Over de Configuraties (8₄,8₄) van punten en
vlakken en de Tetraëders van Moebius.

Over de Configuraties (8₄, 8₄) van punten
en vlakken en de Tetraëders van Moebius.

Bij het voltooien mijner dissertatie, die onder Uwe auspiciën is
tot stand gekomen, zeg ik U mijn oprechten dank, niet alleen voor
de hijzonder gewaardeerde lessen, die mij juist Uw vak boven alle
andere deden lief krijgen, maar ook voor de groote welwillendheid,
waarmede Gij mij bij het schrijven van dit proefschrift licht ter-
zijde gestaan.

Ook den Hoogleeraren kapteyn, julius, NIJLANü en wijlen
Professor WlNI) ben ik erkentelijk voor het genoten onderricht.

Ik beschouw het als een voorrecht, aan de Utrechtsche Universiteit
mijne opleiding gekregen te hebben.

Ten slotte aan U, Hooggeleerde BOLLAND, mijn dank. Uwe
colleges zullen mij een aansporing zijn tot het bestudeeren der
philosophie in den ruimsten zin des woords.

Dit proefschrift heeft zijn ontstaan te danken aan mijne kennis-
making met de verhandeling van V. Martinetti, Le Configurazioni
(8a, 84) Éi punti e piani, geschreven in het vol. XXXV van
Giornale di Matematiche di Battaglini 1897 (bl. 81—100). Hij
is erin geslaagd, alle mogelijke projectief van elkaar onafhanke-
lijke configuraties (84, 84) van punten en vlakken op te sporen.

Reeds in 1828 had Moebius de merkwaardigste dezer configu-
raties, bestaande uit twee in en om elkaar beschreven tetraëders,
ontdekt en gepubliceerd in het Journal von Crelle, dl. III, bl. 273.
Hier toont hij aan, dat het mogelijk is, dat twee tetraëders een
dergelijke bijzondere ligging hebben, tenminste als de hoekpunten
van den eenen niet gehouden zijn, in de zijvlakken zelf van den
anderen te liggen, maar als de hoekpunten van den eenen ook
in cle uitbreiding der zijvlakken van den anderen kunnen ge-
legen zijn.

In 1884 is in de Mémoires de la Société royale des scienres
de Liège 2^C série t. XI een verhandeling geschreven over de
tetraëders van Moebius door J. Neuberg.

Verder bevinden zich onder de opgaven, uitgeschreven door
het Wiskundig Genootschap „Een onvermoeide arbeid lcomt alles te
boven" te Amsterdam, eenige, die dit onderwerp betreffen: Dl. VIII
N°. 67, 71 (opgaven van Dr. P. Zeeman Gz.); Dl. X N°. 129
(opgave van Dr. J. A. Baiirau).

In het eerste worden alle mogelijke configuraties (84, 84) van
punten en vlakken behandeld.

In liet tweede hoofdstuk wordt een nadere beschouwing ge-
geven van de figuur der twee in en om elkaar beschreven
tetraëders van Moebius, en in het derde hoofdstuk worden eenige
bijzondere gevallen dezer configuratie besproken.

§ 1. Op liet voetspoor van Martinetti zullen we alle mogelijke
configuraties (8₄, 84) van punten en vlakken opzoeken, d. w. z.
figuren van acht punten 1, 2, 3, 4, 5, G, 7, 8 en van afvlakken
1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, waarin elk punt behoort tot vier — en
ook niet meer dan vier — van die vlakken, en omgekeerd elk
vlak gaat door vier van die punten.

Allereerst stellen wij alleen de voorwaarde, dat de elementen
van de figuur onderscheiden zullen zijn, en dat twee elementen
niet zullen behooren tot dezelfde vier elementen van de duale soort.

Om alle configuraties (84, 8_t) te vinden, zullen wij beginnen
die configuraties te zoeken, waarin op de doorsnijding van twee
vlakken hoogstens twee punten van de configuratie liggen — en
omgekeerd: door de verbindingslijn van twee punten hoogstens
twee vlakken gaan.

Onder de configuraties (m, n₄), die aan een dergelijke voorwaarde
voldoen, zullen volgens Martinetti deze de eenvoudigste zijn.
Bij handhaving van bovengenoemde beperking is er slechts .één
Cf. die eenvoudiger is dan een (84, 84), d. i. de Cf. (64, 64)
samengesteld uit twee drietallen van punten op twee kruisende
lijnen en uit de vlakken, die elk der drie punten op de ééne
lijn zendt door de andere rechte. Zoo liggen de punten vier
aan vier in één vlak, en door elk punt gaan vier vlakken: de
drie vlakken, die door zijn drager gaan, en het eene, dat dit
punt met den anderen drager verbindt.

Bij de bijzondere Cf\'s, die wij nu willen vinden, bevatten de
vier vlakken, die door één punt gaan, minstens zes andere
punten, want:

ot.. De vier vlakken, die door één punt der Cf. gaan, bevatten
de punten der Cf. op één na.

In geval a wordt dus door elk punt een ander punt buitengesloten,
waarmee het door geen vlak van de Cf. verbonden is, en we zullen
twee punten, die zich in een dergelijken toestand bevinden toege-
voegd noemen. De vlakken, die behooren bij twee toegevoegde
punten zijn alle vlakken van de Cf., want dat zijn acht verschillende
vlakken. Het gegeven punt zendt door elk der andere punten twee
vlakken, alleen door het toegevoegde punt geen vlak.

In geval (3. zendt een punt van de Cf. twee vlakken door elk
der andere punten op twee na; deze twee uitgezonderde punten
zijn elk met het gegeven punt slechts door één vlak verbonden,
en worden het toegevoegde koppel van het beschouwde punt
genoemd. Het is duidelijk dat deze twee punten eveneens in
het geval (3. verkeeren, want het eerste punt behoort tot het
hun toegevoegd koppel: door de verbindingslijn van het beschouwde
punt met een van het toegevoegd koppel gaat slechts één vlak
van de Cf.

Door duale beschouwingen vindt men, dat zich voor een vlak
ook twee gevallen kunnen voordoen, die wij ook als oc en (3
zullen onderscheiden.

x. De vier punten, die in één vlak liggen, dragen alle andere
vlakken op één na, dat het toegevoegde vlak heet.

(3. De vier punten, die in één vlak liggen, dragen alle andere
vlakken. Twee aan twee liggen de punten ook in elk der andere
vlakken, op twee na, die slechts één van de vier punten bevatten,
en het toegevoegde koppel vlakken genoemd worden.

De schrijfwijze (i, k, ....) _m moge aanduiden, dat de punten
i, k .... van de Cf. behooren tot het vlak m.

Als 1 het geval x voorstelt, dan kan men schrijven:
(1 2 3 4)y, (1 2 5 6)T, (1 3 5 7)y, (1 4 6 7)_T.

Dil zijn vier vlakken door het punt 1, die 8 niet bevatten, dus
8 zal het toegevoegde punt van 1 zijn.

De verbindingslijnen 12, 13, 14, 15, 16, 17 komen alle twee
keer voor, d. w. z. er gaan twee vlakken door de verbindingslijn
van twee punten.

En geen drie punten liggen in twee verschillende vlakken,
d. w. z. Op de snijlijn van twee vlakken liggen slechts twee punten.

Dit zijn vier vlakken door 1, die alle acht punten bevatten.
12, 13, 14, 15, 16, komen tweemaal voor; 17 en 18 slechts
eenmaal; 7 en 8 vormen het toegevoegde paar van 1.

§ 2. Laat ons aannemen, dat alle punten van de Cf. in het
geval x verkeeren, en dat de vier vlakken, die door 1 gaan, als
boven aangeduid zijn door

Dan zullen wij de notatie zoo kiezen dat 2 aan 7, 3 aan 6
en 4 aan 5 is toegevoegd.

Om de andere vlakken te vinden, kan men aldus redeneeren:
Van de overblijvende vier vlakken, die alle door het punt 8 gaan,
zal er een het puntenpaar 2, 3 bevatten, en een ander het paar
2, 4, die beide nog slechts éénmaal zijn voorgekomen. In het
vlak (2 3 8 zal niet 6 of 7 kunnen liggen, daar deze toege-
voegd zijn aan 3 en 2, evenmin 4, omdat 2, 3, 4 al in 1 liggen,
dus zal 5 in dat vlak liggen: (2 3 5 8)y.

Op dezelfde wijze vindt men: (2 4 G 8)~ö, want in (2 4 8 .)
kan niet 7 of 5 liggen (toegevoegd aan 2 en 4) evenmin 3
(omdat 2, 3, 4 al in 1 voorkomen); dus moet het G zijn.

De twee laatste vlakken bevatten 7 en 8 en het ééne hel
paar 3, 4, het andere het paar 5, G: (3 4 7 8)y en (5 G 7 8)

De gemaakte onderstelling leidt dus tot één enkel geval, dat,
zooals wij zullen zien, te verwezenlijken is.

In de acht vlakken komt elk punt viermaal voor, elke twee
punten tweemaal, elke drie punten slechts éénmaal.

Zooals we boven hebben opgemaakt, welke vlakken door het
punt 1 gaan, kunnen we, duaal daartegenover, nu beschouwen
een vlak (1 2 3 4)T. Dan gaan door de punten 1 2 3 4, twee
aan twee, nog zes andere vlakken: 2, 3, 4, 5, G, 7, maar niet
het vlak 8.

§ 3. Nu kunnen wij onderstellen, dat 1 het. geval (3 vertegen-
woordigt, zoodat men heeft

Ook hier moet elk punt viermaal voorkomen, elke twee punten
hoogstens tweemaal, elke drie punten slechts éénmaal.

Het punt 4, en zoo ook G, die elk nog tweemaal moeten
voorkomen, kan niet behooren tot twee van de vlakken 6, 7, 8
(die alle het punt 8 bevatten) omdat 4, 8 en ook 6, 8 reeds in
4 liggen; dus moeten 4 en 6 in 5 liggen: (4 6 7 .)5".

Het punt 2 moet nog in twee vlakken voorkomen, kan niet in
6 én 7 liggen, omdat 2, 7, 8 dan tweemaal zou voorkomen, en
moet dus in 5 of 8 liggen. Aangezien het tot zoover gevonden
symbool zichzelf gelijk blijft, als men verwisselt (3, 4), (5,6),
(7, 8), kunnen wij de benaming zóó kiezen, dat 2 in 5 zal liggen
(2 4 G 7)13. Verder kan 2 nog in 6 of in 8 liggen, en moeten
3, 4, 5, 6 élk nog eenmaal geplaatst worden.

Maken wij de eerste hypothese: 2 in 6, (2 7 8 .)ê", dan zien wij,
dat in G niet kan liggen 4 (want 2, 4 is reeds in 1 en 5), even-
min G (want 2, 6 is reeds in 2 en 5) dus ligt in G nog 3 of 5.
In 8 ligt nog 4 of G. Maar omdat het tot hiertoe gevonden
symbool niet verandert bij de verwisselingen (3, 5) (4, 6) kunnen
wij aannemen, dat in 8 het punt 4 zal liggen: (3 4 5 8)g, en
verder 6 in 7: (6 7 8 .) 7 waaruit volgt, dat bovendien 5 of 3
in 7 zal liggen en dan 3 of 5 in 6.

Maken wij de tweede hypothese: 2 in 8: (2 3 5 8)y, dan moeten
de punten 3, 4-, 5, G, die we nog tot onze beschikking hebben,
aldus verdeeld zijn: twee in 6 en de andere in 7. Maar in
eenzelfde groep kunnen niet optreden de paren 3, 5 en 4, 6,
daar deze reeds behooren tot twee andere groepen (tot 3 en 8
resp. tot 4 en 5). Dus zullen in 6 en 7 liggen de paren 3, 4
en 5, 6, of 3,6 en 4-, 5; zoo komen wij tot de symbolen

§ 4. In de overige configuraties (84, 84) zullen er drie punten
moeten zijn, die aan twee vlakken minstens toebehooren of drie
vlakken, die aan twee punten minstens toebehooren, d. w. z. drie
punten mogen nu tweemaal voorkomen, of ook wel driemaal
(meer is onmogelijk).

En: twee punten mogen nu driemaal voorkomen.
Dat vier vlakken dezelfde twee punten bevatten, is onmogelijk b.v.:
zou eischen dat 1, 2, 3 collineair, en 1,2, 5 collineair
waren, dus zouden dan 1, 2, 3, 5 collineair zijn.

Niet alleen zou hierdoor het vlak 1,2,3,5 onbe-
paald worden, maar ook zouden dan in de andere
vlakken meer dan vier punten gelegen zijn.
Omgekeerd is het ook niet mogelijk dat vier punten in dezelfde
twee vlakken liggen.

Nu hebben we dus drie gevallen te onderscheiden:
1°. Eén drietal punten van de Cf. behoort tot drie vlakken;
2°. „ „ „ „ „ „ „ slechts tot twee vlakken;
3°. „ „ vlakken „ „ „ „ „ „ punten.

De twee laatste gevallen zijn onderling duaal, daarom is het
voldoende het 1° en 2^e geval te onderzoeken.

Als in een Cf. het l^e geval zich voordoet, en b.v. 1, 2, 3 het
drietal is dat tot drie vlakken behoort, dan kunnen wij stellen:
(1 2 3 4)T, (1 2 3 5)y, (1 2 3 6)y, (7 8 . .)_T,
(7 8 . .)y, (7 8 . .) e", (7 . . .)y, (8 . . .)_¥.
Weer moet elk punt viermaal voorkomen\'.
Nu moeten nog geplaatst worden: 1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6,6, 6.
In 7 en 8 liggen öf de drie punten 4, 5, 6 óf in beiden slechts
twee van die drie.

Onmogelijk is \'t dat in één van deze twee vlakken de drie punten
4, 5, G en in de andere slechts twee van de drie liggen, b.v.
678
678

nog over de punten 1, 2, 3, 4, 5, 6. Op zes manieren kunnen
1, 2, 3 met 4, 5, G twee aan twee gecombineerd, in groepen van
drie tweetallen gerangschikt worden, maar daarmee ontstaat toch
slechts één Cf. VI, omdat (1, 2, 3) en (4-, 5, G) onderling verwisseld
kunnen worden zonder dat de Cf. verandert. Het symbool is dus:

§ 5. Als in een Cf. het. 2e geval zich voordoet en b.v. 1,2,3
het drietal is, dat slechts tot twee vlakken behoort, dan stellen wij:
(1 2 3 4)y, (1 2 3 5)2-.

In de overige zes vlakken zal slechts één van de drie punten
1, 2, 3 liggen, omdat 1, 2, 3 op een rechte liggen, en door
deze rechte geen ander vlak gaat dan 1 en 2. Bovendien
zouden dan in zulk een vlak vijf punten gelegen zijn.

Verder zullen de drie punten G, 7, 8 in één enkel vlak liggen
of ze zullen twee aan twee over de zes overige vlakken verdeeld
zijn. De combinatie G, 7, 8 kan n.1. niet tweemaal voorkomen,
aangezien hieruit volgen zou, dat 6, 7, 8 collineair waren, en
dan andere vlakken vijf punten zouden bevatten. Kwam de
groep 6, 7, 8 driemaal voor, dan hadden we weer bet eerste
geval, dat reeds in § 4 behandeld is. Zoo vindt men weel-
de Cf. VII.

Er kunnen dus twee hypothesen gemaakt worden:
(6 7 8 .)¥, (6 7 . .)T, (6 7 . (6 8. (7 8. .)y, (8 ...) _¥ .. («)
of: (G 7 . .)T, (6 7 . .)T, (6 8 . .)¥, (G 8. .)¥, (7 8. .)y, (7 8. .) ••(&)

In de eerste onderstelling («) bevatten de drie vlakken 3, 4, 5
nog de punten 1, 2, 3, 4, 5, want er zijn in die vlakken nog
vijf plaatsen open, die door verschillende indices moeten worden
ingenomen. Uan hebben we nog te beschikken over: 1, 2, 3,
4,4, 5,5. Aangezien nu de indices (1, 2, 3) en (4, 5) onderling
verwisselbaar zijn, mogen we stellen, dat 1, 4. 5 in 8, 2, 5 in 7,
en 3, 4 in 6 liggen:

Bovendien kunnen we stellen dat 4 in 4 en 5 in 5 ligt
(467.)T, (56 7.)y
en dat daarom 3 niet in 4 zal liggen, want dan zou volgens
(3 4 6 7)t en (3 4 6 8)lf de groep 3, 4, 6 collineair zijn, dus in
het vlak 1 meer dan vier punten liggen.

Evenmin kan 2 in 5 liggen, want dan zou volgens 5 en 7 de
groep 2, 5, 7 collineair zijn, en het vlak 2 meer dan vier
punten bevatten.

Als men 1 in 5 slelt, dus 3 in 3 en 2 in 4, dan heeft men
(1 2 3 4)T, (1 2 3 5)T, (3 6 7 8)y, (2 4 6 7)_T, (1 5 6 7)_T,
(3 4 6 8)-ë, (2 5 7 8)y, (1 4 5 8)^
hetgeen echter door de substituties (2, 3), (4, 5), (6, 7) overgaat in:
(1 2 3 5)T, (1 2 3 4)y, (2 6 7 8) y, (3 5 6 7)T, (1 6 7)y,
(2 5 7 8)y, (3 4 6 8)y, (1 4 5 8)t
en dit is identiek met de Cf. IX. De laatste onderstelling levert
dus geen nieuwe Cf.

Noemen we de acht vlakken van de Cf. VIII naar volgorde a,
b, c, (/, e,\' ƒ, g, li, dan kunnen we het hiermee duaal overeen-
komende symbool vinden door in kolommen op te schrijven de
vlakken, die door één punt gaan.

Ook hier komt één drietal vlakken: c, d, e tweemaal voor, d.i.
hèt 3^e geval van § 4: Eén drietal vlakken behoort slechts tot
twee punten van de Cf.

Vervangen we nu: c d e f g h a b
door: 1 3 2 4 5 8 6 7
dan blijkt uit dit symbool weer de Cf VIII voor den dag te komen.

Doet men hetzelfde met de Cf IX, dan komt er:
1 2 3 4 5 6 7 8_
aaaabccc
b b b d e d d f
dcefgeeg
hgfhhfgh

Ook in de tweede veronderstelling (b) in het begin van § 5:
Behalve: (1 2 3 4)y, (1 2 3 5)y, heeft men
(6 7 . .)y, (6 7 . .)_T, (6 8^.)y_v (6 8 . (7 8 . .)y, (7 8 . .)«"

van de punten 1, 2, 3 liggen, omdat anders 1, 2, 3 collineair
zouden zijn, en meer dan vier punten in die vlakken zouden liggen.

Dus moeten deze vlakken afwisselend 4 en 5 bevatten:
(.46 7) 3-, (.5 6 7)T, (-46 8)y, (.56 8)«", (.47 8)y, (.5 7 8)^
Nu kan men stellen, dat 1 in 3 ligt, en bijgevolg niet in 5
en 7 (hetgeen 1, 4, 6 resp. 1, 4, 7 collineair zou maken) maar
in een van de drie overblijvende vlakken 4, 6 of 8. En we
kunnen voor 6 of 8 aannemen 6, wegens de mogelijke verwis-
seling der indices 6 en 7. Nu zijn er dus twee mogelijkheden: 1
in 4 öf 1 in 6.

Als 1 in 4 ligt, stellen wij 2 in 5, zooals geoorloofd is: (2 4 6 8)5";
verder 3 in 7 (want 2 in 7 zou 2, 4, 8 collineair maken) en zoo
ontstaan er twee gevallen, in de veronderstelling, dat in \'t vlak
6 liggen zal 2 öf 3. Dit geeft de

Als we volgens de tweede mogelijkheid 1 in 6 stellen, dus
behalve (1 4 6 7)y ook (1 5 6 8)y aannemen, en, zooals geoor-
loofd is, 2 in 4: (2 5 6 7)x, dan kan 2 ten slotte nog liggen in
5 of* in 7 (niet in 8, hetgeen 2, 5, 7 collineair zou maken).

