A. qu.
192

Over eene functie voorgesteld
door eene reeks van Diriehlet

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD
VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE
AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT OP GEZAG
VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS Dr. ERNST COHEN HOOG-
LEERAAR IN DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE
VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT
TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE FACULTEIT DER WIS-
EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN OP VRIJDAG 9 JUNI
1916 DES NAMIDDAGS TE 4 UUR DOOR

N1COLAAS GEORGE WIJNAND HENRI BEEGER

GEBOREN TE UTRECHT

bibliotheek dek
ra jiiZRilNlVER. i-\'ll

HyKSUNiVEr;. ■
HTft ECHT-

GEBROEDERS HOITSEMA — 1916 — GRONINGEN

AAN MIJNE VROUW.

Bij het eindigen van mijne universitaire studie, maak ik van
de gelegenheid gebruik U, mijne Heeren Hoogleeraren van de
Faculteit der Wis- en Natuurkunde, en verder allen, die tot
mijne wetenschappelijke vorming hebben bijgedragen, mijnen
hartelijken dank te betuigen.

In \'t bijzonder gevoel ik mij gedrongen U, Hooggeleerde
Kapteyn, hooggeachte Promotor, te danken voor Uwe boeiende
colleges, die grooten invloed gehad hebben op de richting waarin
mijne studie zich ten slotte heeft bewogen, en voor de bereid-
willigheid waarmede Gij mij steeds\'zijt tegemoet getreden.

Ook aan U, Hooggeleerde de Vries, ben ik grooten dank
verschuldigd voor mijne wiskundige vorming. Uwe schitterende
lessen zullen mij steeds in dankbare herinnering blijven.

ERRATA.

Bladz. 19, regel 14 van boven, staat § 1, moet zijn § 2.
„ 20. „ 3 „ onder, „ (2) § 1, „ „ (4) § 2.
„ 32, „ 11 „ „ „ (2) van § 12, „ „ van § 11.

INHOUD.

Bladz.

Hoofdstuk 1. Onderzoek van de reeks en van de coëffi-

ciënten.

§ 1. Convergentie der reeks............................3

§ 2. Eigenschappen der coëfficiënten......................4

§ 3. Benaderde waarden der coëfficiënten..................6

Hoofdstuk 2. Integraalvorm en onderzoek voor geheele
waarden der variabele.

§ 4. Integraalvorm voor de functie............ 9

§ 5. Onderzoek voor geheele pos. waarden........11

Hoofdstuk 3. Over de analytische voortzetting der functie.
§ 6. Voortzetting in de strook — |<o< ï door een reeks van

Dirichlet.................... 18

§ 7. Voortzetting in de strook —  £ door eene bepaalde

integraal....................22

§ 8. Achtereenvolgende voortzetting in de strooken —I <®< ï,

— 2 < o < — ï enz................. 23

§ 9. Voortzetting in het geheele vlak...........25

rOD —1 (lx

§ 10. Ontwikkeling van de integraal Q(s) — j _2x_fj \'ⁿ eeⁿ

1

machtreeks...................26

Hoofdstuk 4. Bepaalde integralen die in D-functies kun-
nen worden uitgedrukt en eenige reeksont-
wikkelingen naar D-functies.

§11. Bepaalde integralen................29

§ 12. Numerische resultaten...............31

§ 13. Reeksontwikkeling voor D(s)............32

^§ \'⁴- • - wlS^DW.........³⁴

^§15- • • fc r/l ï)^).......³⁵

§ 16. Andere ontwikkeling voor D(s)...........36

§ 17. Nog andere reeksen................38

Bladz.

Hoofdstuk 5. Over de polen en hunne residuen.

§ 18. De polen van D(s) en de residuen..........39

Hoofdstuk 6. Eenige betrekkingen die voortvloeien uit een
paar algemeene theorema\'s der reeksen van
Dirichlet.

§ 19. Het theorema van de som der coëfficiënten.......42

§ 20. Het theorema over het gemiddelde..........45

Hoofdstuk 7. De reeks van Dirichlet voor de functie , •

D (s)

§ 21. De reeks en hare convergentie...........47

§ 22. Benadering van D(jQ...............49

§ 23. Afleiding van een betrekking............50

§ 24. Heuristisch bewijs voor de convergentie voor a — £ . . . 51
§ 25. Over het teeken en over benaderde waarden der coëffi-
ciënten b2n 1..................53

§ 26. Tabel van de coëfficiënten ö2n i en fen i.......54

§ 27. Algemeene gedaante der coëfficiënten.........56

Hoofdstuk 8. Over de nullen van D(s).

§ 28. Er liggen geen nullen in \'t gebied o>l........58

§ 29. Over de nullen op de reëele as...........59

Hoofdstuk 9. De reeks van Dirichlet voor logD(s).

§ 30. De reeks en hare convergentie ...........60

§ 31. Algemeene uitdrukking der coëfficiënten C2n i.....62

§ 32. Betrekking tusschen de coëfficiënten bin i en C2n i ... 64

Hoofdstuk 10. De Stirlingsche polynomia.

§ 33. Afleiding van de theorema\'s der Stirlingsche polynomia . . 65

§ 34. Reeksontwikkeling voor 2*cosJvx ^ÏBJLi\'-j* _enz.....73

Hoofdstuk 11. Onderzoek van de coëfficiënten a_n.

§ 35. Recurrente betrekkingen tusschen de a\'s........75

§ 36. Bewijs dat de coëfficiënten alle 7*0 zijn........77

Hoofdstuk 12. De coëfficiënten /?„.

§ 37. De coëfficiënten ................80

Hoofdstuk 13. Integratie van een differentiaalvergelijking.

§ 38. Het integreeren van een differentiaalvergelijking.....82

INLEIDING.

Alle reeksen van de gedaante

co

^an e~\'^{Kn s}

n=0

waarin s een complexe veranderlijke voorstelt en a_n en l_n reëele
getallen zijn, noemt men „reeksen van Dirichlet".

Bijzondere gevallen van deze reeksen zijn het eerst gebruikt
door Lejeune-Dirichlet bij zijne onderzoekingen over het klassen-
aantal der kwadratische vormen met een gegeven determinant
en bij het bewijs van het theorema over het aantal priemgetallen
die voorkomen in een rekenkundige reeks. Sindsdien is er een
uitgebreide litteratuur over verschenen, welke men uitvoerig kan
vinden in het „Handbuch der Lehre von der Verteilung der
Primzahlen" van E. Landau. Dit werk geeft een volledige uiteen-
zetting van de theorie dier reeksen. Ik zal er steeds naar ver-
wijzen als „Handbuch". Verder is in 1915 verschenen: „The
general theory of Dirichlet\'s series" by G. H. Hardy and Marcel Riesz.
Dit geeft ook de algemeene theorie, hoewel minder uitgebreid,
benevens eenige nieuwere gezichtspunten over de sommabiliteit.

De theorie der bedoelde reeksen is echter nog verre van volledig.
Men kent nog niet de noodige en voldoende voorwaarden waaraan
een functie moet voldoen om in een reeks van Dirichlet ontwik-
keld te kunnen worden. Of anders gezegd, men weet niet in
\'t algemeen door welke analytische kenmerken van de functie de
convergentielijn van hare reeks van Dirichlet bepaald wordt. Dat
het niet de polen zijn, is uit voorbeelden bekend.

Het doel van dit proefschrift is de studie der functie die
bepaald wordt door de reeks

1 1.1 1^.1
2 3^S 2. 4 5^S

Het is een reeks van Dirichlet waarbij

l_n — log n

_ 1 .3...(2/z — 1)
Ö2n = 0 — ^ 4 2n \'

In de jaren 1910 en 1911 is het onderzoek dezer functie als
prijsvraag uitgeschreven door het Wiskundig Genootschap.
Antwoorden zijn er niet op ingekomen. Enkele hoofdzaken van
het onderzoek zijn door mij reeds vroeger behandeld in Deel X
van het Nieuw Archief, blz. 416 (1913).

De variabele s zal ik, waar zulks noodig is, steeds voor-
stellen door

s = a 4- i t.

HOOFDSTUK I.

Onderzoek van de reeks en de coëfficiënten.

§1. De reeks I |. A ^ . ± . ..

Zooals reeds in de inleiding is gezegd, is dit een reeks van
Dirichlet. Zij convergeert dus in een halfvlak. Om de conver-
gentielijn te bepalen, kan worden gebruik gemaakt van het
elementaire convergentie-kenmerk¹)

Men vindt dan dat de reeks convergeert voor

o>f

Hiermede is gevonden dat de convergentielijn

is en dat de reeks in het gebied o > ^ absoluut convergeert.

Volgens de algemeene theorie der Dirichletsche reeksen stelt
de reeks in het genoemde gebied dus eene uniforme functie
voor, terwijl men, om de afgeleide dezer functie te krijgen, de

*) Eenvoudiger door gebruik te maken van de, in § 3 afgeleide,
benaderde waarden voor Con i-

reeks term voor term differentieeren mag. De functie stel ik voor
door D(s); dan is dus

₍₁₎ Dfs) - V 1-3-.•■(2/1-1) _!

(1) . . . U{S)~ 2^2.4. ...2n " (2/2 1)

n— 0

(2) . . ₌  U

voor

§ 2. Eigenschappen van de coëfficiënten a_2n i-

Zooals gemakkelijk is in te zien heeft men:

m „ - 1-3.... (2/2-1) _ (2/2 1)!

U) • • • — 2.4....2n ~~ 2\'²»(n\\f

(2 )......ö_2n l = tfo/j-l

(3 ).......02/1 1 < Ö2n—1-

Met het oog op latere toepassingen zullen hier nog andere
eigenschappen worden afgeleid.

(4) . . . öi "f % ---- fl2n l = (2n l)fl₂n l.

Bewijs: Nemen we aan, zooals voor kleine waarden van m
door berekening te controleeren is, dat (3) geldt voor alle waarden
van n tot en met m, dan is dus

1 -f a_s ---- ü_2m i — (2m -f- 1) a_2m i

Hieruit volgt:

1 As • • • •   Ü2m B — (2tïl 1) 02/71 1  =

(volgens (2))

= (2/72 1) l^qjj Ö2m 3 Ö2m 3

= (2/72 3) azm 3.

De formule (4) geldt dus ook voor n — m-f 1 en derhalve
voor alle waarden van n.

Deze eigenschap laat zich ook bewijzen door gebruik te maken
van een der beide integralen:

Ti

2 dx 2 f²

(F ï-J ^sin2n(pd<p■

o o

De afleiding dezer formule zal ik hier niet geven; men vindt
ze in de gewone leerboeken over integraalrekening.

Door middel van de binomiaalformule vindt men de ont-
wikkeling:

VÖ^X) ^{= (1} ~ ^X)"¹² = ^{1 Ö}3* ^ \' " " "
Hiermede kan de volgende betrekking worden afgeleid:

(5) . . . a_x Ü2n-1 4" ü_s 0271—1 4-----

Verhef beide leden van de ontwikkeling in \'t kwadraat:

j — — 2 (fl_x Ö2n_i ---- 02n l «i) X^B_1.

Ook is, volgens het binomium:

YZZ_X = 1 x x² .. . .

Door coëfficientengelijkstelling vindt men (5).
Nog eene andere betrekking moet hier worden bewezen:

(6) i 4.3a_s 5ö₆ .... (2/i 1) a_2n 1 = i (2n 4-1) (2« 4- 3) a₂„ i.
Neem weer aan dat de formule geldt voor alle waarden van n

van 1 tot en met m. Dan is
1 3fl_a 4-.... 4- (2m 1) a_2m i = £ (2m 1) (2m 3) a_2m i.
Hieruit volgt:

1 3a₃ ....4-(2/7/ 3) Ö2/K 3 =
= | (2/7/ 1) (2m -f" 3) a₂m i (2m 3) a_2m 3

= {i (2/7/ 4- 1) (2/n 4- 3) 4- (2/n 3)} a_{2m 3}

= (2/72 3) (^2m-₃± ² l) tf_2m 3

= i (2/7/ 4- 3) (2m 5) ö_{2m 8}.
De formule geldt dus ook voor n = m-\\-\\ en is derhalve
algemeen geldig.

