iu.^

M

. -M

EENE BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER
KETTINGBREUKEN VAN STIELTJES.

EENE BIJDRAGE TOT DE KENNIS DER
KETTINGBREUKEN VAN STIELTJES.

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN
GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUUR-
KUNDE AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE
UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN RECTOR-
MAGNIFICUS Dr. H. SNELLEN, HOOGLEERAAR
IN DE FACULTEIT DER GENEESKUNDE,
VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER
UNIVERSITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN
VAN DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUUR-
KUNDE TE VERDEDIGEN OP DONDERDAG
27 MEI 1915, DES NAMIDDAGS TE 4 UUR DOOR

WILLEM LOUIS VAN DE VOOREN,

* * * * GEBOREN TE UTRECHT. * * * *

■IBÜOTHEEK DER

rijksuniversiteit
utrecht.

N.V. BOEKHANDEL EN DRUKKERIJ
voorheen E. J. BRILL — Leiden

BOEKHANDEL EN DRUKKERIJ voorheen E. J. BRILL — LEIDEN.

AAN MIJNE OUDERS.

Aan het einde mijner academische studie gekomen, is het mij
een behoefte mijn dank te betuigen aan allen, die, op welke
wijze ook, hebben medegewerkt tot mijne vorming en ont-
wikkeling.

In de eerste plaats geldt die dank U, Hoogleeraren in de
Faculteit van Wis- en Natuurkunde, wier colleges ik het voor-
recht had te mogen volgen.

In het bijzonder U, Hooggeleerde kapteyn, Hooggeachte
Promotor, mijn dank voor Uwe tegemoetkomende bereidwillig-
heid bij het bewerken van dit proefschrift.

Uwe colleges, en ook de Uwe, Hooggeleerde de vries, zullen
mij als docent steeds in herinnering blijven als een praktisch
ideaal.

INLEIDING.

Het is reeds eenige jaren geleden, dat de studie van het
standaardwerk van Stieltjes over de naar hem genoemde
kettingbreuken (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse,
T. VIII et IX, 1894 et 1895) mijne belangstelling voor deze tak
der wiskunde deed ontwaken. Het ontbreken echter van een
leerboek over de algemeene leer der kettingbreuken maakte
destijds verdere studie in die richting hoogst bezwaarlijk. Die
gaping in de rij der leerboeken werd in 1913 op hoogst ver-
dienstelijke wijze aangevuld door het werk van Prof. Dr. Oskar
Perron „Die Lehre von den Kettenbrüchen".

Het is dit werk, waaraan dit proefschrift zijn oorsprong dankt.

In \'t kort zijn de resultaten van mijn onderzoek de volgende:

Het eerste hoofdstuk geeft, aan de hand van een kettingbreuk
van stieltjes, een merkwaardig soort polynomen, die in eigen-
schappen groote overeenkomst vertoonen met de geheele getallen,
zooals b.v. de ontbinding in factoren aan den eenen kant, en de
deelbaarheid der getallen aan den anderen kant. Hierdoor wordt
een nieuw verband verkregen tusschen de Getallenleer en Analyse.

In het tweede hoofdstuk heb ik een algemeen bewijs trachten
te geven voor de mogelijkheid der ontwikkeling eener functie,
die voldoet aan de voorwaarden van diriciilet, naar de naderings-
noemers eener kettingbreuk van stieltjes. (Vergel. perron,
blz. 382, waar dit probleem gesteld wordt).

Onder de polynomen, die aldus als ontwikkelingselement ge-
bezigd kunnen worden, vallen de in het eerste hoofdstuk behan-
delde polynomen, verder die van Legendre, van Abel (vergel.
Prof. Dr. A. A. nijland, diss. 1896; Prof. Dr. W. icapteyn,

Versl. Kon. Ac. v. W. 27 Mrt. 1913), van Hermite (vergel.
Versl. Kon. Ac. v. W. 10 April, 12 Mei, 17 Juni \'14). In deze
bijzondere gevallen was het bewijs der ontwikkeling reeds ge-
geven, zij het dan ook in elk geval langs anderen weg. Een
derde hoofdstuk is nu aan de functies van Abel en Hermite
gewijd, door hen saam te vatten tot eene algemeene polynoom-
soort met twee veranderlijken, dat afgeleid kan worden uit de
uitgebreide kettingbreuk van Laguerre, die behoort tot de
groep der kettingbreuken van Stieltjes.

#

INHOUD.

Inleiding......................ix

Hoofdstuk I. De /?»-polynomen.

§ I. Definitie van B_n........................................I

§ 2. De ligging der wortels.................4

§ 3. Deelbaarheid.....................IO

§ 4. Ontbinding in factoren.................15

§ 5. Het aantal primitieve wortels...............16

§ 6. De orde van een wortel...................

§ 7. De onderlinge ligging van alle wortels der B_v.........22

§ 8. De expliciete vorm van de factoren.............31

§ 9. Het verband met sin «<f> en cos n cp.............35

§ io. De bijbehoorende differentiaalvergelijking...........36

§ 11. De geassocieerde kettingbreuk...............39

Hoofdstuk II. De ontwikkeling van eene functie, die voldoet aan de
voorwaarden van Diriclilet, volgens de naderingsnoemers van een ketting-
breuk van Stieltjes.

§ 1. Eenige belangrijke formules................43

§ 2. Voorbeelden.....................47

§ 3. Het bewijs bij eindige integraalgrenzen............48

§ 4. Voortzetting.....................62

§ 5. Het bewijs bij oneindige integraalgrenzen...........67

Hoofdstuk III. De algemeene kettingbreuk van I.aguerre.

§ 1. De geassocieerde kettingbreuken..............71

§ 2. I)e functies L,i (z, a) en <p„ (z, ct)..............73

§ 3. Algemeene eigenschappen................75

§ 4. I)e genetische functie van <p„ (2, oi).............79

§ 5. De a) polynomen.................81

§ 6. De polynomen van Abel en Hcrmitc.............84

§ 7. Het verband met de Besselschc functies............88

§ 8. Andere schrijfwijze voor N_n (s, a)..............90

§ 9. De bijbehoorende differentiaalvergelijkingen..........91

HOOFDSTUK I.

De i?„-polynomen.

§ i. De eenvoudigste kettingbreuk, die men zich denken kan,
is zeker wel de volgende:

1 )........⁼ [7 j7 j7 • • • ^{ad inf}-

Zij behoort tot die merkwaardige groep kettingbreuken, die
voornamelijk door de werken van STIELTJES op den voorgrond
zijn gebracht. Dit blijkt het gemakkelijkst door middel van de

substitutie x \\ —.

\' z

Na eene bekende herleiding vindt men:

²⁾ • • • • ^Ö^F i^ iF ir^{4 ad inf}\' -

De algemeene gedaante van een kettingbreuk van Stieltjes
is toch:

^{1  ad inf}- (^Verg^el- ^p-\') P- 393)

I b_xs \\ö₂ \\b₃z \\b_az

met reëele, positieve b\'s.

De groote eenvoud van bovenstaande kettingbreuk F blijkt
uit de waarden der £\'s:

b_t= I (J>=i. 2. 3......)

Uit het periodiek karakter volgt, dat in het convergentiegebied

i) P. beteekent: Perron: „Die Lehre von den Kettenbrüchen". Teubner, 1913.

1

(d. i. het geheele complexe vlak, met uitzondering van de nega-
tieve, reëele as)

Het zijn de noemers van de opeenvolgende naderingsbreuken
van deze kettingbreuk, die ik in dit hoofdstuk zal behandelen.

In afwijking met de gebruikelijke notatie, schrijf ik in dit
hoofdstuk, voor de naderingsnoemer B_x liever B_i 1, waardoor
de eigenschappen van een polynoom B_v overeenkomen met die
van zijn index, en niet met die van \'t getal v i.

Bij de kettingbreuk

= ^  inf.

B₃ = i x
B₄ = I 2X

= i 3 x
B₀ = i 4 x 3
B₇ = I $x 6X² X³
B_s = i 6x iox² -{-4 x³
B₀ = i 7 x 15 x² -f- \\ox² x^l
B_]0= i 8 x 2i x² 20x³ 5 x*
\' B_n = i gx 28 x² 35 15
B_n = i 10 x 36 x² 56 -f 35 6
B_x 3= 1 11*4-45 x² 84 x³ 70 x* 21 x⁵ x^a
B_u= 1 12 x $$ x² -f- 120 x³ 126 x* -f 56 7/
B_i5— i 13X 66 x² 165 x³ -f 210 x⁴ 126 x^s -f- 28^° ^\'

etc.

De graad van 2?_2v

De graad van B%_v is v— 1
van B3, v 1 is v ,

4) in het algemeen is de graad van B_v gelijk

De algemeene gedaante van het polynoom B_v \\(x) is:

Bewijs: Door directe berekening overtuigt men zich gemak-
kelijk van de juistheid der formule voor kleine j/-waarden.

Nemen we dus de formule als juist aan voor v ^ N, dan moet
zij slechts bewezen worden voor i/ = 7V-f i.

Hiertoe maak ik gebruik der recurrente betrekking

6)...........Bn i = x Bn—i

want (N-P\\_[N-P)(N-P-i).. (N- 2p 3) (N-₂p 2)

p — iJ i 2 (p — 2) i)

7VT—M (iv-/)^-/-!).. (iV-2^ 3)

p — 2/ i 2 — 2)

p _l)[N—p) (N—P— i)...(N—2P 3)₌ (N—P i\\
(p- 1)! \\ p — i r

Hiermede is ook de juistheid der coëfficiënten van de termen
van den hoogsten graad aangetoond, daar men „formeel" de
polynomen met termen van dezelfde gedaante kan verlengen.

Behalve de zoo even gebruikte recurrente betrekking (6) heeft
men de volgende „hoofdformule", die de eerste als bijzonder
geval omvat.

Volgens perron pg. 18 form. 3ó^b geldt, bij elke kettingbreuk,
de betrekking:

\\_>ll.B_uj_rp v_i = Bf}j_ry — \\_>cl B_a i3_i
(- i)^13-1 «« 1 a_u g ö_{a 3} .... By-ï, _{a l}3 i?«_i

In ons geval wordt deze formule:

7) • Bp.B_u p _iy = Bi_{! v} B_{a 1}3 (—^

want =B_X. Verder is de eerste index met één verhoogd

in aansluiting met de nieuwe notatie.

Volledigheidshalve kan ik hieraan de naderingstellers toevoegen.
Indien A_v behoort bij B_v (index één hooger) heeft men de vol-
gende waarden:

A₀ = i

A_x = o = x B₀

A₂ = x i — x B_x
A₃= x i = x B₂
A_i = x (i x) = x B₃
etc.

Aangezien voor de A\'s dezelfde recurrente betrekking geldt als
voor de B\'s, zoo is algemeen:

8 ).............A_v \\ — x B_v ,

waarmee de studie der tellers teruggebracht is tot die der noemers.

§ 2. Evenals elk polynoom, zijn ook alle Z?\'s bepaald door hun
wortels en eene constante. Deze laatste grootheid is onmiddellijk
vastgelegd door de algemeene formule:

9 )..............B_v[ o)=i.

De eigenschappen van een polynoom B_v zijn dus terug te vin-
den in die van zijn wortels.

Eigenschap I: Geen enkele wortel van een polynoom B_v is
positief reëel.

Dit volgt onmiddellijk uit de algemeene gedaante (5) der po-
lynomen. Elke coëfficiënt toch is positief.

Eigenschap II: Alle wortels van elk polynoom B_v zijn reëel.
De wortels van elk paar polynomen B_v _ 1 en B_v liggen afwisse-
lend en wel zóó, dat B_v de grootste (of kleinst negatieve) wortel
bezit.

Bewijs¹): De juistheid der stelling blijkt onmiddellijk voor
kleine waarden van v, bv.:
B₃=i x = _ i

B_i= 1 2X *,(*) = — i

B₅= I ₃X X* x^ = -i iVJ, = —
Nemen we dus aan, dat de wortels van B_v—2 en i?_v —1 elkaar
op de reëele as afwisselen, en dat i?_v_ 1 de grootste wortel bezit,
dan moet nu bewezen worden, dat hetzelfde geldt voor de wor-
tels van B_v-1 en B_v.

Gemakshalve kunnen we een grafische voorstelling maken, door
te stellen:

f_v-s = B_v-₂{x) ; =B_v-\\(x)-, ■y_v = B_v(x).

3

Noemen we de wortels van B_v (x) = O : — Xi^m dan is volgens
Eig. I, indien reëel is, x^ > O.

De reëele waarden x^"^ en zijn door hun index i

gerangschikt volgens opklimmende grootte.

10). Nu is: B{y—2) (o) = B<y-1) (o) = B_v (o) = 1 > o.