Hiermede zijn de symbolen van alle mogelijke Cf. (84, 84) ge-
vonden; nu zullen wij hunne bestaanbaarheid aantoonen.

§ G. In de Cf. I (§ 2) stellen al de punten en al de vlakken
het geval x voor (§ 1) en zijn de punten en vlakken twee aan
twee aldus toegevoegd:

De Cf. is in zichzelf duaal. Maken we n.1. op de gewone
wijze (zooals in § 5) het symbool der vlakken op, dan gaat dit
door dezelfde eenvoudige substitutie over in het symbool van
Cf. I.

De punten in twee toegevoegde vlakken zijn de hoekpunten
van twee volledige vierhoeken, die niet perspectief liggen, maar
waarvan de paren overstaande zijden de doorsnede van hun
vlakken in dezelfde drie puntenparen ontmoeten. Beschouwen
wij bijv.: (1 2 3 4)y en (5 6 7 8)s".

12/56 hebben een snijpunt in het vlak 2
3 4/7 8 „ „ y, „ „ „7
14/67 „ „ „ „ „ „ 4
23/58 „ „ „ »» »5
13/57 „ „ „ »» »3
2 4/68 „ „ „ „ „ 6.

En ook omgekeerd: Heeft men op een rechte drie puntenparen
van een involutie, door de rechte twee verschillende vlakken en
in deze vlakken twee vierhoeken, die niet perspectief zijn maar
waarvan de paren overstaande zijden gaan door de beschouwde
puntenparen van de involutie, dan zijn de hoekpunten van die
vierhoeken de punten van een Cf. van het hier besproken type,

die dus op deze wijze te construeeren is. Het bestaan van deze
Cf. is ook nog anders aan te toonen:

De rechten 12, 3 5, 4 6, 7 8 ontmoeten tegelijkertijd de lijnen
17, 2 8, 3 4, 5 6, want elke lijn van de eene groep snijdt blijkens
de volgende tabel alle lijnen van de andere groep.

Deze acht lijnen liggen dus op een quadratisch oppervlak en
vormen de vierhoeken 1 2 8 7 en 3 4 6 5. Toegevoegde punten
zijn overstaande hoekpunten van deze vierhoeken.

1 2, 3 5, 4 6, 7 8 zijn lijnen van liet eene stelsel op het quadra-
tisch oppervlak.

Nemen wij omgekeerd op een quadratisch oppervlak twee
scheeve vierhoeken 1 2 8 7 en 3 4 6 5, waarvan de zijden ver-
schillende rechten van het quadratisch oppervlak zijn, dan zijn
hunne hoekpunten de punten van een Cf. I.

De vlakken van de Cf. zijn raakvlakken aan het quadratisch
oppervlak, niet in de punten van de Cf., maar in acht andere
punten, die de punten zijn van een andere Cf. (84, 84) van het-
zelfde type. Dit blijkt dadelijk uit de figuur van vier kruisende
lijnen, waarop vier andere kruisende lijnen rusten. Van de zestien
snijpunten kan men er acht zoodanig kiezen, dat zij een Cf. I
vormen. Zoo liggen op elke lijn twee punten der Cf., en vier
aan vier liggen die punten in één vlak, dat het quadratisch opper-

vlak raakt in het punt, waar de twee lijnen, die dat vlak bepalen,
elkaar snijden.

Onze Cf. I kan niet alleen beschouwd worden als bepaald door
de hoekpunten van de twee genoemde scheeve vierhoeken 1 2 8 7,
3 4 G 5, maar ook door de hoekpunten der vierhoeken 1 3 8 G,
2 4 7 5, en 1 48 5, 2 3 7 G gelegen op twee andere quadratische
oppervlakken. De zes genoemde vierhoeken zijn diegene, die de
paren van toegevoegde punten der Cf. als paren van overstaande
hoekpunten hebben.

§ 7. Drie punten van een vlak en het toegevoegde van het
vierde punt in dat vlak zijn de hoekpunten van een tetraëder,
waarvan de zijvlakken vlakken van de Cf. zijn. B.v.: 12 35
is zulk een tetraëder; de zijvlakken zijn:

Behalve 1 2 3 5 komen uit de punten van het vlak 1 nog drie
.andere tetraëders: 2 3 4.8; 341.7; 412.6.

Er zijn acht vlakken in onze Cf., die dus tezamen 36 tetraëders
zouden geven. Maar de vlakken leveren vier aan vier denzelfden
tetraëder op, dus zijn er in \'t geheel acht verschillende tetraëders,
n.1. behalve de vier bovengenoemde nog: 256.8; 561.7;
35 7.8; 467.8.

Duaal hiertegenover staat, dat ook van de vlakken, die door
één punt gaan, er drie met het toegevoegde van het vierde vlak
een tetraëder vormen, waarvan de hoekpunten punten van de
Cf. zijn.

zijn de hoekpunten van een ander dezer tetraëders, en twee
tetraëders, op deze wijze aan elkaar toegevoegd, blijken elk in den
ander ingeschreven te zijn, en zoodanig, dat de drie hoekpunten
van den éénen, die in de door een gegeven top gaande zijvlak-
ken van den anderen liggen, met dien top in één vlak gelegen zijn.

Dit wordt b.v. voor den tetraëder 1 2 3 5 en den aan hem
toegevoegden tetraëder 8 7G4 aldus geverifieerd:
1 2 3 met 4 in vlak T

Deze twee in- en om elkaar beschreven tetraëders vormen de
figuur van Moebius, die in het tweede gedeelte van dit proef-
schrift in het bijzonder zal worden behandeld.

§ 8. Van de punten der Cf. II (§ 3) stellen 3 en G het geval
« (§ 1) voor, en zijn aan elkaar toegevoegd, zooals men ge-
makkelijk uit het symbool kan opmaken. De andere punten
stellen het geval /3 voor en de toegevoegde koppels van de
punten 1, 2, 4, 5, 7, 8 zijn respectievelijk 78, 58, 57, 24,14, 12.

Hieruit blijkt een verdeeling van deze zes punten in twee
groepen: 124 en 5 7 8, zoodanig dat elk punt van de ééne
groep heeft tot toegevoegd koppel de twee niet-homologe pun-
ten van de andere groep.

Noemen we haar vlakken a, b, c, d, e, f, g, h, dan wordt
haar symbool bij dualiseering:

Óm de substitutie te vinden, die dit symbool omzet in dat
van Cf. II, moeten we dit nieuwe symbool nader beschouwen
in verband met de duale omzetting der gevallen en fS, die
in § 1 ook werd gegeven.

In de Cf. II zijn blijkbaar 1 en 7 de toegevoegde vlakken.
De punten van de Cf. die op elk dier vlakken liggen, zijn de
hoekpunten van twee vierhoeken, 1234 en 567 8, waarvan de
zijden de snijlijn (I, 7) ontmoeten in dezelfde punten, zoodat
de puntenparen:

(gerangschikt naar de paren overstaande zijden van den eersten
vierhoek) behooren tot eenzelfde involutie li, en de paren:
12.5 6, 23.7 8; 13.5 7, 14.6 8; 3 4.5 8, 24.67

(gerangschikt naar de zijden van den tweeden vierhoek) behooren
tot een andere involutie I2.

Ten 1°. 12.56 (li) 34.58 (I₂) 24.6 7 (li) 13.57 (I₂)
14.68 (li) 2 3.78 (I₂) 12.56.

Ten 2°. 3 4.5 8 (li) 12.56 (I₂) 2 3.7 8 (li) 14.68 (I₂)
13.57 (li) 24.6 7 (I₂) 3 4.5 8.

De bedoelde cyclische projectiviteit bevat dus de beide kringen:
12.5 6, 24.6 7, 14.68
en 3 4.58, 2 3.7 8, 1 3.5 7.

Men neemt op een rechte a de punten Ai, A₂, A3 willekeurig
aan en bepaalt een tweede groep Bi, B₂, B₃ van de cyclische
projectiviteit, die door de groep Ai A₂ A₃ is aangewezen.

In een vlak door a construeert men een vierhoek 1 2 3 4,
waarvan de zijden 1 2, 1 3, 1 4, 2 3, 2 4, 3 4 respectievelijk gaan
door Ai, B₃, As, B₂, A₂, Bi en in een ander vlak door a een
vierhoek 5 6 7 8, waarvan de zijden 5 6, 5 7, 5 8, 6 7, 6 8, 7 8
respectievelijk gaan door Ai, B₃, Bi, A₂, A₃, B₂.

De hoekpunten van de twee vierhoeken zijn de punten van
een Cf. (84, 84) van het type II.

§ 9. Wij willen nu onderzoeken, of men uit de elementen van
de Cf. II ook tetraëders kan samenstellen.

Als er op deze wijze een tetraëder is samengesteld, dan zullen
geen twee van zijn hoekpunten aan elkaar toegevoegd zijn, want
twee toegevoegde punten hebben geen verbindingslijn in de Cf.

Evenmin zal het ééne hoekpunt behooren tot het toegevoegd
koppel van het andere, want door de verbindingslijn van een
punt met één van zijn toegevoegd koppel gaan geen twee vlakken
van de Cf., die zijvlakken van den gezochten tetraëder zouden zijn.

Hieruit volgt, dat de eenig mogelijke tetraëders zijn 1 2 4 6 en
3 5 7 8. Tezamen bevatten zij alle punten van de Cf. en hunne
zijvlakken blijken alle vlakken van de Cf. te zijn, n.1.:
1 2 4 met 3 in 1 3 5 7 met 1 in 3

Hieruit blijkt ook aanstonds, dat deze twee tetraëders op de
volgende manier in- en om elkaar beschreven zijn:

In de zijvlakken van den eersten, die gaan door G, liggen drie
hoekpunten van den tweeden, welker vlak (5 7 8) door G gaat;
hetzelfde gebeurt met 3 van den tweeden tetraëder. Daarentegen
geldt voor de hoekpunten van den tweeden, die liggen in de zij-
vlakken van den eersten, respectievelijk gaande door 1, 2, of 4,
dat zij behooren tot één vlak, dat respectievelijk door 4, 1, of
2 gaat.

B. v. de drie zijvlakken van den eersten tetraëder gaande door 1
bevatten van den tweeden tetraëder de hoekpunten 3, 8, 5 en
deze liggen met 4 in één vlak 8.

Op dezelfde wijze als 1, 2, 4 respectievelijk met 4,1, 2, zijn de
hoekpunten 5, 7, 8 van den tweeden tetraëder verbonden met de
hoekpunten 8, 5, 7.

§ 10. De Cf. III is in zichzelf duaal. Dit blijkt weer bij duale
omzetting van het symbool; dan komt er: (§ 3)
1 2 3 4 5 G 7 8

aaaabbcd
b b c d c d e f
cegefefg
d f h h h g g h
Om de substitutie te vinden, door welke dit schema overgaat in

het symbool der Cf. III, moeten we dit nieuwe symbool weer
nader beschouwen. Dan blijkt, dat:

De paren respectievelijk toegevoegd aan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
zijn 7 8, 3 8, 2 6, 5 7, 4 6, 3 5, 1 4, 1 2, dus de punten der Cf.
zijn verdeeld in twee groepen: 1 2 64, 3 57 8 en daarin op zulk
een wijze gerangschikt, dat elk punt van de eene groep heeft tot
toegevoegd koppel twee opvolgende punten van de andere groep.

De vier rechten 1 3, 2 8, 4 5, G 7 worden gesneden door drie
kruisende rechten 2 4, 5 7, 3 8, want:

2 4 snijdt 1 3 in I 5 7 snijdt 1 3 in 3 3 8 snijdt 1 3 in 3
28 in 2 28 in 6 28 in 8

De lijn 1 6 ligt niet op dit oppervlak en wordt gesneden door
de lijnen 2 5 (in 2) en 4 8 (in 4).

15,23,47,68; 1 7,25,36,48; 1 8, 2 7, 3 4, 5 6 gesneden
door: 26, 37, 14 ; 3 5, 1 6, 7 8 ; 4 6,58,1 2
hebben een analoge eigenschap.

Nemen wij op een quadratiscli oppervlak, maar niet op een
van zijn rechten, twee punten 1 en 6, en trekken door een
willekeurig punt van de lijn 1 G een rechte, die het quadratisch
oppervlak moge snijden in 2 en 5, dan is aan (12 5 6)y voldaan.
Noemen wij 4 een van de twee punten van het quadratisch
oppervlak, waarin de rechten van dat oppervlak, die gaan door
2 en 5, elkaar snijden.

Laat ons nu door 4 de lijn trekken, die 16 snijdt, en die rechte
van het oppervlak, die behalve 2 4 nog gaat door 2, en laat
ons zeggen, dat 8 haar snijpunt is met deze laatste rechte. De
lijn 16 en deze rechte zijn n.1. kruisende lijnen en hebben dus
van uit 4 slechts één transversaal.

Door 8 gaat, behalve 2 8, nog een rechte van het quadratisch
oppervlak en evenzoo gaat door 5 nog een beschrijvende lijn
behalve 45; deze twee lijnen zullen respectievelijk in 3 en 7
gesneden worden door de rechten van het quadratisch oppervlak,
die achtereenvolgens door 1 en 6 gaan.

Men ziet gemakkelijk, dat de punten 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 die
van een Cf. III zijn.

§ 11. Let men op de opmerking van § 9, dan vindt men
onmiddellijk, dat 124 6, 3578 de eenige tetraëders zijn, die men
uit de elementen van de Cf. III kan samenstellen.

De zijvlakken zijn:
van den eersten 124 met 3 in 1 van den tweeden 3 5 7 met 1 in 3

In de zijvlakken van den eersten tetraëder, die in 1 samen-
komen, liggen 3 8 5 van den tweeden tetraëder, welker vlak gaat
door 4.

Zij blijken dus in- en om elkaar beschreven te zijn, zoodanig,
dat in drie zijvlakken, die samenkomen in een gegeven hoekpunt
van den eenen tetraëder, liggen drie hoekpunten van den anderen,
welker vlak gaat door het hoekpunt, dat aan het beschouwde
in de reeds genoemde groepen 1 2 6 4 en 3 5 7 8 voorafgaat.

§ 12. In de Cf. IV (§ 3) zijn vier punten van het type oc (§ 1);
zij vormen de twee paren van toegevoegde punten 3, 6 en 4, 5.

\'De paren, die toegevoegd zijn aan de punten 1, 2, 7, 8 zijn
respectievelijk 7 8, 7 8, 1 2, 1 2; dus zijn de punten van het

246

» \' »

57 8

» 2 „

461

» ⁸ n

783

» 6 „

612

» 5 „

835

n ^ »

type (3 gescheiden in twee paren 12, 7 8 die wij de paren
geconjugeerde punten zullen noemen. Deze Cf. is ook in zichzelf
duaal. Haar symbool wordt n.1. bij dualiseering:

En hieruit blijkt, dat a en b hebben tot gemeenschappelijk
toegevoegd koppel g en f, en omgekeerd; d en e staan in
dezelfde betrekking tot c en h.
De noodige substitutie is dus :

Analoog aan de redeneering in § 8 is de volgende:
Op de rechte, die twee toegevoegde vlakken 1 en 7 gemeen
hebben, liggen de drie paren van punten:
1 2! 5 6, 34.7 8; 1 3.5 7, 24.6 7; 1 4.6 8, 2 3 . 5 8 .... (I)

Tot een andere involutie 1₂ behooren de paren:
1 2.5 6, 3 4.7 8; 1 3.5 7, 1 4.6 8; 2 4.6 7, 2 3 .5 8 .... (II)
(2) (6) (3) (4) (5) (8)
Deze twee involuties zijn harmonisch want li I₂ = I₂ li; zij
hebben het paar 1 2.5 6, 34.78 gemeen.

Hetzelfde komt voor op de doorsnede der vlakken 2 en 6,
waarin respectievelijk de vierhoeken 1256 en 3 4 78 gelegen zijn.

Nemen wij op een rechte a twee harmonische involuties met
het gemeenschappelijk paar E, F, en zij A, B een paar van de
eerste involutie, A, Bi een paar van de tweede. Als dan Ai, Bi
geconjugeerd zijn in de eerste involutie, dan zullen Ai, B het
zijn in de tweede, en de puntenparen, in analogen vorm opge-
schreven als boven in (I) en (II), zijn:
van de eerste involutie:

Vergelijken we nu I\' en II\' met I en II, dan kunnen we de
Cf. IV construeeren, door in een vlak door a te construeeren een
vierhoek 1 2 3 4, waarvan de zijden

E, A, Bi, Ai, B, F,
en in een ander vlak door a een vierhoek 567 8, waarvan de zijden

§ 13. De rechten 1 2, 3 5, 7 8 (die noodzakelijk elkaar moeten
kruisen, omdat ze niet twee aan twee in één vlak liggen, vormen
een stelsel lijnen, die tot richtlijnen hebben de rechten 17, 2 8,
3 4, 5 6. Want:

1 2 snijdt 1 7 in 1 3 5 snijdt 1 7 in 3 7 8 snijdt 1 7 in 7
28 in 2 2 8 in 8 28 in 8

De kruisende rechten 1 2, 4 6, 7 8 vormen een stelsel lijnen
met de richtlijnen 1 8, 2 7, 3 4, 5 6, want:
1 2 snijdt 1 8 in 1 4 6 snijdt 1 8 in 4 7 8 snijdt 1 8 in 8
27 in 2 27 in 5 27 in 7

Deze twee stelsels zijn verschillend en hebben slechts de
beschrijvende lijnen 12, 7 8 en de richtlijnen 3 4, 5 6 met
elkander gemeen.

Als wij Mi,M₂ noemen de punten, waarin 12 gesneden wordt
door 3 4, 5 6 en Ni, N₂ die, waarin dezelfde rechten de lijn 7 8
snijden, en bedenken, dat op een hyperboloïde twee lijnen van
hetzelfde stelsel twee projectieve puntenreeksen vormen, aangezien
de punten dier lijnen één aan één aan elkander zijn toegevoegd,
en dat dus hun snijpunten met vier transversalen gelijke dubbel-
verhouding hebben, dan zien wij, dat op de eerste hyperboloïde,
gegeven door 1 2, 3 5, 7 8, geldt:

1 2 Mi Ma 8 7 Ni N₂dus zijn de groepen 1 2 Mi M₂ en 7 8 Ni N₂ harmonisch
(1 2 Mi M₂) = (7 8 Ni N₂) = — 1.

De punten 1, 2 en 7, 8 zijn derhalve paren van een axiale
involutie, waarvan de assen zijn 3 4 en 5 6. Dat deze axiale
involutie de Cf. IV inzichzelf doet overgaan, blijkt, als we in het
symbool IV (§ 3) (1,2) en (7,8) onderling verwisselen.

1 2 3 5, 1 246, 7835, 7846.
De eerste tetraëder 1 2 3 5 en de vierde 7 8 4 6 bevatten samen
alle punten en vlakken der Cf.:

En uit deze tabel blijkt, dat de beide tetraëders in- en om
elkaar beschreven zijn, zoodanig, dat de drie vlakken van den
eenen tetraëder, die in een a-hoekpunt samenkomen, bevatten
drie hoekpunten van den anderen tetraëder, welker vlak gaat
door het beschouwde hoekpunt van den eersten. Daarentegen
drie vlakken van den eenen tetraëder, die in een /3-hoekpunt
samenkomen, bevatten drie hoekpunten van den anderen tetraëder,
welker vlak gaat door het andere /3-hoekpunt van den eersten
tetraëder. Elk der tetraëders n.1. bevat twee niet aan elkaar

toegevoegde punten van het type x (3, 5 of 4, 6) en een toe-
gevoegd paar punten van het type (3 (1,2 of 7,8).

