^ ^Ij^^J^j,
Af

■

JD ZB T £-=£ E O R I E

DER

IN HARE TOEPASSING

OP DE

elektrisch ini

ACADEMISCH PROEFSCHRIFT,

NA MACTITIGING VAN DEN KECTOE MAGNIFICUS

D^r. F. A, w. MïQJJEL,

gewoon hoogleeraar in de wis- en natuurkundige faculteit,

MET TOESTEMMING VAN DEN ACADEÜSCHEN SENAAT

EN

VOLGENS BESLUIT DER PIIILOSOPIIIS C H E FACULTEIT,

TEE VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN

lork in h ffiw- ra Jlntttnrkmuïc,

AAN DB HOOGESCHOOL TE UTRECHT,
op Dinsdag den 5 April 1870, des namiddags ten 3 ure,
TE VERDEDIGEN

ALBERTUS HARMS,

geboren te Amsterdam.

——^vVUVVVVUVWVv———

. UTRECHT,

A, VAN DORSTEN, Jr,
1 8 7 0.

Stoomdruk van P. W. van de Weijer, Utreclit.

F

1290 4540

"V O O R R E D E_

De kleine verhandeling, den goedgunstigen lezer hierbij
aangeboden, dankt haar bestaan aan de noodzakelijkheid. Bij
het verlaten der akademie toch was het mijn geliefdkoosd denk-
beeld een onderzoek te beproeven, aangaande het mechanisch
«equivalent der elektrische ontlading, eene kwestie door twee
geleerden, Dove en Riess langs verschillende wegen, op ver-
schillende wijze beantwoord en inderdaad voor de moderne
wetenschap van groot belang. Maar spoedig bleek het mij dat
alleen groote proevenreeksen het uitgangspunt mijner beschou-
wing zouden kunnen uitmaken, proeven voor welke mij de
meest onontbeerlijke meetinstrumenten ontbraken, en die jaren

van inspanning konden vorderen. Noode en wellicht ter elfder
ure koos ik mij dan ook een ander en wel het hier behandelde
onderwerp. Yan bronnen verstoken, slechts over enkele
maanden kunnende beschikken, en daarenboven in de eerste plaats
beziggehouden, door de vervulling der aan mijne betrekking
verbonden verplichtingen, heb ik vele punten tot mijn onder-
werp behoorende, geheel moeten voorbijgaan; andere werden
slechts even aangestipt, ofschoon eene strenge wiskundige be-
handeling noodzakelijk ware; de omstandigheden mogen hier ten
deele het gebrekkige van mijn arbeid verontschuldigen.

Waar ik aan den eindpaal sta mijner akademische loopbaan,
is de gelegenheid mij welkom om een plicht te vervullen, die
mij door moreele overtuiging wordt opgelegd.

Opentlijken dank heb ik te brengen aan U, mijne leermees-
ters, die niet alleen mijne wankele schreden met krachtige hand
van den aanvang af hebt gesteund, maar ook met onverstoor-
baar geduld, door toegenegen belangstelling, mijn moed en vol-
harding bij eigen krachtsinspanning hebt opgewekt en gesterkt,

aan U in de eerste plaats, Nestor onzer Vaderlandsche
Natuurkundigen, hooggeschatte van Rees, die het niet beneden
U achtte, om uwen kostbaren tijd in bijzondere lessen aan mijne
ontwikkeling te wijden en mij de gelegenheid gaaft, de kunst
van experimenteeren onder uw ervaren oog te beoefenen,

aan U, hooggeachte Gr in wis, die als promotor mijn
arbeid onder uwe hoede wilt nemen; wat er daarin goeds

moge zijn, dank ik aan uwen raad, die mij steeds zoo gereedelijk

en vriendschappelijk werd gegeven,

aan Ü Hooggeleerde Heeren Buys-Ballot en Hoek,
mijne leermeesters in de wetenschap en in de humaniteit,

aan U Hooggeleerde Heeren Harting en Miquel, die mij
de wetenschap der levende natuur aantrekkelijk hebt gemaakt,

hartelijk dank aan U allen; het bewustzijn van uwe sym-
pathie was mij vaak ten zedelijken steun, waar ik die meer dan
immer behoefde; nimmer hoop ik te vergeten, wat ik aan uw
onderwijs en voorbeeld verplicht ben.

Een enkel woord van dank ook aan U, mijne akademie
vrienden, die in verschillende omstandigheden arbeid of genoe-
gen met mij hebt gedeeld; moge voor ons allen de wetenschap
het vriendelijk gesternte zijn, dat met zijne liefelijke stralen
de vooroordeelen en de bekrompenheid als nachtelijke spooksels

verjaagt.

inhoud.

--——

EERSTE HOOFDSTUK.

Pag.

De theorie der Spherische beelden...........1

TWEEDE HOOFDSTUK.

Ontwikkeling der Grondformulen ........,...19

DERDE HOOFDSTUK.

Algemeene toepassing van de theorie der Spherische beelden op
de elektrische induktie.....................31

VIERDE HOOFDSTUK.

Toepassing op eenige voorbeelden............41

VIJFDE HOOFDSTUK.

Onderlinge influentie van geleiders...........68

Besluit . . ...................78

Stellingen ...........................83

EERSTE HOOFDSTUK.

DE THEORIE DER SPHERISCHE BEELDEN.

§ 1.

De theorie der spherische beelden, die tot de veel
vereenvoudigde oplossing van vele vraagstukken op het gebied
der mathematische physika voert, en bij de behandeling der
elektrische induktie onmisbaar is, werd door Murphy, in zijne
))Elementary principles etc., on Electricity", 1833, pag. 93 vv.
bij wederkeerige influentie het eerst toegepast. — Wel is het
niet waarschijnlijk dat hij hierbij, evenals latere onderzoekers,
van het begrip van spiegeling uitgaat, ofschoon hij van
»reflected inflaence" spreekt — maar het zal ons blijken dat dit
begrip slechts in een zeer bijzonder geval de grondslag der
beschouwing kan uitmaken, terwijl het door het schijnbaar
wettigen van valsche benamingen, lichtelijk aanleiding tot ver-
warring geeft.

Het denkbeeld om de optische spiegeling op een geheel ander
veld der physika toe te passen is uitlokkend genoeg, en hieruit
zal het dan ook wel verklaard dienen te worden, dat men een-
maal eene enkele kleine analogie opgemerkt hebbende, zich begaf

1

tot namen als »elektrisch spiegelbeeld", »elektrische spiegeling",
enz. die aan optische verschijnselen doen denken. — Thomson
zelf, die, voor zoover mij bekend is, het begrip van spiegeling
inleidt, (zie Journal de Liouville, dl. X: Lettre par William
Thomson) is bij zijne volgende onderzoekingen (j>Extrait de
deux lettres par Will. Thomson" Journal de Liouville, dl. XII)
tot eene meer algemeene behandeling van de theorie der beelden,

door middel van kromlijnige coördinaten-stelsels overgegaan.

§

Drie bepaalde oppervlakken snijden elkaar in het algemeen
in een bepaald punt; stellen wij in ieder dezer oppervlakken
een zekeren parameter veranderlijk, dan kan, door aan elk dezer
variabelen eene behoorlijke waarde te geven, het stelsel van
oppervlakken door zeker punt der ruimte worden gelegd: de
waarden aan de parameters toe te kennen opdat dit doel worde
bereikt, noemt men de kromlijnige coördinaten van het
punt.

Laten bijv. de oppervlakken, na afzondering der veranderlijke
parameters f, ij en s, worden voorgesteld door de vergelijkingen

| = (f (x, y, z)

waar q>, ip en % bekende, maar overigens willekeurige functiën
zijn. Geeft men nu aan de parameters de bepaalde waarden
li, 7_Ih en s, dan zal door bovenstaande vergelijkingen zeker punt
P yi, ²i) worden aangewezen, en , 17, en ^ zullen de
kromlijnige coördinaten van P zijn. Het is duidelijk dat f eene
constante waarde heeft over een zelfde oppervlak qc.

De potentiaal V van zekere elektriciteitsmassa zal alzoo, als
parameter van een niveau-oppervlak, de kromlijnige coördinaat
van alle punten van hetzelve voorstellen en wel eene spherische,
elliptische, cylindrische, enz. naarmate het niveau-oppervlak q>,
een spheer, ellipsoïde, cylinder, enz. is. — Het is hier zeker
niet de plaats om over de kromlijnige coördinaten in het algemeen
uit te wijden; om het gewicht hunner toepassing in herinnering
te brengen, behoeven wij slechts de volgende woorden van Lamé
te eiteeren (Leçons sur les coörd. curv. Discours préliminaire) ;
»Si l\'hydrostatique et la théorie du potentiel ont introduit les
familles des surfaces de niveau, la théorie de la chaleur celles
des surfaces isothermes, la théorie de la lumière celles des
surfaces d\'ondes; c\'est la théorie mathématique de l\'équilibre
d\'élasticité des corps solides, qui a introduit la considération de
trois familles conjuguées et orthogonales." Het is deze laatste
beschouwing, die wij hier op het vraagstuk der elektrische
inductie zullen toepassen, na alvorens, op het voetspoor van
Thomson en Liouville te hebben aangewezen, hoe zij tot het
begrip der beelden voert.

§ 3.

Thomson beschouwt (zie Extrait etc.) in het bijzonder sphe-
rische coördinaten, bepaald door de vergelijkingen

_\\

-y* z* i

_y___f

^V X² f Z² ^......(v

___^z_ ₍ I

^— x" y* Z- !

die een stelsel van 3 orthogonale boloppervlakken voorstellen;

r

immers hunne differentiaal-quotienten voldoen aan de voorwaarden
dl!? drj drj d-tj ___ ^

dx \' dx dy dy dz * da

df dg ^ d% dg d%_ dg ____ ^
dx \' dx \' dy dy dz dz

dn clg drj dg drj dg _

dx dx dy dy dz dz ~~

Varieert men y en g in het stelsel (1) dan komt men tot
eene reeks van geconjugeerde orthogonale boloppervlakken, wier
snijpunten de geheele ruimte omvatten, terwijl voor ieder punt
der ruimte een bepaald stelsel dezer parameters is aangewezen. —
Door eliminatie van elk tweetal der coördinaten ar, y, z (tus-
schen genoemde vergelijkingen), geraakt Thomson tot het stelsel

t

X

v \\

y ~ £2 „2 , ,.2 X......(2)

I² n\' H- £ /

en behandelt daarna eene kwestie van temperatuursbepaling
door middel der vergelijking

ü U ü

tf— d²— d\' —

~w .....^(;

in welke U eene functie van j en z voorstelt en tevens

r, = v/ ^

is genomen. — De vergelijking (3) die voor onze beschouwingen
van groot gewicht zal blijken, zal nader worden bewezen.

§

De vergelijkingen (1) en (2) voeren tot eene veel eenvoudiger
methode, aangewezen door Liouville in eene noot op de brieven
van Thomson.

Wanneer in de vergelijkingen (1) van Thomson

V cc² f z²=p en V

wordt gesteld, voeren zij terstond tot de algemeene vergelijking

(èi —• I)³ {t]i — vr H~ (ffi — & ^:=--

1^J Fi

m

Deze kiest Liouville als uitgangspunt voor zijne beschouwin-
gen, waarbij hij de grootheden rj en g als onbekende functiën
van x, y en z opvat, en verkrijgt dan langs zuiver analytischen

"Weg tot oplossing de vergelijking

g _ g ___________________

⁰ \' (jp² (x,y,z)- - y² (x,y,z) f (x,y,t)

en 2 dergelijke voor rj—ij₀ en g — g₀. Neemt men nu als
bijzonder geval voor de arbitraire functiën

cp(x,y,z)=z —

_x(x,y,z) — -^-

en daarenboven |₀ — ij₀ — g₀ — 0, dan ontstaan de relatiën:

__ n²x

\'( ~~ x² y- z²

___ⁿJ[

^V \' X? t z²
v£"z

^q ~ y? y³ -f-\' f

waaruit men weder vindt:

n* |

X:

r 7/² ϲ

Ir r^qrp

n*g

r ^ ?

Het eigenaardige van de methode van Liouville ligt nu daarin, dat
hij ook I, 7j en ? als rechtlijnige coördinaten beschouwt en dus
een 2^e systeem van assen aanneemt, dat langs het eerste valt, wijl,
blijkens (4) of (5), ieder tweetal coördinaten van het eene systeem
te gelijk met het overeenkomstige tweetal van het andere nul wordt.
De vergelijkingen (5) stellen nu mede boloppervlakken voor, die
bij aanname van bepaalde waarden x_l, y_x en z_l, voor de parameters
as, y en z, elkaar snijden in zeker punt P₁, dat , ^ en g_x, tot
coördinaten heeft. Het punt P_A (|_l5 77,, g_x), zullen wij kort-
heidshalve het overeenkomstige van P (x_lty₁,z_l) noemen.

5.

Het punt Pi kan door eene transformatie met weder-
keerige voerstralen (par rayons vecteurs réciproques) uit
P worden afgeleid. Vooreerst toch liggen P en op dezelfde
rechte door den oorsprong, omdat volgens (4)

4 = ^ = -.......(6)

5 V *

is.

Noemt men de voerstralen van P en resp. r en r, dus

r~ V rf f z\'

en

n = Vf f s²

dan levert de som der kwadraten van (4)

........<⁷)

waardoor \'t gezegde bewezen is.

Bovenstaande opmerking geeft ons ook de verklaring van de
invoering van het begrip der spiegeling: Wanneer men namelijk
(fig. I) uit een punt O van de lijn die P met den oorsprong
verbindt, met den straal 2» een boloppervlak beschrijft, terwijl

(A de oorsprong zijnde) AO — n is genomen, zullen P en Pj

\\

eikaars optische beelden zijn in dit boloppervlak als spiegel ge-
dacht; immers men vindt:

1 i \\
= 4-.....(8)

r n -\\-n n

Het is daarom dat men P_x ook het beeldpunt van P noemt.

Beschrijft men uit den oorsprong met den straal n een bol-
oppervlak, dan zullen de snijpunten C en O van dit oppervlak
met den voerstraal door P en P_u met deze laatste punten har„
monisch gepaard zijn.

Het is duidelijk dat men de genoemde transformatie op ieder
der punten van een oppervlak S, voorgesteld door de vergelijking
F (x,y, z) = 0, kan toepassen. De overeenkomstige of beeld-
punten zullen te zamen een oppervlak S_: vormen, dat worde
voorgesteld door F, (£, iy, g) — 0, en naar aanleiding van het
voorgaande het beeld van S kan genoemd worden; om echter
aan te wijzen dat hier aan geene optische spiegeling mag ge-
dacht worden, geven wij het den naam van Spherisch beeld.

1} Deze figuur stelt een meridiaanvlak van den bol voor.

Inderdaad kan hier van spiegeling geen sprake zijn — indien
toch elk tweetal overeenkomstige punten eikaars werkelijke spie-
gelbeelden in één zelfden bolvormigen spiegel waren, zouden ze
steeds op dezelfde nevenas van dezen moeten liggen, en daar
alle voerstralen tevens door den oorsprong gaan, zou deze het
middenpunt van den onderstelden spiegel moeten zijn. Stellen
wij de constante straal van dezen x, dan moet voldaan worden
aan de relatie.

