yal\' vio\'ö -u

-i-iSreniicilYsrasIljkiiiaeD

n n^"\'

G.

a

■A

m

CAUCHY\'s Integratie van
partieele Differentiaalvergelijkingen
door Residuen.

m

CAUCHY\'s Integratie
van partieele Differentiaalver-
gelijkingen door Residuen.

Proefschrift ter verkrijging van den graad

van DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE, aan
de rijks-universiteit te utrecht, OP gezag van
den rector-magnificus dR. ii. zwaardemaker,

hoogleeraar in de faculteit der genees-
kunde, volgens besluit van den senaat der
universiteit, tegen de bedenkingen van de
faculteit der wis- en natuurkunde te
verdedigen op donderdag h5 december 1909, des
namiddags te 4 uur, door GERARD VAN HASSELT
geboren te utrecht. *.......

•liLIOTHEEK DER

tUKSUN/VERCJT\'Vr

wtrecht."

J. VAN IIOUKIIOVI-N. — UTKHCHT.

&

b.........

Hooggeleerde Kaptetjn, mijn Promotor, na het voltooien
van dit proefschrift wil ik U gaarne mijn dank betuigen.
Ten eerste voor het onderwerp, dat ik op Uwe aanwijzing
gevonden heb, en vervolgens voor dc welwillendheid, die gij
mij bij het bewerken daarvan hebt bewezen en voor de moeite,
die gij U voor mij hebt getroost. Ik gevoel mij aan U zeer
verplicht voor de vriendelijke en aanmoedigende w\\jze, waarop
(jij mij, toen ik mij om hulp tot U wendde, zijt tegemoet
gekomen.

Den hooglecraren vn ond-hooglecraren, wier colleges ik aan
de gemeentelijke Universiteit te Amsterdam heb gevolgd, zeg
ik dank voor hun onderricht. In het bijzonder denk ik daarbij
aan ï7, hooggeleerde Koktkweg. Ik blijf U erkentelijk voor
dc mij betoonde hulpvaardigheid en belangstelling.

[fi:.-.

iNi-

f -,
\\ ^

INHOUD.

Blads!.

INLEIDING.....................1

HOOFDSTUK I ....................8

Ultoonzotting van liot Vraagstuk en oorsto Opzot van do
Oplossing.

HOOFDSTUK II....................19

Liffging van do Nulpunten van (r) op grooten Afstand van
(Ion Oorsprong.

HOOFDSTUK III..................42

liopallng van^\' f (,.)

II00FD.STUK IV...................00

Vorvornilng van do In liet vorige Hoofdstuk afgoloiilo llooks-
ontwlkkollng.

HOOFDSTUK V....................OT.

Samenvatting van do Uosultaton on TooiwwHing op oon büzonilor
Qovnl van hot Vningstuk dor trilicndo Stavon.

INLEIDING.

§ 1. Cauchy behandelt in zijn ^Memoire sur l\'Application
du Calcxd des Ecsidus d la Solution des problèmes de Physique
Mathématique" (Parijs 1827) \') de integratie van cen klasse
van partieele difTerentiaalvergelijkingen met bijzondere novon-
voorwaarden. Noemen wij <le onafhankelijk veranderlyken,
dio twee in getîil zijn, x en t en zijn /o, .To en constanten,
dan kunnen wij deze voorwaarden aldus bcsclirövcn. Ton
eerste moeten voor t = to on .-ïq.Ti do oplossing on
eon zeker ajmtal van haro afgeleiden-naar-/ gegeven fnnctiCn
van X zyn, en ten tweede moot, voor willekeurige waarden
van t, de oplossing, aan do grenzen .To on Xi, ajui zekere
lineaire difTorcntiaulvergeiykingen, met x als onal\'liankeiyk
voranderiyko, voldoen. Wordt t uls tyd opgevat, dan kunnen
wy do nevenvoorwaarden dua onderschoidcn in rand- on
initiaalconditics. Do uitkomst van Cauchv levert i. li. a.
ölechts een schynbaro oplossing, want do optredende reeksen
convergeeren i. h. a. niot. Toch is zyno behandeling zeer
\'nerkwaanlig en van groot belang, en wel om de volgendo
icden.

Hot biykt niot moeiiyk oenvoudigo, van x, t en cen

\') Dozo vorliandoliiifï J^il vorschUnon in Tonio XV vnn do 2« sorio
dor üouvroB CoinplôtoH.

I

parameter r afhangende, functiën samen te stellen, die voor
\'elke waarde van r aan de partieele differentiaalvergelijking
voldoen en bovendien de randvoorwaarden ver\\-ullen, wanneer
r een wortel cf, van een zekere transcendente vergelijking
is. Stelt men in de functiën, die verkregen worden door
voor r achtereenvolgens de oneindig vele wortels dezer ver-
gelijking te nemen, t =zto, dan verschijnt een reeks functiën
(f) (fXy, x). Het komt er nu op aan de in de initiaalvoor-
waarden optredende functiën te ontwikkelen naar de functiën
9 («„, x). Deze onliDikkeling kan door toepassing van de
residuenrekening volkomen streng geschieden en de ontstaande
reeks convergeert gelijkmatig in het interval x^ — X\\. Hier-
mede hebben wij de zekerheid, dat wanneer de i. h. a.
divergeerende reeksen van de „oplossing" na een eindig,
voldoende groot, aantal termen wordt afgebroken, een functie
verkregen wordt, die aan partieele diff. verg. en randvoor-
waarden volkomen, en aan de initiaiilvoorwaarden met gegeven
benadering voldoet. De waarde van Cauchy\'b behandeling
is (lus gelegen in de afleiding van <lo reeksontwikkelingen
voor t = to. Hij grondt deze op de formule:

\'(zie pag. 3 v. h. Mém.), waarvan echter het bewijs, zooals
dit op pag. 1 cn 2 gogovcn wordt, ontoereikend is \'). Do
voorwaarden aan f (r) cn ïv (r) opgelegd, zijn aldaar vaag
en zeker to ruim.

Ken verscherpte afleiding van" deze fonnulo heeft hij in

\') Burkhaudt hcoft in zUn: Entwicklungon nnch Oscillirenclon Func-
tionon (.Tahrosbor. dor Doutaclion Matli. Ver. X, Hoft, Bd. I) liot
Mótiioiro in kwostio gorcforooni on do ontoorolkondo afloiding op piig. (590
aldaar woorgogoven, oclitor zondor kritlok, golyk In hot kador van
zün^work past.

hetzelfde jaar 1827 in de verhandeling: „Sur les Rcsidus des
Fonctions expi\'imc\'es par des Intégrales définies" \') gegeven.
Leemten, in dit bewijs nog overgebleven, zijn door Picard
(Traité d\'Analyse II, p. 17i), 2« ed.) aangevuld. Het was
nu de vraag of de toepassing van bovenstaande formule,
ter afleiding van de vermelde reeksontwikkelingen, met de
scherpere eischen, die aan •/ (/•) en ïy (r) moesten worden
gesteld, in overeenstemming kon worden gebracht. Het is
ons gebleken, dat dit inderdaad het geval is.

Wij stellen ons voor in dit proefschrift cen vrije behandeling
van Cauciiy\'s probleem te geven, en daarbij met name de
reeksontwikkeling voor den initiaaltoestand streng af to leiden.
Do omstindighcid, dat in het Mémoire do aan y (r) en (/•)
gestelde eisclien niet scherp genoeg zijn omlijnd, heeft Cauciiy
voroorloofd zyne afleiding van do reok.sontwikkelingen in
kwestie in drie pagina\'s uiteen to zetten. Eon strenge
behandeling moest, geiyk voor do hand ligt, uitvoeriger
worden, cn zy beslaat dan ook de hoofdstukken II en 111
van dit proofschrift. Dat Cauchy op cen zoo wankele basis
zyne resultaten vorkrogen hooft, getuigt zeker van do groot-
lieid zyner wiskundige intuïtie, al heeft hot geluk hem
liicrby natuuriyk ook gediend.

Van de ontwikkelingon, dio tor sprako zullon komen, zyn
de reeks van Fourikr cn do bekendo reeks uit theorie dor
warmtcgoleiding in eon bol "(temporatuur slechts van r
ïifhankciyk) zéér byzondcre voorbeolden. Picard hcoft deze
heide in zyn Traite d\'Analuse mot behulp van do residucn-
rekening afgeleid. Ook Poincahé beliandolt hot warmto-
vraiigatuk in zyn: ^Théorie analytique de la ProjKigation dc
la Chaleur" op dozo wyzo, en zegt, dat zondor van gcnocindo

\') Oeuvres Conipli.\'U«8, Sório II, T. VII, pap. mtt.

rekening gebruik te maken, geen bewijs voor de ontwikkeling
die bij dat vraagstuk optreedt, gevonden is. (Vgl. pag. 179).
Wij hebben getracht ons bewijs voor het algemeene geval
even nauwkeurig te maken als zijne behandeling van dit
bijzondere vraagstuk.

Behalve de afleiding door toepassing van de residuenrekening
geeft Cauchy in zijn Mémoire op pag. 23—27, nog eene
andere behandeling voor een bijzonder geval. Hoewel hij
het residu-teeken aldaar gebruikt, speelt dit toch geen essen-
tieele rol en het kan, zelfs met bevordering van de over-
zichtelijkheid , geëlimineerd worden. Deze bladzijden bevatten
slechts een bepaling van de coëiricienten, wanneer aangenomen
wordt, dat de ontwikkeling mogelijk is. Burkhardt bespreekt
deze methode vrij uitvoerig (p. G93 e. v. t. a. p.), terwijl hij
de algemeene, dio in het volgende zal worden uiteengezet,
slechts met een paar regels vermeldt (p. 698). Hoo vernuftig
zij ook is, heeft Cauchy s behandeling van het bijzondere
geval geen principieelo beteekenis, daar het bestaan van do
ontwikkelingen langs dezen weg natuurlijk niet bewezen
wordt. Wij zullen in het vicrdo hoofdstuk do formules, die
Cauchy verkrijgt, en die hij niet met zyne algemecno uitkomst
in verband brengt, uit dezo laatste afleiden, waarniedo eei-st
•het bewys van haro geldigheid zul zyn geleverd.

§ 2. Voor wy met het" vnuigstuk beginniin, zullen
wy do to gebruiken notaties aangeven. Wij bezigen de
teekens, dio Cauchy zelf heeft ingevoerd cn dio o. a.
ook gebruikt worden in hi.NDKi/iF: „Lo Calcul des Husidus",
(Parys 1905).

Onder het. residu van een analytischo functio in oen
l)ool So, wordt, zooals bekend is, vcrstiuin: do coGfllcicnt van
(2 — in de reeksontwikkeling naar machten van z — zo,
dio in den omtrok van do pool voor do functio goldt.

5

Dit residu wordt aangewezen met:
en wij hebben dus:

indien k een kleine gesloten kromme om Co is. Heeft f (s)
een eindig aantal polen, dan wordt met:

r

dc som van de residuen in al dezo polen bedoeld. ^Men
noemt dit het toiaalrcsidu van f (z).
Met:

wordt aangeduid dc som van do residuen der functio f (;;). i/» (z)
in do polen van f (z).
Voor:

wordt ter bekorting resp. gcschrevcn:

r \'K^) on /L\'/\'M)

^ H\\z)] r{z) \'

Is hot aantal polen vnn f(r) oneindig groot, dan wordt

onder hot totaalrosidu voret^ian do limiet tot

wolko do som van do residuen nadort.

Dozo limiet zal natuuriyk kunnen afhangen van do vnlgordo
in wolko men do polen neemt cn daaromtrent zul dus in
elk byzonder geval ccn afspraak mootcn worden gcmnakt.
Ondor het reaiduteokcn, mag, wanneer hot residu in con

6

eindig aantal polen moet genomen worden, gedifferentieerd
en geïntegreerd worden naar een parameter, dus:

Ö t

en

/"\'■^(fC^, t)]dt=[^ [f\'f(z, t)dt

Dit volgt uit de omstandigheid, dat het residu als integraal
langs een der polen omhullende gesloten kromme geschreven
kan worden. Onder het integraal teeken mag toch, indien
integrand en integratieweg eindig zijn, gedifferentieerd en
geïntegreerd worden.

Bij totaalresiduen, die op een oneindig groot aantal polen
betrekking hebben, komt verwisseling van differentiatie resp.
integratie met residuname natuurlijk neer op het differen-
tieeren resp. integreeren van oen oneindige reeks terni-voor-
tenn. Hier zal dus op gelykmatige convergentie gelet moeten
worden. Cauciiy doet dit niet, en dit is do reden waarom,
ook al worden do in de verhandeling slecht« vaag aangeduide
bcwyzcn, aangevuld, zooals wy ons voorstellen te doen,
toch van een oplossing van het vraagstuk in hot algemeen
geen sprako is. In het algeméén is do gelykinatige conver-
gentio der voorkoinendo reeksen niot to bcwyzcn.

Uit do deflnitiie van het residu volgt, dat voor cen enkel-
voudige pool Zo:

^ . . . (1)

en voor een 7«-voudigo pool ZqI

^ 1 _ ^^^^ _ j Lm ^^ . (2)

Het totaalresidu van eon gebroken rationaló f\\inctio, wier
grapd geiyk aan of kleiner dan — 2 is, is nul. Dit biykt, door

het residu als integraal te schrijven, en de integratiekromme
grooter en grooter te laten worden. Is de graad — 1, dan
is het totaalresidu gelijk aan het quotiënt van de coëfiicienten
der hoogste machten in teller en noemer.

Teneinde in een residu:

een nieuwe veranderlyko t, die met z samenhangt door de
betrekking £ = if (t), in tc voeren, schrijven wij het residu
als integraal. Wij onderstellen, dat «j (to) = ^o, en dat
if\' (l) in io geen vortykkingspunt heeft. Er komt dan:

f = o^if f dZ = f f l-r (OJ q/ {i)dt =

..I TT IJ (I) w TT IJ (jyj

= .....(3)

/v\' is een gesloten krommo om to in het /-vlak.

HOOFDSTUK 1.

Uiteenzetting van het Vraagstuk en eerste Opzet
van de Oplossing.

§ 1. De partieele differentiaal-vergelijking zij:

......(1)

of voluit geschreven:

= 0......(la)

Gemengde «lifferontiaal-quotiöntcn komon dus niot voor
en de coü/ficienlcn zijn comtant. Do randvoorwaarden luiden
als volgt:

1°. Voora; = .\'Co:

^(D,)2 = 0, . . .= 0 ... (2)

2°. voor x = xi:

/;(/),)r = 0, . . . . . (3)

d. w. z. voor venneldo waarden van x moet do oplossing
aan twee stellen hoinogeno lineaire differcntiaiil-vorgoHjkingcn
in X voldoen. Cauchy onderstelt de coGlllcienten in dozo
vergelijkingen constant. Daar zo echter slechts voor hopaaldo
waarden van x behoovon to golden, is dezo\'hoperking niet
noodig.

9

Wij nemen aan, dat de orden van (2) en (3) alle lager
dan 2 m zijn. Zonder beperking kan worden ondersteld dat
de orden van (2) alle verscliillend zijn. Door geschikte onder-
linge aftrekking is dit toch steeds te verkrijgen. Hetzelfde
geldt voor (3). .
Do initiaalvoorwaarden zijn:

2 = fo(a;), . . . D?"\'- = f—i (4)

voor

t = ti en .To ^ -"C ^ .\'Cl.
Van deze functiën f zal het voldoende blijken to onder-
stollen , dat zij in het interval x^ — .Ti a variation Umitce
zijn. (Zie Jordan Cours d\'Analyso III p. 507).
Do constanto Xy — .^o zullen wy in hot vervolg a noemen.

§ 2. Wy zullen trachton do oplossing op to bouwun uit
elemcntair-oplo.ssingon van den vorm:

nuit coëdlcionUMi, dio function van r cn s zyn. Kennolyk
wordt voroischt:

s) = 0.......(5)

Do wortels dor vorgclyking in (»:

8)-FiQ, o)-F{n, o) = O . («)

noomcn w(j:

r, r,, . . . r3«_i......(7)

Het zyn algebraïsche functiën van do corsto, r.
Do wortels dor vorgeiyking in a:

a) = 0.......(8)

noomon wy:

«O, «I, ... 5.-1.......

Ook dezo zyn algcbrulscho AmctiC-n van r.

10

Aan de diff. verg. (1) zal voldaan worden door uitdruk-
kingen van den vorm:

(Ao e^\' (\' - « e». - ... _ 1 e»» -1 (\' -\'-)) (Bo " \'«)

. . .e\'äm-ic-\'.)),. . (10)

alwaar voor r nog een willekeurige waarde kan genomen
worden, en

vlo... _ 1, Bl... Bi„_i

willekeurige functiën van voorstellen.
De randvoorwaarden (2) en (3) zullen vereischen:

f, (r) Bl f, (n) . . . . _ 1 (rs. _ O = 0. (11)

p = O, 1 , ... 7fl — 1

en

p = ?n, ni -j- 1, ... 2 m — 1.

Do stellen vergelijkingen (11) en (12) hebben slechts oon
van nul verschillende oplossing, indien do determinant op do
coëillcient^n, dien wij ^ (r) zullen noemen, nul is, on r zal
dus moeten voldoen aan de transcendente-vergelijking:

(r) =

/\'o(n).........^(r9„_l)

r.-i(r) /.-i(n)......

e\'rAm-} (r) (r,)... c-^j—-i (r«,.,)

11

De functiën B ... kunnen nu opgelost worden uit

de vergelijkingen:

Bo f, (r) B, f, (r.) . . . B,..^ f, (r, „ _ i) J?, (r) (U)

p = 0, 1, ... m — l

en

Soe^\'fp (r) Bl e-r, f^ ... (r2„_a) =

= Ii,Ts{r),.......(15)

l)z=zm, Wi 1, ... 2 m — 1,

alwaar i?o, Ri, ... Rim\'-\\ nog nader te bepalen geheele
eenwaardige functiën van r z|jn. De keus, dio voor deze
functiën gedaan wordt, verandert do onderlinge verhouding
dor /i\'s niet. mits voor r een wortel van (13) genomon
wordt. Do B\'a verhouden zich dan toch als do minoren der
elementen in onverschillig welko rij van (r).
Tor bekorting wordt:

7ioc .öi C\' .. .-\\-Bim~\\ v(r, x)

gestold, en dus is:

O C\'t*"\'-\'......t\'il w -1 ~

Ro fü{r)........^(>•a«_l)

fm-iO\').....

