OVER KROMME LIJNEN

me uit de

^P°OLYERGELIJKING DER KEGELSNEDEN

KUNNEN WORDEN AFGELEID.

academisch proefschrift

na machtiging van den rector magnificus

D^r, J, J. VAN OOSTERZEE,

gewoon hoogleeraar in de theologische faculteit ,

toestemming yan den academischer senaat

en

^v°lgens besluit yan de wis- en natuurkundige faculteit

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN

in en UatuurliunDc,

AAN DE HOOGESCHOOL TE UTRECHT
-op Woensdag 3 Maart, des aaiaiddags 1 uur

TE VERDEDIGEN

/C/fff^GERRXT JAN HOFS

GEBOREN TB DIEREN

ARNHEM — G. J. THIEME — 1869.

voorrede.

vele werkzaamheden welke ik te ven-ullen heb, se-
mijn verblijf in Gelderlands hoofdstad, als leeraar
^Cla" de aldaar bestaande hoogere burgerschool, zijn oor-
^z<Xak d_at _ciit academisch proefschrift niet eerder voltooid
^ls- Ook zoude bijkans wederom eene vacantie voor mij
\'^l plaats van eene gewenschte en noodige rusttijd, een
P^iode van vernieuwde inspanning geworden zijn, indien
^niet mijn promotor, Prof. Grimvis, zoo welwillend ge-
^,Jt\'\'^K\' ware in de afgeloopene kersvacantie zijne vrije
^lr<1" ^voor mij beschikbaar te stellen. Ik zeg UHGl.
^ler,\'°or van harte da\'ik. Mocht ik van het voorrecht

geweest zijn U tijdens mijn verblijf in de

academiestad te leer en hennen; Uwe welwillendheid is
oorzaak dat ik aan UHGl. groote verplichting gevoel.

Aan de overige hoogleeraren der Phil. faculteit breng
ik mijnen welgemeenden clank toe voor de bereidwillig-
heid waarmede ik steeds hulp verkregen heb waar mijne,
krachten te kort schoten, en voor de belangstelling welke
ik steeds van hunne zijde ondervond.

Ik zal mij gelukkig achten indien hunne raadgevingen
en hunne kennis mij mogten voorthelpen, daar waar
hunne hulp door mij wordt ingeroepen.

INHOUD.

^ItiLEiDING.................

¹ het vraagstuk in ruimeren zin opgevat.
het vraagstuk voor bijzondere geval-
len opgelost............

1. Twee rechten..........

a. Twee evenwijdige rechten . . . .

b. Twee elkander snijdende rechten .

2. Een cirkel...........

3. Combinatie van een rechte met een\'
cirkel .............

4. Twee cirkels..........

5. Overige kegelsneden.......

INLEIDING.

Eene rechte welke eene kromme doorsnijdt, zal met
^^eze één of meer punten gemeen hehben, afhangende
^Van den stand van de rechte en van clen aard der
\'^£r°Bime. Zoo zal in \'t algemeen een rechte slechts
^f!eri punt met eene snijlijn gemeen hebben; een ge-
^sl°tene lijn, b. v. cirkel, en ellips minstens twee.

^0rdert men nu twee snijpunten van eene snijlijn
j^t rechten zoo moet men minstens twee rechten
^bbeii welke in hetzelfde vlak gelegen zijn. Liggen
¹⁾¹ vlak waarin de snijlijn getrokken is een cirkel
"^{J1 een} rechte, zoo kunnen in het algemeen 3 snij-
P\'^aüten voorkomen. Het aantal snijpunten dat men
wijze verkrijgt is steeds gelijk aan de som
getallen die den graad aangeven der vergelijkin-
voor de krommen. Indien men den naam van
^OYereenkomstige

punten geeft aan de twee punten
^Velke op ééne snijlijn gelegen zijn en welke de snij-
P^uten zij_n van zulk eene snijlijn met twee krommen

^et eene geslotene kromme, dan bevat dit proef-
schri ff

¹¹ een onderzoek naar het geheel van punten in
\'^p- de afstanden tusschen tivee overeenkomstige punten

in een bundel van snijlijnen, welke uit hetzelfde punt
voortkomen, in eene gegevene verhouding verdeeld worden.
Het punt waaruit de snij lijnen getrokken worden,
noem ik oorsprong of liet punt O. Het onderzoek
dat ik mij alhier heb voorgesteld in \'t werk te stel-
len , zoude, in zijnen gelieelen omvang genomen, een
onafzienbaar veld van nasporingen opleveren. Uit de
tallooze gevallen die zich kunnen voordoen heb ik
eenige bijzondere gevallen gekozen en ivel voor zoo
verre de snijlijnen getrokken worden door krommen ,
welke den tweeden graad niet te boven gaan.

Ter vermijding van herhalingen welke in elk der
afdeelingen terug zouden komen, beschouwen wij ons
vraagstuk eerst voor een bijzonder geval, hetwelk ge-
lijke resultaten oplevert, met welke kromme men ook
te doen hebbe.

De ligging van het punt O willekeurig zijnde, zoo
kunnen wij» ons voor genoemd bijzonder geval voor-
stellen dat de oorsprong overeenkomt met een punt
van een der krommen; dan verandert eene der snij-
punten van de snijlijn in een vast punt, namelijk
dat van den oorsprong zeiven, en de oplossing van
het vraagstuk: de vergelijking der kromme te vinden
gaande door de punten welke de afstanden van een
vast punt tot de punten van de gegevene kromme in
eene gegevene reden verdeden, gereduceerd tot een een-
voudig geval. Immers zal het gemakkelijk zijn aan

te toouen dat dit geheel van punten eene kromme
^ls i welke niet alleen gelijksoortig, maar ook gelijk-
\'"Ormjg is met de oorspronkelijke en dus alleen in de
afmetingen verschilt. Stel de oorspronkelijke afstan-
den staan tot de verlangden in reden als de getallen
n, dan zal eene rechte lijn, op deze wijze ont-
daan, evenwijdig zijn aan de oorspronkelijke en op
^eei1 afstand van 0 gelegen zijn, welke eveneens tot
^C^^eja afstand van de gegevene rechte tot O staat als
^31: m. Is

y — .A/x ~f- b\'
vergelijking der gegevene kromme zoo zal de nieuwe
tot vergelijking hebben

* . b\'m

y — A\'x - - ___

n

Is

, (x — a)² (y — b)² r²

^vergelijking van den oorspronkelijke!! cirkel, zoo zal
ani\\² ( ijinJ _ r²m²

H- y

n J \\ n/ n

j •

^le der nieuwe zijn.
De vergelijkingen der nieuwe krommen worden on-
^daelijk gevonden door de constante grootheden welke
^ vergelijking der gegevene kromme voorkomen
^Verianderen in andere welke op de gegevene wijze
^ai1 de oorspronkelijke afhangen.
Aangezien de nieuwe kromme steecis gelijkvormig
^ ttiet de opgegevene, zoo biedt het trekken van een
üüdel .snijlijnen een gemakkelijk middel aan om ge-
?^6Veile krommen op eene vergroote of verkleinde schaal
tekening te brengen. Hetzelfde volbrengende met

eene geslotene kromme of met een tal van krommen
welke een deel van liet vlak van teekening insluiten,
zoo kan deze constructie dienen om figuren daar te
stellen, gelijkvormig met eene gegevene en welker zij-
den of inhouden in eene gegeven reden staan tot die
van de oorspronkelijke figuren. In deze nieuwe figu-
ren zullen daarenboven de voorkomende bijzondere
punten , als raakpunten, middel- , brand- , keerpunten
enz. in dezelfde stralen liggen, welke de overeenkom-
stige punten in de eerste figuur met bet punt O ver-
eenigen. Zet men de evenredige afstanden op deze
stralen af, maar in tegengestelden zin, te rekenen van
bet punt O zoo verkrijgt men, gelijk bekend is, krom-
men, welke bij tegenoverstand gelijkvormig zijn.

Gaat men nog eenen stap verder, en verbeeldt men
zich den oorsprong op oneindig grooten afstand, of\'
met andere woorden, trekt men snijlijnen welke aan
elkander evenwijdig zijn, zoo verkrijgt men eene nieuwe
figuur die in niets van de eerste verschilt, indien men
op elk der snijlijnen punten neemt, welker afstanden
tot het punt O evenveel verschillen van de afstanden
waarop de snijpunten dezer snijlijnen met de gegevene
figuur van het punt O gelegen zijn.

ï- HET VRAAGSTUK IN RUIMEREN
ZIN OPGEYAT.

De kromme door welke de snijlijnen getrokken wor-
zij voorgesteld door

Ax² By² 2Cxy. 2Dx 4. 2Ey F = o . («)
^Sa^stitueerende in deze :

y = Mx............(p).

^zllttde cle vergelijking van eene der snijlijnen.
Zoo verkrijgt men :
^x2(A BM² -4- 2CM) 2x(D EM) F = 0
^^eze vergelijking oplossende ten opzichte van x zoo
^Vl^den wij voor de abscissen der snijpunten van («) en (j?)
^Xl - .^D — EM K { (D EM)²—F(A BM² 2CM))

A BM² 2 CM
x₂ = :i^DJZ^EM {(D EM)² —F(A BM² -f 2CM) j
A BM² 2CM
oorspronkelijke ordinaten dezer snijpunten zijn:
h = mJ-EM I/ {(D EM)²-F(A BM² 2CM)

y_a m-d-EM-k {(d EM)²—F(A BM² 2CM) j
~ A BM² 2CM.

