BE LEER DER QUATERNIONS II HARE TOEPAS®

op de leer van den

CIRCÜLAIREN HODOGRAAF.

ACADEMISCH PROEFSCHRIFT

na magtiging van den, rector magnificus

IX T. MALBERTSMA,

GEWOON IIOOGLEEKAAU IN DE FACULTEIT DER GENEESKUNDE ,

met toestemming van den academischen senaat

^volgens besluit van de faculteit der wis- en natuurkunde ,
ter verkrijging van den graad

. i l ^VAN

aan

DE HOOGESCHOOE XE UTRECHT,
te verdedigen

°^{p V}^SJDAG 24 JANUARÏJ 1873, des namiddags ten 2 ure_;

door

Tictor August Julius

geboren te Utrecht.

Utrecht,
J. BIJ LEVE LD.
i873-

Stüom-Boekdrukkerij en Steendrukkerij „de Industrie" Utrecht.

Hij het verlaten der Academie zeg ik U. Hoogleeraren in
de Wis- en Natuurkundige Faculteit, dank voor hetgeen Gij
^v°or mij geweest zijt; dikwijls waart Gij mij meer dan
^leermeesters.

In het bijzonder gevoel ik mij verpligt aan U, hooggeleerde
^kinwis, die het zoo bereidwillig op U naamt mijn Promotor
^te zijn en mij behulpzaam te wezen bij het volbrengen van
^{de l}aak, die ik mij stelde.

En Gij, mijne Vrienden: het ga U wel; moge de vriend-
^H:lluV, welke wij aan de Academie sloten, blijken een
^aunrzame te zijn.

ERRATA.

Op bi. 6 regel 8 en 9 v. b. staat: „dan het vlak AOB met O
vector zijn, die eenig punt van zal y de veranderlijke verbindt."
Hiervoor moet gelezen worden : dan zal y de veranderlijke vector
zijn, die eenig punt van het vlak AOB met O verbindt.

Op bl. 14 regel 6 v. b. staat „waarindit moet zijn:
„waarin — •

Op bl. 47 moeten in de figuur de letters B en B\' met elkander
verwisseld worden.

Op bl. 57 regel 13 v. b. staat: Uy mUd nUj\'j ; hiervoor
moet gelezen worden: TT/ mTJö -f- nü(3.

Op bl. 76 regel 8 v. o. staat binnen de haakjes een gelijk-
teeken; dit moet een plusteeken zijn.

Op bl. 95 regel 3 en 4 v. b. staat resp.: „eccentriciteit" en
„eccentrisch" ; dit moet zijn: „excentriciteit" en „excentrisch."

INLEIDING.

Het is opmerkelijk, dat een tak van wiskunde als de
^^eer der quaternions tot lieden zoo weinig bekend ge-
worden is. In 1843 reeds deelde sir William Rowan
Hamilton de gronddenkbeelden van die leer aan de Iersche
^academie mede; sinds 1848 gaf liij in Trinity College
Dublin een geregelden cursus daarover, en publiceerde
dien in I853 onder den titel van Lectures on Quaternions,
bannen als de gebroeders Graves, De Morgan en
Oullagh mogten er belang in stellen, buiten de
lenzen van Engeland vonden de quaternions weinig
^oefenaars. Caucliy schijnt er intusschen eenigzins
*üede bekend geweest te zijn. Althans in een verhan-
^lng over zijn „clefs algébriques" (Comptes rendus
I pg. 75) maakt hij cle opmerking dat de qua-

. ^lDl°ns een bijzonder geval zijn van zijn „clefs". Dit
^lnderdaad zoo, wanneer men namelijk de symbolen
^ 0 en k als „clefs" beschouwt, hetgeen mogelijk is, om-
^{Cl a}He begrippen als „clefs" kunnen beschouwd worden.
Vervolgens heeft nog in 1862 Allégret een dissertatie
^schreven over de quaternions (Essai sur le calcul
Maternions de Hamilton, Paris 1862), waarover

zoo dadelijk meer. Van duitsche zijde is mij uit dien
tijd niets bekend; uit de inleiding van Grassmann\'s
Ausdehnungslehre blijkt ten duidelijkste, dat deze de
quaternions niet kent; in een verhandeling van Grass-
mann (Sur les différents genres de multiplication, Crelle
Bnd 49), geschreven naar aanleiding van Candy\'s
verhandelingen over de „clefs algébriques", worden ze
evenmin genoemd, niettegenstaande liij den naam in
Cauchy\'s verhandelingen had gelezen, en de quater-
nions zoo nauw aan zijn onderwerp verwant waren.
Omgekeerd noemt Hamilton in zijn voorrede van de
Lectures wel de Ausdehnungslehre van Grasmann, maar
heeft clat werk klaarblijkelijk slechts vlugtig ingezien;
hij zegt toch: „Notwithstanding these and perhaps some
other coincidences of view. Prof. Grassmanns system and
mine appear to be perfectly distinct and independent
of each other in their conceptions, methods and results".

Hamilton was intusschen nog niet voldaan met de
uiteenzetting der quaternions, zooals die in de Lectures
gegeven wordt. Hij begon zijn Elements of Quaternions
te schrijven, en gelukkig voor de wetenschap mogt hij
ze bijna voltooijen: slechts zeven paragrafen en de
voorrede ontbraken, toen Hamilton ziek werd en stierf.
Door zijn zoon William Edwin Hamilton werd de
uitgave, die reeds begonnen was, voortgezet. Dit was
hem mogelijk, omdat het handschrift van zijn vader
zoo uitstekend in orde was.

De Elements verschenen in 1866. Deze zijn althans
in Duitscliland meer bekend geworden. Maar waar een
D uitschei- (Victor Schlegel, System der Raumlehre,

Leipzig 1872) klaagt, dat in Duitschland Grassmann
zoo weinig gekend en gewaardeerd wordt, kan men
niet verwachten, dat Hamilton daar veel bewonderaars
^Zal tellen. In ons land heeft, zoover ik weet, tot nu
^toe alleen J. Versluys te Groningen over quaternions
geschreven; deze lieeft namelijk een stukje over quaternion-
^vermenigvuldiging in de Archives Néerlandaises van
!87i geplaatst.

De voorrede van de Lectures is hoogst belangrijk,
daarin geeft Hamilton een overzigt van hetgeen hem
cle quaternions geleid heeft,
bespiegelingen over negatieve en imaginaire groot-
heden waren liet uitgangspunt. Deze 1) rag ten liem er
de Algebra te beschouwen als de „Science of pure
time". Hij stelde zicli hierbij op hei. standpunt van
^aiit: als ruimte en tijd beide waarnemingsvormen wa
^leil5 dan moest het ook mogelijk wezen a priori een
^^eer van den tijd op te bouwen, evenals reeds een leer
^Vai1 de ruimte bestond. G-elukkig laat hij in zijn ont-
takelingen het a priori spoedig varen zonder het te
^emerken, en weldra ook het begrip van tijd. Hij gaat
°^Ver tot de beschouwing van wat hij noemt „Conjugate
hunctions or Algebraic Couples"; deze brengen hem
^tot zijn „Tripiets", en „Sets of Moments", welke hem
^{llfl v}eel mislukte pogingen tot de quaternions voeren.
In zijn reeds aangehaalde verhandeling zegt Grrassmann,
hetgeen Cauchy ..clefs" noemt hem reeds negen jaren
^e&end was; dit blijkt werkelijk uit de Ausdehnungs-
^re» Ik deelde reeds mede dat Cauchy de quater-
^1110118 een bijzonder geval van zijn „clefs" noemde;

IY

Hamilton zegt dat de „clefs" een bijzonder geval van
zijn „sets" zijn. De waarheid is, dat drie groote
mannen ongeveer gelijktijdig op dezelfde gedachte kwa-
men, namelijk: symbolen te beschouwen en de wetten,
die de operaties op die symbolen of de combinaties van
die symbolen onderling beheerschen, bij definitie vast
te stellen. Voor toepassingen in het bijzonder op de
geometrie moesten die wetten gelukkig gekozen zijn;
onmiskenbaar is Hamilton daarbij het gelukkigst ge-
weest, evenals ook zijn algemeene beschouwingen veel
vollediger zijn dan die van de twee andere.

De quaternions zijn een zeer bijzonder geval van de
„sets"; Grassmann is in zijn Ausdehnungslehre op al-
gemeener standpunt blijven staan clan Hamilton in zijn
quaternions maar zijn resultaten zijn niet zoo schitterend.

In de beschouwingen over „tripiets" kwamen zeven-
en-twintig constanten voor, die willekeurig konden ge-
kozen worden. Hamilton trachtte die keuze zoodanig
te doen dat de methode van Argand (Essai sur un^e
manière de représenter les quantités imaginaire», 180t>) ?
die het eerst de imaginairen op de geometrie in het
vlak toepaste, uitgebreid zou worden tot toepassingen
op de geometrie in de ruimte. Hij geeft een volledige
beschrijving van de pogingen, die daartoe niet alleen
door hem, maar ook door John G-raves gedaan werden-
Merkwaardig is het, dat in 1855 Scheffler een werk
uitgaf „Der Situationskalkul" , waarin een denkbeeld, dat
ook bij Hamilton was opgekomen, nader wordt uitge-
werkt. Hamilton had het spoedig laten varen, omdat
de vermenigvuldiging niet distributief zou zijn: Schefflei\'

schijnt dit geen bezwaar geacht te hebben; hij kiest
bovendien zijn notaties zoodanig, dat de optelling zelfs niet
^c°ttiniutatief is. Teregt zag Hamilton in, dat, wilde de
ftieiwve methode vruchtbaar zijn voor toepassingen, de
analogie met de algebra niet geheel uit het oog mogt ver-
loren worden; een groote kracht der analyse ligt in de
fransformaties; deze mag men niet bijna onmogelijk maken.

Het product van twee lijnen van bepaalde grootte en
^rigting in een bepaald vlak was reeds door Argand als
⁽\'^e,t derde lijn geïnterpreteerd ook van bepaalde lengte
^{Gi| r}igting\\ Maar deze methode verloor hare beteekenis
^v °°^r lijnen in de ruimte. De pogingen van Hamilton
^aren nu alle hierheen gerigt, dat hij trachtte een
^Paalde beteekenis te kunnen hechten aan zulk een
Product van lijnen in de ruimte. Bij zijn „tripiets"
^aren drie eenheden voorgekomen; voor de eerste stelde
⁴Ü de gewone getalleneenheid; voor de tweede en derde
de symbolen i en j; en hij meende dat een lijn

^lil ruimte nu kon voorgesteld worden door het triplet
X I

• !y jz, waarin x y en z, die hij de constituenten
^ll0emde, getallen zijn, en als cöordinaten kunnen be-
bouwd worden. Bij de vermenigvuldiging van zulke
Spiets kwamen voor de symbolen i², j², ij en j i.
Schouwingen over coördinaten projecties bragten hem
toe te stellen i^a = — 1, j* = — 1, i j = — j i of i j = k,
= —k, hetgeen zeer goede resultaten gaf, wanneer
⁽\'^l<\' %ien, wier product gezocht werd, in hetzelfde vlak
Stagen waren met de eerste eenheid of de as der x.

Ir

^{A aar} was dit niet het geval, dan kon het product zelf
triplet worden, maar had een quadrinomischen

vorm. Dit bragt Hamilton op de gedachte dat het
welligt goed zou zijn de tripiets te beschouwen als
bijzondere gevallen van quaternions van den vorm
x iy jz ku, waarin k — ij een vierde eenheid
was. Hij zag werkelijk, dat het product van twee quater-
nions wederom een quaternion was, wanneer hij stelde:

i² = — <1 j² = — 1 k² = — 1
ij— — ji = k jk = —kj = i ld ——ik —j.

Nu kwam hij er ook toe een lijn niet voor te stellen
door het triplet x iy jz maar dooi- het triplet
ix jy kz. Het product van twee lijnen in de
ruimte werd dan een quaternion waarvan de consti-
tuenten een zeer eenvoudige geometrische beteekenis
kregen. Dit resultaat werd in October 1843 aan de
lersche Academie medegedeeld.

In 1845 ging Hamilton nog verder; hij toonde aan
hoe een quaternion in het algemeen als het quotient van
twee lijnen kan beschouwd worden. En hier komt hij ,
naar mijn inzien, eerst op het ware standpunt.

Het begin van de Lectures is uiterst langdradig;
het hoofdmoment is, dat het produkt van twee lijnen
geïdentificeerd wordt met het quotient van twee andere
lijnen. Hamilton heeft in zijn Elements een anderen
en beteren weg gevolgd. Daarin zijn de meeste
sporen verdwenen van den eenigzins bizarren gedach-
tenloop, die liem tot de gansche zaak heeft geleid,
en die hoewel hoogst belangrijk voor ieder die de qua-
ternions bestudeerd heeft, moeijelijk te vatten is voor
den beginnende. In de Elements wordt een quaternion

vn

^eenvoudig opgevat als het quotiënt van twee lijnen;
het resultaat van eenige combinaties van zulke quotiën-
ten onderling wordt bij definitie vastgesteld; bij verdere
ontwikkeling treden dan de symbolen i, j en k op als
quotiënten van lijnen, die de eenheid van lengte heb-
ben en loodregt op elkander staan; eerst aan het
einde van zijn beschouwingen over quotienten, defi-
¹¹¹ eert Hamilton het product van twee lijnen als een
^zeker quotiënt.
Allégret in zijn genoemde dissertatie gaat uit van
symbolen i, j, k, en de wetten welke hun combi-
^naties onderling volgen en geeft vervolgens eengeome-
^ische interpretatie, zooals hij het noemt, van die symbolen.
Deze weg scheen mij intusschen te abstract toe voor
⁽\'^ei\' eerste kennismaking met een geheel nieuwe methode.

^usschen Grassmanns Ausdehnungslehre en de qua
^uioiis zijn vele punten van overeenkomst, zoodra
¹¹¹⁶¹¹ de Ansdelmimgslehre op de ruimte toepast en dus
onder „Elemente" punten, onder „Strecken" lijnen van
^ ^raalde lengte en rigting enz. verstaat. Het „innere Pro-
⁰ van twee „Strecken" « en ft is volkomen het-

^file als Sa ft in de de quaternions; het „aüssere Pro-
duct" i

als Vaft. Maar deze overeenstemming verder te
^ervolgen zoude mijne inleiding te uitgebreid maken.
^ ^e toepassingen van de quaternions , niet alleen op de
^⁽-°nietrie, maar ook op de mechanica en de mathema-
. ^e physica zijn van zeer ingrijpenden aard. Aan het
^nde der Elements worden een tweehonderd vijftig bladzij-
^{11 aa}n toepassingen gewijd. Hamilton gaf in de laatste

^a>ÏPn ..1

^ö van zijn leven, zoowel aan zijn zoon als aan

Tait herhaaldelijk te kennen, dat naar zijn meening
de quaternions voor de theorie van de electriciteit van
groot nut zouden worden.

Trouwens, ieder die met de quaternions kennis maakt,
gevoelt terstond dat daarin een groote kracht ligt; dat
de quaternions de coördinaten van Cartesius voor goed
zullen doen verdwijnen.

Ik geloof niet, dat ik mij over de keuze van mijn
onderwerp behoef te regtvaardigen; een geometrische
analyse, zooals Leibniz zich die voorgesteld heeft, en
die door Hamilton zoo volkomen verwezentlijkt is, ver-
dient wel de algeineene aandacht.

In mijne uiteenzetting van de leer der quaternions
volg ik bijna geheel de Elements. Intusschen heb
ik mij bepaald tot hetgeen noodig was om de toepas-
sing van de quaternions op de theorie van den circu-
lairen hodograaf begrijpelijk te doen zijn. Deze theorie
wordt ook in de Elements gegeven; mijn tweede hoofd-
stuk kan als een commentaar daarop beschouwd worden-

]) Door Tait is een leerboek over de quaternions geschreven: „An elementarj\'
Treatise on Quaternions." Ik kan evenwel niemand aanraden dit als leerboek^te
gebruiken, omdat het hier en daar zeer duister is; de „Elements" daarenteg^¹¹
kunnen beschouwd worden als het model van een uitstekend leerboek.

HOOFDSTUK f.

1. Begrip van een vector. Een [regte lijn, waarvan
niet alleen de lengte, maar ook de rigting
¹¹¹ aanmerking neemt, noemt men een vector.

lelijke vectoren zijn zoodanige, die niet alleen gelijke
^lengte, maar ook gelijke rigting hebben. Omgekeerd
^ alle vectoren, die dezelfde lengte en dezelfde rig-
^ting hebben, aan elkander gelijk.

^en maff dus een vector vervangen door

« o

^lederen anderen vector, die dezelfde lengte
⁶¹¹ dezelfde rigting heeft.

^len onderscheidt van een vector den oorsprong en
^llGt uiteinde; zoo is van . den vector AB A de oorsprong,
^{B lle}t uiteinde en van den vector BA B de oorsprong
^en A het uiteinde. Valt van een vector het uiteinde
^met den oorsprong zamen, zoo is de vector een nul-
^v®ctpr, _{en wordt} voorgesteld door het gebruikelijke
beleen o.

2. Som van vectoren. De beteekenis van liet plus-
teeken wordt aldus gedefinieerd. Wanneer AB en BC
twee vectoren zijn,
B dan is :

AG = AB 4- BG........(1)

^C Stellen dus de vectoren AB en BC twee
krachten voor, werkende op het punt A, dan wordt
de resultante gelijk de som der krachten.

Vergelijking (1) geldt algemeen. Laat men C met
A zamenvallen, dan heeft men :

o = AB BA
of AB — — BA.........(2)

Deze vergelijking definieert het miiiusteeken. Uit (1)
volgt dan nog:

AG — BG = AB of AG GB = AB,
waarvan de beteekenis duidelijk is; bovendien
AG GB 4- BA = o.
AB BG CA = o.

Bij het beschouwde geval viel het uiteinde van den
eersten vector zamen met den oorsprong van den twee-
den. Zoekt men de som van twee tegenover elkander
willekeurig geplaatste vectoren, dan mag men volgens
§ 1 de vectoren zoodanig evenwijdig aan zichzelve ver-
plaatsen, dat de oorsprong van den eenen zamen valt
met liet uiteinde van den anderen, waardoor men dit
geval tot het vorige terugbrengt.

