Over Electrische Dubbelbrekingf.

o

Over Electrische Dubbelbreking.

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN

Doctor in de Wis- en Natuurkunde

aan de Rijks-Universiteit te Utrecht

or GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS

Dr. H. SNELLEN

IIOOGLKKRAAR IN UK FACDLTSIT DER GENEESKUNDE

volgens besluit van den senaat der universiteit

tegen db i1kdknkingkn van i)k

Faculteit der Wis- en Natuurkunde

te verdedigen

op Maandag 30 November 1914 des namiddags 1c 4 uren

door

JOZEF HENDRIK TUMMERS

geboren te Sittard.

V

AAN MIJNE OUDERS.

Aan het einde mijner Universitaire vorming, zeg ik dank
aan U, Hoogleeraren der Wis- en Natuurkundige Faculteit,
voor de leiding en het ontvangen onderricht.

Aan U, op de eerste plaats, Hooggeleerde Julius, Hoog-
geachte Promotor, voor de vriendelijkheid dat Gij wegens het
vertrek van Professor Dedye dit proefschrift nadat het reeds
gedrukt was, hebt willen aannemen.

U, Hooggeleerde Kapteijn, voor Uw kostbaar onderricht in
de leer der functiën, voor Uwe lessen van groote weten-
schappelijke en paedngogische waarde. U ook, Hooggeleerde
Nijland, om uw groote welwillendheid en voorkomendheid,
en U Hooggeleerde de Vries, wiens lessen ik gaarne aan-
hoorde om Uw volstrekt juiste vertolking der meetkundige
gedachte.

Hoe zal ik len slotte U, Hooggeleerde Dehye, mijn dank
betuigen? U, die mij het eerst in het wiskundige schrift
leerde lezen het werkelijk natuurgebeuren. Niet genoeg dank-
baar kan ik zijn vooral voor den grooten steun en de
onafgebroken hulp bij do samenstelling van dit proefschrift,
waarin ik aan natuurkundig inzicht heb neergelegd, wat ik
van U ontving. Zoodat allo eer op do eerste plaats aan U
toekomt. Wees overtuigd, Hooggeleerde Dehye, dat ik niet
vergeten zal Uwe verschijning van karakter en geloerde aan
de Academie to Utrecht.

INHOUD.

Blaih.

HOOFDSTUK I.

Het verschijnsel van KERR.

De proefnemingen van Kerr, en van velen na hem, die ze
herhaalden, hebben het feit der electrische dubbelbreking,
algemeen bekend onder den naam van kerr-effekt buiten
twijfel gesteld.

Dit is: Een vloeistof, die in de gewone omstandigheden
enkelbrekend is, gaat zich onder invloed van een sterk electrisch
veld gedragen als een één-assig kristal en wordt dubbelbrekend.
In de proef openbaart zich dit feit als volgt. Een lichtstraal,
die rechtlijnig gepolariseerd bij een vloeistof S aankomt, zal
bij aanwezigheid van een sterk veld, S verlaten als elliptische
gepolariseerde straal. Ondersteld is, dat de trillingsrichting
van den invallenden straal een hoek maakt met de richting
der krachtlijnen.

Men kan dit natuurverschijnsel wiskundig aldus beschrijven.
De aankomende trilling is in twee andere uiteengevallen, wier
richtingen evenwijdig met en loodrecht op de krachtlijnen zijn.
Zou nu de stof aan eiken invloed van het veld ontsnapt zijn,
dan zouden de twee componenten zich even snel door de
isotrope middenstof moeten voortplanten, zoodat phase-verschil
was uitgesloten; na het verlaten der vloeistof zouden ze zich
dus behoorlijk weer tot een enkele rechtlijnige trilling hebben
vereenigd. De proef vertoont echter iets anders. De straal
namelijk verlaat de vloeistof elliptisch gepolariseerd. Dus de
stof S is niet ontsnapt aan den invloed van het electrisch
veld. De elliptische polarisatie wijst erop, dat binnen S de
eene component den vluggen stap van den anderen niet heeft
bijgehouden van wege den minder gunstigen weg, waar langs

hij voortging: vandaar dat de eene component zich verlaat
heeft in de middenstof en derhalve de vereeniging van den
buitengewonen en den gewonen straal — na passage — niet
meer onder dezelfde omstandigheden kon plaats hebben als
vroeger. De vereeniging tot rechtlijnige trilling is onmogelijk
geworden van wege het phaseverschil; en de vereeniging der
componenten is tot een elliptische trilling aangewezen. De
stof namelijk had twee richtingen, de stof was dubbelbrekend
geworden en de wiskundige splitsing vertegenwoordigde een
reële scheiding.

Wat betreft de grootte der electrische dubbelbreking, deze
is uiterst klein. Zij bijvoorbeeld de brekingsindex van den
straal evenwijdig aan de krachtlijnen n\\ en die er loodrecht
op trilt ??2, dan zal (?j₂ — «1) een maat kunnen zijn voor de
dubbelbreking.

Neemt men bijvoorbeeld nitrobenzol, dat een der meest
geschikte stoffen is, dan blijkt de electrische dubbelbreking —
ook in geval van de sterkste velden — slechts ¹/ioo te zijn
van de dubbelbreking van kwarts.

De experimenteele wet van het KEim-verschijnsel is neer-
gelegd in de formule:

n 2 — «1=7 E²

hierin is E de electr. kracht, en y de zoogenaamde constante
van Kerr. Deze blijkt afhankelijk te zijn van de golflengte a,
van. den aard der vloeistof en de temperatuur.

Gedane proeven hebben bevestigd, dal y vermindert met oo
van zijn waarde, wanneer de temberatuur T één graad Celsius
stijgt. De proeven zijn genomen tusschen 15° en 20° Celsius,
zoodat genoemde afhankelijkheid van de temperatuur binnen
dezelfde grenzen geldig is.

Voor zwavelkoolstof heeft men bij gebruik van Natrium-
licht (ZMijn t = 20° Cis.) voor y gevonden.

y = 3.10-⁷.

Hieruit blijkt genoegzaam de volstrekte kleinheid der electr.
dubbelbreking.

Verder blijkt uit de proeven van Cotton en Mouton (\'), dat
bij toenemende golflengte de dubbelbreking afneemt.

Ze geven namelijk de volgende tabel.

Golflengten 6563 5779 5461 4861 4358
el. dubbelbreking 0,83 1 1,10 1,26 1,45

Alle waarden der el. dubbelbreking zijn uitgedrukt in de
waarde der dubbelbreking voor de gele kwiklijn.

Bij de proeven werd de temperatuur en de veldsterkte
constant gehouden.

De proeven van Kerr op vaste lichamen hebben vrij lang
erover gedaan om een plaatsje te veroveren in het geloof der
mannen van de wetenschap. Van de geconstateerde dubbel-
breking in het electrisch veld konden nog andere oorzaken
dan de electrische kracht de schuldigen zijn en moesten der-
halve in verhoor genomen worden. Zoo heeft — gelijk bekend
is — de minst eenzijdige druk van een vast lichaam reeds
dubbelbreking tengevolge. Het werd beter, toen Kerr zijn
proeven deed op vloeistoffen. De resultaten, hier verkregen
werden spoedig door Quincke, Brongersma, Abraham en Lemoine
en vele andere bevestigd.

Nu het feit vast stond, was er een tweede kwestie aan de
orde met name de theoretische verklaring. Pockels eerst en
Voigt later hebben een wiskundige beschrijving van het Kerr-
efTekt gegeven. De theorie van Pockels rust op de hypothese,
dat de dielectrische constante van een isoleerende middenstof
afhankelijk verandert met de veldsterkte, maar dat deze ver-
andering uiterst gering is. Wat er ook van deze hypothese
zij, de theorie zelf kan men niet hooger aanslaan dan een
zuiver phenomelogische.

Voigt neemt aan, dat de electrische dubbelbreking veroor-
zaakt wordt door den invloed, die het sterke electrische veld
uitoefent op de electronen beweging.

De verklaring van Voigt heeft echter ernstige bezwaren.
Vooreerst waren de proeven van Aeckerlein — omtrent de

(\') Journal de Phys. 5e S, le deel 1913 blz. 1911 blz. 5.

verhouding der absolute vertragingen der stralen in de midden-
stof — in tegenspraak met de uitkomsten der theorie.

Bovendien vooral ontkende of althans verzweeg de theorie
van VoiGT. dat het verschijnsel met de temperatuur afhankelijk
veranderde. De temperatuur T kon langs geen enkelen wis-
kundigen weg in de formule binnengehaald worden. Hier-
tegenover stelde Langevin een moleculaire theorie, die het
verband liet zien tusschen optica en warmteleer. Langevin
voerde de hypothese in, dat in een molecuul een bizondere
richting was, een richting van minimum weerstand. Langs
dien weg zweefden de electromen uiterst licht en gemakkelijk
heen en weer. Deze assen van minimum-weerstand werden
door de electrische kracht gericht. Voordat er een electrisch
veld aanwezig was, was de assenverdeeling in de ruimte overal
even dicht. Nadat echter de electrische kracht in werking
was gesteld, werd de gelijkmatige beweging gestoord. De
assen gingen zich richten naar de electrische kracht K — en
had niet de warmtebeweging zich verzet — het einde ware
geweest, dat alle molekulen hun assen hadden uitgestoken in
de richting der krachtlijnen. Nu echter werd minder bereikt,
maar toch de richting van voorkeur bleef K, zoodat het grootste
aantal zich in de onmiddellijke nabijheid der electrische kracht
ging ophoopen.

Het ph3^rsisch gedrag der assen gericht door de electr.
kracht onder verzet der warmtebeweging, heeft nu tengevolge
eene. groepeering, welke analytisch wordt beschreven dooi-
de verdelingsfunctie van Boltzmann. Stelt men zich voor,
dat alle assen in een plat. vlak liggen, dan komen er per
d a-interval een aantal assen ten bedrage van:

V)

d N = Ge ^hTdoc (1)

hier is w de potentieelle energie der molekulen ten aanzien
van de electrische kracht, T is de absolute temperatuur,
Jc = constante van Boltzmann = 1,346 X 10 ~¹⁰ erg en C is
een constante. De formule (1) kan — na een korte wiskundige
behandeling — verhalen, dat in d <x gebieden, die op grooteren

afstand van de electr. kracht K liggen, de dichtheid der assen
sterk afneemt.

