volgens besluit der ïaculteit her wis- en natuurkunde,
in het openbaar te verdedigen

EERSTE HOOFDSTUK. — Theorie der geleiding van warmte in staven.
A. Theorie van Fourier.

TWEEDE HOOFDSTUK. — Proeven met betrekking tot den geleidings-
coëfficiënt voor warmte genomen.

Van de drukfouten die in het werkje Overgebleven zijn schijnt alleen
P\' 55 ^r- § v. o. zinstorend te zijn, waar voor of te lezen is /.

Een der eerste vraagstukken, die zeker wel op het gebied
der natuurkunde treffen moeten, zal wel dat zijn, waarover ik
hier een en ander denk te zanien te stellen. De eerste, die zich
in eene schapenvacht hulde, deed dit zeker, omdat hij er den
verwarmenden invloed van ondervond, en al zeer spoedig moet
men tot de overtuiging gekomen zijn, dat de meerdere of min-
dere mate, waarin bekleedingstukken dezen invloed uitoefenen,
van het meer of mindere doorlaten der eigen warmte van het
igchaam. afkomstig is.

Al vrij vroegtijdig zien wij dan ook, reeds in het midden der
vorige eeuw, toen Newton, Huyghens, G-alilei eerst de
baan gebroken hadden voor eene wetenschappelijke behandeling,
in deze rigting, van den menschelijken geest, eenige proeven
doen om de vaste stoffen, al naar hun geleidingsvermogen voor
de warmte te rangschikken. Ik wil hier reeds bijvoegen, dat
het onze landgenoot Ingenhousz was, die deze eerste proef-
nemingen deed,

Doch lang was deze verdienstelijke man, op een slaafsche
navolger na, de eenige die diergelijke proeven deed.

Het was dan ook niet mogelijk, meer te leveren, dan eene
eenvoudige rangschikking van verschillende stoffen, zoolang er
geene goed gevestigde theorie bestond, en er werd ook niets
verder op experimentelen weg beproefd.

De theorie over dit onderwerp was eene der vele belangrijke
zaken, die op wetenschappelijk gebied onze eigene eeuw in
moesten leiden. Aan F o u r i e r komt hier de eer toe, het eerst
eene theorie, en wel in eens eene afdoende gegeven te hebben.
Bijna gelijktijdig gaf Laplace er eene, bijna geheel gelijke,
in de Connaissance des Temps voor 4823, en weinig later gaf
Poisson er eene, die op niet geheel dezelfde grondslagen rustte,
en ook in mathematische ontwikkeling verschilt. Hij komt
echter tot dezelfde resultaten als Fourier, die dan ook sedert
bijna zonder eenige tegenspraak als waarheid golden.

Het zal misschien bij den lezer der volgende bladzijden ver-
wondering opwekken, nergens het woord te vinden, dat tegen-
woordig als het shibboleth der physica is: „Mechanische Warmte-
theorie", nergens den naam van Clausius, Tyndall en van
zoovele anderen te vinden, die op dat gebied hunne namen on-
sterfelijk maakten.

Natuurlijk is het, dat ook de theorie van het door mij behan-
de onderwerp zich gevoelt van de omwenteling in den laatsten
tijd in de warmteleer tot stand gebragt, maar toch is mij niets
bekend wat het mij raadzaam zou hebben gemaakt, in het the-
oretische gedeelte Fourier niet geheel te volgen. Hoe dikwijls
blijft men in de Avetenschap niet eene verouderde taal spreken,
want hierop zou het hier eigenlijk nederkomen, omdat al wat
nog gedaan is in die taal is uitgedrukt. Wie stoot zich er aan
als iemand bv. van „warmtestof" spreekt, hoewel hij uitdrukke-

lijk vooraf zal zeggen, dat de warmte geene stof is? Ook ik
wensch niet van ketterij beschuldigd te worden, wanneer ik van
een „warmtestroom\'\', van een „voortbewegen der warmte" spreek,
alsof warmte stoffelijk zou wezen. Ik gebruik deze woorden
eenvoudig ook, omdat ieder ze verstaat, omdat ze gemakkelijk
zijn, nadat men het over hunne conventionele beteekenis is eens
geworden.

Door de nieuwere oogpunten hebben de oudere mathematische
ontwikkelingen hunne waarde volstrekt niet verloren. Zij zijn
nog volkomen voldoende als grondsteen voor de discussie der
proeven op dit gebied, en men houde wel in het oog, dat dit
laatste de hoofdzaak is, bij hetgeen ik mij voorstel te geven.

Ik houd mij dus voor geregtigd, in het volgende de mecha-
nische warmtetheorie op zijde te la,ten.

Tot den tijd nu, waarop de zoo straks genoemden hunne
theoriën het licht deden zien , waren de zonderlingste denkbeelden
gangbaar geweest. Zoo lang de hypothese, dat warmte eene
stof is, die zich voortbeweegt in de ruimten, die de atomen van
een ligchaam vrij laten , moest men w^Tel de stelling aannemen,
dat de minst digte stoffen de beste warmtegeleiders zijn, terwijl
juist het tegenovergestelde waar is. En dit denkbeeld hield toch
zoolang stand, hoewel lang niet zonder tegenspraak, dat een
tijdgenoot van Fourier, Rum ford, nog proeven moest doen,
om er de onhoudbaarheid van te bewijzen. Deze stelde daaren-
tegen weder de verkeerde meening, die hij uit zijne proeven
dacht te bewijzen, dat vloeistoffen en gassen, de warmte abso-
luut niet geleiden, terwijl men slechts zeggen mag, dat zij dit
zeer slecht doen. Dit is weder een van die vele, merkwaardige
gevallen, waarin de hypothese, in casu de warmtestof, voorop
wordt gezet, en dan de feiten er rond gegroepeerd, zonder dat

het ons niet verwonderen, dat de proeven met vloeistoffen zoo
verschillende resultaten gaven, aangezien wij niet weten, bij
welke proeven de stroomingen, die hier zoo hindelijk zijn, in
rekening gebragt, of zelfs maar opgemerkt waren. Men kan
zich echter er over verbazen, dat er, juist in ouderen tijd, zoo
vele proeven met vloeistoffen gedaan werden, terwijl op vaste
stoffen, waarbij de waarneming zooveel gemakkelijker en dank-
baarder is, geen acht meer geslagen werd.

Door Fourier en de proefnemingen op zijne theorie gegrond,
zijn al de zaken die ik hier tot nog toe aanstipte, naar de be-
waarplaats voor physische antiquiteiten gebragt, waar zij mogen
rusten. Bij een werkje als dit, waarin ik mij voorstel verslag
te geven van de nieuwere proeven, moet dan ook de theorie
voorafgaan, en neemt dus deze van zelve de eerste afdeeling in.
Ik moet hier echter vooraf eene opmerking maken. Wat ik geef,
is volstrekt geene volledige theorie over warmtegeleiding, P o i s s o n
geeft reeds veel, wat ik slechs ten deele beschrijf, zonder het
te bewerken, Biemann gaf eene, mathematisch gesproken, veel
elegantere bewerking, maar vooral Lamé gaf in den jongsten
tijd eene veel uitgebreidere theorie, die ook de niet-homogene
ligchamen op afdoende wijze behandelt, die Poisson meer van
verschillende zijden beschouwt, dan wel nader tot eene oplossing
brengt.

Ik zal alleen geven wat mij, voor mijn doel, — beoordeeling
der methoden van proefneming, — voldoende toeschijnt; doch ik
hoop dit genoegzaam te geven. Ik meen zelfs Fourier hier en
daar te moeten volgen in zijnen rijkdom van beschouwingen.
Deze geeft soms vele verschillende bewijzen voor geheel, of bijna
geheel dezelfde zaak. Men vergete daarbij niet, dat in zijnen
tijd de theorie der differentiaal vergelijkingen en der bepaalde
integralen, waarin Riemann zulke stoute grepen kon doen,

eerst in hare kindschheid was. Maar men zal zien, dat ik bijna
alles later in de theorie, of in de proeven, weder gebruik, en
daarom geloof ik niet, dat men er mij een verwijt van zal maken,
Fourier te getrouw te volgen. Alsof dit trouwens een verwijt
kon wezen !

Alles te behandelen wat op geleiding betrekking heeft, zou
de grenzen van een academisch proefschrift ver te buiten gaan.
Onder het bewerken van mijn stof, zag ik mij dan ook genood-
zaakt, de grenzen gestadig in te krimpen.

Zoo zal men bijna niets vinden over dé slechter geleidende
vaste ligchamen, nog minder over vloeistoffen. De proeven
daaromtrent gedaan noem ik dan ook maar ter loops, en ik wil
voor volledigheid, zelfs van de opsomming geen borg blijven.
Voor theoretische behandeling hebben deze proeven dan ook
weinig waarde.

Green woord over warmtegeleiding in kristallen. De proeven
van de Sénarmont, en van latere proefnemers zal ik achter-
wege laten, en kan mij zoo ook ontslagen rekenen van de nood-
zakelijkheid, de volumineuse theorie daaromtrent te geven.

Voornamelijk, bijna uitsluitend, zal ik mij bezig houden met
metalen, en hoop ik de methoden, die gevolgd zijn om daarvan
den coëfficiënt der geleiding voor warmte te bepalen, uitvoerig
te behandelen, en naar vermogen te beoordeelen. En hierbij
zijn weder voornamelijk metalen staven gebruikt, zoodat ik daar-
door weer geleid werd, mij uitsluitend met de theorie der staven
bezig te houden, niettegenstaande ook ligchamen van anderen
vorm vrij uitvoerig reeds behandeld zijn ¹),

1 Behalve reeds door Fourier, nog veel meer door Poisson, maar ook in
lateren tijd dikwijls behandeld bv. door C. F. Neumann. — De bol is steeds met
voorliefde behandeld.

Ik zal misschien eenige meerdere verontschuldiging behoeven,
als ik een zeer gewigtig punt onbehandeld laat, omdat het,
strikt genomen, wel binnen het kader door den titel aangeduid
zou moeten vallen. Ik bedoel, de discussie over, wat er plaats
heeft bij overgang van warmte in eene staaf, die uit verschillende
metalen is te zamen gesteld, op de aanhechtingsplaatsen tusschen
twee metalen. Te meer zou het nuttig wezen, als ik dit had
kunnen toevoegen, daar het in mijn enger begrensde onderwerp
eenigermate ingrijpt. Bij alle onderzoekingen met metalen staven
toch, heeft, hoe men die ook moge doen, een overgang van
warmte van een metaal op een ander plaats, en wel zoo, dat de
metalen zulke zijn die een zeer verschillend geleidingsver mogen
hebben, waarbij de plaats hebbende verschijnselen steeds sterk
geaccentueerd zijn.

Ik liet deze kwestie dan ook alleen achterwege, om niet te uit-
gebreid te worden, en er is niet heel veel door verloren, want
de zaak is volstrekt niet tot een einde gebragt. Ei bestaat eene
soort theorie over dit onderwerp waaraan verschillende physici
de hand gelegd hebben, maar die nog wel eenigermate den in-
druk maakt van eene noodhulp-theorie, die nog veel behoefte
heeft aan den steun van proeven. En die zijn er nog niet veel.

De voornaamsten zijn die van Angström, die deze zelf nog
niet als afgeloopen beschouwt, en die volstrekt niet onvatbaar zijn
vook zwaarwigtige tegenwerpingen.

Ik wil hier dus alleen, ten behoeve van mijn werk, het re-
sultaat opmerken, dat zeker te noemen is, dat overal waar twee
metalen elkander raken, respective aan elkander gesoldeerd zijn,
eene onregelmatigheid in de gelijdmg plaats heeft. Deze bestaat
in de hoofdzaak daarin, dat de soldeerplaats eene eigen tempera-
tuur heeft, eene andere dan die van twee doorsneden in hare
onmiddelijke nabijheid in de beide metalen genomen.

Uit het voorgaande zal het duidelijk wezen, dat mijn werkje
uit twee afdeelingen zal bestaan , de eene theoretisch, de andere
de verschillende methoden van proefneming inhoudende. Ik had
gemakkelijk er nog een historische afdeeling bij kunnen voegen,
die niet onbelangrijk zou geweest zijn, maar heb kortheidshalve
verkozen slechts bij de behandeling der proeven de chronologische
rangschikking in hoofdzaak in acht te nemen, en heb deze
slechts hier en daar verwaarloosd, waar het onderwerp het
scheen te vorderen.

Bij het gedeelte dat over de proeven handelt, zal men nog
veel vinden, wat sterk naar theorie riekt, maar, waar zoo vele
en zoo verschillende methoden bestaan, is het onmogelijk de
theorie geheel af te zonderen. In de eerste afdeeling geef ik
dus alleen de algemeene theorie, en meet in de tweede aan ieder
der proefnemers zijn behoorlijk aandeel te zijner plaatse toe.

De eerste afdeeling vormt een geheel, de theorie van F o u-
rier, wanneer men een paar §§ uitzonderen wil, inzonderheid
de laatsten, waarin ik een en ander uit die van Poisson
aanhaal.

De tweede afdeeling zal in tweeën gesplitst zijn. Dit zal zijn
in oudere en nieuwere proefnemingen, welken naam ik eigenlijk
voortrek boven dien van slechtere en betere, uit eerbied voor de
groote mannen, die in de eerste afdeeling hunne plaats moeten
nemen. Door het woord nieuwere wil ik dan ook meer aange-
duid hebben, dat de hieronder voorkomende proefnemingen op
andere grondslagen rusten, dan de anderen, dan wel dat ze,
chronologisch gesproken, van later dagteekening zouden wezen.
Dit zou trouwens ten deele eene onwaarheid zijn.

Uit de tot nu toe gegeven uiteenzetting van de volgende blad-
zijden, ziet men, dat ik er geen aanspraak op mag maken, iets
nieuws te leveren; maar wel geloof ik een, niet onnut werk on-

dernomen te hebben. Waar sedert anderhalve eeuw reeds zooveel
gedaan is, en waar nog zoo zeer veel te doen valt, als op dit
bijzonder gebied, daar kan het niet volkomen nutteloos wezen,
een rustpunt te hebben aangegeven. Daarom tracht ik het ver-
ledene tot afsluiting te brengen, het bruikbare en onbruikbare
er van, van elkander af te scheiden, en aan te duiden in welke
rigtingen naar mijne meening nog gewerkt dient te worden. Ik
zal reeds hier zeggen dat er nog veel te doen is, en dat het nog
lang zal kunnen duren eer dit kleine hoekje op het gebied van
menschelijk weten, als geheel door den menseheiijken geest be-
dwongen, zal kunnen beschouwd worden. Menigeen kan zijne
krachten nog op dit terrein beproeven.

Hiermede zou ik deze inleiding kunnen sluiten. Maar ik wil
nog iets toevoegen, dat niet direct tot mijn onderwerp behoort,
en dus het beste zijne plaats hier vindt.

Men zal zien, dat Fourier zijne theorie grondt op de hypo-
these van Newton ¹). Aan de volledigheid acht ik mij verpligt
hierover een paar woorden in te lasschen. De hypothese is eigen-
lijk dubbel; 1°. dat warmte-afgifte van een molecule aan een
naburig , (onverschillig of beiden deel uitmaken van een ligchaam)
direct evenredig is aan hun verschil in temperatuur; 2°. dat als
de tijden van warmte afgifte volgens eene arithmetische reeks op-
klimmen , het verschil in temperatuur volgens eene geometrische
reeks afneemt. Dit is wat gewoonlijk de LogaritJimische wet van
Newton genoemd wordt. Ik hield mij hier niet aan den vorm
van Newton, daar hij het bovenstaande tot een geheel ander
doel gebruikt, en goot het dus in den vorm die mij het beste

1 Newtoni opuscula collecta a Joli. C a s t ill ioneo. Lausannae et Genevae 1744.
Tom. III. opusc. XXI. p. 422.

Newtoni philosophiae naturalis principia mathematica. Edit. Lesueur et Jac-
quier. Liber III. Prop. VIII. corr. IV. Prop. XLI.

past. Newton werpt deze gewigtige zaken, die hij de eerste
was, te bespreken, als bet ware weg in eene noot uit den over-
vloed zijner groots ene scheppingen. En toch is het er verre van
af, dat men het er niet zou uitgevischt hebben, om er in on-
magtigen tegenstand eene lans tegen te breken, zoo als ik aan-
stonds zal toonen.

De twee deelen der hypothese zijn in het naauwste verband,
en ook bij Newton zelf vereenigd. Zij v de temperatuur van een
deel, w die van het andere, moge w zijn. In eenen tijd f,
zal dus, als m een constant getal is, van v naar w gaan, als ik
gemakshalve aan de moleculen zeiven die letters tot naam geef:
m (v — w). In v blijft dus v — (v — w) m. In een tweede moment
t, gelijk aan het voorgaande, zal er dus overgaan m [ v — m[v — w))
of m v — m²(V—w) enz. Dit is, mathematisch uitgedrukt, mijn
tweede deel der hypothese.

Men zal zien, dat het eenvoudigste deel der theorie, dat van
den toestand eener staaf aan een uiteinde verwarmd, zoo lang tot
alle deelen er van eene vaste eindtemperatuur aangenomen heb-
ben, hiervan op de eenvoudigste wijze afhangt. Dit was dan ook
reeds voor E o u r i e r door B i o t ontwikkeld.

Als een vonk die in het kruid valt, ontstaken de weinige re-
gelen van Newton een vuurwerk van voor en tegen, dat meer
dan eene eeuw aanhield. Newton had dan ook zijne stelling
zonder eenig bewijs¹) (voor zoover mij bekend is) opgesteld, en
tegenspraak was dus geoorloofd. Yoor het eerst in 1701 trad
hij in de Philosophical Transactions met de zaak op, echter ano-

niom, en reeds in 1703 trad Amontons als heftig tegenstander
op, doch had klaarblijkelijk de zaak niet best begrepen, en eene
font in uitdrukking van N. voor diens ernst opgevat. N. zegt
namelijk temperatuur, waar hij meent: verschil in temperatuur
tusschen een ligchaam en zijne omgeving.

Daar deze zaak slechts los met mijn onderwerp in verband staat,
zal ik de litteratuur ^!) er over niet in \'t breede opgeven , doch
alleen kort aangeven wie er voor, wie er tegen hunne stem deden
hooren, al was het alleen, omdat wij er weder een paar Neder-
landers bij ontmoeten. Martine stelde voor, volgens proeven
van hem zeiven en ouderen van M u s s c h e n b r o e k van de geome-
trische reeks van N. eene arithmetische af te trekken , en ook
B ar n aart meent dat dit nader aan de waarheid komt. R icli-
man n was weder voor Newton, even als vooral Lambert,
wiens proeven, niet dadelijk genoeg bekend, wel als afdoende
hadden kunnen gelden.

Eindelijk bemoeiden zich met dezelfde zaak nog Er x leb en,
Leslie, Dalton, Delaroche, Rumford tot dat zij door
B i o t, F o u r i e r en P o i s s o n tot rust gebragt werd, Want,
toen dezen de geheele theorie, die men in de volgende bladzijden
vindt, op de hypothese van Newton gebouwd hadden, en de
proeven bleken, met hunne theoretische uitkomsten overeen te
stemmen, kon men N. als geregtvaardigd beschouwen.

Ten slotte voeg ik hier bij, en hierop drukte Newton mis-
schien niet genoeg, hoewel hij het uitdrukkelijk zegt, dat deze
wet alleen als voldoende waar mag aangenomen worden bij kleine
temperatuurverschillen. Hoever men hiermede echter gaan kan,
is nooit voldingend uitgemaakt.

Ik moet hier eene moeijelijkheid aanwijzen, waarop ik gedu-
rende de bewerking van mijn onderwerp gestooten ben, en die
ik misschien niet altijd geslaagd ben te ontwijken. Men zal in-
tusschen zien , dat ik mij hiervan geen verwijt zou behoeven te
maken. Bij de oudste proeven is het steeds zeer moeijelijk te
onderscheiden, of zij gedaan zijn, om de Logarithmisehe -wet voor
afkoeling van Newton, dan wel de Logarithmisehe wet voor
warmte geleiding van Biot te verifiëren. Sommige experimentato-
ren trachten beiden te doen, zooals Rum ford, van anderen bleef
het mij twijfelachtig. Zoo neem ik bv. Amontons in mijne reeks
op, op gezag van Despretz, hoewel ik bijna overtuigd ben,
dat hij slechts de wet van Newton op het oog had, vooral om-
dat Biot toen nog niet leefde. Eveneens noem ik de veel betere
proeven van Lambert, hoewel daarvan hetzelfde geldt. Maar
de wet van Biot hangt zonder verdere hypothese van die van
Newton af, zoodat eene fijne onderscheiding hier mij niet noo-
dig scheen. Zoolang de proeven alleen dienden om de wetten te
verifiëren, niet om getallen voor de coëfficiënten te geven, volgt
de waarheid van de eene wet uit de waarheid van de andere. Ik
wilde hier slechts aangeven, dat ik deze klip gezien heb. Daar
overigens de proeven van de voorheen genoemden, van die van
Amontons en Lambert naauw verschillen, mogen die als
specimen gelden.

Als resultaat schijnt men veilig het volgende te kunnen geven.
De wet der warmte afgifte moge geheel anders zijn, (wat zij
vooral tusschen ligchaam en omgeving wel wezen zal, daar hier
en straling, en geleiding te zamen optreden) misschien veel ge-
compliceerder, maar voor kleine temperatuurverschillen is zij met
voldoende zekerheid bruikbaar.

De basis van de theorie aldus vastgesteld, benevens mijn pro-
gramma, moge de uitvoering er van volgen.

Met het aangeven van bronnen was ik niet spaarzaam. Waar
eene zaak nog niet als afgesloten te beschouwen is, kan men
dit niet zijn, vooral bv. niet over proefnemingen waarvan ik het
wenschelijk oordeel, dat zij herhaald worden. Een herhaler zal
dankbaar zijn, alle bronnen aangegeven te vinden. Ik heb ze
echter, om stoornis te vermijden, zorgvuldig in de noten te
zamen gebragt.

Hoewel uit een mathematisch oogpunt beschouwd de wijze
waarop Riemann ¹), of eigenlijk het eerst Lejeune Dirieh-
let, de theorie der warmtegeleiding ontwikkelt, wat sierlijkheid
aangaat, de voorkeur verdient, zal ik hier liever Fourier ²)
volgen, die, tot mijn doel, langs eenen korteren weg voert.
Ik zal zelfs zooveel mogelijk alles vermijden, wat niet tot mijn
onderwerp in engeren zin behoort, en alleen de geleiding in
dunne staven behandelen.

Yoorloopig noem ik de volgende constanten, waarvoor ik
dezelfde letters zal bij behouden:

1 Bernhard Riemann, Partielle Differential Gleichungen, (Bearbeitet von
K. Hattendorf).

2 Fourier, Théorie de la Chaleur, Paris 1822.
Voor&f waren reeds gegaan stuklcen in :

noodig zijn, om een kilogram van een ligchaam van de tempe-
ratuur 0 tot de temperatuur 1 te verwarmen (van 0° tot 100°
Celsius). De eenheid van warmte is de hoeveelheid warmte,
die no,odig is, om een kilogram ijs van O¹ tot water van 0°
te maken.

h — uitwendige geleidingscoefficiënt ~ de hoeveelheid warmte,
die in eene minuut bij de temperatuur 1 (100° 0.) uit een
vierkante meter oppervlak van het te beschouwen ligchaam in
eene omgeving van de temperatuur 0 overgaat. (Door straling
en door geleiding beiden).

k — inwendige geleidingscoeffic\'ënt =: hoeveelheid warmte-
eenheden, die in eene oneindige schijf in eene minuut door een
oppervlak van een vierkante meter vloeit, wanneer het eene
grensvlak der schijf permanent op de temperatuur 0° en het
andere grensvlak op 100" C. gehouden wordt en gemeten, nadat
de eindtoestand ingetreden is.

