Rationale Ruimtekrommen
= van den vierden graad. =

D. J. E. SCHREIC.

Rationale Ruimtekrommen van
vierden graad.

K

t M

m

*

\\ t

Î

Eatioiale RMtelroiM van non vierflen mi

PROEFSCHRIFT

ter verkrijging van den graad van

Doctor in de Wis- en Natuurkunde

aan de Rijks-Universiteit te Utrecht

NA MACHTIGING VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS

Dr. ERNST COHEN

Hooglekraar in de Faculteit hf.r Wis- en Natuurkunde
volgens besluit van den senaat der universiteit

tegen dh bedenkingen van de

Faculteit der Wis- en Natuurkunde

te verdedigen

op Donderdag 23 September 1915 des namiddags te 4 uur

DOOR

DANIËL JOHAN ENGBERTUS SCHREK

i

AAN MIJN MOEDER en
AAN DE NAGEDACHTENIS VAN MIJN VADER.

. . . ..

Bij liet voltooien van dit proefschrift is liet mij een
aangename plicht U, Hoogleeraren van de Faculteit dei-
Wis- en Natuurkunde, mijn dank te betuigen voor het
onderwijs dat ik van U heb ontvangen. Hierbij wil ik
niet nalaten den naam te noemen van wijlen Prof. Wind,
den eenigen van mijn leermeesters, die het tot stand
komen van dit geschrift niet heeft mogen beleven.

U, Hooggeleerde de Vries, Hooggeachte Promotor,
geldt in de eerste plaats mijn dank. Dat ik in den
loop mijner studie een bepaalde voorliefde voor de
meetkundige vakken heb gekregen is zeker voor een
niet gering deel toe te schrijven aan de boeiende wijze,
waarop ik allerlei onderwerpen uit de meetkunde op
Uwe colleges hoorde behandelen. In het bijzonder zal
ik U steeds erkentelijk blijven voor de welwillendheid
en de belangstelling, die ik van U tijdens het samen-
stellen van dit geschrift mocht ondervinden.

„

INHOUD.

Blad*.

Geschiedenis en Literatuuroverzicht......1

HOOFDSTUK I. Do algemeene kromme van den
vierden graad en de tweede soort.....9

1. De voorwaarde voor complanaire ligging
van vier punten van de kromme en de
eigenschappen, welke daaruit onmiddellijk
volgen............9

2. De dubbele osculatiekoorden of hoofd-
koorden ............10

3. Eenvoudige parametervoorstelling van do
kromme CK Toepassingen.....20

4. Het raaklijnenoppervlak en eenige andere
merkwaardige oppervlakken.....2C>

HOOFDSTUK II. Bijzondere krommen van den
vierden graad en de tweede soort.....33

1. De kromme C^x met oneindig vele drie-
tallen in één punt samenkomende raak-
lijnen ............33

2. De kromme C\' met twee stationnaire
raaklijnen...........39

3. De kromme C^l mot een dubbelpunt . . 45

4. De kromme C\' met een keerpunt ... 52
HOOFDSTUK III. De afbeelding van de algemeene

kromme van den vierden graad en de tweede
soort...............59

1. Do involntie der steunpunten van trise-
canten. Complanaire groepen op C⁴. . 59

2. Raakvlakken. Dubbelraakvlakken. Oscu-
latievlakken. Stationnaire raakvlakken . 62

3. De hoofdkoorden.........68

HOOFDSTUK IV. De afbeelding van de bijzondere

krommen van den vierden graad en de tweede
soort...............73

1. De afbeelding van de kromme C^l met
oneindig vele drietallen in één punt samen-
komende raaklijnen........73

2. De afbeelding van de kromme C^l met
twee stationnaire raaklijnen.....76

3. De afbeelding van de kromme C^l met
een dubbelpunt.........80

4. De afbeelding van de kromme C\' met
een keerpunt..........86

Geschiedenis en Literatuukoverziciit.

Tot op het midden der 19° eeuw was het bestaan
van twee geheel verschillende soorten ruimtekrommen
van den vierden graad onbekend. Men kende sinds lang
de snijkromme van twee quadratische oppervlakken, door
welke dan steeds oneindig vele van dergelijke opper-
vlakken gaan, die samen een bundel vormen; dergelijke
krommen had Monge reeds omstreeks 1800 in bijzondere
gevallen bestudeerd. Eerst in het jaar 1850 werd door
Sai.mon *) gevonden dat er nog een tweede ruimtekromme
van den vierden graad beslaat, welke in verschillende
opzichten van de van ouds bekende kromme verschilt.
Eenige jaren later, in 185G, deed SteiNEr ²), onafhan-
kelijk van zijn voorganger, dezelfde ontdekking. Beiden
merken op dat ze hier blijkbaar een geheel onbekende
kromme ontmoeten; noch Salmon, noch Steiner schijnt
haar echter aan een nader onderzoek te hebben onder-
worpen.

Het eerst werd de nieuw ontdekte kromme uitvoerig
bestudeerd door Cremona. Deze bood in de zitting van
7 Maart 18G1 aan de Academie van Bologna een ver-
handeling aan, getiteld „Intorno alla curva gobba dol
quart\' ordine per la quale passa una sola superfïcie di
secondo grado", waaruit hij de gevonden resultaten

\') On the classification of curves of double curvature. The
Cambridge and Dublin Mathematical Journal. Vol. 5. 18\'jO. (p. 40).

") Uber die Flächen dritten Grades. Journal für Math. (Credo)
53. 18f)7 (p. 138). Ook afgedrukt in: Jacob Steiner\'« Gesammelte
Werke. Zweiter Band. Berlin 18812. (p. 050).

voorlas ^J). De verhandeling in haar geheel werd niet
in de „Memorie" van genoemde academie opgenomen;
ze verscheen echter in hetzelfde jaar in de Annali di
Matematica ²).

In de bovengenoemde verhandeling gaat Cremona uit
van de bekende snijkromme van twee quadratische opper-
vlakken, die hij de vierdegraadskromme „van de eerste
soort" noemt. Deze kan klaarblijkelijk geen trisecanten
bezitten. Immers de kromme is basiskromme van een
bundel quadratische oppervlakken; een trisecante zou
met al deze oppervlakken drie punten gemeen hebben,
dus erop moeten liggen, ze zou dus ook als deel van
de basisfiguur optreden, hetgeen ongerijmd is.

Vervolgens bespreekt Cremona de kromme van den
vierden graad, die men als volgt verkrijgt. Men brengt
een hyperboloïde II lot doorsnijding met een cubisch
oppervlak dat met de hyperboloïde twee rechten h en
h van hetzelfde stelsel gemeen heeft, of wel ééne lijn,
die dan echter dubbelrechte moet zijn van het cubisch
oppervlak. De restdoorsnede is dan een kromme C^l
van den vierden graad. Elke beschrijvende lijn van II
zal het cubisch oppervlak in drie punten moeten snijden;
behoort nu die lijn lot hetzelfde stelsel als h en h dan
zal ze, daar lijnen van eenzelfde stelsel elkaar kruisen,
in drie punten op de kromme C^l rusten, dus trisecante
zijn. Behoort ze echter tot het tweede stelsel op II,
dan snijdt ze h en l-> elk in één punt en dus de kromme
in nog slechts één punt; ze is dan een unisecante. C⁴
heeft dus oneindig vele trisecanten, ze wordt door
Cremona de vierdegraadskromme „van de tweede soort"
genoemd.

Het bezit van trisecanten brengt nu onmiddellijk met
zich dat door de kromme van de tweede soort geen

\') Dit uittreksel is opgenomen in: Itendic. dell\' Accad. di
Bologna 18G0—\'61.
^!) Ann. di Mat. 4. 1801.

ander quadratisch oppervlak dan H kan gaan. Immers,
stel dit was wel liet geval, dan zou een trisecante met
elk der quadratische oppervlakken drie punten gemeen
hebben, dus erop liggen, hetgeen onmogelijk is, daar
twee quadratische oppervlakken slechts een figuur van
den vierden graad gemeen kunnen hebben.

Het belangrijkste verschil tusschen de kromme van
de eerste en de tweede soort is echter dat de laatste
rationaal is, d.w.z. dat haar punten één aan één kunnen
worden toegevoegd aan de punten eener rechte lijn.
Dit blijkt onmiddellijk als men een der trisecanten als
as kiest van een vlakkenbundel. Elk vlak snijdt de
kromme dan nog in één punt; elk punt bepaalt omge-
keerd één vlak, en daar men de vlakken weer projectief
kan laten overeenkomen met de punten eener rechte
kan men dus de kromme punt voor punt op een rechte
lijn afbeelden. Dit verschaft het groote voordeel dat
alle methoden van de verwantschapstheorie op onze
kromme van toepassing zijn.

Samenvattend vinden we dus dat de kromme van de
tweede soort zich van die der eerste soort onderscheidt
door de volgende eigenschappen:

1°. Door haar gaat slechts één quadratisch oppervlak,
de hyperboloïde II.

2°. Ze bezit oneindig vele trisecanten, welke samen
de eene regelschaar der hyperboloïde uitmaken.

3°. Ze is rationaal.

Het is echter goed reeds hier op te merken dat de
begrippen „rationaal" en „tweede soort" niet steeds
synoniem zijn. Zoo ontslaat bij de doorsnijding van
twee elkaar rakende quadratische oppervlakken een
ruimtekromme van den vierden graad met dubbelpunt,
en daar deze als basiskromme van een bundel quadra-
tische oppervlakken kan optreden is ze van de eerste
soort. Toch is ze rationaal daar elke lijn, die het
dubbelpunt met eenig ander punt van de kromme ver-
bindt, als oneigenlijke trisecante is op te vatten, dus

als as van een vlakkenbundel kan worden gekozen.

Gremona zelf heeft, behoudens een korte beschouwing
over eene bijzondere ruimtekromme van den vierden
graad (n.1. over die met twee stationnaire raaklijnen)
niets meer over hetzelfde onderwerp gepubliceerd. Zijn
werk werd aangevuld door Bertini, die o.a. vond dat
elke ruimtekromme van den vierden graad en de tweede
soort drie zoogenaamde hoofdkoorden of dubbele osculatie-
koorden bezit, welke bovendien door één punt gaan;
hierbij is een hoofdkoorde een lijn, die twee zoodanige
punten op de kromme verbindt, dat elk gelegen is in
het osculatievlak van het andere.

Van niet minder belang was liet werk van den Oos-
tenrijkschen wiskundige Emil Weyr, die in de jaren
1871 — 78 een aantal verhandelingen het licht deed zien
over de algemeene en bijzondere rationale krommen C^l
en hare afbeelding op een kegelsnede. Hij toonde aan
hoe men uit de afbeelding tal van eigenschappen van
de kromme kan opsporen en hoe men, zonder een enkele
formule te gebruiken, alle resultaten van Bertini kan
terugvinden.

Nadat dus in hoofdzaak door Cremona, Bertini en
Emil Weyr de theorie der ruimtekrommen van den
vierden graad en de tweede soort was opgebouwd,
hebben vele anderen hieraan meer of minder belangrijke
onderzoekingen toegevoegd en is een vrij uitgebreide
literatuur ontstaan. Bij geen der latere schrijvers is deze
literatuur ook slechts eenigszins volledig opgegeven.
Wel komt een zeer goede literatuuropgave voor bij Gino
Loria \')• Aan Loria is ook de onderstaande lijst ge-
deeltelijk ontleend; alleen bevat ze nog een tweetal
verhandelingen meer van Weyr en zijn enkele foutieve
opgaven verbeterd.

Ten slotte moge hier nog met een enkel woord een

\') II passnto cd il presente delle principnli teoric gcomctriche.
Torino. 181)6. (p. 139).

werk vermeld worden, dat mij bij liet doorzoeken der
literatuur talrijke diensten heeft bewezen, n.1. Pocc.ENDonKF\'s
Biographisch-Literarisches Handwörterbuch zur Geschichte
der exacten Wissenschaften. Het geeft o.a. van vele
wiskundigen tot op het jaar 1904 de volledige lijst hun-
ner publicaties. Voor het verzamelen van de literatuur
van een bepaalden schrijver over het onderwerp en
voor het opsporen van fouten in andere literatuuropgaven
bleek het herhaaldelijk een uitstekend hulpmiddel te zijn.

In onderstaande lijst zijn overal het nummer en het
jaartal van het bedoelde deel van een tijdschrift aan-
gegeven. Eventueel voorkomende Romeinsche cijfers
hebben betrekking op de reeks.

C-hemona. Intorno alla curva gobba del quart\' ordine
per la quäle passa una sola superficie di
secondo grado. Annali di Matematica. 4.
1861.

Emil Weyr. Über rationale Raumeurven vierter Ordnung.

Sitzungsberichte der Wiener Akademie.
63. 1871.

Über Raumeurven vierter Ordnung mit
einem Guspidalpunkt. Id. 71. 1875.
Über die Abbildung einer rationalen Rauni-
curve vierter Ordnung auf einen Kegel-
schnitt. Id. 72. 1875.
Weitere Bemerkungen über die Abbildung
einer rationalen Raumcurve vierter Ordnung
auf einen Kegelschnitt. Id. 73. 1876.
Über Raumeurven vierter Ordnung mit
einem Doppelpunkte. Id. 75. 1877.
Über Punktsysteme auf rationalen Raum-
eurven vierter Ordnung. Id. 75. 1877.
Über die Abbildung einer mit einem Cus-
pidalpunkte versehenen Raumcurve vierter
Ordnung auf einen Kegelschnitt. Id. 78. 1878.

Emil Weyr. Über die Abbildung einer Raumcurve vierter
Ordnung mit einem Doppelpunkte auf einen
Kegelschnitt. Id. 78. 1878.

- Über rationale Curven vierter Ordnung.

Math. Ann. 4. 1871.
— Über Curven vierter Ordnung. Sitzungs"
berichte der böhm. Gesellsch. d. Wiss.
(Prag). 1874.

Bertini. Sulla curva gobba di 4° ordine e 2^a specie.

Rendic. Ist. Lomb. II. 5. 1872.
Armexante. Sülle curve gobbe razionali del quarto
ordine. Giorn. di Matematiche (Battaglini).
11. 1873 en 12. 1874.
Sturm. Sur la surface enveloppée par les plans

qui coupent une courbe gauche du 4° ordre
et de la 2° espèce en quatre points d\'un cercle.
Annali di Matematica II. 4. 1870-\'71.
Adler. Über Raumcurven vierter Ordnung zweiter

Art. Sitzungsberichte der Wiener Akademie.
86. 1882.

Weitere Bemerkungen über Raumcurven
vierter Ordnung zweiter Art. Id. 86. 1882.
Über specielle Raumcurven vierter Ordnung
zweiter Art. Id. 86. 1882.
Roberts. On unicursal twisted quartics. Proceed.

of the London Math. Society. 14. 1883.
Jolles. Die Raumcurve vierter Ordnung zweiter
Species synthetisch behandelt. Inaugural-
Dissertation. Dresden 1883.
Die Theorie der Osculanten und das Sehnen-
system der Raumcurve vierter Ordnung
zweiter Species. Habilitationsschrift. Aachen.
1886.

Brambilla. Sulla curva gobba del quarto ordine dotata
di punto doppio. Rendic. Ist. Lomb. II.
17. 1884.

—-— Le omografie che mutano in sè stessa una

curva gobba razionale del quarto ordine.
Id. II. 20. 1887.

Ricerche analitiche intorno alle curve gobbe
razionali del quarto ordine. Atti Ist. Veneto.
VI. 3. 1885.

Über die Raumcurven vierter Ordnung
zweiter Art. Berichte d. Sachs. Gesellsch.
d. Wiss. (Leipzig). 38. 188G.
Die Raumcurve vierter Ordnung zweiter
Art und die desmische Fläche zwölfter
Ordnung vierter Klasse. Journal f. Math.
(Crelle). 101. 1887.

Über die mit der Erzeugung der Raum-
curve vierter Ordnung zweiter Species ver-
knüpften algebraischen Prozesse. Math.
Ann. 29. 1887.

Die Raumcurve vierter Ordnung zweiter
Species. Berichte d. Sachs. Gesellsch. d.
Wiss. (Leipzig). 42. 1890 en 43. 1891.
Sulla curva gobba razionale del quarto
ordine. Rendic. Ist. Lomb. II. 23. 1890.
Sopra alcuni iperboloidi annessi alla curva
gobba razionale del quart\' ordine. Id. II,
25. 1892.

Sui combinanti dei sistemi di forme hinarie
annessi alle curve gobbe razionali del quarto
ordine. Ann. di Mat. II. 20. 1892.
Forsytii. On twisted quartics of the second species.
Quart. Journ. of Math. 27. 1895.