3. Kortheidshalve stelt men de vectoren voor door
letters uit het Grieksche alphabet.
Is ABCD een parallelogram, AB = « BC — p
= 7 ₅ dan heeft men ;

AG = AB BC = AD DG

^0f 7 = * (3 = (3 et.

Optelling is dus commutatief.

De som van drie vectoren wordt gedefinieerd als
vierde vector, die verkregen wordt wanneer\' men
derden optelt bij de som van den eersten en twee-
Das, wanneer a (3 y de gegeven vectoren zijn:

5 = y (f3 H- «) of 3 = y (3 x.

herplaatst men de vectoren « (3 y zoodanig evenwijdig

zich zelve, dat de oorsprong van (3 met het uiteinde

^Van en de oorsprong van y met het uiteinde van (3

^2aüieiivalt, dan zal de vector die den oorsprong van

met het uiteinde van y verbindt, gelijk zijn aan

, ^ ^e beschouwing van een vierhoek, ABCD, of deze

^{111 een} vlak gelegen is of niet, waarvan AB =
Bo -- -,

p CD — ^ AD = 3 is, ziet men terstond in dat:

^ /- (p = (7 -f- /3) « — y - (3 a.

optelling i_s dus associatief.

resultaat met dat van § 3 verbindend, verkrijgt
¹¹¹⁶¹¹5 dat de som van eenig aantal gegeven vectoren
waarde heeft, die onafhankelijk is van de wijze
üner groepering.

a

5. Evenwijdige vectoren. De vector a kan ook voor-
gesteld worden door of ( 1)<* of bij definitie door
«(4- 1); evenzoo de som « « door of «2 enz. In
verband met vergelijking (2) van § 2 volgt hieruit:

csm ± «n = mx ± n^ — (m ± n) « = « (m ± n),

wanneer m en n geheele getallen zijn. De verme-
nigvuldiging van vectoren met geheele positieve of ne-
gatieve getallen is dus commutatief.

Is (3 — mx, terwijl m een geheel getal is, dan
noemt men (3 een veelvoud van en * een onderdeel
van (3. Een veelvoud van een onderdeel van een vector is
een gebroken van dien vector. Hieruit leidt men ge-
makkelijk af, dat bovenstaande vergelijking geldt voor
alle reële waarden van m en n.

Wanneer (3 — m%, dan is de rigting van den vector
/3 dezelfde ^x) als van die van «, zoo m positief reëel
is, tegengesteld aan die van zoo m negatief reëel is-

Definieert men, dat

als (3 — ma dan — = m,
«

zoo ziet men dat het quotiënt van twee vectoren, die
gelijke of tegenstelde rigting bezitten, eene positieve of
negatieve reële grootheid is; zulk eene grootheid wordt
door Hamilton een scalar genoemd.

1) Twee lijnen zijn evenwijdig, wanneer zij beide evenwijdig zijn aan eene
derde lijn: zoo worden gedeelten van dezelfde lijn beschouwd als ook evenwij®ë
aan elkander.

6. De voorwaarde dus dat * en /3 gelijke of tegen-
gestelde rïgting hebben, wordt uitgedrukt door de be-
dekking:

x. » y [3 — o
daarin x en y sealars zijn.

Verplaatst men deze vectoren « en /3 (zie § 1) zoo-
danig evenwijdig aan zich zelve, dat het punt O hun
gemeenschappelijke oorsprong wordt, terwijl OA = «,
= ,i_an zlIllen de punten O, A, B op ééne lijn
%gen. Denkt men zich nu de sealars x en y, of liever
baar verhouding, veranderlijk, zoo zal, als * constant
¹⁸5 £ den veranderlijken vector voorstellen, die het punt
^ met eenig punt van de onbepaalde lijn OA verbindt.

Vectoren in een vlak. Zijn de vectoren * en
¹³ niet gelijk of tegengesteld van rigting dan kan
^x « - - y (3 niet gelijk nul zijn, maar moet gelijk wezen
^aai1 eenigen derden vector, dien wij — z y zullen noe-
^meü> zoodat:

_y £ _z ^ = o......(1)

dat geval bepalen ^ en (3 de rigting ^x) van een
of eene vlakrigting.

i) _T

tl_e vectoren bepalen niet een enkel vlak; volgens § 1 toch kan men

^ve_n vectoren zoodanig evenwijdig aan zicli zelve verplaatsen, dat eenig
punt hun gemeenschappelijke oorsprong wordt. Door die verplaatste
all_e ^{n men een l3ren}g^en5 daar de oorsprong willekeurig is, is ook

di_{eil t} ^{de ri}g^ting van de normaal bepaald. Maar evenals men van den hoek,
d_e . ^6e bakken met elkander maken, spreekt, kan men, dunkt me, ook van
^{Van een en 200 van een} vlakrigting spreken, daarmede eenige

S loodregt op de normaal bedoelende.

Wanneer deze vectoren «/3 en 7 zoodanig evenwijdig
aan zichzelve verplaatst worden, dat zij den gemeen-
scli appel ijken oorsprong O hebben, terwijl OA = &
OB = 13 OC = 7, zoo is het volgens § 2 duidelijk
dat OC in het vlak ligt gaande door OA en OB. Zijn
a en /3 in lengte en rigting constant en denkt men
zich de verhoudingen van x y en z veranderlijk, dan
het vlak AOB met O vector zijn, die eenig punt van
zal 7 de veranderlijke verbindt.

Omgekeerd is vergel. (1) de voorwaarde, opdat drie
vectoren « /3 en 7, zoo zij evenwijdig aan zich zelve
met hun oorsprong naar eenig punt verplaatst worden,
in één vlak liggen.

8. Ligt het punt C op de lijn, die de uiteinden
van OA en OB verbindt, terwijl

xa y/3-}-zy = o

dan zal volgens § 5

AC
MS

zijn, terwijl t een scalar is. Maar

AC = 7—« AB ■= ß—«,

7—«

ß—a

7—a — t (ß-—«)

waaruit volgens § 2 en § 5:

_y — (l—t) « t/3

Hieruit blijkt, dat zoo C in de lijn ligt welke de
^uiteinden van ÖA en OB verbindt,

x , y

--rl ¹

z z

^of x y z = o.......(2)

Bestaat dus de betrekking (1), dan geeft (2) de
^v°°rwaarde aan opdat bij gemeenscbappelijken oor-
sprong de uiteinden der vectoren in één lijn liggen.

^enkt

men zich & en \'p als constante vectoren, y en
^cle verhoudingen van x, y en z veranderlijk, zoo geven
^fl) en (2) de vergelijking van de lijn die door de
deinden van en /3 gaat.
Elimineert men uit (1) en (2) achtereenvolgens elk
scalars x, y en z, dan krijgt men:

Y {(3^) z = o z (r—;3) x («—/3) = o

x («—r) - - y (0-—7) = o ..... (3)

Deze vergelijkingen drukken betrekkingen uit tusschen
van de lijn AB; immers men kan er voor

kijven:

⁰ ^ y. AB z. AG = z. BC x. BA = x. CA y. GB,

waaruit volgt:

x : y : z = BC : CA : AB.

De vergelijkingen (3) geven ook nog:

xx -)- y/3
x y

Elk dezer laatste vergelijkingen drukt hetzelfde uit
als de vergelijkingen (1) en (2) zamen.

9. Willekeurige vectoren. Liggen de vectoren
(3 en 7, zoo zij evenwijdig aan zich zelve naar een
gemeenschappelijken oorsprong verplaatst worden, niet in
één vlak dan kan x* y/3 zy ook niet gelijk nul
zijn, maar moet gelijk wezen aan een vierden vector;
dien wij u^ zullen noemen, zoodat:

xx ■ ■ y/3 Z7 - - uS = 0 . . . . (1)

Zijn de verhoudingen der scalars x, y, z en u ver-
anderlijk en /3 en 7 constante vectoren, dan kan ⁵
den vector voorstellen, die eenig punt der ruimte met
den aangenomen oorsprong verbindt. Omgekeerd,
van de overigens willekeurige vectoren /3, 7, en ⁵
geen drie in hetzelfde vlak liggen, wanneer alle niet
den oorsprong naar één punt evenwijdig aan zich zelve
verplaatst worden, bestaat er tusschen hen een betrek-
king van den vorm van (1).

3 ₌

u u u

^jn dan in bovenstaande figuur OA, OB, OG en OD
^resP- de vectoren j3, y en DC" II B"A\' [| CO enz.
²⁰⁰ zal:

OD = OA\' ob\' 4- OG\'
^ __OA\' J_ _ ob; _ z _ 0(y ..

U~öa TT ^— ÖC" ^ZIjn\'

ziet hieruit de beteekenis der coëfficiënten in de
Wijking (1).

geval kan zich voordoen, dat zoo men de vectoren
^aen oorsprong naar één punt evenwijdig aan zich
j. ^{e ve}rplaatst, de uiteinden der vectoren in één vlak
Dan zouden (zie § 2) de vectoren S, (3—3

y,__\\ .

^d m één vlak liggen, zoodat volgens § 7 er
^e betrekking tusschen die vectoren zoude bestaan
^flTl den vorm:

^a («—5) b (13—3) c (y—3) = o .... (3)

Dezen vorm met (1) vergelijkende, ziet men, dat
hieraan voldaan wordt, wanneer:

x y z u — o......(4)

Voldoen de vectoren dus aan de vergel. (1) dan is
(4) de voorwaarde opdat hij gemeensehappelijken oor-
sprong hun uiteinden in één vlak liggen.

10. Vëctoken-quotientën. In § 5 zagen wij, dat
zoo « = m (3, terwijl m een positief of negatief reëel
getal is, (3 eene rigting heeft gelijk of tegengesteld
aan die van «. Wij definieerden dan :

— — m..........(1)

a

en noemden met Hamilton het quotiënt van twee der-
gelijke vectoren een scalar. Wij gaan nu over tot de
beschouwing van vectorenquotienten, waarin de vecto-
ren geen gelijke of tegengestelde rigting hebben.

Wil men een nieuw begrip invoeren, zooals wij hier
wenschen te doen door het quotiënt van twee willekeu-
rige vectoren te beschouwen, dan moet het eerst in
overeenstemming gebragt worden met de begrippen
waarop het gegrond is; vervolgens mag het niet in
tegenspraak zijn met vroeger reeds vastgestelde begrip-
pen, waartoe het nieuwe begrip zich onder bijzondere
omstandigheden kan vereenvoudigen; dan blijft de mo-
gelijkheid nog over dat de uitwerking van sommige
operaties op dat begrip of het resultaat van sommig\'^e

^c°iïtbinaties van dergelijke begrippen onderling of van
dergelijke begrippen met andere niet volledig bepaald
^ZlJ- Het begrip moet dan gepreciseerd worden door
^c^e uitwerking of dat resultaat bij definitie vast te
bellen.

Het begrip van een vectoren quotiënt moet dus in
overeenstemming zijn met het begrip van vector , waarop
^et berust. Is dan c\' een vector in rigting en lengte
aan en /3\' een vector in rigting en lengte gelijk
^aau zoo moet volgens § 1:

— = — = — = -T zijn . . . . (1)

OL X 01 &J

"L-i

^en vectorenquotient is dus onafhankelijk van de
Volute plaats der vectoren in de ruimte.

Vervolgens mag het begrip van een vectorenquotient
^^let in tegenspraak zijn met het in § 5 ontwikkelde
^e^^rip van een quotiënt van vectoren die gelijke of

ingestelde

rigting hebben.
Een vectorenquotient moet dus overgaan in een scalar,
kotteer de vectoren gelijke of tegengestelde rigting
y^en ; omgekeerd, zoo de vectoren niet hebben gelijke
tegengestelde rigting kan een vectorenquotient ook
^{1Uet een} scalar zijn.

■\'•Otusschen is door deze voorwaarden het begrip van
^ vectorenquotient nog in het geheel niet bepaald.

^Zal dus verder bij definitie moeten geschieden.

Definities. Om redenen, waarop wij later terug-

komen, heeft Hamilton aan een vectorenquotient den naam
van quaternion gegeven; hij stelt een quaternion in het
algemeen door de letter q voor. De uitdrukkingen qua-
ternion en vectorenquotient zullen door ons bij afwisse-
ling gebruikt worden.

De definities waardoor het begrip van een quaternion
verder geheel bepaald wordt, zijn door Hamilton mee-
rendeels aan de algebra ontleend. Intusschen gaat deze
analogie met de algebra maar tot zekere hoogte, zooals
uit het vervolg blijken zal. Ten eerste wordt ge-
definieerd, dat, als

T ~ ^q............<^j>

dan ook

(2 = q «...........(2)

Hieruit volgt, dat men heeft:

A « = (3..........(3)

«

ï- = q............W

a

Ten tweede wordt gedefinieerd, dat als

.— — — en a — x........(5)

«\' x

dan ook

(3\' = (3 is......... . (6)

Omgekeerd krijgt men dan, dat ongelijke vectoren?
gedeeld door gelijke vectoren, ongelijke quotienten geven-

Ten derde, dat

zoo q\' — q en q" = q ook q\' = q is.

Ten vierde, dat twee veetorenquotienten, die den-
zelfden noemer hebben, bij elkander opgeteld of van
elkander afgetrokken worden, door hun tellers bij el-
kander op te tellen of van elkander af te trekken, en
^e som of dat verschil door den gemeenschappelijken
ⁿ°emer te deelen. Men heeft dus:

y_ J3_ _ 7 4- ff.......(7)

XX X

2l — a -⁷ -¹³.......(8)

XX X

Hieruit volgt in verband met § 5, dat zoo m een
geheel positief of negatief getal is,

JL — ^111/3 _ ......(9)

x x a

l^oor een eenvoudige redenering kan men aantoonen,
deze vergelijking ook geldt, wanneer m eenige

scalar i_s.

^en viifde, dat men teller en noemer van een vec-

t

°^r(luotient met eenzelfde s c a 1 a r mag vermenigvuldigen,

^odat

(3 m/3

T

^en zesde, dat het quotient van tweevectorenquo-

tienten, die gelijke noemers hebben, gelijk is aan het
quotiënt der tellers, zoodat:

........(11)

et » (3 ^V \'

Ten zevende, dat de volgende vergelijking geldt:

^•f-t-.......w

p p

waarin het multiplicatorquotient, het multiplicand-
quotient is.

Dit geeft in verband met (9) en (10), zoo m een
scalar is:

m/3/3mp /3 (3 a

m q = —— . — =-- = —— = — . —— = q m . (\\ó)

P x « m^-1^ a m^-1«

De vermenigvuldiging van een quaternion en een
scalar is dus commutatief.

Dat door deze definities het begrip van een vectoren-
quotient verder volkomen bepaald is, kan natuurlijk
eerst later blijken.

12. Gevolgtrekkingen. Volgens (1) van § 10 mogen
wij onderstellen, dat de vectoren « en (3 van het quotiënt
gemeenschappelijken oorsprong hebben.

De voorwaarde, dat een quotiënt van vectoren, wie¹*
rigting gelijk of tegengesteld is, een scalar moet zij¹¹\'
eischt dat een quotiënt van willekeurige vectoren onaf-
hankelijk zij van hun absolute rigting. Dit in verband
gebragt met (10) van de vorige paragraaf, krijgt uien

resultaat, dat een vectorenquotient alleen afhangt
^Vtln de relatieve lengte en de relatieve rigting
der vectoren. De relatieve lengte wordt voorgesteld
door een getal, de relatieve rigting door een lioek.
13. Zij dan OA = * OB = /3 en be-

B/ schouwen wij het vectoren quotiënt

T= ^q-

De relatieve rigting van OB ten op-

^2l^te van OA wordt niet bepaald alleen door de grootte

^Vai1 den hoek AOB. Zij toch OB\' = /3\' een andere

^Ve°tor gelegen op den omwentelingskegel, die OA tot

^ en hoek AOB tot kalven tophoek heeft; en zij de

^!1gte van OB\' gelijk aan die van OB. Dan zou wan-

^)eei de relatieve rigting van OB ten opzigte van OA
door i

ae grootte van den hoek AOB bepaald ware, men
en:

0 0\'

ot.

dat in strijd is met de tweede definitie van § 11 ,
daar r

¹ en p niet aan elkander gelijk kunnen zijn.
^ ^il de relatieve rigting van OB ten opzigte van OA
¹ ï^ald zijn, dan moet men behalve de grootte van den
AOB ook kennen de vlakrigting die door de vec-
* en /3 bepaald wordt; eindelijk nog de rigting
.^{11 c}^e draaijing van OA naar OB. Om deze twee laatste

Clgthio»

&en aan te geven, kan men zich denken een

vector OC loodregt op het vlak AOB, zoodanig dat,
indien men zich langs OC met de voeten in O geplaatst
denkt, de draaijing van OA naar OB zich als posi-
tief voordoet, dat is, bij de veronderstelling die wij
wenschen te maken: dat de draaijing geschiedt van de
regter- naar de linkerhand. Hierbij wordt vastgesteld
dat de hoek AOB, die de hoek van het vectorenquo-
tient heet, altijd kleiner dan n is. De lijn OC noemt
men dan de positieve as van het vectorenquotient;
haar lengte wordt verondersteld gelijk te zijn aan de
eenheid van lengte; terwijl de draaijing van den noe-
mervector naar den tellervector om die as positief is.

Een vectorenquotient hangt dus af van de relatieve
lengte der vectoren, die gegeven wordt door een getal;
van de grootte van den hoek dien de vectoren met
elkander maken; van de rigting der positieve as. Deze
rigting nu is bepaald, zooals men weet, door twee
polaire coördinaten of hoeken. In het geheel hangt dus
een vectorenquotient af van vier grootheden. Dit i^s
de reden waarom Hamilton een dergelijk quotiënt met
den naam van quaternion bestempeld heeft.

14. Uit het voorafgaande volgt onmiddelijk, wan-
neer OA = x, OB = /3, OC — r, OD = £ vectoren
zijn, die bij gemeenschappelijken oorsprong in één vlak
liggen en wanneer de driehoeken AOB en COD gelijk-
vormig en gelijkelijk geplaatst zijn, dat dan:

7 x

D Immers zijn de

/ \\\\ relatieve lengte en

// \\ \\ de relatieve rig-

/ \\ \\ ting van de vecto-

/ \\ ren OA en OB in

/\\ \\ alle opzigten de-

--\\--^B zelfde als die van

\\ i / de vectoren OC

\\ \\ / en OD.

