P. NOORDHOFF. - 1917. - GRONINGEN.

Bij het beëindigen van mijn \'proefschrift voel ik mij gedrongen
een woord van oprechte dank te richten tot U, Hooggeleerde Kapteïn.
De vriendelike wijze, waarop Gij mij zijt tegemoetgetreden, de grote
belangstelling, waarmede Gij van mijn werk hebt kennis genomen,
hoewel ik geen leerling van de utrechtse unieversieteit was, zal ik
nooit vergeten. Zeer heb ik het betreurd, dat Gij door Uw aftreden
niet in de gelegenheid waart mijn promotor te zijn. De welwillend-
heid en steun, die ik ook nog na Uw aftreden in zo grote mate van
U mocht ondervinden, zullen mij steeds in dankbare herinnering
blijven.

Niet minder dank ben ik U verschuldigd, Hooggeleerde Nul and.
Gij hebt U bereid verklaard mijn promotor te zijn, hoewel ik ook
van U geen leerling was. Ik waardeer dit zeer, te meer, omdat het
door mij gekozen onderwerp, hoe aantrekkelik ook voor mij, voor
U iveinig bekoring kon hebben. De aangename, welwillende behan-
deling , die ik in alle opzichten van U mocht ondervinden, de vele
nuttige wenken, die ik met betrekking tot mijn werk van U mocht
ontvangen, stemmen mij tot veel groter dankbaarheid dan ik in
deze korte woorden kan uitdrukken. Wees overtuigd, dat ik steeds
zal blijven onthouden, wat ik aan U te danken heb.

„ III. Over de oudste sterfteformules . • . . . 13
„ IV. Over de sterfteformules na 1860 .... 45
„ V. Over formules voor invaliedieteit en ziekte 88

VII. Lijfrenten volgens de formule van De Moivre 105
„ VIII. Lijfrenten volgens de formule van Makeham 116

J. I. A. = Journal of the Institute of Actuaries.
B. A. F. = Bulletin trimestriel de l\'Institut des Actuaires français.
Philosophical Transactions = Philosophical Transactions of the

§ 1. De berekeningen, die zich voordoen op het gebied van
de levensverzekeringswetenschap, berusten op de kennis van de
menselike sterfte en op de intrestrekening. Veelal wordt uitge-
gaan van een sterftetafel, waarin wordt aangegeven hoeveel
personen uit een oorspronkelik groot, maar overigens geheel
willekeurig, aantal gelijktijdig geborenen op de verschillende
leeftijden die door gehele getallen worden voorgesteld nog in leven
zijn. Of men geeft, eveneens voor gehele jaren, een rij van de
levenskansen, d. w. z. van de waarschijnlikheid, dat een persoon
van een bepaalde leeftijd na verloop van een jaar nog in leven is;
het is duidelik, dat uit de rij van levenskansen die voor het
aantal levenden is af te leiden. De eenheid van tijd is in verre-
weg de meeste gevallen een jaar; bij de afleiding van de ver-
schillende verzekeringswaarden vat men het op alsof het aantal
levenden van een bepaalde leeftijd gedurende een jaar evengroot
blijft om dan plotseling te verminderen tot het volgende getal
uit de sterftetafel, m. a. w. alsof alle sterfgevallen tegelijkertijd
plaats vinden aan het einde van dat jaar. Ook bij de intrest-
rekening wordt dan het jaar als tijdseenheid aangenomen, dit in
verband met de voorgaande overweging.

Het is niet te ontkennen, dat het aannemen van deze grond-
slagen de berekeningen tot zeer eenvoudige matematiese vraag-
stukken maakt. Maar evenmin kan worden ontkend, dat in die
aanname iets geschiedt, hetwelk uit een wiskundig oogpunt minder
juist genoemd moet worden. Het aantal levenden verloopt kon-
tienu; en ook de rente kan kontienu worden genomen. Wat
dit laatste betreft bedenke men, dat de kontienue rente een
uitbreiding kan worden genoemd van de rente betaalbaar in

termijnen. In enkele gevallen wordt, wat het aantal levenden
betreft, wel aangenomen, dat dit in de loop van een jaar tot het
volgende aantal overgaat evenredig met de tijd. Stelt men de
getallen uit de sterftetafel op een assenstelsel voor door punten,
dan wordt in die onderstelling het sterfteverloop voorgesteld
door een gebroken lijn; neemt men het werkelike sterfteverloop,
dan levert dit een kromme.

Gaat men van deze grondslag uit bij de berekening van ver-
zekeringswaarden , dan spreekt men van de kontienue metode.

Op nadere biezonderheden van de kontienue metode wordt
in de volgende hoofdstukken ingegaan. We willen hier nog even
opmerken, dat deze metode nog zeer weinig wordt toegepast;
ongetwijfeld is de eenvoudigheid van de gebruikelike metode
vergeleken met de kontienue metode daarvan de voornaamste
reden.

Voor de wiskundige bezit de kontienue metode intussen alle
aantrekkelikheid; voor hem doet zich vanzelf de vraag voor of
die metode, naast en juist tengevolge van de eigenschappen,
die die metode oplevert, niet voor de praktijk bruikbaar is. Het
ligt dan ook voor de hand, dat men de voorstanders van het
gebruik van de kontienue metode aantreft en steeds heeft ge-
vonden onder hen, die in de eerste plaats wiskundige waren en
daarnaast geroepen werden tot oplossing van vragen op het ge-
bied van de toepassing.

De Moivre, de eerste schrijver van een bruikbaar werk over
lijfrenten \'), wiskundige van de eerste rang, kon niet laten in
zijn werk, dat ook voor leken bestemd was, reeds te zinspelen
op de kontienue rente. Een aanwijzing voor de kontienue
metode vindt men ook bij zijn leerling Simpson, die een paar
vraagstukken over verzekering oplost¹) op een manier, die
hij aangeeft te zijn „very different fróm that where by they are
usualy investigated", welke manier neerkomt op de kontienue

1 ) Th. Simpson. Select Exercices for yonng proficients in the mathe-
maticks. 1752. pag. 323.

metode. Ook Daniël Bernoulli¹) gebruikt bij een sterftekwes-
tie deze metode op onberispelike wijze; hij geeft als voordeel
aan „dat het nu mogelik is de differentieaal- en integraalreke-
ning te gebruiken, waardoor de opgaven zeer vereenvoudigd
worden"; evenzo doet Duvillard ²). Zo vindt men ook een
spoor van de kontienue metode bij A. de Morgan ³).

§ 2. De verdere ontwikkeling van de metode is te danken
aan Wooliiouse ⁴); hij- kondigt daarbij een „improved" teorie aan;
de bevestiging daarvan heeft hij gevonden in het uitgebreider
gebruik, dat na hem de metode heeft verworven, ook op het
gebied van de matematiese statistiek (het eerst door Zeuner) ⁵).

In dezelfde tijd wordt echter nog openlik tegen de kontienue
metode stelling genomen. Zo o.a. door Fischer⁰), die de waar-
nemingen waarop de berekeningen gebazeerd zijn nog te on-
nauwkeurig vindt om er de kontienue metode aan te verbinden;
een zwak standpunt. Hij wordt, zelfs nog in 1884, gesteund
.door Zimmermann "); deze meent, dat men niet met differentiealen
van personen mag werken, omdat niet kleine deeltjes van een
mens, maar gehele mensen sterven. Voor een wiskundige kan
deze uitspraak echter bezwaarlik als steekhoudend worden aan-
gemerkt ; zulk een gezegde berust op een bekrompen opvatting
van het begrip differentieaal.

\') D. Bernoulli. Essai d\'une nouvelle analyso do la mortalité causée
par la petite vórole ot dos avantages de 1\'inoculation pour la prévonir.
(Histoire de l\'Académie royale des sciencos do Paris. II). 1760.

²) E. E. Duvillard. Analyse et tableaux do 1\'influenco de la petite
vérole sur la mortalitó etc. 1806.

³) A. de Morgan. An essay on probabilities and their application to
life-contingencies and insurance-offices. 1838. pag. XXIV.

⁴) W. S. B. WooLiiousJC. On an Improved Theorv of Annuities and
Assurances. J. I. A. XV. 1869. pag. 115.

⁶) Pii. Fischer. Grundfciige des auf menschliche Sterblichkeit gegrün-
dete Versicherungswesens. I. Bestimmung dor Storblichkeitsverhilltnisse.
1860. pag. 22.

⁷) H. Zimmermann. Uebor Dienstunfähigkoits- und Sterbensverhältnisse.
1884. pag. 15.

Breder opvatting heeft o. a. Westergaard deze geeft wel toe,
dat differentiealen van mensen een fiksie is, omdat een bevolking
bestaat uit een geheel aantal mensen en slechts met gehele getallen
kan toe- en afnemen, maar hij meent daarbij, dat het prakties zonder
verkeerde invloed blijft of men zegt, dat een bevolking dageliks
met 96 mensen toeneemt of in elke sekonde met 7900 mens.
Voor hem is het grote voordeel van de kontienue metode gelegen
in de omstandigheid, dat hierbij de differentieaal- en integraal-
rekening kan worden gebruikt.

Scheffler leverde het eerste werk, waarin de verzekerings-
wetenschap sistematies met behulp van de integraalrekening
wordt uiteengezet¹); in de tegenwoordige tijd treft men de be-
handeling in enkele leerboeken aan, zij het ook zelden uitvoerig.

§ 3. Men wachte zich evenwel om de kontienue metode voor
de enige bruikbare te houden. Voor elke metode is iets te
zeggen. We kunnen ons dan ook ten volle aansluiten bij Wes-
tergaard²), die, hoewel sterk ijveraar voor de metode, toch
aanraadt opportunist te blijven.

In dezelfde geest spreekt Jörgensen³), eveneens sterk voorstander
van de kontienue metode; ook hij waarschuwt voor de „Irrtum,
dasz die kontinuierliche Methode die einzig seligmachende sei." En
enige regels verder zegt hij: „der Statistiker und der Aktuar
musz mehrere Saiten auf der Geige haben, um im gegebenen Falle
die vorteilhafteste erwählen zu können, und ein guter Aktuar
darf nie in Einseitigkeit und Doktrinarismus verfallen!"

§ 4. De noodzakelike voorwaarde voor het invoeren en toe-
passen van de kontienue metode bij vraagstukken over de sterfte
is gelegen in de, overigens in de rede liggende, aanname dat de

funksie l_x voor het aantal levenden een kontienue, differentieëer-
bare en integreerbare funksie van de leeftijd x is, die voor gehele
waarden van x bepaald is door de getallen uit de sterftetafel.
Kontienuieteit, onbeperkte dififerentieeërbaarheid en integreerbaar-
heid zijn trouwens besliste voorwaarden aan welke alle bieome-
triese funksies moeten voldoen. De ontwikkeling van de kontienue
metode is dan ook voorbereid door de vele pogingen, die de eigen-
aardige beweging van de volgens de leeftijd gerangschikte sterfte-
kans heeft teweeg gebracht om het verloop van de sterfte weer
te geven door een analietiese funksie. Eensdeels vormde de ana-
lietiese metode de grondslag voor de analietiese afronding¹) van
sterftetafels; op dit vraagstuk, dat reeds tot zo vergevorderde
oplossing is gekomen gaan we hier niet in. Anderdeels heeft de
aanname van een analietiese funksie gediend tot grondslag voor
hen, die vóór alles er naar zochten om met behulp van de kon-
tienue metode de in de praktijk voorkomende berekeningen te
maken, zo mogelik eenvoudiger dan met behulp van de gewone,
meest gebruikelike metode.

We kunnen hier ook buiten beschouwing laten de kwestie, die
oorspronkelik een punt van strijd uitmaakte, n.1. ot de sterfte
moest worden beschouwd als te gehoorzamen aan een natuur-
wet. Bestond deze opvatting vroeger algemeen en nog wel in
de laatste tijden ook, deze beschouwing heeft zich tegenover
een diepere kennis van de zaken niet kunnen handhaven. De
nieuwere opvattingen zien in de sterfteformules niets meer dan
analietiese uitdrukkingen, die zich aan de ene reeks waarnemin-
gen beter, aan de andere minder goed aansluiten. Men kan aan-
nemen, dat het nooit zal gelukken een formule te vinden, die
aan alle reeksen waarnemingen op een bepaald gebied evengoed
aansluit. Een zodanige formule zou daarbij niet slechts moeten
berusten op de waarnemingen, maar ook en wel hoofdzakelik
op de natuur van het betrokken verschijnsel; de veranderlikheid
van het verschijnsel met plaats en tijd verzet zich tegen een

allesomvattende analietiese formulering. „Das „Gesetz" schreibt
nicht die Natur vor, sondern der Rechner"^x).

§ 5. Tengevolge van de opvatting, dat de sterfte zou gehoor-
zamen aan een natuurwet, vindt men vaak gebruik gemaakt
van de uitdrukking sterftewet, terwijl het beter is te spreken
van sterfteformule; het zal echter lastig zijn de woorden sterfte-
wet, law of mortality, Sterblichkeitsgesetz geheel te verbannen,
ze hebben daarvoor een te uitgebreide toepassing ondervonden.

Men behoeft niet zo ver te gaan als Forcher¹), die aan
alle bestaande sterftewetten slechts historiese betekenis toe-
kent. Voor een groot aantal geldt dit zeker; er zijn er
evenwel bij die meer dan historiese waarde hebben, voor wie
zelfs nog een toekomst is weggelegd. Zolang men intussen in-
gewikkelde, moeielik hanteerbare analietiese funksies uitdacht,
funksies met een groot aantal konstanten, was het van de man
van de praktijk te verwachten, dat hij zich bij zijn berekeningen
van het gebruik van die funksies afwendde. Alleen een eenvoudige
funksie brengt voor zichzelf de mogelikheid van toepassing, en
die toepassing is in grotere mate te verwachten, wanneer de
funksie voert tot eigenschappen, waardoor de berekeningen in
de praktijk vereenvoudiging ondergaan. Het is daardoor, dat de
wet van Makeham ²) vóór alles op de voorgrond is getreden; het
uitgebreide veld van toepassing, dat deze wet heeft gevonden
schijnt nog niet afgesloten. En juist de toepassing van de kon-
tienue metode brengt hier vele eigenschappen naar voren.

We hebben daarom hier na een korte uiteenzetting van de grond-
formules, waartoe de kontienue metode voert, een overzicht ge-
geven van de vele sterfteformules, die in de loop van de tijd zijn
uitgedacht om vervolgens na te gaan welke voor toepassing in aan-
merking komen. Bij enkele schrijvers vindt men wel een korte,

1 ) H. Forcher. Die statistische Methode als. selbständige Wissenschaft
1913. pag. 266. *

2 ) W. M. Makeham. On the law of mortality and the construction of
annuity tables J. I. A. VIII. 1860. pag. 301.

maar altijd onvolledige, opsomming van die formules zonder
diepgaande bespreking; in dit geschrift menen we zo volledig
mogelik te zijn geweest.

We hebben ons veroorloofd ook de formules te vermelden, die
in de loop van de tijd zijn opgesteld op het gebied van invaliedie-
teit en ziekte, daar deze van dezelfde aard zijn. Na de bespreking
van de sterfteformules is voor diegenen, die daarvoor in aanmer-\'
king komen, de toepassing op de in de praktijk voorkomende
berekeningen behandeld. Daarbij hebben we ons bepaald tot
lijfrenten, geleid door de overweging, dat deze de grondslag vormen
voor vrijwel alle andere verzekeringsvormen.

§ 6. Tussen de funksie l_x voor het aantal levenden aan de
ene zijde en de funksies p_x en q_x voor de levenskans en de
sterftekans aan de andere zijde bestaat het fundamentele onder-
scheid, dat\' de laatste twee een absolute uitspraak aangaande
de sterfte doen, terwijl l_x een konstante, maar willekeurige
faktor l₀ bezit. Toch is er in de funksies p_x en q_x ook iets
willekeurigs, en wel dat als tijdseenheid geheel willekeurig het
jaar is aangenomen. We bespraken dit reeds in hoofdstuk L
Men kan dit vermijden door de tijdseenheid oneindig klein te
nemen; dit ligt bij de aanname van een analietiese funksie voor
het verloop van de sterfte voor de hand. Op die wijze komt
men tot het\' gebruik van de sterfte-intensieteit p_x voor de leef-
tijd x. De funksie bezit hetzelfde karakter als q_x, maar is vrij
van de aan die funksie vastzittende willekeurigheid; de sterfte-
intensieteit is daarom voor de teorie over de sterfte een funda-
mentele grootheid.

Uit de hiervolgende beschouwingen zal blijken, dat, wanneer
de sterfte-intensieteit gegeven is, uitdrukkingen zijn af te leiden
voor levenskans, sterftekans, aantal levenden, lijfrenten. Voor
praktiese doeleinden is een vereiste, dat de sterfte-intensieteit
zich vertoont in een integreerbare gedaante; de grotere of
mindere bruikbaarheid van de hierna te bèhandelen sterftefor-
mules hangt dan ook voor een groot deel af van deze omstan-
digheid.

dus in de eenheid van tijd — de zo bepaalde grootheid noemt
men dan de sterfte-intensieteit -

§ 7. Met behulp van de uitdrukking (7) kan men nu een for-
mule afleiden voor de kontienue lijfrente a_x< Bedenkt men, dat
een kapietaal gelijk aan de eenheid, over t jaar betaalbaar, in
geval van kontienue intrest — waarbij de rente-intensieteit, zoals
bekend wordt ondersteld, gelijk is aan f5 = — lgv = lg(1 i),
als i de rentevoet is — een kontante waarde heeft van e—<M, dan
vindt men voor de kontante waarde van een uitkering gelijk aan de

eenheid, uit te betalen wanneer de nu x-jarige de leeftijd x -f t
heeft bereikt, een bedrag

hetgeen in verband met de waarde voor de diskonteringsfaktor
<5 \') kan geschreven worden

We hebben de verschillende vormen afgeleid om die alle naar
omstandigheden te kunnen toepassen.

Wil men toch de lijfrenten niet kontienu hebben, doch in
grotere of kleinere, maar niet oneindig kleine termijnen, dan
kan men de daarop betrekking hebbende formules afleiden uit
die voor de kon tien ue lijfrente. Men heeft daarbij de keus uit
vele formules, van welke die van Euler — Maclaurin , ook wel
naar Woolhouse genoemd, de voorkeur verdient.

Voor de lijfrente in jaartermijnen is een meer dan voldoende
benadering, wanneer men die formule neemt in de vorm

§ 8. Heeft men te doen met lijfrenten op meer hoofden, be-
taalbaar tot het eerste sterfgeval, dan vindt men volgens een
redenering, geheel analoog aan die voor de lijfrente op één
hoofd, voor de levenslange lijfrente als kontante waarde

f*x t^dt

*xyz

§ 9. Niet lang na de eerste wetenschappelike berekening van
de lijfrente, door Johan de Witt begonnen de pogingen om het
verloop van de menselike sterfte door een formule voor te stellen.
We merkten reeds op, dat zich bij hen, die zich met het vraag-
stuk bezighielden, vooral bij de vroegere onderzoekers, sterk de
mening opdrong, dat aan het verloop van de menselike sterfte
een of andere natuurwet ten grondslag zou liggen.

Er zijn nu onder de onderzoekers twee richtingen te onderscheiden.
De meeste, vooral de vroegere, trachtten de wet te vinden langs
de weg van de verzameling en bestudering van statistiese gege-
vens ; men zou ze kunnen noemen de ontdekkers van een wet
a posteriori. Enkele, voornamelik van de latere, sloegen de
omgekeerde weg in en stelden een analietiese betrekking op,
van welke zij de juistheid uit de waarnemingen trachtten aan
te tonen; hun wetten zijn die a priori te noemen.

Het aantal opgestelde formules is zeer talrijk, er zijn er ver-
scheidene bij die nog slechts historiese betekenis hebben, zelfs
van de meeste is dit te zeggen¹). Hier en daar treft men in
werken een opgave van de formules aan, nergens echter vonden
we de volledigheid, die we menen hier te kunnen aanbieden.
Tussen de verschillende formules bestaat over het algemeen
weinig verband, van vele schrijvers kan worden nagegaan,
dat ze met de resultaten van hun voorgangers en tijdgenoten
weinig bekend waren. Voor een groot deel hebben we dan ook
ons overzicht in historiese volgorde gegeven; daar waar het

§ 10. In 1693 werd de eerste wetenschappelike sterftetafel in
het licht gegeven door Halley \') naar aanleiding van waarne-
mingen met betrekking tot de sterfgevallen te Breslau gedurende
de jaren 1687 tot en met 1691. Deze sterftetafel maakte een
punt van ernstige studie uit voor Abraham de Moivre ¹) en zo
treden reeds kort na het opstellen van sterftetafels de pogingen
op om, zoals het ook naderhand vaak werd uitgedrukt, „de
matematiese sterftewet te ontdekken."

De Moivre moet als de eerste vermeld worden, die meende
de wet van afsterving te hebben gevonden. Hij merkte op²),
dat de aantallen levenden voor verschillende groepen van leef-
tijden in de tafel van Halley, die uitgaat van 1000 personen
van 1 jaar, volgens een rekenkundige reeks van de eerste orde
afnemen. De reden van deze reeks verandert, doch zonder enige
regelmaat; van 12 tot 24 jaar bijvoorbeeld is de reden gelijk
aan 6, van 24 tot 29 jaar 7, van 54 tot 71 jaar 10. Daar hij
de sterftetafel wilde gebruiken ter berekening van lijfrenten, ging
hij na, wat het verschil in uitkomst met de door Halley in zijn
genoemde verhandeling vermelde waarden van lijfrenten was,
wanneer hij aannam, dat van\'12 jaar af — de leeftijd van welke
af volgens hem de sterftekans toeneemt - alle aantallen leven-
den één rekenkundige reeks vormen. Zijn berekeningen deden
hem tot de mening komen, dat de bedoelde verschillen elkander
ongeveer opheffen, dat dus zijn uitkomsten met die van Halley
genoegzaam overeenkwamen om in plaats van deze te treden.

Als oudste leeftijd nam hij 86 jaar. Hij kwam tot dit getal
op verschillende gronden. Vooreerst gaf de tafel van Halley als

1 ) Zie J. du Saar. lets over De Moivre en zijn hoofdwerk, (De Ver-
zekeringsbode. XXXV. 1915/16. pag. 410 en 422; XXXVI. 1916/17. pag. 4),
waarin ook uitvoeriger de tafel van Halley wordt behandeld.

eindleeftijd 84 jaar, waarbij dan nog 20 van de 1000 mensen over
waren; verder wist hij, dat in de tafels van Graunt¹) van 100
pasgeborenen er na 86 jaar geen enkel mens meer over was;
eindelik beriep hij zich op tafels, die in het begin van de 18e
eeuw in Zwitserland uit waarnemingen zouden afgeleid zijn, hoe-
wel van Zwitserse zijde Böschenstein²) mededeelt, dat hij niet
heeft kunnen nagaan welke waarnemingen dit zouden geweest zijn.

De reden van de rekenkundige reeks maakte hij gelijk aan 1,
dat wil dus zeggen hij nam l_n = 74, Z₁₃ = 73 enz.

Voor 86—x voert hij de naam „complement of life" in. Noemt
men het „complement of life" n, dan is de kans om na 1, 2,
3 ..,. jaren nog in leven te zijn gelijk aan

De Moivre berekende voor verschillende waarden van de rente-
voet op grond van zijn formule lijfrenten op één hoofd en voerde
als voordeel van zijn formule aan, dat de berekeningen van de
lijfrenten op meer hoofden zo eenvoudig waren. Het eigenaardige
van het geval is echter, dat hij die eenvoudigheid verkrijgt door
bij de berekening van lijfrenten op meer dan één hoofd de hier-
boven genoemde sterftewet niet te gebruiken, maar een andere

\') John Gkaunt. Natural and Political Observations on the Bills of
Mortality of London etc. 1662.

²) K. Böschenstein. A. de Moivres Abhandlung über Leibrenten.
(Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmatheraatiker,
Heft 3, 1908) pag. 25.