1  Vergel. Stieltjes. Ann. de Toulouse. T. VIII. 1894.

Volgens (6) is:
B_v (— -V) = B_v__l (- xf--D) - -D)

of

(— -^1}) = — *1<» - \'VB_v _ ₂ (- ^ - *>).

Nu is > o en i?_v_₂ (— .r^"-¹)) > O, want i?_v_₂ (o) = i >0,

en er is, volgens hypothese, nog geen wortel — gepasseerd,

dus

B_v(o)>o en B_v (— ^^v~¹>)<0.
d. w. z. tusschen o en —^—X) ligt minstens één wortel van
B_v [x) = o.

Verder is, volgens (6):

B_v (— - 2)) = _ _t (— ^ - 2)) < o.

Uit B_v (— < o en .£„(-—^ ~ ³>) < o volgt, dat tusschen

— Xi^(v~en —^i^(v-SJ\' o, 2, 4, .. wortels van i?„ liggen.
Passen we nu (6) toe, voor x — —

B_v (— *_a<»-== — xP~By_i{— xé^v-^y>).

Bekend is, dat £„_₃ (— < o, dus £„(—*,(\'-«) >o.

Brengt men dit in verband met i?v (—*i^(v-2))<o dan blijkt,
dat er minstens één wortel van B_v ligt tusschen —x^^v ~²⁾ en

Zoo voortgaande vindt men steeds minstens één wortel van
By tusschen o en —x^ ~ ^ en tusschen —xS^v~²⁾ en —₁¹⁾.
Wij moeten nu twee gevallen onderscheiden, nml.

A. v = 2 (l.

By (x) = o bezit, volgens (4), yt. — 1 wortels, evenals i>\'_v_i (x) = o.
Volgens bovenstaande redeneering behoort bij elke wortel van
By-\\{x) = o een interval, waarin een wortel van By (x) gelegen is,
want B_v_ ₂(x) = o bezit slechts ^ — 2 wortels. Hiermee zijn dus
alle wortels gevonden, en hun ligging voldoet aan de genoemde
eigenschappen.

B. v = 2 fi 1.

By(x) = o bezit, volgens (4), p wortels, terwijl B_v-\\ en B_v_₂
er beide (a — 1 bezitten.

Evenals onder A, liggen er p — 1 wortels in de intervallen

(O, , (-^K-l), .... -4-iï-

Er blijft nog één wortel van i>_v_ ₃ over, die volgens de ge-
maakte onderstelling omtrent de ligging der wortels van i?v- 2
en B_v-1, voorbij de wortel —x* ^1} gelegen zal zijn. We kun-
nen nu bewijzen, dat de wortel van B_v ligt in het interval
/ 2 U— 1 \\

(— > — <*>)

Bijx 1 (— °°) = (— Q⁰)^ ^met \'t teeken van (— =
B_Slj. (— 00) = (— 00)^^_1, teeken : —s.
Bz p _ 1 (— 00) heeft tot teeken : — s.

ITet teeken van Ba^l—komt overeen met dat van
-Bspi— 00), dus met —e, omdat er nog geen wortel gepasseerd is.

Volgens (6) is verder:

n t „(2(*-l)v _ r> / „(2^-l)\\

b_s(jl l(—) = b_zli{— )

dus ook \'t teeken van i>₂₍i 1(—is —e, terwijl dat van
—⁰⁰) overeenkomt met dat van -ft. d. w. z. de (a? wortel
van £9^ \\{x) = o ligt in \'t interval — go).

Eigenschap III: In het negatieve interval ^o,—^ heeft
geen der polynomen een wortel liggen.

1) Bewijs: Allereerst is B_v ^—=

(-£)--? Hi

B_%\\--)=i=- ; BA— = ^ etc.

Nemen we dus de juistheid van (11) aan voor v ^ i, dan moet
nog aangetoond worden, dat (11) dan ook geldt voor v = i 1.
Volgens (6) is:

Bi 1 (x) — Bi (x) x Bi- \\ (x) dus voor x — — -

4

z — i_* i

2\'

Hiermede is aangetoond, dat elke B_v in \'t punt x — — - posi-

4

tief is, evenals in het punt x — o, want i?„ (o) =-f 1. Dit wil
echter voor de wortels zeggen, dat B_v (x) = O in \'t interval

^o, — -jJ géén of een even aantal wortels bezit. Nemen we nu

aan, dat Bk(x) het polynoom met den kleinsten index is, dat
twee of meer wortels in bedoeld interval heeft, dan zal Bk — \\(x)
volgens eig. II minstens één wortel daar hebben liggen. Dit nu
strijdt met de hypothese, dat k de kleinste index is, waarvoor

het bijbehoorende polynoom een wortelpaar tusschen O en — —

4

heeft. Het getal k is dus niet aan te wijzen, of geen enkel poly-
noom bezit wortels tusschen o en — —.

4

Opmerking i. De mogelijkheid, dat het polynoom Bk — \\ niet
zou bestaan, is natuurlijk uitgesloten. De formules B leeren on-
middellijk, dat k ^ 4.

Opmerking 2. Het punt x — — - begrenst het wortelgebied

4

werkelijk, want volgens (11) is:

lim By ( — -) — o.

v=oo v 4/

Eigenschap IV. Het deel van de reëele as, waarop alle
wortels van de polynomen B_v liggen, wordt ter rechterzijde

„werkelijk" begrensd door het punt x — — -, ter linkerzijde is

4

echter geen eindig grenspunt aanwezig.

Bewijs: Volgens de voorgaande eigenschappen kunnen de

wortels uitsluitend gelegen zijn in \'t reëele interval ^— — co^

of in een gedeelte daarvan. Dit laatste nu wordt door eig. IV
ontkend.

Er is dus te bewijzen, dat er steeds een B_v gevonden kan

worden, die een wortel heeft > — - — s en zoo ook een B^ die

4

een wortel heeft < — N, als N een willekeurig groot, maar con-
stant getal is.

Het eerste gedeelte volgt uit de Opm. 2, Eig. III.
Het tweede gedeelte kan als volgt bewezen worden:

Volgens form. (5) is:

Onderscheiden we nu de twee gevallen:

A. v = 2 fjt,

, ₍₂ „ _ „, (lü^iiiii^i) ... *-p)„ ...

i . 2

B. V = 2 [l — I.

I.2.3

Uit 12« volgt voor de som der p wortels van .#2^ 1-
.3«)..........

Uit 12« volgt voor de som der — 1 wortels van i?_2fi

.3*)........._(,-,)(, .)

ft —1

Volgens eig. II zijn nu de [t—1 eerste wortels van B_2ijl i
één voor één kleiner dan de /z—1 wortels van B2^, wat hun
absolute waarde betreft. Hieruit volgt:

Mfr 1) ^ (A* — 1) , (2fi i)

2 ^ 6 ^

of .J8H-1) ^ fc 0 (2 ft i)

14) en

\' f⁴ fi

Kiest men dus p zóó, dat ^ ¹) (² ^ 1] ^yr dan hebben

6

alle polynomen met index > 2 [t 3 één of meer wortels links
van — N liggen.

Opmerking: Een onderste grens voor —is:

v- 2

§ 3. Gemakshalve voer ik de volgende definitie in.

Definitie. Een wortel van de vergelijking i?_v (*) = o heet
primitief, indien hij niet samenvalt met één der wortels van
een polynoom met kleineren index.

Het is duidelijk, dat elke B_v minstens één primitieve wortel zal
bezitten van af v — 3, nml. de grootste (kleinst absoluut gemeten).

Eigenschap V. Is —x_p een wortel van B_v(x) = O, dan is
deze waarde ook een wortel van alle vergelijkingen Bp_V(x) — O.
B e w ij s:

Bekend is:

(— *t) = ¹ — ^xr
B± (— x_t) — i — 2 x_p.
(—x_p)=i — 3xp x_p\\

j5_v_i(—Xj)—C_v-1, eene bepaalde constante.
B_v (— x_p) = o = /j B₀ met ƒ, = — C_v-1 x_r
B_y i(—Xp) = B_v(—Xp) — XpB_v_i(—Xp) = -— Cv-\\Xp=f₁ B_r
B_{v 2} (— x_p) = B_v i(— Xp) — Xp B_v (— x_p) = — C_v-1 x, = ƒ,
i?_v 3 (— = — C_v-l x_p C_v-lX_p² = ƒ, B_r

etc.

B_{v q}{—x_p)= = Atl-

ete.

B_2v-i[—Xp)= =/i =/i C-i.

B_2v(-X_p) = o

#2v l (— Xf) = — f\\ Cv — \\X_p= f* B_v

etc.

B%_v (—x_p) = O etc.
(— Xp) = O. q. e. d.

Een en ander is afhankelijk van het periodieke karakter van
de kettingbreuk.

\'t Voorgaande geldt voor elke wortel van B_v (x) = O, m. a. w.
B_v is een factor van alle polynomen B^.y.

Opmerking: Is —x_p een primitieve wortel van B_v, dan blijkt
uit het bewijs, dat —x_p slechts een wortel is van die i?-functies,
wier index een veelvoud van v is.

Eigenschap V^bU: B₂„ [x) bezit B_v (x) tot factor.
Deze stelling is een bijzonder geval van de algemeene eig. V.
Men kan haar ook als volgt bewijzen:
Bewijs: Volgens de hoofdformule (7) is:

Bp.B_{cl p r} = Bp _y.B_{cl l}3 (- if-^xKB_v.B_a.
Nemen we: (3 = 2, u = v — 1 en y — v — 1, dan is:
B-2v = B\'_v 1 — x². i?y_ 1.

= (B_{v 1}-xB_v_₁) (By x xBy-j).

15) of Boy = By . { By \\ XBy_l j.

Tevens is hiermede een nieuw bewijs gevonden voor de alge-
meene eigenschap V. Het is toch steeds mogelijk B^_v uit te
drukken in twee voorafgaande polynomen, bv. B^ _v = g (x) B_v
/i(x)B_2v. Beide bevatten den factor B_v, dus moet deze ook
voorkomen in B^y.

Gaan we weer uit van de form. (7):

\'Bfi.Bt fi y^Bp y.Bt g i— i)<*-¹ X0 . B_y. B_x.
voor a = (3 == y = v:

B_v. B_iv = B\\y (— i)"-i By².
of, gebruik makende van (15):

16) . B_s y = By | (By 1 * By _ tf (— I )"" 1 }

Nemen we nu a. — /3 = v ; y = 2 v, zoo is :
By . B_iv = B-_iv . B_U (— I)"-¹ # B_iv . By

17) B_iv = By\\B_v i xBy-₁\\\\(B_{v l} xBy-_l)ⁱ 2(— i)"-¹*\'}.

etc.

Opmerking: Terwijl het eerst gegeven bewijs een dieper in-
zicht geeft in het wezen der stelling (b.v. wat betreft de primi-
tieve wortels), doet het tweede bewijs tevens de expliciete vorm
van den anderen factor kennen.
We hebben toch de volgende

Eigenschap VI: Schrijven we voor (— i)^v-1 ,r^v: X_x en voor
B_v \\ xB_v_i :X_V dan is
18)............Bp. v ⁼⁼ B_v. D

als Z>n de ft\' naderingsnoemer is van de kettingbreuk:

.....

B e w ij s: D_x = i

D₁ — X₂ (de index is weer met één verhoogd).
D_t=*X* X_x
D_k = X* *X_xX_%
Dt = Xf sX_xX* X*.
etc.

De coëfficiënten van deze polynomen zijn dezelfde als bij de
B_v functies, en D_{k t} — X₁ D_k X_x D_k _ i.
Nu is: B_v =B_y i = B_v D_x

B_2v = B_VX₂ — B_v Z>₂.........(15)

B_Sv = B_v\\X^ X_x | =B_VD_S.........(16)

B_iv = B_v\\X₂* 2X₁X_i\\=£_vD_i.........(17)

De formule (18) is dus juist voor kleine waarden van ft. Nemen
we haar als geldig aan voor ft ^ k, dan moet nog de juistheid
aangetoond worden voor ft — k-f- 1.
De betrekking (7)

Bp.B_u p _v = B_{p y}. B_a n (— i)*³-¹. xP B_v . B_a

geeft voor x = v , (3 = v en y = (k — 1) v:

\' B_v.B« _l)v = B_kvB_2v {— iy-i&Bit-^B,.
of B_{k ,_)v = B_kvX_i (- i)^v~^l x^v B_(l-i_)v

= B_{k v} X₂ B(k — ï) v X_x.
Nu is reeds B_kv = B_v D_k en B(_k — i)_V = B_v D_k-\\
dus B_{i i_)v = B_v I X₁ D_k f X_x 1 \\ = B_vD_k i q. e. d.

Opmerking i. De verkregen Dy. groepeert de overblijvende

\\s~~2—— ₂ ¹J wortels in jj" ^ groepen van wortels.