_J___1 __ 2

r—x x — r_ï x

of

%-n²

^X~ r² -b n³

welke waarde varieert met r, zoodat het onmogelijk blijkt te zijn,
door spiegeling in één boloppervlak een beeld van 5 in Si te
projecteeren.

De vorm van het beeldoppervlak Fl (£, tj, g) laat zich on-
middellijk uit F(x,y,z) bepalen, Het komt er dan slechts op
aan de meetkunstige plaats van de snijpunten van (5) te vinden,
indien aan x,y&a.z achtereenvolgens alle waarden worden gege-
ven, die de vergelijking F(x,y,z) = 0 toelaat; m. a. w. men
heeft tusschen (5) en de gegevene vergelijking van het oppervlak
slechts de coordinaten x, y en z te elimineeren, hetgeen hier op
eene eenvoudige substitutie nederkomt.

§ 6-

Indien door eene transformatie met wederkeerige voerstralen
F_x (\'§, 7], g) uit F(x,y,z) ontstaan is, zal door toepassing der
zelfde transformatie op F₁(^,ij,g) = 0 weder \'t oorspronkelijk
oppervlak te voorschijn komen.

Om dit te bewijzen, stellen wij dat in het algemeen de para-
meters aan de rechtlijnige coördinaten van een punt zijn ver-
bonden door de relatiën

§ = <P (x, y, z) \\

_v = yj (x,y,z) | ..... . («)

s=%(a>,y,z) )

Laten deze door eliminatie van elk tweetal uit y en z
voeren tot

x — qi^l(L y< s) \\

. . . . (p)

Z— X¹ (I, 7}, s) )

in welke formule <p, <p\\ yj, if>\\ % en f orthogonale boloppervlakken
voorstellen, die hunne middenpunten op de coördinaten-assen
hebben.

Het is nu vooreerst klaar, dat de vergelijkingen (fi) identiek
worden door substitutie der waarden van («) en dus cp¹ (§, y, g)
daardoor in x overgaat, enz. Indien dus in F (x,y,z) eerst de
waarden (|3) worden gesteld, gaat zij over in

F (cp* (5, ,, g), Xf (6, ,, e), y; (S. *,«)) = (6, v, e)

welke vergelijking mede identiek is. — Substitueert men nu in
het l^e lid weder de waarden («) dan verandert het in F(x,y,z),
welke functie dus ook door het 2^e lid wordt opgeleverd.

Wij merken alzoo op dat het oorspronkelijk oppervlak £ het
spherisch beeld van S_l is. Deze eigenschap herinnert ons weder
aan de optische spiegeling. Ook bij deze toch kunnen beeld en
voorwerp onderling verwisseld worden.

§ 7.

Alvorens verder te gaan is het niet ondienstig hier eene uit-
breiding aan te wijzen van de methode van Liouville, in § 4
uiteengezet. Terwijl L. steeds den oorsprong koos als het punt,
ten opzichte waarvan de transformatie met wederkeerige voer-
stralen plaats had, is het duidelijk dat die transformatie ook kan
worden uitgevoerd ten opzichte van een willekeurig punt A dat
a, b en c tot coördinaten heeft, indien men de assen slechts
evenwijdig aan zich zeiven verplaatst denkt, tot de oorsprong in
A is gekomen.

De vergelijkingen (4) worden alsdan

n* (x — a)
(,_v — aj*- (y — by O — c)²

___n\'. (y — b)_

(x—ay^(y -by (z — cy

n² (z — c)

XaT—ay (y — by (z — _Cy

en stellen weder boloppervlakken voor, die slechts door de
ligging hunner middenpunten van (4) verschillen: zoo zal de
eerste bol van dit stelsel zijn middenpunt hebben in het punt

ƒ fV* \\

-Qg, b, cj, enz. De vergelijkingen (5) ondergaan dezelfde

veranderingen. Noemt men r weder den afstand van A tot een
punt van S en dus

rz=zV Jx — ay^:~r (y — by (z — cy
dan worden de transformatie-formulen (4)

? = c

evenzoo de vergelijkingen (5)

(10)

waar r_y de afstand van het punt s)van S₁ tot A aanwijst.

Overigens blijkt weder dat twee overeenkomstige punten P
en Pj op eene rechte door A liggen, immers volgens (9) is

x — a y — b z c _
| — a~~~ rj — b ~~~ g — c\'

tevens ontstaan ze uit elkaar door transformatie met wederkee-

rige voerstralen, omdat men weêr heeft

„

i _r •

Wij zullen het punt A waarop al de voerstralen der punten
van S en S₁ uitloopen, voor het vervolg kortheidshalve de pool
der beide oppervlakken noemen.

Deze pool is de top van den omhullingskegel van beide opper-
vlakken, — van haren stand hangt in verband met den vorm
van het oorspronkelijk oppervlak, de gedaante van het
beeld af; de plaats van den oorsprong daarentegen heeft
daarop klaarblijkelijk geen invloed.

§ 8-

Het is deze gedaante van het beeld, die ons zal doen
besluiten of de hier besproken transformatie ons al of niet tot
de explieite oplossing der elektrische verdeeling bij induktie
voert; reeds a priori kan worden aangemerkt, dat zij geheel
nutteloos is als het beeld zich in het oneindige uitstrekt, en dus
blijkbaar de pool in het oorspronkelijk oppervlak ligt.

Wij zullen hier eenige functiën en hare beeldoppervlakken be-
schouwen , en wel in het bijzonder die, welke een bol of ellipsoïde
tot beeld hebben. Daarbij kiezen wij de pool tot oorsprong.
Laat het beeldoppervlak een bol zijn, uitgedrukt door

($-«)» (_ff-7)» = ^ .... (11)

dan vindt men voor S door substitutie der waarden (4), den bol

(•-^-^M-tMT)\' <»>

waarbij q voor («² H-j?³ y" — R?) is gesteld.

Noemen wij den straal en de middenpuntscoördinaten van (12)
resp. R,a,benc dan wordt zij

(x — a)² {y — by (z — c)² = i?² . . . .(12a)

en heeft men de vergelijkingen

n"a

waaruit volgt

n²a

0 __ ^

¹  c² - JP
n"c

^Y _a^s -i- ft* & -~ÏÏ

¹ ei² 6² c² — IP

welke vergelijkingen den straal en de middenpuntscoördinaten van
S_l in die van S uitdrukken. Uit het

voorgaande blijkt dat een
bol in het algemeen een bol tot spherisch beeld heeft, terwijl het
van de grootheid a² ö\'² c² — R² en dus van de plaats der
pool buiten of binnen S zal afhangen of de coördinaten a en
a, p en b, y en c dezelfde of tegengestelde teekens hebben.

De middenpunten der bollen liggen verder, blijkens (13), op
eene rechte door de pool.
Bijzondere gevallen zijn als 0 of = — R_x\' is.

a. Yoor q = 0 wordt (12) d. i. het oorspronkelijk oppervlak
een plat vlak van den vorm

ax yZ = y

terwijl de pool in den omtrek van het beeld komt te liggen,
daar «² (i* -t- y² = R². Hieruit blijkt dat een plat vlak

Ax Ry -[- Cz — D......(14)

tot Spherisch beeld heeft een bol, die door de pool gaat en
wiens middenpunt tot coördinaten heeft

zoodat het in de loodlijn ligt, die uit de pool op (14) wordt

nedergelaten, De lengte dezer loodlijn is ^ en

Va² - -B³ C²

j 1 ! u • w² vA² B² G² _IT
de lengte van den straal des beelds is -—^-—. Het

platte vlak zal dus zijn beeld aanraken, als genomen wordt

n² V A² B² O _ D

^D ~ V\' A² B- C²

of

_ D

dat is: n gelijk de boven berekende loodlijn.

b. Indien q —— i?,², of a, $ en y allen nul worden, ligt de
pool in het middenpunt van het Spherisch beeld en Levens,
blijkens (12), in het middenpunt van het oorspronkelijk opper-
vlak. Derhalve is \'t beeld van een bol ten opzichte van zijn
middenpunt een concentrische bol, geheel binnen of buiten
den oorspronkelijken gelegen

naarmate Ri of R

d. i. in verband met (7) n of R is aangenomen.

Nam men voor S_x een willekeurig oppervlak van den 2^ea graad,
dan zou S blijken van clen 4™ graad te zijn. In plaats van ons
te verdiepen iri algemeene beschouwingen, die bovendien buiten
ons onderwerp zouden liggen, kiezen wij nog het eenvoudige
geval dat S_x eene omwentelingsellipsoïde is, wier omwentelingsas
de pool bevat. Het is ligt in te zien dat ook S nu omwente-
lingsoppervlak is om dezelfde as, en men deze dus slechts als
x-as hebbe aan te nemen, om het onderzoek tot de beschrij-

vende krommen, die eikaars beelden zijn terug te brengen: in
de vergelijkingen der krommen moet ƒ z² dan in de plaats
van ƒ worden gesteld, opdat ze de beschreven oppervlakken
voorstellen.

a. Stellen wij eerst de pool (en dus ook den oorsprong) in
het middenpunt van het Spherisch beeld S₁ dan is dit

F v²

i w ^{= i}.......⁽¹⁰⁾

en de beschrijvende kromme van S wordt

 = 0 . . . . (17)

zijnde eene Lemniscate ^1} (fig. ^c2, S) en een geisoleerd punt,
nl. het middenpunt dat door de vermenigvuldiging met (#²-b ?/²)²
is ingevoerd.

b. Plaatst men de pool in het brandpunt, dan is S₁

(i±!2E£)r (iW, • • • 0«)

ri²a n²^ «²—/3² w ,

stelt men = w =--~—^{L en} — dus de ex-

\' |3" v

centriciteit, dan wordt de getransformeerde

(X² f — wxy—v\'(x\'-hf) .... (19)
d. i. eene circulaire conchoïde ³⁾ (fig. 3, S).

1) Voor 51 — — g wordt zij meer in liet bijzonder de lijn, die gewoon-
lijk als lemniscate bekend ia en een dubbel punt in het middenpunt heeft.
(Zij is dan de omgekeerde der gelijkzijdige hyperbole.)

2) Circulaire coDchoïde, wijl deze kromme zich geheel als de conchoïde
^yan Nicomedes laat construeeren, wanneer de rechte bij de constructie
^van deze gebezigd, hier door een cirkel word!; vervangen.

c Teil opzichte van den top is de vergelijking der ellips

C-i-\'MxH.....⁽²⁰⁾

die voor de beschrijvende kromme van S levert

of eene scissoïde (fig. S).

d. Indien de pool in een uitwendig punt der omwentelingsas
ligt wordt de ellips

.....w

en het oppervlak S bekomt tot beschrijvende kromme

■-1) fY(*\' ƒ) (23)

eene lijn, die wij geschiktelijk eene ovoïde zouden kunnen noe-
men (fig. 5, S).

De oppervlakken door de omwenteling van (17), (19), (21) en
(23) ontstaan, geven dus allen eene ellipsoïde tot beeld, waarvan
de constanten uit de parameters van deze krommen worden be-
paald. — De vergelijkingen laten zich eenvoudiger in polaire
coördinaten uitdrukken, ook zou het verder onderzoek ons tot
zeer belangrijke eigenschappen en constructiën leiden; als niet
direkt tot ons onderwerp behoorende, laten wij dit hier achter-
wege. — Verscheidene interessante bijzonderheden vindt men bij
Schönfeldt, (zie zijne dissertatie »de omgekeerde kegelsneden",
bij van Zweeden te Groningen, 1866.)

1) Scissoïde wijl zij in het bijzonder geval van — — 0 de scissoïde van

a.

Diocles levert.

§ 9.

Een schoon voorbeeld van de aanwending der transformatie
met wederkeerige voerstralen geeft Liouville (zie t. a. p. pag.
285). — Laat gegeven zijn 2 bollen die elkaar niet snijden, be-
nevens de temperatuur in ieder hunner punten in functie der
coördinaten, en gevraagd worden de temperatuur in ieder uit-
wendig punt te bepalen. — De oorsprong 0 kan nu steeds
zoodanig genomen worden op de lijn, die de middenpunten der
bollen vereenigt, dat hunne spherische beelden concentrisch
worden. Bepaalt men nu voor een punt P_x in de ruimte tus-
schen de beide beeldoppervlakken de temperatuur in functie der
coördinaten f, y en g, door middel der functiën die over dezelve
de temperatuur uitdrukken en door transformatie zijn ontstaan
uit die, welke de temperatuur over de gegeven bollen be-
palen, — dan behoeft de gevonden functie slechts in x, y, z
getransformeerd te worden, om de gevraagde temperatuur te
verkrijgen, in het met overeenkomende punt P.

Men ziet dat aldus het vraagstuk is gereduceerd tot het op-
sporen van de wet der temperaturen voor de ruimte tusschen
2 concentrische boloppervlakken.

Het bovenstaande zou alléén reeds voldoende zijn om het al-
gemeen belang der zaak duidelijk aan te toonen; wij zullen
ⁿ°g, als daartoe onmiddellijk aanleiding vindende in ons onder-
werp, kortelijk aanwijzen hoe ook in de theorie der eleclrici-
teitsverdeeling de transformatie met wederkeerige voerstralen tot
groote vereenvoudigingen moet leiden,

Laat een elektrisch punt A met de massa q, eene zekere
lading induceeren over een oppervlak S, dat met den grond is
verbonden, dan zullen, overeenkomstig eene bekende eigenschap,
de potentialen der induceerende en geïnduceerde hoeveelheden

2

in een punt P van S gelijk en tegengesteld van teeken zijn.
Wordt nu de afstand van P tot A door r aangeduid, dan is de

potentiaal der induceerende massa in dat punt -J-, en voor deze

geldt in alle punten der ruimte, buiten de massa q, de bekende
vergelijking

_d><L

rp /y> fy*

.....C")

Maar deze kan, na omkeering der teekens, evenzeer worden
beschouwd als betrekking te hebben op de potentiaal der over S
geinduceerde lading, in alle buiten S gelegen punten. Wij
zullen nader aantoonen, dat uit («) volgt

<pq d\'q d\'q

W W W=°......<»

welke relatie voor alle punten buiten doorgaat, en dus
het hoofdkarakter uitdrukt eener constante potentiaal q over S_l —
hetgeen derhalve op de mogelijkheid wijst om de bepaling der
potentiaal eener geïnduceerde lading over S, terug te brengen
tot de kwestie eener evenwichtslading over S_x.

Het is Lipschitz inderdaad gelukt, (zie zijne verhandelingen bd.
LV1II en LXI, Journal v. Crelle) het probleem in dezen zin op te
lossen. — Wij zullen dus bij onzen arbeid met zijne beschou-
wingen ons voordeel doen, en tevens gebruik maken van ver-
schillende ontwikkelingen, medegedeeld doorGrinwis (»Wiskundige
theorie der wrijvings-elektriciteit") terwijl wij het gebruik der
algemeene formulen, door eenvoudige voorbeelden zullen trachten
op te helderen.

1) De formule («) geldt voor alle punten buiten S, de formule (/S) vooï *
alle daarmede overeenkomstige punten en dus voor alle punten buiten

TWEEDE HOOFDSTUK.