De theorie van Langevin leverde schitterende resultaten.
De proeven van Aeckerlein werden wonderbaar bevestigd, en
de temperatuur drong de formules binnen op een wijze, die
met de feiten volmaakt accordeerde.

De theorie van Langevin heeft derhalve wiskundig ge-
registreerd het optisch wedervaren van een lichtstraal, die
aan een constante electr. kracht bloot staat.

Men kan echter vragen, wat zouden de optische reacties
wel zijn, wanneer we eens te doen kregen met een veranderlijk
veld dit is met een kracht die in grootte en richting wisselt?
Blijft de dubbelbreking bestaan of niet? Zoo ja, hoe zal ze
afhangen van het trillingsgetal? Ziedaar een nieuw vraagstuk,
ziedaar ons vraagstuk. Aequivalent met dit vraagstuk is het
onderzoek naar den relaxatietijd, dit is de tijd, die verloopt
tusschen het verdwijnen der electrische kracht en het ver-
dwijnen der dubbelbreking.

Debye heeft reeds lang dit vraagstuk aangekondigd en den
weg der oplossing aangegeven in een stuk getiteld: „Zur
theorie der anomalen Dispersion im Gebiete der langwelligen
elektrischen Strahlung" (Verhandl. der Deutsch. Physikal-
Gesellschaft Xv Jahrgang N°. IG.) blz. 790.

Wij komen hierop terug.

HOOFDSTUK II.

De theorie van LANGEVIN.

§ 1. We wenschen in dit hoofdstuk de theorie van Langevin *)
te behandelen voor het zeer bizondere geval, dat alle assen
van alle molekulen in éénzelfde plat vlak liggen. We meenen
op deze wijze de methode Langevin het beste te kunnen
toonen. We stellen ons clan voor een molekuul als een on-
eindig dun plat schijfje, wiens dikte van een hoogere orde
klein is dan zijn lengte en breedte.

Van dit molekuul, dat we ons als een vlaktewezentje hebben
te denken, onderstellen we met Langevin, dat het eene as
bezit, waar langs de electronen — in vergelijking met de
richting loodrecht op de as — bizonder licht en gemakkelijk
heen en weer trillen. We stellen ons namelijk voor, dat in
een molekuul zich een electronenzwerm beweegt, welke in
laatste instantie aansprakelijk wordt gesteld voor alle optische
en electrische verschijnselen.

Verder staat — volgens cle electronentheorie — elk electron
onder invloed van een zoogenaamde quasi-elastische kracht,
die de electronen langs hun banen voert, en voorts — om
het absorptie verschijnsel te kunnen verantwoorden — aan
een dempenden weerstand. We zullen echter dezen weer-
standsterm in onze bewegingsvergelijkingen schrappen, hetgeen
physisch zich hierin openbaart, dat we ons beperken tot
spectraalgebieden zonder absorptie, althans waarneembare.

De hypothese van deze as van minimum weerstand be-
teekent de verwerping der isotropie van het molekuul. Het
verkrijgt twee richtingen, namelijk de richting der as en de

\') Vergel. Le Radium-Journal de physique, t. VII Sept. 1910.

richting loodrecht op de as, evenals een één-assig kristal,
zoodat wijselijk verwacht wordt, dat het optisch en electrisch -
wedervaren langs genoemde richtingen verschillen gaat.

Men voelt derhalve de electrische dubbelbreking reeds aan-
komen.

We vragen ten eerste, hoe genoemde hypothese van een
as van minimum weerstand zich analytisch afteekent in de
bewegingsvergelijkingen van een elektron? Het antwoord is
eenvoudig. Nemen we de as van het molekuul als X-as,
dan zijn de vgl^cn:

, . m x" -f- fx\'^— 0
m ij" g if^v = 0

We krijgen m. a. w. twee verschillende parameters f en g,
waarvan f de kleinste is, omdat — krachtens onderstelling —
de x-as de richting van minimum weerstand is geworden.
Verder zijn natuurlijk f en g positief.

Het stel vergelijkingen (1) heeft tot oplossingen:

^U ij= C₅ e ^{{ tj}rCie ^iw*¹ =
oj2 = 1g\\m

De bepaling der constanten O voor een of ander elektron
geschiedt uit beginstand en beginsnelheid van dat elektron.

Men kan derhalve voor een willekeurig elektron — onder-
worpen aan de wet, in de vergelijkingen (1) analytisch ge-
definieerd — de plaats vooruit berekenen voor een willekeurig
tijdstip.

De gemiddelde plaats is de oorsprong. Komt nu behalve
de quasi-elastische kracht nog een constant werkende electrische
kracht in het spel, dan wordt de baan der elektronen niet
gestoord, dit is niet vervormd, maar verlegd. Immers, indien
de electrische kracht K een hoek a met de X-as maakt, gaan
de vergelijkingen over in

m x" -f- fx = e K cos a
m ij" -f- g ij — e K sin a
hier is e de lading van een elektron.

De nieuwe nulstand is geworden:

e K cos oc
f

e K sin «

ij o =

9

Verplaatsen we den oorsprong naar dit punt, dan zien de
vergelijkingen er uit als vroeger, namelijk:

m x" f x = 0
m ij" f) ij = 0

Dus de baan bleef ongestoord.

Tengevolge der verlegging van den evenwichtsstand krijgt
het elektron een moment, met de componenten e a:₀, e< ijo en
komt in het bezit van potentieele energie. Deze heeft de
waarde:

(M— moment en K = electrische kracht)

Ondersteld is verder, dat de vermenigvuldiging scalaar wordt
uitgevoerd.

Zoo komt men aan de uitkomst:

^e— cos² « — sin²«
f 9

Maakt men de som op voor alle elektronen, die binnen

e²

het molekuul trillen, dan krijgt men uitdrukkingen X y, X —,

hetgeen derhalve geen essentieel verschil in de berekening
beteekent.

§ 2. In de proefnemingen van Kerr plantte zich door een
vloeistof S — welke zich bevond binnen het constante veld K —
een lineair gepolariseerde lichtbundel voort. Derhalve zullen
de elektronen van S, behalve aan K, nog onder invloed komen
van eene periodieke electrische kracht, welke afkomstig is van
het lichtveld. Kerr vond verschillende waarden voor den

brekingsindex, naar gelang het licht trilde in de richting der
krachtlijnen, of loodrecht er op. Derhalve een straal, wiens
trillingsrichting een zekeren hoek maakt met ÜT, zal in twee
componenten uiteenvallen, welke zich ongelijk snel door S
zullen voortplanten, hetgeen in andere woorden hetzelfde is
als dubbel breking.

Zoo lang de electronen nog staan onder invloed van K
alleen, blijven hun bewegingsvergelijkingen, — na behoorlijke
verlegging van den oorsprong — dezelfde n.l.

m x" f x — 0
mij" gij = 0.

We onderwerpen de electronen nu nog aan een periodieke
kracht S£ⁱ⁽\'^>l\\e = basis van het natuurlijke logarithmen
stelsel]. We onderstellen, dat deze nieuwe kracht trilt even-
wijdig aan K, dus onder een hoek x met de a>as. Zoodoende
worden de electronenvergelijkingen:

m x" fx = e Scos x. s^l\'^ot
m ij" gij — e & sin x. si et

Deze vergelijkingen beschrijven derhalve wiskundig het ge-
drag der electronen in een lichtstraal.

Voor een gegeven oogenblik t, wordt de gemiddelde stand
van een electron gegeven door:

De verplaatsing in de richting der lichtkracht is nu
X cos « IJ sin x — ^

hieruit:

2

«1 — f— Dl CO

üz — g — ^m cc\'

Het electron verkrijgt natuurlijk ook ten aanzien der licht-
kracht een zekere potentiëele energie, die evenredig is met
c§²; maar deze komt naast het bedrag, dat de kolossaal groote
kracht K levert, — als een grootheid van lioogere orde klein —
niet in aanmerking.

In de onderstelling, dat in een molekuul maar een enkel
electron trilt, beteekent vgl. (3) kortweg het moment van een
willekeurig molekuul, wiens as een hoek x maakt met & of
laten we zeggen met K.

We moeten echter heen naar het moment van alle mole-
kulen, in een c.M^:). vervat, de zoogenaamde polarisatie, hetgeen
dus blijkbaar gaat neerkomen op een sommatie van alle
momentbijdragen van alle molekulen.

We vragen nu vooreerst, hoeveel molekulen een bijdrage
doen van de groote der uitdrukking (3).

Het is duidelijk, dat alle molekulen, wier assen een hoek
x maken met K, hetzelfde bedrag (3) aanbrengen. Volgens
de wet van Boltzmann is nu liet aantal van deze assen even-
redig met:

w

_£~tt

(w — potent, energie, T = absol. temperatuur en k — constante
van Boltzmann = 1,346. 10 ~ ¹⁽ⁱ)

Eigenlijk hadden we moeten zeggen, dat het aantal assen,
liggende in een aangewezen dx gebied, bedraagt:

w

(4) dN=Ce~ÏTdct
waarin C wordt bepaald uit:

f°2 r w

N=C s\'^\'dx
J 0

Een aangewezen d a-gebied levert dus een moment bijdrage
van de grootte:

_(B) |i (i_i)cos>«!_£-f_T^

Om echter de polarisatie per c.M³. te berekenen, moeten
we niet slechts in rekening brengen de molekulen, wier assen
een aangewezen rfa-gebied vullen, maar we moeten beschouwen
alle mogelijke molekulen, wier assen derhalve in willekeurige
dx-gebieden zullen liggen — voor elke waarde van x tusschen
0 en 2?r

We kunnen ons namelijk voorstellen, dat in den oorsprong
N pijlen zijn geteekend, die verschillende hoeken maken met
X-as, als symbolen der assen.

We krijgen dus de polarisatie door de uitdrukking (5) te
integreeren tusschen 0 en 2zoodat:

-4- \\ —---—) cos² d x

Vl 02

We hebben nu als we de polarisatie voorstellen door P\';
n-

e~ Ssⁱ⁽

0% ^V (ï 1 «2 ⁷

\'2 TT W

^kTdx

0

Voor s ^,cT kunnen we schrijven:

. .e\'jp li / i 1 \\ ₂

/\' o

wegens hun volstrekte onbe-

orndat de volgende termen
duidendheid — geen rol spelen.
De noemer levert ria integratie:

Berekent men nog den teller en vermenigvuldigt dezen met:

. e\'K*( 1 , UI
~~ v 7 ff J j

e²K² C 1 1 \\

waartoe we de deeling terugbrengen, — omdat y . _rr 1 7 H— )

4 tel V / g \'

zoo klein is ten overstaan van 1 — dan komt er:

hoogere machten dan K² zijn niet toegelaten.

