iü

Bilineaire congruenties van
kubische ruimtekrommen.

* MgK w\'o-\'<>. i.\' • -

• - . i . \' " -
■ V,

■ v-■■■■■■",-\'■■■\'.

MS -

J. de Vries.

\\

Bilineaire congruenties van kubische
ruimtekrommen.

lineaire coirneities vau Mscïe rnimtekrommen.

PROEFSCHRIFT

ter verkrijging van den graad van

Doctor in de Wis- en Natuurkunde

aan de Rijks-Universiteit te Utrecht

op gezag van den rector magnificus

Dr. P. H. DAMSTÉ

IIOOGLEERAAR IN DB FACULTEIT DER LETTEREN EN WlJSBEGHKRTK

volgens besluit van den senaat der universiteit

TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE

Faculteit der Wis- en Natuurkunde

te verdedigen

op Woensdag 2 Mei 1917 des namiddags te 4 uur

DOOR

JAN DE VRIES

geboren tc Kampen

Electr. drukkerij «de Industrie» J. Van Druten — Utrecht

• •\'- ■ \'V :
• ■

■ -

■ V : ; •■\'< ■ \'

:,; •. . ■ • \' \' \' ^: Ti \' : :■ \' ■ v

V.-. < ■>. ; ; H \'

aan mijne ouders.

Aan liet einde mijner academische opleiding betuig
ik U, Hoogleeraren van de Faculteit der Wis- en Natuur-
kunde mijn dank voor het onderwijs, dat ik van U mocht
ontvangen.

In het bijzonder geldt die dank U, mijn Vader en
Promotor, vooral voor de belangstelling, waarmede gij
het bewerken van dit proefschrift hebt gevolgd en voor
de hulp, die gij mij steeds bij het overwinnen van
moeilijkheden hebt verleend.

Ook U, Hooggeleerde Kapteyn, zal ik sleeds erkentelijk
blijven voor het vele, dat Uw colleges tot mijn vorming
hebben bijgedragen.

■

.

INHOUD.

Bladz.

Inleiding............... 1

Litteratuuroverzicht...........4

HOOFDSTUK I.

De congruentie van Reye.........6

HOOFDSTUK II.
De eerste algemeene congruentie van Veneroni . . 22

HOOFDSTUK III.
De tweede algemeene congruentie van Veneroni. . 34

HOOFDSTUK IV.
De derde algemeene congruentie van Veneroni . . 4G

HOOFDSTUK V.
Bepaling van" het aantal mogelijke soorten van
bilineaire congruenties..........50

HOOFDSTUK VI.
Bijzondere gevallen van de eerste algemeene con-
gruentie ..............62

HOOFDSTUK VII.

De congruentie van Stuyvaert........77

HOOFDSTUK VIII.

De congruentie van Sturm.........86

HOOFDSTUK IX.
De congruentie van Godeaux........94

....

•. . ■ . - ï \'

r ..... ■ ; ■

INLEIDING.

Zooals hekend is, verstaat men onder congruentie van
lcubische ruimtekrommen een tweevoudig oneindig stelsel
van ruimtekrommen van den derden graad. De orde
der congruentie is liet getal dat aangeeft, hoeveel exem-
plaren van het stelsel door een gegeven punt gaan, de
klasse het getal dat aangeeft, hoeveel exemplaren een
gegeven rechte tot koorde hebben.

Wanneer de orde en de klasse beide één zijn, dus een
willekeurig punt één kromme p³ draagt en een willekeurige
rechte koorde van één kromme p³ is, wordt de congruentie
bilineair genoemd. Wij zullen een bilineaire congruentie
van kubische ruimtekrommen door \\p³] voorstellen.

Een punt dat meer dan één exemplaar en dus oo¹
exemplaren der [p³] draagt, wordt singulier punt genoemd.
Wanneer de co¹ krommen p³, welke door een singulier
punt S gaan, een oppervlak van den graad k vormen,
heet S een singulier punt van de k\'^tc orde.

Onder hoofdpunten verstaat men punten, die aan alle
exemplaren der [/>³] gemeen zijn. Een hoofdpunt draagt
dus cc² krommen p^s.

Wanneer een rechte koorde is van meer dan één
exemplaar der [/r^l] moet zij koorde zijn van oo¹ krom-
men p³; zij wordt dan singuliere koorde genoemd.
Wanneer de quadratische involutie, die door de steun-
punten der krommen p³ op een singuliere koorde gevormd
wordt, parabolisch is (d. w. z. als alle paren der involutie
een gemeenschappelijk punt hebben), zullen wij de koorde
parabolisch singulier noemen.

De rechten, die door alle exemplaren der [/] twee-
maal gesneden worden, kunnen tot drie groepen gebracht
worden.

1°. De rechte verbindt twee hoofdpunten; zij wordt
dan door alle krommen p³ in twee vaste punten gesneden.
Zulke rechten noemen wij hoofdkoorden.

2°. De rechte gaat door één hoofdpunt; dit vaste
punt draagt cc² krommen p\'⁶, elk ander punt der rechte is
gemeenschappelijk punt van go ¹ krommen pⁱ. Een derge-
lijke rechte zullen wij parabolische hoofdkoorde noemen.

3°. De rechte bevat geen hoofdpunt; elk harer punten
draagt. co¹ exemplaren der [,3³]. In dit derde geval
zullen wij de rechte gemeenschappelijke koorde noemen.

De meetkundige plaatsen van singuliere punten duidt
men aan als singuliere lijnen (singuliere krommen en
singuliere rechten).

Een singuliere lijn van de fc\'^le orde is de meetkundige
plaats van singuliere punten van de orde.

De eerste publicatie over bilineaire congruenties van
kubische ruimtekrommen verscheen in 1868 van de hand
van Reye. In „Zeitschrift für Mathematik und Physik"
(deel 13) plaatste deze een korte mededeeling: „Ueber
Curvenbiindel dritter Ordnungwaarin eenige eigen-
schappen werden besproken van het stelsel van kubische
ruimtekrommen, welke door vijf vaste punten gaan.
Dit stelsel, thans bekend onder den naam van de con-
gruentie van Reye, werd later eveneens langs meet-
kundigen weg behandeld door R. Sturm en Zeeman, terwijl
Koenigs en daarna Stuyvaert deze congruentie met de
methoden der analytische meetkunde behandelden.

In 1886 vestigde Sturm in zijn verhandeling: „Ueber
Collineationen und Correlationen, welche Flächen zweiten
Grades oder cubische llaumcurven in sich selbst transfor-
mieren" (Mathematische Annalen, 26) de aandacht op
een congruentie van kubische ruimtekrommen, welke
een gemeenschappelijk osculatieviervlak bezitten.

Deze congruentie werd verder door Heinrichs, Doeiile-
mann en Stuyvaert behandeld.

Van groot belang waren de onderzoekingen van Veneroni.
In een uitvoerige verhandeling: _vSopra alcuni sistemi di
cubiche gobbe" (Rend. Palermo, 16, 1902) toonde hij aan
dat de bilineaire congruenties van kubische ruimtekrom-
men tot twee groepen kunnen gebracht worden. De eerste
groep omvat de congruenties, die voortgebracht kunnen
worden door twee bundels van quadratische regelvlakken,
welker bases een rechte gemeen hebben. De tweede groep
bestaat uit de congruenties, welker exemplaren basis-
krommen zijn van de bundels, die behooren tot een net
van kubische oppervlakken, waarvan de basis gevormd
wordt door een vast punt en een ruimtekromme van
den zesden graad en het geslacht drie.

In 1903 vond Ferretti (Rend. Palermo, 17) dat de
kubische involuties in het vlak tot drie groepen konden
worden gebracht. Twee dezer groepen kwamen overeen
met de involuties, welke door de algemeene congruenties
van Veneroni worden ingesneden. Daarna wees Veneroni
in 1904 (Rend. Inst. Lomb. 37) nog op een derde groep
van bilineaire congruenties van kubische ruimtekrommen,
welker doorsnede met een vlak overeen kwam met de
involuties van de derde groep van Ferretti.

Onder de verdere onderzoekingen over bilineaire con-
gruenties moet vooreerst het werk van Stuyvaert ge-
noemd worden. Deze behandelde in zijn Dissertation
inaugurale (Gand, 1902) de [/], welke twee hoofdpunten
en drie gemeenschappelijke koorden bezit en de con-
gruenties van Reye en Sturm tot bijzondere gevallen
heeft. Verder gaf hij in 1907 een uitvoerige analytische
behandeling van de tweede algemeene congruentie van
Veneroni (Buil. de 1\'Académie royale de Belgique, 1907).

Godeaux publiceerde in 1908 een mededeeling over
een congruentie met één hoofdpunt en vier gemeen-
schappelijke koorden (Buil. de l\'Académie royale de
Belgique, 1908). In tegenstelling met de verhandelingen
van Stuyvaert maakte Godeaux slechts gebruik van de
meetkundige methode.

Tenslotte noemen wij — als vertegenwoordiger van
Nederland — Prof. Jan de Vries, die o. a. een kubische
transformatie aangaf, waardoor de congruentie van Reye
op een stralenschoof wordt afgebeeld (Vers). K. A. W. 17)
en drie bijzondere gevallen van de eerste algemeene
congruentie van Veneroni langs meetkundigen weg onder-
zocht (Versl. K. A. W. 23).

Litteratuuroverzicht.

K. Doehlemann: Zur Theorie des Nullsystems. (Jahres-
bericht der Deutschen Mathematiker Ver-
einigung, 3).

G. Ferretti: Sulla generazione delle involuzioni piane
di classe zero ed uno. (Rend. Palermo, 17).

L. Godeaux: Sur une congruence linéo-linéaire de
cubiques gauches. (Bull, de l\'Académie
royale de Belgique, classe des sciences,
N°. 5, 1907).

-: Nouveaux types de congruences linéaires

de cubiques gauches. (Nouvelles Annales
de Mathématiques, Paris, 1909).

E. Heinrichs: Ueber den Bündel derjenigen kubischen
Raumkurven welche ein gegebenes Tetrae-
der zum gemeinsamen Schmiegungste-
traeder haben. Dissertatie, Münster, 1887.

G. Humbert : Sur un complexe remarquable de coniques.

(Journal de l\'Ecole polytechnique, 64).

G. Koenigs: Sur les cubiques gauches passant par

cinq points donnés. (Nouvelles Annales
de Mathématiques, III, 2).

Th. Reye: Ueber Curvenbündel dritter Ordnung.

(Zeitschrift für Mathematik und Physik, 13).

H. Schröter : Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung.

R. Sturm: Erzeugnisse, Elementarsysteme und Cha-
rakteristiken von cubischen Raumcurven.
(Journal von Grelle, 79).

R. Sturm: Weitere Untersuchungen über cubische
Raumcurven. (Journal von Grelle, 80),

_: Ueber Collineationen und Correlationen,

welche Flächen zweiten Grades oder
cubische Raumcurven in sich selbst trans-
formieren (Mathematische Annalen, 26).

: Ueber höhere räumliche Nullsysteme.
(Mathematische Annalen, 28).

M. Stuyvaert: Notes sur les cubiques gauches. (Bull.

de l\'Académie royale de Belgique, 1900).

_: Etude de quelques surfaces algébriques

engendrées par des courbes du second
et du troisième ordre. (Dissertation in-
augurale, Gand, 1902).

_____________ ______Une congruence linéaire de cubiques

gauches. (Bull, de l\'Académie royale de
Belgiques, classe des sciences,N°. 5,1907).

-..........: Cinq études de géométrie analytique.

(Mémoires de Liège, III, 7).

;______________: Congruences de triangles, de cubiques

gauches et d\'autres variétés annulant
des matrices. (Journal von Crelle, 132).

E. Veneroni: Sopra alcuni sistemi di cubiche gobbe.
(Rend. Palermo, 16).

__________: Sui vari tipi di congruenze bilmeare di

cubiche gobbe. (Rend. Inst. Lomb. 37).

Jan de Vries: Congruenties van kubische ruimtekrom-
men in verband met een kubische trans-
formatie. (Versl, K. A. W. 17).

-: Kubische involuties in het vlak. (Versl.
K. A. W. 22).

_: Eenige bijzondere bilineaire congruenties

van kubische ruimtekrommen. (Versl.
K. A. W. 23).

P. Zeeman : De kromme lijnen van de derde orde in
de ruimte. (Dissertatie, Leiden, 1878).

HOOFDSTUK I.

De congruentie van ItEYE.

§ 1. De congruentie van Reye bestaat uit alle kubische
ruimtekrommen p³, die door vijf gegeven punten Hk gaan.
Deze punten, hoofdpunten genoemd, moeten zoo gekozen
worden, dat er geen vier in één vlak liggen. De tien
rechten efa = Hk Hi worden door alle p³ in twee vaste
punten gesneden en zijn derhalve hoofdkoorden.

Door ieder zesde punt P van de ruimte gaat in het
algemeen één kromme van de congruentie, daar een p³
door zes punten bepaald is. De congruentie is dus van
de eerste orde.

Ligt P bijv. in het vlak (p_3ia = H₃ H₄ H₅, dan ontaardt
de kromme in de rechte du en een kegelsnede in
<$3i5, gaande door P, H₃, Hi, Hö en den doorgang Bi₂
van di2 met cp₃15. Er zijn dus tien stelsels van ontaarde
krommen, bestaande uit een rechte en een kegelsnede.

Een bijzonder geval hiervan vormen weer de krommen,
die in drie rechten uiteen vallen. De kegelsnede die
bijv. Hi H₂ tot een ontaarde p³ aanvult, kan n.1. zelf
ontaarden in twee rechten, en wel op drie manieren:
in c?34 en H& Bi₂, in r/35 en H₄ Bi₂, en in d_i5 en H₃ Bi₂.
Schijnbaar vindt men dertig dergelijke figuren, daar toch
elke der tien rechten du met drie lijnenparen in <$mup
gecombineerd kan worden. Men heeft dan echter elke
ontaarding tweemaal genomen.

De ontaarde krommen dn, 5, H₃ B12 en d\\5, dn,
Hs B45 bijv. zijn identiek, want dn snijdt $₃₄5 in een
punt van H₃ B15; Bi₂ ligt dus op H₃ B15, m. a. w.
Hs Biz = H₃ B15. De genoemde ontaarde figuren vallen
dus geheel samen.

Er zijn derhalve slechts vijftien figuren, die uit drie
rechten bestaan.\'-

Ligt P op du, dan gaan door P co¹ krommen der [/],
die uit dk 1 en de kegelsneden van een in cpnmp gelegen
bundel bestaan.

§ 2. Wij onderzoeken thans het oppervlak A, gevormd
door de krommen p³, die een gegeven rechte l snijden.
De doorsnede van A met het vlak <p 123 bevat de volgende
deelen van ontaarde p³: een kegelsnede door Hi, H₂,
H₃, den doorgang B45 van ^45 en den doorgang D van
l, en de rechten dn, d_i3 en die elk een p^a vormen
met een kegelsnede, welke door l gesneden wordt; deze
kegelsneden liggen achtereenvolgens in ó345, $245 en (£>145.

De doorsnede is dus van den vijfden graad.

Daar een in <$123 gelegen rechte, die door Hi gaat,
het oppervlak A⁵ nog in twee punten P, P\' buiten Hi
snijdt (één dier punten ligt op de kegelsnede het
andere op de rechte (/₂₃), en ditzelfde geldt voor de
rechten door Hi, gelegen in elk der vlakken <pi₂4, $125,
©131, <pis5, <£145, is Hi drievoudig punt van A⁵.

Het oppervlak A⁵ heeft dus vijf drievoudige punten Hk.

Er is slechts één kromme p], die l tot koorde heeft.
Immers door drie punten van l en de vijf punten Ht gaat
een bundel van quadratische regelvlakken, waarvan de
basis bestaat uit l en een p³, en deze moet l tot koorde
hebben.

Hieruit volgt, dat de congruentie ook van de eerste
klasse en dus bilineaïr is.

Verder merken wij op, dat de kromme p] l in twee
punten snijdt en dus dubbelkromme van A⁵ is.

Het oppervlak A⁵ bevat de rechte de tien rechten
rfki en tien kegelsneden

§ 3. Een vlak cp door l snijdt A⁵ verder nog in een
kromme van den vierden graad, <p\\ Deze gaat door
de snijpunten Lj, L₂ van l met p\\ en heeft een dubbel-

punt in het derde snijpunt L3 van ó met p\\ (immers
p\\ is dubbelkromme van /V⁵). Een p³, die l in Pi snijdt,
moet Cp nog in twee andere punten P₂ en P₃ van <±>⁴
ontmoeten. Behalve Li en L_s hebben l en Cp⁴ nog twee
punten Ci en C2 gemeen. In elk dezer beide punten
zijn een punt Pi en een punt P₂ samengevallen; in Ci
en in C₂ wordt ó dus door een p³ aangeraakt.

Hieruit volgt, dat de meetkundige plaats van de punten,
waarin 0 door krommen der [,s³] aangeraakt wordt, een
kegelsnede (p² is.

Deze kegelsnede is de coïncidentiekrornme van de kitbische
involutie I³, welke de congruentie in Ó bepaalt \')•

Twee krommen p³, door de punten Hk gaande, liggen
steeds op een quadratisch regelvlak; want een quadratisch
regelvlak, gelegd door de vijf punten Hk, twee punten
van pi³ en twee punten van p₂³ bevat zeven punten van
elk der krommen, m. a. w. die krommen liggen geheel
op dat oppervlak. In een vlakke doorsnede van het
quadratisch oppervlak liggen drie punten van pi³ en
drie punten van p₂³; d. w. z. elke twee tripels van de
in Cp gelegen I³ kunnen door een kegelsnede verbonden
worden.

Zij Xi X₂ X₃ zulk een tripel. Aan Xi voegen wij de
rechte x\\ = X₂ X₃ toe, enz. Daar een rechte in cp in
het algemeen koorde is van één p³, dus één paar
(Y₂, Va) van een tripel bevat, is zij ook aan één bepaald
punt toegevoegd, n. 1. aan het derde punt Yi van dat
tripel. Zij nu Y₍ een punt van xi; dan bestaat de
kegelsnede door Xi, X₂, Xs, Yi, Y₂, Y₃ uit Xi en een
tweede rechte, welke Xi, Y₂, en Y₃ moet bevatten en
dus yi is.

Beweegt Y_t zich over a?i, dan draait yi om Xi.
Xk en Xk vormen dus een poolstelsel. Beweegt Xi zich

\') Een geheel op zichzelf staande behandeling dezer «Icubischc
involutie van den eersten rang in het platte rlak» door Dr. W. van
der Woude verscheen in Versl. K. A. W. 18.

nu over ?/i, zoodat x\\ om Yi wentelt, dan is het snij-
punt X\' van xi en i/i projectief toegevoegd aan Xi.
Het zal dus tweemaal gebeuren, dat Xi met X\' samen-
valt en dus Xi op x\\ terechtkomt.