-sterftewet aan te nemen en wel een, waarbij de aantallen leven-
den een meetkundige reeks vormen

§ 11. De formule van De Moivre ondervond veel krietiek,
het meest wel van de zijde van Price en Morgan. Price be-
weert¹), dat De Moivre in de eerste druk van zijn hierboven
vermelde werk behalve de hypotese, dat de levenskansen na 1,
2, 3 . . . . jaren een rekenkundige reeks vormen — welke kansen
dan zouden gediend hebben om lijfrenten op één hoofd te be-
rekenen — als tweede hypotese heeft vermeld, dat genoemde
kansen een meetkundige reeks vormen²) en dat die onderstelling
de grondslag zou - hebben gevormd voor de berekening van lijf-
renten op meer hoofden, omdat deze berekening daardoor ver-
eenvoudigd zou worden. Hij beweert, dat De Moivre echter
tengevolge van opmerkingen van Simpson ⁴) \'in latere drukken deze
laatste onderstelling heeft teruggenomen. Dit is echter niet juist.
Hij heeft ook in latere drukken de tweede onderstelling gehand-
haafd, die we in § 10 hebben genoemd.

Toont reeds Simpson aan, dat de uitkomsten van De Moivre voor
lijfrenten op drie en meer hoofden naar zijn mening te onnauwkeurig
zijn, Price rekent voor, dat reeds voor lijfrenten op twee hoofden de
fouten, die men door het aannemen van de formules van De Moivre
krijgt, zo aanzienlik zijn, „that it will be best never to use them"³).

Morgan, de bewerker van de latere drukken van Price, oor-
deelt al evenmin gunstig⁴); volgens hem is de hypotese zo in-
korrekt in de vroegere en in de latere levensjaren en zijn de
gegeven regels voor de berekeningen zo onnauwkeurig, dat het
gebruik geen aanbeveling verdient.

1 ) R. Price. Observations on reversionary payments etc. 7^th edition
1812 (bewerkt door W. Morgan) pag. 204.

4 ^G) W. Morgan. The principles and doctrine of Assurances, etc. 1821.
pag. IV en pag. 20.

Zij hebben te veel over het hoofd gezien, dat de bedoeling van
De Moivre was de berekeningen te bekorten, desnoods met op-
offering van grote nauwkeurigheid. Dit is ook het oordeel van
Baily¹), die spreekt van een ingenieuse hypotese en een geheel
hoofdstuk wijdt aan de afleiding van formules voor lijfrenten op
twee hoofden volgens de formule van De Moivre. Hetzelfde onder-
werp wordt o. a. behandeld door Maas ²).

Het is zeker aan te nemen, dat De Moivre zelf zich ervan
bewust was, dat zijn formule niet streng was, doch voor niet
te lange termijnen bruikbare benaderingswaarden gaf. Toch zal
in de teorie van de lijfrenten de formule, gelijk Baily het uitdrukt³)
„ever remain a monument of the ingenuity and abilities of its
illustrious inventor."

§ 12. Er mag hier worden opgemerkt, dat reeds vóór De
Moivre een afsterving beschouwd is, waarbij een rekenkundige
reeks voorkomt, zij het dan niet voor het gehele leven. Eneström,
die zich veel moeite heeft getroost om de arbeid van Johan de
Witt te beschouwen uit het oogpunt van onze hedendaagse
wetenschap, behandelt⁴) uitvoerig de door de Witt aangegeven
sterftetafels. In het werk van de Witt ⁵) wordt het leven ver-
deeld in 4 groepen, van 3 tot 53 jaar, van 53 tot 63 jaar, van
63 tot 73 jaar en van 73 tot 80 jaar (daarboven wordt niet mee-
geteld) en de aantallen doden per jaar (de Witt neemt per half
jaar) verhouden zich in die groepen als 1: 1V₂: 2 : 8. De berekening
van de lijfrenten geschiedt met andere getallen, waarbij de aan-
tallen doden de omgekeerde verhouding hebben. Hoe hij aan zijn
sterftewet gekomen is, zegt de Witt niet.

\') F. Baily. The Doctrino of Life-annuities and Assurances etc. 1810.
pag. 313.

\'²) M. Maas. Traité Elementaire des annuités viagères et des assurances
sur la vie. 2e édition. 1868.

⁴) G. Eneström. Ett bidrag till mortalitetstabellernas historia före
Halley. (ÖfVersigt af Kongl. Vetenskaps Akademiens Förhandlingar). 1896.
pag. 157.

⁵) Johan de Witt. Waerdijo van Lijf-renten Naer proportie van Los-
renten. 1671.

Eneström nu geeft aan¹), dat de Witt zijn berekeningen had
kunnen uitvoeren met behulp van een formule, evenals die van
De Moivre een lieneaire funksie. Ter bepaling van het aantal
levenden zou dat geweest zijn — in tegenwoordig matematies
tekenschrift —

waarbij voor de hierboven vermelde tijdvakken a_x resp. 1, 1V₂,
2 en 3 is en a₂ resp. O, 25, 55 en 125. Bij de berekening van
de lijfrenten zou het aantal levenden zijn gevonden met behulp
van de formule

waarbij dan b_x resp. 1, ²/₃, Va en V₃, ö₂ resp. 0, 16%, 26²/₃en 38Vs.

Eneström wijst er elders²) op, dat, tengevolge van de ondui-
delikheid van het geschrift van de Witt, diens bedoeling ge-
woonlik verkeerd begrepen is. Zelfs in de tegenwoordige tijd
begreep niemand minder dan Cantor hem verkeerd. Cantor
vermeldt namelik³), dat volgens de Witt „gedurende de jaren,
dat de mens op volle kracht is — dat is bij hem van 4 tot 53
jaar — het even waarschijnlik is om in het onmiddellik volgende
jaar te blijven leven of te sterven". Dat zou dus neerkomen op
een levenskans p_x = V2 ^{voor dat} tijdvak; van 100000 personen
van 3 jaar, zouden er dan bijvoorbeeld op 20 jaar nog slechts
100C00. (V₂)¹⁷ = 0,768 in leven zijn.

§ 13. Het geschrift van de Witt gaf, eveneens nog vóór De
Moivre, aan Isaak de Graaf³) aanleiding dit te bespreken en

2 ) G. Eneström. Sur la méthode de Johan de Witt (1661) pour le
calcul de rentes viagères. (Archief voor de Verzekeringswetenschap III)
1900. pag. 62.

3 ) Isaak de Graaf. Waardije van Lijfrenten Naar proportie van Los-
renten. 1729.

kracht" met de leeftijd voortdurend afneemt. Hij was overtuigd,
dat het afsterven van de mensen volgens een vaste wet ge-
schiedt. Hij had het middel gevonden om door afdalende reeksen
kapietalen af te lossen en zag in, dat wanneer de afneming van
de levenskracht plaats had volgens één van die reeksen alle
vraagstukken over lijfrenten zouden kunnen worden opgelost met
intresttafels. Hij zocht die reeks; hij begint te onderstellen, dat
het een rekenkundige reeks is en leidt daaruit andere reeksen
af, welke hij grafles afbeeldt Hiermede leverde hij de eerste
„grafiese tafel van levenskracht". De afbeelding stond echter niet
in verband met waarnemingen.

Volgens Westergaard ²) schijnt de formule, waarmede de Graaf
moet gewerkt hebben, geweest te zijn

waarbij y de levenskracht voorstelt, x de leeftijd en n een kon-
stante; de hoogste leeftijd is dus 92 jaar.

Voor n = 5 vindt de Graaf een overeenstemming met de op-
gaven van de Witt over de levenskansen; daarom wordt de lijn,
die daarmede samenhangt, als de voorstelling van de juiste sterfte-
wet aangenomen en worden er verder allerlei berekeningen op
gebazeerd.

Zowel bij de Witt als bij de Graaf is op te merken, dat de
kindersterfte verkeerd genomen is (de Witt schakelt nog de
leeftijden beneden 3 uit).

§ 14. Hoewel niet bepaald komende tot een sterfteformule,
mag hier toch de vermelding volgen van een studie op het ge-
bied van een biezondere oorzaak van sterfte.

^x) Isaak de Graaf. 1. c. pag. 6. Do grafiese voorstelling is ook te vinden
in de „Bouwstoffen voor de Geschiedenis van do Levensverzekeringen en
Lijfrenten in Nederland", bijeengebracht door de Algomeene Maatschappij
van Levensverzekering en Lijfrente. 1897. pag. 151.

²) H. Westergaard. Die Lehre von der Mortaliüit und Morbilitiit. 1901.
pag, 42.

Daniël Bernoulli ging na, hoe hij in een wiskundige formule
de voordelen van de inenting kon aangeven. Hij neemt aan, dat
ieder jaar van elke n personen er 1 de pokken zal krijgen en
dat van elke m personen, die door de ziekte worden aangegrepen
er 1 sterft; dan neemt hij nog aan, dat niemand tweemaal de
ziekte krijgt.

Is nu l_x het aantal levenden van x jaar en ?_x het aantal van
hen, die de ziekte nog niet hebben gehad, dan is de waarde
van — dt te bepalen als de som van hen, die in het tijd-
vak dx de ziekte krijgen zullen en hen, die in datzelfde tijd-
vak aan andere ziekten sterven. Het eerstgenoemde aantal

iⁿ — I

^lx — x±c

Hij gaat ook na, hoe groot het aantal levenden L_x zou zijn,
indien de pokken niet bestonden. Gedurende de tijd dx is de

(y	¹ \\
\\n	mn 1

Vult men de hierboven gevonden waarden voor l" in, dan vindt
men (voor x = 0 is L_x = l_x)

§ 15. Sprak Daniël Bernoulli zich uit vóór de inenting, zijn
konklusies werden bestreden door d\'ALEMBERT in een wiskundige
nota, gevoegd bij een voordracht, die hij hield in een openbare
zitting van de Académie des sciences te Parijs.

Hij bepaalt zich tot de leeftyden van 5 tot 65 jaar; beneden
5 jaar sterven hem te veel kinderen aan andere ziekten (hij
spreekt van de helft van het aantal pasgeborenen) en werd er
niet ingeënt en boven 65 jaar is het aantal slachtoffers van
de pokken niet noemenswaard. Verder neemt hij op grond
van hem bekende verhandelingen aan, dat de kans om tussen
5 en 65 jaar aan pokken te sterven Vt bedraagt en de kans om
tengevolge van de inenting binnen 1 maand te sterven Vaoo is.

Neemt men nu aan, dat het aantal mensen du, dat elk ogen-
blik sterft tengevolge van de pokken, wordt voorgesteld door de
formule

Het aantal mensen, dat na verloop van x jaar jaarliks aan
pokken sterft kan men vinden, wanneer men dx gelijk aan 1
neemt.

De verhouding tussen het aantal mensen, dat sterft tengevolge
van de inenting en dat tengevolge van de pokken in dezelfde tijd
(dus binnen 1 maand) is dus

Voor verdere jaren moet de tweede breuk nog worden ver-
menigvuldigd met ^a, waarin a het aantal levenden van 5 jaar
z

Neemt men n = 0 en n = 1, dan komt men tot de onder-
stelling, dat het aantal sterfgevallen per jaar konstant is,
du = Adx, resp. dat het afneemt volgens een rekenkundige reeks,
du = A (60 — x) dx, hetgeen herinnert aan de formule van
De Moivre. In die gevallen, welke d\'alembert vóóraf had be-
handeld, vindt men voor v, resp. ^/b en ⁴²/₅, in elk geval,
ook wanneer men inplaats van de vroeger vermelde kans V? bijv.
neemt V20, zoals Dan. Bernoulli voor Basel mededeelde, v_t > 1;

dit doet, met andere overwegingen, d\'ALEMBERT een tegenstander
zijn van de inenting.

maar hij voegt er bij: „comme la véritable loi des du est inconnue
jusqu\'ici, toutes ces hypothèses seroient arbitraires."

§ 16. Uit de sterfteregisters van Londen voor de jaren 1753 tot en
met 1758 leidt Lambert ²), een sterftetafel af, waarbij de aantallen
levenden worden aangegeven bij O, 2, 5 en 10 jaar en verder
om de 10 jaar. Hij maakt er ook een grafiese voorstelling van,
waarbij hij op de twee bekende buigpunten in de kromme voor
lx reeds de aandacht vestigt. Hij zoekt een middel om voor tussen-
liggende leeftijden het aantal levenden te berekenen. De wijze
waarop hij die berekening uitvoert is evenwel van wiskundig
standpunt bezien aan veel bedenking onderhevig; we zullen er
niet dieper op ingaan, omdat hij later zelf van hetgeen hij mede-
deelt geen gebruik maakt.

Hij neemt de kromme van de 5e graad en berekent de 6 kon-
stanten uit het stuk van 45 tot 90 jaar, waarbij hij tussen
l_i0 — 31992 en ^ = 22474, getallen uit zijn waarnemingen, 1₄₅zo maar schat op 26950.

y = 26950 — 985,7a; -f 9,70915a;² — 0,03427a;³ — 0,0027017a;⁴ 0,000066635a;⁵,

Hij beweert, dat de gevonden vergelijking nog tamelik nauw-
keurig is. Er moet evenwel worden opgemerkt, dat al moge zijn
metode aannemelik zijn, de keuze van /₄₅ als beginpunt niet alleen

onnodig onnauwkeurig is — hij had beter l_i0 of kunnen nemen —,
maar ook, dat de aanname van = 26950 de mogelikheid op een
dragelike uitkomst uitsluit. Volgens de formule van De Moivre
zou hij gevonden hebben l_in = ¹/₂(l_l0-\\-l_b0) = 27233; en wil hij
deze wet niet volgen, dan mocht hij toch slechts /₄₅ > 27233
nemen.

§ 17. Lambert behandelt echter het bovenstaande slechts als
voorbeeld en heeft aan zijn uitkomst — zeer terecht — weinig
waarde gehecht. Enige jaren later n.1.^x) schrijft hij zelf, dat zijn
getallen slechts berusten op waarnemingen over een tijdvak van
6 jaar en hij er niet op terugkomt. Hij leidt dan, in zijn
interessante verhandeling: „Ueber die Sterblichkeit, Todtenlisten,
Geburten und Ehen"²) een andere tafel af uit de getallen uit de
10e tabel van Süssmilch³), welke intussen verschenen was en zich
uitstrekte over een tijdvak van 30 jaar voor de londense bevolking,
hetgeen, zoals hij zelf reeds inziet, beter is dan over 6 jaar, hoewel
hij aan de andere kant toch weer beweert, dat zijn getallen van
vroeger niet veel verschillen van de nieuwe. Hij vond nu⁴) voor
de sterftekromme

drukfout; in een brief aan Gaeta⁵) vermeldt hij 13,682. In deze brief
waarschuwt hij meteen, dat men de formule niet moet toe passen

3 ) J. P. Süssmilch. Die göttliche Ordnung in den Veränderungen des
menschlichen Geschlechts u.s.w. II 4e druk. 1775. pag. 319.

boven 96 jaar. Overigens strekt de formule zich over alle leef-
tijden uit. Het is een merkwaardige kombienatie van een para-
bool en twee exponentieaalfunksies of, zoals Lambert het uitdrukt,
„logistische Linien." De paraboliese term geeft volgens hem aan
„dat het menselik geslacht afsterft zoals een cylindries vat vol
water met een kraan aan den bodem leegloopt", terwijl de twee
andere termen volgens hem „veel overeenkomst hebben met de
formule, die gebruikt wordt voor het verwarmen en afkoelen van
lichamen".

Intussen vermeldt hij niet op welke wijze hij tot deze sterfte-
formule is gekomen; de overeenkomst tusschen de berekende
waarden en die uit de gebruikte sterftetafel is vrij goed en de
formule kon bij berekeningen voor Londen dan ook wel gebruikt
worden. Hij heeft de wéinige bruikbaarheid in het algemeen in-
gezien, hetgeen hij bewijst door van zijn formule later nergens
gebruik te maken; waar het nodig is interpoleert hij met behulp
van een grafiese metode.

Op te merken valt nog, dat er voor x — 1 uitkomt l_x — 8146,
dus d₀ = 1854, terwijl l₂ = 6407 wordt, dus ^= 1739. Dit
geeft een voor die tijd te laag sterftesijfer voor pasgeborenen en
een verkeerde verhouding tussen d₀ en d_v Waar verder l_i0 = 5153
en l₂₀ = 4838 zou de waarschijnlike levensduur van een pasge-
borene — dat is het aantal jaren na hetwelk van het aantal
pasgeborenen, IC000, nog de helft is overgebleven — ongeveer
15 jaar zijn, hetgeen bij de door hem aangegeven kindersterfte
veel te weinig is.

§ 18. Duvillard meende, dat de formule van Lambert voor
de londense gegevens met andere konstanten zou kunnen gel-
den als sterftewet voor elk land. Hij schreef in het algemeen

en zegt, dat de waarden voor N, m, n en k zo zijn, dat de

E. E. Duvillard. Recherches sur les rentes, les emprunts et les rem-
boursements. 1788 pag. 81.

formules voor de lijfrenten verscheidene termen bevatten, die
men kan verwaarlozen. Het is niet van belang dit te onderzoeken.

Quiquet ^x) vermeldt, dat Duvillard de biezonderheden van deze
vergelijking bespreekt in een werk, dat niet gedrukt is¹); het
manuskript bezorgde aan de schrijver het lidmaatschap van het
Institut (section d\'économie politique) op voorstel van een kommissie,
bestaande uit Lagrange, Laplace en Legendre. Het rapport,
dat door Legendre daaromtrent werd uitgebracht in de zitting
van 11 vendémiaire an V, heeft Duvillard opgenomen achter in
zijn in noot 1 van pag. 26 vermelde werk.

Uit het rapport blijkt, dat Duvillard beweerde, dat de sterfte-
wet altijd kan worden uitgedrukt door de exponentieaalfunksie

ling is zeer onduidelik.
Bovendien wordt in het rapport vermeld, dat de vergelijking

alles bevat wat de waargenomen sterfte in Frankrijk betreft en
dat Duvillard met behulp van die vergelijking door in de waarde
voor y 10 koëffiesieënten in te voeren de sterftetafel heeft geïn-
terpoleerd, waarop de berekeningen van al zijn tafels zijn ge-
bazeerd.

Op de formule van Lambert gelijken deze vergelijkingen niet.
De daarop doelende mededeling van Quiquet is dan ook niet
duidelik.

1 ) E. E. Duvillard. Travail pour l\'établissement d\'une caisse nationale
d\'économies et d\'assurances sur la vie. Manuscrit. 1796.

§ 19. In een brief aan Sir Edward Hyde East leidt Thomas
Young¹) een kromme af voor het aantal doden uit het ge-
middelde van de getallen van verschillende hem bekende tafels
(Deparcieux , Finlaison , Carlisle , De Morgan , Peice voor Nor-
thampton, londense waarnemingen uit 1815) en vermeldt als de
vergelijking, die deze kromme zo nauwkeurig mogelik aangeeft²)

waarin y het aantal sterfgevallen op 100,000 voorstelt in het
jaar, waarin de leeftijd x voltooid wordt.

In de tekst van de brief staat in de noemer van de eerste
breuk 285. Dit berust op een drukfout; in de berekening van
de getallen, die de formule geeft, gebruikt hij 2,85. Dit is aan
Moser bij de krietiek, die hij op de formule uitoefent % ontgaan.

Hoe hij aan zijn formule gekomen is, geeft Young niet vol-
doende aan; hij\'begint met een term 368 10», die herin-
nert aan De Moivre ; dit gedeelte van de vergelijking geldt voor

vloed in de jongste jaren en wordt bij 65 jaar zo klein, dat hij
wegvalt. De tweede term geldt van 0 tot 25 jaar, hetwelk uit
de vorm tussen haken dadelik is af te leiden. Young zelf geeft
al aan³), dat de term niet veilig te gebruiken is in algebraiese
berekeningen, omdat hij zowel een posietieve als een negatieve
waarde kan hebben. Moser⁴) maakt aanmerking op het gebruik van

1 Thomas Young. A formula for expressing the decrement of human
li^re. (Philosophical Transactions II) 1826 pag. 281 (herdrukt in J. I. A. VI.
1857. pag. 351 en VII. 1858. pag. 14.)

de term, omdat die voor x > 26 iemagienair wordt; hij toont daar-
mede echter, dat hij de bedoeling van Young voor het gebruik
van zijn formule niet goed heeft gelezen.

De verdere termen gelden vooral voor de hogere leeftijden; ze
beginnen te tellen resp. by 2; = 38, 61 en 79.

Moser heeft inzoverre gelijk, dat Young niet alle termen in
éénzelfde vergelijking had moeten schrijven, doch voor verschil-
lende leeftijdsgroepen afzonderlik de vergelijking had moeten
geven; een uitdrukking zoals die van Young, die niet voor alle
leeftijden geldt, mag de naam van formule niet dragen. Doch
ook al had Young dit wel gedaan, de formule is een voorbeeld,
hoe men op de verkeerde weg was; dergelijke gekomplieseerde
uitdrukkingen zijn onbruikbaar.

Young berekende nog, dat lijfrenten tegen 3 % voor leeftijden
van 20 tot 70 jaar vrij goed worden voorgesteld door 24,45 — ¹/_ix
uitgaande van zijn formule. Voor een nauwkeuriger uitkomst zou
de jaarlikse sterfte volgens hem moeten zijn

§ 20. Formules, zoals die van Lambert en Young zijn voor-
beelden van empieriese formules. De ontdekkers hebben getracht
door hun formule een zo groot mogelik aantal waargenomen ge-
tallen voor te stellen; door proberen, door voortdurende verande-
ring van de konstanten zijn ze, somtijds natuurlik bij toeval,
tot hun doel geraakt. Zij verdienen lof als rekenaars; hun
handigheid en hun geduld dient gewaardeerd te worden.

Hun formules kunnen echter slechts gebruikt worden voor de
tafels waarvoor ze zijn afgeleid; voor latere onderzoekers, die
meer tafels tot hun beschikking hadden, werd de zaak dus steeds
lastiger en dat is een gelukkige omstandigheid, die de pogingen
om in die richting toch te zoeken tegenhield.

Toch is bij sommige van die onderzoekers wel het streven op
te merken om de metode van De Moivre te volgen; vandaar

onvoldoende blijkt, deze uit te breiden met korreksietermen en
daartoe 1% voor te stellen door een term van een rekenkundige
reeks van hogere orde;

De eerste formule van Lambert is er reeds een voorbeeld
van. Zo geeft Babbage een uitdrukking van de 2e graad

Peter Gray deelt in een noot²) mede, dat Babbage deze for-
mule in 1823 aan Baily mededeelde.

Ook de astronoom Littrow²) geeft iets dergelijks; volgens hem
geldt van het 10e jaar af met voldoende nauwkeurigheid

Tot grondslag diende de door Baumann verbeterde sterftetafel
van Süssmilch ⁴). Over de wijze, waarop Littrow tot zijn for-
mule is gekomen, zegt hij geen woord.

§ 21. Kan men de tot heden behandelde formules beschouwen
als te zijn gevonden a posteriori, in dezelfde tijd kwam ook de
eerste poging — en nog wel een goedgeslaagde, die voor de
ontwikkeling van de teorie van de hoogste waarde is geweest —
om te werk te gaan a priori.

1 ) Peter Gray. On the Tables of single and annual Premiums published
by the late Mr. William Orchard , and on a Theoretical Table of mortality
proposed by him. J. I. A. VI. 1857. pag. 181.

2 ) J. J. Littrow, Ueber Lebensversicherungen und andere Versorgungs-
anstalten. 1832, pag. 52.

