Diss. A qu 192. 191^.
van Everdingen M.I.M.

54.21

DE TOESTANDSVERGELIJKINGEN VAN HET ISOTROPE,
VASTE LICHAAM.

y.

DE TOESTANDSVERGELIJKINGEN
VAN HET ISOTROPE, VASTE LICHAAM.

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEK GRAAD
VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE
RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT, OP GEZAG VAN
DEN RECTOR-MAGNIFICUS De. B. J. KOUWER, HOOG-
LEERAAR IN DE FACULTEIT DER GENEESKUNDE,
VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVERSI-
TEIT TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT
DER AVIS- EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN OP
DONDERDAG 4 JUNI 1914, DES NAMIDDAGS TE
3 UUR, DOOR MICHAEL IGNATIUS MARIA VAN
EVERDINGEN, GEBOREN TE CULEMBORG.

AAN MIJNE OUDERS

KN

AAN MI.TNE VERLOOFDE.

Bij het voltooien van dit proefschrift betuig ik gaarne
mijn dank aan U, Hoogleeraren der Wis- en Natuur-
kundige Faculteit, voor het van U genoten onderwijs.

Aan U, Hooggeleerde Debye, Hooggeschatte Promotor,
ben ik veel grooter dank verschuldigd dan te kleeden is
in vorm van ivoorden. Uw leiding en Uw heldere be-
spreking van voorkomende moeilijkheden waren oorsaak,
dat, met dit proefschrift, bewondering ontstond voor de
vakken van Uw richting. In dankbare herinnering zal ik
de uren blijven gedenken op Uw gastvrije studeerkamer
doorgebracht. Mogen nog velen het voorrecht geniet en onder
Uwe leiding hun studie aan de Utrechtsche Universiteit
te voltooien.

Onder degenen, jegens wie ik mij om het genoten on-
derwijs verplicht gevoel, treedt Gij, Hooggeleerde Kapteyn,
nog bijzonder naar voren om de groote diensten, die de
door U gedoceerde vakken mij herhaaldelijk bewezen.

Hooggeleerde De Vries, Uw helder betoog en rake zeg-
gen leerden mij vakken kennen, die tot de schoonste be-
hooren der wiskundige wetenschap. Doch wees er van
overtuigd, dat ook de voorlichting en steun, die U als
mensch en als geleerde schonk, mij steeds met warme
dankbaarheid vervullen.

Ook aan U, Zeereerwaarde Dr. KrOger, mijn vroegere
Leeraar en tegenwoordige Directeur, ben ik groote erken-
telijkheid verschuldigd. Dank. als vroeger Leeraar, voor
het onderwijs, dat mijn studierichting bepaalde, dank, als
Directeur, voor de groote welwillendheid bij de regeling
van mijn lessen, doch dank bovenal voor de onverflauwde
belangstelling van het oogenblik, dat mij Uiv leerling
maakte, tot op den dag van heden.

INHOUD.

§ 1. De vrije energie van een vast lichaam als functie,
waaruit de toestandsvergelijking kan bepaald worden.

De .grootheden, die in de uitdrukking voor de vrije
energie berekend moeten worden zijn de potentieele
energie W en de karakteristieke temperatuur <3. Beper-
king tot het isotrope lichaam......... 1

§ 2. Berekening van de potentieele energie W bij een eerste

uitbreiding van de wet van Hooke...... 5.

§ 3. Over de wijze, waarop 0 als functie der straincompo-
nenten bepaald wordt.

I. Algemeene methode. II. Beperking der bereke-
ningen door te onderstellen, dat hoogere dan tweede-
graadstermen der straincomponenten mogen weggelaten
worden. Er blijven nog slechts vier coeffioienten a, (3,
r en 3 ter berekening over, waartussclien nog de be-

trekking AS -f y = 2/3............. 12

§ 4. Berekening van 6 bij de aangenomen beperking.

Het blijkt wederom, dat 6 niet afhankelijk is van de
eerste machten der verschuivingen e₄, e_E en t\'₆. Uitdruk-
kingen voor a, (3. y en $........... 19

§ 5. Berekening der toestandsvergelijkingen..... 48

§ 6. Berekening van den uitzettingscoefficient uit de toe-
standsvergelijkingen ............ 52

§ 7. Over de afhankelijkheid van den torsieinodulus fjt, en

den elasticiteitsmodulus E van de temperatuur . . 55

§ 8. Berekening volgens de afgeleide formules van x, (3,

y en S voor eenige elementen........ 59

Stellingen.................. 65

De vrije energie van een vast lichaam als
functie, waaruit de toestandsvergelijking
kan bepaald worden.

De toestand van een vast lichaam is niet, als die van
een gas, volkomen bepaald door twee der grootheden volu-
men, druk en temperatuur. In de plaats van het volumen
treden de zes straincomponenten, in de plaats van den
druk de zes componenten van stress. De toestandsverge-
lijking van een gasvormig lichaam

P = f(VT)

zal dus voor een vast lichaam worden vervangen door zes
betrekkingen, gevend het verband tussclien de stresscom-
ponenten, de straincomponenten en de temperatuur. In
verband met de thermodynamica kan echter vooropgezet
worden, dat deze betrekkingen gegeven zijn als een der
tliermodynamische potentialen, b.v. de vrije energie van
het lichaam als functie van de straincomponenten en T
bekend is.

Volgens Boltzmann geldt voor de vrije energie van
een systeem resonatoren met n vrijheidsgraden

£ — — kT log I
waarin k — constante van B o 11 z m a n n = 1,35 X 10^-16 erg,

1 f —

T= absolute temperatuur en 1= j—J c ^kT dq_i dp_x----dq_n dp_n.

In /_t (toestandsintegraal) is li — 6,55 X 10^-27 erg. sec., terwijl s,

L .

de totale energie van het lichaam, in het algemeen een
functie is van de verschuivingen q en de bijbehoorende
impuls-coordinaten p.

Voor een systeem met één vrijheidsgraad en waarvoor
de totale energie s een quadratische functie der verschui-
vingen en der impulsen is, vindt men door bovenstaande
formule

i — kTl

waarin v het trillingsgetal voorstelt.

Uitbreidend tot een systeem resonatoren met n vrijheids-
graden wordt dus volgens Boltzmann

n J.rp
hv

Volgens de quantentheorie treedt echter in de plaats van
de toestandsintegraal een product van toestandssommen,
waarvan ieder de waarde heeft

1

hv

1 — e~kT

De toestandsintegraal wordt dus vervangen door

J

2=n

hv

1 _ _e~ Ir

en derhalve wordt

n / \'^iV \\

JF=/cTy_ilog[l-e~ kT)-

Heeft het lichaam bovendien nog tengevolge van zijn
toestand van strain per eenheid van volume een potentieele
energie W, dan bedraagt de totale vrije energie van het
lichaam

n / hv \\

£ = WV ■ ■ IcT 2log\\l —) = WV £_v

Door aan te nemen, dat de dichtheid der spectraallijnen
van een lichaam die is, welke uit de elastische vergelijkin-
gen voor een continu lichaam volgt, vindt prof. De bye
het aantal trillingen e, onder een bepaald trillingsgetal v,
evenredig met de derde macht van dit trillingsgetal

_z=.jsy_F

{F is hierin een functie, afhankelijk van de dichtheid en
de elastische constanten).

Hiervan gebruik makend wordt voor de vrije energie van
een één-atomig lichaam de uitdrukking gevonden :

~ ~TiTTr ■ 9 NhT C^m ₉. (, -wK
£ = WV -1----I y*log\\l — e ^kr I dv

^Vm o

waarin N = aantal atomen van het beschouwde lichaam,
terwijl v_ni, het grenstrillingsgetal, bepaald is door

3 N=v*_mVF.....(1).

Door invoering van de nieuwe variabelen
^? kT

en ó = (karakteristieke temperatuur) (2)
k

wordt ten slotte de vrije energie

£= WV 9 NkT ƒ I£² log (1 - é~*) (3).

o

Deze uitdrukking leert de vrije energie kennen als een
functie van W en 6 (en T). De vrije energie zal dus als
functie van de straincomponenten bekend zijn, zoodra wij
W en 0 als functie dezer grootheden kennen. Met de be-
paling van W \'en ó als functie der straincomponenten kun-
nen wij dus ons onderzoek als geeindigd beschouwen. Immers

kennen wij de vrije energie als functie der straincompo-
nenten, dan levert differentiatie naar deze grootheden direct
de zes betrekkingen, die de toestandsvergelijking voor een
vast lichaam uitmaken¹).

Daar ê berekend wordt uit de elastische differentiaalver-
gelijkingen van het lichaam en deze wederom gevonden
worden uit den vorm W, die de potentieele energie van
het lichaam voorstelt, zullen we beginnen met de bereke-
ning van W. In \'t algemeen zal deze functie W zeer in-
gewikkeld wezen. We zullen ons daarom beperken tot het
isotrope lichaam.

1 !) Zie Ortvay. Zur Theorie der festen Körper. Verhandlungen der
Deutschen Physik-Gesellsch. 1913. p. 775.

§ 2.

Berekening van de potentieele energie van een
isotroop lichaam bij een eerste uitbreiding
van de wet van Hooke.

In de elasticiteitstheorie wordt gewoonlijk volstaan met
slechts quadratische termen van de straincomponenten in
de uitdrukking voor de vrije energie aan te nemen. In-
derdaad zullen geen hoogere-graadstermen optreden, indien,
zooals de wet van Hooke zegt, elk der stresscomponenten
een lineaire functie is van de zes componenten van strain.

— c_u e_xx - - c_i2 ßyy - - c₁₃ e_zz -4- c_u e_yz -f- e_zx -f- c_1(J e_x1J

Yy = C₂i 6acx C₂2 ßyy ..............................

strain-energiefunctie genoemd) mogen verwaarloosd worden.

De meest algemeene functie van den tweeden graad van
zes grootheden bevat 21 constanten Bekend is, dat dit
aantal voor een isotroop lichaam, zooals wij willen beschou-
wen, zich reduceert tot 2. Hoe groot \'t aantal constanten
wordt door medename van de derde-graadstermen blijft
nog te onderzoeken over.

Om dit aantal te vinden moet teruggegaan worden tot
de oorspronkelijke beteekenis van de straincomponenten.

Heeft een punt x, y, z door den toestand van strain de
coordinaten x u, y v, z -4- w gekregen, dan zal een
naburig punt x - - dx, y dy, z dz verplaatsingen heb-
ben ondergaan u - - du, v dv, w - - dw. Volgens de hier
gebruikte notatie van Stok es beteekent dan:

du ÖW dv

te ^{6yz =} dy

~dv _iïu dw

^eyy = öjj  ..... ⁽⁴⁾

dw ()V du

te ^6xy== te

Hoe veranderen deze grootheden door draaiing van
het — rechthoekig ondersteld — coördinatenstelsel om een
as, of door spiegeling t.o.v. een der coordinaten vlakken ?
Laten, zooals bijgaande tabel aangeeft, l_v m_i en n_x

de cosinussen zijn van de hoeken, die de X \'-as maakt met
de assên van het oorspronkelijk coördinatenstelsel enz. dan

is, de strainconjponenten in het nieuwe stelsel door accen-
ten aanduidend

M\' 3 . , ₇ ? ? ? \\ _

⁼ te\' ""to⁷ ^ ^ V ¹ to ^m1 ty   ^m*^v

= e_xxl^ e_yym^ y^² 4 e_yzm_xn_x 4 e_zxn_xl_A 4 Z^.

