INVOLUTIES, VOORTGE-
BRACHT DOOR LINEAIRE
STELSELS VAN FIGUREN

door C. H. VAN OS

involuties, voortgebracht door
lineaire stelsels van figuren

INVOLUTIES, VOORTGE-
BRACHT DOOR LINEAIRE
STELSELS VAN FIGUREN

PROEFSCHRIFT, TER VERKRIJGING VAN DEN
GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUUR-
KUNDE AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE
UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN RECTOR-
MAGNIFICUS Dr P. H. DAMSTÉ, HOOGLEERAAR
IN DE FACULTEIT DER LETTEREN EN WIJSBE-
GEERTE, VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT
DER UNIVERSITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN
VAN DE WIS- EN NATUURKUNDIGE FACULTEIT
TE VERDEDIGEN OP MAANDAG 6 NOVEMBER
1916, \'S NAMIDDAGS TE 4 UREN, DOOR

CHARLES HENDRIK VAN OS,

GEBOREN TE AMBARAWA

A. H. KRUYT - UITGEVER - AMSTERDAM - 1916

AAN MIJN TWEEDE MOEDER EN
AAN MIJN AANSTAANDE VROUW

Bij de voltooiing van dit proefschrift is het mij een
behoefte, mijn dank te betuigen aan allen, die tot mijn
wetenschappelijke vorming hebben bijgedragen.

In de eerste plaats aan U, Hooggeleerde De Vries,
Hooggeachte Promotor, voor de groote welwillendheid,
waarmede Gij bereid waart, mij als promotor ter zijde
te staan, en de warme belangstelling, die ik steeds van
U heb mogen ondervinden. De wijze, waarop ik van
Uwe verhandelingen gebruik heb mogen maken, is
oorzaak, dat ik mij, al heb ik Uwe lessen ook niet
mogen bijwonen, toch steeds Uw leerling zal gevoelen.

Verder aan U, Hoogleeraren der wis- en natuurkun-
dige faculteit te Leiden, voor het onderricht, dat ik van
U mocht ontvangen en dat ik mij steeds dankbaar her-
inneren zal.

Een eerbiedigen groet wijd ik aan de nagedachtenis
van Prof. ZEEMAN, die het eerst in mij de liefde tot de
meetkunde opwekte. r

En eindelijk wilde ik een woord van erkentelijkheid
richten tot de leden van het Wiskundig Genootschap
te Amsterdam, wier invloed voor de richting mijner
studie beslissend geweest is.

INHOUD.

Inleiding............... 1

Hoofdstuk I. Twee bundels van vlakke

krommen....... 3

„ II. Twee bundels van opper-

vlakken en een bundel
van platte vlakken . . 29

„ III. Drie bundels van opper-
vlakken .......55

„ IV. Een bundel en een net van

oppervlakken.....78

„ V. Een drievoudig oneindig

stelsel (complex) van op-
pervlakken ......101

„ VI. VlER BUNDELS VAN DRIEDIMEN-

SIONALE FIGUREN .... 116

„ VII. Een viervoudig oneindig

lineair stelsel .... 133

„ VIII. Vijf en zes bundels ... 152

INLEIDING.

Laten drie bundels van oppervlakken gegeven zijn,
achtereenvolgens bestaande uit oppervlakken van de
graden mi, m₂ en m_:i. Neemt men uit elk dezer bundels
één oppervlak, dan zullen deze drie elkaar snijden in
mim₂m3 punten. Voegt men deze snijpunten aan elkaar
toe, dan krijgt men een involutie I^mi^m\'-^ms i_n de ruimte.
Daar door een willekeurig punt P uit elk der bundels
één oppervlak gaat, behoort een willekeurig punt tot
één en niet meer dan één groep dezer involutie. Deze
involutie zal hier bestudeerd worden.

Voor mi = mo — my = 2 is deze involutie onderzocht
door Prof. Dr. jan de vries (Versl. Akad. van Wet.,
dl. XXI, blz. 1269). De involuties T¹"¹², die op analoge
wijze in het platte vlak door twee bundels van vlakke
krommen worden voortgebracht, zijn uitvoerig onderzocht
door F. chizzoni (Sopra le involuzioni nel piano, Mem.
Acc. dei Lincei, XIX, 301). De algemeene I^raim2m3 in
de ruimte is echter, zoover ik weet, nog niet beschouwd.

Een bijzonder geval doet zich voor, als twee der
bundels tot eenzelfde net, of alle drie tot eenzelfden
complex (drievoudig oneindig lineair stelsel) van opper-
vlakken behooren. In het laatste geval zullen de drie
oppervlakken, die door hun snijpunten een groep der invo-
lutie leveren, een net bepalen, dat geheel tot den complex

C. v. O. 1

behoort, en dat de genoemde snijpunten tot basispunten
heeft. Elke groep toegevoegde punten wordt dus gevormd
door de basispunten van een net uit den complex. Snijdt
men nu den complex door een plat vlak V, dan verkrijgt
men hierin een complex van vlakke krommen, en elk in
V gelegen drietal toegevoegde punten bepaalt uit dezen
complex een net, dat drie basispunten heeft. Het aantal
van zulke netten in een willekeurigen complex van vlakke
krommen is volgens Sturm (Die Lehre von den geome-
trischen Verwandtschaften, dl. III, blz. 363) tot dusver
nog niet bepaald.

In het volgende worden eerst ter inleiding de involu-
ties I^mim2 beschouwd, die in het platte vlak door twee
bundels van vlakke krommen worden voortgebracht.
Vervolgens worden de involuties I^mim1m3 in de ruimte
onderzocht, en de bovengenoemde bijzondere gevallen
nagegaan. Ten slotte volgt een onderzoek der involu-
ties I^mi^m2^m3^m4₎ di_{e 0}p _anal₀ge wijze worden bepaald
door vier bundels van driedimensionale figuren in een
vierdimensionale ruimte.

1 

\\

HOOFDSTUK I.
Twee bundels van vlakke krommen.

Laten in een plat vlak twee bundels van krommen
gegeven zijn, van de graden mi en ni2. Nemen wij uit
elk dezer bundels een kromme, dan snijden die elkaar
in mim₂ punten; voegen wij deze punten aan elkaar toe,
dan krijgen wij een involutie I™¹™² i_n het platte vlak.
Daar door een willekeurig punt uit elk der bundels één
kromme gaat, behoort een willekeurig punt tot één groep
dezer involutie.

§ 1. Wij zullen eerst het geval beschouwen, dat een
der bundels bestaat uit rechte lijnen g, de andere uit
krommen c^m van den graad m. Wij zullen deze bundels
aanduiden door (g) en (c^m); het basispunt van (g) noemen
wij A, de basispunten van (c^m) B_k (k = 1 tot m²).

Terwijl een willekeurig punt tot slechts één groep der
involutie I^m behoort, geldt dit niet meer voor de basis-
punten. Door A gaat een bepaalde kromme c^m, welke
wij door (A)^m zullen aanduiden; deze wordt door elk
der rechten g gesneden volgens een groep van m punten,
waartoe A behoort.

Evenzoo gaat door een basispunt B_k een bepaalde
rechte g, die wij zullen aanduiden door (B)_k; elke kromme

c^m snijdt (B)_k volgens een groep van m punten, waartoe
B_k behoort.

De basispunten A en B_k zijn dus singuliere punten
der involutie I^m.

§ 2. Bij elk punt P eener rechte g behooren (m—1)
punten P\' dierzelfde rechte, die met P een groep derl^m
vormen. Tusschen de punten P en P\' bestaat dus een
verwantschap (m—1, m—1) met 2(m—1) coïncidenties.
In zulk een coïncidentie vallen twee der snijpunten van g
met een kromme c^m samen, en zal g deze kromme dus
raken. Elke rechte g raakt dus aan 2(m—1) krommen c™.

De meetkundige plaats van deze coïncidenties der I^m
zullen wij door A aanduiden. Deze zal gaan door de
basispunten A en B_k. Door A toch gaat één kromme
c^m, en de raaklijn aan deze kromme in A levert één in
A gelegen coïncidentie. Evenzoo gaat door een punt B_k
één rechte g, en men kan één kromme uit (c^m) vinden,
die deze in B_k raakt, en dus een in B_k gelegen coïnci-
dentie levert.

Een rechte g snijdt A ten eerste in A, ten tweede in
de 2(m—1) op g gelegen coïncidenties. De graad van A
bedraagt dus (2m—l).

A is klaarblijkelijk de meetkundige plaats van de raak-
punten der uit A aan de krommen cm getrokken raak-
lijnen. Als zoodanig heet A de poolkromme van A ten
opzichte van den bundel (c™). Het is gemakkelijk, de
vergelijking van deze poolkromme te vormen.

Zie Dr. JAN de Vries, Faisceaux de courbes planes (Archives Teyler,
sér. II, tome XI, p. 99).

Zij de algemeene vergelijking der krommen c^m:

Q AQ> = 0.

Laten (xi, yi, zi) de homogene coördinaten van A zijn. De
raakpunten der raaklijnen, uit A aan een kromme c^m ge-
trokken, zijn de snijpunten van c^m met de eerste pool-
kromme van A t. o. v. c^m, die tot vergelijking heeft:

( SCi , SC, , 2QV . / SC₂ , SC₂ , BCA _ _n

Elimineert men a uit deze beide vergelijkingen, dan
vindt men de m.p. der raakpunten, dus de gezochte
poolkromme. Deze wordt dus werkelijk van den graad
(2m—1). Verder bevatten de coëfficiënten harer verge-
lijking de coördinaten van A lineair, een eigenschap,
die later van belang zal blijken te zijn.

§ 3. Reeds is gebleken, dat A gaat door de basis-
punten A en B_k. Wij kunnen gemakkelijk aantoonen,
dat A in A raakt aan de door A gaande kromme c^m,
die boven reeds door (A)^m is aangeduid. De snijpunten
toch eener kromme c^m met A zijn, naast de m^unten
B_k, de m(m—1) raakpunten der uit A aan c^m getrokken
raaklijnen. Gaat c^m nu door A, dan vallen twee dezer
raaklijnen samen tot de raaklijn in A; twee der snij-
punten van c^m en A vallen dus ook in A, waarmee het
gestelde bewezen is.

Evenzoo raakt A in elk der punten B_k aan de door
dat punt gaande rechte g, die wij boven reeds door (B)_k
hebben aangeduid. Gaat een rechte g nl. door een basis-
punt B_k van den bundel (c^m), dan zullen twee der krom-
men uit (cm), die g raken, samenvallen tot de c^m, die g
in B_k raakt; twee der snijpunten van c^m en A vallen

dus in B_k samen, waarmee het gestelde bewezen is.

Behalve de m²rechten (B)_k, en behalve de raaklijn
in A zelf, kunnen uit A nog

(2m—1) (2m—2) — m²—2 = 3m(m—2)
raaklijnen aan A getrokken worden. Zij t een dezer
raaklijnen, Q het raakpunt van t. Wat is de beteekenis
van het punt Q?

In Q vallen twee coïncidenties samen der op t, zooals
op elke rechte g, gelegen involutie van groepen toege-
voegde punten der I^m, waarvan de coïncidenties immers
de snijpunten van g en A geven. Dit samenvallen van
twee coïncidenties moet hierdoor veroorzaakt zijn, dat
in Q drie toegevoegde punten dier involutie samenvallen.
Het gebeurt dus 3m(m—2) malen, dat drie toegevoegde
punten der I^m samenvallen.

In zulk een punt Q heeft de rechte g met de door Q
gaande c^m drie samenvallende punten gemeen. Door Q
gaan dus 3m(m—2) buigraaklijnen van krommen c^m, de
buigraaklijnen der krommen van een bundel (c^m) omhullen
dus een kromme van de klasse 3m(m—2).

§ 4. Elk punt P van A behoort tot een groep I^m, waar-
van tv/ee punten in P samenvallen. De overige punten
P\' van zulk een groep noemen wij vertakkingspunten
der involutie, en de m.p. dezer punten de vertakkings-
kromme²) A\'.

Wij bewijzen ten eerste, dat A\' meervoudige punten

heeft in de basispunten A en B_k. In § 1 is nl. gebleken,
dat elk punt der kromme (A)^m, die uit (c^m) door A ging,
tot een groep behoort, die ook A bevat. Dit geldt ook
voor een snijpunt van (A)^m en Alaat men dus een punt
P langs A tot een dezer snijpunten naderen, dan zal
een der bijbehoorende punten P\' naderen tot A, zoodat
A\' door A gaat. Dit gebeurt blijkbaar ééns voor elk
der snijpunten van (A)^m en A.

A en (A)^m gaan echter ook beide door de basispunten
A en B_k, en voor deze snijpunten geldt nu de boven
gegeven redeneering niet. Elk dezer punten toch behoort
tot oo¹ groepen der I^m, en het is dus niet direct duidelijk,
welke punten van A\' bij zoo\'n punt als punt van A
behooren. Wij moeten dit door een grensovergang uit-
maken.

Laten wij dus een punt P over A tot A naderen; P
is dan voortdurend een coïncidentie der I^m; dit moet
dus ook in de limiet zoo zijn. Nu is er één groep der I^m, die
in A een coïncidentie heeft, nl. die, welke gevormd
wordt door de snijpunten van (A)^m met de rechte g,
die (A)^m in A raakt. De overige punten dezer groep
zijn de punten van A\', die bij A als punt van A behooren,
en klaarblijkelijk valt geen dezer punten in \'t algemeen
in A, zoodat A\' thans niet door A gaat.

Evenzoo zal men, om de punten van A\' te vinden,
die bij een punt B_k als punt van A behooren, dié groep
der I^m moeten beschouwen, die in B_k een coïncidentie
heeft. Deze groep wordt gevormd door de snijpunten
van de door B_k gaande rechte g met dié kromme c^m, welke
deze rechte in B_k raakt; de buiten B_k gelegen punten
dezer groep liggen op A\'. Daar in \'t algemeen geen

dezer punten in A zal vallen, gaat A\' ook thans niet
door A.

In § 3 is reeds gebleken, dat A en (A)^m elkaar in A
raken. Daarentegen snijden zij elkaar in de punten B_k ;
want in elk dezer punten raakt A niet aan (A)^m, maar
aan de door B_k gaande rechte g. In de basispunten
vallen dus (m² 2) snijpunten van A en (A)^m ; er blijven

m(2m—1) — (m² 2) = (m—2) (m 1)
snijpunten over, waarvan elk A\' éénmaal door A doet
gaan. A is dus een (m—2)(m l)-voudig punt van A\'.

Evenzoo toonen wij aan, dat de punten B_k meervoudige
punten zijn van A\'. Door elk punt B_k gaat één rechte g,
die wij reeds vroeger door (B)_k hebben aangeduid, en
elk punt hiervan behoort tot een groep, die ook B_k bevat.
Dit geldt ook voor de snijpunten van (B)_k en A, en voor
elk dezer snijpunten gaat dus A\' éénmaal door B_k. Uit-
gezonderd moeten echter worden de punten A en B_k ;
boven is reeds onderzocht, welke punten van A\' bij zulk
een punt behooren, en geen dier punten zal in \'t algemeen
in B_k vallen. Nu raakt (B)_k de kromme A in B_k en snijdt
haar in A; er blijven (2m—1—3) = 2 (m—2) snijpunten
over, zoodat elk punt B_k een 2(m—2)-voudig punt van A\' is.

§ 5. Om nu den graad van A\' te bepalen, zoeken
wij het aantal snijpunten van A\' met een rechte g.
Hiervan vallen (m—2) (m 1) in het punt A; verder zal
g de kromme A\' snijden in de purilen, die behooren bij
de snijpunten van ^ en Ai immers, de punten van een
zelfde groep liggen op eenzelfde rechte g. Van deze
laatste snijpunten moet echter het punt A uitgezonderd
worden; want de punten van A\', die bij A als punt van

A behooren, en boven reeds bepaald zijn, liggen in \'t
algemeen niet op g. Er blijven 2 (m—1) snijpunten van
g en A over; elk van deze is een coïncidentie der I^m\'
en de (m—2) punten, die daarmee tot eenzelfde groep
behooren, zijn punten van A\', die op g liggen. Het totale
aantal snijpunten van g en A\' bedraagt dus

(m—2) (m 1) 2(m—1) (m—2) = (m—2) (3m—1),
dit is dus de graad van A\'.

A en A\' snijden elkaar in de basispunten, die enkel-
voudige punten van A, meervoudige punten van A\' zijn.
Wij zullen verder bewijzen, dat zij elkaar raken in de
3m(m—2) in § 3 gevonden punten Q, waarin drie punten
van een groep der I^m samenvielen.

In § 3 is nl. gevonden, dat de door zulk een punt Q
gaande rechte g daar aan A raakte. Laat men g dus
tot dezen stand naderen, dan zullen twee der snijpunten
van g en A in Q samenvallen. De bij deze snijpunten
behoorende, eveneens op g gelegen, punten van A\' zul-
len dus eveneens twee aan twee samenvallen, zoodat
g aan A\' raakt in elk der punten, die bij Q behooren.
Tot deze punten behoort echter Q zelf. Laat men nl.
een punt P over A tot Q naderen, dan zal eerst P een
coïncidentie zijn, terwijl de overige punten der zelfde
groep op A\' liggen. In Q vallen echter drie punten samen:
een dier overige punten moet dus ook in Q gekomen
zijn, zoodat A\' door Q gaat. In Q raken dus A en A\'
beide aan g, zij moeten elkaar dus raken.

Behalve de basispunten en de punten Q hebben A en
A\' nog:

(2m—1) (m—2) (3m—1) — (m-2) (m 1) — 2(m-2)m²—2.3
m(m—2) = 4m(m—2) (m—3)

snijpunten. Zulk een snijpunt P is, als punt van A, een
coïncidentie der I^m; als punt van A\' behoort het tot
een groep, die een coïncidentie bevat, welke niet met
P kan samenvallen, daar men dan een der punten Q
zou krijgen. Elk dezer snijpunten behoort dus tot een
groep der I^m, welke twee coïncidenties bevat; en daar
deze twee coïncidenties geheel in dezelfde omstandig-
heden verkeeren, zijn het beide snijpunten van A en A\'-
Het aantal van deze groepen bedraagt dus
2m(m—2) (m—3).

Daar de punten van eenzelfde groep snijpunten zijn
van een c^m met een rechte g, is bij elk dezer laatste
groepen g een dubbelraaklijn van c^m. De dubbelraak-
lijnen der krommen van een bundel (c^m) omhullen dus
een kromme van de klasse 2m(m—2) (m—3); want zoo-
veel dubbelraaklijnen gaan door het punt A.

§ 6. Doorloopt een punt P een rechte /, dan kan men
vragen naar de meetkundige plaats l\' der punten P\', die
met P tot eenzelfde groep der I^m behooren.

Wij kunnen eerst aantoonen, dat /\' in A een m-voudig
punt heeft. De rechte / snijdt nl. de door A gaande
kromme (A)^m in m punten; elk van deze behoort tot een
groep, die ook A bevat; telkens, als dus P door een
dezer snijpunten gaat, zal een der punten P\'in A komen.

Evenzoo zal /\' éénmaal gaan door elk der punten B_k ;
want het snijpunt van / met de door een punt B_k gaande
rechte (B)_k behoort tot een groep, die ook B_k bevat.

Om nu den graad van l\' te bepalen, zoeken wij het
aantal snijpunten van /\' met een rechte g. Van deze
snijpunten liggen m in het m-voudige punt A, (m—1)

behooren tot de groep, die bepaald wordt door het snij-
punt van / en g. Het totale aantal bedraagt (2m—1),
l\' is dus van den graad (2m—1). De rechte / en de
kromme /\' snijden elkaar in de (2m—1) snijpunten van
/ en A; want in elk dezer punten valt een punt van l
met een der punten van dezelfde groep samen.

§ 7. Beschouwen wij nu het meer algemeene geval,
dat twee bundels (a^mi) en (b^m2) gegeven zijn, achtereen-
volgens bestaande uit krommen a^mi van den graad mi
en b^m2 van den graad m₂. De mimosnijpunten van een
a^mi en een b^m2 vormen een groep der involutie I^miITl2.

De basispunten A_k van (a^mi) en B_k van (b^m2) zijn
weer singuliere punten der involutie. Door een punt
A_k gaat nl. één bepaalde kromme b^m2, die wij door (A)_k²
zullen aanduiden; elke kromme a^mi snijdt nu (A)_k² vol-
gens een groep, die het punt A_k bevat. Analoge be-
schouwingen gelden voor de punten B_k.

Wij beginnen weer met de studie van de coïncidenties
der I^mim2, Zulk een coïncidentie zal zich voordoen, als
twee der snijpunten van een a^mi en een b^m2 samen-
vallen, de beide krommen elkaar dus raken. De ge-
meenschappelijke raaklijn, d.w.z. de verbindingslijn der
beide samengevallen punten, heet de drager der coïn-
cidentie.

Zij P een willekeurig punt, M een coïncidentie, waar-
van de drager door P gaat. Uit elk der beide bundels
raakt dan een kromme de lijn PM in het punt M aan;
M moet dus liggen op de poolkrommen van P t.o.v. de beide
bundels, want elk dezer poolkrommen is immers de m.p.
van de raakpunten der uit P aan de krommen van een

der bundels getrokken raaklijnen. Boven is gebleken,
dat de poolkromme van P t.o.v. den bundel (a^mi) van
den graad (2mi—1) is, en door P gaat; hetzelfde geldt
voor de poolkromme to.v. (b^m,i). De beide poolkrommen
hebben buiten P nog

(2mi—1) (2mo—1)—1 = 4mim₂—2(mi m₂)
punten gemeen; elk hiervan is een punt M, d.w.z. een
coïncidentie, waarvan de drager door P gaat. De dragers
van de coïncidenties der I^mi^m2 omhullen dus een kromme
van de klasse 4mim2—2)mi m2).