Het poolstelsel (ark, Xk) heeft dus als incidentiekromme
een kegelsnede, n. 1. de meetkundige plaats der punten
Xi, die op hun poollijn x\\ liggen.

Laat Zi een der snijpunten van iji met de incidentie-
kromme zijn, dan is Z\\ = Yi Zi. De punten Z2 en Z₃ liggen
op z\\; de drie snijpunten van het vlak (p met een p³ kunnen
niet collineair zijn, dus moet Z₂ met Zi samenvallen.

De raaklijn z₃ in Zi aan de door dat punt bepaalde
p³ kan niet langs z\\ vallen, dus valt z₂ met z\\ samen.

De incidentiekegehnede der punten Zi = Z₂ is identiek
wet de reeds gevonden coïncidentiekromme <p².

§ 4. Beweegt zich nu een punt Wi over de rechte
z\\ die haar pool Zi bevat, dan moet de poollijn «<>t om
Zi draaien. Tusschen Wi en het snijpunt W\' van w\\
en z\\ bestaat een prójectiviteit; maar Wi komt steeds
overeen met Zi, dus kan VVi slechts in Zi met W\'
samenvallen en is z\\ raaklijn in Zi aan 0².

Nemen wij nu een tweede poollijn t1 met pool Ti aan
en zij Wi het snijpunt van t\\ en z\\. De aan Wi toe-
gevoegde rechte ia moet door Ti en Zi gaan, is dus
de raakkoorde van Wi met betrekking tot (p\'^J.

Het poolstelsel (Xk, a-k) bestaat derhalve uit polen en
poollijnen ten opzichte van (p\\

Elk tripel der I³ bepaalt een pooldriehoek van (p⁸,
maar omgekeerd bepaalt niet iedere pooldriehoek van
<p- een tripel; immers er zijn 0c² tripels en go³ pool-
driehoeken.

De rechte dn = Hi H₂ vormt figuren p^a met 00¹
kegelsneden van het vlak cp_ai5 = II₃ H.i H₅. De doorgang
Di2 van dn met is dus in de I³ verbonden mei een
involutie van puntenparen op den doorgang rfsis van
0345 met cp. Dia is de pool van (/316 ten opzichte van <p³.

De tien rechten rf_mn_P en de tien punten Dki vormen
een configuratie (10_s, J0₃) van Des Argues.

Wij vonden reeds, dat wanneer een punt Pi de rechte
l in O doorloopt, de rechte pi = P2 Ps om de pool L
van l ten opzichte van (p² wentelt. Komt nu Pi in een
der punten Li of L₂ van het op l gelegen paar der I³
terecht, dus in een der steunpunten van p\\, en is L3
het derde punt van het tripel, dan moeten Li L₃ en L₂ L₃
door de pool L gaan; d. w. z. L₃ is identiek met L en
L is dus het dubbelpunt van de kromme

Elke rechte door L snijdt dus (p⁴, behalve in dit
dubbelpunt, in een paar van de I³. LLi en LL₂ zijn
de raaklijnen in L aan <p⁴.

Men kan uit L zes raaklijnen naar 0⁴ trekken; de
raaklijnen der krommen p³ vormen dus een stralencomplex
van den zesden graad.

De in (p gelegen raaklijnen omhullen een kromme van
de zesde klasse, re. Deze heeft tien dnbbelraaklijnen en
is dus van het geslacht nul. In cpi₂₃ liggen toch twee
kegelsneden door Hi, H₂, H₃ en B₄₅, die rfi₂₃ raken en
elk met d^ een p^z vormen. Men moet dus tfi₂₃ twee-
maal als raaklijn van een p³ in rekening brengen. Elk
der tien rechten dkim is dus dubbelraaklijn van n.

§ 5. Beschouwen wij nu nog eens een tripel, waarvan
twee punten in Ti,₂ samenvallen.

De meetkundige plaats van Ti,2 is de coïncidentie-
kegelsnede (p²-, de meetkundige plaats van T₃ noemen
wij de complementaire kromme. Deze is een kromme van
den zesden graad, cp"; want T₃ is de pool van t₃ ten
opzichte van <p², dus ontstaat de meetkundige plaats
van T₃ door polarisatie uit de meetkundige plaats u van h.

De complementaire kromme Ó^G heeft tien dubbelpunten
en is van het geslacht nul. De dubbelpunten liggen in
de punten Dki, want D₄₅ bijv. vormt twee tripels met
de raakpunten van elk der beide aan dm rakende
kegelsneden, welke in <p gelegen zijn.

De krommen 0⁶ en cp² kunnen elkaar slechts raken,
niet snijden. Want gesteld dat een p³, die cp in een
snijpunt S van cp^G en cp² raakt, het vlak in een ander
punt S\' van cp² kon snijden, dan zouden door S\' twee
p³ gaan, één die daar cp raakt en één die daar <j> snijdt,
en dit is onmogelijk.

De krommen <p^a en cp- raken elkaar dus in zes punten.
In zulk een punt heeft een p³ drie opvolgende punten
met cp gemeen.

Er zijn derhalve zes krommen p³, die het vlak Cp osculeeren.

De krommen p³, welke Cp aanraken, vormen een opper-
vlak van den tienden graad, 4>¹⁰. Immers de doorsnede
van dat oppervlak met cp bestaat uit cp⁶ en uit cp², welke
laatste als aanrakingskromme tweemaal in rekening ge-
bracht moet worden; tezamen dus een doorsnede van
den tienden graad.

De graad van <P¹⁰ kan ook aldus gevonden worden:
hel oppervlak A⁵, behoorende bij een rechte m, die niet
in cp is gelegen, snijdt cp² in tien punten; er zijn dus
tien p³, die cp raken en m snijden, m. a. w. de meet-
kundige plaats der aan cp rakende p³ is een oppervlak
van den tienden graad.

De doorsnede van 4>^lü met cpm bestaat vooreerst uit
de beide in <£123 gelegen kegelsneden, die 0 aanraken;
vervolgens uit de reclile r/12 dubbel geteld, want deze
rechte vormt met twee aan cp rakende en in cp₃i5 ge-
legen kegelsneden een p³; evenzoo uit de tweemaal te
tellen rechten dia en tezamen een doorsnede van
den tienden graad.

Het oppervlak <1>¹⁰ bevat dus tien dubbelrechten nfki en
twintig kegelsneden.

Een rechte van <p₁₂₃ door Hi snijdt <I>¹⁰ buiten Hi
viermaal; hetzelfde geldt voor een rechte door Hi in
een der vlakken 4>m enz., dus is Hi een zesvoudig punt
van en heeft dit oppervlak vijf zesvoudige punten Hk.

Een ander vlak 1p snijdt ⁽ï>¹⁰ in een kromme \\p^l°, die
met de coïticidentiekromme tp² twintig punten gemeen

heeft. In elk dier punten wordt \\p aangeraakt door een
p³, welke tevens cp aanraakt.

Er zijn dus twintig krommen p³, die twee gegeven vlakken
Cp en ip aanraken.

Wij onderzoeken nog de meetkundige plaats der com-
plementaire krommen (p^e in de vlakken door l.

Door een punt X van l gaat één px; wanneer nu cp
om l wentelt, snijden de vlakken van den bundel (cp)
op px een involutie I² in, die twee coïncidenties heeft.
Daaruit volgt, dat l door twee raaklijnen van px ge-
sneden wordt, dus dat er twee vlakken van den bundel
zijn, waarin X een punt van een kromme Ó^e is. Daar
X twee (p^G draagt, is l dubbelreclite van de meetkundige
plaats (cp^ü). Elk vlak Cp bevat dus van de meetkundige
plaats één kromme cp° en de dubbelrechte l, waaruit
mag worden afgeleid, dat de complementaire krommen in
de vlakken door l een oppervlak van den achtsten graad
vormen, dat behalve l nog tien dubbelrechten du bezit
(want elk punt P van tfki is dubbelpunt van een Cp⁽\',
gelegen in het vlak, dat dki in P snijdt).

Om uit te maken hoe vaak een osculatievlak van een
p³ het raakpunt op l heeft, voegen wij in elk vlak cp de
twee op l gelegen punten C van cp² toe aan de zes op
l gelegen punten G\' van cp", en beschouwen de ver-
wantschap (G, C\').

Een punt G bepaalt één p³, en haar raaklijn in C
bepaalt een vlak cp, waarin G een punt van <p² is.
Hieraan worden nu zes punten C\' toegevoegd.

Een punt G\' draagt twee krommen cp⁶, komt dus
overeen met 2X2 punten G. De verwantschap (C, G\')
is dus een (6, 4). In een coïncidentie G = G\' moeten
Cp² en Cp⁶ elkaar raken, zoodat <p daar drie samenvallende
punten met een p³ gemeen heeft, dus een osculatievlak
is met G = G\' tot raakpunt.

Op elke rechte l liggen dus vijf punten, ivaarvan het
osculatievlak door l gaat.

Nu kunnen wij ook den graad bepalen van de meet-

kundige plaats der punten, die hun omdatievlak door een
punt P zenden.

Immers, zal een punt X der meetkundige plaats op /
liggen, dan moet zijn osculatievlak door / gaan, en dit
geschiedt vijfmaal. Maar ook P behoort tot de meet-
kundige plaats, want door P gaat een pp, en voor het
vlak dat deze in P osculeert, is P het raakpunt. Hieruit
volgt, dat de gezochte meetkundige plaats een oppervlak
van den zesden graad, iï\', is.

Dit oppervlak bevat de tien rechten rfki, want elk vlak
door zulk een rechte is te beschouwen als osculatievlak
voor elk harer punten.

De punten Hk zijn drievoudig op LI⁶, want een wille-
keurige p³ zendt drie osculatievlakken door P, heeft dus
met li⁶ drie veranderlijke punten gemeen. De overige
vijftien doorsneden liggen in de punten Ht; deze zijn
dus drievoudig.

Dat het oppervlak der punten, die hun osculatievlak
door P zenden, van den zesden graad is, volgt ook
hieruit: In het vlak (p 123 kunnen slechts deelen van
ontaarde figuren p³ liggen en wel rechte deelen, want
als osculatievlak van een rechte i kan ieder vlak door l,
dus ook het vlak (P, l) beschouwd worden. De in 4)123
gelegen rechte deelen van ontaarde figuren p³ zijn blijk-
baar f/12, dn, dm, Hi B₄b, H₂ B45 en H₈ B45, welke samen
een doorsnede van den zesden graad vormen.

De tien punten Bui zijn biplanaire punten van LV\\ want
B45 bijv. draagt als rechten van il^a drie rechten in Óm
en één rechte buiten dat vlak.

Daar op elke rechte l vijf punten liggen, welker osculatie-
vlak door / gaat. en een vlak door l nog in zes punten
door krommen p³ geosculeerd wordt, liggen de raak-
punten der osculatievlakken door l op een ruimtekromme
van den elfden graad, w¹¹, met / als vijfvoudige snijlijn.

§ 6. Door een punt P trekken wij koorden naar de
krommen der [/j⁸]. Een willekeurige straal door P bevat

twee punten S, S\' van één p³. Op eiken straal, die P
verbindt met een punt der pp, waarop P ligt, valt S\'
met P samen; die straal is dus raaklijn in P aan de
meetkundige plaats II der punten S, S\'. Al die raak.
lijnen vormen den quadratischen kegel, welke pp uit P
projecteert. Hieruit volgt dat P een kegelpunt van II
en II een oppervlak van den vierden graad is.

Ieder punt van de rechte P Hk kan als een punt S
opgevat worden; S\' valt dan in Hk. De vijf rechten
PHk liggen dus geheel op Tip; zij behooren verder tot
den raakkegel van P en vormen met pp de doorsnede
van dien kegel met II p.

Door een willekeurig punt P gaan dus vijf parabolisch
singuliere koorden, n. 1. de rechten PHk. De parabolisch
singuliere koorden vormen vijf stralenschoven met de
vijf hoofdpunten als centra.

Als singuliere koorde is elke rechte in een der tien
vlakken <$>kim op te vatten. Een zoodanige rechte is toch
gemeenschappelijke koorde van alle kegelsneden van
den in (pkim gelegen bundel.

Hieruit volgt terstond, dat een willekeurig vlak cp
tien singuliere koorden bevat, n. 1. de doorgangen van
de tien vlakken (fckim.

Tot de doorsnede van een willekeurige p³ met üp
behooren, behalve de steunpunten van de koorde, die
zij door P zendt, alleen de punten H_k; daaruit leiden
wij af dat, naast P, de vijf punten Hk kegelpunten van
lip zijn, zoodat dit oppervlak zes kegelpunten heeft en
dus een oppervlak van Weddle is.

Een doorsnede van lip met een vlak door P is een
kromme 0⁴ met een dubbelpunt; de klasse dier kromme
moet dus tien zijn. Hieruit blijkt opnieuw dat door P
zes raaklijnen van <$⁴ gaan, zoodat de raaklijnen der
krommen p³ een complex van den\' zesden graad vormen.

Daar P raakpunt is van pp met haar raaklijn in dat
punt, bevat een vlak door P zeven raakpunten van
krommen p³ met rechten door P. De meetkundige plaats

van de raakpunten der raaklijnen door P is dus een
ruimtekromme van den zevenden graad,

De congruentie bevat één kromme, die de rechte
PHk in Hk aanraakt; moet dus door de vijf hoofd-
punten gaan. Op PHk kan geen ander punt van r⁷
liggen, dus wordt tt⁷ in Hk door PHk aangeraakt.

Projecteert men t⁷ uit P, dan levert elke koorde door
P een dubbelpunt in de centrale projectie; Hk wordt
dus een keerpunt en PHk is een keerribbe van den kegel,
die TT⁷ uit P projecteert.

Ook de tien punten Bid liggen op tt\\ want legt men
een vlak door P en d_i5, welk vlak Ó123 langs b|₅ snijdt,
dan is er een kegelsnede door Hi, H₂, H₃ die b\\5 in
B45 raakt en met r/45 een p^s vormt; PB45 is te be-
schouwen als raaklijn dezer p³. Wij zien dus dat t⁷
met 0123 gemeen heeft de zeven punten Hi, Ha, H3,
B12, B23, Bis en B45, met cpi₂₄ de zeven punten Hi, PI₂,
PIi, B12, B14, B₂i en B35, enz. Nu zijn Hi, B₂s en B45
collineair op de,snijlijn van ói₂₃ met (pi,5; daar B12
op d 12 en Bis op di j ligt, gaan dus door IIi drie rechten,
die elk twee der zes overige snijpunten van -⁷ met $123
dragen. Een analoog geval doet zich voor in de vlakken
(p 124, enz. De kromme r⁷ wordt dus uit elk der punten
Hk geprojecteerd door een kegel van den derden graad,
uit een willekeurig punt door een kegel van den zesden
graad. Derhalve heeft 7r⁷, in Hk, vijf triconische punten. \')

Andere triconische punten kan zij niet bezitten. Immers
de ribben der kegels, die z¹ uit Hk projecteeren, zijn
trisecanten en het regel vlak der trisecanten van een
kromme van den zevenden graad is van den graad
vijftien, kan dus slechts uiteenvallen in vijf kubische
kegels, j

De kegel met top Hi wordt langs Hi II₂ geraakt door

\') Door Dr. P. H. Schoute is aangetoond, dat een dergelijke
kromme kan worden voortgebracht door drie halfperspecticf gelcgén
vlakkenbundels. (Nieuw Archief voor Wiskunde, 10).

het vlak, dat de raaklijnen in Hi en in Bi₂ aan z¹ bevat.
Dit raakvlak is geheel bepaald door Hi H₂ en de raaklijn
in B12, is dus tevens het vlak dat den kegel met top
Ho langs Hi H₂ raakt. Deze beide kegels moeten elkaar
dus langs Hi H₂ raken en hebben lot doorsnede z en
de dubbelgetelcle rechte Hi H>.

Wij welen dat in een vlak (p door P de raakpunten
liggen van zes krommen p³ met rechten door P; deze
raakpunten liggen op de coïncidentiekegelsnede ó².
Hieruit leiden wij af dat door elke zes met P in één vlak
gelegen punten van een kegelsnede gelegd kan worden.

Een verder gevolg is, dat men z \' kan beschouwen
als de basiskromme van een net van kubische opper-
vlakken, die twee aan twee behalve z"\' een 4>² gemeen
hebben, welke kegelsnede z¹ in zes punten snijdt. Deze
kegelsnede (p² wordt in de doorsnede van telkens twee
der kubische kegels vervangen door een dubbelrechte.

Het punt P worde de pool van z¹ genoemd.

Daar in elk vlak (p één kegelsnede <p² ligt, vormen
alle coïncidentiekegelsneden een lineair en complex.

§ 7. De kegelsneden <pgelegen in de vlakken door
een rechte l, vormen een kubisch oppervlak <I>³, want
door elk punt P van l gaat een pp, en de raaklijn in
P aan pp bepaalt met l een vlak cp, waarin een kegel-
snede (p² ligt, die door P gaat. Een vlak door l en
een der vijf punten Hk is drievoudig raakvlak aan <I>³,
waarin de kegelsnede (p² bestaat uit twee rechten door
Hk, n. 1. uit twee rechten van den kubischen kegel, die
de bij een punt P behoorende kromme z~\' uit Hk pro-
jecteert.

Het oppervlak <P³ bevat de krommen z" welker polen
P op l liggen. Anders uitgedrukt: de meetkundige plaats
der krommen z\\ die Hk tot triconische punten en hun
pool op l hebben, is een kubisch oppervlak, of ook:
de raakpunten van de raaklijnen van de krommen p^z, die
een rechte l snijden, vormen een kubisch oppervlak.

Tenslotte beschouwen wij de vlakken cp door een
rechte t, die een p\'^s in P aanraakt. De kegelsneden (p²,
in die vlakken gelegen, moeten dan alle door P gaan
en 4>³ wordt een kubisch oppervlak met een kegel-
punt P.

Alle kegelsneden cp² die door een punt P gaan, liggen
derhalve in de vlakken van een bundel, omhullen a.h.w.
een kegel van de eerste klasse. De complex |<p²\' is dus
niet alleen van de eerste orde, maar ook van de eerste
klasse, en wordt daarom een bilineaire complex genoemd.
Hij heeft vijftien hoofdpunten, n. 1. de vijf punten Hk en
de tien punten Bki.

