OVER DE

REKENING MET SYMBOLEN

EN DE TOEPASSING DAARVAN OP DE INTEGRATIE VAN
DIFFERENTIAAL-VERGELIJKINGEN.

ACADEMISCH PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAK DEN GRAAD VAN

DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE,

AAN DE H00GESCH00L TE UTRECHT,

OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS

D\\ T. HALBERTSMA,

GEWOON HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER GENEESKUNDE,

met toestemming van den academischen senaat

EN

VOLGENS BESLUIT VAN DE WIS- EN NATUURKUNDIGE FACULTEIT,

TE VERDEDIGEN
op Vrijdag den 14\'-¹™ Junij 1872, des namiddags ten 3 ure,

DOOS

NICOLAAS PIETER KAPTEIJN,

OPGEDRAGEN AAN MIJNE OUDERS.

Alvorens tot de behandeling van het onderwerp mijner Dis-
sertatie over te gaan, is het mij eene behoefte mijne erken-
tenis uit te drukken jegens alle Hoogleeraren, wier onderwijs
ik heb mogen genieten.

U, Hooggeleerde grinwis, geachte Promotor, betuig ik dien
dank bovenal voor de groote welwillendheid, waarmede Gij mij
ter zijde hebt gestaan, en voor de belangrijke wenken die ik
bij de zamenstelling van dit proefschrift van U heb ondervonden.

Ontvangt ook Gij, Hooggeleerde buijs ballot en hoek de
verzekering mijner innige hoogachting en dankbaarheid voor
uwe lessen, die zooveel tot mijne vorming hebben bijgedragen.

Met hooge waardering herdenk ik ook uw onderwijs en vele
bewijzen van vriendschap, Hooggeleerde harting, die ik in de
eerste jaren mijner Akademische studiën vooral heb mogen
ondervinden.

Uwe lessen, Hooggeleerde van hees, zullen mij een rigtsnoer
zijn, indien ik zelf worde geroepen aan anderen onderwijs
te geven.

Ten slotte een woord van dank aan U, Hooggel. mulder,
rauwenhoef en kerckhof voor de welwillendheid mij betoond.

En Gij, mijne vrienden, wier gezellig verkeer mij mijn ver-
blijf aan Utrechts Hoogeschool onvergetelijk heeft gemaakt, —
vergunt mij dat ik met den warmsten dank voor Uwe vriend-
schap , en met de beste wenschen voor Uwe toekomst U vaarwel
toeroepe.

Wij scheiden; velen hebben ons reeds verlaten; eerlang hopen
wij allen in verschillende werkkringen en in verschillende oorden
der wereld werkzaam te zijn. Doch, waarheen het lot ons
voere, of welke nieuwe betrekkingen wij aanknoopen, — de
herdenking aan de dagen onzer jongelingschap blijve aan ons
aller harten dierbaar!

INHOUD.

Bladz.

Inleiding...............\'. . . 1

HOOFDSTUK I.

Algemeene theorie voor het rekenen met symbolen ... 5
HOOFDSTUK II.

Symbolische oplossing der Differentiaal-vergelijkingen. . . 31
HOOFDSTUK III.

Oplossing der Differentiaal-vergelijkingen, door verwisseling
van symbool en argument................94

HOOFDSTUK IV.

Symbolische oplossing der Differentiaal-vergelijkingen in
reeksen..................106

HOOFDSTUK V.

Symbolische oplossing der Differentiaal-vergelijkingen in be-
bepaalde Integralen.............. 123

Het onderwerp waarover dit proefschrift handelt heeft
gedurende eene lange reeks van jaren de aandacht van
vele wiskundigen getrokken, het schijnt dus niet onbe-
langrijk de voordeelen die het rekenen met symbolen
in de Differentiaal- en Integraal-Rekening, en de Rekening-
met eindige Differentiën oplevert uit een te zetten; een
overzigt van de verschillende methoden daarbij in ge-
bruik zal het eigenaardige dezer rekenwijze nog meer
doen uitkomen.

Een kort geschiedkundig overzigt moge der behandeling
voorafgaan.

Den grooten Leibnitz komt in dezen de eerste plaats
toe. Niet langen tijd na de uitvinding der Differentiaal-
Rekening (Acta Eruditorum 1684) toont hij de analogie
aan tusschen de differentialen van alle orden van
een product van twee of meer veranderlijken, en de
magten derzelfde orde van het binomium of het poly-
nomium, zamengesteld uit de som derzelfde veranderlijken.

\') Miscellanea Berol. T. I. Symbolismus memorabilis calculi algebraici et
lafinitesimalis in comparatione potenti.arum et di\'fferentiarum, etc. A". 1710.

Ëenigen tijd daarna merkt hij dezelfde overeenkomst
op tusschen de negatieve magten en de Integralen.

Jean Bernoulli verklaart nog, hoe men in bijzondere
gevallen de Integraal van eene gegevene differentiaal
kan vinden. ¹)

Hiermede zijn voor langen tijd de onderzoekingen
gestaakt.

Lagrange vat het onderwerp weder op ²), en maakt
van die analogiën gebruik, om verschillende algemeene
theorema\'s betrekkelijk differentiatie en integratie van
functiën van meerdere veranderlijken te ontdekken. De
meeste dezer theorema\'s waren toen geheel nieuw, en
volgens andere wegen slechts zeer moeijelijk te verkrijgen.

Hoewel hij de oorzaak niet kent van bovengenoemde
analogie tusschen de positieve magten en de differentialen,
de negatieve en de integralen, zoo schenkt hij toch
volkomen vertrouwen aan hare toepassing, en wel omdat
alle conclusiën, a posteriori onderzocht, volkomen waar
blijken te zijn.

Van toen af begint men meer opmerkzaamheid te
wijden aan de methode welke tot zulke resultaten leidt.
Meerdere wiskundigen trachten de theorema\'s van
Lagrange te bewijzen en de rekenwijze gegrond op meer-
gemelde analogiën uittebreiden.

Eene poging van Arbogast *) om deze methode te

1 ) Comm. Epist. Ep. XIV.

2 3) Mémoires de l\'acad. de Berlin 1772. p. 185.

ontheffen van de moeijelijkheden, welke de onophoudelijke
overgangen van de exponenten tot de indices der diffe-
rentialen en omgekeerd medebrengen, geeft op eens een
geheel ander voorkomen aan de zaak.

Hij komt op de gelukkige gedachte, om de operatieve
symbolen te scheiden van de subjecten waarop zij be-
trekking hebben, en ze te behandelen als quantitatieve
symbolen.

Deze opvatting is stout, en geheel afwijkende van de
gewone begrippen ; vandaar de ligt te verklaren tegenzin
van vele bekende wiskundigen, om deze theorie aan-
tenemen. Volslagen gemis aan bewijs vermeerderde
dezen nog.

Niettegenstaande Français \') eene poging aanwendt,
om in dit gemis te voorzien, en alle zijne resultaten
overeenkomen met de uitkomsten, volgens gewone
methoden verkregen, is het nog noodig dat eerst vastere
grondslagen worden gelegd voor deze theorie, en hare
veelzijdige en veelvereenvoudigende werking wordt
aangetoond.

Dit doen Lobatto, die in eene reeks verhandelingen \')
de scheiding der symbolen toepast op allerlei takken der
analysis, ontwikkelingen van functiën, differentiaalver-
gelijkingen, vergelijkingen met eindige Differentiën,
reeksen, bepaalde integralen, verder Servois ³), Murphy ⁱ),

Boole \'), Gregory ⁵), Hargreave ¹), Cayley ²), Harley ^s)
en vele andere wiskundigen.

1 ») Phil. Transact. 1848. p. 31.

2 ) Manchester Memoirs, vol. XXII. p. 111.

HOOFDSTUK I.

Algemeene theorie voor het rekenen met symbolen.

§ 1. De teekens, welke gebruikt worden om eenvou-
dige of zamengestelde bewerkingen voor te stellen, welke
op eene grootheid (subject) volbragt moeten worden,
noemt men operatieve symbolen.

Zij toch drukken op eene zeer verkorte wijze uit,
welke operatiën volbragt moeten worden.

Deze symbolen, op zich zeiven beschouwd > afgeschei-
den van hunne subjecten; zijn even als de bewerkingen
zeiven aan bepaalde wetten onderworpen; de toepassing
dezer wetten leidt ons tot rekenwijzen, waarvan de ele-
menten symbolen zijn, — tot de symbolische methoden,
of volgens anderen genoemd, de rekenwijze der opera-
tiën, of de methode van de scheiding der symbolen.

Wij volgen hier geen nieuw beginsel, maar eene vol-
komene gewettigde handelwijze. Wij spreken als het
ware eene nieuwe taal, doch zamengesteld uit woorden,
welke wel eene andere dan de gewone, maar toch eene
bepaalde beteekenis hebben.

Deze methoden zijn van het grootste belang, daar met
hare hulp vele en zeer belangrijke theorema\'s op eene
eenvoudige wijze worden bewezen; talrijke zware bere-
keningen worden overbodig gemaakt, en zij ons leiden
tot merkwaardige ontdekkingen.

In de rekening met eindige Diflerentiën, — de we-
tenschap, welke zich bezighoudt met de gelijktijdige
eindige aangroeijingen van onderling afhankelijke ver-
anderlijken, — en de Differentiaal Rekening, welke de
limieten beschouwt, waartoe de redens dier aangroeijin-
gen naderen, als deze laatste oneindig afnemen —, wor-
den deze methoden gebruikt.

Elke bewerking kan men voorstellen door een symbool:
vandaar dat het aantal symbolen onbeperkt is. Herin-
neren wij ons slechts hoe in vroeger tijden de algebra
met tallooze symbolische teekens was overladen, waar-
van zij nu tot groot gerief der wetenschap is verlost.
De beteekenis der symbolen, waarmede wij ons hier
zullen bezighouden is algemeen bekend.

Het symbool A geplaatst voor u_x, eene functie van
x, stelt voor de aangroeijing van die functie, welke
overeenkomt met eene gegevene constante aangroeijing
A x van de veranderlijke x.

Eenvoudigheidshalve zullen wij die aangroeijing A x
altijd aannemen gelijk aan de eenheid, tenzij uitdruk-
kelijk het tegendeel worde aangegeven.

Zij dus u_x eene willekeurige functie van x, dan volgt
uit de bepaling A u_x = u_x A _x — u_x, evenzoo is in de
Differentiaal rekening d U_x — u_x -j- (ix — u_x.

Het zoeken van A u_x in de rek. met eind. Differentiën

en d u_s in de Diff. rek. zijn de fundamentele operatiën.
De teekens A en d zijn dus ook de fundamentele ope-
ratieve symbolen. Laat ons deze twee met nog een
derde E, bepaald door de vergelijking
E u_x = u_x - - A u_x ,

eerst beschouwen.

Vooraf zullen wij eene grondstelling bewijzen, waarop
de symb. methoden geheel berusten.

a. Stelling. Elke directe functie van bovengenoemde
symbolen en constante grootheden kan behandeld worden
alsof die symbolen zeiven algebraïsche grootheden waren.

Dezelfde hoofdregels, welke de algebr. grootheden
volgen in de zamenstelling van alle rationele en geheele
uitdrukkingen, kan men ook bewijzen geldig te zijn
voor de operatieve symbolen.
Deze regels zijn de 3 volgende:
1°. Voor de scheiding der grootheden m (u - - v) =
mu - - mv.

2°. Voor de omzetting der grootheden mau = amu.
3°. Voor de exponenten m^a m" = m^a f ^b.
Voor de symbolen bewijst men die als volgt:
1°. A (u_x - - v_x]) = A Ux A v_x

want:

zf(u_x v_x) = (u_x 1 - - v_x i) — (u_x v_s) = (u_{s 1}-u_x)

H- (v_x i — v_x) = A u_x 4- A v_x.
2°. Jaui=au₅ i-au, = a (u_x i — u_x) = aJu_x.
3°. A^m Aⁿ u_x = (A A ---mfact)(z/z/---nfact)u_x =AA -~
(m - - n) fact u_x = A ^{m n} u_x.
Voor E gelden dezelfde regels, dus ook dezelfde ge-
volgen.

Uit de diff. rek. weten wij:

d (u v) = du -t- dv.
dau = adu.
dⁿ d^mu = d^{n m} u.

Daar A, E en d aan dezelfde verbindingswetten ge-
hoorzamen als constante grootheden, is het duidelijk,
dat wij ze als zoodanig kunnen behandelen; dus afschei-
den van hunne subjecten; met elkander en met constante
grootheden verbinden; omzetten; enz. mits men altijd in
het oog houde, welke hunne ware beteekenis zij.

Gregory geeft de gronden van de symbolische methoden
aan in deze woorden:

«Er zijn een aantal theorema\'s in de gewone algebra,
welke, hoewel schijnbaar alleen voor symbolen, getallen
voorstellende, bewezen, eene veel wijdere toepassing
veroorloven.

Die theorema\'s welke alleen steunen op de verbin-
dingswetten, waaraan de symbolen onderworpen zijn,
zijn daarom Waar voor alle symbolen, welke ook hunne
natuur zij, mits zij aan dezelfde verbindingswetten ge-
hoorzamen.» \')

Het schijnt ons niet overbodig, vooral wat aangaat de
onderlinge betrekking der symbolen, deze algemeene
stelling door een paar bewijzen te versterken. Uit de
stelling volgt:

A E u_x = E A u_x.

Eenvoudig bewijst men hetzelfde aldus:

*

A u_x = E u_x — Ux.

\') Gregory. Examples, Cli. XV. p. 237. 1846.

Verander x in x 1:

A u_x 1 = E u_x 1 — u_x -j- i — E u_x 1 — E u_x =
E (u_x 4-i — Ux) = E A u_s A E u_x = E A Ux.

Eveneens zou men kunnen bewijzen:

d AE = d. E A = A&E = AE d = enz.

E u_x = u_x A u_x
geeft aanleiding, als men de symbolen van de subjec-
ten scheidt, en de beide leden der vergelijking door het
subject u_x deelt, tot de symbolische relatie:

E = 1 - - A en daaruit Eⁿ = (1 -j- z/)ⁿ.

Hetzelfde verkrijgen wij ook nog op de navolgende
wijze:

E u_x = u_x 4. i = u_x - - A Ux
E (E u_x) = u_x 4- ₂ = u_x 4-1 - - A u_x 4- i
= u_x - - A u_x - - A (u_x - - A u_x)
E² u_x = (1 H- Af u_x.

En op dezelfde wijze in \'t algemeen:
Eⁿ u_x = (1 - - AY U_x.

Wij zien hieruit tevens de beteekenis der exponenten.
Zij wijzen het aantal herhalingen der operatie aan, doch
volgen dezelfde wetten, alsof het ware exponenten zijn.

Dit zij voldoende om overtuigd te zijn van de waar-
heid der stelling.

b. Voor het geval dat genoemde symbolen in den loop
der bewerking een\' negatieven exponent krijgen, neme
men het navolgende in aanmerking.

Het symbool en elke magt daarvan, stelt eene be-
paalde bewerking voor, evenzoo A, E en hunne mag-
ten, wij noemen die daarom «directe» operatieve symbolen.

Zijn zij echter voorzien van negatieve exponenten,
dan zijn de daarmede bedoelde operatiën niet onmiddel-
lijk te voltrekken; doch wij hebben de volgende be-
schouwing:

De directe operatie -A wordt, zooals wij uit de relatie

i- Ar¹ =1)^1

dx dx) dx)

zien, geheel opgeheven door A

dx/

d \\-¹

Wij noemen daarom 1 en alle dergelijken «in
verse» operatieve symbolen.

heeft dus dezelfde beteekenis als dx , want uit

^ = X volgt: u = fX dx
en ook symbolisch u X

d
lx

en daar — _zoo j_{s 0}ok iLj — j*dxⁿ.

dx j dx) ~ \' dx

Immers:

d^ \\ ⁿ d \\^m _ _d\\^m-"
dx j " dx J ~~ dx J

In de rekening met eindige differentiën wordt het

inverse van de operatie A dus A~^l ook integratie ge-
noemd en meest aangeduid door het teeken

Wordt dus gevraagd, u_x te integreren, dan moet men
zoodanige functie v_x van x zoeken, dat:

A v_x = u_x of A ~¹ u_x = 2 u_x = v_x is.
Zamengestelde inverse symbolen missen evenzeer het
directe karakter.

Hoe de bewerkingen, daarmede bedoeld, volbragt
worden, zullen wij later zien.

c. Indien men op eene functie verscheidene operatiën
moet voltrekken, bv. a, b A, cd, ÏA\'¹ enz., dan kunnen
wij de som dezer operatiën door één symbool vervangen,
en noemen dit dan eene zamengestelde symbool. Zoo is in
Puj = au! b J.Uj cdu_s f enz.
P een zamengesteld symbool. Blijkbaar zullen de
zamengestelde symbolen aan dezelfde wetten onderworpen
zijn, als de enkelvoudige, daar al hunne onderdeelen
zich gedragen als constante grootheden.