Voert men de berekening uit voor loodrecht licht, dan
vindt men dezelfde waarde op hel teeken na van de term,
waarin K² voorkomt.
Men heeft derhalve

^P = A B K² (G)

j ¹ f¹ J- ¹ ï

waarin _A =

ri-iif¹-¹).

het bovenste teeken geldt voor evenwijdig, het onderste voor
loodrecht licht.

Men ziet onmiddellijk, dat bij verdwijnen der electr. kracht
K, de waarde van P\' voor evenwijdig en loodrecht licht niet
meer verschilt, zoodat men ook geen 2 brekingsindices voor
genoemde richtingen verwachten kan. In dat geval is dus
van dubbelbreking geen sprake. Ook ziet men, dat de hypothese
Lancevin uiterst gevoelig is; laat men ze vallen, dan wordt
f=g en dubbelbreking wordt onmogelijk.

§ 3. Berekening der brekingsindices.

In het speciale geval, door ons beschouwd, mogen we gerust
de periodieke kracht E\' = Ss^iu,t, onder wier invloed de
electronen feitelijk staan, gelijk stellen aan het uitwendige
lichtveld, zoodat de correctie van Lorentz achterwege kan
blijven, ,

De diëlectrische verschuiving D\' en de electrische kracht E\'
hangt nu verder aldus samen:

(9) D\' = n² E\' = E\' 4 jt P\'

hier is n = brekingsindex. Er is derhalve gebruik gemaakt
van de wet van Maxwell, die beweert, dat de brekingsindex
de wortel is uit de diëlectr. constante.
Nu is blijkens formule (6)

(10) = Ne² (A B K²) stel = M
Hj

Uit (9) volgt:

(n² - 1) E\' = 4 sr P\'
zoodat de eliminatie van E\' tusschen (9) en (10) geeft:
„2 _ 1 = 4 7T M

Noemt men den brekingsindex bij evenwijdig licht in, bij
loodrecht licht en moge ?ïo de brekingsindex zijn, voor
het geval dat er geen electr. veld aanwezig is, dan heeft
men achtereenvolgens:

(12) rio² — 1 = 4 t Ne² A

(13) m²— 1 = 

(14) «₂² - 1 = 4 7t N e² (A — B K²)

Uit (12) en (13) volgt:

_m2 — n₂² = {m — n₂) (m n₂) = 8 z Ne². B . K²

of daar voor n\\ n₂ — gelet op het uiterst kleine onderlinge
verschil van en en «o — gerust 2 m kan geschreven
worden, komt er:

4 7T Ne² .B.K²

ni — m =-

no

welke formule niets anders is, dan de empirische wet van Kerr.

HOOFDSTUK III.

Het wisselend veld.

§ 1. Tot nu toe hielden we ons bezig met het onderzoek
naar het optisch reageeren eener middenstof S wanneer deze
geplaatst is in het veld eener constante electrische kracht.

En het resultaat is geweest, dat — als consekwentie eener
hoogst eenvoudige hypothese -- voor evenwijdig en loodrecht
licht verschillende brekingsindices werden gevonden, waaruit
tot de dubbelbreking van S of tot het keiïr-effekt kon be-
sloten worden.

Maar de oplossing zal een geheel ander aanzien moeten
verkrijgen, wanneer men de voorwaarde K = constant loslaat.
Vooreerst zullen de dienstprestaties der functie van Boltzmann
om te komen tot de polarisatie en daarna tot den brekings-
index ophouden. Is immers de electr. kracht K niet meer
constant maar stel wisselend in grootte en richting, dan zal
K op elk ander oogenblik een andere kracht zijn, die nood-
wendig een andere oriëntatie der assen zal bewerken. Met
andere woorden de asverdeeling wordt een afhankelijk ver-
anderlijke van den tijd, zoodat de functie van Boltzmann — als
zijnde constant door alle tijden been — niet meer helpen kan.

Ons vraagstuk zal zijn deze functie op te sporen.

We zullen echter de oplossing van dit nieuwe probleem
beproeven in aansluiting met de vereenvoudigingen uit het
vorige hoofdstuk.

We maken weer de specieële onderstelling van vroeger;
alle molekulen hebben als vlaktewezentjes — gelijk het be-
hoort — hun assen in eenzelfde plat vlak liggen, zoodat dit
aantal per dcc-interval gegeven wordt door F doe. De functie
F zal niet slechts van oc maar ook van t afhangen.

De opsporing der assenfunctie voor het wisselend veld
zullen we voorts doen volgens methoden, die Debye ontwikkeld
heeft in een stuk:

„Zur theorie der anomalen Dispersion im Gebiete der lang-,
welligen electrischen strahlung (Verhandlungen der Deutsch.
Physik-Gesellschaft XV Jahrgang Nr. 16). In dit stuk lezen
we bladz. 790, dat de theorie der electr. dubbelbreking in
een wisselend veld ontwikkeld kan worden op dezelfde wijze
als de theorie der dispersie, die daar gegeven wordt. We
zullen daarom de functie gaan opsporen langs den daar aan-
gewezen weg.

§ 2. Opsporing der differentiaalvergelijking.

Om de functie te ontdekken, die het gedrag der assen in
een wisselend veld analytisch beschrijft, is niet de weg be-
studeering van het complexe verschijnsel met zijn gewirwar van
duizenden oorzaken en omstandigheden, die een getrouwe en
rustige analyse onmogelijk maken. Het complexe verschijnsel
is te lastig, te weerspannig voor wiskundige behandeling, de
omstandigheden zijn te veel en te samengesteld, de splitsing
in enkelvoudige te moeielijk. Maar we gaan terug — gelijk
trouwens altijd — tot het elementaire verschijnsel, en we
gaan het betrekkelijk kleine aantal omstandigheden bespieden,
die dit initiaal-feit begeleiden.

Daardoor wordt het werkelijk gebeuren van het elementaire
feit in een differentiaalvergelijking geregistreerd, terwijl dan
verder de kennis van het complexe natuurverschijnsel — als
een superpositie van enkelvoudige gedacht — langs integratie
wordt gewonnen. Zoodat — gegeven de differentiaal vergel. —
de wiskunde verder de rol kan overnemen.

Ziehier onze redeneering:

Men stelle zich vooreerst een molekuul voor, wiens as een
hoek cc maakt met de electr. kracht.

Op een gegeven tijdstip zij de potentieele energie van het
molekuul — w, op dat molekuul werkt derhalve een draai-

moment = —dat op slot van rekening evenwicht zal
d a,

ie

maken met het tvrijvingsmoment. We stellen ons nl. in de
vloeistof S — die aan het wisselend veld wordt blootgesteld —
een molekuul voor als een bol, die onder werking van de

draaikracht — y^ gaat bewegen, echter niet natuurlijk zonder

(%> CC

verzet der omringende middenstof, dit is niet zonder wrijving,
die op haar beurt een moment in tegengestelden zin schept

d tx

om evenwicht te maken. Dit laatste heeft de waarde p —

dt

terwijl p — 8- -/i a^s, waarin vj — wrijvingscoëff. der vloeistof
en a — straal van het molekuul.

Zoodoende krijgt men de evenwichtsvoorwaarde:

d iv_ da,

da ⁹ ~dt

Wij kunnen de^vze vgl. brengen in den vorm:

a 1 d \'tv .
A «■=--.— A t

p da,

Deze gedaante der evenwichtsconditic zal het physische
herkennen voor velen makkelijker maken.

De beteekenis n.1. is:

De as van een molekuul — die een hoek a, maakte met
electr. kracht — draait in een tijd A t over een hoek A a,

1 d xv a ,
van de grootte — —.3—. A t.

p d a

Deze waarde kan ons niet verwonderen. Het moet immers
apriori duidelijk zijn, dat de draaiingskracht evenredig zal zijn
met den tijd van draaien, vervolgens met de draaikracht

— en verder natuurlijk omgekeerd evenredig met de

wrijving.

Bedenkt men verder, dat het aantal assen binnen een d a-
gebied F da bedraagt, dan zijn in een tijd A2 over een

vasten streep — die een hoek x met el-kracht maakt —
heengegleden een aantal assen

n a F dw . ,

F Ax — — -— A t. (1)

p a x

Maar behalve de draaikracht — die uit den potentiaal
werd afgeleid — is er nog een andere kracht werkzaam, die
assen over den vasten streep brengt.

Immers tengevolge der warmtebeweging hebben nog mole-
kulaire botsingen plaats, die veroorzaken draaiingen der assen,
Het aantal assen nu, dat den vasten streep passeert onder
den invloed der warmte-impulsen is berekend volgens een
methode van Einstein en bedraagt

(₉\\ — II

^{2) ~ 2 \' Sx

We zullen dit resultaat hier eenvoudig overnemen. s_m² be-
teekent het gemiddelde kwadraat der „Schwankung".

Door (1) en (2) bij elkaar op te tellen verkrijgt men het
geheele aantal assen, die in een tijd A t den streep x zijn
gepasseerd. Dezen zijn dus allen het interval A x binnen-
gedrongen. Men bedenke dat Ax hier het geheele hoekinterval
is. waarover eene as onder invloed van moment en warmte
beide, in een tijd A t draait.

Men heeft dan voor dit aantal de uitdrukking

F S_w

O \' lx\' 2 \'lx

Maar onderwijl er aan den streep x een aantal assen S
passeerde en het gebied A x binnendrong, is er aan den
naburigen streep x -f- A x in dien zelfden tijd A t een ander
aantal assen S\' — gehoorzamend aan dezelfde beweging als
het aantal S — gepasseerd, en heeft het interval verlaten.

Het verschil van S\' en S zal derhalve ten slotte de ver-
andering meten, die in een tijd A t binnen het gebied A x
plaats had. Om S\' te vinden, maken we gebruik van de

reeksontwikkeling van Taylor, die de waarde eener functie
voor een oneindig kleine aangroeiing van het argument leert
vinden uit de functie.

Men heeft namelijk:

s\' = s ^. S. d cc ....

ÖOi

Blijven we hij eerste benadering staan, dan zal het finale
bedrag der toename aan assen binnen A <% bedragen.