12

§ 3. Beschouwen wij vervolgens het totaalresidu:

p sP[F{r, s)-F(r, «)]
O, (F{r, s)]{8^a) \' • • •

1 ... 71— 1,

alwaar u een veranderlijke, die alle waarden kan aannemen,
voorstelt.

Daar de teller voor s = « nul is, mogen wij in den noemer
s —« binnen de residuhaken nemen. Het residu in den
pool « is toch nul. Voor (17) kunnen wij dan schrijven:

[S - 4 ^ , [(8 - «) F(r, s)] ■ •

Het laatste residu is nul, want do graad in s van den
teller is minstens twee eenheden lager dan dio van den
noemer. Het eersto heeft do waarde «f on er komt dus:

[F{r,8)]{s-u) -« • • •
p = 0, 1 . . . n — 1.

Denken wij:

F(r,8)-F(r,u)

8 — u

naar do machten van" « ontwikkeld. Lcttcndo op (1), vindon
wij, indien:

/o    ..........-}-/,_, = 7„ («)

/o =(/,_,(«)

(20)

13

gesteld worden:

O — cc

Daar (19) voor alle waarden « geldt, kunnen wij er voor
de functiën q het volgende uit afleiden:

r g* («) 1 7

/ , -.n-7—(V = 1. voor p = k

iP{r,s)] ... (22)

= 0, „ PT^k.

p cn k beido ^ 7i — 1.
Do betrekkingen (22) gelden onafhankelijk van do waardo
van r.

§ 4. Mot behulp van v (r, x) (10) on do functiën q {s) (20)
stollen wij lui do volgende uitdrukking op:

alwaar:

\' O - L , [F (rj))

f\'>o (r) . . . fü,_i (r) zijn nader to bepalen gohoolo oonwaardigo
functiën van r. Do lunctio u (r, i) is oon goluHdo oonwaar-
digo functio van r.

]^Ioclit(;n voor eon bopauldo waardo van r twoo of nieor
van do functiën:

5o ... 5.-1

samenvallen, dan weten wij uit (2) p. O, h0(ï in zulk 0(Mi
moorvoudigo pool het residu bepaald wordt.

Uit do godaiinto van Jv (\'*) (1\'^) ^-\'Ofc num, dat dozo fimctio
twoowjwrdig zal kunnon zyn. Jhit zal toch niogdiyk zyn,
t\'iit by eon gesloten omloop van r in zyn vlak, do functiën:

»1 . . . »\'«-i

u

een oneven permutatie ondergaan. Dit zal kunnen gebeuren
indien r een eventueel vertakkingspunt van de door (6)
bepaalde algebraïsche functie n (r) omloopt. Na zulk een
omloop zal § (r) van teeken omkeeren. Wij zien echter
uit (16), dat dan ook v (r, x) van teeken omkeert en kunnen
besluiten, dat v (r, x) / ^ (r) en dus ook de functie onder het
residuteeken in (23) eenwaardig is. Wij zullen in hoofdstuk II
aantoonen, dat Jy (r) oneindig veel nulpunten heeft en het
residu in (23) moet dus genomen worden in een oneindig
aantal polen, over welker volgorde een afspraak zal worden
gemaakt. Noemen wij deze polen:

r\', r", . . . rC), . . ,,

dan wordt (23):

V r V {r, X) u (r, Q _

Wij onderstellen nu omtrent deze oneindig voortloopcndc
reeks fnnctièn van x cn t, dat zij convergeert, en dat zij
term voor term naar % en naar t mag gedifferentieerd worden,
zoovele malen en voor zoodanige waarden van deze vcramhr-
lijken als ter verificatie van differentiaal-vergelijking, rand- en
initiaalvooricaarden noodig is.

\' Om aan to toonen, dat (23) aan differentiaal-vorgeiyking (1)
on randvoorwaarden (2) en (3) voldoet, kunnen wij dan
volstaan dit van een afzonderiyken torm dor reoks (25) to
bewyzon.
Beschouwen wy dus:

r v (r, X). u (r, O _

—m—\' \' \'

Indien:

/M i)]"-\' ... ^-2,-1 J)r= Go {IK)

en

♦ U m . Dl = 6\', (A)

15

gesteld worden, zal:

D,), z= Go (!>,) (Dt) z-}-k,„2 . (27)

zijn. Bedenken wij, dat bij een residu in een eindig aantal
polen verwisseling van differentiatie en residuname geoorloofd
is, en verder, dat r, ri . . . ro„_i de wortels van verg. (6)
zijn, dan volgt:

" ^ \' - r = -

_ r JLCH^) O\'\' O /OQN

-Cv rT(r) , = • • •

alwaar:

„ /,. r gp(r) Igo(S). O.0(r) ... -1 (8)to,, 1 (r)1 c-

Evenzoo is:

^ /nx _ r v(r,x)ih(r,i)

\'rt-(r) • • ^^^^

indien:

cn wil vindon:

Dt) K, = I Go (/),) G, (D,) -I- A-3. I E. =
_ p t) (r, x) ihir, t)

^r ?i(>\') " r-.o\'

alwaar:

Daar dit liuitsto residu, door do aanwezigheid van F(t\\s)
in don teller, nul is, is aiuigctoond, dat do term E, uit do
roeks (25) aan (1) voldoet.
Kven gonuikkciyk biykt, dat do Ey aan do randvoorwaarden

16

(2) en (3) voldoet. Wij zullen het laten zien voor de eerste
voorwaarde (2). Lettende op (14) vinden wij:

ro(D.)E.= r BoTsir) u(r,t) ^^

voor x = Xo,

en aan deze conditie is dus voldaan. Analoog voor de overige.

Teneinde de waarde van de functie (23) en haar eerste
n— 1 afgeleiden naar t, voor t = to, te vinden, mogen wij,
bij de onderstelling van pag. 15, de afzonderlijlce termen
i\', (26) eerst naar t differentieeren, dan t = tQ stellen en
vervolgens sommeoren. Wij hebben nu:

. . (30)

alwaar:

.(31)

Ter berekening van D^t E, voor t=zto, mag onder het
residutoeken in (30) eerst t = to gestold en diuirna het residu
genomen worden. Dit blijkt gemakkelijk, indien men het
residu schrijft als intognuil langs oon ?•(,) omhullende kleine
kromme. Evenzeer wordt m» (/•, /„) gevonden, door binnen
het residuteekon in (31) tzzztoto stollen on derhalve is:

2)? A; ^JrLÉ^\'if^l . . (32)

„ (r t\\— r I Qo (s) \'00 (r) • •. -1 («) -1 (r) 1 .o...
(r, to) - ---------^^ j---L-. (3.{)

Maken wij nu gebruik van do betrekkingen (22), dan blijkt
ton slotto:

p ^n— 1.

17

Bij t = to, \\inden wij derlialve voor de p® afgeleide naar ^
van (23), mits p ^n — 1 is:

» v ir, x) a>, (r) _ r ^ X) • «V (\'•)

r = (W)] • ^^ ^

In het voorgaande is dus aangetoond, dat de functie:

r ^ {r, X) u (;•, t)
^r .....^^^^

indien de voorwaarde op pag. (15) vervuld is, aan do
differentiaalvergelijking (1) en de randvoorwaarden (2) en (3)
voldoet, en dat, voor ^ = ^o, liaar afgeleide naar t gelijk
is aan:

■ ......

;> = 0, 1 ... n — 1.

Is aan gonoemdo voorwaarde niot voldaan, dan zullen de
residuen (23) on (35) slochts in con eindig polen moeten
genomen worden, wil dozo uitspraak biyven golden.

§ (). Hooft rt (r) .slocht.s enkelvoudigo mili)unton on hooft
bovendien in goon van dozo nulpunten <lo vergelijking
s) = 0 moorvoudigo wortels, dan zal do ontwikkeling
van (23), eon reoks functiGn van don vorm (10) oplovoron.
Hooft hetzy \'rt (r) moorvoudigo nulpunten, hetzy in con
nulpunt van Jy (\'\') vergoiyking F(r,n) = 0 moorvoudigo
wortols, dan ziot men, door toopnssing van (2) pag. (5, dat
do o.xponontioeio tonnen in (10) vornienigvuldigd worden
mot rationalo gohoolo fnnctif\'n van x on t. Ons bowys biyft
ochtor golden, want wy hebben omtront al of niet samon-
vallon van nulpunten goon onkolo ondni-stoliing bohoovon to
makon. Botrokking (2) pag. (J gooft stcods volkonion (luidoHjk
iuin hoo (28) berck(»n(i moet worden. Roods voor hot oon-
voudigHto goval, dat ^ (r) eon twoovoudig nulpunt hooft,

VJ

18

•wordt de uitdrukking voor het residu zeer. samengesteld.

In (28) kan nu nog beschikt worden, over de functiën
Eo. . . Bim-i uit de eerste kolom van v (r, x) en over
Wo (r) . . . cü„_i (r) uit u {t, r).
Cauchy stelt:

Bo =-ro{r),

R, =-fi(r),

(86)

en:

. . . (87)
= O, 1 . . . « — 1.

In (37) zijn fo. . . f._i, do functiën uit de initiaaiconditios
(4). Wij zullen in hoofdstuk III onderzoeken, wolko waardo
do uitdrukkingen (35), in do onderstellingen (36) cn (37),
jumnemen, maar moeten hiervoor eerst do ligging dor nul-
punten van ^ (r) bepalen. Wij ga.\'in in het volgend hoofdstuk
daartoe over.

OJ,

i

HOOFDSTUK H.

Ligging van de Nulpunten van S (/ ) op grooten
Afstand van den Oorsprong.

§ 1.

.........fo{nm-l)

......

\' fn (r) ff\'\' fm (n).....« -1 (ra« _,)

/ö . . . /s- j 7.ijn gehoelo rationalo functiCn rcsp. van do
«radon Oo . . . g3m-\\\' Df^ gotallon ffo . • .ƒ/«.-) J^\'U»! allo
van olkaar vorschillond on kloinor dan 2 m, Hotzolfdo goldt
üm . . . Oim-x. 1^0 coüfllcionton van «lo lioogsto niaohton
wor(l(»n goiyk eon gedaolit.
Do functiön:

r, r, . . . ra.-,......(ii)

20

zijn de wortels van de vergelijking in o:

Fir,0)-Fio,0) = 0......(3)

In plajits van ^ (r) zullen wij de functie ^ onder-
zoeken, alwaar b een nader te bepalen constante voorstelt.
Indien r door r b vervangen wordt, gaan de functiën (2)
over in:

^\'ó, K . . . ......(3)

waarmede de wortels van do vergelijking:

0)=:0 .... (4)

worden aangeduid. Natuurlijk is =.r b. Hooft de door
(4) bepaalde algebraïsche functio n (?•), vortakkingspunten
bij omloop waarvan do wortels (3) een onoven pornuitatio
ondergaan, dan zullen hij zulk een omloop ook de kolommen
van (r -f b) oon dorgclijko pornnitatio ondergaan en zal
deze laatste functio dus van tookon omkeoron. Wij zion
hieruit, dat (rb) twoowaardig -kan zijn. (»(?•) heeft
voor r^-co geen vortakkingspunt, zooals uit (4) blijkt.
Kr kan dus een cirkel oni O als middelpunt hoschrovon
worden, buiten wolken do verschillondo bladen van (»(r)
gescheiden zijn. Wij gaan do ontwikkolingon van do fiuictiën
(3) naar machten van voor dit, zich tot co uitstrek-

kende, gebied oi)makon.
Bij definitio is:

en (4) luidt dus, voluit geschreven:

- Ir "• /M = 0 . ... (4 ff)

Wij zookon de ontwikkelingen van do wortels (, van «loze
vergelijking voor grooto Wiuirdon van r. Daar dozo wortols
vopr r = co zolf c» worden, vooron wij als niouwo onbekondo

i

21

het quotiënt o / r =in, en vervolgens vervangen wij,
om in het eindige te kunnen werken r door r\'% alwaar
r" = 7\'-^. Deze substituties voeren (4 a) over in:

[(1 6 r\'y " In (1 -f b r\'J - -1 -j- ... „ "] -f

. . . (5)

en wij moeten nu de ontwikkelingen van de wortels f>" van
deze vergelijking bepalen, in den omtrek van r" =. 0. Voor
r" = O wordt (5): = 1. Noemen wij de wortels van (5):

)/ // //
Po (?i . . • eaw-i»

en stellen:

= .......(G)

zoodat t een primitieve 2 jji^-nuichts eonheidswortol is, dun
is dus:

= kf voor r" = O......(7)

Door din\'erontiatio van (5) naar i-" komt verder:

d n\' (2 m b -1- A"i) (f — k\\ ,,

= i-\', voor r" = Ü .

d 2 m \'

Uit (7) on (8) volgt:

tv = " ^----- ^--\' -\'i- ) 1 •

indien door met een beginnende positieve macht reeksen in
r" worden aangeduid. Do reeks Pp convergeert binnen den
cirkel dio oin O als centrum beschreven wordt door hot
vertakkingspunt, in het blml van do tak (.J\' het dichtst by
O gelegen. Daar hot do mnchtreeksontwikkeling van een
analytischo functio bctroft, is do convergentie absoluut en
Boiyknuitig.

Substitueorcn wy in (U) voor on r" resp. en r->
tliiii krijgen wy do gezochte ontwikkelingen van do funtiOn (8).

. (10)

22

Deze luiden dus:

Daar ró — r-\\-h is, zal de reeks Po met de eenheid afbreken.
Wij kunnen nu over de constante b zoo beschikken, dat de
constante termen in de 2 m ontwikkelingen (10) alle dezelfde
zijn, hetgeen voor ons verder onderzoek voordeelig zal blijken.
Wij stellen daartoe:

\' b = —\'lci(2m,......(11)

en kunnen dan het resultaat van deze § als volgt samen-
vatten.

Indien r vervangen wordt door r — kif 2 in, gaan dc
functiën (2) ovor in:

7\'o, n . . . r\'a m -1,

alwaar:

Deze uitdrukkingen stollen derhalve, op voldoenden afstiuid
van O, de 2 in takken van de door:

F (r — ki I2m,0) — F ((., ()) = (). . . (i:i)

gedefinieenlo algebraïsche functio (r) voor.

Do reeksen P zyn met do eenheid aanvangende positieve
machtreeksen in r -Pp convergcort goiykmatig cn ab.soluut
buiten den cirkel, dio om O als centrum boschroven wordt
door het vertakkingspunt, in hot blad van do t^ik r^ het
verst van O verwyderd. Do reeks Po breekt met do eenheid af.

§ 2. Duiden wy met do letter d aan: positiovö machtreeksen
in \' zonder constanten term, dan kunnon wy schryvon:

23

»0 = r — kl I 2 m
ri =r r f — A-, / 2 vi -f- 8

• (U)

„ _ 1 = r f2«-1 _/ 2 „j _L ^

Do reeksen ö convergeeren zoker gelijkmatig on absoluut
buiten don cirkel om O als centrum door het \'t verst van O
verwijderde vertakkingspunt der door (13) bepaalde functio
beschreven. Wij noemen dezen cirkel Kq en zijn straal «o.
Sommige van do reeksen (1 zullen i. h. a. roods buiten kloinoro
cirkels convergeeren, maar dit doot voor ons niet ter zako.
Daiir in do ö\'s geen constante termen voorkomen, knnnon
wij haro absolute wiuuden zoo kloin makon als wij willon,
door I r \\ groot genoeg to nemon.

Do functie {r — k, / 2 m), die w\\j willon onderzoeken,
ontstaat uit (\'") wannoor wy aldaar do functiCn (2)
lioor (14) vorvangon. Do ondersto m ryon kunnen dan alle
door c-«*\'/®" g(<doeld worden. Is vorder:

dan is:

Mi) = a m ^ („,„^^

-{-/O    (lö)

AVnnt machtsvorliening van nbsoliuit convorgonto mncht-
rooks(»n, lovort rookson, dio ovonoons absoluut convorgooron.
Stollon wy:

= • . • (10)

24

en is dus:

ro(ro), fo{r\\),

rl>(r) =

dan volgt uit (15):

d\' (r) = ^ .
^.-l-J........J

(18)

wanneer nog de volgende afkortingen ingevoerd worden:

1 = ^1 .... (1«)

en

ffm-j-ff. i-j- . . = B . . . (20)

De J\'s in (18) duiden als boven positieve machtreeksen
in r-^ aan, zonder constanto termen, en convorgeeren buiten
Ao geiykmatig en absoluut.

S 3. Wij verdeelen nu het r-vlnk door 2 m van O uitgmindo
stralen :

"ï »1 _ i

25

in 2 m gelijke sectoren:

Sq, SI . . . Si«, —I.

Den straal ao cloen wij samenvallen met de negatief-
imaginaire as, zijn argument is dus — tt / 2. Wij gaan tegen
de richting van het uurwerk in, het argument van is
derhalve — n J 2 -{- p tt / m. De sector Sp wordt begrensd
door Up en (Xp ^ 1.

26

Voegen wij aan beide grenzen van S^ een strook ter
breedte c toe, dan zullen wij het zoo verkregen gebied,
voor zoover het buiten den cirkel Ko ligt noemen. Omtrent
c maken wij slechts de onderstelling, dat deze niet grooter
is dan (»0 SUl 71 / 2 7?i, zoodat de gebieden en v^ s buiten
elkaar vallen. Verdoelen wij door den halveeringsstraal
van Sj, in twee gelijke deelen, dan zullen wij het deel, dat
den straal up bevat, ^^^ i en het andere 3 noemen, In de
figuur op pag. 25 is gearsoerd.