Over de ruimtekromme van den Vierden graad en de
tweede soort, welke twee stationnaire raaklijnen bezit,
handelen meer in het bijzonder:
Crf.mona. Sopra una certa curva gobba di quart\'

ordine. Rendic. Ist. Lomb. II. 1. 18G8.
Emil Weyr. Sopra una certa curva gobba di quart\'
ordine. Id. II. 4. 1871-

Appell. Sur une classe particulière de courbes
gauches unicursales du quatrième ordre.
Comptes rendus (Paris). 83. 1876.

Bhambilla. Sopra alcuni casi particolari délia curva
gobba rationale del quarto ordine. Rendic.
dell\' Accatl. di Napoli. 24. 1885.

Del Re. Omografie clie mutano in se stessa una
certa curva gobba del 4° ordine e 2^a specie
e correlazioni che la mutano nella svilup-
pabile dei suoi piani osculatori. Atti dell\'
Accad. di Torino. 22. .1887.

----— Correlazioni che mutano la quartica gobba

con due flessi nella sviluppabile dei suoi
piani bitangenti. Rendic. dell\' Accad. di
Napoli. II. 1. 1887.

Su certi sistemi di quartiche e sestiche
sviluppabili che si presentano a proposito
delle trasfonnazioni lineari di una certa
quartica gobba in sè stessa. Id. II. 2. 1888.

HOOFDSTUK I.

De algemeene kromme van den vierden graad en
de tweede soort.

- 1. De voorwaarde voor complanaire ligging van vier
punten van de kromme en de eigenschappen
welke daaruit onmiddellijk volgen.

Meest alge- Uit het feit dat C⁴ rationaal is volgt dat liet mogelijk
metervoor-¹ moet zijn de homogene coördinaten x_k van elk harer
stelling. punten uit te drukken als geheele rationale functies van
een enkelen parameter w, welke functies dan natuurlijk
van den vierden graad moeten zijn. In het algemeen
zal men de kromme dus kunnen voorstellen door

x_k = a_k u^l b_k u³ c_k u\' d_k u f_k (k =1,2,3, 4)

Voorwaarde Snijdt men C^x met een willekeurig vlak
Voor compla-
naire ligging Ai Xi Aa X» -f" A₃ -f- Ai Xi — 0
van vier pun-

^tn" ^{van c}*\' dan worden de parameters der snijpunten geleverd dooi-
de vierdegraadsvergelijking:

CS At at) u* (S A, fo tl³ (2 At c_k) n-
(E At d_k) « V A, fk = O

Stelt men nog:

Ml «8 "3 Ui = Ui

Ut 1/2 Ml 1/3 Ml Ui M₂ u3 l/o Ml Ma Ui = f/a
Ml »2 M3 Ml Ma Ml lil »3 «4 W? «3 M₄ = Ui
Ml Mg »3 «i = C/.i

dan is:

ü_t (2 A a) = — 2 A b

Ü2 (2 A a) = 2 A c
03 (2 A «) = - 2 A cl
Ui (2 A a) = 2 A ƒ

Men heeft dus:

(fli l/l él) A, («2 f7l 6₂) A2 4- («3 b₃) A₃
(«4 Ux 64) A4 = O

(rtl Ui — (,\'l) Al («2 U2 — Ci) Ao («3 Ui — C₃) As
(«i U2 — c\\) A₄ — 0

(ai U₃ dl) Al -1- («2 Ui -f d») A» 4- (a₃ A₃

(«4 03 di) Ai = 0

(«1 - A) Al («2 U.i - /o) A₂ («3 Ui - fa) A₃
(a₄ Ui — A) A₄ = 0

Elimineert men nu tusschen deze vier vergelijkingen
de grootheden A, dan vindt men een betrekking, die
geldt voor elk viertal in één plat vlak gelegen punten
van Ü^l. Deze betrekking bevat een determinant, dien
men ook aldus mag voorstellen:

1 0 0 0 0

Ui ai Ui bi a* Ui h a₃ Ui b₃ «₄ Ui -f bi

Ui «i Ui — Cl fl₂ Ui — Ci «3 Ui — C₃ «4 JJi — a

U_a ai U_s di 02 U₃ di a₃ U₃ -f- d₃ ai U₃ -f- d\\

Ui ai Ui — fi a₂ Ui — fi «s Ui — f₃ a.i Ui — A

Door de eerste kolom, na doelmatige vermenigvul-
diging, van elk der overige af te trekken zal men vinden:

of ook:

(bi c₂ d₃ fi) («, r₂ d₃ f_t) t7i\' («! b₂ (h A) Uo

b₂ c₃ fi) U₃ («i b, cs (h) Ui — O
Deze vergelijking is dus van den vorm
Ao Ul U₂ U3 «4 A\\ (ttl M₂ «3 .... "2 «3 ftj)
A-l (ttl «2 . . . "3 «l) Aa {lil «2 »3 -f Ui)

-Mi = 0

Zij bepaalt de involutie van den vierden graad en
den derden rang h³ waarin de punten van C^l door de
vlakken van de ruimte worden gerangschikt.

Stniionnairc Onder de groepen dezer I³ zullen er ook voorkomen
raakvlakken. _waarjjjj _an_e vier waarden u gelijk zijn. Dit beteekent
dan dat een vlak vier opeenvolgende punten van C^l
bevat (stationnair raakvlak); het raakpunt zullen we een
planair buigpunt noemen. De parameters der planaire
buigpunten worden klaarblijkelijk gevonden uit de ver-
gelijking

Ao u^x 4 Ai u" -f G As u\' -I- 4 A_a u A i = 0
Derhalve:

C⁴ bezit vier stationnaire raakvlakken.

£>e voor- Men kan aantoonen dat men eiken vorm van den

baarde voor _v|_er(i_en graad door een lineaire substitutie kan omzetten
complanairo ° . , , , ,

"gging in in een anderen vorm waarin slechts even machten voor-

gedaantc^^Cr komen. ^{men (}*^oor invoering van een anderen

parameter, die lineair van u afhangt, bewerken dat de

vier buigpunten worden geleverd door eeno vergelijking

van den vorm

f⁴ 6mf⁸ 1 =0.....(1)

Dan wordt de overeenkomstige h³ aangewezen door
ti <2 h U m [ti U ti h ti h t₂ h -H t₂ U /„ /.,) -f-

1=0......(2)

welke betrekking we voortaan zonder meer als de „voor-
waarde voor complanaire ligging" zullen aanduiden.

Wanneer men een der punten van een complanaire

vlakken, uit groep als vast aanneemt vormen de drietallen overige
aarf ^c" punten de groepen van een 7₃², welke door een vlakken-
gelegd. schoof, met het vaste punt als centrum, op C⁴ wordt
ingesneden. Kiest men = to als parameter van het
vaste punt, dan wordt de ƒ3² voorgesteld door

to ti tl h m {ti t₂ fi fs h t-i) m fo (<1
h) 1 = 0

Hare drievoudige elementen, die betrekking hebben op
osculatievlakken, worden geleverd door de vergelijking:

tot³ 3 m t- 3 m to t -f 1 = 0

Dus, daar deze van den derden graad is:
Door elk punt van 6\'⁴ gaan drie vlakken die haar elders
osculeeren.

d^\' j^CV°_t^rmJ Noemen we t\', t", t\'" de parameters der steunpunten
punten dezer dezer osculatievlakken dan volgt uit de laatste vergelijking:
oscillatie-

vlakken. _to (_t\' t" 1\'") = - 3 m, t\' t" t\' t\'" t" t\'" = 3 m,

t₀t\'t"t"\' = -1

• De drietallen steunpunten, behoorend bij de punten
van C⁴, vormen klaarblijkelijk een /₃, waarvan men de
voorstelling verkrijgt door uit de laatste betrekkingen
te elimineeren:

t\' t" -1- t\'" = 3 m t\' t" t\'"
t\'t" t\'t\'" t"t\'" = 3m

Ten einde deze /_;t op een meer gebruikelijke wijze
voor te stellen vervangen we t\' t" t\'" door A, waardoor
t\' t" t\'" = 3 m A. Daar verder t\' t" t\' t"\'
t" t\'" = 3 m wordt de vergelijking der h \'

t³ — SmXt² 3int — A = 0

of:

3 m t) - A (3 m t² 1) = 0 . . . (3)

Elk punt p Indien men de zooeven gevonden uitdrukkingen
van C» ligt

metdttliï \'\' <ot\'" = -3 m, t\'t" t\'t\'" 1" t\'" = 3m,

Punten der t₀t\'t"t\'" — — 1

uit P getrok-

tievlakken\'^a" ^{in voonvaar}^^{e voor} complanaire ligging stelt blijkt
dat hieraan wordt voldaan. Derhalve:

Legt men door een punt van C⁴ de drie mogelijke os-
culatievlakken dan liggen de steunpunten met het eerst-
genoemde punt in één vlak.

Voor deze eigenschap geeft Weyr nog het volgende
eenvoudige meetkundige bewijs. Men projecteere C⁴ uit
een harer punten P. De projectie is dan een vlakke
kromme van den derden graad, die een dubbelpunt
bezit ter plaatse waar de door P gaande trisecante het
tafereel treft. Een zoodanige kromme bezit drie op één
rechte lijn gelegen buigpunten, welke de projecties zijn
van de steunpunten der door P gaande osculatievlakken.
Deze steunpunten liggen dus met P in één vlak.

Revormd In het algemeen zal door drie punten van C^x het
UoordcHteun-

punten der vierde, daarmee complanaire, punt bepaald zijn, wat
triaecanten. trouwens ook uit (2) volgt als men ze schrijft:

[<i h h m (ti ti /»)] h 4- [m {ti h <i f« 4-
h h) 1] = 0

t\\ zal onbepaald zijn indien gelijktijdig:

ti h h m {ti h h) = 0
m {ti t₂ tih-\\- h h) 1=0

Meetkundig beteekent dit echter dat de punten met
parameters <2, <3 op één rechte lijn liggen, dus steun-
punten zijn van eene trisecante. Uit de verkregen ver-
gelijkingen volgt dal elke groep bepaald wordt door één
harer punten, dus:

I)e steunpunten der trisecanten vormen een In.

Stelt men ook hier weer t\\ t₂door A voor, dan

wordt ti i₂ -f" ta = — —, en daar ti t₂ ti h t₂1₃ =

m

1

= —— wordt h dus voorgesteld door
m

t^a — t²---- t — A = 0

m vi

of: (m *³ - t) A (t² — m) = 0 . . . . (4)

Uit een ge- Wanneer men uit de vergelijking
geven punt dc

overige twee t² — (/i t₂) t ti t₂ = 0

der groep te

bepalen. en uit de straks verkregen betrekkingen, geschreven in
den vorm

m h t₂) m -\\-tit₂h = 0
1 (h \'2) »1 t₃ -f ti h m = 0
de symmetrische functies ti h en U t₂ elimineert, dan
zal de vergelijking

t² —t 1
m h ?» <3 1=0
1 m ta 1)1

de waarden van t leveren, die de punten aanwijzen
welke met het door t₃ aangegeven punt op dezelfde trise-
cante zijn gelegen. Of wel:

(_m2 _ _m 2) -f (,„2 _ts — t_a) t -f K h- - ;h) = 0 (5)

Rccanten^Ctri\' Vergelijking (5) zal twee gelijke wortels t bezitten
indien

(m* h - h)² = 4 (m* - m t₃²) (m² t_a² - m)

Daar deze van den vierden graad is in /« heeft men:

C* bezit vier raaklijnen, die haar bovendien nog snijden.

Snijpunten De parameters der snijpunten der rakende trisecanten
uczcr trisC"

cantcn. worden geleverd door de laatste vergelijking, welke 11a
herleiding de gedaante aanneemt

4 m^s t* — (3 m⁴ G m\' - 1) t² -f 4 m\' = 0 (G)
De kegel, die uit een dezer punten C^l projecteert, is
van den derden graad en bezit een keerribbe; hij is dus
van de derde klasse. Derhalve:

\\

Door C" gaan vier kegels van den derden graad en de
derde klasse; hun keerribben zijn de rakende trisecanten.
Raakpunten De beide boven gevonden vergelijkingen
cantén.^triSe\' h \'h m («, U U) = 0

m {tl t» tl t₃ t_s la) 1 = 0
waardoor de I₃ der steunpunten van trisecanten kon
worden voorgesteld, gaan voor ti=t₂=t over in
(if² m) t_a 2mt = 0 2 m 11₃ (w 1) = 0

welke bij eliminatie van t₃ de vergelijking geven:

0t² m) (m t² 1) — 4 m²1² = 0
of: m t^l — (3 w² - 1) *² «i = 0 . . (7)

waardoor dus de raakpunten der rakende trisecanten
worden aangewezen.
Eeninvolutie Een aandachtige beschouwing der vergelijkingen (1),

Sn graad?) ^ ⁶¹¹ ^ ^d°^Gt °^{nS Z}\'^{en dat deZG &lle drie liggen}
C\'. \'^{n 01>} gesloten in de vergelijking

= 0.....(8)

welke een /i op C^l voorstelt. Derhalve:

De vier buigpunten, de vier raakpunten der rakende
trisecanten en de vier snijpunten dezer bijzondere trisecanten
vormen drie groepen van eenzelfde I.j.

De zes dubbelpunten dezer h zijn gemakkelijk aan te
geven. Immers A = 0 geeft een groep die uit t² = 0
en t² — oo bestaat Verder levert p = — 2 A de groep
(t l)² (t - l)² = 0 en (jl = 2 a de groep

(< — O" = 0

Onze h heeft dus de bijzonderheid dat ze drie groepen
bevat, die elk bestaan uit twee coïncidenties.

Splitsing der Merkt men op dat de vergelijking A t^x -f- p t- A = 0
4 in drie 1

niet verandert als men substitueert t = — u of t =

u

of f = — ^ dan ziet men in dat elke groep der li op
u

drie wijzen is te splitsen in twee paren, zoodat de I\\
ontstaat door de paren van een der quadratische in-
voluties t w = 0, t u — 1, t u = — 1
in paren te rangschikken.

Deze drie hebben tot dubbelpunten

t=0 ) t=1 l t—i l
t = oo ) t= — li t = — i i
Dit zijn juist de zes dubbelpunten der 7₄, hetgeen ook
te verwachten was.

2. De dubbele osculatiekoorden of hoofdkoorden.

We stellen ons de vraag of twee punten van C^l zoo
gelegen kunnen zijn dat elk van hen het snijpunt is
van C\'⁴ met het osculatievlak in het andere punt. De
koorde, die twee zoodanige punten verbindt en volgens
welke dus twee osculatievlakken elkaar snijden, zullen
we een dubbele osculatiekoorde of hoofdkoorde noemen.
Aantal der Ten einde vooreerst het aantal der gezochte punten

culatiekoor^{8 v}\'^nc\'^{en c}^^en\'^{<en we ons} \'ⁿ eenig punt D van C^l het
den. osculatievlak aangebracht, dat C^l nog in Q moge snijden.

Het osculatievlak in Q zal evenzoo de kromme in li
snijden.

Indien dan li met P samenvalt is het gewenschte
geval voorhanden. Nu bestaat er tusschen de punten
P en R klaarblijkelijk een verwantschap (1, 9); immers
P bepaalt één punt Q en Q weer één punt 11. Omgekeerd
bepaalt echter li drie punten Q (bl. 12), welke elk weer
drie punten P leveren, zoodat li aanleiding geeft tot
negen punten P.

Onder de tien coïncidenties zullen, zooals men aan-
stonds inziet, en ook straks nog nader zal blijken, de
vier planaire buigpunten (bl. 11) voorkomen; er blijven
er dus nog zes over, welke paarsgewijze een hoofdkoorde
bepalen. Derhalve:

C^l bezit drie hoofdkoorden.
Parameter- Uit de voorwaarde voor complanaire ligging leidden
waarden van _we reeds af (bl. 12) dat de parameterwaarden t en u
tender hoofd-^van osculatiepunt en restpunt verbonden zijn door de
koorden. betrekking

u t³ -f 3 m t- 3 m u t 1 = 0

zoodat

3m/² 1

¹\' ⁼ - * amt.....⁽⁹⁾

Het osculatievlak, in (?<) aan C⁴ gelegd, zal evenzoo
een restpunt (y) geven, waarbij

v u³ -f~ 3 m M^s 3 m v u -f- 1 = 0
Stelt men hierin de waarde (9) van u en identifieert
men v en t dan zullen dus de steunpunten der dubbele
osculatiekoorden worden bepaald door de vergelijking
/ 3 m t² IV i  IV

- V/3 3 m > ^{t 3m} 8 mt) ~

t³ 3mts ¹ M³ 3w
r -j- 3mt

Bij uitwerking blijkt deze vergelijking van den negenden

graad te zijn, en daar ze volgens het voorgaande tien

wortels moet geven, zal één der wortels t = co moeten zijn.