Elk punt der kromme waarover in dit proefschrift
gehandeld wordt heeft tot coördinaten :

x\' ₌ x_t -f- k(x₃ — xj) en y\' = y_t k(y, — y_t) of
x\' — (1—k)xi 4- kx₅ en y\' = (1 — k)y_t ky₂.
In deze vergelijkingen de gevondene waarden van
x₁, x₂, y_t en y₂ substitueerende zoo vindt men :

_t _-D-EM (l-2k)K {(D — EM)2-F(A BM2 2 CM))
^X ~~ . A BM2 2 CM

i = _M-D-EM (l-2k)y/ {(D EM)²-F(A BM²-f2CM)}

y ^ _BM2 ^ _20M

Om te geraken tot de vergelijking onzer kromme,
za,l de waarde van M moeten geëlimineerd worden.

Bij de oplossing van (x¹) met betrekking tot M geraken
wij tot de vierde machtvergelijking: (stellende 1-2 k = p)
M⁴ [B² x²] 2M³ [B (Ex 4- 2Cx²)] - - M² [2x (BD
2CE) 2x² (AB 2C²) E² (1— p²) p² BF]
2M [x(2CD AE) x² 2AC DE (1—p²) CF p²]
H- 2AD x A² x² D² (1—p²) AF p² = O.

De moeite, verbonden aan de oplossing dezer ver-
gelijking, en de ingewikkelde formulen die men zoude
verkrijgen voor M in functie van x, A, B, enz.,
geeft ons genoegzame aanwijzing om den ingetreden
weg van onderzoek te verlaten, te meer, daar ons
onderzoek zich niet bepalen zal tot de enkele krommen
welke in («) zijn opgesloten, maar wij in eenige vraag-
stukken combinaties zullen aantreffen van rechten en
krommen, waarin de algemeene vergelijking niet voor-
ziet. Daarenboven zal tot nader onderzoek der ver-
kregene kromme dikwijls de voorkeur moeten gegeven
worden aan cle poolvergelijking, om redenen die ter
gelegene plaatse zijn vermeld.

Ik stel mij dan voor liet vraagstuk voor enkele
gevallen door de zuiver analytische methode op te
lossen, terwijl ik telkens zal verwijzen naar de daarop
volgende oplossing door middel van figuren, welk
laatste middel ten deele zal dienen om zich eene dui-
delijker voorstelling te maken van de kromme welke
het resultaat is van ons onderzoek, ten deele om ons
te hulp te komen bij het overwinnen van voorkomende
bezwaren.

II. HET VRAAGSTUK VOOR BIJZON-
DERE GEVALLEN OPGELOST.

1. TWEE RECHTEN.

Een aantal lijnen, uitgaande van een punt O, snijdt
twee rechten, PQ en RS. Gevraagd de vergelijking-
der kromme gaande door de punten welke de afstan-
den tusschen de snijpunten der lijnen met de gege-
vene rechten in eene gegevene verhouding verdeelen.

a. Twee evenwijdige rechten.

De twee rechten zijn:

y — ax - - b en y ~ ax c . . . . (1)
eene der snijlijnen zij y — mx .... (2)
door substitutie van (2) in (1) zal men vinden :

b c
x, =- en x, — --

m — a m — a

Zij voor dit en de volgende gevallen k het verhou-
dingsgetal, zoo zal elke abscis der gevraagde kromme
zijn:

= x k(x.j — x₁) — kx₂ 4- (1 — k)x, of na substitutie

x\' —; -j- (1 — k)___^_ waaruit gevonden wordt

xn — a m — a

mx\' = y\' r— ax\' "b k(c — b) zijnde deze vergelijking
die eener rechte evenwijdig aan de gegevenen; een
resultaat dat in het oog vallend is, even als de ant-
woorden die men verkrijgen zal bijaldien eene der
^rechten door den oorsprong gaat, als ook bijaldien de
oorsprong gelegen is op gelijke afstanden van de ge-
gevene rechten, in welk laatste geval b — — c is en
de vergelijking wordt y\' = ax -f c(2k — 1).

b. Twee elkander snijdende rechten.

y = ax b en y = cx d
substitueerende y — mx.
Zoo vindt men voor de ordinaten der snijpunten
^et de eerste rechte

b

x, = _-

m — a

bm

y, —-_— niX!

m — a

^eQ voor die der andere

d

m — c

_ dm _

y₂ =-— mxj

m — c

^bstitueerende de waarden van en x₂ in

^x\' = k_Xi (i _ _{k)X[ x}\' ₌ (1 ~ k)—-—
\' ¹ m —c nx—a

^oo vindt men voor m:

_m_(a —• c)x kd -f- b(l — k)

fx²(a — c)² -J- (kd b)² 2kx(bc -f- cd — ad — ab)

_±f/j----

2bx((a — c) bk(bk — 2b — 2c)

hieruit de waarde mx afleidende zal men gemakkelijk
geraken tot de vergelijking

y² — y (ax cx kd b—bk) -f x(akd bc—bck)-facx2z=:o
welke blijkens het volgende onder eene eenvoudigere
gedaante kan herleid worden.

Fig. I. Stel de lijnen snijden elkander in het punt N.
ON zij de as van het polaire coördinaten-stelsel.
Stel L RNX — ^ L PNX = „enON = p.
In de driehoeken ONC en OND
ON: OC=sin (« — ?): sin « ON: OD = sin (p — <p): sin /S

OC — P si"- « QD __ P P

sin (« — <p) sin (/? — g>)

OL = OC 4- k (OD — OC) = (1— k) OC k.OD
Z = (1 — k)

sin (« — <P) sin (p— y)
Na ontwikkeling der noemers en substitueerende

X y

cos <p ~ _ en sin f = — zoo vindt men na eenige
z 1

herleidingen:

px tg m tg /3 — py tg« pky (tg ot — tg i?) = x³ tg cs tg i³

= x² tg «tg P — xy (tg « tg P) H- y²
of stellende tga = A, en tg p = B

ABpx p (Ak — Bk — A) y = ABx²

— (A B) xy y².........(I)

Om te onderzoeken of deze vergelijking de eenvou-

digste is stelle men een\' anderen oorsprong, vervange
x door x m, waardoor de vergelijking wordt:
ABps ABpm p (Ak — Bk — A) y = ABx² 2 ABmx

ABm² — Axy — Bxy — Amy — Bmy -f- y²
door m — \'/₂ p te stellen, vervalt de term waarin x
doorkomt en wordt de vergelijking onder haar een-
voudigste gedaante :

y² — p {(k — Va) (A ~ B)} y - (A B) xy ABx²

— ⁱU ABp² ™ o...... . (II)

^it is de vergelijking der kromme welke aan ons
^Vï*aagstuk voldoet, terwijl nu het punt Z, d. i. het
bidden van de lijn ON het snijpunt der coördinaat-
^assen is.

Volkomen dezelfde vergelijking verkrijgt men voor

kromme VV\'OUU\', indien men uitgaat van de drie-
hoeken ONW en ONA en vervolgens den oorsprong
^eve»eens verplaatst naar Z.

bovenstaande vergelijking is slechts in Wee geval-
te ontbinden in twee drietermige factoren van den
^eersten graad, nam. ingeval k zr: o of k 1 wordt
ëeiiomen.

^e leer der onbepaalde coefficienten toepassende ter
in fa\'ctoren, voorgesteld onder den vorm
y -h Gx H ~ o en y lx N zi o
^Zo° zal men vijf vergelijkingen met 4 onbekenden ver-
\'^rygen; de vijf vergelijkingen zijn

Ö N = _ p _{k - Va) (A -B), G 1= - (A B)
^IJI GN~0 GI = AB HN = — Vi ABp².

Uit de

vier eerste vergelijkingen vindt men

N^Ap(k-i/₂) \' H = Bp(k-V₂)-

®^et produet dezer vergelijkingen

HN r- — ABp² (k — Y2)² vergelijkende met de vijfde
der gestelde vergelijkingen, zoo ziet men dat alleen
voor k = o of k = 1 de ontbinding plaats kan heb-
ben. Voor de factoren zeiven vindt men

y — Ax — 1/2 Ap en y — Bx y₂ Bp
welke aan nnl gelijk gesteld wordende juist de ver-
gelijkingen der rechten PQ en RS opleveren.

Dezelfde vergelijkingen verkrijgt men ook indien in
de oorspronkelijke voor A, B gesteld wordt, of\' om-
gekeerd.

De algemeene vergelijking van den tweeden graad
Mx² -t- Ny² 4- 2Qxy 2Px 4- Qy 4- R — 0 zijnde, zoo
weet men dat de voorwaarde A ~ O² — MN ⁰
een kromme geeft met een middelpunt, terwijl de
voorwaarde A — O² — MN = 0 een kromme zonder
middelpunt oplevert.

Hier is

O² — MN — - AB = (±=5)*

en dus wegens de tweedemaehtsverheffing nooit kleiner
dan o en dus geen ellips. A kan niet gelijk 0 zijn
tenzij A = B worde, welk geval niet tot ons vraag-
stuk behoort, aangezien het gelijk worden van-A en B
met zich voert het op elkander vallen der lijnen PQ
en RS. Onze kromme kan dus geen parabool zijn,
ook in het algemeen geen kromme zonder middelpunt.

Verder weten wij dat de voorwaarden:

A = O² — MN > o
r ——P (NP — OQ) — Q (MQ - OP) — R (0²—MN) ^ o

voldoende zijn tot het nemen van het besluit dat de
kromme eene hyperbool is.

Dat aan de eerste voorwaarde in ons vraagstuk vol-
daan wordt, is aangetoond.

