\\

Qi* "S. ■

RIN

MATHEMATICA

Autore J $\'• NEWTON, Trin. Coll. Cantab. Soc. Mathefeos
Profeffore Lncafiano_y & Societatis Regaîis Sodali.

IMPRIMATUR

S. P E P Y S, Keg. Soc. PRISES.
Juiii 5. 1686.

L 0 N D I N I,

Juflu Societatis Regiœ ac Typis Jofephi Streater. Proliant Vena-
Ies apud 6^///. Smith ad inOgnia Principis Walliœ in Cœmiterio
E>. Pauli, aliofq; nonnullos Bibliopoîas. MDCLXXXVIL

Y

tiJj-wi L(ih---:a>-i 1 y tv < r .

ua-r.

ILLUSTRISSIME

SOCIETATI REGALI

a Serenifîimo

A D

P H IL O SO PHI AM PROMO VEN D A M I

EÏÏNDA T M

\\ ET AU SP ICHS

POTENTISSIMI MONARCHIE

JACOBI II

FLO R EN TL
Tradatum hune humillime ZX D. D.

y & N £ w r o K

PRiEFATIO

AD

L E C T O R E M

CVm Vet eres Mechanicam ( uti Author eft Pappus J in rerum Natur al tum
inveftigatione maximi fecerint,& recent iores, mijfis for mis fubftantiali->
bus & qualitatibus occult is, Phenomena Natura ai leges Mathematical rei oca*
re aggreffifint : Vifum eft in hoc Traclatu Mathefin excolere quatenus ea ad
Philo fop lïiam fpeclat. Mechanicam vero duplicem Veteres conftituerunt \\
Rationalem qu4 per Demonftrationes accurate pro:edit, & Prachcam. Ad,
praclicam fpetfant Artes omnes Manudes, a quilus uttq\\; Mechanica nomen mu■»
tuata eft. Cum autem Artifices purum accurate operari foleant_y fit ut Mechanica
omnis 4 Geometria it a diftinguatur, ut quicquid accuratum fit ad Geometriam
refer.-tur_y quicquid minus accuratum ^/Mechanicam. At tarnen error es non
fiint Art is fed Artificum. Qui minus accurate opcratur, imperfect tor eft Me*
ch Aniens, & fi qitis accuratijfimc oper«ri poffet, bicfor et Mechanicti4 omnium per

fecliffimw. Nam & Line arum reBarum & Circulorum defer if tiones in quibm
Geometria fundatur, ad Mechanicam pertinent. Has hm-as defcribere Geo-
metria non docetfedpofiulat. PoftuLt enimut Tyro eafdem accurate deferi"
here prius didicerit quam Urnen at tingat Geometric ; "dein, quomodo
per has ope rationes Problem at a folvantur, docet. Reef as Ó* circulos deferilere
Pro\' km at a funt fed non Ge.-metric a. Ex Mechanica pofiulatur hor um
folutio , in Geometria docetur folutorum ufm. Ac ghriatur Geometria
gucd tam paucis principiis aliunde petit is tam mult a prüftet, Fundatur igitur
Geometria in praxi Mechanica, £r nihil aliud eft quam Mechanica? yniveiTalis
pars ilia qua art em menfurandi accurate proponit ac demonftrat. Cum autem
tes Manuales in corporihm movendis praUpue verfentttr, fit ut Geometria ad
wagnitudinem, Mechanica ad motum vulgo refer at ur, "Que fenfu Mecha- „
nica ration alis er it ScientU Motuum qui exuiribus quibufcunq; refultanff& vl^ ->■>
jfjtm^tttf \'adTmofm quofcunq\\ requiruntur, accurate fropofita ac demonßr at a, Pars ~>i
b<ec Mechanics a V eter thus in Potentiis quinque ad artes manu ale sfpeci mtibu$
excuhdfuit, qui Gravität em ( cum patentia mmttalis non fit } vix dit er qu.tm
in ponderibus per potentias illas movendis confiderarunt, Nos autem non Artibus
fed i\'hUcfophitf confident es jdeqi potentiis non manualibus fed naturalibus fcriben®
tesj en maxime trattamus qu$ ad Gravitatem, levitatm, vim Ejaßicam, rafften*

tmm

Fraefatîo rid Le&orero.

turn Vliuhnim & ejufmodj vires feu attr activas fm imputfivas fpeftant : Et
ca propter hœc nofira tanquam Philojôphiœ principia Mathematica proponimus,
Omnis enim Philofophiœ difficult a* in eo verfari videtuv, ut a Phœnomenis metu-
tim invefiigemus vires Naturœ, deinde ab bis vtribus demonftr emus phenomena,
reliqua. Et bnc fpeciant Propofitioves generales qtias Libro primo & fecundo
pertraefavimus. In Libro autem tertij exemplum hujus ret propofuimus per
explicationem Syfiematis mundani. Ibi enim, ex phanomenis calefiibus, per
Propofitiones in Libri-s p rioribus Mathematics demonfiratas-, dérivantur vires
gravitât is quibus corpora ad Solem & Planetas fmgulos tendunt. Deinde ex his
viribus per Propofitiones etiam Mathematica* deducuntur motus P Une tarum _y
Cometarwm, Lunœ & Maris. Utinam cetera Naturœ phenomena ex principe
ù Mechanicis eodem argumentanài genere derivare lieeret. Nam multa me mo-
vent ut ncnnihil fufpker ea omnia ex viribus quibufdam pendere pojje^quibus cor-
porum p articula per caufas nondum cognitas vel in fe mut no impelluntur & fe-
ctmdum figuras regular es cohœrentfuel ab invicem fugantur & recedunt : quibus
viribus ign.otis_> Philcfophi hactenus Naturam frujlra tentarunt. Spero au-
tem quod vel huic Philofophmdi modo, vel veriori alicuiy Principia hic pofita
lucem aliquam prœbebunt.

In his edendis, Vir âcutijjimuâ & in omni liter arum genere eruditif/îmus
Edmundus Halleius operam navavit, nec folum Typothetarum Sphalmata cor-
y exit & Schemata incidi curavit, fed etiam Author fuit ut horum editionem ag-
grederer. Quippe cum demonftr atum a me figurant Orbium cœleftium impetra-
verat, rogare non défi it it ut eadem cum Societate Regali communicarem, Qua
deinde hortatibus & benignis fuis aufpiciis effecit ut de eadem in lucem emitîen-
da cogitare inciperem. At pofiquam Motuum Lmarium inœqualitates aggrejfus
effem, deinde etiam alia tent are cœpfjem qu«e ad leges & men fur as Gravitatis Ô*
aliarum virium, ad figuras a corporious fecundum datas quafeunque leges attraiffis
deferibendas, ad motus corporum plttrium inter fe, ad motus corporum in Med.iis
refifientibus, ad vires, den fit at es & motus Mediorum, ad Orbes Comet arum &
fimilia fpetfant, editionem in aliud tempus dijferendam effe putavi, ut cœtera ri-
marer CT una. m publicum dar em. Quœ ad motus Lunar es fpectant^ ( imperfec-
ta cum fint, ) inCorollariisPropcfitionü LX VI. fimul comptexus fum, ne fin-
gula methodo prolixiore quam pro rei dignitate froponere_y & figillatim demon-
fir are tenerer, & feriem reliquarum Propofitionum interrumpere. Nonnulla fero
inventa locis minm idonèis infer ere malui, quam numerum Propofitionum & cita-
tions s mut are. Ut omnia candide legantur, & defeclus, in materia tam difficili
non tam reprehendantur_yqua?n novis Lectorum conatibus invefiigentur_>& bénigne
fuppleantur, enixe rogo..

I N

I N

VIRI pr^stantissimi

D XSAACI NEWTONI

OPUS HOCCE

mathematicckphysicum

Sacttli Geniifyue noflra Deats egregium,.

EN tibi norma Poli, & divae Bbramina Molls,

Computus atque Jovis j quas₅ dum primordia re rum

Pangeret, omni parens Leges viola re Creator

Noluitj seternique opens fundamina fixit.
Intima pandunttxr vi$i penetralia cadi,
Nec latet extremes quae Vis circumrotat Orbes,
Sol folio refidens ad fe jubet omnia prono
Tendere defcenfu, nec redo tramite currus
Sidereos patitur vaftum per inane moveri,
Bed rapit immptis, fe centro, fingula Gyris-
Jam patet tiorrificis quae fit via flexa Cometis;
Jam non miramur barbati Phenomena Aftri.
Difcimus hinc tandem qua eaufa argentea Phoebe
Paffibus baud acquis graditur j cur fubdita nulli
Haitenus Aftronomo numerorum fana recufet;
Cur remeant Nodi, curque Auges progrediuntur.
Difcimus & quantis refluum vaga Cynthia Pontum
Viribus impellit₅ dum fradis fludibus Ulvam

Defeat

Deferit, ac Nantis fufpe&as nudat arenas ;
Aîternis vicibus fuprema ad littora pulfans.
duse toties animos vcterum torfere Sophorum,
Quaeque Scholas fruftra rauco certamine vexant
Obvia confpicimus nubem pellente MathelL
jam dubios nulla caligine praegravat error
Queis Superum penetrare domos atque ardua Cϔi
Sçandere fublimis Genii concefllt acumen.

Surgi te Mortales, terrenas inittite curas
Atque hinc cœligenae vires dignofcite Mentis
A pecudum vita longe lateque remote.
Qui fcriptis juffît Tabulis compefcere Caedes
Furta & Adulteria,&: perjurae crimina Fraudis;
Quive vagis populis circumdare mœnibus Urbes
Autorerat; Cererifve beavit munere gentes j
Vel qui curarum lenimen prefiït ab Uvaj
Vel qui⁷ Niliaca monftravit arundine pi&os
Confociare fonos, oculifque exponere Voces ;
Humanam fortem minus exmJic ; utpote pauca
Refpiciens miferse folummodo commoda vita?.
Jam vero Superis convive admittimiir, alti
Jura poli tra&are licet, jamqiie abdita cœcx
Clauftra patent Terr«, rerumqaeimrnobilis ordo.
Et quae praeterici latuerunt fecula mundi.

Ta lia monflrantem mecum celebrate Csmamis,
Vos qui cœlefti gaudetis neâare vefci,
N E WTO NV M claufî referantem fcrinia Veri,
N E W TO NZ? M Mufis charum, cui peftore puro
Phœbus a deft, totoque incefiît Numine men tern.*
Nee fas eft propius Mortali attingere Divos.

EDM. MALLET:

PHILO-

C » 3

PHILOSOPHISE

NATURALIS

Principia

MATHEMATICAL

Definitionen.

Def. L

Quantitas Materia eft menfmra ejufdem örta ex illius Denfitate &

Magnitudine conjun&imS

A Er duplo denfior in duplo fpatio quadruplus eft. Idem
intellige de Nive et Pill veribiis per compreffionem vel liqUC-
faflionem condenfatis. Et par eft ratio corporum omnium, quai
per caufas quafcunq; diverfimode condenfantur. Medii interea,
ft quod fuerit, interftitia partium libcre pervadentis, hie nullamra-
tionem habeo. Hanc autem quantitatem Tub nomine corporis vcl
Maflaeln fequentibus paffim intelligo. Innotefcit ea per corporis cu-
jufqj pondus. Nam ponderi proportionalem efle reperi per expe-
nmenta pendulorum accuratiffime inftituta , uti pofthac docebi-
tun

B Def.

yc^\'^t^ JDefè |ï,

a-^i.-tT if. Zm^T&W

\' u.U.. I. ₍ % _r .

Quantität motus efl menfuraejufdem ort a ex Velocitate et guantitate
k^un^. Materia conmnSïiin*

^^ -m. ]yj_otlls totius efl fumma motuuminpartibusfingulis, adeoq; in
„ . a .corpore duplo majore œquali cum Velocitate du plus eft, et du-
⁷ ^ pla cum Velocitate quadruplus.

Def. - KL

Materia vis in fit a efl potentia refiflendi, corpus unumquodq;,

«2 /e e/ï, perfeverat in flatu fuo vel quiefcendi vel movendï
nniformiter in dire&um,

Hsec Temper proportionales eft fuo corporî, neq; difFert quic-
quam ab inertia Mafia?, nifi in modo concipiendi. Per inertiam
materiae fit ut corpus omne de ftatu fuo vel quiefcendi vel moven-
di difficulter deturbetur. Unde etiam vis infita nomine fîgnifican-
₀ tiffimo vis inertie dici polfit. Exercet vero corpus hancvim folum-
* modo in mutatione flatus fui per vim*aliam in fe impreflàm fafla.,
eftqj exercitium ejus fub diverfo refpe&u etReliftentia et Impetus
Renftêntjâ^quatenus corpus ad confervandümltatüm fuumTeîuH-
-^^^j^^àtur vi imprefTae Impetus quatenus corpus idem, vi refiftentis ob-
. ftaculi difficulter cedendo,conatur ftatum ejus mutare. Vulgus Re~
ilftentiam quiefcentibus et Impetum moventibus tribuit ; fed mo-
tus et quies, utivulgo concipiuntur, refpeâ u folo diftinguuntur ab
invicem, neq; femper vere quiefcunt quae vulgo tanquam quiefcen«
lia fpe&antur» \'

Def. IV.

Vis impreffa efl aBio in corpus exercita, ad mutandum ejus flatum
vel quiefcendi vel movendi uniformiter in direSium-

Confiftit haec vis in a&ionefola, neq; poft actionem permanetr
in corpore, Perfeverat enim corpus in ftatu omni novo per folam

C 3 3

vim inertias. Eft autem vis impreffa diverfaram originutn, ut ex
i&u, ex prefïlone, ex vi centripeta.

Def. V.

Vis centripeta eft qua corpus verfus pimSlum aliquod tanquam ad cen«
trnm trahitur, impeUitur, vel utcunq ; tendit.

Hujus generis eft gravitas,qua corpus tendit ad centrum Terra? :
Vis magnetica, qua ferrum petit centrum Magnetis, et vis ilia, ^
quœcunq; fît, qua Planetae perpetuo retrahuntur a motibus re£H-
lineis, et in lineis curvis revolvi coguntur. Eft autem vis centripetx
quantkas trium generum, abfoluta, acceleratrixetmotrix.

Def. VI.

Vis centripeta quantitas abfoluta eft menfura ejufdem major vel minor
pro efficacia caufie earn propagantis acentro per regiones in circuits

tlti virtus Magnetica major in uno magnete, minor in alio,

Def. VII,

Vis centripetde quant it as acceleratrix eft ipftus menfuraVelecitati pre*

portionaliSy quam dato tempore générât» ^T- ^

Uti Virtus Magnetis ejufdem major in minori Diftantia, minor
in majon : vel vis gravitans major m Vallibus₅minor m cacumimbus
praeakorum montium ( ut experiment© penduîorum conftat) atqj (Jï^ujt\'w^:)
adhuc minor(ut pofthac patebit) in majoribus diftantiis a Terra;
aequalibus autem diftantiis eadem undiq; propterea quod corpora ^^rtSSS
omnia cadentia (gravia an levia, magna an parva ) fublata Aeris ^ "f^—r*^
refiftentia, sequaliter accelerat.

Def. VIII.

c

Vis centripetde quantitas motrixeft ipfius wen fur a proport ionalis mo™ m.

tui, quem dato tempore générât. JÇi

Uti pondus majus in majori corpore, minus in minore, inq; cor- ^JL

a,-\' \' A ^ ² \' / / - P^ore

c^u v AU. II. n^^^-n^s ^^fi^d-W

{lU^US, ^Uy^i ; ^ S/. ^ U^u, y^vrvtù^ . Vl, fiL^C^i .
VU, -, Yjn, ^pjy^si^ ^ St^J^. 1%, ^ ^ f^rr^i

S* : . c 4 3.

fore eodem majus prope terrain, minus in caelis. Haec vis eft cor
poris totius centripetcntia feu propenfio in centrum & ( ut ita dî-
cam ) pondus, & innotefcit Temper per vim ipfi contrariam & ae-
qualem, qua dcfccnfus corporis impediri poteft.

Hafce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires
abtolutas,acceleratrices & motrices,& diftincHonis gratia referre ad
corpora,ad corporum loca,&ad centrum virium:Nimirum vim motri-
cem ad corpus,tanquam conatum ckpropenfionem totius in centrum,
ex propenfionibus omnium partium compofitum j & vim accéléra tri-
eemadlocumcorporis^ tanquamefficaciamquandam,decentro per
loca fingula in circuitu diffufam, ad movenda corpora quae in ipfis
funt j vim autein abfolutam ad centrum, tanquam caufa aîiqua
praeditum, fine qua vires motrices non propagantur per regiones in
circuitu j five caufa ilia fit corpus aliquod centrale ( quale eft Mag-
nes in centro vis Magnetic« vel Terra in centro vis gravita ntisj)fîve
alia aliqua quae non apparet. Mathematicus faltem eft hic concep-
ts. Nam virium caufas 8c fedes phyficas jam non expendo.

Eftïgiturvisacceleratrixad vim motricem ut ceïeritas ad mo-
tiiiiL Oritur enim quantitas motus ex celeritate du&a in quanti-
ïatem Materiae, & vis motrix ex vi acceleratrice duéia in quanti-
tatem ejufdem materiae. Nam fumma a£Fionum vis acceleratricis in
fingulas corporis particulas eft vis motrix totius. Undejuxta
Superficiem Terrœ, ubi gravitas aoceleratrix feu vis gravitans in
eorporibus uîliverfis eadem eft, gravitas motrix feu pondus eft ut
corpus : at fi în regiones afcendaturübi gravitas acceleratrîx fit mi-
nor, pondus pariter minuetur, eritq^ femper ut corpus in gravita-
tem acceleratricem du&um. Sic in regionibus ubi gravitas accele-
ratrîx duplo minor eft, pondus corporis duplo vel triplo minor is
erit quadruplovel fextuplo minus.

Porro attra&iones et impulfus eodem fenfu accélératrices 8c
motrices nomino. Voces autem attraóüonis, impulfus vel propen-
fionïs cujufcunq^in centrum,indifterenter et pro femutuo promifcue
has vires non phyficc fed Mathematice tantum confide-

m .

ran do, linde caveat le&or ne per hujufmodi voces cogitet me
ïpeciem veî modtim aâionis caufamveaut rationem phyficam ali-
cubi definire , veî centris ( quae funt pun£ta Mathematica ) vires
vere et phyfice tribuere, fi forte aut centra trahere, aut vires cen-
trorum cßb dixero.

Scholium.

Ha&enus voces minus notas, quo in fenfii in fequentibus ac-
eipiendae funt, explicare vifum eft. Nam tempus, îpatium, lo-
cum et motum ut omnibus notiillma non definio. Dicam tamen
quod vulgus quantitates hafce non aliter quam ex relatione ad
fenfîbilia concipit. Et inde oriuntur praejudicia quaedam, quibus
tollendis convenit eafdem in abfolutas & relativas, veras & appa-
rentes, Mathematica s et vulgares diftingui.

