Hooolrrraar in dr Facui.trit dhr Wis- hn Natuurkundis
volgens besluit van den senaat der universiteit

De beeindiging mijner academische studiën geeft mij gereede
aanleiding allen, die door hun onderwijs tot mijn vorming
hebben bijgedragen, van harte mijn dank te betuigen.

In de eerste plaats geldt dit U, Hoogleeraren derLeidsche
faculteit voor de Wis- en Natuurkunde, wier leerling ik
mocht zijn.

Hooggeleerde Lorentz, uwe zeer inductieve lessen zijn mij
van zeer veel voordeel geweest; het was mij een voorrecht
uwe colleges te kunnen volgen; ook de welwillendheid, die
gij mij meerdere malen hebt bewezen, blijft bij mij in dank-
bare herinnering.

Uwe belangrijke en tot dieper naspeuren opwekkende colleges,
Hooggeleerde Kluyver, hebben sterk medegewerkt mijn voor-
liefde tot de meer wiskundige richting te bepalen.

De nagedachtenis van Professor Zeeman zal mij bijblijven
als die van een bekwaam en helder docent.

Van het eerste oogenblik af, dat gij U hebt bereid verklaard
om mij ter vervanging van uw overleden collega ter zijde te
staan, zijl gij mij met groote vriendelijkheid tegemoet getreden.

Een groot deel van uw zeer bezetten tijd hebt gij voor mij,
die voor U een vreemde was, beschikbaar gesteld; op velerlei
wijze hebt gij door uwe goede zorgen mij den weg tot de
promotie geeffend.

Door deze bijzondere voorkomendheid hebt gij recht op
mijne blijvende erkentelijkheid.

Met dank wil ik verder memoreeren de welwillende en
royale beslissing door IIeehen Provisoren en Bestuurders van
het Heere Godfried of Sint Jansleen ten mijnen opzichte
genomen,

Beschouwingen, welke met de theorie der traagheids-
momenten van puntenstelsels in verband staan . . GO

Beschouwingen, welke in verband staan met de be-
paling der grensellips van tweedegraadsoppervlakken
bij evenwijdige projectie op het beeldvlak .... 98

Sedert Julius Weisbach in zijn boek „ Anleitung zum axonome-
trischen Zeichnen" ^x) de door hem reeds vroeger ¹) gepubliceerde
onderzoekingen over de analytische grondslagen der Axonometrie
heeft verzameld, kunnen wij zeggen, dat de Axonometrie als
zelfstandige wetenschap voor goed een plaats in de Beschrij-
vende Meetkunde heeft verworven.

Voorzeker Lambert ^:1) heeft reeds veel eerder, zij het op
eenigzins afwijkende wijze, een met de Axonometrie identieke
projectiernethode behandeld, en door Farish \') is onder gebruik-
making van een bij Kepler ²) voorkomende eigenschap dat „de
loodrechte projectie van een kubus op een vlak, dat loodrecht
op een kubusdiagonaal is aangebracht, wordt voorgesteld door
een regel matigen zeshoek, welks hoofddiagonalen de projectie
der hoofddiagonalen van den kubus voorstellen", een speciale
axonometrische projectiemethode, de isometrie ingevoerd, welke
door Sopwith ^ü) is uitgebreid; maar de arbeid van geen van
deze staat ons zóó na als het werk van Weisbach, waarin
voor het eerst door het invoeren van de verkortingsverhoudingen

1 \') J. Weisbacii, Dio monodimetrische und an isometrische Projektions-
methode, Polytechn. Mitt v. Vol/. Karmasch, 1844.

der eenheidsmaatstaven een exacte onderverdeeling der Axo-
nometrie in isometrie, monodimetrie en anisometrie werd gegeven,
terwijl door het aangeven van den samenhang dezer verkor-
tingsverhoudingen met de goniometrische functies van de dooi-
de geprojecteerde assen ingesloten hoeken de analytische
grondslagen der Axonometrie volledig zijn behandeld.

Waar in het voorgaande van Axonometrie sprake was werd
steeds de orthogonale Axonometrie bedoeld, iets wat historisch
geoorloofd is, omdat ten tijde van Weisbacii onder de Axono-
metrie alleen de loodrechte werd verstaan en er aan scheeve
Axonometrie nog niet werd gedacht. Aangezien wij ons ten
doel hebben gesteld de hoofdstelling der scheeve Axonometrie
te bespreken, schijnt het ons gewenscht, om het juiste licht
over de beteekenis dezer stelling te verspreiden, enkele der
door Weisbacii gevonden resultaten in het kort aan te geven.

Op de assen van een rechthoekig assenstelsel 0° Xi° X₂° X₃°
zetten wij van af den oorsprong 0° achtereenvolgens drie
stukken 0° At⁰, 0° A₂° en 0° A₃° van gelijke lengte af, en
noemen, in navolging van Steiner, dit lijnentripel een driebeen.
Wij projecteeren het assenstelsel en het driebeen vervolgens
loodrecht op een willekeurig projectievlak V; drie door het
punt O, de projectie van 0°, getrokken lijnen OXi, O X₂ en
O Xz zullen de projecties der ruimteassen, drie op deze lijnen
afgezette stukken de projecties der beenen van het driebeen
voorstellen ¹).

De verhoudingen tusschen de lengten der projecties O Ai
en die der beenen 0° Af worden axonometrische verkortings-
verhoudingen genoemd. Stellen wij

dan wordt iedere lijn van eindige lengte, die op een der assen
ligt of aan deze evenwijdig is, volgens Vi verkort. Zijn de
coördinaten van een punt P° in de ruimte ten opzichte

van het assenstelsel xf, dan volgt uit het bovenstaande, dat
de coördinaten van het punt P, de projectie van P° op V, ten
opzichte van de geprojecteerde assen X_t- door de betrekkingen

Zijn dus de verkortingsverhoudingen bekend, dan kan men
bij ieder gegeven punt de coördinaten zijner projectie op V
volgens de aangegeven methode vinden, en omgekeerd. In
het bovenstaande werd de projectierichting loodrecht op het
projectievlak V gekozen; in dit geval zijn de verkortingsver-
houdingen identiek met de sinussen van de hoeken, welke de
projecteerende straal door O⁰ met de assen van 0° Xi° X2⁰insluit. Hieruit volgt, dat de axonometrische verkortingsver-
houdingen aan zekere betrekking gebonden zullen zijn; aller-
eerst zijn het in dit geval positieve grootheden, welke hoogstens
één kunnen worden, terwijl bovendien

is; immers deze betrekking bestaat tusschen de kwadraten der
sinussen van de hoeken, welke een straal door den oorsprong
met de assen van een rechthoekig assenstelsel vormt.

Noemen wij de hoeken door de geprojecteerde assen gevormd
/L X\\ O X2 = «₃Z.XÏ O A^r3 = oei
Z A^r3 0 Xi — 012.
dan zullen, zooals wij reeds boven vermeldden, ook de goniome-
trische functies dezer hoeken met de verkortingsverhoudingen
in verband staan.

Om het in deze formules uitgedrukte resultaat beter te
kunnen overzien zullen wij het gevondene in den volgenden,
reeds door Weisbach gegeven, regel samenvatten:

„Beschouwt men de kwadraten der verkortingsverhoudin-
gen vi als zijden van een driehoek, dan zijn de in dien driehoek

Hieruit blijkt, dat, als wij van de zes grootheden V{ en x{
(i = 1, 2, 3) hetzij twee v\'s of een v en een x willekeurig kiezen,
de overblijvende v\'s en «\'s door de gegeven betrekkingen
volkomen bepaald zijn.

Bij de boven gegeven opvatting der Axonometrie is men
dus wat de afbeelding van het assenkruis en van de op de
assen gekozen eenheidsmaatstaven betreft aan zeer bepaalde
voorwaarden gebonden.

In verband hiermede rijst vanzelf de vraag: Is het niet
mogelijk op eenige wijze grootere vrijheid, wat de afbeelding
van assenkruis en eenheidsmaatstaven betreft, te verkrijgen?

Het is de groote verdienste van K. A. Poiilke *) geweest
op deze vraag een bevestigend antwoord te hebben ge-
geven. Daartoe moest hij evenwel aan de Axonometrie een
eenigzins ruimere opvatting ¹) geven door óók, Avanneer het
assenkruis en de eenheidsmaatstaven in scheef evenwijdige richting
op het projectievlak geprojecteerd worden, deze scheeve pro-
jectie onder de Axonometrie te rekenen. Hij bewees, dat in
dit geval- de volgende stelling, die „hoofdstelling der Axono-
metrie" genoemd wordt, zal gelden:

„Worden in een plat vlak door een punt cfi drie lijnen van
willekeurige lengte ai x, ai y en ai z getrokken, welke wille-
keurige hoeken met elkander maken, dan kunnen deze steeds
beschouwd worden als de evenwijdige projecties van drie
even lange op drie onderling loodrechte assen afgezette stukken
a x, a y en a z. Evenwel mag slechts een der lijnen ai x enz. of
een der door deze lijnen ingesloten hoeken nul zijn."

1 ) Zie de voorrede van K. A. Pohlke „Darstellende Geometrie I",
Gärtner, Berlii^ Aufl. 1, 18G0.

Deze eigenschap is door Pohlke in 1853 gevonden en in
1860 in zijn „Darstellende Geometrie" gepubliceerd zonder
bewijs, met de belofte dit in liet tweede deel van zijn werk,
dat eerst later verschijnen zou, te geven. Eerst in 187G ver-
scheen de eerste druk van dit tweede deel, terwijl reeds in
1865 het eerste deel in herdruk was uitgekomen, waarin het
door Schwarz in 1863 gepubliceerde bewijs was opgenomen.
Dit laatste geschiedde waarschijnlijk, omdat dit eenvoudige
bewijs in een als leerboek bedoeld werk beter op zijn plaats
is dan het niet-elementaire bewijs van den schrijver. Ook in
anderen vorm is het oorspronkelijk bewijs nooit gepubliceerd,
zoodat het eenige wat hieromtrent bekend is, indirect tot ons
is gekomen door Schwarz ¹), aan wien Poiilke het bewijs
mondeling had medegedeeld: „Pohlke heeft de stelling bewezen
met behulp van een schaar confocale hyperboloïden, die het
projectievlak snijden volgens een schaar confocale hyperbolen
en later uit het bewijs een constructie der stukken afgeleid."

Gebruikmakend van deze gegevens heeft Pelz ²) eene recon-
structie van het oorspronkelijk bewijs van Poiilke beproefd,
welke, zooals door Schwarz ³) getuigd wordt, hiermede identiek
of nagenoeg identiek moet zijn.

Na deze enkele noodzakelijke opmerkingen zullen wij ons
van verdere historische mededeelingen onthouden en voor deze
verwijzen naar het werkje van Wendling ⁴), waarin de geschie-
denis van de stelling uitvoerig behandeld wordt.

Uit het bovenstaande zal de beteekenis, die de door Poiilke
gevonden stelling voor de Axonometrie bezit, reeds duidelijk
zijn geworden. Van niet minder belang is het stereometrisch
vraagstuk, dat de stelling in kwestie aan de orde stelt.

\') H. A. Schwarz. Elementarer Beweis des Pohlko\'schen Funda-
mentalsatzcs der Axonometrie, Journal von Crcllc, Bd.03,1804, pg. 309—314.

³) H. A. Schwarz; zie een brief aan Mertens to Graz, welke opge-
nomen is in de brochure van C. Pelz getiteld Herr Kiipper und der
Pohlke\'ecke Beweis des Satzes von Pohlke, 1889, Graz.

Wij kunnen, wanneer wij ons plaatsen op het standpunt
der Stereometrie, tevens zonder gewrongenheid een onder-
scheiding invoeren tusschen de hoofdstelling in ruimeren en
in engeren zin, welke laatste als een bijzonder geval van de
eerste kan worden beschouwd.

Bovendien merken wij op, dat in beide gevallen de stelling
tweeledig kan worden geformuleerd, hetgeen zijn grond vindt
in de mogelijkheid, hetzij de figuur in het projectievlak, hetzij
de figuur in de ruimte tot uitgangspunt der beschouwingen
te kiezen. Wij zullen van het stereometrisch vraagstuk in
beide gevallen de tweeledige formuleering geven.

a. Iedere vierhoek O Ai A₂ A₃, welke in een plat vlak is
gelegen, kan worden beschouwd als de evenwijdige projectie
van een viervlak 0° Ai⁰ A₂° As⁰, dat met een gegeven viervlak
P° Q° R° S° gelijkvormig is.

b. Men kan ieder viervlak 0° Ai⁰ A₂° A3⁰ in een nader te
bepalen richting op een nader te bepalen vlak zoodanig pro-
jecteeren, dat de projectie 0 Ai A₂ Az met een gegeven vier-
hoek P Q E S gelijkvormig is.

Geven wij aan een viervlak, dat een hoekpunt 0° bezit,
waarin drie onderling loodrechte evenlange ribben samenkomen,
den naam rechtzijdig viervlak, dan kunnen wij op de volgende
wijze een formuleering geven van de:

a. Iedere vierhoek O A\\ A₂ A_s, welke in een plat vlak is
gelegen, kan worden beschouwd als de evenwijdige projectie
van een rechtzijdig viervlak 0° Ai° A₂° y1₃°.

b. Men kan een rechtzijdig viervlak 0° At⁰ A->° Aa° in een
nader te bepalen richting op een nader te bepalen vlak zoo-
danig projecteeren, dat de projectievierhoek met een gegeven
vierhoek P Q11 S gelijkvormig is.

In elk dezer gevallen geldt de beperking „hoogstens drie
punten O, Ai, A₂, A₃ mogen op een rechte lijn gelegen zijn".

\') Deze uitbreiding is in 18G3 het eerst door SCHWARZ opgesteld en
wordt door sommigen (Dkasch, Pelz e. a.) ten onrechte aan Reye (18G8)
toegeschreven.

Waar Wendling *) uitvoerig de noodzakelijkheid dezer be-
perking heeft aangetoond, zullen wij dit grensgeval niet nader
bespreken. Wel willen wij er met een enkel woord op wijzen,
dat wij in het geval dat 0° Ai° A₂° A3⁰ een rechtzijdig viervlak
is op eenvoudige wijze kunnen aantoonen de noodzakelijkheid
van het bestaan van vier reeksen viervlakken, wanneer bewezen
is, dat er een viervlak bestaat, hetwelk aan de gestelde
eischen voldoet.

Wij merken daartoe op, dat, wanneer een rechtzijdig vier-
vlak 0° Ai⁰ A₂° A₃° gespiegeld wordt ten opzichte van een
bepaald vlak, het spiegelbeeld met het oorspronkelijke niet
alleen symmetrisch maar ook congruent is.

Voldoet dus het rechtzijdig viervlak 0° Ai⁰ A₂° A_a° aan den
gestelden eisch, dan voldoen eveneens:

I. Alle viervlakken, welke ontstaan door het gevondene
langs de projectiestralen 0 0° evenwijdig te verschuiven.

II. Alle viervlakken, welke ontstaan bij het spiegelen van
de onder I gevondene ten opzichte van een door het
punt O loodrecht op de projectiestralen aangebracht
spiegelvlak. De richting van de projectiestralen is
dezelfde als onder I, de zin echter tegengesteld.

III. Alle viervlakken, welke ontstaan bij het spiegelen van
de onder I gevondene ten opzichte van het projectie-
vlak als spiegelvlak. De projectiestralen moeten in dit
geval eveneens ten opzichte van het projectievlak ge-
spiegeld worden.

IV. Alle viervlakken, welke ontstaan bij het spiegelen van
de onder III gevondene, op do wijze onder II aange-
geven, ten opzichte van een vlak door 0 loodrecht op
de projectiestralen als spiegelvlak.

Wij zien, dat de reeks der onder IV aangegeven viervlakken
uit de onder I aangegevene door tweemaal herhaalde spiegeling
is afgeleid.

Is 0° Ai⁰ A₂° As⁰ een algemeen viervlak, dat op V volgens
0 Ai A₂ As wordt geprojecteerd en met een viervlak P° Q° It°

gelijkvormig is, dan valt het na het bovenstaande niet moeilijk
te bewijzen, dat in dit geval twee reeksen viervlakken, welke
met de boven onder I en IV aangegeven reeksen van vier-
vlakken overeenkomen, aan het vraagstuk zullen voldoen,
terwijl de onder II en III aangegevene met het oorspronkelijk
viervlak symmetrisch zijn en dus niet aan de gestelde eischen
kunnen voldoen.

Is de stand van het viervlak O⁰ Ai⁰ A₂° A₃° in de ruimte
gegeven en vraagt men de projectievlakken te bepalen, waarop
dit viervlak volgens een met den vierhoek P Q R S gelijk-
vormigen vierhoek O Ai A₂A₃ wordt geprojecteerd, dan kunnen
wij, wanneer één vlak is gevonden, waarvoor aan deze eischen
is voldaan, eveneens bewijzen, dat alle aan dit vlak evenwijdige
vlakken eveneens voldoen en voorts alle vlakken, welke met
deze ten opzichte van de projectiestralen antiparallel zijn
aangebracht.

Beschrijven wij uit den oorsprong 0° van een rechtzijdig
viervlak den bol K°, die door de punten A i°, A₂° en A₃°
gaat, of kiezen wij, wanneer 0° A_t⁰ A₂° A₃ⁿ een willekeurig
viervlak is, de ribben 0°Ai°, 0° A₂°, 0°A₃° lot toegevoegde
halve middellijnen van een ellipsoïde, dan komen wij met
problemen van geheel anderen aard in aanraking, die toch
tot de boven besprokene in nauwe betrekking staan.

Bij evenwijdige projectie van den bovengenoemden bol of
de bovengenoemde ellipsoïde op V is in beide gevallen de
schijnbare omtrek een ellips, die wij grensellips zullen noemen.

Wij zullen nu de volgende vraagstukken, wier verwantschap
met de reeds aangegeven duidelijk is, even vermelden.

I. Bepaal de grensellips K van een bol K° bij evenwijdige
projectie op het vlak V, wanneer gegeven is, dat drie
onder willekeurige hoeken in V getrokken lijnen, op
welke drie stukken O A_h O A₂, O A₃ van willekeurige
lengte zijn afgezet, de evenwijdige projecties voorstellen
van een tripel onderling loodrechte stralen van den bol K°.

II. Bepaal de grensellips K eener ellipsoïde K° bij even-
wijdige projectie op het vlak V, wanneer gegeven is,
dat drie onder willekeurige hoeken in V getrokken

lijnen, op welke drie stukken OAi, O A» en 0 A_svan willekeurige lengte zijn afgezet, de evenwijdige
projecties voorstellen van een tripel toegevoegde halve
middellijnen 0° A^, 0°A₂°, O⁰A₃⁰ eener ellipsoïde,
dat met een gegeven tripel P° Q°, P° P° S° gelijk-
vormig is.

Lossen wij deze vraagstukken op, dan zullen wij zien, dat
de ellips K uit de gegevens der projectiefiguur geheel gecon-
strueerd kan worden, en steeds dezelfde is, onverschillig op
welke wijze wij OA i, O A₂, O A₃ als evenwijdige projecties
van een tripel toegevoegde halve middellijnen interpreteeren.

Is de constructie van deze ellips K geschied, dan zijn de
volgende problemen in zekeren zin de omgekeerde van de
onder I en II genoemde.

III.*) Bepaal alle bollen K°, wier grensellips bij evenwijdige
projectie op V door de ellips K, die boven vermeld
is, wordt voorgesteld en bewijs, dat al deze bollen een
tripel onderling loodrechte stralen 0°A₁°, 0°A.,°, 0°A_a°
bezitten, Avaarvan de evenwijdige projecties op F door
O O A., en O Aj worden voorgesteld.

op V de bovengevonden ellips K tot grensellips hebben,
terwijl zij bovendien de eigenschap bezitten nader be-
paald te zijn door een tripel toegevoegde halve middel-
lijnen 0°A₂°, 0°Az°, dat met een gegeven
tripel P° Q°, P° It°, P° S° gelijkvormig is, en waarvan
de evenwijdige projectie op V door O A_t, OA₂, OA₃wordt voorgesteld.

Zijn ten slotte twee viervlakken zóó ten opzichte van elkander
gelegen, dat de verbindingslijnen van overeenkomstige hoek-
punten evenwijdig loopen, terwijl bovendien de overeenkomstige
ribben der viervlakken elkander alle in punten van eenzelfde
vlak snijden, dan is de ligging dezer viervlakken perspectief-affien.

Ook in het geval, dat een der viervlakken in een vlakken
vierhoek overgaat, blijft deze perspectief-affiniteit bestaan. Uit
het karakter dezer verwantschap volgt, dat voor het bewijs
van de hoofdstelling de methoden der Synthetische Meetkunde
met vrucht kunnen worden gebruikt.

In dit hoofdstuk zijn die bewijzen opgenomen, welke met
behulp van eenvoudige meetkundige beschouwingen geleverd
kunnen worden.

§ 1. Het door Schwarz ^x) gegeven bewijs was het eerste,
dat aan de eischen van exactheid voldeed. Aangezien het in
wezen berust op een tweetal hulpstellingen, zullen wij deze
laten voorafgaan.

Iedere driehoek Ai As As in het projectievlak kan beschouwd
worden, als de loodrechte projectie van een driehoek Ai° A->⁰A3⁰,
welke met een gegeven driehoek B C D gelijkvormig is.

Laten wij aannemen, dat een driehoek Ai⁰ A->° A°z, gelegen
in een vlak E, waarvan de stand ten opzichte van het pro-
jectievlak bekend is, aan de gestelde eischen voldoet. Daar
wij zoowel den doorgang X der vlakken E en V, als den
standhoek <p dezer vlakken kennen, zijn wij na het neerslaan
van u ^li A\'s yl₃⁹ in V in staat den neergeslagen A AuiAmAan
volledig te construeeren. Tusschen de projectie en den in V
neergeslagen driehoek bestaat een orthogonale affiniteit, voor
welke de doorgang X afïiniteitsas, de richting loodrecht op
deze de afliniteitsrichting is. Wij verlengen de verbindingslijn

\') Systematisch zijn alle bewijzen dezer hulpstelling, die zich evenzeer
voor tweeledige formuleering leent, besproken door E. Wkndlino t. a. p.

der punten A₃ en A_3n tot deze de homologe lijnen A\\ A° en
Ai_nA₂n in de homologe punten Ni en Nm snijdt. Worden
door de homologe punten As en A_3n lijnen l en In even-
wijdig met de afïiniteitsas getrokken, dan snijden deze lijnen
de as in hetzelfde punt n.1. het punt in het oneindige, waaruit
volgt, dat zij eveneens homoloog zijn. De lijn Ai A₂ Avordt door
de lijn l in het punt N₂, de lijn Am Mn door de lijn l_n in
in het punt N_2n gesneden; de punten N₂ en N_2n zijn dus

homoloog. Omdat de beenen der hoeken Ni A₃ N« en Nm A_3n N_2nmet de afïiniteitsas en de afliniteitsrichting eener orthogonale
affiniteit evenwijdig zijn getrokken, volgt hieruit, dat deze beide
hoeken recht zijn. Beschrijven wij dus op de lijn Ni N₂ als
middellijn een cirkel, dan is het punt A₃ op den omtrek van
dezen cirkel gelegen.

De lijnen Ni N₂ en Nm N_2n kunnen in verband met de
orthogonale affiniteit in V beschouwd worden als dragers

van projectieve puntenreeksen, wier centrum van projectie
het punt in het oneindige op de affiniteitsrichting is.

Projecteeren wij uit de punten A₃ en A_3n als projectie-
centra de puntenreeksen, wier dragers de lijnen Ni N₂ en
N111N211 zijn, dan zijn de beide stralenbundels, welke op deze
wijze ontstaan, projectief. Wordt de stralenbundel, die het
punt A_3n tot drager heeft door een met Nm N_2n evenwijdige
lijn L M zoodanig gesneden, dat het op deze lijn door de
stralen A_3nA_ln, A_anA_2n afgesneden stuk A_v* A₂* even lang
is als Ai A₂, dan zal de puntenreeks op L M, welke door de
snijding met den bovengenoemden stralenbundel ontstaan is,
niet alleen projectief, maar ook congruent zijn met de punten-
reeks, die Ni N₂ tot drager heeft. Hieruit volgt de gelijkheid
der segmenten:

Verplaatsen wij A A_snAi* A₂*, welke met A A_anA_2nA_lnen dus ook met ABCD gelijkvormig is, zóó, dat Ai* A₂*
met Ai A₂ samenvalt, dan zullen de punten L en il/, wanneer
zij aan deze verplaatsing deelnemen met N%. en Nl samen-
vallen, terwijl het punt A₃„, dat wij in zijn nieuwen stand
door P aangeven, eveneens is gelegen op den omtrek van den
cirkel, welke Ni N₂ tot middellijn heeft.

Omgekeerd kunnen wij ter constructie van A Ai_nA_2nA_3nvan de boven gevonden gegevens gebruik maken.

In liet vlak V is dus enkel AA_tA₂A_a geteekend. Op de
basis Ai A» conslrueeren wij gelijkvormig met den gegeven
driehoek BCD een driehoek Ai A₂ P en brengen door de
punten A₃ en P den cirkel, welks middelpunt op Ai A₂ is
gelegen. Het verlengde van A_t A₂ wordt door dezen cirkel
in de punten Ni en N₂ gesneden. Wij kiezen nu op liet ver-
lengde van NiA_a, aan de andere zijde van Ni, een willekeurig
punt A_3n en construeeren met dit punt als top A A_3n LM,
welke met A P Ni N> congruent is, terwijl wij er voor zorgen,
dat de zijde A_3nL langs het verlengde van Ni A₃ valt.
Bovendien trekken wij in dezen driehoek de lijnen A_3nAi*
en A_3nA₂*, welke met PA_x en PA_s overeenkomen. Wij
beschouwen de punten P en A₃ als dragers van stralenbundels,

welke de puntenreeks op Ni N₂ projecteeren, zoodat dus
A₃ Ni, PNi; A₃ A₂, PA₂ enz. homologe stralenparen vormen
en de bundels projectief zijn. De stralenbundel (P), met den
drager P, is congruent met (A_3n); dus is de laatste projectief
met den bundel, welks drager het punt A₃ is; daar evenwel
de homologe stralen A_3n L en A₃ Ni samenvallen volgt hieruit,
dat de snijpunten der andere homologe stralen op een rechte
lijn X gelegen zijn, welke, omdat de homologe stralen A₃ N₂en A_3n M evenwijdig loopen, met genoemde lijnen evenwijdig
zal zijn en dus door constructie gevonden kan worden.
Beschouwen wij deze lijn als de affiniteitsas eener orthogo-
nale affiniteit, dan kunnen wij den tot A Ai A₂ A₃ affienen
A Am Am A_3n, naar bekend is, construeeren.

Daar in het bovenstaande is aangetoond, dat in dit geval
de lijn X beschouwd kan worden als de doorgang van een
vlak, waarin een A Ai⁰ J₂° A₃° is gelegen gelijkvormig met
A BCD, welke op V loodrecht volgens A Ai A₂ A3 kan gepro-
jecteerd worden en om X als doorgang volgens A AmA_{2 n}A_3nkan worden neergeslagen, is het gestelde hiermede bewezen.
Er zijn twee vlakken Ei en E₂ symmetrisch ten opzichte
van elkander met betrekking tot V mogelijk. De constructie
van den standhoek 0, gevormd door de vlakken E en V, zal
na het bovenstaande duidelijk zijn.

Is Aß CD een gegeven vlakke vierhoek, welke loodrecht op
een nader te bepalen vlak V zoo geprojecteerd wordt, dat de
projectie A* B* C* D* met een gegeven vierhoek P Q R S ge-
lijkvormig is, dan moet voldaan zijn aan de voorwaarde, dat
de verhoudingen der inhouden van drie overeenkomstige drie-
hoeken in de vierhoeken AB CD en PQ\'RS evengroot zijn.

Nadat wij in de vierhoeken AB C D en P Q R S de dia-
gonalen hebben getrokken, onderwerpen wij P Q RS aan
een gelijkvormigheids-transformatie totdat de diagonalen A C
en PR evenlang worden, waarna wij beide vierhoeken in
hetzelfde vlak plaatsen en AC met PR laten samenvallen.
Laten M en M\' de snijpunten der diagonalen respectievelijk

in de vierhoeken ABCDenPQBS zijn. In de hulpstelling I
hebben wij bewezen, dat ieder der driehoeken A B M enz.,
waarin de vierhoek A B C D door de diagonalen verdeeld
wordt, orthogonaal op een plat vlak zóó kan worden gepro-
jecteerd, dat de projectie A*B*M* met den overeenkomstigen
driehoek P Q M\' gelijkvormig is. Zal A* B* C* D* de vlakke

vierhoek zijn doch een projectie van AB C D, die aan den
eisch met P QIIS gelijkvormig te zijn voldoet, dan moeten
de driehoeken A* B* M*, A* IJ* M* enz. alle in eenzelfde vlak
zijn gelegen, heigeen alleen kan plaats vinden als de snijpunten
M en M\' der diagonalen in Fig. 2 samen vallen.

C* M* — li M\' ~ CM\' D*M* SM\' B M"
Deze verhoudingen drukken uit, dat de verhoudingen dei-
inhouden van drie paren overeenkomstige driehoeken A B M,
P Q M\' enz. dezelfde zijn.

Aangezien deze hulpstelling berust op de vorige en er in
dit geval twee vlakken E\\ en Ei gevonden worden, welke ten
opzichte van het projectievlak V symmetrische ligging hebben,
en die aan de vraag voldoen, worden in ons geval deze beide
vlakken eveneens gevonden.