Opmerking 2. Vooral deze eigenschap doet nieuwe eigenschap-
pen uit de Getallenleer vermoeden.

Bij de algemeene formule (18)

BpV — By. Dy.

verdient \'t geval v = 2 afzonderlijk vermeld te worden.

Bi—I, dus B%_p — D_p.
Nu is X_t — — x² , Xj == i -f 2 x

zoodat de kettingbreuk is:

g X² | X² \\ X² \\

\' ⁰ \\l 2X \\l 2x \\l 2x

Kiest men nog X₀ = x, dan ontstaat de kettingbreuk

x

i -f 2 X \\l 2X

die door contractie ontstaat uit F(x), en dus dezelfde waarde
heeft als de.oorspronkelijke kettingbreuk. Haar naderingsbreuken

Aip

\'üp

zijn .

£>2n

In het algemeen heeft men de volgende:
Eigenschap VII. Zij X₀ = xB_v-\\, X_l = (— i)^v~^lx^v,
X^ = B_v \\ x B_v_\\, dan is de kettingbreuk

19) . . G(x) = X₀ ad inf. = B_v(x)F(x).

B e w ij s: Mogen de naderingsbreuken der nieuwe kettingbreuk

C

G (x) voorgesteld worden door dan moet bewezen worden, dat

d_f

lim ~ = B_v [x) lim ^
ft = 00 -^ft £ = 00

F (x) — lim ~ bestaat in het geheele complexe vlak, behalve op
t=oo Bt

de negatieve reëele as, links van — -.

Hier is dan lim ~ — lim

k = 00 1^ = 00 -Bp- v

We kunnen nu aantoonen, dat

~ = B_v voor elke («-waarde.

[L ^ ^v

Volgens de vorige eig. VI is reeds

B_v

zoodat er overblijft te bewijzen:

20)..........C,4 = Ap_V = x B^y-1 (volgens 8).

In de eerste plaats geldt deze betrekking voor p = i

C₁ = X₀ — x B_v _ i

en in de tweede plaats ook voor yt, — 2

C₂ = X₀(B_v l x B_v — i) (- i)*-¹

= x { B_v—\\ (By \\ x i?y_i) (— i)^v—1 x^v~^l}.

Uitgaande van (7) is:

B_l3.B_{ct (} 7} = B₍} y.B_{u i}3 (— iBy.B_a
voor (3 = v — i , <* = !/ , 7=1

B_v_ 1. B_Sv = B_v. B-2v — 1 (— i)"-²^"-¹ B_v
of, volgens (15)

of \' =    (— i)»-**»-¹.

substitueerende is

= a\' v — 1 •

Nemen we dus aan, dat

Cy. = x 1 voor p g:
dan moet nog bewezen worden, dat ook

cp_a 1 = x 1) y_ 1.

Nu is: i =  £;. (— i)"-¹*"^-!

of

Ter berekening van de 2® factor in het tweede lid, heeft men:
Bf_l.£_{lt ft} y = B_{fi r}.B_K f_i {— i f~^xKBy.B_a
voor (3 — v , y — v , c& = ((t₀ — i) v — i.

Dan is:

B_v. i?_(A£o i)_V_i = B_iv. Bp,_v_i (— i)^v~^l x^v. B_v. Z?_(tt0_i) „_ i.
of volgens (15)

£_{((t0 1K}_i = (£„ ! ^_oV_i (— i)^{v —} * x^v. B(p_a — 1)y — 1»

Substitueerende is dus:

C^ i—x B(p₀ 1) v - 1.

Hieruit volgt, dat
21)............~ = By.^^- voor elke ^-waarde

dus G [x) = lim = By Y\\mj^=By.F (x).

§4. Eigenschap VIII. Wanneer een wortel —x_v van Bx,
tevens primitieve wortel is van een B_v, dan is N een veelvoud
van v en B_v is een factor van By.

Bewijs: Reeds uit de opmerking bij eig. V blijkt, dat de
primitieve wortels van B_v — o uitsluitend en noodzakelijk wortels
zijn van die polynomen, wier index een veelvoud van v is, dus
N—(Jt,.v volgens de term „uitsluitend" en „elke" wortel van
By is tevens wortel van B& volgens de term „noodzakelijk".

Eigenschap IX. Twee polynomen B^ en B_v hebben geen
gemeenschappelijken factor (G.G.D — 1), indien de G.G.D {^.v)
gelijk is aan 1 of 2.

Bewijs: Zoo er een gemeenschappelijke factor is, zij deze
x-\\-x_p, dan is —x_p een wortel van B^ en van B_v.

Zij verder Bi het polynoom, waarvoor — x_p primitieve wortel
is (A kleiner dan of gelijk aan de kleinste van dc waarden p en v).
Uit de voorgaande eigenschap volgt dan, dat (t = f.t\'A en v = •/ \\
en tevens, dat B_h een gemeene deeler is van B^ en B_v.

Men ziet: de G. G. D {(i. v) ^ A, terwijl A ^ 3 is, want By moet

minstens één factor bezitten. Dit nu is in strijd met het gegeven.

Opmerking verdient, dat het eenige even priemgetal 2, hier
heel natuurlijk, eene bijzondere plaats gaat innemen.

Eigenschap X. Is a = G.G.D [ft. v), dan is de G.G.D
van By. en B_v.

Bewijs: Volgens eig. V is B_x zoowel een factor van B^ als
van B_v, want ft — ft\' X en v = v\' X. Deze factor zal nu G.G.D
zijn, zoo Bp en B_v buiten B_x geen factor gemeenschappelijk
hebben. Bestond deze factor nu wel, dan zou dit, volgens het
bewijs van eig. IX leiden tot een gemeenschappelijke deeler Bi,
met ft = ft" x\' en v = v" x\'. Nu was gegeven, dat de G.G.D {ft, v) = a;
dus is X\' een deeler van a. Het feit echter, dat a een veelvoud
van X^r is, zegt, dat By een factor is van B_A m. a. w. de ver-
onderstelde nieuwe factor komt reeds in B\\ voor.

N.B. De wortels van elke B_v zijn enkelvoudig.

Eigenschap XI: Indien v = 2"° . p** . p«^%----dan is

B_v = B°\'*« . JB_P*i . B_p%*».....B_n*_k . P_v.

als p_{ , p_% . . . pk de priemfactoren van v voorstellen.

Bewijs: Aangezien v een veelvoud is van 2^a°,/,^ai, p₂"² ... pf*
zullen de polynomen Bi*« , B_v*i , B_p ... B_Pk*k als factoren van
B_v moeten optreden. Tevens is het onmogelijk, dat de enkel-
voudige wortels daarbij dubbel geteld zouden worden, daar de
indices der factoren relatief priem zijn.

Opmerking verdient, dat P_v „niet uitsluitend" de primitieve
wortels van B_v bevat, maar ook nog andere b.v. de primitieve
van Bier pul, etc.

§5. Eigenschap XII. Het aantal primitieve wortels van
Bp = O voor ft —p* is:

— 1 (fi - 1)

22")........W(p*) = --^-- (p is een priemgetal).

Bewijs: We onderscheiden twee gevallen:
A. p — 2.

Is « ^ 3, dan kunnen we schrijven:

Ba* = —¹ . Qi*.

is de grootste factor van B₂«, die een volledige Z?-functie
vormt. Zij bevat geen enkelen primitieven wortel van B2«. Deze
zijn alle bevat in Bovendien kan (2a^a geen andere wortels
bevatten, daar deze dan tevens wortels van een B_A zouden zijn,
met A een deeler van 2" en <2*, d. w. z. A zou ook deeler van
2"~¹ moeten zijn, of B_A is factor van B^-k

Letten we nu op den graad van bovenstaande vergelijking,
dan is:

of W (₂.) = *—•(»-\') _ /—(/>-■)

^v \' 2 2

« ^ 3-

₂2-l (2 _ i)

Voor « = 2, is JF (2²) = i =-—-, dus de formule is

ook juist voor « = 2.

B. p ^ 3, maar is een priemgetal.

Voor «= 1, zijn alle wortels primitief, dus

Zij nu « ^ 2, dan is

Evenals bij p— 2, bevat <2,,« juist de primitieve wortels, dus

>^a -¹ — i

of =

Eigenschap XIII. Het aantal primitieve wortels van B„ = o,

als v = p_Q^u» p_x^u 1 , is

22») . . W(p₀"° . p_l"^l) = ^p₀*^o~¹\'/\'i*¹~¹ (P₀ — ^l)[f>i — 0-

Bewijs: Zij = I, dan is

QyP0 bevat de primitieve wortels van de /»-functies, die tot

2

index hebben p₀^a» en pf» p_{ = v. Alle andere wortels van B_v zijn
reeds begrepen in B_pa₀ -1. _Pi.

De vergelijking van den graad wordt nu:

[A£-4L=L ] = [A^-^A-I] _WM

of

Wlpo^.pi) = ^ \\Po*°-A — A"^0-1 -A — A"^0-1 • (A—(eig. XII)

We hebben toch, dat, als N en N\' van dezelfde pariteit zijn,
dat dan:

|\'N — ij _ j"^ — ij ₌ N—N\'
Is toch N= 2ii \\, N\' = 2 n\' i, dan is:

[^r^] ⁼ [T] ^{= n}\' ^Evenzo° [^ir¹] ^{= n}\'> ^dus

Is N — 2 n en N\' = 2 dan is:

= ^J] = n-i. Evenzoo [^p"*¹] = n\'-\\, dus

Nu zijn Pq\'Px en P₀^a°~^lp_x alleen dan niet van dezelfde pa-
riteit, als pQ — 2 en = i.

Hier is N — 2n , N\' = 2 n\' I

_dus [^Zü] _ p^Ll] — n — I —.=s i j — N\' — i J.

In dit speciale geval moet dus \'t tweede lid met ¹/_a vermin-
derd worden. Dit kan men nu \'t eenvoudigst zoo doen, door
voor den nu optredenden term JV(2) de formeele waarde te nemen,

2° (2_i) i

d. i. W{2) = —- — - inplaats van de juiste waarde ÏV(2) =0.

Het gegeven bewijs geldt nu in elk geval.

Voorbeeld: IV (6) = — = i

de tweede en laatste wortel behoort bij B._y

2 . = 2.

Qyfo bevat de primitieve wortels van B_p*₀, B_v»_op^ en B_p*op*, dus

₌po"-¹ ƒ ,²-Ij  W(fio"°-P>*)

of volgens \'t voorgaande gedeelte:

\\ •Pt² - A"° -¹ • A² - A"° -¹ • (A-1)} - • A)=• A²)

dus Wft,*. A²) = \\pu°~^l -P\\ (Po ~ 0 (A - I).

Nemen we aan, dat de juistheid der stelling bewezen is, voor
a_x = n, dan zal zij ook gelden voor x_t — n -f i, want

B_pu o -_pn 1 = B_p«o

Nu bevat <2>^?,° al de primitieve wortels der B\'s met indices
Po*⁰ > Po"° \'Px > Po^a" \'P\\² > ••• P-Pi\'¹ en •A" ¹•

dus

[A^A*\' ~ ij ₌ po!-¹ -A"- ij   ^w^.pS)

w(p«>.pr)

of A"\') = I {/„«.. A--A""^-1 -A"¹ — A^tfü_1 (A - I) i

-;iA,^ao-¹(A-i)(A-i)A^<-¹ = ^A₎^au-¹.A^a<l-¹(A-i)(A-i)-

Eigenschap XIV: Het aantal primitieve wortels van B_v — o,
als v = A^\'-A*¹ ■ A^aa • • • • . is

22) = I)(A - I)--.(A- I)

als <p (v) de functie van EULER aangeeft, indicator genoemd.

B e w ij s: Het bewijs is reeds geleverd voor k — o en i (eig.
XII en XIII).

Nemen wij nu k = 3 met k₁ = 1 en = 1, dus v = p₀*° . A . p_%.
Nu is: B_v = Bpf* ~¹. . ^ ö/⁰

waarbij de primitieve wortels bevat van .Z?^*», B_po«o._pi, B_pa^a° ,_n
en Bpfio. _pi. _pt, dus lettende op den graad:

j ₌ [A—^A-A-^    

W(p₀"°.p₂) W(Po*° -A -Pi)\'

of JFfo* -A. a) = ^A"^0-1 (A - O (A - *) (A - O-

Nemen we nu aan, dat de formule geldt voor v — p_b^a° .p**. p_%,
dan geldt zij ook voor v = A/*⁰-A"\' ¹ .p_v
We hebben weer:

bevat uitsluitend de primitieve wortels van:

B_p*° , B_pUo._Pi , , . . . Bpio _pa l

^Bvf° r, > ^Bp₀^Uo •/>, p₂ 1 ^Bv_n^u" ■ r\\²p, \'» • • • • ¹ • p,

dus, lettende op den graad, is:

zmp^.pr) 4-1 -a"-A) mpo^a°\'A)

n = 1 • »1 = 1

Berekening leert:

wip^.p^ \'.pt) = IHA-ÏMA-¹)-

Tevens is dus nu:

JF(A*° -A • A"²) = ^ A"^0-1 -A"^2-1 (A - i) (A — O (A - O-

Ten slotte nog het bewijs voor k — 3, «j = 2 en = 2.

