuurkundige faculteit der Universität te Utrecht,
mijn harteUjken dank te betuigen voor het onderwijs,
dat ik van U rnocht ontvangen.

In het hijzonder betuig ik ü. Hooggeleerde De Vries,
Hooggeachte Promotor, mijne erkentelijkheid voor den
steun, dien ik ook bij het vervaardigen van dit proef-
schrift van ü mocht ondervinden.

INHOUD.

Bltdz.

Inleiding.............1

HOOFDSTUK 1.
Algemeene Beschouwingen.......15

HOOFDSTUK II.
Metrische Betrekkingen.......50

HOOFDSTUK III,
Bijzondere Projectiestelsels......78

■ .s ... • ■

INLEIDING.

De tijd is reeds lang verstreken, dat de Beschrijvende
Meetkunde niets anders beteekende dan eene zekere
vaardigheid in het teekenen. Sedert men er in geslaagd
is door middel van dezen tak der meetkunde belang-
rijke projectieve eigenschappen af te leiden, sedert de
Beschrijvende Meetkunde ons in staat heeft gesteld hoogst
belangrijke theorema\'s te ontwikkelen voor de „Geo-
metrie der Lage", sedert dien tijd is haar naam als
wetenschap gevestigd.

Trouwens het beste bewijs voor hare belangrijkheid
is wel, dat in den loop der tijden de projectieleer
een zoodanige vlucht heeft genomen, dat men op allerlei
manieren, volgens allerlei methoden, eene practische
wijze van projecteeren heeft trachten te vinden.

Het streven was bij het zoeken van eene methode
zooveel mogelijk aan de volgende 5 eischen recht te
laten wedervaren:

1®. Gelijksoortige elementen moeten worden afgebeeld
door elementen, die ook onderling weer gelijksoortig zijn.
2°. Gelijksoortige elementen moeten bij voorkeur,

indien zulks mogelijk blijkt, worden afgebeeld door
elementen die niet alleen onderling gelijksoortig zijn,
maar bovendien gelijksoortig met de oorspronkelijke
elementen, waarvan ze de afbeelding moeten voorstellen.

3°. Indien mogelijk moet, wanneer één element P
wordt afgebeeld door één of meer elementen p, omge-
keerd door omkeering van de geometrische bewerking,
uit die één of meer elementen p, weer alleen het
element P voor den dag komen.

4°. De wijze van afbeelding dient zoo te worden
gekozen, dat de afbeelding ons een duidelijk beeld
geeft van het orgineel.

5°. Men moet uit de projectie gemakkelijk de lengte
van lijnen, de grootte van boeken, enz. kunnen afleiden,
die in het origineel voorkomen. ,

We willen in de eerste plaats een kort overzicht
geven van de tot nu toe bekende projectie-methoden
en van de wijze, waarop de afbeelding bij elk harer
plaats heeft. Ook zullen we het voordeel van de eene
methpde boven de andere terloops even aanstippen.

De chronologische volgorde, waarin deze methoden
zijn ontstaan, zullen we bij de indeeling in groepen
buiten beschouwing laten, üe groepeering zal alleen
berusten op analogie in methode, en in hoofdzaak neer-
komen op die, welke gevolgd is door Dr. van Peschka
in zijn uitgebreid werk over „Darstellende Geometrie".

I. Afbeeldin^smethoden met één proJecticTlak.

a. De Centrale Projectie.

Deze methode is voldoende bekend; het lijkt me
dus overbodig hierbij lang stil te staan.

Een vast punt wordt aangenomen als projectie-
centrum; een willekeurig vlak als projectievlak. Een
punt P wordt nu afgebeeld op het projectievlak of
tafereel als doorsnede van de projecteerende lijn van
P met dit vlak.

Het nadeel van deze methode is, dat op deze manier
aan een bepaald punt P van de ruimte wel een enkel
punt P\' wordt toegevoegd, maar dat omgekeerd bij het
punt P\' behooren vele punten P van de ruimte,
nl. alle punten van de lijn, die P vereenigt met het
projectie-centrum.

Evenzoo wordt eene lijn l voorgesteld door de snijlijn
van hot projecteerend vlak van l met het tafereel, maar
hetzelfde bezwaar van hierboven is van kracht, nl. dat wel
bij eene bepaalde lijn l, slechts ééne enkele lijn l behoort,
maar dat omgekeerd bij t cn> vele lijnen l van de
ruimte behooren, n.1. allo lijnen van het vlak, dat l\'

verbindt met bet centrum van projectie. We zien dus
duidelijk, dat deze ééne projectie l\' niet voldoende is om
de lijn l te bepalen.

Daar een punt P door zijne projectie P\' in het
algemeen ook niet bepaald is, zal eene lijn natuurlijk
evenmin bepaald zijn door de projecties van 2 mlle-
keurige punten. Men is aan dit bezwaar tegemoet ge-
komen door hiervoor bijzondere punten te kiezen, n.l.
het doorgangspunt van de lijn met het projectievlak
en de projectie van het oneindig ver gelegen punt van
de lijn, vluchipunt genaamd; dit laatste punt is even-
eens te beschouwen als de doorgang van eene lijn
evenwijdig met de gegevene door het projectiecentrum
getrokken. Door deze 2 punten nu is de lijn volkomen
bepaald.

Een "willekeurig punt wordt nu bepaald door zijne
centrale projectie en een willekeurigen drager, dus
feitelijk als snijpunt van eene willekeurige lijn met de
projecteerende lijn van het punt. Voor den willekeu-
rigen drager wordt dikwijls gekozen eene lijn loodrecht
op het projectievlak, Het punt is dan als het ware
bepaald door zijne centrale en zijne orthogonale projectie.

b) De Klinographische of Scheene Projeciic.

Deze afbeeldingswijze verschilt in wezen niet van
de centrale projectie. Het centrum van projectie ia
in eene bepaalde richting naar het oneindige verplaatst,
zoodat de projecteerende lijnen van verschillende punten
an de ruimte alle evenwijdige lijnen zijn.

Hetzelfde bezwaar is natuurlijk aan deze methode
verbonden als aan de vorige, n.1. dat de projectie van
een punt, respectievelijk van eene lijn, overeenkomt
met fNj vele punten en lijnen van de ruimte.

Op kunstmatige wijze is ook hier in dit bezwaar
voorzien; het is evenwel duidelijk, dat voor de be-
paling van eene lijn het vluchtpunt geen dienst kan
doen, daar het projectiecentrum zeifin het oneindige ligt.

Om een punt nader te bepalen wordt bij deze
methode gebruik gemaakt van een zoogenaamd distan-
tievlakf d. i. een vlak op bepaalden afstand van het
projectievlak gelegen, en wel zoodanig, dat bij de bepa-
ling van een punt niet alleen zijne projectie, d. i. het
snijpunt van de projecteerende lijn met het beeldvlak,
maar bovendien haar snijpunt met het distantievlak
eene rol speelt.

De klinographische methode heeft dus om een punt
vast te leggen, behalve het beeldvlak of tafereel nog
een tweede vlak noodig, dat op bepaalden afstand
evenwijdig loopt met dit beeldvlak. We zien dus, dat
de acheeve projectie feitelijk een overgang vormt tot
de volgende groep:

II. Afbefidingfsmcthoden door twee projecties.

a. Orlhogonalc Frojcctic van Mongc.

Deze afbeeldingsmethode is een bijzonder geval van
eene meer algemeene, waarvan de beschrijving in het
kort als volgt luidt:

.H- -

Er zijn twee projectievlakken, die een willekeurigen
hoek met elkaar maken en 2 centra van projectie.
Daar we evenwel slechts één vlak als teekenvlak
kunnen gebruiken, is één der projectievlakken met de
daarin gelegen projecties om de doorsnede der vlakken
gewenteld, tot het met het andere vlak (tevens teeken-
vlak) samenvalt.

Een punt P wordt op het 1\' projectievlak uit het
1\' centrum, en uit het 2\' centrum op het 2e vlak
geprojecteerd.

De bijzondere voorwaarden bij de methode van
Monge zijn nu de volgende:

P de projectievlakken staan loodrecht op elkaar.

2° het 1\', respectievelijk 2® projectiecentrum, is
zoodanig naar het oneindige verplaatst, dat de 1®,
respectievelijk 2" projecteerende lijn van een punt lood-
recht staat op het 1\', respectievelijk 2® projectievlak.

Het groote voordeel van deze methode is:

Een punt P en eene lijn l worden afgebeeld res-
pectievelijk door 2 punten P, en Pj en door 2 lijnen
Z, eü Zj, terwijl omgekeerd bij dit tweetal punten
P, en Pj slechts één enkel punt P van de ruimte
behoort, en in het algemeen bij Z, en slechts éóne
enkele lijn l van de ruimte.

In sommige gevallen wordt gebruik gemaakt van
een 3\' projectievlak, loodrecht op de beide anderen,
en dienovereenkomstig van een 3® in het oneindige

gelegen projectiecentrum, zoodanig dat de lijn, waardoor
een punt op dit 3\' vlak wordt geprojecteerd, loodrecht
staat op dit 3\' vlak.

b) Parallelogram-Projectie.

Een ander bijzonder geval van de projectiemethode
met 2 centra en 2 projectievlakken is de parallelogram-
projectie, ook wel kortweg 7r-projectie genoemd.

Hier staan de projectievlakken niet loodrecht op
elkaar, maar sluiten een willekeurigen hoek in. Denkt
men zich in het 1® projectievlak uit een willekeurig
punt van de doorsnede (as) jf eene loodlijn .^getrokken
en uit hetzelfde punt in het 2\' projectievlak 1. as
eene lijn Y, dan is hier het 1® projectiecentrum in
het oneindige gelegen in de richting van Y en het
2\' centrum in de richting van Z.

M.a.w. de lijnen, die punten projecteeren op het
1® projectievlak, zijn allo evenwijdig met Y en die
punten projecteeren op het 2® projectievlak, evenwijdig
met Z.

c) Methoda van da Scheeve Projeciic Tnct twee
onderling loodrechte \'projectievlakken.

Bij deze methode wordt één der 2 vlakken, bijv.

.H- -

het verticale, gekozen als teekenvlak; het andere, dat
er loodrecht op staat, dus het horizontale vlak, wordt
beschouwd als hulpvlak en grondvlak genoemd; het
verticale vlak heet projectievlak. Het projectiecentrum
is in eene bepaalde richting in het oneindige gelegen.

Een punt nu wordt aangewezen door 2 projecties.
De 1\' projectie van een punt A is nu het snijpunt
van de projecteerende lijn s door A met het projectie-
vlak, het verticale vlak; dit punt worde voorgesteld
door a,.

Om de andere projectie te vinden hebben we noodig
de orthogonale projectie a^ van het punt A op het
horizontale vlak. We krijgen n.l. de 2\' projectie van
het punt A op het verticale vlak door a^ op dezelfde
wijze uit het oneindig ver gelegen centrum te pro-
jecteeren door middel vau de projecteerende lijn s\';
deze projectie worde a/ genoemd.

Gemakkelijk is aan te toonen dat de verbindingslijn
a, a\', loodrecht staat op de as, de snijlijn der 2 lood-
rechte vlakken, terwijl de afstand a, a/ blijkbaar de
hoogte aangeeft van A boven het horizontale vlak.

Wê kunnen deze methode dus kortweg aldus formu-
leeren :

Een punt wordt aangegeven door 2 projecties op
één enkel vlak; de 1® projectie is de scheeve projectie
van het punt zelf en de 2® projectie is de scheeve
projectie van de orthogonale projectie op het grondvlak.

Het voordeel van deze methode is haar aan schouwe-

lijkheid; ze heeft overigens natuurlijk de kenmerkende
nadeelen van elke scheeve projectie, n.1. de moeilijkheid
bij het bepalen van de lengte van lijnen en de grootte
van hoeken, m. a. w. bij het afleiden van metrische
betrekkingen.

Immers de scheeve projectie heeft in het algemeen
het voordeel, dat ze bijzonder geschikt is voor het af-
leiden van projectieve betrekkingen, terwijl bij de
orthogonale projectie gemakkelijker allerlei metrische
betrekkingen worden opgespoord.

Ten einde deze beide voordeden te combineeren,
heeft men de bovenstaande methode eenigszins gewijzigd;
men heeft n.1. in plaats van de scheeve projectie de
orthogonale afbeeldingswijze gekozen; de methode, die
hieruit is ontstaan, draagt den naam van:

d) Orthographische Parallelpcrspectief.

Zooals in bovenstaande regels reeds in het kort werd
uiteengezet, is het de bedoeling om in plaats van do
scheeve projectie de orthogonale methode toe te passen,
niet alleen op het origineel, d.i. de te projecteeren
figuur, maar ook op de „grondprojectie", d.i. do
orthogonale projectie op het grondvlak.

Het is evenwel duidelijk, dat bij loodrechten stand
van projectievlak en grondvlak de orthogonale projectie
van de ,,grondprojectie" geheel in de as valt; hierdoor
zou aan duidelijkheid en aanschouwelijkheid verloren

.H- -

gaan, wat aan den anderen kant tengevolge van het
orthogonaal projecteeren zou worden gewonnen. Om
deze redenen heeft men afgezien van het loodrechte
systeem, en 2 vlakken gekozen, die scheefhoekig op
elkaar staan.

Een punt A wordt nu afgebeeld:
1® dooi de orthogonale projectie a,
2° door de orthogonale projectie a van d.i. van
de orthogonale projectie van A op het grondvlak.

In het kort : Bij de orthographische parallelper-
spectief wordt niet alleen de ruimtefiguur zelf, maar
ook de grondprojectie orthogonaal op het beeldvlak
geprojecteerd.

III. Axonometrische Projectie.

Bij deze methode hebben we één hoofdprojectievlak
of tafereel, nl. het vlak van teekening. Verder treden
op 3 hulpprojectievlakken, die loodrecht op elkaar
staan en elkaar dus snijden volgens 3 onderling lood-
rechte assen X, Y en Z] de 3 assen snijden elkaar
in het punt O.

Nu wordt een punt P achtereenvolgens orthogonaal
geprojecteerd op de hulpvlakken, noémen we de pro-
jectie op het yZ-vIak P^, die op het XZ-vlak P^ en
die op het ZZ-vlak P,. Het is duidelijk, dat
PPy en PPj nu 3 in één punt samenkomende ribben

.H- -

zijn van een rechthoekig parallelopipidum, waarvan O
het tegenover F gelegen hoekpunt is.

De eigenlijke projecties krijgen we op de volgende wijze:

In de eerste plaats worden de in O samenkomende
loodrechte assen orthogonaal of klinographisch gepro-
jecteerd op het tafereel; de projecties zijn weer 3 lijnen
a;, y en 2 samenkomende in één punt o, de projectie
van O. Deze 3 lijnen worden de axonometrische
assen genoemd.

Op het tafereel worden nu ook geprojecteerd, ortho-
gonaal of klinographisch:

1® het punt jP in p
2® de punten P^ en P^
respectievelijk in p^ en p^.

Het spreekt van zelf, dat er een analoog verband
bestaat tusschen jo, p^ en p^ als tusschen O, P,,
P, en P,

Men spreekt van orthographische axonometrie,
wanneer men op het tafereel orthonogaal projecteert;
past men de scheeve projectie toe, dan spreekt men
van klinographische axonometrie.

Als eene bijzondere soort vao projectiemethode, moet
volledigheidshalve nog worden vermeld:

IV. Centraio Projectie met Groadvlak.

Bij deze methode treden 2 vlakken op, één pro-
jectievlak en één grondvlak. Hierbij wordt niet alleen

.H- -

de figuur zelf, maar ook de orthogonale projectie op
het grondvlak centraal geprojecteerd op het projectie-
vlak. We zien das eenige overeenkomst met de scheeve
projectie met 2 onderling loodrechte vlakken en met
de orthographische parallelperspectief.

Uit deze beschouwingen blijkt ten duidelijkste, dat
projectiemethoden met één enkel centrum en één enkel
projectievlak (zonder hulpvlak) zonder meer onvoldoende
zijn voor de afdoende bepaling van punten en lijnen
der ruimte.

Op verschillende wijzen is getracht aan dit bezwaar
tegemoet te komen:

Bij de centrale projectie, wat de lijn betreft, door
invoering van doorgangspunt en vluchtpunt.

Bij de klinographische of scheeve projectie door
invoering van het distantievlak.

Bij de orthogonale projectie van Monge en de paral-
lelogram-projectie door invoering van een 2® projectie-
vlak en een 2* centrum.

Bij de methode van de scheeve projectie met 2
onderling loodrechte vlakken, bij de orthographische
parallelperspectief en bij de centrale projectie met
grondvlak door de invoering van een hulpvlak als
grondvlak, en ten slotte:

Bij de axonometrische projectie door de invoering
van 3 onderling loodrechte hulp-projectievlakken. We
zien dus, dat in het algemeen aan het bezwaar is
tegemoet gekomen door de invoering van één of meer

hulpvlakken met behoud van één enkel centrum. Bij
de projectie van Monge en de parallelogram-projectie
zien we behalve een nieuw vlak ook nog een tweede
projectiecentrum optreden.

De vraag ligt voor de hand, of de bezwaren ook
uit den weg kunnen worden geruimd door:

1°. één enkel centrum met 2 projectievlakken, waar-
van het eene als teekenvlak wordt gekozen, terwijl
het andere evenals bij Monge in dit teekenvlak wordt
neergeslagen,

2°. iwee centra met één enkel projectievlak.