3 ) J. P. Süssmilch. Die göttliche Ordnung in den Veränderungen des
menschlichen Geschlechts u.s.w. Band II. pag. 319.

een meetkundige reeks gebruikte, het onderzoek in deze rich-
ting voorbereid. We hebben niet kunnen nagaan of Gompertz aan
het werk van De Moivre heeft gedacht, toen hij de stelling neer-
schreefdat „hoe de ware wet van overleving ook zij, men
altijd een interval van m tot n kan kiezen zo klein, dat in dat
interval, wanneer de tijd volgens een rekenkundige reeks toeneemt,
het aantal levenden volgens een meetkundige reeks afdaalt,"
zodat voor alle waarden van t tusschen m en n de betrekking
geldt:

In een latere verhandeling¹) schrijft Gompertz het sterven toe
aan 2 hoofdoorzaken. De eerste is slechts toe te schrijven aan
het toeval en treft oud en jong met dezelfde kracht; bestond
alleen deze oorzaak, dan zou de sterftewet een meetkundige reeks
zijn. De tweede oorzaak daarentegen is, dat de kracht, waar-
mede de mens zich tegen de dood verzet, met de leeftijd afneemt,
zodat het aantal levenden sterker afneemt dan volgens een meet-
kundige reeks. Hij stelde nu de hypotese op, dat die kracht
zo afneemt, dat hij in het verloop van elk oneindig klein tijds-
element met hetzelfde gedeelte van het oorspronkelik bedrag
vermindert. Daardoor kwam hij tot de .differentieaalvergelijking
voor de sterfte-intensieteit:

1 ) B. Gompertz. On the nature of the function expressive of the law
of human mortality, and on a new mothod of determining the valuo of
Life Contingencies. (Philosophical Transactions). 1825. pag. 513.

Deze formule geldt algemeen als de Wet van Gompertz en
telt 3 konstanten k, g en c. Het aantal konstanten is tot 2
terug te brengen, als men overgaat tot de levenskans. Immers

Ter bepaling van k, g en c moet men dus 3 waarden van l_xkennen; Gompertz noemt dit de „vital rule of three". Overigens
ziet hij overeenkomst tussen zijn wet en die voor de luchtver-
dunning, in de ontvanger van een luchtpomp door de opeenvol-
gende slagen van de hefboom veroorzaakt.

Door de bijpassende berekening van de konstanten stemde deze
formule van Gompertz zeer goed overeen met de toenmaals
meest gebruikelike sterftetafels, tussen 15 en 55 jaar met de
Northamptontafel en met die van Deparcieux, tussen 10 en 50
jaar met de zweedse tafel, tussen 10 en 60 jaar met de Car-
lisle-tafel¹). Gompertz geeft voor de Northamptontafel voor de
leeftijden van 15 tot 45 aan

Gompertz zelf deelde mede, dat zijn formule slechts voor
bepaalde leeftijdsgroepen geldt, voor kinderleeftijden niet bruik-
baar is en boven 60 jaar alleen, wanneer men andere konstanten
neemt²). Hij erkende ook zelf, dat hij benaderde waarden vond

1 W. Lazarus. Die Sterblichkeit als Funktion des Alters. Masius\'
Rundschau. X. 1860. pag. 235.

en wees er op, dat de konstanten weer als funksies van de tijd
moeten worden aangezien om een nauwkeuriger aansluiting aan
de waarnemingsresultaten te krijgen.

§ 22. De verhandeling van Gompertz ondervond eerst geen
opmerkzaamheid en zij die het werk kenden, maakten er öf
misbruik van door het zo goed als ongewijzigd als hun eigen
vinding bekend te maken, öf oefenden er krietiek op uit.

Van de laatste is het vooral Moser die blijk geeft, dat hij
Gompertz slecht gelezen heeft. Hij noemt diens formule zeer
onnatuurlik en licht dit toe door getallen uit te rekenen voor
leeftijden beneden 15 jaar en boven 60 jaar en bijvoorbeeld de
aanmerking te maken, dat het aantal levenden volgens de formule
nooit 0 kan worden. Hij trok daaruit de gevolgtrekking, dat
Gompertz meende, dat het menselik leven geen bepaald doel
heeft, zodat, wanneer er maar mensen genoeg waren, enige van
hen elke willekeurige leeftijd konden bereiken!

Een verkeerd gebruik van de formule maakt ook — Czuber¹)
heeft hierop gewezen — Bertrand ²). Hij schrijft de formule in
de gedaante

en bepaalt de konstanten G, H en k niet met behulp van een
bepaalde sterftetafel, maar met behulp van een door hem uit een
aantal bekende tafels afgeleide nieuwe tafel; de wijze waarop hij
die denkbeeldige tafel afleidt geeft hij niet aan.

§ 23. Kort na Gompertz verscheen een verhandeling van Edmonds.
Hij zegt daarin dat de sterfte-intensieteit altijd een funksie is

1 ) E. Czuber. Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie und
ihrer Anwendungen. (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereini-
gung). 1899, pag. 239.

T. R. Edmonds. Life Tables, founded upon the discovery of a
numerical law regulating the existenco of every human being etc. 1832.
pag. XVII.

van de leeftijd en wel van de vorm ap^x gedurende elk van de 3
perieoden van het menselik leven, de kindsheid, de mannelike
leeftijd, de ouderdom, welke tijdvakken resp. van O tot 9, van
9 tot 55 en boven 55 jaar gerekend worden.

De grootheid p is de kenmerkende konstante van de perieode
en is de reden van de meetkundige reeks, die de sterfte-inten-
sieteiten in elk tijdvak vormen; a is de intensieteit op zekere
gegeven leeftijd, terwijl x de tijd is tussen die leeftijd en elk
willekeurig ander tijdstip. Eenvoudigheidshalve mag de gegeven
leeftijd worden ondersteld samen te vallen met die, waarop de
perieode begint.

Noemt men de modulus van het gewone log. stelsel M en stelt
men de gewone logaritme voor door log., dan vindt men de for-
mule van Edmonds

Hij noemt dit de kromme voor het aantal levenden voor een
van de 3 tijdvakken; desnoods kan men volgens hem nog een
zeer klein 4e tijdvak nemen bij ongeveer 10 jaar. Daarvoor is

dan p = 1, voor de overige 3 perieoden is p resp. 0,6760832,
1,0299117 en 1,0796923.

Men vindt met de formule van Edmonds niet dadelik het aan-
tal levenden, dat van 0 jaar, boven 9 jaar is overgebleven; men
heeft daarvoor eerst te berekenen uit de formule voor de
eerste perieode, daarna de waarde van het 2e lid voor de
2e perieode, dus met andere konstanten en deze waarde met
die van /₉ te vermenigvuldigen.

Hij geeft Gompertz de eer het eerst het verband te hebben
gevonden tussen, de sterftetafel en de algebraiese uitdrukking
a^b , maar beweert, dat zijn redenering om er toe te komen zozeer
verschilt van die van Gompertz, dat zijn ontdekking onafhankelik
is van de „onvolmaakte" ontdekking van Gompertz. Dat de
laatste zou gemeend hebben, dat zijn formule voor alle leeftijden
geldt, schrijft Edmonds hem ten onrechte toe¹).

Stelt men in (/S) e\\gp = k, dan is de vorm van Gompertz ge-
makkelik terug te vinden.

In latere jaren is een uitvoerige pennestrijd gevoerd over de
kwestie aan wie de prieorieteit van de ontdekking toekomt.

De artiekelen van Farr, A. de Morgan, Sprague, Gom-
pertz en Edmonds²) geven de indruk, dat de laatste zich in
allerlei bochten wringt om zijn goed recht aan te tonen, doch
hierin weinig geslaagd is. De enige betekenis van deze penne-
strijd , tevens voorname betekenis, lijkt me toe, dat de aandacht
op de formule van Gompertz — die tot dusver niet groot was³) —
sterk gevestigd werd. Waar dit samenviel met een uitgebreider
verhandeling van Gompertz, trad hiermede een tijdvak van
vruchtbare werkzaamheid op dit gebied in.

Voor de volledigheid dient nog vermeld, dat Farren ⁴) de
formule van Edmonds onveranderd afleidt, zonder tot nieuwe
opmerkingen te komen.

§ 24. Moser gaf in zijn hierboven (zie § 22) vermeld, als leerboek
bedoelde werk¹) een krietiek op de hem bekende sterfteformules,
die van Lambert, Young, Littrow en Gompertz, welke hem
doen menen, „dasz man weit entfernt ist, das mathematische
Gesetz zu kennen, welches die Sterblichkeit regiert"²). Hij vindt
het nodig, dat men „einfache, leicht anwendbare Interpolations-
formeln besitze". Hij acht zich gelukkig, dat hij na veelvuldige
pogingen, de wet heeft ontdekt, volgens welke de sterfte geregeld
is. Voor hem, als natuurkundige namelik, is het een natuurwet
in de strengste zin van het woord.

De wet, die hij geeft luidt: Het aantal doden tot aan een
bepaalde leeftijd is evenredig met de vierdemachtswortel uit die
leeftijd.

De waarde van a vindt men, doordat voor x = 1 het aantal
levenden l_x = 1 — a, dus het aantal doden

Door beschouwing van hem bekende tafels (Wargentin,
Kersseboom) komt hij tot de waarde a = ¹I₆.

Moser behoort weer tot de vertegenwoordigers van de metode
a posteriori; zijn wet volgt uit de waarnemingen en omdat deze
een met de werkelikheid overeenstemmende grote kindersterfte
vertoont, schijnt deze laatste hem in de natuur van de dingen
te liggen. Of men zonder deze foutieve mening wellicht reeds
eerder er aan zou hebben gedacht weerstand te bieden aan de
vermeende onveranderlikheid van de natuurwet van een hoge
kindersterfte — zooals Wagner^ beweert — is de vraag.

Moser kan er met zijn wet l_x = 1—^ll₅x^lli niet komen; want
eerst voor x = 625 wordt het aantal levenden gelijk aan 0. Voor
hogere leeftijden dan 30 bevredigt de wet hem ook niet en hij

De opvolging van de eksponenten is duidelik. Bij de afleiding
van deze vergelijking — hoe hij er toe kwam zet ook hij weer
niet nader uiteen — heeft hij veel nut gehad van de sterftetafel
van Brune¹). De konstanten zijn:

Boven de 80 jaar komen er nog 2 termen bij en wordt
l_x = 1 — ax\'l* — baf\'* — cx"l* — dcc*¹* -f eafl*²).

De eksponenten klimmen weer op dezelfde wijze op; voor de
konstanten vindt hij in een toepassing:

0^416 _ 0,5243 0,1542 _ 0,6680
ö — ^g-; c-—^-] d— _1Ql2 ; e — _1Q16 •

De overeenstemming, die hij vindt tussen waargenomen en
berekende waarden, noemt hij „volkomen". Niettegenstaande
dit gezegde schijnt het hem zeer natuurlik, dat de formule in
zijn volledigheid een volgens de gegeven opvolging in de ekspo-
nenten voortschrijdende oneindige reeks zal zijn; om die reeks te
leren kennen zou men in de koëffiesieënten van de eerste termen
een of andere wet moeten ontdekken, met behulp waarvan de
volgende a priori af te leiden zouden zijn.

§ 25. De gehele wijze van behandeling door Moser geeft blijk
van grote uitvoerigheid bij weinig matematiese degelikheid; zijn
scherpe krietiek op de formules van anderen moet wellicht dienen
om eigen voortreffelikheid naar voren te brengen. Voor zijn
opvatting van de sterftewet en voor de wijze waarop hij te werk
gaat, is o. a. karakteristiek, dat hij bewijst, dat zijn formule de
vraag, hoeveel mensen er b.v. 6 maanden vóór de geboorte zijn,

1 ^N E. W. Brune. Neue Sterblichkeitstafeln fllr Wittwencassen. Crelles
Journal XVI, 1837.

terugwijst, omdat er voor x = —¹/₂ een iemagienair getal uit-
komt! Kenschetsend is ook, dat hij zijn formule toepast op de
in het domein Kleinhof bij Tapiau waargenomen sterfgevallen van
kalveren en paarden!

Moser ontkomt dan ook niet aan ernstige krietiek. Zo vooral
van Chr. Bernoulli¹). Deze merkt op, dat waar het aantal
doden wordt voorgesteld door ax^]l\\ men de verhouding van het
aantal doden tot 16 jaar en dat tot 1 jaar vinden moet in de
verhouding 2:1, — hetgeen Moser ook in zijn uitkomst doet
zien —, maar dat dan ook voor dezelfde verhouding voor de
tijdvakken van l jaar en van 23 dagen of Vie j^aar eveneens
gevonden wordt 2:1, doch dat dit in het geheel niet uitkomt.

Ook de uitgebreide formule van Moser noemt hij onbevredigend
en bestrijdt, dat Moser een wet zou ontdekt hebben; hij houdt
trouwens formules in het algemeen voor onmogelik. Ook Fenger²)
beschouwde de formule van Moser als nauweliks bruikbaar; hij
helde meer over tot de toen nog weinig bekende formule van
Gowpertz.

Toch heeft Moser ook wel verdedigers. Fischer³) o.a. noemt
de formule van Moser een van de aannemelikste; overigens houdt
hij in het algemeen pogingen tot het vinden van een sterftewet
voor nutteloos.

Aan het werk van Moser mag intussen niet de eer onthouden
worden, dat het, waar het te doen is om een overzicht van de
toenmalige- stand van de statistiese wetenschap, met voordeel
kan worden geraadpleegd.

Hoe men echter in de tegenwoordige tijd nog een formule
kan opstellen zoals die van Moser is onbegrijpelik. Toch
bood Dassy de Lignières aan het Institut des Actuaires
français een nota aan⁴), waarin hij als formule voor het aantal
sterfgevallen tot de leeftijd x bij een sterftetafel, die begint met

1 !) Chk. Bernoulli. Handbuch der Populationistik oder der Völker-
und Menschenkunde nach statistischen Erhebnissen. 1841. pag. 424.

die in de formule van Moser; inzoverre is dus de hierboven ge-
noemde niet nieuw, slechts in de korreksietermen is hier een
vereenvoudiging. Het is natuurlik best mogelik, dat er een
sterftetafel is te vinden, die zich bij de genoemde formule onge-
veer aansluit. Het aantal formules van deze soort zou dan ook
kunnen worden uitgebreid zoveel men wil; ze hebben evenwel
niet de minste waarde. De opsteller van de hier bedoelde for-
mule verzuimde trouwens nog te vermelden aan welke tafel hij
zijn formule heeft getoetst. Het is dan ook te begrijpen, dat
het Institut des Actuaires français het niet nodig vond de daartoe
aangeboden nota in zijn Bulletin op te nemen. Het is trouwens
niet goed te begrijpen hoe in Frankrijk iemand na de verschijning
van het werk van Quiquet¹), aan het franse Institut nog met
een dergelijke formule te voorschijn komt. De opname alhier is
alleen het gevolg van het streven om zo volledig mogelik te
zijn bij de vermelding van de sterfteformules die zijn bedacht.

§ 26. Ook Gtauss ²) heeft als resultaat van waarnemingen bij de
tontienen, vermoedelijk van die van Deparcieux, een formule afgeleid.

log x = A Böⁿ — Ccⁿwaarin A, B, C, b en c konstanten.
Uit de vergelijking volgt

dat is dus een biezonder geval van de formule van Lazarus¹),
maar niet van die van Makeham, zoals Bohlmann²) beweert,
doch Loewy³) met bewijs ontkent.
GtAüss vindt voor de konstanten:

A = 0,48213; log B = 6,66^31 — 10; log C = 0,67925 - 10;
log b = 0,03999.7; log c = — 0,0042325.

G-auss vindt ook nog⁴), dat de kindersterfte voor de tafel van
Quetelet zich met verrassende nauwkeurigheid voor de eerste
6 maanden laat uitdrukken door

waarin x het aantal maanden is. De formule is verwant aan
die van Moser⁵), geldt in tegenstelling met deze echter juist
beneden . de leeftijd van 1 jaar. Voor de tafel van Quetelet ⁶)
heeft men te nemen

§ 27. Weinig opgemerkt — Quiquet ⁷) bepreekt het geval —
is een metode van afronding, die in een brief⁸) werd aangegeven
door M**** — wellicht Makeham⁰) — en die neerkomt op de

2 ) G. Bohlmann. Lebensversicberungs-Mathematik (Encyclopaedie der
mathematischen Wisschenschaften I²). 1901, pag 870.

3 ) A. Loewy. Die Gauss\'sche Sterbeformel (Zeitschrift für die gesammte
Versich^rungswissenschaft. VI), 1906, pag. 517.

volgende sterftewet. Men vormt een tafel voor de levenskansen
p_x uit de waarneming, daaruit een tafel voor lg(—p_x) en rondt
nu af in de onderstelling, dat de tweede verschillen van deze
tafel gelijk zijn.
Schrijft men

M*"** onderstelt nu dat fi_x het eerstvolgende jaar konstant
blijft, gelijk dit door meer, vooral door engelse schrijvers, vaak
wordt gedaan. Men kan gemakkelik aantonen, dat in dat geval
uit (7) van pag. 9 volgt

Peter Gray maakt melding^x) van een studie van Orchard.
Het was voor Orchard een bezwaar tegen alle hem bekende
sterfteformules, dat ze voor de berekening van lijfrenten onge-
schikt waren (over De Moivre zwijgt hij merkwaardigerwijze).
De geschiktheid voor de praktijk was voor hem hoofdzaak; hij
liet dan ook teoretiese beschouwingen over de wijze waarop de
sterfte-intensieteit verandert, wijken voor zijn pogingen om een
eenvoudige algebraiese betrekking te vinden, die hij voor zijn
doel kon gebruiken. Hij stelt daartoe een tafel op, beginnende
bij 20 jaar met Z₂₀ = 3650, welk getal elk jaar afneemt met het
getal, waardoor de. leeftijd wordt voorgesteld; dit gaat zo door

tot 80 jaar. De opeenvolgende aantallen doden vormen dus een
opklimmende rekenkundige reeks. Yan 80 jaar af — /₈₀ is, zoals
dadelik is af te leiden 3650 — ¹/₂ X 60 (20 79) = 680 — neemt
het aantal doden jaarliks met 5 af, waardoor 96 de oudste leeftijd
wordt, daar ^ = 0. Het aantal levenden is dus van 20 tot 80
jaar en eveneens boven 80 jaar een rekenkundige reeks van
de 2e orde.

Om een uitdrukking voor l_x te vinden, redeneert Orchard
— we geven hier zijn omslachtige redenering verkort weer —
als volgt:

Voor 80 en 81 jaar zelf gelden beide vergelijkingen; behalve
uit de wijze van afleiding blijkt dit ook nog daaruit, dat de
gelijkstelling van de beide formules

⁵/₂ (96 — x) (97 — x) = 3840 — (x — 1)
een vierkantsvergelijking is met wortels 80 en 81.

De konstante C = 3840 zou volgens de vergelijking (2) voor-
stellen de waarde van /₀. Echter is de tafel niet bedoeld voor
beneden de 20 jaarj de onderstelling voor d_x zou daar niet
houdbaar zijn.

andere sterfteformule, echter alweer zonder aan te geven hoe
hij er aan komt. Hij drukt nu de sterfte-intensieteit op een
bepaalde leeftijd uit in de voor een andere leeftijd bekende sterfte-
intensieteit door middel van de betrekking

waarbij a een konstante is, die de tijdruimte voorstelt van een
vast punt af, het zogenaamde „iedeale nulpunt van leven of
levenskracht". Er zijn 2 iedeale nulpunten, een behorende bij
de jeugdperieode en een behorende bij de volwassen perieode.
De sterftekromme bestaat uit 2 takken, een aan elke kant van
de puberteitsleeftijd. De volledige uitdrukking voor de sterftewet
bestaat uit 2 gelijkvormige formules, een geldig voor de perieode
van afname van de sterfte-intensieteit, dat is bij hem van de ge-
boorte af tot ongeveer 9 jaar, en een geldig voor de perieode van
toename van dezelfde grootheid, van 12 jaar af tot de hoogste leeftijd.

— wanneer l_a = 1 voor de absolute leeftijd a, gemeten van een
van de beide nulpunten van leven, en ju_a ondersteld wordt op de
leeftijd a gedurende de eenheid van tijd konstant te blijven —
verkrijgt men

De iedeale nulpunten zijn gelijk aan — 2¹/₄ jaar en -j- 102 jaar.
Tussen 9 en 12 jaar wordt de sterfte-intensieteit ondersteld kon-
stant te blijven; voor die perieode vindt men derhalve

De uitdrukking (y) is uit (p) af te leiden door (ft) te ontwikkelen
en alleen de eerste term te beschouwen.

strijd met Gompertz en diens verdedigers was hij niet vergeten —
vindt Edmonds natuurlik zelf zijn nieuwe formule beter; zijn
vroegere formule moet men echter, zo zegt hij, als „niet meer
dan een empieriese wet beschouwen, ondergeschikt aan en af-
hankelik van de „ware wet", uitgedrukt door de nieuwe formule".¹)

Hoe echter de nieuwe formule van de oude afhangt, daar-
omtrent zegt hij niets. Opmerkelik is, dat zijn nieuwe formule
juist te voorschijn komt kort nadat Gompertz aan zijn vroegere
formule de uitbreiding had gegeven, die hieronder behandeld zal
worden; Edmonds wil niet voor zijn tegenstander onderdoen en
zijn nieuwe formule heeft in tegenstelling met de vroegere niets
met die van Gompertz gemeen!

Wel komen de volgens Edmonds berekende waarden vrij goed
overeen met die uit de English Life Table no. 3 for Males,
afgeleid door Farr uit waarnemingen over 1838—1854 en met
die volgens zijn vroegere formule. De rekening met de absolute
nulpunten, maar nog meer, het willekeurig aannemen van de
perieode van 9 tot 12 jaar, maken de nieuwe formule van
Edmonds tot niet meer dan de vorige formules. Het is dan ook
niet te betreuren, dat zijn formule zo goed als onopgemerkt is
gebleven; door latere schrijvers wordt er slechts bij hoge uit-
zondering melding van gemaakt.

§ 30. Met het jaar 1860 breekt voor het onderwerp van de
•sterfteformules een nieuw tijdperk aan, tengevolge van de uit-
gebreide onderzoekingen van Makeham. Alvorens deze .te be-
handelen dient nog te worden melding gemaakt van een tweetal
verhandelingen van Gompertz, waarin hij zijn arbeid van 1820
en 1825verder uitwerkt. Hij wilde zijn formule geschikt maken
voor alle leeftijden, maar was niet tevreden met de handelwijze
van „a gentleman" — gelijk hij schrijft (hij doelt natuurlik op
Edmonds) — om het leven in 3 perieoden te verdelen, ieder met
afzonderlike konstanten. Hij onderstelde, dat de k en de c in
zijn vroegere formule

waarin alle letters van het rechterlid, behalve x, konstanten
zijn. De konstanten zijn berekend voor vier verschillende tafels;
0 is nagenoeg gelijk aan 1.

De voornaamste term is Cf. In alle beschouwde tafels zijn
tussen 20 en 60 jaar de overige termen zo weing verschillend
van konstanten, dat ze als zodanig te beschouwen zijn.
Van 20 tot 60 jaar kan daarom volstaan worden met

Korte tijd later¹) kwam hij nog op de zaak terug; hij zette
toen zijn oorspronkelike formule om in de vorm

waarbij dan fi en £j slechts weinig van 1 kunnen verschillen.
De zo ontstaande formule

geldt van 10 tot 80 jaar. Om voor alle leeftijden een uitdrukking
te hebben wordt de formule uitgebreid tot

De term ke^x heeft betekenis van 0 tot ongeveer 21 jaar;
k^ heeft slechts waarde in het 1° levensjaar, in hoofdzaak zelfs

\') B. Gompertz. A supplement to the two Papers published in the
Transactions of the Royal Society „On the science connected with
Human Mortality"; tho one published in 1820, and the other in 1825.
(Philosophical Transactions 1862) pag. 511.

in de 1" maand; nq% krijgt slechts waarde tegen de 80 jaar en
neemt tot het eind van de tafel toe.

Het wil me voorkomen, dat Gompertz door zijn uitbreiding
aan zijn oorspronkelike formule schade heeft toegebracht; boven-
dien gaan in de nieuwe gedaanten de fraaie eigenschappen, die
zijn oorspronkelike formule heeft, geheel verloren.

§ 31. De in de vorige paragraaf besproken werken van Gom-
pertz zijn gelukkig, ook voor hem, vrijwel onbekend gebleven
en hier dan ook alleen voor de volledigheid vermeld. Zijn oor-
spronkelike formule bleef zijn glans behouden; dit is het meest
te danken aan het werk van Makeham.