^v = Po^a° - Pi* • Pi

bevat uitsluitend de primitieve factoren van:

Bpo^a° ■ p» B_pu*o ._P1._P3 B_po<* o. _pi². _Vl
Bpo^a°. pi Bpo*° ■ pi. Pt Bp»^u°. pi . px •
dus de graadvergelijking wordt:

2 2
s -p") mpo"° • a) 2 ^w(po*°-Px -Pè

«=1 n=l

mpo" -pi²) mpo-° ■px • A¹) w{p«° .p_x- .p₂²).

Berekening leert nu :

W(p0^a°-px²\'p2²) = \\ A"^0-1 \'p\\-A(A-i)(A-0(A —O-

Zoo voortredeneerende, kan het bewijs geleverd worden voor
hoogere exponenten en meerdere factoren.

§ 6. Gaan we nu de overige niet-primitieve wortels van B_v
nader bestudeeren. Onder hen zullen er misschien voorkomen,
die uitsluitend tot één i>\'-polynoom met kleineren index behooren.
Deze wortels kunnen we secundaire of wortels van de 2° orde
noemen.

In \'t algemeen gaan we uit van de volgende

Definitie: Onder de „orde" van een wortel van B_v — o
verstaat men het aantal i?-functies met een index, kleiner dan of
hoogstens gelijk aan v, waarvoor bedoelde wortel ook wortel is.

Een primitieve wortel van B_v — o heeft dus een orde gelijk
aan één.

Eigenschap XV. Is d een willekeurige deeler van v, dan

i/

bezit B_v = o IV (d) wortels van een orde

Bewijs: Elke wortel van B_v is tevens primitieve wortel voor

een polynoom Bj,, terwijl dan d een deeler van v moet zijn (v

zelf medegerekend als deeler). Omgekeerd is elke primitieve
wortel van B_d ook wortel van B_v. Beschouwen we nu alle pri-

mitieve wortels van elke B,i (d deeler van v), dan hebben we
juist alle wortels van B_v, ieder éénmaal geteld, in formule

23)..........2 W(d) = pLpl]

Ueclers v

waarbij natuurlijk JV(i) = W{2) = o genomen moet worden.

Verder is elke primitieve wortel van Bi tevens en uitsluitend
een wortel van een i5-polynoom met index: d , 2 d , 3d , ... of
v

-d — v, wanneer we ons bepalen tot indices ^ v.

d

v v

Hun aantal is m. a. w. er zijn W(d) wortels van een orde

d d

§ 7. Om een beter inzicht te verkrijgen in het onderling ver-
band der wortels der verschillende polynomen, zal ik hen in
teekening brengen \').

Zooals reeds bekend is, liggen alle wortels op de negatieve
reëele as. Ter verduidelijking, teeken ik nu meerdere X-assen
onder elkaar, zóódanig, dat de correspondeerende punten elk
hunner in één loodlijn op hun gemeenschappelijke richting komen
te liggen. Dit sluit in zich, dat de eenheidsmaat in alle overeen-
komstige punten dezelfde is. Zonder hiermede in strijd te komen,
kan ik verder de eenheidsmaat laten afnemen met \'t grooter
(absoluut genomen) worden van de abscis. Hierdoor wordt ver-
kregen, dat in de omgeving —waar de meeste wortels liggen,
de X-assen op grootere schaal worden voorgesteld. Een en ander
is analoog met eene afbeelding na eene transformatie, bv.

x\' 1\'

Verder gebruik ik de volgende notatie: — x/ is de k^r wortel
van B_v.

Als eerste wordt de absoluut kleinste genomen, die nadert tot
— ^en verder volgens de grootte ²). Steeds is k ^ ^ ¹ j.
Op de bovenste of eerste X-as stip ik nu uitsluitend de ligging

1) Zie uitslaande plaat achteraan.

2) Hier en in \'t vervolg wordt met de grootte steeds de absolute waarde bedoeld.

van al de eerste wortels aan, op de tweede X-as uitsluitend den
tweeden wortel van elk polynoom etc., in \'t kort op de k* X-as
wordt alleen de k^e wortel van elk polynoom aangegeven, zoo
deze bestaat. Schuift men de assen weer ineen, dan is men tot
eene gewone afbeelding terug.

Op eenzelfde X-as kunnen nu geen twee wortels samenvallen,
daar, volgens eig. II, de k^e wortel van B_v, bij \'t grooter worden
van v, maar bij constante k_T afneemt \'), in de teekening dus
naar rechts schuift.

De evengroote wortels, op verschillende assen, liggen op dezelfde
loodlijn.

Verder is in de teekening het negatieve teeken weggelaten,
evenals de bovenindex (rangorde). Deze toch stemt overeen met
den rang van den regel (X-as), waarop de wortel is geplaatst.

Onmiddellijk blijkt, dat op den k^en regel, alle getallen grooter
dan 2 k als benedenindex juist in rangorde éénmaal voorkomen.
Van af B_ik \\ toch bezitten alle polynomen een k^m wortel.

Eigenschap XVI: De wortelindices (aan den voet) van twee
gelijke wortels verhouden zich als de rangorde van die wortels,
in de bijbehoorende polynomen.

Bewijs: Gaan we uit van den p\'ⁿ wortel van B_v. Eenvoudig-
heidshalve nemen we vooreerst aan, dat deze wortel een primitieve
voor B_v is, d. w. z. in de teekening is x/ het hoofd van een kolom.

Alle wortels, die gelijk zijn aan —x\\f en dus in dezelfde kolom
voorkomen, zullen volgens de opmerking bij eig. V, uitsluitend
behooren tot polynomen met indices, die veelvouden van v zijn.
Kiezen we er één uit, bv. met index n v, dan moet bewezen
worden, dat de rangorde van den gelijken wortel van B_nv gelijk
is aan np.

Dit leidt tot het volgende vraagstuk:

Gegeven: B_v{—x?) — o

= o

X^V = X* .

v n v

Gevraagd: y.

Dit vraagstuk kan opgelost worden met behulp van het uit-
gebreide theorema van Sturm. (Vergelijk bv. Lobatto\'s Algebra
pg. 210).

De te onderzoeken functie X is nu B_nv, terwijl voor de hulp-
functies V\\ ... V_m-\\ , V_m , Vm i , V_n de polynomen
i>n v — 2 ) ^nv-4 • • - B_{m 2} , B_m , B_m_ ₂ ... B_s of Bi kunnen ge-
nomen worden.

Hiertoe moeten deze /?-functies aan de volgende vier voor-
waarden voldoen:

i°. Twee opeenvolgende functies B_m en B_m % worden niet nul
voor eenzelfde waarde van x.

De G.G.D van m en m 2 is i of 2, dus B_m en B_m 2 hebben
geen gemeenschappelijken factor, volgens eig. IX. (Vergel. 4⁰).

2°. Als voor een waarde van x de functie B_m nul wordt, ver-
krijgen de voorafgaande en de volgende functies B_m 2 en i?_m_2
tegengestelde teekens.

Zij die waarde —x,„. Volgens form. (7) is:

Bp.B_a p _r = Bfi y.Bt p (-if-KxKBy.B*.

Nemen we nu (3 = 2 , y = 2 , a = m — 2, dan is:

B». B_m 2 = Bi . B_m — X". B_m _ n of voor = — x_m.

24 ).......B_m 2 (— x_m) = — x^%m B_m _ ₂ (— x_m)

waaruit blijkt, dat B_m_ ₂ en B_m 2 in teeken verschillen voor

x — x_m.

3°. De laatste functie B_l (voor n v oneven) of B.₂ (voor n v
even) behoudt voor elke waarde van ;t\' hetzelfde teeken, want
B_x = i = B_v

4°. Als —x_nv een wortel van de vergelijking B_nv(x) = o is,
vormen de teekens van B_nv en B_nv_2 voor x = — x_nv—5 eene
variatie, en voor x — — x_n„ ^ eene permanentie, waarbij S een
zeer kleine positieve grootheid voorstelt.

Analoog aan eig. II kan, met behulp der formule

25 ).....B_{u i}(x) = ( 1 2 x) B_x o (x) — X" B_a (x)

bewezen worden, dat de wortels van elke twee opeenvolgende
^-polynomen eener rij, hetzij met even, hetzij met oneven index,

Uit de teekening blijkt ten duidelijkste, dat aan deze 4^C voor-
waarde voldaan wordt bij eiken wortel van B_nv.

De beschouwde reeks polynomen zijn dus Sturmsche functies,
waarmee we nu \'t aantal wortels van B_nv = o gelegen tusschen
o en — x/ — § kunnen bepalen.

Voor x = o vertoont de rij niets dan permanenties, want
B_v (o) = i.

Het verschil in aantal variaties bij de substituties x = — x/ — 5
en x = o is dus juist het aantal variaties in de rij na de sub-
stitie x — — x/ —

Dit aantal kan nu als volgt bepaald worden.

Volgens form. (7) is:

fy.^:B_{lt (i y}**£_H._r.B_{M ll} (- if-^lxP.B_y.B_m.

Nemen we x = q v , y — 2 , dan is:

Bp.B_lv p _i = B_$ s.B_tv p (- iy-Kxfi.B,,.

Nu is —x/ een wortel voor elke vergelijking B_qv — o, dus
B_ty{—x_vp — S) neemt, met af tot elke willekeurige kleine
waarde, zoodat bij benadering

B_qv p * _ Bp o

B_qv ft Bp

Moge nu j a j -f 1 of — 1 beteekenen, naarmate a positief of
negatief is, dan is

< /? . - . „ ) f ;

d. w. z. vertoonen twee polynomen en ^ ₂ een variatie voor
een benaderde .ar-waarde, die een wortel is van de vergelijking
B_v — o, dan is dit ook het geval met de functies B_qv p en

Bjy 13 2 •

Een tweede belangrijke betrekking, wat het teeken betreft,
vindt men als volgt:

Bp.B. p y = B_{fi y}.B_{a p} {— i f-ixe.Bt.By.
voor x — v — y , (3 = y;

By.B_{v 7}r= B_iy . B, (— i )y -¹ .ry B_v _ _y . Z?_y.
dus voor a\' = — ;r_v £ < o , is

\\ By . Bv y \\ = - { B_v _ y . By }

of

27).....(* = —A-V*±5).

In het volgende is het argument van de 5-functies steeds
— x/ —

We kunnen nu de volgende gevallen onderscheiden:

A. v is even, gelijk aan 2 y..

Men kan de reeks der ^-functies B_ï , Z?₄ ... B_2v. als volgt in
«-groepen vereenigen.

Eenvoudigheidshalve schrijf ik alleen den index:

o, .2 , 4 >■•• ² <1 > 2g 2,...,2p — 2
2^,2^ 2,2_iü 4,...,2_J« 2^,2^-f2^ 2,...,4^ — 2,4//.
4fA , 4^ 2, 4^ 4, ... 2q , 4^4 2^ 2,... ,6(1 — 2, 6|M.

. . . , 2q , 2py, 2q 2

2 (tl — i) [A , . . . ... ,211 y. — 2 ,211 [A.

Gemakkelijk is nu aan te toonen, dat de variaties (en dus ook
de permanenties) kolomsgewijze gerangschikt zijn, d.w.z. vertoonen
B_ig en B._{2q S} eene variatie, dan is dit ook \'t geval met elk paar

Bip^ ïq en B_2j>h 2^ 2-

slechts q=p en /3 = 2 q, dan komt:

| -#3^ 2? ° | _ | Bj y ₂ \\

{ Bi_piJL «_q ) ( Bo_q )

Volledigheidshalve is de index o er bij geplaatst, waarbij we
dan B₀ , als een permanentie hebben te beschouwen, opdat
het aantal te berekenen variaties hetzelfde blijve. Dit is trouwens
in overeenstemming met het feit, dat de geheele eerste kolom
met de tweede slechts permanenties vertoont.
Volgens de redeneering, gevolgd onder 4⁰, is

| B_iq[l (— x_v — S) (__^

( Bz _q m _ ₂ (— x_v — 5) )

en volgens 2° is: | ²

\' £% q p —2

dus, deelende is: | ² I = 1.