De k is nu het onderwerp van mijn onderzoek. Beiden k en
h zijn geene constanten, maar voor de theorie kunnen wij ze
voorloopig als constant beschouwen.

Denkt men in een homogeen ligchaam twee moleculen m en
n, dan neemt Dourier aan dat de hoeveelheid warmte, die
van het meest verwarmde naar het minder warme gaat, even-
redig is: 1° aan den tijd, \'t. 2° aan het verschil tusschen de
temperaturen, en verder eene functie cp (p) van den afstand p
der beide moleculen is. Deze afstand p zal steeds zeer klein

Annales de chimie et de physique 1816. (Tome III) 1S17, (Tome IV en VI)
1820, (Tome XIII).
Bulletin, etc. 1818 en 1820.

Analyse des travaux de V académie, par M. Del ambre, 1820.
Mémoires de Vacadémie des sciences, (Tome IV V en VII).

moeten wezen, opdat cp (p) eenige bemerkbare waarde bebbe,
dit is tevens eene wettiging van de tweede hypothese, want,
als de moleculen zeer digt bij elkander liggen, zal steeds het
temperatuurverschil klein moeten zijn, en kan men dus de
warmte-afgave als direct proportioneel aannemen, waarbij in
elk geval slechts oneindig kleinen van eene hoogere orde ver-
waarloosd worden, wanneer men de onbekende functie <p ont-
wikkelt denkt volgens opklimmende magten van p.

Yerder neemt Fourier aan, dat de absolute temperatuur van
m en n zonder invloed zijn. Dit zullen wij in het vervolg
zien, dat niet zoo is, en het is dan oók reeds vroegtijdig op
de theorie van Fourier aangemerkt. Poisson is er in ge-
slaagd de theorie voor een k, met de temp. veranderlijk vrij
onvoldoende te ontwikkelen. Hierover later.

Zij dus <7 een deel van het oppervlak van een ligchaam, met
temp. v, dan, zal als a de temp. van de omgeving is, volgens
dezelfde hypothese oh (v — a) dt de hoeveelheid warmte zijn,
die ff in den tijd dt naar buiten afgeeft.

Nu is het eenvoudigste geval, dat men bij de geleiding be„
handelen kan, het volgende. Men denke eene oneindige schijf,
waarvan de dikte — e moge wezen, en de beide oneindige
eindvlakken steeds op de temp. a en b gehouden worden. Denkt
men nu in de schijf een vlak parallel aan de eindvlakken, op
eenen afstand z van het vlak met de temp. cc, dan zal wanneer
de eindtoestand ingetreden is, in dit geheele vlak de temp. v
dezelfde zijn, want er is geen enkele grond, waarom een zijner
punten in eenen anderen toestand dan een ander zou verkeeren.
Ten tweede moet dan de hoeveelheid warmte, die door het vlak

gaat, onafhankelijk van z zijn, want was dit zoo niet, dan zou
een vlak in het ligchaam meer of minder warmte ontvangen,
dan het afgeeft, zou verwarmen of afkoelen, en dus de toestand
van het geheel niet constant, geen eindtoestand wezen. De
hoeveelheid warmte nu, die het vlak doorlaat, is evenredig aan

of, wanneer men bedenkt, dat voor zrrrO v ~ a is, en voor
z = e, v = b, dan heeft men :

Denkt men nu een tweede vlak in dezelfde schijf, waarvoor v
en z mogen zijn v\' en 2\', dan is:

i) Het bewijs hiervoor van Fourier, en het kortere, dat Ja min in zijn hand-
boek geeft, schijnt mij overbodig te wezen.

Nu den afstand z — z\', dien wij voor beide schijven gelijk
kozen, oneindig klein gedacht, dan wordt v — v\', respective
u — u\', de hoeveelheid warmte die meer voorhanden is aan de
eene dan aan de andere zijde van de schijf met cle oneindig
kleine dikte z — z\'. De hoeveelheid warmte, die nu de eene zijde
van die schijf aan de andere afgeeft, is volgens hypothese
hiermede evenredig. Deze warmte is wat Fourier den „Flus
de Chaleur" (warmtestroom) noemt. Zij deze F, dan mogen wij
bovenstaande formule schrijven:

Denkt men nu in de eene schijf de temperaturen a\'~ 1 en
b\' ~ 0 en e\' ~ de vlakteëenheid, dan wordt de warmtestroom
F\' ~r k, zooals ik deze constante omschreven heb, dus:

Nu kunnen w⁷ij ook h invoeren, als men eene schijf neemt,
aan de eene zijde slechts verwarmd op eene temp. a, aan de
andere zijde aan eene omgeving met cle temp. b blootgesteld. Is nu
de eindtoestand ingetreden, dan moet het niet verwarmde vlak
eene zekere temp. (3 hebben, en daar al weder even veel invloei-
jen uit de warmte bron, als er naar buiten uitvloeit. Wat er

Gaan wij nu over tot eene staaf, van oneindige lengte en
van kleine doorsnede. Deze zij kwadratisch, en de zijde
— 21. Onderzoeken wij eerst den eindtoestand, wanneer de
staaf aan het begin op eene vaste temp. A gebonden wordt, en
het overige in eene omgeving met de temp. 0 is. Opdat de
toestand een constante zij, moet in eene willekeurige doorsnede
van de staaf evenveel warmte instroomen als er uitstroomt.
Nemen wij eene Abscissenas in de middellijn der staaf aan, en
tellen de x van uit het punt waar de temp. A is, en welk punt
ik kortheidshalve de basis der staaf wil noemen.

Wordt nu in de staaf een elementair schijfje van de dikte dx
gedacht, dan is de hoeveelheid warmte die daardoor naar het
overige gedeelte der staaf vloeit volgens het voorgaande

Is verder de buitentemp. =0, dan zal, daar de omtrek van
ons schijfje rr: 8 Idx is, in-denzelfden tijd uit het schijfje naar
buiten uitstroomen, volgens Newtons hypothese: 8 hlvdx.
Wat dus wegvloeit uit het oppervlak tusschen 0 en x, is:

De waarde hiervan aan de onderste grens, moet constant zijn,
zij zij — C. Nu moet, opdat er evenwigt zij, de som dezer
twee hoeveelheden — 0 wezen , dus:

Bedenken wij, dat voor xz=co, wrrO en voor x~ö, v ™ A
is, volgens de onderstelling, dan wordt onze vergelijking tot:

In woorden uitgedrukt, toont dit resultaat, dat als de x eene
arithmetische reeks vormen, de temperaturen v in die doorsneden
eene geometrische reeks uitmaken.

Graphisch voorgesteld: neemt men de afstanden x als abscis-
sen, de temperaturen v als ordinaten, dan is de lijn die de
uiteinden der ordinaten vormen eene logarithmische kromme.

Dit is de zoogenaamde Wet van B i o t, daar B i o t deze het
eerst uit de wet der afkoeling van Newton afleidde.

Bepaalt men nu door waarneming twee opeenvolgende tempe-
raturen, dan is hieruit de verhouding der in- en uitwendige
geleiding te vinden, want dan is:

Deze formule zal ons later bij de proeven te pas komen, is
echter niet zeer geschikt om werkelijk k te bepalen. Yerder is

wij nu in de staaf een elementair parallelopipedum, waarvan
twee diagonaal tegenovergestelde hoekpunten zijn mogen: m met
de coördinaten x, y , z, en m\' met x 4- dx, y -H dy, z dz.

Daar wij den eindtoestand beschouwen, waarin de verdeeling
der warmte geene verandering meer ondergaat, moet de hoeveel-
heid in ons element aanwezig constant, ,de tcewas dus = O
wezen wat ons geeft, na behoorlijke vereenvoudiging:

Indien wij dit integreren zouden wij willekeurige constanten
behouden, die door de, aan het oppervlak geldende vergelijkin.
gen te elimineren zijn. Eerstens hebben wij, dat voor x = 0,
moet zij n v~ A.

Als verder de dikte der staaf weder 21 is, dan is voor een
elementair gedeelte dx dy van het oppervlak, wat naar buiten
uitstroomt — hdxdy F, als V de temp. aan de oppervlakte, d. i.
voor is. Nu moet dit, opdat de toestand constant zij,

Oin onze Differentiaal vergelijking te integreren, kunnen wij
als eene partieele Integraal kiezen:

V n³ 4- p\'. Vat men al deze waarden te zamen, dan krijgt men
voor v de algeineenere uitdrukking:

v — («! cos Wjj/ 4- cos n₂y 4- a₃ cos n₃y 4- .....)
(&! COS Wj2 4- COS b₃ cos »3? ,,...).
Denken wij nu nog voor de vereenvoudiging dat de constante
temp. j4.===1 zij, dan valt deze vergelijking uit elkander in de
volgende twee:

waarin dus slechts de coëfficiënten a en b te bepalen zijn. Nemen
wij een\' term van de regterzijde van (a), waarbij wij voorshands
den index weglaten, vermenigvuldigen dien term met cos vy dy ₉en integreren volgens y van 0 tot l dan is:

zal n en eveneens v moeten voldoen, voor y — l aan onze 5) d, i.
nl tg nl~ ™ dus:

waardoor dus R — 0 wordt voor elke waarde van v, die niet — n is.
Yoor n — v, wordt (c) identisch en ziet men zeer gemakkelijk
dat daarvoor:

¹ ~ ¥tij, sinTnd\'
Op dezelfde manier worden al de coëfficiënten a en b gevonden.
Trouwens zijn de a en h respectivelyk gelijk. De vergelijkingen
(a) en (è) worden dus tot eene, en wel tot:
1 sin n_xl cos n_xy sin n₂l cos n₂y
4 ~ 2 n_xl sin 2 nj, ^ °2n₃l sm2n₂l ......^f

daar wij slechts de waarden van y te beschouwen hebben, die tus-
schen -j- l en — l liggen. Waaneer wij dit in de vergelijking voor

Men ziet, dat de formule voor v vrij onhandelbaar uitvalt,
maar zij laat toch nadere discussie toe.

Uit de bekende eigenschappen van de hierdoor voorgestelde
kromme volgt, dat de e en dus de n positieve, steeds grooter
wordende getallen zijn. Dan zal pok, voor de grootere waarden
—x V\' v n_L*

verkrijgen. Nemen wij, op grooten afstand van x~0, twee
punten met de abscissen x en x 4- 1, voor het gemak in de as,
dus y — 0 en z — 0, dan wordt, zeer nabij de waarheid,

staven de wet van Newton op grooten afstand van het ver-
warmde gedeelte moet geldig wezen.

Evenzoo maakt de constructie het duidelijk, dat, als de dikte
l zeer klein wordt, ook n_x veel kleiner dan alle volgende waar-
den van n wordt, en dan reeds, — wat wij op anderen weg
reeds voor eene zeer dunne staaf zagen — van de basis af, de
wet van Newton geldig is. In het geval dat l zeer klein is,
reduceert de waarde voor v zich geheel tot den eersten term:

is dan de eerste waarde van *, en daar wij verder voor den sinu3
den "boog kunnen zetten, wordt:

Wanneer wij voor de cos de eenheid zetten, dan komen wij
terug op onze reeds voor de zeer dunne staaf gevonden ver-
gelijking :

Bovendien wordt door de kleinheid der argumenten der cos,
waardoor de y en z zeer weinig invloed behouden, de onder-
stelling gewettigd, dat in zeer dunne staven in eene doorsnede
loodregt op de as eene zelfde temp. heerscht.

Het zal wel naauwelijks bewezen behoeven te worden, dat de
warmtestroom, die door eene sectie gaat, is:

geheele warmtestroom in de staaf gelijk is aan liet gedeelte van
de warmte dat aan de oppervlakte ontsnapt, wat noodig is, op-
dat de toestand een constante zij. Een element van het opper-
vlak is dx dy. Wat daaruit ontsnapt is rr: k dcc dy v. Hierin
nu moet z ™ l genomen worden, en de waarde van v in l en
dan volgens y geintegreerd van 0 tot l en volgens x van 0 tot
co. Dan hehhen wij de helft van wat aan eene zijde van de
staaf ontsnapt, aan de zijde loodregt op eene helft der as der z.
Dit viermaal geeft dus, wat uit het gedeelte van het oppervlak
ontsnapt, boven en onder, waar z constant is. Hetzelfde is dan
nog eens te nemen voor een constante y.
Nemen wij de partiele Integraal:

Dus, algemeen, verliest de staaf hier eene oneindige reeka
analoge termen, daar n (resp. p) ook hier een oneindig aantal
waarden heeft, termen allen zooals:

en\'deze twee reeksen moeten dus aan elkander gelijk zijn; d. i.
alle termen, waarin dezelfde n voorkomt, onderling gelijk, of:
k Qo\'M- n~) (p n) sinpl sin nl~hp cos nl sin pl hn sin In cos pl... 7).
Maar de voorwaarden (5) geven:

kn sin nl-^zh cos nl,
kri* sin nl sin pl — hn cos nl sin pl,
waardoor de vergelijking 7) identisch wordt. Dit is als het ware
eene nadere bevestiging van onze formules 6) en 3).

staaf, die bier niet — cc behoeft te wezen, k en m twee con-
stanten , die van de natuur en de dikte der staaf afhangen.

Deze formule schijnt mij echter toe, bijna geheel experimenteel
te wezen, doch voldoet vrij w,el aan talrijke proeven, die O ou il-
laud met eene ijzeren staaf nam, waarbij hij T en l veranderin-
gen liet ondergaan, en welke proeven toonden, dat: 1° als de
lengte der staaf in arithmetische reden korter wordt, A in een
geometrische reden vergroot, (vanwaar de term m) en 2°, wat
wij ook weten, dat als de lengte dezelfde blijft, A proportioneel
aan de veranderingen is van het temperatuurverschil tusschen do
warmtebron en de omgeving.

Tot nu toe hield ik mij uitsluitend bezig met den eindtoestand,
waarin de staaf streng gesproken nooit, maar na eenen genoeg-
zamen tijd toch voldoende komt, zoodat de veranderingen onna-
speurbaar worden. Nu wil ik echter in de volgende §§ aantoonen
op welke wijze de warmte zich na den aanvang der verwarming
verspreidt, om tot dien eindtoestand te geraken. Nemen wij hier
weder de dunne staaf, waarin eene doorsnede loodregt op de as,
dezelfde temp. in al hare punten hebbe. Eene sectie zal dan
meer warmte van de vorigen ontvangen, dan haar omvang naar
buiten afgeeft. De sectie zij tusschen x en x ■ ■ dx in. De aan-
was der temp. zal wezen in den tijd dl: dt. Dit moet nu we-
zen — wat de sectie ontvangt, verminderd met wat zij naar
buiten afgeeft. Zij S het oppervlak der sectie, dan vloeit in

dt CD CDS
Vooreerst willen wij het geheel theoretische geval beschouwen,
dat de warmte afgifte naar buiten — 0 is, en de vergelijking
zich dus reduceert tot:

ruimte met dezelfde stof gevuld is, is h = 0 en is dus de ver-
gelijking algemeen:

Denken wij ons nu dit oneindige ligchaam als in evenwijdige
vlakken gedeeld, waarvan een, dat wij als eerste denken, op
eene vaste temp. gehouden wordt, dan zal in elk vlak dezelfde
temp. heerschen in al deszelfs punten, daar er geene reden is
voor veranderlijkheid. Wij behoeven dus in het ligchaam slechts
eene\' rigting te beschouwen. Deze rigting nu is het geval van
onze dunne staaf, als oneindige lijn gedacht, zonder zijdeling-
-sehe warmte afgifte.

Over het algemeen zal men, om de willekeurige constanten
die bij de integratie zouden verschijnen, te elimineren, ook nog
den aanvangstoestand moeten kennen, uitgedrukt door

Stellen wij ons voor, wat iets ingewikkelder is, van eene
oneindige lijn zij een gedeelte ai verwarmd door eene willekeu-
rige aanvangstemperatuur uitgedrukt door v = F (x). Het overige
van de lijn hebbe de temp. 0 Daarna wordt de geheele staaf

zonder verdere verwarming aan zich zelve overgelaten. Wat
wij dus in deze § zoeken, is de wet, volgens welke onze staa£
zal bekoelen. Yoorloopig moge de lijn door v — F (cc) voorge-
steld, wanneer men x als abscissen, de v als ordinaten neemt,
symmetrisch zijn , d. i. F (x) = F (— x).

is, wel herinneren, dat deze h en k door CDS en CD te deelen
zijn. Wij hebben nu te integreren:

waarin a en q willekeurige constanten zijn, en welke uitdruk-
king aan 9) voldoet.

Hier gebruikt Eourier nu het theorema, dat later onder
zijnen naam zoo bekend werd, om. eene geheel willekeurige
functie, die zelfs niet continu behoeft te wezen, in den vorm
van eene bepaalde Integraal over te brengen.

Hij laat de willekeurige q met gelijke oneindig kleine deelen
opklimmen, beschouwt ze als abscissen en de a als ordinaten
en stelt dan u voor, door:

waarin slechts de willekeurige functie Q passend te kiezen is.
Daar voor aanvang der verwarming, dus bij I — 0 de temp. u

Door hier weder met dx cos rx te vermenigvuldigen, waarbij
r telkens een der q voorstelt, en dan van 0 tot x = tin te intre-
greren (n = co), valt weder voor elke waarde van r, alles op
den gezockten term na weg, en wordt algemeen

Nemen wij nu aan, de warmte, die in een deel van de
staaf in den aanvang voorhanden is, zij verdeeld volgens eene
lijn, die bij overstand symmetrisch is, dat is , F (x) — —F (—x)
wanneer de temperaturen v als ordinaten van eene kromme geno-
men worden, waarvan x de abscissen zijn. Het overige der
staaf hebbe weder de temp. 0. Laat ons zien, wat nu uit de
staaf wordt. Het probleem is bijna hetzelfde, als het vorige, en
kan dus kort behandeld worden, er komen alleen sin. in, waar
in de vorige § cos. waren. Denken wij ons eerst de staaf
slechts van eene lengte 2X van -f- X tot — X. Later laten wij
X= co worden.

Door nu x — X te maken moet v — 0 zijn, d. i. u~ 0. In
de uitdrukking voor u nu wordt alleen de sin. gx door x aan-
gedaan, dus moet voor eiken term:

Hierin moet nu de functie F (x), die den aanvangstoestand
van het verwarmde gedeelte voorstelt, ingevuld worden; en de
integratiën uitgevoerd.

Tot nog toe behandelden wi) slechts willekeurige, doch sym-
metrische funetiën F; doch met onze beide symmetrische functiën
kunnen wij elke andere voorstellen. Men kan namelijk steeds
elke functie <p (x) ontleden in de som van twee anderen:

want voor elke ordinaat van <p heeft men voor de twee onbe-
kenden, waarin men haar wenscht te ontleden, twee vergelijkingen.

In 10) en 11) beiden verdwijnt, wanneer de integratie naar
x volbragt is, door de grenzen 0 en co de x, wij kunnen dus
daar, binnen het integraalteeken, voor x zetten «, Dan zal alge-

meen voor eene geheel willekeurige verdeeling van warmte
v ~qi (x) (voor t = 0) wezen:

Nu kan men, zooals bekend is, de integratiën naar a in
plaats van 0 tot co , nemen van — oo tot 4- oo en bet resultaat
door twee deelen. Daardoor wordt echter wegens ƒ (a) ——ƒ(—«),

de basis verwarmd is, doch nu aldaar op eene vaste temperatuur
A gehouden wordt. In de vergelijking:

tuur op elk oogenblik i en deeindtemp., volgens 3), waarin wij
dan echter A als eenheid van temp. kiezen tot afkorting.

Dit verschil u\', dat steeds kleiner wordt, en 0 wordt als de
definitieve verspreiding van warmte daar is, heeft tot eerst©
waarde, voor t~ 0:

wanneer F (x) de aanvangstemp. voor een punt met de abscisse
x is. Zij ƒ (x) het verschil tusschen deze temp, en de defi-
nitieve, dan is voor u eene functie te zoeken, die voldoet aan

Deze kwestie is geheel tot de vorige terug te brengen, als
men zich voorstelt, dat de oneindige lijn ook aan de andere
zijde van d voortgezet is, en dat bovendien de andere helft der
lijn in een tegenovergestelden toestand is, als de helft die wij
beschouwen, zoodat een punt —X de aanvangstemp. —f (x)
heeft. Dan moge de warmte A — 1 in de staaf zich voortplan-
ten en aan de oppervlakte ontvloeijen. Deze beschouwing ver-
andert niets in onze beschouwing van de eene helft. Fourier
legt echter niet veel gewigt op deze redenering, maar lost de
kwestie onafhankelijk op.

Nemen wij u = cie~~^nx e ^{lc n}~^l, waarin a en n twee willekeu-
rige constanten zijn, en welke waarde ook aan de differentiaal
vergelijking voldoet, dan wordt:

Door voor a en n alle mogelijke waarden te nemen, verkrijgt
men de algemeenere integraal:

rt ⁰⁰ —<?( —«i (s 1<y~kt) , —n₂(x 2<y~kt ) , \\
u — dq e y a_xe ¹ a₂e ....)•

De constanten a en n zijn onbepaald, dus stelt de reeks on-
der het integraalteeken eene volkomen willekeurige functie van

Het is misschien niet onnut, hier bij te voegen, dat hier ook
^ j eigenlijk is : V pi-
De functie q> nu, wordt bepaald, daardoor, dat voor i = O moet

Toen Fourier in 1807 zijne eerste onderzoekingen over dit
punt bij bet Institut de France inreikte, was deze integraal on-
bekend, maar was sedert door Laplace bekendgemaakt¹). Deze
leidt bet nog iets korter af, op de volgende wijze. Bekend is
weder:

jl=Vkf ^jdq e ~ \'^f <p\' (x 2q Vil) ,
en als men dit laatste bij gedeelten integreert:

In beide differentiaal-quotiënten zijn de grenzen steeds — co en
H- co; daarvoor wordt e ~~ ^q\' ~ 0, nu mogen wij cp zoodanig onder-
stellen , dat cp\' hiermede vermenigvuldigd =0 blijft, wat in onze
opgave zoo is, daar de functie f willekeurig is, dan is

Ik zal L a*p 1 a c e niet volgen in zijn niet moeijelijk, maar
lang bewijs, dat deze integraal algemeen is, en alle schijnbaar
algemeen eren hiervan niet verschillen. Voor ons doel is dit on-
noodig.

Passen wij de nu gevonden formule toe op het geval, dat de
geheele staaf aanvankelijk de temperatuur 0 hebbe, behalve het
eene uiteinde, dat constant op de temp. 1. gehouden wordt. Dus
is, voor alle x > 0, de functie F (x) = 0, en bij gevolg

Nemen wij deze integraal eerst van x = 0 tot co, later van ■
x = — co tot 0, dus:

Jc c

~e f dqe e

TT «J

Verder is voor het tweede gedeelte van u, daar, volgens het
in § 12 over de functie f (x) gezegde hier f (—x) =—f (%)
moet wezen:

Keeren wij nu in u, de grenzen om, dan verandert de integraal
van teeken, waarom wij ook in de grenzen het teeken verande-
ren, en dan wordt de geheele uitdrukking voor u:

In de noot van § 13 is reeds gezegd, dat de waarden van ip R
hekend zijn, zij zijn ook overigens gemakkelijk, hetzij door mid-
del van reeksen, hetzij door kettinghreuken, te berekenen.