Hierbij is het viervlak 0° Ai⁰ A₂° A₃° als gegeven te be-
schouwen. Den stand der punten in de ruimte denken wij
ons bepaald ten opzichte van een coördinatenstelsel 0° Xi°,
0° X2°, 0° X₃°, waarvan de oorsprong 0° met het hoekpunt
O⁰ van het viervlak samenvalt, terwijl de assen 0° Xx° enz.
achtereenvolgens vallen langs de ribben enz. van het

viervlak. Is de gebroken lijn P° P₂° P_x⁰ 0°, waarvan het
stuk P° Po⁰ evenwijdig is met 0°Al3°, P₂° Pi⁰ evenwijdig is
met 0°X₂°, terwijl 0° Pi⁰ langs 0° Xi° valt, bekend, dan is
daarmede de stand van het punt ^po volkomen gegeven. Als
eenheidsmaatstaven, waarmede de coördinaten van P° ten
opzichte van de assen worden gemeten, zullen wij bij het meten
langs 0°Xi°, 0° X₂°, 0°X₃° achtereenvolgens de stukken O⁰^,⁰,
0°A₂° en 0°A₃° kiezen.

Projecteeren wij de lijn 0° Pi⁰ P₂° P° en het viervlak
0° Ai⁰ A₂° As⁰ in evenwijdige richting op een willekeurig vlak
W, waarbij in de projectiefiguren op bekende wijze de projec-
ties der punten worden aangegeven, dan kunnen wij op eenvou-
dige wijze de gelijkheid der volgende verhoudingen aantoonen:

Is het punt P° gelegen op den projectiestraal, die door het
punt 0° gaat, dan wordt de projectie van de gebroken lijn in
dit geval een AP₂OPi, waarbij P met O samenvalt, O Pi
langs O Ai valt, Pi P₂ met O A₂ evenwijdig is, terwijl O P₂langs de lijn O A₃ valt.

Zal het mogelijk zijn het viervlak ö⁰^lL⁰yl₂⁰^:_l⁰ in even-
wijdige richting op een zeker vlak V te projecteeren zoo, dat de
projectie O Ai A»A₃ aan den gestelden eisch voldoet, dan moeten
de hoeken van A P₂ O Pi aan de volgende eischen voldoen.

ZOP₂P₁=a₁; £P_xPx 0 = cc_3] £P_t OP₂ = cc₂- 180°,
waarbij in de projectiefiguur

Passen wij in A P₂ O Pi den sinusregel toe, dan vinden wij
de volgende evenredigheid:

O Pi: Pi P₂: P₂ O = sin ai : sin («₂ - 180°): sin «₈,
welke, als wij de overeenkomstige termen in beide leden
achtereenvolgens door OAi, 0 A₂ en O A_a deelen, overgaat
in een nieuwe evenredigheid:

of, wanneer wij in het rechterlid alle termen met O Ai X
O A₂ X 0 A_a vermenigvuldigen, en zooals boven is aangegeven

= Inh. AA₂OA₃ : Inh. A A_x O A_s : Inh. A A_x O A₂, (a)
waaruit wij de volgende eigenschap afleiden:

De coördinaten van een willekeurig punt P°, dat op den
door 0° gaanden projectiestraal is gelegen, zijn, wanneer zij
op de boven aangegeven wijze worden uitgedrukt, evenredig
met de inhouden der driehoeken A₂ O Ai, A₃ O Ai en A₃ O A₂,
Hierdoor is de projectinrichting volkomen bepaald.
Wij brengen nu loodrecht op deze projectierichting een vlak
aan en bepalen daarna de loodrechte projectie van het vier-
vlak O°Ai⁰A₂⁰A₃⁰ benevens de loodrechte projectie op dit vlak
van de gebroken lijn 0° P₂°Pi°P°, waarbij P° op den projectie-
straal door 0° is gelegen. Laat ons deze projecties respectie-
velijk door 01 Ai Au Am en 0/ Pu Pi P aangegeven denken,
waarbij P met Oj samenvalt.

Volgens het bovenbepaalde hebben wij de evenredigheid:
O1P1 . Pi Pu . PiiOj^ ₌0[ Ai ^: Oi Au ^: Oi Am
= Inh. A Au 0/ Am : Inh. A Ai O/ Am : Inh. A Ai O_t Au. (b)
Omdat wij gevonden hebben:

0J\\ ^¹0 O1P1
O Ai 0° Ai° Oi Ai
worden in de evenredigheden (a) en (b) de termen in de
linkerledén achtereenvolgens dezelfde, waaruit volgt:

Inh. A A₂ O A₃ : Inh. A Ai O A₃ : Inh. A Ai O J₂ =
= Inh. A Au Oi Am : Inh. A A/ O, Am : Inh. A Ai Oi Au.

Deze evenredigheid drukt de in hulpstelling II vermeldde
voorwaarde uit, zoodat wij vinden: Er zijn twee standen
voor het vlak V, welke symmetrisch zijn ten opzichte van het
door 0° op de projectierichting loodrecht aangebrachte hulp-
vlak ƒƒ, waarbij de vierhoek Oi Ai Au Am een zoodanige
evenwijdige projectie O Ai A₂ A₃ op dit vlak V toelaat, dat
deze met P Q 11 S gelijkvormig is.
Evenwel kan Oi Ai Au Am ook als de loodrechte projectie van

het viervlak 0° Ai⁰ A<>° A₃° op H worden beschouwd, maar
dan volgt het bewijs van de hoofdstelling zelve nu ook terstond.

Ten slotte merken wij nog op, dat voor het grens-
geval, waarbij de punten O, Ai, A₂, A₃ alle vier op één
rechte zijn gelegen, aan de voorwaarde van hulpstelling II
niet meer voldaan is en liet bewijs daarom zijn geldigheid
moet verliezen.

§ 2. De in de drie volgende paragrafen gegeven bewijzen
hebben alle op de hoofdstelling in engeren zin betrekking.

Is de gegeven vierhoek O A\\ A₂ A₃ in V werkelijk de even-
wijdige projectie van een driebeen, dan moet, wanneer de
projectierichting dezelfde blijft, met een standsverandering van
het driebeen in de ruimte een vorm-verandering van den pro-
jectievierhoek gepaard gaan.

De veranderingen, welke in den stand van het driebeen in
de ruimte kunnen worden gebracht, zijn van tweeërlei aard.

A. Evenwijdige verschuiving van het driebeen, waarmede
geen vorm-verandering van den projectievierhoek gepaard gaat,
zoodat wij van deze verplaatsing der ruimtefiguur kunnen afzien.

In ieder bijzonder geval zullen wij de vorm-verandering van
den projectievierhoek, welke hiermede overeenkomt, nader
beschouwen.

Zijn wij in staat aan te toonen, dat door achtereenvolgende
wentelingen om de beenen van het driebeen de vorm der
projectiefiguur zóó gewijzigd kan worden, dat deze gewijzigde
figuur steeds de evenwijdige projectie op het vlak V van een
driebeen voorstelt, dan is hiermede bewezen, dat ook omge-
keerd de oorspronkelijke vierhoek de projectie moet zijn van
een driebeen, dat wij verkrijgen door aan het gevondene de

\') j. W. von Pesciika, Elementarer Beweis des Pohlke\'schen Fun-
damentalsat7.es der Axonometrie, Sitz. Ber. Wien, Abtli II^a, Bd. 78, pg.
1043—1055.

Zij 0° Ai° A₂° As⁰. een der driebeenen, die aan de vraag
voldoen. Wordt dit driebeen gewenteld om het been 0° A_a°,
dan zullen de beide andere beenen zich bewegen in het vlak,
dat door 0° loodrecht op O⁰ A₃° kan worden gebracht, terwijl
de punten Ai⁰ en A₂° den omtrek van een in dat vlak gelegen
cirkel Ei₂° doorloopen. Aangezien O⁰ Ai⁰ en 0° A₂° bij deze
rotatie steeds twee onderling loodrechte stralen van E12⁰ blijven,
zullen O A\\ en O A» steeds twee toegevoegde halve middel-
lijnen zijn van de ellips Eu, welke bij evenwijdige projectie
op V het beeld van Eu⁰ is. De wenteling om O⁰ A_s° wordt
nu voortgezet totdat het punt Ai⁰ in het projecteerend vlak,
dat door O⁰ A₃° gaat, is gekomen. Wij geven in den nieuwen
stand de punten Ai° en A₂° respectievelijk door Bi⁰ en B₂°
aan. De projectie van Bi⁰, het punt Bi, is gelegen op O A₃,
het punt Bi, de projectie van B₂°, is een der uiteinden van

de tot O Bi t. o. v. Ei* toegevoegde middellijn van deze ellips.
Om de plaats der punten Bi en Bi te bepalen gaan wij als
volgt te werk. De ellips Eu kan beschouwd worden als de
scheeve projectie van een cirkel, welke Eu in het punt Ai
raakt en waarvan de straal een lengte O A₂ heeft. Het vlak
van dien cirkel wordt om den doorgang E met het vlak F neer-
geslagen. De doorgang E is de raaklijn in het punt Ai aan Ei*
en dus evenwijdig met. O A₂. Het middelpunt Q van den neer-
geslagen cirkel En\' is dan gelegen op de-loodlijn in Ai op E
opgericht en wel op een afstand A_x Q = O A₂ van het punt/li.

Tusschen de ellips Ei₂ en den neergeslagen cirkel bestaat
een afïiene verwantschap. Voor deze afliniteit is E de affi-
niteitsas, terwijl de verbindingslijn der middelpunten O en Q
de affiniteitsrichting bepaalt. Wij kunnen nu door gebruik te
maken van de bekende eigenschappen der affiene verwant-
schap de punten Bi en B₂, welke overeenkomen met de
punten Bi\' en B₂\' op den cirkelomtrek En, vinden. De
punten Bi\' en B₂\' vinden wij aldus:

De lijn O A_s, op welke Bi gelegen is, snijdt de affiniteitsas
in een punt h; in de affiene figuur komt met O A_s de lijn
Q overeen, welke den cirkel En\' snijdt o. a. in een punt
Bi\'. De lijn in Q loodrecht op Q 3i opgericht snijdt den
cirkel o. a. in een punt B\'₂. Hierna kunnen wij de toegevoegde
punten Bi en B₂ zelve vinden. De nieuwe figuur O Bi B₂ A_amoet, wanneer de in den aanvang gemaakte onderstellingen
juist zullen zijn, de evenwijdige projectie voorstellen van een
driebeen, dat uit het oorspronkelijke door wenteling om O A_a°
is afgeleid. Deze wenteling kan in tweeërlei zin geschieden,
waaruit volgt, dat wij op twee manieren uit de oorspronkelijke
projectiefiguur een gewijzigde kunnen afleiden. De beenen
O⁰ Bi⁰ en 0°A_a° zijn in hetzelfde projecteerend vlak gelegen,
het been 0° B»° staat dus loodrecht op dit vlak.

Wij zullen het driebeen vervolgens laten wentelen om O⁰ B₂°,
waarbij dus O A_a en O Bi alleen in grootte niet in richting
veranderen.

In de liguur 4^A is de cirkel, waarop zich in dit geval Bi⁰en /1₃° bewegen, voorgesteld.

Zij co de hoek, welke de projectierichting met den doorgang
van het projecteerend vlak met V vormt, ó de hoek, dien de
projectiestraal door O⁰ met O B_x° maakt. Verder is Bi⁰ a — Bi O
en A₃° b — A_z O.

Wordt de wenteling om het been 0° B₂° voortgezet, totdat
het punt Bi⁰, dat wij in den nieuwen stand door Ci° zullen
aangeven, is gelegen op den door O⁰ gaanden projectiestraal,
dan is de projectie van O⁰ Ci° op V nul, zoodat voor de
lengte van O B₃ gevonden wordt:

De lengte van O B₃ is dus volkomen bepaald, terwijl het
punt B₃ aan de eene of de andere zijde van O op 0 A_a kan
worden gekozen, al naarmate de wenteling om 0° B₂° in den
eenen of den anderen zin heeft plaats gehad.

De gevonden projectiefiguur O B₂ B₃ moet, wil voldaan zijn
aan de onderstelling in den aanvang gemaakt, de evenwijdige
projectie voorstellen van een door voortgezette wenteling om
de as 0° B₂° uit het oorspronkelijke afgeleid driebeen. Bij
dit driebeen valt een der beenen langs den projectiestraal
door 0°. Wentelen wij het driebeen om dit been, dan door-
loopen de punten B₂° en B₃° een cirkel E₂₃°, welke bij even-
wijdige projectie op V door de ellips E₂₃, waarvan 0 B₂ en
0 B₃ twee toegevoegde halve middellijnen zijn, wordt afge-
beeld. De assen van deze ellips vormen liet eenige paar
toegevoegde middellijnen, welke met elkander rechte hoeken
insluiten. Door gebruik te maken van de affiniteit, welke
bestaat tusschen de ellips E₂₃ en den cirkel E₂₃\', die om den
raaklijn fi s₂ aan E₂₃ in B₃ getrokken in het vlak V is
neergeslagen, construeeren wij de assen van E₂₃. Het middel-
punt R van. bovengenoemden cirkel E₂₃ is gelegen op de

loodlijn, die in Z>₃ op de lijn e 1 e₂ is opgericht op een afstand
B_s 11= 0 B₂ van het punt B_S) terwijl de straal van dezen
cirkel een lengte O B₂ bezit.

Door de punten O en R brengen wij den cirkel, waarvan
het middelpunt M op de raaklijn si s₂ is gelegen. De afïiniteitsas
wordt door dien cirkel in de punten si en s₂ gesneden.
Tot de lijnen B si en R s₂, welke een rechten hoek vormen,
zijn dus in de affiniteit de lijnen O si en O e₂, voor welke
dit eveneens het geval is en die dus de assenrichtingen van
de ellips E₂3 aangeven, toegevoegd. De cirkel E_2a\' snijdt R e₂en R si respectievelijk in de punten C₂\' en C₃\', welke, zooals
uit het bovenstaande duidelijk zal zijn, met de uiteinden C₂en C_s van de halve assen der ellips E₂3 overeenkomen. Ons
rest nu ten slotte aan te toonen, dat de figuur O C₂ C_a steeds
de evenwijdige projectie voorstelt van een driebeen, waarvan
een been langs den projectiestraal door 0° valt.

In de afzonderlijke figuur 4^B is O C₂ C₃ voorgesteld. Zal
de rechte hoek C₂ O C₃ inderdaad de evenwijdige projectie
voortellen van een rechten hoek C₂° 0° C₃°, dan moet het
komtf^oeen 0° C₃° evenwijdig met het projectievlak zijn.
O C_a stelt dus de ware grootte van dit been voor. Wij bren-
gen door 0° C₂° een projecteerend vlak, dat loodrecht staat
op F. Uit het punt O kunnen wij op den projectiestraal
door C₂° een loodlijn O D° neerlaten, die evenlang zal zijn
als het been van het driebeen. Om O C₂ slaan wij den
driehoek J)° O C₂ in liet projectievlak neer. De hoek tusschen
de projectierichting en liet projectievlak wordt dan door
Z Di C₂ O voorgesteld.

Allereerst merken wij op, dat er twee richtingen zijn, welke dooi-
de neergeslagen stralen Di C₂ en D> C₂ worden aangewezen,
waarin men driebeenen op F volgens O C₂ C₃ evenwijdig kan
projecteeren. Heeft men een dezer projectierichtingen gekozen,
dan vindt men twee hierbij passende stellen driebeenen, waarbij
een driebeen tot het eerste stel behoorend ten opzichte van
een door O loodrecht op de projectierichting aangebracht vlak
als spiegelvlak, liet spiegelbeeld is van een tot het tweede
stel behoorend driebeen.

Wordt een dezer driebeenen aan wentelingen onderworpen
om elk zijner beenen, welke in tegengestelde volgorde en in
tegengestelden zin als de zooeven beschrevene worden verricht,
dan kan men hieruit een driebeen afleiden, welks evenwijdige
projectie op F door O A_x A₂ A₃ wordt voorgesteld.

Wij vinden op deze wijze de vier vroeger gevonden stellen
van driebeenen terug. Beschouwen wij den bol K°, waarvan
de oorsprong 0° van een der driebeenen het middelpunt is
en die een been tot straal heeft, dan is de ellips K, waarvan
O C₂ en O C₃ de halve assen zijn, de grensellips van dezen
bol bij evenwijdige projectie op F; de assenconstructie dezer
ellips is hier dus tevens verricht.

Volgens Pelz is het identiek met het oorspronkelijke bewijs
van Pohlke. Wij zullen 0° met O laten samenvallen. De
redeneering is hier de volgende. Voldoet O Ai A₂ A₃ aan de
onderstelling, dat deze figuur de evenwijdige projectie op F
voorstelt van een driebeen, dan moet A A_t O A₂ de afbeelding
zijn van een rechthoekig-gelijkbeenigen driehoek Ai° O A₂° en
de ellips Ei₂, die O A_x en O A₂ tot toegevoegde halve middel-
lijnen heeft, de evenwijdige projectie van een cirkel £12°, van
welke O Ai⁰ en O A₂° een rechthoekig stralenpaar vormen,
voorstellen. Opdat de cirkel L\\₂^C bij evenwijdige projectie
door de .ellips Ei₂ zal worden afgebeeld, is het voldoende,
dat deze ellips met den cirkel een overigens willekeurige
middellijn Bi O Bi\' gemeen hebbe. De cirkel Ei₂° kan verder
in ieder door Bi O Bi\' gaand vlak zijn gelegen, aangezien dit
alleen in de richting, waarin de projectie moet geschieden,
verschil oplevert. Is B₂ O B₂\' n.1. de tot Bi O Bi\' ten opzichte

\') C. Pelz, Uber einen neuen Beweis, enz., t. a. p.
\') C. Küpper, Der Satz von Pohlke, Math. Annal, Bd. 33, 1889.
pg. 474-475.

Zie voor de polemiek gevoerd tusschen Pelz cii Küpper naar aanlei-
ding van de prioriteit der reconstructie van Pohlke\'s bewijs:
E. Wendling, t. a. p., pg. 13 en 14.

van En toegevoegde middellijn, B₂° 0 B₂°\' de op Bi 0 Bi\'
loodrecht aangebrachte cirkelmiddellijn van £\'12°, dan geeft de
verbindingsl ijn der punten B₂° en B₂ de richting der projectie
aan. Wij denken ons nu voorloopig voor het vlak van den cirkel
-E12⁰ een bepaald vlak aangenomen, richten in 0 een loodlijn
O Ba⁰ ter lengte 0 Bi op dit vlak op en projecteeren B₃° op V,
volgens de richting door B> B₂° bepaald, in het punt B₃. De
figuren O Bi B₂ B₃ en 0 Ai A₂ B₃ stellen dan de evenwijdige
projectie\'s in de richting B₂° B₂ op V voor van de driebeenen
OBi°B₂°B₃° en O Ai⁰ A₂° B₃°. In het algemeen vallen de
punten B₃ en /l₃ niet samen, was dit wel het geval dan zou
het bewijs terstond geleverd zijn. Wij stellen de vraag:
Kunnen wij door in den stand en in de afmetingen van het
driebeen in de ruimte zekere veranderingen aan te brengen,
waarmede dus veranderingen in projectierichting en projectie-
figuur gepaard gaan, het punt B₃ met A₃ laten samenvallen?

Deze veranderingen mogen, gelijk wij opmerkten, niet wille-
keurig worden gekozen; slechts een tweetal veranderingen
zijn aan te brengen.

A. Aangezien de middellijn Bi O Bi\' van Ei₂ geheel wille-
keurig is aangenomen, kunnen wij Bi O Bi\' alle standen in
En laten innemen.

B. Is een bepaalde middellijn Bi 0 Bi\' van En gekozen,
dan kunnen wij het door die middellijn gebrachte vlak van
den cirkel En° om deze laten wentelen, waarbij wij zorg moeten
dragen de projectierichling dienovereenkomstig te wijzigen.

Deze laatste verandering bespreken wij het eerst. Welken
stand het wentelende vlak van den cirkel En⁰ ook moge
hebben, de punten B₂° en B₃° zijn steeds gelegen op den
omtrek van een cirkel k°, welke in het vlak door O lood-
recht op Bi O Bi\' aangebracht, is gelegen.

Deze cirkel, waarvan de straal de lengte 0 Bi heeft, snijdt
V in de punten Ci en Ci\\ welke gelegen zijn op de loodlijn
Ci O Ci\' op Bi O B\' getrokken op een afstand OCi = OB_l van O.
Om de lijn Ci Ci\' wordt deze cirkel in V neergeslagen volgens C_n.

Zij B_2n het neergeslagen punt, het punt B_3n kan dan het
neergeslagen punt B₃° voorstellen (O B_3n±0 B_2n).

In B_3n trekken wij een raaklijn aan C_n, welke de rechte
Ci Ci\' in het punt D snijdt.

Om de meetkundige plaats der punten B₃, welke bij de
wenteling van het vlak van den cirkel Eu° door deze punten
in V wordt doorloopen, nader te bepalen, kiezen wij de
rechte O Ci tot X-as, O tot F-as van een assenstelsel.

De coördinaten van B₃ ten opzichte van deze assen zijn:
D 0 = x )
DB₃ = y i

Zij O Bi — O B_2n = O B_3n = x en O B₂ = (3, dan is in den
rechthoekigen A B_Zn ]} O

De gezochte meetkundige plaats is dus een hyperbool, welke
naar uit de vergelijking blijkt door de punten Ci (a,o) en
Ci\' {-x,6) gaat en in deze punten raaklijnen bezit, die met de
F-as evenwijdig zijn. Is het punt b₃ de loodrechte projectie
van B₃° op F, dan is de lijn B₃° b₃ de poollijn van het punt
D ten opzichte van k° en de lijn B_3n b₃ de poollijn van D ten
opzichte van C_n. De punten D en b₃ worden dus harmonisch
gescheiden door Ci en Ci\'. De punten Ci en Ci\' zijn, zooals wij
reeds.zagen, punten van de hyperbool, terwijl de lijn D B₃ met
de F-as evenwijdig is; hieruit kunnen wij afleiden, dat D B₃ de
poollijn is van b₃ ten opzichte van II en dat de lijn, die het
op de hyperbool gelegen punt B₃ met b₃ verbindt, een raaklijn
aan deze is. Wordt de ellips Ei₂ in haar vlak 90° om O
gewenteld en geven wij de nieuwe ellips aan door En\', dan
zal deze ellips gaan door de punten Ci en Ci\', terwijl de
raaklijnen in deze punten aan E_i2\' getrokken loodrecht zullen
staan op O B₂, omdat de raaklijnen in de overeenkomstige
punten Bi en Bi\' aan de ellips Ei₂ met O B₂ evenwijdig zijn.
De raaklijnen in C_x en CV aan Ei₂\' staan dus eveneens lood-
recht op de raaklijnen in dezelfde punten aan II getrokken,
omdat deze met de F-as, dus met O B₂ evenwijdig zijn.

In de punten C_x en C_x\' snijden de ellips Ei₂\' cn de hyperbool
H elkander orthogonaal.

assen X en F de stukken x en /3 afsnijdt, en met C_xdie van de assen X en Y de stukken —x en (3 afsnijdt, even-
wijdig zijn. Hierin hebben wij een middel ter constructie van
de asymptoten. De raaklijn in C₁ aan de hyperbool aange-
bracht snijdt een der asymptoten van H in de punten Ni en
N₂, welke beide op den afstand (3 (Ci Ni = Ni — /3) van
het punt Ci verwijderd zijn.

waarbij c de lineaire excentriciteit van de hyperbool voorstelt,
terwijl de assen van II den hoek Ni O N₂ en diens supple-
ment halveeren. Een en ander kan langs analytischen weg op
eenvoudige wijze worden aangetoond.

Boven hebben wij reeds opgemerkt, dat de in Ci en CV
aan de hyperbool getrokken raaklijnen de normalen waren,
welke in deze punten op de ellips En\' zijn opgericht. Zet
men op de normaal in het punt C\\ op En\' getrokken aan
weerskanten van C_t een stuk (3 ter lengte van de tot 0 Ci
t. o. v. En\' toegevoegde halve middellijn af, dan deelen volgens
een bekende stelling de lijnen Ni 0 en N₂ 0 de hoeken, welke
door de assen van En\' gevormd worden, middendoor. Boven-
dien is

waarbij a en b de lengte der halve groote en halve kleine
as van Èn\' voorstellen. Stelt cV de lineaire excentriciteit
van En\' voor, dan is

Hieruit volgt in verband met het vroeger gevondene, dat
En\' en II coaxiaal moeten zijn en daar zij bovendien dezelfde
lineaire excentriciteiten bezitten ook confocaal zijn.

Laten wij de middellijn Bi O Bi\' van En achtereenvolgens
alle standen in En innemen, dan vinden wij bij elk van haar
standen een hyperbool II, die, zooals wij boven vonden, de
meetkundige plaats der punten B₃ is en welke met En\' confocaal

zal zijn. Al deze hyperbolen vormen samen het in V gelegen
stelsel der met Ei₂\' confocale hyperbolen. Door ieder punt
in het vlak, dus ook door het punt A₃, gaat een van deze
hyperbolen. De hyperbool door A₃, welke wij ons met de getee-
kende voor het gemak samengevallen denken, snijdt de ellips
Ey>\' in vier punten, de uiteinden van twee evenlange middel-
lijnen Ci C_t\' en Co CJ. De punten A₃°, wier evenwijdige
projectie op V door A₃ wordt voorgesteld, zijn dus gelegen
op twee congruente cirkels ki° en £₂°, wier vlakken door de
middellijnen C_t C_v\' en C₂ C₂ respectievelijk loodrecht op V
zijn aangebracht.

De raaklijn in A₃ aan II getrokken stelt, zooals gebleken
is, de loodrechte projectie van den projectiestraal A₃ A₃° voor.
Brengen wij dus door deze raaklijn een vlak loodrecht op V,
dan zal dit vlak de cirkels A*i° en A-₂° snijden in de punten
A₃°. Er worden dus vier punten A₃° gevonden, hetgeen over-
eenkomt met het vroeger gevonden resultaat, dat er vier
driebeenen met den top O zijn.

Om de driebeenen zelf te vinden gaan wij aldus te werk.
Door O brengen wij een vlak W loodrecht op het gevonden
been O A₃° van een der driebeenen. De snijpunten van dit
vlak met de lijnen door Ai en A₂ evenwijdig aan den projectie-
straal As As⁰ getrokken, zijn de gevraagde punten A_x° en

Door evenwijdige verschuiving van elk der gevonden drie-
beenen langs de projectiestralen, welke gaan door hun eind-
punten, kunnen wij bij ieder der vier gevondene een stelsel
van driebeenen vinden.

Ten slotte willen wij nog in het kort de waarschijnlijkheid
der identiteit van het bovenstaand bewijs met dat van Pohlke
nader toelichten. Wordt liet driebeen OBiB₂°B₃° om Bi O Bi\'
als as gewenteld, dan beschrijven de punten B₂° en B₃° pro-
jectieve puntenreeksen op den cirkelomtrek k°. Kiezen wij
nu k° tot basis van een kegel, welks top liet in V gelegen
punt B-i is, dan behoort bij ieder punt op den cirkel k° een
een beschrijvende lijn en omgekeerd.

In iederen stand, dien de lijn B₂ B₂° kan innemen, wordt
door het bij B°₂ passend punt B₃° een rechte lijn met

Bo B₂° evenwijdig getrokken. Samen vormen deze rechte
lijnen de regelschaar der beschrijvende lijnen van een een-
bladige hyperboloïde. Het vlak van de richtlijn k° staat
loodrecht op het projectievlak, de doorsnede hyperbool H
van de eenblaaige hyperboloïde met dit projectievlak is dus
een hoofddoorsnede.

Wordt de middellijn van de ellips Eu\' om O gewenteld
en kiest men in elk der standen van deze middellijn den
cirkel op B O Bi als middellijn beschreven, welke gelegen is
in het door B_v O B_y\' op V loodrecht aangebrachte vlak, tot
richtlijn, dan ontstaat op de wijze, zooals boven beschreven
is, een schaar confocale hyperboloïden, wier doorsneden met
V zijn de hyperbolen H, welke tot de ellips E12\' confocaal
zijn. Dit is geheel in overeenstemming met het door Schwarz
meegedeelde. Kiezen wij de door het punt A₃ gaande hyper-
boloïde, dan kunnen wij bij deze zooals bij iedere eenbladige
hyperboloïde twee congruente cyclische doorsneden aanbrengen,
wier vlakken loodrecht zullen staan op het vlak der hoofd-
doorsnede, die in V gelegen is. Deze doorsneden zijn nu de
beide cirkels en &2⁰, welke wij vroeger hebben gevonden.

Naar aanleiding van dit bewijs is een constructie van de
lengte van het been r en den door de projectiestralen met
het projectievlak gevormden hoek (pi mogelijk. Wij verwijzen
voor deze naar het werkje van Wendling ¹), waar deze con-
structie onder eenvoudiger omstandigheden is geleverd.

