MET TOESTEMMINa VAN DEN ACADEraSCHEN SENAAT EN
VOLGENS BESLUIT VAN DE WIS- EN NATUURKUNDIGE FACULTEIT,

Het is mij zeer aangenaam U mijnen dank te be-
tuigen, Hooggeleerde Heeren, Professoren in de Wis-
en Natuurkundige Faculteit, wier onderwijs ik genieten
mocht. In het bijzonder dank ik U, geachte Pro-
motor, Hooggeleerde Buijs Ballot, voor de welwil-
lendheid, die ik steeds van ü ondervond.

De grootheden, die bepaald moeten worden, en de
betrekkingen tusschen die grootheden.

§ 3. Verzamelingen van levenden .....
§ 4. Symbolische voorstelling van het voorgaande
§ 5. Primaire verzamelingen van gestorvenen
§ 6. Secundaire verzamelingen van gestorvenen .
§ 7. Overige verzamelingen van gestorvenen, behan
deling in analytischen vorm .....

14
17

§ 2. De verandering d^r grootte eener bevolking . . bl. 37
§ 3, Bepaling van de wijze, waarop eene bevolking de

verschillende grenzen van den ouderdom bereikt. „ 40
§ 4. Nadere bespreking, en getallenvoorbeeld ... „43

Bepaling van verhoudingsgetallen.
§ 1. Bepaling der constanten bij een geïsoleerde be-
volking ................,53

De lezer gelieve de volgende \'t meest storende druk-
fouten en vergissingen te verbeteren:

Onder de onderwerpen, die zich voor mij opdeden ter
behandeling in mijne dissertatie, en waarvan sommigen
wellicht meer in verband stonden met de mathematische
en physische wetenschappen, bevond zich een onderzoek
naar de sterftewet, hare toepassingen, de bevolkingsstatis-
tiek en dergelijke zaken.

Niet alleen hare groote belangrijkheid, deed mij deze
onderzoekingen kiezen, het was ook het feit, dat er in
onze taal weinig over dit onderwerp geschreven is. Toen
ik mij eenigen tijd er mede bezig had gehouden bleek
het mij, dat ik een beperkt gedeelte kiezen moest. Ik
zag dat daarbij elementaire onderzoekingen, en een voor-
stelling in het vlak tot een evengoed resultaat brachten,
als het gebruik van integralen en een voorstelling in de
ruimte. Ik heb mij dan ook bepaald tot een synthetische
behandeling der verschijnselen en een uiteenzetting der
waarnemingen noodig voor het ontwerpen eener juiste
bevolkingsstatistiek.

De bevolkingsstatistiek is een der natuurwetenschappen,
althans voor een gedeelte. Zij rust op de waarneming
der wijze waarop bevolkingen naar grootte en hoedanig-
heid veranderen; haar doel moet zijn het verband dier
veranderingen met de oorzaken op te sporen.

Trachten we haar met de andere wetenschappen te ver-
gelijken. "Want dat er een verschil bestaat is zeker.

Terwijl men in de physica en chemie proeven kan
nemen, d. i. een lichaam, een aggregaat van moleculen,
aan de werking van bepaalde oorzaken blootstellen,
en ten opzichte van andere isoleeren, is dit bij bevolkin-
gen onmogelijk, terwijl bij de chemische en physische
verschijnselen herhaling der proeven mogelijk is, is dit
bij bevolkingen een andere zaak; het is een aaneenge-
schakeld verschijnsel, en vroegere phasen keeren niet terug.

Aan den anderen kant bebben we bij physische en
chemische verschijnselen met bewegingen van onnoemelijk
vele kleinste deeltjes te doen, welke bewegingen niet af-
zonderlijk worden waargenomen, maar opgaan in de massa-
beweging; omtrent welke bewegingen dan onderstellingen
gemaakt worden; terwijl we by het probleem der beweging
der bevolking in staat zijn de beweging der kleinste een-
heden, hier personen, waar te nemen. Daar moeten we
tot de onderstelling, onze toevlucht nemen, dat de kleinste
eenheden van het punt, het oogenblik, waarvan we uit-
gaan, af, een zelfde beweging hebben en die integree-
ren; hier nemen we die eenheden zelf waar; daar worden
die eenheden gelijksoortig gedacht, hier kunnen we ver-
schillen opmerken in samenstelling, aard en grootte.

In enkele opzichten zou het onderwerp zich laten ver-
gelijken met eenige meteorologische onderzoekingen. Een
vergelijking, die nog het minst scheef is, is die met een
beek. "We stellen ons een beek voor met veranderlijk
vermogen ontspringende, die met gelijkmatige snelheid
voortstroomt, langzamerhand door verdamping en andere
oorzaken haar water verliest en doodloopt.

tigheidstoestand veranderlijk voorstellen, niet alleen op
verschillende tijden, maar ook op verschillende plaatsen
van het stroomgebied.

ISTu doen zich verschillende vragen voor: hoe groot is
op een gegeven oogenblik de geheele watermassa, hoe
groot die in enkele vakken, hoeveel water stroomt door
de verschillende verticale doorsneden, wat is het verval
en vele andere vragen. Vervolgens wordt gevraagd, wat
is het verband tusschen de waargenomen atmosferische en
andere toestanden, die op den gegeven stroom invloed
uitoefenen, en de bij den stroom waargenomen grootheden.
Men ziet dit probleem is niet gemakkelijk; wel kan het
gemakkelijker voorgesteld worden, kunnen beperkende
onderstellingen ingevoerd worden. Dit is echter alleen
dan geoorloofd, als de volledige oplossing onmogelijk is.

Bij de bevolkingsprobleemen is hier vroeger niet over
gedacht. Toen-ik mij een weinig op de hoogte der litte-
ratuur trachtte te stellen, scheen het mij toe dat, met
uitzondering van enkele schrijvers, de meesten niet be-
hoorlijk over de zaak hadden nagedacht. Er zijn zeker
weinig onderwerpen in het gebied der wetenschap, waar-
bij zoo duidelijk blijkt, hoeveel er dikwijls op het gezond
verstand van den voorganger wordt gebouwd, en hoe
gevaarlijk dit is. Menig gegeven, oppervlakkig duidelijk
genoeg, is toch niet scherp genoeg onderzocht of ge-
formuleerd.

Zóó heeft b. v. vóór het jaar 1866, niemand er aan
gedacht er op te letten, althans behoorlijk uiteen te zet-
ten, dat de personen, die in een eenjarige ouderdoms-
klasse in een gegeven jaar sterven, afkomstig zijn uit
twee verschillende geboortejaren; dat evenzeer het sterven
in een eenjarige ouderdomsklasse van personen, die in

een zelfde jaar geboren werden plaats heeft in twee waar-
nemingsjaren. Hoe jong de wetenschappelijke behandeling
is, blijkt daaruit dat de eerste, die hierop opmerkzaam
maakte Prof. van Pesch was (1); terstond na hem en
vermoedelijk onafhankelijk Dr. Gr. Meijer (2); daarna
Knapp. Deze heeft de overdreven cijferzoekerij, die het
doel voorbijzag, of liever niet zag, vinnig gehekeld (3).
In het zelfde werk heeft hij de zaak wel wat omslachtig
behandeld.

Prof. Zeuner (4) komt met een fraaije analytische be-
handeling, en een heldere voorstelling in de ruimte tot
niet geheel juiste resultaten, benadert namelijk, waar het
zich houden aan de werkelijkheid mogelijk, zelfs gemak-
kelijker is.

Dr. Knapp gaf vervolgens (5) een vrij eenvoudige geo-
metrische voorstelling, en een toepassing op Saksen, die,
naar ik meen door het onvoldoende materiaal, nog al te
wenschen overlaat. Dr. M. M. van Baumhauer gaf in
het programma voor de zevende zitting van het congres
van Statistiek de noodzakelijkheid te kennen dat de ge-
storvenen naar geboortejaren en ouderdomsklassen ge-
scheiden moeten worden. Tot nu toe is zoover ik weet
op weinig plaatsen, aan dezen eersten eisch voor een juiste

(1) A, J. van Pesch. lets over Sterftetafels, in het Progr, der
H. B. School. Deventer 1866.

behandeling voldaan, terwijl van Baumhauer de verdienste
heeft, daaraan in ons vaderland van 1870 af uitvoering
te geven.

Binnen een niet ver verwijderd tijdstip zal het dan ook
mogelijk zijn een reeds zeer juiste bevolkingsstatistiek van
Nederland te geven. Voor de behandeling der provincies
en gemeenten zal een dergelijke onderscheiding der ver-
huizenden noodig zijn. Knapp geeft in een derde ge-
schrift (1), een mathematische behandeling des discontenue
functies, zooals ze bij dit onderwerp voorkomen; en een
keurig geschiedkundig onderzoek, naar dit exposé neem
ik de vrijheid te verwijzen.

Ik reken mij gelukkig, dat ik tot de zelfde resultaten
kwam, koewel langs anderen weg, als Director K. Becker (2),
Had ik zijn werk eerder gekend, (het kwam mij eerst in
handen, toen mijn dissertatie reeds voltooid was), mis-
schien zoude ik dan mijn notatie een weinig gewijzigd
hebben. Voor hen, die met het onderwerp niet bekend
zijn, moet ik vermelden, dat ik aan de eerstgenoemde
werken veel te danken heb; zij, die ze kennen, zullen ech-
ter zien dat de geheele wijze van behandeling van die allen
verschilt, vooral de notatie en de geometrische voorstelling,
die naar ik meen, wat duidelijkheid en eenvoudigheid
betreft de voorkeur verdient.

Ieder zal natuurlijk vinden, dat ik de theorie wenschte
toe te passen, daartoe lag de gemeente Deventer het
naast. Ik mag hier mijn dank betuigen voor de welwil-
lendheid waarmede mij het onderzoek van de bevolkings-
registers toegestaan en gemakkelijk gemaakt werd. Ik

dien hierbij te zeggen, dat ik aan een eigenlijke sterftetafel
niet dacht; het zou een getallenvoorbeeld geweest zijn,
van de wijze hoe de verandering eener bevolking plaats
heeft en geregistreerd kan worden. Ik heb met vrij veel
arbeid uit de bevolkingsregisters in daarvoor gereed ge-
maakte staten gebracht het aantal der in elk jaar gestor-
venen, iugekomenen en vertrokkenen, met opgaaf van het
geboortejaar en den ouderdom. Ik moest de toepassing ech-
ter weglaten, vooral om twee redenen, 1°. kon ik mijn
werk niet controleeren, dan door het te herhalen, en had
dus geen gewenschte zekerheid voor de numerieke uit-
komst; 2°. de inschrijving in de bevolkingsregisters, was
eerst geruimen tijd na de volkstelling van 1859 begonnen,
de resultaten van deze konden dus niet als basis dienen.
Ik zou wel uit de bevolkingsregisters opgemaakt hebben
de bevolking op 31 Dec. 1862, maar bemerkte bij een paar
proeven, dat, wilde ik nauwkeurig werken, elke inschrij-
ving te veel overweging eischte, het werk mij te lang op
zou houden, en dan nog misschien vergeefsch zijn. Ik
moet wat ik deed dus als een slechts half gelukte proef
beschouwen: waar ik iets bij leerde. Wat de symbolische
voorstelling betreft, ontveins ik mij niet dat die uitgebreid
en gewijzigd kan worden. De methode in het tweede
hoofdstuk gegeven kan terstond toegepast worden op de
gegevens van levensverzekeringen en dergelijke, als grond
voor de berekening van premien en reservea. Even goed
had ik kunnen spreken van „groepen," „maatschappijen"
en dergelijke, als van „gebied", althans voor het grootste
gedeelte.

De grootheden die bepaald moeten worden en de betrek-
kingen tusschen die grootheden.

§ i. Er worden manschen geboren, en menschen ster-
ven, op verschillende plaatsen en onder verschillende om-
standigheden. Beperken we ons tot een bepaald gebied,
tot een gegeven groep en letten we voorloopig niet\'op de
omstandigheden, niet op de hoedanigheden, die in het
gebied weer een kleiner groep in den grooteren groep
zouden bepalen. Onderscheidingen naar den burgerlijken
stand en het geslacht blijven dus achterwege.

Denken we ons dat elke geboorte wordt aangeteekend,
en tevens van denzelfden persoon de tijd waarop hij sterft,
of het gebied verlaat; dat van ieder persoon die het gebied
binnentreedt, de ouderdom en de geboortetijd aangegeven
wordt: dat ieder vertrekkende geschrapt wordt. Daarin
vinden we alles wat op het zijn in den tijd der bevol-
king van het gebied betrekking heeft, daaruit zouden
we hoewel met veel moeite alles kunnen vinden wat daar-
mede in verband staat.

"We kunnen dit ook door een geometrische voorstelling
doen. {Tig. 1) Op een rechte lijn worden, van een vast
punt, overeenkomende met een bepaald tijdstip, de tijd-
stippen der afzonderlijke geboorten aangeteekend; zoodat
de afstand van B tot dat punt O, den geboortetijd voor-
stelt van dien persoon. Uit dat punt B wordt een lood-
lijn opgericht, en op die loodlijn een stuk uitgezet, da,t
den levensduur van dien persoon voorstelt.

Die zelfde bewerking wordfc voor alle achtereenvolgende
geborenen in het gebied verricht. Het geval dat meer
personen gelijktijdig geboren worden, zou men b. v. door
een gestippelde lijn er naast kunnen aangeven A en A\'.

