OVER DE THEORIE

DF.R

TRILLENDE PLATEN,

EN HAAK VERBAND MET DE EXPERIMENTEN.

OYER DE THEORIE

der

trillende platen,

EN HAAR VERBAND MET DE EXPERIMENTEN.
ACADEMISCH PROEFSCHRIFT,

tee verkrijging van den graad van

pOCTOR IN DE yjlS- EN J^ATUURKUNDE,
AAN DE HOOGESCHOOL TE UTRECHT,

na magtiging va.n den rector magnificus

XD¹\'. T- HALBERTSMA,\'

gewoon hooglèeraar bij de geneeskundige faculteit,

MET TOESTEMMING VAN DEN ACADEMISCHEN SENAAT

en

^v°lgens besluit van de faculteit der wis- en natuurkunde,
ik urm i""\'"titrfi\'" verdedigen
op V r ij d ag, 14 J un ij , 1872, des namiddags ten 3 ure,

door

WILLEM KAPTEYN,

,\' lu

■ ITA je; m

m m\'m-m:

/miinOMSTOfW NOfclFfta / .\')/..
f>

AL\': <•" A WVÖ i ■ \' /!;}:>; / Ml

, lamj^HuuTAr ! na -3i V7 ia m h cri oc - \' J

. TllDMilTlJ 3T JOOIKKCAOOOU ii\'î
i

\'i:.ü)!»!/:)ii( ) !f i3"..V\'i ; i \'/M": : N ::

, AMaTHaa\'J:_£\\H _t .--a:

, a :«\\iu3aï r-üi" • ja- i,r/i ,^!u v.saah > i.ioooti «oew r
r/.A/.H\'-: ZÛIIOSîOaAQ/ />Ki 3Kliat:!T8:T\'>i T.:!-\'

■ \'.\'--A

mu/ iMifl\'iUTAX />t -giw >j;h<£. ; ■ : r,i -i >m «/ v ti .r.-via /.i i n»

. ..... ..-.Lit

rilt r. ",ÜKl>fli!llßl! . (j l> » .1 i I> ji ; V ; «

il 4 i V m ■/: -.i •■. ii i • î ;■• •) V > »

\' ■ li). !!\' A ,! !!,\' • / .<[

L. 8.

Hoe nuttig hel voorzeker voor den Student zij , wanneer hij
zijne academische studiën voor een groot deel heeft voleindigd ,
zich te wijden aan éên bepaald onderwerp, het blijft voor hem
altijd pijnlijk en onaangenaam, zich genoodzaakt te zien, zijne
onderzoekingen in het licht te geven. De overtuiging, dat te
weinig ondervinding en een beperkt onderzoek het gehalte van
het geschrift nadeelig zijn, doet den vervaardiger niet dan met
schroom zijn arbeid onderwerpen acm hel oordeel van deskundigen.

Toch , gelijk het doorgaans gaat, als men den geest lang bezig
gehouden heeft met één arbeid, krijgt men dien lief, zooals men
een kind lief heeft, waarmede men lang heeft getobd en tegen-
spoed gehad.

Zóó ging het ook mij.

Bij het eindigen van mijn academisch proefschrift voed ik den
wensch , dat het kleine boekske anderen moge uitlokken tot eene
volledige behandeling van het omvangrijke onderwerp. Ik héb
mij voorgesteld een overzigt te geven van hetgeen op dat gebied
reeds tvas gepraesteerd, en verder door berekening de geleverde
constructiën te bevestigen en aan te vullen.

Daardoor splitste zich het geheel in drie deelen. Het eerste
is van theoretisclien, het tweede van experimentelen aard, ter-
wijl in het derde wordt aangegeven in hoeverre de experimenten
door de theorie verklaard zijn.

Gaarne maak ik van deze gelegenheid gebruik, mijne erken-
telijkheid te betuigen aan mijn promotor, den Hoogleeraar
Grinwis , voor de bereidwilligheid waarmede hij steeds mijne

bezwaren uit den weg ruimde. Voor zijne degelijke leiding en
grondig onderwijs acht ik wij ten hoogste aan hem verpligt.
Ook aan de Hooggeleerden Buys Ballot en Hoek bied ik mijnen
opregten dank voor al wat zij hebben bijgedragen tot mijne ont-
wikkeling \'en vorming; zoomede aan den Hooggeleerden Harting
wiens onderwijs, gelijk dat van wijlen den Hoogleeraar Miquel ,
steeds met de meeste belangstelling door mij werd gevolgd. Niet
minder zal ik mij het bijzonder onderwijs van de Hooggeleerden
van Rees en Mulder altijd dankbaar herinneren.

Eindelijk een woord van dank en vriendschap aan allen , die
door aangenaam gezellig verkeer het hunne hebben bijgedra-
gen , om mijn verblijf aan Utrechts Hoogeschool onvergetelijk
te maken. Bij het verlaten van hun vriendenkring gevoel ik
wat het zegt:

Meminisse juvabit,

I N" H: O U 13.

blz.

Hoofdstuk I. Theorie............\'1

A Theorie omtrent de transversaaltrillingen van vrije

platen................................1

B Overzigt en beoordeeling van andere theoriën . . 24

a. Theorie van sophie germatn ...... 24

b. Theorie van j. bernouilli •......29

c. Theoriën van poisson en cauciiy.....31

Hoofdstuk II. Experimenten. . .........36

Hoofdstuk III. Overeenstemming tusschen theorie en expe-
riment .....................74

HOOFDSTUK I.

A. Theorie omtrent de transversaal-trillingen van
vrije platen.

§ 1.

Chladni ontdekte in 1787 dat, wanneer een poeder op
eene plaat van regelmatigen vorm uitgestrooid, en deze
plaat daarna in trilling gebragt wordt, liet poeder zich
in symmetrische figuren ophoopt.

Korten tijd na deze ontdekking gaf J. Bernouilli 1)
eene theorie in het licht, met oogmerk om de resultaten
van Chladni te bevestigen. Het mogt hem echter niet
gelukken, de gewenschte overeenstemming met de proeven
van Chladni uit zijne theorie af te leiden.

De Parijsche Academie schreef daarom in 1810 eene
prijsvraag uit over de theorie der transversaal-trillingen
van elastische platen. Het daarop ingekomen antwoord
van Sophie Germain, in het jaar 1811, berustte op eene
hypothese over de krachten, waarmede eene plaat weder-
stand biedt aan veranderingen van vorm, — waaruit de
schrijfster verder eene partiëele differentiaalvergelijking

1) Nov. Act. Acad. Petrop. 1787.

afleidde. Lagrange toonde echter aan, dat zij in hare
berekening eene fout had gemaakt; herstelde deze, en
vond de differentiaalvergelijking, die nog steeds als de
ware erkend wordt.

Aan de alzoo verbeterde differentiaalvergelijking out-
braken echter nog de grensvoorwaarden, waardoor hare
oplossing nader bepaald moest worden. Hierin voorzag de
schrijfster zelve twee jaren daarna; loste tevens het
vraagstuk op voor het geval van regthoekige platen; en
vond hare theorie door de waarnemingen bevestigd.

Later bood zij nog weder haar werk aan de Academie
aan over platen die cylindervormig gebogen zijn; in welk
geschrift zij aantoonde, dat ook hier de gedane waarne-
mingen met hare theorie overeenstemden.

Hoe verdienstelijk de arbeid van Sophie Germain 1)
ook zij, toch is hij slechts eene eerste poging tot op-
lossing van het vraagstuk. Ondanks de overeenkomst toch
der waarnemingen met hare theorie, kan men gevolgen
uit hare theorie afleiden, die geheel in tegenspraak zijn
met de waarheid.

Eene door Poisson 2) gegeven theorie voldoet ook niet
geheel. Hij komt tot dezelfde partiëele differentiaalverge-
lijking, waartoe de hypothese van Sophie Germain had
geleid_} maar met andere, en wel drie grensbepalingen.
Door Kirchhoff 3) is aangetoond , dat aan deze drie grens-
voorwaarden in het algemeen niet tegelijkertijd kan voldaan

1) Den hoofdinhoud van de genoemde verhandelingen vindt men in
hare twee werken: »Recherches sur la théorie des surfaces élastiques"
\'1821. »Remarques sur la nature, les hornes et 1\'étendue de la ques-
tion des surfaces élastiques, et 1\'équation générale de ces surfaces" -1820.

2) Mémoires de 1\'Institut de France, Tom. VIII.

3) Crelle Bd. XL.

worden; daarenboven heeft hij voor deze drie, twee anderen
in de plaats gesteld, welke wij hieronder zullen verklaren.
De wijze van uiteenzetting ontleenen wij echter voorna-
melijk aan eene andere verhandeling van denzelfden
schrijver 1) en aan de dissertatie van Gehring 2). Aan
deze ontwikkeling wijden wij drie paragraphen; in de
eerste zoeken wij de algemeene vergelijking, waarin de
vergelijkingen van beweging bevat zijn; in de tweede
bepalen wij de voorwaarden die deze algemeene vergelij-
king beperken in het geval eener elastische plaat; de
derde eindelijk zal de wijze aantoonen, waarop de verge-
lijkingen van beweging met de grensbepalingen uit de
vorige paragraphen kunnen worden afgeleid.

§ 2.

Een punt M (x, y, z) van een elastisch ligchaam in
zijnen natuurlijken staat, worde door oneindig kleine uit-
wendige krachten verplaatst tot M\' (x\'-f- u, y v, z w).
Na deze verplaatsing denke men zich door M\' een vlak
loodregt op de .r-as; het ligchaam wordt dan in twee
deelen verdeeld. Noemen wij de composanten van de
elastische kracht, uitgeoefend door het deel met de grootste
x op de eenheid van oppervlak van het andere

X*» Y,., Z.

en geven analoge beteekenis. aan

Y V 7

^y 1 ^L y 5 ^/Jy

x_f, Y_s, Z.;

bepalen wij de uitwendige krachten aldus:

1) Grelle Bd. LVI.

2) Diss. de aequat, diff. quibus laminae crystallinae definiimt.ur.
Berol. 1860.

ligt M\' in het ligchaam, clan werkt op de eenheid van
volume in M\' eene kracht met composanten
X, Y, Z;

ligt M\' aan cle oppervlakte van het ligchaam, zoo werkt
op de eenheid van oppervlak in M\' eene kracht met com-
posanten

(X), (Y), (Z).

In geval er dan evenwigt bestaat, 1) is voor ieder ele-
ment van het ligchaam:

(1) Y_x — X_y, Z_v = Y_z, X_s=Z_a,;
verder voor ieder element binnen het ligchaam:

en voor ieder element aan de oppervlakte van het lig-
chaam, wanneer de cosinus der hoeken die de binnen-
waarts getrokken normaal met de assen maakt l, p, v zijn:

i X X* (i X_y H- v X, -f- (X) — o
(3) ] lY_m pY_t *Y, <J)=o

I Il_x -f pZ_y vZ_s (Z) = o.
De vergelijkingen (1), (2) en (3) zijn allen zamen te
vatten in deze:

(4) SSl — èj* F dx dy dz = 0

waarin het moment der uitwendige krachten voorstelt
voor oneindig kleine veranderingen van u , v en w, terwijl

1) Zie Lamé, Lecons sur la théorie mathém. de 1\'Elastic. des corps
solides.

(du div\\ /dv du\\* (du dv dw

K en ö zijn daarbij constanten die van den aard van het
ligehaam afhangen.

Ten einde dit te bewijzen, zoeken wij den mechani-
schen arbeid, die verrigt wordt, wanneer ieder element
van liet ligehaam eene kleine verplaatsing ondergaat. Deze
verplaatsing zij voor het punt (xyz) du volgens de «»-as,
dv volgens de y-as en dw volgens de as der Dan ver-
krijgt men voor den arbeid in het inwendige van het lig-
ehaam cleze uitdrukking: 1)

/• /. /. (dX._x dX_y t/X \\

fjy Ir-*-*)\'\'**

/. X« /. ( dj Y~ dY. dY\' \\

s. /. (dZ_x dL d.\'L_z \\

fJJ f*

en voor den arbeid verrigt door de krachten die aan de
oppervlakte van het ligehaam werken:

f du {lX_x ft X,, -I- » X, - - (X) ) dO
4- f dv (l Y_x 11 Y_y v Y_z (Y) ) dO
f dw (Z) ) dO.

In de eerste drie integralen moet de integratie uitge-
strekt worden over het geheele ligehaam, in de laatste
is dO een element van het oppervlak en moet de inte-
gratie over het geheele oppervlak genomen worden.