§ 3. Benaderde waarden der coëfficiënten a-m i-

Om benaderde uitdrukkingen te vinden voor de coëfficiënten,
kan gebruik gemaakt worden van productontwikkelingen die men
afleidt uit het bekende product voor de sinusfunctie:

sin x — x {\\ — * J [\\ —

(2nf) r {3nf,

7Z

Door eerst te kiezen x — — wordt de, eveneens bekende, for-
mule van Wallis gevonden:

7i 2² . 4 ... . (2n)² 1

— hm

2 _n=a)3². 5². . .. (2/z — l)² " 2/7 —{— 1
Deze kan ook aldus, worden geschreven:

2 _ij 3^5 5.7 (2/7 -0(2/2 1)

or „L» 2² \' 4- • ()- • ■ ■ • (2/0-
Van iedere breuk uit het rechterlid is de teller kleiner dan den
noemer. Alle breuken zijn dus kleiner dan de eenheid. Het
product wordt dus kleiner, als n grooter wordt. Hieruit volgt:

2 1.3 3^5 (2 h— 1)(2 n 1)
2² \' 4² •••• (2nf

ri.3.s,(2/1₍ , _n

^< 12.4.ö....2/2 | \\^zn o
/_2 1 • 3 . 5 .... 2n — 1

7i(2n-\\-\\) 2.4.6. ~.2n \'

a_2n l > |/;

of

(1)......>

7T

Door nu te nemen x= ^ , in het bovenstaande product voor

sinx, komt er:

71 ^v _n=00 4² 8² (4/z)²

We schrijven

! 1/9-,_im ³ Ail 9-¹¹ (4/1-3) (4/2 —- 1) 4/2 1
TT ^{K z} — i™ 4 " 4 . 8 \' 8 . 12 " " \' (4/2 — 4) 4/2 \' An

Omdat lim is ook

n=*> 4/2

² 1/2-lim 1 ⁵ - ⁷ (4/2 3) (4/2—1)
** ^K „L™ 4 \' 4.8 ••■• (4/2-4)4/2

De breuken uit het rechterlid, behalve f, zijn alle grooter dan
de eenheid, want de teller is (4/2 — 3) (4/2 — 1) = 16n² — 16/2 3
en de noemer (An — 4). An = 16/2² — 16/2.
Hieruit volgt dat

21/2 3 5.7 (4/2 — 3) (4/2 — 1)
.-7 4 \' 4.8 4/2 — 4 . An

of

1/2 . 1 3 5 4/2 — 1 6 10 4/ï —2

7i 2 4*68 4/2 " 4 \' 8 4/2 — 4

1/2 1 .3.5 .... (4/2 — 1) 3 5 2/2 — 1
\' 2.4. 6 .... 4/2 \' "2 \' 4 2« — 2

1.3.5....(4/1-1) 1 ■ 3 . 5 .... (2/2 - 3)

2.4.6.4/2 \'2.4.6.... (2/2 — 2)\' \'

1/2

-- > flfcn-l (2/2 — 1)

K2

71 a_2n-i (2/2 — 1)

Door gebruik te maken van (1) volgt hieruit:

V2

ain l <.--.-2—^:-----

J_ 1/(2/2- 1)

IA* 2/2—1
1

<

1/^(2/2—1)

Gemakkelijk laat zich bewijzen dat voor n > 7

¹ <ll 2-1

)/ (2n — 1) ^ F 4/2 1

want hieruit volgt:

4/2 1 <2^ (2n— 1)
3 KU-

Dus is

< O

Door directe berekening vindt men dat deze ongelijkheid ook
geldt voor n — 1, 2 .... 6.
Uit de afgeleide grens volgt

4/2 1 4/2 1

4/2 2 * ^{04,1 1 <} (4/z 2) Vn(2n - 1)

of, daar

4/2 1

4_n J_ 2 ^Ö4n 1 — ^a4* ³\'
_ 4/2 1 _
^Ö4" ³ (4/2 2) 1/^(2/2 — 1)\'
Voor > 7 is weer

4/2 1 ^ 1

(4/z 2) 1/(2/7 — 1) ]/ (4/z 3)

dus

üin 3 <,

si (4/z 3)

Door direkte berekening blijkt deze formule ook te gelden voor
n — l, 2.... 6.
Hiermede is dus in \'t algemeen aangetoond dat

2i

02« 1 < j/

Of

. 0,8463

(2)......flin l <

K(2/z 1)

alleen voor /z=l geldt dit niet, want a_s —
Verder is blijkbaar

(3) . . lim a_2n i = lim j/-

n=oo n=oo \'

HOOFDSTUK II.

Integraal-vorm en onderzoek der functie voor geheele
waarden van de variabele.

§ 4. Integraal-vorm voor de functie.

Ten einde een integraalvorm voor de functie te vinden, maken
we gebruik van de bekende integraal

1 1 ,-00

en _-_— / p-&n-Dx_xs~\\ dx

• • • • (2/2 -f- 1 )^s r(s) J ^{x a}

0

die gemakkelijk is af te leiden uit de bekende integraal voor de
r-functie

ƒ00

_XS-1 _e-x dx

O

door daarin x te vervangen door (2n-\\- l)x.
Stellen we in de reeks

^ 1 .3. . .(2n— 1) 1
~ 2 .4 . . .2n * (2/2 -f l)^s

voor |y_s de integraal uit (1) in de plaats, dan krijgen we

(2) ¹ V* ¹ \' ³ \'\'\' ²ⁿ Cx_e-(?n \\)x _dx

w ■ \'r(s) 2-< 2.4... 2/2 •}

Om aan te toonen dat we hier het £-teeken en de integraal
mogen verwisselen, beschouwen we de reeks

®.....i; \'t,.^¹ «•

n=O

Het is een machtreeks met e~^x als variabele.

Stellen we e~^x = y dan gaat de reeks over in
^ 1.3----2 n—\\ _2n,₁

n=0

Men vindt nu, door middel van \'t binomium van Newton:

(4) _Z_₌ Y 1.3....2/1-1 _x.

^K) \' K(1 -/) è 2.4....2 n ^y

De reeks in \'t tweede lid convergeert blijkbaar voor y \' < 1
en wel uniform zooals alle machtreeksen. Daaruit volgt dat de
reeks (3) ook uniform convergeert voor alle positieve waarden
van x. De reeks (3) mag dus term voor term geïntegreerd
worden, m. a. w. in (2) mag 2 met j verwisseld worden. Doen
we dit zoo vinden we, door meteen van (4) gebruik te maken:

t-ï / \\ i • r ^e~~^x w

^D(s)=V(s) I vv=r_e^)^dx

ö

of

®.....^Dv=mfvf=T)^dx-

0

Eerst dienen we nu na te gaan in welk gebied deze integraal
een zin heeft. Het eenige punt waarin de integrand onbepaald
zou kunnen toenemen is het punt x = 0 want door de macht
van e in den noemer, nadert hij voor x = oo zeer sterk tot 0
voor iedere waarde van s. In de omgeving van x = 0 kunnen
we den integrand aldus ontwikkelen:

x^s~^l dx r

dx.

2! ¹ ----] J V \\ ¹ 2!

Volgens een bekende regel zal dus de integraal een zin hebben
in \'t geval dat

R (s) > -i.

Hieruit blijkt derhalve dat de integraalvorm (5) de functie in
hetzelfde gebied voorstelt als de reeks van Dirichlet.
Substitueeren we nog in de integraal

e~^x = sin t

hetgeen geoorloofd is omdat x loopt van 0 tot oo.

We vinden

\\ r² ( 1 1 r² ( 1 )^s~¹

(6) D (s) = — 7 - / log . - dt = _T~ log -J dt.
^{w w} r(s)J l ^&sin^i r(s)./ I cos tl

§ 5. Onderzoek van de functie voor geheele positieve waarden
van de variabele s.

Door middel van de laatste integraal der vorige paragraaf zijn
we in staat om een en ander te weten te komen van de waarden
der functie voor geheele positieve waarden van de veranderlijke.
We stellen dus s = n en vinden

D(") = f(-l^-Hlogsinf)"-¹^- - OogsinO"-¹^.

\'o 0

De reeks

£_(logShlfl_{xn =} eXlogsint==(sinty

n=o

convergeert uniform voor alle waarden van x tusschen 0 en ^
en mag dus term voor term geïntegreerd worden.

jt

_xn _r2 _r2

V y / Oog ^sin 0" dt = I (sin ty dt

n=0 \' "₀ \'₀

Of

71

m gT

^ (— 1)" D (n 1) xⁿ = f (sin ty dt.

n=o "o

De laatste integraal kunnen we in F-functies uitdrukken. Daartoe
substitueeren we

sin t = Vy

waardoor de integraal overgaat in de Eulersche integraal:

¹ I¹ —n \\ u ^ 1 ^{1 1}

Volgens een bekende formule kunnen we hiervoor schrijven

— y 7i

f i r(| ,

omdat r (—] = }/ Ti.
We hebben dus gevonden:

(i) . . V(-i)"D(/i 0*" = i v„ x.<\\.

r(₂ l)

Deze vergelijking stelt ons in staat om uit eigenschappen van
de functie in het rechterlid, eigenschappen van de coëfficiënten
uit het linkerlid af te leiden. Vervangen we x door — x:

, r(

- r | i

Volgens de bekende formule der F-functies is

r(ö) r(i — a) — —

^v \' ^v sin üTi

en dus

r/^iL iUrfi-^ii

r[-4 i)=rfi ^ "

2 ¹ / \\ 21 . X _v,(x

^sin 2 ⁿ 12

Door deze uitdrukkingen te substitueeren vinden we:

De sinus in den noemer werken we uit en door toepassing
van de formule

Ar(a)= r(o i)

schrijven we
Er komt dan:

x r(2- \'

cc 1

(2) . . gD(_B l)«. = K».-tg₂.-_r

Vergelijken we deze uitkomst met (1) zoo blijkt dat het in (2)
optredende quotiënt van F-functies juist het omgekeerde is van
dat uit (1). Dus door (i) en (2) te vermenigvuldigen valt dit
quotiënt weg:

71-

co co 1 1 T

£(-l)»D(n l)x«.]T D(/i l)jc« = -i-»^tg-2».

n—0 n=0

Volgens de bekende ontwikkeling van tg kn is:
1 , x „ v^ 2²ⁿ — 1

fa _ 37-? V —_______ r tt2/I-1 _r2/i-2

tg ₂ ⁿ — (2/1)1 ^{bnn x}

waarin B_n de Bernoulliaansche getallen voorstellen.
Dit substitueerende vinden we:

oo ao cc o2rz _ i

n—O rc=0 ^ \' \'

Na vermenigvuldiging van de (natuurlijk absoluut) conver-
geerende machtreeksen, krijgen we, door de coëfficiënten van
_x2n-₂ beide leden aan elkaar gelijk te stellen:

(3) . . . D(l)D(2n— 1) — D(2)D(2/z — 2) ....

Hiermede hebben we een recurrente betrekking tusschen de
D\'s gevonden.

Deelen we beide leden door n²ⁿ dan toont de formule aan dat
het linkerlid een rationaal getal is.

Uit de reeks van Dirichlet volgt verder:

(4) . D(»=£ \'••«•v.;^ ¹.J, , > = §

71=0 ¹

en uit formule (6) van de vorige paragraaf

n

2

(5) . . D(2) = — I "log sin tdt = ⁿ- log 2 = 1,08856 ....

\'o •

volgens de bekende integraal die door Euler is bepaald.
Door middel van (3) vindt men hiermede voor rt — 2

D(1)D(3) —D(2)D(2) D(3)D(1) =

— — ji⁴ b i-^-i-^

~A\\ⁿ 24 \' 30 48

2.fD(3)-^(log2)² = i^.

71

(6) . . D (3) — ^"g ^ 0°g 2)² = j ² (log sin x)² dx.

o

Eene andere recurrente betrekking kan op soortgelijke wijze
worden afgeleid. Ik ga weer uit van (1) en differentieer naar x:

ou

^ (— 1)". n D (n -j- 1) xⁿ~

n = 1

= 2 ^v"---TT---^---

Door invoering van de notatie

r\'(x) , ,
^ > / = V\' (x)
r(x) ^{Y w}

kan hiervoor geschreven worden:

of

(7).....l)»/zD(n  =

n=1

= } H-r³) - \')| t(- \')" D(» l)x».