Door elk hoofdpunt gaan oc² kegelsneden. Deze vijf-
tien punten zijn tevens hoofdpunten van den complex
jr⁷i, gevormd door de co³ krommen t⁷ die ieder een
der punten van de ruimte tot pool hebben.

§ 8. Elke p³ wordt uit Hi geprojecteerd door een
quadrikegel, die door H₂, H₃, II4 en H5 gaat, en uit
H₂ door een quadrikegel, gaande door Hi, H_s, Hi en H5.
Wanneer wij dus twee bundels van <juadrikegelsbesc\\\\o\\i\\veï\\,
één met basisribben d_v>, di_a, dn, d15 en één met basis-
ribben dn, c?2s, du, d₂₅, dan zijn alle p³ van de con-
gruentie van Reye te verkrijgen als partieele doorsneden
dezer twee kegelbundels, die een basisribbe gemeen hebben.

Wij kunnen de congruentie van Reye nog op een
andere wijze doen ontstaan. Denken wij ons een net
van quadrinodale kubische oppervlakken, die de vier kegel-
punten Hi. .. Hi en nog een vijfde punt Hö gemeen
hebben, dan bevatten alle exemplaren van het net de
zes ribben van het viervlak Hi II₂ H₈ H4.

Door een willekeurig punt P gaat nu een tot het net
behoorende bundel, waarvan de exemplaren naast de
zes genoemde rechten nog een p³ gemeen hebben, die
door P en de vijf punten Hk gaat. Het samenstel der
basiskrommen van alle tot het net behoorende bundels
is een stelsel 00² van kubische ruimtekrommen, die door

vijf vaste punten Hk gaan; maar die krommen vormen
juist de congruentie van Reye.

§ 9. Door een bijzondere kubische transformatie kan
de congruentie van Reye afgebeeld worden op een stralen-
schoof¹). Langs dezen weg kunnen verschillende der hier
afgeleide eigenschappen op eenvoudige wijze gevonden
worden.

Wij beschouwen twee punten X en X\' als aan elkaar
toegevoegd, wanneer voldaan wordt aan:

xi xi\' = x₂ x₂\' = x₃ x3\' — xi x4\'
_f _Xl______X?_ __^X3____X4

01 < / / — / 1 1 — 1 1 1 — / 1 /•
x₂ x3 x₄ xi x3 x4 xi x₂ x₄ xi x₂ x₃

Een rechte xt = A ak p bk wordt door deze
transformatie omgezet in een kubische ruimtekromme

1

P ^xk —7-i-ïT

^r X au fi bk

Het hoekpunt O4 (O, O, O, 1) van het coördinatenviervlak
gaat over in x₂\'x₃\'xi\' = 0, xj\'x₈\'x4\'=0, xi\'x₂\'x4\' = 0,
d. w. z. in elk punt van het overstaande coördinaten-
vlak Oi 0₂ 0₃ (x/ = 0).

Ligt X op Oi 0₂ (x₃ = 0, x₄ = 0) dan ligt X\' (x/ x₂\' x4\'
= 0, xi\'x₂\'x₃\' = 0 of x/ = 0, x₂\' = 0) op 0₃ O_t.
Wanneer dus een rechte een ribbe van het coördinaten-
viervlak snijdt, moet de beeldkromme de overstaande ribbe
snijden; heeft een rechte een punt (buiten de ribben)
met een coördinatenvlak gemeen, dan gaat de getrans-
formeerde figuur door het overstaande hoekpunt.

De transformatie zet een plat vlak ak xk = 0 om

eik

in — = 0 of ^4 ai x₂\' x₃\' x4^; — 0, d.i. in een kubisch
xk

oppervlak, dat de zes ribben van het coördinatenviervlak
bevat en de hoekpunten Oi... 0₄ tot kegelpunten heeft.

\') Dr. Jan de Vries: Congruenties van kubische ruimtekrommen
in verband met een kubische transformatie. (Versl. K. A. \\V. 17, blz. 1).

§ 10. De congruentie [^³] die door vijf punten Ok gaat
wordt getransformeerd in een stralénschoofwelker top
O5\' aan O5 is toegevoegd. Met de koorde b\' door O5\'
naar een willekeurig door Oi... O4 gelegde <r\'³ komt
overeen een (3³ door de vijf punten Ok, die de rechte s
(beeld van <r\'³) tot koorde heeft. De krommen p³, die
twee rechten l en m snijden, gaan door de transformatie
over in de rechten door O5\', die op de getransformeerde
krommen a\'³ en (/³ rusten.

De kuhische kegels, die a\'³ en p\'³ uit O5\' projecteeren,
hebben behalve 0₅\'Ok (k = 1, 2, 3, 4) nog vijf ribben
gemeen. Door O5\' gaan dus vijf rechten, die a\'³ en fj,\'³
elk in één punt snijden. Of: er zijn vijf kubische ruimte-
krommen, die door vijf gegeven punten gaan en op twee
gegeven rechten rusten.

Hieruit volgt dat de krommen p³, die door vijf gegeven
punten gaan en op één rechte l rusten, een oppervlak
van den vijfden graad, A⁵, vormen.

Dit oppervlak heeft tot beeld den kubischen kegel,
die a\'³ uit Oa\' projecteert.

De koorde b\' van a\'³, die door 0₅\' gaat, is dubbel-
ribbe van dezen kegel.

Hieruit volgt: de kromme /3³, die / tot koorde heeft,
is dubbelkromme van A⁵. (§ 2).

Een rechte m door Oi heeft tot beeld een rechte m\',
eveneens door Oi gaande. Deze beeldrechte heeft met
den genoemden projecteerenden kegel buiten Oi nog twee
punten gemeen, waaruit terstond volgt dat Oi drievoudig
punt van A⁶ is en dat dit oppervlak vijf drievoudige
punten Ot bezit (§ 2).

De doorsnede van A⁶ met het vlak Oi 0₂ O» bestaat
uit de rechten Oi 0₂, Oi 0₃, 0₂ 0₈ benevens een kegel-
snede, die door Oi, 0₂, 0₃ gaat en O4 0& snijdt.

Deze kegelsnede vormt met Ot O5 een ontaard exem-
plaar der [p³].

Wij zien dat op A⁵ tien kegelsneden liggen en elf
rechten, n.1. de tien rechten Ok Oi en de rechte l. (§ 2).

§11. De vraag, hoeveel krommen der een ge-
geven vlak (p aanraken, wordt omgezet in de vraag,
hoeveel rechten r\' door (V een kubisch oppervlak 4>\'³
met kegelpunten Ok (£=1,2,3,4) aanraken. Het pool-
oppervlak van O5\' gaat door de vier kegelpunten en
heeft tot beeld een quadratisch oppervlak, dat eveneens
door die punten gaat. De doorsnede van dit beeld-
oppervlak met het vlak <p is nu de getransformeerde
figuur van de meetkundige plaats der punten, waar<ï>\'³
door rechten r\' wordt aangeraakt.

Deze doorsnede, een kegelsnede, bevat dus de punten,
waar (p door krommen p³ wordt aangeraakt (§ 3).

Het aantal hoofdraaklijnen van 4>\'³, die door 0₅\' gaan,
bedraagt 1X2X3 = 0, aangezien de raakpunten der
hoofdraaklijnen de doorsnede vormen van ⁽J⁾\'³ met het
eerste en het tweede pooloppervlak van O5\'. Door trans-
formatie volgt hieruit, dat een gegeven vlak (p door zes
krommen p³ icordt geosculeerd. (§ 5).

De krommen p³, die de vlakken door P osculeeren, gaan
over in de hoofdraaklijnen der quadrinodale kubische
oppervlakken fJ*\'³, waarin die vlakken worden omgezet,
welke hoofdraaklijnen door het beeld P\' van P moeten gaan.

De raakpunten dier hoofdraaklijnen liggen op het eerste
en het tweede pooloppervlak van P\' ten opzichte van
elk der betrokken kubische oppervlakken <P\'³. De meet-
kundige plaats dier raakpunten is een oppervlak IX\'⁶ met
drievoudige punten Ok {k = 1, 2, 3, 4). Dit oppervlak
wordt door een p³ in 3X0 — 3 X ^ — G punten ge-
sneden. Dus is de meetkundige plaats van de raakpunten
der osculatievlakken door P een oppervlak van den
zesden graad, 12⁶ (§ 5).

De raaklijnen uit 0₅\' aan <I>\'³ vormen een kegel van
den zesden graad, want zij vormen de doorsnijding van
<I>\'³ met het eerste pooloppervlak van O5\'.

Deze kegel K\'⁶ heeft vier dubbelribben O5\' Ok. Met
een willekeurige, door de vier punten Ok gelegde p³ heeft
K\'\\ buiten Ok, nog tien punten gemeen.

Hieruit volgt dat de krommen p^A die het vlak <p aan-
raken een oppervlak van den tienden graad, ⁽P¹⁰, vormen;
want deze meetkundige plaats heeft met een rechte s
tien punten gemeen.

Een willekeurige rechte door Oi snijdt K\'⁶ nog in
vier punten. Haar beeld is een andere rechte door Oi,
waarop buiten O! vier punten van <I>¹⁰ liggen.

Elk der vijf punten Ok is dus zesvoudig punt van
(§ 5).

De doorsnede van <P¹⁰ met Oi 0₂ 0₃ beslaat uit de
dubbelrechten Oi 0₂, Oi 0₃, 0₂ 0₃ en een kromme van
den vierden graad met vier dubbelpunten, n.1. Oi, 0₂,
0₃ en de doorgang van de dubbelrechte 0₄ O5. Deze
vierdegraadskromme ontaardt dus in twee kegelsneden,
welke met 0₄ O5 ontaarde exemplaren der [V] vormen,
die O aanraken. Het blijkt dus dat <I>¹⁰ tien dubbelrechten
en twintig kegelsneden bevat. (§ 5).

De omhullingskegels Ki\'° en K₂\'⁶ uit Os\' naar twee
kubische oppervlakken <J>i\'³ en f{>₂\'³ met vier gemeen-
schappelijke kegelpunten Ok hebben gemeen de vier
dubbelribben O5\' Ok, die voor zestien gemeenschappelijke
ribben zijn te tellen, en verder nog twintig ribben.

Door toepassing van de transformatie volgt hieruit
dat twintig p³ der congruentie twee gegeven vlakken aan-
raken. (§ 5).

HOOFDSTUK II.

De eerste algemeene congruentie van Yeneroni.

§ 1. Wij beschouwen twee bundels van quadratische
oppervlakken met een gemeenschappelijke basisrechte b.
De basis van den bundel (^ï²) bestaat uit een kubische
ruimtekromme <ri³ met een harer koorden b, de basis
van den bundel (4>₂²) uit een kubische ruimtekromme
f2³ met een harer koorden b, die tevens koorde van a\\³ is.

De doorsnede van elk oppervlak 4>i² met elk opper-
vlak fyï² bestaat uit b en een kromme p³, zoodat de
beide bundels een [/j³] voortbrengen.

Deze congruentie werd het eerst aangewezen door
Veneroni. *)

Blijkbaar zijn <n³, <r₂³, b singuliere lijnen der fy³].
Elke p³ heeft vier punten met <ri³, vier met <r₂³ en twee
met b gemeen, zoodat b gemeenschappelijke koorde is.

Door een willekeurig punt P wordt één oppervlak
<I>i² en één oppervlak <J>₂², dus één p³ bepaald.

Op een willekeurige rechte l snijden de bundels (^ï²)
en (<!>!>²) twee quadratische involuties in. Het gemeen-
schappelijk paar dezer I² bestaat uit punten, die zoowel
tot een oppervlak 4>i² als tot een oppervlak <I>2² be-
hooren, dus uit punten van een p³, welke l tot koorde heeft.

De congruentie is dus bilineair.

Elk punt Si van <n³ draagt één oppervlak <I>₂², maar
alle oppervlakken (J>i²; door Si gaan derhalve krom-
men p³, die op het door Si bepaalde oppervlak <I>₂²
liggen. Elk punt van <ri³ is dös singulier en de beide

\') E. Veneroni: Sopra aleuni sistemi (li cubichc gobbe. (Rend.
Palermo, 16, 209).

basiskrommen tri³, <r2³ zijn singuliere krommen van de
tweede orde.

Door een punt B van b gaan co¹ krommen p³, die
ieder met b de doorsnede vormen van een oppervlak
<J>i² met een oppervlak 4>₂², welke elkaar in B aanraken,
omdat B dubbelpunt hunner doorsnede is.

Voegt men aan elk oppervlak <ï>i² het oppervlak <J>₂²
toe, dat ^ï² in B aanraakt, dan ontstaat een projectiviteit
tusschen de bundels van quadratische oppervlakken.
Deze brengt als meetkundige plaats der doorsneden
(b, p³) een oppervlak van den vierden graad, Sy, voort.

Hieruit volgt terstond dat de gemeenschappelijke koorde
b singuliere rechte van de vierde orde is.

In een willekeurig vlak door B liggen als doorsneden
van de bundels (<I>i²) en (<J>₂²) twee bundels van kegel-
sneden (Ór) en (<ps²), waarvan B en de drie doorgangen
van (Ti³ (tr₂³) de basispunten zijn. Tot de gemeenschap-
pelijke punten van een willekeurige kegelsnede cpi² met
het oppervlak Sp behooren B, de twee andere snijpunten
van <p 1² met de toegevoegde (p₂², en de drie op <ri³
gelegen basispunten van (p_t². In B vallen dus drie
snijpunten samen, waaruit volgt, dat het oppervlak Sb
een monoide is met drievoudig punt B.

Daar elk exemplaar der [p³] vier punten met <n³ en
vier met <r₂³ gemeen heeft, bevat S3 de beide singuliere
krommen.

§ 2. Een willekeurige kromme p³ snijdt de monoïde
Sg in vier punten van n³, vier punten van o-₂³ en twee
punten van b. Deze laatste punten moeten dus dubbel
geteld worden, waaruit wij zien, dat de monoïde de
rechte b tot dubbelrechte heeft.

Ook de kubische raakkegel in B aan Sp heeft b tot
dubbelrechte en snijdt Sp dus nog in acht rechten. Een
dergelijke rechte kan tot een ontaarde figuur p³ behooren.

De rechten tf, die bestanddeelen zijn van figuren p³
en b snijden, vormen een regelvlak. In elk vlak (p door

b ligt één rechte d; want zijn Si, S2 de doorgangen
van «ri³, ö"2³ die niet op b liggen, dan bepaalt een punt
Q der rechte Si S2 een oppervlak <f»i² en een oppervlak
«J>2², die ieder drie punten van Si S₂ bevatten (waar-
onder één punt op b). De doorsnede dier oppervlakken
moet dan bestaan uit de rechten b en d = SiS₂ en
een kegelsnede

Het regelvlak {d) heeft de singuliere lijnen b, <r 1³, o-₂³ tot
richtlijnen en zou dus van den graad 2 X 1 X3X3=18
moeten zijn. Het ontaardt echter in vier kubische kegels
en een regelvlak van den zesden graad, S\'⁶.

Immers uit elk der beide snijpunten van öi³ met b
wordt C2³ geprojecteerd door een kubischen kegel, die
bestaat uit rechten, welke op de drie singuliere lijnen
rusten. Deze kegels behooren, evenals de beide kubische
kegels, die <n³ uit de snijpunten van 02³ met b projec-
teeren, tot de meetkundige plaats der rechten d.

Het vijfde bestanddeel dezer meetkundige plaats is
dus een regelvlak S-^fi, en daar een willekeurig vlak door
b slechts één rechte d bevat, is b vijfvoudige rechte van
b wordt dus in elk punt B door vijf rechten d gesneden.

Onder de acht rechten der monoïde Sjj, die door den
top gaan, bevinden zich dus vijf bestanddeelen van ont-
aarde figuren p³. *) Door B gaan derhalve drie singuliere
koorden, die parabolisch zullen zijn.

§ 3. Ter bepaling van den graad van de meetkun-
dige plaats der kegelsneden die tot ontaarde figuren
p³ behooren, merken wij op, dat elk oppervlak 4>i²met
<r₂³ vier punten S₂ gemeen heeft, die niet op b liggen.
Eén der rechten van ^cI>i² door zulk een punt S₂ rust
op b en tevens op a-₂³. Daar door die rechte tevens
een bepaald oppervlak <J>₂² kan gelegd worden, bevat

\') Dit kan ook aldus worden ingezien: de kegels, die <7,⁸ en <j*
uit B projecteeren. hebben langs b vier rechten gemeen; de overigo
vijf gemeenschappelijke rechten zijn rechten d.

<i>i² minstens vier rechten d. Voegen wij nu aan het
oppervlak <I>i² de oppervlakken $2² toe, die met <l>i²
een rechte d gemeen hebben, dan worden de opper-
vlakken der beide bundels gerangschikt in een verwant-
schap (4, 4). Hun doorsnede heeft dan tot meetkundige
plaats een oppervlak van den zestienden graad, dat
uiteenvalt in het regel vlak en het oppervlak A¹⁰,
gevormd door de kegelsneden

De verwantschap (4, 4) snijdt op b een (4, 4) in;
b moet derhalve achtvoudig zijn op de geheele meet-
kundige plaats, en daar zij vijfvoudige rechte van S⁶ is,
ligt zij drievoudig op A¹⁰.

Ook <n³ en <r₂³ zullen drievoudig op A¹⁰ liggen.
Immers op een rechte, die <ri³ (<r₂³) snijdt, wordt door
de (4, 4) een (8, 4) ingesneden; n³ (<r₂³) moet dus
viervoudig op de geheele meetkundige plaats en drie-
voudig op A¹⁰ in rekening worden gebracht.

Een rechte g, die deel uitmaakt van een ontaarde
figuur p³ en b kruist, moet door twee rechten d, d\', welke
g en b snijden, aangevuld worden tot de doorsnede van
een oppervlak 4>i² met een oppervlak <ï>₂². Nu moeten
g, d, d\' samen vier punten van elke singuliere kromme
bevatten. Hieruit leiden wij af, dat g gemeenschappelijke
koorde van m³ en a-₂³ moet zijn.

Daar twee kubische ruimtekrommen tien gemeenschap-
pelijke koorden bezitten en b gemeenschappelijke koorde
van ³ en <r₂³ is, zijn er negen figuren p³, die uit drie
rechten bestaan.

§ 4. Trekt men uit een willekeurig punt P koorden
naar de krommen der L^³] dan vormen de steunpunten
een oppervlak Tip met kegelpunt P. De raakkegel in
P projecteert de kromme pl> (die door P gaat). De door-
snede van het oppervlak lip met dezen kegel bestaat
uit pp en vijf singuliere koorden.

Immers een buiten py> gelegen gemeenschappelijk punt
Q draagt een p³ met- een koorde langs PQ; echter is

PQ ook koorde van pp; zij is dan koorde van oc¹ p³,
dus singulier.