Op dezelfde wijze als de eerste en vierde, zijn ook de tweede
en derde tetraëder in- en om elkaar beschreven, hetgeen uit de
volgende tabel kan blijken.

1 2 4 met 3 in 1
246 „ 7 „ 5
46 1 „ 8 „ 4
612 „ 5 „ 2
7 8 3 met 4 in 6
835 „ 2 „ 8
357 „ 1 „ 3
578 „ 6 „ 7

§ 15. In de Cf. V verkeeren alle punten en vlakken in het
geval (3, zooals blijkt uit het symbool (§ 3).

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
zijn resp.: 7,8; 7,8; 4,6; 3,5; 4,6; 3,5; 1,2; 1,2
en hieruit volgt weer een groepeering der punten van de Cf.
Wij zullen toegevoegd noemen de punten 1 en 2, 3 en 5,
4 en 6, 7 en 8. Ook de paren van toegevoegde punten zijn
twee aan twee verbonden: 1,2 aan 7, 8; 3, 5 aan 4, 6, zóódanig,
dat elk punt van de ééne groep de beide punten van de andere
groep tot toegevoegd koppel heeft.

Dat de Cf. V ook in zichzelf duaal is, blijkt weer bij duali-
seering van het symbool. Dan komt er:

Hierin zijn aan de vlakken: abcde fgh
respectievelijk toegevoegd: fg fg de ch ch ab ab de.

En dit nieuwe symbool gaat in het oorspronkelijke symbool
van de Cf. V over, als we

De rechten 1 6, 2 4, 3 8, 5 7 kruisen elkaar twee aan twee en
worden alle gesneden door de rechten: 1 3, 2 5, 4 8, 6 7. Want:

Daarom behooren deze twee viertallen van rechten tot eenzelfde
quadratisch oppervlak, maar tot verschillende stelsels. De scheeve
enkelvoudige achthoek 13842576 heeft zijn zijden op dit
quadratisch oppervlak.

Omgekeerd: Een enkelvoudige achthoek, welks zijden rechten
van een quadratisch oppervlak zijn, heeft tot hoekpunten de
punten van een Cf. V, hetgeen de bestaanbaarheid van deze Cf.
aantoont.

Heeft men op een quadratisch oppervlak twee viertallen van
rechten van verschillende stelsels, en kiest men uit hun zestien
snijpunten er acht uit, zóó dat op elk dier rechten twee punten

liggen, en niet meer dan twee, dan verkrijgt men de punten van
een regelmatige Cf. (84, 84), die van het type I of V" kan zijn
(vergelijk § 6).

Dergelijke twee viertallen van rechten vormen twee z.g. ver-
bonden quadrupels: vier kruisende lijnen, waarop vier andere
kruisende lijnen rusten, die dus zestien snijpunten opleveren.
Kiest men de vier punten 1 2 7 8 als hoekpunten van een vierhoek
en de punten 3 5 4 G als hoekpunten van den vierhoek, die de
overige vier lijnen tot zijden heeft, dan heeft men een Cf. I.

Kiest men de punten 1 3 8 4 2 5 7 G zoo, dat ze de hoekpunten
van een achthoek zijn, dan heeft men een Cf. V.

Ook hier vormen de overige acht punten eveneens een Cf. V.
In de eerste figuur zijn 1235 en 8764 twee in- en om elkaar
beschreven tetraëders (§ 7). In de tweede figuur zijn 12 3 5 en
4G7 8 twee in- en om elkaar beschreven tetraëders (zie § 17).

Elk vlak van de Cf. gaat door twee lijnen, die elkaar snijden
in een punt van het quadratisch oppervlak. Dit punt is het raak-
punt van dat vlak met het quadratisch oppervlak.

Zoo zijn alle overblijvende snijpunten de aanrakingspunten van
de vlakken der Cf. met het quadratisch oppervlak, en zij behooren
tot een andere Cf. van hetzelfde type. De twee verbonden
quadrupels vormen samen een Cf. (I67, IG7).

Elk vlak bevat 7 van de snijpunten, die op de twee snijdende
lijnen liggen, welke het vlak bepalen.

Vier vlakken bepaald door den éénen drager met elk der vier
lijnen van het andere stelsel, en nog drie vlakken bepaald door
den anderen drager en elk der drie overige lijnen van het
eerste stelsel.

Deze Cf. (16₇, 16₇) bevat de verschillende Cf\'s I en V,
18 exemplaren van de eerste soort, en 72 van de tweede soort.

§ 16. De drie rechten 1 2, 3 5, 7 8 zijn in het algemeen
kruisend, tenminste, als 1 2 7 8 niet in één vlak liggen. Dan
vormen deze drie lijnen een stelsel rechten, dat tot richtlijnen
heeft 1 7 en 2 8. Want:

Ook de rechten 1 2, 4 6, 7 8 zijn dan kruisend en vormen een
stelsel rechten met richtlijnen 18, 2 7. Want:

Elk dezer stelsels bepaalt een hyperboloïde. Aangezien nu
deze hyperboloïden de lijnen 1 2 en 7 8 gemeen hebben, zullen
zij ook nog twee lijnen van het andere stelsel gemeen moeten
hebben. Dus bovengenoemde lijnenstelsels zullen een paar richt-
lijnen gemeen hebben, die de lijn 1 2 in A en B, de lijn 7 8 in
in A\' en B\' mogen snijden.

Dan dragen op de eerste hyperboloïde de lijnen 1 2 en 7 8
twee projectieve puntenreeksen; dus is

Ook op de tweede hyperboloïde dragen 1 2 en 8 7 projectieve
puntenreeksen, derhalve is

En ook de andere viertallen van punten, die door dezelfde
vier transversalen op 3 5 en 4 G worden ingesneden, zijn dus
harmonisch gelegen.

M.a.w. de richtlijnen A A\', B B\' steunen op de vier rechten
1 2, 3 5, 46, 7 8 in puntenparen, die de paren 1, 2; 3, 5; 4, G;
7, 8; harmonisch verdeelen zoodanig, dat de toegevoegde punten
van de Cf. zijn geconjugeerd in eenzelfde axiale involutie met
de assen A A\' en B B\', die de Cf. in zichzelf transformeert. Dit
blijkt, als we in het symbool V van § 3 de puntenparen (1,2),
(3,5) (4,6) (7,8) onderling verwisselen; dan krijgt men hetzelfde
symbool weer.

Tot dezelfde conclusie komt men, als 1 2 7 8 in één vlak
liggen, maar de punten 3 4 5 6 niet complanair zijn.

En 3 5, 7 8, 4 6 vormen een stelsel kruisende lijnen met de
richtlijnen 3 6 en 4 5.

Deze twee stelsels moeten een paar richtlijnen gemeen hebben,
die steunen op 1 2, 3 5, 7 8, 4 6.

Op de hyperboloïde, door het eerste stelsel bepaald, heeft men
(3 5 A B) = (4 6 A\' B\')
en op de tweede hyperboloïde

(3 5 A B) = (6 4 A\' B\'),
als A en B de snijpunten van 35 met de gemeenschappelijke
richtlijnen zijn, en A\', B\' die van 4 6 met de beide richtlijnen.

Dus weer zijn de beide groepen harmonisch, en 1 2, 3 5, 46, 7 8
zijn paren van eenzelfde axiale involutie met de assen A A\' en B B\'.

Als ten slotte de beide groepen 1278 en 3 4 56 ieder in één
vlak liggen, dan zullen zij twee vierhoeken doen ontstaan, die
elk twee diagonaalpunten op de doorsnede der twee vlakken
hebben, zóódanig, dat door de twee diagonaalpunten van eiken
vierhoek twee overstaande zijden van den anderen gaan; de
beide paren diagonaalpunten scheiden elkaar harmonisch.

Met behulp van deze eigenschap kan men zeer gemakkelijk
deze speciale Cf. V construeeren door uit te gaan van een
harmonische groep van punten op een rechte. Door deze lijn
legt men twee vlakken, waarin men twee volledige vierhoeken
construeert, die de bedoelde bijzondere ligging hebben.

De verbindingslijn van de andere twee diagonaalpunten A en B,
en de snijlijn der bedoelde vlakken zijn weer assen van een
axiale involutie, die (1,2), (3,5), (4,6), (7,8) aan elkaar toevoegt.
Zoo worden b. v. de punten 1 en 2 harmonisch gescheiden door
het diagonaalpunt A en het snijpunt van 1 2 met de snijlijn der
vlakken. Deze involutie transformeert blijkbaar onze bijzondere
Cf. in zichzelf.

Voegen wij aan de elementen dezer Cf. de twee vlakken der
vierhoeken toe, dan ontstaat een Cf. (85, IO4). Immers door elk
der 8 punten gaan 5 vlakken, vier van de Cf. V en één van
den vierhoek, waarvan liet beschouwde punt hoekpunt is, terwijl
in elk der 10 vlakken 4 punten liggen.

Voegen wij daarentegen de twee diagonaalpunten A, B, die
niet op de doorsnede van hun vlakken liggen, toe, dan krijgen
wij een Cf. (10₄, 85) d.w.z. een figuur van 10 punten, zoodat
door elk punt vier vlakken gaan; ook door de diagonaalpunten
A en B, waar elk der vlakken bepaald is door een der vierhoeks-

zijden, waal-op dit diagoqaalpunt gelegen is, en een zijde van
den anderen vierhoek.

Voegen wij eindelijk aan de elementen van de Cf. de twee
genoemde punten èn vlakken toe, dan krijgen wij een Cf. (IO5, 10₅),
die in zichzelf getransformeerd wordt door de boven aangegeven
axiale involutie, welke tot assen heeft de doorsnede van de
vlakken der vierhoeken en de lijn, die de twee genoemde diagonaal-
punten verbindt.

§ 17. Uit de elementen van deze Cf. kunnen slechts vier
tetraëders gevormd worden, n.1.

Elk dezer viervlakken wordt bepaald door twee niet gekoppelde
paren van toegevoegde punten (§ 15).

De eerste met de vierde, en de tweede met de derde vormen
twee paren van tetraëders, die alle elementen van de Cf. bevatten.
De tetraëders van elk paar blijken zóódanig in en om elkaar
■beschreven te zijn, dat de drie hoekpunten van den éénen, gelegen
in de drie zijvlakken van den anderen, die door een gegeven
hoekpunt gaan, in één vlak liggen met het aan dat beschouwde
hoekpunt toegevoegde punt. Dit is uit de volgende tabel ge-
makkelijk te zien:

B.v. in de zijvlakken van den eersten tetraëder, die in 1 samen-
komen, liggen de hoekpunten 4, G, 7 van den tweeden tetraëder,
welker vlak door 2 (het toegevoegde punt van 1) gaat. Enz.
Zoo heeft men ook

§ 18. In de Cf. VI behooren de drie punten 1, 2, 3 tot drie
vlakken, de punten 4, 5, G tot twee, en de punten 7, 8 tot drie
vlakken van de Cf; dit blijkt uit liet symbool in § 4.

De drie rechten 1 4, 2 5, 3 G worden gesneden door de rechten
1 2 3, 4 5 6, 7 8; want

De vlakken van de Cf. zijn raakvlakken van dit quadratisch
oppervlak in de drie punten 1, 2, 3, verder in de punten A, B, G,
waar de lijn 7 8 gesneden wordt door 1 4, 2 5, 3 6, en in de punten
P en Q, waarin de lijn 4 5 6 gesneden wordt door de rechten
van het quadratisch oppervlak, die door 7 en 8 gaan.

Men ziet dadelijk, dat deze Cf. werkelijk bestaat en op do
volgende wijze gemakkelijk in teekening te brengen is.

Op drie kruisende lijnen neemt men respectievelijk de punten
1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8 aan.

Over deze lijnen trekt men de drie transversalen 1 4, 2 5, 3 6,
die de lijn 78 respectievelijk in de punten A, B, C snijden en
bovendien nog twee transversalen door 7 en 8, die de lijn 4 5 6
in P, Q en de lijn 1 2 3 in P\', Q\' snijden.

Deze raakpunten vormen twee nieuwe Cfs VI (VIc en VId)
waarvan de symbolen gevonden worden, door in bovengenoemd
symbool Vla en in het hierna volgend symbool VIb.

De vlakken van Cf. VIc raken het quadratisch oppervlak respec-
tievelijk in de punten 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 van de oorsprong-
kelijke Cf. Vla.

Nu zijn de punten van de Cf. Vla ook punten van een andere
Cf. VIb van hetzelfde type, die men verkrijgt, door in het symbool
Vla 1, 2, 3, respectievelijk te vervangen door 4, 5. G.

Deze raakpunten vormen nog twee Gf.\'s VI, waarvan de sym-
bolen Vle en Vlf gevonden worden, door in die van Gf. Vla
en VIb voor 1 2 3 4 5 G 7 8

^% De raakpunten zijn: A B G 1 2 3 P Q (de
punten van de Gf. VId).
En ten slotte:

De raakpunten zijn: 4 5 6 1 2 3 7 8.
Al deze Cf.\'s zijn in éénzelfde Cf. (15₇, 15₇) opgesloten; 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, A, B, C, P, Q, P\' Q\' zijn de 15 punten

Ook de overige Cf.\'s VIc, VId, Vle, Vlf bevatten elk drie
tetraëders, die uit de vorige te vinden zijn met behulp van
dezelfde substituties, waarmee deze Cf.\'s boven zijn afgeleid uit
de Cf. Vla en Vlb.

§ 19. De Cf. VII heeft twee drietallen punten: 1,2,3; 6, 7,8,
die op een rechte lijn gelegen zijn en tot drie vlakken behooren.

Verder zijn de punten 2 en 8, en evenzoo 3 en 7, zoodanig
gelegen, dat elk dier puntenparen alle vlakken van de Cf. draagt.
Immers

De paren 1, G, en 2, 5 hebben de duale eigenschap.
Het vlakkenpaar 1 en G, resp. (1 2 3 4-)y en (5 G 7 8)~jj" bevat
alle punten van de Cf.

Evenzoo 2 en 5 of (1 2 3 5)* en (4 G 7 8) 5.
De rechten 1 2 3, 4-5, 6 7 8 worden gesneden door de lijnen
2 7 en 3 8. Want

Wij nemen drie kruisende rechten a, b, c en twee rechten
m, n, die deze snijden, en noemen 2, 3 de snijpunten van
a met m en n, 7 en 8 de snijpunten van b met m en n. Nemen
wij nog op c twee willekeurige punten 4 en 5, op a een wille-
keurig punt 1 en op b een punt 6, dan hebben wij acht punten
die een Cf. van het type VII bepalen.

In deze Cf. liggen slechts twee tetraëders, n.1. 2 3 4 5 en
4578, waarvan de zijvlakken vlakken van de Cf. zijn.

§ 20. In de Cf. VIII behoort het paar 6, 7 tot drie vlakken,
het drietal 1, 2, 3 tot twee vlakken (zie symbool in § 5).

Wij nemen drie kruisende rechten a, b, c en drie rechten
m, n, p, die deze snijden. Noemen wij a. m = 1, a. n = 2,

a.p = 3, b.n = 4, b.p = 5 en zij 8 een willekeurig punt
van m; de vlakken 348 (6) en 258 (7) snijden c respectievelijk
in 6 en 7. Dan heeft men, zooals gemakkelijk blijkt, de acht
punten van een Cf. VIII.

§ 21. In de Cf. IX (§ 5) zijn twee drietallen 1, 2, 3; 2, 7, 8,
die behooren tot twee vlakken, en de twee paren 14, 6 7, die
behooren tot drie vlakken.

Ook de constructie van deze Cf. is zeer eenvoudig: Men neemt
drie kruisende rechten a, b, c, die gesneden worden door de
rechten m en n, en stelt a.m = 1, b.m = 2, c.m = 3,

b.n = 7. Zij 8 een willekeurig punt van b; als het vlak a. 8
de rechte c in 5, en een willekeurig vlak door de lijn 38 a in
4 en n in 6 snijdt., dan bepalen de verkregen 8 punten een Cf. IX.

§ 22. In de Cf. X (§ 5) liggen 1, 2, 3 collineair; evenzoo
1, 6, 7; 2, 6, 8 en 3, 7, 8.

Hieruit blijkt, dat er twee viervlakshoeken zijn, die 4 resp. 5
tot hoekpunt hebben, en volgens dezelfde volledige vierzijde
gesneden worden. Men heeft n.1.

In de overige 6 punten komen telkens twee overeenkomstige
ribben van deze twee perspectief gelegen viervlakshoeken samen.

Deze wordt bepaald door de hoekpunten van twee perspectief
gelegen vierhoeken 1 3 5 7, 2 4 G 8 met de vlakken dier vier-
hoeken en de vlakken die de zes paren overeenkomstige zijden
verbinden.

De vierhoeken 1 3 5 7 en 2 4 G 8 van de Cf. XII zijn perspectief
omdat de overeenkomstige zijden elkaar snijden in punten van
de doorsnede der vlakken 4 en 5, waarin die vierhoeken
gelegen zijn. Want:

Dat ook de eigenschappen der Cfs X en XII duaal tegenover
elkaar staan, wordt door de volgende dubbele kolom toegelicht.
Dualiteit in de ruimte:

Twee vierhoeken zijn perspec-
tiefals overeenkomstige zijden
elkaar snijden in zes punten
van een rechte lijn.

Twee viervlakshoeken zijn per-
spectief, als overeenkomstige
ribben liggen in zes vlakken
door een rechte lijn.

§ 23. De Cf. XI (§ 5) heeft twee drietallen van punten, die
collineair zijn 1 2 3, 1 6 7 en elk in twee vlakken liggen.

Aangezien de lijnen 12 3 en 16 7 elkaar snijden, liggen
1 2 3 6 7 in het vlak door die snijdende lijnen, dat echter niet
een vlak van de Cf. is. Daarom kan de lijn 4 8 niet in dat vlak
liggen, maar zal de beide rechten 2 6 en 3 7 snijden volgens
5 en 7, en dus gaan door het punt 2 6 / 3 7.

Volgens een analoge redeneering gaan de rechten 2 7,3 6, 5 8
door eenzelfde punt.

Wij kunnen een Cf. van dit type construeeren, door uit te
gaan van een vierhoek 2 3 6 7, waarvan de diagonaalpunten zijn
1=23/6 7, A = 2 6 / 3 7, B = 2 7 / 3 6. Verder neemt men
een willekeurig punt 8, en op de rechten A 8 en B 8 respectieve-
lijk de willekeurige punten 4 en 5.

Zij 6 7 8 een willekeurige driehoek en 1, 2, 3 een drietal
punten op een willekeurige lijn. Noemen wij 4 het gemeen-

schappelijk punt van de drie vlakken 1 G 7, 2 7 8, 3 6 8 (in het
symbool resp. de vlakken 3, 7, 5) en 5 het snijpunt van de
drie vlakken 1 6 8, 2 6 7, 3 7 8 (dat zijn resp. 6, 4, 8), dan
hebben wij de punten van een Cf. XIV vastgelegd.

In de laatste Cf. eindelijk, XV (§ 5), die de duale figuur is van
de vorige, behooren de twee punten 1 en 2 ieder tot drie vlakken.

Geen van de Cf/s van VIII tot en met XV bevat tetraëders,
waarvan de hoekpunten punten van de Cf. zijn, en de zijvlakken
vlakken van de Cf.

Resumeerende, wat nu gevonden is, blijkt, dat alleen de
eerste vijf Cf.\'s beschouwd kunnen worden als het samenstel van
twee in en om elkaar beschreven tetraëders. Enkele dier Cf.\'s be-
vatten zelfs méér dan één paar zoodanig samengestelde tetraëders,
maar in zoo\'n geval is de wijze, waarop de een in den ander
is beschreven voor alle paren dezelfde. (Zie § 7 voor Cf. I, § 9
voor Cf. II, § 11 voor Cf. III, § 14 voor Cf. IV, § 17 voor Cf. V.)