Maken wij nu gebruik van de stelling: 1)

r» <^G zi ds

J F dx dy dz = —J G ~ dx dydz—j FGcos (N,-r)dO,

waarin F en G willekeurige functies van x, y, z aan-
duiden en (N, A\') de lioek is, gevormd door de binnenwaarts
aan het oppervlak getrokken normaal met de x-as. Mer-
ken wij daarbij op, dat in deze stelling x, y, z cyclisch
verwisseld mogen worden, dan is:

, /\'JU—-j-^öu dx dy dz =— f du dO —JJ\'J X_x dx dy dz

JJJ\'~^y du dxdy dz rr —J (iX_y du dö —fff X_y dxdy dz
dy dy

Jff\'^~^budxdydz=—fvX._z du d()—f/fX_: ^dxdydz
dz dz

Op dezelfde wijze transformere men de integralen :
\' fff ^

\\ dx dy dz J

fff dw(^C— ~ 4. ~\\dx dy dz
\\ dx dy dz J

Yereenigt men daarna alle integralen over het opper-
vlak , zoo is het duidelijk dat voor den arbeid der krachten
aan het oppervlak werkende, overblijft:

f | (X) du (Y) dv 4- (Z) dw } dO.
Voor den arbeid der uitwendige krachten X, Y, 2
vindt men verder:

fff dx dy dz (Xdu 4- Ydo Zdw),
en voor den arbeid van de inwendige elastische krachten:

7 1 y j * 7

dx dy dz

s> /»; TT- dv ^ .dv ^r _ dv

-JJJ d* iy cfe ( Y. , _ 4- Y, »- Y,

dx dy dz

Mat behulp van de vergelijkingen (1), wordt deze
laatste arbeid :

!x„ * x j

dx ¹¹ \\dy dx)

dy \\dz dy /

„ . dio _T, {dw du\\

z, 5 — Z, 8 ( _ — )

dz \\ dx dz/•

Substitueert men hierin voor X,,, X_y enz. de waarden;
( du dv dw)

U_T ^ ( du , dv dw}

rrfdw dv\\ __/du dw\\ ,_r Trf dv ,

dan vindt men, achtgevende op de waarde voor F aan-
genomen :

— fff dx dy dz J F = — óf F dx dy dz.

De vergelijkingen («) vindt men in alle leerboeken
over Elasticiteit 1) terug; zij gelden voor homogene lig-
chamen, onder voorwaarde, dat de 9 differentiaalquo-
tiënten van u, v, w, ten opzigte van x, y. z oneindig
klein zijn.

Neemt men nu in aanmerking, dat

8 SI = f dx dy dz (Xtftt Y8v Z8w) -f J\' dO ((X) du,
(Y) 8v (Z) dw) is,
dan vindt men voor den totalen arbeid:
8 SI — s f F dx dy dz.

1) Zie o. a. Lamé § 20; Clebsch, Theorie der Elasticitat fester
Körper § 17.

Volgens het principe van Lagrange is nu het ligchaam
in evenwigt, wanneer voor iedere mogelijke oneindig
kleine verplaatsing de som cler virtuele momenten, of de
daarbij verrigte arbeid = o is. Hieruit volgt dus, dat
als voorwaarde van evenwigt evenzeer

dSl —■ dj\'F dx dy ds = o,
als de vergelijkingen (1), (2) en (3) gelden kan.

Aangaande de vergelijkingen (1), (2), (3) en (4) is
nog het volgende op te merken: (1), (2) en (3) bevatten
grootheden, die door (a) zijn bepaald; de vergelijkingen
(a) gelden alleen bij de onderstelling, omtrent de diffe-
rentiaalquotiënten van u, v en iv gemaakt; deze onder-
stelling is vervuld, wanneer het ligchaam in alle rigtin-
gen eindig is 1); derhalve gelden (1), (2) en (3) of (4)
voor ligchamen, wier afmetingen alle eindig zijn.

Kirchhoff heeft het geval onderzocht, dat alle afmetin-
gen oneindig klein zijn, en gevonden 1) dat de verge-
lijkingen (1), (2) en (3) waar blijven; verder dat de
grootheden X, Y, Z in (2) mogen verwaarloosd worden,

terwijl de grootheden —, — enz. alsdan oneindig groot

dx dx

zullen zijn, in vergelijking van u, v en w. De vergelij-
king (4) mag dus behouden worden, in geval de afme-
tingen van het ligchaam allen van dezelfde orde zijn.
Een ligchaam, waarbij dit geen plaats heeft, denke men
verdeeld in deelen die wel aan dezen eisch voldoen, en
passé de vergelijking (4) op elk deel toe. Het evenwigt
van het geheele ligchaam is dan gebonden aan de ver-
gelijking :

(6) 9Sl - rU-y> dx dy dz — o,
1) Crelle. Bd. LVI.

wanneer ^ eene sommatie over alle deelen, waarin het
ligchaam verdeeld gedacht is, voorstelt, en dJl liet moment
der uitwendige krachten beteekent, die op het geheele
ligchaam worden uitgeoefend; daar het moment der elas-
tische krachten, die op de grensvlakken der afzonderlijke
deelen werken, verdwijnt.

Uit (6) is onmiddellijk voor het geval, dat het ligchaam
in beweging is, af te leiden:

(7)fdt { JT 5<l - dxf F dx dy dz } — o
waarin t de tijd, en T de halve levende kracht van het
geheele ligchaam is.

§ 3.

Overgaande tot het geval eener plaat, die oneindig dun
is, zal de vergelijking (7) van toepassing zijn, mits men
zich daarbij rekenschap geve van de wijze, waarop de
verschillende deeltjes zijn aaneengevoegd.

De deeltjes, waaruit de plaat bestaat, of waarin zij
verdeeld gedacht wordt, zijn prismaas, wier hoogte over-
eenkomt met hare oneindig kleine dikte 2c, en waarvan
de doorsneden elementen van het middenvlak uitmaken.
Noemen wij zoodanig element da db, dan volgt hieruit:

J F dx dy dz = da dbj F dz

— c

wanneer wij letten op de twee hypothesen 1) waarvan
Kirchlioff uitgaat, nl.:

. 1. Iedere loodlijn op het middenvlak van de plaat in
haren natuurlijken toestand blijft bij de vormverandering
regt, en te lood op het verplaatste middenvlak.

2. Alle elementen van het middenvlak blijven bij de
vormverandering even groot.

1) Crelle, Bd. XL.

Voor de wijze waarop de deeltjes zijn aaneengevoegd,
gaan wij nu eene analytische uitdrukking zoeken.

Kiezen wij vooraf twee coördinaten systemen.

Een punt O van het middenvlak der plaat, in haren
natuurlijken toestand, zij de oorsprong van drie regthoe-
kige assen X\', Y\', Z\' waarvan X\' en Y\' in het middenvlak
liggen; een ander punt P ook in dit middenvlak, en in
het eerste systeem bepaald door a en b, zij de oorsprong
van drie andere assen X, Y, Z evenwijdig aan de eersten;
deze laatsten zullen slechts voor punten in de nabijheid
van P gebruikt worden.

Beweegt zich nu het middenvlak, dan nemen wij aan,
dat de assen door P\' (het verplaatste punt P) , altijd regt-
hoekig blijvende, zich met het middenvlak in dier voege
verplaatsen, dat het vlak XP\'Y steeds met het verplaatste
middenvlak zamenvalt, terwijl PX de rigting aanduidt,
waarin een element da na de verplaatsing gekomen is.

Een punt, dat primitief in het systeem X, Y, Z bepaald
was door x, y, z zal dan tegenover P\' niet meer denzelfden
stand behouden hebben, als het ten opzigte van P bezat,
maar bijv. gekomen zijn in « «, z-hw, of in
het vaste systeem bepaald zijn door de coördinaten x\', y\', z\'.

Heeft het punt P\' dan tevens in het vaste systeem £, f
tot coördinaten, en zijn de cosinus der assen X\', Y\', Z\'
met X : «„, ft, Yo,
met Y : , ft, y_u
met Z : «₂, ft, y.₂
geworden, dan is het verband tusschen de twee coördina-
ten-systemen dit:

!x\' — £ «o (x u) -f- «, (y v) -f- «2 (z -f- w)
y\' = _v fa (x u) ft (y v) % (z -f~ w)
z\' = t yo (x -f- u) -f _yi {y -f v) {z w).

Zijn nu de deeltjes der plaat zoodanig aaneengevoegd,
dat noch in de rigting der X-as, noch in de rigting der
Y-as ledige tusschenruimten gevonden worden, zoo zal de
volgende redenering van toepassing zijn:

Yan een punt x-a, y b, z der plaat zal men tot
een naburig punt van de plaat in de rigting der X-as
kunnen overgaan of door x in x -h dx te veranderen,
terwijl men a, b, y en z constant laat, of door-a in
a -j- da te veranderen, terwijl b, x, y en z constant blij-
ven. Daar dit medebrengt dat dx zzz da is, zal men vol-
gens het Theorema van Taylor, de coördinaten van een
punt naburig aan x\', y\', z\' kunnen schrijven:

dx\' dy\' , , dz\'

x\' — dx, y\' -f -f-dx, & -)- -—dos,
dx dx dx

. . dx\' dy\' dz\'

ot ook x\' — da, y\' ~—da , z\' — da
da da da

waaruit dan onmiddellijk volgt:

dx\'__dx\' dy\' dy\' dz\' dz\'

dx da \' dx da \' dx da
Yan het punt x -}- a, y b, z tot een naburig punt in
de rigting der y-as overgaande, vindt men op dezelfde wijze :
dx\' dx\' dy\' dy\' dz\' dz\'
dy db \' dy db \' dy db
Deze 6 conditiën worden volgens (li):

f du\\ dv dio dlE, da₀

f 1 y ) H~ «1 ~r H- ^a2 ~r = T~ O® ^u)

dx/ da dx da da

(c] \\ du, da₂ du dv dw

da da da da da

enz.

De 6 vergelijkingen (c) laten zich evenwel zeer vereen-
voudigen, wegens het verband, dat er bestaat tusschen

sommige grootheden, die hierin voorkomen. Vooreerst han-
gen de 9 cosinus «„, ft enz. van elkander af op deze wijze:

!«0² Ha Yo ~ \'i , «1 «2 ft ft 7i 72 = O
»1 ft² Yl²= \'1 . «0 «₃ -f- ft ft 4- -/(, 72 — O

«2² -H fo² 7s²~ ¹ > «0 «1 i9₀ i?! 7o 7i — O :

verder bestaat er verband tussehen de clifferentiaalquo-
tienten van S, y, £ ten opzigte van a en &, en cle 9
cosinus «₀, ft enz., hetgeen aldus kan worden aangetoond.

Na de vormverandering der plaat zijn de elementen da
en db beide een weinig verlengd, bijv. tot da (l ^s)?
d,b (1 -f- s,) ; tevens is cle hoek tussehen deze elementen ver-
anderd, bijv. tot 90° — a.

Volgens de wijze, waarop het bewegelijk coördinaten-
systeem is aangenomen, zijn de projectiën van da (1 «)
op de vaste assen:

a₀ da (1 e), ft da( 1 e), y₀ da (l -f- «)

Wordt nu db (1 -f- e)
ontbonden in db (1 e)
sin ff volgens cle X-as en
db (1 e) cos <r volgens
de Y-as, en projecteert
men daarna ieder dezer
stukken op de vaste as-
sen , dan is uit nevens-
staande figuur gemakke-
lijk te vinden, dat de
som der projectiën op
de vaste assen na de ver-
eenvoudiging sin (t ~ ff, cos <r = i , geeft:

(«i «o ^a) db{l _Sl), (ft p₀ff)db (1 _Sl), (_Yl Y₀ff) db(l-hh)i

volgens het theorema van Taylor vindt men voor deze
zelfde projectiën aanstonds:

di ; dy ₇ d\'Q

- da, _L da, — da

da da da

dl ₇₇ dy df ₇₇

__ do, —L do, — db

db db db

waaruit dus volgt:

= «0 (1 «) , ^ = («1 4 «o ») (1 «0

da do

(e) l J._=j9₀(l .), ll = (ft /3_a<r) (1 ,,)

da db

% — 70 (1 »), ~ = (y. yo *■) (1 «!>.

da db
Verwaarloost men a*, dan is hieruit ook:

1 » = |/ (-_) ( _L ) 4.

\\da,

i , I / / «S V (dy Y /d\'Q

db / \\d& /

Om al te lange formulen te vermijden, schrijven wij
de 6 vergelijkingen (c): 1, 2, 3, 4, 5, 6 en nemen de
volgende sommen:

i l.«₀ 2. iSo 3. _7o, 4. «₀ 5. /?₀ -}- 6. _Ya
(ff) ¹ • ex, 2. /Sj 3. j/j , 4. «j -j- 5. 4- 6. y.
[ l._0j 2./?_s 3._ya, 4. «₃ 5. ft 4- 6. Yr
Vereenvoudigt men deze sommen door middel van de
vergelijkingen (d), (e) en ( ƒ), en stelt men kortheidshalve:

d<*2 dpj _ dy₂ _

da da ~^T~ da \'

³ da ² da ^ da ^
da, dB, dy,

— ft y- y₀ 7 =

da da da

du ₂ dy,

J di*o d[i_B dy₀

^{{ )} < * a *db *db = *

da_v dfiy dy_x

db ^l*⁰ïdb ^ÏOdb -^r»

zoo worden de vergelijkingen (g):

4- r (y v) — q O w) e

q(x u) — p(y v)

<?i (* «)—

Daar echter in \'t algemeen de diflFerentiaal-quotienten

du dv dw du dv dw . , . ...

__ , _ , — , — , _ , — met oneindig zijn m verge-

da da da db db db

lijking van u, v, w, omdat a en i eindige grootheden

zijn, zoo kunnen zij verwaarloosd worden tegenover de

... du dv dw du dv dw ,. . _ ^
quotienten — , — , — , — , — , — die volgens § 2

dx dx dx dy dy dy

oneindig zijn in vergelijking van u, v, w.