Zamengestelde symbolen van den vorm
A\'² - - 2 a A - - a³ kan men dan ook in de gedaante schrijven,
(A a) (A - - a) of (A - - a)². Evenzoo
A¹ (a b) J-t-ab=(^-ha)(^-f-b) - (J h)(J -1- a),
en in \'t algemeen

Aⁿ -ha, zlⁿ~¹ H-a.₂A"~²... -ha_u = -|-a") ....(z/-haⁿ)

waarin a\', a",.... aⁿ. de wortels voorstellen van de ver-
gelijking m" -h a_t mⁿ -¹ - -. - . -h a_n — o.

De orde waarin de factoren van het tweede lid voor-
komen, is willekeurig. Uitdrukkingen in ^ en E kun-
nen op dezelfde wijze herleid worden.

Deze transformatiën hebben buiten hare practische
waarde nog dit voordeel, dat vele zamengestelde
operatiën op zeer verkorte wijze kunnen worden voor-
gesteld. B. v.:

(1 - - A - -1 A² - --^3 J³ - • enz.) u_x = (e^) u_x

(1 — t E² -i- Eⁱ — enz.) u_x = u_x — j u_{x 2}

■ • Ux i — enz. = (cos E) u_x

(1 nd d² - - enz,) u_x = (1 4- d)ⁿ u_x.

Tusschen A en E bestaat, zooals reeds is aangetoond,
een zeer naauw verband, uitgedrukt door de vergelij-
king J l = £.

d

De relatie tusschen deze twee en is ook te vinden.

dx

Schrijven wij daartoe het theorema van Taylor in
symbolischen vorm:

f (x 4- 1) = f (x) -A f (x) H- ^,f(x) 4- enz.

/ d H² \\

E f (x) = (1 4- -J- enz. j f (x), en hieruit

d d^2 CL

E = 1 4- - - 4- \\ -ï—₇ -h enz. = e<ix = 1 4- j.
dx dx"⁵

Lagrange bewijst ditzelfde op eene geheel andere
wijze, doch ook met behulp van het theorema van Taylor \')•
Het is niet onbelangrijk, nategaan, op welke wijze
Lobatto komt tot deze merkwaardige betrekking ²).

Zij u_x eene functie van x. Dan is u_x =-E^xu₀, waarin
x wel niet een ware exponent is, maar toch geheel als

zoodanig kan behandeld worden. Differentieert men deze
vergelijking ten opzigte van x, dan verkrijgen wij, in
het oog houdende dat

d c a^x = c a^x 1 a. d x,

= A e* u

dx^Ux dx ^Uo\'

Uo is nu eene constante, E^x eene variabele grootheid dus
E* Uo == 1 E. E* Uo = 1 E. U_x;

dx

en hieruit de symb. relatie

d ^d

= 12? en dus = E = i J

dx

Lobatto heeft de veranderlijkheid van de functie
overgebragt op het symbool, waardoor dit eene ware
functie van x wordt, en dientengevolge kan gedifferen-
tieerd en geïntegreerd worden, in \'t algemeen alle ope-
ratiën kan ondergaan, die men. op veranderlijke groot-
heden kan toepassen. De wettigheid van deze handelwijs
kan wel door geen streng bewijs gestaafd worden, doch
de resultaten, getoetst aan die, welke men op andere
wijzen verkregen heeft, pleiten voor hare consequente
toepassing.

Wij vinden toch onmiddelijk door toepassing dezer
a

relatie E = e ^dx , het theorema van Taylor:

a / \\

u_x „ = & u_x - e ^{h dx} u_x => 1 h 4- ¹⁾² ±\\\'² -f- u_x.

( dx 2 dx/ )

Ook het theorema van Maclaurin:

l rl Y2 rl \\² /

u_x = Uo = e u₀₌ l-t-xi- ^ 1 «„.

dx 2 dx/

§ 2. Ontwikkeling van funcMen met ééne veranderlijke,
a. Met behulp van deze symbolische betrekkingen
\'kunnen wij al aanstonds op eenvoudige wijze tot een
aantal formules geraken, waarvan velen op de gewone
wijze slechts zeer moeijelijk te vinden zijn.

Uit de talrijke voorbeelden, welke hiervan te geven
zijn, zullen wij slechts eenige der voornaamste en meest
bekende beschouwen.

Vele der volgende formulen waren reeds gegeven
door Laplace \'), Stirling ¹), Lagrange, Euler, en anderen
voordat de rekening met de symbolen afgescheiden van
hunne subjecten vele vorderingen had gemaakt.

Ontwikkel u_x -f _n in eene reeks bestaande uit u_x en
zijne opeenvolgende differentiën.
u_x i — E Ux, u_x -f ₂ = E² Ux, enz.
u_x -_n = E^a u_x = (1 - - Af u_x

.Evenzoo vindt men:

n (n 1)

Ux - = ii_t. -- n A Ux - - . 1- u_x -

Geef eene uitdrukking voor Aⁿ u_x in u_x en zijne opeen-
volgende waarden.
A u_x = (E — 1) u_x
Aⁿ u_x = ( E — l)ⁿ Ux

1 ) Traet. de summatione & interpol. Serierum inftnitarum.

= (e* ⁿ °y ^[) E³ -

n (n - 1)

= U_x n — n U_x n - 1 H-----^Ux n - 2 -----(— 1)" U_x

Aⁿ u_x wordt ontwikkeld in de differentiaal coefficienten

van u_x als volgt:

_d

A = e ^dx — 1

d

jn ₌ (e te _ Ijn

I t² t³

Daar (e¹ — l)ⁿ = (t - - ^ ~^h

= tⁿ Ai t^{n 1} A² t^{n 2} - -
d \\ⁿ d \\^{n 1}
••• ^ = dx) ^Al dx) ^

b. Tot hiertoe heeft het symbool A de eindige Diffe-
rentie voorgesteld, welke overeenkomt met eene aan-
groeijing van x, gelijk aan de eenheid. Maar indien
A x = n wordt, dan zal de vergelijking A — E — 1
veranderen in A_n = Eⁿ— 1. En dus volgt:

n -

J^rD U = (Eⁿ — ly u — (e ^dx — l)^r U
De betrekking welke er bestaat tusschen de groot-
heden A, Aⁿ, E en JS_n kan men voorstellen door de navol-
gende formulen.

n 1 <1

|» = (l z/J = e ^dx , E = 1 - - A = e

hieruit E = (1 4- ⁿ en Eⁿ(l 4-Af dus

1

A = E— 1 = (1 ■ ■ Au) ^u — 1.

A_n = Eⁿ — 1 = (1 4- A) ⁿ — 1.

d _1
e dx = E = 1 - • J = (\'1 - - An) n.

Door middel van deze formule kan men de differentie
van elke orde uitdrukken in eene functie der differentiaal
coefficienten van hooger orden. Bijv.

De eindige diff. van a^x u zal, als de aangroeijing van
x gelijk n is, wezen:

zl_n a^x u = a^{x n} u_n —■ a^x u = a^x (aⁿ Eⁿ — 1) u.
Indien men hierin voor u eene nieuwe functie
aⁿ u_n — u = (aⁿ Eⁿ — 1) u substitueert, dan verandert
de verg. in:

a^x (a¹¹ Eⁿ — 1) u = z/_n ² a^x u = a^x (aⁿ Eⁿ — 1) ² u.
Herhaalt men dezelfde bewerking, dan verkrijgt men
de algemeene formule:

J^rn a^x u = a^x (aⁿ Eⁿ — 1)^r u = a^x (aⁿ e — 1) ^r u. (a)

Neemt men r negatief, dan volgt hieruit: (zie bl. 11)

d_

a^x II = a^x (a¹¹ Eⁿ — 1) - ^r u = a^x (aⁿ eⁿ — 1) ~^r u. (b)
Differentieert men hetzelfde product, dan verkrijgt men:

a^x u — a^x u • - a^x u 1 a = a^x (S- —{— 1 a ^ u.

dx dx V dx

= a^x (1E - - 1 a) u = a^x 1 (a E) u.
en in \'t algemeen:

A

dx

a^x u = a^x (1 (a E)) ⁿ u = a^x la (1 J) (ⁿ u (c); en ook

ⁿ ^^xudxⁿ = a^x {la (1-4- A) j-"u. (d)

Deze 4 formulen zijn het eerst door Laplace gegeven;
blijkbaar moeten wij (b) en (d) door zulk eene functie
f (x) aanvullen,

dat ⁿ <p (_X) = o; dus

dx_y

^(x) = a- -bx-4-cx²H----hp x^{n 1}.

Eene merkwaardige formule verkrijgt men nog op de
navolgende wijze:

1 H- en = 1

(Ten einde verwarring te voorkomen voeren wij hier
de notatiën ^ en z/₆ in)

e B

P = (ffl) I =r (1 J ) | 1 -H z/₀. Waaruit volgt:

Vermenigvuldigt men beide leden met eene functie
van de variabele, dan is dat de interpolatie formule van
Lagrange \') welke de oplossing bevat van de vraag:

«Gegeven de differentie van eene functie voor eene
bepaalde aangroeijing (f) van de veranderlijke, bepaal
dan de differentie van eene willekeurige orde voor eene
andere aangroeijing & der veranderlijke.»

Wij zullen ter opheldering hiervan een eenvoudig
voorbeeld geven, en kortheidshalve de differentie eerste
orde zoeken voor eene nieuwe aangroeijing
Zij gevraagd log. 3.14159 = ?
en gegeven log. 3.14 — . 4969296
log. 3.15 = . 4983106
log. 3.16 = . 4996871
log. 3.17 = . 5010593
log. 3.18 = . 5024271
hierin is dus § — .01, & =.00159 —Nemen wij liever £ = 1 dus & = .159.

Uit deze gegevens volgen aanstonds de waarden voor
£ ^enZ\'

i) Mém. de l\'Acad. de Berlin. 1772. p. 207.

Volgens de formule ^ = -1 1 f^fV ^^ ^

A = .159x13810- - ^(-159-1) _g ^

9 2 ^{v 7} 2.3

= 2195.790 3.008655  .082058893

- 2198.88

log 3.14159 = . 4969296 -»- . 0002198.88.. = . 4971495
Uit de fundamentele vergelijking u_{x a} = E^& u_x volgt
aanstonds

U_x = u_x a — u_x ==(E^a — 1) u_x.
Stelt men voor E*— 1 de factoren (Ei _ en E\\, dan is
= {E\\ u_x a, waaruit men besluit:

u_x = (^l_^-|)ⁿU_x na

2

ad a d n ,

= (e dï) U_x na

2

Deze formule is door Laplace verkregen door middel
van genererende functiën

Maakt men nog a = l, en vervangt men x §doorx,

A

dan wordt deze formule:

/ jj_ _d _n
//ⁿ U_x_n = U 2 dx _ _e 2 dx j _Ux. (a)

\') Théor. Anal, des Prob. p. 41.

Deze leidt ons tot eene zeer merkwaardige reeks.
\'welke wij te danken hebben aan Stirling.

v

In aanmerking nemende dat sin (<p {/—1) = c — e ?

2l/—1

volgt, indien men i schrijft voor 1/—I

JL A — JL A i d

e 2 dx _ _e a dx ₌ — 2 i sin -Ts -T-.

2 dx

Stelt men nu in (a) 2n in plaats van n, dan wordt
die formule:

<d^{2 n} u _x__n = ± 2 sin ~ A^j^{2 n} u_x (voor n even -f-, en n

oneven —J (b)

Vervangt men nu in de twee bekende ontwikkelingen: ¹)

;q² (n² _ 1)

cos 2 n x == l--(2 sin x) ² -2 3 4^^ ^S*^{n 4} ~

sin2nx = nsin2x(l — (2 sin _x)²

(2 sin x)⁴ — J cos 2 x

i d

x door £ j—, dan geeft de eerste reeks eene ontwikkeling

d

van den symbolischen vorm cos in Men zal, als men

die symbolische operatie toepast op u_x, en acht geeft
op (b), verkrijgen:

/ d \\ n² n² fn²_\'11

^C0S\\ⁱⁿdxj^Ux 1 u_x_ 4 .

Op dergelijke wijze vindt men:
( • . d \\ n( n² —1/ \\

V^Slnmdx/^{Ux =} 2C ^Ux~ ^{1 A Ux} "IT V ^Ux ~^{2 Ux_1})

1 ) Verdam. Summarium der Goniom. & vlakke Trigon. p. 37. de twee for-

2 tuien I. A- waarin men n vervangt door 2n.

Daar nu

• d . . . d n^ .

cos m t--1 sin m -j- = e ^dx =Eⁿ is,

dx dx

geeft de som dezer beide laatste vergelijkingen:

2

H^a U _x ~U_X n — U_x -_Cy~ z/¹ U_x _ 1

 —  ^U_x_2 U_X_1 j 4- .j

Stelt men hierin x = o dan komt deze formule nage-
noeg overeen met die van Stirling \')•

Laplace heeft ook van deze formulen een bewijs ge-
geven, door de methode der genererende functiën.

Vergelijkt men dit met bovengenoemd bewijs, dan is
er geen twijfel aan, of ons bewijs wint het ver in

kortheid en duidelijkheid. Kortom, de betrekkingen
a

E = 1 J = e ax geven aanleiding tot zoovele algemeene

theorema\'s als men verkiest.

Een andere bron, even rijk in hare toepassingen, zijn
de vergelijkingen tusschen constante grootheden. Wij
hebben er in het laatste bewijs reeds gebruik van ge-
maakt. Een enkel voorbeeld is dus voldoende, om de
bewerking te verduidelijken.
Nemen wij bv. de formule ²).

^ a — sin a —^ sin 3a-f ^ sin 5a —;

zet men deze onder den exponentiëlen vorm, en wordt

bovendien av—1 vervangen door ~ dan volgt daaruit,

1 ) Verdam. Summ, der Goniom. en der Regtl. Trigon. p. 60, 201 b.

omdat e<ïx=E is,

Vermenigvuldig beide leden met eene functie van x.

⁷¹ d / \\ 1 / \\ ,
2 dx ^Ux ~ ¹—^Ux ~ ~ 3^{2 3—}\'^Ux ~ ^

Maak hierin bv. u_x = x, dan verkrijgt men aanstonds

de bekende formule van Leibnitz.

2 3 5 7

Deze formule op geheel andere wijze gevonden regt-
vaardigt dus de handelwijze welke wij hier hebben ge-
volgd.

Door andere waarden aan u_x te geven, krijgt men
andere formulen.

Vervangt men bv. a|/—«1 door h-^ dan is:

TC . d hl —hl 1 / 3hJ —3 h—\\

2 = e — e ax — _₂1 e ^ — q aii — en

h A _{? (x) = v (x h)} _ _{v (x}___h) — ij qp(x 3h) — <p (x—3 h)!

Op geheel dezelfde wijze verkrijgt men uit de formule:
1

— = cos a — cos 2a - - cos 3a — cos 4 a " *
A

_q>(x)= q, (x. h) — <p (x 2h) q> (x 3h) —
9 (x—h) — cp (x—2h) q> (x—3h) —

§ 3. Ontwikkelingen van functiën met twee of meer
veranderlijken.

Het zou ons te ver leiden, indien wij hiervan zoo
talrijke voorbeelden aanhaalden als van de ontwikkelingen
van functiën met ééne veranderlijke.

Wij zullen ons dus vergenoegen, de voornaamste rela-
tiën tusschen de verschillende symbolen op te sporen,
en enkele zeer bekende ontwikkelingen symbolisch vol-
brengen.

Stelt u_x.y eene functie van x en y voor, dan kan men,
de symbolische notatie van hierboven volgende, ook
schrijven:

U_x.y — E* Uo.y en U_x.y — ffl Ux.O-

In de eerste vergelijking heeft E alleen betrekking op
de veranderlijke x, in de tweede alleen op y.

Ten einde alle verwarring te voorkomen, maakt men
aan het symbool zelf ook wel kenbaar, op welke ver-
anderlijke het betrekking heeft. Zoo beteekent de uit-
drukking E_x Ux.y dat E alleen betrekking heeft op x en
niet op y. E_y alleen op y.

De bovengenoemde vergelijkingen worden volgens deze
schrijfwijze:

Ux.y = -jC ^u0.y ; Ux.y = E^yy Ux.O 5 U_x.y = E* . U₀.0.

Differentieert men de beide eerste dezer drie verge-
lijkingen, dan volgt daaruit, daar d. a^x = la. a^x. dx.

-^_xu = l(2y#u₀._y = (l^)u ( u — u_sy);

i.

en dus is e ^dx =B_V Eveneens E_r

Wij kunnen nu aantoonen, wat u_x-y wordt voor wil-
lekeurige aangroeijingen van x en y.

JL

^ux h, y k X \' ^y x.y ^ ^ux.y\'

x.y

Dit is juist het theorema van Taylor, toegepast op
eene functie van twee veranderlijken.