. _ , 2 ( . F èw _AJ . ZF) ,

dx\\ p dx z dx>

hieruit resulteert de differentiaalvergelijking:

^W « ~~ dot I p \' 2x ^ 2 Ai" & i

Had het bedrag in het 2^e lid van (4) de waarde nul, dan
was de physische zin eenvoudig deze, dat in een aangewezen
d «-gebied in verloop van tijd geen verandering van assen-
dichtheid plaats had. M. a. w. de verdeelingsfunctie zou
onafhankelijk van t worden, en we waren tot het statische
geval uit het vorige hoofdstuk teruggevoerd.

Maar in het statische geval is ons de verdeelingswet reeds
lang bekend, n.1. de wet, die in de functie van Bolzmann
analytisch wordt beschreven. Dus moet deze functie voldoen
aan de v.g.1.

F ZF

P \' Sx 2 Ar k,

. F <Sw . £m èF

= 0

Substitueert men hierin voor F de uitdrukking F = const.

w

Xf \'F dan wordt aan de v.g.1. identiek voldaan, indien

k T

— gelijk een kleine becijfering makkelijk contro-
leeren kan.

Dus is

Deze waarde — absoluut juist voor het statische geval —
zal in het niet statische geval althans een zeer goede be-
nadering zijn. De diff, v. wordt dus:

m *^{F 3}

⁽⁵⁾ PJr^JÏ

w — — — e² K²

Ji

- i -2--j cos^j i

9 ^V f 9^J

(y - -) sin 2 et = K² A (a)

De vergel. (5) wordt:
(6)

^P n~ la

§ 3. Bizonder geval.

We beschouwen nu het bizonder geval, dat de kracht K
— na eenigen tijd gewerkt te hebben — plotseling verdwijnt.
Het oogenblik van het verdwijnen der electrische kracht moge
zijn t — 0. De verdeeling der assen vanaf t — 0 tot t = 00
wordt nu beschreven door de differentiaalvergelijking:

(7) p— =k T^-
F—Ys<i_n(/:) cos n a -f- £ K (t) sin n,

dan moeten a_n en b_n voldoen aan de vergelijkingen.
d a_n

P —T7~ — — & T ^an
* Üt

db_i}

rP k T

Hieruit a_n = C_n e ^p

n\'lc T

b_n = D_n e ^p

— t

Derhalve F = X (C_n cos n x D_n sin n x) e

(f = basis van het natuur!, logar. stelsel)

Maar op / = 0 geldt nog de assengroepeering, die dooi-
de .functie van Boltzmann wordt afgebeeld: Derhalve zal voor

W

jf = 0 F in const. e ^{k 1} overgaan. Deze voorwaarde levert
ons de noodzakelijke betrekkingen ter bepaling der constanten.
Vooreerst is

ir

* ~Ft * L , e²K*\\l . /I 1\\ ₂ I

const. s = const. 1 » . _m - (~ -) cos² x

I 2kT[g \\f g/ \\

tA\\ .hi , 1 \\ . K²e²(\\ lx . I

= U) = const. | 1 _ (■ ■ -) — (_? _ -) cos 2 « [

Voor t = 0 wordt C₀ Ci cos cc Z)i sin » ... {B)
(A) en {B) zullen identiek zijn als

e² K² /I 1.\\ |

Co - const. 

Ci = 0

C₂ = const. j
C₃ = C₄ = . . . 0

en Z>_n = 0 voor elke waarde van n.

De finale vorm van F is dus deze:

F = const. j 1   j const.

A k T

_tn. \\K² e² /l l\\l--_a

⁽⁷⁾ \\uf(?-i)\\^{a cos2}"

Dit is dan de functie, welke de verdeeling der assen be-
schrijft van t = O tot t = 00, nadat de kracht K opgehouden

4 k T

heeft te werken; de factor e ^p wijst er op, dat na het
oogenblik t = O de dichtheidskromme steile hellingen krijgt.
Op t — O is de functie

„ , i. . e²K²/l . lx , e²K² lx _ffl I

P=const.jl _n_(₇ -) -_(₇__) cos2«|

Op t — j^fcj, wordt — blijkens Substitutie —

— 1

„ I , e²K² (\\ . lx , e²K² /I . lx

F=const. i (j -) ïm7 ^r^cos2"

Het vermogen van het electr. veld over de assendichtheid
wordt gemeten voornamelijk door den term

e²K²( 1 n

Tkryf—o)^cos2*\'

Na een tijd t = T^m i^s dus de electrische dubbelbreking

gedaald tot op een derde (e^-1 is ongeveer */₃) van zijn
oorspronkelijke waarde.

§ 4. Berekening der electrische dubbelbreking.

Bij de bepaling van den relaxatietijd hebben we uit het

gedrag der functie na een tijd t = —^- besloten tot het gelijk-

4; J. rC

luidend gedrag der electr. dubbelbreking. We willen nu de
wettigheid van deze gevolgtrekking laten zien door de be-
rekening der electr. dubbelbreking in een wisselend veld.
Net als vroeger is weer:

f2lTr

1 ,/l 1\\ ₂

--r --1 ^cos a

a₂ ^vai az\'

P\'

NJ S. e^iwt

waarin F—de functie, die gegeven wordt door formule (7):
De teller levert na integratie en deeling door 2 x

i (!_!),! \'(i_I) ar-?

«2 2 «2\' 4 Ö2⁷

^a Ji² / 1 . 1

kT V\' 9

B — const.

\'V d)

4 /^V g

De noemer levert na integratie en deeling door 2tt de
waarde ,/L

Derhalve S 3 = ~(--1--/ t

N_c²Se^twt 2 V ai a₈\' 4 \\ai a₂/

e² K² /1 1\\[ e²K²( 1 1\\
kan men schrijven - -) 1 - ^ ^

voor —

Rekent men dit uit en weert men hoogere machten dan
K² dan komt er:

voor loodrecht licht vindt men: A\\ — Z?i K²

hierin is

\' ai

Net als vroeger vinden we weer:

n² — 1 = 4 5T Jf\'
waarin ilf\' = X_e² Ui Bi IP]

en men vindt volgens de reeds aangegeven methode voor de
dubbelbreking:

4 7t N² Bt K²

ftl - Ha =--

n₀

Daar de betrekking van Lorentz verwaarloosd werd, is de
electrische kracht van het uitwendige veld gelijk aan de kracht,
die feitelijk de electrische beïnvloedt. In de formule treedt
nu natuurlijk op de tijdfunctie.

HOOFDSTUK IV.

De Ruimte.

§ 1. Afleiding der differentiaalvergelijking in de ruimte. ^x)

We willen hiermede het vlakke geval vaarwel zeggen en
zullen dan ons molekuul van fictief irreëel vlaktewezentje
gaan verheffen tot ruimte-werkelijkheid.

Dus niet alle assen liggen in een plat vlak, evenmin als
alle molekulen; maar de assen wijzen van uit den oorsprong
naar alle richtingen der ruimte heen. Ons doel is de functie
te vinden, welke de assengroepeering in de ruimte analytisch
beschrijft, die onder inwerking der electr. kracht en der
warmtebeweging tot stand komt.

We stellen ons voor, dat alle assen — ter lengte der een-
heid — onder de gedaante van pijlen verschijnen en allen
beginnen in eenzelfde punt O. Hun spitsen spelen derhalve
op een boloppervlak met straal = 1. We beschouwen nu
op dit boloppervlak een element d <r, en noemen het aantal
spitsen in dn

fd ff

waarin f de gezochte verdeelingsfunctie voorstelt.

We vragen naar de toe- of afname van pijlspitsen, welke
na verloop van een tijd ht in het element d<r plaats heeft. De
werkzame oorzaken zijn — gelijk reeds werd meegedeeld —
de electr. kracht, wier richting moge samenvallen met O N
(N = noordpool op bol), en de warmtebeweging.

De verandering van spitsen binnen d <r, welke we <>f .d<r
zullen noemen, bestaat uit twee deelen.

\') Op deze afleiding werd mij gewezen door Prof. Debye.

(I) de „Schankungen".

Zijn er geen krachten werkzaam, dan zullen de pijlspitsen
met constante dichtheid over het boloppervlak verdeeld blijven,
ondanks de gedurige verandering in de richting der pijlen.

Van deze spelingen kennen we nu de volgende eigenschap.

Beschouw een aantal spitsen, dat op het oogenblik t een
element d a vult. Zoek op het oogenblik t 11 dezelfde
spitsen weer op, dan zijn ze nu in de omgeving van da
verstrooid. Karakteristiek voor deze verstrooiing is, dat over
eiken ring — met het oorspronkelijk element d a als middel-
punt — de spitsen met constante dichtheid verdeeld zullen zijn.

Bespieden we nu een bepaald d a element op een gegeven
oogenblik t, dan verdwijnen uit du in een tijd 11 alle spitsen,
die er op oogenblik t in lagen. Dit geeft voor d a een ver-
meerdering van

(1) —fda spitsen.

Uit de omgeving echter dringen nieuwe spitsen het element
d a binnen. Beschouwen we nu een aangewezen element d ai
— dat oorspronkelijk over f\\ d <n spitsen beschikte — dan
zal een gedeelte hiervan op het oogenblik t S t in d a zijn
binnengedrongen. Dit aantal wordt uitgedrukt door

tv fi d <ti d a

De eigenschap voor de verspreiding der assen — die we
zooeven bedoelden — komt nu analytisch tot openbaring
hierdoor, dat w een functie is van de lengte van den boog-
afstand da 1 tot d <t en onafhankelijk van cle richting, die de
verbindingslijn d <ti — da heeft.

Noemen we dezen boogafstand >?\' dan is dus

iv fi d ai d a = w (V) f\\ d ai d a

en we krijgen het geheele aantal pijlspitsen, dat op het oogen-
blik t c! t van buiten in d a binnendringt, door deze uit-
drukking over alle mogelijke dai te sommeeren.

Do gezochte vermeerdering van het aanlal spitsen in rf<r
— lengevolge der warmtebeweging — is dus

(2)

fi zal in ons geval alleen een functie zijn van den boogafstand
tot den Noordpool N op den bol; noemen we dezen afstand £1,
dan kunnen we dus fi als functie van >9i of ook evengoed
als functie van cos opvatten. Verder leggen we ringen
om het element d <r met veranderlijken boogafstand >9\' en
noemen den hoek, dien een verbindingslijn van di; en een
dergelijken ring met de verbindingslijn (N—da) maakt cp\'.