Anderzijds is het duidelijk, dat de hoekpunten en zijvlakken
van twee in en om elkaar beschreven tetraëders tegelijk zijn de
elementen van een Cf. (8i, 8.j), zoodat wij kunnen besluiten, dat
slechts op vijf manieren twee tetraëders wederkeerig in elkaar
beschreven kunnen zijn.

Twee in- en om elkaar beschreven tetraëders A B C D en
A\'B\' C\' D\' zijn zóódanig gelegen, dat de hoekpunten acht stelsels
van vier in één vlak liggende punten vormen. Aldus:
ABCD\' BCDA\' CDAB\' DABC\'
A\'B\'C\'D B\'C\'D\'A CD\'A\'B D\'A\'B\'C

Rangschikt men de hoekpunten van de kubus zoodanig dat
1, 2, 3, 4 hoekpunten van een regelmatigen tetraëder zijn (twee
kruisende diagonalen van overstaande kubusvlakken zijn over-
staande ribben van dezen tetraëder), en zijn 5, 6, 7, 8 de kubus-
hoekpunten, die diagonaal tegenover 1, 2, 3, 4 liggen, dan vormen
de twee tetraëders 1 2 5 7 en 3 4 6 8 een configuratie van Moebius.

§ 25. Deze bijzondere figuur heeft Moebius het eerst gevonden
bij de bestudeering der kubische ruimtekrommen.

Eig. I. Vier punten van een kubische ruimtekromme vormen een
viervlak. Denkt men zich in die pnnten de raaklijnen aan de

1 ) Langs zuiver meetkundigen weg heeft Prof. P. Zeeman te Leiden deze
eigenschappen afgeleid in zijn proefschrift: De lcrommc lijnen van de derde
orde in de ruimte (1 8 7 8).

kromme, dan vormen de snijpunten dier raaklijnen met de over-
staande zijvlakken iveer een viervlak. En die twee viervlakken zijn
in en om elkaar beschreven.

Eig. II. Het viervlak door vier punten van de kromme -- en het
viervlak door de osculatievlakken in die vier punten gevormd — zijn
in en om elkaar beschreven.

§ 26. Om de heide eigenschappen I en II af te leiden, hebben
wij allereerst te bedenken, dat:

Door ieder punt in de ruimte gaat één koorde van de kubische
ruimtekromme. (Of een ideale koorde, of een raaklijn).

Denkt men zich namelijk een vlakkenschoof (OO² vlakken door
één punt M); deze snijdt de kubische ruimtekromme in de groepen
van een kubische involutie van den 2^en rang, die bestaat uit
OO² drietallen snijpunten, waarvoor geldt:

1°. Elk drietal is door ttvee van de drie bepaald, want die twee
bepalen met het vaste punt M een vlak, dat ook het derde
punt der groep oplevert.

Dit puntenstelsel vormt dus een I₃² op de kromme, die op
een rechte lijn is af te beelden, door tusschen de punten van
de rechte en die van de kromme een overeenkomst (1, 1)
vast te leggen, hetgeen meetkundig te bereiken is door middel
van een vlakkenbundel met een koorde tot as. Elk vlak van
den vlakkenbundel heeft met de kromme nog één snijpunt P en
met de rechte ook één snijpunt P\', dat de afbeelding van P is.

Deze Ia² is algebraïsch voor te stellen door een trilineaire
vergelijking, die symmetrisch is in drie parameters tj, t₂, ts (de
abscissen der punten op de rechte lijn). De verwantschapsverge-
lijking heeft den vorm

M,t₂ /3(ti t₂) yj 13 1/3 tl t2 y(ti t2) 3j = 0
is de vergelijking van den vorm:

Deze voorwaarden zijn op te vatten als twee vergelijkingen
met de twee onbekenden (ti t₂) en (ti t₂).

Hieraan kan worden toegevoegd de vergelijking:
t² - (ti t₂) t t, t₂ = 0
die altijd geldt, als men ti en t₂ opvat als wortels eener vier-
kantsvergelijking.

ti t₂ — (ti t₂)t t² = 0 ..... (3).
Elimineeren wij nu uit (l), (2) en (3) de grootheden (ti t₂) en
(ti t₂) dan komt er:

De twee punten der rechte met abscissen ti en t₂ noemt inen
neutrale -punten Ni en N₂. Zij vormen met ieder punt P\' een
drietal.

Brengt men dit op de kromme over, dan zullen ook hierop
twee punten Si en S₂ aan te wijzen zijn, die met ieder ander
punt van de kromme in een plat vlak door M liggen. Dan

moeten Si en S₂ noodzakelijk met M op één lijn liggen, m. a. w.:
Door M gaat steeds één koorde.

1°. de beide wortels reëel zijn: dan vindt men dus twee reëele
punten Si en S₂, of door M gaat een werkelijke koorde.

2°. de beide wortels imaginair: Si en S₂ zijn imaginair, dan
gaat door M een ideale koorde.

3°. de beide wortels vallen samen: Si en S₂ zijn samenge-
vallen, of door M gaat een raaklijn.

Dus: Door ieder punt buiten de kromme gaat een koorde,
een ideale koorde of een raaklijn.

§ 27. Verder geldt de eigenschap: Door elk punt in de ruimte
gaan drie osculatievlakken aan de kubische kromme.

Hiervoor stellen wij de vraag: Kan het voorkomen in de I₃²van § 27 dat ti =t₂ = ts is?

Dan gaat de vergelijking (A) over in:
(B) . . . . <*t³ 3/3t²-f-3rt 2 = 0,
een derdegraadsvergelijking, waaruit volgt, dat er drie drievoudige
punten zijn, hetgeen beteekent, dat men door M drie vlakken
kan leggen, die elk drie samenvallende punten met de kromme
gemeen hebben, d. z. drie osculatievlakken. Dus:

Of: Het stelsel osculatievlakken zendt door elk punt in de
ruimte drie exemplaren;

De steunpunten der drie osculatievlakken, die door een punt M
gaan, liggen met M in één vlak.

En de verwantschapsvergelijking der kubische involutie is de
trilineaire vergelijking (A):

De drie drievoudige punten, als enkelvoudige punten beschouwd,
vormen dus een drietal der kubische involutie I₃², liggen dus
met M in één vlak. Dit vlak noemt men het nulvlak of poolvlak
van het punt M, dat nulpunt of pool wordt genoemd.

Omgekeerd kan men op een gegeven vlak ü een punt P vinden,
dat de pool is van dit vlak. Zijn A, B, G de drie punten, die het
vlak II met de kromme gemeen heeft, dan legt men in die punten
de osculatievlakken; deze snijden elkaar in het gezochte punt P,
dat blijkens de bovengenoemde eigenschap in het vlak II ligt.

§ 29. Analoog aan de wijze, waarop een kegelsnede kan
worden voortgebracht door twee projectieve stralenbundels, en
een quadratisch regel vlak door twee projectieve vlakkenbundels,
kan een kubische ruimtekromme worden voortgebracht door drie
projectieve vlakkenbundels, waarvan de assen drie koorden ki, k₂, k₃der kromme zullen blijken te zijn. Het snijpunt P van drie toe-
gevoegde vlakken zal een punt van de kromme zijn, als:

(kt P) 7Ï (k₂ P) 7T (ks P)
de drie projectieve vlakkenbundels voorstellen, waarvan de assen
ki, k₂, k₃ drie kruisende lijnen zijn

Dat de m. pl. van dat snijpunt werkelijk een kubische kromme
is kan aldus bewezen worden.

Een willekeurig vlak u snijde de drie lijnen kt, k₂, k₃ resp. in
Ai, A₂, A₃, dus de drie vlakkenbundels volgens drie projectieve

stralenbundels, waarvan Ai, A₂, A₃ de toppen zijn. Nu brengen
de projectieve stralenbundels Ai en A» een kegelsnede voort, de
projectieve stralenbundels A> en A₃ een andere.

Deze beide kegelsneden zullen elkaar, behalve in A₂, nog in
drie punten Pi, P₂, Pa snijden. Hiervoor geldt
Ai Pk is toegevoegd aan A₂ Pk,
AaPk „ „ „ As Pk.

Aangezien in het vlak cc drie punten P liggen, zoodat de m. pl.
met een plat vlak drie punten gemeen heeft, is zij een kubische
ruimtekromme.

Nu is nog te bewijzen, dat de assen ki,k₂, k₃ koorden van de
kubische kromme zijn.

Op ki bepalen de andere twee vlakkenbundels twee collocale
projectieve puntenreeksen

IIun twee coïncidenties (S» = Sa) zijn punten van de kromme,
want door elk dier punten gaan overeenkomstige vlakken van
den tweeden en derden bundel en natuurlijk van den eersten
bundel. De as ki heeft dus twee punten met de kromme ge-
meen, is derhalve koorde.

§ 31. In duale tegenstelling met deze ontstaanswijze is de
kubische kromme ook op Ie bouwen uit drie projectieve punten-
reeksen, waarvan de dragers weer drie kruisende lijnen zijn. Als
men telkens drie aan elkaar toegevoegde punten door een vlak
verbindt, dan krijgt men het stelsel van de osculatievlakken, die
een kubische kromme omhullen.

(d. z. dragers van twee osculatievlakken, dualistisch aequivalent
van bisecanten of koorden).

§ 32. Een kubische ruimtekromme is bepaald door zes punten.
Zijn 1, 2, 3, 4, 5, G de gegeven punten, dan kan men de punten
1, 2, 3 verbinden door de lijnen k₃, ki, k₂ en deze beschouwen
als assen van drie vlakkenbundels. Deze zijn projectief, als men
drie overeenkomstige vlakken door 4, door 5, en door G laat gaan

ki (4, 5, G) - k₂ (4, 5, 6) tt k₃(4,5,6);
want door drie groepen is een projectiviteit bepaald. Dan gaat
dus de kubische kromme, die door deze drie projectieve vlakken-
bundels wordt voortgebracht, door de gegeven punten 1, 2, 3, 4,5, G.

De projecteerende quadratische kegel, die ontslaat, als men
één punt van de kromme met alle andere punten van de kromme
verbindt, wordt bepaald door 5 ribben.

De kegel, die uit 1 als top de kromme projecteert, heeft 5 be-
kende ribben 12, 13, 14, 15, 1G. De kegel, met top 2, die
door de punten 1, 3, 4, 5, G gaat, heeft met den eersten kegel,
behalve de ribbe 12, de ruimtekromme gemeen, welke door de
G gegeven punten kan gelegd worden.

§ 33. Zooals voor een kegelsnede, die door 5 punten bepaald
is, het theorema van Pasoal een betrekking geeft, die tusschen
G punten van de kegelsnede bestaat, zoo is voor de kubische
ruimtekromme een analoog theorema te vinden, dat een betrekking
tusschen 7 punten der kromme aanwijst.

Zijn 1, 2, 3, 4, 5, G, 7 de gegeven punten, dan liggen dezes
verbindingslijnen 71, 72, 73, 74, 75, 7G op een cjuadratischen
kegel met 7 als top.

Snijdt men dezen kegel door een vlak, dan worden hierop de
zes punten 1, 2, 3, 4, 5, G met 7 geprojecteerd in zes punten
1\', 2\', 3\', 4\', 5\', 6\' van een kegelsnede.

« = d\'2\',4\'5\')
(3 = (2\'3\', 5\'6\')
r = (3\' 4\', G\' 1\')
dan liggen <x, (3, y in één rechte.

Brengt men de noodige vlakken aan door liet. punt 7 en de
punten 1\', 2\', 3\', 4\', 5\', G\', dan zijn de doorsneden
(7 1 2, 7 4 5) = 7 «
(7 2 3, 7 5 G) == 7 (3
(7 3 4, 7 6 1) = 7 y
complanair. Dus geldt de volgende eigenschap (Cremona):

Beschouwt men zes punten van een kubische ruimtekromme
als hoekpunten van een zeshoek, dan zullen de overstaande zijden
van den zeshoek, verbonden met een 7^e punt, vlakken opleveren,
zoodat de drie snijlijnen van de overstaande vlakkenparen in
één vlak liggen.

De stelling van Cremona kan nog anders geformuleerd worden.
Op 7 a liggen de snijpunten (1 2) en (4 5)
* 7 (3 „ „ „ (2 3) _w (5 6)
, 7 Y . . » (3.4) „ (Gl)
Dan liggen de punten: 7, (1 2), (2 3), (3 4), (4 5), (5 G) in één
vlak, of, anders geschreven:

§ 34. Laat men nu de punten twee aan twee samenvallen,
dan worden de koorden raaklijnen.

1 = 2 = A = raakpunt van raaklijn a.
3 = 4 = B = „ „ „ b.
5 = G = C = „ „ „ c.
7 = D

Beschouwen wij nu het viervlak A B G D, beschreven in de
ruimtekromme. De raaklijn a door A snijdt het overslaande
zijvlak in A\'. Noem (d, A B G) = D\', dan zijn A\', B\', G\', D\',
toegevoegd aan A, B, C, D.

De onderlinge ligging van deze acht punten wordt door het
volgende schema aangegeven.

waarin elke vier punten van één kolom in één vlak gelegen zijn.
Het blijkt dus, dat het viervlak, gevormd door vier punten eener
kubische ruimtekromme, en het viervlak, gevormd door de snij-
punten hunner raaklijnen met de overstaande zijvlakken, in en
om elkaar beschreven zijn.

§ 35. Beschouwen we nu de osculatievlakken ao/3o_?0öo in
vier punten A, B, G, D van de kubische kromme.

Volgens de eigenschap van § 29 ligt D₀, het snijpunt der
osculatievlakken «₀, A>, ro van A, B, C, in het vlak (A B G).

Hieruit blykt, dat bij een kubische ruimtekromme elk inge-
schreven viervlak met het viervlak der overeenkomstige osculatie-
vlakken een Cf. van Moebius vormt.

§ 3G. Do configuratie van Moebius komt ook voor den dag
in het zoogenaamde nulstelsel, dat van statischen oorsprong is,
en in nauw verband staal met de theorie der lineaire complexen.

Uit de statica is bekend, dat een krachtenstelsel in de ruimte
in het algemeen teruggebracht kan worden tot. twee kruisende
krachten, terwijl de richting van de eene naar willekeur aan-
genomen kan worden en door elk gegeven punt kan gaan.

Verder ligt, als de richting van de eene kracht door een
gegeven punt gaat, die der andere kracht in een door dat punt

gegeven vlak, waarin dit punt ook zelf gelegen is, en omgekeerd:
als de eene kracht in één vlak blijft, zal de andere steeds door
een vast punt gaan, dat door dit vlak bepaald en daarin gelegen is.

Zijn a en b twee kruisende krachten, dan kan men volgens
de verbindingslijn der aangrijpingspunten twee gelijke cn tegen-
gestelde krachten aanbrengen en deze met a en b samenstellen,
waardoor twee andere kruisende krachten a en b\' verkregen
worden, die a en b kunnen vervangen.

Is P nu een vast punt van a, waardoor a\' steeds gaan zal,
dan zal b\' steeds liggen in het vlak - door b en P.

Blijft a steeds in een vlak dan gaat b\' steeds door een
punt P\', dat het snijpunt is van en b.

Zoo is er t. o. v. een systeem krachten een overeenkomst
(1, 1) tusschen de punten en vlakken van de ruimte.

Aan elk punt is een vlak involutorisch toegevoegd, aan elk
vlak een punt; aan elke lijn als richting van één der resultanten,
een andere lijn, die de richting van de andere resultante aanwijst.
Dit is een involutorische dualiteitsverwantschap of reciprociteit
in de ruimte, waarbij nog aan de bijzondere voorwaarde voldaan
wordt, dat het aan een punt toegevoegde vlak door dat punt
gaat, en het aan een vlak toegevoegd punt daarin ligt, en dit
heet een nulstelsel.

Het aan eeu vlak toegevoegd punt heet hier het nulpunt van
dat vlak, het aan een punt toegevoegd vlak het nul vlak van dat
punt. (Ook wel pool en poolvlak).

De elkaar kruisende rechten der resulteerende krachten zijn
toegevoegde lijnen of wederkeerige poollijnen: van de punten op
de ééne gaan de nulvlakken door de andere, en van de vlakken
door de ééne liggen de nulpunten op de andere.

Lijnen, die in het krachtenstelsel de assen zijn, t. o. waarvan
de som van de momenten der krachten gelijk aan nul is — die

lijnen dus, die een punt van de eene resultante met een punt
van de andere resultante verbinden, zijn aan zichzelf toegevoegd.

Is - een vlak, waarin een punt Q gelegen is, dan is ook liet
nulpunt P van tt in het nulvlak cp van Q gelegen; en aangezien
P in - en Q in (p zelf ligt, zullen P en Q liggen in de door-
snede van - en (p. Dus geldt de stelling

I. Als van twee elkaar snijdende vlakken het nulpunt van
liet ééne in hun doorsnede ligt, dan ligt daarin ook liet nulpunt
van het andere;

en als van twee punten het nulvlak van het ééne het andere
punt bevat, dan zal ook het nulvlak van het andere door liet
eerste punt gaan.

II. De nul vlakken van een aantal in één vlak gelegen punten
gaan door het nulpunt van dit vlak.

III. De nulpunten van een aantal door één punt gaande
vlakken liggen in één vlak, dat door dit punt gaat en zijn
nulvlak is.

IV. Alle rechte lijnen in de ruimte kunnen als wederkeerig
toegevoegde lijnen gepaard worden, en elk paar lijnen heeft de
eigenschap, dat de nulvlakken van alle punten van de ééne gaan
door de andere lijn, dus dat elk punt van de ééne tot nulvlak
heeft het vlak, dat door dit punt en de andere lijn gelegd kan
worden, en dat omgekeerd elk vlak door de ééne lijn zijn nul-
punt heelt in het snijpunt met de andere.

V. De verbindingslijn van twee punten heeft dus tot toege-
voegde lijn de doorsnede hunner nulvlakken.

VI. Van een aantal rechten, die in één vlak liggen, zullen
de toegevoegde lijnen elkaar snijden in één punt van dat vlak,
n.1. het nulpunt hiervan, en van een aantal door één punt ge-
trokken rechten, zullen de toegevoegde lijnen liggen in één door
dat punt gaand vlak, n.1. het nulvlak van dat punt.

§ 38. Een dergelijk systeem van punten en vlakken kan men
construeeren door uit te gaan van drie vlakken x, (3, y, die
elkaar in een punt M snijden. Neemt men in x als nulpunt aan
een willekeurig punt A en in (3 evenzoo het nulpunt B, en legt
men door A B M een vlak p, dan is dit het nulvlak van M. In
de doorsnede hiervan met y ligt C, het nulpunt van y, dat men
in deze rechte willekeurig kan aannemen.

Nu kan men voor elk ander punt D het bijbehöorend nulvlak
construeeren, en heeft men hierbij verschillende gevallen te
onderscheiden

a. Als het gegeven punt D, waarvan het nulvlak gezocht wordt,
ligt op de doorsnede van (3 en y, dus op de lijn (3 y, waarvan
de toegevoegde lijn B C is, dan is het vlak B G D het nulvlak
van D. Evenzoo als D op xy of * (3 ligt.

b. Als ü ligt in een der lijnen B C, C A, A B, dan is zijn nul-
vlak bepaald door D met resp. (3 y, y x, x [3.

c. Ligt D willekeurig, dan legt men door D en de drie lijnen
B C, G A, A B de vlakken DBG, DG A, D A B, die de lijnen
(3 y, yx, x(3 respectievelijk mogen snijden in A\', B\', G\', dan
zijn dit de nulpunten dier drie door 1) gaande vlakken (IV), dus
liggen (III) A\', B\', C\' met D in één vlak, dat het nulvlak van
D, dus het gezochte vlak £ is.