Laten wij P nu een rechte lijn / doorloopen, dan zal
de poolkromme van P t.o.v. (a^mi) of van (b^ma) een bundel
doorloopen, waarvan de exemplaren projectief aan de
punten P van / zijn toegevoegd; dit volgt onmiddellijk
uit het boven gevonden feit, dat de coëfficiënten der verge-
lijking van de poolkromme de coördinaten van P lineair
bevatten. Door hun snijpunten M leveren de poolkrommen
t.o.v. (a^mi) en (b^m2) nu alle coïncidenties, waarvan de dragers
een punt P van l snijden; daar elke drager echter /moet
snijden, vindt men zoo alle coïncidenties. der I"¹^

De punten van de coïncidentiekromme A der I^m,m2
zijn dus snijpunten van poolkrommen, die bij eenzelfde
punt P van / behooren. Deze poolkrommen zijn nu in
projectief verband met de punten P van l, dus ook
onderling projectief. Zijn nu twee projectief gepaarde
bundels van krommen gegeven, resp. van de graden n!
en n₂, dan is de m.p. der snijpunten van overeenkomstige
krommen een kromme van den graad (ni n₂). Voor de
beide bundels van poolkrommen wordt dit [(2mi—1)
(2m₂—l)] = 2(mi m₂—1). Nu valt een der snijpunten der
beide poolkrommen steeds in P, en doorloopt de rechte

/; de m.p. der overige snijpunten, d.w.z. der punten M,
is dus van den graad:

2(mi m₂)—3.

Dit is dus de graad der coïncidentiekromme A.

§ 8. De kromme A zal gaan door de basispunten
A_k en B_k. Immers, door een punt A_k gaat één kromme
b^m2, die in de vorige § reeds door (A)_k² werd aange-
duid, en nu zal er in den bundel (a^mi) één kromme zijn,
die deze in A_k aanraakt, en dus een in A gelegen
coïncidentie levert. Hetzelfde geldt voor de punten B_k.

Verder kunnen wij aantoonen, dat A in elk der punten
A_k de kromme (A)_k² raakt. Immers, de snijpunten van
A met een b^m2 zijn de punten, waarin b^m2 wordt aan-
geraakt door krommen a^mi uit (a^mi). Gaat b^m2 nu door
een der punten A_k, dan zullen twee dier krommen
samenvallen tot de a^mi, die b^m2 in A_k raakt; twee dier
snijpunten vallen dus in A_k, waarmee het gestelde
bewezen is.

Evenzoo raakt A in elk der punten B_k aan de daardoor
gaande kromme a^mi, die wij door (B)_k ¹ zullen aanduiden.

Verder zal A gaan door de dubbelpunten van krommen
a™i, die een dubbelpunt hebben, en welker aantal volgens
een bekende stelling 3(mi—l)² is. In zulk een punt toch
zullen de daardoor gaande krommen a^mi en b^m2 twee
samenvallende punten gemeen hebben, zoodat het een
coïncidentie is. Evenzoo gaat A door de 3 (m₂—l)² dubbel-
punten van krommen b^m2.

De bundel (a^m0 zal een zeker aantal krommen bevatten,
die A raken. Zij Q een der raakpunten; wat is de be-
teekenis van dit punt Q ?

De snijpunten eener a^mi met A zijn, zoover zij niet
in de punten A_k vallen, de coïncidenties der op a^mi ge-
legen involutie van groepen toegevoegde punten der
I^mim2. In zulk een punt Q vallen nu twee dezer coïn-
cidenties samen; evenals in § 3 moet dit zóó gebeurd
zijn, dat in Q drie toegevoegde punten der involutie
zijn samengevallen. De door Q gaande krommen a^mi en
b^m2 hebben daar dus drie samenvallende punten gemeen
en osculeeren elkaar dus.

Om nu het aantal punten Q te vinden, merken wij op,
dat een bundel (a^mi)

2 (mi—1) n n (n—1)
krommen bevat, die een willekeurige kromme cⁿ van
den n-den graad raken. Voor A, waarvan de graad
[2 (mi m₂) —3] is, wordt dit: (2mi 2m₂—3) (4mi
2 mo —6).

Hiertoe behooren echter ten eerste de mf krommen a^mi,
die A in de punten A_k raken, elk 2 X geteld ; want als de
genoemde cⁿ door een der basispunten gaat, vallen twee
der gevonden krommen samen tot de a^mi, die cⁿ in dit
punt raakt Verder behooren daartoe de ml krommen
(B)™¹, die A raken in de punten B_k. Voor geen dezer
punten geldt de boven gehouden redeneering.

Eindelijk behooren daartoe de 3(mi—l)² krommen a^mi,
die een dubbelpunt hebben; want doordat elk dezer
dubbelpunten op A ligt, moet elk dezer krommen be-
schouwd worden als een, die A raakt. Ook zulk een
dubbelpunt moet niet meegeteld worden; want de b^m2,
die door dit punt gaat, zal daar in het algemeen geen
der beide takken van a^mi raken, dus slechts twee samen-
vallende punten met a^mi gemeen hebben.

Het aantal punten Q, waarin drie toegevoegde punten
der I^mi^m2 samenvallen, bedraagt dus

(2mi 2ni2—3) (4mi 2m₂—6)—2ml—m|—3(mi—l)² =

3(m? ml) 12mim₂—18(_mi m₂) 15.

Voor m₂ — 1 vindt men de in § 3 gevonden uitkomst
terug.

§ 9. Doorloopt een punt P de kromme A, dan zal
een der punten, die met P tot eenzelfde groep der I¹"¹™²
behooren, voortdurend met P samenvallen. De m.p. der
overige punten is een kromme A\', de vertakkingskromme
der T¹"¹.

Wij bewijzen eerst, dat A\' meervoudige punten heeft
in dg basispunten A_k en B_k. Elk punt nl. der kromme
(A)_k ², die uit (b^m2) door A_k gaat, behoort tot een groep,
die ook A_k bevat. Dit geldt ook voor de snijpunten van
(A)™² en A; zoo dikwijls dus P een dezer punten be-
reikt, zal een der bijbehoorende punten in A_k komen,
dus A\' door A_k gaan.

Van deze snijpunten moeten echter de basispunten
uitgezonderd worden. Daar zulk een basispunt, bijv,
B_k, tot co¹ groepen der I^mim2 behoort, is het niet direct
duidelijk, welke punten van A\' bij B_k als punt van A
behooren; wij moeten dit door een grensovergang uit-
maken. Laten wij nu P over A totB_k naderen, dan zal
P voortdurend een coïncidentie der I^mim2 zijn; dit
moet ook in de limiet het geval wezen. Nu is er één
groep der I^mim2f die in B_k een coïncidentie heeft: deze
wordt gevormd door de snijpunten van de door B_k

1 Dit werd door blschoff (Journal von Crelle, LIV, 185) gevonden.

gaande a^mi met de b^m2, die deze in B_k raakt; dit zijn
dus de gezochte punten. In \'t algemeen zal geen van deze
in een der andere basispunten vallen, en men ziet dus,
dat voor de basispunten de zooeven gegeven redenee-
ring niet geldt.

A en (A)_k ² raken elkaar in A_k en snijden elkaar in
de punten B_k; daarbuiten hebben zij nog

[2(mi m₂)—3]m₂ — 2—mi = 2mim₂ m|—3m₂—2

punten gemeen; zooveel malen gaat dus A\' door A_k. Even-
zoo gaat A\' [mi 2mim₂ — 3mx — 2] malen door elk der
punten B_k.

§ 10. Om den graad van A\' te vinden, zoeken wij
het aantal snijpunten van A\' met een kromme a^mi. Deze
zal A\' snijden: le in de meervoudige punten A_k; 2e in
de punten, welke behooren bij de snijpunten van a^mi
en A- Bij deze snijpunten van a^mi en A moet men echter
niet meetellen de punten A_k; want de punten van A\\
die bij A_k als punt van A behooren, en die zoo juist
bepaald zijn, liggen in \'t algemeen niet op a^mi. Buiten de
punten A_k snijden a^mi en A elkaar in

[2(mi m₂)—3]mi — m² = m\'i 2mim₂—3mi

punten; bij elk hiervan behooren (miirio—2) punten van
A\'. Het totale aantal snijpunten van a^mi en A\' be-
draagt dus:

m?(2m₁m₂ m^—3m₂—2) (m? 2m_]m₂—3mi) (mim₂—2) =

= mi [3mim₂ (m_t m₂) —6mim₂—4 (m! m₂) 6],
de graad van A\' bedraagt dus:

3mim₂ (mi m₂) —6mim₂ —4 (mi m₂) 6.

De twee krommen A en A\' snijden elkaar in de basis-
punten A_k en B_k, die enkelvoudige punten van A, meer-
voudige van A\' zijn.

Verder hebben zij gemeen de punten Q, waarin drie
toegevoegde punten der I^mim2 zijn samengevallen; immers,
zulk een punt, dat reeds als punt van A een coïncidentie
der I™¹™² is, valt bovendien nog samen met een der
verdere punten van dezelfde groep, d.i. met een punt
van A\'. Wij kunnen gemakkelijk aantoonen, dat A en
A\' elkaar in deze punten raken.

De kromme a^mi toch, die door een punt Q gaat, raakt
A daar aan. Twee der snijpunten van a^mi en A zijn dus
in Q samengevallen, en de met deze twee overeen-
komende punten van A\' moeten dus ook twee aan twee
samengevallen zijn. A\' en a^mi raken elkaar dus in de
punten, die bij Q behooren. Tot deze punten behoort
echter Q zelf, A en A\' raken a^mi dus beide in Q aan
waarmee het gestelde bewezen is.

Buiten de basispunten en de punten Q hebben A en A\' nog
{2mi 2m₂—3) [3mim₂ (mi m₂)—6mim₂—4(mj m₂) 6]—
—m? (2mim₂ m^—3m₂—2)—mi (m? 2mim₂—3mi—2)—

—2 [3(m? m|) 12nnm₂ — 18K m₂) 15] =
—mi m₂[4(m f m \\) 10rmm₂ -18(m, m₂)-22] -12(m f m 1)

60(mi m₂)—48
snijpunten. Elk van deze is als punt van A een coïnci-
dentie der I^m,m-; als punt van A\' behoort het tot een
groep, die een coïncidentie bevat, die er niet mee samen-
valt, daar men dan een der punten Q zou krijgen. Het
behoort dus tot een groep, die twee coïncidenties bevat.
Daar beide coïncidenties van zoo\'n groep in dezelfde
omstandigheden verkeeren, zijn het beide snijpunten van
C. v. 0. 2

A en A\'. Het aantal groepen der l™¹™², die twee coïnci-
denties bevatten, bedraagt dus:¹)

mim₂ [2(mf m|) 5mim₂—9(mi m₂) —11] —6(mï mi)

30 (mi m₂) —24.
Voor m₂= 1 vindt men het resultaat van § 5 terug.

§ 11. De (mim₂—4) punten van A\', die tot een der
laatstgevonden groepen behooren, zijn dubbelpunten van
A\'; elk dezer punten toch behoort bij twee punten van
A, terwijl een willekeurig punt van A\' slechts bij één
punt van A behoort.

De punten Q\' van A\', welke behooren bij een der
punten Q, zijn keerpunten van A\'. Boven is nl. gebleken,
dat de kromme a^rai, die door die punten Q\' gaat, A\'
daar aanraakt. Hetzelfde moet ook gelden voor de b^m2
door die punten. Die krommen a^mi en b^m2 kunnen elkaar
echter niet in deze punten aanraken; want de twee
bundels (a^mi) en (b^m2) bevatten in het algemeen geen
krommen, die elkaar meermalen aanraken. De kromme
A\' heeft dus in elk dezer punten Q\' meer dan één
raaklijn; deze punten moeten dus dubbelpunten van A\'
zijn. Zij behooren echter elk bij slechts één punt van A,
zoodat er slechts één tak van A\' doorheen gaat; het
moeten dus keerpunten van A\' zijn. Daar bij elk punt
Q (mim₂—3) punten Q\' behooren, bedraagt het aantal
keerpunten van A\':

(mim₂—3) [3(mï m|) 12mim₂—18(mi m₂) 15].

§ 12. Doorloopt een punt P een rechte l, dan zullen

Bischoff, t.a.p.

de punten P\', die met P tot eenzelfde groep der I^mim2
behooren, een kromme l\' beschrijven.

Deze heeft meervoudige punten in de basispunten A_k
en B_k; l snijdt nl. de door een punt A_k gaande
kromme (A)_k in m₂ punten; elk hiervan behoort tot een
groep der I^mim2f die ook A_k bevat. Doorloopt dus P
de rechte /, dan zal m₂ malen een der punten P\' in
A_k komen, zoodat /\' m₂ malen door A_k gaat. Evenzoo
gaat l\' mi malen door elk der punten B_k.

Om nu den graad van /\' te vinden, zoeken wij het
aantal snijpunten van l\' met een kromme a^mi. Deze
snijdt l\' ten eerste in de meervoudige punten A_k, ten
tweede in de (mim₂—1) punten van l\', die behooren bij
elk der snijpunten van / en a^mi. Het totale aantal be-
draagt dus:

m?m₂ mi (mim₂—1),
zoodat de graad van /\' bedraagt:

2mj m₂—1.

De kromme l\' snijdt l ten eerste in de [2(mi m₂)—3]
snijpunten van / met de coïncidentiekromme A; want in
elk dezer punten valt een punt van / met een der punten
van dezelfde groep, dus met een punt van /\', samen.
Verder hebben / en /\'

2mim₂—1—[2(mi m₂)—3] = 2 (mi—l)(m₂—1)
punten gemeen. Elk van deze is, als punt van /\', toe-
gevoegd aan een punt van /, dat er niet mee samen-
valt, daar men dan een punt van A zou krijgen;
het behoort dus tot een groep, waarvan twee punten
°P l liggen. Daar deze twee punten in dezelfde om-
standigheden verkeeren, zijn het beide snijpunten van
/ en /\'; een rechte l draagt dus (m\\—1) fm₂—1) pun-

\\

*

tenparen, die telkens tot eenzelfde groep der I^mi^m- be-
hooren.*)

§ 13. Neemt men in de voorafgaande uitkomsten
mi = m₂ = m, dan vindt men:

De dragers van coïncidenties der I^m" omhullen een
kromme van de klasse 4m (m—1).

De m.p. dezer coïncidenties is een kromme van den
graad (4m—3).

Het aantal groepen, die drie samenvallende punten
bevatten, bedraagt:

18m²—36m 15.

Het aantal groepen, die twee coïncidenties bevatten,
bedraagt:

9m⁴—18m³—23m² 60m—24.

De vertakkingskromme A\' is van den graad:
6m³—6m²—8m 6.

Zij heeft de basispunten tot (3m²—3m—2)-voudige
punten; verder heeft zij (9m⁴— 18m³— 23m² 60m—24)
(m²—4) dubbelpunten en (18m²—36m 15) (m²—3) keer-
punten.

Doorloopt een punt een rechte /, dan zullen de bij-
behoorende punten een kromme van den graad (2m²—1)
beschrijven.

Een rechte / bevat (m—l)² paren toegevoegde punten
der l^m\\

§ 14. Analoog aan de hier beschouwde vlakke invo-
luties I^mim2 kan men ook involuties verkrijgen op een

Zij zijn de gemeenschappelijke paren der involuties, welke de beide
bundels op / insnijden.

oppervlak O" van den graad n. Wij zullen er een enkel
woord aan wijden, daar dit ons later van nut zal zijn.

Zij dus gegeven een oppervlak Oⁿ, benevens twee
bundels (a^mi) en (b^m2), resp. bestaande uit oppervlakken
a^mi van den graad mi en b^m2 van den graad m₂. Nemen
wij uit eiken dezer bundels een oppervlak. De mim₂n
snijpunten dezer beide oppervlakken met het oppervlak
Oⁿ vormen een groep eener op Oⁿ gelegen I^mim2n,

Een coïncidentie dezer I^mim2n zal men verkrijgen, als
twee der genoemde snijpunten samenvallen, dus de door-
snede /:^mi^m2 van twee oppervlakken a^mi en b^m2 aan Oⁿ
raakt. Om de meetkundige plaats dezer coïncidenties te
bestudeeren, passen wij de z.g. methode der afplatting toe.

Wij denken ons nl. het oppervlak Oⁿ éénzijdig samenge-
drukt, tot het is overgegaan in n samengevallen platte
vlakken. De n bladen van het samengedrukte oppervlak
hangen samen volgens een „overgangskromme" (p, de
limiet van de m.p. der raakpunten van de in de richting
der éénzijdige samendrukking getrokken raaklijnen. Deze
kromme (p is van den graad n(n—1) en de klasse
n(n—l)²; dit toch zijn graad en klasse van een wille-
keurigen om Oⁿ beschreven cylinder.

De complex der raaklijnen van Oⁿ is dan overgegaan
in den complex der rechten, die de kromme (p snijden.
Beschouwt men de krommen uit een gegeven stelsel, die
Oⁿ raken, dan zal elk dezer krommen ten slotte de kromme
<P snijden öf het limietvlak V" raken, en wel moet elke
zoodanige kromme n maal geteld worden, daar in V
n bladen van Oⁿ zijn samengevallen. De m.p. der raak-
punten bestaat dus ten slotte uit: de kromme 0 en de
m.p. der raakpunten op V, n maal geteld.

Passen wij dit in het gegeven geval toe. De bundels
(a^mi) en (b^m2) worden door V gesneden volgens twee
bundels van krommen. Indien de snijkromme /=^mi^m2 van
twee oppervlakken a^mi en b^m2 in een zeker punt aan
Vraakt, zullen ook de doorsneden van die oppervlakken
met V elkaar daar raken, en krijgt men dus een coïn-
cidentie der door die twee krommen-bundels bepaalde
jmim_{2 m} p d_eZer raakpunten is dus de coïncidentie-
kromme dier I^mim2, dus van den graad (2mi 2m₂ — 3).
De aanrakingskromme op het oppervlak 0ⁿ is dus oor-
spronkelijk van den graad:

(2mi 2m₂ — 3)n n(n—1).

§ 15. Tot de vlakke involuties I^mim- terugkeerend, be-
schouwen wij thans het bijzondere geval, dat mi = m₂ = m,
terwijl de twee bundels (a^m) en (b^m) tot eenzelfde net
[a^m] van vlakke krommen van den m-den graad behooren.

Twee krommen a^m en b^m uit die bundels bepalen een
bundel van krommen, die geheel tot het net behoort,
en de snijpunten dier twee krommen tot basispunten
heeft. Men kan de groepen der I^m" dus ook bepalen als
de groepen der basispunten van de bundels uit het
net [a^mL

Deze definitie is echter niet geheel met de oorspron-
kelijke gelijkwaardig en de eigenschappen dezer I^m\' kunnen
dan ook eerst door een grensovergang uit die der alge-
meene P¹™² worden afgeleid.

Volgens de oorspronkelijke definitie wordt elke groep
der I^m2 gevormd door de snijpunten van twee krommen
_am en b^m. Behooren nu echter de twee bundels tot
eenzelfde net, dan hebben zij één kromme gemeen, die

wij door a™ zullen aanduiden. Combineert men nu deze
kromme met zich zelf, dan worden de snijpunten onbe-
paald, en alle punten van a™ moeten als één groep der
worden opgevat.

Gaat men. van de tweede definitie uit, dan zullen de
krommen uit [a^m], die door een punt van a™ gaan, nog
altijd een bepaalden bundel met bepaalde basispunten
vormen; dan behoort dus elk punt a™ tot een bepaalde
groep van m² punten.

2

Om nu de eigenschappen dezer I " na te gaan, denken
wij ons de bundels (a^m) en (b^m) eerst willekeurig gekozen,
en daarop zóó veranderd, dat zij tot eenzelfde net [a^m]
gaan behooren. Het optreden van a™ zal dan verschillende
ontaardingen veroorzaken.

§ 16. Daar alle punten van a™ in de grens één groep
vormen, zal elke raaklijn van a™ in het raakpunt twee
samenvallende punten eener zelfde groep bevatten, dus
drager eener coïncidentie zijn. Van de dragers der coïn-
cidenties der algemeene involutie scheiden zich dus de
raaklijnen van a™ af, de overige dragers omhullen een
kromme van de klasse 3m(m—1).

Elk punt van a™ is dus als een coïncidentie op te
vatten; a™ is dus van de m.p. der coïncidenties af te
scheiden en er blijft een kromme A van den graad
3(m—1) over.

Door een punt P van deze kromme A gaat een bundel
van krommen uit [a^m]. Alle deze krommen hebben inP
twee samenvallende punten gemeen, dus een gemeen-
schappelijke raaklijn. Door een willekeurig punt Q gaat
één kromme uit dezen bundel. Nemen wij nu Q oneindig

dicht bij P, zoodanig, dat PQ in de limiet niet met de
genoemde raaklijn samenvalt, dan heeft de aldus bepaalde
kromme in P twee verschillende raaklijnen, dus een
dubbelpunt. Elk punt van A is dus dubbelpunt van een
kromme uit [a^m]. A is dus de m.p. dezer dubbelpunten,
de z.g. kromme van Jacobi van het net [a^m]. Volgens
een bekende stelling is deze werkelijk van den graad 3(m—1).

Een bundel (a^m) uit het net [a^m] bevat
2(m—1) ,3(m—1) (3m—3) (3m—4) = 3(m—1) (5m-6)
krommen, die A raken. Is Q een der raakpunten, dan
vallen in Q twee coïncidenties samen van de involutie

9

van toegevoegde punten der I^m, welke gelegen is op
de door Q gaande a^m; die coïncidenties worden immers
geleverd door de snijpunten van a^m en A. Evenals
vroeger moet dit zóó gebeurd zijn, dat in Q drie punten
van eenzelfde groep der I^m zijn samengevallen, zoodat
alle krommen a^m van den door Q uit [a^m] bepaalden
bundel elkaar daar osculeeren.

Van de genoemde „rakende" krommen moet men
echter aftrekken die, welke een dubbelpunt hebben, dat
dan noodzakelijk op A ligt; voor zulk een dubbelpunt
geldt de pas gehouden redeneering niet. Het aantal
groepen der I^m met drie samengevallen punten be-
draagt dus 3(m—1) (4m—5).

Om den graad van de vertakkingskromme A\' te vinden,
zoeken wij het aantal snijpunten van A\' met een kromme
a^m. Deze snijdt A in 3m(m—1) punten P; elk hiervan
bepaalt een groep, waarvan nog een der punten in P
valt, terwijl er (m²—2) buiten P liggen, die snijpunten
zijn van a^m en A\'. De graad van A\' bedraagt dus:
3(m—1) (m²—2).

De krommen A en A\' raken elkaar in de boven ge-
vonden punten Q; men bewijst dit evenals vroeger door
de opmerking, dat de a^m, die door Q gaat, daar A raakt,
en verder in elk der bij Q behoorende punten twee
samenvallende punten met A\' gemeen heeft, terwijl tot
deze punten Q zelf behoort.