Door verdere uitwerking krijgt men de volgende zes
transformatie-formules:

e_X\'_X\' = e_yym?-\\- e_zznf e_yzm_xn_A 4 4- e_xyl_xm_A

eyy = e_xXl^ e_yym₂^ e_zzn₂* e„_z m₂w₂ 4 e^ n₂Z₂ 4 e_xy l₂m₂
e_Z\'z\' = e_yym_z²-\\- e_zzn₃² e_yzm_zn_z - ■ c_Z£Cw₃Z₃4- Z₃w₃

fij/\'z\' = 2e_xxZ₂Z₃ -f 2e_yym₂m_z 4 2e_zz?i.₂n₃ 4 e_yz (w₂n₃ n₂m₃) 4
0₂Z₃ 4 W₃Z₂) 4 c._rj/ (Z₂w₃ 4 Z₃m₂)
=  2_yym_Am^ 2e_zzn_xn_z 4 (ra^g m₃n₂) 4

ezxinj3 Vi)  

= Z₁Z₂4 2e_!/ym₁w₂4 2c_zzii_xn₂ 4 e_yz (in_An_v 4 m₂w₄) 4
4 c-jj 4 ) ^e.r!/

(Z₁??z₂ 4 /₂«*i)

Bij het onderzoek welke derde-graadsfuncties van de strain-
componenten door bovenstaande transformatie niet veran-
deren maken wij er van gebruik, dat volgens Rank ine
volgende vormen invariant blijven ¹).

— V_xx ®zz.............................. (6)

I<l = fyy e_zz 4 @zz ?xx 4 e_xx e_yy ^ (c²^- 4 c²za? 4 c²^)

-Zg = S_xx e_yy C_zz 4 f (^yz ^zcc &xy ^exx ^eyy ^zx ®zz ^xy) •

Love toonde aan²), dat de eenige eerste graads- en
If en I₂ de eenige tweede graads-invarianten zijn. Of er
meer derde graads-functies dan /_t³, I_AI₂ en /₃ zijn, die bij
transformatie niet veranderen, blijft nog te onderzoeken.

De algemeene vorm van den derden graad van zos ver-
schillende grootheden bevat G^Y0³ = 56 termen.

1  Zie Rankine Phil. Transactions 1866 p. 264.

-) Zie Love. A Treatise on the Math. Theory of Elasticity p. 162.

Spiegeling ten opzichte van de coordinaatvlakken laat e_xx,
e_yy en e_zz onveranderd, terwijl van de overige straincom-
ponenten er telkens twee veranderen en een niet verandert.

Hieruit volgt, dat door deze spiegelingen moeten ver-
dwijnen:

l^e. de derde machten van e_yz, e_zx of e_xy (3 termen)
2°. de termen, bevattend een quadraat en een eerste
macht van e_yZ) e^ en e_xy (15 termen)

3°. alle termen, bestaande uit het product van drie ver-
schillende componenten, met uitzondering van e_xxe_yye_zz
Vyz ^ezx &xy (18 termen).

Door bovenstaande spiegelingen verdwijnen dus reeds
zes-en dertig termen. De twintig overblijvende staan in
de eerste rij van onderstaande tabel vermeld. (Coefficienten
a, b----).

(I b ^yy ^ C^zz 4" d @~xx f @zz 9 ^yy ^xx "t"

b a c (j h d

c b a i j f

-f- li C^i/y C_zz -f" \'ï (?"_zz &xx ~t^- j (i~_zz &yy ""f" k, ^"yz @XX "t^- l ^J/Z ^>jy

f j i o n

d li g s r

&zz "1" ^{n e}^zx ^exx ⁰ £~zx ^eyy P c\'^zx Czz ⁽1 ^G<1xy ^exx

p l k m r

q p o n _m m

"t^- f C^xy Vyy ® ^xy &zz t &xx ^eyy @zz ^ ^yz @zx @xy

q s t u

l k t ii

Een rotatie om de Z-as over een hoek van 90° bewerkt
de transformatie:

In de tweede rij van vorenstaande tabel staan de coef-
ficienten vermeld na deze transformatie:

Een draaiing over een hoek van 90° om de Y-as heeft

de volgende omzetting ten gevolge

^ey\'y\' ^{= e}yy

z\' ~ &XX
&y\'z\' —

^ez\'x\' ^{= e}zx
@x\'y\' ⁼ &yz

De coefficienten van de twintig termen der strain-energie-
functie, na deze draaiing om de F-as, staan in de derde
rij der tabel vermeld.

De volgende betrekkingen moeten dus bestaan

a = b = c

l = m = n= p — q=r.

lc = o = s.

De functie wordt

a (e³xx c²yy 4- e\\.) 4- d (e²xx e_yy 4- e\\_y e_xx 4- e²zz e_WJ 4-
e\\y e_zz 4- e^xx e_Zz ^zz ^exx) ^k (^e\\z e_xx 4- e\\_x e_yu 4-
^e2xy e_zz) 4- l (e\\_z e_yy e\'\\_x e_xx 4- e\\_v e_yy e\\_x e_zz 4-
4" V"_Xy 6_Xx 4" C²?/r @zz) 4" t\' t\'xx &yy @zz "I^- W Cyz ⁽\'zx &xy

Zes constanten zijn nog over. Drie invariante derde-
graadsfuncties zijn bekend. Hoogstens drie betrekkingen
zijn dus nog mogelijk.

Draaiing over een hoek van 45° om de Z-as maakt

x\' == f (| 4- y) 1/2
z\' = z.

In de transformatieformules moeten dus de volgende
waarden ingevoerd worden

— i 1/2 m_A = Y1/2 w_t = 0

/₂ — — 4"l/2 ^m2 — T J/~2 ⁿi = 0

/₃ = 0 ra₃ = 0 «g = 1

De transformatieformules worden

£>x\'x\' ⁼⁼ "2 (^ra; "4" ""t^- ^zz)

^ey\'y\' ⁼ "2 "4~ ^exy)

e_z\'z\' = e_zz

^ey\'z\' ⁼ "2 (®J/z ^zx) 1/ ^
— 2"feyz ^zx) 2

Na invoering dezer transformatie in den verkregen vorm
voor de strain-energie-functie levert gelijkstelling van coeffi-
cienten nieuwe betrekkingen. Daar dit maximaal drie kan
bedragen zal, indien drie nieuwe betrekkingen gevonden
zijn, verder onderzoek overbodig wezen.

Bepaling der coefficienten van e³xx, c_xx e_yy e_zz en e_yz e^ e_XIJ
levert de condities

Z of d = 3a — 41

t=d — 2Jc it t — 6a — 81 — Ak

u = — k -4- l u — l — k.

De derde-graadsfunctie van de straincomponenten, die
bij draaiing en spiegeling niet verandert is dus:

¹¹ (C^xx ^c^yy "4" 4/) ((\'\'²XX Byy S^yy @xx

c²zl e_yy -4- e²j_ty e_zz e^_xx e_zz 4- e²~. c_xx) -4- k (e^y_Z c._xx -4-
"4" ^e^zx ^eyy C²xy ^ezz) "4" / (^e"yz ^eyy ^zx ^exx "4~ ⁽\'²xy ^eyy
f^zx e-zz e²xy e_xx 4- e\\_ze_zz) 4 (6a — SI — Ak) e_xx e_yy e_zz
{l k) e_yz elx e_xy.

Daar in dezen vorm zich nog slechts drie constanten
bevinden, moet hij geschreven kunnen worden als

Cf,® .............. (5)

wat door uitwerking inderdaad het geval blijkt te zijn.

De tweede graadsin varianten zijn ƒ,- en I₂.

De uitdrukking, die aangeeft de potentieele energie per
eenheid van volume, is derhalve, aannemend, dat met een
eerste uitbreiding van de wet van Hooke mag worden
volstaan

W = AI* 4- BI₂ 4- CI^ 4- D1\\I₂ 4- ...... (6)

Hiermede is W als functie van de straincomponenten
gevonden.

Over de wijze, waarop 0 als functie der strain-
componenten berekend wordt.

Deze § wordt in twee deelen gesplitst. In het eerste deel
zal worden aangetoond, hoe voor het isotrope lichaam 0
geheel algemeen als functie der straincomponenten is te
berekenen. In het tweede gedeelte zal worden aangegeven,
waartoe deze ingewikkelde berekeningen zich reducèeren,
als wij onderstellen, dat hoogere dan tweede-graadstermen
der straincomponenten mogen verwaarloosd worden.

Uit de waarde van ó = (2) volgt reeds direct, dat 6

IC

als functie der straincomponenten bekend is, zoodra wij het
grenstrillingsgetal v_m kennen.
v_m was bepaald door (1).

3iV= v³m VF.

Volgens Bom en Kar mann *) geldt voor F

4tt ³ 1

................ <⁷>

waarin q_v q₂ en q_z de drie in het lichaam bestaanbare
voortplantingssnelheden zijn

¹) Zie Physikalische Zeitschrift 14^er Jahrgang p. 17 en 71.

\'-iLvk-O\'............⁽⁸⁾

en daar

V= V,(l e_xx?

is 6 als functie der straincomponenten bekend, zoodra wij
bepaald hebben, hoe de voortplantingssnelheden q van deze
afhangen. De berekening van 6 komt dus neer op de be-
rekening der ^\'s.

Om de voortplantingssnelheden q als functies der strain-
componenten te vinden gaan wij uit van de elastische
differentiaalvergelijkingen van beweging

VW <*² W WW B²w
 =P-

ïe_xx }>x ■ }ie_xy dy cte^ "dz M²

9²IF 7)²W VW d²u

zu ^ ^ ^ .......(⁹)

dexy de,jy ty ~èe,_JZ dz

VW 7>²W _ V-w
Be^ ~èx ~be_yz }>y de_zz ~èz ^ M²

In de gewone elasticiteitstheorie, in die namelijk, waarin
de wet van Hooke wordt aangenomen, is W een functie
van den tweeden graad der straincompon enten

of bij invoering der meer gebruikelijke coefficienten en ft

W=(i* ₍t)l_i*-2fil₂.......... (10)

De elastische vergelijkingen (9) krijgen dan den vorm
, Cèhi ?²o t²iv\\ t*²u *²u dhi\\ Vu

U^² - tebj Ä) Hj^² ty² te²) = ^pW

en door te stellen

_u — _{a e}\'utei(*x ßy yï)
_{v =} b e\'^e\'l"* !*\'■> ^............ (11)

,icot i(kx ßy y-)

wordt gemakkelijk voor de drie voortplantingssnelheden
gevonden

_ï3=

en dus voor ó

³-«).... (12)

X

|2

De uitbreiding van de wet van Hooke en het onmid-
dellijk gevolg hiervan, dat W een derde-graadsfunctie is
van de strain-componenten, maakt echter, dat de elastische
differentiaalvergelijkingen niet meer den eenvoudigen boven
aangegeven vorm behouden. Èr treden nu termen op, be-
staande uit het product van een tweede en een eerste difFeren-
tiaalquotient en de oplossing wordt veel moeilijker. Door
physische overleggingen kunnen wij echter deze moeilijkheid
op de volgende wijze vermijden.