ONTWIKKELING DER GRONDFORMULEN.

§ 1.

Als voortzetting onzer algemeene beschouwingen over de
theorie der beelden, zullen wij eenige relatiën ontwikkelen tus-
schen de I^e en 2^e differentiaal-parameters van eene functie en
hare getransformeerde met wederkeerige voerstralen. — Ten
einde daarbij het overzicht der formulen gemakkelijker te maken,
ontleenen wij de volgende notaties aan Lamé: i>Leçons sur les
coordonnées curvilignes", pag. 8.
De letter u duidt in het algemeen eene der variabelen x, y of
en v eene der parameters §, ^ of g aan.
Staat vóór eene uitdrukking met u of v het teeken H ^ dan
wordt de som van drie termen bedoeld, in welke u of v achter-
eenvolgens door x, y en z of door f, y en g zijn vervangen.—

1) Lamé hecht eenigzins andere beteekenis aan de symbolen 2 en 5. —
Het I^e gebruikt hij uitsluitend bij Terwisselingen van x, y en z het 2e
Voor yj _en — De boven aaBgegevene manier schijnt mij hier duidelijker.

2*

Hetzelfde teeken vóór een vorm met u₀ en u_x of met v_a en v_x
stelt de som van drie termen voor, in welke deze letters met
een willekeurig tweetal uit x, y, z of uit g zijn verwisseld.

Het teeken ^ eindelijk vóór eene uitdrukking, waarin u en v
voorkomen, beteekent de som van de termen in welke zij
overgaat, door voor u en v, op alle mogelijke wijzen, x, y ofz
en ij of g te schrijven, terwijl voor u₀ en u_x of voor ^en^
alle mogelijke 2-tallen dier coördinaten moeten worden genomen.

Kiezen wij nu als poolpunt het punt A met de coördinaten
a, b en e, dan moet gebruik gemaakt worden van de transfor-
matie-formulen (9) en (10) uit het l^e Hoofdstuk, nl.

ri² (x — a)

b

:a

y = b
z = c -f-

a. Door differentiatie van de eerste groep dezer vergelijkin-
gen ontstaat

_n- x— a
d$ — -^\\dx--a (r)

de som van de 2⁹ machten dezer differentiaal-vergelijkingen
levert, in verband met de vergelijkingen

d (r) =2 ^(x — a) dx (y — b) dy {z — c) dzj

en

n

~ =

de betrekking

2 dv* z= q* 2 du?.......(2)

Op dezelfde wijze handelende ten opzichte van de tweede groep
der vergelijkingen (1), komt door te stellen

n

_T=*

de betrekking

Z du²z=zq* 2 dv¹².......(3)

Aanmerking. Het is van belang op te merken, dat óf
(2) óf (3) niet doorgaat, wanneer óf het getransformeerde
óf het oorspronkelijk oppervlak zich in het oneindige uit-
strekken.

In het eerste geval, bijv. wordt r — 0, voor de oneindig ver-
wijderde punten van het beeld, en de boven aangenomen waarde
voor dg is derhalve onjuist. Behouden wij hier de oneindig
kleinen van hoogere orde bij, dan komt

__ w² | (x — a) (°Lrdr dr²) 1

^d*- (r dry | r\' I

en daarin r en x— a = 0 stellende, vindt men

d^-^dx.

Handelt men nu op dezelfde wijze met dtj en dg, dan is ten slotte

dv^% = J 2- c£tt².

Het verband tusschen deze formule en (3) behoeft verder geene
toelichting.

b. Eene belangrijke relatie kan men vinden tusschen de
produkten dxdydz en d^dtjdg. Daartoe bepaalt men de grootte
van twee overeenkomstige inhoudselementen dl en dlj. Laat
« de hoek van den voerstraal met de x-as voorstellen, en cp de
hoek zijn, dien het vlak door voerstraal en x-as gebracht, met
het a?z-vlak maakt, dan heeft men blijkbaar
dl = r² dr da dep sin « -
dly = ri² dr_x da dep sin a

n² n²

daar verder r_l = — en dus dr_l = — — dr is, vindt men dadelijk

dl,

de zijden dezer elementen evenwijdig zijnde, gaan zij door ver-
menigvuldiging met gelijke factoren in d^dydg en dxdydz over,
zoodat men komt tot

= ........(4)

dxdydz * ^{v J}

Aanmerking. Ook deze formule geldt niet meer, wanneer
r nul is of het getransformeerde oppervlak zich in het oneindige
uitstrekt. In dat geval toch is de boven gevonden uitdrukking
voor dl niet meer de ware, zoo als uit de volgende berekening blijkt,
bij welke de hoogere machten van dr steeds zijn bijgehouden.

Zij (fig. 6) NOX de bedoelde hoek a. Stellen wij nu den
inhoud van den elementairen sector aOb = P en het vlakje abcd
dus dP, dan is

P = 1 ï~du

en

dP = {- (2rdr dr²) dtx.

De zwaartepunten z en z\' van de beide sectoren aOb en cOd
liggen op de lijn, die den hoek du middendoor deelt. Hunne
afstanden tot O zijn

~ i kr _n , | k (r dr)

Uz = —r— en uz = —-—J——J—■
rda (r dr) da

In deze formulen stellen k en k\' de koorden ab en cd voor,
die, als de hoogere machten van da worden weggelaten, door
de bogen worden vervangen, zoodat men verkrijgt

Oz — \\r en Oz! = \\ (r dr).

Noemen wij het zwaartepunt van dP nu z", dan komt door
de vergelijking der momenten dadelijk

„ %(3r²dr 3rdr* dr³)
Oz — —----.

2 rdr dr²

Volgens het theorema van Guldin is nu
dl — Oz" sin ad(p X dP
dat is na substitutie der waarde van Oz" en van dP

dl — r^drdadcf sin a rdr²dudy sin a 4- | dr³dadcp sin «;

de beide eerste termen vervallen en daarmede form. (4).

Het theorema van Taylor ten opzichte van r toegepast op de
uitdrukking r*dudy sin a, welke den elementairen bolsector
wet kwadraatvormig grondvlak voorstelt, zoude tot hetzelfde
resultaat hebben gevoerd. Zij deze uitdrukking f (r) gesteld,
dan heeft men

ÓjV^ dr^z

f(r dr) = f(r) drf\'(r) ^ f (r) ^ f"\\r) enz.

of daar f (r dr) = I dl en f (r) — I is,

dl — r^drdudcp sin « rdfdudy sin a -f-\\ dfdudy sin « 0

waaruit blijkt, dat voor r — O, dl = i dr³dadq>sina wordt, zooals
te voorzien was, en ook uit onze vorige berekening bleek.

Op dezelfde wijze zou blijken, dat de omgekeerde formule van
(4) d. i. dxdydz=z— q*dt;di]d$ verviel, indien het oorspron-
kelijk oppervlak zich in het oneindige uitstrekte.

c. Beschouwen wij een paar overeenkomstige vlakte-elementen
dS en dS_u dan bestaat tusschen een paar hunner gelijkstandige
zijden ds en ds₁ (volgens (2)) de betrekking ds\\³ q*ds\\ Men
heeft dus op een oneindig klein van hoogere orde na

TZ = *........<⁵>

Aanmerkingen. 1°. Ligt dS₁ in het oneindige, dan gaat de
formule (5) blijkens de aanmerking onder a,nog door, als q slechts

ïl

= — wordt genomen.

U/V

2°. Met behulp der formulen (2), (4) en (5) zullen verdere
relatiën worden ontwikkeld, en daarbij ondersteld worden
dat S₁ eindig is en de pool dus niet in het oorspronkelijk
oppervlak is gelegen; op het andere geval zal nader worden
teruggekomen.

.§ 2.

a. Tusschen de l⁶ differentialen van x,y,z en tj, g bestaan
de identieke vergelijkingen

. , d-n , , dg ,

dy =z£ — dit, dg = 2:_Tudu . . («)

neemt men de som harer kwadraten en vervangt het l^e lid
der komende vergelijking, d. i. 2 dv² door hare waarde q"2du²
uit (2) dan vindt men

q* 2 du² =^;g j du" 2 du_adu, j . . (fi)

Daar dx, dy en dz willekeurig zijn, kan men alle coëfficiënten
der verschillende machten en produkten dezer grootheden gelijk
nul stellen, waaruit volgt

\\dxj dx dy

_y /dv Y_ , ^ dv dv_q I

~ \\dy) ^ dx dz ( \' \'

dzj dy dz

dt]

Vermenigvuldigt mende vergelijkingen (a) resp. met ^
de

en dan vindt men, na optelling en gebruik makende van

(r), de identiteit

n^rl/y -- y

dx

Op dezelfde wijze komt, door vermenigvuldiging met ,

dg

dy ^en dy

dv ,

q*dy—2.-_dy^dv>

en op soortgelijke wijze

Wt— y

dz

De som der kwadraten dezer drie laatste vergelijkingen levert,
wanneer men het eerste lid q⁸ 2 du², volgens (2), door g⁴ 2 dv"
vervangt, de vergelijking

en daar hier d£, dy en ds geheel willekeurig zijn, komt men
weder tot het besluit dat de coëfficiënten alle nul moeten zijn,
derhalve

df V ₄ d$ d_v

2 — ^ = 0 i

du J ^ ~ du du

du) ^ ^en ^ du du - 0 f • • • (^c)

jau J du du l

b. Laten nu U en W functiën van x, y en z zijn, die door
substitutie der waarden (1) in de functiën Z7_X en Wj van |, rj
en s overgaan, dan heeft men in het algemeen

dü dU\\ dv dU dO_l dv dU dü_x dv , .

_~ _-_ _= JE_-_ __— _-__. (&)

üx ~ dv dx\' dy dv dy\' dz ~ dv dz

De som der kwadraten van deze, geeft bij inachtneming van («)

Jd£V_ ₍ /rfP,

\'\\dul ^ " \\ dv

Men heeft evenzoo

dW__ dWi dv dW__ ^ dW\\ dv dW^^dW.dv
~dx~~~~ dv dx\' dy dv dy\' dz ^ dv

Vermenigvuldigt men nu ieder der vergelijkingen (&), met de
overeenkomstige van (»), neemt de som dezer produkten en
vereenvoudigt deze, door middel der vergelijkingen (2), dan

verkrijgt men dadelijk

da du * dv dv

§

Terwijl de vergelijking (6) eene betrekking tusschen de diffe-
rentiaal-parameters der l^e orde, van de functie en hare getrans-
formeerde voorstelt, beslaat tusschen bare differentiaal-parameters
van de 2^a orde de relatie

Z^^VZ^ qtZ^-.....(8)

du² du² dv\'

Het schijnt van gewicht, deze vergelijking, die bij de theorie
der elektrische inductie eene groote rol speelt, onmiddelijk aan
de grondvergelijkingen der elektro-statika te doen aanslui-
ten, weshalve wij haar uit het bekende theorema van Green
zullen trachten af te leiden. Dit luidt (Grinwis t. a. p. pag. 24 B.

C „ dG dH _{r ni} ^ dH du _r _ _v d\'H

I dk2 --j— = I GdsZ-r-,--Gdk2-r-₂

J du du J du dn J du

waar ds een element voorstelt van het oppervlak, dat zekere
niimle k begrenst, terwijl G en H willekeurige functiën zijn.

Laten nu H en G functiën van f, m en g zijn en resp. ü_x
en W_x gesteld worden; verder zij W_x het oppervlak /"(S. ff) =0
dat de ruimte k_x insluit, en welks element dus door ds_x wordt
aangeduid; de uitdrukking Gds, die in de eerste integraal van
het 2^e lid van bovenstaande vergelijking voorkomt, wordt hier
dus W_lds_x, maar daar W_x of f (s, ff) ^{voor alle} P^unlen van het
oppervlak dat zij zelve voorstelt =0 wordt, verdwijnt deze
integraal, en de vergelijking verkrijgt den vorm

_r „ dü_x dW, _{r TTr} „ rf²^
5» S s. Vi s

Wij kunnen nu gemakkelijk de waarde vinden van het eerste
lid, uitgedrukt in grootheden, die betrekking hebben op het
systeem U en W waarvan U_l en W_x de getransformeerden voor-
stellen. Immers volgens (4) en (7) hebben wij

dUdW ₄ dU_l dW₁
dk, = — q\'dk en £ -j- —₇ - = o⁴ 2

* du du * dv dv

zoodat A wordt

/• „ düdW _r „ d²^

Aanmerking. In het 2^e lid dezer vergelijking is Wi door
W vervangen. Deze handelwijze wordt gebillijkt door de vol-
gende redenering: de variabelen hier x, y en z zijnde, moeten
de integralen ten opzichte van deze worden genomen; teneinde
de waarde van W_x voor een bepaald element dk met coördinaten
x_1% y_l, z, te bekomen, moeten in deze functie daar zij van de
variabelen t] en g afhankelijk is, de overeenkomstige waarden
li, Vu Si worden gesteld ; maar daardoor verkrijgt W dezelfde
waarde die W door direkte substitutie van x_u y_l en z_l zou
bekomen, daar deze beide functiën, overeenkomstig haar karakter,
door de substitutiën (1) pag. 19 in elkaar overgaan.

Gaan wij nog eenmaal van de grondformule uit en nemen
daarin //— qU en G = W, waarbij W de ruimte k overeen-
komende met k_x insluite, dan geeft zij

c_ikzM™₌_c_Wdks*3E . . . _m

J du du J du\'

of het eerste lid ontwikkelend:

r_TT1, dqdW c „ düdW _Fm„ d?qU
f ² lEiltü f^q 2 ~dü du ⁼ ~f^{Wdk 2} ~dvf ■ ■<*>

De eerste term stelt de som voor van de volgende drie inte-
gralen

f f Vdydz f^f dx
J J ^a J dx dx

ffüdxdzf^dy]....._W

dWdq

ff ^Udxdyfikdz^dz

in deze heeft men

f^^rtfrfi*
J dx dx dx J dx²

J dy dy ^:J dy ^J dy

J dz dz dz J dz³

en daar nu W aan de grenzen der integraal verdwijnt worden
en allen =0 zoodat voor de integralen (B")

komt

Wik P,
dx²

-fff™

De eerste term van (B) wordt alzoo

füWMZp
J du

en (£\') verkrijgt den vorm

(T,

substitueert men voor den 2^en term de waarde uit (A), dan komt

Of

p f iTq (T- Ü\\ d\'qU\\

 o.

In deze integraal nu zijn alle elementen Wdk negatief, daar
W eerst aan de grenzen van k = nul wordt — de coëffi-
ciënt moet dus constant nul zijn opdat de geheele
integraal verdwijne: waardoor de vergelijking (8) bewezen is.

Deze vergelijking zal later, zie pag. 34 en 35 worden gebezigd
ten einde de betrekking («) pag. 18 uit (p) aldaar af te leiden.

DEKDE HOOFDSTUK,

ALGEMEENE TOEPASSING VAN DE THEORIE DER
SPHERISCHE BEELDEN OP DE ELEKTRISCHE INDUKTIE.

\' § i.