Tot de vijf singuliere koorden door P behoort de
koorde k_x, welke <ri³ door P zendt. Deze koorde ligt
toch op het oppervlak 4>i² dat door P gaat, en wordt
door de exemplaren van den bundel (<ï>2²) in een qua-
dratische involutie gesneden, draagt dus co¹ paren steun-
punten van krommen p³. Hetzelfde geldt voor de koorde
k₂, welke a-2³ door P zendt.

De drie andere singuliere koorden s worden door de
bundels (<ï>i²) en (<ï>2²) in dezelfde involutie gesneden;
zij behooren tot een stralencongruentie van de derde orde.

Wanneer P op b ligt wordt de involutie op b para-
bolisch. De co¹ krommen p³ door P hebben dan allen
b tot koorde.

Daar b gemeenschappelijke koorde van <ri³ en <r₂³ is,
vervangt zij de twee singuliere koorden ki, k₂.

Wij bepalen nog het aantal singuliere koorden in een
willekeurig vlak cp.

De monoïde Sb, behoorende bij den doorgang B van b,
snijdt cp in een kromme 0ⁱ, waarop de puntenparen
liggen, die met B tripels vormen van de involutie, welke
de congruentie in Cp bepaalt.

Een willekeurige rechte l in cp snijdt cp⁴ in vier punten.
Wanneer nu een punt P de rechte l doorloopt, gaat de
rechte /> = P\'P", die door de involutie aan P is toe-
gevoegd, viermaal door B; p omhult dus een kromme
van de vierde klasse, A*.

De singuliere kromme <ri³ snijde cp in de punten
Ai, A₂, Ag. De koorde Ai A₂ is singuliere koorde der
[/j³] en draagt dus oo¹ paren der I³, waarvan het derde
punt op A3 B ligt. Bijgevolg is Ai A₂ raaklijn van elke
kromme A4 in cp, wat eveneens geldt voor Ai A3, A₂ As
en de drie in cp gelegen koorden van <r₂³.

Onderstellen wij nu dat in cp een singuliere koorde s
ligt, op welke de bundels (<J>i²) en (<1>₂²) dezelfde involutie
insnijden. In cp vinden wij twee bundels van kegelsneden,

tusschen welke wij een projectief verband leggen door
de kegelsneden, die op s hetzelfde puntenpaar insnijden,
aan elkaar toe te voegen.

De projectiviteit brengt een figuur van den vierden
graad voort; deze figuur bestaat uit de singuliere koorde
s en een kromme van derden graad, /3³, met dubbel-
punt B. De kromme /3³ is blijkbaar de meetkundige
plaats van het derde punt der tripels, waarvan twee
punten op s liggen.

Daar de rechte l drie punten P met (3³ gemeen heeft,
draagt s drie paren P\' P" en is s drievoudige raaklijn
van de kromme A₄.

De krommen A₄ en ,u₄, omhuld door de rechten, welke
door de involutie worden toegevoegd aan de punten van
twee rechten l en m, hebben 16 gemeenschappelijke
raaklijnen. Daartoe behooren: 1° de gemeenschappelijke
raaklijn, die toegevoegd is aan het snijpunt van lenm;
2° de zes in <p gelegen koorden van <ri³ en <r₂³; 3° één
singuliere rechte s, die negenvoudige gemeenschappelijke
raaklijn is.

Een willekeurig vlak (p bevat dus drie singuliere koorden
ki, drie singuliere koorden k₂, en één singuliere koorde s.

Hieruit volgt dat de singuliere koorden van de eerste
algemeene congruentie van Veneroni twee stralencongruenties
(1, 3) en één stralencongruentie (3, 1) vormen.

§ 5. Wij onderzoeken thans het oppervlak A, ge-
vormd door de krommen p\'-\\ die een willekeurige rechte
l snijden. Het oppervlak <I>₂², gaande door een punt
Si van tri³ ontmoet l in twee punten; I snijdt dus twee
p³ die door Si gaan, dus is <ri³, en analoog ö-₂³, dubbel-
kromme op het oppervlak A.

De monoïde S^ snijdt l in vier punten; derhalve ont-
moet l vier p^a die door B gaan en is b viervoudige
rechte op A.

Zij x de graad van A, dan bestaat de doorsnede van
twee dergelijke oppervlakken, behoorende^bij de rechten

l en m, uit de x krommen p³ die de beide rechten l en m
snijden en uit de singuliere lijnen.

Daar b zestienmaal en <ri³, cr₂³ elk viermaal in rekening
gebracht moeten worden, voldoet x aan de vergelijking
x² = 3x 16 2X3X4
of x² — 3 x — 40 = 0.
waaruit volgt x = 8.

Het oppervlak A is dus van den achtsten graad. Het
heeft de kromme p\\ (die l tweemaal snijdt) tot dubbel-
kromme, en bevat, behalve l, zestien rechten en zestien
kegelsneden, daar l zes punten met en tien punten
met A¹⁰ gemeen heeft.

Een vlak cp door l snijdt A⁸ nog in een kromme cp⁷.
Deze heeft een viervoudig punt in den doorgang B van
b en zeven dubbelpunten in de doorgangen van <n³, <r₂³
en den doorgang van p\\, die niet op l ligt. Zij snijdt
l in de steunpunten der dubbelkromme p] en in de
raakpunten van vijf krommen p\'⁶.

Hieruit volgt dat de meetkundige plaats der punten,
waar een vlak Cp door krommen der [/j³] aangeraakt
wordt, een kromme van den vijfden graad, cp⁵, is.

Deze aanrakingskromme heeft drie punten Si met cri³
en drie punten S₂ met <r₂³ gemeen, terwijl zij een drie-
voudig punt B op b bezit.

Is Si n. 1. een snijpunt van <ri³ met cp, dan wordt
het door Si bepaalde oppervlak ⁽I⁾2² door cp in een
kegelsnede gesneden. Alle oppervlakken <J>i² snijden 4>₂²
volgens go¹ krommen p³ die door Si gaan. De door-
gangen dezer oc¹ krommen p³ met cp vormen op de
kegelsnede een involutie van puntenparen, die met Si
puntentripels vormen. Eén der paren bestaat uit Si
en een ander punt, dus is er één p³, die cp in Si
aanraakt.

De monoïde Sb wordt door ^ gesneden in een kromme
cp⁴ met drievoudig punt B. Ook op deze rationale cp⁴
wordt een involutie ingesneden. Elk der drie in B
samenvallende punten bepaalt een paar, dus wordt cp

in B door drie krommen p³ aangeraakt en is B drie-
voudig punt van cp⁵.

Daar cp⁵ met een oppervlak A^s, behoorende bij een
niet in Cp gelegen rechte m, 40 punten gemeen heeft,
zou de meetkundige plaats der krommen p³, die een
vlak (p aanraken, een oppervlak van den graad 40 zijn.
Wij moeten echter bedenken, dat cp⁶ een drievoudig
punt B op b en zes punten Si, S₂ op de singuliere
krommen heeft, terwijl A⁸ viermaal door b en tweemaal
door tri³, <r₂³ gaat. De punten B, Si, S₂ vertegenwoor-
digen daarom 3X4 6X2 = 24 punten van de
doorsnede van cp⁵ en A⁸.

Hieruit volgt dat de meetkundige plaats der aan Cp
rakende krommen p³ een oppervlak van den zestienden
graad, <Ï>^1C, is.

Dit oppervlak heeft b tot achtvoudige rechte. Immers
cp snijdt de monoïde van een willekeurig punt B* in
een kromme /3⁴, die een dubbelpunt B op b en zes
punten Si, S₂ op de singuliere krommen heeft. Deze
/3⁴ heeft met de aanrakingskromme cp⁵ (die B tot drie-
voudig punt heeft en door de zes punten Si, S₂ gaat)
slechts 20 — 6 — 6 = 8 punten gemeen, die krommen
p³ bepalen, welke door B* gaan en cp raken.

Zij nu Si* een willekeurig punt van <ri³; het door Si*
gelegde oppervlak <P₂² snijdt cp in een kegelsnede, die
door B en drie punten S₂ gaat en daar cp⁵ in 3 3=6
punten snijdt. Er liggen dus op cp⁵ slechts vier punten,
waar een door Si* gaande p³ aan cp raakt; m. a. w.
0*1³ (<r₂³) is viervoudige kromme op ⁽I^),\\

De meetkundige plaats der rechten d gaat vijfmaal
door b en eenmaal door <n³, <r₂³. De doorsnede van
^CI>¹⁶ met bestaat dus uit veertigmaal b, viermaal
<7i³, <r₂³ en nog 32 rechten.

Daar de meetkundige plaats A¹⁰ der kegelsneden <ï²
alle singuliere lijnen driemaal bevat, bestaat de door-
snede van <I>¹⁶ met A¹⁰ uit vierentwintigmaal i, twaalf-
maal <ri³, <r₂³ en nog 32 kegelsneden.

Het oppervlak 4>¹⁰ draagt dus 32 rechten en 32 kegel-
sneden; dit is het dubbele aantal van de op A⁸ voor-
komende d en

Een ander vlak \\p snijdt 4>¹⁶ in een kromme \\p¹⁶ met
een achtvoudig punt op b en zes viervoudige punten op
ei³, ö"2³. De aanrakingskromme in heeft een drie-
voudig punt op b en zes enkelvoudige punten op <ri³, a-₂³.

Van de 80 snijpunten van \\p^u\' met \\p^r° liggen er dus
8 X 3 6 X 4 — 48 op de singuliere lijnen. In de
overige 32 snijpunten wordt aangeraakt door krommen
p³, die ook (p aanraken.

Twee ivillekexirige vlakken worden dus door 32 krommen
der [/j³] aangeraakt.

Op analoge wijze als in Hoofdstuk I, § 6, kan bewezen
worden, dat de raaklijnen der p³ een complex van den
zesden graad vormen en dat de raakpunten van de
raaklijnen, uit een punt P naar de krommen der [/j³]
getrokken, op een ruimtekromme van den zevenden graad,
tt\\ liggen.

De aanrakingskrommen <£⁵, gelegen in de vlakken
door een rechte l, vormen een oppervlak van den zesden
graad, <I>⁶, want door elk punt P van l gaat één ^p, en
de raaklijn in P aan /j|> bepaalt met l een vlak, waarin
een kromme cp⁵ ligt, die door P gaat.

Anders uitgedrukt: de raakpunten van de raaklijnen,
die een rechte l snijden, vormen een oppervlak van den
zesden graad.

Dit oppervlak heeft b tot drievoudige rechte.

§ 6. De doorsnede van het oppervlak <J>¹⁶ (§ 5) met
een vlak (p bestaat uit de aanrakingskromme , die
dubbel in rekening gebracht moet worden, en de com-
plementaire kromme (p\\ de meetkundige plaats van de
doorgangen der p³, die <p aanraken.

In een gemeenschappelijk punt van cp⁶ en <p" wordt
<p door een p³ geoscideerd (Hoofdstuk I, § 5). Die punten
zijn raakpunten van cp^b met cp\\

Nu heeft 0⁶ zeven dubbelpunten B, Si, S₂. Immers
de oppervlakken Sb, ^i², $₂², die bij deze punten be-
hooren, worden door 0 gesneden in krommen, waarop
de p^s involuties I² bepalen. De krommen p³, die cp
raken in een dubbelpunt dier I², snijden <p⁶ in B, Si of
S₂. Deze zeven punten moeten dus dubbelpunten van
<p⁶ zijn.

Daar (p⁵ een drievoudig punt B en zes dubbelpunten
Si, S₂ bezit, hebben <p⁵ en 0⁶ in deze zeven punten
3X2 6X2=18 punten gemeen.

Verder raken zij elkaar dus in (30 — 18): 2 = 6 punten,
waaruit volgt:

Er zijn zes krommen der [p³] die een willekeurig vlak
0 osculeeren.

Zooals wij zagen, heeft de aanrakingskromme (p⁵ drie
punten in B en zes punten Si, S₂, terwijl de comple-
mentaire kromme 0" zeven dubbelpunten B, Si, S₂ bezit.
Nu vormen 0⁶, tweemaal gerekend, en 0° de doorsnede
0^U van 4>¹⁸ met 0. Deze doorsnede moet dan acht
punten in B en vier punten in de zes doorgangen van
<Ti³, ö"2^s hebben. Dit komt overeen met wat wij in § 5
voor de veelvuldigheid der singuliere lijnen op <I>"
vonden.

Wanneer 0 om l wentelt, beschrijft 0ⁿ een oppervlak
van den achtsten graad. Immers de vlakken van den
bundel met l tot as snijden op de door een punt P
van l gaande pp een involutie I² in. De coïncidenties
dezer involutie bepalen twee raaklijnen van pp, die l
snijden, dus twee vlakken, waarin P een punt van 0⁰ is.
Daaruit volgt, dat l dubbelrechte van de meetkundige
plaats (0") is, zoodat deze meetkundige plaats een opper-
vlak <J>⁸ moet zijn.

Voegt men in elk vlak door l de snijpunten C van l
met 0⁶ toe aan de snijpunten G\' van l met 0\\ dan
ontstaat een verwantschap (G, G\') die een (6, 10) blijkt
te zijn. Een coïncidentie G = G\' bepaalt een punt,
waar 0 drie samenvallende punten met een p^z gemeen

heeft, dus een osculatievlak is met C = C\' tot raakpunt.

Op elke rechte l liggen dus acht punten, welker oscu-
latievlak door l gaat. Hieruit besluiten wij, dat de
meetkundige plaats der punten, die hun osculatievlak
door een punt P zenden, een opper dak van den negenden
graad, IX⁹, is.

In het raakvlak p van <I>₂² in Si liggen twee be-
schrijvenden, waarvan er een (a) door de eveneens op
gelegen rechte b wordt gesneden; de andere (/) is,
evenals b, koorde van elke op ^fJ>₂² gelegen p³ en heeft
met zulk een p³ buiten Si nog een punt L gemeen.
Alle p³ van <I>₂² raken p in Si aan langs een rechte r
en snijden p op l. De bundel, gevormd door deze p³,
snijdt op l een puntenreeks in, dus zal slechts één p³
het vlak p in Si osculeeren.

Daar verder elke straal r door Si, als raaklijn van
een p³, een ander osculatievlak draagt, gaan door eiken
straal r twee osculatievlakken, n.1. p en het osculatie-
vlak der p³, die r tot raaklijn heeft. De osculatievlakken
omhullen dus een quadrikegel met top Si.

Twee dier osculatievlakken gaan door een willekeurig
punt P, m. a. w. ö"i³ (a-»³) is dubbelkromme op het opper-
.vlak ü⁹.

Van de snijpunten eener willekeurige p³ met fl⁹ liggen
er nu drie in de raakpunten der osculatievlakken, welke
p³ door P zendt en zestien in de steunpunten van p⁸
op «Ti³, <r₂³. De overige acht punten moeten op b liggen,
en daar b koorde van p³ is, zal zij viervoudige rechte op
£2⁹ zijn.

Op een rechte l liggen acht punten, welker osculatie-
vlak door l gaat. Daar in een willekeurig vlak door l
nog zes punten liggen, waar het vlak door krommen p³
geosculeerd wordt, liggen de raakpunten der osculatie-
vlakken die door l gaan, op een ruimtekromme a^u, welke
l tot achtvoudige snijlijn heeft.

§ 7. De congruentie van Reye is te beschouwen als

een bijzonder geval dezer algemeene congruentie. Zij
wordt n.1. verkregen als partieele doorsnede van twee
bundels van quadrikegels, die een ribbe Hi H₂ en drie
punten H3, H.t, H5 buiten deze gemeen hebben.

Alle aldus verkregen krommen p³ gaan toch door vijf
vaste punten Hi----H_ö.

HOOFDSTUK III.

De tweede algemeene congruentie van VENERONI.

§ 1. De congruentie van Reye kan, zooals in Hoofd-
stuk I, (§ 8) werd aangetoond, worden beschouwd als
het samenstel van de basiskrommen der bundels van
quadrinodale kubische oppervlakken, die de vier kegel-
punten en nog een vijfde punt gemeen hebben. De
doorsnede van twee dier oppervlakken bestaat dan uit
de basisfiguur van den zesden graad, gevormd door de
zes ribben van het viervlak, dat de kegelpunten tot
hoekpunten heeft, en een kubische ruimtekromme p³.

Beschouwen wij nu, meer algemeen, het net van kubische
oppervlakken 4>³t die door een vast punt H en een kromme
van den zesden graad en het geslacht drie, <r^ü, gaan.

Elke tot dit net behoorende bundel (<J>³) heeft tot basis
(j-⁶ en een p³. Deze p³ vormen een bilineaire congruentie,
want elk punt P bepaalt één bundel (<I>³), wiens basis-
kromme p³ door de punten P en H gaat; en de kubische
involutie van den tweeden rang, door het net op een
rechte l ingesneden, heeft één neutraal paar; dit bestaat
uit punten, die tot co¹ oppervlakken ^CI>³ behooren en
dus één p³ dragen, welke l tot koorde heeft.

Deze congruentie werd het eerst aangewezen door
Veneroni \') en later door Stuyvaert ²) langs analytischen
weg uitvoerig behandeld.

Een rechte l door P wordt door één p³ in een punten-

1 \') E. Veneroni: Sopra alc.uni sistcmi di cubiche gobbe. (Rend.
Palerrao, 16, 209).

2 ) M. Stuyvaert: Une congruente lineaire dc cubiques gauches.
(Buil. de 1\'Académie royale de Belgique, classe des sciencea. n°. 5,
470, 1907):

paar Q, Q\' gesneden. De meetkundige plaats dezer
punten is een oppervlak ITp met kegelpunt P (Hoofd-
stuk I, § 6). De kegel K², die de door P gaande ^p
uit P projecteert, heeft met lip, behalve pp, vijf rechten
door P gemeen.

Daartoe behoort de rechte P H, want elk punt van
PH draagt een p³, die ook door H gaat, dus P H tot
koorde heeft.

De rechte P H is blijkbaar een parabolisch singuliere
koorde.

Op elk der overige vier rechten s moet het net [<P³]
een quadratische involutie insnijden, want zooals wij reeds
eerder aangetoond hebben, zijn de gemeenschappelijke
rechten van üp en K² singuliere koorden. Daartoe is
het noodzakelijk, dat de rechten s op de kromme ff^c\' rusten.

De kegel, die <r° uit P projecteert, en de kegel K²
hebben twaalf gemeenschappelijke ribben; daartoe be-
hooren de vier rechten s. De overige acht moeten dus
gaan door snijpunten van pp met <r^ü, d. w. z. elke p³ der
congruentie rust in acht punten op de kromme ff\'.