Aangezien D zeifin 2 ligt, waren twee der drie punten A\',B\',G\'
reeds voldoende geweest om 3 te bepalen. Uit het feit, dat dan

ook het derde in o ligt, blijkt, dat de twee tetraëders A\'B\'G\'M
en ABCD in en om elkaar beschreven zijn. Immers de eerste,
die begrensd wordt door x (3 y <5 is om den andoren beschreven,
omdat x, j3, 7, 5 resp. de punten A, B, G, D als hunne nulpunten
bevallen. Maar ook is hij in den anderen beschreven, omdat
A\'B\'G\'M de nulpunten der zijvlakken B G D, G A U, A B D,
A B G van den anderen tetraëder zijn.

Als van twee tetraëders A\' B\' C\' M en A B G D de hoekpunten
A\', B\', G\', M van den eenen in de zijvlakken B G D, G D A, DAB
ABG van den anderen liggen, en drie hoekpunten A, B, G van
den laatsten tetraëder in de zijvlakken 13\' C\' M, G\'MA\', MA\'B\'
van den eersten, dan ligt. ook het vierde hoekpunt 1) van den
tweeden in hel vierde zijvlak A\' B\' G\' van den eersten, en de
twee tetraëders zijn in en om elkaar besehreven.

d. liet nulvlak van D kan ook gevonden worden met behulp
van de vlakken die D met de lijnen (3 7, 7 x, x (3 verbinden.
Snijden deze vlakken de lijnen B G, G A, A B respectievelijk in
A" B" C", dan zijn dit de nulpunten der drie vlakken en het vlak
door A", B", G" en D zal het nulvlak <5 van D zijn.

Men merke echter op, dat aangezien de drie vlakken x (3 y het
punt gemeen hebben, zoodat de drie vlakken I) /3 7, D 7
D x j3 elkaar volgens do lijn D M snijden, de nulpunten A", B", G"
dezer vlakken ook in een rechte, de toegevoegde lijn van D M,
zullen liggen. Dus is door deze punten alleen het nulvlak van
D nog niet bepaald, maar wel door twee dier punten met D
samen.

Maar een punt D kan slechts één nulvlak <5 hebben, dus moeten
A", B", G" met A, B, G in één vlak liggen en, daar de eerste drie
punten resp. liggen op de lijnen B G, GA, A B, zullen zij niets
anders zijn dan de snijpunten der zijden van A A B G met hel

vlak A\' B\' C\', Avaaruit weer volgt, dat A" B" C" op één rechte
liggen, n.1. op de doorsnede van de vlakken ABC en A\' B\' G\'.

a. Als het vlak 3 door één der zes lijnen BC, C A, A B, [3y,
y x, x (3 gaat, dan ligt het nulpunt daar, waar het vlak door ,3 y,
y x, x (3, B G, GA, A B gesneden wordt.

b. Heeft het vlak 2 een willekeurige ligging, dan moge het de
lijnen (3 y, y x, x (3 snijden in de punten A\', B\', G\'. Van deze
drie in 3 gelegen punten zijn A\' B C, B\' G A, G\' A B de nul-
vlakken; hun snijpunt ligt ook in $ (II) en is het gezochte nul-
punt D van S.

Omdat 5 en deze drie vlakken elkaar in D snijden, zijn reeds
twee dezer vlakken met 5 voldoende, om ü te vinden. Ook
blijkt dadelijk, dat hier evenals boven twee in en om elkaar
beschreven tetraëders zijn ontstaan.

c. Nog op een andere wijze kan voor een gegeven vlak het
nulpunt gezocht worden. Als o de lijnen B G, GA, AB in de
punten A", B", G" snijdt, en men legt door deze punten en (3y,
y X, X [3 de vlakken A" (3 y, B" y x, C" x (3, dan zijn dit de nul-
vlakken van A", B", C" en deze zullen elkaar dus snijden volgens
een rechte, omdat A", B", G" op een rechte, n. 1. de doorsnede
van S met A B G, liggen. Elk dezer beide lijnen is dus toe-
gevoegd aan de andere, en omdat de laatste rechte in het vlak
3 ligt, moet het snijpunt van de eerste met het vlak iï het nul-
punt D van o zijn.

a. Aangezien volgens III de nulpunten van vlakken, die door
één punt gaan, met dit punt in één vlak liggen, waarvan dit

punt nulpunt is, en vlakken, die elkaar volgens evenwijdige lijnen
snijden zijn te beschouwen als gaande door een punt in het
oneindige, moeten dus de nulpunten dezer vlakken in één vlak
liggen, dat ook evenwijdig is met de evenwijdige snijlijnen, en
het in deze richting oneindig ver gelegen punt is nulpunt van
dit vlak.

b. Daar verder van vlakken, die door één lijn gaan, de nul-
punten ook op één lijn liggen (IV), moeten, ook als de eerste
rechte in het oneindige ligt, dus de vlakken onderling evenwijdig
zijn, de nulpunten der vlakken op één lijn liggen.

c. Wij beschouwen nu twee stelsels van vlakken, zoodanig
dat de vlakken van elk dier stelsels onderling evenwijdig, maar
niet met die van het andere stelsel evenwijdig zijn.

De rechte, waarin de nulpunten van liet eene stelsel liggen,
zij a; de rechte voor het nulpunt van het andere stelsel b.
Aangezien nu ook elke twee vlakken van verschillende stelsels
elkaar volgens evenwijdige lijnen snijden, moeten ook volgens (</)
de nulpunten der verschillende vlakken, en dus ook do twee
rechten a en b in één vlak liggen, dus elkaar snijden of even-
wijdig zijn.

Sneden a en b elkander echter in een punt G, dan zou dit
het gemeenschappelijk nulpunt van twee vlakken van verschillende
stelsels zijn. Dan zouden deze twee elkaar snijdende vlakken de
nulvlakken van één en hetzelfde punt G zijn, en dit is onmogelijk.

Derhalve moeten a en b onderling evenwijdig zijn, en daarmee
dus ook elke andere rechte, die de nulpunten van een derde
stelsel evenwijdige vlakken bevat. Dus geldt de stelling

VII. De nulpunten van drie of meer onderling evenwijdige
vlakken liggen op een rechte lijn, en de rechte lijnen, waarin de
nulpunten van twee en dus ook van meer stelsels evenwijdige
vlakken liggen, zijn alle onderling evenwijdig.

De gemeenschappelijke richting dezer evenwijdige lijnen noemen
wij de hoofdrichting van het systeem.

d. Omgekeerd: van twee punten A en B, die op een lijn
evenwijdig aan de hoofdrichting liggen, zijn de nulvlakken jk en /3
onderling evenwijdig. Want waren zij dit niet, dan zou men
door B een vlak (3\' kunnen leggen evenwijdig aan Het nul-
punt van ƒ3\' zou dan dat punt zijn, waarin ,(3\' dooi- een lijn
door A evenwijdig aan de hoofdrichting gesneden Avordt, dus
het punt B zelf. Dan zou dus B twee verschillende nulvlakken
f3 en (3\' hebben, hetgeen onmogelijk is.

e. Elk met de hoofdrichting evenwijdig vlak y heeft een nul-
punt in het oneindige. Want als A en B twee punten in y zijn,
die op een lijn evenwijdig aan de hoofdrichting liggen, dan zijn
de nulvlakken x eri (3 van A en B onderling evenwijdig; dus
zijn de lijnen a en b, waarin y door en (3 gesneden wordt,
evenwijdig.

Volgens 1 moet nu het nulpunt van y zoowel in a als in b
liggen, derhalve oneindig ver in de door deze evenwijdige lijnen
bepaalde richting. Dus geldt

VIII. Elk met de hoofdrichting evenwijdig vlak heelt een
oneindig ver gelegen nulpunt; en omgekeerd is hel nulvlak van
een punt in het oneindige met de hoofdrichting evenwijdig.

Men kan hierbij nog opmerken, dat alle vlakken, wier nulpunten
liggen in een vlak y evenwijdig aan de hoofdrichting, dit vlak
snijden volgens evenwijdige lijnen; want elk dezer vlakken moet
door het oneindig ver gelegen nulpunt van y gaan.

f. Is de richting gegeven, waarin een oneindig ver verwijderd
punt ligt, en moet het nulvlak van dit punt gevonden worden,
dan legge men drie vlakken (3, y evenwijdig aan deze richting
en bepale de nulpunten A, B, G daarvan; dan is ABC het
gezochte nulvlak.

Neemt men, zooals hierbij mogelijk is, x en (3 onderling even-
wijdig, clan wordt A B met de hoofdrichting evenwijdig; dus is
ABC een vlak evenwijdig met de hoofdrichting.

Evenals dus elk met de hoofdrichting evenwijdig vlak een
oneindig ver nulpunt heeft, zoo is ook omgekeerd het nulvlak
van een oneindig ver gelegen punt evenwijdig aan de hoofdrichting.

IX. Van twee of meer vlakken, die met eenzelfde rechte
evenwijdig zijn, liggen de nulpunten in een en hetzelfde vlak,
dat met deze rechte en met de hoofdrichting van het systeem
evenwijdig is.

X. Van een in de hoofdrichting oneindig ver gelegen punt M
is hot nulvlak eveneens oneindig ver; het heeft echter geen be-
paalde ligging.

Omgekeerd ligt van elk oneindig ver gelegen vlak [x het nul-
punt oneindig ver verwijderd in de hoofdrichting.

Het eerste deel van deze stelling blijkt daaruit, dat, als a
een willekeurig niet met de hoofdrichting evenwijdig vlak, en
A zijn nulpunt is, de lijn A M beschouwd kan worden als even-
wijdig met de hoofdrichting; dus het vlak gelegd door M evenwijdig
met is het nulvlak van AI.

ITet omgekeerde van deze stelling blijkt hieruit, dat, als <* een
met (jt, evenwijdig niet oneindig ver gelegen vlak en A zijn nul-
punt is, het nulpunt van het vlak (jl het snijpunt met een rechte
is, die door A evenwijdig aan de hoofdrichting gaat.

§ 41. Nu zullen wij het duaal verband tusschen aan elkaar
toegevoegde lijnen nader beschouwen. In VI is gebleken, dat
van een aantal in één vlak gelegen lijnen de toegevoegde lijnen
alle gaan door het nulpunt van dit vlak.

en A, B, C..... liggen op een rechte evenwijdig aan de hoofd-
richting (VII). Dus:

XI. Zijn een aantal lijnen evenwijdig aan een bepaald vlak,
dan worden de toegevoegde lijnen door éénzelfde rechte gesneden.
Deze rechte is evenwijdig aan de hoofdrichting en snijdt het
vlak in zijn nulpunt.

Is a\' de aan a toegevoegde lijn, en legt men door a en door
het oneindig ver gelegen punt A van a\' een vlak, dus een vlak
evenwijdig aan a\', dan is dit het nulvlak van A (IV) en even-
wijdig aan de hoofdrichting. Dus:

XII. Elk vlak, dat met een lijn en tegelijk met de aan haar
toegevoegde lijn evenwijdig loopt, is ook evenwijdig aan de hoofd-
richting.

XIII. Van elke rechte evenwijdig aan de hoofdrichting is de
toegevoegde rechte oneindig ver gelegen.

Want een vlak door zulk een rechte gelegd heeft, een oneindig
ver gelegen nulpunt.

§ 42. Lijnen, die met hunne toegevoegde lijnen samenvallen,
zullen wij dubbellijnen noemen.

Van een gegeven lijn a wordt de toegevoegde lijn gevonden,
door van twee vlakken « en (3 door a de nulpunten A en 13 te
zoeken. De lijn A B is dan de gezochte toegevoegde lijn. Als
nu het nulpunt A van een der beide vlakken x in de lijn a
zelf ligt, dan ligt volgens I ook hel nulpunt B van (3 — evenals
het nulpunt van elk ander vlak door a — in a. Dus valt dan
de lijn met de haar toegevoegde lijn samen.

XIV. Van elk vlak door een dubbellijn ligt liet nulpunt in
die dubbellijn, en een dubbellijn ligt in het nulvlak van elk
harer punten.

XV. Elke lijn in een vlak, door zijn nulpunt getrokken, is
dubbellijn; ook is elke lijn, die door een punt gaat en tevens
in zijn nulvlak gelegen is, dubbellijn.

XVI. Als twee dubbellijnen in een vlak liggen, dan is hun
snijpunt, dat ook oneindig ver kan zijn, het nulpunt van het vlak.

Immers volgens XIV moet dit nulpunt zoowel in de ééne als
in de andere dubbellijn liggen.

XVII. Alle in één vlak gelegen dubbellijnen gaan door één
punt en omgekeerd alle door één punt gaande dubbellijnen liggen
in één vlak.

Het systeem dubbellijnen vult dus de geheele ruimte, want
door elk punt van do ruimte gaan oneindig vele dubbellijnen,
die echter allo in één vlak liggen, en in elk vlak liggen oneindig
vele dubbellijnen, die alle door één punt gaan. Dit systeem
dubbellijnen vormt een lineairen complex. (Zie § M.)

Als a een lijn is, waarvan a\' de toegevoegde lijn is, en A, A\'
zijn twee op a resp. a\' aangenomen punten, dan heeft A tot
nulvlak A a (volgens IV), dus is A A\' een dubbellijn (XV). Dus:

Is nu l een dubbellijn en a een enkelvoudige lijn, die door /
gesneden wordt, dan moet van het vlak (l a), daar dit door / gaat,
liet nulpunt in l liggen (XIV). Ook moet het nulpunt van het
vlak {la), omdat het door a gaat, liggen in de toegevoegde lijn
o\' (IV); dus moet deze toegevoegde lijn ook 1 snijden, d. w. z.:

XIX. Een dubbellijn, die een enkelvoudige lijn snijdt, ontmoet
ook de toegevoegde lijn van deze laatste.

Zijn nu a, b twee enkelvoudige lijnen, a\\ b\' de aan haar toe-
gevoegde lijnen, en l een rechte, die a, b, a tegelijk snijdt, dan
is l, omdat ze a en a snijdt, een dubbellijn, en als zoodanig
moet ze, daar ze b ontmoet, ook b\' snijden. Dus:

XX. Heeft men twee lijnen en de aan haar toegevoegde lijnen,
dan zal elke transversaal over drie dezer lijnen ook de vierde
ontmoeten. Vier zulke lijnen liggen dus hyperboloïdisch.

§ 43. Om nu den samenhang van deze involutorische reci-
prociteit met stellingen uit de statica aan te toonen, dienen de
volgende beschouwingen:

Zijn x, /3, y drie vlakken, die elkaar in M snijden (§ 38), A, B
twee willekeurige punten in x, (3, en G een willekeurig punt op
de doorsnede der vlakken y en M A B, dan kan men zich twee
krachten denken langs x (3 en A B (langs twee toegevoegde lijnen
dus), die door [x (3] en [A B | zullen worden aangeduid.

Nu kan men de kracht [x /3] ontbinden volgens M A en x y
in twee andere krachten [MA] en [xy], want deze richtingen
liggen met x (3 in één vlak en snijden elkaar in M.

Hiermee zijn de oorspronkelijke twee krachten \\x /3| en [A B]
door drie vervangen: [xy~], [MA], [AB]. De beide laatste
hebben nu een resultante, die door A gaat en in het vlak MAB
gelegen is. Haar richting hangt af van de intensiteitsverhouding
der oorspronkelijk gegeven krachten [x /3] en [ A B|. Stel, dat
deze zoodanig is, dat AG de richting der resultante is, dan zijn
de oorspronkelijke krachten \\x /3] en [A B] teruggebracht tot
[x j ] en [A C]. Hieruit volgen deze stellingen:

a. Heeft men twee krachten, welker richtingen x (3, A 13 niet
in één vlak liggen, en een richting a y, die met de eene a (3 der

beide gegeven richtingen in een vlak x ligt, en dus met x ß
oen punt M gemeen heelt, dan is liet altijd mogelijk, de twee
krachten door twee andere te vervangen, waarvan de eene
de richting xy heelt. De richting van de tweede gaat dan door
het punt A, waarin het vlak x door de richting A B gesneden
wordt, en is in het vlak door M en AB gelegen.

b. Zijn van de vlakken a, /3, y de nulpunten A, B, G, en dus
A B de toegevoegde lijn van a /3, en A G van a y, dan is het
altijd mogelijk, volgens de richtingen x ß en A B twee krachten
in zulk een verhouding te laten werken, dat zij vervangen kunnen
worden door twee andere in de richtingen x y en A G.

Hebben nu de krachten | x /3] en [A B | een zoodanige onder-
linge verhouding, dan blijkt verder, dat:

c. Als van twee willekeurige met de gegeven krachten gelijk-
werkende krachten R en R\' de ééne in een gegeven vlak ^ ligt,
de andere door het nulpunt van dit vlak gaat.

Want als C\' en B\' twee willekeurige punten in xß en xy
zijn, dan kunnen \\x /3] en [A B] vervangen worden door twee
andere krachten Q en Q\', waarvan, als de ééne Q de richting
G\' B\' heeft en dus x ß in G\' snijdt, de andere Q\' in het. vlak
C\' A I) volgens («), dus in het nulvlak van G\' ligt.

Aangezien nu [x ß] en [A B] aequivalent zijn met [x 9 | en
[AG|, en xy door C\'B\' in B\' gesneden wordt, is Q\' om
dezelfde reden in het vlak B\'A G of hel nulvlak van B\'gelegen.

De kracht Q\' heeft dus lot richting de doorsnede der vlakken G\'AB
en B\'A G, d. i. de toegevoegde lijn van G\' B\' of van de richting van Q.

Laat nu van de twee krachten R en IV, die met \\x ß] en
[AB], dus ook met Q en Q\' aequivalent moeten zijn, de eene\'
R in een willekeurig gegeven vlak £ gelegen zijn, en dit vlak
de lijnen x ß en xy in G\' en B\' snijden, en R dus door de
richting G\' B\' van Q gesneden worden. Dan gaat volgens (</)

cle richting van R door het punt, waarin het vlak <5, dat R en Q
beide bevat, door Q\' gesneden wordt.

Daar echter Q\' de toegevoegde lijn van Q is, zal dit punt het
nulpunt van het vlak 5 zijn, hetgeen te bewijzen was.

d. Van twee krachten R en R\', die met [x /3] en [A B] of
met P en P\', zooals wij van nu af \\x (3] en [A B] zullen noemen,
aequivalent moeten zijn, kan de richting van de ééne in het
algemeen willekeurig genomen worden.

e. Van de richtingen van twee met P en P\' aequivalente krachten
R en R\' is de een de toegevoegde lijn van de andere in het
door P en P\' bepaalde nulstelsel. Want legt men door R twee
vlakken ^ en s, waarvan de nulpunten D en E zijn, dan moet
volgens (c) de kracht R\' zoowel door D als door E gaan; ü E
is echter de toegevoegde lijn van R.

f. dat omgekeerd, als a\' de toegevoegde lijn van u is, er altijd
twee volgens a en a\' gerichte krachten aan te geven zijn, die
met P en P\' aequivalent zijn.

(j. als R in een gegeven vlak ligt, R\' door het nulpunt van
dit vlak gaat en ook omgekeerd, als R door een gegeven punt
D gaat, R\' in het nulvlak van dit punt gelegen is.

Want aangezien R\' de toegevoegde lijn van R is, is het vlak
door D en R\' gelegd het nulvlak van D.

§ 44. Er zijn nu nog eenige betrekkingen te vinden tusschen
de statische en de geometrische verwantschap.

Dat van de richtingen der twee krachten R en R\', die met
P en P\' aequivalent zijn, de eene naar willekeur genomen kan
worden, geldt alleen in hel algemeene geval. De richtingen

evenwijdig aan de hoofdrichting maken hierop een uitzondering,
want als R daaraan evenwijdig was, zou R\' 00 ver liggen en
dus niet te construeeren zijn (XIII).