Zonder merkbare fout kunnen de laatste vergelijkingen

dus geschreven worden:

da \' du

— ~ry — qz e, — = — q_xz <r

dx dy

dv dv

— z=pz — rx , — ₌p_lz - i\\x _Sl

dx dy

dw dw

_ ~qz — py , —q_yX~_V<y.
dx dy

De drie eersten hiervan volgens y, en de drie laatsten

volgens x gedifferentieerd, toonen aan, dat:

d*v d*v__ __ d\\o

dx dy ¹ °\' dx dy ¹¹ dx dy ^ ^

Substitueert men dit, dan verkrijgt men nog:

du . du

——- — — qz T 8 , - — pz cr

dx dy

dv dv

%

dw dw

-^-—qx—py, -=-_pX-_Ply

Deze vergelijkingen geïntegreerd leeren ons eindelijk
den vorm kennen, waaraan u, v, w moeten voldoen, zal
de plaat continu zijn; deze vorm is :

u — z (— qx 4- yq) oy u₀

v — z(px Piy) 4- _Sly - - v₀

(k)

qx² p<y_t
—--pxy--— w₀;

in de grootheden w₀, v₀, w_a kunnen natuurlijk alleen
a en b voorkomen.

§ 4.

Thans vatten wij de vergelijking (7) weder op. In de
onderstelling, dat uitwendige krachten ontbreken, wordt
zij, volgens het begin der vorige §

f dt (3 T — J s da db J\' F dz) = o

of f dt (J T — ó fj\' da db ƒ F dz) = o.

— c

Alvorens de integratie J F dz te kunnen uitvoeren,

— c

moeten de grootheden u_ü, v₀, w_ü nader bepaald worden.
Wetende dat u, v, tv moeten voldoen aan de simultane
vergelijkingen:

dX_y dZ_x
--r

(m)

en aan

* \'%-x -f- p 4- v 7jl_x — o
(n) l lX_y pY_y vY_z = o
XZ>_x-i-!x, Y_z -f- _v Z_s = o ,

substitueren wij de waarden van v, w uit (g) met
behulp van de vergelijkingen (a) in de vergelijkingen
(m), en vinden:

d?u₀_ d?v₀

o*S(i e)?»j e{z(p_l-q)

az (. dz

Hieruit is:

■=■ const., —⁰ — const., (1 -f- d) ^d— 4- 6 O (Pi — 4)

dz dz dz

₈ -f _Sl) const.

De constanten bepalen wij uit (n); kiezen wij bijv-
een der evenwijdige vlakken van de plaat, danisA = °\'
H — o, „ =r 1 en:

du₀__ dv₀ __o

(z (\'pi —• q) s «i)-

waaruit op nieuw:

u₀ — const., v_n — const., w_Q — — —liL (

1 -f- 0 2

jsfsj-f const.

Uit de keuze van het bewegelijk coördinatensysteem

volgt dat voor aszzzo, y — o, z~o de grootheden

dv dw dw
u, v, w, —, —,

dx dx dy

moeten verdwijnen; dit gesubstitueerd in (k) geeft, dat
voor z — o, u₀, v₀, ït>₀ gelijk nul zijn, waaruit dan:

■z ö / pi — g , , ^

?<₀ =r o, v₀ = o, Wo = — —--(z —- 4- S e).

1 6 2

Deze waarden en de vergelijkingen (k), maken
F = K | (- _V .)\' (_1V ,,)\' (* (;,,, - q)

en

^C F dz = (,/ tf 2 3 (.\' »» pj

TT7^{(c2(pl 3} (• *?)■}

Laat ons nu de waarde van T ontwikkelen.
Beteelcent o de digtheid van de plaat, dan is:

(iM thm ^

Worden de vergelijkingen (b) gedifferentieerd ten opzigte

van t, en de waarden van — , — , — afgeleid uit

dt dt dt

u, v, w zoo verkrijgt men zeer omslagtige uitdrukkingen

voor ⁽1fL , , ; evenwel kunnen deze op de vol-

dt dt dt

gende wijze zeer vereenvoudigd worden.

de

Uit de bepaling der grootheden s, <?, volgt, dat _.,

dt,

— niet co zijn in vergelijking van —1 , \'lï , \'!l, tenzij
dt dt dt dt

c?£ drj cli, d$ dri d£ ..

— , -=-. -TT\' ~ ^zön > vergeleken bij §,
da da da db do db

7, J; dit geval zullen wij buiten rekening laten. Verder

volgt uit 00, dat ^d±\\ ^dIi, ^dl\\ ^dJL,

dt dt dt dt dt dt dt

niet zijn tegenover ~ , \'hl, -1 en uit de betrekkin-
dt dt dt

gen (d) dat — , — , — dezelfde eigenschap bezitten.
d,t dt dt

Bij eene dergelijke onderstelling is daarenboven uit (h)

te bewijzen, dat geene der grootheden \'lil , \'—L, rc

dt dt dt

is in vergelijking van enz.
Dientengevolge is:

waarmede (7) wordt:

Beschouwen wij alleen het geval, dat de plaat slechts
oneindig weinig uit haren natuurlijken toestand bewogen
wordt, d. i. dat «_1? «₂, p₀, fc, y₀, y grootheden l^e orde
zijn en «₀, /?,, waarden hebben, die van de eenheid
grootheden 2_e orde verschillen, zoo vereenvoudigen zich
de vergelijkingen (e) tot:

<7f dï

- = «_{0 e} , - = * ,

d dt]
fa - ^/3°\' d& ⁼
dy __d£

terwijl de vergelijkingen (d) worden:

Pi Ki — o, «_s4 y₀=o, «! /?„ = o.

De grootheden q, p, p_l, die in J F dz voorkomen,

— c

worden nu na verwaarloozing hunner kleinste termen:
__ dX _

^q ~ da? \' ^P ~~ d^ \' ^Pl==~~W\'

u , 2 Kc³ . 2 Kc _/

btelt men J F dz —-— h 4- — h
— c 2 3

dan is uit het voorgaande:

f_l=-(- (^y 2 ( ^d% Y (^dl — V-

Vda²/ Vdfr J \\da db) 1 a- 0 V/a² dby
Substitueert men verder voor e, _fl, o- de waarden:

_dl j _ dij ^ _dr/

da ¹ db \' db da \'

zoo wordt:

ƒ _ 2 (,., , , „ , . dij \\ . l 2ö

i e

^d±y (^dJL\\ 2_d^d±^dJL l l (^di ^dl\\\\.

da) \\db J da db 2 \\db da) j

Daar f\\ alleen van f, /₂ alleen van | en r> afhangt,
kan de vergelijking (8) vervangen worden door deze twee:

(9) tij\'ff dt da db { , (§)\' (i)\'- f f, |=0,

O*

De laatste dezer vergelijkingen geeft aanleiding tot de
volgende ontwikkeling:

\\d*S d\'5\'; , ₀ d\'dï

da db da db

d*ï d>dS d /d;% , dn \\ fd\'K _ d\'dc -

dÏÏ ~W F ~0 Vdö⁸" dV.

De drie eerste termen van het tweede lid dezer verge

lijking zijn op deze wijze te ontbinden:

ff da db ^dl ** — ff da dbL(<Ü ^dö\'i
da" da\' \' da \\ da³ da

.ff*** (%A ff

da \\da. J da⁴

ff da db JiL. JiÊL —Jf da db l ( \\

da db da db ¹ da \\da db db )

-ff da db±(^_A H- ff da db JL.
^JJ db\\da?db da* db\'²

I ffdadb JL -*L —ff da ® * (Jï- -*L \\
da db da db db \\ da db da )

\'ff da db JL fJh— jf ) - - fj\'da db JLH-- «Jf,
da \\dadb* / da? db*

ff da dblï 13 = ff da db L( ËL. ^L)

db¹ db² \'^ft db V dl/ db J

-ffdadb±(lïöt\\ ffdabdJLi
^JJ db \\ dtf V db"

Aldus ontbonden, past men op een gedeelte dezer

integralen toe de stelling

,,_/t dF

J J da db —— ~ — f cos <p ds F 1),

da.

1  Deze stelling van Gauss wordt aldus bewezen:
dF

J\'J\' da db — — J sin ^ ds F,
db

waarin F eene willekeurige functie van a en b, ds het
element van den omtrek der plaat, en 0 de hoek is, dien
de binnenwaartsche normaal des omtreks met de positieve
X-as maakt. Deze hoek wordt door de X-as beschreven,
wanneer men haar draait, totdat zij evenwijdig loopt met
de normaal; bij de draaijing moet daarenboven de posi-
tieve X-as, na één quadrant doorloopen te hebben, met
de positieve Y-as zamenvallen :

De uitdrukkingen en verandert men tevens

da db

en a_t zijn de abscissenfvan twee punten Mj enMj, waar een e i-egte

lijn, evenwijdig aan de as oa, den

■ omtrek van het middenvlak ontmoet.

In de enkelvoudige integralen is
db de projectie van twee verschil-
lende elementen ds_x en ds₃ des
omtreks, gelegen in Mj en M₃. Vol-
gens de beteekenis, aan <p gegeven,
heeft men dan:

db — — ds₂ cos fi,db= dsjcos <pt;
immers in nevensstaande figuur is
y de inspringende hoek aan het
punt M, en <p_s de stompe hoek aan
punt M₃ gevormd door de aldaar geteekende pijltjes. Noemt men
dus in \'t algemeen <p den hoek, gevormd door den normaal met de
as oa, zoo heeft men:

„ dF _

J da db - = - J F cos <p ds.

dF d F . dF

waarin F, <p en s dezelfde beteekenis hebben als zooeven,
terwijl dN het element der normaal voorstelt; verder is
de rigting, waarheen s moet geteld worden, aldus aange-
nomen : wanneer men de positieve X-as draait op de wijze
als straks, wordt zij evenwijdig aan de tangens, getrok-
ken in de rigting van den wassenden boog, zoodra zij
eenen hoek <p — 90 beschreven heeft.

Nemen wij daarna de som der vergelijkingen (p), dan
ontstaat:

W da" db² dJfJ

/», \\dX ₀ dft . dK . _t }

—J ds { — cos <p 2-cosfsm <p -J--sm <p v

(dcc dadb db² j

_r , r/(ff <Ff \\ ( d³f \\ .

/ ds — --cos --1--sm W

\\da^s dadb\'J \\da* db db^sJ

d ( d²£ , _t . (d% d²? \\ .11

~~ T ] —,77, (^{cos 9} — ^sm v) br, — T-ï J^{C0S <pismv} \\
ds (da db \\db da / j _

Het overblijvende gedeelte van \\J\'J\' da db ö/i wordt

herleid door de vergelijkingen:

J J dadbFI ---1--) — / / da db G ( —

^J \\da² db\'J ^JJ \\da* db*)

^J dN ^J dN

dF _ dF da dF db

dN da\' dN db \' dN

dF _ dF da dF db

ds da ds db ds

waarin, volgens aanname, deze waarden moeten gesubstitueerd worden:

da db . da .,„ db ,_AOn .

— = cos <p, — ₌ sm <p, — = cos (<P — 90), — — cos (180 — <p).
dN ^r dN ^r\' ds ^K " ds

1) Gevolg van het theorema van Green; zie Grinwis Wisk. theor

der wrijvingselectr. p. 26.

en — — — cos 9 — sin <p; de beteekenis van alle letters
dN da db

blijft dezelfde als te voren, G is nu eene tweede wille-
keurige functie van a en b.

Alzoo herleid, wordt dit gedeelte :

. / da db[ 2---4-- )<*£ — / ds[ —-f--„--h

^{7 J} \\da⁴ da db db / ^J Wd&VdN

/», f/d³f ^ \\ , / d³£ d³n . j _tfa

* I^^{cos 55} U w)^{8111 p} I

De variatie van J\'J\'j\' q dt da db

geeft verder;

2 ,/yjd^a db§^=2 J\'fda db (f ) «
ai ai w/

■— 2 ^ J jJ dt da db -—„
dt"

Na substitutie van de gevonden waarden in (9), ver-
krijgt nu door de regels der Variatie-Rekening,
voor alle punten van het middenvlak:

d²f , 2 1 26 ₀ d⁴£ dt \\

= o —. -4--- -- c K( —4-2--1----I

df 3 1 0 W^T da²db² d&V

voor alle punten aan den omtrek.

l 2ö(/d³£ d³? \\ . / d³£ , dt\\ ■ )

~-- Jl —- —— 1 cos t» t {-4--lsin cp f-

1 6 \\\\da dadlfJ \\da\' db db³J

d f d²J , , . _{3 x} , /d²? d²f\\ . )

0 /d²? d²£\\ d\'f _s ,₉ (ff . .

=-1 — -I--H--cos q> 4- 2 --cos <» sin «c4-

1 öW d67 da³ dadö

d²£

sin" <p.

db²

De vergelijkingen (11) zijn niet de eenige, die de
bovenstaande theorie oplevert, want uit (9) zoude op

ongeveer dezelfde wijze een systeem vergelijkingen 1)
voortvloeien. Daar wij ons intusschen alleen met trans-
versale trillingen wenschen bezig te liouden, bepalen wij
ons tot de vergelijkingen (11).

B. Overzigt en beoordeeling van andere theoriën.

§ 5.

In zijne beroemde verhandeling (Crelle Bd. XL) heeft
Kirchhoff tevens eene beoordeeling van de theoriën van
Sophie Germain en Poisson medegedeeld. Deze beoordee-
lingen zullen wij nader toelichten, daar het ons voor-
komt, dat zij te zeer ineengedrongen zijn, en wij het
noodzakelijk achten, datgene te bewijzen, wat in § 1 is
gezegd. Tevens zullen wij van KirchhofFs methode ge-
bruik maken om aan te toonen, dat de theorie van J.
Bernouilli tot verkeerde uitkomsten moest leiden; hierin
ligt dan ook de reden, waarom de chronologische orde
in zooverre gewijzigd zal worden, dat de theorie van J-
Bernouilli eene plaats vindt na die van Sophie Germain.

a. Theorie van Sophie Germain.