We gaan nu de functie

in eene reeks naar opklimmende machten van x ontwikkelen.
Dat deze ontwikkeling mogelijk is volgt uit het feit dat de functie
in de omgeving van den oorsprong regulier is; want voor x = 0 is

v (i) — v 0) = — 2 log 2 = eindig
zooals we verderop zullen bewijzen.
Volgens de formule van Mac-Laurin is

ƒ (x) = ƒ (0) ^f,f^}- x x* ....

waarbij

Bij de theorie van de r-functie wordt afgeleid de formule
_V(x l) = y,(l )

o ^y

De volledige afleiding zou ons te ver voeren maar we kunnen
haar gemakkelijk verkrijgen uit de meer bekende formule (zie de
leerboeken)

rw₌„ _(x)=fie-a- ^ae~^ax \\^da.

r(x) ^{n )} J \\ l-e-af a

O

Hieruit volgt namelijk:

p— a — e—a(x 1)

_V(X 1)-_V(1 )=ƒ ₁_^ee__a--da.

o

Stellen we nu e- « =j; dan gaat deze in de aangegeven formule over.
Er volgt uit, door zz-malige differentiatie:

dus

dus

ƒ<»>(<))

2" J (Vy i)Vy

0

Hierin substitueeren we

logj; = -2f:

/⁽ⁿ⁾(0) = ( l)"⁴"¹ 2 ƒ ^ y

o

Den integrand ontwikkelen we:

00 „(JO

/<«) (0) = (— 1)« ¹. 2 ^ (— 1 I tⁿ e~^kt dt.
k=1 ^

Volgens een reeds meer gebruikte integraal is:

r⁰⁰ n\'

ƒ

o

dus

co 1

ƒ <"> (0) = (- 1 )■ ! 2. n! £ (- 1 )* ! , „Vi =

= (_!).« 2. „.{g^-ig^}
We weten verder dat

k—1

waarbij f de functie van Riemann voorstelt.
Ten slotte hebben we derhalve gevonden:

ƒ(«) (0) = (- l)» i 2 . n ! (l - ^r) £ (« 1) n > 0.

Volgens de reeds gebruikte integraalformule voor ^(^ 1) is

_ri _v-i/2—i a dt

/(O) = V (i) - v (1) = ƒ ^Jy__ jdy = -21 ^ = - 2 log 2.
o o

Uit dit alles volgt nu de ontwikkeling die we zochten:

We substitueeren dit in (7):

00

^r (— i )ⁿ. H D (n -j-1) =

n=1

= log 2 (— 1 (1 — 2¹.) C 1) ¹ )^nD(" 1

Door, na uitvoering van de vermenigvuldiging, de coëfficiënten
van xⁿ~² uit beide leden aan elkaar gelijk te stellen, vinden we
de betrekking:

(8) (n-l)D(n)=D(/7-l)lo_g2 U(l-^)a^ l)D(/2-^-l).

fc= i ^{x 1}

De theorie der f-functie geeft verder nog

maar een dergelijke somformule is voor C(2m -f- 1) niet bekend,
zoodat we met formule (8) alle D\'s niet achtereenvolgens kunnen
berekenen maar ze wel in C-functies uitdrukken. Zoo vinden we:

D (4) = ²)³ ÏS ^ ^lQg ² i "C (3)

en met behulp van (3):

D (5) = _r^ ^ (^l0§ ²)² As0°g 2)⁴ ^ - log 2. f (3).
De formule (8) geeft dezelfde waarde van D(5).

HOOFDSTUK III.

Over de analytische voortzetting van de functie.

§ 6. Voortzetting in de strook — | < " < i door een reeks

van Dirichlet.

Volgens een algemeen theorema van Landau heeft de functie
een pool in het punt s = Ook zonder hiervan gebruik te maken
is het volgende duidelijk.

De reeks voor D (s) wordt vermenigvuldigd met

2

waardoor er komt:

^{y )}~ 2^S 6^S ^ 10^s ^----

Hieruit volgt, door deze reeks af te trekken van de reeks
voor D (s):

(1) 0 D(_S)=1 - £ 1 0 * - sp

_L ⁰ a9 __
8^S 9, •"\'

Is het getal in den noemer van een term gelijk aan een vier-
voud, zoo is de coëfficiënt van dezen term = 0; is het een 4v 1
zoo is de coëfficiënt = a±_{v ±} i en is het een 4v 2 dan is de
coëfficiënt gelijk aan —a<i_v \\V2.
Uit hetgeen vroeger reeds opgemerkt is omtrent de reeks

volgt dat de reeks (1) absoluut convergeert voor o >
De reeks (1) convergeert voor o > — J .

!) Handbuch II pag. 880.

Om dit te bewijzen wordt gebruik gemaakt van de volgende
algemeene eigenschap der reeksen van Dirichletr

Als de convergentie-abscis van een reeks van Dirichlet > 0 is,
dan wordt hij bepaald door de formule

n— 1

og n

De reeks uit (1) schrijven we nu als volgt:

Cl-S 1 _ ² Y1 _L ^3öS I _ KK2 ,

W • • • 2^s \' 3^s 5^s 6^s T- • • • • .

We weten dan zeker dat de convergentie-abscis > O is.
Zij S(/z) = de som der eerste n coefficienten van de reeks (3):

S (An) = i — 21/2 3fl₈ .... (4/z — =

= 1 3Ö₃ .... (4/2 — l)a_4n-i —

- 21/2 (1 3fl₈ ... . (2/2 - 1) a_2n-i)
_ (4n - 1) (4/i 1) (2/2-1) (2/2 1)

—-------------ajn-l — Z VI ------ Ü2n—l

het laatste door toepassing van (4) § 1.
Op dezelfde wijze vinden we:

s (4/i ,) = (ÜHli^ 3) _

S(4n — 1) = (*»-■\') (Ül j) ^ - 2 ^M^ Ü ^

n = oo

S (4/i 2) =  ³>_{üto 1} - _aa„ ₁

Volgens (2) is nu voor S (4/2):
log

:lim

log 4/2

Om deze limiet te bepalen kan worden gebruik gemaakt van
(3) uit §3:

lim ü2n 1 = c lim ,

n— oo n=oo (/ i" ¹ /

») Handbuch II pag. 732.

Dus

(2n-l)(2n l)

-21/2

\' V(An—1)

log An

j. log ! (An — 1 yi> (An 1) — 2J/2 (2n — 1)V» (2n -f 1)j

: lira

tl— co

= lim

tl— 00

log An

. log

= lim

tl—CO

log An

log 3 Vn

= lim ~~—-—
rt= 00 log 4/2

= lim 1 ^l0g"

log 4/2

1

¥

Op geheel dezelfde wijze kan men voor S (An -f- 1), S(4n— 1)
en S (An -j- 2) de limietovergang volvoeren. Daarbij wordt steeds
gevonden

Hiermede is bewezen dat de reeks (3) de lijn o= \\ tot con-
vergentielijn heeft; m. a. w. de reeks (1) heeft de lijn o = — ^ tot
convergentielijn.

Thans zal bewezen worden dat de reeks uit (1) voor s —O
de waarde O heeft, zoodat

D (0) = 0.

Zij S (n) de som van de eerste n termen der reeks (1) voor
s = 0 dan is (ook volgens formule (2) § 1):

S (An) = 1 fl₈ ... a_in-1 — V2 (1 a₃ ... a_2n-1) =
= (An — 1) üin-1 - 1/2 (2/z — 1) a2n-i.

s (4n 1) = 1 tfs • • • Oin 1 —1/2(1 Ö₃ • • • flai-i) =

= (4/2 1) a4„ i — V2 (2/2 — 1) fla,-!.
s (4/2 2) = 1 a₈ . . . Ö4n 1 —1/2(1 a₃ ... a_2n i) =

= (4/2 1) üin l — 1/2 (2/2 1) fl_2n l.
S (4/2 3) = 1 % ... a_in s—V2 (1 a₃ .. . a_2n 1) =
= (4/2 3) a_{in 3} — 1/2 (2/2 1) o₂„ i.
De waarde der reeks (1) voor s = 0 krijgen we door de limiet
te bepalen van deze uitdrukkingen voor n = co. Daartoe wordt
gebruik gemaakt van de formule

Zoo is bijv.:

lim S (4/2) = lim j (4n — 1) —^ — 1/2 (2/2 — 1)

1/(4/2 — 1)
clim \\V{4n—\\) — V2 (2/2

1/2

= 2c lim 1

2c lim 1

Op dezelfde wijze vindt men de limiet 0 van de 3 andere
uitdrukkingen van S.

Substitueert men in (1) voor s de waarden 1 en 2 (bijv.),
dan vindt men door middel van de vroeger gevonden waarden

D(l) = !
D(2) =

log2,

de volgende numerische uitkomsten:

IL — 1 _ ^V2 4_ ^a3 i ?Ó
2 2 3 5

1/2

I «3 « «5

en zooals reeds bewezen is:

0 =11 — 1/2 % a₅ — fl₃1/2 a₇ . . .

§ 7. Voortzetting in dezelfde strook door middel van
eene integraal.

Gemakkelijk is na te gaan dat

X \\S—^ll2 I

kl — er~^x) ^A J\'

= ( ^X V~^3/2 _ y.S—3/2

\\l _ g-*/ • (i__e~x)2 " * •

Nemen we aan dat o > | is, dan blijkt dat de vorm tusschen
[ ] de waarde 1 aanneemt voor x — 0 en de waarde 0 voor x = 00.
Daarom is

1 f

dx s — I

S-3/2 1 _ _e-X _ _Xe-X

— r^s—3\'2

vl — e-*/ \' (1 — e~*)²
Verder is, volgens (5) § 4

—1

r(s)D(s)=J yj^zr-^dx a>-i

Dus ook

2—\'/a

r(s)D(s)

s-

4.2-«/, y ^3/2

y(_e2x_^~r^z \\1 — e~^xJ (\\—e~^xf

(1) FXs) D (₅) - = 2-Vƒ> j ^  " 1

2

Deze integraal bestaat voor o > — J en geeft dus eene analytische
voortzetting van de functie D (s) in de bovengenoemde strook.
Want voor x = 00 is de integrand = 0. In de omgeving van
x — 0 kan hij aldus ontwikkeld worden:

.«-(i-x f-H^ r--)

\'S—3/2

]/(2x-|-2x²-f-"- j^s \'^/2

— [(1 _X)-I/2 1_X2 . JC-S-1/2 (! _ l_X)-S-</2 — 1] =

= X^s"³/\' [1 — £x ... 4- ix-^{s s}h (1 — |-X)-^s-\'/2 — 1] =

= x^l* [- lx (1 (s è) i* ...)] =

Is o < J dan geeft de term — de laagste macht van x.

De integraal bestaat dus voor het geval dat

o - i > - 1
o > — l

Is a> | zoo is de laagste macht van x — 0 en de integraal
behoudt een zin.

§ 8. Achtereenvolgende voortzetting in de strooken
-iO<è; -fOC-i- enz.

Door partiëele integratie zullen we, uitgaande van den integraal-
vorm (5) § 4:

/OO y-S—1

_V(e^-\\) ^dx

o

den factor ——- vóór het integraalteeken trachten te krijgen. Deze

^S ^ 1
factor moet er zijn, of anders een factor -r^-- We schrij-

v^s -gv

ven daartoe de integraal aldus

en integreeren partieel:

U

of

1 r oo _p2x_ 1 _9v«2x

(1) . r(s)D(s) = -^-_lJ x^g^s-j^A.

Deze integraal bestaat als R (s) > — \\ . Want voor x = oo is
de integrand = 0. Voor x = 0 kunnen we teller en noemer van
den integrand naar opklimmende machten van x ontwikkelen. We
krijgen dan

2x ⁴^ ....-2x(1 2x ....)

x^s~>/2-±l—-----of

4x

De integraal heeft dus een zin als R (s — > — 1 m. a. w.
als R (s) > —

De integraal (1) geeft ons dus een analytische voortzetting van
de functie D (s) in de strook tusschen \\ en

Het vermoeden ligt nu voor de hand dat in het punt s — — ^
de functie ook een pool heeft.