Nu kan voor d <ri gesubstitueerd worden

sin #\'d#\'d(p\'

Nu heeft 10 (>9\') alleen dan behoorlijke waarden indien
klein genoeg is. We trachten dus f{cos »M te ontwikkelen
naar machten van >9\', d. w. z. in de omgeving van d <r.

cos = cos >9 cos -f- sin »9 sin >9\' cos cp\'
of ook ontwikkeld

\'9\'²

cos = cos »9 -f-19\' sin >9 cos cp\' — cos \'9
zoodat we vinden:
/"(cos t?i) = /"(cos >9) -f- sin »9 cos cp\'--— cos *9

1

nauwkeurig tot en met tweede machten van *9\'.

Samenvattend hebben we dus:

df

/■(cos \'h) = f-M\' sin cos <p\'

rf (cos \'\'/)

_n df . „_{n 0} ,, tf²/\' /

--- cos -,7-re — sin- >9 cos- é -77-

2 ) tf (cos 0) ^v rf (cos ty I

"2-

en J w (>?\') /i da-1 = fj ^ J ^ w (>?\') sin dn\' d(p\'

4- sin >? ^ ^ ^ ƒƒM? (-?\') cos 0\' sin >?\' cfa\' rfcp\'

^~sin²fl ^ (_CQg,₉)2 ƒw(>t\') Sin»\'d#\'cos² cp\'dQ\'
Nu is de eerste integraal 1 (waarschijnlijkheid over den heelen

P

bol gesommeerd), de tweede is 0, omdat / cos é\' dé\' = 0.

J 0

De derde geeft het gemiddelde quadraat der „Schwankung"

in 3-\'; we schrijven daarvoor r; de vierde tenslotte geeft —, omdat

het gemiddelde van cos² Cp\' de waarde V2 heeft. Zoo vinden
we dus:

ft s² ( df 1 (l²f

/ w (\'9\') f\\ du\\=f — — cos -jT--> — . sin² #

d (cos -9) 2 d (cos >?)²

Tellen we (1) en (2) bij elkaar op, dan vinden we dus
voor de vermeerdering van het aantal spitsen in da tengevolge
der „Schwankungen" de waarde

(3) - ^ j cos * . ,^df . - I sin²* . ,^d*^f .₂ j d*
^v 2 ( d (cos &) 2 d (cos #)²)

Over den vorm van d<r hebben we tot nu toe niets gezegd;
daar f alleen afhangt van >9, kunnen we voor d<r het gebied

tusschen twee breedte cirkels kiezen en dus voor dv de waarde
2?r sin»9 d>l substitueeren.
Dan wordt (3)

(3\') - £ j cos >9 - -!■ sin²..^d*^f j 2 x sin -9 d.9

^v \' 2 ( d (cos 2 d(cos \'

of ook anders geschreven

<³"> "-Ï- s(^sta40^d"

II. De werking van het koppel M.

We moeten ons namelijk voorstellen, dat de uitwendige
kracht de as van elk molekuul tracht te draaien, even-
wijdig aan zich zelf. Het koppel, dat hier ontwikkeld wordt,
noemen we M.

In den tijd <51 bewerkt M voor één deeltje een verandering
zóó dat

i/

^M==PVt

of ook 5* = — $ t

Door een breedte cirkel >9, gaat dus in den tijd H een
zeker aantal spitsen. Dit aantal heeft oorspronkelijk gelegen

M

op de breedte >9 in een gebied van de breedte <S *9 — — 51.

P

Dus er gaan door:

(4) f. 2 v sin >9 dfi = f. 2 tt sin »9 — 31

P

spitsen.

Door een cirkel op de breedte »9 -J- d >9 gaan in de zelfde
richting

(5) VttjU. sin-9. f-f 2 sr ( j. f. sin .9 u)d -9
spitsen.

•Een gebied tusschen >9 en >9 -f- dn verkrijgt dus in een
21 — tijd een aantal spitsen, waarvan het bedrag is:

(G) (4) _ (5) = - 2 7T-. ~ (M f sin -9) d n

p (tv

(3") en (6) te zamen nemend vindt men:

3 f. 2 s i n n dn = 2 £. 4~ ( ^ n * ^)d n _ ^lll
4 dnV dn J o

(M /\'sin -?) d n
of ook de differentiaalvergelijking

üf e² 1 " i\'. Jf 1 1 * _lM„ . .

Yt⁼ïTt\'.^\'Tï^sin* ** - ^{{Mfsm ,9)}

of:

Met het oog op de wet van Boltzmann wordt op de be-
kende wijze:

g² _k T
4 St p

zoodat:

1 i / . JA p óf 1 i / M . . \\

⁽⁸⁾ iES V* (^sin \'⁹ Jl) - h = ^sm V

nu is M — — yy zoodat men ook kan schrijven:

Overeenkomstig de uitzettingen in het vlakke geval krijgt
het molekuul een moment, waarvan we de componenten in
de richting der as en in de richting loodrecht op de as kunnen
voorstellen door oa Kcos»? en oe,% 7iTsin>?.

Hieruit kan men afleiden de potentieele energie van het
molekuul.

Men heeft namelijk:

U=-±(M)(K) (1)

waarin M — moment en K = electr. kracht, die definitief op
de electronen en het molekuul inwerkt. Volgens Lorentz
hangt K met H{¹) samen door de betrekking:

K = H 4 | P, (P = polarisatie per 1 c.M³.)

werkt men (1) uit, waarbij de vermenigvuldiging scalaar moet
worden uitgevoerd, dan vindt men:

TT rr, «1 - «2 772 o o

U — — — K — —-— K¹ cos^J«?
2 2

of als men *** K² = ^ stelt

1 k L

U — const. — (xkT cos² #

§ 2. Oplossing der differentiaalvergelijking in het geval
dat de electr. kracht plotseling verdwijnt.

We stellen ons voor, dat de electrische kracht, na een
zekeren tijd gewerkt te hebben, plotseling verdwijnt. In dat
geval wordt de assenverdeeling, die bij verdwijnende kracht
een zekere tijd aanhoudt, beschreven door de differentiaal-
vergelijking:

_fa. ZF kT 3 / . J F\\

1 (\') II is hier het uitwendige electrische veld.

Immers bedenkt men dat U = const. — ^Xl K² cos² >9

* jj

waarin K = electrische kracht, dan volgt hieruit voor -

de waarde:

^CCl~⁰¹² sin 2 * K² = iü sin 2 * X²

Jj

en de oorspronkelijke differentiaalvergelijking wordt:
Voor K = 0 ontstaat vergelijking (2)

De oplossing van (2), welke zich aansluit bij ons physisch
vraagstuk, is:

I ^QkTt,)

(4) F= ^ 1 l [x (3 cos 2 # 1) £ ^p

4? 7T [ O J

X1 - «2 _Tr»

waarin ^ = _g ^ IP

Voor t = 0 gaat deze gelijk het behoort over in de functie
van Boltzmann, namelijk in:

14-^(3 cos2.? l)|

4? TT ( O \'

Men vindt deze oplossing door te stellen
F=d c₂(3 cos 2-? l)f(t)
de dïfT. v. waaraan f moet voldoen is dan:

\'Tt ⁼ ~^6hTf

hieruit f = s

De constanten ci en c*. worden verder gevonden op de
manier, gelijk dit in het vlakke geval is behandeld.

M.a.w. de gezochte verdeelingsfunctie F moet steeds voor
t = 0 in de functie van Boltzmann, kunnen overgaan. Deze
conditie maakt dat c\\ en c₂ de waarde bekomen, welke we
hebben meegedeeld.

üit vergelijking (4) vinden we voor den relaxatietijd de waarde:

P

6 k T

In hoeverre de proeven met de uitkomsten der theorie
overeenkomen, zullen we in een volgend hoofdstuk bespreken.

§ 3. Oplossing der differentiaalvergelijking: .

Daar we hier verschillende methoden reproduceeren moeten,
die ook in het vlakke geval uitvoerig zijn besproken en toe-
gelicht, kunnen we hier de verantwoording achterwege laten.

In differentiaalvergelijking (3) stelt K voor een wisselende
kracht. We zullen het geval eenvoudig maken, door aan te
nemen K = K₀ cos a t

Stel nu verder F=F₀-{-K²Fi dan moet F₀ voldoen aan
de diff. vergel.

(1)

en Fi moet voldoen aan:

<s F r J?

(2) p sin # —- = — \\ sin a - sin 2(1 cos 2 ut) F₀

o Z

De oplossing van diff. (1) hebben we,zoo even meegedeeld.
We kunnen volstaan met den eersten term; de volgende
termen immers zullen van wege de exponentieele functie in
den eindtoestand toch geen bijdrage kunnen leveren, die van
een orde van grootheid is, welke vergelijkbaar is met den
eersten term.

Ter oplossing van (2) stellen we verder:

Fi = (3 cos 2 # 1) 0 waarin 0 = f{t)

De v.g.1. (2) gaat nu over in de volgende:

p j-_t = f F₀ (1 cos 2oi t) - 6 & 10
li Fo

Stel 0 — Oi -f 02 = ^ ff ~f~ dan nioet ó₂ voldoen aan:

(3) p 6 k T 62 = cos 1 ut

Een soortgelijke diff. v. hebben we ontmoet in het vlakke
geval; voor de manier van oplossen kan ik dus verwijzen
daarheen.

Aan (3) voldoet:

e.- ^RF°

. ₁~r—^L——= cos (2 o,t — cp)

4 1/p* ar\' 9 k* T¹

waarin:

pa „ IV «1 — a₂

⁼ 3TT ⁼ 4lr ⁼ 2

Derhalve:

_n fli\'o ,__RFo _t

C-) = . _ . „ . _ ^--cos (2 cc t — 0)

\\1kT 4]/^ «» ?)*« 2*

of wel:

^{0 =} ïaTz^^{1 cos} ^ ^C0S (^{2 f} —

^{of 0 =} ï^ • 24T? ^ ^C0S ^ ^cos (^{2 w} ^ —
We hebben dus voor F

^ = t* (cos² - (^|cos<J>cos(W-<f>))]

IX l — 0C2 „ ₂

waarin ^ = 9 & ^Ao

Voor co = 0 vinden we F = ^ [ 1 -f- P ( ^c°s¹ — ]
= functie van Boltzmann.

Voor co = OO vinden we F = ~ [ 1 ^ (cos²>9 — ]

Hieruit lezen we derhalve af het volgende physisch resultaat.
Het JvERR-etfekt bereikt zijn maximum in een statisch veld
(w = 0), en daalt tot de helft van zijn maximale waarde in
snel wisselende velden (w = OO).