Sophie Germain stelde: wanneer een element df van
het middenvlak van plaats verandert, is de kracht waar-
mede het wordt teruggedreven, evenredig aan zijne grootte

en aan de som J_ -f- —, waarin en t?,₂ de hoofdkroni-
testralen van het verplaatste element voorstellen.

1) Gehring, Diss. de aequationibus differ. quibus laminae crystal-
linae definiuntur p, 18.

Is N² eene constante, afhankelijk van de natuur en dikte
der plaat, en u de bovengenoemde som, zoo is de uit-
drukking voor deze kracht:

N²w df.

Hieruit is dan aanstonds de voorwaarde voor het even-
wigt der plaat:

(1) (JP- N² fududf— 0
waarin J P het virtuele moment der uitwendige krachten ,
en du de virtuele verandering van u aanduidt. Ingeval de
plaat oneindig weinig uit haren natuurlijken toestand wordt
gebragt door krachten, die op hare moleculen werken,
loodregt op het middenvlak, geeft de vergelijking (1) aan-
leiding tot de volgende berekening: laat weder het mid-
denvlak , in zijnen oorspronkelijken toestand het XY-vlak
van een regthoekig coördinaten-systeem zijn, z de afwij-
king van een punt x, y en Z\' de kracht die op de een-
heid van volume wordt uitgeoefend. Legt men verder
een vlak evenwijdig aan de Z-as, dat een hoek <p maakt
met het vlak XZ, door het punt x, y, z dan wordt hier-
door het middenvlak gesneden volgens eene kromme; zij
de kromtestraal dezer lijn in het punt x, y, z: q ; en 0 de
hoek tusschen de normaal op het verplaatste middenvlak
in hetzelfde punt met q, dan is:

^? d²z . d²z . d^sz . ₂

—cos² tp -)- 2-- cos <p sm <_}o -f- • sm <p

dx dx dy dy²

Wegens cle gemaakte onderstelling is het nu geoorloofd,

cos 0 = 1 te schrijven, en , \\ —) te verwaarloo-

\\dx) ^dyJ

zen, waaruit volgt:
1) Sturm, Cours d\'Anal. p. 209.

, . 1 cFs „ «Ps . d²^ .

(.a) — = — cos <p -j- Ju -cos <p sin <p -f- — sin\' «

o dx~ dx dy dif

Zijn de hoofdkromtestralen en q,₂, dan zijn de waar-
den van — en — het maximum en minimum van — ,

gl 02 q

of de wortels van de vergelijking:

\'d*z __ 1 \\ ftfz

\\dx² q / Wt/" § / dy,

dus ? — ^{1 1} — ^d*^{Z d>Z}

i>l Qz ^dx\' ^d!f

Bijgevolg is:

Past men hierop den bekenden regel:

pd?q — d (pdq) — d qd*p
toe, waarin p en q willekeurige functiën aanduiden, dan
heeft men:

1

1) De maximum en minimum waarden van — voldoen aan de con-

?

—0; bijgevolg is uit de vergelijking (a), die wij kortheids-

ditie d

^yQ

halve schrijven

1

— — r cos³ <p 2 s cos ip sin <p t sin² f,

d (— ) = 0 — (t — r) sin 2 <p - - 2 s cos 2 <p\\

2 s r — t 2s

waaruit«^ 2 <p— ——,cos2f= — — , sin 2^=

^r~^t l/(_r--t)\' 4s² \' ]/"_(r—f)2 4s2

Substitueren wij deze waarden in (a), die wij daartoe schrijven:
o

— = (r t) (r — () cos 2 <p 2s sin 2 f,
§

/ 2 \\²

zoo is: (--r — t ) — f)² 4 s², of na herleiding:

)

.. s.d\'z d^sdz , , /♦/\'7 i d /d\'z d<*z\\

/ / — -dx dy — / / dx dy — f ---I

^JJ dx² dcc² \' \'\' ^J dx\\dx* dx)

— CJ dx d y — (— \\ 4- f f dx dy — ,

rr^d\'^{z rm} dx dv — /Ydad«^d f^d*^{z ddz}\\
JJ Tit y —J J y T~ ( T~ I

" dy² dx dx \\dy² dx J

— JJ\'dx dy — f ^dz dz) -\\-JJ dxdy ^d~ ■
dx\\dxdy J dxdy

/* fd^z d\'dz , /</\', , d /d²z ddz\\

J J — — ax dy ~ J J dx dy —. ( — — )

dx² dy² \' dy \\dx~ dy J

—J,f dx dy — f ^d" dz\\ -(-,/J\'dx dy ■ ^d~ dz,

dy \\dx*dy J dxdy

f\'f>diz d\'dz , f P d (£tz ddz\\

JJ - TT dy—JJ dxdy - ( __J
dy dy dy \\dx dy J

—JJ* dx dy - <Jz ^ -*rJJ dx dy — Je.

cfa/ ) dy¹

Vervormen wij nu de eerste en tweede termen van de
laatste leden dezer vergelijkingen door de Gaussisclie
formulen:

JJ dx dy — = —J ds cos y F, 1)

dx

ff dx dy^dE-~— J\'ds s^n <p F ,
dy

ddz ddz ddz . ddz

en — ~ — cos <p —-sm <p 1), —.

dx dN ds dy

ddz . ddz

— _ sva. cp — —. cos w.
dy ^Y dN

Na deze vervorming verkrijgt men, door optelling der

1) De grootheden T, <p, s, N hebben hier dezelfde beteekenis als in
§ 4; alleen is nu F eene functie van x en y in plaats van, zooals
daar, van a en b.

verticale rijen dier vergelijkingen, ééne nieuwe, waarvan
liet eerste lid is Ju du df, terwijl het tweede lid bestaat
uit de drie sommen:

^s W d?l dN

, /• , (\' d /d*z d²z\\ . d f d²z d\'z\\ |
./ ds] cos <p — — H--\\ sin f — I--1--U dz.

(. dx \\dxr dy J dy\\dx^z dij) J

■vTdxdi l— (— — (—

Substitueert men deze uitkomst in vergelijking (1), en
merkt op, dat d P ~ / JJ q Z\' dx dy dz; zoo volgt, wan-

fï ft?

neer na vereeniging, de coëfficiënten van dz en _

dN

gelijk nul gesteld worden:

/n\\ xt2 (d\'u d²a\\ „

met de grensbepalingen:

^U dN

De oplossing der differentiaalvergelijking (2) is nu
door de voorwaarde ït — o reeds volkomen bepaald; in
het algemeen is het dus niet mogelijk aan de tweede
conditie te voldoen; hieruit volgt dat de plaat in het
algemeen niet in evenwigt kan zijn. Een gevolg uit de
hypothese van Sopliie Germain afgeleid is dus onjuist;
men mag dus veilig aannemen, dat ook de overeenstem-
ming met experimenten door haar gevonden slechts
schijnbaar is.

Uit (2) is tevens gemakkelijk te zien, dat voor het

d?z

geval dat Z\' — — —- is, deze vergelijking overgaat in
dij

de vroeger gevondene (§ 4. Verg. (11)), waardoor het

duidelijk wordt, dat de vergelijking van beweging, door
haar afgeleid, toevallig de ware is.

b. Theorie van J. Bernouilli.

Zooals reeds vroeger werd vermeld, tracht J. Bernouilli
de theorie van regthoekige vrij e platen terug te brengen
tot de theorie van elastische staven, die door L. Euler
eenige jaren vroeger gegeven was 1). Hij beschouwt
daartoe eene plaat als de aaneenvoeging van twee lagen
van gelijke dikte 6; ieder dezer lagen als de aaneenvoe-
ging van oneindig vele staven die volkomen aan elkan-
der gelijk zijn , naast elkander liggen en dezelfde dikte
hebben als de laag waarvan zij een deel uitmaken; ter-
wijl de staven der eene laag loodregt op die der andere
liggen.

Ligt de plaat oorspronkelijk in het vlak XOY, en wijkt
een element dx dy der plaat (dit element bestaat dus uit
twee op elkaar liggende quadraatjes) ten gevolge van
uitwendige krachten hiervan eene grootheid z af, dan
vindt hij voor de versnellende kracht in dit element
rr de som der versnellende krachten van beide lagen :
₂ /d⁴z d*z \\

waarin a eene constante is, afhankelijk van den aard
en de dikte der plaat. Hiermede stelt hij, in navolging
van Daniël Bernouilli, deze differentiaalvergelijking op:

2 /d⁴z d*z \\ z
(3) a (— - — —

⁷ \\dx⁴ dy⁴ ) l ■

1) Investigatio motuum, quibus laminae et virgae elastieae contre-
miscunt. Act. Acad. Petrop. pro ann, 1779.

Volgens d\'Alembert schrijven wij haar :

... „ (d^Az , d*z \\ d²z

(4) ê I- -) H--— o

\\ dx⁴ dy ) dt*

Ofschoon nu J. Bernouilli reeds zelf in zijne verhan-
deling eenige argumenten tegen zijne theorie noemt, en
aantoont, dat de gevolgen dier theorie veel verschillen
van de resultaten door Chladni verkregen, voegen wij
hierbij nog een bewijs, waarom zijne differentiaalverge-
lijking (4) niet de juiste kan zijn.

Zoeken wij vooreerst de grensconditiën die bij (4) be-
hooren. Deze zijn gemakkelijk te vinden, wanneer men
uitgaat van de vergelijking ((1) § 5)

<JP — a? J udu dx dy — o.

Behandelt men deze vergelijking op de wijze als reeds
meermalen is geschied, onderstellende

f d\'z V fd\'z V PP* * .

^u=\\dj) =
zoo verkrijgt men de vergelijking (2) terug, en tevens
als voorwaarden, aan den omtrek te vervullen ;
d\'z d?z _
~dkf

d³z . dh d ( . fd?z d³z\\\\

cos w —. 4. sm <p--f. —( cos es sm w (--— =

dx-» \' d y ds V \' d_x* dtf ))

Stellen wij nu in (4)

t

z = v sin--

1/f\'

is hierin v eene functie van x en y, dan moet voldaan
worden aan de voorwaarde :

, / d*v d^Av
a⁵ —-

\\ dx* dy* / " l
Deze vergelijking dezelfde zijnde als (1), zoo zal de
oplossing van J. Bernouilli ook hier gelden; bij gevolg is

1,21  _|2X I)^f / (21 1) ^ -(21 1,^

_e e ^2a \\ e \'⁴±e *)

* ²\' ±e >^b \\_e ^X±e

1/2- ^C0S (2i l)*Ll.

* sin ^ > 26 I

De coördinaten liggen hierbij evenwijdig aan de zijden
a en b, en ontmoeten elkander in het snijpunt der diago-
nalen van den regthoek; de grootheid A is eene wille-
keurige constante.

d\'/\' ij\'t\'

Leidt men — -f —-uit (5) af dan is het niet moeije-

dx" dtf

lijk aan te toonen, dat deze uitdrukking niet verdwijnt
voor x — ^wat y i en y — ± ~ wat x zij, zooals

volgens de eerste grensbepaling moest plaats hebben. De
tweede conditie-vergelijking hebben wij niet onderzocht,
dewijl het vorenstaande reeds genoegzaam is, om de
waarheid van de volgende redenering aan te toonen.

Was zijne differentiaalvergelijking (4) goed, dan moest
zijne uitkomst aan de gevonden grensbepalingen voldoen;
dit geschiedt niet; daaruit volgt dat öf zijne differentiaal-
vergelijking niet deugt, of de bepaling zijner constanten
foutief is; op deze bepaling der constanten valt niets aan
te merken, dus is zijne vergelijking (4) niet de ware.

c. Theoriën van Poisson en Cauchy.

Poisson was de eerste die eene theorie gaf, waarin hij
een streng bewijs leverde voor de vergelijking der tril-

lende beweging eener plaat. Korten tijd liierna verscheen
eene theorie van Cauchy, die wel in de wijze van uit-
eenzetting van die van Poisson verschilt, maar toch in
hoofdzaak daarmede overeenkomt. De grensbepalingen van
beiden voor vrije platen komen overeen 1) en zijn drie in
aantal, daar beide theoriën analytisch aangeven, dat de drie
composanten der drukking op den rand der plaat — o zijn-

Een overzigt van hunne theoriën zullen wij achterwege
laten, daar dit te veel plaats zou vereischen ; de rest van
deze paragraaph echter zal gewijd worden aan het bewijs
dat aan de grensconditiën van Poisson in het algemeen
niet kan voldaan worden, en zij voor het geval eener cir-
kelvormige plaat overeen komen met die van Kirchhoff.

Ontbreken uitwendige krachten, zoo zijn de voorwaar-
den van Poisson, in onze schrijfwijze uitgedrukt: 2)

[d\\ d\'ï \\ /d\'S d\\ \\ .

(7) ( — _i--— ) cos <n (--(---sin <5 = 0,

^V \' \\da\' da db\'J ^V \\db° db da?)

