OVER DE

SNELHEID VAN HET GELUID

BIJ VOORTPLANTING IN DE LUCHT.

OVER IDE

SNELHEID VAN HET GELUID

BIJ VOORTPLANTING IN DE LUCHT.

ACADEMISCH PROEFSCHRIFT,

NA MACHTIGING VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS

JD^ CL BRILL,

GEWOON HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DEK LETTEREN EN WIJSBEGEERTE ,

MET TOESTEMMING VAN DEN ACADEMISCHEN SENAAT
volgens besluit van de wis- en natuurk. faculteit

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN

Dnrte in h m Jtotmtrtanife _t

AAN DE HOOGESCHOOL TE UTRECHT,

TE VERDEDIGEN

op Vrijdag den 16» Juni 1871, des namiddags te 2 uren,

DOOR

HENDRIK JAN BINK,

civiel-ingenieur,

:eboren te Tiel.

t I e l ,
"V-A-Isr LOON.

18 7 1.

■

■

-

■

INHOUD.

Blz,

Inleiding ....................1

Hoofdstuk I...................5

Theorie omtrent de snelheid van het Geluid.
§ 1. Theorie van Newton en pogingen om de door hem
gevonden theoretische snelheid met de werkelijke te doen

overeenstemmen.................5

§ 2. Overzicht en beoordeeling der voornaamste andere
theorien....................26

a. Theorie van Challis...........26

b. Theorie van Potter............48

c. Theorie van Earnshaw ..............52

d. Theorie van Duhamel..........62

e. Theorie van Moon............69

§ 3, De snelheid van het Geluid in verband met de nieuwe

beschouwingen omtrent den aard der gassen......72

Hoofdstuk II .......................77

Experimentele bepalingen van de snelheid van het Geluid.

§ 1. Oudere bepalingen ..............78

§ 2. Waarnemingen van Regnault en Le Roux . . .102

§ 3. Methode van Bosscha . ........... 127

Stellingen 133

ERRATA.

Pag. 14 regel 8 v. b. slant : lees :

ax ax

18 3

d\'oj d²cp

" dy²\' " dy*

28 „ 4 v. o. „   „

31 „ 7 v. b. „ den, „ vinden.

on , f ^dcP f ^d(f>

61 „ 6 en 15 „ „ e Kt, „ eKt.

„ „ 15 „ „ Ca 2r—c\'cc—2r, „ Ca^-C\'a—^.

INLEIDING.

In de volgende bladzijden, stel ik mij voor een
onderwerp te behandelen , dat ten allen tijde de aan-
dacht van mathematici en physici tot zich getrokken
heeft. Gelijk de titel aanduidt, betreft het de snelheid
waarmede het geluid zich in de lucht voortplant.

Door Newton het eerst aan eene mathematische
behandeling onderworpen, is de theorie betreffende de
wijze, waarop zich luchtbewegingen voortplanten, door
Euler en La Grange aanmerkelijk verbeterd en
uitgebreid: maar ook de physici waren niet achterge-
bleven en vooral de Fransche Academici hadden zich
met eene nauwkeurige bepaling van de snelheid van
het geluid in de lucht bezig gehouden.

Eene overeenstemming tusschen de op beide wijzen
gevonden waarden bestond echter in geenen deele: de
experimenteel gevondene overtrof de theoretisch bepaalde
met ruim één zesde. Het was aan La Place voor-
behouden, in warmtewerkingen die de geluidsbewegin-

1

gen der lucht vergezellen, en die tot dusverre buiten
beschouwing waren gelaten, de oorzaak van dit ver-
schil aan te wijzen.

Poisson heeft bij zijne analytische behandeling
van ons vraagstuk, van dit denkbeeld partij getrokken
en aldus eene theoretische waarde verkregen, die vrij
nauwkeurig met de werkelijke overeenkwam, \'t Was
er echter verre van, dat deze door La Place
bedachte correctie, geen tegenspraak zou ontmoeten.
Yooral waren het Engelsche mathematici, die hunne
bedenkingen inbrachten en nieuwe theoriën aanvoer-
den , die ook waarden voor de geluidssnelheid ople-
verden, welke weinig van de door de physici gevon-
dene verschilden.

De mechanische warmtetheorie echter, heeft de
begrippen, omtrent den aard der gassen geheel gewij-
zigd : eene nieuwe behandeling en verklaring der ver-
schijnselen die zich in de lucht voordoen, was dus
noodzakelijk. Voor hoevele zaken dit ook reeds
geschied zij, met de bewegingen der lucht, die het
geluid voortplanten is dit tot nog toe niet het geval
gew^reest. Het bizonder raoeijelijke van dit vraagstuk
zal wel de oorzaak hiervan zijn,

In het eerste gedeelte dezer dissertatie wil ik een
overzicht geven van de verschillende over dit order-
werp gemaakte theoriën en deze aan eene nauwkeu-
rige kritiek onderwerpen. Daartoe zal allereerst de
formule van Newton met de correctie van La Place
besproken worden; vervolgens zullen wij de voornaam •
ste andere theoriën behandelen, om eindelijk de snel-
heid van het geluid in verband met de mechanische
warmtetheorie te beschouwen.

Uiterst talrijk zijn de personen , die zicli met eene
experimentele bepaling van de snelheid van het geluid
hebben beziggehouden, doch niettegenstaande er bijna
geen gebied der physica is aan te wijzen dat zoo veel-
vuldig is onderzocht, bestonden tot vóór korten tijd
weinig bepalingen, die op hooge nauwkeurigheid kon-
den aanspraak maken. De uitgebreide reeks van waar-
nemingen door Regnault in de de laatste jaren ver-
richt, heeft in deze leemte voorzien.

Even als wij in ons eerste gedeelte ons bezig hou-
den met de theoretische waarde der geluidssnelheid,
willen wij het in ons tweede met de experimentele
doen. Wij zullen een overzicht geven der genomene
proeven en daarbij de nauwkeurigheid der verschillende
uitkomsten beoordeelen, om eindelijk te geraken tot
de meest waarschijnlijke waarde voor de snelheid waar-
mede het geluid zich in de lucht voortplant.

Nieuwe feiten worden alzoo hier niet vermeld: wij
meenden echter een niet geheel nutteloos werk te ver-
richten , wanneer wij al wat in betrekking tot dit
onderwerp is verricht met elkaar in verband brachten,
om daardoor tot eene juiste kennis te geraken van
wat op dit gebied nog te doen overig blijft.

EERSTE HOOFDSTUK.

Theorie omtrent de snelheid van het Geluid.

§ 1. Theorie van Newton en pogingen om de door hein
gevondene theoretische snelheid met de werkeljjke te
doen overeenstemmen.

\'t Wordt tegenwoordig algemeen erkend, dat Newton
het eerst juiste begrippen omtrent de golvende bewe-
ging der lucht, die w^rij als oorzaak van het geluid
beschouwen, heeft bekend gemaakt. Wij vinden die in
zijne merkwaardige Pliil. Nat. Principia Mathem. Liber
II Propositio 47—50 uiteengezet.

De weg, dien hg hierbij inslaat is niet de analy-
tische, waarvan ongetwijfeld het meeste zou te ver-
wachten geweest zijn, doch de synthetische, die hem
tot eene beperkte en onvolledige oplossing leidt. Ziet
hier, hoe hij te werk gaat.

Fig- 1.

A B, B C enz. stellen de lengte der golven voor,

waarmee het geluid zich in de richting A C voortplant.
De lucht wordt gedacht te bestaan uit deeltjes, welke
trillingen volbrengen, waarvan E en e, F en /", G
en g uiterste standen voorstellen: op zeker oogenblik
bevinden die deeltjes zich in de tusschen gelegen plaat-
sen cp en /.

Het geluid plant zich over eene golflengte B C voort,
in den tijd dat ieder deeltje eene geheele trilling vol-
brengt. Newton neemt nu aan, dat die trillingen
geschieden naar dezelfde wetten als een slinger bij
zijne schommelingen volgt. De gevolgen hiervan wor-
den onderzocht. Daartoe wordt op een lijn PS, gelijk
aan den afstand E e, Ff of Gg tusschen de uiterste
standen der luchtdeeltjes een cirkel beschreven: PL
wordt gelijk Et genomen, en uit L de loodlijn LH

op P S opgericht: stelt nu de
gansche omtrek den tijd voor,
noodig voor de gansche trilling
van E naar e en terug, dan is
P II de maat voor den tijd,
benoodigd voor de beweging van

E naar f. Eindelijk worden op den cirkelomtrek de
bogen Hl en IK genomen, die tot den geheelen
omtrek staan als E F en F G tot B C. Stelt dus
de geheele cirkelomtrek den tijd voor, waarin het
geluid zich over B C voortplant, dan zijn Hl en
I K de tijden waarin het van E in F en van F in G
komt, en daar de luchtdeeltjes zich op hetzelfde oogen-
blik in f, qp en / bevinden, stellen PI en P K de
tijden voor, noodig voor de beweging der luchtdeeltjes
van F naar cp en van G naar y. Derhalve is ook
PM—Fep en PN=Gy. Wij hebben nu:

ty — EG Gy — Et — EG-\\-PN — P L~E G — LN en
LN : KH= IM : OP ; KH : EG=r 2n. OP : BC,

waaruit

_r „_T 2tt. im „ „ im „„ . bc _xr

LN =■ _fi/, .EG = -ijr -EG. als — =V

B C V 2rr

gesteld wordt. Dus:

,_y.K,r^v

Is P de drukking in F en n die in cp, dan is, daar
de drukkingen omgekeerd evenredig zijn met de volumina,

p-n=-l: ¹ - ¹. : ¹

EG er ~~ V V — 1M

Zijn n\' en n\' de drukkingen in t en / dan is
eveneens,

P : n\' ^{1 1}

eu p : n"

V \' V—KN\'

Het deeltje in cp wordt bewogen door het verschil
in drukking aan weêrszijden van dit deeltje, door
Tt\' — n" derhalve, en

u\' — n"=.~ihl — en)

(bij benadering, daar HL en KN zeer klein zijn ten

opzichte van F) doch HL — KN — ^^X OM dus

\' >\'-^{P HK} OM

tl - tc - yr . -jyp , um.

De kracht, die het deeltje in qp in beweging brengt,

is dus evenredig met den afstand, waarop dat deeltje
zich bevindt van het midden der uiterste standen.

Het blijkt dus, dat door aan te nemen , dat de lucht-
deeltjes zich als een slinger bewegen, er voor de kracht
waarmede deze beweging geschiedt, juist eene zelfde
uitdrukking verkregen wordt, als bij de slingerbewe-
ging. De juistheid van Newton\'s onderstelling wordt
hierdoor bevestigd.

In Propositio 49 wordt met behulp van het hier
gevondene de snelheid van het geluid bepaald.

Daartoe vergelijkt Newton drie slingertijden:

1°. dien van een slinger, waarvan de lengte gelijk
is aan de hoogte van den homogeen gedachte atmos-
feer: is d de dichtheid en P de drukking, dan is
P

—— = A die hoogte. De slinger wordt verondersteld

cl

door de zwaartekracht bewogen te worden.

Bij den 2^en en 3ⁿ slinger denken wij ons dat de
luchthoeveelheid E G slingerende bewogen w^rordt: bij
den 2^a door het eigen gewicht, bij den 3ⁿ door het
verschil in druk aan weêrszijden van het deeltje even-
als zulks bij de voortplanting van het geluid geschiedt.
In beide gevallen is de lengte van den slinger gelijk
OP, de halve afstand waarover de luchtdeeltjes zich
bij hunne trillingen bewegen.

Bij een cycloidalen slinger is nu de lengte van den
slinger, gelijk aan de helft van de cycloide, die be-
schreven wordt. De slingertijd van den derden slinger
is dus gelijk aan den tijd, dien een luchtdeeltje bij de
voortplanting van het geluid voor eene trilling behoeft.

Zijn de drie bedoelde slingertijden 2", t en r dan
is, daar de beide eerste slingers door krachten, die

dezelfde versnelling hebben (nl. die der zwaartekracht)
bewogen worden:

T : t—V J: VUP.

Maar omdat de beide laatste slingers dezelfde lengte
hebben, zijn hunne slingertijden omgekeerd evenredig
met de krachten, waardoor zij in beweging gebracht
worden. Bij den 2ⁿ slinger is die kracht het gewicht
van de luchthoeveelheid E G, dus EGxd; bij den

P

laatsten, blijkens het vorige — . H K, dus

VT-

t : r—\\/ HK : ^EG.d,
en

T: r= . IIK : V OPxEGXdi

doch omdat P = A . d en E G : HK = V: O P,
T : r — A : V,

1 /~A 2tt V

maar T—2n \\/ —, dus r= .__• Doch m den

v g VA.g

tijd r plant het geluid zich voort over een weg

B G zz- 2n F, derhalve in de eenheid van tijd over den

weg \\/ Ag — j^/ , welke uitdrukking alzoo de

snelheid van het geluid voorstelt.

In de volgende Propositio merkt Newton nog
drie zaken ten opzigte der geluidssnelheid op:

1°, dat er geen rekening gehouden is van het volume
der luchtdeeltjes, in welke het geluid zich oogenblik-

kelijk voortplant — is de diameter dier deeltjes &

van de tusschenruimten, dan behoort de waarde van

—— met JL < vermeerderd te worden, waar-
d 8 ^a 9

door zij met de experimenteel gevondene overeenstemt.

2°. wordt opgemerkt dat de waterdamp, die in de
lucht aanwezig is, invloed zal uitoefenen; in \'t alge-
meen meent Newton dat deze in hooge mate de
bedoelde snelheid doet toenemen.

3°. eindelijk noemt hij den invloed van de tempe-
ratuur, in zooverre hij vermeldt dat de geluidssnelheid
in den zomer grooter is, dan in den winter, daar de
dichtheid zomer\'s kleiner is.

Terecht wordt deze behandelingswijze van Newton,
door Laplace „un monument de son génie" genoemd,
want hoe onvolledig deze ook zijn moge, het kan niet
ontkend worden dat de latere analytische beschouwin-
gen dezelfde uitdrukking als de Newtonsche geluids-
snelheid hebben opgeleverd en dat deze nog de grond-
slag blijft uitmaken waarop verbeteringen en uitbrei-
dingen der theorie worden gevestigd.

Euler en La Grange zijn \'t vervolgens geweest,
die het vraagstuk, omtrent de voortplanting van het
geluid, analytisch behandeld hebben, daarbij voor de
eerste maal op vraagstukken van mechanischen aard,
partiele differentiaalvergelijkingen toepassende. Voor
het integreren dezer vergelijkingen was de onderstel-
ling noodzakelijk, dat de bewegingen der luchtdeeltjes
uiterst gering zijn.

Deze verhandelingen, hoewel voor de mathematische
analyse van het hoogste gewicht, hebben omtrent de
snelheid van het geluid geen ander resultaat opge-
leverd, dan dat reeds door Newton gevonden was.

Alleen zij nog opgemerkt, dat Euler de afwijking
der theoretische geluidssnelheid van de werkelijke aan
de onjuiste onderstelling toeschrijft, dat de bewegin-
gen der deeltjes uiterst klein zijn, terwijl La Grrange
meent, dat wanneer de gassen niet de wet van Mari-
otte volgden, doch zulk eene, waarbij de drukking
in sterker mate dan de dichtheid toenam, de theore-
tische snelheid met de experimentele overeen te bren-
gen zou zijn. Hij voegt er evenwel zelf bij, dat deze
aanname onjuist zoude zijn, daar alle proeven er op
wijzen dat drukking en dichtheid in dezelfde mate
veranderen.

Hij, die, na Euler en La Grange het meest
bijgedragen heeft tot uitbreiding der theorie van het
geluid en tot het in overeenstemming brengen der
beide waarden, die theorie en experiment voor de
voortplantingssnelheid aangaven, is ongetwijfeld Pois-
son. In zijne verhandeling „Mémoire sur la théorie
du son\'\\ (Journal de VEcole Volylechnique Tome VII)
leidt hij op de meest algemeene wijze uit de wetten
der hydrodynamica de theorie van het geluid af,
waarbij hij zich niet beperkt tot het geval dat de
bewegingen der deeltjes uiterst gering zijn, maar
door uitbreiding der integratiemethoden tevens de
oplossing aanwijst van het meer algemeene geval.
Vooral daarom ook is deze verhandeling merkwaardig,
omdat hierbij voor het eerst de door Laplace (Gil-
deri\'s Annal. XVIII) uitgedachte hypothese omtrent
de oorzaak van het verschil der beide geluidssnelheden,
in mathematischen vorm werd gebracht.

Zien wij vóór wij tot het uiteenzetten der verhan-
deling van Pois son overgaan, waarin deze hypothese

bestaat. L a p 1 a c e merkte op, dat bij plotselinge veran-
dering van volume bij gassen tegelijkertijd eene ver-
andering van temperatuur intreedt; daar nu bij de
voortplanting van \'t geluid zeer snel elkaar opvol-
gende verdichtingen en verdunningen plaats vinden,
zou hierin een oorzaak gelegen zijn, die de verhou-
ding van drukking en dichtheid vergrootte en alzoo
juist die correctie deed ontstaan, welke door La
Grange genoemd, maar ook als ongerijmd verwor-
pen was. Poisson nu voerde deze correctie bij
zijne beschouwingen in, door aan te nemen dat be-
doelde temperatuursveranderingen evenredig zijn aan
de volumeveranderingen, waartoe hij, uithoofde van
de geringheid dier veranderingen meende gerechtigd
te zijn.

Denken wij ons een gasmassa bestaande uit deelt-
jes, waarop verschillende krachten werkzaam zijn,
dan zullen we volkomen bekend zijn met den toestand
dier massa, wanneer we op elk oogenblik in ieder punt
de composanten der snelheid, de dichtheid en de druk-
king kennen.

Zijn die composanten der snelheid u, v, w; de
dichtheid q en de drukking p; deze grootheden hangen
af van de coordinaten van het punt en van den tijd,
waarop zij betrekking hebben: zij zijn dus functiën
van x, y, z, t. Zijn X, Y, Z, de composanten der
krachten, die op het punt y, z,) werken; u\\ v\\
w\' de composanten der versnelling, die dat punt
heeft, dan is volgens het principe van d\' Alembert:

_du du dx du dy du dz ^ ^

^{6n U} dl dx\' dt~^dy\' dl dz dl ° \' ^aal

dx dy dz

dt=^U; dï = ^V\' dï = ^W1S>

evenzoo is

en

Deze waarden in onze eerste vergelijkingen substi-
tuerende, is:

v-/n I s-t/1 i sJ i i W/i/ \\

Eene vierde vergelijking wordt verkregen door op
te merken dat de drukking eene functie is van de
dichtheid:

P — 9 (<?)• _ (⁴)

Eindelijk wordt eene laatste vergelijking verkregen
door de dichtheidsveranderingen in verband met de
composanten der snelheid te beschouwen.

