l\'jkîn

Je" tyL. K)<

DE DIFFERENTIAALVERGELIJKING VAN LAGUERRE.

(EEN E BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER KETTINGBREUKEN)

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD
VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE
AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT OP GEZAG
VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS Dr. ERNST COHEN HOOG-
LEERAAR IN DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE
VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT
TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT DER WIS-
EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN OP DONDERDAG 6 JULI
1916 DES NAMIDDAGS TE 4 UUR DOOR

JACOBA FRANCINA VAN VEEN

GEBOREN TE BUSSUM

BIBLIOTHEEK DG*
RIJKSUNIVERS. lI\'1
UTRECHT,

GEBROEDERS HOITSEMA — 1916 — GRONINGEN

aan mijn ouders en mijn verloofde.

Bij de voltooiing van mijn proefschrift gedenk ik met dank-
baarheid al degenen, die door hun onderwijs tot mijn ontwikkeling
hebben bijgedragen.

In het bijzonder dank ik U, Hoogleeraren van de Faculteit der
Wis- en Natuurkunde voor de wetenschappelijke lessen. Ik beschouw
het als een voorrecht, Hooggeleerde Julius en Nijland, Uw
onderwijs genoten te hebben. Steeds zullen Uwe colleges, Hoog-
geleerde De Vries, mij in herinnering blijven.

En U, Hooggeleerde Kapteyn, Hooggeachte Promotor, behalve
voor Uw onderwijs, dank ik voor den steun en welwillendheid,
die ik bij het tot standkomen van dit proefschrift heb ondervonden.

Het is mij een bijzondere eer, als laatste Uwer leerlingen te
mogen promoveeren.

INHOUD.

HOOFDSTUK 1.

ALGEMEENE THEORIE.

Blz.

§ 1. De differentiaalvergelijking der eerste orde en de Stieltjes\' inte-

graal voor $.................\'

§ 2. De differentiaalvergelijking van LaQUERRE voor de reeks ont- ^

wikkeld naar positieve machten.............

§ 3. De differentiaalvergelijking van LAGUERRE voor de reeks tf, ont-

wikkeld naar negatieve machten.............

§ 4. Vergelijking der methoden van § 2 en § 3 en graadsbepaling

van de polynomen ü en H in het laatste geval.......¹

§ 5. Tweede particuliere oplossing van de differentiaalvergelijking van ^

Laguerre ....................

§ 6. Nieuwe constructie van de differentiaalvergelijking van Laguerre

§ 7. Bepaling van den graad van Ü en H door middel van de tweede

particuliere oplossing van de differentiaalvergelijking van Laguerre 16
§ 8. De differentiaalvergelijking voor de naderingsteller Pn . . ■ • ¹
§ 9. Afleiding van de differentiaalvergelijking van Pn uit die van Qn 1.
§ 10. Het vinden van de recurrente betrekking tusschen drie opeen-
volgende Q\'s en de geassocieerde kettingbreuk...... • ²¹

§ 11. Het vinden van de correspondeerende kettingbreuk uit de diffe- ^

rentiaalvergelijking voor ................

HOOFDSTUK 11.

TOEPASSINGEN.

A. (1 -_X2)tf\'-1=0. ₂₆

§ 1. Oplossing door reeksen...............₂₇

§ 2. Oplossing door een Stieltjes\' integraal..........

§ 3. De differentiaalvergelijking van .................^

§ 4. De geassocieerde kettingbreuk.............

B. xSi\' — (x a -1)51 1=0.

§ 5, Oplossing door reeksen................

Biz.

§ 6. Oplossing door een Stieltjes\' integraal..........31

§ 7. De differentiaalvergelijking van Laguerre voor Qn.....33

§ 8. De differentiaalvergelijking van Laguerre voor Qn.....33

§ 9. Kettingbreuken voor R................34

C. x(x- l)iT-j(o — l)(x—1) (ö—i)xj« e «T—1=0.

§ 10. Algemeenheid der vergelijking . -............35

§11. Oplossing door reeksen................36

§ 12. Oplossing door een Stieltjes\' integraal..........37

§ 13. De differentiaalvergelijking van Laguerre voor Qn.....40

§14. De differentiaalvergelijking van Laguerre voor Qn ..... 42

§ 15. Kettingbreuken voor 8................42

HOOFDSTUK III.

TOEPASSING OP DE VERGELIJKING:

x(x - 1) («X - 1) ft\'-) ({? - 1) (X - 1) (ax-1) (o—1) X (aX— 1)
a(r— l)x(x — l)j iï Ax B = 0.

INLEIDING.

In meerdere van de interessante verhandelingen van Laguerre
(Sur la réduction en fractions continues d\'une classe assez étendue
de fonctions, C. R. 1878 = Œuvres l — Sur la réduction en
fractions continues d\'une fonction qui satisfait à une équation
différentielle linéaire du premier ordre à coefficients rationnels,
Bull. S. M. F. 8, 1879 = Œuvres I en J. de Math. (4), 1,
1885 = Œuvres II) stelde deze wiskundige zich het volgende
probleem :

Zij gegeven een differentiaalvergelijking van de eerste orde
met polynomen tot coëfficiënten Ltë\' -f Mit -f N = 0 , dan
wordt gevraagd de functie ft te ontwikkelen in een ketting-
breuk.

Noemen wij de naderingsnoemers Q„, dan is de oplossing
gegeven in de constructie van een differentiaalvergelijking voor
Q„, waarbij als hoofdmoment optreedt de bepaling van een
onbekende functie Cl„.

Hetgeen Laguerre en na hem De Montessus de Ballore
(Sur les fractions continues algébriques {Rend. Pal. 19, 1905) en
Padé (Recherches sur la convergence de développements en frac-
tions continues d\'une certaine catégorie de fonctions, Ann. de. n.
(3), 24, 1907) hebben bereikt, vindt men kort samengevat in:
Die Lehre von den Kettenbrüchen von Prof. Dr. Oskar Perron;
Teubner, 1913. Perron zegt p. 438: „Die folgenden Beispiele sind
so ziemlich die einzigen, in denen eine volstandige Durchführung
der Rechnung bis heute möglich ist. Laguerre hat zwar noch
einiges weitere versucht, aber mit wenig Erfolg."

Deze voorbeelden kunnen samengevat worden in de opmerking,
dat iï_n een constante is of gelijk is aan x.

ln het eerste hoofdstuk van dit proefschrift wordt de algemeene
theorie ontwikkeld; in het volgende worden eenige bekende
gevallen volgens de gegeven methode behandeld, terwijl in het
laatste hoofdstuk een geheel nieuw geval wordt behandeld,
waarbij Q« =

HOOFDSTUK I.

Algemeene theorie.

§ 1. De differentiaalvergelijking der eerste orde en de
Stieltjes\' integraal voor S.

Laat 8 een functie zijn van x, welke voldoet aan de volgende
differentiaalvergelijking:

(1)......Lft\' MSI N=0,

waarin L, M en N polynomen in x zijn.

Trachten wij deze differentiaalvergelijking op te lossen door
een Stieltjes\' integraal:

®........«-/vft*-

a

waarin A en B constanten zijn onafhankelijk van x.

Bepaald moeten dan worden de gewichtsfunctie m(u) en de
grenzen A en B.
Uit (2) volgt:

re

J (x w)^-

a

of na partiüele integratie:

\\x «j_A .1 * «

a

(1) wordt thans:
O) J^00_dtl (™^Yl(x) N(x) = o.

ƒ X-f H ~ \\X «/A

a

Opdat de integraal een zin zal hebben voor alle waarden van x
in deze identieke vergelijking, moet:

M(x) m{u) — L(x) m\'{u) verdwijnen voor u = — x.

dus:

(4) . . . . M(x)m(— x) — L(x)m\'(— x) = 0
of

(5 ).......m(—x)=e J lw .

m(—x) en dus ook m{u) is hierdoor, op een constanten factor
na, bepaald.

Uit (3) volgt verder, aangezien L, M en N polynomen zijn,

dat in het tweede stuk geen termen met den factor

¹ _f ¹

of

jc B x A

mogen blijven staan.
Voor de grenzen A en B heeft men nu verschillende mogelijkheden:
l^e. B is een wortel van m(u) = 0, dus //z(B) = 0,

2^e. —J-p verdwijnt na vermenigvuldiging met L(x), dus * B

x -"j— o

is een factor van L(x) of B is een wortel van L(— x) = 0,
3^e. B mag ± co zijn, mits

Lim

u = t oo x -f- u

gelijk is aan een eindig getal (meest =0).
Hetzelfde geldt voor de grens A.

Indien meerdere waarden voor de grenzen A en B gevonden
worden, zoo voldoen aan (1) ook meerdere Stieltjes\' integralen.

Ter toelichting van \'t een en ander nemen wij het volgende
voorbeeld:

(x fl)(x &)rt\' m(b — = voor /fl>0,

waarin dus L = (x -j- a) (x b), M = m{b — a) en N = 0; dan is

/* ^a\\^m

dus

Nu is a een wortel van m (x), en kan als éénejgrens genomen
worden (a is tegelijk een wortel van L(—x) = 0).

Als tweede grens kunnen wij nemen ±00, omdat:

u = ± 00 x -j- u

Als oplossing hebben wij twee Stieltjes\' integralen:

fl=cf enfl = CH^)\' *•

J \\u — b)x-{-u J \\u — b]x-\\-u

— 03 a

Keeren wij terug tot het algemeene geval:

De integraal (2) is nu op een constante na bepaald. Deze hangt
samen met N(x) en wordt gevonden uit (3).

De gevolgde redeneering is omkeerbaar, d. w. z. uitgaande van
een Stieltjes\' integraal, kan men een differentiaalvergelijking (1)
construeeren.

Uit (4) bepaalt men nl. de verhouding van L en M. L en M
kan men zoo eenvoudig mogelijk kiezen. Uit (3) vindt men ver-
volgens N(jc).

Nemen wij hiertoe \'t volgende voorbeeld:

ƒ00 Q-II

—i—du, waarin m(«) = e^—

Uit (4) volgt = —1.

^L 1

Neemt men L = 1 en M = — 1, dan volgt uit (3) N = --.

De differentiaalvergelijking is dus:

Si\' — ft -f I^ = 0 of

xSt\' — xSi 1 = 0.
In \'t algemeen worden L, M en N nu geen polynomen.

§ 2. Dc differentiaalvergelijking van Laguerre voor de reeks St,
ontwikkeld naar positieve machten.

Gaan wij weer uit van:

(1)......Ut\' m N = 0.

Denken wij $ gerangschikt naar opklimmende machten van x,
dan kan men volgens P. p. 418¹) twee polynomen Uv en V^ van
den graad r en fi bepalen zoodanig, dat de reeks

VftSl — Uv

begint met xf^{l v 1} (of hooger) of aldus geschreven:
VfiSi — Uv = (x/\' " 1)

\\(x\'^{1 v} l) stelt voor een reeks, gerangschikt naar opklimmende
machten, beginnende met x\'^{l v x}\\.
Is nu

=   ■■•grX^r)Pv. \\Pv hoogstens van graad v —

Vf* = X*(g_(>-\\-g₁X_:{-g₂X²-\\-...grX^r)Qv. lQ/t „ „ „ li—l)

dan is

Q,_tR — P_v = (jc^ f-A 1),

dus

— = "-* !) of
W/t

(6)......« = ^ (^ ^-1 1).

In \'t vervolg worden de indices eenvoudigheidshalve weggelaten.
Uit (5) volgt:

Dit, gesubstitueerd in (1), levert:
of:

_L(QP\'_ PQ\') MPQ NQ² = Q² 

Aangezien \'teerste lid een polynoom is, moet \'t tweede lid
dit ook zijn. Stel \'t tweede lid £2²), dan is:
(7) . . . . L(QP\'-PQ\') MPQ NQ² = il,
of gerangschikt naar Q en Q\',

(LP\' MP NQ) Q - LPQ\' = Q.

1 \') P. beteekent: Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen.

Na eenmaal differentieeren komt er:

K\'Q (K - LP\' - L\'P) Q\' - LPQ" = ft\'
of volgens (8):

K\'Q (MP NQ - L\'P)Q\' - LPQ" = O\',
(K\' NQ\')Q (MP — L\'P)Q\' - LPQ" = Q.

Stelt men:

K\' NQ\' = R,

dan is:

(11). . . . rq (M-L\')PQ\'-LPQ" = s2\'.