Zij de figuur P in V een parallelogram, waarvan het punt
m middelpunt is. In P is de ellips E_p, welke de zijden van
het parallelogram in hun middens «1, bi a₂, b₂ raakt en m
tot middelpunt heeft, beschreven. Het punt m wordt met
een willekeurig punt M in het vlak verbonden en aan E_p

2 ⁸) E. Waelsch, Zur Axonometrie, Jahresber. d. Deutschen Math. Ver.
Bd. 19, pg. 273—270.

worden de raaklijnen U en t₂, welke met m M evenwijdig
zijn, geconstrueerd. Wij kunnen een kegelsnede E door de
volgende voorwaarden nader bepalen: Het punt M moet
middelpunt zijn, zij moet h en t₂ raken, terwijl in de stralen-
involutie ten opzichte van E, waarvan het punt m de drager
is, zoowel de stralen m ai en in bi, als de diagonalen van P
een stralenpaar vormen. Aangezien de stralen m ai en m b_x

door de stralen m O en m Ai worden gescheiden, zijn de
dubbelstralen dezer involutie imaginair, zoodat het punt m
binnen de kegelsnede E is gelegen. Bovendien ligt het punt
vi binnen de aan E getrokken raaklijnen ti en t₂, waaruit
volgt, dat de kegelsnede een ellips is, immers bij een hyper-
bool is een binnen de kromme gelegen punt niet tusschen
twee evenwijdige raaklijnen gelegen. Wij beschouwen de
ellips E als den schijnbaren omtrek van een bol E° bij
evenwijdige projectie op V. Het punt m kan dan beschouwd
worden als de evenwijdige projectie van twee op dien bol
gelegen punten mi° en m₂°. Brengen wij aan dezen bol in
het punt t)h° een raakvlak aan, dan is in dit vlak een paral-
lelogram Pi⁰ gelegen, waarvan het parallelogram P de even-

wijdige projectie op V voorstelt. Aangezien de evenwijdige
projecties op V der diagonalen en der verbindingslijnen van
de middens van P ten opzichte van de ellips E zijn toegevoegd
en alleen de projecties, van onderling loodrechte raaklijnen,
welke in een punt aan den bol zijn aangebracht, stralen-
paren opleveren, die ten opzichte van den schijnbaren omtrek
aan elkander zijn toegevoegd, moeten in het parallelogram Pi⁰zoowel de diagonalen als de verbindingslijnen der middens
van de zijden onderling loodrecht zijn, waaruit volgt, dat het
parallelogram Pi⁰ een vierkant is. De ellips E_p is dus de
pi\'ojectie van een in dit vierkant beschreven cirkel E_p°.
Daar t\\ en t₂ twee gemeenschappelijke evenwijdige raaklijnen
aan E_p en E zijn, zijn de door deze lijnen gebrachte projec-
teerende vlakken twee gemeenschappelijke evenwijdige raak-
vlakken aan den cirkel E_p° en den bol E°. Het middelpunt
mi⁰ van den cirkel E_p° is evenwel op den bol E° gelegen,
derhalve moeten de middellijnen van den cirkel E_p° en den
bol E° even lang zijn, terwijl ze bovendien gelijk zijn aan de
zijde van het vierkant Pi⁰. De lijn m M stelt de evenwijdige
projectie voor van den bolstraal vh° M°, die in het punt mi°
loodrecht op het vlak van het vierkant Pi⁰ staat.

Wij construeeren nu met O Ai en O A₂ als zijden een
parallelogram P en trekken door het snijpunt m der diago-
nalen van P een lijn m M met O A₃ evenwijdig, waarvan de
lengte de helft van O A₃ is. Zooals boven is bewezen, kunnen
wij het parallelogram P en de rechte m M steeds beschouwen,
als de evenwijdige projectie van een vierkant en een in het
middelpunt m° van dit vierkant opgerichte loodlijn m° M° ter
lengte van de halve zijde.

Hieruit volgt, dat 0 A₃ de evenwijdige projectie zal voor-
stellen van een in het punt 0° op het vlak\'van dit vierkant
opgerichte loodlijn 0° A₃°welks lengte evengroot is als de
zijde van het vierkant; maar dan is tevens bewezen, dat
0 Ai A₂ A₃ de evenwijdige projectie van een driebeen voorstelt.

Wij voegen aan het bovenstaande nog ter completeering
het volgende toe. De ellips E kan beschouwd worden als
de schijnbare omtrek van twee reeksen bollen bij evenwijdige

projectie. Kiezen wij een bol, die aan de vraag voldoet, dan
zijn op deze twee punten mi° en ?h₂° gelegen, waarin de door
m gaande projectiestraal dezen bol snijdt. Brengen wij in
deze punten raakvlakken aan dien bol aan, dan is in ieder
dier vlakken een vierkant Pi⁰ of P₂° gelegen, dat op V volgens
P wordt geprojecteerd. De lijn niM kan nu beschouwd worden
als de evenwijdige projectie, zoowel van een loodlijn ;«i° J\\h°
op het vlak van Pi⁰, als van een loodlijn w₂° Mi⁰ op het
vlak van P₂° opgericht, waaruit volgt, dat 0 A₃ beschouwd
kan worden als de evenwijdige projectie, zoowel van een
loodlijn ter lengte van de middellijn in het hoekpunt 0/°
van Pi⁰ op diens vlak opgericht, als van een anderen loodlijn
met dezelfde lengte, welke in het hoekpunt Ü₂° van P₂° op
diens vlak loodrecht is aangebracht. Bij iederen bol passen
dus twee driebeenen, wier evenwijdige projectie op V door
0 Ai A-> A₃ wordt voorgesteld en deze driebeenen zijn symme-
trisch ten opzichte van elkander met betrekking tot een vlak,
dat op de projectiestralen loodrecht is aangebracht. De vier
reeksen driebeenen vinden wij dus weder terug.

In 18G1 gaf H. Kinkelin ^x) een analytische oplossing van
de drie volgende vraagstukken.

1) Als de ligging van een driebeen met betrekking tot het
projectievlak en de projectierichting gegeven zijn, vraagt men
de projectie van het driebeen te bepalen.

2) Als de projectie van een driebeen gegeven is, vraagt
men de ligging van dit driebeen ten opzichte van het pro-
jectievlak, zijn grootte en de projectierichting te bepalen.

3) Men vraagt te onderzoeken hoeveel reëele driebeenen
bij een willekeurig aangenomen projectievierhoek behooren.

Het is duidelijk, dat, wanneer wij bij de laatste vraag reëele
oplossingen vinden, het bewijs voor de hoofdstelling der
Axonometrie in engeren zin als geleverd kan worden be-
schouwd. In de beide eerste vraagstukken weerspiegelt zich
reeds het in de inleiding aangewezen dualisme.

Bij de opstelling onzer formules zullen wij den door Kinkelin
ingeslagen weg volgen en dus met de oplossing van het eerste
vraagstuk beginnen; daarna zullen wij enkele beschouwingen
hieraan vastknoopen en de imaginaire oplossingen aanwijzen,
welke door Kinkelin niet zijn gevonden; wij hebben dan tevens
de gelegenheid enkele door Kinkelin gemaakte fouten te
verbeteren.

Vierteljahrschrift der Naturf. Gesellschaft, Zürich, 6 Jhrg., 1861, pg.
358 en v.v.

In fig. 7 zij V het projectievlak; 0° Ai⁰ A₂° As⁰ stelt het
driebeen voor, O A\\ A₂ As zijn projectie op V.

Evenals in Hoofdstuk I § 1 stellen wij:
Z_A\\OA₂ = xs , Z. A₂ O As — «i , As O At = «2.

In het volgende schema zijn de door O⁰ Af met O⁰ N en
0° P gemaakte hoeken aangegeven:

Het eerste vraagstuk komt nu neer op het volgende: Druk
de onbekende grootheden ai, a₂, ct₃, oc_t, oc₂ en in de ge-
geven grootheden r, cp, Li, L₂, L₃, Mi, M₂, M% uit.

In den boldriehoek N P A_x° bestaat, wanneer denhoek
bij het punt P aanwijst, de betrekking:

Trekken wij in het projecteerende vlak van O⁰ A_x° de lijn
0° Bi evenwijdig met O Ai tot deze den bol in het punt Bi
snijdt, dan is de boldriehoek NP Bi\' rechtzijdig en daar de
zijde PBi\' = 180° - 0 is, wanneer 0 den hoek O⁰ Bi Ai°
aanwijst, vinden wij:

Stellen wij cos uit (4) en (5) aan elkander gelijk, dan volgt:
cos Li — cos cp cos Mi
sin <p sin Mi

Wij kunnen om de a\'s in bekende grootheden uit te drukken
de volgende hulpstelling toepassen:

Wordt een vlakke figuur, met een oppervlakte O, in even-
wijdige richting op een plat vlak geprojecteerd en is O\'de op-
pervlakte van de projectie, dan bestaat, als de projectierichting
met de normalen op de beide vlakken respektievelijk de hoeken
n en n\' vormt, tusschen de oppervlakten der beide figuren
de volgende betrekking:

Beschouwen wij A Ai° O⁰ en zijn projectie A A\\ O Ai
op het projektievlak V, dan vinden wij door toepassing van
bovenstaande stelling de betrekking:

sin xi —

da aa cos <p

Maken wij gebruik van de gevonden formules (8) en (9),
dan kunnen wij nu overgaan tot de oplossing van het tweede
door Kinkelin gestelde vraagstuk, dat neerkomt op het volgende:
Druk de grootheden r, (p, L1, Li, L_s, M_u M₂, M₃, welke
onbekend zijn, uit in de grootheden ai, a₂, a₃, x_u x₂ en «3,
die verondersteld worden gegeven te zijn.

cos² (p

X «i² «2² sin² oc₃ = Q² of Q— \\Z~ X «i² o^,2² sin² <x₃dan volgt na eenige omvorming uit de drie vergelijkingen van
(9) door optelling:

Uit (10^a) en (11) elimineeren wij allereerst r² en vinden als
eliminatieresultaat de vergelijking:

Worden in den vorm P² — 4 Q² de grootheden ai, «₂ enz.,
sin <xi, sin enz. weder ingevoerd, dan kan aan dezen vorm
een zoodanige gedaante gegeven worden, dat ze uit de som
van eenige kwadraten bestaat en dus steeds positief of nul
moet zijn.

Wij zullen voorloopig alleen reëele oplossingen van het
vraagstuk moeten beschouwen en dan in de formule (12) het
negatieve teeken kiezen, daar anders cos <p > 1 is.

Uit deze formule blijkt tevens, dat het teeken van cos <p
afhankelijk is van het teeken van Q.

Nu costf) en r blijkens de formules (13) en (14) in bekende
grootheden zijn uitgedrukt en dus een zeer bepaalde waarde
hebben ontvangen kunnen wij overgaan tot de oplossing van
cos Li enz., cos M_x enz., waarin wij r en cos Cp zullen laten
staan teneinde deze uitdrukkingen niet te samengesteld maken.
Uit (9) vinden wij: ^x)

\') Hier kunnen wij tevens wijzen op een door Kinkelin gemaakte
vergissing (trouwens reeds door SciIWARZ opgemerkt) waarbij de projectie-
richting en do richting van den normaal op V worden verwisseld en dus do
formules (1G) als betrekking hebbend op met de normaal gevormde
hoeken worden geinterpreteerd.

waaruit volgt, dat cos M₃ enz. steeds reëel en kleiner dan
één is, zoodat wij mogen besluiten, dat de hoeken M_x enz.
steeds reëel zijn.

Substitueeren wij cos M_x enz. uit (16) in (2), dan blijkt,
dat de gevonden waarden aan de voorwaarden voldoen.

De vergelijkingen (8) kunnen worden opgelost als vierkants-
vergelijkingen in cos Lj (ƒ — 1, 2, 3), waarna wij vinden:

Wij zullen nagaan hoe de teekens in de formules (17)
moeten gekozen worden, opdat door een zoo gevonden stel
waarden voor cos Lj aan de voorwaarde (1) voldaan zij.

terwijl (P² — 4 Q²) na substitutie der overeenkomstige waarden
van P en Q gebracht kan worden in den vorm:

(P² - 4 Q²) = (en² 4- «₂² cos 2 a₃ a₃² cos 2 a₂)²
(«2² sin 2 a₃ — «3² sin 2 <x₂)²,
zoodat wij vinden:

Aangezien de waarde van den in den bovenstaanden vorm
tusschen de haken voorkomenden wortelvorm, welke het

positieve teeken bezit, uit den aard der zaak grooter is dan
(ai² -f- a₂² cos 2 «3 «3² cos 2 x₂) moet de vorm aan den rechter-
kant tusschen de vierkante haken en mitsdien het geheele
rechter lid positief zijn.

Substitueeren wij de waarde van cos Lj (j= 1, 2, 3) uit
(17) in (1). Voldoen deze waarden aan de voorwaarde, dan
is hiermede tevens aangetoond, dat cos Lj (j= 1, 2, 3) kleiner
dan of hoogstens gelijk aan één zijn.

± cos M_s ]/a₂² — r² sin² M₂ ± cos M_a ]/ a₃² — r²sin² M* =1
of na herleiding:
± cos Mi ]/*ai² — r² sin² Mi ± cos M₂1/a₂² — r² sin² M₂ ±
± cos Mi 1/a$² — r² sin² Ma = 0

± cos Mi ]/ ai² — r² sin² Mi ± cos M₂1/^ra₂² — r² sin² M₂ —
= cos Ma V a₃² — r² sin² il/₈.
Verheffen wij beide leden dezer vergelijking in het kwadraat,
dan vinden wij:

cos² Mi (ai² — r² sin² Mi) cos² M₂ (a₂² — r² sin² M₂) ± 2 cos Mi
cos M₂ ]/{ai² - r² sin² Mi) (a₂² — r² sin² M₂) —
= cos² M_a (rt₃² — r² sin² M_s)

cos² Ml (ai² — r² sin² M_t) cos² M₂ (a₂² — r² sin² M₂) —
— cos² M_z (a₃² — r² M_a) = 2 cos Mi
cos M₂ VW — r² sin² M_x) (a₂² — r² sin² M₂) (18)

Aan den rechterkant moet het positieve teeken gekozen
worden, wanneer in de vergelijkingen (17) ]/ ai²— r²sin²il/i
en l/a2² — r² sin² M₂ hetzelfde teeken hetzij positief of nega-
tief, bezitten, het negatieve daarentegen, als de teekens der
genoemde wortelvormen verschillend zijn.

Substitueeren wij in (18) de waarden van r², cos Afi enz.,
zooals die boven zijn aangegeven, dan volgt na uitvoerige
omwerking, wanneer wij stellen:

Daar A =\\= 0 kan dit alleen een identiteit zijn, hetgeen nood-
zakelijk is willen de waarden voor cos Li enz. kleiner zijn
dan één, wanneer in het rechterlid het positieve teeken voorkomt.

Dit involveert evenwel, dat bij alle in (17) voorkomende
vergelijkingen het teeken voor den wortelvorm in het rechterlid
hetzelfde moet zijn, zoodat er slechts twéé stellen waarden
voor cos Li enz. gevonden worden, die voldoen n.1.:

Immers bij substitutie van de gevonden waarden voor cos Li
enz., cos M_x enz. in:

cos M₂ Va₂² — r² sin² M₂ ± cos M₃ Va₃² — r² sin² M₃ j,
welke vergelijking tot de gedaante in (18) aangegeven terstond
kan worden teruggebracht.

Wij zullen in de volgende paragraaf nog enkele afleidingen
voor de formules (10) en (11) geven en daarna in § 3 nader
bespreken het aantal reëele driebeenen, welke aan het vraag-
stuk voldoen, terwijl tevens de imaginaire oplossingen zullen
worden aangewezen.

§ 2. De formules (10) en (11) kunnen, zooals Waelscii ¹)
heeft aangetoond, ook met behulp van de vectoranalyse worden
afgeleid.

De eenheidsvectoren, loodrecht op V en langs OP, zullen
wij achtereenvolgens door de symbolen p en l aangeven;
O en O⁰ laten wij weer samenvallen.

De vectoren O⁰ Ai°, O⁰ A₂° en O⁰ A₃° duiden wij aan met
«2° en «3°, de vectoren O Ai enz. door ai enz.

Een vector door O, welke gelegen is in het projecteerend
vlak, dat door een der vectoren O Aj° gebracht kan worden,
kunnen wij in het algemeen voorstellen door:

1 \') E. Waelsch, l\'arallcIpcrspcktivG enz. Jahresberichte der Deutschen
Mathematiker Vereinigung, Bd. 21, 1912, pg. 21-2C.

Is a,j de vector O Aj, die in V gelegen is, dan wordt de
waarde van qj bepaald; geven wij deze aan door [j.j, dan
moet aangezien in dit geval:

Wij vinden op deze wijze twee soortgelijke betrekkingen.
Na vierkantsverheffing en optelling volgt hieruit:

Het projectievlak V kiezen wij tot horizontaal projectievlak.
Zij l de projectiestraal, die door het punt O gaat. Door deze
lijn brengen wij loodrecht op V een vlak M, dat wij kiezen
tot vertikaal projectievlak.
Op de bekende wijze kunnen wij dan de horizontale en

\') J. Sobotka, Zur rechnerischen Behandlung der Axonometrie, Sitz.
Ber. der Kön. Böhm. Gesellsch. der Wissensch., 1900, Art. XXXIII.

vertikale projectie van het uiteinde Ax° van het been O Ai°
aangeven. Wij construeeren verder den horizontalen en verti-
kalen doorgang van een vlak L, dat door O loodrecht op de
lijn l is aangebracht en eveneens van een vlak N, gaande
door het punt O, dat zoowel op M als op L loodrecht staat.

De loodrechte afstanden van de punten Aj° (;\' = 1, 2, 3) tot
de vlakken M en N gevenwij aan door mj en nj{j= 1,2,3), de
afstanden tot den horizontale doorgang van L door Ij (j= 1,2,3).

Den hoek, welke gevormd wordt tusschen de lijn l en zijn
horizontale projectie op F, geven wij aan door (pi. Naar
bekend is zal

„De som der vierkanten van de loodlijnen, die uit de uiteinden
der beenen van een driebeen op een willekeurig vlak door
den oorsprong van dit driebeen zijn neergelaten, is gelijk aan
het vierkant van een been".

In het vlak V bestaat, omdat de doorgangen L en M onder-
ling loodrecht zijn, de betrekking:

Om de uitdrukking voor Q te vinden, projecteeren wij de
punten Af (j= 1,2,8) loodrecht op het vlak L. Stel, dat
Bj° de projecties zijn (deze zijn in de figuur niet voorgesteld).

Het vlak, door de beenen OAi° en O A>>° van het driebeen
gebracht, snijdt den vroeger genoemde bol K° volgens een
cirkel, welke bij evenwijdige projectie op het vlak L in de
richting der projectiestralen een ellips, waarvan de halve groote
as een lengte r, de halve kleine as een lengte ca bezit, tot
projectie heeft.

Omdat O 7A° en O B₂° twee toegevoegde halve middellijnen
zijn, volgt hieruit naar een bekende eigenschap der ellips:
bi b₂ sin (3s = r ca

Wanneer wij in de vergelijkingen (27), na deze in het
kwadraat te hebben gebracht, de linker- en rechterleden op-
tellen, vinden wij dus:

Het parallelogram, dat O Bi⁰ en O B₂° tot zijden heeft,
wordt op V evenwijdig geprojecteerd volgens een parallelo-
gram, waarvan O Ai en O A₂ de zijden zijn.

b₂ b₃ sin ßi = a₂ a₃ sin xi cos cp
b3 bi sin ß₂ = a₃ ai sin «2 cos cp.

Substitueeren wij deze waarden in (28), dan worden gevonden:
cos² (p X oi² a₂² sin² x₃ = r⁴

Wij zullen nu laten zien, dat deze vergelijking ook meer
rechtstreeks kan gevonden worden.

A. Beck *) heeft de voorwaarde voor de perspectief-affiene
ligging van twee viervlakken opgespoord en in analytischen
vorm uitgedrukt.

Zijn Ai A₂A₃A\\ en B_x B₂ B₃ twee perspectief-affiene vier-
vlakken; hierbij geven wij homologe punten door gelijke indices
aan. Door evenwijdige verschuiving in de affiniteitsrichting
laten wij de homologe punten A\\ en B._t samenvallen. Ver-
volgens kiezen wij het punt yl₄ tot oorsprong van een recht-
hoekig assenstelsel, waarvan de Z-as de richting der affiniteit
heeft, terwijl de X- en Y-as in een door A₄ loodrecht op
deze richting aangebracht vlak gelegen zijn.

Omdat homologe punten door met de Z-pls evenwijdige
lijnen vérbonden zijn volgt hieruit, dat de coördinaten van
Aj door: xj, y_)} zj (J— 1,2,3) de coördinaten van Bj door
^xj, Vp Ki (ƒ — 1) 2, 3) kunnen voorgesteld worden.

xi² ?/i² zi² = au² J xi² ?/i² Ci² —
x*² //2² z₂² = a₂4² x₂² 2/2² £2² = b₂\\²

\') A. Beck, Über perspektive Affinität zweier Räume. Zeitschrift für
Mathematik und Physik, Bd. 48, 1899, pg. 487—494.

Uit de formules (29) en (30) volgt na aftrekking:
zi²-^i² = C\\ *,²-Ci² *2²- C2²-2(^i^-CiC2) = C₄z₂² C2^{2 ==}~ C₂ - C2² ^3² - Cs² - 2 (^2 - C» Cs) = CB (31)
z₃²-&² = C₃ z3²-Ca² *i²-Ci²-2(*3*i-C8Ci) = C«i

Wij beschouwen het stelsel vergelijkingen, dat gevormd
wordt door de eerste vergelijking van (31) en de eerste en
derde vergelijking van (32) dus:

Deze vergelijking drukt tevens het verband uit, dat tusschen
öi2, bio enz. moet bestaan.

Neemt men voor het viervlak Bi B₂ B 3 Bi een driezijdige
pyramide, welke drie onderling loodrechte evenlange ribben
BiBi, B\\Bo, BiBs bezit, dan kan men de lengte r van ieder
der ribben Bi Bi, Bi B₂ en Bi B₃ uit de vergelijking (34) nader
bepalen.

Daartoe worde opgemerkt, dat in dit geval:
bu² = ba² = bsi² = r²b₁₂2 = bn² = bsi² = Zr²,

zoodat (34) bij substitutie van deze grootheden overgaat in:
2 CZ34² — 2r² «3i² «i4²—«31² «24² «s4² —«23²

Wij bepalen het viervlak Ai A₂ As Ai nader door te stellen:
«i4=öi Ai Ai A₂ = tx.s

a_2V = a ₂

«34 = «3

«12² = «i² «2² — 2 «1 «₂ cos x₃«23² = «2² «3² — 2 «2 as cos.ai
«31² = «3² «l² — 2 «3 «1 cos x₂

Zl tl		\'2 Ca		23
22 S2	>	23	»	Zl Ci

«i «2 cos xs «2² — r²Zijn de coördinaten van de hoekpunten van een viervlak

Ai A₂ A₃ Ai voor ieder punt Aj (xj, >jj, zj) (j =1,2, 3), dan
heeft men voor den inhoud van dit viervlak:

Aangezien in bovenstaande beschouwing het punt A₄ tot
oorsprong van het assenstelsel gekozen is, heeft men in
dit geval:

Wordt de determinant in de vergelijking (3G) ontwikkeld
en rangschikt men na substitutie der voor 3G V² gevonden
waarde de termen naar afdalende machten van r², dan is:
r° — (rti² «a² a«²) r⁴ (ai² a₂² sin² x₃ ^ai² Oz² sin² xi
ö3² ai² sin² x₂)r² — 3G F² = 0 (38)

Daar Ai A₂ A_a Ai en B_t B₂ B₃ B_x perspectief-afïiene ligging
hebben, bepalen zij twee ruimten, welke op zoodanige wijze
met elkander in verband staan, dat bij ieder punt van de eene
ruimte een bepaald punt van de andere ruimte behoort en
omgekeerd.

Beschouwen wij Ai Ai, A\\ A₂, A\\ Aa als toegevoegde halve
middellijnen eener ellipsoïde, dan beantwoordt aan deze ellips-
oïde in de ruimte, die door het viervlak B_x B₂ B₃ Bx bepaald
is, een bol, waarvan B± B_x, B_K B₂ en Ba een tripel onder-
ling loodrechte stralen vormen.

Reëel-perspectieve ligging van dezen bol en deze ellipsoïde
is dan alleen mogelijk, wanneer de bolstraal even lang is als
de straal der cyclische doorsneden van de ellipsoïde, dus als
de halve middelste hoofdas van deze.

Ook, wanneer het punt Ai in het vlak van A Ai Ai A3 is
gelegen, blijft deze perspectieve affiniteit bestaan. In dit geval
is de ellipsoïde in een ellips overgegaan en de halve kleine
as van deze ellips moet dan als halve middelste hoofdas worden
beschouwd.

De inhoud van het viervlak Ai A₂ As Ai wordl nul, zoodat
nu (38) na substitutie van F=0 en deeling door r² over-
gaat in:

§ 3. Het aantal driebeenen, dat voldoet.
Wij lalen weder 0° en O samenvallen.
Daar:

Q= ± ^X ai² a₂² sin² <x₃kan Q zoowel positief als negatief zijn, zoodat wij vinden, in
verband met: ____

Wij vinden om bovengenoemde reden bij iedere cos Lj en
cos Mj een waarde van Lj en Mj.

De projectierichting I is tegengesteld aan de,projectierich-
ting III, daar de beide hoeken 0 ollifTarü\'Wppfomcnt fctjti.

Noemen wij I de positieve projectierichting, dan is III de
negatieve; omdat de waarden van cos Mj, die bij cos cp
negatief behooren, de tegengestelden zijn van de waarden,
welke bij cos 0 positief passen, kunnen wij zeggen, dat de
beenen van het driebeen, dat bij I past dezelfde hoeken maken
met de positieve projectierichting, als de beenen van het bij
III behoorend driebeen met de negatieve projectierichting.

Aangezien een been O Ai⁰ van het bij I behoorend driebeen,
dezelfde projectie O A_x op V heeft als het overeenkomstig
been OAi° van het bij III behoorend driebeen, kunnen wij
zeggen, dat deze beenen in hetzelfde projecteerend vlak zijn
gelegen, zoodat de driebeenen elkaar\'s spiegelbeelden zijn
t. o. v. een vlak door O loodrecht op den door O gaanden
projectiestraal.

Hetzelfde vinden wij voor de bij II en IV behoorende drie-
beenen. Aangezien het punt 0⁽\', de oorsprong der driebeenen,
op den door O gaanden projectiestraal willekeurig kan worden
aangenomen, vinden wij bij ieder gevonden driebeen een stelsel
driebeenen, zooals reeds boven in de inleiding is opgemerkt.

Ons rest aan te toonen, dat de gevonden resultaten met
de formules voor cos L_f in overeenstemming zijn.

Behoort het eene stel (a) bij cos 0 posititief, dan zal, wil
het goed zijn, het andere stel (b) bij cos (p negatief moeten
behooren. Dit is inderdaad het geval, immers gaat cos <p in
— cos 0 over, waarmede de overgang van cos Mj in — cos Mj
gepaard gaat, dan gaat de rechterkant van de vergelijkingen
van het stelsel (a) in de rechterkant der vergelijkingen van
het stelsel (b) over.

welke, daar P² — 4 Q² essentieel positief is, steeds reëel en
bovendien grooter dan één zal zijn.
Stel:

Opdat dit reëel zij, is noodig, dat het imaginaire gedeelte
aan den rechterkant van bovenstaande vergelijking nul wordt,
hetgeen alleen mogelijk is voor:

Is Q positief, dan is cos 0 positief en moeten wij u = 0 kiezen.
Is Q negatief, dan is cos 0 negatief en moeten wij u = % kiezen.
Wij vinden nu de vier volgende oplossingen voor 0:

Om de imaginaire oplossingen, welke aan het vraagstuk
voldoen, nader aan te geven, gebruiken wij de formules (17).
Er zijn twee stellen waarden voor cos Lj (ƒ= 1,2,3) n.1.:

want allereerst kunnen wij op dezelfde wijze als op pag. 4-0 v.v.
geschied is bewijzen, dat, wil aan de voorwaarden, (1) en (3)
zijn voldaan, de teekens voor de wortelvormen der in (17)
voorkomende formules dezelfde moeten zijn en ten tweede
blijkt na substitutie in den vorm aj² — r² sin² M_f van de
waarden, die r², cos Mj enz. thans bezitten, dat deze vorm
negatief moet zijn.

dan zal bij Q neg., cos cp neg., en (pi = z -}- t\' t?i, het stel
waarden voor cos Lj

behooren. Immers gaat cos 0 over in — cos (p, dan gaat
cos Mj over in — cos Mj en volgt na substitutie uit de bovenste
waarde voor cos Lj de onderste.

Wij zullen de coördinaten der uiteinden van het driebeen
met den oorsprong O, dat behoort bij de waarde (pi = i fi,
nader bepalen ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel,
waarvan de Z-as samenvalt met de normaal in O op V en
de X- en F-as zijn gelegen in F, terwijl wij den hoek
gevormd door de loodrechte projectie van 0 Af op V met
de X-as aangeven door <pj.

(39^a) / Yj = r sin Lj sin -pj = r sin \\pj Cj — i r sin \\pj Bj
( Xj = r sin Lj cos tpj — r cos 1pj Cj — i r cos 1pj Bj

De coördinaten van Xj enz. in (39^a) en (39^l)) zijn toege-
voegd complex, waaruit volgl, dat de driebeenen gelegen zijn
in ruimten, welke tot elkander zijn toegevoegd. De verbin-
dingslijnen der punten Aj° zijn in dal geval reëel en snijden
het vlak V in de punten Aj.

(pi = — i vi en (p4 = r — ivi.
Wij vinden dus vier stellen imaginaire oplossingen, die zoo
zijn gelegen, dat bij ieder imaginair driebeen een ander past,
welks coördinaten tot die van het eerste toegevoegd complex zijn.

§ 4. Een analytisch-projectief bewijs, dat om zijn sierlijken
vorm opmerking verdient, is geleverd door Felix Klein \').

Wij kunnen alle punten van de ruimte li afbeelden op een
plat vlak V door middel van de volgende lineaire substitutie:

\') F. Klein, Elomentar-Mathemntik von hühcrcni Standpunkte aus. II
(Geometrie), 1009, pg. 161—174,

%i — ai xj -f bi x₂° 4- ci x₃^{x₂ = ö2 4" ^2 C2 Xs\'
= a₃ Xi° 4 b₃ x₂° C₃ X₃^[

Hierbij zijn O*!⁰, x₂°, x₃°) coördinaten van een punt P° in
de ruimte, {x_t, x₂, x₃) bepalen het beeld P van dit punt.

Zooals bekend is moeten de coëfficiënten, welke in de for-
mules (40) voorkomen, voldoen aan de volgende voorwaarden:
De determinant der coëfficiënten:

terwijl de onderdeterminanten van A en de in A voor-
komende coëfficiënten niet alle tegelijk nul mogen worden.

Kiezen wij het coördinatenstelsel, waarvan x_u x₂, x₃ coördi-
naten zijn, op zoodanige wijze, dat het vlak Xi O X₂ met het
vlak V samenvalt, dan neemt de substitutie den volgenden
vorm aan:

De determinant der coëfficiënten is in dit geval uit den
aard der zaak nul. Opdat aan de overige condities, welke
bij de substitutie gesteld worden, voldaan zij, is het nood-
zakelijk, dat de gedurige evenredigheid:

niet besta, daar de onderdeterminanten van A in het tegen-
overgestelde geval alle tegelijkertijd nul zouden worden.