De bewegingen, die in vergelijking gebracht moeten wor-
den zijn kleine elastische trillingen om een evenwichtsstand.
Bij verandering van den toestand van het lichaam door
samendrukking, uitrekking of vervorming zullen deze tril-
lingen in \'t algemeen veranderen en bovendien uitgevoerd
worden om een nieuwen evenwichtsstand. Laat voor een
bepaald deeltje deze de coordinaten hebben u°, v° en w°
ten opzichte van den oorspronkelijken evenwichtsstand,
dan kunnen wij voor de uitwijkingen van zoo\'n deeltje
stellen

u = u° ■4- u\'
v = v^Q ■ ■ v\'
w = w° w\'

!) Vlg. ook P. Debye. Zur Theorie der spezifischen Wärme. Annalen
der Physik^Band. 89, p. 815 en 837.

waarin dan u\', v\' en w\', de uitwijkingen uit den nieuwen
nulstand, klein zijn.

Uit de beteekenis der strain-componenten volgt (4)

^exx ^: d\'xx e xx
^cyy ^{= e}°yy 4~ ^e yy

6zz = e°zz ■ ■ 6 zz
ßyz — C^yz C yz

&zx ^zx 4~ ® zx
^=: ^xy 4~ ^ xy

Hierin zijn dan ook e\'_xx.....e\'_yy kleine grootheden,

waarvan dus de derde machten mogen verwaarloosd worden.
De strain-energiefunctie bad den vorm:

W = (1A 4- tl) A² — 2,64 /₂ Cl? -4- D1J₂ Ü7g (6) en (10)
waarin

I\\ ⁼⁼ t-xx 4~ ^eyy 4"~ @zz

1<L — Vyy &ZZ 4~ &ZZ ^XX 4" &XX ^IJIJ J 4" ^e^ZX 4" ^Xlj)

— ^exx Cyy ^ezz 4~ 4 (^eyy ^ezx ^exy ^exx ^e\\z ^eyy ^e"zx ^ezz ^e<ixy) (5)

Substitutie van e_xx — ^_xx - - e _xx enz. in deze drio inva-
rianten levert, na weglating van de derde machten der met
accenten gemerkte straincomponenten:

I<1 = I\'i 4- f\'i 4~ ⁽\'^yy 6 zz 4"~ ^l\'°yy & xx 4~ ® xx 4" ^zz ® yy 4"

4" ^e°xx ^c°xx ^e yy 2 i^e°y" ^e yz ^c\'°zjc ^e zx c°xy ^e xy)

^3 ⁼ ^3° 4- ß°xx ^e°yy ^e zz 4~ ß°_XX ^e !/!/ ^e°!/!/ ⁶\'°" ^e XX 4"

4- e°zz ^e xx ^e yy 4- ⁽\'⁰liy e xx ^e zz 4- e°xx ^e yy ^e zz 4-
4" I" (^e°i/i ^c°zx ^e xy 4-............. e°_z. e _xyⁱ).

Uit den vorm der elastische vergelijkingen volgt, dat ook
de tonnen in W, die slechts eerste-graadsfuncties bevatten
der met accent gemerkte factoren, op de vergelijkingen
geen invloed zullen hebben. Noemen wij den vorm, die de
straincomponenten bevat, welke wel invloed hebben op den
vorm der vergelijkingen, W\', dan is

W\' = (\\a n)I_t\'* - 2fj. 7₂\' 3C/₁°/₁\'² DI^I₂\'

DT\\ J e°_yy e _zz - - ê*_zz e _yy e°_zz e _xx -f- e^_xx e _zz - - e®_xx e _yy
C®y_y e _xx g- e _yz $zx ^e zx ^e°xy ^e xy) |

Om nu geheel algemeen de drie voortplantingssnelheden
als functies der straincomponenten te berekenen zouden wij
als volgt te werk moeten gaan. Door differentiatie van W\'
naar de geaccentueerde straincomponenten en naar x, y en 2
zouden eerst de drie elastische vergelijkingen gevonden
moeten worden. Daar W\' een functie van den tweeden
graad der straincomponenten is, zouden deze vergelijkingen
lineair zijn. Vervolgens zouden wij een oplossing der ver-
gelijkingen onderstellen in den vorm

u=a e\'"¹ e\'("^x &

v = b e\'^ut e\'(^ax\' ** rt............(11)

w = c e"" e\'(^ax &J

Substitutie dezer uitdrukkingen in de differentiaalverge-
lijkingen zou dan leiden tot drie ten opzichte van a, b en c
homogene vergelijkingen en dus tot een conditie voor de
bestaanbaarheid van de onderstelde oplossingen. Deze conditie
zou drie waarden voor pu¹ leveren en uit deze zouden dan
weer gemakkelijk de drie waarden der voortplantingssnel-
heden q volgen. E11 hiermede was dan geheel algemeen ó
als derde-graadsfunctie der straincomponenten bekend.

Deze algemeene oplossing zou echter tot zeer aanzienlijke
berekeningen aanleiding geven. Daarom zullen wij voorop
stellen, dat hoogere dan tweede-graadstermen dér strain-
componenten in 0 verwaarloosd mogen worden en daarna
nagaan tot welke berekeningen de bepaling van 6 zich voor
het isotrope lichaam dan beperkt.

dan kunnen wij bij bovenstaande onderstelling opzetten

° = 4) (1 i *_k e_k Ü (2,k e,e_te)........(14)

i i i

Voor het isotrope lichaam zijn de \'27 hierin optredende
coefficienten terug te brengen tot 3. Daartoe gaan wij uit
van de uitdrukking voor W.

Daar echter slechts het doel is een benaderde waarde
voor Q te vinden, waarin nl. geen hoogere dan tweede-
graadsfuncties der straincomponenten optreden, zullen wij
ter verdere vereenvoudiging ook in de uitdrukking voor de
potentieele energie de derde-graadstermen weglaten. Dan
wordt

W = A p) (e_i -4- <?₂ -f <?₃)² — 2/a {(e^ e₂e₃ e₂e₃) —

-tK^! ^ «6²JI..........................(io)

De vrije energie, beschouwd als functie van de strain-
componenten, zal voor een isotroop lichaam ook slechts
deze invariante vormen kunnen bevatten. Volgens (3) be-
staat de vrije energie uit twee deelen, waarvan het eerste
de potentieele energie is, terwijl liet tweede deel slechts door
de daarin optredende grootheid 0 van de straincomponenten
afhangt. Derhalve zullen in 0 ook geen andere dan do in-
variante functies der straincomponenten kunnen voorkomen.

0 moet dus als volgt geschreven kunnen worden.

d = [14-afo e₂ e₃) e₂ -t-e₃)² 4-c |e_t e₂ 4-e^ 4-e₂e₃)—

-tW ^ ^D

of ook

a («₄» e₅« <%*))..........................(15)

met de betrekking

4S y = 2/3..................(16)

Volgens form (14) is \'t aantal te berekenen constanten
in Ù 27. Door (15) en (16) is dit aantal teruggebracht tot 3.
Om deze te berekenen gaan wij als volgt te werk.

Wij onderstellen eerst e₄ = e₅ = e₆ = 0 en e_i = e₂ — e₃ = e,
berekenen voor dit eenvoudige geval de voortplantingssnel-
heden q en daaruit weer 6. Volgens (15) zal dan de coeffi-
cient van e in Û gelijk zijn aan 3«, de coefficient van e²
gelijk aan 3(|3 y).

Daarna onderstellen wij e_i = e₂ = e₃ = e₅ = e₆ = 0 en e_i = s.
Dan zal moeten blijken, dat de coefficient van s in 0 ver-
dwijnt, terwijl de coefficient van e² den coefficient 5 geeft.

Hiermede zijn dan in verband met (16) de in O optre-
dende coefficienten bekend.

Berekening van O als functie der strain-
componenten.

I.

Ter berekening van den coefficient x zouden wij
e₄ = e₅ = e₆ = 0 en de componenten e_u e₂ en e₃ onderling
gelijk onderstellen. Beschouwd wordt dus een naar de drie
richtingen even groote uitzetting zonder verschuivingen.
Zij = e₂ = e₃ = e.

De functie, die alle termen bevat, die de elastische ver-
gelijkingen beinvloeden, wordt voor dit speciale geval vol-
gens (13)

W\' =(-iA 4- ft 3 CI\\ 4- 2De) I_t\'²4 (—2fi DI_t
of W\' = (i A 4- 9 Ce 4 2De)//² 4- (- -4- 3De Ee) /₂\'.

Voor de elastische vergelijkingen (9) vindt men gemak-
kelijk, do accenten bij u, v en w weglatend

^X dy* dz*)~ ^PM*

dhv

Wij onderstellen een oplossing

u = ae\'^at e\'("^x % ^
v = b e\'^ut e\'(^ax P^lJ
_w—_{c e}\'^w\' H- ßy w)

%

Substitutie dezer waarden van u, v en iv in de drie elas-
tische vergelijkingen geeft na uitwerking de drie volgende
in a, b en c homogene lineaire vergelijkingen

X(«² /3² y²)] a— | A ^ (l8C ^B ^l2E)e\\xßj b-
-   \\E)e\\«y]c = 0.

[-  \\E)e\\ «/3J a -f j~p«² — j A jW-f-

X (*² /3² r²)] 6 ~[}a y Z) i- j /3y] c=0.

; - (l8C yZ> ^)eJ «yjo— 

X (a² /3² 7²) J c = 0.

Stelt men x = pco* — j^- £> 1 ^ é J («² /3² _?-²)
dan moet verdwijnen de determinant

a v (l8<7 H 0  J «0
* (l8C y D

>. f* (-18C

A ^4- (l8C  J/3²

a ,« (18(7  jfly

A (l8C y y².

Voegt men bij (3 X de eerste kolom — x X de tweede
en bij (3 X derde kolom — y X de tweede dan krijgt men

/3²x²

O   lE)e\\ y -1

Telt men nu bij de tweede rij x x de eerste en y x
de tweede rij op dan wordt de determinantenvergelijking

1 0

(3²x\'

= j _A fj, ^18c l¹ D  (*² /3² ?-²).