Wij hebben in de bovenstaande §§ twee, zelfs drie verschil-
lende integralen gegeven voor de vergelijking:

Fourier toont nu nog aan, dat^deze beiden slechts verschil
in vorm hebben, maar op hetzelfde nederkomen. Uit de bekende

Ontwikkelt men nu ook e , en zet de verschillende termen
regts en links aan elkander gelijk, dan komt men tot de beiden:

Verder is gemakkelijk te bewijzen, dat elk der termen , waar-
uit de reeksen voor u bestaan, gelijk is aan:

Want, nemen wij b. v. bet eerste, dan kunnen wij dit schrij-
ven , als wij de n weglaten:

waarin volgens de gewone beteekenis i=V — 1 is. Deze uit-
drukking nu, is gelijk aan de volgende:

—kt | ^ ^ —(q— V—Ft)² ₁ ^ -{q V—kty
-f e cos x | —p- j dq e --- j dq e

De tweede helft van deze uitdrukking moet — O zijn, daar
in bet oorspronkelijke geene imaginaire deelen voorkomen. Wat
het eerste aangaat, zoo is:

imaginair, en dus ook hetgeen met sin x vermenigvuldigd
is niet reël. Hij had de bemerking kunnen bijvoegen, dat

aan de grenzen de constante \\Z~ kt verdwijnt, en dan,
maar ook eerst na het inzetten der grenzen -j- co en — co het
tweede lid alleen imaginair is, daar dit vermenigvuldigd is

Bepaalt men zoo eveneens het gedeelte van de reeks, dat met
cos nx vermenigvuldigd is, (De geheele oplossing is eigenlijk,
zooals wij in § 12 zagen, de som der twee reeksen, elke reeks
is slechts voor eene der twee soorten van symmetrie), dan wordt:

e («i sin n_xx -f- b_y cos n_tx) -j- e (a₂ sin n₂x -f- o₂ cos n₂x)-}-....

Aan de regterzijde nu, staat hier, daar de a, b, n willekeurig
zijn, niet anders dan eene willekeurige functie van (a? -f- 2q }/ kt),
zoodat beide oplossingen feitelijk overeenstemmen.

Er zijn nog wel andere vormen te vinden. De volgende kan
nog wel te pas komen. Als particuliere integraal van —

Men kan hier eerstens den cos. in reeksen ontwikkelen, eri
dan integreren, maar men kan ook hier de complexe grootheden
te haat nemen. Zij

Hierin kan men nog voor x zetten x —«, wanneer a eene
willekeurige constante is. Dan kan men nog vermenigvuldigen
met /\'(«), welke functie constant is naar x, en als algemeene
integraal zetten:

Waarin A nog eene constante is. Doch ook deze integraal is
tot de vorigen terug te brengen, want zet men hierin:

Laat ons deze vergelijking nu ten slotte nog toepassen op het
geval, dat eene oneindig lange staaf door eene constante warmte-
bron 1 zoolang verwarmd is, dat de vaste eindtemp. heerscht,
en dan aan zich zelve overgelaten wordt, in eene omgeving van
de temp. O. Dit komt weêr terug op eene vroegere redenering;
namelijk de functie f (x) is voor alle positieve K gelijk aan

Een paar zaken wil ik hier slechts kort aangeven, daar zij
niet eigenlijk tot mijn onderwerp behooren.

Wanneer men ligchamen heeft van drie afmetingen, niet zooals
tot nu toe eene staaf, die wij als oneindige lijn kunnen beschou-
wen, dan zagen wij reeds vroeger, dat de Differentiaalvergelij-
king voor de warmteverspreiding in dit ligchaam is:

~1T~ \\ da? dy² da?)\'
en het is gemakkelijk in te zien, dat hieraan voldoen zal eene
integraal van den vorm:

2p]/Tü, z 2q\\/Tt),
wat ik hier niet verder zal uitwerken, Yooral Poisson heeft
echter voor andere ligchamen dan staven, deze onderzoekingen
verder voortgezet, doch weinig uitkomsten voor de praktijk
geleverd.

Yoorts kan men nog in de vergelijking 14) h = 0 maken,
wat neerkomt op de onderstelling, dat de staaf volstrekt geene
geleiding naar de omgeving hebbe. Dan wordt:

Dit komt namelijk bij waarnemingen van aardtemperaturen te
pas. Eene oneindige lijn zonder zijdelingsche warmte-afgifte
geeft, — dit zagen wij reeds vroeger, — dezelfde uitkomsten,
als een oneindig ligchaam van homogene structuur, waarvan

een vlak op eene zekere temp. wordt gehouden. Als zoodanig
kan men de aarde behandelen, waar men, bij de kleine uitge-
strektheid der proef, en kleine diepte die men kan waarnemen,
het oppervlak wel als vlak kan beschouwen. Op de technische
bezwaren is het hier wel niet de plaats te wijzen, alleen wil
ik nog zeggen, dat proeven hieromtrent nog weinige uitgestrekte

bestaan. Quételet in Brussel, Angström in Upsaia en de
Edinburgh Society hebben echter op dit gebied toch groote
verdiensten. -

Eene zeer schoone theoretische ontwikkeling van het probleem
der aardtemperaturen, vindt men reeds in het aangehaalde werk
van Riemann, über partielle Differential-Gleichungen, die mij
echter te ver zou voeren, Daarin wordt ook aangetoond, dat
ook op den langen duur, voor eenige diepte, de aarde als eene
oneindige lijn behandeld kan worden. In de verwarming van
de oppervlakte toch is eene periodiciteit, van de zon afhankelijk.
Deze periodiciteit wordt echter in de eindformule voor eene
eenigzins groote waarde van x onmerkbaar, zoodat op eenige
diepte deze verwaarloosd kan worden, en alleen de veranderingen
naar x in de formulen overblijven.

De volgende beschouwing van Eourier is voor de proefne-
ming nog van groot belang. Nemen wij de laatste uitdrukking,
die wij voor de verspreiding der warmte vonden:

die de warmteverspreiding nog steeds zeer algemeen uitdrukt.
Denkt men zie h de aanvankelijke warmte in een deel van de
staaf, van x —— h tot a = \'-\\-g. Beschouwen wij nu een punt
met de afascisse x = i daarvoor wordt:

(x — «)² = f — 2a i -4- a².
Na een belangrijk tijdsverloop, dus voor een zeer groote t,

Hierin drukt de Integraal nog slechts de hoeveelheid warmte
uit, die in het stuk — h tot -j- g voorhanden is. Na eenen
genoegzaam langen tijd heeft dus de aanvankelijke verspreiding-
der warmte geenen invloed meer, en komt het- slechts op de
hoeveelheid aan. Met den tijd moet men echter voorzigtig
wezen, want de verwaarloozing, die wij juist in het werk stel-
den , geschiedt onder het integraal teek en, het is dus niet vol-
doende dat de termen die verwaarloosd werden zeer klein zijn
tegenover x; ze moeten ook absoluut zeer klein zijn. Door de
volgende beschouwing zal dit duidelijk worden.

De aanvankelijke verwarming zij weder alleen in den oorsprong
der abscissen; daar hebbe een enkel element co de temp. ƒ, alle
andere deelen der staaf hebben de temp. 0. Dan wordt de oor-
spronkelijke hoeveelheid warmte:

stelt dan de warmte op een gegeven tijd t voor; men ziet,
door den teller in eene reeks te ontwikkelen, dat voor t = 0
ook v = 0 is.

Deze eenvoudige formule is dus na een genoegzaam langen
tijd steeds de uitdrukking voor de warmteverdeeling in de staaf,
hoe ook overigens de verdeeling in den aanvang moge geweest zijn.

Maar voor eene abscisse x grooter dan % wordt ook de tijd
een veel grootere, waarna de bovenstaande wet genoegzaam waar
wordt.

Het verschil nu:...., e ^{4 kt} = 1 -j- co
gesteld zijnde, zal co eene zeer kleine grootheid moeten wezen.
Ontwikkelt men de exponentiële functie in eene reeks , waarvan
men de hoogere magten verwaarloozen kan, dan wordt:

Opdat nu co zeer klein zij, moet, voor een grootere x, ook t
grooter en grooter worden; Eourier rekent na, dat voor eene
ijzeren staaf, waarvan niet alleen de basis, maar eene lengte van
\\ decimeter verwarmd is, op een meter afstand op een punt met
x = 1 meter , de benaderde wet eerst genoegzaam de ware uitdruk-
king geeft na drie dagen, en dat bij nog zeer goed te verwezen-
lijken omstandigheden , deze tijd wel eens maanden kan bedragen\'
Men ziet dus, dat groote omzigt noodig is, wil men de theo-
rie toepassen op eene staaf, die in den aanvang niet volkomen-
volgens de theorie verwarmd is waarvan bv. een eenigzins aan-
merkelijk deel verwarmd is, of waar nog variatiën in de temp.
voorkomen in het overige deel van de staaf.

De formules toonen reeds aan, dat de verspreiding van de
warmte in de staaf niet aan eene gelijkvormige beweging analoog
is, en dus waarschijnlijk maxima heeft, (resp. minima) eer de
eindtemperaturen bereikt worden , en het is nog van belang deze
op te zoeken. Beschouwen wij weder eerst het geval, dat een

en eene zijdelingsche warmte afgifte niet plaats hebbe, dus h = 0.
Nemen wij dus de formule

want de f is hier constant en kan dus buiten de integraal vallen.
Hierin komt nu geene integraal meer voor. Wij willen kortheids-
halve & — 1 denken, dan is :

Wordt nu hierin g = 0, dat wil zeggen, dat men zich de
warmte of slechts in een element aan den aanvang der staaf op-
gehoopt denkt, dan wordt imaar men kan, hetzij door ont-
ij

wikkeling in reeksen, hetzij door de gewone methode, differen-
tiëren , gemakkelijk vinden, dat

Het onderzoek, of wij hier werkelijk een Maximum hebben,
door bet nagaan van het teeken van —-₂ zou wel wat langdradig

een Maximum toelaat. Het hier ontwikkelde geval komt al we-
der bij de aardtemperaturen te pas. Daarbij zal echter (XI i e-
mann) wegens de periodiciteit van de verwarming van het op-
pervlak eene geregelde opvolging van Maxima en Minima plaats
hebben. Deze worden echter op betrekkelijk geringe diepte reeds
hoe langer hoe zwakker.

Eene kwestie die ons nadert ligt, is het opzoeken van het
Maximum van temperatuur voor eene staaf, waarvan het element
in den oorsprong der abscissen op eene constante temp. gehouden
wordt, terwijl het overige aanvankelijk de temp. 0 hebbe, en
waarbij wel zijdelingsche warmte afgifte plaats heeft. De dikte
van de verwarmde sectie zij m, daarin zij de hoeveelheid warmte

De vergelijkingen voor # en voor F bevatten de oplossing
der kwestie. Op eenigen afstand van het nulpunt, waar dus de

Hieruit ziet men, dat op grooten afstand x, de tijd, die voor
het maximum verloopt, evenredig aan den afstancfis; daar dus
het maximum eene eenvormige beweging langs de staaf heeft,
Bovendien drukt daar F de permanente eind temperatuur uit.
Daar kan men dus eigenlijk van geen max. meer spreken, de
temp. klimt gestadig eenvormig, tot dat zij de eindtemp. heeft
bereikt. Dit is echter niet waar voor punten digt bij de warmte
bron gelegen.

Men kan zich voorstellen, dat de punten digt bij de warmte
bron eerst tot een zeker maximum verhit worden, dan echter in
versterkte mate warmte afgeven aan de omgeving en de verder
afgelegen deelen, en zoo weder in temp. verminderen, tot eindelijk
de eindtoestand bereikt is.

Ook deze beschouwing is niet moeijelijk voor ligchamen van
drie afmetingen te voeren.

Ook Poisson heeft eene theorie der warmtegeleiding zamen-
gesteld ¹). Hij maakt den vermoeiden lezer den indruk, zich
den weg moeijelijk te hebben willen maken, door allerlei om-
standigheden en hinderpalen. Zijne ligchamen hebben willekeurige
vormen, zijn niet homogeen, hij beschouwt ^ en A, en c en d,

als variabel met de temperatuur, wat zeker overeenkomstig de
waarheid is; zijne staven hebben willekeurige, niet constante
doorsnede. Met al deze onderstellingen, die Fourier kalm
ter zijde laat, stelt hij differentiaal vergelijkingen op, en moet
dan ten slotte, om integralen voor dezen te vinden een voor een
al zijne opgeworpen moeijelijkheden over boord werpen, om voor
dezelfde eenvoudigere gevallen, als Fourier neemt, tot dezelfde
resultaten te komen, als deze , slechts langs eenen weinig ver-
schillenden weg. Wat bij hem anders is, dan bij Fourier,
heeft voor de praktijk geen groot nut. Echter zal-ik later een
paar van zijne ontwikkelingen geven, vooral wat betrekking
heeft op de veranderlijkheid van k.

Poisson gaat uit van de hypothese, het eerst door Laplace
opgesteld, die de geleiding in een ligchaam assimileert aan de
gewone straling in minder digte middenstoffen, dus eene straling
aanneemt van het eene molecule tot het andere, maar slechts
binnen een oneindig kleinen, of zeer kleinen afstand, die bij
Poisson steeds l genoemd wordt.

Een verdienste van Poisson ligt ontegenzeggelijk hierin, dat
hij steeds goed uit elkander houdt wat binnen in het ligchaam,
wat aan de oppervlakte plaats heeft, en daarvoor steeds twee
stel vergelijkingen heeft. Wat is voor Poisson het oppervlak?
De dunne laag — niet mathematisch vlak -— die het geheele
ligchaam. omgeeft, en die dunner is dan l, zoodat al de punten
er van, niet alleen die, welke onmiddelijk met de omgevende mid-
denstof in aanraking zij n , aan deze warmte afgeven, door een-
voudige uitstraling.- Ik wil hier woordelijk aanhalen: *)

„ A la vérité, la loi de continuité exige que 1\'on passé, par une
„gradation insensible, de la température du corps a celle du

„milieu dans lequel il est placé, mais notre hypothèse n\'était
„pas pour cela inadmissible ; car on peut concevoir qu\'il existe
„en dehors du corps, dans le milieu extérieur, une couche d\'une
„épaisseur aussi petite qu\'on voudra, et qui serve à lier l\'une à
„l\'autre les températures intérieure et extérieure. Il était donc
„nécessaire d\'examiner ce qui devait arriver dans cette hypothèse :
„or, il en résulte comme conséquence nécessaire, une relation
„entre les deux fouctions des petites distances qui expriment la
„loi du rayonnement intérieur et la loi de l\'émission de la cha-
leur au dehors, relation qui n\'a rien d\'impossible eu elle même,
„nais qui n\'existerait pas, en général, si ces deux fonctions
„étaient données a priori."

Men ziet, de kwestie wordt hier slechts iets hooger opgevat
dan Fourier, de hypothese van Newton volgende, dit doet
en twee hypothesen worden eigenlijk tot eene gebragt. Dit ge-
deelte van de theorie van Poisson- is dus als het ware eene
bevestiging van de aannemelijkheid van die van Fourier.

Poisson haalt verder eene geestige analogie aan van deze
hypothese met de verschijnselen der capillariteit, waarbij ook de
helling van het raakvlak aan de oppervlakte der vloeistof digt
bij de wanden der buis zeer snel verandert.

Verder volgt Poisson twee verschillende methoden van bere-
rekening. Eene door direct de integraal te zoeken, en door de
willekeurige functie, die er in voorkomt, de voorwaarden voor
het oppervlak in rekening te brengen, dan de integraal in eene
reeks van exponentiëlen om te vormen, waar de tijd in den expo-
nent voorkomt, en welke exponenten alle reël en negatief zijn.
Na eenen langeren of korteren tijd worden alle termen behalve
de eerste zeer klein, en treedt de geometrische wet van Newton
in. Dit is de weg van Fourier.

gekeerde. Hij stelt v voor een zeker oogenblik en voor een bepaald
punt dadelijk voor door eene oneindige reeks van exponëntiëlen,
waarvan de exponenten den tijd bevatten, en de coëfficiënten
hiervan onafhankelijk zijn, en welke reeks dan aan de vergelij-
king voldoen moet. De exponenten zijn gemakkelijk te bepalen,
ook zoo een deel der coëfficiënten, door de bepalingen voor de
grenzen van het ligchaam, waarna men den rest der coëfficiënten
gebruikt, om de reeks te laten voldoen aan de aanvangstempe-
raturen.

Poisson is er echter, volgens eigen bekentenis, niet geheel
in geslaagd, deze methode volkomen streng te bewijzen, wat de

dan is de differentiaal-vergelijking voor de verspreiding der
warmte, wanneer wij h — 1 denken.

en wanneer dan c, c^TI, c^IV, enz. willekeurige functien van x zij n,
van t onafhankelijk, wordt achtereenvolgens:

waarin « en b willekeurige functiën van t zijn, waarvoor men
qj (t) en 1p(t) kan invoeren, dan naar de magten van t ontwik-
kelen en hiernaar ordenen, dan blijft slechts eene willekeurige
functie van x over_e Eveneens kan men in de eerste reeks in plaats
van eene functie van x twee willekeurige functien van t invoeren.
Ik wilde dit slechts aantoonen en zal het niet verder ontwikkelen.

Ten slotte wil ik nog eene onderzoeking van Poisson aan-
halen, waarin hij de vergelijking behandelt, voor het geval, dat
de geleidingscoëfficiënt Jc niet constant is, maar eene functie van
de temp. op elk punt van de staaf. Evenmin moge h constant
zijn. De integratie is in dit geval ook aan Poisson niet ge-
lukt, maar het is mogelijk, in de onderstelling dat de tempera-
tuurverschillen niet te groote waarden hebben, eene benaderde
waarde voor de integraal op te stellen. Ik zet echter de letters

De k en h zijn dan in elk punt functiën, hoewel onbekend,
van de temp. Zij mogen volgens de magten van x ontwikkeld
zijn, doch de hoogeren laten wij weg. Dit komt eigenlijk neer
op de eenvoudige, doch vrij waarschijnlijke hypothese, dat de
veranderingen der beide coëfficiënten aan de veranderingen van
de temp. evenredig zijn. In die veronderstelling wordt k tot

waarin in en / twee constanten zijn. Verder mogen al de ge-
wone onderstellingen van Fourier geldig zijn omtrent de tem-
peratuur der omgeving en der warmtebron. Dan is volgens § 4

De regterhand nu zal, in de onderstelling van kleine tempe-
ratuur verschillen, niet veel grooter dan 0 zijn, zetten wij haar
voor een oogenblik =0, dan is:

Wordt hiervan nu weder ,de gewone integraal genomen, met
de bepalingen in acht te nemen, dat w —0 moet wezen voor

= 0 en voor x = ao , daar in het eene punt v = A, er in het
andere v = 0, dan komt. voor w de waarde:

Hierdoor is als het ware eene correctie van de eerste orde in
de gewone logarithmische wet aangebragt.

Poisson heeft bovendien een verdienste, dat hij verschillende
resultaten van Fourier strenger bewijst, maar geen e de uitkom-
sten van dezen heeft hij gelogenstraft, zoodat men aan de een-
voudigere theorie van Fourier genoeg heeft, voor het beoor-
deelen der proefnemingen.

De proeven, welke reeds sedert vrij langen tijd door verschillende
physici genomen zijn in verhand met de, in de vorige § § ontwik-
kelde theorie, zijn in hun doel eigenlijk hoofdzakelijk tweeledig.

Om van de alleroudste proeven reeds in de tweede helft dei-
vorige eeuw gedaan, niet te spreken, die naauwelijks meer
deden dan het bestaan constateren van een verschil in geleid-
baarheid tusschen verschillende stoffen, dienden de eerste naauw-
keurige proeven, tot zelfs nog die van Despretz in. 1821
grootendeels, om de wet der geleidbaarheid te vinden, en toen
deze door de theorie van Newton, Fourier, Laplace en
Poisson gevonden was, op mathematischen weg, om deze uit-
komst op proefondervindelijken weg te staven. Er werd victorie
gekraaid, als eene proef de logarithmische wet bevestigde, waar-
van de theorie reeds aantoonde, dat zij eigenlijk bij volkomen

geslaagde proeven niet de uitkomst wezen kon, en daarbij bleef
bet bijna geheel. Hoogstens werd eene rangschikking van eenige
stoffen opgegeven, die van den eenen waarnemer tot den anderen
aanmerkelijk verschilde, en hoogst zelden werden eenige zeer
slecht te vertrouwen cijfers toegevoegd.

De tweede phase is die, waarin ernstig, door al fijnere en
fijnere methoden naar cijfers voor den coëfficiënt k, (en, als
toegift, ook voor h) werd gezocht. Deze proeven nog in onder-
verdeelingen te splitsen, sou niet moeijelijk vallen, daar bijna
ieder daarbij eene geheel verschillende methode volgde, doch dit
zal uit het verhaal over de proeven zeiven wel volgen.

Ik zal dus de proeven van de eerste soort slechts kort behan-
delen , slechts met die mate van eerbied, die men aan lang
overvleugelde baanbrekers der wetenschap verschuldigd is, de
latere proefnemingen zal ik veel uitvoeriger behandelen, vooral,
omdat zij nog in geen een handboek staan opgegeven, en het
te zamenstellen van de verspreide stukken over dezen dus als
het nuttigste deel van dit werkje kan beschouwd worden.
Daarbij zal ik zoo volledig mogelijk de bronnen opgeven, waar-
mede ik voor de oudere proeven iets spaarzamer zal te werk gaan.

Verder zal ik, vooral wat de oudere proeven aangaat, niet
veel cijfers opgeven, die mijn werkje eerder dikker zouden maken
dan belangwekkender.

De eerste mij bekende proef is ons uit alle, zelfs zeer elemen-
taire boeken, bekend, zij is van onzen landgenoot den genees-
heer Ingenhousz¹),

Wat echter bij ons minder bekend is, is, dat Franklin bet
eerste denkbeeld van deze proeven heeft aangegeven,

In een blikken bakje, zijn in de eene wand even dikken
staven van verschillende stof bevestigd, zoodat gelijke einden er
van binnen den bak komen, De buitenliggende oppervlakken
worden met was bestreken, en dan in den bak kokend water
of olie door kokend water verhit, gegoten.