Wij kiezen in de ruimte een vector, waarvan wij de com-
ponenten zullen voorstellen door AV, A^r2°, A^r3°. Wordt deze
vector op het vlak V afgebeeld, dan is het beeld een vector,
waarvan de componenten zijn:

Xi = Ai Xi° Bi X₂° Ci A
X₂ = At A^ri° 4- B₂ X₂° 4- C₂ A
X₃ = 0

Wanneer in de ruimte drie vectoren van gelijke lengte
gekozen worden, welke langs de assen van het aangenomen
assenstelsel vallen, dan vinden wij de volgende vectoren in
F, die hiermede overeenstemmen:

d. w. z. wij vinden vectoren in F, welke uitgaan van een punt
O naar punten, wier coördinaten t. o. v. de assen van een
zeker coördinatenstelsel in F door de coördinaten A_h A₂;
Bi, B₂ en Ci, C₂ zijn bepaald.

Uit de bij de transformatie gestelde voorwaarden volgt, dat
van deze punten niet meer dan twee onderling of met het
punt O op een rechte lijn gelegen zijn.

„Drie vectoren in een plat vlak V door een punt O onder
willekeurige hoeken getrokken, op welke willekeurige stukken
zijn afgezet en wier eindpunten bovendien niet alle met het
punt O op een rechte gelegen zijn, kunnen beschouwd worden,
als de afbeelding van drie onderling loodrechte eenheids-
vectoren".

Om uit deze stelling het bewijs voor de hoofdstelling te
kunnen afleiden moeten wij nog aantoonen, dat de boven-
staande „afbeelding" met een scheef axonometrische projectie
aequivalent is.

Dat de projectie een evenwijdige is, kunnen wij aldus inzien.
Is een punt P in F bepaald door de coördinaten £₂, £»,
dan is dit punt beeld van een aantal punton in de ruimte,
waarvan de coördinaten xj> (j — 1, 2, 3) aldus bepaald zijn:
= A_x *,<> Bi Ci \\ (a)
& = A_t X\\* Bi Xi° C, (b) (41)

Omdat elk der vergelijkingen (41^a) en (41^b) een plat vlak
voorstelt, zijn de punten wier coördinaten hieraan voldoen,
alle op een rechte lijn gelegen.

Beweegt het punt P zich in het vlak V, dan gaat hiermede
gepaard een evenwijdige verplaatsing der door de vergelijkin-
gen (41^a) en (41^b) voorgestelde vlakken, zoodat hieruit volgt,
dat hun snijlijn, de meetkundige plaats der punten even-
eens met zichzelf evenwijdig wordt verplaatst.

Zij de stand van het assenstelsel in de ruimte vast aange-
nomen, dan moeten wij nog aantoonen, dat het mogelijk is
het vlak V een zoodanigen stand te geven en in dit vlak een
rechthoekig assenstelsel O X_t en 0I₂, voor welks assen de
eenheidsmaatstaven even lang zijn, zóó aan te nemen, dat
een willekeurige straal, die bepaald is door de waarden £1 = oi,
£2 = Ö2, het vlak V treft in een punt, dat ten opzichte van
het assenstelsel in dit vlak ai en a2 tot coördinaten heeft.

Klein \') heeft om dit te bewijzen de analyse gebruikt; wij
volgen den meetkundigen weg, die door Wendling ²) is aan-
gewezen, omdat deze sneller tot het doel leidt.

De drie stralen bepaald door (£1 =0, £2 = 0); (£1 = 1,
£2 = 0); (|i = 0, £2 = 1) kunnen beschouwd worden als de
ribben van een driezijdig prisma.

Dit prisma kan door een plat vlak zóó gesneden worden,
dat de doorsnede een rechthoekig-gelijkbeenige driehoek ³) is.
Kiezen wij een der vlakken, waarvoor dit het geval is, en
noemen wij de snijpunten van dit vlak met de drie boven
aangegeven stralen achtereenvolgens O, Pi en P₂, dan is
A O Pi P₂ rechthoekig-gelijkbeenig. Het punt O kiezen wij
tot oorsprong van het assenstelsel, O X_x laten wij vallen langs
O Pi, OX₂ langs OP»; wij kiezen verder OP, — O P₂ tot
eenheidsmaatstaven. Bij een op deze wijze aangenomen assen-
stelsel snijdt inderdaad een door de waarden £1 = a_u £₂ = a₂bepaalde straal het aangenomen vlak in een punt Q, welks
coördinaten t. o. v. O X_x en O X₂ beide met denzelfden maat-
staf gemeten door at en a₂ worden voorgesteld.

Door het punt O gaan twee vlakken V\\ en V₂, welke sym-
metrisch met elkander zijn ten opzichte van het vlak door het
punt O loodrecht op de projectiestralen aangebracht, zoodat
wij ook langs dezen weg de vroegere resultaten terugvinden.

§ 5. Beschouwen wij het projectievlak als drager van com-
plexe getallen, Avaarin twee door het punt O getrokken onderling
loodrechte assen achtereenvolgens de assen der reëele en
imaginaire getallen voorstellen, dan kan ieder in dit vlak
gelegen punt als het beeld van een richtingsgetal worden
opgevat.

Zij O Ai⁰ A2⁰ A3° een driebeen, waarvan de oorsprong O in
het vlak V is gelegen. Dit driebeen wordt loodrecht op V
geprojecteerd, Ai, A₂ en A3 stellen de projecties der uiteinden
van de beenen van het driebeen voor. Beschouwen wij de
punten A1, A₂ en A₃ als beelden van de richtingsgetallen
ai, a₂ en «3, dan geldt, zooals Gauss *) bewees de volgende
stelling:

„Worden de uiteinden der beenen van een driebeen Ai⁰,
Ao° en A3° loodrecht geprojecteerd op een door den oorsprong
O van dit driebeen gebracht vlak V en vat men de projecties
dezer punten A1, A₂ en As op als beelden van complexe
getallen 01, a₂ en dan is de som der vierkanten van deze
getallen nul. Hierbij wordt ondersteld, dat de oorsprong O
van het driebeen met den oorsprong van het complexe vlak
samenvalt."

Is de richting der projectiestralen scheef. ten opzichte van
het projectievlak, dan zal daarentegen bij overigens dezelfde
onderstellingen gelden:

^s) M. KoprE, Beweis des Pohlke\'schen Satzes, Setz. Ber. d. Bcrliner
Math. Gesellschaft, X, S. 108.

Bij scheeve projectie van het driebeen op het door den
oorsprong O gebrachte vlak V geldt:

Worden de getallenassen in het vlak V over een hoek \\p
in een richting tegengesteld aan de beweging der wijzers van
een uurwerk gedraaid, dan is ten opzichte van de nieuwe
getallen-assen 0£, O jj het punt Aj beeld van het complexe getal:
_pjeiVj- ₌ (ƒ= 1,2,3)

Door gelijkstelling der reëele en complexe gedeelten in het
linker- en rechterlid dezer laatste vergelijking volgt hieruit:

Wij brengen door de >j-as een vlak W, dat met het vlak
V een standhoek (3 vormt {(3 is de kleinste der beide stand-
hoeken). Ook dit vlak beschouwen wij weder als een complex
vlak; de ^-as zij weder de as der imaginairen, de loodrechte
projectie van de in V gelegen £-as op W zij de nieuwe as
der reëele getallen.

Worden de in het vlak V gelegen punten Ay op het vlak
W in de punten By loodrecht geprojecteerd, dan geldt voor de
door de punten By afgebeelde complexe getallen:

a. Hunne reëele gedeelten zijn ten opzichte van de reëele
gedeelten der door de overeenkomstige punten Aj in V af-
gebeelde getallen in de verhouding cos (3: 1 verkleind.

b. Hunne imaginaire gedeelten zijn evengroot als die van
de door de overeenkomstige punten Ay in V afgebeelde
getallen.

Het richtingsgetal by, waarvan het punt By een beeld is,
staat op de volgende wijze met de reëele en complexe ge-
deelten der getallen Ay t. o. v. £ en n in verband.

by = cos (3 in. (ƒ= 1,2,3)
Wij kunnen de vraag stellen: Kan het vlak W zóó worden

In verband met de formule (45) blijkt, dat de volstrekte
waarde van cos (3 kleiner dan de eenheid is, zoodat twee
waarden voor (3 gevonden worden, welke overeenkomen met

twee standen W_x en W₂ van W, voor welke O Bi B» Bi de
loodrechte projectie van een driebeen voorstelt.

welke twee aan twee met betrekking tot het vlak W als
spiegelvlak elkanders spiegelbeelden zijn, aan de vraag voldoen,
vinden wij nu in het geheel vier stellen driebeenen, die bij
orthogonale projectie op Wi of W₂ de figuur 0 Bi B₂ B₃ tot
projectie hebben, terwijl ze bij evenwijdige projectie in dezelfde
richting op V volgens 0 Ai A₂ A₃ geprojecteerd worden.

Hiermede is het bestaan der vier vroeger aangegeven reeksen
van driebeenen tevens aangetoond.

Wij zullen van de in deze paragraaf aangegeven methode
gebruik maken om de formules (13) en (14) in een sierlijker
vorm te brengen.

| [flfi ^2] | = | y₂ — Xo iji | ,
omdat de laatste uitdrukking het oppervlak van het op O A_xen O A₂ als zijden beschreven parallelogram voorstelt,
vinden wij:

Wij stellen het tot aj toegevoegde complexe getal door aj voor
en gaan uit van de matrix:

Verheffen wij de matrices, die in (47) voorkomen in het
kwadraat, dan vinden wij, omdat:

Wanneer bj en bj twee toegevoegde complexe getallen zijn,
geldt in het algemeen:

Deze formules leenen zich beter voor de discussie van enkele
bijzondere gevallen.

= 2

yi y* z/s

2/1 2/2

<2² = -T

maar dit is alleen mogelijk, wanneer alle punten A j richtings-
getallen afbeelden met hetzelfde argument, d. w. z., wanneer
alle punten Aj op dezelfde lijn gelegen zijn, welke door O gaat.
Bovendien vinden wij dan

Beschouwingen, welke met de theorie der traagheids-
momenten van puntenstelsels in verband staan.

§ 1. Zijn in een plat vlak n punten A_h A₂... A_n gelegen,
welke alle een massa gelijk aan de massa-eenheid bezitten,
dan vormen deze punten samen een vlak punlenstelsel, dat
wij in het volgende door de letter S zullen aanwijzen.
Zij O L een willekeurige lijn in het vlak, Ij de afstand van

het punt Aj tot deze lijn, dan stelt // = 2 Ij² het traagheids-
moment van het stelsel S ten opzichte van de lijn O L voor.
>i

evenwijdig aan O L en aan weerskanten dezer lijn twee rechten
aan, dan kunnen deze als een grafische voorstelling van het
traagheidsmoment // worden beschouwd. Wij zullen ze daar-
om de representeerende lijnen van het traagheidsmoment 7/
noemen.

Wanneer de lijn O L in het vlak om het vaste punt O
draait, zullen de representeerende lijnen, die bij de verschil-
lende standen van O L behooren, een zekere kromme omhullen.
Teneinde na te gaan welke die kromme is, denken wij ons
door O twee onderling loodrechte coördinaatassen O X en
O Y ten opzichte van welke de coördinaten van het punt
Aj door Xj en yj zullen worden voorgesteld.

Het traagheidsmoment van het stelsel zal dan met be-
trekking tot (ie lijn O L, welke met O X een hoek x maakt,
worden voorgesteld door:

waarbij naar bekend is A² en B² de traagheidsmomenten
van het stelsel achtereenvolgens ten opzichte van 0 Y en
0 X voorstellen, dan vinden wij

II = A² sin² x — 2 C² sin x cos x B² cos² x.
De beide representeerende lijnen van dit traagheidsmoment
worden derhalve bepaald door de vergelijkingen:
y cos x — x sin x — ± V[A² sin²« — 2 O²sinacos a B²cos²«)
of, in ééne vergelijking, door:

(y cos x — ^ sin x)² — (A² sin² x — 2 C² sin x cos x
B² cos² x) = 0
Wanneer 0 L om O draait verandert alleen x en vinden
wij voor de vergelijking der kromme, die door de represen-
teerende lijnen van de traagheidsmomenten ten opzichte der
verschillende door 0 gaande rechten omhuld wordt:

Hadden wij niet twee willekeurige onderling loodrechte
assen O X en O Y tol coördinaatassen gekozen, maar de beide
hoofdtraagheidsassen, welke bij 0 behooren, zoodat voldaan
was aan:

waarin A² en B² nu de beide hoofdtraagheidsmomenten
voorstellen van het stelsel ten opzichte van het punt 0.

Bij elk punt O behoort een dergelijke traagheidsellips, die
met den stand van het punt O in het vlak van vorm ver-
andert. Voor twee standen van 0 zal deze traagheidsellips
in een cirkel overgaan.

Om de ligging dezer punten te bepalen merken wij op,
dat in dit geval in de vergelijking (51) de coëfficiënten aan
de volgende voorwaarden moeten voldoen.

Zij G het zwaartepunt van het stelsel S, G ? en G y de
bij dit punt behoorende hoofdtraagheidsassen, terwijl

Kiezen wij de coördinaatassen O X en O Y evenwijdig aan
G £ en Gvj dan zijn, als £o en qo de coördinaten van 0 t.o.v.
G £ en G vj voorstellen, de coördinaten van een willekeurig
punt Aj van het stelsel

Immers, daar G het zwaartepunt, G £ en G v\\ de bij dat
zwaartepunt behoorende hoofdtraagheidsassen zijn is

De beide punten O, voor welke de traagheidsellips een
cirkel wordt, zijn dus gelegen op de kleinste as van de traag-
heidsellips, die bij het zwaartepunt G van het stelsel S behoort,
en wel symmetrisch t. o. v. dit zwaartepunt en op een afstand

§ 2. In figuur 9 is K de traagheidsellips van een massa-
systeem en NL een raaklijn aan K. Door het punt O is
een lijn O X met deze raaklijn evenwijdig getrokken. In
verband met het in § 1 besprokene is de raaklijn NL een
representeerende lijn van het traagheidsmoment I_x van S
t. o.v. O X.

\') Wij willen even met een enkel woord wijzen op het verband, dat
bestaat tusschen het boven in § 1 ingesteld onderzoek en do door Cül.mann
en Möhr ingestelde onderzoekingen over do graphostatica.

Do gevonden ellips K is coaxiaal en homothctisch in de verhouding
\\/n: 1 met dc ellips van Oulmann.

Blijkbaar is B² de kleinste waarde, welke I_x kan aannemen.
Wij zullen deze de „momentconstante" voor het punt 0 noemen,
terwijl wij aan het punt F den naam „resultantenpunt bij O
behoorende" geven.

I. Het traagheidsmoment I_x van een puntenstelsel St. o. v.
een as O X door den oorsprong O is gelijk aan de moment-
constante van S t. o. v. O vermeerderd met het traagheids-
moment van een in het bij O behoorend resultantenpunt
geconcentreerde eenheidsmassa,

Beschouwen wij S als de som van eenige deelsystemen
Si, S₂.... S/. (k ^ n) en passen wij op ieder dezer deelsystemen
de eigenschap I toe, dan volgt, aangezien het traagheids-
moment I_x uit positieve grootheden additief is samengesteld,
de eigenschap:

II. Het traagheidsmoment I_x van een puntenstelsel S. t. o. v.
een as 01 door den oorsprong 0 is gelijk aan de som der
„momentconstanten" van de deelsystemen Si, S₂ ... Sk, ver-
meerderd met het traagheidsmoment van het systeem So, dat
bestaat uit massa-eenheden, welke in de resultantenpunten der
deelsystemen zijn geconcentreerd.

Zij voor So het punt F₀ resultantenpunt, terwijl B₀¹ de
momentconstante voorstelt, en is verder voor S het punt F
resultantenpunt en B² de momentconstante, dan wordt volgens
I voor S t. o. v. O X:

1 wanneer I_x F en I_x F° achtereenvolgens voorstellen de traag-
heidsmomenten van de in de punten F en F° geconcentreerde
massa-eenheden t. o. v. de as OX.

en kunnen wij de beide volgende eigenschappen uit de ver-
gelijking (55) afleiden:

III. De momentconstante van het systeem S is gelijk aan
de som der momentconstanten van de deelsystemen Si... S^,
uit welke men S kan opbouwen, vermeerderd met de moment-
constante van het systeem So, dat samengesteld is uit massa-
eenheden, welke in de resultantenpunten der deelsystemen
geconcentreerd zijn.

IV. Het resultantenpunt F van het systeem S valt samen
met het resultantenpunt Fo van het systeem So, dat is opge-
bouwd uit massa-eenheden, welke in de resultantenpunten der
deelsystemen geconcentreerd zijn.

§ 3. De in § 2 gevonden resultaten zullen wij nu op
enkele bijzondere gevallen toepassen.

In dit geval is het traagheidsmoment I_x van dit systeem
nul t. o. v. een as door de punten O en Ai, zoodat ook de
momentconstante, de kleinste waarde, welke I_x kan aannemen,
nul is.

Het punt Ai en het punt Ai¹, dat op het verlengde van
O Ai t. o. v. O symmetrisch met Ai is gelegen, zijn resul-
tantenpunten.

Het systeem S bestaat uit twee punten Ai en At, welke niet
met den oorsprong O op dezelfde rechte zijn gelegen.

Er is geen enkele as door het punt O gaande aan te wijzen
t. o. v. welke het Iraagheidsmoment I_x van S nul wordt.
Kiezen wij tot as OX de lijn, die door de punten O en Ai
gaat, dan levert alleen het punt A₂ een bijdrage tot het
traagheidsmoment I_x t. o. v. deze as. Een representeerende
lijn, welke met O X evenwijdig is, zal door het punt A₂ gaan.
Deze lijn is tevens raaklijn aan de traagheidsellips Ku. Werd
de in het punt A_x geconcentreerde massa nul, dan zou in
dat geval de representeerende lijn van I_x t. o. v. O X geen
standverandering ondergaan. De traagheidsellips zou evenwel

ontaarden in de punten A₂ en A^}. Deze punten moeten
dus op de ellips K\\₂ gelegen zijn, waaruit volgt, dat het punt
A-i het raakpunt is van de raaklijn, welke aan de ellips Ku
evenwijdig met O X is getrokken. Volgens een bekende eigen-
schap der ellips zijn O A_x en O A₂ in dit geval toegevoegde
halve middellijnen van Ki₂, waardoor deze ellips volkomen
bepaald is.

Het systeem S bestaat uit drie punten AA₂ en A₃, van
welke niet meer dan twee onderling of met den oorsprong O op
een rechte gelegen zijn.

Dit systeem kan beschouwd worden als de samenstelling
van twee deelsystemen n.1. dat uit de punten A_x en A₂en S₂, dat uit het punt A₃ bestaat.

Voor S₂ is het punt A_a uit den aard der zaak resultanten-
punt, terwijl de momentconstante nul is.

Het stelsel der resultantenpunten is dan opgebouwd uit
massa-eenheden, welke in de punten Fi en A_a zijn gecon-
centreerd. Zij voor het punt Fo resultantenpunt en B₀²de momentconstante. Uit het in § 2 van dit hoofdstuk be-
w^rezene volgt, dat de traagheidsellips K van het stelsel S
confocaal is met de ellips E, welke O A₃ en O Fo tot toege-
voegde halve middellijnen heeft

De kleineaif van de ellips K is de hypotenusa van een recht-
lioekigen driehoek, waarvan de kleine halve assen van de ellipsen
E en Kii de rechthoekszijden zijn.

Beschouwen wij nu de systemen gevormd door de punten
(A_u A₂, A_a) en (A_h A₂). Door den oorsprong O en het
punt Aa wordt een as O X gebracht. De traagheidsmomenten
der beide systemen zijn t. 0. v. deze as gelijk, zoodat de
representeerende lijnen van I_x in beide gevallen samenvallen.

Letten wij op de traagheidsmomenten t. 0. v. andere assen
door het punt O, dan is steeds het traagheidsmoment I_x voor

S grooter dan dat voor omdat ook A₃ een positieve
bijdrage tot het eerste levert. In verband hiermede volgt, dat
de representeerende lijnen van I_x voor het systeem S verder
van O verwijderd zullen zijn dan de representeerende lijnen
van I_x voor het systeem zoodat de traagheidsellips if de
traagheidsellips K12 zal omgeven.

Hieruit volgt: De traagheidsellips K van een puntenstelsel,
bestaande uit de drie punten A_1} A₂ en A_s raakt ieder der
traagheidsellipsen K12, K₂₃ en K31 van de puntenstelsels, die
respektievelijk uit de punten A_t en A₂, A₂ en A₃, A₃ en A_xbestaan, in de uiteinden eener gemeenschappelijke middellijn,
die t. o. v. K en de betreffende ellips K12 [K23, K31) aan de
overblijvende derde richting O A₃ (OA_lf O A₂) is toegevoegd.
Al deze traagheidsellipsen behooren bij het zelfde punt O.

§ 4. Wij kunnen onze beschouwingen over traagheids-
momenten verder uitbreiden tot een systeem van n punten
Af in de ruimte, welke punten alle een massa gelijk aan de
massa-eenheid bezitten.

Door een vast punt O brengt men een vlak F; zij Ij de
lengte der loodlijn uit Aj° op F neergelaten.

weerskanten van dit vlak op een afstand l twee vlakken even-
wijdig aan, dan kunnen deze als eene grafische voorstelling
van het traagheidsmoment van het puntenstelsel t. o. v. het
vlak V worden beschouwd. Deze vlakken noemt men de
representeerende vlakken van het traagheidsmoment h.

Laat men het vlak V achtereenvolgens alle mogelijke standen
door O aannemen, dan zullen de representeerende vlakken
van het traagheidsmoment Iv, die bij de verschillende standen
van V behooren, een zeker oppervlak omhullen.

tot rechthoekige coördinaatassen door O de hoofdtraagheids-
assen, welke bij dit punt behooren, voor welke dus, wanneer
Xj, >jj en zj de coördinaten van het punt Aj° ten opzichte
van deze assen zijn,

Voor een vlak V door O, waarvan de vergelijking is:
x cos x V cos (3 -f- z cos y — 0

waarbij A², B\'¹ en C² de traagheidsmomenten van hetpunten-
stelsel respectievelijk ten opzichte van de vlakken Y O Z_tZ O X en X O Y voorstellen, dan is:

I_V=A² cos² * -f B² cos² /3 C² cos² 7
De vergelijkingen der beide representeerende vlakken van
dit traagheidsmoment zullen dus zijn:

Xcosx Ycosp Z cos 7= ±l^/A² cos² a B²cos² (3-{-C² cosV
Deze vlakken omhullen, wanneer x, (3 en 7 alle mogelijke
waarden aannemen, het oppervlak

Dit is een ellipsoïde, welke wij de traagheidsellipsoïde be-
hoorende bij het punt O zullen noemen. Bij elk punt O in
de ruimte behoort een dergelijke traagheidsellipsoïde, die met
den stand van O verandert. Werd in § 1 bewezen, dat er
bij een vlak puntenstelsel twee punten zijn, waarvoor de
daarbij behoorende traagheidsellips in een cirkel overgaat, op
geheel overeenkomstige wijze kunnen wij aantoonen, dat er

twee punten zijn, voor welke de daarbij behoorende traagheids-
ellipsoïde in een bol overgaat. Deze punten liggen op de
kleinste as der traagheidsellipsoïde, welke bij het zwaartepunt
behoort, en zijn symmetrisch ten opzichte van dit zwaarte-
punt. Verder kunnen wij op eenvoudige wijze voor bijzondere
gevallen aantoonen:

Bestaat het stelsel uit één punt Ax°, dan zullen de repre-
senteerende vlakken van het traagheidsmoment t. o. v. alle
vlakken door O gaan door een der punten A_t° of A^¹, waarbij
Ai⁰¹ het punt is, dat met A_Y° ten opzichte van O symmetrisch
is gelegen. De traagheidsellipsoïde van dit stelsel is in beide
punten ontaard.

Bestaat het stelsel uit twee punten Aj⁰ en A₂°, dan zullen
de representeerende vlakken cc¹ vlakkenbundels vormen. De
assen dier vlakkenbundels zullen zijn de raaklijnen der in het
vlak 0A₁°A₂° gelegen traagheidsellips, welke bij het stelsel
der punten Ai° en A₂° behoort. Bestaat het stelsel uit drie
punten, die wij in dit geval aangeven door Ai⁰, A₂° en A₃°,
dan zullen de representeerende vlakken een traagheidsellip-
soïde omhullen, waarvan O Ai°, O A₂° en 0 A₃° drie toege-
voegde halve middellijnen zijn.

waarbij <// den hoek voorstelt, welken het vlak X met het
projectievlak maakt. Uit een willekeurig punt Af van het
stelsel S° laten wij een loodlijn Af Bjf neer op het vlak A\';
de lengte van deze loodlijn zij yf. De loodlijn Af Bj° wordt
evenwijdig op het projectievlak volgens Aj Bj geprojecteerd,
het punt Bj is dan op de rechte * gelegen. De lengte van
de loodlijn Aj Bj zij yj.

De rechte t, welke op een loodrechten afstand p met de
rechte x evenwijdig loopt, is dus een representeerende lijn
van het traagheidsmoment van het systeem S.

Aangezien de traagheidsellips van het vlak puntensysteem
S, die bij O behoort, de omhulde is dezer representeerende
lijnen, is daarmede het gestelde bewezen.

Is een punt 0 in het projectievlak V de oorsprong en zijn
in dit vlak drie massapunten A\\, A₂, A_a gegeven, dan is de

traagheidsellips K van dit stelsel, welke bij O behoort,
volkomen bekend. Iedere ellipsoïde K°, van welke de ellips
K den schijnbaren omtrek bij evenwijdige projectie voorstelt,
zal dan een tripel toegevoegde halve middellijnen 0° 0° A₂°
en 0° As⁰ bezitten, waarvan de rechten OAi, O A₂ en 0A₃de evenwijdige projecties op het vlak V voorstellen.

Wij maken om dit te bewijzen gebruik van de in § 3 be-
wezen eigenschap, dat de traagheidsellipsen K en A^ri2, welke
laatste O Ai en 0 A₂ tot toegevoegde halve middellijnen heeft,
elkander inwendig raken in de uiteinden L en M eener middellijn

Een cylinder, die de ellips Ki₂ tot richtlijn heeft en waar-
van de beschrijvende lijnen de richting der projectiestralen
hebben, zal de ellipsoïde raken in de punten L° en 3/°, die
op V in de punten L en M worden geprojecteerd. De door-
snede van dezen cylinder met de ellipsoïde bestaat derhalve

uit twee ellipsen, van welke de vlakken elkander volgens de
rechte L° M° snijden. Wij geven deze ellipsen aan door Ei°
en E2⁰. Aangezien Ei° op F volgens K\\» wordt geprojecteerd,
heeft deze ellips twee toegevoegde halve middellijnen
en 0° Az°, welke op V volgens de toegevoegde halve middel-
lijnen O Ai en O Ai worden geprojecteerd. Kiezen wij de
ellipsen Ki₃ en K₂₃ tot richtlijnen van cylinders, wier be-
schrijvende lijnen de richting der projectiestralen bezitten en
beschouwen de doorsneden dezer cylinders met de ellipsoïde,
dan vinden wij op dezelfde wijze, dat 0°yli° toegevoegd is tot
0° A3⁰ t. o. v. een der ellipsen volgens welke de cylinder met
de richtlijn Kia de ellipsoïden snijdt en dat hetzelfde geldt
voor 0° Az° tot 0° As⁰ t. 0. v. een der ellipsen, in welke de
ellipsoïde door den cylinder met de richtlijn K₂₃ wordt ge-
sneden. Op deze wijze worden twee tripels toegevoegde halve
middellijnen der ellipsoïde gevonden, die bij evenwijdige pro-
jectie op V door OA1, 0A₂ en 0 A₃ worden voorgesteld.

Uit het voorgaande kunnen wij een bewijs van de hoofd-
stelling afleiden. Immers de ellips K kan ten allen tijde be-
schouwd worden als grensellips bij evenwijdige projectie van
twee stelsels bollen. Kiezen wij een bol van een dezer beide
stelsels, dan moeten 0°vli°, 0° A»°, 0°J₃° toegevoegde halve
middellijnen van dezen bol zijn en dit is alleen het geval,
wanneer zij een tripel onderling loodrechte stralen vormen,
waarmede het gestelde bewezen is. In het vervolg zullen
wij op deze kwestie nog even terugkomen; voorloopig her-
inneren wij er aan, dat de projectiestraal, die door het punt O
gaat, welke de richting aangeeft, in welke een bol van een
der stelsels op V volgens de grensellips K wordt geprojec-
teerd, gelegen moet zijn in een vlak W, dat door de groote
as loodrecht op het vlak van de ellips is aangebracht, terwijl
hij met het projectievlak een hoek « maakt, die bepaald is door

wanneer a en b respektievelijk de halve groote en halve kleine
as van K voorstellen. Er zijn dus twee projectiestralen h

en /₂, die stralen van Pohlke heeten, beide gelegen in het
vlak W en gelijke hoeken met de door O gaande normaal
op het vlak V makend, volgens welke een stelsel ingeschreven
bollen K° van twee eylinders op V moet worden geprojec-
teerd, opdat de ellips K de grensellips zal zijn. Aangezien
bij elk van deze bollen twee tripels onderling loodrechte
stralen 0° Ai°, 0° A₂°, 0° A₃° behooren, wier projectie op V
door O Ai A₂ As wordt voorgesteld, vinden wij de vier reeksen
driebeenen terug.

De grensellips K der bollen K° bij evenwijdige projectie
op V kan geconstrueerd worden door van de in § 3 gevonden

Vooreerst bepalen wij met de constructie van Rytz \') de
brandpunten ƒ12 en /V van de ellips Kn, die O A_t en OA₂tot toegevoegde halve middellijnen heeft. Vervolgens kiezen
wij OA ₃ en O fi₂ tot toegevoegde halve middellijnen vaneen
ellips E, die met K confocaal moet zijn en construeeren een
der brandpunten van deze ellips weder op dezelfde wijze.