Het theorema van Maclaurin volgt uit:

i £
U_s.y = e^X dx ^ycly Uo.o.

Het is duidelijk, dat dezelfde redenering kan gevolgd
worden voor een willekeurig aantal veranderlijken, en
tevens dat de wijze, waarop men de symbolische ver-
gelijkingen verkrijgt, overeenkomt met die, welke wij
volgden bij functiën met ééne veranderlijke.

Zoo is bv. de Interpolatie formule:

!e \\^m / co )ⁿ

(i j^—i (ï z/ y — i u

^V f \\ I v\' \\

geheel op dezelfde wijze te vinden, als de formule op
bl. (17.)

Zijn u en v functiën van x, dan is:

d . , _ du dv
dx ^ \' dx dx\'

Accentueren wij nu het symbool ~ , dat betrekking
heeft op de veranderlijke in v, om het te onderscheiden
van d_at alleen werkt op x in u, dan schrijven wij:

 en dus ook:

A_ iiy v

dx dx /

, n(n-l) d \\² d \\°-² ,

Dit is het theorema van Leibnitz; door inductie ver-
kreeg hij deze formule voor geheele exponenten; doch
zij is altijd waar hetzij n geheel of gebroken, positief
of negatief is.

Dit theorema kan uitgebreid worden op het product
van een willekeurig aantal functiën, en het resultaat
geschreven worden:

_dV k ay* d y dy

A) (uvw..) 2.3.n^ ! dï) ^u- MJ ^v\' dï)

[1.2... a. 1.2... (11. 2 ...y...

hierin « (3 -j- / — n

Als n negatief is in het theorema van Leibnitz:

d ^{n n} f*
j uv = Jj uv dxⁿ, en dus

Dit is de algemeene formule voor integratie bij gedeel-
ten , en stellen wij hierin u — 1, dan is:

ⁿ f* Y ⁿ

J udx^D=_:

1.2.. n

d^y

n(n 1) dx \' 2.n(n 1) (n 2) dx²

3 (J 2 Y

dv n (n 1) x^:

P _A x² dv x

J vdx^xv—^j-^

2 dx

de serie van Jean Bernoulli *)

Nova acta Erud. Lips. 1694. Mém. de Berlin 1772. p. 231,

Tot dezelfde formule geraken wij door in de bekende
formule

dx = ux —d u
den laatsten term van het tweede lid:

du = ^x^-dx bij gedeelten te integreren.

Op vrij gemakkelijke wijze komt men ook door de
theorie der symbolen tot het algemeene theorema van
Laplace, over de ontwikkeling van functiën; als bijzon-
der geval is daarin opgesloten het theorema van La-
grange ¹).

Zij u = F(a xz), waarin z eene willekeurige functie
is van u.

Differentieert men u ten opzigte van de grootheden
a en x, dan ziet men, dat:

du __ du
dx da

waaruit de symbolische vergelijking:

d d . _x
d* ^{= Z}da- ^(a)

omdat echter

du = dx da^ u is,

. z du = (\'z™ dx z

of tengevolge van (a),

z du = (z² -^-dx da^u.

!) Zooals wij weten was Lagrange de ontdekker. Mémoires de Berlin 1768
p. 251;\'Laplace heeft het uitgebreid. Mém. de 1\'Acad des Sciences. 1777 p. 99.

Dewijl het eerste lid eene exacte differentiaal is, moet
het tweede het ook zijn, en dus:

AUA) .^A A

da \\ da/ dx" dx dx/ \'
en zoo voortgaande komt men tot het resultaat:

d V¹ d \\ⁿ - ¹

dx/ ^U da/ \\ da/\'
Maakt men nu gebruik van het theorema van Mac-
laurin:

du\\ x² d² u

^u = ^uo x-T- o 

dx/o^ 2 dx^ /o

Hierin de waarden substituërende van ^-^-enz.

dx dx-³

verkrijgt men:

-1- V n---^ -

da/o 2 da\\ da/o

§ 4. De theorie der symbolen kunnen wij ook met
vrucht toepassen op onderzoekingen, welke eigenlijk op
het gebied der Integraal-Rekening te huis behooren.
Met een eenvoudig voorbeeld zullen wij dit ophelderen.
Wij kunnen de quadratuur van elke kromme, of de

waarde van^y dx tusschen de grenzen x = o en x — n,

bij benadering bepalen, welke ook de functie y zij, door
middel der bijzondere waarden van j, welke overeen-
komen met x = O, 1, 2 . . .

Hoe men in deze hypothese ƒ y_x dx kan benaderen

1  De Morgan. Calculus. p. 170. 1842.

zonder integreren, ziet men, indien^J*y_x dx symbo-
lisch geschreven wordt.

d Y"¹ v v

Deze waarde, genomen tuschen de grenzen x = oen

(1 J) n _ j

x = n, geeft _{1(1 J)}-y.*

Deze symbolische uitdrukking moet men nu volgens
de positieve magten van A ontwikkelen, doch daarbij in
het oog houden, dat de vergelijking der parabolische
kromme hoogstens van den n^den graad is, en dat daarom
de eindige differentiën van hooger orde dan de n^de allen
verdwijnen.

De ontwikkeling zal van den vorm zijn:
a₀ ai A a₂ A²---- a_n Aⁿ.

De coëfficiënten

a<>, ai . . . a_n verkrijgt men uit de

vergel:

jl ,(n-l)(n-2) i ^ J

2 ^ 2.3 n »

A __

2 3

Vermenigvuldig beide leden met den noemer van het
eerste lid.

Men kan dan n vergelijkingen verkrijgen ter bepaling
der n coëfficiënten, door de coeffic. van dezelfde magten
van A in beide leden gelijk te stellen. Dus:

a₀ = n.

11 1

a_n — ö^an — i o^a»-2 — •••• -a a₀ — o.

li- ó n 1

Voor elke waarde van n vindt men hieruit een stel
bepaalde coëfficiënten;

y_x dx = (a₀ ai J a₂ ^ ) y₀-

Of, indien men de symbolen A nog vervangt door
E—1, dan verkrijgt men eene uitdrukking in de op-
eenvolgende ordinaten j₀, yi, - - y_n-

Voorbeelden van zulke benaderingen vindt men bij
Gauss ; ook bij Stirling ¹) en Cotes.

Nemen wij als het eenvoudigste geval n = 2. De para-
bolische kromme zal dan door de uiteinden der drie
ordinaten y₀, y_x en y₂ gaan en wij verkrijgen voor dat
geval:

a₀ = 2, ai — 2, a₂ g-.

/>^dx=(^{2 2} ^ ⁱ3 ^ =1 *^EiY

= Ö fy₀ 4y_x y₂ ). —

3 _x

Door telkens de abscis in meer gelijke deelen te ver-
deelen, of, wat hetzelfde is, n grooter te nemen, ver-
krijgt men telkens meer benaderde waarden van de
Integraal.

1  Tract. de Summ. &e. p. 140,

Ook door middel van het theorema van Maclaurin
komen wij tot hetzelfde resultaat:

. , . n (n—1) .o ,
y₀ n A y₀ — ₂ zf² y₀

/in /in /in .ƒ2 _v /in

j_oy_xdx = y₀j_odx z/y₀j_oxdx -^j_ox(x-l) dx

Daar y₀, yi, — y_n, bekend zijn, kunnen alle differen-
tiën van y₀ tot en met Aⁿ y₀ berekend worden. En nemen
wij aan, alle hoogere te kunnen verwaarloozen, dan
geeft het bovenstaande ons eene benadering van de ge-
zochte integraal.

Nemen wij n = 2, dan volgt onmiddellijk:

Maar A y₀ = y_x — y₀, A* y₀ = y₂ — 2 y_x y₀ en dus

⁴ yi ys)

De onderstelling dat de oppervlakte in 6 deelen is ge-
sneden door 7 evenwijdige ordinaten brengt ons tot eene
zeer merkwaardige uitkomst: ^!)

dx = 6 y₀ 18 A y₀ 27^² y₀ -f 24 A* y₀
. 123 ,₄ , 33 ,₅ . 41 .₆

40 41

Ware nu de laatste coëfficiënt ^^ in plaats van,^ dan

!) Weddle. Math. Journal, vol. IX p. 79.

zou, na reductie, als boven de zeer eenvoudige verge-

*

lijking te voorschijn komen:

J*_Q y*^{dx =} TO (^y° y² y4 ye H-5 (y_x y₅) 6 y₃).

1

De verwaarloozing van zf⁶ y_G zal in de uitkomst

slechts zeer weinig verandering brengen, daar de 6^de
differentiën zeer klein zijn, de 7^tle en verdere geheel
verdwijnen.

Nog eene andere methode, en wel die van Lagrange
tot bereiking van hetzelfde doel vindt men in de Nouveaux
Mémoires de 1\'Acad. de Berlin, 1772, p. 201.

Simpson geeft ons eene algemeene formule in Sturm
Anal. T. II, p. 267, wel niet door dezelfde methode,
maar door gelijkvormigheid zich aan bovengenoemde
benaderingen aansluitende.

y₀ y_n 2 (y₂ y ₄ • • y_n-₂) 4 (y , y₃... y_n-i)

In alle opzigten beveelt zich dus het gebruik der
symbolen, afgescheiden van hunne subjecten aan. Geene
v.an alle behandelde formulen kan zoo eenvoudig ge-
vonden worden, als hier heeft plaats gehad; zooals wij
reeds hebben opgemerkt, ontsluit deze methode den
weg, om zonder grootere inspanning dan eenvoudige
substitutiën, een oneindig aantal nieuwe betrekkingen
te vinden, wier juistheid echter later dient te worden
betoogd, hetzij door controle, of zoo mogelijk door den
gewonen strengen weg in te gaan.

HOOFDSTUK II.

SYMBOLISCHE OPLOSSING DER DIFFERENTIAAL-
VERGELIJKINGEN.

De schoonste en belangrijkste toepassingen der sym-
bolische rekenwijze kunnen evenwel gemaakt worden
bij de oplossing der Differentiaal-vergelijkingen en de
vergelijkingen met eindige Differentiën.

Bij de ontwikkelingen der functiën in het eerste
hoofdstuk waren de symbolen z/ en JE onmisbaar.

Daar de oplossings-methoden in zeer vele gevallen
veel overeenkomst bezitten bij de Differentiaal-verge-
lijkingen en die met eindige Differentiën, zoo zullen wij,
om te groote uitgebreidheid te vermijden, de laatstge-
noemde vergelijkingen met stilzwijgen voorbijgaan.

A. GEWONE DIFFERENTIAAL-VERGELIJKINGEN.

§ 1. Oplossing van Lineaire vergelijkingen met constante
coëfficiënten.

Deze vormen de grootste klasse, welke volgens de-
zelfde methode kan opgelost worden; en daar vele

zulke vergelijkingen in de toepassing der natuurkunde
voorkomen in dezen vorm, of daartoe kunnen herleid
worden, zoo zijn zij van groot belang.

a. Eerste orde. Zij gegeven:

(\'A—\'a^ u —X, dan volgt daaruit:

Wij weten uit de gewone methoden:
u = e^Je-^ax X dx;

en dus is

—^a) ^JX = ^{_ ax} X dx.

Wij zien hieruit de beteekenis van de inverse zamen-
gestelde operatie _ _a ^ , en de bekende bewerking,

welke daarmede overeenkomt.

b. Hooger orde.

Elke lineaire vergelijking hooger orde kan men be-
schouwen als het resultaat van eene zekere operatie,
voltrokken op eene functie, welke de eerste integraal
van die vergelijking is.

Deze integraal weer evenzoo als de uitkomst van eene
dergelijke bewerking op de tweede integraal, enz. Zoo-
dat de gegevene vergelijking niets anders is dan het
resultaat van eene reeks operatiën, volbragt op de pri-
mitieve functie, die de complete integraal van de ver-
gelijking is.

Denkt men zich al die operatiën door eene zelfde
soort van symbolen voorgesteld, dan is het duidelijk,

dat de zamenstelling in den vorm van een product een
gemakkelijk middel aan de hand geeft, om eene diff.
vergelijking uittedrukken; tevens begrijpt men daaruit
dat de successieve integratie neerkomt op de ontbinding
van genoemd product, om dan door eene opeenvolging
van inverse en analoge bewerkingen tot de primitieve
functie opteklimmen.

Deze methode is aanmerkelijk eenvoudiger dan de
gewone wijze van integreren. Lossen wij bv. de alge-
meene vergelijking hooger orde op:

zijn ai, a₂.. a_n de wortels van tⁿ -f- A t¹¹ — ¹ ...-{- P = o,
dan kan men deze vergelijking ook schrijven:

(cE-^ai)(^~^a0 ••••(<5-^an)^u=X

/ d \\ - ¹

Opereert men nu aan beide zijden met ( ^r— aj ,

dan verkrijgt men de eerste integraal van de vergelij-

f d \\^_1

kirtg. Op deze uitkomst weer met( — a₂ ) , enzoovoorts.

Na n zulke inverse operatiën komt men tot de com-
plete waarde van u.

Veel eenvoudiger wordt dit vraagstuk opgelost, indien
men op de navolgende wijze handelt¹).

^UH (sr — ^a>) («Ï^~^aa)\' • • (a^—^a") r\'^x-

-)"^{1 Aa} (s " • • - ^A» (aï-^a»!^x\'^(a)

Gewoonlijk wordt Boole voor de eerste gehouden, die deze vergel. zoo
behandeld heeft. Zie Cambr. Math. journ. l^st Series, vol. II. p. 114. Doeh
Lobatto heeft ditzelfde reeds gedaan in 1834. Verh. 1ste kl. Kon. Ned. Inst. dl. VI.

Ai — ----------------------------, en A,, A, gelijk aan

(ai - a₂J (ai - a₃j .. (ai - aj \' ^{2 80 J}

daaraan overeenkomstige uitdrukkingen.

Uit (a) volgt nu gemakkelijk het eindresultaat:

u = Ai e^ai *Jld - ^a> ^x X dx 4- A₂ e^% - ^x X dx -f- (b.)

Elke integraal geeft aanleiding tot eene arbitraire
constante; de waarde (complete) voor u krijgt dus de
gedaante:

u = 2 Ai e^a\' ^x | Je - ^a> ^x X dx C J

Indien eenige of alle wortels van het symbolisch po-
lynomium gelijk waren, zouden wij op deze laatste wijze
niet tot de oplossing komen, daar het laatste lid dan
niet in de gedaante van een polynomium kan gebragt
worden.

Zijn alle wortels gelijk, dan komt men tot de complete
solutie door herhaalde toepassing van

(-S-a)"¹X = e^ax/e-^a^Xdx;

terwijl bij elke dergelijke operatie eene constante te
voorschijn treedt.

Zijn niet alle wortels gelijk, maar slechts eenige, dan
geraakt men tot de navolgende behandeling.

Zij het ontbondene symbolische gedeelte van den vorm:
d V / d

dx — Vdx ^3,1\' "\'\'^dan k^{an men} rïrï\' ^et

tweede lid gebragt en invers geworden, transformeren in:
/ d \\ -^{r 1}

!^M(<ff-^a>r !^X

of nog anders in:

Deze laatste uitdrukking verdient de voorkeur wegens
hare eenvoudigheid.

Zijn er een paar onbestaanbare wortels, welke dan
den vorm a b V—1 hebben moeten, dan zijn de
coëfficiënten van de corresponderende termen in (b) van

de gedaante ^ g ^_^ en ^__^ en daar

e (^a  = _e^ax j cos b x -f V—1 sin b x [.

en e (^a-ï>l/-i)^x = _e^ax j cos b x —V—lsin b x j is,
zoo is de som van bedoelde twee termen gelijk aan;
2 e^{a x} {A cos b x B sin b x | J*e - ^{a x} cos b x X dx.
"A² 4- B²

2 e^ax j A sin b x - B cos b x j ƒ e- * * _sin b x X dx

A² B²

A B

Stellen wii nu--------■,= cos©,-----= sin0

(A² B²) * (A² B²) *

dan wordt eenvoudiger deze som

cos (bx—0) J* e-^axcosbxXdx-fsin (bx—0)yV-^axsinb Xdx j

A² B²

en de som der termen, voortvloeijende uit de constanten
der twee integralen,

e^axjc, e^b^~¹-\\-C₂ e-^5)xl/-¹}^=e^ax(C cosbx-f C¹ sinbx)
= Ce^ax cos (b x -f k).
In geval van meerdere paren onbestaanbare wortels,
Wordt de algemeene oplossing vrij ingewikkeld.

Het is niet onbelangrijk na te gaan, hoe men in een
bijzonder geval door inductie komen kan tot de complete
solutie van eene Diff. vergelijking zonder tweede lid.
Alle wortels van het operatieve gedeelte gelijk.