Van de drie waarden voor pa² vallen er dus twee samen,
wat bij deze speciale onderstelling, waarbij het lichaam
isotroop blijft, te verwachten was.

_pco₃² = | a 2^ (18C 4B)e\\ (a² /3² y²).

<y = aantal trillingen in den tijd 27r. Stelt men « =
n ccy\'

P = —, 7 = — , waarbij /3\'² - - y\'² = 1, dan betee-

kent q de voortplantingssnelheid.
Dus

<u²

_a2 _/32 _y2=^L

T

en _?1² = _?2² =--, ........(17)

A 2aH- (18C 4£)e

<?3 ~ -

Volgens (8) wordt dus

1

waarin V = F₀ (1 e)³

Po

P =

(1 e)³

als F₀ en p₀ betrekking hebben op den toestand bij T—0.
Het eischt verder overleg of wij aan de in deze formule

optredende grootheden a en fx dezelfde waarden mogen
toekennen als zij bij het absolute nulpunt zouden bezitten.
Dit is uit de voor de ó gevonden waarde af te leiden. Bij
aanname van de met de wet van Hooke atomistisch over-
eenkomende onderstelling, dat de trillingen uitgevoerd wor-
den onder de werking van krachten, die evenredig zijn met
de uitwijking uit den evenwichtsstand, volgt direct uit de
dan geldende bewegingsvergelijkingen, dat het trillingsgetal
door de werking van een standvastige kracht niet beinvloed
wordt¹). Dus wordt geeischt bet constant blijven van Q.

Volgens voorgaande is

. h/9N \\±_/T, *

| A 2|» (18C 4- 4Ü9) e j 2 _

Zal 0 bij aanname van de wet van Hooke, dus bij
C — D — E= 0 constant blijven en nemen wij —ondanks
de aanname van de wet van Hooke — een eindige uit-
zetting aan, dan blijkt uit de waarde voor 0, dat wij aan
a en jjt, vóór en 11a deze eindige uitzetting niet dezelfde
waarde mogen toekennen, doch dat moet golden

1 e l e

Dezo waarden van a 011 fi invoerend wordt

, h( 9N\\l\' _xr .-1

—

3

-

jA₀ -l- 4- (18C 4- 4D) e (1 4- e)\\ 2_

1  Zie ook p. 53.

Wij stelden

6=ó₀\\l x(e^e₂-\\-e₃)-\\-(3(e_i² e₂² e₃²) 7(e_ie₂ e_ie_z e₂e₃)-{-
  ..............(15)

Voor e₄ = e₅ = e₆ = 0 en e_x = e₂ = p.₃ = e wordt

ö = fl₀|l 3«e 3(/3 r)e²}.

Ontwikkeling van de in (18) gevonden waarde voor ó
leert dus zoowel 3« als 3 (/3 - - y) kennen.

De hoogere dan de eerste machten van e verwaarloozend,

is volgens (18)
—| — -

(ID \\ E) ï - (§C 2D) (a₀ 2^)" *

_3

2^o ² (*o  ²

waaruit volgt

(3 c 1 D) ^

x =-----5-j---(20).

(*o ²^o)2 ^02 (*o 2^₀)

Tweéde-graads-componenten van e komen voor met den
coefficient

-(S^² F ¹
(96\' 2D) (A₀ 2^₀)~ T —(202^ C² -4- 10Z>² 90CZ>) x

x (a₀ -4- 2^₀) "4J : j 2^₀" 2" (a₀ 2v₀)~ IJ ô₀ Q
^q== ki^ J^k"^- (^{27c qd}) ij² : j2^₀-4 (a₀ 2^₀)- 4j²

Dus vindt men

(| g ^ J.-^ DE)
3(0 7) =---3--

2^o "

⁵ / 405 \\ ⁷

—  Q

(A₀ 2^₀) 2

Na berekening van S zal deze betrekking, gecombineerd
met (8), de coefficienten (3 en y geven. Hiermede is dan 0
als functie der straincomponenten bekend.

II.

Wij willen thans de afhankelijkheid van 0 van de ver-
schuivingscomponenten berekenen. Wij stellen

^e\\ = ^e2 = ^e3 = ^e5 = ^e6 = ^0
e4 =

Bij deze aanname is

Deze waarde van W\' substitueerend in de elastische
vergelijkingen (9) vindt men ria uitvoering der differentiatie

1 / Vu Vw \\ 1 1 Vv Vu \\ _ Vu

(_A „)_ _ _) -E. (— _)-
1 / Vv \\ 1 C»// 1 Vu

, M 1 ï²w d²w d²tv \\ 1 „ fd*v d²U \\

2 ~dy 2 ïyïx 2 7)z²> ~^P M² \'

Stellen wij wederom

u — a e^,u)L e\'^ ftz rO
v = b e"°\' e Pu

_w=ce\'«t _e i{cui % yz)

clan is

(A (t) ^ = — (A p)« (o* cy) e^,ft" e \'(« <*!/ r)

O Ju

^ ^..........

.....

..........

..........

^pYt^{2 =} ~^pacc..........

De eerste vergelijking wordt dus
| - (A p) x² — ^ (x² /3² y²) — I jg\'f /3y P } a
\\—{>. f*)x0 ±{2D ir)sar\\b \\-^(*. f*)«r
E) sx(3 j c = 0.
Verder is

(A fi) ~~ = — (A fi) (3 (ax bl3 cy) e\'^ut e <«^x Pv y*)

vy *

fc

..........

...........

-ÏMjf w*-*»\'^*\'™..........

— ⁼ (a* cy)..........

-\\^E£SL=¹2^Esaxy..........

"w—"⁶"²..........

Dus wordt de tweede vergelijking

j _(A ^)/3² — ft(ct* p Dsfo b
j —     |c = 0.

Ten slotte heeft men

— (a ia) = — (a (a* b(3 cy) e^,u\' c\' <"*

(te

..........

ï^\'l^ ^f» — ..........

~\\^Delif⁼\\ De(3(ax b(3 cy)..........

1 _ d²W 1 „ -

--Es ——- =- Eeaxfi..........

2 tyto 2

..........

„

^p-w=-^pcu..........

waaruit voor de derde vergelijking volgt

j -(A ^4  

j — (A (*)(3y -{Eex*   j b

| — (A ft) y² — ft (x² 0² y²) Df pa² | c = 0.

Deze drie homogene lineaire vergelijkingen hebben slechts
dan een oplossing als hun determinant verdwijnt

— (a (a) x² - (a (x² 0² y²) — I Ee(3y ^

— (A /») x(2 j Esxy ~ Dsxy

2

— (a [/,) xy jEex(2 \\dsx[3

— (a ia) X(3 i (2d f «7................(22)

— (A (a) 0² — [a {x² 0² 7²) Z>f 07 pa³
_ (_A ^ 0₇ _ 1 Ee x² i 02 i D s7²

— (A  i(2Z)

— (a /et) 07 - j «² i de(0² 7²) ⁼

— (a fa)y² — [a («² 0² 7²) Defiy /5«²

Gelijk bekend is (en zooals eveneens volgt uit de drie
voor pco² gevonden waarden bij een naar alle richtingen
even groote uitzetting eheeft men voor het geval, dat
alle straincomponenten = 0 zijn

|0W₁² = pu₂² = [a {x² 0² 7²)
_pcc_a² = (A 2/a) (*² 0² 7²).

Stellen wij dus om een benaderde waarde voor de thans

na de verschuiving e geldende voortplantingssnelheden te
verkrijgen vooreerst

pCO* _ ^ (^2 ß2

en trachten wij met deze waarde van pa² aan de deter-
minantenvergelijking te voldoen.
De determinant (22) wordt

2

, „ 2 D E

— (à 4- (/,) x!3 H----exy

2D E „

— (A fjL) xy H--- ex ß

(A 4- At) aß

— (a aO 4-U

2D E ₀

(A ,«■) H---j-£ xß

= 0.

— (A 4- 4- D ßy) e.

De termen, waarin geen f optreedt, zullen moeten ver-
dwijnen, hetgeen bij uitwerking ook blijkt het geval te
wezen.

De coefficient van e wordt

(A aI) ß*){A Dßy)-

r o r\\ I y

— (A I — <z/3(A Z>/3y)--

4

2D E

 y ₄

(A ,«)

H--^-u(Zy² — (A Z)j3y) #7 --1-«/3³

Hoogere machten van 5 worden verwaarloosd. Aan de
determinantenvergelijking zal voldaan zijn als de coefficient
van 5 = 0 is. Uit deze conditie zal de waarde van A moe-
ten bepaald worden.

A komt voor met den coefficient

(A t*y j «² (/3² y²) — «²/3² — «v j = 0.

De termen, waarin A niet optreedt zijn

(A A*)² «² [D (/3² y²) - 2 j -~ *² ^ ( /3²

7²)

,2D E j E ₂,D_fa. ₂.( 2D E„₂ ,
—D(6²—-^--7 j — J «² Y (p 7²) j--1-/3²

(\' E _2 2.2B E _r. ₂ , 2D4-E-₂~|

Bij uitwerking blijken ook deze geheel te verdwijnen.

Dat de coefficient van s verdwijnen moest was echter a
priori in te zien. In verband met de twee samenvallende
waarden voor pu² in den toestand zonder strain moeten wij
immers een tweede-machts-vergelijking voor A verwachten.

Bepalen wij nu den coefficient van e². Deze wordt

(a v) x² [( A Dfof ²J
[A — y By) [-(A D(3y)(x fA)(3²-(A DPr)(* (*)7>

2 (A (*,) (3y j - y (02 y²)

ID E

4—(a z>0r)--^— x(6 j g- (/3² r²) j j

— ^E«V [- (A /)(2y) (a p) x_t3 - a a⁴)

(A i*)«/ j - ^ ^ (02 7²) j —\'(a yxj -

j - f*² f (0² 7²) j - ^2/;4 ^A\'*/3 X

X j _|Wy(/3²-P/²) | (a ^0-

\' 2 /) F ~1

2D E,
4

Zal aan de determinantenvergelijking voldaan zijn dan
moet deze coefficient nul wezen. Hieruit volgt een vier-
kantsvergelijking voor A.

De termen waarin A optreedt zijn de volgende

)- (a-m)*²— (a ^)02-(a-m)"/²} ^2 r_2(a ^)«20_y£>_
F F 9 ƒ ) TT

(a ft) 0v y (* f (* at) «²7/3 —

. ₉„ 2Z) E _{0/ v 9}. 2D
(a «20₇--ZL-. 2 (a p) «20₇---- I

hetgeen na uitwerking blijkt te worden

— ( a fl ) («2 02 (^2 _ 0_y ^ j .