Buiten de punten Q snijden A en A\' elkaar in
3(m—1) (m—2) (3m² 3m—8)
punten; deze behooren tot

f(m—1) (m—2) (3m² 3m—8)

2

groepen der I welke elk twee coïncidenties bevatten;
beide coïncidenties toch van zoo\'n groep zijn snijpunten
van A en A\'.

Doorloopt een punt P een rechte l, dan zullen de
punten, die met P tot eenzelfde groep behooren, een
kromme l\' beschrijven. Deze is in \'t algemeen van den
graad (2mr—1). Gaat men echter tot de hier beschouwde
I^m over, dan scheidt zich de kromme a™ m maal van
l\' af; want alle punten van a™ vormen bij den grensover-
gang één groep, en elk punt hiervan behoort bij de m
snijpunten van a™ en /. De overblijvende kromme l\' is
van den graad (m²—1).

Men bevestigt dit door de opmerking, dat een kromme
am de kromme l\' snijdt in de (m²—1) punten, die bij
elk der m snijpunten van a™ en / behooren.

De krommen / en /\' snijden elkaar: le in de 3(m—1)
snijpunten van / en A, want in elk dezer punten valt
een punt van / met een der bijbehoorende samen; 2e in
de (m—l)(m—2) overige snijpunten; deze vormen

-iï2——?L _Qp i g_el_eg_en paren toegevoegde punten

der I^m2f want beide punten van zoo\'n groep moeten snij-
punten van / en l\' zijn.

Een willekeurige rechte / draagt dus —————

2

paren toegevoegde punten der I^m .

De bijbehoorende |(m— 1) (m—2) (m²—2) punten van
l\' zijn dubbelpunten van /\'; elk hiervan behoort toch bij
twee punten van /, terwijl een willekeurig punt van
l\' slechts bij één punt van / behoort.

Ten slotte kunnen wij opmerken, dat de vertakkings-
kromme A\' l(m—1) (m—2) (3m² 3m—8) (m²—4) dubbel-
punten heeft; deze behooren tot de boven gevonden
groepen, welke twee coïncidenties bevatten. Immers, een
punt van zoo\'n groep behoort bij twee punten van A,
zoodat A\' er tweemaal door gaat.,

Verder heeft A\' 3(m—1) (4m—5) (m²—3) keerpunten,
behoorend bij de punten Q, waarin drie toegevoegde
punten samenvallen. Boven is nl. gebleken, dat elke a^m,
die door een punt Q gaat, met A\' twee samenvallende
punten gemeen heeft in elk der punten, die bij Q be-
hooren; de krommen a^m door die punten zullen elkaar
daar niet alle raken; het moeten dus dubbelpunten van
A\' zijn, en, daar er slechts één tak van A\' doorheen
gaat, zijn het keerpunten.

§ 17. Enkele bijzonderheden doen zich voor bij m = 2,
dus bij een net van kegelsneden.

De formule van de vorige § leert ons dan, dat een

Zij zijn de neutrale paren der involutie van den tweeden rang,
welke het net op / bepaalt.

willekeurige rechte geen enkel paar toegevoegde punten
der I⁴ draagt. Daar er co² zulke paren zijn, moeten er oo¹
rechten wezen, die elk co¹ paren toegevoegde punten
bevatten.

Wij kunnen ook direct bewijzen, dat de verbindingslijn
van twee punten van eenzelfde groep der I⁴ een invo-
lutie van paren toegevoegde punten draagt.

Laten nl. P en P\' twee toegevoegde punten der I⁴
zijn, dus basispunten van een bundel uit het net [a²].
Elke andere bundel uit [a²] heeft met dezen één a² ge-
meen, en snijdt de lijn PP\' dus volgens een involutie,
die het puntenpaar (P, P\') bevat. Twee dier andere
bundels hebben nu ook steeds één a² gemeen ; de door
hen ingesneden involuties hebben dus óók het paar ge-
meen, dat door deze wordt ingesneden, en moeten dus
geheel samenvallen. Alle bundels uit [a²] snijden PP\'
dus volgens dezelfde involutie; dit is alleen mogelijk,
als elk paar hiervan co¹ krommen, dus een bundel, uit
[a²] bepaalt, dus een toegevoegd paar der I⁴ is.

Hoeveel dezer rechten PP\' gaan door een willekeurig
punt M ? Daar elk punt van zoo\'n rechte aan een tweede
punt daarvan is toegevoegd, moet elk der door M gaande
rechten een aan M toegevoegd punt bevatten; deze
rechten zijn dus de verbindingslijnen van M met de
andere punten derzelfde groep. Zij omhullen dus een
kromme van de derde klasse.

Voor een punt M dezer kromme zullen twee der door
M gaande rechten samenvallen. Daar geen drie punten
van een zelfde groep der I⁴ op een rechte lijn kunnen
liggen — dan toch zou deze rechte deel uitmaken van
een bundel ontaarde kegelsneden der [a²], en zoo iets

komt in \'t algemeen niet voor — moet dit zoo gebeuren,
dat twee der aan M toegevoegde punten samenvallen.
M is dus een punt der vertakkingskromme A\', en deze
wordt dus door de rechten PP\' omhuld.

De formule van de vorige § leert ons, dat A\' voor
m = 2 van den zesden graad wordt. Deze kromme moet
dus negen keerpunten bezitten, in overeenstemming met
de algemeene formule. Deze punten moeten behooren
bij de negen punten Q, waarin drie punten eener zelfde
groep samenvallen; en werkelijk zullen voor een punt
van A\', dat bij zoo\'n punt Q behoort, de drie verbin-
dingslijnen met de overeenkomstige punten, d. i. de drie
raaklijnen van A\', samenvallen.

Meer keerpunten kan A\' niet hebben; de punten Q
zelf zijn dus gewone punten van A\', en hier heeft dus
gewone aanraking tusschen A en A\' plaats. Nu hangt
de vorm van A\' bij een punt Q alleen af van het
gedrag der aan elkaar toegevoegde punten in de onmid-
dellijke omgeving van Q, en dit heeft met de graden
der gegeven vergelijkingen niets te maken; want, als
men dit gedrag door reeksontwikkeling nagaat, en hiertoe
Q in den oorsprong brengt, zullen toch alleen de laagste
termen dier vergelijkingen van invloed zijn. Ook in het
algemeen zullen dus A en A\' elkaar in de punten Q
gewoon raken — een omstandigheid, die in het vooraf-
gaande nog niet was opgehelderd.

HOOFDSTUK II.

Twee bundels van oppervlakken en een

bundel van platte vlakken.

Tot de involuties in de ruimte overgaande, zullen wij
eerst het geval beschouwen, dat één der drie gegeven
bundels uit platte vlakken bestaat. Het zal nl. blijken,
dat de aldus verkregen involuties nauw samenhangen
met de vlakke involuties, die in het vorige hoofdstuk
onderzocht zijn, zoodat verschillende hunner eigenschap-
pen met behulp van de uitkomsten van het vorige hoofd-
stuk kunnen worden gevonden; deze kunnen dan weer
dienen ter controle van de latere algemeene resultaten.

§ 1. Laten dus gegeven zijn twee bundels (a^m0 en
(b^m2), bestaande uit oppervlakken a^mi van den graad mi
en b^m2 van den graad m₂, benevens een bundel (^r) van
platte vlakken r. De basiskrommen van (a^mi) en (b^m2)
zullen wij aanduiden door *^mï en I3^m*, de basisrechte
van (t) door 7. De mim₂ snijpunten van twee opper-
vlakken a^mi en b^m2 met een vlak t vormen een groep
eener involutie I™¹™².

De bundels (a^m0 en (b^m2) worden door een vlak x ge-
sneden volgens twee bundels van vlakke krommen, en
elke in dit vlak x gelegen groep van mim₂ punten wordt

gevormd door de snijpunten van twee krommen uit deze
beide bundels. De in eenzelfde vlak x gelegen groepen
der I™¹™² vormen dus een vlakke involutie, zooals die in
het vorige hoofdstuk is onderzocht.

Door een willekeurig punt der ruimte gaat uit eiken
der drie bundels één oppervlak; een willekeurig punt
behoort dus tot één en niet meer dan één groep der
I^mim2. Dit geldt echter niet voor een punt op een der
basiskrommen.

Door een punt P_y op de rechte y gaan een bepaald
oppervlak a^mi en een bepaald oppervlak b^m2; deze snijden
elkaar volgens een kromme, die wij door (C)^mim2 zullen
aanduiden. Elk vlak x snijdt nu deze kromme in een groep
van mini2 punten, waartoe P„, behoort; dit punt behoort
dus tot co¹ puntengroepen der involutie.

Evenzoo gaan door een punt P^ der kromme «^mi één
oppervlak b^m2 en één vlak x; deze snijden elkaar volgens
een kromme, welke wij door (A)ⁿⁱ² zullen aanduiden, en
elk oppervlak a^mi snijdt deze kromme volgens een
groep van minv» punten, waartoe P_a behoort.

De punten der basiskrommen zijn dus singuliere punten
der involutie.

De snijpunten van een vlak x met een kromme (C)^mim2
zijn het punt P^ en de punten, welke aan P_r zijn toe-
gevoegd door de in het vlak x gelegen vlakke I™¹™².
Doorloopt nu het punt P_y de rechte y, dan beschrijven
deze punten een kromme van den graad (2m₁m₂—1),
(Hfdst. I, § 12). Deze kromme vormt met de rechte y
de doorsnede van het vlak x met het oppervlak C, dat
door de krommen (C)¹"¹™² wordt gevormd; dit oppervlak
is dus van den graad 2mim9.

De kromme, welke in een vlak r aan de rechte y is
toegevoegd, heeft (Hfdst. I, § 12) m₂-voudige punten
in de snijpunten van het vlak r met de kromme x^ml, mi-
voudige punten in die met (3^ml. Het oppervlak C heeft
dus «^mi tot ni2-voudige, /3^m| tot mi-voudige kromme.

Uit de bepaling van het oppervlak C volgt onmiddellijk,
dat elk punt van C behoort tot een groep der I^mi^m2_f waar-
van één der punten op y ligt.

§ 2. Wij gaan thans over tot de studie van de coïn-
cidenties der I^mim2.

Zulk een coïncidentie zal zich voordoen, als twee der
snijpunten van drie oppervlakken uit de drie gegeven
bundels samenvallen, dus als de doorsnede van twee
oppervlakken a^mi en b^m2 aan een vlak t raakt. De raak-
lijn der j_n dit punt is dan de drager der coïncidentie,
d. w. z. de verbindingslijn der beide samengevallen punten.

Een plat vlak V" snijdt de bundels (a^mi) en (b^m2) vol-
gens twee bundels van vlakke krommen, den bundel
(^T) volgens een waaier. De dragers der in V gelegen
coïncidenties moeten ook in vlakken r liggen, dus stralen
van dien waaier zijn. Zijn nu in een vlak V twee bun-
dels van vlakke krommen gegeven, dan omhullen de
gemeenschappelijke raaklijnen der elkaar aanrakende
krommen uit deze bundels een kromme van de klasse
[4mim₂—2(mi m₂)] (Hfdst. I, § 7). Van deze raaklijnen
behooren dus [4mim₂—2(mi m₂)] tot den genoemden
waaier, en men ziet gemakkelijk in, dat dit de gezochte
dragers zijn.

De dragers van de coïncidenties der I^mi^m~ vormen dus
een stralencongruentie van de klasse 4mims—2(mi m2)..

De graad dezer congruentie wordt door hetzelfde
getal voorgesteld. De dragers, welke door een punt P
gaan, moeten nl. liggen in het vlak t, dat door P gaat.
Nu omhullen de dragers van de coïncidenties der in %
gelegen vlakke involutie een kromme van de klasse
[4m₁m₂-2(mi m₂)] (Hfdst. I, § 7); dit getal geeft dus
het aantal dragers, welke door P gaan, waarmee het
gestelde bewezen is.

§ 3. Om nu het oppervlak A te onderzoeken, dat
door de coïncidenties der I¹"¹™² gevormd wordt, merken
wij eerst op, dat dit oppervlak moet gaan door de basis-
rechte y. De punten, welke aan een punt P₇ van y zijn
toegevoegd, liggen nl., zooals boven gebleken is, op de
door dit punt gaande kromme (C)^mim2. Nu is er één vlak
t, dat deze kromme in het punt P_r raakt, en de snij-
punten van dit vlak met de kromme vormen één groep
der I^mim2t welke een in P^ gelegen coïncidentie bevat.
Het punt Py ligt dus op het oppervlak A, en ditzelfde
geldt voor de geheele rechte y.

Het oppervlak A wordt nu door een vlak a- gesneden: le
volgens de rechte y; 2e volgens de m.p. der in het vlak
TT gelegen coïncidenties. Deze laatste is (Hfdst. I, § 7)
van den graad [2(m₁ m_!;)—3]. De graad van A bedraagt
dus: 2(mi m₂—1).

Behalve door de rechte y gaat het oppervlak A nog door
de basiskrommen en /?^m2. Men kan dit aantoonen,
hetzij door een analoge redeneering als voor de rechte y,
hetzij door de opmerking, dat volgens Hoofdst. I, § 8
de m.p. der in een vlak x gelegen coïncidenties de snij-

punten van dit vlak met de basiskrommen en /3^m|
bevat (want deze snijpunten zijn de basispunten der
beide in het vlak t gelegen krommenbundels).

Het oppervlak A raakt langs de rechte 7 aan het
oppervlak C, dat gevormd wordt door de boven be-
schouwde krommen (C)^mim2. Om dit aan te toonen, mer-
ken wij op, dat de snijpunten van een kromme p^wt =
(a^mi, b^ma) met het oppervlak A de coïncidenties zijn der
op deze /3^mi^m2 gelegen involutie van groepen toegevoegde
punten der I¹"¹™²; en deze coïncidenties zijn de raakpunten
der raakvlakken t, door de rechte 7 aan de kromme piiin^
gebracht. Indien de kromme /5^mi^m2 nu de rechte 7 in
een punt P_? treft, dus een kromme (Q^mim2 is, zullen
twee dezer vlakken samenvallen tot het vlak r, dat de
kromme in het punt P_? raakt. Twee der snijpunten van
deze kromme met het oppervlak A vallen dus in
P_? samen, zoodat de kromme _/3^mim2 het oppervlak A hier
raakt. Het gestelde volgt hieruit onmiddellijk.

Het oppervlak A zal ook gaan door de kromme cr_ab, die
de m. p. is der punten, waar een oppervlak a^mi en een
oppervlak b^m2 elkaar raken. In zulk een punt toch heeft
de doorsnede ^^mi^m2 dezer beide oppervlakken een dub-
belpunt, en het door dat punt gaande vlak t heeft daar
met de kromme 2 twee samenvallende punten ge-
meen, zoodat dit punt een coïncidentie der I"¹¹\'"² is.

Om den graad dezer kromme <r_ab te vinden, mer-
ken wij op, dat een oppervlak a^mi de kromme
zal snijden:

le in de punten, waar het oppervlak a^mi door opper-
vlakken b^m* wordt aangeraakt;

2e in de punten van , welke op de basiskromme

C. v. O. 3

liggen. Dit zijn de punten, waar de kromme x^mf door
oppervlakken b^m2 wordt aangeraakt; want in elk dezer
punten kan men één oppervlak a^mi vinden, dat het
bijbehoorende oppervlak b^m2 in dat punt raakt.
Het aantal der eerstgenoemde punten bedraagt:
3mi(m₂—l)² 2mi(mi—1) (m₂— 1) mi(m,—l)²;
want dit is het aantal oppervlakken uit een bundel (b^m2),
die een oppervlak a^mi aanraken,

Om het aantal oppervlakken b^m2 te vinden, die aan
de kromme raken, laten wij deze kromme ontaarden
in m? rechte lijnen, door twee der oppervlakken a^mi,
welker doorsnede zij is, elk in mi platte vlakken te
laten ontaarden. De oppervlakken b^m2, die de kromme
x^mi raken, zullen dan in de grens öf een dezer rechten
raken, of door een hunner snijpunten gaan (welke dub-
belpunten zijn der ontaarde «^m?)_f en wel moet elk dezer
laatste b^m2 tweemaal geteld worden.

Elk der m? rechten raakt nu aan 2(m₂—1) opper-
vlakken b^m2.

Elk der genoemde 2mi platte vlakken bevat mi rechten;
elk dezer rechten is de doorsnede van twee dezer
vlakken, en snijdt dus samen 2(mi—1) andere rechten,
zoodat zij 2(mi—l) dubbelpunten der ontaarde <x^m\\ draagt.
Het totale aantal dezer dubbelpunten bedraagt dus
m?(mi—1).

Het aantal der gezochte b^m2 is dus:

2m?(m₂—1 mi—IJ-

Het totale aantal snijpunten van <r_ab met een oppervlak
a^mi bedraagt dus:

Zie Zeuthen, Lehrbuch der abzählenden Geometrie, blz. 51.

mi[(m? 2mim₂ 3m| — 4mi — 8m₂ 6) (2m?
2mim₂—4mi)],
dus de graad van <r_ah:

3(mf mf) 4mim₂—8(mi m₂) 6.

Evenzoo zal het oppervlak A gaan door de krommen <r_ac
en o-_bc, welke de meetkundige plaatsen zijn der punten,
waarin oppervlakken a^mi of oppervlakken b^m2 door vlakken

worden aangeraakt. Door de zooeven gegeven redenee-
ring te herhalen voor een bundel oppervlakken en een
bundel platte vlakken, vindt men voor de graden dezer
krommen gemakkelijk:

3mf—4mi 1 en 3m2—4m₂ 1.

§ 4, Een willekeurige kromme p^mi^m2 = (a^mi, b^ma) zal
het oppervlak A, behalve in de punten van ^^mi^m2, die op de
basiskrommen en /3^m| liggen, nog snijden in de
op p^mi^m2 gelegen coïncidenties. Beschouwen wij nu een
kromme p^mi^mi, die het oppervlak A buiten een der basis-
krommen aanraakt, dan zullen in het raakpunt Q twee
dezer coïncidenties samenvallen. Zulk een samenvallen
van twee coïncidenties moet, evenals in Hfdst. I, § 3
en § 8, hierdoor veroorzaakt worden, dat in dit punt Q
drie toegevoegde punten der I"¹¹™² zijn samengevallen.

Om de meetkundige plaats dezer punten Q te vinden,
merken wij op, dat er oo¹ krommen p^mim2 zijn, die aan
een willekeurig oppervlak Oⁿ van den n-den graad raken,
en dat, gelijk in Hfdst. I, § 14, gevonden is, de m.p. der
raakpunten een kromme is van den graad:

!) Zie C. Mineo, Sulla curva luogo dei punti di contatto dclle super-
ficie d\'un fascio d\'ordine n con le superficie d\'un fascio d\'ordine n\'
(Rendiconti del circolo matematico di Palermo, t. 17, p. 302).

(2mi 2m₂—3)n n(n—1).

Voor het oppervlak A, dat van den graad 2(mi m2—1) is,
wordt dit: 2(2mi 2m₂—2) (2m₁ 2m₂—3).

Tot deze kromme behooren nu echter:

le de basiskrommen «^mj en /3^mi, elk tweemaal geteld.
Door een punt P_x van gaan nl. een eindig aantal
krommen p^mi^m2, die een oppervlak Oⁿ aanraken; deze
zijn gelegen op het oppervlak b^m2, dat door gaat.
Ligt P_a nu op Oⁿ zelf, dan zullen twee dier krommen
samenvallen tot de kromme ,o^mi^m2, die Oⁿ in P_a aanraakt;
het punt moet dus tweemaal tot de bijbehoorende
raakpunten worden gerekend. En ligt de geheele kromme
<*^mf op Oⁿ, dan behoort zij tweemaal tot de meetkundige
plaats der raakpunten. Hetzelfde geldt voor de kromme
/3^ml;

2e de basisrechte y. Boven is nl. gebleken, dat de
kromme />^mi^m2, die door een punt dezer rechte gaat,
het oppervlak A daar aanraakt;

3e de aanrakingskromme o-_ab der beide bundels (a^mi)
en (b^m2). De kromme ^mi«^, die door een punt van o-_ab
gaat, heeft daar nl. een dubbelpunt, en moet dus ook
gerekend worden tot de krommen, die het oppervlak A aan-
raken. Het vlak t, dat door zulk een punt gaat, zal daar
echter in \'t algemeen geen der beide takken van
aanraken, zoodat geen drie toegevoegde punten in zulk
een punt samenvallen.

De gezochte meetkundige plaats der punten Q is
dus van den graad:

2(2m₁ 2m₂—2) (2mi 2m₂—3)— 2ml— 2ml~ 1—
—[3(m? mi) 4mim₂—8(mi m₂) 6]=
=3(m? m|) 12mim₂—12(mi m₂) 5.

Daar in zulk een punt een vlak x drie samenvallende
punten met een kromme gemeen heeft, dus deze

kromme osculeert, is deze kromme ï de meetkundige
plaats der raakpunten van die osculatievlakken der krom-
men p^mi^m2, die door de rechte y gaan.

§ 5. Een punt P van het oppervlak A behoort tot een
groep der I^mini2, waarvan twee punten in P samenvallen;
de overige punten van zulk een groep noemen wij
vertakkingspunten der I^mim2, hun meetkundige plaats het
vertakkingsoppervlak A\'.

Wij bewijzen eerst, dat dit oppervlak A\' de rechte
y tot meervoudige rechte heeft. Elk punt nl. van de
kromme (C)^mim2, die door een punt P_r dezer rechte gaat,
behoort tot een groep, die ook P_r bevat; dit geldt ook
voor de snijpunten dezer (C)™¹™² met het oppervlak A,
en voor elk dezer snijpunten gaat het oppervlak A\' dus
éénmaal door Hun aantal geeft dus de veelvoudigheid,
waarmee de rechte y tot het oppervlak A\' behoort.