In deze geometrische voorstelling kunnen de ingekomen
personen, ook ingevoerd worden; van zulk een persoon
behoeft slechts, behalve den tijd waarop hij inkomt, de
ouderdom waarop dit plaats heeft aangegeven te worden.
Laat hij ten tijde r ingekomen zijn, öud ö; hij is geboren
ten tijde t = T — 6, t en r van den oorsprong af geteld.

Uit het punt C, 00 = t, wordfc een loodlijn opgericht;
op die loodlijn een stuk BD — $ genomen, en een stuk
CE gelijk den levensduur.

Dat een persoon de gemeente verlaten heeft wordt
aangegeven door een duidelijk teeken, een dwarsstreepje
bijvoorbeeld, dat zijn levensduurlijn afsluit op een afstand
van de geboortelijn gelijk aan den ouderdom bij het vertrek.

Trekt men een lijn, evenwijdig aan, en op een afstand
6\' van Ot, dan zullen alle personen, wier levensduurlijnen
door die lijn gesneden worden ouder dan 6\' worden.

Indien men op een gegeven opnemingstijd OG- = r ver-
schillende geborenen nagaat, zal de ten tijde t\' geborene oud
zijn r — t\', de ten tijde t" geborene oud zijn r — ; die af-
standen op de levensduurlijnen uitgezet, ook voor tusschen
t\' en t" geborenen, liggen op een lijn, waarvan alle punten
voldoen aan de voorwaarde t-^ 6 -r-, dus op een rechte
lijn, die een hoek van 135° met de geboorteas maakt.

zullen alle personen, wier levensduurlijnen daardoor ge-
sneden worden, na r nog leven.

Immers: is S het snijpunt van de lijnen GrT en KL,
dan is ^K KL, de tijd waarop de persoon K sterft,
grooter dan OK KS, en omdat KS = KQ-, grooter
dan Oa = r.

Ingeval de aanteekeningen in een gebied eerst begin-
nen op een tijd r = 00\'; zal de tellingslijn O\'T\' getrok-
ken moeten worden, en zullen alle ten tijde r aanwezigen
in de geometrische voorstelling als op dien tijd ingekomen
behandeld moeten worden.

Het is bijna onnoodig er oplettend op te maken, dat
deze wijze van behandeling in de praktijk zoo goed als
onmogelijk zijn zal, zelfs als voor de levensduurlijnen
een andere maat aangenomen wordt; alle resultaten blij-
ven dan in vorm dezelfde, slechts wordt de richting der
tellingslijnen veranderd.

§ 3. Bij een waarneming, onverschillig wat die zij,
omtrent een persoon, heeft men alleen tijdgrootheden;
voor den tijd van waarneming gebruiken we de letter r,
voor den geboortetijd t, voor den ouderdom 6.

Het spreekt van zelf, dat de tijd van waarneming ver-
minderd met den ouderdom van den waargenomen persoon,
verminderd met den geboortetijd, nul is, r — B — ^ = 0.
Een uitspraak aequivalent met de volgenden:

De ouderdom van den ten tijde t geborene, die ten
tijde T waargenomen wordt, is: B — r — t.

Een persoon ten tijde t geboren, wordt 6 oud waarge-
nomen ten tijde r— t-^-O.

We hebben behalve de geboorfceas, drie soorten van
lijnen: levensduurlijnen, ouderdomslijnen en tellingslij nen ,
de eerste loodrecht op, de tweede evenwijdig aan, de
de derde een hoek van 135° makend met de geboorteas.
Door een willekeurig punt boven de geboorteas kunnen
altijd drie dergelijke lijnen getrokken worden. Het punt
wordt bepaald, 1° door de lengte der loodlijn op de ge-
boorteas neergelaten en den afstand van het voetpunt der
loodlijn tot den oorsprong, met andere woorden door een
ouderdomslyn en een levensduurlijn ö en i^; door het
punt waar de tellingslijn Ot snijdt en door het voetpunt
der loodlijn, met andere woorden, door een tellingslijn en
een levensduurlijn, door r en ; 3\'^. door een tellingslijn
en door een ouderdomslijn; door $ en r.

Voor elke waarneming is r — & —t=:0-, twee der drie
lijnen bepalen de derde.

De afzonderlijke personen kunnen ten opzichte van hun
lotgevallen, volgens een register en volgens de geometri-
sche voorstelling nagegaan worden.

Indien groepen gevormd worden kunnen zeer verschil-
lende waarnemingen gedaan worden en wel ten opzichte
van levenden en van gestorvenen.

§ 3. a. Even oud levenden noemt men de personen, die
een gegeven ouderdom 6 bereiken. De bijzondere personen
kunnen nader bepaald worden, hetzij door hun geboorte-
tijd, hetzij door den tijd waarop ze den gegeven ouder-
dom bereiken. Groepen worden evenzoo bepaald door
begrenzingen door die elementen. Worden de in een
gegeven tijd geborenen nagegaan, dan is het theoretisch
mogelijk te bepalen hoevelen van hen een gegeven ouder-
dom 6\' bereiken, practisch uitvoerbaar is dit niet, even-

zeer is dit het geval met de personen, dio in een gegeven
tijd een gegeven ouderdom bereiken. TJit het latere zal
een indirecte bepaling opgemaakt kunnen worden

In de geometrische voorstelling is de verzameling der
personen, die uit een gegeven geboorteperiode i5\' t" afkom-
stig een gegeven ouderdom bereiken (fig. 2), bepaald door
het aantal punten, dat de levensduurlijnen uit het stuk
van de geboorteas, dat overeenkomt met de gegeven
geboorteperiode, opgericht gemeen hebben met de ouder-
domslijn tot den gegeven ouderdom behoorende. Daar
ook op een voorgaande en op een volgende geboorte-
periode gelet moet worden, wordt bepaald dat de ten
tijde t\' geborene wél, de ten tijde t" geborene niet mede-
geteld wordt. Ook wat het bereiken van den gegeven
leeftijd betreft moet nader onderscheiden worden: het is
mogelijk dat een persoon juist B jarig sterft (in de geom.
voorstelling: dat een levensduur lijn juist in de ouderdomslijn
6 eindigt). In het geval dat 0 = 0, valt ouderdomslijn met
geboorteas samen; een doodgeborene sterft nuljarig. Onder-
stellen we dat de doodgeborenen geteld worden bij de ge-
borenen, dan dwingt dit grensgeval ons te bepalen dat
tot hen, die een gegeven ouderdom 6 bereiken, ook
gerekend worden de personen, die juist ö jarig sterven. De
personen die in de waarnemingsperiode r\' r" den ouderdom
$ bereiken, zijn geboren van r\' — 6 tot r" — 6; de ten
tijde r\' den ouderdom 6 bereikende wordt, overeenkomende
met het bovenstaande, wèl, die dit ten tijde r" doet, niet
medegeteld. De beide bepalingen geven een zelfde ver-
zameling als t\' — e — t\' — O en r" — 6 — t" = O.

Nog zij men er opmerkzaam op, dat een verzameling
van ^venoud levenden ook bepaald wordt door f en r"
en door t" en r\', telkens met 6 verbonden.

l. Gelijktijdig levenden worden die personen genoemd,
die op een gegeven tijd aanwezig zijn. De afzonderlijke
personen kunnen bepaald worden, hetzij door een ouder-
dom, hetzij door een geboortetijd. Grroepen kunnen
bepaald worden op verschillende wijze. De personen ten
tijde T uit de geboorteperiode t\' t" aanwezig, zijn allen
ouder dan r — t", terwijl de oudste, de ten tijde t\'
geborene r — t\' oud is. Dit wordt uitgedrukt door te
zeggen, dat ze staan in de ouderdomsklasse 6\' 6", waarbij
ö\' " T — t" en (5" — r —"Worden ouderdomsgrenzen ter
bepaling van een groep gebruikt; wordt een groep aan-
gegeven door 6\' 6", dus de ten tijde r aanwezigen in de
ouderdomsklasse ö\'ö", dan ziet men in, dat, daar deze
geboren moeten zijn van r — 6" af tot r — ö\', de eene
bepaling met de andere overeenstemt als r — ö" — t\' — O
en r — ö\' — t" - O.

G-eometrisch worden de ten tijde r aanwezigen voor-
gesteld door (fig. 3) de punten, die de tellingslijn r
met levensduurlijnen gemeen heeft (de juist ten tijde
r stervenden worden bij de aanwezigen geteld). De
bepaHng van een groep dier punten kan plaats hebben
1° door twee verticalen t\' en t" 2" door twee ouder
domslijnen 6\' en ö\'\'; 3° door een verticaal H en een
ouderdomslijn & \\ 4" door een verticaal f en een ouder-
domslijn 6".

Mven oud levenden en gelijUijdig levenden geven geheel
verschillende begrippen aan. Hier is een waarnemings-
termijn, en een geboorteperiode of ouderdomsklasse; daar
is een ouderdomsgrens en een geboorteperiode of waar-
nemingsperiode. Ze kunnen nooit samenvallen.

Hebben de sterfgevallen één voor één plaats, dan is
het mogelijk als een der verzamelingen gegeven is* de

grens der andere zoodanig te bepalen, dat de absolute
grootte van beide dezelfde is.

§ "Wat tot hiertoe gezegd is, laat zich evenals het
volgende symbolisch voorstellen. Een waarneming wordt
bepaald door tö, rt of 6t, die óf de eenheid of nul zijn.

Een bepaalde waarde van een der elementen wordt in
het vervolg door een accent aangegeven-, of ingeval het
uitgedrukt wordt door twee andere elementen, door
haakjes van den vorm [ ]. Dat een bepaalde waarde
tevens grens is, wordt voor een beneden grens aange-
geven door een 1, voor een bovengrens door een 2 rechts
achter de letter of de haakjes.

a. t\'i f\'^ö\', geeft de som aan der verschillende ^ (9 voor
een zelfde 6\' en voor waarden van den geboortetijd, van
t t\' tot t — t". Het zijn de evenoudlevenden uit de
geboorte-periode t\' t"; tevens stelt de uitdrukking het aan-
tal snijpunten van een bundel ^-parallellen met Q\' voor.

b. t\' 1 t"^ t\' geeft de som aan der verschillende t r voor
een zelfde t\' , en voor waarden van t, van i — i\'tott — t".
Het zijn gelijktijdiglevenden uit de geboorte-periode t\'t"
het stelt ook voor de snijpunten van een bundel i^-lijnen
met de lijn r\',

c. t{ Tg" S\' geeft de som aan der verschillende r 6 voor
een zelfde $\' en voor waarden van r = r\' tot r — r\'\'. Het
zijn evenoudlevenden in een waarnemings-periode; het
geeft tevens de snijpunten van een bundel r lynen, van
verschillende lengte met een ö-lijn aan.

een zelfde r\' en voor waarden van ö — 6\' tot 6 = 6". Het
zijn de gelijktijdiglevenden in een ouderdomsklasse; de uit-
drukking geeft tevens aan de snijpunten van een bundel
Mijnen (gelegen tusschen [r\'—6"] en [r\'—Ö\']) en een r-lijn :

b. door [t\' —rji [r\' — fJ^T\' ; c. door [r\'— Ö\'Jj
Ir" — öVj 6\'-, d. door It\'—S"]^ [r\'—6\'\\ r\'.

a. en c. vallen samen voor een zelfde $\' als r\' — ö\' — t\' = O
en t" — 6\' — t" - O.

b. en d. vallen samen voor een zelfde r\' als r\' — 8" — t\'
= 0 en t\'-6\'— t" zzzO.

e. i\\{T"— = 6\'. Personen die vóór
t" den ouderdom 6\' bereikten, en geboren werden van t\' af.

f, \\r\' — ö\']i t^\' $\' ■= r/ p" 6\'. De personen die van
r\' af den ouderdom 6\' bereiken, en geboren werden vóór t".

§ S. Primaire verzamelingen mn gestorvenen, a. De per-
sonen, die in een gegeven periode geboren worden, zijn
bij het einde dier periode niet allen meer aanwezig,
evenzoo zijn de personen die in een gegeven periode een
gegeven ouderdom bereikten, op het einde van de waar-
nemingsperiode waarin dit plaats had, niet allen meer
aanwezig; er zijn personen gestorven bij dezen overgang
van evenoud levenden tot gelijktijdig levenden: zij vormen
wat genoemd kan worden de eerste primaire verzameling
van gestorvenen.

Laat de geboorteperiodè zijn t\'i\', en 6\' de ouderdom,
die de evenoud levenden nader bepaalt; t" ö\' is de
bovengrens der waarnemingsperiode waarin dit bereiken
van den ouderdom 6\' plaats heeft; er kunnen geen per-
sonen jonger gestorven zijn dan ö\', terwijl ö\') — t\' de
hoogste ouderdom der gestorvenen is, dus de ouderdoms-
klasse der gestorvenen = {t" ö\'—t\')—6\' = t" — t\'- daar het
eerste sterfgeval eerst plaats kan hebben van t\' ö\' af, is
de waarnemingsperiode bij deze eerste primaire verzame-
ling = {t" 6\') — (t\' ö\') —t"—t\'; het zijn gestorvenen in een
ouderdomsklasse en in een waarnemingsperiode, wier duur
gelijk is aan den duur der geboorfceperiode, waaruit zij
afkomstig zijn.

In de geometrische voorstelling (zie fig. 4) worden twee
lijnen t\' en t" getrokken, en een ouderdomslijn è\'\\ door
het snijpunt van t" en 6\' wordt een tellingslijn getrokken
t\' ö\', die de verticale lijn t\' zal snijden in het punt
waarvan de ordinaat is t" 0\' — t\'.