De congruentie omvat derhalve alle krommen p^s, die
door het hoofdpunt II gaan en ieder in acht punten op
een singuliere kromme van den zesden graad en het
geslacht drie rusten.

§ 2. Zal een p³ door een punt S van ff⁶ gaan, dan
moet zij met ff⁶ een basisliguur vormen, die in S een
dubbelpunt heeft. De oppervlakken van den bundel
(<P³), die een dergelijke p³ bepaalt, ^ moeten elkaar dan
in S raken.

Kiezen wij nu twee willekeurige bundels (<I>i³) en (<P₂³)
uit het net [⁽P³] en voegen wij aan elk oppervlak <Pi³
het oppervlak <P₂⁸ toe, dat <IV in S raakt, dan brengen
de daardooi\' projectief geworden bundels een meetkun-
dige plaats van den graad zes voort. Deze meetkundige
plaats bestaat uit het oppervlak <P³, dat de bundels gemeen
hebben en een oppervlak S³, dat een monoide moet zijn.

Immers een willekeurige rechte door S mag dat opper-
vlak nog slechts in één ander punt snijden, daar zij
anders koorde van twee, dus van go¹ krommen p³ zou
zijn, wat ons tot het besluit zou voeren, dat door S cc¹
singuliere koorden zouden gaan, hetgeen ongerijmd is.

Daar de door S gaande congruentiekrommen een
kubische monoïde vormen, is <r^t; singuliere kromme van
de derde orde.

Het oppervlak Tip moet de singuliere kromme <r⁶ be-
vatten, daar pp acht punten met <x⁶ gemeen heeft. Van de
twaalf gemeenschappelijke punten van üp met een wille-
keurige p³ liggen er dus acht op <r^r\', twee op de koorde,
die de p³ door P zendt, en twee in H.

Hieruit blijkt, dat lip in H een tiveede kegelpunt heeït.

Uit de beschouwing van de vlakke doorsnede van
Tip, welke doorsnede een kromme 0⁴ met dubbelpunt P
is, kan weder afgeleid worden, dat de raaklijnen van
de krommen der [p³] een complex van den zesden graad
vormen, en dat de meetkundige plaats van de raakpunten
. der raaklijnen door een willekeurig punt P een ruimte-
kromme van den zevenden graad, ;r⁷, is.

De kegel K^fi, welke t⁷ uit een harer punten P pro-
jecteert, heeft een keerribbe P H en vier dubbelribben,
n. 1. de vier singuliere koorden s door P.

Immers de beide coïncidenties der quadratische invo-
lutie I², die door het net [⁽J⁾³] op een rechte s wordt
ingesneden, bepalen de raakpunten van twee raaklijnen
uit P, dus twee punten, welke s met x¹ gemeen heeft.

§ 3. Door een punt S van <r" gaan zes, op de monoïde
S³ gelegen, rechten. Daartoe behooren de drie trise-
canten t van <r", die in S samenkomen. Deze maken
deel uit van ontaarde figuren p³, want door een wille-
keurig punt van een trisecante t gaan nog co¹ oppervlakken
4>³, die allen vier punten met t gemeen hebben. De p^s,
die door den bundel (<I>³) wordt aangewezen, moet dan
uiteenvallen in de trisecante t en een kegelsnede

De overige drie, in S samenkomende rechten der
monoïde S³ zijn parabolisch singuliere koorden.

Door centrale projectie uit S op een vlak 0 door H
gaan de go¹ op S³ gelegen p³ over in een bundel van
kegelsneden (cp²); de basispunten van dien bundel zijn H
en de doorgangen Bi, B₂, B₃ der op S³ gelegen para-
bolisch singuliere koorden.

Het lijnenpaar Bi B₂, B₃ H is het beeld van een trise-
cante t in het vlak Bi S B₂ en een kegelsnede in het
vlak B₃ S H. Hieruit volgt, dat door S drie kegelsneden

gaan, die op de monoïde S³ liggen, en dat de monoïde
nog drie kegelsneden «5² bevat, die niet door S gedragen
worden; en verder dat, behalve de drie trisecanten t
door S, nog drie trisecanten van <r^fi op de monoïde
worden gevonden.

Daar elk punt S van <r^c\' drie trisecanten t en drie
kegelsneden è>² draagt, is <r° drievoudige kromme zoowel
op de meetkundige plaats (t) als op de meetkundige
plaats (2²). Wij kunnen nu den graad dezer meetkundige
plaatsen bepalen.

De meetkundige plaats (3²) snijdt de monoïde S³ in
zes kegelsneden 3² en in de singuliere kromme <f\\ die
enkelvoudig op S³ en drievoudig op (2²) ligt.

Zij x de graad van het oppervlak (2²), dan moet x dus
voldoen aan de vergelijking

3X=:6XH3X6
waaruit volgt x = 10.

Zij verder y de graad van het oppervlak (f), dan heeft
y te voldoen aan

3y = 6 3X6
waaruit volgt y = 8.

De kegelsneden die behooren tot ontaarde figuren
p³, vormen dus een oppervlak van den tienden graad,
A¹⁰, terwijl de rechten t, welke deze kegelsneden tot
figuren p³ aanvullen, een regelvlak van den achtsten graad,
S⁸, vormen.

Van de 30 snijpunten eener willekeurige p^s met A¹⁰

liggen er 8 X 3 in de acht punten, waar p³ op s-⁶ rust.
De zes andere punten vallen in H samen, dus is het
hoofdpunt H zesvoudig punt van A¹⁰.

Het hoofdpunt H is echter niet op gelegen, want
de 24 snijpunten eener willekeurige p³ met dit regelvlak
vallen drie aan drie in de acht punten, waar de p³ op
de singuliere kromme r* steunt.

Een koorde uit H naar ö"⁶ getrokken snijdt B⁸ in acht
punten, waarvan er zes in de beide steunpunten der
koorde samenvallen (want <t⁶ is drievoudige kromme van
S*). De koorde snijdt dus twee trisecanten t en vormt
met hen een ontaarde figuur p³.

Daar <r⁶ van het geslacht drie is en dus zeven schijn-
bare dubbelpunten bezit, kan men uit H zeven koorden
naar <r^B trekken.

Er zijn derhalve zeven figuren p³, die uit drie rechten bestaan.

§ 4. In een vlak 0 snijdt de congruentie een kubische
involutie in, die de zes doorgangen Sk van <r⁶ tot singuliere
punten van de derde orde heeft; want de monolde met top
Sk snijdt 0 in een nodale kubische kromme 0³, die Sk tot
dubbelpunt heeft en door de overige vijf punten S gaat.

Zij Qi Q₂ Q₃ een tripel dezer involutie. Wanneer Qi
een rechte l doorloopt beschrijven de beide toegevoegde
punten Q₂, Q₃ een kromme 0, die driemaal door elk
singulier punt Sk gaat. De krommen (p, <p\' behoorende
bij de rechten l, l\' hebben in de punten Sk 6 X 9 = 54
punten gemeen; verder de beide punten, behoorende bij
een coïncidentie Qi = Q/ en tenslotte zooveel punten
als de graad van cp bedraagt. Want door een snijpunt
Qi van l met cp\' wordt een tripel der involutie aange-
wezen, waarvan een punt Q₂ op l\' ligt; het derde punt
Q₃ moet dan gemeenschappelijk punt van 0 en cp\' zijn.

De graad x van -0 wordt nu gevonden uit de vergelijking
x² — x 56
of (x - 8) (x 7) = 0.

Dus is 0 een kromme van den achtsten graad.

Hieruit volgt verder, dat de meetkundige plaats dei-
krommen p³, die de rechte l snijden, een oppervlak van
den negenden graad, A⁹, is; immers met een vlak door
l heeft zij nog een kromme (p⁸ gemeen.

De graad van het oppervlak A kan ook op de vol-
gende wijze bepaald worden.

Daar l drie punten gemeen heeft met elke monoïde
S³, dus elk punt S van <r^G drie krommen p³ draagt, die
l snijden, moet <r⁶ drievoudige kromme op het oppervlak
A zijn.

De doorsnede van twee oppervlakken A en A\', be-
hoorende bij de rechten l en l\', zal bestaan uit de x
krommen p³, die l en l\' snijden en uit negenmaal de
singuliere kromme <r\\

Uit de vergelijking x² = 3 x 54
volgt dan x =9.

Beschouwen wij twee bundels (<IV) en (<1>₂³) uit het
net [<P³]. Aan elk oppervlak ^ï³ voegen wij de drie
exemplaren 4>₂³ toe, welke <V op de rechte l ontmoet.
De bundels worden daardoor in een verwantschap (3,3)
gerangschikt.

Op een andere rechte m bepaalt deze een verwant-
schap (9,9), zoodat de in een (3,3) gerangschikte bundels
een meetkundige plaats van den achttienden graad voort-
brengen.

Daar de bundels tot een net behooren, hebben zij één
exemplaar <I>³ gemeen.

Zij Pk een zijner snijpunten met de rechte m. De
drie in de (3,3) aan dit oppervlak <P³ toegevoegde exem-
plaren vallen met <I>³ samen, zoodat het oppervlak driemaal
voor de meetkundige plaats in rekening gebracht moet
worden.

Als meetkundige plaats van de krommen p³, welke l
snijden, blijft dus over een oppervlak van den negenden
graad, A⁹.

Het oppervlak A⁹ bevat de rechte J, heeft de kromme
p\\ (welke l tweemaal snijdt) tot dubbelkromme en bezit

voorts achttien trisecanten t van tr^B en achttien kegelsneden
daar l acht punten met 5⁸ en tien punten met A¹⁰
gemeen heeft.

Van de 27 snijpunten eener willekeurige p³ met A⁹
liggen er 8X3 in de punten, waar de p³ op </\' rust;
de drie overige punten vallen in H samen. Het hoofd-
punt H is dus drievoudig punt van A⁹.

De kromme <$⁸, welke een vlak door l op A⁹ bepaalt,
snijdt l in de steunpunten der dubbelkromme p\\ en in
\' zes andere punten, waar (p door krommen p³ wordt
aangeraakt.

De meetkundige plaats dezer raakpunten is dus een
kromme van den zesden graad, <p^G, die zes dubbelpunten
Sk op <t⁶ heeft.

Met een ander oppervlak A⁹ heeft de aanrakings-
kromme 54 punten gemeen, waarvan er G X 6 = 36
op <r⁽ⁱ liggen, want de zes doorgangen Sk van <r^B zijn
drievoudige punten van A⁹ en dubbelpunten van cp⁶.

Wij besluiten hieruit dat de meetkundige plaats der
krommen p³, die een vlak (p aanraken, een oppervlak
van den achttienden graad, ^tP\'^K, is.

Dit oppervlak snijdt een ander vlak tp in een kromme
i//¹⁸, die met de in \\p gelegen aanrakingskromme \\p" 108
punten gemeen heeft. Nu is <t^c\' zesvoudige kromme op
<I>¹⁸, want cp snijdt de monoïde S³, behoorende bij een
willekeurig punt S* van er" in een kromme y³, die door
de zes punten Sk gaat; in die punten hebben cp⁶ en y³
6X2 punten gemeen, dus liggen op (p\'¹ zes punten,
waar (p door op S³ gelegen krommen p³ geraakt wordt;
m. a. w. a is zesvoudige kromme op ⁽l>¹⁸.

Daar de zes punten Sk dubbelpunten van \\p^c\' en zes-
voudige punten van ip¹⁸ zijn, vertegenwoordigen zij 72
snijpunten dezer krommen. Er blijven dus 36 punten
over, waar ip geraakt wordt door. krommen p³, die tevens
cp aanraken.

Er zijn derhalve 36 krommen der [/j³], die twee gegeven
vlakken cp en \\p aanraken,

Een willekeurige p³ snijdt <ï>¹⁸ in 54 punten, waarvan
8 X 6 = 48 in de punten, die p³ met <r^G gemeen heeft,
en de overige in H liggen.

Het hoofdpunt H is dus zesvoudig punt van <I>¹⁸.

Behalve de singuliere kromme <r°, welke zesmaal op
<I>¹⁸ en driemaal op A¹⁰ ligt, hebben deze oppervlakken
nog 36 kegelsneden gemeen.

Op dezelfde wijze blijkt, dat ⁽I>¹⁸ met 5⁸ 36 trisecanten
t van <r^G gemeen heeft.

§ 5. De doorsnede van het oppervlak <1>\'⁸ met het
vlak 0 bestaat uit de aanrakingskromme 0°, welke twee-
maal in rekening gebracht moet worden, en uit de
complementaire kromme (po", die zes dubbelpunten Sk bezit.

Op de bekende wijze wordt hieruit afgeleid, dat het
vlak 0 osculatievlak is voor zes krommen p³.

Verder wordt voor de meetkundige plaats der com-
plementaire krommen in de vlakken door een rechte I
een oppervlak van den achtsten graad met dubbelrechte
l gevonden.

De verwantschap tusschen de snijpunten G van l met
de aanrakingskrommen en de snijpunten G\' van l met
de complementaire krommen in de vlakken door l
is een (6, 12). De negen coïncidenties G = C\' bepa-
len negen osculatievlakken door l, welker raakpunt op
l ligt.

Hieruit volgt weer dat de raakpunten van de osculatie-
vlakken door l op een ruimtekromme van den vijftienden
graad, w^1B, liggen, en dat de meetkundige plaats der
punten, die hun osculatievlak door een punt P zenden,
een oppervlak van den tienden graad, is.

De kromme w^1B heeft l tot negenvoudige snijlijn.

Het oppervlak moet door de singuliere kromme
<r⁶ en het hoofdpunt H gaan. Zij <r^r> «-voudig en II
/3-voudig op il¹⁰, dan moet, daar een willekeurige p³
drie osculatievlakken door P zendt, tusschen cc en (3 de
betrekking bestaan

3 X 10 = 3 8« /3
of 8« /3 = 27
waaruit als eenig bruikbare oplossing volgt <% = 3, {3=3.

Dus is cr⁶ drievoudige kromme en H drievoudig punt
van ft¹⁰.

§ 6. Door een bijzondere kubische transformatie wordt
de hier besproken congruentie afgebeeld op een stralen-
schoof. *)

Aj A2 A3 A4

a_x b_x Cx d_x

ax\' b_x\' Cx\' dx\'

a_x bx Cx dx

bepaalt een complex van kubische oppervlakken <J>³,
die allen door een ruimtekromme cr⁶ van het geslacht
drie gaan; twee oppervlakken <I>³ hebben verder nog een
kubische ruimtekromme p³ gemeen, die <r⁶ in acht punten
snijdt; drie oppervlakken <J>³ ontmoeten elkaar in één punt.
Zij nu [m yi y2 ps y3 ;m y* = 0
de vergelijking van een willekeurig vlak (p.

Wij beschouwen twee punten X, Y als aan elkaar
toegevoegd, wanneer voldaan is aan
. _yi___ y2 _ ys __yt__

(bx Cx\' dx") (cxdx\'ax") (dx a_x\'bx") (a_x bx\'c_x")

Elk oppervlak <ï>³ wordt dan afgebeeld op een vlak (p,
en omgekeerd komt met elk vlak (p een oppervlak ⁽I⁾³
overeen.

Met de punten van een rechte (snijlijn van twee vlakken)
komen overeen de punten van een kubische ruimte-
kromme p³ (doorsnede van twee oppervlakken <I>³).

Omgekeerd wordt een p³ door een rechte afgebeeld.

De rechten van een stralencongruentie zijn afbeeldingen
van de krommen p³ eener congruentie van kubische
ruimtekrommen. Is m de orde en k de klasse der

\') L. Godeaux: Nouveaux types de congrucnecs linéaires de
cubiques gauches. (Nouvelles annales de mathématiques, 1909).

stralencongruentie, dan is blijkbaar ook de orde van de
congruentie van p³ m. De klasse der afgebeelde con-
gruentie, d. w. z. het aantal krommen p³, die een rechte l
tweemaal snijden, is gelijk aan het aantal stralen der
congruentie (w, k), die een kromme a³ (beeldkromme
van l) tweemaal snijden, dus gelijk aan het aantal ge-
meenschappelijke stralen van een («i, k) en een (1, 3),
dus (m 3 k).

Een bilineaire congruentie [/j³] zal dus afgebeeld worden
door een (1, 0), d. i. door een stralenschoof.

Omgekeerd wordt deze omgezet in een [/j³], bestaande
uit de kubische ruimtekrommen, die door een vast punt
(beeldpunt van den top der stralenschoof) gaan en in
acht punten op een kromme van den zesden graad en het
geslacht drie rusten.

§ 7. Van deze bijzondere kubische transformatie kan
men gebruik maken om eenige eigenschappen der [p³]
op andere wijze af te leiden.

Het aantal p³, die twee rechten l, l\' snijden, is gelijk
aan het aantal stralen van een schoof, welke twee ku-
bische ruimtekrommen a³, a\'³ snijden, dus gelijk aan
het aantal gemeenschappelijke ribben van twee kubische
kegels, die a³, a\'³ uit den top der stralenschoof projec-
teeren. Hieruit volgt terstond, dat twee willekeurige
rechten l, l\' door negen krommen p³ gesneden worden,
m. a. w. dat het oppervlak A van den negenden graad
is. (§ 4).

De meetkundige plaats der punten, waar een vlak cp door
krommen p³ aangeraakt wordt, heeft tot beeld de meetkun-
dige plaats van de raakpunten van de stralen der schoof,
die een kubisch oppervlak <P³ (beeld van cp) aanraken.

Daar de laatstgenoemde meetkundige plaats de door-
snede van het oppervlak ⁽P³ met zijn eerste pooloppervlak,
dus een kromme van den zesden graad is, moet de
gezochte aanrakingskromme eveneens een kromme van
den zesden graad zijn. (§ 4).

Het aantal hoofdraaklijnen van <ï>³ door den top der
stralenschoof bedraagt zes, daar immers de raakpunten
der hoofdraaklijnen de doorsnede vormen van <f>³ met
het eerste en het tweede pooloppervlak van den top.

De gevolgtrekking is, dat het vlak CD door zes krommen
p³ geoscilleerd wordt. (§ 5).

De stralen der schoof, die <P³ aanraken, vormen een
kegel van den zesden graad, Avelke met een willekeurige
kubische ruimtekromme A³ 18 punten gemeen heeft.
De rechte l, die door de transformatie in de kubische
ruimtekromme A³ wordt omgezet, snijdt dus het opper-
vlak. gevormd door de krommen p³, welke het vlak (p
aanraken, in 18 punten.

Derhalve is dit oppervlak van den achttienden graad. (§4).