Wanneer eene massa elektriciteit p, geconcentreerd in een punt
A {a, b, c) door influentie op een geïsoleerden, vooraf met Q
elektriciteit geladen conductor S, eene hoeveelheid q neutrale
vloeistof scheidt, dan kan de lading over S beschouwd worden
als te bestaan uit:

"1°. de oorspronkelijke evenwichtslading Q;
2°. de lading q eveneens als evenwichtslading verspreid;
3°. de lading —q, zoodanig verdeeld, dat zij met de massa
li in A, over S eene constante potentiaal oplevert.
In dit geval toch, is over S de totale potentiaal van alle elektriciteit
constant, en dus de vloeistof over dat oppervlak in evenwicht; daar
nu de evenwichtstoestand, ook bij induktie slechts op ééne wijze
mogelijk is, (zie Grinwis t. a. p, pag. 95) zoo is de aangewezen
verdeeling de werkelijk plaats grijpende.

Hoe groot de onder 3° bedoelde constante is, blijkt als wij den
conductor met den grond in geleidend verband brengen: de
ladingen 1° en 2° verdwijnen dan en tevens wordt de totale
potentiaal, d. i. nu de onder 3° genoemde, gelijk nul. — Der-
halve bepaalt zich het vraagstuk der induktie tot het vinden
eener lading van een oppervlak S, die met de induceerende massa,
over dat oppervlak de constante potentiaal 0 levert. — Is een
punt B van S op een afstand r van A verwijderd dan is de

potentiaal der induceerende massa aldaar ~~, zoodat die der ge-

induceerde hoeveelheid in dat punt —moet zijn.

De eenheid elektriciteit in A geconcentreerd, induceere nu
over S eene zekere lading, wier uitwendige potentiaal in het
punt P wij F_p noemen. — Laat verder het spherisch beeld van
S ten opzichte van A als pool, door <5, en de afstand van P
tot A door t aangeduid worden, dan zullen wij bewijzen dat V_v

den vorm — of qU aanneemt, wanneer U de potentiaal van
t

zekere evenwichtslading van in het met P overeenkomende
punt JP, voorstelt; — aldus zal door middel der vergelijking (8)
van het vorige hoofdstuk, de beschouwing van de potentiaal F_p
tot het onderzoek van U zijn teruggebracht. — Daartoe strekt
de volgende

Stelling. Laten S en S_l (fig. 7) 2 systemen van op-
pervlakken zijn, waarvan het 2^e het beeld van het

l^e is; laten de dichtheden in overeenkomstige pun-

_rt}

ten B en B₁ zijn — ^ en : dan zal tusschen hunne
potentialen V en U in 2 overeenkomstige punten P
en JP, de betrekking V=. ~ bestaan. (De afstanden van

de punten B en P tot de pool A zijn resp. door r en t aan-
geduid.)

Bewijs. Men kan deze stelling aldus bewijzen: indien 1 en
de dichtheden in twee elementen clS en dS_L1 met de letters
B en B_x geteekend, voorstellen, en overigens de notaties der
stelling worden bijgehouden, heeft men de bekende formulen

CO

en

(2)

nu zijn de driehoeken APB en AP₁B₁ gelijkvormig omdat

AP, X AP = AB, X ABz=z n²

zoodat

P,Bi: PB — AB_x: AP

en daar verder

en AP^zt

heeft men

tevens is, overeenkomstig de vergelijking (4) van het 2^e Hoofdstuk

dS_x = q\'dS.

Substitueeren wij deze waarden van Pen dl\\ in (2) dan komt

en wanneer wij hierin ten slotte — K — & stellen, vinden wij

U—tV

hetgeen te bewijzen was.

Aanmerking. In geval het punt A in het oorspronkelijk
oppervlak is gelegen en hel beeld dus oneindig is, gaat boven-
staande beschouwing door voor alle elementen van S, behalve
voor het onmiddellijk naast A gelegene. — Onderzoeken wij dit
dus afzonderlijk. Daarvoor is

en

Men heeft dus slechts in het oog te houden dat voor dit
element r in dr verandert, ten einde de formule ook in het
hier bedoelde geval te kunnen aanwenden.

Later zal worden aangetoond (zie 4^e Hoofdstuk § 2): dat de
lading door een punt in een oppervlak over dat oppervlak
geinduceerd, gelijk aan de induceerende massa, en in het-
zelfde punt opgehoopt is.

§2.

Het voorgaande bewijs, dat, voorzoover mij bekend is, nog
niet was gegeven, verdiende wellicht om zijne kortheid en een-
voudigheid de vermelding; intusschen sluit het zich minder

geleidelijk aan het vorige analytisch onderzoek, en moet dus

eer als op zich zelf staande beschouwd worden. Belangrijker

is het betoog van Lipschitz (t. a. p. pag. 7, 8, 9 en 10), dat

wij hier kortelijk resumeeren.
IJ

Opdat — werkelijk de potentiaal V der bedoelde lading voor-
t

stelle, moet deze grootheid voldoen aan de door Dirichlet aan-
gewezen karakters der potentiaal. Zij zijn de volgende:

₀ U .

1 — moet in alle punten der ruimte continue en eindig

v

zijn, en hare l^e differentiaal-quotienten moeten deze eigenschap,
voor alle buiten S gelegen punten, bezitten.

<ï). "lil

2° Moet —r— — —4 TT— X_t zijn, waarbij de indices

dn <m t

^u en i aanwijzen, dat de differentiaal-quotienten onmiddellijk
buiten en binnen aan het oppervlak op eene zelfde normale
genomen zijn, waarvan dn het element is.

De functie moet voldoen aan de betrekking 2~tt= 0,

waarvoor wij, volgens eene bekende notatie schrijven A² -7 — 0.

O

De limiet van — moet voor oneindig verwijderde punten
nul zijn.

Aangaande de eerste eigenschap kan geen twijfel be-
staan, daar U aan de genoemde voorwaarden voldoet en - steeds

V

eindig i_S} behalve voor punten P, die zeer nabij A zijn gelegen.

In dat geval echter bevindt zich het overeenkomstige punt
p

Q Q_l ⁶

~, d. i. tot -j, waar de lading van % voorstelt. Derhalve

T

Q.

convergeert de potentiaal v tot eene constante —, en hare eerste

differentiaal-quotienten tot 0, zoodat deze grootheden steeds
eindig blijven.

2° De tweede eigenschap volgt door uitvoering der dif-
ferentiaties, in verband met de opmerking, dat

dn₁ dn, ¹

en met behulp der vergelijkingen (6) en (7) van het vorige
hoofdstuk; bij de differentiatie der beide uitdrukkingen, die op
punten zeer nabij s gelegen, betrekking hebben, en in welke

r \\

dus t door r wordt vervangen, mogen^en- aan beide
zijden van s gelijk worden genomen, daar men de oneindig
kleinen van hoogere orde verwaarloost.

3° De vergelijking (8) van het vorige hoofdstuk, sluit het
bewijs der derde eigenschap in zich; immers door invoe-
ring van q = ^ wordt zij

^a t t /iv <vü

2 — U2-—- - 2-

du³ \\t / dv"
Nu blijkt door differentiatie, dat

1 1 „ 1 „ 1

d? - d~ - d³ - cP -

t ^t * ¹ a

_z of  _ _= 0,

du dx tly^A dz

daar f = (x — a)² -h (y — lf H- (z — cf, in welke uitdrukking
a>, y en z de coördinaten van P, en a, b en c die van de pool

en daar het 2^e lid =0 is, omdat U eene potentiaal functie voor-
stelt, is ook het l^e lid =0.

De vierde eigenschap eindelijk volgt daaruit, dat voor
oneindig ver verwijderde punten, V eindig en t oneindig is.

§ 3.

De bewezen stelling leidt nu rechtstreeks tot eene methode om
de dichtheid te vinden van eene lading, die door de elektrici-
teits-massa p, in zeker punt A (a, b, c)geplaatst, over S wordt gein-
duceerd. Vooraf herinneren wij dat deze lading als e enig karakter
de eigenschap bezit, dat zij in een punt van het geïnduceerde
oppervlak eene potentiaal heeft, die gelijk en tegengesteld is aan
^de potentiaal der induceerende massa in hetzelfde punt, zoodat
^als wij den afstand van A tot een punt B van S, r noemen, de

potentiaal der geinduceerde lading in B — -—— moet zijn.

Ten einde nu de dichtheid der geinduceerde lading, bijv. in een
Punt B te vinden, gaan wij op de volgende wijze te werk: —
wij bepalen het beeld S_l van 8 ten opzichte van A als pool,
door middel der transformatie-formulen (10) pag. 11, in welke
zekere willekeurige grootheid voor n wordt gesteld, en voorzien
dit beeldoppervlak van eene evinwichtslading, die over hetzelve
^de constante potentiaal — ^ heeft, en wier dichtheid in ieder
Punt moet kunnen berekend worden. Verder trekken wij uit A
den voerstraal r naar het punt B, en bepalen de dichtheid

der bovenbedoelde evenwichtslading in het snijpunt van dezen
voerstraal met het beeldoppervlak, welk snijpunt het overeenkom-
stige van B is. Deze laatste dichtheid behoeft nu slechts met

7b-

te worden vermenigvuldigd om de dichtheid der geïnduceerde

lading in B te bekomen. Immers bij deze verhouding der dicht-
heden voor ieder tweetal overeenkomstige punten, geldt de
vergelijking (3); plaatsen wij nu de punten voor welke U en F zijn
genomen in de oppervlakken en S zelve, dan wordt U= — p
en t — r, zoodat de formule overgaat in —n = r7 en V de ver-

eischte waarde — - verkrijgt.

r

b. Ook de uitwendige potentiaal der geïnduceerde lading
vindt men door vergelijking (3). Om bijv. deze te berekenen
voor het punt P, construeere men daarvan eerst het overeen-
komstige Pj, bepale daarvoor de uitwendige potentiaal der zoo-
even omschreven evenwichtslading over het beeld S_lf en deele
deze door t, d. i. door den voerstraal van P.

c. De hoeveelheid der geïnduceerde elektriciteit laat zich uit
J\'ldS berekenen, evenwel bereikt men dat doel dikwijls eenvou-
diger door de volgende

Stelling. Wanneer men de evenwichtslading van S kent,
die over dat oppervlak de constante potentiaal —1 levert, dan
zal de waarde van de polentiaal dezer lading, in een uitwendig
punt A, gelijk aan de massa Q zijn, die over S door de eenheid
van elektriciteit in A, wordt geïnduceerd.

Hel bewijs dezer stelling ligt in de belangrijke formule

V_u=—J* VldS, i)......(«)

1) Deze vergelijking wordt uitvoerig behandeld door Grinwis (t. a. p.
£To. 23), waarom wij meenden, onder verwijzing naar bedoelde plaats, bet
bewijs ea verdere uitwijding te mogen achterwege laten.

waar F_u en V potentialen eener evenwichtslading over zeker
oppervlak s voorstellen, en wel resp. in het induceerend punt a
en in een punt van het oppervlak zelve, en X de dichtheid der
geinduceerde lading in het element ds is. Wij behoeven hier
V slechts = — i aan te nemen om te verkrijgen

f_u=f us=q.......(4)

Aanmerkingen. 1°. Is in het punt A de massa p gecon-
centreerd, dan wordt de vergelijking («)

v_n = — j\' v IdS......(5)

en stelt men daarin V= — n, dan komt (4) weder te voorschijn.
Men neme dus de evenwichtslading slechts zoodanig, dat hare
potentiaal over het oppervlak gelijk is aan de induceerende massa
met tegengesteld teeken, dan zal hare uitwendige potentiaal in
het induceerend punt, steeds de geinduceerde massa uitdrukken.

2°. Voor de vergelijking (5) kunnen wij in ons geval schrijven

— .........(6)

v

Is nu a uitwendig dan is steeds v_n<v en de geinduceerde
hoeveelheid is kleiner dan de induceerende. Ligt daarentegen A
binnen of in s dan wordt v_u~ v; in dat geval zijn derhalve
de beide hoeveelheden gelijk. Wij zullen dat later, zie pag. 46
en 48, voor bijzondere gevallen nader bevestigd zien.

§ 4.

Dichtheid, uitwendige potentiaal en massa van
eene door een elektrisch punt geinduceerde lading, worden
alzoo, blijkens het voorgaande, door middel van even-
wichtslading en over s ofzijn beeld bepaald.

Maar dit voert ons ook tot het geval, dat de induceerende
massa, over eene niet geleidende ruimte of oppervlakte M, of
over verschillende punten, op gegevene wijze is verdeeld. —

In het eerste geval zal de dichtheid der geheele op S gebonden
lading, uit de som der partiëele dichtheden bestaan, die men
verkrijgt, door elk punt van M afzonderlijk als induceerend te
beschouwen. — Dit zelfde zal voor de beide andere te bepalen
grootheden gelden, zoodat men, de bedoelde partiëele dichthe-
den, uitwendige potentialen en massa\'s in het algemeen door 1,
v en q — en een element der induceerende massa door dk —
voorstellende, voor de geheele grootheden vindt

Q —j qdk

Is de induceerende elektriciteit in enkele punten opgehoopt,
dan leidt dezelfde methode ons tot summatiën; — evenwel is
het duidelijk dat men in beide gevallen zelfs bij zeer vereen-
voudigende bepalingen, op groote analytische moeielijkheden
stuit. — Wat de induktie tusschen geleiders aangaat, het zal
nader worden aangetoond, dat men ook in dat geval slechts
met evenwichtsladingen te doen krijgt. — Al is het nu niet te
ontkennen dat het algemeene vraagstuk der evenwichtsverdeeling
nog onopgelost is, zoo kan toch, door de methode der niveau-
oppervlakken van Green, deze verdeeling voor een onbepaald
aantal oppervlakken worden opgespoord, en is dus de kwestie
der induktie niet alleen op meer effen terrein overgebracht,
maar ook werkelijk in vele gevallen volkomen oplosbaar.

VIERDE HOOFDSTUK.

TOEPASSING OP EENIGE VOORBEELDEN.
§

Wij zullen ter toepassing eenige gebondene ladingen onder-
zoeken en vangen aan met den bol; daarbij wordt het induceerend
punt achtereenvolgens buiten, binnen en in het oppervlak
van den bol aangenomen.

1° Het punt A buiten den bol (fig. 8).

Nemen wij dit punt, waar de massa p zij opgehoopt, als
oorsprong van coördinaten, noemen het middenpunt van den
bol O, zijn straal R, en den afstand van het middenpunt tot
den oorsprong <x, terwijl de cc-as door het middenpunt wordt
gelegd. — Bepalen wij nu eerst het beeld van het gegeven
oppervlak: dit is volgens § 8 van het l^e Hoofdstuk een bol, wiens
middenpunt O_x naar aanleiding der formulen (13) aldaar,
mede op de #-as gelegen, en van A op een afstand

verwijderd is, en die tot straal heeft

ft =-^5-. . . . (2)

¹ a"—R² ......^{K }}

Laadt men dezen bol tot de constante potentiaal — en zij de
geheele lading Q_1} dan heeft men klaarblijkelijk

"=-!:.....^; • <»>

daar ook in het middenpunt de potentiaal — p is.

De massa verspreidt zich gelijkmatig over het boloppervlak
S_1} zoodat men voor de dichtheid verkrijgt

O t ... (4)

kitlif Arclt₁ ^y \'

na substitutie der waarde van Qj. uit (3).