Mijns inziens loont het de moeite om elk van deze
twee te onderzoeken. Daar evenwel het geval van één
enkel centrum met 2 vlakken reeds meermalen is
besproken, al is het dan ook in anderen vorm, ia
zooverre het 2® vlak hierbij als hulpvlak optreedt, zoo
is mijne keuze gevallen op de 2" methode, die ik wil
noemen „De bicentrale projectie met één projectievlak".

Ook andere overwegingen hebben rae hiertoe doen
besluiten; in het begin van deze inleiding is namelijk
betoogd, dat een eisch van elke projectiemethode dient
te zijn: „awischomvelijkheid".

Het dunkt me, dat aan dezen eisch niet beter kan
worden tegemoet gekomen dan door de methode zooveel
mogelijk te doen overeenkomen met het natuurlijk
proces, waardoor op ons netvlies een beeld wordt to
voorschijn geroepen, het proces van zien met onze
twee oogen.

Hoewel we dus de nadeelen krijgen van alle scheeve
projectiemethoden, komt aan den anderen kant de
methode met 2 centra en één projectievlak zoozeer
overeen met ons natuurlijk proces van zien, dat ik
me alleszins gerechtigd acht dit tot onderwerp van
mijn proefschrift te kiezen.

We willen evenwel de zaak meer algemeen be-
schouwen, en dus de beide projectiecentra voorloopig
geheel willekeurig kiezen, hetzij beide aan denzelfden
kant, hetzij aan verschillende kanten van het tafereel.
Lator zullen we aan de centra bij zonderen stand ten
opzichte van het projectievlak toekennen en terloops
de eigenaardigheden in de projecties bespreken, die
hiervan het gevolg zijn.

HOOFDSTUK 1.

Algemeene Beschonwing^en.

We kiezen het teekenvlak als projectievlak. Bepaling van

Noemen we de beide projectiecentra O, en
wordt de ligging van deze punten ten opzichte van het
tafereel aangegeven door de beide distantiecirkek, dat
dat zijn cirkels, die als middelpunten hebben O, en 0„
de voetpunten van de loodlijnen uit O, en op het
projectievlak neergelaten, en als stralen de afstanden
van de beide centra tot het projectievlak. Tevens
wordt door een pijltje aangegeven, aan welken kant
van het projectievlak het centrum ligt; dit wordt
namelijk steeds aan dien kant gevonden, van waaruit
het pijltje eene positieve draaiing aanwijst.

Het snijpunt van de verbindingslijn der contra, dat
we O zullen noemen, is uitwendig of inwendig gelijk-
vormigheidspunt der beide distantiecirkels, naar gelang
de projectieoentra aan denzelfden kant of aan ver-
schillende zijden van het projectievlak liggen.

Het projectiestelsel is dus volkomen bepaald door
de beide distantiecirkela; het punt O is dan onmiddellijk
te construeeren.

16

Afbeelding Een willekeurig punt P van de ruimte wordt af-
P^^^gebeeld door de snijpunten van de beide projecteerende
lijnen O^P en O^P met het tafereel. Deze beide projecties
worden respectievelijk voorgesteld door P\' en P" Blijk-
baar behoort dus in het algemeen bij één enkel punt
P van de ruimte een tweetal punten P en P", terwijl
omgekeerd door deze 2 punten het punt P volkomen
bepaald is.

Eene uitzondering vormen slechts de punten van de
verbindingslijn OjO^. Niet alleen treft het ons, dat in
dit geval de beide projecties van een punt samenvallen
in het snijpunt O van 0,0, met het tafereel, maar
wat van meer gewicht is, dat alle punten van deze
lijn zich op dezelfde wijze projecteeren, zoodat door
deze samengevallen projecties het punt P niet be-
paald is.

We zagen, dat bij een punt P in het algemeen
behooren 2 projecties P\' en P. De vraag ligt voor de
hand, of omgekeerd 2 willekeurig gekozen punten
P\' en P" vau het projectievlak de projecties kunnen
voorstellen van een punt P der ruimte. Denken we
ons de beide lijnen OjF en O^P" getrokken, dan blijkt
ons, dat dit alleen het geval is, wanneer deze 2 lijnen
elkaar snijden, m. a. w. in één vlak liggen. Maar
dan moeten klaarblijkelijk de lijnen PP" en 0,0, in
ditzelfde vlak liggen, dus PP gaat door het door-
gangspunt O van 0,0, met het projectievlak.

We krijgen dus de volgende voorwaarde: Zullen
P en. P\' de jyrojecties van een punt P der ruimte

17

voorstellen, dan moet de verbindingslijn gaan door
het punt O.

a) ,Punt van het "projectievlak. Bqzondere

Voor een punt P van het projectievlak vallen P\' en

P\' samen met het punt P zelf, dus P\' = P\' = P.
Een dergelijk punt zullen we kortweg voorstellen
door P.

b) Punten van de lijn O, Oj.

Voor elk punt van deze lijn vallen 1® en 2* pro-
jectie samen met O; we merkten reeds op, dat hierdoor
het punt niet bepaald was. Om hieraan tegemoet te
komen zullen we een 3\' projectiecentrum moeten aan-
nemen; hiervoor kiezen we het oneindig vergelegen
punt in de richting van de loodlijn op het tafereel,
zoodat een dergelijk punt P behalve door de samen-
gevallen projecties P\' = .P = O wordt aangewezen
door zijn orthogonale projectie P.

e) De punten. en O,.

Blijkbaar is voor P E O, de 1" projectie P onbe-
paald terwijl P\' = O. Het punt wordt nader bepaald
door zijn orthogonale projectie P = O,.

Evenzoo is voor 0=0, de 2\' projectie Q\' onbe-
paald terwijl Q\' = O. Het punt wordt nader bepaald
door zijn orthogonale projectie Q =

d) Punten, gelegen in een der 2 vlakken, respectievelijk
door O, en O, gebracht evenwijdig aan het tafereel.

18

Deze vlakken worden eerste en tweede verdwijnvlah
genoemd. Voor punten van het 1\' verdwijnvlak valt
P\' in het oneindige; het punt is blijkbaar volkomen
bepaald door P\'; immers P is het oneindig vergelegen
punt van O P\'. Voor punten van het 2\' verdwijnvlak
valt de 2" projectie in het oneindige; deze punten zijn
volkomen bepaald door de 1\' projectie. Is Q een
dergelijk punt dan is Q\' het oneindig vergelegen punt
van OQ .

Afbeelding Daar elke rechte lijn volkomen bepaald is door 2
punten, kunnen we dus eene rechte lijn afbeelden door
de projecties van twee harer punten, die we in het
algemeen geheel willekeurig kiezen. Dit is een ken-
merkend verschil met de centrale projectie, waar slechts
2 bijzondere punten voldoende waren om de lijn vol-
komen te bepalen.

Zijn en O de 2 willekeurige punten van de lijn
Z, dan stelt blijkbaar P O\' de 1\' projectie van de
lijn voor, en \'P Q\' de 2® projectie. Verder gaan
P\'P en Q\'Q\' door het punt O. Noemen we de beide
projecties van l respectievelijk ï en l\', dan is T =
PO\'\'en l\' = P-Q\'.

Het is duidelijk, dat we ï en l\' ook kunnen be-
schouwen als de doorsneden van de beide projecteerende
vlakken van l.

In het algemeen is door de projecties l en l\' de lijn
l der luimte volkomen bepaald ; Ha namelijk de snijlijn
van het vlak (Z\'Oj) met het vlak (fO,).

19

In de eerste plaats moet vermeld worden het snijpunt Bizondere
van de lijn met het projectievlak, doorgangspunt van

noemd. Als punt van het tafereel vallen de beide
projecties samen met het punt zelf. We zullen het
doorgangspunt van eene lijn l in het vervolg voor-
stellen door 8i. Blijkbaar is Si het snijpunt van
ï en r.

In de tweede plaats noemen we de verdwijnpunten
van de lijn; het 1® verdwijnpunt is het snijpunt van
de lijn l met het 1® verdwijnvlak en wordt voorge-
steld door Ri; het 2® verdwijnpunt is het snijpunt
van l \'met het 2® verdwijnvlak en wordt voorge-
steld door Tl.

Het 1® verdwijnpunt heeft de 1® projectie Rl in
het oneindige en is volkomen bepaald door Rï; evenzoo
ligt de 2® projectie van Ti in het oneindige en is Ti
volkomen bepaald door Ti.

Is de lijn l gegeven door de beide projecties l en
V en zijn verder de beide distantiecirkels gegeven en
dus ook het punt O bekend, dan zijn de punten Rf
en Ti gemakkelijk te construeeren.

Immers RJ moet in de eerste plaats liggen op l\'\\
R\'i ligt in het oneindige op ï\\ dus Ri moet boven-
dien liggen op de lijn, die O vereenigt met het oneindig
vergelegen punt Ri, dus op de lijn door Ol\\l,

We vinden dus Ri op V door middel van eene lijn
door 0111\'. Eveneens kunnen we Ti construeeren op
r door middel van eene lijn door O // T.

De punten Ri cn Ti hebben dm eene zeer bijzondere

20

ligging-, de 4 punten O, Ef, iSj en Tl zijn de 4
hoekpunten van een parallelogram.

Het punt O is in het projectiesysteem em vast punt ;
twee der overige punten zijn dv^s voldoende om het
parallelogram te hepalen.

Ten slotte vermelden we het oneindig ver gelegen
punt W van de lijn l. De 1® en 2® projectie van dit
punt zullen we naar analogie van de centrale projectie
noemen 1® en 2® vluchtpunt van l en voorstellen door
Wl en W;.

WI ligt op l\'; Wl" op l\'. Is Si het doorgangspunt
van de lijn, dan volgt onmiddellijk uit het feit, dat
de projecteerende lijnen van Wi evenwijdig loopen met
l: W;S, = O^Ri en W;8i E 0,Ti.

Alvorens verdere eigenschappen op te sporen van
bovengenoemde bijzondere punten, vestigen we nogmaals
de aandacht er op, dat deze punten hier niet, zooals
bij de centrale projectie noodzakelijk zijn om de lijn
nader te bepalen Hier is de lijn door hare heide
projecties of liever door de projecties van twee wille-
keu<rige punten der lijn volkomen hepaald.

Het gebruik, dat we in het vervolg van deze bij-
zondere punten denken te maken, zal moeten berusten
op bijzondere eigenschappen dezer punten, waarvan we
ongezocht deze reeds ontdekten, dat de punten, ORf 8i Ti
de hoekpunten zijn van een parallelogram.

Deze eigenschap is ook stereometrisch gemakkelijk
af te leiden, terwijl we hierdoor tevens in staat zijn

21

nog eenige nadere bijzonderheden omtrent de onderlinge
ligging van doorgangspunt, vluchtpunten en projecties
der verdwijnpunten aan te geven.

Zijn O, en de beide projectiecentra, O, en de
voetpunten van de loodlijnen op het projectievlak
neergelaten, dus middelpunten van de beide distantie-
cirkels en O het snijpunt van OjOj met het tafereel.
Zij verder H het 1® verdwijnpunt van de lijn l, K diens
2" projectie, T het 2* verdwijnpunt en T\' diens
1* projectie. Daar R verdwijnpunt is van de lijn l, is
OyR evenwijdig aan het projectievlak; elk vlak door
0,jR snijdt het tafereel dus volgens eene lijn // 0,jR;
dit geldt dus ook voor de vlakken 0,0,en TO^R.

Oj O, snijdt het projectievlak in O, in R\\ dus
de snijlijn van het eerste vlak met het tafereel is OjR".

OyT snijdt het projectievlak in en Zijnatuurlijk
in het doorgangspunt van l, dus de snijlijn van het
2* vlak met het tafereel is T\'8. Hieruit volgt:
0\'R II OR\' II T\'8

Op volkomen analoge wijze wordt bewezen:
OiT II OT 11 R\'8,
m. a. w. 0R\'8T\' is een parollelagrara.

Tevens wordt gemakkelijk uit de figuur afgeleid:
OR\' : OiR = 00, : 0,0,

maar daar:

Oir E TS en 0,i2 = W8
ST : 8W = 00, : 0,0,

Tevens is:

OOi : 0,0, = OD, :

22

Derhalve:

8T\' : SW\' = OU, : ÜJ), (»)

Op volkomen analoge wijze wordt afgeleid:

JSH\' : jSW\' = OÖ, : ÖA (\')

Constructie Hierop berusten nu eenvouditre constructies van de
dc vluclit

punten " vluchtpunten van eene lijn, wanneer de lijn

gegeven is door zijne beide projecties f en T .

Stellen we ons in de eerste plaats tot taak het 1\'
vluchtpunt W\' van eene lijn te zoeken. We zullen dan
blijkbaar gebruik maken van de betrekking. (\')

Het punt T\' is onmiddellijk te vinden op l\' door
uit O eene lijn te trekken // l\'. Van bovenstaande
evenredigheid zijn dus de 3 termen 8T, OÜ^ en
bekend, zoodat de constructie neerkomt op het bepalen
van de 4\' evenredige tot 3 gegeven lijnen, nl. uit de
evenredigheid:

0,0 : = ST : SW\'

Wanneer W bekend is vinden we W op l\' door
middel van de hulplijn OW.

Punten- We zagen reeds, dat bij elk punt P van de lijn l,
O ^ P"^*®^ ^ ^ behooren, en wel P op 1\' en P\' op

\'l\\ Blijkbaar behoort dus bij elk punt P\' op l één
enkel punt P\' op l\' ] omgekeerd behoort bij het punt
P" op l\' weer het punt P\' op l\'. Merken we verder
op, dat voor het doorgangspunt 8 = /S\'\' = /S", m. a. w.
dat het snijpunt van 1\' en 1\' met zichzelf overeenkomt,
dan blijkt dat op l\' en T liggen tweeperspectievepunien-
reeksen. De verbindingslijnen van overeenkomstige pun-

23

ten omhullen eene kromme van de 2\' klasse, die uiteen-
valt in het klassepunt O en een waaier, waarvan O
de top is.

We kunnen dus eene lijn aangeven door de projecties Recapitu-
van 2 wiUekeiLi-ige punten; wanneer ons dit gemakkelijker
lijkt, zullen we hiervoor kiezen bijzondere punten, bijv.
doorgangspunt en een der verdwijnpunten.

De verbindingslijn van de 1\' projecties van de punten
is de 1® projectie van de lijn; blijkbaar krijgen we
deze projectie door de snijlijn te bepalen van het 1®
projecteerend vlak van de lijn met het projectievlak.
Evenzoo is de 2® projectie van de lijn de snijlijn van
het 2® projecteerend vlak van de lijn met het tafereel.
Slereometrisch is duidelijk, dat in het algemeen ook
door de projecties l\' en l\' de lijn volkomen bepaald
is. Ook uit de constructiefiguur volgt dit, daar de
projecties van 3 punten van de lijn onmiddellijk zijn
aan te wijzen, nl. S = S\' = S\', verder H\' en B\'^^
en ten slotte T en T\'„, terwijl 2 hiervan reeds vol-
doende zijn om de lijn te bepalen.

a) Lijn in hei projeciicvlak. Byiondero

Ignen.

Voor eene lijn l in het projectievlak vallen de beide
projecties met de lijn samen, dus TE T = Z; dit
geldt bovendien voor elk punt van de lijn, dus

P = P- = P.

24

b) Lijrien, gaande door êén der projectiecenira of
projecteerende lijnen.

Voor elke lijn, gaande door O,, 1\' projecteerende
lijn genoemd, valt de 1\' projectie samen met het
doorgangspunt S, is dus een punt, terwijl de 2® projectie
gaat door S Qn O. S = W\'.

Voor elke lijn, gaande door Oj, 2\' projecteerende
lijn genoemd, valt de 2* projectie samen met het
punt S, is dus een punt, terwijl de 1® projectie
gaat door S en O. S = W\'.

c) Z^e verbindingslijn der projectiecenira O, Oj.

Voor O, Oj zijn zoowel de 1® als de 2\' projectie-
punten en vallen samen met het doorgangspunt van
de lijn in O. Derhalve l\' = V = S = O.

d) Lijn, loodrecht op het projeciievlak.

Blijkbaar valt het 1® vluchtpunt in Ü, en het 2® in
Üj, dus W\' = O, en W = ü,. Ir bet doorgangs-
punt 8 bekend, dan is de lijn dus volkomen bepaald;
immers T =• 8Ü^ en l = 8TJ^.

e) Lijn, die de verbindingslijn der centra mijdt,

Is P het snijpunt van de hjn l met 0,0„ dan

25

vallen F en P\' beide in O, dus O = F = P".
Zoowel ï als V moet dus gaan door het punt O.
Maar l en V moeten elk ook door het punt 8 = 8" =
S" gaan. We zien dus, dat l en 1\' samenvallen.

Toch dient dit geval wel onderscheiden te worden
van dat vermeld onder a), waar bovendien voor elk
punt P van de lijn P\' = P ". Dit geldt hier n.1.
slechts voor 2 bepaalde punten van de lijn, namelijk
voor het doorgangspunt S en het snijpunt van de lijn
met O, Oj.

We krijgen hier blijkbaar op eene enkele lijn 2
projectieve puntenreeksen, waarvan de duhbelpunten
zijn eo O = F = P\'.