Substitueeren wij de waarden uit onze vergelijking
¹¹¹ de algemeene vorm voor r, zoo wordt
^r ^ {- ¹/₂ P (k - Va) (A - B)} {- V, ABp (k - y₂) (A - B)}

— Yn ABp²

^elke formule na herleiding wordt

\'O

r — ABp² (k—1) k

Het bestaan van eene der vijf voorwaarden:

A = o, B — o, A t= B, k = 1, k =\'o

^is voldoende om r zzz o te maken. Volgens hetgeen
^reeds besproken is, kan echter geen dezer voorwaar-
den bestaanbaar zijn met den aard van het vraagstuk.
¹ is dus ^ o; dit gevoegd bij het reeds aange-
toonde A > o, geeft ons recht om aan te nemen dat
geconstrueerde kromme een hyperbool is.
Tot verder onderzoek der kromme gebruiken wij
Vergelijking (1), welke die der kromme LNM is, bij-
aldien O de oorsprong is. Een gemakkelijk in te
stellen onderzoek kan ons overtuigen dat dezelfde ver-
rijking die der kromme VOU is, als N als oorsprong
coordinaatassen geldt.
Vooreerst de vraag: Welk bijzonder geval doet zich
, indien het punt O gelegen is in de lijn welke
^<leQ hoek midden door deelt, dien de beide rechten
^met elkander vormen. In dit geval is /_PNO — pen
^dlls « = 180 - en tg « = — tg § of A = — B. De
^Vergelijking verandert hierdoor in

— A² _px -f p (2k — 1) Ay = — A² x² y²

in welke vergelijking

A = A² > o (2k (1 — k) — 1) > o

2

Indien k = % genomen wordt, zoo verandert de

laatste vergelijking in

_y2 = A² (x² — px)

stellende in deze x — x m

zoo wordt de vergelijking

y² = A³ (x² -{- 2mx m² — px — pm)

Door in deze m = p te stellen vindt men

y² = A² (p x) x

zijnde de topvergelijking eener hyperbool, welker top

gelegen is in het punt N.

Op het midden van ON eene loodlijn oprichtende

en hare lengte tusschen Z en het snijpunt met PQ, q

2q 4q²

noemende, zoo is A=tg « — — of A² ~ _L en dus

P P²

v² = 1—. (p x) x of stellende ON = 2p\',

ViP²

y² — -L (2p\' x) x in welke vergelijking tevens

p\'²

de groote en de kleine as % p\' en % q zijn opge-
nomen.

Men kan naar aanleiding van het behandelde een
gemakkelijk middel aangeven ter constructie van eene
hyperbool welke gegevene assen moet hebben en wel-
ker top is aangeduid.

Indien de lijnen PQ en RS elkander zoo snijden

x

dat « ~ 9o — (3, zoodat A = — —, dan verandert (1)

B

in de veronderstelling dat k = % is, in

»(^pij _W = - x^ .-  _y>.

Voor liet geval dat B~ 1, of /3 = 45° is, wordt de
vergelijking x² — y² = px.

Hierin wederom x = x men vervolgens m = Va p
stellende, zoo verkrijgt men

x² — y² = ^XA p²

de

vergelijking eener gelijkzijdige hyperbool, welker as
is p, en welker middelpunt is het punt Z.

De waarde welke in de algemeene vergelijking ge-
vonden is voor -T, nam.

r ~ ABp² (k-l)k

toont aan dat voor elke waarde van k, behalve k — o,
en k = 1, de kromme eene hyperbool zal zijn, der-
halve ook voor k ^ 1, zoodat men in de construc-
tie niet gebonden is aan punten liggende in het vlak
hoeken PNR en SNQ.
Wij hebben gezien dat OX de rechte is, gaande
door den top en door het middelpunt, ingeval A = —B
^en k = % genomen wordt, en dat onder deze gege-
vens Z het middelpunt der hyperbool is.

Hernemen wij de vergelijking (1)
^ABPx p (AK — Bk — A) y = ABx² — (A B) xy y²
stellen wij x = x m
y —y n

^an verkrijgen wij na behoorlijke herleiding
y² -I- ABx² _ (A B)xy — (ABp — 2ABm An Bn)x
^ (Akp — Bkp — AP Am Bm — 2n)y — ABpm
^ Akpn -f. Bkpn 4- Apn ABm²—Amn — Bmn n²=o.
2al deze vergelijking eene middelpuntsvergelijking

zijn, zoo weten wij met het oog op de algemeene
vorm der middelpuntsvergelijking
b²

y² = - (x² — a²)
a²

in welke a en b de bekende beteekenis hebben van
halve assen, dat de volgende betrekkingen tusschen
A, B, m en n moeten plaats hebben.

A B ™ o. ABp — 2ABm 4- An 4- Bn = 0

en Akp — Bkp — Ap 4- Am 4- Bm — 2n o.

Na ontwikkeling volgt:
A = — B m — % p n — — % Ap(l — 2k). (III)

Wij komen dus tot het besluit dat geheel onafhankelijk
van de grootte van k, indien « = 180 — /?, de toppen
van alle hyperbolen welke aan ons vraagstuk voldoen,
gelegen zijn in de lijn welke in L loodrecht op Ox
wordt opgericht. De hoogte der top boven de lijn
welke den oorsprong met het snijpunt der twee rech-
ten vereenigt wordt aangegeven door
n = — % Ap (1 — 2k).

Daarenboven zijn de middellijnen der hyperbolen
alle evenwijdig aan ON.

Is k = % dan komen wij tot een vroeger besproken
geval terug. Voor k > % is n positief; voor k -< % is
n negatief. Wederom zien wij dat k = o of k = 1
voor n eene met den aard van ons vraagstuk onbe-
staanbare waarde oplevert. Immers n = ± % Ap zoude
eene top aangeven in de lijn PQ of in de lijn R^
buiten het punt N.

Substitueert men in (I) de waarden welke in (III)
zijn aangegeven, zoo verkrijgen wij na herleidingen
en vereenvoudigingen :

y² = A²(x² — _p2k(l — k)).

Deze vergelijking stemt in vorm gelieel overeen met
de algemeene vergelijking
b²

y² = __ (x² — a²).
a²

De beide assen van de hyperbool zijn dan
2p V k(l — k) en 2Ap 1/ k(l — k).

De grootte van k hondt hier op willekeurig te zijn
daar voor k > 1 men voor de assen onbestaanbare
uitdrukkingen verkrijgt. Bij de toeneming van de
waarde van k zal dan ook de hyperbool eene veran-
dering ondergaan, waarbij voor k = 1 de rechte RS
aangezien kan worden als den overgang daar te stel-
len tusschen twee stellen van hyperbolen van welke
de krommingen naar tegengestelde zijden zijn gericht.

2. EEN CIRKEL.

Een aantal lijnen uitgaande van een punt O snijdt
eenen cirkel. Men vraagt de kromme te bepalen gaande
door de punten, waarin de koorden als deelen dezer
lijnen in eene zelfde gegevene verhouding verdeeld
worden.

Uit den aard der zaak volgt dat de algemeenheid
der eindvergelijking niet verminderd wordt indien wij
uitgaan van de vergelijking : (x — a)² -f- y² = r²
substitueerende in deze y = mx zoo vinden wij voor
de abscissen der beide snijpunten :

___ a J/(r² m²(r²—a²)) j/(r²f m²(r²—a²))
x \' -en Xj—-----—.—.—

1 m² 1 m²

deze waarden substitueerende in

x⁵ = kx_a (1 — k)xi

zoo vindt men

, a (1 — 2k) ]/(r² m²(r² — a^a))
1 -f- m²
stellende 1 — 2k = p.
zoo zal na herleiding en tweedemachtsverheffing uit
x² 2x²m² -f x²m⁴~2ax-2axm² a²=p²r²(l m²)-a²p²m²

gevonden worden ;

2x²m² = 2x2 _ 2ax — p²(r² — a²)
± P V (p²r⁴ -h 4ar²x a⁴p² 4a²x² — 4a³x — 2a²p²r²)
stellende 2y² = 2x²m^2
zoo zal de eindvergelijking zijn:

y4_2_s2y2 _x4_j_2axy²-2ax³4-a²x²fp²r²y²-p2r^;ix¹-a2pïy²=o.

Tot dezelfde vergelijking kunnen wij ook geraken
door uit te gaan van de poolvergelijking. Daar we
deze later moeten gebruiken, zoo zullen we gezegde
afleiding doen voofafgaan.

(Fig. 2). Zij de straal == r en de lijn OM welke
den oorsprong met het middelpunt vereenigt = c en
tevens gelegen op de as der abscissen.

OB zij eene der snijlijnen op welke MC loodrecht ge-
trokken is, dus AC = BC. De koorde is in D ver-
deeld in twee stukken, zoodat AD == k. AB = 2k. AC.
OD =AO AD= OC—AC 2k AC - OC (2k — 1) AC
z = C cos <p (2k — 1) V (r^s — c² sin² <p). (A)
De grens voor bestaanbare waarden voor z wordt
bereikt, indien c sin <p = r is

c cos <p — V (1 — sin² <p)z=.y (c² — r²)
^wat dan ook duidelijk is, aangezien de snijlijn dan
overgaat in eene raaklijn.

Onafhankelijk dus van k, zullen alle krommen, in
onze vergelijking vervat, gaan door de beide raak-
punten der uiterste snijlijnen.

^oor (A) kan men schrijven, bij overgang tot recht-
hoekige coördinaten:

z \' z.

cx (2k — 1)1/ (z² r² — c² y²)

Bij de verdere herleiding, waartoe eene machtsver-
heffing gevorderd wordt, zal het onderscheid tnsschen
het positieve en negatieve teeken van den tweeden
term van het tweede lid der vergelijking verloren raken.