Voorts blijkt de vergelijking door t deelbaar te zijn,

waardoor een tweede wortel t = 0 wordt gevonden. De

overblijvende achtstegraadsvergelijking kan dan aldus

worden geschreven:

(9 m\' — 1) (t^s 6 m t* — 6 m t* — 1) = 0

Onderstellen we voorloopig dat 9 in- — 1 niet gelijk

aan nul is¹) dan heeft men dus:

t* G m tl — G m t* - 1=0

waarvoor men kan schrijven:

(t* - 1) (f* G»f^s 1) = 0

De tweede factor wijst volgens (1) de planaire buig-

punten aan ; de eerste levert voor t de waarden 1, ± i.

Vergelijking (9) leert ons verder hoe de verkregen

wortels 0, co , ± 1, ± i bijeenbehooren; men vindt dan:

t — 0 ( < = 1 l t = i )
t = co \\ t — — 1 ) t — — i\\

\') Wns !) w\' — 1 nul dan zou aan do vergelijking door elke
waarde van / worden voldaan, d.w.z. C\' zou oneindig vele dubbele
osculatiekoorden bezitten. Dit geval zal uitvoeriger behandeld
worden in Hoofdstuk II, 2.

Merkt men op dat deze parameterwaarden juist de
dubbelelementen aanwijzen van de op bl. 15 besproken
h dan heeft men dus:

De steunpunten der dubbele osculatiekoorden zijn de
dubbelelementen der 7₄, voorgesteld door vergelijking (8).

koorden°gaan Wanneer men de drie puntenparen 0, oo; 1, — 1;
door één\' i, — i op alle drie wijzen twee aan twee combineert
P^unt- dan verkrijgt men telkens een groep van vier punten,

wier parameterwaarden aan (2) voldoen en die dus
complanair zijn. Of wel: de drie hoofdkoorden snijden
elkaar paarsgewijze. Nu kunnen ze echter niet in één
vlak liggen; immers dat vlak zou C^l in zes punten
snijden. En dus:

De drie hoofdkoorden gaan door Mn punt.

Tetraëders, Keeren we thans terug tot de drie 7₂, waarin de h,
bcsclir ven

iiTc^^CVen voorgesteld door vergelijking (8), kon worden gesplitst.

Het is duidelijk dat elk dezer h wordt ingesneden door
een vlakkenbundel met een der hoofdkoorden als as;
de beide door de hoofdkoorden gaande osculatievlakken
bepalen dan de dubbelelementen der 7», die hier met
de steunpunten samenvallen. Merken we nog op dat
de viertallen der h in het algemeen niet in één vlak
liggen dan heeft men dus:

Men kan in C\' oneindig vele tetraeders beschrijven, zoo dat
elk der drie paren overstaande ribben door een der drie
hoofdkoorden wordt gesneden. De viertallen hoekpunten
vormen de U, voorgesteld door vergelijking (8).

Om bij een gegeven punt P op C⁴ de overige hoek-
punten van het door P bepaalde tetraeder te zoeken
legge men telkens door P en een der hoofdkoorden een
vlak; deze vlakken geven elk nog een snijpunt met C^l
en deze punten vullen P tot een viertal aan.

Als bijzondere tetraeders zijn, behalve die, welke reeds
op bl. 15 werden aangeduid, te noemen die, welke een
paar trisecanten als overstaande ribben bezitten. Past
men (5) toe op de steunpunten van de trisecante, die

uit het punt h = O vertrekt, dan vindt men voor de
overige steunpunten

m t² = 1

evenzoo voor de steunpunten der trisecante uit /₃ = ⁰⁰

t² = m

De twee paren steunpunten worden dus voorgesteld
door

(m f- — 1) (t² — m) = 0
of: mt* — (w#^s 1)*² m = 0

Het viertal punten, hierdoor aangewezen, behoort
blijkens den vorm van de vergelijking ook tot de h. Dus:

Onder de in C^l beschreven tetraeders zijn in het bijzonder
te noemen:

1°. het tetraeder, bepaald door de buig punten.

2°. dat, bepaald door de raakpunten der rakende trisecanten.

3°. dat, bepaald door de snijpunten der rakende trisecanten.

4°. de drie tetraeders, die elk een paar trisecanten tot
overstaande ribben hebben.

Andere tetraeders met trisecanten als overstaande
ribben zijn er natuurlijk niet, daar een trisecante en
een koorde elkaar niet anders kunnen snijden dan in
een harer steunpunten.
Projectie van Wanneer men uit het snijpunt der hoofdkoorden C^x
»»ijplint der P^r°j^ec^^eer\'- krijgt men als projectie een vlakke kromme
hoofdkoor- van den vierden graad welke drie dubbelpunten bezit
^<lon\' ter plaatse waar de hoofdkoorden het tafereel treffen.

Deze trinodale kromme heeft echter nog de bijzonderheid
dat hare dubbelpuntsraaklijnen tevens buigraaklijnen zijn.
Evenzoo bezit de projecteerende kegel drie dubbelribben
waarlangs de raakvlakken stationnaire raakvlakken zijn.

Emil Weyk \') heeft van de genoemde vlakke kromme
o. a. de volgende eigenschappen bewezen:

\') Übcr rntionalc cbcne Curven vicrter Ordnung, deren Doppcl-
punktstnngontcn Inflcxionatangciitcn sind. Sitzungsbcricbto der
Wiener Akadcmic. 07. 1873. Zie ook: I\'. H. ScnoüTK. tïher tlio
Curven vicrter Ordnung mit drei Inflcxionsknotcn. Archiv d.
Mnth. u. Phys. II. 2. 1885.

1°. De raaklijnen in een dubbelpunt worden harmo-
nisch gescheiden door de lijnen die dat dubbelpunt met
de overige dubbelpunten verbinden.

2°. Elke door een dubbelpunt D gaande rechte snijdt
de kromme in twee punten A en B en de verbindings-
lijn der andere dubbelpunten in een punt D\' zoodanig
dat D, D\', A en B een harmonische groep vormen.

3°. Een rechte die door een dubbelpunt gaat snijdt
de kromme in nog twee punten, zoodanig gelegen dat
hunne raaklijnen elkaar snijden op de verbindingslijn
der beide andere dubbelpunten.

Hieruit volgen onmiddellijk de overeenkomstige eigen-
schappen van de ruimtekromme O¹:

1°. De beide door een hoofdkoorde gaande osculatie-
vlakken worden harmonisch gescheiden door de beide
vlakken welke die hoofdkoorde met elk der overige
hoofdkoorden verbinden.

2°. Elk vlak dat door een hoofdkoorde gaat snijdt
C¹ in twee punten welke harmonisch liggen t. o. v. die
hoofdkoorde en het vlak der beide overige hoofdkoorden.

3°. Wanneer een vlak, dat door een der hoofdkoorden
gaat, C^l in twee punten A en B snijdt, dan zal de lijn,
die door het snijpunt der hoofdkoorden gaat en op de
raaklijnen van A en B rust, in één vlak liggen met de
• beide andere hoofdkoorden.

1 xi=0 het osculatievlak van t = 0
a-s = 0 het raakvlak van t = 0 door de trisecante van
dat punt

x₃ — 0 het raakvlak van t — co door de triseeante van
dat punt

Xi — 0 het osculatievlak van t = co
voorstelt.

Dan bevat xi — Q de punten t³ — 0 en t = oo, x» = 0
de punten t² = 0 en int² = 1, x₃ = 0 de punten t² = co
en t² — m en ici = 0 de punten t³ — co en t — 0 (ver-
gelijk bl. 19).

We verkrijgen dus de volgende eenvoudige parameter-
voorstelling van C^l:

_Xl=t³

X2 = m t^l — t²
x₃ —t² — w
x.\\ = t

Coördinaten Om de coördinaten van het snijpunt der hoofdkoorden
hoofdpunt (voortaan kortweg als hoofdpunt aan te duiden) te be-
palen, zoeken we eerst de vergelijkingen der vlakken,
welke door de hoofdkoorden twee aan twee kunnen
worden gelegd. Van die vlakken is het hoofdpunt het
snijpunt.

De hoofdkoorden (-J-1,— 1) en ( t, — i) liggen in
een vlak dat door t¹ — 1 = 0 wordt bepaald. Daar nu
xi x-i = m (t^A — 1) stelt Xa x₃ = 0 het bedoelde
vlak voor.

Verder bevat xi x\\ — 0 de punten t (<⁸ 1) = 0,
dus de hoofdkoorden (0, cc) en ( i, — i).

Eindelijk bevat xi —x.i=0 de punten t {t² — 1) = 0,
dus de hoofdkoorden (0, oo) en ( 1,-1).

Het hoofdpunt is nu het snijpunt der vlakken x\\ 4- x\\ — 0,
_Xl — x\\ = 0, x-i x₃ = 0 en wordt dus aangewezen door
xi =0 \\

Xi = — Xa >......(11)

xi = 0 )

van^ffe?^kinfi Onderstellen we dat h, f > en h de parameterwaarden

door drie ge- ^zÜ^{n van} drie gegeven punten op CK We zoeken dan

Beven pu». ₍]_e vergelijking van het vlak dat door deze punten is
ten van C\'. . . ® ^{J b}
bepaald.

Het vlak worde voorloopig voorgesteld door:

Ai Xi -j- A₂ X₂ "f^- A3 -(- X4 = 0
De snijpunten met C⁴ worden dan wegens (10) be-
paald door:

Ai t³ A₂ (m t^A — t²) A₃ (t² — m) A₄1 = 0
Hieruit volgen de waarden der symmetrische functies
van de wortels, welke men aldus kan schrijven:
A₂ m [ti h h) = — Ai — A₂ m t\\
A₂ m [ti h h h h ti)^==z A3 — A₂ — A₂ m {h h /₃) h
A₂ m {h h t₃) — — A_t — A₂ m {ti t₂ -f~ h h

h ti) h
A₂ {ti ti t-i) ti — A₃

Stelt men h h U = T_u U U U h hh = T₂,
t₂ ti — T₃, dan heeft men dus, met bijvoeging van de
vergelijking van het vlak:

Ai Xi -f- A₂ X₂ -f- A₃ X₃ -f Ai x.i = 0

Ai Ao m Ti  A₂ m ti =0

Ao (1 m T₂) - A₃ rf A₂ m Ti t_x = 0

Ao m 7 3  Ai A₂ m Tj h — 0

A₃  A₂ T_a t_A =0

Als men uit deze vijf vergelijkingen Ai, A₂, A₃, A₄ en
A₂ ti elimineert verkrijgt men :

hetgeen dus de vergelijking is van het gezochte vlak.

Vergelijking uit (12) volgt aanstonds do vergelijking van het oscu-
culnticvlak. latievlak in eenig punt van C^l. Stelt men daartoe
ti —t, = h = t dan wordt \'1\\ — 3 t, T, = 3 t\\ = t\\
Vergelijking (12) wordt voor dit geval, na herleiding,
(3 in t¹ G m²1² — tn) x_t — {t³ 3 m /) *₂ — (3 m t^b -f

t³) x_a -f (w t^ü — G m² t ^l - 3 m *₄ = 0 . (13)
waardoor dus het osculatievlak in hot punt met para-
meter t wordt aangewezen.

Klasse yan Wanneer men in (13) de grootheden x als vast be-
schouwt, stelt ze een zesdegraadsvergelijking in t voor.
De zes wortels t bepalen dus de zes punten van C⁴,
wier osculatievlakken door het gegeven punt gaan. Dus :
Door elk punt van de ruimte gaan zes osculatievlakken
van C⁴, of wel:

C^l is van de zesde klasse.

Hetzelfde resultaat verkrijgt men ook aldus: uit een
op C^l gelegen punt kan men drie osculatievlakken aan
C^l leggen. Voegt men hierbij het osculatievlak in het
gekozen punt zelf, dat, gelijk bekend is, voor drie samen-
vallende osculatievlakken is te tellen, dan wordt het
algemeene aantal zes hier teruggevonden.

Stelt men in (13) de waarden (11) van de coördinaten
van het hoofdpunt dan vindt men:
t(t^l — 1) = 0

waardoor de zes steunpunten der hoofdkoorden worden
aangewezen, wat ook te verwachten was.

Kegel, om- We vonden reeds (bl. 13) dat, als men uit een punt
vlakken⁰¹1\'° ^van mogelijke osculatievlakken aan C^l legt,

de stëunpun- de drie steunpunten met het eerste punt in één vlak
65n ^Va" ^uit We vragen thans naar het ontwikkelbaar opper-

getrokken vlak K, dat door deze vlakken wordt omhuld.
vlakk^atic" Daar de vlakken geen raakvlakken van C^l zijn, ligt
binden. C* niet op K en is het, om de klasse van K te weten
te komen, voldoende te bepalen hoeveel der vlakken
door een willekeurig punt van C* gaan. Dit zijn er
blijkbaar twee, daar het gekozen punt als osculatiepunt
en als restpunt kan worden opgevat en als zoodanig
telkens één vlak bepaalt. K is dus een ontwikkelbaar
oppervlak van de tweede klasse, d.i. een kegel van den
tweeden graad. En dus:

De vlakken, die de steunpunten der uit één punt van
O aan O gelegde osculatievlakken verbinden, omhullen
een kegel K van den tweeden graad.

Vergelijking We weten (bl. 12) dat de symmetrische functies der
gefiT^{Cn C} parameters van de steunpunten der uit (/₀) getrokken
osculatievlakken de waarden hebben:

Ti —3 m, T₃ = -~
£0 £0

Stelt men deze uitdrukkingen in (12) dan vindt men
na herleiding:

(3 m² — m t₀²) x_x t₀ (x₂ -f x₃) (im - 3 m²1₀²) x₄ = 0
Merken we op dat hieraan voldaan wordt door de
waarden (11), die het hoofdpunt bepalen, en wel on-
afhankelijk van de waarde van to dan blijkt:
De kegel K heeft het hoofdpunt tot top.
Daar de laatste vergelijking van den tweeden graad
is in to, vindt men terug dat K van de tweede klasse
is. Naar fo rangschikkend heeft men:

— {in -f- 3 vi² Xi) t₀² (*₂ x₃) t₀
-f- (3 vi² Xi -f- vi x.i) = 0
Indien deze vergelijking twee gelijke wortels heeft zal
het overeenkomstige punt met coördinaten x_h x₂, x₃, Xi
op K liggen.

De kegel K heeft dus tot vergelijking: ¹
4 (w X\\ -f- 3 vi- Xi) (3 vi² x_x m *₄) {x₂ -f a-.,)² = 0 (14)
Nog cenigc Om de acht snijpunten van C^l met K te bepalen,
pifn"vaneen stelle men in (14) de waarden (10), waardoor men ver-
kegel K. krijgt:

t^s 12 m t^G 2 t^x 3G rn²1* 12 m <- 1=0
of: \' (t* G m t² l)² = 0
Wegens (1) heeft men dus:
K raakt G" in de vier buigpunten aan.
Beschouwen we ten slotte de ligging der hoofdkoorden
t. o. v. K. De hoofdkoorden zijn (bl. 21) de doorsneden
der vlakken = 0, x, — x₄ = 0, x₂ x₃ = 0,
paarsgewijze genomen.

Stellen we nu: Xi-\\-x.i = zi, x_t—x — z₂, x₂ -f~
x₃ = Zn dan wordt K aangewezen door de vergelijking:
(3 m² -f m)² Z\\² — (3 m² - m)² z₂² *₃² = 0

terwijl de hoofdkoorden de doorsneden zijn der vlakken:
2l =0, z<2. = 0, 23=0
In het vlak 23 = 0 liggen twee ribben van K, aan-
gewezen door Z\\ : z» = ± k, waar k een zekere constante
voorstelt.

De in dat vlak gelegen hoofdkoorden zijn gekenmerkt
door z\\ : zi — 0 en z\\: z₂ = 00, ze worden dus harmo-
nisch gescheiden door den kegel. Daar voorts voor de
vlakken zi = 0 en z» = 0 een soortgelijke beschouwing
geldt, kan men zeggen:

I)e hoofdkoorden vormen ten opzichte van K een pool-
driestraal.

Vergelijking Q_{m (}]_e vergelijking van de eenige door C^l gaande
holoïdc 7/^PC hyperboloïde II (hl. 2) te verkrijgen gaan we uit van
de beide trisecanten, die door de punten t = 0 en t = a>
gaan en die we gebruikten ter bepaling van het coördi-
natenviervlak. Ze kunnen worden voorgesteld door
x<> = Q \\ _ .r₃ = 0 )
a*₄ = XX 1 i X.i = (3 X\\ i

waarbij x en (3 vooralsnog onbekend zijn. Dan zal

X₂ x_a = A — x X_t) (*₄ — (3 Xi)
de vergelijking van een quadratisch regelvlak zijn, waarop
o. a. ook de genoemde trisecanten zijn gelegen.