Nu merkte hij op, tot aan welk punt van zijne staven de was
smolt, en dit gaf hem eene maat voor de geleidbaarheid, op
den besten geleider smolt bet meeste was. Hij gaf het gemid-
delde uit 12 proefnemingen in het licht, en zijne waarnemingen
werden herhaald door Ure *), die echter eene andere rang-
schikking der metalen geeft dan Ingenhousz. De metalen,
waarover deze twee het eens zijn, hebben de volgende volgorde,
waarbij de beste geleider het eerst komt:

Zilver, koper, tin, gietijzer, lood.
Op dezelfde wijze heeft Ma ver¹), schijnt het, proeven gedaan,
zonder dat het mij de moeite waardig scheen, die proeven op te
zoeken. Het zal wel naauwelijks noodig zijn het gebrekkige
van deze methode der voorouderen aan te wijzen. De geleiding
der staven is gecompliceerd met de geleiding der wasoppervlakte,
wat vooral bij de slechtere geleiders aan de proefneming alle
waarde ontneemt, — de smeltende was geeft geene zuivere af-
scheidingslij n, de warmtebron is zeer weinig constant, men weet
niet waar het nulpunt is, enz. Waartoe de lijst der grieven

1 Onder het afdrukken komt mij een. stuk in handen van Joannes Tobias
May er, zoon van den meerbekenden astronoom van dien naam, in de Commen-
tationes Societatis regiae scientiarum Gottingensis Vol. IV. Dit kan,, dunkt
mij, het eenige zijn waarom in een mijner bronnen de naam May er voorkomt.
Er is echter sleehts sprake in van de wet van Newton, en het doet dus hier
niet ter zake.

Amontons en Lambert zijn de eersten geweest die met
metalen staven proefnemingen gedaan bebben op eenigzins betere
wijze, die echter nog alleen dienden om de wet der verkoeling-
van Newton te toetsen ¹). Amontons schijnt in het begin
der achttiende eeuw, dus reeds "lang voor Ingenhousz eene
staaf aan eene zijde verwarmd te hebben, voor de lagere tempe-
raturen aan het andere einde de graden van Newton \'s thermo-
meter gebruikt te hebben, en nu verder deze graphisch opge-
teekend. In de lagere graden is de Logarithimische lijn bijna
regt, en daar Amontons tegenover Newton\'s geometrische
afname de arithemische in bescherming nam, trok hij de regte
lijn door, en bepaalde nu eenige hoogere temperaturen door ver-
schillende stoffen langs de staaf te bewegen, en zoo de punten
te bepalen waar water kookt, waar was of lood smelten. Dan
nam hij de graden eenvoudig volgens de ordinaten van zijne
regte lijn. Geen wonder, dat hij de arithmetische wet beves-
tigd vond!

Lambert herhaalde zijne proeven, met eene kleine vereen-
voudiging, en vond, zonder eene wet a priori-aan te nemen,
juist door dezelfde stoffen van Amontons, de Logarithmische
wet van Newton bevestigd.

Proeven, om verschillende stoffen te vergelijken wat hun ge-
leidingsvermogen aangaat, deden beiden niet, en daarvoor blijf
ik dus aan Ingenhousz de prioriteit toekennen.

In chronologische volgorde komen wij nu tot Rumford,
Graaf Rumford, zooals hij zich zei ven doopte, met den titel,
die hem eerst later geschonken werd. Deze bragt het eene einde
een er ijzeren staaf in kokend water, het andere in ijs, en liet
drie fijne thermometers zinken in drie gaten met kwikzilver ge-
vuld, die onderling en van de uiteinden gelijke afstanden hadden.
Hij was geen aanhanger van de geometrische wet van Xewton,
en werd dus natuurlijk bedrogen in zijne verwachting, dat de
uiteinden der temperaturen als ordinaten genomen, eene regte lijn
zouden vormen. Er zijn mij dan ook geene andere resultaten
van hem bekend, die eenige waarde bezitten, dan de opmerking,
dat vezelstoffen, en fijn verdeelde organische zelfstandigheden zeer
slechte geleiders zijn.

De eerstvolgende is Biot \'). Deze was de eerste, die eenig-
zins fijnere proefnemingen in het werk stelde, hoew\'el ook hij nog
geen vergelijkende getallen gaf. Reeds voor Fourier, zooals
wij zagen, had hij een klein gedeelte van de theorie ontwikkeld,
dat betrekking heeft op de eindtemperaturen van de verwarmde
staaf. Zijne proeven dienden om aan cle theorie geloofsbrieven
te geven. Echter gebruikte hij staven van verschillende metalen,
zoodat b. v. voor koper en ijzer twee getallen uit zijne proeven

zilver, die door eene lamp verhit werden. In onderling op gelij-
ken afstand staande indiepingen , met kwikzilver gevuld, stonden
acht thermometers. De staven waren lang genoeg, dat de warmte
niet tot aan het einde, dat vrij was, doordrong, en de waarne-
mingen werden eerst öpgeteekend, nadat de toestand eenigentijd
lang stationair gebleven was. In eene koperen staaf waren 14
thermometers.

Biot gebruikt nu eene voorzorgsmaatregel, die voor de steeds
twijfelachtige standvastigheid der warmtebron niet van belang
ontbloot is. Hierdoor wordt tevens tegemoetgekomen aan het
bezwaar, dat de deelen, zeer digt bij de warmtebron, sterk ver-
hit , sterk uitstralend, zeer snel in temperatuur afnemen naar het
andere einde toe, en dus onzekerheden kunnen geven. In de
formule:

werd namelijk telkens de A, de warmte van de plaats der staaf
waar % — 0 is, uit de waarnemingen berekend. Neemt men twee
der thermometers (bij Biot de l^e en 3^e) , en mogen daarvoor de
v en. x zijn:

Door deze formule wordt de zooeven genoemde oorzaak van
fouten zeer verkleind, en wijst een groot verschil tusschen de

berekende en de, door bet thermometer gevondene, warmte van de
bron dadelijk op eene o mi a au w keurigheid in de waarneming. De
verhouding tusschen h en k volgt uit dezelfde twee vergelijkingen:
]/"h _ Igv\' — Igv"

Het is hier de plaats, de beste methode aan te geven, om te
zien, of werkelijk de proef de Logarithmische wet bevestigt,
hetgeen te doen is, zonder dat de graad van warmte der bron
bekend is, als deze slechts constant is. Kiest men drie der
thermometers, die op volkomen gelijke afstanden onderling staan.
Deze mogen de abscissen x, x-\\-i, x-\\~2i hebben, dan is, —
waarvoor zelfs de staaf niet oneindig lang behoeft te wezen — ais
de temperaturen dier drie thermometers zijn v, en , en als

Dit is eene constante, dus, wanneer de thermometers in de
staaf allen op onderling gelijke afstanden staan, aal de wet van
Newton bevonden worden waar te zijn, wanneer telkens de
som van twee temperaturen , door de daar tusschen liggende temp.
gedeeld een constant getal geven.

Het zal wel naauwelijks gezegd behoeven te worden, dat hier,
even als in alle proefnemingen, met temp. bedoeld wordt: over-
schot van temp. in het beschouwde punt der staaf boven de om-
geving. In de theorie werd kortheidshalve de temp. der omge-
ving altijd =0 gezet, zoodat daar deze opmerking verwaarloosd
kon worden.

Nu heeft Newton zelf zijne wet reeds alleen als geldig ge-
geven voor kleine temperatuurverschillen. Wat hier echter klein
beteekent, hebben de verschillende waarnemers nooit regt uitge-
maakt, hoewel er genoeg proeven om aangevallen ziin. Een feit
blijft echter, dat in de hoogere temperaturen de wet onzeker zal
wezen. En zelfs al bleef zij daar waar, dan springt door eene
beschouwing van de logarithmische lijn in het oog, dat daar de
daling in den aanvang zeer groot is, eene kleine fout in de
thermometer-aflezing, eene zeer kleine fout in den afstand
onderling der thermometers, daar eene schijnbaar zeer groote
fout zal geven.

Eene tweede oorzaak van misrekening is, dat de h en k
beiden zooals ik reeds meermalen aanduidde, niet constant zijn,
evenmin als de digthcid en de warmtecapaciteit. Ook deze on-
standvastigheid zal dus maken, dat in de hoogere temperaturen
de wet niet door de proefneming bevestigd wordt.

Men doet dus wel, daarvoor alleen het vlakkere gedeelte van
de logarithmische kromme, d. i. lagere temperaturen te beschouwen.
Doet men dit, dan moet men door de proeven tot nu toe ge>
noemd, vooral door die van Biot, de wet als volkomen beves-

tigd beschouwen en zoodoende de verdere hoofdstukken der theorie
als gevestigd aanzien.

Nu volgen dan ook die proeven, die meer bepaald gedaan zijn,
om verschillende stoffen, vooral metalen te vergelijken wat den
geleidingscoefficient aangaat.

Ik kan echter hier nog vermelden dat o. a. Fourier proeven
gedaan heeft met een ring. Zijne theorie is ook daarvoor uitvoe-
rig ontwikkeld. De proeven hebben dit voordeel, dat de staaf
als het ware in zich zelve wederkeert en dus niet oneindig ba-
hoeft te wezen. Het is duidelijk, dat, als de ring groot, en dun
is, de theorie van die van de staaf naauwelijks verschilt. Daar
hiermede echter, — misschien helaas, — slechts onbeduidende
proeven genomen zijn, zal ik £r niet verder van gewagen.

De eerste, die zich nu voordoet, is G. Despretz¹), in 1821
en later. Over zijne eerste proeven, op ijzer, koper, tin, lood,
marmer, baksteenklei en porselein gedaan bragten Fourier eii
Poisson in de Académie des sciences een zeer gunstig rapport
uit, en ondersteuning van die zijde stelde hem in staat, ook op
zilver, goud en platina proeven te doen.

Zijne staven hadden eene kwadratische doorsnede vam 21 millira.
zijde. Op afstanden van telkens 10 centim. waren gaten, die tot
2/3 van de dikte der staaf diep waren, 6 millim. middellijn had-
den, en met kwik gevuld waren. Hierin zeer fijne thermometers.
De waarnemingen werden gedaan , nadat de eindtoestand was in-

Annales de Ch. et de Physique. Tome XXXVI. 1827 en van hetzelfde stuk eene
vertaling in

getreden , wat eerst gemiddeld na 3 uren plaats had. De proeven
duurden elk 6 uur ongeveer. De verwarming geschiedde door
eene lamp, de zoogenaamde Lampe a Quinquet, naar den uit-
vinder Quinquet aldus genoemd; de Duitschers betwisten ech-
ter aan Q. de prioriteit der uitvinding, en noemen het ding
„Argana\'sche Lampe. Onder beide namen wordt dus dezelfde
zaak verstaan. Het aantal zijner thermometers was vier, slechts
bij weinige goede geleiders had hij er zes.

Ook Despretz begint nog, met naar bevestiging van de wet
van Newton te zoeken, wij zullen later, bij de discussie, die
op zijne proeven volgde, zien wat hiervan de waarde is. Hij
vindt de wet waar bij de goede geleiders, echter niet bij de
slechteren.

Daar nu bij de proeven van Des pret z alle staven met eene
gelijke laag zwarte vernis waren bedekt veronderstelt bij, dat
de uitwendige warmte-afgifte bij allen gelijk was, dus is h r dan
bij allen eene gelijke constante, en is de Ic direct proportioneel
1

Hij trachtte vergeefs proeven te nemen met houtsoorten, doch
deze geleiden te slecht.

N. W. Fiseher \') was de eerste, die tegen deze proeven op-
kwam, op de autoriteit van Ingenhousz, bij wien de metalen
eene andere volgorde hebben ; vooral goud en platina staan bij
dezen lager. Fischer herhaalde de proef van Ingenhousz,
en meent dan gelijk te hebben; ja hij vindt de methode van I.
nog niet primitief genoeg, en vindt er eene nog eenvoudigere uit,
neemt gelijke staven van verschillende metalen in de hand, en
verhit deze in eene lamp, en voelt waar hij ze nog aanraken
kan! Ook Ge hl er is nog een voorstander van de methode van
I. maar anders kan ik niet vinden, dat iemand het de moeite

heeft waardig geacht, de methode van F. ernstig te bespreken,
en do lezer zal mij dankbaar zijn, als ik dezelfde onthouding in
acht neem.

Ernstiger en waardiger tegenspraak vond Despretz bij den
Noorweegschen, toen jongen, geleerde Chr. Langberg \') in
1845. Deze gaat de cijfers van Despretz na, vindt dat zij
eene snellere temperatuur-afname aantoonen, dan met de theorie
overeenkomt, en noemt als oorzaken die welke wij in de voor-
vorige § opgaven. Hij wraakt dus, dat D. temperatuurverschillen
van 60° tot 70³ Celsius nog mede in rekening neemt,

Dan waren de staven van D. te dik; zijne vrij groote gaten
geven onderbrekingen in de continuïteit van de staaf, en dus
onregelmatigheden in de voortplanting der warmte. Het blijft
dus eerstens onzeker, of de afwijkingen van de wet van Newton
waar zijn, of slechts aan de waarneming te wijten zijn, ten
tweede echter moeten ook de cijfers voor Jc onder deze onnaauw-
keurigheden lijden.

Langberg heeft gewerkt in het laboratorium van Prof.
Magnus, wat zeker een grond is, om van zijne proeven groote
zorgvuldigheid te verwachten.

Zijne staven waren veel dunner, dan die van Despretz en
hij wijkt voornamelijk van den tot hem toe bewandelden weg
af, doordien bij geene thermometers gebruikt, maar thermo-elec-
trische zuilen van zeer kleine afmetingen, die door eene spiraal-
veder zooveel mogelijk gelijkmatig tegen de stang aangedrukt
worden. Elk element bestond uit eene staaf bismuth en eene

staaf antimonium, beiden 36.3 mm. lang en 1,7 mm. breed en
0.7 mm. dik. De gesoldeerde uiteinden waren eenigzins conisch
toegespitst, zoodat het vlak, dat tegen de staaf drukt, ï.7 mm.
breed en 1 0 mm. dik was.

Twee dubbele, gepolijste schermen van geel koper omsloten aan
het verwarmde einde de staaf, om de warmtebron te beletten,
door straling de verder gelegene deelen der staaf te verwarmen.
De warmtebron is bij hem weder kokend water, daar hij de
constante warmte van de lamp van D. in twijfel trekt.

De naald van zijn thermo-multiplicator had 2 tot 2Va minuut
noodig om tot rust te komen, als eene andere temperatuur in de
elementen haar deed slingeren, hij drukte dus ongeveer zoolang
zijn element tegen de staaf, en, om dan de naald eerst weder
tot haar nulpunt te doen terugkeeren, wachtte hij telkens onge-
veer vier minuten, eer hij op de volgende plaats de zuil aan-
drukte, en was hij zoodoende eenmaal de staaf langs gewandeld,
dan wachtte hij een kwartier, voor hij weder aan het andere
einde begon , voor eene nieuwe proef. Deze lange duur van zijn
experiment beschouwde hij zelf reeds als eene min goede omstan-
digheid, en bij sommige proeven heeft hij dan ook niet den
laatsten stand der naald waargenomen maar den eersten uitslag;
wat echter minder zuiver is.

Bovendien erkent Langberg zelf, dat zijn thermo-multipli-
cator verre van volmaakt was, dat de graad verdeeling vrij ruw
bewerkt was, en vooral, dat de naald nooit verkoos, hetzelfde
punt blijvend als nul aan te nemen. Dit, en nog andere abnor-
miteiten van zijn instrument constateert L. zond er ze te verkla-
ren, of te kunnen onschadelijk maken.

De warmte in het element rekende hij eenvoudig proportioneel
aan den uitslag van zijne naald, en kon dit doen, daar zijne
uitslagen steeds zeer klein waren. Bij de hoogere temperaturen

laschte hij in de geleiddraden wederstandsrollen in, om geen*
te grooten nitslag te krijgen.

Op deze wijze onderzocht Lang berg staven van koper,
staal, lood en tin van 6 tot 9 mm. dikte en ongeveer 2 meters
lang. Slechts de koperen staaf toonde tot aan het einde eene
kleine verhooging van temperatuur, en was dus niet lang genoeg.

Hij vond nu de wet van de geometrische afname niet beves-
tigd, het beste echter bij de beste geleiders.

Volgens eigen bekentenis deed hij zijne proeven slechts, om
de verkieselijkheid van thermo elementen voor dit soort van
proeven aan te toonen, meer dan om bepaald zijne metalen te
vergelijken. Zijne staven hadden dan ook allen hunne eigene
metaaloppervlakte, zoodat zijne resultaten slechts de verhouding
tusschen h en Je voor die metalen kunnen geven, geene verge-
lijkende waarden.

Despretz ^:) nu vond goed zeven jaar te wachten met een
antwoord op deze kritiek en antwoorde toen een paar zaken, „du
haut de sa grandeur" zooals aan een lid van de Académie des
Sciences, wat hij inmiddels geworden was, tegenover een\' jong
vreemdeling betaamt. L. had gezegd dat de proeven juist het
tegendeel bewezen van wat zij moesten, de juistheid der loga-
rithmische wet en nu zegt Despretz:

„Mes expériences ne devaient pas donner une progresion gé-
ométrique, les barres n\'étaient pas assez longues, pour que
„l\'influence, de la source fut nulle à l\'extrémité." Wat moesten
zij dan? Later zegt hij echter, dat hij de wet bij de goede ge-
leiders waar heeft gevonden, maar daarvan waren de staven
natuurlijk eerst regt te kort, en dit zou dus juist eerder voor
L. dan voor D. pleiten.

i) Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l\'Académie des sciences. Nov. 1852.

Despretz zegt verder ook wel eens over thermo-zuilen ge-
dacht te hebben voor sommige gevallen, maar blijft toch ther-
mometers voortrekken, waarmede hij waarlijk veel voorzorgen
schijnt in acht genomen te hebben; maar nog verdedigt hij ze
met het zonderlinge argument, dat de staven niet zeer dun be-
hoeven te zijn en dan de discontinuïteit door de gaten niet aan-
merkelijk is. Hierop ligt het antwoord voor de hand. De staven
moeten wel degelijk zoo dun mogelijk zijn, daar de theorie ge-
baseerd is op het gelijkstellen van de staaf met eene oneindige
lijn, en hoe weinig eenvoudig de formule voor dikkere staven is,
zagen wij reeds in de theorie van Fo urier. En in elk geval, zoo-
lang Despretz gaten boort tot aan 2/3 van de dikte, zal de onder-
breking bij dikke als bij dunne staven wel aanmerkelijk blijven.

Verder maakt hij op de thermo-zuilen van L. de gegronde
aanmerking dat deze de temp. niet meten in de staaf, maar
slechts aan de oppervlakte, w^Taar deze door de uitwendige warmte
afgifte zeker gestoord, waarschijnlijk steeds iets lager, dan bin-
nen in zal wezen. Hij oppert verder de vraag, of niet steeds
de zuil iets van de warmte zal wegnemen. Langberg heeft
gemeend, dat dit zeer weinig was, daar zelfs na eene aanraking
van een half uur met de staaf, zijn multiplieator denzelfden uit-
slag volkomen bleef behouden.

Laat ik hier eens voor al zeggen, dat de kwestie tusschen
thermometers en thermo-electrische znilen, m. i. de hoofdzaak
niet is. Wij hebben tot nu toe slechts deze twee middelen, om
temperaturen te vergelijken, en mogten nu beiden voor ons doel
al onvolmaakt wezen, men zal steeds tusschen de twee eene
keuze moeten doen, en wat men doen kan is alleen, met welke
dan ook, alle mogelijke voorzorgen te nemen. Bij latere proeven
zullen wij voor deze voorzorgen nog verscheidene nuttige wen-
ken zien.

Éindelijk verdedigt Despretz nog zijne lamp tegenover an-
dere middelen van verwarming, en hiervoor is ook de autoriteit
van Fourier, die zegt, dat het uit de proeven gebleken is,
„ dat men de temperatuur, die de lamp geeft, uitnemend constant
kan houden, langer dan voor de proeven noodig is.

Despretz geeft echter toe, dat misschien de door hem ge-
bruikte temperatuur-verschillen van 60° wel wat te groot waren,
maar blijft toch hechten aan zijn resultaat, niettegenstaande den
volzin , dien ik in de Fransche taal van hem overnam.

Aan het slot van dit stuk geeft Despretz nog aan, dat het
beplakken van de staven met papier een goed middel zou wezen,
om de oppervlakte, dus de /?,, gelijk te maken voor allen,

Dan meldt hij nog de resultaten van waarnemingen op eenigê
slechte geleiders, houten en steensoorten — die ik niet zal mede-
deelen, maar ook op vloeistoffen. Deze heb ik geheel buiten
mijn werkje gelaten — het weinige wat daarover gedaan is,
vindt men in elk handboek — maar ik wil een feit vermelden,
dat ik later denk weder op te visschen, dat namelijk eene toe-
voeging van zouten en zuren de geleidbaarheid van water voor
warmte niet vermeerderen, zooals bij de eiectriciteit in hooge
mate het geval is.

De methode van Lang berg is niet door ieder zoo verwer-
pelijk gevonden als door Despretz, want de naauwkeurigste
proeven die op den tot nu toe gevolgden weg genomen zijn,
zijn op Langbergs manier gedaan, Ik bedoel die van G-. Wie-
de man n en R. Franz *) in 1853, die echter Langberg

En nog latere stukken, alleen van Wiedemann in dezelfde collectie, Band
XCV en CVIII

aanmerkelijk verbeterd hebben. Zij maken op de waarnemingen
van dezen de aanmerkingen:

1®. Dat met zijne wijze, van de znil aan de stang te druk-
ken, het niet zeker is, dat de aanraking altijd volkomen was.
Was de druk een weinig scheef, dan heeft slechts een kant van
de zuil de staaf aangeraakt, en waarschijnlijk te lage tempera-
turen aangegeven.

2°. Dat de waarnemingen te lang duurden, — zooals wij
zagen, tot bijna 3 minuten. Gedurende dien tijd, zal het element
altijd eenige warmte aan de staaf ontnemen, en deze misschien
in de vrij lange zuil secundaire stroomingen doen ontstaan, die
aan het resultaat afbreuk kunnen doen.

3°. Dat L. misschien toch nog te groote temperatuurverschil-
len gebruikt, om den naalduitslag direct evenredig te mogen
stellen aan het temperatuurverschil in de soldeerplaats.

4°, Dat L. werkte in eene kamer, zonder zijne staven te
beschutten voor temperatuurveranderingen der omgeving en voor
luchtstroomen, die, gedurende zijne lange proeven, stoornis in
den toestand der staaf kunnen gebragt hebben.

Aan al deze bezwaren zochten nu W. en F. zooveel mogelijk
te gemoet te komen, door allerlei vernuftige inrigtingen. De
teekening van hun instrument dat vrij ingewikkeld is vind men
in de Annalen van Poggendorf en ook zeer goed in cle
nieuwere handboeken, waarop ik mij hier genoodzaakt zie te
verwijzen.

De gebruikte staven waren cirkelrond, en ongeveer een hal-
ven meter lang, en hadden 5 tot 6 mm. middellijn. De for-
mules van P o u r i e r werden zorgvuldig gebruikt om de gevonden
getallen op dezelfde dikte te herleiden. De staven waren allen
galvanoplastisch verzilverd of waar de aard van het metaal dit

gelijkmatig mogelijk gepolijst, om de\' uitwendige warmte afgifte
zoo naauw mogelijk gelijk te maken. Alleen de platina-staaf
had zijne eigene oppervlakte, daar deze slechts zeer kort in
hun bezit was. Alle metalen behalve het goud waren chemisch
zoo rein als men ze maar kan. maken, het zilver b. v. uit eene
oplossing neergeslagen, uitgewasschen en driemaal omgesmolten.