Nemen we nl. een elementair paralellopipedum, waar-
van de ribben dx, dy dz zijn, en beschouwen we de
drie paren evenwijdige zijvlakken. Door het eene
zijvlak, dat loodrecht is op de richting der x, zal in

den tijd dt een massa lucht gaan ~q. u dy.dz dt
doch door het daarmede evenwijdige zijvlak een massa

~dx ^d®) (^M ^ ) ^dz\' ^

zal derhalve door de beweging in de richting der x
de massa lucht in het paralelopipedum verminderd
worden met:

i 0 lx ^dx ) (^M Tx ^dx ) ~~ ^{Q U} J ^dy\' ^Ch\' ^dL ~

/dg du \\ . , , d.(.u.) , , , _fl
\\ dx~^^\'dx) — —— dx. dy dz. dt

Evenzoo zullen wij vinden voor de vermindering
door de beweging in de richting der y en der z, res-
pectievelijk :

^d dx. dy. dz. dt en ^{d W}dx. dy. dz. dt.
dy * dz ^J

De gansche vermindering in den tijd dt bedraagt dus:
i^ï *JZ*>  dx. dy. dz. dL

ClOC VLIJ CIZ> J

Deelen wij deze uitdrukking door dx dy. dz. den
inhoud van het paralellopipedum, dan hebben wij
daarin de negatieve dichtheidsvermeerdering in den tijd
dt. Derhalve is onze vijfde vergelijking:

^d\'l d ((o.u) d (Q.v) d (o. w) __ _Q
dl dx dy dz

Deze vijf vergelijkingen geïntegreerd zijnde bepalen ,
M, v, «/, q en p in functie van x, y, z, t.

Zij laten zich echter belangrijk vereenvoudigen in
de onderstelling dat,

X dx - - Y dy -b Z dz en
u dx vdy wdz
totale differentialen ten opzichte van x,y, en z zijn,
van functiën P en Q, zoodat

Xdx -r Y dy Z dz = dP
en li dx vdy ivdz — dQ.
Vermenigvuldigen we nl. de vergelijkingen (1), (2)
en (3) respeciievelijk met dx, dy en dz en tellen wij
ze daarna op , dan is :

dx-1- dy 4- ^f- dz — p (X dx Y dy Z dz) —
dx dy dz ^x y

/du , du ₁ dw ₇ \\ fdu , dv , dw , \\

\\tt^dx dt^dy -dt^dzr^u dx^dzr

(dw , du _? dw , \\ / du du , dw _ \\
v[ — dx ~r~dy t dz J — w{ —dx-\\- - dy-\\- —rdz h
Vdy dy dy / \\c/z dz \'\' dz \'

dp dp dp
maar -r- dx -7— dy H—— dz — dn ■

dx dy dz \'

i/h ₇ du _ dw , . , , , , dep

j_ld* j_[dy _ttdz=_yl{udx vdy wdz)=d~,

fdu , du , dw . \\ cl , , .

^U \\dx dx ^ dx ) ~ⁿ ^ ^Wc\'^z)⁼⁼

dep dep_ 1 ^ / \'i<jp\\².

Onze vergelijking wordt dus:

, dep 1 ,/(iep" dep² d<y \\

dp = _qdp-_qd-_dt--d{^
of geïntegreerd

p_ [dp_ch W

J O ~dt 2 \\ da? dy¹ ^ dz\'j\' ^{K }}

Passen we deze algemeene vergelijking toe, op de
beweging, die bij de voortplanting van liet geluid
plaats heeft, dan kan eerstens P~o zijn, daar wij
van de werking der zwaartekracht, de eenige, die
hier aanwezig is, mogen afzien: wanneer wij verder
veronderstellen dat de snelheid der deeltjes uiterst

. , , /<v dep³ dep"² \\
gering is, dan kan ook de term y^y ^r J

weggelaten worden. Wij hebben alzoo

dp dep
q dl

Doch wat wordt nu de term j — ?

" q

Is p₀ de drukking in toestand van rust en D de
dichtheid, dan verandert die dichtheid, die wij in
\'t algemeen q noemden, door de verdichtingen en ver-
dunningen, die telkens intreden.

Stelt y de verdichting voor, dan is q = d(1 y).
Volgen die drukkinga- en dichtheidsveranderingen de
w^Tet van Mariotte, dan zoude zijn p — p₀ (l y)
en wij zouden voor de geluidssnelheid dezelfde groot-
heid als Newton, Euler en La Grange vinden.
Maar \'t bizondere van Poisson\'s oplossing is daarin,
dat hij van La Place\'s opmerking gebruik maakte
en stelde : p — p₀ (1 - - y a /)

waarbij de drukvermeerdering met p₀. x. y door tem-
peratuursverhooging wordt te weeg gebracht. Poisson
meende dat om de geringe waarde van y, die druk.
vermeerdering evenredig met y mag gesteld worden.
Hieruit leiden wij af:

dp = p₀ (1 x) dy en daar q = D (1 y) is

£ Ml .) fr _m 

Q D 1 y j Q D J\\ "

Onze vergelijking wordt daardoor

Po (1 *) / , N , ^d(P

y" \'/

of, daar lg (1 y) — y — — —• r= enz., en wij

u o

2^e en hoogere machten mogen verwaarlozen en alzoo
voor lg (1 - - y) , / mcgen schrijven,

p₀ (1 x) dep

-Z) ^{7 =o;}

— ^ == a² stellende, is y = ---r -₇f en

D a² dt

dy 1 d² q>

Yoeren we nu in de vergelijking (5) voor q de
waarde I) (l y) in, en schrijven we voor w, v, w,

respectievelijk ~ , ^, , dan wordt deze:
^J dx dydz

e^ ^ tte dy dz

en , bij verwaarlozing van grootheden als
d² (p dy dq>
⁷ dx" dx \' dx\'

dy d² qp d\' cf> d\'cp _

dt dx" dy³ dz² °

dy

of, voor -- zijne waarde schrijvende:

la/l

He ~~ ^a" \\dx* dy² IzFJ\'

Deze vergelijking leert ons cp vinden, waaruit door
differentiatie u, v, iv en / hekend worden. De inte-
gratie van deze vergelijking is eene vrij samengestelde
bewerking, die wij o. a. bij Eiemann — Parüelle
Differentialgleichungen, pag. 283 aantreffen.

Daar dit algemeene geval voor de voortplantings-
snelheid niets bizonders oplevert, willen wij hier het
beperkte geval beschouwen, waarbij het geluid zich
slechts in ééne richting voortplant. Onze vergelijking
wordt dan:

d* cp „ d\'² cp
dl³ dx²

waarvan de welbekende integraal is

cpz=f_l(oc at) /o (x — at),

voorstellende een stelsel van twee bewegingen, waar-
van de eene zich in de negatieve, de andere in de
positieve x richting voortplant. Daar nu

\' =- 7 !*r = -i(>.(- «0-/.(— «<>)

waaruit volgt, dat a de snelheid van het geluid voor-
stelt; want, wanneer we alleen letten op de beweging
in de positieve x richting, blijkt \'t dat, als t met r
toeneemt, x met ar moet vermeerderd worden om de

Later (Annal. de C/iimie et de I\'Jiysique, Tomé IIV)
heeft La Place aangegeven , dat de grootheid 1 -f- *
dezelfde beteekenis heeft, als de verhouding der speci-
fieke warmten van lucht onder standvastigen druk en
onder standvastig volume.

La Place heeft deze betrekking aangeduid zonder
bewijs: het eerst is dat geleverd door van Pees in
zijne dissertatie „de Celeritate Soni," 1819: ook Poisson
heeft later ( Annales de Chimie et de Physique, Tomé XXIII)
bedoelde betrekking afgeleid.

Het bewijs van van Rees laten wij hier volgen.

Zij X de hoeveelheid warmte, welke een volume

lucht -JL bij eene temperatuur I - en

1 y ^J 1 «(! /)

onder de drukking p bevat. Deze lucht wordt eerst
onder constant volume, vervolgens onder constan-
ten druk tot de temperatuur t verwarmd. (« betee-
kent de uitzettcoeff., y de verdichting). Is de tem-
peratuur onder constant volume t geworden, dan is
de drukking

P

Is daarentegen de temperatuur t geworden onder
constanten druk, dan wordt het volume — V.

In beide gevallen wordt de temperatuur met ^

a (1 y)

graden vermeerderd: doch in \'t eerste geval is de

specifieke warmte c\', in \'t tweede c. De hoeveelheden
warmte voor de temperatuursverhooging benoodigd,
zijn dus, wanneer wij het gewicht der luchtmassa =
G stellen

_ (1 «/)/

in \'t eerste geval = c\\ G. ——-—

«(1 /)

^ (1 «0/
in \'t tweede geval — c. G. -t-

De hoeveelheid warmte die een luchtvolume F onder
drukking p en temperatuur bevat is dus

a (1 /)

terwijl die hoeveelheid bij dezelfde temperatuur doch
V

bij volume j—— en druk p (1 /) bedraagt

X c\'. G. ptÜl
a (1 y)

Derhalve zal, wanneer bij de temperatuur t een

V

volume lucht V, onder een druk p tot het volume -

i r

samengedrukt wordt eene hoeveelheid warmte, gelijk
het verschil van beide gevondene hoeveelheden, vrij

worden, dat is eene hoeveelheid --———.

«(1 /)

Deze warmte dient tot temperatuursverhooging bij
constant volume: is die verhoogiug co, dan is

(c-c\')G(l «/)/,

co C h — -—---, dus

«(1 )/

C— c\' (1 at) ■/

co -•--•

c\' «(! /)

Doch p x y is de drukvermeerdering door deze tem-
peratuursverhooging veroorzaakt dus

C — c\' (1 at) y

C\' a ( 1 y)
p x / =zp.----_Tl --

_c_ c\' 1 1

dus -A —-;— 7--v \' waaruit wanneer wii --=

c (l y) ^Jl y

c

1 stellen volgt 1 zr:—•

c -

Wareneer men hiermede vergelijkt het bewijs, dat in
de tegenwoordige leerboeken voorkomt, (zie bijv.
Jamin, Cours de Vhysiqiie T. II P. 450) dan zal men
opmerken dat de wijze van afleiding niet verschilt,
van die, welke van Rees het eerst heeft bekend
gemaakt. Alleen weet men zich door het licht dat
de mechanische warmtetheorie verspreid heeft, meer
rekenschap te geven, waarom de specifieke warmte
onder constanten druk, grooter is, dan die onder con-
stant volume en waarom juist het verschil dier warm-
ten bij plotselinge samendrukking de temperatuurs-
verhooging te weeg brengt.

Yoor de uitdrukking van de snelheid van \'t geluid
hebben wij alzoo gevonden:

Resumeren wij nu de hypothesen, welke ter ver-
krijging van deze uitkomst gemaakt zijn.

I³ is ondersteld, om tot de vergelijking (1*) te
geraken , dat udx -(- vdtj -f- wdz een totale difïerentiaal is.
Deze voorwaarde kan op de volgende wijze in verge-

lijking gebracht worden :

is udx -\\-vdy-\\- ivdz — dep , dan is

f<h\\ , /rfqp

rfqp rfrc r/rp Vöta y ^f\' K^dij

ii i v — — i W—-T- en daar d —=— —

rfx dy di dy dx

(ofo) Cc?z} O?/) Vefo - , , ,

— = —- en —= —-— hebben

dz dx dz dy

du dv du div dv dw

wii de voorwaarden -— = --—,—- = -j- en

dy dx dz dx dz dy

Daarenboven heeft La Gr range aangetoond dat wan-
neer slechts op zeker oogenblik aan deze voorwaarden
voldaan is, dit gedurende de gansche beweging \'t
geval zal blijven.

2° hebben wij aangenomen, en dit wettigt de eerste
onderstelling, (La Grrange, Oeuvres, ed. 1869, T.
IV\', p. 721), dat de bewegingen der deeltjes zoo gering
waren, dat tweede en hoogere machten van u,v,w en
/ mochten verwaarloosd worden — daarom hebben wij
dep* dep² .dep"

den term — -{—— H--—- verwaarloosd.

dar dy¹ dz²

3° is de temperatuursverandering ontstaan ten gevolge
der plotselinge volumeverandering ondersteld evenredig

te zijn met die volumeverandering zelve.

£

4° is door voor 1 -f- >c de waarde —■ in te voeren,

c

ondersteld dat er door uitstraling of geleiding geen
warmte opgenomen of afgegeven wordt.

In onze uitdrukking a — "j/^ ~ • > beteekent

D de dichtheid bij de temperatuur, waarbij «beschouwd
wordt en die wij in \'t algemeen t genoemd hebben,

\'t Heeft echter voordeel ü altijd bij eene zelfde tem-

peratuur te nemen, daar-^j dan een standvastige waarde

heeft, men geeft daarom aan T) de beteekenis van
dichtheid bij o° — opdat nu a nog de snelheid bij t"
voorstelle, moet D door 1 at gedeeld worden, zoo-
dat onze formule wordt:

,-1/p (1 «Q ~
V l) c\'

Verder is ondersteld dat de lucht, waarin het geluid
zich voortplantte, volkomen droog was: bevindt zich
daarin waterdamp, dan behoort onze formule nog eene
wijziging te ondergaan. Is p\' de spanning van den

waterdamp, en 8 de dichtheid daarvan bij een druk-
p

king p, dan is D — — (D — d) de dichtheid van de
vochtige lucht; doch D — 8 is op zeer weinig na ~ 0.38 D
derhalve de dichtheid der vochtige lucht = —0.38-^-^
Onze uitdrukking wordt daardoor

I /" p(l at)c

^a-y dQ.-O.BSJ^c\'

Waarbij a nu beteekent de snelheid van \'t geluid
in lucht, waarvan de temperatuur is t en waarin de
waterdamp eene spanning p\' heeft.

Het geval, waarbij de bewegingen der deeltjes niet
meer ondersteld worden , zeer klein te zijn en waarbij
dus de 2" onzer onderstellingen niet is vervuld, wordt
door Poisson in eene volgende afdeeling zijner aan-
gehaalde verhandeling nagegaan; hij beschouwt het

beperkte geval, waarbij de uitbreiding slechts in ééne
richting plaats heeft. De vergelijking (1*) is dan:

Jdp dep 1 dep²

V dt ~2

terwijl (5) wordt:

dn d² (p do dep _

dt ^? dx² dx\' dx °

is verder p — a²Q, dan is allereerst — a? lg -jj.

Uit deze vergelijkingen moet nu q geelimineerd wor-
den: daartoe differentieert men de eerste ten opzichte
van t en van x:

dg d²ep dtp d² cp
^a" It² dx \' dxTdt ~~

„ dg d²cp dep d² q>
^a qdx dx.dt dx \' dx²

Substitueert men de waarden van ~ en ^ uit deze

dt dx

laatste, in onze tweede vergelijking dan heeft men :

d² ep g dep d² ep dep² d² cp ₂ d² cp
dl² dx\' dx.dt ^ dx² \' dx^{2 a} dx³ \'

welke door den 2" en 3ⁿ term van het eerste lid van
de vroeger gevonden bewegingsvergelijking afwijkt.
Aan deze partiele differentiaalvergelijking der 2^e orde
voldoet het stelsel der beide vergelijkingen

dep dep 1 dep²

en —f - - d - -j—-— -j-r — o.

dt dx £ dx"

Schrijven wij onze vergelijking nl. in den vorm :

d\'ep dep d²cp d\'²ep /dep \\ d"qp /dep¹ „\\d²cp
j/2 "hy"\' j 7, "F Cl "7~~T.il ---Cl ) ^ r. l — &* ) ^—

dt² dx\' dx.dl ^a dx.dt \'^r\\dx ^a)dx.dt \\dx² V dx\'
dan zal aan deze vergelijking voldaan worden door

te stellen:

d² ep dq> d² ep d² ep

~t7₂\' y~ • T—J, a

dx\' dx, dt dx. dl

/dep \\ / d² 9 /c?qp \\ i² <p\\_

vte / efó / dx")

■ia . d /dep dep 1 dep\\

De eerste vergelijking is   _y = o

dep dep 1 dep²
waarvan de integraal — -j- a j—h \'"_t>~ , , = L.

di doe Li doe

Schrij ven wij in de 2^e voor ^ , r dan wordt deze

dcc

dr . dr

dt (^{r a)} Tx^⁰

waaruit:

~ = = —. Derhalve r~ Cen x — (r a) l — C\',

1 r-j-a o

dus r =/(«- (r «)«>f / (—(£ «)<

De heide opgegevene vergelijkingen vormen dus ge-
zamenlijk eene particuliere oplossing der meer volledige
bewegingsvergelijking.

Poisson leidt hieruit af, dat voor dit geval de uit-

• 1 • öfrp

drukking voor de geluidssnelheid is: a -j- —.

stelt voor de snelheid der luchtdeeltjes, en daar

cljb

deze bij eene golvende beweging beurtelings gelijke,

doch van teeken tegenovergestelde waarden heeft, meent
Poisson dat de gemiddelde snelheid niet van a zal
verschillen — dat alzoo de aanname, dat de bewegin-
gen der deeltjes uiterst klein zijn, geen invloed heeft
op de voortplantingssnelheid.

\'t Mag hier niet onopgemerkt blijven en wij zullen
er later op terug komen , dat hier geheel buiten aan-
merking blijft, wat het gevolg zal zijn van de ver-
anderlijke waarde van a -f- — daar toch in ieder

u/00

deel van de golf, de snelheid der deeltjes verschil-
lend is, zullen hare verschillende gedeelten met ongelijke
snelheden worden voortgeplant en alzoo eene voortdu-
rend toenemende vormverandering van de golf moeten
ontstaan.

§ 2. Overzicht en beoordeeling der voornaamste
andere tlieorien.

Na den in den voiigen paragraaf besproken arbeid
van Poisson, zijn er vooral door Engelsche Physici,
vele bedenkingen gemaakt, tegen de daarbij ingevoerde
correctie van La Place; verschillende andere wijzen
om de Newtonsche snelheid met de experimentele in
overeenstemming te brengen zijn voorgesteld, waarvan
wij de voornaamste achtereenvolgens in behandeling
willen nemen.

a. Theorie van Ghallis.