Voor elke lijn, die O, 0, snijdt, krijgen we 2 zulke
collocale puntenreeksen; voor alle lijnen, die bovendien
hetzelfde doorgangspunt S hebben, krijgen we 2 pro-
jectieve puntenreeksen met dezelfde dubbelpunten O en
8. Het is dus duidelijk, dat O en S niet voldoende
zijn om de lijn volkomen te bepalen. Behalve het
punt 8 moet dus nog een ander punt van de lijn
gegeven zijn. Ook kan de lijn natuurlijk gegeven zijn
door de projecties van 2 willekeurige punten, dus
door A\', A\', en B\\ B\\

Stellen we ons nu tot taak het doorgangspunt 8
van de lijn te vinden. Behalve A en A\\ B\' en B\' is
van de collocale puntenreeksen nog een dubbelpunt
O = P\' = P\' bekend. Trekken we door O eene
willekeurige lijn en brengen we een der puntenreeksen
hierop over door omcirkeling van uit O, dan krijgen

26

we 2 perspectieve puntenreeksen; de verbindingslijnen
van overeenkomstige punten gaan dus alle door één
vast punt.

Nemen we aan, dat door omcirkeling is gekomen
in a en B\' in b, terwijl p = P" = P\' = O. De
reeksen p, a, b en P\', A\', B\' zijn nu perspectief en
het centrum van perspectief Q is het snijpunt van
aA\' en bB\'. Is nu van een punt van de lijn de
1* projectie X\' bekend, dan vinden we eerst het over-
eenkomstige punt X door middel van de lijn QX" en
vervolgens X\' door omcirkeling.

Het 2® dubbelpunt S vinden we door op te merken,
dat het door omcirkeling van s verkregen punt S\' met
S\' moet samenvallen. We hebben dus slechts uit Q
eene lijn te trekken, die van l = l\' eu van de wille-
keurig door O getrokken drager van de reeks p, a,
b . . . gelijke stukken afsnijdt, dus loodrecht staat op
de bissectrice van den gevormden hoek. Het snijpunt
van deze loodlijn met = T ia het doorgangspunt
van l.

\' f) Lijnen evemuijdig met het projectievlak.

Voor eene lijn // tafereel zijn de beide projecties
evenwijdig; het doorgangspunt 8 ligt in het oneindige;
de perspectieve puntenreeksen zijn gelijkvormig.

g) Lijnen van een der verdvnjnvlakken.

Voor eene lijn van het 1® verdwijn vlak ligt de

27

1® projectie in het oneindige; de 2® projectie is dua
voldoende om de lijn te bepalen.

Voor eene lijn van het 2® verdwijnvlak ligt de 2®
projectie in het oneindige; deze lijn is voldoende bepaald
door hare 1® projectie.

h) Lijnen evenwijdig inet de verbindingslijn der
projectiecentra.

Dit is natuurlijk op te vatten als een bijzonder geval
van snijding; het snijpunt P valt in het oneindige,
dus P = W. Derhalve wordt nu O = W = W\'.
De 2 dubbelpunten van de collocale puntenreeksen zijn
weer S en O = TF = W\'. Het verdient opmerking,
dat in dit bijzondere geval deze punten S en O wel
voldoende zijn om de lijn volkomen te bepalen.

Het snijpunt van 2 lijnen l en m is zoowel een Voorwannio
punt van l als van m. Zijn eerste projectie moet dus «nijdiuR.
zoowel liggen op l als op m\'; de 1® projectie van het
snijpunt van 2 lijnen Z en m is dus het snijpunt van
de 1® projecties, dus van [ en m\'. Evenzoo is de
2® projectie van het snijpunt van Z en m nu ook het
snijpunt der 2® projecties 1\' en m*. De snijpunten vau
l en m\' en van T en m\' zijn dus de projecties van een
bepaald punt, namelijk van het snijpunt van l en m;
ze moeten derhalve liggen op ééne lijn door O.

In hei atgemeen is dm de voorwaarde, dat 2 lijnen

28

l en m elkaar mijden, dat het mijpunt van l\' en m
en dat van V en m\' liggen op eene lijn door O.

In het algemeen kunnen we dus zeggen:

Wanneer ï en rrï elkaar snijden in een punt P\' en

l\' en m\' in een punt P\', zoodanig, dat P\'P" gaat door

O, dan snijden de lijnen l en m elkaar in P.

Voorwaarde Twee lijnen zijn evmwijdig, als ze dezelfde vlucht-

van even- punten hebhm en omgekeerd.
wijdigheid.

(Vfbeelding Een vlak is door 3 niet op eene rechte lijn gelegen
van een vlak punteo volkomen bepaald. Liggen 3 punten op eene
rechte lijn, dan is dit eveneens het geval met de
1\' projecties van die punten en ook met de 2® projecties.

Wanneer dus 3 punten door hunne projecties
gegeom zijn, zoodanig, dat niet tegelijkertijd dje 3 eerste
projecties en de Z tweede projecties op een lijn liggen,
dan is door deze 3 punten het vlak volkomen bepaald.

We willen ons voorloopig bezighouden met wille-
keurige vlakken. Wordt zoo\'n vlak bepaald door de
3 punten .4 en C, dan vormen dus A B\' en C de
hoekpunten van een driehoek en eveneens A, B\' en
C\'. Blijkbaar zijn AB = c, BC = a AC\' = h
3 lijnen van het vlak.

AB\' = G en AB\' = d, terwijl het snijpunt van
c\' en c\' volgens het voorafgaanae niets anders is dan
het doorgangspunt van de lijn c, dus 8,. Evenzoo is
het snijpnnt van a\' en a\' natuurlijk 8^ en van b\' en

29

b\' weer St. Daar a, 6 en c lijnen van het vlak zijn,
liggen de doorgangspunten S^, Si en S, in ééne rechte
lijn, den doorgang van het vlak.

Dit is een zeer eenvoudig bewijs voor theorema
van Desargues.

Immers AB\'C\' en AB\'C\' zijn twee ten opzichte
van het punt O perspectief gelegen driehoeken. De
overeenkomstige zijden van de 2 driehoeken snijden
elkaar in 3 punten, die op één rechte lijn gelegen zijn.

Stellen we ons nu deze vraag: Een willekeurig vlak Bepaling vnn
is gegeven door 3 punten A, B en <7, die niet
eene rechte lijn liggen. Van een 4\' punt Z) is bekend
D\' en bovendien, dat het ligt in het vlak [ABO).
Gevraagd D" te bepalen.

De eenvoudigste oplossing vinden we door op
te merken, dat AB en CD als lijnen van een zelfde
vlak elkaar moeten snijden. De 1® projectie van dit
snijpunt is natuurlijk bekend, nl. het snijpunt van
A\'B\' en CD\'. Noemen we het snijpunt van AB en
CD nu L, dan is L\' bekend. L" ia nu blijkbaar het
snijpunt van A\'B\' met OL. Het punt D" moet nu
in de eerste plaata liggen op CL\' en verder op OD\' en
is dus volkomen bepaald.

Een andere redeneering voert ons ook tot het doel,
al is het ook langs een längeren weg. We merken op,
dat D\' in alle geval moet liggen op OD\', Wanneer
we dus in staat zijn nog eene lijn te vinden, waarop

30

jy moet liggen, dan is jO\' volkomen bepeiald. De
lijn, waarop de doorgangspunten van de lijnen van
het vlak moeten liggen, wordt gemakkelijk gevonden
uit S^g en Sgc- Blijkbaar ligt hierop ook Sju\\ dit
punt is natuurlijk het snijpunt van AD\' met den door-
gang van het vlak. Het punt D\' ligt dus op de lijn
die S^p verbindt met A en bovendien op OD\'. Hier-
mee is D\' dus gevonden. Volledigheidshalve merken
we op, dat ook Scd, Sqd en S^q liggen op den door-
gang van het vlak.

Hieruit volgt: Liggen 4 punten A, B, Oen D in
eenzelfde vlak, dan vormen A, B\', C\', D en A\' B"
C D\' twee perspectief gelegen vierhoeken, zoodanig,
dat de snijpunten van de overeenkomstige zijden en
diagonalen liggen op één zelfde lijn, waarvan we hebben
aangetoond, dat ze de doorgang van het vlak is.

Het spreekt van zelf, dat deze afleiding voor uit-
breiding vatbaar is. We toonen gemakkelijk aan:

Wanneer n geheel willekeurige punten liggen in een
zelfde vlak, dan zijn de gelijknamige projecties van
deze punten de hoekpunten van 2 n-hoeken, die zóó-
danig perspectief zijn gelegen, dat de snijpunten van
de overeenkomstige zijden alle liggen op een zelfde
rechte lijn.

a) Projecteerende vlakken.

Bijzondere

vlakken. Dit zijn vlakken, die gaan óf door Oj óf door 0,. De

31

vlakken door O, noemen we 1® projecteerende vlakken,
die door 2® projecteerende vlakken. Hoewel derge-
lijke vlakken feitelijk reeds door 2 punten bepaald
zijn, daar als 3® punt steeds een der projectiecentra
kan worden beschouwd, zoo willen we niet van onze
eenmaal gegeven bepaling afwijken en ook de projec-
teerende vlakken aangeven door 3 willekeurige punten.

Voor een 1® projecteerend vlak, gegeven door 3
willekeurige punten A, B en C, blijken A\', B\' en
C weer de hoekpunten te zijn van een driehoek, maar
liggen A, B\' en C in een rechte lijn, deze lijn is
blijkbaar de doorgang van het vlak.

Voor een 2® projecteerend vlak, aangegeven door 3
willekeurige punten A, B en C blijken de 2® projecties
te liggen op eene rechte lijn.

JBij een projecteerend vlak, gegeven door 3 punten,
kan men nu onmiddellijk een 4® punt van het vlak
door zijne projecties aangeven. Immers is, [ABC) een
1® projecteerend vlak, zoodat A, B\' en O\' liggen
op een rechte lijn, dan zal voor elk punt van dit vlak
de 1® projectie op A\' B\' 0\' vallen. Omgekeerd zal een
punt D in het vlak {ABO) liggen, mits D\' op A B\'
O en overigens D\' willekeurig, mits op OD\' ligt.

b) Duhbclprojccteerend vlak.

Een dubbel projecteerend vlak is natuurlijk een vlak,
dat gaat door de beide projectiecentra. Feitelijk is een

32

dergelijk vlak reeds bepaald door een enkel punt. We
willen ons evenwel houden aan de afspraak om elk
vlak te bepalen door 3 willekeurige punten, Zijn A,
B en ö deze 3 willekeurige punten, dan liggen blijk-
baar de 6 projecties A, B\\ G\\ A\', B\' en C\' alle
op eene rechte lijn door O.

Wanneer dus een vlak gegeven is door 3 willekeu-
rige punten, zoodanig, dat zoowel de drie 1® als de
drie 2® projecties liggen op dezelfde lijn door O, dan
hebben we te maken met een dubbelprojecteerend
vlak, waarvan bovengenoemde lijn de doorgang is.

Om een ander punt in dit vlak aan te nemen hebben
we maar te zorgen, dat de beide projecties liggen op
bovengenoemde lijn; overigens zijn deze projecties geheel
willekeurig te kiezen.

c) Verdwijnvlakken.

Verdwijnvlakken zijn ook projecteerende vlakken;
het 1® verdwijnvlak is 1® projecteerend en het 2" is
2® projecteerend vlak.

Voor het eerste verdwijnvlak bepaald door 3 punten
A, B en C, vallen A, B\' en C\' op de lijn in het
oneindige, die dus is op te vatten als doorgang van
het vlak; A\\ B\' en C\' zijn weer ^ de hoekpunten van
een driehoek.

Derhalve:

Wordt een vlak gegeven door 3 willekeurige punten

33

A, B en O, terwijl van deze punten A\', B\' en O in
het oneindige vallen, dan hebben we te maken met
het 1\' verdwijn vlak.

Wordt een vlak gegeven door 3 willekeurige punten
L, M en N, terwijl van deze punten L\\ W en IT in
het oneindige vallen, dan hebben we te maken met
het 2\' verdwijnvlak.

a) Bepaling van de snijlijn van twee overecn^cms^e Elementaire
projecteerende vlakken. Constructies.

Zijn bijv. twee 1* projecteerende vlakken gegeven
door de punten A, B, 0 en J), B, F, dan is de
snijlijn s eene 1\' projecteerende lijn, waarvan dus de
] ® projectie samenvalt met het doorgangspunt S. Dit punt
5 is blijkbaar het snijpunt van de rechte lijnen A\'B\'C\' en
DB F\', de doorgangen der 2 vlakken. Derhalve s\' = S
en 8 = SO.

b) Bepaling van het snijpunt van eene willekeurige
lijn met een projecteercnd vlak.

Hierbij wordt gebruik gemaakt van bovenstaande
methode. Om bijv. het snijpunt te bepalen van eeno
lijn l met een 1\' projecteerend vlak {ABC), brengen
we door l ook het 1® projecteerend vlak aan. Noemen
we de snijlijn van deze beide vlakken s, dan is het

34

gezochte snijpunt tevens het snijpunt van s en ? en
dus gemakkehjk te bepalen. Noemen we dit snijpunt X.

Blijkbaar is A\'B\'C\' de doorgang van het gegeven
vlak, terwijl l\' de doorgang is van het 1® projectee-
rend vlak van 1. Het snijpunt van A\'B\'C\' en l\' is
dus blijkbaar het doorgangspunt S van de snijlijn s,
tevens s\', terwijl s\' = SO. Het snijpunt van s\' en 1\' is
X", terwijl T = S.

De oplossing wordt korter, wanneer we aldus rede-
neeren : Als punt van het gegeven vlak moet X\' liggen
op A\'B\'C\'; als punt van l moet het liggen op l\'. Der-
halve X" is het snijpunt van A\'B\'C en t. X" moet
liggen op l\' en volgens de grondeigenschap op OX\' \\
X\' is dus het snijpunt van deze 2 lijnen.

e) Bepaling van het snijpunt van eene willekeurige
lijn met een willekeurig vlak.

Reeds in de gewone orthogonale beschrijvende meet-
kunde is ons de weg gewezen om het snijpunt te
bepalen van eene lijn l met een vlak, gegeven door
3 niet op eene rechte lijn gelegen punten A, B en
O of door de 3 lijnen AB, BC en AC. Hiertoe brachten
we door l een willekeurig vlak (bij voorkeur een der
projecteerende vlakken) en bepaalden het snijpunt van
dit vlak met 2 der gegeven lijnen, bijv. met AB en
BC. Noemen we deze snijpunten L en M, dan ligt
blijkbaar LM zoowel in het gegeven vlak als in het

35

aangebrachte projecteerend vlak. De lijn l moet dus
LM snijden en dit snijpunt is blijkbaar meteen het
snijpunt van l met het oorspronkelijke vlak (ABC).

We kunnen dezelfde methode toepassen bij onze
wijze van projecteeren; immers we stuiten op dit drietal
bekende constructies:

1°. door een lijn een projecteerend vlak aanbrengen
of althans den doorgang van dit vlak opsporen.

2°. het snijpunt bepalen van eene gegeven lijn met
dit projecteerend vlak. (2 maal).

3®. het snijpunt van 2 lijnen opzoeken.

Zij het vlak gegeven door de 3 punten A, B en C
of door de lijnen AB, BC en AC ; de lijn Z door T en
r. Denken we nu door l het 1® projecteerend vlak,
dan is 1\' de doorgang van dit vlak. Bepalen we nu
eerst het snijpunt L van AB met dit vlak. Blijkbaar
is L = snijpunt van l\' met A\'B\' en ligt L\' op A\'R en
op de lijn OL\'. Evenzoo vinden we eerst M\' en daarna
M\'. De 2® projectie vau het gezochte snijpunt X is
nu het snijpunt van L\'M\' met l\'. Daar X" nu bekend
is en X een punt is van l, is X het snijpunt van
l\' met Oir.

We zijn nu theoretisch ook in staat, om wanneer BcpnliuK van
beide vlakken gegeven zijn door drie willekeurige
punten, van deze beide vlakken do snijlijn op te sporen.
Is namelijk het eene vlak gegeven door de 3 punten
A, B an C en het andore vlak door D, JE en F,
dan bepalen we bijv. het snijpunt X van AB met

36

het vlak {DEF) en het snijpunt Y van BC met
{DEF). Het punt X ligt blijkbaar in beide vlakken,
het punt Y eveneens, dus XY is de snijlijn van de
2 vlakken. In de praktijk in de constructie evenwel
vrij ingewikkeld.

Veel gemakkelijker wordt de constructie, wanneer
één der vlakken projecteerend is. Immers is het
willekeurige vlak gegeven door de 3 punten A, B en
C en het 1\' projecteerende vlak door D, E en F
[D\' E\' F\' liggen op ééne rechte), dan is de 1\' projectie
van het snijpunt X van AB met vlak [DEF) het
snijpunt van AB\' met D\'EF\'; X\' vinden we dan op
A\' B door middel van OX. Op analoge wijze krijgen
we Y en Y". XY is dan de gevraagde snijlijn.

We hebben tot nu toe een vlak steeds aangegeven
Bepaling van 3 willekeurige, niet op eene rechte lijn gelegen
een vlak door punten. Denken we ons 2 van deze punten verbonden
zqudoorgang Jqqj. gg^^ rechte lijn, dan is het duidelijk, dat het

keurig punt ^^^^ rechte lijn en het overblijvende punt

ook volkomen bepaald is.

•Nu is eene bepaalde lijn van het vlak reeds her-
haaldelijk in onze beschouwingen binnengeslopen, eene
lijn, die ten opzichte van ons projectiesysteem een zeer
bijzondere rol speelt, nl. de snijlijn van het vlak met
het tafereel, of wel de doorgang van het vlak.

We zullen in de volgende beschouwingen een wille-
keurig vlak « aangeven door zijn doorgang Hx en voor-
loopig nog door een willekeurig punt P van het vlak.