I. Tempus abfolutum verum & Mathematicum, in fe & natura

fila abfq; relatione ad externum quodvis, sequabilitcr fluit, alioq;

nomine dicitur Duratio -, relativum apparens 8c vulgare eft fenfi-
bilis & externa quaevis Durationis per motum menfura, (feuac-,
curata feu inaequabilisj) qua vulgus vice veri temporis utitur 3 ut
Hora, Dies, Menfis, Annus»

II. Spatium abfolutum natura fua abfqy relatione ad externum
quodvis femper manet fimilare & immobile ; relativum eft ipatii
hu jus menfurafeu dimenfio quolibet mobilis_?quae a fenfibus noftris
per fitum fuum ad corpora defïnitUF, & a YulgO pi O fpatIO im-
mobili ufurpatur : iiti dimenfio fpatià fubterranei, aerei vel ex-
îeftis definita per fitum fuum ad Terrain. Idem funt fpatium ab-
folutum & relativum, fpecie 8c magnitudine, fed non permanent
îdem femper numero. Nam fi Terra, verbi gratia, movetur₃
fpatium Aeris noftri quod relative & refpe$ii Terrae femper ma-
llet idem, nunc erit una pars fpatii abfoluti in quam Aer tranfit^
nunc alia pars ejus, & fie abfolute mutabitur perpetuo,

IIL Locus eft pars fpatii quam corpus occupât ₃ eftq; pro ra-

fiöne

.CO

done fpatii vel abfolutus vél relativus. Partem dico fpatii, non
fitum corporis vel fuperficiem ambientem. Nam folidorum sequa-
lium aequales Temper funt loci; Superficies autem ob difllmilitudinem
figurarum ut plurimum inaequales funt; fitus vero proprie loquen-
do quantitatem non habent, neq; tam funt loca quam affe&iones
locorum. Motus totius idem eft cum fumma motuum partium,
hoc eft, tranflatio totius dc ipfius loco eadem cum fumma tranfla-
tionum partium de locis fuis, adeoqj locus totius idem cum fumma
locorum partium, & propterea internus & in corpore toto.

IV. Motus abfolutus eft tranflatio corporis de loco abfoluto in
locum abfolutum, relativus de relative in relativum. Sic in Nävi
quae velis paflis fertur, relativus corporis locus eft navis regio ilia
in qua corpus verfatur, feu cavitatis totius pars ilia quam corpus
implet, quaeq; adeo movetur una cum Nävi: & Qyies relativa eft
permanfio corporis in eadem ilia navis regione vel parte cavita-
tis. At Quies vera eft permanfio corporis in eadem parte fpatii
illius immoti in qua Navis ipfa una cum cavitate fua & contentis
univerfis movetur. Unde fi Terra vere quiefcit, corpus quod rela-
tive quiefcit in Nävi, movebitur vere et abfolute ea cum Velocitate
qua Navis movetur in Terra. Sin Terra etiam movetur, orietur
verus et abfolutus corporis motus partim ex Terrae motu vero in
fpatio immoto, partim ex Navis motu relativo in Terraet fi cor-
pus etiam movetur relative in Nävi, orietur verus ejus motus par-
tim ex vero motu Terrae in fpatio immoto, partim ex relativis mo-
tibus tum Navis in Terra, tum corporis in Nävi, et ex his motibiis
relativis orietur corporis motus relativus in Terra. lit fi Terrse pars
illaubi Navis verfatur moveatur vere inOrientem, cum Volocitate
partium i oo i o, et velis ventoq; feratur Navis in Occidentem cum
Velocitate partium decern, Nauta autem ambulet in Nävi Ori-
entemverfus cum Velocitatis parte una, movebitur Nauta vere et
abfolute in fpatio immoto cum Velocitatis partibus ioooi in O-
rientem, et relative in Terra Occidentem verfus cum Velocitatis
partibus novem. _

Tempus

r 7 j ■

Tempus abfolutum a relativo diftinguitur in Aftronooiïa per JE*
q-uarionem Tempofis vulgi. Inaequales enim funt dies Naturales,
qui vuJgo tanquam äquales pro Menfura Temporis habentur, Hanc
insequalitatem corrigunt Aftronomi ut ex veriore Tempore menfu-
rent motus caeleftes. Poiïibile eft ut nullus fit motus variabilis quo
Tempus accurate menfuretur. Accelerari &rretardari poflimt motus
omnes, (cd fluxiis Temporis abfoluti mutari nequit. Eadem eft du-
ratio feu perfeverantia exiftentiae rerum, five motus fint celeres, five
tardi, five nulli} proinde hsec a menfuris fuis fenfibilibus merito
diftinguitur, & ex ijfdem colligitur per iEquationem Aftronomi-
cam. Hujus autem aequationis in determinandis Phaenomenis ne-
ceffitas, tum per experimentum Horologii ofcillatorii, tum etiam
per Eclipfes ^atellitum Jovis evincitur.

Ut partium Temporis ordo eft immutabilis, fic etiam ordo par-
tium Spatii. Moveantur hx de locis fuis, Sc movebuntur ( ut ita
dicam) defeipfis. Nam Tempora & Spatia funt fuiipforum Sc
rerum omnium quafi loca. In Tempore quoad ordinem fuccefll-
onis j in Spatio quoad ordinemfitus locantur univerfa. De illo-
rum ElTentia eft ut (int loca, Sc loca primaria moveri abfurdum
eft. Haec funt igitur abfoluta loca, Sc folae tranflationes de his lo-
cis funt abfoluti motus.

Verum quoniam hx fpatïi partes viderï nequeunt, Sc ab invi-
eern per fenfus noftros diftingui, earum vice adhibemus menfuras >
fenfibiles. Ex pofitionibus enim Sc diftantiis rerexn a corpore ali-
quo, quod {pedamus ut immobile, definimus loca Univerfa, deinde
etiam Sc omnes motus seftimamus cum refpe&u ad-praediéta. loca,
quatenus corpora ab iifdem transferii concipimus. Sic vice loco- -
rum Sc motu um abfolutorum relatives utimur, nee incommode in
rebus humanis: in Philofophicis autem abftrahendum eft a fenfibus« ,
Fieri etenim poteft ut nullum revera quiefcat corpus, ad quod loca i
siotufq^ refèrantiir.

DiftingLiuntur autem Quies Sc Motus abfoluti & relativi ab invi- - ^^
cem per eorum proprietates, caufas Sc cffedus, Qiiietis proprietas s

A. -

■ C 8 J

eft, quod corpora vere quiefcentia quîefcunt inter fe. Ideoq,
cum poglbile fit ut corpus aliquod in regionibus fixarum, aut longe
ultra, jjuiefcat abfolute *, fciri autem non pofîlt ex fitu corporum
ad invicem in regionibus noftris, utrum horum aliquod ad longin-
quum illud datam pofitionem fervet, quies vera ex horum fitu in-
ter fe definiri nequit.

Motus proprietas eft, quod partes quae datas fervant pofitiones
adtota, participant motus eorundem totorum. Nam gyrantium
partes omnes conantur recedere de axe motus, et progredientium
impetus oritur ex conjun&o impetu partium fingularum. Igitur
motis corporibusambientibus, moventur quae in ambientibus rela-
tive quiefcunt. Et propterea motus verus et abfolutus definiri
nequit per tranflationem e vicinia corporum, quae tanquam qui-
efcentia fpe&antur. Debent corpora externa non folum tanquam
quiefcentia fpe&ari, fed etiam vere quiefcere. Alioquin inclufa
omnia, praeter tranflationem e vicinia ambientium, participabunt
etiam ambientium motus veros, et fublata ilia tranflatione non
vere quiefcent, fed tanquam quiefcentia folummodo fpe$abun-
tur 3 funt enim ambientia ad inclufa ut totius pars exterior ad
partem inferiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto autem cortice,
nucleus etiam, abfq; tranflatione de vicinia corticis, ceu pars
totius, movetur.

Precedent! proprietati affinis eft, quod moto loco movetur
una locatum, adeoq; corpus, quod de loco moto movetur,
participât etiam loci fui motum. Igitur motus omnes, qui de
locis motis fiunt, funt partes folummodo motuum integrorum
et abfoiutorum, et motus omnis integer componitur ex motu
corporis de loco fuo primo, et motu loci hujus de loco fuo, et
fic deinceps, ufq-, dum perveniatur ad locum immotum, tit in ex-
emple Nautae fupra memorato. linde motus integri et abfoluti
non nifî per loca immota definiri pofïhnt, et propterea hos ad
!oca immota, relatives ad mobilia fupra retuli : Loca autem im-
mota non funt, nifi qux omnia ab infinite in infinitum datas fer-
vant

[ 9l

vant pofltiones ad invicem, atq^ adeo Temper manent immot^/pir
tiumqj confütuunt quod immobile appello.

Caufae, quibus motus veri et relativi diftinguuntur ab invicem_s
funt vires in corpora impreffae ad motum generandum. Morus
verus nec generatur nec mutatur nifi per vires in ipfh.m corpus mo-
tum impreffas : at motus relativus generari et mutari poteflabfq;
viribus impreffis in hoc corpus. Sufficit enim ut imprimatur in.
alia folum corpora ad quae fit relatio, ut ijs cedentibus mutetur
relatio ilia in qua hujus quies vel motus relativus confiftit, Rur-
fus motus verus a viribus in corpus motum impreffis femper muta«
tur, at motus relativus ab his viribus non mutatur neceifario. Nam
il eaedem vires in alia etiam corpora, ad quae fit relatio, üc impri-
mantur utfitus relativus confervetur,, confer vabitur relatio in qua
motus relativus confiftit. Mutari igitur poteft motus omnis rela-
tivus ubi verus confervatur, et confervari tibi verus mutatur ; et
propterea motus verus in ejufmodi relationibus minime coniHtif.

Efte&us quibus motus abfolutiet relativi diftinguuntur ab invi-

cem, font vires recedendi ab axe motus circula ris. Nam in motu
circulari nude relativo hae vires nullae funt, in veroautem et abfo-
luto majores vel minores pro quantitate motus. Si pendeat fitula
a filo pradongo, agaturq; perpetuo in orbem donee fil um a con-
torfione admodum rigefcat, dein impleatur aqua, et una cum aqua
quiefcat; tum vi aliqua fubitanea agatur motu contrario in orbem,
et filo fe relaxante, diutius perfeveret in hoc motu : foperficies a-^
quae fub initio plana er it, qucmadmodurn ante motum vafis, at
poftquam, vi inaquam paulatim imprefià, eftecitvas, ut haec quo-
q^ fenfibiîiter revolvi incipiat, rccedet ipia paulatim e medio, afcen-
detq; ad latera vafis, figuram concavam induens, (ut ipfeexper-
ts fum ) et incitatiore femper motu afcendet ma gis & magis, do-
nee revolutiones in arqualibus cum vafe temporibus peragendo,
qmefcat in eodem relative. Indicat hie afcenfus conatum rece-
dendi ab axe motus, & per talem conatum innotefcit & menfura-
tur motus aqua; circularis verus & abfolutus, moîuiq; relativo hie

C omni-

omniiio contrarius. Initio ubi maximus erat aquae mo tus relativus
in vafe, motqs ille nullum excitabat conatum recedendi ab axe :
Aqua non petebat circnmferentiam afcendendo ad latera vaiis, fed
plana manebat, 8c propterea motus illius circularis verus nondum
inceperat. Poftea vero ut aquae motus relativus decrevit, afcenfus
ejus ad latera vails indicabat conatum recedendi ab axe, atq^ hie
conatus monftrabat motum illius circularem verum perpetuo cre-
fontem, ac tandem maximum fa d um ubi aqua quiefcebat in vafe
relative. Igitur conatus ifte non pendet a tranüatione aquae re-
fpe&u córporum ambientium, Sc propterea motus circularis verus
per tales rranflationes definiri nequit. Unicus eft corporis cujufq;
revolventis motus vere circularis,conatui unico tanquam proprio Sc
adxquato effe$ui refpondens ^ motus autem relativi pro varijs re-
lationibus ad externa innumeri funt, & relationum inftar, efte&i-
bus veris omnino deftituuntur, nifi quatenus de vero illo Sc unico
motu participant. Unde & in Syftemate eorum qui Caelos noftros
infra Caelos fixarum in orbem revolvi volunt, Sc Planetas fecum dé-
ferre ; Planets & fingulae Caelorum partes, qui relative quidem in
Cœlis fuis proximis quiefcunt, moventur vcre. Mutant enim po-
fitiones fuas ad invicem ( fecus quam fit in vere quiefcentibus ) n-
naq^ cum caelis delati participant eorum motus, & ut partes revol-
ventium totorum, ab eorum axibus recedere conantur.

Igitur quantitates relative non funt eae ipfae quantitates quarum
nomina prae fe ferunt,fed earum menfurae ilk fenfibiles (verae an er-
rantes J quibus vulgus loco men!oratarum utitur. At fi ex ufu de-
finiendae iiint verborum fignifieationes j per nomina ilia Temporis,
Spatij, Loci Sc Motu s proprie intelligendse erunt hae menfurae ; Sc
fermoeritinfolens Sc pure Mathematicus ß quantitates menfuratae
hie fubintelligantur. Proinde vim inferunt Sacris literis c^ui voces
ha fee de quantitatibus menluratis iSTinterpr etantun Neq; mi-
nus contaminant Mathefin & Philofophiam qui quantitates veras

cumipfarum relationibus Sc vulgaribus menfuris confundunt.

»

Motus

c." J

Motus quidem veros corporum fingulorum cognofcere, &:
ab apparentibus a&u difcriminare, difficillimurn eft} proptcrea
quod partes fpatij illius immobilis in quo corpora vere moventur,
nonincurrunt infenfus. Can fa tamennon eft prorfus defperata.
Nam fuppetunt argumenta partim ex motibus apparentibus, qui
funt motuum verorum differentiae, partim ex viribus quae funt
motuum verorum caufae & efte&us. lit {i globi duo ad datam ab
invicem diftantiam filo intereedente connexi, revoiverentur circa
commune gravitatis centrum ; innotefceret ex tenfionefiliconatus
globorum recedendi ab axe motus, Scinde quantitas motus circu-
lars computari poflet. Deinde fi vires quadibet aequales in alternas
globorum faciès admotum circularem augendum veî minuend um
fimul imprimerentur, innotefceret ex au&a vel diminuta fill tcn-
fione augmentum vel decrementum motus ; & inde tandem inveni-
ri poflent facies globorum in quas vires imprimi deberent,u£ motus
maxime augeretur, id eft facies pofticae, five quae in motu circu-
lari fequuntur. Cognitis autem faciebus quae fequuntuv & faciebus
oppofitis quae praecedunt, cognofceretur determinatio motus.
In hunc modum inveniri poflet & quantitas & determinatio motus
hujus circularis in vacuo quovis immenfo, ubi nihil extaret exter-
num & fenfibile, quocum globi conferri poffent. Si jam confti-
tuerentur in fpatio illo corpora aliqua longinqua datam inter fe
pofîtionem fervantia, qualia funt ftellae fixae in regionibus noftris
lciri quidem non poffet ex relativa globorum tranflatione inter
corpora, utrum his ajj illis tribuendus eflèt motUS. At fi at-
tenderetur ad filum & inveniretur tenfionem ejus illam ipfam efîè
quam motus globorum requireret j concludere liceret motum eile
globorum, & tum demum ex tranflatione globorum inter corpora,
determinationem hujus motus colligere. Motus autem veros ex
eoriuix caufis, effeöibus & apparentibus difierentijs colligere, &
contra, ex motibus feu ver is feu apparentibus, eorum caufas & ef-
fc&us, docebitur fufiusin fequentibus. Hunc enjin in imem Tra-
6fatümTequcnt_Cnii compofui.

........~..... C 2 A XIO-

X . ^ //A-f A •JtS.c.-rA ; (frK-cU dZ\'p* - r f« "I/O

Tt . <ƒ yTtvM . t[<_?\\ f?"fi\' - ^ OiJt-^A^-rvyu {etX** L_

** lUtx^—HT-.Tr.

in ..mi.............

AXIOMATA

SIVE

EEG ES MOTUS

Lex, I.

J^/rr Corpus omne perfeverare in ftatu fuo quiefcendi velmovendi unifor-
miter in direBum, ?///* quatenus a viribus imprejps cogitur ftatum
illum mut are.

PRoje&ilia perfeverant in motibus fuis nîfî quatenus a refiften-
tia aeris retardantur & vi gravitatis impelluntur deorfuiru
Trochus, cujus partes cohœrendo perpetuo retrahunt fefe
a motibus recHlineis, non ceflat rotari nifi quatenus ab aere re-
tardatur. Majora autem Planctarum Sc Cometarum corpora mo-
tus fuos Sc progreffivos Sc circulares in fpatiis minus refiftentibus
faclos confervant diutius.

1-vCx» II

JPjL, y. Mutationem motus proportmalem ejje vi motrici impreffœ, & fieri fe~

cundum lineam reSlam qua vis ilia imprimatur.

S ^V1S cliqua motum quemvis generet, dupla duplum, tripla tri-
c*u ^ y t.. plum generabit, five iimul Sc feme!, five gradatim Se fucceiîlve im-
i^^.^.Cr^t.f reiTa fuerit. Et hic motus quoniam in eandem Temper plagam
cum vi génératrice determinatur, fi corpus antea movebatur, mo-
tui ejus vel confpiranti additur, vel contrario lubducitur, vel obli-
que oblique adjicitur_? Sc cum eo fecundum utriufqj determination
m:m componitur. Lex, III

/y , V^- ^ / , Ht^rt^^, "ZTtl^i»^ ojl. fmSi^t-lv ZyL 1 ioUt,

\' S C, Ai , T. X >0 y,

BP

inl

Lex. Ill

ASiioni contrariant fem fer äqualem effe reaSlionem : ßve corporwn
duorum a&iones in je mutuo jemper eße äquales in partes contra-
rias dirigi.

Qyicquid premit vel trahit alteram, tantundem ab eo premitur
vel trahitur. Siquis lapidem digito premit, premitur Sc hujus
digitus a lapide. Si eqtius lapidem funi allegatum trahit, retrahe-
tur etiam &.equus sequaliter in lapidem: nam funis utrinq; diftentus
eodem rclaxandi fe eonatu urgebit Equum verfus lapidem, ac la-
pidem verfus equum, tantumqj impediet progrelfum unius quan-
tum promovet progreflum alterius. Si corpus aliquod in corpus
aliud impingens, motum ejus vi fua quomodocunq: mutaverit, i-
dem quoque vicifilm in motu proprio eandem mutationem in par-
tem contrariam vi alterius ( ob sequalitatem preffionis mu tua; )
fubibit. His a&ionibus äquales fiunt mutationes non velocitatum
fed motuum, ( fciîicet in corpoi ibus non aliunde impeditis ; J Mu-
tationes enim velocitatum, in contrarias itidem partes fa£be, quia
motus œqualiter mutantur, funt corporibus reciproce proportio-
•nalésT

Corol. ï.

Corpus viribus conjun&is diagonalem parallélogramme eodem tempore
defcriberej quo latera feparatis.