Deze eerste primaire verzameling van gestorvenen is
dan het aantal levensduurlijnen, dat eindigt in den drie-
hoek bepaald door H, 6\' en r" =: t" ö\', en wordt verkre-
gen door van het aantal punten, dat de levensduurlijnen
uit i t" opgericht met 6\' gemeen hebben, af te trekken
het aantal punten dat diezelfde levensduurlijnen met r\' =
t" 6\' gemeen hebben. Stellen we het symbolisch voor:
t\' is een benedengrens der geboorteperiode, ö\'de beneden-
grens der ouderdomsklasse, r" = t"$" de bovengrens
der waarnemingsperiode. Dat van gestorvenen sprake is
wordt aangegeven door haakjes; een bepaalde waarde van
een der tijdelementen, wordt aangegeven door accenten
boven rechts; dat die bepaalde waarde een grens is van
een periode van dat element, voor de benedengrens door

1, voor de bovengrens door 2 recbts beneden de letter.
Dus {t\\ 6\'i r\'g) stelt voor de gestorvenen, 6\' jarig en
ouder vóór r", die geboren werden van t\' af; daar van
de gestorvenen niemand geboren kan zijn dan vóór r" — 6\',
komt het overeen met de bovenstaande bepaling der pri-
maire verzameling; de verzameling van hen die uit de
geboorteperiode U, [r" — ö\'], gestorven zijn (?\'jarig en
ouder vóór den tijd [t" — ö\'] ö\' = r".

De personen, die uit een gegeven geboorteperiode op
een gegeven tijd aanwezig zijn hebben een verschillenden
ouderdom, niet all^n zullen den ouderdom bereiken, dien
de persoon, die bij het begin der geboorteperiode geboren
werd, dan heeft.

Er zijn van die aanwezigen gestorven vóór het bereiken
van genoemden ouderdom; het is de overgang van gelijk-
tijdiglevenden tot evenoudlevenden, ze vormen de tweede
primaire verzameling van gestorvenen.

Laat de geboorteperiode weder zijn 1^\', en t\' de tel-
lingstijd die met de t\' en t" de verzameling van gelijk-
tijdig levenden bepaalt; de ouderdomsklasse der gelijktijdig
levenden is (r\' — t\') — (r\' — t") = f\' — U. Daar de reeks
der sterfgevallen begrensd wordt door (r\' — t\'), den tijd
waarop de ten tijde t" geborene den ouderdom t\' —■ t\' be-
reikt, ia de waarnemingsperiode ook = ^—t\', De tweede
primaire verzameling van gestorvenen is dus ook afkomstig
uit een geboorteperiode, sterft in een ouderdomsklasse en
in een waarnemingsperiode, allen van gelijken duur.

In de geom. voorstelling (zie fig. 5) worden twee ver-
ticale lijnen t\' en t" getrokken, een tellingslijn t\', eu door

het snijpunt van r\' en t\' (met de ordinaat r\' — t\') de
ouderdomslijn 6" = r\' — t\'-, deze snijdt de verticale lijn
de tellingslijn door dit snijpunt gaande, is r\' r — t\'-

De lijnen r\', t" en 0" = t\' — t\' bepalen een driehoek.
De levensduurlijnen die in dien driehoek eindigen, zijn
in aantal gelijk aan de tweede prim. verzameling van
\'gestorvenen.

Dit aantal wordt gevonden, door van het aantal der
levensduurlijnen, uit t\' t" opgericht, die een punt met
t\' gemeen hebben, af te trekken het aantal der levens-
duurlijnen, die een punt met 6" = r\' — t\' gemeen hebben.

"Weder wordt de driehoek aangegeven door de begren-
zende lijnen, en dat er sprake is van in dien driehoek
eindigende levensduurlijnen door haakjes.

De uitdrukking (2) heeft betrekking op de wijze van
bepaling in het begin van ó. gebruikt ; de uitdrukking (2)\'
op den tweeden vorm van bepaling,

(1) en (3) stellen ons nu in staat de primaire verzame-
lingen van gestorvenen in verzamelingen van levenden uit
te drukken.

a. Herste secundaire verzameling van gestorvenen.
De personen, die in een gegeven geboorteperiode geboren
werden, en een gegeven ouderdom bereiken, zijn niet allen
aanwezig op het einde der waarnemingsperiode waarin dit
bereiken van dien ouderdom plaats heeft; de personen, die
dan aanwezig zijn bereiken niet allen den ouderdom van

eerstgenoemden ouderdom bereikten en niet den laatsten,
vormen de eerste verzameling van gestorvenen;
namelijk, die der personen, die uit een gegeven geboorLe-
periode afkomstig, in een ^ouderdomsklasse van gelijken
duur stierven.

Zij t\' t" de geboorteperiode en 6\' de eerstgenoemde
ouderdom; dan is de andere ouderdom t" Ar — f\' Immers:
de uit t\' t" ten tijde t" oudst aanwezende is geboren
ten tijde i\'. De ouderdomsklasse is groot t" — t\'.

Het eerste waargenomen sterfgeval heeft plaats ten tijde
t\'-{-6\'; het einde der waarnemingsperiode wordt aange-
geven door t" (t" ö\' — t\'), den tijd waarop de op den
tijd f geborene den hoogsten ouderdom bereikt; het ver-
schil dier termijnen is 3 {t"—f), zooals natuurlijk blijken
moest bij de wijze van ontstaan onzer verzameling.

In de geometrische voorstelling (zie figuur 6) worden
twee verticalen t\' en t" getrokken, een ouderdomslijn
door het snijpunt van i" en ö\', de tellingslijn i" ; en
door het snijpunt dezer tellingslijn met t\', de ouderdoms-
lijn —

t\', t", ff en ff\' bepalen het vierkant A B O D, de
levensduurlijnen in dit vierkant eindigend, zijn gelijk in
aantal aan de gestorvenen uit de geboorteperiode t\'t" in
de ouderdomsklasse ff ff\'. Ze worden verkregen door van
het aantal punten dat de levensduurlijnen, uit tU" opge-
richt met ff gemeen hebben, af te trekken, het aantal
punten, dat die levensduurlijnen met 6" gemeen hebben.

Tot de zelfde uitdrukking komt men door bijeenvoeging
der beide primaire verzamelingen, waarvan we in het be-
gin uitgingen.

De personen toch, die uit de gehoorteperiode t\' t" den
ouderdom 6\' bereikten, (\'t geen plaats hoeft van tot
U\' ö\') en vóór t" B\' stierven, vormen de eerste primaire
verzameling van gestorvenen; uitgedrukt door {i^ B\\ ö\'jg).

De personen, die uit die zelfde geboorteperiode ten tijde
Ü\' B\' aanwezig waren, en stierven vóór het bereiken van
den ouderdom t"6\'—t\', vormen een tweede primaire
verzameling, uitgedrukt door (t^" [t" — B\'-Ji).

De eerste met behulp van (1), de tweede met behulp
van (2) tot verzamelingen van levenden reduceerend, en
die uitdrukkingen optellend, verkrijgt men:

Derhalve: de verzameling van hen, die uit de eenheid
van geboorteperiode afkomstig in de eenheid van ouder-
domsklasse stierven, is gelijk aan het verschil der verza-
melingen van hen, die uit die gehoorteperiode de beneden* en
van hen, die de bovengrens der ouderdomsklasse bereikten.

b. De personen, die in een gegeven geboorteperiode
geboren zijn, en op een gegeven tijd aanwezig zijn bereiken
niet allen den ouderdom van den oudste dier aanwezigen;
terwijl zij, die dien ouderdem bereiken, niet allen aan-
wezig zullen zijn ten tijde dat de laatste dien ouderdom
bereikt. De personen, die bij de eerste telling wèl en bij
de laatste niet aanwezig waren, vormen de tweede \'\'se-
cundaire verzameling van gestorvenen, namelijk
de gestorvenen uit een gegeven geboorteperiode, in een
tellingsperiode van gelijken duur.

Zij t\'t" weder de geboorteperiode, en r\' de beneden-
grens der waarnemingsperiode. De bovengrens der waar-
nemingsperiode is naar de wijze van ontstaan, (r\' —t\') 1".
De waarnemingsperiode = t" —t\'.

De grenzen van den ouderdom der gestorvenen zijn:
t\' — t" = de ouderdom van den laatstgeborene ten tijde r\';
en t" — t" = de ouderdom van den vroegst geborene ten
tijde t". De ouderdomsklasse?. dus groot (t" — t\') —
(r\'—i") = 2 (t" — t\'), loopt over een tijdruimte gelijk aan
tweemaal de geboorteperiode.

In de geom. voorstelling (zie figuur 7), worden twee
verticalen t\' en i" getrokken, een tellingslijn t\' , door het
snijpunt van r\' en t\' de ouderdomslijn r\' — t\' en door het
snijpunt van deze met t" de tellingslijn r" = t\' i" — t\'.
De lijnen r\' en r" omsluiten een parallelogram; de

levensduurlijnen die in dat parallelogram eindigen, zijn in
aantal gelijk aan de tweede verzameling van gestorvenen:
de gestorvenen uit de geboorteperiode i\'t" in een onder-
nemingsperiode van gelijken duur t\' t" , en worden ver-
kregen door van de punten die de levensduurlijnen uit
t\'t" getrokken met t\' gemeen hebben, af te trekken het
aantal punten dat ze met r" gemeen hebben.
. {t\\t\\T\\T\\)^t\\t\\T\'~t\\t%r". (4)

Uit de beide prim, driehoeken: {t\'Wr\' — t\'^^i)^
{tl [r\' - t\']^ [r\' r - = t,\' r\' — U\'U\' \\r\'-t\'1
tï h" W — t\'] — H\' b-\' 1" — t\'] wordt natuurlijk de-
zelfde uitdrukking verkregen. Beide brengen ons tot de
stelling:

De verzameling van hen die uit de eenheid van geboorte-
periode afkomstig in de eenheid van waarnemingstijd ster-
ven, is gelijk aan de verzameling van gelijktijdig levenden,
uit de geboorteperiode bij het begin der waarnemingspe-
riode aanwezig, verminderd met de verzameling van gelijk-
tijdig levenden bij het einde der waarnemingsperiode aan-
wezig.

c. Eigenlijk gezegd waren de beide voorgaande samen-
gestelde verzamelingen vereenigingen van primaire verza-
melingen, de eerste van een eerste en een tweede, zóó
bepaald dat ze een gelijke geboorteperiode en gelijke ouder-
domsklasse hadden en dat de bovengrens der waarnemings-
periode in de eerste gelijk was aan de benedengrens der
waarneming in de tweede; de tweede een vereeniging van
een tweede en eerste primaire verzameling met gelijke ge-
boorteperiode en waarnemingsperiode maar zóó, dat de
bovengrens der ouderdomsklasse in de eerste gelijk was
aan de benedengrens der ouderdomsklasse in de tweede.

Vereenigen we thans twee primaire verzamelingen, die
gelijke tijdseenheden hebben, maar zóó dat het eind der
ouderdomsklasse in de eene gelijk is aan het begin der
ouderdomsklasse in de tweede, terwijl de ouderdomsklasse
en de waarnemingsperiode in de ééne gelijk is aan de
ouderdomsklasse en de waarnemingsperiode in de tweede.
Zij ö\' 6" die ouderdomsklasse, t\' t\' de waarnemingsperiode,
t de beiden gemeenschappelijke grens der geboorteperiode.
Natuurlijk is 6" — 6\' = t" — r\', daar in een eerste en
tweede primaire verzameling ouderdomsklasse en waarne-
mingsperiode een zelfde tijdruimte omvatten. De gestor- "
venen in de ouderdomsklasse 6\' 6" en de waarnemingspe-
riode van gelijken duur t\' r" (zoowel tot t als van t af
gestorvenen) vormen de derde samengestelde verzameling
van gestorvenen. Het is duidelijk, dat er geen andere
gestorvenen zijn dan afkomstig uit r\' — 6" tot t en van t
tot t" — ö\', dus uit een geboorteperiode groot r" — r\'
ö" — 6\', gelijk aan tweemaal de eenbeid van tijd bij de
beide primaire verzamelingen.

In de geometrische voorstelling (zie fig. 8) wordt uit t
een verticale lijn opgericht en twee ouderdomslijnen 6\' en

6" (of twee tellingslijnen r\' en t"), door de snijpunten
van t met 6\' en 6" de tellingslijnen 6\' en t-^ 9", (of
door de snijpunten van t met r\' en r" de ouderdomslij-
nen t\' — t en r\' — i).

6\', ö", t 6" en t 6\' (of r\', t" , t\' ~ t en r" — t)
bepalen een parallelogram; de levensduurlijnen, die in
dat parallelogram eindigen stellen de gestorvenen in de
ouderdomsklasse 6\' $" en de waarnemingsperiode t 6\' tot
t 6" (of in de waarnemingsperiode r\' r" en de ouder-
domsklasse r\' — t tot t" — t) voor. Deze worden, zooals
uit de figuur blijkt, verkregen door het aantal der levens-
duurlijnen , die een punt gemeen hebben met het stuk van
r\' door 6\' en $" afgesneden, met het stuk door r\' en r"
van 6" afgesneden, te vermeerderen met het aantal der
levensduurlijnen, die een punt gemeen hebben met het
stuk door r\' en r" van ff\' afgesneden en met het stuk
door ff en ff\' van r" afgesneden.

(r\' t" ö\' ff\') = [r\' - [t\' - ff], r\' [r\' - [r"- ö\'],
6\' - [r\' - ff\']^ [r" - ff\'], ff\' - [r" - ff\'], [r" - ff], r". (5)
De beide samengevoegde primaire verzamelingen van
gestorvenen zijn: {t, ff\', t\'{) en {t, ff, r",).