De lengte van de halve kleine as van K zij B_} terwijl Bi
en B₀ respektievelijk de halve kleine assen van Kn en E
voorstellen. Nu bestaat de betrekking
__£² = #i² £o²;

\') Zie voor de constructie van Rytz bijv. H. de Vries, Leerboek
der Beschrijvende Meetkunde I, pag. 274.

wij vinden B dus als hypotenusa van een rechthoekigen drie-
hoek, welks rechthoekszijden bekend zijn.

§ 6. Wij zullen nu een vraagstuk bespreken, dat met de
hoofdstelling der Axonometrie indirect in verband staat.

Zij A Ai Ai As een driehoek in het projectievlak en ver-
bindt men een punt 0 in het vlak met de hoekpunten,
dan stellen, naar boven bewezen is, OA_t, OA₂ en OA₃steeds de evenwijdige projecties der beenen van een driebeen
voor. Wij zagen, dat er twee stralen h en l₂ door O gaan,
welke de richting aangeven, waarin deze driebeenen op F
moeten worden geprojecteerd. Neemt het punt 0 nu achter-
eenvolgens alle standen in V in, dan kunnen wij de vraag
stellen de congruentie der stralen van Poiii.ke h en h nader
te bepalen. Voorloopig zij O een bepaald punt in V; daar
de projectiefiguur O Ai A₂ A₃ geheel bekend is, past bij deze
figuur een driebeen 0° A_t° A₂° A₃°, waarvan het been de lengte
0° Aj° = r (j= 1,2, 3) bezit.

beschreven, welke bol het vlak van driehoek Ai⁰ A₂° A₃° inliet
zwaartepunt G° van dien driehoek raakt. Zij K_x de grens-
ellips van dezen bol bij projectie op F in de richting 0 0°.
Om A At" A₂^u A₃° wordt bovendien de omgeschreven cirkel E°

op F door de ellips E, de zoogenaamde ellips van Steineu van
A Ai A₂ As, wordt afgebeeld. De raaklijnen in het punt G°
aan den bol A\\^u vormen een straleninvolutie, waarvan de
stralenparen toegevoegd zijn tot alle in het raakvlak gelegen
cirkels, wier middelpunt het punt 6?° is, zoodat deze stralen-
involutie eveneens tot den cirkel E° is toegevoegd. Worden

\') Do ellips vnn Steinkk van een J A, A_s is do ellips, dio door do
hoekpunten van don driehoek gaat en in deze punten raaklijnen bezit,
welke evenwijdig zijn met do overstaande zijden.

door de lijn G G° en twee toegevoegde stralen der bovenge-
noemde straleninvolutie platte vlakken gebracht, dan zullen
deze vlakken tot elkander ten opzichte van den bol Ki°
involutorisch zijn toegevoegd. Op deze wijze ontstaat dus
een tot den bol Ki° toegevoegde vlakkeninvolutie.

Wordt een vlakkenbundel, waarvan een rechte lijn L de
drager is, en welke involutorisch is toegevoegd tot een opper-
vlak van den tweeden graad F₂, door een plat vlak gesneden,
dan is de daardoor verkregen stralenbundel involutorisch toe-
gevoegd tot alle kegelsneden P, volgens welke de omhullende
kegels van F₂, wier toppen op de rechte L zijn gelegen, door
dit platte vlak worden gesneden.

Hieruit volgt, dat in ons geval de stralenbundel, volgens
welke het beeldvlak F den vlakkenbundel, die G G° tot drager
heeft, snijdt, involutorisch is toegevoegd tot de grensellips Ki,
van den bol Ki° bij projectie op V uit een in het oneindige
van G G° gelegen projectiecentrum. Aangezien deze stralen-
bundel de evenwijdige projectie is van den in het raakvlak
gelegen stralenbundel, welke tot E° involutorisch is toegevoegd,
is de geprojecteerde bundel zelf tot de ellips E in F, de
projectie van E°, involutorisch toegevoegd. In deze involutie
zijn o. a. G A\\ en de door G met A₂ A_s evenwijdig getrokken
straal toegevoegde stralen. Op deze wijze kunnen wij drie
paren toegevoegde stralen bepalen en daardoor is de involutie
geheel bekend.

Brengen wij om den bol Ki° een omhullenden cylinder Ci
aan, waarvan de beschrijvende lijnen de richting der projectie-
stralen bezitten, dan wordt deze door het vlak van A Ai⁰ A₂° A_a°
gesneden volgens een ellips üfi¹, terwijl de grensellips Ki, van
den bol Ki° bij evenwijdige projectie op het beeldvlak, de
doorsnede met V voorstelt.

Een tweede omhullende cylinder C₂ van dezen bol K\\°,
welks beschrijvende lijnen op het vlak van A Ai⁰ A₂° A₃° lood-
recht staan en die door dit vlak volgens een met den cirkel
cirkel E° coaxiale en in de verhouding 1 : ]/2 homothetischen

cirkel Ei⁰ wordt gesneden, heeft met den eersten cylinder
twee evenwijdige raakvlakken gemeen. Is de ellips Ei de
evenwijdige projectie op V van den cirkel Ei°, welke, zooals
uit het bovenstaande volgt, met de in zijn vlak gelegen ellips
Ki^l twee gemeenschappelijke evenwijdige raaklijnen gemeen
heeft, dan zullen dus de ellipsen Ki en Ei in V eveneens
twee gemeenschappelijke evenwijdige raaklijnen bezitten. Boven-
dien is de straleninvolutie met den drager G zoowel tot Ki
als tot E, dus ook tot Ei toegevoegd.

Door een affien-orthogonale transformatie in het beeld-
vlak kunnen wij den driehoek Ai A₂ A_a in een gelijkzijdigen

A [/li] [A₂] L^s] doen overgaan. De ellips E gaat bij deze
transformatie over in den omgeschreven cirkel [Z?] van
A [Ax] [A₂] j/l₃), de ellips Ei in een cirkel [Ei], die met [E]
concentrisch en in de verhouding 1: j/ 2 homothetisch is. In
de getransformeerde figuur is de straleninvolutie, waarvan het
punt [6r], waarin G overgaat, de drager is, toegevoegd tot
den cirkel [Ei] en bestaat deze dus uit rechthoekige stralen-
paren. Deze involutie moet evenwel ook tot de ellips
waarin Ki bij de transformatie overgaat, zijn toegevoegd en
aangezien alleen de brandpunten van een ellips dragers zijn
van een ten opzichte van die ellips toegevoegde straleninvolutie,
waarvan de stralenparen uit onderling loodrechte stralen bestaan,
volgt hieruit, dat [G] een brandpunt is van de ellips [üTi]. De
beide gemeenschappelijke evenwijdige raaklijnen van den cirkel
[E_x] en de ellips [Ki], in welke de vroeger gevonden even-
wijdige raaklijnen aan Ei en Ki overgaan, zijn, aangezien het
punt [G] zoowel brandpunt van [K{] als middelpunt van
[Ei] is, met de groote as van de ellips [Ki] evenwijdig. De
halve kleine as van de ellips [/fi] is dus even lang als de
straal b van den cirkel [Ei]. Heeft men een ellips, waarvan
de vergelijking ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel is:

Deze beide lijnen zijn raaklijnen van de imaginaire cirkels,
waarvan de vergelijkingen zijn samengevat in:

(x ±c) y* = -b*
d. w. z. die cirkels, die een der brandpunten van de ellips tot
middelpunt hebben, terwijl de straal ib is.

Is nu [E{] de imaginaire cirkel, die [G] tot middelpunt heeft
en tot [Ei] is toegevoegd, dan raken de asymptoten van de

\') In de teckening kan men dit doen door van de bij hulpstelling I
Hoofdstuk I § 1 vermeldde constructie gebruik maken.

ellips [ifi], die [(?] tot brandpunt heeft, aan den imaginairen
cirkel \\_Ei\\. Keeren wij tot de oorspronkelijke figuur terug, clan
volgt uit het bovenstaande, dat de asymptoten ^ van de
ellips Kt de tot de ellips Ei toegevoegde imaginaire ellips
Ei zullen aanraken. Het poolsysteem van Ei is anti-pool-
systeem van Ei. ^l)

De stralen van Pohlke h en h zijn assen van cylinders,
welke de bollen Ki° omhullen, derhalve kunnen zij beschouwd
worden als snijlijnen van twee vlakken Wi en TF₂, welke
gaan door het middelpunt 0° van den bol Ki° en den imagi-
nairen bolcirkel in het oneindige raken. Ieder van deze vlakken
gaat bovendien door een der asymptoten A; van de ellips
Ki, zoodat wij vinden:

De stralen van Pohlke zijn doorsneden van twee vlakken
Wi en IF₂, welke de imaginaire ellips en den imaginairen
bolcirkel in het oneindige raken.
Wij vermelden de volgende hulpstelling:
Een vlak, dat door een beschrijvende lijn van een der met
een gegeven ellips confocale kwadratische oppervlakken gaat,
en aan die ellips raakt, raakt tevens den imaginairen bol-
cirkel in het oneindige aan.

De beschrijvende lijnen der bovengenoemde oppervlakken
zijn doorsneden van vlakken, die de gegeven ellips en den
imaginairen bolcirkel in het oneindige raken.

Hieruit volgt, dat de congruentie der stralen van Poiilke
identiek is met de congruentie, welke gevormd wordt door de
beschrijvende lijnen van de met de ellips Ei confocaal gelegen
kwadratische oppervlakken F_s.

Aangezien door een willekeurig punt in de ruimte drie
kwadratische oppervlakken gaan, die met de ellips Ei confo-
caal zijn, en op elk dezer oppervlakken twee door dit punt
gaande (reëele of imaginaire) beschrijvende lijnen liggen, draagt
ieder willekeurig punt zes beschrijvende lijnen, waarvan twee
reëel zijn. Een willekeurig vlak wordt slechts door een der

met de ellips E{ confocale kwadratische oppervlakken aange-
raakt; in dat vlak zijn dus slechts twee beschrijvende lijnen
gelegen.

Hieruit volgt, dat de congruentie der stralen van Pohlke
van den zesden graad en de tweede klasse is.

Daar de ellips Ei tot Ei is toegevoegd, zijn de brandpunten
van deze ellips (dus ook van de confocale oppervlakken) ge-
legen op de kleine as van Ei, op een afstand van het middel-
punt G gelijk aan den brandpuntsafstand.

§ 7. Wij willen nu nog met een enkel woord de mecha-
nische beteekenis dezer stralencongruentie aangeven.

De assen, welke gevormd worden door de snijding van twee
onderling loodrechte vlakken t. o. v. welke het deviatiemoment
steeds nul is, worden nulassen genoemd. De stralen van
Pohlke zijn nulassen, zooals wij aldus kunnen aantoonen.

Worden in de eindpunten der beenen van een driebeen, dat
aan de vraag voldoet, massa-eenheden geconcentreerd en brengt
men door den straal van Pohlke twee onderling loodrechte
vlakken en F°, dan is:

waarbij xf en yf respectievelijk de loodrechte afstanden van
een punt Aj° tot de vlakken Y° en X° aangeven.

Immers de vlakken X° en Y° snijden het door O loodrecht
op l aangebrachte vlak volgens twee onderling loodrechte
assen O X en 0 Y en daar voor de punten Aj_t de loodrechte
projectie\'s der punten Aj°, steeds geldt:

zooals uit het op pagina 62 (44) gevondene blijkt GH CCj — 00j
yf = yj is het gestelde bewezen.

Valt het punt O samen met G, dan gaat de ellips Ki over
in Ei. Deze ellips Ei is dan coaxiaal en homothetisch in de
verhouding 1: ]/ 3 met de ellips Kg, die bij het zwaarte-

punt behoort. *) Maken wij gebruik van de in § 1 van dit
hoofdstuk gevonden resultaten, dan blijkt, dat op de kleine
as van Kq twee punten Oi en 0₂ zijn gelegen, waarvoor de
traagheidsellips in een cirkel overgaat. Deze punten zijn ge-
legen op een afstand ——_n van G, waarbij A\\ de

halve groote, Bi de halve kleine as van Kq voorstelt. Zijn ai en
bi respectievelijk de halve groote en halve kleine as van Ei,
dan is, in verband met de homothetie tusschen Kq en Ei,

OiG—OoG =]/_ai² —6i² = ci,
waarbij ci de lineaire excentriciteit van Ei voorstelt.

Hieruit volgt dus, in verband met het in § 6 gevondene,
dat de brandpunten der congruentie van confocale oppervlakken
liggen in de punten Oi en Ü₂, ²) in welke punten het punt 0
gelegen moet zijn, wil de traagheidsellips K in een cirkel over-
gaan. De stralen van Poiilke zijn dus in mechanischen zin
focaalassen, d. w. z. nulassen, die een congruentie van confocale
oppervlakken vormen, voor welke de bovengenoemde punten
Oi en 0₂ de brandpunten zijn.

De punten Oi en 0₂, waarvoor de bijbehoorende ellipsen
Ki en K in cirkels overgaan, dragen den naam van axono-
metrische brandpunten. Is O in een dezer punten gelegen, dan
is de richting der projectie loodrecht op V, omdat alleen bij
loodrechte projectie op een vlak de grensellips van den bol
Ki° in een cirkel overgaat.

\') De ellips E_{ is dus identiek met de centraal-ellips van CüLMANN,
welke bij het zwaartepunt O behoort.

\') Do punten O_l en 0._t zijn dus identiek met de brandpunten van
Mohr, welke op do kleine as der centraalellips zijn gelegen op een af-
stand van het punt O gelijk aan de lineaire excentriciteit van deze.

§ 1. In dit hoofdstuk zullen wij de hoofdstelling der Axo-
nometrie in haar meer uitgebreiden vorm tot punt van uit-
gang kiezen en als inleiding tot meer diepgaande projectieve
beschouwingen allereerst het elementaire projectieve bewijs
van Reye *) behandelen.

Zij een vast viervlak O⁰ Af A₂° A₃° in de ruimte gegeven;
wij moeten bewijzen, dat van dit viervlak door evenwijdige
projectie in een nader te bepalen richting op een nader te
bepalen projectievlak een projectie O Ai A₂ A₃ kan worden
ontworpen, welke met een gegeven vierhoek A B CI) gelijk-
vormig is.

Onderstellen wij, dat dit inderdaad mogelijk is, en nemen
wij voor een oogenblik projectievlak, projectierichting en dus
ook den projectievierhoek bekend aan. De ligging van een
punt P op de zijde O Ai van den projectievierhoek en van
het overeenkomstig punt P° op de ribbe 0° A_t° is, wanneer
het punt P moet overeenstemmen met een op de zijden A B
van den gegeven vierhoek A B CI) gelegen punt Q, bepaald
door de volgende verhoudingen:

A Q _ J9P _ O⁰ P° _ QJl _ PAi _ P° A°i
A B O Ai O⁰ Af \' AB~ O A_x~ ÖMi°\'

\') Th. Reye, Der Satz von Pohlice, Vierteljahrschrift der Naturf.
Geselsch., Zürich, Bd. 11, 18ü(5, pg. 350—358.

Zal omgekeerd de projectie O A_t A₂ As met den vierhoek
ABCD gelijkvormig zijn, dan moet de vierhoek O P A₂ A₃,
welke met A Q CD gelijkvormig is, de evenwijdige projectie
voorstellen van een op de boven aangegeven wijze uit het
oorspronkelijk afgeleid viervlak O⁰ P° A₂° /1₃°. Wij kunnen den
vierhoek ABCD in een parallellogram A B* CD* veranderen
door een lijn C B* evenwijdig aan A D en een lijn C D*
evenwijdig aan A B te trekken. Het viervlak 0° Ai⁰ A₂° A₃°
kunnen wij een daarmede overeenkomende verandering doen
ondergaan. Zijn wij in staat aan te toonen, dat van dit
veranderd viervlak door evenwijdige projectie op een nader
aan te geven vlak een projectie kan worden ontworpen,
welke met het parallellogram A B* CD* gelijkvormig is, dan
is hiermede tevens bewezen, dat bij projectie in dezelfde
evenwijdige richting op hetzelfde vlak een projectie van
het viervlak 0° A_x° A₂° A₃° mogelijk is, welke met den oor-
spronkelijken vierhoek A B CD gelijkvormig zal zijn. Zonder
aan de algemeenheid van het vraagstuk iets af te doen, mogen
wij na, het gegeven viervlak op de boven beschreven wijze
in een nieuw te hebben vervormd, het vraagstuk als volgt
stellen:

Ieder viervlak 0° Ai⁰ A₂° A₃° kan door evenwijdige projectie in
een nader te bepalen richting op een nader te bepalen projectievlak
zóó geprojecteerd worden, dat de projectie O Ai A₂ A₃ met een
gegeven parallelogram A B C IJ gelijkvormig is.

Allereerst willen wij de projectierichting nader aangeven.
Geldt de stelling inderdaad, dan komt met het snijpunt M
der diagonalen A C en B IJ van het gegeven parallelogram
het snijpunt N der diagonalen O A₂ en Ai A₃ van de projectie
overeen. Het punt N kan evenwel beschouwd worden, zoowel
als de projectie van het midden iVi° der ribbe 0° A>° als
van het midden A^T»° der ribbe De lijn Ni⁰ N»°

bepaalt dus de richting der projectie. Worden door de hoek-
punten van het viervlak lijnen evenwijdig met de projectie-
richting getrokken, dan vormen deze de ribben van een

vierzijdig prisma. Kunnen wij dit prisma door een plat vlak
snijden volgens een met A B C D gelijkvormig parallelogram
dan is het gestelde bewezen. Opdat een dergelijke doorsnede
mogelijk zij, wordt vereischt, dat:

De stralenbundel in het projectievlak met het punt O als
als drager, waarvan O Ai, O A₂, O A3 bekende stralen zijn,
moet dus congruent zijn met den stralenbundel, die het punt
A tot drager heeft, en waarvan A B, A C en A D de over-
eenkomstige stralen zijn. Op de door 0° gaande ribbe van het
prisma kiezen wij een punt O en brengen door dit punt een
vlak loodrecht op deze ribbe, dat de overige ribben respec-
tievelijk in de punten Af, A₂* en A₃* snijdt. Beschouwt
men het punt 0 als drager van een stralenbundel, waarvan
de stralen O Af, O Af en O A₃* achtereenvolgens met de
stralen O Ai, O A₂ en 0 A₃ van den gezochten bundel homoloog
zijn, dan zijn deze beide bundels projectief. De bundels
O (A1*, A₂*, A₃*) en A (B, C, D) zullen dan eveneens projectief
zijn. Wij kennen van deze drie paren homologe stralen. Laten
wij, na de beide stralenbundels in een plat vlak te hebben
gebracht, de homologe stralen 0 Af en A B samenvallen met
dien verstande, dat O en A twee verschillende punten van de
lijn A B zijn, dan zullen, zooals bekend is, de overige homologe
stralen elkander snijden in punten van de rechte lijn welke de
snijpunten R en S der homologe stralen O A₂* en A C, O Af
en A D verbindt.

Door de punten O en A wordt de cirkel gebracht, waarvan
het middelpunt op de lijn R S is gelegen. Door dezen cirkel
wordt de lijn RS in de punten T en ^ gesneden. De beide
hoeken TO (J en TA U zijn recht. De stralen 0 T en A T,
0 U en A U zijn achtereenvolgens homoloog. Aangezien de
gezochte stralenbundel 0{Ai,A₂,A₃) met den stralenbundel
A (B, C, D) congruent is, kunnen wij de stralen 0 X en
0 Y bepalen, die met de stralen AT en AU overeenstemmen.
Wij beschouwen den vlakkenbundel, waarvan de door het
punt 0° gaande projectiestraal 0 de drager is. Deze vlakken-

bundel moet zoo met een plat vlak, dat door het punt O
gaat, gesneden kunnen worden, dat de straal OX gelegen
is in het vlak (o, O T), de straal O Y in het vlak (o, O U),
terwijl Z.X O Y recht moet zijn. Een dergelijke snijding kan
alleen geschieden, wanneer, öf de stralen O X en O T, óf de
stralen 0 7 en OU samenvallen. Laat ons nagaan, hoe uit
te maken is, met welk geval wij te doen hebben. De stralen
O Ai* en O Ai, de doorsnede van het gezochte vlak met het
tot den vlakkenbundel behoorend vlak (o, O vli*) zijn homoloog.
Naar bekend is moet ZIO Ai = Z TA B en Z A Ö Y—Z.BA U
worden; is dus Z.TAB grooter dan Z T O A*, dan is even-
zeer /.XOAi grooter dan /iTOAi* en omgekeerd. Stel,
dat wij met het eerste geval te doen hebben, dan kan, als
wij O X en O T hebben laten samenvallen, de hoek X O Ai
om het been O X op tweeërlei wijze zoover worden gewenteld,
dat het been O Ai terecht komt in het vlak (o, O Jj*). De
beide op deze wijze gevonden standen van het vlak zijn dan
de gezochte. Deze constructie kan steeds worden doorgevoerd
en daarmede is tevens hel bewijs van bedoelde stelling geleverd.
Een in hoofdzaak hiermede overeenkomend bewijs is afkomstig
van Fiedler ¹), met welk bewijs een in horizontale en vertikale
projectie uitgevoerde constructie der standen van het gezochte
projectievlak is verbonden.

§ 2. Een dieper inzicht in het wezen van de hoofdstelling
der Axonometrie wordt eerst verkregen, wanneer wij deze in
haar meest algemeene projectieve gedaante omzetten. Hierbij
dienen twee zaken naar voren te worden gebracht. Allereerst
herinneren wij aan het feit, dat een centraal-collineaire ver-
wantschap tusschen twee stelsels in de ruimte o. a. bepaald
is voor het geval, dat vijf vlakken van het eerste stelsel,
waarvan niet meer dan drie door één punt gaan, één voor
één overeenstemmen met vijf punten van het tweede stelsel,
van welke niet meer dan drie in een zelfde vlak zijn gelegen
en omgekeerd. Een bijzondere verwantschap, de affiniteit,

treedt op, wanneer de elementen in het oneindige van beide
stelsels homoloog zijn. In het algemeen is deze volkomen
bepaald, wanneer vier vlakken van het eerste stelsel, welke
niet alle door een punt gaan, met vier punten van het tweede
stelsel overeenstemmen, welke punten in het algemeen niet
alle in een plat vlak gelegen zullen zijn. Maar ook, wanneer
de vier punten van het tweede stelsel wel alle in een plat
vlak zijn gelegen, blijft het bovenstaande van kracht. Dit is
evenwel juist het geval, waarop de hoofdstelling betrekking
heeft, zoodat deze een bijzondere affiene verwantschap ver-
onderstelt. In de tweede plaats wijzen wij er op, dat volgens
de hoofdstelling de vierhoek O Ai A₂ A₃ met een gegeven vier-
hoek A B C D gelijkvormig moet zijn. Deze eisch moet in
projectieven vorm worden overgebracht.

Aangezien met de punten O, A_lt A₂ en A3 van het vlak
Ei de punten A, B, C en I) van een vlak E> overeenkomen,
is de projectieve verwantschap tusschen de beide stelsels in
Ei en E₂ volkomen bepaald. Zijn de lijnen in het oneindige
der beide vlakken homoloog, dan gaat de verwantschap in
affiniteit over, welke laatste voor het geval, dat de beide
imaginaire cirkelpunten in het oneindige in beide vlakken met
elkander overeenstemmen, in gelijkvormigheid overgaat.

Elke projectieve eigenschap, die tusschen lijnen- of punten-
stelsels in de platte vlakken Et en E₂ bestaat, kan meer
algemeen gemaakt worden, wanneer men hetzij in één of in
beide vlakken door een projectieve transformatie de imaginaire
cirkelpunten doet overgaan in bepaalde punten Pi en Qi in
het vlak Ei, P₂ en Q₂ in het vlak E₂ en daarna den eisch stelt,
dat de punten Pi en P₂, Qt en Qi homoloog zullen zijn.
Rekening houdend met dit tweevoudig karakter der projectieve
verwantschap, kunnen wij dus in navolging van Schur *) de
volgende stelling als de meest algemeene formuleering van
de hoofdstelling beschouwen:

\') F. Schur. Ueber den Pohlke\'echen Satz, Math. Annalen, Bd. 25,
1885, pg. 59Ö-597.

hetzij door evenwijdige hetzij door centrale projectie uit een
bepaald in een gegeven vlak u gelegen projectiecentrum S, zóó
op een nader te bepalen vlak Et geprojecteerd worden, dat,
wanneer men de vier projecties O, At, As en A₃ laat overeen-
stemmen met vier gegeven punten A, B, C en IJ, van een gegeven
vlak E₂, de beide snijpunten P> en Q> van het vlak Ei met een
gegeven (hetzij reëele of imaginaire) in het vlak u gelegen kegel-
snede k² overeenkomen met de beide snijpunten I\\ en Qt van
het vlak Ei met deze kegelsnede. Evenwel mogen niet meer dan
drie der gegeven punten A, B, C en D op één rechte lijn zijn
gelegen."

Om het bewijs van bovenstaande stelling te leveren merken
wij op, dat iedere vlakkenschoof, waarvan een willekeurig
punt P in de ruimte de drager is, in zoodanig projectief ver-
band moet staan lot het stralenveld in een vlak E₂, dat de
vlakken, die gebracht kunnen worden door het punt P en
de lijnen 0° At°, At° A₂° en A₂° A₃° en A₃° At°, achtereenvolgens
homoloog zijn met de in het vlak E₂ gelegen lijnen A li, B C,
CD en DA.

Sciiur noemt de verzameling der hierdoor bepaalde vlakken-
schoven een bos. In de te bewijzen stelling wordt ondersteld,
dat het vlak u moet overeenkomen met de snijlijn der vlakken
u en E₂. Sciiur heeft nu op algemeene wijze in een vroegere
verhandeling \') aangetoond, dat aan dien eisch slechts door
één bepaalde tot den bos behoorende vlakkenschoof wordt
voldaan. Laten wij aannemen, dat deze vlakkenschoof, die
een bepaald punt S in de ruimte tot drager heeft, is gevonden,
dan kan het verdere bewijs der stelling aldus worden geleerd.
Wij zoeken de stralen p en q gaande door het punt S, welke
overeenstemmen met de snijpunten P₂ en Q₂, van het vlak
E₂, met de kegelsnede k². Willen wij bijvoorbeeld den straal p
bepalen, dan gaan wij aldus te werk. Door het punt P₂ wordt
behalve genoemde snijlijn P₂ Q₂ nog een tweede willekeurige lijn l
getrokken. Met de lijn P₂ Q₂ komt in de schoof het vlak u

\') F. Schur. Ueber die durch collineare Grund gebildo erzeugten
Curven und Flüchen, Math. Annalen, Bd. 18, pg. 15 en v.v.

overeen; een bepaald vlak V van die schoof is met de lijn l
homoloog. De snijlijn dier vlakken, welke uit den aard der
zaak door het punt S gaat is de gezochte straal p; evenzoo
kan de straal q worden bepaald. Wanneer wij de snijpunten
der stralen p en q met de kegelsnede k² (hetzij deze dan
reëel of imaginair zijn) Pi en iV, Qi en ^ï¹ noemen en wij
trekken de vier verbindingslijnen dezer punten Pi Q_x, Pi Qi¹,
Pi¹ Qi, Pi¹ <?i\\ dan voldoet ieder willekeurig vlak, dat door
een dezer lijnen gebracht kan worden aan den eisch, dat het
de kegelsnede lc² snijdt in twee punten, die overeenkomen
met de beide punten, waarin genoemde kegelsnede door het
vlak E₂ wordt gesneden. Ieder dergelijk vlak kan dan als
een der gezochte projectievlakken Ei worden beschouwd en hier-
mede is de stelling zelf bewezen.

§ 3. Het door Kruppa ^x) gegeven bewijs, dat wij nu meer
uitvoerig zullen bespreken, is tot op zekere hoogte het omge-
keerde van in § 2 geleverde. Was bij Schur\'s bewijs een
vast viervlak in de ruimte gegeven en moest de ligging van
de projectievlakken nader bepaald worden, in deze paragraaf
zullen wij uitgaan van een gegeven vierhoek O Ai A₂ A_s en
bewijzen, dat deze als scheef-evenwijdige projectie van een
viervlak, dat met een eveneens gegeven viervlak A° B° C° D°
gelijkvormig is, kan worden beschouwd. Als methode van
behandeling wordt door Kruppa gebruik gemaakt van het door
E. Müller ²) aangegeven algemeen beginsel, waarbij alle me-
trische problemen der Beschrijvende Meetkunde worden op-
gelost door ze met de door Laguerre gegeven projectieve
definitie van een hoek in verband te brengen. Kruppa toont
verder aan, dat er in het geheel acht stellen viervlakken
gevonden kunnen worden, welke aan de vraag voldoen
en van welke er vier imaginair zijn. Kiezen wij het hoek-
punt A° van het gegeven viervlak A° B° C° D° tot top van

een minimaalkegel en wordt deze kegel door het vlak W
van A B° C° D° gesneden, dan is de doorsnede een imaginaire
cirkel k{.

Aan A B° C° D° in het vlak W wordt A Ai A₂ A₃ in het beeld-
vlak F affien toegevoegd. De affiene betrekking tusschen de
lijnen- en puntenstelsels in de vlakken F en TFis dan volkomen
bepaald, omdat met de drie rechten B° C°, C° D\\ D° B° in
het vlak W achtereenvolgens overeenstemmen de rechten
Ai A₂, Az A₃, A₃ Ai in het vlak F, terwijl van beide drietallen
rechten niet meer dan twee door een punt gaan. Bovendien
stemmen de lijnen in het oneindige van beide vlakken over-
een. Uit de affiene betrekking, die tusschen het vlak W en
het beeldvlak bestaat, volgt, dat met den imaginairen cirkel
k{ in W een imaginaire kegelsnede kf in het beeldvlak zal
overeenkomen. Men kan het punt O kiezen tot drager van
een straleninvolutie, welke bestaat uit paren van tot elkander
ten opzichte van k,^A toegevoegde stralen. Omdat /c,-¹ imaginair
is, zijn de beide dubbelstralen der involutie imaginair, het
loodrecht stralenpaar der involutie is röeel. Volgens een be-
kende eigenschap der projectieve meetkunde vallen twee stra-
leninvoluties met denzelfden drager samen, wanneer hun
dubbelstralen samenvallen.