Enkele der snijpunten van de kromme (C)^mim2 met het op-
pervlak A liggen echter op de basiskrommen a^mi, (3^ml en y,
en voor deze snijpunten geldt de pas gegeven redeneering
niet. Een punt P_a van x^m\\ behoort nl. tot oo¹ groepen
der I^mini2; de overige punten dezer groepen liggen op
de kromme (A)™², die de doorsnede is van de door
Pa gaande oppervlakken b^m2 en x. Om nu uit te maken,
welke punten van A\' bij P^ als punt van A behooren,
moeten wij een grensovergang toepassen. Hiertoe laten wij
een punt P over het oppervlak A tot P_a naderen. In P
valt dan voortdurend een coïncidentie der I^mim2, en dit
moet ook in de limiet zoo zijn. Nu is er één groep

der I^mim2f die in P_a een coïncidentie heeft; deze wordt
gevormd door de snijpunten van de kromme (A)^m2 met
dat oppervlak a^mi, dat deze kromme in P_x aanraakt. Van
deze snijpunten ligt in \'t algemeen, buiten P_X1 geen enkel
op een der basiskrommen; het punt P_a draagt dus niet
bij tot de veelvoudigheid, waarmee een dezer krommen
tot het oppervlak A\' behoort.

Een zelfde redeneering geldt voor een punt P/3
op de kromme /3^mi, of voor een punt P_y op de
rechte 7.

Een kromme (C)^mim2 heeft nu mfn^ punten met de
kromme gemeen; dit zijn de snijpunten van de
kromme x^m{ met het oppervlak b^m2, dat door (C)^mim2
gaat. Evenzoo heeft (C)™¹™² mim| punten gemeen met
de kromme /3"i. Eindelijk raakt (C)^mim2 het oppervlak
A in het punt P_y aan.

Buiten de basiskrommen liggen dus slechts

2 (mi m₂—-1) mim₂ —m?m₂ —mim? —2 =
= mim₂ (mi m₂) —2mi m₂ —2
snijpunten van (C)^mim2 en A, de rechte r is dus een
[(mi m₂)mim₂—2mim₂—2]-voudige rechte van het op-
pervlak A\'.

Een plat vlak r snijdt het oppervlak A\', behalve volgens
de rechte 7, volgens de meetkundige plaats der in het
vlak t gelegen vertakkingspunten. En deze m. p. is niets
anders dan de vertakkingskromme der in het vlak t
gelegen vlakke involutie, dus volgens Hfdst. I, § 10 een
kromme van den graad:

3mim₂(mi m₂)—6mim₂—4(m₍ m₂) 6.

De graad van het oppervlak A\' bedraagt dus:
4mim₂(mi m₂)—8mim₂—4(mi m₂) -f- 4.

De in een vlak x gelegen vertakkingskromme heeft
(Hfdst. I, § 9) (2miin> m²—3m2—2)-voudige punten in
de snijpunten van het vlak x met de kromme a.^m\\; <x^mi
is dus een (2mim₂ ml—3m₂—2)-voudige kromme van
het oppervlak A\'.

Evenzoo is /3^mi een (m\'f 2mim₂—3mi—2)-voudige
kromme van het oppervlak A\'.

§ 6. De oppervlakken A en A\' snijden elkaar ten
eerste langs de basiskrommen /3^m| en y, welke

enkelvoudige krommen van A, doch meervoudige krom-
men van A\' zijn.

Verder raken zij elkaar aan langs de kromme </<, welke
in § 4 beschouwd is. Om dit aan te toonen, merken wij
op, dat een willekeurige kromme ^^mi^m2 = (a^mi, b^m2) het
oppervlak A snijdt (buiten de basiskrommen) in de op p^mi™i
gelegen coïncidenties, en het oppervlak A\' in de punten,
welke door de I"¹¹™² aan deze coïncidenties zijn toegevoegd.
Gaat de kromme ^mjma nu door een punt Q der kromme
ï, dan zal zij het oppervlak A in dit punt aanraken. Twee
der snijpunten van /j^mi^m2 en A zullen dus in het punt Q
samenvallen; dan moeten echter ook de hieraan toege-
voegde, op A\' gelegen, punten twee aan twee samen-
vallen. In elk dezer laatste punten heeft de kromme
p ^mi^m2 dus twee samenvallende punten met het oppervlak A\'
gemeen. Tot deze punten behoort echter het punt Q
zelf; in Q toch vallen drie toegevoegde punten der I™¹"¹²
samen, zoodat in Q een punt van A met een der daaraan
toegevoegde, op A\' gelegen, punten moet samenvallen.
De oppervlakken A en A\' raken dus in het punt Q een-
zelfde kromme aan, en, daar dit langs de geheele

kromme t het geval is, zullen zij elkaar langs deze
kromme aanraken.

De restdoorsnede der oppervlakken A en A\' is een
kromme % van den graad:

2(mi m₂—1) [4mim₂(mi m₂)—8mjm₂—4(mi m₂) 4] —

—m?[2mim₂ m|—3m₂—2]- mf[mf 2mim₂—3mi—2] —
—[mim₂(mi m₂)—2mi m₂—2]—2[3(m ? m |) 12mim₂ —
—12(_mi m₂) 5] =
= mim,[6(m \\ m |) 14num₂—22(mi m₂) — 22]—12(m \\ m \\)
40(m₁ m₂)—16.

Een punt P\' der kromme % is, als punt van A\', toe-
gevoegd aan een punt van A, dat er niet mee samenvalt,
daar men dan een punt Q der kromme zou krijgen.
Het punt P\' behoort dus tot een groep der I^mim\'², die
twee coïncidenties bevat. Daar de twee coïncidenties
van zulk een groep in dezelfde omstandigheden ver-
keeren, liggen beide op de kromme %.

Daar in een coïncidentie der I^mim2 een kromme ,3^mi^m2
door een plat vlak ~ wordt aangeraakt, is de kromme
% de meetkundige plaats van de raakpunten van die
dubbelraakvlakken der krommen p^mi^m2, die door de rechte
y gaan.

§ 7. Doorloopt een punt P een rechte l, dan zullen
de punten P\', die met P tot eenzelfde groep der P¹™²
behooren, een kromme /\' beschrijven.

De rechte / snijdt het in § 1 beschouwde oppervlak C
in 2mim> punten. Elk dezer punten behoort tot een groep
der I^mim2, waarvan een der punten op de rechte y ligt; de
kromme /\' heeft dus 2mim₂ punten met de rechte y gemeen.

Een plat vlak x snijdt de kromme /\', behalve in deze
2mini2 punten, in de (mim₂—1) punten, welke toegevoegd
zijn aan het snijpunt van x met de rechte /. De graad
van l\' bedraagt dus (3mim2—1).

De rechte l en de kromme /\' snijden elkaar in de
2(mi m₂—1) snijpunten van de rechte / met het oppervlak
A; want in elk dezer punten valt een punt van l met een
der daaraan toegevoegde, op /\' gelegen, punten samen.

§ 8. Doorloopt een punt P een plat vlak V, dan
zullen de punten P\', die met P tot eenzelfde groep
der I™¹™² behooren, een oppervlak <I>_V beschrijven.

Wij toonen eerst aan, dat dit oppervlak <t>_v de basisrechte
y tot meervoudige rechte heeft. Hiertoe merken wij op,
dat het vlak V de kromme (C)^miITl2, die door een punt
Py dezer rechte gaat, in mim₂ punten snijdt; elk dezer
punten behoort tot een groep der I^mim-, die ook P_? bevat.
Elk punt Py dezer rechte y is dus aan mim₂ punten van
het vlak V toegevoegd, de rechte y is dus een mim₂-
voudige rechte van het oppervlak 4\'v.

Een plat vlak x snijdt dit oppervlak, behalve volgens de
rechte y, nog volgens de meetkundige plaats der punten,
die aan de doorsnede van de vlakken x en V zijn toe-
gevoegd. Deze m.p is (Hfdst. I, § 12) een in het vlak
x gelegen kromme van den graad (2mim₂—1), die m₂-
voudige punten heeft in de snijpunten van het vlak x
met de kromme a^mf, mj-voudige in de snijpunten met /3m|.

Hieruit volgt, dat het oppervlak «l»_v van den graad
(3mim₂—1) is. Het heeft tot m₂-voudige, (3^\'i tot
mj-voudige kromme.

Het vlak Ven het oppervlak ^ snijden elkaar:

le volgens de doorsnede van het vlak V en het
coïncidentieoppervlak A; in elk punt dezer doorsnede
toch valt een punt van V met een daaraan toegevoegd,
op gelegen, punt samen;

2e volgens een restdoorsnede (p_y van den graad:
3mim₂—2(mi m₂) 1.

Een punt P\' van <£_v is, als punt van \'I⁾v aan een punt
P van het vlak V" toegevoegd. Dit valt niet met P\' samen,
daar men dan een punt van zou krijgen. Nu is het
punt, P aan het punt P\' van V toegevoegd; P ligt dus
ook op het oppervlak <E»_V , dus op de kromme 0_y. De
kromme Ó_v is dus de meetkundige plaats der in het vlak
V gelegen paren toegevoegde punten der I™¹™².

De volledige doorsnede van het vlak V"en het oppervlak
<ï>_v moet een m₁m₂-voudig punt hebben in het snijpunt
van V met de rechte y, m₂-voudige punten in de snij-
punten met de kromme x ^m?, mi-voudige in de snijpunten
met /3^m2. Nu gaat het oppervlak A éénmaal door elk dezer
krommen, dus de kromme ? éénmaal door elk der ge-
noemde punten. De kromme <p_v heeft dus in deze punten
achtereenvolgens (mim?—l)-voudige, (m₂—l)-voudige en
(mi—l)-voudige punten.

Behalve in deze punten snijden de krommen cp_y en S_y
elkaar in die coïncidenties der I¹"¹™², waarvan de dragers
in het vlak V liggen; immers, ook deze coïncidenties
zijn paren toegevoegde punten, die in het vlak V" liggen,
en zijn dus gelegen op de kromme (p_y. Volgens § 2
bedraagt het aantal dezer coïncidenties [4mim₂—2(mi m₂)].

Ten slotte blijven nog:

2(mi m₂—1) [3mim₂—2(mi m₂) l]—(mim₂—1)—m?
(m₂— 1)—m 1 (mi—1)—[4mi m₂—2 (mi m₂)]=

=5mi m^nii rrr))—3(mf m|)—19mi 8 (mi ni2)—1
snijpunten van de krommen <p_v en over. Als punt van

is zulk een punt een coïncidentie der I^mim2_{; a}ls punt
van <£_v is het aan een ander punt van toegevoegd,
dat er niet mee samenvalt, daar men dan een der zoo-
even reeds gevonden punten zou krijgen. Het laatste
getal geeft dus het aantal in het vlak V gelegen coïn-
cidenties, waarbij ook een der toegevoegde punten in Vvalt.

§ 9. Indien een punt P de kromme <p_v doorloopt, zal
een der aan P toegevoegde punten zich eveneens op
deze kromme bevinden; de (mjmo—2) overige doorloopen
een kromme <p\'_v , waarvan wij den graad zullen bepalen.

De kromme (p\'_v zal een zeker aantal punten gemeen
hebben met de rechte y. Immers, de kromme (p_v snijdt
het in § 1 beschouwde oppervlak C in een zeker aantal
punten; elk dezer punten behoort tot een groep der I^mini2f
waarvan een der punten op de rechte y valt, en voor
elk dezer punten zal dus de kromme cp\'_v de rechte y
treffen.

Van deze snijpunten van (p_v en het . oppervlak C moet
men echter uitzonderen het (miin>—l)-voudige punt Pvan
(p_v, dat op de rechte y valt. Als punt van y is aan dit
punt Py een geheele kromme (C)^niim2 toegevoegd; nadert
nu echter het punt P langs een der takken van cp_v tot
Py, dan zullen de aan P toegevoegde punten bepaalde
limietstanden op de kromme (Q^mim2 bereiken, en wel
zijn dit de snijpunten der kromme (C)^mim\'² met dat vlak t,
dat den genoemden tak van in het punt P_?, aanraakt.
Nu heeft het vlak V, en daarmee elk der genoemde
takken van <p_y afzonderlijk, een geheel willekeurige

ligging t.o.v. de basiskrommen; geen dezer snijpunten
zal dus in het algemeen op een der basiskrommen
gelegen zijn.

Hetzelfde geldt voor de snijpunten van het vlak V
met de kromme «"?. Deze zijn (m₂—l)-voudige punten
van de kromme cp_v, m2-voudige punten van het opper-
vlak C (Zie § 1).

Hetzelfde geldt eindelijk voor de snijpunten van het
vlak V met de kromme /3^m2; deze zijn (mi—l)-voudige
punten van de kromme <p_v, mi-voudige van het opper-
vlak C.

Buiten de basiskrommen snijden de kromme <p_y en het
oppervlak C elkaar in

2mim₂ [3mim₂ — 2(mi m₂) ~h 1] — (mjm₂ — 1) — mim₂

(m₂—1) — mimKmi—1) =
= 4mim²— 3mim2 (mi m₂) mim₂ 1
punten. Zelfs deze voldoen echter niet alle aan de vraag.
Er behooren nl. nog toe de punten van cp_y, die door de
op Q_v gelegen pareninvolutie aan het zooeven gevonden
(mim₂—l)-voudige punt P_r zijn toegevoegd. Daar deze
punten aan toegevoegd zijn, liggen zij op het oppervlak
C. Werkelijk behoort elk dezer punten tot een groep
der I¹"¹"¹², waarvan een der punten op de rechte y ligt;
dit punt is nu echter het bijbehoorende punt van (p_yt en
niet een der (mim₂—2) overige, op <p\\ gelegen, punten.

Er blijven nog over:

4m?m3 — 3mim₂(mi m₂) 2
snijpunten van cp_v en het oppervlak C. Deze zijn nu echter
twee aan twee aan elkaar toegevoegd. Immers, is P een
dezer punten, P\' het bijbehoorende punt van <p_yf dan
zullen de punten P en P\' op dezelfde kromme (C)^mim2

gelegen zijn, dus beide snijpunten zijn van cp_v en het
oppervlak C.

De laatstgenoemde snijpunten vormen dus
2m\\ml— |mim₂ (mi m₂) 1
paren, waarbij telkens een der toegevoegde punten op
de rechte 7 valt. Dit is dus het aantal malen, dat de
kromme <p\'_v en de rechte 7 elkaar treffen.

Een plat vlak x snijdt nu de kromme behalve in
deze op de rechte 7 gelegen punten, in de punten, welke
toegevoegd zijn aan de snijpunten van x met de kromme
Deze laatste snijpunten zijn twee aan twee aan elkaar
toegevoegd; immers, elke twee toegevoegde punten van de
kromme <p_v moeten in eenzelfde vlak x zijn gelegen. Bij
elk dezer paren snijpunten behooren nu (mim₂—2) pun-
ten der kromme <p\'_v.

Van deze snijpunten van met het vlak x moet men
echter uitzonderen het punt ; de punten, welke aan
P_?. zijn toegevoegd, zijn boven reeds bepaald, en zullen
niet gelegen zijn in een willekeurig vlak x.

Buiten P_y snijden de kromme en het vlak x elkaar
in [2mim₂—2(mi m₂) 2] punten, welke (mi—1) (m₂—1)
paren vormen; men vindt dus

m?m?-m,m₂ (mi m₂) -m,m₂ 2(m_t m₂) -2
daarbij behoorende punten van (p\'_v.

Het totale aantal snijpunten van de kromme <f>\'_v, en
het vlak x, dus de graad van <p\'_v, bedraagt dus:
3m?m! —|mim₂(mi m₂) —mim₂ 2(mi m₂) —1.

§ 10. De kromme (p\'_v en het vlak V snijden elkaar
ten eerste in de, in § 8 gevonden, coïncidenties, waarbij
ook een der toegevoegde punten in V valt; in elk dezer

punten toch valt een punt van met een der daaraan
toegevoegde, op <p\'_v gelegen punten samen.

Er blijven over
mim₂ [3mim₂ — ¥ (mi m₂) 18] 3(mf m|) —6(mi m₂)
snijpunten. Elk dezer punten is, als punt van cp\'_y, toe-
gevoegd aan een puntenpaar der kromme <p_y; het valt
met geen der punten van dit paar samen, daar men dan
een der zooeven gevonden punten zou krijgen, en be-
hoort dus tot een in het vlak V gelegen drietal toege-
voegde punten der I™¹™²,

Daar de drie punten van zoo\'n drietal in dezelfde
omstandigheden verkeeren, zijn zij alle drie snijpunten
van de kromme cp\'_y met het vlak V; de pas gevonden
snijpunten zijn dus 3 aan 3 aan elkaar toegevoegd, en
het aantal der genoemde drietallen bedraagt\'.
mim₂ [mim₂ — f(mi m₂) 6] (m? m|) — 2(mi m₂).

Daar de punten van eenzelfde groep der I^mim2 in een-
zelfde vlak TT zijn gelegen, moeten de punten van elk
dezer tripels gelegen zijn op de doorsnede van het vlak
V met een vlak x, dus op een rechte lijn, welke door
het punt gaat. De punten van zulk een tripel zijn
natuurlijk ook snijpunten van de krommen, volgens welke
twee bepaalde oppervlakken uit de bundels (a^mi) en
(b^m2) door het vlak V worden gesneden.

Nu snijdt het vlak V de bundels (a™i) en (b^m2) volgens
twee bundels van vlakke krommen, en de groepen der
snijpunten van deze krommen vormen een vlakke invo-
lutie, gelijk die in Hoofdstuk I is besproken. Hetlaatst-
gevonden aantal geeft nu blijkbaar het aantal dragers
van collineaire tripels, die door het punt gaan, dus
de klasse der kromme, die door de dragers der collineaire
tripels eener vlakke l^mi^m2 _WOrdt omhuld.

§ 11. Neemt men in de uitkomsten van dit hoofdstuk
mi = mo = m, dan vindt men:

De punten, die toegevoegd zijn aan de punten der
basisrechte 7, vormen een oppervlak C van den graad 2m².

De dragers van de coïncidenties der I^m vormen een
congruentie, die van den graad en de klasse 4m(m—1) is.

Deze coïncidenties zijn gelegen op een oppervlak A van
den graad (4m—2).

De aanrakingskromme o-_ab der beide bundels (a^m) en
(b^m) is van den graad:

10m²—16m 6,
en heeft met elk der basiskrommen *^m2 en /3^m2 4m² (m—1)
punten gemeen.

De meetkundige plaats der punten, waarin drie toe-
gevoegde punten der I samenvallen, is een kromme
^ van den den graad:

18m²—24m 5.

2

De m. p. van de coïncidenties van dié groepen der I •
die twee coïncidenties bevatten, is een kromme % van
den graad:

26m⁴—44m³—46m² 80m—16.

Het vertakkingsoppervlak A\' is van den graad:
8m^:!—8m²—8m 4.

Doorloopt een punt P een rechte l, dan beschrijven
dé aan P toegevoegde punten een kromme /\' van den
graad (3m²—1).

Doorloopt een punt P een plat vlak V, dan beschrijven
de aan P toegevoegde punten een oppervlak <I»_V van den
graad (3m²—1).

De m.p. der in het vlak V gelegen paren toegevoegde
punten is een kromme (p_v van den graad:

3m²—4m l.

Er zijn 1 Om³—25m² 16m— 1

in het vlak V gelegen coïncidenties, waarbij ook een
der toegevoegde punten in V ligt.

De aan de kromme (p_v toegevoegde kromme <p\'_v is van
den graad: 3m⁴—5m³— m² 4m— 1.

Een plat vlak V" bevat

m⁴—10m^! 8m²—4m
drietallen toegevoegde punten der I^m".

§ 12. In \'t bijzonder zullen wij nog het geval be-
schouwen, dat mi=m, m₂=l is. De bundels (b^m2) en (x)
bestaan dan beide uit platte vlakken. De doorsneden
van de vlakken dezer bundels vormen een bilineaire
stralencongruentie fg], en de groepen der involutie I^m zijn
klaarblijkelijk de groepen der snijpunten van de stralen
g dezer congruentie met de oppervlakken van den
bundel (a^m).

De dragers der coïncidenties van deze I^m vormen nu
een stralencongruentie, waarvan graad en klasse 2(m—1)
bedragen. Dit is blijkbaar de congruentie fgj zelf, 2(m—1)
malen geteld, daar elke rechte g 2(m—1) oppervlakken a™
aanraakt, dus 2(m—1) coïncidenties draagt.

Het coïncidentie-oppervlak A is van den graad 2m.

De m.p. der punten, waarin drie toegevoegde punten
der I^m samenvallen, is een kromme van den graad
3m²—4.

Dit is de m.p. van de punten der oppervlakken a^m,
waarin een der hoofdraaklijnen tot de congruentie fg]

Voor m = 2 is dit oppervlak onderzocht door Prof. Dr. Jan de
Vries en Dr. J. Wolff (Wiskundige Opgaven, dl. XI, blz. 336).

behoort. Voor m = 2 wordt dit = 8. De kromme t be-
staat dan klaarblijkelijk uit de 8 rechten, welke de congru-
entie [g] gemeen heeftmetde congruentie (2,6), die door de
beschrijvende lijnen der oppervlakken a² wordt gevormd.

De m.p. van de coïncidenties van dié groepen derl^m,
die twee coïncidenties bevatten, is een kromme % van
den graad: 6m³—20m² 2m 12.

Het vertakkingsoppervlak A\' is van den graad:
4m²—8m = 4m(m—2).

Aan een rechte lijn l is toegevoegd een kromme l\'
van den graad (3m—1), aan een plat vlak Veen opper-
vlak 4>_v van den graad (3m—1).

De meetkundige plaats <p_v der in een vlak V gelegen
paren toegevoegde punten is van den graad (m—1). Dit
is blijkbaar de in het vlak V gelegen rechte g, (m—1)
malen geteld, daar elk punt van g aan (m—1) andere
punten van g is toegevoegd, dus tot (m—1) paren behoort.

Het aantal in een vlak V gelegen coïncidenties, waarbij
ook een der toegevoegde punten in V valt, bedraagt
2m--6m 4 = 2(m-l) (m-2).

Dit zijn de 2(m—1) coïncidenties, welke gelegen zijn
op de in V gelegen rechte g, elk (m—2) malen geteld,
daar elk dezer coïncidenties is toegevoegd aan (m—2)
andere punten der rechte g.

De bepaling van het aantal in een vlak V gelegen
drietallen toegevoegde punten heeft hier geen beteekenis,
daar een vlak V oo¹ groepen van m toegevoegde punten,
dus oo¹ drietallen bevat.

§ 13. Met behulp van de uitkomsten van het vorige
en van dit hoofdstuk kunnen verschillende kenmerkende
C. v. O. 4

getallen worden verkregen van de congruentie \\p^mi^m2\\
van ruimtekrommen p™¹™², welke gevormd wordt door
de snijkrommen der oppervlakken van twee bundels
(a^mi) en (b^m2).