We zullen nu verder gebruik maken van de rekenuitkomsten
van Langevin, en in aansluiting daarmede de formules geven
voor een wisselend veld.

frt Pn

We stellen dan: iV\' = / d N\' = / ^ [¹ P ( ^cos2 ~

J 0 J 0
1 1

/\'(co t) J sin >9 d >9 waarin f(co t) — — -f- — cos (p cos (2 co₀1 — <p)
en J\' = ƒ sin² -9 rf tf\'

N Jo

dan blijkt 1°) dat N\'= N

e„

Neemt men in aanmerking, dat

1  / 2

bij Langevin de waarde heeft J— — y \\ — dan ziet men,

hoe ten allen tijde de mogelijkheid aanhoudt om met ver-
werping der veranderlijkheid der el. kracht [/\'(&> t)= 1) de
formules in zijn geheel en in zijn onderdeelen over te voeren
in de formules van Langevin.

§ 4. Werkt nu op de electronen binnen een molekuul
behalve de quasi-elastische kracht met componenten — cix
en — ci ij, ook nog de electr. kracht h\', dan zijn de ver-
plaatsingscomponenten van een elektron

e h\' cos s .. e h\' sin s

V

ci — m co ei — m ar

Ik neem hier over zooveel mogelijk de notaties van Langevin;
verder maakt h\' een hoek e met de as van het molekuul.

Hier beteekent e de lading en co het aantal lichttrillingen
in 2 x secunden.

Het moment van 1 elektron in de richting van h\' is nu
e (x cos s ij sin s) waarbij x en ij de waarde hebben, zoo
even gevonden.

(,g® cos² s e² sin² s \\

-—s H--s ) h\'

Ci — m u- Ci — m ar /

Wil men ten slotte het moment hebben van het molekuul,
dan dient men te sommeeren de momenten van alle elektronen,
die binnen het molekuul zwermen.

Men vindt dus voor dit molekulaire moment

^ / e² h\' cos² e , e² h\' sin² s

. eⁱ h sur e \\
C2 — m co²)

of <ri cos² s <r₂ sin² e) h\'

indien <n = £-^:--t, en <r₂

ci — m co² c₂ — m co²
de polarisatie zal zijn:

a = h\' ƒ (<ri cos² £  sin² e) d N\' = P h\'

waarbij d N\' — ^ j 1 p ^ cos^{2 —} ) f(^w 0 j ^siⁿ \'⁹ d >9

Successievelijk hebben we evenals Langevin voor even-
wijdig licht:

Mi = ƒ Ui cos²  <rt sin².9) d N\'

of ook Mi = [ ffi J\' (<r₂ — (Ti) ] JV (4)

voor loodrecht licht:

Mi = l<r* j{<ri -<r>)]JV (5)

Hieruit vindt men door het welbekende rekenproces — mits
ook de betrekking van Lorentz niet vergeten wordt — de
uitkomst:

ri¹ — 1 4 5T

Kent men verder aan n₀ de beteekenis toe van brekingsindex

N

der stof ingeval van isotropie — waarbij dN = — sin ndn —

mogen ook n\\ en n₂ de brekingsindices verbeelden voor den
gewonen en den buitengewonen straal, dan komt men door
de uitdrukking (G) en tle verschillende waarden voor M₀, Mi
en M2 tot de volgende formules.

n₀² — 1 ₌ 4jr 4^ cn 2 <r₂

w₀² 2 3 ⁰ 3 ^iV- 3
<⁷> . \'■]

n₂² — 1 4ff .. ,_tP , J\', s

Hoeveel de eene straal zich optisch verlaat met betrekking
tot den andere, leeren ons de formules van Langevin, mits we
J door J\' vervangen.

Trouwens men kan ze zelf achtereenvolgens reproduceeren,
als men maar de gebruiksaanwijzing der formules in acht
neemt, die Langevin geeft. Trek slechts de vlg^en (4) twee
aan twee van elkaar af, en breng de omstandigheid, dat nt
en n₂ slechts weinig verschillen, in rekening.

Men vindt dan

Mp (Mi — Mo)

(mo² 2)* ~X ^N(n ~ ^ ^1,5 ~^j)

Mp (M₂ — MQ) _ 71 N, ,

⁽⁸⁾ (MO² 2)²--- W

Mo (nx — M₂) _ _W2, _T,.

(n₀² 2)² ~~⁽ ~~ ^ ( ~ ^

Hieruit resulteert — door deeling der twee eerste verge-
lijkingen — de betrekking:

Ml — MQ __ __ ₂
M₂ — Mo

Deze betrekking van Aeckerlein geldt derhalve ook voor
een ivisselend veld.

§ 5. Deelen we de laatste formule van de reeks (5) door
de eerste van de reeks (4) dan komt er:

mq (mi — m₂) _ 9 (Ti — <r₂ /2 a
mo² - 1) (m₀² 2) 4 " n 2 r₂ • \\3 ~ /

welke — na invoering van de optischen dyssemetrieconstante

k-

ffl 2ff8

, . mo (mi — m₂) 9-/2 ₇,, , ..

^0vergaatin: (mo² — 1) (m₀² -f~2) ⁼ 4 ^3 ⁽⁹⁾.

Rekent men verder, dat J\' —

dan komt er ten slotte:

mo (mi — m₂) __ [JL f{co t) do
Oio² - 1) (mo² 2) 5

Zoodat dus liet KERR-verschijnsel bij een wisselende elektr.
kracht aan de volgende wiskundige wet gehoor geeft:

(10J Jïl - «2--P--

5no

nu kan f(cot) 2 uiterste waarden verkrijgen: nl. de maximale
waarde bij co — O dan is f{cct)—\\ en zijn minimale waarde

bij w = 00 (dus dan nl. f(cct) = ^

Hieruit lezen we dus af het physisch resultaat, dat in een
zeer snel ivisselend veld, het kerr-verschijnsel tot de helft
wordt teruggebracht. \'

VIJFDE HOOFDSTUK.

Proeven over,den Relaxatietijd.

§ 1. Door relaxatietijd verstaan we het tijdsinterval, dat
ligt tusschen het verdwijnen der electr. kracht en het ver-
dwijnen van het KERR-effekt. We hebben daarvoor langs
theoretischen weg gevonden

T =

QkT

waarin p — v\\ a³ y = wrijvingscoëff. der vloeistof, a = straal
van het molekuul, k = 1,3 . 10^—10, T=absol. temp.

Omtrent den relaxatietijd zijn proeven gedaan door R. Blond-
lot \'), Descoudres, H. Abraham en Lemoine ¹), verder door
J. James ³) en ten slotte voornamelijk door C. Gutton ⁴).
Het resultaat, door Blondlot bereikt, was het volgende:
Indien de electr. dubbelbreking de electr. kracht niet in-
stantaan volgt, dan blijft ze althans niet meer achter dan

iöööö^secunde-

Abraham en Lemoine naderden heel wat dichter. Zij vonden,
dat het kerr-effekt de electr. kracht volgde op geen grooteren

1 _8

afstand in den tijd dan ^ • 10 secunde.

Hiermee was natuurlijk niet besvezen, dat die afstand nul
was. Ook de proeven van James gaven geen definitieve op-

1 ) J. de Phys. 3* Serie d. IX, blz. 262 1900.
Comptes rendus blz. 20ö 1899.

lossing. Steeds waren de electr. golven, die in de proef-
nemingen een rol speelden, te lang.

Gutton was de eerste, die proefondervindelijk aantoonde,
dat er een relaxatietijd bestond, en hij gaf daarvoor aan een
orde van grootheid.

§ 2. De proeven van Gutton.

Twee condensators slaan in twee verschillende vloeistoffen,
bij wie de waarden der dubbelbreking hetzelfde teeken hebben.

De opstelling is zoodanig, dat de krachtlijnen van den
eersten condensator horizontaal en die van den tweede verti-
caal loopen.

Heeft derhalve de dubbelbreking der eerste vloeistof voor
zich alleen de waarde x, en de tweede voor zich alleen de
waarde (3, dan zal het finale bedrag der dubbelbreking, dat de
controle van den waarnemer moet passeeren, x — (3 bedragen.

Laat men nu tusschen de condensatoren licht gaan dat met
behulp van een nicol gepolariseerd is in een vlak, makende
een hoek van 45° met de richting der electr. kracht en de
condensators, dan kan men — ingeval van een statisch veld —
door verandering van den afstand der bekleedselen van een
der condensatoren dit bedrag x — (3 gelijk nul krijgen; het
licht zal dan na passage door de twee vloeistoffen rechtlijnig
gepolariseerd blijven; een analysator, aangebracht achter den
laatsten condensator, en loodrecht op polarisator laat dus
geen\' licht door. .

Dit volgt onmiddellijk uit de wet van Keur.

Men heeft n.1. voor de l^e vloeistof n\\ — «₂ — yi Ki² = a.

en voor de 2^e vloeistof n\\—m\' — 72 K2² = (3

Het varieeren van den afstand dei; bekleedselen bijvoor-
beeld van den tweeden condensator, komt neer op het ver-
anderen der electr. kracht I\\>. De betrekking x — (3 = 0
wordt dus verkregen door K₂² = y\\ K\\² te maken.

Nadat de afstand der bekleedselen van condensator II was
ingesteld op nul, dit is, zoodat aan de voorwaarde x — (3 = 0
was voldaan, ging Gutton over tot proefnemingen in een
wisselend veld. Hij bemerkte, dat het licht weer te voor-

schijn kwam. Bij varieeren van den afstand der platen van
condensator II bleek er een nieuwe stand te bestaan, waarbij
het licht weer verdween. ^x)

Gutton kon aldus een kromme construeeren, wiens punten
tot abscissen hadden de afstandsverandering der platen en
tot ordinaten de golflengte. Gutton merkte zoodoende op
dat — hoe langzamer de electr. trillingen plaats hadden —
des te geringer wijziging in den afstand der platen bleek
noodig te zijn.

Eindelijk wist hij zulke lengte van golven te vinden, waarbij
geen wijziging meer noodig was. De oude nulstand — die
dateerde uit het statische veld — gold ook hier. We moeten
echter opmerken, dat in de proeven van Gutton een afstands-
verandering kleiner dan \'/ïooo onmerkbaar is, zoodat van
een absoluut nul zijn vanwege de waarnemingsfouten geen
sprake is.