Nemen wij aan u — e~^{a x} X, en volvoeren wij daarop

de operatie A- _j_ _aj d_an verkrijgen wij:

A- -j- a^j u = e~^{a x} ^X, na herhaling der zelfde operatie:

d \\² d \\²

Wij zien dat e ^{_ a x} zich onder deze operatiën als eene
constante gedraagt. Stellen wij alzoo u zulk eene functie
/ d \\ⁿ

van x, dat (—j— a) u — o, dan volgt daaruit, dat de

,dx
d \\ⁿ

uitdrukking X ook gelijk o wordt, of dat X van den
vorm is:

Ax"-¹ Bxⁿ~²... P.—

/ d \\ⁿ

De verg. f ^ -j- aJ = o heeft dus tot complete integraal:

u = e~^ax | Ax"-^____P }.

c. Eenige vergelijkingen kunnen wij op eene meer
eenvoudige wijze integreren. Het zijn die waarin het
tweede lid eenen bijzonderen vorm heeft;

1°. wanneer het is eene geheele rationele functie van x;
2°. een polynomium, bestaande uit termen van den
vorm Pe^mx, waarin P of constanten of geheele rationele
functiën van x voorstelt;

3°. indien het bestaat uit termen van den vorm

A^sin mx.

cos

Volgens de gewone methoden kunnen deze vergelij-
kingen ook eenvoudiger worden opgelost.

1°. Het tweede lid eene rationele geheele functie van x.
De integratie kan dan worden teruggebragt op die
van dezelfde vergelijking zonder tweede lid.

"Want stelt men de gegevene verg. in den vorm:

fQ^) u^X dan is

Eene particuliere waarde van den eersten term zal
verkregen worden door ff^)) te ontwikkelen in op-

klimmende positieve magten van en dan die zamen-

gestelde directe operatie op X te volbrengen.

De generale solutie van den tweeden term zal het
vereischte aantal constanten opleveren.
2°. Het tweede lid van den vorm Pe^mx.
Men maakt hierbij gebruik van de eigenschappen:

fQ^e^mx:==f(m) e^mx

Want:

d d Y

e^mx = rne^mx, ,, e^mx = mⁿe^mx
dx d x/

leidt ons tot de eerste formule.

De tweede bewijst men als volgt. Splits de operatie

d d\' d" d\'

m en; nemen wij aan, heeft alleen be-
trekking op s, in zooverre die veranderlijke bevat is in
d"

e ^mx, alleen op de veranderlijke in X. "Wij hebben dus:

= e«f(m ^)x.

d"

Het accent ^vankan nu blijkbaar gemist worden,

daar alleen X achter het operatieve symbool voorkomt.

In elk geval, wat ook de vorm van X zij, wordt door
deze eigenschap de oplossing zeer vereenvoudigd.

De formule f (^)e^mxX = e^mx f (jj^ mj X hebben

wij aan Murphy te danken ¹).
3°. Het tweede lid bestaat uit termen van den vorm:

A sin mx of A cos mx.
Men kan in dit geval sin mx en cos mx in exponen-
tiële gedaante brengen, waardoor de vergelijking wordt
teruggebragt tot het tweede geval, of gebruik maken
van de eigenschap:

r I d \\² sin r

I bfd „„„ mx =1

_KdxJ cos J cos mx"

Deze formule volgt onmiddellijk uit:
d V .

^ j sin mx = — m² sm mx,

Phil. Transact. 1837, p. 197.

d , . , ,,„ .

sin mx — (— nr)² sin mx, enz.

dx

(s²) ^s*^{n mx} ~ ■— ^m2\'^{)T1 s}*^{n mx}\' ^^venzo° ^Q^J j ^{cos mx}

= (— m²)ⁿ cos mx.

Hiervan een enkel voorbeeld:

^d \\⁴ K^d\\² Al

dx j dy) [^{U = sm mX}

— m—^S1" -,r--l-ccos(x\'K2 4c₁) - -c, cos (x 1/3 c₃)

(2—m²) (3—nr) ^v \' ^{3 v 7}

d. Volgens de hierboven aangegevene algemeene me-
thode kunnen wij nog andere vergelijkingen integreren;
nl. alle, welke ook hare natuur of subject zij, welke in
den vorm (tt¹¹ A_t n"-¹ - - .... -4- A_n) u = X kunnen ge-
schreven worden, waarin n een operatief symbool is,
onderworpen aan de wetten

Trau — a ït U, 7r (u -}- f) = ?r U ~b tt u
en 7T^mTCⁿ U = TT^{m n} u.

Het is duidelijk, dat, wanneer symbolen, hetzij enkel-
voudige, hetzij zamengestelde, van dien aard zijn, dat
het eene niet werkt op het andere, dan hunne combi-
natiën aan dezelfde wetten onderworpen zijn, als de
quantitatieve symbolen. In geval zij niet onafhankelijk
zijn, d w. z. dat het eene symbool wel op het andere
werkt, zal dit niet meer het geval zijn, en er moeten
andere wetten worden opgespoord. Hierin ligt de groote
moeijelijkheid, welke de oplossing der vergelijkingen met
variabele coëfficiënten oplevert. Daarin toch komen de

2\\ n

symbolen x verbonden voor, terwijl door x niet

d

aan dezelfde wetten wordt gehoorzaamd, als door

Uit u = (tt¹¹ A_t Ti* - ¹ .. AJ - ¹ X
zullen wij verkrijgen, als de wortels ai, a₂ .. van de
vergel.:

mⁿ 4- Ai m¹¹ ~ ¹. ... 4- A_n = reëel en ongelijk zijn;
u = Ni (TT—ai) -¹X N₂ (u-a^ -¹ X... N_n (^-a,) ~¹X;
de coëfficiënten Ni... N_n worden op de bekende wijze
gevonden, en de complete waarde van u verder gemak-
kelijk verkregen.

Immers elk gedeelte (tt—a_t) " ¹ X kan men oplossen.

Stel z = (tt— aj - ¹ X. (tt—aj z = X.

.-. z = f (X).

De eenige moeijelijkheid is nu nog: 1°. hoe vindt
men den vorm voor tt, opdat het mogelijk zij, de ge-
gevene symbolische coëfficiënt van het subject in f (tt)
te transformeren; en 2°. hoe is dan de gedaante van f (tt) ?

Wij zullen trachten aantetoonen, welke regels hier-
voor kunnen gegeven.

Beginnen wij met eene vergelijking 2^de orde.

Vooraf merk ik, opdat, zoo in n voorkomt een term
mx, en daarop eene operatie moet volbragt worden,

waarin ~ gevonden wordt, deze term aanleiding geeft

van twee andere.

Want A (_mx) _u — _mx jL^ _{en n}j_et₅ zooals uit
vermenigvuldiging zou volgen:

s-^(rax) ^{u =} (^mx ce) ^u-

Zij de vorm van n: — - - mx n; en hebben wij uit

de vergelijking door ontbinding verkregen n (n - -1) u = o,
dan is het duidelijk, dat de vergelijking was:

j _d^dx )² (2 (mx n) t) ■ ■ m² x² -f 2mnx n²

(mx -f- n) t m | u — o. (a)

Deze beschouwing leidt ons op den weg, sommige
vergelijkingen met variabele coëfficiënten optelossen vol-
gens de methode gegeven voor vergelijkingen met con-
stante coëfficiënten. Zij bv.

I^ V (4x 10)iL4- 20x 23 | u-o, (b)

dan vindt men aanstonds door (b) te toetsen aan (a),
de vergelijkingen:

2m = 4, 2n t = 10, m -j- nt n² = 23,
waaruit de coëfficiënten gevonden worden:
m = 2, n = 3, t = 4 of
m = 2, n = 7, t = —4
Men kan dus vergel: (b) transformeren in:

_w(_w 4)u = o = ^ 2x 3), of

«(_w-4)u = o (₇r = A- 2x 7) .

Beide vormen geven hetzelfde resultaat.

n (jt -f- 4) u — o,
_u — ^7r-¹0 — | (?r -f 4) -¹ O ,

d

Stel re -¹ o = z, wij weten dat n = --(- 2 x -f- 3, dus

—4-2xz4-3z = o.-.z = ce-^x2 ~^3x.

evenzoo (n -j- 4)^_1 o ~ z\'z\' = c\' e^-x2-7x.
u — ce-^x\'-^3x -f c\' e-^x2-^7x. —
Wordt gevraagd te integreren:

I ^{(4 x2 6 x 4} x⁴ 12 x³ 31 x^e 43x

39} u = o ?

Vorm dan weer de algemeene vergelijking.
Evident moeten wij voor n nemen-fmx² nx-}-p-

Q. X

Ti (jt 4-1) u = o geeft voor deze aangenomen waarde

van re de algemeene vergelijking:

~ d \\² d
-^j |2(mx^s4-nx p)4-tJ j-4- m² x⁴ n²x² p²

4-2mnx³ 2pmx4-2pnx4-(mx⁸-]-nx4-p)t4-2mx4-n]n=:0.
Deze stelt ons weer in staat de coëfficiënten te vinden:
m = 2, n = 3, t\'= — 5, p = 9,
t = 5, p = 4.
en hieruit verder de oplossing.

\\^Toor vergelijkingen derde en hooger orde, kan men
op dezelfde wijze redeneren; doch de vergelijkingen
worden dan zoo ingewikkeld, dat zij ons slechts in zeer
bijzondere gevallen van eenig nut zouden kunnen zijn.
Daarom verlaten wij voor het oogenblik deze methode,
om haar later bij de partiële diff. vergelijkingen verder
in toepassing te brengen.

§ 2. Vergelijkingen met veranderlijke coëfficiënten.

Door middel der gewone methoden kunnen slechts

weinige vergelijkingen met variabele coëfficiënten worden
opgelost, tenzij men zijne toevlugt neme tot ontwikke-
ling door reeksen.

Eene groote dienst heeft Prof. Boole der wetenschap
bewezen, toen hij den weg aanwees¹), om met behulp
eener bijzondere symbolische methode vele zwarigheden,
welke bij die vergelijkingen voorkomen, te ontgaan.

Wij hebben bij het naastvoorgaande reeds kunnen
opmerken, hoe ingewikkeld de gevolgen zijn, indien in
eene operatie, op een subject te volbrengen, de ver-

d

anderlijke x en het symbool t— gecombineerd voorkomen.

ö. X

a. De methode, welke men vóór Boole volgde, om
vergelijkingen met veranderlijke coëfficiënten optelossen,
voerde meestal reeds bij vergelijkingen tweede orde tot
onoverkomelijke zwarigheden.

Wij zullen de gronden uiteenzetten, waarop zijne
methode berust.

Stel x = e⁵, dan is indien X eene functie van x voorstelt,
dX_dX d9^_ dX

dx do\' dx ^e dB\'

^r -de²- — ^e de V do y t ^e V dö ) do \'

en in \'t algemeen :

/d v a_x.

dxⁿ Vdo ¹ J \\ds

Ook is dan

X dx = X e^e

!) Phil. Transact. 1844 p. 232.

^/dx /xds— /e⁹deJ\\e^eds;

^d^-²X=ir^Ie⁸4r¹ïe»

\'\' dx/ d9

en in \'t algemeen:

( d ( d „\\ / d ^^ i-¹

d

4l X=(D-n l)(D-n 2)..:.D.X

A) {D (D — 1) ... . (D n 4) | \' e^nd X.

Deze transformatiën zijn bij uitstek geschikt om diffe-
rentiaal vergelijkingen op te lossen, waarin de operatie

-4; gecombineerd voorkomt met x.

Door de stelling x = e⁶, verdwijnt na transformatie
uit de vergelijking elke gecombineerde operatie, en ver-
krijgen wij een operatief symbool D, hetwelk als quan-
titatieve grootheid kan behandeld worden.

Vooraf brengen wij twee relatiën in herinnering, welke
wij vroeger reeds hebben aangetoond:

f (D) e^m6 = f (m) e^m9, en

f (D) e^m6 u = e^m0 f (D m) u.

Zoowel voor als voor zijn deze formulen waar.

Door deze laatste formule zijn wij in staat gesteld,
exponentialen van den vorm e^mx over te brengen van de
eene naar de andere zijde van f (D), zoo is bv.

e^m9 f (D) u = f (D — m) e^mS u.
Elke lineaire diff. vergel. welke in den vorm

(a bx cx\'2 ) (_aj b, x e, x² - -)

dⁿ ~ ¹u

_rT -j- .... — X voorkomt, kunnen wij nu transfor-
meren in zuiver symbolische gedaante.

f o (D) u f i (D) e^e u f,(D)e²⁹u-)~ =F(e⁰)
Want, vermenigvuldig de gegevene vergelijking met

xⁿ , stel dan x — e^e, dan is:

(a bx ex* ) x" AJ ₌ (_a bx ) (D(D - 1) ....
(D — n -f 1) ) u

= aD (D — 1)..... (D — n 4)
b (D - 1) (D — 2) .. .. (D - n) e^ö

c (D - 2) (D — 3).... (D — n — 1) e²⁹

Op gelijke wijze kan elke term van het eerste lid der
originele vergelijking herleid worden; de som dezer
vormen voert ons dan tot genoemde symbolische uit-
drukking.

Het omgekeerde, nl. den symbolischen vorm tot den
gewonen terugtebrengen, volvoert men, door eerst de
exponentialen e^iö door de symbolische functiën heen daar-
voor te brengen; f_m (D) verandert daardoor in f_m (D-)-i).

Splits daarna f_m (D -f- i) in eene reeks factorialen van
den vorm D (D—1) (D—2) ... (D — n -f \'1).

Eene symbolisch geschrevene vergelijking, welke twee,
drie of meer termen in het eerste lid heeft, noemt
men bi-, tri- of polynomisch

Aan de primitieve dil\'f. vergel. kunnen wij reeds zien,
tot welke van deze klassen zij kan gebragt worden.

Vermenigvuldig daartoe de vergelijking met zulk eene
magt van i, dat wij haar kunnen schrijven in de gedaante:

lAtóY B (*<Lr ■•■ !u=X;

^Ldx/ \\ dx,
waar A, B,.. algebraïsche polynomia van x zijn; het
getal verschillende magten van x, de o^de magt niet uit-
gezonderd, welke in deze polynomia voorkomt, zal het
aantal termen in de symbolische vergelijking aangeven.

Vergelijkingen in den symbolischen vorm geschreven
hebben dus de gedaante:

f₀ (D) u -f- fi (D) e^e u .. . -f- f_n (D) e^nö u = 0. (a)

Doen wij op beide leden de operatie j f₀ (D) j , dan
wordt (a)

u ^u-f.^Ö -

f₀ (D) f₀ (D) f₀ (D)\'

u ai cp (D) e⁰ u a₂ <p (D) <p (D—1) e²⁰ u ...
a_n cp (D) cp (D—1)... . cp (D — n 1) e^nö u = ü,
kunnen gemakkelijk in een systeem vergelijkingen worden
ontbonden u¹ — qi qp (D) e⁰ u¹ = U; de waarden van qi be-
paald zijnde uit de vergelijking

q¹¹ -f ai q"-¹ a₂ qⁿ~² • • • a„ = o.
Want cp (D) cp (D—1) e²⁰ = cp (D) e⁶ cp (D) e⁰ = j q> (D) e⁰ j\';

en in \'t algemeen:

cp (D) cp (D—1) .. cp (D—n -I- 1) e"⁰ = j cp (D) e⁰|ⁿ.

zoodat, indien wij het symbool cp (D) e⁰ voorstellen door
q, de symbolische vergelijking wordt:

jl-f a_lP a_s?² .. f u= U

u= |l a_1? a_2?² .. j-iü

— Ni 11—q_t ¹U N, (1—q. ^} ~ ¹U -4-.
De oplossing van vergelijking (a) is dus teruggebragt
op die van het systeem van den vorm:
(1—q)~ ¹ U = u₄ (b)
.•. u = Nj u_t -f- N₂ u₃
De bijzondere vormen van q, welke deze vergelijking
integrabel doen zijn, zullen hierna bepaald worden.

De belangrijkste is wel, zoo om zijne algemeenheid
als om zijne veelvuldige toepassing.

_n a_t D -f bi

Genoemde vergelijkingen (b) zijn dan van de eerste orde.
Yoor den bijzonderen vorm cp (D) = D ~ ¹ zal verge-
lijking (a) de symbolische voorstelling zijn van eene
lineaire differentiaal vergelijking n^de orde met constante

coëfficiënten; voor eiken anderen vorm van q> (D) is zij
de voorstelling van eene vergel. met variabele coeffi-
cienten.

Zij als voorbeeld hiervan gegeven de vergelijking.