De bundels (a^mi) en (b^m2) worden door een plat vlak
V volgens twee krommenbundels gesneden, en de groe-
pen der snijpunten van twee krommen uit deze bundels
zijn tevens de groepen der snijpunten van de krom-
men p^mim2 met het vlak V"; deze groepen vormen een
vlakke involutie, gelijk die in Hoofdstuk I is beschouwd.
Elke verbindingslijn van twee toegevoegde punten dezer
involutie is een in het vlak V gelegen bisecante eener
kromme Z"¹™²; elke coïncidentie geeft een p™¹™², die het
vlak V raakt.

De orde der congruentie [p^mim% d.i. het aantal />^mim2,
die door een willekeurig punt P gaan, bedraagt één;
want door het punt P gaan één oppervlak a^mi en één
oppervlak b^m2, dus één kromme p™¹™².

De klasse der congruentie, d. i. het aantal krommen
mim^ _{een rec}j_lte i _tot bisecante hebben, bedraagt
(mi—1) (m₂—1); want brengt men door de rechte / een
vlak V, dan draagt die rechte (mi—1) (m₂—1) paren der
in V gelegen I¹™ (Hfdst. I, § 12), en elk dezer paren
geeft een p¹"¹™², die / tot bisecante heeft.

De raaklijnen der p¹"¹¹"² vormen een stralencomplex
van den graad:

4mim₂ — 2(mi m₂) (Hfdst. I, § 7),
want de raaklijnen, die in een vlak V liggen, zijn de
\' dragers van de coïncidenties der in dit vlak gelegen I"¹¹™².

De trisecanten der p¹"¹™² vormen een stralencomplex
van den graad:

mimo [mim₂ — f (mi m₂) -f- 6] (mf m|) — 2(mi m₂)
(Hfdst. II, § 10); want de trisecanten, die in een vlak V
liggen, zijn de dragers der in dit vlak gelegen collineaire
tripels.

De krommen /j¹"¹"¹², die een rechte l snijden, vormen
een oppervlak A van den graad 2mim₂; want een vlak
V door / snijdt dit oppervlak volgens de rechte l en
volgens de kromme /\', die door de in V gelegen I^mi^m2
aan / is toegevoegd, en die van den graad (2mim₂ — 1)
is (Hfdst. I, § 12). De kromme l\' heeft m₂-voudige pun-
ten in de snijpunten van het vlak Vmet de kromme «^mi,
mi-voudige punten in de snijpunten met i3^ml; a.™² is dus
een m₂-voudige, /3^ml een mrvoudige kromme van het
oppervlak A. Verder zijn de (mi—1) (m₂—1) krommen
/5^minl2, die / tot bisecante hebben, dubbelkrommen van A.

Een rechte m snijdt het oppervlak A in 2mim₂ punten;
door elk dezer punten gaat een kromme p^mim2, die de
rechten l en m beide snijdt. Er zijn dus 2mim₂ krom-
men ,3^mim2, die twee gegeven rechten snijden.

§ 14. Er zijn in de congruentie [/>^mim2] oo ikrommen p™¹™²,
die een plat vlak V aanraken. De m.p. der raakpunten
is een kromme van den graad [2(mi m₂) — 3]; die der
punten, waarin zulk een p"¹¹™² het vlak V verder nog
snijdt, is een kromme van den graad:

3mim₂(mi m₂)—6mim₂—4(mi m₂) 6
(Hfdst. I, §§ 7 en 10); deze krommen zijn nl. niets anders
dan de coïncidentiekromme en de vertakkingskromme
der in V gelegen P¹®².

Het oppervlak n, dat door deze _jo^mim2 gevormd wordt_r
zal het vlak V volgens de eerstgenoemde kromme raken,

volgens de laatstgenoemde snijden; de graad van dit
oppervlak p- bedraagt dus:

3mim₂(mi m₂—2).

Men kan dezen graad ook als volgt vinden:

Een oppervlak a^mi snijdt de in een vlak V gelegen
coïncidentiekromme, behalve in de snijpunten van het
vlak V met de kromme nog in mi(mi 2m₂—3)

punten; het oppervlak a^mi bevat dus mi (mi 2m₂—3)
krommen /3^m,m2, die het vlak V aanraken. Deze moeten
alle gaan door de punten, waarin het oppervlak a^mi de
kromme /3^ml snijdt; men ziet dus, dat/3^mf een mi(mi m₂—3)-
voudige kromme van het oppervlak y- is. Evenzoo is x^ml
een m₂(2mj m₂—3)-voudige kromme van dit oppervlak.
De volledige doorsnede der oppervlakken a^mi en is
dus van den graad:

mfm₂(mi 2m₂—3) mïm₂(2mi m₂—3),
waaruit de bovengevonden waarde voor den graad van
P onmiddellijk volgt.

De oppervlakken welke bij twee verschillende vlakken
V behooren, snijden elkaar, behalve volgens de meer-
voudige krommen cc^m? en /3^mz, volgens een kromme van
den graad:

9mfm^(mi m₂—2)\'² — m?m|(mi 2m₂—3)²—m?ml(2mi

m₂—3)².

Deze doorsnede kan slechts bestaan uit de krommen
p™¹™², die de beide vlakken V aanraken. Het aantal-
krommen /3^mim2, die twee gegeven vlakken aanraken, be-
draagt dus:

mim₂(4m? 10mim₂ 4m|—18mi—18m₂ 18).

Zooeven is gebleken, dat het oppervlak fi, dat bij een
plat vlak V behoort, de kromme tot m₂(2mi m₂—3)-

voudige kromme heeft. Daarentegen gaat de in het vlak
V gelegen vertakkingskromme slechts (2mini2 mf—
—3m₂—2) malen door de snijpunten van het vlak V met
de kromme x^ml. Van de bladen van het oppervlak
die door een dezer snijpunten gaan, zijn dus twee samen-
gevallen tot het blad, dat het vlak V langs de coïnci-
dentiekromme raakt; deze snijpunten zijn dus z.g. cus-
pidaalpunten (pinch-points) van het oppervlak ^])

§ 15. De congruentie [/>^mim2] bevat

3(m? ml) 12mim₂ —18(mi m₂) 15
krommen />^mim2, die een plat vlak Vosculeeren. De raak-
punten dezer krommen zijn de punten van het vlak V,
waarin drie toegevoegde punten der door de congruentie
bepaalde P¹™² zijn samengevallen (Hfdst. I, § 8).

De congruentie bevat
mim₂ [2(m? m*) 5mim₂—9(mi m₂)—11]—6(m? m|)

30(mj m₂) —24
krommen, die een vlak V tweemaal raken. De raak-
punten dezer krommen zijn de coïncidenties van dié
groepen der I^mim2f welke twee coïncidenties bevatten
(Hfdst. I, § 10).

Indien het vlak V om een rechte/wentelt, beschrijven
de raakpunten der eerstgenoemde krommen volgens
Hfdst. II, § 4 een ruimtekromme van den graad:
3(m? m\') 12mim₂ —12(mi m>) 5,

1 ) Deze omstandigheid is blijkbaar over het hoofd gezien in de mede-
deeling van Prof. Dr. JAN de Vries : „Een bilineiiire congruentie van
biquadratische ruimtekrommen der eerste soort" (Versl. Akad. van
Wet., dl. XX, blz. 200). Het oppervlak fi (daar A2⁴ genoemd) heeft
voor mi = m2=2 de krommen «⁴ en /3¹ tot zesvoudige krommen, en
er zijn 72 krommen die 2 vlakken aanraken.

welke dus [6(mi m₂) —10] punten met de rechte /
gemeen heeft.

De raakpunten der laatstgenoemde krommen beschrijven
een ruimtekromme van den graad (Hfdst. II, § 6):
mim₂[6(mx m²) 14mim₂ —22(mi m₂) —22] —

—12(mf m|) 40(mi m₂) —16, welke dus
mim₂[2(m? m|) 4m₁m₂ —4(mi m₂)] —20(mi m₂) 32
punten met de rechte / gemeen heeft.

§ 16. De congruentie lp^mm2] bezit ooi krommen p™¹™²,
die een dubbelpunt hebben. Dit zijn de doorsneden van
de oppervlakken a^mi en b^m2, die elkaar raken, en de
m.p. der genoemde dubbelpunten is niets anders dan
de m.p. der raakpunten. Dit is dus (Hfdst. II, § 3) een
kromme o"_ab van den graad:

3(m? mi) 4mim₂ —8(mi m₂) 6.

De /3^mim2 met een dubbelpunt vormen een oppervlak
N, waarvan wij den graad zullen bepalen.
Een oppervlak a^mi bevat (Hfdst. II, § 3)

mi (m² 2mim₂ 3ml — 4mj — 8m₂ 6)
dezer krommen; dit toch is het aantal oppervlakken b^m2,
die het oppervlak a^mi aanraken. Al deze krommen gaan
door de punten, waarin het oppervlak a^mi de basis-
kromme /3^ml snijdt; dit getal geeft dus tevens de veel-
vuldigheid aan, waarmee de kromme /3^ra2 tot het opper-
vlak N behoort. Evenzoo vindt men, dat «^mi een
m₂ (3m? -f 2mim₂ m? — 8mi — 4m₂ 6)-voudige kromme
van het oppervlak N is.

De volledige doorsnede van de oppervlakken a^mi en
N bestaat uit de zooeven genoemde krommen p^mim\'²
en uit de kromme «m²; d_e graad van N bedraagt dus:
4mim₂ (m? mim₂ ml — 3m, — 3m₂ 3).

HOOFDSTUK III.
Drie bundels van oppervlakken.

Wij beschouwen thans het algemeene geval eener
involutie I^mi^m2^ms_f bepaald door drie bundels van opper-
vlakken (a^mi), (b^m2) en (c^m3). De mim₂m3 snijpunten van
drie oppervlakken uit deze drie bundels vormen een
groep der involutie.

De basiskrommen der drie bundels zullen wij achter-
eenvolgens aanduiden door a^mf, (3^ml en r^m\\.

§ 1. Door een willekeurig punt P der ruimte gaat uit
eiken der drie bundels één oppervlak; dit punt behoort
dus tot één en niet meer dan één groep der I"¹*"¹²™^
geldt echter niet voor een punt op een der basiskrommen.

Door een punt r_x op de kromme gaan een be-
paald oppervlak b^m2 en een bepaald oppervlak c^m3, deze
snijden elkaar volgens een kromme, die wij door (A)™²"¹³
zullen aanduiden. Elk oppervlak a^mi snijdt nu deze kromme
in een groep van mim^n^ punten, waartoe ook P_a be-
hoort; dit punt behoort dus tot oo¹ puntengroepen der

jm₁m₂m₃

De punten der basiskrommen zijn dus singuliere punten
der involutie.

Doorloopt het punt P_x de kromme a^mf, dan zal de

kromme (A)™²™³ een oppervlak A beschrijven- Om den
graad van dit oppervlak te vinden, onderzoeken wij de
doorsnede met een oppervlak b^m2.

Dit oppervlak b^m2 snijdt het oppervlak A : le volgens
de basiskromme /3^mf; 2e volgens de m?m₂ krommen
(A)^m2ms, welke gaan door de rn^mo snijpunten van het
oppervlak b^m2 met de kromme Deze krommen (A)^m\'^2ms
gaan ook alle door de snijpunten van het oppervlak b^m2
met de kromme 7^m!! men ziet dus, dat ?^ml een m?m₂-
voudige kromme van het oppervlak A is. Evenzoo is (3^m\\
een mim₃-voudige kromme van het oppervlak A.

De volledige doorsnede der oppervlakken A -en b^m2 is
dus van den graad:

m²m,3. ml mfm₂. m₂ni3 = 2mfm²m3,
de graad van A bedraagt dus 2m?m₂m3.

Uit de definitie van het oppervlak A volgt onmiddellijk,
dat elk punt van A behoort tot een groep der I™¹"¹¹"⁸\'
waarvan één der punten op x^m~i ligt.

Evenzoo vindt men bij /?^mi een oppervlak B van den
graad 2mim^m_s, en bij 7^ml een oppervlak C van den
graad 2mim₂m^.

§ 2. Daar de I^mim2m8 a>3 puntengroepen bevat, vormen
de verbindingslijnen van toegevoegde punten een stralen-
complex r.

Om den graad van dezen complex te vinden, be-
schouwen wij het bijzondere geval, dat twee der opper-
vlakken c^m3, waaruit de bundel (c^m3) bestaat, ontaard zijn
in een plat vlak en een oppervlak van den graad (1113—1).
Wij zullen deze beide vlakken aanduiden door en jt₂,
de bijbehoorende oppervlakken door Ci^m3—1 en c₂^ms—^:l.

1 

(

De basiskromme 7^m§ ontaardt nu in de volgende deelen:

le de snijlijn 7 der beide vlakken en jr₂.

2e de doorsnede yi^m3 van het vlak met het opper-
vlak c₂^m3—

3e de doorsnede 7₂^m3 van het vlak x₂ met het opper-
vlak Ci^m3—l.

4e de doorsnede 7(013—1)2 der beide oppervlakken

_Clm₃—1 en c₂^m3

Wij bepalen nu de klasse der kromme, welke omhuld
wordt door de stralen van den complex r, die gelegen
zijn in een plat vlak V door de genoemde snijlijn 7.

Aan elk punt P₇ der rechte 7 is een geheele kromme
(C)^mim2 toegevoegd, welke door het vlak V", behalve
in P₇, nog in (mim₂—1) andere punten gesneden wordt.
De verbindingslijnen van P^ met deze punten zijn blijk-
baar stralen van den complex r. Doorloopt het punt
P₇ nu de rechte dan omhullen deze verbindingslijnen
een kromme 7*, welke een deel der gezochte complex-
kromme is.

De rechte 7 draagt zelf (mi—1) (m₂—1) paren toege-
voegde punten der I^mim2lTl3: immers, er zijn (mi—l)(m₂—1)
krommen p™¹™² = (a^mi, b^m2), die de rechte 7 totbisecante
hebben (Hfdst. II, § 13). Doorloopt dus het punt P₇ de
rechte 7, dan zal bij 2(mj—1) (m₂—1) standen van P_r een
der genoemde verbindingslijnen met de lijn y samen-
vallen; 7 is dus een 2(mi—1) (m₂—l)-voudige raaklijn
van de kromme y*.

Door een punt der rechte 7 kan men, behalve deze
meervoudige raaklijn, nog (mim₂—1) raaklijnen van 7\'
trekken; de klasse van y* bedraagt dus:

3mim₂ —2(mi m₂) 1.

Om de klasse te vinden van het andere deel der in
het vlak V gelegen complexkromme, gaan wij als volgt
te werk:

De twee bundels (a^mi) en (b^m2) worden door het vlak
V gesneden volgens twee bundels van vlakke krommen;
hetzelfde geldt voor den bundel (c^m3). Daar nu elk
oppervlak c^m3 door de rechte y gaat, en dus door het
vlak V nog slechts volgens een veranderlijke kromme van
den graad (ni3—1) wordt gesneden, bestaat de laatst-
genoemde bundel uit krommen van den graad (m3—1).
Zoo vaak nu drie krommen uit deze drie bundels twee
punten gemeen hebben, vormen deze punten een toe-
gevoegd paar der I^m»

en is hun verbindingslijn een

straal van r.

Men kan nu echter den genoemden bundel van krommen
van den graad (m₃—1) ook als doorsnede van het Vlak
V" met een bundel van oppervlakken (c^m3—i) beschouwen.
Hieruit blijkt, dat de klasse der gezochte restkromme
gelijk moet zijn aan den graad van den stralencomplex
r, die bij drie bundels (a^mi), (bH en (c™3— l) behoort.

Indien dus het getal m^ met één afneemt, zal de graad
van den complex r verminderen met:

3mim₂ —2(mi m₂) 1.
Voor m₃ = 1 bestaat de bundel (c^ma) uit platte vlakken.
Elke twee toegevoegde punten liggen in eenzelfde
vlak, hun verbindingslijn moet dus de basisrechte van
den bundel snijden. De complex r is nu lineair, en wel
moet deze lineaire complex (mi—1) (m₂—1) malen geteld
worden, daar elke straal daarvan (mi—1) (m₂—1) paren
toegevoegde punten draagt.

In het algemeen is dus de graad van T;

(mi—1) (m₂—1) (m₃—1) [3mim₂ —2(mi m₂) 1] =
= 3mim₂m₃ —2 Smim₂ -f Smi.

§ 3. Wij gaan thans over tot de beschouwing van de
coïncidenties der I^mim2m3.

In zulk een coïncidentie vallen twee der snijpunten
van drie oppervlakken uit de drie bundels samen; die
oppervlakken hebben daar dus een gemeenschappelijke
raaklijn. Deze raaklijn is de verbindingslijn der beide
samengevallen punten, dus de drager der coïncidentie.

Trekt men uit een punt P de raaklijnen aan alle op-
pervlakken a^mi van den bundel (a^mi), dan is de m.p.
der raakpunten een zeker oppervlak, het pooloppervlak
van het punt P t. o. v. den bundel (a^mi).

Zij de vergelijking van dezen bundel: ai^mi Aa>^mi =
= 0...(1).

Zijn (xi, x₂, X3, X4) de homogene coördinaten van het
punt P, dan is het eerste pooloppervlak van P t. o v.
een oppervlak van den bundel (a^m0:
•I £?ai^mi 4 &a₂^mi „

P^k"5X7 ^A?^{Xk = (2)}

als (XiX₂X;iX₄) loopende coördinaten voorstellen.

Elimineert men * uit de vergelijkingen (1) en (2), dan
vindt men de vergelijking van het genoemde poolopper-
vlak. Dit oppervlak gaat door P en heeft in P een
enkelvoudig punt; immers, de raaklijnen van dit pool-
oppervlak in P zijn de raaklijnen in P van dat oppervlak
a^mi, dat door P gaat.

De pooloppervlakken van P t. o. v. de bundels (a^mi),
(b^m2) en (c^ms) zijn achtereenvolgens van den graad:

(2mi—1), (2m₂—1) en (2m3—1); zij hebben dus buiten
P nog: 8mim₂ni3 — 42 mim₂ 2 2 mi—2
punten gemeen. Is Q een dezer punten, dan zal er in
eiken der drie bundels een oppervlak zijn, dat de lijn
PQ in het punt Q aanraakt; Q is dus een coïncidentie
der r^im2m3, waarvan de drager door P gaat.

De dragers van de coïncidenties der involutie vormen
dus een stralencongruentie van den graad:
8mim₂m₃ — 4 smim₂ -f 2 Zmi — 2.

§ 4. In de vorige § is gebleken, dat de coëfficiënten
der vergelijking van het pooloppervlak van een punt P
t. o. v. een bundel (a^m0 de coördinaten van het punt P
lineair bevatten.

Indien het punt P dus een rechte lijn / doorloopt, zal
het genoemde oppervlak een bundel beschrijven, waarvan
de exemplaren projectief aan de punten van / zijn toe-
gevoegd. De pooloppervlakken van het punt P t.o.v. de
bundels (a^mi), (b^m2) en (c^mn) beschrijven dus drie bundels,
welke in projectief verband zijn met de punten der
rechte l, dus ook onderling projectief overeenkomen.

Zijn nu drie bundels van oppervlakken, achtereen-
volgens van de graden n_if n₂, n₃, in projectief verband,
dan is de meetkundige plaats der snijpunten van over-
eenkomstige oppervlakken een kromme van den graad:
(n₂n3 n3ni nin₂). Voor de drie bundels van poolopper-
vlakken wordt dit: £(2mi—1) (2m₂—1).

Nu zal één der snijpunten van de drie poolopper-
vlakken, die bij eenzelfde punt P behooren, in dit punt
P vallen, en dus de rechte / doorloopen. De m.p. der
overige punten is dus een kromme Jj van den graad:

4 s mim₂ —4 smi 2,

Dit is dus de meetkundige plaats van de coïncidenties
der I^mim2lT13, welker dragers de rechte l snijden.

Doorloopt het punt P een plat vlak V, dan beschrijven
de pooloppervlakken van P drie netten, welke in projec-
tief verband zijn met de punten van V, dus ook onder-
ling projectief. De m.p. der snijpunten van overeen-
komstige oppervlakken is nu een oppervlak van den
graad 2 (2mi—1).

Eén dezer snijpunten valt weer steeds in het punt P
en doorloopt het vlak V; de m.p. der overige is een
oppervlak A¹) van den graad 2xmi—4.

Dit is dus de m.p. van de coïncidenties der I^mi^m2m",
welker dragers het vlak V" snijden. Daar echter elke
drager het vlak V moet snijden, is het oppervlak A de
meetkundige plaats van alle coïncidenties der involutie.

De zooeven gevonden kromme zal de bijbehoorende
rechte / snijden in de coïncidenties, welke op / zelf ge-
legen zijn, dus in de snijpunten van de rechte / met
het oppervlak A.

Een plat vlak V door de rechte l snijdt nu de kromme
?! buiten / nog in

4 2mim> —6 zmi 6
punten. Elk van deze is een coïncidentie, waarvan de
drager, daar hij de rechte / snijdt, geheel in het vlak V
moet liggen. Omgekeerd moet elke in V gelegen drager
de rechte / snijden. Dit getal geeft dus het totale aantal
in V gelegen dragers aan.

Dit oppervlak is uitvoerig behandeld door G. AguGLIA (Rcnd. del
Circ. Mat. di Palermo, XX, blz. 305).

De dragers van de coïncidenties der involutie vormen
dus een stralencongruentie van de klasse:
4 zmim₂—6 2mi -f- 6.

§ 5. Het coïncidentie-oppervlak A gaat door de basis-
krommen a.^ml, (3^m\\ en 7^m|.

In§l is nl. gebleken, dat een punt P^ der kromme «mf
tot oo¹ groepen der I^mim2m3 behoort; deze groepen wor-
den gevormd door de snijpunten der oppervlakken a^mi
met de kromme (A)¹"²"¹³, die door het punt P_x gaat. Nu
is er één oppervlak a^mi, dat deze kromme in het punt
P_a aanraakt, dus één in P_x gelegen coïncidentie. Het punt
P_x ligt dus op het oppervlak A, en hetzelfde geldt voor
de geheele kromme x^mi.