De termen, waarin A niet voorkomt zijn

f Z>/3V ( a aO -y 2 (a ,«) /3V²1 - f*² f (/3² 7²) j ]

, J~_T12Z> ^ . _ 2D E A E„ D₁₀₉ J~|
(a a*)#/3LD—|—x(3y²---—

2D E r ™ \\ 2D E. , . ,
--4—«y I — Z>(A A6)«/3²7--4-

x j-f«² y(/3² /²)j x

j j

X (a A*)«/^² -D(A At) <*/3y^{2 E} (A At)*/3³] •

Door uitwerking en rangschikking naar de verschillende
machten van /3 en y blijkt, dat in de laatste uitdrukking
de coefficienten van /3⁴y² en van/3²y⁴ verdwijnen, terwijl

E²{? -t- ei)

die van x^Q, x²/3⁴ en *²y⁴ alle —^v > die van ^⁴/3², «V²
en van x²/2²y² alle ^E _WOrden.

O

Dus wordt ten slotte de vergelijking, waaruit A moet
bepaald worden

- (A A«) /3² 7²)  ^(A At)«² x

X (2/3²y² «⁴ /3⁴ 4- y⁴ 2*²/3² 2«²y²) = 0

of

l E E² (

- (A At) («² /3² y²) 1A² - -g /3M - jg-«² (*² /3² y²) j = 0

waaruit volgt

A_i=j-0y j/^ j 0 v 4- <*² («² /32 y²) |

A₂ = ^E(3₇- | /3V² 4- «² («² /3² 4- r²) (

Hiermede zijn twee der trillingsgetallen gevonden

,a,₂2₌^(*2 _/3²4-7²)4-[^|3r |/^/"^j/3V² ^²(«² /3² r²)}] (23)

Voor f = 0 was liet derde trillingsgetal bepaald door

_f£Ü32 = (A4-2 ft) (x² 4- /3² 4- 7²).

Stellen wij derhalve om een benaderde waarde voor het
thans geldende derde trillingsgetal te verkrijgen

_pu2 = (A 2^) («² /3² r²) 4- ii₈f.

Wij substitueeren deze waarde van pu² in de determinan-
tenvergelijking, waardoor deze den vorm aanneemt:

— (A At) (/3²4-7²)4- (a~ (Zy)e ²Z> 4 ff _{f xy}

2D 4- E

— (a 4- At) */3 H--^--f «r — (a 4- A*) (*² 7²) 4(1 Z>/3r) e

— (a 4- n)xy 4- -^{2d a} — (a4-,«)je?-4-j —

2D E _n

— (a pc)xy -\\--|-* «/3

-(A At)/37 4- j- f (/3² r²) j f
■— (A 4- A⁴) (x² 4- (3²) 4- (i4 4- Z>j3y) f

De term met eindige grootheden is wederom nul. De
termen, waarin eerste machten van f optreden zijn:

(A fz) (02 7²) (A ft)(x² 7²)(A DM £4-(A /tt) X

X («²4-0²) (14-007) £4-2 (A4-^)07! - ^(0² 7²) j *] 4-

—f 0^) [(* 4- ,*)²(*² 4- 0²)(*² 4- 7²) - (A 4- ^)²0²7²]£ 4-
r 2 7)4-F

—■^*²4-y(0² 7²)|f 4- 

4- ^ [(A * 0 («² 4- 0²) 4- (A *07²] £ 4-

(A4-A0 ^0 j - (0² 4 7²) J £ «07² X

2D F

X (A4(A4-^)^7(1 4-D07> 4--—(A4-/tc)«0(«²4-7²)f -

^ ^ ^ ^ _(<X2 _r2) -J _£<

Zal door de aangenomen waarde voor pu² aan de deter-
minantenvergelijking voldaan worden, dan zullen niet alleen
de bekende termen, doch ook die, waarin t optreedt moeten
verdwijnen. Hoogere dan eerste machten van e worden
verwaarloosd.

Door uitwerking wordt voor den coëfficiënt van £ ge-
vonden

(A 4- ^)² («² 4- 0² 4- 7²)² A₉ 4- (A 4- (tf Z>07 («² 4- 0² 4- 7²)²

waaruit volgt

A₃= — D(3y.

Dus

pcc² = (a 2,») («² 0² 7²) — DQys......(24)

cox\'

Stelt men wederom x = — enz., dan is q de voortplan-

tingssnelheid, terwijl x\'² 0\'² y\'² = 1.

Uit de drie gevonden waarden voor pcc² volgen dan direct
de drie voortplantingssnelheden

pc l, E

qf = ^ j 1 ~ (0 V 1/0\'V² <*\'²) *!

q² = 11 ^ (0\'V— J/0\'²/² *\'²) 51 ... (25)

C-T^rM

Voor het isotrope lichaam waren de drie voortplantings-
snelheden onafhankelijk van richting en de in 0 optredende

4 7T ** 1 4 7T

factor i*⁷ was gelijk aan ~T⁼—3» waarin q_m de

0 1 q\' qm

gemiddelde voortplantingssnelheid is.

Door de verschuiving s is het lichaam niet meer isotroop
en in verschillende richtingen bestaan verschillende snel-
heden. Stellen wij ook nu nog den factor F gelijk aan het
product van en het omgekeerde van de derde macht
der gemiddelde snelheid, dan is dus

..............<²⁸>

waarbij de integratie is uit te voeren over een bol met
straal 1.

In eerste benadering is

Dus

Bij invoering van poolcoördinaten geldt
ot! = sin Sr cos <p
/3\' = sin 9- sin <p
y\' — cos 3"

terwijl het bolelement

Derhalve wordt ook thans gevonden

Het blijkt dus, dat de factor F en hiermede 6 geen functie

is van de eerste machten der verschuivingen s, een resul-
taat, dat volgens (15) gevonden moest worden ¹),

Berekenen wij thans, hoe 6 van de tweede machten der
verschuivingen afhangt. Daarbij kan van voorgaande be-
rekeningen, waarbij slechts eerste machten van £ beschouwd
werden, met succes worden gebruik gemaakt.

Stellend

pu² — (jl [x² 4- /3² -f- y²) = x

kan de determinantenvergelijking geschreven worden in den
vorm

x³ — ax² -4- bx — c — 0.

Aan deze vergelijking willen wij thans voldoen door
x = Ae Be².

Werd gesteld x = As, dan bleek, dat bij substitutie van
deze waarde van x in de vergelijking, de coëfficiënt van s
nul werd.

Dus zal in de coëfficiënt, b geen term mogen voorkomen
zonder f, terwijl in c slechts tweede- en hoogere-graads
termen van s mogen optreden.

De vergelijking moet dus geschreven kunnen worden in
den vorm

x³ — ( a_xs a₂^f2 • • ■ • ■ ■ ^2^f2 ••••) x —
- (c₂f² c₃f³) = 0.

Is x = As Be² van deze vergelijking een wortel dan
bestaan ook de volgende twee vergelijkingen

A* — 2 a₀AB — a_xA² 4- b_xB 4- b₂A — c₃ = 0
— a_QA² 4- b_i A — c₂ = 0.

Voor de laatste vergelijking word reeds op pag. 32 gevonden
— (A A)(«² /3² y²) \\ A²- ^l3yA—x²^{x² (3²-hy²)\\=0

1  Zie ook p. 52.

en als wortels van deze

A = ■f fo j- VWy² 4 *² /3² y²)

— ~ VW¹ 4 («² /3\'^r 7²)

terwijl uit de eerste vergelijking volgt

— J.³ djA² — b₂A -4- c₃
b_i — IcIqA

De noemer van B wordt gevonden door — a^A!² 4- b^A — c₂
naar A te differentieeren.
Maar

(— a₀A² 4 b_iA — c₂) =~l — a₀(A — A₁)(A — A₂)(
= -a₀\\2A-(A_i A₂)\\

terwijl

a₀ = (A («² 4 /3² 4 7²).

De noemer van B is dus bekend. Van den teller blijft
nog te berekenen a_A, b₂ en c₃.

De bovenstaande derde-graadsvergelijking in x is in de
determinantvorm

x — (A 4 ia) x² — i Efiye

— (A -f ft) x(3 I (2Z> 4 E) xy e

— (A 4 ft) xy j (2Z> E)ct$e

— (A j- (20 4 E)xy f
x — (A 4- ft) /3² 4 Dfiye

— (A -f- /3r - ^ 4 ^D(/3² ₇2)_£

— (A n)cty I(2Z» ff)

- (A fi) (3y — i ff4- I /) (/3² y²) _f

X- (A ft) y² Zty^f

waaruit volgt
a_i=(±E-2D)(3y

b₂ = D² - />*) /3V² - ( [z»² («V² «²0²) —

_J_ ff 2*4 _ ilX)²/34 —IZ>V.

16 4 4

c₃ = — I X>²ff(/3² — y²)² 4-1 (ö²ff 4- Z)ff²) 4-

o ö

4- \\ D²Ex²fi³y 4-1 DE² *²/V

o 8

, .. . . ^ux\' r> ccy\'

of bij invoering van x = —, p = — , y — —-

b₂ = j ([z>²-z>ff) /3\'V\'²- (£ ö²  _

c₃ = j — \\ £>²ff/3>\' (/3\'² — y\'²)² 4- ^ (^²ff 4- Dff²) *\'⁴/3y 4-
8 8

6

I DE\'² x\'²fi\'³y\' 4- i DE²x\'²fi\'y\'^s j

terwijl Aj en A₂ den vorm aannemen
ff

Kiezen we A = A_i dan levert substitutie van de voor
A_i, a₀, a_v b₂ en c₃ gevonden uitdrukkingen de bijbehoo-
rende waarde van B

I r< e³ ___E²

[! "64 (^V l//3\'V² ^\'²)³ 32 x

x (/3y yp\'V* z\'²\\f₆ f! {-\\d* de) (3\'²y ²

((*\'V² «\'²/3• ■ 7 W⁴ 4-
\\4 16/ 16 4

i- DV^k j (/3y J//3\'V² «\'²) S~~ ^x

x (/3\'²-r\'²)  .OZ\'²) «\'⁴/3y 

O O

Na uitwerking vindt men

j[- ^Z)²JÉ^,/3y(2/3\'²y\'²-«\'V²—*\'2/3\'2 /3\'4 _?/4_2*\'⁴)

^=4- 2/3\'V² *\'V² ^\'²/3\'² 4- /3\'⁴ r\'⁴) x

x K/3\'²/² «\'²1 i ■ «o (^2 - ^i)
\\ -i 7

of bij invoering van «\'² -4- /3\'² 4- y\'² = 1.

* D² {/3V(l-3«\'2)—(l-«\'²-3/3\'V²)K/3\'V² *\'²| ₂

_______________iL C27)

(A ^)]//3\'V²4-«\'² (?²

Om B₂, de bij t! = behoorende waarde van B, te
vinden, kunnen wij bedenken, dat liet eenige verschil tus-
schen B_x en B₂ hierin bestaat, dat overal, waar in B_{ de
vorm 4- l/$V² 4- ü"¹ optreedt, in B₂ de vorm — |//3\'²/2 _a\'2
voorkomt.