Deze merkt op \'), dat indien de wet van Gompertz juist was,
de logaritmen van de kansen, die een x jarige heeft om na een
telkens gelijk aantal jaren nog in leven te zijn een meetkundige
reeks moesten vormen, dus dat dan

een rekenkundige reeks moeten vormen, en dit bleek hem uit
de waarnemingen met verschillende tafels niet zo te zijn.

In een latere verhandeling²) komt hij tot de vorm, onder welke
men gewoonlik de wet van Makeham verstaat. Aan de redenering
van Gompertz , die de sterfte-intensieteit volgens een meetkundige
reeks laat veranderen, brengt hij deze wijziging aan, dat hij de
door Gompertz aangenomen waarde voor /.i_x vermeerdert met
een konstante, onafhankelik van de leeftijd, zodat bij hem de
verschillen van de sterfte-intensieteiten een meetkundige reeks
vormen.

^x) W. M. Makeham. On the law of mortality and the construction of
annuity-tables. J. I. A. VIII. 1860 p. 301.

²) W. M. Makeiiam. On the principles to be observed in the Con-
struction of Mortality Tables. J. I. A. XII. 1866. pag. 305.

De term bc^x in (0) heeft eerst voor grote waarden van x be-
tekenis tegenover de konstante a; vandaar dat een grotere waarde
van c wijst op een mindere sterfte in de leeftijden, die in de
praktijk voorkomen.

§ 32. Gompertz en Makeham hebben geen van beiden de
grenzen aangegeven binnen welke de konstanten zich kunnen
bewegen. Aangaande de konstanten is op te merken, dat ze
posietief moeten zijn. Daar het aantal levenden met de toename

van x negatief zijn; bovendien moet de levenskans p_x met de
toename van x tot 0 naderen.
Men heeft:

Voor tal van sterftetafels zijn de konstanten berekend; daar-
voor zijn verschillende metoden aangegeven. Hieronder volgt een
opgave van de waarden van de konstanten voor enkele bekende
tafels:

De waarden lopen dus voor de verschillende tafels al zeer
weinig uiteen. Wat c aangaat werd dit verschijnsel het eerst
opgemerkt door Woolhouse¹); het werd opnieuw besproken door
Makeham²) naar aanleiding van waarnemingen van Meech³).
Daarom nam Makeham toen voor ¹⁰log c presies 0,04, hetgeen
overeenkomt met c— 1,096475 (zie in de tabel de H^MF tafel),
en leidde een biezondere sterftetafel af, uitgaande van

waarbij de c overal dezelfde, terwijl de overige konstanten zijn
berekend in elke term voor een bepaalde perieode; de eerste
term past bij alle leeftijden boven 20 jaar, de tweede term is te
verwaarlozen boven 20 jaar, de derde reeds boven 7 of 8 jaar.
Het aannemen van ¹⁰log c = 0,04 heeft sedert veel navolging gehad.

De wet van Makeham sluit merkwaardig goed aan bij de meeste
sterftetafels van ongeveer 15 jaar af, dus voor de leeftijden die
in de praktijk het meest voorkomen en heeft dan ook een uit-
gebreide toepassing gevonden. De toepassing is bovendien be-
vorderd door de fraaie eigenschappen die de formule bezit.

De wet van Makeham is door anderen onder vele andere
vormen gebracht. Een van de bekendste is die van King en
Hardy¹); ze schreven

De tweede term moet dienen om de kinderleeftijden in de for-
mule op te nemen; men ziet onmiddellik in, dat de vorm is te
schrijven in die van Makeham:

§ 33. De kromme voor ju_x vertoont in het algemeen een mie-
niemum ongeveer tussen 12 en 15 jaar.

De formule van Makeham voor /.i_x geeft geen mieniemum.
Lazarus²) zocht dit er in te brengen en de formule bruikbaar
te maken voor de kinderleeftijden. Wel gaat hij van de wet
van Makeham uit; hij is toch van mening³) dat Gompertz en
Makeham het juiste standpunt innamen, n.1. om /u_x als f{x) te
schrijven en niet zoals gewoonlik geschiedt l_x. Deze mening nadert
tot die van Westergaard ⁴); deze noemt een sterfteformule goed,
wanneer /x_x zich gemakkelik laat berekenen.

Lazarus wilde in elk geval zorgen, dat fi_x integreerbaar bleef.
Bij de twee krachten, zoals hij ze noemt, uit welke de sterfte-
intensieteit bij Makeham bestaat, moet er nog een derde zijn,
zodanig, dat die langzamerhand afneemt; de konstanten zijn

4 ) H. Westergaard. Die Lehre von der Mortalität und Morbilität.
1901. pag. 201.

daarbij zo te bepalen dat de werking van die derde kracht bij
ongeveer 15 jaar ophoudt. Die derde kracht is van dezelfde
gedaante als die in de formule van Gompertz; hij krijgt dus:

Een formule dus met 6 konstanten, en dat is een bezwaar;
de aansluiting bij vele tafels is vrij goed.

De formule is nog in de laatste jaren toegepast door Quiquet\'
voor de kindersterfte²).

§ 34. De formule van Makeham zou men kunnen vervormen
tot een veelterm, bestaande uit een aantal Makeham-termen,
en wel

De wijziging, die Lazarus aanbrengt, komt hierop neer, dat hij
de c voor de verschillende termen ongelijk neemt. Had hij alge-
meen geredeneerd, dan zou hij — en dit geldt dus ook voor
Makeiiam — hebben geschreven:

van welke uitdrukking de formules van Makeham en van Lazarus
biezondere gevallen zijn⁴). Het gebruik van de formule van Amthor

1 Zie Let ai\'tiekel Annuities in de Encyclopaedia Britannica. 8^th edition,
pag. 220.

2 ) A. Quiquet. Sur la mortalité des enfants en France d\'après certaines
tables récentes (VII^me Congrès Internationale d\'Actuaires. II) 1912. pag. 87.

3 ) A. Amthor. Das GoMPERTz-MAKEiiAM\'sche Sterblichkeitgesetz und
seine Anwendung bei der Lebensversicherungs- und lîentenrechnung.
(Festschrift der Ivreuzschule in Dresden). 1871. pag. 2.

brengt echter moeielikheden mede, doordat het aantal konstanten
aanzienlik wordt; hij wil dan ook niet verder gaan dan de for-
mule van Lazarus, die volgens hem voor het gehele leven zeer
nauwkeurig is. Hij werkt evenwel verder met de formule van
Makeham, omdat die eenvoudiger is en omdat de kinderleeftijden
toch in de praktijk bijna niet voorkomen; daardoor neemt hij
inderdaad een juist standpunt in.

§ 35. Na zijn eerste uitbreiding van de wet van Gompertz
heeft Makeham nog een tweede uitbreiding daarvan gegeven¹).
Was zijn vroegere onderstelling, dat de tweede verschillen van
log lx een meetkundige reeks vormen, de uitkomsten voor enkele
tafels deden hem zien, dat deze eigenschap beter kan worden
toegekend aan de derde verschillen. Het komt hierop neer, dat
men schrijft

Door Karup²) is aangetoond, dat de uitbreiding, die Makeham
aan zijn wet gaf, geen verbetering was. Niettemin is de for-
mule toegepast o.a. door Nordenmark³) bij de sterftetafels voor
1840—1900 van het statisties sentraalburo voor Zweden.

§ 36. Scheffler ⁴) f die voor zijn berekening van lijfrenten en
andere waarden volgens de kontienue metode een sterftefunksie
van eenvoudige vorm wilde aannemen, verwierp daarom het zoeken
naar een exponentieëele funksie als sterftewet. Hij maakte ge-
bruik van de vorm.

1 ) \' W. M. Makeham. On the further dovelopment of Gompertz\'s law.
J. I. A. XXVIII 1890. pag 156.

2 ) J. Karup. Ueber eine angebliche neue Verbesserung der Gompertzschen
Sterblichkeitsformel. (Masius\' Rundschau derVersicherungenXL.l890)pag.ll4.

3 ) N. V. E. Nordenmark. Ueber die Bedeutung der Lebensdauer für
die Berechnung der Leibrenten. (Berichte, Denkschriften und Verhand-
lungen des 5^ten Internationalen Kongresses für Versicherungs-Wissenschaft.
1906). deel V». pag. 424.

maar is overtuigd, dat voor een voldoende nauwkeurigheid een
funksie van hoge graad noodzakelik is. Voor groepen van leeftijden
echter kan volgens hem een lagere ^raad voldoende nauwkeurig-
heid geven en hij bepaalt zich tot de tweede graad. Alvorens zijn
berekeningen uit te voeren leidt hij uit 26 hem bekende sterfte-
tafels grafies een gemiddelde sterftetafel af; op 50 jaar zijn de aan-
tallen levenden alle gelijk gemaakt aan die van de Equitable-tafel.
Daarna vindt hij voor dit gemiddelde met behulp van de formule

van 0 tot 6 jaar 100000— 11402,9« -f 842,4a;²„ 6 „ 80 „ 64440— 395,86a; — 4,331a;².„ 80 „100 „ 204364 - 4305,82 22,68a;².

Hij leidde ook nog vergelijkingen af voor de tafel van Brune.
Daarbij nam hij 4 perieoden; we zullen de uitkomsten niet ver-
melden. De overeenkomst tussen berekening en waarneming is
trouwens slechts matig. Het is overigens duidelik, dat de metode
van Sciieffler als zeer onvoldoende, ja als zonderling moet
worden betieteld. Een mengsel van allerlei sterftetafels tot
grondslag, er zijn er bij voor mannen, voor vrouwen, voor beide,
er is zelfs een vroegere gemiddelde van Moser bij; ze zijn
van verschillende landen; er zijn er bij die slechts historiese
waarde hebben, zoals die van Kersseboom"; het aantal perieoden
willekeurig. Zeker kan men elke kromme bij benadering door
paraboolbogen vervangen, de benadering ware dan des te beter
geworden, naarmate het aantal perieoden groter genomen ware.
En dan zou de eenvoudigheid weg zijn. Bovendien maakt
Scheffler weer de fout uit te gaan van l_x en in een zodanige
vorm, dat de ermede samenhangende grootheden niet in bruikbare
gedaante zijn af te leiden, en dit nog wel in een werk, waarvan
het hoofddoel is de kontienue metode naar voren te brengen. Hij
geeft blijk de grondslagen van dededuksie, die Gompertz levert,
niet te beseffen en levert slechts een gewone interpolatieformule.

alleen posietieve machten van de veranderlike het voordeel zouden
geven, dat de berekeningen tot de lagere algebra zouden beperkt
blijven. Als eigenaardigheid, meer niet, vermeldt hij, dat door
de volgende vorm met 6 termen een lijn wordt voorgesteld, die
9 punten met de Carlisle-tafel gemeen heeft en van 8 tot 20 jaar
deze tafel vrij goed bepaalt:

l_x = 0,29493jt² -f 0,483016w³ — 0,022718w⁴ 0,000430174w⁵— 0,00000375557w⁶ 0,0000000125Idu⁷,
waarin u — 96 — x.

Hij deelt verder mede, dat hij een dergelijke vorm ongeschikt
vindt en dat in het algemeen slechts beknopte, gemakkelik
integreerbare funksies kunnen dienen en diegene het meest bruik-
baar zijn, waarbij de afgeleiden terugkeren in de vorm van de
oorspronkelike funksie; hij noemt e^x, sin x, V2(^6X ^6_X);
7s (e^x - e-*).

en geeft dus l_x in dezelfde gedaante als Makeham schrijft voor /u_x.
De formule bezit een interessante eigenschap, waarop we later
terugkomen.

§ 38. Oppermann trachtte in het biezonder een formule te
vinden voor de kinderleeftijden; hij geeft¹), geldig tot ongeveer
20 jaar

De uitdrukking herinnert in zijn vorm aan de splitsing van
ju_x volgens verschillende oorzaken. Wij hebben het geschrift van
Oppermann niet kunnen raadplegen en vinden trouwens ook bij
andere schrijvers niet meer aangegeven dan het bestaan van
de formule en de bron, waar die te vinden is. Mag het geven
van ju_x worden toegejuicht, een bezwaar is dat de vorm minder
eenvoudig is in de bewerking. Of de formule door hem is toege-

past hebben wij niet kunnen vinden; later gebruik is er in ieder
geval niet van gemaakt. Wel mag hier nog worden opgemerkt,
dat vervanging van x door [/x bij meer deense schrijvers wordt
aangetroffen.

§ 39. Franke¹) tekent eerst uit de beschouwing van allerlei
tafels een kromme voor de sterftekans van 20 jaar af en stelt
daarna, zonder echter enigszins toe te lichten hoe hij er toe
komt, de hypotese

p_x = kirvxwl -j- nw_x -f m)^w*,
waarbii k, r, n en m konstanten zijn; v en iv daarentegen
funksies van de leeftijd x. De funksie u> wordt zo gekozen, dat
die voor het begin van de tafel — dat is hier 20 jaar — gelijk
aan 0 is en verder steeds toeneemt. Men heeft overigens vrije
keus; exponentieaalfunksies zijn hem met hoge exponenten te
moeielik, hij neemt de leeftijd zelf en schrijft:

De funksie v bepaalt hij zo, dat de sterfte van 64 tot 74
jaar — hij vindt deze getallen uit de door hem getekende
kromme — toeneemt en daarboven tot enkele jaren voor het
einde van de tafel afneemt; er is in zijn kromme bij 74 jaar een
buigpunt. Hij schrijft dan:

waarbij de konstanten zodanig zijn, dat beneden 64 jaar de beide
wortelvormen iemagienair zijn, de eerste ook boven 73 jaar, de
tweede ook beneden 75 jaar; c wordt zo bepaald, dat voor het
hoogste levensjaar de tweede wortel iemagienair wordt. De
funksie v, voor welke dan in elk geval alleen de reëele termen
in rekening te brengen zijn, omvat zodoende eigenlik slechts 1
of 2 termen. Volgens zijn ervaring is de funksie altijd te gebruiken.

De bepaling van de konstanten k geschiedt eenvoudig: in het
jaar waarvoor w_x = 0, is p_x = k] r, n en m worden gevonden

J. H. Franke. Ueber die Ausgleichung von Sterblichkeitsbeobach
tungen. (Masius\' Rundschau der Versicherungen XX) 1870. pag. 261.

volgens de metode van de kleinste kwadraten. Voor een voor-
lopige bepaling zet hij, uit zijn formule

Wanneer men de formule van Franke vergelijkt met de vóór
hem bestaande van Makeham e. d., dan behoeft geen betoog,
dat hij voor het gebruik niet is aan te bevelen. Behalve op een
door hem gegeven voorbeeld voor de tafels van een aantal engelse
instellingen is de formule dan ook nooit toegepast en is, evenals
zovele andere, in de vergetelheid geraakt. Zelf zegt hij¹), — en
daarmede velt hij zijn eigen doodvonnis — dat zijn hypotese in
elk geval nog te verbeteren is; al verandert men niet de ge-
hele exponentieaalfunksie, dan kan toch de vorm tussen haken
gewijzigd worden. Het peil, waarop zijn wetenschap staat,
wordt gekenmerkt door de volgende zin²): „Es ist jedoch weder
möglich noch notwendig, dass bei Ausstellung einer neuen Theorie
(kursievering van mij) alle Einzelheiten bis zu ihren letzten
Consequenzen verfolgt werden; die weitere Ausbildung können
wir ganz ruhig der Zeit überlassen."

§ 40. De splitsing van de doodsoorzaken in verschillende
groepen wordt ook toegepast door Thiele ³); daardoor komt ook
hij tot een formule voor die uit 3 of 4 termen bestaat:

waarbij de 3 termen gelden resp. voor de jeugd, de middelleeftijd
en de ouderdom; somtijds is nog een konstante nodig, die de
invloed van het toeval voor alle leeftijden weergeeft.

Indien voor de ouderdom /u₃ geldt, dan moet deze zeer klein
zijn voor kleine waarden van x, maar snel toenemen. Hij
nam voor ju₃ de formule van Gompertz-Makeiiam

3 ) T. N. Thiele. En mathematisk Formel for Dödeligheten. 1871, ver-
taald door T. B. Sprague. J. I. A. XVI. 1872. pag. 313.

fx_2x = aze-W2<*-^c>¹-
Voor de kinderleeftijden meende hij eerst de formule van Op-
permann¹) met enige wijziging te kunnen gebruiken; hij gaf echter
de voorkeur aan

boven 10 a 20 jaar is deze term te verwaarlozen.
De volledige formule werd zodoende

Hij nadert tot de formule van Lazarus, echter in een vorm,
welke, al moge die voor het gehele leven gelden, voor de be-
rekening van lijfrenten ongeschikt is en de eigenschappen van de
formule van Gompertz-Makeham mist.

§ 41. Ook door Laurent is over sterftekrommen en sterfte-
formules iets medegedeeld. Hij doelt²) op een uitdrukking

De formule wordt door hem gewijzigd in een latere verhande-
ling ²). Hij noemt daar de formule van Makeham als goed bruik-
baar, schrijft deze — of liever die van Gompertz — in de vorm

Volgens hem is deze formule zelfs nauwkeuriger dan die van
Makeham, omdat er meer parameters in zijn; hij geeft echter
nergens een getallenvoorbeeld, waaruit de gegrondheid van zijn
mening blijkt. Hij heeft verder gelijk, waar hij nog opmerkt,

2) H. Laurent. Traitó du Calcul des Probabilités. 1873. pag. 198.
id. Théorie et Pratique des Assurances sur la yie. z. j. pag. 51.

dat de formule te verkiezen is boven die, waarbij een rekenkundige
reeks van hogere orde wordt gebruikt; vooreerst omdat de vorm
nadert tot die van Makeham — die opvatting is voor zijn
rekening; ons inziens is de overeenkomst slechts zeer gering,
hoogstens nadert de vorm voor l_x bij hem die voor n_x bij Make-
ham of eigenlik die voor [i_x bij Lazarus — maar ook, en dit
terecht, omdat de formule een oplossing toelaat van de kontienue
lijfrente. Die oplossing geeft hij echter niet; we hebben het de
moeite waard geacht die wel te geven, de uitkomst vindt men
in een volgend hoofdstuk.

§ 42. Na de hierboven vermelde formule gaf Laurent nog
een formule, die, als algemene interpolatieformule bruikbaar,
door hem waarschijnlik is gevonden met het oog op toepassing
bij sterftetafels; hij geeft er dan ook een voorbeeld van en spreekt
van f{x) als een lieneaire funksie met exponentieëele termen.
Stelt men:

dan wordt deze voor x = a gelijk aan f{a), voor x = b gelijk
aan f(b).
Stelt men verder:

:/•(«, ö) (/?*_&, x);

dan wordt deze vooreerst gelijk aan f(a) voor rc = a en gelijk
aan f(b) voor x = b, en verder ook gelijk aan f(c) voor x = c.
Op deze wijze kan men doorgaan.

voor a en b twee willekeurige waarden te nemen en bepaalt
daarna a zodanig, dat de vergelijking ook geldt voor een wille-
keurige derde waarde. Laurent kiest de tafel van Duvillard
en rt = 0, ö=100, zodat

Zijn de met behulp van die uitdrukking verkregen waarden
niet voldoende nauwkeurig, dan voegt men de term

(«* — «<") (ft* — p^b) /"(a, b, c)
er aan toe voor een willekeurige c, in het voorbeeld van Laurent
25, en bepaalt p zo, dat f{x) voor een vierde waarde, bij
Laurent &=75, voldoet; zo komt hij tot

f{x) — 100000 — (1 — 0,98291*) 121720 — (1 — 0,98921*)
(0,97877* — 0,11693) 62570.

Zelf vindt hij de uitkomsten bij de tafel van Duvillard slechts
matig en meent, dat een nieuwe term nodig zou zijn, doch hij
moet meteen toegeven, dat dan de eenvoudigheid van de formule
verdwenen zou zijn. O. i. is zijn eindformule reeds te ingewikkeld
en kan zijn metode slechts met vrucht dienst doen wanneer
met a en b kan worden volstaan , hetgeen bij een sterftetafel niet
te verwachten is. De vergelijkingen ter bepaling van a, /?, enz.
worden ook reeds spoedig zodanig, dat ze slechts met moeite en
benaderd zijn op te lossen. En zelfs met twee termen is de for-
mule niet eenvoudiger dan andere en is ook voor verdere toepas-
sing niet biezonder geschikt. Als een voordeel bij het gebruik

dat op ander terrein ervan te maken mag zijn, kan gelden, dat
bij het toevoegen van een volgende term als korreksie, de reeds
bestaande termen onveranderd geldig blijven.

§ 43. Nam Edmonds de sterfte-intensieteit van 9 tot 12 jaar
konstant aan, Dormoy¹), die in zijn hoofdstuk over sterftefor-
mules slechts die van Gompertz en Makeham behandelt, noemt
als voorbeeld, hoe men uit de sterfte-intensieteit de formule voor
het aantal levenden afleidt het geval, dat fx gedurende het gehele
leven konstant zou zijn.
Dit geeft

welke uitdrukking herinnert aan hetgeeen Sang²) voorstelde.
De uitdrukking komt overeen met de tweede onderstelling van
De Moivre³).

Yoor x = 0 vindt men /₍₎ = c, zodat de konstante c het aantal
O-jarigen voorstelt.

Ook noemt Dormoy het geval, dat de sterfte-intensieteit even-
redig met de leeftijd zou zijn; dit geeft

Dit geval is een biezonder geval van het voorbeeld, dat Broggi ^ö)
geeft; deze leidt uit

1 ) E. Dormoy. Théorie mathématique des Assurances sur la vie. I.
1878. pag. 115.

doch alleen om er een fraaie eigenschap uit af te leiden, niet
met het oog op toepassing.

Yan meer dan voorbeelden mag hier geen sprake zijn. Dormoy
doet zelfs al verkeerd, wanneer hij zegt, dat die twee formules
slechts een ruwe benadering geven, al is het dan nog maar ge-
durende een beperkt deel van het leven. Had hij nog gesproken
van een zeer klein deel, dan was hij gekomen op de onderstelling
van Gompertz¹); uit de plaats waar de genoemde uitdrukking
staat, is wel af te leiden, dat bij het zo ook bedoeld heeft. Zelfs
als ruwe benadering kunnen de genoemde funksies niet dienen,
ze bezitten o.a. geen buigpunten, die toch in elke kromme voor
de waargenomen waarden van l_x voorkomen.

Sang ²) bij wie we de kwestie omgekeerd aantroffen, gebruikte
de funksie dan ook slechts als punt van uitgang.

§ 44. De exponentieaalfunksies vonden een nieuwe aanhanger
in Wittstein ³). Zijn uitgangspunt was de formule van De Moivrk

zoals het ook moet zijn; deze waarde 1 blijft, wanneer M — x
een willekeurige konstante faktor a krijgt:

Th. Wittstein. Das mathematische Gesetz der menschlichen Sterb-
lichkeit. 1883. pag. 17.

Ook blijft nog /i_M = 1, wanneer M — x voorzien wordt van een
willekeurige exponent n. Zo komt hij tot

De noemer is het begin van een reeksontwikkeling, n.1. van
_a<M-x)» i_ndi_{en a}_]g_a. _z0 k₀mt hij er toe te schrijven

hetwelk eigenlik niets anders is dan de formule van Gompertz
in een wat meer algemene vorm.