Als derde stelling in nu verkregen:
De verzameling van hen, die in de eenheid van waar-
nemingstijd in de eenheid van ouderdomsklasse gestorven
zijn, wordt verkregen door bij de verzameling van gelijk-
tijdig levenden, bij het begin der waarnemingsperiode in
de gegeven ouderdomsklasse aanwezig, te voegen de ver-
zameling van even oudlevenden, die gedurende de waarne-
mingsperiode de benedengrens van den ouderdom bereiken;
en deze som te verminderen met de som der verzameling van

evenoudle^enden, die gedurende de waarneraingsperiode de
bovengrens van de ouderdomsklasse bereikten en der ver-
zameling van gelijktijdig levenden, die bij bet einde der waar-
nemingsperiode in de ouderdomsklasse aanwezig zijn.

Na het voorgaande is het duidelijk, dat, indien de ver-
zamelingen van ten tijde t aanwezigen uit de verschillende
opeenvolgende eenheden van ouderdomsklasse bekend zijn,
(of uit de verschillende er bij behoorende eenheden van
geboorteperiode afkomstig); indien de verzamelingen der
van r af in de verschillende eenheden van geboorteperiode
geborenen bekend zijn, en indien verder bekend zijn de
verschillende verzamelingen van gestorvenen [t\'i t"^ r"^) en
met dezelfde tijdseenheid; ook bekend zijn alle
volgende verzamelingen van gelijktijdiglevenden en even-
oudlevenden.

§ 6. Verdere mrmmelingen. Zonder verder te gaan met
het uitvoerig beschrijven, hoe de andere verzamelingen
gevormd worden door het bijeen voegen van verschillende
primaire verzamelingen, verwijs ik naar de figuren 9, 10,
11, 13 en 13.

a. Wat betreft de figuren 9 en 10, deze maken duide-
lijk , hoe, door telkens bij een primaire verzameling van
gestorvenen, (in figuur 9 een eerste, in figuur 10 een
tweede, in beide geschaduwd voorgesteld), een primaire
verzameling van de andere soort te voegen, met de zelfde
tijdseenheid, maar telkens slechts één der grenzen er mede
gemeen hebbend, telkens een secundaire verzameling wordt
verkregen, en wél die, waarvan de grenzen zijn die der
samenstellende primaire verzamelingen zonder de beiden
gemeenschappelijke grens.

Door bij ieder dier verzamelingen, bepaald door jJ/ ög",
en e{ 6{\'r{ r{, en die in de figuren 11, 12
en 13 geschaduwd voorgesteld zijn, telkens een primaire
verzameling te voegen, van welke ééne grens (onder- of
bovengrens) overéénkomt met ééne grens (respectievelijk
boven- of ondergrens) der gegeven secundaire verzameling,
worden verkregen verzamelingen, dio tertiaire genoemd
kunnen worden.

Een willekeurige er uitnemend, b. v. 3 van fig. 12, en
haakjes en accenten er bij schrijvende {ti t^\' r-^ 6^\'), ver-
meld ik dat deze voorstelt: de verzameling van hen, die
uit de geboorteperiode t\'t" afkomstig, van t\' af jonger
dan $" gestorven zijn; men zal kunnen aantoonen, dat
deze verzameling gelijk is aan de verzameling van hen,
die uit diezelfde geboorteperiode t\'t" ten tijde r\' aanwezig
zijn, verminderd met de verzameling van hen, die uit die-
zelfde geboorteperiode den ouderdom 6" bereikten.

De overblijvende combinaties der elementen vier aan vier
zijn zes in aantal; Éi 6i r^ Ö3; ^^ t^ ; t^ ög Tg t-^ \\ Ö3 Tg ;

Zij zijn onbepaald, daar het niet mogelijk is de ontbre-
kende grenzen uit de gegeven elementen te bepalen.

Het zal niet moeielijk vallen in de figuren te vinden:
de zes combinaties der grenzen vijf aan vijf, b.v. {ty r [Tg).

Men zal uit de figuren ook kannen opmaken hoe de
combinatie van zes grenzen uit primaire verzamelingen
gevormd wordt, of uit samengestelde; b. v. uit twee ter-
tiaire, of uit twee secundaire en twee primaire.

c. Het zal niet zonder belang zijn, van de meest alge-
meene verzameling uit te gaan, namelijk van de zeshoek-
verzameling, en door bepaling der grenzen tot vijfhoek en
vierhoek en driehoek verzamelingen over te gaan, in dit
geval zonder gelijke periodes te onderstellen voor de ver-
schillende elementen; en tevens hierbij gebruik te maken,
van de symbolische voorstelling.

Zonder onderscheidingen te maken, welke van de peri-
odes t\'t" en O\' 6 \' de grootste is, wordt ondersteld, dat
de drie paren evenwijdige lijnen een zeshoek omsluiten.
Laten {t\', &\') (t\', 6"), [t", 6\') en {t", 6") de snijpunten zijn van
t\',t",G\' en 6\'\'-, een zeshoek wordt verkregen, als t\' en r"
aan de voorwaarden voldoen:

ö"> [t\' - f\\ > $■; 6" > [t" - t"] > ö\';
t" > [t\' — ö\'] > t\'; t" > [r" - 6"] > t\'.

De zeshoek A B O D E F (fig. 14) heeft tot hoekpun-
ten, als de punten bepaald worden door geboortetijd en
ouderdom.

A: t\' en [r\'— t\']-, B: t\' en ö"; C- [r\'\' —fi"] en ö"; D: T
en [t" —r]; E: t" en ö\'; E: [ t\'—ö\'] en 6\'.

De levensduurlijnen, die in den zeshoek eindigen, zyn
in aantal gelijk aan de verzameling van personen, die,
afkomstig uit de geboorteperiode t\' t", gedurende de waar.
nemingsperiode r\'r", in de ouderdomsklasse 6\' d" gestorven
zijn. Dit aantal levensduurlijnen, dat in den zeshoek
eindigt, wordt verkregen, door van het aantal punten,
dat levensduurlijnen gemeen hebben met A!P en FE, af
te trekken het aantalpunten, dat levensduurlijnen gemeen
hebben met BC en CD.

Dit wordt voorgesteld door:
(tl\' V\' h\' Tl\' Tg") = t,\' [r\' - t\' [r\' - t," $\' -

De verzameling van hen, die afkomstig uit de geboorte-
periode t\' t" van r\' tot r" sterven in de ouderdomsklasse
ö\' 6" is gelijk aan de verzameling van hen, die van t\' af
geboren ten tijde t\' aanwezig zijn ouder dan 6\', ver-
meerderd met de verzameling van hen, die vóór i" gebo-
ren van t\' af dien ouderdom B\' bereikten, verminderd met
de verzameling van hen, die van t\' af geboren, vóór r"
den ouderdom 6" bereikten, en met de verzameling van
hen, die vóór t" geboren ten tijde t" oud S" en jonger
aanwezig waren.

Thans worden de volgende onderstellingen ingevoerd.
a. r\'zz^t\' Ar 6\', dan wordt A = O en B = t,\' 6\'.

Deze zes gevallen koraen telkens overeen met het weg-
vallen van een der grenzen. Telkens wordt een vijfhoek-
verzameling verkregen, ze worden in de figuur voorgesteld
door JBCDE;ABHEF; AJDEE; A B 0 D L;
G O D E E, en A B O D L.

Voor elk dezer verzamelingen laat zich door verandering
der er bij behoorende termen in form. 6, de overeenkom-
stige symbolische uitdrukking aangeven, die dan verder
gemakkelijk in woorden gebracht wordt.

Een willekeurige voorwaarde kiezend, b, v. a, dus het
geval onderstellend dat r\' niet gegeven is, verkrijgt men:

De verzameling van hen, die uit de geboorteperiode ft"
afkomstig, vóór r" in de ouderdomsklasse 6\' ö" gestorven
zijn, is gelijk aan de verzameling van hen, die uit de ge-
boorteperiode t\'t" den ouderdom 6\' bereikten, verminderd
met het aantal van hen, die van t\' af geboren vóór r" den
ouderdom 6" bereikten, en met het aantal van hen, die voor
t" geboren ten tijde t" oud en jonger aanwezig waren.

6" = r" — t"

6\'= t" — t"
t\'-T\' — 6"

Worden « en ó gelijktijdig ondersteld, dus ondersteld dat
de begrenzingen ten opzichte van den waarnemingstijd
wegvallen, dan wordt verkregen:

overeen met de vroeger gevonden eerste secundaire ver-
zameling van gestorvenen.

Indien c en d gelijktijdig ondersteld worden, wordt door
invoering der boven bepaalde waarden van A, B, C en D
in form. (6) gevonden.

In de figuur wordt het voorgesteld door het parallelo-
gram A L J K; de uitdrukking komt overeen met de
vroeger gevonden tweede secundaire verzameling vaa ge-
storvenen.

(5/ ög" r\' t") = [t\' - ö"] j ]r\' - ö\']^ r\' [r\' - d\'] ,[r" - d\'],
6\' _ [r\' _ ö"], [t" —s"]^ ö" — [t" — é)"], [r" — ö\'jg r" (10)

In de figuur 14 wordt dit voorgesteld door het paralle-
logram Gr P K E; de uitdrukking komt overeen met de
vroeger gevonden derde secundaire verzameling van ge-
storvenen.

De verzameling van hen, die, gedurende de waarnemings-
periode t\' r" in de ouderdomsklasse 6\' 6" gestorven zijn,
is gelijk aan de verzameling van gelijktijdig levenden ten
tijde t\' in de ouderdomsklasse ö\'Ö" aanwezig, vermeerderd
met de verzameling van evenoud levenden, die van r\' tot
r" den ouderdom 6\' bereikten, verminderd met de ver-
zameling van evenoud levenden, die van r\' tot r\' den
ouderdom $" bereikten, en de verzameling van gelijk-
tijdig levenden ten tijde r" in de ouderdomsklasse 6\' 6"
aanwezig.

Q-elden gehjktijdig twee der voorwaarden, die ieder een
grens van verschillende elementen doen wegvallen, dan
worden op gelijke wijze de daarmede overeenkomende ver-

a en d, 5 en c voeren tot f\' — t\'-,
a en c, h en f voeren tot $" — ö\';
c en e. d en f voeren tot r" = r\'.

Alle andere verbindingen der voorwaarden twee aan twee
brengen tot vierhoekverzamelingen; behalve de in (8), (9)
en (10) behandelde, nog de volgenden: \' ^

a en c leveren den vierhoek J D E I en de formule:
{t^ u:\' 0/ r{) =: t: t^\' 6\' - t,\' t^\' t". (11)

De er mede overeenkomende uitspraak is:
De verzameling van hen, die uit de geboorteperiode
t\' t" afkomstig vóór r" gestorven zijn 9\' en ouder is gelijk
aan de verzameling van even oud levenden, die uit de
geboorteperiode t\'t" den ouderdom 9\' bereikten, vermin-
derd met de verzameling van gelijktijdig levenden ten tijde
r" uit de geboorteperiode t\'i" aanwezig.

5. en d. gelijktijdig gesteld geven den vierhoek A L
B II; en de overeenkomstige formule:

Ög") =: t\' — t,\' t{ 9". (12)
Deze en de volgende formule, brengt men gemakkelijk
in woorden, a en f geven de figuur J B C K en de
formule:

ó en e geven de figuur G H E T, en de formule:
(^i\' r/ t^\') = [r\' - ö"] i [r\' - 9\'] , r\' [r\' - 9"] , t^\'

De verbindingen der voorwaarden drie aan drie, zijn
voor zoover ze niet met elkander strijden twee in getal.

De eerste, de verbinding der voorwaarden a, c en f,
leidt tot den driehoek J I K, en tot de formule:
{t/ 0/T,") = t,\' [r" - 6\'] , 6\' - t^ [r" - ö\'] , r". (16).
De verzameling van hen, die van t\' af geboren vóór r"
sterven 6\' en ouder, is gelijk aan de verzameling van
evenoud levenden, die, geboren van t\' af, voor r" den
ouderdom 6\' bereiken; verminderd met de verzameling
van gelijktijdig levenden, die, van t\' af geboren, ten
tijde t" ouder dan 6\' aanwezig zijn.

De verbinding van b, d, en e leidt tot den driehoek
a L H, en tot de formule: (V t,\') = [r\' — &"] , t^"
t\' — [r\' — 6"] t^" 6".

Deze laatste wordt als volgt uitgesproken:
De verzameling van hen, die vóór t" geboren, van r\' af
beneden den ouderdom 6" gestorven zijn, is gelijk aan de
verzameling van gelijktijdig levenden ten tijde t\', oud ö"
en jonger en geboren vóór t", verminderd met de verza-
meling van evenoud levenden, die, vóór if" geboren van
r\' af den ouderdom ö" bereiken.

§ 1. De personen, die in een kalenderjaar t geboren
werden, worden ook wel genoemd de generatie t.

Een kalenderjaar r loopt van 12 uur op den middag
van 31 December van het jaar r—1 tot 12 uur op den
middag van den Sisten Dee. van het jaar r; dit geldt
zoowel voor het kalenderjaar als geboorteperiode, als voor
het kaleuderjaar als waarnemingsperiode. (1)

Op het einde van een jaar r is de bij het begin van
dat jaar geborene op het punt den ouderdom 1 te be-
reiken ; op het einde van r 1 is hij op het punt den
ouderdom 2 te bereiken, enz.; op het einde van r ^ is
hij op het punt den ouderdom ö 1 te bereiken.

De op het einde van het jaar t geborene zal den ouder-
dom 1 bereiken op het einde vau het jaar ^ 1, den
ouderdom 6 op het einde van t^ 6.