Dus is

■g £>² J/3V (1_3*\'²M1-*\'²-3/3V²)J//3\'V² j _w2
(A ft) J/^V²

en \'rest nog slechts de berekening van de derde waarde, welke
B kan hebben nl. de waarde, behoorend bij A₃ = —D(3y.

Stellen wij x — pcc²— (a -4- 2^) («² /3² y²), dan kan de
in pcc² derde-graadsvergelijking wederom geschreven worden
in den vorm

x³ — px² — r = 0.

In r moeten alle termen machten van s zijn, want voor
s — 0 is x een wortel der vergelijking. De vergelijking zal
derhalve de gedaante moeten hebben

^x3 — (Po Pi^e iV²---- (?o <?i^f ?2^f2----—

— (r_lf r₂f² ....) = 0.

Stellen we a; = ^4₃£ 4- Z?₃f², dan moet, derde en hoogere
machten van £ verwaarloozend, voldaan worden aan de
volgende twee vergelijkingen

q₀A₃ — r_x = 0

— Po qo^Bz ⁽1\\ ^A3 — ^r2 =

Gevonden werd reeds

= ^ («2 _/32_H__r2₎

r₄ = Z) (a -f- ft)² (x² 4- /3² 7²) /3y
A₂ = -D(3y.

Dus moeten nog berekend worden p₀, q_A en r₂.

Bij bovenstaande aanname voor a: heeft de derde-graads-
vergelijking in determinantvorm de gedaante

. „ 2D E

— (A At) x(3 —-*y £

---j-£

_x „ 2D E

— --1-«y £

ar -f- (A t*) («as² y²) 4- Z>/3y £
W E ₀

— (A ft) ocy H--1-oc(3 e

ar 4- (A ft) («² /3²) Dfoe
Door uitwerking van dezen determinant vindt men
= —2(A ft) («a ^ y»)

_?1 = (4/)--(A p) /3y(«² -f /3² y²)

( £)²

r₂ = (A-4-Ai)J-^-(^²/3² ^²y² /3⁴ y⁴—2/3²y2)(«2 /32 ₇2₎

EDfify* («² /3² y²) j.

De gevonden waarden voor q₀, j9₀, en r₂ sub-

stitueerend wordt

Z)²

2D²/3²y² Z>(40— y )|3²y² ^(^²/S² «²y² /3⁴4V—2/3²y²) ,£0/3 V
(A fi) •(«« ~/3~²~ r²)

of bij invoering, als vroeger, van <x = — enz.

(6Z>² 2ED)PV* Z)²(*\'²/3\'² g\'V² /3\'⁴ y\'⁴) w²
4(A >) 7²

Hiermede zijn ook de drie eoefficienten van f² in de
drie voortplantingssnelheden q bekend. Deze worden dus
in verband met (25)

=7 [^] 5^(/3y ^^2/2 *\'^{2) f} s^b)^x

_v /3y (i—3«\'²)—(i — «\'² — 3/3\'y²) ]//yyg i

l//3\'y² »\'²
^ [l 4- ^ (/3V - K^\'M^²) * -

^?2²⁼7- vw ^£ - 8^ 7) ^x

_x 0Y (1-3Q (1 - 3/3\'y²)l//3\'y² 4 n

|/0\'y² «\'2 ^£ J i )

A 2^r z) „ , ,

<1*=-:—

P L A 4- 2/ti ^ 4 (A 4- 2/»)-

A 4 (X. J-

Volgens (26) is

3 J Y qz³

terwijl, wederom hoogere dan de tweede-machten van s
verwaarloozend volgens (30)

SI)²

b - (M¹ -1

?,³ V fiJ L 2 4jtt \' ^ ^ ^ \' 16/Ci(A4-^)

/3V(l — 3^²) - (1 — *\'² —3/3V²) VWv"²- 4- *\'² ₂~|

I//3\'y² «\'"2 * J

^^!= (i)¹ [\' ■-1 v^(<3y ïêifb)^x

/3y (i—3^2) (1—3/3\'y²) |//3"y 2
|//3\'²/² 4-

£ ^ri ï-^L^.___*

q₃³ Va4 2a4/"L 2A4-2a4^P/ 8(A42^)

(6D 4 2ff)/3\'y² 4 D(«\'²/3\'² 4 «\'V² 4 /3\'⁴ 4 r\'⁴) j

x

A 4 p

Door substitutie dezer uitdrukkingen voor de omgekeerde
derde-machten der voortplantingssnelheden wordt

i 3-D 30(6D 2-Ë\')/3^,V² Djx\'H3\'^{2 2} n

1 2(A 2/i) ₈(A 2A_i)(A ^) U

Bij integratie verdwijnen de termen, waarin eerste machten
van 6 optreden. Dus

f ₁ 30 (6 /; 2E)/3\'V² D(x\'²fi\'² «V² /3\'⁴ r\'⁴) ( ₂1 j

^x r~s^TW)---—--r J

Ter uitvoering der integratie voeren we wederom pool-
coördinaten in *)

x\' — sin & cos <j>
(2\' = sin S- sin <p
/ = cos 3"
ata = sin SdSrdo.

/bol rbol

(1 _ «\'2 _ S(3\'Y²) dcc =1 (1 — sin ²3" cos ²f—3 sin ²3" sin ²? cos ²3) x

/

X sin bdSdy = 2TT |^T(sin & — ~ sin ³& — y sin ³3" cos ²&) r/3*
o

= 2,(2-|

ƒ bol fx fèv 4

/3\'V² dcc = / sin ³S cos ²3" sin = — tt

o o

ƒ bol /.jr /.27T 1 /■"■ * 4.

x\'²(3\'²du = f sin⁶asin²?cos ²<pdïd<p = -t sin f>Sd$=

o o

i) Zie p. 36.

ƒuu 1

ƒ bol px fèx

/3\'⁴ rfffl = / / sin sin ^dSdy

o o

Nu is

_r27T

ƒ sin ⁴<j3 = 4 ² sin V = 4 ƒ ² cos oty =

0 (I o

t

= 4 ƒ ² . ( — COS 4<J> — COS 2<p tfy = j TT.

0

Dus

r^bo1 , 3 r^T

/DOl tf 4

P*du*=j* sin Wd$ = -7T.

O

ƒ bol /-TT /*2t 4

y\'idcc= I cos ⁴3- sin S-d&dcp = —t.

ü O

Derhalve

ƒ bol ao

(*\'²/3\'² 4- x\'V² 4- 4- y\'⁴)
Hiermede zijn de noodige integraties verricht en wordt

\'-£[»(*)* fe)⁴] (i)¹"-
D f 24 D 8ff 32Z> \\ / p \\ 1 ₂

(7 D² DE)7t ( p
15 (A 2^) (A At)

Volgens (8) is

9 N

rfi J

q

Bij substitutie der gevonden waarde voor F wordt

70²(A_o 2/x₀)2" (14 D² 2 DE)ft₀?

120 (A₀ fto) ^o (*o )2(A₀ 2^)2 ^21 J
Hiermede is de coefficient £ uit form. (15) gevonden

— 70² (A₀ (140² 2DE) ft₀^
§ =---j---|----(32)

120 (A₀ ft o) (A₀ 2^₀) 12 (A₀ 4- 2ft₀) 2 ft₀21

/

Door (16) en (21) kunnen verder in verband met (32)
de coefficienten (3 en y bepaald worden.
Men vindt

5 /225 2*)

90 X

5 5

X (Aq 4- 2^Q)2~ (90 C 20Zj)(A_{o /}a_o)^o²"— (2025 C²4-200Z)² 1800CZj)X

X (*o ^0) (^Ao 2^o) X

X(A₀ ^O)^o^.Q 2^_o)-\'-70²(A_o 2_AC_o)^ (147)2 1
------ -------------------------------------------------- 9^(33)

X J 2(A₀ 2^₀)2 ^0² i

5 / OOK OK 7K \\

8\'

45 X

5 5

X(A₀ 2^q)2 (90 C 200)At₀"2 (A₀ ^Q)—(2025C² 2000² 180000)X
X ^(a_o ^_o)(A_o 2^_o)-¹ ^0²(A_o 2^- (7D² DF)ft₀T _g

J«¹)

X {2(A₀ Vo)² ^o²)

\') Voor de beteekenis van Q zie p. 24.

j6f

Voor den coëfficiënt van (e_i 4- e₂ 4- e₃) werd gevonden
(1D ^ E) (A₀ 2ft₀) i - (3C 4- 4 Dyfi

X =--5-X-

2^0 (A₀ 2^₀) 2 4- (A₀ 4- 2(t₀)

Hiermede zijn de vier coefficienten, die volgens (15) in
0 optreden, verkregen en is de vrije energie £ bekend,
zoodra de elastische constanten van het lichaam gegeven
zijn. Differentiatie naar de zes straincomponenten levert
verder de zes vergelijkingen, die voor het isotrope, vaste
lichaam de toestandsvergelijkingen voorstellen.

In de elasticiteitstheorie, waarbij de wet van Hooke
geldig wordt ondersteld, worden dikwijls in plaats van de
constanten A en ft twee andere constanten gebruikt, die
dan functies zijn van A en ft. Zoo kunnen wij hier ook
in plaats van de drie constanten C, D en E, die bij een
eerste uitbreiding van de wet van Hooke optreden, de
vier constanten x, (3, y en S, verbonden door de betrek-
king 2/3 = 43 4- y, invoeren. De aanname dezer constanten
wordt hierdoor gewettigd, dat in de uitdrukkingen voor
den uitzettingscoefficient en voor de verandering van de
elastische constanten, die volgons de wet van Hooke
optreden, niet de grootheden C, D en E zelf voorkomen,
doch slechts x, /3, y en Wij zullen dus in \'t vervolg zóó
handelen, alsof x, /3, y en ci (waartusschen de betrekking
2(3 = 43 4- y) de constanten zijn, die bij uitbreiding van de
wet van Hooke optreden, terwijl wij ons om de groot-
heden C, D en Edie practisch niet op den voorgrond
treden, niet verder zullen bekommeren.

Berekening der toestandsvergelijkingen.

Voor de vrije energie per eenheid van volumen werd
gevonden

£ = W 9N/c7\'( jYJ\'log (1 — e~^%) = \\V £_v

(x) I* - 2,uI₂ Cl* 4- D1_XI₂ ff/₃

en 0 = tf₀ j 1 «(e₁ 4- e₂ 4- e₃) - 4- <?₂² 4- e₃²) 4-

4- y {e_xe₂ 4- ej e₃ 4- e₂e₃) 4- 3 (e₄² 4- e₅² e₆²) (

terwijl

A = e2 ^e3

/₂ = q<?₂ 4- e₄e₃ 4- e₂e₃ — ^ (e₄² 4- e₅² 4- e₆²)
/₃ = e_te₂e₃ 4- y (e₄e₅e₆ — e₁e₄² — e₂e_b² — e₃e₆²).