Zal nu dit quadratisch regelvlak onze hyperboloïde
II voorstellen, dan moet C* geheel erop liggen, dan
moet dus wegens (10) aan de vergelijking:

{m t^l — t-) (<² - m) = a [t* — (x -f- f3) t ^x x (3 *«]
door alle waarden van t worden voldaan. Dus moet:
a x (3 = m, a (x (3) = m* 1, a = m,

waaruit men vindt: A = m, x — m, (3 — \\ De verge-
lijking van II wordt dus

x₂x_a = (*., — m x_x) (vi x_x —Xi) . . (15)

trisecanten u_e regelscharen van II worden voorgesteld door:
unisecan- ^b < ^ö ,

ten. Hl X._{ — X_t = A X2 ( M X_x — X\\ = p x_a )

a {x.i — m Xi) = x₃ \\ \' ij, (Xi — m Xi) — x% )

Ten einde uit te maken welk dezer stelsels de trise-

canten en welk de unisecanten aanwijst substitueeren
we de waarden (10), waardoor we bij liet eerste stelsel
vinden:

t^s A (m ü¹ — t*) — mt = 0 l
Am/» (*² — m) — Xt = 0 S
Deze hebben gemeenschappelijk de wortels der ver-
gelijking:

A m t³ (t² — m) — A t = 0
welke de drietallen punten op de trisecanten bepaalt.
Inderdaad is deze vergelijking in wezen dezelfde als ver-
gelijking (4), die op bl. 14 werd gevonden. Zoo stellen dus:
m Xi — xi — xx₂ ) . .

A (x_x — VI Xi) = x₃ i
het stelsel der trisecanten voor. Natuurlijk wijzen dan:
_m — X! = (i x₈ )
/X (Xi — ?ux₁) = x₂ ï
het stelsel der unisecanten aan, zooals trouwens ook blijkt
als men (10) in (17) substitueert. Want de vergelijkingen
<3 ^ {t* — m) — vit = 0
p m t³ [m t* — t²) — p t = 0
hebben slechts één wortel, n.1. t — — (/,, gemeen; deze
bepaalt het snijpunt der unisecante.

1  Het raaklijnenoppervlak en eenige andere merk-
waardige oppervlakken.

HET iuaklijnenoppenvlak V.

Zooals bekend is vormen bij elke ruimtekromme de
raaklijnen een ontwikkelbaar regel vlak, het zoogenaamde
raaklijnenoppervlak, waarop de gegeven kromme keer-
kromme is. We willen nu het raaklijnenoppervlak V
van C⁴ nader onderzoeken.
Klasse van Uit de op bl. 23 gevonden eigenschap dat door een
\' • punt van de ruimte zes osculatievlakken naar - C⁴ gaan,

welke tevens raakvlakken zijn van V, volgt:

Het raaklijnenoppervlak V is van de zesde klasse.

Graad van Een vlakkenbundel, welks as geen punt met C^l gemeen
heeft, snijdt in viertallen punten, die een vormen.
Deze h heeft zes dubbelpunten, welke de zes raaklijnen
bepalen, die de as van den vlakkenbundel snijden.

Derhalve:

Een willekeurige rechte van de ruimte wordt door zes
raaklijnen van C^l gesneden, d. w. z. C* is van den zesden
rang.

Of:

Door een willekeurige rechte van de ruimte kan men
zes raakvlakken aan C^l leggen.

Of wel:

Het raaklijnenoppervlak V is van den zesden graad.
^ubbelkrom- Elke raaklijn van C⁴, als as van een vlakkenbundel
° ^{op V}\' gekozen, bepaalt op C^x een l>. De twee coïncidenties
dezer h wijzen twee raaklijnen aan, die de gegeven
raaklijn snijden. Derhalve:

Elke raaklijn van C^l wordt door twee andere raaklijnen
gesneden.

De punten waar twee niet-opeenvolgende raaklijnen
van C^x elkaar snijden vormen op Keen dubbelkromme;
de raaklijnen van C^x zijn dus blijkbaar koorden van die
kromme.

Den graad der dubbelkromme vindt men op eenvou-
dige wijze uit een willekeurige vlakke doorsnede van V.
Deze is een vlakke kromme van den zesden graad en
de zesde klasse met vier keerpunten. Uit de eerste
formule van Plücker leidt men af dat de kromme zes
dubbelpunten bezit, en dus:

Het raaklijnenoppervlak V bezit een dubbelkromme l)^ü
van den zesden graad; de raaklijnen van C^l zijn koorden
van D*.

^\'genschap De doorsnede van V met een der stationnaire raak-
indcsUition^{1 v}\'^^en \'^{s een} kromme van den derden graad, daar do
vfnkk ^{rnak raakll|n aan} rï^aar *^er P\'^aa*^{se voor} raaklijnen is
jfgen^C\'raak- ^{1(3 lellcn}\'

\'\'jnen. De kromme is voorts van de vierde klasse, daar het

stationnaire raakvlak twee osculatievlakken vertegen-
woordigt; ze heeft geen keerpunten, daar C⁴ met elk
harer stationnaire raakvlakken geen andere punten dan
het raakpunt kan gemeen hebben. Volgens de formules
van Plücker heeft de kromme dan een dubbelpunt en
drie buigpunten. Daar de drie buigpunten van een
rationale vlakke kromme van den derden graad steeds
op één rechte liggen, terwijl de buigpunten dezer vlakke
doorsnede van V de punten zijn, waar de raaklijnen in
de overige stationnaire raakvlakken het vlak der door-
snede doorboren, is hiermede dus een rechte gevonden,
die op alle vier, in de stationnaire raakvlakken gelegen,
raaklijnen gelijktijdig rust. Doch dan zijn er klaarblijkelijk
vier zulke rechten, en dus:

De vier raaklijnen, aan C^l gelegd in de raakpunten
der stationnaire raakvlakken, liggen op één hyperboloïde.
Gemeen- Uit de omstandigheid dat de raaklijn, die in een der
punt en⁰\'" van stationnaire raakvlakken ligt, voor drie opeenvolgende
c^l en d\'k raaklijnen telt, waarbij het snijpunt van de eerste en
de derde een punt van D^r\' is, volgt dat D^r\' door C^A in
de vier planaire buigpunten wordt gesneden. Voorts
zal D⁶ moeten gaan door de snijpunten T der rakende
trisecanten. In zulk een punt T wordt een rakende
trisecante gesneden door de twee naburige raaklijnen van 7\',
. zoodat T als twee opeenvolgende punten van D^ü in rekening
is te brengen. T is dus een keerpunt op D^G, derhalve:
D^r\' snijdt 6\'¹ in de vier planaire buigpunten en in de
vier snijpunten der rakende trisecanten; deze laatste punten
zijn keerpunten op D^G.

Projecteert men D^a uit een van hare keerpunten T
dan verkrijgt men een kegel van den vierden graad,
waarop de lijnen, die T met de overige keerpunten
verbinden, keerribben zijn. Nu kan echter een kegel
van den vierden graad met drie keerribben geen veel-
voudige ribben meer hebben, en dus:

D^G bezit, behalve de vier genoemde keerpunten, geen
veelvoudige punten.

Het oppervlak W, omhuld door de dubbelraakvlakken.
Elke raaklijn van C^l wordt door twee andere raak-
lijnen gesneden (bl. 27); een vlak dat twee snijdende
raaklijnen bevat is dubbèlraakvlak van CK We onder-
zoeken nu het ontwikkelbaar oppervlak W, dat omhuld
wordt door de dubbelraakvlakken van C⁴.
kp^{asso van} Om vooreerst de klasse van W te bepalen denken
we ons door een willekeurig punt O van de ruimte een
vlak gelegd, dat C^l in P raakt; de snijpunten noemen
we Q en li. Indien Q en li samenvallen is het vlak
een dubbèlraakvlak. Nu bepaalt een willekeurig punt
Q vier raakvlakken (aangewezen door de vier coïnciden-
ties van de h welke de vlakkenbundel met O Q als as
op C^x insnijdt), dus ook vier punten li; evenzoo levert
elk punt li vier punten Q. De acht coïncidenties dezer
(4-, 4) liggen twee aan twee in de vier dubbelraakvlakken,
welke men door O aan C^l kan leggen. Of wel:
11 et oppervlak )V is van de vierde klasse.
^ \'s dubbel- Daar elke raaklijn van £"⁴ door twee andere wordt
if^0lnn,c °P gesneden gaan door elke raaklijn twee dubbelraakvlakken.

Als de raaklijn in A door die der punten lh en B>
wordt gesneden zijn dus A lh en A B>> beschrijvende
lijnen van het oppervlak. Door elk punt van C^l gaan
dus twee beschrijvende lijnen van W, derhalve:
C^l is dubbelkromme op het oppervlak W.
De raakpunten A en li van dubbelraakvlakken vormen
op C\\ zooals we zagen, een involutorische verwant-
schap (2, 2).

Anderzijds bepalen de vlakken van een vlakkenbundel,
die een willekeurige rechte van de ruimte tot as heeft,
een Vi op die kromme. De zes gemeenschappelijke paren
van deze beide verwantschappen wijzen de zes be-
schrijvende lijnen van W aan die de as van den bundel
snijden, en dus:

Het oppervlak W is van den zesden graad.
\'1c kcêrkrom\'. Daar ^ ^een ontwikkelbaar regelvlak is moet het een
^,lH! van iv. keerkromme bezitten. Om den graad daarvan te bepalen

beschouwen we een willekeurige vlakke doorsnede; deze is
een vlakke kromme van denzesden graad en de vierde
klasse met vier dubbelpunten. Volgens de eerste formule
van Plücker heeft ze dan zes keerpunten, derhalve:

De keerkromme van W is van den zesden graad.

Het regel vlak F der koorden, die een vaste koorde
snijden.

Wanneer men C⁴ snijdt met een vlakkenbundel, die
een koorde tot as heeft, zullen de vlakken op C ^l punten-
paren bepalen, welke klaarblijkelijk een h vormen.

Omgekeerd kan ook iedere L> op C⁴ ingesneden worden
door de vlakken, die door een koorde gaan. Stel n.1.
dat de I₂ bepaald is door de paren Ai, A₂ en B1, B₂.
Vlakken door de koorde Ai A₂ snijden een I₂ in, vlakken
door Bi B₂ een andere J₂. Deze beide involuties hebben
een paar C₂ gemeen, dat dus zoowel met Ai, A₂
als met Bi, B₂ in één vlak ligt. De gegeven 1₂ wordt
dus blijkbaar ingesneden door een vlakkenbundel met
as Ci C₂.

Het laatste resultaat is ook aldus weer te geven:

Elk tweetal koorden wordt door een enkele derde koorde
gesneden.

Snijden do beide koorden elkaar (buiten O) dan gaat
de derde koorde door hun snijpunt; ware dit n.1. niet
zoo dan zou het vlak der drie koorden zes punten van
C⁴ bevatten.

Door elk Wanneer men C⁴ uit een willekeurig punt O van de
rui\'mte "\'aan ^ru\'^m^^e projecteert, verkrijgt men een kegel van den
drie koorden vierden graad en de zesde klasse; want door een rechte,
van O¹. jj_e q bevj^ „_{aan zes} raakvlakken aan C^l en dus aan
den kegel. Deze kegel heeft voorts zes stationnaire
raakvlakken, n.1. de zes osculatievlakken die men uit O
aan C⁴ kan leggen (bl. 23). Volgens de formules van
Plücker zijn er dan drie dubbelribben, en daar O in
het algemeen geen dubbelpunt bezit, heeft men:

Door elk punt van de ruimte gaan drie koorden van C^x,

Regelvlak Om den graad van het regelvlak F te vinden, dat
die een°vasté g^evom|d wordt door de koorden van C⁴, die op een
koorde snij- vaste koorde k rusten, merken we vooreerst op, dat die
koorde dubbelrechte op het oppervlak moet zijn, daar
uit elk harer punten nog twee koorden zijn te trekken.
En daar elk vlak door k nog twee punten van dus
één koorde bevat, heeft men:

De koorden, die een vaste koorde snijden, vormen een
oppervlak F van den derden graad, waarop de vaste koorde
dubbelrechte is.

Een bijzonder geval verkrijgt men als men voor de
vaste koorde k de raakkoorde van een dubbelraakvlak
kiest. Dan toch valt een der beschrijvende lijnen met
de dubbelrechte samen, waardoor een zoogenaamd regel-
vlak van Cayley ontslaat.
Enkelvoudige Alle beschrijvende lijnen van F snijden ook de enkel-
_F \'jn _voucjjg_e richtlijn e van het oppervlak. Elk vlak door e
bevat twee koorden, die in 1 en 2, 3 en 4 op C⁴ rusten;
zij bepalen twee punten op e. Beschouwt men alle
vlakken door e dan ontstaat aldus op deze lijn een ƒ»,
die twee coïncidenties heeft. Voor elk dezer punten\'
vallen de twee koorden samen tot een torsale ribbe van
F; het vlak door zulk een ribbe en e is een torsaal
raakvlak, liet punt 1 heeft zich nu vereenigd met 3,
2 met 4 ; de lijnen 1, 3 en 2, 4 zijn raaklijnen geworden
en het torsale raakvlak is dus een dubbelraakvlak van
C^l. Noemt men kortheidshalve de snijlijn van twee
dubbelraakvlakken een as van C\\ dan heeft men dus:
De enkelvoudige richtlijn van elk oppervlak F is een
as van C^l.

Omgekeerd kan men elke as van C* als enkelvoudige
richtlijn van een oppervlak F beschouwen. Want de
beide koorden, die in de door die as gaande dubbcl-
raakvlakken zijn gelegen, worden slechts door één andere
koorde gesneden, welke men als dubbele richtlijn van
een oppervlak F kan kiezen. Derhalve:

Elke as van C^x is te beschouwen als enkelvoudige richt-
lijn van een oppervlak F.

Betrekking Uit het voorafgaande leidt men een betrekking af
koorden en tusschen de koorden en de assen van £"⁴, die elk oo²
de assen van aantal zijn. Immers elke koorde k geeft aanleiding
tot één oppervlak F; de eenige enkelvoudige richtlijn
van F is een as van C⁴. Omgekeerd kan elke as van
C⁴ optreden als enkelvoudige richtlijn van een oppervlak
F; de dubbele richtlijn van dit oppervlak is een koorde
van C⁴. En dus:

Er bestaat een betrekking tusschen de stralencongruentie
der koorden en de stralencongruentie der assen van
met dien verstande dat elke lcoorde ééne as en elke as
ééne koorde bepaalt.

Het regelvlak der osculatiekoorden.
We bespreken ten slotte het regelvlak, gevormd door
de osculatiekoorden, dat zijn de koorden, die in de
osculatievlakken steunpunt en restpunt verhinden. Nu
bepaalt een steunpunt X één restpunt Y; een restpunt
bepaalt echter drie steunpunten X(bl. 12). Tusschen
de punten X en Y bestaat dus een verwantschap (1, 3).
Met de /₄, welke een willekeurige vlakkenbundel op C^x
insnijdt, heeft deze verwantschap twaalf paren gemeen.
Elke lijn van de ruimte wordt dus door twaalf oscu-
latiekoorden gesneden en dus:

De osculatiekoorden vormen een oppervlak van den
twaalfden graad.

Daar elk punt van C^x als.osculatiepunt en ook als
restpunt is op te vatten gaan door elk punt van C*
vier beschrijvende lijnen van het oppervlak. En daar
voorts blijkbaar elk der hoofdkoorden tweemaal als
osculatiekoorde zal optreden heeft men:

Op het oppervlak van den twaalfden graad der oscu-
latiekoorden is C^l een viervoudige kromme, terwijl de
hoofdkoorden dubbellijnen zijn.

HOOFDSTUK II.

Bijzondere krommen van den vierden graad en
de tweede soort.

1. De kromme C^l met oneindig vele drietallen in één
punt samenkomende raaklijnen.

stuk" ^vrang" l^er inleiding bespreken we het volgende vraagstuk
fendc do nl- ^over de algemeene C\\ Aangezien door elk punt van
geniecnc c\'. de ruimte drie koorden gaan (bl. 30) zal ook door het
snijpunt van twee raaklijnen nog één koorde der C^l
mogelijk zijn, welke C* in de punten ^rl\\ en 7 2 moge
snijden. Indien men aldus met alle mogelijke paren
snijdende raaklijnen handelt, vraagt men naar de be-
trekking, die tiissclien Ti en 7\'₂ bestaat.