Voor z de waarde c cos <p — (2k — 1) V (r²—c²sin²?>)
schrijvende, ziet men bij de beschouwing der figuur

(1) z = 00 - (2k -1) AC = OC AC - 2k. AC = OB - 2k. AC
en volgens de eerste gegevens voldoet de kromme
aan de voorwaarde

(2) z = AO 2k AC

Voor (1) kan men schrijven z rr. OC (1 — 2k) AC
voor (2) z = 00 — (1 — 2k) AC

zoodat de vergelijking der kromme wordt

z = OC AC zijnde S de constante

waarde van 1 — 2k
of

z ~ c cos; 5(r² — c² sin² <p)
(B)x⁴ f2x²y² f-y⁴-2cx³-2cxy²4-c²x²4 <ï²(y²(c²-r²)-r²x²)=o
of

(_x2 y² _ cx)² <T2 (y² (c² — r²) — r² _X2) — O
Verplaatst men den oorsprong der coördinaten naar
M, zoo wordt de vergelijking:

(_x2 y2 cx)² d¹ (y² (c² — r²) — r² (x c)²) = o
Tn deze vierdemachtsvergelijkingen zijn nu telkens
twee krommen opgesloten, welke in de raakpunten
der uiterste snijlijnen met den cirkel te samenkomen.
Wilde men elk der krommen afzonderlijk beschouwen,
dan zal dit niet anders kunnen geschieden dan door
middel der poolvergelijking (A), waarbij dan hetzij de
positieve of de negatieve waarde der wortelgrootheid
alleen moet genomen worden, wat later geschieden zal

Deze vergelijking duidt aan dat de kromme syme-
trisch is ten opzichte van de lijn OM, aangezien er
geene onevene machten van y voorkomen. Overigens
komt de kromme in niets overeen met eene der be-
kenden.

De vergelijking (B) is slechts in vijf bijzondere ge-
vallen te ontbinden in factoren. 1°. Indien
2°. ^ — — 1; 3°. ö = o; 4°. c = r en 5°. cr-o,
Welke gevallen geheel van elkander onafhankelijk zijn.

De beide eerste gevallen samenvattende, zoo zal in-
dien wij stellen <5 — 1, de nieuwe vergelijking, zoo
als trouwens klaarblijkelijk is die des oorspronkelijken
cirkels zijn. Deze substituties verrichtende, zoo vin-
den wij voor de eerste gevallen:

x⁴ — 2cx³ (c² — r²) x² — 2cxy2 2x²y²
(c² — r²)y² -f- jⁱ — o of
(x² y²) (x² — 2cx y² c² — r²) =: o
^zynde de tweede factor aan o gelijk gesteld, de ver-
gelijking van den cirkel.

Voor — o wordt (B)
x⁴ -f- 2x2y² -f y⁴ — 2cx³ — 2cxy² c²x² — o of\'
(x² -4- y² — cx)² = o
^zynde deze vergelijking die eens cirkels van welken
het middelpunt gelegen is op de helft van OM. Sub-
«titueerende nam. x = x m in x² y² — cx — o
zoo vindt men x² 2mx m² y² — cx — cm — o.

De substitutie m = % c geeft

x² y² = % c².

^e straal is dus % c en de cirkel gaat door de
linten O en M.

^Voor c--r wordt (B)

x⁴ 2x²y² -i- y⁴ — 2rx³ — 2rxy² — r*(4d\'² — l)x²= o
dan wordt tevens de oorsprong verplaatst naar den
omtrek des cirkels. De vergelijking schrijvende onder
de gedaante

x⁴ — 2rx³ (2y² — 4<*²r²)x² — 2rxy² y⁴ = o
zoo valt gemakkelijk in te zien dat het eerste lid in
factoren kan ontbonden worden nam.:
(x² y²-f~ r(2<7 — l)x} {x² y² — r(2<? l)x} = o.

De vorm dezer twee factoren geeft te kennen dat
ingeval c = r is de kromme, zal bestaan uit twee
cirkels, welker stralen zijn r(tf — %) en r(<? %).

Blijkens den vorm dezer factoren is, onafhankelijk
van de waarde van de cirkel, voorgesteld door de
vergelijking

x² j-y² — r(2<* • • l)x = o
steeds gekeerd aan dezelfde zijde van de raaklijn door
G aan den oorspronkelijken cirkel getrokken. De
tweede cirkel is naar deze zelfde zijde gekeerd voor
elke waarde van 3 kleiner dan % maar is naar de
tegengestelde zijde gekeerd voor S > y₂, in welk geval
de beide cirkels elkander uitwendig raken.

Voor c — o wordt (B) na deeling door _X2 ■ ■ y²
x² y² = 4<j2r2

zijnde de vergelijking eens cirkels wiens straal is 2 Jf-
Hernemen wij de poolvergelijking

z ~ c cos <p ± S V (r² — c²sin <p)
dan zal voor constante waarden voor c en r, de vorm
der kromme alleen afhangen van het getal 5. Ingeval
de oorsprong in het middelpunt ware gelegen van den
cirkel CM dan zouden de verschillende krommen ge-
lijkvormige figuren zijn en wel concentrische cirkels

De vraag: hoe groot moet genomen worden opdat
de kromme één- of tweemaal een punt met den oor-
sprong gemeen hebbe, voor welk geval dan z éénmaal
of meermalen o wordt, kan op de volgende wijze
beantwoord worden. Moet de kromme slechts éénmaal
door den oorsprong gaan dan zal wegens de aange-
toonde symetrie dit slechts kunnen plaats hebben voor
eene waarde van <p, welke, zonder acht te slaan op
het verschil van positieve of negatieve teekens, slechts
eenmaal voorkomt, d. i. voor <p — o. Deze bijzondere
Waarden van z en q> in de vergelijking substitueerende,
vindt men:

o = c — <jr dus ö ₌—
r

Om deze kromme te construeeren neemt men op de
zijlijnen aan weerszijden van den boog C M stuk-
ken welke vierde evenredigen zijn tot de middellijn,
den afstand van den oorsprong tot het middelpunt

de koorde op de snijlijn gelegen. Voor ö

r

kan z niet o worden tenzij c — r worde, een geval

dat reeds besproken is. Voor 3 >— zal de kromme

r

Weemaal een punt met den oorsprong gemeen hebben
%gende in twee snijlijnen welke eenen gelijken
hoek maken met den oorsprong der hoeken, terwijl
\'le eene hoek <p\' en de andere — <p\' zal zijn. De
^Vergelijking wijst trouwens aan dat voor <p\' en —<f\'
\'^!<J waarde van z dezelfde blijft; immers cos ₉ =
"~"^0s <p) en sin2^ = sin2(— <p). De waarde van <p voor
Welke het gezegde zal plaats vinden wordt gevonden door

o = c cos (p^r ± <7 J^r² — c² sin² <p
uit welke vergelijking men zal vinden

]/r² <J2 — c²

sin f\' = ± -5-

c² — c²

c

Substitueert men in deze laatste vergelijking 3 ——

r

zoo komen wij tot liet reeds gevondene resultaat terug.
Ook geraken wij tot eene bekende eigenschap des
cirkels indien c~r genomen wordt waardoor sin 1
of _? = 90° of 270° d. i. zal een cirkel slechts één
pnnt gemeen hebben met eene snijlijn welke door
een punt van den omtrek gaat, zoo moet de snijlijn
in dat punt raaklijn zijn.

Ingeval J ₌ ~ verkrijgt men figuur O H E J F L O;
r

voor welke de vergelijking (B) dan verandert in:

_x4 2x² y² y4 — 2ex³ — 2cxy²  r²) _j2 _ ₀

r²

Uit de figuur blijkt dat te beginnen bij de waarde
— o, de eene tak der kromme hare holle zijde en
de andere hare bolle zijde gekeerd heeft naar den
oorsprong. Ook zal bij het toenemen der waarde <5.
de eene tak der kromme, welke hare holle zijde naar
O gekeerd had, deze van genoemd punt afgewend
hebben. Is er eene waarde voor <5 te vinden, zooda-
nig dat de bedoelde tak eene rechte wordt. Aangezien
de kromme steeds door de punten E en F moet gaan,
zoude voor deze bijzondere waarde de kromme in de
koorde EF zijn overgegaan. Kan de rechte EF de
verschillende koorden AC, GM, enz. in punten snij-

den, waarin de koorden in stukken verdeeld worden,
welke in dezelfde verhouding tot elkander staan. Voor-
de koorde GM wordt de genoemde verhouding gevon-
den door het trekken der koorde EF en het berekenen
van het quotiënt: MN : GM.

Nu volgt uit den rechthoekigen driehoek OFM, om-
dat l_ MNF recht is onmiddelijk.

MN __ r

De vraag kan nu teruggebracht worden tot het

onderzoeken naar de mogelijkheid of de vergelijking :

_r

z — c cos y — _— j/ (r² — c² sin² y)
c

die eener rechte kan zijn. De rechte EP heeft tot
poolvergelijking.

Aivr ^c2 — ^r2

z — UJN sec <p —-sec

c

Bijaldien de eene tak der kromme voor eene bijzon-
dere waarde van <5 konde overgaan in de rechte EF,
zonde

r o _n • c²_r2

c cos <p —-Y (r² — c² sin² <p) =_sec <p

c c

eene identieke vergelijking moeten zijn. Stellen wij
°m dit te onderzoeken gemakshalve c r= 2r, dan vin-
den wij, de vergelijking ten opzichte van <p oplossende ,
Voor <p in plaats van eene onbepaalde waarde begrensd
tusschen de twee uiterste grenzen voor de hoeken
^Weike de raaklijnen aan den cirkel met OM vormen :
P = o of ^ = ± 30°. Deze bepaalde waarden van
V) voor de punten die de kromme gemeen heeft met
OM en met de raaklijnen, duiden aan dat genoemde

3

vergelijking geene rechte kan zijn, voor eenige waarde
van 3.