Si corpus dato tempore, vi fola M,
ferretur ab A ad B, & vi fola N, ab
A ad f, compîeatur parallelogram-
mum ABDCj Sc vi utraq^ feretur id
eodem tempore ab A ad D. Nam
quoniam vis N agit fecundum lineam
AC ipfi B D parallelam, hxc vis

_{t x} ---------, — -----...— velocitatem acce-

dendi ad lineam illam BD a vi altera genitam. Accedet igitur
corpus eodem tempore ad lineam b d five vis n imprimatur, five
îion₃ atqj adeo in fine iilius tempoxis reperietur alicubi in linea

C >4 ]

ilia i> D. Eodem argumento in fine temporis ejufdem reperietu^r
alicubi in Iinea CD , & idcirco in utriufqj Iineae concurfu £) repe-
riri necefTeeft.

Corol. II.

Et hinc pat et compofitiovis direSlœ AD ex viribus quibtifvis obli-
quis A B BD, & viciffim refohttio vis cujufvis direBœ
A Din obliquas quafcunqj AB&B D. Quaquidem Compofitio
refolutio abitnde conjirmatur ex Mechanica.

Ut fi de rotae a lieu jus centro O exeuntes radij inaequales 0 M, ON
fi lis MA,NP fuftineant pondera A Sc F, &quaerantur vires pon-
derum ad movendam rotarn per centrum O agatur re&a KOL
filis perpend iculariter occurrens itxK Sc L, centroq; O & in ter-
val îorum 0 K_y OL majore OL
deferibatur circulus occurrens fi-
lo M A in D : Se a£ise re&se
OD paralleîa fit AC Sc perpen-
dicularis D C. Quoniam nihil re-
fert utrum filorum punfta /l, L,
D affixa fint vel non affixa ad
planum rotse,pondera idem vale-
bunt ac fi fufpenderentur a pun-
Sis K Sc L vel D Sc L. Pon-
deris autem A exponatur vis to-

ta perlineam A D, & haec refolvetur in vires A C, CD, quarum
A C trahendo radium 0 D direôe a centro nihil valet ad moven-
dam rotam ; vis autem alteraDC, trahendo radium D 0 perpen-
diculariter, idem valet ac fi perpendiculariter traheret radium 0 L
îpfiO D aequalem ; hoc eft idem atq ; pondus F, quod fit ad pondus
A ut vis DC ad vim D A_y id eft (ob fimilia triangula A D C^D 0 if,)
OK Sè DO (feu 0 L ) Pondera igitur A & F, quae funt

reciproce ut radii in dire&um pofiti 0 K & 0 L, idem polJebunt &

I

. . fie confident in aequilibrio : ( quae eft proprietas notiffima Librae^

ty. V^om^-cm. VT. ¹ VA ii A*

^/ A / r •,/ v /./ V CCt 18

H - \' S. / . ^

ctrrrxx , fl?\'.y u,.» ^.i. ï.ji .ti y.^^ ^wu ^—

c^lX^ ju.f^^r, WJVJJ^ ^ ^{1 r / ;}---\' "

[ \'5 ]

Ve&is Sc Axis in Peritrochio : ) fin pondus alterutriimfit ma jus

quam in hac ratione, erit vis ejus ad movendam rota in tanto major.

Qjjod fi pondus p ponderi P aequale partim fufpeijdatur lilo
Np_y partim incumbat piano obliquo p G : agantur p H, NH., pri-
or horizonti, pofterior piano p G perpendicularis ; & fi vis pon-
âeiisp deorfum tendens, exponatur per lineamp H, refolvi pore ft
haec in vires p N, HN. Sifilo p N perpendiculare eOct planum a-
Jiquod p (Mecans planum alter urn p G in linea ad horizentcm pa ~
rallela ; & pondusp hispîanispQ^p G folummodo incumberct >
urgeret illud haec plana viribus p N, H N perpendiculariter, ni-
minim planum p Q vi p N Sc planum pGviHN. Ideoque fi tolla-
tur planum p ßjit pondus tendat filum, quoniam filum fuftinen-
do pondus, jam vicem praeftat plani fublati, tendetur illud eadem
vi pNy qua planum antea urge batur. Unde tenfio fili hujus obli-
qui erit ad tenfionem fili alterius perpendicularis PN, utp N ad
p H. Ideoq; fi pondus^ ik ad pondus A in ratione quae compo-
nitur ex ratione reciproca minimarum diftantiarum filorum luorum
AM,pNa centro rotae, Se ratione direâa pH ad pN\', pondera
idem valebunt ad rotam movendam, atq", adeo le mtituo fuftine-
bunt, ut quilibet experiri poteft.

Pondus autemp pîanis illis duobus obliquis incumbens, rationem
habet cunei inter corporis filli facies internas : Sc inde vires cunei
Sc mallei innotefcunt •• utpote cum vis qua pondus p urget planum
p Qfit ad vim,qua idem vel gravitate fua vel i<flu mallei impel litur fe-
cundiim lineam p H in piano, ut p N ad pH-, atq; ad vim qua ur-
get planum alterum pG u tpN ad NH. Sed Sc vis Cochleae per
fimilem virium divifionem colligitur ; quippe quae cuneus eft a vec-
te impulfus, Ufus igitur Corollarij hujus latiffime patet, & îa-
^te patendo veritatem ejus evincit, cum pendeat ex jam diSis Me-
chanica tota ab Äuthoribus diverfimode demonftrata. Ex hifce
enim facile derivantur vires Machinarum, quae ex Rotis, Tympa-
nis_?l rochleis, Ve&ibus, radijs volubilibus, nervis tenfis &■ ponderi-
bus dire&e vel oblique afcendentibus, caeterifq; potentijs Mecha-

nicis

C\'^Ji

nids çomponi folent, ut Sc vires Nervorum ad animalium ofla mo*

venda.

Coro!. HL

Quant it as motus qnœ coUigitur capiendo fummam mot uum faHorum ad
eandern partem, & differ entiam faBorum ad contrarias, non muta-
tur ab aSîione corporum inter fe.

Etenim a&io eiq; contraria reacdo äquales funt per Legem 3,
adeoq;per legem 2, äquales in motibus efficiuntmutationes verfus
contrarias partes. Ergo fi motus fiunt ad eandem partem, quic-
quid additur motui corporis fugientis fubducetur motui corporis
infequentis fie, ut fumma maneat eadem quae prius. Sin corpora
obviam eant, aequalis erit fubdu&io de motu utriufq;, adeoqj differ
rentia motuum faclorum in contrarias partes manebit eadem.

Lit fi corpus fphaericum A fit triplo majus corpore fphaerico Z>,ha-*
beatqj duas veîocitatis partes, et B fe^uatur in eadem re&a cum
velocitatis partibus decern, adeoqi motus ipfius A fit ad motum
ipfius B utfex ad decern.- ponantur motus illis eile partium fex Sc
decern, Sc {umma erit partium fexdecim. In corporum igitur
concurfu, fi corpus A lucreturmotus partes très vel quatuor vel
quinqj corpus B amittet partes totidem, adeoqj perget cor-
pus A poft reflexionem cum partibus novem vel decern vel unde-
cim,& b cum partibus feptem vel lex vel quinqj exiftente Temper
fumma partium fexdecim ut prius. Sin corpus A lucretur partes
novem vel decern vel undecim vel duodecim, adeoq; progredia-
tur poft concurfum cum partibus quindecim vel fexdecim vel
feptendecim vel o&odecim ; corpus b amittendo, tot partes quot
A iucratur, vel progredietur cum una parte, amifiis partibus no-
vem, vel quiefcet amiffo motu fuo progreffivo partium decern, vel
regredietur cum una parte amiffo motu fuo Se ( ut ita dicam )
una parte amplius, vel regredietur cum partibus duàbus ob detra-
ct urn motum progrefllvum partium duodecim. Atq; ita fum-
rax motuum confpirantiuui 15 1 vel 16 o,differentix contrario*

rum

[ \'7 1

17_i &-I.8—a femper er.unt partium fexdecim ut ante concur*

ium & reflexionem. Cognitis autem motibus quibufctim corpora
poft reflexionem pergent, invenietur cujuiq; velocitas ponendo
earn effe ad Velocitatem ante reflexionem ut motus poft ad nio-
tum ante. Ut in cafu ultimo, ubi corporis ^ motus erat partium
fex ante reflexionem & partium o&odecim poftea, & velocitas par-
tium duarum ante reflexionem ; invenietur ejus velocitas partium
fex poft reflexionem, dicendo, ut motus partes fex ante reflex-
ionem ad motus partes o&odecim poftea, ita velocitatis partes
duae ante reflexionem ad velocitatis partes fex poftea.

Quod fi corpora vel non Sphaerica vel diverfis in redis moventia
incidant infe mutuo oblique, & requirantur eorum motus poft re-
flexionem, cognofcendus eft fitus plani a quo corpora concurren-
tia tanguntur in pun&o concurfus , dein corporis utriuiq, motus
CperCorol. 2. ) diftingtiendus eft in duos, unum huic piano
perpendicularem, alteram eidem parallelum ; motus autem pa-
rallel^ propterea quod corpora agantin fe invicem fecundum line-
am huic piano perpendicularem, retinendi font iidem poft reflex-
ionem atq; antea, & motibus perpendicularibus mutationes x-
quales in partes contrarias tribuendae funt fic, ut fumma confpi-
rantium & differentia contrariorum maneat eadem quai prius. Ex
hujufmodi reflexionibus oriri etiam folent motus circulares corpo-
rurn circa centra propria. Sedhos cafus in fequentibus non con-
fidero, & nimis longum effet omnia hue fpecbuitia demonftrare.

Corol. ml.

Communs cravitatis centrum ab aSlionibus corporum inter fe non mil-

o £ J

tat ftatum femm vel motus vel quiet is, propterea corporum om-
nium in je mutuo agent ium (" exclufis aSîionibus impedimentis
externis ) commune centrum gravitat is vel quiefcit vel movetur
uniform it er in dire Si um.

Nam ü punch, duo progrediantur uniformi cum motu in Iineis
reciis & diftantia eorum dividatur in raîione data, punäum divi-

D \' dens

£ «3 3.

Jens vel quiefcet vel progredietur uniformiter in linea «re&a. Hoc
pofiea in Lemmate xxiii demonftratur in piano, & eadem ratio-
ne demonflrari poteft in loco folido. Ergo fi corpora quotcunq;
moventur uniformiter in lineis re&is, commune centrum gravita-
tis duorum quorumvis, vel quiefcit vel progreditur uniformiter in
linea re&a, propterea quod linea horum corporum centra in redis
uniformiter progr^dientia jungens, dividitur ab hoc centro com-
muni in ratione data: fimiliter 8c commune centrum horum duo-
rum 8c tertii cujufvisvel quiefcit vel progreditur uniformiter in
linea re&a, propterea quod ab eo dividitur diftantia centri com-
munis corporum duorum 8c centri corporis tertii in data ratione.
Eodem modo & commune centrum horum trium 8c quarti cujufvis
vel quiefcit vel progreditur uniformiter in linea re&a, propterea
quod ab eo dividitur diftantia inter centrum commune trium 8c
centrum quarti in data ratione, 8c fie in infinitum. Igitur in
fyftemate corporum quae a&ionibus in fe invicem, alijsq; omni-
bus in fe extrinfecus impreffis, omnino vacant, adeoq; moventur
imgula uniformiter in re&is fingulis, commune omnium centrum
gravitatis vel quiefcit vel movetur uniformiter in dircdum.

Porro in fyftemate duorum corporum in fe invicem agentium,
cum diftantia centrorum utriufq; a communi gravitatis centro fint
reciproce ut corpora, erunt motus relativi corporum eorundem
vel accedendi ad centrum illucl vel ab eodem recedendi, aequales
inter fe. Proinde centrum iilud a motuum aequalibus mutationi-
bus in partes contrarias fafiis, atq; adeo ab adionibus horum
corporum inter fe, nec promovctur nec retardatur nec mutatio-
nem patitur in ftatu (no quoad motum vel quietem. In fyftema-
te autem corporum p!iirium,quoniam duorum quorumvis in fe mu-
tuo agentium commune gravitatis centrum obadionem illain nul-

O O

latenus mutatftatum fuuinj 8c reliquorum, quibuscum aclio ilia
non intercedit, commune gravitatis centrum nihil inde patitur jdif-
tantia autem horum duorum centrorum dividitur,a communi cor-
porum omnium centrcyn partes fummis totalibus corporum,quo-
rum

[1

ram funt centra, reciproce proportionales, adeoq; centris illis duo-
bus ftatum fuum movendi vel quiefcendi fervantibus, commune
omnium centrum fervat etiam ftatum fuum $ manifeftum eft quod
commune illud omnium centrum, ob a,£Hones binorum corporum
inter fe, nunquam mutat ftatum fuum quoad motum & quietem.
Intaliautem fyftemate acliones omnes co porum inter fe,vel inter
bina funt corpora, vel ab aftionibus inter binacompofite, & prop-
terea communi omnium centro mutationem in ftatu motus ejus vel
Qiiictis nunquam inducunt. Quare cum centrum illud ubi corpo-
ra nonaguntin fe invicem, vel quiefcit, vel in re$a aliqua progre-
ditur uniformiter, per get idem,non obftantibus corporum actioni-
bus inter fe,vel femper quiefcere, vel femper progredi uniformiter
in dire$um,nifi a viribus infyftema extrinfecus impreffis deturbe-
tur de hc^ ftatu. Eft igicur fyftematis corpo;um plurium Lex ea-
dem qua- corporis folitarii, quoad perfeverantiam in ftatu motus
vel quieris. Motus enim progreffivus feu corporis folitarii feu
iyfteiiiatis corporum ex motu centri gravitatis aeftimari femper de-
bet.

Corol. V.

Corporum dato fpatio inclufomm ijdem funt motus inter fe, five fpa-
iium illud quiefcat, five woveatur idem uniformiter in diredlum
abfq\\ motu circulari.

Nam differentia; motuum tendentium ad candem partem., &
fummae tendentium ad contrarias, eaedemfunt fob initio in utroq;
cam ( ex hypothefi ) & ex his fommis vel differentiis oriuntur con-
greftus & impetus quibus corpora fe mutuo feriunt. Ergo per
Legem 2 scquales erunt congrefluum efFe&us in utroq; cafo, &
propterea manebunt motus inter fe in uno cafo a;quales motibus
inter f_e i_{n a}Itero. Idem comprobatur experimento luculento*
Motus omnes eodem modofe habentin Navi,five ea quiefcat, five
moveatur uniformiter in dire&um.

Corol. VI

[²⁰ ]
Corol. VI.

Si corpora moveantur quomodocunq; inter fe & a viribus acceleratri-
cihus œqualibus fecundum lineas par allelas urgeantur , per gent ont"
nia eodem modo mo veri inter fe ac ft viribus Ulis non effent inci-
tât a.

Nam vires Wlx aequaliter ( pro quantitatîBus movendorum cor-
porum ). & fecundum îineas parallelas agendo, corpora omnia
aequaliter ( quoad velocitatem) movebuntper Legem 2. ) ade-
oqj nunquam mutabunt pofitiones & motus eorum inter fe.

Scholium

Hactenus principia tradidi a Mathematicis recepta & experien-
tia multiplici confîrmata. Per legesduas primas & Corollaria duo
prima adinvenit GaliUus defcenfum gravium elfe in duplicata ra-
done temporis, & motum projectilium fieri in Parabola^ confpi-
rante experientia, nifi quatenus motus illi per aeris refiftentiam a-
liqiiantulum retardantur. Ab ijfdem Legibus & Corollariis pendent
demon ft rata de tcmporibus oie ilia ntium Pendulorum, lu fir a gante
Horoiogiorum experientia quotidiana. Ex his ijsdem & Lege ter-
tia D.. Chriftopherus Wvemms Eques auratus, Johannes WaUifms
S. T. D. & D. Chriftiamis Hugenius , hujus a\'tat is Geometrarum
facile Principes, régulas congrefluum & reflexionum duorumcor-
porum feoriim adinvenerunt, & eodem fere tempore cum Societa-
te Regia communicarunt, inter fe (quoad has leges ) omnino con\'
fpirantes ^ Et pnmusquidem D. Waliiftus, deinZX Wrenmis & D.
Mugenius. inventum prodidit. Sed & Veritas comprobata eft a
D. Wrenno coram Regia Societate per experimentum Pendulorum,
quod etiam Clarifpmus Mariottus Libro integro exponere mox
dignatus eft. Verum ut hoc experimentum cum Theories ad a-
muffirn congruat, habenda eft ratio tum refiftentiae aeris. tum e-

i • » 1

ti\'am Vis Elafticas concurrentium corporum. Pendeant corpora
4_} B fijis parallelis A C, B D a centris C, D. His centris & inter-

[ J

vallis defcribantur iemicirculi EAF, G BH radijs CA, Z>jBbi-
fe&i. Trahatur corpus a ad arcus eafpun&um quodvis R,
Sc (fubduöo corpore b ) demittatur inde, redeatq; poft unäm
ofcillationem ad pun&um v. Eft r Fretardatio exrefiftentia
aeris. Hujus r v fiat st pars
quarta fita in medio, Sc haec
exhibebit retardationem in
deicenlu ab s ad a quam
proxime. Reftituatur corpus
b in locum fuum. Cadat cor-
pus a de pun&o s_r &veloci-
tas ejus in loco reflexionis a_y
ablq^ errore fenfibili,tanta erit ac fi in vacuo cecidifiet de loco 11
Exponatur Jgitur haec velocitas per chordam arcus 1 a Nam
velocitatem Penduliinjmn<5b infimo effe ut chorda arcus quem
cadendo defcripfit, Pröpoïïtio eft Geometris notiifima. PoïFre-
ftexionem per ven ia t corpus A ad locum s₇ corpus B ad lociim
\\ Tollatur corpus b Sc inveniatur locus % a quo fi corpus a de-
mittatur Sc poft unam ofcillationem redeat ad locum r, fitst pars
quarta ipfius r v fita in medio, & per chordam arcus t A expona-
tur velocitas quam corpus a proxime poft refiexionem habuit in
loco A Namt erit locus ille verus Sc corre&us ad quem corpus A_y
fublata aeris refiftentia, afcendere debuiflet. Simili methodo
con igendus erit locus 4 ad quem corpus b afcendir, & invenien-
dus locus /, ad quem corpus illud afcendere debuiffet in vacuo«
Hoc pafto experiri licet omnia perinde ac fi in vacuo conftituti
effemus. Tandem ducendum erit corpus A in chordam arcus
ta ( quae velocitatem ejus exhibet) ut haheatur motus: ejus in
loco a proxime atite reftèxionem, deinde in chordam arcus t A.
^Ht habcatur motus ejus in loco a proxime poft refiexionem,
Et fic corpus B ducendum erit in chordam arcus B /, ut habea-
tur motus ejus proxime poft reflexionern. Et fimili methodo
ubi corpora duo fimul demittuntnr deJocis diver fis, invenieqdi
Hint motus utriüfq, tam ante, quam poft reßexionem} Sc tum