De statische beteekenis der hoofdrichting komt uit, als wij
bedenken, dat volgens XII de beide vlakken, die met P en P\',
respectievelijk met R en R\' evenwijdig loopen, evenwijdig aan
de hoofdrichting zijn; dit geldt dan ook van de doorsnede dier
vlakken.

Worden dus de vier krachten P, P\', R, R\' evenwijdig aan zich-
zelf naar één punt overgebracht, dan zal de doorsnede der vlakken
PP\' en R R\' ook met de hoofdrichting evenwijdig zijn. Dan
is echter, volgens een bekende stelling uit de statica, de resultante
van P en P\' dezelfde als de resultante van R en R\', en heeft
dus de doorsnede der vlakken PP\' en R R\' tot richting. Statisch
gesproken is dus de hoofdrichting die richting, waaraan de resul-
tante der krachten P en P\' of van twee daarmee aequivalente
krachten evenwijdig loopt, als deze krachten evenwijdig aan zich-
zelf naar één punt worden overgebracht.

Hieruit volgt nog op een andere wijze, dat het onmogelijk is,
R evenwijdig aan de hoofdrichting te nemen. Want als R deze
richting had, dan zouden R en R\', naar één punt overgebracht,
in dezelfde lijn evenwijdig aan de hoofdrichting vallen, en zouden
dan in hun oorspronkelijke!! stand óf tot één kracht teruggebracht
kunnen worden, óf onderling gelijk, evenwijdig en tegengesteld
zijn, dus een koppel vormen; geen van beide gevallen is mogelijk,
omdat P en P\' elkaar kruisen.

§ 45. Voor de richtingen, die twee krachten, aequivalent aan
twee gegeven kruisende krachten P en P\' kunnen hebben, zijn
in de tweede plaats uitgezonderd de dubbellijnen, d. w. z. de
lijnen, die P en P\' of twee andere krachten R en R\', die P en P\'

Vervangen kunnen, tegelijkertijd snijden (XVIII). Want zijn de
twee krachten S en S\' aequivalent met P en P\', dus ook met
Pi en R\', dan kunnen R, R\', — S teruggebracht worden tot één
enkele kracht, die gelijk is aan S\'. Maar dit is niet mogelijk,
als de richting van S R en R\' tegelijk snijdt, want de resultante
van R en — S kruist dan de kracht R\'.

De dubbellijnen hebben echter nog een andere statische eigen-
schap, n.1. dat t. o. v. elk dezer lijnen als as, de som der momenten
van P en P\' gelijk aan nul is. Want als s een dubbellijn is,
r een rechte, die s- snijdt, dan wordt volgens XIX ook de toe-
gevoegde lijn r\' door s gesneden.

Nu kunnen volgens § 43 ƒ. de krachten P en P\' vervangen
worden door twee krachten R en R\' langs r en r\'.

Aangezien de richtingen van R en R\' beide door s gesneden
worden, is voor s als as het moment van R en dat van R\' nul,
dus ook de som dezer momenten nul en dan ook de som der
momenten van de daarmee aequivalente krachten P en P\' gelijk
aan nul.

Onder alle in één vlak gelegen assen is dus voor diegene, die door
het nulpunt van dat vlak gaan, de som der momenten gelijk aan nul.

Evenzoo onder alle door één punt gaande assen is dit het geval
voor diegene, die in het nulvlak van dit punt gelegen zijn (XVII).

§ 4G. Als twee niet in één vlak gelegen krachten P en P\'
evenwijdig aan zichzelf naar één punt verplaatst, en dan tot één
kracht T samengesteld worden, dan ontstaat hierbij een koppel
(U, — U), dat tezamen met T dezelfde uitwerking zou hebben
als P en P\'. Legt men nu in hot vlak van (U, —U) door het
punt D, w\'aarin dit vlak door T gesneden wordt, een willekeurige
rechte, dan zal deze de krachten T, U, — U tegelijkertijd
snijden. Ten opzichte van zulk een rechte is dus de som der

momenten van T, U en —U nul, düs ook de som der momenten van
P en P\'. Daarom is (§ 45) deze rechte een dubbellijn en het punt D
het nulpunt van het vlak van het koppel. Hoe ook de krachten
P en P\' in een kracht en een koppel worden omgezet, altijd
zal deze kracht het vlak van het koppel in zijn nulpunt snijden.
Ook is de richting van de eerste kracht altijd evenwijdig aan de
hoofdrichting, want als T, U en — U naar één punt verplaatst
worden, dan zullen U en — U elkaar ophollen en T blijft als
resultante over (§ 44).

Een koppel kan men niet alleen in zijn vlak willekeurig ver-
plaatsen, maar ook naar elk ander daarmee evenwijdig vlak
overbrengen. Doet men dit met het koppel U, — U, dan zal
ook dit nieuwe vlak door T in zijn nulpunt gesneden worden.
Hiermee komt overeen de stelling VII, dat de nulpunten van
evenwijdige vlakken op een rechte evenwijdig aan do hoofd-
richting liggen.

Ook de stelling XX kan aldus statisch geïnterpreteerd worden.
Als twee krachten aequivalent zijn met twee andere, of als vier
krachten met elkaar in evenwicht zijn, dan zal elke rechte, die
drie dezer richtingen snijdt, ook de vierde ontmoeten.

Dit is gemakkelijk te bewijzen met behulp der momentenstelling;
want t. o. v. een as, die de richtingen van drie krachten snijdt,
is het moment van elke dezer krachten nul. Daar nu de vier
krachten in evenwicht zijn, en dus de som hunner momenten
t. o. v. elke as nul is, moet ook het moment van de vierde t. o. v.
die as nul zijn. En dit is alleen mogelijk, als deze as ook de
richting van de vierde kracht snijdt.

•) Het eerst is liet nulsystcem onderzocht door Giorgini (Memorie dclla
Societa Ualiana dclla Scienxe Bd. 20, 1S27). Toen door Moebius in 1833
en later nog door von Staudt (Geometrie der Lage) in 1847,

elk punt in het toegevoegde vlak ligt, — zooals dit in § 36 werd
beschouwd — hangt ook nauw samen met de theorie der lineaire
stralencomplexen.

Het aantal lijnen in de ruimte is 00\'. Bestaat er nu een
lineaire betrekking, waaraan de lijncoördinaten moeten voldoen,
dan heeft men een lineairen complex, bestaande uit OO³ stralen.

In het nulstelsel nu is elke straal van den door een punt en
zijn nulvlak bepaalden stralenbundel aan zichzelf toegevoegd.
Want, om van zulk een lijn de toegevoegde lijn te vinden, zoeken
wij van twee harer punten de nulvlakken, en bepalen hiervan
de snijlijn. Het nulvlak van het nulpunt is het gegeven vlak
zelf. Aangezien dit door den bedoelden straal gaat, zal het
nulvlak van elk ander punt in dien straal ook door den straal
moeten gaan, en is deze dus dubbellijn (nulstraal). (Vergelijk § 42.)

Ofschoon er CD³ dergelijke stralenbundels zijn, bevatten zij
tezamen toch niet OO¹ maar OO³ stralen, omdat voor elk punt
van een straal het nulvlak door dezen straal gaat, zoodat elke
straal tot 00¹ bundels behoort. De OO³ nulstralen van het
nulstelsel vormen een complex, die van den eersten graad is,
omdat een willekeurige stralenbundel (X, yj) één complexstraal
beval, n.1. de snijlijn van het vlak met het nulvlak £ van X,
dat immers door X gaat. Daar ook vj door X gaat, moet, volgens
de eigenschap der correlatie, het aan v\\ toegevoegde punt Y
liggen in en als nulpunt van y ook in vj, dus op die hier
dus weer blijkt samen te vallen met X Y.
Voor den lineairen complex geldt de stelling:
Door elk punt in de ruimte gaan OO¹ complexstraleïi, die
in een plat vlak liggen, dus een waaier vormen. Dil vlak is
het nulvlak van dat punt. En:

In elk vlak liggen OO¹ complexstralen, die een waaier vormen.
De waaiertop is het nulpunt van het vlak.

Dit komt overeen met de stelling XVII van Moebiüs (§ 42).
Ook aldus kan deze stelling worden uitgedrukt:

De complexkegel van den lineairen complex der nulstralen in
een punt X is de stralenbundel (X, $) in het nulvlak £ van X.

De complexkromme van een vlak £ is de stralenbundel in dit
vlak om haar nulpunt X.

§ 48. Het verband tusschen wederkeerige poollijnen hebben
wij reeds in § 30 gevonden. De poollijnen van de lijnen in liet
oneindig ver gelegen vlak lieeten middellijnen van het nulsysteem.
Zij zijn onderling evenwijdig, omdat zij alle gaan door het nul-
punt van het vlak in het oneindige.

De nulvlakken van de punten op een middellijn zijn onderling
evenwijdig, want zij gaan alle door de oneindig ver gelegen we-
derkeerige poollijn.

De middellijn, waarop de nulvlakken harer punten normaal
zijn heet as of hoofdas van het nulsysteem (hetgeen (§ 40 Vil)
door Moebius de hoofdrichting is genoemd).

Elke nulstraal van het nulsysteem, die één van twee poollijnen
snijdt, snijdt ook de andere (XIX).

Deze stelling is ook nog anders te bewijzen, dan in 8 42
gedaan is. Alle stralen n.1., die rusten op één der poollijnen d,
vormen een specialen complex, die d tot as heeft.

De eomplexenbundel, die door dezen specialen en den gegeven
complex bepaald wordt, bevat nog een tweeden specialen complex;
zijn as is de toegevoegde poollijn </\'. Immers alle stralen,
die de eerste twee complexen gemeen hebben — d.z. dus de
CO² stralen der lineaire basiscongruentie, volgens welke ze elkaar
snijden — moeten ook behooren tot de andere complexen van
den bundel, dus ook lot den tweeden specialen complex, waaruit
volgt, dat elke straal, die d snijdt, ook op d\' moet rusten,

Elke lijn, die op twee poollijnen rust, is nulstraal of straal
van den complex, want zij behoort tot bovengenoemde congruentie,
die een deel van den complex uitmaakt (X VIII).

Aangezien de transversalen over drie kruisende lijnen een
regelschaar vormen, zal nu elk der OO¹ stralen, die twee toege-
voegde poollijnen en daarbij nog één van een ander paar toege-
voegde poollijnen snijdt, ook de andere van dit paar snijden.

Derhalve zijn twee paren poollijnen van het nulsysteem altijd
vier rechten van een regelschaar, omdat zij oneindig vele trans-
versalen hebben. Deze transversalen zijn nulstralen of complex-
stralen. Dus de toegevoegde regelschaar bestaat geheel uit
nulstralen. Verder heeft elke andere rechte van de eersteregel-
schaar haar toegevoegde poollijn ook in die regelschaar, omdat
deze poollijn de nulstralen ook moet snijden. Daar de poollijnen
twee aan twee aan elkaar toegevoegd zijn, wordt de eerste regel-
schaar door de paren van poollijnen involutorisch. De twee
dubbelstralen dezer involutie zijn nulstralen, omdat deze lijnen
zelf zijn te beschouwen als transversal over twee samengevallen
poollijnen. Beide regelScharen zijn door drie stralen van de
tweede schaar (die der nulstralen) bepaald, dus:

De regelschaar, die door drie nulstralen van een nulsysteem
wordt bepaald, bestaat uit enkel nulstralen en behoort dus
geheel tot den complex.

De verbonden regelschaar bestaat uit een involutie van toege-
voegde poollijnen, en bevat twee nulstralen, die de coïncidenties
der involutie zijn.

Zooals boven reeds gebleken is, zijn elke twee poollijnen de
richtlijnen van een lineaire congruentie (1, 1) (schoofgraad 1 en
veldgraad 1), die geheel uit nulstralen bestaat en dus geheel tot
den complex behoort.

lijnen in de ruimte zijn, en men bij elke lijn de toegevoegde
poollijn kan vinden.

Daarentegen zijn er OO^e regelscharen van nulstralen, want
van de OO³ nulstralen van het nulsysteem (of OO³ stralen van
den complex) kan men op OO⁹ wijzen drie stralen kiezen, om
de regelschaar te bepalen. Elke regelschaar kan echter op OO³wijzen uit drie harer rechten worden afgeleid, omdat de drie
noodige transversalen op OO³ wijzen zijn te kiezen.

§ 1\'J. liet geheele nulstelsel, dus ook de lineaire complex, is
volkomen bepaald door drie punten met hunne nulvlakken, mits
er nog een betrekking bestaat tusschen deze gegevens, 11.1. dat
in het vlak der drie punten A, B, Cl ook gelegen is het snijpunt
hunner nulvlakken x, /3, y.

Zooals ook in § 38 gebleken is, vormen vier willekeurige punten
A, B, G, D en hunne nulvlakken x, /3, y, J twee tetraëders T en
T\', die in en om elkaar beschreven zijn.

Worden de vlakken B G D, G DA, DA B, A B C aangeduid
door x\\ /3\', y\', è\' en hunne nulpunten /3 y 3, ylx, l x /3, x (3 y
door A\', B\', C\', D\', dan liggen B, G, D, A\', in *\' = BCD,
B\', G\', D\', A in a = B\' G\' D\'. Dus het vlakkenpaar beval allo
acht hoekpunten der beide tetraëders. Deze liggen evenzoo in elk
der paren /3, /3\'; y, y\'; o, è\'. l)e acht hoekpunten der beide tetraë-
ders zijn dus de acht basispunten van een net van quadratische
oppervlakken of acht geassocieerde punten; de acht vlakken acht
geassocieerde vlakken, dus de raakvlakken aan een tangentiaal net.

De eerste drie punten zijn telkens de hoekpunten van den
tetraëder, waartoe het vlak behoort, het vierde is zijn nulpunt.

Twee hoekpunten, zooals A en A\', die tot verschillende
tetraëders behooren, terwijl het eene tegenover het nulvlak van
het andere is gelegen, zullen wij homologe hoekpunten noemen.
Evenzoo hunne nulvlakken x en x\' homologe zijvlakken.

§ 50. Bij een tetraëder nu, zooals A B C D, geldt de stelling
van von Staudt: \')

Het viertal punten, waarin een willekeurige rechte de zijvlakken
van een tetraëder snijdt, is steeds projectief met het vierial vlakken,
waardoor de overstaande hoekpunten uit dezelfde rechte axiaal
geprojecteerd worden.

Bewijs: Als de rechte g de vlakken x\' = B G D, (3\', 7\', <$\'
in eB, 33, & snijdt en dit viertal punten uil D op 3\' in de
punten 3\', geprojecteerd wordt, dan liggen

Uit het vlakkenviertal g (A, B, G, D) ontstaat door snijding met b\'
het stralenviertal (A, B, G, <$\'); want D «H ligt in g D. Dit
stralenviertal snijdt BG in de punten ^D"BG<3\', aangezien ^D"
op A^D ligt. Dus is:

§ 51. Keeren we nu terug tot de beide tetraëders T en T\'
van § 49, en nemen aan, dat g een straal .van het nulsysteem

(of complexstraal) is, dan zijn g («\', /3\\ y\', 3\') de nulpunten van
g (A\', B\', G\', D\'), want g is dubbele poollijn en A\', B\', C\', D\' zijn
de nulpunten van x\', /S\', y\', Üus, ingevolge liet correlatief
verband, is ook:

De hoekpunten der beide tetraëders T en T\' worden dus uit
de nulstralen van het nulsysteem of de stralen van den lineairen
complex door projectieve vlakkenviertallen geprojecteerd, waarbij
homologe vlakken der beide viertallen door homologe punten gaan.

Duaal hiertegenover staat: De vlakken der beide tetraëders
snijden eenzelfden complexstraal in projectieve puntenviertallen,
waarbij evenzoo homologe punten in homologe vlakken liggen.

Alle vier viertallen, die zich bij een nulstraal of complexstraal
voordoen, zijn projectief.

Nu is echter de volledige meetkundige plaats der stralen, waarop
de beide tetraëders T en T\' met hunne vlakken projectieve pun-
tenviertallen insnijden en die tevens volgens vo.\\ Staudt\'s stelling
door de hoekpunten dier tetraëders projectieve vlakkenviertallen
zenden, een complex van den vierden graad.

Immers in een plat vlak omhullen alle stralen, die door een
in dat vlak gelegen volledige vierzijde gesneden worden in een
puntenviertal, dat met een gegeven puntenviertal projectief is,
een kegelsnede.

Zoo ontstaat in een stralenbundel (P, II), waarvan het vlak II
de beide tetraëders in de vierzijden abcd en a\' b\' c d\' snijdt,
een verwantschap |2, 21, waarin twee stralen x en x\' aan elkaar
zijn toegevoegd, als men heeft

verwantschap vier coïncidenties; dus vier stralen van den stralen-
bundel (P, n) behooren lot den complex, die daarom van den
vierden graad is.

Tot dezen complex van den vierden graad behoort in ons
geval de lineaire complex der nulstralen van liet nulsysleem.

§ 52. Een rechte lijn op een oppervlak dat behoort lot
een net quadratische oppervlakken, wordt door een ander opper-
vlak van dit net gesneden in twee punten, die liggen op alle
oppervlakken van den door deze twee bepaalden bundel van
het net. De rechte wordt dus door alle oppervlakken van het
net gesneden in OO¹ puntenparen, m. a. w. in een involutie, die
een bundel van het net, welke f niet bevat, op die rechte
insnijdt. Bijgevolg wordt elke rechte u op een oppervlak van

vlakkenparen x,x\'; (3,(3\'; y, y\'; 3die immers tot hel net be-
hooren, in vier puntenparen van een involutie gesneden. Dus is

u (x, (3, y, 7T u (x\', (3\', y\', 3\')
d. w. z. De kubische complex der rechten op de oppervlakken
van het net is het overblijvende deel van den boven bedoelden
complex van den vierden graad.

En aangezien deze in zichzelf duaal is, bestaat de kubische
complex tevens uit de rechten op de oppervlakken van het
langentiaal net (x, (3......<$\').

Tusschen het net van quadratische oppervlakken die dooi-
de acht hoekpunten van twee tetraëders van Moebius gaan, en
het tangentiaal net der oppervlakken (p, die hunne acht zijvlakken
aanraken, bestaat dus de betrekking, dat elke rechte op een
oppervlak van het eene systeem ook behoort tot een oppervlak
van het andere. M. a. w.:

§ 53. Tot de beide systemen der oppervlakken / en cp blijken
drie eenvlakkige hyperboloïden te behooren.

A B en <x (3 = C\' D\', CD en = A\' B\' zijn twee paren
toegevoegde poollijnen van het nulsysteem; dus behooren de twee
homologe paren overstaande ribben A B, CD; A\'B\', C\'D\' van
T en T\' tot een regelschaar. Het oppervlak, dat deze regelschaar
draagt, gaat door alle acht hoekpunten en raakt alle acht
zijvlakken aan. De andere regelschaar bestaat dus uit nulstralen
(§ 48). De door A getrokken rechte dezer regelschaar moet in
x (= B\' C\' D\') liggen en het snijpunt B\' van A\' B\' met x bevatten,
dus in het vlak (3\' (A C D) vallen.

Dus behooren tot deze tweede regelschaar do rechten
AB\', BA\', CD\', DC\',
die ook aangeduid kunnen worden door:
x(3\', (3x\', yiï\', 2/.

De drie bedoelde hyperboloïden bevatten in hunne beide regel-
scharen de volgende rechten:

(lï,) AB, CD, A\'B\', CD\'; AB\', BA\', GD\', DC\';
(II,) AC, BD, A\'C, B\'D\'; AG\', GA\', BD\', DB\';
(II_:1) AD, BC, A\'D\', B\'C; AD\', DA\', BG\', GB\'.