Om deze ook te voorschijn te laten treden schrijven we (1)
aldus en integreeren weer partieel:

1 _ra> _p2x - 1 — OXP\'^x

r (_S) D (s) = - -_w__1}„, lx

1 ë>x_ 1 _ 2x£^2x !⁰⁰

r Cs) D Cs") =__\'___*___S_I___1 4-

^{K ) { )} (s - jg 1) 2x¹h(e^2x — 1 fb ^x |o

— (e^2x — 1) — (e^2x — 1 f— 4xe^2x (e^2x -1)4-12x²e^éx

-i)(si-l)J 2²x³\'² (e^2x — 1 )⁴\'²

^J o

Het grensstuk is weer = 0 en dus is
(2)........r(s)D(s) =

1  f ^xjcS i;,—8x²e^2x (e²x — 1) — (e^2x — 1 f— 4xe^2x (e^2x -1)4-12x²e^ix ^

—2 ²x³l\'(e^2xl)⁵h

o

2 Wanneer we nu op dezelfde wijze als bij (1) nagaan in welk
gebied de integraal bestaat dan vinden we, omdat de teller van
de breuk begint met 8x³:

R(s)>-f.

3 Hiermede is dus aangetoond dat de functie D (s) in s = — \\
een enkelvoudige pool heeft.

4 o - 1 _ 1 _ 3

§ 9. Analytische voorstelling voor het geheele vlak.
Gaan wij uit van den integraalvorm

1 _rtx> vS—1 (jv

D(s)= ¹ \'

r(s)J v(é*x-\\)

0

Bij het onderzoek naar het gebied waarin deze integraal bestaat
is het ons al gebleken dat de grens 0 maakt dat zij slechts een
zin heeft als R (s) > \\. We zullen daarom de integraal splitsen
in twee andere:

¹ x⁸"¹ dx r⁰⁰ x*-¹_ ,

V (e°-^x - ï) J ]/(e²*-l)

U 1

De laatste integraal heeft voor alle waarden van s een zin. De
eerste ontwikkelen we in een reeks die in \'t geheele vlak zal
blijken te convergeeren.
Beschouwen we de functie

i/

V (e^2x - 1)\'

De pool die het dichtst bij den oorsprong ligt is

ni

want de functie is in den oorsprong zelf eindig.

Zij kan dus volgens de theorie der complexe functies in een
machtreeks worden ontwikkeld die zal convergeeren voor < n.
Zij dan:

(3) • • )/= 1 a₁2x a₂2²x* a₃2^ ...

| Xj <71.

Hieruit volgt:

y _(eJ_ _1} = y^l2jc ^a^^l2X"^{12 23/2a}^³\'² 2^1\' ....

We mogen deze machtreeks vermenigvuldigen met en

daarna term voor term integreeren tusschen de grenzen 0 en 1.

/V(<£"ll)^rf*= ^f^dx ^a,J\\s-V_{2 dx} . . . .

0 0 0

,, ^dX=  _s T J Ï ■ ■ •

Hiermede is dus gevonden:

X^s-¹ dx , 2ⁿ~~^1/2 <

V(e^2x-1) ¹ ^ s n-i-

°o — 1-

De integraal heeft, zooals we reeds gezegd hebben, in ieder
punt van \'t vlak een zin. We zullen bewijzen dat de reeks ook
voor alle waarden van s convergeert, behalve in de punten

s = — n j. n = 0, 1,2____

De reeks (3) convergeert voor alle waarden van x waarvan de
modulus < n is. De moduli van de termen der reeks uit (4) zijn

(5) . 2»-". I I ijq^j-, = 2»-\'" I.. 1 p_{((c a}!__ty.j-^ •

Nu is de modulus van den overeenkomstigen term van (3), nadat
beide leden gedeeld zijn door 1/2:

2"-^,/2 | a_n | . | X \\ⁿ
(3) convergeert voor x—1. De modulus wordt dan

(6 )........2"-\'/2 KI.

Voor alle waarden van o en t is dus (5) kleiner dan (6), waaruit
volgt dat de reeks uit (4) uniform convergeert voor alle waarden
van s, behalve voor s — —

/» Co j^S—1

§ 10. Ontwikkeling van de integraal Q(s)—ƒ
in een machtreeks. ¹

Deze integraal stelt een geheele functie van s voor en is dus
te ontwikkelen in een, overal convergente, machtreeks.

^/ x x^dx z⁰⁰ e^slogx , vs" f (logx)ⁿ .

0) = l _Xy(e^2x-l)^{dX =} \\n\\j xV{e^2x—-\\)

i i ^u i

De coëfficiënten dezer reeks hebben dus de gedaante:

dx

nll xy(e^2x — 1)

i

Natuurlijk kan de functie ook aldus ontwikkeld worden:
_m o f.^x^dx _ re^(s"^1),ogx , _v(s-l)!r (logx)^

i i ⁿ —^u i

waarbij de coëfficiënten dus den vorm

_ 1 f⁰⁰ (log*)" ,

⁽³⁾..........n\\J V(?*—\\)^ax

i

hebben. Er volgt uit:

dx

V(e^2x—i)\'

i

Hierin stellen we = --.-V- • Daardoor ontstaat er:

sin" £

/»bgsin

(4).....Q(l)= dt= bgsin

e

o

Daar D(\\) = ~ volgt uit (4) § 9:

1 ⁰⁰ O ⁿ 2 „

(5) • • • • y-bgsin 7=2^"

n = 0

Verder is duidelijk dat uit (2) volgt:

(6)......Q\'0) = ƒ dx.

Door den noemer van deze integraal volgens het binomium te
ontwikkelen, ontstaat de reeks:

Q\'(l) = / log X ^ a₂n 1 dx

n = 0

J^ i [ e-(²ⁿ V^x\\ogxdx.

n = 0 _t

Door partiëele integratie:

ƒ<» 1 _roo p—(2n l)x

g-(2n l)x_{log xdx==} _---

1 1
Stel hierin x = 2_/2 S^aat deze integraal over in

1 ,-CCp—t 1

__— - dt —__i— // fe-(2n i)

2n l J t ^aï 2n l ^;

2n l

als li de integraallogarithmus voorstelt.

Dus

00

(7) . . . . Q\'(l ) =

n = 0 \'

Alle coëfficiënten k_n kan men op soortgelijke wijze ontwikkelen.

1 ⁰⁰ co

(B) . . . . k_n = ^ ^a._{2m 1} ƒ (logx^e-^ ^dx.

OT=0

HOOFDSTUK IV.

Eenige bepaalde integralen die in D-functies kunnen worden
uitgedrukt; reeksontwikkelingen.

§ 11. Bepaalde integralen die in D-functies kunnen worden

uitgedrukt.

Uitgaande van de integraal

_rCO vS — 1

(1) . . . . r(s)P(s) = f_v*_2x__vdx R(s)>i

0

vindt men door partiëele integratie:

i y^s 00 1 r⁰⁰ Y^s

^r W D O = 7 • (TOJS ₀ T[ W^W\'^{dx of}

0

als men s door s — 1 vervangt:

fco _Ys—1 _p2x

(2) ... . r (s) D (s — 1) = ƒ ^_X__lf2dx. R(s)>t

ö

Hieruit volgt verder:

fOOyS—l{p2x_ 1 rCO vS—1

r (S) D (5 - 1) = f ^x P- dx J ^ dx

0 0
hetgeen door gebruikmaking van (1) overgaat in:

■•CO vS—1

r (s) ] D (s 1) D (s)| = J ^_X__lfl2dx.

o

De eerste integreeren we weer partieel aldus:

¹ r ^e2x u ¹ r.i ir _s ^{g2x 2} _f

sj (e^2x—\\yi^^X)~s(e^-\\yi2^]0^sJ ^x (e^2x—\\yi*^{e ax 01}

0 0

1 r°° x^se^2x 3 i\'^r x^se^2x

r (s) D (s - 1) = _s j dx - ^-J -dx.

o o

In verband met (2) volgt hieruit na rangschikking:

r 00 vSp2x

j {J*- lfh dx = ir(s^\\)\\ü(s-\\)-D(s)[

o

en na vervanging van s door s — 1:

ƒ00 V s—lp2x

J^ZL Yfkdx = h r(s) 1D (s-2) - D (s - 1)|.

o

Deze integraal bestaat alleen als R (s) > § zooals blijkt, door
op te merken dat voor de grens x = 0 aan deze voorwaarde moet
voldaan zijn.

Verder kunnen we nu weer een formule afleiden die met (2)
overeenkomt:

^ op _Xs-i_e2x _ x^s~^x r®__x⁸"¹

/ yh^ax—j (e^2x — Tyï\'^X^~J (ë^2x—

ö ö o

De eerste integraal van het rechterlid vervangen we door de
waarde uit (2) en vinden dan na rangschikking:

r⁰⁰ x^s—^x

(4) . f ^—^rdx = ir(s)\\D(s-2)-4D(s-\\) 3D(s)\\

R (s) > f.

Op de integralen uit (3) en (4) kunnen we nu weer dezelfde
bewerkingen toepassen als op die van (1) en (2). Zoo voort-
gaande vinden we de volgende formules:

/oo _Ys—l_p2x 1

_(el__1)7/a5 r(s))D(s-3)-4D(s-2) 3D(s-1) |.

o

/•CD j^S — 1

......I (e²*— \\yi2^dx~

ó

= 3^5 r(s)\\D(s — 3)~9D (s — 2) 23D (s — 1) — 15D(s)J.

r⁰⁰ x⁵-¹^ ,

w......J y>^dx=

o

¹ r(s)lD(s — 4) — 9D(s — 3) 23D(s — 2) — 15D(s—1)J.

3.5.7

r⁰⁰ x^s—^x

......J m^dx =

O

r (s) I D(s—4)— 16D(s-3) 86D(s-2)-176D(s-1 ) l 05D(s)}.

Men kan deze rij formules gemakkelijk voortzetten. Hef blijkt
nl. dat de getallencoëfficient in den noemer steeds het volgende
oneven getal als factor er bij krijgt. De coëfficiënten van de
termen tusschen de accolades zijn altijd gelijk bij de laatste
formule van een stel en de eerste van het volgende stel. Verder
worden die coëfficiënten aldus gevormd: Om b.v. formule (8) te
krijgen trekt men van de coëfficiënten van (7) resp. de 7-vouden
van de coëfficiënten der overeenkomstige termen van (6) af; aldus

— 9 -7.1 — — 16
23 — 7 . (— 9) = 86

— 15 —7.23 = — 176
0 —7.(— 15) = 105.

§ 12. Numerische resultaten.

Uit de bewezen betrekkingen kunnen we nog enkele numerische re-
sultaten afleiden door de numerische uitkomsten van § 5 te gebruiken.
Zoo volgt uit (1) voor s=3:

0

voor s — 2:

^l^²-_{dx =} j\\log sin tf tg² tdt = n log 2 -1 (log 2)² - ₂V

Ó 0
voor s = 2:

/oo j^ïgQx r 2 sin²1

(_e2_X_ m ^dx = I (^lQg^sin O²_cosr_t dt = (i - log 2)

0 0

voor s = 4:

n

/oo _r2 cin^s/ 7T

X^Xfk ^dx = ~J Oog Sin ff dt = - i, log2 - - (log 2)²

O O

uit (4) voor s = 3:

ji

ƒ00 y2 - 2

(^érïfk^dx = l (log sin ff tg⁴ tdt =

O "o

= ** «(log 2f
uit (5) voor s = 4:

n

_roo _r3a2x pi ci\'n"¹ t

(e^Tlp^dx=r—J^{(l0g Sin} = A»(log2)

o

§ 13. Reeksontwikkeling voor D(s).
We gaan uit van den integraalvorm

1 /-00 Y^s—1

o

en van de formule (2) van § 12:

/oo _vs

_(gfai _ï)3/2 rf* = r(s 1) [D(S) - D(s 1)].