De staven liggen horizontaal in een glazen klok, en aan de
eene zijde onmiddelijk daarbuiten in een metalen doos, gevuld
met stoom die steeds aangevoerd wordt uit een kookvat daar-
onder. Dat uiteinde is dus constant op 100° 0., daar de stoom
door eene buis vrii ontsnapt. Aan de andere zijde is de klok
gesloten door eene metalen plaat, waaraan een tweede onder-
steuningspunt, voor het vrije einde der staaf. In die plaat is
nog eene opening, waardoor eene glazen buis naar binnen gaat,
waarin de twèe geleiddraden van het galvanometer naar binnen
gaan. Deze buis is overigens luchtdigt gesloten. In de klok
eindigen deze draden in eene soort van tang, die de staaf vast
omklemt., en het element, dat tot de kleinst mogelijke afmetin-
gen gebragt is, er zoo vlak mogelijk wordt tegen aangedrukt.
De klok is voorts nog voorzien van eene buis, die met de lucht-
pomp kan verbonden worden , zoodat de staaf in het luchtledige en
in de lucht kan onderzocht worden. Yerder is de klok van water
omspoeld, zoodat de ruimte er binnen op eene vaste temp. bleef.

Nu heeft Regnault aangetoond, dat de intensiteit van den
galvanischen stroom niet direct evenredig is aan de warmte in
de soldeerplaats. Dit zal ik hier niet ontwikkelen, doch Wie-
demann en Franz ontkwamen aan deze moeijelijkheid op de
volgende wijze. In de klok zelve werd een holle bol van\'staai met
kwikzilver gevuld verwarmd, daarin was een thermometer, en nu
werden de graden van den uitslag van het galvanometer vergeleken
met de aanwijzing van het thermometer en in tabellen gebragt.

Tevens toonde zich hierbij _t dat telkens als de zuil aangelegd
werd, het thermometer 0.8° daalde, wet tegen Langberg zou
pleiten, Lchter stond het thermometer zeer snel weêr op de
oude hoogte, zoodat dit op de proeven van L. die zoolang
duurden, wel weinig invloed zal gehad hebben.

De correctiën nu, die door deze tabellen veroorzaakt wer-
den, waren zeer gering, werden echter zorgvuldig in rekening
gebragt.

Het galvanometer schijnt zeer gevoelig, en in alle opzigten
uitstekend geweest te zijn, en het element werd zoo kort moge-
lijk aan de staaf gedrukt. Door de glazen buis, waarin de
draden zijn, te verschuiven, onderzochten W. en F. de temp.
op verschillende plaatsen in de staaf.

Om uit de waarneming de grootte van k af te leiden, gebrui-
ken zij volmaakt dezelfde formule als Despretz.

De cijfers nu, waartoe deze geleerden komen, zijn de vol-
genden. Ik heb er de uitkomsten van Despretz achter gezet,
in dezelfde maat uitgedrukt.

Despretz te verkiezen, en ze de besten te noemen tot nu toe
langs dezen weg verkregen. Ik zal mijne opinie wel niet meer
behoeven te verdedigen.

Hoe naauwkeuriger echter de proeven werden, hoe meer moes-
ten kleine zaken opvallen, en aan Wiedemann en Franz
deden zich dan ook met vernieuwde kracht twee vragen op, die
reeds geopperd waren, doch nog nu van belang zijn en ten deele
op antwoord wachten.

Ten eerste. Bestaat er verband tusschen deze reeksen voor
warmtegeleiding en de geleiding voor electriciteit ? W. en F.
beantwoorden deze vraag volmondig met ja. Yoor electriciteit
bestonden drie reeksen cijfers van eenige waarde, die van Riess,
Beequerel en Lenz en nu stemt werkelijk de reeks van W.
en F. met die van Lenz vrij wel overeen. De voorzichtige
uitspraak is in elk geval geregtvaardigd: „er bestaan geene
„grootere verschillen tusschen de reeks voor warmte, en die
„van Lenz voor electriciteit, dan er bestaan tusschen de drie
„reeksen van Riess, Becquerel en Lenz onderling." Over
dit punt spreek ik op het oogenblik niet verder, het zal weer
later opduiken.

Ten tweede. Zijn k en h met de temperatuur veranderlijk?
Langberg had hierop ja gezegd, en Poisson meent vau ja.
W. en F. namen het feit nauwelijks waar bij de betere geleiders,
maar wel degely k bij de slechteren. In het luchtledig toonde zich
weinig veranderlijkheid. Ook hierover zal ik later meer handelen.

Alles duidt echter aan, dat de theorie beter doorgaat voor de
goede dan voor de slechte geleiders.

En hiermede ben ik aan het einde van eene groep van proef-
nemingen gekomen, in deze groep omvat ik alle proeven waarbij
eenvoudig, hoe dan ook, de temperatuur op vele verschillende
plaatsen van eene staaf wordt onderzocht. Ik zal nog nieuwere,

betere methoden aangeven, maar vooraf moet ik nog een paar
groepen van proeven aanstippen op eene andere wijze genomen.
De eerstvolgende methode leidde niet tot zeer veel resultaten, maar
ik ben aan de mannen, die haar met groote moeite aanwenden,
en aan de volledigheid van mijn werkje, verpligt ze kortelings
te vermelden, eer ik tot de betere soort overga.

De tweede groep van proeven, die wat de chronologische
rangorde aangaat, parallel met de vorige groep is, heeft tot
grondtrek het meten der warmte die van eene warmere midden-
stof in eene koudere overgaat, door platen van de te onderzoeken
stof heen. Men kan reeds a priori zeggen, dat dit tot weinig
goeds kan leiden, aangezien deze hoeveelheid warmte eene vrij
ingewikkelde functie zal wezen van den inwendigen geleidings-
coëfficiënt en van de beide uitwendige geleidingen aan de beide
oppervlakken der platen.

De eerste poging in dezen zin, was een voorstel van Dulong,
dat niet tot uitvoering kwam. Een holle bol van de te onder-
zoeken stof, met ijs gevuld , zou in stoom van J00° gebragt worden ,
na een bepaalden tijd de "hoeveelheid ijs, die tot water geworden
was, onderzocht worden; is aan deze hoeveelheid in den tijd r
gelijk aan p, is verder R de straal, e de dikte van de bol, dan
komt men ligt tot de door Dulong voorgestelde formule:

De methode is volstrekt onbruikbaar, want Dulong laat
geheel buiten rekening, den coëfficiënt h voor den overgang van
stoom van 100° in het ligchaam, en voor den overgang van het
ligchaam (dat intusschen eene onbekende middentemp. heeft) in

in ijs van 0°. Men zou dus eerstens de temp. van het ligchaam
zelf gedurende de geheele proef, en ten tweede de veranderingen
van beide coëfficiënten voor die temp. moeten kennen, en daar-
door zouden proef en rekening vrij ingewikkeld worden.

Het schijnt mij hier de plaats iets uit Buffon toe te voegen
Iïet schijnt mij toe slechts een résumé te wezen, van het stand-
punt der kwestie der geleidbaarheid op zijnen tijd, maar ik neem
het toch op, 1°. om \'s mans grooten naam en 2°. omdat het mij
niet duidelijk is geworden op welke proeven hij doelen kan\' en
het dus toch mogelijk is, dat hij op eigene proeven doelt.

Eerst zegt hij, dat door proefnemingen met metalen bollen de
wet van Newton bevestigd is, dan wijdt hij 150 bladzijden aan
mijn onderwerp en geeft vele cijfers, die ik maar niet zal weder-
geven. Dan zegt hij ten slotte; „que le progrès de la chaleur
„dans teute,s les substances minéfales est toujours a très-peu
„prés en raison de leur plus ou moins grande facilité a se
„calciner ou a se fondre." Men ziet de groote man geeft een
aardig overzigt, maar laat geen groot licht opgaan.

Niet minder bezwaren dan de methode van Dulong heeft het
contact-thermometer van E o u r i e r , meer bepaald bedoeld, om bij
de doorlating van warmte door platen, den invloed van de dikte
dezer platen te bepalen, doch ook tot bepaling der coëfficiënten
dienstbaar gemaakt. Een trechter van metaal, met de wijde
opening naar beneden en met kwikzilver gevuld, waarin een
thermometer afdaalt. Van onderen is de trechter met eene dunne
lederhuid gesloten, en steunt daarmede op een reservoir, waarin
stoom gebragt wordt. Later wijzigde E o ur ier den toestel, en bragt
in plaats van het reservoir een blok van steen , dat de temperatuur

der omgeving had ¹). In 1828 heeft hij hiermede met behulp
van Colladon eenige proeven genomen, zonder echter, schijnt
het, zijne belofte na te komen, dezen later te vermenigvuldigen
en resultaten in het licht te geven. Dezen zouden dan ook niet
veel waarde gehad hebben. Do eerste toestel staat in Jam in
beschreven, ik kan volstaan met den tweeden, beteren, waarvan
de theorie bijna dezelfde is. In beiden komen de te onderzoeken
platen tusschen de huid en de onderlaag te liggen.

Wanneer H de hoeveelheid warmte is, die in de eenheid van
tijd door het conische oppervlak in de lucht zou treden, wanneer
de grootte van dit oppervlak en evenzoo het temperatuurverschil
tusschen dit en de omgeving beiden = I waren, zoo zal, als
men het kwikzilver tot eene temp. « verwarmt, als het coni-
sche oppervlak en m de temp. der omgeving is, door deze
oppervlakte in den tijd dt naar buiten afgegeven worden, de
hoeveelheid:

Zij nu de warmte die door de huid ontsnapt, met dezelfde
eenheden ais boven, = h, dan is , als b de grootte der huid, n
de temp. van het blok is, wanneer niets tusschen de huid en
het blok ligt, hetgeen uitvloeit door de huid:

Uit het geheele instrument dus vloeit eene hoeveelheid:
Hs (« — m) dt -|-hb (cc —• n) dt.

Is verder c de warmtecapaciteit van het geheele vat, d. i. de
warmte die men er aan zou moeten toevoegen, om het van de
temp. 0 op 1 te brengen, dan is

Komen nn de te onderzoeken platen tusschen het blok en de
huid te liggen, dan wordt h een zamengestelde coëfficiënt voor
huid en plaat. Men kan eerst dezen nu voor de huid alleen
bepalen, om die voor de platen te vinden,

Nu wordt het kwikzilver verwarmd, en daarna laat men het
geheel eenvoudig in de omgeving bekoelen. Neemt men dan op
drie verschillende oogenblikken, met telkens eene tijdsruimte &
verschil de temperaturen waar, die « , en mogen zijn ,

Neemt men nu achtereenvolgens twee even dikke platen van
verschillende stof, dan kan men daarvoor de h vergelijken, daar
men twee verschillende waarden verkrijgt voor:

Hierin is nu wel overal de II aanwezig, daar deze echter voor
alle platen dezelfde is, doet hij tot de relative bepalingen niet af.

De ontwikkeling wordt nog veel eenvoudiger, als men aan het
blok eenvoudig de temp, der omgeving geeft, waarvoor m — n
wordt.

Tot dit doel is dit instrument haast nog gebrekkiger, dan de
toestel door Dulong voorgeslagen, want niet alleen dat de coëf-
ficiënt h ook hier een complex is van k en van twee uitwendige
geleiding-coëfficiënten, maar de lederhuid maakt het geheel nog
ingewikkelder. Op een ander bezwaar zal ik zoo aanstonds wij-
zen, dat echter meer van toepassing is, op de eerste, dan op de
tweede inrigting van dit instrument. Fourier erkent dan ook
openhartig zelf de onvolkomenheid van het instrument, dat hij,
zooals ik reeds zeide, niet verder gebruikt schijnt te hebben.

Péclet heeft den eersten toestel van Fourier eenigzins ge-
wijzigd, en nog verbeterd, doordien hij de lederhuid wegliet, en
de te onderzoeken platen zeiven als afsluiting bezigde. Zijn
eerste doel was, den invloed van de dikte der platen te onder-
zoeken , en vervolgens om, daar andere waarnemers nog steeds
slechts relatieve geleidings-coëfficiënten gezocht hadden, voor ten
minste een metaal, en wel voor lood, eene absolute bepaling te
vinden.

En nu vond Péclet dat de dikte, en zelfs de metaalsoort van
zijne platen bijna geen invloed hadden, op de doorgelaten hoe-
veelheid warmte in eenen bepaalden tijd. Het zal geen betoog
behoeven, dat dit feit de onbruikbaarheid der proef met zich
voert. Péclet verklaart de zaak, door te onderstellen, dat aan
beide zijden van de plaat eene dunne waterkolom (ook in het
bovenste vat, den trechter van Fourier, is bij hem water)
onbewegelijk is, en van eene andere temperatuur, dan de rest.
Dan wordt het geheel een complex van twee lagen water, waar-
tusschen het zoo oneindig veel beter geleidende metaal slechts
de rol speelt van een draphragma.

Nu verbetert Péclet zijn\' toestel aanmerkelijk \'). Het be-
staat ten slotte uit een vat, het bovenste, met water van 0° ge-
vuld , en dat van onderen alleen door de te onderzoeken plaat in
contact komt met een groot vat, met water op de temp, der lucht
gevuld. Met ziet, dat hij slechts een klein temperatuurverschil
gebruikt, wat zeker voordeelig is. Het bovenste vat is omringd
met uitgekamde wol, en dus tegen warmteaanvoer van buiten
beveiligd. De grootste verandering bestaat echter in twee roer-
toestellen , in elk der vaten een, die de laag water aan de opper-
vlakte der plaat in gestadige beweging houden. Deze toestellen
deden 1600 omdraaijingen per minuut.

Nu waren de doorgelaten hoeveelheden warmte zeer merkbaar
omgekeerd evenredig aan de dikte der platen , en was dus de
proef als beter ingerigt te beschouwen. Ik zal de becijfering van
Péclet niet aangeven, alleen opmerken, dat hij tot het resul-

Ook uitvoerig beschreven in Mti lier-Pouilets leerboek, minder uitvoerig in
dat van Jam in.

Annales. de chimie et de Physique Ille série. ïome II. p. 107. en in Poggen-
do rf\'s Annalen. LV. p. 16.

taat komt, dat in eene seconde, door eene plaat lood van 1 vierk.
uieter oppervlak en 1 rnillim. dik 3.82 warm te-éenheden gaan ,
wanneer het temperatuurverschil aan de beide eindvlakken 1°
bedraagt.

Voor Péclet hadden Clément, en Thomas en L au rent,
proeven gedaan met hetzelfde doel, echter zonder alle voorzorgs-
maatregelen van Péclet en waren tot veel kleinere resultaten
gekomen. Daar deze proeven klaarblijkelijk vrij slecht zijn , gaf
ik mij de moeite niet, ze op te slaan , en deel ze hier slechts
pro memoria mede.

Ook het cijfer van Péclet is later (zie verder bij Angström)
gebleken , nog veel te klein te zijn , en kan dus slechts onder
reserve worden aangenomen. Ook laat zich ook op zijne proef
wel een en ander aanmerken, Zijne gecompliceerde roertoestellen
moeten vrij veel wrijwing, en in het water en in de tappen ge-
had hebben, die warmte veroorzaakte, welke niet in rekening is
gebragt. Maar erger nog wordt dit, daar de toestellen de plaat
zelve aanraakten, waarin hunne wrijving zeker warmte moet
veroorzaakt hebben.

Verder kan zijne absolute waarde van h, waarin nog steeds
twee waarden van h voor de beide oppervlakken schuilen, wel
voor alle andere gevallen naauwelijks gaaf aangenomen worden.

Vervolgens heeft Péclet zich ontzaggelijke moeite gegeven,
voornamelijk met het oog op technische doeleinden, met slecht
geleidende stoffen. Hiertoe gebruikte hij drie verschillende, vrij
afwijkende methoden, waarvan eene is, zijne roertoestellen in
verband gebragt met het door Dulong voorgeslagen toestel.
Daar ik mij deze slechtere geleiders echter minder voorgesteld
heb ter behandeling, zal ik deze proeven niet geven , men vindt
ze uitvoerig beschreven in het aangehaalde werk van Péclet, in
eene noot .achter aan het derde deel van de derde uitgaaf (1860).

Om dezelfde reden zal ik ook slechts de namen noemen van
Auguste de la Eive en Alphonse de Candolle ^x) die in
1828 proeven namen met houtsoorten, wat wegens de zwakke
geleiding zeer moeijelijk was. Zij werkten met staven, doch van
veel grootere dikte, dan hij metalen voldoende is, waardoor de
proeven wel minder te vertrouwen zijn. Echter blijkt uit al deze
proeven weder, dat bij de slechte geleidersde Ipgarithmische
wet van Biot niet meer doorgaat. Dit is echter te verwachten.
Deze gaat ook bij goede geleiders in de hooge temperatuurver-
schilllen niet meer door ; bij slechte geleiders moet men eerstens
hooge temperaturen aanwenden, om eenige geleiding te bespeu-
ren , ten minste als men met staven werkt. Verder: stelt men
graphisch de logarithmische kromme op, dan wees ik er reeds
vroeger op, dat uit de figuur duidelijk is, dat het eerste gedeelte,
waar de daling sterk is, de grootste fouten moet aanbieden. Wordt
nu, zooals feitelijk bij slechte geleiders het geval is, de figuur in
de rigting der abscissen sterk te zamen gedrongen, dan wordt deze
bron van fouten zoo overwegend , dat het duidelijk is, dat, al ging
de wet nog door, men ze niet meer zou kunnen aanwijzen. Want de
waarneming en de figuur zijn hierin volkomen analoog. Wat is het
aflezen van een thermometer anders dan het meten eener ordinaat,
en in dat geval nu moet de kleinste fout in de abscisse, dat is,
reeds een thermometer die niet midden in zijne holte staat, reeds
eene zeer groote fout, en in de berekende, en in de geteekende
kromme, geven.

Een resultaat van de laatste proeven, dat ik nog wil aanhalen,
is dat de houtsoorten in de rigting der vezels oneindig beter ge-
leiden , dan loodregt daarop, iets wat in de plantenphysiologie
niet van belang ontbloot is.

i) Op vele plaatsen aangehaald. Zie voor de litteratuur hiervan Gehler, Physi-
kalisches Wörterbiich X, ie Abth. p. 540,

Ëene reeks van proeven geef ik hier nog afzonderlijk, daar
zij , hoewel met staven uitgevoerd, van de vorigen in methode
verschilt. In 1858 maakten voor het eerst F. Cr ace Calvert
Richard Johnson hunne proeven bekend, die eenigzins
anders gedaan werden, dan de beide nu verhaalde methoden. In
de Philosophical Transactions staat eene uitgebreide beschrijving-
van hunne zorgvuldig gedane proeven en van alle voorzorgen
hierbij gebruikt. Yooral voor chemische verbindingen, en men-
sels van metalen wenden zij groote moeite aan, waarin zij tot
nu toe alleen staan. Yooral dus voor technische doeleinden, is
hun arbeid van groot nut. Zij schijnen er meer dan een jaar
aan besteed te hebben.

Hun instrument bestaat in de hoofdzaak uit twee waterreser-
voirs van bepaalden inhoud, het grootere voor warm, het klei-
nere voor koud water bestemd. Het is vrij wel gelukt de beiden,
op eene afstand van 4 centim, zoodanig\' van elkander te scheiden,
dat bijna geene warmte werd medegedeeld. De te onderzoeken
staven hebben eene kwadratische doorsnede van 1 centim. zijde
en zijn 6 centim. lang. Deze worden nu zoo geplaatst, dat in
elk water reservoir 1 cub. centim. uitsteekt en 4 centim. er van
tusschen de twee vaten zijn, omgeven van caoutschouk, om het
doordringen van water te beletten, In het grootere reservoir
steekt verder een thermometer, en mond eene buis uit, waardoor
stoom toegevoerd wordt, waarmede de proefnemers het zeer ge-
makkelijk vonden het water op eene constante temp van 90° C.

1) Philosophical Transactions. Vol CXLVIII en CXLIX.
In uittreksel in verschillende Jaarboeken, waarvan ik alleen noem :
Fortschritte der Physik. XIV Jahrgang. iS6o. en

te houden. In het andere vat steekt een instrument, waardoor
het water gestadig omgeroerd wordt, en een zeer gevoelig ther-
mometer, dat tiendedeelen van graden aanwijst.

Wordt nu het water in het eene reservoir verwarmd, dan zal
door de geleiding van de staaf, ook het water in het andere in
warmte toenemen en nu meten Calvert en Johnson eenvou-
dig het aantal graden, waarmede de warmte toeneemt, in een
kwartier, voor elk metaal, en zetten k daaraan direct evenredig.

Dit schijnt mij toe gewaagd te zijn. Is er binnen zoo ruime
grenzen bv. 30 maal zooveel warmte noodig om dezelfde hoeveel-
heid w-ater te brengen van 20° tot 50° dan er toe noodig is om
die van 19° tot 20° te brengen? En dit zijn nog niet de ruimste
grenzen van deze proeven.

Verder toont de theorie van Eourier, dat de verspreiding
der warmte in eene staaf vooral in den aanvang der verwarming,
die hier, naar mij toeschijnt, gebruikt is, volstrekt niet regel-
matig gaat en het is dus volstrekt niet onverschillig, of het
kwartier, gedurende hetwelk waargenomen wordt, juist eene
periode van maximum van verwarming of van minimum omvat.

Dan ook krijgt men hier een k, dat op zonderlinge wijze met
verschillende waarden van h moe gecompliceerd zijn, daar de
staaf onderweg warmte afgeeft aan al de verschillende scheidings-
wanden tusschen de twee vaten.

Een groot voordeel echter is, dat hier slechts een thermometer
afgelezen wordt, en een ander voordeel, dat de continuiteit van
de staaf door niets onderbroken is. Ook is de kleinheid der
staven voordeelig, daar het veel gemakkelijker is kleine, dan
groote stukken, chemisch rein te verkrijgen. Hiervoor droegen
de beiden ook groote zorg, bijna alle metalen werden uit che-
mische precipitaten vervaardigd. Vloeibare metalen werden in
een kistje van zeer dun blik, van dezelfde groote als de staven ,

gebruikt, nadat vooraf de geleiding van het omhulsel was be-
paald. Dit moet klaarblijkelijk de onzekerheid doen toenemen.

De cijfers van deze proefnemers voor de zuivere metalen zijn,
het zilver als norm aangenomen:

goud fVVV ■
koper, gewalst
koper, gegoten
aluminium .
zink, gewalst
zink, verticaal gegoten
zink, horizontaal gegoten
cadmium . .
smeedijzer
tin ....
staal .
platina
sodium . .
gegoten ijzer,
lood ,

1000
981
840
845
811
665
641

608
577
436
422
397
380
365
359
287
215
192
61

Men ziet, deze cijfers verschillen aanmerkelijk van die van
Wiedemann en Franz, en daar ik ze zeker niet voor meer
te vertrouwen houd, brengen ze er m. i. alleen toe bij om te
bewijzen, hoe slecht de coëfficiënt k nog bepaald is.

Eenige resultaten van Calvert en Johnson moet ik echter
nog aangeven, daar zij nieuw en belangrijk zijn. Een belangrijk

metaal zal men tot nu toe nog steeds gemist hebben, namelijk
kwikzilver. Hiermede deden onze proefnemers uitgebreide proe-
ven. Hun eerste cijfer was 677 en dus kwam kwikzilver vrij
hoog in de rij. Nu maakte echter Prof G. G-. Stokes de op-
merking, dat dit cijfer te hoog kon wezen, aangezien bij deze
dispositie, aanmerkelijke stroomingen in het metaal moest ont-
staan. Nu rigtten de waarnemers hun instrument zoo in, dat
de bak met kwikzilver in andere stellingen kon gebragt worden,
en hoe grooter de helling werd, als steeds het warme water
boven, het koude onder was, hoe zwakker werd de geleiding,
en toen eindelijk de staaf kwikzilver, als ik mij zoo uitdrukken
mag, verticaal stond, daalde k tot 54-. Kwikzilver is dus verre-
weg onder de metalen de slechtste geleider voor warmte, evenals
het dit voor electriciteit is. Het deelt trouwens de slechte ge-
leiding met alle vloeistoffen.