Geven we de raakpunten der raaklijnen door de para-
meters ui en u₂ aan, de steunpunten Ti en ï\\ dei-
koorde door ti en f₂, dan volgt uit (2):

ur u2⁸ 2 m ui u > m (i/_t -f- u >)- -f- 1 = 0
terwijl ti en t-> met elke der waarden u zijn verbonden
door:

{ti t₂ m) m^s -f 2 m {ti -j- t_s) u {m ti h 1) = 0

Hieruit volgt dat:

2 m (ti t₂) m ti h 1

u₂ =--——:-, Ut m = -——j-

ti ti m ti h m

Deze waarden, gesubstitueerd in de eerste vergelijking,
doen haar overgaan in de betrekking

(m ti U O² 4 m* (ti 2 m (h t₂ m) X

X (rn /« !)- - (<I /2 m)- = 0

welke aangeeft dat de punten Ti en T2 zijn verbonden
door een involutorische verwantschap (2,2).

Een coïncidentie dezer (2,2) zal beteekenen dat door
het snijpunt van twee raaklijnen nog een derde raaklijn
gaat. Stelt men in de verwantschapsvergelijking ti =
t₂ = t dan vindt men na herleiding:

(3 m² 1) (<⁴ 6w<⁸ 1) = 0

Daar de eerste factor in het algemeen niet nul zal
zijn mag men er door deelen; men vindt dus, volgens
(1), . dat de buigpunten de gezochte coïncidenties zijn.
Een bijzon- Geheel anders wordt de zaak echter als 3 in² 1=0
dere C. ^^ _wor(jt _aan ^e laatste vergelijking voldaan

door iedere waarde van t, en dus:

Er bestaat een bijzondere C⁴, welke oneindig vele drie-
tallen in één punt samenkomende raaklijnen bezit.

Uit vergelijking (1) volgt voor de parameters ti, t₂, h, U
der buigpunten:

ti h ti t₃ "-J- h ti t₂ h t₂ ti h ti = 6 m,
tl t₂ tl = 1

Stelt men deze waarden in (2) dan vindt men dat
3 m² 1=0 is, waaraan juist in het zooeven be-
schouwde geval wordt voldaan, zoodat de vier buig-
punten complanair zijn. Derhalve:

Indien C⁴ oneindig vele drietallen in één punt samen-
komende raaklijnen bezit liggen hare vier buigpunten in
één vlak.

En omgekeerd:

Indien de vier buigpunten van C⁴ in één vlak liggen
bezit ze oneindig vele drietallen in één punt samenkomende
raaklijnen.

Parameter- Daar in de tot dusver gebruikte notatie m een ima-
dezer\'o*¹¹^ £i^nai^re waarde zou verkrijgen verdient het de voorkeur,
in navolging van Behtini, C⁴ voor te stellen door:
px 1 = u³
p x₂ = u⁴ 3 tr

px_s = u² —l < • \' • • ⁽¹⁸⁾

p X± = U

Voorwaarde Snijdt men C⁴ met het vlak:

* ao -^r2 a, a₄ x_{ = 0
dan worden haar snijpunten bepaald door:

ai m³ a₂ (m⁴ 4- 3 m²) a₃ (m² — 1) a₄ ii = 0
waaruit o. a. volgt:

3 a» 4~ a3

a₂ \'

— as
a₂ \'

zoodat:

mi m₂ lt₃ m₄ (mi «₂ 4- Ml «3 4- ml m₄ 4- m₂ »3 4" m₂ M₄ 4"

4-M3M4) —3 = 0.....(19)

de voorwaarde voor complanaire ligging van vier punten
van C⁴ voorstelt,
^«igpunten. Stelt men in (19) mi = m₂ = m₃ = m₄ = tv dan vindt
men dus voor de parameters van de raakpunten der
stationnaire raakvlakken (planaire buigpunten):

w* 4- 6 w² — 3 = 0 . . . . (20)
De waarden 2 wi w» = 0, w\\ w* w₃ w_x = — 3, die
hieruit volgen, voldoen aan (19); de buigpunten liggen
dus in één vlak. Hiermee is aangetoond dat (18) inder-
daad de te onderzoeken kromme voorstelt.

Merkt men op dat x_% -j- 3 x₃ = u^l G u* — 3, dan
blijkt dat het vlak der buigpunten wordt aangewezen
door:

4-3*3 = 0.....(21)

gevormd Op geheel dezelfde wijze als op hl. 13 kan men af-

stcunpuntcn \'⁰\'d^en dat de h, gevormd door de steunpunten der

der trisecan- trisecanten, wordt voorgesteld door de vergelijkingen:
ten.

ml u\'2 m₃ mi 4- m₂ 4" "3 = 0

(22)

mi m₂ -f- mi m₃ 4" m₂ m₃ = 3 )
en dat de parameters der punten, die met het door m₃
aangewezen punt op dezelfde trisecante liggen, worden
bepaald door:

(Ma² — 1) m² - 4 m₃ u — (Ma² 4" 3) = 0
dubbele os- Uit (19) volgt voor de betrekking tusschen de para*

culatiekoor- meters u en v van steunpunt en reslpunt van een oscu-
den. Hoofd- ^^

«³!) 3u² 3«!)-3 = 0
Zal (w, v) dubbele osculatiekoorde zijn, dan moet tevens
voldaan zijn aan

v^s u 3 v² 3 v u — 3 = 0
Door aftrekking vindt men:

(m² — v²) (uv 3) = 0
Hieraan wordt voldaan 1°. door u = v, waardoor de
buigpunten worden bepaald, 2°. door u = — v, waaruit
volgt: 3 = 0, 3° door uv — — 3, welke de waarden
u = 0, u = co levert. Wegens (18) wordt de hoofdkoorde
(0, co) voorgesteld door Xi =0, x₄ = 0. De andere
twee, bepaald door «⁴ 3 = 0, liggen klaarblijkelijk in

het vlak Xo - 3 X3. zoodat het hoofdpunt is aangewezen

door

X\\ = 0 \\

x₂ = Sx_a i......(23)

x₄ =0 )

Ligging van Na het voorafgaande is het aanstonds duidelijk dat

het coürdi- j_{iet CO}ördinatenviervlak hier geheel dezelfde ligging heeft

natenvicr- . . , _ , . .

vlak. als in het algemeen geval (bl. 20). Uok hier zijn twee

hoekpunten de steunpunten .der hoofdkoorde (0, co), en
de vlakken x_t =0 en Xi = 0 de door die hoofdkoorde
gaande osculatievlakken. Voorts zijn volgens een zoo-
even afgeleide formule de steunpunten der trisecante uit
ii = 0 bepaald door tr 3 = 0, en die der trisecante
uit ii = go door u² — 1 = 0. Beschouwt men in ver-
band daarmee de parametervoorstelling (18) dan blijkt
dat Xo = 0 het raakvlak is in u = 0, dat gaat door de
trisecante daar ter plaatse, en dat = 0 de overeen-
komstige ligging heeft in het punt u = oc.
Vergelijking Uit het voorgaande volgt dat de vergelijking van do
perboloïde⁷" hyP^erboloïde 1/ geheel als op bl. 25 kan worden afgeleid.
ƒƒ. Stelt men aanvankelijk:

X₂X_a = X (x₄ — x X_x) (*4 — /3 Xi)

dan blijkt dat men ?. = — 3, a = — ¹/₃, (3 — 1 moet
kiezen, zoodat de vergelijking van H wordt:

■= (X\\3 x₄) (Xi — x₄) . . . (24)
Eigenschap Bepaalt men het poolvlak van het hoofdpunt t. o. v.

hoofdpint ^{H dan Vindt men Uit} (²³) ^en
en het vlak X₂ 3 x₃ = 0

punten^" welke vergelijking volgens (21) het vlak der buigpunten
voorstelt. Derhalve:

Het vlak der buigpunten is het poolvlak van het hoofd-
punt ten opzichte van de liyperbolo\'ide H.

^Jer punten, Stelt men in (19) «i = «2 = u en u₃ = u₄=v dan
raak- i _c,

lijnen inéén ^{heeft men:} _{2 2} , , , . , , _Q _
punt samen- « ^{v u} « V V fl² — 3 = 0

komen. Bij gegeven u levert de vergelijking de parameter-

waarden v der beide punten, wier raaklijnen de raaklijn
van u snijden (hier, zooals we weten, in hetzelfde punt).
Noemt men de wortels v en w dan heeft men:

. 4 u u² — 3

v to =--₂ | ., v w = -7-r-r

ir 1 u -j- 1

zoodat:

. . U — OU

u v w = o 1 . , ttvto = „ . .

U -f- 1 -f- 1

4 u² . M² — 3

U V -f- u W -j- V W =--:—7

u\' 1 \' U- 1
Dus stellen:

u v to = uvw j
u v -f-u iv v w = — 3 \'
de h van de raakpunten der in óén punt samenkomende
raaklijnen voor.

h der pun- De betrekking tusschen steunpunt («) en snijpunt (t)

enUticviak⁸" ^{Van 0011 oscu}^^a^^cv\'^a\'^{c wor(}^ aangewezen door:
ken door één lt³ 2 3 tl² -f3 tl t — 3=0

gaan ^M» ^{v 011 w de worte}l^s> dan \'^ls:

u v to = — 7, u v u w -f- v to = 3, uv to — -
t \'

zoodat:

u v te -f u v to = 0 ) ^

u v u tv v 10 = 3 ^

de 7₃ voorstellen der punten, wier osculatievlakken door
één punt van C⁴ gaan.

Vergelijkt men nu (26) met (22) dan blijken deze
involuties identiek te zijn, hetgeen ons dus tot de vol-
gende eigenschappen voert:

De drie osculatievlakken, in de steunpunten van een
trisecante aan C⁴ gelegd, gaan door één punt van C⁴,
en omgekeerd:

Als men uit een punt van C^l de drie mogelijke osculatie-
vlakken aan C¹ legt dan liggen de steunpunten dier vlakken
op één rechte lijn.
Meetkundige Bij de algemeene kromme C¹ vonden we voor de
punten^d\\vaar ^mee^undige plaats der snijpunten van twee niet-opeen-
in de drie- volgende raaklijnen een kromme D^ö, de dubbelkromme

tallen raak- _{yan h t} raaklijnenoppervlak (bl. 27). In het hier be-
lijnen samen- j rr \\ >

komen. schouwde geval vertegenwoordigt elk snijpunt van raak-
lijnen drie snijpunten van het algemeene geval; de kromme
D° gaat in verband hiermee over in een driemaal te
te tellen kegelsnede. Daar de buigpunten ook als snij-
punten van drietallen raaklijnen in rekening zijn te brengen
(bl. 34) liggen ze ook op die kegelsnede, en dus:

De punten, waar de drietallen raaklijnen samenkomen,
hebben tot meetkundige plaats een driemaal te tellen kegel-
snede, die door de vier buigpunten gaat.

\' Uit (21) volgt nog dat die kegelsnede gelegen is in
het vlak x₂ -f- 3 x₃ = 0.
Oppervlak, We stellen ons voor dat het snijpunt A van een
de^vl\'akker^ raaklijnentripel zich over de kegelsnede beweegt en vragen
die de raak- ons af welk oppervlak omhuld wordt door het verbin-
vcrbüulen^>C\'^S dingsvlak x der raakpunten. Aangezien de raaklijnen
van C^l tevens de hyperboloïde II aanraken, zijn A en
x pool en poolvlak ten opzichte van II. Daar voorts
het vlak der buigpunten poolvlak is van het hoofdpunt
ten opzichte van //, en A voortdurend in eerstgenoemd
vlak blijft, zullen de vlakken « alle door het hoofdpunt
gaan, dus een kegel omhullen, met het hoofdpunt als
top. Ten slotte is duidelijk dat, daar A een kegelsnede

doorloopl, a. een kegel van den tweeden graad moet
omhullen. Derhalve:

De vlakken, die de raakpunten der raaklijnentripels
verbinden, omhullen een kegel van den tweeden graad, die
het hoofdpunt tot top heeft.

2. De kromme C* met twee stationnaire raaklijnen.

Stationnaire Bij de behandeling der algemeene C⁴ werd (bl. 13)
daklijnen. _yoor ^ ^ _yan (j_e steunpunten der trisecanten gevonden:

ti U t_s m {ti h h) = 0 \\

m (ti U h h U h) 1 = 0 S

We gaan nu onderstellen dat deze h een drievoudig
element bezit, waarvoor ti =t₂ = h — u, zoodat dan aan:
u³ 3 mu = 0 l
3 m w² 1 = 0 ï
gelijktijdig moet worden voldaan. Nu is dit blijkbaar

slechts mogelijk als 3 m = d. w. z. als 9 m* — 1= 0

is. Wanneer m aan deze betrekking voldoet zullen er
dus twee drievoudige elementen zijn, waarbij nog de
beide gevallen zijn te onderscheiden: 1°. 3?« = l,in
welk geval de drievoudige elementen worden aangewezen
door u-— —I, en 2°. 3 m = —1, waarbij de drie-
voudige elementen door ir = 1 worden bepaald.

Meetkundig beteekent dit, dat er twee trisecanten zijn,
waarop de drie snijpunten met de kromme in één punt
zijn vereenigd, of wel dat C\' twee stationnaire raaklijnen
bezit. De raakpunten zelf zullen als lineaire buigpunten
worden aangeduid.
Eigenschap Klaarblijkelijk zal nu het bezit van de stationnaire
twee^taf^{01 raa}^ö^{nen s}t°^e(-l^s samengaan met een andere eigenschap
nairo raak- der CK Want we vonden (bl. 17 noot) dat C\' oneindig
\'\'jncn. _vej_e dubbele osculatiekoorden bezit indien 9 >«² —1=0,
hetgeen juist de voorwaarde is, die we zooeven vonden
voor het aanwezig zijn van lineaire buigpunten. En dus:

Indien C^l twee stationnaire raaklijnen bezit, heeft, ze
oneindig vele dubbele osculatiekoorden.

En omgekeerd:

Indien C⁴ oneindig vele dubbele osculatiekoorden bezit,
heeft ze twee stationnaire raaklijnen.

Van de beide bovengenoemde gevallen 3 m = ± 1
beschouwen we nader het geval 3 m — — 1, waarbij
u² = -f 1, zoodat de raakpunten der stationnaire raak-
lijnen worden bepaald door:

«i = 1 en v 2 = — 1 . . . (27)
en deze dus reëel zijn. De planaire buigpunten worden
gevonden uit (1), welke in dit geval de gedaante aan-
neemt:

u⁴ - 2 u\' 1 = 0

of:

(m² - l)² = 0

Dus:

IJe vier planaire buigpunten vallen twee aan twee met-
de lineaire buigpunten samen.

Stelt men in de voorwaarde (2) voor complanaire
ligging, welke thans

111 «2 «8 «4 — ^l/3 («1 "2 Ml «3 Ml Ui -f- «2 l<3 «2 «4

«3 Ui) -f 1 = 0
is, Ui = Uo = u₃ = u, «4 = v, dan vindt men:

u³ v — u² — u v -f- 1 = 0

of:

(u² — ]){uv - 1) = 0

of:

u v = 1......(28)

waardoor dus het verband wordt aangewezen tusschen
de parameters van steunpunt en restpunt van een oscu-
latievlak. Daar u en v op dezelfde wijze in (28) voor-
komen blijkt hieruit opnieuw het bestaan van oneindig
vele dubbele osculatiekoorden, waarvan de steunpunten
de h vormen, die door (28) wordt voorgesteld.

De dubbele osculatiekoorden vormen een regelvlak,
dat we thans nader gaan onderzoeken. Noemen we de

lineaire buigpunten (27) U_x en U₂, de steunpunten eener
willekeurige osculatiekoorde U en V, dan leidt men
gemakkelijk uit de voorwaarde voor complanaire ligging

Hl U» U₃ tl 4 - («1 U-2 Ul «3 4" »1 »4 tl2 1(3 -f- »2 «4

»3 M4) 1=0,

in verband met (27) en (28) af, dat de vier punten U\\,
U₂, U qn V in één vlak liggen, zoodat de koorde
U\\ U₂ door elke der dubbele osculatiekoorden wordt
gesneden. Ook vindt men uit de voorwaarde voor com-
planaire ligging dat twee dubbele osculatiekoorden U V
en U\' V\' elkaar zullen snijden als voldaan wordt aan
u v u v\' — ¹/₃ \\ti v u\' v\' (u v) (u\' ?/)] 1—0
of, wegens (28), indien men heeft

(u i;) («\' /) = 4;
hieruit blijkt dat elke dubbele osculatiekoorde door één,
en slechts één, andere zoodanige koorde wordt gesneden.