Met behulp van deze formule ging Wittstein de mannentafel
van Brune na; slechts 2 konstanten zijn te bepalen, terwijl
M = 95. Hij vindt:

Willekeurig nam hij bij de berekening de leeftijden 37 en 44
tot grondslag, die leeftijden liggen echter in de buurt waar de
gewichten het grootst zijn; voor /x_zl en n_u nam hij om zoveel
mogelik tegen de invloed van het toeval te zijn beschermd,
resp. Vs (,"36 -"37 Maa) en Vs t*u

§ 45. De kinderleeftijden bleven nu echter, gelijk bij de oor-
spronkelike formule van Gompertz, buiten beschouwing. Teneinde
in zijn funksie een mieniemum te krijgen, roept hij de kettinglijn
te hulp, die ook uit exponentieaalfunksies is opgebouwd;

Om evenwel in de kromme te doen uitkomen, dat deze in de
eerste levensjaren sneller daalt dan dat hij later stijgt, maakt hij
de tweede term kleiner. Zo komt hij dan eindelik tot de eindformule:

Om de waarde van m te bepalen, bepaalt men het mieniemum
van deze funksie op de bekende wijze:

Met behulp van zijn formule vult Wittstein de tafel van Brune
aan voor de kinderleeftijden met die van Deparcieux ; hij schrijft:

^ = 1,42423 ^{( x)} Vb X 1,42423 ^(ox) .
De wijze, waarop hij daarbij komt tot het gebruik van m — 5
is vrij zonderling¹).

waarbij dezelfde opmerking te maken is. De gehele formule is
trouwens zeer gekunsteld en al komt de uitdrukking voor /.i_x de
door Lazarus ²) en Amthor ¹) gegeven uitbreiding van de formule
van Gompertz-Makeiiam nabij, bij al deze staat die van Wittstein
achter; het gering aantal konstanten kan dit niet goedmaken.
Het voornaamste bezwaar tegen de formule is echter — Wittstein
oppert dit zelf reeds — dat hij niet in eindige vorm integreerbaar
is; ook hierin staat hij bij de zoeven genoemde achter.
Uit

Beide integralen zijn dus van dezelfde vorm, doch zijn slechts
op te lossen, indien ^ = geheel is en dit is niet het geval.

§ 47. Past men in (1) reeksontwikkeling toe, dan verkrijgt men
lg fc = — ƒ (1 — (M — x)ⁿ lg a ^ (M - x)²ⁿ (lg af....) dx

. _? (M — x)^{n l}. 1 (M—x)¹^¹ . ,₂l_g<x = C-s---^{g a} 2Ï 2w T^{— ( ga)}

Beide reeksen (men schrijve M — x voor C — x) zijn wel kon-
vergent, doch zeer zwak; er zijn dus te veel termen nodig om
bruikbare nauwkeurigheid te verkrijgen.

Het stuk co — x geeft de formule van De Moivre ; de overige
termen leggen echter veel gewicht in de schaal.

Opmerkelik is nog, dat een groot aantal schrijvers de formule
van Wittstein verkeerd weergeven door inplaats vän de sterfte-
intensieteit de sterftekans te zetten; zo Landré *), Wagner ²),
Braun²), Czuber³). Wittstein is hiervan zelf mede de schuld,
want hij gebruikt overal voor ju_x de uitdrukking Sterbenswahr-
scheinlichkeit.

1 *) C. L. Landre. Mathematisch-Technische Kapitel zur Lebensversi-
cherung. 1905. pag. 56.

2 ) H. Braun, Die Gesetze der menschlichen Lebensdauer (Loevvenbergs
Sammlung versicherungstechnischer Arbeiten. Band II) pag. 67.

3 ) E. Czuber. Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie und
ihrer Anwendungen (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.
Band VII). 1899. pag. 242.

§ 48. Enigszins in de lijn van Wittstein blijft ook Grosse ¹).
Deze merkte op, dat voor de duitse sterftetafel voor mannen
M I vrijwel door de kettinglijn wordt aangegeven. Hij schrijft
daarom

Met behulp van deze vergelijking en twee passend gekozen waar-
den voor Hx, die hij niet noemt, doch die n_Tt en moeten ge-
weest zijn, komt hij tot de uitkomst

Over de overeenkomst van zijn berekende waarden met de
waai genomen is hij nog al tevreden. De formule noemt hij slechts
geldig van 20—79 jaar. Ten onrechte zegt hij, dat ook buiten
deze grenzen de resultaten bruikbaar zijn; zelfs van 20—79 jaar
mogen we dit in twijfel trekken.

In hetzelfde jaar als Grosse schijnt ook Kaiser een sterfte-
formule te hebben opgesteld; dit wordt medegedeeld door Lehr ²).
Evenals Wagner ³) hebben wij omtrent deze formule niets naders
kunnen vinden.

§ 49. Nadat Oppermann tevergeefs had getracht om zijn
formule voor de kinderleeftijden⁴) te kombieneren met die van

1 H. Grosse. Die Versuche zu einer mathematischen Darstellung des
Sterblichkeitsgesetzes (Ehrenzweigs Assekuranz-Jahrbuch. V) 1884. pag. 46.

2 ) Zie het artickel „Sterblichkeit" in Meyer\'s Konversations-Lexicon,
deel 18, pag. 943.

3 ) K. Wagner. Das Problem vom Risiko in der Lebensversicherung.
1898. pag. 110.

Makeham of die van Thiele¹) teneinde zodoende een formule
te verkrijgen, die voor het gehele leven geldig is, vestigde hij
zijn aandacht op de uitdrukking

die boven 15 jaar bruikbare waarden kan geven. Voor lagere
leeftijden krijgt men echter vaak negatieve, dus onbruikbare
waarden voor fi_x. Boven 15 jaar is de formule dus een mede-
dinger voor die van Makeham.

Oppermann zelf heeft omtrent zijn formule niets openbaar
gemaakt; de vermelding is te danken aan Gram²).

De formule van Oppermann bezit de belangrijke eigenschap,
dat door sommatie, differentieatie en integratie vormen van nage-
noeg hetzelfde karakter te voorschijn komen; men krijgt door
integratie

Substietueert men x = nt, dan vindt men voor de kans, dat
een x (= nt) jarige over n jaar nog in leven is:

hetgeen door sommatie uit de formule voor — lg p_x is af te
leiden. Voor het verband tussen de koëffiesieënten vindt men
gemakkelik

terwijl a\'het eenvoudigst wordt bepaald uit a_n met behulp van
de waarden voor A en B.

Bij de deense „Statsanstalten for Livsforsikring" werd door
Oppermann deze formule gebruikt; bij de mannentafel voor
x > 27, bij de vrouwentafel voor x > 12. Bij de eerste ge-
bruikte hij voor x ^ 27 de formule

²) J. P. Gram. Om Udjevning af D^delighedsiagttagelser og Opper-
mann\'s D0delighedsformel (Tidsskrift for Matematik (5). II). 1884. pag. 113.

waarbij, als men zich tot 3 termen beperkt, de 6 konstanten op
sierlike wijze kunnen worden bepaald uit de 6 vergelijkingen,
die men krijgt voor £c = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

y_z — A y₂ B y_x — C?/₀ = 0
y_i — Ay₃ -f By₂ — Cy_x = 0
!/₅ — Api — B y₃ — C y₂ — 0.

van welke u, v en w de wortels zijn.
Daarna vindt men uit de vergelijkingen (1) voor re = 0, 1 en 2

De formule heeft het voordeel, dat hij bij overgang op meer
hoofden in een funksie van overeenkomstige vorm overgaat,

1 \') L. Iversen. Die Sterblichkeit unter den Renten-Versicherten. (Vter
Internationaler Kongress für Versicherungs-Wissenschaft I) 1906 pag. 290.

2 ) E. Selling. Ueber eine Formel für empirische Zahlenreihen, ins-
besondre zum Ersatz der Sterbe- und Invaliditlitstafeln. (Journal lür die
reino und angewandte Mathematik, gegründet von A. L. Crelle. Band 106)
1890. pag. 193.

terwijl alle voor de berekening van lijfrenten nodige sommaties
of integraties in gesloten, eenvoudige vorm mogelik zijn. Daar
staat tegenover, dat het rekenwerk aanzienlik is. Er mag echter
worden opgemerkt, dat hier, evenals bij de aanname van een
polynomium vari de graad n voor het aantal levenden geen sprake
is va.n een sterftewet, — zoals Bratjn¹) zegt — doch van een
gewone interpolatieformule; Selling geeft dit dan ook zelf toe.
Wetten zoals die van Gompertz en Makeham bevredigen hem
echter, ondanks het kleiner aantal konstanten, niet, omdat ze,
wanneer ze voor een bepaalde tafel gelden, voor een andere
weigeren. Dat ze slechts voor bepaalde perieoden gelden vindt
hij geen bezwaar; ook voor zijn formule beveelt hij aan in de
kinderleeftijd een term bij te voegen.

Hij past zijn formule toe op de duitse mannensterftetafel
(1871—1881), uitgaande van de leeftijden 65, 57, 49, 41, 33,
25 en voor dezelfde leeftijden ook op een valiedentafel van het
duitse spoorwegpersoneel, n.1. die, welke bij Spitzer²) voorkomt;
verder volgens een enigszins gewijzigde metode ook voor de
Tafel MI van de 23 duitse maatschappijen.

Wagner³) geeft nog de konstanten aan voor de tafel van
Brune-Fischer ; Wagner vermeldt ook — wij hebben het bewuste
geschrift zelf niet kunnen raadplegen — dat Selling in een
andere verhandeling⁴) het algemene karakter van zijn formule zo
aangeeft, dat de eerste term de voornaamste is en met de leeftijd
toeneemt; de tweede negatief is en naar de jonge leeftijden toe
in waarde vermindert; de derde een sterk veranderlike korreksie-
term is, voor kleine waarden van x te verwaarlozen, voor x > 40
echter van grote invloed.

1 ^J) H. Bkaun. Die Gesetze der menschlichen Lebensdauer (Loewenbergs
Sammlung versicherungstechnischer Arbeiten IT) pag. 69.

2 ) S. Spitzer. Anleitung zur Berechnung der Leibrenten und Anwart-
schaften. 1881. pag. 146.

3 ) K. Wagner. Das Problem vom Risiko in der Lebensversicherung.
1898. pag. 110.

4 *) E. Selling. Formeln für die Gesetze der Lebensdauer und der
Arbeitsfähigkeit. (Sitzungsberichte der Physikalisch-Medizinischen Gesell-
schaft zu Würzburg). 1890.

Eindelik valt nog te vermelden, dat de zeer weinige schrijvers,
die de formule van Selling noemen, blijkbaar de door Laurent
aangegevene niet kennen; geen van hen bemerkt altans, dat die

§ 51. De redenering van Anton¹) is, dat men door aan te
nemen, dat de gehele getallenrij van de sterftetafel voor alle
leeftijd in een matematiese formule als funksie van de leeftijd is
voor te stellen, aan die getallenrij te veel dwang oplegt en op
die wijze de fijnheden, die in de waargenomen sterfte zijn, doet
verloren gaan. Als bewijs voor de redenering voert hij echter
alleen een enkel voorbeeld aan, o. a. van Selling , waarin blijkt
dat de aangenomen funksie slechts geldt voor een zekere perieode
van jaren. Hij wil elke afgeronde waarde bepalen door een
parabool, — hij neemt er een van de 2e graad —, die zo goed
mogelik aansluit aan een rij waargenomen waarden; hij noemt
dit de paraboliese metode. Hij lost daarmede echter niet de op-
gaaf op op de wijze, zoals hij die vooropstelt; hij neemt n.1. aan,
dat de in zijn gehele verloop transendente sterftekromme bestaat
uit stukken, die tot een algebraiese kromme behoren; immers
elke afzonderlike afgeronde waarde behoort tot een andere alge-
braiese kromme. Dit wordt zeer goed aangegeven door Brendel
deze geeft er dan ook de voorkeur aan een formule te gebruiken
zoals die van Makeham.

§ 52. Landré²) stelde een wijziging voor in de formule van
Makeham; hij wil n.1. niet de sterfte-intensieteiten maar de

1 ) L. Anton, lieber ein noues Ausgleichungsverfahren boi der Auf-
stellung von Sterbetafeln (Zeilschrift für Mathematik und Physik. 38^er Jahr-
gang ) 1893. pag. 61.

2 ) C. L. Landré. Het afronden van sterftetafels. (Handelingen van het
Vierde Nederlandsch Natuur- en Geneeskundig Congres.) 1893. pag. 175.

C. L. Landré. Mathematisch-Technische Kapitel zur Lebensversicherung.
1905. pag. 100.

sterftekansen doen opklimmen zodanig dat de eerste verschillen
een meetkundige reeks vormen.

De konstanten a, b en c laten zich op verschillende manieren
op sierlike wijze oplossen. De eenvoudiger wijze waarop bij deze
formule de sterftekansen zijn te bepalen, deed Landré deze
metode volgen.

Voor de berekening van lijfrenten in matematies juiste vorm,
is de formule evenwel niet geschikt. De eigenschappen, die de
formule van Makeham bezit, gaan bij Landré verloren. Deze
omstandigheid, gevoegd bij de hier gemaakte aanmerkingen,
maken de nieuwe formule niet aanbevelenswaard; wel is het
verschil tussen fi_x en q_x voor de meeste leeftijden niet groot,
doch gelijkheid tussen de beide grootheden bestaat slechts voor
het geval men de formule van de Moivre aanneemt, zoals o. a.
Landré¹) aantoont, doch dan is de onderstelling te onjuist.

De formule van Landré is intussen wel toegepast, o. a. door
Möller bij het afronden van de waarnemingen bij de hamburgse
staatsbeambten²), door Stoltz³) bij engelse ondervindingstafels en
door Fredholm bij een deel van de nieuwe zweedse tafels³).
Inderdaad geeft de formule wel vereenvoudiging bij kwesties van
afronding.

2 ) F. Möller. Die Sterblichkeits-Heiratsverhältnisse der haraburgischon
Staatsbeamten. (Veröffentlichungen des Deutschen Vereins für Versiche-
rungs-Wissenschaft. IV). 1905. pag. 73.

3 ) Undersökning af dödligheten enligt erfarenheten hos sjutton svenska
lifforsiikringsbolag. 1915.

Zie ook J. F. Steffensen. The Mortality Experience of 17 Swedish
Life Companies. Review. J. I. A. L. 1916. pag. 60.

De bepaling van de 5 konstanten geschiedt op dezelfde wijze,
waarop dit gewoonlik bij de formule van Makeham gebeurt;
Vermeeren voert de gehele bewerking in zijn genoemde ver-
handeling uit.

De bezwaren tegen de formule van Landré gelden natuurlik
des te meer voor de hier beschouwde formule.

Teneinde meer in de gedachtengang van de formule van
Makeham te blijven, voert Vermeeren ook nog²) de gehele
bewerking uit met behulp van de vergelijking

Na de bij vroegere wijzigingen van de formule van Makeham
gemaakte opmerkingen behoeft het geen afzonderlik betoog, dat
ook deze wijziging geen formule oplevert die te verkiezen is
boven die van Makeham.

Hij past zijn formules toe, de eerste op de tafel AHq (Oesterr.-
ung. Gesellsch. Männer, Gemischte Versich.), de tweede op de tafel
AH^MF (Oest.-ung. Ges. Gesamtmaterial, Männer und Frauen).
Verder past hij ze ook nog toe voor uitgezochte levens.

1 ^!) E. L. Vekmeeren. Ueber eine neue analytische Ausgleichungs-
methode von Sterbetafeln. (Oesterreichische Revue XXXVI en Loewen-
bergs Sammlung versicherungstechnischer Arbeiten I. pag. 41) 1911.

§ 54. Werden tot nu door verschillende schrijvers verschil-
lende sterfteformules aangegeven, die slechts bij uitzondering met
elkander enig verband toonden, het is de grote verdienste van
Quiquet, dat hij een algemene sterfteformule heeft afgeleid,
waarvan aan de ene zijde een aantal vóór hem bekende formules
slechts biezondere gevallen zijn, terwijl aan de andere kant een
aantal tot nu toe niet bekende formules te voorschijn komen,
die voor toepassing in aanmerking kunnen komen.

dezelfde sterftewet volgen¹), na t jaren nog in leven is in het
algemeen een funksie is van t en van de m grootheden x, y,
2.... k, of van m grootheden, welke funksies zijn van x, y,

Daar deze betrekking moet gelden voor elke waarde van t kan
men de n opvolgende afgeleiden naar t van beide leden gelijk

stellen; stelt men daarna in alle vergelijkingen < = 0, dan ver-
krijgt men het stelsel vergelijkingen

dan is daartoe volgens Jacobi noodzakelik en voldoende, dat de
funksieonaaldetermienanten van de n 1 funksies met betrekking
tot n 1 uit de m veranderliken willekeurig gekozen verander-
liken, gelijk 0 zijn.
Een van deze determienanten is

Wil deze determienant iedentiek nul zijn, dan is daartoe nodig
en voldoende, dat er tussen de elementen van elke rij of kolom
eenzelfde lieneaire, homogene betrekking bestaat. Een van de
zo ontstaande vergelijkingen is

waarbij A₀, A_i.... A_n onafhankelik zijn van x en niet alle gelijk 0.
Stelt men /u\'_x = y, dan krijgt men de vergelijking

een lieneaire differentieaa,lvergelijking van de n^e orde met kon-
stante koëffiesieënten zonder tweede lid. Noemt men de wortels
van de vergelijking

wanneer alle n wortels verschillend zijn. Zijn er meervoudige
\' wortels, zó dat bijv. r, een ^-voudige wortel is, dan komt y in
de vorm

te staan, waarbij het 2 teken zich uitstrekt over alle verschil-
lende wortels van de vergelijking (2); <Pi{x) is een veelterm van
de graad A, — 1; de grootheden X zijn verbonden door de be-
trekking

§ 55. Het geval dat de vergelijking (2) komplexe wortels
heeft, kan buiten beschouwing blijven, omdat tot heden de prak-
tijk daartoe geen aanleiding heeft gegeven.
Uit (1) volgt:

waarbij fc(x) een veelterm is van dezelfde graad als q>i{x), dus
van de graad A,— 1. Het minteeken dient hier slechts om in
de uitkomst voor l_x een plusteeken te krijgen.
Men heeft dus

!) Zie bijv. A. R. Forsytü. A treatiso on differential cquations.
1903. pag. 64.

Hierbij is, om dezelfde reden als hierboven, gt (;x) een veelterm
van dezelfde graad als fi{x), dus ook van de graad A,—1.

Voor het geval echter r, = 0, gaat integraal (6) over in
jcpidx = G fi{x),
waarbij de graad van de veelterm fi{x), dus ook de graad van
ju_x één hoger is dan die van <Pi(x), dus gelijk aan k-

Dezelfde redenering volgend vindt men, dat in lg l_x een veel-
term gi {x) van de graad k -j- 1 voorkomt.

Het geval dat r, = 0 kan echter, mits men de opmerking
omtrent de graad slechts in acht neemt, toch worden geschreven
in de gedaante (10).

§ 56. De formule (10) voor l_x noemt Quiquet overlevings-
funksie van de w^e orde, naar de orde van de differentieaalver-
gelijking.

Voor kleine waarden van n geeft de formule van Quiquet
■een aantal vroeger reeds bekende formules terug.

zijnde de Wet van Makeham voor B = 0 die van Gompertz ¹).
Voor n — 2 gaat (1) over in

7 gevallen te onderscheiden. Het eenvoudigste hiervan is, dat
-de 3 wortels r_lt r₂ en r₃ verschillend zijn en niet gelijk aan 0.
Men heeft dan

dus

waaruit

Neemt men nog het geval, dat er 3 gelijke wortels 0 zijn, dan
is in (4) van pag. 74 9n (x) een veelterm van de 2° graad en wordt

In het biezonder nemen we nog het geval, dat er één twee-
voudige, van nul verschillende wortel is; dan wordt

-en dit is de formule van Oppermann²). Blijkbaar heeft Quiquet
deze formule niet gekend; hij verzuimt tenminste er melding van
te maken.

Dit meest algemene geval levert

y = C^i* C₂e^r**,

dus

In het meest algemene geval, bij de n^e orde, zijn de uiterste
gevallen dat, waarbij alle n wortels gelijk 0 zijn, waardoor

ning van lijfrenten op meer hoofden, dit voorname belang, dat
het mogelik is om door de berekeningen, die men met de waar-
genomen getallen uitvoert, zelf te doen beslissen welke sterfte-
formule het meest geschikt is om in het betrokken geval te
worden gebruikt, zoals door Quiquet nader aangetoond wordt.

Het werk van Quiquet is zo volledig, dat men van diegenen,
die na hem nog gebruik blijven maken van sterfteformules, welke
niet tot zijn algemene geval behoren, onbekendheid met zijn
onderzoekingen moet onderstellen. Evenzeer geldt dit voor hen,
die nog nieuwe formules zouden willen bedenken, welke niet in
zijn sisteem passen; de vele voordelen die de formule van Quiquet
oplevert zouden daarbij verloren gaan.

§ 59 In dezelfde tijd als die, waarin Quiquet zijn merkwaar-
dige ontdekkingen bekend maakte, kwam Poterin du Motel
met een zekere wijziging van de wet van Makeham, om te
trachten deze geschikt te maken voor uitgezochte tafels (tables

2 ) J. P. Janse. Over de constructie en afronding van sterftetafels.
1885. pag. 79.

moet gelden voor uitgezochte tafels, de grootheden a, b, k, s en g
niet alle konstant zullen zijn, maar dat er onder zullen zijn, die
funksies zijn van de leeftijd bij toetreding z; de vraag is welke
dat zijn. De grootheid a, die bij Makeham onafhankelik van x
is en slechts de invloed van het toeval aanwijst, neemt Poterin
du Motel ook onafhankelik van z, hoewel we hier kunnen
opmerken, dat die aanname volstrekt niet noodzakelik is. De
term bi^x = t^ax afkomstig van de bekende onderstelling voor
het tweede deel van de sterfte-intensieteit²) dat

waarbij a onafhankelik van x is, doet hem aannemen, dat a ook
onafhankelik van 2 is; ook dit is echter volstrekt niet nood-
zakelik. Slechts de grootheid b kan dus bij hem in p_x een
funksie van z worden. Nu moet voor een bepaalde waarde van
x de waarde van bij toename van z dalen; hij neemt een
exponentieaalfunksie door te stellen:

!) H. PoTEUiN du Motel. Usago et ajustement des tables de mortalité
par ftges t\\ l\'entréo B. A. F. 1893. pag. 208.
²) Zie pag. 31.

De koëffiesieënt h bepaalt het aantal levenden bij het begin van
de tafel; h kan naar verkiezing konstant of als funksie van z
worden gekozen. Neemt men h konstant, dan wordt het aantal
levenden bij het begin van de tafel een funksie van z, want voor
x — z wordt

en dus voor elke tafel anders. Wil men, dat de tafel bij elke
leeftijd van toetreding met een evengroot aantal levenden begint,
bijvoorbeeld 100.000, dan wordt h een funksie van z\\ immers
dan is

§ 60. PoTERiN du Motel geeft zijn formule slechts als een
poging om in de vermelde richting iets te ondernemen; hij is
zelf van het onvolmaakte ervan overtuigd²). Hij heeft, zeker
wel o.a. wegens gebrek aan voldoend waarnemingsmaterieaal,
zijn formule niet getoetst aan de waarneming. Dit is voor Marie³)
reden om, met alle waardering voor de teoretiese zijde van de
formule, er geen absoluut vertrouwen in te stellen. Marie ver-

1 !) L. Marie. Les surfaces et les courbes de mortalité. (Documents du
Premier Congrès International d\'Actuaires 1896). .pag. 10.

meldt nog¹), dat Raffmann met dezelfde bedoeling als Poterin
du Motel de formule van Makeham als volgt wijzigde:

Raffmann zelf deelde op het le Kongres van Aktuarissen mede,
dat hij deze formule heeft geveriefieëerd met behulp van de tafel
van de 23 duitse maatschappijen; hoe hij de formule heeft
gevonden deelde hij niet mede.

Het eigenaardige van de formule van Raffmann is, dat daarbij
de sterfte-intensieteit [z_x de vorm

krijgt, zijnde ook de vorm van de formule voor Hx volgens Make-
ham. Maar nog eigenaardiger is, dat, waar Poterin du Motel
a als konstant aannam, die grootheid bij Raffmann juist de
enige is, die van z afhangt. Hoewel er geen reden is om een
van beide opvattingen bepaald als foutief aan te merken, neigen
we het meest over tot het standpunt van Poterin du Motel,
omdat de grootheid a in de oorspronkelike formule de werking van
het toeval uitdrukt en dit bij uitgezochte tafels kan blijven doen.