DifFerentatie van de uitdrukking £ vóór de vrije energie
naar de zes straincomponenten levert bij verwaarloozing
der termen, waarin lioogere dan eerste machten der strain-
componenten optreden

X_i=*I₁ 2(te_i  I * y(^e2 ^e3) I

*

x₂ = a/₁ 4- 2(ie₂ -t- —| x 4- 2/3e₂ 4- y (e₃ 4- e,) {

X₃= AZ,h- 2[ie_z 4 1 * 4- 2/3e₃ 4 y (e, e₂) }

-17- n* A d-Ëv

i r /, ^v

5 = f*^e5

Uit de uitdrukking voor jJFv volgt

«

Bifv / 7\'\\⁴ rf p

₀ er j.

Deze waarde van staat in eenvoudig verband met
do

de uitdrukking voor de trillingsenergie Z7„. Gelijk bekend

is geldt: U_v = £_v-T~.
Men vindt

ê

W\' log (1 - .4) _ 12 Nk (l)\'f ^f *

0 ^{K x}

en, eveneens door partieele integratie, voor £_v

^ s

= 3 NkT log (1—<Tr) — 3NJc T [%-)*[ ⁷

^{K 0} \' i e*— 1

Dus wordt

TT _ 1f 7\'__

?T

i

U_v = 9N7c T ƒ⁷ # ........(34)

of in verband met de gevonden uitdrukking voor

U_v =

M

dó ó

öJv

Deze waarde voor ——— substitueerend in de uitdrukking
voor X_i krijgt men

= a 2fte_i {(«  

Bij verwaarloozing van hoogere dan eerste machten der
straincomponenten is

Dus wordt de benaderde uitdrukking voor X_i

= a/₄ 2fte_l U-j j * 2jse₁ y(e₂ e₈) — x^ e^e^) J
Evenzoo

X_z = A/j C7v j« -4-2j3<?₂ y{e., 4- e₃) -f <?₂ e₃) j
X₃ = Al, 2^3 -j- Uv j« 2j3e₃ - - y{e_i ■ ■ e₂) - j
X₄ = ^₄-t-2Z7vSe₄ (35)

X₅ = /xe₅ 2U>ïe₅
X_fi = 2 Z7v

Hiermede zijn voor een isotroop lichaam en bij lage
temperatuur de betrekkingen gevonden, die aangeven het
verband tusschen de stresscomponenten, de straincomponenten
en de temperatuur. Ze treden in de plaats van de betrekking

p = f{VT)

voor het gasvormige lichaam en mogen dus de toestands-
vergelijkingen in gewonen zin van het isotrope vaste lichaam
genoemd worden,

Naast deze betrekkingen volgt uit formule (34) nog voor
de totale energie U

U=W U* =

= ^{r 9w}(f)\'f£iⁱ⁵........<³⁶>

0 ^{K 1}

Hierdoor is U als functie van de straincomponenten en
de temperatuur, en dus ook nog de zoogenaamde calorische
toestandsvergelijking van het lichaam bekend.

6.

Berekening van den uitzettingscoefficient uit de
toestandsvergelijkingen.

De toestandsvergelijkingen (35) geven bij constante tem-
peratuur het verband tusschen stress- en straincomponenten,
bij constante stresscomponenten het verband tusschen uit-
zetting en temperatuur. In de praktijk interesseert de laatste
betrekking het meest.

Onderstellen wij, dat op het lichaam geen uitwendige
krachten werken.

Is X_i=X₂ = X₃ = X_x = X_r, = X_e = 0 dan is ook vol-
gens de laatste drie vergelijkingen

= ^p5 = ^ea = ⁰

m. a. w. door temperatuursveranderingen treden geen ver-
schuivingen in \'t lichaam op. Daar dit, om niet in botsing
te komen met de resultaten der ervaring, gevonden moest
worden, blijkt ook thans weder, dat 6 geen functie mag zijn
van de eerste machten der verschuivingscomponenten.

Uit X₁=Z₂ = X₃ = 0 •

volgt x_i — x₂ = x₃.

Wij vinden dus, geheel in overeenstemming met de
praktijk, dat een isotroop lichaam zich bij verwarming in
alle richtingen in even sterke mate uitzet.

Door sommatie der eerste drie vergelijkingen van (35)
krijgt merf

__—3 xUv

^{1 —} 3A 2p 4- (2/3 2y — 3«²) U_v\'

/

Bij lage temperaturen mag (2,6 4- 2y — Sx²) Uv verwaar-
loosd worden tegen (3 a -1-2^).

En dus krijgen wij voor de kubieke uitzetting

j _ — 3x Uv

¹ ~~ 3;. 2/K

of daar voor de compressibiliteit k genomen mag worden

_{7r =}_3_

\' 3a 2 fi

I_x= — »Uvk................ (37)

Als resultaat dezer beschouwingen wordt dus gevonden,
dat (in de omgeving van het absolute nulpunt) de uitzetting
van een lichaam evenredig is met zijn inwendige bewegings-
energie, met de compressibiliteit k en met de elastische
constante x. Hiermede is de het eerst door Griineisen
afgeleide betrekking teruggevonden.

Bij aanname van de wet van Hooke bestaat er een
lineair verband tusschen de stresscomponenten en de strain-
componenten. De potentieele energie W is dan een quadra-
tische functie van de straincomponenten. De elastische
constanten C, D en E en dus ook x zijn nul. Bij aanname
dier wet zet een lichaam zich dus slechts uit door uitwen-
dige krachten, niet door temperatuursverhooging Aanname
van de wet van Hooke sluit in zich negatie van een
thermischen uitzettingscoefficient.

De bye¹) berekende voor het eenvoudige geval van den
asymmetrischen oscillator de thermische uitzetting door uit
te gaan van de bewegingsvergelijking van den oscillator en
vindt deze uitzetting (gemiddelde uitwijking uit den even-
wichtsstand) ook evenredig met de energie van het trillende
deeltje. Het bleek bovendien, dat ook dan slechts van een
thermische uitwijking sprake kan zijn, als do oscillator aan
zijn even wichtsstand gebonden is door krachten die niet-
lineaire functies der verplaatsingen zijn.

\') Zie Mathematische Vorlesungen an der Universität Göttingeil 1913.
Die Bewegung eines asymmetrischen Oszillators p. 21—24.

De uitdrukking (37) voor de uitzetting stelt ons instaat
de elastische constante a, te berekenen. Differentiatie van
naar £ levert immers de kubieke uitzettingscoefficient K

K=^=-*k^=-«kc_vP ........(38)

waarin c_v de soortelijke warmte bij constant volume en p
de dichtheid voorstelt.

Experimenteele bepalingen, waaruit de andere grootheden
(3, y en 3 kunnen bepaald worden komen slechts sporadisch
in de litteratuur voor. Wij bezitten o.a eenige in de be-
palingen omtrent den invloed van de temperatuur op den
torsiemodulus (jl en den elasticiteitsmodulus E, die — voor
zoover juist — in staat stellen |5, y en 5 te berekenen. Wij
zullen daarom in de volgende § eerst theoretisch de ver-
anderingen van ft en E met 7\' uit de toestandsvergelijkin-
gen bepalen.

Over de afhankelijkheid van den torsiemodulus ^ en
den elasticiteitsmodulus E van de temperatuur.

\\

Uit de laatste drie der toestandsvergelijkingen (35) volgt,
reeds direct, als p-r den torsiemodulus bij de temperatuur T
voorstelt

Pr — Po 25 Uv
of =2 ic_vP...................(39).

Uit de verandering van den torsiemodulus met de tem-
peratuur kan dus de elastische constante § berekend worden.

Niet zoo eenvoudig is de afhankelijkheid van temperatuur
en elasticiteitsmodulus. Onder laatste wordt verstaan de
verhouding van de kracht, die men in de lengterichting
van een staaf of draad laat werken tot de verlenging door
die kracht veroorzaakt.

Laat de lengterichting van de staaf samenvallen met de
richting der X-as. Er werkt slechts een kracht volgons de
lengterichting der staaf. Dus

X₂ = X₃ = X_t = X₅ = X₆ = 0.
X_t = X.

Uit de toestandsvergelijkingen (35) volgt
X= a J_A H- 2p e_i 4 Uv |ot 4 2(3e_x y (e, 4- e₃) — x²I\\;
0 = a^ 2/^ -4- Uv 4- 2)3 e₂ 4- y (e₃ 4- ej— «²Z,j
0 = a/, 2/*e₃ 4- Uv j« 4- 2/3 e₃ 4- y 4- e₂) — x²!^.

Door optelling dezer vergelijkingen vindt men

X — 3 x U-j

3;. 2& (2(3 — 3*²) Z7v

en door substitutie dezer waarde van Z, in de uitdrukking
voor X

a X — 2>X\'AUv „ ,_t , „, ,

Q-rrr ^^v ^ï —)

"3;, 2//. (2(3 2y—Zx*)U_v

. , _ „ _X-3xU_v_

(7 « _3;< (2j3 2₇ — 3^²) Uv

Laat Uv klein wezen, zoodat hoogere dan de eerste mach-
ten van de energie mogen verwaarloosd worden. Door ont-
wikkeling naar Uv vindt men dan gemakkelijk voor X,
als men nog a en ft door a₀ en ft₀ vervangt

X = —--—- K(3a₀ 2,a₀ 2j3 U_v 27 Uv—3«² Uv)e, 2ft₀x Uv
f^o) L

(3a₀ 2ft₀) (2/3 - 7)C/ve, - ^o ^o) (20 7 -2«»)tte,].

Differentiatie van X naar e₁ geeft den elasticiteitsmodu-
lus & Daarbij treedt op , waarvan wij eerst de orde
van grootte willen bepalen

^Dus ^^ir^ir ^{(blJ benaderlll}g)

e^T —1 ⁰

T

De vorm —^—— verdwijnt voor lage temperaturen ex-

ponentieel. Bij het absolute nulpunt wordt ^^ dus — 3xUv.

pé^

Derhalve mogen bij de differentiatie van X naar e₁ vormen
als jtt/3 e_i - weggelaten worden tegen /x/3 U*. Van deze
verwaarloozing gebruik makend wordt

?X 1 r

d^^==jE== 2(A₀ ia₀) |> (3*o Vo 2/3 6^rv 2 yU_v~ 3x*lT_v)

3a₀ Uv(2fi—y) 2|W,₀ Uk(2/3—y)— f^oj^^^o (20 y—2x^l) Uv 2//,₀x

^Ao n\'o J

en na uitwerking
= _2(Ao^_o) [W - (3a₀ 2/x₀)(2Q - y) 4/^-

X* ■

A₀

4-

* - ......⁽⁴⁰⁾

Gerekend van het absolute nulpunt" zijn dus de ver-
anderingen van (JL zoowel als van E bij verhooging van de
temperatuur evenredig met de soortelijke warmte en dus
met de derde machten der absolute temperatuur.