\\ \\ / Omgekeerd,

\\ TA. wordt door de vec-

\\ / toren p, 7 en 2

\\ / aan (1) voldaan,

\\ / zoo zullen de drie-

\\/ hoeken AOB en

COD gelijkvor-

en gelijkelijk geplaatst zijn, zoodat men kan
kijven:

A AOB oc COD.

Denkt men zich dat om OA als as de vector OB

^Zlch 180 graden draait en de plaats OB\'gaat innemen,

^Zljn de driehoeken AOB\' en COD gelijkvormig bij

^A61 stand. Hamilton drukt dit uit door het teeken oc\',
^z°odat,

A AOB\' oc\' COD.

kan dus een vectorenquotient vervangen door

ander vectorenquotient, waarvan de vectoren bij

s

gemeenschappelijken oorsprong in hetzelfde vlak liggen
als de vectoren van het eerste quotiënt; terwijl als
noemer of als teller van dat nieuwe quotiënt eenige
vector in dat vlak gelegen kan aangenomen worden, en
de teller of de noemer dan door constructie van gelijk-
vormige en gelijk geplaatste driehoeken gevonden wordt-

15. Een gevolg hiervan is dat twee willekeurige
vectorenquotienten altijd tot een vorm te brengen zijn,
waarbij zij een gemeenschappelijken noemer hebben.
Deze noemer zal de rigting moeten hebben van de lijn
volgens welke het vlak, waarin bij gemeenschappelijken
oorsprong de vectoren van liet eene quotiënt gelegen
zijn, een tweede vlak snijdt, dat bij gemeenschappe-
lijken oorsprong door de vectoren van het andere
quotiënt bepaald wordt.

Uit de vierde definitie van § 11 blijkt nu dat de
som of het verschil van twee en daarom de som van
eenig aantal willekeurige quaternions wederom een
quaternion is, dat zich evenwel tot een scalar kan ver-
eenvoudigen.

Zijn van twee vectorenquotienten alle vectoren bij
gemeenschappelijken oorsprong in hetzelfde vlak gelegen-
of, zooals Hamilton het uitdrukt, zijn twee vectoren-
quotienten of quaternions complanair, zoo kan men
eiken vector evenwijdig aan dat vlak tot gemeenschap\'
pelijken noemer van die quotienten aannemen.

16. Uit de figuur van § 14 is duidelijk, dat, zoo

A AOB cx COD

ook

A BOA oc DOC en A AOG oc BOD;

zoodat,

ai« ^ ⁵ ^ , « y y — ,a\\

^ais ■— = — dan ook — = —- en — — —. . . (1)

x y p o x p

17. Wij hebben in § 13 vastgesteld, wat de posi-
dfcve as en wat de hoek van een quaternion is. De
^as is altijd een geheel bepaalde vector, wanneer niet
vectoren van het quotiënt dezelfde of een tegenge-
stelde rigting hebben. In het laatste geval evenwel is
as onbepaald en kan elke vector, met de lengte één
zoodanig beschouwd worden. Hebben de vectoren
^Vari het quotiënt dezelfde rigting, zoo is de hoek van
^ quotiënt nul; bij tegengestelde rigting der vectoren,
^ls de hoek gelijk n.

Reciproke quaternions. Beschouwen wij het
^otient:

x

Volgens § 5 en (11) van § 11 mogen wij schrijven:

1 :1 = = 4.....(i)

x x x p ^v \'

^en heeft dus dat de reciproke is van ; men

^emt -il _en JL reciproke quaternions.

product van twee reciproke quaternions is de
P°^itieve eenheid; immers volgens (12) van § 11:

*•\'\'• = - 1........(2)

p x x

De hoek van een quaternion is klaarblijkelijk gelijk
aan dien van zijn reciproke; de positieve as of kort-
heidshalve de as van een quaternion is tegengesteld in
rigting aan die van zijn reciproke (§ 13). Wij kunnen
deze resultaten door notaties, die uit zich zelve dui-
delijk zijn, in de volgende vergelijkingen zetten:

1 1

Z - = Z q As —

q q

Twee willekeurige quaternions q en q\' kunnen wij
volgens § 15 altijd onder den vorm brengen :

q = — q = —

Daarom heeft men in het algmeen:

7 7 oi

^{q : q} = 7 ⁼ v

en (q\' : q) q — q\'.......

19. Geconjugeerde quaternions. Wanneer twee drie\'

sB hoeken AOB en AOB\', die
in hetzelfde vlak liggen ?

een zijde OA gemeen heb-
ben, en gelijkvormig bij
^A overstand zijn, dan noemt

OB _ell

men de quotienten^^
OB\'

geconjugeerde öüa\'

ÖA

nions. Hamilton voert de letter K in als karakteristiek
^voor de conjugatie en schrijft:

QB _ OB^

OA ~~ OA

als

A AOB a\' AOB\'.......(2)

OB

Wordt het quotiënt ~ voorgesteld door q, dan kan

OB\'

voor het quotiënt ^ schrijven Kq.

Omgekeerd, geldt vergelijking (1) dan geldt ook (2).
Het is duidelijk dat (§ 13J:

Zq = ZK q As q = — As Kq . . . (3)

Hen scalar kan beschouwd worden als een quaternion,
Waarvan de hoek nul of n en de as onbepaald is.

aaruit volgt, zoo x een scalar is:
Kx = x . . . .

A het punt waar de lijn BB\' de lijn OA snijdt,
zal:

OB H- OB\' = 20A\'
¹¹ volgens de vierde definitie van § 11:

20A\'
OA

som van een quaternion en zijn geconjugeerde is

dus

^een scalar.

Wanneer de hoek AOB regt is, zoo wordt OA\' een

nul-vector en de som (5) een nul-quaternion, dat wij
ook door liet teeken o voorstellen, en men heeft:

q 4- Kq = o als Z q = .....(6)

Dat een nul-vector gedeeld door een actuelen vector
werkelijk een nul-quaternion is, leert de volgende ver-
gelijking :

° ^{— a}\'^y" — ^x — * — 1 l~o

oi a oc ot>

Men kan (6) ook omkeeren, zoodat:

tc

Z q = -J als q 4- Kq = o . . . . (7)

Een quaternion waarvan de hoek gelijk —is, noemt
men een regt quotient.

20. Wanneer twee vectoren, die gelijke lengte doch
tegengestelde rigting hebben, door een zelfden vector
gedeeld worden, noemt men die quotienten tegenge-

Q _O

stelde quaternions; — en —— of volgens (9) § ll

CO (X/

B (3

— en — — zijn dus tegengesteld. De som van twee

i% Ct>

tegengestelde quaternions is nul; hun quotient —1. De
reciproken van twee tegengestelde quaternions, zij¹zelve tegengesteld, zoodat (zie (10) van § 11):

-i- = - -i-..........

—q q

De assen van twee tegengestelde quaternions hebben

^tegengestelde rigting; hun hoeken zijn eik-anders sup-
plementen , of:

Z (— q) = „ — Z q, As (— q) = — As q . (2)

Wij mogen nu schrijven:

Kq = — q als Z q

Het is duidelijk dat men heeft:

- (— q) = q 5 1 : (1 : q) = q ; KKq = q . (1)

Vervolgens kan men uit een eenvoudige figuur aan-
tonen dat:

K (- q) = — Kq; K

As q • ■ .(3)

Hit (2) volgt, dat

Norm. Het product van twee geconjugeerde qua-
^ternions wordt hun gemeenschappelijke norm genoemd
⁶¹¹ aldus aangeduid:

qKq = Nq .

uitdrukking is door Hamilton aan de getallen-
^the°rie ontleend.

en zij C een zoodanig punt op de lijn OA, dat

A BOG a AOB\'
en dus A B\'OC oc AOB

zoo heeft men:

OB OB OB\' OG OB\' OG

N

OA OA ~~ OB\' OA
OC OB OB\'

OA

OB

N

OA ~ OA ~~ OB OA ~~ OA
Daar OC en OA dezelfde rigting hebben, is hun
quotiënt gelijk aan het quotiënt hunner lengten, en
dus gelijk aan het quotiënt van het quadraat der lengte
van OB en het quadraat der lengte van OA (§ 5)-

Zoo krijgt men:

0\' (3

Nq = NKq = N

a

.....(2)

23. Radialen. Wij gaan over tot de beschouwing v^al1

Quotiënten waarvan de vectoren allen de eenheid van
^^eugte hebben; zulke vectoren worden door Hamilton
nlieids-vectoren, zulke quotienten radiale quo-
^l\'^en ten of radiale n genoemd. Hier komt dan alleen
relatieve rigting der vectoren in aanmerking, terwijl
^schouwingen over de relatieve lengte later volgen.

^ OA = «. een vector van willekeurige lengte, dan
Wordt de eenheidsvector die dezelfde rigting heeft, voor-
gesteld door U*.

herplaatst men alle eenheidsvectoren evenwijdig aan
^Zlch zelve met den oorsprong naar eenig punt O, zoo
zullen de uiteinden van die vectoren op een bol liggen,
de eenheidsbol kan genoemd worden,
^e positieve eenheid kan beschouwd worden als een
^adiaal waarvan de hoek nul is, de negatieve eenheid als
^diaal met den hoek w.

^s de hoek van een radiaal ~ zoo heet het radiaal
^ ^regt radiaal.
Het ligt voor de hand het product van twee gelijke
ernions het quadraat van dat quaternion te noemen
^{1 te} schrijven

qq = q².

^ aangenomen zijnde, heeft men dat het quadraat
^van _eii

^K regt radiaal gelijk is aan de negatieve eenheid
^Iïü*ers als Z AOB = :

Op dezelfde wijze is
liet gemakkelijk in te
zien dat- liet quadraat
van eenig regt quotiënt
(§ 19) een negatieve
A\' ⁰ scalar is.

Wanneer r een radiaal quotiënt is, heeft men:

^ = 4-............(2)

en omgekeerd, als (2) geldt, is r een radiaal quotiënt-
Wanneer toch OA en OB eenheidsvectoren zijn en

OB .1 OA A aat, , „A,
r = jrj-, zoo is - = ^ en A AOB cc\' BOA.
OA r OB

Eindelijk (§ 20 (3)):

71 1

als / y — dan is Kr — — — — r.....(3)

2 r

24. Vectorbogen. Zijn wederom OA en OB twee een-

heidsvectoren met gemeenschappelijken oorsprong, zoodat

A en B op den eenheidsbol liggen, dan is liet radiale qu°\'

OB

tient geheel bepaald door den boog AB, die op den

eenheidsbol gelegen is. Voert men dergelijke bogen in als
voorstellende radiale quotienten, zoo moet in de eerste
plaats de rigting van de boog in aanmerking gen omen
worden en dus de boog AB van de boog BA ondef\'
scheiden worden; de boog BA stelt dan voor het qn°\'

tient of K (_zi_e (2) van de vorige paragraaf)-

Vervolgens zijn dan bogen van een zelfden grooten

^Clrkel, gelijke lengte en rigting hebben, aan elkan-
gelijk, en knnnen bogen van verschillende groote
^Cllkels in het algemeen niet aan elkander gelijk zijn.

y zeggen in het algemeen omdat bogen van 0 en 180
^^raden van alle groote cirkels onderling gelijk worden
(vergelijk § 23).
dergelijke bogen, die radiale quotienten voorstellen,
^eeten Vector bogen, waarvan men, even als bij de
Storen, een oorsprong en een uiteinde kan onderscheiden.

Of?

Product van radialen. Door middel van vec-
^0] ■ ^,(>g\'en k_{an m}en het product of het quotiënt van twee
radialen construeren. Zoo

quotienten volgens § 15 tot den vorm te brengen:

2L
0

T w

wee willekeurige radialen en evenzoo twee willekeu-
^{b (}inaternions zijn dus altijd tot den vorm te brengen:

Beschouwen wij
nu het product
r\'r waarbij (verg.
zevende definitie
van § 11) r\' het
multiplicatorquo-
tient, r het mul-
tiplicandquotient

is, dan krijgt men :

^r\'^r = TT \' — = —.......

P iX Ct • \'

De vectorboog AC stelt dus voor liet product r\'r-
Wanneer

bg AB = bg BA\'
bg BC = bg C\'B is,
dan mogen wij schrijven

£ _ OA\'_ _ 7 _ OB _ 13

<* ~ OB ~ (3 (3 OC\'

en men heeft:

_rr\' — JL Z. — JL JL — fL m

^rr ~ et \' (3 ~ (3 \' y\' ~ y\' \' \' \' ^K \'
Het product rr\' wordt dus voorgesteld door de vector-
boog C\'A\'.

Maar volgens § 24 kunnen de vectorbogen AC ^e11
C\'A\' in het algemeen niet aan elkander gelijk zij*¹\'
omdat zij in het algemeen niet zijn bogen van den\'
zelfden grooten cirkel. Men heeft dus het resulta^

dat r\'r niet gelijk rr\', of met andere woorden, dat de

. f

vermenigvuldiging van radialen niet commutatie
is. Intusschen heeft men altijd Z r\'r = Z rr\', omd^
de lengten der bogen AC en C\'A\' gelijk zijn; de
van rr\' is daarentegen niet dezelfde als die van r\'r.

Het product van twee radialen is wederom een radi\'
aal, omdat zulk een product altijd door een vectorboo»
kan voorgesteld worden.

Is Z r = Z r\' = , zoo liggen de bogen AC en C\'A

¹¹¹ denzelfden grooten eirkel, doch hebben dan tegen-
&^estelde rigting, zoodat (§ 24):

rr\' = K . r\'r = 4-........(3)

r r

^als Zr = Zr\'=|........(4)

Staan bovendien de quaternionvlakken AOB en BOC

^lo°dregt op elkander, zoo is Z r\'r = ~ en dus (§ 20 (3))

\\

• rr\' — ïv. r\'r ₌ —j- — — r\'r. . (5)
rr

^alS Z\'\' = Zr\'-Z r\'r = . . . (₆)

biggen de vectoren ß en y in hetzelfde vlak, dan
^let men gemakkelijk in, dat:

r\'r — rr\'

¹¹ dat r\'r evenals rr\' complanair is met r en r\'.

^D- Quotient van radialen. Volgens (11) van § 11
_men .

2L • A₌

a \' cc ß

radiaal ~ wordt voorgesteld door de vector-boog
\' uet radiaal — door AB; men ziet dat het quotiënt

v. ot, ¹

rV

¹¹⁶ radialen door de vectorboog BC wordt gegeven.

^ hetgeen in de vorige en in deze paragraaf

«n is, kan men nu de volgende regels afleiden
°or |

t\\ vinden van het product en het quotiënt van

^ willekeurige

radialen.

Zoekt men liet product van twee radialen, die voor-
gesteld worden door vectorbogen, dan verplaatst men
de multipicandboog met het uiteinde naar een snij-
punt der groote cirkels, waarin de vectorbogen gelegen
zijn, en de multiplicatorboog met den oorsprong
naar dat snijpunt. De boog die den oorsprong van de
multiplicandboog met het uiteinde van de multiplicator-
boog verbindt, stelt dan het product voor.

Zoekt men het quotiënt van twee radialen , dan ver-
plaatst men de beide vectorbogen met den oorsprong\'
naar een snijpunt der groote cirkels, waarin de vectorbogen
gelegen zijn. De boog, die het uiteinde van de d i v i-
sörboog verbindt met het uiteinde van de dividend-
boog stelt dan het quotiënt voor.

27. De radialen i, j en k. Bijzonder belangrijk
de beschouwing van drie radialen, wier vlakken loodreg¹

K

J\'

°P elkander staan. Zijn 01, 0J en OK drie onderling
l°odregte eenheidsvectoren, zoodanig dat de draaijing
om oi van OJ naar OK positief is, en stelt men :

• _ OK ■ 0I_ , _ OJ^
¹ OJ ^J OK ^ 01

zal

As i - 01, As j = OJ, As k - OK.
Laat verder:

01\' — — 01
OJ\' = — OJ
OK\' = — OK zijn.

^ari heeft men:
i = OK : OJ = OJ\' : OK = OK\' : OJ\' = OJ : OK\';
j = 01 : OK = OK\' : 01 — OF : OK\' = OK : 01\';
k = OJ : 01 = 01\' : OJ — OJ\' : 01\' = 01 : OJ\';

eii;

— i = OJ : OK = enz.

— j — OK : 01 = enz.

— k — 01 : OJ = enz.

heruit volgt:

i² = (OJ\' : OK) (OK : OJ) = — 4
ij = (OJ : OK\') (OK\' : 01) = OJ : 01 = k
j i = (OJ : OK) (OK : OJ) = 01 : OJ = — k.

^UP dezelfde wijze vindt men:

ⁱ² = — 1 = _ i k² = — i ... (1)
= k jk = i ld = j • • • (2)

De betrekking-en (3) volgen ook uit (2) door (5) en
(6) van § 25.

Uit (4) blijkt dat de vermenigvuldiging van radialen
wier vlakken of assen loodregt op elkander staan, asso-
ciatief is, zoodat:

ij. k = i.j k.
Men kan de punten dus weglaten en schrijven:

ijk - - 1.......... (5)

28. Versor. In § 23 stelden wij reeds vast, dat zoo
OA = * een vector is van willekeurige lengte, de
eenheids vector, die dezelfde rigting als » heeft, voorge-
steld wordt door U*.

Is q = ~ een willekeurig quaternion, dan zal—^

een radiaal zijn. Dit radiaal zullen wij voorstellen
door Uq, zoodat:

Uq = U A ₌ ^.........(1)

OL \\]x

Om redenen waarop wij later terug komen, noein^
Hamilton het radiaal Uq den versor van q, en even-
zoo den eenheidsvector JJx den versor van <z.