§ 61. De formule van Makeiiam bezit de bekende eigenschap
van de „uniform seniority", volgens welke het mogelik is bij
verzekeringswaarden op twee hoofden ongelijke leeftijden te ver-
vangen door gelijke²). Deze eigenschap blijft gelden voor de
formule, zoals die door Poterin du Motel is gewijzigd voor uit-
zochte levens; het bewijs verloopt op dezelfde wijze als bij de
formule van Makeham en behoeft hier niet te worden gegeven.

Eveneens blijft de eigenschap gelden voor een andere gewijzigde
formule van Makeiiam , namelik die van Auterbe ³). Deze past
de formule toe gedurende de perieode van de invloed van de
seleksie.

3 ) Auterbe. Essai d\'ajustement par age t\\ 1\'ontrée des tables H et
H F 1900. B. A. F. XXII. 1912. pag. 60.

Stelt men de levenskans op x 1 jaar bij toetreding op x jaar
voor door p_x._t (niet te verwarren met _tp* en met p_x t), dan
schrijft Auterbe

\' lg Px.t = A -j- BC^a: ^t.
Ter bepaling van A, B en C redeneert hij als volgt:
Stel dat tengevolge van de seleksie een «-jarige bij toetreding
als x—m-jarige moet worden gerekend bij een algemene sterf te-
tafel, dan is

in hun ontmoetingspunt dezelfde raaklijn hebben.
Neemt men voor de derde vergelijking bij benadering

jaren te vervangen door een andere groep van n personen met
gelijke x en t; ook hier verloopt het bewijs gelijk dat voor de
„uniform seniority" bij Makeham.

§ 62. In Engeland treft men merkwaardig genoeg heel weinig
pogingen aan om de wet van Makeiiam te-wijzigen teneinde op

die wijze dienst te doen voor uitgezochte tafels. Alleen Hardy
gaf bij een diskussie over de toepassing van de wet van Make-
ham¹) als zijn mening te kennen, dat voor het beoogde doel
slechts nodig zou zijn termen toe te voegen, die betrekking
hebben op het aantal jaren dat de verzekering heeft bestaan.

Gemakkelik valt aan te tonen, dat ook bij deze formule de
bekende wet van de „uniform seniority" behouden blijft. Hij
vond met de volgens deze formule ruw afgeronde tafel van
Sprague jaarpremies voor verzekeringen, die voldoende overeen-
kwamen met de uitkomsten, welke Sprague vond met behulp
van die uitgezochte tafels zelf.

Later behandelde Hardy de kwestie nog nader²) bij de be-
spreking van de franse ondervindingstafels voor uitgezochte levens.
Daar deelt hij mede, dat hij de hierboven bedoelde bewerkingen
ook heeft uitgevoerd met behulp van de formule

PM i = (A Hz BC*) - <p (t) (A 4- Bc*),
waarbij de vorm binnen de eerste haakjes bij benadering aan-
geeft de sterfte volgens de H^M(5) tafel; voor de waarde van <p(t)
is genomen: ?(0) = %; fp(l) = */_m; 2) = ^M/_W; <p{8) = V₇₀;
<p (4) = V_TO en (p (5 -f y) = O voor alle gehele waarden van y
van 0 af.

§ 63. Verschillende schrijvers gebruiken in navolging van
Hardy uitdrukkingen, overeenkomende met de formule van
Makeham. Men neemt

1 ^x) E. Colenso. On the Application of Makeham\'s Modification of
Gompehtz\' Expression for the Law of Mortality to the Practical Calculation
of the Values of Survivorship Benefits. J. I. A. XXXI. 1894. pag. 359.

2 ) G. F. Hardy. \'Mortality Experience of Assured Lives and Annuitants
in France. J. I. A. XXXIII. 1898. pag. 493.

c en y in overeenstemming met de wet van Makeham konstant.
Voor die funksies treft men verschillende uitdrukkingen aan.
Een ernstige krietiek op de metode van Hardy levert Patzig¹).
Deze meent, door de funksies a_t en /?< eenvoudig te kiezen en
te schrijven

beter werk te leveren. Zijn afronding is echter een mislukking,
zooals o.a. door Möller²) uitvoerig met sijfers is aangetoond.

Het aantal konstanten wordt groot; het is de vraag of er wel
veel van de formule te verwachten is.

We kunnen hier nog vermelden, dat de gewijzigde formule van
Makeham ook onlangs nog is toegepast bij afleiding van een
sterftetafel op grond van waarnemingen bij verzekerden zonder
geneeskundig onderzoek³).

§ 64. Inzake de formules bij uitgezochte tafels blijkt dus het
laatste woord nog lang niet gesproken. Terwijl de wet van
Makeham zich terecht mag verheugen in veelvuldige toepassing
bij gemengde tafels, kan men nog niet met voldoende zekerheid
zeggen, dat er een met de wet van Makeham overeenstemmende
formule is,, die bij uitgezochte tafels eenzelfde dienst zal doen.
Wel is begrijpelik dat men bij de onderzoekingen op dit gebied
sterk op de * wet van Makeham let.

Met de invoering van de tafels voor. uitgezochte levens betreedt
men het terrein van funksies met 3 veranderliken x, t en n. Het

1 \') V. Patzig. Dio exakte Ausgleichung der englischen Selekttafeln
(Zeitschrift für die gesammte Versicherungswissenschaft. VIII). 1907.
pag. 320).

2 \'²) F. Möller. Ausgleichung und Warscheinlichkeitstheorie. (Ehren-
zweigs Assekuranz Jahrbuch. XXXI) 1910. pag. 181.

3 ) Undersökning av dödligheten bland karensförsiikrade. Enligt erfarenhet
hos svenska livförsäkringsbolag. 1917.

verband tussen deze 3 grootheden is klaarblijkelik kontienu; men
kan dus het verloop van het aantal levenden (maar ook de sterfte-
intensieteit, de lijfrente, kortom elke daarmede samenhangende
grootheid), voorstellen door een kontienu oppervlak, waarvan elk
punt wordt bepaald door de waarden x, t en n. Dit oppervlak kan
ook worden beschouwd als te zijn de meetkundige plaats van een
sterftekromme voor een van de leeftijden bij toetreding, wanneer
deze kromme zich beweegt evenwijdig aan zichzelf en aan het
vlak XOY, terwijl de kromme zich tevens vervormt om achter-
eenvolgens samen te vallen met alle sterftekrommen van dezelfde
aard. Enkele algemene opmerkingen over de oppervlakken voor
het aantal levenden en voor de sterfte-intensieteit behandelt
Ma rik ^x). Die opmerkingen gaan echter niet verder dan de
bepaling van de grenzen binnen welke die oppervlakken liggen
opgesloten. Toepassing schijnt voorlopig uitgesloten; de uit-
komsten van waarnemingen op het gebied van de sterfte onder
uitgezochte levens zijn nog te onvolledig en te weinig in omvang
om de vorm van een dergelijk oppervlak te bepalen. En boven-
dien, de bekende veelal ingewikkelde en moeielik hanteerbare
vormen, die men reeds voor de sterftekrommen kent, doen voor
de eventueel af te leiden vergelijking van een sterfte-oppervlak
voorlopig weinig beters verwachten. In teorie is het einde nog
niet bereikt; w^ranneer men nog andere punten van gewicht, die
op de sterfte invloed hebben, als het beroep, het verblijf in
ongezonde streken, als veranderliken in de vergelijking wil opnemen,
betreedt men het terrein van de meerdiemensieonale meetkunde.
Het zal echter nog wel lang duren eer men de grens van dit
terrein in het gezicht zal krijgen.

§ 65. Tiiiele bleef steeds zijn pogingen voortzetten om een
formule te krijgen, die voor het gehele leven geldig is. De
omstandigheid, dat de sterfte in de oudere jaren voortdurend bij
de door de wet van Makeham bepaalde waarden achterblijft,

L. Marie. Les surfaces et les courbes do mortalité (Documents du
Premier Congrès International d\'Actuaires. 1896). pag. 8.

deed hem proberen deze wet te wijzigen. Hij nam nu overal
in plaats van x de vorm x% waarschijnlik wel in aansluiting
met Oppermann ¹). Een veelterm volgens machten van «^1/2 zou
echter te veel konstanten ter berekening geven, daarom voert
hij ook exponentieaaltermen in; de 2 konstanten in zulk een
term vervangen een veel groter aantal koëfflesieënten in de macht-
reeks. Ter rechtvaardiging van deze handelwijze beroept hij zich
op Gompertz en Makeham, die hetzelfde deden. Zo komt hij²)
tot de formule van de gedaante

Voor mannentafels is gewoonlik 1 exponentieaalterm voldoende,
terwijl voor vrouwentafels meestal 3 van die termen nodig zijn
en wel zo, dat a₂ en a₃ en ook b₂ en &₃ toegevoegd komplexe
grootheden zijn, waardoor ze samengaan tot een term

Dé Hafnia-tafel is door Thiele met behulp van deze formule
afgerond, echter ten koste van zeer langdradige berekeningen.
Wel is de overeenstemming tussen berekening en waarneming
vrij goed; de vele voordelen, die de eigenschappen van de for-
mule van Makeham aanbieden, gaan echter verloren; daarom
is het gebruik van de hier genoemde formule beperkt.

§ 66. Sedert 1901 wordt bij de preuszische Rentenversiche-
rungsanstalt bij de berekening van lijfrenten uitgegaan van een
formule, die een uitbreiding is van die van Makeham teneinde
die voor het gehele leven te doen gelden. Men neemt³)

Voor mannen van x = 30 af, voor vrouwen van x — 33 af,
vallen de laatste twee termen weg en geldt dus de formule van
Makeham.

2 2) T. N. Thiele. Adjustment of Tables of Mortality. (Aktuaren, Heft I).
1904. pag. 1.

3 ) P. Hartuno. Sterblichkeitstafeln für Rentenversicherungen. (V^er Inter-
nationaler Kongress für Versicherungswissenschaft I) 1906. pag. 311.

Een andere uitbreiding aan de wet van Makeham gaf Peek¹);
deze vermeldt, dat hij bij de berekening en afronding van de
2e sterftetafel voor nederlandse rijksambtenaren heeft toepast

Een andere uitbreiding aan de wet van Makeham gaf
Kazous²); deze onderzocht de sterfte onder personen, die een
gevaarlik beroep uitoefenen. Hij stelt als hypotese, — volgens
hem is deze tot op heden onmogelik te veriefieëeren en we menen,
dat daarmede aan de betekenis wel veel is ontnomen — dat de
vermindering in levenskracht tengevolge van het beroep evenredig
is met een zekere macht van de tijd, die verlopen is sedert de
persoon het gevaarlike beroep begon uit te oefenen. De jongste
leeftijd waarop iemand begint te arbeiden stellende op 13 jaar,
breidt hij de formule van Makeiiam uit tot

Deze formule zou volgens hem de sterfte voorstellen onder
glasblazers, maar ook te gebruiken zijn voor elk gevaarlik beroep.

!) J. H. Peek. Die neuesten Sterblichkeitstafeln des Pensionfonds für
Wittwen und Waisen niederliindiseher Staatsbeomten. (Archief voor de
Verzekeringswetenschap. VI). 1903. pag. 494.

2) P. Razous. De la mortalité et la morbidité des professions dange-
reuses. B. A. F. XIV. 1904. pag. 72.

§ 67. Ook voor andere dekremententafels heeft men getracht
een analietiese tormule te vinden, die het verloop aangeeft.

Nadat Wittstein , Wiegand en vooral Heym , de invaliedieteits-
verzekering hadden getrokken binnen de kring van de verzekerings-
techniek en hadden getracht voor deze tak van verzekering een
vaste, op waarnemingen rustende grondslag te vinden, werden
ook reeds in het begin, toen het waarnemingsmaterieaal nog
weinig omvangrijk was, pogingen in het werk gesteld om een
„invaliedieteitswet" te vinden. Het is te begrijpen, dat met de
uitbreiding en verbetering van de waarnemingen die eerste for-
mules spoedig onhoudbaar bleken.

Zo vinden we vermeld, o.a. door Blaschke *) en door Braun ²),
dat voor leeftijden van 20 jaar af Heym voor de invaliedieteits-
kans i in verband met de leeftijd schreef

ix 20 = 0,001 50.000⁵¹\' .
Braun heeft, zoals we hebben kunnen nagaan, de formule
aan Blaschke ontleend; het oorspronkelike werk van Heym
hebben we niet kunnen vinden. Wanneer Blaschke inderdaad

E. Blaschke. Vorlesungen über Mathematische Statistik. 1906. pag. 159.
²j H. Braun. Die Gesetze der menschlicheu Lebensdauer. (Loewenbergs
Sammlung versicherungstechnischer Arbeiten. II). 1912. pag. 67.

Heym juist aanhaalt, volgt daaruit dat de formule, die Heym
gaf, onjuist is, altans voor de leeftijd van 79 jaar en daarboven.
Immers stelt men x ^ 59, dan vindt men

Behm nam aan, dat de invaliedieteitskans zich van 20 tot
80 jaar om de 5 jaar verdubbelt, zodat

/gp = 0,00019036.
Deze formule bepaalt de invaliedieteitskans als funksie alleen
van de leeftijd. Er is wel reden om de toevallige oorzaak van
invaliedieteit als een konstante in de formule op te nemen;
daarom schrijft Weber¹)

dus juist de vorm van de sterfteformule van Makeiiam; ook de
redenering om er toe te komen is dezelfde.

Voor de tafel van Zeuner vindt hij ter bepaling van a, p en y,
uitgaande van n = 20 jaar, door van i_2Qt ?\'₄₀ en gebruik te maken

§ 68. Kent men de sterftewet voor valieden en de invaliedie-
teitsformule, dan is daaruit de vergelijking voor het aantal
valieden i^ax^a af te leiden. Noemt men de sterfte-intensieteit voor
valieden /i"^a, de invaliedieteits-intensieteit v_x, dan is

1 ) L. Weber. Etude sur los tables de mortalitó d\'invalides et sur les
tables d\'invalidité. B. A. P. VU. 1897. pag. 188.

Weber²) wil, omdat niet de intensieteiten maar de jaarlikse
kansen uit de waarnemingen worden afgeleid, de formule voor
die kansen gebruiken voor de intensieteiten; als benadering kan
dit zeker plaats vinden, te meer daar het gebruik van een for-
mule bij kwesties over invaliedieteit op zichzelf nog slechts tot
matige resultaten leidt en ook wel zal blijven leiden.

§ 69. De sterfte onder invalieden is niet alleen een funksie
van de leeftijd, maar is ook afhankelik van de duur van de
invaliedieteit, en wel zo, dat de invalieden in de eerste jaren
een grotere sterftekans hebben dan later. Volgens Weber heeft
reeds Zimmermann met deze omstandigheid rekening gehouden;
we hebben evenwel in de ons bekende werken van Zimmermann
er niets over kunnen vinden.

Volgens Web3R verdeelt hij de invalieden in twee klassen, n.1.
die welke 2 en meer jaren invaliede zijn en die welke zulks
minder dan 2 jaar zijn. Er wordt nu aangenomen, dat de levens-
kansen van de beide groepen voor alle leeftijden een konstante

Deze onderstelling heeft blijkbaar geen stand kunnen houden;
we vinden er ook later niets meer over.

Jörgensen ^x) vond in de nagelaten papieren van Olsen een
poging om de invaliedieteitssterfte door een analietiese funksie
voor te stellen. Olsen beschouwt de invaliedieteitsduur t als
een parameter door welks verandering een reeks van sterfte-
krommen ontstaat. Als „eindkromme" neemt hij de kromme
die ontstaat voor t= oo.

Verder heeft Olsen de waarnemingen over het eerste invalie-
dieteitsjaar uitgeschakeld en rekent het tweede invaliedieteitsjaar
voor het eerste, het derde voor het tweede enz. Op te merken
valt, dat daardoor de kwestie wel vereenvoudigd wordt, doch
zijn wetenschappelike waarde in zoverre verliest, dat de formule
nu is afgeleid niet uit een werkelik maar uit een gefingeerd
waarnemingsmaterieaal.

Wanneer x — t de leeftijd is, waarop de invaliedieteit ontstaat,
t de invaliedieteitsduur voor een nu a>jarige invaliede, dan luidt
de formule van Olsen:

Hoe Olsen tot zijti formule is gekomen, heeft Jörgensen niet
kunnen vinden. Laatstgenoemde heeft voor een reeks waar-
nemingen nog nagegaan") dat de formule goed uitkomt; hij ver-
zuimt echter te vermelden voor welke waarnemingen hij zijn
onderzoek deed.

N. R. Jörgensen. Uober Hermann Olsens Formel für dio Invaliden-
sterblichkeit (VI^er Internationaler Kongress für Versicherungswissenschaft
II) 1906. pag. 715.

hiergenoemde aard te gebruiken was, wanneer men de waar-
nemingen over het eerste invaliedieteitsjaar wel medetelt. Na
proberen vond hij:

waarin a, b, c, d, f, f_u g en g_l konstanten zijn en y>(x, t) een
veelterm van de 2e graad in t en x — t. De waarden van de
konstanten geeft hij op. We\'zullen ze niet vermelden; de formule
is niet aan te bevelen in verband met de ingewikkelde gedaante
en de vele konstanten. Jörgensen zelf merkt dit trouwens op;

log i-q ₁ = <pn {Vx- 7 .Vt) f.g^*-f A g_x",
waarin g en g_x konstanten zijn, qo_n een veelterm van de w²graad
in \'x — t en t en f en f_x veeltermen resp. in Vx — t en yt of
konstanten. De voordelen van een dergelijke formule zouden vol-
gens hem zijn, dat deze gelijkt op die van Oppermann voor de
kindersterfte³) (welke veel overeenkomst heeft met de sterfte in
het eerste invaliedieteitsjaar) en evenals de formules van Oppermann
en Thiele ⁴) wortelvormen bevat voor de leeftijd; daardoor wordt
ook bereikt, dat de formule een invaliedieteitssterfte vóór het
tijdstip, waarop de invaliedieteit intreedt, onmogelikmaakt, om-
dat in dat geval log \\_x__{t] t} iemagienair wordt.

Zolang Jörgensen niet verder gaat dan deze formule in over-
weging geven is er weinig meer van te zeggen dan dat de inge-
wikkelde gedaante niet uitlokt tot verder onderzoek.

§ 70. Naar aanleiding van de verhandeling van Weber⁵) besprak
Insolera ⁶) de sterfte onder invalieden; we wijzigen zijn rede-
nering, deze tevens bekortende.

De sterfte-intensieteit [i^lx z van een invaliede, oud x jaar,
invaliede geworden op z jarige leeftijd, is groter dan de gewone
sterfte-intensieteit fx_x-, het verschil is kort na het invaliede worden
groter dan later en na verloop van jaren verdwijnt het. Noemt
men het bedoelde verschil <p_z.₃, dan is dus

Het sterfteverloop onder invalieden wordt hieruit gevonden
met behulp van de vorm

Met deze wijze van werken naderen we de metode, die is
toegepast bij de sterfte voor uitgezochte levens; daar de kwestie
bij die sterfte nog lang niet is opgelost, kan men voor de toe-
passing bij de invaliedieteitsverzekering slechts spreken van een
waarschijnlike overeenkomst, doch is de oplossing nog minder
vergevorderd.

§ 71. Tot de gevallen, waarbij getracht is het verloop door
een formule voor te stellen, behoort ook de ziekteverzekering.
Daar de waarnemingen op dit gebied nog slechts berusten op
onderzoekingen over een niet te groot aantal gevallen en daar
die waarnemingen uit de aard van de zaak minder nauwkeurig

zijn dan die op het gebied van de sterfte, is a priori te ver-
wachten, dat de door verschillenden opgestelde „ziektewetten",
al mogen ze voor een bepaald stel waarnemingen enigszins het
verloop aangeven, in het algemeen onbruikbaar zijn.

Edmonds breidt zijn sterftewet¹) uit tot de ziekte; volgens
zijn opvatting komen voor elke leeftijd met elk sterfgeval twee
ziektejaren overeen. Nëemt men het jaar als tijdseenheid, dan
is het aantal ziektedagen z_x bij een gemiddeld getal personen a
van de leeftijd x met een sterfte-intensieteit /x_x te vinden uit de
formule

Scratchley³) meent ook uit vele waarnemingen de „true law
of sickness" te hebben gevonden. Ongeveer van de leeftijd af,
waarop de kinderziekten voorbij zijn, dat is volgens hem 15 jaar,
is er een zeker konstant mieniemum aantal ziektedagen c per
jaar voor alle leeftijden. Dit aantal hangt af van ras, kliemaat
e.d. en is voor Engeland 5 a 7 dagen. Daarbij komt nog een
verhoging o_x van dit aantal, dat afhankelik is van de leeftijd
en hetwelk zo geregeld is, dat het voor een bepaalde leeftijd
gelijk is aan de som van de verhogingen die gelden voor de 5
en 10 jaar jongere leeftijden. Men heeft dus

1 !) T. R. Edmonds. Life tables founded upon the Discovery of a uni-
versal law regulating the existence of every human being illustrated by a
new theory of the causes producing health and longevity. 1832.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 enz.
We hebben hier dus een voorbeeld van de reeks van Fibonacci.

§ 72. Geen van beide formules heeft de opmerkzaamheid
getrokken en terecht; hetzelfde geldt voor die van Gompertz¹),
die zijn sterftewet ook uitbreidde tot de ziekte en voor het aantal
ziekteweken s_x voor de leeftijd x, van 20 tot 60 jaar geldig,
schreef

Een andere weg slaat Möller²) in; hij vindt in het feit, dat
bij de sterfteformules bevredigende resultaten zijn verkregen met
exponentieaalfunksies, reden om deze ook bij het zoeken naar
een ziektewet te gebruiken. Een reeks waarnemingen deed hem
vinden, dat het aantal ziektedagen z_x voor x — 30 een mieniemum
is en dat de kromme voor z_x symmetries is; daardoor kwam hij
er toe voor die kromme de kettinglijn te nemen. Is deze algemeen

1 !) B. Gompertz. On one uniform law of mortality from birth to extreme
old age; and on tho law of sickness. (Report of the Proceedings of the
fourth session of the International Statistical Congress). 1860. pag. 461.
Zie ook J. I. A. XVI. 18. pag. 329.

daarom de ?7-as over een afstand £ = x₀ naar links. Voor het
nieuwe stelsel is | = x — x₀, i] = y en men heeft, tegelijkertijd

§ 73. Er is hier op te merken, dat de wijze waarop Möller
zijn formule vindt, weinig geschikt is om vertrouwde uitkomsten
te verkrijgen. Vooreerst leert een beschouwing van de door hem
medegedeelde waarnemingsgetallendie zich uitstrekken over het
tijdvak 20 tot 71 jaar, en dus slechts van 20 tot 40 jaar voor
symmetrie in aanmerking zouden komen, dat die symmetrie alles-
behalve bestaat; verder is boven 40 jaar de overeenkomst met
de kettinglijn vrij denkbeeldig. Möller zelf vindt dan ook nodig
om, alleen teoreties, het geval te behandelen, dat volgens hem
vaker zal voorkomen, waarbij het stijgen van de ziekteduur na
het mieniemum sneller geschiedt dan daarvóór, zodat de sym-
metrie verloren gaat. Hij neemt voor dat geval de kromme

§ 74. We vermelden nog, dat Makeham reeds ^ meende, dat
zijn wet ook bij de kwestie van de ziekte zou kunnen worden
gebruikt; hij splitste het aantal levenden in een aantal gezonde
personen h_x en een aantal zieke personen en dan zou voor het
aantal gezonde personen zijn wet gelden.

Een nieuwe toepassing van de wet maakte Spencer²) bij de
afronding van de waarnemingen over 1893—1897 aangaande
ziekte en sterfte voor de Manchester Unity Friendly Society.
Hij onderzocht namelik of de verhouding tussen het aantal
zieken en het aantal levenden, waartoe die zieken behoren, kon
worden voorgesteld door de formnle a bc^x. Met dezelfde kwestie
hield zich ook Palin Elderton³) bezig.

Verder heeft ook Janse⁴) onderzocht in hoeverre de formule
a-\\-bo^x kan worden gebruikt bij afronding van ziektetafels; de
uitslag is niet zeer bevredigend.