Allereerst treffen we in de deelen XXXII, XXXIII en
XXXIY van de B" Serie van het Philos. Magazine een
tiental grootere en kleinere verhandelingen aan van
J. C hallis, waarin de schrijver eene nieuwe theoretische

bepaling voor de snelheid van het geluid, die nagenoeg
met de experimentele overeenkomt, uiteenzet, zonder dat
hij daarbij warmte ontwikkelingen in aanmerking neemt.

\'t Is moeijelijk een behoorlijk résumé dier stukken
te geven, daar de meeste van C h a 11 i s\' betoogen
allerminst aanspraak kunnen maken op klaarheid en
duidelijkheid van voorstelling; daarbij komt een ander
bezwaar: verre er van, dat deze stukken een zeker geheel
zouden vormen, wordt daarentegen niet zelden eene
bewering, die met alle kracht in eene vroegere ver-
handeling verdedigd is, in eene latere voor eene andere
meening losgelaten.

Zelf erkent hij (Yol. XXXIV, pag. 353): „II may
„be proper to state, that I do not regard as defensible
„or pertinent, all that I have written in the course of
„this difficult investigation.\'\'

Wij willen dan trachten na te gaan, welke bezwa-
ren, tegen La Place\'s theorie worden ingebracht, om
daarna de nieuwe beschouwingen ter sprake te brengen.

C hall is redeneert aldus: Indien \'t waar is, dat
eene plotselinge samendrukking temperatuursverhooging
veroorzaakt, dan zal ook de plotselinge verdunning
eene temperatuursverlaging doen ontstaan, en daar nu
voor de vermeerdering der geluidssnelheid bepaaldelijk
temperatuursverhooging vereischt wordt, en er bij de
voortplanting van het geluid, behalve deze ook tem-
peratuurs verlaging plaats vindt, zal de verlangde cor-
rectie door bedoelde warmte ontwikkelingen in aan-
merking te nemen, niet verkregen kunnen worden.

Men zou hier meenen, de bekende bedenking te hoo-
ren, die zoo dikwijls afdoende weêrlegd is, door op
te merken, dat het niet de absolute waarde der drukking,

doch het verschil in druk van twee aan elkaar gren-
zende deelen is , die de snelheid van \'t geluid bepaalt;
door de warmte-ontwikkelingen in aanmerking te nemen
wordt dit verschil in beide gevallen grooter: bij de
verdunning door de temperatuursverlaging, bij de ver-
dichting door de temperatuursverhooging.

Doch in een paar volgende verhandelingen, wordt
dit bezwaar op geheel andere wijze te voorschijn
gebracht.

Zoo lezen wij:

Stel p = cl²q -j- a —waarin p de druk-
king, a de Newtonsche snelheid, n de dichtheid, «de
uitzettings coëfficiënt, & de temperatuur als de lucht-
massa in rust, de temperatuur, wanneer zij in
beweging is , dan is:

<Pz dp clo , . . dn „ d&

7- = — — — — er --a — fr,) ~ — a-a _T-

ar q dz Qdz Qdz dz

C ha 11 is heeft nu bezwaar tegen den term

a"a (O-— &,) ~ , daar deze in \'t verdunde en ver-
qdz

dichte gedeelte van den golf tegengestelde teekens
heeft, waaruit voor die beide gedeelten van den golf
verschillende voortplantingssnelheid zoude volgen.
En elders zegt hij:
Zij p = (fg 1 x, dan is

waarin «j de verdichting voorstelt,

Indien nu de tenn k<r en de volgende verwaarloosd
mogen worden, dan verkrijgt men het gewone resul-
taat , doch welk recht heeft men hiertoe ?

In Vol. 1, 4^e Ser., Philos. Magazine vinden we
omtrent dit zelfde punt, eenige opmerkingen van
Potter. Hij bespreekt het op eenigzins andere wijze,
aldus :

Neemt men geen warmte-ontwikkelingen in aanmer-
king , dan is p — a?Q ( 1 - - o) , waar p, a, q, a, de
bekende beteekenis hebben. Brengt men die tempera-
tuursveranderingen wel in rekening, dan is p — a²q
( 1 o 0 » waarbij

e=/(?)■

Nu zegt Poisson in zijne vroeger, door ons ver-
melde verhandeling: „à cause de la petitesse de
„on peut supposer, cette quantité £ proportionelle à
„0 et faire Ç = fi étant un coefficient positif et
„indépendant de a.\'\'

Potter meent dat men daartoe geen recht heeft en
dat men zou moeten stellen

Ç^o yrf ao»-!-. . . . . .
en in dat geval zou men de gewone formule niet ver-
krijgen.

Wij vinden hier aanleiding, een opstel van H. W.
Schröder van der Kolk te bespreken, waarop
wij later terugkomen en hetwelk in Bd. 124 van
Poggendorf\'s Annalen te vinden is. Men treft daar eene
theoretische ontwikkeling aan, waarbij van de mecha-
nische warmte-theorie gebruik gemaakt wordt, om aan
te toonen dat de formule voor de geluidssnelheid, zoo-
als La Place en Poisson, die ontwikkeld hebben,
onvolledig is. \'t Yalt echter niet moeijelijk aan te

wijzen dat het daar aangegevene in principe dezelfde
zaak betreft, die Challis en Potter 15 jaren vroe-
ger bespraken.

Van der Kolk\'s beschouwing komt hierop neêr.
Wanneer de veranderingen van volume en druk
eener gasmassa geschieden, zonder dat daarbij warmte
van buiten opgenomen of naar buiten afgegeven wordt,
dan volgen deze de wet:

waarin p\\ en p₀ de drukkingen, F, en F₀ de corres-
ponderende volumina en y de verhouding der specifieke

£

warmten — voorstelt.

c

Geschieden de volume- en drukveranderingen echter
bij standvastigen temperatuur, dan is de wet

_Pl=Po (£)

de eerste wet wordt door La Place, de tweede door
Newton, bij de volume en drukveranderingen, die
de voortplanting van \'t geluid te weeg brengen, aan-
genomen.

De vermeerdering van druk bij La Place is dus

en de verhouding dezer druk vermeerdering en de ver-
dichting is juist de door Poisson ingevoerde groot-
heid x, dus

Vo-r,

F_fl

Noemen wij F₀ — \\\\ , A V₁ dan wordt gemakkelijk

A V

enz.

derhalve is 1 —ae niet gelijk y of — , zooals Pois-

ö

son aangeeft. Ook bij Regnault, die deze ontwik-
keling van van der Kolk „tres remarquable" noemt,
den we nagenoeg dezelfde uitdrukking voor >e terug
(.Mémoires de V Academie T 37, Pag. 10). Hij schijnt
er zelfs hoog gewicht aan toe te kennen, daar hij er
de verklaring in zoekt zijner proeven, die bij vermin-
derde intensiteit een geringer waarde der voortplan-
tingssnelheid aangaven.

De nauwe overeenkomst, die er bestaat tusschen de
opmerkingen van Challis, P otter en van der Kolk
springt in \'t oog — alle komen blijkbaar daarop
neêr, dat de uitdrukking ¹ van Po is son niet uit
een enkelen term, maar uit een rij van termen behoort
te bestaan, waarin de opklimmende machten der ver-
A V

dichting a of —voorkomen. Doch bij die overeen-
»0

komst bestaat er ook een punt van verschil: terwijl
Challis en Potter eenerzijds beweren, dat door
het in rekening brengen dezer termen de snelheid der
verdichte golf vermeerderd , die der verdunde verminderd
wordt, en alzoo deze deelen met verschillende snelheid
sullen voortgeplant worden, zijn daarentegen Schröder
v. d. Kolk en Regnault eenstemmig in hun oordeel,
dat de invloed dier termen op beide deelen dezelfde
zal zijn. Wij lezen bij van der Kolk en Reg-
nault herhaalt het in nagenoeg dezelfde bewoordingen ;

„Bei dieser Ableitung wurde vorausgesetzt dass ein
„Wellenberg bei der Fortpflanzung vorangebt. Es
„hält aber nicht schwer einzusehen, dass die Formel
„auch beim vorangehenden Wellenthal gültig bleibt.
„Die Fortpflanzung der Welle, ist eine Fortpflan-
zung der Bewegung der Lufttheilchen, welche durch
„ein Druckunterschied veranlasst wird, in einem Falle
„zwischen den Wellenberg und der umgebenden Luft,
„im anderen, zwischen dieser Luft, und dem Wel-
„lenthal. Da nun aus den Formeln folgt, dass diese
„Differenzen gleich sind, so sind, auch beide Fälle
„identisch."

Hoe de formulen dat kunnen aantoonen, begrijpen
wij niet. Want A V heeft toch in het verdichte en in
het verdunde gedeelte van de golf tegengestelde
teekens, zoodat in de uitdrukking

resultaat voert: want in de uitdrukking voor 1 -j- %
mogen geen nieuwe termen , die de opklimmende mach-
ten der verdichting bevatten, worden bijgevoegd, ten
minste wanneer men uitgaat van de formule van

Deze formule toch is eene

benaderingsformule, die alleen dan geldig is, wanneer
de beide eerste der genoemde hypothesen vervuld zijn :
zij berust geheel op de verwaarloozing der tweede en
hoogere machten van de verdichting.

Wanneer men nu deze formule uitbreiden wil, door
daarin den invloed van warmtewerkingen op te nemen,
dan zal men daarbij dezelfde benaderingen als bij
den oorspronkelijken vorm hebben door te voeren.

Indien dus C hallis en Potter vragen, welk recht
men heeft in de uitdrukking £ — (3 a -f- / o² -j- . .. de 2^e
en hoogere machten te verwaarlozen , dan is ons and-
woord, dat men dat recht voorzeker niet zou hebben,
indien men eene volkomen juiste waarde voor de geluids-
snelheid wenschte te verkrijgen, maar dat dan ook de for-
mule van Newton geen beteekenis zou hebben. Wan-
neer echter door hen van die benaderingsformule gebruik
gemaakt wordt, waarbij juist die verwaarloozingen heb-
ben plaats gevonden, dan wordt het tevens noodzakelijk
in de uitdrukking voor £ alleen de term j3 a te behouden.

lijk, voor die gevallen, waarbij de waarde van a zeer
gering is, dan blijkt ook dat het ongeoorloofd
is, indien Schröder v. d. Kolk en Eegnault
hunne formulen toepassen op luchtbewegingen, veroor-
zaakt door een kanon- of pistoolschot.

En hiermede vervalt dan de eerste, ook door Pot-
ter gedeelde, bedenking van C hall is tegen de cor-
rectie van La Place.

Een tweede door hem aangevoerde grief bestaat
daarin, dat de temperatuursveranderingen, door plotse-
linge volumeverandering veroorzaakt, wel bew^rezen zijn,
voor begrensde ruimten, waar de wanden de oogen-
blikkelijke uitstraling verhinderen, doch dat zulks
geenszins het geval is, in eene onbegrensde ruimte
waar dat beletsel niet aanwezig is.

Deze onderscheiding zoude echter alleen dan juist
kunnen zijn, wanneer de lucht een aanmerkelijk uit-
stralend vermogen bezat, m. a. w. wanneer de lucht-
molenculen hunne levende kracht snel aan den ether
afgaven: want dan zoude werkelijk de wand van de
buis een beletsel kunnen zijn voor de opwekking der
bew^reging in den ether. Nu het echter uit TyndalFs
proeven gebleken is, dat de luchtmoleculen dat ver-
mogen niet, of slechts in zeer geringe mate bezitten,
nu zouden wij juist het omgekeerde meenen van het-
geen door C hall is beweerd wordt. Want verliezen
de luchtmoleculen hunne levende kracht niet door
opwekking van beweging in den ether, dan kan dit
alleen geschieden door dat zij tegen andere moleculen
aanstooten en deze in beweging brengen m. a. w. dan
kunnen zij alleen door geleiding warmte afgeven:
en blijkbaar is de gelegenheid hiertoe veel grooter
wanneer de luchtmoleculen tegen de wanden der buis
kunnen stooten, dan wanneer zij zooals in de onbe-
grensde ruimte slechts tegen elkaar kunnen raken.

Een merkwaardig bewijs voor den invloed van het
uitstralend vermogen op de geluidssnelheid en daarbij

ook eene indirecte bevestiging\' van de correctie van
La Place, biedt het olievormend gas aan. Volgens
proeven van Dulong is de snelheid van het geluid
in dat gas, wanneer die in de lucht — 1 gesteld wordt
= 0.9439 , terwijl, wanneer die snelheid volgens de
formule van La Place berekend wordt, men 1.0096
verkrijgt.

De berekening is geschied in de onderstelling, dat
het gas geen uitstralend vermogen heeft, doch nu
hebben Tyndall\'s proeven juist aangewezen dat het
olievormend gas zeer snel warmte uitstraalt, zoodat
hier de verandering van drukking en volume, bij de
voortplanting van het geluid, niet volgens de adiabati-
sche kromme, doch volgens eene die tusschen deze en
de isothermische ligt, zullen geschieden en alzoo voor

/ x y

y in de uitdrukking p\' =p₀(^y-J eene kleinere waarde

_c\'

dan — in rekening zal moeten gebrcht worden. In

c

dit uitstralend vermogen heeft men dus de verklaring
van het belangrijk verschil tusschen de theoretische
en experimentele waarde der geluidssnelheid in olie-
vormend gas.

Een laatste bezwaar door Challis aangevoerd en
mede door Potter vermeld is \'t volgende: overal,
zegt hij, ziet men dat er tijd noodig is, wanneer een
oorzaak eenig gevolg moet te weeg brengen, en nu
eischt de theorie van La Place dat op hetzelfde
oogenblik dat de volumeverandering intreedt, ook de
temperatuursverandering geschiedt.

Onzes inziens kan ook deze bedenking niet gelden,
want ook al ware \'t gansch algemeen waar, dat er

3*

tusschen oorzaak en gevolg eenigen tijd moet verloo-
pen, dan nog zonde die waarheid hier niet toepasselijk
zijn Want de volumeverandering zelve is toch niet
de oorzaak der temperatuursvermeerdering of ver-
mindering: beiden zijn gevolgen van één zelfden
oorzaak nl. van het verschil in drukking aan weers-
zijden van het laagje dat de verdichting of verdun-
ning ondergaat, En dat die verschillende veranderin-
gen gelijktijdig moeten plaatshebben, blijkt nog, wan-
neer we opmerken , dat bij iedere werking, op ieder
oogenblik de verbruikte arbeid gelijk moet zijn aan
het gewonnen arbeidsvermogen. Uit de eigenschappen
der gassen weet men, dat als er geen warmte opgeno-
men of afgegeven wordt, de arbeid bij volumeveran-
dering gedeeltelijk tot de druk-, gedeeltelijk tot de
temperatuursverandering gebruikt wordt: indien der-
halve die temperatuurs- en drukverandering eerst na
de volumeverandering intrad , dan zou er een oogen-
blik zijn, waarop het gewonnen arbeidsvermogen niet
gelijk was aan den verrichten arbeid: en dit is eene
ongerijmdheid.

Nu wij gezien hebben, dat de door Challis tegen
de theorie van Poisson aangevoerde bedenkingen een
redelijken grondslag missen, zullen wij in de tweede
plaats nog hebben na te gaan, wat de theorie is, die
door hem in de plaats wordt gesteld.

De vergelijkingen, die voorop gezet worden (P/dl.
Mag. XXXII) zijn :

„ ds . du ,ds.ds „ ds . dw

^a dx lT⁰>^a dy dt ^{= 0;<r}dz dl ⁼
ds , du . du , dw

j. j 7- -Y-— o]

dt dx dy dz

waarbij u, v, w de composanten der snelheden in een
punt (ar, t/, z) voorstellen en de beteekenis van s daar-
uit volgt, dat a? (1 -f- 5) de drukking in dat punt beteekent.

De drie eerste vergelijkingen komen overeen met
onze vergelijkingen (1), (2) en (3) Pag 13 , wanneer

₁ .... du du du

daarbij de producten u — , v y-, W enz. verwaar-

(J CV Clif UjZ>

loosd worden.

De vierde vergelijking heeft dezelfde beteekenis als
onze vergelijking (5) en kan op dezelfde wijze wor-

ds ds ds

den afgeleid, wanneer de producten u —, v — , w —

au az

weder verwaarloosd worden.

Uit deze vergelijkingen wordt u, v en w door dif-
ferentiatie gemakkelijk geelimineerd, zoodat de verge-
lijking volgt:

d²s_ „ /d³s d²s . d²s\\

Tt² — ^a\' W dtf di²)\'

Is s de integraal dezer vergelijking, dan volgt uit
de drie vergelijkingen:

d fsdt d fsdt

^J ■ ,~c- ■

d ƒ\'s dt

w—C"— „

dz

Daar de aard der beweging periodiek is, zal C, C\', Q"—o
gesteld kunnen worden en dus als —a\' fsdt —ip ge-
steld wordt:

^v ~ \'jj» ^w ~ ~cf^{Gn a}^^zo° • udx vdy wdz—dxji.

Volgens C hal lis moet nu aan de voorwaarde, dat
udx -f- vdy -f- tvdz een totale differentiaal is, voldaan
worden, op eene wijze, die geheel onafhankelijk is
van de oorspronkelijke beweging der vloeistof. Wij
merken echter op, dat aan deze voorwaarde reeds vol-
daan is, wanneer wij niet de nauwkeurige , doch de
benaderde vergelijkingen tot grondslag der redenering
leggen.

Aan die voorwaarde zou nu voldaan worden, door te
stellen xp = f X cp, waarbij f een functie is, die alleen
en y, (p eene, die alleen z en t bevat, want dan is

df df „ dep

^M==9,rf*\' ^V = ^(fdy\' ^W = ^ftz ^en
udx -f- vdy -f- ivdz = cp (^~dx-\\- — dy^j -f- f dz,

ij

dat is , de totale differentiaal van f. cp.

Waartoe deze onderstelling van xp — f. <p dient, is
ons volkomen onduidelijk, want \'t zij men stelle

f

xp — f X cp, \'t zij xp — — of wat dan ook, altijd zal,

wanneer voor u, v, w de behoorlijke waarden gesub-
stitueerd worden, ook voor udx vdy ivdz de totale
differentiaal verkregen worden der uitdrukking, die
voor ip in de plaats werd gesteld.