C » ]

clemum conferendi font motus inter Te Sc colfigendi efFedus re-
flexionis. Hoc modo in Pendulis pedum decern rem tentando_?
idq; in corporibus tarn inaequalibus quam aequalibus, Sc faciendo ut
corpora de intervallis ampliffimis, puta pedum o&o, duodecim
vel lexdecim concurrerent, reperi Temper fine errore trium digi-
torum in menTuris,ubi corpora fibimutuo directe occurrebant,quod
in partes contrarias mutatio motus erat corpori utriq; illata, atq;
adeo quod a&io Sc rea&io Temper erant aequales. lit fi corpus A
incidebat in corpus B cum novem partibus motus, Sc amiffis fcptem
partibus pergebat poft reflexionem cum duabus, corpus B refilie-
bat cum partibus iTtis Teptem. Si corpora obviam ibant, ^cum
duodecim partibus Sc B cum Tex Sc redibat A cum duabus, redibat
I> cum o&o, Ta$a detra£Hone parrium quatuord cim utrinque.
Demotuipfius A Tubducartur partes duodecim & reft a bit lihil }
lubducantur aliae partes duae & fiet motus duarum partium in pk-
gam contrariam. & fic de motu corporis B partium Tex fLbdu-
cendo partes quatuordccim,fiurit partes oßo in plagam contrariam.
Quod li corpora ibant ad ean-

^im nlirrim À i/pl/Artnc r-nm EG C t> F H

ta tranflatione partium no-
vem de A in B. Et fic in reliquis. A congreflu & collifione cor-
porum nunqiiam mutabatur quantitas motus quae ex Tumma motu-
um conTpirantium & differentia contrariorum colJigebatur.Namq;
errorem digiti unius & alterius in menTuris tribuerim difficultati
peragendi fingula latis accurate. Difficile erat tum pendula fi-
nuil demittere fic, ut corpora infe mutuo impingerent in loco in-
fimo A B, tum loca \\ notare ad quae corpora afcendebant poft
concurTum. _vSed &r in tpfis pilis inarqualis partium denfitas, Sc tex-
tura aliis de caufis irregularis, errores inducebant

Porro

[ 23 ]

Porro nequis objiciat Regulam ad quam probandam inventum
eft hoc experimentum praefupponere corpora vel abfolute dura
eile, vel laltem perfe&e elaftica, cujufmodi nulla reperiuntur in
compofitionibus naturalibus; addo quod experimenta jamdefcrip-
ta fuccedunt in corporibus mollibus aeque ac in duris, nimirum a
conditione duritiei neutiquam pendentia. Nam fi conditio ilia
in corporibus non perfeäe dui is tentanda eft, debebit folummodo
reflexio minui in certa proportione pro quantitate vis Elafticse.
In Theoria Wrenni & Hugenij corpora abfolute dura redeunt ab
invicem cum velocitate congreffus. Ccrtius id affirmabitur de per-
fe&e Elafticis. In imperfede Elafticis velocitas reditus minuenda
eft iimul cum vi Elaftica; propterea quod vis ilia, (nifi ubi partes
eorporumex congreflii laeduntur, velextenfionemaliqualemqua-
fi ftib malleo patiuntur,) certa ac determinata fit (quantum fentio)
faciatq; corpora redire ab invicem cum velocitate relativa quae fit ad
relativam velocitatem concurfus in data ratione. Id in pilis ex lana
arete conglomerata & fortiter conftrifta fic tenravi. Primum demit-
tendo Pendula & menfurando reflexionem, inveni quantitatem

vis Elaftica j deinde per hanc vim determinavi reftexiones in aliis
cafibus concurfuum, & reipondebant experimenta. Rcdibant
femper pilae ab invicem cum velocitate relativa,quae effet ad veloci-
tatem relativam concurfus ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum
velocitate redibant pilae ex chalybe; aliae ex fubere cum paulo >
minore. In vitreis autem proportio erat 1 5 ad 16 circiter. Atqj
hoc paöo Lex tertia quoad i£tus & reflexiones per Theoriam com-
probata eft, quae cum experientia plane congruic.

In attra&ionibus rem lie breviter oftendo. Corporibus duo-
bus quibusvis A, B fe mutuo trahentibus, concipe obftaculum
quodvis interponi quo congrelliis eorum impediatur. Si corpus
^Iterutrum A magis trahitur verfus corpus alterum B.qtiam illud al-
teram B in prius A, obftaculum magis urgebitur preffione corpo-
ris A quam preffione corporis B \\ proindeq; non manebit inaequi—
librio. Praevalebit prefilo fortior,facietq j fyftema corporum duo-

rum

rum & obftaculi moviri in directum in partes verrns ß, motuq;in
fpatiis liberis Temper aceeîerato abire in infinitum. Quod eft ab-
Turdüm & Legi primae contrârium. Nam per Legem primam
debebit TyTtema perTeverare in ftatu Tuo quiefcendi vel movendi
uniformiter in dire£him,proindeq; corpora aequaliter urgebunt ob-
ftaculum, & idcirco «qualitér trahentur in invicem. Tentavi
hoc in Magnete & ferro. Si haec in vafeulis propriisfefe contin-
gentibus feorfim pofita, in aqua ftagnante iuxta fluitent, neutrum
propellet alteram,fed aequalitate attraâionis iitrinq\', fuftinebunt co-
2 natus in fe mutuos, ac tandem in aequilibrio conftituta quiefeent.

L^Jia^ corpora in concurfu & reflexione idem pollent,quorum velo-
citâtes font reciproce ut vires infitae : fie in movendis Inftrumentis
Mechanicis agentia idem pollent & conatibus contrariis fe mutuo
foftinent,quorum velocitates fecundum determinationem virium ae-
fnmatae, Tunt reciproce ut vires. Sic pondéra sequipollent ad
movenda brachia Librae, qux ofcillante Libra, funt reciproce ut
eorum velocitates furfum & deorfum: hoc eft pondera, fi reôa
afeendunt & defeendunt, aequipollent, quae funt reciproce utpun-
clorcm a qtiibus Tufpendöhtiir diftantiae ab axe Librae : fin planis
obfiqiiis aliifve admotis obftacülis impedita afeendunt vel defeen-
duntoblique, equipollent quae funt ut afeenfus & defcenfusquatenus
fa&i fecundum perpendiculum : id adeo ob determinationem gra-
vitatis deorfum. Similiter in Trochlea feu Polyfpafto vismanus
funem directe trahéhtis, quae fit ad pondus vel dire&e vel oblique
aicendens ut velocitas afeenius \' perpendicularis ad velocitatem
manus funem trahentis, fuftinebit pondus. In horologiis& fimiïi-
bus inftrumentis,quae ex rotulis commifîis conftru&a funt, vires
contraria? ad motum rotularum promovendiim & inipediendum
fi funt reciproce ut velocitates partium rotularum in quasimpri-
muntiir, fuftinebunt fe mutuo. Vis Cochleae ad premendum cor-
pus eft ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis velo-
citas Manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem
progreillvam Cochleae verfus corpus prefliim. Vires quibus ca-
ne lis

[ ²5 ]

neus urget partes duas ligni fiffi eft ad vim mallei in cuneum, tit
progreflus eunei feeundum determinationem vis a malleo in ipfum
imprelfae, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, feeundum
lineas faciebus eunei perpendicularcs. Et par eft ratio Machi-
narum omnium.

Harum efficacia Sc ufus in eo folo confiftit ut diminuendo ve-
locitatem augcamus vim, Sc contra: Unde folvitur in omni apto-
rura inftrumentorum genere Problema, Datum pondus data vi
movendij aliamve datam reiiftentiam vi data ftiperandi. Nam
fi Machina; ita formentur ut velocitates Agentis Sc Refiftentis lint
reciproce ut vires, Agcns reiiftentiam fuftinebit, Sc majori cum
velocitatum difparitate eandem vincet. Certe fi tanta lit velo-
citatum difparitas ut vincatur etiam refiftentia omnis, quae tam
ex contiguorum Sc inter fe labentium corporum attritione, quam
excontinuorum Scab invicem feparandorum cohaefioneScelevan-
dorum ponderibus oriri folet \\ luperata omni ea refiftentia, vis
redundans accelerationem motus fibi proportionalem, partim in
partibus Machine, partim in corpore refîftente producet. Cae-
terum Mechanicam traftare non eft hujus inftituti. Hifce vo~
lui tantum oftendere quam late pateat, quamq; certa fit Lex
tertia motus. Nam fi aeftimetur Agentis a&io ex ejus vi Sc velo-
citate conjun&im j Sc Refiftentis rea&io ex ejus partium fingülä-
rum velocitatibus 8c viribus refiftendi ab earum attritione^ co-
haefione, pondéré Sc acceleratione oriundis^ erunt a5io & re-
a&io, in omni inftrumentorum ufu, fibi invicem femper äquales.
Et quatenus a&io propagatur per inftrumentum Sc ultimo im-
primitur in corpus onine reiiftens, ejus ultima determinatio de-
termmationi rea&ionis femper erit contraria.

D E

l2êl

DE

MOTU CORPORUM

Liber PRIMUS

SECT L

De Methode Ratiomim primarum & ultimatum, c^jwr ope feqnen-

tia demonftrantnr.

^ HWiry lU^r^J-w

^lUyïyr y fi

.....----f / /..... -p . ,

t/K^*«-^ ....... M- Wu—

LEMMA I.

Uantitates, ut é> quantitatum rationes_y qu£ ad aqualitatem da-
• to tempore conftanter tendunt eo paSio propius ad invicem
accedere pojfunt quam pro data qrnvis dijf erentiafiunt ultimo
äquales.

S\'i negas, fit earum ultima differentia P. Ergo nequeunt pro-
pius ad aequaiitatem accedere quam pro data differentia Di
contra hypothefin.

Lern-

C =7 ]

Lemma IL

Si in figura quavk A a c E reSik A a, A E, &^J curva A c E
compreberija₃ infcribantnr parallelogramma quotcunq\\ Ab, Be,
Cd, &c. fnbbafibm AB,BC, CD,See.
œqualihw^ lateribm Bb, C c, D d,
See. figure later I A a parallels conten-
ta ; compleantnr parallelogramma
aKbl, bLcm, cJVldn, See, Dein hor um
paraüelogrammorum latitude minuatur,
mimer m ange al ur in inßnitum : dt co
quod ultima rationes, qua s habent adfe
invicem figura infcripta AKbLcMdjD,
circumfcripta AalbmcndoE, &
curvilinea AabcdE, funt rationes
^equalitath*

Nam figuras infcripta & circumfcriptae differentia eft fumma

paraüelogrammorum KI Lm Mn D o, hoc eft ( ob ae«
quai es omnium baies ) reöangulum fub unius bafi K b & altitudi-
num famma A a, id eft re&anguîuHl AB la. Sed hoc re&angu-
him, eo quod latitudo ejus A B in infinitum minuitur, fit minus
quovis dato. Ergo, per Lemma I, figura infcripta & circum-
fcripta & muko magis figura curvilinea intermedia fiunt ultimo
äquales. QJB. D.

Lemma III.

Rrtdem rationes ultima funt et tam \\equalitatis, ubi parallelogramom-
rumlatitudinesABiEC^CD) Sec. funt in £ quale s, omnes
niinuuntur in infinitum.

enim A F &quali- iaritudini maxima, & -compleatur pa-
rallelogrammum FAa 1 Hoc erit rnajus quam differentia
figure infcripta & fi c imlc;>_Prsc, at latitudine fua A F

E 2 in

^{[ 28 ]}

in infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis re&an-
gulum.

Corel. 1. Hinc fumma ultima paralîelogrammoram evanefcenti-
um coincidit omni ex parte cum figura curvilinea.

Corol. 2. Etmultomagis figura re&ilinea, quae ctrordis evanef-
centium arcuum ab, bc₀ cd_y <&c. comprehendittir, coincidit ul-
timo cum figura curvilinea.

Corol. 3. Ut & figura rcdilinea quae tangentibus corundem
arcuum circumlcribitur.

Corol. 4. Et propterea hae figurae ultimae ( quoad perimetros
£ c E, ) non funt re&ilineae, fed re&ilinearum limites curvilinei.

Lemma IV.

Si in duabm figuris AacE, PprT, inferibantur ( nt fnpra )
duœ parallelogrammorum feries, fitf-, idem amborum numerm,
îtbi latitudines in infinitum dimimmntur, rationes ultima paralle-
logrammorum in una figura ad parallelogram ma in altera, fingulo-
vum ad fmgula, fmt eœdem \\ dico quod figurœ duœ A a c E_a PprT,
funt ad invicem in eadem ilia rations.

Etenim ut funt paraîlelogramma fingula ad fingula, ita ( com-
ponendo ) fit fumma omnium ad fummam omnium, & ita figura

ad

■ Yl ,

Si arms quilibet pofitione datrn AB fiubtendatur chorda AB, & in ç^ZJè^LÇ^
punBo aliquo Ay in medio curvakurœ
cotitinutfj tangatur a reSia utr\'mq} pro-

duSia a d dein punffia a, B ad in-
vicem accédant coeant ; dico quod
angulus BAD fuh chorda & tangents
contentus minuetur in infinitum & nl-
timo evaneficet.

^ Na_m producatur ab ad b & ad
ad d, Se pun6ris a_y b côeuntibus, nul-
laq; adeo ipfias Ah parte AB jacen-
£e amplius intra curvam, manifeftum eft quod haec recta A b,

U vel

Lao]

vel coincidet cum tangente A<r/, vel ducetur inter tangen tem &
cüFvam. Sed cafus pofterior eft contra naturam Curvature er-
go prior obtinet. QJ&. D.

Lemma. VII.

J if dem pofitis, dico quod ultima ratio ar cm, chorda tangentk ad
invicem eft ratio aqualitatk. Vide Fig. Lern. 6 & S vi,
^aw*- _t ^Nam P\'oducantur AB Sc AD ad b Sc d Sc fecanti ß D paral-
^^ agatur b d. Sitq; arcus A b fimilis arcui A B. Et pun dis
^ fff^h A, B coeuntibus, angulus dAb, per Lemma fuperius, evanefcet;

adcoqj xe&xAb^AdSc arcus intermedins A b coincident^: prop-
terea äquales erunt. Unde Sc hifce Temper proportionales re£be
A B, A D, Sc arcus intermedius A B ratioxiem ultimam habebunt
aequalitatis. Q^E. D.

CoroL I. Unde il per Bducatur tangenti parallela £ F redam
quam vis A F per A tranTeuntem
perpetuo Tecans in F, hxc ultimo

ad arcum evanefcentem A B rati- ^-----

onem habebit aequalitatis, eo quod ^ p
completo parallelogrammo A F B-
D, rationem Temper habet aequa-
litatis ad A D.

CoroL Et ü per B & A ducantur plui es redas B E, B D, A F,

AG, Tecantes tangentem A D &\' ipfius parallelam B F, ratio ul-
tima abiciiTarum omnium A D, A E, B F, B G, chordseq, Se arcus
A B ad invicem er it ratio aequalitatis.

CoroL 3. Et propterea hx 0 innés Jineae in omni de rationibus
uLimis argumentatione pro ie jnvicgm ulurpari poiTunt»

Lemma V1IL

Si reSlœ data A K,, B R. cum ar eu A B, chorda A B tangente A D,
triangîda tria AR B, ARB_y ARD cor/ftitmnt, dein punBa
A, B accédant ad invicem 1 dico quod ultima forma triangulorrwi
evanefeentium eft fimilitudinh, ultima ratio œqnaliiatk.\'

Nam

r

agatur parallel r b d, 8c arcui ÂB fimilis ducatur arcus Ah J
Coeuntibus punâis A, B, angulus b Ad
evaneTcet, & propterea triangula tria
r A b^ r Ab, rAd coincident, Tuntqj eo
nomine fimilia St. aequalia. Unde 8c
hifce Temper fimilia 8c proportionaîia
RAB, RAB, RAD fient ultimo fibi
invicem fimilia 8c aequalia. Q. E. D.

Corot Et hinc triangula ilia m onini de
rationibus ultimis argumentations pro Te
invicem ufurpari poflimt,

Lemma IX.

Si reSîa AE <&> Cur va AC poßtione datœ fe mntno fecent in angnlo
dato A, ad reSlam illam in

alio dato angulo ordinatim ap-
plicentur B P, E C, curvœ oc-
cürrentesin B, C ; dein punSia
B_y C accédant ad punSium A :
dico quocî are et triangtdorum
ADB, AEC erunt ultimo ad
invicem in duplicata ratione la~
1er u m , :

Etenim in A D producta ca- ■
piantur A d, AeipfisAD, AE
proportionales₅ & erigantur or-
dinäre db, ecordinatis DB, EC parallel« & proportionales,
^r^ducatur AC ad c, ducatur ci;rva Abcipfi ABC fimilis, &
recta \\g tangatur curvautraq; in A; &fecantur ordinatim appli-
cata> in F, G_yf^ g, Tum coeant puncla B, C cum pun&o A, &
angulo c A g evanefeente, coïncident arese curvilinese Abd, A ce

dlï-

icata

c 3

plicata ratione laterum Ad, Ae: Sed his areis proportionales
lern per font are« AB D, E, & his lateribus latera A D_? ^E.
Ergo & ar ex A BD, ACE font ultimo in duplicata ratione late-
rum AD, AE, QJE.D.

It ■ I. pirf Lemma X.

Spatia, corpus urgente quacunq\', vi regulari defcribit, z£/<?
, ^ //z duplicata ratione t empor um.

Exponantur tempora per lineas AD, AE, & velocitates geni-
tal per ordinatas D B, EC, & fpatia his velocitatibus defcripta
erunt ut area: A BD, ACE his ordinatis defcripta, hoc. eft ipfo
motus initio ( per Lemma IX ) in duplicata ratione temporum
AD, AE. QJE. D.

fc jti Corol. i. Et hinc facile colligitur, quod corporum fimiles fimi-

tu i i-trY lium figurarum partes temporibus proportionalibus defcribentium
errores, qui viribus aequalibus in partibus iftis ad corpora fimiliter
applicatis generantur, & menfurantur a locis figurarum, ad quae
corpora temporibus ijfdem proportionalibus abfq; viribus iftis per-
venirent, funtut quadrata temporum in quibus generantur quam
\' ._y ^ proxime. \' V .

Corol. 1. Errores autem qui viribus proportionalibus fimiliter
i^l^^fJu, - applicatis generantur, font ut vires & quadrata temporum con-
ⁱ\'^t4"^t~\' jundim. Jfo.xi. iu i w.

lyrr. Cl^rcr* . tU- I • . . LenMKl XÎ.

Subtenfa evanefcens anguli contaSim eft ultimo in ratione duplicata
V fubtenße arcm conter mini.

^z\'" ^hiTi Cas. I. Sit arcus ille AB, tangens ejus AD, fubtenfa anguli

conta dus ad tangentem perpendicularis BD, fubtenfa arcus A B.
Huic fubtenfse A B & tangenti A D perpendiculares erigantur A G,
B G,concurrentes in G ; dein accédant pimda D, B, G, ad punda
i, b, g, fitq-,J interfedio linearum BG, AG ultimo fada ubi.
punda D, B accedunt ufq; ad A. Manifeftum eft quod diftan-

tia

[ I

lia G J minor effe poteft quam aiHgnata qu^vis, Eft au tern
( ex natura circulorum per pun£a A B G, A bg tranTeumium )
A B quad, aequale AGx B D8F A h quad. x-
quale Agxbdy adeoq; ratio A B quad, ad
A b quad, componitur ex rationiBus A G ad
A^ 8c B D ad bd. Sed quoniam J G ailii-
mi poteft minor longitudine quavis. a fngna-
ta, fieri poteft ut ratio AC ad A g minus
différât a ratione «quajitatis quam pro
differentia quavis affignata, adeoq; ut ratio
A B quad, ad A b quad, minus différât a ra-
tione BD ad bd quam pro differentia .
quavis affignata. Eft ergo, per Lemma I,
ratio ultima A B quad. ad Ab quad, aequalis
rationi ultimse BD ad bd. Q^E. D.