Aan alle reëele en imaginaire cirkels, welke de door O
gaande dubbelstralen der involutie aanraken, is dus de stralen-
involutie met den drager O toegevoegd. De centra der ima-
ginaire cirkels, welke aan de vraag voldoen, zijn gelegen op
den eenen straal van het loodrecht stralenpaar, de meetkundige
plaats van de centra der reëele cirkels, welke voldoen, is de
andere straal. Wij kiezen een der imaginaire cirkels I){, welke
dus in het punt O dezelfde involutie van toegevoegde stralen
als de kromme k{¹ bezit. Tusschen kf en bestaat een
perspectieve verwantschap, waarbij het punt O centrum der
perspectiviteit is, terwijl de beide kegelsneden uithoofde van
hun bijzondere verwantschap twee reeele gemeenschappelijke
koorden bezitten. Ieder van deze koorden kan tot as van
perspectiviteit worden aangenomen, zoodat de kegelsneden
Di en k{¹ met elkander in twee reëele perspectieve collineaties

overeenkomen. Wij kunnen door den imaginairen cirkel J){ twee
minimaalkegels brengen, waarvan de toppen reëel zijn. Kiezen
wij een van deze, dan kan kf beschouwd worden als de
scheef-evenwijdige projectie van twee vlakke doorsneden k\\
en k₂ van dezen minimaalkegel. De projectierichting is hier-
door bepaald, dat het oneigenlijk punt op de lijn, die den
reeelen top 0° van den minimaalkegel met het punt O ver-
bindt, het projectiecentrum moet zijn. De reëele vlakken,
waarin de imaginaire cirkels k\\ en k₂ zijn gelegen, zullen wij
aanduiden door oji en cc₂. Deze vlakken snijden het projec-
teerend prisma van A A\\ A₂ A3 in twee driehoeken A Ai° A₂° A₃°.

Het vlak W van A B° C° J)° was, zooals boven vermeld is,
afïien toegevoegd tot het projectievlak V. Wegens de juist
ingevoerde evenwijdige projectie is het vlak W ook verwant
met de beide vlakken ui en cc₂. Bij deze affiniteit zal de
imaginaire cirkel D( in hel beeldvlak met den imaginairen
cirkel k\\ in het vlak ui overeenstemmen. De affiene stelsels
in het beeldvlak en in het vlak ui zijn gelijkvormig. Immers
de snijpunten van de lijn in het oneindige met den imaginairen
cirkel in het beeldvlak, d. w. z. de imaginaire cirkelpunten
in het oneindige van het beeldvlak, komen overeen met de
punten, waarin de lijn in het oneindige van het vlak o>i den
imaginairen cirkel ki snijdt, d. w. z. met de imaginaire cirkel-
punten in het oneindige van het vlak «1, waaruit de gelijk-
vormigheidsbetrekking voortvloeit. In verband met de projec-
tieve definitie van een hoek, zooals deze door Laguerre ge-
geven is, blijkt, dat de hoeken, welke door de overeenkomstige
zijden der driehoeken J3° C° J)° en Ai°A₂⁰A$° gevormd worden,
gelijk zijn, m. a. w. dat deze driehoeken gelijkvormig zijn.
Men verbindt de hoekpunten van den in het vlak ui gelegen
A Ai⁰ A₂° Aa° met den reëelen top 0° van den minimaalkegel,
welke door D( gebracht kan worden.

Bij het aldus gevonden viervlak ontstaan aan den top de
hoeken Z Ai⁰ O⁰ A₂° = Z A₂° 0° A₃° = /3 enz., welke achter-
eenvolgens gelijk zullen zijn aan de hoeken Z A° C° = a,
Z.C°A°D^Ü = [3 enz., welke aan den top van het viervlak
A° C° Z>° worden gevormd. Om dit aan te toonen wordt

het volgende opgemerkt. De dubbelverhoudingen der punten
B°, C° en de snijpunten van de rechte B°C° met den
imaginairen cirkel kj zijn gelijk aan de overeenkomstige dubbel-
verhoudingen, welke door de hiermede overeenkomende punten
A\\°, A₂° en de snijpunten van de rechte Ai°A₂° met den
imaginairen cirkel ki worden gevormd. Bovendien zijn de laatste
dubbelverhoudingen gelijk aan de overeenkomstige dubbel-
verhoudingen der vier stralen 0°Ai°, 0°A₂° en de verbin-
dingslijnen van het punt O" met de imaginaire cirkelpunten
in het oneindige, in welke het vlak a>i den imaginairen bolcirkel
in het oneindige snijdt. Ook thans volgt uit de door Laguerre
gegeven projectieve definitie van een hoek het gestelde terstond.
Het viervlak 0° Ai° A₂° A₃° voldoet dus aan de voorwaarde, dat
het met het viervlak A° B° C° D° gelijkvormig is. Hetzelfde
geldt voor het viervlak II, waarvan het punt 0° de top is,
terwijl de driehoek Ai⁰ A₂° yl₃° der overige hoekpunten in het
vlak ut is gelegen. Omdat door den imaginairen cirkel Ze-
twee rninimaalkegels gebracht kunnen worden, verkrijgt men
verder twee reëele oplossingen, welke met de reeds gevondene
t. o. v. het beeldvlak symmetrisch gelegen zijn. Het viervlak
II is het spiegelbeeld van het viervlak I t. o. v. een door het
punt 0° loodrecht op den projectiestraal gebracht spiegelvlak.
Gebruiken wij in plaats van den imaginairen cirkel I)j een
reëelen cirkel D_r, welke in het punt O dezelfde involutie van
toegevoegde stralen doet ontstaan als dan kan men den
zelfden gedachtengang bezigen. De top van den door D_rgebrachten minimaalkegel is in dit geval imaginair en wij
vinden nu vier imaginaire oplossingen.

Beschouwingen, welke in verband staan met de bepaling
der grensellips van tweedegraadsoppervlakken bij
evenwijdige projectie op het beeldvlak.

§ 1. De volgende stelling ga aan onze beschouwingen vooraf:
Iedere ellips K, die in het projectievlak V is gelegen, kan be-
schouwd worden als grensellips, bij evenwijdige projectie op V,
van twee stelsels bollen, welke omhuld worden door het volgende
tweetal ci/linders C\\ en C₂. De ellips K is hun richtlijn, de
assen li en l₂, die beide door het punt O gaan, zijn gelegen in
het door de groote as van K loodrecht op V aangebrachte vlak.
De hoek cp door deze assen met de door O gaande normaal op
V is bepaald door de betrekking cos Cp = B: A, waarbij A en
B achtereenvolgens de lengten der halve groote en halve kleine
as van K voorstellen. Uit den aard der zaak is de halve kleine
as van K even lang als de straal der bollen.

Laat ons aannemen, dat een gegeven vierhoek O A\\ A₂ A₃in het vlak V de scheef-evenwijdige projectie van een recht-
zijdig viervlak 0° Af A₂° A ₃° voorstelt. Kiezen wij het hoek-
punt 0° van dit viervlak tot middelpunt van een bol, met
straal r, die door de overige hoekpunten Aj° (;\'= 1, 2, 3) gaat,
dan kunnen wij de grensellips K van dezen bol bij evenwijdige
projectie in de door den straal van Pohlke aangegeven richting
0 0° bepalen.

Zijn A en D respectievelijk de lengte der halve groote en
halve kleine as van K, dan is blijkens bovenstaande stelling:
, B = r

Zijn wij in staat, op grond van de gegevens der projectie-
figuur, de ellips K te construeeren, dan zijn alle gegevens
gevonden, die noodzakelijk zijn om den stand van een recht-
zijdig viervlak, dat aan de vraag voldoet, te bepalen.

Bij de verdere behandeling wordt dit hoofdstuk in drie
onderafdeelingen gesplitst.

In § 8 en § 9 bewijzen wij, dat de constructies ook door-
gaan, wanneer Tl wordt opgevat als grensellips eener ellipsoïde,
die aan speciale voorwaarden voldoet.
• Ten slotte vinden wij in § 10 de gelegenheid na te gaan,
hoe, nadat de constructie van de ellips K is geleverd, het
existentie-bewijs voor driebeenen en lijnentripels van bepaalden
vorm kan worden geleverd, waarbij tevens in verband met
dit bewijs een constructie dezer driebeenen bij afbeelding in
horizontale en vertikale projectie zal worden gegeven.

In § 11 geven wij het bewijs van Rutii, dat tot de overige
in dit hoofdstuk behandelde in een meer verwijderd ver-
band staat.

§ 2. Een tweetal constructies voor de grensellips K kunnen
worden afgeleid uit de bij de vroegere analytische onder-
zoekingen gevonden resultaten.

richting en grootte, dan zijn de lijnen oy (j= 1, 2, 3) lijnen van
bekende lengte.
Stellen wij:

worden. Laten wij uit het punt A₂ een loodlijn ter lengte
51 neer op OA_u uit het punt A₃ een loodlijn ter lengte q>
op O A₂ en uit het punt A_{ een loodlijn ter lengte q₃ op
O A₃, dan is:

Q² — ^ a\\² a->² sin² <23 — 2 «ƒ ?/•
Deelen wij door p², dan vinden wij in verband met (58):

De lijn I is eveneens met elementaire hulpmiddelen te vinden.
£1 en £2 zijn wortels van de vierkants vergelijking:
£² — p £ l² = 0.
Aangezien P: Q = p:l en (P² — 4 0²) essentieel positief is,
zal dit eveneens met (p² — 4 l²) het geval zijn. Wij vinden nu:

waarbij £1 en £2 lijnen voorstellen, die op eenvoudige wijze
kunnen worden bepaald. Zijn £_x en £2 bekend, dan is blijkens
(58) de constructie van ^ en B eveneens zonder moeite te
verrichten.

Nu blijft, daar de groote en kleine as van de ellips K in
absolute grootte zijn gevonden, alleen over, de ligging dezer
assen in het vlak V nader aan te geven. Blijkens § 1 van
dit hoofdstuk valt de groote as van K samen met den door-
gang van het vlak door de stralen van Poiilke op het vlak
V. De richting van een dezer stralen h zij projectierichting.
Een willekeurig vlak W door deze lijn U snijdt het vlak V
volgens den doorgang u. In het algemeen is de afstand van

een willekeurig niet op de lijn a gelegen punt P in F tot het
vlak W kleiner dan de afstand van dit punt P tot de lijn w.
Alleen, wanneer het vlak TF loodrecht staat op F, zijn deze
afstanden even groot. Het vlak W staat slechts in twee
gevallen loodrecht op het vlak F; vooreerst, wanneer h
loodrecht staat op V, d. w. z. bij loodrechte projectie, hetgeen
voorloopig buiten beschouwing blijft, en in de tweede plaats,
wanneer de lijn u met de loodrechte projectie van h op F,
d. w. z. met de groote as van de ellips K samenvalt, het geval,
dat nader onderzocht moet worden. Om dit grensgeval te
benaderen handelen wij als volgt. Voorloopig valle u niet
samen met de gezochte groote as. Uit de punten Aj (/ = 1, 2, 3)
laten wij achtereenvolgens loodlijnen neer op de lijn u en
het vlak W; laten wij de lengten dezer loodlijnen respectie-
velijk voorstellen door mj en My, dan is steeds

Wordt het vlak W om de lijn h gedraaid, dan draait de
lijn co om het punt O. Ue ongelijkheid (59) blijft steeds
gelden, behalve, wanneer de lijn cc met de groote as van de
ellips K samenvalt. Worden bij dezen stand van het vlak TF
en de lijn w de loodlijnen uit Aj neergelaten achtereenvolgens
door Mj¹ en vij¹ aangegeven, dan is

De loodlijnen uit de punten Aj en de overeenkomstige
punten Aj° op het vlak IF neergelaten zijn evenlang; Mj en •
Mj¹ stellen dus eveneens voor de lengten der loodlijnen uit
de uiteinden der beenen van een driebeen op een door den
oorsprong van dit driebeen gebracht vlak. Volgens een be-
kende stelling is dan:

Trekken wij in het vlak V loodrecht op de lijn co door het
punt O een lijn v en stellen wij de lengten der loodlijnen,
die uit de punten Aj op deze lijn kunnen worden neerge-
laten door rij voor, dan is, omdat:

Omdat, wanneer de projectiefiguur gegeven is, P een con-
stante grootheid is, zal, wanneer s² minimum wordt, t² een
maximum worden en omgekeerd.

Zij z de veranderlijke hoek door de lijn co met de lijn O A_xingesloten, waarbij deze hoek gemeten wordt in de richting
der beweging van de wijzers van een uurwerk.

De hoeken door de lijn co met O A₂ en O A₃ gevormd,
gemeten in dezelfde richting, kunnen dan achtereenvolgens
door z -\\- x₃ en z x₃ xi worden voorgesteld. Daar
oei <X3 = 2 7ï — a₂ kan voor den laatsten hoek eveneens
z -f- 2 7T — «2 worden genomen.

s² — af sin² z af sin² (z x_a) 4" xf sin² (z — x₂)
t² == af cos² z 4- af cos² (z a_s) af cos² {z — x₂)

Valt de lijn co met de groote as van K samen, dan moet
s² een minimum worden, derhalve is de eerste voorwaarde:

Hieraan voldoen twee waarden van z, welke 90° van elkander
verschillen. Wij kiezen van deze waarden die, waarvoor
d² (s²) | dz² positief wordt. De andere waarde van z, welke

aan (60^a) voldoet, maakt d- (s²) | d z² negatief,, hetgeen op een
maximum van s² wijst.

Het vinden van twee waarden voor z in (60^a) hangt samen
met het feit, dat bij het opstellen van de maximum-voor-
waarden voor t² eveneens de vergelijking (f>0^a) wordt gevonden.
Dit is trouwens duidelijk, daar wij boven hebben gevonden, dat
een minimum van o² steeds van een maximum van t² vergezeld
gaat en omgekeerd.

Ten slotte willen wij met een enkel woord het geval be-
spreken, waarbij de projectierichting loodrecht op V staat.
Ieder vlak door U staat dan loodrecht op V; de afstanden
der punten Aj tot een dergelijk vlak en tot zijn doorgang met het
vlak V zijn steeds evengroot, s² en t² zijn constante grootheden.

Onafhankelijk van de waarde van z moeten d (.s²J | d z en
d (t²) | d z nul worden. Dit kan alleen, wanneer tg 2z een
onbepaalde waarde aanneemt. Voeren wij door teller en
noemer in de formule (60^a) door r² te deelen „verkortings-
verhoudingen" in en stellen wij teller en noemer nu gelijk
aan nul, dan vinden wij de volgende formules:

vi² V2² cos 2 a₃ V3² cos 2 oei — 0
Wij kunnen aantoonen, dat deze formules ten nauwste
samenhangen met de door Weisbach voor de orthogonale
Axonometrie gevonden formules. Gaan wij uit van de meet-
kundige interpretatie van deze, ^l) volgens welke, wanneer vr,
v₂² en va² als zijden van een driehoek beschouwd worden,
de overstaande hoeken in dezen driehoek door 2 <%i — t,
2 «2 — 7r en 2 <x₃ — tt worden voorgesteld, dan volg! door
toepassing van den sinusregel:

V3²: V2² = sin (2 a₃ — tt) : sin (2 x» — n)
v₃² sin 2 «2 — V2² sin 2 «3 = 0
Projecteeren wij de zijden met de lengten v*² en v₃² beide
op de zijde vi², dan volgt:

Van de resultaten, welke in het tweede hoofdstuk verkregen
zijn bij de daar ontwikkelde theorie over de afbeelding van
complexe getallen als punten van het beeldvlak, kan met
vrucht gebruik gemaakt worden bij het zoeken van een con-
structie voor de ellips K.

De absolute grootte van de halve assen en de lineaire
excentriciteit van de ellips K zijn blijkens het bovenstaande
bekend. Zijn wij in staat de ligging van de groote as nader aan
te geven, dan hebben wij alle voor de constructie van de ellips
K vereischte gegevens gevonden. Wederom maken wij gebruik
van de omstandigheid, dat de groote as van K samenvalt
met de loodrechte projectie op het vlak V van de door het
punt O getrokken stralen van Pohlke U en l*. Blijkens de in
het derde hoofdstuk gehouden onderzoekingen behooren ge-
noemde stralen tot de congruentie der beschrijvende lijnen
van de confocale oppervlakken van den tweeden graad, die
de axonometrische brandpunten Oi en 0» tot brandpunten
hebben. Hieruit volgt, dat de loodrechte projectie van h en
h op het vlak V de normaal is in hel punt O op die ellips,
welke Oi en 0₂ tot brandpunten heeft en door het punt O
gaat. Aangezien deze lijn den hoek O1OO2 halveert volgt
hieruit, dat de gezochte groote as de bissectrix van hoek O1OO0 is.

getallen a₂, 03, zi en dan zijn ten opzichte van O_x of
O\'₂ als oorsprong de punten Aj beelden der complexe getallen

Volgens het theorema van Gauss moeten z_x en z* dan
voldoen aan de vergelijking:

Zijn de argumenten der complexe getallen z_x en z<i achter-
eenvolgens (pi en <p_s, dan is uit (63) terstond af te leiden:

2 a
1

terwijl zijn argument de halve som der argumenten van de
punten Oi en 0₂ voorstelt; dit getal is dus beeld van een punt,
dat op een afstand yS van O is gelegen op de lijn, die den
hoek O1OO0 halveert. Hieruit volgt evenwel, dat dit beeld-
punt een der brandpunten van de ellips K moet zijn, 111. a. w.

De constructie, die de lezer zelf gelieve uit te voeren, kan
nu volgen. Het punt O beschouwen wij als den oorsprong
van het complexe vlak, het punt At als beeld van het getal

ai = 1. Dit punt is tevens beeld van het getal af. De punten
A₂ en A₃ zijn beelden der getallen a₂ en a₃. Gebruikmakend
van de evenredigheid:

Evenzoo wordt het beeld van het getal af nader bepaald.
Door herhaalde parallelogram-constructie kan het beeld Bi

vinden wij de lengte van A en B uit de gegevens van de
figuur zelf door herhaalde constructies, die met den recht-
hoekigen driehoek verband houden en daarmede is alles, wat
gezocht moest worden, gevonden.

§ 3. Na deze op de analyse berustende constructies zullen
nu de zuiver meetkundige volgen, waarbij wij eenerzijds de
historische prioriteit, anderzijds den essentieelen samenhang
meer bijzonder naar voren hebben gebracht.

Beschouwen wij de lijnen O Ai en O A₂; O Ai en O A₃;
O A₂ en O Aa achtereenvolgens als toegevoegde halve middel-
lijnen van ellipsen, die wij door Ei₂, Eia en E₂₃ aangeven,
dan kunnen wij vooreerst vragen of er een ellips K bestaat,
welke ieder dezer ellipsen insluit en dubbel aanraakt.
Het eerst is deze vraag gesteld door von Desgiiwanden,

\') J. W. von Deschvvanden: Anwcndung schiefer Parallelprojckti-
onen zu axonomctrischen Zeichnungen I t. a. p. Het vervolgartikel II
in den volgenden jaargang behandelt alleen bijzondere gevallen en geeft
voor deze de constructies. Dit artikel blijft daarom buiten beschouwing.

die haar in bevestigenden zin beantwoordde en vervolgens,
door de ellips K als grensellips van een bol te beschouwen,
een existentie-bewijs voor de driebeenen kon leveren.

Hoewel de beschouwingen van von Deschwanden alleen
historische beteekenis bezitten, zullen wij toch in het kort
zijn betoog aangeven om te laten zien, hoe men, aanknoopend
aan het door hem gevondene en dit op de juiste wijze inter-
preteerend, volkomen exacte en ter constructie bruikbare
resultaten verkrijgen kan.

De lijnen O Aj (ƒ = 1, 2, 3) worden door het punt O heen
verlengd; vervolgens worden uit het punt O op de verlengde
lijnen achtereenvolgens stukken O Aj¹ ter lengte O Aj (ƒ= 1,2,3)
afgezet. Naar bekend is, zijn de raaklijnen in de punten A₂en Ai¹ aan de ellips En en de raaklijnen in de punten A_aen Aa¹ aan de ellips En met O Ai evenwijdig, terwijl zich,
wat hun afstanden tot het punt O betreft, twee gevallen
kunnen voordoen.

Het verst verwijderde stel sluit de ellipsen En en En ge-
heel in en raakt minstens een van deze ellipsen aan. De
ellips E₂s wordt door ieder der vier genoemde raaklijnen in
twee punten gesneden. Hieruit volgt, dat evenwijdig met
O Ai twee raaklijnen U en aan de ellips E_2S kunnen worden
getrokken, die verder van het punt O zijn verwijderd dan de
vier bovengenoemde. Deze raaklijnen ti en ti^l sluiten de
ellipsen En, E₂₃ en £3 1 geheel in. De verbindingslijn van
de op de ellips En gelegen raakpunten ^rl\\ en l\\^l is tot
de lijn O A_x ten opzichte van de ellips E₂3 toegevoegd. Wij
vinden op volkomen dezelfde wijze twee andere paren raak-
lijnen, n.1.

De raaklijnen h en t₂^l aan de ellips En evenwijdig met
O A₂ getrokken, wier raakpunten en-2V de eindpunten
zijn der tot O A-> ten opzichte van de ellips En toegevoegde
middellijn 1\\ T₂¹ en de raaklijnen h en die evenwijdig
met OA₃ zijn, terwijl de verbindingslijn hunner raakpunten

Tz TV ten opzichte van de ellips Eu tot O A₃ is toegevoegd.
Deze drie paren raaklijnen vormen een zeshoek, welke de
ellipsen En, Ew en E₃1 geheel insluit. Tot hiertoe is het
bewijs volkomen exact; daarna verliest het verdere betoogde
noodzakelijke strengheid.

Allereerst bewijst von Deschwanden, dat er een tweetal ellipsen
in het vlak V wordt gevonden, waarvan de eene ellips Ei
twee der ellipsen En, E₂₃ en E₃i aanraakt en de derde insluit,
terwijl de tweede ellips, die wij door E₂ voorstellen, eveneens
een tweetal der ellipsen E12, E₂₃ en Esi aanraakt en de derde
snijdt. Beschouwen wij Ei en E₂ als de begin- en eindellips eener
oneindige reeks van vloeiend veranderende ellipsen, van welke
iedere ellips steeds aan het bovengenoemde tweetal ellipsen blijft
raken, dan moet er onder die reeks een ellips voorkomen, die de
derde ellips raakt en dus aan den bovengestelden eisch voldoet.

Natuurlijk kunnen tegen deze redeneering verschillende be-
zwaren worden ingebracht, van welke wij er enkele zullen
noemen. Er is niet bewezen, dat het inderdaad mogelijk is
een reeks vloeiend veranderende ellipsen te vinden, die de
beide aangeraakte ellipsen blijven aanraken; verder gaat de
schrijver niet na, of er meer ellipsen zijn, die aan de vraag
voldoen, wat toch van belang is voor het existentiebewijs
der driebeenen, dat met het bestaan dezer als grensellips van
een bol op te vatten omhullende ellips ten nauwste samen-
hangt. Ten slotte wordt niet aangewezen, hoe de ellipsen
En, E₂3 en Esi door de ellips K worden aangeraakt, wat
toch voor de constructie noodzakelijk is. Vandaar, dat er
geen sprake is bij von Deschwanden van een constructie, zooals
door hem trouwens zelf wordt toegestemd; alleen onder bij-
zondere omstandigheden, voor zoover den. vorm der projectie-
figuur betreft, kan deze constructie in stricten zin door hem
worden uitgevoerd.

«•Es ist mir gegenwärtig unmöglich eine allgemeine anwendbare C011-
struction an zu geben.»

moeten wij de ruimtefiguur te hulp roepen en maken wij
daartoe gebruik van de volgende hulpstelling:

Een cylinder C, die een ellipsoïde omhult, wordt in evenwijdige
richting op het beeldvlak geprojecteerd. Is K de grensellips van
de ellipsoïde bij deze projectie, dan wordt de schijnbare omtrek
van den cylinder voorgesteld door een ellips E, die K inwendig
dubbel aanraakt in de uiteinden eener gemeenschappelijke middel-
lijn L M en tevens rankt aan de raaklijnen, welke in de punten
L en M aan de ellipsen E en K kunnen worden getrokken.

Als omhullende cylinder van den bol A*⁰, welks schijnbaren
omtrek wij moeten bepalen, kiezen wij een cylinder, die
O⁰ Af tot as heeft en dus den bol volgens den grooten cirkel
7^23° aanraakt. Blijkens bovenstaande hulpstelling bestaat de
schijnbare omtrek van dezen cylinder uit de ellips E₂₃, die
de grensellips K aanraakt in de uiteinden eener gemeenschap-
pelijke middellijn, welke ten opzichte van K en Eis tot O A\\ is
toegevoegd en bovendien uit een tweetal raaklijnen h en tf,
welke in de uiteinden van deze middellijn de ellipsen K
en Eïz aanraken en met O Ai evenwijdig zijn. Herhalen wij
hetzelfde voor de omhullende cylinders van den bol, die 0° Af
en 0° Af tot assen hebben, dan vinden wij voor den schijnbaren
omtrek achtereenvolgens de ellips Eai, welke de ellips K in-
wendig dubbel aanraakt volgens een middellijn, die ten opzichte
van beide ellipsen tot O A-> is toegevoegd benevens twee raak-
lijnen U en tf aan deze ellipsen beide met O Ai evenwijdig
en verder de ellips En, welke eveneens met de ellips K in-
wendig dubbele aanraking heeft in de uiteinden eener ten op-
zichte van de ellipsen A\'en En tot O yl₃ toegevoegde middellijn,
benevens een tweetal raaklijnen h en tf aan deze ellipsen
beide met 0 Aa evenwijdig. Het zestal bovengenoemde raaklijnen
vormt den bovengenoemden zeshoek, thans is evenwel de
wijze van aanraking met de ellips K volkomen aangegeven.

Gebruik makend van deze omstandigheid heeft von Pesohka \')
het eerst een constructie van de ellips K verricht.

\') G. A. von Peschka. Elemcntarer Beweis des Pohlkeschen Funda-
nicntalsatzcs der Axonomctrie, Sitz. Ber. Wie», Abth. II^a, Bd. 78, 1878,
pg. 1043-1055.

Uit het punt O als middelpunt wordt met een straal ter
lengte O Ai een cirkel C beschreven, die affien verwant is
_;met de ellipsen E_u en Eis. Loodrecht op O Ai wordt in
\'dezen cirkel de middellijn [At] O [As] getrokken. In de af-

finiteit tusschen den cirkel C en de ellips Eu is de lijn 0 Ai
atfiniteitsas, terwijl de verbindingslijn der punten At en [At]
de affiniteitsrichting bepaalt. Daarentegen is voor de tusschen

den cirkel C en de ellips En bestaande affiniteit de lijn O At
eveneens affiniteitsas; de lijn A₃ bepaalt voor deze de
affiniteitsrichting.

Blijkens het bovenstaande zullen de raaklijnen h en dia
evenwijdig met O A₃ aan de ellips En zijn getrokken, deze
ellips raken in de punten Pi en Pi¹, welke tevens de op de
ellips K gelegen raakpunten van deze raaklijnen met genoem-
de ellips K zijn. Evenzoo vinden wij, dat de raaklijnen h
en f₂\\ welke evenwijdig met O A₂ aan de ellips En zijn
getrokken en die deze ellips achtereenvolgens in de punten P>
en Pa¹ raken, tevens raaklijnen zijn in genoemde punten aan
de ellips K. Wij willen door constructie de raaklijnen ti
enz. en de hierop gelegen punten Pi enz. nader bepalen.
Hiertoe gebruiken wij de eigenschap, dat in de affiniteit
tusschen de ellips En en den cirkel C met de door het punt
Ai aan O A₃ evenwijdig getrokken lijn, welke de affiniteitsas
in het punt (3 snijdt, de lijn [At] (3 overeenkomt. Deze lijn
bepaalt de in de affiene figuur met OA₃ overeenkomende richting.
De raaklijnen [ii] en [fi¹] aan den cirkel C, welke met [yl₂] /3
evenwijdig zijn getrokken, en dezen cirkel in de punten [Pi]
en [Pi¹] raken, komen dus omgekeerd overeen met de gezochte
raaklijnen h en /i\\ die evenwijdig met O A₃ aan de ellips En
zijn getrokken en deze ellips in de gezochte punten I\\ en /V
raken. Op dezelfde wijze vinden wij de raaklijnen h en t->¹en de op deze gelegen raakpunten P₂ en P»¹.

Letten wij op het door constructie bepaalde, dan hebben
wij nu de vraag te stellen: Wanneer van een ellips gegeven
zijn twee paren evenwijdige raaklijnen benevens de op deze
raaklijnen gelegen raakpunten, wordt gevraagd de assen van deze
ellips te bepalen.

Wij beschrijven tusschen de raaklijnen U en f₂^l een rakenden
cirkel [A"], welke met de gezochte ellips K affien is verwant.
De richting der raaklijnen t₃^l geeft de richting der affiniteit
aan, de raakpunten p₂ en der raaklijnen t₂ en t₂^l met den
cirkel komen met de punten P₂ en P₂^l op K overeen.
Zijn pi en ^ï¹ de punten, die met Pi en /V in de affiniteit
tusschen de ellips K en den cirkel [/v] overeenkomen, dan

snijden de homologe lijnen P\\P» en pi p₂, P₂^l en pi¹ p₂^l(welke om de figuur niet onduidelijk te maken zijn weggelaten)
elkander achtereenvolgens in de punten Qi en Q₂, die op de
affiniteitsas zijn gelegen, zoodat deze bepaald is.