Uit (9) en (11) verkrijgt men door vermenigvuldiging:

L£2Q" -f [(L\' — M) Q — L\'12] Q\'

Uit deze vergelijking volgt, dat Kü\'— Rü deelbaar is door P,
aangezien P en Q relatief priem zijn.
Is Kü\' — R£i = HP, dan is

(12) . . LQQ" I(L\' —M)li-Lü\']Q\' HQ = 0.
Wij noemen

(15) de differentiaalvergelijking van Laguerre.
Duiden wij kortheidshalve (12) aan met

(13 )......_py» _qy\' ry = 0,

zijnde p = Li2 q = (L\' — M) Si — L£2\' r=H

(voor de constructie dezer differentiaalvergelijking zie men ook § 6).
In (6) was

n = x\'^{1 v} -¹ e,
dan is de differentiaalvergelijking na deeling door ^;

xloQ" [(L\' - M) x9 - L 1 xO\' (/_t v - a) e i] q\' H, Q = 0

(P. p. 437).

§ 3. De differentiaalvergelijking van Laguerre voor de reeks ft,
ontwikkeld naar negatieve machten.

Denken wij algemeen een reeks ft, gerangschikt naar afdalende
machten:

dan kunnen wij twee polynomen U„ en V„ van den graad n
bepalen zoodanig dat de reeks

V_rtft — U„ begint met

Stelt men nl.:

U_B = a₀xⁿ a₁x^n—1 ... a_n-ix -f a„,
V_n = P₀Xⁿ / . . . Pn-x X p_n,

dan moet:

00*" ft*«"¹ • • • Pn-IX Pn) (^C0 ~

1 — (o₀x» a₁x^B-¹ ...a_B)

beginnen met

Dit levert het volgende stel vergelijkingen:

«o = /Vo

«1 = /Vl PlCo

a₂ = Po foei fiz^Q ) n 1 vergelijkingen.

«Ti = Po °n PiCn-1 -\\-...PnC_n
0 = /5₀C„ i P^Cn ...pnCy
O = P₀C_{n 2} P_{lCn l} . . . PnC, j _{n vergel|jkingen}

O = P₀c_2n PiC_2tt-l • • • PtiCn

Uit het laatste stel van n homogene vergelijkingen zijn de n -f 1
onbekende P\'s op te lossen. Vervolgens vindt men uit het eerste
stel van n -f 1 vergelijkingen de n 1 onbekende a\'s.

Laat nu p₀ = 0 p_x =0 .. = 0,

dan is ook a₀ = 0 a_x ~ 0... a^-i = 0,

dus is

U„ = ....

Schrijven wij:

^ste^ ^{voor een ree}k^s gerangschikt naar afdalende machten
van x, beginnende met -^r ïj . dan is:

s _ V ₌ (—1—)

U„ en V„ kunnen nu nog gemeenschappelijke factoren hebben.
Schrijven wij deze rationale functie in zijn irreducibelen vorm

U„ _ P_n
V„ ~ Q „\'

dan is

* = ^ (- ¹ —\\
qp\'_pq\' / 1 v

Q² 

(1) wordt thans:

_L    m | £ (^)i n=0

of:

L (QP - _ pq\') MPQ NQ- = Q² j L (3^ 2) ^M(_x2^ï ï)!•

Daar het eerste lid een polynoom is, is ook \'t tweede lid een
polynoom. Stel \'t tweede lid Ll, dan is:

L(QP\'-PQ\') MPQ NQ^j = S2; zie (7) p. 6.

De differentiaalvergelijking is dan weer verg. (13).
Beschouwen wij nu een differentiaalvergelijking, waaraan een
Stieltjes\' integraal

_R=f^B rHu) _{du voldoct}

J x u

Nu is

_J__1 _ 1 u , .

00 (_n«—i /-B

dus ft = 2-—f—/ m{ü)uⁿ-^ldu,

1 X J

A

zoodat steeds c₀ gelijk nul is en de reeks dus begint met — ■

Dan is ook a₀ = 0 en is dus de teller P van één graad lager
dan de noemer.

§ 4. Vergelijking der methoden van § 2 en § 3 en graadbepaling
van de polynomen ü en H in 7 laatste geval.

In § 2 was £2 = Q² * - M " - 1)1-
„§3 „ « = 

De graad van £2 is in \'t eerste geval hooger dan in \'t tweede
geval. Verder is de graad van O in \'t eerste geval afhankelijk
van fj. en v.

In het tweede geval verkrijgt men, lettende op de hoogste
machten van Q, L en M, voor den graad van £2: l-\\-k — 2 of
m-\\-k— 1, / en m zijnde de graden van L en M. In dit geval
is dus de graad van i2 onafhankelijk van n.

Wegens de eenvoudigheid zullen wij daarom steeds het laatste
gebruiken.

Het geval van § 2 is altijd terug te brengen tot dat van § 3. Is nl.:
ft = e₀ c_tx C\'2^X~ • • •»
dan is ft — e₀ = x c₂x² -j- ...

Stellen wij: jt = —dan is:

Verder zullen wij aannemen ^ = 0, daar dit in geen der behan-
delde gevallen anders is. De graad van het polynoóm il is dan
1 — 2 of m — 1.

Men kan zich afvragen of £2 misschien van lageren graad kan
zijn dan / — 2 of m — 1. Dit is alleen dan mogelijk als de termen
van den hoogsten graad in £2 elkaar vernietigen, als dus L van
één graad hooger is dan M.

Zijn de coefficienten van de termen van den hoogsten graad
van Q, L en M respectievelijk q, l₀ en m₀, dan is de term van
den hoogsten graad van 12

q²c \\{2n l)/o — ^mol-

De graad van 12 kan dus alleen verlaagd worden als:
(2n l)/₀—m₀ = 0,
en indien zulks mogelijk is, is dit slechts het geval voor een
speciale waarde van n.

De coëfficiënten van 12 zijn afhankelijk van n.

In alle gevallen, waarin L hoogstens van den 2^den, M hoog-
stens van den l^stcn graad is, is 12 constant.

De vergelijking (12) is dan deelbaar door 12.

Beschouwen wij de vergelijking (7)

L (QP\' — PQ\') MPQ NQ\'² = 12,

dan blijkt in \'t algemeen het volgende:

Aangezien 12 van den graad / — 2 of m — 1 is, is het tweede
lid van lager graad dan het eerste. In \'t eerste lid moeten dus
zeker twee termen voorkomen van den hoogsten graad.

Wanneer nu aan de vergelijking (1) een Stieltjes\' integraal vol-
doet, dan is, zooals in § 3 is bewezen, P van den graad n — 1
Q van den graad n.
In het eerste lid is dan:

L (QP\' _ PQ\') van den graad 2n -f- / — 2,

2n m— 1.

NQ² mag dus niet van hoogeren graad zijn dan elk dezer vor-
men, dus mag de graad van N hoogstens zijn: 1 — 2 of m — 1.
Voor het geval dat 12 constant is, moet dus N ook een constante
zijn. Evenzoo is ook een geval denkbaar, waarbij L, M en N

respectievelijk van den graad 3, 2 en 1 zijn, en waarbij £2 van
den l^sten graad is. In \'t algemeen kunnen de graden van L, M
en N één verschillen in dien zin, dat de graad van L \'t hoogste is.
Omtrent de vergelijking (12)

Li2Q" -f [(L\' — M) Q — LO ] Q\' HQ = 0
merken wij \'t volgende op (k is de graad van O):
U2Q", L\'ftQ\' en LQ\'Q\' zijn van den graad l k n — 2,
MftQ\' is van den graad m -f- k -f- n — 1.

Nu moeten er weer minstens twee termen van den hoogsten
graad voorkomen. HQ mag dus niet van hoogeren graad zijn dan
l-{- k n — 2 of m-\\- k-\\- n — 1 of wanneer h de graad van H
voorstelt, is:

h = l -{- k — 2 of m-\\-k — 1 (zie hiervoor ook § 7).

»

Aangezien k — l—2 of m— 1, is dus

h — 2(1 — 2) of 2{m — 1).

Als L, M en N van den graad 2, 1 en 0 zijn, is H constant,
„ „ „ „ „ „ „ „ 3,2 en 1 „ , „ „ van den graad 2.

§ 5. Tweede particuliere oplossing van de differentiaal-
vergelijking van Laguerre.

Stelling: De differentiaalvergelijking voor Q
(12) . . LnQ" [(L\' — M)0 — U2\']Q\' HQ = 0
heeft tot tweede particuliere integraal:

f^M

y₂ = eJ^L Q —Pi.

Bewijs: Is een oplossing Q, dan is een 2^e te vinden in den vorm

y = Qfzdx,

waarin z een functie is van x.
Nu is:

y = Q ƒ zdx.

y\' = Q\'f zdx Qz.

y" =Q"[zdx 2Q\'z Qz\'.

Na vermenigvuldiging met L£2, (L\' —M)£2— L£2\' en H en
optelling volgt als differentiaalvergelijking voor z

^ ₌ V M

z Q L \' L £2

^a (~r^dx

z = - p.\' l

LQ²

Vervangen wij £2 door zijn waarde uit (7) dan is:

_y _ L (QP\' - PQ\') MPQ NQ²

LQ²--^e\' ~

d P , M P , N f^-dx
dx Q L Q L ^e

Verder is

dus

d
dx

dus

J«h=Ji"( J

2^e particuliere integraal is dus:

/"m .

y₂ = eJ^ (ftQ-P).
Indien aan de vergelijking (1) een Stieltjes\' integraal
J ^T^rf« voldoet, zoo is de 2^e particuliere oplossing ook te
schrijven in den vorm:

y₂ = —r(ilQ-P).
¹ m (— x)^v \'

§ 6. Nieuwe constructie van de differentiaalvergelijking
van Laguerre.

Bestudeert men eenige differentiaalvergelijkingen van Laguerre,
dan is het opvallend, dat de 2^e particuliere integraal steeds een
bepaalden vorm aanneemt¹). Dit was de aanleiding om een
differentiaalvergelijking te construeeren met de volgende particu-
liere integralen:

1 _ fM-_dx

y_{1 =} Q, yo = —₍_ ^(AQ — P), waarin m{—x) = e J l ^x.

y , y i. y₂
y\', yi, y₂\'
y", yi", y₂"

Nu is

f m
— pl l

y.₂ = eJ L^dx(üQ-P),

«\'Q JtQ\' —

_a)_ Mfl N
- L

y\\ = Jr* | _  «y _ p. M^Q __ MA j

of volgens (8)

?_!=Jt<*(W- -£).

Verder

Iff Q\' ftQ» - ^LK\' - ^KL\' f (fiQ\'

MKj

_flQ>_K\' NQ- (L\'-M)K|

\') Zie dissertatie Van de Vooren, p. 42 (1915).

of volgens (10)

(l\' — m) k
l²

De differentiaalvergelijking is dus:

y, Q, ÄQ -P
y\', Q\'. ÄQ\'

y", Q", RQ" - £

of

y, Q, l²P
Q\', kl

y\\ Q", RL — (L\' — M) K

Hierin is de coëfficiënt van y"

QKL — L²PQ\' = (QK — LPQ\') L = Ln [zie (9)1.

De coëfficiënt van — y\' kan in elke differentiaalvergelijking
Py" -f- qy\' -j- ry — 0 op de volgende manier gevonden worden als
2 particuliere integralen bekend zijn.
y_x is een particuliere integraal, dus py_x" -f qy_x -j- ry_x = 0,
y*» » » „ , „ py*" qyj ry₂=o,

dus na vermenigvuldiging met y₂ en y_x en aftrekking

p Wy* - y"y\\) q OV^ - y*y 1) = 0.

g _y"y<j—y<i\'y\\.
p y^—y^yx

~p⁼~~dx ^{lg {yi}\'^y2 ~~

yi% - y₂\'y_x = Q\'ei\'(ilQ - P) - eJ ? (itQ\' - -)q

__KQ—LPQ\' [J£dx
L

q _ JV, J^. M.
p~ ß \' l l

Is nu p = LQ, dan is

q = (V — M)£2 — Lil\'.

Overigens kan de coëfficiënt van y\' ook uit de determinant
berekend worden.
De coëfficiënt van y is Q\'RL Q\'K (M — L\') — KLQ",

= -j^j(M-L\') PQ\' - LPQ" \\ Q\'RL,
= J£2\' — RQ| — Q\'RL, zie (11)

₌ _R(kq_lpqo,

= 5-n, zie (9)

De differentiaalvergelijking, waarvan

y, = Q en-y₂= _m{^l__x)m-P)
particuliere integralen zijn, is dus

LQy" \\ (L" — M) Q - L£2\'| y\' ^KQ\' ~ ^RQ y = 0.