\' Biq ft 1

Het tellen van het aantal variaties in de rij B_% , £_i , ... B_nv
voor v — 2 p is hiermee teruggebracht tot \'t tellen van dit aantal
tusschen de functies:

B._x , />₄ , . . . . Bo

Het totale aantal variaties is dan n maal zoo groot.
Bepalen we nu \'t aantal variaties in de eerste groep:

. \\B_V._S |----\\B₀1 . \\B_t\\ . I^j.

Al dadelijk is | ~— { = — r, want van B_y liggen er p wortels

\' Uy — 2 )

rechts van —x/ — 5 en slechts p—1 van Z?_v-2, in verband
met j B_v (o) j = i = j By.₂ (o) {.

Deze eerste variatie heeft ons tevens gebracht op den p — i^r"
regel van de figuur, want de p — i^e wortel van />_v_ ₂ kwam ter
sprake, en met deze rangorde gaan we verder. Ter linkerzijde
van den wortel —X\\Z.\\ ligt de p— i\' wortel van By._it hetzij

rechts van de lijn — x/ — S, hetzij links. In beide gevallen ligt
echter de p^e wortel van links van —x/ — want elke

wortel wordt grooter (absoluut gemeten) als de index van \'t
polynoom kleiner wordt.

Nemen we nu aan, dat —^xVvZ.\\ rechts van — xf— S ligt, dan
liggen er, tusschen o en —x/— p—i wortels van

evenals van 2, dus j^" ~ ⁴

\\B_V — 2

Zoo zal eveneens j ^"— = 1, als — ^xlZl rechts van de
( b_v )

lijn — xƒ — 1 gelegen is.

Is nu B_v_2« de laatste B-functie met even index, waarvan de

(p— i)" wortel rechts van de lijn —xj¹ ■—£ ligt, dan zullen .£.,-2»

en B_v_ 2j—2 de tweede variatie vertoonen.

Het aantal wortels van Z>\'_v_ tusschen o en —xj¹ — S is nog

p— 1, maar dat van B_v__2s slechts p — 2, maar ook niet minder.

Dit laatste volgt uit \'t feit, dat de p — 2\' wortel van j5_v__2j_2

rechts van den p— i^en wortel van i>\\_ _2j ligt, dus a fortiori van

de lijn — xj> — S, dus

( Bj y - O , (Xy - S) ) _ _ | Bjy-ïs-Z (- Xy - S) I

(Bzy-2s(o) ) I Büy-ss-i (O) I\'

Verder is weer {^2v-2»(o)} = j B» _v _ ₃,_₂ (o)}

of

( I _ _

\' B^y — is >

Vanzelf zijn we met deze nieuwe variatie een regel hooger
gekomen, want de p — 2\' wortel kwam ter sprake. Ligt ook de
p — 2\' wortel van 2«-4 nog rechts van —x/ — dan is
| B% _v_o_s_4 j = | v_2 * }• Zij B) v _ 2»— 2 / de laatste functie, waar-
voor de p — 2^e wortel ter rechterzijde gelegen is, dan is

} B^v _ 2i_ 2 t— 2 | =- | Ba v — 2» — 2*}

terwijl de p — 3" wortel van ^-2»-2/-3 rechts van —x/—£
ligt. Tevens zijn we genaderd tot de wortels met een rangorde
p — 3, die alle gelegen zijn op de naastvolgende X-as.

Het is duidelijk, dat op eiken regel één variatie komt, dit zijn
totaal p variaties, zoodat het totale aantal variaties in de rij
B.₂. B_a____B_nv 11p bedraagt.

De waarde van y in dit geval is dus np.

N.B. In de figuur is deze redeneering gemakkelijk te volgen,
door te nemen: v = 42 . p— 13.

Opmerking: Het bewijs blijft gelden, ook al ligt de scheidings-
lijn — x_v^p — 5 links van de vertikaal —x₃, mits men slechts in
plaats van de uitdrukking „links van de lijn — xf\' — leze
„niet rechts van de lijn —x/ — S".

B. v is oneven, gelijk aan 20 1.
i°. n is even.

We kunnen nu de B functies als volgt groepeeren:

O,  2, ..20 — 2 ,20,.....,40,2(20 l)

2(20 l),2(20 l) 2..2(2 0 l) 20-2,.,4(2 0 j)-2,4(20 l)
4(2^ 1), 4(2^ l) 2,.. ..........

(»—2) (2 0 1) , . . . . . . . , »(20 1)

Evenals onder A, blijken de variaties kolomsgewijze gerang-
schikt te zijn, de eerste en tweede kolom vertoonen niets dan
permanenties, de laatste en voorlaatste niets dan variaties. We
11

hebben dus - groepen, met elk een aantal variaties, dat overeen-
komt met dat van de rij:

O,2,4,.,20, [2 0 1 (O)] ,2 0 2,..40 — 2,4 0,2 (2 0 l) (O).

De index 20 1 is er bij geplaatst, om \'t midden van de rij
aan te geven. De nul beteekent, dat de bijbehoorende B functie
voor — x/ — § nagenoeg nul wordt.

Volgens form. (27) zijn nu de teekens in deze rij symmetrisch
tegengesteld, of \'t aantal variaties in de eerste helft is gelijk aan
dat in de tweede helft.

Het totale aantal variaties is dus n maal zoo groot als dat in
de rij: _{F 2}, B₂ K , Bi ^ _ _s,... B^ , B₂.

Ook hier vindt men p variaties, dus y = np.
2°. 11 is oneven.

Nu is de groepeering als volgt:

i , 3,..2*6 — 1 ,2*6 1, 2*6 3,..,2(2*6 0—1 ,2(2*6 0

2(2/B6 i) i ,2(2*6 0 3»» ,3(2^ 0, ..,4(2^ 0—1,4(2^ 0
4(2^ 0 1,4(2^ 0 3.» ,5(2>- 0» ..,6(2*6 1)— i ,6(2*6 1)

(« — 0(2^ 0 1,........ ,«(2*6 0-

Ook hier zijn de variaties kolomsgewijze gerangschikt en is
elke volledige regel symmetrisch tegengesteld in teeken. Verder
is | j5_2fi i | = } B^ft 4-31, want -#2^ 1 en B_2jjL 3 hebben hetzelfde
aantal wortels rechts van de lijn — x/ — 5 liggen.

Men komt dus tot 11 groepen, die alle hetzelfde aantal variaties
bezitten als de rij:

Bz ft 1 , Bi n — 1 , . . . . Bi . B1.
Dit aantal is weer p, dus ook hier is y — np.

Opmerking. Het bewijs zou eenvoudiger geweest zijn, indien
de polynomen niet in groepen waren gerangschikt. Hiermee zou
echter de groote symmetrie, die volgens het gegeven bewijs
bestaat, niet te voorschijn zijn getreden.

Gemakkelijk kan de gemaakte beperking, n.m.1. dat één der
twee gelijke wortels het hoofd van een kolom is, opgeheven
worden.

Mogen de te beschouwen wortels zijn:

— x" en — x",\'

nv bv

waarbij y en 2 de onbekende rangorde aangeven.
Resumeerende, moet dan bewezen worden, dat

y : 2 = 11 v : 11\' v

als — = — <v

Bewijs: Zij —x" de wortel, die het hoofd vormt van de

kolom, waarin beide wortels voorkomen. Volgens een reeds meer-
malen gebruikte eigenschap is dan n v en n\' v een veelvoud van
of daar we n en n\' als relatief priem mogen beschouwen, is
v een veelvoud van y.

Zij v = k [t (k — i of 2 of 3____)

Volgens de zooeven bewezen stelling, hebben we dan de even-
redigheid :

/i : nv = p : y

^v ,

of y = 11 p . — = ii. p . k.

(i

Eveneens:

(x : n\' v =p : z
of z = 1l\' .p . k

dus y : z = 11 : n\' = nv : n\' v. h. t. b. w.

Opmerking: Steeds is y>2.

Definitie: Onder den rang van een kolom verstaat men de
rangorde van den regel, waarop het hoofd van de kolom voor-
komt, d. w. z. de rangorde van dien wortel in het bijbehoorend
polynoom.

Onmiddellijk volgt uit de voorgaande eigenschap:

Eigenschap XVII. De rangorde van de kolom van een
wortel van den p"¹ regel is steeds een deeler van p (i en p mede-
gerekend).

Eigenschap XVIII. Een primitieve wortel is steeds het
hoofd van een kolom. De rangorde van wortel en kolom is
dezelfde.

§ 8. De ontbinding in factoren.

Beginnen we met de polynomen />_2v.

Volgens form. (15) is

£_2v = £_v\\£_{v l} x B_v_x }.

Volgens (5) is de eerste factor

Voor den tweeden factor vindt men

7VC7V C7V -

graad [£] j.

Gaan we nu over tot het algemeene geval
B_n — By.. v = Bp . P .

dan is:

(N ^ (N 4\\ ₃

Na vermenigvuldiging en gelijkstelling der coëff. van gelijk-
namige machten van .r, volgen de betrekkingen:

a_{ =N—/* = a uit ^ = ^ ²)
5\'

4V 3
« /a—6^N
5\\ 4

Deze formules zijn zeker juist, zoolang de coëficient a₀ — i
nog bij de berekening gebruikt wordt.

Dit houdt echter op, zoodra de macht van x gelijk aan

pilIT- J 4. i wordt Dank zij den vorm der coëfficiënten kunnen

we By, formeel met de volgende termen verlengen:

-IMM imk

zoodat we de coëfficiënten tot en met «^-ï kunnen berekenen:
«j = a = iV"— (Jt,

— li\'-*)

30)

a fa —

Deze formules zijn toereikend in \'t geval N — 2 p.

Ten einde de volgende coëfficiënten a te bepalen,
kunnen we B^ met nog meerdere termen verlengen, van over-
eenkomstigen bouw. Deze termen bezitten niet meer een nulfactor,

waardoor behalve de voortzetting ^ ^ \'jin^ een tweede

correctie-term optreedt.
Berekening leert:

* - ? CZT\')*-*

3.) i—ct¹)»"—

(t 2 / ¹ \' 3\\ 2 J

1 2(*—l\\2(<_> — 2) ^v i»— i \\£4 — 2/

Vervolgens komt er:

a (a-2ft-\\\\ , . b (b-ft-i\\ . ,₀

ö fa-2u-2\\ , . , £ (b-ft-2\\ . ,„ c

etc. etc.,
terwijl a = N—

£ = — 2 ft = N — $ ft
c =b — 2ft = N— 5 ft
d—c — 2 ft = N —7 ft
etc.

Voorbeelden:

J5₁₂= i iox 36^ 56*³ 35 =

i° ft = 6. v =2. N — 12. a = 6.

( j ( 6 6 6—3 ₂ , 6 (6—4) (6—5) ,)

-^12 = j¹ 4 3 * j \\¹ ~_l* 2\'i^X 3 i 2 |

2° ^3.4 i» = 3- v = 4. « = 9. ^ = 3-

• |~9 (9—5) (9—6) (9—7) 3~1 ₄j ₌
l4\' 1.2.3 ij )

(1 x) (1 9 x 27 X² 29 x³ 6 x⁴).

3° /i₂._c [t — 2. v = 6. <3: =10. b = 6. c = 2.

10 9.8 „ 8.7.6 „ 7.6."5.4. . 6.?.4. 2 *
¹² i 1.2 1.2.3 1.2.3.4 1.2.3.4.5

( 10 (10 10—3 \\ , , /io(io—4) (10—5) , 6\\ „

/io (10-5) (10-6) (10-7) 6 (6-3) \\ _xi
v 4 i.2.3 21 /
/10 (10-6) (10-7) (10-8) (10-9) , 6 (6-4) (6-5) 2\\ j
\\ c 1.2.3.4 31.2 1/ r

§ 9- De behandelde polynomen staan in nauw verband met
de transcendente functies sin n cp en cos n Cp.

Bekend is:

!(K — 2\\

2"-¹ COS"^-1 (p — ^ ^ J (2 COS Cp)"-³
(" ^ ³) (^{2 COS} — (" ~~ ⁴) (2 COS <p)»~ 7 . . . . |

of

. sin 11 Cp _ / 11 — 2\\ i

2"-¹ sin Cp cos"-¹ cp ^{— 1} V i / (— 4 cos²Cp)

(ⁿ — 3\\ ¹ (ⁿ — 4^ ¹ ,

V 2 ) (— 4 cos² Cp)² v 3 ) (— 4 cos² Cp)³ \'" \'

= B_n (--) = B_n (x) met *

\\ 4 cos² cp; ^x \'

i

c?)7 4 cos² cp

Doorloopt * \'t wortel-interval — — tot — 00 , dan doorloopt Cp

4

b.v. de waarden van o tot *"/₂.