(x² mx³ nx⁴)^ j2bx (a b 2)x⁵ (2a 4) nx³

j b (b—1) (a l) bmx (a 2) (a -f 1) nx³ j u = o.
Brengt men deze vergelijking in symbolischen vorm

dan is:

(D a) (D a-1)

(D - - b) (D H-b—1)

. , D a
1 m e^ö

D b" ¹ "VD b
Zijn nu qj en q₂ de wortels der vergelijking:
q² mq n = o

3i
q—q₂

D a
D b\'

— i

o = u,

(x—q, x²) ^ j (b—(a 1)) q, x J u, = o

J³ — b a—1 \\ _{dx =} du,
x 1—q, x ) u,

c,

(1—qi x)^{a_l5 1}
Evenzoo vindt men voor den tweeden term:

c, (1—q, x) ^a~^{b 1} c₃ (1—q_t x) ^a~^b 1

1 x^b (1—q_t x) ^a-^{b 1} (1—q₃ x) ^a~^{b 1}

u

b. De klasse van vergelijkingen, welke wij nu moe-
ten beschouwen, bevat die welke niet integrabel zijn in
de gedaante waarin zij voorkomen, doch die door goed
gekozene transformatiën kunnen teruggebragt worden
tot oplosbare binomiale vergelijkingen.

Daar de theorie van de algemeene vergelijking:

u -f (D) u <p₂ (D) e^aS u . .. = ü
afgeleid kan worden uit die van de binomiale

u -f q> (D) e^rS u = U,
zoo zullen wij eerst deze laatste behandelen.

Daar deze niet altijd onmiddellijk voor oplossing vat-
baar is, zoo is het noodig, veranderingen aantebrengen
welke haar daarvoor geschikt maken. Die verschillende
veranderingen zullen wij achtereenvolgens nagaan.

1°. Der functie qp (D) in de vergelijking

u -f <p (D) e^r0 u U
kunnen wij, zonder overigens den vorm van het eerste
lid te veranderen, een constanten factor toevoegen
Stel daartoe:

e« = aV\'

• A₌A

" do~~ de¹

V is de waarde die U verkrijgt, als men daarin de
nieuwe waarde e^6l.a^ substitueert voor e⁰. Schrijf nu nog
D¹ voor A_; dan j_s d_e veranderde vergelijking:

u a ^ (D¹) e^vSl u = V.

2°. u <p (D) e¹\'⁰ u = U

kan gebragt worden in den vorm:

v 4- cp (D -f n) e¹⁰ V = V,

door aantenemen u = e ⁿ⁰ v, en U = e ¹¹⁰ V.
Want na substitutie hiervan verkrijgen wij:
e^1,0 v -f- 9 (D) e ⁽ⁿ •^r)0 v = e ⁿ⁰ V,
v -f cp (D n) e ^r0 v = V.
3°. <p (D) kan omgezet worden in j cp (— D) J ~ ¹

d d

Stel daartoe & =— tf¹=—-j—

\' de de¹\'

u <*>(— D¹)e-^rölu = V,

en u-]-e-^r01(pj —(D¹—r)j u=:Y;

e^1-01 u qp (r — D¹) u = e^r01 V.
Deelt men nu door qp (r — D¹),

.\'.u 19 (r — D| ~¹ e ^r01 u = j qp (r — D\') i ~¹ e^r01 V.
Stel nu nog u — e ¹⁰¹V, dan is, volgens 2°

••• v j qp (— D\') | ~¹ e ^r&1 V = { qp (— D^l) }^_1 V.
4°. Ook den exponent r kunnen wij veranderen.

i o. d d

Stel — - .-.-T- = a^-T"!

r9l

u cp (a D\') e a u = V.
Bij deze verandering van exponent verandert tevens
D in a D¹; wij kunnen dus, door combinatie van 2 en 4,

cp (D) veranderen in qp (a D -f- b), en door 3 in j <p (a D -)- b) j

5°. Door te stellen:

u — P v en U — P V

xp(D) ^V\' ⁿ ip (D) ^V\'

wordt

u-f <p(D)e^r0u = U, v ^(D)e^tev = V.

P_r ^^y bet eekent het oneindig symbolisch product

<p (D) g> (D—r) <p (D—2r) ....
ip (D) ip (D—r) ip (D—2r)

Bewijs:

Na substitutie van u = f (D) v in de oorspronkelijke
vergel. verkrijgt men:

f(D)v <p(D) e^r0 f (D) v = U;
f (D) v q) (D) f (D—r) e^r6 v = U,

Vergelijkt men deze met de gegevene, dan hebben
wij voor de nieuwe functie ip (D) verkregen:

^^{(D} =} f|öy^{f (D}~^{r) of f (D)} = ^ ^f(D~^r)\'

Nu is ook f (D—(D-2r) enz.

• •• moet men, om tot de bepaalde nieuwe functie ip (D)
te geraken, voor f(D) stellen het oneindige product:

<p (D) qp (D—r) qp (D—2r)...._p cp (D)

ip (D) ip (D—r) ip (D—2r).... ¹ ip (D)\'

Met deze laatste transformatie stelt men zich voor de
gegevéne vergelijking eenen integrabelen vorm te geven,

D

en dit dient zoodanig volbragt te worden, dat P_r

eene eindige operatie blijve.

Men rigte zich dus in de keuze van \\p (D) altijd naar
dezen tweeledigen eisch.

Opdat P_r eindig worde, zoo moet eene reeks

factoren in den teller verdwijnen tegen dezelfde reeks
in\' den noemer;

hv P f ^(D) - f * (^B~^r) • • \'<? ^(D~^ir) ? (^D-^ir-^r) ■ • •
^r cp (D—ir) cp (D—ir) cp (D—ir—r) ....

= <p (D) <p (D-r) :... q> (D—ir r).
Indien in cp (D) een factor i (D) voorkomt, welke men
alleen veranderen wil in y (D ± ir), dan kan dit ge-
schieden.

Zij cp (D) = i (D) u (D)
nb. i\\ (D) = product van alle andere factoren van cp (D).
Stel dus ip (D) = i (D.±ir) (D),

. p y(^p)_p X CD)
" \'v(D)-^rrz(D±iry
Dit is, zooais hierboven is aangetoond, eene eindige
operatie; dus de voorgenomene verandering van % (D) in
^(D±ir) kan geschieden.

y (d)

Bevat cp (D) een factor van den vorm * , . . , dan
* l (D ± ir) \'

kan men dien geheel doen verdwijnen.

\' <^D> = T0W) «• <^D>-

Stel dan ip (D) = ^(D),

. p 9 (D) _ p X(P)
\' \' VP) ^r X(D± ir)\'
Dit is dus ook uitvoerbaar.

In de toepassing dezer twee laatste transformatiën
komt men al spoedig tot eene belangrijke opmerking.
Zij is deze:

Telkens wanneer men cp (D) verandert in xp (D), en
dan de reductiën bestaan in veranderingen van factoren
in den noemer van cp (D), en nog wel in het grooter

worden daarvan, of het kleiner worden van factoren in
den teller, dan zal de bewerking, waardoor u uit v
wordt afgeleid, bestaan uit differentiatie, terwijl indien
wij lp (D) zoo kiezen, dat de factoren in den noemer van
cfi (D) kleiner, en in den teller grooter worden, dezelfde
operatie zal bestaan uit integratie.

Natuurlijk geeft men de voorkeur aan het eerste, in-
dien het mogelijk is.

Menigmaal kan men door middel der eerste trans-
formatie de symbolische uitdrukking zoo voorbereiden,
dat de bepaling van u uit v weer op differentiatie neêr-
komt.

Als een duidelijk voorbeeld hiervan zij gegeven:
d²u . „ bu
d? ^ -l? = ⁰

(Dit is eene vergelijking welke voorkomt in de theorie
over de gedaante der aarde.)

De symbolische vorm is:

^u (D 2)(D — 3) ^{e26 u = 0}
D4-1

Stellen wij hierin u = P₂ jj _--g v = (D -f-1) (D — 1) v.

^V "(D -f 2) (D -j- 1) ^{&2d V = 0;}

of v q² | (D -f- 2)- ¹ e^ö | -² v = o.

Deze kan men in twee\' vergelijkingen eerste orde
ontbinden, en dan verder oplossen.

Hierna zal u door differentiatie gevonden worden uit
v, omdat wij den factor (D — 3) in den noemer van
qp (D) doen toenemen tot (D - - 1) in tp (D).

Wij doen echter beter, de vergelijking te transfor-
meren in:

^V D (D - 1) ^{629 V =}

(Kan men ooit eene vergelijking tot deze gedaante

vervormen, dan is dit zeer aan te raden, daar deze de

symbolische voorstelling is van

d²v . ₂
dx² & =

q2

en v - _e29 v = o, van ^ — q²v = o.

Aanstonds kent men dan zonder verdere moeite de
waarde van v.
d²v

q^{2 v} = ⁰ g^eeft v = Ci sin (qx -f c₂)

d²v

— q²v = o v = ci e^qx -f c₂ e~ ^qx .

Om hiertoe te geraken, stelt men eerst u = e~ ²⁰ w,
^w D (D—5) ^{e29 w} — ⁰ j en dan
w = P_i^=|v = (D-l)CD-3)v;dus

^V D (D—1) e²⁰ v = o v = C sin (qx -f c_t);
u = e~ ²⁰ (D—1) (D—2) v
= ? {^"3x^ 3 jcsin(qx _ci).

Ook hier zien wij, wordt u uit v verkregen door dif-
ferentiatie, daar de factor (D—5) uit den noemer van
qp (D), aangroeit tot (D—1).

Hadden wij in eens de transformatie ondernomen, dan

was de eene factor afgenomen tot D , de andere (D—3)
aangegroeid tot (D-—1), en men hadde u uit v niet
door differentiatie alleen gevonden.

De geheele bewerking komt dus hierop neer:
u <p (D) e^rö u = U
wordt opgelost in de drie volgende vergelijkingen:

¹¹ xp (D) \' ^U — xp (D) ^V \'
en v - - xp (D) e¹\'⁹ v = V.

Uit deze drie worden achtereenvolgens V, v en u bepaald.

De twee eersten noemt men gewoonlijk auxiliaire, de
laatste de getransformeerde vergelijking.

De regels voor de bepaling der constanten zijn de
volgende:

1°. Indien alle factoren van cp (D) aanwezig blijven
in ip (D), hetzij geheel onveranderd, met verandering
van D in D ± ir, dan behoeven geene constanten in de
solutiën der auxiliaire vergelijkingen te worden inge-
voerd, daar uit de oplossing\' der getransformeerde ver-
gelijking, die van dezelfde orde als de vorige is, het
noodige en noodzakelijke aantal van zelf voortvloeit.

2°. Verdwijnende factoren, in \'t algemeen van den
D - - a

vorm j—^( (a—b) een veelvoud van r), veroorzaken

eene daling in de orde der getransformeerde vergelijking;

Evident moet het aantal constanten, dat daardoor
tevens verminderen zal, in de oplossing dezer vergelij-
king aangevuld worden; hetzij in de oplossing van

uJ^v, of mü = P_r*B-V.

xp (D) xp (D)

Wij moeten dus regels vaststellen voor de behande-
ling der constanten in deze verschillende gevallen.

De geheele bewerking bestaat uit de oplossing van de
drie vraagstukken:

1°. De bepaling van V uit U — P_r
2°. De bepaling van v uit v - - xp (D) e ^v0 v == V.
3°. De bepaling van u uit u = P_r i^pgy ^v-
Beschouwen wij deze afzonderlijk, in de onderstelling
vooreerst, dat cp (D) een enkelen factor jjj ^ bevat, wel-
ken men doet verdwijnen bij het vormen van ip (D).
De conditie hiertoe noodig is:

a — b , .
— ± i.

r

De- gegevene vergelijking is dus van den vorm:

v — xp (D) e^r6 v = V.

Beter is het nog, eerst de vergelijking (a) te brengen
in den vorm:

Stellen wij hierin a = nr dan kunnen wij transfor-
meren in

v — xp (D) e ¹⁰ v = V, (b)
door de suppositiën

u = P_v —5-- v = D (D — r). . . (D — nr - - r) v.

JJ — a

U = P_{r u} ^D - V = D (D — r). .. (D — nr r) Y.

V = j D (D - r). . . (D — iir r) J"¹ U.

u — D (D — r) . .. (D — nr-f r)jl — xp (D) e ^röJ^_1 V.

u = D (D — r).. . (D — nr r) j 1 - xp (D) e ^rö j^_1 jU_c c₀

-f- c, e¹⁰,. . Cn_i e^(m—^r>⁰1, (c)

Hierin is U₀ eene particuliere waarde van

| D (D — r). . . (D — nr -f- r) j ~¹ U.

Het gedeelte dat de constanten bevat, zal bestaan uit
termen van den vorm

D (D - r). .. (D — nr r) j 1 — xp (D) e¹⁰ j~^] c, e^ir0,_o < i <n

^ ^D (D — r).. (D — nr r) j 1 xp (D) e¹\'⁰ xp (D) e^T0 xp (D)e¹\'⁶ -f- J _Ci e»\'⁰

" Gd (D — r).. (D —nr ) je^lr0 v (D) e(^{i 1})^r0 -f- xp (D) xp{D—r)e<^{i 2})¹\'⁶

Al deze termen nu, tot op die, welke e^1,10 bevat, ver-
dwijnen ten gevolge der directe operatie
D (D — r)... (D — nr r).
Wij behoeven deze operatie dus alleen te voltrekken
op het volgende gedeelte
^,/J (D) _lfJ (D—r).. xp (D-jr) e^m\'⁰ xp (D) xp (D—r).. xp (D—jr—r)e <^nr >\'>⁰
^ \'P CD) xp (D—r)... xp (D—jr) e¹¹¹⁰ xp (D) e⁰ xp (D) xp (D—r).. .xp (D—jr)e °^r0
nu is:

^{1/11 ö}) xp (D—r) ... xp (D—jr) e¹"\'⁰ = xp (nr)\'xp (nr—r). .i/>(nr — jr) e^nr0=B
Dus verkrijgen wij:

B C D (D—r).... (D—nr\' r) J e^m\'⁵ xp (D) e⁰ e^m\'⁰ j

== B C D (D—r).... (D—nr -f r) j 1 -f xp (D) e⁰-f xp (D) eO xp (D) e⁶ } e^n,\'^e
Deze uitdrukking is dezelfde in vorm voor alle waar-

den van i; daarom zullen alle termen, welke in (c) eene
arbitraire constante bevatten, tot één term worden.

Stel ten tweede a =—nr, dan is:

u = j D (D—r).... (D—nr r)J^_1 v,
V —|D (D—r) .... (D—nr r) JU.

Hier zijn dus geene constanten ontstaan in V door de
directe operatie. Maar wel ontstaan er n uit de oplos-
sing van u uit de vorige vergelijking, niet gerekend die
welke in v voorkomen. Het aantal constanten is dus
te groot; haar aantal moet verminderd worden, en daar
geene volgende bewerking ze vernietigt, of haar onder-
ling afhankelijk maakt, zoo moet door vergelijking onzer
solutie met die, welke men volgens de gewone methode
van ontwikkeling in reeksen verkrijgt, de onderlinge
afhankelijkheid dezer constanten worden opgespoord.

De regels voor de constanten zijn dus:

De constanten zijn geheel arbitrair, indien zij voort-
vloeien uit ?P_r ^ i U = V: doch één behoeft men

l y P) j

er slechts van te behouden; indien zij echter ontstaan

uit de oplossing van <j P_r yjjjj -j u — v, zoo is er slechts

een willekeurig, en de anderen zullen bepaald moeten
worden met behulp der primitieve differentiaal-verge-
lijking.

De reden, waarom de constanten in verband met de
verdwijnende factoren allen arbitrair zijn in V, is, dat
V in geene andere vergelijking voorkomt, dan juist in
die, waarvan de oplossing die constanten doet geboren
worden.

Indien men toch alle constanten in V behoudt, zullen
zij bij overgang tot u, door opeenvolgende differentiatiën
allen, ééne uitgezonderd verdwijnen, zooals even te voren
uitvoerig is aangetoond.

Steunende op bovenstaande beschouwingen, kunnen
wij nu overgaan tot de behandeling der differentiaal-
vergelijkingen, waarvan de oplossing afhangt van die
der vergelijking:

^d°^v . n -v

De symbolische vorm daarvan is:

^v ~ 3) (d—1) (d—2)". . . (p—n -f-1) ^ " = ^y <^h>

V = |D(D-1)...}^-1X;

waarin e° is gesubstitueerd voor x in X, en geene con-
stanten zijn ingevoerd bij deze integratie.

Vergelijkingen welke in de algemeene gedaante

^U -wTT^"-\\-Trrn-U = U (k)

(D aj (D -f a₂)... (D a_n) ^;

voorkomen, zullen wij tot den vorm (h) kunnen terug-
brengen, daar wij alle factoren in den noemer, indien
a_A, a.₂, a₃.. . aan

bepaalde conditiën voldoen, door eene
reeks transformatiën of in eens kunnen reduceren tot
de factoren van q> (D) in (h).

Wij zullen eenvoudigheidshalve onderstellen, dat de
factoren in den noemer gerangschikt zijn naar de grootten
van ai a₂. ., a_t> a₃

Stel u = e~^ai⁰ui

Ui ± TT/fi—i-^q" m I-V ^en,° ^ui = e^ai® U.