Dit is (12), de differentiaalvergelijking van Laguerre.

§ 7. Bepaling van den graad van £2 en H door middel van de
tweede particuliere oplossing van de differentiaal-
vergelijking van Laguerre.

Zij:

L = /oX\'. ... M=/n₀x"\' ... H = /;₀x" ... n=:g₀x^k ...
en is de differentiaalvergelijking voor Q:

(13 )......py" qy\' ry = 0,

p = LQ q = (L\' — M) LI — Lü\' r=H,
waarvan twe« particuliere oplossingen zijn

y_t = Q„ y₂ = —J—- (ÜQ„ _ p„).

Zij verder de oplossing van (13)

(14 ).....y =xP» .. .

dus y\' = PoXP-¹ . . . •

y" = Po (Po — ■

dan is in het meest algemeene geval, waarin m = l—1 :
P=golo*^{k l} ■■■

q = (V—mo)go^{xk l}~¹—logokx^{k l}~¹-\\-.:=g₀x^k \'-¹(l₀l—m₀—/₀/:) ...
r — h₀x^h ...

dus is:

go \'oPo (Po 1) x^{Pt k l}~² goPo(lol—m₀—l₀k) x^p^^{k l}~² h₀x^ll P<> ...=0.
Dit is een vierkantsvergelijking in p₀.

Aangezien de vergelijking in \'t algemeen geen wortel p₀ = 0 heeft, is
h = k l— 2,

dus is

Po\'- Po  ~^l°^kPo ~r=^Q

\'o go «0

of:

Af   A₌₀.

\'o &o\'o

Nu zijn de wortels van deze vergelijking bekend, nl. de graad

van y_l is n, de graad van y₂ is y" — n— 1.

\'o

Dit laatste bewijst men als volgt:

,UQ„ — P„ is van den graad — n — 1; zie § 3.

1 /-"tfx

= eJ l

m (— x)

L = /„ (x — a,) (x — o.,)...(x — ai),
M = m₀ (x — b_x) (x — b₂) ...(x — i),

M _M(fli)_1_ , M(Q/)_1_

L ~~ L\' (a,) jc — a_x \' *\' L\'(ai) x — ai\'

f_M m (a,) m(a.) mfo)

I -~dx = lg (x — afi\'iü (* - ^(0,) ...(* — «/) ^L«">,
waaruit volgt:

[ m m(g|) m(0|) mfai)

\' L = (x — a,)^L\'^(0,) (* — ö.,)¹- ^ ...(* — fl/) ^L\'<^a<>.

Nu is 2 = 2 Residu\'s van de functie welke haar polen
i L (ff/) L ^H

heeft in a₁ ff₂ • • • ff/.
Nu is 2 Residu\'s ⁼ f^J^jdz, ^waarb\'j de integraal genomen

moet worden langs een cirkel met oneindigen straal. Wij ver-
krijgen dan:

vRpc — ¹ fm₀z\'^._m₀

2 Res. J _/qZ< dz- -,

dus = ^

1 L (ff/) /₀

1 tïl

en de graad van —₍ . is/dus hieruit volgt dat de graad

• ^m0 1
van jo is -~.- — n — l.

\'o

In de vierkantsvergelijking voor p₀ is dus de som der wortels

^ - 1, dus is:
\'0

_ V — m_n — /pA: —/„ _ /n_n _ |

/o ~~ /o

of k — l — 2.

Aangezien // = /;-}-/ — 2

is dus h = 2(l — 2).

\'/»n

Het product der wortels is n\\-j^—n — 1

V \'o

/Zo /\'«O ,

dus . —V = ff . — n — 1

golo \\ \'o

of (15) h₀ = ff^o l^o — (" OM-

§ 8. De differentiaalvergelijking voor de naderingsteller P„.

Deze zal blijken te zijn een niet homogene vergelijking en is
daarom voor de vorming van de kettingbreuk niet geschikt.

Gelijktijdig kunnen de differentiaalvergelijkingen voor Q en P
aldus worden afgeleid:
Volgens (7) heeft men, wanneer wij rangschikken naar P\' en P:

(16) . . LQP\' (MQ-LQ^,)P NQ² = a

Stelt men:

(17). . . . . . . MQ — LQ\' = K_x,
dan is

(18 ).....LQP\' K_XP NQ² = £2.

Na differentiatie:

LQP" (Kj LQ\' L\'Q) P\' K/P N\'Q² 2NQQ\' = £2\'
of volgens (17)

LQP" (M L\') QP\' K/P N\'Q² 2NQQ\' = £2\'
en LQP\' -j- K, P NQ² =£2.

Door vermenigvuldiging verkrijgt men:

(19) . L£2P" [(L; M) £2 - L£2\') P\' -f ^Kl\'^Q ~ ^{Kl Q}\' P =

y

= — 2N£2Q\' (N£2\' — N\'£2) Q.

Dan moet dus K/£2 —^£2\' deelbaar zijn door Q

K_: = MQ - LQ\'

K]\' = MQ\' M\'Q — L\'Q\' - LQ"

of

£2 (MQ\' -f M\'Q — L\'Q\' - LQ") - £2\' (MQ — LQ\') is deelbaar door Q
L£2Q" -f |(L\' — M) £2 — L£2\'J Q\' is deelbaar door Q,

dus

L£2Q" -f- |(L\' — M) £2 - L£2\'| Q\' HQ = 0.

Dit is de vergelijking (12) voor Q, terwijl de differentiaal-
vergelijking (19) voor P wordt

(20) . . L£2P" -f [(L\' M) £2 — L\'£2) P\' -f- (H -f M\'£2 — M£2\') P =

= — 2N£2Q\' -f (N£2\' — N\'£2) Q.
Dit geldt voor beide methodes (naar opklimmende en naar
afdalende machten). In \'t eerste geval kan men £2 vervangen
door xf\' »\' —zie P., p. 437.

§ 9. Afleiding van de differentiaalvergelijking van P_n
uit die van Q_n-

De differentiaalvergelijking van Q„ heeft tot particuliere integralen:

Stelt men de differentiaalvergelijking van P voor in u, dan
heeft men:

1

y₉ = Vi--U ,

dus

St , . /St\\\' 1 , /IV

1 V\'

2 —I u\' — --) u.

\\m,

Vermenigvuldigen wij nu y₂, y₂ en y₂" achtereenvolgens met
H, (L\'— M)t2 — Lïl\' en en tellen op, dan is, aangezien
y_x en y₂ oplossingen zijn van de vergelijking (12)

V 2(i)V (I)^] [(L\'-M)n-Lal|I_U\' (I)\'„j Hl_U=

= Lü

Nu volgt uit m (— x) = e .

1 \\\' M
^m[m)= L

1 M² LM\' — ML\'

^m[M=--TT -

Vermenigvuldigen wij de vergelijking met m, dan wordt het
eerste lid:

L£lu" [(L\' M) Cl — Lü\'j u\' -f [H M\'i2 - Mü\'J u.
Verder is

m\'

= m— — St— = St\' ft-- =
m m L

aangezien LSt\' MSt -f N = 0.

Differentieeren wij dit, dan verkrijgen wij:

LN\' — NL\'

L²

_ LN^/ — NL\'
nu \' L² L²

St\\" MN LN\'— NL\'

L²

Het tweede lid, met m vermenigvuldigd, geeft na herleiding

— 2N£ty₁^/ (N£2\' — N\'£2) y_v
De differentiaalvergelijking voor P is dus

L.Qu" [(L\' M) £2 — L£2\'] u\' (H M\' £2 — M£2\') u =

= — 2N£2Q\' (N£2\' — N\'£2)Q.
Dit is de vergelijking (20) voor P.

§ 10. Het vinden van de recurrente betrekking tusschen drie
opeenvolgende Q\'s en de geassocieerde kettingbreuk.

Volgens P., bl. 377, komt onder zekere voorwaarden met de
integraal

J X U

a

overeen de kettingbreuk

J j___I | "3 I I

U /i U /₂ i x /₈

Worden de opeenvolgende naderingsbreuken voorgesteld door:

, _ k„ | _ K„

I\'x /l " \' I * In In\'

dan is L„ van den graad n,

Kn n n n R I
en " naar afdalende machten ontwikkeld, stemt met de reeks
1

overeen tot en met „ •

x-ⁿ

Nu is ook P„ van den graad n — 1 en Q„ van den graad n en

P 1

" stemt met de reeks overeen tot en met „--. Aangezien er steeds

^A p„

één en niet meer dan één gebroken van den vorm _n" kan bepaald

Wn

worden, is K„ = P„ en L„ = Q„.

De coëfficiënt van den term van den hoogsten graad in L„ is

steeds 1, dus is ook Q„ = x" ____

Tusschen drie opeenvolgende Q \'s bestaat nu het volgende verband:

(21) .... Q„ =(* /„)Q„ -i k_n Q„_o.

Wanneer nu de differentiaalvergelijking van Laguerre

(13)......py" qy\' ry = O

bekend is, kan hieruit de betrekking (21) gevonden worden, en
wel als volgt:

Laat aan (13) voldoen:
(22). . . . Qn=xⁿ-\\-p_nxⁿ-^l q_nxⁿ-² ...,
dan is

Q\' = nx"^-1 (n - 1)pnx»-* (n - 2) q_nx"~^ ...,

Q" = /2(/2"l)x"-² (n-l)(n-2)p_nx"-³ (/2-2)(/2-3)^xⁿ-⁴ ...

Substitueeren wij deze waarden van Q„, Q„\' en Q„" in (13),
dan vindt men bij gelijkstelling van de coëfficiënten der hoogste
machten van x de waarden van p_n en q_n uitgedrukt in n.
Dan zijn ook p_n-1, q_n-1 en p_n-₂, q_n-i bekend.
Substitueert men thans:

Qn = Xⁿ p_nxⁿ~^l q_nx"-° ...
Q„_! = x"-\' -f p_n-i x"-² q„-1 x"-³ ...
Q/i-2 = Xⁿ~" . . .
in de vergelijking (21), dan vindt men uit de coëfficiënten der
hoogste machten van x de waarden van

l_n en k_n.
Hiermede is de betrekking

Q_n = (x /„) Qn-l k_n Qn-2

gevonden.

Dit geldt voor n ^ 3. De begintermen kunnen uit de reeks
voor gevonden worden. Hiermee is dus bekend de geasso-
cieerde kettingbreuk

k_x | , Ar₃ | ■ k₃|
I x /i \\x-\\-l~2 I * -Ws "\'\'

§11. Het vinden van de eorrespondeerende kettingbreuk uit
de differentiaalvergelijking voor Q.

Laat de eorrespondeerende kettingbreuk van St zijn:

| , aj , fl₃1 . «4 I ,
|x | 1 ^r U I 1 ~^t~ "\'

Deze heeft twee soorten naderingsbreuken, die van even en
die van oneven rangorde. De naderingsnoemers van oneven rang-
orde bevatten alle den factor x, hetgeen niet het geval is bij die
van even rangorde.

In verband met deze twee soorten naderingsbreuken kan men
op twee manieren uit de oorspronkelijke kettingbreuk een nieuwe
kettingbreuk maken en wel:

l^e. De kettingbreuk met de naderingsbreuken van even rang-
orde, de geassocieerde kettingbreuk. Deze is:

| x -f- ffo I x -f a₃ o₄ | x a- a_G ^y

of aldus geschreven:

(23). . . * =     ■

Steeds is dan: k_x =a_x I_l = a₂.

k_n = — a_2n-2 X 02/1-1 In = 02/J-1 Cl2n \'I > 2.

De noemers van deze kettingbreuk voldoen aan een differentiaal-
vergelijking van Laguerre.

2^C. De kettingbreuk met de naderingsbreuken van oneven
rangorde.

Volgens P., p. 201 is dan:

n___Qifl₂ _j__Qfl^X² |_

\'^v x i (x 4- aj x a_;]x j (x -f- fl₄) X o_rix

_u _ ffi _ (JiOo/x I |

x IX a₂ a₃ | x -f- a₄ -f- a₀

a_x flo | o₈(j₄ |

x5t = o_x —

Noemen wij:

(24).......xSi — fl, = St,

dan is

^ _ _ a\\a₂__I ___M*___l

| x -f- a, a_:] | x <7₄ -f- Of,

of

(25) .... ït = —M —M ...,

waarin k_n = — a_2n-i X Ö2n /_n = «2/1 a_2n i-

De naderingsnoemers van ft zijn dan op den factor x na gelijk
aan de naderingsnoemers van oneven rangorde van de correspon-
deerende kettingbreuk voor ft.