Met behulp van deze transcendente functies zijn sommige
eigenschappen zeer eenvoudig te bewijzen.
Nemen we, als voorbeeld eigenschap XVI:

De wortels van --^-—— zijn dezelfde als die van

2"-¹ sin cp cos"^-1 cp

sin 11 cp. Ze zijn: ticp — kr, k willekeurig geheel, dus Cp — —

11

We hadden aangenomen, dat o <cp<*l_v dus

Cpt — ^T met k = 1, 2, 3,... p\' ₂ *J.
De wortels van \'t polynoom B_n (x) zijn dan
— x_n^k, met x_n^l\'

4 cos² cp_k 4 cosi i _T\'

^r u

\'t getal k geeft dus de rangorde aan.

Zij nu van een ander polynoom B_n■ de k\'* wortel gelijk aan
— x_n^k, dan is

y k_ fik\'

•* n - \'^vn ,

dus ook cpi — Cpf

k k\'

Of — 7T = TT

n n

of k: k\' = n-.n\' h. t. b. w.

Evenzoo is

ii (ti_^ \\

COS n<P = 2\'"-^lCOS\'^l<P— - 2"-³COS^n_2<?) -f - ^ ^ J 2"^-6 cos"^-4^
— ~ ⁴) 2»-\'⁷ COS\'"-⁶ ^  ~ ⁵) ²"~^{9 COS}"~⁸ <P • • • •

cos ?i<p _ n i \\ⁿ(¹¹—3^ ¹ i

³⁴\' ⁰ 2"-^xCOS»"^ ^{— 1} 7\' (— 2²COS²(p) 2 \\ I /(— 2¹COS¹C?>)²

 _I__ .

3 V 2 / (— 2² COS² Cp)³^

Bn_v(x) I

voor x =

£„(*) ...... 2² cos² cp"

volgens formule (28).

§ 10. De polynomen laten zich ook schrijven, als een bij-
zonder geval van de hypergeometrische reeks.

Maken wij gebruik van de gewone notatie, dan is

jtlr fl v h-t i «^r ■ |

00

35) • • •

= 2 ^u"

0

« (« 1)... (« r — 1) /3 (ff 1)... (<3 r — 1)

(r r — 1)

I.

r. 7 (y i)

U_r — Ar z^r.

Onmiddellijk blijkt, dat

(i r) (y r) A_{r l} = {cc, r) (/3 4- r) A_r of ook
(1 r) (y r) u_{r x} = (« r) (0 r) u_r. z.

3 7

Nu definieeren wij:

qo

37) • • •( =

o

00

= 2«/

0

zijnde C_r={^ ^

en u_r\' = C_r

terwijl

380 ( (1 r)(v — r—i)C_r i=(v— 2r—i)(v——2)C_rofook

38)

38^ ( (1 r)(v — r— 1) u_{r l} = (v—2ir—i)(v—2r—2) u_rx.

Beide reeksen (35) en (37) moeten nu identiek zijn.
Reeds is u₀\' = u₀ — 1, zoodat het voldoende is x, |S, y en z
zóó te kiezen, dat (36 overgaat in (38^).

Deze laatste formule mag ook geschreven worden:

» )\' v— i H v— 2 )\'.

(l -C-O ^j "r l=--2~ ^r\\ I--ï~ ^r\\^Ur(—4^X)

. , . V — I _ V — 2

39) dus moet y = 1 — v , x —--, p —--- en

2 2

z — — 4 x zijn.

Hieruit volgt

40) ... . B_v(x) = F j^jp^ , \' ^{I— v} \' ~

De oneindig voortloopende reeks B_v(x) bestaat uit het poly-
noom B_y(x), eene lacune en een reeks:

• • (~^,)\'" C \'.)*\' ^, C ^s«)*\' ^, -^{ad inf}-

| | _j/ 2 — v )

evenals de functie F\\- , - , 1 — v , —\\x .

(22 )

Het polynoom B_v (x) is dus identiek met de eerste v termen van

i — v 2 — v

, i — v , 4 x

(22
Beschouwen we nog de reeks

4\')......=(-*)\'•!( „ /)(~\'>\' •

o

oo

Ook deze nieuwe reeks Y ^fp> h ⁼ ( ^, * *)(— O"

o ^{v V} P ^J

is eene hypergeometrische, want t^ — I, terwijl

[v —p— l)tp \\ = [—V — 2p— i)( v 2.p 2)xtf of

₄2) (i p){v 1 p) fp i—

Bij vergelijking met (36 b) moet

Xl\'

v 4- i - v 2
y == v 4- i , x —- , [5 =- en z = — 4 x zijn,

dus

» (V I v 2 |

S ^tv = F\\—— » —7- » " ¹ » — 4* .

zoodat

43) = , ^ , v i , -₄xl

„ ( I - V 2 -V

= F j —-— , —— > I — V > — 4^X
( 2 2

Bekend is, dat de differentiaalvergelijking voor F j x, (3, y,x\\ is:
44a) . . . x(i— x)y" j y — (x 13 i)x \\y\' — x (3y = o
met de beide particuliere oplossingen:
44^) . . . y_x—F\\ot, y, x\\

y_t = x^l~r. F\\x 4- 1 — y, (3 4- 1 — 7, 2 — y, x\\.
Na de substitutie x\\ — 4X vindt men, dat de differentiaalvergel.:
45a) . x (1 4-4x)y" I 7 ^ ^l)^x\\y\' 4<zpy — o

tot particuliere oplossingen heeft:
y_x=F \\x, (3, y, — A_tx\\

y2 = [—4x)^l~⁷F\\x i—y,(3 i—y,2 — y,—4x\\.

Nemen we nu « = --/3 = --7=1 — v (Vergel. (39)),

„li — v 2 — v

IT^-\' \' ^l~^v\' ~⁴\'^r

. _ [v I V -j- 2 j

^ = v i,

twee particuliere oplossingen van

46«) * (i--f 4x)y"— \\v — i 2 (2 v — 5) x\\y\' (v— 1) {v — 2)y = 0.

Volgens (43) is B„(x)=y₁ —y₂, dus ook het polynoom B_v (x)
is een particuliere oplossing van de differentiaalvergelijking (46a).

§ 11. Ten slotte kunnen we nog een kettingbreuk beschou-
wen, die door contractie ontstaat uit

_A7) n.m.1. ^ - j-LJ-j-iJ _ -jJ.^-i I]/", ₄/_r

De naderingsbreuken van deze kettingbreuk zijn identiek met
die van even rangorde bij (2).

(Voor de contractieformule vergelijke men P p. 201 (7)).
Gemakkelijk bewijst men b.v. analoog als bij formule (5), dat
de naderingstellers K_v (z) en noemers L_v (z) gelijk zijn aan:

48«) K_v(₂)=z>-I (^2v-²)Z>-* (^2V-³)Z*-* ..

en

48*) L_v(Z)=Z> (²\\ ^l)*-^l (^2V2 ²)z"-³ ..=Z>B,_v
Bepalen we de differentiaalvergelijking voor
L_v{z) = z^vB,_v iQ).

Volgens (46 a) is:

. d² B2 v 1 (x) ( , . j d Bi „ 1 (x)

dx\'¹ ( ) ^^r

Kiest men tot nieuwe onafhankelijk veranderlijke 2 ⁼⁼ ~> dan
wordt de differentiaalvergelijking:

z² (z 4) y" | 2 (j/ 1) z¹ -f 2 (4 v 4- i ) 5 | y\' 2 v (2 v — 1) y = o
met ƒ, = Bi v 1 QJ tot particuliere oplossing.
Substitueert men nog:

B_{3v 1}(^j=z-^vL_v (z)

^B2y 1Q) = (*)

dan krijgt men:

49).....* (* A)y" 2(z i)y\' — v(v i)y = o

met y_t = L_v (z) tot particuliere oplossing.

Ten einde overeenstemming te verkrijgen met de differentiaal-
vergelijking (440) van de hypergeometrische reeks, stellen wij
nog z — — 4 x. L_v(— 4 x) is dan een oplossing van

49\') ... x (1 —x)y" ±(i —4 x)y\' v(v i)y = o.

²

Bij vergelijking met (44«) vindt men, dat

y = \\> <* = — «\', (3 = v 1,

zoodat

£y (— 4x) — F — V, V 1, x\\

50) of L_v{e) = F\\ — v, v i,1—1.

• ( 24\'

De tweede particuliere oplossing van (49\') is volgens (44®):

,/- „ (i — 2v 34-2V 3
,,-Vx.PJ—5— 2 \' 2\' *

en dus voor (49)

y-i = l/=£ F\\ —³-, =4

^K 4(2 2 2 4 )

Een eigenaardig resultaat vindt men, als men een tweede
particuliere oplossing van:

49).....^z 4)y" 2(2 i) ƒ — V (v 1) ƒ = o

als volgt bepaalt.

Stel y = u L_v w, u en w zijn nog te bepalen functies van 2,
dan is y\' — u\' L_v w\'

y" = u 2 u\' u" L_v w".
Na substitutie komt er een differentiaalvergelijking, die ver-
eenvoudigd door de opmerking, dat Z» eene oplossing van (49)
is, wordt:

2 z (2 4) u\' L\'_v 4- L_v {z (z 4- 4) u" 4- 2 (z 4- 1) ti\' f
4- 2 (z 4- 4) w" 4- 2 (z 4- 1) w\' — v (v 4- 1) tv = o.
Kiezen we nu u zóó, dat de coëfficiënt van L_v nul wordt:
2(2 4-4) u" 4- 2 (2 4- 1) u\' = o

u"_ 2 (2 4- 1)_ 11 3 i

u\' 2(2 4-4) 2 2 224-4

lg«\' = -^lg*-flg(* 4) lgC
r t

door de constante 1 te nemen.

V_Z(2 4-4)³ Vz(2 4)³
Verder wordt

2 i

2 4 ~ 2

bij geschikte keuze van de integratieconstante.
De differentiaalvergelijking wordt nu:

2(2 4) w" 2 {2 4- — f(v4- 1) ze; 4- 2 1/ —-— L\'_v — o.

^r 24-4

Stelt men w— 1/ —-—t,
^v 24-4

dan moet

3 (s 4- 4) /" 4- 2 (2 4- 3) t\' — * (" 0 14- 2 L\'_v = O.

Deze vergelijking heeft tot particuliere oplossing t_{ — K_v, zoo-
als men gemakkelijk verifieert met behulp van de formules (48).

K_v (2).

Wij mogen dus voor w nemen

Als tweede particuliere oplossing van (49) heeft men nu:

y₂ = u L_v (2) w

-WV-

2 4

51) ... =

l_v{2) y

Het is merkwaardig, dat in deze particuliere oplossing onver-
wachts de waarde, —^""^l/"¹ ^ ^van k^ettiⁿg^^reu^ (47)

optreedt, die tot uitgangspunt diende. Dit is een eigenschap,
die ook in andere gevallen geldig is, b.v. bij de polynomen van
Legendre. Deze zijn de naderingsnoemers van de kettingbreuk:
» 1
d x 2I

.. (P._p.₃₅I.(I6))

Noemen we de naderingstellers en noemers weer K_v {2) cn
L_v(z) (= bolfunctie), dan is de differentiaalvergelijking voorZ,_v(^r):

(1 — 2ⁱ)y" — 2 2y\' n (n 1) y = o

met de tweede particuliere oplossing:

1  ( 2 i

HOOFDSTUK II.

§ i. In deze paragraaf wil ik in \'t kort eenige formules
afleiden.

Tot uitgangspunt dient een integraal van Stieltjes, een inte-
graal, die de volgende algemeene gedaante heeft:

. 00

54).........F W

— 00

waarbij \\p (x) een niet afnemende functie voorstelt, zoodanig, dat
de integralen

f CC

/ (-x)^k-^ldï(x) (/C= I, 2, 3,.....)

J— oo

alle bestaan \').

Bekend is, dat omgekeerd (x) tot op eene constante na be-
paald is door F(z), n.m.1.

55) • • ^ j ^ (4\' — o) ^ o) J — ^ j ^ — o) ^ 4- o) j =

^imjJi(~jF(z)d)j (Vergel. P. pg. 372).

Onder de geassocieerde kettingbreuk van F(z) verstaat men
een kettingbreuk van de gedaante:

1) \'t Geval, dat één of beide integraalgrcnzen eindig zijn, f ^ ^ , is hierin be-

Ja ^{s x}

grepen, doordat dan \\J> (.r) = \\p (6) voor x > b en <{/ (.r) = («) voor „t > a is.

1 _ 1 _ ^3 I _ kj 1 _

^b).......k 4 |* (i ""

die in haar convergentie-gebied gelijk is aan F(z).
Zij is steeds bestaanbaar en altijd is k_v > O.
Is ip (x) = (o) voor alle negatieve ^-waarden, dan bestaat ook
de correspondeerende kettingbreuk:

V I I I I I i I I 1-7

57.....uri \\A \\ri Tjr \'--> ^waarblJ

l l * i 3 * I 4

dit is dus een kettingbreuk van STIELTJES.