O

Ik vermenigvuldig teller en noemer van den integrand uit (1)
met e^2x — 1:

/<x_Ys—l(p2x_ 1\\ yOC _Ys—1 02

V_n\',;⁾dx=f (/-₁₎s/₂(2

O O

Door term voor term te integreeren en de optredende integralen
te vervangen door hunne uitdrukkingen uit (2) vind ik:

r(_S)D(s)=2r(_S l)]D(s)-D(s l)| ^r(s-l-2)iD(sH-l)-D(s 2)l ....

hetgeen, door gebruik te maken van een bekende eigenschap
der T-functie overgaat in:

CO r\\_n

(3) D (s) = £ ^ \\ D (s n -1) - D (s n)| s(s 1 )....(s n-1)¹).

^J) Op deze ontwikkeling werd ik attent gemaakt door Prof. W. Kapteyn.

Om na te gaan in welk gebied de reeks convergeert schrijven
we haar in dezen vorm:
(3a).......(1 - 2s) D (s) =

00 r\\_n

— —2s D (s-j-1) 4" ^s(^s 1 )....(s n— 1) | D(s-f-n— 1)—D(s-|-n) \\

n =2 *

en leiden eene benaderde uitdrukking af voor den factor
D(s /i — 1) — D(s n)

D(s n)-l -D(s /i)= 2 (3^1 -3^) 2\' 4(5^-^" 5^) " •

1 2 1 .3 4 ,

2 \' 3^S " \' 2.4\' 5^S " ¹

als R (s) = o s = o -f i t.

Blijkbaar volgt hieruit:
|D(s n -l)-D(s /z)| < * . ^^  • ■ • •

<_L(_L l i ¹ -³ 1 ■

On—2 \\ O • 004-1 I

3ⁿ~² \\ 2 \'S^^{1 T} 2.4\'5^{ö l 1} " "/\'
Kiezen we o positief dan geldt voor de reeks uit het rechterlid

dus

71

-1

De reeks der moduli van (3a) wordt thans:

⁽°² ^ ^{n * ^{f)Xi2 f}y\'² ■• •

... (o 1 f)^xh \\ D (s n — 1) — D(s) |.

De termen dezer reeks zijn blijkbaar kleiner dan de overeen-
komstige termen van de reeks:

__₂ * _ 1

Z ^ .... (o „ -1² f-yi>

De convergentie van deze laat zich met een eenvoudig con-
vergentiekenmerk onderzoeken:

Un 1_ 2 (o n pyi* _ 2 |/(q nf f-
u„ 3 n -f- 1 3 r (n l)²

Wn l _ 2

De reeks convergeert dus en de reeks (3fl) convergeert voor
alle waarden van s waarvan het reëele gedeelte positief is, en
wel absoluut en uniform.

Is het reëele deel van s negatief, dan zijn, vanaf een zekeren
term, stelde de /7r^de, de reëele deelen van de functies

D(s h— 1) en D (s n)
toch weer positief. Volgens het voorgaande is dus

71

|D(s n-l)-D(s fl)r<g|^ n>m.

Het verdere bewijs is als het vorige.

De reeks (3a) convergeert dus in het geheele vlak.

In de punten

s = ^, §, ....

heeft D(s), zooals we reeds weten, polen. Voor éen dier waar-
den van s worden telkens termen van de reeks oneindig groot.

r(s)

§ 14. Reeksontwikkeling voor 2^S _p ^ ^ D(s).
We weten dat

ƒ00 yS—1 -00 yS—1

vé*-\\)^dx=l ,^-iK*.

O O

Ik ontwikkel den factor ]/(e^2x— 1) in een reeks.

/_e2x __ 1

De functie 1/ —— kan in een machtreeks ontwikkeld worden,

die in \'t geheele vlak convergeert, omdat de functie geen singu-
liere punten heeft.

/e^2x — 1

] p₁(2x) M2xy p_s(2xT

2x

Hieruit volgt:

r 00 yS—1

r(s)D(s)=f ~_₁H2xy/> M2x)^3/> M2xy^/> .. .1 dx.
Ö

De reeks

₂l/_2JCS-l_/2 ^ 1/2 ^S 3/2

, _e2_X__y ^2,2/V-T • • • •

convergeert uniform voor alle waarden van x. Zij mag dus term
voor term geïntegreerd worden tusschen de grenzen O en co
omdat tevens voor x = oo de termen de waarde O hebben:

r(s)D(s) = X^{2 2} /?»/ w±\\^dx\'

O

Nu is

J ƒ00 _xs—1

^t(s) = Fööi ^ -1 ^dx\'

O

Stellen we x = 2y dan gaat deze betrekking over in:

1 fOO yS—1

Lc(s)r(s)=j _élx__xdx.

O

Dit invoerende ontstaat de vergelijking:

2*r_(s)D(_s) = |>„r(s ²"4 !):(« ^2JLP\\

Door gebruik te maken van een bekende eigenschap van de
F-functie, kan hiervoor geschreven worden:

r(s)

§ 15. Reeksontwikkeling voor —₉ \\ ^ £(^s)-

Gaan we uit van de betrekking

1 />oo Y s—1 IKO yS—1

lr(s)D(s)=y ^r_z₁dx = f *

O ö

en maken weer gebruik van de ontwikkeling uit § 14.

Op dezelfde wijze als bij de afleiding van de vorige reeks-
ontwikkeling vinden we:

^{00 2}n i r -t-^i¹
^r(s)C(s) = Z²~²\'l

Tl — O 0

De integralen uit het rechterlid zijn in § 11 in D-functies uit-
gedrukt. Door die formules toe te passen vindt men, na herleiding:

n^c(5)= p (*-*>- ^d (* *>\'

\\ ^ 2 J\\

In § 37 heb ik verschillende betrekkingen afgeleid tusschen
de coëfficiënten /?„.

§ 16. Andere ontwikkeling voor D (s).

tf-S—1

r(s)D(s) = l _wdx=l - * («*-!

0 ö
Volgens §33 (1) is

en daar volgens (17) § 33

_2

volgt hieruit:

F (s) D (s) - r......y 2^(2^2) ₂

of

^r«^D«=§—CTRJH/ T^IF^

De hier optredende integralen hebben we bepaald in (4) §11.
Volgens die formules krijgen we derhalve:

r(s) D(s) = J ^ OTT ^{2) r}(s n 2) [D(s /i)-4 D (s-f n 1) 3 D (s n 2)]

of na deeling door F(s):

s(s l)...(s-fn l)[D(s n)-4D(s /2 l) 3D(s n 2)J.

(ⁿ 2)!

Om de convergentie te onderzoeken gaan we te werk als volgt:

1 .3

2 \' 3^S " ¹ 2.4\' 5^S "

— 4 D (s n 1) = — 4— 4. -

₃s n 2 ³ " ₂ . 4

3 D (s n 2) = 3 3 . ₂

Optellende komt er:
D(s n) — 4D(s /j l) 3D(s fl 2) =

1.3 5² - 4 . 5 3 . 1.3 . 5 7² — 4.7 3

2.4.6\'

2.4\' 5* n 2
Derhalve is, als s = o z7:

| D (s n) — 4 D (s n 1) 3D (s n 2)

3 5² — 4 . 5 3 . 1.3 . 5 7² — 4 . 7 3

2.4.6

1.3.5

2.4.6

h³^⁵ JL

2.4.6 7- \'"

1/1^3 \\ . 1.3.5 1
\' 5ⁿ \\2 .4 5" \'2 .4 . 6 \' 7"

1

<5^\'^C\'

De factor tusschen de haakjes is, als a> J is, een constante
eindige grootheid. De reeks der moduli van (1) heeft dus de
eigenschap dat de termen kleiner zijn dan de overeenkomstige
termen van de reeks

(o² t²yi² 1)² .

(n 2)!

voor alle waarden van o > De convergentie van deze laatste
reeks onderzoeken we weer met een eenvoudig kenmerk:

On 2 (nn f2_o\\ ----------2 i

^{ün = (}°^{2 fyl2}-• ■ " ^{1 f2yh} ■ 5

a_B i 2(2" ³—2[(g /z4-2)²-f-/²]\'/» __ 2(2" ²- 1) )(q n 2)²-f
5 (2"\' — 2) (n 3) 5(2" ~¹ — 1)\' n 3

4

5

De reeks convergeert dus voor alle waarden van s waarvan
het reëele gedeelte > \\ is en wel absoluut en uniform.

Op geheel analoge wijze zouden we nog andere dergelijke
reeksontwikkelingen kunnen afleiden met behulp der andere inte-
gralen van § 11.

§ 17. Nog andere reeksen.

Bovendien kan men uit ieder stel integralen nog weer een
nieuwe reeksontwikkeling vinden.
Nemen we bijv. de formule

ƒ00 yS—1 ö2x roe yS—lrly _ÏL O (IvB

7 w>^dx=f W *

0 . ó

Door verwisseling van het integraal- met het somteeken ont-
staat :

,-oo v-s— 1 Oⁿ yS n—1

jr(s)|D(s-2)-D(s-l)| = / „x ^-J

ö ó
waaruit weer volgt, als we voor de integralen hunne uitdruk-
kingen in D-functies in de plaats zetten en daarna door r(s)
deelen:

D(s-2)-D(s-l)=D(s-2)-4D(s-l) 3D(s)

00 r\\j2

"./I!

n=l

Na eenige herleiding kan dit als volgt worden geschreven:
D(s-1)-D(s)=

n—l

... . (s n — 1) [D (s n — 2) — 4 D (s n - 1) 3 D (s n)].

Op dezelfde wijze als bij de vorige reeks vindt men dat zij
convergeert indien R (s) > 2.

HOOFDSTUK V.

Over de polen van D(s) en hunne residuen.

§ 18. In § 9 is afgeleid de formule:

1 r /-CO yS-l rc _ On_n

¹ — Hx —I— 2-\'feV -4

In § 36 zal worden aangetoond dat de coëficienten a_n alle van
nul verschillen. Daarmede zal dus bewezen zijn dat de functie
D(s) polen heeft in de punten

s = — n l n — 0,1,2,....

Daar de voorstelling (1) voor het geheele vlak geldt en de
functie r(s) geen nullen heeft kan de functie D(s) geen andere
polen bezitten dan de genoemde.

Zooals reeds eerder is gebleken, is de residu van de pool
s = ^ gelijk aan

1

Vin

omdat r{\\) = V7i.
In \'t algemeen heeft men voor de residu van de pool s = — n -{- \\:

2 ⁿ-^x^a_n 2ⁿ~^xha_n

^r(ⁿ — i) siⁿ (ⁿ — i)⁷¹

= 1 • 3 . 5 ... (2/2 - 3) a_n.

\' 71

In de omgeving van s = ^ is

2—Va i

D(s) = hol. functie • _s _ ^

Dus is

(s — \\) D (s) = (s — l) X hol. functie ^

2~^ll2 1

of lim (s — D (s) = = -■- •

S-l/2 ¹ (i) V ï⁷¹

Thans zullen nog een paar uitdrukkingen worden afgeleid voor

lim D(s)-²—V

S=l/2 \\ ^S — f

We weten reeds dat de functie

2-\'/2

r(s)D(s)

holomorph is in de omgeving van het punt s = Die functie
kan dus in die omgeving (en wel met een straal = 1 omdat de
naastbijliggende polen zijn s = — in een machtreeks ontwik-
keld worden. Daartoe maak ik gebruik van (1) § 8

1 /-cc plx_ 1 _ ?yp2x

r(_s)D(s) = -_s__i/ _ix

0

s—l-J 1)^3/2

o

De volgende ontwikkeling ontstaat dus, door de macht van e
in den integrand op de gewone wijze in een reeks te ontwikkelen:

i fs_iVi r^a2xp^2x_p^2x1

Er volgt uit:
_rMnM 1 r⁰⁰ 2xe^2x—e^2x l,

— V (^s — i)"^-1 Z ⁰⁰ 2xe^2x—e^2x-\\- 1

n—i ₀

Ten eerste blijkt hieruit dat

>2xe^2x — e^2x-{- 1

dx = 1/2

2X\'/2 (_e2x„

0

omdat vroeger reeds gevonden is dat

r(<

een holomorphe functie is.

Verder is dan:

r(s)D(s) - — = I _{2 éix}^ ^ (logx)^x.

j «=i ö

Na deeling door F(s) volgt hieruit:

hm D (s)---------"t = „ _r— —77-7-öï—^loê ^x dx.