De noemers van deze kettingbreuk voor ft voldoen weer aan
een differentiaalvergelijking van Laguerre.

Uit de vergelijking (24) volgt:

(26 ).......₌

Hierin is a, = c, de coëfficiënt van — in de reeks voor ft

x

ontwikkeld naar afdalende machten.

Uit de vergelijking (1) voor ft kunnen wij dan door deze trans-
formatie een vergelijking voor ft construeeren, hieruit een diffe-
rentiaalvergelijking van Laguerre en hieruit ten slotte de recur-
rente betrekking tusschen de naderingsnoemers voor ft.
Onderstel nu dat bij elkaar behooren

Lft\' Mft-|-N = 0,
py" qy\' ry = o,

Q„ = (x -f l_n) Qn-l kn Qn-2 L = <*>«-1 n-

en _____

Lft\' Mft-f N = 0,

py\'^r qy\' ry = o,

Qn = (x -f /„) Q„_1 -f kn Qn-2 \'ln = a_2n -f ü_2n l.
Bepalen wij nu evenals in § 10 de grootheid p_n uit
Q„ = xⁿ -f p_nxⁿ-¹ -f-... (q_n is niet noodig).
en verder /„. Steeds is /„ = /?„ — p„_i.
Evenzoo kunnen wij uit het gestreepte stel vergelijkingen vinden:

P„ en l_n= Pn— Pn-1.

Wij hebben dan:

ln = Ö2rt—1  n > 2

* in = 02n ^fl2n l tl > 1
l_n 1 = Ü2n \\ -j- Ü2n 2 tl >\\.

Door deze betrekkingen zijn de a\'s bepaald en hiermee is de
correspondeerende kettingbreuk

fli I , Jk I I I _L _L

I * ^T| 1 ^rU I 1 ^ \\ x ^ "\'

te construeeren.

HOOFDSTUK II.

Toepassingen.

A. (1 — x²) R\' — 1 = 0.

§ 1. Oplossing door reeksen.
Zij gegeven de vergelijking

(1 )......(1 — x²)5T — 1 =0.

Lossen wij de vergelijking op door een reeks, gerangschikt
naar opklimmende machten:

ft = c₀-f C_xx -f C₂X² . . . c_n-iX"-¹ -f cnxⁿ C_n 1*^¹ ...,.

dus

st\'=c₁ 2c₂x ... (n-\\)c_n-_lx»-² cnx»-ⁱ-\\-(n \\)cn ix\'> ...

Bij substitutie in (1) blijkt uit de gelijkstelling van de coëffi-
ciënten der gelijknamige machten
c₂ — —... = c >_n — 0,
q= 1 (2n—l)c_2n_₁ = (2n l)c_2n i,

2/1—1

dus C2/1-1 = 2n^T\\ ^{C2n l}-

c₀ blijft onbepaald. Nemen wij c₀ = °> dan wordt de reeks

y\'! yT) v2n l

(2) . . . f

Deze reeks is convergent voor x <1.
Lossen wij de vergelijking op door een reeks, gerangschikt
naar afdalende machten:

Na substitutie volgt:

c₂ = c_i =... = Cjn = 0,

_ 1 2/7 — l

— 1 • C2n 1 — 2_n J^C2«-1»

dus is

(3) . = ^  ¹

x ¹ 3X^{5 1} öx^{6 1} (2n \\)x^{2n 1}^\'"

voor |x > 1.

Opmerking: De coëfficiënten in de reeksen (2) en (3) zijn

1 1 -4- x

gelijk, omdat voor x< 1 = — lg -—\'—
en voor x > 1 ^ = lg * j

of wel Sl = ~\\g-y.

¹ x

§ 2. Oplossing door een Stieltjes\' integraal,
f

« - du.

x -f- U

a

In (1) blz. 3 is L = l—x² M = 0 N = —1,
dus wordt

-f ^Mdx

m (— x) = e l m (— x) = constante.

De grenzen worden zoo bepaald, dat ; J—rL(x) een polynoom

«X Pi

is, dus — 1 en 1.

De integraal wordt dus, wanneer wij nog u vervangen door — u,

r¹ du

C/ —-,
I x — u

dan is

«\' = - c /V^-rs=- c (^}d— = - c ( ¹ ■)\'

J (x — li) J x — u \\x — ul-1 1 —x-

— 1 -1

SI\', gesubstitueerd in (1), geeft: C = l, dus

(4).......s = l [\'-?»-.

^w 2 J x — u

Is nu |x|<l, dan kunnen wij de integraal nemen van — 1
naar -f 1 door \'t oneindige heen. Is \'xj > 1, dan neemt men de
integraal langs den eindigen weg van — 1 naar 1.

Deze Stieltjes\' integralen stemmen overeen met de in § 1 ge-
vonden reeksen. Dit blijkt aldus:

1 ^ ¹ - ¹ (\\ \\ * \\ *² \\ -4- )

x — u L x\\ u \\ u ~ u² ~"\' nⁿ \' "\'

dus is

ft

JL l^l du

2n — ₂ J u^{2n l}\'

i r^-a0 du i r¹ du

i f _ i r

— ~ 2 I 2 / ü^ ï\'
— i

C2n = 0.
De coëfficiënt van x^{2n 1} is:

1 z¹ du

C°n 1 — — 2 ïj2n-\\-2 >
— i

^{C2n 1==}2? 1\'
Deze waarden komen overeen met de waarden van de reeks (2).
Verder is

¹ _J_₌i7₁ iL if! üf. \\

\' _u_\\ x \\ ¹ x ¹ X^{2 1} "\' xⁿ \' ■\' 7

l*l>I.

dus is

1 i¹ du 1 /-¹ , / 1 . u , \\
-1 -1

De coëfficiënt van —is

1 r^l

C2n 1 =~2 ^{0 U du}>

-1

1

, ~2n \\\'

Deze waarden komen overeen met de waarden van de reeks (3).

§ 3. De differentiaalvergelijking van Laguerre.

Is, als in Hoofdstuk I,
L = 1 — x²

dan wordt (12):

(1 — x²)£ly" I— 2xil — (1 — x²)i2\'j ƒ Hy = 0
m (— x) = 1 dus

is van graad n en y₂ van graad — n — 1.

Is nu

^a = go*^k • • • en y = c₀xP» ..
dan geven de hoogste machten:

— Po(Po— 0 — 2p₀ kp₀ ...=0,
Af 0 — k)Po • • • = 0.
De som van de wortels is — 1, dus

1 —k=1,

dus k = 0

of 12 = constant.

Maar dan volgt, aangezien \'t product van de wortels = — n(n 1)
is, dat H dit product als factor bevat.
De differentiaalvergelijking voor Q is dan:

(5). . . . (1 -_x°-)y«-2xy\'-\\-n(n \\)y = 0,

d. i. de differentiaalvergelijking van Legendre, waaruit volgt dat de
noemers van de kettingbreuk voor .U polynomen van Legendre zijn.

§4. De geassocieerde kettingbreuk.

Laat aan (5) voldoen:

y = x" p_nx"-¹ q_nxⁿ~- ...
Gelijkstelling van de coëfficiënten van de hoogste machten geeft

Dit, gesubstitueerd in (21), blz. 21, geeft:

n{n — \\) _ / , (n-l)(n-2) \\

* 2(2n-— 1) ... — {x-jri„)\\x ₂(2/1-3) *

dus

0 = /„

n (n — 1) _ (n — 1) (n —2)
2 (2/2 — 1) 2 (2 n — 3)

dus

_k , _(n-l)(n-2) n(n — 1)
2(2n —3) 2(2n— 1) \'

(" — O²

(2/2 — 3) (2/2 — 1)
De recurrente betrekking is dus:

("-1)²

Qn — xQn—1 —

(2/2 — 3) (2/2 — 1)

en hiermee is de kettingbreuk voor 5Ï, afgezien van de eerste
termen, gevonden. Deze kunnen door deeling bepaald worden.
Men verkrijgt dan:

3x

5x

I7* I 9x

De correspondeerende kettingbreuk bestaat niet.

B. Toepassing op de vergelijking
(8). . . xSt\' — (x a— l)ft-f 1 =0 voor a> 1.

§ 5. Oplossing door reeksen.

Reeks naar opklimmende machten gerangschikt.
Stel

St = 2 c„x",
o

dan is

Jt\' = £ nc_nxⁿ~\\

Bij substitutie in (8) volgt bij beschouwing van de coëfficiënten
van x° en x"

— (a — 1) c₀ rf- 1 = 0 en nc_n — c_n-i — (a — 1) c_n = 0,

1 — 1
a
1

(a — 1) (a — 2)... (a — n — 1)\'

(— n«

dus c_n = r(a — n — 1).

Aldus is de reeks:

(⁹) = tT^ Ï ~~ (a— 1) (a — 2)^X (a — l)(a — 2)(a — 3)*

Deze reeks is convergent voor alle waarden van x.
Reeks naar afdalende machten gerangschikt:
Stel

00 c„
ft = 2-^-,

1 xⁿ

dan is

00 ni\'t

& = - ²- „ 4- f

1

Na substitutie in (8) volgt bij beschouwing van de coëfficiënten

A 1 1

van x°, — en

c, = 1 Co = — «en — (rt — 1) c_n-1 — c„ — (a — 1) c_n-1 = O
Cn = — (o n — 2)c_n_i

C„ = (— l)"-¹ (a fl-2)(a /ï —3).....a.

dus c„ = r(a n — 1).

Aldus is de reeks

(10) ....
v / _x i _xi

Deze reeks is divergent voor alle waarden van x.

§ 6. Oplossing door een Stieltjes\' integraal.

In (8) is nu

L = x, M = — (x a — 1) en N= 1,

32

m (- x) = e~J l = * = Ce*x«-\\

dus

OT (x) = Ce~^x (— x)«"¹ of als wij stellen C\' = (—l^C,
m (x) = C\'e-^xx^a-\\
Als grenzen kunnen wij nemen 0 en co, dan is de integraal

W-f L(j) = C\' le^upr _L _ _{0 ( }}

"\' A \\ X -f U /₀ ^V J

De vergelijking (3) wordt dan:
_c, r⁰⁰ M (x) m(u) — L (x) m\' (u)

J ^x u

C\'V >-fl^ (a =1)^ _1=0>

J x u

0

— C\' (a— 1) e~^uu^a~²du 1 =0,

o

— C\'(a— 1) P(a— 1) 1=0, dus C\' = ¹

r(a)

De Stieltjes\' integraal is dus:

1 _rco_e-u_ua-i

<">: «ÉrW

De Stieltjes\' integraal komt overeen met de reeksen.
Men krijgt nl.:

⁼ TT "t" • • • ( 0" TTFÏT •♦■

x w « ir ü"-*⁴

De coëfficiënt van x" is dus:

^Cn~ F(a) I ü» I

o

(— l)ⁿ

c_n = V(a)~ ^r(^a ~ " - 0. vergelijk reeks (9)

1 J^ «. U² i«üll.

^en 3cT?~x x² x^8 1J x"\'

De coëfficiënt van —- is dus:
xⁿ

I-n —

r(a)

(_ nn-l

c_n ⁼⁼ r(g) ^r(^a  vergelijk reeks (10).

§ 7. De differentiaalvergelijking van Laguerre voor Q_n.

L = x M = —(x a—1) N = 1.

De graad van £2 is gelijk aan / — 2 of //? — 1, dus £2 = constant.
De differentiaalvergelijking (12), blz. 7, wordt dan:

xQ" (x a)Q\' HQ = 0.

Gelijkstelling der coëfficiënten van de hoogste machten geeft
H = — n, dus

(12).....xQ" (x a)Q\'-nQ = 0.

Stellen wij

Q =x" p„x"-¹ ...
dan is Q\' = nxⁿ~^l (n — 1)p_nxⁿ~" -f ...

Q" = n(n — 1) x"^-2 ...

Substitueeren wij dit, dan verkrijgen wij uit de coëfficiënten
van x"^-1:

n (n — 1) (n — 1 )/;„ na — np„ = 0
p_n = n(n-f-« — 1)
en dus p„-1 = (n — 1) (n -f « — 2).

Nu is, volgens (21), blz. 21, l_n — Pn—Pn-1,
dus /„ = — (« — 1) (n a — 2) n (n « — 1).

§ 8. De differentiaalvergelijking van Laguerre voor Q„.

Substitueeren wij in de oorspronkelijke vergelijking:
xft\' — (x-f-a — l)«-f- 1 =0,

o.

dan wordt de vergelijking voor ft:

(13 ).....xft\' — (x a)ft — a = 0.