Ik heb dit eenigzins uitvoerig behandeld, aangezien m. i.
het bezwaar tegen de meting der warmte in staven door thermo-
meters met kwikzilver omgeven, er wel door verzwaard wordt.
Het mag misschien verwondering wekken, w^rat dit aangaat, dat
nog niemand op de gedachte kwam, eens met dezelfde staaf
vergelijkende proeven te nemen, 1°. met thermometers, 2°. met
aanliggende, 3°. met ingesoldeerde thermo elementen. Dit zou
misschien tot een oordeel kunnen leiden, daar waar men nu nog
slechts voor en tegen in den blinde weegt. Doch ik dwaal hier
af van C a 1 v e r t en Johnson, terwijl ik , zonder meer cijfers
te geven nog een en ander wil aanstippen, over metaalver-
bindingen.

Die verbindingen, die alleen te beschouwen zijn als mengsels
van verschillende metalen , ook de vloeibare en niet-vloeibare
amalgamata met kwikzilver, hebben een geleidingscoëfficiënt,
die het midden inneemt tusschen die van de metalen, die in het

mengsel voorkomen, en uit die beiden berekend kan worden
met behulp van de percentisehe hoeveelheid der aanwezige meta-
len. Chemische verbindingen daarentegen, hebben eenen geheel
eigen coëfficiënt, die dikwijls zeer afwijkt, van wat men, vol-
gens bovenstaande berekening, zou vinden.

Zeer kleine verontreinigingen met andere metalen veranderen
de geleiding reeds aanmerkelijk, (zie de cijfers voor goud) evenals
dit bij electriciteit het geval is.

De kleinste sporea van kristallijnen-structuur geven ook reeds
aanmerkelijke veranderingen, waaraan C. en J. de verschillen
toeschrijven die sommige metalen vertoonen, al naar de rigting
waarin zij gegoten zijn.

Zoo is waarschijnlijk ook het verschil in geleiding tusschen
de gewalste en gegoten metalen daarin te zoeken, dat de eersten
digter zijn dan de laatsten. De proeven op kristallen zijn hier-
mede vergelijkbaar. Evenzoo bestaan er proeven waaruit blijkt,
dat metalen, in eene rigting te zamen gedrukt, in die rigting
eene grootere geleidbaarheid hebben. Dit uit te werken, zou
mij echter te ver voeren.

In 1868 deed E. Gripon *) nog proeven op kwikzilver, door
dit met lood te vergelijken, om van oudere, minder bevredigende
proeven van Frankenheim niet te gewagen. Gripon had
eene zeer dunne looden staaf, die in een omhulsel gedaan werd,
hetzij van zeer dun glas, hetzij van zeer dun karton, met goud-
papier beplakt. Een volkomen gelijk omhulsel bevatte het
kwikzilver. Zijdelings bad elk omhulsel vier gaten voor de

kleine therrno-elementen, uit een ijzeren en een koperen draad
bestaande. Yoor bet kwikzilver werden dezen vernist, en tegen
bet lood werden zij za.cht aangedrukt.

De tweede soldeerplaats der staven was, en dit schijnt mij toe
eene verbetering op de vorige methoden, in water van bekende,
vaste temperatuur gedompeld,

Nu werden de zuiltjes regtop geplaatst, en beiden aan het
boveneinde door stoom verwarmd. De wet van de gelijkheid der
l i t t

beter geleidende lood het beste bewaarheid. Op deze wijze, en
volgens de gewone methode verkreeg (xripon dat k voor lood
gelijk is 2.48 maal k voor kwikzilver.

Met dezelfde staafjes opereerde hij ook nog op de volgende
wijze. Op de kwikzuil werd eene thermo-electrische zuil op
eene bepaalde plaats gezet, en dan met eene andere de loodstaaf
langs gegleden, tot dat de galvanometers denzelfden uitslag ver-
toonden. De kwadraten van den afstand tusschen warmtebron
en zuil, dan op elkander gedeeld gaven als verhoudingsgetal 2.44.

Yervolgens paste G- r i p o n nog de methode van P é c 1 e t op
kwikzilver toe en kreeg daardoor het verhoudingscijfer 2.30,
doch ik aarzel niet, dit getal minder naauwkeurig, dan de beide
vorigen te noemen, aangezien de bezwaren der methode grooter
zijn. Ik noem dus de overeenstemming al vrij groot.

Volgens dezen proefnemer, zou dus het getal voor kwikzilver,
als dat van zilver 1000 is, 35.4 wezen. En dit getal zou ik
haast boven dat van Calvert en Johnson verkiezen, aange-
zien de kwikkolom van dezen de dubbele doorsnede had van die
van Gripon (ten minste van de eene) en daarin dus toch nog
sterker stroomingen konden ontstaan. Daarentegen is de vraag
weder bezwarend voor Oripon, of gelijke uitslagen van het

galvanometer bij lood en kwikzilver wel gelijke temperaturen
aangaven, daar de elementen op verschillende wijze met de
kolommetjes in aanraking waren. Tevens zou uit deze proeven
voor lood een geheel ander cijfer komen, dan de vorigen ver-
kregen, en wordt dus de verwarring nog slechts vermeerderd.

Aan het slot van deze afdeeling, wil ik nog slechts met een
woord melding maken van de proeven van G. von Helmersen
(1852), Tyndall (53), Gouillaud (55); Jéleznow (56),
Hop ken s (57) met slecht geleidende stoffen en aardsoorten,
zonder er meer van te zeggen, daar ik mij deze stoffen niet ter
behandeling voorstelde.

Alleen de proeven van Tyndall *) zal ik hier van uitzon-
deren. Wel deed hij geene proeven op goed geleidende stoffen,
maar zijne methode zou, eenigzins gewijzigd, ook daarvoor te
gebruiken zijn, waarom ik meen, dat zij hier eene plaats moet
vinden. Ik zal alleen het essentiëele aangeven. Een vierkant
stuk van de te onderzoeken stof, —- bij zijne proeven moest het
een teerling zijn. Aan twee tegenoverstaande vlakken wordt er
tegen aangedrukt, een klein reservoir met kwikzilver gevuld,
aan de zijde der te onderzoeken stof door eene dunne membraam
gesloten. In het eene reservoir monden twee draden van eene
batterij die eene verwarming teweeg brengt, welke door eene
tangentenboussole en een rheostaat, in den keten ingelascht,
gedurende eenen tijd, zoolang als. men verkiest, het reservoir
op eene volmaakt gelijke temperatuur houdt. Deze geleiding
wil ik A noemen.

In het andere reservoir mondt een thermo-element, uit twee
stangen Antimonium en Bismuth bestaande, waarvan twee draden
naar een gevoelig galvanometer loopen , dat de doorgelaten warmte
meten moet. Dezen keten wil ik met B kenschetsen.

Om nu de proef te nemen, wordt eerst de naald van £ op 0
gebragt. Dan wordt, terwijl de keten B geopend is, A geslo-
ten, dus warmte aan de eene zijde in het te onderzoeken blokje
gebragt. Dit duurt een\' bepaalden tijd, bij Tyndall 60 secon-
den. Dan wordt de keten A geopend, en B gesloten, het gal-
vanometer slaat uit, en de eerste uitslag wordt genoteerd.

Men ziet, de methode heeft veel overeenkomst, in de hoofd-
zaak , met die van Oalvert en Johnson, alleen is hierbij de
verwarming door middel van den galvanischen stroom iets geheel
nieuws.

De proefneming klinkt vrij eenvoudig. Doch eerstens acht ik
ze reeds voor houtsoorten niet voor tegenwerpingen onvatbaar,
daar de warmte hier, behalve door de twee membranen, nog
door een mica-plaatje gaan moet, en door eene derde membraan,
die het Bismuth tegen het kwikzilver beschermt. Zuiver is de
methode dus niet. Maar voor stoffen met groot verschil van
geleidend vermogen zou zij gewijzigd moeten worden, aangezien
daar de uitslagen van het galvanometer in B niet meer verge-
lijkbaar zouden zijn.

Ook moet het doorlaten en afbreken van stroomen op een
bepaald oogenblik, en het tegelijk aflezen van den eersten uit-
slag bezwaar, en reden van onzekerheid geven. Ieder, die dit
laatste bij de hand gehad heeft, weet, hoe moeijelijk deze oogen-
schijnlijk zoo gemakkelijke zaak met juistheid uit te voeren is.
Daarvoor is zeker wel een experimentator, zoo fijn als Tyndall,
noodig, maar twee waarnemers zouden hiermede al ligt minder
moeijelijkheid ondervinden.

Of dus deze methode voor andere stoffen bruikbaar is, durf
ik niet te beslissen, en niemand zal er wel meer moeite voor
doen, daar in de volgende afdeeling betere methoden volgen.

De houtsoorten, zonder eenig onderscheid, geleiden in de rig-
ting der vezelen van 2 tot 3 malen beter dan in elke rigting
loodregt daarop. Doch hierin zijn nog twee rigtingen te onder-
scheiden. Eveneens zonder eenige uitzondering, geleiden alle
houtsoorten beter in de rigting loodregt op de jaarringen, dan
in eene rigting, parallel daarmede (of liever tangentiëel daaraan).
Dit is ongeveer in de gemiddelde reden 11 : 13.

Als vergelijkende cijfers kunnen dezen van Tyndall wel als
afdoende beschouwd worden. Opmerkelijk is daarbij, dat de
geleidingscoëfficiënt in geene verhouding hoegenaamd staat tot
de digtheid der houtsoorten. Dit resultaat moet wel in het oog
gehouden worden, daar men alligt geneigd zou zijn tot de onder-
stelling, dat eene zulke verhouding algemeen bestaan moet.

Neumann, Angstrom en Eorbes. Het woord nieuwere is
niet geheel toepasselijk, daar die van Forbes reeds in 1831 be-
gonnen zijn, hoewel toen niet met ijver voortgezet. Maar in zoo-
verre zijn zij nieuwer, dat allen volgens verschillende methoden
werken, waarvan wij tot nu toe nog geen besef kregen, en

nieuwer, omdat zij nog in geene handboeken staan. Yan allen,
zonder onderscheid, zijn daartoe ook eerst langere reeksen van
waarnemingen zeer wenschelijk.

zooveel mogelijk de h bij verschillende stoffen gelijk gemaakt,
door oppervlakken van dezelfde stof te maken, door vernis, of
door verzilvering. Maar is dit voldoende ? Wanneer de theorie
van Poisson eens strenger bleek te zijn, dan die van Pourier
dan zou men best kunnen vermoeden, dat de lagen metaal die
onder de zilverlaag liggen, ook nog naar buiten direct warmte
afgeven, waardoor het verschijnsel dan zeer gecompliceerd zou
worden. En de zilver-, respective vernis- of papierlaag moet zoo
dun zijn, als eenigzins mogelijk is, want anders zou de geleiding
vooral bij de dunne staven worden eene, te zamen gesteld uit de ge-
leiding van verschillende stoffen. Yerder kunnen door de verzilve-
ring ligt electrische stroomen ontstaan, die vooral bij het gebruik
van thermo-zuilen invloed kunnen hebben. Vervolgens moet ik hier
iets aanroeren, wat ik niet binnen den kring mijner beschouwing
trok. Wordt een staaf onderzocht, die uit verschillende metalen
bestaat, aan elkander gesoldeerd, dan heeft men aan de scheidings-
vlakte altijd eene onregelmatigheid in de temperatuur waarge-
nomen, die ik wel niet nader wil bespreken, maar die toch van
invloed moet wezen. (Proeven hieromtrent van Angstrom e. a.)

Al deze bezwaren komen op rekening van alle vorige proeven,
en het is dus van bet hoogste belang dat k en li, de inwendige
en uitwendige geleidingscoëfficiënten, onafhankelijk van elkander
gevonden worden. Vooral daar de h een ingewikkelde factor
blijft, te zamen gesteld uit straling en geleiding in zeer onge-
lijke mate.

Ik zal de chronologische volgorde niet meer in acht nemen,
maar de drie behandelen in de opvolging die mij voor het onder-
werp het geschikst voorkomt.

Yan F. Neumann¹) vind ik steeds een enkel kort opstel,
onder den titel: Expériences sur la conductibilité calorifique des
solides. Heeds in 1859 schijnt hij met zijne waarnemingen,
hoewel maar voor een gedeelte, begonnen te zijn. Meer dan dit
opstel is mij niet bekend, en het is onvoldoende ter beoordeeling,
daar er een en ander in is overgelaten aan de phantasie van
den lezer.

In dit stuk zet hij eerst zijne methode uit elkander. Het
eerste deel wil ik in het oorspronkelijk aanhalen, om later veilig
mijne opmerkingen te kunnen maken. Hij zegt: 1°. „Ce n\'est
„pas l\'état stationnaire des températures que j\'observe, mais leur
„état variable, et ce qui permet de le faire servir à la déter-
mination des pouvoirs conducteurs, c\'est la convergence rapide
„des séries trigonométriques au moyen desquelles eet état variable
„est représenté; ou peut se contenter des premiers termes de
„cette série dès que le temps a pris des valeurs assez grandes."
2°. De staven worden niet door holten misvormd, daar hij zeer
dunne thermo-elementen in de staaf insoldeert, die uit eene ijzeren
staaf en eene van nieuw zilver bestaan. Deze inrigting houdt
zeker het midden tusschen twee bezwaren : zij onderbreekt de
continuïteit van de staaf minder, dan de holten voor de thermo-
meters en meet toch de temperatuur van het binnenste der
staaf, maar alle bezwaren zijn klaarblijkelijk ook hierdoor niet
opgeheven.

Verder beweert hij, dat van 0° tot 100° C. de intensiteit der
stroomen zoo na direct proportioneel is, aan het verschil in temp.

En eindelijk veroorlooft zijne methode, tegelijk de waarden
van h en k absoluut te vinden.

De staven hadden 3 tot 4 lijnen, — Paiijsche lijnen, zijde
en de thermo-electrische zuilen (zooals hij zegt: „sondes thermo-
électriques\'\') waren op kleine afstanden van de twee uiteinden
ingesoldeerd. De draden kwamen te zamen bij een differentiaal-
galvanometer, waaraan hij eene bijzondere inrigting gegeven had,
door eene spiegelaflezing, zoodat tegelijk de sommen en verschillen
der beide opgewekte stroomen gevonden werden.

Een der uiteinden werd dan door eene lamp verwarmd, tot de
eindtemperaturen bereikt waren, dan werd de lamp weggenomen
en na eenigen tijd begon hij de sommen en verschillen der beide
stroomsterkten af te^; lezen. De naald zelve, die slingeringen van
8 seconden maakte diende als chronometer.

„On voit déjà sans faire le calcul, que les différences de ces
„intensités dépendent essentiellement de la conductibilité exté-
rieure et l\'analyse conduit en effet à ce résultat, que les rap-
ports des sommes successivement observées s\'expriment par une
„même constante et les différences successives par une autre
„constante. La combinaison des deux constantes donne ensuite
,,les valeurs absolues des deux pouvoirs conducteurs."

u — ae cos (qx),
dan zijn a en q willekeurige constanten en wij krijgen eene
algemeene uitdrukking, door hieraan verschillende waarden te
geven en dan te sommeren, Ik zet, als l de afstand der twe©
zuilen is:

en als men dan aan de a indices toevoegt, om verschillende
waarden aan te duiden, dan wordt:

en voor de meest verwijderde zuil, waar x—l is, en dus de
cos TT, cos 27t £, enz. afwisselend -f-1 en — 1 worden:

Dit stemt vrij wel met het gezegde overeen. Maar er zijn vrij
groote bezwaren. Ten eerste had Ne urn ann wel zijne eigene
ontwikkeling kunnen geven. Ten tweede is het volstrekt niet
zoo duidelijk, dat de convergentie van de reeksen zoo snel is,
dat men a priori alle latere termen mag verwaarloozen. (Ver-
gelijk Poisson, bij mij § 12, op het laatst.) Wel worden de
exponenten klaarblijkelijk kleiner en kleiner, daar zij met l², 2³,

£=0, dat N, zoo grifweg zeggen kan: „après que le temps a
„pris des valeurs assez grandes." Wanneer zijn deze tijden
groot genoeg?

Wel doet dit tot de proef, onder goede omstandigheden niet
af. Daarbij worden steeds twee waarnemingen gecombineerd,
waardoor de gelijkheid blijkt van de constanten uit den volzin,
dien ik in origineel aanhaalde. Wanneer ik namelijk zet:

maar bij de kwestie der convergentie is, dunkt mij, dit ver-
wijzen naar groote waarden van t onvoldoende, daar men t = 0
kan nemen waar men wil.

Nu is sedert Poisson de theorie, wat deze vraag aangaat,
vooruitgebragt. G. Lejeune Dirichlet ^r) bewees het eerst,
dat deze reeksen van Fourier steeds convergeren. De vraag
blijft dus maar, of de convergentie snel genoeg is, om zooveel
te verwaarloozen, als Neumann a priori doet, want er zouden
gevallen binnen het bereik der waarneming kunnen liggen, waarin
het bedrag der hierdoor veroorzaakte fouten grooter is, dan dat
der waarnemingsfouten.

Yoor dit geval, is de convergentie op volgende wijze aan te
toonen. Analoog met § 10, kan men hier voor den willekeurigen
coëfficiënt a_m zetten:

De functie qpx is door den aanvangstoestand bepaald. Hiertoe nu
helpt ons Neumann, daar hij als aanvangstoestand dien neemt,
waarin de staaf verwarmd is volgens de logarithmische wet.

^D \\ ¹ py = 7 ^{e cos} « sin qx.
Dit geeft ons de volgende waarden voor den coëfficiënt a_m:

qx = een veelvoud van n, en dus de sinus evengoed = 0, als voor
x = 0, Wat den sinus aangaat, deze wordt = ± 1 en dus blijft
q² in den noemer bij a_m. Nu is q achtereensvolgens —0, 1,
2, 3,....., en dus helpen de coëfficiënten a tot ae conver-
gentie mede.

Dit geeft echter nog geene maat voor de snelheid der conver-
gentie voor elk geval.

Neumann zou dus klaarblijkelijk beter gedaan hebben, als hij
aangetoond had, dat uit zijne proeven duidelijk blijkt, dat bin-
nen de grenzen zijner waarnemingen, zijne veronderstelling juist
is. Dit kan de proef aantoonen, want zoodra werkelijk de ver-
houdingen van twee waarden van v₀ -f- v_l en v₀ — v_t constant
blijken te zijn , is voor die proef, maar ook a priori alleen voor
die proef, d. i. voor die temperatuur, voor dat metaal, voor die
waarde van t, de onderstelling zonder een zeer geldig mathema-
tisch bewijs aanneembaar.

Yerder is er nog eene opmerking te maken tegen de woorden
van N., die echter tegen zijne methode geen bezwaar geeft. Hij
zegt dat h en Tc onafhankelijk, de een uit de sommen, de ander
uit de verschillen te voorschijn komen, en volgens de formule
van van Rees, komt wel h alleen, doch k met h verbonden,
waardoor deze wel iets onzekerder kan worden.

Ook heeft N. nog ringen gebruikt, waar de zuilen in twee
diametraal tegenovergestelde punten ingesoldeerd waren.

Yoor slechte geleiders werd eene iets verschillende methode
gebruikt, namelijk ballen van 5 a 6 duim middellijn werden
eenvoudig verwarmd, en dan liet hij ze vrij verkoelen. Na een
heel of half uur werd dan de temp. in het centrum en aan de
oppervlakte gemeten. Deze methode berust op vrij wel gelijke
formules.

Koper. . . . . .
Geel koper . . .

Zink......

Nieuw zilver. .
IJzer ......

De eenheden hierbij zijn de minuut, de parijsche lijn, en de
hoeveelheid warmte die noodig is om eene kub. lijn water 1° in
temp. te verhoogen. Om dus de eenheden van Péclet te hebben
moeten de getallen met 0.0848 vermenigvuldigd worden, en voor

Uit het gezegde -zal het duidelijk zijn, dat de methode van
Neumann zeer goede resultaten kan opleveren, maar met groote
voorzorgen gebruikt moet worden.

Het verwondert mij grootelijks, dat deze proeven nog door nie-
mand nader besproken zijn, en Neumann zelf nog niets naders
geleverd heeft.

I) Het eerst in Oefversigl af K. Vet. Ac ad. Förhändlungen 1861. Eene eigen-
handige vertaling van dit stuk in:

Poggendorf\'s Annalen. Band CXIV. p. 513. onder der titel:
Neue Methode, das Wärmeleitungvermögen der Körper zu bestimmen.

Eene Nachschrift in hetzelfde deel, en een tweede stuk in Poggendorf\'s Anna-
len. Band CXXIII.

dadelijk na \'het verschijnen van Angström\'s eerste stuk beden-
kingen daartegen opperde, zonder dezen zeer fijn uit te voeren.

A. antwoordt in een tweede stuk, waarna Dumas eene uitvoe-
rige wederlegging instuurt. Dit geschrijf is een nieuw bewijs
voor de groote hatelijkheid, waarmede wetenschappelijke strijd-

vragen kunnen behandeld worden; A. is o. a. eenmaal zoo be-
leefd, te zeggen, dat Dumas de theorie van Fourier niet
schijnt te kennen, waarmede deze het natuurlijk weder niet eens
is. Maar deze felheid heeft dit voordeel, dat daardoor beiden in
eene fijnheid van analyse treden, die haar nut heeft, die mij
moeite spaart, en eenige deelen der theorie bepaald helderder
heeft gemaakt, \' Ik zou echter te uitvoerig worden, als ik alles
aanhaalde, wat de twee bij deze gelegenheid uitwerkten, en ik
geef slechts, wat tot de beoordeeling der proeven noodig is.
Maar hiertoe zal ik de stukken van beiden beurtelings benutten.

Angström begint, met het onvoldoende van alle tot nu toe
gebruikte methoden van proefneming aan te toonen, waarin ik
hem niet volg, om niet in herhaling te vervallen. — De zooeven
aangehaalde proeven van Neumann zijn van jongeren datum,
hoewel ik ze het eerst behandelde.

De staven van Angström zijn van kwadratische doorsneden,
worden, — dit is het kenmerkende zijner methode, beurtelings
verwarmd, en weder afgekoeld. Hierdoor ontstaan als het ware
slingeringen, waarvan echter de amplituden, na verloop van tijd,
moeten afnemen, door den invloed der zijdelingsche warmte af-
gifte , en uit hetgeen ik vroeger over de Maxima en Minima van
temperatuur zeide, moeten dezen, langs de staaf voortloopende,
• hoe langer hoe grooter tusschenruimte van tijd tusschen elk op-

1} Poggendorf\'s Annalen. Band CXXIX. p. 272 en eene kleine opmerking in
een der vroegere deelen.

eenvolgend Maximum eu Minimum aantoonen. De tijd wordt nu
afgewacht waarna zich de perioden standvastig vertoonen, waar-
hij dan de gemiddelde temperatuur voor elk punt eene constante
wordt, analoog aan de tot nu toe behandelde eindtoestanden. De
formules zal ik straks geven, eerst echter kort de inrigting der
proef verder aantoonen.