Cas. 2. Inclinetur jam BD zâAD in angulo quovis dato, 8c
eadem Temper eritratio ultima BP ad bd qux prius, adeoq} ea-
dem ac AB quad, ad Ab quad. Q^E. D.

Cas. g. Et quamvis angulus D non detur, tamen angtili D J
ad aèqualitatem Temper vergent 8c propius accedent ad invicem
quam pro differentia quavis aflignata, adeoq; ultimo aequales e-
runt, per Lem.L 8c propterea line« BD, bd in eadem ratione
ad invicem ac prius. QJE. D.

Corol. i. Unde cum tangentes AD, Ad, arcus A B, A £&e-
orum finus BC, be fiant ultimo chordisiVB, Ab aequales, crunt
etiam ilîorurîi quadrataultimo ut Tubtenfe B D, bd

Corol. i. Triangula re&ilinea AD B, A db Tunt ultimo in tri-
plicata ratione la ter u m AD, A d, inq; TeTquiplicata laterum D B,
db : llrpote in compofita ratione laterum AD Sc. DE, Ad 8c db
exiftentia. Sic 8c triangula ABC, A be Tunt ultimo in triplica-
ta ratione laterum B C, bet

Corol. 3. £_t q_UOniam DB, db Tunt ultimo parallels & in du-
plicata ratione ipfatum AD₀ Ad} eruntarese ultima: curvilineae

M

[34]

ADB, Adb (ex natura Parabolas ) dux tertiae partes triangu-
lorum re&ilineorum ADB, Adb, & Tegmenta AB, Ab partes
tertïx eorundem triangulorum. Et inde hae areae & haec Tegmen-
ta erunt intriplicata ratione tum tangentium AD, Ad\', tumchor-
darum &arcuum AB, Ab.

f

Scholium.

, Caeterum in his omnibus Tupponimus angulum contains nec

^x infinite majorem efïe angulis conta&uum, quos circuli continent

É^TT^Stt t\': ^cum tangentibus Tuis, nec iiTdem infinite minorem ; hoc eft cur-
X^^ÛJtIï^JZ ^vaturam pun&um A, nec infinite parvam eflenec infinite mag-
^nam5 intervallum A J finite efie magnitudinis. Capi enim
^ poteft DBut AD i : quo in caTu circulus nullus per pun£lum A
inter tangentem AD Se curvam AB duci poteft, proindeq; an-
^ZJ^ut^\'stJ^\'\' gulus conta&us erit infinite minor circularibus. Et fimili argu-

mentofi fiat D £ fuccefllve utAD*, ADS, AD⁶, AD7,&c.
habebitur feries angulorum centa&us pergens in infinitum, quo-
rum quilibet pofter ior eft infinite mir or priore. Et fi fiat D B

fuccefiiv^u^A.D², A n , ADr,AD\' ,ADr, AD*, SaThz-
bebittir alia Teries infinita angulorum contains, quorum primus eft
ejufdem generis cum circiibribiis, Tecundus infinite major, Sc qui-
Iibct^-poiierioi\' infinite major priore. Sed & inter duos quoTvis
ex his angulis poteft leries utrinq; in infinitum pergens angulorum
intermcdiorum inferi, quorum quilibet pofteriorerit infinite ma-
jor piiore. Ut fi inter terminos Ap²&AD^ inTeratur Teries
AP¹^3 AIX\',AD *, AD\\ AD\', AD?, ADV, AADij,
See. Et rurTus inter binos quo\'vis angulos hujus Teriei inTeri po-
teft Teries nova angulorum intermcdiorum ab invicem infinitis in-
tervallis differentium. Neqj novit natura limitem.

Qua- de curvis lineis deqj Tuperficiebus comprehenfis demon-
ftrata funt, facile applicantur ad Tolidorum fuperficies curvas &

con-

[35]

contenta. Pramifi vero hxc Lemmata ut cfFugerem tadium dedti-
cendi perplexas deannftraEkmes, more veterum Geometrarum,
ad abfurdum Contra£Hores enim redduntur demonftrationes per
methodum indwifibilium. Sed quoniam durior eft indivifibiliurn
Hypothelisi propterea Methodus ilia minus Geometrica cen- Jy^r^sm

fetur, malui demonftrationes rerum iequentium ad ultimas quail- —A-ww.^^
titatum evan Icentium fiimmas & rationes, primaiq; nafcentium, ^^r.

\' • J J o AxAiysir*

id eft, adlimites fummarum & rationum dedueere, & propterea y^^H^
Iimitum illorum demonftrationes qua potui breuitate pramittere.
His enim idem prxftatur quod per methodum indivifibilium, &
principiis demonftratis jam tutius utemur. Proinde in fequenti-
bus, fiquando quantitates tanquam ex particulis conftantes confi-
deravero, vel fi pro re&is ufurpavero lineolas curvas, nolim in-
divifibilia led evanefcentia divifibilia, non fummas 8c rationes
partium determinatarum, fed fummarum 8c rationum limites Tem-
per intelligi, vimq; talium demonftrationum ad methodum pra>
cedentium Lemmatum temper revocari.

Objeftio eft, quod quantitatum evanefcentium nulla fit ultima
proportioquippe quae, antequam evanuerunt, non eft ultima, u-
bi evanuerunt, nulla eft. Sed 8c eodem argumento «que con ten-
di poffet nullam efie corporis ad certum locum pergentis veloci-
tatem ultimam. Hanc enim, antequam corpus attingit locum, non
efie ultimam, ubi attigit, nullam efie. Et relponfio facilis eft. Per
velocitatem ultimam intelligi earn, qua corpus movetur neqj ante-
. quam attingit locum ultimum & motus ceflat, neqj poftea, fed
tunc cum attingit^ id eft illam ipfam velocitatem quacum corpus
attingit locum ultimum 8c quacum motus ceflat. Et fimiliter per
ultimam rationem quantitatum evanefcentium intelligendam efie _rz> ^ /

——--— ¹ r n J-rrt*r^- <- *- v

^rationem quantitatum non antequam evanelcunt, non poltea,
^d jjuacum evanefcunt. Pariter 8c ratio prima nafcentium eft
ratio quacum naicuntur. Et fumma prima 8c ultima eft quacum
augeri 8< minui ) incipiunt 8c cefiant. Extat limes quem
velocitas in fine motus attingere poteft, non autern tranfgredi.

F 2 Hac

[ 3« ]

Hxc éft veiocitas ultima. Et par eft ratio limitis quantitatum 8c
proportionum omnium incifientium Se ceffantium. Cumq; hic li-
mes fit certus & définit us, Problema eft vere Geometricum eun-
detn determinate- Geometrica vero omnia in aliis Geometricis
determinandis ac demonftrandis legitime ufurpantur.

Contendi etiam poteft, quod il dentur ultime quantitatum e-
Vanefcentium rationes, dabuntur Sc uitimae magnitudines ; Se fie
quantitas otnnis confia bit ex indivifibilibus, contra quam Euchdes
de incommenfurabilibus, inîibro decimo Elementorum, demon-
ftravit. Verum haec Obje&io falfae innititur hypothefi. Ultimae
rationes il!« quibufeum quantitates evanefeunt, révéra non funt
rationes quantitatum ultimatum, fed limites ad quos quantitatum
One limite decrefcentium rationes femper appropinquant, Se quas
propius affequi polïùnt quam pro data quavis differentia, nun-
quam vero tranfgredi, neq; prius attingere quam quantitates di-
nk*^ Ut ^aJ! minuuntur in infinitum. Res clarius intelligetur in infinite magnis.

H quantitates âux quarum data eft differentia augeanturlnlnfî-

nitum, dabitur ha rum ultima ratio, nimirum ratio aequalitatis₅
nec tamen ideo dabuntur quar tirâtes ultimae feu maximae quarum
ifta eft ratio. Igitur in fequentibus, fiquando faciîi rerum ima-
gination! contulens, dixero quantitates quam minimas, vel eva-
nefeentes vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitudine de»
jterminatas, fed cogita femper dioiinuendas fine limite.

SEÇT

< AL~uli ÇylivjVL ct^t^^\'Jy—-Jxta-»^,.^-
y^j jLZ^ .I —IV.

De inventions Vir tum Centripetarum,

Prop. I. Theorema. I. -

Areas quas corpora in gyros acîa radiis ad immobile centrum virium , _f

duSiis defcribunty e> in plants immobilibus confi fiere, & effe tem- ffrff fl^Sj^

poribu-s proportionales. , o- \'

Dividatur tempus in partes aequales, & prima temporis parte ^Â \'
defcribat corpus vi inlïra re&am ^ B. Idem fecunda temporis n
parte,fî nil impediret,re$a pergeret ad per Leg. I ) defcribens
lineam Be aequalem ipiî AB, adeo ut radiis AS, BS, cS ad
centrum a&is,
confe&ae forent
sequales areae A

«SB, B Sc. Ve-

rum ubi corpus
venit ad B, a gat
vis cent ripetaim-
pulfu unico fed
magno, faciatq;
corpus a re&a
B c defleciere &
pergere in refta
B C. IpfÏBSpa-
ralleîa agatur c C
occurrens B C in

C_y & compléta fecunda temporis parte, corpus ( per Legum Go»
rol i ) repe ietur in C, in eodem piano cum triangulo A SB. Junge
SC, & triangu!um5BC, obparallelas SB, Ce, aquale erit trian-
gulo S B c, atq. adeo etiam triangulo SAB. Simili argumento li

vis

C 38 3

vis eentripeta fucceflive agatki C, D, E, &c. faciens ut corpus
fingulis temporis particulis fingulas defcribat re&as CD, DE
E F, &c. jacebunt h« in eodem plano, & triangulum SC D trian-
guloSBC ScSDEipfiSCDSe SEFipfi SDE «quale erit. IE-
qualïbus igitur temporibus «quales are« in plano immoto defcri-
buntur: & componendo, lunt arearum fumm« qu«vis S AL>S,
S AF S inter fe, ut funt tempora defcriptionum. Augeatur jam
numerus & minuatur latitudo triangulorum in infinitum, & eo-
rum ultima perimeter ADper CorollariumquartumLemma-
tis tertii ) erit linea curva; adeoqj vis eentripeta qua corpus de tan-
gente hujus curvae perpetuo retrahitur, aget indefinenter ; areae
vero quaevis defcript« S ADS, S A FS temporibus defcriptionum
femper proportionales, erunt iifdem temporibus in hoc cafu pro-
portionales. D.

Corol I. In mediis non refiftentibus, fiare« non funt tempo-
ribus proportionales, vires non tendunt ad concurfum radiorum.

Corol. 1. In mediis omnibus, fi arearum defcriptio accelerator,
vires non tendunt ad concurfum radiorum, fed inde déclinant in
confequentia.

[ 39 3

B S, Sc in loco C fecundum lineam ipfi cl D parallelam, hoc eft
fecundum lineam C S, &c. Agit ergo femper fecundum lineas
tendentes ad pun dum illud immobik S- QJL. D.

Cas. 2. Et, per Legum Corollarium quin tum, perinde eft five
quiefcat fuperfides in qua corpus defcribit figurant curvilineam,
five moveatur eadem una cum corpore,figura defcripta Sc pundo
fuo S uniformiter in diredum.

Scholium.

Urgeri poteft corpus a vi centripeta compofita ex pluribus
viribus. In hoc cafu fenfus Propofitionis eft, quod vis ilia quae ex
omnibus componitur, tendit ad pundum S. Porro fi vis aliqua
agat fecundum lineam fuperficiei defcriptae perpendicularem, haec
faciet corpus defledere a piano fui motus, fed quantitatem fuperfi-
ciei defcriptae nec augebit nec minuet. Sc propterea in compofi-
tione virium negligenda eft.

Prop. III. Theor. IIL

Corpus omne quod₅ radio ad centrum corporis altering ntcunq\\ matt
du&o, defcribit areas circa centrum iüudtemporibus proportionales,
urgetur vi compofita ex vi centripeta tendente ad corpus alterum

ex vi omni acceleratrice, qua corpus alterum urgetur.
Nam(f per Legum Corol. 6.) fi vi nova, quae sequalis & contraria
fit illi qua corpus alteram urgetur, urgeatur corpus utrumqj fe-
cundum lineas parallelas, perget corpus primum defcribere circa
corpus alterum areas ealdcm ac prius: vis autem qua cor-
pus alterum urgebatur, jam deftruetur per vim fibi äqualem Sc
contrariam, Sc propterea ( per Leg. i. ) corpus illud alterum
^Ve| quiefcet vel movebitur uniformiter in diredum, Sc corpus
P^rimum, urgente differentia virium, perget areas temporibus pro-
portionales circa corpus alterum defcribere. Tendit igitiir (per
Theor. i. ) differentia virium ad corpus illud alterum ut cen-
trum. Q±fi. D.

[ 4° ] i

CoroL i. Hinc fi corpus unum radio ad alterum dudo defcribit
areas temporibus proportionales, atq; de vi tota ( live fimplici,
five ex viribus pluribus, juxta Legum Corollarium fecundum,com-
pofita, ) qua corpus prius urgetur, fubducatur ( per idem Le-
gum Corollarium ) vis tota acceleratrix qua corpus alterum urge-
tur ; vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus
alterum ut centrum. \'......,;..<

CoroL 2. Et fi are« ill« funt temporibus quamproxime pro-
portionales, vis reliqua tendet ad corpus alterum quamproxime.

Corol. 3. Et vice ver fa, li vis reliqua tendit quamproxime ad
corpus alterum, erunt are« ill« temporibus quamproxime pro-
portionales.

CoroL 4. Si corpus radio ad alterum corpus dudo defcribit
areas quae, cum temporibus collat«, funt valde in«quales, & cor-
pus illud alterum vel quieicit vel moVetur uniformiter in direct-
um; adio vis centripetaé ad corpus illud alterum tendentis, vel
nulla eft, vel mifcetur Sc componitur cum adionibus admodum
potentibus aliarum virium: Vifq; tota ex omnibus, fi plures funt
vires, compofita, ad aliud ( five immobile five mobile) centrum
dirigitur,?circum quod «quabilis eft arearum defcriptio3 Idem ob-
tinet ubi corpus alteram motu quocunq5 movetur, fi modo vis
centripeta fumatur, qusereftatpoft fubdudionem vis totius agen-
tis in corpus illud alteram.

yYh- QM.GJI. t^r&i tl 1 tó\'A*\'

^ £cl defi\'uu*.*-- _{0 y} f.

" bcholtum

\' \' ; • . f

Quoniam «quabilis arearum defcriptio Index eft centri quod
vis ilia refpiv.it qua corpus maxime afficitur, fcorpus autem vi ad
hoc centrum tendente retinetur in orbita fua, Sc motus omni?
circularis rede dicitur circa centrum illud fieri, cujus vi/co -pus re-
trahitur de motu redilmeo Sc retinetur in Orbita: quidni ufur-
pemus in fequentiBus «qiiabilem arearum defer iptïonem ut Indi-
cem centri circum quod motus omnis circular is in fpatiis liberis

N ¹ .co i. ■ ¹

peragitur? ¹

Prop.

MM

C 4i 3

Prop. IV. Theor. IV.

Corporum quœ diverfos circulos œquabili motu defer ibutrt, vires een-
tripetas ad centra eorundem circulorum t ender e, & effe inter fe
ut arcuuM femul defcriptoritm quadrat a applicata ad circulorum ra-
„u dios. •z.c-.:

z-^c^ Corpora ß, b in circumferentiis circulorum B D, bd gyran-
³tia, fimul deferibant arcus BD, bd. Quoniam fola vi infitade-
feriberent tangentes BC, be his areubus aequales, manifeftum
eft quod vires centripetae funt quae
perpetuo retrahunt corpora de
tangentibus ad circumferentias
circulorum, atq; adeo hx funt
ad invicem in ratione prima fpa-
tiorum nafeentiumCD, cd: ten-
dunt vero ad centra circulo-
rum per Theor. II, propterea
quod areae* radiis deferiptae po-
nuntur temporibus proportiona-
les. Fiat figura thj? figurae D
CB fimilis, & per Lemma V,
lineola C D erit ad üneolam hj ut

arcus BDad arcumb t : nec non,per Lemma xi, lineolanaicens
th^ ad lineolam nafeentem de ut bt quad, ad bd quad. Sc ex ae-
quo lineola nafcens DC ad lineolam nafeentem de Ut BD xbt

11 I I r J • J n ^BDxbt 1 bd quad.

ad bd quad. leu quod perinde elt, ut ——— ad — ¹

b t I? D

deo\'q■ C ob aequales rationes- Sc—- ) ut
- à l? o b

QJß. D.

Corol. I. Hinc vires centripetae funt ut velocitatum quadrata
applicata ad radios circulorum.

Corol. 2. Etreeiproce ut quadrata temporum periodicorum ap-

G pli-

L ² J

plicata ad radios ita iunt hae vires inter fe. Id eft ( ut cum Ge-
ometris loquar ) hae vires ftmt in ratione compofîta ex duplicata
ratione velocitatum direöe & ratione fimplici radiorum inverfe:
necnon in rationecompofita ex ratione fimplici radiorum dire&e
Sc ratione duplicata temporum periodiconjm inverfe.

Corol. g. Unde fi tempora periodica aequantur, erunt tum vi-
res centripetae tum velocitates ut radii, & vice veria.

Corol. 4. Si quadrata temporum periodicorum funt ut radii,
vires centripetae iunt aequales, Sc velocitates in dimidiata ratione
radiorum ; Et vice verfa.

Corol. Si quadrata temporum periodicorum funt ut qua-
drata radiorum, vires centripetal funt reciproce ut radii, & ve-
locitates squales; Et vice verfa.
. - , . Corol. 6. Si quadrata temporum periodicorum funt ut cubi ra-

C*A*~ lut*. fuyua.J~₇ ifa rY • . --------4________.. __ -L __-L _____________________ _ ________

diorurn, vires çerïtripetae Iunt reciproce ut quadrata radiorum j
iz^j^io^ u^r. velocitat^s_vaii,teni in radiorum dynidiata ratione : Et vice verfa.

Corol. 7. lïadem omnia de\'témporibus, velocitatibus Sc viribus,
quibiis corpora iimiles figurarum quarumcunq; fimilium, centraqj
\'f^if-^ , fimiÜter pofita habentium, partes defcribunt, confequuntur ex
^ Demon ft ratione praecedentium ad hofce cafus applicata.

• V ,- f&rUtM 4 ?tré fa

i t —— - / !