Er blijkt wel, dat pogingen in de richting van het vinden
van een ziektewet tot weinig resultaat hebben gevoerd; een
onderzoek omtrent het ziekteverloop over 1912—1914 bij de
„Provinciale Bond van Ziekenfondsen in Noord-Holland", door ons
onlangs ingesteld^&), geeft opnieuw aan, dat er in de waarnemingen
nog te veel wisselvalligs is om aansluiting aan een formule te
verwachten.

!) W. M. Makeiiam. On the laws of Sickness and Invalidism, and
their relation to the Law of Mortatily. J. I. A. XVI. 1871. pag. 408.

8) W. Palin Elderton. Graduation and Analysis of a Sickness Table.
(Biometrika, II.³)

W. Palin Elderton. Notes on Actuarial Functions (Proceedings of tho
fourth International Congress of Actuaries I). 1904. pag. 394.

⁴) J. P. Janse. Ziekto-Statistiek (Archief voor de Verzekoringswoten-
schap IX) 1907. pag. 101.

^c) J. du Saar. Een ziektestatistiok (Archief voor do Verzekeringsweten-
schap XVI). 1917. ■

We willen hier nog melding maken van een formule van
Moser. Hij neemt aan¹) dat de ziekte-intensieteit bestaat uit
2 komponenten en van de vorm

is, waarin a, b en c konstanten; de formule gelijkt veel op die
voor fix volgens Makeham.
Is l_x liet aantal zieken van de leeftijd rc, dan is

^J) C. Moser. Die Intensität der Sterblichkeit und die Intensitäts-
funktion. (Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungs-
mathematiker. Heft I). 1906. pag. 36.

§ 75. Uit de voorgaande hoofdstukken is gebleken, dat het aan-
tal sterfteformules hetwelk is opgesteld, aanzienlik is. Bij velen,
die zich met het zoeken naar een dergelijke formule bezig hielden,
berustte dit zoeken slechts op de wens, om een afronding van
waargenomen getallen ten uitvoer t.e brengen; de afleiding van
formules voor de verschillende verzekeringsvormen geschiedde
onafhankelik van de vorm van de sterfteformule. Voor degene,
die verband wil leggen tussen teorie en praktijk is evenwel naast
de vraag of de te kiezen sterfteformule zich voldoende aansluit
niet alleen bij de waarnemingen voor een enkel geval maar in
het algemeen, de vraag of de formule zich leent voor de bereke-
ning van de kontienue lijfrente, van het hoogste belang. Voorts
is van belang de vraag of de formule eigenschappen bezit, waar-
door die berekening en de toepassing daarvan op de berekening
van andere verzekeringsvormen worden vereenvoudigd.

Met het oog op deze vragen kunnen de besproken sterftefor-
mules tot verschillende rubrieken worden gebracht. Beschouwt
men de kwestie a priori, dan ligt voor de hand de metode om
h voor de gehele levensduur voor te stellen door een polynomium
van de graad w, zoals o.a. door Babbage, Scheffler, Littrow
en gedeeltelik door Lambert is geprobeerd. Bij deze metode is
sprake van een gewone interpolatieformule; integratie van de vorm
voor de lijfrente is mogelik. Voor een voldoende aansluiting bij
de waarnemingen zal de funksie echter van hoge graad moeten
zijn, dus veel konstanten bevatten, en daardoor wordt de een-
voudigheid verdrongen door de uitvoerigheid van de bewerking.
Eigenschappen, waardoor bijv. lijfrenten op meer hoofden zich
gemakkelik laten afleiden komen hier ook niet te voorschijn.

§ 76. Een andere metode, welke het zoeken naar een bepaalde
sterfteformule zou kunnen uitsluiten en die ook, na afronding,
zou te overwegen zijn, bestaat hierin, dat men wel een een-
voudige funksie aanneemt, die dan echter slechts voor een be-
perkt deel van de leeftijd geldt. Een eenvoudige onderstelling
zou zijn, dat een deel van de sterftekromme werd voorgesteld door

en dan zou voor de berekening van de kontienue lijfrente ä_x o. a.
de oplossing vereist worden van

of wel

Stelt men

waaruit
dus

Deze is echter in het algemeen niet oplosbaar. Voor een
rentevoet gelijk 0, waarbij a_x gelijk wordt aan de gemiddelde

f Mt _ t (t² 1) , _v , i 1 , .
J (t² —lf~ 8 (t² — l)² ^ ^{/l6 ig} t — 1 ^ ^C\'

Hieruit is dus te besluiten, dat ook eenvoudige funksies als
de hier beschouwde moeten verworpen worden, waar bovendien
nog slechts sprake kan zijn van zeer kleine tijdruimten.

Een uitzondering mag worden gemaakt voor de eerste formule
van De Moivre¹); bij de beschouwing van deze mag nooit uit
het oog verloren worden, dat het een eerste poging was en dat
de bedoeling vooral was het aanbrengen van bekortingen, met
opoffering van grote nauwkeurigheid. In dit verband is dan ook
de toepassing, die nu nog steeds van de formule wordt gemaakt
voor kleine tijdruimten, alleszins begrijpelik en aannemelik. Daar
De Moivre bovendien reeds doelt op de kontienue metode, ver-
dient de uitwerking van lijfrenten volgens zijn formule hier op-
name ²).

§ 77. Tot een andere rubriek behoren die sterfteformules,
waarbij voor de- sterfte-intensieteit een eenvoudige uitdrukking
gekozen is, hetzij een lieneaire funksie, hetzij een exponentieaal-
funksie. Bij beide komt het aantal levenden in de gedaante van
een exponentieaalfunksie; beide komen te voorschijn uit de stelling
van Quiquet³). De enige formule, die op eenvoudige manier
integratie toelaat is de slechts als voorbeeld aangenomen uit-
drukking van Dormoy ⁴), waarbij iu_x = konstant. Deze onderstel-
ling is echter in- het geheel niet juist; niemand heeft er dan ook
gebruik van gemaakt. Sang⁵) stelde een exponentieaalfunksie
plus een konstante voor, dus eigenlik een som van twee expo-
nentieaalfunksies, hetgeen door Laurent ^g) werd uitgebreid tot een
reeks van dergelijke funksies. Stellen we deze voor door de vorm

hetgeen voor de hoogste leeftijd, d. i. x = oo, nadert tot de waarde
— lgc/,, waarbij c/, de grootste van de verschillende konstanten
c_x c₂ •.. • is.

Op te merken valt nog, dat, terwijl de grootheden a wille-
keurige posietieve of negatieve getallen kunnen zijn, de c\'s moeten
zijn posietief en kleiner dan 1, daar het aantal levenden voor
x = oo tot O moet naderen.
Men vindt hier voor de kontienue lijfrente

waarde _t—. \' , waarin weer Ch de grootste van alle konstanten
<5 — lg Ca \'

§ 78. De levenslange lijfrente is steeds gelijk aan de som van
een tijdelike en een uitgestelde,

Ook kan men, daar de kontante waarde van een lijfrente altijd
kleiner is dan die van een annuïeteit, beide met gelijke duur,
schrijven

Nu dient bij het kiezen van een sterfteformule de levenskans
_npx voor grote waarden van x tot 0 te naderen. Dan gaat dus
de laatste vergelijking over in

Hieruit volgt, dat voor waarden van x, waarbij _npx kleiner
wordt dan iedere denkbare grootheid,

Bovendien nadert, wanneer _npx tot 0 nadert, de sterfte-inten-
sieteit fi_x tot oo; immers bedenkt men, dat /x_x te schrijven is in
de volgende vorm

Indien dus bij een sterftewet _np_x tot O nadert voor x = co,
dan nadert a_x tot O en fix tot oo. Het bleek reeds, dat bij de
formule van Laurent a_x en fi_x niet naderen tot de hier genoemde
grenzen; ook „p_x, waarvoor men heeft

heeft tot grens waarbij weer c,, de grootste koëffiesieënt, dus
niet 0. De formule van Laurent voldoet dan ook, hoe eenvoudig
de berekeningen blijken te zijn, niet aan de gestelde eisen
en moet voor het gebruik afgekeurd worden. Eigenaardig is,

dat Laurent zelf de hier gegeven beschouwingen in het geheel
niet geeft en zijn formule ook nergens toepast; wellicht moet
hieruit besloten worden, dat hij wel overtuigd was, dat de toe-
passing niet mag worden aanbevolen.

Een formule, die wel aan de gestelde eisen voldoet, is die van
Makeham; daar deze bovendien door zijn bekende fraaie eigen-
schappen in staat stelt grote vereenvoudiging aan te brengen in
de berekening van lijfrenten op meer hoofden, is de grote ver-
breiding en de velerlei toepassing, die deze formule heeft ge-
kregen, alleszins verklaarbaar. Temeer, omdat — en dat is wel
het voornaamste — de formule zoals bekend is de sterfte met
vrij grote nauwkeurigheid weergeeft. Men zou groter nauwkeurig-
heid kunnen verkrijgen door het aannemen van een formule van
dezelfde gedaante met meer konstanten — de stellingen van
Quiquet geven daartoe de gelegenheid, — doch men moet dan de
vereenvoudigingen prijsgeven, welke hier boven bedoeld zijn.

Ongetwijfeld hebben de vele eigenschappen er toe meegewerkt
om de formule van Makeham mutatis mutandis ook toe te passen
bij kwesties over invaliedieteit en ziekte; ook voor de sterfte bij
uitgezochte levens is de formule van toepassing gebleken en zijn
mede de eigenschappen blijven bestaan.

In een volgend hoofdstuk zal de berekening van de lijfrente
volgens de formule van Makeham worden behandeld en worden
aangetoond, welke uitgebreide toepassingen daarmede kunnen
worden verkregen. Daarvóór zullen enige beschouwingen worden
gehouden over de lijfrenten volgens de onderstellingen van De
Moivre.

§ 79. Men vindt over deze kwestie in de regel weinig ver-
meld; het werk van De Moivre zelf is wéinig bekend¹), een
vertaling door Czuber²) heeft het opnieuw onder veler bereik
gebracht. Zijn berekeningen zijn, wat voor zijn tijd begrijpelik is,
omslachtig en weinig overzichtelik. We zullen zijn berekeningen
in eenvoudiger vorm geven en uitbreiden.

Maken we gebruik van het levenskomplement co — x = n, dan
leven er op re-jarige leeftijd n personen, 1 jaar later n — 1,2
jaar later n — 2, enz.; men vindt daaruit voor de kontante
waarde van een lijfrente (in jaartermijnen, postnumerando)

3 ⁸) Zie voor de notatie en voor do waarde van (Ia)^j R. Todiiunter.
Institute of Actuaries\' Text-Book. Part I. 1901. pag. 41. Zie ook
M. yam Haaften. Beschouwingen over Politieko Rekenkunde. 1912. pag. 27.

welke uitkomst door De Moivre op omslachtiger wijze ook reeds
werd gevonden¹). Hij behandelt ook reeds de volledige of kom-
plete lijfrente, (in een brief aan Jones²), d.w.z. dat voor de tijd
van het jaar tussen de laatste uitkering aan de verzekerde en
zijn sterfdag nog een evenredig deel wordt uitbetaald; daarbij
komt ook voor het eerst de integratie van de algemene exponen-
tieaalfunksie voor. We zullen de redenering van De Moivre
volgen, doch passen een eenvoudiger metode van berekening toe.
Stel t een zeker deel van het levenskomplement; de kans om

\' dt 1 —_v
n \' i

A. de Moivhe. Annuities on Lives. 3^rd edition. 1750. pag. 85.
2) E. Czubeh. I.e. pag. 69.
* ³) C. L. Landre. Mathematisch-Technische Kapitel zur Lebensver-
sicherung. 1905. pag. 153.

§ 80. Men treft ook bij De Moivre reeds de gedachte
aan de kontienue rente; hij vindt dat de kontienue annuïeteit
vⁿ — 1

De kontienue lijfrente laat zich natuurlik ook afleiden uit de
algemene forrpule ²); deze levert hier (co = de hoogste leeftijd uit
de sterftetafel):

§ 81. Uit de integraal (/?) volgt, dat öa_x alleen van t afhangt.
Wanneer dus <5 verandert, maar tevens x, zodanig dat d{co— x)
konstant blijft, dan blijft ook da_x konstant. Door deze eigen-
schap is het mogelik om uit de lijfrenten bij gegeven rentevoet
de lijfrenten te berekenen voor een willekeurige andere rentevoet.
Men heeft daarvoor slechts te nemen de vergelijking
ö (co — x) = ö_l(co — x^,

waarin d en x passen bij de gevraagde rente, terwijl de
rentevoet van het bekende sisteem is. De onbekende x₁ geeft
dan aan, voor welke leeftijd men met het bekende sisteem moet
werken in de vergelijking

Als voorbeeld berekenen we a^, voor 3^l/2 %> ? als het sisteem
voor 4% bekend is. Hier is:

Daar bij 4% 042 = 13,35 en a₄₃= 13,18 vinden we met
behulp van eenvoudige interpolatie 042,2= 13,316, waardoor de
gevraagde

Door Achard is aangetoond, dat het hier behandelde geldt
voor de sterftewetk = ("> — x)^m2), van welke die van De Moivre
voor m = 1 een biezonder geval is. Dat de door Achard ge-
noemde wet de enige zou zijn, die de vermelde eigenschap bezit,
gelijk hij beweert, is niet juist. Dit is opgemerkt door Poterin
du Motel¹); ook

vertoont dezelfde eigenschap; een lijfrente voor de rentevoet ö
bij deze formule is gelijk aan een lijfrente voor de rentevoet
k -f- ö bij de formule van Achard. Hier is dus

§ 82. Lijfrenten op twee hoofden leidt De Moivre volgens zijn
onderstelling niet af; we geven hier onze afleiding.

Om de kontante waarde van een lijfrente op twee hoofden,
betaalbaar tot het eerste sterfgeval, te berekenen denken we ons
twee personen met leeftijden x en y, waarbij bijvoorbeeld x<Cy,

Men vindt na substietutie hiervan en van de uit de desbetref-
fende vorm op pag. 104 gemakkelik af te leiden waarde

Het gevonden antwoord voor a_xy is langs andere weg ook
bepaald o.a. door Baily¹), door Maas²) en door Böschenstein ³).

§ 83. De Moivre heeft wel getracht lijfrenten op twee hoofden
op eenvoudige wijze te berekenen; daartoe ging hij echter van
een andere sterfteformule uit, al komt hij hier niet rond voor
uit. Hij neemt⁴) een fiktieve persoon, voor wie de levenskans
na verloop van elk jaar konstant is, hetgeen dus neerkomt op
een sterftewet waarbij het aantal levenden volgens een meet-
kundige reeks afneemt. Is die levenskans p — we schrijven in heden-
daags tekenschrift — dan is bij de genoemde onderstelling

!) F. Baily. The doctrine of Lifo-annuities and Assurances etc. 1810.
pa_R. 317.

") M. Maas. Théorie élémentaire des Annuités viagères et des Assurances
sur la vie. 1868. pag. 108.

K. Böschenstein. A. de Moivres Abhandlung über Leibrenten.
(Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker.
Heft III. 1908) pag. 34.
⁴) De Moivre. I.e. pag. 87.

Deze formule wijzigt hij nog en schrijft, zonder aan te geven
hoe hij er toe komt, bij benadering

a_x 4" cty — ia_xa_y (a_x 4" a_y — ia_xa_y)²en nu de termen na de eerste verwaarlozen. De Moivre meent,
dat de benadering nauwkeurig is; dit is niet het geval; zie
ons voorbeeld.

Zowel volgens de eerste onderstelling van De Moivre (l_x = 86 -x)
als volgens de tweede (p_x = konstant) blijken dus de berekeningen
voor lijfrenten op twee hoofden teruggebracht te kunnen worden
tot die op één hoofd, dus in verband met § 79 totannuïeteiten.
Berekening van kommutatietafelsis niet nodig; voor elke
gegeven kombienatie is de uitkomst ineens te berekenen. Als
voorbeeld zullen we nemen het geval x = 30, y — 50; de rente-
voet zij 3 %• Men vindt dan

1« onderstelling 2e onderstelling 2e onderst, benaderd
«30,50 9,2991 9,4428 10,1815.

!) Onder kommutatietafels verstaat men, voor zover do berekening
van lijfrenten op één hoofd betreft, tafels voor D_x = v^xl_x en N_x = 2Dx;
voor de berekening van lijfrenten op twee hoofden moeten tafels worden
berekend voor Dxy = D_x. l_y en N_Xy = en wel voor alle mogelike

Uit deze voorbeelden ziet men — en deze opmerking blijkt bij
onderzoek algemeen te gelden — dat de tweede onderstelling van
De Moivre bij lijfrenten op twee hoofden een iets hogere uitkomst
geeft dan de eerste; het verschil is klein genoeg om het gebruik
van de tweede onderstelling in dit geval aan te bevelen, waar
de berekening eenvoudiger is. De benaderingsformule, afgeleid
uit de uitkomst volgens de tweede onderstelling moet als te
onnauwkeurig worden verworpen.

§ 84. De Moivre geeft nog bij zijn tweede onderstelling, zonder
afleiding, de formule voor de lijfrente op drie hoofden, betaalbaar
tot het eerste sterfgeval. We leiden die af op dezelfde wijze
als die op twee hoofden; we vinden

§ 85. Volgens zijn eerste onderstelling wordt het vraagstuk
veel ingewikkelder. Zijn de leeftijden x, y en z, de levenskom-
plementen m, n en s en zij m > n en s > n.
J. du Saar. 8

De uitkomst voor a_xyz is dus op die wijze te schrijven in
Overzichteliker is de uitkomst in de vorm

a_xys = a^\\— f— — —) (Ia)iïl (— —\\ (Ila)^i —
^y \' \\m ¹ n s I ¹ \\mn ns \' sm) ¹

Gaat men uit van mns groepen, dan is
1

Cl XV 2 -

^y mns
of

_ 1

(Xxyz —

Als voorbeeld kiezen we x = 30, y = 40, z — 50 bij een rente-
voet van 3%; ^na berekening van ö^, (Ia)iq, (IIa)„ en (IIIa),7[
vindt men:

De opmerkingen betreffende de uitkomst en het gebruik van
de formules bij twee hoofden gelden ook hier.

Over de berekeningen bij drie hoofden vindt men een en ander
bij Baily¹) en bij Böschenstein ²); beider uitkomst is minder
overzichtelik, maar laat zich herleiden tot de onze.

l_x = a^Jrbx, (waarbij b negatief)
tot welke die van de Moivre behoort, geeft nog aanleiding tot
een merkwaardige eigenschap. Beschouwen we m personen met
leeftijden ccj 9 enz. ^ dan is de waarschijnlikheid, dat alle na
verloop van t jaar zijn overleden,

<Qx[ • <QX₂ • • • • /Q.Ctfj —

{Qxi • <Q.t₂ • • • • (Q.r

Beschouwen we m andere personen, van gelijke leeftijd dan
is de overeenkomstige waarschijnlikheid gelijk aan

Men kan nu £ zodanig bepalen, dat de twee waarschijnlik-
heden gelijk zijn. Dit geeft aanleiding tot de vergelijking

Deze vergelijking is onafhankelik van de tijd t; hieruit volgt,
dat indien men f bepaalt met behulp van de genoemde betrek-
king, de beide groepen dezelfde kans zullen hebben na een wille-
keurige tijd geheel te zijn uitgestorven. Bij berekeningen o. a.
aangaande lijfrenten, betaalbaar tot het laatste sterfgeval kan

de eigenschap worden gebruikt om door het omzetten van de
ongelijke leeftijden in éénzelfde leeftijd £ vereenvoudiging te ver-
krijgen. De eigenschap is een dergelijke als die bij de wet van
Makeham bekend is als de wet van de uniform seniority.

Bij de formule van De Moivre vindt men voor 2 levens door
te stellen a = a>, b = — 1, m = 2, na uitwerking

§ 87. Dezelfde eigenschap komt toe aan de formules die een
exponentieaalterm bevatten,

de vorm, die werd voorgesteld door Sang¹).
Men heeft hier voor de oorspronkelike groep

«Qx, • Qx₂ • • • • tQx_m = b^m(1 -dr _{(a öc}x_{l)(a öc}x_J)...._{(a öc}x_m)

De formule van De Moivre is trouwens een grensgeval van
die van Sang en van Laurent , hetgeen men gemakkelik bewijst
door reeksontwikkeling.

§ 88. De formule van Makeham heeft tengevolge van zijn vele
biezondere eigenschappen de meest verbreide toepassing gevonden.
Een belangrijke toepassing vinden we in het volgende.
We gaan uit van de formule voor /i_x in de gedaante

Heeft men een andere sterftetafel, voor welke /? en y dezelfde
zijn, terwijl alleen a verschillend is, zodat

De kromme voor is dus uit die voor fx_x gemakkelik af te
leiden door een verschuiving langs de Y-as.

Zijn voor die andere sterftetafel a en y dezelfde, terwijl alleen
/? verschillend is, zodat

Men ziet nu gemakkelik in, dat de beide krommen voor
volgens Makeham in dit geval evenwijdig lopen.

Zijn voor die andere sterftetafel a en ß dezelfde, terwijl alleen
y verschillend is, zodat

In dit geval zijn, met verandering van de leeftijd door de faktor
A, de krommen kongruent.

Met behulp van deze opmerkingen is het mogelik om een wille-
keurige makeham-kromme voor de sterfte-intensieteit om te zetten
in een met gegeven konstanten. Heeft men toch

dan krijgt men voor een andere sterftetafel, waarvan a, ß en y
bekend zijn, door .te stellen

l^e verandering van de leeftijd door de faktor X;
2^e verschuiving van de nieuwe leeftijd met een konstant be-
drag e;

Met behulp van de hierboven besproken reduksie is het nu
mogelik om a_x voor een willekeurige formule van Makeham en
een willekeurige rentevoet te berekenen uit die voor een andere.
De waarde van de integraal hangt alleen af van /a_x en <5; de
vraag komt dus hierop neer, dat in a_lx

Gram¹) geeft een analoge afleiding voor de tijdelike lijfrente
a_x\',T|; hiervoor vindt men

De grootheid a_x komt echter in ons betoog meer in aanmerking;
trouwens Gram zelf geeft zijn voorbeelden ook voor a_x.

§ 90. Üit onze beschouwingen ziet men, dat het voldoende
is om voor één formule van Makeham een „unieversaaltafel" —
de naam is van Gram — te berekenen, een tabel voor a_x met
twee ingangen, n.1. de leeftijd en de rentevoet. Op verzoek van
Gram is door Bertelsen een tabel berekend voor log a_x voor
leeftijden van 21 tot 70 jaar, met behulp van de formule
/u_x = 10^-4. e°-^lx = io-^O\'²-"-*

Hij doet dit voor s van 0 tot 1 met opklimming van 0,02²).
Voor tussenliggende waarden van x en s kan de waarde van
log cix door interpolatie worden gevonden, in het algemeen zijn
eerste verschillen voldoende om 4 desiemalen nauwkeurig te krijgen.

Was er bij de grootheid /x_x sprake van omzetting van de ene
kromme in de andere, bij de grootheid a_x zou men door opper-
vlakken een meetkundige voorstelling kunnen geven. X en Y-as
zouden dienen voor leeftijd en rentevoet, de Z-as voor de lijfrente;
elk van de drie grootheden met verschillende eenheid gemeten.

De omzetting van de ene formule van Makeham in de andere
zou tot hetzelfde oppervlak kunnen voeren door le een even-
wijdige verschuiving van de assen om de oorsprong in een passend
punt te krijgen, 2e een verandering van de eenheden op de 3 assen.
Deze beschouwing is zuiver van teoretiese waarde, van praktiese
toepassing kan hier geen sprake zijn, zowel vanwege de vorm
van een dergelijk oppervlak als vanwege de moeielikbeid van
de omzetting.

§ 91. Wil men van de hier besproken omzetting kunnen
gebruik maken, dan is daarvoor een noodzakelike eis, dat het
mogelik is voor de formule van Makeham de waarde voor de
kontienue lijfrente te berekenen in een zodanige vorm, dat de
uitkomst kan worden gebruikt voor praktiese doeleinden.