Verder kunnen wij aantoonen, dat het oppervlak A
langs de kromme a.^m\\ het in § 1 beschouwde oppervlak
A aanraakt. Hiertoe merken wij op, dat een willekeurige
kromme p^m\'^2Tns = (bm₂₎ c^m3) het oppervlak A snijdt in de
coïncidenties, welke op deze kromme gelegen zijn, dus
in de punten, waarin de kromme /j¹"²"¹³ door oppervlakken
a^mi wordt aangeraakt. Indien nu de kromme p™²™³ de
kromme *^m\\ in een punt P_x snijdt, dus een kromme
(A)™²™³ is, zullen twee dezer oppervlakken samenvallen
tot het oppervlak a^mi, dat de kromme in het punt
P_x aanraakt; twee der genoemde snijpunten vallen dus
in het punt samen. Elke der krommen (A)™²™³ raakt
dus het oppervlak A in het bijbehoorende punt P_x aan,
waaruit het gestelde onmiddellijk volgt.

Evenzoo zal het oppervlak A langs de krommen /3^m|
en 7^m 1 de bijbehoorende oppervlakken B en C aanraken.

Het oppervlak A zal ook gaan door de kromme <r_ab

die de m, p. is der punten, waarin een oppervlak a^mi en
een oppervlak b^m2 elkaar aanraken. In zulk een punt
toch heeft de doorsnede p^mim2 der bijbehoorende opper-
vlakken een dubbelpunt; het oppervlak c^m3, dat door
dit punt gaat, heeft daar dus twee samenvallende punten
met de kromme p™¹™² gemeen, zoodat dit punt een coïn-
cidentie der I^mim2m3 is.

Voor den graad dezer kromme c"_ab is in Hfdst. II, § 3
gevonden:

3(m? -}- mi) -f- 4mim2—8(mi -f- in>) 6.

Evenzoo zal het oppervlak A gaan door de aanrakings-
kromme ^<rbc der bundels (b^m2) en (c^m3), en door de aan-
rakingskromme <r_ca der bundels (c^m3) en (a^mi).

§ 6. Een willekeurige kromme p¹"¹"¹² = (a^mi, b^m2) zal
het oppervlak A, behalve in de punten van p^m,m\'², die op
de basiskrommen x^mf en /3^ml liggen, nog snijden in de
op p¹"¹"¹² gelegen coïncidenties. Beschouwen wij nu een
kromme p^nlim2( die het oppervlak A buiten een der basis-
krommen aanraakt, dan zullen in het raakpunt Q twee
dezer coïncidenties samenvallen. Zulk een samenvallen
van twee coïncidenties moet hierdoor veroorzaakt zijn,
dat in het punt Q drie toegevoegde punten der I^mim2m3
zijn samengevallen.

Om de meetkundige plaats ^ dezer punten Q te vin-
den, merken wij op, dat er oo¹ krommen p^mi\'ⁿ\'² zijn, die
een willekeurig oppervlak Oⁿ van den n-den graad aan-
raken, en dat, gelijk in Hfdst. I, § 14 gevonden is, de
m.p. der raakpunten een kromme is van den graad:
(2mi 2ni2 — 3)n -f n(n — 1).

Voor het oppervlak A wordt dit:

(2 Zmi — 4) (2mi 2m₂ 2 2mi — 8).

Tot deze kromme behooren nu echter:

le de basiskrommen x^m\\ en /3^ml, elk tweemaal ge-
teld. Door een punt P^ van <z^mf gaan nl. een eindig
aantal krommen p^mim2, die een oppervlak Oⁿ aanraken;
deze zijn gelegen op het oppervlak b^m2, dat door P^ gaat.
Ligt P_a nu op Oⁿ zelf, dan zullen twee dier krommen
samenvallen tot de kromme p^miinV die Oⁿ in r _x aan-
raakt: het punt P_x moet dus tweemaal tot de bijbehoo-
rende raakpunten worden gerekend. En ligt de geheele
c kromme «^m? op Oⁿ, gelijk dit bij het oppervlak A het
geval is, dan behoort zij tweemaal tot de m.p. der raak-
punten. Hetzelfde geldt voor de kromme /3^ml;

2e de basiskromme 7^mf. Boven is nl. gebleken, dat
de kromme p™¹™², die door een punt P_?, dezer kromme
gaat, het oppervlak A in dit punt aanraakt;

3e de aanrakingskromme ö"_ab der beide bundels (a^mi)
en (b^m2). De kromme p™¹™², die door een punt van <r_ab
gaat, heeft daar nl. een dubbelpunt, en moet dus ook
gerekend worden tot de krommen, die het oppervlak
A aanraken. Het oppervlak c^ms, dat door zulk een punt
gaat, zal daar echter in \'t algemeen geen der beide tak-
ken van p™¹™² aanraken, zoodat geen drie toegevoegde
punten in zulk een punt samenvallen.

De gezochte meetkundige plaats t der punten Q is
dus van den graad:

(22hh —4) (2mi 2m₂ 2sm, —8) — 2mj —2m²2 —m| —
—[3(m² ml) 4mnn₂ —8(m, m₂) 6] =
= 3zmf 12 Imimo —24zmi 26.

§ 7. Een punt P van het oppervlak A behoort tot

een groep der I^mim\'^ims, waarvan twee punten in P samen-
vallen; de overige punten van zulk een groep noemen
wij vertakkingspunten der I ^mi^m2m3 _f hun meetkundige
plaats het vertakkingsoppervlak A\'.

Wij bewijzen eerst, dat dit oppervlak A\' de drie basis-
krommen tot meervoudige krommen heeft.

Elk punt van de kromme (A)^m2m3, die door een punt
P_x der kromme <x^m? gaat, behoort tot een groep, die
ook P_x bevat. Dit geldt ook voor de snijpunten dezer
(A)^m2mR met het oppervlak A: voor elk dezer snijpunten
gaat het oppervlak A\' dus éénmaal door P_a. Hun aantal
geeft dus de veelvoudigheid, waarmee de kromme a^m?
tot het oppervlak A\' behoort.

Enkele der snijpunten van de kromme (A)™²"¹³ met
het oppervlak A liggen echter op de drie basiskrommen,
en voor deze snijpunten geldt de pas gegeven rede-
neering niet. Een punt P^ van *^mf behoort nl. tot oo¹
groepen der I ^mi^m2^ms. _om \\_{e ma}ken, welke punten van
A\' bij P3 als punt van A behooren, moeten wij een
grensovergang toepassen. Hiertoe laten wij een punt P
over het oppervlak A tot P^ naderen. In P valt dan
voortdurend een coïncidentie der j^mi^m^^ms_{f en} jjt _m0et
ook in de limiet zoo zijn. Nu is er één groep der I™¹¹"²"¹³«
die in P_x een coïncidentie heeft; deze wordt gevormd
door de snijpunten van de door P_x gaande kromme
(A)™²"¹³ met het oppervlak a^mi, dat deze kromme in
P_a aanraakt. Van deze snijpunten ligt in \'t algemeen,
buiten P^ geen enkele op een der basiskrommen; het
punt P^ draagt dus niet bij tot de veelvoudigheid, waarmee
een dezer krommen tot het oppervlak A\' behoort. Hetzelfde
geldt voor een punt op een der andere basiskrommen.

C. v. O. 5

De kromme (A)¹"²"¹³ raakt nu in het punt P_x het opper-
vlak A aan. Verder heeft (A)^m2ms mfm3 punten gemeen
met de kromme /3^m2; dit zijn de snijpunten van /?^mi met
het oppervlak c^m3, dat door (A)^m2m3 gaat. Eindelijk heeft
(A)^m2m3 met de kromme y^m\\ m₂ni3 pimten gemeen.

Buiten de basiskrommen liggen dus

m₂m,ï(22mi—4)—2—mlms—moml =
=2mim₂m;ï mim3 m2m|—4m₂m3—2
snij pimten van (A)^m2m3 en A; dit getal geeft dus de
veelvoudigheid, waarmee de kromme <*^m l tot het opper-
vlak A\' behoort. Evenzoo bepaalt men de veelvoudig-
heid der beide andere basiskrommen.

§ 8. Om nu den graad van het oppervlak A\' te vin-
den, bepalen wij het aantal snijpunten van A\' met een
willekeurige kromme p^mi^m2.

Deze zal het oppervlak A\' ten eerste snijden in de
punten, welke toegevoegd zijn aan de snijpunten van
_/3^mi^m2 met het oppervlak A; immers, elk punt van A\' is
door de I^mi^m2m3 aan een punt van A toegevoegd, en
toegevoegde punten liggen op eenzelfde kromme p^mi^m2.
Van deze snijpunten moet men echter uitzonderen de
punten van p^mi^m2, die op een der basiskrommen gelegen
zijn; immers, de punten van A\', welke aan een punt
Pa van «^m? als punt van A zijn toegevoegd, en die boven
reeds bepaald zijn, zullen niet zijn gelegen op een
willekeurige door P_x gaande p^mi^m2.

De kromme ^ï^ heeft met de kromme m²m2
punten gemeen, met de kromme (3^mï mimf punten. Buiten
de basiskrommen liggen dus

mim₂(22mi—4)—mfmo—mim² =

=mim₂(mi m₂ 2m₃—4)
snijpunten van p^mi^m2 met het oppervlak A; aan elk dezer
punten zijn (mim₂m₃—2) punten van A\' toegevoegd.

In elk der mim₂ op«^mi gelegen punten van ^ï^
vallen verder

2mim₂m3 m₂m3 m₂m§—4m₂m3—2
snijpunten van fj^mi^m2 met het oppervlak A\'; immers, dit
getal geeft aan, hoeveel malen het oppervlak A\' door
de kromme x^m\\ gaat. Evenzoo vallen in elk der mim|
op gelegen punten van |j^mi^m2

2m₁m₂m₃ m?m₃ m₁m²-4m₁m₃-2
snijpunten van _/3^mi^m2 en A\'.

Het totale aantal snijpunten van de kromme ^ïma _en
het oppervlak A\' bedraagt nu:

mim₂(mi m₂ 2m₃—4) (1^1^1113—2)
m?m₂(2mim₂m₃ m^m₃ m₂ms—4m₂m₃—2)
mim^2mim₂m₃ -f m?m₃ -f mimi—4mim₃—2).

Voor den graad van het oppervlak A\' vindt men
hieruit: mim₂m₃(4 2 mj—12) —4 2mi 8.

De oppervlakken A en A\' zullen elkaar aanraken langs
de in § 6 beschouwde kromme ï\', dit wordt evenzoo
bewezen, als dit in Hfdst. II, § 6 gebeurd is. Verder
zullen zij elkaar snijden langs de basiskrommen, welke
enkelvoudige krommen van A, doch meervoudige van
A\' zijn.

Zooals men gemakkelijk inziet, zullen zij elkaar verder
snijden volgens een kromme welke de meetkundige
plaats is van de coïncidenties van die groepen der I^mi^m^ⁿ3_f
welke twee coïncidenties bevatten.

Voor den graad dezer kromme X vindt men:

(2smi—4)[mim₂m₃(4i;mi—12)—4zmi 8]—
—2(3sm! 12£m,m₂—24£mi 26)—
—zmi(2mim₂m3 mlm.3 -f m₂m|—4m₂m₃—2)—
=mim₂m₃(62ra\'f 14smim₂—362mi 48)—12smf—
—40Zmim₂ -f- 80zmi—84.

§ 9. Doorloopt een punt P een rechte l, dan zullen
de punten P\', die met P tot eenzelfde groep der I^mi^m2^m3
behooren, een kromme l\' beschrijven.

De rechte l snijdt het in § 1 beschouwde oppervlak
A in 2mim₂m3 punten. Elk dezer punten behoort tot
een groep der I^mim2lTl3f waarvan één der punten op de
kromme a^m? ligt; de krommen /\' en *^m{ hebben dus
2m?m₂ni3 punten gemeen.

Een oppervlak a^mi snijdt de kromme /\', behalve in
deze 2m fm₂m₃ punten, in de mi(mim₂m.\'_!—1) punten,
welke toegevoegd zijn aan de mi snijpunten van het
oppervlak a^mi met de rechte /. De graad van l\' bedraagt
dus (3mim₂ni3—1).

De rechte l en de kromme l\' snijden elkaar in de
(2 Smi—4) snijpunten van de rechte / met het oppervlak
A; want in elk dezer punten valt een punt van / met
een der daaraan toegevoegde, op /\' gelegen, punten
samen.

§ 10. Doorloopt een punt P een plat vlak V, dan
zullen de punten P\', die met P tot eenzelfde groep
der I^mi^m2^m3 behooren, een oppervlak <J>_V beschrijven.

Wij toonen eerst aan, dat dit oppervlak <J>_V de drie
basiskrommen tot meervoudige krommen heeft. Hiertoe
merken wij op, dat het vlak V de kromme (A)¹"²¹"³, die

door een punt P_a der kromme «^mf gaat, in m₂m3
punten snijdt; elk dezer punten behoort tot een groep
der I^mim2m\'\\ die ook V_x bevat. Elk punt P* is dus aan
m₂m3 punten van het vlak Vtoegevoegd, a^ml is dus een
m₂m3-voudige kromme van het oppervlak

Evenzoo is /3^mi een m₃mi-voudige kromme, y^m\\ een
mim₂-voudige kromme van het oppervlak <I>_V.

Een kromme p^mi^m2 zal het oppervlak ten eerste
snijden in de mim₂(mim₂m3—1) punten, welke toegevoegd
zijn aan de mim₂ snijpunten van p^mi^ra2 met het vlak V.

Verder heeft p^mi^m2 m?m₂ punten gemeen met de kromme
x^mi, mim| punten met de kromme /3^m2.Inelk der eerst-
genoemde punten vallen m₂ni3 snijpunten, in elk der
laatstgenoemde punten m₃mi snijpunten van de kromme
pinirao met het oppervlak 4>_v.

Het totale aantal dezer snijpunten bedraagt dus
mim₂(3mim₂m,}—1), de graad van is dus (3mim₂ni3—1).
Het vlak V en het oppervlak <I>_V snijden elkaar:
le volgens de doorsnede van het vlak V en het
coïncidentie-oppervlak A; in elk punt dezer doorsnede
toch valt een punt van V met een der daaraan toege-
voegde, op <I»_V gelegen, punten samen ;
2e volgens een restdoorsnede <p_v van den graad:

3mim₂m3 — 2 x_mi 3.
Gemakkelijk ziet men, dat deze kromme <p_y de meet-
kundige plaats moet zijn van de in het vlak V gelegen
paren toegevoegde punten der I^mi^m2^m3.

De volledige doorsnede van het vlak V en het opper-
vlak <I>_V moet m₂m,rvoudige punten hebben in de snij-
punten van het vlak Vmet de kromme a^m\\. Nu gaat het
oppervlak A éénmaal door deze kromme, dus de krom-

me \\ éénmaal door elk dezer punten; de kromme cp_v
heeft in deze snijpunten dus (m₂ni3—l)-voudige punten.

Evenzoo heeft de kromme (p_v (m3mi—l)-voudige punten
in de snijpunten van het vlak Vmet de kromme /3^ml, en
(mini2—l)-voudige punten in de snijpunten van het vlak
V met de kromme /^m§.

Behalve in deze punten snijden de krommen cp_v en <?_v
elkaar in die coïncidenties der I^mim2^m3_{f wa}arvan de dra-
gers in het vlak Vgelegen zijn; immers, ook deze coïn-
cidenties zijn paren toegevoegde punten, die in het vlak
V" liggen en bevinden zich dus op de kromme <p_y.

Volgens § 4 bedraagt het aantal dezer coïncidenties
4 2m,m₂ — 6 Sm; 6.

Er blijven nog

(2 Smi — 4) (3mim₂m3 — 2 £mi 3) — ïra; (m₂m₃ — 1) —
— (4 Zmim₂ — 6 Zmi 6) =
= 5mim₂ni3 Smj — 12mim₂m3 — 3 Sm?- 12 zmim₂
20 2mi — 18

snijpunten van (p_v en over. Dit zijn de in het vlak V
gelegen coïncidenties der waarbij nog een der

toegevoegde punten in het vlak V valt; coïncidenties zijn
het nl. als punten van *_v, terwijl aan elk dezer punten
als punt van <p_y nog een tweede punt dier kromme is
toegevoegd.

§ 11. Indien een punt P de kromme O_v doorloopt, zal
een der aan P toegevoegde punten zich eveneens op
deze kromme bevinden: de (mim₂m,; — 2) overige door-
loopen een kromme <p\'_v, waarvan wij den graad zullen
bepalen.

De kromme <p\'_v zal een zeker aantal punten gemeen

hebben met de kromme a^mf. Immers, de kromme (p_v snijdt
het in § 1 beschouwde oppervlak A in een zeker aantal
punten; elk dezer punten behoort tot een groep der
pnmon^ _{waarvan een} der punten op de kromme a^m\\ valt,
en voor elk dezer punten zal dus de kromme <p\' de
kromme a^m\'( treffen.

Van deze snijpunten van <2>_v en het oppervlak A moet
men echter uitzonderen de punten van <p_y1 die op de
basiskrommen gelegen zijn, en wel in de snijpunten van
deze basiskrommen met het vlak V.

Aan een der snijpunten P_a van de kromme a,^m\'i en
het vlak V is een geheele kromme (A)¹"²¹"³ toegevoegd.
Nadert nu een punt P langs een der takken van <p_v tot
P_a, dan zullen de aan P toegevoegde punten bepaalde
limietstanden op de kromme (A)™²"¹³ bereiken, en wel
zijn dit de snijpunten van de kromme (A)™²"¹³ met dat
oppervlak a^mi, dat den genoemden tak van (p_y in het punt
aanraakt. Nu heeft het vlak V, en daarmee elk der
genoemde takken van afzonderlijk, een geheel wille-
keurige ligging t.o.v. de basiskrommen; geen dezer snij-
punten zal dus in \'t algemeen op een der basiskrommen
gelegen zijn. Het punt P^ draagt dus, als punt van <p_v, niet
bij tot het aantal malen, dat de kromme <p\'_v en de kromme
<*^mï elkaar treffen.

Hetzelfde geldt voor de snijpunten van het vlak V
met de krommen /3^m\'i en r^ml

De snijpunten van het vlak V met de kromme <*^m? zijn
enkelvoudige punten van het oppervlak A, de snijpunten
met de kromme /3^m2 zijn mfma-voudige, en die met de
kromme y^ml zijn mfmo-voudige punten van dit op-
pervlak.

Buiten de basiskrommen snijden de krommen Q_v en
het oppervlak A elkaar in

2m?m₂m3(3mim9ni3—2zmi 3)—m²(m₂m3—1) —
— mi. mïm^mima—1)—mi. mim₂(mim₂ — 1)
punten. Zelfs voor deze geldt echter de boven gegeven
redeneering nog niet zonder uitzondering. Tot de snij-
punten behooren nl. nog de mï(m₂m₃—1) punten van <p
welke door de op (p_v gelegen pareninvolutie zijn toege-
voegd aan de mf punten P_a van <p_v, welke elk een (m₂ni3-l)-
voudig pimt van <p_v zijn. Daar elk der genoemde punten
aan een punt P_a is toegevoegd, liggen zij op het opper-
vlak A. Werkelijk behoort elk dezer punten tot een
groep der l^mi^m2^m3_f waarvan een der andere punten op
de kromme a^ml ligt; dit punt is nu echter het-bijbe-
hoorende punt van cp_v, en niet een der (mim₂ni3—2)
overige, op <P\'_V gelegen, punten.

Er blijven nog over

mïm₂ni3 (4mjm₂m3 —4mi —3m₂ —3m₃ 4) 2m?
snijpunten van Q_v en het oppervlak A. Deze zijn nu
echter twee aan twee aan elkaar toegevoegd. Immers,
is P een dezer punten, P\' het bijbehoorende punt van
<P_V, dan zullen de punten P en P\' op dezelfde kromme
(A)™²"¹³ zijn gelegen, dus beide snijpunten zijn van de
kromme <p_v met het oppervlak A.

De laatstgevonden snijpunten vormen dus

m?m₂m> (2mim₂m₃ —2mi —fm₂ —Imj 2) m²
paren, waarbij telkens een der toegevoegde punten op
de kromme a^ml valt. Dit is dus het aantal malen, dat
de kromme (p\\ en de kromme x^m\\ elkaar treffen.

Een oppervlak a^mi snijdt nu de kromme (p\'_y1 behalve
in deze op de kromme a^m? gelegen punten, in de punten,

welke toegevoegd zijn aan de snijpunten van a^mi met
de kromme <p_v. Deze laatste snijpunten zijn twee aan
twee aan elkaar toegevoegd; immers, elke twee toege-
voegde punten van de kromme <p_v moeten op eenzelfde
oppervlak a^mi zijn gelegen. Bij elk dezer paren snij-
punten behooren nu (mim₂m3—2) punten der kromme .

Van deze snijpunten van <£_v met een oppervlak a^mi
moet men echter uitzonderen de op gelegen punten
P_x ; de punten, die aan zulk een punt P_a zijn toege-
voegd, zijn boven reeds bepaald, en zullen niet gelegen
zijn op een willekeurig oppervlak a^mi.

Buiten de punten P^, snijden de kromme en het
oppervlak a^mi elkaar in

mi3(mim₂m₃—2 ïm, 3)—ra?(mom₃-1)
punten, welke

mi(miin>m3—Emi ~ f)
paren vormen; aan elk dezer paren zijn (miniem;)—2)
punten van <p\'_v toegevoegd.

Het totale aantal snijpunten van de kromme cp\'_v en
een oppervlak a^mi bedraagt dus:

mf m₂ni3 (3mim₂m3 —fmj — $m₂ — |m₃ f)
mi (2mi 2m₂ 2m₃ —3),
de graad van <p\'_v is dus:

mim₂ni3(3mim₂m₃ —§ zmi 4) 2Smi —3.

§ 12. De kromme cp\'_v en het vlak V" snijden elkaar ten
eerste in de, in § 10 gevonden, coïncidenties, waarbij
ook een der toegevoegde punten in V valt: in elk dezer
punten toch valt een punt van met een der daaraan
toegevoegde, op (p\'_v gelegen, punten samen.