(8) - sin w H----4---------) cos <p — 0 ,

da db \\3 da\' 3 db\')

,_Q* dfç MdX 1 d*£\\ . _A

(9) - cos <p -f- ( - — _ .— sin w — 0.

da db \\3 db¹ 3 da\')

Ten einde deze gemakkelijk met die van Kirchhoff te
vergelijken, stellen wij in de laatsten 6 ~ ï , daar Poisson

1  Voor platen die aan den rand zijn vastgeklemd (dont les bords
sont encastrés) leveren hunne theoriën echter verschillende grensbepa-
lingen op. In de Exerc, de math, trois, ann. p. 346 van Cauchy toch
lezen wij :

»M. Poisson a joint une troisième condition qui disparaît d\'elle
même dans le cas où la plaque élastique devient circulaire, et dont
l\'admission, dans les autres cas, nous paraît sujette à quelques
difficultés.

in deze onderstelling zijne theorie heeft ontwikkeld; zij
worden dan:

_m 4 ( d³? v fd% d^s£ \\ . |

(I) _ }/ — -f- --\\ cos w ----\\ sm <p V

3 ({da¹ da dl?) \\db* dbdd¹) (

--T I T~rT (^cos ¥ ^sm v) (37cos^sm? 1=0,

dsldadb \\db\' da/ J

_/rTN 1 /<n d*£\\ d³J ₀ d^sf . d²?

(II) _ ( _ —) h-_1cos*?» 2----cos fj sin « -f- — .

3 \\ da² dby da² aa do db

sin² <p — o.

Voegen wij bij (I) en (II) nog deze:

(III) -■-— (cos <p — sm <p) f —. — —.) cos ? sm ? = 0
\' da db \\dlf da J

zoo blijkt het, dat (7), (8), (9) en (I), (II), (III) vol-
maakt dezelfde zijn; want uit (7), (8), (9) kunnen (I),
(II), (III) afgeleid worden en wederkeerig deze uit gene,
zooals aanstonds opgehelderd wordt door de identieke
vergelijkingen:

(9) sin cp -f- (8) cos <p rzz (II)
(9) cos _? —(8) sin® "-(III)
waaruit wederkeerig:

(II) cos cp — (III) sin ₉ = (8)
(II) sin cp (III) cos ₉ = (9).
Zijn nu f, en f₂ twee functiën, die aan de vergelijking:

dt\' \\da⁴ da" db⁸ db*J

en tevens aan (I) en (II) voldoen, onder voorwaarde even-
fit d²?.

wel, clat __1 = .—i 1) zij, zoo zal de waarde f = — Q,

df dtr

nog aan (I), (II) en (IV) voldoen.

1) Wij gaan hierbij dus van de onderstelling uit, dat er twee op-

lossingen bestaan kunnen, zoodanig dat —— = —; demogelijkheid

dl² dt2

De gelijkstelling cler waarden van \\ JJ dadbsf\\, voor
en na cle vervorming der vorige paragraaph, geeft eene
identieke vergelijking; stelt men hierin <j£ =r i\'Q, be-
schouwt i als eene oneindig kleine constante en deelt door
2i dan is:

Jfia Al, {(*)■ 2 f*.)

\\\\dofJ \\dadb/

_ fdX d% yj _

i ö w ^y J ~~

rri AI ¹ 2Ö rdt d\'i |
JJ dadb---^ ] 2 — ~ [ w

1-j-ö (da* dadb² db*)

^{J ch} Lt T~ \\ W\' d«dJ^cos * U ■

^ \\ . 1 d r dt , ₂ . ₂ ,

db daV J ds (da d&
1 .—--- I cos w sin <p \\w — / ds \\- —i _ \\

W da*J ^v IJ ^J db*J

H—— cos² co -4- 2-cos y sin p — sm <p >--

da⁴ dadó d&⁸ $ dN

Door — f.₂ wordt het laatste lid dezer vergelij-

king nul; dus moet ook het eerste lid verdwijnen. Dit
brengt, daar 0 positief is, mede :

cH __ dfC _ d% __
da* °¹ dadb ~~ °\' db*~~°
waaruit f — f, — f₂ — A.a B6 C.

Wij zien dus dat alle oplossingen van (I), (II), (IV)
bevat zijn in ^ (Aa 4- Bè C) wanneer men aan de
arbitraire constanten A, B, C alle mogelijke waarden
toekent.

hiervan blijkt, wanneer men zich de plaat in evenwigt denkt, dan

toch is =

df dP

Substitueert men deze algemeene oplossing in (III) zoo

wordt zij:

d% , ₂ . . (d\\ d\\,

--- (cos <p — sm^! <p) -4- —- — .—. \\ cos <p sin <d — o.

dadb ^V fJ \\db² da²)

Aan deze vergelijking kan, daar reeds eene bepaalde
functie voorstelt, in \'t algemeen niet voldaan worden, q. e. d.
In het bijzondere geval, dat de plaat cirkelvormig is,
wordt aan de vergelijking (III) intusschen wel voldaan.
Leggen wij, om dit te bewijzen, den oorsprong der coör-
dinaten in het middelpunt; wij mogen dan de ordinaat
f van een willekeurig punt van het middenvlak als eene
functie van den afstand r tusschen dit punt en het
middelpunt beschouwen; hiermede worden de partiele
differentialen:

<f£ V dK
__I . _ -[--I

dr² r² dr

Voorts cos (p = - , sin <p rr schrijvende, ziet men
r r

dat aan de vergelijking (III) van zelf voldaan wordt.

Uit deze berekening is het derhalve duidelijk, dat in
dit bijzondere geval de conditie-vergelijkingen van Poisson
volmaakt overeenstemmen met die van Kirchhoff; en hierin
Hgt tevens de verklaring, waarom Poisson zijne vergelij-
kingen op dit geval kon toepassen; hij deed dit in het
Vervolg van zijne verhandeling, hierboven aangehaald.

HOOFDSTUK II.

Experimenten.

Daar dit hoofdstuk gewijd wordt aan een overzigt van
hetgeen op experimenteel gebied omtrent ons onderwerp
geschied is, zoo achten wij het noodzakelijk, daarop te
wijzen, dat wij ons niet zoozeer met cle wijze van proef-
neming, en eene nadere beschouwing daarvan wenschen
bezig te houden, als wel met de resultaten, die uit de
proeven zijn af te leiden; om daardoor tot eene juiste
beoordeeling te geraken van hetgeen nog verwacht wordt
van de Theorie der trillende platen, wanneer de oplos-
singen der differentiaalvergelijkingen, in het vorige hoofd-
stuk vermeld, voor alle bijzondere gevallen ontdekt zul-
len zijn.

A. Zandjiguren.

Wanneer men eene plaat in zeker punt ondersteunt
of vasthoudt, en aan haren rand met een strijkstok
loodregt op haar vlak aanstrijkt, geraakt zij in eenen
toestand van trilling, dien men transversaal heet, en
Iaat daarbij een bepaalden toon hooren. Bij deze trilli*¹"

gen is de beweging van alle deelen niet dezelfde, maai-
de plaat verdeelt zich in meerdere velden; zoodanig, dat
de beweging van twee aangrenzende tegengesteld is. De
lijnen die twee zulke velden scheiden, deelen dus in
geene van deze beide bewegingen, en dragen daarom den
naam van rust of knooplijnen.

Wordt nu bij horizontale ligging der plaat, zand of
eenig ander grof poeder op hare oppervlakte gestrooid,
dan hoopt zich dit, bij trilling, in de knooplijnen open
maakt deze zigtbaar.

De figuren hierdoor ontstaan, bespreken wij in twee
paragraplien, waarvan de eerste handelt over de resul-
taten der proeven van Chladni of het verband tusschen
de figuren en de toonen die tegelijker tijd worden voort-
gebragt; de tweede over de verklaring van sommige
dezer figuren door Wheatstone.

§ 1-

De zooeven genoemde en vele andere proeven zijn het
eerst door Chladni beschreven in zijne »Entdeckungen
über die Theorie des Klanges (1787),» naauwkeuriger
evenwel onderzocht in zijne »Akustik (1802)» en. »Neue
Beiträge zur Akustik (1817).» Zijne proeven hebben voor-
namelijk betrekking op regtlioekige en elliptische platen,
wanneer wij daaronder ook vierkante en cirkelvormige
verstaan.

a. Regtlioekige platen.

Bij de proefneming met regthoekige platen, valt on-
middellijk in het oog, dat de knooplijnen zeker streven

bezitten om zich in de rigting van de zijden van den
regthoek te plaatsen. Tot deze normale rigtingen laten
zich dan ook alle figuren dezer platen terugbrengen en
dit geeft als van zelf de schrijfwijze aan de hand die
Chladni invoert. Door middel van twee getallen, ge-
scheiden door eene verticale streep, stelt hij iedere figuur
voor. Het getal dat links staat, wijst dan aan lioevele
lijnen moeten beschouwd worden evenwijdig aan de kortste
zijde (breedte) te loopen, het andere getal hoevele lijnen
parallel aan de langste zijde loopen of als zoodanig moe-
ten worden aangezien.

Nemen wij nu met Chladni aan, clat iedere plaat
oneindig veel toonen geven kan, dat er evenwel grenzen
zijn die hunne voortbrenging, zoowel als het menschelijk
gehoor beperken, dan volgt uit het voorgaande dat er
bij alle platen ook oneindig vele klankfiguren zullen
bestaan, die met deze toonen overeenkomen. Bij regt-
hoekige platen kunnen dus alle klankfiguren voorgesteld
worden door:

0 | 0, 0 | 1, 0 | 2, . . . tot 0 | ^
L | 0, Ijl, 1 | 2, . . . tot 1 | c*
2 I 0, 2 I 1, 2 ! 2, . . . tot 2 j ee

j 0, GO ) 1, GC | 2 . . . tot co | CO.

Hoe eenvoudig deze schrijfwijs nu ook schijnen moge,
somtijds heeft men veel oefening noodig om juist te
beoordeelen, welke de normale figuur is waartoe zekere
kromlijnige figuur kan worden teruggebragt; iedere wijze
van beweging, iedere klankfiguur toch kan menigvuldige
veranderingen ondergaan, die nu eens worden teweeg-
gebragt door onregelmatigheden van de plaat, dan weder
te voorschijn treden bij eene kleine verandering van de

plaats waar vastgehouden en aangestreken wordt. Hoe-
wel bij dit laatste de figuur kan gewijzigd worden,
brengt dit weinig of geene verandering van den toon te
weeg, omdat ieder trillend veld aan de eene zijde in
grootte verliest wat het aan de andere zijde wint; zoodat
de verhouding van de grootte der velden en daarmede,
volgens Chladni, de toonshoogte niet gewijzigd wordt;

de achtereenvolgende
overgangen hiernevens
afgebeeld, treft men
clan ook veelvuldig aan.

Beginnen wij nu met het eenvoudigste geval, dat nl.
de beide zijden van een regthoek gelijk zijn, dan spreekt
het van zelf, dat in de schrijfwijze, zooeven aangeno-
men, het onverschillig is, welke zijde men als lengte,
welke zijde als breedte beschouwt ;0|2en2|0,2|3
en 3 [ 2 dezelfde beteekenis hebben. In de volgende
tabel, door Chladni zelf zamengesteld vindt men zijne
proeven omtrent deze soort van platen geresumeerd 1) :

1) Neue Beiträge zur Akustik.

In deze tabel is aangenomen dat g een octaaf dieper is dan G, het-
geen trouwens uit de trillingsgetallen reeds te zien is. Bovendien
merken wij op dat de teekens 4- en — somtijds tussehen haakjes
geplaatst zijn om aan te geven dat dit niet bij alle platen werd waar-
genomen.

I \\

b, 15 a\' . . b&i
27 ,28—

b\', 30

c2( ), 32? 33?

In sommige vakjes vindt men twee toonen door eene
horizontale lijn gescheiden. Dit wijst op het verschijnsel,
dat somtijds twee figuren, heide weinig verschillende van
ééne normale figuur, met verschillende toonen overeen-
komen. Het valt in het oog dat dit enkel daar het geval
is, waar de som van het aantal knooplijnen in beide
rigtingen even is. Ter onderscheiding der beide figuren
schrijft Chladni een dwarsstreep onder of boven de ver-
ticale streep van iedere figuur naar gelang hij de eerste
of laatste bedoelt; zoodat bijv. 4_J_0 de figuur aanduidt
waarbij —, 4 | 0 die waarbij G⁵² staat. De toon aan-
genomen voor Ijl is g. Dat men hierin vrij is, en dat
platen van allerlei aard, mits van denzelfden vorm, tot
het zamenstellen van zoodanige tabel kunnen dienen, is
duidelijk wanneer men in aanmerking neemt dat bij elas-
tische strooken en platen van denzelfden vorm deze wet
geldt:

waarin de beteekenis der letters de volgende is :

S het aantal transversaaltrillingen in eene seconde, n
een getal dat voor iedere wijze van trilling verschillend
is, D de dikte der strook, L hare lengte, R de vast-
heid (rigidité) der stof waaruit zij bestaat, P haar gewigt
en g de versnelling der zwaartekracht.

Ten einde nu een gemakkelijk overzigt te verkrijgen
van het verband dat tusschen de toonen der verschillende
figuren bestaat, nemen wij nog eene tabel van Chladni

1) Euler Act. Petrop. A°. \'1779 pars i. Investigatio motuum cjuibus
laminae etc.

over, waarin hij de trillingsgetallen der vorige tabel zoo-
danig in factoren ontbindt, dat daaruit de zamenhang
der toonen zooveel mogelijk te voorschijn treedt. Voor
wij deze tabel mededeelen merken wij nog op dat daaruit
alleen verhoudingen tusschen de trillingsgetallen der ver-
schillende toonen kunnen voortvloeijen, immers Chladni
plaatst bij g niet het absolute aantal trillingen maar een
willekeurig getal (6).