Dat voor eene bijzondere waarde van cp de kromme
niet overgaat in eene rechte toont aan dat de kromme
niet bij den overgang, in al hare punten te gelijker
tijd hare bolle zijde naar den oorsprong keert.

Waar zal voor elk punt der kromme die tot EGF
nadert de genoemde overgang plaats hebben? Nemen
wij ter beantwoording dezer vraag de poolvergelijking

z 3= c cos ? — <5 \\y (r² — c² sin² <p)
behoorende bij die tak der kromme, voor welke wij
eerst ons onderzoek instellen. Immers indien

Y = z² -[- 2 f ⁽\'^Z \\ — z ⁽L^Z- negatief zijnde, bij ver-

\\ &.<p J dy²

andering der veranderlijken overgaat in eene positieve
grootheid, of omgekeerd. Nu is

z² — c² cos² <p - 2cS cos ?>]/(r² -c²sin>)4-c?²(r²-c²sinV)

dz . „ „ sin <p cos <p

— c sm (f 4- 3 G²

d<p (r² — c² sin² <p)

d²z _{t 2}r² — 2r² sin² w 4- e² sin⁴ «

_= — c cos <p 4- 3 c .---—-L

d^² (r² — c² sin² cp) %

Door substitutie en na eenige aangebrachte vereen-
voudigingen zal men vinden:

y _ (2c²r2 — 2c⁴sinV c²<J²r²—4c²(ï³r²sinV^1/\'r²—c\'²sin²f
(r² —- c² sin² <p)^3/2
(2<r- c⁴ sin² cp 4- rF r⁴) V r² — c² sin² <p

(r² — c² sin² <p) %
3ctf r⁴ cos w — 4r² c³ 3 sin² <p cos cp 4- c³ 8 r² cos <p

(r² — c² sin² cp) %
Ter beoordeeling van de positieve of negatieve waarde
van deze uitdrukking moet de waarde van cp en van d

bekend zijn, als ook de verhouding welke er bestaat
tusschen c en r; dewijl het teeken van Y afhangt

v ^c

van o en —
r

Het algemeen antwoord kan nu luiden: ingeval de
bovengevondene waarde van V negatief is, zal een
punt der kromme , behoorencle bij aangenomen waar-
den van de in de formule bevatte variabelen, behoo-
ren tot dat gedeelte, dat zijne bolle zijde naar den
oorsprong gekeerd heeft. Nemen wij als toepassing-
een punt der kromme, behoorende bij de waarde
(p ™ o, welke waarde steeds aan <p eigen kan zijn,
onafhankelijk van de grootte van 3 en van de ver-
houding die er bestaat tusschen den afstand van den
oorsprong tot het middelpunt en de grootte van straal.
Ka substitutie en herleiding wordt dan de vorige formule:
2e³r -[- c²J\'²r <J²r³ — 3c<Jr² — c³<J
r

Aangezien de noemer steeds positief is, zal het
teeken van de vereenvoudigde vorm negatief zijn,
zoolang

3c,jr² c3<j > 2c²r 4- c2,y-r -f J2_r3 ₀f indien
_c2^_r J2_r3 __ _c3j _ 3_ej_r2 < —2c²r

Eene grenswaarde voor <J vinden wij indien wij het
^e©rste lid der laatste vergelijking gelijk aan (—2c²r)
^tellen.

Indien aangenomen wordt dat p < 2c²r
J2(c²r -f- r³) 4- d(e³ — 3cr²) = — p

-^{c3 3cr2} 4-1/ ff ^{c3 3cr}\'² v² __ p )

2(_c2_r 4- r3) ~ | \\2((ï²r r3)/ cV rSj

lang aan p eene waarde gegeven wordt welke

3*

overeen te brengen is met de gestelde voorwaarde,
zoo zal deze waarde van <p aangenomen wordende de
kromme voor <p — o zijne bolle zijde naar den oor-
sprong gekeerd hebben. Snbstitneeren wij p = 2c²r in de
formule, zoo vinden wij voor de vermelde grenswaarde:

c p 2cr
8 = _ ot -

r c² • • v~

De eerste grenswaarde van 3 is in het oog loopend
bij het beschouwen der figuur, aangezien de kromme
in dit geval juist door den oorsprong gaat, namelijk
OHEIFLO. Neemt men voor d eene waarde grooter

dan — , dan gaat deze laatste over in de kromme
r

ONEPFQO RSTO.

Wat aangaat het beloop der andere tak der kromme,
zoo zal eene beschouwing der figuur ons tot de over-
tuiging brengen dat zij nooit hare bolle zijde naar
den oorsprong zal keeren. Analytisch bewijzen wij
dit door aan te toonen dat indien de vergelijking is

z zz. c cos <f ■ ■ ö ]/ (r² — c²sin²^)
nooit eenige waarde van ö aan de uitdrukking

TT , o V ^d2z

V Z= z² -h 2 ( — ) — z

vd? J dV

eene negatieve waarde kan geven.

De eerste en tweede differentialen zoekende van z,
zoo vinden wij

z^s — c²cosV -K 2cflcos0 j/ (r² — c\'sin²?) -j- <J²(r² — c²sin V)

dz _¥ s sin^cosqp

— c cos? — Je® ^r ^

de» ^ (r* — c²sin²®)

d\'-z o r² — 2r²sinV c\'²sinV

_ ™ — C COS? — (ÏC- -\'-

dfj (r² — c²sin²^)³/^a

Deze waarden substitueerende in V zoo vinden wij
dezelfde formule als in het vorige geval, alleen met
verwisseling van de teekens der clrie laatste termen
van den teller. Voor eene waarde p — o wordt de
formule na vereenvoudiging

2c²r c²\'ï²r 5²r3 3c<V c³^
r

Aangezien alle factoren, in de termen voorkomende,
positief zijn, zoo bestaat er geene mogelijkheid dat de
laatste vorm ooit negatief wordt. De tak EMF zal
dus bij elke waarde welke men aan de veranderlijken
geeft, hare holle zijde naar den oorsprong der coör-
dinaten gekeerd hebben.

Wij hebben steeds het geval besproken dat c > r
en met een enkel woord gewag gemaakt van de ver-
andering die de kromme ondergaat ingeval e = r
wordt. Er blijft nog over met een enkel woord het
geval te bespreken dat c < r.

De vorige resultaten blijven voor een groot deel
geldig; de kromme wordt echter eene andere.

Fig. III. De cirkelboog EMF uit de tot nu toe
behandelde kromme, van waar de stukken werden
afgepast, welke in eene gegevene verhouding stonden
tot de koorde, gaat nu over in eene geslotene kromme
welker punten gelegen zijn op het midden der koorden.

vergelijking dezer kromme wordt gevonden door
M met het midden dier koorden te verbinden, dan
^Z&1, aangezien deze verbindingslijnen loodrechten zijn,
behoudens dezelfde notaties als boven
z „ c cos tp

de vergelijking zijn; waaruit blijkt dat de kromme,
welke wij den naam van richtlijn willen geven, een
cirkel is, wiens straal is % c, en gaande door de
punten O en het middelpunt des cirkels. De vereeni-
gingslijn dezer punten is eene middellijn. Voor deze
kromme zal dezelfde vergelijking gelden als die, welke
wij voor het eerste geval gevonden hebben; echter
wordt de waarde van z niet meer beperkt door de
voorwaarde dat de hoek <p aan zekere eischen voldoen
moet.

c

De verhouding - kleiner zijnde dan 1, zoo zal

r

de kromme eene geslotene zijn, even als wanneer

C

- = 1 genomen wordt. De verhouding die er be-

r

staat tusschen den straal en den afstand van den oor-
sprong tot het middelpunt des cirkels bepaalt dus de
uitgebreidheid der kromme, zonder dat ooit eene on-
eindig voortloopende tak kan ontstaan.

Met een enkel woord zij hier nog opgemerkt, dat,
indien het punt O op oneindig grooten afstand ver-
wijderd is, en dus de snijlijnen overgaan in onder-
ling evenwijdige rechten, de kromme gaande door het
midden der koorden is overgegaan in eene rechte
loodrecht gericht op de snijlijnen. De kromme welke
nu ontstaan zal door aan weerszijden van de genoemde
loodlijn (middellijn) evenredige deelen der koorden af
te meten, is, volgens eene bekende constructie eene
ellips , welks vergelijking is (<*x)² y² = <Jr, zijnde hierbij
het punt M de nieuwe oorsprong cler coördinaten.

3. COMBINATIE VAN EENE RECHTE MET
EENEN CIRKEL.

Een aantal lijnen uitgaande van een punt O snijdt
eene rechte en eenen cirkel. Men vraagt de kromme
te bepalen gaande door de punten dier snijlijnen,
welker afstanden tot de rechte en den cirkel in eene
gegevene verhouding staan.

Stellen wij den cirkel en de rechte voor door de ver-
gelijkingen :

(x — a)¹ -4- y² ™ r² j cx -f- b

y ~mx substitueerende:

a 1/ (r² 4- m²(r² — a²)) b
x_{1 =}——_—_--1_tl x₃ ___

1 4- m² \' m — c

_ a — \\/ (r² 4- m²(r² — a²))

1 punten zijn van twee krommen.