Denken wij ons ter weerszijde van de imag. as en op
afstand c daaraan evenwijdig twee rechten d en d\' getrokken.
Wij onderstellen, dat d rechts van de as ligt. Is r een
punt in Vj dan zullen:

r*"-*, r  \\ . . . rt"».-*-!, . . . (21)

links van de rochto d en:

r^s«-*,   , . (22)

rechts van de rechte d\' gelogen zijn. Voor de roGolo godeolten
van (21) bestaat derhalve oen positieve bovenste, voor dio
van (22) oen nogatiovo benodonsto grens. Wij doelen mi
van don determinant in (18) do kolommen:

2 m — A- 1, 2 m — /c -f 2, ... 3 m — /c,

(wölke getallen motlulo 2 m golozen mooton worden) rcïsp.
door do factoron:

Totatil is dan gedoold door - want:

m-l O

en (18) wordt, indien wij nog do oorste m — k kolonnnon
van den determinant naar achtoron brengen:

fl> (r) = (— 1)"  . -\'). D . . (23)

I a,............a,

-fO),.......e\'i 4- Ô)

28

§ 4. Wij onderstellen nu, dat r in l\';.,! ligt, en beschouwen,
ter vergelijking met D den volgenden vereenvoudigden deter-
minant :

cq

s

<3>

0

tS\'

s?

1

c

K

i

7

rfa

I

I

m
£

i

Jl

29

Het is gemakkelijk te zien, dat de moduli der verschillen
tusschen de correspondeerende elementen in D en Di door
I r I groot genoeg te nemen, beneden elke positieve grens
kunnen worden gebracht Voor de bovenste helften der
voorste m kolommen volgt dit onmiddellijk uit de beteekenis
van iJ, evenzeer voor de ondersto liolften der achterste
m kolommen, indien men bedenkt, dat:

e" ^ « - -}- = (1 -f- Ö) (»{2" - f». J) = " - i)s.

Dat in D dc elementen in tle ondorsto helften van de
kolonnnon 2, 3 . . , zoo klein kunnen gemaakt worden
als wij willon, zion wij uit de oxpononton, Ligt r in
dan zullon toch van:

Sw-l^- 1

1

met hot aangroeien van (r), do reficlo godoolton in absoluto
waardo toenemen cn iiogatiof zijn. Do olomonton in kwostio
wordon dan al spoodig heel klein, Diuir de corrosponileerendo
olementen in D\\ nul zijn, worden ook do vcrschillon kloin,
Hotzoinio goldt voor do bovonsto holfton van do kolommon:

Wl 4- 2, Wi 3, , , . 2 m.

Blijven ovor do ondersto holft, van do ooi-sto on bovonsto
van do wi" kolom. Voor dozo olementen blijkt do waarheid
van onzo boworing, wanneer wij bedonken, dat e*\' = 1
on, bij onzo on<lorstclling ovor r, do moduli van:

hoogstens gelijk c-\' zijn, Wy kunnen dus do vorRchillon
tusschen allo paron corrospondoorondo olomonton in /) on 7),
in absolute waarde kleiner dan oon willokeurig to govon
kloin goUU makon, indien wij j r | slochla groot genoog
nomen.

30

Zijn alle elementen van een determinant van orde 2 m
eindig, dan zal door variatie van deze elementen met een
bedrag, waarvan de absolute waarde niet grooter is dan een
klein getal y, de waarde van den determinant varieeren met
een bedrag, welks absolute waarde hoogstens gelijk is aan ?/
vermenigvuldigd met een slechts van 2 m en van den modulus
van het grootste element in den ongevarieerden determinant
afhangende constante De moduli der elementen van Di
zijn, daar r in ligt, hoogstens gelijk e"\', en wij besluiten
nu gemakkelijk dat, indien een kleine waarde willekeurig
wordt aangenomen, er altijd een eindige getallenwaarde
te vinden is, zóódanig, dat voor de punten in die op
afstand of verder van O liggen, de modulus van het
verschil tusschen Di en D hoogstens gelijk is. Het
getal p, zal met het kleiner worden van »/ toenemen, doch
steeds eindig zijn.

§ 5). Ligt r in Vj.,«, dan vergelijken wij D, i. p. v. met
A, met den volgenden vereenvoudigden determinunt:

\') Aangonoinon wordt, d.at »; nimmer do waarde oon ovorsclirüdt.

O, O.......e-r.2—

O,

(26)

32

Analoog aan § 4, vinden wij dan, dat, de kleine waarde tj
gegeven zijnde, er een eindig getal bepaald kan worden,
zóódanig, dat voor do punten in o op afstand of verder
van O gelegen de modulus van D — D^ kleiner dan y is.

"Wij mogen de stralen in § 4 en in dezen paragraaf met
hetzelfde teeken aanduiden, want mochten de straalwaarden
vereischt om in i en » de moduli van D — Di resp.
D — D.2 kleiner dan ij te maken verschillend zijn, dan kunnen
wij altijd veilig voor beide de grootste van deze twee
waarden nemen.

Wij kunnon als functie van // beschouwen en dofinieoren
als liet kleinste aan de volgendo voorwaarde voldoende getal q :
Voor de punten van i resp. », gelegen op of buiten
den met straal q om O beschreven cirkel, zijn | D — Di | resp.
\\ 1) — Di\\ hoogstens gelijk y.
Met het afnemen van ij neomt too.

§ 0. Do determinanten J)i (25) on 1)> (2()) kunnen gemak-
kelijk berekend worden door ze te ontwikkelen naar do
minoren van do bovenste m rijen.

Do ontwikkelingen bestaan slochts uit twoo tonnen. Voeren
wij do afkortingen:

1 t9<,........fio — yf.

(27)

1 ......fC»-»)?,-!

en:

1

1 .

1 l3im-\\......

(20)

33

in, dan vinden wij voor D, de waarde:

(zie voor ^ en .B, (19) en (20)),
of:

A = (—  —  (29)

Analoog komt er:
Da = (—1)8- [1 — f - . e--\'-\'j. P. . (30)

Wij hebben ondersteld, dat noch in do rij g^ . . .gm-\\
noch in de rij gm >. ■ gim-\\ gelijke goUUlon voorkomen, on
bovendien, dat de g\'a kleiner zijn dan 2m. Dit heeft ton-
govolgo, (lat P cn <? van nul vcrschilloni). Hadden wij,
do kiatstc onderstelling niot gomiuikt, dan zoudon cr ondor
(lo getallen g kunnen voorkomen, dio mod 2 m ajin clkjuar
golijk waron, on zouden dus P of Q nul kunnen worden.
Voor ons bewijs is het noodig, dat dit niot gcbourt. Cauchv
noemt

do huitsto rostrictio, dio cr op neer komt, dat do
ordo van goon dor randvoorwaarden hoogor dan 2m — [
is, niot. Mon bohoiift dio indcnhuul niot tc makon. Indien
or ondor do g\'B twco voorkomen, wier verschil con veelvoud
van 2 7« is, kan in don determinant ïv (O\'^^or goschikto
onderlinge aftrekking van ryon dozo omstjindighcid opgohovon
wordon, on dan toch, behoudens in Z(j(jr byzondero gevallen,
voor (r) hot onderzoek van dit hoofdstuk onvorandord
uitgevoerd wordon. Wy gaan liior ochtcr niot nader op in,
daar in do moeste toepassingen do ordon dor randvoorwaarden
higor zullon zyn dan do ordo 2 m van do partioolo dillcron-
tijuilvcrgciyking t. o. v. x.

\') Dit blükt onniitldolIUk, wannoor num Inxlonkt, dnt /\'on <2 zoogon.
dctorminanton van Vandkhmonuk ^.Un.

3

34

De nulpunten van Di (29) liggen op den straal «t, op
afstanden yan O, die bepaald worden door de betrekking:

{A-{- B) n ijm2 a n {mod 2 n i),

Wij beschouwen van deze nulpunten slechts de in het
gebied St, i liggende. De afstand q zal dus gelijk aan of
grooter dan no (zie pag. 23) zijn. Wij leggen er cirkels om
met een kleinen straal r, en noemen het geheel van de
door deze cirkels omsloten kleine gebieden: yi, waarbij do
begrenzende cirkels niet tot yi gerekend worden, maar tot
het overblijvende gebied i — yi.

Analoog liggen de nulpunten van Di op a^ i, eveneens
op afstanden (31) van 0. Ook om deze, voor zoover binnen
gelegen, slaan wij cirkels met straal r, cn noemen do
omsloten gebieden yn. Voor den modulus van Di bestaat in
y.1.1 — yi een positieve onderste grens \'). Zoo ook voor
den modulus van Dj in iii., 3 — ya. De kleinste van dozo
grenswaarden noemen wij daarmedo uitdrukkende, dat
zij afhangt van den kleinen straal r. Wordt deze kleiner
dan zal natuurlijk ook ijr kleiner worden. Nomen wij nu
oon kleine waarde t^ in godachto, dio slechts aan do voor-
waarde 7/1 < T/r moot voldoen, cn bepalen do bij yi behoorondo
straalwaardo (zio pag. 32). Wij wcton dan, dat in do
punten van 1 resp. ïj, 3, buitqn den cirkel mot stnuil
om O boschrovcn, 1 — D \\ resp. \\ D^ — D \\ hoogstens
(lo waarde »;, hebben. Buiten dezen cirkel is dus in It.i — yi\'

\\ Dl Ir .OON
......

»

\') Vei;^,\'. L1NDEI.ÖK, Calcul dos Résidus, pap. :)2 noot.

.....(33)

35

en in 2 — /a:

I n. I = „

Vr

Di —

Bedenken wij, dat jy, >171 is, en noemen liet geheel van
do gebieden yi on yi\'.y dan volgt onmiddellijk, dat in
-I- — y, voor zoover buiten den cirkel, mot straal (»,, om
O beschreven:

I^I^Vr-Vi......(34)

zal zijn, en D aldaar dus goen nulpunten zal hobbon. Do
ongolijkhedon (32) golden ook nog öp do cirkels die yi
begrenzen, on wij zien er mot bohiilp van oon bokondo
stolling (zio b. v. Picard, \'Traité d\'Analyac II, pag. 291)
uit, dat D en Di binnen olk van do cirkolvormigo gebieden
yi, dio buiten den cirkel, mot straal p,, om O boschroven,
liggen, evoiivool nulpunten hebbon. Voor Di bedraagt dit
aantiil één on dus hooft ook D in olk van dio gobiedon oon
enkelvoudig nulpunt. Hetzelfde volgt uit (33) voor yg.
Onzo uitkomst kan aldus worden samengevat:
Wij gaan uit van een, naar xoillckcur te kiezen, kleine
waarde t en zoeken de minima van | D\\ | resih \\ Ik \\ in de
door X bepaalde gebieden i!», 1 — yx resp. ü»., 2 — yi- Hft
kleinste van deze minima zij IFsy nemen vervolgens een
getal j/i , dat kleiner is dan i;,, in gedachte en bepalen de daarbij
behoorende waarde gelijk op pag. 32 is aangegeven. Met
den straal p,, beschrijven wij een cirkel om 0. Buiten dezen
cirkel zal nu D in elk van de kleine gebieden y cen enkel-
voudig nulpunt hebben en zal in hel gebied — y dc modulus
van D niet kleiiwr zijn dan — lyi-

Gaan wy mot r naar 00 volgons oon binnen St gelegen
richting, dan worden van en —do

roPolo gcdcolton negatief oneindig on dus volgt uit (29)

36

en (30) voor deze richtingen:

Lim Dl = Lim D^ = (— 1)» . - i) . p. Q.

Daar verder bij elk klein getal 7; een eindige straalwaarde
berekend kan worden zóódanig, dat voor I | ^ , in
1 de modulus van D — Di en in Vi-, 3 de modulus van
D — Di kleiner zijn dan ?/, zien wij dat, indien het argument
van r binnen den sector S,, ligt:

im D = (—1)8.  . P. <? . . (35)

voor Lim | r | = 00.

Voor de grensstralen Ui en ui- 1 geldt dit niet meer.

§ 7, Uit de betrekking:

ib {r) = (— 1)\'»-i n , e^«r/.\'-(i-.). D, . (28)

zien wij, dat de nulpunten van \'/> (?•) en I) binnen samen-
vallen. Do factor waarmede 7) vermenigvuldigd wordt heeft
in dat gebied tocli geon nulpunten, daar het rcöolo gndoelto
van 2ar/f\' (l —f) er steeds positief is. Wanneer wij lui
k dc waarden O, 1 ... 2 w — 1 laten doorloopen, weten wij
omtrent do nulpunten van \'/» (r) op voldoenden afstand van
O, alles wat wij noodig hebben. Ons rcsultaiit luidt als volgt.

Op cle 2 m van O uiUjmndc stralen xoorden de punten, wier
afstanden tot O door (.SI) bepaald worden, gemerkt. Om deze
punten worden cirkels met straal r getrokken ^ die zoo klein
kan zijn als wij loillen. Het is mogelijk een, van r afhangende,
eindige waarde n te bepalen, zoodat in het gebied buiten den
cirkel met strml a om O beschreven het volgende geldt: liinnen
elk van de kleine cirkels met straal r heeft <1» (r) em enkel-
voudig nulpunt en daarbuiten liggen geen nulpunten.

Daiir:

\'^(r — kil2m) = e-"\'>l^ih(r) .. . . (KJ)
is, go]dt dit resultaat ook voor >v (r), Indien in dc plaats

37

van O het punt r= — ki I 2 m wordt gesteld, en het doel,
dat wij ons in dit hoofdstuk gesteld hebben, is hiermede in
hoofdzaak bereikt.

Uit (16), (23) en (35) kunnen wij voor ^^ (?• — A\'i (2 7u)
nog het volgende afleiden:

1°.

(j- _ ki 12 m) : {(— 1)- - * ^ ^ . f («

. (1-0 p _

indien r volgens een binnen S^ gelegen straal naar oo gaat.
Do betrekking (36) geldt gelijkmatig t. o. v. het argument
van r. Voor en «/.^.i geldt zij niet.

2".

In het gebied h — y, voor zoover dit buiten den cirkel
niet straal om O beschreven ligt (/.io piig. 82), bestaat
voor den modulus van do in (36) ondor het liniietteeken
staande functio een positieve onderste grens.

P. en 2". zullen ons in hoofdstuk III to pas komen.

§ 8. Do ontwikkelingen in § 1—7 stellen ons in st-iiat to
bepalen hot totaal aantal nulpunten van «/> (r), gelegen binnen
oon cirkol mot voldoend grooten straal om O beschreven,
of, wat op hetzelfde neerkomt, van >y (r) binnen een «iorgo-
lyken cirkel om r = — ki / 2 in. Wy weten, dat op voldoomlon
afstand van O do nulpunten van \'ƒ> (r) by benadering op do
stralen « liggen en dat hun afstimden tot O, eveneens by
benadering, bepaald worden door (31).

wy beschryven nu om O oen cirkel met stnunl:

2 a in ^ 2 a \' • • • v >\'
waar n een groot positief geheel getal is, en noomcn dozen c„.

38

Wij bepalen het aantal binnen c„ gelegen nulpunten van
<I> (r) door de argumentstoename van deze functie bij omloop
van c„ in positieven zin op te maken. Is (I> {?•) tweewaardig,
dan moet n minstens zoo groot zijn, dat buiten c„ de beide
bladen gescheiden zijn (de straal (37) zal dus grooter dan oq
(zie pag 23) moeten zijn). Wij beschrijven dan den cirkel
in beide bladen en bepalen de argumentstoenamen bij omloop
van beide cirkels in positieven zin. Aangezien \'I> (r) in
correspondeerende punten op het teeken na gelijke waarden
heeft, zullen beide toenamen gelijk zijn. De totale toename
gedeeld door 2 u levert dan het binnen den cirkel (of do
cirkels) c„ gelegen aantal nulpunten, daar ü> (r) in het eindige
geen singulariteiten heeft en er dus geen polen voorkomen.
Is de functie tweewaardig dan worden do nulpunten in
boven- en onderblad geteld. Do vertakkingspunten, die, zooals
wij gezien hebben, ook nulpunten zijn, worden natuurlijk
slechts eenmaal gerekend.

Gaan wij na, wat er gebeurt wanneer r op c„ do eorsto
helft van doorloopt, d. w. z, gaat van het punt:

I— (^ Ji) tt/2 a m -f (2 n -I- 1) TT /2 aj ^-t/2
naar het punt:

(AB) 7j / 2 a m -f (2 n-j- 1) tt / 2 rt| c^-^l- ^ (i^ u^r/s-x

wolko punten wij resp. Pi on Ps zullen noemen.

Beide liggen in i;^,! on in beide geldt dus: (zio (23) on (21))):

II) (r) = (— 1)»\'-* ^\'.  . ^t-M-^x-^f/\'). p ,

.(1  , , , (38)

Wij weten bovendien, dat, voor | do modulus

van 1) — Dl hoogstens gelijk y is on dorlmlvo in (38):

zal zijn. Kiozon wij n (en daarmedo | r | ) slochts groot

39

genoeg, dan kan | // | dus zoo klein gemaakt worden als
wij willen. In liet punt Pi is verder:

1.....

en in Po:

I gS a r - ^ I _ g[f.< ,r/« _ « 1> *] .m »/3 « ^^Q^

gelijk door substitutie van de attlxeii van Pi en P^ in do
eerste leden van (39) resp. <^40) blijkt. Door n groot to
nemen, kunnen wij het tweede lid van (40) naar willekeur
klein maken. Voor:

1 _ j.....

vinden wij derhalve in Pi cn P«, op kleine grootliedoii na,
resp. de waaiden 2 en 1 en wij zien, dat het mogolyk is n
zóó groot to nemen, dat, wanneer r langs don cirkel c„ van
Pi naar P< gaat, de arguinontstoenamo van (41) minder dan
oen to govon kleine waarde bedraagt.
Do argumontstoonaino van tusschen Pj cn Pa is
4- ii) n- / 2 m. lil Pl hoeft hot imaginairo godeolto van
2 a r /(1 — f) do waardo:

\\{A-\\- B)lm-{2 n l)|t;r/2,
in Pi is hot nul; hot arguinont van:

ncoint dus too mot:

l-(.i ü)/m (2 » 1)1"/-\',
on doiiuilvo hot iirguinont van:

mot (2 n 1) :r / 2.