De bijbehoorende differentiaalvergelijking van Laguerre is

(14). . . . xQ" (x a 1)Q\' —nQ = 0.

Deze verschilt alleen van (12) doordat a is vervangen door
a 4- 1, dus is ook de oplossing direct neer te schrijven:

7n = — (n-l)(/i a-l) /i(/i a).

§ 9. Kettingbreuken voor ft.
Wij hebben (zie blz. 24):

In = — (n — 1) (n a — 2) n (n a — 1) = a_2n-i a_2n
In = — (n — 1) (n a — 1) n (n a) = a_2n «2_n i
ln i = — n(n a — 1) (n 1) (n a) = a_2n i a_{2n 2}.
Hieruit volgt:

In ~ la — (n - 1) (n a - 2) (n - 1) (n o - 1)1 -

-\\-n(n a-\\) n (n a) j.

De beide tusschen accoladen geplaatste uitdrukkingen verschil-
len alleen daardoor, dat n één verschilt. Verder is

L — In — #2/1-1 — #2/1 1,

dus is op een constante na:

02„-i = — (n- l)(n a — 2) (n- l)(_n a-l)
of a_2n-\\ =>n— 1.

Verder is

7/1 — /« i = I— (n - 1) (n a — 1) n (n a - l){ -

— J-n(« o) (n l)(« a)|.
Ook hier is dan op een constante na:

a_2n = — (n - 1) (n -f a — 1) n (n a — 1)
of a_2n = n-\\-a — 1.

Aangezien fl₂ = -|-a is, is de constante gelijk nul.
Hieruit volgt de correspondeerende kettingbreuk

_n5^_iJ , . JlJ . , 2| « 2| 3| a 3|

i x 11- i x i i i x i i nr -

De geassocieerde kettingbreuk volgt uit

kn = — Ö2n - 2 X ü_2n - 1
In = 02/1 - 1

dus

k_n = — (n a — 2)(n - 1)
In = n — 1 n -f a — t== 2n a — 2.
De geassocieerde kettingbreuk is dan:

nmtt- ¹ 1 ^la I 2(a l)l 3(a 2)|

a |x a 2 ] x « -j- 4 jx a 6"-

C. Toepassing op de vergelijking:
(17) x(x— \\(q— 1) (x— l) (a— l)xjil e o— 1=0

Q>h o>\\.

§ 10. Algemeenheid der vergelijking.

In hoofdstuk 1 § 4 is aangetoond, dat il constant is in alle
gevallen, waarin L hoogstens van den 2^CM en M hoogstens van
den l^en graad is. lil dit geval moet N een constante zijn.

(17) stelt nu de meest algemeene vergelijking voor, waarvoor
O constant is.

Heeft men nl. de meest algemeene vergelijking, waarvoor il
constant is in den vorm

(x — a) (x — b) Si\' {lx m) .U N = 0,

dan brengt men deze door de transformatie

_x — a (b — a)t, dus x — b = (b — a)(t — 1)

en

dt _ 1
dx ~ b — a

in den vorm

™ n ₌₀

^v \' dt \' / b — a * b — a

Uit de grootheden y™" en / kunnen dan q en o gevonden
worden, nl.:

, — i _¹⁽¹ ~t~ ^m _a — i _ ^{lb m}

" n — h °

Voor de constante N mag men elke willekeurige waarde aan-
nemen, aangezien een factor in ft kan worden opgenomen.

§ 11. Oplossing door reeksen.

Reeks naar opklimmende machten gerangschikt:
Stel

& = Zc_n xⁿ,

0

dan is

&\' = lnc_nxⁿ-¹.
i

Dit, gesubstitueerd in (17), geeft:

(e— i)c₀ e o-i=o

Q -f- O — 1

en

(n — l)c„_i — nc„ — (e o — 2)c„_i-f (g — l)c_n = 0

_g -f- a — n — 1

Q — n — 1

dus is

_ (q q — n — i)(g-{-g—n) .... (g-fo— 1)
fe-«-l)(e-n)(e-n i).....(_e~\\)

r —\' ^r(g °) r(g-«-i)

^Cn~ r(g) r(g-H — n— ij\'

Aldus is de reeks

₍₁₈₎. . _te «~ »— 0,_

Q — 1 \\L> — 2) ({? — 1)

(g o-3) (g a-2)(g-f q-_0
((? — 3)(ö — 2) (g — 1) ^x

Deze reeks is convergent voor | x | < 1.
De reeks is een hypergeometrische en wel

(19). . ft = iiH_;=±F(2-e-a, _u 2-Q; X).

Reeks naar afdalende machten:
Stel

00 ■ _r
£ = S —,

1 x" \'

dan is

SI\' = — I .

7 «« ¹

Dit, gesubstitueerd in (17), geeft:

- q - (Q o - 2) q e -f o - 1 = 0
Ci = l

— 2c, -f q — (o -f- o — 2) e., -f (e — 1) q = 0

r — g .
U) — |

g ~r °

én

— nq, (/? — 1) c„_i — (e a — 2) q, -f (5 — 1) q,_i = 0
— ²

C/i — ~~ ; I ₀ C/i—i

ⁿ 4" e ~r ⁰ — 2

dus

. _ (n g-2) (/i g-3)...g

^fl~~(" g °-2)(/i4-g °-3)...(g o)\'

_r _ ^r (g r(_e n-i)
^Cn~ rfe) rfo a n-i)\'

Aldus is de reeks:

, g 1. e(e i) 1 1 g(g D(g 2)
_e4-"a^ (g-KKg ff 0 x^3_1"(g o)(g4-a i)(g4-o4-2)

Deze reeks is convergent voor |x| > 1.
De oplossing is te schrijven in den vorm:

(21).....* ⁼ ï^F(^ftl,® ^a;x)\'

§ 12. Oplossing door een Stieltjes\' integraal.

A" -f U

A

In (17) is L = x(x — 1) M = — (g — 1) (x — 1) — (o — 1) x,
dus

rie-i a-
m(-x) = e^{n x x}~^lJ

m (— x) = Cx-^{— 1} (x — 1 )^a—1
m(x) = C (— xy~^l (- x — l)⁰-¹.
De grenzen voor de integraal zijn — 1 en 0.
Men vindt dus voor St

a = c f(iio—(—0-\'

x -f- «

-1

of

r\\nQ-\\(_<ll__Xy-l

O

of als wij stellen C\' = (— lf^C

^rwy-ur^

I x — u

Bepaling van de constante C\' geschiedt uit de formule (3) blz. 3.
Hierin is:

\\X U)-1

De vergelijking (3) wordt dan:

^MW »_(«)-LM «■(«) _da _

J X ff ^{K 1}

—1 .

_c, ƒ M(x)_m(-»)-L(x)m\'(-_{a) du e q}_,_=0|

0

of

ƒ " -[x(x— 1) }(e— 1)(1 —//) —(o— 1)//( -f-

«(«- l))(e —l)(x- l) (a- ])x[\\dx-\\-Q o-\\ =0.
Binnen de haken staat:

(e — 1) x² - (<> O — 2) tfx² — (o — 1) X (_e O — 2) «x
— (e - 1) li\' (o O - 2) z/²x (o - 1) X — (<? -f a — 2) ux

= Ke-i)(x tf)-(e a-2)Hx-G?-i)Kx-H),

dus is:

C\' /¹ u^& ~ ²( 1—u)⁰ -² [ {(o-1 )-(p ö—2)u \\x (e-1)«—(e—1)] rfu e o-1 =o.

b

De coëfficiënt van x is

C\' fV-²(l —u)^a~²\\(₆ - \\)(\\—u) — {o—l)u\\du =

\'o

= C\' [({?- 1) ^ue~²{\\ — du-{o—\\) rue-m-ft\'-\'du].
\'o ö

Dit wordt bij invoering van B-functies

B (p, q)=j (1 — u)"-¹ du,

o

= C\' [(<? - 1) B(e - 1, o) - (a - 1) B(e, o -1)].
Aangezien

wordt dit (q o - 1) B(e, o) - (_S a - 1) B(e, o) = 0.
Dan houden wij over:

c ^uO-2 (1 _ _uy-2 }(_e_\\)_U _ (p _ ])| _{dü Q ö} _ ! ₌₀

ó

of — C\' (q — 1) I \'u*-² (1 - u)^a~^ldu e o — 1 = 0,

ó

-C\'(e—1)B(ff-l_fo) ff o—1=0,

dus C\' = 57-r-

B (o, o)

^dus C -r(,)>\'(..)•

De Stieltjes\' integraal is dus:

_ r (q ± o) f u»-> (\\-uy-i _dü

(22) . . 51 = I\'

..... r(o)r(o) J

Gemakkelijk blijkt de overeenstemming van de Stieltjes\' inte-
graal met de vroeger gevonden reeksen, nl.:
1 1 x x²

X — U li w²

Dus is de coëfficiënt van x":

r — — ^r "i" ^p) / (\\ _ _u\\o-\\ r}_U

^Cn~ r(e)r(a) J ^{u U) au}\'

0

r(g g) r(g —n —i)r(o)
r(_e)r(a)r(e o-n-\\y

r(e o) r(g —/z — 1)
r(_e) r(e o-«-i)

in overeenstemming met de reeks (18).
Verder is:

— — •

x — u x ¹ x² x^{3 1}
De coëfficiënt van x^-n wordt nu:

r(_g o) r(g n-i)
r(e) r(g o n — l)

in overeenstemming met de reeks (19).

De beide coëfficiënten kunnen in denzelfden vorm geschreven
worden, nl. .

Cn= r (Hl?) [\\e p-2( i _ _uy-i du

\'o

§ 13. De differentiaalvergelijking

van Lagüerre voor Qn-

In de vergelijking:

L£2Q" [L\' — M) £2 — L£2\'J Q\' HQ = 0

is

L = x (x — 1) M = (g — 1) (1 —x) — (o — l)x.

£2 is van den\'graad 1 — 2 of m — 1 (zie Hoofdstuk I, § 4),
dus £2 is een constante, zoodat ook H constant is.

De vergelijking is:
x(x — l)Q" [2x — 1— (q— 1)(1— x) (a — l)x]Q\' HQ = 0,
x(x — l)Q" )-e (o ö)x|Q\' HQ = 0.
Uit de coëfficiënten der hoogste machten volgt:
n(n— l) (e. o)/z H = 0

H = — n(/i e o — 1).

De differentiaalvergelijking voor Q is dus:

(23) x(x — 1)Q" ) — e (o o)x|Q\'~ «(«-f-e o— 1)=0.

Dit is de differentiaalvergelijking van de hyper-geometrische
reeks.

De oplossing voor Q is dus

Q_n = F (— n, n q -f- o — 1, q ; x), d. z. de Jacobipolynomen.

Is nu Qn=xⁿ PnXⁿ~^l . . .

dan is p_n uit de hypergeometrische reeks op te schrijven. Overi-
gens kunnen wij p_n ook bepalen door in (23) te substitueeren:

Qn —— x" -(- Pn x" ~~ ¹ -}-...

Qn\' = nxⁿ~^l (/i — \\)p_a x"-² . . .

Qn" =n(n- 1) x"-- (n - 1) (n - 2)p„ x""³ ...

Dan is de coëfficiënt van x^n_1:

J(n—l)(n—2) (e o) (/i—1)—#i(n e o—1) /I(/I—1)—_e/i=0.

Hieruit volgt:

„ — n(n e—\\)

^Pn~ 2n _e ° — 2\'

Wij hebben dus:

2n-\\~ e o — 2

Qfl-i =*«->-(n-l)(n g-2) _
2n e o — 4

Nu is ln=Pn— Pn-l,

dus

_(fl-l)(/i g —2) n(/z g-l)
2/i e o — 4 ~ 2n g o - 2

§ 14. De differentiaalvergelijking van Laguerre voor Q_n.

Substitueeren wij in de oorspronkelijke vergelijking:
x(x — l)ft\' — Kp— l)(x — 1) (o— l)x| ft g-f a — 1=0.

s = ï l
x

en

x x²

dan komt na herleiding:

(24) . . x(x— 1)1\'— Jfe a — l)x — _e =

De bijbehoorende differentiaalvergelijking voor Q„ is dan ook
te vinden door in de differentiaalvergelijking van Laguerre te
substitueeren:

L^=x(x—1) M = g -f- (1 — q — o) x.

Deze is

(25) x(x-l)Q" f-l—e (e a l)*IQ\'—n(rt _e o)=0.