Bovendien

wordt elk radiaal ook wel een versor genoemd.
Het is duidelijk dat

Z Uq = Z q As Uq = As q.....(2)

of algemeener:
Z q\' = Z q en As q\' = As q als Uq\' = Uq . • • ^
Bij den versor van een vectorenquotient komt alle^e11
de relatieve rigting der vectoren in aanmerking. V^e\'^/jC

relatieve rigting nu is volkomen bepaald door den boek
⁶¹¹ de as. Men mag dus (3) omkeeren en schrijven:

Uq\' = Uq als Z q\' = Z q en As q\' = As q . . . (4)

29. Volgens (3) van § 21 heeft men dus:

ÜKq = ü i-..........(1)

q

resultaat, dat ook uit een eenvoudige figuur ge-
makkelijk te bewijzen is.
Verder is :

U ( 1 • = =

¹ ■ — ¹ j3 Up ÜJB «

dus:

q Uq

of 1

Uq . ü JL = 1 ,
q

⁶¹¹ (1):

^UKq = of Uq. ÜKq = \'1 = NUq . . . . (3)

norm van een versor is" dus altijd gelijk aan de

^p0^tieve eenheid.

°lgens § 23 en volgens (1) en (2) heeft men:

KUq = _ttL = ü — = ÜKq......(4)

Uq q

operaties U en K ziin dus commutatief.
TT •

dat ^{van bcfc s}y^mb001 ^ duidelijk,
IJU* = \\Jz UUq = Uq.....(5)

Evenzoo dat:

Urnq = Uq of Umq — — Uq . . . (6)

naarmate m een positieve of een negatieve scalar is.

Eindelijk door een scalar te beschouwen als een
quaternion, waarvan de hoek nul of n en de as on-
bepaald is, krijgt men:

Um = 1 of Um = — 1 .... (7)

naarmate m een positieve of een negatieve scalar is.

30. Tensor. Is de lengte van een vector a lengte-
eenheden , zoo is:

x — a.tU = U«.a.

De grootheid a wordt door Hamilton de tensor
van den vector « genoemd en voorgesteld door T«i
zoodat

a = T x.Ux = Ux.Tx.......(1)

De tensor van een vector is dus altijd positief?
en van een eenheidsvector cle positieve eenheid.

Moet een veranderlijke vector q voldoen aan de ver-
gelijking :

To = I...........(2)

zoo zullen bij gemeenschappelijken oorsprong de uit\'
einden van alle vectoren q op den eenheidsbol liggen i
(2) is dus een vergelijking van den eenheidsbol.
Op dergelijke wijze is:

T (q *) = T (a — «)

de vergelijking van een vlak door den oorsprong lood-
^regt Op ft.

Deze voorbeelden mogen doen zien hoe men door
alleen de lengten van vectoren in te voeren, verge-
lijkingen van geometrische plaatsen kan vinden.
Wij stelden in § 28

Ux « .

uq = p ^{als q =} T\'

bet ligt nn voor de hand om te stellen:

m T X
lq= X|3

^eri Tq te lezen als den tensor van q.
Daar nu

ot Ta. U^ • i p.

a ---— = —rU- is, heeft men

¹ ~ 0 T/3.U/3 \'

(§ 11 (31)) :

_q = Tq . Uq = üq . Tq .... (3)

^Gri TUq = 4 . . .\'......W

Het is duidelijk, dat men heeft,
T. xq _ xTq of T . xq = — xTq ... (1)
^1Ularmate x een positieve of een negatieve scalar is.

tensor van een quaternion toch kan even als de
^t(\'^US0r van een vector alleen positief zijn , zoodat dan

ook;

T (- q) = Tq........(5)

tensor van een scalar is die.scalar zelf maar
ï*°8itief genomen. Daarom :

TT;; = Tx TTq = Tq.....(3)

3*

Verder:

T (1 : q) = T (*:/3) = T« : T/3 = 1 : Tq . . (4)
en volgens § 19:

TKq = Tq..........(5)

Wanneer q\' = q zal ook :

Tq\' = Tq Uq\' = Uq zijn.
32. Volgens § 29 (3) is:

ÜKq

Dit in verband gebragt met (5) van de vorige
paragraaf, heeft men:

Tq

Kq = TKq . UKq

q = Tq . Uq, heeft men:

Nq = qKq = (Tq)² jL = (Uq)² .... (2)

Als A AOB oc BOC

OA = « OB = (3 OG =
dan is:

(2 7

£

J^ _

(3 \' <x ~~ et.

Zoo vervolgens

OA\' = Ux, OB\' = U/3, OG\' = U/,

dan is:

<*<»\' - | ■ E = Sr^T ■ • • ■ <⁴⁾

Deze vergelijkingen veroorloven ons om zoowel voor

«v

als U. q² te schrijven Uq², en evenzoo zoowel
^V°^0r (Tq)² als T.q² te schrijven Tq²; zoodat (2) nu
°^Vei\'gaat in:

Nq = qKq = Tq² i = üq^a . . . (5)
^en (1) in: ^q

.......<*>

Zooals wij reeds in § 25 gezegd hebben, kunnen
t^ee willekeurige quaternions q en q\' altijd onder den
*^0l\'^m gebragt worden:

(3 , y

^q = T ^q - 7 ■

⁰⁰ krijgen wij dan:
T \' T¹

\' ^q\'^q" ?« % ■ ïü=•=■ ^T(i • ^ïci\'=• (* >

ü. q\'q ₌ üy __ Uff _{lJ (} u _{( (2)}

¹⁴ Ux ~ U/3 Ux ^q " ^q\' \' ^K \'

Iiitusschen is volgens § 25 Uq\'. Uq niet gelijk aan

^ q IT ,

eil dus ook U. q\'q niet gelijk aan U. qq\'.

aar

dat ^evenwel T • ^fl⁽l wel gelijk T. qq\' is, zoo volgt,
1 ^fl niet gelijk aan qq\' kan zijn. De vermenig-
^ ^mg van quaternions onderling is dus niet com-
^atief. Alleen wanneer de quaternions q en q\'

complanair (§ 15) zijn, is q\'q = qq\'. Intusschen is
steeds Z q\'q = Z qq\'.
Men heeft nog:

T . (q\' . mq) = T . (raq\' . q) = mTq\'q ... (3)
als m een positieve scalar is:

N . q\'q = (T . q\'q)² — Nq\' . Nq — Nq . Nq\' . (4)
Brengt men de quaternions q en q\' tot den vorm
(§ 15)

«\' , 7

zoo volgt daaruit:

T (q\' : q) = Tq\' : Tq U (q\' : q) = Uq\' : Uq . . (5)

n

34. Zij wederom q = —, q\' = dan is:

oc p

a a a, 8 11 /i \\

i^: qq = — = TT• — = — . -7.. . . ï)

7 P 7 q q
en volgens (2) vaii § 23:

KUq\'q = U J- . = U — . U ~ = KUq. RUq\' ... (2)

qq q q ■

Door heide leden van de laatste vergelijking met
Tq\'.Tq te vermenigvuldigen, krijgt men (§31(5)):
Kq\'q = Kq . Kq\'........(3)

en zoo q\' = q:

K . q² = (Kq)² = Kq².......(4)

Nog heeft men (§ 11 (7) en § 3)

q q\' = = = q\' q . . . (5)

P P

Optelling van quaternions is dus commutatief.
Uit een eenvoudige figuur kan men inzien, dat

K (q\' q) = Kq\' Kq...... . (6)

Zij toch OBDC een parallelogram, en OA\' een vector,
⁽"^e in het algemeen niet ligt in het vlak van OBDC;
^ziJ vervolgens

OA\' = OB = (3 OG = 7 OD — §;

K ir K = K Ir - K

(X XX XX X \'

/3\' = OB\' y\' = OG\' V = OD\';

^Z°° ^zal OB\'D\'C ook een parallelogram zijn, waar-
^Iïlede (5) bewezen is.

Scalar. In § 19 toonden wij reeds aan dat de
kom q -j- j^q steeds een scalar is; de helft van die som
^ll0emt Hamilton de scalar van het quaternion q en deze
^M°i\'dt geschreven Sq; zoodat

q Kq = Kq H- q = 2Sq.......(1)

^Waaruit terstond volgt:

SKq = Sq...........(2)

beschouwt men een scalar als een quaternion waar-
^ai1 de hoek nul of n en de as onbepaald is, zoo volgt
^Uit W van § 19:

Sx = x........_. . . (3)

fileer x een scalar is.

Hieruit krijgt men verder:

SSq = Sq.......... (4)

Vervolgens (§19 (6)):

Sq = o als Z q = \\.......(5)

Uit de figuur van § 19 blijkt, dat zoo OB met een
sealar m vermenigvuldigd wordt, dit ook met OA\' ge-
beurt; waaruit:

S . mq = mSq als m een scalar .... (6)

en

Sq = S (Tq . Uq) = Tq . SUq.....(7)

Nog geeft (4) van § 29 en (2) van deze paragraaf:

SUq « SKÜq = S = SU -i ... (8)
Uq q

en dus: Sq = Nq.S—.......(9)

De figuur van § 19 dcet cok zien, dat:

Sq = Tq.cos Z q SUq = cos Z q . . (10)
Daar Z q altijd kleiner clan tc is (§ 13), is ook Z-^i
gelieel bepaald wanneer men SUq kent.
De uitdrukking:

« S L

oc

geeft nu de projectie van den vector (3 op de rigtmg
van den vector

Uit (7) van § 29 en (1) van § 31 is het duidelijk dat:
USq - ± \'1 TSq «= ± Sq . . . . (l\'l)

^en uit (4) van § 19:

KSq = Sq = SKq.....(12)

36. Is OBDC een parallel ogram en OA een vector

in het algemeen niet
in het vlak van
OBDC gelegen; is
verder OB\' de pro-
jectie van OB op
derigting van OA,
OC\' die van OC,
OD die van OD;
stellen wij eindelijk
OA = * OB = (3
OC = y OD = 5 en

q =

Zoo

\' p

q q = _.

a,

gens § ie (₅) _en § _{35 is dan}

Sq\' _ 0(y
⁴ OA

dus:

S (q\' q) = Sq\' Sq.....(2)

_x twee willekeurige quaternions kunnen onder den

i\'tti ("1 \\

U) gebragt worden; (2) geldt dus algemeen.

In § 15 zagen wij dat de som van twee quaternions
altijd weder een quaternion is. Daarom heeft men
door (2):

S. [q" 4- (q\' 4- q)] = Sq" 4- S (q\' 4- q) = Sq" 4- (Sq\' 4- Sq) (3)

maar daar sealars reële algebraische grootheden zijn,
mag men ook schrijven:

S. [q"4-(q\'4-q)] = Sq" 4-Sq\' Sq . . (4)

Men bedenke, dat wij nog niet bewezen hebben, dat
q" (q\' 4-- q) = (q" 4- q\') 4- q = q" q\' q of in
woorden, dat de optelling van quaternions associatief is-
Op dezelfde wijze als (2) bewezen is, kan men ook
aantoonen dat:

S (q\' - q) = Sq\' - Sq......(5)

37. Uit (10) van § 35 is het duidelijk dat de scalai\'
van een quaternion alleen van den hoek en van den
tensor van het quaternion afhangt. Volgens § 33 is dus^:

Sq\'q = Sqq\'..........(1)

Zijn q\' = q = iL _regte quo tien ten, en herinne-
ren wij ons wat wij in § 13 de as van een quaternion
noemden , zoo volgt:

als Z q = Uq\' : Uq = XJy : U/3 = Asq\': Asq . . (²)
Immers liggen dan 0, As ~ en As A in h^et\'

^zelfcle vlak en is de hoek, dien (3 en 7 met elkander
^maken, gelijk aan dien tusschen Asq en Asq\'.

Daar twee willekeurige regte quotienten tot den boven-
handen vorm te brengen zijn, heeft men door (7) en
van § 35 algemeen:

S (q\':q) = T (q\':q).cos Z (A.sq\': Asq) . . . (3)

^als Zq\'-Zq=f .......W

Zyn q\' — —, q = 4- twee regte quotienten,

tz p

^Zo° zal U . q\'q = Jj| = Asq\' : (- Asq) . . . (5)

Immers liggen dan, zooals door het teekenen van
^Cer\' eenvoudige figuur nog duidelijker wordt, 7,
^l\' en Asq in hetzelfde vlak, en is de hoek tusschen
^{h en} y het supplement van dien tusschen Asq en Asq\'.
^it (5) volgt nu:

Sq\'q — — Tq\'q. cos Z (Asq\' : Asq) .... (6)

71

T

Z q = Z q = -ö- .......(7)

In 8 32 beschouwden wij reeds het quadraat van
⁶¹¹ Quaternion. Het is terstond in te zien, dat:

Z q² = 2 Z q ■ ........W

du_8:

SU. (q²) = cos 2 Z q = 2 (SUq)² — 1 . . (2)

en

S (q²) = 2 (Sq)² - Tq²......(3)

ontwikkelingen komt de uitdrukking (Sq)² meer

voor dan de uitdrukking S (q²). Hamilton slaat daarom
voor te schrijven:

(Sq)² = Sq²..........(4)

en S (q²) = S . q²........(5)

39. Beschouwt men een driehoek OAB, zoo leert
de planimetrie:

(T . AB)² = (T . OA)² — 2 (T. OA) (T . OB) cos Z AOB ■ •

(T . OB)² . . . (1)

OB

Door te stellen q = krijgt men:

AB .

ÜA =

Deelt men nu de beide leden der vergel. (1) dooi\'
(T. OA)², zoo geeft deze (§ 30 en (10) van § 35):

T (q — l)² = Tq² — 2Sq 1. . . (2)

of N (q — 1) = Nq — 2Sq H- 1 .... (3)

Door q in —q te veranderen, heeft men nu ook:

N (q 1) = Nq 2Sq 1. . . . (4)

Brengt men q\' en q onder de vorm — en —, zoo i^s •

OC Oi,

\\q J ^[ \\I3 /« /3 « «

q\' q . . . (5)

Volgens (4) is nu:

N (q\' q) = N ^ 1 ^ Nq = Nq\' 2 Nq S Nq-

^aar [(6) van § 35, (4) van § 18, (6) van § 32,
^ ^van § 35 en (3) van § 34]:

NqS = S.q\' ^ = S. q\'Kq = S. qKq\';
q \' q

zoodat:

N (q\' q) = Nq\' S.qKq\' Nq . . .. (6)

^^aat het quaternion q\' in een scalar x over, zoo

Wordt (₆)_:

N (q x) = Nq 2xSq x²,

Welke vergelijking (3) en (4) zijn opgesloten.

^ Evenals wij in § 30 aantoonden, dat men door

Wijkingen tusschen tensoren geometrische plaatsen

^v°orstellen, mogen een paar voorbeelden doen in-
zicii 1

\' boe dit ook door vergelijkingen tusschen scalars

Vflll

quaternions kan geschieden.

ï ? een veranderlijke, « een constante vector, dan
Word_t

aan de vergelijkingen:

^^aai1 door alle vectoren, die bij gemeenschappelijken

^sProng- i_u j,_et vlak liggen loodregt op de rigting
^ll * \\

\' O) is dus de vergelijking van dat vlak.
de ^VenZo° hij gemeenschappelijken oorsprong van
lector oi en de vectoren q,

S ^■ = 1

a

de vergelijking van het vlak dat door het uiteinde van
x loodregt op de rigting van x staat.
De vergelijking

= i...........(3)

Q

is die van een bol waarvan de vector (3 een middellijn
De twee vergelijkingen:

S = 1 S 1 = 1 .... (4)

⁰⁵ Q

geven dus den cirkel volgens welken de bol (3) doof
het vlak (2) gesneden wordt.
Aan de vergelijking

S ±. . S È. ₌ |.......(5)

« O

wordt voldaan door alle vectoren, die aan het stel
voldoen. Zoo bovendien een vector voldoet aan \'
voldoet ook elk veelvoud of onderdeel van dien vector>
(5) is dus de vergelijking van een kegel van
2^den graad, die op den cirkel rust, welke door liet ^
(4) wordt gegeven.
De twee vergelijkingen

S 1. si- = l To = 1

x q .

geven dan een spherische kegelsnede.

41. Vector Een vector OB kan altijd ontbonden worden

in twee vectoren waarvan de
B\' eene evenwijdig is aan een
; anderen vector OA, en waar-

! van de tweede loodregt op

i

de rigting van OA staat.
\'^B (§ 2).

Zij dan B B — OB" lood-
^reê*t op de rigting van OA, zoo zal

OB = OB\' BB = OB\' OB" .... (1)
⁶¹¹ (S 11 (7)):

OB\'

^q ~ OA ~ OA

C§ 19 (ó) en § 35 (11)):
= Sq.