Uil de beide laatstgevonden resultaten volgt dat telkens
twee dubbele osculatiekoorden U V en U\' V\' en de
koorde U\\ U₂ door één punt gaan (ze kunnen n.1. niet
in één vlak liggen, daar zulk een vlak zes punten met
C\' gemeen zou hebben); dus:

De dubbele osculatiekoorden snijden elkaar twee aan twee
op de lijn die de lineaire buigpuntm verbindt.

Elk vlak door de lijn Ui U₂ bevat nog slechts één
dubbele osculatiekoorde, endaar U\\ Ui zelf dubbelrechte
is van het gezochte regelvlak heeft men blijkbaar:

De dubbele osculatiekoorden vormen een regelvlak van
den derden graad, waarop de verbindingslijn der lineaire
buigpunten dubbelrechte is.

Om de enkelvoudige richtlijn van dit regelvlak te
bepalen zoeken we de snijlijn van twee vlakken, die
elk twee snijdende dubbele osculatiekoorden bevatten.

Het eenvoudigst is het de vlakken te nemen, waarin
de koorden U V en U\' V\' samenvallen. Wegens de
straks gevonden betrekking (« ?;) (u\' t/) = 4 zullen
deze koorden samenvallen voor ± 2. In ver-

band met (28) kan hieraan slechts voldaan worden door
de lineaire buigpunten (27).

Men heeft dus:

De enkelvoudige richtlijn van het regelvlak der dubbele
osculatiekoorden is de snijlijn der beide stationnaire raak-
vlakken.

Voor de kromme met twee stationnaire raaklijnen
heeft Cremona *) een zeer eenvoudige parametervoorstel-
ling gegeven. Hij kiest het coördinatenviervlak als volgt:
Xi=0 stelt het stationnaire raakvlak in U\\ voor,
x₄ — 0 dat in lf»-, x₂=0 is het vlak dat door de
stationnaire raaklijn in U_x en het punt U₂ gaat, terwijl
het vlak x₃ = 0 door de raaklijn van U» en het punt
U\\ gaat. Indien men dan aan de punten Ui en
de parameterwaarden 0 en co toekent, verkrijgt men
klaarblijkelijk de volgende parametervoorstelling:

p Xi = u⁴
p x₂ — U³
p X₃ = U
pX4 = 1

Snijdt men C⁴ met het vlak:

al Xi -f a₂ x₂ -f as X₃ a₄ x₄ = 0,
dan worden de snijpunten bepaald door

Ai M⁴ -f A₂ u³ A₃ u -f- Ai = 0,
waaruit men dadelijk afleidt dat:

ml «₂ ml «3 -f- «1 U4 U₂ «3 «2 U\\ 113 «4 = 0 (30)
de voorwaarde voor complanaire ligging van vier punten
van C^l voorstelt.

Voor ui = ih = us = ii, "4 = v geeft (30):

«-f» = 0......(31)

waardoor dus het verband wordt aangewezen tusschen
de parameters u en v van steunpunt en restpunt van
een osculatievlak. De betrekking is, zooals te verwachten

\') Sopra una certa curva gobba di quart\'ordinc. (Rend. Tst.
Lomb. II, 1, 1868).

was, symmetrisch, daar alle osculatiekoorden dubbele
osculatiekoorden zijn.
Vergelijking De snijpunten van C⁴ met het vlak:

bepaaW door\' ^Al ^ ^x2 A₃ *₃ A₄ = 0

^v\'ier co ra pl a- worden gevonden uit de vergelijking:
^Qairepunten. _Al „4 „3 _{As w} ^ _{= 0}.

Men heeft dus

«1 4" tl 2 4" M₃ «₄ = — —

Al

Ui «2 M₃ -f- Ui tt2 Ui 4" Hl 113 Ui -}- tl2 U3 Ui ~ — —

Ai

Ai

tl 1 U₂ tl3 Ui = —
Al

Het vlak der complanaire groep »1, «₂, »3, «4 heeft
dus tot vergelijking:
Xi — (i<i U2 4" «8 m) X₂ — (ttl «2 «3 4" «11121/4 4-
4" Ml M₃ m Mo M₃ M4) x₃ 4~ Ml Ui U3 Ui Xi — 0 (32)
Vergelijking Stelt men Mi = m₂ = «3 = m, M4 = » en houdt men
SiatSvlak." rekening met (31) dan gaat (32) over in:

xi — 2 u x₂ 4~ 2 M³ x_a — u* Xi — 0 . . (33)
waardoor dus het osculatievlak in (m) wordt aangewezen.
Klasse van Bij gegeven waarden van Xt,x_2}x₃ en x₄ stelt (33)
een vierdemachtsvergelijking in u voor; door een wille-
keurig punt van de ruimte gaan dus vier osculatie-
vlakken, of wel:

De kromme C* niet twee stationnaire raaklijnen is van
de vierde klasse.

Eigenschap- Merkt men op dat uit (33), opgevat als vierdemachts-
Cdo\'dcliit vergelijking in u, volgt

willekeu- ui Ug 4" "3 4~ Mi M4 4" «2 Ma 4" »2 M₄ 4" »3 «4 — 0
9 teTeggeH ^{dan bli}J^kl\' wegens (30), dat de steunpunten der vier
vlakk"^tie" osculatievlakken, die men door een willekeurig punt dei-
ruimte aan C⁴ kan leggen, complanair zijn. Derhalve:
Legt men uit een willekeurig punt van de ruimte de
vier mogelijke osculatievlakken aan Cⁱt dan liggen de vier
steunpunten dezer vlakken in één vlak.
En omgekeerd:

De osculatievlakken, in vier complanaire punten van C^l
aan de kromme gelegd, gaan door één punt.

Er is echter nog een bijzonderheid op te merken.
Een willekeurig vlak:

Al xi A₂ x₂ -f- A₃ x₃ -f- A₄ x₄ = 0
snijdt, zooals we weten, C^4, in vier punten, bepaald door:
Ai uⁱ A₂ u³ -f- A₃ u A₄ = 0
Denkt men zich nu in elk dezer punten het osculatie-
vlak aangebracht dan snijden deze osculatievlakken elkaar
in één punt F, welks coördinaten men bepaalt door
de laatste vergelijking te identifieeren met (33), aldus
geschreven:

— y\\ u⁴ -f- 2 y₃ u³ — 2 y₂ u yi =0;
men heeft dan

Ai: A₂: A₃: A» = — y\\: 2 y₃: — 2 y₂: yi
Nu blijkt echter dat Ai A₂ y₂ A₃ y₃ A₄ y₄ iden-
tiek nul is, zoodat Y in het gegeven vlak ligt. Alles
samenvattend kan men dus zeggen:

Legt men door een willekeurig punt van de ruimte de
vier mogelijke osculatievlakken aan C^l dan liggen de vier
steunpunten dezer vlakken met het gegeven punt in één vlak.
En omgekeerd:

De osculatievlakken, in vier complanaire punten van
\' C^l aan de kromme gelegd, gaan door één punt, dat in
het vlak der vier punten ligt.
Vergelijking Door combinatie leidt men uit (29) nog af:

van de hy- _x = *3.....(34)

perboloide

ƒ/. Daar dit de vergelijking van een quadratisch regelvlak

is, waarop C^l geheel is gelegen, stelt (34) blijkbaar de

eenige door gaande hyperboloïde II voor.

Vergelijking We zullen, om de vergelijking van het regelvlak der

van het re- dubbele osculatiekoorden te zoeken, zulk een koorde
gelvlak der

dubbele os- U V voorstellen als snijlijn van het vlak, dat door u \\
culatiekoor- _en ^ ^ _{gaat (bl 41}) _met ]_{iet vlak> dat door} U V en

de haar snijdende koorde U\' V\' kan worden gelegd.
Stelt men dus in (32) i<i = 0, U2 = &>, m₃ = wen houdt

rekening met (31) clan wordt liet eerste dezer vlakken:

x<l — «² x_a

Voor liet vlak, dat door de snijdende dubbele oscu-
latiekoorden U V _en U\' V\' gaat, geeft (32), eveneens
in verband met (31):

X₁ = — u² _U\'² X\\
waarbij echter de snijding dezer koorden moet worden
uitgedrukt door de betrekking (30), welke geeft:

O I /"> _ /-\\

tl*-j- u * = 0

Elimineert men u en u\' uit het laatste drietal ver-
gelijkingen dan verkrijgt men:

xi — x\\ x₄ = 0 .... (35)
welke vergelijking dus het regelvlak der dubbele oscu-
latiekoorden voorstelt.

3. De kromme C⁴ met een dubbelpunt.

Voorwaarde We zagen op bl. 11 dat de voorwaarde voor com-
»S\'uSSg P\'^{an£ure van v}\'^er punten op C^l in de meest al-

^v\'^anvierpun- gemeene parametervoorstelling aldus kan worden ge-
°P schreven:

Ao Ul Uo Ms U4 Al (»1 Ui «3 • • • • »2 «3 tt4) 4"
Ai (til «2 . . • «3 tl4) As (Ul «2 1/3 M4)
y|₄ = 0

We gaan nu onderstellen dat C\' een dubbelpunt bezit
en kennen aan de op elkaar vallende punten in het
dubbelpunt de parameterwaarden u — 0 en u — co toe.
Deelt men de bovenstaande vergelijking door m en stelt
men daarna 113=0, 114 = cc, dan heeft men:
Al Ut Ui Ai (»1 -f- Ui) J₃ = 0
Daar nu hieraan door iedere waarde van «1 en m»
moet worden voldaan — immers elk tweetal punten ligt
met het dubbelpunt in één vlak — moeten de coëffi-
ciënten Ai, A» en A₃ nul zijn, zoodat. de voorwaarde
voor coniplanaire ligging deze eenvoudige gedaante aan-
neemt :

«1 Ut Ua Ui =k.....(3G)

Station- Voor ?<i = ?<₂ = "3 = u₄ — u geeft (36):
nairc raak- , ₇ . .
vlakken. u* = k......(37)

De wortels dezer vergelijking bepalen de raakpunten
van vier stationnaire raakvlakken. De kromme C^l met
dubbelpunt bezit dus, evenals de algemeene vier
planaire buigpunten.

Eigenschap- Stelt men in (36) «i = «2 — «3 = u, u₄=v dan
pen der oscu- , _r.
latievlakken. ^{heeft men :}

«³ v = k (38)

Bij een gegeven waarde van v vindt men drie waarden
voor u, dus:

Door elk punt der C⁴ met dubbelpunt gaan drie vlakken,
die haar elders osculeeren.

De waarden u, die bij een gegeven waarde van v
behooren, zijn volgens (38):

_Ul = «2 — « |y^, «3 = a²

waarbij <z = ¹l₂(—1 ±i |/3) is. Merkt men op dat
ui Ui ?<s v = k, dan blijkt dus, evenals bij de algemeene C^l:

Legt men door een punt der kromme C⁴ met dubbel-
punt de drie mogelijke oseulatievlakken, dan liggen de
steunpunten met het eerstgenoemde punt in één vlak.

Wanneer men in vier complanaire punten van de
kromme de oseulatievlakken aanbrengt gelden volgens
(38) en (36) de betrekkingen:

u³ivi=k, U2*Vi = k, «₃³1>₃ — k, ui³ v₄ = k,
ul ut «3 «4 = k

waaruit men afleidt

v 1 V2 VaV₄=k

Derhalve:

De oseulatievlakken, in vier complanaire punten aan de
kromme C^l met dubbelpunt gelegd, snijden haar in vier
andere punten, die eveneens complanair zijn.

Dubbele os- Onderstelt men dat het osculatievlak in u de kromme
j"," \' in v snijdt en dat het osculatievlak in v evenzoo w tot
restpunt heeft, dan heeft men:

u³ v — k en v³ w = k

Door eliminatie van v vindt men de volgende be-
trekking tusschen u en tv:

u^d — k² w

Identifieert men w met u dan zullen dus de parameter-
waarden der steunpunten van dubbele osculatiekoorden
worden gevonden uit:

«o -k²u = 0

Deze vergelijking kan gesplitst worden in de volgende:
1°. « — O, waarbij volgens (38) als tweede steunpunt
behoort i< —co.

Een der hoofdkoorden is dus de snijlijn der beide
osculatievlakken, in het dubbelpunt aan C^l gelegd.

2°. u⁴ — k = O, waardoor volgens (37) de planaire
buigpunten worden bepaald.

3°. u^iJrk = 0, welke nog vier punten, dus twee
dubbele osculatiekoorden, bepaalt. De wortels zijn

(Va V 2 ± V2 %V 2) V k, (- ⁴/22 ± V*»V 2) P k.

Door aftrekking van «³ v = k en u v* = k leidt men
gemakkelijk af dat telkens twee tegengestelde waarden
bijeenbehooren. •

Samenvattend vindt men dus dat de steunpunten van
de niet door het dubbelpunt gaande dubbele osculatie-
koorden worden voorgesteld door

u\\ k—0......(39)

terwijl de drie hoofdkoorden Pi i\\>, I\\ Pa en P₅ P₆ zijn
gekenmerkt door de volgende parameterwaarden hunner
steunpunten:

\\ p₂= oo

\\ p₄ = (-^xl₃l/2-¹l2i^2)^k ( \' W

Pt — (^lh V ~ •— ^l\\t.iV 2) yy k
^ = (-»/2|/2 ^l/s»V 2)1yj:

^p kromme Reeds op bl. 3 werd opgemerkt dat de kromme C^x
talpunt als\'" ^met dubbelpunt» hoewel rationaal, ook als vierdegraads-
basiskromme kromme van de eerste soort kan worden beschouwd.

Ze is toch de basiskromme van een bundel quadratische

bundel qua- oppervlakken, die elkaar in een punt (het dubbelpunt
dratischeop- , , _v ,

pervlakken. ^van de kromme) aanraken.

We vragen thans naar de kegels, die in dezen bundel
voorkomen. Vooreerst is duidelijk dat hiertoe behoort
de kegel T, die C^l uit het dubbelpunt projecteert. Deze
toch is van den tweeden graad, daar elk vlak door het
dubbelpunt nog twee snijpunten met C^l bevat. De
beschrijvende lijnen van F zijn blijkbaar als oneigenlijke
trisecanten op te vatten, zoodat onder alle exemplaren
van den bundel de kegel F in het bijzonder het trise-
cantenoppervlak H van het algemeene geval vervangt.

Twee andere kegels, Fi en r₂, worden als volgt ver-
kregen. Zij Z het vlak der hoofdkoorden P₃ P4 en P& Pc.
Daar ook hier de drie hoofdkoorden door één punt gaan,
zal het snijpunt C van P₃ P» en P₅ Pc het punt zijn,
waar Pi I\\ het vlak Z doorboort. We stellen nu het
snijpunt van P₃ Pr, en P4 Pc voor door A, dat van P₃ Po
en P\\ P5 door B; A, B en C zijn dan de nevenhoek-
punten van den volledigen vierhoek Pi P₂ P₃ P4.

Voor elke koorde (u v), die P_:, P₅ snijdt, ispz p&uv — k;
daar blijkens (40) p₃ pa = p_x p_ü is, zal dan ook p_x ps uv — k
zijn, zoodat die koorde dan ook P» P« zal snijden. Der-
halve: elke koorde, die P_a P> snijdt, zal ook P4 Pc snijden,
en dus, daar geen drie koorden in één vlak kunnen
• liggen, door A gaan. Een soortgelijke beschouwing
geldt voor het punt B; A en B zijn dus de toppen van
twee kegels Fi en To, welke door koorden van C\'¹
worden gevormd.

Men heeft dus:

Onder de quadfatische oppervlakken van den bundel, die
door C^x wordt bepaald, komen drie kegels voor: de kegel
F, welke C^l uit het dubbelpunt projecteert en de kegels Ti
en F₂, die elk C* dubbel projecteeren.
Eigenschap- Noemt men de raaklijnen in het dubbelpunt t₀ en t_M
dubbelpunts°- dan zullen de osculatievlakken in het dubbelpunt den
raaklijnen, kegel T raken volgens t₀ en t_M. De snijlijn der ge-
noemde osculatievlakken is dan poollijn van het vlak

der lijnen to en t_x ten opzichte van F. Daar echter
de snijlijn der osculatievlakken van het dubbelpunt de
hoofdkoorde (0,oo) voorstelt (bl. 47) volgt hieruit:

De hoofdkoorde Pi Pi is de poollijn van het vlak der
dubbelpuntsraaklijnen ten opzichte van den kegel T.

Merkt men op dat in de doorsnede met vlak Z het
punt Cen de lijn A B pool en poollijn zijn ten opzichte
van de kegelsnede, volgens welke Z den kegel F snijdt,
en dat C het punt is, waar Pi P> vlak Z doorboort,
dan blijkt dat het vlak van t₀ en t^ het vlak Z moet
snijden volgens AB; dus:

liet vlak der dubbelpuntsraaklijnen gaat door de toppen
der dubbel project eer ende kegels Fi en F®.