Integendeel, de onderstelling ip — f X cp, waarbij
f en cp de gemelde beteekenis hebben, komt ons voor
eene beperking der algemeenheid van ip te zijn. Indien
echter de hier voorkomende functien, sinus- of cosinus-
functien zijn, dan zal, daar een product van sinussen
of cosinussen altijd tot een som of verschil herleid
kan worden, de vorm f X cp altijd weer tot xp, eene

functie, waarin alle veranderlijken voorkomen terug
gebracht kunnen worden. In dit geval zal alzoo de
splitsing van ip, zonder aan de algemeenheid te kort
te doen, mogen plaats vinden, mits men daaraan dan
ook geen andere beteekenis toekenne, dan die van een
analytisch hulpmiddel ter bepaling van ip te zijn.

Door die onderstelling gaat de vergelijking

d²s „ /d²s , d\'s , d²s

— » v - ; 

dt² \\dx\' dy² dz

d²<p , d²(p a² /d² ï , d \'f \\
— = -h <P-

dX^l dx- "^r /\' Vdx\' ^ difJ
Daar nu deze vergelijking eene lineaire met con-
stante coefficienten behoort te zijn, wordt de coefficient
van cp gelijk —1/ gesteld, waardoor die vergelijking
in de twee volgende overgaat:
d²cp ₃ d²cp

X5 ^b\'^2<p = ⁰ »

d.x² dy² a²
Men zou nu verwachten, dat uit de beide vergelij-
kingen door integratie f en qp zouden worden opgelost
om daaruit door vermenigvuldiging ip te vinden, waar-
uit verder u, v en w zouden worden afgeleid. C hall is
doet dit echter niet en houdt zich uitsluitend met de
eerste vergelijking bezig, waaruit hij voor cp vindt:

2;r / I / 777^ , ,

ip — m. cos. — f z — at y/ 1 -j- c

waarin e = — en m, X en c\' willekeurige stand-

d(p

vastigen voorstellen- Daar nu 10 = f -j-, xolgt hieruit

2tt f T /" el² \\

w — jx. f. sin-y h — al y 1 -f- e\' J

f dy

en as — —

a at

. 2tt/ I / el\' \\

sin. y\\^z — ^at y ¹ —2 c y

„It hence appears that the veloeity of propagation,

e\'/.²
1 4--

7r -

\'t Komt ons voor, dat C hallis alleen tot deze
vreemde resultaten kan geraken, door aan ieder der
beide vergelijkingen, die cp en f bepalen, op zich zelf
eene physische beteekenis toe te kennen: en deze
bezitten zij in geenen deele, daar zij hun oorsprong
verschuldigd zijn aan eene analytische kunstgreep.
Alleen gezamenlijk kunnen zij ter bepaling van cp die-
nen , maar ook tot geen ander doel. En gebruikt men
ze hiertoe, dan wordt voor de theoretische geluidssnel-
snelheid de gewone waarde a gevonden. Dit heeft
Airy (P/dl. Mag. Vol. XXXII) in eene bestrijding
van C hal lis meeningen aangetoond.

d²f d²f if
Uit de vergelijking — — -f- —f = o, volgt

voor /, de waarde A. cos (pa qy B) waarin
A en B willekeurige constanten en de beteeke-

b² e

nis van p en q uit de betrekking p² -j- q*\' = — -g

volgt. Deze waarde van f nu vermenigvuldigende met
de vroeger gevondene van qp, hebben wij:

fXcp = A cos. — (\' z — at j/ 1 c\'^. cos(/w -j- qy -\\-B)
= A ctw (pa? qy 4- s — 2at j,/ e ~ c)

/ 2-T 1 / ^

A cos qy — ~ * 2a£ (/ e j;

Uit deze waarde van q> worden u, v en w door
differentiatie ten opzichte van x, y en z afgeleid.

De beide termen van ip, stellen ieder eene vlakke
golf voor, waarvan wij er ééne zullen beschouwen.
De vergelijking van dat vlak is blijkbaar:

M^27r n
px - - q y -r z = I).

/v

Noemen wij den normaal uit den oorsprong op dat vlak

^2ïr . .

y z px qy

neergelaten /?, dan is deze: R ■■

V (¥)\' ?\' »\'

— t 4- px 4- qy
of daar p\'³ 4- q² — A e , R = —--- en

px jy yZ = 2 j/ 6 4- y X iï. Voeren wij
deze waarde in, in de uitdrukking
ip = A cos (px qy 4-y z — 2 at j/" _e 4. ^--fC\'),

dan is t/\' = ^ ( ² l⁷^ ^e ^ — ^a 0

waaruit blijkt dat de voortplantingssnelheid geene
andere is dan a.

Het verdere betoog van C hal lis is voornamelijk
gewijd aan de vlakke en spherische geluidsgolven.
Hij beweert dat dergelijke golven niet bestaan kunnen
en leidt daaruit de gevolgtrekking af, dat alle bepa-
lingen van geluidssnelheid, waarbij die soort van gol-
ven ondersteld worden, onjuist moeten zijn. Ten
einde dit voor de vlakke golven aan te toonen, be-
schouwt hij de meer nauwkeurige bewegingsvergelij-
king (dezelfde die bij Poisson voorkomt):

dhP_f_t dip²\\ d\\p dij, dhp
dt² \\^a cWJ dz\'² dz \' dz. dt~°\'

Waarvan een particuliere integraal is

f(z — {a w) f).

f is een willekeurige functie, wij kunnen dus stellen:
w = m sin. (z — (a w) t\\

Uit deze vergelijking volgt, dat w — m zal zijn, indien

w/L n\'il

z — dus als z — (a m) t -f

tiX

en dat w = o, zal zijn, als z — a l -f- —-; indien
til

dus t = —-- is» dan zal voor dezelfde waarde van
4 m

z, W — o en w = maximum zijn. Daar dit nu eene
ongerijmdheid is, komt C hallis tot het besluit, dat
vlakke golven niet bestaan kunnen.

Ten einde de juistheid van dit beweren te onder-
zoeken willen wij met Stokes (PUI. Mag. Vol.
XXXIII) den aard nagaan van den golf, die door de

vergelijking iv = m sin. — 2 — (a -)- w) / ^ wordt

voorgesteld, \'t Blijkt reeds terstond uit deze vergelij-
king (gelijk ook reeds vroeger is opgemerkt) dat de
vorm van de golf voortdurend veranderen moet, daar
de verschillende deelen met verschillende snelheid wor-
den voortgeplant: van daar dat de golf bij het toene-
men van t, hoe langer hoe meer asymmetrisch worden
zal, daar de deelen welke de voortplantingssnelheid
a -j- m hebben vóór zullen komen, terwijl die welke
met een snelheid a — m worden voortgeplant meer en
meer zullen achterblijven.

De volgende figuren stellen 3 op elkaar volgende
toestanden van de golf voor:

Fig 3.

x in

\'t Is echter licht in te zien dat er een grens voor
die vormverandering aan te wijzen is, die dan zal
ontstaan wanneer de raaklijn in b loodrecht op a c is
geworden. De tijd waarop dit plaats heeft, kan aldus
gevonden worden:

2tt

uit w = m , sin. — (z ■— (a w) t^ , volgt

dw 2 re / , / dw

_r(.-(« «) i) {i-s-.ji

2_n

in de punten waar w = o is, is cos. —- fz — (a -f- w) i j =

A ^

. dw 2ïr / , div. \\ „ dw

±1 en dus , = -f- m -- M — , )i t^- =

dz — y dz J dz

2n m

2tü m t A ¹

Beschouwen wij nu de punten waarvoor het nega-

_ _ _ . ,. I dw

tieve teeken geldt, dan wordt bn t — ~—- > — = cc
^ö j 2n m dz

d. w. z. hij eene oneindige kleine verandering van a
geschiedt eene eindige verandering van w: blijkbaar
zijn wij hier aan een grens voor de vormverandering
en wanneer C hallis nu waarden van w beschouwt
l

waarbij t — op een later tijdstip alzoo dan waarbij

= wordt, dan strekt hij zijne beschouwingen

uit over den grens, die door het vraagstuk zelve aan-
gewezen wordt C hall is ontkent het optreden van
dien grens niet, doch ziet daarin een bewijs te meer
voor de onbestaanbaarheid van vlakke golven. Wij
zouden echter meenen dat die conclusie daaruit niet
kan getrokken worden: alleen blijkt dat de golf lang-
zamerhand van aard verandert en wel te langzamer
naarmate het geluid minder intensiteit heeft, terwijl
na verloop van tijd een streven naar discontinuiteit
intreedt. Uit den aard der zaak kan die door de ana-

lyse aangewezen discontinuïteit niet ontstaan: ver-
schillende omstandigheden, die bij de analytische
beschouwingen niet in aanmerking komen, zullen
daarvan rekenschap moeten geven. Door A i r y , S t o-
kes en Earnshaw zijn verschillende onderstellingen
gemaakt omtrent den aard der beweging, nadat die
analytische discontinuiteit is ingetreden: de behande-
ling daarvan ligt echter buiten ons onderwerp.

Dat ook spherische golven niet bestaan kunnen,
tracht C hal lis af te leiden uit een beginsel, dat door
hem van „constancy of mass" genoemd wordt.

Hij redeneert aldus: Zij s de verdichting in zeker
deel van eene spherische golf, dan hebben wij

m . 2tt
as — — sin.-,- (r — at),
r X

Bij eene bepaalde phase, blijkt alzoo uit deze ver-
gelijkingen dat s omgekeerd evenredig is met r. Maar
als Si en s₂ de verdichtingen zijn op afstanden r_x en r₂
en wij eene spherische schaal van de dikte cc beschou-
wen dan vordert het beginsel van „constancy of mass"
dat 2jt ?y s₃ u — 2n r,² s, u of r₃² s, — r? zij , dat is, dat
s omgekeerd evenredig zij met het vierkant van r; de
vergelijking der spherische golven gaf echter aan dat
s omgekeerd evenredig is met r; die twee uitkomsten
zijn met elkaar in strijd; ergo spherische golven kun-
nen niet bestaan.

Daar dit beginsel van „constancy of mass" ons ge-
heel onbekend is en \'t niet nader blijkt wat C hallis
daaronder verstaat, is het gelukkig dat C hal lis zijne
bezwaren tegen de spherische golven nog in een anderen
vcrm brengt, waaruit zijne bedoelingen, gemakkelijker
te begrijpen zijn.

Hebben wij nl. weêr:

, = t{at-r)
ar

en zij 2f de golflengte, dan is er geen verdichting
noch verdunning voor waarden van r > at f ^en
< at — f : de luchtmassa die zich in den toestand
van beweging tusschen deze beide waarden van r meer
bevindt, dan in den toestand van rust kan voorgesteld
worden door

\'at s C at f

4tt r^s 5 dr = 4tt I ^ / (at — r)
I , ^ar

at — r J at —i

of wanneer wij voor r de gemiddelde waarde al in-
voeren , kan bij benadering gesteld worden:

/at f nat f

^r) dr — Anl I f(at-r)dr.

at— f J at— f

Stellen we de waarde van dien integraal — A dan

4tt r²s dr — 4n. Al — en, roept

at— f

C hal lis uit: „the matter increases in quantity with
the time": tegen zulk eene gevolgtrekking zijn de
spherische golven niet bestand en ook deze hebben geen
recht van bestaan. Ten overvloede voegt Challis er
bij: iedere poging om die moeijelijkheid uit den weg
te ruimen is _!;illogical."

En toch kan dit, meenen wij, geschieden: onge-
twijfeld zal de uitdrukking An. At met toenemende
waarden van t grooter worden, behoudens ééne uit-

zondering, die uit het oog verloren is, \'t geval nl.
waarbij A~o is; dan zal die uitdrukking bestendig
= o blijven. En die uitzondering heeft hier werkelijk
plaats, want

\'at t r — at t

f (al — r) dr = j q> (at — r) j =: .

cit— f r — at — f

Indien wij f (at — r) door eene kromme voorstellen
is qp blijkbaar een inhoud en cp (—e) — cp (e) stelt dan
den inhoud voor van de kromme tusschen twee
ordinaten, die op de golflengte van elkaar verwijderd
zijn. Daar nu bij eene golf, tusschen tweepunten, die
op de golflengte van elkaar verwijderd zijn dezelfde
grootheden, die positief voorkomen, ook als negatieve
verschijnen, zal cp (— e) — cp (f) = o zijn. Derhalve
is ook A = o en vervalt het bezwaar tegen de spheri-
sche golven.

Ten slotte keert Challis nogmaals tot zijne oor-
spronkelijke hypothese terug, waarbij hij aanneemt
dat in de uitdrukking wdz vdy -f- wdz = dy, het
product der functien cp en f is: hij maakt daar nu ge-
bruik van, om de waarde der uitdrukking voor de

geluid snelheid nl. «1/ 1 -f- — te berekenen.

r ti²

d²f d²l

De vergelijking —~ V 4ef = o heeft tot integraal,

u x tl \'j

wanneer x"y² ~ r* genomen wordt:

De uitdrukking voor de verdichting is f. dus voor

f = o is ook deze = o. Zoeken wij nu de wortels der
vergelijking in r,

_g2 _ri _è% _re

1 _p -4_ -- ---u — o

1².2² 1².2².3^S \' \' \' \'
dan heeft men in die wortels de plaatsen waar geen
verdichting is; door eene omvorming dezer vergelijking
wordt voor de limiet van het verschil van twee derge-

1

lijke opvolgende wortels de uitdrukking gevon-

¹ e

den; doch dat verschil is juist de halve golflengte,

dus = \\ of el- — 4.
^K e 2

Derhalve wordt de uitdrukking voor de geluids-
snelheid:

a 1/ 1 --, = a 1/ 1 4- = a 1/ 1.4053

^r n" * \' n ^r

Wij hebben echter reeds opgemerkt, dat deze waarde
geheel gebaseerd is op de beschouwing van één der
factoren, waarin de functie \\p door Challis wille-
keurig gesplitst wordt en tevens, dat zoo de tweede
factor mede in rekening wordt gebracht, men geen
andere waarde voor de geluidssnelheid verkrijgt, dan
de Newtonsche waarde a.

b Theorie van Polier.

Evenals Challis zoekt ook Potter (P/iil. Mag.
4\' Serie Vol. I) eene theoretische uitdrukking voor de
geluidssnelheid te krijgen, die met de experimentele

waarde in overeenstemming is, zonder de warmte-
werkingen in aanmerking te nemen. Hij komt daartoe
door van eene bepaalde hypothese uit te gaan, betref-
fende de constitutie der gassen.

Hij neemt aan dat de lucht eene homogene vloeistof
is, waarin de atomen (moleculen) als cubi gerangschikt
zijn. Is dan p, de drukking, ,o, de dichtheid, V₁ het
volume van zekere gasmassa en 2r_x de afstand dei-
middelpunten van twee aan elkaar grenzende atomen
(moleculen) — zijn verder p\\ o\', V\\ 2r\' die zelfde
grootheden nadat \'t volume eene wijziging heeft onder-
gaan , dan is volgens de wet van Boyle:

p\' q\' V, ^r!

^rp_/ ~~ o ~ V\' ~~ r\'³ \'

of als p = xo is :

/ ^rJ\' __ * X massa van een atoom.

P = y. ⁼......

^Fig- Zij nu a, b, c,

de middenpun-
ten van drie
in de richting

o a, b c ct V r
~~-\'- ... ... ,j_er beweging

aan elkaar
grenzende
atomen (mole-
culen) als de gasmassa in rust is — «, (3, y die
zelfde punten, wanneer er beweging plaats heeft.
Is dan:

Ob = x, Op— y, ab — bc = 2r =2dx, «/3 = 2r\', py = 2r".

Nu is (2 dx)² een zijvlak van den cubus waarvan
b het middenpunt is en alzoo (2 Sy)² dat van den

4

cubus, die (3 tot middenpunt heeft. Zijn verder y\' en

y" de abscissen der zijvlakken van den cubus dan is :

.....

De bewegingsvergelijking van het atoom (molecule)
is:

d³y verschil van druk op beide zijvlakken
df massa van een atoom

x m xm

m

- ₂ ^x r"³

^d2y ^8x\\ V ^h<

2 * i ^J dx¹\' 1.2 ¹ "V \\dx"" \' dx\' 1 2

3 d²y

2 \' / dy

\\dx

Verwaarlozen wij de hoogere termen dezer reeks en

.. dy , , . d~y 3 d²y
stellen wij — = 1, dan is — = — * waaruit voor de

geluidssnelheid de waarde^/"* volgt: doch blij-
kens het voorgaande is ^ x de Newtonsche snelheid
derhalve is de correctie factor van Potter VïX"

Ook al. waren er geene bedenkingen aan te voeren
tegen de vreemde constitutie, welke de gassen volgens
deze redeneringen hebben zouden, dan zoude het toch

niet zwaar zijn, de fout in Potter\'s berekening aan
te wijzen, zooals door Haugthon is geschied.

Fig. 5.

b y

Bij de beschouwing van den cubus, waarvan ft het
middenpunt uitmaakt, is ter berekening van het ver-
schil in druk op de beide zijvlakken, de uitdrukking
(2 dy)¹ voor hunne grootte ingevoerd — blijkbaar is
dit onjuist, want het zijvlak abeel is = (2r\')² en het
zijvlak a\' b\' c\' d\' = (2r")\\

Voeren wij deze waarden in, dan is:

um

(2r")³

dl"

dx d^!x 1.2

dy _%

rr-ox

dx

djl
dx²

dy^{x 2}

dx _J

1  (r\' r")"

tW - " fdyW\' ^ dx - * s⁰⁰"¹"⁴ - * dx-

\\dx )

waaruit V x de Newtonschc waarde voor de geluids-
snelheid volgt.

c. Theorie van Earnshaw.

Terwijl Potter meende dat in de theorie van La
Place ten onrechte warmtewerkingen in rekening wer-
den gebracht, ontmoeten wij in Yol. XIX en XX
Pïtil. Mag. 4^e Serie eene theorie van Earnshaw, die
in een ander pnnt van de gewone beschouwingen af-
wijkt. Vóór hij echter tot die beschouwingen overgaat,
wil hij onderzoeken in hoeverre er overeenstemming
is, tusschen de theoretische waarde van La Place en
de experimenteel gevondene.

Hij meent dat die overeenstemming slechts ten
deele bestaat en dat er altijd een verschil van 7,32
of 23,18 Meter tusschen beide waarden blijft. En
daarenboven — wanneer men de proeven nagaat,
die na 1816 (toen La Place\'s correctie bekend werd)
genomen, zijn is het, altijd volgens Earnshaw,
„impossible not to notice a very sudden and startling
change.\'\' Eveneens zou ook ter verkrijging van meer-
dere overeenstemming, de waarde van y. in de handen
der physici allengs grooter zijn geworden , totdat ze
nu nagenoeg voldoende is, om de theorie van La
Place te kunnen bevestigen.