§ 8. Bijzondere gevallen van de tweede algemeene
congruentie van Veneroni kunnen ontstaan, doordat de
singuliere kromme a-⁰ ontaardt.

Het aantal mogelijke ontaardingen van een ruimte-
kromme van den zesden graad is zeer groot; echter
komen niet alle ontaardingen in aanmerking, daar de
ontaarde figuur zeven schijnbare dubbelpunten moet bezitten.

Wij zullen volstaan met de opsomming van eenige
■ gevallen.

1°. Een ruimtekromme van den vijfden graad en het
geslacht twee, <r₂⁵, met een harer koorden k. Door een

1

willekeurig punt P gaan ~X4X3-2 = 4 koorden

van ö2⁵ en drie transversalen over <r₂⁵ en k.

2°. Een biquadratische ruimtekromme van het geslacht
één, (Ti⁴, met twee harer koorden, fa en fa. Een wille-
1

keurig punt P draagt -X3X2—1=2 koorden van

<ri⁴, twee transversalen over <ri⁴ en h, twee over <n⁴
en fa en één transversaal over fa en fa, tezamen zeven
koorden van de ontaarde figuur (<ri⁴, fa, fa).

3°. Twee kubische ruimtekrommen ar, <r°³ die vier

punten gemeen hebben. Door P gaan één koorde van
tri³, één koorde van a-a³ en vijf gemeenschappelijke ribben
van de kegels, die <ri³ en er»³ uit P projecteeren, en deze
krommen in verschillende punten snijden.

4°. Een kubische kromme <r³ met drie harer koorden
fa, fa, fa.

De zeven koorden door P zijn: de koorde van <r³,
drie transversalen over <r³ en een der koorden k, en drie
transversalen over fa fa, ki fa, fa fa.

5°. Zes rechten, die de ribben zijn van een tetraëder
(§ 1). De zeven koorden door P zijn de rechten, die
P met de hoekpunten van het tetraëder verbinden en
de transversalen naar de drie paren overstaande ribben.

6°. Vier rechten Ai, h₂, A₃, Ju met hunne transver-
salen ti, h. (Zie Hoofdstuk IX).

7°. Drie rechten Ai, A₂, A₃ met de drie transversalen,
uit één punt naar de paren Ak, Ai getrokken. (Zie
Hoofdstuk VII).

HOOFDSTUK IV.

De derde algemeene congruentie Tan YENERONI.

§ 1. Gegeven zij een bundel van quadratische opper-
vlakken (<I>²), die tot basis heeft een kubische ruimte-
kromme <r³ en een harer koorden b, en voorts een
biquadratisch oppervlak ¥⁴ met <r³ als enkelvoudige
kromme en b als dubbelrechte. Uit twee oppervlakken
^ï², 4>₂² van den bundel (<J>²) stellen wij een tweede
oppervlak samen. De beide oppervlakken ¥⁴ bepalen
een bundel, waarvan alle exemplaren tweemaal door b
gaan, elkaar langs <r³ raken *), en de kubische ruimte-
krommen Ci³, C2³ bevatten, die met b en <r^s de door-
snede vormen van het. gegeven oppervlak met de
samengestelde figuur (<J>i², ⁽P₂²).

Brengen wij nu alle oppervlakken ^CI>² tot doorsnijding
met alle oppervlakken ^VP⁴, dan ontstaat naast de vaste
bestanddeelen er³, die enkelvoudig, en b, die dubbel in
•rekening gebracht moet worden, een congruentie [p^s].

Daar een willekeurig punt P één oppervlak ⁽ï>² en één
oppervlak bepaalt, draagt P één kromme p³, en is
de congruentie van de eerste orde.

Op een willekeurige rechte l snijdt de bundel (<J>²) een
quadratische, de bundel Of") een biquadratische involutie
in. Tot de drie gemeenschappelijke paren dezer beide

\') De figuur (<<p₂⁷) wordt door een vlak <p gesneden in twee
kegelsneden, welke elkaar op b en in drie punten Sk van <r³ snijden.
Daar elk der punten Sk dus een dubbelpunt is van een der krom-
men <p⁴, welke (p met den bundel (\'F*) gemeen heeft, zullen alle
niet-samengestelde krommen <p^f elkaar in Sk moeten raken, dus in
Sk een vaste raaklijn moeten hebben.

Alle oppervlakken \'I^ri hebben dus in Sk hetzelfde raakvlak.

involuties behooren de paren, die, op <I>i² en <ï>₂² ge-
legen zijn.

Op l ligt dus één paar, dat zoowel tot een oppervlak
4>² als tot een oppervlak ¥⁴ behoort; l is dus koorde
van één kromme p³, m. a. w. de congruentie is ook van
de eerste klasse, dus bilineair.

Zij werd door Veneroni aangewezen ^l), die haar echter
niet verder behandeld heeft.

Alle krommen dezer [/>³] hebben b tot gemeenschappe-
lijke koorde en raken de singuliere kromme <r³ in vier
punten.

In een vlak cp vormen de doorgangen van den bundel
(f⁴) een bundel (cp¹), waarvan alle exemplaren een dub-
belpunt in B (doorgang van b) en een vaste raaklijn in
elk der drie punten Si, S₂, S_a (doorgangen van <r³) hebben.

De bundel (<I>²) geeft als doorsnijding een bundel van
kegelsneden (c£²) met basispunten B, Si, S₂, S₃.

Elke cp² heeft, buiten de basispunten, nog drie ver-
anderlijke punten Xi, X₂, X₈ met elke cp⁴ gemeen. Deze
punten X vormen een kubische involutie I³.

Gaat een p³ door Si, dan moet bijv. Xi met Si samen-
vallen; de kegelsnede cp² moet dan in Si aan een der
krommen cp* raken. Deze kegelsnede cp² is de doorgang
van het oppervlak <P₀²> dat in Si het gemeenschappelijk
raakvlak van alle oppervlakken ^VP⁴ aanraakt. Denkt men
zich nu het vlak cp veranderlijk om Si, dan blijkt dat
alle p³ door Si gelegen zijn op het oppervlak ⁽I>₀²; dit
is dan de meetkundige plaats der krommen p³, die in
het punt Si der singuliere kromme <r³ samenkomen.

Wij zien hieruit, dat <r³ singuliere kromme van de
tweede orde is.

Gaat een p³ door B, dan moet een kegelsnede (p² een
kromme <p⁴ in B raken. Voegen wij nu aan elke (p⁴ de
beide krommen cp² toe, die in B aan de beide takken

\') E. Veneroni: Sui vari tipi di congruenxc bilincarc di cubichc
gobbe. (Rend. Inst. Lomb. 37.)

der Ó⁴ raken, dan .ontstaat een verwantschap (1, 2)
tusschen de bundels (Ó⁴) en (<£²). De snijpunten der
toegevoegde krommen brengen een meetkundige plaats
van den achtsten graad voort, waartoe de kegelsneden
(pi², <p2² behooren, die de doorgangen zijn van de opper-
vlakken <J>i², 4>2² welke tot een oppervlak vereenigd
werden.

De eigenlijke meetkundige plaats is dus een kromme
van den vierden graad, y⁴. Met een willekeurige cp²
heeft y⁴ twee punten X₂, X₃ van een tripel der I³ en
de basispunten Si, Sj, S₃ gemeen. De drie overige
punten zijn in B samengevallen, m. a. w. B is drievoudig
punt van y⁴, en de meetkundige plaats der krommen p³,
die door een punt B van b gaan, is een monoïde Sfj
met drievoudig punt B. De gemeenschappelijke koorde

b is dus singuliere rechte van de vierde orde.
«

§ 2. Voegt men aan elk oppervlak de vier opper-
vlakken 4>² toe, die op een rechte l snijden, dan
ontstaat een verwantschap (4, 2) tusschen de bundels
OP¹) en (<I>²). Deze verwantschap bepaalt een verwant-
schap (8, 8) op een andere rechte m, dus zullen de in
een (4, 2) gerangschikte bundels een meetkundige plaats
van den zestienden graad voortbrengen.

Terwijl nu een willekeurig oppervlak ⁽I>² door zijn
snijpunten met l aan twee oppervlakken 4^/l wordt toe-
gevoegd, ontmoet het oppervlak ^{f>i² (<l>₂²) in elk zijner
snijpunten met l slechts het bijzondere oppervlak (^fI>i², <I>₂²).

Zoowel <I>i² als <P₂² moét dus tweemaal tot de meet-
kundige plaats gerekend worden. Hieruit volgt dat de
meetkundige plaats der krommen p³, welke de rechte l
snijden, een oppervlak van den achtsten graad, A⁸, is.

Wij kunnen dit resultaat ook op andere wijze ver-
krijgen.

De rechte l snijdt de monoïde Sg in vier punten. Door
B gaan dus vier krommen p³, welke l snijden, m. a. w.
de rechte b is viervoudige rechte op het oppervlak A.

Daar / het oppervlak 4V², dat de singuliere kromme 9
ö-³ in een punt S aanraakt en de meetkundige plaats
der krommen p³ door S is, in twee punten snijdt, draagt
S twee krommen p^s, die l snijden, m. a. w. de singuliere
kromme <r³ is dubbelkromme op het oppervlak A.

Twee oppervlakken A, A\' zullen nu een doorsnede
opleveren, waartoe de rechte b zestienmaal gerekend
moet worden en de kromme tr³ achtmaal, omdat A en
A\' elkaar langs <r³ zullen raken.

Zij nu x de graad van A, dan bestaat de doorsnede
verder nog uit x krommen p³. Wij vinden dus voor x
de vergelijking

x²=3x 16-f- 8X3
waaruit volgt x =8.

HOOFDSTUK V.

Bepaling van het aantal mogelijke soorten van
bilineaire congruenties.

§ 1. In zijn verhandeling: „Sopra alcuni sistemi di
cubiche gobbe" leidt Veneroni *) uit een beschouwing
eener bilineaire congruentie van krommen pl van den
graad n en het geslacht p de volgende algemeene eigen-
schappen af:

1°. De meetkundige plaats van de steunpunten der
pl op hare koorden door een willekeurig punt P is een
oppervlak ïïp van den graad n 1 met een (w — 1)
voudig punt P.

2°. De raaklijnen in P aan lip zijn de rechten, die
de door P gaande pl uit P projecteeren.

3°. De singuliere koorden vormen een stralencon-
gruentie van de orde {n² — n — 1).

4°. Alle oppervlakken lip bevatten alle singuliere lijnen.

5°. Het oppervlak A, gevormd door de krommen pl,
welke een rechte l snijden, heeft de pl, die l tweemaal
snijdt, tot dubbelkromme.

6°. Het oppervlak Sp, gevormd door de krommen
pl, die door een singulier punt P gaan, is een monoïde,
welker graad hoogstens n 1 is.

7°. Wanneer m de graad is van het oppervlak A

en dit de graad der singuliere lijnen, die /s-voudig op A

liggen, geldt de betrekking:

n l

m(m - n) = £k²dk.........(1).

ï.

-

\') Rend. Palermo, 16, 209. De notatie is gewijzigd, om de
overeenstemming met de andere Hoofdstukken zooveel mogelijk
te behouden.

8°. Een willekeurige kromme pl steunt, wanneer er
geen hoofdpunten zijn, in 2 (2 n p — 1) punten op
het samenstel der singuliere lijnen.

Hieruit volgen terstond de volgende algemeene eigen-
schappen van de bilineaire congruenties van kubische
ruimtekrommen p³:

1°. Elk oppervlak lip is van den vierden graad en
heeft een kegelpunt P.

2°. De raaklijnen in P aan lip zijn de rechten, die
de door P gaande p³ uit P projecteeren.

3°. De singuliere koorden vormen een stralencon-
gruentie van de vijfde orde.

4°. Alle oppervlakken 17p bevatten alle singuliere
lijnen.

5°. Elk oppervlak A heeft tot dubbelkromme de pï,
die l tweemaal snijdt.

G°. De monoïde Sp, behoorende bij een singulier
punt P, is hoogstens van den vierden graad.

7°. De formule (1) wordt:

rn (m — 3) = di 4 d₂ 9 d» 16 d₄......(2).

8°. Elke kromme p³ rust, wanneer er geen hoofd-
punten zijn, in tien punten op het samenstel der singu-
liere lijnen.

Daar een p³ der congruentie juist door tien voorwaarden
bepaald is, volgt hieruit:

Een bilineaire congruentie [p³] omvat die krommen
p³, welke tienmaal rusten op een groep singuliere lijnen,
wanneer de congruentie geen hoofdpunten bezit. Een
hoofdpunt is dubbelpunt op elk oppervlak flp, daar het
gaan door een vast punt twee voorwaarden vertegen-
woordigt.

Heeft de congruentie één hoofdpunt, dan steunt iedere
kromme p³ nog slechts in acht punten op de singuliere
lijnen.

In het algemeen zijn er li ^ 5 hoofdpunten; iedere
kromme p³ ontmoet dus de singuliere lijnen in (10 — 2 h)
punten.

§ 2. Wij onderstellen nu, dat de congruentie een
singuliere lijn bezit, die viervoudig is op elk oppervlak A.
Zij P een willekeurig punt dezer lijn, dan valt het opper-
vlak Sp samen met het oppervlak lip. Immers is P
een singulier punt, dan bestaat lip uit de p³, die minstens
één koorde door P zenden, maar aan die voorwaarde
voldoen ook de p³, die door P gaan.

In het algemeen zal dus voor een singulier punt Spdeel
uitmaken van lip.

Is nu P een punt van een viervoudige singuliere lijn,
dan gaan door P vier krommen p³, die een rechte l
snijden. Dan is Sp een oppervlak van den vierden
graad, en moet Sp met lip samenvallen.

Dit oppervlak is nu een monoïde met drievoudig punt P.

Een koorde door P naar een p³, welke niet door P gaat,
moet op lip liggen, dus óf singuliere koorde, öf gemeen-
schappelijke koorde zijn.

Er zijn dus twee gevallen denkbaar:

1°. Alle p³ der congruentie hebben een gemeenschap-
pelijke koorde door P.

2°. De door P gaande koorden der p³ zijn ribben van
een kegel.

In het tweede geval ontaardt lip in twee quadrikegels,
n. 1. in den kegel, die een p³ door P projecteert en den
genoemden kegel. De laatste moet nu de steunpunten
van oc² krommen p³ bevatten, elk zijner ribben dus de
steunpunten van co¹ krommen p³] de kegel moet dan
geheel uit singuliere koorden bestaan, maar dan kan P
geen willekeurig punt van de viervoudige singuliere lijn
zijn, wat tegen de veronderstelling is.

Een singuliere lijn, die viervoudig op alle oppervlakken
A ligt, is dus een gemeenschappelijke koorde.

Van de tien punten, waarin een p³ de singuliere lijnen
ontmoet, liggen er nu twee op de gemeenschappelijke
koorde h en de acht andere buiten h.

Kiest men P op h, dan heeft lip met een willekeurige
p³ acht punten buiten h, dus vier op h gemeen, en daar

deze in de punten moeten liggen, waarin de p³ op h
steunt, is h dubbelrechte van üp (wanneer P op h ligt).

Door elke twee punten van de gemeenschappelijke
koorde gaan dus twee krommen der [p³].

Zijn P en Q punten van de gemeenschappelijke koorde,
dan bestaat de doorsnede van lip en ITq uit de koorde,
die voor beide oppervlakken dubbel telt, twee krommen
p³ en een kromme van den zesden graad, <r^c, welke de
meetkundige plaats der singuliere punten is.

Immers Tip en Üq bestaan in dit geval uit de p³,
die door P, resp. door Q gaan; ieder punt van o-" draagt
dus twee p³ en is singulier.

Behalve de dubbelreclite h gaan door P nog acht
enkelvoudige rechten van üp; ^J) projecteert men nu de
monoïde uit P op een vlak, dan wordt elke vlakke door-
snede afgebeeld door een kromme met een dubbelpunt
A en acht vaste punten B.

De krommen cp¹ vormen een complex, daar zij co³
in aantal zijn.

Elke p³ van lip gaat door P en wordt dus afgebeeld
door een kegelsnede cp². De drie snijpunten van een p³
met een vlakke doorsnede van üp worden afgebeeld
door gemeenschappelijke punten van een cp\'¹ en een cp². De
vijf andere gemeenschappelijke punten van 0¹ en cp² zijn
basispunten van den complex |c£^l|; twee hiervan liggen
in A, de andere in drie punten Bi, B₂, B_s. Deze drie
punten zijn dan de beelden van gemeenschappelijke
koorden van alle p³ door P.

Door ieder punt van de gemeenschappelijke koorde h
gaan dus drie singuliere koorden bi, b», bs. Deze zijn
parabolisch singulier, daar telkens één steunpunt in P ligt.

Daar de singuliere koorden een stralencongruentie van

\') Heeft een monoïdo lip een dubbelrechte h, die door den top
gaat, dan is deze ook dubbelrechte van den raakkegel in P. In
do doorsnede van monoïdo en raakkegel moet h viermaal geteld
worden, zoodat de verdere doorsnede uit acht, door den top gaande
rechten bestaat.

de vijfde orde vormen, is de gemeenschappelijke koorde
h dubbelstraal dezer congruentie.

De overige vijf punten Bk (k = 4... 8) zijn beelden
van rechten, die tot ontaarde figuren p\'^s behooren.

Het beeld der singuliere kromme <r⁶ heeft met elke
<£>⁴ 24 punten gemeen. Daaronder bevinden zich zes
veranderlijke punten, n.1. de beelden van de snijpunten
van (T⁶ met een willekeurig vlak; 18 snijpunten van de
beeldkromme met Gb⁴ zijn dus vaste punten.

Het beeld van ö-⁶ kan de singuliere koorden bi, b₂, b₃
niet snijden; het gaat dus a-maal door A en /3-maal
door Bk (k = 4 ... 8).

Uit 2« 5/3= 18 volgt « = 4, /3 = 2.

De gemeenschappelijke koorde h en </\' hebben dus
vier punten gemeen.

Het beeld van a-⁶ moet in A een viervoudig punt en
vijf dubbelpunten B hebben, wat met elf dubbelpunten
gelijk staat; daar een kromme van den zesden graad
niet meer dan tien dubbelpunten kan bezitten, moet de
beeldkromme dus ontaarden.

Wanneer een van de bestanddeelen een viervoudig
punt A bezat, zou dat deel een C⁵ moeten zijn, die dan
geen verder singulier punt kan hebben.

De vijf punten B zouden dan de snijpunten van een
C⁵ met een C¹ moeten zijn. Maar dan zou het vlak
P C¹ de monoïde lip in vijf rechten snijden, hetgeen
niet mogelijk is^-.