Parameter- E_en eenvoudige parametervoorstelling der kromme <7⁴
de^kromme met dubbelpunt verkrijgt men door het coördinaten-
C\' met een viervlak als volgt te kiezen. Het vlak a:i=0 zij het
osculatievlak in u = co, x₂ = 0 het vlak der dubbel-
puntsraaklijnen, x_a = 0 liet osculatievlak in « = 0, en
X\\ — 0 het vlak Z, der hoofdkoorden P4 en P& Po.
Men heeft dan, in verband met (39):

p X\\ —u

0 X₂ = U²

= * >.....(«)

p X\\ — u* -f- k

vTnd⁸⁶¹\'^\'"⁵ Uoor combinatie leidt men aanstonds uit (41) de ver-
del quadrn- gelijkingen van twee quadratische oppervlakken af, welke

tischoopper- _men d₀or C* kan leggen:
vlakken, , , . ,

waarvan & "T" » ^xi — -^r2

de basis- _en:

kromme is. ,

x_lx_a = x_s²......(42)

van welke de laatste een kegel met O4 als top, dus

klaarblijkelijk den kegel F voorstelt. De vergelijking van

den bundel wordt nu:

(k Xi² — x» X\\ -}- x_a²) -f- A (x\'i x_a — x₂²) — 0 . (43)

R^X\'fc Zoekt men op de bekende wijze de kegels in dezen

^elprojcctee- bundel op, dan blijkt dat A² = 4 k moet zijn. Men vindt,

rende kegels als men in (43) achtereenvolgens A = 2 V k en
Tx en Ti. _{x =} _ ₂ y _{h kiest:}

(*₃ V ky = x₂ [Xi 4- <ïx₂V k) )
en: (x_s — x_xV k)² == — 2 x₂ V k) )\'
waardoor dus de kegels Ti en r₂ worden aangewezen.

Verdere ei- j)_e toppen der laatstgenoemde kegels worden voor-
genschappen

der kegels, gesteld resp. door;

x₃ = — x_xV k \\ x₃ = -f- Xi V k \\

x₂ = 0 £ en: x₂ = 0 >

x^ = 0 ) x₄ =0 )

Ze liggen dus beide in het vlak Z der hoofdkoorden
P3 P4 en P5 Pg en ook in het vlak der dubbelpunts-
raaklijnen, welke resultaten reeds langs anderen weg
werden gevonden.

Zoekt men het poolvlak van de lijn x_Y ■=. 0, x_a =0
ten opzichte van den kegel F dan vindt men x₂ = 0.
Het poolvlak der hoofdkoorde Pi P₂ ten opzichte van T
is dus het vlak der dubbelpuntsraaklijnen. Ook dit
resultaat was reeds langs anderen weg gevonden.

Vergelijking Snijdt men O¹ met een willekeurig vlak:

van een os- . . , __

culatievlak. Ai Xi -f- A₂ X₂ -f- A₃ X₃ -f- A₄ X₄ — U

dan worden volgens (41) de snijpunten aangewezen
door:

Ai u A₂ ir A₃ m³ A₄ m⁴ -f- A4 k = 0
Nvaaruit men afleidt:

«1 M₂ «3 «₄ = —

A4

ml U₂ -{- mi m3 mi m4 -f- mo ms -f" U₂ V\\ -f- m3 Ui =

M

mi Mo ï/3 mi Mo m4 ml m3 m₄ -f" U₂ «3 m4 = —

A₄

Stelt men ui = u₂ =■ m3 = u, u₄ = v, dan heeft men:
3« » = - 3m² 3uü = -, «»■ 3u²v = — ^

A4 A4 A4

Elimineert men, met behulp van (38), v, dan vindt
men na een korte herleiding voor de vergelijking van
het osculatievlak in het punt met parameter u:

. («^G 3 k u²) x_t — (3 H⁵ 3 k u) x₂ (3 u⁴ 4- k) Xs —

— u³x4 = 0.....(45)

Klasse der Wanneer men de grootheden * als vast aanneemt
talpunt ^dub~ ^een zesdegraadsvergelijking in u voor. De

wortels bepalen de zes punten van C⁴, waarvan de
osculatievlakken door het gegeven punt gaan. Dus geldt
hier, evenals bij de algemeene kromme C^l (bl. 23):

Door elk punt van de ruimte gaan zes osculatievlakken
naar de kromme C⁴ met dubbelpunt.

Of wel:

De kromme C⁴ met dubbelpunt is van de zesde klasse.

Ook is, evenals bij de algemeene kromme C⁴, dit
resultaat af te leiden uit het feit, dat uit een op C⁴
gelegen punt drie osculatievlakken mogelijk zijn, terwijl
het osculatievlak in het gekozen punt voor drie samen-
vallende osculatievlakken is te tellen.
Raaklijnen- Door geheel dezelfde beschouwingen als in Iloofd-
oppervlak. g^ jr 4 komen we tot liet inzicht dat het raaklijnen-
oppervlak van den zesden graad en van de zesde klasse
is en dat het een dubbelkromme van den zesden graad
bezit.

Dubbelkrom- Voor deze dubbelkromme vindt men echter hier iets
ïiakli^anⁿen^het bijzonders. Door differentiatie vindt men uit (45):
oppervlak." (G m⁵ 4-6 k u) x, - (15 u⁴ 4- 3 k) x₂ 12 u³ x_a —

- 3 u² X\\ — 0.

Nu stelt deze vergelijking, met (45), de raaklijn in u
voor. Deze ligt dus ook in het vlak, welks vergelijking
men verkrijgt door uit beide vergelijkingen x_x te elimi-
neeren. Door

— 2 u x₂ 4" = 0

wordt dus het vlak voorgesteld dat de raaklijn uit O4
projecteert.

Een tweede raaklijn, in v, is evenzoo gelegen in hot
vlak:

V² Xi —Vv A\'2 4" x_a = 0

Indien deze raaklijnen elkaar snijden ligt hun snijpunt
in het vlak, waarvan de vergelijking verkregen wordt

door uit de laatste twee vergelijkingen x₂ te elimineeren.
Men vindt

uv Xi — x₃

waarbij echter volgens (36) de parameters u en v worden
verbonden door de betrekking:

u² v² = k

Hieruit volgt dat het snijpunt van twee elkaar snij-
dende raaklijnen moet gelegen zijn in een der beide
vlakken

x₃ — -f Xi V k en x₃ = — x_xV k
De kromme van den zesden graad is dus ontaard in
twee vlakke kubische krommen. Haar vlakken gaan
door de ribbe O₂ O4, d. w. z. door de snijlijn der oscu-
latievlakken in het dubbelpunt, of wel door de hoofd-
koorde Pi P2. Ook gaan deze vlakken blijkbaar elk
door een der op bl. 50 gevonden kegeltoppen. En dus:
De meetkundige plaats der snijpunten van twee niet op
elkaar volgende raaklijnen bestaat uit twee vlakke krommen
van den derden graad; de vlakken dezer krommen gaan
door de hoofdkoorde Pi P₂ en ieder door een der toppen
A en B van de dubbelprojecteerende kegels I\\ en F₂.

Aan deze vergelijking moet nu worden voldaan door
iedere waarde van U\\ en m₂, daar elk tweetal punten
van C⁴ met het keerpunt in één vlak ligt. Derhalve
moeten de coëfficiënten Ao, Ai en A₂ nul zijn en de
voorwaarde voor complanaire ligging wordt eenvoudig:

Ui "f" «₂ -f- U₃ 1(4 = k

Stationnair Stelt men mi = m₂ = m₃ = ii\\ — m, dan gaat de ver-
raakvlak. kregen vergelijking over in: u = ¹j_i k. En dus, daar
hier slechts één waarde van u wordt gevonden:

De kromme C⁴ met een keerpunt bezit slechts één stationnair
raakvlak.

We kennen aan het gevonden planaire buigpunt ge-
makshalve de parameterwaarde 0 toe; k wordt dan nul,
en de voorwaarde voor complanaire ligging gaat over in:
Ml "2 ""f" »3 «4 = 0. . . . (46)

Eigenschap- Voor Mi = m₂ = «3 = u, m = v wordt (46):
penderoscu- _n , „
laticvlakken. 3 u -J- v = 0......(47)

Bij een bepaalde waarde van v behoort slechts één

waarde van m, dus:

Door elk punt der C⁴ met een keerpunt gaat slechts

één vlak, dat haar elders oscilleert.

Brengt men in vier punten van C⁴ het osculatievlak

aan, dan heeft men volgens (47):

Vi — — 3 Mi, V₂— — 3 «2, V\'s = — 3 Ms, t\'4 = — 3 M₄

Wanneer nu Mi u₂ «3 »4 = 0 is, zal ook

vi v₂ Va 4- V4 =■ 0 zijn, derhalve:

De osculatievlakken, in vier complanaire punten aan de

kromme C⁴ met een keerpunt gelegd, snijden haar in vier

andere punten, die eveneens complanair zijn.

Klaarblijkelijk is ook het omgekeerde waar:

Wanneer men uit vier complanaire punten van de

kromme C⁴ met een keerpunt telkens het eenig mogelijke

osculatievlak aan C⁴ legt, dan liggen de vier steunpunten

dezer vlakken eveneens in één vlak.

De kromme Onderstelt men dat het osculatievlak in u de kromme

Qj

keerpunt be- ^{in v sni}J^dt en dat bÜ ^{v als} osculatiepunt weer w als
^z\'t geen dub- restpunt behoort, dan heeft men:

bele oscula- 3 u -{- v = 0 en 3 v w = 0

tiekoorden. _{dug w =} g _u

Voor een dubbele osculatiekoorde moet w met u
samenvallen, dus heeft men

u = 9 u.

Hieraan voldoet slechts u = 0, waardoor het planaire

buigpunt wordt aangewezen. Behalve deze oneigenlijke

oplossing bestaan er dus geen dubbele osculatiekoorden.

De kromme We gaan thans aantoonen dat de kromme C⁴ met

C⁴ met een _een keerpunt, evenals die met een dubbelpunt, hoewel
keerpunt als ^r 1

basiskromme rationaal, toch als vierdegraadskromme van de eerste

van een bun- _soort kan worden beschouwd. Dit zal bewezen zijn
del quadra- ^J

tische opper- zoodra men twee quadratische oppervlakken heeft ge-

vlakken. vonden, die beide door C⁴ kunnen worden gelegd.

Wanneer men C⁴ uit het keerpunt projecteert, ver-
krijgt men een kegel A van den tweeden graad; immers
elk vlak. door het keerpunt geeft nog twee snijpunten
met C⁴, dus twee ribben van den kegel. De beschrij-
vende lijnen van A kunnen als oneigenlijke trisecanten
worden beschouwd; de kegel A vervangt dus weer de
hyperboloïde II van het algemeene geval.

Voorts bestaat er nog een dubbelprojecteerende kegel
Ai, waartoe men als volgt komt. We zullen kortheids-
halve twee punten Mi en u₂, waarvoor «i «» = 0 is, twee
■harmonische punten van C⁴ noemen, daar ze blijkbaar
harmonisch liggen ten opzichte van het keerpunt (u — co)
en het buigpunt (ü = 0). Uit (4G) volgt dan dadelijk,
dat twee paren harmonische punten steeds in één vlak
liggen, of, als men de verbindingslijn van twee harmo-
nische punten een harmonische koorde noemt, dat elke
harmonische koorde door elke andere harmonische koorde
wordt gesneden. Het regelvlak der harmonische koorden
is dus een kegel Ai, die blijkbaar van den tweeden
graad is; immers elk vlak door zijn top geeft vier snij-
punten met C⁴, dus twee harmonische koorden.

grachten we nog de ligging van den top van Ai te
bepalen. De raaklijn in het buigpunt is klaarblijkelijk

als oneigenlijke harmonische koorde te beschouwen; zoo
ook de lijn, die de punten u = cc, u = cc in liet keer-
punt verbindt. Weliswaar is de richting dezer laatste
lijn onbepaald, doch ze moet in het osculatievlak van
het keerpunt liggen en dus:

Er bestaat een lcegel Ai van den tweeden graad, die
de kromme C⁴ met keerpunt dubbel projecteert; zijn top
ligt in het punt, waar de raaklijn van het buigpunt het
osculatievlak van het keerpunt snijdt.

De kromme C⁴ met een keerpunt is dus werkelijk
snijkromme van twee quadratische oppervlakken (vierde-
graadskromme van de eerste soort), doch in een zeer
bijzonder geval. Want beide kegels A en Ai hebben
blijkbaar tot raakvlak het osculatievlak in het keerpunt,
terwijl de top van A op Ai ligt.

Terwijl de vierdegraadskromme met dubbelpunt ont-
staat als doorsnede van elkaar rakende quadratische
oppervlakken in het algemeen heeft men dus hier:

Elke kromme C⁴ met een keerpunt is te beschouwen als
doorsnede van twee quadratische kegels, die beide aan
eenzelfde plat vlak raken, terwijl de top van een dezer
kegels op den anderen kegel is gelegen.
Raaklijnen- Het ontwikkelbare regelvlak der raaklijnen, dat bij de
oppervlak, algemeene C* van den zesden graad is (hl. 27), blijkt bij de
kromme C⁴ met een keerpunt slechts van den vi jfden graad
te zijn. Want beschouwt men ook hier de U der punten,
die op 6\'⁴ door een willckeurigen vlakkenbundel worden
ingesneden, dan vindt men weliswaar, evenals vroeger,
zes coïncidenties, maar hiervan is het keerpunt er één.
l)e overige vijf bepalen elk een raaklijn der kromme,
die de as van den bundel snijdt, dus:

Het raaklijnenoppervlak der kromme C⁴ met een keer-
punt is van den vijfden graad.
bubbelkrom- Kiest men als as van een vlakkenbundel een raaklijn
"ie van het _Van C⁴, dan bepalen de vlakken van den bundel op
°ppcrvluk. ^een Deze bezit twee coïncidenties, waarvan het
keerpunt weer één vertegenwoordigt. De tweede bepaalt

de eenige raaklijn, die de gekozen raaklijn snijdt, en dus:
Elke raaklijn der kromme C⁴ met een keerpunt icordt
door slechts één andere raaklijn gesneden.

De snijpunten van alle paren elkaar snijdende raak-
lijnen vormen op het raaklijnenoppervlak een dubbel-
kromme, waarvan we thans den graad gaan zoeken.
Het raaklijnenoppervlak is van den vijfden graad en
rationaal; een willekeurige vlakke doorsnede is dus een
rationale kromme van den vijfden graad, die dus zes
singuliere punten moei bezitten. Nu zijn er blijkbaar
reeds vier keerpunten, immers C⁴ is keerkromme op
het raaklijnenoppervlak en zij doet dus in de doorsnede
vier keerpunten ontstaan.

Er zijn dus in elke vlakke doorsnede twee dubbel-
punten en de gezochte dubbelkromme is derhalve een
kegelsnede. Daar voorts het keerpunt en het buigpunt
als oneigenlijke snijpunten van raaklijnen zijn te be-
schouwen kan men zeggen:

De meetkundige plaats der snijpunten van twee niet op
elkaar volgende raaklijnen is een kegelsnede, die door het
keerpunt en het buigpunt gaat.

Oppervlak, Stelt men in (46) «₃ = Mi, u\\■— u₂, dan verkrijgt men:
omhuld door _{Ml M} _ ₀

de dubbel-

raakvlakken. welke dus de betrekking tusschen de parameters van
de raakpunten van een dubbelraakvlak is. Nu zijn dit
blijkbaar harmonische punten; omgekeerd kunnen elke
twee harmonische punten als raakpunten van een dub-
belraakvlak optreden. Doch dan zijn alle dubbelraak-
vlakken van C⁴ raakvlakken van den kegel Ai en om-
gekeerd, dus:

Het oppervlak, omhuld door de dubbelraakvlakken der
kromme C⁴ met een keerpunt is de kegel Ai, die C⁴
dubbel projecteert.

Parameter- .

voorstelling Een eenvoudige parametervoorstelling van de kromme

C*^rmet"eerf*^{met een keer}P^unt verkrijgt men als volgt: x_x .-= 0 zij
keerpunt. liet stationnaire raakvlak, d.i. het osculatievlak in het

buigpunt; x₂ — O het vlak door de raaklijn van het
buigpunt en door het keerpunt gaande; x₃ — 0 het vlak,
dat door de raaklijn van het keerpunt en door het
buigpunt kan worden gelegd; eindelijk stelle x₄ — 0 het
osculatievlak in het keerpunt voor. In verband met de
parameterwaarden u = co voor het keerpunt en u — 0
voor het buigpunt heeft men dan:

p Xi = M⁴

p x₂ = u²
pX_s = u
P X4 = 1

Door combinatie leidt men uit (4-8) af:
X₂ X₄ ~ x₃² . .