De cirkel gaande door de punten O en [O], het middelpunt
van den cirkel [AT], en welks middelpunt M op de affiniteitsas
is gelegen, snijdt deze as in de punten Bi en B₂. De rechten
Bi O en Bi [O], B₂ O en R₂ [O] zijn dus homoloog en omdat
Zi?! O B₂ = Z Bx [O] B₂ = 90° vallen de assen van K langs
O Bi en O B₂. Zijn [Z?i] en [i?₂] de snijpunten der lijnen
\\0~\\ Bi en \\ 0~\\ B₂ met den cirkel [AT], dan komen deze punten
overeen met de uiteinden B_x en B* der halve assen van K,
welke alzoo gevonden zijn.

§ 5. De in § 4 vermeldde stelling aangaande den schijn-
baren omtrek van een omhullenden cylinder van een bol wordt
gebruikt door Mandl ^J) om de ellips K nader te bepalen.
Hij kiest daartoe den cylinder, welks as de richting der pro-
jectie heeft. De bol wordt door dezen cylinder aangeraakt
volgens een grooten cirkel, waarvan het vlak loodrecht op de
projectierichting staat. De evenwijdige projectie van dezen
cirkel op het beeldvlak is de ellips K. Zijn wij in staat de
projectie te bepalen van twee onderling loodrechte stralen
van dezen cirkel, dan zijn dit twee toegevoegde halve middel-
lijnen van de ellips K, en kunnen de assen van deze bepaald
worden.

Evenals in § 4 maken wij ook thans gebruik van de affiniteit
tusschen de ellips Ei₂ en den cirkel C, uit het middelpunt O
met den straal O Ai beschreven. Met behulp van deze affiniteit
bepalen wij de halve middellijn O B\\ van Ei₂, welke langs
O As valt, benevens de tot O Bi ten opzichte van Ei₂ toe-
gevoegde halve middellijn O B>. Door het punt A₂ trekken
wij een lijn A₂ x evenwijdig met O As, die de affiniteitsas in
een punt a snijdt. De lijn [A₂] x is met deze lijn homoloog
en deze bepaalt tevens de met O As overeenkomstige richting

\') J. Mandl, Der Pohlke\'sche Lehrsatz der Axonometrie und eine
Verallgemeinerung desselben t. a. p.

in de affiene figuur. In den cirkel C trekken wij de stralen
O [Bi] evenwijdig met [A₂] x en O [B₂] loodrecht op 0 [2?i].
De met deze stralen homologe halve middellijnen O B_x en O B₂van Eiz zijn de gezochte. De lijnen O Bi en O A₃ stellen

de evenwijdige projecties voor van twee onderling loodrechte
bolstralen, die gelegen zijn in het door 0° A₃° gebrachte
projecteerend vlak. Zijn wij in staat twee onderling lood-
rechte stralen 0° £>i° en 0° I)₂° van den cirkel, volgens
welke dit vlak den bol snijdt, te bepalen, waarvan de eene,
01)i°, langs den door O⁰ gaanden projectiestraal valt, dan
zijn O⁰ D₂° en O" B₂° twee onderling loodrechte stralen van
den cirkel op den bol, welks vlak door O⁰ loodrecht op de
projectierichting is gebracht. Wij moeten O D₂ construeeren
en bedenken daartoe, dat de projectie O Di de lengte nul
heeft. In de affiniteit tusschen den cirkel [E], die uit het
middelpunt O met de straal O A₃ is beschreven en de ellips
E, welks samenvallende halve toegevoegde middellijnen door
O Ai en O Bi worden voorgesteld, is O A₃ de affiniteitsas,

terwijl de verbindingslijn der punten Bi en Bi* (O B_x* O A₃)
de affiniteitsrichting aangeeft. Evenwijdig met Bi Bi* wordt
in den cirkel de straal 0[D,] getrokken en loodrecht op deze
de straal 0 [Ai], welke met de gezochte halve middellijn
O Do van de ellips K overeenkomt. Aangezien wij twee
toegevoegde halve middellijnen 0 en 0 Bt van de ellips K
kennen, zijn wij in staat de halve assen dezer ellips te vinden,
waarbij wij van de door Rytz geleverde assenconstructie
hebben gebruik gemaakt. Ten slotte willen wij nog even
wijzen op den samenhang tusschen deze constructie en de in
Hoofdstuk I § 2 naar aanleiding van von Pesciika\'s bewijs
geleverde.

§ 6. Van een tweetal constructies door Pelz \') geleverd
zullen wij er een vermelden. Pelz gaat uit van de volgende
stelling, die door hem vroeger ¹) in eenigzins ander verband
vermeld is:

„ Zijn drie in het beeldvlak gelegen lijnen als de evenwijdige
projecties van drie onderling loodrechte bolstralen te beschouwen
en is een ellips K in het beeldvlak de grensellips van dezen
bol bij evenwijdige projectie, dan is deze ellips K confocaal met
ieder van de drie ellipsen, die bepaald zijn door de paren
toegevoegde halve middellijnen O Aj (i = 1,2,3) en O fjj. [ j k =
23, 31, 12), waarbij fj/. een der brandpunten van de ellips
E_jk ijk = 23,31,12) voorstelC

Tweemaal achter elkander passen wij de assenconstructie
van Ciiasles toe en bepalen daardoor eerst de brandpunten
fit en ƒ12¹ van de ellips E_v> en vervolgens de brandpunten
van de ellips, die de lijnen 0A_:I en 0 f_n^x tot toegevoegde
halve middellijnen heeft. De brandpunten Fi en Ft van de
ellips K zijn dan blijkens bovenstaande hulpstelling gevonden.

1 ) C, Pelz. «Ueber eine allgemeine Art der Bestimmung der Brenn-
puncto von Contouren der Fliichen zweiten Grades.» Sitz. Ber. der Kaiserl.
Akad. Wien,fAbth. Ila., Bd. 75, pg. 177.

Wanneer wij bovendien nog in staat zijn de lengten der
assen van de ellips K op te sporen, dan kan deze ellips
geconstrueerd worden. Hiertoe kan de volgende stelling te
hulp worden geroepen:

Worden twee toegevoegde halve middellijnen eener ellips in
evenwijdige richting op een rechte lijn geprojecteerd en bepaalt
men tevens de projectie in dezelfde richting op de lijn L van
die halve middellijn van de ellips, welke tot de projectierichting
ten opzichte van de ellips is toegevoegd, dan bestaat, wanneer
de lengten der genoemde projecties achtereenvolgens door m 1, m₂en m worden voorgesteld tusschen deze de betrekking
m² — »li² w»2²Uit het brandpunt F_x laten wij op O A₂ een loodlijn neer,
waarvan n het voetpunt is, en projecteeren vervolgens de

toegevoegde halve middellijnen 0 A_t en O A_s van de ellips
£13 in de richting O A₂ op genoemde loodlijn. Stellen na i
en n x₃ de lengten dezer projecties voor, dan bestaat de
betrekking:

n x^² = n x\\² -f- n x₃²,
waarbij n x blijkbaar de lengte voorstelt van de projectie der
tot O A₂ t. o. v. E13 toegevoegde halve middellijn op genoemde
loodlijn. Bekend is evenwel, dat de ellipsen Ei_S en K elkander
raken in de uiteinden van een middellijn, die tot beide ellipsen
t. o. v. O A₂ is toegevoegd. Hieruit volgt, dat n x de lengte
voorstelt van de projectie der tot OA₂ t. o. v. AT toegevoegde
halve middellijn van de ellips Kop de lijn Fi n. Trekken wij in een
der uiteinden van deze middellijn een raaklijn aan de ellips /v,
dan is deze met O A₂ evenwijdig, maar, omdat O A₂ de pro-
jectierichting aangeeft, zal deze raaklijn samenvallen met de
lijn, welke het uiteinde van deze middellijn op de lijn Fi n
projecteert. Deze raaklijn gaat dus door het punt x. Om-
gekeerd kunnen wij dan ook zeggen, dat een lijn door het
punt x evenwijdig aan O A₂ getrokken een raaklijn aan de
ellips K is en omdat de lijn F\\ n loodrecht op deze raaklijn
staat, is n het voetpunt der loodlijn uit het brandpunt op
deze raaklijn neergelaten. Volgens een bekende eigenschap
van de ellips stelt de lijn Ox in dit geval de lengte van
de halve groote as der ellips K voor. Alle gegevens ter
constructie van de ellips K noodig zijn hiermede bepaald.

§ 7. A. Beck *) heeft een constructie gegeven, die in de
bepaling der assenrichtingen met de constructie van Pelz
overeenstemt, maar in de bepaling van de lengten der assen
van de laatste afwijkt. Beck neemt enkele door Ciiasles be-
wezen stellingen ²) uit de theorie der assenbepalingen van
confocale oppervlakken van den tweeden graad als bekend aan.

\') A. Beck. Ueber die Fundamentalaufgabe der Axonometrie. Journal
von Crelle, Bd. 106, 1890, pg. 121—124.

■) Salmon-Fikdlek. Analytische Geometrie des Raumes, 4 Aufl.,
§ 177 en § 178.

raakvlak aangebracht en wordt- door het middelpunt O der
ellipsoïde een vlak V evenwijdig met het raakvlak gelegd, dan
zijn de assen van de doorsnede evenwijdig met de normalen in
P op de beide door P gelegde met de ellipsoïde confocale opper-
vlakken.

Worden de lengten der eerste halve assen van de door het
punt P gaande confocale ellipsoïde, een- en tweebladige hijper-
boloïde achtereenvolgens door a, a\\ en a* voorgesteld, dan zijn
de kwadraten der halve assen van de genoemde ellips respec-
tievelijk a² — rti² en a² — af.

Is een punt P een der snijpunten van drie confocale opper-
vlakken, welke hetzelfde punt O tot middelpunt hebben, dan
kunnen wij omgekeerd dit punt P tot middelpunt kiezen van
drie nieuwe confocale oppervlakken, welke door het punt 0
gaan. Het eerste drietal vormt dan het primaire, het tweede

drietal het secundaire systeem van confocale oppervlakken.
In dit geval geldt de volgende stelling.

II. De hoofdassen van het secundaire systeem vallen samen
met de normalen van de drie door O gelegde oppervlakken van
het primaire systeem. De assen van de ellipsoïde in het primaire
systeem zijn even groot als de eerste hoofdassen der drie opper-
vlakken van het secundaire systeem.

De ellips K beschouwen wij als den grensovergang van een
oneindig afgeplatte ellipsoïde, welke de drie gegeven lijnen OAj
(j = 1, 2, 3) in het beeldvlak tot toegevoegde halve middellijnen
heeft. Bij deze opvatting kunnen wij het beeldvlak beschouwen
als een aan deze ellipsoïde in het punt A₃ aangebracht raakvlak,
maar bovendien als een vlak, dat door het middelpunt O
der ellipsoïde aan dit raakvlak evenwijdig is gelegd en de
ellipsoïde volgens de ellips Ei₂ snijdt. De assenconstructie van
Chasles levert ons de halve assen O Bi en O B₂ der genoemde
ellips. Uit hulpstelling I volgt, dat de kwadraten der halve
assen van Ei₂ voldoen aan de betrekkingen:

terwijl de normaal in A₃ op de met K confocale eenbladige
hyperboloïde evenwijdig is met O B₂, de normaal in A₃ op
de met K confocale tweebladige hyperboloïde evenwijdig is
met O Bi. De eerste normaal is de Z-as, de tweede de F-as
van het secundaire systeem, dat het punt A₃ tot middelpunt
heeft, terwijl de A^r-as loodrecht op het projectievlak staat.

Uit de combinatie der stellingen I en II volgt, dat de halve
assen van de ellipsoïde van het secundaire systeem de lengte
a, ai en a₂ bezitten. De focaalkegelsneden in de vlakken
XY en XZ zijn reëel en de kwadraten van hun halve assen
zijn gelijk aan aan:

O Bi² — O B₂² = ai² — a₂²is de lijn 0 Fi₂, waarvan het kwadraat gelijk is aan «r — a₂²,
terstond te bepalen.

De focaalhyperbool, welker vlak om de lijn Zin het beeldvlak-
is neergeslagen, heeft tot kleine as AsR = OB₂, terwijl de
excentriciteit door O Bi wordt voorgesteld.

De ellipsoïde en de eenbladige hyperboloïde van het secun-
daire systeem worden door het beeldvlak gesneden volgens
een ellips en een hyperbool, welke uit den aard der zaak
beide door O gaan, terwijl Q en S hunne brandpunten voor-
stellen. De normalen van deze beide kromme lijnen in het
punt O zijn de lijnen, die den hoek Q O S en diens supplement
halveeren. Blijkens hulpstelling 11 stellen deze deellijnen de
richtingen der assen van K voor.

Ons rest dus nog de assenlengten van K nader te bepalen.
Bij de beide gevonden confocale kegelsneden valt de Y-as met
de hoofdassen samen. De lengten dezer hoofdassen zijn gelijk
aan de halve som en het halve verschil van O S en O Q.
Het vlak X Y snijdt de ellipsoïde en de eenbladige hyper-
boloïde volgens twee nieuwe confocale kegelsneden. Voor
deze vallen de nevenassen langs de l\'-as. De gemeenschap-
pelijke brandpunten dezer kegelsneden zijn gelegen op de A"-as
en wel in punten, die op een afstand R As = T Au van het
punt As verwijderd zijn. Wij construeeren nu twee recht-
hoekige driehoeken, in de figuur door O B> Ci en O B₂ C₂voorgesteld.

De hypotenusa\'s dezer driehoeken stellen dan de lengten
voor van de hoofdassen der oppervlakken in het secundaire
systeem, dus blijkens hulpstelling II tevens de lengten van de
halve assen van de ellips K, welke hiermede bepaald zijn.

van de ellips K besproken; wij willen nu een meer algemeen
probleem nader behandelen.

Door de punten A\\, A₂, en A₃ worden drie evenwijdige lijnen
in de ruimte getrokken en op ieder dezer lijnen wordt een
overigens geheel willekeurig punt gekozen, dat wij respectieve-
lijk door AA₂° en A₃° zullen aangeven. Verbinden wij deze
punten met het punt O, dan ontstaat een lijnentripel, welks
evenwijdige projectie op het vlak V in de richting door
de evenwijdige lijnen aangegeven door O A_t, O A₂, O A₃wordt voorgesteld. Wij kunnen OAi°, O A₂° en O A₃° be-
schouwen als drie toegevoegde halve middellijnen eener ellip-
soïde. Aangezien zoowel de richting der evenwijdige lijnen
als elk der op deze lijnen gelegen punten Af (j= 1,2,3)
geheel willekeurig kunnen worden aangenomen, is het duidelijk,
dat wij cc⁵ lijnentripels kunnen vormen, welke alle in de door
de verbindingslijnen der punten Aj en Aj° [j= 1, 2, 3) aange-
geven richting op het vlak V volgens O A_u O A₂, O A_aworden geprojecteerd. In elk dezer gevallen kunnen wij het
oppervlak van den tweeden graad aangeven, dat het drietal
lijnen 0 Af ( ƒ—1,2,3) tot toegevoegde halve middellijnen
heeft en den schijnbaren omtrek van dit oppervlak bij even-
wijdige projectie in de geeigende projectierichting Aj Af op
het vlak V bepalen. Wij vermelden nu de volgende alge-
meene stelling, die door Drascii *) het eerst is bewezen:

„De\'schijnbare omtrek van alle oppervlakken van den tweeden
graad F₂, welke een tripel toegevoegde halve middellijnen O Af
(j — 1, 2, 3) bezitten, waarvan de evenwijdige projecties op liet.
beeldvlak door 0Aj[j=l,2,3) worden voorgesteld, is bij even-
wijdige projectie op dit vlak, in een richting, welke door de
verbindingslijn der punten Aj en Af (j—1,2,3) wordt aange-
geven, een ellips K, welke voor alle gevallen dezelfde is."

1 ) Do niet dit bewijs hand aan hand gaande constructie gelieve de
lezer zelf te ontwerpen.

dat aan de vraag voldoet en het hierbij behoorend oppervlak
van den tweeden graad F₂. Het punt O wordt door de rechte
lijn L verbonden met het in het oneindige gelegen projectie-
centrum Soo. Brengen wij door deze lijn L en het punt Af
een vlak, dan is het oneigenlijk punt van de rechte Af Af
de pool van dit vlak ten opzichte van F>; derhalve is een vlak
door de lijn L en deze pool toegevoegd tot het vlak dooi-
de lijn L en het punt Af ten opzichte van F₂.

Wij kunnen op dezelfde wijze twee andere paren van toe-
gevoegde vlakken vinden n.1. het vlak door de lijn L en het
punt Af, dat ten opzichte van F₂ tot het door L met
Af Af evenwijdig gebrachte vlak is toegevoegd en het vlak
door de lijn L en het punt Af, waaraan ten opzichte van
F₂ het door de lijn L met Af Af evenwijdige vlak is toe-
gevoegd.

De lijn L is dus de drager eener vlakkeninvolutie, waarvan
drie paren ten opzichte van F₂ toegevoegde vlakken bekend zijn.

Wordt een vlakkeninvolutie met den drager G, welke behoort
bij een oppervlak van den tweeden graad F», door een plat vlak
gesneden, dan is de daardoor gevormde stralenbundel involutorisch
toegevoegd tot alle kegelsneden k², volgens welke de omhullende
kegels van F₂, wier toppen op de rechte lijn G zijn gelegen,
door het platte vlak gesneden worden.

Hieruit volgt, dat de straleninvolutie met liet punt O als drager,
volgens welke het projectievlak V de gegeven vlakkeninvolutie
snijdt, toegevoegd is tot de doorsnede van den omhullenden
cylinder van F», welks as met L samenvalt, met dit projectie-
vlak, d. w. z. tot de grensellips K. Uit het bovenstaande volgt
tevens, dat wij drie stralenparen dezer straleninvolutie kennen
nl. O A\\ en OAf, evenwijdig aan A₂ A₃; O A₂ en OAf,
evenwijdig aan Ai A_a,; O A₃ en O evenwijdig aan A_x A₂.
Op bekende wijze bepalen wij het loodrecht stralenpaar dezer
involutie, dat, aangezien het punt O het middelpunt van K
is, tevens de assenrichtingen van K nader aangeeft. Brengen
wij in het punt ^li⁰ een raakvlak aan, dan vormen de raak-

lijnen in dit punt een straleninvolutie met betrekking tot de
in het raakvlak gelegen kegelsnede, welke bestaat uit twee
imaginaire lijnen, die elkander in het dubbelpunt Ai⁰ snijden;
deze imaginaire lijnen zijn de dubbelstralen der involutie.

Op grond van het boven aangegeven theorema zal de even-
wijdige projectie van deze raaklijneninvolutie op het vlak F,
welke het punt A\\ tot drager heeft, bij de grensellips K
behooren. De stralenbundel, die de projectie voorstelt, is
congruent met de straleninvolutie ten opzichte van de ellips
£23, waarvan het punt O de drager is. De straleninvolutie met
de drager Ai is dus geheel bepaald. Wij trekken door Ai een
straal p evenwijdig met een der gevonden asrichtingen O B₂.
Tot. deze is in de straleninvolutie met drager Ai een straal pi
toegevoegd. De stralen p en pi snijden de andere as O Bi
in twee punten P en Pi, welke tot elkander zijn toegevoegd
in de punteninvolutie op die as, waarvan de uiteinden der
halve as dubbelpunten zijn. Wordt het eene uiteinde dei-
as door Bi aangegeven, dan is:

Op een geheel overeenkomstige wijze, welke wij dus niet
nader behoeven aan te geven, kunnen wij de lengte O Ih van
de andere halve as vinden en daarmede is de ellips K be-
paald. Uit het bovenstaande blijkt, dat dit bewijs en de
daarmede gepaard gaande constructie volkomen onafhankelijk
zijn van de keuze van het oppervlak F₂. Zelfs, wanneer wij
in plaats van evenwijdige projectie centrale projectie kiezen,
zullen wij dezelfde grensellips K vinden, mits wij er maar
voor zorgen, dat de ellipsoïde bepaald is door een drietal
toegevoegde halve middellijnen, welks centrale projectie door
het lijnentripel O Ai, O A_t en O A_a in het beeldvlak wordt
voorgesteld.

\') Th. Schmidt, Zur Konturbestimmung der Fliichen zwciten Gradcs
(Pohlke\'s Satz t. a. p.) Sitz. Ber. der Kaiserl. Akad. Wien, Abth. IK
Bd. 48, 1903, pg. 1423-1431.

probleem der contourbepaling van tweedegraadsoppervlakken,
waarvan de hoofdstelling der Axonometrie weliswaar een
bijzonder geval is, maar dat toch te ver afligt van het door
ons besprokene, dan dat het voor een zelfstandige bespreking
in aanmerking zou komen. Het probleem door Schmidt
gesteld kan als volgt worden geformuleerd:

Wanneer gegeven is de centrale projectie van een poolviervlak,
dat bij een tweedegraadsoppervlak behoort, benevens de centrale
projectie der nevenbeelden van een punt P (d. w. z. de projecties
van het punt P uit de hoekpunten van het viervlak op de tegen-
overliggende zijvlakken) en de beelden der doorsneden van de
zijvlakken van het poolviervlak met het bij P behoorend poolclak,
wordt gevraagd de schijnbare omtrek van het tweedegraads-
oppervlak bij centrale projectie uit het projectiecentrum S op het
beeldvlak te bepalen.

Zonder bewijs vermelden wij de volgende eigenschappen,
welke bij Schmidt voorafgaan:

I. Vit de gegevens der projectiefiguur is de polariteit van
den schijnbaren omtrek volkomen bepaald, zonder dat omtrent
de ligging van het projectiecentrum S iets naders bekend behoeft
te zijn.

II. Zijn X en U de projecties der snijpunten X° en U° van
een poolvlak W met twee kruisende ribben van het. poolviervlak
en stellen X_x en U_x de projecties voor der tot de punten X° en
U° in de punteninvoluties op de ribben toegevoegde punten X_x°
en Ï7_X°, dan gaat de lijn X_xU_x door de pool der snijlijn van
het vlak W met het beeldvlak V ten opzichte van den schijnbaren
omtrek.²)

Ue wijze, waarop de hoofdstelling der Axonometrie in haar
meest algemeenen vorm zich hier als bijzonder geval doet
kennen, is de volgende. Als poolviervlak kiezen wij den tetraeder,
welks hoekpunten gevormd worden door het middelpunt O⁰van de ellipsoïde en de punten in het oneindige der toege-
voegde halve middellijnen 0%°, 0° J₂°, 0° A₃° dezer ellip-

\') Th. Schmidt, t. a. p. § 2, pg. 1426.
^s) Th. Schmidt, t. a. p. § 2, pg. 1426.

soïde. In dit geval zijn de punten Ay° (ƒ = 1, 2, 3) dubbelpunten
in de punteninvoluties, welke op deze ribben bestaan. Wij projec-
teeren uit een projectiecentrum in het oneindige gelegen. Laten
O Ai, O A₂, O A₃ de projecties der toegevoegde halve middel-
lijnen van de ellipsoïde voorstellen. De punten Aj (j — 1, 2, 3)
zijn in de punteninvoluties op O Aj dubbelpunten.

Wij zullen bewijzen, dat de schijnbare omtrek van de ellip-
soïde bij projectie op het beeldvlak enkel door de gegevens
der projectie-figuur bepaald wordt, zonder dat omtrent de
ellipsoïde iets naders bekend behoeft te zijn, dan dat ze een
volgens O Ai, O Ai en OA₃ op F geprojecteerd tripel van
toegevoegde halve middellijnen bezit.

Door het punt A_x wordt een lijn p evenwijdig met O A_agetrokken, welke als doorgang van een projecteerend vlak kan
worden beschouwd. Deze lijn snijdt OA« in een punt J,
waaraan in de involutie op O A_z het punt J_x is toegevoegd.
De lijn O A₃ wordt door p in het oneindige gesneden, aan het
punt in het oneindige is het punt O in de involutie op O A₃toegevoegd; het punt A_u waardoor de lijn p is getrokken
is in de involutie op O Ai tot zichzelf toegevoegd.

Trekken wij door het punt J_x een lijn evenwijdig met O Ai en
door het punt A_x een lijn met O A₂ evenwijdig, dan moeten
blijkens hulpstelling II genoemde lijnen gaan door het punt P,
de pool van de lijn p ten opzichte van den gezochten schijn-
baren omtrek d. w. z. liets nijpunt van deze lijnen is de gezochte
pool. De richting O P is dus tot O A₃ ten opzichte van den
schijnbaren omtrek toegevoegd. Wij brengen thans door het
punt A3 evenwijdig met O P een lijn q, welke O A₂ snijdt in een
punt K, waartoe in de involutie op O A₂ een punt K_x is toe-
gevoegd. Wordt deze lijn als doorgang van een projecteerend
vlak beschouwd en trekken wij de lijnen K_x <?^m evenwijdig
aan O A₃ en A₃ Q^ul evenwijdig aan O A₂, dan is hun snijpunt
een punt <?^m. Dit punt is de projectie van een punt <?^om,
het nevenbeeld der pool Q° van het door q gaand projecteerend
vlak ten opzichte van de ellipsoïde, bij projectie op het
tetraedervlak 0° Af Af, uit het punt in het oneindige op 0°Af.
De pool Q van de lijn q ten opzichte van den schijnbaren
omtrek vinden wij door uit het punt (>^m een lijn evenwijdig
met O Ai te trekken, welke O A₃ in het genoemde punt snijdt.
Om de eindpunten van de toegevoegde halve middellijnen van
den schijnbaren omtrek, welke langs OP en O A₃ vallen, te
vinden, gaan wij op eenigzins afwijkende wijze te werk. In
het verlengde van O A₈ wordt een stuk 011 = Q A₃ afgezet,
zoodat O Q = II A₃ is. Met een straal li G = 11A₃ beschrijven
wij uit het punt R een cirkel, eveneens met een straal QG=RA_aeen cirkel uit het punt Q. De lengte O G voldoet nu aan
de voorwaarden:

d. w. z. O G is evenlang als O Bi, de gezochte halve middel-
lijn van K, die langs O A₃ valt.

Op dezelfde wijze kunnen wij het eindpunt B₂ der langs
OP gelegen halve middellijn O lh vinden. Aangezien van
den schijnbaren omtrek een tweetal toegevoegde halve middel-
lijnen gevonden zijn, kunnen wij de assen van de ellips K
vinden. Uit het bovenstaande blijkt, dat alleen de gegevens
van de projectiefiguur bij de constructie van belang zijn en

dat deze geheel onafhankelijk is van eenige speciale onder-
stelling aangaande de ellipsoïde, waarvan een tripel toege-
voegde halve middellijnen door 0° Af, 0° Af, 0° Af wordt
voorgesteld.

§ 10. Na de algemeene methoden der constructie van de
grensellips K te hebben besproken rest ons alleen nog het
reëele bestaan der driebeenen aan te toonen, opdat het bewijs
der hoofdstelling der Axonometrie in engeren zin als volkomen
geleverd kan worden beschouwd. Een dergelijk existentie-
bewijs, dat in hoofdzaak met het van Schur afkomstige
overeenkomt, is reeds vroeger¹) vermeld; wij herhalen dit
bewijs niet, maar behandelen liever dat van Schilling ²), omdat
dit ons de gegevens verschaft tot constructie in horizontale
en vertikale projectie van de driebeenen, die aan de gestelde
eischen voldoen. Doch eerst vermelden wij de volgende hulp-
stelling :

Zijn 0 Ai, 0 Ai, O As drie lijnen in liet beeldvlak Ven
stellen Eit, Ets en Esi de ellipsen voor, die achtereenvolgens
O Ai en O At, O At en O As, O As en O Ai tot toegevoegde halve
middellijnen hebben, dan zal voor het geval, dat de ijroote assen
dezer ellipsen alle dezelfde lengte hebben, terwijl de kleine assen
van deze bovendien met de overblijvende derde lijn samenvallen,
de figuur gevormd door de lijnen O Ai, O At en O As deortho-
gonale projectie voorstellen van een tweetal driebeenen, die het
punt O tot top hebben. ³)

Bij het bewijs nemen wij aan, dat de drie lijnen O Aj
(ƒ= 1,2,3) alle verschillende richting bezitten. Zij Bt Bs de
groote as van de ellips Ets. Met het punt O als middelpunt
construeeren wij een bol, die door de punten Bt en Bs gaat.
Wij kunnen in dit geval de ellips Ets beschouwen als de

2 ) F. Schilling, Ueber den Pohlke\'schen Satz, Zeitschrift fiir Math.
und Phys., Bd. 48, 1903, pg. 487—494.

orthogonale projectie van twee op dien bol gelegen groote
cirkels, wier vlakken met elkander symmetrisch zijn ten op-
zichte van het beeldvlak en die beide door de lijn B« B,\\ gaan.
Kiezen wij een dezer cirkels E₂₃°. Aangezien de punten A₂en A₃ de uiteinden zijn van twee toegevoegde halve middel-
lijnen van de ellips E₂₃, stellen zij de loodrechte projectie
voor van de uiteinden A ₂° en A₃ⁿ van twee onderling lood-
rechte stralen van den cirkel E₂₃°. Op dezelfde wijze vinden
wij, dat het punt A_x de loodrechte projectie voorstelt van
twee punten A j° op den bol, terwijl tevens blijkt, dat voor een
der punten Ai⁰ geldt OA,o J. OA₂°± OA_a°. Verbinden wij
de gevonden punten Af met het punt 0, dan kunnen wij
de zes verbindingslijnen groepeeren tot een tweetal driebeenen
en daarmede is het gestelde bewezen.

Wanneer wij overgaan tot het algemeene existentiebewijs
der driebeenen, is het noodzakelijk de grensellips K aller-
eerst te construeeren. Bij deze constructie wordt de me-
thode van Schur gevolgd, bij welke methode wordt gebruik
gemaakt van de eigenschap, dat de grensellips K steeds ieder
der ellipsen Ejj_c {jh = 12, 23, 31) dubbel aanraakt in de uit-
einden eener middellijn, die, zoowel ten opzichte van K als
van de ellips Ejf- tot de overblijvende derde richting O A;
(«\'=1,2,3) is toegevoegd, welke eigenschap behouden blijft
ook wanneer de figuur aan een affiene transformatie wordt
onderworpen.