O4 ¹⁸, wat wij een regt quotiënt genoemd hebben,
^ït (2) volgt dan dat elk quaternion beschouwd kan

^eri als de som van een sectiën* en van een reirt

^lent. Dit regte quotient wordt door Hamilton de

* ilQ¹]!

y ^{0R v}an het quaternion genoemd en voorgesteld door
^{f1, z}°°dat in het algemeen:

q = Sq 4- Yq = Vq Sq . . . (3)

F¹

d_e ^{Ü Sca}^^{ar a}\'⁸ een quaternion beschouwende waarvan
¹¹ ul of n en de as onbepaald is, krijgt men:

Vx = 0 als x een scalar ....... (4)

Volgens deze laatste vergelijking en volgens (5) van

§ 35 lieeft men nu:

SVq = YSq = o........(5)

Zoo:

q\' = q

is ook:

Sq\' = Sq en Yq\' = Vq.....(6)

Wanneer Z q = ~ is Yq = q.....(7)

£

Vergelijking (5) kan ook omgekeerd worden, zoodat

als Sq = o, is q een regt quotiënt .... (8)
als Yq = o, is q een scalar........(9)

Het is duidelijk dat

YYq = Yq Vxq = xYq als x een scalar. . . (10)

Uit § 19 (6) en uit de figuur van die paragraf
volgt dat:

KYq = — Vq = VKq = NqV-1.....(11)

Kq = Sq — Yq................(12)

q — Kq = 2Vq...........(13)

Vergelijking (10) geeft:

Yq = Tq. YUq TYq = Tq. TVUq.......(14)

Maar TYq = - Tq. sin Z q .... (15)

en TVUq = sin Z q = TVU i. . . . . (16)

^z°odat (§ 35 (10)):

(SUq)² (TVUq)² = 1 .... (17)
^en Sq² (TVq)² = Tq² = Nq . . . . (18)

Intusschen is (§ 23 (1)):

(UYUq)² = — 1
^e« (VUq)² = - (TVUq)², (Vq)² = - (TVq)² . (19)

Hamilton sclirijft voor (Vq)² kortheidshalve ook Vq^a,
^te*\'wijl Y (q²) door V. q² wordt voorgesteld.
Zoo gaat dan (18) over in:

Nq = Sq² — Vq².......(20)

42. Projecteert men een parallelogram OB DC op
^llet vlak door O dat loodregt op de rigting OA staat,
⁵¹⁰⁰ is de geprojecteerde figuur OB\'D\'C\' ook een pa-
Daaruit volgt:

V (q\' q) = Vq\' Vq.....(1)

°P dezelfde wijze krijgt men:

V (q\' — q) = Vq\' — Vq.....(2)

^[cï" (q\' q)] = Vq" V (q\' q) = Vq" (Vq\' Vq) (3)

Wanneer Vq\' en Vq de vectoren zijn van twee qua-
^ter*fions, en wij stellen:

¹ ^ TVq — Tq sin Z q t\' = TVq\' = Tq\' sin Z q\'
x e= Z CAsq\' : Asq),

zoo heeft men (vergelijk § 37 (2) en (5))

Vq\' : Yq = (TVq\' : TVq) (Asq\' : Asq).......(4)

Vq\'.Vq = _ (TVq\' . TVq) (Asq\' : Asq) ...... (5)

S (Yq\' _: Yq) = t\'t"¹ cos x; SU (Vq\' : Yq) = cos x (6)
S (Yq\'.Vq) = — t\'t cos x; SU (Yq\'.Vq) = — cos x . (7)

Z (Vq\' : Vq) = x; Z (Yq\'.Vq) = ti - x . . . . (8)

TV (Vq\': Vq) = t\'t sin x; TVU (Vq\': Vq) = sin x. (9)
TV (Vq\'.Vq) == t\'t sinx; TVU (Vq\'.Yq) = sin x . (10)

43. Index. De as van een quaternion is, zooals wij
vaststelden (§ 13), een eenheidsvector, zoodanig, dat
voor iemand die zich langs dien vector met de voeten
in den oorsprong denkt, de draaijing van den divisor
naar het dividend positief is. Is het quaternion een
regt quotient, zoo noemt Hamilton den index van dat
quotient een vector, die de rigting heeft van de as, en
waarvan de tensor gelijk is aan den tensor van het
quotient.

Zij dan Z q = , zoo is:

Iq = Tq.Asq Tlq = Tq......(1)

Daar altijd Z Vq = en AsVq = Asq,

A

zoo zal ook:

IVq = TVq. Asq.........(\'2)

Maar, zooals uit de definitie van de as duidelijk ^lS\'
heeft men in het algemeen:

Asq = _ As (— q) = _ As-i-= — AsKq. . . (3)

zoodat:

IVq ₌ __ IVKq = - IV (— q) = — Nq.IV — . . (4)

en

IVq _ _ IKYq ₌ _ I (_ Vq) = - NVq.I -L . . (5)

De vergelijkingen (4) en (5) van de vorige paragraaf
geven nu:

Vq\' : Vq = IVq\' : IVq.......(6)

Vq\'.Vq ₌ _ (TVq\'.TVq) (UIVq\' : UIVq) = IVq\' (7)

Laten wij nog opmerken dat een regt quotient geheel
^^epaald is door zijn index, zoodat wanneer de indices
^van twee regte quaternions aan elkander gelijk zijn,
^ie regte quaternions zelve ook aan elkander gelijk zijn
⁶ⁿ °mgekeerd.

Is OBDC een parallelogram en OA een een-
^eidsvector loodregt op het vlak van OBDO, zoodat:

L ₌ / 2L — \' ^ ⁷¹

a a

y (3,

^Z°⁰ kunnen de quotienten — en — twee willekeurige

quotienten q en q\' voorstellen, terwijl — dan
^Vl som is.

Laat OB\'D\'C\' een ander parallelogram zijn in het-
^Zelfde vlak en verkregen door OBDC om OA als as
Positieve draaijing van een regteu hoek te doen
Orgaan. Dan is:

zoodat:

I (q\' q) = Iq\' Iq als ^ q = ^ q\' = ~ . . (1)

Dus in liet algemeen (§ 42 (1)) :

IV (q\' q) — IVqr IVq.....(2)

IV (q\' — q) = IVq\' — IVq.....(3)

IV _[q» (q- q)] ₌ IVq" (IVq\' IVq) . (4)

Maar de index van een regt quotiënt is volgens zijn
definitie een vector, en § 3 en § 4 leeren dat de op-
telling van vectoren commutatief en associatief is-
Wij mogen (4) dus schrijven :

IV [q" (q\' q)] = IVq" (IVq\' IVq) = (IVq" IVq\') lVq
= IVq" IVq\' IVq = IV [(q" q\') q] =

IV _(q" _q\' _q) . . . (5)

Daar door den index een regt quotiënt geheel be-
paald is (zie vorige paragraaf) volgt hier ook uit:
Vq" (Vq\' Vq) = (Vq" Vq\') Vq = Vq" Vq\' Vq ^
Vq Vq\' Vq-\' = enz. ... (6)

of in woorden :

de optelling van regte quotienten is commutatief en
associatief.

In het algemeen (§ 15 en 36 (4)):
q" (q\' q) = S [q" (q\' q)] V [q" (q\' q)] ⁴⁰⁸
Sq" Sq\' Sq Vq" 4- Vq\' Vq = (q" q\') <1 ^

q q\' q" = enz. ... (7)

Optelling van quaternions in het algemeen is dn⁶
commutatief en associatief.

45. Wanneer cle vlakken van drie of meer quater-
¹¹¹⁰¹ is alle zoodanig- evenwijdig aan zicli zelve verplaatst
Worden, dat zij door één punt gaan, en wanneer die
^v lakken dan een lijn gemeen hebben, noemt men die
quaternions coll ine aire quaternions. De assen van die
quaternions liggen in één vlak omdat alle loodregt staan
°P die gemeenschappelijke lijn. Zijn omgekeerd de assen
^van drie of meer quaternions in één vlak gelegen, zoo
^ZlJu de quaternions collineair.

^omplanaire quaternions (§ 15) zijn ook als colline-
^aire te beschouwen; een scalar, als een quaternion
Waarvan de hoek 0 of n en de as onbepaald is, is
^c°lHneair met elk tweetal willekeurige quaternions. Zoo
^ZlJ^u de scalars en de vectors Sq, Sq\', Vq, Vq\' van
*Wee willekeurige quaternions collineair.

geconjugeerden van collineaire quaternions zijn
Wederom collineair.

Distributieve eigenschap der vermenigvuldiging.
^le collineaire quaternions zijn altijd onder den vorm
^te brengen:

q-f q"=-4-

a a o

^claii_u ^ ₍|_{e r}ig^_ng. liceft van de lijn, die de quaternion-

^eii gemeen hebben, zoo zij door één punt gaan.
¹¹ heeft dan:

of (q\' q) q" = q\'q" qq".....(1)

Evenzoo bewijst men:

Cq\' — q) q" = q\'q" - qq".....(2)

Daar de geconjugeerde« van gelijke quaternions wederom
aan elkander gelijk zijn geven (1) en (2) (§ 34 (3) en (6))^:

Kq" (Kq\' Kq) = Kq"Kq\' Kq\'Kq... (3)
Kq" (Kq\' — Kq) = Kq"Kq\' — Kq\'Kq. . . (4)

De beschouwde quaternions q, q\' en q" waren wille"
keurige collineaire quotienten; volgens de laatste alinea
van de vorige paragraaf zijn Kq, Kq\', Kq" dus ook
willekeurige collineaire quotienten.
Wij mogen daarom schrijven:

q" (q\' q) = q"q\' q"q.......(5)

q" (q\' — q) = q"q\' — q"q......(6)

Uit (1), (2), (5) en (6) volgt nu, als q\'", q", q\' en q
vier willekeurige collineaire quaternions zijn:

(q\'" q") (q\' q) = q\'" (q\' q) q" (q\' q)

= q"\'q\' q"\'q q"q\' q"q ... (7)

of in woorden:

de vermenigvuldiging van collineaire quaternions ^lb
distributief.

Daaruit volgt reeds terstond, dat:
q\'q = (Sq\' Vq\') (Sq Yq) = Sq\'.Sq Yq\'.Sq

Sq\'.Yq Yq\'.Yq . , . . (8)
q² = Sq² 2Sq.Yq Yq². . . . (9)

47. Beschouwen wij nu drie regte quaternions q,
^ en q", zoodat:

n

Z q = Z q = Z q" = ^

(q" q\') q = I (q" q\') : I -

(^V:It) (^Iq\' ^{: 1} q) ^{= q}"^{q q}\'^q\'

hieruit volgt:

Kq (Kq" Kq\') = Kq.Kq" Kq.Kq\'. . . (2)
⁶¹¹ ^s ook:

q (q" 4- q ) = qq" qq\'.....(3)

altijd:

Z Yq = Z Vq\' = Z Yq" =ZZ

heeft

men, wanneer q, q\' en q" willekeurige qua-

ter

^m°ns zijn:

\') (Vq" Vq\') Vq = Vq".Yq Vq\'.Vq . . . (4)
Vq (Vq\'\' Vq\') = Vq.Vq" Yq.Vq\' . . . (5)

b In ₁.

Pïiété stukje van den heer J. Versluys „Démonstration nouvelle de la pro-

^M\'aa_rop^{aSoOClative de la} multiplication des quaternions" Archives Neerland. T. VII,
\'^eeüen ^v°lg^ende paragraaf terugkomen, om er dat bewijs aan te ont-

Ue_Qte)i\' ^^ordt ook in het voorbijgaan de distributieve eigenschap der regte quo-
bewezen op een andere en schijnbaar eenvoudiger wijze dan dit door.

Volgens (8) van § 46, (2) van § 36, (1) van § 42,
(7) van § 44 en volgens cle twee laatste vergelijkingen
heeft men nu, wanneer q, q\' en q" drie willekeurige
quaternions zijn:

(q" q\') q =

S (q" q\') .Sq V (q" q\'). Sq S (q" qO."Vq Y (q" q\') .Yq=*
Sq".Sq Vq".Sq Vq.Sq" Yq".Vq Sq\'.Sq Yq\'.Sq - -

Vq.Sq\' 4- Vq\'.Yq =

q"q q\'q . • (6)

Door de geconjugeerden van de uiterste leden dezei\'
vergelijking te nemen, en te bedenken datKq, Kq\' en
Kq" evenzeer als q, q\' en q\'\' willekeurig zijn, komt
men tot de vergelijking:

q (q" q\') = qq" qq\'......(7)

Uit (6) en (7) volgt nu, dat algemeen:

^q\'.^q = ^q\'q.......(8)

Hamilton gedaan wordt. Intusschen mag dit bewijs bijna geen aanspraak op di^en
naam maken, omdat bekend verondersteld wordt dat:

Vq\' _Vq/\' ___ Vq\' Vq"
Vq Vq ~~ Vq

Daar nu y^ evenzeer een regt quotiënt is als Vq, wordt bekend veronderstel

wat later bewezen wordt.

Bovenstaande vergelijking volgt dan alleen onmiddellijk uit de vierde defiiu\'¹⁶
van § ii, wanneer men, wat Hamilton eerst aan het einde zijner beschouwing
over vectoren en vectoren-quotienten doet, terstond den index van een regt q^u°
tient met dat regt quotiënt indentificeert. Dat het geoorloofd is dit te do^\'¹\'
kan intusschen eerst blijken, wanneer men de wetten kent, waaraan de operati^eS
op vectoren en quaternions en cle combinaties van vectoren en van quaterni^0IlS
onderling gebonden zijn. Ik meende daarom van het bewijs van Hamilton ¹¹¹
te mogen afwijken.

Associatieve eigenschap der vermenigvuldiging.
ie wi

hxi

Wiiien tot den vorm gebragt worden (§ 25 en § 14):

tt tt n\' Tin" ^Ué Cl)

daarin bij gemeenschappelijken oorsprong van alle vec-
^toren een eenheidsvector is, gelegen in liet vlak,
door U/3 en XJy bepaald is. U3 heeft dan
Natuurlijk de rigting van de lijn, volgens welke liet
^Vlak gaande door U/3 en Uy gesneden wordt door liet
^vlak; van het quaternion q".

^teii niag nu schrijven, als m en n twee scalars
^ (§ 1):

lj> = mUd nU/3
²°odat (§ u ₍9) en (10)):

TT " Uf

^Uc[ = IJS

(§ 11 (13), § 47 (6) en (7)):

Uq".Uq\' ....... (2)

Uq\'.llq — m ® n ^ . ......(3)

LJx \\JX

Dit

8\'^e«ft (§ 33 (3)):
(^uq".Uq\').Uq = m ■•••(*)

^Um.U_q) = _m^ n (5)

of:

(Uq".Uq\').Uq = Uq".(üq\'.Uq)......(6)

waaruit verder volgt, ook krachtens § 33 (3):

(q".q\').q = q".(q\'.q).........(7)

dat is:

de vermenigvuldiging van drie en daarom van eenig
aantal willekeurige quaternions is associatief.
Wij mogen nu schrijven:

(q".q\').q = q".(q\'.q) = q"q\'q.....(8)

Dit bewijs voor de associatieve eigenschap der quatef\'

nionvermenigvuldiging is door den heer J. Yersluys ë^e\'
geven in het stukje, dat ik in de noot van de vorig⁶
paragraaf reeds aanhaalde. Hamilton geeft van cU^e
eigenschap vier bewijzen, op een waarvan wij nog terug
komen, maar die alle veel minder eenvoudig zijn dan dit\'
49. Betrekkingen tusschen willekeurige rEgT¹\'\'
quotienten. Beschouwen wij drie willekeurige qua^tcl
nions q, q\' en q" en stellen wij:

v = Vq v\' = Vq\' v" nr Vq" ... (1)
zoo zal (§ 25 (3) en (4), § 35 (1), § 41 (13)):
Kv\'v — vv\' Sv\'v = I (v\'v -f vv\') Vv\'v = £ (v\'v — vv\') • &
Schrijven wij kortheidshalve:

Sv\'v r=r S_r Vv\'v = Vj

zoo heeft men:

1 Vv"vj = V "Vj — v,v" O = v"Sj — p,v"

door optelling:

" V_Vl ^ _v" (_Vi __ (_{Vj Si) y}u _{= v}„y_w _ _v/_{v v}» _ (3)

Wegens de associatieve en de distributieve eigenschap
^er quaternionvermenigvuldiging is:
V\'.v\'v — v\'v.v" = (v"v\' v\'v") v — v\' (vv" v"v) =
2 (Sv\'v").v — 2 v\'Sv"v = 2 vSv\'v" — 2 v\'Sv\'v.
wordt dan (3):

V.v"vj = Y.v"Vv\'v = vSv\'v" — v\'Sv"v ... (4)
^Daar nu (§ 41 (10) en (7)):

Y.v"Sv\'v — v"Sv\'v = v"Svv\',

^lieeft men:

Y.v\'Vv = vSv\'v" — v\'Sv\'v -h v"Sw\' . . . (5)
vergelijking komt bij vectorentransformaties elk
°°^blik voor.

ï^aar de indices van gelijke regte quotienten aan
* ^ailder gelijk zijn is (§ 43 (7)):

ïv_t = IYv\'v = I ^Iv\' : 1 .....(6)

ly\' p. -i-1

¹ -Ly staan resp. loodregt op het vlak van

^V\' en

°p het vlak van v; Iv₁ loodregt op het vlak

^cirin T

^iin ⁶¹¹ I^vi is dus evenwijdig aan de

^⁰%ens welke de vlakken van v\' en van v elkander
^s*Ujd_eil

^ ¹ en zoodanig geplaatst dat de draaijing om dien
^ °^r van I _L _naar iy\' p_0Sitief is; en dus de

^aaiJing van — I_v naar Iv\' of van Iv\' naar Iv. De
tOf\'h 1

van i_s tegengesteld in rigting aan die van v.

Vervolgens is (§ 43 (1), § 42 (10))

TJVv\'v = TYv\'v — Tv\'.Tv sin x — TIv\'.TIv. sin x . . (7)

waarin x evenals in § 42 de lioek is dien de assen en
dus de indices van v\' en v met elkander maken.

De index van Vv\'v heeft dus eene lengte, welke zich
tot de lengte-eenheid verhoudt, als de inhoud van het
parallelogram, gevormd door de indices van v\' en v,
tot de vlakte-eenheid.

50. Wij hebben (§ 35 (5) en (6)):
Sv"v"v — S.v"(Vv\'v Sv\'v) = S.v"Vv\'v = S (Vv\'V.v) . (1)
Volgens (6) van § 37:
Sv\'Vv = S.v"Yv\'v = - Tv".TVv\'v.cos Z (Iv" : IVv\'v) . (2)

IVv\'v "staat (zie vorige paragraaf) loodregt op het
vlak waarin bij gemeenschappelijken oorsprong van vec-
toren, Iv\' en Iv liggen; Z (Iv": IVv\'v) is dus delioek
dien Iv" maakt met de normaal IVv\'v op het vlak van
Iv\' en Iv. Dat vlak deelt de ruimte in twee deelen;
ligt Iv" in hetzelfde gedeelte als Iv\'v, zoo is die hoek
scherp en de cosinus van dien hoek positief; ligt Iv\' in
het andere deel, zoo is die hoek stomp en de cosinus
negatief. Denkt men zich Iv" geprojecteerd op de rig"
ting van Iv\'v, zoo zal in het eerste geval de draaijing
van Iv naar Iv om die projectie evenals om Ivv po-
sitief zijn, (zie vorige paragraaf); in het tweede geval
zal de draaijing van Iv\' naar Iv om die projectie nega-
tief wezen. Kortheidshalve kan men ook spreken van
een draaijing van Iv\' naar Iv om Iv", daarmede

doelende de draaijing van Iv\' naar Iv om de projectie
van Iv" op de normaal van het vlak waarin Iv\' en Iv
liggen. Zoo zal dan de hoek:

Z (Iv" : IYv\'v)

scherp of stomp wezen, naarmate de draaijing van Iv\'
naar Iv om Iv" positief of negatief is.