De uitwendige potentiaal U_n dezer lading is gelijk aan die
eener zelfde massa in het middenpunt geconcentreerd, zoo wordt
zij b. v. in het punt M_x

TT Ol ,

^u«=im~ ^of • • • ⁽⁵⁾

Bepalen wij nu de dichtheid l, de uitwendige poten-
tiaal F en de massa Q der geinduceerde lading.
a. De dichtheid. Volgens pag. 37 a, heeft men vooreerst

^ ipr ¹ >

hetgeen door substitutie van (4) en (1) overgaat in

*--......^

d. i. heizelfde resultaat door Grinwis (t. a. p. pag. 126) uit de

formule — — — knl afgeleid.

at at

b. Uitwendige potentiaal. Om deze te vinden b. v.
in het uitwendig punt M met overeenkomende, bezigen wij
de vergelijking (3) van het vorige hoofdstuk, die hier wordt

= Substitueeren wij in deze de waarde (5) voor U_u dan
komt vooreerst

v "

am.o,m;

Deze formule laat eene vereenvoudiging toe, waarbij tevens al
de op het beeld betrekking hebbende grootheden daaruit verdwij-

tf

nen; bepaalt men nl. het beeldpunt P van O_lt door AP——

di

te nemen, dan ontstaan twee gelijkvormige driehoeken APM en
AOxM_ly zoodat men heeft

AM . OJ1, = a_x. MP.

Substitueert men deze waarde in de boven gevonden grootheid
voor 7_U, en daarna voor R, en a_x de uitdrukkingen (1) en (2),
dan vindt men ten slotte

a. MP

Ligt een punt M\' binnen S, dan ligt zijn beeldpunt bin-
nen Si; — daar de potentiaal ü aldaar steeds =—p is, vindt
men voor de potentiaal der geïnduceerde lading in een inwen-
dig punt, na deeling door AM\'

«•-1;; ........w

Vallen M en M\' in het oppervlak S te zamen, dan gaan de for-

muien (7) en (8) in elkander over, daar alsdan

IV „

ilIP = 0/ _ 2 J- cos« en iAf = «² — cos«

^r d\' a

en dus MP = - .AM is.

a

c. De hoeveelheid Q der geinduceerde lading wordt opgele-
verd door de integraal J\'IdS — evenwel vindt men haar hier
eenvoudiger door de volgende redeneering: de potentiaal U der
evenwichtslading over constant = — n zijnde, heeft zij ook
diezelfde waarde in het beeldpunt D₁ van O, daar dit beeldpunt
binnen is gelegen. Voor de potentiaal F_c der geindu-
ceerde lading in het punt O heeft men dus, overeenkomstig

de vergelijking de formule

l>

V

\' o

maar tevens is blijkbaar

Q

V
^c li

zoodat, door eliminatie van V_a volgt

0==^.........(9)

Aanmerking. De vergelijking der formulen (7) en (9) leidt
nog tot het merkwaardige resultaat dat men, voor de uitwendige
werking, zich de geheele geinduceerde lading in het punt P kan
geconcentreerd denken, daar men, voor de uitwendige potentiaal

in het punt M, de grootheid ~ verkrijgt. Dit punt P blijkt

tevens het beeldpunt van A in den bol S te zijn: immers

n --

OP — a — AP of =a— of door substitutie van (2) .

a, ^w a

Tot deze uitkomst geraakt men ook, door de toepassing der
kogelfunctiën, zie Grinwis (t. a. p. §§ 26 en 27).

2° Het punt A binnen den bol (fig. 9). Neemt
men bij de ontwikkeling van form. (12) l^e Hoofdstuk, q nega-
tief, dan blijkt dat S_l weder een bol is wiens straal bedraagt

_ n?R

terwijl het middenpunt O_x van A is verwijderd, op een afstand

tra

Cly-

R² -- a^!\'

en O en 0₁ dus aan weerszijden van A liggen.

a. Yoor de dichtheid der gein duceerde lading vindt men nu,
langs den bij het 4° geval aangewezen weg, weder de uitdruk-
king (6) met omgekeerde teekens.

b. De uitwendige potentiaal verkrijgt eene andere ge-
daante : elk uitwendig punt M nl. heeft zijn beeldpunt M, binnen

en aldaar is de potentiaal U der even wichtslading constant
=— n; derhalve komt voor de uitwendige potentiaal V der
geïnduceerde lading, in M

.........o")

welke waarde gelijk en tegengesteld is aan de potentiaal der
induceerende massa [*, die in het punt A is geconcentreerd.

Van een binnen S gelegen punt M\', bevindt zich het beeld-
punt M\\ buiten S_x; construeert men hier, zooals op pag. 43
geschiedde het punt P, en volgt nu overigens de methode die

lot form. (7) geleidde, dan vindt men dadelijk in dit geval

= ........(«>

Ook hier worden, even als onder 1°, de beide uitdrukkingen
voor F"_u en Fj in het oppervlak S aan elkaar gelijk; dan toch
verkrijgt men voor AM en PM dezelfde uitdrukkingen als bij
formule (8) zijn aangegeven.

c. Wat de geinduceerde hoeveelheid aangaat, volge
men slechts den weg die tot de formule (8) geleidde. Het
beeldpunt A van O ligt hier buiten den bol S₁₅ en verder is

n² n"R²

richtslading ovei
, hetgeen na substitutie der waarden voor O_l D_ly QienA

overgaat in JJ— —Benoemt men de potentiaal der gein-
R

duceerde lading voor het punt O met F_e, dan is dus

V-l — ÜL
^c ₀ ~~ B

en daar tevens

7-4

^c R

komt

Q = -H........(12)

In dit geval zijn dus de induceerende en geinduceerde hoeveel-
heden gelijk. Zie aanmerking 2, pag. 39.

1) De vergelijkingen (3) en (2) leveren de waarden voor Q₁ en

3o. Het punt A in het boloppervlak (fig. 10).
Substitueeren wij de waarden (13) van het l^e hoofdstuk, in de
vergelijking (11) aldaar en stellen daarna a=B en b en c=0,
dan komt voor het beeldoppervlak de vergelijking

^s 21?

d. i. een plat vlak loodrecht op de x-as en zich in het oneindige
uitstrekkende. Overeenkomstig het op pag. 33 aangemerkte,

blijft de formule V-— hier geldig, wanneer voor de dichtheid
t/

der geinduceerde lading in de naast A gelegene punten, niet

n- _n°

p- ^ maar — ^ genomen wordt. Wij zoeken nu eerst V Daar

CIT

de constante potentiaal der evenwichtslading over het platte
vlak gelijk —p moet zijn, heeft men voor een willekeurig
punt b. v. P₁ van S_x in het algemeen

■=f

"waarin i\\ de afstand van het bedoelde punt tot een ander van
hetzelfde vlak voorstelt; — voor dS_x kan in polaire coördinaten
met P_x als oorsprong 2n)\\dr_x gesteld worden, verder is X, con-
stant en onze formule wordt dus

sc

o........W

waaruit blijkt, dat oneindig klein is en derhalve de dicht-
heid der geinduceerde lading X, mede nul wordt vcor alle

Punten van S behalve voor die, welke r~dr hebben of m. a. w.
4 onbepaald naderen.

De formule voor de dichtheid

_rr „ _ — «V

kan na eenige herleiding ook dienen, om de dichtheid der

over S geinduceerde lading in het punt -4 zelve t.e bepalen,

wanneer wij slechts in het oog houden, dat daarin r door dr

moet worden vervangen, terwijl r_t volgens (a) steeds oo is.

Laat in fig. 10 AB, jPjC, de hoek BAO en \'t element van den

meridiaan van B, resp. cc, r_x, a en ds genoemd worden, dan

vindt men lichtelijk

. „ . _c «² sin a
r_l — AL sin « oi —--,

r

— i^u

derhalve is X — ~——.......(13)

37ir sin « ^v

welke waarde oneindig wordt door r — dr en dus sin« —1
te stellen.

a. De dichtheid X is dus = oo in het punt A zelve; in
alle andere punten van <S is zij =0.

b. De hoeveelheid Q kan uit de integraal J"XdS berekend
werden, in welke dS een ringvormig element van S kan voor-
stellen, wijl over al de deelen daarvan de dichtheid X blijkbaar
constant is. Deze integraal gaat door substitutie van

(Lv

dS — 2ttrds sin « en ds — ——

sm a

en van de waarde van X uit (13) over in

Lidr

r— Iuur
J r sin cc

maar daar tevens r onbepaald tot de grens 0 nadert, reduceert
zij zich tot een enkel element, waarvoor r—dr en sin a = 1
is; en men verkrijgt ten slotte

Ö = ........(U)

zoodat hier, even als in het 2^e geval pag. 46, de geïnduceerde
hoeveelheid aan de induceerende gelijk is.

c. De potentiaal der geheel in A opgehoopte lading Qisnu
voor zeker willekeurig punt M natuurlijk

f = .........(15)

ⁿ AM ^{K J}

Aanmerkingen. 1°. De formulen (7) — (12), die de hoe-
veelheden en potentialen der geinduceerde ladingen uitdrukken
als het induceerend punt buiten of binnen den bol ligt,
gaan in (14) en (15) over, als men in dezelve R — a stelt —
zoo zal bijv. alsdan in de formule (7) MP door AM moeten ver-
vangen worden, daar A in het oppervlak S liggende, met zijn
beeld P ia dat oppervlak zamenvalt.

2°. De formulen (7), (10) en (15) stellen slechts een ge-
deelte voor van de uitwendige potentialen, die men in de punten M
waarneemt. De totale potentialen, bij welke ook op den invloed
der induceerende massa wordt gelet, vindt men door de gevon-
dene waarden met -Pr-, te vermeerderen: derhalve:
AM

Ligt A buiten den bol, dan is de totale potentiaal in een
uitwendig punt (zie form. 7) steeds positief ^1}; zij wordt 0
over hetboloppervlak, en ook daarbinnen (blijkens form. 8).

Ligt A b innen den bol, dan is de totale potentiaal in een

inwendig punt (zie form. 41) steeds positief ^J); zij is O over
het boloppervlak, en ook daarbuiten (overeenkomstig form. 40).

Ligt eindelijk a in het boloppervlak, dan is de totale poten-
tiaal in alle punten der ruimte =0.

§ 2.

INDUKTIE VAN een punt a, voorzien van de massa jtt en
in het geïnfluenceerde oppervlak s zelve gelegen.

Welke kromming s in het punt a ook hebbe, zij kan altijd,
tot op oneindig kleinen van de 2^e orde nauwkeurig worden
voorgesteld door die van een oppervlak van den 2^en graad, dat
zijn top in a heeft, en waarvan een der assen met de hoofd-
normale in a op s geplaatst, zamenvalt. Naarmate dit oppervlak
al of niet eene hyperboloïde is, zal het oneindig verwijderde
gedeelte van het beeld S, aan weerszijde of aan dezelfde zijde
van het raakvlak, in a aan s gebracht, gelegen zijn; maar in
ieder geval nadert 3, in al zijne richtingen tot assymptoten, die
uit het gemeenschappelijk punt a kunnen worden getrokken,
en in dat punt raaklijnen zijn aan het oorspronkelijk oppervlak.
Beschouwen wij nu van s_x alleen het gedeelte, dat onbepaald de
assymptoten nadert, dan bestaat dat oppervlak bij benadering
uit elementen, die ieder door 2 rechten uit a worden begrensd
en het is dus ontwikkelbaar — maar nu is het ook duidelijk,
na het gezegde aangaande het platte vlak, dat de integraal

J ~~ hier oneindig is Daar wij nu verder n willekeurig groot

kunnen nemen, kan een punt 1\\ van s, zeer nabij a worden

gebracht, en nemen wij dit punt 1\\ als oorsprong van een

rdS

stelsel van voerstralen r_x dan kan in j ~ de grootheid r door

worden vervangen, (immers alleen de op oneindigen afstand
van A gelegen elementen komen hier in aanmerking). Wij

besluiten dus dat de integraal f— mede oneindig is; a fortiori

J _Vl

zal zij oo zijn als men haar over alle deelen van uitstrekt.

Verspreiden wij over eene evenwichtslading met de po-

X d^

tentiaal — p dan heeft men — p= f-y^\', zij dx de kleinsteen
5 de grootste dichtheid dezer lading, dan is

dSy ^ ^ _v f dS₁
dS_l

r

°f na deeling door ƒ

öi < 0 <5;

daar nu 5 en noodzakelijk hetzelfde teeken bezitten, zijn ze
beiden 0 en is dus X_lt d. i. de dichtheid der evenwichtslading
over het beeld, constant =0. Derhalve zal de dichtheid der

geinduceerde lading X=%-X, mede =0 zijn, behalve in het

Punt A waar r oneindig klein is.

De hoeveelheid geinduceerde elektriciteit levert ons de
formule

Q = _ ^ (zie 3^e Hoofdstuk form. (6))
v

maar daar F_u en v hier gelijk zijn wordt q = — _tu.

Deze geinduceerde lading is dus gel ijk aan de
induceerende, zij isgeheel in het punt a geconcen-
treerd, en de totale potentiaal in een willekeurig
punt is derhalve 0.

Onder 3° van de vorige § is hetzelfde resultaat voor een bij-
zonder geval verkregen.

§ 3.

lNDUKTIE VAN EEN PUNT a MET DE MASSA p OP EEN PLAT
VLAK (flg. 11) *>.

Men neme het gegeven punt a als oorsprong van coördinaten,
en als x-as de loodlijn daaruit op het vlak nedergelaten; is
de lengte dezer loodlijn l, dan wordt de vergelijking van het
vlak x = l.

Volgens § 8 van het l^e Hoofdstuk is het beeld een bolopper-

vlak dat door de pool gaat, en welks middenpunt O_x, op de

iti? \\

loodlijn l gelegen, tot coördinaten heeft I ^, 0, Oj — voor den
straal ao_r komt dus

= i\'7.........(16)

Verspreidt men nu over dit beeld s_x eene evenwichtslading q_x
^met de constante potentiaal — en zij de potentiaal in het
middenpunt F_e, dan heeft men weder de algemeene vergelijking

_F-öi

maar tevens is f_a — — fi, waaruit volgt

rv

(?! = .—^ of (zie (16)) =-|r#« • • (¹⁷>

De dichtheid der evenwichtslading over den bol is constant
en dus

of - . . (18)

^-/mB* 2 nri^{1 K }}

Daar men zich de geheele massa, wat de uitwendige werking
aangaat, in het middenpunt O, kan geconcentreerd denken, ver-
krijgt men voor de potentiaal U in een uitwendig M_x de waarde

»f volgens (17) • • (19)

Gaan wij nu over tot de bepaling der dichtheid, uitwen-
dige potentiaal en geheele massa van de over het vlak
⁵ geinduceerde lading.

^a- Voor de dichtheid X heeft men eerst

hetgeen door substitutie van (18) verandert in

fj .......(20)

2?r r³

De hoeveelheid Q der geinduceerde lading zullen wij
^uit de integraal ƒ XdS ontwikkelen.