37

Ook de projecteerende vlakken zullen we op deze
wijze aangeven; voor een 1\' projecteerend vlak valt
P\' in den doorgang; voor een 2\' projecteerend vlak
valt de 2\' projectie van het punt in den doorgang.

Onderstellen we, dat het vlak « gegeven is door (s«, Bepaling van
P). Het is duidelijk, dat elke lijn door P, die zijn P^®^
doorgangspunt heeft op Sx, eene lijn van het vlak a
is. Hierdoor zijn we in staat om een willekeurig punt
in a aan te nemen, of X" te vinden als JT bekend is
terwijl X moet liggen in het vlak a.

Immers XP\' moet de 1\' projectie voorstellen van
eene lijn van «. Het doorgangspunt van deze lijn is
het snijpunt van X\'F met s»; noemen we dit punt
S, dan is SP\' de 2® projectie van die lijn. Hierop
wordt nu X\' gevonden door middel van de lijn OX\'.

Het is duidelijk, dat, wanneer een vlak gegeven is
door 3 punten A, B en C, we gemakkelijk den
doorgang van het vlak kunnen opsporen door de
doorgangspunten van 2 lijnen, bijv. AB en BC te ver-
binden. We kunnen dus gemakkelijk van de oude
wijze van bepaling op de nieuwe overgaan.

Omgekeerd, wanneer een vlak gegeven is door zijn
doorgang en een punt P, kunnen we volgens het
bovenstaande gemakkelijk 2 nieuwe punten van het
vlak construeeren; immers elke lijn door P die zijn
doorgangspunt op 5« heeft, is eene lijn van het vlak;
hierop is gemakkelijk een punt aan te nemen. We kunnen

38

dus ook van de nieuwe methode op de oude overgaan.

We komen dus tot deze conclusies\'.

1°. Een vlak gaat door eene lijn, wanneer de
doorgang van het vlak gaat door het doorgangspunt
van de lijn, en het bovendien nog een punt met de
lijn gemeen heeft.

2°, Eene lijn ligt in een vlak, wanneer haar
doorgangspunt ligt in den doorgang van het vlak en
de lijn bovendien nog een punt met het vlak gemeen
heeft.

Eenvoudige De eerste conclusie geeft ons het middel aan de
CoHstructies. ^^^^ ^^ volgende constructies:

a) JEen vlak ie brengen door eene gegeveji lijn.

Is Si het doorgangpunt van de gegeven lijn l, dan
kunnen we op deze lijn gemakkelijk een willekeurig
punt aannemen, bedenkende, dat P\' en P\' moeten
liggen op eene lijn door O. Elk vlak «, dat als door-
gang Sx heeft eene lijn door en bovendien door P
gaat, voldoet aan de vraag. Er zijn dus vele vlakken
te construeeren.

b) Een vlak tc brengen door twee elkaar
snijdende lijnen.

Zijn de doorgangspunten van de twee gegeven elkaar

39

snijdende lijnen S, en dan is de doorgang 5« van
het gevraagde vlak a blijkbaar de verbindingslijn
van Si en S^. Voor het punt P, dat verder moet
dienen ter bepaling van « kunnen we blijkbaar elk
punt van eene der lijnen kiezen, bijv. het snijpunt der
beide lijnen. Het vlak is dan bepaald door {sx,PP\').

c) Een vlak te brengen door 2 evenwijdige lijnen.

Zijn de gegeven lijnen l en m, dan merkten we
reeds vroeger op dat W/ E W^ en T7,\' = W^\'. De
doorgang s» is weer de verbindingslijn van de door-
gangspunten S, en S^ der beide lijnen. Voor het
punt, dat nader ter bepaling van « kan dienen, nemen we
een willekeurig punt van eene der lijnen, bijv. W,.
Het vlak « is dan bepaald door Sa, Wl W,\'.

d) Een vlak ie brengen door eene lijn en een puni.

Is de lijn l gegeven door l\' en 1\' en het punt P
door P\' en P\', dan trekken we door P eene lijn m,
die l snijdt. Hiermee is het vraagstuk tot een der
vorige teruggebracht.

e) J^en vlak ie brengen door 3 puniai J3 en C.

We brengen een vlak door de elkaar snijdende
lijnen AB en BC.

40

Van meer gewicht is de constructie die volgt uit de
2® conclusie, nl,: het bepalen van de snijlijn van 2
vlakken. We zullen beginnen met het meest eenvoudige
geval:

a) De snijlijn te bepalen van 2 projecteerende vlakken,
gaande door hetzelfde centrum.

Zijn de beide projecteerende vlakken « en j? respec-
tievelijk gegeven door s« en P\'P\' (P\' in Sa.) en sp en
QQ (Q IQ sp). De snijlijn der beide vlakken is na-
tuurlijk eene 1® projecteerende lijn, zoodat Z" = S/, het
snijpunt van 5« en 5j3, en l" = S/ O.

b) De snijlijn te bepalen van 2 mllekeurige vlakken.

Blijkbaar is ook hier het doorgangspunt van de
snijlijn bekend. De moeilijkheid is, nog een punt van
de snijlijn te vinden; hiertoe moeten we zorgen in elk
der beide vlakken, bijv. door de gegeven punten, respec-
tievelijk 2 lijnen te trekken, die elkaar snijden en dan
het snijpunt van deze lijnen te bepalen.

Zij het vlak gegeven door P\'P" en het vlak
(? door sp, Q\'Q\'. We kunnen dan in elk geval in het
vlak a eene lijn aannemen door het punt^P. Noemen
we deze lijn l. De moeilijkheid is nu, om in j? door
Q eene lijn te trekken, die l snijdt. Deze lijn moet

41

stellig liggen in het vlak door l en Q. De doorgang
van dit vlak y is gemakkelijk te construeeren; hiertoe
trekken we door Q eene willekeurige lijn p, die l
snijdt (bijv. in P); Sy gaat nu door S, en Sp. De ge-
zochte lijn m moet nu liggen in en / en bovendien
gaan door Q. Van de lijn m is dus bekend S^ (het
snijpunt van 5/3 en Sy) en bovendien het punt Q.
Hiermee is dus m volkomen bepaald. Het snijpunt
X van ^ en m is nu het gezochte tweede punt van
de snijlijn der beide vlakken. Noemen we deze snijlijn
X, dan is S^ het snijpunt van Sx en s/3; x\' = S^X\' en

Feitelijk behoeven we bij de constructie alleen m\' op
te sporen en kunnen we m\' missen, daar X" op V te
vinden is door middel van het punt O. Bij gebruik
van de beide projecties hebben we natuurlijk hetcon-
trólemiddel, dat O, A" en A" op ééne rechte lijn moeten
liggen.

Het spreekt van zelf, dat we voor de willekeurige
lijn in a door P eene lijn f j Sx kunnen kiezen; dan
wordt natuurlijk l jj T en komt S, in het oneindige
op Sx.

Blijkbaar hebben we hier gebruik gemaakt van de
2 snijlijnen van een willekeurig vlak y (door P en Q)
met de vlakken « en ji. Veel eenvoudiger wordt de
constructie, als we in plaats van een willekeurig vlak
een der projecteerende vlakken door P en Q nemen.
Is het vlak « weer gegeven door s«, P\'P en ji door

42

Q\'Q\', dan brengen we bijv. het 2® projecteerend
vlak door P en Q aan, zoodat s^ = P\'Q\'-

Noemen we nu de snijlijn van •/ en a l, dan is S;
bekend en bovendien weten we dat l moet gaan door P;
derhalve l = SiP, terwijl 1\' = Sx. Volkomen op de-
zelfde manier bepalen we de snijlijn m van ^ en y;
Wl\' = S^Q\', terwijl m" = s/3.

Noemen we het gezochte 2® punt van de snijlijn
van a en ^ weer X, dan is A" het snijpunt van f en
m\', terwijl de lijn OX ons helpt om X" op P\'Q\' te
vinden. Noemen we de gezochte snijlijn weer x, dan
is Sj. het suijpunt van Sx en s^, terwijl x\'= Sj.X
en x\' = SrX\'.

c) De snijlijn te hepalen van een willekeurig vlak
rnet em projecteerend vlak.

In dit geval is het, zooals zal blijken, van weinig
gewicht, welke der 2 methoden we volgen.

Is het willekeurige vlak gegeven door Sx, PP\' en het
projecteerend vlak (bijv. een 2® projecteerend) door s^,
Q O\' {Q\' in S(3), dan kunnen we in « door P weer eene wil-
lekeurige lijn trekken, bijv. l// s». Daar/Ï een 2® projec-
teerend vlak is zal elke 2® projecteeren de lijn, die haar
doorgangspunt op sp heeft in liggen. We trekken dus
in S eene 2® projecteerende lijn m, die de lijn ^snijdt;
daar m\' = dus een punt is, zal S^ het snijpunt
zijn van f met ap, terwijl m\' = S^O. X valt dus

43

blijkbaar ook in S,„. X vinden we op l door middel
van OX. Sj; ia weer het snijpunt vau Sx en s^;
as\' = SjX\' en x\' = S^. = e^.

De projecties van de lijn kunnen we feitelijk missen;
immers, is X het snijpunt van l en m, dan moet X" in
de eerste plaats liggen op 1\', maar bovendien op
omdat I? projecteerend vlak is. X is dua het snijpunt
van r met s^; X op I\' is dus ook bepaald.

De andere methode wordt: Breng door P en Q een
2® projecteerend vlak dus Sy = P\'Q\'. We bepalen
de snijlijn l van « en ; Sf is het snijpunt van Sx en
s^( en bovendien gaat l door P; de snijlijn van en
/ is een 2\' projecteerende lijn m; m\' = is het
snijpunt van 5/3 en Sy, terwijl m\' = S^O. X is het
snijpunt van l en m\', terwijl A" = S,„. Hiermee is de
gezochte snijlijn x bepaald; x\' = S^-X en x" =
S^\' = s^.

Een probleem, dat zich bij het vorige onmiddellijk
aansluit, is:

d) Het snijpunt te bepalen van eene lijn niei een vlak,
gegeven door zijn doorgang cn een loillekeurig
puni van hei vlak.

Beschouwen we eerst de steroometrische oplossing:
We brengen door de gegeven lijn l een willekeurig

44

vlak, bijv. een der projecteerende vlakken (de con-
structie wordt hierdoor eenvoudigerj, en bepalen de
snijlijn s van dit projecteerende vlak met het gegeven
vlak cc. Het snijpunt van Z en s is tevens het snijpunt
van l met «.

We onderscheiden deze 2 bijzondere gevallen:

1®. Het gegeven vlak « is zelf projecteerend.

Zij a bijv. 1\' projecteerend vlak, gegeven door
Sx, Q\'Q\' (Q\' in Sx) en l door Z\' en Z\'. We brengen
door Z ook het 1® projecteerend vlak dus sp = Z\'. De
snijlijn s is blijkbaar ook 1® projecteerende lijn, dus
s\' = S, is het snijpunt van s« en sp en s\' = S^O.
Het snijpunt van s en Z is nu het gezochte punt X.

Of anders: De 1® projectie van het snijpunt van Z
met a, zal moeten liggen op Z\', en omdat « 1® pro-
jecteerend vlak is, ook op s». A" is dus bepaald als
snijpunt van Z" en s«; X\' vinden we op Z\' door raiddel
van de lijn OX\'.

2°. Het gegeven vlak u is willekeurig.

Zij a gegeven door s«, P\'P\' en Z door Z\' en Z\'. We
brengen weer door Z bijv. het 1® projecteerend vlak
(5, zoodat 5/3 = Z\'. De vraag is dus nu in de eerste
plaats de snijlijn van « en te bepalen. Hiertoe
brengen we door P ook een 1® projecteerend vlak
y en bepalen de snijlijn van « en en van ^ en y.
Kiezen we voor / een zoodanig projecteerend vlak,
dat «y door P evenwijdig loopt met Sx, dan gaat de
snijlijn m van « en / door P en de projecties loopen

45

// Sx. De snijlijn p van en y is een 1® projec-
teerende lijn.

Van de snijlijn s van « en |5 is nu bekend het
doorgangspunt S^ en bovendien nog een 2® punt L,
namelijk het snijpunt van m en p» De lijn s is dus
volkomen bepaald en derhalve ook het gezochte punt
als snijpunt van l en 5.

Het spreekt van zelf, dat we een vlak ook kunnen
bepalen door 2 elkaar snijdende of evenwijdige lijnen,
terwijl we voor één dezer lijnen kunuen kiezen den
doorgang van het vlak met het tafereel. Deze bepaling
van het vlak verschilt evenwel in wezen niet van de
voorafgaande; immers we kunnen onmiddellijk op
de lijn een punt aannemen en we hebben het vorige
geval terug.

Do eenige manier om een nog meer bijzondere be-
palingswijze te krijgen, is: We kiezen voor het P^\'^t\'\'^ü
óf de lijn een bijzonder punt óf een bijzondere lijn.j^anj? en een
Het ligt voor de hand om voor dit punt een punt in der verdwijn,
een der verdwijnvlakken te kiezen ; hiermee correspon-
deert, dat we voor de lijn kiezen eene lijn, gelegen
in één der verdwijnvlakken, dus de snijlijn van het
vlak met een der beide verdwijnvlakken. Blijkbaar
loopen beide verdwijnlijnen evenwijdig met den door-
gang en ia dit dus eveneens met hare projecties het
geval; de 1\' projectie van de 1\' verdwijnlijn valt in

46

het oneindige; de 2® projectie van de 2° verdwijnlijn
eveneens,

We zullen dus bij de volgende beschouwingen een
vlak aangeven door zijn doorgang en de -projectie
van de 1\' verdwijnlijn óf door zijn doorgang en de
projectie van de 2\' verdwijnlijn. Daar deze projecties
toch evenwijdig loopen met den doorgang, spreekt het
vanzelf, dat de projecties van een enkel punt van de
verdwijnlijn voldoende zijn.

Wij komen nu weer tot de volgende conclusies\'.

1°. De voorwaarde, dat een vlak gaat door eene
lijn is, dat de doorgang van het vlak gaat door het
doorgangspunt van de lijn en de verdwijnlijn van het
vlak door het overeenkomstige verdwijnpunt van de lijn.

2°. De voorwaarde, dat eene lijn ligt in een vlak
is, dat zoowel het doorgangspunt van de lijn in den
doorgang van het vlak ligt, als ook het verdwijnpunt
op de overeenkomstige verdwijnlijn van het vlak.

Elementaire In de eerste conclusie liggen de volgende problemen

Constructies: ^pgggl^ten:

a) Eeii vlak a door eene gegeven lijn l te brengen.

Zij de lijn gegeven door l eu h, dan is Si het snij-
punt van l\' en l\'. We vinden R\'i door uit O eene lijn
te trekken // l\'. Er zijn oneindig veel vlakken, die
aan de vraag voldoen. Trekken we eene willekeurige

47

lijn door en eene daarmee evenwijdige door R\'i,
dan stellen deze twee lijnen Sx en tx\' respectievelijk
den doorgang en de 2® projectie van de 1\' verdwijnlijn
Tx voor van een vlak «, dat aan de vraag voldoet.

Bijzondere vlakken door l zijn de projecteerende
vlakken. Van het 1® projecteerend vlak j? is 5/3 = l\\
terwijl/^ // gaat door O. Van het 2® projecteerend
vlak y is «Y = l\', terwijl r\\ = s^.

b) Een vlak te brengen door 2 elkaar snijdende
of door 2 evenwijdige lijnen.

Zijn de lijnen Z en m gegeven door hare projecties
l\\ r en m\', m". We zoeken de doorgangspunten en
S^ en nu bijv. de 2® verdwijnpunten, of liever de
1® projecties hiervan Tl en T„l. De verbindingslijn
van S,„ en in de doorgang Sx van het vlak « en
de verbindingslijn van Tl en de 1® projectie van
de 2® verdwijnlijn ix van «. Feitelijk is do bepaling
van Tl reeds voldoende.

c) Een vlak tc brengen door eene lijn l en een punt P.

We trekken door P eene lijn m, die l snijdt, door
gebruik te maken van do bekende voorwaarde voor
snijdende lijnen en wo hebben het vraagstuk terugge-
bracbt tot het vorige.

48

d) Een vlak te brengen door 3 willekewnge punten.

Dit wordt ook tot het 2® vraagstuk teruggebi-acht.

De 2® conclusie stelt ons in staat, om behalve de
voor de handliggende gevallen, als: een lijn in een
vlak aan te nemen, of een punt in een vlak te con-
strueeren, de volgende problemen op te lossen:

a) Onderzoek, of een punt P ligt %n een vlak «.

Is het punt gegeven door P\' en P\' en het vlak
door Sx en r«\'. We trekken door P eene lijn l, zoo-
danig dat haar doorgangspunt ligt op 5«, dan is
1= SP\' en r= SiP ". Ligt nu P in «, dan heeft de lijn Z
2 punten met « gemeen, nl. Si en P; dan moet dus
Pi\' liggen op ra\'.

Ligt P niet in dan heeft l slechts één punt met a
gemeen, ligt dus niet in « en dus Pf niet op r«\'.

We zoeken dus van l op Pi\' door middel van
het bekende parallelogram. Alleen wanneer P,\' ligt
op Tx\', ligt Z in «en dus P in

b) De snijlijn van 2 vlakken a en ^ te bepalen.

Zijn de vlakken gegeven door Sx en rx\' en «p en
«p\'. Noemen we de snijlijn l, dan is 8i het snijpunt

49

van Sx en sp en R\'i het snijpunt van r«\' en rp\'. Der-
halve r = SiBi terwijl 1\' gaat door S, en evenwijdig
loopt met ORi\'.

c) Het snijpunt van eene lijn l met een vlak a
te bepalen.