De generatie t bereikt den ouderdom 1 in het jaar
t den ouderdom 2 in het jaar if 2, enz., den ouder-
dom 6 in het jaar t 6.

De van de generatie t op het einde van dat jaar nog
aanwezige personen zijn van O tot 1 jaar oud, staan in

(1) Ik neem de vrijheid de redeneering algemeen te maken; het zal
gemakkelijk vallen speciale gevallen te vinden door voor ^, ö en ^
respectievelijk bepaalde waarnemingsjaren, ouderdomsklassen en geboor-
tejaren te nemen.

de ouderdomsäklasse 0, zijn O-jarigen; de van degeneratie
t op het einde van t-\\-6 nog aanwezigen, staan in de
ouderdomsklasse zijn 6 jarigen.

De op den Sisten Dec. van het jaar r in de ouder-
domsklasse O aanwezigen zijn geboren in t, de in de
ouderdomsklasse 1 aanwezigen zijn geboren in t — 1, de
in de ouderdomsklasse ö aanwezigen zijn geboren in r — ö.

De op den Sisten Dec. van het jaar r aanwezigen,
die geboren werden in t staan in de ouderdomsklasse 0;
de dan aanwezigen, die geboren werden in r — 1. staan
in de ouderdomsklasse 1; de dan aanwezigen nit het
geboortejaar r — 6 staan in de ouderdomsklasse 6.

„De personen, die in het jaar r den ouderdom O be-
reiken", heeft dezelfde beteekenis als: „de in het jaar r
geborenen".

De personen die in het jaar r den ouderdom 1 bereiken^
zijn geboren in r — 1; de personen, die in het jaar r
den ouderdom 6 bereiken, zijn geboren in het jaar r — 6.

Personen, die een gegeven ouderdom bereiken worden
voorgesteld door V; de gegeven ouderdom wordt aange-
geven, door een cijfer, vóór en beneden V, het geboorte-
jaar waaruit zij afkomstig zijn, door een cijfer achter
en beneden V; zoodat ^V beteekent: de personen, die
den ouderdom 6 bereiken; en de personen uit het

Personen, op een 31 Dec. van een jaar r aanwezig,
worden aangegeven door A ; de tellingsdatum wordt dus
rechts boven A geplaatst.

Personen op een 31 Dec. van een jaar r aanwezig in
de ouderdomsklasse $ worden aangegeven door: ^ A\'" ; de
ouderdomsklasse door een cijfer voor en beneden A

Personen op een 31 Dec. van een jaar r aanwezig uit
het geboortejaar t worden aangegeven door xij"; het ge-
boortejaar door een cijfer achter en beneden hJ.

De splitsing der ^r naar eenjarige ouderdomsklassen
en die naar geboortejaren levert hetzelfde resultaat op.

Het is zoo goed als onuitvoerbaar bij een eenigermate
uitgebreid gebied ,5 Y ^ te bepalen door directe waarneming.

Wel kunnen de verzamelingen A verkregen worden
door middel van volkstellingen. Yan zulk een volkstelling
kunnen we gerust uitgaan, daar, indien de werkelijke
volkstelling op een willekeurigen datum van het jaar r
ten uitvoer gebracht is, daaruit zooals later blijken zal,
die op den 31 Dec. van het jaar t gevonden kan worden,
met behulp van nog te bespreken verzamelingen van waar-
nemingen.

Bevolkingen veranderen in grootte en samenstelling. Ze
worden grooter door geboorten en door in het gebied
komende personen; ze ondergaan vermindering door sterf-
gevallen en door het vertrek van personen.

De geboorten ter zijde latend, worden de sterfgevallen
en verhuizingen beschouwd. De generatie t kan voorge-
steld worden door of door q Y j; ^ en wordt door directe
waarnemingen gevonden.

Een verzameling van gestorvenen wordt aangegeven door
M; een verzameling van ingekomenen door I (immigree-
renden), en van vertrokkenen door E (emigreerenden).

Het jaar, waarin de waarnemingen plaats hebben, wordt
aangegeven door een cijfer rechts van en boven de letter,
die den aard der waarneming aangeeft; het geboortejaar
van den waargenomene door een cijfer rechts van en be-

neden die hoofdletter; de ouderdomsklasse, waarin de
waargenomene staat, door een cijfer links van en beneden
de letter,

M\'^, E"^ en I\'^ zijn dan de in het jaar r gestorven,
vertrokken en ingekomen personen.

^iM"^, öE\'^ en zijn de in het jaar r, in de ou-
derdomsklasse $ gestorven, vertrokken en ingekomen
personen;

^M^, ^E^en q \\ i zijn de uit het geboortejaar t afkom-
stig in de ouderdomsklasse 6 gestorven, vertrokken en
ingekomen personen.

Het is duidelijk dat ieder dezer verzamelingen uit re-
gisters kan opgemaakt worden,

a. De in het jaar r en afkomstig uit het geboortejaar
t stervende en verhuizende personen, behooren tot twee
eenjarige ouderdomsklassen.

De personen op den Sisten Dec. van een jaar r — 1 nit
de generatie t nog in leven, staan in de ouderdomsklasse
7- — t—1. (Daarvan sterven er in het jaar r in die
ouderdomsklasse).

Op den 31 Dec. van het jaar r staan de uit de genera-
tie t nog levenden in de ouderdomsklasse r — t-, uit de
generatie i zijn er in genoemde ouderdomsklasse in bet
jaar r gestorven.

Ten einde het nog duidelijker in te zien, bedenke men,
dat de bij het begin van t geborene, bij het begin van r
waargenomen wordend, oud is r — t, en bij het einde van
T waargenomen wordend, op het punt staat den ouderdom

r — t te bereiken; terwijl de persoon op het einde
Tan t geboren, die bij het begin van r waargenomen wordt,
ten tijde dier waarneming den ouderdom r — t — 1 bereikt
heeft; en op het einde van r waargenomen juist den ouder-
dom T ■— t bereikt.

De beide ouderdom skiassen zijn dus r — t — 1 enr — t.
Noemen we de in het jaar r uit het geboortejaar i, in
de ouderdomsklassen r — i — 1 gestorven, vertrokken en
ingekomen personen,

Voor de vertrokken en ingekomen personen wordt een
uitdrukking van den zelfden vorm verkregen, door M te
veranderen in E of in I,

h. De iii het jaar r in de ouderdomsklasse 6 gestorve-
nen zijn afkomstig uit twee geboortejaren.

In het jaar r kunnen 6 jarig sterven: personen, die op
het einde van r — 1 in de ouderdomsklasse 6 aanwezig
waren; deze zijn geboren in het jaar r — S — 1; maar in
het jaar r kunnen ook sterven: personen, die in den loop
van dat jaar den ouderdom 6 bereiken; deze zijn afkomstig
uit het jaar r — 6.

De persoon, die juist 6 jarig bij het begin van r waar-
genomen wordt, is geboren bij het begin van r — 6-, een
persoon op het einde van r juist 6 jarig waargenomen is
geboren op het einde van t~~ ö; een persoon juist ö 1
jarig bij het begin van r waargenomen is geboren bij het
begin van r — d — 1; een persoon juist 9 1 jaJ^ig waarge-

Voor de vertrokken en ingekomen personen worden uit-
drukkingen van den zelfden vorm verkregen, door in plaats
van M te zetten E en I.

c. De personen uit de generatie t in de ouderdoms-
klasse 6 stervend of verhuizend, sterven of verhuizen in
twee waarnemingsjaren.

Immers: de personen, die de generatie t vormen, be-
reiken den ouderdom 6 in den loop van het jaar t $ en
kunnen terstond daarop waargenomen worden; bereiken
den ouderdom 1 in den loop van het jaar ^ ö 1,
en kunnen terstond daarvoor waargenomen worden.

Een persoon bij het begin van t geboren bereikt den
ouderdom 6 in het begin van t-\\- den ouderdom (9 1
bij het begin van H- ö 1; een persoon bij het einde van
t geboren bereikt den ouderdom 6 bij het einde van t-r S,
den ouderdom ö l bij het einde van t-\\-6-\\-l.

En door verandering van M in E en I, uitdrukkingen
van gelijken vorm voor de vertrokken en ingekomen personen.

Deze laatste verzamelingen, vroeger direct waargenomen,
behoeven zooals blijken zal, niet meer gevormd te worden:
ten zij die vroegere waarnemingen misschien konden die-
nen om met haar hulp, de verzamelingen in a en b behan-
deld te vormen voor vroeger tijden.

in a vinden we, de andere samenstellende primaire ver-
zameling met een ouderdomsklasse, één jaar lager;

in c vinden vre de andere primaire verzameling met een
waarnemingsjaar één jaar hooger. Dit komt natuurlijk
overeen met het in het eerste hoofdstuk behandelde.

Bij het volgende wordt ondersteld, dat de primaire ver-
zamelingen in ieder waarnemingsjaar gevormd worden,
namelijk: de in ieder waarnemingsjaar uit de verschillende
generaties afkomstig, in beide daarbij behoorende ouder-
domsklassen gestorven, vertrokken en ingekomen personen.

Het punt van uitgang zij een volkstelling op den 31en
Dec. van een jaar r; de dan aanwezigen A^ zijn geschei-
den naar het kalenderjaar waarin zij geboren zijn; daar
het geen bijzondere moeite veroorzaakt, zal niet alleen
het geboortejaar maar ook de ouderdomsklasse dier aanwe-
zigen aangegeven worden, dus:

Zonder dan weder een volkstelling met alle daarmede
verbonden moeite, last en kosten te verrichten, kunnen
we met behulp van de boven behandelde verzamelingen
van gestorvenen tot de kennis der afzonderlijke termen
geraken.

Wat betreft de eerste term rechts in de formule 2,
is bekend dat die aanwezigen geboren moeten zijn in het
jaar r\' l dus uit de ^ afkomstig zijn.

Daar onder kunnen ook zijn, die in den loop van het
jaar r in het gebied 6 jarig ingekomen zijn, die geboren

Van de geborenen hebben echter ook sommigen het ge-
bied, natuurlijk O jarig, verlaten

Wat de overige termen betreft, zal de bespreking van
den algemeenen term voldoende zijn.

plaats hadden, op 31 Dec. r -f 1 allen een jaar ouder
zijn en staan in de ouderdomsklasse ö 1.

Er zijn personen ingekomen, die elders tot een dergelijke
verzameling behoord hebben, en wel: I^J^^-

Van de A ^_^ en van J ^ zijn er in het waar-
nemingsjaar naar elders vertrokken E ^ ^

Op den Bisten Dec. zijn dus in het gebied aanwezig,
uit het geboortejaar r — 5, in de ouderdomsklasse ö 1:

Tot de aanwezigen op 31 Dec. r 3 en volgende tel-
lingstijden komt men op gelijksoortige wijze.

Hier worde ter loops opgemerkt, dat, indien een volkstel-
ling op een anderen datum b. v. op 1 Dec. r ten uitvoer
gebracht is, gemakkelijk de aanwezigen op 31 Dec. r gevon-
den worden. Dan behoeven slechts de verzamelingen der van
1 Dec. tot 31 Dec. uit r — ö afkomstig, ingekomenen en
vertrokkenen en gestorvenen gevormd te worden; terwijl
A — A ^

het geboortejaar r — $ zijn in aantal gelijk aan de op 1
.Dec. uit dat jaar aanwezigen, vermeerderd met de van
1 Dec. tot 31 Dec., uit de generatie r — 6 afkomstig,
%gekomenen, verminderd met de van 1 Dec. tot 31 Dec.;
uit de generatie r — 6 afkomstig, vertrokken en met de
aan diezelfde bepaling voldoende gestorven personen. Yoor
6 — 0 komt er een term bij: N van 1 Dec. tot 31 Dec.

§ 3^ Het is van belang te weten, hoe de personen,
die achtereenvolgens eene bevolking vormen, de verschil-
lende grenzen van den ouderdom bereiken.

"Wordt het gevonden voor eenjarige generaties, b. v.,
dan is reeds zeer veel bereikt; voor de grenzen van den
ouderdom worden dan genomen de ouderdom O, 1 en w.

Voor de eerste levensjaren, waarin de sterfte groot en
sterk veranderlijk is, kan men als eenheid een maand, of
periodes van drie maanden nemen.

De nuljarig op 31 Dec. r aanwezige personen zullen in
het jaar r 1 allen in het gebied den ouderdom 1 be-
reiken, voor zoover ze niet sterven of vertrekken vóór het
bereiken van dien ouderdom.

behoord hebben, en nuljarig in het gebied inkomen, voor
zoover ze na het inkomen niec sterven of vertrekken vóór
het bereiken van den ouderdom 1.

sonen, die tot de q A^ en tot de nuljarig uit r afkomstig
ingekomenen behoord hebben.

De Ö jarig op 81 Dec. r aanwezige personen zullen in
het jaar r -j- 1 allen in het gebied den ouderdom d -{-1
bereiken, voor zoover ze niet sterven of vertrekken vóór
het bereiken van dien ouderdom.

Bovendien zullen in het gebied den ouderdom 1 berei-
ken : de personen, die, elders tot een verzameling ^ A^_^

behoord hebbende, S jarig in het gebied gekomen zijn,
namelijk voor zoover ze niet nog 6 jarig weder vertrekken
of sterven.

Er vertrekken evenwel uit het gebied vóór het bereiken
van den ouderdom ö -f 1: personen die behoorden bij de

Met behulp van de volgens § 2 berekende verzamelin-
gen , die in A\'" ^ ^ voorkomen en van de verzamelingen
in r 2 gevormd, worden op het eind van r 2 gevonden.