Er blijven over

mi 11121113 (3mim₂m3 — -|zmi 4- 3 Zmf 12smim₂ —

— 18 smi 15

snijpunten. Elk dezer punten is, als punt van <p\'_v, toege-
voegd aan een puntenpaar der kromme $>_v ; het valt met
geen der punten van dit paar samen, daar men dan een
der zooeven genoemde snijpunten zou krijgen, en behoort
dus tot een in het vlak V gelegen drietal toegevoegde
punten der I^mi^m

Gemakkelijk ziet men nu, dat de laatstgevonden snij-
punten drie aan drie aan elkaar zijn toegevoegd, en
dat zij

mim₂m3 (mim2m₃ — f zmi f) lm? 4 Zmim₂ — 6 Smi 5
zulke drietallen vormen.

§ 13. Met behulp van de uitkomsten der laatste §§
kunnen wij opnieuw den graad bepalen van den in § 2
beschouwden stralencomplex r, die door de verbindings-
lijnen van de toegevoegde punten der I^mim2m3 wordt ge-
vormd.

Hiertoe merken wij op, dat de stralen van r_f die in
een vlak V liggen, de verbindingslijnen zijn van toege-
voegde punten van de pareninvolutie, die op de krom-
me 0_V- is gelegen.

Zij nu P een willekeurig punt in het vlak V. Een
rechte / door P snijdt de kromme <p_v in

In de verhandeling van Prof. Dr. Jan de Vries: „Een involutie
van geassocieerde punten" (Versl. Akad. van Wet., dl. XXI, blz. 1269),
waar de hier behandelde involutie is onderzocht voor n^ = ni2 = ms= 2,
is bij vergissing aangenomen, dat de krommen Cp_v en elkaar aan-
raken in de coïncidenties, welker dragers in het vlak V liggen. De
kromme (p\'_v wordt in dit geval van den graad 93, en het aantal in V
gelegen drietallen toegevoegde punten bedraagt 9, zooals uit de alge-
meene formules volgt.

3mim₂m3 — 2 2mi 3
punten. Aan elk dezer punten is een tweede punt
van toegevoegd. Wij voegen nu aan de rechte / toe
de verbindingslijnen van het punt P met de laatstge-
noemde punten. In den waaier der rechten door P ver-
krijgen wij dan een verwantschap, waarvan beide ken-
merkende getallen door het bovenstaande getal worden
voorgesteld.

Van de coïncidenties dezer verwantschap zijn
4 Smimo — 6 Smi -f 6
afkomstig van de coïncidenties der I^mim-^m;! _f welker dra-
gers in het vlak V liggen; immers, dit zijn de coïnci-
denties der genoemde pareninvolutie.

De overige coïncidenties worden veroorzaakt door de
in V gelegen stralen van r, die door P gaan. Elk dezer
stralen geeft twee coïncidenties; is nl. / zulk een straal,
dan zal voor twee der snijpunten van / met de kromme
cp_v de toegevoegde straal met / samenvallen. Voor den
graad van r vindt men dus, evenals in § 2,
3 mim₂m;j — 2 zmim₂ Emi.

§ 14. Stelt men in de uitkomsten van dit hoofdstuk
ma = 1, dan vindt men de uitkomsten van het vorige
hoofdstuk terug.

Stelt men m₂ = ms« dan vindt men:

De verbindingslijnen van toegevoegde punten van de
involutie I^mima vormen een stralencomplex T van den
graad:

3 mimi — 4 mim₂ — 2 ml mi -f 2 m₂.

De dragers der coïncidenties vormen een stralencon-
gruentie van den graad:

»

8mim| — 8mim₂ — 4m| 2mi 4m₂ — 2
en van de klasse:

8mim₂ 4m| — 6mi — 12m₂ -j- 6.

De coïncidenties vormen een oppervlak A van den graad:
2mi -f 4m₂ — 4.

Het vertakkingsoppervlak A\' is van den graad:
mim|(4mi 8m₂ — 12) — 4m_x — 8m₂ 8.

De m.p. der punten, waarin drie toegevoegde punten
der I^mim! samenvallen, is een kromme ^ van den graad:
3ml 24mim₂ 18m| — 24m_x — 48m₂ 26.

De m.p. der coïncidenties van die groepen, welke twee
coïncidenties bevatten, is een kromme X van den graad:
mimi (6m? 28mim₂ 26mi — 36im — 72m₂ 48)—12m?—
— 80mim₂ — 64m! 80mi 160m₂ — 84.

Doorloopt een punt P een rechte l, dan beschrijven
de aan P toegevoegde punten een kromme /\' van den
graad:

3mirri2 — 1.

Doorloopt P een plat vlak V, dan beschrijven de aan
P toegevoegde punten een oppervlak^ van den graad:

3mimi— 1.

De meetkundige plaats der in het vlak V" gelegen paren
toegevoegde punten is een kromme <£_v van den graad:
3mim\'2 — 2mi — 4m₂ 3.

Het aantal in het vlak V gelegen drietallen toege-
voegde punten bedraagt:

mimi(mimi — |mi — 5m₂ f) m? 8mim₂ 6mi — 6mj —

— 12m₂ 5.

§15. Stelt men mi = m₂ = m,; = m, dan vindt men:
De verbindingslijnen van toegevoegde punten der invo-

g

lutie I^m vormen een stralencomplex r van den graad:
3m³ — 6m² 3m.

De dragers der coïncidenties vormen een stralencon-
gruentie van den graad: 8m³ — 12m² 6m — 2
en van de klasse: 12m² — 18m 6.

De coïncidenties vormen een oppervlak A van den graad:

6m — 4.

Het vertakkingsoppervlak A\' is van den graad:
12m⁴ - 12m³— 12m 8.

De m.p. der punten, waarin drie toegevoegde punten
der I^m samenvallen, is een kromme ü van den graad:
45m² — 72m 26.

De m.p. der coïncidenties van die groepen, welke twee
coïncidenties bevatten, is een kromme % van den graad:
60m⁵ - 108m⁴ 48m³ — 156m² 240m — 84.

Doorloopt een punt P een rechte /, dan zullen de
aan P toegevoegde punten een kromme ï beschrijven
van den graad: 3m³ — 1.

Doorloopt een punt P een plat vlak V, dan beschrijven
de aan P toegevoegde punten een oppervlak <>_v van den
graad: 3m³ — 1.

De meetkundige plaats der in het vlak V gelegen paren
toegevoegde punten is een kromme Q_v van den graad:

3m³ — 6m 3.

Het aantal in het vlak V" gelegen drietallen toege-
voegde punten bedraagt:

_mü — Ym⁴ |m³ 15m² — 18m 5.

HOOFDSTUK IV.
Een bundel en een net van oppervlakken.

§ 1. Wij zullen thans onderstellen, dat de beide
bundels (b^m2) en (c^m3) van het vorige hoofdstuk tot een-
zelfde net [b^m2] van oppervlakken van den graad ni2
behooren. Dan is dus ook m₃ = ni2.

De oppervlakken b^m2 en c^m2 uit deze bundels, welke
door een willekeurig punt P gaan, bepalen een bundel
uit het net [b^m2], De basiskromme van dezen bundel,
d. i. de doorsnede der beide oppervlakken, gaat door P
en snijdt het oppervlak a^mi, dat uit den bundel (a^mi)
door P gaat, in de punten, die door de involutie I^mimü
aan P zijn toegevoegd. Men kan de puntengroepen der
involutie I^mim2 dus ook bepalen als de groepen der
snijpunten van de oppervlakken a^mi met de basiskrommen
der bundels uit het net [b^m2].

Deze definitie is echter niet geheel met de oorspron-
kelijke gelijkwaardig, zooals op de volgende wijze blijkt:
Indien de bundels (b^m2) en (c^m2) tot eenzelfde net be-
hooren, hebben zij één oppervlak gemeen, dat wij door
b™² zullen aanduiden. Nemen wij nu een punt P op dit
oppervlak, dan zullen de oppervlakken, die uit de bundels
(b^m2) en (c^m2j door P gaan, beide met b™² samenvallen.

Hun snijpunten met het oppervlak a^mi, dat door P gaat,
zijn dus onbepaald en vullen een geheele ruimtekromme
van den graad mimo; en deze snijpunten zijn de punten,
die volgens de oorspronkelijke definitie der I^mim! aan
P zijn toegevoegd. Gaat men echter van de nieuwe
definitie uit, dan zal het punt P nog steeds een bundel
van oppervlakken uit het net [b^m2] bepalen; doorPgaat
dus een bepaalde basiskromme, en deze snijdt het door
P gaande oppervlak a^mi volgens een bepaalde groep van
mim² punten.

Wij zullep verder van de nieuwe definitie der I^mim2
uitgaan. De eigenschappen dezer I^mim5 kunnen dan eerst
door middel van een grensovergang uit die der alge-
meene I^mimü worden afgeleid.

§ 2. Wij bepalen eerst den graad van den stralen-
complex r, die door de verbindingslijnen van toegevoegde
punten der I^mim2 wordt gevormd.

Gaat men van de algemeene I ¹ 2 _uit, dan zullen,
zooals zooeven gebleken is, de punten, welke aan een
punt P zijn toegevoegd, onbepaald worden, als P op het
oppervlak b™² is gelegen; zij vullen dan een geheele
ruimtekromme p^mi^m2. Elke bisecante van deze ruimte-
kromme moet dus als verbindingslijn van twee toege-
voegde punten worden beschouwd. Bij den grensover-
gang wordt dus de complex r\', die door de bisecanten
der krommen p^mi^m2 wordt gevormd, van den complex r
afgescheiden.

Om den graad van F\' te vinden, bepalen wij de klasse
der kromme, die omhuld wordt door de in een vlak V"
gelegen stralen van r\\ Dit vlak V snijdt elk der opper-

vlakken a^mi volgens een kromme am₁₍ het oppervlak
b™² volgens een kromme /3™².

Een rechte / door een punt P van V snijdt de krom-
me /3™² in m₂ punten; door elk dezer punten gaat één
kromme «^mi, die /3™² verder nog in (mim₂—1) punten
sniidt. Zij /\' de verbindingslijn van een dezer laatste
snijpunten met het punt P. Tusschen de stralen / en /
bestaat blijkbaar een verwantschap, waarvan beide ken-
merkende getallen gelijk aan m₂(mim₂—1) zijn. Van de
2m₂(mim₂—1) coïncidenties dezer verwantschap is een
zeker aantal te danken aan de krommen a^mi, die de krom-
me /3™² aanraken; want voor zulk een kromme a^mi val-
len twee der snijpunten met /3™² samen, dus ook de ver-
bindingslijnen dezer punten met P. Het aantal dezer
krommen a,^mi bedraagt:

2m₂(mi—1) m₂(m₂—1).^])

De overige coïncidenties worden veroorzaakt door de
stralen van r\', die door P gaan. Is nl. / zulk een straal,
en zijn Q en Q\' de beide punten, waarin / de bijbe-
hoorende kromme /}^mi^m2 snijdt, dan zal de kromme *^mi,
die door Q gaat, ook door Q\' gaan. Een der (mim₂—1)
rechten /\', die P verbinden met de buiten Q gelegen
snijpunten van deze «^mi met /?™², valt dus met / samen.
Dezelfde redeneering, als voor het punt Q, geldt ook
voor het punt Q\'; men ziet dus, dat twee der aan /
toegevoegde rechten /\' met / samenvallen. Elke door P
gaande straal van T\' geeft dus twee coïncidenties der
beschouwde verwantschap.

Het aantal stralen van r\', die in het vlak V" gelegen

!) Zeuthen, Lehrbuch der abzählenden Geometrie, blz. 51.

zijn en door P gaan, dus de graad van den complex F\'
bedraagt derhalve:

mimi—mimo— £m₂(m₂—1).

Voor de algemeene I^mim-» is de graad van den com-
plex T:

3miml—4mim₂—2m² mi 2m₂ (Hfdst. IV, § 14).

Voor de hier beschouwde I^mim2 is de graad van den
complex r dus:

2mim²—3niim₂—fm| mi fm₂.

§ 3. Blijkens het voorafgaande moet bij den grens-
overgang elke bisecante eener kromme p^mi™2 als ver-
bindingslijn van twee toegevoegde punten worden be-
schouwd. Laat men nu de beide punten, die zulk een
bisecante met de bijbehoorende p^mi^ms gemeen heeft,
samenvallen, dan ziet men, dat elke raaklijn eener
kromme p^mi^m2 als drager eener coïncidentie beschouwd
moet worden. Van de congruentie, die door de dragers
van de coïncidenties der algemeene I^mim-\'gevormd wordt,
is dus de congruentie van deze raaklijnen af te scheiden.

Om het aantal dezer raaklijnen te vinden, die door
een punt P gaan, merken wij op, dat elk dezer raak-
lijnen het oppervlak b™² aanraakt, zoodat het bijbehoo-
rende raakpunt moet liggen op het eerste pooloppervlak
van P t o. v. b™², welk oppervlak van den graad (m₂—1)
is. En daar elk dezer raaklijnen ook raakt aan een
oppervlak a^mi uit den bundel (a^mi), moet dit raakpunt
ook liggen op het pooloppervlak van P t. o. v. den bün-
del (a^m0; dit pooloppervlak is van den graad (2mi—1)
(Hfdst. III, § 3).

Het oppervlak b™² en de twee genoemde poolopper-

C. v. O. 6

vlakken snijden elkaar in m₂(m₂—1) (2mi—1)punten; dit
is dus het aantal der genoemde raakpunten, dus de
graad der door de genoemde raaklijnen gevormde con-
gruentie.

Voor de algemeene I^mim2 i_s de congruentie van de
dragers der coïncidenties van den graad:

8mimi—8mimo—4m! 2mj 4m₂—2 ;
voor de hier beschouwde is deze graad derhalve:
ómimi—6mim₂—3m| 2mi 3m₂—2.

De klasse der door de genoemde raaklijnen gevormde
congruentie is het aantal dezer raaklijnen, gelegen in
een vlak V. Elk der krommen p^mi^m2 is de doorsnede
van het oppervlak b™² met een oppervlak a^mi; zal dus
een der raaklijnen in het vlak V gelegen zijn, dan moeten
de doorsneden /3™² en «^mi van deze oppervlakken met
het vlak V elkaar aanraken. Volgens de vorige § zijn
er nu in het vlak V

2m₂(mi—1) m₂(m₂—1)
krommen a^mi, die de kromme (3™² aanraken; dit getal
geeft dus de gezochte klasse.

Voor de algemeene I^mims vormen de dragers der coïn-
cidenties een congruentie van de klasse:
8mim₂ 4m²—6mi—12m₂ 6.

m m 2

Voor de hier beschouwde I ^{1 2} wordt de klasse dus:
6mim₂ 3m£—6mi—9m₂ 6.

Door elk punt van het oppervlak b™² gaat één opper-
vlak a^mi, dus één kromme p^mi^m2; elk dezer punten moet
dus bij den grensovergang als een coïncidentie worden
beschouwd, zoodat het oppervlak b^² van het coïnci-

dentie-oppervlak A der algemeene I^mim2 is af te schei-
den. Dit laatste is van den graad (2mi 4m₂—4); voor
de hier beschouwde I^mim2 i_s het coïncidentie-oppervlak
A dus van den graad:

2mj -f 3m₂—4.

§ 4. Dit coïncidentie-oppervlak A gaat door de basis-
kromme a^mf van den bundel (a^mi).

Zij nl. P_a een punt dezer kromme. De oppervlakken
b^m2_f die door P_a gaan, vormen een bundel uit het net
[b^m2]; gemakkelijk vindt men, dat de basiskromme van
dezen bundel, welke wij door (A)^m2 zullen aanduiden,
door elk der oppervlakken a^mi gesneden wordt in een
groep van mimi punten, waartoe het punt ?_x behoort.
Nu is er één oppervlak a^mi, dat de kromme (A)"¹* in P_a
aanraakt; dit levert dus één coïncidentie, welke in P^
valt, waarmee het gestelde bewezen is.

Verder kunnen wij aantoonen, dat het oppervlak A
in elk punt P_a van de kromme de bijbehoorende
kromme (A)^m2 aanraakt. Hiertoe beschouwen wij eerst
de basiskromme /?^m£ van een willekeurigen bundel (b^m2)
uit het net [b^m2]. De op deze kromme gelegen coïnci-
denties zijn de punten, waarin deze kromme /3^mf door
oppervlakken a^mi wordt aangeraakt. Indien deze kromme

m ^

nu door een punt P^ gaat, dus een kromme (A) * is,
zullen twee dezer oppervlakken samenvallen tot het
oppervlak a^mi, dat de kromme in het punt P^ aanraakt.

m ^

Twee der snijpunten van de kromme (A) 2 en het opper-
vlak A vallen dus in P_a samen.

Het oppervlak A zal ook gaan door de basispunten
B_k (k=l, 2, ..., m\'2) van het net [b™a]. Door een punt

B_k gaat nl. een bepaald oppervlak a^mi, en er zijn ooi
basiskrommen /3^mf, die dit oppervlak in het punt B_k
aanraken, en dus elk een in B_k gelegen coïncidentie
leveren. Deze krommen zijn gelegen op het oppervlak
b^m2, dat het genoemde oppervlak a^mi in het punt B_k
aanraakt.

Een willekeurige basiskromme /3^mi snijdt het opper-
vlak A, behalve in de punten B_k, in de op /3^m| gelegen
coïncidenties. Voor een der zooeven genoemde krommen
/3^mf zal een dezer laatste snijpunten met het punt B_k
samenvallen, zoodat de kromme het oppervlak A in B_k
aanraakt. Men ziet dus, dat het oppervlak A in elk der
punten B_k raakt aan het door dat punt gaande opper-
vlak a^mi, en tevens, dat de punten B_k enkelvoudige
punten van het oppervlak A zijn.

Eindelijk zal het oppervlak A ook gaan door de kern-
kromme van het net [b^m2], d.w.z. door de meetkundige
plaats der conische punten van oppervlakken van dit net.
Volgens een bekende stelling is deze een kromme van
den graad 6(ni2— l)². Is nl. P een punt dezer kromme,
dan zal de basiskromme die door P gaat, in P een
dubbelpunt moeten hebben; deze kromme toch is de
doorsnede van twee oppervlakken b^m2, waarvan het
eene in P een conisch punt heeft. Zij heeft dus met het
door P gaande oppervlak a^mi twee in P samenvallende
punten gemeen, zoodat P een coïncidentie is.

§ 5. Wij zullen thans den graad bepalen van de
kromme "A, die de meetkundige plaats is der punten,
waarin drie toegevoegde punten der I^m\'^m- samenvallen.

Een basiskromme (3^ml snijdt het oppervlak A, behalve

in de punten B_k, in de op /3^m! gelegen coïncidenties.
Beschouwen wij nu een kromme y9^m|_f die het oppervlak
A in een punt Q buiten een der basispunten aanraakt.
Twee der genoemde coïncidenties vallen dan in het punt
Q samen; dit is alleen hierdoor mogelijk, dat in Q drie
toegevoegde punten zijn samengevallen, dus doordat het
punt Q op de kromme ligt.

In Hfdst. I, § 14 is gebleken, dat de congruentie [ ^ms],
welke gevormd wordt door de doorsneden der opper-
vlakken van twee bundels (b^m2) en (c^m3), oo¹ krommen
bevat, die een oppervlak Oⁿ aanraken, en dat de m.p.
der raakpunten een kromme is van den graad:
(2m₂ 2m3—3)n n(n—1).
Dit is de coïncidentie-kromme van de involutie, welke
gevormd wordt door de snijpunten dezer krommen met
het oppervlak Oⁿ.

Behooren de twee bundels tot eenzelfde net, dan
hebben zij één oppervlak b™² gemeen; dit snijdt het
oppervlak Oⁿ volgens een kromme van den graad m₂n.
Voor een punt van deze kromme worden de daaraan
toegevoegde punten onbepaald; gemakkelijk volgt hier-
uit, dat zij van de genoemde coïncidentie-kromme is af
te scheiden. Deze laatste wordt dus van den graad:
(3m₂—3)n n(n—1).
Voor het oppervlak A, dat van den graad (2mi 3m₂—4)
is, wordt deze kromme van den graad:

(2mi 3m₂—4) (2_mi 6m₂—8).
Tot deze kromme behooren nu echter:
le de kernkromme van het net. [b^ma]. De basiskromme
toch, die door een punt dezer kernkromme gaat,
heeft in dit punt een dubbelpunt, en moet dus gerekend

worden tot de krommen, die het oppervlak A aanraken.
Het oppervlak a^mi echter, dat door zulk een punt gaat,
zal daar in \'t algemeen geen van de beide takken der
kromme /3^mi aanraken; in zulk een punt vallen dus geen
drie toegevoegde punten der involutie I^mim2 samen;

2e de basiskromme «^mf. In de vorige § is nl. geble-
ken, dat de kromme /3^mf, die door een punt P_x van de
kromme gaat, het oppervlak A in dit punt aanraakt.

Voor den graad van de kromme </> vindt men derhalve:
3mi 18mim2 12m5—24mi—36m₂ 26.

Deze kromme ^ heeft dubbelpunten in de basispunten
B_k. Boven is nl. reeds gebleken, dat een punt B_k een
coïncidentie is voor ooi g_roep_en der I™¹™*; deze groe-
pen worden gevormd door de snijpunten van het door
B_k gaande oppervlak a^mi met de oo¹ basiskrommen /3^mf,
die gelegen zijn op het oppervlak b^m2, dat het genoemde
oppervlak a^mi in B_k aanraakt. Deze twee oppervlakken
a^mi en b^m2 snijden elkaar volgens een kromme, die in
het punt B_k een dubbelpunt heeft. Nu zijn er twee
krommen /3^mf, die elk één van de beide takken dezer
doorsnede in het punt B_k aanraken, en dus elk in B_k
drie samenvallende punten met het oppervlak a^mi gemeen
hebben, er zijn dus twee groepen der I^mim2, waarvan
drie punten in B_k samenvallen.

§ 6. Wij zullen thans het vertakkingsoppervlak A\' der
I^mim2 onderzoeken.

Dit oppervlak heeft de basiskromme «m* tot meer-
voudige kromme. In § 4 is nl. gebleken, dat een punt
P_a dezer kromme *^mf tot ooi groepen der I^mim2 behoort;
de overige punten dezer groepen liggen op de kromme

(A)^m5,die door het punt P^ gaat. Deze kromme snijdt
ook het oppervlak A in een zeker aantal punten; elk
dezer punten behoort tot een groep der I^mim2, waarvoor
P_x een vertakkingspunt is, en het aantal dezer punten
geeft dus het aantal malen, dat het oppervlak A\' door
P_x gaat.