? \' ^ - - -

Scholium

Cafus Corollarii fexti obtinet in corporibus caeleftibus ( ut fe-
orfum colligerunt etiam noftrates Wrennus, Hookius Halleus )
Sc propterea quae lpechnt ad vim centripetam decreicentem in
^ duplicata ratione diftantiarum a centris dccrcvi Tullus inlequenti-
f-^r\' bus exponere.

Porro praecedentis demonftrationis beneficio colligitur etiam
proportio vis centripet«\' ad vim quamlibet notam, qualis eft ea
gravitatis. Nam cum vis illa, quo tempore corpus percurrit
arcums BC, impellat ipfum per fpatium CD, quod ipfo motus
^ ^ _VT initio aequale eft quadrato arcus illius B D ad circuli diametrum
—applicator Sc corpus omne vi eadern in eandem femper plagam
£ - w^: e4- vc con-

C 43 ]

continuata, defcribat fpatia in duplicata ratione temporiimj Vi^ ?
ilia, quo tempore corpus revolvens arcum quem vis datum de-
fcribit, efficiet ut corpus idem reda progrediens defcribat fpati- MfÛX^S
um quadrato arcus illius ad circuli diametrum applicato sequale^
adeoq; eft ad vim gravitatis ut fpatium illud ad fpatium quod
grave cadendo eodem tempore deferibit. Et hujufmodi Propoll-
tionibus Hugenius, in eximio fuo Tradatu de Horologio ofcillato-
rio, vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit.

Demonftrari etiam pofiimt praecedentia in hunc modtim. In
circulo quovis defcribi intelligatur Polygonum laterum quotcunq;
Et fi corpus in Polygoni latenbus data cum velocitate movendo,
ad ejus an^ulos fingulos a circulo refledatur ^ vis qua fingulis re-
flexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas, adeoq;
fumma virium in dato tempore erit ut velocitas ilia & numerus re-
flexionum conjundim, hoc eft ( fi Polygonum detur fpecie ) ut
longitudo dato illo tempore defcripta & longitudo eadem appli-
cata ad Radium circuli, id eft ut quadratum longitudinis illius ap-
plicatum ad Radium:, adeoq;fiPolygonumlateribus infinite dimi-
nutis coincidat cum circulo, ut quadratum arcus dato tempore
defcripti applicatum ad radium. Haec eft vis qua corpus urget
circulum, & huic sequalis eft vis contraria qua circulus continuo
repellit corpus centrum verfus.

Prob. I.

Prop. V.

Data qmbiifcwjcfi in locis velocitate, corpus figurant datant vir h

his ad commune aliquod centrum tendentibus deferibit, centrum ^^itlß^^

-IÏ i , - Vin. .

tlLud invemre.

Figuram deferiptam tangant red« très fT, Tßj⁷, VR in
pundis totidem F, (2_, K., concurrentes in T& V. Ad tangen-
tes erigantur perpendicula F A, QB, RC, velocitatibu s corpo-
ris in pundis illis F, R a quibtis eriguntur reciproce pro-
portional; id eft ita ut GtP A ad QJ> ut velocitas in Ojid ve-
îoeitatem inP_} ScQB ad RC ut velocitas in R ad velockatem

G 2

îiuua. /il .if, -

■ C 44 ]

in Per perpendiculorum terminos A, B, C ad angulos rect-
os ducantur AD, DBE, EC concurrentia in DScE: Et a£tx
TD, VE concurrent in centro quafito S.

Nam cum corpus in P Sc Q^
radiis ad centrum du&is areas
defcribat temporibus propor-
tionales, fintqj areae illse fi-
mul defcriptae ut velocitates
in P Sc Q^jdu&ae refpe&ive in
perpendicula a centro in fcan-
gentes P T, Qj demifia: E-
runt perpendicula ilia ut ve-
locitates reciproce, adeoq; ut
perpendicula A P, B Q_di-

re&e, id eft ut perpendicula a pun&o D in tangentes demifia.
Unde facile colligitur quod pun&a S, Z>, T funt in una re&a.
Et fimili argumento pun&a S, E, V funt etiam in una re&a j Sc
propterea centrum S in concurfu re&arum TD> VE verfatur. O.^

E. £>.

j^xvwt- cfi^-l-u^r j-<l- tlx*-- «ci c*

Pro, VI. Theor. V.

.p-rlrU.yCtTCYl r .
\' XX * \'X •

»Si corpus P revolvendo circa centrum S, defcribat Iweam quamvis
cmvam A P tan gat <vero reSia Z P R cur v am ill a m in pun cl o
quovis P, &> ad tangent em ab alio quovis curva punSîo Qjigatnr
QR diflantiœ SP par alle la, ac de mitt at ur 01 perpendicidaris ad
dijlantiam S P : Dica quod vis cent rip et a jit reciproce ut Jo-

lid u m ff ^ qftad.xQj^quad^ p j-^. ^ jemper fu-

. vit - xvi

matur quantitas qua
tibi coeuntpunBa P & Q^
Namq; in figura indefinite
parva OR P T lineola nafcens
QR, dato tempore, eft ut vis
ccntripeta ( per Leg. II. ) Sc

"j f
2 i

J. C r-M-T<> T.

^f. _% ejvya £__JET \' ~

E 45 ]

data vi, ut quadratum temporis ( per Lern. X. ) atq; adeo, neu-
tro dato, ut vis centripeta &: quadratum temporisconjunóHm,ade-
oq; vis centripeta ut lineola QR direâe & quadratum temporis
in verfe. Eft au tem tempus ut area S P <2_-,e;usve dupla S P x Qjf_y ~ZI
ld eft ut SP &£jconjun&im, adeoq; vis centripeta ut QR di- ^rM^^rgX

rede atq₅SP quad.mQT ^.inverfe, id eft ut ^^.xQjguad. ^zZlm^J

QJ

inverfe. Q^JE. D.

Corol. Hinc fi detur figura quaevis, & in ea punclum ad quod
vis centripeta dirigitur, inveniri poteft lex vis centripetae qux

tandumeft folidum huic vi reciproce pro- •

QjS- _ CZj. V f)M?^:)y

portionale. Ejus rei dabimus exempla in problematis fequenti- O I\'.\'«⁷ /ivt-^bt^

* ^\' jrrrp-VH} \'i/St—fur. <7 r^ — y - ƒ>«ƒ \'•

47p^J-\'Lrd _Ty , Vttt

_ _f . f ^y Wii\'^r^L^li^ jtrrj . IJC

Prop. VII. Prob. II.

Cyretur corpus in circumferentia circuity requiritur lex vis cent ripe- ^ ^ ^
ta tende?2tis adpunEtum aliquod in circumferentia datum.
Efto circuli circumferentia S centrum vis centripetae ■ ^/cr ^

S,corpus in circumferentia latum —

P, locus proximus in quemmo* ^

vebitur Ad diametrum Syi
& retxam S P demitte perpendi-
cula P K, 0_T> & per Ojpfi S P
parallelam age L iv occurrentem
circulo in L & tangenti P iv in
K, & co-ant TfiJ PR in Z.

Ob fimilitudinem triangulorum 2 , ZTP, S ? A erit R P
quad, ( hoc eft Q_RL ) ad QT quad, ut S J fW. ad SP quad.

ftrgo^JLaequatur QT quad. Ducantur hzc aequa-

Ik

[4*3

lia in _? Sc pun&is P & 2j:oeuntibus, fcribatur S P pro R L

8k Retell? «quale Qll^ll. Ergo ( per Corol. Theor. V.)
S Aq ^ QK ^v 7

Ap

vis centripeta reciproce eft ut ^i^ id eft ( ob datum S A quad )

o Aq

ut quadrato-eubus diftanti« S P. Quod erat inveniendum.

Prop. VIII. Prob. III.

Moveatur corpus in circulo F Q_A : ad hunc effe&um requiritur lex
vis centripeta tendentk adpmStum adeo longinqmm, ut linea om-
nes V S, R S ad id duEirf, pro parallels haberi poßint.
A circuli centro C agatur {emidiameter C A parallelas iftas per-
pendiculariter fecans in M & N, & jungantur C P. Ob fimilia
triangula CPM, & TPZ, vel
C per Lern. VIIIJ TP 2,eft C Pq.
ad P Mq. ut P Q_q. vel ( per Lern.
VII. Kq. a dQTq. & ex natu-
ra circuli reftangulum QJl x R N
fiN «quale eft P R quadra-
to. Coeuntibus autem punöis
P, Otit RN QN «qualis 2PM.
Ergo eft C P quad. ad P M quad*,
ut OR x a PMad OJ\' quad, ade-

pTmiad. 1 2PMcub. ₀ OTquad, xSP quad.

oq; ¹- «quale . ßcr^l- —^l-—— «quale

¹⁵ OR ¹ CPquad.⁵ . QR ^l

zFMwb. x SVquacL p_ft , Corol. Theor. V. j) vis cen-
Cfqnad. ^{6 v r}

tripetareciproce ut -^^cub. xSPqdad^ j_{iQC c}ß. ^ negleda rati-

C P quad. ----------

ore^termimta reciproce ut P M cuk 0._E. J-

Scho-

Scholium.

Et fimili argumento corpus movebitur in Ellipfi vel etiam m
Hyperbola vel Parabola, vi centripeta quae fit reciproce ut cu-
bus ordinatim applicatae ad centrum virium maxime longinquum
tendentis.

Prop. IX. Prob. IV.

Gyretur corpus in fpirali P £?S fee ante radios omnes S P, S Q^
in angtdo dato: Requintur lex
vvs centripeta tendentk ad cen-
trum fpiralis.

Detur angulus indefinite par-
vus P S & ob datos omnes
angulos dabitur fpecie figura
S P QR T. Ergo datur ratio

g, eftq;-^?—utQl\\ hoc eft ut SP. Mutetur jam ut-

conq; angulus PSß_, & recta QR angulum contaflus QjPR
fubtendens mutabitur ( per Lemma XI. ) in duplicata ratione

ipfius P R vel 07\'. Ergo manebit^l^\' eadem quse prius,

hoc eft ut S P. Quare eft ut ST cub. id eft ( per Co-

rol. Theor. V. ) vis centripeta uteubus diftantiae SP. QJL.J*

Lemma XII.

Parallefogramma omnia circa dot am Ellipfin defcripta effe inter fe

quaha. I Idem int eilige de Parallelogramwk in Hyperbola circum \'ft*** ^c.-iefi
Aiametros ejus deferiptk.ï ^

Con (tat utrumq-, ex Conicis. /.

Prop. X. Prob. V.

Gyretur corpus in Elhpfi; requiritur lex vis centripetoc tendentk ad
centrum Ellipfeos.
Sunto CAyCB
femiaxes Ellipfeos}
GP, DK diame-
tri conjugate P F,
Q~J perpendicula
ad diametros} Qv
ordinatirn applica-
ta ad diametrum
G P-₀ 8c fi complea-
tur parallelogram-
mum Qjp K P, erit
(~ex Conicis)P v G
^ad Qv quad, ut
PC quad, ad CD
quad. & C ob fimi-
lia triangula Qv t,?CF)Qv quad, eft ad quad, ut P C quad.
ad P Fquad. 8c conjuncHs rationibus, P v G ad Q± quad, ut P C quad.

ad C D quad.8c P C quad, ad P F quad, id eft v G ut P C

Pv

quad, ad . Scribe OJi pro P v, 8c ( per Lemma

xii.) BC xC A pro CD x? F_y nec non (pun£fis P &<2j:oeun-

tibus ) 2 P C pro v G, & du&is extremis 8c medijs in fe

£ j2l<?X PCq , 2 BC q X CAq r^r, ,

mutuo, het^^j-—¹ «quale-^--¹ Eft ergo ( per

CoroL Theor.V.J) vis centripeta reciproce id eft

(ob

r 49 ]

I

ob datum i BC q.x C A ) at ... , hoc eft, dire&e ut diftantia
-~———-- P C ~ "

PC OJL. I

Corol. 1. Unde virilism ft vis (it ut diftantia, movebitur corpus
in Ellipfi centrum habentc in centro virium, aut forte in circulo,
in quem Ellipfis migrare poteft.

Carol. 1. Et aequalia erunt revolutionum in Figuris univerfis
circa centrum idem fa&arum periodica tempora. Nam tempora
ilia in Ellipfibus fimilibus gequalia font per Corol. 3 cc j Ftop.
IV: In Ellipfibus autem communcin habentibus axem majorem,
font ad mvicem ut Ellipfeon areae totx direde & arearum parti-
cular limul defcriptae in verier id eft ut axes minores dire&e &
corporum velocitates in verticibus principalibus inverfe, hoc eft:
lit axes illi dire&e 8c ordinatim applicatae ad axes alteros inverfe,
& propterea (f ob aequalitatem rationum dire&arum 8c inverfa-
rum ) in ratione sequalitatis.

Scholium.

Si Ellipfis, centro in infinitum abeunte, vertatur in Para bo
lam, corpus movebitur in hac Parabola, 8c vis ad centrum infini
te diftans jam tendens, evadet aequabilis. Hoc eft Theorema
Galilei. Et fi Conifeâio Parabolica, inclinatione plani ad conum r_y.

fe&um mutata, vertatur in Hyperbolam, movebitur corpus in
\'us perimetro, vi centripeta in centrifugam veria. jr* ^^^^

OO r_y

SECT

SECT. III.

De motu Corporum in Conick Se&ionibus excentrick;

Prop. XL Prob. VJ.

Rcvolvatur corpus in EUipfi: Reqniritnr lex vk centripette tender
tk ad, wnbilicum Ellipjeos.

Efto Ellipfeos fuperioris umbilicus S. Agatur SP fecans Ellip-
feos turn diametrum DK in E, turn ordinatim applicatam Qjy
in x, a compleaturparaUelogrammum QxPR. Patet £P a>

frvu oil-tv — | rr r \' ______

i, elle lemi-

7c.Ac.hy.7j,c. _axi majori AC, eo

quoda&aab altero
Ellipfeos umbilico
H linea HI ipfi E C
parallela, (f ob x-
quales C C H )
sequentur ES,E/,a-
deo utEP fernifum- M
ma 1ft ipfarum P S,
PI, id eft ( ob pa-
rallelasHJ, PR&
angulos «quales IP

R_y H?Z ) ipfo- ___

rum PS, P H, quae

conj\'undim axem totum i AC adaequant. Ad SP demittatur
perpendicularis 0J\\ & Ellipfeos latere re a o principali (feu

v^n^ iBC quad, x _{d{&o L} cnt"_L x OR ad Lx P ^ ut OR ad P ^
id eft ut P E ( feu AC ) ad P C: & L x P w ad G ^ P ut L ad G ^

5 t- . v, "P^sy^^jy^ f-^-- / y ^ ^; \'

4 T1 " -I 4 T ^ S

U, ^1-y y^ylrrC* «? ^x* * t _ -v-,

[ D

& G v P ad Qjv quad.ut C P quad.zd C D quad_y8c( per Lem. VIII.)

quad,ad «25 ^Wpimctis P coeuntibus, eft ratio aequa-
litatis, 8c Qj quad, feu Qjz> quad, eft ad OJ quad, ut E P quad.
ad P Fquad_y id eft ut C A quad, ad P Fquad. five Cper Lem. XII.)
ut CD quad, ad CB quad. Et conjun&is his omnibus¹ rationi-
bus, LxORfit ad QJ\' quad, ut AC ad .PC L ad Gv CPq
zdCDq C D q. ad C B q. id eft ut A CxL( feu 2 CBq.)xC-
P q. adPCxGvxCBq. live ut 2 PC ad G v. Sed pundis O
&P coeuntibus, aequantur 2 P C 8c G v. Ergo 8c his proportion
nalia L x O R 8c Qjquad. aequantur. Ducantur h«c aequalia in

8c fiet L x S P q.xquale ^v!>i Ergo ( per Corol.

Theor. V.J)vis centripeta reciproce eft ut L xS P q. id eft

recipro-

ce in ratione duplicara diftantiae S P. QjE. I.

I adem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabo-
la in, & Hyperbolam, liceret idem hie facere: verum ob dignita-
tem Problematis 8c ufum ejus in fequentibus, non pigebit cafus
cseteros demonftratione confirmare.

Prop. XII. Prob. VII.

Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur lex vis centripet^e tenden-
tis ad umbilicwn figure.

Sunto 0A, CB femi-axes Hyperbolae; PG, KD diametri
conjugate j P F, Oj_ perpendicula ad diametros; 8c Qjv ordina-
tim applicata ad diametrum G P. Agatur S P lecans turn diame-
trum D K in E, tumordinatim applicatam Qjv in x, 8c comple-
atur parallelogrammum O K P x. Patet E P «qualem cfle femi-
^axi tranfverfo A C, eo quod, acta ab altero Hyperbolae umbilico
H linea HI ipf] E C parallela, ob aequales C S, C H, aquentur E S,
E Ij adeo ut E P femidifferentia lit ipfarum P S, P I, id eft ( ob
parallels HI, PK.& angulos «quales IPK, HPZ) ipfarum
quarum differentia axem totum 2 ACadaquat. AdSP

G 2 de-

.[ ]

demittatur perpendicularis Qj. Et Hyperbolae latere redo
principal! ( feu ) h ^erit L x 2J- ad L x P * ut QR

AC

ad Pv, id eft, ut PE (feu ^C)adFC; Et LxPvadGvP
lit L ad G V, Sc G <v P ad Qv q. ut C P q.
ad C D q} & ( per Lem. VIII. ad

Qjcq, pundis Q^Sc P coeuntibus
fit ratio «qualitatif Si Ox q. feu
Qjvq.ék adfiT^.utEPq. adPFq,
id eft ut C A q. ad P Fq_y five (per
Lem. XII. ) utCD^. a,d
CBq: Sc conjundis his om-
nibus rationibus L x QJL fit
ad Qjf q.ut AC
ad P C L ad
G <v C F ^,ad
CDq. CDq.
ad C B q: id eft
ut AC x L (feu
iBCq.>F-
C q. ad F C x
Gv x C B quacL
live ut 2 FC
ad Gz> _y fed
pundis

coeuntibus ae-
quantur 2 P C

& G v. Ergo Sc his proportîonatia L x OR & QjTq° seqnantur.

Ducantur hxc zqmlh in llLll Sc fiet LxSPû. xquale

QR ^{1 L} QR

Ergo C per Corol. Theor. V. ) vis centripeta reciproce eft ut
Lx SP q_y id eft in ratione duplicata diftantïae SP. L

Ec-

[ 53 ]

Eodem modo demonftratur quod corpus, liac vi centripeta in
ccntrifugam verfa, movebitur in Hyperbola conjugata.

Lemma XIII.

Latus reSlum Parabola ad verticem quemvk pertinens, eß quadru-
plem dtftantia vertick illim ab umbilico ßgura. Fatetex Conicis. ^ cMu, ^j^k-^Ji-.

Lemma XIV- .v,^.

Perpendiculum quod ab umbilico Parabola ad tangentem ejus- demit-
titur, medium eß proportionale inter dißantias umbilici a punlio
coniaSius a vertice principali ßgura.