Resumeerend krijgen wij de volgende vergelijkingen ter
berekening van de grootheden x, jS, y en S.

K — — xk c_v p...................(38)

^=2 ïcp......................(39)

lE_ 1_

^Ao y-o

;.₀

terwijl vroeger nog tusschen |3, 7 en § de betrekking ge-
vonden was

4S 7 = 2(3................. (16)

Berekening van «, p, y en S voor eenige elementen.

De formules (38), (39) en (40) voor den uitzettingscoefticient
en voor de verandering van torsie- en elasticiteitsmodulus
werden verkregen door te onderstellen, dat hoogere dan de
eerste machten van Uv mochten verwaarloosd worden.
Bovendien was bij alle berekeningen ondersteld, dat met
een eerste uitbreiding van de wet van Hooke kon worden
volstaan, terwijl in de uitdrukking voor de karakteristieke
temperatuur ó geen derde- of hoogere-graadstermen der
straincomponenten werden opgenomen. Uit al deze onder-
stellingen vloeit voort, dat de formules (38), (39) en (40)
theoretisch slechts in de omgeving van het absolute nulpunt
geldig zijn. Niettemin zullen wij de grootheden x, (3, y en 5
gaan berekenen alsof de formules ook voor hooge tempe-
raturen gebruikt mogen worden. Vooreerst is \'t slechts de
bedoeling een idee te krijgen over de grootte van x, |3, y
en S, daar de experimentecle waarnemingen toch te zeer
uiteen loopen om een eenigszins nauwkeurige waarde van
(3, y en 5 te kunnen verwachten. Maar bovendien heeft de
ervaring geleerd, dat van dergelijke extrapolaties in de
theoretische physica dikwijls mot succes gebruik gemaakt
kan worden.

In de volgende tabel zijn torsiemodulus [jl, elasticiteits-
modulus Een de veranderingen dezer grootheden met de tem-
peratuur overgenomen van de tabellen, die Cl. Schaefer¹)
daarvoor geeft. De opgaven gelden voor kamertemperatuur.

1  Annalen der Physik V, 1901, p. 220.

De soortelijke wärmten zijn overgenomen uit de tabellen
van Debye ¹) en — voor zoover noodig — uit de aldaar
opgegeven waarden bij andere temperaturen door lineaire
interpolatie voor kamertemperatuur afgeleid. Uit deze ge-
gevens en uit de dichtheden, de atoomgewichten en de
uitzettingscoefficienten zijn x, ß, y en 5 berekend. Bij deze
berekeningen is alles herleid tot C. G. S. eenheden.

De opgaven voor lood staan op de laatste plaats, omdat
gegevens over de verandering van den elasticiteitsmodulus
ontbreken. In verband daarmede komen bij lood geen
waarden voor van ß en y.

Formule (40) werd gebruikt na invoering van den elasti-
citeitsmodulus E ter vervanging van A. Uit

» V

_E= /x(3A 2/X)

A [X

volgt

l^E-IjM)

A

3 /x—E

Substitutie van deze waarde van A in form. (40) levert
na uitwerking de voor de berekeningen van (3 en y ge-
bruikte formule (40¹)

......^(4Ü,)-

Na de bepaling van x volgens form. (38) uit den uit-
zettingscoefficient²) en de bepaling van d volgens form. (39)
uit de verandering van den torsiemodulus werden uit de
twee betrekkingen (40¹) en (41) /3 en y berekend.

1 V Annalen der Physik 39, 1912, p. 789.

2  Voor den uitzettingscoeff. (kubieken) werd genomen 3 X den bij
Schaefer voorkomenden lineairen.

Zooals uit bovenstaande gegevens blijkt neemt de torsie-
modulus met toename der temperatuur af. Dit strookt dus
met de onderstelling, dat [x bij nadering tot het smeltpunt
kleiner moet worden. Een smeltpuntbepaling door voor het
smeltpunt die waarde van T te nemen, waarvoor //, = 0
wordt, levert echter geen bevredigende resultaten. Dit was
overigens door de zeer uiteenloopende waarden der expe-
rimonteele bepalingen niet te verwachten.

Het uitzetten der lichamen met verhooging der tempe-
ratuur en daardoor het bestaan van een positieven uitzet-
tingscoefficient heeft ten gevolge, dat de coefficienten x van
de eerste machten der straincomponenten in de uitdrukking
voor de karakteristieke temperatuur negatief worden. Zooals
verder reeds werd opgemerkt kan een thermische uitzet-
tingscoefficient slechts bestaan, als wij aannemen, dat de
atomen door niet-lineaire krachten aan hun evenwichts-
stand gebonden zijn. Wij moeten aannemen, dat een groo-
tere kracht vereischt wordt om de atomen tot elkander

te doen naderen dan om de atomen over denzelfden afstand
te verwijderen. Dit is trouwens in overeenstemming met
de ervaring, want zooals bekend is, neemt de compressibi-
leit k met verhooging van den druk af. Hieronder volgen
de resultaten van eenige waarnemingen over deze verander-
lijkheid ¹).- Gekozen zijn de waarnemingen van de vier
elementen waarvoor de elastische constante oc, (3, 7 en 3
berekend worden. Tevens zijn de veranderingen van de
compressibiliteit met de temperatuur opgenomen, k is gege-
ven met atmosfeeren per cM² als drukeenlieid.

Zie W. Schut. Piëzochemie der gecondenseerde systemen p. 72.
Dissertatie 1912. Utrecht.

Voor zoover uit vorenstaande gegevens een conclusie
getrokken kan worden neemt K af met verhooging van den
druk. Hetzelfde geldt ook voor de andere dan vorenstaande
elementen, voor zooverre onderzocht. Bridgeman meent
echter uit zijn experimenten te mogen besluiten, dat alumi-
nium (en ook staal) geen kleinere samendrukbaarheid bij
hoogeren druk hebben. Richards en Lussana vinden
echter steeds een vermindering van k met verhooging van
den druk, niet slechts bij bovenstaande elementen, doch bij
alle, Avelke zij onderzochten.

Verder volgt uit bovenstaande tabel een toename van k
met de temperatuur. Hetzelfde wordt bij alle elementen
waargenomen. Echter laat de overeenstemming tusschen de
waarden dezer toename veel te wenschen over.

Wij zouden uit (35) een uitdrukking voor de compressi-
biliteit k kunnen afleiden en daaruit de afhankelijkheid
van k van de temperatuur kunnen bepalen. Uit de af-
hankelijkheid van de elastische constanten ^ en E van de
temperatuur volgt echter reeds direct, <lat bij lage T ver-
anderingen van k evenredig met 7\'³ zijn en dat dus k
evenredig met T⁷⁴ is. Grüneisen vond inderdaad bij Al,
Fe, Cu en Ag een snellere dan lineaire stijging van k
met T. Volgens Lussana neemt bij .4/ k vrijwel even-
redig toe met 7\', evenals bij Bi en Sb. Meer overeenstem-
mende en daarmede meer betrouwbare resultaten waren
zeer zeker gewenscht. Dit geldt niet alleen voor do veran-
dering van k met 7\', doch in \'t algemeen voor den loop
der waarden van al die physische grootheden, welke met
de elastische constanten verband houden.

STELLINGEN.

STELLINGEN.

i.

. Op theoretische gronden mag bij lage temperatuur de
thermische uitzettingscoefficient eu de thermische verandering
van torsie — en elasticiteitsmodulus evenredig verwacht
worden met de derde machten der absolute temperatuur.

II.

Met is wenschelijk, dat betrouwbare experimenteele be-
palingen verricht worden over de veranderlijkheid van de
bij een vast lichaam volgens do Ilookesche theorie op-
tredende elastische constanten.

III.

Ten onrechte meent Schaefer in zijn waarnemingen
over de verandering van do elasticiteit met de temperatuur
een bevestiging te mogen zien van de verwachting, dat de

P o i s s o nsche constante bij het smeltpunt de waarde moet

hebben.

Annalen der Pliysik V. p. 220.

IV.

De aannamen van Ortvay:

6 6

W = °ik XiXk

1 \\

6 6 6 6 6
en — = y_j/cx_kx,_c y_jiy_jkß_ikx_ix_k)

li i ii

zijn met elkaar in strijd.

Yerhandl. der Deutschen Physik. Gesellsch. XY Jahrg. 1913,
Nr. 16, p. 774 en 775.

v.

De uitdrukking welke Ortvay voor Xf afleidt is ver-
kregen door een niet geoorloofde verwaarloozing en moet
vermeerderd worden met

9 Nk₀ 7\'⁴ ^z fT

V / f^{T 1}
i J e

Zie vorige stelling.

VI.

•Het bewijs door Rouclié en De Gom berousse gege-
ven voor de stelling dat een vierhoek koordenvierhoek is,
als tusschen de diagonalen en de zijden de betrekking be-

x ad bc . .. ..

staat — = —-,-j is onvolledig.

y ab - - cd °

Traité de Géometrie I, p. 148, 6e druk.

VII.

De wet, dat een gebeurtenis een aantal malen" kan ver-
wacht worden evenredig aan de kans, die deze gebeurtenis
bezit, vloeit niet voort uit het theorema van Bernouilli.

De vergelijkingen (1) p. 243 van Schuster zijn geen
uitdrukking voor een homogene deformatie volgens de
definitie van Thomson en Tait, tenzij de afgeleiden
van x, j3 en y naar x, y en z constanten zijn.

Schuster. Einführung in die theoretische Optik.

IX.

De formule van Land ré voor de sterftekans

d

ft !(,-«)-t-i,\'
behoort vervangen te worden door

b U\'-u)

2

Mathein. teclin. Kapitel zur Lebensversicherung p. 63, 3e druk.

»

X.

Door het onderzoek van Bridgman is de gletscherbe-
weging niet meer te verklaren door de regelatie.
Zeitschr. Anorg. Chemie. Deel 77, p. 377.

XI.

Aan de afleiding door Grotendorst van de formule

ƒ1) oo oo pb

tin {x) dx=^£ u_n (x) dx.

1 1 J

n a

00

Voor het geval, dat 2jU_n(x) tusschen a en ft convergent,

1

00 rb

maar voor ft divergent is, terwijl ^ I u_n (x) dx conver-

\\ J

geert, mag niet de waarde van een bewijs gegeven worden.
Beginselen der Diff. en Integr.rekening p. 35, 3e druk

XII.

Het bewijs, dat Goursat geeft voor de tweede middel-
waardestelling is om den daarin voorkomenden limietover-
gang te verkiezen boven het bewijs, dat van die stelling
bij S e r r e t voorkomt.

Goursat. Cours d\'Analyse. Math. I, p. 182, 2e druk.

Serret-Sclieffers. Lehrb. der Diff. und Integr. Rechn.

II, p. 48, 3e druk.