Deze onwaardige beschuldiging, gericht tegen de
eminente mannen, die hunne krachten aan dit onder-

werp hebben gewijd, mist allen grond. Wanneer wij
de uitkomsten der proeven overzien, dan blijkt \'t ter-
stond dat deze in volkomen tegenspraak zijn met
Earnshaw\'s beweren. De voornaamste dezer proe«
ven gaven \'t volgende resultaat;

I Waarnemer,

Cassini, c. s.
Espinoza.
Benzenberg.
Arago, c. s.
Moll & v. Beek.
Goldingham.

„A sudden and startlir.g change\'\' zien wij in de
uitkomsten dezer proeven niet.

Omtrent x hebben de proeven het volgende geleerd:

i Clément & Désormes, 1.354
(Gay-Lussac & Weiter. 1.3748
, Weisbach 1). 1.41

1816 Masson. 1.4 >9

\' Hirn 2). 1,3845

Werkelijk zien wij hier, dat latere proefnemingen
eene grootere waarde voor x hebben opgeleverd: maar
moet deze toename nu verklaard worden door het ver-
langen der physici om de theorie van La Place
bevestigd te zien? Is het niet veel natuurlijker, de
oorzaak van die toename te zoeken in grootere nauw-
keurigheid der proeven, waarbij meer voldaan werd
aan den eisch, dat de volumeveranderingen geschieden

zonder warmte-opname van of warmte-afgifte naar
buiten ?

Earnshaw\'s bemerking, dat de waarde der uitdruk-
king j/"^ • ; i of 23.18 M. te klein is al naar

dat men 332.45 of 348.31 voor de experimentele
waarde aanneemt, komt ons evenzeer onjuist voor.

Want de Newtonsche snelheid"j/^ ^ nagenoeg = 280

£

M. zijnde, vindt men als , — 1.41 genomen wordt

voor de theoretische snelheid 280 VÏAl = 332.4 M.,
eene waarde, die zeer weinig afwijkt van het gemid-
delde der vroeger genomen proeven.

Was Earnshaw\'s beweren juist, dan zoude de
theoretische waarde 325.13 M. bedragen, eene waarde

q

die alleen kan verkregen worden, door voor aan te

c

nemen de waarde die Clément en Désormes daar-
voor gevonden hebben.

Ten einde nu dit vermeende verschil te kunnen
verklaren, merkt Earnshaw op, dat bij de gewone
beschouwingen over beweging van luchtdeeltjes een
groote fout daardoor gemaakt wordt, dat men aan-
neemt dat die beweging alleen veroorzaakt wordt, door
de werking der onmiddellijk aangrenzende deeltjes.

Beschouwen wij een rij
„ „ „ luchtdeeltjes B, E, F, enz.,

D E F G K X ^J ..

. ....... . neemt men gewoonlijk

aan, dat een deeltje F, al-
leen gedrukt wordt door E en G, zoodat de beweging

van F door het verschil dier drukkingen veroorzaakt
wordt. Dit nu zegt Earnshaw is eene onjuistheid,
want de beweging van F wordt eenerzij ds zooweel door
E, als door D, C enz. en aan de andere zijde behalve
door Gr, ook door H, /, enz. veroorzaakt. Zoeken
wij in deze onderstelling de kracht, waardoor het
deeltje F bewogen wordt.

Zij daartoe z de afstand der deeltjes D en II tot F
in den toestand van rust, en f (z) de door deze deelt-
jes op F uitgeoefende kracht. Laten Q(!>j (j OC Cïl OC de
de respectieve verplaatsingen van D, F en H in den
bewegingstoestand zijn, dan is de afstand van

ü tot F — z -f- X — x_/
en van II tot F — z -f- x_/ — x geworden , en

derhalve de door deze 2 deeltjes op F uitgeoefende kracht:

mf{z-\\-u: — x_/)—m f(z^Jrx\' —x)=.—mf\'(z) — 2#-fV),
aannemende dat x — x_/ en x\' — x zeer klein zijn, ten
opzichte van z.

Zij nu h de afstand van twee deeltjes, en laten de
verplaatsingen van 1), E, F, G, H enz. respectieve-
lijk aangeduid worden door ^xr 1 ^enz-
dan is de bewegingsvergelijking van F:

\' = f\'(h) (s_{r 1} -2x_r x_{r l}-) f\'(2h)x_r_₃ 2x_r ay ₂)
f\'(31i) _Kx_r__s—2x_r «_r 3) .•••(!)

Neemt men nu aan dat x_r van den vorm A_r cos Kt
is, dan vindt Earnshaw voor den integraal dezer
vergelijking:

x_r — A cos (Kt — 2r 9), waarbij

] Kⁱ = (ih)m^t& f\'(2h)Hn^,2& f\'(3h)sin*3& ......

Dan is nl.:

d\'xf

— — AIP cos (Kt — 2r &) =

Cf/O

f\'(h) sin-O- f\'(2h) sin\'V •■•■•!

en

X_f-J -2X_r ] _J_ J —

A J cos(Kt~2{r-V_Jd)~2cos(Kt-2rd-) 2cos(Kt-2{r l)&) j

--A cos{Kt—2r&) (1 —sin2)0- = — 4A cos(Kt~2r d) shfiï.
Derhalve:

f\' (h) (x_r—i —2x_r -hv ₁) —
— AA cos (Kt — 2r&) f\' (2h) sitfd, evenzoo
f\' (2h) (x_r—2 — ?^xr r—2) —
— 4 A cos (Kt — 2r&) f\' (2h) sinHö enz.

Het blijkt alzoo dat de waarde x_r = A cos(Kt —
waarin K de aangegeven beteekenis heeft, aan de ver-
gelijking (1) voldoet.

i

Is nu 1 de golflengte, dan zal als r met — toeneemt

tl

x_r zijne zelfde waarde moeten behouden. Derhalve
x_r — A cos (Kt — 2r&) = A cos Kt — 2 (V  ,

⁷¹h

waaruit & — —. Is verder v de voortplantingssnel-
heid, dan zal x_r ook niet veranderen, wanneer t met

— toeneemt, dus:
v

x_r — A cos (Kt — 2r&) == A cos ^K^t -f 2r&\\ der-

(f\' (h) sin- (2h) sin² .....) »

of omdat Ö- altij 1 klein is:

= h (l² f\' (h) 2² f\' (2h) 3²/\' (3A) .....Y*

Vervolgens zoekt Earnshaw wat de snelheid zijn
zoude in de onderstelling dat de beweging in F alleen
door E en G veroorzaakt wordt. Dan zoude de kracht,
werkzaam in E en in G zijn:

mF (h) = mf(h) mf(2h) -f-......

Hieruit volgt voor de bewegingsvergelijking van het
deeltje F, wanneer de verplaatsing der deeltjes E,
F, G, weder door ,  worden aange-

wezen :
d²x_r

——~ — F\'(J%) (x_r—\\ —2oc_r #r 0, waaruit op dezelfde

cvl

wijze w^rordt gevonden voor de voortplantingssnelheid

a = hVF\\h) = h (f\\h) r(2A); .....)^?I

Deze uitdrukking van a moet nu overeenkomen met
de waarde j/ £

en hiervan maakt Earnshaw ge-
bruik om aan zijn uitdrukking v eenige beteekenis
toe te kennen, daar zij , zooals zij opgegeven is, om
het daarin voorkomen van h onbruikbaar zoude zijn.
Wij hebben namelijk:

v_ ₌ /Vf\'(h) ?f(h)
a \\ f>_{h) f\'Vh)

G v

Zij nu f\' (h) =■—dan wordt — =

Place zoude dus V\\ 522 in de uitdrukking voor de
geluidssnelheid moeten geschreven worden. Wij mer-
ken op, hoewel Earnshaw het tegendeel beweert,
dat deze factor een veel minder goede overeenkomst
tusschen de theoretische en experimentele waarde daar-
stelt. Want de Newtonsche snelheid nagenoeg 280
M. zijnde, is de door deze theorie aangewezen waarde

280 1/2.522 = 345.5 M. terwijl de meest nauwkeurige
proeven eene waarde tusschen 330 en 333 M. aangeven.

Doch, afgescheiden van deze meerdere of minder
overeenstemming, meenen wij andere bedenkingen tegen
Earnshaw\'s ontwikkeling te kunnen aanvoeren,
welke hier volgen.

Allereerst is het duidelijk, dat noch de uitdrukking
voor v, noch die voor a eenige beteekenis heeft, van
wege het voorkomen van h ; dat die beteekenis alleen ont-
staat door in de verhouding van v en a, f\' (h) = —

t

te stellen, en a gelijk te stellen

tonsche snelheid.

Maar welk recht heeft men hiertoe, waarom wordt

q

f\' (h) = — gesteld? Wij zouden gelooven, dat de

z

eenige reden, die hier voor bestaan kan, is, dat alleen
deze waarde een eenigzins geschikt resultaat oplevert:
er zoude wellicht meer grond bestaan de kracht werk-
zaam tusschen twee deeltjes omgekeerd evenredig met

den afstand te stellen, waardoor f\' (h) — ™ wordt,

doch dan zoude zijn:

v a 1 4-1 1....... ¹

-¹ I I y 2 r

Daar nu Earnshaw\'s resultaten geheel afhangen
van de waarde die voor f (h) aangenomen wordt, volgt
hieruit dat zoo lang de juistheid van die aanname
niet bewezen is, ook zijne theorie nadere bevestiging
behoeft.

Doch er is meer: de uitdrukking voor a mag
niet gel ij k gesteld worden met de New-

^diVi

Om dit aan te toonen, willen we de beide bewe-
gingsvergelijkingen waaruit v en a zijn afgeleid, nade-
beschouwen, Deze zijn:

voor v. = Ov—i — 2x_r -f f\' (h) -f

—2x_r -f-a?_{r 2} f\' (2h)

voor a: ^ = Or-i -2r_r "K 0 (f\'(h) fW •••)
de eerste vergelijking gaat in de tweede over, wan-

neer x_{r x} , i ^xr—3 ^enz allen = ^xr—\\ gesteld

worden.

De Newtonsche snelheid zoude dus daarom van de
gecorrigeerde verschillen, omdat bij de eerste, alle
deeltjes eenerzijds en alle deeltjes aan de andere z^;jde
van F, waarvan wij de beweging beschouwen, dezelfde
verplaatsingen zouden ondergaan. Maar als deze aan-
name noodzakelijk is om de uitdrukking:

a = h (f\' (h) f\' (2h) .....)*

te kunnen verkrijgen, dan verliest a hierdoor alle
beteekenis, want door de aanname van gelijke ver-
plaatsingen van alle deeltjes vervallen de begrippen
van verdichting, verdunning, golf en alzoo van voort-
planting van geluid. En daar nu Newton en zij,

die na hem de waarde gevonden hebben j uist

uit die verdichtingen en verdunningen hunne theorie

afleidden, kan de uitdrukking h (f\'(h) f\'$h)

nooit identisch zijn met

In een paar volgende stukken breidt Earnshaw
deze beschouwingen uit op de voortplanting van bizon-
der sterke geluiden.

Hij meent dat het bekende, in de reisbeschrijving
van Parry verhaalde feit, waarbij het kanonschot
vóór het commando tot afvuren gehoord werd en uit
de door Montigny beschrevene waarnemingen omtrent
de snelheid van den donder, (Bulletins de VAcademie
de Belffique) genoegzaam bewezen hebben dat een zeer

intens geluid zich sneller dan een gewoon geluid
voortplant. Hij tracht dit uit zijne theorie af te lei-
den, en komt werkelijk tot het resultaat dat de voort-
plantingssnelheid onbepaald met de sterkte van het
geluid zou toenemen. Hij komt daartoe op de vol-
gende wijze.

Als integraal voor de vergelijkingen:

= f\' (h) (xr-i —2x_{r l} )

f\\2h) (x_r_₂ -2x_r -MV 0 .....

is aangenomen x_r — A_r cos ( Kt), waarin A_r en K de
bepaalde beteekenis hadden, en hiertegen bestond geen
bezwaar omdat de periodieke beweging van het geluid
juist een sinus of cosinus functie vorderde. Nu echter
doet Earnshaw eene andere onderstelling en stelt
x_r —A_r e Kt — waarbij A_r — Ca 2r -f- c\'a —2r en

IP = f\'(h) .(a — a-J f\'(2h) (V — «~³)²H-----

waaruit, evenals vroeger voor de snelheid van het
geluid wordt gevonden:

hli ]) / \\

» = w«⁼ W« («*>(«-■<-\'

daar nu «— a^-1 alle mogelijke waarden van o af kan
bezitten, zoude hieruit volgen dat daarom ook v onbe-
paald kan toenemen.

\'t Komt ons echter voor, dat juist die aanname
x_r — A_r e Kt aan "t eigenlijke physische of mecha-
nische vraagstuk vreemd is en dat daarom, hoe ver-
nuftig zijne mathematische ontwikkelingen ook zijn
mogen, aan zijne resultaten voor de theorie van de
voortplanting van het geluid geene waarde mag woor-
den toegekend.

d. Theorie van Duhamel.

Onder hen, die de uitdrukking v = y/ Jjj . —-,

bestrijden, niet zoozeer, omdat hij opkomt tegen het
in rekening brengen van warmtont wikkelingen, als wel
omdat hij meent, dat aan die formule eene onjuiste
opvatting van de constitutie der lucht ten grondslag
ligt, behoort ook D u h a m e 1 wiens beschouwingen
daaromtrent in deel LY der Comptes Rendus voorkomen.
Hij meent, dat men ten onrechte aanneemt, dat wan-
neer de temperatuur van een gasmassa dezelfde blijft,
de drukking en dichtheid in dezelfde verhouding ver-
anderen, zoowel in den staat van beweging als in
dien van rust.

Tot grondslag zijner beschouwingen legt Du ham el
de formulen van P o i s s o n 1) , die de elasticiteits-
krachten aanduiden, welke ontstaan _t wanneer een
homogeen lichaam door eene constante kracht gedrukt
wordt. Zijn u, v, w de veranderingen der coordinaten
x, y, z; — de hoeken die de normaal op het

element, waarop de drukking beschouwd wordt, met
de assen maakt; 1, v de hoeken die de richting
der drukking daarmede maakt, dan zijn deze verge-
lijkingen :

/ / du\\ , / du dv dw\\\\

p.«..»=(*(! _S) *(8 Tx Aj dd)™"

du , /du dv\\\\ f du , /du dw\\\\

^Kdy * W ito)\' (ƒ 3T Kdz S)F"■⁷

1) Journal de 1\'Eeole Polytechnique Cahier 20, Tome XIII,
pag. 46.

K en k zijn constanten afhankelijk van de grootte
van den druk en van den aard van het lichaam, dat
de drukking ondergaat.

Deze vergelijkingen gelden voor een vast lichaam,
omdat zij alleen juist zijn in de onderstelling dat de
verplaatsingen der deeltjes uiterst gering zijn; doch
daar bij de voortplanting van het geluid, die geringe
verplaatsingen aangenomen kunnen worden, kunnen
zij ook voor dat geval dienen. Zij ondergaan echter
eenige vereenvoudiging door toepassing der eigenschap-
pen van de gassen.

D u h a m e 1 meent nl., dat wanneer de moleculen
eener gasmassa verplaatsingen ondergaan, de nieuwe
evenwichtstoestand, waarbij de afstand der moleculen ver-
anderd is, een gelijkvormigen toestand met den oorspron-
kelijken opleveren, en aizoo dat, indien men uit eenig
punt voerstralen naar alle moleculen getrokken had, al
deze overstralen in eene zelfde reden zouden veranderen.

Een gevolg hiervan is, dat alle deeltjes die een
zelfde x hebben, die ook in den nieuwen toestand zul-
len blijven hebben, waaruit volgt:

du du . dv dv dw dw

-r- en -T- = o; eveneens is , en — , — en -7- — o.
dy dz dx dz dx dy

Daar de gemiddelde afstand der deeltjes bij een gas-
massa in alle richtingen dezelfde is, en er in den
nieuwen evenwichtstoestand gelijkvormigheid bestaat,
is:

du dv dw
dx dy dz\'
De vergelijkingen van Poisson worden daardoor

p. cos I =r (k H- (K 4- 5 k) ^C~^cos.«.
p. cos (.i — (k (K - - 5 k) ^\\os. p.

p. cos v

derhalve

\'t Komt er nu op aan eene beteekenis aan K en k
te geven. De eerste constante K beteekent niet anders
dan de oorspronkelijke druk, die TT genoemd wordt.
Door toepassing van de wet van Boyle wordt
eene waarde voor k gevonden. Was nl. D de aan-
vankelijke dichtheid, dan zoude hij na de verplaatsin-

gen der moleculen I)(l - ~~

geworden zijn; daar nu volgens genoemde wet druk-
kingen en dichtheden evenredig zijn, is de nieuwe

/ du\\
drukking Hyl— 3 en alzoo :

/„ „ du\\ , , r.sdu . 4

II ( 1—3 y- )=TT (TT4-5A)_t-, waaruit K—~ —TT.

v q/oc / cl 00 o

Terwijl nu voor de bepaling van K en k het geval

ondersteld is, waarbij de verplaatsingen in alle rich-
tingen dezelfde waren, gaat Duhamel nu over tot
de beschouwing van het geval der beweging in een
cilindrische buis, die evenwijdig aan de x as is. Hij
neemt dan aan, dat alle deeltjes zich evenwijdig aan
die as bewegen, zoodat de verplaatsing u alleen van
x afhangt, en de verplaatsingen v en w — o zijn.
De differentialen van u ten opzichte van y en z en de
differentialen van v eu iv ten opzichte van x, y en z
zijn dus = o. De algemeene vergelijkingen gaan dan
over in :

. T T f ^ ^{7 du}\\

p cos. A~ II (1 — — — ) cos cc,

\\ O doe /

„ /„ 4 du\\

p cos. u~ n — —j cos. (j,

/ 4 clu\\
pcos. 5 cos. /.

De bewegingsvergelijkingen wordt hierdoor:

clhi_ 7 II dhi

~dï~~ö ~D döï \'

waaruit voor de voortplantingssnelheid volgt v =

VI- VI

i / 7 _ —

Volgens deze theorie zou y Tp™ ^^ ^us de

correctiefactor zijn, die aan de Newtonsche snelheid moet

I / jj

toegevoegd worden; daar nu |/ — = 280M.is,wordt
v = 330.4.