De verwarming en afkoeling geschiedt daardoor, dat het eene
einde der staaf beurtelings met waterdamp, en met water van
eene bepaalde temp, omgeven wordt, wat door de eenvoudige
omdraaijing van een kraan bewerkt wordt. Het ijzer echter ,
werd ter afkoeling slechts aan zijne eigene uitstraling in de om-
geving overgelaten.

De dikte der kwadratische staven bedroeg 23.75 mm, en op
50 mm. afstand onderling waren gaten van 2.25 mm. middellijn,

die de thermometers inhielden. A. beschouwt namelijk dezen als
beter dan thermo-elementen , aangezien daarbij zeer dunne staven

lig beschouwt. Yerder beschouwt A. de storingen door den over-
gang tusschen staaf en zuil bewerkt als minstens even nadeelig
als de storingen door de gaten veroorzaakt.

De vier thermometers van A. hadden cylindrische vaten, van
1.5 mm. tot 2 mm. dikte, en 15 mm. lengte. De schalen waren
willekeurig doch vooraf door afzonderlijke proeven zorgvuldig
vergeleken. De getallen hiervoor worden opgegeven.

De aflezing geschiedde met kijkers, om de staaf niet te zeer
te naderen, de thermometers werden gedurende de proef zooveel
mogelijk omgewisseld, om de fouten der schalen, de verschil-
len in het glas , in de massa, in den vorm der thermometers ,
zoo goed mogelijk te elimineren. Daar de Heer Thai én bij de .
proefneming behulpzaam was, werden ook, om de persoonlijke
fouten te verminderen, de waarnemingen bij afwisseling gedaan.

Verder werd steeds gewacht tot dat de perioden volkomen
constant geworden waren, dan werden er telkens twee tot vijf
waargenomen, en het midden daaruit voor de berekening gebruikt.

is, waarin 8 en c de digtheid en specifieke warmte, p de zijde
van de kwadratische doorsnede, en w het oppervlak der door-
snede zijn. Evenals in de theorie van Eourier, laat ik dezen

Hierin is x de duur eener periode. Deze formule is niet
bepaald klaarblijkelijk, ecbter toont Dumas er den oorsprong
van aan.

Om deze formule nu voor elke waarde van x dienstbaar te
maken, heeft men slechts voor de willekeurige constanten A en
cc passende functiën van x te kiezen die voor x — 0 constanten
worden. Nu is eene particuliere integraal van de differentiaal-
vergelijking :

De grootheden g en g\', die Angström gebruikt, zijn en
uit bovenstaande vergelijkingen opgelost.

V ^T

/4tt/

V ^T

Deze waarde voor v voldoet aan den eiscli, van voor x = 0
de algemeene periodische functie voor te stellen, die voorop

gesteld werd. Men ziet, dat de formule van A. slechts uit eene
helft van deze bestaat, wat echter wel op de algemeenheid zijner
formule, niet op zijne proef grooten invloed heeft, zooals blij-
ken zal.

Nu wil ik aantoonen, hoe deze formule gebruikt wordt. Zij
de periode r = 24™, dat wil zeggen: de stang wordt aan het eene
uiteinde 12 min. lang verwarmd en 12 afgekoeld, en dit voort-
gezet, tot dat de veranderingen over de geheele lengte der staaf
regelmatig geworden zijn. Wordt nu van minuut tot minuut de
temp, w^raargenomen van een willekeurig punt der staaf, waar
x = 0 kan genomen worden , dan zal, voor dat punt wezen, als
n telkens het verloopen aantal minuten voorstelt:

voor een tweede punt daarentegen, waarbij x = l moge zijn, zal
eene diergelijke reeks gelden:

In deze twee reeksen voor v_a zijn de constanten m, A...,
verschillend, doch staan tot elkander in eene verhouding, die
door de algemeene reeks wordt aangegeven. Ik merk op, dat
in de tweede reeks de waarde van g\' x, die hier telkens con-
stant — g\'l is, in j5, is binnengehragt. De betrekking nu tus-
sclien de constanten is:

Dit is het resultaat, dat Angström voor zijne waarnemin-
gen , gebruikt. Men ziet, dat hier nog alleen de coëfficiënt der
inwendige geleiding k voorkomt, en het doel dus bereikt is.
Hiervoor zouden nog andere uitvloeisels derzelfde theorie kunnen
gebruikt worden, die echter minder doelmatig schijnen te zijn.
De geheele waarde van k wordt nu, als wij cd weder invoeren:

Het is hier de plaats, om eene gewigtige aanmerking van
Dumas in te lasschen. — Ik zeg gewigtig, daar zij een geheel
nieuw gedeelte aan de theorie toevoegt, namelijk den invloed
der beide eindvlakken der stang zoodra deze niet oneindig lang

is. Het gewigt van cle tegenwerping, wat deze bepaalde proef
betreft, zal tevens daarbij blijken.

Yan de reeks van Dumas gebruikt Angström alleen dat
gedeelte, waar de index n = 1 is, want hij neemt van de reeks
slechts den eersten term, die A en (3 bevat. Wel zegt hij , dat
hij ook B en /3\' zou kunnen gebruiken, en toont zelfs bij een
paar proeven met cijfers aan, dat de overeenstemming groot is,
maar dit heeft zeer weinig waarde, en daar bij eiken term

_e—g^l \'i ^a; als factor voorkomt, is elke term steeds kleiner dan
zijn\' voorganger.

Ik zou hier eene zelfde uitweiding over convergentie kunnen
geven als bij Neumann, doch die zou ook hier tot het resul-

taat voeren, dat in vele gevallen A. geregtigd is in zij ne
verwaarloozing. Dumas komt echter later hierop terug.

Yoorloopig echter volgt hij A., en laat dus den index n
geheel weg. Daar verder de aanvangstemperatuur volkomen
willekeurig is, kunnen wij de constante A_x = 1 zetten voor de
waarde A, in het punt X—0, wat D. schrijft A° — 1 en even-
eens neemt hij oef = 0 zoodat in het punt x — 0, wordt:
2 nt

V = 2B \|	^sin	27T.t X
26\' \|		2nt X
• = 2	sin ■	2nt ( X
-f2	cos	2n t X

alle mogelijke waarden kan hebben, wanneer afzonderlijk:
B sin |3 C sin y = 0 )
B cos (3 4- C cos y — 1 \\
Nu zijn echter tot de bepaling van B, C, iï en y vier verge-
lijkingen noodig, en twee ontbreken dus nog. Hier komen wij

tot het hoofdpunt. Angstrom gebruikt de helft der reeks,
heeft dus slechts B en (3, als het ware, en G en y niet, en vol-
staat dus met twee vergelijkingen. Dumas echter zoekt de
twee overige vergelijkingen uit de formulen , voor wat aan de
beide einddoorsneden gebeurt, wat tot nu toe nooit opgemerkt
was. Aan het einde moge x=-Z zijn, dan zal daar de uitvloei-
jende warmte zijn:

waarin x eene constante is, van den aard der stof afhankelijk.
Is qh de uitwendige geleidingscoëfficiënt aan deze vlakken, dan
kan Q aanmerkelijke waarden hebben, bv. volgens Leslie van
8.3 tot 0.12 bij houten. Nemen wij echter homogene ligchamen,
waar 1 zal zijn, d. i. aan alle zijden uitstraling en geleiding
naar buiten dezelfde.
Nu voert Dumas twee grootheden y en & in, zoodanig dat,
A — x = M cos 7], 1 - j- x — N cos &, i

En vergelijkt men deze beide waarden en voert daarbij M,
N, ij en & in, dan komt, waarbij ik een oogenblik de fac-

<3 — y = 2 p * — 2 V».
De absolute bepaling dezer vier constanten is hier niet noodig,
wij kunnen volstaan met hunne betrekkingen. Vergelijken wij
de hier te gronde gelegde reeks van Dumas met de reeks, die
wij voor het algemeene geval van periodiciteit gaven, dan blijkt:

en nemen wij 1) vermenigvuldigd met cos (/3—- px) en 2) met
sin (/3 — px) en tellen deze beiden te zamen op, dan is:
4 sin ( a —> § px) =

— C { sin (y-j-px) cos (fi — px) —cos (y-\\-px) sin (|3 — px) j ,
daarentegen 1) met denzelfden sin en 2) met den cos vermenig-
vuldigd en dit opgeteld:

Nu zijn het juist deze lg A en «, die Angströrn voor verschil-
lende punten zijner staaf vergelijkt, zonder <P en W in aanmer-
king te nemen, die van de uitstraling aan het einde afhangen.
Hier reeds zij opgemerkt, dat niettegenstaande de theoretische
waarde van de ontwikkeling van D u m a s, deze zelf reeds zegt,
dat de vormen dezer functiën te ingewikkeld zijn, om met vrucht
gebruikt te kunnen worden, om de proeven te controleren. Dit
vereischt ontzaggelijke berekeningen. Ik kom later nog eenmaal
op dit punt terug.

Tot zoover het zuiver theoretische gedeelte van deze Methode.
Ik laat een en ander over de waarnemingen zeiven volgen, en
daarna nog aanmerkingen van Dumas. In de annalen vindt
men de waarnemingen en de berekening daarvan zeer uitvoerig
medegedeeld. Hier alleen het wezenlijke van de uitkomsten.

Angströrn deed eerst twee reeksen van proeven, eene op
een koperen staaf, waarbij 4 stel eene periode van 24, een van

12, en twee eene periode van 18 minuten hadden; en eene reeks
van waarnemingen met eene ijzeren staaf bij eene periode van

46 minuten. A. heeft hier echter nog de fijnheid, tusschen ster-
retijd en middelbaren tijd te onderscheiden , en daarvoor kleine
correctiën aan te brengen.

twee vergelijkingen zijn, namelijk de twee temperaturen. Daarbij
wordt echter alles na den tweeden term verwaarloosd. (Zie de
aanmerking van D u m a s sub 2.) Zoo vindt hij eene gemid-
delde temp. van 50° C.

wel niet aarzelen aan die van Angström de voorkeur te geven»
niettegenstaande de niet ongegronde tegenwerpingen van Duma s,
waarvan velen trouwens tot nu toe tegen alle waarnemers geldig
zijn, zooals later blijken zal.

De eenheden van Angström zijn de centimeter, de seconde,
en de hoeveelheid warmte, die noodig is om een gram water 1°
in temp. te verhoogen. Bij Neumann vindt men vergelijkende
cijfers voor andere eenheden.

Yerder prijst A. nog zijne methode aan , door uit twee zijner
reeksen voor koper k niet alleen uit den eersten term der reeks,
maar ook uit den tweeden en ook uit den derden te berekenen
en vindt hier „eine Uebereinstimmung so grosz wie man sie nur
„wünschen kann".

ten, waartoe hij zijne uitnemende waarnemingen der aardtempe-
raturen in Upsala gebruikte.

Uit de volgende tegenwerpingen van Dumas vloeit een oor-
deel over deze proeven van zelf voort.

1. Dumas begint met en naar de methode der kleinste kwa-
draten voor de koperen staaf van A. de waarden van V^A-, A

en komt dan tot het besluit, dat voor geen een der zes thermo-
meterplaatsen de staaf lang genoeg is, om het lid, met B ver-
menigvuldigd, tegenover het andere te mogen verwaarloozen, zoo

als A. a priori doet, door -slechts een gedeelte van de reeks te
nemen. Er is dus geen voldoend bewijs , dat de funotiën (p en W
mogen = 0 genomen worden.

Hierop nu antwoordt A in zijne reeds aangehaalde „Nach-
schrift". Hij deed namelijk eene nieuwe reeks proeven , met eene
veel langere staaf van 1180 mm. lang en 35 mm. dik, en vindt
dan , bij eene middentemperatuur van 38.2°, als gemiddelde waarde
k

twijfelachtige waarheid schijnt te zijn, dat de afname van ^met
de temp. dezelfde is voor warmte, als die van de geleiding voor
electriciteit, dan is dit, voor eene middentemperatuur van 5l°.3
C., wat bij de vorige proeven de juiste schijnt te wezen:

Deze overeenstemming is groot, maar schijnt mij toe, niet van
toeval vrij te pleiten te zijn.

Nu gaat Dumas aan het werk, en berekent werkelijk zijne
beide functiën voor verschillende waarden van x, en vindt dan

een kleinen nog bemerkbaren invloed op de proeven A , doch
niet zoo groot , of door de latere proeven met langere staven is
de hierdoor ontstaande fout, ten minste in groote mate, vermin-
derd , zoo al niet opgeheven.

De verdere tegenwerpingen van Dumas en de antwoorden
daarop zijn met eene uitvoerigheid bewerkt, die voor mijn doel
te groot is, ik wil ze echter nog aangeven, daar velen niet
zonder waarde zijn.

2°. Dumas toont aan, dat de convergentie der hier voor v
gebruikte reeks zeer langzaam is, veel te langzaam, dan dat de

bewering van A. gev/igt zou hebben, omtrent de overeenstem-
ming tusschen de waarden van /c, die hij uit drie verschillende
termen berekent. Echter hecht D. toch eenige waarde aan den
toets aan de waarneming van de zoo verkregen coëfficiënten.

Daar A. zelf slechts voor twee van zijne negen reeksen de latere
termen aan de berekening onderwerpt, schijnt hij zelf er geene
groote waarde aan te hechten. Of waren de uitkomsten bij de
zeven anderen misschien niet zoo verrassend fraai?

3°. Angstrom heeft ook nog direct de relatieve waarde k : k\'
voor koper en ijzer onderzocht. Als gemiddeld uit zes waarne-
mingen krijgt hij hier k: k, = 5.65 terwijl de verhouding der
vorige getallen 5.59 is.

Dit heeft geene waarde hoegenaamd. Hij gebruikt zes ther-
mometers , leest er telkens 3 af, waarvan de onderlinge afstanden
5 centim. zijn. Hij gebruikt dan in den loop der berekening

middelde waarde volstrekt geene waarde bezitten. Had A. dan
ook van zijne zes waarnemingen de laatste weggelaten, dan zou
hij, in plaats van het fraaije cijfer 5.65 gevonden hebben 7.1 en
had hij de eerste waarneming weggelaten: 5.1. Dit gedeelte

4^a. In bandCXXIII van Poggendorf komt A. nogmaals op
de aanmerking sub 2° vermeld terug, daar hij de drie waarden
van k, uit de drie eerste termen der reeks voor v, naar eene
verkeerde formule berekend had, en geeft eene betere berekening.
Intusschen toont I? aan, dat ook hier de overeenstemming niet
zoo schitterend is, ja dat zelfs een der getallen van A. tot eene
negatieve uitstraling zou doen moeten besluiten. Of hier reken-
fouten in het spel zijn, durft D. niet beslissen.

5°. Zijn de beiden het zeer oneens over het bedrag der waar-
nemingsfouten. Daar dit echter tot de methode w^Teinig afdoet,
zal ik daarin hier niet treden.

6°. Angström geeft h telkens op voor eene zekere midden-
temperatuur, die niet verder omschreven wordt. Nu gebruikt
hij zeer groote verschillen van temp., en wat kan daar de waarde

van eene middentemp. wezen ? A. zelf neemt gladweg aan,
dat k met de temp. veranderlijk is, en brengt nu correctiën aan
volgens vrij fantastische regelen. Hij reduceert eenvoudig Jc,
door eene lineaire vergelijking tusschen k en de temp. w aan
te nemen.

moet wezen, Intusschen gelooft Fnrbes, dat, voor kleine tem-
peratuurverschillen, deze eenvoudige formule voldoende is. Maar
wij hebben hier met geene kleine verschillen te doen, en wat

7°. Neemt A. aan, dat cd constant is. Het is waar, dat bij
verhooging van temp. 8 afneemt, daarentegen c toeneemt. Maar
dit is volstrekt niet in dezelfde mate, zooals uit volgende
tabel blijkt:

Het laatste cijfer is naar Béde. Maar al bleef het product
c8 constant, dan nog verandert, met de lineaire uitzetting, de

perimeter, de doorsnede, en de onderlinge ligging der thermome-
ters. Dan komt c slechts in een deel der formule als factor.

Door al deze oorzaken ziet Dumas zelfs de mogelijkheid in,
dat de veranderingen van Je met de temp. wel eens geen bewijs
van zijne eigene veranderlijkheid zou kunnen wezen, maar alleen
van deze oorzaken zou kunnen afhangen. (Zie de proeven van
Forbes, die volgen).

Men ziet de tegenwerpingen zijn gewigtig, maar eenigen zijn
tégen alle methoden geldig, zonder onderscheid, zouden echter
ten minste ten deele wel in rekening te brengen zijn.

Augström zelf heeft de kenmerkende voordeelen van zijne
methode opgesomd. Deze zijn vijf, maar twee daarvan komen
mij slechts voor , vermelding noodig te hebben, daar de overigen
ook op andere methoden zouden kunnen passen. 1° dat men
onafhankelijk is van eene bepaalde thermometerschaal, en dus
ontheven van de uiterst moeijelijke kwestie, verschillende ther-
mometers te vergelijken en 2° dat men onafhankelijk is van de

De tegenwerpingen van D urn as zijn volstrekt niet ongegrond,
maar ten deele meer spitsvondig, dan van grooten invloed op de
uitkomsten. De proeven zeiven zijn echter volstrekt nog niet
met alle mogelijke zorgvuldigheid gedaan, noch berekend, om,
zooveel mogelijk, de uitwerking van al deze fouten tot een klein
bedrag te reduceren. De proeven zouden eerst met meer metalen
moeten genomen worden, en zooveel mogelijk de relatieve coëffi-
ciënten tevens gezocht worden, om geloof aan de cijfers te geven.

Maar tevens is de methode zeker de meest zamengestelde van
allen, en zoodra er keus is, tusschen eene meer- en eene min
gecompliceerde proefneming, zal de laatste wel verkieselijk zijn,
daar de bron van fouten en van waarneming en van berekening
daar minder rijkelijk vloeit.

Hiermede ben ik genaderd tot de laatste en zeker niet de
minst belangrijke reeks proeven, die van den helaas, reeds over-
leden Professor Por bes \')• Reeds in 1831 en 32 begonnen,
kwam er eerst in 52 een kort stukje van in het licht. Eerst in
62 komt er een meer uitgebreid verslag en eenige cijfers ¹).

1 Experimental inquiry into the laws of the conductability of heat in bars, and
into the conducting power of wrought iron. Edinburgh Transactions XXIII. Ed.
Journal XIV. Proceedings of Ed Society IV. Cosmos XXI.

een voldoend geheel maken. Echter beschouwt E o r b e s zelf de
zaak nog lang niet als uitgeput, en deze proeven nog slechts
als een voorlooper van meer volledigen.

De proeven van 31 en 32 werden met Fourier\'s contact-
thermometer gedaan, alleen om de volgorde der metalen te be-
palen, doch leidden tot geen voldoend resultaat. Echter schijnt
Eorbes door die proeven tot het besluit gekomen te zijn,
waarvan hij later een weinig terugkwam, dat de reeksen van de
geleidbaarheid voor warmte en voor electriciteit identisch zijn.
In 64 neemt hij ten minste de w^Toorden van Wiedemann
daaromtrent over.

Dan lag echter de vraag voor de hand, die reeds vroeger ter
loops in dit werkje ter sprake kwam, of, evenals dit voor de
electriciteit het geval is, ook voor de warmte k afneemt, al naar
de temp. hooger wordt (m. a. w. het ligchaam minder digt w^Tordt,
vergelijk de gewalste en gegoten metalen) en in welke mate.

Hiermede is dan ook het hoofddoel van de proeven van Eor-
bes aangegeven; doch daar zijne methode even goed te gebruiken
is, om eenvoudig de k voor verschillende stoffen te vergelijken,
heeft zij en dubbel nut, en bespreek ik haar nu bepaald, vol-
gens het gezegde: „last not least".

In een\' brief van 1850 aan Kendall en Airy \'), geeft
Eorbes het eerst zijn plan aan. Hij begint met te constateren —
waarover zoo lang getwist werd, dat de logarithmische wet alleen
doorgaat, wanneer men aanneemt: 1° dat de warmteuitwisseling
binnen in den staaf evenredig is aan de temp. verschillen, m.
a. w. dat h van de temp. onafhankelijk is, en 2° dat de geleiding
(resp. uitstraling) naar buiten eveneens evenredig is aan het
verschil in temp. tusschen het ligchaam en de omgeving.

Beide veronderstellingen nu zijn onwaar, en de temperaturen
grapMseli opgeteekend geven dan ook slechts ten naaste bij eene
logarithmische kromme.

De proef van F o r b e s valt in twee afdeelingen uiteen, waartoe
twee staven van volkomen gelijk metaal noodig zijn, wat geen
klein bezwaar is, vooral bij de gewoonlijk in den handel voor-
komende zeer onzuivere metalen.

Het eerste gedeelte is het zoogenaamde „Statical Experiment".
Hiervoor wordt eene staaf van voldoende lengte, om als oneindig
te kunnen worden aangenomen aan eene zijde verhit, op eene
willekeurige doch standvastige temp., bij Eorbes toch boven
200°. Nu wordt de eindtoestand afgewacht. Dan wordt de temp.
afgelezen voor verschillende punten, waarvan de abscissen x be-
kend zijn, hoewel deze aan geene bepaalde verhouding gebonden
zijn. Hoe dit geschiedt, bespreek ik later.

Nu kom ik tot eene eigendommelijkheid van deze methode.
Graphisch worden de x als abscissen opgeteekend, voor elke x de
temp, v -opgedragen, daardoor eene kromme lijn gelegd, en van

gezocht (hetzij uit de figuur, hetzij door berekening). De ver-
slaggever in de Portschritte is hier geleerd., en brengt integralen
te pas, die Forbes niet gebruikt. Ik kan niemand aanraden,
zich hierdoor op het dwaalspoor te laten brengen

Het tweede deel der proef bestaat in het zoogenaamde „Dvna-
mical experiment." Eene staaf van volkomen hetzelfde metaal,
en van dezelfde doorsnede, doch die slechts kort behoeft te zijn ,
w^rordt evenzoo verwarmd, in zijn, geheel, door in een bad ge-
dompeld te worden, van eene nog hoogere temperatuur, dan die

overgelaten, en zal, afkoelende al de temperaturen v van de
andere staaf doorloopen; hierbij wordt nu echter de tijd opge-
teekend. In eene tweede kromme nu, worden de tijden t als
abscissen genomen, de daarbij behoorende v als ordinaten, en
dv

Men ziet, hier wordt stilzwijgend aangenomen, dat voor twee
punten met dezelfde ©ogenblikkelijke temp. v op de twee staven
genomen, die op verschillende wijze verwarmd zijn, de afgifte
naar buiten dezelfde zal wezen. Dit is een punt, waaromtrent
twijfel geoorloofd is. Neemt men een punt \'in de omgeving,
onmiddelijk boven het punt, waar de temp. v is. Dit nu ont-
vangt zijne warmte niet alleen van dit punt, maar ook van alle
omliggende punten. En dezen nu hebben in de eene staaf allen
de zelfde temp. v, in de andere echter hoogere en lagere tempe-
raturen. De vraag ligt dus open, of de warmteafgifte bij eene
zelfde temp. v voor de beide staven wel dezefde zijn zal, en dit

Is nu verder q de doorsnede van beide staven, c en 8 hebben
hunne gewone beteekenis; beschouwen wij dan het stuk van de
eerste staaf van x tot l (eigenlijk van x tot co , maar wij denken
l voldoende groot). Dan zal in de tijdeenheid door de doorsnede

omgeving uit, door de oppervlakte van het deel der staaf, dat
verder dan x ligt. Wordt nu door w de warmte uitgedrukt,

die, in de eenheid van tij d, uit een element dx naar buiten
vloeit, dan moet dus:

Neemt men nu het oogenblik, waarop de tweede staaf juist
de temp v heeft, zoo zal hier, voor het oogenblik dt, gelden :

Ook de integraal in den. teller wordt door kwadratuur ge-
vonden uit de grapbiscb geteekende lijnen. Hoe, zal ik later
nog aantoonen.