Noemt men n een onbepaald geheel getal, N het on-
even getal welks quadraat bij de figuur n | 0 gevonden
wordt, dan zijn de merkwaardigste resultaten uit de laatste
tabel af te leiden, de volgende:

1. De getallen bij de figuren n j 0 behoorende zijn de
quadraten der reeks 3, 5, 7 . . wanneer n achtereenvol-
gens de waarden 2.3.4.. verkrijgt.

2. De getallen der figuren n | n—3 zijn — 2 (N—2)²;
de waarden van n, waarvoor dit plaats heeft zijn: 5,6,7...

3. De getallen welke men bij n_\\_n—2 vindt, zijn ~
(N—2) (2 N—1) terwijl n ~ 5, 6, 7 . . is.

4. De getallen bij n~n—2 behoorende zijn — 2 N
(N—2) of\' — 2 (N—l)²; in het eerste geval kan n de
waarden 5, 6, 7.. hebben; in het laatste ook de waarde 4.

5. De getallen der figuren n \\ n—1 zijn = 2 N²—N
wanneer n — 2, 3, 4 . . is.

6. De getallen welke men bij n | n vindt zijn =
2N²-f-2N in de onderstelling dat n — 4, 5, 6.. is.

De andere soorten van regthoekige platen zullen ons
minder lang bezig houden, daar zij niet zoo uitvoerig
zijn nagegaan.

De proeven omtrent verschillende regthoekige platen,
door Chladni genomen, brengt hij op dezelfde wijze als
zooeven is aangetoond, weêr in tabellen; de regthoeken
waarvan hij gebruik maakt, hebben allen eene zijde gelijk
aan die van het vierkant dat de medegedeelde tabel op-
leverde; hierdoor wordt de vergelijking gemakkelijker.
Wij achten het voldoende alleen op deze tabellen gewe-
zen te hebben, en gaan onmiddellijk tot eenige resultaten
over, hieruit afgeleid.

Vooreerst valt in het oog, dat bij alle regthoeken, —
wat ook hunne breedten zijn — (de lengte wordt con-

stant ondersteld) de absolute toonshoogte van de figuren
2 j 0, 3 i 0, 4 | 0 . . . onveranderd blijft, terwijl de ver-
houding dezer toonen weder is als 3^S : 5² : V. . . Dit
gaat nog door, wanneer de breedte zoozeer afneemt dat
de plaat in een staaf overgaat; geldt evenwel niet geheel
wanneer de breedte der plaat gelijk is aan hare lengte :
in geval van een vierkant zijn alle toonen van deze reeks
ongeveer een\' halven toon dieper.

In de tweede plaats vindt men ook bij de toonen van
0(2, 0 | 3, 0 j 4 ... de verhouding van 3² : 5² : 7². .
terwijl de hoogte dezer toonen toeneemt omgekeerd even-
redig aan de vierkanten van de breedten.

Verder is duidelijk op te merken, dat bij voortdurende
afneming der breedte de toonen van ljl,2|l,3|l...
de verhouding 1:2:3... naderen: deze verhouding
wordt geheel bereikt, wanneer de lengte meer dan 8-maal
de breedte meet. De hoogte van den eersten toon dezer
reeks, dien van 1 | 1, neemt ongeveer toe in omgekeerde
reden van cle breedte der plaat.

Bij figuren eindelijk, waar meerdere lijnen in de lengte
en in de breedte voorkomen, worden alle toonen hooger,
zoodra de breedte der plaat afneemt; dit verschijnsel
hangt meer van het aantal lijnen in de lengte, dan van
het aantal dwarslijnen af.

b. Elliptische platen.

Beginnen wij weder met het eenvoudigste geval, dat
nl. de assen der ellips gelijk zijn; bij deze, cirkelvor-
mige , platen, bestaan de knooplijnen uit cirkels en
diameters of liever zij laten zich terugbrengen tot cirkels

die concentrisch zijn met de plaat en diameters van
deze.

Op dezelfde wijs als vroeger, iedere figuur voorstellende
door twee getallen gescheiden door eene verticale streep,
waarvan het eerste het aantal diameters, het laatste het
aantal cirkels telt, kunnen wij Chladni\'s proeven op nieuw
in eene tabel zamenvatten. De willekeurig aangenomen,
diepste toon bij 2 | 0 voortgebragt, zij c.

De verhoudingen van de toonen dezer tabel komen
ongeveer overeen met de quadraten van de volgende ge-
tallen, waarin iedereen dadelijk de volgorde zal opmerken;

De volgorde is evenwel niet geheel zoo fraai als zij
aanvankelijk schijnt, daar de figuren 2 | 0, 3 | 0 . . die
wel toonen opleveren, evenredig aan 2^a : 3² . . . niet in de
rij 2 | 0, 2 | 1, 2 [ 2 ..., 3 | 0, 3)1..., enz. passen ;

ten einde dit duidelijk te maken zijn de cijfers belioorende
bij 2 | 0, 8 | O . ., in haakjes ingesloten. Alle getallen
van de laatste tabel kan men vinden, kleine afwijkingen
verwaarloozende, door de formule (D 2 C)* waarin C
het aantal cirkels, D het aantal diameters van de corres-
ponderende klankfiguur voorstelt.

Gaan wij nu over tot elliptische platen waarvan de assen
verschillen.

In het algemeen hebben de klankfiguren der elliptische
platen, waarvan de assen weinig verschillen, veel over-
eenkomst met die van cirkelvormige; — is dit verschil
groot, dan ziet men duidelijk overeenkomst met regthoe-
kige platen.

Om nu dezelfde schrijfwijze van vroeger ook hier te
behouden, zullen wij met Chladni aannemen dat eene
elliptische knooplijn gelijk staat met twee lijnen evenwij-
dig aan de lange as. De veelvuldige proeven door Chladni
omtrent deze soort van platen genomen, heeft hij weêr
in dergelijke tabellen, als medegedeeld zijn, zamengevat.
Bestudeert men deze tabellen die allen betrekking hebben
op ellipsen waarvan ééne as (2a) altijd gelijk blijft, ter-
wijl de andere telkens afneemt, dan is het niet moeijelijk
daaruit het volgende te lezen:

De toonen van de twee horizontale reeksen

2 | 0, 3 | 0, 4 j 0 . . .
1 | 1, 2 | 1, 3 | 1 ...

zijn, bij klein verschil van assen

dezelfde; bij toenemend verschil, beginnen zij allengs af
te wijken; het eerst openbaart zich dit in de diepste
toonen der beide reeksen.

De verhoudingen der toonen van de le reeks: 2 | 0,

3 | 6.. zijn niet meer dezelfde als bij eene cirkelvormige
plaat: hier wijken zij minder uiteen dan 2²: 3²:..

De verhoudingen der toonen van de 2e reeks ; 1 | 1,
2 | 1.. schijnen bij afneming van de as 2b telkens nader
te komen aan die van 1:2:3..

De absolute hoogte der toon van 1 j 1 neemt ongeveer
in dezelfde reden toe, als de kleine as afneemt.

Bij de verticale reeks 0 | 2, of 0 | 3, ... is de verhouding
der toonen ongeveer dezelfde, als die van de toonen der
reeks: 2 [ 0 3 ] 0 .. ., hoewel gene veel hooger zijn: ligt

— tusschen — en — , zoo is het verschil een octaaf: dit
6 4 3

verschil wordt voor — — 2 , 2 octaaf: voor — iets kleiner
b b

dan 3, drie octaaf; voor —iets grooter dan 4, vier octaaf.

b

De tabellen, zamengesteld voor ellipsen, waarin

a 58 „5 3 n . . , 1-1,1

_ = —, —, . . of -₅ waarin n ieder geheel getal mag

6 3 3 3

zijn, vertoonen allen deze bijzonderheid, dat in de hori-
zontale reeksen, l|l,l|2,...,2|0,2jl,... enz.
dezelfde toonen in dezelfde volgorde voorkomen; terwij I
de verticale reeksen, waaronder de gelijke toonen staan ,

& 5 <28

hij_— .— twee , bij __ — •— drie, enz. verschillen.

^J b ~~ 3 b 3

Dit wordt ook aldus uitgedrukt: wanneer het aantal

dwarslijnen door B, het aantal lijnen in de rigting der

lange as door A wordt voorgesteld, zoo hebben alle

figuren voor welke B (n 2) A even groot is ook

denzelfden toon (deze n is hier dezelfde als te voren, zoo\'

dat wanneer —L — , n == 1 is).
b 3

Merkwaardig zijn ook nog de platen, waar — ~~

is, daar men in dit geval de toonen van de twee reeksen:
0 | 2, 1 j 2, 2 | 2, 3 | 2 . . .
3 | 0, 4 | 0, 5 j 0, 6 | 0...
even hoog vindt.

De proeven op platen van anderen vorm, dan de tot
hiertoe behandelde, genomen gaan wij om twee redenen
voorbij. Vooreerst, om wijdloopigheid te voorkomen; daar
bij eenige andere plaat de figuren niet zoo gemakkelijk
te groeperen zijn als dit in \'t voorgaande geschied is en
wij dus genoodzaakt zouden zijn iedere figuur en haren
corresponderenden toon mede te deelen. Ten tweede mee-
nen wij, dat de opgesomde resultaten, als de eenvou-
digste, reeds genoegzaam zullen wezen om aan. te toonen,
hoe verre de Theorie bij de waarneming ten achter is.

§ 2.

Wheatstone 1) geeft eene soort van synthese van de
figuren, die door Chladni op vierkante platen werden
waargenomen, en bouwt daarop eene rangschikking dezer
figuren.

Den grondslag, waarop deze synthese berust, zullen
wij eerst trachten aan te geven en met een voorbeeld
ophelderen om daarna als supplement van zijne theorie
de vergelijkingen der klankfiguren te zoeken; eindelijk
zijne rangschikking mededeelen.

De resultaten omtrent elastische strooken, door Euler

1) Philos. Transact. A° 48;\'-3: On the figures obtained by strewing
sand on vibrating surfaces, commonly called acoustic figures.

4*

theoretisch gevonden 1), zijn het uitgangspunt der syn-
these van Wheatstone. Resumeren wij deze resultaten,
die door de waarneming volkomen bevestigd zijn, in
weinige woorden.

Wanneer eene elastische homogene strook, d. i. eene
plaat die overal gelijke dikte heeft, van den vorm eens
regthoeks, welks eene zijde veel grooter is dan de an-
dere , — in trilling gebragt wordt, zal deze strook zich
bewegen en een stelsel knooplijnen vertoonen evenwijdig
aan de kortste zijde. Deze knooplijnen zullen altijd op
gelijke afstanden van elkander gelegen zijn; terwijl de
afstand van de uitersten tot de uiteinden ongeveer de
helft zal bedragen van den afstand tusschen twee knoop-
lijnen. Het spreekt wel van zelf, dat bij ieder dezer
figuren ook een verschillende toon behoort. Vergelijkt
men platen die dezelfde figuur vertoonen, dan zal de
hoogte van den toon wel veranderen met de lengte, maar
niet met de breedte.

Daar in het vervolg alleen sprake zal zijn van knoop-
lijnen die op de platen ontstaan, dat is van de plaatsen,
waar de platen bij hunne trilling geene beweging onder-
vinden, en wij daarenboven weten, dat de velden waarin
eene plaat door eene knooplijn verdeeld wordt tegenge-
stelde beweging bezitten, komt het ons wenschelijk voor,
de platen eenvoudig gebogen te denken, zooals zij dat
werkelijk zijn op het oogenblik als de trillende deelen
de grootste afwijking van hunnen oorspronkelijken toe-
stand bereikt hebben; tevens zullen de deelen, die zich
alsdan boven of onder hunne oorspronkelijke ligging
bevinden, onderscheiden worden door de namen positief
en negatief.

1) Act. Acad. Petrop. A° 1779 pars 1.

Wheatstone onderstelt nu, dat eene vierkante plaat,
in trilling gebragt, twee gelijke systemen knooplijnen te
gelijker tijd doet ontstaan, evenwel zoo, dat liet eene
systeem knooplijnen heeft evenwijdig aan de eene zijde,
het andere systeem knooplijnen evenwijdig aan de andere
zijde van het vierkant. Elk dezer systemen bepaalt den-
zelfden toon, terwijl de beide systemen aanleiding geven
tot eene meer zamengestelcle figuur. Beschouwt men de
plaat als gebogen ten gevolge van beide bewegingen,
dan is het gemakkelijk te begrijpen, waarom de zanien-
stelling der resulterende figuur geschieden moet naar de
volgende regels :

De punten waar de knooplijnen van twee systemen
elkaar snijden, blijven in de resulterende figuur in rust.

De knooplijnen van eene figuur verdwijnen, zoodra
zij vallen op deelen der tweede figuur die positief of
negatief zijn.

Nieuwe rustpunten of compensatiepunten worden ge-
vormd daar, waar buigingen in verschillende rigtingen
elkaar neutraliseren, of waar de algebraïsche som harer
afwijkingen gelijk nul is.

Nog dient te worden opgemerkt, dat bij superpositie
van twee figuren of twee systemen, die hetzelfde aantal
knooplijnen bevatten, het geval waar dit aantal even is,
moet worden onderscheiden van het geval waar dit aan-
tal oneven is; immers is het aantal even, zoo kunnen
wij aannemen dat de buigingen der plaat die de twee
systemen vergezellen gelijke of tegengestelde teekens heb-
ben ; er ontstaan derhalve twee verschillende resulterende
figuren, terwijl hiervan bij een oneven aantal knooplijnen
geen sprake kan zijn.