0

Eene andere uitdrukking wordt verkregen door formule (1) van
§ 7. Voor s = | vindt men daaruit, na deeling door F(s):

, 2-^ji-\'IA 1 /•»[,/ 1 11,

0

na eenige herleiding, die hier achterwege gelaten is.

HOOFDSTUK VI.

Eenige betrekkingen die voortvloeien uit een paar algemeene
theorema\'s der reeksen van Dirichlet.

§ 19. Het theorema voor de som der coëfficiënten.

We gaan nu gebruik maken van een theorema dat voor alle
reeksen van Dirichlet geldt.

Het is als volgt¹):

00

Zij ƒ (s) — y a_n e~\'-n s een reeks van Dirichlet die convergeert

TI-I

in een halfvlak, dan is, als de integraal genomen wordt over eene
verticale lijn binnen het convergentiegebied, terwijl y>0:

/y ico

pXS __

f(s)ds = 2ni2^\'a_n

^S ln<X

y—ia>

waarbij het \' bij de 2 beteekent dat als x = X_n is , de laatste
term van de som a_no als coëfficiënt \\ heeft. Overigens loopt de
sommatie over alle a„\'s waarvan de bijbehoorende A„\'s kleiner of
gelijk aan x zijn.

In ons geval moet dus y > ^ zijn en verder is l_n = log n
a_2n = 0. Kiezen we eerst

x = log (2/2 1)

dan volgt uit (4):

gS log (2n l)

/ _s D (s) ds = 27i i ö₃-f • • •  | a_2n 1)

y—icc

of als we formule (4) §2 toepassen:

!) Handbuch II pag. 820.

/y-\\-i oo

(2n 1)« ^D(p dz = (2n \\) a,_{n 1} -

y—ioo 7 > i-

Kiezen we ook nog voor x een getal dat voldoet aan

log(2/2 1) > x> log2/2.
Nu is Ü2n = O dus er komt:

r^{y iCD} nr \\

/ ^ ds = 2ui (_Ö1 a₃ ... . a_2n-1)

/—/oo

en door toepassing van (4) § 2:

ƒ 7 /oo

_ex_S 2i5)_{ds =} (2fl--i)fl_Ste__lfy>j_fiog(2n l)>x>log2«.

y—i oo

Deelen we de termen van (5) door (2n4"l)^s en sommeeren
de uitkomst van /2 = 0 tot oo dan ontstaat de betrekking:

„y-f oo

1 f J_ D(z) , _ y qW__ö²^¹

2nij ^ (2n \\y~^z z ^(2/2 1)^s-¹ 2^(2/2 1)^s

7 —ZOO

Of

/7 /oo
7—/co

?>>|- R(s)>y 1.
Beschouwen we de integraal

ft

genomen over een rechthoek die aldus bepaald is

z = x 4- iy
<5<R(z)<y O <<5 <7
u>y> — v 22, v positief.
Binnen dezen rechthoek ligt alleen de pool z — \\ als we nemen
R(s)>y-f-l. De residu van deze pool is blijkbaar gelijk aan

¹ 1/2

Volgens het theorema over de residuen van Cauchy is dus de
genoemde integraal gelijk aan — !)• Derhalve is:

y—iv y

ƒ <5—iv _ry \\ —

C(s-z) _dz ƒ C(s-x ,V) ^Df-f> d_X (= yl t (s-ï).

8 iu \'ó

Gaan we thans over tot limw = co limv = oo. De tweede en
de vierde integraal naderen dan tot nul, zoodat er overblijft:

«y-l-ioo —ico

y—zoo <5 /oo

of, in verband met (7):

— f.8—ico

z

8-{-ico

0<<3<i R(s)>|.
Uit de eigenschap (6) § 2 volgt door middel van het theorema (4):

/y ico

— -|(2/Z 1 )ö2n l

y—/co

door toepassing op de reeks

(5) kan ook aldus geschreven worden:

/y f®

(2n \\y^ds = (2n l)a_{2n 1} en (9):

y—ico

/y-\\-iw

(2n l)^s Ü rf_s = (2/i 1) (f /i I)ö_{2n i}

7—Zw

Door combinatie dezer twee resultaten komt er na eenige her-
leiding:

lim (% n , )* PP»-\') - = 0.

»=00 J 4n 3 4n l Is

y—ico

§ 20. Het theorema over het gemiddelde.
Volgens een bekend theorema¹) is:

Hm I.....f(f> it) g(y - it) dt=Yb_n c_n e-M/Hr)

C0= 00 J I

-CO

00

als f(s) — voor o = fi en

i

cc

S(^s) ~ c_ne—^ns voor o = y absoluut convergeeren.
i

Kiezen we /(s) = D(s) en g(s)~£(s) dan wordt dit:

j* -IfDV iOCir-iO^Z«.., ₍₂1T W=^D^

—(O

(1) • . . Hm -¹- rD(p it)C(y-it)dt=D(P y)

W=CO Z J
—co

r > ¹

Gemakkelijk is aan te toonen dat deze formule ook geldt voor
voor geheel willekeurige reëele waarden van ft en y. We be-
schouwen daartoe de integraal

f D (z) C(s — z) dz.

Als integraalweg nemen we den omtrek van een rechthoek die
aldus bepaald is

z — x-\\-iy

0>x>P\' ^m>y> — ro.

Volgens de residuenstelling van Cauchy is deze integraal gelijk

>) Handbuch II pag. 776-

aan 2ni maal de som van de residuen der polen die binnen den
rechthoek liggen:

rw rB\'

i / DOQ it) C (s—p—if)dt / D(jc w>) £ (s—x—iw) dx

;--W rtt

i / DO9\' if) C (s—p\'—it)dt / D(x— /«>) £ (s — x ico)

= 2ni x som der residuen.

Deelen we alle termen door 2co en gaan over tot de limiet
co — oo dan verdwijnen de tweede en de vierde integraal omdat
de integrandi nul worden, doordat D (z) f (s — z) voor z = x ico
eindig is, Ook het rechterlid verdwijnt, dus blijft er alleen over

lim [^mD(p if)£{s—p—if)dt=\\im ~ [ ^c°D{p\' if)C{s—p\'—it) dt

—co —ft)

waaruit volgt:

(2) . . lim i f ⁰D (/ï\' it) C (/- ff) df = D(/?\' /)

co=oo

—co

waarbij nu en / willekeurig zijn, maar niet

= —è, —f .... of / = -!, -2,....

HOOFDSTUK VII.

De reeks van Dirichlet voor de fuctie ¹

D(s)

§ 21. De reeks en hare convergentip.

Stel dat voor a > a de functie , J. . in een reeks van Dirichlet

D(s)

kan ontwikkeld worden:

(1) ¹ ₌ V .....

^lj......D(s) ^o(2n l)^s

Nemen we verder aan dat de reeks absoluut convergeert voor
o>a dan zal de reeks, die ontstaat door de reeks uit (1) te
vermenigvuldigen met de reeks

y a_j2n±1
& (2n !)|

convergeeren voor o > a als a > Deze productreeks moet
echter, omdat

^d(s)-d\'(s)⁼¹\'

voor alle waarden van s de waarde 1 bezitten. Hieruit volgt
dat de coëfficiënten der productreeks alle =0 moeten zijn behalve
b_x = 1 ¹). Zooals gemakkelijk is na te gaan zijn deze coëfficiënten
van den vorm

(2).......£a_db

d

waarbij de sommatie loopt over alle deelers d van 2n 1 , de
eenheid en \'t getal zelf, ook als deelers beschouwd.

De betrekking (2) stelt ons in staat de coëfficiënten b-_2n i uit
te drukken in de coëfficiënten ü2n i-

1  Handbuch II, p. 742.

Ze geeft b.v., als p, q, /\'... priemgetallen voorstellen:

(3) . b_p = — a_p b_Pq= — a_pq 2a_pa_q b_P2 = — a_pi a²p.
Wordt met behulp dezer formules de getallenwaarde berekend

van de coëfficiënten b^n x zoo vindt men, omdat b_l = 1:

h —_i h —_3 h —_ 5 h —_ 3

^u8 — 2 > ^uó — 8 ^u7 — T"Ü" 9 — ] ÏE"

h — _ ~S3 h — _ 231 h — 339

°u— °13~ I^gj -Jïïïïï-

Al deze coëfficiënten hebben dus een waarde waarvan de
modulus kleiner is dan de index. Wij kunnen nu bewijzen dat
algemeen

(4 )......| b_2n i | <(2/2 1 )\\

Voor kleine waarden van n is dus aan deze ongelijkheid vol-
daan. Uit (2) volgt

(5 ).....| ftta i i < Z> I ^b2rf \'

d

Alle b\'s uit het rechterlid hebben indices die kleiner zijn dan
(2/2 l)^7/s. Als dus ondersteld wordt dat voor alle b\'s, waarvan
de index kleiner is dan 2/2 1, aan (4) voldaan wordt, dan
volgt uit (5):

i fc„ ₁1 T of

d

«2»

d

< (2/2 iy/s£ ₍₂^ 1¹y/8=(2n 1)⁷MD(|)-D

het laatste omdat d>3 is. Dus

| b_{2n 1} | <(2/2 1)% (D(£)-l)

< (2/2 1 )%

zie de benadering van D(-|) in §22.
Het blijkt dus dat ook

| b_2n i | < (2/2 1)\'/.
(4) is dus algemeen geldig. Hieruit volgt nu direct dat de reeks (1)
absoluut convergeert voor a > want in dat geval zijn de termen

kleiner dan de overeenkomstige termen van de reeks

00 |

|-₀ (2/2 1)0-%

Hiermede is echter de convergentielijn van de reeks uit (1)
niet gevonden, want omdat uit de berekende waarden van fa_n i
blijkt dat ze van veel lagere orde dan

(2 n-\\- 1 )\'/b

zijn, ligt het vermoeden voor de hand dat de reeks ook nog voor
veel kleiner waarden van o zal convergeeren, vooral omdat be-
wezen is dat D(s) geen nullen heeft voor o > en dus —^

holomorph is in het gebied o > Maar, zooals in de inleiding
is gezegd, wordt de convergentielijn niet bepaald door de polen.

Ik vermoed dat de reeks uit (1) convergeert voor o > J en
misschien wel voor o > 0. Dit vermoeden wordt gewettigd door
het heuristisch bewijs van § 23.

§ 22. Benadering van D(|).

Uit de reeks van Dirichlet volgt

D(!)>D(1) dus

r(f)D «)=ƒ

< y₂ * f — i • A H- f • A * are sin |

< 2,1168.
2,1168

1,09
D(|)<2.
Op soortgelijke wijze vindt men

.D (|)< 2,3, D (f)< 2,05

§ 23. Afleiding van de betrekking.

2x f 11\'

(i) • • • • ZïiHrf|^flr» ii^ i = i-

n=0 \' " bx 1]

De formule (2) § 21

1 = 0

d d

sommeeren we van n = 0 tot n = x en vinden dan, omdat b-,= 1:

^ 1.

d d

Hiervoor mag ook geschreven worden:

X

(2)......

n=0 d d

2/2 1

want als d een deeler van 2/2 1 is, is —, - er ook een.

d

Als voorbeeld geef ik het geval dat n — 5:

bi ("A o_xó₃) (a₅b_t a_xb_b) (a^ aj-)
(ö₉ö, a₃b_s a_xö₉) {a_xlb_x a₁b_n) = 1.

Merken we nu eerst op dat d in (2) alle deelers doorloopt van
de oneven getallen 1 tot2x l; m. a. w. d doorloopt alle oneven
getallen van 1 tot 2x l. De volgorde der sommatie uit (2)
keeren we om:

d n—0 d

De som V a_{2n 1} bevat dan alle coëfficiënten a waarvoor — J—

n= 0

een geheel getal is, en de sommatie moet dus geschieden over

alle waarden van n waarvoor ^2/7 * een geheel, oneven getal

is en die kleiner dan x zijn. Zij k het grootste oneven getal
2x 1

dan is dus

d

^ , ^a2n 1

a_x fl_s . ... Qk — ka_k

n—0 d ~

het laatste volgens de eigenschap (4) § 2.
Volgens de bepaling van k is

2x4-1

k —

of als dit getal even is

1.