Noemt men den hoek, dien de voerstraal uit A met de lood-
lijn op het vlak maakt <p, dan wordt een ringvormig element
van dit vlak

_c %-rcr² sin cpd(p

rfu =-

cos cp

vermenigvuldigt men deze waarde met l (form. (20)), en merkt
verder op dat r cos q> = l, dan komt

pn

I ^

Q= f 7,dS = | — usinydcp— —■ p . . . (21)

^J J 0

De geinduceerde hoeveelheid is dus gelijk aan de induceerende
en van de plaats van A onafhankelijk.

c. De potentiaal V. Bij de berekening van deze moet
onderscheiden worden of het pnnt waarvoor men haar bepaalt,
al of niet met A aan dezelfde zijde van het vlak S ligt.

In het eerste geval is volgens de grondformule
in het punt M

V —— of

^m AM AM

na substitutie der waarde (19) voor U. Deze uitdrukking
laat zich echter gemakkelijk vereenvoudigen. Daartoe be-
palen wij het punt P met overeenkomende, door op AO_x

n²

den afstand -t^t uittezetten; volgens form. (16) is deze

Jj. Ui

zoodat het punt P tegenover A en even ver van het vlak ge-
gelegen is. Trekken wij nu nog de lijn PM dan volgt uit de
gelijkvormigheid der driehoeken APM en 10^, (zie pag. 33)
de evenredigheid O_xM_l : PM=R₁: AM, waardoor de bovenge-

vonden vergelijking voor V verandert in

In het tweede geval zij het punt bijv. in T geplaatst. liet
overeenkomstige daarvan ligt nu blijkbaar binnen S_lt aldaar is
U standvastig =— p en wij vinden

........<²³>

Aanmerkingen. 1°. Verlangt men dus de potentiaal der
geinduceerde lading voor eenig punt, dat aan de zijde van P
%t, dan denke men zich die lading in A geplaatst; voor een
punt aan de zijde van A stelle men haar in het punt P, dat
met A symmetrisch is ten opzichte van het gegeven vlak.

2°. Het niveauoppervlak dezer lading bestaat, op grond van
de formulen (22) en (23), uit 2 bolsegmenten, die volgens
een cirkel in S aan elkander sluiten, en met gelijke stralen uit
A en P beschreven zijn; genoemde formulen toch gaan voor
een punt van dat vlak in elkaar over.

De totale potentiaal van de geinduceerde en de inducee-
rende massa\'s is steeds positief voor alle punten aan de zijde
^van A gelegen, — voor alle andere is zij = 0. Men kan dus
zeker punt voor de werking van elektrische massa\'s beschermen,
door tusschen deze en het punt een oneindig plat vlak te plaatsen.

4°. Men kan een plat vlak als een bol van oneindigen straal
beschouwen — inderdaad de formulen (6), (9), (7) en (8) van
de vorige § veranderen in (20), (21), (22) en (23) als men in
dezelve eerst a = R l en daarna R = oo stelt.

Zoo wordt alsdan bijv. (6)

«(a-*)(* £)

knr⁶

Wordt nu (a—R)—l en ~ = 1 genomen, dan komt

Voor het overige valt de gegrondheid dezer opmerking da-
delijk in het oog — wij stippen alleen nog aan, dat de punten
in het eene geval binnen den bol gelegen analoog zijn met
die, welke in het andere geval zich aan de van a afgekeerde
zijde van het platte vlak bevinden.

§

Indüktie van een elektrisch punt a met de massa p,
op een omwentelings scissoïde.

Plaatsen wij het induceerend punt op de omwentelings-as en
nemen daarin den oorsprong van coördinaten, dan heeft de be-
schrijvende lijn der scissoïde tot vergelijking (zie (21) pag. 16)

Vermenigvuldigen wij haar met « en stellen wij

en u dus gelijk aan tweemaal den afstand van a tot den top
der scissoïde, dan wordt zij

2.x{x H- if) — ux² vtf,

terwijl de constante parameters u en v in de vergelijking van
het oppervlak moeten gegeven zijn. Het beeld van dit opper-
vlak is nu (zie (20) pag. 16) een omwentelings-ellipsoïde, die
haren top in a en haar omwentelings- as langs de #-as heeft.
Hare halve assen zijn « en § en worden bepaald uit (&), waarbij

w eene willekeurige waarde verkrijgt en hier =1 wordt gesteld.
Wij vinden alzoo

1 i

«=- en $ = .....(?)

^w V vu

Dit beeldoppervlak S, moet nu tot de constante potentiaal — n
worden geladen, en vooreerst van deze lading Q, de dichtheid,
de hoeveelheid en uitwendige potentiaal worden opgespoord

Overeenkomstig de methode der niveau-oppervlakken van Green
kan eene evenwichtslading over eene omwentelings-ellipsoïde,
wat de uitwendige werking aangaat, vervangen worden door
eene rechte lijn over welke dezelfde hoeveelheid gelijkmatig is
verspreid. Noemen wij de lengte dezer lijn 2a dan heeft men

^a—^a\\zr_c ~c - m — logc . (T/0

Uit

de beide eerste dezer formulen vindt men

a=Va² — & en c =-. • • W

¹ _a Vc? — f

terwijl de derde het middel levert om Q, in « en en dus ook
in u en v uit te drukken. Wij hebben dus

= .........(24)

^v log c

De dichtheid in het punt !>,(§,, s,) wordt uitgedrukt
door de formule

x — ........ (25)

— knap ^V \'

!) De nu volgende formulen (rji), (25) en (26) zijn ontleend aan Grinwis
t. a. _p. _{16 en a}^_een veranderd voor zoover. de verplaatsing van den
°°rsprong i_u den top der ellipsoïde dit noodzakelijk maakte. Hare
ontwikkeling behoort niet tot ons onderwerp.

waarin p de loodlijn voorstelt, die uit het middelpunt der
ellipsoïde is neergelaten op de raaklijn, welke in het meridiaan-
vlak van P_x door dat punt aan de ellipsoïde is getrokken, zoodat

4

ook wordt dus eene functie van ^, ^, ^, a en /?. De uit-
wendige potentiaal U onzer evenwichtslading eindelijk, wordt

. (26)

Uit het bovenstaande volgen nu onmiddellijk de dichtheid,
de uitwendige potentiaal en de hoeveelheid van de
over de gegeven scissoïde geinduceerde lading.

a. De dichtheid l in een punt P (x,, y₁, z_x) is, daar n = 4 is
genomen

in deze uitdrukking substitueeren wij \\ uit (25), nadat de

CO

waarde van deze door de transformatie-formulen f = —,

7j= ^ en in het stelsel (x,y,z) is overgebracht, en

verder a en § en c in u en v zijn uitgedrukt. Wij vinden
alsdan, als wij

« _ = 8 en « 4- VV — p*— 8\' stellen

— flU VV — uv

2nr V⁷ (ux — r²)² -h uvx² -f- uvz²

b. De uitwendige potentiaal V. Om deze voor zeker
punt P te vinden hebben wij slechts de potentiaal U voor het
overeenkomstige punt, door den voerstraal van P te deelen.
Vooraf elimineeren wij in de uitdrukking (26) voor U, in het
met P overeenkomende punt P₁₅ de grootheden Q_x en a, door
middel der formulen (24) en (ip\') en brengen den vorm daarna
in het stelsel (x, y, z) over. Wij vinden alzoo

r₌ ioo- r (*-^fVf2)^f2 (28)

^rlog(y) ^ö^"(^^T y\' -

c. De hoeveelheid Q wordt op de gewone wijze door de
integraal JldS geleverd.

5.

De stelling op pag. 38 vermeld zal dikwijls, zooals aldaar reeds
is opgemerkt, kunnen worden aangewend, om tot het bedrag
van de geinduceerde lading te geraken, en wel speciaal in het
geval, dat de evenwichtsverdeeling over S bekend is. Om dit
duidelijk te maken, willen wij

de hoeveelheid elektriciteit, die over eene om-
wentelings-ellipsoïde door de massa n, in zeker
uitwendig punt geplaatst, wordt opgewekt, onder-
zoeken (fig. 12).

Wij hebben nu niets anders te doen dan de ellipsoïde van
eene evenwichtslading tot de potentiaal p te voorzien en van
deze de potentiaal in A optesporen. Deze laatste grootheid
^Z&1 alsdan de gevraagde hoeveelheid voorstellen.

Wij nemen den oorsprong van coördinaten in het middenpunt
der ellipsoïde, noemen hare halve assen a en de grootte der
evenwichtslading Q, en de coördinaten van A, x,, yo en Zq.
Overeenkomstig het voorgaande kan men nu, wat de uitwendige
potentiaal aangaat, de lading Q, vervangen door eene lijn 2a-,
over welke dezelfde lading gelijkmatig is verdeeld. De dichtheid
q over deze lijn wordt dan

Q

of als wij de laatste der vergelijkingen (xp) (vorige §) aanwenden

log c \'

"Verder is reeds gebleken, (zie (ip\') ), dat a de lineaire excen-
triciteit voorstelt, en dus 2a is, de lijn die de brandpunten der
ellipsoïde vereenigt.

Wij vinden dus voor de uitwendige potentiaal in het punt A
dadelijk

of na substitutie van q en integratie

• • (29)

V(x₀ — a)² ï/o² Zo² = AF

vV₀ a)² y₀² zï = AF\'
[x_a — a) = RF

(x₀ — Cl)
{x_a a)

derhalve

u AF — RF

.....<³°)

Deze uitdrukking is nu gelijk aan de hoeveelheid der door A
°ver de ellipsoïde geïnduceerde lading; de grootheid c heeft
daarin de waarde (i//) zie pag. 57.

§ 6.

Influentie eener vaste elektrische massa, die op gege-
vene wijze over eene ruimte is verdeeld, op een met
den grond verbonden geleider.

Bij onze vorige beschouwingen werd de induceerende
^massa steeds in één punt geconcentreerd gedacht: intusschen
strekt de hier aangegevene methode zich ook uit tot het geval
dat zij continue over een zekere ruimte M is verspreid. Wij
zullen dit, naar aanleiding van het opgemerkte op het einde van
het 3^e hoofdstuk, kortelijk aanwijzen. Hierbij zullen de coör-
dinaten van eenig punt dezer ruimte door x_u y_x en z_lt die van
een punt van het geïnfluenceerde oppervlak S door x, y en z,
eindelijk die van eenig beeldoppervlak door f, y en worden
aangeduid, terwijl we onderstellen dat de induceerende massa
M begrensd is door een bepaald oppervlak f (x_x, y₁, z,) = 0, en
dat de dichtheid daar binnen eene functie q> der coördinaten is.

Wij onderzoeken nu de partieele lading, op S gebonden
door de elektriciteit ydx.dy.dz,, die in eenig element P
van Jlf i_s opgehoopt, en verspreiden daartoe over het beeld
^Van S, ten opzichte van P, eene evenwichtslading tot de
constante potentiaal cpdx^yAi\'- de dichtheid en uitwendige
Potentiaal dezer evenwichtslading zijn nu, overeenkomstig het

vroeger ontwikkelde, voldoende om dezelfde grootheden voor
de bedoelde partieele lading van S te bepalen. Het is duidelijk
dat deze laatste grootheden functiën zullen zijn van de coördi-
naten x_x, y₁ en z_x van P en hare l^e differentialen. Wij behoeven
ze dus slechts te integreeren ten opzichte van deze variabelen,
binnen de grenzen die het oppervlak f(x₁,y1,z₁) =0 aangeeft,
d. i. over de geheele ruimte M, ten einde de dichtheid l en de
uitwendige potentiaal F te verkrijgen van de lading, die door
alle punten van M te zamen over S wordt geinduceerd. Op de

gewone wijze levert ons daarna de integraal JkdS de massa
Q der op S gebonden lading.

Hoe eenvoudig deze theoretische beginselen ook zijn, hunne
toepassing heeft menigmaal bezwaar, niet alleen voor zoover het
onderzoek der evenwichtsverdeeling over het beeld van <S betreft,
maar ook, en voornamelijk ten gevolge der vereischte integratiën.
Wij zullen ons hier dan ook bepalen tot het geval, dat M en
S beiden bollen zijn en cp constant is. Beteekenen wij den straal
van M met i?\'₀, dien van S met R, den afstand der midden-
punten van beiden met b en zij de oorsprong van coördinaten
in het middenpunt O van S geplaatst (fig. 13).

a. De dichtheid. Het element P induceert over S eene
lading, wier dichtheid in het punt G bijv., zie form. (6) pag. 42,

wordt uitgedrukt door —^^jif ^\' ^wanneer wij daarin stellen

H = cpdx^yxdz!

a — POt=zVx* y? z?

r — PG= V{_Xx — xf (;y, — yf (z, — z)³
De som der waarden, die bovenstaande uitdrukking verkrijgt
wanneer achtereenvolgens ieder punt van M als induceerend
wordt aangenomen, of m. a. w. haar integraal ten opzichte van

Vi en z, over de geheele ruimte M zal nu de geheele
dichtheid in G voorstellen. Voor deze vindt men dus

x — m. C C C ël yï² ~~ ^R1^dXidyidZi (m \\

4jt/? I 1 I V \\₃/* ^ \'

I I j ^-^^-yf ^-^f)^k

Uit de vergelijking voor het oppervlak van M, d. i.

— b)² Vi Zi³ == R°
volgt voor de grenzen van . . • • b ^R₀ yi\'¹ zi²

voor die van y_l . . . • ± ^Ro
en voor die van z_x . . . • ± R₀
en door integratie vinden wij

.....(32)

SR (^(x-by f z^

Voeren wij in Q₀ d. i. de geheele massa in M geplaatste elek-
triciteit en dus

_ 4ncpR₀³

en merken wij tevens op dat

(x — by tf t\' — AG*
dan verkrijgt l den vorm

......(33)

~ knR . AG*

waaruit blijkt: dat de dichtheid der geïnduceerde lading dezelfde
is, die ze zijn zoude, indien de geheele induceerende massa in
het middenpunt 1 van den bol M ware geconcentreerd.

b. Om de hoeveelheid Q der over S gebonden lading te

bepalen, vermenigvuldige men de waarde (33) met dS d. i. met
Rdxdy

- en integreere daarna ten opzichte van x en y over o;

%

men vindt dan

Q__—Qo(^b"—^R\') f f ^dxdv__ _

4tt

X

Door middel der vergelijking van S

X\' y* z³ = R³

elemineert men uit bovenstaande waarde de variabele z en be-
paalt de grenzen der integralen: deze zijn
voor x ........ ± ^R³ — y³

en voor y . . ...... R

en na integratie heeft men

........ (35)

d. i. de hoeveelheid, die de massa Q₀ in het middenpunt van M
gesteld, over S zoude induceeren. — Dit resultaat was trouwens
na de opmerking aan het einde van a wel te voorzien.

c. De uitwendige potentiaal kan mede afgeleid wor-
den uit die eener partieele lading, door een punt van M, bijv.
P over S opgewekt. Deze kan voor de uitwendige werking

vervangen worden door de hoeveelheid —— geplaatst in P_u

ct

zijnde het beeld van P in den bol S (zie pag. 43 form. (7) );

stelt men voor p weder de boven vermelde waarde, dan wordt

, „ ., — q>Rdx_ldy₁dz_l , . , . ,

die hoeveelheid -p-^ , en hare potentiaal m het punt

N (P><lit) is alzoo —^L > welke waarde nu nog

slechts ten opzichte van x_l,y₁enz_l, behoeft geïntegreerd te
worden om de geheele potentiaal der lading over S in het punt
N te bekomen.