Zoo voortgaande bereikt men het doel geheel voor de
generaties t -)-1, r 2 enz.; voor de vroegere generaties
natuurlijk slechts voor een gedeelte, zooals het volgende
schema aangeeft, waarbij de generaties r 2, r 3, enz.
weggelaten zijn.

Voor alle rijen voortgezet tot de wijzer links aan den
hoogsten ouderdom gelijk is.

"Weder moet het punt van uitgang zijn het resultaat
eener volkstelling; met behulp der verzamelingen in het
volgende jaar opgemaakt, worden, zooals zooeven besproken
is, daaruit opgemaakt de grootheden (6), die nu in om-
gekeerde volgorde geschreven worden; zij w de hoogste
ouderdomsgrens die daarbij voorkomt.

Nu wordt bij ieder dezer verzamelingen gevoegd het aan-
tal van hen, die uit het geboortejaar door den wijzer

rechts aangegeven afkomstig, in de ouderdomsklasse door
den wijzer links aangegeven, in het gebied ingekomen
zijn, en deze som verminderd met het aantal van hen,
die aan dezelfde voorwaarde voldoende het gebied verlieten,
en met het aantal van hen, die aan dezelfde voorwaarde
voldoende in het gebied stierven. De algebraische som
is de verzameling van hen, die uit het geboortejaar een
ouderdom 1 jaar hooger dan de wijzer links bereiken.

Uit de primaire verzamelingen worden de drie laatste
secundaire verzamelingen gevonden door middel van Form
c in § 1.

§ 4. "Waarnemingen overeenkomende met het voorgaande,
worden sedert 1870 in ons land ten uitvoer gebracht. Van
de gestorvenen worden verzamelingen gevormd, die over-
eenkomen met de primaire verzamelingen. Echter niet
van de ingekomen en vertrokken personen. Dat deze voor
een klein gebied noodig zijn, zal door de voorbeelden
duidelijk worden, die ik voor de hand weg uit de resul-
taten heb genomen, die ik verkreeg uit het onderzoek
der bevolkingsregisters van de gemeente Deventer.

heid aan deze resultaten toeschrijf, echter een voldoende
om als voorbeeld te dienen.

Ik heb deze resultaten getrokken uit de bevolkings-
registers, die na de volkstelling van 1859 ingevuld zijn.

De gegeven getallen z^\'n de som der voor mannen en
vrouwen afzonderlijk gevonden getallen. Niet medegedeeld
zijn de getallen \'van het register der militairen; terwijl
ook de bewoners van het krankzinnigen gesticht niet in
aanmerking zijn genomen.

Staat A, bl. 46 bevat de ingekomen en vertrokken personen
uit de geboortejaren 1863 en 1861, 1843 en 1841, 1822 en
1821 afkomstig, die van 1862 tot en met 1873 ingekomen
en vertrokken zijn in de opeenvolgende ouderdomsklassen.

Kolom a geeft de ouderdomsklasse aan. Kolom 6 en d
geven de uit de er bovenstaande geboortejaren in de
respectieve ouderdomsklassen ingekomen personen aan.
Kolom 0 en e geven de uit het bovenstaande geboortejaar
afkomstig en in de ouderdomsklasse, door kolom a aan-
gegeven, vertrokken personen aan.

In de kolommen 5, c, d en e vindt men telkens twee
getallen; het eerste komt overeen met een eerste, het
tweede met een tweede primaire verzameling; het eerste
met de verzamelingen: ^ I^ en ^ ; het tweede

Bij staat A is gevoegd een vergelijking van de sommen
der ingekomen, vertrokken en gestorven, aan dezelfde voor-
waarden voldoende personen.

De getallen, in staat B direct verkregen, kunnen ook
uit staat A opgemaakt worden; de getallen van staat A
kunnen als controle dienen.

boorfcejaren \'62 en \'61, \'42 en \'41, \'22 en\'21, in de jaren
\'62, \'63, \'64 enz, tot en met \'73 ingekomen en ver-
trokken personen. Ieder getal moet gelijk zijn aan de
som van een tweede en een eerste primaire verzameling:

telkens overeenkomen met een tweede en een eerste
primaire verzameling in twee opeenvolgende horizontale
rijen eener zelfde kolom van staat A voorkomende.

Staat C, bl. 48 geeft: de in de jaren \'62, \'63 enz. tot \'73
in de ouderdomsklassen O, 1, enz. tot 11, uit de geboor-
tejaren \'62 en \'61 afkomstig, ingekomen en vertrokken
personen.

Het zal gemakkelijk vallen soortgelijke staten op te
maken voor de (uit \'42 en \'41 afkomstig) 20 , 21 enz.
31 jarig ingekomenen en vertrokkenen in \'62, \'63 enz.
\'73, uit de gegevens van staat J, door voor de ingekomenen
een tweede cijfer van kolom d te vermeerderen met een
eerste cijfer van kolom beide uit dezelfde horizontale
rij; en voor de vertrokkenen een tweede cijfer van kolom
e te vermeerderen met een eerste cijfer van kolom c,
telkens uit een zelfde horizontale rij.

Op gelijke wijze worden gevonden: de (uit \'22 en \'31
afkomstig) in de jaren \'62, \'63, enz, \'73 in de ouder-
domsklassen 40, 41 enz. 51 ingekomen en vertrokken
personen.

De sommen vormende van overeenkomstige ouderdoms-
klassen dezer van \'62 tot en met \'73 vraargenomen groot-
heden, worden daarvoor de volgende waarden gevonden;
ter vergelijking zijn de gestorvenen er bij gevoegd die aan
dezelfde voorwaarden voldoen:

Uit 62 zijn 1 tot en met lOjarig ingekomen en ver-
trokken 133 en 136, terwijl stierven 106.

Uit 61 zijn 1 tot en met lOjarig ingekomen en ver-
trokken 117 en 122, terwijl stierven 115.

Uit 42 zijn 21 tot en met 30jarig ingekomen en ver-
trokken 309 en 275, terwijl stierven 18.

Uit 41 zijn 31 tot en met SOjarig ingekomen en ver-
trokken 304 en 289, terwijl stierven 21.

Uit 32 zijn 41 tot en met SOjarig ingekomen en ver-
trokken 48 en 50, terwijl stierven 35.

Uit 31 zijn 41 tot en met 50jarig ingekomen en ver-
trokken 49 en 39, terwijl stierven 42.

Zooals gezegd is behoeft staat C voor het vervolg niet
opgemaakt te worden. De verzamelingen, in staat A en
in staat B gevormd, zijn noodig voor de kennis der ver-
anderingen in de grootte der bevolking en voor de kennis
van de wijze, waarop eene bevolking de verschillende klas-
sen van den ouderdom doorloopt.

Het zij mij vergund hier nogmaals te doen uitkomen
het verschil van deze beide voortaan te gebruiken verza-
melingen en het doel waartoe ze dienen, door de voor-
stelling, dat de eerste, dienende om de grootte eener be-
volking te bepalen als het ware het werk is der gemeente
ambtenaren; dat de tweede, dienend tot grondslag voor
de berekening der sterfte naar den ouderdom, het werk
is der centrale bureaux van statistiek.

Voor het eerste zou voldoende zijn: de scheiding der
ingekomen en vertrokken en gestorven personen, naar het
geboortejaar waaruit ze afkomstig zijn; voor het tweede
moet de scheiding der waargenomen personen plaats heb-
ben naar de ouderdomsklasse en het geboortejaar.

Yoor het tweede is een schema noodig van den vorm:
Waarnemingsjaar 1874. II. Waarnemingsjaar 1875.

Altijd is het laatste geboortejaar, vermeerderd met de
benedengrens der er bijbehoorende ouderdomsklasse, gelijk
aan het vroegste geboortejaar, vermeerderd met de boven-

In staten Tan dezen Torm heb ik mijn waarnemingen
door streepjes aangegeven. Ik kon dit doen, daar ik
alleen nog er bijToegde een scheiding naar het geslacht.
Worden meerdere onderscheidingen geeischt, b. v. of de
ingekomenen en vertrokkenen naar en uit een gemeente
in de provincie, of buiten de provincie, of het buitenland
verhuisd zijn; worden ook onderscheidingen naar burger-
lijken stand geeischt, of andere onderscheidingen, dan
zullen de staten te groot worden.

Opmerkingen omtrent de wijze waarop dit bezwaar ver-
holpen zou kunnen worden zouden mij te veel tot de tech-
niek brengen, terwijl ik mij hier ook onthouden moet van
de beschrijving van bevolkingsregisters enz.

Slechts nog eene opmerking en wel deze: wordt een
waarneming van de gestorvenen, ingekomenen en vertrok-
kenen in de laagste ouderdomsklassen, met kleine tijdseen-
heden, b. v. van eene maand, of van drie maanden, ver-
eischt, dan gelden dezelfde wetten die vroeger behandeld
zijn. Daar het hier niet zoozeer op de grootte der bevol-
king op bepaalde tijdstippen in de maandklassen aankomt,
maar het doel is: te vinden, hoe geborenen die verschillende
maandklassen doorloopen, zal een schema van den vorm
II voldoende zijn. De ingekomenen en vertrokken kunnen
des noods weggelaten worden, zonder dat de juistheid der
resultaten aanmerkelijk verminderd wordt.

III.

Opmmiitgsjaae t.

Opnemingsmaand
Januari.

Men ziet
hoe het
schema,
voor elke
waarne-
mings-
maand,
telkens

een
dubbel
hoekje
naar
beneden
gescho-
ven
wordt.

"Wil men ouderdomsklassen, geboorteperiodes en waar-
nemingsperiodes van drie maanden, dan zou van een staat
van den volgenden vorm gebruik kunnen gemaakt worden.
IV.

Voor de vol-
gende waarne-
mingskwartalen
zal het schema
telkens een dub-
bel hoekje naar
beneden geseho-
ven worden. Ver-
dere onderschei-
dingen b. V. naar
echtheid en on-
echtheid kunnen
dan in de hoofden
der volgende ko-
lommen aangege-
ven worden.

Men behoeft bij dezen vorm, om te weten, in welke
ouderdomsklasse een persoon staat, slechts op te merken
of de geboortedatum voor of na den waarnemingsdatum
ligt; in het eerste geval moet ingevuld worden beneden
de dikke lijn, in het tweede boven de dikke lijn, die de
gelijknamige jaren, maanden of kwartalen scheidt.

§ 1, In het voorgaande hoofdstuk is nagegaan, door
welke waarnemingen men in een gegeven gebied, bij een
gegeven groep, komt tot de kennis van de grootte der
bevolking op bepaalde tijdstippen, en tot de kennis van
de wijze waarop gegeven generaties de verschillende een-
jarige ouderdomsklassen doorloopen.

In het algemeen zullen in verschillende groepen ver-
schillende oorzaken van veranderiug heerschen: deze oor-
zaken moeten met die veranderingen in verband worden
gebragt.

Daartoe moeten verhoudingsgetallen bepaald worden.
Ten eerste wordt ondersteld, dat er geen ingekomen en
vertrokken personen zijn; of, dat terwijl een persoon ver-
trekt, een ander, die in alle eigenschappen onder de
beschouwing vallende met hem overeenkomt, het gebied
binnentreedt; met de hierbij komende onderstelling, dat
de verhuizing geen invloed heeft.

De vroeger behandelde verzamelingen geven alle aan-
leiding tot de bepaling van verhoudingsgetallen; zij zullen
achtereenvolgens besproken worden.

Het gedeelte, dat van hen, die in een jaar t geboren
worden, op het einde van dat jaar aanwezig is, wordt

Het gedeelte, dat van hen, die in den loop van een
jaar geboren werden, in den loop van dat jaar sterft, wordt

Het is duidelijk dat q 1\' ^ q m\' ^ = 1
Het gedeelte, dat van hen, die, uit een gegeven ge-
boortejaar t afkomstig, een gegeven ouderdom ö bereiken,
(\'t geen plaats heeft in het jaar t 6), aanwezig is op

Het is duidelijk dat ^ /
Het gedeelte, dat van hen, die op het einde van een
gegeven jaar t, uit dat geboortejaar, dus in de ouderdoms-
klasse O aanwezig zyn, den ouderdom 1 bereikt, wordt

O^t

Het gedeelte, dat van hen, die, uit een geboortejaar
t afkomstig, op het einde van het jaar i B in de ouder-
domsklasse B aanwezig zijn, den ouderdom ö 1 bereikt,

wordt aangegeven door: ^ ^" ^ =

a. De gebrokens, die aangeven welk gedeelte van hen,
die uit de generatie t den ouderdom 6 bereiken, ook den
ouderdom Ö I bereikt; en welk gedeelte sterft vóór het
bereiken van den ouderdom S 1, vormen samen de
eenheid.

5. Het gebroken, dat aangeeft, welk gedeelte van ben
die uit de generatie t op den Sisten Dec. van een jaar t
aanwezig zijn, in de ouderdomsklasse &, (r dus t^ 6)^ op
den 31 Dec. r-f 1 aanwezig is, wordt aangeduid door
^ P ^; het gedeelte, dat van hen in het jaar r 1 sterft

Ö l"^ t~~tX6 f
Hetzelfde wordt ook op andere wijze verkregen.
c. De derde verzameling, die van de in een jaar in een
ouderdomsklasse gestorvenen, geeft aanleiding tot de vraag:
Welk gedeelte van de som van hen, die uit een gene-
ratie t op het einde van een gegeven jaar ^ ö in een
ouderdomsklasse 6 stonden, en van hen, die uit de gene-
ratie ^ 1 in het volgende jaar den ouderdom 6 bereikten,
is: 1°. de som van hen die uit de generatie t den ouder-
dom ö 1 bereikten, en van hen die uit het geboortejaar
^ 1 op het einde van t-\\- $ aanwezig waren; 2". de
som van de uit de generatie en iJ 1 in het jaar $
gestorvenen ?