Vergelijken wij deze met (23), dan blijkt, dat alleen g is ver-
vangen door 1, zoodat ook de geldende uitdrukking voor l_n te
verkrijgen is uit die van l_n door vervanging van g door £» 1, dus

-(n -\\)(n Q—\\) _ n(n Q)

2n Q o — 3 2/ï e o — l\'

§ 15. Kettingbreuken voor ft.

Wij hebben dus:

_(n— 1) (n -f~ 2) n(n Q-\\)

^ln - T^T"~2n e o-2-^ö2n-^{1 ü2}"-

_(n-l)(n g--l) /i(n g) _

2« C o—3 ~ 2/j -f- o -f- o — 1 \' ²" ^lr

/ n(n (f-\\) (fi l)(n g) _ \\

In — In — #2/i-l — #2/i l-

Un-\\)[n Q-2) (n-l)(/7 _P-l)
[2n Q o-A 2n e o—3

2n g o—2 2/2 0 0-1

De twee tusschen haken staande uitdrukkingen gaan in elkaar over
door tl te vervangen door /2 1, dus is op een constante na:

(n-\\)(n g-2) _ (n- 1) (n o - 1)
2n e o- 4 2/i 0 o — 3

___n — 1

(2h Q o — 4)(2n 0 o — 3)

j(/i _e-2)(2/i _e o-3) —(/i _e-l)(2/i _e o-4)|
(n-l)(n o-2)

#2/1-1 =

(2/z p o — 4) (2/i o o — 3)
Evenzoo is:

ln — ln l ⁼ #2/1 — #2n 2-
■(_W^1)(n-|._g-l) n(_ff-|._g—i)

2/i 0 o — 3 2/I Ö 0 — 2
n (// 0)

(n \\){n e)

dus op de constante na:
n Q— 1

#2/1 =

(2// Ö 0-3) (2H q O-2)

2n q o — 1 2n q o
){n-\\)(2n Q a-2)-n(2n e o-3)i

(n g — 1) (n g q — 2)
(2/2 0 0 — 3) (2/2 — 0 n — 2)

Nu volgt uit de eerste a\'s weer gemakkelijk, dat de constante
gelijk nul is.
Hieruit volgt de correspondeerende kettingbreuk:

-II e o (g ₀)(e Q i)l
i |

2 (o 1)__|

(p o 2)(e q 3)|

of ook

^{( >} \' lx |o o Ke a l)* I (g ^ 2)

2(o l) | (e 2)(_e a l)|
|(_? a 3)x | e o 4

Door contractie is hieruit de geassocieerde kettingbreuk te ver-
krijgen, dan is nl.

In — tf2n-l -f- 02n
k_n = — Ö-2/1-2 - - 02n 1-

en de kettingbreuk is hierdoor bepaald.

HOOFDSTUK III.

Toepassing op de vergelijking:

x{x~\\)(ax—\\)St\' —
-)(Q-\\)(x-\\)(ax-\\) (o-\\)x(ax-\\) a(z-\\)x(x-\\)\\Sl-\\-

Ax B = 0.

§ 1. Opstelling der vergelijking voor Si.

In alle gevallen, waarin in de vergelijking:

LSI\' m -f- N = 0

L hoogstens van den 2^dcn, M hoogstens van den l^sten graad is,
is Cl constant. Dit is niet meer het geval, wanneer wij thans voor
L en M polynomen, respectievelijk van den 3^dcn en 2^dcn graad
nemen.

De vergelijking (1) van blz. 3 is thans:

(x — a)(x — b) (x — c) SI\' -f (lx- -f- mx n) SI N = 0.
Substitueeren wij hierin:

x = a-\\-(b — a)t, dus x — b = (b — a)(t— 1)

dx — (b — a) dt,

dan is:

\\l \\a (b - a)t{" m)a (b - a)tl /i]ft N = 0.

Stellon wij = a, dan is.de vergelijking te schrijven in

den vorm:

t(t— 1 ){at — 1)51\' —

waarin:

_ la² -f- ma -f n _ lb² -f- mb -f- n _ _ lc² -f- /tzc -f- n
^e~ (a — b)(a — c)\' ° (b-a)(b-c)^,T~ (c-a)(c-by

Nu is in § 4 Hoofdstuk I bewezen, dat wanneer L en M zijn
van den 3^den en 2^den graad en aan de vergelijking een Stieltjes\'
integraal voldoet, N een polynoom is van den l^sten graad.
Wij gaan dus uit van de vergelijking:

(1)......x(x — \\)(ax— —

—l)(x_l)(ajc-l) (a-l)x(ax—l) a(r—1)jc(jc—

Ax B = 0.

Wij willen dit geval beschouwen als een uitbreiding van de
toepassing C van Hoofdstuk II.
Terwijl men vroeger had:

L —x(x— 1)

M= — l(o - 1) (X - 1) (a - 1) x( ,
heeft men thans:
L = x (x — 1) (ax — 1)

M = — ) (p— 1) (x— 1) (ax— 1) (o— 1) x(ax— 1) a(i— 1 )x(x— 1) (.

Voor t= 1 zijn L en M beide deelbaar door ax— 1.
Wij wenschen nu, dat voor t = 1 het oude geval te voorschijn
treedt. Wij zullen daarom de grootheden A en B eerst later
bepalen, in verband met de constante van de Stieltjesintegraal.

§ 2. Oplossing door een reeks naar afdalende machten
gerangschikt.

In (1) is:
L = ax³ — (a -f- 1) x² -j- x.

M=(3 — q — o — t) ax² fafe T — g o — 2|x l— q
Stellen wij:

00 _r
1 X"

dus

dan wordt (1)

1 A.

4. [(3 - _e - o - t) ax- \\ a (q z-2) -\\-q o-2| x 1 - q] l

1 xⁿ

Ax B = 0.
Gelijkstelling der coëfficiënten van x, x° en geeft:

voor x: — aq 4* (3 — q — o — r) aq -{- A = 0,
of wel A = (^-j-ö-j-T — 2) aq.

Voor x°:

—2uc,-H«4-1 )q (3-e-o-t)ac₂ ! a(o T-2) g o-21 q B=0
of:

B iafe T- i) _{e a}- liq —(e o T —l)ac2 = 0.

Voor —:

— (n 1) ac_n i n (a 1) c_n — (n — 1) (3—o—t)ac„ i

  e    cn—l = 0

of wel:

(2) —(« e-2)c_n_i |a(« t) r —2) « _ö o —2} c_n —

— (/i Q o T — 2) acn i = 0

als recurrentc betrekking tusschen elke drie opeenvolgende c\'s.

Voeren wij nu een c₀ in, zoodanig, dat deze betrekking ook
geldt voor c₀, q en c₂, dan moet

— (o — 1) co 4- I « (<? t -1) 4- q 4- o — 1 j q— (e4-a-fr—1 )ac₂=0
In verband met de boven opgestelde betrekking tusschen B,

q en c₂ volgt hieruit:

B = -G?-l)c₀.

Wij vinden dus:

(3) . . . N(x) = (e o4-T-2)aqx-(<?-l)co.

§ 3. Oplossing door een Stieltjes\' integraal.

In (1) is:
L = x(x— l)(ax— 1),

M=— |(o— l)(x—l)(ax—l)H-(a— l)x(ax—l) «(r—l)x(x—1)(.

Dan is:

m(-x) = e ^jL =e ^{x x}~^{1 aX}-¹ \'

dus

m(— x) = Cx^~¹(x — ïy-^ax—iy-¹.

of

m(x) = C (— x)«?-i (~x — I)⁰-¹ (— ax — l)^T~\\

Als grenzen voor de integraal kunnen wij nemen — 1 en 0.
Men vindt dus voor ft

Jt=Cƒ*(—_du
J x-\\-u

0

« = C f-\'fr-1)—_rfD
/ X — u

0

of als wij stellen:

C = (— l)^öfTC\'
ft=c f^a-uy-ig-auy^ _du

J x — u

0

Voor t = 1 moet ft overgaan in de Stieltjes\' integraal (22)
blz. 39. Dus is

_r,_ r(_e o)
~~rfe)r(o)

en dus

(4). . « = [•""-(\' ~ ">\'-\'(\'

r (o) r (o) I x — u

0

§ 4. Bepaling van de coëfficiënten van de reeks voor ft
(/oor middel van uitgebreide bêtafuncties.

Er bestaat altijd een verband tusschen de constante, optredende
in de Stieltjes\' integraal, en de functie N(x). De betrekking, dit
verband aangevende, is te vinden uit de vergelijking:

Lft\' -j- Mft -f N = 0.

Nu krijgen wij voor ft\' na differentiatie\'en partiëele integratie,
waarbij het geïntegreerde stuk wegvalt:

^r-tw>)i ^rffl--^-^x

O

X \\)(u— \\)(au — l) (o— \\)u{au— l) (t— \\)au{u— l)j.
Gaan wij thans $ en St\' substitueeren in de vergelijking:

dan komt er:

r(£? o)

*

— x{ax - 1) (a— 1) fduifi~¹( 1 — «)"-²(l — au)*-¹ —
o

— x(x— l)a²(i — 1) fduue-¹^ — u)°-^l(\\ - au)*-².

o

Wij zien hierin telkens optreden integralen van den vorm:
j duuP-¹ (1 —u^-^l—auy-¹.

0

Wij voeren daarvoor in:

(5) . . B (p, q, r) = [du u? ~¹ (1 — u)"~¹ (1 — au)^r~¹

o

en gaan deze bestudeeren voor p, q en r> 1.
Nu is

,_P| ,,1-r , (i-_r)(2-r) „ o , (\\-r){2-r)(3-r) ,, ,,
(1 — «u)^r-1=H—-au -—^M a²ü² -" -\'a³tf⁸ ...

1 1 • M 1 « M • J

(Deze reeks is convergent voor |«| < 1, want reeds is |m| < 1),
dus

B(p,q_tr)=B(p,q) ^]^^raB(p ]_>q) ^{~^²~^a²B(p 2,q) ...
Nu is

B(P 1, q) = ~^_rgB(p, q),

dus:

o/₀ n r)-._{Bln a)} j₁ (1 -r)p_a , (\\-r)(2-r)p(p 1) , 1
B(p,q,r)—B{p,fl j l YjJ ïf \\.2.(p q)(p q \\f

of

y

(6) . . B(p, q,r) = B(p, q)F(\\-r, p, p q, a).

Dan is dus:

N(*) = ^±^[-(x-l)(ax-l)(e-l)Bfe-l,a_ft)
x(ax—l)(a —l)B(g,a —l,r) x(x —l)a²(r—l)B(e,o,r —1)].

Aangezien N(x) van den l^sten graad is, moeten alle termen
met x² wegvallen. Dus moet:

(7) (e—l)B(o—1,ö,t)—(o—1)B(o,ö—l,r)—a(r—l)B(o,o,r —1)=0-
Aan deze betrekking is voldaan, aangezien:

Jdlu?-¹ (1 —u)°-¹(l — auy-¹l=0 (p> 1, o> 1)

o

of:

(e— 1) au)*-¹—(o-l) — u)^a~²(l — auy-¹-

0 0

— a (r — 1) Jtfi~^l (1 — ü)"-¹ (1 — auy-°~ = 0,

waaruit (7) volgt.
Wij vinden dus:

N(x) = [?(« O (g ~ 1) B (g - 1,0, t)-

—(o—l)B(p,a-l,r)-a²(t — l)B(g,a,t-l)|x—(q—1)B(o—1,o, t)].

Nu kunnen wij volgens (7) B(g, o, z—1) uitdrukken in
B (q — 1, o, r) en B (g, o — 1, r).
Dan is:

N(x)=^|i^[Hg-l)B(o-l,a,r) (a-l)(a-l)B(₀,a-l,t){x-

— (e — i)B(e-1,0,1)1.

Aan den anderen kant is:

N(x) = (g o i — 2) a^x — (e\'-p l)c₀,

dus is:

r (g n> ( 1 ^

en

dus is volgens (6)

(_{e 0 T}_2)ac₁==i^M_1{e_₁₎B(_e_i,0)F(l-r,_e-l,_{e 0}-l,a)
(a_l) (a-1)B(e, a-1 )F(1 -r,q,_e o-\\,a)\\

_r(e o) r(e)r(o)

- rfejrfö rfe «-D^{1 F(1_T}\'\'^{e a}~^h\'^a)

(a-l)F(l-r, _e,_{e 0}-i,a)j.