Wij merken nu op dat (daar l\\ (6, V, e) het beeld van P is)
de coördinaten van P_x zijn

R\'-y, __R² gi
V ~~ ~pQÏ ⁹— PO²\'

R² x_x

,0.

PO V x? Vv
Ten slotte vinden wij dan

dx, dy, dz_r

q n _s

x_xJ y_xJ 2,
°f na integratie
V„

Deze formule kan in veel eenvoudiger gedaante worden ge-
bracht; vooreerst toch is

bepalen wij verder het beeldpunt A_x van A in den bol S dan
it²

wordt OA₁——,en men vindt
b

zoodat (36) verandert in

Derhalve kan hieruit ook besloten worden tot de stelling, dat
de inductie plaats heeft als of de induceerende zich in A bevond.

Aanmerking. Het vraagstuk, waarvan hier de analytische
oplossing gegeven werd, ten einde den algemeenen weg aan te
duiden, laat eene andere meer eenvoudige behandeling toe.
Verdeelt men nl. den bol M in een oneindig aantal concen-
trische schillen, dan kan ieder van deze als eene even wichts-
lading worden beschouwd, en als zoodanig, wat de uitwendige
werking betreft, door dezelfde massa in het middenpunt worden
vervangen. Daar nu de induktie slechts van de uitwendige wer-
king der induceerende massa afhangt, kan de vraag tot de
induktie door één enkel punt. het middenpunt van M, wor-
den teruggebracht. —

In het vorige is steeds ondersteld dat de geïnfluenceerde
geleider met den grond was verbonden; er blijft ons over aan
te wijzen hoe de formulen moeten gewijzigd worden als de
geleider is geisoleerd. — Reeds bleek het, (3^e Hoofdstuk § 1)
dat alsdan het met de induceerende massa gelijknamige gedeelte
der gescheiden neutrale vloeistof benevens de massa die vóór de
induktie aan den geleider mocht zijn medegedeeld zich als even-
wichtsladingen over den geleider zullen verspreiden ; terwijl de
gebondene hoeveelheid geheel den stand zal aannemen, die voor
het geval van afleiding ontwikkeld is. ^x> — De geheele dicht-

1) Sommige elementaire proeren b.v. bet laden van den elektroskoop
door induktie, worden door deze beschouwing opgehelderd.

heid in een punt des geleiders is dus de som van 2 dichtheden,
waarvan de eene door de hier ontwikkelde theorie der Sphe-
rische beelden, de andere b.v. door de methode der niveau-
oppervlakken kan worden bepaald. Op dezelfde wijze blijkt dat
de gevondene uitwendige potentiaal slechts met die eener even-
wichtslading over S behoeft te worden vermeerderd, ten einde
de uitwendige potentiaal bij eenen geisoleerden conductor te
verkrijgen — de geheele lading van den conductor eindelijk zal
^nul zijn, tenzij hij vóór de induktie van eene was voorzien. —
Het vraagstuk der induktie door een punt of eene vaste elek-
trische massa, is derhalve geheel opgelost als men

van den geleider ten opzichte van een willekeurig punt
der ruimte het beeld kan bepalen;
de evenwichtsverdeeling over dit beeld en tevens
3° dergelijke verdeeling over den geleider kent.
Het eerste punt levert weinige zwarigheden op — aan de
beide anderen daarentegen zijn dezelfde analytische moeilijk-
heden verbonden; — reeds oppervlakken van den 2^eQ graad voe-
ren tot beelden voor welke de evenwichtsverdeeling hoogst
bezwaarlijk te vinden, en grootendeels nog niet onderzocht is.
Overigens onderstellende, dat het aangevoerde voldoende was,
de theoretische beginselen op te helderen, meenen wij onze
beschouwingen over de induktie door vaste punten of massa\'s
hier te mogen eindigen.

VIJFDE HOOFDSTUK.

ONDERLINGE INFLUENTIE VAN GELEIDERS.

§ 1.

Wij hebben in het 2^e en 3^e hoofdstuk aangewezen , hoe de
verdeeling bij induktie door bepaalde op gegevene wijze ge-
plaatste elektriciteitsmassa\'s, door de theorie der beelden lot
de evenwichtsverdeeling wordt teruggebracht, en verder in het
4^e hoofdstuk de methode door voorbeelden opgehelderd. Er
blijft ons dus over het geval te onderzoeken, dat geleiders,
vooraf van elektrische ladingen voorzien, onder eikaars invloed
worden gebracht. Wij zullen trachten aan te toonen, dat bij
deze aanname de verdeeling onmiddellijk uit het vorige volgt ,
en hare bepaling dus mede onder het bereik der bedoelde
methode valt.

Verschillende geleerden hebben zich met dit probleem bezig-
gehouden, voornamelijk uitgaande van de algemeene formulen
voor de attraktie door La Place in zijne »Mécanique Geleste"

ontwikkeld; intusschen is men meestal gebleven bij het geval
dat beide conduktoren bollen zijn. Zoo heeft Poisson in eene
verhandeling voorkomende in »Mémoires de la classe des Sciences
mathématiques et physiques de Vinstitut de France" 4811, de
oplossing in dit geval afgeleid uit een onderzoek aangaande de
dikte der homogene elektrische lagen, die de bollen moeten
bedekken, opdat de werking binnen ieder van die lagen =nul zij.
Zijne tabellen, door Plana herzien, hebben gediend om de theorie
aan de waarnemingen van Goulomb te toetsen. Neuman heeft
later, naar aanleiding van zijn onderzoek der temperaturen in
eene ruimte door twee boloppervlakken begrensd, de kwestie
der elektrische verdeeling bij induktie over dergelijke oppervlak-
en, uit de hoofdeigenschappen der potentiaal afgeleid. Eene
belangrijke schrede voorwaarts werd gedaan door Murphy, waar
bij in zijn geschrift »Elementary principles etc. On electricity
part I", pag. 93, eene stelling geeft, die de zaak merkbaar
vereenvoudigt en de toepassing van de methode der beelden
hier mogelijk maakt; het voordeel daarvan blijkt reeds dadelijk
uit de beknopte en eenvoudige wijze, waarop hij tot de oplos-
sing van de onderlinge influentie van 2 bollen ger.akt De
stelling van Murphy werd door Lipschitz in zijne verhandeling
(bd. LXI, Journal v. Crelle) tot een willekeurig aantal conduc-
toren uitgebreid. Wij zullen ons hier tot eene korte uiteenzet-
ting van de bedoelde stelling en hare gevolgen moeten beperken
en ons van toepassingen onthouden: — de meest vereenvoudi-
gende onderstelling toch dat de conductoren bollen zijn, voert
reeds tot berekeningen, wier vermelding meer ruimte en tijd
zoude vorderen dan wij ter onzer beschikking hebben; — ook is
dit geval door Grinwis (t. a. p. pag. 172—223) duidelijk en
uitvoerig in bijzonderheden behandeld.

Het beginsel van Murphy kan aldus worden geformuleerd:

Wanneer twee conduktoren A en B, ieder van zekere lading
voorzien, op elkander influenceeren, en de eindpotentiaal op de
eerste C, op de tweede D is, onderstelle men dat zij aanvan-
kelijk afzonderlijk tot deze potentialen geladen zijn; — dat daarna
de evenwichtslading van A infïuenceertop B en daarop eene lading
bindt, die weder op hare beurt op A eene lading te voorschijn
roept, enz., dat op dezelfde wijze de evenwichtslading van B,
over A eene lading induceert, die weder op B terugwerkt, enz.—
m. a. w. dat de induktie »per saltuin" plaats heeft — de super-
positie van de aldus voor ieder der conduktoren verkregen
ladingen zal dan ten slotte de ware verdeeling bij induktie
voorstellen

Deze stelling kan worden bewezen als volgt:
Laat de oorspronkelijke evenwichtslading over A zijn

met de potentiaal
deze induceere over B de lading — Q_b t> » » — F_h
deze laatste binde op A » » » » » V\\

deze weder op B d » — Q\'_b » » » — V\\

enz.

de achtereenvolgende ladingen over Azijn nu: Q_a, Q\'_a, Q"_a, enz. \\

met de potentialen F_a, F\'_a, P_a,enz. f

i ^a

die over B — Qb, — Q\'i, — Q\\, enz. I

met de potentialen — F_b, —-V\\, — V\\, enz. }
terwijl volgens de onderstelling F_a in een punt van A de con-
stante waarde C aanneemt.

Laat verder de oorspronkelijke evenwichtslading over B zijn

R_h met de potentiaal U_h
deze induceere over A de lading — i?_a » » » — £/_a
deze induc. weder over B » » R\'_h » » » U\'_h

deze weder over A » ® —R„ » » i — \\J\\

enz.

Zoodat dientengevolge de achtereenvolgende ladingen over A de
waarden verkrijgen — R*, — R\',, — R\\, enz. ^v

met de potentialen — V_&, — U"_a, enz.

en de ladingen over B zijn R_b, , -R\'V> enz.

met de potentialen U_b, U\'i7"_b, enz.

terwijl volgens de onderstelling U_b in een punt van B de con-
stante waarde D verkrijgt,
De geheele hoeveelheid is dus

°P * V, enz. - R, ~ R\'* ~ R\\ - enz. j ^

op B Q\'_b — q\\ — enz. R* R\\, R\\ enz. )

^en de totale potentiaal van het stelsel in een uitwendig punt is

⁷ «= F_b F_b enz. U_b-U_ir>_rL\\-l\\ em. .(2)

Deze uitdrukking zal nu de werkelijke potentiaal der elektrici-
teit* verdeeling bij wederkeerige induktie der 2 geleiders voor-
stellen, als zij voor een punt van A gelijk aan C en voor een
punt van B gelijk aan D wordt, immers zal in dat geval alle
elektriciteit over het stelsel in evenwicht zijn, en ook bij inductie
is dit slechts op ééne wijze mogelijk. Om de waarde van (2)
voor een punt van A te vinden, schrijven wij voor die vergelijking

V~ F_a—(f\\~ r_&)~( F\'_b— F"_a)— enz. (U_b- t7_a) ( enz.

Nu geldt de stelling dat de som der potentialen van eene
induceerende en eene geinduceerde elektriciteitsmassa in een
punt van het geinduceerde oppervlak =0 is. Dientengevolge
verdwijnt ieder tusschen haakjes geplaatst verschil en wij vinden

F_u = F_a of volgens de onderstelling = C.

Op dezelfde wijze wordt (2) voor een punt van B

enz. U-(U_a-U_b)-~(U\'-ü\\)- enz.

en daar hier weder de tusschen haakjes geplaatste verschillen
nul worden komt er

U_h of volgens de onderstelling r- D

Do uitdrukking (2) is derhalve de totale potentiaal van het
stelsel — en dus stellen ook de waarden (1) de ladingen over
de twee conductoren voor.

Het komt er dus op aan de dichtheden en uitwendige poten-
tialen van de ladingen (1) te bepalen en dit kan nu door
middel der Spherische beelden worden teruggebracht, tot het
onderzoek van evenwichtsladingen over de conductoren en hunne
beelden ten opzichte van willekeurige punten.

Stellen wij ons bijv. ten doel de reeks («) der ladingen en
potentialen te vinden. De dichtheid o_a en de uitwendige potentiaal
F_a van de evenwichtslading Q_a over A als bekend aannemende,
beschouwen wij een willekeurig massa-element dezer lading
als vast induceerend punt, en zoeken de dichtheid en uitwen-
dige potentiaal der lading, door dit punt over den 2^en conductor
B geinduceerd. Daartoe is, blijkens het voorgaande slechts
noodig, dat men de evenwichtsverdeeling over het beeld B, van
B ten opzichte van een willekeurig punt, kenne. De uitdruk-
kingen voor de dichtheid en de uitwendige potentiaal gevonden,
zijn nu noodzakelijk functiën van de coördinaten van het als
induceerend beschouwde punt, ea moeten nu ten opzichte van
deze worden geïntegreerd over het geheele oppervlak A, d.w.z.
binnen de grenzen, door de vergelijking van dat oppervlak aan-
gewezen. De integralen zullen de dichtheid — en de uit-
wendige potentiaal — T\\ der geinduceerde lading — Q_b van B
voorstellen. Yan deze lading wordt nu weder een element — Q_bds_b
als induceerend punt aangenomen, en geheel langs den
zooeven bewandelden weg komt men nu, van de werking van

dit enkele element uitgaande, tot de dichtheid en de uitwen-
dige potentiaal F; der geheele lading die over A door de
geheele lading — Q_b wordt te voorschijn geroepen. Op dezelfde
wijze kan men nu van een element Q\'Js_a uitgaan om — q\\ en
te vinden, en aldus voortgaande achtereenvolgens al de
termen der reeks («) bepalen, terwijl men klaarblijkelijk slechts
^van de lading B_b van B behoeft uit te gaan, om evenzoo de
waarden (p) te verkrijgen.

De ontwikkeling, die wij hier gaven is niets dan eene her-
haalde toepassing van de methode op pag. 40 (3e Hoofdstuk
§ 4) uiteengezet, en op pag. 60 (4« Hoofdstuk § 7) nader be-
sproken. De vraag is alzoo teruggebracht tot het vinden der
evenwichtsverdeeling over de beide conductoren
^en hunne beelden ten opzichte van een willekeurig punt. Heeft
deze meestal reeds bezwaar, ook de uiltevoeren integratiën en ten
slotte de summatiën der reeksen (1) en (2) maken de opgave, on-
danks alle vereenvoudiging, tot eene zeer ingewikkelde. Wij zullen
dan ook dienaangaande niet in verdere bespiegelingen treden.

De convergentie der reeksen (1) kan met behulp der for-
mule (6) pag. 39 gemakkelijk worden aangetoond. Q_h zal
^nl- kleiner zijn dan de lading, die over B geïnduceerd
zoude worden als Q_a ware opgehoopt in het punt P van
^A dat \'t dichtst bij B is gelegen — maar, die lading M

v r t

noemende, heeft men volgens (6) M = — -=- waar K_u en

^r potentialen eener evenwichtslading over B resp. in P en in
een punt van B voorstellen. Het quotiënt y is dus kleiner dan

i 1

¹ — stellen wii het = — dan komt

m

De lading Q\'_a, die q_h over a induceert, zal weder kleiner zijn
dan ze zou worden als q_b geheel was opgehoopt in het punt p¹
van b dat het naast bij a is gelegen. Noemt men de lading
in dat geval N, dan heeft men weder

v

N— — -=- Qb

V

waar f_u en v potentialen eener evenwichtslading over a, resp. in

K

p\\ en een punt van a voorstellen. Derhalve is ~ weder < 1

r

i

en kan =— gesteld worden, men vindt dan

n

— ......(?)

11 — mn

Op dezelfde wijze volgt

1 4

Q"a<-Q\'a<7—......(r)

mn (mn)²

en ten slotte als wij de som Q_a Q\'_a enz. 5 noemen

s < & (l — (—) enz.)
^ mn ^mn\' /

mn ,
of s<q;-t • .......(5)

^ mn — 4

waaruit blijkt dat s naar eene bepaalde grootheid convergeert; —
van ieder der reeksen in (4) voorkomende, kan op grond eener
zelfde redenering, hetzelfde worden beweerd.