„Kous arrivons donc à cette conséquence singulière,
zegt Duhamel, „que la vitesse théorique du son

5

„dans l\'air, en ne supposant aucune élévation de tem-
pérature, est identique avec celle, que donne l\'éxpe-
„rience."

Maar al ras wordt door Clausius en de Saint-
Venant op een fout gewezen, die dit resultaat geheel
in duigen doet vallen.

Bij de bepalingen van de constante k is gebruik

gemaakt van de vergelijking p — J I (TI bh) ~ ,

(xoc

die de drukking aanwijst na de volumeverandering.

Maar met de volumeverandering is ook het vlak

waarop de drukking werkte veranderd en dit heeft

Duhamel over \'t hoofd gezien. Daar nu onder p

steeds de drukking op de eenheid van oppervlakte

verstaan wordt, zal nu p nog gedeeld moeten worden

door de uitdrukking voor de verandering, die het vlak

ondergaat, waarop de drukking werkt. Daarom moet

gesteld worden :

p . „du

—=n (n bk) -J-.
j ^ du \' dx

dx

Voert men met deze vergelijking dezelfde bereke-

2

ningen uit, dan vindt men k — — — TT, waardoor

O

geheel op dezelfde wijze voor de geluidssnelheid ge-
vonden wordt \'"y" ^eene uitdrukking ,

waarvan de waarde, zoo duidelijk in tegenspraak met
proeven is, dat zij verder buiten alle beschouwing
kan blijven.

Duhamel ziet dit ook in, doch geeft niettemin

zijne zaak nog niet op, en tracht alsnu door warmte-
werkingen in rekening te brengen tot een meer over-
eenstemmende uitkomst te geraken. Hij gaat uit van
de vergelijking:

= (f-0"

waarin a de uitzettingscöefficient, & de temperatuurs-
verandering door eene plotselinge volumeverandering
f veroorzaakt en c en c de beide specifieke warmten
voorstellen. Wordt nu p teruggebracht tot het oor-
spronkelijk oppervlak, dat hier door volume- en tem-
peratuursverandering eene wijziging had ondergaan ,
dan is:

« du i

o — dus a & :
dx

Yoert men deze waarde voor a {> in , dan wordt gevon

n

Deze waarde voor k substi-

" C¹-³ f

o \\ c /

tuerende en wieder eene beweging der deeltjes even-
wijdig aan de x as onderstellende, hebben wij:

1 /„ „ c \\ du?

n 1 -

p. cos. X

/ 1 / „ c \\ du\\
cos. ^ = «- (l -g- (1-3 _Ej cos. I?

p. cos. , = n(l \\. (l-3 -£) 2) COS. ,
waaruit voor de snelheid van het geluid wordt afgeleid:

5*

c 1 / //

Neemt men— = 1.41 dan wordt v = l/^/ — X
c * u

VÖ94 = 271.6 M, alzoo

eene kleinere waarde dan de

q

Newtonsclie: men zoude -.- = 1.684 hebben te nemen

c

om voor v de waarde 333 M te verkrijgen.

Clausius komt nogmaals ook tegen dit resultaat op:
hij meent dat er eene fondamentele fout in Duhamel\'s
redenering is. De geluidssnelheid is bepaald voor
\'t geval van voortplanting in eene buis, waarbij aan-
genomen werd dat alle deeltjes zich evenwijdig aan

, , , , du du dv ..

de x as verplaatsten, waardoor — >-7-5-7— enz., allen

dij dz dn

= 0 gesteld konden worden. Zulk eene eenvoudige
beweging der moleculen acht Clausius onbestaan-
baar met den aard der gassen. Want ware dit juist,
dan zoude de onderlinge afstand der moleculen in de
richting der x verschillen van die in alle andere rich-
tingen, waarvan het gevolg zoude zijn dat de druk-
king niet meer in alle richtingen dezelfde was: en
dit kan in een gasmassa bij een evenwichtstoestand
nooit het geval zijn, want de moleculen zouden zich
bewegen in de richting waarin de drukking het grootst
was, tot zoolang dat de drukking in alle richtingen
dezelfde was geworden.

Behalve dit door Clausius aangevoerde argument
meenen wij , dat ook nog eene andere bedenking tegen
Duhamel\'s ontwikkeling kan bijgebracht worden. Uit

de afleiding is gebleken dat de waaide van v geheel
afhangt van de waarde die k verkrijgt. Nu wordt k
afgeleid uit de vergelijking

^ ^ du dx

dx

aanwijzende de drukking na de volumeverandering.
Doch de daarvoor verkregen uitdrukking steunt geheel
op de onderstelling, die in de oorspronkelijke vergelij-
king van Poisson is ingevoerd, dat

du_dv dv)_

dx dy dz
en daar nu door Du ham el bij de beweging in een

buis ~ en ~ r= o gesteld worden, is de voorwaarde
dy dz

waaronder k berekend is en waarvan hare waarde
afhangt, niet vervuld. Bij de beschouwing der bewe-
ging in eene buis zal daarom de in eene andere onder-
stelling gevonden waarde van k niet mogen gebruikt
worden.

e. Theorie van Moon.

Met een enkel woord willen we nog spreken van
eene theorie die in de deelen XXXYI en XXXYII
van het Philos. Magazine door Moon is ter sprake
gebracht.

De gewone vergelijking, die de beweging van de
lucht in een buis voorstelt is

waarin y de verplaatsing van een luchtdeeltje, x de
afstand van den oorsprong tot dit deeltje, p de druk-
king, D de dichtheid en t de tijd voorstelt.

Neemt men aan, dat de wet van B o y 1 e ook
juist is, wanneer de luchtdeeltjes in beweging zijn,

dan gaat deze vergelijking over in |daar— — — en
dus p = a\'_Q = a*D(^y):

_tf f^yy² dhj,

dt² \\dxj dx²\'
welke voor zeer kleine bewegingen overgaat in:

° — dt^{2 a} dx²

Moon meent echter dat de aanname, dat de ver-
gelijking p — a² q ook geldt, wanneer de lucht in bewe-
ging is, is „a pure assumption , having no basis of
„fact or argument to rest upon."

Want in geval van beweging heeft men:
p= funct. (y,t),v= funct. (y,l),o~ funct (y, t)
p, y, t, q hebben de vorige beteekenissen , v is de snel-
heid der deeltjes. Elimineert men y en l uit deze
vergelijkingen, dan heeft men

p — funct. (v, q)

Is v = o, dan is p = d² q, maar volgens Moon
heeft men evenmin recht, dit voor alle waarden van
v aan te nemen, als voor de reeks, A -)- Ai x A_s x² -(-..,
voor alle mogelijke waarden van x, A te stellen.

In de vergelijking

d~y 1 dp

dl² D dx

wordt daarom door Moon de betrekking p = ar q
F(q,v) ingevoerd, waarin F eene functie voorstelt,
die voor v = o ook = o wordt. Door eene lange reeks
van herleidingen, wordt de vergelijking geïntegreerd:
in de oplossing komen echter verschillende arbitraire
constanten en functiën voor. Door zekere onderstel-
lingen daarbij in te voeren, komt hij ten opzichte der
geluidssnelheid tot het resultaat, dat de verdichtingen
en verdunningen zich met ongelijke snelheden voort-
planten.

Wij meenden ons hier te mogen ontslaan van de
mededeeling van Moon\'s ontwikkelingen, daar zijne
bedenkingen tegen de bestaande theorie o. i. niet kunnen
gelden: dit zal vooral kunnen blijken, wanneer wij uit-
gaan van de nieuwe theorie omtrent de constitutie der
gassen. Volgens die theorie wordt de drukking van
eene gasmassa waarop geene uitwendige krachten wer-
ken , aangeduid door

en de wet van Boy le wordt daardoor bewezen

dat hier uit volgt pV — --: daar nu n, het aantal

ö

deeltjes, m de massa van ieder deeltje en u de gemid-
delde snelheid, voor eene bepaalde gasmassa bij stand-
vastigen temperatuur standvastig zijn, volgt hieruit
p V = constante. Deze wet zoude nu niet meer doorgaan
wanneer de gasmassa in beweging is : door die beweging
kunnen n en m niet veranderen, doch de mogelijkheid
bestaat, en dit moet erkend worden, dat u door die
beweging wijzigingen onderging, waardoor niet meer

—-—• als eene constante kon beschouwd worden. Wan-

O

neer wij echter in het oog houden dat u, naar cle
berekeningen van Clausius eenige honderde meters
bedraagt, terwijl wij altijd aangenomen hebben dat
de snelheid der deeltjes ten gevolge der voortplanting
van het geluid uiterst gering is, dan is het ook
duidelijk dat bij de bewegingen, die wij hier beschou-
wen , zonder eenig bezwaar ook gedurende de beweging
de wet van Boyle mag toegepast worden.

§ 3. De snelheid van het geluid in verband met de nieuwe
beschouwingen omtrent den aard der gassen.

In de vorige bladzijden hebben wij alzoo nagegaan,
hoe men, door op verschillende wijzen de vergelijkin-
gen samen te stellen der bewegingen, die bij de
voortplanting van het geluid, in de lucht aanwezig
zijn, verschillende uitdrukkingen voor de snelheid van
voortplanting kan verkrijgen. Eveneens is het ons
gebleken, welke bezwaren er aan verbonden waren
aan \'t aannemen van andere onderstellingen, dan waar-
van Poisson bij zijne ontwikkelingen is uitgegaan.

Doch tot nu toe hebben wij eene bedenking achter
gehouden, die tegen al de hier besproken verhande-
lingen kan worden ingebracht. Want hoe verschillend
de opvatting ook zijn moge, wat de details der bewe-
gingen van de luchtdeeltjes betreft , allen komen
daarin overeen dat zij als grondhypothese aannemen,
dat een gasmassa in toestand van rust uit deeltjes
bestaat, die door krachten, welke tusschen die deeltjes
werkzaam zijn, in hunnen evenwichtstoestand gehou-

den worden. Wordt die evenwichtstoestand door een
uitwendigen oorzaak verstoord, dan zijn \'t die krach-
ten welke de voortplanting der beweging veroorzaken.

Maar, gelijk bekend is, is \'t vooral na de ontwik-
keling, die de mechanische theorie der warmte gekre-
gen heeft, noodzakelijk geworden, die begrippen
omtrent de constitutie der gassen, door andere te ver-
vangen. De proeven van Joule toch hebben ten
duidelijkste bewezen, dat wanneer een gasmassa volu-
menveranderingen ondergaat, geen inwendige arbeid
verricht wordt, waardoor de aanname van tusschen
die deeltjes werkzame krachten moet vervallen.

\'t Zijn Krönig en vooral Clausius geweest, die
de nieuwe theorie omtrent den inwendigen toestand
der gassen ontwikkeld hebben, waarvan de grond-
hypothese daarin bestaat dat bij een gasmassa, die in
rust is, alle deeltjes snelle rechtlijnige eenparige bewe-
gingen bezitten.

Wanneer dus bij alle daaromtrent gemaakte beschou-
wingen de voortplanting van het geluid verklaard
wordt uit de oude gassentheorie, dan valt het niet te
ontkennen, dat deze slechts eene betrekkelijke waarde
hebben.

Wel wordt door Briot (Théorie mécanique de la
Chaleur, p. 182) opgemerkt dat de afstootende krach-
ten tusschen de moleculen, die eene vaste plaats
innemen, gelijk de oude theorie onderstelt, eigenlijk
op \'t zelfde neerkomen als de telkens weclerkeerende
botsingen, welke bij de bewegingen der moleculen,
naar de nieuwe theorie, plaats vinden; wij meenen
echter, dat al moge deze opmerking op zich zelve
niet onjuist wezen, toch tal van vragen overblijven

betreffende de details van het mechanise der geluids-
voortplanting.

Indien dus Briot beweert: „la nouvelle théorie des
_rgaz ne détruit pas les anciens travaux sur la propa-
„gation du son," dan achten wij dit slechts waar, wan-
neer men alleen op de resultaten acht geeft, doch
niet meer wanneer het ook toegepast wordt, op de
wijze, waarop die resultaten verkregen worden

Blijft er alzoo in dit opzicht nog veel te doen
over, dan begroeten wij met des te meer ingeno-
menheid het weinige dat in dezen verricht is.

In Bd. 118 van Pogg. Annalen wordt eene korte
aanwijzing van Stefan gevonden, hoe uit de theorie
van Krönig de Newtonsche formule voor de geluids-
snelheid kan afgeleid worden. Naar die theorie moet
de snelheid, waarmede het geluid voortgeplant wordt,
afhankelijk zijn van die, waarmede de luchtmoleculen,
zich op hunne rechtlijnige banen bewegen en die beide
snelheden zouden gelijk zijn, wanneer alle moleculen
zich in dezelfde richting bewogen, als waarin het
geluid zich voortplant.

Denkt men zich nu de luchtmassa, verdeeld in ge-
lijke en gelijk geplaatste cubi, dan zoude, wanneer
twee der zijvlakken loodrecht op, en de beide andere
evenwijdig aan de voortplantingsrichting geplaatst waren,
klaarblijkelijk slechts een derde gedeelte der mole-
culen (altijd met het oog op de theorie van Krönig)
zich in die richting bewegen. Opdat dit voor alle
moleculen plaats vinde, zullen de cubi zoo geplaatst
moeten worden, dat de diagonaal van een cubus even-
wijdig aan meergenoemde richting is. De cosinus van
de hoek, die de diagonaal met de ribben maakt is

—7= en dus de snelheid in de richting van den dia^ro
naai als u, die volgens de ribben van den dubus is:

x

Met deze snelheid bewegen zich alle moleculen in
de voortplantingsrichting van het geluid: x is dus ook
de snelheid van voortplanting. Doch volgens Krönig is:
nrnu²

pv = —— = nmx²,

doch -= de dichtheid D, derhalve:

v

S t e f a n merkt ten slotte op, dat eene meer uit-
voerige behandeling, waarbij men rekening houdt van
de onregelmatige bewegingen der moleculen, de snel-
heid van het geluid met de correctie van La Place
zal moeten opleveren.

Maar juist dit slot wijst aan, hoe verre het door
Stefan gegevene van eene volkomene theorie verwij-
derd is, Want het zijn juist die onregelmatige bewe-
gingen der moleculen, die Clausius aanneemt, die
de groote moeijelijkheid voor eene mathematische be-
handeling daarstellen en welke bij de eenvoudige
symmetrie-hypothese van Krönig niet bestaat Die
bezwaren blijken ten duidelijkste uit de verhandeling
van Clausius over het geleidingsvermogen van gas-
sen voor warmte (Abhandlungen II, pag. 277). Zal
eene theorie van de voortplanting van het geluid
eenige waarde hebben, dan zou die o. i op de leest

dezer verhandeling geschoeid moeten zijn. Zoodanige
theorie is tot dusverre niet gegeven, zoodat op dit
gebied nog veel te doen overig blijft. Wel heeft
E. Mulder (Pogg. Annalen, Bd. 140) op het verband
gewezen, dat er bestaat tusschen de uitdrukking voor
de gemiddelde snelheid der gasmoleculen en die voor
de snelheid van geluid, doch die overeenkomst is niet
meer dan eene uitwendige, waaruit omtrent het ver-
band dat in \'t wezen der zaak tusschen beide groot-
heden moet bestaan, weinig is af te leiden.

TWEEDE HOOFDSTUK.

Experimentele bepalingen van de snelheid
van het Geluid.

Hebben wij in het vorige hoofdstuk eene beschou-
wing omtrent de theorie van de voortplantingssnelheid
van het geluid gegeven, in dit tweede zullen de voor-
naamste experimentele bepalingen achtereenvol-
gens behandeld worden.

Wij hebben hier echter uitsluitend de directe
methoden op het oog, waarbij de snelheid afgeleid
wordt uit den tijd, dien het geluid behoeft om zekeren
bekenden weg af te leggen en zonderen alzoo de
indirecte en relative bepalingen, zooals bijv. Wert-
heim en Kundt ze verricht hebben, uit, die op de
bepaling van de goflengte van een toon van bekende
hoogte berusten.

§ 1. Ondere bepalingen.

De oudste en meest toegepaste methode ter bepaling
van de snelheid van het geluid en tevens degene,
welke tot vóór korten tijd de meest nauwkeurige uit-
komsten had opgeleverd, is die, waarbij gebruik ge-
maakt wordt van de zeer groote voortplantingssnelheid
van het licht, waardoor we den tijd, dien het behoeft
om van eene plaats tot eene andere te komen, ver-
waarlozen mogen, ten opzichte van dien, welken het
geluid daartoe noodig heeft. Indien dus een verschijn-
sel, dat gelijktijdig een licht- en geluideffect te weeg
brengt op eenigen afstand wordt waargenomen, dan
heeft men in het tijdsverloop tusschen het zien van
het licht en het hooren van het geluid den tijd, dien
\'t geluid behoeft, om dien weg te doorloopen. Is
daarenboven de lengte van dien weg bekend, dan
heeft men daarin de noodige gegevens om de snelheid
van het geluid te berekenen; men vindt die door den

weg, door den tijd te deelen: (^vz=~

\'t Komt er alleen op aan, deze methode practisch
uit te voerer. Daartoe kiest men twee plaatsen, door-
gaans eenigziins boven het omliggende terrein verheven,
opdat zij van elkaar uit, gezien zouden kunnen worden.
Op beide plaatsen bevindt zich een waarnemer, die van
een stuk geschut en een nauwkeurigen tijdmeter is
voorzien. De afstand der plaatsen is met juistheid
bekend en op een vooraf bepaald tijdstip wordt op ééne,
of beter nog op beide plaatsen, het stuk geschut afge-
schoten. De waarnemers houden nauwkeurig aanteeke-
ning van het oogenblik, waarop zij het licht zien en
vervolgens van dat, waarop zij den knal hooren: den

tusschen beide waarnemingen verloopen tijd heeft het
geluid noodig gehad, om den afstand tusschen beide
plaatsen te doorloopen.

Hoe eenvoudig deze methode nu ook schijnen moge,
verschillende voorzorgen zijn er bij in acht te nemen,
zal men eenigzins juiste uilkomsten verkrijgen; maar
zelfs bij \'t aannemen van den grootsten zorg, blijven
er storende invloeden bestaan, waarvan men zich moeije-
lijk kan ontdoen, \'t Was om deze bezwaren, dat
Regnault op eene andere, later te beschrijven wijze
de snelheid van het geluid heeft bepaald.