Is de lijn gegeven door l\', 1\' en het vlak door s« en
Tx. Om het snijpunt van l met « te bepalen, brengen
we door l een willekeurig vlak, bijv. één der projec-
teerende vlakken en bepalen de snijlijn m van « en
Is (i bijv. 1® projecteerend vlak, dan is sp = T en
rp\' // sp door O. en zijn dus bepaald;

m\' = S^ B^\' en m\' = l\'.

Het snijpunt van 1\' en m" is X\' en op l\' vinden
we door middel van OX\' het punt A", wanneer X is
het gezochte snijpunt is.

HOOFDSTUK H.

lletrisclie Betrekkingen.

Bepaling van a) Bepaling van de plaats van een punt P, gegeven
de ligging

zijne projecties F en P\', ten opzichte van het
punten, henevens de bepaling van de afstanden van

P tot de projecties P\' en F of tot de projectiecentra
O, en Oj.

Uit de beschouwing van eene stereometrische figuur
blijkt ons, dat het voetpunt van de loodlijn uit P op
het projectievlak neergelaten, onmiddellijk in de con-
structiefiguur is aan te wijzen. Zijn O, en O, de pro-
jectiecentra, Ö, en Öj de middelpunten der distantie-
cirkels, P\' en P\' de projecties van P, dan is dit voet-
punt blijkbaar het snijpunt P van 0,P\' en Ü^P\'.
Immers de vlakken 0,Üi P P en 0^0 ^PF staan beide
loodrecht op het projectievlak, dus ook hun snijlijn PP.
De lengte van die loodlijn vinden we gemakkelijk
door bijv. vlak T5,P\'0, om IT,P in het projectievlak
neer te slaan en in F eene loodlijn op V^P\' op te
richten. Tegelijkertijd vinden we de afstanden PP
en OiP.

De lengte van PV hadden we ook kunnen vinden

51

door driehoek neer te slaan; we vinden dan

tevens de afstanden P\'P en 0,P.

Er zijn nog andere methoden om de ligging van
een punt ten opzichte van het projectievlak te bepalen;
we willen ons evenwel voorloopig tot deze beperken,
omdat de andere bij het neerslaan van vlakken van
zelf ter sprake komen.

b) Den afstand te hepalm van 2 punten die op
eenzelfde projecteerende lijn liggen.

Zijn de punten P en Q bijv. gelegen op de 1® pro-
jecteerende lijn l, dan kunnen we het orthogonaal
projecteerend vlak van l met de lijn l neerslaan om
Ü",P\'. De ligging van de neergeslagen punten P„ en
Q„ op bepalen we nu gemakkelijk door de in de
vorige opgave reeds toegepaste eigenschap, dat PF\' en
QQ loodrecht staan op het projectievlak. De afstand
P„(2„ is de gevraagde.

c) Den afstand te bepalen van 2 mllekeurige
punten P en Q.

Om den afstand te bepalen van twee willekeurige
punten P en gegeven door P\', P\' en Q\', Q\' zullen
we driehoek P\'QO^ neerslaan in het tafereel om de
lijn PQ; de punten P\' en Q blijven dus op hun plaats.

52

Het punt Oi beschrijft een cirkel in een vlak J_ P Q,
waarvan de straal gelijk is aan de loodlijn OjZf uit Oj
op F\'Q\' neergelaten. Het neergeslagen punt Oi komt
dus neer op de lijn Ö^Z/ P\'Q, op een afstand van
L, gelijk aan OjX, d. w. z. gelijk aan de hypothenusa
van een rechthoekigen driehoek, waarvan D^L en de
straal van den 1\' distantiecirkel de rechthoekszijden
zijn.

Door afzonderiijke constructie bepalen we volgens (a)
den afstand P\'P en passen dezen afstand van uit P\' op
de neergeslagen zijde P uit. Hierna is P„ gevonden.

Het punt vinden we nu door de eigenschap,
dat P\'Q\', P\'Q, PQ, en dus ook alle moeten gaan
door één enkel punt, namelijk het doorgangspunt van
de lijn PQ.

Neerslaan "Wat we in de vorige opgave hebben gedaan, komt
van Tlalcken. neer op het neerslaan van een projecteerend

vlak. We hebben namelijk met dit vlak een paar
1\' projecteerende lijnen neergeslagen en toen door een
kunstgreep de neergeslagen punten P en Q van elk
dier lijnen bepaald. We willen nu trachten dit neer-
slaan meer methodisch in te richten.

a) Het neerslaan van een \'projecteerend vlak.

Beschouwen we bijv. het 1\' projecteerend vlak «,
gegeven door zijn doorgang Sx en de 2\' projectie van

53

de 1\' verdwijnlijn r\'«. We willen dit vlak neerslaan
om Sz, die dus bij dit proces op zijn plaats blijft; we
hebben dus slechts na te gaan, waar het neergeslagen
punt O, komt te liggen, terwijl dan de neergeslagen
1® verdwijnlijn door (OJ^ gaat en evenwijdig is aan Sx.

We krijgen dus de volgende figuur: Het punt O,
beschrijft een cirkel met straal gelijk aan de loodlijn
uit Oj op Sx neergelaten, terwijl het voetpunt L van
die loodlijn middelpunt is; het vlak van dien cirkel
staat loodrecht op Sx. Daar C),i J_ Sx , komt (Oi)„ te
liggen op V^L, zoodanig dat (0,)„Z( = O^L, dus gelijk
aan de hypothenusa van een rechthoekigen driehoek,
waarvan en 0,Ü, (of de straal van den 1\' dis-

tantiecirkel) de rechthoekszijden zijn.

In de constructiefiguur laten we dus uit O, op 5«
eene loodlyn Ü^L neer; we trekken vervolgens in (Ji
J_ 0,Z» den straal van den distanliecirkel en
cirkelen vervolgens LE om, tot we een snijpunt vinden
met LJ^y. Het zoo verkregen punt is (0,)„. Eene lijn
door (0,)„ // Sx stelt nu de neergeslagen 1\'verdwijn-
lijn voor.

Eene projectecrcndc lijn l door O, in het vlak «
gelegen, is nu onmiddellijk in neergeslagen toestand te
teekenen. Het doorgangspunt /S\', blijft op zijn plaats;
een tweede punt O, van de lijn kennen we ook in
neergeslagen toestand, dus (0,)„ /S\', is de neergeslagen
lijn l„. ,

54

Wanneer we eene willeheurige lijn m van het
projecteerend vlak in neergeslagen toestand willen
teekenen, dan blijft bij de wenteling om s» natuurlijk
op zijn plaats. Kennen we nog slechts één enkel
punt van de lijn in neergeslagen toestand, dan is
volkomen bepaald. Om dit 2® neergeslagen punt P te
vinden, trekken we door P eene 1® projecteerende
lijn; deze lijn nu is met het vlak « gemakkelijk neer
te slaan en hierop volgens boven aangegeven methode
het punt te bepalen; hiermee zijn dus 2 punten
van de lijn m in neergeslagen toestand gevonden en
is dus bepaald.

We zullen evenwel trachten eene andere methode
te vinden, om eene willekeurige lijn m van een pro-
jecteerend vlak in neergeslagen toestand te teekenen.
Omgekeerd zijn we dan in staat, een punt beschou-
wende als het snijpunt van eene projecteerende en van
eene willekeurige lijn, ook het punt in neergeslagen
toestand te vinden.

Is het vlak « gegeven door s« en r»" // 5« door
O en de willekeurige lijn m van dit vlak door S^qvl
Pn\'. lïi plaats van na te gaan, waar een willekeurig
punt P van deze lijn na de wenteling terecht komt,
zullen we hiervoor kiezen het 1" verdwijnpunt P^-
Dit punt komt in de eerste plaats natuuriijk op do
neergeslagen verdwijnlijn (ra)„ van het projecteerend
vlak.

Verder hebben we vroeger afgeleid = W^t
dus ook in neergeslagen toestand:

55

(0,)„ = . (1)

terwijl we tevens opmerken, dat (RJ„ juist aan den
anderen kant van (0,)„ komt te liggen als W\' van
Sm- Het punt W\' is gemakkelijk te vinden uit de
ook reeds vroeger afgeleide betrekking:

(2)

Daar T^\' onmiddellijk te construeeren is uit het
parallelogram OJR^\'S^T^ zijn van de bovenstaande
evenredigheid de eerste 3 termen bekend en vinden
we Wfn\' door de bekende constructie van de 4® even-
redige.

Vervolgens zetten we op (ra)„ van uit (0,)„ een
stuk uit gelijk aan goed op de richting let-

tende, en hiermee is het punt {Hjn gevonden.

Blijkbaar ia nu ook bekend; immers 7n„ =

Het spreekt vanzelf, dat we deze methode kunnen
gebruiken om te bepalen waar een willekeurig punt
van een vlak terecht komt, wanneer men dit vlak om
zijn doorgang\'in het tafereel neeralaat. Denken we ona
namelijk door dit punt eene willekeurige lijn en de
overeenkomstig projecteerende lijn getrokken, dan kunnen
we het projecteerend vlak met deze lijnen neerslaan;
het snijpunt der neergeslagen lijnen ia het neerge-
slagen punt.

Een bijzonder voorbeeld van een projecteerend vlak
is een dubbel-projecUercnd vlak. Om de plaats te be-

66

palen van een punt van dit vlak, wanneer dit vlak
om zijn doorgang wordt neergeslagen, beschouwen we
dit punt als snijpunt van de beide projecteerende
lijnen 0,P en

Zij a het gegeven dubbel-projecteerend vlak bepaald
door Sz, terwijl = r«\' = tx\'. Voor een willekeurig
punt P van dit vlak valt zoowel P\' als P\' op Sa,
terwijl Sx natuurlijk gaat door O. Trekken we nu door
P de 1\' projecteerende lijn l en de 2® projecteerende
lijn m, dan is blijkbaar l\' = Si = P\' en m\' = = P\',
terwijl r = m\' = Sx. Bij de wenteling van « om Sx
blijven Si en S^ op hun plaats; daar l door O, en
m door O, gaat, zoeken we op de gewone wijze (0,)„
en dan is l, = Si{0,), en m„ = Het

snijpunt van l„ en m„ is nu

Tegelijkertijd vinden we op deze manier den afstand
P tot O, en P\\ en tot O, en P\' en bovendien tot
O. Om de plaats van een willekeurig punt P te be-
palen, kunnen we dus door P, 0^ en O, het dubbel
projecteerend vlak « aanbrengen en dit vlak om zijn
doorgang Sx = POP\' neerslaan.

Beschouwen we in dezen geest de reeds vroeger
besproken opgave:

Den afstand ie bepalen van 2 wilhkeurige punien.
P en Q.

Hiertoe brengen wo door P en Q een der projec-
teerende vlakken, bijv. het 1\' projecteerend vlak a.
Blijkbaar gaat Sx door P\' en Q en r«\' // Sx door O.

57

Noemen we de 1® projecteerende lijnen van P en Q
respectievelijk p en q en de lijn PQ =1, dan zullen
we achtereenvolgens p„, q^ en bepalen. De lijnen
en vinden we onmiddellijk door het neergeslagen
punt (0,)„ te bepalen, terwijl S^ = F en = Q\'.
De lijn 1„ is bepaald, wanneer bekend is; dit

laatste punt vinden we door de betrekking W =
(0,)„. Nu is S, Blijkbaar is P„ het snij-
punt van en p^ en het snijpunt van en q^.

PnQn 13 nu de gevraagde afstand der punten P en Q.

Ook hier hebben we blijkbaar gebruik gemaakt van
de eigenschap, dat P\'Q, P\'Q\', PQ en dus ook P„Q^
alle door één zelfde punt gaan.

Alleen treedt hier duidelijker de meetkundige be-
teekenis van dit punt op den voorgrond, nl. als door-
gangspunt van de lijn l = PQ.

Het is duidelijk, dat deze methode van het neerslaan
van projecteerende vlakken niet alleen dienst kan doen
om den afstand van 2 punten to bepalen. We kunnen
ons hiervan bedienen, om omgekeerd, wanneer van 2
punten gegeven is de afstand, do beide projecties van
het eene punt, en bijv. alleen de 1\' projectie van het
andere punt, hieruit de 2\' projectie van dat pnnt te
vinden.

Maar ook andere problemen kunnen we oplossen;
we kunnen den hoek bepalen tusschen 2 lijnen, die
in hetzelfde projecteerend vlak gelegen zijn, en omge-
keerd, wanneer de hoek tusschen 2 lijnen bekend is,

58

en verder het vlak dier lijnen en bijv. de projecties
van één der lijnen, de projecties van de 2\' lijn opsporen.
We kunnen de oppervlakte berekenen van vlakke
figuren, mits deze gelegen zijn in één der projecteerende
vlakken, enz, enz.

Laten we als eenvoudig voorbeeld eens het oppervlak
bepalen van een driehoek ABC, gelegen in hei 1\'
projecteerende vlak «, gegeven door Sx en rx\' // Sx
door O.

Blijkbaar liggen A\', B\' en C\' op Sx, terwijl A\',
B\' en C willekeurig kunnen worden aangenomen, mita
voldoende aan de voorwaarde ten opzichte van O. We
zullen de zijden van den driehoek op de gewone wijze
voorstellen door a, b en c. Daar bij het neerslaan de
projecteerende lijnen een groot gemak opleveren, zullen
we in onze beschouwing de 3 projecteerende lijnen van
A, B en C invoeren, en deze respectievelijk door p,
qenr voorstellen, zoodat S^ = A\\ S^ = B\' en C\'.

We beginnen met (0,)„ en (ra)„ te bepalen. Nu is

= S,, E (0,)„ en r„ E (0,)„ S,. Om
nu de punten i?„ en te vinden, beschouwen we
jB. en C als snijpunten van BC E a met q en r. We
bepalen a„ op de gewone wijze; nu is J5„ het snijpunt
van a„ en C„ het snijpunt van a„ en r„. Verder
beschouwen we A^ als snijpunt van en b„ E (^C)„.
Van b„ kennen we Sj en C„, dus b„ is bepaald, der-
halve ook. A^ C„ is nu de met het vlak «
neergeslagen driehoek, geeft ons dus tevens het
oppervlak van A ABC.

59

Als contrólemiddel middel moet gaan door

het doorgangspunt van AB, d. w. z. door het snijpunt
van A\'B\' = «« en A\'B\'.

Onder de lijnen van een vlak nemen die, evenwijdig
met den doorgang van het vlak, dus evenwijdig met
het tafereel, bij het neerslaan van het vlak een eigen-
aardige plaats in. Immers zoowel het doorgangspunt
als het verdwijnpunt vallen in het oneindige, zoodat
de gewone manier om de lijn in neergeslagen toestand
te bepalen, ons in den steek laat.

Noemen we de lijn l, dan is blijkbaar ^ // s»;
kennen we dus slechts één punt van /„, dan is deze
volkomen bepaald; we zouden dus op l een willekeurig
punt kunnen kiezen, en dit beschouwen als snijpunt
van een projecteerende lijn en een willekeurige andere
drager. We willen evenwel liever anders te werk gaan.

Zij l de gegeven lijn en O^L de loodlijn uit O, op s«
neergelaten; zij Af het snijpunt van deze loodlijn met
l, dan beschrijft M evenals O, een cirkel met Z» als
middelpunt en loodrecht op 5«, maar nu met straal
ML. Do moeilijkheid is dus do lengte van il/Zt te
bepalen.

Is nu het j)rojecteerond vlak gegeven door s» ou
Tx" U 8a door O on do lijn l door T = s« en l\',
dan is het punt L in do constructiefiguur onmiddel-
lijk aan to wijzen als hot voetpunt van de loodlijn
uit Ö\', op Sx neergelaten. De projecties van M zijn
ook aan te wijzen, namelijk M = L en M\' op M O.

60.

Noemen we het voetpunt van de loodlijn uit M
op het tafereel neergelaten IS., dan is, zooals eenvou-
dige beschouwing van eene stereometrische figuur leert,
dit punt het snijpunt van met Ü^M\'. Is ^be-

kend, dan vinden we gemakkelijk uit A O^Ü^L den
werkelijken afstand LM. Hiermee is gevonden en
dus ook // Sa.

Wil men nu de plaats bepalen, waar een willekeu-
rig punt P bij het neerslaan van een projecteerend
vlak a terecht komt, dan kunnen we P dus ook be-
schouwen als snijpunt van de overeenkomstige projec-
teerende lijn m met de lijn l door P //

Tot nu toe hebben wo ons slechts bezig gehouden
met het neerslaan van projecteerende vlakken. Alvorens
over te gaan tot het neerslaan van een willekeurig
vlak, willen we eerst enkele opmerkingen maken over:

Het aannemen van een nieuw projecticcenirum.\'

Stellen we ons allereerst deze vraag:
. Wanneer een vlak gegeven is door zijn doorgang
Sa en de 2® projectie van de 1\'verdwijnlijn r«\', terwijl
bovendien de distantiecirkels gegeven zijn, wat veran-
dert dan in deze gegevens, wannoer we in plaats van
het 1\' centrum een nieuw 1® projecHecentrum kiezen,
gelegen in de verdwijnlijn van het vlak «?

We zien onmiddellijk in:

1® de doorgang Sx blijft onveranderd.

61

2® de 2® projectie van r« blijft onveranderd.

3" de 2® distantiecirkel blijft onveranderd.

4\' de straal van deu 1® distantiecirkel blijft on-
veranderd.

5° alleen de plaats van het middelpunt van den 1"

distantiecirkel verandert.