Schur kiest een bijzondere affiniteit, die op de volgende
wijze wordt bepaald. Vooreerst is de lijn P Q, welke met
A₂ A₃ evenwijdig is, affiniteitsas. Op het stuk P Q {P en Q
zijn de snijpunten respectievelijk van 0 A₂ en O A_;] met deze
lijn) als middellijn wordt een halve cirkel beschreven en in
het middelpunt van dezen een loodlijn op P Q opgericht, die
den cirkel in het punt O*, dat tot het punt 0 wordt toege-
voegd, snijdt. De lijn O 0* bepaalt de affiniteitsrichting. Ten-
gevolge van deze keuze der affiniteit is in de affiene figuur
O* A₂* ± O* A₃*. Het punt A_x* kunnen wij nader bepalen
door de volgende beschouwing. Zal dit punt de loodrechte
projectie voorstellen van het uiteinde Ai*° van het been eens
driebeens, waarvan de figuur O* A_t* A₂* A₃* de evenwijdige
projectie op het beeldvlak voorstelt, dan moet O At*⁰ lood-
recht op het beeldvlak staan en evenlang als O* A₂* zijn.
De verbindingslijn der punten A_x* en Ai*⁰ bepaalt de richting
der projectie. Wordt deze verbindingslijn zelf loodrecht op
het beeldvlak geprojecteerd, dan stelt deze loodrechte projectie
de groote as van de ellips K* althans in richting voor, waarbij
K* in dit geval de grensellips is van den bol /v°, welke uit
het middelpunt O* met den straal 0* Ai* is beschreven.
Omdat A O* Ai* Ai*⁰ rechthoekig is in het punt O*, terwijl
O* Ai*⁰ = r en Z O* Ai*⁰ Ai* — (p is Ai* = r sec <p, zoo-
dat O* Ai*⁰ en Ai* Ai*⁰ respectievelijk de halve kleine en
halve groote as van de ellips K* voorstellen en dus Oi* Ai* de
lineaire excentriciteit van deze ellips aangeeft, waaruit dan

De ellips K* kan dus volledig geconstrueerd worden. Wordt
de affiene transformatie in tegengestelden zin verricht, dan
gaan de assen van K* over in twee toegevoegde halve middel-
lijnen van K, waaruit op bekende wijze de assen van K
kunnen worden bepaald.

Een lijn evenwijdig met de groote as van de ellips K zij
de as van projectie; de ellips K grensellips van een bol K°
bij evenwijdige projectie op het horizontale vlak. De grens-
cirkels van dezen bol, waarvan de straal een lengte heeft
gelijk aan de kleine as van K, zijn in horizontale en vertikale
projectie door K¹ en /v¹¹ voorgesteld. Uit een der uiteinden
Co (Co¹, Co¹¹) van de groote as worden raaklijnen Co C en
Co C aan den grenscirkel Kⁿ getrokken. Deze met het ver-
tikale vlak evenwijdig loopende lijnen geven de richting aan,
waarin de bol K" op het horizontale vlak geprojecteerd moet
worden, wil de ellips K de grensellips voorstellen. Wij kiezen
de richting C₀ C. De omhullende cylinder van den bol, welke
de ellips K tot richtlijn heeft en waarvan de richting der be-
schrijvende lijnen met C₀ C evenwijdig is, raakt den bol vol-
gens een grooten cirkel, gelegen in het vlak e₂ Oe 1, dat door
het punt O loodrecht op de lijn C₀ C is aangebracht. Slaan
wij dit vlak om den doorgang c₂ Oⁿ in het vertikale vlak
neer, dan stelt de cirkel A\'^1U, van welke het middelpunt Oⁿⁱop een afstand Oⁿ ö¹¹¹ = O¹ Oⁿ van de as e₂ 0¹¹ is verwijderd,
deze neergeslagen doorsnede voor.

De in het horizontale vlak gelegen ellipsen E_Vi, E*₃ en En
worden op het vlak e-i O e\\ in de richting C₀ C evenwijdig
volgens de ellipsen En^ll\\ E₂fⁿ en Eaiⁿⁱ geprojecteerd;
hierbij merken wij op, dat de afstand van een punt Afⁿ(;= 1,2,3) tot de as e₂ O¹¹ even groot is, als die van het
punt Af {j— 1, 2, 3) tot de as van projectie. De projectie-
figuur in het vlak ei O e₂, welke in het vertikale vlak is
neergeslagen, voldoet aan de in de hulpstelling vermeldde
eischen. Hieruit volgt, dat Oⁿⁱ Afⁿ en O¹¹¹

de loodrechte projecties voorstellen van twee driebeenen met
den top in O op het vlak door de doorgangen ei Oⁿ en e₂ Oⁿ

aangewezen, welke driebeenen ten opzichte van dit vlak sym-
metrische ligging hebben. Het punt A₃ stelt de evenwijdige
projectie op het horizontale vlak voor van twee op den bol
gelegen punten A₃°. Deze punten zelf liggen in het vlak,
dat door het punt A₃ evenwijdig met het vertikale vlak
kan worden gebracht, dus op den kleinen cirkel, volgens
welke dit vlak den bol snijdt en waarvan de middellijn een
door V W voorgestelde lengte bezit. Om de vertikale pro-
jecties der beide punten A₃° te vinden laten wij uit het punt
A3^1U een loodlijn neer op de as Oⁿ e₂; de gezochte vertikale
projecties zijn de snijpunten van den bovengenoemden cirkel
met de bovengenoemde loodlijn. De horizontale projecties
der punten A₃°, die op de lijn V W gelegen zijn, kunnen nu
eveneens worden aangegeven. Op dezelfde wijze worden de
horizontale en vertikale projecties der punten Af en Af
bepaald en zijn tevens de driebeenen, die aan de gestelde
eischen voldoen, zelve gevonden. Was de projectie in de
richting C₀ C geschied, dan waren eveneens twee andere
driebeenen, welke aan de gestelde eischen voldeden, gevonden.

Wij zullen met een enkel woord wijzen op het artikel van
Mandl, *) waarin de hoofdstelling der Axonometrie in meer
uitgebreiden vorm wordt besproken. Daar dit bewijs en de
daarmede gepaard gaande constructie zeer gecompliceerd zijn,
volstaan wij met een schets van den gedachtengang. Het
viervlak P Q11 S, waarmede het volgens den vierhoek O Ai
Ai As op V geprojecteerde viervlak 0° Af Af Af gelijkvormig
moet zijn, wordt bij bijzonderen stand in horizontale en vertikale
projectie afgebeeld en vervolgens in een rechtzijdig viervlak
veranderd. De hiermede verband houdende veranderingen
van de projectiefiguur in een vierhoek 0 Bi B₂ B₃ worden
nu aangebracht. Van de projectiefiguur O B_x B₂ B₃ kan steeds
aangetoond worden, dat deze de evenwijdige projectie van
een rechtzijdig viervlak is; omgekeerd zal dan ook volgen,
dat de projectiefiguur O Ai A_s A₃ bij projectie in dezelfde

\') J. Mandl. Der Pohlke\'sehe Lehrsatz der Axonometrie und eine
Verallgemeinerung desselben t. a. p.

richting de projectie van een viervlak O⁰ At⁰ A₂° A_a°, dat aan
de gestelde eischen voldoet, moet voorstellen.

§ 11. In dit hoofdstuk zullen wij tenslotte nog het artikel
van Ruth *) behandelen, omdat naar aanleiding van het hierin
geleverd bewijs, dat wel een zeer bijzonder karakter draagt,
indirect een constructie der grensellips K kan worden afgeleid.

„ Zij in het beeldvlak een ellips E en een punt O gegeven,
dan kunnen deze beschouwd worden als de scheef-evenwijdige
projectie van de basis en den top van een ivillekeurigen cirkel-
kegel,, maar ook meer in het bijzonder als de scheef-evenwijdige
projectie van een gelijkzijdigen rechten cirkelkegel, waarbij onder
dezen laatst en een rechte cirkelkegel verstaan wordt, welke door
ieder vlak loodrecht op een der beschrijvende lijnen volgens een
gelijkzijdige hyperbool wordt gesneden, zoodat op deze kegel on-
eindig veel tripels onderling loodrechte lijnen zijn gelegen."

Bewijs. Uit een willekeurig punt P in het beeldvlak/ivorden
aan de ellips E de raaklijnen ti en t₂ getrokken, welke deze
ellips in de punten Ti en T₂ raken. Er is een ellips k in
het beeldvlak, die aan de volgende voorwaarden voldoet.
Het punt O is het middelpunt der ellips lc, terwijl deze ellips
de gegeven ellips E uitwendig raakt in de punten Ti en T₂.
Wij beschouwen de ellips k als grensellips van een bol k°
bij evenwijdige projectie op het beeldvlak. Bij deze opvatting
mag de ellips E als de evenwijdige projectie van twee op
dezen bol gelegen kleine cirkels worden beschouwd.

Kiezen wij n.1. de ellipsen E en k tot basis van cylinders
Ci en C, wier assen de richting der projectie bezitten, dan
hebben deze beide cylinders twee gemeenschappelijke raak-
vlakken, welke den bol k° eveneens raken, waaruit volgt, dat
de cylinder Ci den bol in twee vlakke doorsneden snijdt.
Het punt O en de ellips E kunnen in dit geval als de
evenwijdige projecties van het middelpunt van een bol en

\') F. Ruth. «Uber cincn ncucn Beweis des Polilkeschcn Fundamcntal-
sat/.es der klinogonalen Axonomctrie», öitz. Ber.Wicn, Abth. II», Bd. 100,
1891, pg. 1088—1092.

een op dien bol gelegen kleinen cirkel worden opgevat,
d. w. z. als evenwijdige projecties van den top en de basis
van een rechten cirkelkegel, zooals allereerst bewezen moest
worden. Tot het tweede gedeelte van het bewijs overgaande
zullen wij nagaan, hoe hel punt P ten opzichte van het
punt O en de ellips Lmoet zijn gelegen, opdat, wanneer boven-
genoemde ellips k wordt beschouwd als de grensellips van
een bol, het punt O en de ellips E samen de evenwijdige
projectie van den top en de basis van een gelijkzijdig en cirkel-
kegel voorstellen, welke door het middelpunt en een kleinen
cirkel van dien bol worden gevormd.

Wij beschouwen den in het teekenvlak gelegen cirkel C
als basis van een gelijkzijdigen cirkelkegel; A A_x A-> A_a is een
in dezen cirkel ingeschreven gelijkzijdige driehoek. Wordt
de top <9° van den gelijkzijdigen cirkelkegel met de hoek-
punten van den driehoek verbonden, dan vormen deze ver-
bindingslijnen samen een driebeen. Hieruit volgt, dat de
lijn O⁰ Ai loodrecht zal staan op het vlak A₂ 0° A_a en dus
ook op de lijn 0° B, die het punt O⁰ verbindt met het
voetpunt B der loodlijn uit het punt A_x op de zijde A₂ A_a.
Om de zijde Ai B slaan wij A Ai 0⁰ B in het teekenvlak neer.
Het neergeslagen punt [O] is dan het snijpunt van een halven

cirkel op de lijn A_x B als middellijn beschreven met de lood-
lijn Z[0] in het zwaartepunt van A Ai A₂ A₃ op de lijn Ai B
opgericht. Uit het punt O⁰ wordt de bol beschreven, welke
door de punten A_x, A₂ en A₃ gaat. De cirkel C is een op
dien bol gelegen kleine cirkel. De rechte cirkelkegel, welke
dezen bol volgens den cirkel C aanraakt, heeft tot top een
punt P gelegen op het verlengde van de lijn O⁰ Z. Wij snijden
dien kegel door het vlak, dat door Ai B loodrecht op het
teekenvlak is gebracht, de doorsnede is dan een meridiaan-
doorsnede. Slaan wij het aangebrachte vlak om de lijn Ai B
neer in het teekenvlak, dan stelt het punt [/\'] den neerge-
slagen top voor. Dit punt vinden wij op de volgende wijze.
Uit het punt \\ Ö] als middelpunt wordt met een straal ter
lengte [O] Ai een cirkel beschreven en aan dezen cirkel in
het punt Ai een raaklijn getrokken. De lijn [O] Zsnijdt deze
raaklijn in het punt [/*].

A AiZ[P] oo A ZB [O],
terwijl ZZB = AiZ, waaruit volgt, dat ZZ[0] = [P]Z,
dus in de ruimtefiguur 2 Z 0° = p Z. Wordt de ruimte-
figuur in evenwijdige richting op een plat vlak geprojecteerd,
dan bestaat tusschen de projecties der stukken P Z en Z O⁰dezelfde betrekking. Kiezen wij dus op de lijn, die het gegeven
punt O met het middelpunt Z van de gegeven ellips E
verbindt, een aan de andere zijde van Z gelegen punt P
zoodanig, dat 2 ZO = PZ, en trekken wij uit dit punt de
raaklijnen aan de ellips E, welke deze ellips in de punten
Pi en P₂ raken, dan kunnen wij een ellips K bepalen met
het middelpunt ö, welke de ellips E in de gevonden punten
Pi en P₂ raakt, en die aan den gestelden eisch voldoet.
Immers blijkens het bovenstaande zijn, wanneer deze ellips
als grensellips van een bol A\'° wordt beschouwd, het punt O
en de ellips E als de projecties van den top en de basis van
een gelijkzijdigen cirkelkegel te beschouwen.

Het bewijs van de hoofdstelling der Axonometrie kan na
het voorafgaande op eenvoudige wijze worden geleverd. Laten
O Ai, O Ao en O A_s de gegeven projecties in het beeldvlak

voorstellen. Wij construeeren de ellips van Steiner voor
A Ai Ao A₃, d. w. z. de ellips E met het zwaartepunt Z van
dien driehoek tot middelpunt, die door ieder der punten A_ltA₂ en Az gaat en in deze punten raaklijnen bezit, welke
achtereenvolgens met A₂ A₃, A₃ Ai en A_x A₂ evenwijdig zijn.

Blijkens de boven bewezen hulpstelling mogen de ellips E
en het punt O steeds als de evenwijdige projectie van de
basis E° en den top 0° van een gelijkzijdigen cirkelkegel
worden beschouwd, terwijl wegens de bijzondere keuze van
de ellips ten opzichte van A Ai A₂ A₃ deze driehoek in dit
geval de evenwijdige projectie v«^rm een in de cirkelvormige
basis beschreven gelijkzijdigen driehoek zal voorstellen. De
verbindingslijnen van den top 0° met de hoekpunten van. den
gelijkzijdigen driehoek zijn onderling loodrecht en evenlang.
Zij vormen dus samen een driebeen en hiermede is het ge-
stelde bewezen.

De in verband met dit bewijs staande constructie van de
ellips K kan na het bovenstaande gevoegelijk aan den lezer
worden overgelaten.

§ 1. Wij zullen in dit hoofdstuk nagaan hoe van enkele
stellingen der nieuweneMeetkunde zeer eenvoudige bewijzen
geleverd kunnen worden door uit te gaan van de hoofdstelling
der Axonometrie in engeren zin.

Daartoe zullen wij, om genoemde stelling voor ons doel
beter bruikbaar te maken, de stelling in eenigzins gewijzig-
den vorm nader formuleeren: Worden de hoekpunten van
een driehoek A\\ Ag A₃ met een willekeurig punt O in het vlak
van dien driehoek verbonden, dan kunnen deze verbindingslijnen
steeds beschouwd worden als de evemvijdige projecties der beenen
van een driebeen.

Zij A Ai A₂ A₃ de gegeven driehoek; den stand van het even-
eens gegeven punt O zullen wij nader bepalen.

Door het punt Ai wordt de lijn A\\ A._x evenwijdig met O A₂en de lijn A_x /I5 evenwijdig met OA₃ getrokken, eveneens
door het punt A₂ de lijn A₂ A₄ evenwijdig met O Ai en de
lijn A₂ Ag evenwijdig met O A₃, terwijl ten slotte door het
punt A₃ de lijnen A₃A₅ evenwijdig met O A_x en A_a A₆ even-
wijdig met OA₂ getrokken zijn.

Uit de punten A₄, A₆ en A₆, welke wij op deze wijze vinden,
worden achtereenvolgens lijnen met O A_a, O A₂ en O Ai even-
wijdig getrokken, die elkander in een gemeenschappelijk punt
P snijden.

Nemen wij het boven vermelde in aanmerking, dan volgt,
dat de vlakke figuur, waarvan de punten O, P, Aj (ƒ= 1, 2... 6)
hoekpunten zijn, beschouwd kan worden als de evenwijdige
projectie van een kubus.

De lijnen O P, A\\ A₆ en A₂ J₅ snijden elkander in één punt
M, dat gelegen is op liet midden van ieder dier lijnen; dit
punt kan beschouwd worden als de evenwijdige projectie van
het snijpunt M° der hoofddiagonalen van den kubus. De hoofd-
diagonaal O⁰ P° van den kubus snijdt de vlakken der driehoeken
Ai⁰ A₂° As⁰ en A₄° A₅° A₆° respectievelijk in de punten S° en T°,
de zwaartepunten dezer driehoeken. Deze punten worden dus
door de zwaartepunten S en T der driehoeken /li A₂ A₃ en
Ai A₅ A_g afgebeeld. Naar bekend is, zijn de vier punten
O⁰, il/°, S° en P° en eveneens de vier punten O⁰, T°, M° en P° har-
monisch gelegen op de diagonaal O⁰ P° van den kubus. Worden
deze punten evenwijdig op het teekenvlak geprojecteerd, dan
zijn de punten {O, M, S en P), (O, T, M en P) eveneens
harmonisch op OP gelegen. Ten slotte kunnen wij nog in
ieder zijvlak van den kubus de diagonalen teekenen; hun middens
zullen door de punten Mi°, M₂°.... Ma⁰ worden voorgesteld.
De projecties dezer punten worden op bekende wijze door
Mi, M₂.....M₆ aangegeven.

In de eerste plaats kiezen wij
voor het punt O het middelpunt
van den omgeschreven cirkel van
A Ai A₂ A₃. Uit deze keuze volgt:
Ai 0Ai — 0A₂ — 0A₃.

Alle beelden der ribben van
den kubus zijn dus evenlang;
de zijvlakken van den kubus
Fig. 20. worden door ruiten afgebeeld.

Worden de middens der projecties van twee tegenover
elkander gelegen zijvlakken met elkander verbonden, dan gaan
deze verbindingslijnen Mi Mi, M₂ Mo, M₃ Ma alle drie door het
punt M, dat in het midden van ieder dier lijnen gelegen is.
Bovendien vinden wij in dit geval:

Mi Mi = M₂ M₅ = M₃ M_ö = OA_uDe punten Mj {j = 1,2.... 6) zijn dus alle gelegen op den
omtrek van een cirkel, welke uit het punt M met een straal
ter lengte M Mi is beschreven. Van deze punten zijn Mi,
M₂ en M₃ middens der zijden van AA_lA₂A_B; de betee-

Omdat de vierhoek O A₂ A₆ A₃ een ruit is, staat O A₆ J_ A₂ A₃en daar A\\ P met O A₆ evenwijdig is vinden wij:

waaruit volgt, dat het punt P hoogtepunt van A A_x A₂ A₃ is.
Het punt Mi is het midden van A_x P dus van het bovenste
stuk der uit het punt A_u op de zijde A₂ A₃ neergelaten hoogte-
lijn. Is Bi het voetpunt dezer loodlijn, dan is de hoek Mi Bi Mi
recht en het punt Bi dus gelegen op den cirkel, die de lijn
Mi Mi tot middellijn heeft.

Hiermede vinden wij, dat in een driehoek A\\ A₂ A₃ de
middens der zijden (Mi, M₂, M₃), de middens van de bovenste
stukken der hoogtelijnen (Mi, il/ö, -Me) en de voetpunten der
hoogtelijnen (Bi, B>, Ba) op een cirkel zijn gelegen d. w. z. wij
hebben hiermede de bekende stelling van Feuerbach bewezen.

Een tweede bekende stelling volgt evenzeer terstond. Op
de lijn O P zijn gelegen het punt O d. w. z. het middelpunt
van den omgeschreven cirkel van A A_x A% A₃, het punt P
d. w. z. het hoogtepunt van genoemden driehoek en het punt
S, dat naar wij boven vonden het zwaartepunt van A A\\ .1₂ A₃is. Hiermede is de bekende stelling van Kuier uitgesproken;

In het kort behandelen wij nog een
tweede bijzonder geval, waarbij wij
voor het punt O kiezen het middel-
punt van den ingeschreven cirkel van
A Ai A₂ A₃.

Volgens een bekende stelling der
planimetrie gaat de rechte door het
punt Ai evenwijdig met de lijn, welke
het punt 0 met het midden Mi van
de zijde A₂ A₃ verbindt, door het
Fig. 21. middelpunt van den aangeschreven

cirkel aan de zijde A₂ A₃. Dit is blijkbaar de lijn A_x P uit
de figuur. Op dezelfde wijze vinden wij, dat de lijnen A» P
en A_a P gaan door de raakpunten van de aangeschreven
cirkels aan de zijden Ai A₃ en Ai A₂ en wij kunnen het aldus
gevonden resultaat als volgt formuleeren: De drie lijnen,
welke de hoekpunten van A Ai A₂ A₃ verhinden met de raak-
punten der aangeschreven cirkels aan de tegenover gelegen zijden,
gaan door een punt. Dit punt draagt, naar bekend is, den
naam van het punt van Nagel. De lijn O P gaat weer door
het zwaartepunt S van A A_x A₂ A₃. Het punt M de projectie
van het middelpunt .1/° van den kubus ligt op het midden
van OP. De dubbelverhouding (O AI S F) is weder gelijk aan
— 1. Vervangen wij AA_XA₂A₃ door A Ai A_b A₆, dan heeft
men, als T het zwaartepunt van laatstgenoemden driehoek is,
weder (0 Af T P) = — 1 een bekend resultaat van de meet-
kunde van den driehoek.

Ten slotte hadden wij voor het punt 0 ook kunnen kiezen het
middelpunt van een der aangeschreven cirkels van A A_x A₂ A₃.
Wij hadden dan analoge resultaten als in het tweede geval
gevonden, met welke vermelding wij zullen volstaan.

Chronologisch overzicht der publicaties over de hoofd-
stelling dor Axonometrie.

1861. J. W. von Deschwanden, Anwendung schiefer Parallel-
projektionen zu axonometrischen Zeichnungen I.
Vierteljahrschrift der Naturf. Gesellschaft, Zürich.
Bd 6, pg. 254—284.

projektionen zu axonometrischen Zeichnungen II,
Vierteljahrschrift der Naturf. Gesellschaft, Zürich,
Bd. 7, pg. 159-176.

Fundamentalsalzes der Axonometrie.
Journal von Grelle, Bd. 63, pg. 309-314.
1S64. J. W. von Desciiwanden, Eine graphische Auflösung der
drei axonometrischen Hauptaufgaben.
Vierteljahrschrift der Naturf. Gesellschalt, Zürich.
Bd. 9, pg. 223-226.

Axonometrie.
Vierteljahrschrift der Naturf. Gesellschaft, Zürich,
Bd. 11, pg. 350—358.

und Physik, Bd. 12, pg. 433—437.
1877. C. Pelz, Ueber einen neuen Beweis des Fundamental-
satzes von Pohlke. Sitz. Ber. Wien., Abth. II^ft,
Bd. 76, pg. 123—138.

1878. G. Ad. von Pesghka, Elementarer Beweis des Pohlke\'schen
Fundamentalsatzes der Axonometrie. Sitz. Ber.
Wien, Abth. II», Bd. 78, pg. 1043—1055.
1883. H. Drasch, Neuer Beweis des Pohlke\'schen Fundamen-
talsatzes sammt Construction.
Zeitschrift für das Bealschulwesen, VIII, pg. 516-519.

und eine Verallgemeinerung desselben.
Sitz. Ber. Wien, Abth. II^a, Bd. 94, pg. 60-65.

Mathematische Annalen, Bd. 33, pg. 474—475.
G. Pelz, Herr Küpper und der Pohlke\'sche Beweis des
Satzes von Pohlke, Selbstverlag, Styria, Graz.

Fundamentalsatzes der klinogonalen Axonometrie.
Sitz. Ber. Wien, Abth. II», Bd. 100, pg, 1088-1092.
1896. F. Schur, Ueber den Pohlke\'schen Satz.

♦ und über eine fundamentale Aufgabe in der
Theorie der axonometrischen Abbildung.

Sitz. ßer. Wien, Abth. ll^a, Bd. 116, pg. 931—936.
1910. E. Waelsch, Zur Axonometrie.

Sitz. Ber. der Berliner Math. Gescllsch. Jahrg. 10,
pg. 108—109, opgenomen in Archiv der Ma-
thematik und Physik, Bd. 16.
1911. E. Waelscii, Parallelperspektive, komplexe Zahlen und
Trägheit ebener Massen.
Jahresberichte der Deutschen Mathematiker Vereini-
gung, Bd. 20, pg. 21-26.

W. Fiedler, Darstellende Geometrie, Bd. I, pg. 334, Aufl. 3,1883.
Chr. Wiener, Darstellende Geometrie, Bd. 1, pg. 448, 1884.
K. Röhn und E. Papperitz, Darstellende Geometrie, Aufl. 3,

Teil II, 1909, Geometrie pg. 161—174.
E. Wendling, Der Fundamentalsatz der Axonometrie, Speidel,
Zürich, 1912.

pg. 2, noot 1, 2^de regel, rechter in plaats van rechten,
pg. 4, 6^de regel van onderen, ai xi, ai yi en ai zi in plaats

van ai x, ai y ai z.
pg. 4, 2^de regel van onderen, ai xi in plaats van ai x.
pg. 25, 2<fc regel van onderen, zij B_2n het neergeslagen
punt B₂°.

15^de regel van boven, Q cos² cp in plaats van Q² cos² cp.
pg. 41, formule (18) onder aan de bladzijde te lezen als volgt:
— cos² Mi (di² - r² sin² M_x) — cos² M₂ (a₈² — r² sin² M₂)
cos² M₃ (a₃² — r² sin² M_s) = ± 2 cos M_x

cos Mi V fa? — r² sin² M_t) a₂⁸ —7² sin² M₂) ( 18)
pg. 47, ll^dc regel van boven, genoemden in plaats van ge-
noemde.

s² = ar sin² z a₂² sin² (z «») «s² sin² (z — <x£)
pg. 103, 7^de regel van boven, s² in plaats van o².
pg. 104, in formule 62, C² = S in plaats van C² = S*.

Het is gewensclit den naam „stelling van Pohlke" te ver-
vangen door dien van hoofdstelling der Axonometrie.

De methode, die Wendling \') aangeeft ter vereenvoudiging
van uit de verschillende bewijzen van de hoofdstelling der
Axonometrie voortvloeiende constructies, berust op beginselen,
die reeds door von Peschka en Mandl zijn aangegeven.

De hoofdstelling der Axonometrie is te beschouwen als een
bijzonder geval eener algemeene evenwijdige projectie van
een ?*-been in Iï_n op een projectieruimte B_m, waarbij n en m
aan bepaalde voorwaarden zijn gebonden.

Het verdient aanbeveling naast de formuleering van de
hoofdstelling der orthogonale Axonometrie, zooals Weishacii
deze geeft, de formuleering van Gauss meer naar voren te
brengen.

De verschillende definities, welke gegeven worden voor den
kromtecirkel, welke in een punt eener vlakke kromme kan
worden aangebracht, mogen niet als gelijkwaardig worden
beschouwd.

De wijze, waarop Loria ^x) de grensgevallen behandelt, die
zich bij het samenvallen der richtlijnen van een scheef regel-
vlak voordoen, is minder juist te achten.

Kiepert, Grundriss der Differential und Integralrechnung I,
pg. 250, (10° druk).

De stelling 22 in Serret-Sciieffers, Lehrbuch der Differen-
tial- und Integral-rechnung II (4 und 5 Aufl.) pg. 183 is
onjuist.

De formuleering in Lobatto-Raiiusen „Lessen over de
Hoogere Algebra" 6^de druk, pg. 1G0, gegeven van het theo-
rema van Budan is onvoldoende; hierbij moet worden opge-
merkt, dat q geen wortel van de hoogere machtsvergelijking
mag zijn.

De uitslag (van het Rayleighspiegeltje), welke een maat is
voor de amplitude van de resonlntietrilling, moet dus even-
redig zijn met de sterkte van het door de geluidsbron voort-
gebrachte geluid.

Ter verklaring van het optreden van dubbelbanden bij
reststralen van twee-atomige vaste lichamen is de aannam.
van een rotatie der moleculen te verkiezen boven die van
F. Koref *) een eigen trilling van elk der beide atomen.

In de elementaire vlakke meetkunde wordt de theorie der
gelijkvormig gelegen figuren ten onrechte verwaarloosd.

Het aannemen van het horizontale vlak als vlak van teeke-
ning, zooals dit in sommige leerboeken der Beschrijvende
Meetkunde bij de methode van Monge geschiedt, verdient geen
aanbeveling.

Het is gewenscht, dat een algemeen encyclopaedisch college
in de Wiskunde gegeven worde.

	0°Ai°	O°A₂°	0⁰ A 8°
0° N	Li	L₂	Ls
0°P	Mi	M₂	Ms

	X\\ yi 2i	2	«3²	ai a₃ cos x₂	a₂ <73 cos xi
3G V²=	x₂ y₂ z₂	=	ai a₃ cos x₂	«i²	ai a₂ cos xa
	y a Z3		«2 tfs COS Xl	fli «2 cos Xa	a₂²

L 31, welke t. o. v. beide ellipsen tot 0 A₃ is toegevoegd (fig. 10). 1 j ^^
l \\	L jx^** \\
	\\ "x ~7
\\ * /	\\ \\ /
	\\ : / . \\ » / ^^^
	\\ : / ^— \\