Samonvattendo zion wy nu uit (38), dat, mit.s n groot
gonoog is, do arguinontatocnamo van \'/»(r) tusschen do op

40

gelegen punten Pi en Po minder dan een te geven kleine
waarde van (2 « -f- 1) tt / 2 verschilt.

Dezelfde redeneering kan voor de overige im — 1 halve
sectoren S gehouden worden, en het resultaat is, dat er
een getal ih bepaald kan worden, zoodanig, dat, indien r
den cirkel c„ met straal:

— B) TT / 2 a m (2 « 1) TT / 2 a,

alwaiir n^ih ondersteld wordt, éénmaal in positieven zin
omloopt, de toename, welke bij dien omloop het argument
van f/> (r) ondergaat, minder dan een to geven waarde van
m {2 n \\) 2 n verschilt.

Zorgen wij dus, no zoo groot to nemen, dat dit verschil
kleiner is dan tt, dan zijn wij zeker, dat voor éénwaardige
<b (r) binnen eon cirkel c„ {n ^ no) het aantal nulpunten
m(2 71 1) bedraagt. Is d\'(r) tweewaardig, dan moet dit
aantal verdubbeld worden.

§ 9. Wij besluiten dit hoofdstuk met een toepassing van
de uitkomst van § 8 op de functio:

111 1 i

.(42)

W I gar g-«r Q-arx ^

I . . . . \'

I r e""" — ric"*""\'

die in do thoorio van do trillende staven gebruikt wordt.

\'ƒ>(;•) is oon bijzonder goval van onzo functio rt (\'\')< ^van-
neer genomen wordt:

P(r, 0) = r»
/\'o(r) = /-a(r)= 1
fx{r) = f,{r) = r.

A m B zijn dus 1 en m = 2. § 8 lovort hot volgendo.
Mits ?io groot genoog is zal hot aantal nulpunten van d\' (r)

41

binnen een cirkel met straal n n / a om O beschreven
4 n 2 bedragen {n ^ ?io). -
Door eenvoudige herleiding volgt verder uit (42):

(ƒ> (r) = 8 r2 i (cos a r C/i a r — l), . . . (43)

en hieruit zien wij gemakkelijk, dat d» (/•) in O een zesvoudig
nulpunt heeft, en dat bovendien op de reöele as in elk van
de segmenten:

TT

^ ^ 2 71 2 7t ^ ^Ztt

tot -, — tot , enz.
a a a \'

a

TT.. 2 n 2 TT , , 3rr

— tot---,--tot — , enz.

a a ^ a a \'

een enkelvoudig nulpunt ligt. Daar d\' (r) door de substitutie
r=ri niet verandert, geldt hetzelfde voor do imaginaire
as. Wij hebben dus binnen eiken cirkel met straal ii tt / a
reeds i (n — 1) O = 4 m -}- 2 nulpunten aangewezen. Wij
weten echter uit onze algemeene beschouwing, dut hot aantal
niet grooter dan 4 »-j* 2 kan zyn, en hebben daarmede
bewezen, dat d» (r) (42) slechts reöele of zuiver-imaginairo
nulpunten heeft.

Cauchy hoeft dit, langs geheel andoren weg, (Oeuvrcs
Coniplótes Sério II, Tomo VI p. 3GG) aangetoond. In Raylcigh,
Sound I 1). 203 wordt, volgens een methode, dio aiui Poissox
wordt toegeschroven, bowezen, dat de vierdemaehtcn van
do wortels reöol moeten zijn. De mogelykheid biyil dan
over, dat op do stralen, dio do assonhoekon hulveeren, nul-
punten liggen, hetgeen niot hot geval is.

II O O F D S T U K UI.

Bepaling van ^^ f (,,) d ,,,

§ 1. "Wij vatten nu het eindo van hoofdstuk I weer op
en gaan over tob de bepaling van:

Bij f (,«) laten wij ter vereenvoudiging den index tijdelijk
weg. De functie v (r, x) luidt, wanneer voor J?o...-Ro,«-!
de waarden (36) pag. 18 worden gesubstitueerd:

e - . . . . M -1 - ^^o)

fo{r) foir).....ro(ro„,_i)

V {r, x) =

43

Er moet vervolgens een afspraak worden gemaakt over de
volgorde der polen. Lettende op hetgeen wij omtrent de
ligging der nulpunten van (r) in hoofdstuk II hebben
gevonden komen wij. van zelf tot de volgende rangschikking.

k

Om het punt r =z — - — worden concentrische cirkels

2 m

beschreven met stralen:

Op voldoenden afstand van het middelpunt zullen op geen
van deze cirkels nulpunten liggen. Mocht dit voor een der
kleinere cirkels het geval zijn, dan vergrooten wij dezen een
weinig, z.oodat het nulpunt er binnen valt. Wij noemen
deze cirkels:

Co , Cl . . . Cy , . . ■.

en hun stralen:

i\'o t\'i, . • . «V,........(3a)

Wij nemen im de tusschen twee opvolgende cirkels gelegen
polen bijeen. \'Hun aantal is steeds eindig cn voor voldoend
groote stralen steeds gelijk 2 m.
Deze volgorde brengt mede, dat:

Wij onderstellen, dat x in het interval xo^x^ Xi besloten
blijft, en splitsen de onder het residuteeken voorkomende

>) Verwarring met do op pag. 23 gedefmieerdo go behoeft niet gevreesd
to wordon.

44

intoKiual in tweo dcclon door voor hot eorste li«l van (4) te
Hcliry von:

vO\', X) f\' p v(r, X) /-\'.

\\V(J zookon do waardo van don eersten van deze twoo
tormon, dion wy dozo godtuinto kunnen govon:

alwjiar r = (»,

wy zullon hiurby con stolling noodig hebben, dio wy in
«lo volgendo 8 zullon afleiden, cn in dezen vorm mot eenige
uitbreiding ontloonon aan het boven aangehfuilde werk van
I..INDELÖF (aldaar p. 32).

S 2. zy ifi) eon functie, dio afhangt van i/» en het

gclieclo goUU I\', on in i/» de jwriodo 2 i heeft.
Wannoer i/> tusschen:

2 ^ m 2 ^ m

ligt, on ook goiyk juin «Iczo grenswaarden mag worden, zullen
wy. in ovoroonstomming met hot vorige hoofdstuk, zeggen, dat
tfi zich m Si iKJvindt. Moeten do grenswaarden uitgesloten
wónion, dan zullen wy zoggen dat i/i zich binnen St Ixïvindt.
De stelling luidt nu aldus.
Indien ton oorsto:

L\\mL{r, 1/»)=: Ji, voor. i/» binnen . . (7)

(A- = 0, 1 . .. 2 m — 1),

cn ten twoedo:

I A (z», i/f) I kloinor dan ocn eindige wjwrdo M biyft voor
allo geheele waarden e cn voor allo wjuirden dan is:

Lim ^^ (8)

r«« M n Jo im

45

Do limiotgeiykhoden (7) moeten in do voor ip aangegeven
gebieden goHjkmatig vervuld zyn»).
Voor het bewys schryven wy:

» » T

\'-T m \'

r-T m r*^ f-J^m-\'

j ^ ^ -hj ^

(9)

s

De eerste en de derde integraal in het tweede lid zyn
in al)soluto waarde niet grooter dan -f- | | ) De

tweede is in absolute waarde niet grooter dan — 2 ^J ,

alwaar, wegens (7), nadat voor 3 een willekeurig kleine
waarde is gekozen, tj beneden elke positieve grens kan ge-
bracht worden, door r slechts groot genoeg tc nemen. De
mo<lulu8 van het eersto lid van (9) kan dus zoo klein
gcmjuikt worden als men wil Schryven wy de aan (9)
analoge vergeiykingen voor de andere deelintervallen van
het gebie<l O ^ n op, en sommeeren, dan iHïsluitcn

wy gemakkeiyk, dat r steeds zoo groot genomen kan
worden, dat:

1 /"«» ]

Ir (r, d — -f . . .

in alwolutc wjuirde kleiner dan een gegeven grootheid is.
De limietbetrekking (8) is dus Ixjwezen.

>) Hlcrmodo wonlt hot volgondo bodoold.

Indien:

- 2 ^ -2 --\' __

moot or oon olndlg gctAl r, to vindon r.ün, »Vidanig Ait voor
do aJMiohito wiuinlo van — A bfn<>don oen willokeurig aan 1«

nomon po«itlevo grcnii 11^1; A mag dnarbü too klein 7.ün al« nteii wll.

46

N.B. Indien L (y, ip) nog afhankelijk is van een para-
meter X en de betrekkingen (7) gelijkmatig vervuld zijn
voor xo^x ^x, dan zal de limietvergelijking (8) aldaar
gelijkmatig t. o, v. x gelden. De grootheden , . .
zullen dan in het algemeen functiën van x zijn.

§ 3. Stellen wij :

\'\'w^HêC fV-). (10)

alwaar r — Q^é"^. Om de stelling in § 2 voor de bepaling
van (6) te kunnen gebruiken, zullen wij de functiën
(x). . . As m _ 1 {x) trachten te vinden.
Wij beginnen daartoe de limietwaarden van den factor
V (r — /ci / 2 m) van L (x, v, xp) te zoeken. Dat de waarde
I r I bij het aangroeien niet continu toeneemt, doch de reeks
(3a) doorloopt, is voor dezen factor niet van belang. Uit
hoofdstuk II weten wij, dat, indien in de algebraïsche
functiën van r:

r, n . . . .......(11)

voor r gesubstitueerd wordt r — Ih 12 w, deze overgaan in:
r — Ici I 2 m
r f — ki j 2 m ö

■ ■ ■ (12)

^ f3,«-1 _ /c^ / 2 m ().

De ^\'s zijn machtreeksen in 1 / r, zonder bekende termèn,
die buiten cirkel lü (zie pag. 23) absoluut en gelijkmatig
convergeeren.
Uit (2) volgt dan:
— =  ■ har. ^ . (13)

47

alwaar:

H (r, a;) =

O  ...... s){x -

O  ..........eCs^-Di/o-J-^^

O e-"- (1 (5), {t\'J.. (ï)... ~^ (2™ - ^ 3)

§ 4. Zoeken wij eerst de limiet van H (r, x) in het geval,
dat r binnen een der aan de positieve zijde van de imag. as
gelegen sectoren St naar oo gaat, It is dus O, 1 . . . of vjï— 1.

De reëele gedeelten van:

zijn dan positief. Wij deelen derhalve de kolommen:
2, 3...m — /c l, 2w — 7i; 2...2m-fl
van H {r, x) door de in de onderste helften voorkomende
expon. factoren, In het geheel is dan gedeeld door
Gelijk gezegd werd, onderstellen wij, dat r binnen S/t naar
het 00 gaat. Voor zijn argument xp geldt dus steeds:

n . ku . ^ - - TT , (/C -[- 1) TT V /1A\\

hoe klein 8 ook moge zijn. Gaat men nu het resultaat van
de deelingen voorzichtig na, dan blijkt dat, de kleine positieve
waarde d eenmaal vaststaande, steeds een eindige afstand
van O kan gevonden worden, zóódanig, dat voor punten
verder van O gelegen het verschil in de correspondeerende
elementen van den determinant, die door de deelingen
ontstaat, en den volgenden vereenvoudigden determinant;

1 0........0, f^\'oC«-^-) . . .

0 1

O............O

I , (15)

......

4Ö

dien wij i?i (r, x) zullen noemen, minder dan een te geven
kleine waarde bedraagt, en dat wel onafhankelijk van de
waarde van X. Daar verder de elementen van Hi x)
steeds eindig zijn (in - absolute waarde hoogstens gelijk de
eenheid) zal het verschil tusschen beide determinanten,
door ] r | groot genoeg te nemen, zoo klein kunnen gemaakt
worden als wij willen.
Wij hebben dus:

H (r, x) : «r/.^a ^r, x)-{-. . (16)

indien i// aan (14) voldoet. Door [ r | groot genoeg te nemen
kan I Ij I naar willekeur klein gemaakt worden.

i?i (r, x) is het product van den minor uit de onderste
m rijen, die, in de notaties van hoofdstuk II, (2. Q
luidt, en den complementairen minor:

O e-- - . .. c-- — xo)

1.9O O" — .......fffu (3 — ^• — 1)

Mx- (r, X — Xo)=

1 fffM _ 1 (»\'■ — . . . . fffm — 1 (2 »» — — 1)

en dus:

Bl (r, X) = (— . . g . M, (r, — Xo). (18)

Lim Mi (r, x — Xo) — 0, voor r binnen Si, en x > Xq.

r =00

Op den grensstraal Uk geldt (16) niet. Aldaar moet het
resultaat van de deeling van 11(7\', x), i. p. v. met (15),
vergeleken worden met een anderen determinaat, die uit
(15) ontstaat, wanneer de nullen uit de (m — Ä-f 2)° en
(2w —Ä-f 2)° kolommen resp. vervangen worden door:

I r £»\' -

en:

50

Analoog voor a^. i.

Wij zien langs dezen weg gemakkelijk in, dat in het
geheele gebied S^, met inbegrip van de randstralen en «i- 1,
het eerste lid van (16) althans eindig blijft.

§ 5. Vervolgens moet de limiet van H (r, x) gezocht
worden, wanneer r aan den negatieven kant der imag. as
naar oo gaat. Wij onderstellen dus, dat r in Sk ligt
m 1, . . . 2 m — 1). Wij deelen nu de kolommen:

door de expon. factoren van hare onderste elementen, en
bovendien de tweede kolom (die anders b^ de limiet geheel
nul zou worden) door e\'-C^-^»). Verder verloopt alles als in
§ 4, en de uitkomst is de volgende:

H (r, x) : e- ^o) 2«(1 - £) _ (-l^w \\ ^ ^A {m - V) _

.V .....(19)

indien voor ip geldt:

TT 1 /C TT , ^

k = m, w -f- 1, • • • 2 w — 1.

In (19) is:

I _ _ _ gr» "1 -r.)
e\'- Cn - =■) tOn, (2 »\' - ......t^fm (5 >» - ^ -1)

iV, (?•, Xi — x) —

«Sf-^-). . . f.\'/Sm-1-

en kan, door | r | groot te nemen, ] 7; j zoo klein gemaakt
worden als wij willen. Voor x < iCi is:

Lim N, (r, xi — ct)=z (2-i) , q , . . (22)

51

Op de grenzen en 1 blijft het eerste lid van (19)
eindig.

§ 6. Uit (13), (16) ßn (19) volgt:
y (j\' — /Ci /2 m, X) : ^ . 

^ (_ 1)»-^- . . . Jf, (r, a; — rco) . (23)
voor r hinnen St en k = 0, 1 . . . of w — 1,
y — /Ci / 2 m, a;): [r^ ^ . e^\' - ^«Z 2 "O - - «/a 2«r/^^- d - _
— (_ . _ P _ ^^ _ a;) . (24)

voor r binjien S^ en k — m^ m -f- 1, ... of 2 m — 1,

De verg. (23) en (24) gelden voor x^^ x ^ Xi, en er is
altyd cen | r | te vinden mó groot, dat de moduli van de
ij\'s beneden een te geven positieve grens liggen.

In het geheele gebied Si, met inbegrip van en cf^ i
blijven de eerste leden eindig. Hiermede weten wij van
V (r — k\\ 12 7n, x), wat wij noodig hebben.

§ 7. Voor den noemer van v, xji) (10):

%{r-hj2m),
kunnen wij verwijzen naar hoofdstuk II, § 7. Wij vonden
daar het volgende:

^ (^f ~ki\\2 m) : I\'(— 1)™-^- ^^ . r^ . e-\'^hl- 2«,
_  . p. gj 1 . . . (25)

voor r binnen Si.{k=z O, 1 ... 2 m — 1).

Door I r \\ groot genoeg te nemen, kan ] ij | naar willekeur
klein gemaakt worden.

De uitkomst sub 2"., p. 37 leert verder, dat, op de bogen,
die door S^ uit de cirkels c, (p. 48) gesneden worden, voor
den modulus van het eerste lid van (25) een positieve
benedenste grens bestaat. Deze cirkelbogen liggen toch
binnen het gebied, waarvan aldaar sprake is.

52

§ 8. Combinatie van § § 6 en 7 levert, voor r hinnen St:

V (r — ki / 2 m, x) : % (r — ki / 2 m) =
_ _ _ p-l _ x — Xo)-{- //, (26)

k = 0, 1 ... m — 1,

V (r — /ci / 2 m, re) : [\'Jy (r — ki j 2 m) . —

. . (27)
k = m, m -j- 15 • • • 2 m — 1.

Door I r | groot genoeg te nemen, kunnen de 7/s in (26)
en (27) zoo klein als men wil gemaakt worden.

Op de cirkelbogen door St uit de cirkels Cy gesneden,
blijven de moduli van de eerste leden in (26) en (27) eindig.
De betrekkingen (26) en (27) gelden voor het geheele
interval Xq^x ^ Xi.

§ 9. Yan L [x, j;, xp) blijft ter bespreking over de factor:

J=r . . (28)

dien wij nu zullen onderzoeken. In Pioard , Traité d\'Analyse
11, p. 182—184, wordt deze integraal behandeld, met het
onderscheid, dat ki daar nul is. W^ verwijzen ter vergelijking
naar de uiteenzetting aldaar. Wij volgen die ongeveer,
maar kunnen niet volstaan met eenvoudig het resultaat
over te nomen, daar wij een iets scherper uitkomst zullen
noodig hebben. Wij zoeken de limiet van I voor groote
waarden van | r | en onderstellen eerst, dat r aan den
positieven kant van de imag. as blijft, zoodat voor i/( geldt:

 . . . . (29)

waar een, desnoods zeer kleine, positieve waarde heeft.
Daar wij aannemen, dat f(ju) continu en d variation limitée
is, kunnen wij deze functie beschouwen als het verschil van

53

twee, in liet interval Xo ^ ^u ^ £Ci continue en niet afnemende,
fQnctiën f (,u) en f\' (fi) Wij voeren het onderzoek voor
deze functiën afzonderlijk uit, en nemen dan het verschil
van de uitkomsten. Wij mogen dus onderstellen, dat in (28)
f (u) een, in het integratie-interval nimmer afnemende,
continue functie is, eenvoudigheidshalve het accent van f (u)
weglatende.