Een eerste storende invloed ligt daarin, dat men
bij deze methode verplicht is, altijd van zeer sterke
geluiden gebruik te maken. Want, daar eene fout in
de bepaling van het tijdsverloop , des te geringer invloed
zal uitoefenen, naarmate dat verloop zelve grooter is,
neemt men den afstand tusschen beide waarnemings-
plaatsen zoo groot mogelijk: altijd eenige duizende meters.
Maar zal men op zulk een afstand een geluid kunnen
hooren, dan kan dat niet anders dan een kanonschot
zijn. \'t Is er echter verre van, dat de voortplanting
van zoodanig geluid overeen zou komen met de voor-
stelling, die wij ons daarvan in ons eerste hoofdstuk
gemaakt hebben. De luchtlagen, die zich in de nabij-
heid van de monding van het kanon bevinden, zullen
met zeer groote snelheid voortgeslingerd worden en eerst
op zekeren afstand van het geschut zal men kunnen
aannemen dat de geluidsgolf zich op de gewone wijze
voortplant.

De oorzaak van dit verschijnsel is, naar Regnault
opmerkt, daarin gelegen dat de lucht niet volkomen
elastisch is; de drukking die in ééne bepaalde richting

uitgeoefend wordt, plant zich niet oogenblikkelijk in
alle richtingen voort. Daardoor kao een luchtkolom, die
sterk samengedrukt is, zich op de wijze van een vast
lichaam bewegen door verdunde luchtlagen, zonder
daarin merkbaar in dichtheid te verminderen.

Dit geschiedt nu steeds, wanneer een geluidsgolf
door het afschieten van een kanon of pistool veroor-
zaakt wordt; berekend men dus daarbij de snelheid

van het geluid volgens de formule v — die alleen,

t

op eene in alle punten gelijke voortplantings-snelheid
gegrond is, dan maakt men daarbij eene fout, die
wel, bij een aanzienlijken weg geen grooten invloed
zal hebben, maar die voor korte afstanden de uit-
komsten aanmerkelijk wijzigen kan. De proeven van
Regnault, hebben dit ten duidelijkste aangetoond.

Een volgende bron van onzekerheid en fouten is
gelegen in den toestand van den atmosfeer, waarin de
proeven genomen worden. Wij zagen nl. dat tempe-
ratuur en vochtigheidstoestand een belangrijken invloed
uitoefenen, terwijl ook de wind de snelheid aan-
merkelijk wijzigen kan. Wat de temperatuur en de
vochtigheidstoestand betreft, indien men kan aannemen,
dat de verschillende luchtlagen, welke het geluid op
zijn weg ontmoet, ten opzichte van deze alle in den-
zelfden toestand waren, dan zou het niet moeijelijk
zijn, de hiervoor noodige correctie met zekerheid aan
te brengen. Immers, men had op het oogenblik der
waarneming slechts op ééne plaats de temperatuur en
de spanning van de in de lucht aanwezige waterdamp
te observeren, en de vroeger vermelde formulen zou-
den ons de aan te brengen correctie doen kennen.

\'t Is er echter verre van, dat deze toestand in wer-
kelijkheid zoo zijn zou, want die beide grootheden
zijn van plaats tot plaats zeer veranderlijk. Ten einde
nu de gemiddelde temperatuur dier lagen te kennen,
heeft men zich bij alle proeven bepaald, \'t gemiddelde
te nemen van de twee thermometeraflezingen, op de
beide waarnemingsplaatsen verricht. Ook bij R e g-
nault\'s proeven is dit geschied, daar hij zegt: „je ne
„connais aucun moyen d\'évaluer avec quelque certi-
tude, la température moyenne des couches d\'air tra-
versée par le son, que produit un coup de canon."
Hij meent dat bij een weg van 2000 à 4000 meter de
fout hier 0.2 à 0.3° C. bedragen.

Volgens Le Roux (Annales de Chemie et Physique,
4^e Serie, T. XII) zou de hierdoor ontstane onzeker-
heid veel grooter zijn, en zou de onjuistheid in de
bepaling der gemiddelde Temperatuur, het verschil
van 1 à 2 M. kunnen verklaren, dat er tusschen de
uitkomsten van verschillende nauwkeurige waarnemin-
gen bestaat. Hij merkt op, dat de proeven bijna altijd
genomen zijn tusschen twee verheven plaatsen, op
bergen of heuvels en des nachts, welke omstandigheden
zeer ongunstig werken op de nauwkeurige kennis van
de temperatuur der luchtlagen, door welke het geluid
zich voortplant.

Babinet en Becquerel toch, zijn beiden tot het
resultaat gekomen, dat, vooral \'s nachts, op eene hoogte
tusschen 20 en 30 M. boven den grond, de lucht een
maximum van temperatuur moet vertoonen. Tot nadere
bevestiging haalt Le Roux waarnemingen aan van
01 ai s h er, gedaan bij zijne nachtelijke luchtballon-
opstijgingen in Engeland.

Hoogte. Temperatuur.

Op den grond......7°.5

457 M.........4°.4

914 „........2°.7

1311 „........0°.5

1981 „........2°.7

2286 „........4°.4

2591 ,......... 2°.7

2682 „........1M

Hieruit blijkt hoe onregelmatig die verdeeling van
temperatuur zijn kan, en houdt men in het oog dat
iedere graad verschil in de juiste bepaling der gemid-
delde temperatuur, eene verandering van 0.62 M. ver-
oorzaakt, dan zou eene onzekerheid van 3 graden
voldoende zijn, om de gemelde verschillen in de
uitkomsten van onderscheidene waarnemers te ver-
klaren.

Ten opzichte der kennis van den vochtigheidstoestand
van de lucht, geldt \'t zelfde als \'t geen van de tem-
peratuur gezegd is. Men heeft zich steeds vergenoegd
met eene bepaling der spanning van den waterdamp,
op de beide waarnemingsplaatsen en het gemiddelde
dezer waarnemingen voor den gemiddelden vochtigheids-
toestand in rekening gebracht. En ook dit nog heeft
men in vele gevallen verwaarloosd. Le Eoux heeft
bij deze waarnemingen uit andere opgegevene omstan-
digheden , als weêrsgesteldheid en temperatuur, bij be-
nadering de meest waarschijnlijke waarde voor de
spanning van den waterdamp trachten op te maken;

8B

hierbij bestaat echter, uit den aard der zaak, groote
onzekerheid. Maar gelukkig is de juiste kennis van
den vochtigheidstoestand van minder gewicht, daar de
hiervoor aan te brengen correctie een veel geringer
bedrag heeft.

De derde bron van onzekerheid, voor zooverre deze
in den toestand van den atmosfeer gelegen is, is die
welke de wind veroorzaakt.

Allen, wier proefnemingen op eenige nauwkeurig-
heid aanspraak maken, zijn er op bedacht geweest,
den invloed van den wind te elimineeren, of in reke-
ning te brengen. Die invloed is afhankelijk zoowel
van de richting als van de snelheid van den wind.

Men heeft getracht dezen bron van onzekerheid te
elimineeren door zoogenaamde reciproke kanonschoten,
waaronder verstaan wordt, dat de schoten op beide
stations zooveel mogelijk gelijktijdig gelost worden
en alzoo ook op beide plaatsen het tijdsverloop tusschen
het zien van het licht en het hooren van het geluid
waargenomen wordt. Men meende dat, wanneer het
geluid zich alzoo in twee tegengestelde richtingen voort-
plantte, de wind in de ecne richting, evenveel ver-
snellen, als in de andere vertragen zou, waardoor uit
het gemiddelde de invloed van den wind geelimineerd
zou zijn.

Yan Rees heeft echter aangetoond dat deze rede-
neering onjuist is en dat men door de volgende bere-
kening, de daarbij gemaakte fouten, vermijden kan.

Zijn A en B de beide stations, en geven AC en
BD de richting van den wind aan. Zij v de snel-
heid van het geluid, wanneer de lucht in rust is,
en BE de weg, die het geluid in die omstandigheden

6*

in t seconden zou afleggen.
Nu echter legt \'t geluid,
door den invloed van den
wind den weg BA in dien
tijd t af, zoodat EA de weg
j) is, dien de wind in t secun-
den doorloopt. Is u de snel-
heid van den wind, dan is
EA — ut; wij hebben in
driehoek BEA:

BE² — BA\' EA² — 2 AB X EA cos EAB,
of v² V\' — d² u² /² — 2 ut X d. cos cp (1)
eveneens in driehoek AFB:

v² l\'² = d² u² l² — 2 ut\' d cos cp; (2)
elimineert men u uit de vergelijkingen (1) en (2), zoo

_v-_dl/L (>->\')

v — a y i 4. p 2

tt^l \' 4 et\'\' COS\' cp

Valt de windrichting samen, met de richting waarin
het geluid wordt voortgeplant, dan is cos y =r 1

ii, ~ L / d d \\

en hebben wij v — — —j, )

Zijn daarentegen beide richtingen loodrecht op elkaar
dan is t — t\' en de vergelijkingen (1) en (2) zijn de
zelfde, zoodat u dan niet geelimineerd kan worden.
De invloed van den wind is in dat geval echter de
geringste.

Is men dus bekend met tl\' d en cp, dan is men
in staat, op deze wijze de snelheid van het geluid in
een atmosfeer, die in rust is, te berekenen. S c h r ö d e r
v. d. Kolk, heeft de waarnemingen van Mo 11 en

van Beek naar deze formule gecorrigeerd en is daar-
door tot eene eenigzins verschillende uitkomst geraakt.

Zal evenwel deze berekening eenige waarde bezitten ,
dan zal ook voldaan moeten zijn , aan de onderstellingen
waarin de gegeven formule is opgemaakt, dat nl. de
wind in alle deelen van den weg , die het geluid doorloopt,
volkomen dezelfde richting en dezelfde snelheid heeft.
Hieraan is evenwel nooit volkomen voldaan, zelfs al
worden de schoten ook, gelijk bij de proeven van
Moll en van Beek, volkomen op hetzelfde oogenblik
gelost. Bij eene zoo groote uitgestrektheid, als voor
den afstand tusschen beide stations noodzakelijk is,
vertoont de wind gewoonlijk allerlei onregelmatigheden
wat richting en snelheid betreft.

Uit de proeven van Regnault namelijk, is gebleken
dat wanneer men op een bepaald oogenblik de richting
van den wind waarnam op twee plaatsen, die 25000
M. van elkaar verwijderd waren, het soms gebeurde
dat die richtingen 90° verschilden, terwijl op eene
tusschen gelegen waarnemingsplaats de richting van
den wind niet tusschen de op de eindpunten waarge •
nomene, gelegen was. Daarbij merkte hij op , dat vooral
bij zwakke winden, die richting op dezelfde plaats,
voortdurend wijzigingen onderging. En wat de intensi-
teit van den wind betrof, \'t gebeurde dikwijls, dat
wanneer de eene waarnemer schreef „vent trés fort" , op
\'t zelfde oogenblik die op \'t andere station „vent faible"
of „vent nul" aanteekende.

Uit deze proeven blijkt alzoo overtuigend, dat de
onderstellingen, waarin de \'gegeven formule toegepast
kan worden, in werkelijkheid niet zijn vervuld en dat
deze daarom verworpen moet worden.

Volgens Regnault zijn alle tot dusverre gedane
pogingen om eene correctie van den invloed van den
wind aan te brengen, volkomen illusoir en zou men
de meest nauwkeurige uitkomst verkrijgen, indien men
uit een groot aantal bepalingen, gedaan bij verschil-
lende richtingen en snelheden van wind het gemiddelde
nam. Men zou de door den wind veroorzaakte fouten
dan als toevallige kunnen beschouwen, waarbij ver-
schillen evenzeer in den eenen, als in den anderen zin
kunnen voorkomen.

\'t Valt niet te ontkennen, dat, indien men hiertoe
zal mogen overgaan, werkelijk een zeer groot aantal
waarnemingen zal moeten gecombineerd worden, die op
verschillende tijdstippen en op verschillende plaatsen
verricht zijn, anders toch zal men al licht eene rich-
ting van wind hebben, die niettegenstaande de vele
wijzigingen, gedurende de proeven toch de meest heer-
schende was. Uit een en ander blijkt alzoo, dat de
wind eene vrij aanmerkelijke onzekerheid in de uit-
komsten doet ontstaan.

Eene derde bron van onnauwkeurigheid is eindelijk
gelegen in den persoon van den waarnemer zelf.

Vooreerst moet de waarnemer onderdeelen van secon-
den schatten, \'tzij uit den afstand van twee strepen,
\'t zij uit \'t tijdsverloop tusschen de waarneming en een
nieuwen tik van het uurwerk. Naar Regnault zal
men hierin , hoe bekwaam de waarnemer ook zijn moge,
geen grootere nauwkeurigheid kunnen verkrijgen, dan
van één vijfde seconde, daar de omstandigheden, waar-
onder de waarneming geschiedt, uiterst ongunstig zijn.
Want men kan \'t verschijnsel niet vooruit zien aan-
komen en zich alzoo voor de waarneming voorbereiden ;

altijd zal de waarnemer door \'t licht of \'t geluid eeni-
germate verrast worden.

Maar er is meer: om het tijdsverloop tusschen het
zien van het licht en het liooren van het geluid te
leeren kennen, is het gebruik van twee verschillende
zintuigen noodzakelijk. De vraag behoort dus in aan-
merking te komen of indrukken op deze zintuigen,
denzelfden tijd behoeven om tot ons bewustzijn te
komen, en nu is \'t bekend, uit \'t geen men omtrent
de persoonlijke fout weet, dat dit volstrekt niet het
geval is; dat het gehoor- langer tijd dan \'t gezichts-
orgaan behoeft, tot opname van indrukken en dat dit
verschil zelfs tot enkele tienden van seconden kan
opklimmen, zoodat bij een afstand der stations van
eenige duizende meters, hieruit ligt eene onzeker-
heid van één of meer meters zou kunnen ontstaan.
Zoo zoude bij den aanzienlijken afstand der beide
stations in de proeven van Moll en van Beek door
deze bron van fout eene onzekerheid van 1.5 M.
ontstaan.

Volgens Airy zou deze bron van fout opgeheven
kunnen worden, door twee personen op verschillende
plaatsen een zelfde geluid . te doen waarnemen; doet
men dit in twee verschillende richtingen, dan zou men
daardoor den invloed van den persoon des waarnemers
geheel kunnen elimineren. Voor zoover ons bekend is,
is van dit voorstel nooit practisch gebruik gemaakt.

\'t Blijkt alzoo dat verschillende oorzaken samenwerken,
om de uitkomsten volgens deze methode verkregen een
geringen graad van nauwkeurigheid te verschaffen. Wij
willen nu de verschillende op de beschreven wijze, ge-
nomen proeven, meer in \'t bizonder nagaan.

De oudste ons bekende proeven zijn genomen door
Mersenne en Gassendi omstreeks de helft van de
zeventiende eeuw. Bij den toenmaligen stand van de
experimentele natuurwetenschap was \'t niet te ver-
wachten, dat deze eene eenigzins nauwkeurige waarde
zouden opleveren.

Hetzelfde geldt voor de proeven der Florentijnsche
academici; van Cassini en Huyghens; van F1 a m-
steed, Boy le en Halley, welke nog alle in de
17^e eeuw zijn verricht; waarom wij deze met stilzwijgen
voorbij kunnen gaan.

Het uiteenloopen der uitkomsten van deze proeven
was echter voor de fransciie académie aanleiding,
om in het jaar 1738 eene commissie te benoemen
bestaande uit Lacaille, Maraldi en Cassini de
Thury, aan welke opgedragen werd dit punt aan
een nauwgezet onderzoek te onderwerpen. Zij kozen
in de nabijheid van Parijs een paar verheven punten
uit, wier afstand door geodetische metingen met nauw-
keurigheid bekend was; het Parijsche Observatorium
en de heuvels Montmartre en Monthléry. De afstand
tusschen \'t Observatorium en Monthléry bedroeg 11756,
tusschen \'t Observatorium en Montmartre 14636 Toisen
(22913 en 28526 M.). De tijd die er tusschen het
zien van het licht en het hooren van het kanonschot
verliep, werd bepaald door middel van uurwerken,
die halve seconden aangaven. Door reciproke schoten,
trachtte men den invloed van den wind te elimineren,
doch de schoten waren nooit gelijktijdig; verder wer-
den bij iedere bepaling barometer en thermometer
waargenomen; de aflezing van den hygrometer werd
verzuimd. L e Roux leidt echter uit de aanteeke-

ningen omtrent de weersgesteldheid de correctie voor
den vochtigheidstoestand bij benadering af.

Bij de waarnemingen van 14 Maart vinden wij aan-
geteekend dat \'t zonder ophouden bizonder sterk regende ;
de temperatuur bedroeg 6° R = 7° C° en voor het gemid-
delde van twee reciproke schoten (met tijdsverloop
van 35 minuten) werd gevonden l^m- 8^8, voor den tijd,
dien het geluid behoeft tot het doorloopen van een
weg van 11756 T. (22913 M.). Daar \'t zoo sterk
regende, mag men aannemen, dat de lucht op dat
tijdstip geheel verzadigd was met waterdamp: de span-
ning bij de opgegevene temperatuur bedraagt dan
7.75 m M.; de barometer wees 740 m M en hierin
hebben we alle gegevens om de correctie voor tempe-
ratuur en vochtigheidstoestand aan te brengen. Noemen
we V\'₀ de hieruit afgeleide snelheid bij o° in drooge
lucht, dan vindt men

_ 11756 Vi _ 0.38 X 0.0105 __

⁶⁸ Vl X 7.5 X 0.00366
170.215 T. = 331.77 M.

Op 16 Maart vinden we vermeld, dat de lucht hel-
der was; de temperatuur bedroeg 4° R = 5° C°, de
barometerstand 755 m M. Wegens de veelvuldige
regen van de vorige dagen kan men aannemen, dat
de lucht nog verzadigd was met waterdamp, die bij
de gemelde temperatuur eene spanning van 6.53
m M. heeft.

Brengt men ook hier de correctie aan, dan is

_ 11756 Vl —0 38 X 0.0065 ₌
68.25 1/ 1 -f 5 X 0.0Ö366"
170.475 T. ^ 332.27 M.

Het gemiddelde der beide waarden van V\'_ü is alzoo
170.345 T. = 332.02 M.

De later genomen proeven van La Gondaraine,
Müller, Kästner en anderen, zijn met veel minder
nauwkeurigheid verricht; daarbij is ook verzuimd de
temperatuur te observeren, zoodat deze niet afzonder-
lijk besproken behoeven te worden.