Dit zijn de eenvoudigste uitdrukkingen, die aantoonen,
boe de verscbillende waarden in verscbillende jaren af-
hangen van de verschillende relatieve waarden van gelijk-
tijdiglevenden uit het eerste geboortejaar en evenoudleven-
den uit het tweede geboortejaar.

Het is noodig na te gaan, wat bij de drie vragen on-
dersteld wordt omtrent de verdeeling der verzamehngen
van levenden en gestorvenen.

Bij de eerste bepaling wordt ondersteld, dat het feit, dat
tot grondslag dient, is: het in den loop van een kalender-
jaar geboren zijn; het in den loop van een kalenderjaar
een gegeven ouderdom bereiken; daarbij wordt dus niet
gelet op het onderscheid, dat in de gelijksoortige gebro\'

kens zoude ontstaan, indien gevraagd werd, welk gedeelte
van hen, die in de maand Juni h.v. geboren werden,
bereikte den ouderdom 1 jaar; welk gedeelte van hen,
die in de maand Juni den ouderdom 6 bereikten, bereikte
ook den ouderdom ö 1. Wat de hoogere levensjaren
betreft, zal het verschil wel niet merkbaar zijn; voor de
eerste levensjaren wordt de invloed gevonden door de
daarbij gebruikte maandelijksche of driemaandelijksche op-
nemingen.

Bij de tweede bepaling: welk gedeelte van hen, die uit
een gegeven geboortejaar op het eind van een gegeven
jaar aanwezig zijn, is aanwezig op, welk gedeelte sterft
vóór het einde van het volgende jaar?, is de voorwaarde,
waarvan uitgegaan wordt, het aanwezig zijn op een gegeven
datum in een éénjarige ouderdomsklasse, en we behoeven
slechts de grensgevallen te beschouwen, om in te zien,
dat behalve den bij de eerste vraag behandelden invloed
nog een veel grooter oorzaak van verschillen komt.

Stellen we toch, dat allen bij het begin van het er bij
behoorende geboortejaar geboren zijn, en laat de ouder-
domsklasse zijn dan zou de vraag worden, welk gedeelte
van hen, die den ouderdom ö 1 bereikten, bereikt ook
den ouderdom ö 2; terwijl, als allen bij het einde van
het geboortejaar geboren waren, de vraag zou worden,
welk gedeelte van hen, die den ouderdom Ö bereiken,
bereikt ook den ouderdom ö 1. En het valt niet te
betwijfelen, dat door de aanhoudende veranderingen in
de sterfte, door de ingekomenen en vertrokkenen, de ver-
deeling in de verschillende verzamelingen van gelijktijdig-
levenden, in de verschillende jaren tot grondslag der
berekeningen dienende, aanmerkelijke verschillen kan
vertoonen.

Bij de derde bepaling heeft men nog aanmerkelijker
verschillen te wachten in de waarden der gezochte ge-
brokens voor een zelfde & en verschillende waarden van i,
daar niet alleen de bij de voorgaande vragen behandelde
oorzaken invloed uitoefenen, maar ook de verhouding van
t -A- ö

De bepaling der in deze paragraaf besproken gebrokens
zou van groot belang zijn; deze bepaling is volstrekt niet
onmogelijk; daarvoor zouden de bevolkingsregisters een
betrekkelijk zeer goed materiaal opleveren, als de inge-
komenen en vertrokkenen er uit genomen werden.

De grootheden l\', m\'; l" en m" zijn voornamelijk als
hulpmiddelen ter berekening der grootheden ^ en ^, P
en Q te beschouwen.

zicht van de verandering met den tijd, der sterfte van de
den ouderdom ö bereikenden.

§ 3. Yergelijking der waarnemingen omtrent levenden
en gestorvenen met inachtneming van ingekomen en
vertrokken personen.

Tot het vinden der bevolking van een gebied op het
einde van ieder kalenderjaar, en tot het vinden der ver-
zamelingen van evenoud levenden voor de verschillende
van O af met één jaar opklimmende ouderdomsgrenzen in
een gebied, is, zooals vroeger aangetoond is, noodig de
kennis der bevolking op het einde van een jaar, naar
ouderdomsklassen of geboortejaren verdeeld, de kennis
der geborenen in de volgende jaren, der verzamelingen
van gestorven, vertrokken en ingekomen personen, naar
ouderdomsklasse en geboortejaar gescheiden. Al die ver-
zamelingen worden bekend ondersteld.

De ingekomenen en gestorvenen worden als van betrekke-
lijk geringen störenden invloed ondersteld, en aangenomen
dat het onmogelijk is ze ieder afzonderlijk in rekening te
brengen. Er zijn dus onderstellingen noodig omtrent
hunne verdeeling naar den ouderdom en omtrent den tijd
waarop de verhuizingen plaats hebben; de bijzondere ge-
vallen worden buiten gesloten, dat in een gezelschap, in
een maatschappij, de intredeuden en uittredenden dit doen
öf op bepaalde tijden van het jaar, óf bij het bereiken
van een bepaalden ouderdom, welke gevallen vrij gemak-
kelijk in rekening gebragt worden.

Bij het onderzoek der gemeente Deventer, heb ik mij
uit de bevolkingsregisters overtuigd dat de verhuizingen
tamelijk geregeld over het jaar verspreid zyn, dat, wat
den ouderdom betreft, waarop ze plaats hebben, de ver-
deeling over verschillende ouderdomsjaren zonder groote
sprongen plaats heeft en voor de verschillende waar-
nemingsjaren zoo constant is, als men van te voren niet
zou vermoeden. Zonderling is het op te merken, hoe de
verhuizingen, die toch aan moreele en sociale oorzaken
gebonden zijn, zeker even constant zijn als de sterfgevallen.

De figuar (17), is een graphische voorstelling van de
verdeeling naar den ouderdom voor de ingekomenen en
vertrokkenen van 1863 tot 1873.

Op de horizontale as zijn aangegeven de ouderdomsjaren;
ieder millimeter komt met een eenjarige ouderdomsklasse
overeen.

De figuur is verkleind naar een teekening, wier af-
metingen het dubbel bedroegen, waarbij ieder millimeter
met een ingekomene of vertrokkene overeenkwam; gelijk-
soortige constructies, voor mannen en vrouwen afzonderlijk
verricht, laat ik achterwege, daar er toch een groote
overeenkomst bestaat.

In de ouderdomsklasse O, is in de waarnemingsjaren
een aantal a ingekomen; in de ouderdomsklasse 1, een
aantal 5; in de ouderdomsklasse 2 een aantal c, enz.;
een rechthoek wordt geconstrueerd, waarvan de basis een
millimeter is en de hoogte a/4; een volgende, waarvan de
basis is de tweede millimeter en de hoogte 5/4; een
volgende waarvan de hoogte is c/4 enz. enz.

De middenpunten der bovenzijden dier rechthoeken ver-
eenigd geven reeds een tamelijk regelmatig figuur. Ver-
volgens wordt beproefd een kromme te trekken, die zooveel
mogelijk al die lijntjes snijdt, en aan de voorwaarde
voldoet, dat de inhoud door die kromme en de assen
ingesloten gelijk is aan de som aller rechthoekjes; \'t geen
vrij spoedig gelukt. Een gelijke constructie heeft plaats
voor de vertrokkenen. De kromme der ingekomenen is

aangegeven door een gestippelde lijn; die der vertrokken
personen door de volle lijn.

Dat onderzoek heeft mij voldoende aangetoond, dat de
hypothese van Zeuner, evenredigheid aan de levenden,
(die zeer wel waar kan zijn voor een levensverzekering-
maatschappij) althans voor Deventer van de werkelijkheid
afwijkt, voor verschillende periodes.

Zoolang geen wet gevonden is, die de sterfte op een
bepaalden tijd en bij een bepaalden leeftijd doet kennen,
en die zal voorloopig wel tot de wenschelijke maar voor
verscheiden ons volgende generaties onbereikbare zaken
behooren, moeten we ook onderstellingen maken, waar
het de storingen betreft, omtrent de sterfte, zoowel naar
den tijd als naar den ouderdom; deze onderstellingen
zullen van zelf in het volgende besproken worden.

Het is duidelijk, dat, indien het gedeelte bepaald
wordt, dat van een verzameling aangegeven voorwaar-
den voldoende tevens aan andere voorwaarden voldoet,
en het gedeelte, dat niet aan die\' andere voorwaarden
voldoet, die beide gebrokens de eenheid vormen. Zoodat
het slechts noodig zijn zal de m\', m", en Q te bere-
kenen, en, indien men de. derde verzameling er bij wil
nemen, de K.

In de onderstelling dat ^ Mf. de juiste waarde is van
het gebroken, aangevende het gedeelte, dat van hen, die
uit een geboortejaar t den ouderdom ö bereiken, vóór
het einde van if ö gestorven is, zullen er van de ^ V^

Maar onder de waargenomen gestorvenen zijn er die
niet onder de ^ V^ begrepen waren; terwijl er van de
Q Y^ gestorven zijn, die niet onder de waargenomen
gestorvenen begrepen zijn.

"Was dus bekend, kon men nagaan, hoe groot het
aantal der eerst© gestorvenen was , en hoe groot het
aantal vertrokken en daarna elders gestorvenen was, dan
had men deze verbeteringen slechts aan het aantal der
waargenomen gestorvenen aan te brengen. Dit is bijna
onmogelijk, althans voor de vertrokkenen; voor de inge-
komenen zoude het met eenige moeite ten uitvoer kunnen
gebragt worden.

Er wordt ondersteld dat de ingekomenen en vertrokkenen
bij deze primaire verzameling gelijkmatig verdeeld zijn over
den driehoek ABC, die haar voorstelt (fig. 15); dat ze
in het punt Gr, het zwaartepunt van dien driehoek ten
opzichte van BC, vereenigd gedacht kunnen worden. Dit
komt daarmede overeen, dat de ingekomenen en vertrok-
kenen gedacht worden te zijn geboren op een van het
jaar t, en bij het verhuizen oud te zijn ö in dit

geval zullen zij vóór het einde van i$ nog leven ^ jaar ,
en wel, wat den ouderdom betreft, van Ö ^ tot ö 1.

Onderstel dat bekend is q 1 zonder een fout van
groot belang te maken (I) kan ondersteld worden, dat

Ik onderstel namelijk daarbij, dat de personen, die
van een gegeven aantal geborenen f (O), den ouderdom
6 bereiken, voorgesteld worden door f (6). Op deze wijze
wordt de invloed van den geboortetijd en daarmede van

het gedeelte, dat van hen, die uit het geboortejaar t den
ouderdom 6 5 bereikt hebben, vóór het bereiken van den
leeftijd ö 1 sterft, gelijk is aan ^ ^ q ^

den waarnemingstijd weggedacht; bovendien wordt de
vermindering continu gedacht, \'t geen ze niet is.

die den ouderdom ö bereiken, öjarig sterft. Het zal zijn
een functie van $ en = f {$)

Als men de eerste levensjaren uitzondert, en de hoog-
ste, (men bedenke, dat bij de eerste levensjaren een
maand als eenheid aangenomen wordt, en bij de hoogste
bijna geen ingekomenen en vertrokkenen zijn), kan men
onderstellen, dat (p {6) in den loop van een éénjarige
ouderdomsklasse niet verandert; stellen we daarbij dus
f {$) = a.

Het gedeelte, dat van de den ouderdom & bereikenden
sterft vóór het bereiken van den ouderdom ö 1, wordt:

Bij de in de gemeente waargenomen gestorvenen moeten
dus gevoegd worden de elders van de vertrokkenen ge-

Van het aantal moet afgetrokken worden, het aantal,
dat van de ingekomenen gestorven is in de gemeente, en

het aantal personen is dat uit het ge-
boortejaar t op het einde van t6 in de ouderdomsklasse
6 aanvrezig is, zullen daarvan in het jaar ü! <9 1 sterven

Daar echter van de aanwezigen enkelen vertrekken en
voor een gedeelte van ^ -(- ^ 1 buiten het gebied kunnen

ingekomen zijn; moeten bij de ^ M^ ^^ 1 eersten
worden opgeteld, daarvan de laatsten afgetrokken worden.

Tot de directe waarneming niet in staat zijnde, ver-
onderstellen we weder gelijkmatige verdeeling over den
driehoek, AOD, fig. 15, die de tweede primaire verza-
meling voorstelt, en dat aile ingekomenen en vertrokkenen
in het zwaartepunt E van den driehoek ten opzichte van
ö 4-1 vereenigd zijn; dat het dus is, alsof allen geboren
waren op | van het jaar t en bij het verhuizen oud waren
ö I; alsof dus allen na hunne verhuizing nog ^ van
de ouderdomsklasse 6 doorloopen moeten vóór het bereiken
van den ouderdom ö 1.

Als een eerste benadering kan in de zooeven gevonden
uitdrukkingen voor m\' en m" de term met i ^ verwaar-
loosd worden. Met de daardoor gevonden waarden van
m\' en m" wordt ^ q^ berekend; deze waarde in (1) en (2)

invoerende, en met de zoo gevonden waarden van m\' en
m" de form (3) berekenende, vindt men een verbeterde
waarde van ^ q^; wordt daarmede dezelfde bewerking

herhaald, dan zal men voor m\', m" en q reeds zeer juiste
waarden gevonden hebben, en behoeft men niet verder
te gaan.