D (D a₂—a_x)... (D a_n—a_x)

De eerste factor komt nu in <p (D) van deze vergel.
overeen met den eersten van cp (D) in (h).

In elk der overigen kunnen wij D in D ± i n omzetten
(i een geheel getal), en dus hebben wij als conditiën
van integrabiliteit, dat de grootheden

a₂—a! -f- 1, a₃—a! -j- 2, a₄—a, - - 3, etc
veelvouden zijn van n; zoo ja, dan kunnen wij ze in
overeenstemming brengen met die in (h).

Men handele daartoe als volgt:

Den factor (I) -4- a₂— a-[) transformere men in D—1).

Stel daartoe

p ^p—¹ _

D - - a₂—a_x ^{Ua Ul}

(D—1) (D—n—1)... (D a₂—a_x -4- n) u₂ = u_x.

Hierdoor is de tweede factor veranderd.

Evenzoo transformere men de overige factoren.

Al deze reductiën bestaan uit diiïerentiatiën daar,
omdat a_t > a₂ - -1 en a₂—a_x< — 1, de factor in den
noemer aangroeit.

De geheele berekening komt nu te staan, als volgt:

u-P

xp (D) \'

<p(D)

D (D - - a₂—a_T) .. (D - - a_n—a_x) \'
1

^{xp (l)) =} D (D—1)... ;"(D—n -4- 1 \'
u == e^_a\'⁰ Ui ,
• _u — _e-^ai^e P (D-l) (D-2) .... (D-n -4-1) _y

ⁿ (D— a₂—a_x)----(D a_n—aO

Als voorbeeld hiervan zullen wij oplossen de verge-
lijking:

dm ïi l ,,, ,,

-5-75 — --3—u ± h² u — 0. \')

dx² x² \'

De symbolische vorm is:

¹¹ ± (D -)- i) (D — i — 1) ^{629 U =}
Vergelijken wij deze met den algemeenen vorm (k),
dan hebben wij:

a₄ = -}- i , a₂ — — i — 1, n = 2 , q = h;
en dus

u — _e- ^{1 e} P _- ~~ ¹__v

² D — 2 i — 1 \'

^{v ±} D (D^h— 1) ^e\'^{20 v = 0;} ••• v = c sin (hx cj

of v — ce^hx e

P₂D„_2i_₁-(P- ■l)(D-3)....(D-2i 1).

Herstelt men nu voor D de uitdrukking x ^, dan is;

Dit resultaat kan men nog anders schrijven, door op
te merken dat

\') (Deze vergelijking is behandeld door Mossotti, Paoli, Plana e. a. ook
door Kelland. in Transact, of the royal Society of Edinburgh vol. XX 1853.
Het is belangrijk, zijne eigenaardige methode, geheel berustende op liet gebruik
der r functie nategaan, waardoor hij niet alleen deze maar ook andere zeer

bekende vergelijkingen, b. v. (1—f*²)^\' 2 (a—1) p ^ j n(n l) —

dy. dp (

a(a—1) j u=:0 (de vergelijking voor Laplacés functiën) oplost, en nog wel

in wijderen zin dan gewoonlijk, wat aangaat de waarde der constante groot-
heden daarin.

dx/ x dx x

x⁴ A. 1
dx x³

^D"^{2i 1}= ^ï^\'
Substitueert men deze uitdrukkingen in de algemeene
waarde van u, nl:

u =■ e-^{; 6} (D — 1) (D — 3). . .. (D — 2 i 1) v,
dan vinden wij:

1 d\\i/._J d \\ 1 /. ₂₁ d 1

^U x¹ \\ dx J x \\ dx j x³ \' \'\' \' \\^x dx x²¹ - ^{1 V}

1 /od\\/„d\\ / « d \\ 1

X T I ( X T } • I . O ( X\'

x^{1 1} V dx/ V dx/ \' \'\'\' V dx/ x²¹ - ^x
, dV 1

v.

~ X^{1 1} V dx/ x²¹ - ¹
De oplossingen van de twee vergelijkingen zijn dus:
1 / ₃ d Y c sin (hx cj.

u

x\' iV dx; _X2i-i

1  / ₃ d V ce^{h x} c₄ e-^hx

en u:

u = | (D -f- b) (D—i) | X, waarbij in X e⁰ voor x is
gesubstitueerd. Reduceeren wij (b) tot
v  e⁰v = V. (c)

Deze transformatie sluit in zich de suppositiën:

en dus u = D (D—1)... (D—i 1) v (d)
U = D(D-1) ...(D—i 1) V. (e)
Nu is uit (c)

(D 4- b) v 4- qe⁰ (D 4- a 1) v = (D 4- b) V,

^XdY ^{bv qX} (^XcS a l)v=(D4-b)V,

hieruit vindt men daar het eene gewone lineaire ver-
gelijking l^ste orde is op de volgende wijze:
dv b H- aqx 4- qx _ (D 4- b) V
dx x -4- qx² x -f- qx²

v = e- / \' 7«S ¹" e /fei^ _dx c.)

en daar f ^{b ac}P t dx = fjMl._h (a l-b)q ,
*J x -f- qx² U ( X 1 -t- qx )

= 1 j x^s (1 -i- qx) ^a ^ |
zoo is aanstonds:

1  - x^b (1 4 qx) ^a~^{b 1} LP- ⁽¹ *^x>*"^{b b}) ^{Vdx C}) ■ (^f)
Uit (e) vindt men:

V = j D (D — 1) ... (D — i 4- U }" ¹ U,
... (D b)V= JD(D-l).... (D-i l)|-i(D b)U;
maar (D b) U==p~i)-¹X,
(D 4- b) V = j D (D — 1).... (D —■ i) J ~ ¹X.

Bij de volvoering van deze laatste inverse operatie
moeten wij, volgens de vroeger aangegevene regel,
slechts ééne arbitraire constante behouden. Wij kiezen
die welke ontstaat uit den factor D^{_ 1}.

Daar jD(D-l.....(D - i) 1= jx\' * \'j" ¹

d (i l) Y

Dit substituerende in (f)

x^b (1 q x)

• ^d ,

en u — x¹ ^ ) v.

Voor X == o geeft dit b. v.:

d Y ^Clif* ^{x b _ 1} ^ ^H~ qx)^a-^b dx -l-C.

^{U —Xl} dx7 x^b (1 -h qx)^a-^{b x}

Wij zien uit dit alles welke wegen wij kunnen inslaan
voor de oplossing der binomiale vergelijking.

Belangrijk is de vraag, welke zich hierbij als van
zelve voordoet, welke primaire vormen zijn integrabel?

Primair noemen wij met Boole die vormen van bi-
nomiale vergelijkingen welke direct integrabel zijn,
doch niet door toepassing van eene der reductiën 1—5,
en waartoe juist door aanwending dezer vijf transfor-
matiën andere vergelijkingen kunnen gebragt, en uit
dien hoofde integrabel worden.

Wij hebben alle reden om te onderstellen, dat het
getal werkelijk primaire vormen uiterst gering is.

Voor het tegenwoordige schijnt het niet mogelijk,

daarop een algemeen antwoord te geven, maar voor
zoover wij ze kennen, staan zulke vormen, indien zij
behooren tot de diff. vergelijkingen van de tweede of
hooger orde, in een merkwaardig verband met de
theorie der algebraïsche vergelijkingen.

Uit elke algebraïsche vergelijking van den n^den graad,
waarvan de coëfficiënten functiën van eene veranderlijke
zijn, kan eene differentiaal-vergelijking worden afgeleid
van de orde n—1, en aan deze zal voldaan worden
door elke der wortels van de gegevene algebraïsche
vergelijking ¹).

Deze betrekking tusschen algebraïsche en differentiaal-
vergelijkingen is een zeer belangrijk feit, en w^Tij kunnen
met grond verwachten, dat de verdere ontwikkeling
dezer methode meerder licht zal verspreiden over de
binomiale symbolische vergelijkingen.

Er bestaan nog wel andere primaire vergelijkingen
welke eene eindige oplossing toelaten, evenwel zijn zij
niet van dat overwegende belang als de algemeene
vormen zoo even behandeld, daar de oplossing kunst-
grepen vereischt welke niet altijd even gemakkelijk
kunnen gevonden worden. Wij noemen als zoodanig
bv. de primaire vormen²):

a(D-2)²±n² _e

D (D—1)

(D—1) (D-2) e

_ IV> i O. f

a D² ± n²

1 Cockle. Phil, magazine. May 1861. On. Transcend & Algebr. Solutions.

2 ) Boole. Diff. Equat. p. 428.

Deze twee vormen zijn aan elkaar verwant, dat (b)
uit (a) kan afgeleid worden door & in —& te veranderen,
(a) is de symbolische vorm van de vergelijking:

f]2 Q dn

(1 4- ax²) - - ax n² u = o

Deze kan men terugbrengen tot den eenvoudigen vorm.
(Pi
dV

^t=/i

(b) is de symbolische vorm van de vergelijking:

d² u du

x² (x² -H ₂ - - (2 x² -f- a) x n² u — o

d² u

evenzoo als de eerste te reduceren tot -rnr ± n² u — o

dt²

door de suppositie

dx

-x

x V _X2 _a-

Evident verkrijgen wij dus de solutiën van (a) en (b) door
dx f* dx

- r __ e t= P-

J VA _u at»\' ^el1 <J X

1- \'I - - ax² *^J xl/ x² a

te substitueren in de solutie van
d²u , ,

_ap-±n»u = o.-

Zoolang echter algemeen integrabele vormen ontbreken,
moet men zich wel te vreden stellen met bijzondere.
Elke geïsoleerde vergelijking, elke methode heeft dus
haar nut, al leert zij ons slechts de oplossing van ééne
vergelijking.

Wij kunnen daarom eene methode welke ons niet
alleen vele integrabele vormen doet vinden, maar tevens

de integralen daarvan onmiddellijk aan de hand doet,
niet met stilzwijgen voorbijgaan.

Wij zullen deze methode behandelen na de Partiële
vergelijkingen.

B. PARTlëLE DIFFERENTIAAL VERGELIJKINGEN DIE ALS
GEWONE WORDEN BEHANDELD.

§ 1. Door het gebruik der symbolische methoden
wordt de integratie van Lineaire partiële Diif. verge-
lijkingen teruggebragt tot dezelfde bewerkingen, als die
bij cle integratie der gewone vergelijkingen van dezelfde
klasse.

Elke gewone differentiaal vergelijking heeft, zooals
uit het volgende nader blijken zal, een analogon onder
de partiële, en de vormen der oplossingen zijn in beiden
hetzelfde; met dien verstande, dat op de plaats waar
wij bij oplossingen der gewone vergelijkingen vormen
aantreffen, als c e^ax, bij partiële gevonden wordt

S (y).

Deze laatste uitdrukking is de symbolische schrijfwijze
voor het theorema van Taylor:

d h² d \\² hl.

f (x h) = {1 h A  j f _(x|g e - f(x);

zoo ook

f(x h,y k) = J1 (h A _kjL) (h A k A)² j f(x y)

= e^h^ ^k èf(xy).

Hiervan maakt men een ruim gebruik bij de sym-

bolische oplossingen der partiële vergelijkingen, zooals
duidelijker zal worden bij de behandeling. Men zij
daarbij vooral voorzigtig met de teekens. Uit de formule

e - ^dy f (y) = f (y ± ax) volgt de regel dat wij het argu-
ment ax met hetzelfde teeken moeten aanbrengen in de
functie.

Nemen wij nu voor f (y) bv. e^-y dan is echter zooals

aanstonds uit de ontwikkeling zal blijken

d_

^ax dy —y —y —ax

e ^ye =e

men dient dus te letten op den vorm der functie.
Lossen wij bv. op de vergelijking

du , , du

a j--b b t— = c.

dx dy

Deze wordt geheel opgelost als:

a ^ -f- b ku = c.

dx ¹

Stellen wij dus A constant, en lossen wij op als
deze laatste,

• _u= faA b iV¹c = i/\'A kl\\"¹c

"^{u —} \\ dx dy/ ~~ a \\dx a dy /

A b d ^ b d

1 ady/ a ^x dy i

u = -e Ie . cdx.

a

Ontwikkel den vorm onder het integratie teeken dan

b d
— ^x ,5-

zien wij dat e ^{a y}c —c

— -e ^{a X} Vcdx = -e ^{a Xdy}(cx c\') en ontwikkelt
a a

men weer, (c\' = cp (y))

cx . 1 . b ,

cx

of daar qp geheel arbitrair is ook u =—-j- <p(ay — bx).

a

Men had natuurlijk even goed ™ als constante kunnen

Q X

beschouwen; de oplossing ware dan geweest:

4-,(x-JL_y). = (jp(bx — ay).
Uitdrukkingen als:

d \\n d \\ V

ax — ) ax — »^/n

e ^ay cp (y) of e cp (y)

kunnen wij niet anders dan door reeksen interpreteren
of wel door bepaalde integralen voorstellen. Bij deze
omzettingen heeft men het groote voordeel de niet te

d ^n

dy

begrijpen vormen e ^y cp (y) te kunnen doen verdwijnen.

dz d²z
bv. Uit -jt- = a t—.. — bz volgt:
dt dx^4 D

d2

— bt ^at dxa r- / s

z = e e f (x)

d \\²

Zij nog gegeven:

d \\² d \\²

Hieruit is op dezelfde wijze als hierboven te vinden,

d \\² d \\²
als men eerst ) — a² -r— in factoren ontbindt, kortom

dx J dj J

geheel zooals op bl. 33 is aangegeven voor vergelijkingen
met constante coëfficiënten;

u = qp (y ax) tp (y—ax)
Ware er een tweede lid geweest, dan hadde men de
inverse operatie ook nog daarop moeten toepassen.

Stel bv. gegeven:
Dan volgt:

( d \\2 d \\²)- ¹
u = qp(y ai)H-vi(y-ax)-t- jg-j — [ xy.

Ontwikkelt dezen laatsten term, men vindt dan

/ d ² , _s d V d ⁴ . \\

d \\² d \\² d \\⁴
omdat xy = o ^ J y.f(x) = o _dy ) y.qp(x) = o enz-

zoo kan men alle termen na de eerste weglaten, en is

x³v

deze uitdrukking gelijk aan .

Voor meerdere veranderlijken is deze methode even-
zeer toetepassen. Nemen wij bv. de bewegingsvergelij-
king van elastische platen van Poisson:

d²z ₂fcVz cPz__(fz\\ __

dP ^a" \\dx^{4 A} dx² dy² dyV ~

Stel daarin a (~₂ A) = b,

z = cos bt qp (x,y) -f- sin bt xp (x,y).

Ontwikkelt men de waarde van cos bt en sin bt; her-
stelt men daarin de waarde van b, en schrijft men
dan nog:

, , / d² d² \\ . .
I (xy) voor ^) xp (x,y),

dan is

; , a³1²/ d² . d²V , . . a⁴t⁴ / d² . d². , ,
= <P - 2 lek df) ⁹ (Xy) 2 3.4 (dx³ dfj * W

. , . a³1³ / d², , d² \\² , . .
at x (xy) - ^ _a?j * (*y) •

d²z

Ooknogg^-az = o,

z=(— - — aV"¹ -irVi-a-rVo
\' ^z ~~ \\dx " dy \' ^aj dj) [dx ^d dy j )

-j \\~^l axil)-¹ ax — ^ ^ fè

e *?> qj (y) = e J g> (y) dy. -

Los op de vergelijking:

d³z __ d³z_

dx³ dy³

De wortels der vergelijking u³ — a³ = o zijn:

( 2 TT . , . 2TT) ( 2 71 . . 2 TT)

l , a I cos -g- 4-1⁷ —1 sm -^rj en a | cos g--1/ —1 sm-g- j-

a

z = e ^dy 9 (y) e ^{2 cly} cos\\-(y)

^J) Deze vorm van oplossing is slechts zeer zelden te gebruiken hoewel de
juistheid bij proefneming volkomen wordt gestaafd. Dewijl zeer vele physische
vraagstukken aanleiding geven tot partiële differentiaal vergelijkingen van
bovengenoemden vorm, of wat hetzelfde is van den vorm
d% d% _
5ÏT ^a dj^" ~ ⁰
zouden wij zeer gebaat zijn met eene oplossing in eindigen vorm.

Wel heeft Fourrier in de Theor. Math. de la Chaleur de algemeene Integraal
gegeven in den vorm van de som van twee bepaalde Integralen;

Ook Poisson, zie Mémoires de Plnstitnt\' 1818. Doch beide oplossingen
hebben weinig waarde voor de praktijk.

Merkwaardig is nog de Integratie van nieuwer dagteekening door Carl Neu-
maun. Hij spoort voor u eene functie vau s en y op welke als potentiaal
over een oppervlak beschouwd, aan de conditiën voldoet dat zij zelve en hare
eerste diff. quotienten binnen bepaalde grenzen overal eindig en continu blijven,
terwijl z/² u = o is binnen dezelfde grenzen. Crelle bd. 59. p. 335. 1861.

e ^{2 dy} sin y ₂ ^ayJy₂(y).