Van meer gewicht zijn de bepalingen van Benzen-
berg in de jaren 1809 en 1811, nabij Düsseldorf
verricht. Yooral om de meerdere volkomenheid zijner
uurwerken en het groote aantal zijner waarnemingen ,
verdienen deze meer vertrouwen, dan alle vorige. Zelf
geeft hij die bepalingen op, welke onder de gunstigste
omstandigheden, wat wind betreft, genomen zijn. Zij
zijn:

Le Roux brengt hier, evenals bij de vorige proeven
eene correctie aan, voor de waarschijnlijke vochtigheids-
toestand op de gegeven data. Op 3 Dec. neemt hij
0.8 voor den vochtigheidstoestand aan, en daar bij 1°.9
de maximumspanning van waterdamp 5.27 m. M. be-
bedraagt, zoude op dat oogenblik de in de lucht aan-
wezige waterdamp eene spanning van 5 27 X 0.8 = 4.2
m. M, bezeten hebben. Neemt men 760 m. M. voor
de barometerhoogte aan, dan vindt men V\'₀ = 333.70 M.

Yoor 8 Juni, wordt de vochtigheidstoestand aange-

nomen, die Kaemta in zijne Metereologie, voor die
maand als gemiddelde opgeeft, zijnde 0.7: de maximum-
spanning van den waterdamp bij 28°.2 is 28 4 m. M.,
dus die van de op 8 Juni in de lucht vermoedige aan-
wezige bedraagt 0.7 X 28.4 = 19.9 m. M. Brengt
men hiervoor de correctie aan, dan gaat de waarde
334.08 over in 332.33 M.

Ten einde de formule van La Place voor de ge-
luidssnelheid te verifieren, benoemde het Bukeau des
Longittjdes op diens voorstel in 1822 eene Commissie
welke de vroeger genomen proeven met alle nauwkeu-
righeid zou herhalen. Deze commissie bestond uit
Arago, Mathieu, Prony enBouvard, waarbij
zich later Humboldt en G-ay-Lussac voegden.
Zij kozen twee hoogten in de nabijheid van Parijs, die
van Monthléry en Villejuif als waarnemingsplaatsen,
waartusschen de afstand nauwkeurig bekend was als
18613 M. De proeven werden genomen op de avonden
van 21 en 22 Juni, waarbij men zich voorstelde door
reciproke schoten den invloed van wind te elimineren.
Doch op den eersten avond hoorde men te Villejuif
wel alle schoten van Monthléry, doch aldaar werden
slechts zeven schoten van Villejuif waargenomen.

Op den tweeden avond was de uitslag nog veel
ongunstiger; toen werd te Monthléry slechts één enkel
schot gehoord. Hiermede waren de proeven geëindigd
en uit de 7 schoten van 21 Juni werd het resultaat
opgemaakt; deze schoten waren nog door tusschenruimten
van 5 minuten gescheiden.

De uitkomsten dezer waarnemingen zijn:

waaruit voor de snelheid bij 0° berekend wordt: 331.27
M. Hieraan moet nu de correctie voor de vochtigheid
van de lucht aangebracht worden. Daar de verdeeling
van den hygrometer van Saussure eene willekeurige
is, is men niet zeker welken vochtigheidsgraad de hier
opgegevene voorstelt. Schat men dien met Le Soux
op 0.65, dan bedroeg op dat tijdstip de gemiddelde
spanning van den waterdamp 8.7 m. M. Hieruit
leidt men af voor de snelheid bij 0° in droge lucht
330.54.

Omstreeks dienzelfden tijd zijn door Goldingham
te Madras een zeer uitvoerige reeks van proeven ge-
nomen ter bepaling der geluidssnelheid. Hij maakte
gebruik van de omstandigheid, dat \'s morgens en
\'s avonds van iederen dag een kanonschot gelost werd
op \'t fort St. George en de artillerie kazerne St. Thomas-
berg. Hij kon die beide punten van uit zijn Obser-
vatorium waarnemen, en was daardoor in staat van
Juli 1820 tot November 1821 circa 800 schoten te
observeren. Uit den aard der zaak waren dit niet reci-
proke schoten, doch Goldingham heeft uit zijn groot
aantal bepalingen die uitgezocht, welke bij volkomen
stil weder verricht waren. Zoo vond hij 63 schoten van
St. Thomas en 27 van St. George, waarvan dit de
gemiddelde opgaven zijn:

Plaats waar liet
schot gelost werd.

Afstand tot den
waarnemer.

GEMIDDELDE
Barometer. Thermometer. Hygrometer.

St. Thomas
St. George.

29547
13932.3

Eng. voeten.

29.990
30.111

Eng. duimen.

83°.95
79 .

Fahrenheit.

20°. 31
ir.85

Saussure.

25^Sec.712
12^Sec.313

Berekent men nn hieruit de snelheid hij 0° in droge
lucht, dan vindt men, aannemende dat de gemiddelde
vochtigheidstoestand 0.075 bedroeg, 331.10 M.

Naar aanleiding dezer uitkomst merkt Poggendorff
(Poffff. Annalen, V) op:

„Diese Art die Beobachtungen zu berechnen, kann
„indess von seiten der Theorie nicht gebilligt werden—-
„vielmehr ist es einleuchtend, dass man zu einem
„sichern Resultate, die Beobachtungen einzeln reduceren
„und dann das Mittel aus den reducirten Werthen nehmen
müsse." Wij meenen echter, dat de veel eenvoudiger
hierbij gevolgde rekenwijze, waarbij slechts ééne reductie
met de gemiddelde thermometer- en hygrometerstand heeft
plaats gehad, daarom geoorloofd is, omdat de hierdoor
gemaakte fout slechts uiterst gering kan zijn; hetgeen
nader uit \'t volgende blijke.

Zij a de geluidssnelheid bij o°, dan mogen wij met
groote benadering schrijven voor die bij t°, t₂°, t°₃.. . t°_n

a (1 c*₁),a(l cQ,a(l-f .....a (1 cQ.

Zien wij nu af van de waarnemingsfouten, dan zijn
dit de door Groldingham gevondene snelheden; hij
neemt van deze \'t gemiddelde en reduceert die tot o°
door daarbij de gemiddelde temperatuur te gebruiken.
De gemiddelde dezer snelheden is:

ac <, ... . t_a)
n

J. Doch de gemiddelde

—-—ⁿ, zoodat deze reken-

n

wijze ons weder tot a voert voor de snelheid bij 0°.
Is er dus eene fout in de berekening van G o 1 d i n g-
ham, dan kan deze alleen daarin zijne oorsprong heb-
ben dat a ( 1 - - ct) niet volkomen juist de snelheid bij
t° voorstelt, doch deze afwijking kan niet dan een zeer
geringen invloed hebben.

Deze waarnemingen van Golding ham verdienen
wellicht den voorrang boven alle anderen, tot deze
categorie behoorende, om het groote aantal bepalingen
en vooral ook omdat zij op zoo verschillende tijdstippen
genomen zijn, zoodat daardoor eene eliminatie van
atmosferische invloeden is tot stand gebracht, beter
dan ooit door reciproke schoten is verkregen.

Bij al deze waarnemingen, waren de beide punten
waar het kanon afgevuurd en waar het schot gehoord
werd nagenoeg even hoog gelegen ; bij de proeven van
Myrbach en Stampfer, in Augustus 1822 genomen,
bestond daarentegen een aanmerkelijk hoogteverschil
tusschen beide stations. Zij kozen daartoe twee berg-
toppen in de nabijheid van Salzburg, wier schuine
afstand 9940 M. en wier hoogteverschil 1364 M. be-
droeg.

Zij gebruikten een secundenuurwerk en een chrono-
meter, die 4.7 tikken in de secunde deed; zij namen
den thermometer waar, doch verzuimden hetzelfde met
den hygrometer te doen. Het was hun doel te onder-

zoeken of het geluid zich even snel van boven naar
beneden, als van beneden naar boven voortplantte.
Zooals de theorie aangeeft, vonden zij voor beide snel-
heden waarden, wier verschil aan waarnemingsfouten
kon toegeschreven worden. De gemiddelde snelheid bij
0° bedroeg 332.96 M. Brengt men hierbij nog de
correctie aan voor den vochtigheidstoestand en stellen
wij dezen naar de opgaven van Kaemtz op 0.75 dan
wordt dö snelheid bij 0° in droge lucht 332.44 M.

Onder het groote aantal der proeven omtrent de snel-
heid van het geluid in dezen tijd genomen, verdienen
in \'t bizonder onze aandacht, die, welke door onze
landgenooten Moll en van Beek in \'t jaar 1823 ge-
daan zijn. Zij werden genomen tusschen twee heuvels
van \'t Gooiland, de Kooltjesberg, een half uur ten
oosten van Naarden en de Zevenboompjes in de nabij-
heid van Amersfoort gelegen. Door middel eener trian-
gulatie werden beide punten aan de meting van K r a y e n-
hoff verbonden en daaruit hun afstand op 17669.28
M. bepaald. Schroder v. d. Kolk geeft in zijne
meergemelde verhandeling op, dat, wanneer men de ver-
schillende voorwaardesvergelijkingen, die er tusschen de
elementen der driehoeken bestaan , behoorlijk in rekening
brengt, die afstand als 17869.509 M. wordt bevonden.

Zij gebruikten voor de tijdsbepaling, tertien-horlo-
giën van Pfaffius met conische slingers, welke
voortdurend met twee chronometers van Arnold en
en Kneb el vergeleken werden.

Uit 89 vergelijkingen aan de Zevenboompjes, bleek
dat de secondewijzer van het tertien horloge 69.63 om-
draaiingen verrichtte in 1 minuut, door den chrono-
meter aangewezen.

Y. d. Kolk berekent de waarschijnlijke fout dezer

uitkomst op 23(^qo\'

Het horloge te Kooltjesberg maakte 69.433 om-
draaiingen in 1 minuut van den chronometer, gelijk
uit 21 waarnemingen bleek: de waarschijnlijke fout

^{is hier} 3®

Daarenboven waren op beide stations een barometer,
thermometer en hygrometer van Daniell aanwezig,
die gedurende de bepalingen nauwkeurig waargenomen
werden.

De waarnemers namen alle mogelijke voorzorgen om
hunne schoten gelijktijdig te doen plaats hebben: en
terwijl bij de waarnemingen van het Bureau des Lon-
gitodes schoten gelijktijdig genoemd werden, welke
door een tijdsverloop van nog 5 minuten gescheiden
zijn, hebben zij door doeltreffende maatregelen kun-
nen bereiken, dat dat verschil in tijd van afschieten
op beide stations niet meer dan 2 seconden bedroeg.

„De reden, waarom wij zooveel belang in het op-
schieten der stukken op het zelfde oogenblik stelden
„(zoo zeggen zij in het verhaal hunner proeven) is,
„dat het uitwerksel van den wind op de snelheid des
„geluids dan alleen wordt weggenomen, wanneer eene
„volmaakte gelijktijdigheid der schoten plaats had."

Deze redenering is echter onjuist, ook afgescheiden
van de andere wijze van eliminering, waarvan wij
vroeger spraken. Want, denkt men zich bijv. de lucht-
deeltjes, in de nabijheid van een der stations, dan
worden deze, ook als beide schoten volkomen gelijk-
tijdig gelost worden, toch volstrekt niet op hetzelfde

oogenb] ik door het geluid in beweging gebracht —
want de tijd, dien het geluid behoeft, om van het eene
station, tot het andere te komen, ligt hier tusschen
en bij de proeven, die wij hier op het oog hebben,
bedraagt die tijd nagenoeg eene minuut. Alleen dan
zou de gelijktijdigheid der schoten kunnen baten, wan-
neer men mocht aannemen dat over de gansche uitge-
strektheid van bijna 18000 M. de wind gedurende
eene minuut niet van richting en intensiteit veran-
derde. De proeven van Regnault hebben geleerd,
dat dit in geen en deele het geval is.

Van daar dan ook, dat de andere wijze waarop
Schröder v. d. Kolk, voor deze proeven den invloed
van den wind in rekening brengt, de nauwkeurigheid
der uitkomsten niet verhoogt, daar, gelijk wij vroeger
zagen, ook deze rekenwijze op de onveranderlijkheid
van richting en intensiteit van den wind steunt.

Moll en van Beek hebben hunne waarnemingen
verricht in de nachten van 27 en 28 Juni. De eerste
nacht werden 22 gelijktijdige schoten op Kooltjesberg
en Zevenboomen waargenomen, waarvan de gemiddelde
uitkomsten zijn:

Tijdsverl. Barometer, Thermometer. Spauuing waterdamp.

51^Seo.07 0.74475 M. 11°. 16 0.00925307 M.
waaruit voor de niet-gecorrigeerde snelheid volgt:
340.06 M.

In de 2^e nacht werden 14 gelijktijdige schoten ge-
hoord, die de volgende uitkomsten opleverden:
52^Sec.07 0.74475 M. 10°98 1) 0.00840465 M.

1) Moll en van Beek geven op 11°215. Berekent men echter
liet gemiddelde uit hunne waarnemingen, dan wordt liet hier
vermelde gevonden.

waaruit wordt afgeleid voor de niet-gecorrigeerde snel-
heid: 339.34 M.

Berekent men uit deze waarnemingen de snelheid
hij 0° in droge lucht, dan vindt men: 332.32 M. 1).

V. d. Kolk berekent de waarnemingen naar de
formule op pag. 84 aangegeven en vindt daardoor voor
het gemiddelde tijdsverloop op 27 Juni 5l^Sac.94 2) en
op 28 Juni 52^Sec.08. Voor de snelheid in droge lucht
bij 0° vindt hij dan 332.77 M.

Om de aangevoerde redenen meenen wij echter, dat
dit cijfer hoegenaamd geene waarde bezit, boven het
op de gewone wijze gevondene 332.32 M.

Ook in Engeland is eene bijdrage geleverd over de
kennis van de snelheid van het geluid. In 1824 zijn
door Gbegory proeven daaromtrent genomen. Het
eigenaardige daarvan is, dat hij niet getracht heeft
den invloed van den wind te elimineren, doch dien
in zijne uitkomsten in rekening te brengen. Daartoe
koos hij zijne beide stations zoodanig, dat de verbin-
dingslijn samenviel of loodrecht was op de richting
van den wind. Hij verkreeg daardoor dat het geluid nu
eens vertraagd, dan weder versneld werd, of wel wei-
nig verandering in snelheid onderging, door den wind,
wiens snelheid hij door middel van anemometers be-
paalde.

1) Bravais en Martins rekenen 332.25 M.; dit geringe ver-
schil haeft zijn oorzaak daarin, dat zij 11°21 voor de gemiddelde
temperatuur op 28 Juni nemen.

2) In zijne berekening is eene fout ingeslopen: het gemid-
delde is 51^Sec.93, waardoor de snelheid van 340.17 in 340.24 M.
verandert.

Deze proeven kunnen niet op dezelfde nauwkeurig-
heid aanspraak maken, als de vroeger vermelde, \'t geen
voornamelijk te wijten is aan den geringen afstand
der beide stations, waardoor het geluid niet meer dan
6 of 8 seconden behoefde om van het eene tot het
andere te komen, en alzoo eene fout van een tiende
sec. in de tijdsbepaling een fout van 4 a 5 M. in de
uitkomst veroorzaakt.

Maar al kunnen deze proeven ons geen nauwkeurige
waarde voor de snelheid van het geluid opleveren, zij
toonen ten duidelijkste aan, welk een grooten invloed
de wind daarop uitoefenen kan. Zoo vinden wij twee
bepalingen, bij de eerste waarvan de wind het geluid
sneller, bij de tweede zich minder snel deed voort-
planten , doch die overigens onder dezelfde omstandig-
heden genomen een verschil in uitkomst van 19.5 M.
vertoonen.

Onder zeer bizondere omstandigheden, wat de tem-
peratuur betreft, werden de proeven van Parry en
Forster genomen. Zij werden verricht bij gelegen-
heid eener reis naar de Noord-Poolstreken en zijn door
Parry beschreven in „ the Journal of a thircl voyage for
„the discovery of a Norih- West Passage.\'\'\'\'

Het schip Hécla overwinterde van 1824—25 te
Port-Bowen, eene plaats gelegen op 73°13\'39" Noor-
derbreedte. Yan het schip werd een stuk geschut
afgevuurd en op een afstand van 3929.7 M. den tijd
waargenomen, dien het geluid noodig had, om dezen
afstand te doorloopen:

De resultaten dezer waarnemingen zijn:

De hygrometer werd niet waargenomen, doch, hij
deze lage temperaturen kan dit verzuim, ook al was
de lucht geheel verzadigd van waterdamp, slechts
zeer weinig invloed gehad hebben.

Hoewel wij de zorgen hebben te bewonderen, door
de waarnemers bij die ondragelijke koude, aan hunne
proeven besteed, kunnen deze evenmin als die van
Gregory voor de nauwkeurige kennis van de geluids-
snelheid in aanmerking komen, waartoe de standlinie
ook hier weder te kort is. Dit wordt vooral duidelijk
wanneer wij de verschillen nagaan bij de bepalingen
van een tijdsverloop, dat door Parry en Fors ter
afzonderlijk is geschied. Op 22 Maart vertoonen die
waarnemingen een verschil van 0.3 sec., \'tgeen in de
uitkomst eene onzekerheid van meer dan 8 M. ver-
oorzaakt.

Het hooge gewicht dezer waarnemingen is echter

daarin gelegen, dat hierdoor proefondervindelijk beves-
tigd is, wat de theorie leerde omtrent den invloed van
de temperatuur op de geluidssnelheid.

Ten laatste hebben wij nog te gewagen van eene
reeks van proeven door Bravais en Martins in
1844 ondernomen. Zij wilden hierbij onderzoeken of
de snelheid gewijzigd wordt, wanneer het eene station
aanmerkelijk hooger ligt dan het andere. Zij kozen
daartoe den top van den Faulhorn en \'t dorpje Tracht
nabij Brienz; twee punten wier hoogteverschil 2179 M.
en wier schuine afstand 9560.7 M. bedraagt.

Voor de tijdsbepaling gebruikten zij „compteurs a
pointage" van Bréguet en een uurwerk dat 320
tikken per minuut deed.

Op heide stations werden psychrometers gebruikt, en
uit de aanwijzingen van deze, de spanning van den
waterdamp afgeleid, naar de formule van Kaemtz:

E = e — 0.00085 (t — t\') B.

De sterkte van den wind werd door middel van een
anemometer van Combes bepaald.