De moeilijkheid is dus dit middelpunt op te sporen;
de stereometrische figuur geeft ons een middel aan de
hand dit punt gemakkelijk te vinden. Kiezen we namelijk
als nieuw projectiecentrum o, = R, een punt van de
1® verdwijnlijn van het vlak «, en noemen we het
middelpunt van den bij behoorenden distantiecirkel öj,
dan valt blijkbaar het snijpunt van de verbindingslijn
der nieuwe projectiecentra met het tafereel in R\\
zoodat O = iT. De stereometrische figuur leert ons
verder, dat Oo // 0,o,, en daar Ü^öi // 0,o, dus
ook Oo // D,öi. Verder liggen o,, o en o, = Ö, op
eene rechte lijn. We vinden dus in de constructiefiguur
0| als snijpunt van öjO met eene lijn door (7,, // Oo.

Derhalve is bij het oude systeem een vlak « gegeven
door Sx en r«\' // 5«, dan verandert bij keuzo van een
nieuw 1* projectiecentrum o, op r« alleen het middel-
punt van den 1\' distantiecirkel.
Derhalve:

We kiezen op r»\' een willekeurig punt R van Tx\'ah
2* projectie van hel nieuwe 1® projcctieccnirum o, =
R. Blijkbaar is dus iT = o, terwijl het projectic-
centrum onveranderd blijft, dus o, = Öj. Het punt öi
= H wordt op boven beschreven wijze gevonden.

62

Voor het nieuwe systeem is a nu V \'projecteerend
vlak geworden.

Stellen we ons in de 2\' plaats de vraag:

Wanneer in een vlak « eene lijn l gegeven is door
Z\' en V en dus ook Si en Ri bekend zijn, en we
nemen als nieuw 1\' projectiecentrum een willekeurig
punt van de 1® verdwijnlijn van «, wat gebeurt er dan
met Ri, Si, ï en l\'.

We zien gemakkelijk in;

1° Si blijft onveranderd

2® Bl\' blijft onveranderd

3° r blijft onveranderd

4° alleen ï verandert, valt namelijk samen mei Sx.

In het algemeen zullen natuurlijk alle 1\' projecties
van lijnen en punten veranderen. Daar deze projecties
betrekking hebben op het nieuwe projectiecentrum o,,
zullen we ze aangeven met den index o.

Derhalve in het bovenstaande geval, valt de nieuwe
1* projectie van l, namelijk l^ samen met s«.

Een bijzonder geval krijgen we, wanneer toevallig
vpor het nieuwe projectiecentrum o,, juist het 1" ver-
dwijnpunt Bl van do lijn Z gekozen wordt.

Voor het nieuwe stelsel wordt dan n.l. Z een 1* pro-
jecteerende lijn, zoodat Z^\' = S, en Z^\' = o S* = Z".

Is in het vlak a een punt P gegeven door zijn beide
projecties P\' en P*. dan blijft natuurlijk, bij keuze van
een nieuw 1® projectiecentrum in do 1® verdwijnlijn

63

van a, P\' onveranderd, dus P„\' = P*; alleen P\' ver-
andert. Pg komt te liggen in Sx en wel op de ver-
bindingslijn oP\'.

Laten we als eenvoudig voorbeeld van:

b) Hei neerslaan van willekeurige vlakken

den afstand bepalen van een willekeurig punt P tot
de lijn l. Zij het punt gegeven door P\' en P\', en de
lijn door i en l\\ zoodat dus Si en P,\' ook bekend zijn.

We brengen nu door Z en P een vlak « met behulp
van eene lijn 5, die l juist in het 1\' verdwijnpunt
snijdt. De doorgang van dit vlak « gaat dan blijkbaar
door Si en en r«" door P/ = P/ evenwijdig met
Sx. We kiezen nu voor het gemak als nieuw 1® pro-
jectiecentrum het gemeenschappelijk 1® verdwijnpunt
der beide lijnen, dus 0, = P, = P,. Blijkbaar is nu
O = P,\' = P/. Het punt ö, wordt nu weer op de gewone
wijze bepaald door middel van de lijn U^o = 0,0 en
eene lijn door 77, evenwijdig aan Oo.

Voor dit -projectiesysteem is « nu 1® projecteerend
vlak; bij het neerslaan wordt (o,)„ op de gewone wijze
bepaald, en (r«)„ gaal nu door (o,), // Sx.

Bovendien hebben we door onze keuze van een nieuw
1\' projectiecentrum bereikt, dat in dit stelsel l en s
1° projecteerende lijnen zijn, zoodat= S, enSo\'ES,.
Blijkbaar is = (o,)„ S, en = (o,)„ S,.

Om P„ te vinden, trekken we door P in hot vlak
« nog eeno andere lijn m\\ blijkbaar blijft voor het
nieuwe stelsel m\' onveranderd, terwijl m<,\' = 5«. Voor

64

dit nieuwe stelse] is m„ gemakkelijk te bepalen; immers
m is eene lijn van het 1® projecteerende vlak we
zoeken dus op m^ het punt Wg\', de nieuwe 1\' pro-
jectie van het oneindig vergelegen punt W van m.
Hierdoor wordt bekend en dus ook E

P„ is nu het snijpunt van s^ en ook is be-
kend; de loodlijn uit F^ op ^ neergelaten is de ge-
vraagde afstand.

De hier gekozen lijn s had met l het 1" verdwijn-
punt gemeen. Derhalve vallen niet alleen Bi en jR/
samen, maar is dit eveneens het geval met de oneindig
ver gelegen projecties R\'i en Blijkbaar loopen dus
I en 8" evenwijdig. We zien dus, wanneer 2 lijnen
hetzelfde 1* verdwijnpunt hebben, loopen de 1® projecties
evenwijdig. Dus in het algemeen:

Wanneo\' 2 lijrien een gemeenschappelijk vcrdiuijn-
punt hebben, loopen de overeenkoTMiige projecties even-
wijdig.

Tot nu toe hebben we ons slechts bezig gehouden
met het neerslaan van vlakken en van figuren in
dergelijke vlakken gelegen. We willen nu trachten een
dergelijk neergeslagen vlak weer op to richten, of liever
van de met een vlak neergeslagen figuren de beido
projecties zien op te sporen.

65

a) Oprichten van neergeslagen projecteerende vlakken.

Zij a een 1\' projecteerend vlak, in neergeslagen
toestand gegeven door Sx en (r«)„; zij bovendien ge-
geven de neergeslagen 1® projecteerende lijn bepaald
door (0,)„ en 8i E het snijpunt van met s«, Blijk-
baar wordt de 1® projectie van lijn l een punt, nl.
r E S/ en de 2\' projectie V E Sfi.

Zij m„ gegeven van eene willekeurige lijn m van
het vlak Noemen we S^ het doorgangspunt van
m met het tafereel, en haar 1® verdwijnpunt, dan
is S^ het snijpunt van m„ met 5« en hel snij-
punt van ??i„ met (rtt)„. Bij het oprichten van het vlak
blijft Sx en dus ook S^ op zijn plaats; Tx\' gaat door
O en hierop ligt ook Bovendien is m\' = Sx>

We weten verder uit vroegere beschouwingen, wanneer
het oneindig ver gelegen punt van 7n is, dat
{Ot)n{K)n = JS^; hierdoor is W^ bekend. Door
middel van de vroeger afgeleide betrokking

vinden we nu gemakkelijk en vervolgens door
middel van het bekende parallelogram Blijkbaar
is nu m\' =

Is nu in het neergeslagen projecteerend vlak een punt
Pn gegeven, dan kunnen wo de beide projecties van het
punt P gemakkelijk vinden, door P te beschouwen
als snijpunt van 2 lijnen, bijv. eene projecteerende en
oene willekeurige lijn.

66

In den regel is het bepalen van de projecties P\' en
P\' gemakkelijker; we kunnen namelijk vaak door P
lijnen trekken, waarvan reeds een punt in opgerichten
toestand bekend is.

Om de bedoeling van een en ander nader toe te
lichten, beschouwen we het volgende vraagstuk\'.

Van em gelijkzijdigm driehoek liggm 2 hoehpunim
op em gegeum 1\' \'projecteereTide lijn l; zezijngegevm
door hunne projecties A\' m A\', B\' mB\'. Bepaal de
projecties van het 3® hoekpunt O, ah bovmdim het
vlak van dim driehoek gegevm is.

Zij het vlak van den driehoek gegeven door zijn
doorgang s» en de 2® projectie van de 1® verdwijnlijn
r«\' // Sx door O, en de lijn l door f = S, en T, op
r de punten A\' en B\\ op T de punten A\' en B".

We zullen eerst het vlak « met de punten A en B
om Sx in het tafereel neerslaan ; hiertoe bepalen we
eerst op de gewone wijze (0,)„ en (ra)„. Verder be-
schouwen we bijv. A als snijpunt van l en eene lijn m// Sx,
en B als snijpunt van l en eene lijn p // Sx. Deze
lijnen worden op de vroeger beschreven wijze in neer-
geslagen toestand bepaald; dan is A^ het snijpunt van

en m„, B„ het snijpunt van en

vinden we nu door op A„B^ een gelijkzijdigen
driehoek te construeeren. Om do projecties C en C"
te vinden, beschouwen we bijv. C als snijpunt van de
1* projecteerende lijn van C, nl r, met AC van

67

deze laatste lijn zijn reeds 2 punten bekend, namelijk
het doorgangspunt S^ en het punt A. Daar nu C ligt
op de projecteerende lijn r, is blijkbaar C\' = S^
Verder is b\' = en r\' = S^O en dus C = het

snijpunt van Si,A\' en S^O.

b) Oprichten van willekeurige neergeslagen vlakken.

Het is duidelijk, dat bij vraagstukken, waarbij het
oprichten van een willekeurig vlak wordt verlangd, de
moeilijkheid wordt weggenomen, door het invoeren van
een nieuw projectiecentrum, zoodanig, dat het wille-
keurige vlak voor het nieuwe systeem projecteerend
vlak wordt.

In het algemeen verdient het aanbeveling, ter ver-
hooging van de duidelijkheid van de figuren, de vlakken
naar dien kant neer te slaan, waar de minste projecties
van punten en lijnen zijn gelegen.

a) Bepaling van den hoek tiisschcn 2 Uj7ic)i. Bopftling vnn

do grootio

Wanneer de lijnen elkaar snijden, komt de bepaling
van den hoek tusschen die 2 lijnen neer op het neer-
slaan van het vlak, dat er door kan worden aangebracht.

Het gemakkelijkst wordt do zaak, wanneer wc het
snijpunt der beide lijnen als nieuw projectie centrum

68

o, kiezen; hierdoor worden de beide hjnen 1® projec-
teerende lijnen en zijn dus gemakkelijk in neergeslagen
toestand te bepalen.

Wamieer de lijnen elkaar kruisen, kan men door
een punt van de eene lijn een derde lijn trekken even-
wijdig met de andere gegeven lijn; we maken hierbij
gebruik van de eigenschap, dat evenwijdige lijnen de-
zelfde vluchtpunten hebben. De hoek tusschen de 1\' en
3® lijn is nu de gevraagde hoek.

We kunnen natuurlijk ook bijv. door O, twee lijnen
trekken, respectievelijk evenwijdig met de beide gegeven
lijnen en den hoek tusschen deze 1® projecteerende
lijnen bepalen.

We zoeken dus in de eerste plaats bijv. de 1® vlucht-
punten Wi en Wm van de gegeven lijnen l en m
op de vroeger aangegeven wijze. Trekken we nu door
O, de lijnen p // l en en q // m, dan vallen blijk-
baar de 1® projecties van deze lijnon p en q samen
met hare doorgangspunten Sp en S^ respectievelijk in
W; en W^. Derhalve S^ = en 7\'=

terwijl natuurlijk p\' = SpO en q\' = S^O. De
•hoek tusschen deze projecteerende lijnen is nu gemak-
kelijk te bepalen.

b) Bepaling van den hoek die eene lijn tucI hel
tafereel maakt.

Moeten we den hoek bepalen, die bijv. eene 1*

69

projecteerende lijn l met het tafereel maakt, dua den
hoek tusschen O^Si en .S,C)j, dan slaan we het vlak
OiOjS, om ViSi in het tafereel neer. Blijkbaaar is
L O, Si{0^)„ dan de gevraagde hoek.

Wordt de hoek gevraagd, die eene willekeurige lijn
m met het tafereel vormt, dan herleiden we dit geval
tot het vorige door als nieuw 1\' projectiecentrum bijv.
het 1\' verdwijnpunt van m te kiezen, dus Oj = R^.

De lijn m is nu blijkbaar voor dit nieuwe stelsel
1\' projecteerende lijn. We zoeken dus op de gewone
wijze O, en O = en vinden nu den gevraagden
hoek op de hierboven aangegeven wijze.

c) Bepaling van den hoek, die een vlak met het
tafereel maakt.

Zeer eenvoudig is deze hoek te bepalen, wanneer
we een projcclccrcnd vlak hebben. Zij bijv. het 1\'
projecteerend vlak gegeven door «« en r«\' ff 5« door O,
Uit eene stereometrische figuur blijkt onmiddellijk,
wanneer men door 0,75, een standvlak aanbrengt, het-
welk « snijdt volgens O^L en het tafereel volgens
üjj, dat do gevraagde hoek L OJjT>^ ia. Blijkbaar
ia de loodlijn uit D, op 5« neergelaten ; do hoek
wordt gemakkelijk bepaald door het vlak om

TiyL in het tafereel neer te slaan.

Ia hot vlak « willekeurig, dan kunnen wo een
willekeurig punt van de 1" verdwijnlijn ala nieuw 1®

70

projectiecentrum kiezen; we nemen dus op ra.\' een
willekeurig punt K = o, terwijl öj = O,. Het punt
01=1? wordt op de gewone wijze bepaald. Daar
voor dit nieuwe stelsel « 1\' projecteerend vlak is, is
het vraagstuk tot het bovenstaande geval terug-
gebracht.

Kiezen we als nieuw 1\' projectiecentrum niet een
willekeurig punt, maar het voetpunt van de loodlijn
uit O, op de 1® verdwijnlijn van het vlak neergelaten,
dan is o blijkbaar het voetpunt van de loodlijn uit
O op ra\' neergelaten, zooals eene stereometrische
figuur onmiddellijk aantoont. Oj = Dj. ö, ligt op öjO
en tevens op eene lijn dooi // Oo getrokken.

d) Bepaling van den hoeh tusschen 2 overeenkom-
stige projecteerende vlakken.

Zijn a en ^ twee 1® projecteerende vlakken, gegeven
door Sx en 5/3, »*«\'// Sx en rp\' // s^ door O. De snijlijn
s van deze beide vlakken is natuurlijk eene 1® projec-
teerende lijn, gaat namelijk door O,. De standhoek is
nu de hoek, gevormd door de loodlijn in a uit een
willekeurig punt van de snijlijn getrokken, met do
loodlijn in het vlak in ditzelfde punt van de snijlijn
opgericht. Kiezen wo voor dit willekeurig punt van de
snijlijn het punt 0^, dan hebben we het voordeel dat
de beenen van den standhoek ook 1® projecteerende
lijnen zijn. We willen nu trachten van deze lijnen do

71

doorgangspunten op te sporen en vervolgens het vlak
dezer lijnen om zijn doorgang neerslaan.

Om de doorgangspunten der beide lijnen te vinden,
slaan we a naet 5 neer om 5« en met s om sp. In
beide neergeslagen vlakken trekken we uit het neer-
geslagen punt O, loodlijnen op 5„. De snijpunten van
deze loodlijnen met s« en «p zijn respectievelijk de door-
gangspunten van de beide beenen van den standhoek
met het tafereel. Noemen we deze lijnen l en m, dan
zijn dus Si en bekend; de doorgang Sy van het
vlak / door l en in is nu de verbindingslijn van S, en
Dit vlak nu slaan we neer met de projecteerende
lijnen l en m; de hoek tusschen /„ en m„ is nu de
gevraagde standhoek.

e) Bepaling van den hoek tusschen twee willekeurige

vlakken.

Zijn do vlakken « en ^ willekeurig, dan kiezen we
het 1\' verdwijnpunt van do snijlijn van « en (f als
nieuw 1\' projectiecentrum. Hiermee is het vraagstuk
tot het vorige geval teruggebracht.

Alvorens over to gaan tot hot bepalen van den^"\'!^""*
hoek, die eene lijn, mot een vlak maakt, willen we ^p
ons eerst bezighouden mat eenige andere problemen. vUk.

72

a) In een punt van een vlak eene loodlijn op dit
vlak op te richten.

We zullen, om de methode duidelijker te doen uit-
komen, eerst eene opgave bespreken, die minder
ingewikkeld is door het overbodig zijn van eenige
bijconstructies, die voor het algemeene geval nood-
zakelijk zijn. Wij kiezen namelijk een projecteerend
vlak, bijv. het 1® projecteerend vlak « en stellen ons
tot taak in O, eene loodlijn op « op te richten.

Zij « gegeven door Sx en Tx\' jj -Sadoor O; blijkbaar
is O eigenlijk de 2® projectie van O,, terwijl de 1® pro-
jectie van O, ligt op s«.

Is nu X de gevraagde lijn door Oj, dan kunnen we
opmerken:

1°. X is eene 1® projecteerende lijn, zoodat =

2°. de 2® projectie x moet gaan door Sj. en O.

3°. cc ligt in het vlak ^ door Oj J_ Sx.

4°. Sj. ligt op 5/3, d. i. eene lijn door C), J_ 5«,
dus op D,Zf, wanneer L het voetpunt van deze lood-
lijn voorstelt.