Wij moeten altijd in het oog houden, dat het noodige
aantal arbitraire functiën- des noodig kan verkregen
worden door de inverse operatie mede te voltrekken op O.

Al deze resultaten worden dus langs zeer eenvoudigen
weg verkregen. De bewerking steunt geheel op die der
gewone differentiaal vergelijkingen.

§ 2. Partiële vergelijkingen opgelost volgens de algemeene
methode van Lobatto.

jf

a. PARTlëLE VERG. l^ste ORDE.

De algemeene vergelijking is

^pë «t=^R
waarin P, Q en R functiën van x, y en z voorstellen.

Zeer wenschelijk zoude het zijn dat deze algemeene
vergelijking kon opgelost worden; vooral zou het de
behandeling, nu overladen met tal van bijzondere ge-
vallen aanmerkelijk bekorten.

De pogingen die Lagrange heeft in het werk gesteld
om volgens de gewone methoden tot de oplossing te
geraken hebben zooals wij weten tot hetzelfde resultaat
geleid.

Wij zullen de voornaamste gevallen dus laten volgen
en daarbij geheel symbolisch te werk gaan. \')

Lobatto van wïen wij grootendeels deze methode ontleenen, gebruikt zeer
verkorte notatien, welke de bewerking aanmerkelijk vereenvoudigen.

I. p = a R = o

dz dz _

dx dy \'

De wijze van oplossing waarbij ^ voor een oogenblik

constant gesteld wordt is in de vorige paragraaph behandeld.
Wij zullen daarom een anderen weg inslaan , en daartoe
gebruik maken van het symbool JE uit het eerste hoofd-
stuk.

Schrijven wij daartoe de vergelijking in de gedaante:
jl(i?_x) al(I_r)| z = o
dus { 1 -EJ a 1 JE_? J = o , waaruit aanstonds

Dit gesubstitueerd in z = if z geeft:

z = JE \'z = e \'^dyz=z = <p (\'y — ax)

y y . o y y— a x ^{r w} \'

II. P, Q, en R functiën van x en y
dan is de algemeene vergelijking

Stellen wij aanvankelijk R = o dus

Hieruit volgt

dz , dz

o.

Qdx ¹ Pdy

Stellen wij vervolgens Jj*Q dx — u en^P dy = t, u en

t zijn dan nog functiën van x en v en wij verkrijgen
in plaats van (2)

dS ^{= 0 w}aaruit de integraal

Z = Cp (t—u)

D en telkens wanneer P dy — Q dx eene exacte Differen-
tiaal d U voorstelt zullen wij hebben

t — u =ƒ(P dy— Qdx) = U

z = cp (U).

Is dit niet het geval dan zal men (t—u) toch integra-
bel kunnen maken door een integrerenden factor p en
weer verkrijgen, als U dan de integraal er van voorstelt:

z - cp (U).

Indien P — cp (y) en Q — ip (x) dan zal, indien wij
stellen:

J⁴P dy = P¹ en ƒ Qdx == Q^l

z = qp(P>_Q»)

, dz dz „ dz dz

b. v. y -5--x j— = o oi —j---t- = o

dx dy xdx ydy

V, = cp (x² -)- y²)

Indien P — cp (x) en Q = xp (y), zal men nemen

ff ₌ P-, en

z —- <_f {!>■- — Qi)

^bv\' 4x y|=°--\'^p,=^lx\'

en dus

z = cp ( 1 - ) = cp (-

\\ 7/ vy

Stellen wij eenvoudigheidshalve ^ — p dan wordt (2)

cl d

als wij ook ⁿ°g P voorstellen door D_p

D_p z = o.

Deze vergelijking zal dus tot integraal hebben z = qp (u).
Zij nu meer algemeen z = P qp (u)
waarin P eene functie van x en y, dan zal men achter-
eenvolgens hebben:

D_p z = D_p P. qp (u)
Dp Z = Dp P. qp (u)
Dp z = Dp P. qp (u)
evenzeer (^indien D ~ ¹ = S_P

• ^sp^{n z} — ^sp" ^p v
Is P eene functie van y alleen, dan wordt:
dP

D_p = p - — qp (u) terwijl de volgende differentiatiën hoe

cly

langer hoe ingewikkelder worden, wegens de aanwezig-
heid van p. Stelt men in de laatste vergelijking:

M = Pi

dy

... S_p ^p P¹ qp (u) j —^V¹ dy . qp (u).

De eerste integraal van de vergelijking

Dp" z = o zal nu zijn:

Dp"^-1 z = qp (u) terwijl de tweede ten gevolge der
voorgaande formulen

Dp¹"² z — X qp (U) 4- qp¹ (U)
en in \'t algemeen

z = X ⁿ~¹ qp (U) X ^!1~² qj^l (u) ... 9 "-¹ (u)

waarin n arbitraire functiën voorkomen van u; deze uit-
drukking zal men bij het tweede lid der vergelijking

s; z = Sp" P cp (u) moeten voegen om de complete
waarde van S_p^D z te verkrijgen.
Vatten wij nu de volledige verg.:

^pè ^Qdy=^{R weer}"°p-

O R

Stellen wij daarin p — p, p = M dan wordt de vorm

D_pz = M.

z = S_p M S_p o == S_p M <p (u)
(u even als te voren de integraal zijnde van dy— pdx).

De hoofdzaak is nu nog de waarde te verkrijgen van
S_p M. Stellen wij daartoe M ontwikkeld in eene reeks
termen van de algemeene gedaante X q> (u) (X alleen
eene functie van x). Nu is het duidelijk, daar

Sp X cp (u) — J^X dx qp (u), dat de geheele bewerking

neerkomt op het elimineren van y met behulp der
vergel. u = f (x . y) en vervolgens te integreren.

M dx = ip (x. u) dx, terwijl men daarin u eerst als
constante beschouwt en na de integratie vervangt door
hare waarde in x en y.

Ter opheldering dezer theorie zullen wij een paar
voorbeelden hiervan geven:

y²)

.-. p = ï,M = n/((l
Uit dy — ~dx = o volgt u = ^

M = n V (1 u²)^Mdxr=:nxl/(l u²) = nK(x² y²)
... z = n|/(x² y²) <p(3-\\

2°. x^ y^a^ bxy cy*

p =zJL u M = ax -f by

^r x x ^J x

ƒ mdx bu -j- cu" ^ x²

z = A/ ax² bxy cy²) -f cp

2V~ ^{1 1} J ¹
III. P, Q en R functien van x, y en z.
In \'t algemeen is de vergelijking niet optelossen zooals
reeds gezegd is. Wel voor een groot aantal bijzondere
gevallen, bv. voor:
1°. R - o

2°. aP -b ficp -b /R = o («, y constante factoren)
3°. R = Py -f Qx

4°. R=^Qx~^py

x²

5°. R^PY^X QX~Y(XenYrespectieffunctiën

van x en y)
6°. R — z (P aQ)

7o. R = az

W-f-y

enz.

1°. Wordt geheel opgelost alsof z constant ware.
2°. De algemeene vergel. wordt dan

dz Q dz a . 8 Q „

D_pz = —— (oc -i- en daar S_pp = y

«x -j- Sy .

» z =-- qp (u)

3°. D_pz — y -f- px = D_p xy

_{Z =} jy _j_ qj (u).

•••z = -£ qp (u).

enz.

Kortom zoo er eenige betrekking bestaat tusschen de
grootheden P, Q en R en ook voor de bijzondere ge-
vallen dat een of twee dezer grootheden funetien van
x en y alleen zijn, dan bestaat er groote waarschijn-
lijkheid dat de vergelijking integrabel is.

b. PARTlëLE VERGELIJKINGEN TWEEDE ORDE.

I. De oplossing van vergelijkingen met constante
coëff. biedt voor het geval dat het tweede lid constant
is in \'t geheel geene zwarigheden. De vergelijking kan
volgens dezelfde notatie als in a geschreven worden

D_a D_ai z = o

waaruit onmiddellijk de twee eerste integralen volgen
D_a z = o D_ai z = o
en dus z = cp (y—&x) z = xp (y—a^Jx).
De som dezer vormt de complete integraal van z.
Zijn de wortels gelijk, dus

T4²

D z = o

a

dan volgt hieruit

2 = 9 (y—ax) -f x <_fl (y—ax).

Is er een tweede lid aanwezig dan zoeke men eerst
de eerste integraal

D_a, z = S_a V -f <p (y—ax)
S_a V — V¹ kan men vinden volgens het vorige
z = S_ai V¹ -}- (jd¹ (y—a^xx)

^bv- S ^2a dfa^ §²= ^rv

D_{a b} D_a__b z = xy

TT _c x²y ax³

Vj = S_a „ xy = —

dus S_a _ _b V¹ — S_a _(. b S„ _ b xy —- S_a ^ — S_a b g

1 3 1

1 1

^x\'y — ör (a -h b a — b) x*

en

1 a

^z= 6X³y — x⁴ <_P(y-(a b)x) qp¹(y—(a —b) x)

II. Meer algemeen is de navolgende vergelijking
waarin z en haar eerste differentiaal coëfficiënten voor-
komen

ë ^Ad4V^Bdf ^cê ^Dt ^Ez=^{v (1)}

Zijn a en a¹ de wortels der vergelijking m² — Am -f- B
= o dan worden de drie eerste termen
D_a D_ai z, en uit de relatie
dz dz ,, dz . , dz , .

^D\' ^z = dï ^a dy\' ^Da\'^z = di ^a 3y °P^lossende

dz dz

en zoo vinden wij
dx dy ^J

dz 1 dz 1

dx = TTZTa" (^al D. z - a z), ^ - _1[r— (D_al z - D_a z)

en dus na de vereenvoudigende stelling

Ca —D Ca¹ —D , , . _n

-_r = n —-— n\' ,\\n 4-^ = 0

a — a¹ a¹ — a

wordt (1)

D_a D_a, z n D_a z _ni D_at z E z = Y.
of {(Da -f- n) (D_at -j- n\') j z -f- (E — nn¹) z = V
Beschouwen wij afzonderlijk de vergelijking 2^de orde:
(D_a -f- n) (D_al n¹)z = o
dan kunnen wij daaruit aanstonds de eerste integralen
afleiden

D_a z -f- n4= o D_ai z -f- n^xz = o

n D_a z D_al z ,

of —-— — — n —⁵— = — n¹
z z

en hieruit de particuliere waarden voor de tweede in-
tegraal

z = e^{— nx} q» (y — ax) z = e~ ^nlx y (y — a*x) dus
de complete waarde dezer integraal is:

z — e^{_ nx} qp (y — ax) ^e"\'^x ty (j ~ ^alx)
Is dus de term B — nn¹ = o dan zal bovenstaande
vergel. (4) integrabel zijn.

III. Voor vergelijkingen met variabele coëfficiënten
2^de orde is het duidelijk dat volgens dezelfde methode
conditiën van integrab\'iliteit kunnen opgespoord worden.
Dat de vele coëfficiënten der algemeene vergelijking

dx^ dxdy dy² dx dy
aanleiding geven tot zeer vele bijzondere gevallen is uit
het voorgaande genoegzaam nategaan.

Om te groote wijdloopigheid te vermijden zullen wij
deze eigenaardige methoden, zoo meesterlijk bewerkt
door Lobatto verlaten, en voor enkele andere belangrijke
oplossingen eene kleine plaats inruimen.

IV. Door verandering der onafhankelijk veranderlijken
kan men veelal ook de vergelijkingen l^ste orde integreren,
hoewel de vorm der coëfficiënten vrij beperkt blijft bij
deze methode.

Zijbv. 1°. xjL-
^J dx • dv y

Stel dan — = du, --- — dv

x y

A _A\\

du dv /

d___d

Vdu dv

z= ■

£ /a a

= e^uav #_e~^u^e^2ue-^v dv

e^_tldv e-^v = e^-T n

wat uit de ontwikkeling blijkt zie bl. (67)

... Z=e^U<Tv _e- V 23u _j_ jp^y) | _>

Herstelt men de waarden voor u en v dan is het
eindresultaat

^{Z =} By ^ ^(x,y)\'

dz dz

2°. In de vergelijking sec x ^ -f- a = 2 ctg y

stelle men eenvoudig sin x = u, om aanstonds de inte-
graal te vinden

z = e^{sin x cot}g ^y cp (y—a sin x).

dz , .. . ₉. i dz

^xdT ⁽¹ y⁾²dy^^xy

stel — du ^ _ov i = dv dan is:

x (i y²) .

dz , dz eⁿ , _v

du: d? ^"2"^{(e e}~^{v) waaruit}

gU V ygU-T

^z = ~4*---2~ <3p(V-U)

Substitueert men hierin voor u en v hunne waarden
in x en y

s=|{(* y)* y}-|jd j²)¹ -yjiogx
I f |(i y»)* y)

Vergelijkingen van tweede en hooger orde laten deze

handelwijze niet toe, tenzij eene symmetrische gedaante

de transformatien mogelijk maakt.

Zoo kan op deze wijze geïntegreerd worden:

d \\^{n n_1} d \\^n_1 d \\ⁿ

z nx y_£) z  _z=o.

Stel weer x = e^u , y = e^v. Nu is volgens bl. (44)

_r , d^{r s}z

x v -

^J dx^r dy^s

d

De gegevene vergelijking krijgt dus den vorm:

iⁿ i r^d T^-1 r^d i j ⁿ \'¹) r^d Y~\'³r^d i² . . r^d r

J ⁿLduJ Ldv J .............2 UuJ Ldd \'- LdvJ⁰-

Nu is, volgens het theorema van Vandermonde, het
eerste lid dezer laatste vergelijking gelijk aan:

[AxAr

Ldu dvJ

1  Zie Boole Finite Diff. p. 6 & Diff. Eq. Suppl. p. 191.

. . d V d . d .. ,

du chrjldïï⁴-^-^.......)^z==o;

z — <f (v — u) -f e^u(jpi (v—u) .... e<ⁿ-¹>^u g>_n_i (v—u)

Zulke symmetrische vormen als deze komen slechts
zeldzaam voor.

c. Meer van belang is de integratie van eene klasse
vergelijkingen hooger orde, geheel volgens dezelfde
methode, als uiteengezet is op bl. (39).

Stellen wij eene homogene functie van den a^den
graad van de veranderlijken x_t, x₂, x_s... x_n voor door
u_a, dan is \'):

du_a du_a du_a __

^Xld^7 ^X2di; "\'^Xndx_n ~^aUa>
Verder volgt hieruit, dat, indien wij het zamenge-
stelde symbool

d d
^Xl dx, ^x\' dx₂ \'\'" \' ^Xn dx_n
voorstellen door n

n u_a — a u_a, Tc* u_a — a² u_a
en f [n) u_a ~ f (a) u_a.
Van deze vergelijking is het laatste lid f(a)u de voor-
stelling van de complete waarde van het eerste lid,
omdat het de eenige waarde daarvan is, indien f (tt)
eene geheele en rationele functie is van n, — en van
eene particuliere waarde, wanneer f (n)\' inverse factoren
bevat.

Indien wij dus hebben de vergelijking:

Sturm, Anal. I, p. 156.

*

f(_w) _Ua=X_a X_b
(nb. f (tt) van den vorm nⁿ -f- Aj n ⁿ~¹ -f-. .. . A„
en X_a, X_b; .... homogene functiën van x_i} x,....)

U = f (tt) |^_1 X_a -t- f H }"^X X_b . . . . f (tt) j"¹ 0
= f(a) |^_1x_a f(b)}~¹x_t3 ....{(n) j-\'o.

De waarde van f (tt) j^-1o vinden wij, door deze functie
in eene reeks termen te ontbinden van den vorm:
A_t (tt — a_t)~ waarin a₀ a,... . de wortels zijn van
f (m) = o
(tt — a)~ ¹ o = u_a v_a 4- w_a . ...
waarin u_a, v_a, w_a.... arbitraire homogene functiën van
den a^aen graad zijn van x₄, x₂,....

Komen er i gelijke wortels a, dan zal men door in-
ductie, gegrond op herhaalde toepassing van Lagrange\'s
methode, tot oplossing van partiële lineaire differentiaal
vergelijkingen l^ste orde vinden:

_(jr _ a)- \' o =ua (1 xj - ¹ v_a (lx,)¹ - 2 . .
Er blijft nu nog over te beslissen, wanneer eene ge-
ge vene vergelijking tot den vorm f (tt) = X_a -f- X_b -j- . .. .
kan gebragt worden.

d d\' d"
Scheiden wij elk symboolin twee deelen-^ ^en~dx\'

d\'

^ alleen werkende op x, waar deze in u,
d"

waar zij in n voorkomt. Zij dus:
d¹ , d\' .

d" d"
^en Xldx; ^s:₂ -\'--^=7r"

.*. TT = TC 71 .