Het is zeker niet noodeloos ^ q ^ ook direct te zoeken.
Van de , V, zullen vóór het bereiken van den ouder-

personen, die vóór het bereiken van den ouderdom Ö 1
in het gebied gestorven zijn, terwijl er van de ^ V^ öjarig

In de onderstelling dat de ingekomenen en vertrokkenen
gelijkmatig verdeeld zijn, in de geometrische voorstelling
over het vierkant ABCD, Kg. 15, kan men aannemen,
dat ze in het zwaartepunt van het vierkant geconcentreerd
zijn, aannemen dat ze allen in het midden van het jaar t
geboren zijn en bij de verhuizing allen nog ^ jaar te leven
hebben vóór het bereiken van den ouderdom ö 1.
De verbetering aan te brengen aan ^ M^ is dan:

De\' afzonderlijke primaire verzamelingen geven ons nog
een andere en waarschijnlijk juistere uitdrukking.

beschouwd als in het zwaartepunt van driehoek ABO
vereenigd, hebben vóór het bereiken van den ouderdom
ö l nog te leven J jaar; de verbetering aan ^M^ aan

Bij de voorgaande onderzoekingen is gevonden, waar
niet op ingekomenen en vertrokkenen gelet werd:
form.. (2) III § 1.

Daarentegen zijn er van de ^ A^ vertrokken, en buiten
het gebied gestorven, het aantal der vertrokkenen is bekend.

De J^ ^ ^ en eJ ^ ^ worden weder ondersteld ge-
lijkmatig verdeeld te zijn over het parallelogram ABOD,
Eig. 16; worden ze in het zwaartepunt der figuur gecon-
centreerd gedacht, dan is het alsof ze allen geboren waren
op de helft van het jaar t, en bij hunne verhuizing oud

waren ö 1. Dan zullen zij voor het einde van ^ 5 1
nog te leven hebben een half jaar in de ouderdomsklasse
(5 4-1. Na de verhuizing zullen dus van de verhuizenden
sterven: ^ ^ q^ X (J — E)^ ^ ; zoodat indien deze ver-

Het gebruik van de bekende samenstellende primaire
verzamelingen zal nauwkeuriger resultaten opleveren.

te zijn op f van het jaar t en verhuisd te zijn in den
ouderdom hebben voor het einde van2! ö l,
daar ze dan oud zullen zijn <3 4- f, nog te leven | jaar^ en
wel ^ in de ouderdomsklasse 6 en -l- in de ouderdoms-
klasse ö 4-1.

Van deze verhuizenden zal na de verhuizing vóór het
bereiken van den ouderdom (9 4-1 sterven een gedeelte
i- en van het overblijvende gedeelte (1 — i ^ p ^^ ^e

boren te zijn op ^ van het jaar t en bij het verhuizen oud
te zijn ö 4- I hebben voor het einde van ^ 4- (9 4- 1 nog te
leven | jaar, en wel in de ouderdomsklasse (9 4-1.

Ik ben mij bewast, dat de in deze paragraaf opgestelde
formules, slechts vrij ruWe benaderingsformules zijn; niemand
zal zich ook meer verheugen dan ik, indien het iemand
gelukken mag, op betere gronden betere resultaten te ver-
krijgen. Ik zal er zelf mijn best toe doen. Zonder een
nauwkeuriger, meer gedetailleerde kennis van de verdeeling
der verhuizenden over den tijd en naar den ouderdom te
bezitten, kan men deze formules, naar ik meen, met ge-
rustheid gebruiken.

De verkregen verhoudingsgetaUen ^ q ^ kunnen dienen ter
berekening van sterftetafels, tot de constructie van gra-
phische voorstellingen, en dergelijke zaken; zij zullen
moeten dienen als basis voor het zoeken eener sterftewet.
Graarne had ik daarover mijne meening medegedeeld; de
omstandigheden, de tijd dringen mij dit tot een latere
gelegenheid uit te stellen.


		^ r.-.

	■ - -F-\'
B		D

■f. /6			C

Niet alleen van de gestorvenen, ook van de ingekomenen
en vertrokkenen, behooren de verzamelingen, naar ouder-
domsklasse en geboortejaar gescheiden gevormd te vforden.

Het is wenschelijk alle hoofden van huisgezinnen en op
zich zelf staande personen te verplichten, houders te
zijn van een afschrift van hun blad in het bevolkings-
register.

wordt, is voor levensverzekering-maatschappijen de kennis
der waarden van ^ Q voldoende.

Onze wijze van verkiezing geeft geen voldoende waar-
schijnlijkheid dat de keus des volks uitgedrukt is.

Een degelijk onderzoek naar den weerstand bij beweging,
bij de verschillende combinaties van vaste lichamen, vloei-
stofiTen en gassen, is noodig.

Voor eene verklaring der fluorescentie is de zooge-
naamde wet van Stokes de basis.

te geraken zijn noodig talrijker bepalingen van de lengte
van den secundeslinger, in verband met graadmetingen;
om tot beter kennis van haar inwendigen bouw te ge-
raken zijn waarnemingen aangaande veranderingen in de
intensiteit der zwaartekracht wenschelijk.

Meteorologische waarnemingen moeten op de stations
zoo mogelijk op yerschillende hoogten plaats hebbeu.

Daling van den barometerstand kan niet het onmiddelijk
gevolg zijn van het grooter worden van den vochtigheids-
toestand.

Een goede bepaling van soort is: de verzameling van
individuen, die in eigenschappen evenveel met elkander,
als met hunne ouders overeenkomen.

Pettigrew\'s „Animal Locomotion", hoewel in vele op-
zichten verdienstelijk, behoort niet in een „Scientific
Series".

De waarheid dér bekende stelling: „de wetenschap moet
om haarzelf, niet om hare toepassingen, beoefend worden",
hangt af van wat men onder toepassingen verstaat.

Inr 1.		enz.		^enz.
In . 2. ,	2\\	enz. i		^enz.
Inr 3.2	s\\	enz.^	! 3^t —	^enz.(8)
enz.	enz.	enz.	enz.	enz.
Inr-M.		enz.		enz.

oudeb- doms klasse. a.	Uit	63.	Uit	61.	oudek- doms klasse. a.	üit 43.	Uit 41.	Oüdeb- doms klasse. a.	Uit 32.	Uit 31.
Ingek. 5.	Yertb. c.	Ingek. d.	Vebtk. e.	Ingek. h.	Vertb. c.	Ingek. d.	Yebtb. e.	Ingek. h.	Vertr. c.	Ingek. d.	Vertb. e.
0 jarig	4 8	13 11	5	7	19 jarig	13	17			39 jarig	3	3
1 n	13 2	7 6	6 8	8 4	30 ff	17 17	18 17	19	15	40 //	6 4	3 3	10 3	6 0
3 n	15 13	3 5	10 9	8 6	31 ff	15 23	16 18	19 10	14 15	41 f!	7 1	3 4	0 3	3 0
3 //	14 1	15 13	6 10	3 9	33 f/	13 36	13 17	10 14	16 15	42 ff	2 3	3 2	1 1	0 0
4 //	8 5	10 4	5 3	10 8	33 ff	31 13	33 14	35 19	9 9	43 ff	5 3	5 1	7 1	1 4
5 n	10 6	14 3	8 7	13 7	34 ff	16 16	18 11	33 17	33 15	44 ff	1 4	3 5	4 2	4 1
6 //	6 9	10 4	8 5	5 7	35 ff	10 30	14 17	13 17	13 31	45 f!	2 2	3 3	1 3	5 3
7 //	7 7	4 5	3 5	3 4	36 //	38 11	18 9	10 23	36 16	46 f!	5 0	4 1	3 3	4 3
8 w	3 3	5 3	6 4	1 4	37 ft	16 13	13 16	33 15	16 13	47 f!	1 1	2 4	4 0	2 4
9 n	5 3	6 6	6 3	4 5	38 f!	11 15	13 10	17 11	17 15	48 //	3 1	1 4	3 4\'	2 0
10 If	4 3	8 6	1 5	]0 5	29 ff	14 14	11 7	9 9	15 8	49 ft	1 3	0 1	4 0	0 1
11 //	5	4	4 7	0 8	30 f!	10 5	10 9	11 10	5 10	50 //	3 1	2 0	5 1	2 0
12 w			6	3	31 ff	6	8	6 11	13 6	51 ft	5	3	4 1	3 0
					32 f!			11	12	52 ff			0	2

In de jaren.	OüD.	Ingek.	Yeetb.
63	0	4 5	13 7
63	1	13 8	7 4
64	3	15 9	3 6
65	3	14 10	15 9
•66	4	8 3	10 8
67	5	10 7	14 7
68	6	6 5	10 7
69	7	7 5	4 3
70	8	3 4	5 4
71	9	5 3	6 5
73	10	4 5	8 5
73	11	5 7	4 8

G-ïibooete- jaae,	ingekomeif,	Veeteokkeït.	G-estoeveït,
1874.
1873.
1872.

É . O H P ^ « a O	1 • rt izi O H 9 « s 5 O	§ O O 3	IZi H M g g	% O Ü3	co §1 w 3 g M O	« ^ O 1 PÜ < W H, O	s O M a O K t—t
0/1	1874.			0/1	1875,
1873.			1874.
1/2	1873.			1/2	1874.
1872.			1873,
2/3	1872.			2/3	1873.
1871.			1872.

ladz.	regel	van	Staat:	lees:
8	12	boven	B D	C D.
19	12	boven	3de term links,	en
			1ste term rechts w[ !
20	3	boven	H t"	h t\'
20	17	onder	onder-	waar-
21	15, 16	boven ouderdomsklasse geboorteperiode
22	13	boven	met	en met
24	1	boven	§ 5	§ 6
26	3	boven	[t" — 6\']
	8	boven	3	I
27	2	boven	— r
	3	boven	-r"	-t\'
5?	11	boven	A J	A I
28	8	boven	A L J K	A L I D
M	17	onder	G F K E	G- F K C
29	4	boven	c	e
?>	13	onder
3>	5	onder
31	13, 15	onder	T	t
35	8	boven	klassen	klasse
36	16	boven	daarvoor	vóór dat bereiken
38	12	boven	zijn,	personen zijn,
43	12	onder	e	0
50	5	onder	vertrokken	vertrokkenen
56	3	onder	gestorvenen	6 jarig gestor-
				venen.
61	11	boven	ieder	ieder vierkante
62	14	onder	aangegeven	aan gegeven
71	12	onder	zonder	Evenwel, zonder


	— Ö — l	ö
	r — 6	^	r — 6
Deze hebben allen	gemeen		— Ö\'

a.	Uit	63.	Uit	61.	Uit 43.	Uit 41.	Uit 32.	Uit	31.
In- gek. ö.	Vbb- xe. e.	In- gek. d.	Vee- tr. e.	In- gek. b.	Vee- te. c.	In- gek. d.	Vee- tr. e.	In- gsk. b.	Vee- te. c.	In- gek. d.	Vek- tr. e.
63	4	13	11	15	39	35	38	39	8	6	10	9
63	30	18 ;	18	13	33	33	30	31	11	5	4	0
64	17	8	15	9	35	81	39	34	3	7	8	1
65	26	30	15	19	47	39	43	33	8	7	5	8
66	9	33	10	30	39	33	39	37	4	4	3	6
67	15	18	15	13	36	35	37	47	6	8	5	7
68	13	13	8	9	48	35	46	33	7	7	7	5
69	16	8	11	5	37	31	33	39	1	3	3	6
70	9	10	10	8	34	39	30	30	4	5	8	0
71	8	9	4	14	39	31	30	13	3	4	5	3
73	6	14	9	5	34	17	16	33	5	3	5	3
7S	8	10	13	11	11	17	33	18	6	3	1	3

oudeb- dom in maan- den.	Gebookte- maand;
0/1	Jan. r.
Dec. t—1.
1/2	Dec. r—1.
Nov. r—1.
2/3	Nov. t-—1.
Oct. t—1.
3/4	Oct.
Sept.
4/5	Sept.
Aug.
5/6	Aug.
Juli.
6/7	Juli.
Juni.
7/8	Juni.
Mei.
8/9	Mei.
April.
9/10	April.
Maart.
10/11	Maart.
Tebr.
11/13	Tebr. r—1.
Jan. r—1.
12/13	Jan. r—1. Dec. r—3.

Opneming smaand Februari.
oudek- dom in maan- den.	Gebooete- maand.
0/1	Febr. T.
Jan. r.
1/3	Jan. r.
Dec. r—1.
3/3	Dec. T—1.
Nov. r~1.
3/4	Nov.
Oct.
é/5	Oct.
Sept.
5/6	Sept
Aug.
6/7	Aug.
Juli.
7/8	JuU.
Juni.
8/9	Juni.
Mei.
9/10	Mei.
April.
10/11	April.
Maart.
11/12	Maart.
Febr. r—1.
13/13	Febr. r—1.
Jan. r—1.

oudeedom in maandin.	Geboortekwartaal .
0/3	Jan., Eebr., Maart r.
Oct., Nov., Dec. r—1.
3/6	Oct., Nov., Dec. r—1.
Juli, Aug., Sept. r—1.
6/9	Juli, Aug., Sept. r—1.
April, Mei, Juni r—1.
9/12	April, Mei, Juni r—1,
Jan., Febr., Maart r—1.
12/15	Jan., Febr., Maart r—1. Oct., Nov., Dec. r—2.
15/18	Oct., Nov., Dec. r—2.
Juli, Aug., Sept. t—2.
18/21	Juli, Aug., Sept. r—2.
April, Mei, Juni r—3.
21/24	April, Mei, Juni r—2.
Jan., Febr., Maart t—2.

A

7/0	\\ \\	;
	G