. 5". X staat ook _L OJj.

Het komt er slechts op neer het punt S^ te bepalen ;
in de plaats eerste ligt dit op sp = maar bovendien
is a; = OjSj We slaan dus (i neer om 0,1/

in het tafereel; trekt men in dit neergeslagen vlak door
eene lijn {O^^L, dan is dit blijkbaar x^ en
het snijpunt van x^ met «p = (),Z» is S^. Nu ia
X = S^ en X =

73

Voor het algemeene probleem is het nu vrijwel
onverschilHg, of het gegeven vlak projecteerend is
of niet.

Zij cc een willekeurig vlak en P een punt van dit
vlak. We brengen de opgave nu onmiddellijk tot het
bovenstaande terug door P als nieuw 1® projectie-
centrum aan te nemen. Noemen we dit nieuwe pro-
jectiecentrum Oj, dan is Oi = P blijkbaar het snijpunt
van üiP\' en ÖjP\'; verder is P\' = o. De straal van
den nieuwen distantiecirkel is gelijk aan den afstand
van P tot het tafereel, die op de gewone wijze wordt
bepaald. De projecties van de gevraagde lijn cc voor
het nieuwe projectieslelsel worden nu evenals boven
bepaald; x^\' = Sj en = S^o = S^P\'.

Gaan we terug naar het oorspronkelijke projectie-
stelsel, dan is natuurlijk x\' = Xg\' = Sj. P\' on
= S^\'.

b) Uii em puni builen een vlak eene loodlijn
op dii vlak neer ie laicn.

Dit vraagstuk is eenigszins ingewikkelder dan het
voorgaande. Zij « een willekeurig vlak, gegeven door
Sx en Tx\' H Sx, en P een punt buiten dit vlak, be-
paald door P\' en F. Het ia duidelijk, dat do gevraagde
lijn X zal liggen in een vlak (t door P J_ 5«, zoodat
= PZf, waarin P de orthagonale projectie van P
en L het voetpunt van de loodlijn uit P op s« neer-

74

gelaten, voorstelt. Door middel van eene willekeurige
lijn door P, die haar doorgangspunt op sp heeft, is
rp\' gemakkelijk te bepalen, zoodat ook de snijlijn van
« en (5 bekend is door haar doorgangspunt Si (snij-
punt van Sa en sp) en de 2\'. projectie van haar ver-
dwijntpunt Ri (snijpunt van r«\' en rp\'). Kiezen we
nu dit verdwijnpunt R, als nieuw 1®. projectiecentrum,
zoodat dus o = Rf, Oi= hi enoj= 0,. dan kunnen
we ö, op sp gemakkelijk bepalen door middel van de
lijn öjO. We slaan nu het vlak S om sp neer;
In = (ö|)n» terwijl P„ gemakkelijk bepaald wordt
door P te beschouwen als snijpunt van de loodlijn door
F op sp met de lijn door P en het nieuwe 1". pro-
jectiecentrum Oj. Hiermee is de lijn dus ook gevonden
en bovendien Sj, het snijpunt van met sp. Daar
de gevraagde lijn x moet gaan door P, is ze nu
volkomen bepaald; x = S^ P\' en x\' = P*.

e) In een punt van een vlak eene loodlijn
van bepaalde lengte op ie richten.

\' Zij a het gegeven vlak, bepaald door s» en r«\' //
Sa en P het gegeven punt in «. (dus op eene lijn
in a), bepaald door P\' en P*. Kiezen we als nieuw
1\' projectiecentrum o, = P, dan is blijkbaar ö, =7
en O = P*, terwijl öj =

De afstand van P tot het projectievlak wordt op
de gewone wijze bepaald, waardoor tevens de straal
van den nieuwen distantiecirkel bekend is.

75

We brengen nu door Oy = P Let vlak ^ loodrecht
op Sx en slaan dit met het punt Oy = P en de
vroeger genoemde lijn o^L (snijlijn van « en jï) om
S|3 in het tafereel neer. Noemen we x de loodlijn in
P = O, op « opgericht, dan is in de neergeslagen
figuur de loodlijn in (oi)„ = P„ op opgericht.

Passen we van uit P„ hierop de gegeven lengte af,
dan is bepaald, wanneer X het uiteinde van de
gevraagde loodlijn voorstelt. is het snijpunt van
met Blijkbaar weten we dus reeds, dat X\' moet
liggen op SjpP\' en X\' op SJP\'. Verder is gemakkelijk
de orthogonale projectie H te bepalen als voetpunt
van de loodlijn uit X^ op sp neergelaten. Blijkbaar
ligt nu X\' op "Ö,X en X\' op Derhalve A\'"\' is het
snijpunt van Sj.P\' en en X" dat van ^^P\' en
Als contrôle blijft over, dat A" en X\' op eene
lijn door O moeten liggen.

Wo kunnen nu ook den hoek bepalen, die eene Bopaling vnn

willekeurige lim Tnct een willekettrig vlak maakt.

„.. , , , , 1 • j 1" joeuoignraet

Zij het vlak a gegeven door Sx en r« en de iijn l ^^^^

door f en We trekken door een willekeurig punt mankt.
P van l een lijn loodrecht op het vlak « en bepalen
den hoek tusschen deze loodlijn en de lijn l. De
geviwigde hoek is hiervan het complement.

We zien uit het bovenstaande tevens de mogelijk-
heid om een vlak ie constnieercn door een gegeven lijn
l loodrecht op een gegeven vlak «.

We willen volledigheidshalve even opmerken, dat

76

de constructie van loodlijnen op vlakken tevens dienst
kan doen om den hoek tusschen 2 willekeurige vlakken
ie bepalen. Hiertoe richten we in een willekeurig punt
van de snijlijn op elk der beide vlakken eene loodlijn
op. De hoek tusschen deze loodlijnen is tevens de hoek
tusschen de 2 gegeven vlakken.

We zijn nu tevens in staat de projecties te teekenen
van eenvoudige lichamen.

We willen als voorbeeld hiervan:

De projecties opsporen van een regehnaiige driezijdige
pyramide, waarvan de zijde van het grondvlak en de
hoogte bekend zijn.

We willen om onnoodige complicatie te voorkomen,
aannemen, dat het grondvlak ABÖ bijv. in een
1® projecteerend vlak gelegen is, een geval, waartoe
het algemeene onmiddellijk te herleiden is door invoering
van een nieuw projectiecentrum.

Blijkbaar is A ABO gelijkzijdig; zij nu het 1® pro-
jecteerend vlak « gegeven door s« en r«\'// 8% door
O, dan kunnen we dit vlak met zijn 1® verdwijnlijn
neergeslagen denken om Sx in het tafereel. In dit
neergeslagen vlak nemen we nu een gelijkzijdigen drie-
hoek A^ B^ aan, waarvan de zijde gelijk is aan
de gegeven zijde van het grondvlak en bepalen het
middelpunt van den omgeschreven cirkel M^. M is
dus het voetpunt van de hoogtelijn van het viervlak.

Om nu de beide projecties van den driehoek ABÖ
te vinden, benevens die van het punt M, gaan we

77

aldus te werk. Waar BJJ^ = a^ den doorgang Sa, snijdt, ligt
Sa en waar ze (rx)„ ontmoet ligt (jRg)„. Door middel
van de bekende hulpconstructie is nu R^\' gemakkelijk
te bepalen en dus ook a = S^Ra, terwijl a\' = Sx-

De punten B\', ö\' en B\', C\' vinden we door middel
van de 1* projecteerende lijnen van BenC. Eet punt
A, dus A en A\' vinden we door A te beschouwen
als snijpunt van AO met de 1® projecteerende lijn van
A\\ evenzoo M en M\' door M te beschouwen als
snijpunt van AM met de 1\' projecteerende lijn door
M. Hiermee is het vraagstuk teruggebracht tot het
meer eenvoudige, namelijk in een punt M van een
gegeven vlak « eene loodlijn van gegeven lengte op
te richten. We brengen hiertoe een vlak (? door M
J_ Sx, zoodat 5/3 gaat door Jl, het snijpunt van T)^M en
ü^M\'. Slaan we nu het vlak (i met M en de snijlijn
van met «\'om 5/3 neer. De hoogtelijn van het vier-
vlak staat nu loodrecht op do snijlijn van « en ;

is dus to teekenen, en dus is ook S^ en X^ be-
kend, wanneer A\' het 4* hoekpunt van het viervlak
is. X ligt op sp en wordt gevonden door uit oene
loodlijn op 5/3 neer te laten. A\'" is nu het snijpunt
van SjjP\' met X D,; evenzoo is X\' het snijpunt van
S^ met

Do projecties van de 4 hoekpunten van de pyra-
mide zijn hiermee bekend, en dus ook do projecties
van de pyramide.

HOOFDSTUK UI.

Bgzondere Projectiestelsels.

Tot EU toe hebben we ons beziggehouden met het
algemeene geval van twee willekeurige projectiecentra,
hetzij aan denzelfden kant, hetzij aan verschillende
kanten van het tafereel gelegen. We willen nu eens
in het kort nagaan, in hoeverre de projecties veran-
dering ondergaan, wanneer we omtrent de ligging dezer
centra bijzondere onderstellingen invoeren.

A. Dc projectiecenira liggen op gelijken afstand,
maar aan verschillende kanten van het tafereel.

. Blijkbaar zijn de stralen der beide distantiecirkels
even groot \\ het punt O ligt dus ah inwendig gelijk-
vormig heidspunt op gelijken afstand van Ö, als van

Wij zullen slechts stilstaan bij die constructiefiguren,
welke aanleiding geven tot bijzondere opmerkingen.
Vluchtpun- De projecties van eene lijn l zijn blijkbaar weer 2
ten. rechte lijnen f en l\', die elkaar snijden in het door-

gangspunt 8 van de lijn. Het bekende parallelogram

79

0R\'8T\' levert in zooverre iets bijzonders op, dat de
lengten der zijden voor dit speciale geval in zeer
eenvoudig verband staan tot de afstanden van de beide
verdwijnpunten tot de respectieve projectiecentra.

Immers, zooals uit de beschouwing van eene ste-
reometrische figuur blijkt, is:

ST = OR\' = I RO, = i SW
SR\' = OT\' = h TO, = è SW
Dit volgt trouwens ook onmiddellijk uit de voor
het algemeene geval afgeleide evenredigheden:
ST : SW ^ OD, :
en SR\' : SW - 00, : AÖ,
dit speciale geval overgaan in;

ST : SW\' =z 1 : 2 (1)

SR\' : SW = 1 : 2 (2)

We viiidoi diLs liet 1® vluchtpunt W op l\' en het
2\' vluchtpunt W\' op l\' door respectievelijk de afstan-
den ST en SR\' le verdubbelen.

Bedenken we verder, dat WW door het punt O
moet gaan, dan kunnen we het gevonden resultaat ook
aldus formuleoren:

Wanneer voor bovengenoemd projceiiestekel van eene
lijn l dc projecties l cn C en du^ ook Tl ai R,\' bekend
zijn, dan vinden we W,\' en W^\' als snijpunten van dc
lijn door O // Ri Tl retpcclicvelijk 7iuil l en T.

De gemakkelijko bepaling van de vluchtpunten vau eene Nccrslnan
lijn is vooral van belang bij het neerslaan van vlakken. vlnkken.

80

Laten we om dit toe te lichten ons bepalen tot het
eenvoudige voorbeeld:

Den afstand van twee willekeurige punten Aen B
te bepalen.

Zijn de beide distantiecirkels Öj en T), en dus ook
het punt O bekend; zijn verder de beide punten ge-
geven door A\\ A\' en B\\ R.

We brengen door A en JB het 2\' projecteerend
vlak «, zoodat Sa, = A\'B\' en tx\' gaat door O. We
bepalen in de 1\' plaats het doorgangspunt Si en
de 1\' projectie van het 2® verdwijnpunt T^ van
l =AB.

We slaan vervolgens het vlak met tx en l neer om
Sx. Op de gewone wijze vinden we [0,]^ en dus(^a)„
door {0,)„ // Sx. Wat de lijn l betreft, blijft Si op
zijn plaats; verder is blijkbaar

(O,). iTii=0,Ti= Wi-Si = 2 X RiSi
waarbij we goed dienen te letten op de richting.

Hiermee is dus l, bepaald. De punten A, en B,
vinden we door middel van de 2\' projecteerende lijnen
door A en B, nl. a en b. A„ is dan het snijpunt
van en B„ dat van l„ en b„.

Bij verder onderzoek blijkt, dat behalve deze voor-
deelen voor metrische betrekkingen, waardoor het neer-
slaan van vlakken met daarin gelegen lijnen aanmerkelijk
wordt vergemakkelijkt, deze speciale keuze van projec-
tiecentra geen vereenvoudiging geeft.

81

B. De heide projectiecentra liggen op gelijken afstand,
aan denzelfden kant van het tafereel.

Ook hier zijn de stralen der heide distantiecirkels
gelijk. Het is overigens duidelijk, dat dit systeem
eenige afwijking zal moeten vertoonen met het algemeene,
reeds in zooverre, dat de verbindingslijn der projectie-
centra evenwijdig is met het tafereel en dus het door-
gangspunt O in het oneindige valt.

We vermoeden dus, dat, wanneer P\' en P\' de pro-

/ van een punt.
jecties voorstellen van een punt P, hunne verbmdmgs-

lijn moet gaan door het oneindig vergelegen punt van

ra. a. w. evenwijdig loopt met de verhindings-

lijn der middelpunten van de disiantiecirkels.

Eenvoudige beschouwing van de ruimtefiguur beves-
tigt dit vermoeden; immers het vlak 0,0jP snijdt het
tafereel volgens eene lijn P\'P\', die evenwijdig moetloopen
met 0,0j en dus ook met Ö,D„

Wo komen dus tot deze voonoaarde:

De verbindingslijnen van de beide projecties van
verschillendo punten van de ruimte gajan alle door het
oneindig vergelegen punt van zijn dus evoiwijdig

mjet üyü^ en dtis ook onderling evenwijdig.

Do beide projecties van eone lijn zijn weer 2 rechte^™!®®^\'®«^«»
lijnen ï on K de doorsneden van de beide
rende vlakken van de lijn l. Hot snijpunt van ï enion^
r is het doorgangspunt /S,.

Wat de verdmjnpunten van do lijn betreft, moeten

6

82

we opmerken, dat de punten R en T voor dit projec-
iiesysteem samenvallen\', de beide projecties van dit
verdwijnpunt vallen blijkbaar in het oneindige. Derhalve
K = T\' is het oneindig vergelegen punt van l\' en
R\' = T ligt oneindig ver op l\'.

Van het bekende parallelogram vallen dus 3 punten
in het oneindige, namelijk R\', T\' en O.

"Wat de projecties van het oneindig vergelegen punt
W betreft, deze zijn gemakkelijk te vinden; immers:

1" WW\' loopt evenwijdig met Vfl^

2" WW = 0,0, = üjj,.

Men bepaalt de vluchtpunten W\' en W van eene
lijn l op de volgende wijze: Zijn T en T de projecties
van l en zij A het snijpunt van DjDj met l\', dan
zetten we van uit A op een stuk uit gelijk aan
ÖiOi- Uit het zoo verkregen punt B trekken we eene
lijn // r, tot ze ï snijdt; dit punt is W, terwijl
W\' op r gevonden wordt door middel van eene lijn \'

// OA\'

Natuurlijk is weer = RO, en jS\'TF = jRO,
waarvan we gebruik zullen maken bij het neerslaan
yan vlakken.

Wat de puntenreeksen op de projecties f en T be-
treft, valt het volgende op to merken :

= iS\' = xS\' is zoowel een punt van de eeno reeks
als van de andere, juist zooals in het algemeene geval.
Verder komt het oneindig ver op l gelegen punt
R overeen met het oneindig verre punt K op l\'.

Dc puntenreeksen zijn dus gelijkvormig.

83

JDe hroirvme van de 2® klasse, die omhuld wordt
door de verbindingslijven van overeenkomstige punten,
is in dit geval ontaard in een stelsel van evenwijdige
lijnen, d.w,z. in een waaier met top in het oneindige
en dezen top als hlassepunt.

De voorwaarde, dat 2 lijnen l en tn in elkaar snijden, ^oorwanrde
wordt blijkbaar voor dit speciale geval: snydmg.

Wanneer l\' en T, m\' en m\' dc projecties van 2 elkaar
snijdende lijnen l en m voorstellen, dan inoet de ver-
bindingslijn van hei snijpunt van l en m en hei
snijpunt van l\' en m\' evenwijdig loopen mei ÜJ)^.

In het algemeen is een vlak weer bepaald door Afbeelding
3 willekeurige punten A, B en C. van een vink.

De lijnen AA\', BB\', CC loopen blijkbaar even-
wijdig met Zij « het vlak door deze 3 punten
bepaald, \'dan is gemakkelijk in to zien, dat do over-
eenkomstige zijden vau do driehoeken AB\'C en
A\'B\'C elkaar weer snijden op eene rechto lijn, namelijk
op den doorgang van het vlak x.

Ook in dit geval zijn de driehoeken perspectief ge-
legen ten opzichte van het oneindig ver gelogen cen-
trum van perspectief O (Uitbreiding van Desargues).

Do beide methoden om een 4® punt van het vlak
te construeeren, blijven van kracht.

Hetzelfde, wat opgemerkt is omtrent do verdwijn-
punten van eene lijn, geldt natuurlijk ook voor de ver-
dwijnlijnon van een vlak. Een vlak « hoeft slechts

G*

84

eeue enkele verdwijnlijn r« = ta\', zoowel r^\' als
r«" vallen bij dit projectiestelsel in het oneindige.

Een vlak kan dus niet worden bepaald door zijn
doorgang en verdwijnlijn, maar door zijn doorgang
Sx en een willekeurig punt P (5«, P\'P").

Neerslaan Hoewel de beide projecties van de verdwijnlijn in
van vlakken, j^gj. Qjjgjn^jjgg vallen, ZOO is bij het neerslaan bijv. van
een 1\'. projecteerend vlak, (ra)„ gemakkelijk op de
gewone wijze te bepalen. Eveneens, wanneer l eene
projecteerende lijn van a is, bepaalt men gemakkelijk

In = Si (Ö.)„.

De eenige moeilijkheid schijnt te zijn, wanneer m
eene willekeurige lijn van het 1®. projecteerend vlak
« is, bij het neerslaan van « om zijn doorgang Sx do
de lijn m„ te bepalen, daar de projecties van het
verdwijnpunt -R„,-in het oneindige vallen.

We weten evenwel, dat (Ji„)„ op (r«)„ moet liggen
en zullen door een kunstgreep den afstand (O,)„ (/?„)„
bepalen. Deze afstand is namelijk gelijk aan Ü^Ü^, als
de orthogonale projectie van voorstelt.
Zij het vlak « gegeven door ««, PP\' {P\' in .9«) en
zij m eeno willekeurige lijn in « door P, dus op
«a, m\' = Sx en m\' = P\'. Is nu E^ verdwijn-
punt van m, dan is O, II tafóroel; eveneens O,
Hieruit volgt ö, UJI O, i2„. en üjï,, //
Blijkbaar geeft O, en dus ook (5, R^ do richting
aan, waarin in het oneindige ligt; evenzco geeft

85

Oj of Üj R^ de richting aan, waarin R^\' in het
oneindige ligt.

Derhalve Ö, // m\' en Q^ ïï,^ // m"; we vinden
dus het punt door uit Ui eene lijn te trekken
evenwijdig aan m\' = s» en uit Ü^ een lijn // vi = P\'
Het snijpunt van deze lijnen is

Daar nu ü^ = = (0,)„ is hiermee
(■^m)n gevonden en dus ook m„ =

Het spreekt van zelf, dat we om 77i„ te vinden, ook
de volgende methode hadden kunnen toepassen, die
omslachtiger is, maar misschien meer voor de hand
ligt. Het vlak « is gegeven door s» en .P\', F\', Wo
zouden natuurlijk als nieuw 1° projectiecentrum o^^ F
kunnen kiezen; hierdoor wordt het bijzondere systeem
tot het algemeene teruggebracht. Blijkbaar is ö, hot
snijpunt van (7,P\' en C7,P\', terwijl do straal van don
nieuwen distantiecirkel op de gewono wijze wordt be-
paald; verder is o = F on ö, = Ö,.

Hiermee is a niet alleen 1\' projecteerend vlak ge-
bleven, maar is m bovendien 1® projecteerende lijn
geworden, zoodal do bepaling van m^ slechts neerkomt
op het vinden van (o,)„ of P„.

Is P een willekeurig punt van het 1\'projecteorond
vlak «, dan vindon wo door P als snijpunt to
beachouwen van eeno willekeurige lijn in « en do
1® projocteorendo lijn van P.

Om mlUkeurige vlakken met lijnen en punten om
den doorgang neer te slaan, kiezen wo weer een nieuw

86

1\' projectiecentrum, al of niet gelegen in de ver-
dwijnlijn van het vlak. In het laatste geval wordt
het speciale systeem herleid tot het algemeene, waarbij
de afstanden der projectiecentra tot het tafereel wille-
keurig, niet gelijk zijn.

C. De heide projectiecentra liggen op eene loodlijn
op het projectievlak, hetzij aan denzelfden kant, hetzij
aan vei\'schiïlende kanten van het tafereel.

Veel bijzonders levert deze keuze van j)rojectiecentra
niet op. Het is duidelijk, dat de beide middelpunten
der distantiecirkels in dit geval samen vallen met het
doorgangspunt van de verbindingslijn der projectiecentra.
Derhalve = = O. De grootheden, die het pro-
jectiesysteem bepalen in de constructiefiguur, nemen
in het tafereel weinig plaats in, wat natuurlijk als een
voordeel is aan te merken met betrekking tot de
duidelijkheid van de teekening, vooral bij het neerslaan
van vlakken.

De vereenvoudiging wordt ovenwei aanmerkelijk
grooter, wanneer dc projectiecenira bovendien op ge-
tijken afstand aan weerszijden aan het tafereel zijn
gelegen.

Immers in dit goval vallen niet alleen do middel-
punten der distanciecirkels samen, maar deze zelf ook;
alleen de pijlen, dio aangeven aan welken kant het over-
eenkomstige centrum wordt gevonden, zijn verschillend.

Bovendien hebben we het groote voordeel, dat voor

87

eene lijn l 0,i2 = 2 x OR\' en O^T = 2 x 0T\\
als en de beide verdwijnpunten van l voorstellen;
zooals we zagen, is deze betrekking van groot belang
bij het neerslaan van vlakken, ook in verband met de
betrekkingen, geldende voor de vluchtpunten W\' en
W\' van l.

Behandelen we als toepassing nog eens het volgende
vraagstuk:

Van een vierkant, waarvan de zijde eene gegeven
lengte a heeft, is hekend, dat hei ligt in een gegeven
1® projecteerend vlak «. Van dit vierkant EFGH
ligt hei punt E op gegeven afstand h van s», terwijl
EF een hoek van 30\' maakt rnei Sx> Ocvraagd de
projecties van dii vierkant te comirueeren*

Zij het vlak « gegeven door 5« en r«\' // 5« door
O, dan bepalen we eerst op de gewone wijze en
(r«),. In dit neergeslagen vlak teekenon we nu het
vierkant E^FjQ^H^ en zullen het vervolgens weer
trachten op to richten.

Noemen wo do zijden EF, FO, OH on HE res-
pectievelijk a, b, c en d, dan is het snijpunt van
EF met s» blijkbaar S^, terwijl (Ra\\ liet snijpunt is
met (r«)„. Nu is:

OR - = i 0,11a = è (O.Wi^a),
terwijl i?/ ligt op Ra ia dus te vindon on
hierdoor is ook a\' E S^Ba\' bekend, terwijl a evenals
allo 1* projecties van de zijden van het vierkant met
Sm samenvallen.

88

Gemakkelijk vinden we nu W«\' uit de betrekking
S^W; = 2 X Daar verder c//a is Wj^W,\'.

Hiermee is tevens c\' = ^c^^c\' gevonden.

We kunnen nu, om de punten E\', F\', G\' en S\' te
vinden waarschijnlijk het best gebruik maken van de
1® projecteerende lijnen van E, F, Q en H.

Verder vinden we E\\ F\', G\' en H\' op s» door
middel van de lijn OE\', 0F\\ OG\' en 0E\\

Het spreekt vanzelf, dat we de projecties van de
2 andere zijden van het vierkant op dezelfde wijze
hadden kunnen vinden als die van a en c, door gebruik
te maken van het gemeenschappelijke vluchtpunt
Wj\' = Wrf\'. Als contrólemiddel blijft ons dus nu over,
dat 6\' en cT elkaar moeten snijden in W^ = W^\'.

Voor het neerslaan van willekeurige vlakken nemen
we een nieuw projectiecentrum aan, bij voorkeur in
de overeenkomstige verdwijnlijn van het vlak. Immers
hierdoor blijft het hoofdvoordeel behouden, dat do
projectiecentra aan weerszijden op gelijken afstand van
het projectievlak (tafereel) gelegen zijn.

D. Een der projeciiecentra ligt in eene hcpaxildc
richting in het oneindige.

Ligt O, bijv. op eindigen afstand van hot tafercol
en O, in eene bepaalde, door een pijl aangewezen
richting in het oneindige, dan zal de lijn door O, in
de richting van de pijl getrokken, do rol spelen van
de verbindingslijn der projectiecentra en haar snijpunt

89

met bet tafereel worden aangeduid door O. Noemen
we D, weer het voetpunt van de loodlijn uit O, op
het projectievlak neergelaten en ü, het voetpunt van
de loodlijn uit dan ligt blijkbaar O, in het on-
eindige op de verbindingslijn OD,.

Is dus in de constructiefiguur de 1® distantiecirkel
met ziju middelpunt ö, en bovendien het punt O ge-
geven, dan is de richting, waarin O, zich in het
oneindige bevindt, volkomen bepaald; het stelsel is
dus volkomen vastgelegd. Ö, ligt op de lijn OD, in
het oneindige.

De 1® projectie van een punt P is natuurlijk het Projecties
snijpunt van de lijn 0,P met het tafereel. De 2® pro-\'^\'\'"\'^"?""\'-
jecteerende lijn is blijkbaar eene lijn door P in de
richting, waarin O, in het oneindige ligt, dus eene lijn
// 0,0. Do beide projecteerende lijnen liggen dus met
0,0 in 6<5n vlak, m. a. w. de snijpunten O, P\' en P\' met
het tafereel liggen op eene rechte lijn.

De voonoaardc voor de projecties van een punt
blijft onveranderd van kracht.

Bijzondere punten zijn natuurlijk weer:

a) punten in het tafereel. »

b) punten op de lijn 0,0.

c) punten in een der venlwijnvlakken.

Ia R bijv. een punt van hot 1® verdwijnvlak, dan
ligt R\' is het oneindige; het merkwaardige is evenwol
0/r = on // O,/?.

90

Is W een punt van het 2® verdwijnvlak, dan valt
W\' in het oneindige, maar W\' in het eindige, afhan-
kelijk van de richting, waarin W in het oneindige ligt.

Projecties j)^ p projectie van eene lijn l krijgen we op de

T&n 6€D6 iQD« •• ^ i ^ * «

gewone wijze door de snijlijn te bepalen van het 1®
projecteerend vlak (vlak door len O,) met het tafereel;
het 2® projecteerend vlak is een vlak door l en
dus een vlak door l Ij 0,0; de snijlijn van dit vlak
met het tafereel ia l\'; l en 1\' snijden elkaar in S,
het doorgangspunt van l.

Bijzondere punten van l zijn natuurlijk doorgangspunt,
verdwijnpunten en vluchtpunten.

Voor het 1® verdwijnpunt B. valt lï in het oneindige
op f, R\' in het eindige op l\', zoodanig dat OR =
en // 0,72.

Wat het 2® verdwijnpunt T betreft, zien we gemak-
kelijk in dat dit punt tegelijkertijd het oneindig ver
gelegen punt W van l is, zoodat T = W.We zullen
het 2® verdwijnpunt voor dit stelsel dus voorstellen
•door W.

Ook uit eene stereoraetrieche figuur volgt onmiddel-
lijk, dat ORSW een parallelogram vormt.

W\' ligt op r in het oneindige, wat volkomen
klopt met de voorwaarde, dat \'W\', O en W" op één
rechte lijn moeten liggen.

We zien dus, dat de projecties van het oneindig

91

vergelegen punt van eene lijn l, dus de vluchtpunten
van l gemakkelijk zijn te construeeren.

W\' ligt op l en is het 4® hoekpunt van het paral-
lelogram, waarvan O, R" en 8 de andere hoekpunten
zijn. W ligt op r in het oneindige.

Zijn l en m evenwijdige lijnen, dan gaan l\' enm
door het gemeenscha\'ppelijke vluchtpunt W\'. ï\' en m"
moeten gaan door hei gemeenschappelijke oneindig
verre vluchtpunt W\', m. a. w. ï\' en m\' loopen evenwijdig.

Dit is niets anders dan een bijzonder geval van de
reeds vroeger genoemde stelling:

Van twee lijnen, die hetzelfde 2® verdwijnpunt hebben,
loopen de 2® projecties evenwijdig, terwijl de 1® pro-
jecties elkaar snijden in de 1® projectie van dit gemeen-
schappelijk verdwijnpunt.

We zijn nu in staat door een punt P eene lijn m
te trekken // aan een gegeven lijn l

Hiertoe bepalen we eerst Wl op t door middel van
eene lijn door O // V. We weten nu = IF,, dus
m\' = Wi P . Verder is m\' // 1\' door F\'. Do constructie
verandert niet als in plaats van een willekeurig punt
F, van do gevraagde lijn het doorgangspunt bekend is.

We willen alleen even stilstaan bij de bepaling van l^opnling
een vlak door zijn doorgang en een der verdwijnlijnen.

Boschouwen wo allereerst de projecteerende vlakken.

Voor een 1® projecteercnd vlak n levert dit niets
bijzonders op; dit wordt nl. bepaald door Sa, enr«\'//
8a door O terwijl tx\' = «a.

92

Een 2® projecteerend vlak j? is een vlak // OOj;
r\'p = sp door O, terwijl tp // sp door O.

Voor een duhbelprojecteerend vlak y is blijkbaar

Sy Ty ty .

Voor een willekeurig vlak a valt op te merken,
zooals beschouwing van een stereometrische figuur leert,
dat de afstand van O tot r«\' gelijk is aan die van tx
tot Sx; deze afstand is namelijk gelijk aan de loodlijn
uit O, op de 1® verdwijnlijn van het vlak neergelaten.

Neerslaan Qjjj willekeurige vlakken neer te slaan kunnen we
\' als nieuw projectiecentrum een punt van de 1® ver-
dwijnlijn kiezen. Kiezen we bijv. het voetpunt/? van de
loodlijn uit Oj op r« neergelaten, dus o, = jR.

Blijkbaar is o = i?\' het voetpunt van de loodlijn uit
O op Tx\' neergelaten, o, = is het snijpunt van de
loodlijn uit Ö, op s« neergelaten met eene lijn door
R\' // OÖ,, ra.a.w. jR = ö", is het 4®. hoekpunt van
een parallelogram, waarvan R\\ O, do 3 andere
hoekpunten zijn. Do straal van don 1®°. distantiecirkel
is onveranderd gebleven.

Men zou het hier besprokenene door meerdere voor-
beelden kunnen toelichten. Ik meen evenwel hiermee
dit proefschrift te moeten eindigen, vertrouwende, dat
ieder, die dit boekje met aandacht gelezen heeft, in
staat zal zijn eenvoudige problemen tot oplossing to
brengen.

ERRATA.

Op blz. 18: laatste regel staat (l\'O,) moet zijn (/"O,).

11® regel van onderen staat P Q, moet

zijn F Q\'.

Op blz. 28 : eerst« regel staat f en m, moet zijn C en m\'.

Op blz. 36: 13" regel van boven staat A\' B, moet
zijn A\'B\'.

Op blz. 63: 9® regel van boven staat l en M, moet
zijn l en P.

Op blz. 69: 4® regel van boven staat l V, S/i^OX moet
zijn L D^SiOy),.

Op blz. 72: 6® regel van onderen staat plaata eerste,
moet zijn eerste plaats.

Op blz 72: 5® regel van onderen staat O, L, moet
zijn DiL.

Op blz. 73: 17® regel van boven staat S,Px, moet
zijn S,P.

Op blz. 74: 8® regel van boven staat o, =7?^ moet
zijn o,

Op blz. 85: 3® regel van boven staat »^oet

zijn

ff

im

•tiiM...

STELLINGEN.

I.

De lijn, die in de bicentrale projectie de verbin-
dingslijn der centra snijdt, is analoog met de lijn,
die in de orthogonale projectie van Monge de as van
projectie loodrecht kruist.

II.

De beide kegelsneden, die in de bicentrale projectie
de projecties van een cirkel voorstellen, zijn in het
algemeen onvoldoende om dien cirkel te bepalen.

III.

Als men eeu punt bepaalt door zijne centrale en
zijne orthogonale projectie op het zelfde tafereel, dan
paat men de beginselen der bicentrale projectie toe.

IV.

Het verdient geen aanbeveling om met Foincarf.,
nonsecanten ook parallellen te noemen.

V.

De lijn in bet oneindige van het Euclidische vlak is
eene Riemannsche lijn.

VI.

De arithmetica kan, in tegenstelling met de meetkunde,
zonder axioma\'s worden opgebouwd.

vn.

Het theorema van Bwdan brengt de scheiding der
wortels nieta verder dan het theorema van Descark».

VHI.

Het is wenschelijk, dat voor de onderscheiden ver-
valsproducten van radioactieve stoffen afzonderlijke
benamingen worden ingevoerd.

IX.

De tegenwoordige stand van de wetenschap maakt
hot wenschelijk een electrischen stroom in een geleider
niet als dubbelstroom op te vatten.

X. ■

De blauwe kleur van de lucht is een gevolg van
de moleculaire verstrooiing van het licht in den,
dampkring.

XL

Bismuth dient te worden beschouwd als het eind-
product van de radioactieve Thorium omzetting.

xn.

De definitie van kans in de waarschijnlijkheids-
rekening is óf onvolledig, óf men beweegt zich ineen
vicieusen cirkel.

xm.

De principes in de mechanica zijn te vergelijken met
de axioma\'s in de meetkunde.

XIV.

Do formuleering van het principe der virtueele snel-
heden in Thomson en Tail is aan ernstige bedenkingen
onderhevig.

XV.

Het is wenschelijk, dat de beginselen van do diffe-
rentiaal- en integraalrekening op de H. B. 8. onder-
wezen worden.

j ^^

I

\'■y

\'.tri

"- \'if\'"\'-

\'■ .i

-y\'ii

■ .. .\'ri"

V

. . . .!-• ,
: - V > \',1» ■ . <

<1

.■ft*-\'