De voorstelling, die zich Gutton maakte van den gang der
verschijnselen was de volgende:

De twee vloeistoffen volgden ongelijk snel de veranderingen
der electr. kracht. Had zich de eerste vloeistof reeds ingesteld,
dit is in den zin van Langevin waren alle assen reeds ge-
örienteerd, de tweede vloeistof had meer tijd noodig om
hiermee klaar te komen.

Toen echter de golven lang genoeg werden, dit is derhalve,
toen maar de electr. kracht er lang genoeg over deed om
in een bepaalde richting de assen te beïnvloeden, kwam ook
de orientatie der tweede vloeistof tot stand. De tijd, noodig
voor de electr. kracht, om op haar maximum te komen, is

~ (a = golflengte en c = snelheid van het licht = 3.10¹⁰ c.M.)
4 c

Deze tijd was derhalve ook noodig om de tweede vloeistof
haar normaal dubbelbrekend vermogen te verschaffen. Naar
aanleiding van deze redeneering willen we het volgende in
het midden brengen.

\')• We zullen echter bewijzen, dat er alleen sprake was van een
minimum lichtintensiteit in de proef van Guttojt.

We merken op, dat — zoo het wisselend veld door een
zuivere sinusfunctie wordt afgebeeld nl. K = Ko cos ut — het
finale bedrag der dubbelbreking nl. x — (3 nooit nul kan
worden. Daar bestaat naast verschil in amplitude, ook nog
phaseverschil waarmee bewezen is, dat er geen sprake kan
zijn van x — (3 — 0.

We kunnen echter de waarnemingen van Guxton toch aan-
passen aan onze theorie. We zullen laten zien dat bij een
bepaalden stand der condensatorplaten een minimum mogelijk is.

Alvorens we hiertoe overgaan, willen we nog opmerken,
dat de proeven van Gutton afdoende bewijzen, dat er een
relaxatietijd bestaat.

Immers was er geen relaxatietijd, dan zouden de twee
vloeistoffen zich momentaan instellen. Ze zouden de electrische
kracht onmiddellijk op den voet volgen, zoodat — wanneer
x — (3 eenmaal nul was — de waarde nul bleef.

§ 3. We hebben erop gewezen, hoe — ingeval de electr.
kracht door een zuivere sinusfunctie werd afgebeeld — de
dubbelbrekingen der twee vloeistoffen elkaar nooit geheel
zullen opheffen; er kan slechts sprake zijn van een minimum
hoeveelheid licht. Dit willen we laten zien.

Voor K=K₀ cos ut wordt het Kerr- verschijnsel beheerscht
door de wet:

(1)- ml — m₂ = n Ki² [ | -j- ^ cos (pi cos (2 u₀1 — 4>i)j

De tweede vloeistof moge gehoorzamen aan de formule:

(2) mi\' — Mo\' = 72 K₂² [ | -f | cos (p₂ cos (2 u₀1 — (p₂) ]

Nadat het licht is gegaan door eerste nicol en door de
twee vloeistoffen, zal de intensiteit van het licht, dat eindelijk
door den analysator passeert, evenredig zijn met (cïi —
waarbij h en de phaseverschillen zijn der componenten in
de twee vloeistoffen.

Nu is h evenredig met ni —ni

>i n îî2-«2\'

Dus (fc — 3₂)² met [ (m - ni) — (w₂ — ?î₂\')]²

Hiervoor substitueere men de waarden, uitgedrukt in Qi
en uq t, uit de vergelijkingen (1) en (2).

Dus de lichtintensiteit, gedurende zekeren tijd doorgelaten,
vindt men door te integreeren over dien tijd:

ƒ \\^rAY~ [ 1 cos (pi cos (2 Co t - 4>i) ] -

jr 2 I

[ 1 cos (p2 cos (2 uq t — (p2 ] j d t
v₂ K«²

Stellen we nu -—— x, integreeren tusschen 0 en sr, en

Yl J\\2

nemen het gemiddelde der lichtintensiteit, wat neerkomt op
deeling door zr, en schrappen ten slotte den evenredigheids-
factor, dan komt er:

1 1

1 - cos² (pi X² (1 - cos² (p₂) —

2 X (1 - cos (pi cos <p2 cos 01 — <p₂)

We willen nu onderzoeken het minimum, bij variatie van K₂:
dit komt neer op het veranderen van x:
Men vindt dan voor x

1 - cos (pi cos (p2 cos (pi — (p2
1

1 ö^cos2 fr

We hadden ook kunnen vragen naar het minimum licht,

bij verandering van K\\. In dit geval hadden we — na
n Ki²

-—— = x gesteld te hebben — voor gevonden:

■yzK\'z

1

1 - COS (pi COS Cp2 cos (<p 1 — Cp2)

----

1 2 cos² (pi

Voor <ii = cj>2 — 0, wordt — gelijk het behoort — x=l
Beschouwen we het geval (p heel klein, dan mogen we
stellen

A,— P ^U

ï-STT

Er komt dan in het eene geval, bij verandering van Kt eerst:
X=|[3-<p₂² <?>i <p₂]

en daarna:

X = 1 l^lc^Y² ^ ~ ^

Voor het minimum — bij verandering van Ki — hadde
men gevonden:

¹ ~ ^
Analoge gevallen zijn derhalve:

pi ⁼⁼ 0 bij verandering van Iu en p2 — 0 bij verandering van
K2 in beide gevallen X= 1.
Analoge gevallen zijn ook

pi = 0 bij verandering van X₂ en ^2 — 0 bij verandering
van A\'j.

X= 1 — — ^Pl

27 k² T²

X= 1

Niet analoge maar disparate gevallen zijn verder:

^2=0 bij verandering van K» en
pi = 0 bij verandering van A^r2.

Men vindt derhalve disparate uitkomsten.

§ 4. We willen nog meer aansluiting beproeven met de
uitkomsten van Gutton, die bij zijn verschillende proefnemingen
sterk gedempte golven had. Om den invloed van het tijdelijk
verloop van het electr. veld te kunnen schatten, heb ik op
voorstel van prof. Debye een tijdfunctie genomen, die sterk
afwijkt van een sinussoide.

We denken ons een electr. kracht, die op t — 0 plotseling
ontstaat en op t — r plotseling verdwijnt. Naar aanleiding
hiervan kunnen we de electr. dubbelbreking over den weg
0 — t voorstellen door:

m — n₂ = n Ki² (1 — e~ at) (3)

en over den weg r — 00 door:

m — »i2 = ri ^i² (1 — e ~ ^{a r}) e — n-V — \') (4)

,. . . G k T
hierin is a —-

P

We hebben derhalve te rekenen met de volgende integralen:

2i = / (3i — d t en
J O

roo

h = J — d t

waarin (<$i — ^J² wordt uitgedrukt in de waarden voor?/i — n2
uit (3) en (4) volgens de substitutieformule = — m\'

3 2 = n₂ — n₂\'

I₂ is evenredig met

A= i\\ (1 —e~^a^) — x(l — \\²dt

J 0

en h met:

roo

B= \\{e^a>^T-\\)e~^a^ — x. ²dt

r^²

yiKi²

Voert men de integraties uit en bepaalt de waarde van x
voor bet geval, dat A B minimum is, dan krijgt men een
zeer gecompliceerde uitdrukking. Beschouwen we daarentegen
het geval, dat a r zeer groot is ten aanzien van 1, dan komt er:

1 1 2

fli cir₂ ai «2_ . a 1 — a₂

X = ₁ — 1 T

_ ai (ai . a₂) t

ai

Wanneer we met een eerste benadering tevreden zijn.

Schrijven we nog r = -r- (A = golflengte c = 3.10¹⁰ c.M.)

4\' c

dan komt er:

A ai (ai a₂) ^w

Deze formule geldt, wanneer we Ki constant houden en
Ki varieeren. Houden we K₂ constant en varieeren Ki, dan is

v n • A

A =—en we vmden:

72 ii2

_x= 4__C a^-ai ₍₆₎

A a₂ (ai a₂)

G /* T

Bedenken we, dat u =-— dan komt er:

P

X=\\ — . ~-^P4-7r . bij Ko variabel

a o K 1 p i — p 2

en X— 1 — . ttt^Ti ■ bij K\\ variabel.

a ó k 1 pi - - p2

§ 5. Noemen we de afstandsverandering A" — l — IJ en
voeren we in plaats van de golflengte liet trillingsgetal co in,
dan vinden we, omdat

2 7TC

X Ó IC 1 p2 -j- pi

Dit is een rechte lijn, waarvan de tangens
_p2__Pi - pi

3 k T. 7ï (ö2 ~t~ pi

Bestudeeren we nu de kromme door Gutton bij zijn proef-
nemingen gevonden. Deze kromme geeft de afstandsverandering
in functie der golflengte. We zullen echter een grootheid w₀

invoeren, die met a samenhangt door de formule —— — co₀

A2

Gutton vond de volgende getallen:

De gebezigde vloeistoffen waren CS* en bromo-naphtaline.

Hiervoor schrijven wij de volgende tabel:
CCo IJ

10,5 85

4,45 52

2,85 45

1,74 20

1,31 8

1,18

De laatste waarde 0 zullen we echter niet gebruiken,
omdat — gelijk we reeds toelichtten — de subjectieve waar-
neming Gutton niet veroorloofde ü te naderen dichter dan
op één duizendste.

Een rechte lijn blijkt bij onderzoek het beste de getallen
der tabel te verantwoorden. De rechte lijn gaat door den
oorsprong en geeft tot vergelijking ij = xcc. Bij becijfering
blijkt = 8 te zijn.

7T C

Nu is co — ~rr waaruit

^Al 2

U = «o • 7Ï C

de vergelijking (7) in a;₀ uitgedrukt is derhalve:

ji_ ^c P* (ft - pi)

JJ — OJ₀. W~ï 7J\'

O K J pi -f- p2

Derhalve moeten -we de betrekking hebben

^c P2 (p- — pi _ o

3 kT\' pt p*

Substitueeren We p — o 7T \'/j a³ en schrijven we voor

Mi Mi

- V\\i - - \'Vjl

p2 — pi _ _

pi -f- po Mi . Mr
- Vil "1--

dan komt er ongeveer a = G. 3 10

Dit resultaat is volstrekt niet onbevredigend. Hieruit mogen
we besluiten — dunkt ons — dat de tijdfunctie van Prof. Demje
zeer wel met de proefnemingen van Gutton overeenstemt.

HOOFDSTUK VI.