Sit enim A P ßjarabola, S umbilicus ejus, A vertex princi-
palis,P punö-

urn contad -
us, P 0 ordi-
narii« applica
ta ad diame-
trum princi-
palem, PM
tangens dia-
metro princi-
pali oceiir-

rens in M_ySc S N linea perpendicularis ab umbilico in tangentem.
Junpattir A N, Sc ob sequales MS Sc SP, M N Sc NP, MA Sc
AO^ parallels erunt rc&x ANScOP, & inde triangulum SAN
redangulum erit ad A Sc flmile triangulis aequalibus SM N, S P N,
Ergo F S eft ad SN ut SN adS yi. (FE D.

Corol. ï. F S </.eft ad SNq.ut P S ad S A.
Corol. Et ob datara -eft SNq.ut PS.

tangentis cujufvis P M cum recta S N

Prop. XIII. Prob. VUL

Moveatur corpus in per/metro FaraboL-e: requiritUr Lex vis centripe-

tc€ t endent k ad umbilicum hujm jjgurœ.

Mancat conftruclio Lemmatis,fitq; P corpus in perimetro Para-
bole, 8c a loco Qjn quem corpus proxiine movetur, age ipfi S P
ParallelanigJK. & perpendicularem necronQv tangcntipa-
ra Hela m 8c occurentem turn diametro TPÖ in v, turn diftantiae
S P in x. Jam ob fimilia triangula Pxv, MS P Sc aequalia unius
latera S M, S P, aequalia funt akerius latera P x ieu OJL 8c P v.
óed, ex Conicis, q uadratirai ordinatae Qjv séqUale èuredangUlo
fub latere redo 8c fegmento diametri Pv, id eft ( per Lem.XlII. )
re&angulo 4 PSxPv feu4PSx Q_R-, 8c puncHs P& gjcoeun-
tibus, ratio Qjv ad Qjc ( per Lem. 8. ) fit œqualitatis. Ergo
ÇFx q. eo in

cafu, sequale " ^G

efi re&angu-
lo

4 P S xGL
R. Eft au-
teur ( ob 3E-
quales angu-
los 0_x T, Ä

m^ys, p mo )

Qxq. ad QTq.

ut P S q. ad SNq. hoc eft ( per Corol. I. Lern. X IV. ) ut P S ad
AS, id eft ut 4 P £ X QR ad 4 ^ S x OR, 8c inde ( per Prop,
p. Lib. V Eiern. ) Qjq. 8c. 4 A S x CLR aequantur. Ducantur

, . SPq. ç c . SP\'^.xQjV.

h*c aequalia m ^, &het _

8c propterea (f per Corol. Theor. V.) vis centripeta eft recipro-
ce ut SPq.x a. A S, id efi, ob datam reciproce in dupli-

cata ratione diftantiae S P. E. I.

Corol.

C « 3

Corol. I. Ex tribus novitfmiis Propofitionibus confequens eft,
quod fi corpus quodvis P, fecundum lineam quamvis reäam P iv,
quacunq; cum veiocitate exeat de loco P, & vi centripeta quae fit
reciproce proportionalis quadra to diftantiae a centro, fimul agite-
tur j movebitur hoc corpus in aliqua lectionum Conicarum umbi-
licum habente in centro virium; & contra.

Corol. H.Et fi velocitas,quacum corpus exit de loco fuo P, ea fit,
qua lineola P R in minima aliqua temporis particula defcribi po-
filt, & vis centripeta potis fit eodem tempore corpus idem move-
re per fpatium (\\R: movebitur hoc corpus in Conica aliqua fe&-

ione cujus latus reäum eft quantitas ilia quae ultimo fit ubi

lineolae P R, QJL in infinitum diminuuntur. Circulum in his
Corollariis refero ad Ellipfin, 8e cafum excipio ubi. corpus recta
defcendit ad centrum.

Prop, XIV. Theor. VI.

S 9

Si corpora phtra revolvantur circa centrum commune, & vis centri-
peta decrefcat in duplicata ratione diflantiarum a centro ; dico

quod Orhium hat er a recia funt in duplicata ratione are arum quas ^{ß^ k
corpora, radiis ad centrum duciis^ eodem tempore defcribmt.
Nam per Corol. IL Prob. VIII. Latus reöum L aequale eft

O "Ta

quantitati^jjr ultimo fit ubi coemit puncfa P & CK

linea minima gjl, dato tempore, eft ut vis centripeta generans,
hoc eft ( per Hypothcfin J) reciproce ut S P q. Ergo eft

^m QJ q- xS P q. hoe eft, latus reclum L.in duplicata ratione a-

03 x $ P. QJE. D.

Corol. Hinc Ellipfeos area tota, eiq; proportionale revianen
lum lub axibus/cTt in ratione compofita ex dimidiata ratione late
ris reai & integra ratione temporis periodici.

Prop. XV. Thcor. VIL

J is dein poßlis, dico quod temper a periodica in Ettipßbus funt in rati-

one fefquiplicata tranfverjorum axium.

Naraq; axis minor eft medius proportionalis inter axem ma-
jorem ( quem tranfverfum appello ) & latus re£him, atq; adco
redangulum fub axibus eft in ratione compofita ex dimidiata rati-

on _one laterisredi & fefquiplicata ratione axis tranfverfi. Sed hoc

reóiangulum, per Corollaiium Theorematis Sexti, eft in ratione
compolita ex dimidiata ratione lateris re£H & integra ratione pe-
riod ici temporis. Dematur utrobiq; dimidiata ratio lateris re&i
& manebit fefquiplicata ratio axis tranfverfi aequalis rationi peri-
odic! temporis. Q^E. D.

Corol. Sunt igitur tempora periodica in Ellipfibus ead\'-m
ac in circulis, quorum diametri sequantur majoribus axibus El-
lipfeon. sp

Y^Z YtL^ M-oTRictA1 c^^it^U^*. /

IIATJUC-IHC ; ^r^^^

Prop. XVI. Theor. VOL

dof

^t.y. r ^ ^Jisdempofitkj & aciis ad corpora lineis reSlh, quœ ibidem tan gant

\' orbit as, demiffifq\\ ab umbilico communi ad has tangentes perpen-
dicrdaribus : dico quod velocitates corporum funt in ratione compo-
ITZTq^- 7Z. ■ ^5?*^lT fi^{ta ex ra}&^one perpendiculorum inverje & dimidiata ratione late-

_______rum reeïorum dire&e. VideFig. Prop. X. &. XL

Tl^Hlhll: Ab umbilico S ad tangentem F R demitte perpendiculum S T

T* * sy ><=> sit, sv. . O r r ■*■

~^rHf & velocitas corporis F erit reciproce in dimidiata ratione quanti-
- - STq.

L

in data temporis particula deferiptus, hoc eft ( per Lern. VIL )
ut tangens FR, id eft ( ob proportionales F R ad QT Se SP ad

S r ; ut —|^₃five ut sr reciproce & CT xßT dire&e;e%

_ f^

(SPx

[ 57 ]

S P x OJ ut area dato tempore defcripta, id eft, per Theor. VI.
indimidiata ratione lateris redi D.

Corol. i. Latera reda funt in ratione compofita ex duplicata
ratione perpendiculorum Se duplicata ratione velocitatum.

Corol. 2. Velocitates corporum in maximis 8c minimis ab um-
bilico communi diftantiis, lunt in ratione compolita ex ratione ^
diftantiarum inverfe 8c dimidiata ratione laterum redorum di-
rede. Nam perpendicula jam funtipfae diftantiae.

Corol. Ideoqj velociras in Conica fedione, in minima ab _f

umbilico diftantia, eft ad velocitatem in circulo in eadem accn-
tro diftantia, in dimidiata ratione lateris redi ad diftantiam illam
duplicatam. ^^ ui^^-t ^ c

Corol. 4, Corporum in Ellipfibus gyrantium velocitates in
medioeribus diftantiis ab umbilico\'communi funt eadem quae cor-
pön*m gyrantium in circulis ad eafdem diftantias, hoc eft ( per
Corol. VI. Theor. IV. ) reciproce in dimidiata ratione diftantia»
rum. Nans perpendicoja jam funt femi-axes minores, Sc hi funt
ut mediae proportionales inter diftantias Sc latera reda. Compo-
natur hxc ratio inverfe cum dimidiata ratione laterum redorum
direde, Sc fiet ratio dimidiata diftantiarum inverfe.

Corol. 5. In eadem vel aequalibus figuris, vel etiam.in figuris A^ 2
inaequalibus, quarum latera reda funt sequalia, velocitas corpo- ° W
ris eft reciproce ut perpendiculum demiffurn ab umbilico ad tan-
gentem.

<k

Corol. 6. In Parabola, velocitas eft reciproce in dimidiata ra-
tione diftantias corporis ab umbilico figura-, in Ellipfi minor eft,
in Hyperbola major quam in hac ratione. Nam ( per Corol. 2
Lern. XIV. ) perpendiculum demi (Tum ab umbilico ad tangen-
tem Parabolse eft in dimidiata ratione diftantiae.
^<fUrfr\']r^lU\\ Corol. 7. In Parabola, velocitas ubiqj eft ad velocitatem corpo-
ns revolventis in circulo ad eandem diftantiam jn dimidiata ratione
numeri bimrii ad unitatenr, in Ellipfi minor eft,in Hyperbola ma-

O⁸ 3

jor quam in hac ratione. Nam per hujus Corollarium fecun-

dum, velocitas in verrice Parabol« eft in hac ratione, Sc per Co-
rollaria fexta hujus Sc Theorematis quarti, iervatur eade:^ pro-
portio in omnibus diftantiis. Hinc etiam in Parabola velocitas
ubiq; aequaliseft velockati corporis revolventis in circulo ad di-
midiam diftantiam^ in Ellipli minor eft, in Hyperbola major.

Corol. 8. Velocitas gyrantis in Se&ione qua vis Conica eft ad ve-
locitatem gyrantis in circulo in diftantia diimdii lateris re£H Se$-
ionis,^ut diftantia illaad perpendiculum ab umbilico in tangen-
sy. tem Se&ionis demifTum. Patet per Corollarium quintizm.

Corol 9. Linde cum ( per Corol. 6. Theor. IV. ) velocitas
fy_v£ri f ^{< 7}C^r\' gyrantis in froc circulo fit ad vclocitatem gyrantis in circulo quo-
vis alio, reciproce in dimidiata ratione diftantiarum j fiet ex ae-
quo velocitas gyrantis in Conica feétione ad velocitatem gyrantis
Or< ⁱⁿ circulo in eadem diftantia, ut media proportionalis inter diftan-
tiamillam com muri em & femiflem lateris re£H fecHonis, ad per-
pendiculum ab umbilico communi in tangentem fe&ionis de-
miiium.

Prop. XVII. Prob. IX.

fv.y. H-yfy. qutriiur line a quam corpus dejcribit, de loco dato cum datavelo-
citate fecund um dat am reSiam egrediens.

J O

Vis centripeta tendens ad punchim S ea fit quae corpus p in
_orbita quavis data pggytive faciat, \'Sccognofcatur hujus veloci-
tas in loco p . De loco P fecundum Iiiieam P li exeat corpus P
^^ vU^l^p-yv cum data velócitate, Semoxinde, cogente vi centripeta, dcüeót-
\'j^l^Y** at illud in ComfedionemHanc igitur recta P R fanget in
F, Tangat itidem recta aliqua^r orbitam pq in p₇ Sc fiab S
ad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit ( per
Corol ï. Theor. VUL ) latus recium Coxliie&ionisad latus red-

iim-

C^STZj. ^rrM. I.

>v

C 5P J

um orbit« dat«, in ratione comporta ex duplicata ratione per-
pendiculorum & duplicata ratione velocitatum, atqj adeo datur.
Sit iftud L. Datur
pr«terea Conife&i-
onis umbilicus S.
Anguli HPS cora-

plementum ad du-
os re&os fiat angu-
lus RPH, & dabi-
tur pofitione lihea

P H, in qua umbilicus alter H locatur. Demiflo ad P 0 perpen- ^ _S7._V?H|

diculo S K,& ere£ta femiaxe conjugato B C,eft S F q. — afP H;f
PHq.Cper Prop. 13. Lib. ILElcm^SHf. ~ 4C H*. = 4 £H_f.
-^BCq. = SP P HgW. — L x S P P H=S P f. 2 SPH
PH^. ~ LxSP .PH. Addantur utrobiq; 2 K PH-j-Lx
SP P H- S P q. - P fiet L x S PT\'P 11=2 SPH 2 K-
PH, feuSP-f PHadPH ut 2 ST-f 2 KP ad L. Onde datur
P H tarn longitudine quam pofitione. Nimirum fi ea fit corpo-
ris in P vclocitas, ut latus re&um Lminus fuerit quam 2 -SP-}- 2
K P, jacebit P H ad eandem partem tangentis P R cum linea P S,
adeoq; figura erit Ellipfis, & ex datis umbiiicis S, H, 8c axe prin-
cipali S P -f P H, dabitur: Sin

tanta fit corporis vclocitas ut la-
tus rectum L squale fuerit 2 S P-f 2 If P, longitudo P H infinita
erit, & propter ea figura erit Parabola axem Iiabens S H parallel«
um line« Pif, & inde dabitur. Quod fi corpus majori ad hue
cum velocitate de locofuo P exeat, capienda erit longitudo PH
ad alteram partem tangentis, adeoqj tangente inter umbilicos
pergente, figura erit Hyperbola axem habens principalem «qua-
fem differentiae linearum S P & PH, 8c inde dabitur. QJE. î. ^^^

Corol. i Hinc in omni Conife&ione ex dato vertice principa-
hy, latere rcào L, 8e umbiîico S, datur umbilicus alter H ca-
piendo D H ad D S ut eft latus rectum ad dilferentiam inter la-

Ï 2 fils

[ «O ]

tus reöum & 4 D S. Na m proportio SP PHadPHutsSP
ad L, in calu liujus Corollarii, fit D D H ad D H ut 4 D S
ad L, & divifim £> S ad D H ut 4 PS — L ad L.

Cörö/. 2. linde fi datur corporis velocitas in vertice principa-
îi P, invenietur Orbita expedite, capiendo fcilicet latus re&um
ejus, ad diiplain diftantiam D S, in duplicata ratione velocitatis
hujus datse ad velocitatem corporis in circulo ad diftantiam D S
gyrantis: ( Per Corol. 3. Theor. VIIL ) dein D H ad D S ut latus
re&um ad differentia m inter latus re&um & 4 D S.

Corot. 3. Hinc etiam fi corpus moveatur in Se&ione quacun-
q-, Conica, & ex orbe fuo impulfu quocunq^-, exturbetur ; cog-
noici poteft orbis in quo poftea curfiim iuum peraget. Nam
componendo proprium corporis motum cum motu illo quem im-
pulfus fblus generaret, habebirur motus quocum corpus de dato
impulfus loco, fecundum re&am pofirione datam, exibif

Corot. 4. Et fi corpus îllud vi aliqua extrinfecus imprefia con-
tinuo perturbetur, innotefcet curfus quam proxime, coHigendo
mutationes quas vis ilia in pun&is quib afdam inducit, & exfe-
riei analogiam mutationes continuas in locis intermediis aftiman-
do. P (NJEj I ; " \' ; " .

lu ter 3

SECT,

SECT. IV.

De Inventions Orbium EUipticorum, Parabolicorum Hyperbolico-

rum ex umbilico dato.

LemmaXV. ^•^•iii^r.

Si ab EUipfeos <vel Hyperbola cujufuis umbilicis duobus S,H,adpunSl-
um quodvh tertium V infleöïantur reSïa dua S F,H V, quarum u-
na tiV aqualk jit axi tranjverfo ßgura, alteraS Va perpendicu-
lo T R in fe demiffo bifecetur in ï \\ perpendiculum illud I R fee-
tionem Conic am alicubi tangit: &
contra, ft tangit, er/J FH aqualis
axi ß(rur<z.

Secet enim FH fedionem coni-
cam in R, & jungatur S R. Ob ae-
quales re&as TS, I F, äquales e-
runt anguli F RS, TR F, Bifecat
ergo R F angulum FRS& propte-
rea figuram tangit: & contra. QJB. D.

Prop. XVIII. Prob. X.

- ■>

Dath umbilico & axibus tranfverfis defcribere-TrajeSlorias Elliptic
cas Hyperbolical, qua tranßbunt per punSla data, £>^>J reciaspo-
fitione dat as contingent.

Sit S communis umbilicus figurarsm} y^jBlongitudo axis tranf-
verfi Traje&ofiae cujuiVisj P punchim per quod Traje&oi ia debet
tranfire^ & TR re&a

quam debet tangere. Centro P interval!©
AB ~~S P,n orbica litEllipfis, vel AB $P,(i ea lit Hyperbola,
delcribatur circiilus HG, Ad tangentem TR demittatur per-

pendiculum SI, & producatur ea ad F, ut fit TV «quaüs 5T,
ccntroqj V & intervallo ^ B defcribatur circulus FH, Hac me-
thodo five dentur duo punda
P, p, five dux tangcntes TR,
t r, five pun&um P & tan-
gens TR, defcribendi funt
circuli duo. Sit H eorum
interfedio communis, & um-
bilicis S, H, axe illo dato
deicribatur 1 raje&oria. Di-
co fa&um. Nam Tra je&o-
ria delcripta C ^eo quod P H
SPin Ellipfij ScVU~S?
in Hyperbola «quatur axi)
tranfibit per pun£him P, &

C per Lemma fiiperius) tanget re&am TR. Et eodem argu-
mento vel tranfibit eadem per punda duo P₇p, vel tanget re&as
duas TR, tr. QJE. F.

Prop. XIX. Prob. XI.

Circa datum umbilicum 1 rajeSioriam Parabolic am defcribere,qu£tran
fibit per punSia data, & reSias pofitione datas ccntinget.
Sit S umbilicus, P pun&um & I R tangens trajedoriae defcri-
bend«. Centro P, intervallo P S deicribc
circulum FG. Ab umbilico ad tangentem
demitte perpendicularem ST, & produc e-
am ad F, ut tit7 V asqualis ST. Eodem
modo delcribendus eft alter circulus ƒ),<] da-
tur alterum punöum p-, vel inveniendum
alteram pun&um il cfatur altera tangens
tr; dein ducenda reda IF quae tanga t du-
os circulos FG, fg fi -dantur duo pun&a P,

h

C 1

vel tranfeat per duo punfra Vjv, fi dantur dux tangentes 7\'R,
tr₀ vel tangat eircuiuin F G Sc tranfeat per pun&um da-
tur punCitim P Sc tangens IR. AdFI demitte perpendicular
rem SI_y eamqj bifeca in K] Sc axe S if, vertice principali iï" de-
fcribatur Parabola. Dico fa&um. Nam Parabola ob aequales
SK Sc IK, SP & FPtranfibit per pun&umP; &(per Lemma-
tis XIV. Corol. 3. ) ob aequales SlScTV Sc angulum re&urii
STR, tanget re&am TR.g^E. F.

Prop. XX. Prob. XII.

Circa datum umbilicum TrajeSïoriam quamvk fpecie dat am defcribe-
re, quae per data punoïa tranfibit & restas tanget poptione da-
tas.