Wij bepalen nu het positieve getal f zoo, dat:

f(Xo^e) — t{Xo) = 7i.....(31)

is, waar ij een, naar willekeur te nemen, kleine waarde
heeft en splitsen de integraal in I in twee deelen:

rx„ e fx

I=r , . . . . (32)

J x„ e

daarbij dus aannemende, dat kleiner dan x uitvalt.

Voor den eersten term in het tweede lid van (32) kunnen
wij schrijven:

f (Xo) 1 r cl

J x„

^\' r [f (a) — f (rco)] e - e- - / 3\'«) (f^ - -\'o) d . (33)

\'o

Wij stellen:

^ — i Q^ . . , (34)

Pen Q zijn beide reëel. De laatste term van (33) wordt dan:

T" ^\' P [f (u) — f (xo)] d jti -f i T" ^\' [f (^0 — f (Xo)] d li (35)

Bedenkt men, dat f («) —f (rco) in het intergratie-interval,
niet afneemt, dan kan, met behulp van de zoogen. tioeede

\') Zie JoEDAN Cours d\'Analyse III, i^. 568.

54

stelling over het gemiddelde (vgl. b.v. Picard I p. 7), voor
(35) geschreven worden:

[f(a;o 0 —f(^o)] rr"^\' iQd^, (36)

waar .9- en 0-\' echte breuken voorstellen, die ook nul kunnen
zijn. De eerste integraal in (36) is het reëele gedeelte van:

_ . r / (T — ki / 2 M) , (87)

en de tweede het imaginaire van dezelfde uitdrukking, wan-
neer O- door iV wordt vervangen. Letten wij op (29), dan
zien wy dus, dat, wanneer wij ons buiten een bepaalden
afstand van O bevinden, de modulus van den tweeden factor
van (86), hoe groot | r | ook is, steeds beneden een eindige
waarde, stel ilf, blijft. De tweede term in (38), dien wij «
zullen noemen, zal dus, wat de absolute waarde betreft,
hoogstens gelijk M rj zijn. Voor den eersten vinden wij:

ï{x,) [1 — e-c—.rl{r — h j 2 m) =:f(xo)
en (32) levert dus:

J £

I « I , 1 H ^M 7].

Letton wij weer op (29), dan zien wij in, dat een | ro |
kan gevonden worden, zóó groot, dat voor . | | ^ | ^o |
de modulus van den laatsten term in het tweede lid van (38)
hoogstens gelijk, if 7; is, en dat bovendien:

I f (a;o) | ^ Mij

wordt.

\') Wordt I r \\ slechts groot genoeg genomen, dan kan-| ß \\ beneden
iedere positieve waarde gebracht, en dus ook kleiner dan j/gemaakt
worden^

55

Dan volgt, dat, voor | r | p [ fo |, het verschil tusschen Jen:
f (rco) [1 — .... (39)

in absolute waarde hoogstens 4 M i] bedraagt.

Er werd aangenomen, dat Xo-\\- t {x is. Is deze voor-
waarde niet vervuld, dan laten wij den tweeden term in (32)
eenvoudig weg, en vervangen de bovenste grens in den
eerste term door x. Er komt:

I=f(xo) Tr d

r^ [^C") — f (^o)] c^^.

J

Als boven bewijzen wij, dat de modulus van de laatste
integraal hoogstens gelijk M 7j is, en voor de eerste komt
(39), zoodat voor de waarden van x, dio wij nu beschouwen,
de modulus van het verschil tusschen I en (39) hoogstens
2 M

t] bedraagt.

Samenvattend kunnen wij zeggen:

De kleine waarden 3 en ^ gegeven zijnde, kan steeds een
eindige waarde [ r^ \\ gevonden worden, zoodat:

J

indien | | ^ | ï\'o |

U . ^ — — TT -
--o" "9--"

2 I " ^ ^ 2

Xq^X^XI

en dus:

Jm 1= f (iCo), indien a; > iCo . . . . (41)
— O „ = . . . (42)

De betrekkingen (41) en (42) volgen onmiddellijk uit

1) Op oen grootheid na, die, door | r \\ groot genoeg te nemen, zoo
klein als wij willen, en dus kleiner dan Mrj, kan gemaakt worden.

56

Figaro\'s behandeling. Nadert x tot dan zal de | r | ,
vereischt om I met een te geven benadering aan f (xo) gelijk
te maken, onbepaald toenemen. In (40) is deze ongelijk-
matigheid door toevoeging van den term f (a^o) x„)
gecompenseerd. Schrijven wij (40) achtereenvolgens op voor
ƒ\'(,«) en f"(.it), en trekken af, dan behoudt de betrekking
denzelfden vorm, zoodat zi} geldt voor functiën, die continu en
d variation limitée zijn.

Teneinde te laten zien, dat I, voor alle waarden r op de
imag. as of aan den positieven kant van die as gelegen,
eindig blijft, schrijven wij, weer onderstellende, dat f(tt)
niet afneemt:

l = [f{x)—f{xo)]\\r iQd,

y  Jx„ S^(x-x„)

De integralen zijn resp. reëel en imag. gedeelte van
uitdrukkingen, van welke men gemakkelijk inziet, dat zij
eindig blijven.

§ 10. Het onderzoek naar I voor het halfvlak links van
de imag. as loopt geheel analoog. Het resultaat is:

De kleine waarden <5 en C gegeven zijnde, kan steeds een
eindige waarde | n ] gevonden worden, zoodat:

r . ^^ / 2- •\'•o) r »») - ^o) f («) d «

-f f (ic) |1 — - / -\'») - ^o)]
indien | r | ^ [-rï |

TT I V - _ 3 TT _

•g^H" ^ < < —g— = «

Xq^ X^ Xi.

Derhalve:

Liin . - / 2\'») - ^o) . ƒ — f {x), indien x^ Xq . (44)
*■ = Q j^x — Xq. (45)

57

In (43) wordt ondersteld, dat f {x) continu en d variation
Umitée is. De betrekking (44) geldt ook indien f [x) disconti-
nuïteiten heeft, mits in het tweede lid — f (ic — 0) wordt
gelezen. Bij zulk een discontinuïteit, zal echter de j r |
vereischt om de functie in het eerste lid met een gegeven
benadering gelijk —f{x — 0) te maken, onbepaald toenemen,
evenals dit bij nadering van Xo het geval is. De betrekking (43)
geldt in het geheele interval x^^x ^Xi^ maar nu kunnen
ook binnen dat interval geen discontinuïteiten toegelaten
worden. De ongelijkmatigheid bij de nadering van x tot Xo
hebben wij opgeheven door toevoeging van den term:

— f (a;) ef-f./s^x^-^-o).

Op en aan den negatieven kant van de imaginairo as blijft:

— f, / 3 m) {X — i-o) J

steeds eindig.

Opmerking. Voor het afleiden van de vergelijking (63)
.(zie onder) zouden wij met de betrekkingen (41), (42), (44) en
(45), kunnen volstaan en (63) zal dientengevolge gelden,
zelfs wanneer f {x) discontinuïteiten heeft. Wij hebben echter
(40) en (43) afgeleid om van de reeks (63) nog bovendien de
gelijkmatige convergentie in het geheele interval Xq-^x^Xi
te kunnen aantoonen, en deze zal natuurlijk vereischen, dat
f {x) continu is. Bij de afleiding van (43) moet dan ook f [x)
continu ondersteld worden.

§ 11. De uitkomsten van §§ 8, 9 en 10 combineerende,
vinden wij het volgende voor:

alwaar r = q, è t

= (10)

58

Er kan een eindig getal /\'o bepaald worden, zóódanig, dat,
voor y ^ i^o, L (x, i:lp) minder een te geven grootheid
verschilt van:

Q — (,x — x-„) 1^7)1 _ f — {m — p— ]

. Mt{r, X — Xo) [1 — s«o-f (^^o) . (46)

indien k = 0, 1 . . . m — 1.

en van:

. Q-^ . xi — x)[l — eC\'-/^-f {x). (47)

indien k — m, m 1 . . . 2 m — 1.

Ondersteld wordt, dat voor y; geldt:

2 \' m \' V\' 2 \' m

Zie voor M^ en Nt (17) en (21).

Dit geldt voor het geheele interval Xq^x Xi.

Hoe klein tï en het toegelaten verschil ook zijn, steeds
zal yo eindig uitvallen. Op de cirkelbogen, door \'Sjt (grens-
stralen inbegrepen) uit de cirkels c-, gesneden, blijft L {x, p, ifi)
eindig.

Wij weten nu van L (x^ p, i/\') all^s wat wij behoeven om
de stelling van § 2 te kunnen toepassen. In de notaties
van die paragraaf hebben wij:

a. Xo(x (Xi,

Ao (x) =zAi{x)=...=: {x) = 0,

A,„ (x) = A„ i {x) = . . (oc) = f{x),

b. Ao (xo) = Ai{xo)=...= (Xo) = 0,

c. (^i) — (^i) = . . . = (xi) — O,

* k = m, . . 2 m — 1.

59

De stelling levert nu:

^ Trèfrl?"^\'\'""\' " .....(^ö)

indien Xo(^x (^Xi,
= 0,.......(49)

indien x=iXo,
indien x = X],.

Het tweede lid van (50) kan gemakkelijk vereenvoudigd
worden. Wij onderstellen daarbij, dat geen van de getallen
dm ■ ■ . Oi m-i nul is. Is dit het geval, dan heeft N^ {r, Xi — x)
twee gelijke rijen, en vinden wij dus voor genoemd tweede
lid nul.

Wij moeten bepalen:

3 m — 1

■m

en vinden daarvoor, wanneer wij bedenken, dat:

1 1............1

1 ......

N, (r, 0)

f?2 m _ 1 (2 — . , _ I.UZ M — 1 — i- — 1)

is, den volgenden determinant:

1 .

i!fm

..........-j-

60

Tellen wij de laatste m kolommen bij de eerste op, dan
worden van de eerste kolom alle elementen behalve het
bovenste nul en wij hebben:

3 m — 1

V I{i{r,0) = 2mQ.

m

Verg. (50) wordt dus:

= . (51)

indien g,,, . . .

=r O . . . (52)
indien g,, . . . of = 0.

Is g,„ ... of g^M-i nul, dan beteekent dit, dat de oplos-
sing voor x = Xi nul moet zijn, daar een van de randvoor-
waarden dan luidt:

Dan zal natuurlijk ook f (a^i) — O zijn, daar er anders
strijd tusschen initiaalvoorwaarden zou zijn.

Gaat men onze afleiding na, dan blijkt, dat Urmen het
interval Xq — Xi^ de reeks, in welke het residu in (48)
ontwikkeld wordt, gelijkmatig convergeert. Wij herinneren
er aan, dat wij ondersteld hebben, dat f {x) continu is. Aan
de grenspunten zal deze reeks in het algemeen (wanneer
f {x) daar niet nul is) een discontinue functie voorstellen,
en dus niet gelijkmatig kunnen coüvergeeren. De bepaling
van den eersten term in (5) is hiermede afgeloopen.

§ 13. Indien wij voor den tweeden term van (5) den
er aan gelijken vorm:

C fW . (53)

61

in de plaats stellen, kunnen wij hiervoor een onderzoek
uitvoeren, dat gehéél evenwijdig loopt aan §§ 3—12. Wij
zullen het resultaat daarvan hier aangeven. Voor (53) kan,
indien :

m) (.r-.r„) g: - \\ ! 2 JU) V (l\' — k^ j 2 m , X).

2 m) •

. r ƒ\'\' é\'--/2«O(.r„_f = {x,v, xp) (54)

gesteld wordt, geschreven worden :
1 f^\'^

Lim ^ - / L\' (x, V, xp) d yj . . . . (55)

» = co tt J O

In (54) is weer r = Qyè\'^ ondersteld. Omtrent L\' {x, v, xii)
kan nu het volgende aangetoond worden.

Er is een eindig getal fo te vinden, zóódanig dat, indien
f ^ ro is, X\' (x, p, 1/t), minder dan een te geven grootheid
verschilt van:

f - - i) ^ ^ p-1 __ e(r - / 2 «O - Nl (r, x — Xo)A (x) (56)

indien k=: O, 1 ... m — 1,

en van:

. e-c-xi—x)f{x{) (57)

indien k=: m, . . . 2 m — 1.
Ondersteld wordt, dat:

n . k n . ^ — — u . (k V) TT. Ç

--— _L ----------^ < V < — -<5- -^----

2 \' m
In (56) is:

ß — r(x — .r„) {m — k)......,</„ (3 w — ^ — 1)

N\'i{r,x — xt) =

Q-r{x- xj _ j (m _ _ _ (2 m - - 1)

62

Mi (r, xi—x) =

1 (i/a m — 1 (2 >» — _ , , »i _ 1 (3 m — /c — 1)

Dit geldt voor Xq ^ x ^ Xi. Hoe klein ö en het tusschen
1/ {x, p, lp) en (56) resp. (57) toegelaten verschil ook zijn,
steeds zal i\'o eindig zijn.

Op de cirkelbogen, door St (grensstralen inbegrepen) uit
do cirkels c, gesneden, blijft L\' {x. , ip) eindig.
De stelling van § 2 geeft:

indien iCo < a; <: .-Ti ,

_ f p-1 V ^ c - (»\' - i) ^

~ 2 m • ^ • ü \'
. N\',{r,0)=:f{xo)^) . (61)
indien x — Xq.,

= 0.......(62)

indien x — Xi.

Samenstelling van (48) en (60), (49) en (61), (51) en (62)
levert nu het slotresultaat:

voor Xo^x "^Xi,

en hiermede is de bepaling van de boven dit hoofdstuk
geplaatste functie afgeloopen.

ï) MoQht van do getallen go • <7/»-i or een nul zijn, dan wordt
f ixo) = O ondersteld.

63

N.B. Ons bewijs onderstelt, dat f (x) continu en ä variation
Umitée is maar men ziet gemakkelijk, dat (63) ook geldt,
wanneer f {x) discontinuïteiten heeft, mits in het tweede lid:

-2- [f(^-0) f(x 0)]
gelezen wordt. Dit doet echter voor ons niet ter zake.

§ Ié. De reeks (63) is verkregen, door samentelhng van
twee reeksen, die, indien f (o;) continu is, binnen het interval
Xq — Xi wèl, doch aan de grenzen in het algemeen niét gelijk-
matig convergeeren, omdat hare sommen daar discontinue
functiën zijn. Door de opteUing heffen deze discontinuïteiten
elkaar juist op, waarmede echter allerminst de gelijkmatigheid
der convergentie bewezen is. Wij zullen laten zien, dat de
gelijkmatigheid inderdaad door de sommatie ingetreden is.
Wij beginnen met de grens Xq. Beschouwen wij eerst do
reeks (48), wanneer die afgebroken wordt na een eindig
aantal termen. Ondersteld wordt, dat slechts de polen binnen
den cirkel Cy, zijn meegeteld, hetgeen wij door een accent
aan het residu-teeken zullen aangeven:

Wij zullen:

x — Xo = ^,.......(65)

stellen en kunnen aannemen, dat voor | geldt:

O^^^li,:......(66)

waar l, een kleine waardo heeft. Beziet men de uitdrukkingen
(46) en (47) dan blijkt gemakkelijk, dat / steeds zóó groot
kan gekozen worden, dat voor het geheele interval (66):

• • • (67)

64

minder dan een te geven kleine verschilt van:

_ TT (i 1)^

• Ir 3

m — 1 r 3 in

2 m

E™--«-.!.....grE-"\'--\'\'-\'.?

—i)

1 ^ ^Jffl _ 1 (m — .....

3 T

^ 2 TT

Den eersten term van (68) deelen wij, door splitsing van:
in tweeën. Aangezien:

O,

1 fff« i>" -\'Ó ,!/„&m~!c-l)

i , l , . . . c

j — (jit — i) //

O,

f — i7o(»\' — ^ 1 ^ .... (\'» - 1)

f-ff,1, . . . . f <7»,("»-!)

65

vinden wij voor het eerste deel:

O I ...

O, e-»-?, . . .

t — a«^ .....(\'« — !)

dxp —

_ 10« -1)

e-\'^Ulxp. . . (69)

Voor den tweeden term in (68) kunnen wij schrijven:
^ f (Xo I)--f (a;o §) j ^ e^M V\'. (70)

De integralen in het tweede lid van (69) en in (70) zyn
gelijk, en wij kunnen dus, door klein genoeg te nemen,
zorgen dat, wanneer | aan (66) voldoet, het verschil tusschen
beide leden van (69) en den tweeden term in (70) kleiner dan
een te geven grootheid is. Onze slotsom is, dat wij steeds /
zóó groot en zoo klein (beide eindig) kunnen nemen, dat, voor:

Xo^x^Xo-^-h,.....(71)

beide leden van (64) minder dan een willekeurig te geven
kleine waarde verschillen met:

_ (l-J- IJ^TT

m — lr ^

f(^o) p_i V

---------- . JT ^

TT t = Oj_v kiT

2 m:

O, - ^ • ?.....c~~ ^ • ?

1 . i-ffo (\'» - .....i\'J« (3 ™ — i — 1)

 (72)

66

Wij beschouwen vervolgens de reeks (60), wanneer die
afgebroken wordt, nadat de polen binnen cv/ in aanmerking
zijn genomen, hetgeen wij door een accent aan het residu-
teeken zullen aangeven:

(i(if)r" ^-""-\'f (■«><\'"=

Uit de vormen (56) en (57), volgt gemakkelijk, dat v" zoo
groot kan genomen worden, dat het tweede lid van (73)
minder dan een te geven kleine waarde verschilt met:

f(^)

1,

g-r?^ f:7o(\'« —.....{.i7u(2»\' —^ —1

M-l /• 2 ^

„ kv
~ 3"

Hier is ondersteld:

= ^ a^o li.