8 54. Aangezien do vierzijde ABA\'B\' op ITi ligt, zijn hare
diagonalen AA\', BB\' wederkeerige poollijnen I. o. v. IJi; CC,
D D\' vorkeeren in hetzelfde geval.

Wij beschouwen nu de transversalen 7, q\' over de vier verbin-
dingslijnen (i = A A\', b = B B\', c = G G\', d = D D\' van homologe
hoekpunten der beide tetraëders.

De poolvlakken der vier punten q(abcd) t. o. v. Iïi gaan
door />, a, d, c; want < 1 en b zijn wederkeerige poollijnen, d.w.z.
het poolvlak van punt (qa) gaal door b, enz.

der punten q(ab c d) gaan door één lijn, die de wederkeerige
poollijn van q is. Deze is dus de andere transversaal q\' over
a, b, c, d.

De twee transversalen zijn dus gemeenschappelijke poollijnen
voor alle oppervlakken ; en $ van bovengenoemd net en tan-
gen! iaal net van quadratische oppervlakken. Zij verdeelen dus
de afstandan A A\', B B\', G C\', D D\' harmonisch.

Zij ontmoeten echter ook de vier snijlijnen ai = x x\\ bi = ß ß\',
ci=yy\\ di = l en scheiden de vlakkenparen xx\', enz.
harmonisch.

Want aangezien deze vlakkenparen tot het net der / behooren,
moeten de poolvlakken van een willekeurig punt van die
elkaar immers volgens q snijden resp. door ai, 61, ci, d_x gaan, dus
worden deze vier rechten door q en q gesneden. Hieruit blijkt,
dat voor de tetraëders ABGD, A\' B\' G\'D\' van Moebius de
verbindingslijnen der homologe hoekpunten A, A\'; B, B\'; C, G\';
D, D\' en de doorsneden der homologe zijvlakken x,x\'; ß, ß
7\', 7\'; 0\' acliL rechten zijn, die een gemeenschappelijk paar
transversalen hebben. \')

Uit de acht geassocieerde punten kunnen vier paren tetraëders
van Moeiiius gevormd worden.

■) Dit is door Schröter bewezen in zijn verhandeling „Uebcr einr lïmtm-
lairve vier/er Ordnung und erater Species." Journal von Crelle 93, bl. 1-1-5.

Zie ook de „Inlroduxione alla teoria dello spazto rigalo" van caporali
en del Pezzo (N^u. 4G).

bestaat. Door hunne zijvlakken worden zij aldus aangeduid:
x\' (3\' y\' <5\', x (3 y
(3 x S\' y, f3\' x\' 3 y\\
y x l\' (3\', y\' x\' 2 (3;
$ x y\' f3\', ei\' x\' y (3.

Dat bijv. het .tweede paar uit twee tetraëders van Moebius
bestaat, blijkt aldus: In de zijvlakken j3,x,ê\',<y\' van den oenen
liggen de hoekpunten A\', B\', C, D van den anderen, en in de
zijvlakken (3\', x\', y van dezen laatsten liggen de hoekpunten
A, B, G\', D\' van den eersten.

Men kan dus eenvoudig de homologe letters twee aan twee
van rol lal en verwisselen.

§ 55. Neuberg zoekt de betrekkingen tusschen de tetraëders
van Moebius Ai A₂ A₃ A4 en B1B2B3B4, waarvan de hoekpunten
op vier gegeven rechten gelegen zijn. Wij noemen de tetraëders
A en lï.

Moebius heeft in zijn „Bary centrische Kalkiil" bewezen, dat de
acht voorwaarden, die in de definitie zijn opgesloten, teruggebracht
kunnen worden tot zeven. Dit is in § 38 reeds gebleken.

Gemakkelijker kan dit echter worden aangetoond met behulp
van de theorie der transversalen. Stel, dat de vier punten
Bi, B₂, Ba, Bi resp. gelegen zijn in de zijvlakken A₂ A₃ Aj, A₃ A4 Ai,
Ai Ai A₂, Ai A₂ A3 van een tetraëder A. Opdat hel vlak Bi B₂ Bs
door Ai zal gaan, is het noodzakelijk en voldoende, dat. de lijnen
A1B1, A4B2, A4B3 resp. de zijden A₂ As, A₃ Ai, Ai A₂ in drie
punten Mi,M₂,M₃ van een rechte snijden.

Mi As \' Mo Ai \' Ms A₂Zoo bestaan er nog drie vergelijkingen, die uitdrukken, dat de
vlakken B2B3B4, B₃BiBi, Bi Bi B₂ gaan door Ai,A₂, A₃.

Maar deze vier betrekkingen (1) zijn niet onafhankelijk van
elkaar, want voor elk zijvlak van tetraëder A geldt een betrekking
als de volgende, waar N₂, N^T3, Mi de punten zijn waarin A₃Bi„

A₃ Bi, Ai Bi resp. de zijden A₃ A₄, A₄ A₂, A₂ A₃ snijden
Mi A₂ N₂ A₃ N₃ A j ₌ _ | /gN

En het product der vier vergelijkingen van den vorm (2) is gelijk
aan het product der vier vergelijkingen (1). Dus slechts drie
vergelijkingen (1) zijn onafhankelijk van elkaar.

§ 50. Om twee tetraëders van Moehius te construeeren, kan
men den eersten A willekeurig aannemen, en in de twee zijvlakken
A₂ As Ai, Ai Ai A₂ de hoekpunten Bi, B₃ van den tweeden
tetraëder li.

Nu moet B₂ tegelijkertijd in de vlakken A₄ A_t A₃ en A₄ Bi 13₃liggen, dus op de doorsnede A._tM₂ van deze twee vlakken; evenzoo
B₄ op de snijlijn A₂ R der vlakken A_x A₂ A_a en A₂ Bi B₃.

B₂ kan men op A₄ M₂ nog willekeurig kiezen, dan is B₄ bepaald
als het snijpunt van A» R en het vlak A₃ Bi B₂. Inderdaad volgt
uit de constructie, dat de tetraëder BiB₂B₃B₄ in A is beschreven,
terwijl de drie zijvlakken Bi B₂ B₃₎ R, Bi B₃, B₄ Bi B,» resp. door
Ai, Ag, A₃ gaan; dus, volgens het theorema van §55, gaat ook
liet vierde zijvlak B₄ B₂ B₃ door Ai.

§ 57. Zijn de tetraëder A en de punten Bi en B₃ vast, dan
zal de ribbe B₄ B» een hyperboloïde beschrijven, want deze lijn
beweegt zich, steunende op vier kruisende lijnen A₄ M₂, A₂ R,
AsBi, Ai B_a, waarop eveneens rusten de lijnen A» A₄, At A»,
Bi Bs. Deze allo zijn dus lijnen van dezelfde hyperboloïde. Zoo
geven twee tetraëders van Moebius aanleiding tot drie hyper-
boloïden; van de zes ribben van B kan men drie maal een paar
overslaande ribben kiezen.

Deze hyperboloïden hebben dan tot beschrijvende lijnen van
het ééne stelsel twee homologe paren overstaande ribben, b. v.
Ao A₄, Ai A₃, B₂ B₄, Bi B₃ en tot beschrijvende lijnen van het

andere stelsel de lijnen, die de niet-homologe letraëderhoekpimten
verbinden : Ai B₂, A₂ B_t, A₃ Bi, Ai B₃. De lijnen A₄ ]\\I₂ en A₂ R,
als meetkundige plaatsen der hoekpunten B₂ en B4 beschouwd,
dragen dus projectieve puntenreeksen. \')

§ 58. Van twee tetraëders van Moebius kan men niet twee
homologe zijvlakken willekeurig aannemen. Want als Ai A₂ A₃,
Bi Bo B₃ gegeven zijn, moeten de vlakken Ai A₂ B₃, A₂ A₃ Bi,
A₃ Ai B₂ en Bi B₂ B₃ door hetzelfde punt Ai gaan. Zoo ook
moeten de vlakken Bi B₂ A₃, B₂ B₃ Ai, B₃ Bi A₂ en Ai A₂ A₃elkaar in hetzelfde punt B._t snijden. Volgens het voorgaande zijn
deze twee voorwaarden terug te brengen tot één.

De stelling van § 55 is nu nis volgt te interpreteeren als een
eigenschap analoog aan die van homologe driehoeken.

Als twee driehoeken Ai A₂ A₃ en Bi B₂ B₃ — niet in eenzelfde
vink — zoodanig gelegen zijn, dat de vlakken Ai A₂ B₃, A₂ A₃ Bi,
As Ai B₂ door een hoekpunt van den tweeden en een zijde van den
eersten driehoek, elkaar snijden in een punt A4 van het vlak Bi B₂ B₃,
dan zullen ook de vlakken Bi B₂ A₃, B₂ B₃ Ai, B» Bi A₂, door een
hoekpunt van den eersten en een zijde van den tweeden drie-
hoek, elkaar snijden in een punt B₄ van het vlak Ai A₂ A₃.

In dezen vorm geeft zij aanleiding tot een involutie. Immers
volgens onderstelling gaan de snijlijnen van het vlak Bi B₂ B₃ met
Ai Ao B₃, A₂A₃Bi, A₃AiB₂ door eenzelfde punt A4. De zijden
en diagonalen van de vierzijde Bi B_> B_s Ai snijden de doorsnede
der vlakken Ai A₂ A₃, Bi B₂ B₃ in drie paren Mi, Pi; M,>, P₂; M₃, P₃van een involutie. Mi, M₂, M₃ liggen n. 1. op de zijden van
driehoek Ai A₂ A₃ en Pi, P₂, P₃ zijn de punten, waarin de door-
snede der vlakken Ai A₂ A₃. B, B₂ B₃ gesneden wordt dooi\' de

\') Deze hyperboloïden zijn door Steiner aangegeven in zijne „Systematische
Entwickelungen" § 58.

lijnen, die B_t met de hoekpunten van driehoek Ai A₂A₃ verbinden.
Dus Mi,Pi; M₂, P2; Ma, P3 zijn puntenparen van een involutie.
De driehoeken Ai A₂ A₃ en Bi B₂ B₃ zouden involulief genoemd
kunnen worden.

Wij kunnen nu de tetraëders A en IJ aldus beschouwen:
De hoekpunten bepalen twee vlakke vierzijden AiA₂A₃B,_ten Bi B₂ B₃ A.i, waarvan de zijden twee aan twee elkaar snijden
in punten op eenzelfde rechte.

En Ma, M», Pi, Mi, P₂, Pa liggen op één lijn, die de doorsnede
is der vlakken Ai A₂ A₃ en Bi B₂ B₃.

De driehoeken Ai A₂ A₃ en BiB₂B₃ blijven involulief, als men
een hunner laat draaien om do doorsnede hunner vlakken.

Als do vijf hoekpunten Ai, A₂, A₃, Bi, Ba van twee tetraëders
van Mokdius gegeven zijn, dan bewegen zich de punten B_t, A₄ langs
gegeven rechten, en B₂ beschrijft een hyperboloïdc; want B₍ is
een willekeurig punt van de doorsnede A₂ R der vlakken Ai A₂ Aa
en Ao Bi Ba; en Ai ligt op de doorsnede der vlakken Ba Ai A₂en Bi A₂ A₃.

De rechte B₂ Bi is beschrijvende lijn van de hyperboloïde, die
bepaald is door de rechten A» R, Ai B₃, A₃ Bi (of door Ai A₃,
Bi Ba, Ao A₄ zie § 57).

§ 59. Van twee tetraëders van Moebius kan men ook niet
twee triëders Ai en Bi willekeurig aannemen, zooals gemak-
kelijk blijkt.

De ribben van een der triëders moeten de overeenkomstige
vlakken van den anderen snijden in drie punten, welker vlak
door den top van den laatsten triëder gaat. Als hieraan voldaan
is door de ribben van den triëder Ai, dan zullen volgens § 55
ook de ribben van Bi daaraan voldoen.

§ GO. Gaan wij nu over tot het probleem, om op vier gegeven
rechten nii, ?n₂₎ «Js, MU vier puntenparen (Ai, Bi), (A₂, B₂), (A₃, B₃),
(Ai, B₄) te vinden, die hoekpunten van twee tetraëders van
Moebius zijn.

In § 54 hebben wij gevonden, dat bij twee tetraëders van
Moebius Ai A₂ A₃ A₄ en Bi B₂ B₃ B4 de verbindingslijnen van homo-
loge hoekpunten Ai Bi, A₂ B», A₃ B₃, A.i Bi harmonisch verdeeld
worden door de twee transversalen t, t\' over die vier rechten,
waarvan wij de steunpunten noemen Ci, C₂, C₃, Ci en Di, D₂, D₃, I)|.

(Ai B, C, Di) = (A₂ B₂ G, D₂) = (A₃ B^ G₃ D_a) = (A, B._t C, D.,) = - 1.

Wij zoeken dus eerst de twee rechten t en t\', die op de vier
gegeven rechten Wi, ?«2, m₃, m.i rusten.

Elk der rechten Ci C₂ en Dj D₂ stelt reeds een oplossing van
het probleem voor. Men kan b.v. do punten CiC₂C₃Ci be-
schouwen als de hoekpunten van twee tetraëders, die samengevallen
zijn, aangezien de richtingen der zijvlakken toch onbepaald zijn.

Andere oplossingen leveren de volgende paren tetraëders:
GiC₂D₃D₄ en D, D₂G₃C_i;G, C₃ D₂ D.i en D, D₃ C₂ G,;
GiGiD₂D₃ en DiD₄G₂C₃.

Als vier punten der rechten mi, m₂, w₃, mi in één vlak
zullen liggen, dan moet er tusschen hun coördinaten een be-
trekking bestaan, die lineair is in de coördinaten van elk der
punten, want drie van deze punten bepalen ondubbelzinnig het
vierde.

Men kan nu een punt op mi vastleggen, door de verhouding
Xi van de afstanden tot Ci en D_t als fundamentaalpunten;
evenzoo een punt op m_z t. o. v. C₂ en D₂, enz.

Zijn aldus xi,x₂, x₃, x₄ de coördinaten der hoekpunten At,A₂,
As, A._t van den eersten tetraëder, dan zijn wegens de genoemde
harmonische verdeeling de coördinaten der hoekpunten Bi, B₂, B₃, Bi
van den tweeden tetraëder — xi, — x₂, — x₃, — x.j.

Zullen nu de puntenviertallen Ai, A₂, A₃, B._x; A₂,A₈,A₄,Bi;
As, Ai, Ai, B₂; A.„ Ai, A₂, B₃ in één vlak liggen, dan moet voldaan
worden aan vier betrekkingen, die echter tot drie kunnen worden
teruggebracht. Dus zijn alleen de verhoudingen der onbekenden
xi,x₂,x₃, x.! bepaald. Hieruit volgt:

Op vier gegeven rechten kan men op OO vele manieren de
hoekpunten van twee tetraëders van Moeuius aannemen. Als
deze punten zich verplaatsen, teekenen zij op do vier rechten
homografische verdeelingen af.

Om op vier gegeven rechten mi,»i₂,m₃₎mi de hoekpunten
van twee tetraëders van Moeuius te vinden, zoeken wo eerst de
rechten die in G_x, C₂, C₃, Ci en Di, D₂, D₃, Di op de gegeven
lijnen rusten.

Worden nu voor Ai,Bi twee punten op mi genomen, dio door
Ci, Di harmonisch gescheiden zijn, dan brengen we door Ai de
rechten Ai E₂ E₃, Ai E₂\' E„ Ai E»\' Et\', die op ?»₂ en m_s, m» en >»4,
W3 en vi\\ rusten,

Van de involuties, die bepaald zijn door de paren (C2, D2; E», E₂\')
op m»; (C₃, D₃; Es, E₃\') op m_s; (C₄ D₄; E₄, E\'₄) op w*, bepalen
we de dubbelpunten (A₂, B₂), (A₃, B₃), (A₄, Bi); deze zijn de ge-
zochte punten, omdat in een involutie elk puntenpaar door de
dubbelpunten harmonisch wordt gescheiden.

De punten Ai, Bi; A₂, B»; A₃, B₃; A₄, Bi kunnen nu op vier
manieren in twee groepen van vier punten worden ingedeeld,
die respectievelijk de hoekpunten van de gezochte tetraëders zijn,
zooals in § 53 reeds gebleken is.

§ 61. Behalve de in § 53 genoemde hyperboloïdische liggingen,
die bij elke figuur van Moebius plaats vinden, kunnen nog andere
hyperboloïdische liggingen voorkomen, die dan gepaard gaan met
bijzondere standen van de figuur van Moebius.¹)

Echter kunnen twee tetraëders van Moebius op niet meer dan
negen verschillende wijzen hyperboloïdisch gelegen zijn, hetgeen
jn het volgende zal worden aangetoond.

Twee tetraëders ABC1) en A\'B\'G\'D\'liggen hyperboloïdisch,
als vier elkaar kruisende rechten, die elk een hoekpunt van den
oenen met een hoekpunt van den anderen verbinden, gelegen zijn
op een quadratisch regelvlak. Uit deze bepaling volgt direct, dat
twee tetraëders van Moebius minstens op drie verschillende
wijzen hyperboloïdische ligging hebben. Elk viertal van onge-
lijknamige hoekpunten, zóódanig gecombineerd, dat er in elke
groep een oneven aantal geaccentueerden voorkomt, stelt vier
in één vlak gelegen punten voor; want elk hoekpunt van den
eenen tetraëder ligt in het zijvlak van den anderen, dat tegenover
het homologe hoekpunt gelegen is.

die in § 53 de hyperboloïden (II,), (H₂), (H₃) bepaalden, hyper-
boloïdisch gelegen zijn. Want in elk paar viertallen snijden de
lijnen van de eene groep alle lijnen van de andere groep, en elk
van beide groepen bestaat uit vier elkander kruisende lijnen.
En van elk paar viertallen bevat alleen de tweede groei) lijnen,
die een hoekpunt van den eenen tetraëder niet een hoekpunt van
den tweeden verbinden.

Op 24 verschillende manieren kan men vier punten A, B, G, D
één aan één met vier punten A\', B\', G\', D\' verbinden, omdat
het aantal permutaties van vier elementen 24 is; zij zijn in
verschillende typen te rangschikken, die in hel volgende schema
met liet aantal daarin begrepen viertallen zijn aangegeven.

üeze type 1, II, III, IV, V zullen wij, op hel voetspoor van
ür. P. II. Sciioute, \') afzonderlijk behandelen.
Type I. Als AA\', BB\', CC\', DD\' hyperboloïdisch gelegen

zijn, is er door A een lijn te trekken, die op B B\', C G\', D D\'
rust. Worden nu BB\',CC\',DD\' uit A op liet vlak B C D in BB₀,
CCo, D Do geprojecteerd, dan zullen de drie projecteerende vlakken
A B B\', A G G\', A D D\' elkaar snijden volgens de transversaal door
A. Dus moeten de projecties B Bo, G Go, D Do door één punt gaan,
n.1. door liet snijpunt van die transversaal met het vlak B G D.

Dit is echter niet het geval, omdat A B\' G\' D\' in één vlak
liggen en de projecties Bo Go Do dus de snijpunten zijn van een
rechte — d. i. de snijlijn van het vlak AB\'C/D\'en het vlak
BCD - met de zijden G D, D B, B G van driehoek B G D. Want
x\\.B\' en CD moeten elkaar snijden, omdat B\',A, G, D in één
vlak liggen; evenzoo A G\' en B D, en ook A D\' en B G.

Type II. Deze zes gevallen zijn alle mogelijk. Gaat men b.v.
uit van een willekeurig viervlak ABCD en kiest voor A\' het
zwaartepunt van ABCD, en AB\', AC\', AD\' achtereenvolgens
evenwijdig en gelijkgericht met C D, D B, B G, dan heeft men een
• geval van het type II.