(49)

en:

X!X4=ZX₂² .....(50)

welke dus twee quadratische oppervlakken voorstellen,
die door de kromme kunnen worden gelegd. De eerste
vergelijking stelt een kegel voor met Oi, d.w.z. het
keerpunt, als top, dus blijkbaar den kegel A, terwijl (50)
een kegel voorstelt, die Os tot top heeft, d.i. het punt,
waar de raaklijn van het buigpunt het osculatievlak van
het keerpunt doorboort. Dus is (50) de vergelijking van
den dubbelprojecteerenden kegel Ai.

De vergelijking van den bundel kan nu worden ge-
schreven in den vorm

x_s x₄ — x₃² \\ (x_t x₄ — x₂²) = 0 . . (51)
Snijdt men 6\'⁴ met een willekeurig vlak:
Ai xi - - A₂ xo 4- As x₃ 4- a₄ x₄ = 0
dan worden wegens (48) de snijpunten bepaald door:

Al H⁴ 4- Al» 1I² 4- Aa u 4- A₄ = 0
waaruit volgt:

A2
Al
Aa
Ai

A4

Mi Mo II₃ 11₄ = —
Ai

Voor wi = «2 = «3 = u, u\\ — v heeft men:

3u² 3 u v = —, u³ 4- 3 u² v — — —, u³ v = —
Ai Ai Ai

Uit deze betrekkingen leidt men, met behulp van (47),
gemakkelijk voor het osculatievlak in het punt met
parameter u deze vergelijking af:

Xi — 6 u² x₂ 8 u³ x_s — 3 u⁴ x₄ = 0. . (52)

Klasse der y_oor vaste waarden der coördinaten x stelt (52) een
C⁴ met een , , ......

keerpunt. vierdegraadsvergehjkmg in u voor. Lr zijn dus vier
punten op de kromme, wier osculatievlakken door een
gegeven punt gaan, derhalve:

Door elk punt van de ruimte gaan vier osculatievlakken
naar de kromme C⁴ met een keerpunt.

Of wel:

De kromme C⁴ met een keerpunt is van de vierde klasse.
Dit resultaat is weer in overeenstemming met het feit
dat uit een op C⁴ gelegen punt slechts één osculatievlak
mogelijk is, daar het osculatievlak in het gekozen punt
voor drie samenvallende osculatievlakken is te tellen.

Eigenschap Uit vergelijking (52), op de laatstbesproken wijze op-
door de keer- gevat, leidt men nog af dat voor de parameters mi,«₂, Ks
puntsrnaklijn _en „_{4 V}an de steunpunten der uit een zeker punt X
punt.^{et bUÏg aan} C⁴ gelegde osculatievlakken de betrekking geldt:

, i . 8 x_a

u i ut «3 ui=~

Voor ^3=0 wordt dus ook u\\ -j- u-> - - «3 • ■ «4 = 0.
Houdt men in het oog wat de beteekenis is van het
vlak ^3 = 0 en let men op (40), dan kan men dus
zeggen:

Alle punten X van het vlak, dat door de keerpunts-
raaklijn en door het buigpunt gaat, bezitten de eigenschap,
dat de steunpunten der vier uit X aan C⁴ te leggen os-
culatievlakken complanair zijn.

HOOFDSTUK III.

De afbeelding van do algemeene kromme van den
vierden graad en de tweede soort.

1. l)e involutie der steunpunten van trisecanten.

Complanaire groepen op C*.

Afbeelding Zooals bekend is kan men twee rationale krommen
rationale⁰ steeds zoodanig met elkaar in verband brengen dat de
kromme op punten der eene kromme projectief overeenkomen met
eene andere. der andere. Algebraïsch kan dit verband dan worden
uitgedrukt door een bilineaire vergelijking tusschen de
parameters van de overeenkomstige punten der beide
krommen. Het is duidelijk dat deze projectieve over-
eenkomst in sommige gevallen van nut kan zijn bij de
studie van minder eenvoudige rationale krommen; men
kan deze n.1. punt voor punt „afbeelden" op een een-
voudiger rationale kromme, en allerlei eigenschappen
der gegeven kromme uit de afbeelding afleiden.
Afbeelding Emil Wey» \') heeft de hier bedoelde methode toege-

deralgemeene_past op de studie der rationale ruimtekromme van den
kromnio c\' ¹

op een kegel- vierden graad. Hij beeldt haar daartoe af op een kegel-
snede. snede; deze zal in het volgende steeds C² genoemd
worden. Weliswaar is onder de rationale krommen de
rechte lijn de allereenvoudigste, maar de theorie der
involutiès laat zich veel beter op een kegelsnede dan
op een rechte lijn behandelen. Weyr heeft dit zelf
uitvoerig voor de cubische involutiès aangetoond.²)

\') Über die Abbildung einer rationalen Raumcurve vierter Ord-
nung auf einen Kegelschnitt. Sitzungsberichte der Wiener Aka-
demie 72. 1875 en 73. 187(5.

^J) Grundzüge einer Theorie der cubischen Involutionen. Ab-
handlungen der böhmischen G eselisch. d. Wiss. (Prag) VI. 7.1S74.

Eerste onder- Het is nu vooreerst mogelijk dat de kegelsnede C²
kegelsnede⁰ vorm> grootte en ligging van tevoren is bepaald. In

C¹ is vooraf dit geval kan men zich de afbeelding op de volgende
gegeven. ^ _denken_

Daar de hyperboloïde H, waarop C⁴ ligt, door C² in
vier punten wordt gesneden en daar een der regel-
scharen van II uit de trisecanten van C⁴ bestaat, zullen
vier dezer trisecanten C² snijden. Projecteert men dan
C⁴ uit eenig punt O van een van die vier trisecanten
op het vlak van C² dan is de projectie een vlakke
kromme van den vierden graad, die een drievoudig
punt bezit • ter plaatse waar de gekozen trisecante het
vlak van C² (en C² zelf) snijdt. Een punt X van C⁴ wordt
in X\' op het vlak van C² geprojecteerd; de lijn, die X\' met
het drievoudige punt verbindt, snijdt de kegelsnede nog
in Y. Het is nu duidelijk dat met elk punt X van
C* één punt Y van C² overeenkomt en omgekeerd.
Tweede on- Veel eenvoudiger wordt het afbeelden wanneer de
d^kegelsnede kegelsnede willekeurig is te kiezen. Men kiest dan voor
C kan wille- C² een willekeurige doorsnede van de hyperboloïde II.
den^rgekozen. ^er regelscharen van II bestaat uit unisecanten,
en de punten, waar deze unisecanten C² snijden, kan
men als de beelden beschouwen van de punten van C⁴.
De /, der Op bl. 13 werd reeds besproken dat de steunpunten
van"trisecan-^der trisecanten op C⁴ een h vormen. Wordt nu C⁴
ten. \' op C² afgebeeld dan is het duidelijk dat met elke groep

X,X\',X" van de I₃ op C⁴ een groep Y, Y\', Y" op C²
zal overeenkomen. De punten Y vormen dus op C²
eveneens groepen van een cubische involutie.

Verbindt men de punten van elke groep onderling
dan zijn dus in C² oneindig vele driehoeken beschreven.
Volgens een bekende eigenschap omhullen de zijden
dezer driehoeken een tweede kegelsnede, de involutie-
kegelsnede, die door J² zal worden voorgesteld. De
kegelsneden C² en J² vertoonen dus de ligging van
PONCELET.

Men kan nu in de afbeelding dadelijk de punten Y

en Y" vinden, die met Y op dezelfde trisecante liggen.
Daartoe heeft men slechts uit Y de beide raaklijnen
aan J² te leggen; waar deze lijnen C² voor de tweede
maal snijden liggen Y\' en Y". Daarbij zal, zooals we
zagen, de lijn Y\'Y" eveneens raaklijn zijn van J².
Het punt Bij de behandeling der algeineene C⁴ in Hoofdstuk 1
bepalen ^lat ^wer<* ^een veelvuldig gebruik gemaakt van de voorwaarde
met drie ge- voor complanaire ligging van vier punten der kromme.
S^üT We zullen evenzoo hier onderzoeken aan welke voor-
planair is. waarde vier punten Yi, Y₂, l^r3 en r₄ op C² moeten
voldoen, die de beelden zijn van vier complanaire punten
van C⁴.

Hiervoor beantwoorden we eerst nog de volgende vraag:
wanneer gegeven zijn de beelden Yi, Y₂, Yj van drie
punten X\\, X₂, X₃ van C⁴ vraagt men het beeld Y*
van het punt A^r4 te vinden, dat met de drie gegeven
punten in één vlak ligt.

Denkt men zich een vlakkenbundel met A^ri X2 als as
dan bepaalt deze op C⁴ een h. In deze I₂ is het ge-
zochte punt A^r4 toegevoegd aan het bekende punt A^r3.
Kende men het centrum dezer J₂ dan zou X\\ dus aan-
stonds te vinden zijn.

Nu kan men echter twee bijzondere groepen der I₂
gemakkelijk aangeven, n.1. het paar X\\, X\\" dat met
Xj, en het paar AY, X₂" dat met X2 op eenzelfde
trisecante ligt.

Past men het bovenstaande toe op de afbeelding dan
heeft men dus:

Om het beeld Y\\ te vinden van het punt, dat met drie,
door hun beelden Y\\, I2, l^r3 gegeven, punten complanair
is, legge men uit Y\\ en Yi de raaklijnen aan J², die C²
in Y\\\' en Y\\", Yi\' en Yi" nogmaals snijden. De ver-
bindingslijnen Y\\\' Y\\" en I2\' I2" snijden elkaar in een
punt Ö12; het punt, waar de lijn I3 O12 nogmaals C²
snijdt, is het gezochte punt F₄.

Het is duidelijk dat men in het voorafgaande vraag-
stuk ter bepaling van een h ook de paren A\'i, A\'3 of

X₂, X₃ had kunnen gebruiken. Men zou dan als centrum

der I₂ het snijpunt O_n van F/ r," en Y₃\' y3" of het

snijpunt o23 van ¥2\' Y2" en y3\' Ï3" hebben verkregen.

Zoowel de iijn y2 o13 als y\\ O23 zou het gezochte punt

Y₄ op C² hebben bepaald.

Ligging van Tot dusver werd nog steeds ondersteld dat de punten

vier punten _{x x x} bekend waren, terwijl X₄ gezocht werd.

op O\', die \' .

de beelden Men kan echter voor een complanaire groep elk punt

zijn van vier _aj_g door de overige drie bepaald beschouwen. Doet
complanaire , , , , ,

punten van men dit ook in de afbeelding dan komt, behalve de

^c>• driehoeken Ti Ti\' Y\\\', Y₂ Y₂\' Y₂" en y3y3y3", ook

nog de driehoek Y₄ Y₄\' Y\\" in aanmerking. Voorts treden
nu nog op de punten Oh, 0₂4 en O34, waarin Y\\ Y\\",
Y₂\' Y₂" en Y₃\' Y₃" door Y₄\' Y₄" worden gesneden. De
zes punten O_ki zijn de hoekpunten van de door IV lY\',
Y₂\' Y₂", Y₃\' Y₃" en Y₄\' Y₄" gevormde volledige vier-
zijde, terwijl door elk dezer punten een van de zes zijden
gaat van den volledigen vierhoek Y\\ Y₂ Y3 Y₄, met dien
verstande dat Ji V₂ gaat door o34, enz.

We zullen kortheidshalve de verbindingslijn der punten
Y\' en Y", die met Y een groep der i3 vormen, welke
lijn, evenals YY\' en YY", raaklijn is van J², de „toe-
gevoegde raaklijn" van Y noemen. Men kan dan het
gevonden resultaat aldus uitspreken:

Vier punten Y_h V₂, Y₃ en Y₄ van C² zijn dan de
beelden van vier complanaire punten van C⁴ als de ver-
bindingslijn van telkens twee dezer punten door het snijpunt
der toegevoegde raaklijnen van de overige twee gaat.

2. Raakvlakken, Dubbelraalcvlakken, Osculatievlakken,
Stationnaire raakvlakken.

Raakvlak. AI^S eerste toepassing van het algemeene vraagstuk:
„liet beeld te construeeren van het punt, dat met drie,
door hun beelden gegeven, punten complanair is" onder-
stellen we dat, op C\\ Xi en X₂, dus in de afbeelding
Yi en Y₂ samenvallen. Het vlak der groep raakt dan

G⁴ in één punt A^ri en snijdt haar nog in twee andere
punten X₃ en A^r4. Het is onmiddellijk in te zien dat
in dit geval O_i2 het punt wordt, waar de toegevoegde
raaklijn Y\\ Y_x" van Y_t de involutiekegelsnede J² raakt.
Derhalve:

Twee punten X₃ en X₄ liggen met de raaklijn in het
punt Xi in één vlak indien de lijn Y_s Y₄ door het raak-
punt Oj2 van de toegevoegde raaklijn van Y_x gaat.

Dubbelraak- Elke lijn door O12 bepaalt in het voorafgaande geval

VlnV

t\\Vee punten J^r3 en r₄, die de beelden zijn van paren
X₃ en X₄, welke met de raaklijn in X\\ in één vlak
liggen. Indien ook X_z en X₄ samenvallen gaat het be-
doelde vlak in een dubbelraakvlak over; het spreekt
vanzelf dat daartoe in de afbeelding F₃ en 1₄ eveneens
moeten samenvallen. Nu kan men uit het punt O_i2
twee (reëele of imaginaire) raaklijnen aan C² leggen,
hetgeen ons onmiddellijk doet zien dat door elke raaklijn
van G⁴ twee dubbelraakvlakken kunnen worden gelegd,
of wel dat elke raaklijn door twee andere raaklijnen
wordt gesneden (bl. 27).

Daar de beide in een dubbelraakvlak gelegen raaklijnen
gelijkwaardig zijn geldt blijkbaar in het algemeen de
eigenschap:

Wanneer V\\ en V₂ de beelden zijn van de raakpunten
van een dubbelraakvlak, dan gaat de raaklijn, in een
dezer punten aan C² gelegd, door het punt, waar de in-
volutiekegelsnede J² door de toegevoegde raaklijn van het
andere punt wordt geraakt.

Osculatievlak. Onderstellen we thans dat de punten ATi, X> en Xn
op C⁴ samenvallen, dan gaat het vlak over in het os-
culatievlak in Ai; X₄ moge het punt zijn, waar C⁴ het
osculatievlak snijdt. In de afbeelding vallen dan do
punten Fi, )\'•> en Kt samen en is 1₄ het beeld van
het snijpunt. We trachten nu de volgende vraag te
beantwoorden: als het beeld van een punt, waar een
osculatievlak G\'⁴ raakt, gegeven is, liet. beeld te con-
strueeren van het snijpunt van G\' met dat vlak.

Ter beantwoording van deze vraag herinneren we ons
dat twee punten X₃ en X4 met de raaklijn van Xi, in
één vlak liggen als de lijn 13 Y₄ door het punt gaat,
waar de toegevoegde raaklijn van Yi de involutiekegel-
snede J² raakt. Nu is klaarblijkelijk de ligging der
punten in een osculatievlak een bijzonder geval; het is
slechts noodig dat nog X₃ hiervan met Xi samenvalle.
Dit levert ons de volgende eenvoudige constructie:

Om in de afbeelding het beeld l\\ van X4 te constru-
eeren, waar het osculatievlak in een gegeven punt Xi C^l
snijdt, verbindt men V1 met het punt 0, waar de toe-
gevoegde raaklijn van Yi .7² raakt; het tweede snijpunt
van Yi O met C² is dan het gezochte punt Y4.

Aantal os- Wanneer in het voorafgaande geval een punt X4 op
ken^uil^een gegeven is, kan men omgekeerd vragen hoeveel os-
punt van C⁴ culatievlakken van C⁴ in X\\ hun snijpunt zullen hebben,
m.a.w. hoeveel osculatievlakken door X4 aan C⁴ kunnen
worden gelegd. In de afbeelding is nu J4 gegeven, Y_x
gevraagd. Legt men door Y4 een willekeurige rechte dan
snijdt deze C² in een punt Y\\ en J² in twee punten
Oi en 0₂, welke men kan beschouwen als de punten,
waar de toegevoegde raaklijnen van Z\\ en Z> de invo-
luliekegelsnede raken. Elk punt Y\\ bepaalt twee punten
Z, elk punt Z bepaalt daarentegen slechts één punt Y\\.