Splitsen wij den determinant in (74) in twee determinanten
resp. met bovenste rijen:

1, O ... O

en

6?

verschillen met:

O, .....

— .....—i —1)

TT ,

«» — 1 r

.dip (75)

O \' ut.

Wij kunnen zóó klein nemen, dat, wanneer icaan(71)
voldoet, het verschil tusschen den tweeden term in (75) en
den eersten term (met positief teeken genomen) in (72), zoo
klein is, als wij zelf willen, en vinden nu, wanneer wij de
resultaten, voor (64) en (73) verkregen, samenstellen het
volgende:

Er kunnen een eindig getal vo en een kleine waarde lo
bepaald worden, zóódanig, dat:

minder dan een te geven kleine waarde met:

f(a;)

verschilt, indien het residu slechts in de binnen cirkel Cy^
gelegen polen genomen wordt en voor x geldt:

iCo ^ rr ^ rro lo.

Analoog zullen wij kunnen bewijzen, dat er, een getal n
en een kleine waarde |i te vinden zijn, die dezelfde rol spelen
voor de grens Xi. Daar de twee reeksen, uit welke door
optelling (63) verkregen is, hinnen het interval Xq — x^ gelijk-
matig convergeeren, is de gelijkmatige convergentie van do

68

reeks (63) dus voor liet geheele interval:

thans vastgesteld.

By dit bewijs van de gelijkmatige convergentie van (63)
is natuurlijk f (x) continu ondersteld. Aangezien het eerste
lid van die betrekking, wanneer f (x) een discontinuïteit
heeft, een daar ter plaatse discontinue functie voorstelt,
kan de reeks dan niet gelijkmatig convergeeren. Ook is in
deze paragraaf stilzwijgend aangenomen, dat geen van de
getallen go . . . g^m-i nul is. Is dit wel het geval, dan
moet de gelijkmatige convergentie anders bewezen worden.
Noodig is dan slechts, dat

aan de betreffende grens f (x)
nul is. Het bewijs is eenvoudiger, dan het hier voor het
algemeenere geval gegevene, en wij zullen het achterwege
laten.

HOOFDSTUK IV.

Vervorming van de in het vorige Hoofdstuk afgeleide
Reeksontwikkeling.

§ 1. Wij hebben bewezen, dat, voor Xq^x^Xi\'.

= ■ \' (1)

is, en zullen nu de reeks, waarin het totaalresidu in het
eerste lid ontwikkeld wordt, in eenvoudiger gedaante brengen,
door de polen 2 m aan 2 m bijeen te nemen. Wij weten,
dat, wanneer rW een nulpunt van % (r) is, zulks ook het
geval is met:

.....(2)

alwaar ri. . . r^ _ i de 2 m — 1 takken der door:

bepaalde algebraïsche functie q (r) voorstellen. Wij beschouwen
in het volgende slechts polen voor welke de grootheden
(2) alle onderling en van verschillend zijn. Vallen toch
twee of meer van de grootheden r, n . . . r3„_i samen

Uit hoofdstuk II volgt, dat dit buiten oon eindigen cirkel om O
niet meer kan voorkomen.

70

dan zullen in ^ (r) kolommen gelijk worden. Dit zal echter
evenzeer het geval zijn in v (r, x), en het residu in zulk
een pool zal dus i. h. a. nul zijn. Het is natuurlijk mogelijk,
dat de multipliciteit van het nulpunt in % (r) grooter is dan
in v{r,x), maar wij zullen ons met dit zeer bijzondere
geval niet bezighouden. Mocht het bij een toepassing voor
een pool / intreden, dan moet aan onze algemeene uitkomst
de term:

worden toegevoegd. Wordt dus in het vervolg over meer-
voudige polen gesproken, dan wordt steeds gedacht, dat
twee polen, die, voor willekeurige waarden van de parameters
in § (r), aan de functie F (r, 0) verschillende waarden geven,
voor bijzondere keuze der parameters zijn samengevallen.
Hare geconjugeerden (2) vallen dan natuurlijk ook samen,
zoodat zulke meervoudige polen toch ook weer 2 m aan 2 m
optreden. Wij weten uit hoofdstuk II, dat ook déze bijzon-
derheid, n.l. het samenvallen van twee of meer 2 m-tallen
nulpunten, slechts binnen een eindigen cirkel om O kan
voorkomen. Wij voegen nu in het totaalresidu (1) telkens
r\'") en de 2 m — 1 geconjugeerde polen (2) bijeen. In de
omgeving van O zal deze groepeering in het algemeen
afwijken van de op pag. 43 beschrevene. Wij zagen echter,
dat op voldoenden afstand van^ O voor n . . . r« ™ _ i de
voorstellingen:

Vp-{-ki 12 7n = (rJci 12 m) Ö

gelden. (Vgl. (12) pag. 22). Hieruit ziet men, dat aldaar
beide groepeeringen overeenstemmen. Daar. het verschil
slechts een eindig aantal termen betreft, zal de som der reeks
door de wijziging der volgorde geen verandering ondergaan.

71

Wij kiezen uit elk der co vele 2 wz-tallen nulpunten van
S (r) één nulpunt, onverschillig welk, uit, en zullen de zoo
verkregen reeks aanwijzen met:

«O , «1 . . . «y . . .......(3)

Hierbij wordt er voor gezorgd, dat met het klimmen van
den index v de punten « verder van O liggen. De punten
(3) voldoen dus aan de volgende voorwaarden:

a. -Fiup, 0), Qlsp^q.

b. Up, ri («p) . . . r2,„_i (up) zijn alle verschillend.
Wordt ter bekorting tijdelijk:

gesteld, dan moeten wij beschouwen:
^ = ^   = (4)

^ r r r

Wij voeren in het tweede residu in (4) een nieuwe ver-
anderlijke s in, die met r samenhangt door de betrekking
r = n (z).

Uit (3) pag. 7 volgt dat:

= . (6)

is. In het tweede lid van deze betrekking vervangen wij de
letter z weer door r, en vinden zoo, wanneer ter bekorting
i. p. V. n (r) geschreven wordt n, voor dat tweede lid:

dr ^^r(y)\'

72

Behandelen wij de overige residuen op analoge wijze dan
krijgt (4:) den vorm:

6

Substitueeren wij voor v (r, x) de waarde (2) pag. 42, dan
vinden wij :

d?-

1

= YJr) J, ^ "\' ^^ ^ d^i,. . . . (7)
alwaar X (r, , x) den volgenden determinant voorstelt:

1) Bij de afleiding van (7) behoeven wij slechts te bedenken, dat,
bij substitutie van Vp voor r do kolommen van g (r) on de laatste
m kolommen van v (r, x) dezelfde permutatie ondergaan, zoodat wy,
daar het slechts om hot quotiënt v (r, x) : ^ (r) te doen is, deze
kolommen op haar plaats kunnen laten.

dr

l (r, ^u, x) =

O

74

De som der residuen van:
V (r, x)

% {r)

in de polen:

H"), ri(rW) . . . r2,„_i (r«), .... (9)

is dus:

üit de afleiding volgt, dat wij in (10) voor een wille-
keurige der geconjugeerde polen (9) in de plaats kunnen
stellen, en de reeks (1) is dus in den vorm:

^ C . (11)

gebracht.

§ 2. In de reeks (11) kunnen de termen, die door enkel-
voudige polen worden opgeleverd, door splitsing van k (r, /.t, x)
in twee, resp. slechts van /« en x afhangende, factoren,
verder herleid worden. Daar buiten een eindigen cirkel alle
nulpunten van g- (r) enkelvoudig zijn, geldt deze herleiding
voor alle termen, wier index grooter is dan een zeker eindig
getal. Wij zullen voor de ontbinding van l(r,/i,x) een
eenvoudige algebraïsche eigenschap gebruiken. Is n.1. de
determinant:

do, O.........—1

D =

dzm — l.a......m — 1, 3 m — 1

en wordt met D^,^ de onderdeterminant van jo 1° rij en

75

q 1® kolom in D aaDgeduid, dan zal:

Ui m - 1

s — 1, 2 M — 1

Xim — l, Cl^m —1,0 ■ ■ • •
= — D^l Xo - Di^ pXi . . . — .

• Pï.O 2/0 — -üj, 1 2/1 . . Dj, 2»_1 . (13)

zijn. Dit blijkt, indien men bedenkt, dat bij een determinant,
Avelks waarde nul is, de onderlinge verhouding der minoren
van de elementen uit een rij resp. kolom, niet afhangt van
den index dier rij resp. kolom. In (13) kunnen aan ^ en g
alle waarden O, l .. .2 m — 1 gegeven worden.

Daar l (r, /t, x) slechts beschouwd zal worden voor waarden
r, die (r) nul maken, kunnen wij (13) voor de ontbinding
gebruiken. Splitsen wij te voren de eerste kolom in 2 m deelen,
dan krijgen wij 2m determinanten, waarvan de 1° is:

O e"" - . . . . m -1 - -^o)

h{r^fo{r)....../o(r2,«-i)

76

De betrekking (13) levert nu, wanneer wij p = i nemen,
voor (U):

-d^ • ^ • (- ly• ^rj ■ [A. O e^^-^o) _

— e^(^-^o) . . . — . (15)

indien Ap, ^ den onderdeterminant van p 1® rij en g -]- 1°
kolom van Jv {r) aanwijst, en door Bi een determinant wordt
voorgesteld, dien men uit % (r) verkrijgt, door aldaar de
onderste helft van de f P kolom te schrappen. Stellen
wij de aan (15) analoge uitdrukkingen voor de 2 m — 1
overige determinanten, bij de splitsing van X (r, /t, x) ontstaan,
op, en sommeeren, dan komt er:

. A.o A.i dr \'

\' dr

Wij voeren de afkortingen:

(f (r, X)=A,^ O e-- - - 1 —o)... - 2,, _ 1 e\'-o-1 ^o), (i7)

eh

— ^ - • • •

\' \' dr ^ ^

in, en schrijven dus voor (16):

X (r, }i,x) = q> (r, x) . ijj (r, fi), indien % (r) — O, . (19)

waarmede de ontbinding geschied is. De index q kan naar
willekeur de waarden 0, 1 ... 2 w — 1 aannemen. De
functiën cp, die daarbij ontstaan, onderscheiden zich, indien
§ (r)*=: O is, door factoren, die alleen van r afhangen.

77

Hetzelfde geldt voor ip. Het product 9 , xp hangt van q
niet meer af, gelijk behoort.

Is cf„ een enkelvoudig nulpunt van (r), dan levert dit
als bijdrage tot de reeks (11) den term:

1 r^i

J^ ^ («V, ft, X)f (fi) cl ,w ,
die, door toepassing van (19) in den vorm:

. . . (20)

wordt geschreven. Zijn alle polen enkelvoudig, dan wordt
(11) dus:

i: . (21)
v=0 O J _ _

a^o < < Xi.

Zijn er, wat slechts binnen eindigen afstand van O kan
gebeuren, meervoudige polen, dan moet daarvoor de vorm
(10) behouden blijven. In (21) zien wij de ontwikkeling van
een willekeurige functie naar functiën q.\' (r, x), waarbij de
parameter r de nulpunten « (3) doorloopt. Wij zullen in
de volgende paragrafen <j> (r, x) en t// (r, x) nader beschouwen
en bewijzen, dat:

(p («,, fi) . ip («„ /^)dfx=:0,p^q . . . (22)

= = Q . (23)

Zijn deze integraal-eigenschappen bewezen, en wordt aan-
genomen, dat de ontwikkeling in functiën q> mogelijk en
term-voor-term integreerbaar is, dan kunnen, met behulp
van (22) en (23) de coëfficiënten dus bepaald worden, gelijk
dit bij dc reeks van Fourier gebeurt. Natuurlijk is dit
geen bewijs voor (21). Het bewijs van die ontwikkeling is
gebaseerd op de beschouwingen van de hoofdstukken II en III,
die tot betrekking (1) hebben gevoerd, uit welke door

78

herleiding (21) is gevonden. De volgende berekeningen zijn
slechts een verificatie.

Wij zullen in de §§ 8—5 den index g, die bij de
ontbinding van l (r, x) nog onbepaald bleef, gelijk O stellen.
Deze q is natuurlijk een geheel andere, dan de in (22) en
(28) optredende. Dit ter voorkoming van verwarring.

§ 3. Voor het bewijs van (22) en (23) zullen wij eenige
voorbereidselen moeten maken. Wij beginnen met betrek-
kingen af te leiden voor de functiën r, ri. . . rg _ i, die de
wortels zijn van, de vergelijking in p:

F{q,Q) -F{r, 0) = [o"™ -f h  . . .  e] -

_ -f Äi -j- . . . 7t3,„_i r] = O . . (24)

Stellen wij:

rP-frf . . . =

en duidt het accent differentiatie naar r aan, dan willen
wij het volgende bewijzen:

..............= . . (25)

/ \\
\'Sim

= F(r,0)

z=0
= 0

Sim 2

1 2 m 2

k«m — l Sj,

2\'m

79

Schrijft men voor de grootheden s de bekende betrekkingen
op, (zie b. v. Lobatïo, Hoogere Algebra 5® druk, p. 475
en 476), differentieert deze naar r, bedenkende, dat van de
coëfficiënten in (24) alleen de laatste r bevat, dan blijkt de

waarheid van (25) onmiddellijk, en komen voor:

/ / /
^im, 1 . , . m - 1

de vergelijkingen:

= 2 m F\' (r, 0)

«3

§2 «» 1 1

• (27)

 ^Sm-l F\' {v, 0),

De betrekkingen (26) zullen bewezen zijn, indien aangetoond
wordt, dat de oplossingen van (26) en (27) overeenstemmen.
Schrijft men beide op, dan blijkt gemakkelijk, dat alles
neerkomt op de vraag of de volgende determinant:

1 O O...... -p

Al 1 O...... Si

= 0 .

K kp-i.......ki, Sp

is, p kan de waarden 0, 1 ... 2 — 1 hebben, en de
grootheden s uit de laatste kolom voldoen aan de betrek-
kingen :

Si = — ki

Sg /tl Si = - 2 7I\'3

s-i -f- ki Sj /to Si — — 3 /i\';5

Sp-}- ki k. s^_3 -f . . . kp-i si = — p kp

.(29)

80

Wij zullen dit door inductie bewijzen. Men ziet gemakke-
lijk, dat Dp-z: . . . A kunnen geschreven worden
als i? -j- 1® graads-determinanten, wier eerste p kolommen
met de eerste p kolommen van Bp overeenstemmen, en die
resp. tot laatste kolom hebben:

O, O,

-(p-1), O,

—{p — 2),
S-2, Si,

— 1.
Sl.

Hieruit volgt, dat:

. . . . (30)

in den vorm van een dergelijken p -f- 1«" graads-determinant
met laatste kolom:

— P

Si — (p — 1) ki

s.2 4- ki Si — (p — 2) ki

.....—kp^i

......  Si

kan gebracht worden. Met behulp van (29) wordt deze

81

— ph,
— P

— p kp,

zoodat in den determinant, die (30) voorstelt, de elementen
van eerste en laatste kolom aan elkaar evenredig zijn. Deze
determinant is dus nul en wij hebben:

Aangezien nu:

1 — 1

= ki =Z O

ki Si

is, kunnen wij achtereenvolgens besluiten:

Di,D,...Dp=zO.....

Hiermede is (28) bewezen, en tevens het bewijs van de
betrekkingen (26) voltooid.

§ 4. Vervolgens moeten wij, nog steeds als voorbereiding
tot de behandeling van (22) en (23):

(r, X), 11 ip{r,x)... DJ^"\'-\' ip (r, x). . (32)

voor x=: X(y en x — Xi beschouwen. Wij hebben, daar
q = 0 genomen wordt:

^ \' ^ A.o ^ Ao,i dr

...-I . (33)

82

Bp ontstaat uit § (r) door schrappen van de onderste helft
der p1® kolom en Ap^g is de onderdeterminant in (r)
van p rij en g 1® kolom. Derhalve is:

ly [UiTp) . - A (r,) . . . .

•  A-i,,]. . . (34)

Wij willen nu (32) slechts beschouwen voor de waarden r,
die wortels zijn van ^ (r) = O en voor alle ^, g, s en Ms
derhalve:

Ap^q\\ Ap^, = At^ j-. At^,.....(35)

Substitueeren wij de uitdrukkingen (34) in (33) dan komt:

xp (r, x)=i — fo {r) o) _ (n) . e-\'-.ci\'-^.) . . .

Uj V

I- ^ h (r) e - ^ /i (ri) 6 -

-^0, O -^io, 1

waarvoor wij op grond van (35) kunnen schrijven:

/i (r) .

f,n-i (r) e

Wij zullen fo. Umalle van den graad 2 m—l onder-
stellen. In de vorige hoofdstukken hebben wy weliswaar
aangenomen, dat go. .. gmen g^ - ■ • g^.m-i onderling ver-
schillend zijn, doch dit beteekent slechts, dat eenige coëfficiënten
in de functiën /"nul worden gedacht. De volgende afleidingen
gelden voor alle waarden van deze coëfficiënten, en omvatten

83

dus het bijzondere geval. "Wy behandelen het algemeene om
meer symmetrische uitdrukkingen te krijgen en stellen dus:

=  r^»\'-^-}- . . . ao.sm-i

(37)

Substitutie van (37) in (36) levert voor i/; (r, x):

Sm—l

flo, o" 2 \' 4-^ ao, r\'v^ r;\'"-\' -

dr

f1 V 2t»—1 f] ^

d r

d r

O

3 »1 - ].