We willen ons onderzoek omlrent het KERR-verschijnsel
besluiten met de volgende algeraeene beschouwingen, waarop
Prof. Debije mij opmerkzaam maakte. De differentiaalver-
gelijking, waartoe we kwamen, was:

Zooals te verwachten was komen als bijzondere eenvoudige
oplossingen van (1) niet gewone sinus- en cosinus-functies,
maar bolfuncties in aanmerking.

§ 1. M = 0.

Bekend is, dat een functie P_n van 3" welke voldoet aan
de vergelijking:

1 d ( dP_n\\
stol,_?5(sin3₇sr) ._i(» l)P.. = 0

een bolfunctie is. Voor cos 5 = x wordt deze vergelijking:
d d Pn

JL (! _ _xt) » _n (_{n t}) p_n = o

dx^K \' dx ^{1 v n}

indien P_n als functie van ^ wordt opgevat.
Aan twee dingen zij herinnerd:

a. De P_m die wij noodig hebben zijn de ontwikkelings-
coëfficienten van

_1__

]/\\ —

naar machten van p, zoodat we dus hebben:
p₀ = 1 Pj = x Po = . . . enz.

_ S--ri .--L . _

2 n — 1 2 .

Iedere willekeurige functie van <9 kan op den bol ont-
wikkeld worden naar bolfuncties in den vorm

n = 00

m= Z aⁿ P_n (*).

11 = 0

De coëfficiënten worden op de bekende wijze gevonden.

De vergelijking

J_ 1 . ₀

sin a ^sin 5 _?9 kTU
heeft als algemeene oplossing

fj\'fan _Pn (,).—«»

11 = 0

De coëfficiënten zijn willekeurig en kunnen volgens het
algemeen ontwikkelingstheorema er toe dienen de oplossing
aan te passen aan een bepaalde verdeeling der assen, die op
het oogenblik t = 0 beslaat.

In het geval Langevin (kerr-effekt) is onder inwerking van
een constante kracht

f= cc (3 cos² -9 = cc -f (3 x\'¹
hiervoor kunnen we ook schrijven:

Verdwijnt op het oogenblik t = 0 deze constante kracht
plotseling, dan wordt dus voor alle 0

₀ Ic T

f = (cc -f |) Po (X) | (3 P₂ (x). e "⁶\' V

§ 2. Oplossing voor het algemeen geval, dat M als funetio
van t en \'9 \\willekeurig gegeven is, echter onder de bizondere
voorwaarde, dat M klein is.

Stel 

zoodat fo eindig, f van de orde M is, en laat in het vervolg
alle termen van hoogere orde weg, dan moet

l i 2 . ₀ a/b p Hu _n

— sm >9. — — . -r— = 0

sin .9 \'3-9 21

1 J . ₀ 2 fi P 1 * • o M

^sm T7o - ïsr T7 = ^ FTo ^sin Uffo-

sin >9 3 3 >9 kT 21 sin -9 3 -9 kï

M denken we gegeven als functie van t en wel van t — — co
tot t = -{- co. \'

De eerste vergelijking van (2) heeft de algemeene oplossing:

kT

~ ^ _D — n (n 1) — t

fo = E o» • Pn • « /> •

*

Daar nu echter f nooit oneindig kan worden ook niet voor
t — — oo, kan fo alleen constant zijn, alle andere termen vallen
weg. We hebben dus

fo = const = A.

We stellen verder

en nemen aan, dat we U ontwikkeld hebben in den vorm

U=ZZ_n (<) P_n (.9)

waar Z_n dus gegeven functies van den tijd zijn.
Nu stellen we ten slotte

fi ⁼⁼ zL Pn

waar &_n gezochte functies van t zijn, dan moeten we voldoen
aan de vergelijking

Q_n $ . 3 P_n p d ó_n

sin-? \'S* 3kT dt ⁿ

A v ^Zn — • —

kT²* sin >9\' 2 >9 ^Sm*ïh9

Met het oog op de differ. vergel. van P_n wordt dit voor alle n:

o d Ou A

n (n 1) 0_n ^j. — = - n (» 1) Z_n (t)

De algemeene oplossing hiervan is:

Tt fr — t kT

A —n(n l)Jc — \\ r* ! \\ n(n 1) — t ,

Q_n =_é_w(_w X).e P Z_n(r)e \'p dr

P J — 00

indien wij de willekeurige constante, die in de oplossing voor-
komt, bepalen door de integraal bij r — — OO te laten\'
beginnen. (Dit geschiedt om de volgende reden. Is bijv.
Z_n (t) — 0 van t = — OO tot een bepaalde tijd t = h, dan moet
van t= — OO tot t—ti, O_n=0 zijn en dat is werkelijk het
geval). We kunnen ons vraagstuk en de oplossing ervan op
de volgende wijze samenvatten.

Vraagstuk: Gegeven de potentiëele energie U voor de draaiing
der molekulen als functie van t en >9. Wat is de verdeelings-
functie f in eerste benadering voor kleine waarden van U?

Oplossing: Ontwikkel U naar bolfunctie P_n van cos »9 in
den vorm

U = 2,Z_n(t).P_n

De constante A wordt bepaald uit:

r*

2 ?r ƒ /"sin # d# = N= Aantal molekulen.

J 0

We kunnen er nog op attent maken, dat de formule mooi
laat uitkomen, hoe een potentieele energie Z_n na werkt van
het oogenblik r af met een intensiteit, die exponentieel af-
neemt bij toenemende waarden van den tijd (t — r) die na
het oogenblik r verloopen is.

§ 3. Aan het slot een voorbeeld als toepassing der theorie.

De molekulen zijn van t — — 00 tot t — O volkomen vrij.
Op het oogenblik t = O komt plotseling een kracht K, die
als tijdfunctie gegeven is door de formule

Ii = F.e~^at sin u t (gedempte golf.)

Gevraagd de verdeelingsfunctie van het KERR-effekt.
Oplossing. U — e² K² ^ -f- — ^

waarin -fiT=electr. kracht en »? is de hoek die de as van het
molekuul maakt met electr. kracht, f en g zijn de twee ver-
schillende parometers, die hun ontstaan te danken hebben
aan de hypothese Langevin. U kunnen we ontwikkelen naar
bolfuncties. Er komt:

TT ^ ^R2 ( ^{1 2} \\ z> _l_ ² 2 7^2 / ^{1 1} \\ p

We hebben dus

\' Zq = —z— ^s\'ⁿ² ut — a. e sin² u t

Z₂ = 2.^e^(^--)e-*-*^atsm>cct = (3e-^2atsm>_ut
3 \\f g\'

Alle andere Z_n = 0.

We berekenen nu de integralen, die in de uitdrukking
voor f voorkomen.

1. n = 0

= 0 voor — OO < t < 0

t kT

— n(n 1) — (< — r) ] fr=t „

(r).e dr\\_ / „

00

2. n = 2.

=0voor|-00<«0

-n(w l) — (t — r) fr — t 6 kT

(r).e P drl _n -2ar . ——(<-r)

= ß e sm² w 7 e ^ d r

— 00

r = O voor O <t<CO

Bet eekent E, dat men van een volgende uitdrukking het
reëele gedeelte moet nemen, dan is

*t

—2 ar 1 ƒ — 2ar

I e sin² cctdr — — / e (1 — cos 2 u r) d r —

O " J O

ft

1 ƒ — 2 ar 2ï*ut 1 „

J O

en verder:

We vinden dus voor f:

{ -2 (a-***)t
\\l -e ^V P \'

lU-V*

^V P
( 31c T . \\ .

^a —-— i cu j t

cl 3/fcï⁷ . \\
2 (a —-— tu)

na het oogenblik t — 0; voor t<Co is /\'=const.

Is a = 0, dan hebben we het plotseling inzetten bij t — 0
van een ongedempte golf. Dan wordt

6 kT

, p 2 i u> t

1 — e e |
--h 2 i u \'

Wachten we eenigen tijd, totdat

dan blijft het resultaat van een gewone periodieke kracht over
en wij vinden voor lim. —-— t — 00 de formule

F²/1 1\\ 3 cos²\'? — 1
2

p u

Stellingen.

Stellingen.

i.

De proeven van Gutton omtrent het KERR-verschijnsel in
wisselende velden, bewijzen het bestaan van den zoogenaamden
relaxatietijd^

J. de Phys., 5^e serie dl. 3 1913
blz. 206 en blz. 445.

II.

Gutton beweert, dat ook in wisselende velden een stand
der condensators mogelijk is, waarbij alle licht verdwijnt.
Deze uitspraak moet vervangen worden door de volgende:
Er is mogelijk een stand der condensators, waarbij een
minimum hoeveelheid licht optreedt.

J. de Phys., 1. c.

III.

Het begrip „oneindig getal" dat in de wiskunde veelvuldig
voorkomt, levert geen ernstige bezwaren tegen de bekende
stelling der Scholastieke wijsbegeerte: „Oneindig getal is een
repugnantie".

IV-

Brouwer (over de Grondslagen der Wiskunde blz. 125) zegt:
Wiskunde is onafhankelijk van logica:

Deze stelling kan slechts waar zijn ten koste eener opzette-
lijke en willekeurige beperking van het begrip logica. Zonder
deze kunstmatige verenging van het begrip logica zou de
stelling er anders uitzien.

V.

Het zou de wijsbegeerte en de exacte wetenschappen beide
zeer te stade komen, wanneer het onderricht in de eene
wetenschap werd ondersteund door onderricht in de andere.

VI.

Kant meent ten onrechte, dat we onze ervaringen niet
kunnen losdenken van de empirische ruimte.

(Kritik der reinen Vernunft pag. 50 en volgende.)

G1

VII.

Terecht zegt Brouwer (Grondslagen der Wiskunde blz. 117).
Er is niet één bepaalde empirische ruimte: We kunnen alle
verschijnselen plaatsen in elke ruimte met zooveel dimensies,
als we willen.

VIII.

Ruimte kan geen forma a priori in den zin van Kant zijn.

IX.

In de natuurkunde is het begrip tijd niet onafhankelijk van
het begrip gelijkmatige beweging, en het begrip gelijkmatige
beweging niet onafhankelijk van het begrip tijd.

X.

De wetenschap is niet minder objectief al verandert haar vorm.

XI.

De zoogenaamde paradox van Sint Petersburg verliest veel

van het wonderspreukige, wanneer men aan het begrip „on-
eindig getal" het absolute zijn van realiteit ontzegt.

XII.

De kansrekening heeft zonder het theorema van Bernouille
alleen speculatieve waarde.