Nu geldt in \'t algemeen:

(8) F(a, (J,y,z) (z- 1) F(a, /? 1, y, z) = ^zF(a, /?-f-1,_r 1. z),

y

gelijk gemakkelijk uit de coëfficiënten van z°, z en zⁿ (voor n>2)
is aan te toonen.
Passen wij dit toe op

F(1 — T, g — 1, e 0— 1, a) (a— 1) F(1 — r, g, g o — 1, «)

dan verkrijgen wij:

_r(g o) r(e)r(o) _e-{-q t-2 _rno,„„x
(e O T- 2) q -J^yp^ _{r(e ö}__{1} e a}__x F(1 -r,Q,Q o,a)

dus

Ci = ^B (e» ^F 0 —^T» e» e °> ^a)

Vergelijken wij deze uitdrukking van q met die van c₀

dan zien wij, dat alleen in de B-functie p vervangen is door q — 1.

Bewijzen wij thans, dat ook algemeen geldt:

.....

Wil dit juist zijn, dan moet volgens de recurrente betrekking
(2) tusschen de c\'s, ook waar zijn

- {n Q - 2) B (fi _e - 2, o, i)
|a(n e T-2) n e o —2{B(/2 e- l,o,i) =
= (" Q ^{0 T} — 2) «B (n 4- g, O, t)
of volgens (6):

— (n p — 2)B(n p — 2, o)F(l— r,n p-2,n p o— 2,a)
-J-fa(/z p r—2) n p o—2|B(n _P—l,o)F(l-t,n _p— 1,/2 p a— 1,
= (n P a T —2)aB(n p, o)F(l — t, n p, n p o, a).
of:

— (n p o — 2) F (1 - t, n p — 2, n p o — 2, a)
ja(n p r—2) n p a-2| F(l—r, n p— 1, n p a— 1, a) =

(n p o r— 2)(n p—1) _CM , , , v

= _l „ i--^aF(l — t, n p,« p o, a).

n -f- p -f~ ⁰ — 1

Nu geldt algemeen:
(10) -y?{aj,y,z) )z(fi-a \\) y\\F(a, p \\,y \\,z) =

₌fr-« \'y i)_{gF(fl>/> 2>y 2tg)t}

y -f- 1

gelijk weer uit de coëfficiënten van z°, z en zⁿ (voor n> 2) is
aan te toonen.

Substitueeren wij in (10)
a = 1 — t, fi = n p — 2, y = n p o — 2, z = a
dan verkrijgen wij de betrekking tusschen

F (1 — t, n p — 2, n p o — 2, a),
F(l—t,/2 p—1,/ï p o—l,a)en F(1 — t, n p, n p o,a).

Wanneer dus de betrekking (9) juist is voor c_n-i en c„, dan
is zij dit ook voor c„ i. Nu geldt zij voor c₀ en c_lf dus voor
alle c\'s.

Laten wij ten slotte zien, dat de waarden van c_n overeenkomen
met die van de Stieltjes\' integraal.

Nu is:

J_ ₌ 1 1j.^u4

X — u x X² X^{3 1} \' \'
dus is de coëfficiënt van x~ⁿ in

r(_f)r(o)J x — ii

0

_c„ = f fu»™-* (1 - uy-i (1 - auy-idü,

o

- -^{r(p 0)}B(n p-l,a,r)

^r(p) ^r(°)
in overeenstemming met (9).

* Uit c„ en c_n i is te vinden r„ = ^{Cn 1} ■

Cn

Dan is nl.:
_ _ B (n p, o, t) _
" B(/z p-l,o,r)-

B(/z p, o) F(1 — t, n p, n p o, a)

B(n p-l, a)F(l-r, n p-1, n p o-l,«)\'

Nu is

n -j- p o — i

dus

_(U\\ £n±i__r _ n P— 1 F(1 — T, n -f p, n _P -f o, a)
¹ \' c_n /2 p o-l F(l-r,/z p-l,n p o-l,«)\'

§ 5. Bepaling van het polynoom ü_n.

In Hoofdstuk I § 4 en 7 hebben wij bewezen, dat de graad
van 12„ gelijk is aan 1—2 of m — 1. L en M zijn hier respec-
tievelijk van den graad 3 en 2. 12„ is dus van den l^s,en graad.
Het polynoom 12,, kan aldus worden voorgesteld:

(12).......n_n=g₀x g_v

Trachten wij thans de coëfficiënten g₀ en g_l te bepalen.
De eerste gebroken vorm, door welken wij

kunnen benaderen is:----¹--

Co

x--—

Cl

Wij gaan nu 12, uitrekenen:
Steeds is (zie Hoofdstuk I § 2)

£l„ = L (Q„P„\' - P„Q„\') -f- MP„Q„ NQ„².

Nu is

Pi = q Pi\' = 0

^li

terwijl L, M en N de waarden hebben zooals in § 2 is aangegeven, nl.:
L = ux^!! —(« 1)JC- JC.

M = (3 — p — o — r)ttX² )«(p t — 2) p-f o — 2(JC 1— p.
N = (p -f o r — 2)«c, x — (p — l)c₀.

Dan is dus:

₌ — J</x^s — («

[(3-p-o-T)ax* {a(p T-2) _l> o-2\\x \\-p](c₁X-C₂)

( q )

Nu is Q_n van den l^sten graad, dus moeten de coëfficiënten
van x³ en x² gelijk nul zijn.
De coëfficiënt van x³ is:

— uc_x uc_x (3 — p — o — i) -{- «Ci (p ° ^T — 2) = 0.
De coëfficiënt van x² is:

(cc 1) c_x — ac₂ (3 — p — o — r) -f-
{«(p-f-r —2)-f p ö —2|Ci —2(p ö-|-t —2) «C₂ (l — p)c₀

of

-(p_l)_Co Ja(p z-l) p a-l}c₁-(p-|-a T-l)_ac₂=0
zie (2) blz. 47.
De coëfficiënt g₀ van x is:

go = — Ci— I«(p t - 2) p a — 2 È C₂ (1 — p) c_x
(_{p a} z-2)«^- - 2 (1 - p)

Nu is c₀ uit te drukken in c_x en c₂. Wij vinden dan:

(13) go = c₂\\-p±- i«(p T) p a\\-(p O

Ten slottë vinden wij voor den bekenden term:

c ²

Si = — c₂ (1 — p) (1 — p) c₀A

^ci

of bij vervanging van c₀ door c, en c₂

(14) gi = J (p-l)-l«(p-j-r-l)-fp o-n^ (n o T-l)«^

^ci ^ci

Deze beide waarden van g₀ en g_x houden ten nauwste ver-
band met de recurrente betrekking (2). Merken wij verder op,
dat een factor ƒ in £2 geen invloed heeft op de differentiaal-
vergelijking van Laguerre. Afgezien van dezen factor ƒ, zal dan
waarschijnlijk algemeen gelden:

(15) _&=-(n p-l)^ Èa(n * T-l) n p o-li-

\'n

— {n 4- P a 4- T — 1) ar„.

(16) ₅-₁ = (n p-2)-ia(n p4-T-2)4-n4-p o—2|r_n

(n p4-o t —2)«r„²

c_n 1

waarin r„ = ——•
c_n

Voor \'t bewijs zie men de volgende §.

De waarden van g₀ en g₁ zijn ook anders te schrijven, bevat
nl. den factor cc, terwijl g₁ expliciet geen a bevat, doch alleen
in de r grootheden afhankelijk is van «.
De waarde van g₀ kan aldus geschreven worden:

go = 7— [— (n p — 1) «(n 4- p 1—1 )-f n p o—1 |c_n i—

t-n-f-1

— (n-fp a4-r— 1 )ccr_n\\.
Volgens vergelijking (2) kan men hiervoor schrijven

go = (» P ⁰ * — 1) ^acn 2 — [n p o 4- t — 1) ar_n

wi 1

(15\') . . . g₀ = (n p-\\-o-\\-x— l)(r_n i — r„)a.
Evenzoo heeft men:

ifi⁼ (n4"P — 2) —^r-~ [{a(n4-p t-2)4-n4-p4-o-2|c_fl4-

Ln

(n p o r-2) aCn i] = (n p-2) —^rf- (n p -2) c_n_i.

t-n

(16\') .... & = (n p-2)(l--^_).

§ 6. Bepaling van het polynoorn H_n.

Uit Hoofdstuk I § 4 en 7 volgt, dat H„ thans van den 2^dcn
graad is.

Verder hebben wij in § 7 bewezen, dat

ho = ng₀\\m₀—(«4-1)/₀|

zijnde /i₀, /₀ en m₀ de coëfficiënten van de hoogste machten in
H„, L en M.

Nu is l₀ = « en m₀ = (3 — p — 0 —- t) «,

dus /2₀ = — n (n p -f o -f t — 2)ag₀.

Het polynoom H_n is dus:

(17) . H_n = -n(n _q o r-2)ag₀ h₁x h₂.

De coëfficiënten van H_n zullen wij bepalen door weer eerst
na te gaan H_r

q

Wij weten nl., daty = x--- een oplossing is van de diffe-

^ci

rentiaalvergelijking van Laguerre voor n= 1.
De differentiaalvergelijking van Laguerre is:

(18 )......py" qy\' ry = 0,

waarin:

p=\\axⁱ — (a l)x² xj (£b* £ï)>

— {ax³ — (a l)x² xj g₀,

r = h₀x²-\\-h₁x h₂.
Nu is

y = x——, dus y\' =\\, y" = 0,

dus q _r(x-^j = 0.

Dit geeft:

_ |_aX3 _ _{(a 1)X}2 _{xigQ (/?oX}2 _hxX ffi =

In deze vergelijking moeten dus de coëfficiënten van x³, x²,
x en x° gelijk nul zijn.

Dit geeft:
(o o t) ag₀ — ag₀ -f h_Q = 0,

ö _T) _ag_x — {a (q t) q a\\g₀ (« -f1 )g₀—li₀^ //, =0,

c ¹

— (e *) q — ego -go-\'hf h = 0,

Qgx-h 2^ = 0-

Deze vier vergelijkingen zijn voldoende om de verhouding der
coëfficiënten g_0t g_lt h₀, h_x en h₂ te bepalen. Daar echter g₀ en g_x
reeds bekend zijn, laten we de derde vergelijking achterwege.
Overigens zij opgemerkt, dat als men h₀, //, en h₂ elimineert, men
een betrekking tusschen g^ en g_x verkrijgt, waaraan voldaan is.

Voor h_0> h_lt h₂ vinden wij:
h= — (o ö t— \\)ag₀,

(19) — «   ja(e T- D e a— ïlsb —

— (_e o T— \\)ag₀^>

(20) h₂ = _Qglf- ^ci

Co

Nu is de algemeene waarde van h₀ bekend volgens (17).
In verband hiermee stellen wij op de algemeene waarden van
h_x en h₂, nl.:

(21) . . . h₀ = - n(n e-{-a-t-T — 2)ag_0>

(22) . . . /ï_{1 =} -n(/7 _? a r — 

-f/7fa(/2 o-fr — 2)-{-/i _e-j-o — 2|g-₀ —«(n e o-f- r—2)ag₀r„,

(23) . . . h₃ = n{n Q-l)_gl-L

rn

h₀ bevat den factor a², aangezien g₀ den factor a bevat.
h_x bevat den factor «, hetgeen aldus is in te zien:

/»i = — n (n q o t — l)ag_l

\\\\a{n-\\-Q r—:2H-/2 0 O—2| c„ — {n Q-\\-o-\\-r—2)ac_n i],

c_n j

^ = — _n (n e o t — ng₀—{n q — 2) c_n-i,

Cn j

//, = — n {n q -f o r —  n(n q — 2)g₀---

\' n—1

g₀ heeft den factor a, g_x niet, //, heeft dus ook den factor a.
li, bevat geen a.

Wij zijn nu in staat om h_0t h_l} h₂ in de grootheden r uit te
drukken. Dit geeft:

(21\') /2₀ = — /2(/2 e-f a-f t — 2)(/2 £? n r — l)(r„_fi — r_n)a\\

(22\') h_x = - n(n _e ° *- D in e~ 2) (l -

(23\') /2, = - n (n _e ~ >) (* e ~ 2) [-¹--

\\r_n-i r_n/

§ 7. Bewijs voor de juistheid der gevonden waarden
voor Q_n en H_n.

Gaan wij na, wat de waarden van g₀, g_lt h_0t //, en h₂ in de
vergelijkingen (15\'), (16\'), (21\'), (22\') en 23\' worden in de drie bij-
zondere gevallen r=l, a = 1 en a = 0.

R T=l.

Uit (U) volgt: ^ =
Verder is:

ao

^0 = 7X7X7-T

n-\\-g-\\-a — 1 /2 P ö— 1

h₀ = — na²a h_x = 2naa h₂ = — na.