Als men voor ABCD een regelmatig viervlak kiest, dan is
de orthogonale projectie van B\' G\' D\' op het vlak BCD een om
BCD beschreven gelijkzijdige driehoek, waarvan de zijden B\'C\',
G\'D\', D\'B\' respectievelijk loodrecht staan op B C, C D, D B.

liet bestaan van het eerste hyperboloïdisch quadrupel van
type II blijkt nu aldus:

De loodlijn uit C\' op het vlak BCD wordt gesneden door
A A\', B B\', C D\' en D G\', want zij is evenwijdig aan A A\', ligt
in een (projecteerend) vlak met B B\', en met G D\', en snijdt
natüurlijk D G\'.

Deze vier rechten rusten ook (bij ellce Moehius cf.) op AB, en
A\' B\', dus liggen ze op de hyperboloïde bepaald door A B_; A\' B\'
en de loodlijn uil C\' op BCD.

Voor het tweede hyperboloïdisch quadrupel heeft men te be-
denken, dat G D evenwijdig loopt met A B\', en gesneden wordt
door BA\', GG\' en D D\'. Deze vier rechten, die ook doorC\'D\'
worden gesneden, zullen nu hyperboloïdiscb liggen, als er nog
een transversaal is.

De overige vier hyperboloïdische quadrupels van dit type vindt
men, door (analoog aan de redeneering voor het eerste quadrupel)
als transversalen te beschouwen de loodlijnen uit D\' en B\' op
het vlak B G D, en (analoog aan die voor het tweede quadrupel)
de rechten B G en B D.

Bovengenoemd tweede quadrupel G G\', D D\', A B\', A\'B heeft
hyperboloïdische ligging, als de vlakken A C G\', A D D\', A A\' B
door eenzelfde lijn gaan, of, in de aangenomen notatie, als de
lijnen GGo, DD₀, A\'B door één punt gaan.

Zoo hangt de hyperboloïdische ligging der viertallen D D\', B B\',
A C\', A\' G en B B\', G G\', A D\', A\' D af van hot al of niet door één
punt gaan der lijnendrietallen D D₀, B B₀, A\' G en B B₀, G Go, A\' D.

Noemt men de tegenover B B₀, G Go, D D₀ gelegen hoekpunten
van den door deze lijnen gevormden driehoek (3, y, dan zijn
de driehoeken B G D en (3 y 2 perspectief gelegen, omdat de paren
overeenkomstige zijden:

elkaar snijden in do punten B₀ G₀ Do van een rechte. Dus de
verbindingslijnen van homologe hoekpunten B j3, G y, en D 2 gaan
door één punt, en dit punt moet A\' zijn, want:

De ligging is dus zoodanig, dat de volledige vierhoek (3 y c> A\'
den driehoek BCD tot diagonaaldriehoek heeft.

De snijlijn B₀ C₀ D₀ der vlakken B C D en B\' C\' D\' is de har-
monische poollijn van A\' t. o. v. (3 y d en eveneens t. o. v. B C D ^x)
en, om redenen van symmetrie, ook van A t. o. v. B\' G\' D\'.

In het boven vermelde bijzondere geval was het vlak B G D
evenwijdig aan het vlak B\' C\' D\', dus de snijlijn Bo Co D₀ in het
oneindige gelegen, hetgeen door een projectieve transformatie uit
het algemeene geval kan verkregen worden.

Kiest men n.1. het projectiecentrum in een vlak door de lijn
Bo Co Do, en plaatst het tafereel evenwijdig aan dit vlak, dan
levert een centrale projectie de bedoelde transformatie, waarbij
Bo Co Do. in het oneindige verdwijnt, en A\' zwaartepunt wordt
van driehoek BCD zoowel als van driehoek f3 y 2.

Type III. Dit type omvat de in § G1 besproken, voor de hand
liggende, drie gevallen, die een onmiddellijk gevolg zijn van de
eigenaardige ligging van twee tetraëders van Moebius.

Type IV. Als A A\', B C\', C D\', D B\' hyperboloïdisch gelegen
zijn, moeten weer B Co, G Do, D Bo — ontstaan door projectie
van uit A op het vlak B C D A\' — door één punt gaan.

Do „ „ BC, „ A, B, C, D\' „ „ ; „
dus B Co, C Do, D Bo zijn de drie zijden van driehoek B G D.

\') Door projectie uit y ontstaat uit de harmonische groep C„ C [i o de har-
monische groej) C„C" DB; enz. Hieruit volgt, dat 15₀C„D₀ de harmonische
poollijn — niet betrekking tot B C D — is van het snijpunt A\' der rechten
BB", CC",D D.

Type V. Als AB\', B C\', C D\', D A\' hyperboloïdisch gelegen zijn,
dan moeten, als B G\', C D\' en D A\' van A uit geprojecteerd
worden op het vlak B G D A\', B C₀, C D₀ en D A\' of B D,
B G en DA\' door één punt gaan. Dus A\' moet op B D liggen,
hetgeen tengevolge heeft, dat D A\' en B G\' elkaar snijden, —
omdat B D en B C\' dit doen, — en de vier gestelde lijnen dus
yeen kruisende lijnen zijn.

Uit het voorgaande biijkt, dat naast de steeds voorkomende
drie gevallen van type III alleen de zes gevallen van type II
mogelijk zijn, waarmede bewezen is, dat twee tetraëders van
Moebius op niet meer dan negen verschillende wijzen hyperbo-
loïdisch kunnen liggen.

§ G3. Ten slotte kan nog worden aangetoond, dat in een
bol een MoEBiusconfiguratie kan worden beschreven. \')

De vier cirkels, die elk drie hoekpunten eener vierzijde bevatten
(de omgeschreven cirkels der vier gevormde driehoeken), gaan
door één punt Q, waarvan de projecties op de vier zijden in
een rechte w liggen. (Rechte van Simson of van Wai.lace).

Neemt men omgekeerd het punt Q en de rechte w willekeurig
aan, verbindt Q met vier punten Pk van w en trekt door elk
punt Pk een rechte a* loodrecht op Pk Q, dan sluiten de rechten
a_k. vier driehoeken in, waarvan de omgeschreven cirkels door Q
gaan. Geett men het snijpunt van cti- met ai aan door Aki, dan
ligt Q op de vier cirkels eHum^Aki Ai_mA_mk.

\') Jan nu Vries ,,Over cenige groepen van cirkels."
Zittingsverslagen der kon. akad. v. wet. deel VI bl. 418—421 (1898).

over in:
een bol door M en de door-
snijdingscirkel van dal vlak
met de eenheidsbol om M;
een cirkel door M (doorsnede

van twee bollen door M);
een andere bol;
een andere cirkel
(doorsnede der inverse bollen);
een ander punt (dat t. o. v. de
eenheidsbol polair is toege-
voegd aan het gegeven punt).

Wordt nu de figuur, gevormd door de vier rechten a_k en de vier
cirkels eBkim, t. o. v. een willekeurig punt M der ruimte als pool
geinverteerd, dan gaan de vier rechten a* over in vier cirkels a\\
door M; de vier cirkels Jlkim in vier cirkels cB\'kim; en de punten
Q, Aki in de punten Q\', A\'ki.

Er ontstaan dus 8 cirkels a\'k, «3\' kim en 8 punten M, Q\', A ki, die
alle gelegen zijn op den bol, waarin het vlak der gegeven vierzijde
overgaat.

De vlakken OC k On £klm van deze cirkels vormen met de ge-
noemde 8 punten een configuratie van Moehius.

De verdeeling der punten in de 8 vlakken wordt door het
volgende schema aangewezen.

gaat:

een willekeurig plat vlak

een willekeurige rechte

(doorsnede van twee vlakken)
een willekeurige bol
een willekeurige cirkel

(doorsnede van twee bollen)
een willekeurig punt

De gevormde Cf (81,84) van punten en cirkels is, evenals de
cf. van Moebius, volkomen regelmatig. Zij bestaat uit 8 punten,
die blijkens bovenstaande tabel vier aan vier op één cirkel liggen,
en uit 8 cirkels, die vier aan vier door één punt gaan, zooals uit
liet volgende schema duidelijk wordt.

Het bestaan der elementen in het oneindige kan geheel in
het midden worden gelaten. Ze worden ingevoerd ter wille van
de continuïteit der meetkundige wetten.

Er worde in de elementaire wiskunde reeds op gewezen, dat
bij vraagstukken drie soorten van onmogelijke oplossingen kunnen
voorkomen.

Er dient in de leerboeken met nadruk op gewezen te worden,
dat, terwijl totale differentiaalquotienten desnoods als breuken
beschouwd kunnen worden, de partieele differentiaalquotiönten
in het algemeen slechts symbolische beteekenis hebben.

Voor het inzicht in de beteekenis van het completeeren van
een systeem lineaire partieele differentiaalvergelijkingen van de
eerste orde kunnen meetkundige beschouwingen van grooten
dienst zijn.

Dat de ware fouten dezelfde foutenwet volgen als de af-
wijkingen van het arithmetisch gemiddelde, mag niet als van
zelf sprekend worden aangenomen.

De gronden der planetesimaalhypothese van Moulton en
Chamberi.in zijn weinig overtuigend.

Uit het ontbreken in het zonnespectrum van lijnen van een
zeker element mag niet tot de afwezigheid van dat element op
de zon worden besloten.

Het begrip entropie heeft in zoovert\'e nog geen tastbare physische
beteekenis, als het nog niet in alle gevallen mogelijk is, de door
Boltzmann ingevoerde waarschijnlijkheid — een grootheid, waar-
van de logarithmus met de entropie evenredig is — te berekenen.

Ten onrechte zegt Heinrich Hertz, dat d\' Ai.embert\'s principe
onafhankelijk is van de mechanische grondprincipes van Newton.
H. Hertz. Prinzipien der Mechanik Ges. Werke III.

Het bezwaar van Hertz tegen de mechanische verklaring der
centrifugaalkracht, die optreedt bij het aan een koord rond-
slingeren van een steen, is overdreven. t. a. p.

Het ingewikkeld klokkenapparaat, door Coiin uitgedacht, om
liet relativiteitsprincipe te demonstreeren, verduidelijkt dit niet.
Emil Cohn. Physikalisches Uber Baum und Zeit.
Naturwiss. Monatschr. „Himmel und Erde" XXIII 1911.

Nichts lähmt das Interesse der studierenden Jugend so sehr,
als der Eindruck, es sei das vorgetragene fertig und abgeschlossen.

1 is	snijpunt	van 4 1 (a (3) en	5 1 (*\' (3\')
2 j)	»	» 42 0*₇) „	5 2 («\'/)
3 „	»	» 43 (« i) „	5 3 («\' è\')
6 ,	»	„ 46 (Br) n	5 6 03V)
7 „	n	. 4 7 (0 i) „	5 7 ((3\' 2\')
8 „	V	. 48 (yJ) „	5 8 (r\' 3\')

57	» 68 „	v 8,
1 5	- 26 „	2
37	4 00	« 7,
1 7	»28 „	» 3,
35	» 46 _B	„ 6.

OCl		a₃	«4	#123	«124	«194	#₂₃₄
M	M	M	M	A\'io	A\',2	A\',₃	A\'₂₃
A\',2	A\',2	A\'is	A\'u	A\',3	A\'₁₄	A\',4	A\'O4
A\'₁₃	A\'₂₃	A\'₂₃	A\'₂₄	A\'₂₃	A\'₂₄	A\'_s4	A\'₃4
A\'u	A\'o₄	A\'₃₄	A\'₃4	Q\'	Q\'	Q\'	Q\'

m	Q\'	A\',o	a\'₁₃	A\'14	A\'23	A\'24	a\'₃₄
/ «1	C>1 123	Al\'	ai\'	fll\'	rt2	Cl*\'	fl₃\'
t a 2	c3\'l24			O4\'	«3\'	«4\'	«4\'
/ <*3	c3\'l31	eH\'l23	Jl\'l23	(3\'l24	<3\'l23	e3\'l24	<3\'l34
/ <ti	G3\'I21	cH\'i21	<3\'l3l	cB\'l34	JJ\'234	eB\'234	cH\'234

1	1	1	1	2	2	5	3
2	2	3	4	4	3	6	4
3	5	5	6	G	7	7	5
4	6	7	8	7	8	8	8
1	1	1	1	2	2	3	3
2	2	3	4	4	5	6	4
3	5	5	6	6	7	7	5
4	6	7	8	7	8	8	8

1	1	1	1	2	3	5	2
2	2	3	4	4	4	6	3
3	5	5	6	6	7	7	5
4	6	7	8	7	8	8	8
1	1	1	1	2	3	4	2
2	2	3	4	4	6	5	3
3	5	5	6	G	7	7	5
4	6	7	8	7	8	8	8

		1	1	1	2	3	3	2	1
		2	2	6	4	5	4	5	4
Cf.	VIII.	3	3	7	6	6	6	7	5
		4	5	8	7	7	8	8	8
men 1	in 4 stelt, dus	2 in 3	en 3 in	5, dan
		1	1	2	1	3	3	2	1
		2	2	6	4	5	4	5	4
Cf.	IX.	3	3	7	6	6	6	7	5
		4	5	8	7	7	8	8	8

	1	1	1	1	2	2	3	3
	2	2	4	5	4	5	4	5
Cf. X.					6
3	3	6	6	6	7	7
	4	5	7	7	8	8	8	8
	l	1	1	1	2	3	3	2
	2	2	4	5	4	5	4	5
Cf. XI.		3	6
3	6	6	6	7	7
	4	5	7	7	8	8	8	8

2 4 G	„ 7	„ 5	578	„ 6	, 7
46 1	■ 8	. 4	783	„ 2	„ 6
6 1 2	„ 5	„ 2	835	* 4	„ 8

235	» 8	» 8	8 46	* 1	« 4
3 5 1	» 7	» 3	467	» 2	» 5
5 1 2	„ 6	„ 2	678	» 5	„ 7

1 6 snijdt	1 3	in	1	2 4 snijdt 1 3	in	1
	25	in	2	25	in	2
	48	in	4	48	in	4
	67	in	6	67	in	5
3 8 snijdt	1 3	in	3	5 7 snijdt 1 3	in	3
	25	in	8	25	in	5
	48	in	8	48	in	7
	6 7	in	6	67	in	7

124	met	3	in 1	35 7	met	1	in	3
246	71	7	» 5	57 8		4	»	7
46 1	V	8	n 4	783	»	6	n	6
6 1 2	»	5	. 2	8 35		2	»	8

1	1	1	1	2	3	4	4	1	2	3	1	1	A	A
2	2	2	4	5	6	5	5	4	4	4	2	2	B	B
3	3	3	7	7	7	6	6	5	5	5	3	3	C	C
4	5	6	8	8	8	7	8	6	6	6	7	8	P	Q
A	B	C	A	B	C	P	Q	A	B	C	P\'	P\'	P\'	Q\'
P\'	P\'	P\'	B	A	A	Q	P	P	P	P	Q\'	Q\'	7	7
Q\'	Q\'	Q\'	C	C	B	P\'	Q\'	Q	Q	Q	P	Q	8	8

D	G	B	A	A\'	B\'	G\'	D\'
A\'	A\'	A\'	B\'	B	A	A	A
B\'	B\'	G\'	G\'	G	G	B	B
G\'	D\'	D\'	D\'	D	D	D	G

1	1	3	2	2	3	1	1
2	2	4	•5	4	5	4	5
3	3	7	7	6	6	6	6
4	5	8	8	8	8	7	7

4	4	4	4	5	5	5	5
1	1	2	3	1	1	2	3
♦ 2	G	6	7 en	2	G	6	7
3	7	8	8	3	7	8	8
cc	£	r	2	/ X		r 7

X	B\'C\'	D\'A	/ X	B G D A\'
	G\' D\'	A\'B	(3\'	CDA B\'
r	D\'A\'	B\'C	t 7	DABC\'
5	A\'B\'	G\'D	5\'	ABGD\'

1	G	3	8	G
AA\'	AA\'	AB\'	AA\'	AB\'
BB\'	BB\'	BA\'	BC\'	BC\'
CC\'	CD\'	CD\'	CD\'	CD\'
DD\'	DG\'	DC\'	DB\'	DA\'
I	11	III	IV	V

1	1	1	1	2	2	5	3
2	2	3	4	4	3	6	4
3	5	5	6	G	7	7	5
4	6	7	8	7	8	8	8
1	1	1	1	2	2	3	3
2	2	3	4	4	5	6	4
3	5	5	6	6	7	7	5
4	6	7	8	7	8	8	8

1	1	1	1	2	3	5	2
2	2	3	4	4	4	6	3
3	5	5	6	6	7	7	5
4	6	7	8	7	8	8	8
1	1	1	1	2	3	4	2
2	2	3	4	4	6	5	3
3	5	5	6	G	7	7	5
4	6	7	8	7	8	8	8

1	1	1	1	2	3	4	4	1	2	3	1	1	A	A
2	2	2	4	5	6	5	5	4	4	4	2	2	B	B
3	3	3	7	7	7	6	6	5	5	5	3	3	C	C
4	5	6	8	8	8	7	8	6	6	6	7	8	P	Q
A	B	C	A	B	C	P	Q	A	B	C	P\'	P\'	P\'	Q\'
P\'	P\'	P\'	B	A	A	Q	P	P	P	P	Q\'	Q\'	7	7
Q\'	Q\'	Q\'	C	C	B	P\'	Q\'	Q	Q	Q	P	Q	8	8

D	G	B	A	A\'	B\'	G\'	D\'
A\'	A\'	A\'	B\'	B	A	A	A
B\'	B\'	G\'	G\'	G	G	B	B
G\'	D\'	D\'	D\'	D	D	D	G

Ai A₂	en	Ba A₄	snijden elkaar	in	Ma
Ai A₃	11	Bo A.,	n	ti	ti	Mo
A, B₄	H	Bo Bs	n	t>	ti	Pl
Ao Aa	tl	B, A,	n	V	t>	Mi
A0B.1	tl	B, Ba	V	ti	ti	P,>
Aa Bi	tl	Bi B₂	i)	ti	ti	Pa

A B	A B\'	A G	A C\'	A D	A D\'
A\'B\'	B A\'	A\' C\'	C A\'	A\'D\'	D A\'
C D	G D\'	B D	B D\'	B G	B C\'
C\'D\'	D G\'	B\'D\'	D B\'	B\' C\'	G B\'

1	1	1	1	2	2	5	3
2	2	3	4	4	3	6	4
3	5	5	6	G	7	7	5
4	6	7	8	7	8	8	8
1	1	1	1	2	2	3	3
2	2	3	4	4	5	6	4
3	5	5	6	6	7	7	5
4	6	7	8	7	8	8	8

1	1	1	1	2	3	5	2
2	2	3	4	4	4	6	3
3	5	5	6	6	7	7	5
4	6	7	8	7	8	8	8
1	1	1	1	2	3	4	2
2	2	3	4	4	6	5	3
3	5	5	6	G	7	7	5
4	6	7	8	7	8	8	8

1	1	1	1	2	3	4	4	1	2	3	1	1	A	A
2	2	2	4	5	6	5	5	4	4	4	2	2	B	B
3	3	3	7	7	7	6	6	5	5	5	3	3	C	C
4	5	6	8	8	8	7	8	6	6	6	7	8	P	Q
A	B	C	A	B	C	P	Q	A	B	C	P\'	P\'	P\'	Q\'
P\'	P\'	P\'	B	A	A	Q	P	P	P	P	Q\'	Q\'	7	7
Q\'	Q\'	Q\'	C	C	B	P\'	Q\'	Q	Q	Q	P	Q	8	8

D	G	B	A	A\'	B\'	G\'	D\'
A\'	A\'	A\'	B\'	B	A	A	A
B\'	B\'	G\'	G\'	G	G	B	B
G\'	D\'	D\'	D\'	D	D	D	G