Krachtens (7) van de vorige paragraaf is de abso-
lute waarde van het tweede lid van vergelijking (2)
gelijk aan de verhouding van zesmaal den inhoud eener
Pyramide, die gevormd wordt door de vectoren Iv", Iv\'
en Iv, tot de eenheid van inhoud.

Het tweede lid van vergelijking (2) wordt positief,
zoo de draaijing van Iv naar Iv om Iv" negatief is;
Negatief, zoo die draaijing positief is.

Laten wij nog opmerken, dat zoo de draaijing van
Iv\' naar Iv om Iv" positief of negatief is, dat dan ook de
draaijing van Iv naar Iv" om Iv\' en van Iv\' naar Iv\'
°ui Iv positief of negatief is.

Door sommige lijnen te beschouwen als negatief te-
genover andere lijnen, hebben veel formules in de meet-
kunde algemeener toepassing gevonden. Om nog meer-
⁽lere formules algemeen geldig te maken stelt Hamilton
^v°°r onderscheid te maken tusschen A OAB en A OBA,
^eu evenals in § (2) wij definieerden:

AB = — BA

^te stellen:

A OAB = — A OBA.

Vervolgens slaat Hamilton voor eene pyramide OABC
positief te noemen, wanneer de draaijing van OB naar
OC om OA negatief is; die pyramide als negatief aan
te nemen, wanneer de draaijing van OB naar OC om
OA positief is. Zoo wordt dan:

pyr. OABC = pyr. OBCA = pyr. OCAB = — pyr. OCBA =
— pyr. OBAG = — pyr. OACB. . (3)

en men heeft, dat

Sv"v\'v = 6 x pyr. OP\'T\'P is .... (4)
en dus naar grootte en teeken zesmaal de pyramide
OP\'T\'P voorstelt, wanneer:

OP" = Iv" OP\' = Iv\' OP = Iv. . . . (5)

51. Zijn q, q\' en q" drie willekeurige quaternions,
zoo heeft men door de associative eigenschap der quater*
nionvermenigvuldiging en door (1) van § 37:

Sq"q\'q = S (q".q\'q) = S (q\'q.q") = S (q\'.qq") = S (qq".q\')
en dus:

Sq"q\'q = Sq\'qq" = Sqq"q\'......(1)

Deze vergelijking is gemakkelijk uit te breiden voor
het geval dat men het product van meer dan drie quater-
nions beschouwt, en men komt tot het resultaat dat de
factoren van een quaternionproduct onder het seal ar teeken
cyclisch mogen gepermuteerd worden.

Gaan de willekeurige quaternions in regte quotiënten
v, v\' en v" over, zoo wordt (1)

Sv\'Vv = Sv\'vv" = Svv\'V.....(2)

een vergelijking die in overeenstemming is met hetgeen
wij in de vorige paragraaf zagen in vergelijking (3).
Maar die paragraaf leert ook dat:

Sv\'Vv = — Svv\'v" = — SvV\'v = — Sv"vv\' ... (3)

Dit resultaat kan ook regtstreeks uit (2) verkregen
Worden. Immers volgens (2) van § 35, (3) van § 34,
^en (3) van § 20 heeft men:

Sv\'Vv = SK (v"v\'v) = S(Kv.Kv\'.Kv") = — Svv\'v"

Liggen Iv", Iv\' en Iv in één vlak zoo wordt het
tweede lid van (2) in de vorige paragraaf nul en men
heeft:

Sv\'Vv = o..........(4)

Omgekeerd, als (4) geldt, zoo liggen Iv", Iv\' en Iv
in één vlak.

Daar volgens (3) van § 34 en (3) van § 20:

Kv"v\'v = - vv\'v".......(5)

W men ook schrijven (§ 35 (1) en § 41 (13)):

Sv\'Vv = — Svv\'v" = I (v"v\'v — vv\'v"). . (6)
Vv"v\'v — _{_ Yvv\'v" = i (v\'v\'v vv\'v"). . (7)

52. Standaardvormen. Keeren wij even terug tot
beschouwing van de drie radialen of versoren van
^ 27, wier vlakken dus loodregt op elkander staan,
^e index van een regt radiaal (§ 43 (1)) is gelijk aan
as van dat radiaal, en daarom volgens § 27 2

li = 01, Ij - OJ, Ik = OK . . . (1)

Het is intusschen mogelijk (§ 9) eiken willekeurigen
vector IVq te brengen tot den vorm:

. IVq = x.OI y.OJ Z.0K.....(2)

Uit (1) van § 44 en uit de laatste alinea van § 43
volgt nu:

IVq = I (xi yj zk).....(3)

Vq = xi yj zk ~ ix jy kz . . . (4)

De vector van eenig willekeurig quaternion kan dus
altijd tot den vorm (4) gebragt worden , die door Ha-
milton de t r i n o m e standaardvorm genoemd wordt.
Stelt men de scalar van datzelfde willekeurige quater-
nion door w voor, zoo heeft men (§ 41 (3j):

q = w -f ix jy kz.....(5)

Dit is de quadrinome standaardvorm, waartoe
elk willekeurig quaternion te brengen is, en die regt-
streeks aantoont, dat een quaternion in het algemeen
van vier scalars afhankelijk is (§ 13).

Doet zich omgekeerd een quaternion q onder den
vorm (5) voor, zoo is:

Sq — w en Vq — ix -f- jy -f- kz;

Kq = w — ix — jy — kz; TVq = (x² y²
UVq = (ix jy kz) : (x² f z²)*;

Tq = (w² x* y² z²)*;

Uq — (w ix jy -f kz) : (w² x² y² z²)"*; ^

*

Een der bewijzen nu, welke Hamilton van de ass°"

ciatieve eigenschap der vermenigvuldiging geeft, wordt
verkregen door te stellen:

q = w ix jy kz
q\' = w\' ix\' jy\' kz\'
q" = w" ix" jy" kz".

Uit de wetten die de regte radialen i, j en k (§ 27)
volgen, wordt dan aangetoond, dat:

q".q\'q = q"q\'.q is.

53. Quaternions als operatiesymbolen. De eerste
definitie van § 11 was, dat

als — = q dan (3 — qx.

Men kan daarom q ook beschouwen als een operatie-
symbool , waardoor een vector in een anderen vector

overgaat; die operatie bestaat dan hierin dat zij den
^vector * den hoek Zq doet draaijen in het vlak van q
⁶¹¹ dus om Asq en dat zij vervolgens de lengte van «
^even zoovele malen grooter doet worden als Tq lengte-
^eenheden bevat. Het is duidelijk dat het resultaat het-
zelfde is of men den vector eerst laat draaijen en daarna
vereischte lengte geeft of dat men eerst de lengte
van ot verandert en dan de draaijing doet plaats hebben.

Beschouwt men een radiaal als operatiesymbool, zoo
bestaat de operatie alleen in een draaijing; dit is de
^l\'eden, waarom Hamilton (zie § 28) een radiaal ook een
versor noemt en Uq leest als den versor van q.

Op dit oogenblik zijn wij nog niet in staat de uit-
drukking cp te interpreteren, tenzij dat a in liet vlak
van q ligt. Spoedig zullen wij zien, door welke definitie
die interpretatie mogelijk wordt.

54. Reciproke vectoren. Wanneer tusschen twee vec-
toren en a! de vergelijking bestaat:

— — Ux : Tx........(\'])

noemt men x\' de reciproke van x. Waarom die bena-
ming ingevoerd wordt, zal in een volgende paragraaf
blijken.

Uit (1) volgt (§ 5 en § 30):

üx\' — — Ux Tx\' = i : Ta

en dus:

Ux\' Ux = o Tx\'.Tx = 1(2)
x =- — Ux : Tx\'.......(3)

zoodat « ook de reciproke van x\' is.

Zij evenzoo |3\' de reciproke van /3, dan heeft men
(§ 32 (6)) :

(3\' _ Tx U/3 _ _N (3_ __ _R ...

W ~ T(3 Ux P \' x ~ (3 * \' • ^K \'

Hamilton schrijft, als x\' de reciproke van x:

x\' — Rx.......... (5)

zoodat (4) ook geschreven kan worden:

#=^K i.........c)

55. Product van vectoren. In § 10 en 11 hebben

wij, zooals uit al het voorgaande blijkt, het begrip van
^een quaternion geheel bepaald. Een quaternion is een
vectorenq u o t i e n t: de leer der quaternions is dus eigent-
Hjk een deel van de leer der veetoren. Wij hebbende
meetoren nog niet in alle combinaties onderling be-
schouwd. Er is namelijk door ons nog geene bepaalde
beteekenis gehecht aan het product van twee of meer
vectoren. Wij mogen die beteekenis bij definitie vast-
zeilen, mits deze niet in strijd is met de vroeger ont-
wikkelde begrippen. ¹)

Hamilton stelt nu als ß en « twee vectoren zijn (zie
vorige paragraaf):

ßx = ß : Rx waarin R* = — Us : Tx. . . (1)
Het product ß« van twee vectoren wordt nu beschouwd
een quaternion, waarvan de teller gelijk is aan den
^iltiplicator ß, en de noemer aan de reciproke van het

Multipliern cl X.

Men heeft nu ook:

xß = x : Rß..........(2)

^z°odat (zie vorige paragraaf (6)):

* = l =^K ê = **......⁽³⁾

daaruit verder (§ 35 (1) en § 41 (13)):

Sßx = i (ßx xß) = Saß......(4)

_ b Zeer belangrijk is bet stuk van Grassmann „Sur les différents genres de mul-
^lPUcation» Grelle Bnd. 49, waarin hij voornamelijk het oog heeft op zijn Aus-

«mngslehre. Met de leer der quaternions is hij blijkbaar geheel onbekend.

5*

V(3x = § ((3x — a/3) = _ Vx(3.... (5)

Evenzoo is (§ 34 (6)):

" - RTZ^) = ^K = ^K (p p) =

Op gelijke wijze vindt men:

(a\' -f «) /3 = a\'/3 x(3........(7)

zoodat de vermenigvuldiging van veetoren distributief is.

56. Wij mogen ook schrijven:

(3a = — T/3.T*.U (/?:«)......(1)

waaruit volgt:

TjScc = T/3.T* = - ül = XJfi.Ux . . . (2)

x

Verder is (§ 35 (10), § 41 (15) en §43 (3)), wanneer
x de hoek is, dien de vectoren » en (3 bij gemeenschap-
pelijken oorsprong met elkander maken:

S(3a = S*/3 = — Tj3.T« cos x ... . (3)
TV/3« = T/3.Tjs. sin x........(4)

As(3x = As [— T/3.T«.U(/3: «)] = — As i-. . . (5)

x

Uit de laatste vergelijking volgt, dat de draaijing
om de as van het product van twee vectoren, van den
multiplicator\'naar het multiplicand positief is.

Vergelijking (4) toont aan, dat TV(3x gelijk is aan
den dubbelen inhoud van den driehoek OAB.

TT

Staan ß en » loodregt op elkander, zoodat x = y,
zoo is:

S ßoc = S«/3 = o Vi3« = ß».....(6)

Zijn ^ en « evenwijdig, zoo is:

TY/3« = o Y/3« = o Sßx = ßoc . . . . (7)

Hieruit heeft men, wanneer men het product van twee
gelijke vectoren het quadraat van dien vector noemt en
= stelt:

S.«⁸ = *² Y.«² = o....... . (8)

Vervolgens heeft men uit (1) van de vorige paragraaf:
_ft2 _ __ _ — u*^s = — 1 • • ■ (9)

T.«² = N« = (TV.)² = T«².......(10)

U.IJ = — 1 = (Uct)² = Ua²......(11)

baarbij wij in analogie met quaternions, het quadraat
^van den tensor eens vectors, diens norm noemen.

57. Is Q een veranderlijke vector, die voldoen moet
^aan de vergelijking:

e² = ............(1)

^z°0 volgt hieruit:

N<? = N« T Q = Tx
^ei1 (1) is dus bij gemeenschappelijken oorsprong van
Actoren de vergelijking van een bol, waarvan de straal
^gelijk is aan T«.
De vergelijking:

(_Q — ccy = |3².........(2)

^stelt voor een bol, die bij gemeenschappelijke!! oorsprong

van vectoren liet niteinde van & tot middenpunt en de
lengte van /3 tot straal heeft.

Wij zouden nog meer dergelijke voorbeelden kunnen
geven van geometrische plaatsen die voorgesteld worden
door betrekkingen tusschen vectoren; maar ons bestek
laat dit niet toe.

58. Regte qtjoti enten en indices. Volgens § 43
wordt een regt quotiënt volkomen door zijn index be-
paald. Stellen wij het regt quotiënt, wuarvan « de
index is, voor door het symbool I^-1«, zoo volgt (§ 43):
= I~^xf3 als et — (3; . . . . (1)

volgens § 44 (2):

I-¹ ((3 ± cc) = ± I~V; . . . . (2)
volgens § 3, § 4 en § 44 (6):
* (3 = (3 «; I-V. I-¹^ ₌ I-V; . (3)
(« (3) ₇ = « (f3 y)\\ (I-¹« I-V3) I-V =

I-V (I~^x(3 I-V) • • • (4)

volgens § 43 (l)_t wanneer m een scalar is:

I^-1ra^ — mI"V;........(5)

volgens § 5 en de distribut. eigenschap der quaternion-
vermenigvuldiging, wanneer m en n scalars zijn:
ma ± ïix — (m ± n) a; ml ~V ± nl -V — (m ± n) I ~^lot ; (6)
volgens § 43 en § 44 (2):

Ixl^x = o als Ixu = o; ... (7)

volgens § 43 (6):

I-\\3 : == (3 : «;.......(8)

volgens § 43 (7), § 55 (1) en 43 (1):
maar:

RI J~r — — As JL ^: TI 4- = - TI~V. As * J
I-¹« I~V I a; ¹

TI-¹*. As I-V. == I.I-V = «;

^eii dus:

I-^.I-V = ........(9)

Ligt de vector « in liet. vlak van liet qnaternion q,

(3

^Zo° kan men q altijd tot den vorm brengen q = —..

Men heeft dan voor het quaternionproduct qI~V ((4)
^Va» deze paragr., § 18 (4) en § 48 (8)):

_qi-i„ ₌ A.i-i« ₌ l-I^.i-¹« =

¹ a I *

I (I ~^la) ^_1I "V =
^Z0°dat (§ ii (i) en (2)):

^als q = — dan (3 = q* I"^ = qI~V . (10)

(25

Verder heeft men volgens § 11 (7) en (8) en volgens
^<le distributieve eigenschap der quaternionvermenigvul-
^c%ing_:

y±(3 I-V ^ I-\'lS _ I-V ±
* ^ *--Fv ^± I-v FV \'

^Volgens § u ₍₁₀) en § 33 (1):

₌ m/3. IJS ₌ ^II¹^......(12)

« ~ mx \' I-V ~ ml" V

Volgens § 18 (4) en de associatieve eigenschap der
quaternionvermenigvuldiging:

I-V I -\'ffl_I ~ V I I J_ T-i J__i-v

F¹^ \' I-ia-I-¹« \'I-¹^— ^{1 /}I-^Ia" ^a,I-¹/3~I-V3\'

zoodat (§ 11 (11)):

y . jg . . y . I-V . 1-^/3 _ I-V
« • « ~ /3 \' I-¹« \' I-¹« ~ I-^Xi3 \' \' ^{v ;}

en op gelijke wijze (§11 (12)):

21 £ 7 . ¹ "V I-\'ff I-V

/3 \' « ~ /3 \' 1^-1/3 \' I-\'ce I-¹« ^- " ^ ^J

59. De vorige paragraaf leert ons, dat men in
elke vergelijking, waarin vectoren voorko-
men, deze vervangen mag door de regte quo-
tienten, waarvan zij de indices zijn, mits
men alle vectoren op die wijze vervange.

Met andere woorden: men mag in de ontwikkelingen
de vectoren identificeren met de regte quotiënten, waar-
van zij de indices zijn. Hamilton laat nu het symbool
I eenvoudig weg, zoodat « zoowel kan beteekenen den
vector a als het regte quotiënt waarvan a de index is 5
of a een vector is of een regt quotiënt, de ontwikkelingen
blijven dezelfde en het resultaat zal op twee wijzen te
interpreteren zijn door wederom « of als vector of als
regt quotiënt te beschouwen.

In § 41 zagen wij dat in het algemeen een quaternion
gelijk is aan de som van een scalar en een regt-quotiënt-
Het is thans duidelijk waarom Hamilton dit regt quotiënt
den vector van het quaternion noemt.

Wij kunnen nu ook een beteekenis hechten aan liet
Product van drie of meer vectoren, als zijnde het pro-
duct van drie of meer regte quotienten; evenzoo aan
het product van een quaternion en een vector, die niet
in het vlak van het quaternion ligt, dat nu het product
van een quaternion en een regt quotiënt is.
60. Wij kunnen nu schrijven (§ 23 (3)):

Ra = — U« : Tx = -4- : Tx = -1 = . (1)

ilx x

^z°odat de benaming van de reciproke van « voor den
vector —XJ« : T« zijn regt krijgt.

Wanneer «, 0 en y drie willekeurige vectoren zijn,
^heeft men nu (§ 49 (4) en (5)):

V.yVtfx — xS/3y — (3S/x.......(2)

V.y/3« = «Si3y — PSy* • • • (³)
\'t kort, alle vergelijkingen welke vroeger voor regte
\'piotienten bewezen zijn, gelden nu voor vectoren.
De uitdrukking V/3« stelt nu een vector voor loodregt
de vlakrigting die door a en (3 bepaald wordt, zoo-
^(lai% dat de draaijing om dien vector van 0 naar «
Positief is.

boeten de veranderlijke vectoren q en (V voldoen aan

^tle vergelijking:

Yq\'q = constante.........(4)

⁰⁰ bepalen zij eene constante vlakrigting.
Laten we nog opmerken dat (§ 23 (3)):

Kx — — x..........(5)

61. Geometrische plaatsen. In § 9 zagen wij, dat
zoo es, (3 en 7 drie constante vectoren zijn, elke wille-
keurige vector q tot den vorm te brengen is:

q = xx _f- y/3 -f- zy........(1) .

Bestaan er tusschen de scalars x, y en z drie betrekkin-
gen , zoo zijn x, y en z bepaald en q is een bepaalde vector.