De geassocieerde kettingbreuk ontstaat door contractie uit de
correspondeerende, indien deze bestaat.

Het zijn de naderingsnoemers van de geassocieerde ketting-
breuk, waarmee we ons in dit hoofdstuk zullen bezighouden.
Zij worden voorgesteld door de notatie Lx (z), terwijl de tellers
door Kx (z) zullen worden aangegeven.
Volgens de algemeene theorie is:

58) Kx ! (*). U (*) - Kx (z) L),j_r\\(z) = k_lk_l...k\\ \\. (P. p. 378).

Deelt men door Lx (z). Lx 1 (z), en ontwikkelt vervolgens naar
afdalende machten van z, zoo is:

58O......= 

Lx i Lx Zi x 4-1

want Kx is van den graad A — 1, Lx van den graad

De formule (58\') leert, dat en ontwikkeld vol-

³ \' Lx 1 (*) Lx{z)

gens afdalende machten van z, met elkaar overeenstemmen tot
aan de macht „ƒ, .. Ontwikkelt men de functie F(z) in een

₂1X l

reeks, zoo zal deze met -=- overeenstemmen tot aan de macht

Lx

i K i

en dus met tot aan Uit (58\') volgt nu:

00

^J W-K* (z) ₌  i

¹

— 00

/ 00
- oo

ook schrijven:

ƒ cc /> 00

- 00 — 00
Hieruit volgen de formules:

/» 00

59). •

»/— 00
r oo

60) . . /(——x)d\\p(x) = o voor £ — o,i,..., & — i.

J— 00

/ CO
- 00

of ook

r oo

62) . . ƒ (— *) (— x) d (x) = o voor 0 A.

J—co

f 00

63) • • I (— x) d\\fj (x) — k_x ... 1.

J— 00

Dank zij deze beide laatste eigenschappen leenen deze functies
zich bijzonder tot de ontwikkeling eener reëele functie ¹).
Reeds HEINE ²) stelde zich het volgende
Minimumprobleem: Is f(x) een continue, reëele functie,
^ (x) een niet afnemende functie met oneindig vele punten,

1  De ontwikkeling eener analytische functie is behandeld door Pincherle. Atti
Acc. dei Lincei, IV, 5, 1889; Annali di Matematica 1884; Acta Mathematica 16.

2  Heine. E. Handbuch der Kugelfunktionen. 2 Aufl. 1878—1881.

waarin ^ (x) toeneemt, zoo wordt een polynoom P„ (x) van ten
hoogste u^en graad gevraagd, waarvoor de integraal
r oo

J_n = I \\/(x) — P_n (x) }² d\\p (x) minimum is.
J— 00

De oplossing is:

r /__x) f ^cc

6₄) . • • Pn (X) = 2 \' > / f{u) L_v (- H)d-\\> (tl)

waarin L_v de v^e naderingsnoemer voorstelt van de kettingbreuk

ƒ 00

^eene formule, die door O. BLUMENTHAL\')

-00

als volgt, herleid is.

/» 00

Allereerst is P_H(x) = ( | f («)<t*(«)•

•J — ca

Volgens de recurrente betrekking is:
L_v 1 (— x) = (—x l_v ]) L_v (— x) — £_v iL_v-i (— x)
L., 1 (— u) = (— u /_v 1) L_v (— ti) — k_v \\ _ ] (— 7/)
zijnde Z₀ (2) = 1 en L_\\(z) — O.

Vermenigvuldigt men de eerste formule met L_v(—u), de tweede
met Z_v (— x), en trekt ze van elkaar af, zoo komt:

L_v 1 (— x) L_v (— u) — L_v 1 (— ti) L_v (— x) —
~(u—x)L_v (—x) L_v (— u) k_v 1 \\L_V (—x) L_v-1 (— u) — L_v (— u) L_v _ 1 (—x)\\.

Na deeling door k_x k_t... k_v 1 en sommatie van v — o tot
verkrijgt men:

L_n x (— x) L_n (— u) — L_n 1 (— ti) L_n (— x)
■ • ■ 1

Z_v(— x)L_v(— u)

y=0 1 2 ... a^V 1

Hierdoor gaat (64) over in: .

•>-{- co

65) /».M-ttt-VTT //(")\'■^l^iNX.M^

^"2 • • ^i» 1 /

r co

of P„ (*) = ƒ /(») Jg„ (« («),

00

zijnde &,(«•*) - 7T~a—-L_n \\{—x)L_n(-—«)—/,„ 4.1(~~u)L_n(—x)

1 2 * * w 4" 1 ^ —— ^

eene symmetrische functie van u en x.

Het ligt voor de hand te vermoeden, dat, aangezien het

minimum van J„ met grootere «-waarden blijkbaar afneemt,

lim P_n(x)=f(x).

n = 00

In het volgende zal ik nu trachten te bewijzen, dat elke functie,
die voldoet aan de voorwaarden

van DiRlCHLET, eene ontwikke-
ling in de gedaante

00

66)......ƒ (x) = 2 gv • L_y (— x) toelaat, als

00

k_x ... k_v 1 g₉. = ƒ ƒ (u) L_v (— 11) d (ti).
J—i

■ 00

§ 2. Ik zal twee gevallen onderscheiden, nml.

ƒ 00

- ^ heeft werkelijk eindige

z x

— 00

grenzen, b.v.

i ii /---77 (V\'L-¹ j i I i

-2 2!/ \' ⁴/.-J sife^^p t-p;

met L_v (— 2² cos² $) = (— 1)* —il^il^ (Vergel. Hoofdstuk I,

§11).

¹ __ f ¹ . ₌ __Li__Li__li

Vz*— ï J nVi—x* \' z * \\z \\2 z \\2 e \\2 z\'"
— 1

met L_v (cos <p) = cos v cp. (Fourier-ontwikkeling).

. 1 £
dx 2| 2

5

— 1

met L_v (z), die niets anders zijn dan de bolfuncties van Legendre.
(Vergel. Hoofdstuk I, § ii).

ƒ 00

^^ ^ bezit ook werkelijk een oneindige grens,
z x

b.v. de uitgebreide kettingbreuk van Laguerre (x — i)

00

l.X | 2.(« l)| 3 .(« 2)1

dx-

\'I z x \\z x 2 \\z x 4 | z x 6"

met Z» (z, x), die voor «=i de polynomen van Abel leveren.
In nauw verband hiermede staat de kettingbreuk:

^v \' z z z

met N_y (z , x), die voor x — \'/₂ de polynomen van Hermite geven,
nml. N„ (z, ^lj_i) = .

§ 3. Geval A: De integraal bezit eindige grenzen: I

z x\'

Wij zagen reeds, dat de forineele ontwikkeling van een functie
f{x) was:

f(x) = %gvL_v (— x)

k_x k₂ . . . ky 1 gy = ƒ ƒ (U) Ly (— U) d </> (u)

terwijl de eerste 11 1 termen van de reeks geschreven kunnen
worden als:

n rh

6s) . . . P_n (x) = %g_vL_v(-x) = /(«) £„ (« . *) ^ (»),

v = o Ja

zijnde £„(«.*) = / \' V . ^(-x)L_n(-u)-L_{n l}[-u)L_n(-x)^

k_xk₁..k_n \\ U— X

Er moet dus bewezen worden, dat lim P_n (x) = f(x).

n = 00

Voor f(x) = x"¹, m een geheel positief getal, is het bewijs
eenvoudig. Volgens form. (60) is elke g_v voor v > m nul, zoodat
de ontwikkeling eindig is, en voor elke ^--waarde gelijk is aan x^m.

Onmiddellijk volgt hieruit, dat ook elk polynoom van „eindigen"
graad volgens L_v(—x) functies ontwikkeld kan worden.

Gaan we nu over tot het geval f(x) — smkx (k eindig). Deze
functie kan in een machtreeks ontwikkeld worden, die een on-
eindig grooten convergentiecirkel bezit en als machtreeks ook
in dat gebied uniform convergent is, dus

sin k x — Sn (.x) -f R_n (x) ,

kx (kxf (kxf (kxf

ZIJ nde (x) = ---- .... ±

een polynoom van eindigen graad, terwijl N zoo gekozen kan
worden dat, zoo £ een willekeurig kleine positieve waarde voor-
stelt, voor elke eindige A\'-waarde geldt | Rn(x) | <f.
Bij substitutie wordt

f⁶

Pa (x) — I sin k u . (u . x) dip u —
f S_N (u) £„ (u. x) d -p (u) f (u) &_n (u . x) d $ («).

Ja Ja

De eerste term is gelijk aan 5jv(^) = sin kx — Rn(x), terwijl
de limietwaarde van den restterm nul is.
Dit laatste kan als volgt bewezen worden.

\' . f

De integraal lim I | (u . x) \\ d \\p (x) heeft eene positieve

waarde, hetzij eindig, hetzij oneindig.

In het eerste geval, is het zonder meer duidelijk dat de rest-
term, dank zij de ongelijkheid | R#(x) | <f, tot nul nadert.
Ook in het tweede geval, is de restterm van dezelfde orde als s.

4

Dit vindt zijne verklaring in het feit, dat de negatieve waarden
van (u . x) de positieve opheffen.

Beschouwen we de functie £„ (u. x) eens wat nauwkeuriger.

q , v __I L_n \\{—x) L_n (— u) — L_n 1 (— u) L_n (— x)

£>n • X) - - r- . : •

k_lk₁... k_n \\ tl-*

De hoofdfactor is: L,_l \\ (— x) L_n (— u) — L„ (— 11) L_n (— x)
of daar * constant gedacht wordt:

<p (— ti) — h L_n(— ti) — k L_n i (— u).
De functie <p bezit een wortel, tusschen elke twee opeenvol-
gende wortels van L„ (— u), zooals blijkt uit de beschouwing
der grafische voorstelling der L_n polynomen, welke berust op
de algemeene eigenschap, dat de wortels van elk paar polynomen
L_n(—ti) en L_n i (—u) afwisselend gelegen zijn.

L_n 1 (— u) h

A \'en C zijn twee opeenvolgende wortels van L_n, B de tusschen-
liggende wortel van L_n \\. Men ziet, vanaf A neemt de verhou-
ding -f~— af van O tot — 00, om vervolgens van 00 weer te
verminderen tot O in C. Van A tot C is dus elke reëele waarde

éénmaal gepasseerd, of ^ ^U\\ is eens gelijk aan — geweest,

—«) >^l

d. w. z. er ligt een nul tusschen elke twee opeenvolgende wortels
van L_n (— ti).

De functie <p_n (— 11) bezit dus n wortels, die evenals de wortels
van Ln (— ti), voor 11 — 00 over het integratieinterval verdeeld
liggen.

De factor - neemt slechts den wortel ti = x weg, zoodat

u — x

ook S„(ti.x) een golflijn is, met onbepaald afnemende golflengte
in elk punt van het integratieinterval.

Gaan we over tot de waardebepaling van den restterm
rs

I R_n {u) &_a (ti . x) dty (ti), zijnde | R_N(u) \\ < s.

Allereerst echter deze beide opmerkingen:
i°. x wordt willekeurig in het interval (a, b) aangenomen,
doch is dan gedurende de geheele redeneering constant. Hierdoor
mag £„ (u . x) als eene functie met slechts één veranderlijke be-
schouwd worden. De voorwaarde, dat x in het integratieinterval
ligt, is in overeenstemming met de vraag naar de waarde van
de reeks in dat gebied.

2°. n is willekeurig groot, doch steeds eindig.
Nu zagen we reeds aan het begin van deze paragraaf, dat de
ontwikkeling van een polynoom wegens het eindig aantal termen,
convergeert, zoodat

ⁱp = (") ^S" (^u (") = P (*)•

voor elk polynoom p (u) van een graad kleiner dan tl.
In het bijzonder is voor p (ti) = i.

f \'

/, = ƒ S„ (tl .X)dlp (tl) = I.

Bestudeeren we deze integraal eens wat nader.

In overeenstemming met het reeds besproken geval, nml.
f»

lim ƒ | £„ (ti . x)\\ d ip (ti) is eindig, waar onmiddellijk bleek,
"=»Ja

dat de restterm van dezelfde grootte orde is als s, willen we
trachten de integraal 7, te splitsen in een willekeurig groot

aantal integralen van de gedaante J^ £_(l (u . x) d \\Jj («), terwijl de

integraalsom van de absolute waarden van al deze integralen eindig
blijft. Elk interval (k, l) kan willekeurig klein gemaakt worden,
zoodat met elke gewenschte nauwkeurigheid R (u) in elk interval
constant genomen mag worden.

Hieruit volgt dan:

| ƒ R (u) £„ (u . x) dip (u) | = | ^ («) (« • *) («)!