Cas. i. Dato umbilico S, defcribenda fit Traje&oria ABC
per pun&a duo B. C. Quoniam Tra/e&oria datur fpecie, da-
bitur ratio axis tranfverfi ad
diftantiamumbilicorum. Inea _;T

ratione cape li B ad B S, & L C \\...................^PTc

SidCS. Gentris B, C, interval- j^p........■■{.b . 7 Tv

lis B if, C L, deferibe circulos j / ./ \\

duos, Sc ad re&am KL_y qux g.........a~s~~ ™ n cl

tangat eofdem in K Sc L, de-
mitte perpendiculum S G, idemqj feca in ^ & a, ita ut fit
ad A G Sc Sa ad a G, .ut eft SB ad BK, & a xe/^₃ verticibus

defcribatur Tra jectoria. Dico fa&um. Sit enim H umbilicus al-
ter figure defcriptae, & cum fil S A ad AG u tSa ad aG, eritdi-
vifim Sa — SA feu S H ad a G— AG feu A a in eadem ratione,
adeoq; in ratione quam habet axis tranfverfus figurae defcriben-
da ad diftantiam umbilicorum e jus ; Sc propterea figura de (cri p-
ta eft ejufdem fpeciei cum defcribenda. Cumq; fint K B ad B S
ScLC ad C Sin eadem ratione, tranfibit hxc Figura per puncla B,
C, ut ex Coniçis manifeftum eft.

Cas.

Cas. 2. Dato.umbilico Sjdefcribenda fitTraje^oria quae reâ-

as duas TR, tr alicubi contingat. Ab umbilico in tangentes de-
mote perpendicula S l\\St 8c produc eadem ad V, utfint TV,
t v aequales T S, ? j\\ Bifeca
in 0,& erige perpendiculum in-
finitum OH, redamq; VS infi-
nite produdam leca in K 8c h^
ita, ut fit VK ad If S & Vh^ad
k$ ut eft Trajedoriae defcriben-
dx axis tranfverfus ad umbilico-
rum diftantiam. Super diame- _l
tro K J^defcribatur circulus fe- \' \\

cans redam 0 H in H ; & umbi-

îicis S, H, axe traniverfo ipfam V H aequante, defcribatur Tra-
je&oria. Dicofadum. Nam bifeca K in X, 8c junge HX,
H S, H V, Hv. Qnoniam eft V K ad K S ut V^ ad 8c

compofiteutV/f V^ad/fS 4 AS;divifimq; ut V\\~VK ad
k$-KS id eft ut 2 VX ad 2 À\'X&2KXad 2 SX, adeoq;
utVXad HX&HXadSX, fimilia erunt triangula VXH,
HXS, 8c propterea V H erit ad S H ut VXadXH, adeoq;
ut VK ad KS. Habet igitur Trajedoriae defcriptae axis tranfver-
fus V H earn rationem ad ipfius umbilicorum diftantiam SH,quam
habet Trajedoriae defcribendae axis tranfverfus ad ipfius umbilico-
rum diftantiam, 8c propterea ejufdem eft fpeciei. Inluper cum
VH, vH aequentur axi tranfverfo, 8c VS, cSa redis 1 R, tr
perpendiculariter bifecentur, liquet, ex LemmateXV, redas illas
Trajedoriam defcriptam tangere. QJi, F.

Cas. 3. Dato umbilico S defcribenda fit Trajedoria quae red-
am TR tanget in pundo dato R. In redam TR demitte per*
pendicularem S T, & produc eandem ad V,ut fit TV aequalis ST.
Junge V R, & redam VS infinite prod u da m feca in K 8c ^ ita
ut fit VK ad S K 8cVh^ad S ^ ut Ellipfeos defer ibendae axis tranf-
verfus ad diftantiam umbilicorum ; circuloq; fuper diametro K ^

de-

[ & 1

defcripto, fecetur producta re&a V R in H, Sc umbilici? S, FL
axe tranfverfo re&am H V aequante, defcribatur Traje&oria. Di«
co factum. Namqj VH efle
adSHut VK adSK, atq-,a- H,/.

deo ut axis tranfverius Tra- "^;yl

jcdionx defcribendae ad dift-
antiam umbilicorum ejus, pa-

tet ex demonftratis in Cafu fe- y.......

cundo, •& propterea Trajec-
toriam defcriptam ejuidem
efle fpeciei cum defcribenda: reöam vero TR qua angulus VR S
bifecatur, tangere Traje&oriam in pun&o R, patet ex Conicis
QJE.F.

Cas. 4. Circa umbilicum S defcribenda jam fit Traje&oria
AFB, quae tangat re&atn 7 R, tranfeatq; per pun&utn quodvis
F extra tangentem datum, quaeq* fimilis fit figurse a p b, axe

B

HA"\'

tranfverfo ab Sc umbilicisx,^ defcriptae. In tangentem T R de-
mitte perpendiculum ST, Sc produc idem ad F, ut fit TV aqualis
ST. Angulisautem FSP, SVP fac angulos /jx?, shq aequa-
les; centroq; q Sc intervallo quod fit ad ab ut SP ad V S defcribe

K cir-

[ M J

circulum fccantem figuram apb in p. Junge sp Sc age SHquae
fit ad sh uteft SPäd sp, qu«q; angulum PSH angulo psh Sc
angulum VSH angulo.^ ƒ ^ äquales conftituat. Deniq; umbi-
licis S, H, axe diftantiam V H aequante, defcribatur fe&io conica.

Dico ßfluni. Nam fi agatur sv quae fit ad sp ut eft s h ad s q_y
quseqi conftituat angulum vsp angulo hsqSc angulum v s h an-
\'gulo psq äquales, triangula svh_y spq erunt fimilia, & propte-
rea v b erit ad pq ut cft s h ad s q, id eft ( ob fimilia triangula
V.S T_y hsq ) ut eft FS ad S F feu ah ad pq. zEquantur ergo
fhScah. Porro ob fimilia triangula FSH, vshjeû F H ad
S H ut vh ad x h, id eft, axis Conicse feöionis jaoi deleript« ad il-
ius umbilicorum intervallum, ut axis ah ad umbilicorum inter-
vallum sh\\ Sc propterea figura ;am delcripta fimilis eft figura a-
pk Tranfit autem haec figura per punctum I\\ eo quod trian-
gulum FSH fimiîe fit triangulo pshy Sc qui a F H «quatur ip-
fius a xi Se F S bifecatur perpendiculariter a recta I K, tangit ea-
icm reÔamTJl, QJL. F.

Lern,

Lemma XVX

yi trihm punciis ad quart urn non datum infle&ere tres ree las
quarum differentia vel dantur vel mdlce funt.

Cas. i. Sunto punda ilîa data A, B, C Sc pundum quartum
Z, quod in venire oportet: Ob da tam diff rentiam linearum AZ.\\
BZ_y locabitur pun&um Z in Hyperbola cujus umbilici font A Sc
■B, Sc axis tranfverfus differentia ilia data. Sit axis ille M N.Ca-
pe F M d.d. M A ut eft MN ad A B, & eredo F R perpendicular
ad^B, demiffoq; ZR perpendiculari adFK, erit ex natura
hujus Hyperbola; Z H ad A Z ut eft M N ad J B. Simili difcur-
fu pundum Z locabitur in alia Hyperbola, cujus umbilici funt 4,
C & axis tranfverfus differentia inter AZ& CZ, duciq; poteft
0_S ipft AC perpendicularis, ad quam û ab Hyperbol« lm jus
pundo quovis Z demittatur normalis Z l9, hac fnerit ad AZ ut
eft differentia inter AZSc CZ ad AC. Dantur ergo rationes
ipfarum ZRScZS ad AZ, & idcirco datur earundem ZR 8c
ZS ratio ad invicem, adeoqj
redis RP,SOj;oneurrentibus in
T, locabitur pundum Z in rec-
ta 1 Z politione data. Eadem
Methodo per Hyperbolam ter-
tiam, cujus umbilici funt BScC
8c axis tranfverfus differentia
redaruniBZ, CZ, inveniripo-
teft alia reda in qua pundum Z
locatur. Habitis autem duobus

lacis redilineis, habetur pund- .

um quantum Z in earum interfedione. ß. E. L

Cas. 2. S\\ dux ex tribus lineis, puta AZ Sc BZ aequantur,
pundum Z locabitur in perpendiculo bifecante difa* t arn A B, &
locus alius redilineus invenietur utfupra. QJE. L

K 2 ¹ Cas.

[ 68-J

Cas. 3. Siomnes tres aequantur, locabitur pun£lum Z in cen-
tro circuîi per punSi A^ B, C tranfeuntis. QJl. I.

Soîvitnr etiam hoc Lemma problematicum per Librum Ta&i-
onum Apollonii a Viet a reftitutum.

Prop. XXL Prob. XIII.

î\'rajeStoriam circa datum wnbilicum cle fcr ib er e, quœ tranßbit per
pwiSla data & reSlas poßitione datas continget.

Detur umbilicus S, pundum T, Sc tangens TR, Sc invenien-
dus lit umbilicus alter H. Ad tangentem demitte perpendiculum
ST, Se produc idem ad T, ut fît TT aequalis S T, Se erit Y H
sequaîis axi tranfverfo. Junge SF_} H P,& erit S P differentia in-
ter H P & axem tranfverfum. Hoc modo fî dentur plures tan-
gentes 7 R, vel plura pim&a P, devenietur Temper ad lineas toti-
dem Y H, velPH, a didis pundis Y vel P ad umbilicumHdu&as,
quae vel œquantur axibus, vel datis longitudinibus SP différant
ab iifdem, atq-, adeo quae vel aequan-
tur fîbi invicem, vel datas habent difte-
rentias; Sc inde, per Lemma fuperius,
datur umbilicus il le alter H. Ha bids
autem umbilicis una cum axis longiru-

dine ( quae vel eft TH, vel fi Traje&o- \'vi___ilk

na Ellipils eft, PH SP; fm Hy- ^s ^

perbola, PH —SP ) habetur Trajccroria, I.

Scholium.

Cafus ubi dantur tria pun£ta fic folvitur expeditius. Dentur
pun&a B, C, D. jjunöas BÇ, CD produc ad£,F, ut ücEB
ad E C ut SB ad S C, Sc. FC ad FD ut SC ad S D. Ad £ F du&am
Sc producïam demitte normales S G, B H, inqj G S infinite produc-
ta cape GA ad A S Sc Ga ad aS ut eft HB ad BS j Sc erit A

ver-

vertex, & A a axis tranfverfus Tra jedoriae: quae, perinde ut G A
minor, aeqnalis vel major fuerit quam A S, erit Ellipfis, Parabola vel
Hyperbola ; pundo
a in primo cafu ca-
dente ad eandem
partem lineae G K
cum pundo A j in
fecundo cafu abeun-
in infinitum; in tertio
cadente adcontrari-
am partem lineae GK.
Nam fi demittantur

ad GF perpendicula CI, DK, erit IC ad HBut EC ad EB,
hoc eft utSC ad S B , & viciffim IC ad SC ut HB ad SB, feu
G A ad S A. Et fimili argumento probabitur efie K D ad S D in
eadem ratione. Jacent ergo punda B, C, D in Conifedione
circa umbilicum S ita defcripta, ut redae omnes ab umbilico S ad
fingula Sedionis punda dudae, fint ad perpendicula a pundis iif-
dem ad redam GK demifla in data ilia ratione.

Methodo baud multum diffimili hujus problematis folutionem
tradit Clariffimus Geometra De la Hire, Conicorum fuorum Lib
VIII. Prop XXV.

SECT

C 70 ]

SECT. V.

Inventio Orbium ubi umbilicus neuter datur.

Lemma XVII.

Si a datœ conicœ feBionis punSto quovh P, ad Trape%ii alicujus
ABCD, in Conica iliafeBioneinjcripti, latera quatuor infinite
prochiBa AB, CD, AC, DB, totidcm reSîœP PR, PS, PT
in cl at is angulk ducantur^Jzn-
gulct ad fingula: re&tangu-
duBarum ad oppofita duo
latera P 0_x P R, erit_r ad
reStangulum ducïarum ad a-
lia duo latera oppofita P Sx
P T z/z ^/cz ratione.
Cas. i. Ponamus imprimis
lineas ad oppofita latera du$-
as paralleias cfie alteratri re-
liquorum latcrum, puf a P<2_

Sc P R la ter i AC_ySc?S ac PTlg teri A B. Sintq; infuper latera
duo ex oppofitis, puta AC Sc BD, parallela. Et re&a quae bife-
eat parallela ill a latera erit una ex diametris Conic« fe&ionis, Sc
biftcabit etiam RQ^Sit 0 punöum in quo R ^bifecatur, Sc erit
PO ordinatimapplicata ad diametrum illam. Produc PO ad if
ut fit OK «qualis PO, & erit OK ordinatim applicata ad con-
trarias partes diametri. Cum igitur punÖa A, B, P Sc. K fint
ad Conicam fe£fionem,8c P R fecet A B in dato anguIo,erit ( per
Prop, t 7 8c 18 Lib. Ill Apollomi ) reciangulumP^K ad re&an-
gulum A O B in data ratione. Sed OK Sc P R «quales funt, ut-
pote aqualium OK, 0P,& 00_, OR différend«, Sc inde etiam

reft-

C 7¹ 3

redan gula PQK & PQx PR «qualia funt; atq; adeo redan-
gulum P Qx P R eft ad redangulum AQB_P boe eft adredangu-
kim P S x P T in data ratione. Qji. D.

Cas. 2. Ponamus jam Trapezi\'t latera oppofita AC Sc BD non
efie parallela. Age B d parallelam A C Sc. occurrentem turn red«
S T in t, turn Conic« fedioni in d. junge Cd fecantem P Qjn r_y
Sc ipfi P ^parallelam age D M
fecantem C d in M Sc A B in N.
Jam ob fimilia triangula B Tt_y
D BN, eft B é feu P £ad T t ut
DN ad NB. Sic & R reft ad
AQ feu PS ut DM ad AN. Er-
go ducendo antccedentes in an-
técédentes Sc confequentes in
confequentes, ut redangulum
P Qjn R r eft ad redangulum
Tt in PS, ita redangulum N-
D M eft ad redangulum ^NB, Sc ("per Cas. i ) ita redangu-
lum QVr eft ad redangulum SP/, ac divifim ita redangulum
fiPReft ad redangulum P S x P T. QJL. D.

Cas, Ponamus deniqs line-
as quatuor P PR, PS, PT
non efte parallelas lateribus A C,
AB, fed ad ea utcunqj inclina-
tas. Earum vice age Pf, Prpa-
rallclas ipfi AO, Sc ? s, ?t pa-
rallelas ipfi A Bj & propter da-
tos angulos triangulorum P Oj,
P R r, P S .r, P Tt, dabuntur ra-
tiones P£^ad P^ PR ad P r,

PS ad P s- Sc P T ad P/, atq; adeo rationes compofit«] POJn
PR ad P q i_{a Pr? &} ps i_n pTad Px in P t. Sed, per iupcrii*
d emonftrata, ratio P qÀn P r ad Vs in ?t data efh Ergo & ratio
P £in P R ad P S in P T. O. E. D. Le m-

c n ]

Lemma XVÏ1I.

lifdem poßtis. fi re&angulum du&arum ad oppoßta duo latera Tra-
pe%ii P (9x P R fit ad reSiangulum duSïarum ad reliqua duo latera
rbx PT in data rationej punSiwn P, a quo lineœ ducuntur,
fanget Conicam fcHionem circa Trapezium de feriptam.
Per punda A. B, C, D Sc aliquod infinitorum pundorum P,
puta p, concipe Conicam fedionem defcribi : dico pundum P
hänc Temper rangere. Si ne-
gas, junge A P fecantem lianc
Conicam fedionem alibi
quam in P fi fieri poteft, pu-
ta in b. Ergo fi ab his pund-
is p Sc b ducantur in datis an-
gulis ad latera Trapezii red«
pq,pr, ps.pt Sc b-r,bf₇
bd;çntxxtbhjLbr adbdxbf
ita ( per Lemma XVII ) pq
xpr adpsxpt Sc. ita ( per
hypoth. J)P£xPRadPSxPT. E Û Sc propter fimiütudinem
Trapeziorum b\\A).\\ P QA S, ut b ^ad b f ita P Qjl d P S. Qua-
re applicando terminos prioris propofitionis ad terminos corref-
pondentes hujus ,erit b r ad b d ut P R ad P T. Ergo Trapezia x-
quiangula Dr bd. DR? T fimilia funt, Se eorum diagonales D b.
D P propterea coincidunt. Incidit itaq\\b in interfedionem red-
arum A P, D P adeoqj coincidit cum pundo P. Quare pundum
P, ubicunq-, fumatur, incidit in afïignatam Conicam fedionem*
O.E. D.

Corol. Hincfi red« tres PR, PS a pundo communi P

ad alias totidem pofitione datas redas A B,C D, A C,finguî« ad fin-
gulasjin datis angulis ducantur,fitq; redangulum fub duabus dud-
is P Qx P R ad quadratum tertii, P S quad, in data ratione: pundum

Scho-

C 73 3

P₅ a quibus red« ducuntur, locabitur in fedione Conica quae
tangit lineas A C D in A & C & contra. Nam coeat linea
BD cum îinea AC manente pofitione trium AC; de-

in coeat etiam linea P 7 cum linea P S : & .redangulum P S x P I
evadet P S quad, red«q; AB, CD qu« curvam in pun dis A & B_y
C & D fecabant, jam Curvam in pundis illis coeuntibus non am-
plius fecare pofiimt fed tantum tangent.

Scholium.

Nomen Conic« fedionis in hoe Lemmate late fumitur, ita
ut fedio tam redilinea per verticem Coni tranfiens, quam circu-
la ris bafi parallela includatur. Nam li pundum p incidit in
re dam, qua quaevis ex pundis quatuor A, i>, D jungrmtur,
Conica fedio vertetur in geminas redas, quarum una eft reda
ilia

in quam pundum p incidit, & altera reda qua alia duo ex
pundis quatuor junguntur. Si trapezii anguli duo oppofiti 11-
inul fumpti «quentur duobus redis, & line« quatuor P P K,
P S, P7 ducantur ad latera ejus vel pcrpendiculariter vel in angu-
lis quibufvis «qualibus, fitq; redangulum Tub duabus dudis PS
x P R «quale redangulo Tub duabus aliis P S x P T, Sedio conica
evadet Circulus. Idem fret fi line« quatuor ducantur in angulis
quibufvis & redangulum fub duabus dudis P Qjc P K fit ad red-
angulum fub aliis duabus PSx P7 ut redangulum fub linubus
angulorum S, T, in quibus du« ultima; PS, PT ducuntur, ad rect-
angulum fub linubus angulorum K,in quibus du« prim« P
P R ducuntur. C«teris in cafibus Locus pundi P erit aliqua tri-
um figunrnm quae vulgo nominantur Sediones Conic«. Vice
autem Trapezius B C D fubftitui poteft quadrilaterum cujus late-
ra duo oppofita fe mutuo in liar diagonalium clecuffant. Sed &
e pundis quatuor yf, .B, C, D poflunt unum vel duo abire in in-
finitum, eoqj pado latera figur« qu« ad pun da ilia convergent,