Bestaan er tusschen de scalars x, y en z twee be-
trekkingen, zoodat x, y en z alle functiën zijn van een
veranderlijke scalar t, zoo vormen de uiteinden van de
vectoren q een geometrische plaats en stelt (1) een
kromme voor, altijd natuurlijk bij gemeenschappelijken
oorsprong van vectoren. Men kan dan namelijk slechts
op twee wijzen van uit een punt van die geometrische
plaats naar een nabijliggend punt komen, door t, den
aanwas /it of —Jt te geven.

Bestaat er tusschen de scalars x, y en z slechts ééne
betrekking, zoo kan men op oneindig veel wijzen van
een punt der geometrische plaats naar een nabijliggend
punt komen en (1) stelt een oppervlak voor.

62. Zijn de scalars x, y en z alle functiën van de
veranderlijke scalar t, zoo kan men schrijven:

9 = f W............(*)

omdat met elke waarde van t een bepaalde vector over-
eenkomt.

Zijn flj en twee vectoren, resp. corresponderende met
de waarden ti en t₂, zoodat:

— f (ti) Qi — f (t,)

zoo zal:

— _Ql = f (t₂) — f (U)
¹¹¹ rigting en lengte de koorde voorstellen, welke de
Uiteinden van ç_t en r>-₂ verbindt.
-Algemeen beeft men:

Q -f A Q = f (t A t)......(2)

daarin Aq de koorde is die de uiteinden van q en
? dq verbindt, en At evenals t een scalar is.
Uit (2) volgt:

Aq = f(t -f- At) — f(t)

Aq __ f(t -f- Al) — f(t).
Ai ~~ Ai

^üeemt dt en daarmede An af, zoo krijgt men aan de

Viet:

= f\'(t).
dt ^{v !}

I^tusschen heeft de elementaire vector d? de rigting
^Vai1 de raaklijn aan de kromme in het punt dat met
^0Vereenkomt: daar dt een elementaire scalar is, heeft

de vector f\'(t) de rigting van die raaklijn.
^i[et is duidelijk, dat als d²t = o, ook

§ = 4 § = f"\'(t) en,

°vendien zijn , enz. evenals vectoren.
^J dt²\' dt³ dt

Is

_ 9 de veranderlijke vector van een punt, dat zich
^Weegt, en t de tijd, zoo zal, als q = f(t), de snel-

heid in de Tbaan in rigting en grootte voorgesteld wor-
den door = f\'(t).

Door Hamilton wordt, evenals door meer Engelsche
schrij vers, het differentiaalquotient ook geschreven
als D_t<? of T)q, als D_t³<? of Denz.

Het is gemakkelijk in te zien, dat een vectorfunctie
van de som van twee veranderlijke scalars, in het al-
gemeen kan ontwikkeld worden volgens de reeks van
Taylor, zoodat:

/i\\²

<p(t Jt) = <f(t) Jty(t) ^J qp"(t) enz. . (3)

A\'_A

of: <?t\' = Qt (t\'—t) ^YT et" enz. . (4)

t²

en — _Qo ^ Qo\' enz.....(5)

of:

Qt = Qo t o\' = Qo\' xW ^Qo" ^enZ"J " ^

. r t² I „ t „,

Qt = Qo - ■ iQo j-Q -3- Qo enz.

De notaties , q₀\' enz. zijn uit zichzelve duidelijk\'
63. Wanneer P en Q twee punten zijn van een⁶
kromme

9 = f(t)........-...(«)

zoo kan men altijd stellen:

Qt — Qo V -(- I t\'U^o".....(2)

waarin u een quater-
nion is.

Is toch OP = Qo
OQ = _?t PT=t?₀\' zoo-
datPT de rigting heeft
der raaklijn in P aan
de kromme, zoo zal :
OQ = OP PT TQ ;
wanneer dus

-t"u - W

¹¹ — n i

Qo

zal (2) geldig zijn.
L^it (:7) van de vorige paragraaf blijkt dit ook; im-
als men stelt (verg. vorige paragraaf):

...... (3)

Uie vergelijking in (2) overgaan. Kortheidshalve
^Uen wij voor q_o: q₀\' enz. schrijven q, / enz.
^ ^en kan door P en Q een cirkel leggen, zoodanig
de üj_n PT in P ook raaklijn aan dien cirkel is.
^1J ^ het middenpunt van dien cirkel, N het voetpunt
^{1 (le} loodlijn QN, uit Q op PC neergelaten; D het

ttye_eri

^ue punt waarin de cirkel door de lijn PC gesneden
^wordr ^

^L- Z.00 heeft men, wanneer de kromme m het punt

X Onlr

^K convex is ten opzigte van het punt C:

.....(4)

Immers is V. (TQ.PT) een vector loodregt op het vlak
van den cirkel, zoodanig dat de draaijing om dien vector
van TQ naar PT, en dus van TP naar TQ (§ 60)
positief is.

Verder is: M|EÏI

een vector gelegen in het vlak van den cirkel, loodregt
op de rigting van PT, zoodanig dat de draaijing daarom
van PT naar V-(TQ.PT) positiefis (§43). Verplaatst
men dezen vector met zijn oorsprong naar P, zoo ziet
men gemakkelijk in, dat hij aan dezelfde zijde van de
raaklijn ligt, als de nabijgelegen punten van de kromme-
Zijn lengte is de lengte van TQ vermenigvuldigd met de
sinus van Z PTQ en dus TQ sin Z PTQ. Hamilto»
stelt namelijk de lengte van een vector AB dikwijl⁸
voor door AB. Daar TQ nu gelijk is aan ètW ^
vergel. (4) bewezen.
Men heeft ook:

PQ = t(</ | tu_?")........(5)

zoodat, daar PN.PÜ - — PN.PC en PQ* = —
(§ 56, (9)):

_ 2PN _ V.ug\'V ,₆v

PC-PQ»-(,\' itu_?")V......^. \'

Als t kleiner wordt en tot nul nadert, leert (3) ^
u in de eenheid overgaat. Aan die limiet, waar Q ⁶¹¹
P dus zamenvallen, wordt (6) (§ 56 (9) en \'
§ 55 (5)):

₌ Kf _{= =} _ v.v-¹ • • • (7)

rL q ⁶ Q

_ >-i y«v......(8)

CP - ^{? QQ} —Vq DQ ^w

De veetor i wordt door Hamilton de krommings-

Ui:

vector genoemd, omdat de tensor er van aangeeft, wat
men gewoonlijk de kromming in het punt P noemt,
^e reciproke van dezen tensor is dan de kromtestraal

^v°or liet punt P. Men ziet dat — de rigting heeft

de hoofdnormaal in P.
64. Beschouwt men den veranderlijken vector q als
functie van de lengte der boog, die een vast punt
^van cle kromme met het uiteinde van q verbindt, zoo
kan men om dit aan te geven t door s vervangen en
kijven :

^ = f(s)...........(1)

^an wordt intusschen & een eenheidsvector, omdat

ds

lengte van den elementairen vector d_? altijd gelijk is
^aai1 de lengte van de elementaire boog ds, en men heeft:

T.f\'(s) = const. =1.......(2)

^In een volgende paragraaf (§ 66 (11)) zullen wij zien
^{at ui}t (2) volgt:

S.f\'(s)f"(^s) . ..........(^S)

^Z°°^dat (§ 56. (6)) f\'(s) en f"(s) loodregt op elkander
^aan.

Maar (7) van § 62 geeft wanneer t tot nul nadert:
f"(s) = - ₉ - tf\'(s)] : ......(A)

Dus liggen de vectoren f"(s), f\'(s) en Qt — Q in het-
zelfde vlak, en lieeft dus volgens (3) f"(s) de rigting
van de hoofdnormaal; hovendien is volgens (8) van de
vorige paragraaf de lengte van f"(s) gelijk aan de re-
ciproke van de lengte der kromtestraal, omdat f^r(s) een
eenheidsvector is en loodregt op f"(s) staat (§ 42 (9))-

65. Differentialen. In de vorige paragrafen heb\'
ben wij de gewone regels van differentiatie kunnen toe-
passen , omdat alleen een scalar als onafhankelijke ver
anderlijke optrad, en de veranderlijke vector expliciet
als een functie van die scalar gegeven was.

Maar in het algemeen zullen in de leer der quater-
nions de gewone definities van differentiaalquotienten
en afgeleide functiën niet toe te passen zijn, omdat de
quaternionvermenigvuldiging niet commutatief is.

Hamilton heeft daarom gezocht naar een definitie vooi
differentialen, welke toe te passen is in de leer dei
quaternions, en bij scalars ons terugvoert tot de gewon⁰
differentiaalrekening.

Zoo wordt dan door hem gedefinieerd:

Simultane differentialen zijn limieten va\'¹
equimultipels van simultane en afnemend⁶
veranderingen.

Deze differentialen worden aangeduid door de letter d ¹⁰

plaatsen vóór het symbool van een variable. Het eigen-
aardige is hier, dat de differentialen eindig kunnen zijn.

Laten wij bijv. beschouwen de scalarvergelijking:

y = x².

Wanneer /Jj en z/x corresponderende veranderingen
^zïjn, zoo is:

z/y = (x z/x)² — x² = 2xz/x (z/x)².

Beide leden der vergelijking met n vermenigvuldigende,
krijgt men:

nz/y = 2nxz/x -}- n^-1 (nz/x)².

Om nu tot de simultane differentialen te komen, moet
men z/x en z/y doen afnemen; maar men kan te gelijk
¹¹ doen toenemen, zoodanig dat nz/x een willekeurige
^Paalde waarde behoudt, bijv. cl Zoo zal aan de limiet
^v°or = o en n = co volgens de definitie

dy = 2xa.

; intusschen is a de willekeurig aangenomen differen-
tiaal van x en men heeft:

dy = 2xdx.

Is (lx eindig aangenomen, zoo is ook dy eindig. Men
Zl^pt rl

\' ⁽iat men voor de verandering z/x ook kan schrijven

^gemeen zullen wij definieren, dat de differentiaal
v_ail

^Gil scalar, wederom een scalar is.

Heeft men een vergelijking van den vorm:

Q = F (q. r . . .)

waarin q, r, enz. quaternions of scalars zijn, dan zal:
dQ = lim.n [F (q -f n ~^xdq , r n ~^Jdr ...) — F (q, r. .)].

II = CO

Hierin nu zijn dq, dr enz. simultane differentialen,
die alle willekeurig kunnen gekozen worden, wanneer q₅
r enz. onderling onafhankelijk zijn; bestaan er relaties
tussclien q, r enz., dan bestaan er ook even vele betrek-
kingen tusschen de differentialen.

Volgens § 52 (5) kan een quaternion altijd tot den
vorm gebragt worden:

q = w ix jy kz,
waarin i, j en k constante regte quotienten of vectoren
zijn; daar wij definieerden, dat de differentiaal van een
scalar wederom een scalar is, zal ook de differentiaal
van een quaternion in het algemeen weer een quaternion
wezen; evenzoo zal de differentiaal van een vector een
vector en nooit een willekeurig quaternion of scalar zijn-
66. Zij

^f(q) — q²...........(*)

dan is:

df(q) = lim.n [(q n~\'dq)² — q²] . . . . (2)

n — co

Maar volgens de distributieve eigenschap der ver-
menigvuldiging :

(q 4. n^_Idq)² = q² -f- n^_1qdq n^_,dq.q n^-2 (dq)
en dus:

df(q) = lim.n [n^-1qdq n^-1dq.q n~² (dq)²]

tl = co

d.q² = qdq dq.q........(3)

Evenzoo als q een vector (of regt quotiënt) is (§ 55. (3)):
d.^² = qAQ - - d(>.(j = ...... (A)

^Zii f(q) = q-¹..........(5)

zoo is :

df(q) — lim.n [(q n^-Idq)~^l — q^¹]

n = co

= lim.n(q n^-Idq)^_1 [q — (q n^-1dq)] q"¹

n == co

en

d.q = — q-\'.dq.q-¹........(6)

Evenzoo :

d.q\'q ₌ lim.n [q\' n^-1dq\') (q n-\'dq) — q\'q]

n = co

= q\'dq dq\'.q.....(7)

Dit zijn een paar voorbeelden van quaternion-diffe-
^leötiatie. Voor ons doel zijn meerdere voorbeelden

^0linoodi_ff
ö

Hamilton geeft naar aanleiding van de quaternion-

differentiatie een uitstekende beschouwing over de inversie

^Vai1 lineaire functies van vectoren of quaternions , welke

^lllversie noodig wordt zoo men bijv. in (3) clq expliciet

^vVll uitdrukken in d.q². Door lineaire functies worden

^ler verstaan functies die distributief zijn ten opzigte

de variabele. Maar hem hierin te volgen zoude

⁰¹¹⁸ veel te ver leiden; wij wenschten alleen de aan-

^cht er op te vestigen.

^ Ü zullen nog de differentialen beschouwen van de

6*

symbolen Kq, Sq, Yq, Nq, Tq en Uq. Volgens de
algemeene definitie van differentialen, is:

dKq = lim.n [K (q n-\'Mq) — Kq],

11 = CO

zoodat volgens § 34 (6) :

dKq = Kdq.........(8)

Evenzoo:

dSq = lim.n [S (q n~\'dq) — Sq],

11 ₌ co

dYq = lim.n [V (q n^_1dq) — Yq],

n = co

of volgens § 36 (2) en § 42 (1) :

dSq = Sdq, dVq = Ydq......(9)

Verder:

dNq — lim.n [N (q n^-1dq) — Nq];

n =s co

volgens § 39 (6):

N (q n-^xdq) = Nq Sn"¹ S. (Kq.dq) n~² (dq)²
zoodat:

dNq — 2S.(Kq.dq)........(10)

Wij weten dat (Tq)² = Nq, en Tq dus de wortel-
uit Nq is; daar nu Tq en Nq scalars zijn, heeft men
(§ 37 (1) en § 23 (2)):

dTq = f]| = S.(Küq.dq)= S (dq.Küq) = S ^ ,

of:

Eindelijk ((7) van deze paragraaf):

dUq = d -1 = iS _q dTq
⁴ Tq Tq Tq Tq

Y 43, _üq.

q

Beschouwt men een functie van quaternions of scalars
^welke alle alleen afhangen van een scalar t, zoo kan
men de differentialen alle door de corresponderende
differentiaal dt deelen, en men mag dan die quotienten
Wederom afgeleide functiën noemen en ze aanduiden door
het symbool D_t vóór de veranderlijken te plaatsen.

q alleen van t afhangt, mogen wij bijv. (12)
^Schrijven:

DtUq y Dtq
Uq ~~ q \'

Wij gaan nu over tot de toepassing van de leer der
quaternions op de leer van den circwlairen liodograaf.

HOOFDSTUK IL

1. Krachten. Een kracht kan in rigting en grootte
door een vector voorgesteld worden.

De resultante van krachten werkende op een punt is
gelijk aan de som van de vectoren, die de krachten in
rigting en grootte voorstellen. (I. .2).

2. Momenten. Het moment van een kracht ten op\'
zigte van een pnnt C is het product van de grootte der
kracht en van den afstand van het punt C tot de lij¹¹
waarlangs de kracht werkt. Men kan dat moment voor-
stellen door een lijn loodregt op het vlak, dat door het
punt C en de kracht bepaald wordt; de rigting van die
normaal moet zoodanig gekozen worden, dat de draaijing
om C welke de kracht aan haar aangrijpingspunt tracht
te geven, langs die normaal gezien zich bij v. van regts
naar links voordoet. De lengte der normaal moet
bovendien numerisch dezelfde zijn als de numerische
waarde van het moment, opdat dat moment volledig\'
door die normaal bepaald zij.

Werkt een kracht, die in rigting en grootte voorge-
steld wordt door den vector cp, op het uiteinde van den
vector OA = «, clan wordt volgens het zooeven gezegde
liet moment van die kracht ten opzigte van het punt C,
terwijl ÜC = 7, voorgesteld door de uitdrukking
V.(« __ _cp (i. § 60 en § 56 (4)).

De evenwigtsvoorwaarde voor een systeem van onder-
lig vast verhouden punten wordt dus:

2V.(a — y)<p = o........(1)

daarin y, cp\' enz. de krachtvectoren ,«,<*\' enz. de
^vectoren der aangrijpingspunten zijn, terwijl y de vector
van eenig willekeurig punt der ruimte.
Men kan clie vergelijking ook schrijven:

UNacp =

daar y geheel willekeurig is:

SNacp — 0 Iep ₌ O......

Evenwigtsvoorwaarde voor een willekeurig
^sysïeem, Het principe der virtuele verplaatsingen wordt
^Ul�rukt door de vergelijking:

IS.cp 3a — 0

^oal_s duidelijk is uit § 56 (3) van hoofdstuk I. Om
^ deze vergelijking de even wigts voor waarden te ver-
Ügen, gaat men te werk als hij het gebruik van
^eë\'t%iige coördinaten. De voorwaarden, waaraan het
^^steeru moet blijven voldoen, geven evenveel betrek-
ken tusschen de vectoren da; gelukt het dat aantal

vectoren ca te elemineren, dan heeft men de coëfficiënten
der overige vectoren ?« slechts gelijk nul te stellen.

4. Algemeene bewegingsvergelijking. Voor een punt,
dat zich in een kromlijnige baan beweegt, wordt de
daarop werkende versnellende kracht elk oogenblik zoo-
wel in rigting als grootte aangegeven door de versnel-
ling der deviatie.

5. Wij zullen aannemen dat de baan, welke een punt

onder de wer-
king van wille-
keurige krachten
beschrijft, gege-
ven en de positie-
vector van liet
punt voor elk

oogenblikbekend

is, zoodat:

De snelheid van het punt in zijn baan wordt elk oogen-
blik voorgesteld door de waarde van ^ of D«. (I § 62)-

vl L

Laat verder op een gegeven tijd t het punt zich be-
vinden in P, en op clen tijd t Jt in Q. Zij T de
plaats op de raaklijn, welke het punt na clen tijd ^
bereikt zou hebben, wanneer op den tijd t de krachten
opgehouden hadden op het punt te werken.

1) Vergelijk o. a. Duhamel Cours de Mécanique 2<le édit. pag. 332.