O ^ f^r

Noemen wij den determinant, die uit ^ (r) ontstaat,
wanneer de eerste kolom vervangen wordt door de kolom:

Ch), !>
«1, p

(^m-l.p

O
O

84

in het vervolg C^, dan volgt uit (38):

2»i —1

O

..... - „ „ /-//y Sm — 1 fl

Bedenken wij nu, dat:

\'V\'rï^ ___

, = 0 ^ dr -

is en letten wij op (25), dan leiden wij, voor x — x^,
uit (39) af:

Ao, O rp {r, xo) = — Oo ^

- J O, O D.(r, - Co ^^ - f\'

• (40)

^im — l

4?n—1 4?n—2

n "a m

/

Wij zullen, voor het te leveren bewijs van (22) en (23),
niet de eerste leden van (40), doch de volgende lineaire
functiën daarvan, noodig hebben:

Ao,o ^ (r, x),

Ao,o [/ci ^p (r, x) — D, lp (r, x)],

\\ki lp (r, x) — ki B, ip (r, x) Dl xp (r, o;) |,

Ao, O [A\'2 m -1 H\' — D^ lp (r, x). .. —D;ip (r, x)],

85

alles voor x = Xq. Substitutie van (40) in deze uitdrukkingen
voert, wanneer men van de voo?\' dit doel afgeleide betrek-
kingen (26) gebruik maakt, tot het resultaat:

^0,0 (r, x) = — Co F\' (r, 0)
vlo,O [h xp (r, rc) — D. xp (r, x)] = — Ci F\' (r, 0)

>. (41)

Ao,o\\_h,>:-\\ ^P hm-2T)^xp{t,x)... — ip{r,x)]=\'

voor X =z Xo.

Ten einde de waarden van do eerste leden van (41) voor
x = Xi te verkrijgen, vervangen wij in (33), ons punt van
uitgang, de functiën:

■Bq . . . Bim — l,

resp. door:

Bo-T^ir), ...
deze laatste zijn dus determinanten, die uit % (r) worden
afgeleid door de bovenste helft van een kolom te schrappen
en de onderste van teeken om te keeren. Wij kunnen het
onderzoek van deze § op dezelfde wijze voor den nieuwen
vorm van xp (r, x) uitvoeren, en vermelden slechts de uitkomst.

Wordt onder Dp de determinant verstaan, die uit (r)
wordt afgeleid, wanneer de eerste kolom vervangen wordt
door de kolom:

O
O

O

a„

(im l, p
m — l, p

86

dan is:

Jo, O tp (r, x) = Do F\' (r, 0)
Ao, O [/Cl ^P {r, X) — D, xp (r, x)] = Dy F\' (r, 0)

= F\' (r, 0)

voor X - - Xi,

N.B. (41) en (42) zijn afgeleid voor het geval, dat voor
den index q in \\p (18) nul wordt genomen. Let men op (35),
dan blijkt onmiddellijk, dat zij voor het algemeene geval
gelden, mits voor Aq, o in de eerste leden Aj, o worde gelezen.

§ 5. De betrekkingen (41) en (42) zullen ons in staat
stellen (22) en (23) te bewijzen. \') Wij herhalen, dat de
eerstgenoemde formules slechts gelden, indien voor r een
wortel van g (r) O genomen wordt. Differentiatie naar
r zou dus niet geoorloofd zijn. Daar voor den parameter r
in de beide functiën rp (r, x) en xp (r, x) verschillende wortels
« (3) van ^ (r) = O zullen moeten worden gesubstitueerd,
zullen wij de letter r, tor voorkoming van verwarring, in
9 (r, x) door q vervangen. Ter bekorting wordt voor <fj (n, x)
.en xp (r, x) in het volgende qp en xfi geschreven. Uit de
gedaanten van qp (17) en xp (18) volgt:

F(-D^, 0)xp = xi>F(r, 0).
Worden deze twee betrekkingen resp. met ip en qp vermenig-
vuldigd, dan levert aftrekking:

xp.F(Dx,0)<p-cp.F(- D., 0) xp = if xp 0) - Fir, 0)]. (43)
Bedenkt men, dat:

\')^Men vergelijke, voor het bewijs in deze paragraaf, do ontwikke-
lingen op pag. 24 en 30 van Cauchy\'s verhandeling.

87

de afgeleide is van:

xp.Dr\'9-V.\'iv ...{-^.B: -xp,
dan blijkt het eerste lid van (48) de afgeleide naar x van:

xp . Bi"\'-\' <P (A-l xp - D, xp)  . . .

____  v^ — D, ... - b;\'"-\' xp) (44)

zoodat integratie van (43) naar x tusschen de grenzen Xq en
X] voert tot:

0)-F{r, 0)]/ \\.xpdx=\\xpBr"\'-\' .H-

(7ci xp D, y,) Dl V\') <P

Wij denken voor r een wortel van (r) = O gesub-
stitueerd, c> blijft nog onbepaald. Het tweede lid van (45)
kan door toepassing van onze formtdes (41) en (42) herleid
worden tot:

Do.lfT  . .i)2m-l • tp

Co . Cl . . . . (P

In vlo, 0, C^ en Dp moet voor r de waarde gesteld
worden. Uit de definitie van de determinanten Cp en Dp
volgt, dat (46) in den vorm:

ro(D,)(p, fo{r{)........

/;„ _ 1 (D,) (]p, f,, _ 1 (n).....^ _ 1 (^3 m -1)

A (D,) (jp, e" ^ /;„ (n) .... e"»-1 /;„ (rs_ i)

88

kan geschreven worden. Voor r moei in den determinant
in (47) «y, en in de bovenste resp. onderste helft van de
eerste kolom voor x de waarden Xq resp. x^ gesteld worden.
Uit den vorm van cfi (17) volgt \'), dat, onafhankelijk van de
waarde van p, het bovenste element van de eerste kolom
gelijk is aan % (o) en de overige elementen van die kolom
nul zijn. De determinant is dus gelijk aan .io, o • S (c) ?
en (47) is derhalve herleid tot:

[F(p, 0) — 0)] T\' qj (p, X). xp («„ x)dx=zF\' 0). %(p). (48)
J

stellen wij hierin n = Up, en zij p ^ q, dan is, op grond
van de beteekenis der «\'s (zie (8)), de eerste factor van het
eerste lid niet nul. Het tweede lid is nul, daar een
wortel van % {r) = O is, en wij besluiten:

(jP {up, x) xp {uj, x) dx = Q. . . . (22)

indien p ^ q.

Om (28) te bewezen differentieeren wij (48) naar p, en
stellen na afloop o = aj=: Up. Er komt dan:

(ap, X) . xp (ap, x)dx== (ctp) . . (28)

• Onze taak is hiermede volbracht.

§ 6. Met behulp van (41) en (42), die wij voor het bewijs
van de integraalstellingen (22) en (23) hebben afgeleid, kan
xp{r, x) en daarmede de reeksontwikkeling (21) in een
bijzonder geval aanmerkelijk vereenvoudigd worden. Ten einde
ons resultaat met een formule uit de verhandehng van Cauchy
te kunnen vergelijken, zullen wij den index q, die in de
functiën cp (r, x) (17) en xp (r, fi) (18) nog willekeurig was en
in de §§ 3—5 de waarde O had, thans gelijk 2.w — 1 nemen.

*

1) Wij herinneren or aan, dat q gelijk nul is gesteld.

89

Het bijzondere geval, dat wij gnan behandelen onderstelt,
dat de orden der randvoorwaarden alle lager dan m zijn,
wij kunnen dus aannemen:

go —g^ =0

gi = ö\'» 1 =1

. . . (49)

=m— l )

Onze functie (r) kan, door geschikte onderlinge aftrekking
van rijen dan steeds in den vorm:

. (50)

gebracht worden. Voor (jp (r, x) hebben wij:

en dezo wordt dus uit g (r) verkregen, wanneer de laatste
rij wordt vervangen door:

en het voorteeken wordt omgekeerd.

90

De met coëflicienten van de functies (37) gevormde Icolom:

«O, p, ö^l.pj • • • Cl\'m — l,p, O, O, . . . O,

die wij, om Gp te verl^rijgen, in de plaats van de eerste
kolom van. (r) moesten stellen, bestaat, wegens de onder-
stellingen (49), voor p = O, 1 . . . m — 1 uit louter nullen,
terwijl voor p =: 7n slechts het m® element m van nul
verschilt. Zonder beperking mag = 1 worden geno-

men. Co, Cl . . . C„,_i zullen dus nul zijn en G^ wordt
(— l)""-^ . X-1,0. Analoog blijkt, dat Do • • . = O
en D„, = (— . O zijn. Uit (41) volgt nu, indien

aldaar q=: 2 m — 1 (zie N. B. op pag. 86) gesteld wordt:

(r, X), D. xp (r, x).. . D,™"^ xp (r, x) = O . (51)

. (52)
voor x = Xo,

en analoog uit (42):

xp (r, x), D, ip {r, x), . . . xp (r, x) = 0 . (53)

D: xp{r, {r, 0). . . (54)

voor X = xi.

Wij zien in (18), dat xp (r, x) een lineaire functie van:

e-r^(x-x„) _ g - »"Z m - 1 " ^o)

is, en stellen:

xp (r, x)= Vo. e-\'-(^-^o) Vi e-\'-.(^-^o) . . .

 . . . (55)

De eerste m — 1 betrekkingen (51), (53) en (54) geven
voor de Vs de volgende vergelijkingen:

91

r\'"-" ..... rr-ii == O

e-\'-« Fo ..... e-^^m-i« Vs^^i = O

r\'«-^ e Fo ... 1 e - \'-3-1« Fo ,„ _ 1 = O

r\'n,e-\'--VoFs^.i— - F\' (r,0) /

Uit (55) en (56) kunnen de F\'s geïlimineerd worden.
De eliminant is, na vermenigvuldiging van kolommen met
e\'\'" . . . —1":

.ƒ/ (r, rc), .......

O, e*"",..........CSm-l«

ytn- 1

— r-,..........

of:

xp (r, x) = -F^ (r, 0) X

w - 1, O --As ,„ _ 1,1 ?\'T . . . — ^2 »t - 1, 3 m - 1 - 1 ,

92

indien door de weer onderdeterminanten van (r)
worden aangeduid.

De functie q (r, x) (17) luidt, aangezien q=2 m — 1 is
genomen:

q (r, x) = O e^(---o) _ 1 — . . . _

— .... (59)
Substitueert men deze vormen voor cp (r, x) en ip (r, x)
in de reeks:

f = S f(«V, f C") d^u, . (21)

V = O O J z„

dan blijkt de overeenstemming met formule 159 op pag. 31
der verhandeling gemakkelijk.

Een bijzonder eenvoudig resultaat wordt voor ip (r, x)
verkregen, wanneer de functie F (r, s) slechts even machten
van T bevat en bovendien de onderstelhngen (49) gelden. De
functiën r, ri, . . . r2,„_i zijn dan paarsgewijze gelijk op
het teeken na en wij kunnen stellen:

.// (r, = ^o) Fi e-"« - ... Fg _ i e\'\'3-1 - ^o). (60)

Uit (51), de eerste m — 1 betrekkingen (53) en (54) volgt
dan, dat de F\'s moeten voldoen aan do vergelijkingen:

Fo Fi .......... F3»_I = 0

r—iFo rï\'-\' Fi . .
e«\'- Fo-[- e"\'^ Fi . .

r« - 2 fi«\'- Fo r\'"- ® e"--\' Fi ...

= (—F\'(r, 0)

93

Eliminatie van de F\'s uit (60) en (61) levert:

xp {r, X) [—?•\'» e-"-. .. .  e\'^im-i. —

= (- 1)»\' . F\' (r, 0) . - . . . -

— .... (62)

Het tweede lid van (62) is gelijk aan:

(- 1)\'" . F^ {r, 0) . <f {r, x)
en wij vinden dus voor xp (r, x) het product van (f (r, x)
met een functie van r. De reeks (21) verkrijgt in dit
bijzonder geval de gedaante:

V (- 1)" . F\' (r, 0). cp (r,
ƒ \' ^> (r, ,«) f (/i) d fi

welke betrekking met (165) pag. 31 van de verhandeling
overeenstemt, op den factor (— 1)\'« na, die is uitgevallen,
doch ook volgens de afleiding d. t. p. blijkt te moeten
optreden.

Cauchy behandelt de gevallen van deze paragraaf afzon-
derlijk. Zijne afleiding komt op het volgende neer. Hij
neemt stilzwijgend aan, dat de ontwikkeling mogelijk en
term-voor-term integreerbaar is en bewijst slechts, dat voor
de functiën <f>(r,x) (59) en xp {r, x) (58) resp. (62) de
integraal-stellingen (22) en (23) gelden. Dit laatste toont
hij aan op pag. 24 en 30 der verhandeling, waar hy
tevens tot opstelling van do functie xp (r, x) geraakt. De
ontwikkelingen aldaar zijn ons bij het bewijs in § 5 te pas
gekomen. Natuurlijk worden op deze wijze zijne formules
(159) en (165) niet bewezen, slechts geverifieerd. Nabehan-
deling van de bijzondere gevallen wendt hij zich op pag. 36
tot het algemeene vraagstuk en leidt langs een weg, dien

94

wij in de voorgaande hoofdstukken hebben getracht te effenen,
zijne formule (199) af. Deze stemt geheel overeen met (1)
pag. 69. Een poging om de vroegere uitkomsten uit zijne
algemeene formule af te leiden, doet hij niet. De wensch
om de overeenstemming aan te toonen leidde ■ ons tot de
vervorming, die wij in dit hoofdstuk de reeks (1) deden
ondergaan, waarbij als resultaat, voor het geval, dat alle
polen enkelvoudig zijn, (21) gevonden werd. Met behulp
van (41) en (42), afgeleid voor de verificatie van (21),
gelukte het de functie x), in de bijzondere gevallen

van deze paragraaf te herleiden tot (58) en (62). Cauchy\'s
formules (159) en (165) zijn hiermede uit zijn algemeene
formule (199) afgeleid, en nu eerst bewezen. Zij gelden
echter slechts, wanneer alle nulpunten van (r) enkel-
voudig zijn.

HOOFDSTUK V.

Samenvatting van de Resultaten
en Toepassing op een bijzonder Geval van het Vraagstuk
der trillende Staven.

§ 1. Wij liebben nu de volgende resultaten verkregen.
In hoofdstuk I werd bewezen, dat:

y V (r, X) . u (r, t)

im) \'.....^^

alwaar:
u

aan de partieele differentiaalvergelijking en de randvoor-
waarden ((1), (2), (3) pag. 8) voldoet en dat, voor t = U:

= .....(3)

=: 0, 1 . . . W — 1.

is, mits, na afspraak over de volgorde der polen, de reeks:

- r (r, re). u (r, t) .

y-iC/^ , = » • • • • W

convergeert en term-voor-term naar ic en ^ mag worden

Ô6

gedifferentieerd, zoovele malen en voor zoodanige waarden
der veranderlijken, als ter verificatie van differentiaal-
vergelijking, rand- en initiaalvoorwaarden noodig is.
Voor de functiën g in (2) hadden wij:

go (s) = lo h . . .
gi(s)rrrZoS«---f..........

. • (5)

g„_3 (s) = Zo s

qn-i{s) = lo I

Voldoet de reeks (4) niet aan de vermelde voorwaarde,
dan moet in (1) en (3) niet het totaalresidu doch slechts
het residu in een eindig aantal polen genomen worden.

In de hoofdstukken II en III is verder aangetoond, dat,
indien voor wp(r) de fnnctie:

......(6)

en voor de eerste kolom van v (r, x) :

- fo (r), - /I (r), ... - /;„_x (r), O, O, ... O, . (7)
gekozen wordt, (3) het volgende, levert :

,i=C ■ = f, W . (8)

Xo ^ X ^ Xi.

p = O, 1 . » . w — I.

De functiën f^ {x) worden continu en à variation limitée
ondersteld. Voor v (r, x) in (8) geldt :

O, e«--/;, (r) . . .

De volgorde, in welke de polen in (8) moeten genomen
worden, is op pag. 48 beschreven. Natuurlijk mag voor een
eindig aantal polen van deze volgorde worden afgeweken.
De reeks in het tweede lid van (8) convergeert gelijkmatig
t. 0. V. X, in het geheele integratie-interval, de grenzen
inbegrepen. Slechts is aangenomen, dat, indien van een
der functiën fo. . . f,„-i resp. /;„... /"s,»-! de graad nul is,
de functiën fo. . , f„_i uit de initiaalvoorwaarden voor x — xq
resp. x = xi nul worden. "Was hier niet voor gezorgd, dan
zouden rand- en initiaalvoorwaarden trouwens met elkander
in strijd zijn.

Wij hebben derhalve in (1) een oplossing van ons probleem,
mits de reeks (4), wanneer voor v (r, x) en (r) de uit-
drukkingen (9) en (6) worden gesubstitueerd, aan de genoemde
voorwaarden voldoet. Splitsen wij de functie u (r, t) in
n deelen, dan verschijnt (1) als som van n termen:

^ (r, X) u, (r, t)

alwaar:

98

In (10) en (11) vinden wij dus als oplossing een aggregaat
van n functiën van x m t, die elk afzonderlijk aan differen-
tiaalvergelijking en randvoorwaarden voldoen. De eerste
van deze functiën heeft, voor en Xq^x^Xi^ de

waarde fo (x), hare afgeleiden naar t tot en met de w —
zijn voor deze waarden der veranderlijke nul. De tweede
is zelve met hare afgeleiden naar t van de orden 2,3...»— 1,
nul, en heeft tot eerste afgeleide fi {x), weer voor dezelfde
waarden x en t. Analoog voor de overige termen, wier
som derhalve aan het geheel der initiaalvoorwaarden voldoet.

Is de voorwaarde omtrent convergentie en differentieer-
baarheid der reeks (4) niet vervuld, dan moeten voor het
residu in (10) slechts de polen in aanmerking genomen
worden, die liggen binnen een cirkel, met eindigen straal
om het punt r = — kil2m beschreven. Uit de gelijkmatige
convergentie van (8) volgt, dat deze straal steeds zoo groot
kan gekozen worden, dat de initiaalvoorwaarden met te
geven benadering vervuld zijn. Is het aantal in rekening
gebrachte polen eindig, dan gelden differentiaalvergelijking
en randvoorwaarden natuurlijk volkomen streng. Het belang
van III § 14, waar voor (8) de gelijkmatige convergentie
\'bewezen werd, blijkt hier duidelijk.