Wanneer nu verder door het symbool

f2x 1

d

wordt aangeduid het getal

2x 1

d

of datzelfde getal verminderd met de eenheid, al naar gelang
2 n 1

— oneven of even is, dan is dus bewezen dat

d

2x 11\'

\' U\'ix l

Omdat echter, zooals reeds gezegd is, d alle oneven getallen
<2x-|-l doorloopt, kan dit laatste resultaat ook aldus worden
uitgedrukt:

2x4- 1"

z

m=0

Voorbeeld: x = 7.
154- 5a₅b_n 4- 3o₃ö₆ 4- a_xb₇ a^ a_xb_n a^b_v, a_xb₁₅ = 1.

§ 24. Heuristisch bewijs voor de convergentie voor o — \\.

Door de formule (1) § 23 kan een heuristisch bewijs gegeven
worden van het volgende theorema:

De reeks

1 k i_ h. _L_

¹ ~ Os I Ks i

3^{S 1} 5^S

convergeert voor s = ^ en heeft dan de waarde O.
Ik schrijf de formule als volgt:

2x 1
5

(2x 1) a_2x 1
1

(2x 1) Ü2X 1

en bepaal eerst

#12x4-11\'

Hm \'________-"^i,!

x=oo (2x 1) Ö2X 1

door middel van de formule (3) § 3
lim a₂k 1 = Hm

V(2k 4" 1)
/2x 1

\' 2 n 4- 1

2x 1

cV( 2x l)
Het teeken 1\' beteekent 1 of 0.

,_l// J____

\'V2/Z 1 2x l / 1/(2/2 1)
De termen van bovengenoemde formule (1) naderen derhalve tot:

h , h
1/3 1/5

Het rechterlid nadert tot 0 dus is

(2>.......è ^{ha i}

De reeks

enz.

Z

(2/2 l)^s

convergeert derhalve voor s — 0 en dus volgens de bekende
theorie ook voor s > 0.

Nu heb ik dit genoemd een heuristisch bewijs en wel om de
volgende reden. Terwijl de termen, bij bovenstaande limietover-

gang, naderen tot y^ x) ^resp"\' ^{wordt het aantal termen}

steeds grooter. Hoe grooter echter x wordt, hoe meer termen
van (1) tot coëfficiënt hebben

1

(2x -f- 1) Ü2X 1

en deze uitdrukking nadert niet tot y^₂n-\\-\\) ^{zooals e}\'g^enlii^k

ondersteld is, maar tot ttt^—t—rv- Om kort te gaan:

V(2x 1)

Om (2) te bewijzen zou men moeten bepalen

b₃ , b_h , , Ö2x 1

en dit is bij de boven doorgevoerde limietovergang niet geschied.

De overeenkomstige kwestie als hier behandeld is, vindt men
bij de C-functie van Riemann. Euler leidde reeds in 1748 langs
heuristischen weg de betrekking

^ rtn)

0

n

72=1

af. Doch eerst in 1897 gelukte het von Mangoldt dit langs streng
exacten weg te bewijzen, met behulp van door Hadamard ont-
dekte theorema\'s.

§ 25. Over het teeken en over benaderde waarden van de
coëfficiënten b.

1°. Zij 2n-f 1 = p², p priem, dan is b_2n i negatief en
0,2112 _ ^ 0,0807

< Ö2n 1 <

V{2n \\) ^ J/(2n l)

Voor n = 4 geldt hetzelfde teeken.
Bewijs: We weten dat

b_p2 — — a_p2 cip.
Door middel van de in § 3 afgeleide grenswaarden voor a_2n i,
volgt hieruit, als n > 1:

. . 0,797 . 0,8463² . 0,0807

/ _ ⁰\'⁸A^Ö3 i 0,7972 _ 0,2112
^{1, 2} \' Vp\' Vp - ^> Vp\' \'

2°. Als 2n-\\-\\=pq, p en q priem, dan is fan i positief en
0,4239 . . . 0,6355

< b%n l <

V{2n \\)
We weten dat

bzni-i = — a%_n \\ 2a_pa_q
0,797 . _ 0,8463²

V(2n 1)

0,6355
]/(2/i l)
0,4239

>

l/(2« l) ¹ }/(2// 1) K(2n 1)
Langs dezen weg kunnen we echter niet verder komen. De
getallen, zooals 0,6355 en 0,4239, worden steeds grooter en houden
niet meer hetzelfde teeken zooals in beide bovenstaande gevallen.

Uit de berekende waarden van b_2n 1 schijnt te volgen dat
het teeken van Ó2n i gelijk is aan (—l)^e als o het aantal ver-
schillende priemfactoren van 2n 1 is. Ik heb dit echter niet
kunnen bewijzen.

§ 26. Tabel van de coëfficiënten a en b^l).

!) Omdat b.

2n l —
niet ingevuld.

- a<

2rz l

als 2n 1 = priemgetal, heb ik die getallen

§ 27. De algemeene uitdrukking der coëfficiënten 62« 1.

Het doel is te bewijzen dat

(■<\\ _h _V* / 1 \\M4-r4-o... C" 4~ ^v-j" Q • • •)^! _nv_nQ

(ï) ^(-i) ^.vigi... ^{k J 1} • • •

als de sommatie loopt over alle stellen waarden die voldoen aan

k"j"f ...=2n-\\-\\.
Door middel van (2) § 21 vindt men, door herhaalde toepassing
dezer betrekking:

K = — a₉ 4

K = — «15 2^3 %
Ö45 = — «45 2 cuflvó 2a_Ba₉ — 3 a%a₅
enz.

Hierdoor blijkt dat aan (1) voldaan wordt voor kleine waarden
van 2n -f- 1. Nemen we dus aan dat (1) geldt voor alle waarden
van n van n= 1 tot n — m. Uit de betrekking (2) § 21 volgt dan

(2) ... . Ö2m-r3 — — tf2m 3— Ctd &2/n 3*

d d

Ten eerste is nu duidelijk dat alle termen van den vorm

in de uitdrukking voor ó_{2m 3} moeten voorkomen; want in bi_m 3

d

komen zulke termen voor, en zij worden vermenigvuldigd met a_d.
Gaan we na wat de coëfficiënt wordt van een willekeurigen term,
van bo_m 3 bijv:

(3 )........^of....

waarbij dus

k^!\'j"f .. . = 2m 3.
Uit (2) volgt dat deze term ontstaat uit de termen:

flA: fem fB, Oj Ö2m 3, 0/ Ö₂m 3,......

k j i

De coëfficiënten dezer termen zijn resp.:

( 1 Vr-i » <? - 1 \'• -)!. / 1 (A^ y— i e -)!.

^{1 j} O— l)!f! ^J ft! (v—1)! @!... \'
enz.

Om dus de coëfficiënt van den term (3) te krijgen, moeten wij

de hierboven genoemde coëfficiënten optellen en met tegenge-
steld teeken nemen, volgens (2). Er komt dan:

₌ 1  ^y 4- g ••••)^!

Hiermede is het gestelde bewezen.

Als we in de reeks voor D (s) de coëfficiënten a_2n i alle ver-
vangen door de eenheid, dan gaat de reeks over in:

¹ i> ••••
en de reeks voor -^y gaat over in

^ ,1(2/1 1)

^ (2/7 l)^s

zooals bekend is uit de theorie van de f-functie, p (2/7 1) is hier
de bekende getallen-theoretische functie, die gedefinieerd is als
volgt:

[i(2n 1) = 0 als 2n 1 — kwadraat.

= 1 als 2n 1 kwadraatvrij is en een even aantal

verschillende priemfactoren bevat.
= — 1 als 2/7 1 kwadraatvrij is en een oneven
aantal verschillende priemfactoren bevat.
Door in (1) ook alle a\'s door de eenheid te vervangen vindt
men omdat (1) eigenlijk voor alle reeksen, d.w.z. voor alle coeffi-
cienten a met de bijbehoorende b\'s geldt:

(4) . . . £ (- iy * -•• ** ^ = P&n 1)
waarbij de sommatie loopt over alle stellen waarden waarvoor

k**/....= 2/7 1.

Over de nullen van D (s).

§ 28. Er zijn geen nullen waarvan o > | is.

Uit de reeks van Dirichlet volgt direct dat de functie D(s)
geen reëele nullen heeft waarvan want voor een dus-

danige waarde van s zijn alle termen van de reeks positief.
De functie heeft geen nullen in het gebied o>-|.
Bewijs:

Zij r]<o dan is

_1 I < _L:^a» _L ¹

\' ------------n <r\\n \' r-rr_n rw

— y—v 3v

Nemen we bovendien aan dat rj = | dan is

Nu is D(|)<2 zie §22, dus | D(s) — 1 | < . Dus

j D(s) | > 1 — — > O zooals te bewijzen was.

y-Vs

Uit het theorema, dat in § 24 langs heuristischen weg bewezen
is, n.1. dat de reeks

1_ _\\ > Ö2/H-1

convergeert voor o> zou volgen dat de functie D(s) geen
nullen heeft in het geheele convergentiegebied o >

§ 29. Over de nullen op de reëele as.
Formule (4) van § 9 stelt de functie in \'t geheele vlak voor,
De r-functie, die in den noemer optreedt, heeft zooals we weten,
polen in de punten

0, -1, -2,....
Omdat de integraal uit (4) voor deze waarden van s eindig is
en de reeks uit (4) voor die waarden convergeert, zal de functie
D(s) in die punten nullen hebben, en wel enkelvoudige, omdat
de polen van r(s) ook enkelvoudig zijn.

We zullen nu bewijzen dat de functie geen nullen heeft tus-
schen s = en s = — ^ op de reëele as behalve in s = 0.
Daartoe gebruiken we de formule (1) § 8 die na een kleine
herleiding overgaat in:

1 r c 1 2xe^2x — ê^x -f 1 ,
r(s)D(s) =27—1/ _(es*_ ^dx-

0

Voor s nemen we een reëele waarde tusschen — \\ en De
integrand heeft dan in \'t geheele integratie-gebied een positieve
waarde want de noemer is steeds positief en om te bewijzen dat
de teller hetzelfde teeken heeft is het voldoende aan te toonen dat

2xe-^x 1 > e^2x

dus dat   >1 2x4-^/ ....

Het laatste blijkt onmiddellijk want iedere term van het linkerlid
is grooter dan den overeenkomstigen term van het rechterlid.
De integraal heeft derhalve eene positieve waarde.

De factor — — ^ is in \'t genoemde gebied negatief. Verder is

het bekend dat r(s) voor —^ < s < 0 negatief is en voor
£ > s > 0 positief. Dus heeft D (s) voor — | < s < 0 een
positieve waarde en voor | > s > 0 een negatieve. Tusschen
— I en | heeft dus D(s) derhalve geen andere nullen dan s = 0.

De reeks van Dirichlet voor log D(s).

§ 30. De reeks voor log D (s) en hare convergentie.

Wanneer bewezen was dat de functie D(s) geen nullen heeft
waarvan het reëele deel > \\ is dan zou daarmede tevens aan-
getoond zijn, dat de reeks, die als exponent fungeert in de be-
trekking:

f ^{c%n 1}

(1) ..... . D(s) = ^ ¹⁾"
convergeert voor R (s) >
Immers is het volgende theorema bewezen¹):

00 _

Is /(S) = ^a„e ^lnS

n=1

een reeks van Dirichlet die tot convergentielijn heeft de lijn
a = a en die absoluut convergeert in een zeker gebied, terwijl
ƒ (s) 0 voor o > a, dan geldt eveneens voor o > a de ont-
wikkeling

1 C_ne—^lnS

f(s)=e"=^l

m. a. w. de exponent-reeks heeft a — a tot convergentielijn.

Daar echter niet exact bewezen is dat D (s) geen nullen heeft
waarvan het reëele deel grooter dan is, kunnen we dit theorema
niet toepassen en moeten we ons tevreden stellen met een minder
zeggend theorema ³):

Er is een getal G, zoodat de functie D (s) geen nullen heeft

1 !) Handbuch II pag. 861.

waarvan het reëele deel grooter is dan G en in dat gebied
geldt (1).

In § 22 is aangetoond dat G = |. In het gebied R (s) > f
geldt derhalve (1). Maar de convergentielijn van de exponent-
reeks uit (1) is hiermede niet vastgesteld.