§ 2.

Lipschitz heeft eene methode gegeven, om ook bij een
willekeurig aantal n geleiders, de evenwichtsverdeeling bij

wederkeerige influentie door middel van het theorema van Murpby
ie vinden (zie verhandel. Journal v. Crelle.)

a. Hij verdeelt daartoe het geheele systeem in 2 deelen; het
eene deel bestaat slechts uit een enkelen conduktor, het andere
bevat de (n — i) overigen. Op ieder der geleiders wordt nu
eene evenwichtslading gedacht tot de gegevene constante poten-
tiaal , die na de influentie plaatsgrijpt, en er wordt aangenomen
dat al de geleiders van het 2^e deel te zamen op den enkelen
afgezonderden influenceeren. Van dezen wordt alzoo de geheele
lading en potentiaal gevonden, zoodat ten opzichte van hem
bet probleem is opgelost.

Van de (n — 1) overigen, allen voorzien met de ladingen,
die onder a voor hen gevonden zijn, zondert men nu weder
een enkelen af en beschouwt zijne inductie tegenover de (n —2)
overblijvenden: daardoor verkrijgt men de geheele lading en
potentiaal van den 2^en afgezonderden, enz.

^c- Het valt in het oog dat men ook den omgekeerden weg
kan gaan, en kan aanvangen met een willekeurig 2-tal der ge-
leiders op zichzelve te beschouwen , geheel op de wijze, zooals
dit in de vorige § is uiteengezet: — deze beide, ieder voorzien
^van de aldus gevonden lading, worden nu onderzocht in hunne
influenceerende werking tegenover een 3^en, die vooraf geladen
is tot de constante potentiaal, na de influentie over hem waar-
genomen. Alzoo worden nieuwe ladingen voor ieder der 3 con-
ductoren gevonden, die men nu weêr gezamentlijk laat influen-
ceeren op een 4^en, nadat deze geladen is tot de daarover gegeven
evenwichtspotentiaal, enz.

d- Bij vermeerdering van het aantal geleiders neemt de
omvang der bewerking zeer snel toe. Overzien wij die bijv.
wanneer er 3 conduktoren zijn, die wij door 4, B en C aan-
duiden.

Bij de onderlinge influentie van A en B, wordt de dichtheid
der lading van ieder dezer conduktoren door 2 reeksen uitge-
drukt (zie form. (1) vorige §), wier termen bepaalde integra-
len zijn.

Is de dichtheid der oorspronkelijke evenwichtslading van A
bijv. « en die van J5, |3, dan verkrijgt men voor de einddicht-
heid in een punt van A de waarde

»,= «. a\'. • • a". 4-enz. — |3_a — |3\'_a— (3"_a— enz. . . (3)
en voor die in een punt van B

p_b =z — «_b — a\'_h — cc" _b — enz. (?_b -t-f\'_b (3"_b enz. . (4)

Na de summatien zal n_a van de coördinaten van het be-
schouwde punt van A, en ^ van die van een punt van B
afhangen, terwijl het verder nauwelijks vermelding behoeft, dat
de termen van (3) alle bepaalde integralen over B, die van
(4) bepaalde integralen over A zijn, behalve «_a en /?_b die dicht-
heden van evenwichlsladingen voorstellen.

Neemt men nu den 3^e" conduktor C mede in de beschou-
wing op, dan zullen de evenwichtslading van dezen, en de
zooeven gevonden lading van A op elkander infïuenceeren; op
hen zullen zich nieuwe ladingen vormen, ieder door 2 reeksen
bepaald; — op dezelfde wijze B tegen over C stellende, vindt
men nog 2 reeksen voor de komende ladingen van ieder
van deze.

Noemen wij bijv. de dichtheid der evenwichtslading over C,
y dan komt voor de einddichtheid in een punt van A

— 7r_a jr\'a - - n\\ -f- enz. — y_& — y\\ — y\\ — enz.
voor die in een punt van B

D_b — 4- p\'_b -f- p"_b enz. — y_b — y\\ — y\\ — enz.

en eindelijk voor een punt van C

A = — 7r_c — 7i\'_c — enz. — fi_e— ft\'o — enz. y_e y₀ y" . ^enz-

in welke laatste uitdrukking /\'_c r"₀ enz. de som van 2
reeksen voorstelt, waarvan de eene door de reeks der /_a, de
andere door die der /„ wordt opgewekt.

Ten slotte is het duidelijk dat de totale potentiaal 8 summa-
tiën vordert, daar ieder der reeksen van ü_a, D_b en D_e tot eene
reeks van potentialen aanleiding geeft.

BESLUIT.

Aan het einde van het voorliggende proefschrift is het wel-
licht niet ongepast in enkele trekken het doel dat wij ons
voorstelden, te schetsen en na te gaan in hoeverre dit werd
bereikt. Wij zuilen in dit opzicht kort moeten zijn — trouwens
van deze eerste proeve zal wel niemand veel resultaten ver-
wachten.

De theorie der elektro-statika bestaat uit 3 hoofddeelen: ten
eerste onderzoekt zij het algemeene vraagstuk der evenwichts-
verdeeling over een oppervlak —- in de tweede plaats beschouwt
zij de verdeeling bij influentie om ten derde met de theorie
der elektrische ontlading te besluiten.

Voor zooverre het eerste gedeelte betreft mag men veilig bewe-
ren dat zij reeds het karakter van eenheid heeft aangenomen,
dat haar als toepassing der wiskunde voegt. Het begrip der po-
tentiaal-functie vooropstellende, ontwikkelt zij de oplossing van
het vraagstuk geheel uit het bekende theorema van Green, dat als
gevolg tot de methode der niveau-oppervlakken voert. Alzoo

loopt door dat deel een enkele draad, dien men van de een-
voudige hypothese der 2 vloeistoffen tot aan het einde kan
volgen, en, al mag vaneen eenigzins volledig leerboek gevorderd
worden, dat het ook een overzicht geven van andere methoden,
die vaak in bijzondere gevallen vruchtbaar bleken te zijn, dit
overzicht zal zoodanig kunnen worden toegevoegd dat het den
logischen gang der redenering niet verstoort.

Van de theorie der elektrische ontlading kan in hoofdzaak
hetzelfde gezegd worden, sedert Helmholtz (»Erhaltung der
Kr aft" 4847) het beginsel der levendige krachten toepassende,
tot de stelling kwam, dat de bij de ontlading verrichte arbeid
door de toeneming der potentiaal op zich zelve wordt gemeten.

Geheel anders, wat de logische eenheid aangaat, is het met
de theorie der infïuentie. Nu eens wordt de kwestie tot
het algemeene karakter der potentiaal teruggevoerd, zooals
bijv. bij de induktie door vaste massa\'s (zie Grinwis t. a. p.
P^ag. 438, en vv. of Beer pag. 48 en vv.)j dan weder bezigt
^men de theorie der kogelfunctiën voor de induktie op een
hol; een andermaal bij de theorie van den condentator, de
stelling van Rieman; eindelijk wordt het beginsel der Spherische
heelden aangewend bij liet algemeene geval van de infïuentie
van een willekeurig aantal geleiders.

Dit laatste beginsel trekt vooral de aandacht; eerslens dewijl
het grondbegrip zoo hoogst eenvoudig , het aantal formu-
ïen zoo klein, en hare ontwikkeling zoo gemakkelijk is; ten
tweede wegens de uitgebreidheid der toepassing: immers zoo
^Wel bij de induktie door één punt als bij de onderlinge infïuentie
^van twee bolvormige geleiders wordt het zonder bezwaar gebezigd ;
maar vooral verdient de strekking te worden opgemerkt: het brengt
nl. het probleem der induktie tot dat der evenwichtsverdeeling
terug en zal dus bij eene consequente toepassing, de beide

eerste deelen der elektro-statika tot een stelselmatig geheel
maken. Het bovenstaande bracht mij op het denkbeeld, om een
onderzoek dienaangaande tot onderwerp voor mijne dissertatie
te kiezen.

De algemeene beschouwingen over induktie die men o. a.
bij Grinwis t. a. p. pag. 90—106 aantreft, meende ik te mogen
achterwegen laten; daarentegen was het noodzakelijk vooraf het
begrip der Spherische beelden en de relatiën tot welke het
aanleiding geeft, zooveel mogelijk in het licht te plaatsen; — en
in bijzonderheden te tredeu voor het geval dat het oorspronke-
lijk oppervlak of het beeld zich in het oneindige uitstrekt.

Eene enkele stelling was daarna (zie 3^e Hoofdstuk) vol-
doende om het ontwikkelde van algemeene toepassing te maken
op het vraagstuk der elektrische induktie door een enkel punt,
en dus ook door vaste massa\'s, terwijl eenige voorbeelden dit
nader moesten ophelderen. Al zijn deze laatste weinig in aantal,
ze zijn toch m. i. genoegzaam om aan te toonen dat de meLhode
der beelden niet onpraktisch is; de hier gegevene behandeling
der infïuentie over een boloppervlak bijv. kan wat de eenvoud
en bondigheid der ontwikkeling, en het volledige der resultaten
betreft, zeker de vergelijking met de oplossing dier opgave
door kogelfunctiën doorstaan. Evenzoo zal de bepaling der
induktie door vasle massa\'s, met behulp der beelden, langs kor-
teren weg worden bereikt dan door de bekende formule

ling over geleiders vollediger bekend zal zijn.

Wat het laatste gedeelte »de onderlinge infïuentie van gelei-
ders" aangaat, moest ik zeer kort zijn, en kon alleen op het
voetspoor van Lipschitz aantoonen, dat de methode der beelden

ⁱⁿ het algemeen tot de oplossing van dit vraagstuk voert.
Gaarne ware ik in nadere bijzonderheden getreden; zoo was het
^mijn voornemen de beeldentheorie toetepassen op den Spherischen
Condensator, en op de verandering der potentiaal in de ruimte
buiten een stelsel van 2 bollen, (naar aanleiding van het opge-
merkte in § 9 van het 1« Hoofdstuk): — maar het beperkte
^Van mijn tijd en de eigenaardige moeielijkheden van het onder-
werp dwongen mij dit plan op te geven. Trouwens het eenige
geval van wederkeerige infïuentie dat theoretisch en praktisch
volledig i_s onderzocht, dat van 2 geleidende bollen, kan hier
^len voorbeeld strekken, daar de oplossing juist door Spherische
beelden is verkregen, (zie Grinwis t. a. p. en Beer »Einleiling
^m die Etektrostatik" u. s. w.)

^T°t mijn leedwezen moest ik ook de algemeene theorie van
^den condensator geheel onvermeld laten, daar het mij niet ge-
^lukt is tusschen deze en de hier ontwikkelde beginselen eenig
verband optesporen, en bovengenoemde redenen mij dwongen
mijn onderzoek te staken.

Evenwel hoe onvolledig mijn werk in dit laatste opzicht zij,
voor zoover de infïuentie door vaste punten en massa\'s betreft
meen ik te mogen besluiten tot de stelling, dat het begin-
sel der beelden het uitgangspunt van de theorie
der elektrische induktie moet zijn.

S TELL X3ST GE 3ST_

I.

Bij de theorie der elektrische induktie moet de methode der
beelden worden vooropgesteld:

4° Omdat zij die theorie tot de leer der evenwichtsverdee-

ling terugbrengt
% Omdat hare toepassing in vele gevallen hoogst een-
voudig is.

II.

Het vraagstuk der evenwichtsverdeeling van elektriciteit over
een oppervlak, verwacht zijne verdere oplossing van de omkee-
ring der methode van Green.

III.

Zeer ten onrechte beweert Dr. Cellaar Spruijt:

De vrij algemeen verspreide meening, dat de studie der

mathesis een der meest werkzame middelen zou zijn ter ont-
wikkeling van den menschelijken geest, is een gevaarlijk dwaal-
begrip. Aan elke inrichting van onderwijs, die zich algemeene
ontwikkeling ten doel stelt, moet de beoefening der mathesis
beschouwd worden als een noodzakelijk kwaad, dat binnen de
engst mogelijke grenzen behoort te worden beperkt.

IV.

Bij het onderwijs in de Mechanika aan eene Hoogere Bur-
gerschool , moet aan de Dynamika eene ondergeschikte plaats
worden gegeven.

V.

Bij het Middelbaar Onderwijs in de natuurkunde moet niet
zoozeer uitgebreide feitenkennis, dan wel een juist inzicht in
het verband der verschijnselen het hoofddoel zijn.

VI.

De oneindig kleinen moeten als limieten worden beschouwd;
daarom is het bijv. onjuist te beweren dat de kromte-cirkel van
eene kromme drie punten met deze gemeen heeft.

VII.

Van de methoden ter benadering der wortels eener hoogere-
machtsvergelijking, is die van Horner de eenige doeltreffende.

VIII.

Het aannemen van een absoluut nulpunt van temperatuur heeft
geen ander nut, dan dat het de formulen eenigzins vereenvoudigt.

IX.

De verdienste van den meter als onveranderlijke op de natuur
gegronde eenheid is ingebeeld; de golflengte van een bepaalden
^l°on in eene bepaalde middenstof ware als zoodanig meer aan-
tebevelen.

X.

De stelling, dat bij het ontslaan van een elektrischen stroom,
de scheiding der elektriciteiten door contact, aan de chemische
werking voorafgaat, is niet in strijd met het beginsel van
het behoud van arbeidsvermogen.

XI.

Het is voor de verklaring van de voortplanting der licht- en warm-
testralen niet noodzakelijk het bestaan van een aelher aantenemen.

XII.

De resultaten door de spektraal-analyse ten opzichte der
zonsatmospheer verkregen, bezitten eene hooge mate van waar-
schijnlijkheid.

Xiil.

Om de afplatting der aarde te verklaren, behoeft men niet
van een oorspronkelijk vloeibaren toestand der aarde uittegaan.

XIV.

De snelheid van de aswenteling der aarde moet tengevolge
van de eb en vloed verminderen.

XV.

Het verschil in de getallen, die men vindt voor de snelheid
van het licht, uitgaande 1° van de waarneming der maansver-
duisteringen op Jupiter en 2° van de aberratie der vaste sterren,
wordt veroorzaakt door het hoogst gebrekkige onzer waarne-
ming bij de l^e methode.

XY1.

De stelling: „de wiskunde is eene hypothetische weten-
schap" is minstens zonderling.

XVII.

Beide methoden, die analytische und die synthetische sind
vereint allein im stände, der Mechanik die schärfe und die
Klarheit zu verleihen, welche heutzutage alle mathematischen
Wissenschaften auszeichnen sollen.

Dr. Wilhelm Schell.

XVIII.

Het verschijnsel dat de soortelijke warmte van vaste lichamen
bij verhooging van temperatuur toeneemt, wordt door de mecha-
nische warmtetheorie voldoende verklaard.

XIX.

Bij de waarneming der inclinatie verdient de aard-induktor van
Weber de voorkeur boven het gewone inclinatorium.

EREATÜ M.

^aQ- 34, j._eg ^g staal: als limieten moet zijn; als naderende tot limieten.