Is A drievoudig punt van een C⁵, dan moet C¹ door
A gaan en C⁵ nog in twee punten B snijden. De overige
punten B* zouden dan op C⁵ liggen, maar dan zou de kegel
(P, C⁵) met lip zesmaal h en tweemaal elk der drie
rechten P B* gemeen hebben, dus verder nog een p\\
Deze zou dus uit P in een C⁶ geprojecteerd worden.

Bestond de beeldkromme G⁶ uit een C⁴ met drievoudig
punt A en een C² door A, dan moesten C⁴ en C² nog
vijf punten gemeen hebben, die dubbelpunten van C⁴
zouden zijn. Dan had echter de kegel, die C² uit P

projecteert, met lip tweemaal h en vijf rechten b gemeen;
zij zouden dan nog een rechte b gemeen hebben, wat
uitgesloten is, omdat de overige drie rechten b singuliere
koorden zijn, dus niet door de singuliere lijn gesneden
kunnen worden.

Bestond eindelijk C^G uit een C⁴ met dubbelpunt A en
twee rechten door A, dan zouden op deze rechten nog
vier dubbelpunten B liggen.

Het vijfde dubbelpunt B_s moest dan het tweede dub-
belpunt van C⁴ zijn. Dan had de kegel (P, C⁴) met üp
gemeen achtmaal h, tweemaal b_s en vier andere rechten
b, dus nog een p\\ die uit P in een G⁴ geprojecteerd
zou worden.

Wij moeten dus besluiten dat de ontaarding alleen
kan geschieden in twee kubische krommen Ci³, C2³, gaande
door Bk (k — 4... 8), elk met een dubbelpunt in A.

De singuliere punten liggen dan op twee kubische
ruimtekrommen «ri³, <r2³, die ieder de gemeenschappelijke
koorde li tot koorde hebben.

De kegelsnede, die een op np gelegen p^z afbeeldt,
heeft in A twee punten met C1³ (C₂³) gemeen en snijdt
G1³ (C2³) nog in vier punten.

Hieruit volgt dat elke p³ in vier punten op elk der
singuliere krommen <n³, a«³ en in twee punten op de
gemeenschappelijke koorde h rust.

Door (<ti³, h) als basis leggen wij een bundel van
quadratische oppervlakken, door (<r₂³, h) een analogen
bundel. Brengen wij elk exemplaar van den eersten
bundel tot doorsnijding met elk exemplaar van den
tweeden, dan ontstaat een [/j³], welker exemplaren de
krommen 0-1³, <j-₂³ elk viermaal en de rechte h tweemaal
snijden.

Wij vinden dus hier de eerste algemeene congruentie
(Hoofdstuk II) terug.

§ 3. Wanneer de singuliere krommen <ri³, fl-₂³ samen-
vallen ontstaat een [,s³], welker exemplaren twee punten

met de gemeenschappelijke koorde gemeen hebben en
en de singuliere kromme cr³ in vier punten aam-aken.

Deze [,3³] is de derde algemeene congruentie, die in
Hoofdstuk IV behandeld werd.

§ 4. In de tweede plaats onderstellen wij dat de
congruentie een singuliere lijn bezit, die drievoudig is op
elk oppervlak A. Daar het oppervlak Sp nu van den
derden graad is en een bestanddeel moet zijn van het
oppervlak lip, behoorend bij een willekeurig punt P van
de singuliere lijn, valt lip uiteen in de monoïde Sp en
een vlak Cp door P.

De monoïde Sp moet een dubbelpunt P hebben, anders
zou iedere rechte door P singuliere koorde zijn.

Dat het vlak (p door P moet gaan volgt hieruit, dat
zoo dit niet het geval was, een rechte door P een punt
Pi met cp en een punt P₂ met Sp gemeen zou hebben.
Dan zou Pi P₂ koorde zijn van een p³, die niet door P
ging en moest P₂ een singulier punt wezen; dit zou dan
voor alle punten van Sp gelden, wat ongerijmd is.

Een willekeurige p³ snijdt (p in drie punten, waarvan
er twee collineair met P zijn. Elke straal van den
waaier (P, cp) bevat dus cc¹ paren steunpunten en is
singulier, waaruit volgt dat ieder punt van de drievou-
dige singuliere lijn top is van een waaier van singuliere
koorden. *).

Beelden wij de kubische monoïde door projectie uil
P op een vlak af, dan worden de p³, die zij bevat, af-
gebeeld door kegelsneden cp² en de vlakke doorsneden
van Sp door krommen cp³, welke gaan door de door-
gangen van de zes rechten, welke Sp en haar raakkegel
in P gemeen hebben.

Nu snijdt een p³ een vlakke doorsnede van Sp in drie

In Hoofdstuk III, § 1 is aangetoond, dat do singuliere koorden
van deze congruentie een stralencongruentie van do vierde orde
vormen. Thans blijkt dat deze congruentie van de zesde klasse is.

punten, dus gaan de kegelsneden (p² door drie van de
zes hoofdpunten der afbeelding.

Deze drie hoofdpunten zijn de doorgangen van drie
singuliere koorden door P, die niet tot den waaier
(P, <p) behooren.

De kegelsneden cp² vormen, evenals de op Sp gelegen
p³, een bundel en hebben dus nog een vierde punt
gemeen, dat het beeld is van een punt H der monoïde,
waardoor alle p^s van Sp gaan.

Daar elke rechte door II de monoïde nog in twee
punten snijdt, is zij koorde van twee /j³, dus singuliere
koorde. De p^s snijden op haar een quadratische involutie
in, en daar II tot twee, dus tot alle paren behoort, is
de involutie parabolisch.

Wij zien hieruit dat II een hoofdpunt is; immers elke
rechte door H is singulier.

Een willekeurige p³ snijdt Sp in negen punten, waarvan
één in H ligt; de acht andere punten zijn singulier,
want wanneer de congruentie een hoofdpunt bezit, rusten
de p³ in acht punten op de singuliere lijnen.

Hieruit volgt dat alle singuliere lijnen, ook de drie-
voudige, op Sp liggen.

Zij nu Q een tweede punt van de drievoudige singu-
liere lijn, dan gaat door Q en P één /?³, die op Sp ligt,
want de p³ op Sp vormen een bundel. De doorsnede
van Sp en Sq bestaat uit deze p³ en een kromme van
den zesden graad, <r^B, die de drievoudige singuliere lijn moet
zijn, waarop alle exemplaren der [p³] in acht punten rusten.

De congruentie bestaat dus uit de krommen p³, die
door het hoofdpunt II gaan en in acht punten op de
singuliere kromme c steunen.

De krommen p^s zijn de partieele doorsnijdingen van
de exemplaren van een net van kubische oppervlakken,
dat H en </\' tot basis heeft.

De onderstelling, dat de congruentie een drievoudige
singuliere lijn bezit, voert ons dus terug tot de tweede
algemeene congruentie (Hoofdstuk III).

§ 5. Een derde mogelijkheid is, dat de congruentie
een singuliere lijn bezit, die dubbellijn op elk oppervlak
A is. Zij P weer een willekeurig punt dezer dubbellijn,
dan vormen de door P gaande p³ een quadratisch opper-
vlak Sp, waarop zij gerangschikt liggen in een bundel
met P en drie andere punten der dubbellijn tot basis-
punten.

Immers door centrale projectie uit P gaan de p³ over
in kegelsneden 0² en de vlakke doorsneden van Sp
in kegelsneden \\p² door twee vaste punten, n. 1. de •
doorgangen van de beide beschrijvenden van Sp, welke
door den top P gaan.

Nu heeft een willekeurige p³ van Sp met een vlakke
doorsnede drie punten gemeen; de kegelsneden 0² en \\fj²
snijden elkaar dus ook in drie punten.

De kegelsneden <p² gaan derhalve door één der hoofd-
punten van de afbeelding en moeten nog drie andere
punten gemeen hebben, die beelden zijn van punten
Q van Sp.

De op Sp gelegen p³ gaan dus door vier vaste punten,
n. 1. P en drie punten Q, en snijden de dubbellijn in
vier punten, want de co¹ krommen p³ door Q vormen
een oppervlak Sq, dat met Sp samenvalt.

Laten wij nu P de singuliere dubbellijn doorloopen,
dan beschrijft Sp een stelsel cc^l. Twee exemplaren van
dit stelsel hebben een kromme <r⁴ of een kromme <r³ en
een rechte gemeen.

In het eerste geval draagt elk punt van <r⁴ twee p³
en is <r⁴ dus singulier. Dan vormen de oppervlakken Sj>
een bundel, en elk oppervlak draagt een bundel (/j³) met
vier basispunten. Singuliere punten der congruentie zijn
dan de punten van <r⁴ en de basispunten der bundels (p³).

Deze basispunten vormen in het algemeen een tweede
singuliere lijn, die elk oppervlak Sp in vier punten snijdt.

Is Q een punt van deze tweede singuliere lijn, dan
valt het oppervlak IIq uiteen in Sq en een quadrikegel
met top Q; immers elke rechte door Q kan slechts

één punt van Sq bevatten, tenzij alle punten van Sq
singulier waren.

De tweede singuliere kromme ligt op den quadrikegel
en is, daar zij uit elk harer punten door een quadrikegel
geprojecteerd wordt, een kubische ruimtekromme <ri³.

De kromme a-⁴ kan slechts dubbelkromme of enkel-
voudige kromme op A zijn. Het laatste is onmogelijk,
daar dan formule (2) herleid wordt tot

m(m — 3) = 4 4X3 = 16
waaraan niet door geheele waarden van m kan voldaan
worden.

Onderstellen wij nu, dat a-⁴ dubbelkromme en R een
harer punten is, dan wordt I1r gesplitst in (de
meetkundige plaats der p³ door R) en een quadrikegel
met top R. Daar a-i³ niet door R gaat, kan zij niet op
den quadrikegel liggen, maar behoort zij tot ^fj.

Is S een tweede punt van <r^l, dan bestaat de door-
snede van en fg uit a-i³ en een singuliere rechte s.
Daar s een deel van a-⁴ moet zijn, ontaardt <r⁴ in een
kubische ruimtekromme <r</ en s.

Daarmede komen wij weer terug tot de eerste alge-
meene congruentie.

Wanneer a^-4 ontaardt in een aa³ en een rechte, bestaat
de doorsnede van Sp en Sq uit een p³ der congruentie
en een singuliere rechte.

Daar deze niet kan veranderen, wanneer P en Q de
singuliere dubbellijn doorloopen, moet deze rechte ge-
meenschappelijke koorde zijn.

Laat men nu Q de dubbellijn doorloopen terwijl P
onveranderd blijft, dan snijdt Sq op Sp een bundel t^³)
in. Hieruit volgt dat de oppervlakken Sq een bundel
vormen, waarvan de gemeenschappelijke koorde en een
kromme a-³ de basis vormen.

Ook deze onderstelling brengt ons tot de eerste al-
gemeene congruentie terug.

\') In formule (2) moet n. 1. door <r,^J en dj door ** vervangen
worden,

§ 6. Er blijft nu nog over bet geval te beschouwen,
dat de congruentie alleen singuliere lijnen bezit, die
enkelvoudig op elk oppervlak A liggen.

Het oppervlak Sp, gevormd door de p³, die door een
punt P van zulk een singuliere lijn gaan, wordt nu een
plat vlak, zoodat de p³ door P moeten ontaarden in een
vast en een veranderlijk bestanddeel; het laatste door-
loopt een vlakken bundel, het eerste is de meetkundige
plaats der singuliere punten.

De enkelvoudige singuliere lijnen zullen dus bestaan
uit kegelsneden en uit rechten. Haar gezamenlijke graad
kan niet hooger zijn dan 16 en uit de formule

m (m — 3) = di
volgen als mogelijke gevallen

ni = 4, di = 4 en m = 5, c?i = 10.

Stellen wij di = 4, dan kunnen de singuliere lijnen
bestaan uit:

1°. Twee rechten en een kegelsnede.

2°. Twee kegelsneden.

3°. Vier rechten.

Bij een singuliere rechte s behoort een bundel van
kegelsneden (2²); het vlak van dien bundel snijdt A⁴ in
een kegelsnede die door den doorgang van s gaat,
en in een singuliere kegelsnede of een paar singuliere
rechten.

Bij een singuliere kegelsnede tr² behoort een waaier
(d); zijn vlak snijdt A⁴ in een straal van den waaier
en in een singuliere figuur, die uit een kegelsnede en
een rechte of uit drie rechten bestaat.

Wanneer nu de singuliere lijnen uit een kegelsnede
en twee rechten bestonden, zouden deze over drie vlakken
verdeeld moeten zijn, wat onmogelijk is.

Om dezelfde reden moet het tweede geval uitgesloten
worden.

Zijn er vier singuliere rechten si, s₂, s₃, die dus
een scheeve vierzijde vormen, dan moet A⁴ een regel-
vlak zijn, daar het de p\\ (die l lot koorde heeft) als

dubbelkromme en voorts de vierzijde moet bevatten.

De rechte l en de vierzijde zijn dus richtlijnen van A⁴.

Daar elke rechte, die de dubbelkromme p\\, de rechte l
en twee kruisende lijnen s snijdt, tot A⁴ behoort, bestaat
dit regelvlak uit twee quadratische regel vlakken (l, si, s₃),
en (/, s₂, Si), die een p³ gemeen hebben.

Laat men nu l veranderen, dan bepalen de beide qua-
dratische regelvlakken telkens een p³, die l tot koorde heeft.

Plet aldus verkregen stelsel \\p³\\ is evenwel geen con-
gruentie, maar een complex.

Stellen wij daarentegen m = 5, di = 10, dan snijdt
een vlak <p door l het oppervlak A⁵ in een kromme <£⁴
met dubbelpunt buiten l.

De puntenparen, die met een punt van l de door-
gangen der p³ met <p vormen, zijn collineair met het
dubbelpunt van <p⁴; want een 0⁴ van geslacht twee
bevat slechts één pareninvolutie.

De puntenparen worden op (p^l ingesneden door de
stralen van een waaier met top in het dubbelpunt van
<p⁴, d. w. z. in het punt, dat de doorgang is van de p³,
die l tot koorde heeft.

Dooi" toevoeging van elk punt van l aan de rechte,
die de beide andere doorgangen der p³ verbinden, ont-
staat een poolstelsel.

De drietallen snijpunten van (p met de krommen p³
vormen pooldriehoeken van een kegelsnede, welke be-
staat uit de raakpunten der krommen p³, die cp aanraken.

Dan zijn wij echter tot de congruentie van Reye (Hoofd-
stuk I) teruggekomen, die een bijzonder geval is van de
eerste en tevens van de tweede algemeene congruentie.

Uit dit onderzoek blijkt dus dat de in de Hoofdstukken
II, III en IV behandelde algemeene congruenties de
eenig mogelijke zijn.

HOOFDSTUK VI.

Bijzondere gevallen van de eerste algemeene
congruentie.

§ 1. Denken wij ons gegeven vier punten Hi, H₂,
H₃, H₄ en twee rechten, si door Hi en s₂ door H₂.
Door Hi H₂, Hi H₃, Hi H₄ en si leggen wij een bundel
van quadrikegels (Ki²), door H₂ Hi, H₂ H₃, II₂ H₄ en s₂
een tweeden bundel van quadrikegels (K₂²).

Deze bundels hebben de basisribbe Hi H₂ gemeen en
brengen dus een bilineaire congruentie [^³] voort. *)

De congruentie heeft vier hoofdpunten Hi, PI₂, H₃, Il₄,
zes hoofdkoorden Hk Hi en tivee singuliere rechten Si, s₂,
welke ook als parabolische hoofdkoorden kunnen opgevat
worden.

De kegel K₂², gaande door een punt Si van Si, snijdt
alle kegels Ki², dus draagt Si oo¹ krommen p³; elk punt
van Si is singulier en het oppervlak, gevormd door de
p³, die door Si gaan, is de kegel K₂², welke door Si
bepaald wordt.

Wij besluiten hieruit dat si (en analoog s₂) singuliere
rechte van de tweede orde is.

De ontaarde figuren, die uit een rechte d en een
kegelsnede 2² bestaan, kunnen tot vier groepen gebracht
worden.

1°. De rechte dn = Hi H₂ vormt een p³ met elke
kegelsnede, die door H₃ en II₄ gaat en op rfi₂, si en s₂
rust. Dergelijke kegelsneden vormen een oppervlak van
den vierden graad, waarvan de vlakken Hi H₃ H₄ en
H₂ H₃ H₄ deel uitmaken. Het vlak Hi H₃ PI₄ toch bevat

\') Dr. Jan de Viues: Eenige bijzondere hilincairc congruenties
van lcubische ruimtekrommen. (Versl. K. A. W. 23, blz. 1232).

een bundel van kegelsneden met Hi, H₃, HU en den
doorgang van s₂ tot basispunten; in het vlak H₂ H₃ H₄
ligt een analoge bundel.

Deze beide vlakken mogen echter niet in rekening
gebracht worden voor de meetkundige plaats (5²), want
wanneer d\\₂ met P een p³ vormt, moeten de kegels,
welke die ontaarde figuren voortbrengen, d_i2 tweemaal
bevatten, dus elkaar langs aanraken. Ontaardt nu
de kegel Ki² in de vlakken Hi H₃ H₄ en si Hi H₂, dan
levert hij een ontaarde tiguur met den kegel K₂², die
het vlak si Hi H₂ langs d_i2 aanraakt. Er is slechts één
kegel K₂², die daaraan voldoet. Van de oo² kegelsneden
in Hi H₃ H₄ behoort dus slechts ééne tot de meetkundige
plaats (<5²), dus kan het vlak Hi H₃ H₄, en analoog het
vlak H₂ Hü Hi niet meegeteld worden.

Als meetkundige plaats der kegelsneden blijft dan
de hyperboloïde A² over, die door di₂, si, s₂, H₃ en
H₄ gaat.

Dit resultaat kan ook op de volgende wijze verkregen
worden.

Kiest men een punt op tfi₂, twee punten op si en
twee punten op s₂, dan wordt door deze vijf punten en
de vier hoofdpunten een hyperboloïde A² bepaald.

Elk vlak door de rechte d₃4 = H₃ H₄ snijdt de hyper-
boloïde in een kegelsnede die door H₃, H₄ gaat en
op di2, Si, s₂ rust; dus is A² de meetkundige plaats der
kegelsneden, die met d_i2 figuren p³ vormen.

2°. De rechte d_2i = II₂ H₄ vormt figuren p³ met de
kegelsneden van een bundel, gelegen in liet vlak (H₃, i\'i),
welke bundel IIi, H₃ en de doorgangen van d_2i en s₂
tot basispunten heeft. Evenzoo moeten dia, d₂3 en da
gecombineerd worden met kegelsneden in de vlakken
(H₄, s₂), (H₄, si) en (FI_S, s₂).