Uit (1) volgt nu

Door differentiatie volgt hieruit:

D\'00 _ _ C2n 1 log (2/2 1)
Dlis)- ^ (2/2 1)«

en

D (s) - - D (s) V* ^C2" ^ll°g^{(2n 1)}.

^{S)H (2/2 l)^s

Door voor D\'(s) en D(s) de reeksen in de plaats te stellen,
wordt door vermenigvuldiging gevonden een betrekking tusschen
de coëfficiënten:

Z2n 1

(td c_2n i log—₍l
d d

waarbij de sommatie loopt over alle deelers d van 2n 1, de
eenheid meegerekend.

Door herhaalde toepassing dezer betrekking wordt gevonden:

Cp = CIp Cplq — üpiq — CLpÜpq ü_püq üpiü_l

C_pq ~ Clpq — ClpClq C_pqr = a_pqr dpü_qr QqCLp_r d_rCL_Pq 2üpüqü,

c_p2 — a_P2 — | cip Cpi — a_p:i — üpCip-i \\a^èp.

In deze voorbeelden verdwijnen dus de log. geheel. Ze geven
de volgende getallenwaarden:
19

c₉ = 27- c₄₅ = 0,0061 ----

3² 5

% =-~ö\'ïr c_10B = -0,0041....

1

2^l

3.23.521

₂16

__ 5.47.269

\'25 — 2\'²²

§ 31. Algemeene uitdrukking voor de coëfficiënten c_2n 1.

De, op de vorige bladzijde, gevonden formules voor c_pq, c_p2
enz. zijn byzondere gevallen van de volgende formule:

(ï) C2n i⁼⁼ se-1)^^--¹ (/t :,tr₉t:::7^1)! ■ •

2/2 1 — i\'Pfke____

terwijl de sommatie loopt over de stellen waarden van fx, v, o...i,j,k,...
die voldoen aan de vergelijking

2n 1 = i^ufke____

Aan deze formule voor c_2n i wordt dus voldaan voor eenige
kleine waarden van n. Door een bewijs van n op n 1 bewijzen
we nu de algemeene geldigheid. Nemen we dus aan dat de
formule geldt voor alle waarden van n tot aan m, dus ook nog
voor c_2m i. Volgens (2) § 30 is:

azm 3 log (2/72 3) = y^a_dc_2m 3 log^2/" 7"--
~T d "

Lossen we hieruit c_2m 3 op:

(2) c_2m 3 log (2/72-|-3)= a_2m 3log(2m 3) —^adC^ glog^{2/?z 3}-

d d

Alle deelers d van 2/77 3, zijn kleiner dan 2/77 1, dus voor
alle c\'s uit het rechterlid geldt (1). Om nu te laten zien dat
alle door (1) vereischte termen in het rechterlid van (2) voor-
komen met de vereischte coëfficiënten voorzien\', kiezen we een
willekeurig product:

a\'l a^a^Qr... a\\ waarbij /f y^Q .... = 2/77 3.

Dit ontstaat uit de volgende termen van (2):

1°. Uita_ac_2m 3log²^"-³,

a

met de coëff. - (-1 , 2m 3

(u — 1)! r!... o! «

>o Tm ..,_2/ïi 3

2°. Uit %c_{2m 3} log

met de coëff. - (-1 >« "-! ..2/tt-{-3

^J fx\\(v — 1) !.. . o ! p

3°. Uit a c₂m 3 log ^{2m 3},

~T ⁷

met de coëff. - ^3

^v \' C"! v! — l)!..o! ^& y

4°. enz.

De coëfficiënt van het uitgekozen product wordt derhalve gelijk

aan de som van al de genoemde coëfficiënten; dus gelijk aan

₍_ , W\'tt^ _log  „ !og  ....}

2)1 _Iog (2/72 3)

/ulv!....o! ^D af* j}f* y(*.... XP

_{= (}_ _irb ....«-l ²⁾¹ log (2m 3>" " - ^ö-¹

₌ (___ir , .... o-i  ■ •• D!j _{(2ot 3)}

fi\\v \\ . . ,a\\

Hieruit blijkt dat men alle termen door log (2m 3) kan deelen,
waarmede bewezen is dat (1) ook geldt voor 2m 3 en derhalve
algemeen geldig is.

Neemt men in (1) alle coëfficiënten a= 1 dan gaat de reeks
voor D(s) over in de reeks

1 J- .L_i_____

^ 3^S ^ 5^S ^

Hiervoor is, volgens de theorie der ^-functie van Riemann:
Cin i = 1 als 2/2 1 = priemgetal

= als 2n 1 = n^de macht van een priemgetal

= 0 als 2n 1 meer dan 1 priemfactor bezit.

Derhalve is

1 als 2/2 1 priem is

■■■- als 2n 1 = pⁿ
n ¹ ^

¹ 0 als 2n 1 \'meer dan
1 priemfactor bezit
en als de sommatie loopt over alle stellen waarden die voldoen aan

tf....= 2/2 1.

§ 32. Betrekking tusschen de coëfficiënten b en c.
We weten dat:

1_ __b^n l

D(_S)-^(2/H-l)^s
D\'(s)_ ^ c_2n i log(2n l)

D(s) § (2/2 4" l)^s

nY*\\ — V g2« ilog(2n 0
¹ (2« l)^s

Verder is

!)\'(,) ¹

D(s) D (s)

Door dus de betreffende reeksen op Dirichlet\'sche wijze te
vermenigvuldigen en de coëfficiënten van beide leden aan elkaar
gelijk te stellen, vindt men

b_2n 1 log d = c_2n 1 log (2/1 1)
d d

waarbij de sommatie loopt over de deelers d van 2n 1, het
getal zelf als deeler meegerekend.

De Stirlingsche polynomia.

§ 33. Afleiding van theorema\'s over de Stirlingsche polynomia.

In deze § beschouwen we de polynomia T„(x) die door de
volgende ontwikkeling gedefinieerd zijn:

(1)

Nielsen¹) bestudeerde dezelfde ontwikkeling maar schreef ze in
een eenigszins anderen vorm. Zijne polynomia y_n(x), die door
de formule

xpnix) = (— 1)" ^X

in verband staan met de polynomia T„(x), heeft hij den naam
van Stirlingsche polynomia gegeven. De polynomia T„(x) zijn
bestudeerd door Prof. Dr. G. Frobenius²). De betrekkingen die
hij vindt hebben een veel eleganter vorm dan die van Nielsen.
Daarom heb ik de schrijfwijze (1) gekozen. De eigenschappen
van de polynomia zal ik hierachter grootendeels langs anderen
weg afleiden dan dit door Prof. Frobenius geschied is en aan de
bekende formules nog een paar nieuwe toevoegen.

Hoewel de hierbedoelde polynomia T«(x) dus eigenlijk niet juist
de Stirlingsche polynomia zijn, heb ik gemeend ze toch denzelfden
naam te moeten geven omdat ze er zeer nauw mee samenhangen.

1 Handbuch der Theorie der Gamma-function p. 72.

2 ) Über die Bernoullischen Zahlen und die Eulerschen Polynome. Sitz.
Ber. d. K. Preuss. Acad. v. W. Band XXXIX pag. 836.

1. Afleiding van de recurrente betrekking

(2) . . (x n) T„(x) — xT„ (x — 1) = nxT„_i(x).

We differentieeren hiertoe (1) naar v:

(e^v—\\\\^x~^l ve^v — (e^v — 1) _ y-i, _nT„(x)
^x\\ v ) \' v^2 nl

We schrijven

ve^v — (e^v — 1) _ — 1 _ 1 . 1_
v² v v² v

waardoor we krijgen :

fe» — 1 V^e x — 1 , x (e^v — 1 \\^x~¹_ ^ v"-¹. nT„ (x)

*¹ — -¹¹ -T l-T-j 7 " - ï~ j = E ,.:

n=l

Voor de termen uit het linkerlid stellen we de betreffende ont-
wikkelingen in de plaats en stellen daarna de coëfficiënten van
v"-¹ uit beide leden aan elkaar gelijk:

(n — 1)! n\\ n\\ n\\

nxTn-! (x) xT„ (x — 1) = (x n) T„(x)

hetgeen na eenige herleiding in \'t gestelde overgaat.

2. Afleiding van het additie-theorema:

(3 ).....T_B(x ^) = (T(x) T(y))w.

Deze schrijfwijze is symbolisch. Na ontwikkeling van de macht
moet voor iedere T^m in de plaats gezet worden T_m.
Door vermenigvuldiging van

vindt men gemakkelijk

^-vj y _{= (T{x) T{y))(n) v}„

Stelt men voor \'teerste lid in de plaats, de ontwikkeling
yvⁿ dan vindt men door gelijkstelling der coëfficiënten

uit beide leden, de te bewijzen formule.

3. Afleiding van de betrekking

(4 )......T„ (x) = (x — T(x) )^ln).

In de formule (1) vervangen we v door —v:

v

Nu is

(_ev _ iy_ l\\ — e~¹\\^x [e~^v — \\\\^x

v 1

Dus

(e~^v —

of

Na vermenigvuldiging van het eerste lid vindt men weer door
gelijkstelling der coëfficiënten de te bewijzen formule.

4. Afleiding van

(5 ).......T„(-1) = A<»>

waarbij het symbool h⁽ⁿ⁾ aldus is gedefinieerd:

(6) .... h™=(— l)"-^; = 0; h^l = —
De getallen B„ zijn de Bernoulliaansche getallen:

Bi=-g-, B₂ = 3₀, B₃=₄₂, B,= l_f B₅ = ₆⁵6 enz.

Stelt men in (1) x =— 1 zoo vindt men
v ₌yT„(-i)
e^v— 1 n!

Volgens een bekende ontwikkeling is

e^v — 1 ^V \'

Door gelijkstelling der coefficienten uit beide ontwikkelingen
krijgt men de te bewijzen formule.

5. Afleiding van

<⁷>.......^T» (\') = -|₁-

Uit (1) volgt voor x= 1

1  n!

Vergelijkt men weer deze beide reeksen dan ziet men de juist-
heid van (7) dadelijk in.

6. Afleiding van

(8) . . . . T„ (— 2) = — n/z"^-1 — (fl — \\)hⁿ.
In (2) stellen we x = —1. Er komt dan

- n T„_x (- 1) — T_n (- 2) = (ti — 1) T„ (- 1).
Door toepassing van (5) volgt hieruit terstond (8).

7. Afleiding van

(9) . . . . -^T„(x) = (T(x)-r-T„(4

In (3) nemen we y — — 1:

Tn (x - 1) = (T(x) T(—l))ⁿ = (volgens (5)) (T(x) h)\\
Maar volgens (1) is

Tn (X - 1) = (l T_n (x) - n T„_! (X)

zoodat

(l ^T„(x)-nT_n_₁(x)=T„(x) (")/2₁ T_n_i(x)4^)/PT_B_₂(x) ....

Door gebruikmaking van (6) kan dit blijkbaar ook aldus worden
geschreven:

T„(x) = T„(x) - ("y.Tn^x) (tytfTn-ix) - (3)^ Tn—3(x) ....- T,
of

(10) . . . , . ^T„(x) = (T-/z)"-T_n(x).
7. Afleiding van de formule

vⁱ) • z (^x 11 ^Sn-^{r(x i)Tr(x)}=ⁿ Ciⁿ)^Tn{x)

waarin S_n-r(x \\) de functie van Bernoulli voorstelt, die voor
geheele waarden van x is gedefinieerd door

S„(x) = P 2" 4- 3" .. .. (x - 1)»
en voor alle waarden van x door

S_n (x) = j(x /*)<")

We vervangen in (1) x door —x:

(n — x) T_n (— x) -f- x T„ (— x — 1) = — nxTn-i (—x)

en substitueeren hierin

(12) . . T„(-x) = (-1)» _L_F„(x), T„(-x) = F₀(x).

(V)

jX — 1

Na een kleine herleiding en na vermenigvuldiging met! ^
vinden we dan:

(13) .... F_n(x l)-F_n(x) = xF„_i(x).

Hieruit zullen we den algemeenen vorm van de functie F„ (x)
bepalen voor \'t geval dat x een geheel getal is. Door differentiatie
van (1) naar v en na deeling door v vindt men gemakkelijk