Yoor de geheele inrigting van den toestel en voor de platen,
die bij de gebruikte kromme lijnen behooren, moet ik naar het
oorspronkelijke geschrift van Forbes verwijzen, waaraan alle
pracht van typographie, die aan de Edinburgh society ten
dienste staat, is te koste gelegd. Ik wil dus alleen constateren,
dat bij de vrij ingewikkelde constructie der warmtebron groote
zorg gedragen is, voor het verkrijgen van eene gelijkmatige
temp. dat storende invloeden zooveel mogelijk vermeden zijn
door schermen, door isolerende voeten, door vermijden van lucht-
stroomen , enz.

De staven waren van 2eer zuiver ijzer, waren IV4 Eng. daim
dik en de eerste 8 Eng. voeten lang, de tweede slechts 20 duim.
Ook heeft hij eene tweede staaf gebruikt, die echter minder goed
schijnt geweest te zijn. Hij heeft steeds twee reeksen van waarne-
ming. Bij de eene is het ijzer blank gepolijst, bij de andere zoo vlak
mogelijk met dun papier (tea-paper) beplakt. Dit is zeer prak-
tisch, daar het papier de verschillende oppervlakken veel gelij-
ker maakt, dan bv. de vernis van Despretz, en daar het
bozendien de uitstraling zeer verandert. Het gepolijste ijzer
heeft bijna geene uitstraling, en de bekoeling geschiedt bijna
uitsluitend door uitwendige geleiding. Door dus deze twee reek-
sen, onder zoo verschillende omstandigheden genomen te verge-
lijken, elimineert men zooveel mogelijk den slechten invloed van
van „den coëfficiënt h, die altijd tweeslachtig is, uit straling en
geleiding bestaande.

Bij de verwarming, vooral van de kortere staaf, doet zich de
moeijelijkheid voor, dat de afkoeling in den eersten tijd niet
regelmatig geschiedt, maar slingeringen vertoont. Deze houden
echter na verloop van tijd op, en het is dus zaak, deze staaf
eerst te verhitten tot een veel hoogeren graad van warmte, dan
die, waarbij men de proef begint. Intusschen deed zich bij
Eorbes dan weêr het bezwaar voor, dat boven 200° de opper-
vlakte van het ijzer gewijzigd, en dus de uitstraling eene geheel
andere wordt. Hij kon dus met de onmiddelijke waarneming
niet hooger gaan, dan ongeveer 175°.

Dan hebben deze hooge temperaturen het bezwaar, dat de
thermometers ten deele zeer lang moeten zijn, dan worden de
buizen afgekoeld door de omgeving, daarentegen verwarmd door
opstijgende luchtstroomen, zoodat E. meent, dat in de hoogere
temperaturen wel fouten van 3° C. kunnen zijn. Deze correctie
noemt hij overigens zeer onzeker.

Aan het bezwaar, om zoovele thermometers gelijkmatig te
gradueren, komt Forbes te gemoet door zijne „Method of step-
ping." Deze bestaat daarin, dat hij met een zelfde thermometer
achtereenvolgens al de gaten, die met ligt smeltbaar metaal
gevuld zijn, onderzoekt. Na elke in dieping, laat men het ther-
mometer in de hand bekoelen tot het bijna tot de temp. van de
volgende gedaald is. De praktijk toont, dat dit zeer goed te
doen is, aangezien men daarmede sneller vooruit kan gaan, dan
de veranderingen in warmte door de staaf hunne reizen vol-
brengen.

De bekoelende staaf werd voornamelijk naar een thermometer
afgelezen, doch er waren twee zijdelingsche ingestoken ten
controle.

De graphische methode is naar de overtuiging van Forbes
naauwkeurig genoeg, en gelijk ik reeds vroeger eenmaal opmérkte,
geeft evenveel waarborgen, als het aflezen der thermometers.
Doch Forbes gebruikte hierbij dan ook de grootste omzigtig-
heid, Yolgens de resultaten van eene reeks waarnemingen,
werd eene kromme geteekend, en als norm aangenomen. Yoor
eene zelfde staaf moeten\' alle krommen identisch zijn, alleen
kan, wanneer bij eene proef de warmtebron iets meer of minder
warm was, dan bi] de eerste, eene bepaalde ordinaat iets verder
van, of digter bij den oorsprong liggen. De krommen, die uit
de andere reeksen ontstonden, werden dan op dun papier getee-
kend, en zoo lang verschoven, tot zij zoo na mogelijk allen
overeenstemden. De gemiddelde kromme moet dus vrij naauw-
keurig wezen, daar op die wijze de verschillende ordinaten niet
op elkander vallen, en de kromme dus door zeer vele punten
bepaald is. Daar nu eene logarithmische lijn een groot verschil
in helling heeft, eo dit naar men weet, een bezwaar is bij
graphische methoden, werd de lijn in een behoorlijk aantal stuk-

ken verdeeld, dan voor sommige stukken de schaal van eene
afmeting verkleind of vergroot, zoodat alle stukken nagenoeg
eene zelfde gemiddelde helling verkregen. Bij het teekenen van
de geheele lijn, werden dan de schalen weder gereduceerd,
flv

eenvoudig, daar die tussehen 110° en 120° (J. een inflectie punt
vertoont, en voor de hoogere temperaturen naar de as der t toe
flaauw concaaf wordt. Hier moest hij dus uiterst voorzigtig zijn.

Eerst had Eorbes de differentiaal quotiënten ook graphisch
uit zijne lijnen willen opzoeken, maar vond toch beter dezen te
becijferen. Daartoe assimileert hij telkens kleine stukken vaii
zijne krommen aan verschillende logarithmische lijnen, die er
zeer nabij komen, en berekent daarvoor de differentiaalquotiënten.
Ook vond Forbes eene geheel experimenteele formule, die zijne
krommen zeer naauwkeurig uitdrukt. Deze is voor de lange staaf:

hierin zijn A, b, c en A_{, b_}, c_}, n constanten, die natuurlijk
voor iedere staaf verschillen. In cijfers zijn dezen als volgt:

Deze graphische methode heeft ook nog dit voordeel, dat
men — met groote voorzigtigheid echter — de kromme lijn nog
een klein gedeelte aan heide zijden van de werkelijk waargeno-
men deelen kan verlengen. Zoo geeft Por bes Jc tot voor 275°.

Op deze wijze komt P. tot de conclusie, dat de coëfficiënt
k wel degelijk afneemt, al naar de temp. klimt, maar — en

dit is een opmerkenswaardig resultaat, vooral voor Angstrom —
op eene geheel andere wijze, dan dit bij de electriciteit plaats
heeft. Ik laat hier zijne cijfers volgen voor den besten zijner staven:

Men ziet, de afname is aanmerkelijk, op 100° is het zoowat 20
percent. De gang der cijfers is echter niet volkomen bevredi-
gend, en Porbes zegt dan ook nadrukkelijk, ze slechts als
benadering aan te zien. De eenheden zijn hier de minuut en de
engelsche voet.

Voor deze vermindering van k geeft Porbes ook nog de
volgende experimenteele formules. Voor de eerste staaf:

Wat deze interpolatieformules aangaat, zegt Por bes dat
deze, hier gebruikte, met drie constanten, die van Eoche af-
komstig is, voor proeven van kleineren omvang voldoende is,
dat echter voor proeven van zoo groote uitgestrektheid als de
zijnen, die van Biot met vijf constanten wel nog beter zou aan
te wenden wezen.

Ten slotte geeft Por bes aan andere experimententatoren den
raad, zijne proeven te herhalen, om verschillende metalen onder-
ling te vergelijken, waartoe warmtebronnen van veel lagere
temperatuur, bv. kokend water, zouden genomen kunnen worden.
Dit zou reeds daarom belang hebben , omdat P o r b e s vermoedt,
dat zijne proeven de lagere temperaturen wat te hoog aangaven.

Het bezwaar van het afbreken der continuiteit door de holten
in de staaf, dat tegen andere methoden geldt, bestaat ook hier.
Want al werden andere stoffen dan kwikzilver gebruikt, uit de
proeven van Calvert en Johnson blijkt dat het gebruikte
mengsel van lood, tin en bismuth een slechtere warmtegeleider
is dan lood alleen, wat P. ook gebruikte, en dit is reeds bijna
zoo slecht als kwikzilver. En F. maakt veel holten , want zij
zijn op afstanden van de bron van V4, V2, ³/i, 1, IV2, 2, ,
4, 5 en 8 engelsche duimen.

Dan komt het bezwaar, dat ik reeds besprak, of de v waar-
naar en de v waarnaar wordt berekend wel dezelfde func-
dx dt

tien zijn. Het beste zou zeker wezen als men de cijfers voor
voor verschillende metalen, op deze wijze verkregen met cijfers
van andere proefnemers kon vergelijken.

Bij deze methode blijft de eene staaf homogeen, de andere
niet, daar c en 8 op de geheele lengte veranderlijk zijn.

Ook geldt hier dezelfde tegenwerping als bij Angström,
dat cd als constant aangenomen wordt, wat ver van de waarheid
is. Hier zou echter cS in rekening gebragt kunnen worden, ge-
makkelijker dan bij andere wijzen van proefneming, daar hier
bij elke waarde van k, de cd voor de temp. van die waarde zou
kunnen gebruikt worden.

In elk geval is door deze reeks van proeven voldingend be-
wezen, dat k met de temperatuur veranderlijk is, want de ver-
andering die hier aan het licht gebragt is, is te groot, om ver-
klaard te kunnen worden uit de veranderingen van c8 en de x
door de warmteuitzetting. Ik _ meen, dat zelfs Duin as op dit
punt wel zal gerustgesteld wezen.

Gedurende het onderzoek waarvan dit werkje het resultaat
is, kwam ik tot eenige gevolgtrekkingen, die ik hier hij elkan-
der wil mededeelen. De gronden er voor, zijn reeds grooten-
deels in het voorgaande verspreid, zoodat ik die hier wel niet
meer allen zal behoeven zamen te stellen.

Ten eerste. De cijfers vermeld onder het hoofdstuk: „Oudere
proefnemingen" verdienen geen geloof. Een grond voor deze
uitspraak ligt reeds in de cijfers zeiven. Wie de beste reeksen
daaruit, Despretz, Wiedeinann en Eranz, en Calvert
en Johnson nagaat, zal reeds zien, dat hier een zoo ingewik-
keld labyrint is, dat men er zelfs onmogelijk eene soort van
lijst uit zou kunnen te zamen stellen.

Maar ook a priori kan men uit de aanmerkingen, die op de
methoden allen te maken zijn, reeds zeggen, dat cijfers, naar
deze methoden verkregen slechts zeer ruwe benaderingen kunnen
geven, niettegenstaande de fijnste voorzorgen bij die methoden
in acht genomen. En dan zijn die uitkomsten nog een volkomen
onbekende functie van k en van een\' coëfficiënt h, waarvan
men eigenlijk niet eens meer zeggen kan, wat hij voorstelt.

Geleiding en uitstraling beiden op onberekenbare wijze door
dunne oppervlakken van andere stoffen gewijzigd. Deze reeksen
kunnen dus hoogstens constateren, dat zilver de beste warmte
geleider is, kwikzilver de slechtste onder de metalen, en verder
de volgorde aangeven van eenige andere tusschenliggende metalen.

Ten tweede. De nieuwere methoden zijn ook niet a priori
onbepaald goed te keuren, Ze zijn echter allen ontegenzeggelijk
beter, vooral daar bij allen de invloed van h vermeden is. Dan
hebben deze drie allen een zeer verschillend grondbeginsel.
Vooral als men ze nog varieerde door beiden en met thermo-
meters, en met thermozuilen over te doen, zou men verschil-
lende reeksen kunnen krijgen, die op zeer verschillende wijze
verkregen, door vergelijking onderling een goed resultaat zou-
den kunnen geven. Daarvoor zouden echter oneindig meer proe-
ven moeten gedaan worden, dan tot nu toe geschied is. Eer
dit echter gedaan is, kunnen wij geloof ik, tenzij er een nieuwe
profeet opsta, op geene goede cijfers hopen.

Angström niet de besten rekenen. Deze zijn eerstens vrij
gecompliceerd, en de theorie waarop zij rusten is het meest
behebt met verwaarloozing en onnaauwkeurigheid.

Niettegenstaande al wat er dus reeds in deze rigting en door
zoo bekwame mannen gedaan is, kan men de zaak nog volstrekt
niet als uitgewerkt beschouwen en is hier nog een ruim veld
voor experimentatoren. Niet alleen voor die, die de proeven

van Neumann, Angström en Eorbes willen ter hand
nemen, om ze verder voort te zetten, maar ook voor dezulken,
die vindingrijkheid genoeg hebben, om eene nieuwe methode,
kan het, eene betere te ontdekken.

Ten derde. De vraag, of de coëfficiënt k met de temperatuur
veranderlijk is, durf ik gerust gerust bevestigend te beantwoor-

den, daar die veranderlijkheid grooter is, dan vroeger ooit schijnt
vermoed te zijn. In hoe verre de theorie hieromtrent te vol-
maken valt, deze vraag zij aan de mathesis aanbevolen. Des-
pre tz ontkende nog geheel deze variabiliteit van k met de

temp., Angström heeft nog oor voor de onderstelling, dat
deze alleen bij de slechte geleiders zon bestaan, den twijfel van
D u m a s zagen wij reeds. Het is dus niet te vergeefs, dat
Por bes de vraag eens vooral uitmaakte.

Maar zeer nuttig zou het wezen, indien de proeven van
Eorbes ijverig werden voortgezet, ook met andere metalen,
om, zoo mogelijk, ten minste eene experimentele wet voor deze
veranderlijkheid te vinden.

Ten vierde, doet zich steeds meer en meer de vraag voor,
welk verband er bestaat, tusschen de geleiding voor warmte en
die voor electriciteit ? Deze vraag acht ik nog voor geene be-
antwoording rijp. Yoor dit oordeel pleit eerstens reeds, dat zelfs
van de nieuwere proefnemers de een de vraag met ja, de ander
met meen beantwoordt, hoewel het ja de overhand begint te
krijgen. Zou hieraan echter ook niet de lust tot nivellering
eenig aandeel hebben, die tegenwoordig zoo groot is in de
natuurkunde? Het verheven standpunt, dat men nu en dan,
als weêr eens een hoekje van de gordijn wordt opgeligt, door
mannen als Newton en He\'lmkoltz, telkens iets duidelijker
denkt te zien, het standpunt, van waar uit men waant, het
geheel der waarneembare schepping, als door een klein getal
wetten en waarheden geregeerd, op slechts weinige eenvoudige
grondslagen opgetrokken, denkt te zullen omvatten, dit stand-
punt is zoo uitlokkend, maar is het niet duizeling wekkend
hoog? En wordt op den weg daarheen niet menige zijstap ge- •
daan, niet wel kracht verspild ?

de analogie tusschen warmte en electriciteit uit de cijfers, maaï
verlangt de analogie te zien, en ziet haar daarom. Want er is
evenveel voor als tegen. De reeksen ja, hebben eene ruwe
overeenkomst, maar noch de eene noch de andere reeks is zeker
genoeg om er gevolgen uit te trekken, want ook de opgaven
voor electriciteit hebben aanmerkelijke verschillen, zelfs in de
rangschikking der metalen.

De groote proefnemers die ik noemde zijn dan ook nog in
twijfel; Eorbes blijft zich niet. volkomen gelijk, meent eerst,

de gelijkheid te zullen vinden, en vindt ze niet. Angström
twijfelt klaarblijkelijk, ik wil hier een stuk van hem aanhalen,
dat gelukkig niet het minst voordeelige specimen van zijn
Eransch is ^x) :

„A l\'opposé de ce qui a lieu avec la lumière et l\'électricité,
„ou suppose bien, il est vrai, que la chaleur thermométrique
„ne s\'étend que peu à peu dans les corps, mais cette différence
„ne nous semble cependant qu\'apparente. La raison en est
„que ce qu\'on appelle ordinairement la vitesse de la propagation
„de la chaleur, n\'est qu\'une fonction de la conductibilité, ou pou-
„voir rayonnant, et de la chaleur spécifique, et nous donne,
„une expression de la vitesse réelle de la propagation de la cha~
„leur avec aussi peu d\'exactitude que la conductibilité pour
„l\'électricité nous détermine elle-même la vitesse réelle de la
„propagation de l\'électricité. En effet, la propagation de l\'élec-
tricité dans les télégraphes submarins nous offre des phénomènes
„parfaitement analogues à ceux que nous présente celle de la
„chaleur dans les barres métalliques."

Op deze laatste analogie valt misschien wat af te dingen,
maar ik haalde dan ook het bovenstaande aan, als een bewijs

I) Nova acta Regiae societatis scientiarum Upsaliensis; Seriei tertiae. Vol III i86i.

voor den twijfel van Angström. In elk geval is het eene
aprioristische beschouwing die niet zonder waarde is.

Het is echter niet te loochenen, dat er, afgezien van de cij-
fers, vele vingerwijzingen zijn, die de mogelijkheid van eene
analogie tusschen de beide reeksen doen inzien. Ik heb ze overal
te hunner plaatse aangegeven. Maar er zijn ook feiten die voor
het tegendeel pleiten. Eerstens de opmerking van Eorbes,
dat, terwijl volgens de jongere Becquerel het geleidingsver-
mogen voor electriciteit voor 100° C. met 40% afneemt, dit bij
warmte maar 20% is. Dit zou nog wel op analogie maar niet
op identiteit wijzen.

Maar eene gewigtigere tegenwerping vind ik bij Despretz.
Hij was tot nog toe zoowat de eenige die eenigermate voldoende
proeven voor vloeistoffen, vooral water leverde, waarvan die ge-
leiding langen tijd maar gladweg ontkend was. Deze nu komt
tot de conclusie, dat eene toevoeging van zuren en zouten het
geleidend vermogen van water voor warmte volstrekt niet ver-
andert. Men weet, dat eene kleine toevoeging van zuur het
water van een slechten tot een vrij goeden geleider voor
electriciteit maakt. Was dit nu bij de warmte ook het geval,
dan zou Despretz er wel iets van bespeurd hebben. Hoe ge-
brekkig dus ook deze zelf erkent, dat deze proeven waren,
dunkt mij toch, dat dit eene feit sterk tegen eene analogie
spreekt. De vloeistoffen zijn dan ook in het geheel nog bijna
in dit opzicht niet onderzocht, en zoolang dit niet het geval is,
zal elk oordeel wel voorbarig wezen.

Gassen schijnen de electriciteit iets beter te geleiden dan de
warmte, waarvoor men nog eigenlijk geene geleiding heeft kunnen
bespeuren, behalve de waterstof, die ook hierin veel nader aan
de metalen staat. Heerlijk feit voor de verdedigers van de ge-
liefde thesis, dat waterstof een metaal is!

Ik meen dus den stand der zaak geen onregt aan te doen,
door deze kwestie eenvoudig eene openstaande vraag te noemen,
die nog aan beide zijden dient onderzoekt te worden. Met te
meer gerustheid durf ik hier de schouders op te halen, waar
zelfs een man als Tyndall geen oordeel geeft, maar zich zeer
voorzigtig uitlaat *). Ook in deze rigting is dus nog een ruim
veld open voor latere proefnemers.

En zoo, aan het einde van mijnen arbeid, zet ik weer bijna
hetzelfde neder, wat in de inleiding voorkwam: „Er is veel
gedaan, maar nog meer is er te doen." Moge dit werkje, dat
slechts aanspraak maakt op den naam van overzigt, zeer spoedig
onvolledig blijken te zijn, ja mogt het spoedig geheel tot eene
kleine historische waarde gereduceerd wezen, als eindelijk eene
goede methode betrouwbare cijfers zal gegeven hebben, en op
alle vragen het antwoord zal hebben doen volgen.

Er is nog geene reeks van getallen voor den coëfficiënt k,
die geloof verdient.

Het is nog onmogelijk te beoordeelen, of er al dan niet
identiteit bestaat tusschen de geleidingscoëfficiënten voor warmte
en electriciteit.

De complexe grootheden zijn niet meer onbestaanbaar dan
gewone breuken, negatieve getallen, irrationneele grootheden of
divergente reeksen.

Het gezegde van Lamé (Elasticité des corps solides p. 111):
„Lorsqu\'on parvient à un résultat simple par des calculs com-
pliqués, il doit exister une manière beaucoup plus directe,
„d\'arriver au même résultat¹\' is bij den tegenwoordigen toestand
der mathesis voorbarig.

De hypothese van Olbers, omtrent het onstaan der kleine
planeten, is nog steeds niet absoluut te verwerpen, maar kan,
misschien gewijzigd, nog wel waar zijn.

Bij den tegenwoordigen stand der astronomie, zouden de aan-
merkelijke krachten die besteed worden om kleine planeten op
te sporen, beter kunnen worden aangewend.

De hypothese van Tyndall (Heat a mode of motion) over
de kometen, is de meest waarschijnlijke.

Astronomie, physica, zelfs chemie, zijn in eene periode van
betrekkelijken stilstand, en wachten op eenen vooruitgang der
mathesis, misschien in eene geheel nieuwe rigting.

In een molecule moeten de heterogene deeltjes evenzoo in
evenwigt gedacht worden als in een vast ligchaam de moleculen.

De chemische hygrometer heeft slechts praktische waarde als
controlerend werktuig voor andere methoden.

De meening, dat wolken uit water in den zoogenaamd blaas-
vormigen toestand zouden bestaan is onhoudbaar.

Het rijzen en dalen van Nautilus pompilius is tot heden niet
voldoende verklaard.

De regel, dat de vorming van organische stoffen, die later
bestanddeelen van dieren worden, het eerst door planten geschiedt,
is niet toepasselijk op de in zee levende dierenwereld.

De contactgesteenten van de groensteenen in den Harts, zijn
ontstaan door modificatie van den omliggenden Thonschiefer.

Het is hoogst wenschelijk, ja noodzakelijk, dat het lager
onderwijs verpligtend worde gesteld.

It is the universal law, that whatever doctrine becomes fash-
ionable , shall lose a portion of that dignity which it had
possessed while it was confined to a small but earnest minority
and was loved for its own sake alone.

Zilver ......	. . . 100.0	100.0
Koper .....	. . . 73.3	92.3
Goud . .....	, . . 58 5	102.8
Geel koper . . .	. . . 21.5
Zink .......	. . . 24.0	37.3
Tin........	. . . 22.6	31.2
Yzer ......	. . . 13.0	38.2
Lood......	. . . 10.7	18.5
Platina.....	. . . 10.3	100.8
Bismuth.....	... 1.9

Temp.	Gepolijst oppervlak.	Papier oppervlak.	k
0°			12.36
25	0.0136	0.0147	11.80
50	0.0130	0.0138	11.15
75	0.0131	0.0123	10.59
100	0.0126	0.0113	9.94
125	0.0122	0.0107	9.38
150	0.0112	0.0107	8.37
175	0.0100	0.0102	8.18
200	0.00875		7.62