In het vierde hoofdstuk herleidden wij de reeks (8), door
de polen 2 m aan 2 m bijeen te nemen. Wij vonden de
reeks (11) pag. 74 en vervormden de termen, die op enkel-
voudige polen betrekking hadden, tot (20) pag. 77. Wij weten,
dat op voldoenden afstand van O geen veelvoudige polen
meer voorkomen. Wij kunnen van deze herleidingen op de
volgende wijze in onze oplossing (10) gebruik maken.

Zij:

. . . (12)

een stel bij elkaar behoorende nulpunten van ? 7.oodat

Ö9

F{r, 0) in deze 2m punten gelijke waarden heeft. Een
van hen, onverschillig welk, wordt met aangeduid. In
hoofdstuk IV § 1 zagen wij, dat:

(13)

Wordt:

\'v (r, x)

g [r) =

L

gesteld, dan staat in het eerste lid van (13) de som van
dc bijdragen, door de polen (12) geleverd tot de jj-f- Pvan
de 11 functiën, die gezamenlijk de oplossing (10) vormen. Om
de totale oplossing te krijgen zullen wij v van O tot oo en
daarna p van O tot n — 1 moeten laten loopen. Uit de
deünitie van rj. . . blijkt, dat de laatste factor in het

tweede lid van (14) geen verandering ondergaat, wanneer
voor r gesubstitueerd wordt:

n (?•); • • • »a«-! (\'/•),

cn dus zal:

dr ~
C Qp (s) • ß\'

zijn. Zie voor l{r, /t, x) (8) pag. 73. Worden de polen
op de beschreven wijze 2m aan 2m bijeengenomen, dan
wordt de oplossing (10) (11) derhalve in den vorm gebracht:

1 l\'"\' 1 r P Qvis)

n — 1 co

v j

O.

In hoofdstuk IV § 2 zagen wij, dat voor waarden r, die

100

% (r) nul maken, (r, ^i, x) in twee factoren ontbonden kan
worden:

l (r, ^t, x) — (f (?•, X) xp (r, f^). . . . (17)

In (16) kan elke term, die bij een enkelvoudige pool
behoort, met behulp van (17) vereenvoudigd worden. Zijn
alle polen enkelvoudig, dan krijgt onze oplossing ten slotte
den vorm:

» - 1 00

J) = O y = O

[F{ay, s)]

Indien er meervoudige polen ß zijn i), moet het tweede
somteeken in (18) slechts over de enkelvoudige uitgestrekt
worden gedacht. Aan (18) zal dan voor elk van de, in eindig
aantal voorkomende, meervoudige polen ß moeten worden
toegevoegd de uitdrukking:

\' v\' r
c

■ § 2. De residuen in veelvoudige polen worden bepaald
met behulp van betrekking (2) pag. 6. De resulteerende
uitdrukkingen zijn reèds in het geval van een tweevoudige

\') "Wij herinneren er aan, dat in dit en in het vorige hoofdstuk
steeds ondersteld is, dat het residu in punten j-W, waar tweo of meer
van de grootlieden (12) samenvallen, nul is. Vgl. pag. G9 en 70.
Geldt dezo onderstelling in een uitzonderingsgeval niet, dan moot
aan (18) en (19) voor een dergelijke pool y worden toegevoegd de
uitdrukking:

V (r, X) u {r, t)

waar u {r, t) de functie (2) voorstelt.

101

pool ingewikkeld. Stellen wij b. v., dat een tweevoudig
nulpunt van (r) is, dan levert dit als bijdrage tot (19)
n termen, van welke de p -f- 1® als volgt bepaald wordt.
Noemt men ter bekorting:

i?(r), dan moet berekend worden:

r _ {r-ßo)\\E{r)

Voor % (r) hebben wij:

s (^o = . (/?o) ^\'-ff . iih) ...

en derhalve is:

r H {r) _ (5 . ir (ß,) - 2 . H (|5o)

Ter bepaling van H\' (r) kan in den tweeden factor van
H (r) onder het residuteekon gedifferentieerd worden. Een
en ander is voldoende om te doen zien, dat er een vrij
samengestelde vorm zal komen, die echter op geheel regel-
matige wijze uit (19) berekend wordt. Hier blijkt duidelijk

het voordeel, dat in het gebruik van het ^^-teeken gelegen

is. Alle bijzondere gevallen van samenvallende nulpunten
van (r) zijn in (18) en (19) begrepen i).

Wij weten, dat wij in (18) en (19) slechts een oplossing
van ons vraagstuk hebben, wanneer de 7i — 1 reeksen in
(18) convergeeren en het noodig aantal malen term voor

\') Wij zien hier tevens, wiuironi bij meervoudige polen, do lierleiding
tot den vorm (18) niet kon geschieden. Do ontbinding (17) geldt toch
uitsluitend voor nulpunten van Jy (r) on wannoer die toegepast is,
mag dus niet moor gedifferontieerd worden.

102

term gedifferentieerd mogen worden. Het eindig aantal
termen (19), dat eventueel moet worden toegevoegd, kan
hierbij natuurlijk buiten beschouwing blijven. Doch ook,
wanneer deze voorwaarde niet vervuld is, en inderdaad zal
zij slechts bij uitzondering gelden, hebben wij toch in onze
uitkomst, wanneer wij de oneindig voortloopende reeksen
na een eindig aantal termen afbreken, eene functie, die
aan partieele differentiaalvergelijking en randvoorwaarden
volkomen en aan de initiaalvoorwaarden met te geven graad
van benadering voldoet.

Dat de reeksen in (18) slechts bij uitzondering convergeeren
blijkt op de volgende wijze. Uit het vierde hoofdstuk weten
wij, dat de reeks:

voor xo^ X ^ Xi convergeert en dat haar som gelijk is
aan f^, (x). Hierbij is aangenomen, dat de nulpunten van
(r) allo enkelvoudig zijn. De p 1° van de n termen,
waarop hot eerste somteeken in (18) betrekking heeft, wordt
nu gevonden door den algemeenen term van (20) met:

^s [F{a,,8)]......

te vermenigvuldigen en te sommeeren. Voor (21) komt,
wanneer de wortels:

5o. . . 5„LI.......(22)

van de vergelijking:

F{a,,s) = 0.......(28)

alle verschillend zijn:

«-1 (7 (s ) e\'i - \'o)

gpW^\' ......(24)

De nulpunten van % (r) liggen. op grooten afstand van O,
t

103

bij benadering op de 2 m stralen (zie pag. 25)^). Beschouwen
wij in (23) slechts de termen van de hoogste macht, dan
blijft over: .

«r-1-^0«"= O......•. (25)

Uit de orientatie van de stralen « volgt, dat, voor grooten
index v, de punten albij benadering op de reëele as liggen.
"Wij zien nu uit (25) gemakkelijk, dat er, voor > 3, onder
de wortels (22) zullen voorkomen, wier reëele deelen met
het toenemen van v grooter en grooter (positief) worden.
Het is duidelijk, dat deze wortels de oorzaak zullen zijn, dat
de factoren (21) de convergentie van (20) voor fyt^ verstoren.
Convergentie blijft slechts mogelijk voor n—1 en n = 2.

§ 3. Van 71=1 is een voorbeeld het vraagstuk van de
warmtogeleiding in een bol, indien de temperatuur slechts van
den afstand tot het middelpunt afhangt. De formule (18) voort
tot de bekende oplossing. De reeks convergeert voor t > U),
PoiNCARÉ toont in zijn Théorie analytique de la Projmgntion
de la Ghaleur aan, dat zij hot vraagstuk inderdaad oplost.

Cauchy maakt in zijne verhandeling eon toepassing op do
vergelijking:

dt\' dx\'-^\'

die in de theorie der trillende staven gebruikt wordt.

Wij zullen de reeks voor het bijzonder geval, dat de staaf
aan beide uiteinden vastgeklemd is, uit de algemeene
formule (18) afleiden, om een opmerking over hare conver-
gentie te kunnen maken.

De partieele differentiaalvergelijking luidt dus:

= . . (25)

1) De stralen a worden van het punt r — — hl2m uit m getrokken.
Zio pag. 87 bovenaan.

104

De randvoorwaarden, voor ons bijzonder geval, zijn, indien
de lengte der staaf 1 gesteld wordt:

0 = O en D,z = 0, voor a; — O . . . (26)

en

— O en O, voor x=l

Als initiaalvoorwaarden nemen wij aan:

sz=f{x)enDtZ=:zO.....(28)

voor = O, en Oo ^ ic ^ 1.

Er wordt dus een initiaalafwijking doch geen initiaalsnelheid
gegeven. Wij vinden in onze notaties achtereenvolgens:

F{r, = s\'-.......(29)

r, = iPr(p=zl, 2, S) .... (80)
fo {r) = f, (r) = 1.
A (r) = h {r) ^ r.
1 1
— r —ri

g-r Q-ri

= ^rii{cosrChr—l) \\ (81)

re -re~\' -rie-^^

Wij bevinden ons hier in het geval, dat aan het einde
van hoofdstuk IV § 6 werd behandeld en kunnen dus voor
(f) (?-, x) en t/) (r, x) de uitdrukkingen (59) en (62) pag. 92 en
98 gebruiken. Er komt:

rjf. (r, x) rrr

— 4: ir [{Gil r — cos r) {Sh r x — siii r x)

— {Sh r — sin r) {Gh r x — cos r x)\\ .^ .

O^Deze herleiding verloopt het gemakkelijkst, indien mon in
eerste en derde resp, tweede en vierde kolom ondei\'ling optelt en aftrekt.

105

eii

xp (r, x) = 4: (jp (r, x) :

\'P (r, x)

2 i {Sh r cos r — Ch r sin r)

Ten slotte is:

qo{s) = k-

en dus:

go(g) • e^\' _ r

De ligging der nulpunten van (r) hebben wij in hoofd-
stuk II § 9 onderzocht. Wij vonden in den oorsprong een
zesvoudig nulpunt en op de reëele en imag. assen een reeks
enkelvoudige. In O worden r, n, r^, r» blijkens (30) .nul en
wij hebben daar dus een nulpunt van de soort, die in het
begin van het vierde hoofdstuk werd uitgesloten. Stelt men
V (r, x) (9) voor ons geval op, dan volgt uit een eenvoudige
berekening, die wij achterwege laten, dat de multipliciteit
van het nulpunt O voor v (r, x) minstens zes bedraagt. Het
levert dus geen residu en kan buiten beschouwing blijven.
Do overige wortels van (r) zijn enkelvoudig en termen (19)
behoeven aan de reeks (18) dus niet to worden toegevoegd.

Uit (18), (32), (33), (35) en do betrekking:

(«,) — 8 al i {Sh n, cos Uy — Gh Ui, sin ocy). . (37)

volgt nu:

qp («V, x) _

«y, fWdfi

106

Indien wij de functie:
{Chr- cosr) {Shrx — sinrx) — {Shr—sinr) {Ch rx~cosrx)

Sh r cos r — Ch r sin r ^^^^

invoeren, wordt (38):

OD ^ rl

z =z V COS k u^t . 10 («,, x) / xo (cr,, (t) f (u) d fi. (40)

V = O J O

De «\'s doorloopen bij de sommatie de positieve reëele
wortels van de vergelijking Ch r cos r = 1.

Met behulp van (33) en (39) volgt uit de stellingen (22)
en (23) op pag. 77:
-1

10 (ap, ti) w («y, ,1) d 11 = 0, pr^q . . (41)

= l,p = q . . (42)

In (40) heljben wij de reeks, die onze algemeene uitkomst
voor het hier besproken vraagstuk uit de theorie der trillende
staven oplevert. Wij weten zeker, dat zij voor ^ O gelijk-
matig convergeert on f (x) voorstelt, indien O ^ x ^ 1,
waarbij is aangenomen, dat f(0) = f(l)=:0 is en, dat
f (x) geen discontinuïteiten heeft, onderstellingen, die met
den aard van het vraagstuk geheel in overeenstemming zijn.

Wij hebben dus de volgende ontwikkeling van f (x) naar
functiën w (r, x):

00 ri

f (ic) — ^ io((ty, x) / 10 {uy, fi) f d fi. . . (43)
0 J 0

O ^x^l.

In de gebruikelijke theorie der trillende staven (Rayleigii
Sound I Ch. VIII) wordt de mogelijkheid der ontwikkeling
(43) a priori aangenomen. Moge dit uit een natuurkundig
oog|)unt misschien verdedigbaar zijn, analytisch geldt hier
natuurlijk hetzelfde bezwaar als bij de reeksen van Fourier.

107

De methode van Cauchy bewijst, dat liet tweede lid van (43)
gelijkmatig tot \\ {x) convergeert, zoodat wij, wanneer do
reeks (40) na een eindig aantal termen wordt afgebroken, in s
een functie hebben, die den initiaaltoestand met willekeurigen
graad van benadering weergeeft, en overigens aan alle eischen
van het vraagstuk voldoet. Of (40) een volkomen oplossing
van ons probleem is, zal afhangen van het antwoord op de
vraag of de reeks ook voor f) U convergeert en het noodig
aantal malen term voor term mag worden gedifferentieerd.

Wij zullen nu bewezen, dat wij in (40) een strenge
oplossing van ons vraagstuk hebben, indien voor de functie
f{x) geldt:

f(0)=:f(l)=i:zr(0) = f\'(l) = 0 . . . (44)
en bovendien:

f(/r) O — f(//o (1) _ O >) . . . . (45)

Was (44) niet vervuld, dan zouden rand- eii initiaalvoor-
waarden met elkander iii strijd zijn. Slechts (45) vormt
een beperking voor f(a;), die wij voor ons bewijs ecbter
noodig hebben.

Naast:

10 (r, x) - -

_{Chr— cos7-){Shrx—sinrx)—{Slir—sinr){Chrx — cosrx)

Sh r cos r — Ch r sin r ^ \' ^

beschouwen wij de functiën lOi (r, x), lo^ (r, re) . lo-i (r, x),
die bepaald worden door:

d x = . . . . (46)

= . . . (47)

ï

») Ook wordt nog ondersteld, dat f (x) on haar eerste vier afgeleiden
van O tot 1 continu zijn.

108

fiOi{r,x)dx= ; . . (48)

waariiifc volgt:

, , , w (r, x)
Wa {r, x) d x=: ——. .

(49)

r

Wij hebben dus:

iOi{r,x)=z

_(Ch r — cos r) {Oh rx-\\-cosrx) — {Sh r—si7i r) {Sh r x — sinr x)

Sh r cos r — Ch r sirTr

en analoge uitdrukkingen voor w^ en lOi.
Gemakkelijk blijkt:

10 (r, 0) = 0, 10 (r, 1) — O . . . . (50)
iü,{r, 0)=:0, W3(r, l)=zO. . . . (51)

De tweede betrekking (51) onderstelt, dat r een wortel
van de vergelijking:

Ch rcos r —1=0.....(51a)

is. Schrijven wij to (r, x) in den vorm:

— Shr{l—x) — sin r (1 — x) — Chr sin r x — cos r Sh r x -j-

Sh r cos r x sin r Ch r x
Sh r cos r — Ch r sin r

en deelen teller en noemer door Gh r, dan zien wij, dat de
teller voor O ^ ic ^ 1 zeker eindig in waarde blijft, hoe
groot r ook wordt. Do noemer krijgt den vorm:

Th r cos r — sin r,

en nadert dus, wanneer r de reeks op de posjtief-reëele as
gelegen nulpunten van Ch r cos r—1 doorloopt, tot ± 1.
De modulus van w (r, x) blijft dus zeker eindig. Voor de
overige functiën lo geldt hetzelfde en er kan een getal M

109

bepaald worden, zóódanig, dat voor alle waarden van den
index v geldt:

I 10 («;, x \\ , i x) \\ ^ M . . . (52)

O ^ a; ^ 1

2, 3)

Splitsen wij f (£c) in twee functiën fi (x) en fa (x), die in
het interval O — 1 niet toenemen. Uit de tweede stelling
over het gemiddelde volgt dan:

/; (., ,) f. Cu) CZ , f, (0)

o-< 1

en een analoge betrekking voor f«. Voor Wi, iv^, w-i kunnen
wij hetzelfde doen en zien dus, lettende op (52), dat er een
van i> onafhankelijke constanto Ä kan bepaald worden,
zóódanig dat, in absolute waarde:

fl rl _ J.

ƒ w («,, /t) f (fi) dfi, / tOp (a,, fi) f (/i) d f, < (53)

J O J {) •

is. Door partieele integratie komt nu:

{ 10 (r, f (ƒ,) d II =: I [ ïOi (?•, ,t) f\' (}i) d fi
J O > J O

70, (r, ,.) f- (,u) d a |z= w, {r,d,u

(r, (,») f^\'- 00 d I zrr. | (r, /c) f(u) d ,u | r:.

1917

Uit (52) en (54) volgt, dat de modulus van den algemeenen
term in (40) niet grooter is dan M. A . Bedenkt men,
dat:

D^ 10 («„, x)= Uy W-i (a,, x)
Dl 10 («., , x) = ui W-i («,, x)
Dl to («V, x) Z= «V lOi («,, x)
Dt W {uy, x) = atw {Uy , x) ,

dan ziet men met behulp van (52) gemakkelijk, dat de
reeksen, die uit de reeks (40) verkregen worden, door deze
term voor term tot vier malen toe naar x en tot twee malen
toe naar t te diiferentieeren, voor O ^ a; ^ 1 en willekeurige
waarde van t gelijkmatig zullen convergeeren. Hiermede is
bewezen, dat (40) een strenge oplossing van het vraagstuk
levert. Hadden wij de onderstelling (45) niet gemaakt, dan
zouden wij in (54) niet verder dan r-\'" zijn gekomen. De
algemeene term van de reeks, die ontstaat door (40) vier-
maal naar x of tweemaal naar t te diflferentieeren, zou dan
van de orde r-^ zijn geweest, zoodat de convergentie nog
in het midden zou blijven en in ieder geval slechts door
voorteekenwisseling zou worden veroorzaakt. Of de onder-
stelling (45) noodig is, wordt hiermede natuurlijk niet uit-
gemaakt, alléén dat zij voldoende is.

VERBETERING.

Op pag. 9 regel -11 v. I). staat: à variation Umitée,
dit moet zijn : contimi en à variation Umitée.

t

h\'v.

m