Dan zal:

°Q = OP PT TQ = f(t - - - f(t) -f z/t.f\'(t)

fj f"(t) enz. (I § 62.)

en

OT = OP PT = f(t) ^t.f\'(t)

z/t²

zoodat TQ - f"(t) enz.

1. A

Neemt Jt af, zoo wordt TQ de deviatie, en gelijk
^aaU Tf daar de overige termen tegenover y ^ f"(t)
^verdwijnen. De versnelling der deviatie is dus gelijk aan

f"(t) = D²«-

^ s de lengte van den afgelegden weg dan kan men

^ï00r JF * 3ï 3? ^of 5 ^{= v} ffi *

^ari y ___ rpda __ ds
dt ~~ dt\'

geeft:

d²a _ dv da d²a

dt?" ~~ "dT ds" ds²"

^ °lgens I § 64 kan dus de versnelling der deviatie

bonden worden in twee componenten, de eene ^

rigting van de beweging en in grootte gelijk aan-

^Versnelling van de beweging; de andere v² ^ in

^rigting van de lioofdnormaal en in grootte gelijk
ü li pt

cle ^cl^lla(lraat van de snelheid vermenigvuldigd met
^le°iproke van de lengte der kromtestraal.

6. Volgens II § 4 wordt dan de bewegende kraclit,
die op de massa m werkt gelijk ml)²«, wanneer na-
melijk de massa m zich bevindt aan het uiteinde van
OA — a. Zij <p de gegeven kracht clie op m werkt?
dan zal volgens het principe van d\'Alembert en volgens
II § 3 de algemeene bewegingsvergelijking van een
puntensysteem zijn:

JS^mD²« — Cf )}a — o

7. De bewegingsvergelijking voor een punt wordt^:

mD²a — f = o

Immers de vergelijking SA,u = o waarbij n geheel
willekeurig is, eischt l — o.

8. Centraalkrachï. Wordt een vrij punt P aan-
getrokken door een vast punt O, en stelt men den ver-
anderlijken vector OP — cc, zoo wordt in de vergebj\'
king van de vorige paragraaf y gelijk aan — mF^
en dus:

D²« = — F.Ua •
waarin F de versnellende kracht van de aantrekkh\'»
voorstelt.

9. Opereert men op deze vergelijking met V.«
krijgt men (I. § 56 (8))

V.aD²« = O

hetgeen geeft:

V.aDa — const, = (o.....-Cv

Immers (I § 66 (9)) : D.VaDa = V.B («Da)
= V.«D²a V (Da)² = V.aü²«

Vergelijking (1) toont volgens I § 60 (4) aan, dat a
⁽\'¹¹ D« altijd in hetzelfde vlak gelegen zijn, waaruit
volgt dat de gelieele baan in een vlak ligt, dat door

krachtcentrum gaat.
De constante vector (3 staat loodregt op dat vlak
§ 60); terwijl (§ 56 (4)):

T0 — TVaüa — Ta.TDa.sin Z(a.Da) . . (2)
Deze laatste uitdrukking stelt de dubbele vlaktesnel-
heid voor, maar daar T@ constant is, is ook de vlakte-
^elheid constant.

Hodograaf. Beweegt zich een punt onder de
⁴¹ Werking van willekeurige krachten, terwijl de vector,
₁ ^Zljn veranderlijke plaats met een vast punt O ver-
^1]adt voldoet aan de vergelijking

a — f(t).

^Zal de vector Da = in rigting en grootte de snel-
, ui

beid

van het punt voor elk oogenblik aangeven. (I § 62).

⁶¹ Plaatst men al deze snelheids-vectoren met hun oor-

\'\'ⁿaar O, clan zullen zij in het algemeen eenkegel-

^ vormen, terwijl de geometrische plaats van hunne

^ ¹¹¹ den een kromme is, die op dat kegeloppervlak ligt.

kromme is door Hamilton de hodograaf genoemd.

bel ^6Wee^^t l^iet l^,uut volgens een kromme van dub-

jj^ kromming dan kan ook de hodograaf. een lijn van

;_r) kromming zijn; grijpt de beweging daarentegen

_v,i ^{611 v}l^ak plaats, zoo gaat het kegeloppervlak in een
^ vlii

^K over, waarin dan de hodograaf gelegen is.

Het is duidelijk, dat zoo de vergelijking van de baan
d—f(t) is, de vergelijking van den liodograaf q = f\'(t) wordt-
11. Wij zullen terugkeeren tot de beschouwing vaö
beweging tengevolge van een centraalkracht.

In 1 § 63 (8) zagen wij dat, zoo de vergelijking
een kromme is

* = f(t)

de krommingsvector wordt voorgesteld door de uitdruk\'
king L v.

Is dus a = f(t) de baan van een punt en daaro«³

D« = f\'(t) de hodograaf, dan wordt de krommingsveC\'

tor van den hodograaf:

J_ _v D*a
D²a \' D a

\' i___T / 1 _v D^a

^Gn h D²a

wanneer h de kromtestraal is van den hodograaf-
Nu weten wij (II § 8):

D²« = _ F.Ua , waaruit (I. § 66 (1 ^
D³a = - DF.Ua — FY(Da.a ~^.Ua
Stellen we, evenals in II § 9 V.aDa = /3 en bovei¹\'
dien kortheidshalve T/3 = c, Ta = r, zoo wordt
D³a = _ DF.Ua — Fl~²/3Ua

en

dF

daar -= een scalar is.

-C

Dus is de krommingsvector van den hodograaf

p?\' ^u<*

^terwijl ^e kromtestraal h = Fr²e^-1 wordt.

^ij zien hier het merkwaardige resultaat, dat zoo
^ kracht werkt omgekeerd evenredig aan het quadraat
^Vai1 den afstand, de hodograaf een cirkel is. Dan toch
^°i\'dt de kromtestraal van den hodograaf constant. Bij
^andere wet van aantrekking kan voor een centraal-
^a°ht de hodograaf een cirkel worden tenzij r constant
^°^rdt, dat wil zeggen, tenzij de baan een cirkel is en
^C\' krachtcentrum zich in het middenpunt van den cirkel

Centraalkracht omgekeerd evenredig aan het

^ATïtj

^raat van den afstand. Wij gaan nu over tot een
^l0]\'^e beschouwing van de beweging zoo de centraal-
¹¹¹ omgekeerd evenredig aan het quadraat van den
^aild werkt. Dan wordt F = Mr~² en de vergelij-
van II § 8:

D«a = — Mr-²Ua
^aar r _en ^ volgens (3) van § 23, -jj^ ~ — Ua:

_te _ D²« = Mr"¹ a-¹

^rwij! Wederom V.«D« = (3 en Tp = c is.
13

\' "Uit I § 66 (12) weten wij:

D-Ua = V(D«.a-¹).Ua « a^Ua.NaDa (I § 55 (5))

= «^.Ta-^YaDa,

^at

Stelt men 7 = — M,3, dan wordt volgens I. § ^
(6) en § 55 (5):

D²a = p-DU«..........(1)

Deze vergelijking is terstond te integreren en geeft-

Da = 7(Ua — f) . .. ......(2)

waarin e een constante vector is. Wordt 7 bekend vei -
ondersteld, dan is 6 bepaald door de initiale snelheid
liever door de snelheid op een zeker oogenblik, en d^e
rigting van den overeenkomstigen baanvector.
Da een vector is, moet

S.y(Ua — e) — O
Doch <y II (o en dus loodregt op het baanvlak,

i

dat SrU« = o_? waaruit volgt dat ook Sr* = 0 ofin^e
andere woorden dat f in het baanvlak ligt.

In vergelijking (2) zijn « en Da de vectoren ^v?llli
overeenkomstige punten van de baan en van den li^0<^⁰
graaf. Uit die vergelijking heeft men:
Da -J- ye ■= y\\]a

en dus

(Da yef = y².......(3)

_ceii

Volgens I § 57 (2) is (3) de vergelijking van

____ t"/

cirkel waarvan de vector van het middenpunt — >^/f
(I. § 56 (6) en § 55 (5)) is, en die TV tot straal h^eeft\'
Wij hebben hier dus op nieuw bewezen, dat bij

h 6*

centraalkracht, die werkt omgekeerd evenredig aan
quadraat van den afstand, de hodograaf een cirkel
(Vergelijk II § 11).

14. Laten wij stellen:

Ty = h Te = e — ye = ey = x, dan wordt Tx = he.
Men kan e de eccentrieiteit noemen van den hodo-
graaf, beschouwd als een cirkel eccentrisch gelegen ten
°P^zigte van het vaste krachtcentrum O.

Wanneer e < 1 valt O binnen den hodograaf, zoo
^e ^ 1 ligt O op den omtrek van den hodograaf, zoo
1 buiten dien omtrek.

I\'¹ het eerste geval is de baan een ellips, in het
*^Weede een parabel, in het derde een hyperbei,
Immers uit vergel. (2) van de vorige paragraaf volgt:

e ■— Ua = •— y ^-I Da = Da.y
Opereert men op deze vergelijking met S.« dan krijgt
(I § 50 (1) en § 56 (7)):
S«_f Ta = S.(VaDa.y-¹) = S./Sy .... (1)
Maar in de vorige paragraaf stelden wij

— MiS-¹ .........(2)

^Zo°dat, daar T/3 — c

= c² M = p.:..... (3)

wordt (1)

r Saf = p.

^tusschen mag men stellen SU«* = cosv (I § 56
^JJ daaruit:

1  e cos v

Wij •

J zien dan dat de baan een kegelsnede is, waar-
n do

2 excentriciteit is e = T*, de parameter p = c^aM^_1;

terwijl v, de ware anomalie, de hoek is die a met —^ ^t
maakt; e heeft dus de rigting van de lange as dei\'
kegelsnede.

Daar Ty = h gesteld is, geven (2) en (3):

h = Mc-¹ = cp"¹.......(4)

terwijl, indien

a = P_
1 — e²

h²(l — e²) = Ma-\'.......(5)

15. Raaklijnen aan een cirkel. Opdat de verdei\'^e
uiteenzetting van de theorie van den hodograaf ni^et
behoeve onderbroken te worden, zullen we in de^⁶
paragraaf ons bezig houden met het opsporen van eetii»^e
relaties, die zich bij de beschouwing van raaklijnen aan
een cirkel voordoen.

Zij H het middenpunt van een cirkel met den straal
h, U eenig punt buiten den cirkelomtrek en O eenig
Willekeurig punt, beide gelegen in het vlak van den
cirkel. Laten verder UT en UT\' de raaklijnen zijn
uit U aan den cirkel getrokken en OH = *,
OT = r, OT\' = r\', T.UT = T.UT\' = u, terwijl OU
den cirkelomtrek in M en M\' snijde. Zij eindelijk HN
l°odregt HU, TN en T\'N\' loodregt HN, Z THN = <p,
^? een vector loodregt op het vlak van den cirkel zoodat
= ÜY.ot, en zij Tr = h.
Dan heeft men:

u² = J,* _ (_v _ - T(v — *)² — h² . . (l)

^S^T=Ü; (_T _ == y* ; S.(r — ^(v — *)= — h²=7²(2)
Vervolgens (I. § 58 (6) en § 60):

OT = T = )t HT = st HN NT ;
T.HN=HN=hcos<p=|^; HN = |=j U^IIU;

of

HN = — uy (v — x)-

benzoo:

- h²
NT = h sin qj= -==ĥ ,

NT — h²

- lu ^UHU = - h² (v - x)-¹ = (v — x)-i.

heruit volgt:

t — x y(y — u) (v — x) . . (3a)

7

terwijl men op dezelfde wijze vinclt:

r\' = % 4- 7(7 u)(t> — x)~¹ . . (3b)

Uit deze laatste vergelijkingen krijgt men in verband
met (1):

X- V = X - V 7(7 - U) (v - x) =3

[h² 11³ 7(7 — u)J (v - x)~^x,

of:

x — v = U (— 7 - - u) (y — x) \\

en evenzoo \\ . . (4)

% — v — u (7 u) (v — x))

waaruit volgt:

T(u — 7) = T(u 7) = T(_v — x).....(5)

De vergelijking van de lijn, gaande door de punten
T en T\' is volgens I § 8 (1) en (2) :

Q =1 XT (1 - x) x\'.......(6)

Stelt men hierin de waarden van x en x\' uit (3),
krijgt men:

q = x 7 [7 (1 — 2x)u] (v — x) -¹

of:

Q = » -f- 7 (/ -1- z) (y — x) -¹.....(7)

Deze laatste vergelijking is natuurlijk de vergelijkt

der polaire van het punt U ten opzigte van den geg^{eV 611}

\' de

cirkel. Men ziet dat zij in (3) overgaat, wanneer z
bijzondere waarden u en —u aanneemt.

Voor den vector v\' van het punt U\' waar TT

OU gesneden wordt, moet Vv\'v = o zijn (I § 42 (10)); de
bijzondere waarde die z dan heeft, wordt dus bepaald
door de vergelijking:

o = Y[xi/ -j- i)(v — x) "v

In het oog houdende, dat:

(v — x)-¹-— _r.

T(f — x)² ~ h² u²
en = Syv = o zoodat V.yxv — (I § 60 (3)),

^vindt men:

u²/ ~^lYxv

Z

!;² — Sxv

Men krijgt dus;

1/ = x y y

u²y ^-1Viw
v² — Sxv

u²Yxv
y² — Sxv

^Intusschen is S.[V*_v.(_v — x)] = o^;

^z°°dat (I § 60 (3)):

— Yxv.(v — x) —: V.(v — x)Vxv =
vS.x (v — x) — xS.v(v — x).....(7*)

gesubstitueerd, geeft:

U²(Sxv

r h²

V ~ _v \\ -

|h² u^s

\'^{2 1} (h² u²) (V² —

y² — x² -{- Sxi;

— v ¹ Sk

daar

u² h² = — (v — x)² = — v* — x² °2Sxv . . (9)
Laten wij invoeren den vector

OL = X = V-¹Shv.......(10)

zoodat: vX = Xv — Sxv.........(11)

X — x = v ~¹ (Svx — vu) = —■ v >x — v ~~ ^lVxv . (12)

SxX = i^%-, [i — x)* = ** —v-, = v  . (13)

v ■—■ X

en ook nog:

OM — = l

zoodat:

„ 2 _ ï

« - X — X — >{ -f- X I 1 -]--—-

A

(M — K>» = (31 — H)»-f-x-  = • (15)

Wij weten dan dat de punten L en M op de lijn
liggen.

Uit (15) blijkt, dat M ook op den omtrek van dei¹
cirkel ligt, terwijl (12) en (13) geven:

S(i/ •— v) (X — x) — O ,
welke vergelijking aanwijst dat HL loodregt sta^3,
op OU.

De bekende harmonische eigenschappen van den cirkel
toonen aan dat:

LU. LU\' == LM²

of (v — X)(v\' — X) = (ft — xy.....(16)

Deze laatste betrekking zou gemakkelijk regtstreeks
bewijzen geweest zijn.
Men heeft nog volgens (13):

(v— x) (v\' — x) = (v — iy u²

(v — X) (y\'—v) = U¹.....(17)

Eindelijk blijkt nog uit de figuur:

* == T TU = -r\' T\'U = r — (") _ _T\' uy(r—x) _{(i 8)}

Ir h²

Overeenkomstige punten van de baan en den
^]j°uogi;aaf. Laten wij terugkeeren tot de beweging in
baan en den veranderlijken vector Da voorstellen
door OT = t, dan wordt vergelijking (2) van II § 13:

t = y(Ua —e),

^Zo°dat (II § 14):

Tt² = I>².T(Ua — O² = Ty²(l 2S.*U« Té")

of

TV = h²(l 2e cos V - - e²).

aar h en e constant zijn, wordt de snelheid het
^^r°otst als v = o is. Het middenpunt H van den hodo-
^zal dus liggen op de lijn, die door het krach t-
^eiltrilm gaat en loodregt staat op de groote as der kegel-
^Sllecle, terwijl de afstand van O tot H of Tx gelijk is
^ De rigting van O naar H is die van de be-

op de plaats van kleinsten afstand.
\' baan een ellips, dan correspondeert elk punt
^ den hodograaf met een punt van de baan. Grijpt
beging

plaats in een parabel, dan ligt het kracht-

centrum O op den omtrek van den hodograaf en volgens
het zooeven gezegde is dan de zoogenaamde lange as
van de parahei raaklijn aan den hoclograaf. Ook hier
komt elk punt van den hodograaf overeen met een punt
van de baan, en wel het punt O van den hodograaf
met het punt op oneindigen afstand van de baan.

Doorloopt liet zicli bewegende punt een hyperbei, zo°
ligt het krachtcentrum buiten den hodograaf. De rig\'

tiftg van de snelheid kan in dit geval slechts varieren
^van de rigting van den eenen asymptoot tot die van
den anderen.

Laten wij uit het krachtcentrum O de raaklijnen QTi
^en OTj\' aan den hodograaf trekken. Dan zien wij dat
^Vergel. (3) van II § 15 geeft:

Ti ■= k — — u)»-¹; Ti — y (y - - u)*"¹;

Stix — St\'Ijc = k² — y²

h²e² h² Vtf^A

SU.TlJt =

he.hVe² — 4

cos z HOT! == cos z HOT\'x

Maar voor de rigting van den assymptoot zal (zie
¹¹ § 14):

1

SUctf = cos v =

e

boeten zijn, zoodat cosZ PAO = i-.
hieruit volgt:

OTj II PA OT\'i II AP\';
^of in woorden: is de baan een liyperbel, zoo zijn de
^raaklij_ueu uit het krachtcentrum naar den hodograaf ge-
bokken, evenwijdig aan de asymptoten.

¹⁾⁶ punten T\\ en T\\ van den hodograaf, en dus de
^plUlten waarin de polaire van O ten opzigte van de
^«metrische plaats van de uiteinden der snelheidsvec-
^t0l\'^ei1 deze snijdt, corresponderen alzoo met de punten
°ï> oneinciig_eil afstand in de baan.

De hodograaf is hier dan slechts een gedeelte van
een cirkelomtrek^r), in de figuur de hoog T^QT\'t 5
terwijl het andere gedeelte van dezen cirkel de hodo-
graaf is van een punt dat zich bij zekeren initialen
afstand en snelheid onder de afstootende inwerking van
het krachtcentrum beweegt.