Ter verklaring van alle figuren, door Chladni ontdekt,

is deze hypothese nogtans onvoldoende; daarom neemt
Wheatstone aan dat een systeem knooplijnen ook een
willekeurigen hoek kan maken met eene zijde van het
vierkant; wegens de symmetrie moeten dan nog drie
andere systemen aangenomen worden, die evenzeer op de
zijden hellen en wel zoodanig, dat, wanneer men zich
twee assen OX en OY denkt evenwijdig aan de zijden
van het vierkant, de parallelen van twee systemen ieder
een gelijken hoek maken met OX, terwijl de parallelen
van de twee andere systemen denzelfden hoek maken
met OY.

1. 2.

Voor wij verder gaan zullen wij het algenieene geval,
waar van 4 systemen sprake is, met een enkel voorbeeld
ophelderen. Nemen wij daartoe aan dat ieder dezer systemen
bestaat uit 5 evenwijdige lijnen geplaatst als in fig. 1—4.

Omtrent deze figuren merken wij op dat voldaan is
aan de voorwaarde, dat van de stukken, die op de zijden
worden afgesneden, de uitersten half zoo groot zijn als
de middelsten. Evenwel zijn dit niet de eenige figuren
met 5 evenwijdige lijnen die aan deze voorwaarde vol-
doen. De teekens P en N in de verschillende deelen
geplaatst kunnen nog op eenige andere wijzen gecombi-
neerd worden; hier zullen wij ons echter niet bij alle
deze combinatiën ophouden, maar slechts diegene kiezen
clie hiernevens is afgebeeld.

Met behulp van het voorgaande is het duidelijk dat de
opeenlegging van de figuren 1 en 2 de figuur 5 oplevert,
waarin dan de deelen van horizontale lijntjes voorzien

geheel negatief (N), die met verticale lijntjes geheel
positief (P) zijn, terwijl de nieuwe knooplijnen bestaan
uit 3 horizontale en 2 verticale lijnen. Op gelijke wijze

vindt men als resultante van en 4 eene figuur 6 met
2 horizontale en 3 verticale knooplijnen. Daarna geeft
de resultante van 5 en 6 aanleiding tot figuur 7 waarin
de resulterende figuur alleen door de zwart gebleven vakjes

mag gaan; geeft men daarbij
acht op de compensatiepun-
ten, dan is volgens Wheat-
stonede resulterendefig. ge-
noegzaam bepaald en moet
noodzakelijk zijn zooals in
figuur 7 is afgebeeld. In-
tusschen kwam het ons
wenschelijk voor de figuur
met juistheid te bepalen en
niets aan het genie van
den teekenaar over te laten;
daarom hebben wij getracht de vergelijkingen dezer figu-
ren te bepalen. Zie hier het resultaat van dit onderzoek:
Reeds vroeger deden wij opmerken dat de platen, die
ten gevolge harer trilling in beweging zijn, beschouwd
kunnen worden als gebogen oppervlakken. Waar nu de
resultante van vier systemen knooplijnen onderzocht zal
worden, ligt het voor de hand, vier platen aan te nemen,
elk voorzien van een systeem parallelen of vier platen,
ieder zoodanig gebogen, dat de punten in haar systeem
gelegen, geene afwijking ondergaan. De afwijking van
het oorspronkelijke vlak wordt natuurlijk gemeten op eene
as O Z loodregt staande op het vlak (X O Y) der plaat,
wanneer deze in rust is; de voet der loodlijn O Z zij het
middelpunt der plaat. Het vraagstuk kan derhalve aldus
worden geformuleerd:

Vier gelijke, vierkante platen, worden ieder op eene

verschillende wijze gebogen; ten gevolge hiervan zullen
hunne overeenkomstige punten afwijkingen in de rigting
der Z-as ondergaan; gevraagd die overeenkomstige pun-
ten te vinden, voor welke de som dezer vier afwijkingen
gelijk nul is.

Was de buiging van iedere plaat volkomen bekend,
hadden wij dus de vergelijkingen van de vier gebogen
oppervlakken, dan zoude aanstonds dit vraagstuk zijn
opgelost; daarenboven zoude voor ieder punt de som dei-
afwijkingen gemakkelijk gevonden kunnen worden; nu is
dit evenwel niet het geval, maar toch is de wijze, waarop
iedere plaat gebogen is, genoegzaam bekend, om boven-
gestelde vraag voldoende te beantwoorden.

Onderzoeken wij nu de wijze waarop deze buigingen
plaats hebben. Nemen wij eene plaat en leggen door O Z
een vlak ZOX, loodregt op de rigting der parallelen
van het systeem knooplijnen dat bij deze plaat behoort,
dan wordt op dit vlak, door de plaat, die wij ons gebogen
voorstellen, eene kromme afgeteekend; eene regte, die
evenwijdig aan het vlak XOY deze kromme doorloopt,
beschrijft dan volmaakt het oppervlak der gebogen plaat.

Wat is nu van deze kromme bekend?

Vooreerst weten wij dat deze kromme periodiek is,
immers de deelen waarin de plaat door haar systeem
knooplijnen verdeeld wordt, liggen afwisselend boven en
onder het vlak XOY; voorts is bekend dat de perioden
aan elkander gelijk zijn, omdat de knooplijnen op ge-
lijke afstanden van elkander liggen.

Ten gevolge dezer bekendheid stellen wij de kromme
in het vlak ZOX, voor

1

of door ^ — u sin —— -f- C f

of cloor s ~ 4- u cos

in beiden stelt X tweemaal clen afstand tusschen twee op-
volgende knooplijnen voor, u eene onbekende constante
die de grootste afwijking der kromme van de as OX, aan-
geeft, terwijl C en D grootheden zijn die afhangen van
de ligging der kromme ten opzigte van den oorsprong.
Behandelt men de vier platen op dezelfde wijze zoo ver-
krijgt men 4 krommen. Deze vier krommen hebben allen
gelijke l en u, immers de systemen knooplijnen verschil-
len alleen in rigting, terwijl de intensiteit der vier wijzen
van trilling ondersteld is dezelfde te zijn.

Voordat wij de onbepaaldheid in de vergelijkingen dezer
krommen kunnen wegnemen, verdeelen wij alle systemen
van knooplijnen in twee groepen naar gelang zij een even
of oneven aantal knooplijnen bevatten. In het eerste geval
gaat er nooit, in het laatste altijd een knooplijn door het
middelpunt der platen; in het eerste geval zullen de krom-
men niet, in het laatste wel door O gaan. Bestaat het
systeem uit een even aantal knooplijnen, zoo is in O de
afwijking tevens maximum of minimum, en kunnen de
krommen dus voorgesteld worden door

2 71 X,

z — ±u cos--- ;

is daarentegen het aantal knooplijnen van ieder systeem
oneven, zoo moeten wij gebruik maken van de uitdrukking:

Denken wij nu de vier platen behoorlijk op elkander
gelegd, dan zullen wij op ééne plaat, de rigtingen
OX[, 0X₂, 0X₈, OX₄ der doorsnijdingslijnen van het

vlak XOY met de vlakken waarin de krommen liggen,

kunnen voorstellen. Dan
is bekend:

XOt — XOx₂ — Y(h:₃ -
YOx₄ — 6

waaruit volgt:

x_x — x cos 0 — y sin 0
x.₂ = x cos 0 g sin 0
x₃ ~ x sin 0 y cos 0
x₄ — — x sin d-\\-y COS 0

De resulterende figuren moeten dan, naarmate wij vier
systemen met een even of oneven aantal knooplijnen be-
schouwen , blijkbaar bevat zijn in de eerste of tweede dezer
vergelijkingen :

0 =r ± u cos — (x cos 0—y sm 0) ± u cos — (x cos 6 y sin 0)

2fC, . , , 2n . .

u cos - (x sm § y cos 0) ± u cos — (— x sm 0 -f y cos 0)

2tï . 2 n

0 = ± u sin — (x cos Q—y sin 0)± u sm — (x cos 0 y sin 0)

.2. \' .

sm — (w sm d y cos 6)± u sm —(— x sin 0 - ■ cos 0)

A Z

De vergelijkingen I en II kunnen nog belangrijk ver-
eenvoudigd worden, wanneer men acht geeft op de wijze
waarop k in beide gevallen afhangt van de zijde a van het
vierkant, den hoek 0 en het aantal knooplijnen van ieder
systeem.

In geval het aantal knooplijnen — 2n is, zoo is l ~ 2q.
cos 0 wanneer de stukken van de zijden afgesneden en
langs de zijden gemeten p en q genoemd worden.

Helderen wij dit met een voorbeeld op, of liever leiden
wij uit de bijzondere gevallen van systemen, bestaande

uit 6 en 8 knooplijnen, het algemeene geval dat nl. het
aantal knooplijnen 2n is, af.

Uit bovenstaande figuren is gemakkelijk af te leiden
dat ingeval ieder systeem uit 2n knooplijnen bestaat altijd:

np = Y (1 4- ctg 0), nq = (1 4- tg 0)

« __ 2»i a 2n _

..... 1 4- ctg o \' q ~~ 1 4- tg 6

h 2a cos Ö

.\'. — tg 0; /i f /<• :rr 2n en X — 2q cos 0 — ----

k k

Evenzoo is, ingeval van 2n 4 1 parallelen altijd :

(« 1) p = — (1-1- ctg 6) , (n 1) q — — (1 4- tg 6)

a _ 2« -f- 1 __ a 2« 1 _^

p \\ ^ ctg Q q 1 _(_ tg d

h „ 2a cos 6
—- — tg d; h 4- k — 2k 1 en x — %] cos 0 = —---.

A? Aï

Deze waarden van i in I en II gesubstitueerd zijnde,
worden deze respectivelijk:

III. 0 = ± cos — (kx — %)dt cos—(kx -f- hy) cos — (hx -f-

± cos — hx _(_ ky)

IV. 0— sin—(kx —-%)±-sin —(kx %)±sin — (hx 4- ky)

a a &

71

sin — (— hx - - ky)

Intusschen stellen III en IV ieder 16 figuren voor,
naargelang de teekens gecombineerd worden; deze 16
zijn in twee groepen te verdeelen , zoodanig dat de teekens
hunner componenten aan elkander tegengesteld zijn; hier-
uit volgt dat beide groepen dezelfde resulterende figuren
opleveren; eene dezer groepen kan derhalve buiten be-
handeling blijven.

Schrijven wij nu ter bekorting:

A — cos
B — cos
C ~ cos
D rr cos

. . nkx

A, = sin — cos

a a

. nkx
sm — cos
a

. nhy
sm —- cos
a a

\'cx . nhy

— sm — = Pj — Q_t

nkx . nhy
-f- cos -sm-rr: Pi Q_t

nhx .
cos — sm

a

De combinatiën die voor III en IV moeten behouden
blijven zijn deze:

A B C D = o,
A B -j- C — D = o,
A B —C D = o,
A - B — C — D = o,

De resulterende figuren moeten dus ook bevat zijn in:

P, S₁ =r o.
P, 8, = o.
P, — R, = o.
P₁ — S, = o.

Qj — Sj = o.
Qi — Rj — o.
Qi R_x — o.
Q, S, = o.

Onderstellen wij nu dat van de combinatiën (m) alleen
mogelijk zijn die, waarin een even aantal positive en een
even aantal negative teekens voorkomen 1) dan reduceert
men gemakkelijk III^a en IV^a tot:

1) Mogt deze onderstelling vreemd schijnen, zoo merke men op,
dat het ons in nevensgaande redenering alleen te doen is om de ver-
gelijkingen der figuren te vinden, door Wheatstone voor een gedeelte
willekeurig geconstrueerd; wij mogen dus verwachten dat de vereen-
voudiging hier aangebragt, geene zijner figuren buiten rekening laat,

cos

cos

sm

nkx . rthy . nhx . nky
sm- sm--f- sm -sm- ~

en:

\' nkx nhy nhx . rtlcy

sm -cos--h cos-sm -——

a a a a

nkx nhy nhx . nky
sm -cos--cos --sm -

a a a a

nkx nhy . nhx nky

cos - sin--sm -cos

a a a et

nkx . nhy nhx nky

cos -sm —— 4- sin- cos -— o

a a a a

De vergelijkingen IIP gelden nu voor het geval dat
li k een even getal is; dit geval splitsen wij in deze
twee : 1° h een even dus k mede een even getal;

2° h een oneven dus k mede een oneven getal. In
het eerste geval reduceren zich de vier vergelijkingen
van III^b tot de twee eersten daar in de twee laatsten dan
ligt opgesloten dat alle zijden van het vierkant in rust
zijn. Dat de vergelijkingen, waarbij dit plaats heeft
onmogelijk resulterende figuren kunnen voorstellen, heeft
daarin zijn grond dat de Chladnische figuren allen ont-
staan wanneer de omtrek der plaat in beweging wordt
gebragt; ontstonden deze figuren op eene andere wijze

daar hij bij zijne superpositiën dezelfde combinatiën uitsluit: alleen
nog- merken wij op, dat hij, o. i. in zijne verhandeling niet duidelijk
genoeg hiervan gesproken heeft.

zoo moesten deze vergelijkingen misschien behouden blijven,
nu vallen zij zeker weg. In het tweede geval vallen de
twee eersten weg en blijven de twee laatsten behouden;
zoodat in deze twee gevallen respectivelyk overblijven :

Inkx nliy nhx nky

cos -- COS ---- - COS -COS-— zz: O

a a a a

nkx nhy nhx nky

cos -cos —--- cos --- cos -—2| — O

a a a a

!nkx . nhy . nhx nky
sm ----sm -^:--sin -cos - — o

a a a ci

nkx , nhy . nhx , nky

sm -----sua--1- sin -sm -—— — o

a a a a

Is h k oneven, en geldt dus IV^b dan kan het zijn:

1° dat h even en k oneven;

2° dat h oneven en k even is.