Van deze snijpunten moet men echter uitzonderen het
punt P_x zelf. Dit punt toch behoort als punt van A tot
een bepaalde groep der I^mim2; deze groep wordt ge-

• m ^

vormd door de snijpunten van de kromme (A) 2 met het

oppervlak a^mi, dat deze kromme in P_x aanraakt. Geen

der overige punten van deze groep zal in het algemeen

op het oppervlak A liggen, en voor deze groep is P_x dus

geen vertakkingspunt.

Evenzoo moet men uitzonderen de m| basispunten B_k<
Elk dezer punten behoort tot co\'- groepen der I^mim2; als

o

punt van (A)^ml behoort het echter tot één bepaalde
groep, nl. tot die, welke gevormd wordt door de snij-
punten van (AP* met het door B_k gaande oppervlak
a^mi; en van deze snijpunten zal in \'t algemeen geen
enkele op het oppervlak A gelegen zijn.

m 2

Daar de kromme (A) 2 het oppervlak A in P_x aan-
raakt, snijdt het dit oppervlak verder nog in

mü(2mi 3mo—4)—m|—2
punten; dit getal geeft dus aan, hoeveel malen het opper-
vlak A\' door de kromme gaat.

Om nu den graad van A\' te vinden, bepalen wij het
aantal snijpunten van A\' met de doorsnede p^i«2 van
twee oppervlakken a^mi en b^m2. Daar het oppervlak b^m2
mfaio punten met de basiskromme «mj gemeen heeft,
hebben de krommen p^mi^m2 en mïm2 punten ge-

meen; deze geven miro^pmiml 2m|—4m|—2) snijpun-
ten van de kromme pPWi met het oppervlak A\',

Verder zal de kromme p^m 1^2 het oppervlak A\' snijden
in de (mimi—2) punten, die toegevoegd zijn aan elk van
de snijpunten van p^mi^mz met het oppervlak A. Van deze
snijpunten moet men echter uitzonderen de mfmo punten
van pVi^m2, die op de kromme a^ml gelegen zijn. Elk dezer
punten toch behoort als punt van A tot een bepaalde
groep der I^mimI, en de overige punten dezer groep zullen
in het algemeen niet op de kromme p^mi^m2 gelegen zijn.

Behalve in deze punten snijdt de kromme ^xmï het
oppervlak A nog in mim2(mi 3m2—4) punten; men
vindt zoo dus mim₂(mi 3m>—4) (mimi—2) snijpunten
van de kromme p^mi^m2 met het oppervlak A\'.
Voor den graad van A\' vindt men hieruit:
3mrmi örnjmi—8mim2—4mj—6m₂ 8.

Een basiskromme /3^ml snijdt het oppervlak A, behalve
in de punten B_k, nog in mi (2mi 2m₂—4) punten, waarbij
nog m|(2mi 2m₂—4) (mimi—2) punten van het opper-
vlak A\' behooren; men ziet dus, dat de basispunten
B_k (m?m₂ 3mimi—4mim₂—2)-voudige punten van het
oppervlak A\' zijn.

§ 7. De oppervlakken A en A\' zullen elkaar aan-
raken langs de in § 5 beschouwde kromme 1p, de meet-
kundige plaats der punten, waarin drie toegevoegde
punten der I^mim* samenvallen; men bewijst dit evenals
in Hfdst. II, § 6. Verder zullen zij elkaar snijden:

le volgens de kromme x^m\'{, die een enkelvoudige
kromme van A, een meervoudige van A\' is;

\\

2e volgens een restdoorsnede x. Gemakkelijk ziet men,
dat deze de meetkundige plaats moet zijn van de coïn-
cidenties van die groepen der I^mim2, welke twee coïnci-
denties bevatten.

Voor den graad der kromme X vindt men gemakkelijk:
(2mi 3m₂—4) (3mim| 5mim₂—8mim!—4m₃—6m₂ 8}—
—2(3m\'ï 18mim₂ 12m|—24m_x—36m₂ 26)—mï(2mim\'2
2mi—4m|—2) =

== mim^(4m\'i 17mim> 15ml—24mi—44m₂ 32)—12irii—
—60mim₂—42m| 80mi 120m₂—84.

De raaklijnen aan het oppervlak A\' in een basispunt
B_k vormen een kegel van den graad (m\'ïm₂ 3mim?—
—4mim₂—2). Deze kegel zal het raakvlak van het opper-
vlak A in het punt B_k volgens twee beschrijvenden
raken; deze beschrijvenden zijn de raaklijnen van de
kromme 11 in het punt B_k. De overige beschrijvenden,
volgens welke die kegel het genoemde raakvlak snijdt,
moeten de raaklijnen van de kromme X in het punt B_k
zijn. Men ziet dus, dat de kromme X in de basispunten
B_k (m?m₂ -f 3mim₂—4mjm₂—6)-voudige punten heeft.

§ 8. Doorloopt een punt P een rechte l, dan zullen
de aan P toegevoegde punten P\' een kromme /\' be-

m m 2

schrijven. Deze kromme is bij de algemeene I ¹ 2 van
den graad (3miirir-1). Voert men echter den grensover-
gang uit, waardoor men de in dit hoofdstuk beschouwde
j®xm| krijgt, dan _zal deze kromme ontaarden. De rechte
snijdt nl, het hierbij optredende oppervlak b^² in m₂
punten P. De punten P\', die aan een dezer punten P
zijn toegevoegd, zijn onbepaald en vervullen een kromme

90

van den graad mini2; deze ni2 krommen zijn van de
kromme l\' af te scheiden. De eigenlijke kromme l\' wordt
van den graad: 2mim|—1,

Deze kromme heeft mi-voudige punten in de basis-
punten B_k. Is nl. P een der mi snijpunten van de rechte
/ met het oppervlak a^mi, dat door een der punten B_k
gaat, dan zal de door P gaande basiskromme het
oppervlak a^mi verder nog in B_k snijden, zoodat B_k tot
de aan P toegevoegde punten behoort, en de kromme
l\' door B_k gaat.

Doorloopt P een plat vlak V, dan beschrijven de
punten P\' een oppervlak <I»_V. Dit is bij de algemeene
I^mim2 van den graad (3miml—1); bij den grensovergang
zal het echter ontaarden. Beschouwen wij nl. een punt
P\' van het oppervlak b™². De hieraan toegevoegde pun-
ten vervullen een kromme p^mi^m2, die het vlak V in mini2
punten P snijdt. Elk punt van het oppervlak b™² is dus
aan mim2 punten van het vlak V toegevoegd, dit opper-
vlak is dus mim2 malen van het oppervlak <I>_V af te
scheiden. Het eigenlijke oppervlak wordt dus van den
graad: 2mim|—1.

Een basiskromme /3^m\\ snijdt het vlak Vin m² punten:
aan elk hiervan zijn (mim²—1) punten van <1>_V toegevoegd,
die evenzoo op /S^m| moeten liggen. De overige snijpunten
van de kromme met het oppervlak moeten ge-
legen zijn in de basispunten B_k. Men ziet dus, dat het
oppervlak <I>_V in deze punten B_k mi-voudige punten heeft.

§ 9. Het oppervlak <I>_V snijdt het vlak V volgens een
kromme van den graad:

2mim²—1.

Gemakkelijk ziet men, dat deze ontaardt:
le in de m.p. S der in het vlak V gelegen coïncidenties.
Dit is de doorsnede van het vlak V" met het oppervlak
A, en dus van den graad:

2mi 3m₂—4;
2e in de m.p. cp_y der in het vlak V gelegen paren toe-
gevoegde punten. Deze is dus van den graad:
2m\\ml—2mi—3m₂ 3.

Het oppervlak 4>_v heeft de basiskromme a^m? tot
mi-voudige kromme. De punten, welke aan een punt
P_a dezer kromme zijn toegevoegd, vervullen nl. een

m ^

geheele kromme (A) 2; deze snijdt het vlak V in mi
punten, zoodat P^ aan mi punten van V" is toegevoegd,
en een mi-voudig punt van <I>_V is.

De volledige doorsnede van het oppervlak en het
vlak V heeft dus mi-voudige punten in de snijpunten
van het vlak V en de kromme a^mf. Daar de kromme $
enkelvoudige punten in deze snijpunten heeft, bezit de
kromme (p_y daar (m²—l)-voudige punten.

Buiten deze punten snijden de krommen $ en <p_v elkaar
in de coïncidenties der I^mim 2, welker dragers in het vlak
V gelegen zijn; het aantal dezer coïncidenties bedraagt
volgens § 3:

6m,m₂ 3mi—6mi—9m₂ 6.
Eindelijk snijden de krommen s en elkaar in
(2mi 3m>—4) (2mimi—2mi— 3m₂ 3) -—m?(mi—1) —
—(6mim₂ -f 3mi—6mi—9m₂ 6) =
= 3m?mi 6mim5—8mim; — 3m?— 18mim₂—12mi 20mi-f

30m₂—18

punten. Gemakkelijk ziet men, dat deze de in het vlak V

gelegen coïncidenties zijn, waaraan nog een punt van V
is toegevoegd.

§ 10. Wij bepalen thans den graad van de meetkun-
dige plaats <p\'_v der punten, die aan de puntenparen van
de kromme <p_v zijn toegevoegd.

Deze kromme 0\'_v heeft meervoudige punten in de
basispunten B_k. Zulk een punt B_k behoort tot 002 groepen
der I^mim!; want het oppervlak a^mi, dat door een punt
B_k gaat, wordt door elk der krommen /3^m! gesneden in
een groep van mimi punten, waartoe B_k behoort. De
snijpunten van zulk een oppervlak a^mi, dat wij door
(B)_k ¹ zullen aanduiden, met de kromme <p_v behooren dus
elk tot een groep, die ook B_k bevat, en elk dezer snij-
punten doet dus de kromme <p\'_v door B_k gaan.

Van deze snijpunten moet men echter uitzonderen
diegenen, welke op de basiskromme <^1ml liggen. Elk dezer
punten behoort als punt van tot een bepaalde groep

m m 2

der I ¹ 2. Deze groep wordt gevormd door de snij-
punten van de kromme /3^m$, die door het genoemde punt
gaat, met het oppervlak a^mi, dat de kromme <p_Y in dat
punt raakt; en in \'t algemeen zal geen van de punten
dezer groep in een der punten B_k vallen.

In elk der m? snijpunten van de kromme ,*^m? met het
vlak V heeft de kromme <p_v een (mi—l)-voudig punt;
in deze punten vallen dus mï(mi—1) snijpunten van een
der oppervlakken (B)™¹ met de kromme (p_v.

Er blijven over

mfai²—m?—3mi m₂ 3mi
snijpunten van het oppervlak (B)_k\' met de kromme <p_v.
Deze punten zijn nu twee aan twee aan elkaar toege-

1 

voegdr want de pmiten van CD_V zijn twee aan twee aan
elkaar toegevoegd, en elke twee toegevoegde punten liggen
op eenzelfde oppervlak a^mi. Deze punten behooren dus tot

Hmfml—m?—3m! m₂ 3mi)
groepen, en van elk dezer groepen valt één der punten
in B_k. Dit laatste getal geeft dus tevens aan, hoeveel
malen de kromme door elk der punten B_k gaat.

Om nu den graad van <p\'_v te vinden, bepalen wij het
aantal snijpunten van (p\'_v met een oppervlak b^m2. Dit
snijdt <p\'_v ten eerste in de punten B_k; ten tweede in de
punten, welke toegevoegd zijn aan de snijpunten van
b^m2 met de kromme <p_y. Het aantal dezer laatste snij-
punten bedraagt:

2mim|—2mim₂—3m² 3m₂.

Deze punten zijn nu twee aan twee aan elkaar toe-
gevoegd en bij elk dezer paren behooren (mim*—2)
punten van de kromme <p\'_v. Voor den graad van <p\'_v
volgt hieruit gemakkelijk:

^(3m?m^—3mim²—6mim₂ 2m₁m² 4mi 6m₂—6).

De kromme <p\'_v en het vlak V snijden elkaar ten
eerste in de, in § 9 gevonden, coïncidenties, waarbij nog
een der toegevoegde punten in V valt; ten tweede in
de in het vlak V gelegen drietallen toegevoegde punten.
Voor het aantal dezer drietallen vindt men hieruit:

i(m?m2—3m?m?—6mim₂ 6m,m? 2m\'i 12mim₂ 8m\'3—
—12mi—18m₂ 10).

§ 11. Stelt men in de uitkomsten van dit hoofdstuk
mi = m₂ = m, dan vindt men:

De verbindingslijnen van toegevoegde punten der in-
volutie I^m vormen een stralencomplex T van den graad:
2m³—f m² f m.

De dragers der coïncidenties vormen een stralen-
congruentie van den graad:

6m³—9m² 5m—2
en van de klasse: 12m²—18m 6.

Het coïncidentie-oppervlak A is van den graad:

5m—4.

Het vertakkings-oppervlak A\' is van den graad:
8m⁴—8m³—10m 8.

De m.p. $ van de punten, waarin drie toegevoegde
punten samenvallen, is van den graad:
33m²—60m 26.

De m.p. % van de coïncidenties der groepen, die twee
coïncidenties bevatten, is van den graad:

36m⁵—68m^! 32m³—114m² 200m—84.

Aan een rechte / is toegevoegd een kromme l\' van
den graad: 2m³—1.

Aan een plat vlak V is toegevoegd een oppervlak <I>
van den graad: 2m³—1.

De meetkundige plaats <p_v der in het vlak V" gelegen
paren toegevoegde punten is van den graad:

2m³—5m 3.

Het aantal in V gelegen drietallen toegevoegde punten
bedraagt:

i(m⁶—9m⁴ 6m³ 22m²-30m 10).

§ 12. Stelt men mi = m, m₂ = l, dan verkrijgt men
een bundel (a^m) van oppervlakken, en een vlakkenschoof
met basispunt B. De groepen van de involutie I^mzijn

de groepen der snijpunten van de stralen door B met
de oppervlakken a^m.

De stralencomplex r wordt van den graad 0; inder-
daad vormen de verbindingslijnen van toegevoegde pun-
ten een congruentie, daar zij alle door B gaan.

De dragers der coïncidenties vormen een congruentie
van de klasse 0 en van den graad 2(m—1). Door een
willekeurig punt P gaat nl. één straal, die ook door B
gaat; deze raakt aan 2(m—1) oppervlakken a^m, draagt
dus 2(m—1) coïncidenties, en moet dus 2(m—1) malen
geteld worden.

Het coïncidentie-oppervlak A is van den graad (2m—1).
Dit is de meetkundige plaats van de raakpunten der
raaklijnen, die uit B aan de oppervlakken a^m getrokken
zijn, dus het pooloppervlak van B t.o.v. den bundel (a^m).

Het vertakkingsoppervlak A\' is van den graad:
3m²—7m 2.

Dit is de meetkundige plaats van de punten, waarin
de genoemde raaklijnen de bijbehoorende oppervlakken
verder nog snijden, het z.g. satelliet-oppervlak van B
t.o.v. den bundel.

De kromme ï wordt van den graad:
3m²—6m -f 2.

Dit is de meetkundige plaats van de raakpunten der
door B gaande hoofdraaklijnen van oppervlakken a^m.
Men kan dezen graad als volgt bevestigen:

De raakpunten der door een punt B gaande hoofd-
raaklijnen van een oppervlak a^m zijn de snijpunten van
a^ra met de beide eerste pooloppervlakken van B t.o.v. a^m.
Doorloopt a^m nu een bundel, dan beschrijven deze pool-
oppervlakken twee bundels, welke projectief met den

eerstgenoemden bundel overeenkomen. Nu zijn deze
pooloppervlakken achtereenvolgens van de graden (m—1)
en (m—2); voor den graad van de m.p. der snijpunten
van overeenkomstige oppervlakken uit de drie bundels
vindt men dus:
m(m—1) (m—1) (m—2) (m—2)m = 3m²—6m 2.

De kromme X wordt van den graad:
4m³—19m² 23m—6
en heeft een (m²—m—6)-voudig punt in B. Deze kromme
is de m.p. der raakpunten van de door B gaande dubbeU
raaklijnen van oppervlakken a^m. Deze dubbelraaklijnen
projecteeren de kromme X uit B; daar zij verder elk
twee punten met X gemeen hebben, vormen zij een
kegel van den graad:

2m³—10m² 12m = 2m(m-2) (m-3).

Dit getal geeft den graad van den complex, die door
de dubbelraaklijnen van de oppervlakken a^m wordt ge-
vormd. Het is in overeenstemming met de in Hoofdstuk I
gevonden uitkomst, dat de dubbelraaklijnen der krommen
van een bundel een kromme van de klasse 2m(m—2)
(m—3) omhullen.

De kromme /\', die aan een rechte / wordt toegevoegd,
is van den graad (2m—1).

Het oppervlak <t>_v, dat aan een vlak V wordt toege-
voegd, is van den graad (2m—1).

De m.p. der in V gelegen paren toegevoegde punten
is van den graad nul. Daar nl. de verbindingslijn van
twee toegevoegde punten steeds door het punt B gaat,
zal een willekeurig vlak V geen zoodanig paar bevatten.

§ 13. Stelt men mi = l, ni2 = m, dan verkrijgt men

een bundel van platte vlakken en een net [b^m] van opper-
vlakken b^m.

Met behulp van de uitkomsten van dit hoofdstuk en
van Hfdst. I kan men nu verschillende kenmerkende
getallen vinden van de congruentie [/3^m2] van ruimte-
krommen /3^m2, die gevormd wordt door de basiskrommen
der bundels uit het net [b^m].

Het net [b^m] wordt door een vlak V gesneden volgens
een net van vlakke krommen, en de groepen der basis-
punten van de bundels uit dit net zijn de groepen der
snijpunten van de krommen /3^m\'² met het vlak V; deze
groepen vormen een vlakke involutie, die in Hfdst. I
beschouwd is. Elke verbindingslijn van twee toegevoegde
punten dezer involutie is een in het vlak V gelegen
bisecante eener kromme /3^m2; elke coïncidentie geeft
een /3^m\'², die het vlak V aanraakt.

De orde der congruentie [/3«i²], d. i. het aantal krom-
men /3^m2, die door een willekeurig punt P gaan, bedraagt
één; want de door P gaande oppervlakken uit het net
[b^m] vormen één bepaalden bundel.

De klasse der congruentie, d. i. het aantal krom-
men /3^m2, die een rechte / tot bisecante hebben, bedraagt
Hm—1) (m—2); want brengt men door de rechte / een
vlak V, dan draagt die rechte i(m— 1) (m—2) paren der

o

in V gelegen I " (Hfdst. I, § 16), en elk dezer paren
geeft een /3^m2, die l tot bisecante heeft.

De raaklijnen der /3^m2 vormen een stralencomplex van
den graad: 3m(m—1),

want de raaklijnen, die in een vlak V liggen, zijn de
dragers van de coïncidenties der in dit vlak gelegen I^m".

De trisecanten der /3^m\'² vormen eveneens een stralen-

C. v. O.

complex. Den graad hiervan vinden wij als volgt:

Stellen wij in de uitkomsten van dit hoofdstuk mi == 1,
m₂ = m, dan vinden wij, dat voor een vlakkenbundel
(x) en een net [b^mJ het aantal in een vlak V gelegen
drietallen toegevoegde punten bedraagt:

i(m⁴—6m³ llm²—6m) = lm(m—1) (m—2) (m—3).

De drie punten van zulk een tripel liggen in eenzelfde
vlak x, dus op de snijlijn van dit vlak t met het vlak V;
zij zijn dus collineair, en hun verbindingslijn is een
trisecante van een kromme /?^m2, daar toegevoegde punten
steeds op eenzelfde /3^m2 liggen. Het gevonden getal geeft
dus het aantal trisecanten, die in een vlak V gelegen
zijn en gaan door het snijpunt van dit vlak V met de
basisrechte van\' den bundel (x); dit is dus de graad van
den gezochten complex.

De krommen /3^m\'², die een rechte l snijden, vormen
een oppervlak A van den graad m²; want een vlak V
door / snijdt dit oppervlak volgens de rechte / en vol-
gens de kromme die door de in V gelegen I^m~ aan
/ is toegevoegd, en die van den graad (m²—1) is. Dit
oppervlak heeft m-voudige punten in de basispunten B_k;
want een kromme /?^m2, die de rechte / niet snijdt, kan
het oppervlak A slechts in de punten B_k snijden. Ver-
der zijn de ±(m— 1) (m—2) krommen /3^m2, die / tot bise-
cante hebben, dubbelkrommen van A.

Een rechte m snijdt het oppervlak A in m² punten;
door elk dezer punten gaat een kromme /3^m2, die de
rechten / en m beide snijdt. Er zijn dus m² krommen /3^m2,
die twee gegeven rechten snijden.

§ 14. Er zijn in de congruentie [/3^m2] c»¹ krommen

/3^m2, die een plat vlak V aanraken. De m.p. der raak-
punten is een kromme van den graad 3(m—1); die der
punten, waarin zulk een /3^m2 het vlak V verder nog snijdt,
is een kromme van den graad:

3(m—1) (m²—2);
deze krommen zijn nl. niets anders dan de coïncidentie-
kromme en de vertakkingskromme der in V gelegen I^m .

Het oppervlak dat door deze /3^m2 gevormd wordt,
zal het vlak V volgens de eerstgenoemde krommen
raken, volgens de tweede snijden; het is dus van den
graad: 3m²(m—1).

De oppervlakken die bij twee verschillende vlakken
V behooren, snijden elkaar volgens een kromme van den
graad: 9m⁴(m—l)².

Deze doorsnede kan slechts bestaan uit de krommen /3^m2,
die beide vlakken V aanraken. Er zijn dus 9m²(m—l)²
krommen /3^m\'\\ die twee gegeven vlakken aanraken.

De congruentie [/?^m2] bevat 3(m—1) (4m—5) krommen
/3^m2, die een plat vlak V osculeeren. De raakpunten dezer
krommen zijn de punten van het vlak V, waarin drie
toegevoegde punten der door de congruentie bepaalde
I^m" samenvallen.

De congruentie [/3^m2] bevat Mm—1) (m—2) (3m² 3m—8)
krommen /3^m2, die een plat vlak V" tweemaal raken. De
raakpunten dezer krommen zijn de coïncidenties van dié
groepen der I^m, welke twee coïncidenties bevatten.