Ingeval zonder snijding van de rechte en den cirkel
de cirkel gelegen is tusschen den oorsprong en de
rechte gelden de abscissen:

X¹¹¹ x_t -f k(x₃ — Xi) en x" = x₂ k(x₃ — x₂)
De substitutie geeft

! 1 m² | m — c

, _ ja-^/^ mV-a²))) ,_n b

=  (l-k) ^L ■ ^m ^ ..(4)

m — c I l m^s J

Blijkbaar zullen. (1) en (2) of de beide vergelijkin-
gen («), als men de grootbeden welke niet onder bet
wortelteeken staan in bet eerste lid brengt en daarna
de aldus geschrevene vergelijkingen tot de tweede
macht verheft, dezelfde eindvergelijking opleveren, in
welke de twee verschillende krommen vervat zijn.

Hetzelfde geldt van de krommen (3) en (4) of de
beide vergelijkingen (/5).

Door (1) of (2) te herleiden ter opsporing van eene
waarde van m, zal men vinden:
x (m³ — cm²-J-m — c)—b (1 — k) (1-f-m²) —a k (m—c)
= k(m — c) i/ (r² m²(r² — a²) ).

De onbekende is nog aanwezig onder het wortel-
teeken. De laatste vergelijking moet dus wederom tot
de tweede macht verheven worden, waardoor eene
zesdemachtsvergelijking zal ontstaan. Even zoo is het
gesteld bij de ontwikkeling van (3) en (4). Tot controle
van de gevonden zesdemachtsvergelijking zoude men
a — b = o kunnen stellen, waardoor zoo als duidelijk
is de waarde van m in y ™ mx gesubstitueerd de ver-
gelijking van een\' cirkel zal te voorschijn treden.

Immers voor a — b — o zal men na deeling door
(m — c) |/(m² 1 ) vinden :

m²x² rrr: y² r= fV — x² zijnde de vergelijking van
eenen cirkel welke fr tot straal heeft. Wij zullen de
poolvergelijking dezer kromme opsporen, gebruik ma-
kende van de figuur, en daarenboven een bijzonder
"geval bespreken, waardoor de nieuwe kromme in de
theoretische mechanica eene beteekenis verkrijgt.

Zij iïS de gegevene rechte en MI der gegevene cir-
kel. Stel AO ~ a, MO = b; trek GM loodrecht op
den straal OD.

Zij BN ~r k.BE en BN\' = k.BD.

OB : OA — sin <* : sin (« —

sin (« — ?>)

OE = OG — EG = b cos <p — ]/{y- — b² sin² <p)
OD = OG EG b cos g> (r² — b³ sin² <?).
ON=OB-i-k.BE=OB t(OE—OB)=(l— k)OB k.OE

r.:.- (1 — k) ^aS1—---f-k b cos <p — i/(r²—b²sinV) . («)

sin (a — <?) \' ⁵

ON\'=OB-i-k.BD.~OB-i-k(OD—OB) -(1 —k)OB k.OD

= (1 — k) _ k | b cos <p \\/{ y²—b²sin² <p) j • O⁵)

sin (<* — <p) \'

Deze beide vergelijkingen, die voor de krommen

gelden, welke op de twee aangeduide wijzen ontstaan

duiden aan, dat er op eene eenvoudige wijze eene

vergelijking af te leiden is, die de twee krommen

bevat, en wel door voor de wortelgrootheid van («)

of van (8) het dubbele teeken ± te plaatsen.

Uit genoemde vergelijkingen blijkt, wat trouwens

ook volgt uit den aard der figuur, dat beide krommen

de punten gemeen hebben voor welke r² — b² sin² <p — o
is, of ook blijkt dat voor de gemeenschappelijke pun-
ten de hoek <p eene waarde heeft, aangeduid door:

_i_ ^r
sm (p — -

b

d. i. indien de snijlijnen overgaan in raaklijnen. De
bijzondere gevallen dat k de waarde verkrijgt van
1 of o, behoeven wegens de van zelf in het oog loo-
pende gevolgen geene bijzondere vermelding, even min
als het geval dat a~o wordt, wanneer de kromme
overgaat in eenen cirkel, maar tevens het vraagstuk
ophoudt het bedoelde te zijn.

Een byzonder geval doet zich voor ingeval de rechte
gaat door het middelpunt des cirkels, zoodat de ver-
gelijkingen overgaan in

(1 — k) b sm «— _[_ I ij _cos jj j/ (_r² — Ir sin² «>) j
sin (cc — <p) \' i

Ligt daarenboven het punt o in den omtrek des
cirkels, en is dus a — b ~~ r en ook « = 90°, zoo
veranderen de vergelijkingen («) en (/?) in:

z — (1 — k) r sec <p en

z rr (1 — k) r sec s> -f- 2kr cos <p.....(y)

zijnde de eerste vergelijking die eener rechte even-
wijdig aan de gegevene, en de tweede die eener
kromme, welke blijkens de vergelijking op twee recht-
hoekige coördinaten symetrisch is ten opzichte van
eene der assen. Zij IM de abscis, I de oorsprong,
zoo verandert de laatste vergelijking na eenige her-
leidingen in:

x³ -f- xy² r: x²r y²r — kry² -f- lcrx² of
(x2 _y2) (x — r) ~ (x² — y") kr

De laatste vergelijking kan ook voorgesteld worden
onder den vorm:

, ✓ x — r(l k) ,_A;

^v r (1 — k) — x
Uit (y) blijkt dat voor eene waarde <p — 90°,
z ~ oo is; de ordinaat is dns asymptoot aan de kromme.
Uit de vergelijking (#) volgt, dat alle krommen, voor
welke genoemde vergelijking geldt, door hetzelfde punt
van den omtrek des cirkels gaan. Immers voor x — r
zal ook y — r zijn. Ook hebben deze krommen eene
andere eigenschap gemeen, in zooverre zij alle een
buigpunt hebben, welks ordinaten weder afhankelijk
zijn van de waarde van k.

Differentieerende, zoo vindt men:

. (Ir — 1) r² (2 — k) rx — x²

__ j7(ï~- k) — x)2

dx / f^x — ^r ( 1 k)\\

v V_r (i __ k) — J

d\'³y „ x (k — 2) ■ 2r (1 — k²)__

dx² (r(l— k) — x} \'/* (x — r(l k}%
Uit de waarde van de tweede differentiaal blijkt
dat voor

•X ^ ^2r ^ ~~ ^kj, x = r (1 — k) en x = r (1 k)

de gevondene (£) o of - kan worden. Om te weten

o

of deze waarden van x de abscissen zijn van de buig-
punten der kromme, moet onderzocht worden of cleze
drie waarden, met eene kleine grootheid h vermeer-
derd en verminderd, in de waarde van gesubsti-

tueerd, aan de tweede differentiaal verschillende tee-
kens geeft.

Substitueerende in (5) de waarde

2 —k

zoo vindt men na de noodige herleidingen:
— h(2 — k)4
(3kr(i — k) — h(2 — k)} ²

]/" j , 3kr(l-k)—h(2 — k))(kr(l k) — h(k — 2)) I (1)

substitueerende x ™ —^Ai

2 —k

zoo vindt men

h(2 — k)⁴

X

(3kr(l — k) h(2 — k))
j/ ^3kr(l — k)-j-h(2 —k)^kr(l -)- k) h(k-2)) j(2)

voor x — r(l — k) 4- h
wordt de bovenstaande formule

3kr(k — 1) h(k — 2)
hV{M^2kr —.... (3)
terwijl x ~ r(l — k) — h substitueerende geeft
3kr(l — k) — h(k — 2)
hV {h(—2kr — h)) . . . (4)\'
terwijl de substituties der waarden

x r= r(l k) 4- h en x r(l 4- k) — h
beurtelings geven

h(k — 2) — kr(l k)
(2kr h)V !h(—2kr — h)} . . (5)
en h(k —2) kr(l k)

T2kT- h)V {h(2kr - h)} ... (6)

Van deze grootheden zijn, blijkens de negatieve
vormen achter het wortelteeken, (4) en (5) onbestaan-
baar ; waaruit volgt dat voor de abscissen x — r(l — k)
en x — r(l - - k) de kromme geen buigpunt oplevert.

Aangezien k kleiner is dan 1 en h eene zeer kleine
waarde heeft, zoo volgt hieruit dat (1) negatief en
(2) positief is, en dat de kromme een buigpunt heeft
in het punt welks abscis is

_y_ 2r(l k^s)
2 — k

De krommen welker vergelijkingen aangegeven wor-
den door (<ï), hebben dus twee buigpunten, overeen-
komende met de twee punten welker abscissen zijn

x-~ ^2r(1 - ^lr)

/ 2 — k

Voor de ordinaat van dit punt zal men na substi-
tutie van laatstgenoemde waarde in (<j) vinden:

y_>_ y/ ________ 3(2—k)\' 1 —k

Elk der krommen heeft dus twee buigpunten, welke
aan weerszijden van de abscis gelegen zijn. Aange-
zien de coördinaten dier punten ook afhankelijk zijn
van de grootheid k, zoo vallen genoemde buigpunten
niet in elkander, indien aan k verschillende waarden
gegeven worden.

Reeds is opgemerkt dat onafhankelijk van de bij-
zondere waarde aan k te geven, alle krommen zullen
gaan door de punten, wier coordinaten zijn x ~ r,
7 = ± r. Eéne dier krommen heeft in dit punt zijn
buigpunt, namelijk die welke aangeduid wordt door (j),
ingeval k ~ % is, dus

, / 2x — 3r

—~—

^K r — 2 x

De kromme voorgesteld door (<ï) heeft in vorm veel
overeenkomst met de eonchoïde van Nicomedes, en
wel in het bijzonder met de bovenste tak van deze,
of ook met de kromme van Agnesi (eng. witch of.
Agnesi), en komt met eerstgenoemde lijn in eenige
eigenschappen overeen. Zoo heeft de bovenste eon-
choïde twee buigpunten en twee oneindig voortloo-
pende takken. Fig. Y stelt de hier behandelde kromme
voor.