Merken wij nu op dat van de vergelijkingen ÏV^b de
twee eersten dezelfde figuur voorstellen, waarvan alleen
de ligging verschilt, verder dat ditzelfde plaats heeft met
de twee laatste vergelijkingen; eindelijk dat in het eerste
der beide aangenomen gevallen (1°) de vierde, in het
laatste geval (2°) de tweede vergelijking van IY^b wegvalt
, om dezelfde reden als zoo even, zoo verkrijgen wij tot
resulterende figuren.

nkx nhy nkx . nky

IV" sm- cos--f- cos - sm -- o

1 a a a a

. . nkx . nhy . nhx nky

IV sm- sm -— -(- sm -cos-— =r o

2 a a a a

Passen wij nu deze vergelijkingen toe op het voorbeeld
dat straks werd gegeven, dan zien wij onmiddellijk dat
h = 2 en k — 3 is; bijgevolg is de vergelijking van de
resulterende figuur:

8 nx 2 ny 2 nX . 3 nu

sin ——- cos-— -f. cos -- sm-— = o

a a a a

De figuur door deze vergelijking voorgesteld is vol-
maakt dezelfde als figuur 7, wanneer men deze laatste
90° draait; hiervan kan men zich, door discussie dei-
vergelijking , gemakkelijk overtuigen.

Uit het voorgaande blijkt genoegzaam hoe Wheatstone
de figuren van Chladni vond. Hiervan uitgaande, rang-
schikte hij deze figuren naar het aantal knooplijnen van
ieder systeem en den hoek waaronder twee systemen, door
hem primary figures genoemd, elkander snijden. Die snij-
dingshoek is natuurlijk 180 — 20, omdat beide systemen
gelijke hoeken 0 maken met eene der assen OX of OY.

Uit deze rangschikking vloeide de volgende tabel voort:

De getallen in de eerste verticale rij wijzen het aantal
parallelen van ieder systeem aan. In de horizontale rijen
vindt men de snijdingshoeken waarvan zooeven sprake
was. Tusschen haakjes zijn de figuren van Chladni ge-
plaatst die door den corresponderenden hoek en het aantal
parallelen verklaard worden.

Bij een even aantal parallelen vindt men twee figuren
die wel volgens Chladni denzelfden naam dragen maar
daarom nog niet gepaard gaan met denzelfden toon: dit
is de reden waarom in bovenstaande tabel somtijds twee
toonen worden opgegeven.

De hypothese van Wheatstone leidt tot het gevolg, dat
alle figuren van Chladni verklaard kunnen worden , immers
sommige fig. als bijv. 9|7 mogten verwacht worden, wan-
neer Wheatstone zijne tabel tot het geval van 16 knoop-
lijnen had uitgebreid; omgekeerd worden Wheatstone\'s
figuren niet allen bij Chladni teruggevonden; dit bewijst
echter alleen dat Chladni niet alle figuren gevonden heeft,
hetgeen later door de praktijk ongetwijfeld zal uitgewezen
worden. De overeenstemming tusschen theorie en praktijk
is hier o. i. allezins voldoende om de hypothese van
Wheatstone tot stelling te verheffen. Wij zien er verder
geen bezwaar in met hem aan te nemen »dat de fout
van J. Bernouilli niet bestond in de onderstelling, dat
de klankfiguren het resultaat zijn van het gelijktijdig
bestaan van eenvoudiger wijzen van trilling, maaralleen
in de manier waarop dit plaats heeft;» zelfs heeft de
verklaring van Wheatstone ons zoo overtuigd, dat wij
stellig eene theorie, op zijne aanname berustende, ver-
wachten.

Voor wij deze paragraaph eindigen, maken wij nog
eenige opmerkingen omtrent de vergelijkingen IIP en IV^b.

5*

Toen wij deze ter neder schreven, hadden wij alleen
de eerste aflevering eener Verhandeling van Radau 1) :
»Nouvelles recherches sur les plaques vibrantes» ingezien.
Daarin geeft Radau als resultaat van zijn onderzoek op,
dat de vergelijking (11, 1) van Hoofdstuk I deze particuliere
integraal toelaat;

nx . ny . nx . nu
sin h- sm k- sin k -sin h —

a a a a

g

sin n (7t³ 1<?) - mt,
a³

dat deze evenwel niet aan de grensbepalingen (11,2 en 3)
voldoet. Verder merkt men op clat men uit de construc-
tie van:

. ₇ nx . ny . nx ny

sm li - sm k--1- sm h-- sm h —— = o

a a a a

(waarin cosinus in plaats van sinus te schrijven zijn, het-
geen neerkomt op eene verplaatsing van den oorsprong van
coördinaten) de figuren van Chladni verkrijgt. Opmerke-
lijk vonden wij de overeenstemming tusschen deze laatste
vergelijking en de bovengenoemde III^b en IV^b. In de
tweede aflevering 2), die ons eerst onlangs in handen
kwam, vinden wij ditzelfde opgemerkt: Radau geeft daarin
nl. eene transformatie waaruit blijkt dat de vergelijking:
sin , _h ^x sin / _knj\\ _± sin / ^ nx\\ sin / ^ ^ _(R)
cos \\ a ) cos \\ a ) cos V a / cos \\ a )
tot de synthese van Wheatstone leiden kan.

Wegens de merkwaardigheid van het onderwerp en de
kortheid zijner transformatie laten wij deze hier volgen:
»Nemen wij twee scheefhoekige coördinaten-systemen (x^/ y\')

1) Moniteur Scientifique N°. 178.

2) N°. 180.

en (x"y") aan, beide gelijke hoeken 2A bezittende en
onderstellen dat de lijn die den hoek van het eerste
systeem middendoor deelt zamenvalt met de oude X-as,
de deellijn van het tweede systeem zamenvalt met de oude
Y-as. Zij verder:
k

tq A — -, of wel: h cos A = k sin A.
h

Dan is

i x — (x^/ y\') cos A — (x" — y") sin A
\\y — {x\' — y\') sin A = {x" ■ ■ y") cos A
waaruit volgt:

hx -\\-ky cos A . x\' J hy -j- kx — 2h cos A . x"
lix — ky ~ 2h cos A . y\' )hy — lcx z=z 2h cos A . y".

Ligt men door de hoeken van het vierkant parallelen
aan de coördinaten assen van het eene of andere der
systemen zoo verkrijgt men eene ruit met zijde

/I 1 \\ \'a

b — l a ( —r --- ) = --- (h k)

\\sm A cos A/ 2h cos A

, . , 2h cos A h k
dan is ook: ———- =- .

a b

Hiermede wordt (R):
sin (A -f-k)x\' sin (h -^Jrk)y^/ sin (h-\\~ k) x" sin (li-f-k)y " ~ 0
waarin cosinus in plaats van sinus kunnen geschreven wor-
den. Dit zijn dan de vier primary figures van Wheatstone."

Eene tweede opmerking is deze:

Het komt ons niet onwaarschijnlijk voor dat vergelij-
kingen als UI⁴ en 1 V^b ook kunnen opgesteld worden ten
einde de resulterende figuren van regelmatige 8— , 12 —
enz. hoeken te vinden. Beschrijft men toch deze veelhoe-
ken in cirkel clan is het gemakkelijk door het trekken
van gepaste diagonalen, bij den 8-hoek twee, bij den
12-hoek drie quadraten te vinden, wier gemeenschappelijk

oppervlak juist uit eene regelmatige 8- of 12-hoek bestaat.
Wij zullen dit echter nu niet onderzoeken daar ons de
proeven ontbreken die met de uitkomsten der berekening
zouden moeten vergeleken worden.

Eindelijk wijzen wij op de overeenstemming tusscken
de verg. IIP, IV⁶ en dit gezegde van Chladni: 1)

»Ein besonders bemerkenswerther Umstand, ist die
wesentliche Verschiedenheit der Schwingungsarten, wo
die Summe der Linien , die nach beiden Richtungen gehen,
eine gerade Zahl ist, von denen, wo sie ungerade ist.»
Zelfs vindt men in deze vergelijkingen terug hetgeen
Chladni hier onmiddellijk op laat volgen:

»Nur die Schwingungsarten, wo nach der einen Rich-
tung so viele Linien gehen, wie nach der andern, machen
hiervon eine Ausnahme.»

§ 3.

In de vorige paragraaph is aangetoond, hoe de onder-
stelling van Wheatstone rekenschap geeft van alle figu-
ren , die op homogene vierkante platen kunnen ontstaan;
in deze zullen nog eenige proefnemingen van Wheatstone
en Koenig vermeld worden, die deze onderstelling volko-
men wettigen.

De proeven van Wheatstone 1) hebben betrekking op
houten platen; door middel van eene vierkante houten
plaat, waarin de lengtevezels evenwijdig loopen met eene
zijde van het vierkant, vond hij, dat de proefnemingen
alleen figuren doen ontstaan, die overeenkomen met die,

1) Phil. Transact. 1833,

welke zijne theorie doet verwachten. Het is dus voldoende,
wanneer men wil weten wat men bij dergelijke proefne-
mingen vindt, na te gaan wat zijne theorie voor deze
soort van platen leert.

Neemt men twee regthoekige strooken hout, alleen daarin
verschillende, dat in de eene de lengtevezels evenwijdig
aan hare langste zijden, in de \'andere de lengtevezels
parallel aan hare uiteinden loopen, dan zullen deze
strooken, in trilling gebragt kunnen worden, zoodat zij
dezelfde knooplijnen vertoonen; beiden zullen zij dan
evenwel niet denzelfden toon voortbrengen. Tengevolge
van dit verschil in toonen kunnen op de boven beschre-
ven houten plaat ook geene figuren verwacht worden,
die resulteren uit twee gelijke systemen knooplijnen,
welke respectivelijk evenwijdig loopen aan de zijden van
het vierkant. Op zulke platen moeten dus de figuren met
diagonalen ontbreken.

Maken de parallelen van twee.gelijke systemen gelijke
hoeken met ieder van de elasticiteitsassen, dan zal er
geene reden zijn om hunne resulterende figuren niet te
verwachten.

De resulterende figuren eindelijk, voortvloeiende uit
de zamenstelling van vier systemen knooplijnen zullen
hier nimmer voorkomen.

Daarenboven vond Wheatstone, dat de figuren met
diagonalen ontstaan, zoodra men eene regthoekige plaat
neemt met zijden die omgekeerd evenredig zijn aan de
vierkanten van den weerstand tegen buiging , dien het hout
in de twee rigtingen bezit. Koenig 1) ging verder; hij

1) Poggendorf\'s Annal. A° 1864. Bd. 122 »Zur theorie der Klang-
figuren.»

zocht cle lengten van twee overigens gelijke messingsta-
ven, zoodanig, dat zij bij aanstrijking ongeveer denzelfden
toon lieten hooren, terwijl het aantal knooplijnen, par-
allel aan de uiteinden, dat zich hierbij vertoonde, in
beide verschilde. Met deze lengten als zijden maakte hij
een regthoek van dezelfde stof en dikte als de staven.

Volgens YVfieatstone was nu gemakkelijk te bepalen,
welke figuur hieruit zou voortvloeijen; en werkelijk
leverde de proefneming van Koenig telkens dezelfde
knooplijnen.

De laatstgenoemde natuurkundige onderzocht tevens,
of zijne regthoekige platen hetzelfde verschijnsel oplever-
den, dat door Terquem bij staven werd waargenomen;
en vond ook hier, dat het bijna onmogelijk was, de
vooraf bepaalde figuren op zijne platen voort te brengen,
wanneer de lengten der zijden zoodanig waren, dat de
toonen, die bij de beide trillingsrigtingen behoorden,
volkomen dezelfde waren. Om dit te bewijzen, nam hij
eene staaf die twee knooplijnen vertoonde, bepaalde
naauwkeurig hare lengte en toon («); daarna zocht hij
de verschillende lengten van staven die, te gelijk met
drie knooplijnen eene reeks toonen gaven van welke ééne
volkomen in overeenstemming was met «, terwijl de
anderen in verschillende mate hooger of lager waren
dan cleze.

Met behulp van regthoeken, die met de gevonden
lengten als zijden geconstrueerd werden, toonde hij nu
aan, clat de vooraf bepaalde figuur dan het gemakkelijkst
te voorschijn trad, wanneer het verschil der beide cor-
responderende toonen een\' geheelen toon bedroeg; daarbij
was altijd de resulterende toon het gemiddelde tusschen
de componerende.

Is het aantal knooplynen in beide rigtingen even, dan
leert de constructie en ervaring, dat hierbij twee figuren
ontstaan, die met weinig verschillende toonen overeen-
komen. Van deze toonen, zegt Koenig, zal de een meer
met dezen, de ander meer met genen componerenden
toon overeenkomen.

HOOFDSTUK III.

Overeenstemming tusschen Theorie en Experiment.

In dit hoofdstuk zullen wij, zonder hoofdzaken voorbij
te gaan, trachten aan te toonen in hoeverre het gelukt
is door de theorie de verschijnselen, die zich bij vrije
trillende platen voordoen, te verklaren.