<^f Si

< 5 X een eindige waarde < >j.

Boven bedoelde intervallen worden nu als volgt gevonden.
Het interval (a, b) kan gesplitst worden in [i eindige inter-
vallen (pi, pi \\) en in v eindige intervallen (q_t, qi \\). Deze
intervallen zijn zóó bepaald, dat in elk interval (pi, pi \\) elke
amplitude van £„ (u . x), rvat n ook is, eindig is, dus absoluut
gemeten, kleiner dan eene constante A. In elk interval (qt, qk \\)
daarentegen neemt minstens één amplitude met n toe, elke vaste
grens overschrijdend.
Hieruit volgt:

fl n [Pi 1 v rü i

/, = I &„ (u .x) dip (u) = 2 Sn (u .x) dip (u) S / S» (u . X) di> (li).
Ja 1 Jp{ 1 Jq-_t

De eerste som is eindig, want

• IX rPi 1 (i fPi >

12 / s» («. x) dip («) | < 2 / I• *) | ^ («) <

1 Jpj 1 ./Pi

(i r Pi 1

^ S / d^(u)<Ak_v

Volgens het uitgangspunt in § i toch is ip («) eene niet af-
nemende functie, zoodat in het integratiegebied dip(u)> o.

f* rPi 1 ri

De factor £ I dip (u) is dus kleiner dan I dip (u) en deze
1 Jpi Ja

integraal is gelijk aan k_x volgens formule (63) voor * = o.

Aangezien /, zelf eindig is (nml. gelijk aan i), zoo moet ook

Het totaal van deze v intervallen wordt nu onderverdeeld in
m intervallen, (r_;, ri i).

Het getal m is veranderlijk met «, en wel evenredig met
Vn (b.v. 7/z = [K72]). De deelpunten r_x voldoen aan de voor-
waarde, dat elk interval willekeurig klein gemaakt kan worden,
door 11 en dus ook m maar groot genoeg te nemen. Aan deze
voorwaarde kan steeds voldaan worden, daar het interval (a, b)
eindig is.

Op blz. 50 en 51 is reeds aangetoond, dat (u . x) een
golflijn is, met n — 1 wortels. Deze liggen over de m intervallen
verspreid, zoodat er meerdere intervallen moeten zijn, die onbe-
paald veel wortels bevatten. (Bij gelijkmatige verdeeling bevat
elk interval er ongeveer [VV], als 111 = [Vu]).

De eindige integraal // valt dus nu als volgt uiteen:

We zagen reeds, dat d ip (u) steeds positief is, zoodat we de
eerste middelwaardestelling \') mogen toepassen:

waarin B_r. de waarde van (u . x) voor een waarde van u in-
liggende tusschen r; en r_i i beteekent.

Bij elke m kunnen we de termen verdeelen in twee groepen, nml.
groep I bevat alle termen, waarvoor | B_r. I ^ C,
groep II bevat alle termen, waarvoor | B_r. \\ > C,
waarbij C een aangenomen positieve constante is.

1) Vergel.: bv. Goursat. Cours d\'Analyse Math. I p. 181. 2de druk.

De integraal // valt nu uiteen in twee reeksen:

r^ri x r\'i i

// = 2 I («• *) («) 2 ^s" («(«)

Gr. I Jr_{ Gr. II Jij

waarin de Si de intervallen van groep II begrenzen.

V = 2 Rn f («) 2 [ W («)

I .\'r; II Jij

zijnde | i?_r; | ^ C en | i?_s. j > C.

De reeks, behoorende bij groep I heeft een eindige waarde, want

|2#ï f^(u)<C 2 f U («) < K C

1 Jr_i i \' J_ri I /r_{

een eindige waarde, die onafhankelijk is van n.

Ook de waarde van //, in zijn geheel, was eindig, en de
bovenste grenswaarde, nml. i k_{ A onafhankelijk van n, zoo-

rH i

dat ook | 2 I (u) | een eindige bovenste grenswaarde

11 \' Jsi

bezit, die onveranderlijk is, hoe groot n ook wordt.

Gaan we nu over tot de beschouwing van de meer alge-
meene integraal

⁼ i/ ^ ^&H ^ ^ ^{= P}
We \'zullen nu uitsluitend die polynomen p (u) beschouwen,
waarvoor, in het interval (a, b)

Max. supr. | p (u) | g M,
waarin M een constante, willekeurig aangenomen, grootheid
aangeeft, onafhankelijk van n.

Ook lp is steeds kleiner dan M, omdat x een waarde is in
het integratieinterval (a, b), zooals op blz. 51 aangenomen is.
Splitsen we nu de integraal I_v in dezelfde deelen als /,:
f* ri\'i i ft rPi 1

i°. I 2 ƒ /(«) &(«• X)d-p(u) | < 2 ƒ !P(») 11 8.(«.I ^(«) <A^

1 1 /Pi

deze som blijft dus, wat 11 ook is, beneden een vaste grens.

2°. 2 ]P(u) £_n (u.x)dip(u).

Gr.

We zagen reeds, dat voor eiken term van groep I geldt:

f ^ri I f^ri 1

I (u . x) dip (u) = B_r. I d^p (;u), zijnde | B_r. j g C.
Jri Jr,

[^rH i

Het is duidelijk, dat elk integraal I S„ (« . x) dip (n) gesplitst

Jr_x

kan worden in twee (of drie) deelen, die hetzelfde teeken hebben,
dat overeenkomt met dat van B_r., dus
f^ri 1 f ^ri 1
| / £. (m . a\') («) j = I I £„ (u . x) dip («) | I / £»(« • *) ^ («) |

Jr, Jr, JH

f^ri 1
= | ƒ </*(«).

Jri

Het polynoom / (u) is in het willekeurig kleine interval,
(rj, ri i), monotoon, tenzij het daar juist een maximum of
minimum bezit.

In het eerste geval kan men onmiddellijk de tweede middel-
waardestelling \') toepassen:

^ri i

p (u) £„ (u . x) d ip (u)

n ri i

P (ri) J ^ (« .x) dip (u) p[r_i 1) j £„ (« .x) dip (»),

zijnde een waarde, inliggende tusschen r_x en r_x 1.

Laten we nu p (rt) en p (r_x 1) constant, dan zal continu met
het polynoom p (u) veranderen. We kiezen p (u) nu in elk inter-
val zóó, dat elke samenvalt met een £ waarde d. w. z. de
/•ï f^r i 1
integralen I £_n(u . x) dip (u) en I £„(u. x) d\\p (u) komen overeen

in teeken.

i) Vergel.: bv. Gouksat. Cours d\'Analysc Math. I p. 182. 2<le druk.

Nu volgt:

f\'\' ¹ f *

I ƒ p (u) Sn (u .x)di> (iu) | < | p (n) j | I S_u (u . x) d ï (u)

J ^ri J\'i

f^ri 1

| P (^r» i) | | J (^u • x)d\\p (w) |

<M| | J S_n (tl . x)d$ (;U) | | J &n (u . x) d-p (li) | j
r^ri 1

= M\\ ƒ S_n(u . x)d$ (u) |

Jri

(dank zij de overeenstemming in teeken)

r^r i i f^ri i

= M\\ B_r. | ƒ (?*) g / («),

Aj ./r;

dus

r^r i 4 1 f^ri 1

2 / p («) (« . rt\' ^ («) | < 2 ! ƒ P (") & (» • (")

1 ir; 1 \' A;

<MC^ ƒ d^ i^u) <k\\ MC— S₂,

een eindige waarde, onafhankelijk van

Ook het optreden van meerdere intervallen, waarin p (u) een
maximum of minimum bezit, biedt geen nieuwe moeilijkheden,
zooals uit het volgende zal blijken.

Resumeerende komen we tot het volgende resultaat:
Elke integraal I_v kan in drie stukken gesplitst worden, die
ook in hun verdere onderverdeeling geheel overeenkomen met
de verdeeling van de integraal /,.

De beide eerste stukken, nml. de p eindige intervallen
( | S_n (ft ■ x) | < A) en de r-intervallen ( | B_r \\ g C) hebben steeds
een eindige waarde, waarvan het absolute bedrag beneden een
vaste grens blijft, die onafhankelijk is van n.

Aangezien de geheele integraal I_v een eindige waarde heeft,

nml. p (x), zijnde | p (x) | < M, zoo moet ook het derde stuk
eindig zijn.

We gaan nu over tot de studie van:

Tot dusverre was de keuze der deelpunten r_t en Si alleen be-
perkt door de voorwaarde, dat elk interval willekeurig klein
gemaakt kan worden. We mogen dus de deelpunten nog nader
bepalen.

Nemen we aan, dat bij een willekeurige verdeeling, men tot
twee intervallen komt, behoorende bij groep II, die aan elkaar
grenzen, b.v. Si tot Si \\ , en Si 1 tot s_{{ 2}, en waarvan de bij-
behoorende B_s. en B_{S{ { l} in teeken verschillen.

Veranderen we nu het deelpunt .s-j i in het punt w, als iv
een naastliggende wortel van i is van (u . x). Hierdoor
ontstaan twee nieuwe integralen

Deze verandering in de deelpunten wordt overal, waar het
noodig is, aangebracht \'), zoodat ook de onderste grens Si van
de eerste en de bovenste grens ₂ van de tweede integraal
veranderd kunnen zijn.

Bij deze nieuwe verdeeling passen wij op de integraal I_v de-
zelfde redeneering toe, als bij de geheel willekeurige verdeeling.

We gebruiken dezelfde notatie, nml. een r met index ter be-
grenzing van een interval van groep I, een s met index ter
begrenzing van een interval van groep II.

Het is mogelijk, dat ook nu twee j-intervallen aan elkaar
grenzen, waarvoor de bijbehoorende B_s verschillen in teeken.
Zijn deze integralen weer:

r^si i r^s i 1 r^s i 2 r^s i 2

I S„ (u . x) d -p (u) = B_s. I dip (u) en / &„ (u . x) d-p (u) = B_s. _{( ]} I dip (u),
J\'i J*i J\'i 1 J\'i i

dan is nu tevens (j» 1, x) = O.

Het deelpunt s_i \\=w wordt nu vervangen door twee deel-
punten: w — t₁ en w r₂, waarin t, en r₂ positieve waarden
voorstellen.

r, en r₂ voldoen aan de voorwaarde, dat | S» (u . x) | voor
ïv — Tj ^ ii ^ w t₂ eindig is, b.v. kleiner dan D.

Evenals bij de p intervallen, waar | £„ (u . x) \\ < A (zie blz. 52),
zoo zal de integraalsom

2 I p(u)&_n(u .X) d<P (tl)

JlO — T_l

kleiner zijn dan een eindig getal. Het ligt voor de hand beide
deelen te vereenigen, zoodat dan de som kleiner is dan k_x M
vermenigvuldigd met het maximum van A en D.

Deze wijziging wordt overal in de deelpunten aangebracht,
waar twee integralen van de groep II aan elkaar grenzen, of
komen te grenzen tengevolge van deze verandering.

Hierdoor is verkregen, dat elke twee opeenvolgende integralen
uit groep II gescheiden worden door eene tusschenruimte, w — t,
tot w -f t₂.

Gaan we nu verder met de studie van

3°. 2 f M^u) (^u -x) dip («),

Gr. ii J_Si
r\'i 1

zijnde / &_H (u . x) dip (11) = B_s.

J>i

met | B,. | > C. (Zie blz. 57).

We leggen nu aan p (u) de volgende voorwaarden op:

a. in elk interval (S{, Si 1) is het teeken van p (u) hetzelfde
als dat van B_Si;

b. in elk interval (Si, is | p (u) | > s een eindige positieve
waarde, b.v. i;

c. in elk interval (.$•;, Ji i) bezit p (ti) één maximum of één
minimum.

Noemen we de //-waarde, waarvoor p (u) max. of min. is g,
dan is:

r\'i i ro r \'i 1

/ p (u) £„ (ii. x) dip (u) = / p (u) £„ (ii. x) dip (ii) 4 I p («) £„ (u . x) dip («).
J>i J\'i Jg

Beschouwen we den integrand als het product van p (u) en
£_n (u . x) d ip (u), dan mogen we de tweede middelwaardestelling
toepassen, omdat p (u) in elke integraal monotoon is.

Hieruit volgt:

i 1

p (u) £_u (ii. x) d ip («) =

p(_Si) [ £„(u.x)dip(u) p(g) f 2_n(u.x)dip(u) p(g) [&_H(u.x)drp(u)

J>i Ja Jg

r\'i i

p(s_i i) J £„ (u. x) dip («) =

/•ï /•£\' r\'i-i

p (Si) / £_n (li. x) dip(u) -hp(g) £„ (u .X)dip(tl) p(s_{i l}) £_u (u. x) dip (u).