Eindelijk zij nog opgemerkt, dat ingeval de mid-
dellijn gelegen is in de rechte, welke het pnnt buiten
den cirkel met het middelpunt vereenigt, de krommen
welke dan ontstaan alle cirkels zijn, welker middelpun-
ten en stralen afhangen van de ligging van het punt,
waaruit de straalbundel getrokken wordt en van de
grootheid k. Dit verdiende geene bijzondere vermel-
ding, aangezien de op deze wijze ontstane krommen
te rangschikken zijn onder de krommen, waarover
met een enkel woord sprake geweest is in het begin
van dit proefschrift met het doel om noodelooze her-
halingen te vermijden. Hier ter plaatse wordt echter
deze bijzonderheid ten overvloede aangestipt met het
oog op het volgende.

De kromme waarvan in deze afdeeling sprake is,
heeft, voor zoo verre wij ons bepalen tot het geval,
dat de rechte eene middellijn is des cirkels, in de
theoretische mechanica nog eene bijzondere beteekenis.
Bekend is dat, als de richtingen van 3 krachten,
welke met elkander evenwicht maken gelegen zijn in het

vlak dat gebracht wordt door de drie aangrijpingspun-
ten, alsdan de richtingen, verlengd wordende, elkan-
der in één punt moeten snijden. Stellen wij ons het
vlak der teekening (fig. V) als het verticale vlak voor
en de lijn RS gericht naar het middelpunt der aarde.
Zij MO een staaf, welke in M om een scharnier draai-
baar is, zoo dat de staaf omdraaiende in het verticale
vlak de verschillende standen aanneemt, voorgesteld
door de stralen van den cirkel. Laat die staaf in elk
dier standen in evenwicht gehouden worden, behalve
door den weêrstand aangebracht door de scharnier,
door eene kracht uitgaande van een punt O in het-
zelfde vlak gelegen waarin de draaing plaats heeft, en
steeds gericht naar dat uiteinde der staaf, hetwelk den
omtrek des cirkels beschrijft; b. v. door een draad
zonder gewicht, welke draad naar gelang van den
stand der staaf moet vervangen worden door een on-
buigzaam stangetje, mede zonder gewicht. In elk der
standen zullen het middelpunt M, het punt O en het
zwaartepunt der staaf drie aangrijpingspunten van
krachten zijn, en wel van den weêrstand in M, van
de spanning der draad en van de zwaartekracht. Is
de staaf in een der standen in evenwicht, zoo zullen,
volgens het zoo even opgemerkte, de drie richtingen
der krachten elkander in één punt moeten snijden.
Bepaalt men voor elk der standen gezegd snijpunt,
zoo zal bet geheel dier snijpunten de bedoelde kromme
opleveren. Wij zullen tevens aantoonen dat voor het
geval de staaf homogeen is en overal dezelfde afme-
tingen heeft, clit geval overeenkomt met het aannemen
der waarde voor k — Va , en dat het geven der verschil-

lende waarden aan k overeenkomt met de verschillende
plaatsen van het zwaartepunt ingeval de staaf niet in
een der genoemde gevallen verkeert.

Nemen wij aan, dat het zwaartepunt gelegen is in
het punt D, dan zal dit even als het uiteinde G tijdens
de omdraaing een\' cirkel beschrijven. Trekt men voor
eiken stand der staaf uit het zwaartepunt eene lijn
evenwijdig met de verticale RS, zoo zal het ontmoetings-
punt dezer laatst getrokkene en van de rechte die het
uiteinde der staaf met O vereenigt, het gemeenschappelijk
aangrijpingspunt der krachten zijn of die der resultante.
Beschouwen wij twee standen MC en MC\', zoodanig dat
de uiteinden C en C\' op dezelfde snijlijn gelegen zijn,
welke men uit O trekt, en veronderstellen wij dat het
zwaartepunt der staaf gelegen is in een punt waarin de
staaf verdeeld wordt in deelen die tot elkander in reden
staan als de getallen 1 en k, dan is klaarblijkelijk na
het trekken der richtingen van de krachten

CA : CB = CD : CM en C\'A\': C\'B = C\'D\': C\'M.
De gedeelten der snijlijnen begrepen tusschen de snij-
punten van deze met den cirkel en de verticale mid-
dellijn , worden dus ook "hier in cleelen verdeeld welke
in eene gegevene verhouding tot elkander staan. Het
vraagstuk is dus teruggebracht tot het bijzonder geval
van het in deze afdeeling behandelde.

Was het punt O gelegen in het verlengde van de mid-
dellijn, zoo zoude ook het aangrijpingspunt der resultante
een\' cirkel beschrijven, wat ook plaats zal hebben indien
het punt O gelegen ware op den omtrek des cirkels en
wel daar waar de verticale middellijn dezen snijdt.

4. TWEE CIRKELS.

Dit vraagstuk zal het groote bezwaar opleveren dat
ter opsporing van de waarde van m eene vergelijking
moet opgelost worden waarin de onbekende voorkomt
in de achtste macht, zonder dat genoemde vergelij-
king in factoren is te ontbinden. Zelfs verdwijnt dit
bezwaar niet, bijaldien de cirkels concentrisch zijn,
wat uit het volgende voorbeeld blijkt.

Zijn de vergelijkingen van de cirkels

(x — a)² -f- y² = r² en (x — a)² 4- y² = t²
in welke t < r
bij substitutie van y =: mx
vindt men voor de abscissen der 4 snijpunten

_ a V {r²4-m³(r²—a²)} ._a i/ (tVm²(t²- a²)}
¹ ~ 1 m^2 X3 ~~ 1 m²

a—]/ { r² m²(r²—a²) } a,/— {t² m²(t²— a²)}

x₂ — _{x m}s ^x4 fT™²

Stel de abscis van een punt der kromme moet vol-
doen aan de voorwaarde:

xl x₃ -f k(xj — x₃) ~ kxj -f (1 — k)x_fj
dan vindt men na substitutie

x(l m²)-arrk^{r² m²(r²-a²)} -f (l-k)v/{t³ m²(t²- a²)}
Ingeval a = o wordt zoo komen wij tot de vergelijking:

m³ x³ = /t k(r — t))² — x³
of y² -j- x² = [t k (r — t)J³, zoo als te verwachten
was. Opdat het vraagstuk oplosbaar zij behoeven de
cirkels niet concentrisch te zijn. Er is nog een geval
dat echter tot eene eenvoudige kwestie behoort waarin
in eenigen zin voorzien is in de inleiding, ter plaatse
waar sprake was van noodelooze herhalingen, d. i.
als de stralen der beide cirkels tot elkander in reden
staan als de afstanden der middelpunten tot den oor-
sprong en dus de beide cirkels zijn

(x — a)²4- y² = r³ en ^x — f = t³

wij zullen dan weder een cirkel verkrijgen, wiens ver-
gelijking is:

[x - j ka (1 - k) JL J² J y² = r² jk (l-k) ! J²

5. OVERIGE KEGELSNEDEN.

De cirkel reeds besproken zijnde, zoo zal met een
enkel woord gewag gemaakt worden van de andere kegel-
sneden , om naar aanleiding van eene bijzondere eigen-
schap , die zich bij den cirkel voordoet, een onderzoek
in te stellen in hoe verre dit bijzonder geval ook .
bekende krommen oplevert bij de andere kegelsneden.

Gaan we uit niet van de algemeene tweedemachts-
vergelijking maar van de algemeene top vergelijking:
y\'² = px\' qx^/2, in welke p de parameter en q eene
grootheid is, welke voor de ellips, hyperbool en de
parabool respectievelijk eene negatieve, positieve waarde
verkrijgt of o wordt.

Stellen wij y\' = y — t en x\' == x — u
dan zal de algemeene vergelijking voor de drie kegel-
sneden voor rechthoekige coördinaatassen zijn

ys — 2yt -f- t² — px pu — qx³ 2qxu — qir = o
in welke vergelijking — u en — t de coördinaten zijn
van den nieuwen oorsprong en ook van het punt
waaruit de snijlijnen getrokken worden ten opzichte
van het coördinatensysteem ,bij de oorspronkelijke top-
vergelijking.

Substitueerende y r: mx in de laatste vergelijking,
zoo vinden wij:

x² (m² — q) — x (2mt -j- p — 2qn) qu² — pu — t-
voor de twee waarden van x uit deze vindt men:

____ 2mt p — 2qu

¹2 (m² — qj
l { p² 4mpt— 8mtqu 4m² qu² — 4m²pu 4qt²}
2 (m² —■ q)
__ 2mt -f- p — 2qu
2 (m² — q)

^ , S p² 4mpt— 8mtqu -j- 4 m² qu² — 4m² pu -f- 4qt² j

_____

stellende de grootheid onder het wortelteeken rr f,
zoo is de abscis van elk punt der verlangde kromme

x\' = x₂ k(_Xl - x₂) = 2mt p-2qu (2k-l)_l/f

2(m² — q)

y ~ mx\' zijnde, zoo moet wederom de waarde van
m uit de laatste vergelijking opgespoord worden.