Dan is

a=go* gi = _{ff g g}_₁(«*-i)

H = V² h₂ = — na (ax — l)².

Voor N(jc) volgt uit (3) en (9): (g a — 1) (ax — 1).
De vergelijking (1) is dan deelbaar door ax— 1 en wordt:

x(x— 1)51\' — Kff— O (x — l) (o — 1)*J ft g a— 1 =0.

De vergelijking (18) is dan deelbaar door (ax—l)² en wordt
na herleiding:

x(x-l)Q\'^/ |-g (p o)x(Q\'-n(n g a-1)Q = 0.

Deze vergelijkingen komen overeen met die van H. II toe-
passing C, gelijk het geval moest zijn.

2^e. a = 1.
Nu is altijd:

(24) F (a 8 y 1) = r(r) r(y - « - fl .*)

IMJ . . . r (a, p, y, ij _r(y _ _a) _ ^

Uit (11) volgt dan:

_r _ n-fg-1

in -

ⁿ~ n e ° t — 2\'

terwm _Cn = r(_g Q)r(o r-l) _Vin g-l)__

terwijl c„ ï»r» r(n e ^ T-2)

Verder is:

_ o -f- T—1 __a -J- T—1

^""n e o T — 2\' ^^ir~~n g;-t-o-|-T —2\'
/2₀ = — n(o T— 1), h_l = 2n(a-\\-z— 1), h₂ = —n(o r —1).
\'Dan is

Q = ,^{P T}~¹ , (x—1).
H= —n(o i— l)(x — l)².

\') WHITTAKER, Modern Analysis, § 136, p. 241.

Voor N(x) vinden wij:

rfe o)r(g T-i) ,

rfe)r(p o t-2)^{vx l)}\'

De vergelijking (1) is nu deelbaar door x—1 en wordt:
x{x— P\'-|(o-l)(x-l) Ht-2)x|S

r(g «)r(q T-i)_

Vergelijken wij deze vergelijking met (17) van H. II, waarin o
vervangen is door o-f-r—1, dan blijkt dat van deze vergelijking
de oplossing gegeven kan worden door de volgende Stieltjes\'
integraal:

_ft_ i r(_g o)r(o T-i)

g o t—2 r(o) r(o o T—2)

_x r(g o r-i) _dsj

r(e)r(a r — 1) J x — U

0

of

^r(e)^r(°) J x — u
0

en deze laatste komt overeen met de Stieltjes\' integraal, die wij
verkrijgen door in (4) u=l te substitueeren.
De vergelijking (12) is deelbaar door (x — l)² eu wordt:

*(*_!) Q" J(e o T-l)x-_e|Q\'-/i(n _e o r-2)Q=0.

Dit is in overeenstemming met de vergelijking (23) van H. II,
wanneer wij weer o vervangen door o -f- r— 1.

3^e. a = 0.

Dan is

n Q - 1

\'n —

n q -f- o — 1

o

tl -f- Q -j— O- 1

/?₀ = 0 h_x = 0 h₂ — — na.

De vergelijkingen (1) en (18) gaan dan over in de vergelijkingen
(17) en (23) van H. II.

De gevonden waarden van g₀, g_v h₀, en h₂ zijn dus juist
voor n = 1, a = 0, a — \\ en i=l. De waarde van 9._n kan
dus van de gevondene alleen verschillen door een term van den
vorm

a(a — 1) (t — 1) (/i — 1) x.

Wij zullen nu bewijzen, dat deze term niet kan bestaan.

Nu is altijd

of:

r(o-j-a) r(n e—1) _c/l . , . . , .

Is x geheel en positief, dan is c„ een polynoom in a van den
graad t— 1. Dat c_n in \'t algemeen in a van den graad t—1
is, blijkt wanneer wij letten op de Stieltjes\' integraal voor ft

r(g o) fiifi-Hi-uy-Hi-auy-i

r(g)r(o) J x-u

0

waarin (1 — au)^x~^l voorkomt.

Is nu evenals in § 3 v. H. I

P_n = a₀xⁿ ajX"-¹ ... a_n-ix a_n,
Qn =Po*ⁿ A*"-¹ • • • Pn-xX Pn
en nemen wij voor een functie van den graad nul in «, dan
zijn volgens de vergelijkingen, die de a\'s en /J\'s bepalen, alle/3\'s
van den graad nul en alle a\'s van den graad t—1, waarbij,
aangezien .wij hier met een Stieltjes\' integraal te maken hebben,
steeds a₀ = 0 is.

Dan is dus

P_n van den graad r — 1 in a,
Qn „ n » nul » a.

Nu is steeds:

ƒ = L (Pn\'Qn - P„Q„\') MPflQn NQ„².

Aangezien L en M van den eersten graad in a zijn, zijn
L (P_n\'Q_n — P_nQn\') en MP„Q„ van den graad r in «. Dit is ook
het geval met NQ„², omdat Q„ van den graad nul in « is en N
van den graacj r.

fil_n is dus ook van den graad r in a.
Kiezen wij nu voor ƒ een functie van den graad t—1 in a,
dan is 12„ van den eersten graad in a. Quadratisclie termen in
a kunnen dus niet optreden, de factor X van den bewusten term
moet dus nul zijn en hiermee is aangetoond, dat de gevonden
waarde van 12„ juist is.

Wij moeten thans nog bewijzen, dat ook H geen correctieterm
kan hebben.
Nu is: 12 = g₀x g_x,

waarin g₀ den factor a bevat. « komt dus voor, gecombineerd
met X.

De vergelijking van Laguerre is:

L12Q" [(L\' — M) 12 — L.Q\'] Q\' -f HQ = 0.

Hierin zijn de verschillende termen quadratisch in a, en wel
blijkt uit de waarden van L en M, dat ook daarin steeds « ge-
combineerd met x optreedt, hetgeen ook het geval is met de
verschillende termen Ll2 en (L\' —M)l2 — L12\'. Dan moet dus
ook in H elke a met een x gepaard gaan, dus a² met x².

Nu is echter de juistheid van de coëfficiënt /z₀ van x reeds
bewezen, waaruit volgt, dat ook H geen anderen term heeft.

§ 8. De differentiaalvergelijking van Laguerre voor Q„.
De differentiaalvergelijking (18) wordt thans:

(25). . . |ax^a-(a l)x² x!teo* ir,)Q"

HG? ö «*² — (a (9 ^T> Q * ei (go* gi) —
- è«x³ - (a l)x² x\\g₀) Q\' (//₀x² h_lX h₂)Q = 0.

Stellen wij nu:

Q„ =x" /?„xⁿ-¹ ...
dus Q„\' = nx"-¹ (/i — 1 )/;„xⁿ"² ...

Qn\\= n (n - 1) x"^—2 (n - 1) (n - 2)p_nx"~* ...

dan geeft substitutie in (25) en gelijkstelling van de coëfficiënten
der gelijknamige machten, \'t volgende:

De coëfficiënt van is nul volgens het verband tusschen
g₀ en h₀, zie (21).

De coëfficiënt van x^¹ geeft:

n(n — 1) \\ag_l — (a 1)^₀| (n — 1) (n — 2)ag₀p_n
n [(<? o t) ag_x — | a (q 1) _e a (g₀ (a 1) g₀]

(n — \\)p_n \\(Q o T)ag₀-ag₀\\-{-h₁ pnh₀ = 0

of:

nag^n Q o r—1)—^{(/z e-fr—2)a-{-n Q a—2|- -/z_x=
= —pn f(n — l)a5-o(n e o T — 3) h₀\\.

Nu kan men in \'teerste lid h_x elimineeren, daar deze afhangt
van g₀ en g_x volgens (22), evenzoo in het tweede lid h₀.
Men verkrijgt dan:

— n(n e ö t — 2) ag₀r_n=p„ag₀ (2n q a t — 3).
Hieruit volgt p„, nl.:

(26) .... p_n = — n \' ƒ \' \' -= r„.

2n -f- q -f- o -f- t — 3

Voor t = 1 wordt dit:

Pn = — tl - \', \',-=—r-t-A-ï zie blz. 53 (11)

n e— 1

= — n.

2n-\\-Q o — 2

in overeenstemming met de waarde van p_n in toepassing C

H. II, blz. 41.

.... • n Q ° ^T — 2

Uit Pn = — n \' ¹ \' \' --r„

2n q a z — 3

volgt p_n_x = — (n — l)r_n-i

en hieruit de grootheid I„ uit:

q„ = (x -f /„) qfl-1 -f knQn-2 ,
nl. In = Pn — Pn-1-

dus

(²⁷) \'n-(n-l)_{2n e 0 J}_₅ r_n_! - „ ~- _e -_o__|-—

§ 9. De differentiaalvergelijking van Laguerre voor Q„.
Gaan wij in de oorspronkelijke vergelijking (1) substitueeren:

X

dus

x x³

dan wordt deze:

of na vermenigvuldiging met x

x(x— 1) (ax— 1) JT — (x — 1) (ax — 1) (ft c,) —

-i(₀-l)(x—l)(ax—l) (a—l)x(ax-l) a(r-l)x(x—1)|X
X (I c,) (o o T—2) ac_xx²— (e—1) Cox = 0,

of

x(x — l)(ax— 1)51\'— ]e{x— l)(ax— 1)

(o— i)x(ax-l) a(r— l)x(x— 1)| tf N=0.

Hierin is:

N = — c, \\e(x— l)(ax— l) (o— l)x(ax— 1)

a(r-l)x(x-l)-(G o t-2)ax²!-(o-l)c₀x

of

N = [)(e4-* — i)a e o— ij_Cl_(p_ i)c₀]x — ec_x.
Aangezien c₀, q en c., samenhangen volgens de recurrente be-
trekking (2) vinden wij:

(28 ).....N = (e-{-0-{-t — 1) «cox — pcj.

De vergelijking voor Jt is dan:

(29) x (x — 1) (ax — 1) II\' - |q(x — 1) (ax— 1) (o — 1 )x(«x— 1)
«(r— l)x(x — l)j il-{-(o 0-f T— l)ac₂x — ^ = 0.

Vergelijken wij deze vergelijking met (1) in verband met (3),
dan blijkt, dat q is vervangen door q 1 en de indices van de
c\'s één hooger zijn geworden. Deze verhooging van de indices
van de c\'s kunnen wij ook verklaren als gevolg van de vervan-
ging van £? door e -f- 1.

Volgens (9) is nl.:

Vervangen wij hierin g door g 1 en noemen we dit c_n,
dan is:

r"(e ⁰ 1) o/ i \\

of

Q ^{0
= Cn l}-

Onze vergelijking (29) is nu aldus te schrijven:
x(x— 1) (ax — 1)1\'— \\g(x — l)(ax— 1) (o — l)x(ax — 1)

ft moet dus den factor —^— bevatten. De oplossing van de
vergelijking in reeksvorm is dan:

Q -}" O i X i X"

waaruit blijkt, dat ft uit ft kan ontstaan door de indices één te
verhoogen. Dit is trouwens in overeenstemming met het boven-
genoemde verband tusschen ft en ft, nl.:

« = I±S.

De factor —y— in ft heeft wel invloed op de tellers, doch niet

Q O

op de noemers van de komende kettingbreuk. Dit blijkt ook hier-
uit, dat r_n dezen factor niet bevat. Wij hebben n.1.:

- _C_n 1 _ Cn 2 _ ^

r_n — -=— — -— — r_n 1.
c_n ^C" l

Door de vervanging van g door g -fr 1 zijn wij in staat om
dadelijk de differentiaalvergelijking van Laguerre voor Q„ op
op te schrijven en de samenhangende grootheden p_n en /„.
Dan is

(30) ln-{n- 1) _{2n e 0 x}_₄ rn - n 2Ï _{e 0} ._₂ r_n «

vergelijk (27).

§ 10. Kettingbreuk voor SI
Wij hebben dus:

-in 3 fl g H-T-2 _ ,

-In i\\ⁿ g g T—2 __ , _

fl g fl r—2 , . —1 i

= ⁿ2n e o T-Z^rn ~^{{n ]} }2^ _e a r -1^{rn 1 = Ö2rt 1 a2n 2}\'

Hieruit volgt:

In — In — Ü2n-1 — Ü2n l-

Dan is op een constante na:

«1U (n 2 n g o T—3 |

(31) fl_2n_i—(ff 1) ~ 2n-j-g-l~o-j-T—5 1

n > 2).

Evenzoo is:

In — ln 1 = O\'s« — Ö2n 2

en is dus op de constante na:

^^(n g a r- -_{2n g} "_{o t}_₃jr_n