3°. De transversaal g_a uit H₃ over si en s₂ levert
ontaarde figuren met de kegelsneden van een bundel in
het vlak Hi H₂ Hj, welke bundel Hi, H₂, FI₄ en den
doorgang van <73 tot basispunten heeft.

Hetzelfde geldt voor de transversaal g4 uit H₄ over
«1 en s₂; deze wordt aangevuld door een bundel van
kegelsneden in het vlak Hi H2 H₃.

4°. In het vlak H_x H₃ Hi ligt een bundel van kegel-
sneden met basis Hi, H₃, H₄ en den doorgang van s₂;
elke dezer kegelsneden moet gecombineerd worden met
een straal van den waaier, welke H2 tot top heeft en
in het vlak (H2, si) gelegen is.

Analoog worden de kegelsneden van den bundel in
Ho H₃ H4 tot figuren p³ aangevuld door de stralen van
den waaier (Hi, s₂).

In dit vierde geval zijn de beide bestanddeelen dei-
ontaarde figuren veranderlijk.

De kegelsneden vormen een meetkundige plaats van
den tienden graad, die uiteenvalt in de hyperboloïde A²
en acht vlakken.

Daar een willekeurige rechte l de hyperboloïde A² in
twee punten en elk der acht vlakken, waarin de bundels
(^²) liggen, in één punt snijdt, ontmoet l tien ontaarde
figuren (d, 2²).

Een ontaarding in drie rechten ontstaat, doordat een
kegelsnede in twee rechten uiteenvalt. Vooreerst kan
d\\₂ aangevuld worden door een lijnenpaar van de hyper-
boloïde A², dus door een rechte van het stelsel (si, s₂)
met een rechte van het stelsel d\\₂. Van deze beide
aanvullende rechten moet de eene door Ha, de andere
door H4 gaan.

Wij moeten dus dn samenstellen met de transversaal
g₃ uit H₃ over s_t en s₂ en de transversaal Ju uit II₄
over g₃ en d_i2 of met de transversalen g4 en h₃.

Verder vormt elk der rechten d_2i, di₃, d₂₃, du, g₃, g_x
ontaarde figuren met de drie lijnenparen van den toe-
gevoegden bundel van kegelsneden.

Hieronder vinden wij de eerstgenoemde ontaardingen
#3, In en d_i2, g_i} h₃ terug.

Eindelijk vormen de drie lijnenparen van elk der
bundels (5²) in Hi H₃ FI₄ en II₂ H₃ H4 ontaardingen met

telkens een straal van den waaier (Ho, si) of den waaier

(Hi, *).

De congruentie bevat dus in hel geheel 24 figuren,
die uit drie rechten bestaan.

§ 2. De krommen p^s welke een willekeurige rechte
l snijden, vormen een oppervlak A, waarvan de graad
gemakkelijk te bepalen is door de beschouwing van een
vlakke doorsnede, bijv. met Hj H₂ H_s. In dat vlak liggen
de volgende bestanddeelen van ontaarde krommen : de
kegelsnede door Hi, H₂, H₃ en de doorgangen van (ji
en l; de rechte d_J2, welke tweemaal in rekening gebracht
moet worden, daar l op A* twee ï¹ snijdt, die met dvt
ontaarde figuren p³ vormen; tenslotte de rechten g?i₃ en
c?23, die elk behooren tot een figuur, waarvan de door
l gesneden wordt.

Deze bestanddeelen vormen samen een doorsnede van
den zesden graad.

Het gezochte oppervlak is dus een A^B met twee vier-
voudige punten Hi, Hj, twee drievoudige punten H₃, H4,
drie dubbelrechten dvi, s 1, .s₂ en negen enkelvoudige rechten,
waaronder dn, d<>a\', du, d^i, ga, <74. die op alle opper-
vlakken A^r\' liggen en drie veranderlijke rechten, n. 1. I en
een straal van elk der beide waaiers (11«, si) en (Hi, s₂).

Dat si en s₂ dubbelrechten moeten wezen volgt hieruit,
dat zij singuliere rechten van de tweede orde zijn.

Eindelijk vindt men op A⁶ tien kegelsneden, waarvan
acht elk met een der enkelvoudige rechten en twee met
de dubbelrechte (/i₂ ontaarde figuren p³ vormen, en de
dubbel kromme p\\, die l tot koorde heeft.

De veelvoudigheid der hoofdpunten kan als volgt be-
vestigd worden.

Een willekeurige p^a snijdt A^G in 18 punten; op de
dubbelrechten si, s₂ heeft p³ twee punten, die tweemaal
gerekend moeten worden. De veertien overige punten
liggen in de hoofdpunten, en wel vertegenwoordigen
Hi, H» ieder vier, II₃, Hi ieder drie punten.

Twee oppervlakken A⁶, behoorende bij de rechten L
en l\' hebben gemeen de zes krommen p³, die op beide
rechten rusten, de drie dubbelrechten en zes enkelvoudige
rechten. Hun doorsnede is dus naar behooren van den
graad 6X3 3X2X2 6 = 36.

§ 3. De kromme 0⁵, die met l de doorsnede vormt
van A^u met een vlak 0 door l, gaat door de steunpunten
van l op de dubbelkromme p] en heeft dubbelpunten in
de doorgangen Di₂, Si, S₂ van di₂, si, s₂ en in den
derden doorgang van p\\. Zij snijdt l verder nog in drie
punten, waar 0 door krommen p³ aangeraakt wordt.

De aanrakingskromme is dus een kubische kromme 0³,
welke door Di₂, Si, S₂ gaat.

Met een oppervlak A^G, behoorende bij een niet in 0
gelegen rechte m, heeft 0³ 18 punten gemeen. Nu bevat
A⁶ de rechten di₂, si, s₂ tweemaal en heeft 0³ op elk
dezer rechten een enkelvoudig punt.

Behalve deze bijzondere punten zijn er dus twaalf
punten, waar 0 geraakt wordt door krommen p³, welke
m snijden.

De meetkundige plaats der aan 0 rakende p³ is dus
een oppervlak van den twaalfden graad, ^cI>^ia.
. De vlakke doorsnede van ⁽I>¹² bestaat uit tweemaal
de aanrakingskromme cp³ en de complementaire kromme 0^B.

Het vlak 0 snijdt de hyperboloïde A² in een kegel-
snede, waarop de P van A² een quadratische involutie
bepalen. Daar deze I² twee dubbelpunten heeft, (de
raakpunten der raakvlakken door H₃, H₄) is D_i2 dubbel-
punt der complementaire kromme. Hetzelfde geldt voor
Si en S₂.

De vlakke doorsnede van <l>¹² moet nu viermaal door
Di₂, Si, S₂ gaan; m. a. w. dn, si, s₂ zijn viervoudige
rechten van <ï>¹².

Elk der acht bundels (3²) snijdt het vlak 0 volgens
een quadratische involutie; elke bundel bevat dus twee
exemplaren, die 0 aanraken.

Hieruit volgt dat de rechten c/i₃, du, d₂3, d_2i, g₃, g^
dubbelrechten van <1>¹² zijn, terwijl dit oppervlak nog vier
enkelvoudige rechten bezit, n. 1. twee stralen van elk der
waaiers (H₂, si) en (H_x, s₂).

De ontaarde figuur, bestaande uit de rechte d\\₂ en
een kegelsnede P van A², snijdt ¹² in 12 24 punten.
De kegelsnede bevat een punt van elk der viervoudige
rechten di₂, s\\, s₂, heeft dus 12 punten in H₃, H4, zoodat
H₃, FI4 zesvoudige punten van 4>¹² zijn.

Dit kan als volgt bevestigd worden. De rechte h.\\,
die deel uitmaakt van een ontaarde /j³, snijdt <1>¹² in 12
punten, waarvan zes samenvallen in H₄, vier in het
snijpunt met di₂ en twee in het snijpunt met g₃.

Onderzoeken wij nu de snijpunten van ⁽I>¹² met de
ontaarde figuur, die bestaat uit d₂± en een kegelsnede
door Hi, Hs, D₂i en S₂.

Zij Si* het snijpunt der kegelsnede met si. Van de
24 snijpunten der kegelsnede met <l>¹² liggen er zes in
H₃, twee in D_>₄, vier in Si*, vier in S₂, dus acht in Hi.

Dan zijn Hi, II₂ achtvoudige punten van 4>¹².

Dit blijkt ook hieruit, dat een kegelsnede, welke g₃
tot een figuur p³ aanvult, <J>¹² snijdt in 24 punten, waar-
van twee in den doorgang van g₃, zes in H₄ en zestien
in Hi, H₂ samenvallen.

Daar bij een m-voudige rechte op <t>¹², die deel uit-
maakt van een ontaarde p^[\\ m kegelsneden behooren,
die <X> raken, en ⁽I>¹² één viervoudige rechte, zes dubbel-
rechten en vier enkelvoudige rechten draagt, welke aan dien
eisch voldoen, bezit dit oppervlak 4 6 X 2 4 = 20
kegelsneden.

Alle multipliciteiten van ⁽I^)I2 zijn het dubbele van de
multipliciteiten van A^u.

De aanrakingskromnie 1//³ in een vlak snijdt <I>¹² in
36 punten; daar \\p^:i enkelvoudige punten op ^12, Si, s₂
heeft en ^ deze rechten viervoudig draagt, vertegen-
woordigen deze punten 3X4=12 snijpunten, zoodat
wij vinden:

Er zijn 24 krommen der [ƒ3³], die twee gegeven vlakken
Cp en ip aanraken.

De meetkundige plaats van de raakpunten der raak-
lijnen, die een rechte l snijden, is een oppervlak van
den vierden graad.

Een vlak <p is osculatievlak voor zes krommen der [/j³].

De raakpunten der osculatievlakken door een rechte l
liggen op een ruimtekromme van den twaalfden graad,
w¹², met zesvoudige snijlijn l.

De punten, die lmn osculatievlak door een punt P
zenden, vormen een oppervlak van den zevenden graad, fl⁷.

Dit blijkt ook hieruit dat de doorsnede van dit opper-
vlak met het vlak Hi H₂ PI₃ van den zevenden graad is.
Is G₄ de doorgang van g4, dan bestaat deze doorsnede
uit de dubbelrechte d_i2 en de rechten <Zi₃, d₂₃, Hi G₄,
H₂ G₄ en H₃ G₄. Verder zien wij hieruit dat Hi, H₂
viervoudige punten en H₃, H₄ drievoudige punten van 12⁷
zijn; en daar een willekeurige p³, behalve drie verander-
lijke punten, slechts de hoofdpunten en een punt op «1,
s₂ met il\' gemeen kan hebben, zijn si, s₂ dubbelrechten
van II⁷.

Het oppervlak lip heeft vijf kegelpunten P, Hi, H₂,

H₃, H₄.

Een willekeurig punt P draagt vijf singuliere koorden;
hiertoe behooren de vier rechten P Hk, die parabolisch
singulier zijn.

De raaklijnen der krommen p³ vormen een complex
van den zesden graad.

De complexkegel met top P bezit vier keerribben P Hk
en één dubbelribbe.

Al deze eigenschappen kunnen gemakkelijk gevonden
worden met de in Hoofdstuk II, § 4—6 aangegeven
methoden.

In een willekeurig vlak cp bepaalt de hier besproken
[p^z] een kubische involutie met drie singuliere punten
van de tweede orde (de doorgangen van d_i2, si, s₂) en

zes singuliere punten van de eerste orde (de doorgangen
van füi₃, du, d₂3, d_2i, g₃, gi).

§ 4. In de tweede plaats denken wij ons gegeven
drie punten Hi, H₂, H₃ en vier rechten, waarvan twee
(.<?!, si\') door Hi en twee (s₂, s₂\') door H₂ gaan.

De bundels van quadrikegels (K1²) met basisribben.
Hi H₂, Hi H₃, si, si\' en (K₂²) met basisribben H₂ Hi,
H₂ H₃, s₂, s₂\' hebben de basisribbe Hi H₂ gemeen en
brengen dus weer een bilineaire congruentie [V] voort.

Deze heeft drie hoofdpunten Hi, H₂, H₃, drie hoofd-
koorden Hk Hi en vier singuliere rechten van de tweede orde
Si, Si\', s₂, s₂\'.

De exemplaren der [p*], die in een rechte en een
kegelsnede ontaarden, kunnen ook hier tot vier groepen
gebracht worden.

1°. Beschouwen wij het kubisch regelvlak A³, dat du
tot dubbelrechte en de tweede transversaal t der vier
rechten s tot enkelvoudige richtlijn heeft.

Het is geheel bepaald door de vier rechten s en de
transversaal g uit H₃ over d\\₂ en t, want de beschrij-
venden bepalen op d_X2 en t een verwantschap (1, 2)
die door vijf puntenparen vastgelegd wordt.

Een willekeurig vlak dóór H₃ en een beschrijvende
snijdt A³ nog in een kegelsnede, welke door II₃ gaat
en si, si\', s₂, Si\' ontmoet.

Het oppervlak A³ is dus de meetkundige plaats der
kegelsneden die d_l2 tot ontaarde figuren p³ aanvullen.

2°. De rechte d_i3 = Hi Hg wordt samengesteld met
de S² van een bundel, gelegen in het vlak (s₂, s₂\'),
welke bundel H₂ en de doorgangen van d₁₃, s 1 en s/
tot basispunten heeft. Analoog behoort bij d₂₃ een
bundel (3²) in het vlak (si, s/).

3°. De transversaal t moet vereenigd worden met de
exemplaren van een bundel (5²) in het vlak Hi H₂ H₃,
van welken bundel Hi, H₂, H₃ en de doorgang van t
de basispunten zijn.

4°. Tenslotte worden de kegelsneden in het vlak
(H₃, si), welke een bundel vormen met Hi, H₃ en de
doorgangen van s₂ en s₂\' tot basispunten, gecombineerd
met de stralen van den waaier (H₂, s/).

Evenzoo vindt men in de vlakken (H₃, si\'), (H₃, s₂)
en (H₃, s₂\') bundels van kegelsneden; de aanvullende
rechten zijn de stralen der waaiers (H₂, si), (Hi, s₂\').
en (Hi, s₂). Deze vierde groep bestaat uit ontaardingen,
welker beide bestanddeelen veranderlijk zijn.

De meetkundige plaats (£²) is ook bij deze congruentie
van den tienden graad; zij bestaat uit het knbisch regel-
vlak A³ en zeven vlakken.

Een willekeurige rechte l snijdt het kubisch regelvlak
in drie punten en de vlakken, waarin de bundels (^²)
gelegen zijn, ieder in één punt. Zij ontmoet derhalve
tien ontaarde figuren (d, £²).

De zeven bundels van kegelsneden, die deel uitmaken
van de meetkundige plaats (<$²), bevatten ieder drie
lijnenparen. Deze kunnen met d_i3, d₂₃, t of een straal
van de waaiers (H₂, si), (H₂, si), (Hi, s₂) en (Hi, s₂\')
tot ontaarde figuren p³ gecombineerd worden.

Elke op het oppervlak A³ gelegen kegelsnede vormt
met een beschrijvende b een volledige doorsnede. Het
vlak der rechten g en t bevat nog een beschrijvende bo,
die met de ontaarde <5² (t, g) een volledige doorsnede vormt.

Nu rust t op de vier rechten s, terwijl g door H₃ en
du door Hi en H₂ gaat, dus vormen t, g en dn een
ontaarde figuur p³.

De congruentie bezit bijgevolg 22 figuren, welke uit
drie rechten bestaan.

§ 5. Ter bepaling van den graad van het oppervlak
A beschouwen wij weer de doorsnede met het vlak
Hi H₂ H₃. Deze bestaat uit de kegelsnede door Hi, H₂, H₃
en de doorgangen van t en l; uit \'de rechte dn, driemaal
gerekend, omdat l in hare drie snijpunten met A³ drie
kegelsneden <5² ontmoet, die met dn ontaarde figuren

p³ geven; en uit de rechten </is, welke tot figuren p³
worden aangevuld door kegelsneden die l snijden.

De doorsnede is van den zevenden graad. Het opper-
vlak is dus een A⁷ met twee vijfvoudige punten Hi, H₂,
een drievoudig punt H3, een drievoudige rechte dn, vier
dubbelrechten s en acht enkelvoudige rechten, waaronder
dn, d₂₃, t, die op alle oppervlakken A⁷ liggen en vijf
veranderlijke rechten, n. 1. I en één straal van elk der
vier waaiers.

Eindelijk draagt A⁷ de dubbelkromme p] en tien kegel-
sneden.

De meetkundige plaats der punten, waar een vlak cp
door krommen der [p\'^A] wordt aangeraakt, is een kromme
van den vierden graad, cp¹, met een dubbelpunt in den
doorgang van d_i2 en vier enkelvoudige punten in de
doorgangen der vier rechten s.

De complementaire kromme, cp^G, is weder een kromme
van den zesden graad met vijf dubbelpunten in de door-
gangen der rechten dn, si, s 1\', s₂,

De krommen p³, welke cp aanraken, vormen een opper-
vlak van den veertienden graad, ⁽I>¹⁴, met een zesvoudige
rechte dn, vier viervoudige rechten s, drie dubbelrechten
dn, dzs, t en acht enkelvoudige rechten, n. 1. twee stralen
van eiken der vier waaiers.

Daar de zesvoudige rechte dn, de drie dubbelrechten
en de acht enkelvoudige rechten tot ontaarde figuren p³
behooren, draagt <I>¹⁴ 0 3X2 8 = 20 kegelsneden.

Om de veelvoudigheid der hoofdpunten te bepalen
beschouwen wij de snijpunten van <I>¹⁴ met een kegel-
snede 3² van A³.

Van de 28 snijpunten vallen er zes samen in een punt
van dn en 4 X ^ in de steunpunten van <ï² op de sin-
guliere rechten. De overige zes punten liggen in H_s,
dus is Ha zesvoudig punt van <ï>¹⁴.

Een willekeurige p^s snijdt 4>¹⁴ in 42 punten; daarvan
liggen er zes in h3, zestien op de singuliere rechten,
dus twintig in Hi, Hg.

De hoofdpunten Hi en H₂ zijn dus tienvoudige punten
van 4>^u.

De vlakke doorsnede i/>^u van <ï>^u met een vlak \\p
heeft een zesvoudig punt Di₂ en vier viervoudige punten
S; de aanrakingskromme t^⁴ bezit een dubbelpunt D12
en vier enkelvoudige punten S. Hieruit leiden wij af,
dat 1p in 56 — 6 X 2 -- 4 X 4 = 28 punten wordt aan-
geraakt door krommen p³, die ook cp aanraken.