De uitdrukking voor a_x op pag. 118 leent zich daartoe minder
goed. Beter slaagt men, wanneer ^smen uitgaat van !_X) zoals
hieronder blijken zal.
Neemt men de formule van Makeham in de gedaante

Makeham zelf merkt reeds op, dat om deze funksie in tabel
te brengen nodig zou zijn het vervaardigen van een tafel met 4
veranderliken, g, c, a-j-<5 en x; met 3 veranderliken zou het

zijns inziens nog gaan*), al is het bewerkelik, omdat de ruimte
3 afmetingen heeft; 4 afmetingen, zegt hij, „involve a difficulty
which would puzzle the genius of Euclid himself to surmount".
Hij had dienen te zeggen, dat Euclides reeds bij 3 veranderliken
de door hem bedoelde moeilikheden zou hebben gehad.

Daar voor x = oo, in verband met c > 1²), ook = oo, gaat de
uitdrukking (1) onder aan pag. 121 over in

§ 92. De in (2) voorkomende integraal is een onvolledige
gammafunksie. Schrijft men hiervoor r,_; (m), dan heeft men dus:

1 !) W. M. Makeham. On the method of calculating the differential
coefficients of a function from its differences etc. J. I. A. XVI, 1871.
pag. 98.

waarbij de afhankelikheid van de lijfrente van c slechts daarin
bestaat, dat de lijfrente het produkt is van een funksie alleen
van c met een funksie van r\\ en m.
Men heeft dus nog slechts met 3 grootheden, c, t] en m te maken.
Makeham spreekt niet over de grenzen tussen welke j? en m
zich bewegen. Hieromtrent valt op te merken, dat

2odat voor x = 0 rj = — lg g, voor x = oo, d. i. de leeftijd voor
welke de levenskans gelijk 0 is, ij = oo.
ct I (5

een rentevoet O °/₀ is bij de H^M tafel m = — 0,06784, bij 5%
m = — 0,60227, bij 8 % nagenoeg m = — 1; voor dezelfde tafel
is de laagste waarde voor rj 0,00101.

De laagste waarde die voor m voorkomt is die bij de Gothaer
tafel, n.1. 0,044494 bij 0%.

Is er dus een middel om f(t], m) in tabel te brengen, dan zijn
de grenzen hierboven aangegeven.

Hieruit blijkt, dat wanneer a_x eenmaal bekend is voor zekere
waarde van m, de waarde ook te vinden is voor m ± 1. Wil
men dus een tabel maken, dan zou in elk geval voldoende zijn
dit te doen voor waarden van m van 1 tot 2; in zijn genoemde

verhandeling komt Makeham evenwel nog niet tot een praktiese
uitkomst.
Daartoe stelt hij later¹) in (1)

en de partieëele afgeleiden naar z en naar m voor 2 van — 4 af
tot O met opklimming van 0,1 en voor m van 1 af tot 1,9,
eveneens met opklimming van 0,1. Het gebruik van het grondtal 10
voor de logaritmen tegelijk met het gebruik van e—^öx is slecht ver-
klaarbaar en absoluut onnodig; de bewerking is met het grondtal
e niet lastiger, wel regelmatiger en meer in overeenstemming
met de afleiding. In elk geval is en blijft het gebruik van de
tabel biezonder gekomplieseerd en toch nog beperkt.

1 !) W. M. Makkham. On the integral of Gompertz\'s Function for
expressing the values of sums depending upon the Contingency of Life.
J. I. A. XVII. 1873. pag. 305.

verder uit; zijn bewerking wordt, evenals die van Makeham,
overgenomen door M\' Lauchlan ^x), die wel enkele onduidelikheden
wegneemt — de verhandelingen van Makeham en Mc. Cltntock
zijn bij uitstek onduidelik (ook Bohlmann²) voelt dit als een be-
zwaar) — maar onnodig omslachtige afleidingen geeft. We geven
een kortere afleiding die tot hetzelfde resultaat voert. Door inte-
gratie bij gedeelten vindt men

De integraal in de laatste term laat zich voor niet te grote
waarde van 2 als volgt uitwerken:

1) J. J. M\' Lauchlan. On joint lifo-annuitios. (Transactions of tho
actuarial Society of Edinburgh) 1886. pag. 44.

2) G. Bohlmann. Lebensversicherungsmathematik (Encyclopaedie dor
Mathematischen Wissenschaften. I²) 1901. pag. 878.

² L 1 (w l)(m 2) (m 1) (m 2) (m 3)
•Men verkrijgt daardoor na uitwerking van (6):
1

Door vergelijking met (4) blijkt dus, dat de aldaar ingevoerde
f{m, z) wordt bepaald door de vergelijking

i = cs — 1, dat is voor een rentevoet van 8 % °f daar boven).
Maken we gebruik van de bekende betrekking

(Een tabel voor r (1 x) in 12 desiemalen voor waarden van
x opklimmend met 0,001 van 1 tot 2 vindt men o.a. in het 2e
deel van Legendre. Traité des fonctions elliptiques).

De reeks konvergeert blijkbaar voor alle mogelike waarden van
z en m, maar is voor enigszins grote waarden van z en voor
waarden van m, die weinig verschillen van — 1 voor berekening
ongeschikt. Grote waarden van z komen bij hogere leeftijden
spoedig te voorschijn, een waarde van m dicht bij — 1 ontstaat
eerst bij een rentevoet, hoger dan de in de praktijk gebruikelike.
Het laatste bezwaar is dus niet groot, het eerste dient nader
beschouwd te worden.

§ 96. Blasciike vermeldtde volgende poging van Laudi om
ook voor grote waarden van 2 een bruikbare reeks te verkrijgen:

Vervangt men in (6) z door z (1 -f 0» dan wordt de onderste
grens gelijk aan 0 en de uitdrukking (6) gaat over in

"Ir*
^{üx =} ~ i¹ ~~ ƒ ⁽¹ ^{tr e}~^{sa () dt}We beschouwen nu de in (10) voorkomende integraal

!) E. Ulaschke. Ueber eine Anwendung dos Sterbogesetzes von
Gompertz-Makeham (Mitteilungen des Verbandes der oesterr. und Ungar.
Versicberungstecbniker. Heft IX). 1903. pag. 5.

f e-\'z ^mdz = z^me~^z

2 1 ¹ (z l)(₃ 2)

_i_ ^m _i_ w² 1 .
2 2 Tz 2) (2 37

a_x =

Voor re = 80 vindt men voor de H^M tafel a_x = 4,612; de wer-
kelike waarde is 4,630. De hier gevormde reeks is koiivergent
juist voor de gevallen waarin (9) onvoldoende was.

§ 98. Langs een andere, omslachtiger weg komen Todhunter \'),
Gram ²) en Van den Belt ³) tot een uitdrukking die neerkomt
op (8). Voor zover ons bekend heeft Boiilmann³) het eerst ge-
wezen op het voorkomen van de hypergeometriese funksies.
De afleiding in dit geval geeft Broqoi ^r\'); hij schrijft zijn resultaat
echter in een vorm, die voor het gebruik te ingewikkeld is, maar
hij had deze gemakkelik kunnen vereenvoudigen tot onze vorm
(8a); de afleiding die Broggi geeft is eveneens onnodig omslachtig.

1 J. P. Gram. Om Makeiiams Djtfdolighedsforraol (Aktuarcn. Heft I).
1904. pag. 80.

3 ⁴) G. Bohlmann. Lebensvorsicherungs-Mathematik (Encyklopuedie der
mathematischen Wissenschaften. I²). pag. 878.

Hierin hangt bij een bepaalde sterftetafel 2 alleen af van de
leeftijd, m alleen van de rentevoet. Bezit men nu een tabel
f(z, m) voor verschillende waarden van z en m, dan is de be-
rekening van de kontienue lijfrenten eenvoudig. Men vindt een
dergelijke tabel aangegeven door Van den Belt en wel f(z, 1 —m)
voor waarden van z, van 0,0060 tot 0,0200, opklimmend met
0,0005 en voor waarden van 1 — m van 1,340 tot 1,525, "dus
voor m van —0,340 tot —0,525, opklimmend met 0,05. Hij
blijft dus ver binnen de door ons aangegeven grenzen. We hebben
nagegaan welke bij hem de grenzen zijn; voor de leeftijden en
voor de rentevoet vonden we bij gebruik van de H^M tafel, uit
de bekende betrekkingen voor 2 en m, dat zijn tabel geldt voor
leeftijden van ongeveer 20 tot 33 jaar, voor een rentevoet van
ongeveer 2^l/₂ tot 4¹/* %•

Wil men nu voor een bepaalde sterftetafel, die afgerond is
volgens de wet van Makeham de waarde van de kontienue lijf-
rente berekenen voor een gegeven leeftijd en voor een gegeven
persent, dan berekent men eerst uit de konstanten van de sterfte-
tafel de grootheden \' z en m. Ligt de gevonden waarde voor z
tussen twee opvolgende waarden uit de tabel en evenzo die voor
m, dan bepaalt men de gezochte waarde van f(z, m) door inter-
polatie, waarbij kan worden ondersteld, dat de aangroeiingen
van de funksie evenredig zijn met die van de veranderlike.

s= 0,99358 a = — lg s = 0,0061923
g = 0,999094 p = — lg g = 0,0010518
c = 1,09744 y ="-}- lg c = 0,0913133.

waaruit door interpolatie, eerst voor m, daarna voor z
f{z, m)= 1,6117
log f{z, m) = 0,20728
log «go = log f{z, m) — log lg c = 0,20728 — (0,96053 - 2)

§ 100. Juist omdat a_x voor een bepaalde sterftetafel even-
redig is met f(z, m), kan uit de tabel voor f(z, m) onmiddellik
een tabel voor a_x worden afgeleid voor verschillende leeftijden en
voor verschillende persenten.

We zullen nu nog bewijzen, dat een zodanige tabel, eenmaal
afgeleid voor een willekeurige tafel, bijvoorbeeld de H^M tafel,
ook te gebruiken is voor elke andere tafel, die afgerond.is volgens
de wet van Makeham.
Laten voor twee verschillende tafels de volgende tekens bestaan:
üx en a_Xl voor de lijfrenten,
x en x_x voor de leeftijden,
8, g_} c, a en g_lt c_lt ctj voor de konstanten,.
<5, v en ^, y, voor de diskonteringsfaktoren,
dan zullen we onder „overeenkomstige" waarden verstaan zodanige
waarden voor de lijfrenten, de leeftijden en de persenten, waarbij

voor de beide tafels de waarden van 2 en m beide, dus ook de
waarden van f{z, m) gelijk worden.

dus de lijfrenten in het ene sisteem zijn veelvouden van die in
het andere sisteem.
Uit de gelijkheid van de waarden voor 2 volgt:

dus de leeftijden van het ene sisteem zijn lieneaire funksies van
van de leeftijden van het andere.
Uit de gelijkheid van de waarden voor m volgt de uitdrukking

waaruit

dus de logaritmen van de diskonteringsfaktoren van het ene
sisteem zijn eveneens lieneaire funksies van die van het andere.

Tevens blijkt, dat de in de beide lieneaire funksies optredende
faktoren elkanders omgekeerden zijn.

We vinden hier de eigenschappen terug, die we op pag. 119
en 120, langs andere weg hebben gevonden.

§ 101. De vraag is nu nog te stellen welke unieversaaltafel
de meeste aanbeveling verdient, die van Gram voor log a_x of die
van Van den Belt voor f(z, m). Beide tafels hebben gemeen,
dat ze vrijwat berekening vorderen voor hun samenstelling,
verder dat ook hun toepassing vrij veel berekening kost. De
samenstelling van een unieversaaltafel evenwel is een werk, dat
slechts eenmaal behoeft te geschieden. Eenmaal berekend is hij
voor altijd van nut; verandering van rentevoet, verandering van
sterftetafel brengt niet mede, dat alle kommutatietafelsmoeten
worden vervangen door nieuwe. Dit kunnen we daarom tevens
hier inlassen als een voordeel van de kontienue metode en van
de afronding volgens de wet van Makeham. Vooral zal dit voor-
deel worden erkend, wanneer men bedenkt, dat op die wijze
mogelik is voor een enkel geval bij willekeurige sterftetafel en
rentevoet een uitkomst voor a_x te vinden zonder dat het nodig
is volledige kommutatietafels te berekenen.

De tafel voor logö* zou boven die voor f(s, m) te verkiezen
zijn, indien men voor n_x had aangenomen een uitdrukking,
passende bij een bestaande, veel toegepaste sterftetafel, bijvoor-
beeld de H^M tafel; de waarde voor n_x toch, door Gram aange-
nomen , is wel tamelik eenvoudig van vorm, doch die eenvoudigheid
brengt in de berekeningen geen bekorting en heeft dus geen zin.
De tafel voor f(z, m) gaat niet van één bepaalde formule uit, is
daarom algemener en verdient daarom aanbeveling.

een tabel voor a_x zelf; we vinden bij Blaschke een uitvoerige
tabel volgens de H^M tafel voor alle leeftijden van 25 tot 100 en
een rentevoet van 0,1% tot 5,5% niet opklimming van 0,1%;
de tabel bevat echter de waarden van de jaarrente a_x, praenumerando
en voor jaartermijnen. Dit hangt samen met het volgende:

voor de leeftijden tot 70 jaar beneden 0,0008 bliift, voor leef-
tijden tot 90 jaar nog geen 0,003 wordt. Voor alle leeftyden is,
wanneer men met een uitkomst nauwkeurig tot in 3 desiemalen
tevreden is, te schrijven

Deze laatste uitdrukking wordt op elementaire maar minder
strenge wijze ook afgeleid door Achard. ³)

Als voorbeeld zullen we uit de tafel van Blaschke voor a_xvolgens de H^M tafel afleiden de waarde van o₆₀ bij 3V₂% ^voorde A.Ftafel. We hebben dan

H^M logs =0,0026893 logfir =0,0004568 loge =0,0396569
A.F log = 0,0021800 log g_x = 0,0006780 log c_x = 0,0380960

\') E. Blasciike. Ueber eine Anwendung des Sterbogesetzes von Gompertz-
Makeham (Mitteilungen des Verbandes der oeslerr. und ungar. Versicberungs-
techniker. Heft IX). 1903. pag. 16.

³) M. A. Achard. Note sur la deuxièino propriété de la formule de
Makeham. B. A. F. XXI. 1911. pag. 201.

= 0,9606380

= 4,32

Dus om a_R0 bij 3V₂°/o ^voor -A-F ^te vinden, heeft men te nemen
«01,962 bij 3,5458% voor H^M; uit de waarden voor a_CA en a₆₂ bij
3,5% en 3,6% vindt men door interpolatie voor de gevraagde
waarde 9,119.
Nu is de gevraagde waarde

kunnen, zoals men zal inzien, ook worden gebruikt tot afleiding
van vraagstukken, die als omgekeerden van de door ons be-
handelde kunnen worden aangemerkt, bijvoorbeeld om bij een
voor een gegeven sterftetafel gegeven leeftijd en gegeven kontante
waarde van een lijfrente de gebruikte rentevoet af te leiden. Men
bepaalt hier eerst met behulp van de konstanten van de unie-

Xi over naar de unieversaaltafel, dus in a_x en x, waaruit de rente-
voet v wordt gevonden en deze is met behulp van (3) om te
zetten in V\\.

Zijn x\\ en x\'₂ de in de unieversaaltafel met de leeftijden
X\\ en x₂ van een andere tafel korresponderende leeftijden, dan
heeft mén

Deze betrekkingen, nog uit te breiden door voor a_x bij bena-
dering a_x -f- V2 te schrijven, openen de weg voor een uitgebreid
veld van toepassing.

§ 104. Een andere toepassing die van de unieversaaltafel is
te maken berust op de vergelijking:

r₃(m) = e~ ^Zz^ma_x lg c,
d. w. z. wanneer een unieversaaltafel gegeven is, kan daaruit
een tabel voor de onvolledige gammafunksie worden afgeleid, en
wel voor die grenzen van z en m, dié volgen uit de verschil-
lende waarden voor de rentevoet welke in de unieversaaltafel
voorkomen.

§ 105. Bekend is de eigenschap, waardoor het mogelik is
lijfrenten op meer hoofden bij sterftetafels, afgerond volgens de
wet van Gompertz of van Makeham, op eenvoudige wijze te
berekenen. De vele bewijzen die daarvoor zijn gegeven behoeven
hier niet te worden vermeld. We -willen alleen herinneren aan
het belangrijke verschil, dat er tussen de beide formules bestaat.

De wet van Gompertz brengt de lijfrenten op meer hoofden terug
tot die op één hoofd, zodat het afleiden van nieuwe kommutatie-
tafels onnodig is; de wet van Makeham daarentegen maakt alleen
de leeftijden gelijk, eist dus wel de berekening van kommutatie-
tafels voor 2, 3 en eventueel meer levens. Het schijnt van
weinig bekendheid — in de gebruikelike leerboeken vinden we
er tenminste niet veel over — dat het, ook wanneer de sterfte
de wet van Makëham volgt, mogelik is lijfrenten op meer hoofden
terug te brengen tot die op één hoofd, wanneer men tevens de
rentevoet wijzigt. Men wil dus trachten te voldoen aan de
vergelijking

Na de eenvoudige berekening van w en <5_X brengt men deze
op de gewone wijze tot hun korresponderende grootheden voor
de unieversaaltafel over.

§ 106. Tot slot willen we in dit hoofdstuk nog melding maken
van een poging om de kontienue lijfrente te berekenen met be-
hulp van een formule, die de gedaante heeft van de formule van

Makeham. Dit is gedaan door Steffensen¹). Deze meent, dat
men de sterfte-intensieteit van een bevolking — waarvoor men

stelt — wel mag voorstellen door een funksie van dezelfde ge-
daante als de sterfte-intensieteit fi_x van een groep personen die
alle x jaar zijn. En dan gaat hij nog een stap verder, beschouwt
a_x als de gemiddelde levensduur voor de leeftijd x, indien de
ffM_l„;_u..v > \\ oorspronkelike ju_x voor alle leeftijden wordt vermeerderd met de

Door proefneming vond hij, dat in deze formule de waarde
van y — gelijk ook in de formule van Makeham met de groot-
heid c het geval is — voor verschillende tafels nagenoeg konstant
is; hij geeft op y — ÏO⁰-⁰²⁶. Er zijn dus nog 2 konstan ten a en
p te bepalen; daarvoor worden verschillende metoden aangegeven.
De ingewikkeldheid van de berekeningen doet evenwel twijfelen
of er voor de praktijk van de hier besproken formule veel te
verwachten is; trouwens Steffensen zelf spreekt slechts van een
poging en meent dat de door hem opgeworpen kwestie hadere
bestudering vereist. Zijn biezondere onderstellingen maken dit
alleszins noodzakelik.

§ 107. Voor zoover ons bekend, is die verdere bestudering slechts
door Steffensen zelf geschied. Hij vermeldt later²), dat hij heeft
getracht ook de kontienue lijfrente bij uitgezochte tafels door een
formule voor te stellen. Hij wil daartoe een formule gebruiken
van de gedaante van die van Makeham, maar zo, dat deze een

J. F. Steffensen. Notes on the practical graduation of life insu-
rance tables. (Ver Internationaler Kongress ftir Versichemngs-Wissen-
schaft). 1905. pag 247.

²) J. F. Steffensen. On a formula facilitating the application of select
mortality for all durations (Svenska Actuarieföreningens Tidskrift IV) 1917.
pag. 78.

Aangaande de konstanten valt op te merken, dat c > 1 moet
zijn. Hij vond weer, dat ook hier c = 10^002G genomen kan worden.
Schrijft men de formule in de gedaante

dan moet nog > 0 en p > x zijn; ook moet /3c^x > X zijn of
wel fix > 0. Is aan deze voorwaarden niet voldaan, dan zou
het namelik kunnen voorkomen, dat voor bepaalde waarden van

Ook hier zullen we op de berekening van de konstanten niet
ingaan; het oordeel over de formule moet eveneens worden op-
geschort tot later. Wel mag nog ^ven worden opgemerkt, dat
Steffensen zelf mededeelt¹), dat men evengoed een tafel kan
gebruiken, die ontstaat door x = X = 0 te nemen , zodat dan zijn
vroegere formule van pag. 138 terugkomt. Hij vond n.1. bij onder-
zoek , dat de waarde van xc^x -f Xc^l ten opzichte van a -f- /te^x \' gering
is en, wat voor de praktijk van belang is, dat op die wijze, de
waarde voor a_x kleiner wordt dan bij de uitgebreide formule.

Het gebruik van een sterfteformule is slechts onder bepaalde
voorwaarden goed te keuren.

Een algemeene toepassing van de kontienue metode in de ver-
zekeringswetenschap is niet te verwachten.

De unieversele notatie voor de verzekeringswiskunde (Trans-
actions of the Second International Actuarial Congress. 1899,
pag. 633) behoort te worden uitgebreid tot het gebied van de
ziekte- en de invaliedieteitsverzekering.

De afleiding van de formule voor log l_x door Jörgensen (Grund-
zilge einer Theorie der Lebensversicherung, pag. 79) is onjuist.

De berekening, die Renfer (Beiträge zur Krankenversicherung,
pag. 69) geeft voor de reduksiefaktor, met behulp van de waar-
nemingen van Heym (Anzahl und Dauer von Krankheiten) is in
strijd met de door hem vooraf (Beiträge, pag. 65) afgeleide formule.

De afleiding van mej. Snethlage (Moleculair-Kinetische ver-
schijnselen in gassen, inzonderheid de Brown\'sche beweging,
pag. 29, en Over de Brown\'sche beweging in gassen. Versl.
Kon. Akad. v. Wetensch. XXIV. pag. 1539) voor de uitwijking
van een in een gas of een vloeistof gesuspendeerd deeltje is aan
bedenking onderhevig.

De uiteenzettingen van Zurhellen (Zur Frage der astrono-
mischen Kriterien für die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.
Astron. Nachrichten. Band 198. pag. 1) over de invloed van de
snelheid van een bewegende lichtbron op de voortplantingssnelheid
van het licht zijn weinig overtuigend.

De afleiding van de gemiddelde en van de middelbare afwijking
zoals die in de regel wordt gegeven (zie bijv. Czuber. Wahrschein-
lichkeitsrechnung. I. pag. 125) is door een elementaire te ver-
vangen.

Aan het doktoraat in de wis- en natuurkunde behoort de
bevoegdheid te zijn verbonden tot het geven van onderwijs in
rechtlijnig tekenen.

Het verdient aanbeveling tabellen aan te leggen van reeds
opgeloste differentieaalvergelijkingen.

De behandeling van het hoofdstuk over samengestelde intrest-
rekening laat in de gebruikelike leerboeken over de algebra veel
te wensen over.

Het is in hoge mate wenselik, dat de hollandse instellingen
voor ziekteverzekering samenwerken tot verkrijging van een

Het gebruik van de uitdrukking „beeldende wiskunde" door
Schoenmaekers (Beginselen der Beeldende Wiskunde, en Het
Nieuwe Wereldbeeld) mag niet worden goedgekeurd.

	s	9	c
R. F (Rentiers français)	0.9944272	0.9993868	L1001136
Am (30 amerik. m«^en)	0.993696	0.999312	1.099713
H^M (20 eng. m«⁶", man-
nen) ......	0.99358	0.999094	1.09744
H^MF (20 eng. m«^on, ge-
mengd) .....	0.99344	0.99906	1.09648
Gothaer Mannentafel.	0.99589	0.99874	1.09553
17 engelse mü^en . .	0.993404	0.998934	1.09537
Carlisle......	0.99195	0.99902	1.09448
A F (Assurés français)	0.994993	0.998440	1.0916817
MI (23 duitse m«^en) .	0.995207	0.99658	1.08229

	^zi	z	l
	y2	y\\	yo
	y₃	2/2	yi
y5	y4	2/3	2/2

m	0,0160	0,0165
— 0,495	1,6196	1,6142
— 0,500	1,6090	1,6038

f*x t	-1 ^a
Hx	\\o t