Wederom stuiten we op eene hoogeremachtsver-
gelijking, terwijl bij den cirkel gebleken is dat ook
zonder deze op te lossen, wij tot het resultaat kwa-
men dat eene willekeurige waarde van k tot krom-
men voerden, welker vergelijkingen tot hoogere machten
opklommen. Door k — % te nemen, verkrijgen we
daar een\' nieuwen cirkel. Het is mijn voornemen om
na te gaan in hoeverre deze bijzondere waarde van
k aanleiding geeft tot het verkrijgen van bekende
krommen bij de andere kegelsneden.
Yoor k % wordt

2mt -f- p — 2qu
2(m² — q)

Deze vergelijking ten opzichte van m oplossende,
zoo vindt men

__ t ± i/ (t^s -1- 2px — 4qux -h 4qx¹)

1  Ellips.

q is negatief
schrijvende (1) onder de gedaante :

— 2qx² 2y² — (p — 2qu)x — 2ty = o.
A = C² — AB = o 4q < o

r = _ D(BD — CE) — E(AE — CD) — F(C² — AB) =

- AD² — AE² — — 2 ^PjzJVj 2qt² < o

de vergelijking (1) is dus bijaldien q negatief is, die
van eene nieuwe ellips.

de vergelijking (1) is dus voor eene positieve waarde
van q die eener nieuwe hyperbool.

Om de coördinaten der toppen dezer nieuw verkre-
gene kegelsneden te bepalen en tevens om de ligging
der assen aan te geven substitueeren wij in:
2qxi² — 2yi² (p — 2qu)x¹ 4- 2ty* = o
de waarde x\' = a -f- x cos « — y sin «
y\' = b x sin « y cos «
waarin a en b de coördinaten van een\' nieuwen oor-
sprong ten opzichte van het punt, waaruit de snijlijnen
getrokken worden, en « de hoek beteekent, welke de
nieuwe onderling rechthoekige assen moeten doorloo-
pen om de oude assen te bedekken, indien zij om de
snijpunten met deze in den positieven zin draaien.

De substitutie geeft:
2q(a² 2ax cos « -f-x³cos²«—-2aysin«—- 2xy sin « cos«
-I- y² sin² a) — 2(b² 2bx sin « x^! sin² « 4- 2by cos <*
4- 2xy sin « cos « y² cos² «) (p — 2qu) (a 4- x cos «
— y sin «) 2t(b x sin « 4- y cos «) — o.

Zal deze vergelijking de top vergelijking der nieuwe
kegelsnede zijn, dan moet ze in vorm overeenkomen
met de algemeene top vergelijking
y³ ~ px qx².

De som der coëfficiënten y en ook de som der termen,
waarin noch x noch y voorkomen moeten o zijn, even
als de som der coefficienten van het product xy of
—4aq sin « — 4b cos « — p sin « -j- 2qu sin « 4- 2t cos « = o
2a²q — 2b² 4- ap —- 2aqu 4- 2bt = o
— 4q sin « cos « — 4 sin « cos « = o.

Uit deze drie vergelijkingen moeten de waarden van
a, b en « bepaald worden.

Deze vergelijkingen oplossende zoo zal men vinden:
a ~ o, b == % t

_a — P \'2qu j/ p² — 4pqu 4- 4q²u² — 4qir

4q

dit dubbel teeken voor a beeft betrekking op de twee
toppen bij de ellips en de hyperbool, terwijl bij de
parabool, q — o zijnde, gevonden wordt

p 4- 2qu ± P __ 2qu ^ — 2p 4- 2qu_u ^

oo.

4q 4q 4q 2

welke laatste waarde met eene bekende eigenschap dei-
parabool overeenstemt. Uit « — o zien wij dat de
assen der nieuwe kegelsneden evenwijdig zijn met die
der oorspronkelijken. De dubbele waarde van a geeft
tevens het middel aan de hand om de lengte der
eerste as te bepalen. Deze zal gelijk zijn aan
V {p² — 4pqu 4- 4q²u² — 4qt²}
2q

zijnde voor de parabool = oo.

Yoor de ellips en hyperbool kunnen we deze lengte

aangeven in functie van de assen der oorspronkelijke

kromme. Noemende deze assen 2m en 2n, zoo is

2n² n²

bij de ellips p ~ _ en q —----, bij de hyper-

m m²

, , 2n² n²

bool p =---en q=--

m m²

Voor de eerste as der ellips vinden wij na substi-
tutie

-Ij/ (mV 4- 2mn²u 4- 11V 4- m²t²).
n ^v

- Voor de eerste as der hyperbool vindt men op de-
zelfde wijze

m

2qx² — 2y- 4- (p — 2qu) x -f 2ty = o en

y^s — 2yt -f-1² — px 4- pu — qx² -j- 2qxn — qu² — o
op ten opzichte van y of x, clan zal men door sub-
stitutie de coördinaten der snijpunten kunnen vinden.
Ik zal deze lange berekening achterwege laten, omdat
er een gemakkelijker middel bestaat om genoemde
punten te vinden. Tot toepassing van het gezegde
zal ik het eenvoudigste geval nemen en beantwoorden
de vraag op de aangewezen wijze voor het geval dat
de parabool de oorspronkelijke kromme is. De ver-
gelijkingen voor beide krommen zijn dan:
— 2y² px T 2ty o
y² — 2yt t² — px -f. pu =r: o
Men vindt dan y\' = V (t² 4- pu) en

X\' = 91 1 ^ (f I-PU)
p

Zoo als te voorzien was snijden de krommen elk-
ander in twee punten, welke aan weerszijde liggen
van de uit O met de as evenwijdig getrokkene rechte,
en wel op gelijken afstand van deze gelegen. Is t o,
zoo wordt x\' rzz: 2u; eene waarde welke overeenkomt
met de bekende waarde der subtangers op de as der
parabool, enz.

Even als bij den cirkel geschied is kunnen we nu
de punten der nieuw verkregene kromme als uit-
gangspunten beschouwen om van daar op de snijlijnen
stukken aftepassen welke een evenmatig deel zullen
uitmaken van de koorden der krommen waarop de
punten liggen. Wij zullen er uit kunnen zien dat geen
andere waarde voor k als ¹/₂ vergelijkingen van den
tweeden graad zullen opleveren.

Het onderzoek in dit academisch proefschrift inge-
steld, kan nit den aard der zaak zeer uitgebreid wor-
den, indien behalve de hier besprokene gevallen nog
andere combinaties genomen worden van rechten met
krommen of van deze laatsten onderling. Ëene ont-
zettende uitbreiding kan het onderzoek verkrijgen in-
dien men andere krommen dan die welker vergelijkingen
tot den tweeden graad opklimmen in aanmerking neemt.
De graad waartoe de eindvergelijking opklimt afhan-
gende van dien waartoe de vergelijkingen opklimmen
welke behooren tot de oorspronkelijken, zoo zullen
we steeds hoogere machtsvergelijkingen verkrijgen. Om
tot deze te geraken zal het raadzaam zijn uittegaan
van de poolvergelijkingen en deze te herlei en tot
vergelijkingen welke betrekking hebben ep twee recht-
hoekige coördinaatassen, zoo als onder anderen bij den
cirkel geschied is. De op deze wijze gevondene pool-
vergelijking biedt daarenboven het voordeel aan om
onmiddelijk de al of niet bestaanbare punten aan te
geven, of liever, geeft aan op welke snijlijnen welke uit
O getrokken worden, punten der kromme kunnen
liggen. In de poolvergelijking ligt dus de uiterste grens
opgesloten der kromme voor zoo verre deze geconsti-
tueerd moet worden.

Het valt ligt intezien dat het onderzoek dat in dit
geschrift is ingesteld omtrent het geheel van punten
dat op de genoemde wijze ontstaat ook kan ingesteld

worden ingeval de oorspronkelijke krommen overgaan
in rechte of gebogene oppervlakken. Daar waar in de
besprokene gevallen rechten ontstaan zijn, zullen dan
rechte vlakken te voorschijn treden, cirkels veranderen
in bollen. Was hier de hyperbool de ontstane kromme,
we zullen deze zien overgaan in hyperboloïde, enz.

THESES.

i.

Mij houdende aan de gewone opvatting van het
woord, beweer ik dat op zuiver mathematisch gebied
geen thesis te stellen is.

II.

Bij het onderwijs in de wiskunde moet aan de
analytische methode de voorkeur gegeven worden boven
de synthetische.

m.

Zonder met Lamarle intestemmen als hij zegt dat
de aard eener kromme niet bekend is, als men haar
ontstaan niet heeft nagegaan, zoo beweer ik evenwel
dat de essentieele bepaling eener kromme niet vol-
doende is.

IV.

De pogingen welke in de mathematische werken
aangewend zijn tot het geven van een begrip van
oneindig groote en oneindig kleine grootheden zijn
vruchteloos geweest.

V.

De ervaring is geen grondslag van de wiskunde.

VI.

De leer der evenredigheden moet niet uit de lagere
wiskunde verbannen worden.

VIL

Het. verschijnsel van toenadering en verwijdering
van drijvende lichamen, ingeval zij in elkanders na-
bijheid gebracht zijn , is in het leerboek der mechanica
van Ch. Delaunay slecht verklaard.

Het is wenschelijk aan datgene wat in de mecha-
nica »arbeid" genoemd wordt eenen anderen naam
te geven,

IX.

Indien de hoogtewaarnemingen zouden berusten op
directe meting der zwaartekracht in plaats van op
luchtdruk, zoo heeft men geen recht om te beweren
dat de uitkomsten nauwkeuriger zullen zijn dan in
het laatste geval.

X.

De afplatting der aarde bewijst niet dat ze vroeger
gloeiend vloeibaar moet geweest zijn.

*r

XI.

De theorie van Prof. Philipp Spiller, ontwikkeld in
»die Weltschöpfung vom Standpuncte der neuen Wis-
senschaft," is ter verklaring van het planetenstelsel de
meest aanneembare.

XII.

De amphioxus moet niet onder de visschen gerang-
schikt worden.

XIII.

De geur der bloemen is bevorderlijk aan, soms
wellicht noodig voor de voortteling der plant.

XIV.

Bij de phanerogamen behoort de zelf bevruchting tot
de zeldzaamheden.