Uit het gestelde volgt ook:

n\' U = (tt — tt") U = n U

(nb. daar n" niet op u opereert, maar alleen op tt)
en dus ook:

2

tt ¹ U ~ (ït — Tt") Tl u (a)

Doch daar tt" hierin alleen betrekking heeft op de
variabele, voor zoover deze voorkomt in tt, en deze
symbool eene homogene functie is van den eersten
graad, zoo kunnen wij n" vervangen door de eenheid.

2

n¹ U = (tt — 1) tt U
Op dezelfde wijze wordt aangetoond:

tt\'¹\' u = (tt — r 1) (tt — r -f 2)____\'in — 1) tt u.

Wij kunnen hieruit opmaken, dat elk partiële diffe-
rentiaal vergelijking welke in den vorm f (tt) kan gebragt

worden, in de onderstelling dat A , A— .... alleen

opereren op de variabelen, voorkomende in u, — ver-
anderd kunnen worden in:

qp (tt) u — X
waarin deze beperking is opgeheven.
Zij tot voorbeeld hiervan:

éï ² (^xdi y c|) (^yê)" ~¹¹ (^{x y} ê) ⁿ ^

= x² -4- y² -t- x³.

nj. ] d d

^btelXdï ^"dy ~ ⁿ

Dan is in de eerste onderstelling, nl. dat™ _en jL

alleen werken op de variabelen x en y in u:
(jt,² — n n_i -f n) u = x² -f- y² x³

Na de opheffing dezer restrictie:

j 7i (tt— 1) — n TT n j u — X² -f- y² -f x³
(tt — n) (jt — 1) u = x² -f y² x³
u = | (n-n) (tt-1) I ■-¹ (x² y² X³) j (tt—n) | ~ ¹ o
— ^X2 y^a , x³
u — (2—n)(2—1) (3—n)(3—1) ^{Un Vt}
n„ eene homogene functie n^c1e.
Vj eene homogene functie l^ste orde.
Immers

{ (tt—n) (tt-1) (" ¹ 0 - -L. (TT—n)-10 --L-^-l)-1 o.
Stel (n—n)~¹ o = u_n ,

^{nUn== X}3x ^{Uu 7}
u_n eene homogene functie n^de orde.
In het voorgaande had dus n den vorm

en X was ééne of de som van meerdere homogene func-
tiën der \'veranderlijken.

Voor het geval dat n de meer algemeene gedaante
heeft

* = ^XlXxT ^x«₂ ^X"dl ^(a)
waarin X,, X₃,. .., evenzeer als het tweede lid X, wil-
lekeurige functiën zijn van de veranderlijken x_t, x₂,...,
is de oplossing mogelijk.

\') Vergelijk Spottiswoode over de theorie van het operatieve symbool

Xi, JL Xi-J- XL-i .... Crelle Bd. 59". p. 367,
dx, dx» dx.

Eerst zullen wij aantoonen, hoe men kan weten of
eene vergelijking tot den vorm

ƒ (7r)u = X

kan gebragt worden, en dan, hoe zulk een vergelijking
geïntegreerd wordt.

Stel de gegevene vergelijking van de n^de orde, dan
zal de symbolische vorm, wil de reductie mogelijk zijn,
noodzakelijk de gedaante hebben

{ 7Tⁿ Aj TT""¹ A₂ TT«-² ~f- . . . A_n j U = X.

Nu zouden, indien men deze symbolische vergelijking
weêr in den gewonen vorm schreef, uit uⁿ de hoogste
differentiaal coëfficiënten ontstaan; omgekeerd zullen
dus ook de termen, waarin de hoogste differentiaal
coëfficiënten voorkomen, ons in staat stellen, n te bepalen.

Wij vinden daaruit dus jt, en verder de coëfficiënten
Aj , Aa.... op dezelfde wijze, als op bl. (39) is aange-
geven.

Zij de gevonden vorm

7Tⁿ -f Al 7T^{n 1} -f- . . . . A_n = O.

Indien alle wortels van deze vergelijking ongelijk zijn,
dan hebben wij eene serie termen van den vorm

(re — a)^{_ 1} X ;
en elke zoodanige term sluit in zich de oplossing van
eene partiële differentiaal vergelijking van de eerste orde
van den vorm

1 ^x\'s ^x-al -"-^x"cE„-^a!^u=^x «

2 Voor gelijke wortels zullen er partiële vergelijkingen
ontstaan van hooger orde. Doch ook de oplossing daar-
van kan afgeleid worden uit het overeenkomstige geval

van liniaire differentiaal vergelijkingen met constante
coëfficiënten.

Om dit aan te toonen, voeren wij een nieuw systeem
onafhankelijk veranderlijken in: y₂,... y„

onderworpen aan de conditie n = — •

Om te bewijzen, dat er zulk een systeem, dat zamen-
hangt, bestaat, en het te vinden, stellen wij achter-
eenvolgens yi, y₂,y₃.... als subjecten in de plaats
van u in de symbolische vergelijking (a). Wij krijgen dan:

dxi \' dx₂ ^1 n dx_n

waaruit, volgens Lagrange,

dxi dx₂ dx_n , . .

— - dy_t. (c)

Xx X₂ X_n

Nemen wij verder eene der overige nieuwe verander-
lijken als subject aan, bv. y_t , dan hebben wij de ver-
gelijking

dxi .... dx₂ ¹
waaruit het auxiliaire systeem

dxi _ dx₂ _ _dyi

en integreren wij dit systeem, bestaande uitn— 1 ver-
gelijkingen, dan zullen de eerste leden der integralen
daarvan, geschreven in de gedaante

y₂ — a₂, y₃ — a₃----y„ = a_n ,

de waarden geven voor y₂, y₃...., allen uitgedrukt in
functiën der veranderlijken Xi, x₃,... . x_n.

Voert men nu deze nieuwe veranderlijken in, dan
neemt de vergelijking de gedaante aan.

f (gyju = <p Xji, y₂, •. • y„).

Deze moet nu geïntegreerd worden, alsof u en yi de
eenige veranderlijken waren, terwijl eene willekeurige
functie van v₂, v_:j . . . y_n de arbitraire constante vervangt.

Eindelijk nog moeten wij voor yj, y₂,.. . y_n de waarden
substitueren, uitgedrukt in xi, x₂, .. . x_n. —

Deze theorie zal door het volgende voorbeeld worden
toegelicht.

! i\'¹-^ ²1¹-*²) c*-«.»d^iT ⁽¹-^XXl)2

- 2u (1-x²) ~ - (x x,-2x² x,)~ n= | u = o.

De drie eerste termen, waarin de hoogste differen-
tiaal coëfficiënten voorkomen, geven ons aanstonds:

Om de functie van n te vinden, stellen wij die gelijk
{tv—a) (tt—b), na ontwikkeling daarvan, en vergelijking
met den gegevenen vorm, vindt men:

a = o b = o .\'. is de symbolische vergelijking:

(jt² -f- n²) u — o.
Voeren wij nu twee nieuwe veranderlijken in: y_t en

y₂, en zoodanig Tdat wij verkrijgen tv = — ;

ay_x\'

Wij moeten dan de twee vergelijkingen oplossen:

dx _ dx_x _ ₁

Ï^T² ~ 1—xx7 ~~ ^Jl
waaraan het volgende systeem integralen beantwoordt:

u = cos nyi q> (y₂) - - sin nyi y (y»)
of indien wij voor yi en y₂ hunne waarden, uitgedrukt
in x en xj substituéren,

De solutie der algemeene vergelijking is dus in wer-
kelijkheid teruggebragt op het zoeken van de integralen
uit een systeem simultane vergelijkingen. —

d. Terwijl het bij de gewone vergelijkingen met ver-
anderlijke coëfficiënten niet van belang ontbloot is
zooveel mogelijk integrabele vormen optesporen, niet
minder is dit het geval bij de partiële, waarbij het
getal oplosbare vormen ongelijk veel kleiner is dan bij
de gewone.

Dezelfde methode die in Hoofdstuk III zal w orden uit-
eengezet om nieuwe integrabele vergelijkingen te vin-
den, kan ook hier dienen tot hetzelfde doel.

De meeste vergelijkingen, door hare hulp gevonden,
zijn gemakkelijk te veranderen in analoge vormen van
partiële vergelijkingen, door voor de constanten te sub-
stitueren eenige functie van y~.

Bv.: Substitueer in (a) blz. 99

Q voor — 4- —; Q, voor PQ dx

V»x x J

Q\' — V" ^X

1//Ï IfJ x

dan wordt deze vergelijking

d² u
dx²

en de solutie

_{U = x}m_e-Ql j x-^A c^-^-Cn.-l) _eQ,P) J

Schrijven wij nu hierin:

dan verkrijgen wij de partiële vergelijking met hare
oplossing:

® ²1(» ê) (f\'\' f\' - - ^p-

Als een voorbeeld daarvan nemen wij:
e( d \\ _n d
¹ V^Xl dj) ~ x dy\'
^ dan wordt de vergelijking:

j-ü j 2n d²u , /n² , d^!u n du m(m—1) , \' _A

^ x dx dy ⁴ ( x² - ^k ) dy* ~ x* dy------W ^U = * ^(X"^y)

en de solutie daarvan:

/d² ,₂ d⁹ \\^m_1 ( /d² , d²V

_x-(m_l) _enlx|

Nu is zooals wij weten:

n 1 x-i

e (x, y) = v(x,y-f nlx)

—n 1 xA

e diy yj (x, y) — yj (x, y — nlx).
De geheele moeijelijkheid der oplossing ligt nu nog
in de solutie van

d²u , d²u
dx²\' dy² ~
Hieruit is gemakkelijk te vinden:

1 ltx^d f*

u —-j—e J W (x, y — kx) dx

dy

- ê AF (x,y kx) dx

2k

dy

= A ^ _(X . _y) ^ _(x. _y) ^ _{(y kx) 1 (y}___kx).

waarin cp en x arbitraire functiën, en ³P\'₂ door inte-
gratie bepaald worden.

Nemen wij de vrij algemeerie vorm n x~ _j_ | _Xj (waarin

n en | bepaalde functiën van x voorstellen) aan in de

plaats van 1 (x. _t dan wordt de vergelijking:

d²u , ₀ d²u . (_; „ a) d²u ₀. du

{(gx)* rx - }u - W (xy)

en de solutie wordt

_m -7T_lxf( d² ,₂ d² ) --¹ j - V d² _ra d²

^{u==x e e} idx²"^- dy²} P ldx--^kV²

— (m—1) ? — 7r_lX^d l

x e⁵\'e ¹ V (x . y) j

Voert men nu twee nieuwe veranderlijken p en q in,
aan de oude gebonden door de vergelijkingen

p = y ■— x k x en — q = y — n_i x -f- k x.
dan verdwijnt n uit de vergelijking en k uit de solutie.
Wij verkrijgen:

¹ t /P q\\ /\'du du\\ 1 i /_fc/p q\\ \\² . ₀₁ /du du
2F\' l V} W dq.) ffij {*(! 2k .) ) ^2k dq

m (m—1) j .

(p q)

Is nu | van den vorm —, dan komt aanstonds de be»

x

kende vergelijking te voorschijn:
d²u a /du du \\ aja—1) — m (m—1) __ .

^dpdq pTq\\dp dq/*^ W W -»IM^}

met de solutie

dx² dy²/ l^x \\dx² dyV f^x WW),
<fi bepaald uit <p door de vergelijkingen
p = x y en q = x—y.
Deze vergelijking sluit weêr een aantal anderen in
zich bv. voor de suppositiën a = o\', a = m , enz.

HOOFDSTUK III.

OPLOSSING DER DIFFERENTIAAL VERGELIJKINGEN DOOR VER-
WISSELING VAN SYMBOOL EN ARGUMENT.

Indien wij de differentiatie ten opzigte van de onaf-
hankelijk veranderlijke voorstellen\'door het symbool 8,
en indien q> (8) eene functie van d is, zamengesteld uit
geheele magten \'), dan kunnen wij gemakkelijk aan-
toonen dat²):

f{d)\\ipx.u\\=ipx.<p{S)u ip\' i,_f\'(})u4- i xp" x . if (5) u
en <_f>xxp(8)u = xp(d)\\q>x.\\JL\\ — ip\'(d)\\cp\'x.u\\ txp"(d)\\<p"x.u\\—- (^b\'
Immers, scheidt men in het eerste lid van (a) 8 in
d\' d" d\'

dx ^en dx\' dx\' ^a^^een bedekking hebben op de ver-

d"

anderlijke, zooverre die voorkomt in u, ^ op die m
xp u), dan is

, d\' . d"

o — T- -f t , en
dx dx

en dus daar ^ constant is, ten opzigte van xp (x),

, / d\' \\ . d" ,(d\'\\ . d"\\² „/ d\' \\ ,

= xp x (jp (5) u xp\' x cp\' (8) u -f-1 xp" x qp" (5) u -f- •
Evenzoo kan men (b) bewijzen. —-
Deze twee formulen zijn uitdrukkingen van de wetten,
waaraan de combinatiën onderworpen zijn van opera-
tieve symbolen, (hetzij directe of inverse), met opera-
tiën, aangeduid door factoren, functiën van de onaf-
hankelijk veranderlijke.

Wij zien dat de laatste leden dezer vergelijkingen
lineairen vorm hebben; indien dus eene vergelijking
dien vorm heeft, of daartoe kan gebragt worden, dan
is de solutie bepaald.

Immërs cp (8) {xp xu | — P, geeft u = xp (x)~ ^x) (qp 8^x) P,
en cp (x) xp (8) u = Q, geeft u — (xp (8))- ¹ (cp x)~ ¹ Q.
Voor alle gevallen, dat bovengenoemde formulen eene
bepaalde beteekenis hebben, dat is: indien qp (8) en
V> (8) uitgedrukt zijn in geheele magten van 8, blijkt
aanstonds hunne geldigheid.

In analogie nu met de redenering voor gebrokene
exponenten in de gewone algebra, kunnen wij hier ook
aannemen, dat de geldigheid altijd doorgaat, en wij
aarzelen niet, elk verklaarbaar resultaat, verkregen door
de consequente toepassing dezer formulen, zij het dan
°ok door niet te interpreteren gedaanten heen, toch
^voor waar te houden.

Bij nadere beschouwing zal men zien, dat indien in
(a) 8 wordt geschreven voor x, en ■— x voor 8 of t voor
8, na substitutie verkregen wordt:

₉ (t) xp (S\') u = xp (8\') (<p t u) - xp\' (8\') (<p\' t. u) i xp" (8\')

u) -

8\' de operatie voorstellende en u eene functie van
t zijnde.

Deze vergelijking is identisch in vorm met (b); de
juistheid van het resultaat, verkregen door deze verwis-
seling van symbolen, leidt ons nu tot de gevolgtrekking,
dat indien in eene lineaire differentiaal vergelijking welke
tot den vorm (a) of (b) kan gebragt worden, en in hare
symbolische solutie x wordt veranderd in 8 en 8 in — x,
wij dan eenen anderen vorm zullen verkrijgen, ook ver-
gezeld van hare symbolische solutie.

Wij moeten wel in het oog houden, dat de solutiën
in symbolischen vorm moeten gehouden worden; of met
andere woorden, dat de aangegevene operatiën niet
moeten volbragt worden, en vooral geene operatiën
mogen worden verwaarloosd.

Het zou b. v. aanleiding tot onjuiste uitkomsten geven,
als men o schreef voor (x^_1)o, indien later x nog moest
veranderd worden in 8.

Wij kunnen deze methode het beste ophelderen door
haar toe te passen op de algemeene vergelijking der
eerste orde:

, , du . _v

y (x) y, X . u _ X.

ofqpX(5u-(-t/;X.U — X.

De solutie daarvan is, zooals wij weten:

Stel ƒ dx — yx.
qpx ^A

:,u = e-^H (e^y-^x (<y x)~ ¹ X).
Doen wij nn bovengenoemde omzettingen, dan ver-
krijgen wij:

-— cp (5) x u -f- xp (8) U = X (c),
en voor hare oplossing

Door toepassing van (a) kunnen wij (c) ook schrijven :
x q, (8) u (\'P¹ (5) — xp (d)) u = — X. of Xo.
Zij nu cp¹ (8) — xp (d) — 1 8,

De praktische waarde van deze algemeene methode\'
bestaat daarin, dat men haar kan aanwenden tot het
vinden van oplosbare vormen van lineaire vergelijkingen
met variabele coëfficiënten; tevens blijkt daardoor, dat
vele vormen van oplossing, welke schijnbaar niet te in-
terpreteren zijn, toch kunnen dienstbaar gemaakt worden
aan het verkrijgen van nuttige resultaten.

Verder kunnen wij een merkwaardig verband aangeven
tusschen de solutiën welke wij op deze wijze verkrijgen,
en de oplossingen van dezelfde vergelijkingen in den
vorm van bepaalde integralen. Hierover zullen wij t. a. p.
handelen.

7

Onder de vormen (d). waarvan wij aanstonds eene
verklaring kunnen geven, zullen wij in de eerste plaats,
de vrij algemeene vergelijking geven: