KENMERKENDE GETALLEN

VOOR EEN VIERVOUDIG ONEINDIG LINEAIR STELSEL
VAN ALOEBRAÏSCHE VLAKKE KROMMEN.

KENMERKENDE GETALLEN

VOOR EEN VIERVOUDIG ONEINDIG LINEAIR STELSEL
VAN ALGEBRAÏSCHE VLAKKE KROMMEN.

PROEFSCHRIFT

ter verkrijging van den graad van

Doctor in. de Wis- en Natuurkunde

aan de Rijks-Universiteit te Utrecht

OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS

Dr. G. W. KERNKAMP,

Hooglbekaar in db Faculteit der Lettbrbn bn Wijsbegeerte
volgens besluit van den senaat der universiteit

tegen dk bedenkingen van de

Faculteit der Wis- en Natuurkunde

TE VERDEDIGEN

op Maandag 5 Mei 1919, des namiddags te 4 uur,

dook

AAN MIJNE OUDERS.

Gaarne maak ik van deze gelegenheid gebruik om U,
Hoogleeraren en Oud-Hoogleeraren der Wis- en Natuur-
kundige Faculteit mijn welgemeenden dank te betuigen
voor het onderwijs, dat ik van U mocht ontvangen.

De tijd, Hooggeleerde Julius, dien ik als assistent in
het Physisch Laboratorium heb doorgebracht, zal mij
steeds in aangename herinnering blijven.

Niet minder gevoel ik mij aan U verplicht, Hoog-
geleerde De Vhies. Hooggeachte Promotor. Uw duidelijke
en boeiende colleges zal ik als docent voortdurend blijven
beschouwen als een practisch ideaal. Uw voorlichting
en belangstelling bij het vervaardigen van dit proefschrift
ondervonden, zullen mij steeds met warme dankbaarheid
vervullen.

INHOUD.

Blz.

Inleiding . ...................1

Geschiedenis..............2

Litteratuur-Overzicht...........5

Overzicht van de werkwijze ter bepaling van ken-
merkende getallen voor een k-voudig oneindig
lineair stelsel van vlakke algebraïsche krommen. 7

Overzicht van kenmerkende getallen voor Bundels,
Netten en Complexen..........12

HOOFDSTUK I.

Afleiding van de aantallen krommen c", voorkomende
in een stelsel Sj$, die in het bezit zijn van een
bizondere \'raaklijn, waarvan een der raakpunten
in B is gelegen............17

HOOFDSTUK II.

Afleiding van de aantallen van bizondere raaklijnen,
die uit een willekeurig punt P aan krommen van
een algemeen stelsel S⁴ kunnen worden getrokken. 31

HOOFDSTUK III.

Afleiding van de aantallen van bizondere raaklijnen,
die in een S^ uit het basispunt B kunnen worden

getrokken..............41

HOOFDSTUK IV.

Afleiding van de aantallen van krommen, die een
bizondere raaklijn bezitten........52

Overzicht van kenmerkende getallen voor een \'vier-
voudig oneindig lineair stelsel van algebraïsche
vlakke krommen...........77

Stellingen. ..............81

INLEIDING.

Onder een k-voiidig oneindig lineair stelsel van vlakke
algebraïsche krommen van den «^den graad verstaat men
een verzameling van oc^k vlakke algebraïsche krommen
van den «^den graad, die de eigenschap heeft, dat er door
k willekeurig gekozen punten slechts één kromme gaat.

Indien men\'als grondexemplaren de {k -f- 1) krommen
neemt, die tot symbolische vergelijkingen hebben
f, = 0, f₂ = 0 .... f_k i = 0
(deze vergelijkingen moeten onafhankelijk zijn), dan is
de vergelijking van het meest algemeene stelsel S^k

Ai fi A₂ f₂.... Ak 1 fk 1 = 0,
waarin Ai, A₂.... Ak 1 veranderlijke parameters voor-
stellen.

Voor k — 0 heeft men een enkele vlakke algebraïsche
kromme van den «^den graad, c"; waar in het volgende
over „een kromme" zonder meer wordt gesproken, wordt
steeds een cⁿ bedoeld.

Voor k = 1 heeft men een bundel van cⁿ, symbolisch
door (cⁿ) voorgesteld; voor k — 2 een net van c", [c"j,
voor k — 3 een complex van c", |c"|.

Een viervoudig oneindig lineair stelsel van c" (S¹) zullen
wij door || cⁿ |[ voorstellen.

Met uitzondering van een bundel zijn er in een lineair
stelsel in \'t algemeen geen punten (basispunten), welker
coördinaten aan de vergelijkingen van alle grondexem-
plaren van het beschouwde stelsel voldoen.

Een lineair stelsel, dat een basispunt bezit, moet als
bizonder stelsel worden aangemerkt.

Een p-voudig punt van alle grondexemplaren van S^k
noemt men een p-voudig punt van S^k.

Alle krommen van het stelsel S^k, die door eenzelfde
punt P gaan, vormen een stelsel S^k ~~¹ met P als
basispunt.

Geschiedenis.

Tot het midden der 19^de eeuw zijn geen kenmerkende
getallen voor lineaire stelsels bepaald.

Het oudste kenmerkend getal komt voor in een ver-
handeling van Steiner, getiteld „Allgemeine Eigen-
schaften der algebraischen Curven" (Journal für Math.,
47, 1854, p. 1).

Zonder bewijs vindt men daar vermeld het aantal
krommen met een dubbelpunt (nodale krommen) in een
algemeenen bundel van cⁿ, n. I. 3(n— Ij².

Het bewijs dezer stelling treft men voor het eerst aan
bij Cremona, die, onder verschillende bizondere gevallen,
ook den invloed van een p-voudig basispunt onderzoekt.
(Ann. di Mat. (1), 6, 18G4, p. 153; zie ook Cremona—
Curtze, Einleitung in eine geometrische Theorie der ebenen
Curven 18G5, p. 122 en 261).

Verder is door Steiner de kromme van den graad (2 n — 1)
onderzocht, die de meetkundige plaats is van de aan-
rakingspunten der uit een willekeurig punt P aan de
krommen van een bundel getrokken raaklijnen („äussere
Panpolare"; Journal für Math., 47, 1854). Zij wordt door
Prof. Jan de Vries poolkromme van den bundel genoemd.

(Archives Teyler, sér. II, 11, p. 99).

Door Weyr (Sitzungsberichte der Akademie in Wien, Gl,
1870, p. 82) is zij toegepast bij het afleiden van de klasse
der kromme, welke door de buigraaklijnen wordt omhuld.

Prof. Jan de Vries (Versl. K. A. v. Wetensch. 13,
1905, p. 749) bepaalde ook den .graad der kromme
(satellietkrommé), die de meetkundige plaats .is der
punten, welke elke uit een punt P getrokken raaklijn
nog met haar cⁿ gemeen heeft, en leidde vervolgens het
aantal dubbelraaklijnen af, die uit P kunnen worden ge-

getrokken. Een systematisch onderzoek der poolkromme
treft men aan bij Guccia (Rend. di Palermo, 7, 1893 en
9, 1895), die haar o.a. toepaste bij de constructie en het
onderzoek van de kromme van Jacobi, die de meet-
kundige plaats is van de dubbelpunten en van debuig-
punten der krommen van een net.

De poolkrommen van alle punten in het vlak t.o.v. ¹
de exemplaren van een bundel vormen een net.

Guccia onderzocht ook de kromme van Jacobi van dit
net, die zoowel de meetkundige plaats is der aanrakings-
punten van de uit de punten van het vlak naar de
overeenkomstfge poolkrommen getrokken raaklijnen, als
de meetkundige plaats der buigpunten der krommen van
den bundel. Deze kromme is van den graad 6 (n — 1)
(Rend. di Palermo, 9, 1895, p. 30). Haar klasse is be-
paald door Bobek (Gasopis, 11, 1882, p. 283.)

Prof. Jan de Vries bepaalde (Versl. K. A. v. Wetensch.,
14, 190G, p. 844) met behulp van den graad der kromme
van Jacobi het aantal vierpuntige raaklijnen (ti) en met
behulp van den graad der bitangentiaalkromme (P. H.
Schoute, Wiskundige opgaven, 2, 188G, p. 307) de aan-
tallen raaklijnen t₃,2 en 12,2,2.

Een bundel met een veelvoudig basispunt wordt be-
schouwd door Ghizzoni.

In een net komen voor
3

-g- (n — 1) (n — 2) (3 n² — 3 n — 11) krommen, die

in het bezit zijn van twee dubbelpunten (binodale krommen)
en 12 (n — 1) (n — 2) krommen met een keerpunt.

(cnspidale krommen).

Steiner (Journal für Matli., 47, 1854, p. 4) gaf deze
getallen reeds voor het bizonder net, dat gevormd wordt
door de eerste poolkrommen van alle punten van een
plat vlak t.o.v. een aangenomen kromme cⁿ.

De Jonquières (Math. Ann., 1, 1869, p. 424) en Jan
de Vries (Versl. K. A. v. Wetensch., 13, 1905, p. 708)

leidden deze aantallen af voor een algemeen net.

De kromme van Jacobi, als meetkundige plaats der
buigpunten van netkrommen, is van den graad 3 (n — 1)
(Guccia, Rend. di Palermo, 9, 1895, p. 21). Zij is ook
de meetkundige plaats der punten, waarvan de pool-
rechten met betrekking tot de netkrommen elkaar in
eenzelfde punt S snijden (Steiner).

De meetkundige plaats van S is de kromme van
Steiner; haar graad is 3 (n — l)². Tusschen de punten J
der kromme van Jacobi en de punten S der kromme
van Steiner bestaat een overeenkomst één aan één. De
rechte, die twee overeenkomstige punten J en S verbindt,
raakt in de punten J aan alle er doorheengaande net-
krommen. De omhulde dezer rechten is de kromme van
Cayley; zij is van de klasse 3 n (n — 1).

De kromme van Jacobi, als meetkundige plaats van
liet punt,\' waarin twee en daarmee oneindig vele krommen
van het net elkaar aanraken, is behandeld door Kotter
(Math. Ann., 34, 1888, p. 123).

Andere kenmerkende getallen vindt men in een ver-
handeling van Prof. Jan de Vries getiteld „Kenmerkende
getallen van netten van vlakke algebraïsche krommen"
(Versl. K. A. v. Wetensch., 23, 1914, p. 862).

Een onderzoek naar de kenmerkende getallen van een
complex van c" is verricht door den Italiaansclien mathe-
maticus Caporali (Collectanea Math. in mem. D. Chelini,
Mediol. 1879) en door Prof. Jan de Vries (Versl. K. A.
v. Wetensch., 23, 1914, p. 907).

Voor zoover mij bekend is, werd het viervoudig on-
eindig lineaire stelsel S⁴ van cⁿ tot dus verre niet aan
een onderzoek onderworpen.

Algemeene eigenschappen van een /r-voudig oneindig
lineair stelsel van c", waarbij tevens de invloed van

een meervoudig basispunt wordt nagegaan, treft men
aan bij Guccia en Doehlemann.

Tenslotte vermelden wij hier, dat lineaire systemen
optreden bij onderzoekingen over puntengroepen, die een
rationaal-invariant karakter dragen, d.w.z. bij rationale
transformatie onveranderd blijven.

In het bijzonder hebben Italiaansche mathematici
(Castelnuovo) zich in deze richting met lineaire systemen
van krommen beziggehouden.

Litteratuur-Overzicht.

J. Steiner:

L. Cremona:

F. de Jonquiéres:
E. CAroRAu:

E. Weyr:

K. Bobek:
F. Chizzoni:

P. II. Sciioute:
E. Kotter:

Allgemeine Eigenschaften der alge-
braischen Curven (Journal für Math.,
47, 1854).

Gesammelte Werke, herausgeg. von
K. Weierstrass, Berlin, 1882, 2.
Questioni nella teoria d. curve piane
(Ann. di. inat. (1), G, 18G4).
Einleitung in eine geometrische The-
orie der ebenen Curven. Übers v.
M. Curtze, Greifswald, 1865.
Sur les réseaux de courbes. (Math.
Ann., 1, 18G9).

Sopra i sistemi lineari triplamente
infiniti di curve algebriche piane.
(Collectanea math.in mem. U. Ciielini,
Medio1. 1879).

Ueber Curvenbüschel. (Sitzungsbe-
richte der Akademie in Wien, Gl,
1870).

(Casopis, Prag, 11, 1882).
Sopra le involuzioni nel piano.
(Mem. Acc. dei Lincei (3), 19, 1883).
Wisk. opgaven, 2, 188G.
Die Ilesse\'schc Curve in rein geo-

metrischer Behandlung. (Math. Ann.,
34, 1888).

Ueber lineare Systeme in der Ebene
und über deren Jacobi\'sche Curve.
(Math. Ann., 41, 1892).
Ricerche generali sopra sistemi line-
ari di curve piane. (Mem. d. R. A.
di Torino (2), 42, 1892).
Ricerche sui sistemi lineari di curve
algebriche piane, dotati di singo-
laritä ordinarie. (Rend. d. Circolo
matematico di Palermo, 7, 1893 en
9, 1895).

Una definizione sintetica delle curve
polari. (Rend. di Palermo, 7, 1893).

Charlotte A. Scott: Note on linear systems of curves.

(Nieuw Archief voor Wiskunde (2),
3, 1898).

W. Bouwman: Ueber den Ort der Berührungspunkte

von Strahlenbüscheln und Curven-
büscheln. (Nieuw Archief voor Wis-
kunde (2), 4, 1900).

Jan de Vries: Faisceaux de courbes planes. (Ar-

chives Teyler, sér. III, 11).

_- _: Over netten van algebraïsche vlakke

krommen. (Versl. K. A. v. Wetensch.,
13, bl. 708).

_: Kenmerkende getallen voor netten

van algebraïsche vlakke krommen.
(Versl. K. A. v. Wetensch., 23,
bi. 8G2).

__: Kenmerkende getallen voor een drie-
voudig oneindig stelsel van alge-
braïsche vlakke krommen. (Versl.
K. A. v. Wetensch., 23, bl. 907).

OVERZICHT VAN DE WERKWIJZE TER BEPALING

VAN KENMERKENDE GETALLEN VOOR EEN

K-VOUDÏG ONEINDIG LINEAIR STELSEL VAN
VLAKKE ALGEBRAÏSCHE KROMMEN.

Snijdt men de krommen van een stelsel S^k met een
willekeurige rechte, dan verkrijgt men een involutie
van de n^de orde en den &^den rang.

Daar in het volgende van eenige algemeene formules
der involulies een veelvuldig gebruik zal worden gemaakt,
volge hier een overzicht dier formules:

Een involutie (d. i. een elementenstelsel op een
rechte of een rationalen drager, waarbij de elementen
in groepen van n gerangschikt zijn, terwijl van zulk een
groep k elementen, volkomen willekeurig gekozen, noodig
en voldoende zijn om de overige (n — k) elementen te
bepalen) bezit:¹)

a. (k 1) (n — k) groepen met een (k l)-voudig
element.

b. 2! ~ (ï\'i 1) (r₂ -f 1) groepen, die een

(n l)-voudig en een (r₂ l)-voudig element be-
vatten [ri ra = k].

c. ~ p! II (ri 1) groepen, die p veelvoudige

elementen bezitten, respectievelijk van de orde
n 1, r₂ 1,....»> L [2n = k].

Wij zullen thans een overzicht geven van de methode,
die door Prof. Dr. J. de Vries ²) is aangegeven en toe-
gepast bij het bepalen van kenmerkende getallen van
bundels, netten en complexen en die in dit proefschrift

\') Zie b.v. Fr. Deiiuyts. Mémoircsur la théorie do 1\'inrolution.
(Mém. soc. royale de Liège, 2« série 17 (1892), p. 58. 60, 03).
⁵) Zio litteratuur.

op het stelsel |j cⁿ j wordt toegepast. (Hoofdstukken I—IV).

Wij beschouwen een />>voudig oneindig lineair stelsel
van vlakke algebraïsche krommen van den ?i^den graad,
dat in \'t bezit is van een enkelvoudig basispunt B. Een
rechte, door B getrokken, zal door b worden aangeduid.

Elke rechte b is (k l)-puntige raaklijn tk i, waar-
van het raakpunt Rk i in B ligt voor één kromme
uit S*.

Verder is zij voor eindige aantallen van krommen een
der volgende veelvoudige raaklijnen:

tk,₂ (rkpt R_k = B)

tk-1,3; tk-1,2,2 (rkpt Rk-i=B)

tk — 2,4; tk — 2,3,2; tk — 2,2,2,2. (rkpt Rk-2 = B)

enz.

Wij kunnen de bovengenoemde raaklijnen algemeen

door t...... aanduiden, waarbij het raakpunt

R;, = B is. (A < k 2).

Daarbij moet men aan A, p, v, cc,.... de waarden geven,
die in onderstaand schema vermeld zijn:

A = k 1 [x = v = u----=0

A = k [j, = 2; de overige = 0

A = k — 1 (jl = 3; de overige = 0

óf[i = 2; y = 2; de overige = 0
A = k — 2 (jt = 4; de overige = 0

öf/ot = 3; y = 2; de overige = 0

öf^ = 2; y = 2; o = 2; de overige = 0

enz.

Elke raaklijn t;,^ _v.. snijdt de cⁿ, waartoe zij behoort
in [n — (A p v...)] punten V.

Voegt men nu aan iedere door B getrokken rechte b
de krommen toe, die haar tot raaklijn t^ _{/x> v} = B)

hebben, dan ontstaan twee stelsels van figuren | cⁿ | en

lU/w.. I. ^die °P ^{een rechte 1 een venv}antschap_ be-
palen tusschen de punten C en T van twee punten-
reeksen.

Zij Ic de index [index = het aantal figuren, door een

willekeurig punt P] van het stelsel | cⁿ |, Ib die van het
stelsel ! b |, dan komen met één punt C van l overeen
Ic punten T, met één punt T evenwel Ib. n punten C.

Dus zijn er (I_c Ib n) punten G = T.

De stelsels | c" | en [ lx,/x,v,... I brengen derhalve een
figuur voort van den graad (I_c Ib n).

Tot het voortbrengsel van de aan elkaar toegevoegde
stelsels |cⁿ| en 1^ „_{t f}. J behooren de krommen

(r/jb;, r_/jt, r,„ ..(r^b;, r^uj r,,..----

[die de meetkundige plaatsen zijn der op t^ _{fli v>m}., gelegen
raakpunten R^, R_v,...] respectievelijk /x, v,..maal.

Door dit in aanmerking te nemen, komt men gemak-
kelijk tot den graad, der kromme (V)b^, r_/x, r^, ..., die de
meetkundige plaats is der punten V, welke elke raaklijn
tx,n,_{v y} buiten de raakpunten R; = B, R^, R,„... nog
met haar cⁿ gemeen lieett.

Men kan verder verwantschappen in stralenbundels
beschouwen, die verkregen worcjen, door een willekeurig
punt M te verbinden met twee der raakpunten R_/x en
R,. (buiten B op eenzelfde cⁿ gelegen), of met een dezer
raakpunten en de punten V, die de beschouwde raak-
lijn tx_tfi_lV met haar c" gemeen heeft, of met de
punten V onderling.

Daarmee kan men dan de aantallen van krommen uil
Sy afleiden, die een raaklijn t^ ^ _{/i( v<}, _{§ t} bezitten, waarvan >
het raakpunt Ex \\ in D ligt.

(Hoofdstuk I).

Tot een afleiding van de aantallen van bizonderc raak-
lijnen t^ j _{V )} die uit een willekeurig punt P aan
krommen van een algemeen stelsel <S^k kunnen worden ge-
trokken, komt men door S^k te doorsnijden met een wille-
keurige rechte l. S^k bepaalt dan op l een involutie I^k,
die (zie blz. 7) in \'t bezit is van

(ⁿ7^k)\'^!IJ^{(n 1)}

groepen met p veelvoudige elementen respectievelijk van
de orde

ri .l, r, .l.....r, l [2 n = k]. .

Wij bepalen vooreerst de graden van de krommen, die
de meetkundige plaatsen zijn van ieder der raakpunten
der uit P aan krommen van S^k getrokken raaklijnen

v, fl.....•

Verder kan men den graad bepalen der kromme, die
de meetkundige plaats is der punten V, die iedere uit
P getrokken raaklijn t;._{t/l>1/) 1#} nog met haar cⁿ gemeen
heeft. Deze kromme is de kromme (Vr^ ^,,.....)_p

(satellietkromme).

Zijn eenmaal de graden dezer krommen bekend, dan
komt men door verwantschapsbeschouwingen in stralen-
bundels, verkregen door een willekeurig punt M te ver-
binden met twee der raakpunten R, of een raakpunt R
en een punt V, of twee punten V onmiddellijk tot de
lclasse der kromme door de raaklijnen tx \\_{tfli v(} omhuld.

(Floofdstuk II).

Als een S^k in \'t bezit is van een basispunt B, kan men
door B een rechte b trekken en gebruik maken van de
eigenschappen der involutie I^k__t, die buiten B op b
wordt bepaald.

\' Bepaalt men de graden der krommen, die de meet-
kundige plaatsen zijn van ieder der raakpunten der uit B
aan krommen van getrokken raaklijnen tx,M,v.....be-
nevens den graad der kromme, die de meetkundige plaats
is der punten V, die iedere uit B getrokken raaklijn
knog met haar cⁿ gemeen heeft, dan komt men
door \'verwantschapsbeschouwingen (als in \'t vorige hoofd-
stuk) gemakkelijk tot de aantallen van raaklijnen t_{x 1/i(}^
die door B aan krommen van Sfj kunnen worden getrokken.

(Hoofdstuk III).

Wij kunnen door tusschenkomst van een willekeurige
rechte a aan elkaar toevoegen de krommen cⁿ van S^k,
die het raakpunt Ra eener raaklijn ..... ₀p a

hebben eenerzijds en de beschouwde raaklijn t_/i_)/j[)i/)____

anderzijds. Nu brengen twee projectieve stelsels | c^r | en
| c⁹1 met indices jj en j een kromme voort van den
graad r <r p s (theorema van de Jonquières).

Neemt men in aanmerking, dat tot de door boven-
genoemde stelsels voortgebrachte figuur de rechte a
(een bepaald aantal keeren geteld) en de krommen, die
de meetkundige plaatsen zijn van de aan het op a ge-
legen raakpunt R^ toegevoegde raakpunten R_/j(, Rj,,...
(resp. (Ot-maal, v-maal,... geteld) behooren, dan vindt men
gemakkelijk den graad der meetkundige plaats van de
punten V, welke elke raaklijn t^n,_v,..,. nog met de over-
eenkomstige cⁿ gemeen heeft [de kromme (VR^_|/ti„.....),].

Uit verwantschapsbeschouwingen in stralenbundels,
die verkregen worden door een willekeurig punt M te
verbinden met twee der raakpunten op een veelvoudigeraak-
lijn, of met een der raakpunten en de snijpunten V, of met
de punten V onderling, wordt nu afgeleid het aantal raak-
lijnen tx 1 n, v,____i die het raakpunt R;. i op a hebben,

dus tevens de graad der kromme (R,i i)U \\_)fltV.....,

die de meetkundige plaats is van het raakpunt R,i i
van de raaklijn U i_lAt|die in het lineaire stelsel
S^k voorkomt.

Wij voegen nu aan elke kromme, die een raaklijn

U ____bezit, die raaklijn toe; zij heeft met haar

kromme buiten de raakpunten R/*, R_y,... nog
een aantal punten V gemeen.

Wij bepalen den graad der kromme, die het voortbrengsel
is van de projectieve stelsels | cⁿ | en |U i_{|/[t Vf}____|.

Wordt deze graad verminderd met de graden der
krommen, die de meetkundige plaatsen zijn der raak-
punten R^ _h R_/1I ... (resp. (A l)-maal, /x-maal,
v-maal,... geteld), dan verkrijgt men den graad der
kromme (Vra _Wf/. J.

Ten slotte worden de stralen-verwantschappen be-
schouwd, die verkregen worden door een willekeurig
punt M te verbinden met twee der op eenzelfde

U i, _{/Jt) v>}____gelegen raakpunten R, of met een der

raakpunten R en de punten V, of met de punten V
onderling.

Daaruit worden de aantallen van bizondere raaklijnen
h 2,n,v..... afgeleid, of, wat hetzelfde is, de aan-
tallen van krommen uit S^k, die een bizondere raaklijn

h 2, ii, v..... bezitten.

(Hoofdstuk IV).

OVERZICHT VAN KENMERKENDE GETALLEN VOOR
BUNDELS, NETTEN EN COMPLEXEN. »)

Kenmerkende getallen voor bundels.
Tabel I.

Een enkelvoudig basispunt B is:
Raakpunt R₃ van 3 raaklijnen t₃

R₂ „ (n-3)(n 4) „ t₂,₂

Tabel II.
Graad van (R₂)p 2 n — 1

Tabel III.

Aantal t₃ door P 3 n (n — 2)

„ t_{2)2 B} j, 2 n (n 2) (n — 3)

Tabel IV.
Graad van (R₂)b 2 n — 1

Tabel V.

Aantal t₃ door B 3 (n 1) (n — 3)

„ t₂,₂ » , 2 (n 1) (n — 3) (n — 4;

\') Voor de afleiding verwijzen we naar de geschriften van Prof.
Dr. J. de Vries. (Zie blz. 6).

Graad (R₃)t₃ 6 (n — 1)

„ (r₂)«2,2 (n — 3) (2 n² 5 n — 6)

Ta^el VII.

Aantal t₄ G (n — 3) (3 n — 2)

„ t₃₎₂ 3 (n — 3) (n - 4) (n² 6 n - 4)
, t₂,2,2 (n - 3) (n - 4)-(n — 5) (n² -f 3 n - 2)

Kenmerkende getallen voor netten.
Tabel I.

Een enkelvoudig basispunt B is:
Raakpunt R₄ van G • raaklijnen t₄

R₃ , (n-4)(n 9) „\' t₈₎₂

R₂ „ 3 (n — 4) (n 3) „ t₃,₂

R₂ „ 2 (n — 4) (n — 5) (n -f- 3) _n t₂₎₂,₂

Tabel II.

Graad van (R₃)p 3 (n — 1)

, (R₂/₂,₂)p (n — 3) (5 n — 4)

Tabel III.

Aantal t₄ door P G n (n — 3)

t₃₎₂ jj „ 9 n (n — 3) (n— 4)
„ t₂₎2,2 „ , 2 n (n — 3) (n — 4) (n — 5)

Tabel IV ^l).
Graad van (R₃)_B 3 (n — 1)

, (R₂/2,₂)u (n — 4) (5 n — 3)

Tabel V¹).
Aantal U door B G (n -f 1) (n — 4)

- t₃₎₂ „ , 9(n l)(n--4)(n-5)
» t₂,₂,2 _B 2 (n 1) (n — 4) (n — 5) (n — G)

\') Deze getallen komen niet in de verhandeling van Prof. de
Vkies voor.

Tabel VI.

Graad van (R₄)t₄ 3 (6 n — 11)

jj (R₈)t8,_a 3 (n — 4) (n² 6 n — 13)
„ (R₂)«3,2 3 (n — 4) (n 4 4) (2 n — 3)

» (R₂)«2,2,2 |(n-4)(n-5)(3n² 5n-14)

Tabel VII.

Aantal t_ö 15 (n — 4) (4 n — 5)

n té,₂ 6 (n - 4) (n - 5) (n² 4 11 n - 14)

ji t₃,3 |(n-4)(n-5)(n²4l7n-9)

„ t_3l2,2 | (n - 4) (n — 5) (n - 6) (5 n² 4 23 n - 30)
„ t₂,2,2,₂ (n - 4) (n - 5) (n - 6) (n - 7) (n² 4 3 n - 4)

Kenmerkende getallen voor complexen.
Tabel I.

Een enkelvoudig basispunt B is:
Raakpunt Rs van 10 raaklijnen tö

R₄ „ (n - 5) (n 4 10) „ t₄₎₂

Ra „ 3 (n — 5) (n 4 6) „ t₃,3

Rs „ 2(n — 5)(n-6)(n4ü) „ t₃,₂,₂

R₂ „ 2 (n — 5) (3 n 4 8) . t₂,₄

R₂ „ 3(n-5)(n-G)(3n 8) „ t₂,₃,_s

R₂ „ |(n-5)(n-G)(n-7)

(3 n 4 8) „ t₂,2,₂,2

Tabel II.

Graad van (R₄)p 2 (2 n - 3)

„ (R₃/s,2)p (n — 4) (7. n — 9)
, (R₂/₃,2)p 9 (n — 4) (n — 1)
„ (R₂/₂,2,₂)p 6 (n — 4) (n — 5) (n — 1)

Aantal t₅ door P 10 n (n — 4)

t₄,₂ , „ 16 n (n — 4) (n — 5)
• tg,3 jf „ 9 n (n — 4) (n - 5)
„ t₃,₂,2 jj » 12 n (n — 4) (n — 5) (n — 6)
4

f2,2,2,2 „ „ ^ n (n — 4) (n — 5) (n — 6) (n -- 7)

Tabel IV. ^l)

Graad van (R₄)b 2 (2 n — 3)

„ (R.s/s,2)b (n — 5) (7 n — 8)

, (R«/s,«)b . 3 (n — 5) (3 n — 2)

» (R2/₂,2,2)b 2 (n — 5) (n — 6) (3 n — 2)

Tabel V. \')

Aantal t₅ door B 10 (n 1) (n — 5)

, t₄,2 „ „ 16 (n 1) (_n — 5) (n — 6)
„ t_M „ „ 9 (n 1) (n — 5) (n — 6)
„ tg,2,2 jj „ 12(n l)ln-~5)(n-6)(n-7)

. t₂,2,2,2 „ n |(n l)(n—5)(n-6)(n-7)(n-8)
Tabel VI.

Graad (R₅)t₅ 5(8n-21)

■ (R₄)«4,8 2 (n — 5) (2 n² 23 n — 69)
* (Rato,₈ 3 (n — 5) (3 n² 13 n — 45)

» (R«)»s,2,2 - (n — 5) (n — 6) (13 n² 4-5 n — 168)

» (Rï)i»h 4 (n — 5) (3 n² 10 n — 33)

■ (Rï)«2,8,2 3 (n - 5) (n — 6) (7 n² 4- 13 n — 54)

» (Rs)i2,2,2,s |(_n —5)(n-6)(n — 7)(15n² 19n-96)

\') Dczo getallen komen niet in de verhandeling van Prof. de
Vries voor.

Aantal t₆ 30 (n — 5) (5 n — 9)

„ t_5j2 10 (n — 5) (n — 6) (n² 18 n - 33)
■ t₄,₃ 6 (n — 5) (n — 6) (3 n² 29 n — 54)
„ t₄,2,2 2 (n — 5) (n — 6) (n — 7)(7n² 51 n— 96)
„ t_3l3,2 9 (n — 5) (n — 6) (n — 7)(2n²-f-11 n — 21)
„ ts,2,2,2 (n — 5) (n — 6) (n — 7) (n — 8)

(9 n² 37 n — 72)

2

„ »2,2,2,2,2 g (n — 5) (n — 6) (n — 7) (n — 8) (n — 9)

(n² 3n —6)

- HOOFDSTUK I.

Afleiding van (le aantallen krommen cⁿ, voorkomende

in een stelsel Sb, die in liet bezit zijn van een
bizondere raaklijn, waarvan een der raak-
punten in B is gelegen.

§ 1. Elke. rechte b, die in een stelsel S^ door het
basispunt B kan worden getrokken, is vijfpuntige raak-
lijn t₅, waarvan het raakpunt B₅ in B is gelegen.

Voegt men nu aan iedere rechte b de kromme toe,
die haar tot raaklijn ts heeft, met \'t raakpunt R5 in B,
dan ontstaan twee stelsels | cⁿ | en | tr> (, die op een rechte
l een verwantschap vastleggen tusschen de punten G
en T van twee puntenreeksen. Als I_c en Ib de indices
der genoemde stelsels voorstellen, dan heeft de bedoelde
verwantschap (I_c Ib n) coïncidenties C = T.

De index van het stelsel | cⁿ | is gelijk aan het aantal
cⁿ door een willekeurig punt P, die B tot raakpunt B5
eener t₅ hebben.

Daar door P, als basispunt van een in Sj\\ begrepen
complex, 10 cⁿ gaan, die het raakpunt R_r> eener t_B in
B hebben (complexen Tabel I), is de index van | cⁿ |
gelijk aan 10.

Daar door P slechts één raaklijn t₅ kan worden ge-
trokken, die het raakpunt B_ö in B heeft, is de index
van het stelsel 11₅1 gelijk aan 1.

De stelsels | c" | en | tö | brengen dientengevolge een
meetkundige plaats (V)n₅ voort, die tot graad (n 10) heeft.

Elke rechte t₅ snijdt (V)bö, buiten B, in (n — 5) punten V.

De kromme (V)b₅ heeft derhalve B tot (n 10) —
(n — 5) of 15-voudig punt.

Er zijn dus in een Sjj 15 krommen, die het basispunt
B tot raakpunt H₆ eener t_G hebben.

§ 2. Wij beschouwen de symmetrische verwantschap
tusschen de stralen ® = MV en v\' = M V\', die twee tot
dezelfde cⁿ behoorende punten V en V\' met het punt
M verbinden.

Elke straal v bevat (n — 6) punten V, bepaalt dus
even zoo vele stralen v\'; evenzoo bepaalt elke straal
v\' (n — 6) stralen v.

Daar de kromme (V)bs tot graad (n -f 10) heeft, vindt
men voor het kenmerkend getal der verwantschap
(n 10) (n — 6).

De straal M B vervangt (n — 5) (n — 6) coïncidenties;
voor het aantal coïncidenties v = v\' vindt men:

(n - 6) [2 (n 10) - (n - 5)] = (n - G) (n 25).

Er zijn in een -Sjg (n — 6) (n 25) krommen, die een
raaklijn tw bezitten, waarvan het raakpunt in B is
gelegen.

§ 3. De krommen cⁿ uit Sjb, die met een door B
getrokken rechte b vier punten gemeen hebben, vormen
een bundel, bepalen dus op b een involutie In-4 van
de (n — 4)^de orde en den l^sten rang.

Daar deze 2 (n — 5) groepen met een tweevoudig
element bezit, zijn er 2 (n — 5) krommen cⁿ, die b tot
t₄,₂ hebben, waarvan B het raakpunt R₄ is.

Het raakpunt R₂ valt met B samen, als b zespuntige
raaklijn wordt.

Dit geschiedt 15 maal (§ 1).

Daaruit volgt, dat de meetkundige plaats (R₂)b₄, r₂ der
raakpunten Iiz, die niet in B liggen, een kromme van den
graad 2 (n — 5) 15 of {2 n 5) is. Zij heeft B tot
15-voudig punt.

§ 4. Als men aan elke rechte b door B de 2 (n — 5)
krommen toevoegt, die b tot t.i,₂ hebben met het raak-
punt R₄ in B, ontstaan twee stelsels | cⁿ | en 11₄,₂1.

In den complex, dien een punt P uit Sy afzondert,
komen (n — 5) (n 16) krommen voor, die het raak-

punt R₄ eener t4,2 in B hebben (complexen Tabel I)
Daaruit volgt, dat de index van het stelsel | cⁿ | gelijk
is aan (n — 5) (n 16).

De graad van de voortgebrachte figuur bedraagt nu
(n — 5) (n 16) 2 (n - 5) n of (n - 5) (3 n 16).

Hiertoe behoort de kromme (R₂)b₄,R2 tweemaal.

Voor den graad van (V)b₄,r₂ vindt men dus (n — 5)
(3 n 16) — 2 (2 n 5) of 3 (n 5) (n - 6).
. Daar elke rechte b 2 (n — 5) (n — 6) builen B gelegen
punten V bevat, zal (V)b₄,r₂ in B een veelvoudig punt
hebben van de.orde

(n - 6) [3 (n 5) — 2 (n - 5)] of (n - 6) (n 25).

Hiermee is teruggevonden het reeds in § 2 genoemde
feit, dat er in een Sr (n — 6) (n 25) krommen zijn,
die een tö,₂ bezitten, waarvan het raakpunt R₅ in B is
gelegen.

§ 5. Wij beschouwen de verwantschap (M R₂, M V),
die in een stralenbundel met top M wordt bepaald door
de aan elkaar toegevoegde punten R₂ en V.

Elke straal M R₂ bevat (n — 6) punten V, bepaalt dus
even zoo vele stralen M V; elke straal MV bevat 1 punt
R2, bepaalt dus 1 straal M Ra.

Daar de graden der krommen (R₂)b₄,r₂ en (V)b₄,r₂
zijn (2 n 5) en 3 (n 4- 5) (n — 6), heeft de verwant-
schap tot kenmerkende getallen (2 n -f 5) (n — 6) en

3 (n 5) (ti - 6).

De straal M B bevat 2 (n — 5) punten R₂, vertegen-
woordigt derhalve

2 (n — 5) (n — 6) coïncidenties.

De overige, ten getale van

(n — 6) [(2 _n 5) 3 (n 5)—2 (n -5)] of 3 (n-6)
(n 10) gaan door punten R₂ = V.

In een komen dus 3 (n — 5) (n 10) krommen voor,
die een t_i)S bezitten, waarvan het raakpunt 1\\\\ in B is
gelegen.

Verder beschouwen wij de symmetrische verwantschap

der stralen, welke twee tot dezelfde cⁿ behoorende
punten V met M verbinden.

Daar bij 1 punt V (n — 7) punten V\' behooren en
omgekeerd, heeft de verwantschap, mede in verband
met den graad der kromme (V)b₄,R2 tot kenmerkend
getal 3 (n 5) (n — 6) (n — 7).

De straal M B vervangt 2 (n — 5) (n — G) (n — 7) coïn-
cidenties.

De overige, ten getale van

(n - G) (n - 7) [6 (n 5) — 2 (n - 5)] of 4 (n - 6)
(n — 7) (n 10) liggen in paren op t₄,₂,2, die het raak-
punt R₄ in B hebben.

Hieruit volgt, dat er in een Sb 2 (n — 6) (« — 7) (n -f 10)
krommen zijn, die een f4,2,2 bezitten, ivaarvan het raak-
punt lïi in B is gelegen.

§ G. De krommen cⁿ uit Sb, die een door B getrokken
rechte b als buigraaklijn hebben, terwijl haar buigpunt
in B ligt, vormen een net, bepalen dus op b een invo-
lutie 11 _ ₃ van de (n — 3)^de orde en den 2^den rang.

Daar deze 3 (n — 5) groepen met een drievoudig ele-
ment bezit, zijn er evenveel krommen cⁿ, die b tot t₃,₃
hebben, waarvan B een der raakpunten Ra is.

Het tweede raakpunt R\'₃ valt met B samen, als b
een te is, waarvan het raakpunt R₆ in B ligt.

Nu zijn er 15 krommen, die het raakpunt Rc eener
t_c in B hebben (§ 1), bijgevolg is de kromme (R₃)b₃,r₃
van den graad 3 (n — 5) 15 of 3 n; zij heeft B tot
15-voudig punt.

§ 7. Elke rechte b snijdt de cⁿ, welke zij in B en in
een tweede punt R\'₃ osculeert nog in (n — G) punten V.

Om den graad der meetkundige plaats (V)b₃,r₃ dezer
punten V te bepalen, voegen wij eiken straal b toe aan de
3 (n — 5) krommen cⁿ, waarbij hij behoort en beschouwen
de figuur, die door de aldus bepaalde stelsels | cⁿ | en 11₃₎₃1
wordt voortgebracht.

In den complex, dien een punt P uit Sb afzondert,

komen 3 (n—5) (n G) krommen voor, die een der
raakpunten R₃ eener t₃,3 in B hebben.

(Complexen Tabel I).

Daaruit volgt, dat de index van het stelsel | cⁿ | gelijk
is aan 3 (n — 5) (n 6).

De figuur, die de stelsels | c" | en 11₃,₃1 voortbrengen,
heeft nu tot graad
3 (n — 5) (n 6) 3 (n - 5) n of 6 (n - 5) (n 3).

Hiertoe behoort de kromme (R₃)b₃,r₃ driemaal.

De graad van (V)b_s,r₃ is dus

6 (n - 5) (n 3) — 9 n of 3 (n — G) (2 n 5).

Elke lijn b snijdt deze meetkundige plaats in 3 (n — 5)
(n — G) buiten B gelegen punten V.

Zij heeft dus B tot veelvoudig punt van de orde
(n - G) [3 (2 n 5) - 3 (n - 5)] of 3 (n - G) (n 10).

Hiermee is teruggevonden hel in § 5 afgeleide aantal
krommen, die een t4,₃ bezitten, waarvan het raakpunt
R< in B ligt.

§ 8. Wij beschouwen de verwantschap (M B₃, M V)
als R₃ en V op denzelfden straal door B liggen.

Daar bij 1 punt R₃ behooren (n — G) punten V en
bij 1 punt V behoort 1 punt R₃, vindt men in verband
met de graden der krommen (R₃)b₃,h₃ en (V)b₃,r<₃ voor
haar kenmerkende getallen 3 n (n — G) en 3 (n — G)
(2 n 5).

De straal M B bevat 3 (n — 5) punten R₃, vertegen-
woordigt derhalve 3 (n — 5) (n — G) coïncidenties.

Dus vinden we voor het aantal coïncidenties
M R₃ == M V (_n - G) [3 n 3 (2 n 5) - 3 (n - 5)] =
G (n — G) (n 5).

Een Sb bezit dus 6 (n — 6) (n 5) krommen, die een
t_3yi hebben, waarvan het raakpunt Ii_a in B is gelegen.

Beschouwen wij nu de symmetrische verwantschap der
stralen, welke twee tot dezelfde c" behoorende punten
V met M verbinden.

Zij heeft tot kenmerkend getal

3 (n — 6) (2 n 5) (n — 7).
De straal M B vervangt

3 (n — 5) (n — 6) (n — 7) coïncidenties.
Dus wordt voor het aantal coïncidenties M V = M V\'
gevonden

(n - 6) (n - 7) [6 (2 n 5) - 3 (n - 5)] =
9 (n — 6) (n — 7) (n 5).
Er zijn dus in een Sg 9 (n — 6\') (n — 7) (n 5) krom-
men, die een ^3,3,2 bezitten, waarvan een der raakpunten
B₃ in B is gelegen.

• 2

§ 9. De involutie I_n — 3, die door de krommen cⁿ uit
Sb, welke B tot raakpunt R₃ eener t₃ {b) hebben, op b
wordt bepaald, bezit 2 (n — 5) (n — 6) groepen met twee
tweevoudige elementen.

Evenveel krommen cⁿ hebben b tot t₃,2,2, waarvan B
het raakpunt R₃ is.

Een der raakpunten R₂ valt met B samen als b een
t₅₎₂ is, waarvan het raakpunt r5 in B is gelegen.

Daar (n — 6) (n 25) krommen een t₅,2 bezitten, waar-
van het raakpunt R₅ in B ligt (§ 2), is de kromme
(R₂)b₃, 2 r₂ van den graad

•2 (n - 5) (n - 6) (n - 6) (n 25) of 5 (n - 0) (n 1).
Zij gaat met (n — 6) (n 25) takken door B.

§ 10. Als men aan elke rechte b door B de 2 (n — 5)
(n — 6) krommen toevoegt, die b tot t₃,₂,2 hebben, waarvan
het raakpunt R₃ in R is gelegen, ontstaan twee stelsels

1 cⁿ | en | f3,2,21.

De complex, dien een punt P uit Sb afzondert, bezit

2 (n — 5) (n — G) (n 6) krommen, die het raakpunt R₃
eener t₃,2,2 in B hebben.

(Complexen Tabel I).

Daaruit volgt, dat de index van liet stelsel | cⁿ |
2 (n - 5) (n — 6) (n 6) is.

De figuur, die door de stelsels | cⁿ | en 11₃,2,21 wordt
voortgebracht, heeft nu tot graad

2 (n — 5) (n — 6) (n -f 6) 2 (n — 5) (n - 6) n of
4 (n — 5) (n- 6) (n 3).

Hiertoe behoort de kromme (R2)b₃,2R₂ tweemaal.

De graad van (V)b₃,2R₂ is dus
4 (n — 5) (n — 6) (n 3) — 10 (n — G) (n -f 1) of
2 (n — 6) (n - 7) (2 n 5).

Elke rechte b snijdt deze kromme in 2 (n — 5) (n — G)
(n — 7) punten V, die buiten B liggen.

Zij heeft dus in B een veelvoudig punt van de orde
(n - 6) (n — 7) [2 (2 n 5) - 2 (n - 5)] of
2 (n — G) (n — 7) (n 10).

Hiermee is teruggevonden het in § 5 afgeleide aantal
krommen uit een Sg, die een t₄,₂,₂ bezitten, waarvan
het raakpunt R* in B is gelegen.

§ 11. De beschouwing van de symmetrische verwant-
schap (M R₂, M R2\') tusschen de stralen van een stralen-
bundel, die verkregen wordt, door een willekeurig punt
M met de punten R₂ en R₂\' te verbinden, levert opnieuw
het aantal krommen, die een t₃,4 bezitten, waarvan
R₃ = B is. (§ 8).

Uit de verwantschap (M R₂, M V) kan men opnieuw
afleiden het aantal exemplaren, die een t₃,₃,₂ bezitten,
waarvan een der raakpunten R₃ = B is. (§ 8).

Een nieuw resultaat levert do beschouwing van de
symmetrische verwantschap der stralen, welke twee tot
dezelfde cⁿ behoorende punten V met M verbinden.

Bij 1 punt V behooren (n — 8) punten V\' en om-
gekeerd.

In verband met den graad der kromme (V)b_;,2R₂
heeft de verwantschap tot kenmerkend getal
2 (n - G) (n - 7) (2 n 5) (n - 8).

De straal M B vervangt (n — 7) (n — 8) coïncidenties.

Dus wordt voor het aantal coïncidenties MV = MV\'
gevonden:

(n - 7) (n - 8) [4 (n -6) (2 n 5) —2 (n —5) (n — 6)] =
6 (n — 6) (n —7} (n - 8) (n 5).

Neemt men in aanmerking, dat deze drie aan drie op
rechten f3,2,2,2 zijn gelegen, dan vindt men voor het
aantal krommen in een sb, die een 13,2,2,2 bezitten, waar-
van het raakpunt B3 in B is gelegen

2 (n — 6) (n - 7) (» — 8) (n 5).

§ 12. De krommen cⁿ van een Sb, die aan een door
het basispunt getrokken rechte b in B raken, vormen
een complex, bepalen dus op b een involutie van
de (n — 2)^de orde en den 3^den rang.

Daar deze 4 (n — 5) groepen met een viervoudig element
bezit, zijn er evenveel krommen c", die b tot t₂,4 hebben,
waarvan het raakpunt R₂ in B is gelegen.

Het raakpunt R₄ valt met B samen, als b een t« is,
waarvan het raakpunt R_fi in B ligf.

Nu bezit een Sj3 15 rechten tg, waarvan R_C = B is
(§ 1), bijgevolg is de kromme (Ri)b2,Ri van den graad
4(n —5) 15 of 4n —5.

Zij heeft B tot 15-voudig punt.

§ 13. Elke rechte b snijdt de c", welke zij in B twee-
puntig en in R* vierpuntig raakt, in (n — 6) punten V.

Om den graad der meetkundige plaats (V)n₂,R₄ dezer
punten V te Éepalen, voegen wij eiken straal b toe aan de
4 (n — 5) krommen cⁿ, waarbij hij behoort en beschouwen
de figuur, die door de aldus bepaalde stelsels | cⁿ | en
11₂,41 wordt voortgebracht.

De index van het stelsel | cⁿ | is gelijk aan het aantal
eⁿ, die een t₂,₄ bezitten, waarvan R₂ = B is, voor-
komende in den complex, dien een punt P uit Sb af-
zondert, dus = 2 (n — 5) (3 n 8}

(Complexen Tabel I).

De figuur, door de stelsels j cⁿ ; en ] t₂,₄1 voortgebracht
heeft nu tot graad

2 (_n — 5) (3 n 8) 4 (n — 5) n =
2 (n - 5) (5 n 8).

Hiertoe behoort de kromme (R₄)b₂,r₄ blijkbaar viermaal.

Dus is de graad van (V)b₂, r₄ gelijk aan

2 (n - 5) (5 n 8) - 4 (4 n - 5) of
10 (n - 6) (n 1).

Elke rechte b snijdt (V)b₂,r₄ in 4 (n — 5) (n — 6)
buiten B gelegen punten V.

Zij heeft dus in B een veelvoudig punt van de orde
(n - G) [10 (n 1) - 4 (n - 5)] of G (n — 6) (n 5).

Hiermee is teruggevonden het in § 8 gevonden resultaat,
dat er in een S^ G (n —6) (n 5) krommen zijn, die
een t₃,₄ bezitten, waarvan het raakpunt R₃ in B ligt.

§ 14. Wij beschouwen de verwantschap (MR₄, MV),
welke in een stralenbundel met M als top wordt be-
paald door de aan elkaar toegevoegde punten R₄ en V.

Voor haar kenmerkende getallen vindt men
(4 n — 5) (n — G) en 10 (n —G) (n -f 1).

De straal M B bevat 4 (n — 5) punten R₄, vertegen-
woordigt dus 4 (n — 5) (n — G) coïncidenties.

Voor \'t overige aantal coïncidenties MR₄ = MV wordt
gevonden

(n _ G) [(4 n — 5) 10 (n 1) - 4 (n - 5)] =
5 (n - G) (2 n 5).

Dus zijn er in een Sg 5 (n — 6\') (2 n -f- 5) krommen
c", die een bezitten, waarvan het raakpunt li» in B
is gelegen.

Beschouwen wij nu de symmetrische verwantschap
der stralen, welke twee tot dezelfde c" behoorende
punten V met M verbinden.

Zij heeft tot kenmerkend getal

10 (n -G) (n 1).

Daar M B 4 (n — 5) (n — 6) (n — 7) coïncidenties ver-
vangt, vindt men voor het aantal coïncidenties M V = M V\'
(n - 6) n - 7) [20 (n 1) - 4 (n - 5)] =
8 (n - 6) (n - 7) (2 n 5).

Dus zijn er in een Sq 8 {n — 6\') {n — 7) (2 n 5)
krommen cⁿ, die een t₂,4,2 bezitten, waarvan een der raak-
punten i?₂ in B ligt.

§ 15. De involutie welke door de krommen cⁿ,

die in een basispunt B aan een rechte b raken, op b
wordt bepaald, bezit 6 (n — 5) (n — 6) groepen met een
drievoudig element, waarnaast een tweevoudig element
voorkomt.

Er zijn dus evenveel krommen cⁿ, die b tot t2,₃,₂
hebben, waarvan B een der raakpunten R₂ is.

Het raakpunt R₃ valt met R₂ (= B) samen, als b een
tö,2 is met Rö in B gelegen.

Daar er in een Sb (n — 6) (n 25) krommen zijn, die
een t₅,2 bezitten, waarvan R₅ = B is (§ 2), heeft de
kromme (R₃)b₂,r₃,R2 tot graad 6 (n — 5) (n — 6) -f
(n — 6) (n 25) of (n — 6) (7 n - 5).

Zij heeft B tot (n — 6) (n 25)-voudig punt.

Het raakpunt B₂\' valt met R₂ (= B) samen, als b een
ti,₃ is, met Ri in B gelegen.

\' Nu bedraagt het aantal krommen, die een t4,₃ bezitten,
waarvan R* = B is, 3 (n - 6) (n 10) (§ 7). Daaruit
volgt dat de kromme (B₂)b2,r₃,r₂ van den graad
6 (n - 5) (n - 6) 3 (n - 6) (n 10) of 9 (n — 6) n is.

Zij heeft B tot 3 (n — 6) (n 10)-voudig punt.

§ 16. Als men aan elke rechte b de 6 (n — 5) (n — 6)
krommen toevoegt, die haar tot t₂₎₃,2 hebben, waarvan
een der raakpunten R₂ in B is gelegen, ontstaan twee
stelsels. | cⁿ | en 11₂,₃,2 \\.

De index van het stelsel | cⁿ | is gelijk aan het aantal
cⁿ met een t₂₎₃₎2 (waarvan een der raakpunten R₂ in B
ligt) voorkomende in den complex, dien een punt P

uit Sb afzondert, dus 3 (n — 5) (n — 6) (3 n 8). (Com-
plexen Tabel I).

Voor den graad der figuur, die door de stelsels | cⁿ |
en 112,3,21 wordt voortgebracht, vindt men nu

3 (n - 5) (n - 6) (3 n 8) G (n - 5) (n — 6) n of
3 (n — 5) (n — 6) (5 n 8).

Hiertoe behoort de kromme (R3)b2,R3,R2 driemaal en
de kromme (R2)b2,r₃,R2 tweemaal.

Voor den graad der kromme (V)b₂,b₃,r₂ wordt dus
gevonden

(n - 6) [3 (n — 5) (5 n 8) - 3 (7 n - 5) - 18 n] of
15 (n — 6) (n — 7) (n 1).

Elke rechte b snijdt (V)b₂,r₈,R2 in G (n — 5) (n — G)
(n — 7) buiten B\'gelegen punten V.

Zij heeft derhalve B tot veelvoudig punt van de orde
(n - 6) (n - 7) [15 (n t) — 6 (n - 5)] of
9 (n — 6) (n — 7) (n 5).

Hiermee is teruggevonden liet reeds in § S afgeleide
aantal krommen van een Sj}, die een 13,3,2 bezitten,
waarvan een der raakpunten R₃ in B is gelegen.

§ 17. De beschouwing van de verwantschap (M R₃,
M R₂), waarbij R₃ en R₂ op denzelfden straal door B
liggen, levert opnieuw het aantal exemplaren die een
t₂,5 bezitten, waarvoor R₂ = B is. (§ 14).

Uit de verwantschap (M R₃, M V) volgt opnieuw het
aantal krommen, die een t₂,₄,₂ bezitten, waarvan een der
raakpunten R₂ = B is. (§ 14).

Wij beschouwen nu de verwantschap (M R₂, M V), als
R₂ en V op denzelfden straal door B liggen.

Bij 1 punt R₂ behooren (11 — 7) punten V en bij 1
punt V behoort 1 punt R₂.

In verband met de graden van (R2)b2,Rs,R2 en
(V)b2,R3,R₂ vinden we voor haar kenmerkende getallen
• 9 (n - G) n (n - 7) en 15 (n — G) (n — 7) (n 1).

De straal M B vervangt (n — 7) coïncidenties.

Dus bedraagt het aantal coïncidenties M R₂ = M V
(n - 6) (n - 7) [9 n 15 (n 4- 1) — 6 (n — 5)] =

9 (n — 6) (n — 7) (2 n 5).

f)

Hiervan de helft, dus — {n — 6) (« — 7) (2 n 5), stelt

IV

voor het aantal krommen in een Sp„ die een t₂,3,3 bezitten,
waarvan het raakpunt i?₂ in B ligt.

De symmetrische verwantschap der stralen, welke
twee tot dezelfde cⁿ behoorende punten V met M ver-
binden, heeft tot kenmerkend getal

15 (n - 6) (n — 7) (n 1) (n —. 8).
Voor het aantal coïncidenties MV = MV\' vindt men,
daar M B hier (n — 7) (n — 8) coïncidenties vervangt,
(n - 6) (n - 7) (n - 8) [30 (n 1) - 6 (n - 5)] =

12 (n — 6) (n - 7) (n - 8) (2 n 4" 5).
Hiervan de helft, dus 6 (» — 6\') (« — 7) (n — «9) (2n 4- 5)
stelt voor het aantal krommen in een die een ^2,3,2,2
bezitten, waarvan een der raakpunten B2 in B ligt.

§ 18. De die door de krommen cⁿ, die in een
punt B aan een rechte b raken, op b wordt bepaald,

bezit ^ (n — 5) (n — G) (n — 7) groepen met drie twee-

voudige elementen.

Er zijn dus evenveel krommen c", die b tot t₂,2,2,2
hebben, waarvan B een der raakpunten R₂ is.

Een der raakpunten R_a valt met het raakpunt R₂ (= B)
samen, als b een f4,2,2 is, waarvan R₄ in B ligt.

Dit geschiedt 2 (n - G) (n - 7) (n 4- 10) maal. (§ 5).
Daaruit volgt, dat de meetkundige plaats (R₂)b2,3R₂
der raakpunten R₂ (verschillend van B) een kromme is,
die tot graad heeft

y (n - 5) (n - G) (n - 7) 2 (n - 6) (n - 7) (n 10)
of G (n - 6) (n - 7) n.
Zij heeft B tot 2 (n - 6) (n — 7) (n 10)-voudig punt.

§ 19. Als men aan elke rechte b de — (n — 5)

(n — 6) (n — 7) krommen toevoegt, die b tot f2,2,2,2 hebben
met een der punten R₂ in B gelegen, ontstaan twee
stelsels | c" | en f2,2,2,2 !•

De index van het stelsel | cⁿ j is gelijk aan het aantal
cⁿ, die een f2,2,2,2 bezitten, waarvan een der punten R₂
in B ligt, voorkomende in den complex, dien een punt P

uit Sb afzondert, dus J-(n — 5) (n — 6) (n—7) (3 n-f 8)

(Complexen Tabel I).

De figuur, die door de stelsels |cⁿ| en jb| wordt voortge-
bracht, heeft nu tot graad y (n — 5) (n — G) (n — 7) (3 n 8)

-|(n-5) (n — G) (n — 7) n =

l (n ~ 5) (n — 6) (n - 7) (5 n 8)

Hiertoe behoort de kromme (R₂)r₂,3R2 tweemaal.
Voor den graad van (V)b₂,:>R2 wordt dus gevonden

(n _ G) (n — 7) (n - 5) (5 n S) — 12 nj of

O

^(_n_G)(n-7)(n-S)(n l).
Elke rechte b snijdt (V)b2,3R₂ in

A (_n _ 5) (11 - G) (n - 7) (n - 8)

buiten B gelegen punten V.

Derhalve is B een veelvoudig punt der kromme (V)b₂,3R2
van de orde

(n-G)(n-7)(n-8)[y(n l)-|-(n-5)] of

2 (n - G) (n - 7) (n - 8) (n 5).
Hiermee is teruggevonden het reeds in § 11 gevonden
resultaat, dat er in een Sb 2 ( n— G) (n — 7) (11 — 8) (n 5)
krommen zijn, die een t_s,2,2,₂ bezitten, waarvan het raak-
punt Rs in B is gelegen.

§ 20. De beschouwing van de verwantschap (M R₂,
MR\'₂), waarbij de punten R₂ en R\'₂ op denzelfden straal
door B liggen, levert opnieuw het aantal exemplaren,
die een t₂,4,₂ bezitten, waarvan een der raakpunten
R₂ = B is. (§ 14).

Verder volgt uit een beschouwing van de verwant-
schap (M R₂, M V), waarbij de punten R₂ en V op den-
zelfden straal door B liggen, opnieuw het aantal exem-
plaren, die een t₂,_s,₂,2 bezitten, waarvan een der raakpunten
R₂ = B is. (§ 17).

Een nieuw resultaat wordt verkregen uit de sym-
metrische verwantschap der stralen, welke twee tot
dezelfde cⁿ behoorende punten V met M verbinden.

Voor het kenmerkend getal dezer verwantschap
vindt men

^ (_n - 6) (n - 7) (n - 8) (n - 9) (2 n 5).

Neemt men in aanmerking, dat de straal MB(n—8)
(n — 9) coïncidenties vervangt, dan vindt men voor liet
aantal coïncidenties MV = M V\'

J- (_n - G) (n - 7) (n - 8) (n - 9) (2 n 5).

Hieruit volgt, dat er in een >Sj$

■j(n-6) (n - 7) (n - 8) (n - 9) (2 n -f 5)

krommen zijn, die een /₂,₂,_2>2,₂ bezitten, waarvan een der
raakpunten lh in B ligt.

HOOFDSTUK II.

Afleiding van de aantallen van bizondere raaklijnen,

die uit een willekeurig punt P aan krommen
van een algemeen stelsel S⁴ kunnen
worden getrokken.

§ 21. Een algemeen stelsel S⁴ bepaalt op een wille-
keurige rechte l een involutie I„. Daar deze in \'t bezit
is van 5 (n — 4) groepen, ieder met een vijfvoudig
element, is l vijfpuntige raaklijn ts voor evenveel krom-
men uit S⁴.

Bij wenteling van l om een van haar punten P wordt
door de raakpunten Rs een kromme (Rö)p doorloopen,
waarvan wij den graad zullen bepalen.

Als basispunt van een in S\' gelegen complex ligt P
op 10 krommen cⁿ (complexen Tabel I), die ieder in P
door een van haar raaklijnen tö vijfpuntig worden aan-
geraakt.

Daaruit volgt, dat de kromme (R&)p 10-maal door
P gaat.

(Rö)p is dus van den graad 5 (n — 4) 10 of 5 (n — 2).

§ 22. Elke kromme cⁿ, die een rechte l in R5 vijf-
puntig aanraakt, snijdt haar nog in (n — 5) punten V.

Wij beschouwen de meetkundige plaats der punten
V, die op deze wijze bij (Rq)p behooren.

Ieder der 5 (n — 4) punten Rg, op / gelegen, geeft
(n — 5) punten V (verschillend van P).

°P l hggen dus 5 (n — 4) (n — 5) punten V buiten P.

Om te vinden met hoeveel takken de kromme (Vn_ö)p
door P gaat, merken we op, dat P als basispunt van
een in S⁴ begrepen complex kan worden beschouwd.

Nu geeft elke t₅, die uit P in dezen complex kan

worden getrokken, een punt V, dat met P samenvalt.

Daar verder het aanlal raaklijnen ts, die uit een
basispunt in een complex kunnen worden getrokken,
10(n l)(n —5) bedraagt (complexen Tabel V), gaat
de kromme (Vp.5)p evenveel malen door P.

Voor den graad van (Vbs)p vindt men dus:
(n — 5) [5 (n — 4) -f- 10 (n 1)] of 5 (n - 5) (3 n — 2).

§ 23. Wij beschouwen de verwantschap, welke in
een stralenbundel, met top M, wordt bepaald door de
paren aan elkaar toegevoegde punten R₅ en V.

Elke straal M Ró bevat 5 (n — 2) punten R₅. bepaalt
dus 5 (n — 2) (n — 5) punten V; elk straal MV bevat
5 (n — 5). (3 n — 2) punten V, levert dus even zooveel
stralen M R₅.

Tot de 5 (n — 2) (n - 5) 5 (n - 5) (3 n — 2) of
20 (n — 5) (n — 1) coïncidenties behoort de straal M P
5 (n — 4) (n — 5) maal; immers op M P liggen 5 (n — 4)
punten Rö, dus 5 (n — 4) (n — 5) punten V.

De overige coïncidenties ontstaan door samenvallen
van een punt Ra met een der overeenkomstige punten V.

Dit geschiedt in het raakpunt R_G van een cⁿ meteen
zespuntige raaklijnen t_c.

Hieruit volgt, dat dooreen willekeurig punt P 20 (n — 5)
(n—1) — 5 (n — 4) (n — 5) of 15ri(n — 5) zespuntige
raaklijnen tc gaan, m.a.w. de klasse der kromme door de
te omhuld is gelijk aan 15 n (« — 5).

Wij beschouwen nu de symmetrische verwantschap,
welke in een stralenbundel met M als top bepaald wordt
door de aan elkaar toegevoegde punten V op de raak-
lijnen door P.

Daar aan 1 punt V (n — 6) punten V\' zijn toegevoegd,
en omgekeerd, vindt men in verband met den graad der
kromme (Vr₅)p voor het kenmerkend getal van deze ver-
wantschap 5 (n — 5) (3 n — 2) (n — G).

Elk der lijnen t₄, die langs MP vallen, vervangt
(n — 5) (n — 6) coïncidenties.

Voor het overblijvende aantal coïncidenties MV = MV
wordt gevonden

10 (n — 5) (3 n — 2) (n - 6) - 5 (n - 4) (n — 5) (n —6) =
25 n (n - 5) (n — 6).

Dit getal stelt voor de klasse der kromme door de
raaklijnen f5,2 omhuld.

§ 24. Een rechte l is f.4,2 voor 8 (n — 4) (n — 5)
krommen c" van S⁴; immers de involutie I⁴, die door
de krommen van S⁴ op l wordt bepaald, bevat 8 (n — 4)
(n — 5) groepen, waarin naast een viervoudig ook een
tweevoudig element voorkomt.

Bij wenteling vanj om een van haar punten P wordt
door ieder der raakpunten R4 en R₂ een kromme be-
schreven, waarvan wij den graad zullen bepalen.

Daar P, als basispunt van een in S⁴ begrepen com-
plex, raakpunt R₄ eener t₄,₂ is voor (n — 5)(n-f-16)
krommen (complexen Tabel I), gaat de kromme (R₄/₄,₂)p
(n — 5) (n lG)-maal door P.

Voor den graad van (R₄/₄₎₂)p vinden wij dus:
8 (n — 4) (n — 5) (n - 5) (n 1G) of (n - 5) (9 n -\\g).

Als basispunt van een in S¹ begrepen complex is P
raakpunt R₂ eener t₄,₂ voor 2 (n — 5) (3 n 8) krommen.

(Complexen Tabel I.)

De kromme (R2/₄,2)p gaat dus 2 (n — 5) (3 n -f- 8)-maal
door P.

Voor den graad van (112/4,2)? vindt men dus
8 (n - 4) (n — 5) 2 (n - 5) (3 n 8) of
2 (n - 5) (7 n — 8).

§ 25. Elke rechte /, die raaklijn t₄,₂ is, snijdt de
c", waartoe zij behoort nog in (n — 6) punten V.

Wij beschouwen de meetkundige plaats (Vn₄,₂)p der
punten V.

Daar P, als basispunt van een in S⁴ begrepen com-
plex, op 1G (n 1) (n — 5) (n — G) raaklijnen t₄,₂ ligt

(complexen Tabel V) heeft de kromme (Vr4,₂)p in P een
16 (n 1) (n — 5) (n — G)-voudig punt.

Verder bevat elke straal, buiten P om, 8 (n — 4)
(n — 5) (n — 6) punten V.

Derhalve is (Vr₄,₂)p een kromme van den graad
(n - 5) (n - 6) [8 (n - 4) 16 (n 1)] of
S (n — 5) (n - 6) (3 n — 2).

§ 26. Uit de verwantschap (M R₄, M R₂) kan men
opnieuw afleiden, dat de tG een kromme van de klasse
15n(n — 5) omhullen (§ 23); verder levert de verwant-
schap (M R₄, M V) opnieuw, dat de ts,₂ een kromme om-
hullen, waarvan de klasse 25 n (n — 5) (n — 6) is. (§ 23).

Voegen wij elk punt R₂ toe aan elk der tot dezelfde
cⁿ behoorende punten V, dan wordt in den stralen-
bundel met top M een verwantschap bepaald, welke tot
kenmerkende getallen heeft

2 (n — 5) (7 n — 8) (n — 6) en 8 (n — 5) (n-G)(3n-2).

Tot de (n - 5) (n — 6) [2 (7 n — 8) 8 (3 n - 2)] of
2 (_n — 5) (n — 6) (19 n — 16) coïncidenties behoort de
straal MP 8 (n — 4) (n — 5) (n — 6)-maal; immers op
M P liggen 8 (n — 4) (n — 5) puntenparen Ri en R₂,
dus 8 (n — 4) (n — 5) (n — 6) punten, V.

De overige coïncidenties ontstaan door samenvallen
van een punt R₂ met een der overeenkomstige punten V.

Dit geschiedt in een raakpunt R₃ van een c" met een l₄,₃.

Voor de klasse der door de <4,3 omhulde kromme vindt
men dus

(n — 5) (n - 6) [2 (19 n — 16) — 8 (n — 4)] of
30 n (n — 5) (n - 6).

Verder beschouwen wij de symmetrische verwantschap
tusschen de stralen van (M), die twee tot dezelfde c"
behoorende punten V en V\' bevatten.

Voor haar kenmerkend getal vindt men

8 (n — 5) (n — 6) (3 n — 2) (n - 7).

Op M P liggen 8 (n — 4) (n — 5) (n — 6) (n — 7) paren

van punten V en V\'; evenveel coïncidenties zijn in MP
vereenigd.

De overige coïncidenties, in aantal

(n - 5) (n - 6) (n - 7) [1G (3 n - 2) - 8 (n - 4)] of
40 n (n — 5) (n — G) (n — 7),

ontstaan door samenvallen van een punt V met een
punt V\', zijn dus afkomstig van raaklijnen f4,2,2.

Men vindt hieruit dat de raaklijnen £4,2,2 een kromme
van de klasse 20 n (n — 5) (n — 6) (n — 7) omhullen.

§ 27. De involutie I*, die door een S⁴ op een wille-

9

keurige rechte l wordt bepaald, bevat - (n — 4) (n — 5)

groepen met twee drievoudige elementen.

Daaruit volgt, dat l raaklijn t₃,3 is, voor evenveel
krommen cⁿ uit S⁴.

Laat men l om een punt P wentelen, dan beschrijven
de raakpunten R₃ en R₃\' een kromme (R₃/₃,₃)p, die
3 (n — 5) (n -f 0)-maal door P gaat; immers P ligt, als
basispunt van een in S^l begrepen complex, op 3 (n — 5)
(n G) krommen, die ieder in P een der raakpunten
R₃ eener t₃,₃ hebben (complexen Tabel 1).
Hieruit volgt voor den graad van (R₃/₃,₃)p

9 (n - 4) (n - 5) 3 (n - 5) (n 6) of 6 (n - 5) (2 n - 3).

§ 28. Bepalen wij nu den graad der meetkundige
plaats van de groepen van (n — G) punten V, welke l

Cl

gemeen heeft met de Jr (n — 4) (n — 5) krommen c",

é4

waarvoor l dubbel-osculeerende rechte is.

In den door P bepaalden complex komen 9(n l)
(n — 5) (n — G) krommen voor, die een t₃,₃ door P
zenden.
(Complexen Tabel V).

Evenveel maal gaat nu de kromme (Vr₃,3)p door P;
voor haar graad vinden wij dus

|(n-4) 9(n l)

|(n-5)(n-6)(3n-2).

§ 29. Uit de verwantschap (M R₃, M R₃) kan men
opnieuw de klasse der kromme afleiden, die door de U
wordt omhuld (§ 23).

Verder levert de verwantschap (M R₃, M V) opnieuw de
klasse der kromme, die door de t₄,₃ wordt omhuld. (§ 26).

Een nieuw resultaat wordt verkregen uit de beschou-
wing van de verwantschap tusschen twee punten V en
V\', die bij eenzelfde paar R₃ en R₃\' behooren.

De symmetrische verwantschap tusschen de stralen
M V, M V\' heeft tot kenmerkend getal

|(„_5)(_n_6) (3 n — 2) (n - 7).

9

Daar op MP ^ (ⁿ — (n — 5) (n — 6) (n — 7) paren

V, V\' liggen, zijn evenveel coïncidenties in M P ver-
eenigd.

De overige, die ontstaan door samenvallen van een
punt V met een punt V\', zijn afkomstig van raaklijnen t₃,₃,2.
Dit aantal coïncidenties bedraagt

(_n_5)(n_6)(n-7)[9(3n-2)-|(n -4)] of

f n(n-5)(n-6)(n-7).

Hieruit volgt, dat de raaklijnen /₃,₃,2 een kromme van
45

de klasse — n (n — 5) (n — 6\') (n — 7) omhullen.

§ 30. De involutie I*, door een S⁴ op een wille-
keurige rechte l bepaald, bezit 6 (n — 4) (n — 5) (n — 6)
groepen, waarin naast één drievoudig twee tweevoudige
elementen voorkomen.

Daaruit volgt dat l raaklijn t₃,2,2 is, voor evenveel
krommen uit S⁴.

Bepalen wij de graden der krommen, die beschreven
worden door de raakpunten R₃ en R2, als l om een
van haar punten wentelt.

De kromme (Rs/b.s.sJp gaat 2 (n — 5) (n — 6) (n 6)
maal door P, want in een complex is een basispunt B
raakpunt R₃ voor 2 (n — 5) (n — 6) (n 6) krommen,
die in \'t bezit zijn van een t₃,2,₂. (Complexen Tabel I).

Dus is (R₃/₃,2,2)p van den graad
6 (n — 4) (n — 5) (n — 6) 2 (n - 5) (n — 6) (n G) of
4 (n - 5) (n — 6) (2 n - 3).

Daar in een complex een basispunt B raakpunt R2
is voor 3 (n — 5) (n — 6) (3 n 8) krommen, die een
f2,3,2 bezitten, gaat (R₂/s,2,2)p 3 (n — 5) (n — 6) (3 n 8)
maal door P. (Complexen Tabel I).

Dus heeft (R₂/₃,2,₂)p tot graad
12 (n -- 4) (n - 5) (n - G) 3 (n - 5) (n — G) (3 n 8) of
3 (n — 5) (n — G) (7 n — 8).

§ 31. De raaklijn t₃,₂,₂ snijdt haar c" nog in (n — 7)
punten V.

De meetkundige plaats (Vn₃,₂,₂)p heeft, buiten P om,
G (n — 4) (n — 5) (n — G) (n — 7) punten met l gemeen.

Daar verder P, als basispunt van een in S⁴ begrepen
complex, op 12 (n 1) (n — 5) (n — G) (n — 7) raaklijnen
f3,2,2 ligt (complexen Tabel V), is P een

12 (n 1) (n — 5) (n — G) (n — 7)-voudig punt
°P (VR₃,2,₂)p.

Dus is de graad dezer kromme
6 (n - 5) (n - G)> - 7) [2 (n 1) n - 4] of
G (n - 5) (n - G) (n - 7) (3 n - 2).

§ 32. De verwantschappen (M R₃, M R₂), (M R₂, M R,\')
(M R₃, M V) en (M R₂, M V) leveren opnieuw de klassqn
der krommen, resp. door de t₅,2 (§ 23), de t._t,₃ (§ 2G),
de f4,2,2 (§ 26) en de t₃,₃,₂ (§ 29) omhuld.

Een nieuw resultaat wordt verkregen door een be-
schouwing van de symmetrische verwantschap tusschen
de stralen van (M), die twee bij dezelfde cⁿ behoorende
snijpunten V en V\' bevatten.

Voor haar kenmerkend getal vindt men

6 (n — 5) (n - 6) (n — 7) (3 n — 2) (n — 8).

Op M P liggen 6 (n — 4) (n — 5) (n — G) (n — 7) (n — 8)
paren V, V\'; evenveel coïncidenties zijn in P ver-
eenigd.

De overige coïncidenties ontstaan door samenvallen
van een punt V met een punt V\', zijn dus afkomstig
van raaklijnen t3,2,2,2.

Dit aantal coïncidenties bedraagt

6 (n — 5) (n — 6) (n — 7) (n — 8) [2 (3 n — 2) — (n — 4)] of
30 n (n — 5) (n - 6) (n — 7) (n — 8).

Daar deze drie aan drie opraaklijnen t₃,2,2,₂ liggen,
vindt men hieruit dat de raaklijnen ^3,2,2,2 een kromme
van de klasse 10 n (n — 5) (n — 6) (n — 7) (n — 8) omhullen.

§ 33. Daar de door S⁴ op een willekeurige rechte l

bepaalde I* ~ (n — 4) (n — 5) (n — G) (11 — 7) groepen

met vier tweevoudige elementen bevat, is l raaklijn
t»,2,2,2 voor evenveel krommen uit het stelsel S\'.

Als l om een harer punten P wentelt, dan beschrijft
het raakpunt R₂ een kromme, die

| (_n — 5) (n - 6) (n - 7) (3 n 8)-maal

door P gaat; want P ligt, als basispunt van een in S\'
begrepen complex, op

|(_n_ 5)(n — G)(n — 7)(3n -f- 8) .

krommen, die ieder in P door een harer t₂,2,2,2 worden
aangeraakt. (Complexen Tabel I).

Hieruit volgt, dat de kromme (1^2/2,2,2,2)? van den graad

| (n _ 5) (n - 6) (n - 7) [4 (n - 4) | (3 n S)] of
(n — 5) (n — 6) (n — 7) (7 n — 8) is.

§ 34. Bepalen wij verder den graad der meetkundige
plaats van de groepen van (n — 8) punten V, welke l
nog gemeen heeft met de cⁿ, welke zij tot f2,2,2,2 heeft.
Als basispunt van een in S⁴ begrepen complex, ligt

P op | (n 1) (n — 5) (n — G) (n — 7) (n — 8) raaklijnen

O ₄

f2,2,2,2. (Complexen Tabel V). • *

De kromme (VR2,2,2,2)r gaat dus met evenveel takken
door P.

Zij heeft verder met l, builen P om,

(n — 4) (n — 5) (n — G) (n — 7) (n — 8)

punten gemeen.

De graad van (Vr₂₎₂,₂,2)p bedraagt bijgevolg

| (n — 5) (ti — 0) (n -7)(n-8)[2(n l) n -4] of
I" (n — 5) (n — 6) (n — 7) (n-8)(3n-2).

§ 35. Uit de verwantschappen (M R₂, M R₂\') en
(M R₂, M V) kan men opnieuw de klasse terugvinden der
krommen, resp. door de raaklijnen ti,₂,2 (§ 2G) en t3,2,₂,₂
(§ 32) omhuld.

Verder beschouwen wij de symmetrische verwantschap
der stralen, welke twee tot eenzelfde c" behoorende
punten V en V\' met M verbinden.

Deze verwantschap heeft tot kenmerkend getal

| (_n - 5) (n - G) (n - 7) (n - 8) (3 n - 2) (n - 9).

Daar op M P

| (n - 4) (n - 5) (n — G) (n — 7) (n - 8) (n — 9)

paren V en V\' liggen, zijn evenveel coïncidenties in
M P vereenigd.
Er blijven over

|(n_5)(_n-6)(n-7)(n-8)(n-9)[2(3n-2)-(n-4)]

10

of y n (n — 5) (n - G) (n - 7) (n - 8) (n — 9)
coïncidenties.

Deze coïncidenties zijn, vijf aan vijf genomen, raak-
punten van vijfvoudige raaklijnen 12,2,2,2,2 zoodat de
raaklijnen t₂,2,2,2,2 een kromme omhullen van de klasse

| n (n — 5) (n — 6) (n — 7) (n - 8) (n — 9).

O

HOOFDSTUK III.

Afleiding van de aantallen van bizondere raaklijnen,
die in een S^ uit het basispunt B kunnen
worden getrokken.

§ 36. Onderstellen wij, dat een S^l is \'t bezit is van
een basispunt B. Op een door B getrokken rechte b
bepaalt S^ dan een involutie I* _ waarvan de groepen
buiten het basispunt liggen.

De I*_, bezit 5 (n — 5) groepen, die ieder een vijf-
voudig element bezitten.

De lijn b is dus vijfpuntige raaklijn voor 5 (n — 5)
krommen uit Sjj.

Als b om B wentelt, beschrijft het raakpunt R_ö een
meetkundige plaats, waarvan wij den graad zullen bepalen.

B ligt op 15 krommen met een ts, die het raakpunt
Bg in B hebben (zie § 1).

De kromme (Bb)u gaat dus 15-maal door B en zij is
van den graad 5 (n — 5) 15 = 5 (n — 2).

§ 37. Elke kromme cⁿ, die b tot t& heeft met \'t
raakpunt R& niet in B gelegen, snijdt haar nog in
(n — G) punten V.

Elke uit B getrokken raaklijn t«, die bovendien in B
aan een exemplaar van Sjj raakt, geeft een punt V in B.

Het aantal malen, dat de meetkundige plaats (Vhb)u
door B gaat, is dus gelijk aan het aantal raaklijnen tï,6,
waarvan het raakpunt R₂ in B ligt.

Dit aantal raaklijnen bedraagt 5 (n — G) (2 n 5) (§ 14).

Verder behooren bij ieder der 5 (n — 5) raakpunten
Rs, buiten B, (n — G) punten V, eveneens buiten B
gelegen.

Daaruit volgt voor den graad der kromme (Vr₅)b
5 (n — 6) (2 n -f- 5) 5 (n — 5) (n — 6) of 15 n (n - 6).

A

§ 38. Wij beschouwen de verwantschap, welke in
een stralenbundel, die M als top heeft, wordt bepaald
door de paren aan elkaar toegevoegde punten Rs en V.

Daar bij 1 punt Rs (n — 6) punten V en bij 1 punt
V 1 punt Rs behooren, vindt men, in verband met de
graden der krommen (Rs)b en (Vr₅)b voor de kenmer-
kende getallen der verwantschap

5 (n — 2) (n — G) en 15 n (n — G).

Ieder der 5 (n — 5) raaklijnen ts langs MB vervangt,
(n — 6) coïncidenties.

De overige, ten getale van
5 (n — 2) (n - 6) 15 n (n - 6) — 5 (n — 5) (n — 6) of

15 (n -f-1) (n — 6),
gaan door punten Rs = V.

Voor het aantal raaklijnen U door B vindt men dus
15 (n 1) (» — ff).

Daar door een willekeurig punt P in een S^l 15 n (n — 5)
raaklijnen t_G kunnen worden getrokken (§ 23), kan men
door een basispunt 15 n (n — 5) — 15 (n 1) (n — 6) of
90 raaklijnen tG minder trekken.

Nu zijn er in een Sb 15 cⁿ, die een t_c bezitten, waarvan
het raakpunt R_c met B samenvalt (§ 1). Ieder dezer 15 raak-
lijnen tg moet dus zesmaal in rekening worden gebracht.

Wij beschouwen nu de symmetrische verwantschap,
welke twee tot dezelfde cⁿ behoorende punten VmetM
verbinden.

Aan 1 punt V zijn (n — 7) punten V\' toegevoegd en
omgekeerd.

Met behulp van den graad der kromme (Vr₅)b vinden
we voor het kenmerkend getal der verwantschap
15 n (n — 6) (n — 7).

Ieder der 5 (n — 5) raaklijnen t₅ langs M B vervangt
(n — 6) (n — 7) coïncidenties.

Het overige aantal coïncidenties (MV = MV\') be-
draagt dus

(n — 6) (n — 7) [30 n - 5 (n — 5)] of
25 (n 1) (n — 6) (n — 7).

Het getal 25 (n -f- 1) (« — 6) (n — 7) stelt voor het aantal
raaklijnen /ö,2 door B.

Voor het aantal f5,2, die men door een willekeurig
punt P in een S⁴ kan trekken is in § 23 afgeleid
25 n (n — 5) (n — G).

Door een basispunt kan men derhalve 25 (n — G) (n 7)
raaklijnen tö,*2 minder trekken.

Verder is gevonden, dat er in een Sy (n — G) (n 25)
c" een ts,2 hebben, waarvan het raakpunt R₅ = B is
(§ 2) en 5 (n — G) (2 n 5) cⁿ een t₂,B, waarvan het
raakpunt R₂ = B is. (§ 14).

Men vindt hieruit, dat de raaklijnen (t_G,2)115 = b vijfmaal
en de raaklijnen (t₂,5)R5 5rB tweemaal in rekening moeten
worden gebracht.

§ 39. Een rechte b, in een Sjj door het basispunt
B getrokken, is t₄,₂ voor 8 (n — 5) (n — 6) cⁿ. De ,
toch, die door Sj$ op b wordt bepaald, bezit 8 (n — 5)
(n — G) groepen van puntenparen R₄ en R₂, buiten B
gelegen.

Laten we i om B wentelen, dan beschrijven de raak-
punten R₄ en R2 krommen, wier graden wij zullen
bepalen.

De kromme (R₄/₄,₂)b gaat door dö 8 (n — 5) (n — G)
raakpunten R₄, die op l liggen.

Daar verder het basispunt B op (n — G) (n 25) cⁿ
ligt, die een raaklijn t₅,₂ bezitten, waarvan het raakpunt
Bö in B ligt (§ 2), is B (n — G) (n 25)-voudig punt
van de kromme (R₄/₄,₂)b.

De kromme (R₄/₄,₂)_u is dus van den graad
8 (n - 5) (n - G) -f- (n - G) (n 25) of 3 (n - G) (3 n - 5).

De kromme (R₂/₄,₂)_B gaat door de S (n - 5) (n — G)
raakpunten r₂₎ die op l liggen.

Daar verder het basispunt B op 6 (n — 6) (n 5) cⁿ
ligt, die een raaklijn t₄₎₃ bezitten, waarvan het raakpunt
R₃ in B ligt (§ 8), is B 6 (n — G) (n 5)-voudig punt
van de kromme (R2/4,₂)b.

De kromme (R2/4,2)b is dus van den graad
8 (n — 5) (n — 6) 6 (n - G) (n 5) of
2 (n — 6) (7 n — 5).

§ 40. Elke kromme, c", die b tot raaklijn t₄,2 (raak-
punten R4 en R₂ verschillend van B) heeft, snijdt b in
(n — 7) punten V.

Elke uit B getrokken raaklijn t₄,2, die bovendien aan
een exemplaar van het stelsel Sb in B raakt, geeft een
punt V in B.

Het aantal malen, dat de meetkundige plaats (Vr₄,₂)b
door B gaat, is dus gelijk aan het aantal lijnen t₂,4,2 in Sb,
waarvan een der raakpunten R₂ in B is gelegen.

Dit aantal raaklijnen is gelijk aan

8 (n - 6) (n - 7) (2 n 5) (§ 14).

Verder behooren bij ieder der 8 (n — 5) (n — G) groepen
van paren van punten R4 en R₂ (buiten B gelegen)
(n — 7) punten V, eveneens buiten B liggende.

Voor den graad der kromme (Vr₄,2)b wordt dus ge-
vonden:

8 (n - 6) (n - 7) (2 n 5) 8 (n — 5) (n — 6) (n - 7)
of 24 n (n — G) (n - 7).

§ 41. Uit de verwantschap (M R₄, M R₂) kan opnieuw
worden afgeleid het aantal te, die door B kunnen worden
getrokken (§ 38).

Verder levert de verwantschap (M R₄, M V) opnieuw
het aantal t₅,2, die door B kunnen worden getrokken (§ 38).

Voegen wij elk punt R« toe aan elk der tot dezelfde
cⁿ behoorende punten V, dan wordt in den stralenbundel
met top M een verwantschap bepaald, welke tot ken-
merkende getallen heeft

2 (n - G) (7 11 - 5) (n - 7) en 24 n (n - 6) (n - 7).

Ieder der 8 (n — 5) (n — G) raaklijnen t₄,2 langs M B
vervangt (n — 7) coïncidenties.

Voor het aantal coïncidenties M R₂ = M V wordt dus
gevonden:

(n — 6) (n — 7) [2 (7 n - 5) 24 n - 8 (n - 5)] of
30 (n 1) (n — 6) (n — 7).

Het aantal £4,3 door B bedraagt 30 (n -f D (w — 6) (n — 7).

Dit aantal is 30 (n — 6) (n 7) minder dan het aantal
raaklijnen t₄,₃, die men uit een willekeurig punt P aan
krommen van een algemeen S⁴ kan trekken. (§ 2G).

Daar een \'Sjj 3 (n — G) (n 10) krommen bezit met
een raaklijn U,₃, waarvan het raakpunt R4 = B is 5)
en 6 (n — G) (n 5) krommen met een raaklijn t₈,4, waar-
van het raakpunt R₃ = B is (§ 8), vindt men hieruit
dat de raaklijnen (t₄,₃)n₄ = B viermaal en de raaklijnen
(t₃,4)ns = b driemaal in rekening moeten worden gebracht.

Verder beschouwen wij de symmetrische verwantschap
tusschen de stralen van (M), die twee tot dezelfde cⁿ
behoorende punten V en V\' bevatten.

Voor haar kenmerkend getal vindt men
24 n (n — G) (n - 7) (n - 8).

Ieder der 8 (n — 5) (n — G) raaklijnen t₄,₂ langs M B
vervangt (n — 7) (n — 8) coïncidenties.

Hel overige aantal coïncidenties bedraagt dus
(_n — 6) (n - 7) (n - 8) [48 n - 8 (n - 5)] of
40 (n 1) (n — 6) (n - 7) (n - 8).

Men vindt hieruit voor het aantal raaklijnen £4,2,2, die
door B kunnen worden getrokken

20 (n 1) (n - 6) (n - 7) (n - 8).

Dit aantal is 40 (n — G) (n — 7) (n 4-) minder dan
het aantal raaklijnen t_4>2,2, die men uit een willekeurig
punt P aan krommen van een algemeen S⁴ kan trekken
(§ 26).

Daar het basispunt B van een Sj$ raakpunt R4 is van
2 (n — 6) (n — 7) (n -f 10) raaklijnen t_4>2,2 (§ 5) en raak-
punt B₂ van 8 (n — 6) (n — 7) (2 n 5) raaklijnen t₄,₂,2
(§ 14), vindt men hieruit, dat de raaklijnen (t4,2,2)iu-B

viermaal en de raaklijnen (t₄,₂,2)R2=B tweemaal moeten
worden geteld.

§ 42. De involutie die op een rechte b door

een Sb wordt bepaald, bezit ~ (n — 5) (n — 6) groepen

met twee drievoudige elementen, die buiten B liggen.

9

Daaruit volgt, dat b raaklijn t₃,₃ is voor — (n — 5) (11 — 6)

krommen uit S^.

Laat men b om B wentelen, dan beschrijven de raak-
punten Rs en R3\' een kromme (R₃/₃,₃)b, die met 3 (n — 6)
(n -f 10) takken door B gaat; immers B ligtop 3 (n — 6)
(n -f- 10) krommen, die het raakpunt R₄ eener t₄,₃ in B
hebben (§ 5).

Verder gaat (R₃/3,3)b door de 9 (n — 5) (n — 6) raak-
punten R₃, die op b liggen.

Daaruit volgt, dat (R₃/₃,3)b tot graad heeft
9 (n — 5) (n - 6) 3 (n — 6) (n 10) of
3 (n — 6) (4 n — 5).

§ 43. Wij bepalen den graad van de meetkundige

plaats van de groepen van (n — 7) punten V, welke b

9

gemeen heeft met de — (n — 5) (n — 6) krommen cⁿ,

Jt

waarvoor b dubbel-osculeerende rechte is, waarvan de
buigpunten buiten B liggen.

Elke uit B getrokken raaklijn t₃,3, die bovendien aan
een cⁿ uit Sp in B raakt, geeft een punt V in B.

Daar er in een Sb | (n — 6) (n — 7) (2 n 5) krom-

ju

men een l₂,s,3 bezitten, waarvan het raakpunt R₂ in B
ligt (§ 17), gaat (Vr₃,₃)_b evenveel maal door B.
De graad van (Vr₃,₈)b is dus

|(n-6)(n-7)(2n 5) |(n-5)(n-6)(n-7) of
z _t A

²Jn(n~6)(n-7).

§ 44. Uit de verwantschap (M R₃, M R₃\') kan men
opnieuw het aantal der tc afleiden, die door B kunnen
worden getrokken (§ 38).

Uit de verwantschap (M R₃, M V) komt men opnieuw
tot het aantal t₄₎₃, die door B kunnen worden getrok-
ken (§ 41).

De symmetrische verwantschap tusschen de stralen
uit M naar de puntenparen (V, V\'), die tot eenzelfde cⁿ
behooren, heeft tot kenmerkend getal

f (n-hl)(n-G)(n_7)(n-S).

9

Daar ieder der ^-(n — 5) (n — G) raaklijnen t₃,₃ langs
Ji

M B (n — 7) (n — 8) coïncidenties vervangt en de overige
afkomstig zijn van raaklijnen t₃,₃₍₂, vindt men voor het
aantal raaklijnen £₃₎₃,2, die door B kunnen worden ge-
trokken (fi — 6) (n — 7) {n — 8) [27 n - | (ff - 5)] of

y (ff -f i) (ff - 6) (ff — 7) (ff — 8).

Door een willekeurig punt P kan men in een alge-
45

meen S^l — n (n — 5) (n — G) (n — 7) raaklijnen t₃,₃,₂

trekken (§ 29); door een basispunt B kan men dus

45 (n - G) (n - 7) (11 4)
raaklijnen t₃,₃,2 minder trekken.

Daar het basispunt B van een Sj$ raakpunt R₃ is

voor 9 (n — G) (n — 7) (n 5) raaklijnen t₃,₃,2 (§ 8) en
9

raakpunt R₂ voor _G) (n — G) (n — 7) (2 n -f 5) raaklijnen

t₃,₃,2 (§ 17), vindt men hieruit dat de raaklijnen (t_3|2,₂)n₃-B
driemaal en de raaklijnen (t₃,₂,₂)n2 = b tweemaal moeten
worden gerekend.

§ 45. De involutie I* _ _t, door een Sj\\ op een rechte
b bepaald, bezit G (n — 5) (11 — G) (n — 7) groepen, ieder
met een drievoudig en twee tweevoudige elementen; b is

dus raaklijn t₃,2,2 voor 6 (n — 5) (n — 6) (n—7) \'krom-
men uit Sg.

Als b om 6 wentelt beschrijven ieder der raakpunten
R₃ en R₂ een meetkundige plaats, waarvan wij den graad
zullen bepalen.

De kromme (R₃/3,2,2)b gaat door de 6 (n —>5) (n — 6)
(n — 7) raakpunten R₃, die op b liggen.

Daar verder het basispunt B op 2 (n — 6) (n — 7) (n 10)
krommen ligt, die een raaklijn f4,2,2 bezitten, waarvan
het raakpunt Ri in B is gelegen (§ 10), is B op de
kromme (R₃/₃,2,₂)b een veelvoudig punt van de orde

2 (n — 6) (n - 7) (n 10).

Daaruit volgt, dat de kromme (R₃/₃,2,2)b tot graad heeft
6 (n — 5) (n - 6) (n — 7) 2 (n — G) (n - 7) (n 10) of

2 (n — 6) (n — 7) (4 n — 5).

Dekromme (R2/3,2.2)0 gaat door de 12 (n — 5) (n — 6) (n — 7)
raakpunten R₂, die op b liggen.

Uit het feit, dat B op 9 (n — 6) (n — 7) (n 5) cⁿ
ligt, die een raaklijn t₃,₃,₂ bezitten, waarvan een der
raakpunten R₃ met B samenvalt, volgt dat B
9 (n — 6) (n - 7) (n 5)-voudig punt
van (R2 /3,2,2) 13 is.

(R2/₃,2,2)13 heeft dus tot graad
12 (n — 5) (n - G) (n - 7) 9 (n - G) (n — 7) (n 5) of

3 (n — G) (n — 7) (7 n — 5).

§ 46. De raaklijn t₃,₂,₂, uit B getrokken, snijdt haar
cⁿ nog in (n — 8) buiten B gelegen punten V.

Daar b 6 (n — 5) (n — 6) (n — 7) groepen van, buiten
B gelegen, drietallen van punten R₃, R2 en R₂\' bezit,
snijdt de kromme (Vh₃,₂,₂)b de rechte b in

6 (n - 5) (n - 6) (n - 7) (n - 8),
buiten B gelegen, punten V.

Daar verder een Sf$ 6 (n — 6) (n — 7) (n - 8) (2 n 5)
krommen met een f2,3,2,2 bezit, waarvan een der
raakpunten R₂ in B ligt (§ 17), gaat (Vh₃,2,₂)b met
6 (n — 6) (n — 7) (n — 8) (2 n 5) takken door B.

Voor den graad van (Vrd,2,2)b vindt men dus
G (n — G) (n — 7) (n - 8) [(2 n 5) (n — 0)] of
18 n (n — G) (n - 7) (n — 8).

§ 47. Uit de verwantschappen (M R₃, M R₂), (M R₂,
M R₂\'), (M R₃, M V) en (M R₂, M V) kunnen opnieuw de
aantallen van raaklijnen ts,₂ (§ 38), t₄,₃ (§ 41), t₄,₂,₂
(§ 41) en t₃,₃,₂ (§ 44), die men uit B kan trekken,
worden afgeleid.

De symmetrische verwantschap (M V, M V\') heeft tot
kenmerkend getal

18 n (n - G) (n — 7) (n — 8) (n - 9).

Daar M B G (n — 5) (n - G) (n — 7) (n — 8) (n - 9)
coïncidenties vervangt en de overige drie aan drie op
uit B getrokken raaklijnen t₃,₂,₂,₂ liggen, vindt men voor
het aantal der vit B getrokken raaklijnen /₃,₂₎₂,₂
10 (n 1) (n — 6) in - 7) (n - 8) (n - 9).

Daar men in een algemeen S^l door een punt P
10 n (n — 5) (n — G) (n — 7) (n — 8) raaklijnen t₃,₂₎₂,2 kan
trekken (§ 32), zijn er door het basispunt

30 (n — G) (n - 7) (n — 8) (n 3)
raaklijnen t₃,₂,₂₎₂ verloren gegaan.

Nu is het basispunt B van een Sjj raakpunt R_s van
2 (n — G) (n — 7) (n — 8) (n 5) raaklijnen t₃,₂,₂,₂ (§11)
\' en raakpunt R₂ van G (n — G) (n - 7) (n — S) (2 n -f- 5)
raaklijnen t₃,₂,₂,₂ (§ 17). Daaruit volgt dat de raaklijnen
(t₃,₂,₂,₂)n₃ = B driemaal en de raaklijnen (t₃,₂,₂,₂)a₂7^n twee-
maal moeten worden in rekening gebracht.

§ 48. Daar de door S^ op h bepaalde

|(n-5)(n-G)(n-7) (n - 8)

groepen met vier tweevoudige elementen bevat, zijn
er evenveel krommen, die de rechte b tot viervoudige
raaklijn t₂,₂,₂₎₂ hebben.

¹ Wij bepalen weer den graad der kromme, die door
het raakpunt R₂ wordt beschreven als b om B wentelt.

Daar B op 2 (n — 6) (n — 7) (n — 8) (n 5) krommen
ligt, die het raakpunt R₃ eener t₃,2,2,2 in B hebben (§ 11),
gaat de kromme (R₂,2,2,2)b 2 (n — 6) (n — 7) (n — 8) (n 5)
maal door B.

Zij is dus van den graad

r8

₃(n-5) 2(n 5)

| (n — 6) (n — 7) (n — 8) (7 n - 5).

§ 49. Bepalen wij verder den graad der meetkundige
plaats van de groepen van (n — 9) punten V, welke l
nog gemeen heeft met de cⁿ, voor welke zij f2,2,2,2 is.
Buiten B om snijdt de kromme (Vr₂,₂,2,2)b de rechte

b in | (n — 5) (n - 6) (n — 7) (n - 8) (n — 9) punten V.

Daar er verder in een Sg

| (_n _ 6) Cn - 7) (n - 8) (n - 9) (2 n 5)

krommen een rechte f2,2,2,2,2 hebben, wqarvan een dei-
raakpunten R₂ in B ligt (§ 20), gaat (Vr₂,₂,2,2,₂)b evenveel
maal door B.

Voor haar graad vindt men dus

|(_n_G) (n — 7) (n — 8) (n - 9) [(2 n 5) (n - 5)] of

2 n (n — 6) (n — 7) (n — 8) (n - 9).

§ 50. Uit de verwantschappen (M R₂, M R2\') en
(M R2, M V) komt men opnieuw tot de aantallen van
raaklijnen t₄,₂,2 (§ 41) en f3,2,2,2 (§47), die door B kunnen
worden getrokken.

Verder beschouwen wij de symmetrische verwantschap
(M V, M V\'), die tot kenmerkend getal heeft

2 n (n - 6) (n - 7) (n - 8) (n - 9) (n — 10).
Daar M B (n — 9) (n — 10) coïncidenties vervangt, vindt
men voor hel aantal raaklijnen ti,2,2,2,2, die uit B kunnen
worden getrokken

% (n 1) (« - G) (n - 7) (n - 8) (n - 9) {n - 10).

O

Daar er in een algemeen S⁴ uit een willekeurig punt P

| n (n - 5) (n - 6) (n - 7) (n — 8) (n - 9)

raaklijnen t₂,2,2,2,2 kunnen worden getrokken (§ 35), be-
draagt dit aantal voor een basispunt B dus

| (_n _ 6) (_n - 7) (n - 8) (n - 9) (2 n 5)

minder.

Verder hebben wij in § 20 afgeleid, dat het basispunt
B van een Sjj raakpunt R₂ is voor

| (_n - é) (n - 7) (n - 8) (n - 9) (2 n 5)

raaklijnen t₂,₂,₂,₂,2; deze laatsten moeten dus tweemaal
worden in rekening gebracht.

HOOFDSTUK IV.

Afleiding van de aantallen van krommen, die een
bizondere raaklijn bezitten.

§ 51. Zij a een willekeurige rechte; elk van haar
punten is, als basispunt van een in het stelsel S⁴ be-
grepen complex, raakpunt Rs voor 10 krommen cⁿ (com-
plexen Tabel I). De hierdoor aan a gekoppelde krommen
vormen een stelsel | cⁿ |, waarvan de index gelijk is aan
5 (8 n — 21); immers de raakpunten Rs der krommen
c", welke door een punt P gaan, liggen op een kromme
(R₅)t₅ van den graad 5 (8 n — 21) (complexen Tabel VI)
en deze snijdt a in evenveel punten Rs.

De raaklijnen ts, die het raakpunt Rs op a hebben,
vormen een stelsel | ts | met index 5 (n — 2), want door
een punt P gaan de raaklijnen ts, welke P verbinden met
de snijpunten van a en de kromme (Rs)p (§ 21).

De stelsels | cⁿ | en | ts | bepalen op een rechte l een
verwantschap tusschen de punten G en T van twee
puntenreeksen.

Door een punt G van l gaat één c", die a in 5 (8 n — 21)
punten R_r, snijdt, dus 5 (8 n — 21) op ts gelegen punten
T op l bepaalt.

Door een punt T van l gaan 5 (n — 2) raaklijnen t₆;
de bijbehoorende krommen cⁿ snijden a gezamelijk in
5 n (n — 2) punten G.

De beschouwde verwantschap heeft dientengevolge tot
kenmerkende getallen 5 (8 n — 21) en 5 n (n — 2).

De projectief aan elkaar toegevoegde stelsels | c" | en
| ts | brengen dus een kromme voort van den graad
5 (8 n — 21) 5 n (n — 2).

Tot- deze meetkundige plaats behoort de rechte a

50 maal, omdat ieder van haar punten als basispunt
van een complex raakpunt R5 is van 10 raaklijnen ts
(complexen Tabel I).

Voor den graad der meetkundige plaats (VR₅/ö)a der
punten V, welke elke ts nog met de overeenkomstige
cⁿ gemeen heeft, wordt dus gevonden
5 (8 n — 21) 5 n (n - 2) — 50 of 5 (n² 6 n — 31).

§ 52. Wij beschouwen de verwantschap tusschen de
stralen r = M.R5 en » = MV in een stralenbundel met
M als top, die bepaald wordt door de aan elkaar toege-
voegde punten R5 en V.

Een straal r bevat 10 punten R5, bepaalt dus 10(n — 5)
stralen v; aan een straal v zijn 5 (n² -f 6 n — 31) stralen
r toegevoegd.

De 5 (n — 2) stralen ts door M, die het raakpunt
Rs op a hebben, vervangen ieder (n — 5) coïncidenties.

De overige zijn afkomstig van raaklijnen t«, waarvan
het raakpunt Rs op a ligt.

Ilun aantal bedraagt derhalve
10 (n — 5) 5 (n² G n - 31) — 5 (n - 2) (n - 5) of
15 (5 n — 17).

Hieruit volgt, dat de raakpunten liü der zespuntige
raaklijnen <c op een kromme (A\'cK van den graad 15 (5 n— 17)
gelegen zijn.

In de symmetrische verwantschap tusschen do stralen
i) = MV en v\' = M V\' komen met een straal v

5 (n² -f- 6 n — 31) (n — G)
stralen v\' overeen en omgekeerd.

Elke der 5 (n — 2) stralen ts door M, die het raak-
punt Rs op a hebben, vervangt (n — 5) (n — G) coïnci-
denties.

Voor het aantal coïncidenties t> = v\' wordt dus gevonden
10 (n² G n — 31) (n - G) — 5 (n — 2) (n - 5) (n — G) =
5(n — 6) (n² 19 n — 72).

Deze zijn afkomstig van raaklijnen t₅,2.

Wij vinden zoodoende, dat de raakpunten ii\'s der

raaklijnen f5,2 op een kromme (-#5)15,2 van den graad
o (n — 6) (n² 19 n — 72) liggen.

§ 53. Elk punt van de willekeurige rechte a is, als
basispunt van een in S⁴ begrepen complex, raakpunt R4
van (n — 5) (n 1G) raaklijnen t₄,₂ (complexen Tabel I).

De meetkundige plaats (R₂/4,2)a der raakpunten R₂,
die aan het raakpunt R4 zijn toegevoegd, heeft met a
twee groepen van punten gemeen.

De eerste groep omvat de 15 (5 n— 17) snijpunten
met de kromme (RsK, de tweede bevat de 8 (n — 4) (n — 5)
raakpunten R₂, waar a wordt aangeraakt door de krommen
cⁿ, die haar nog in een punt R₄ vierpuntig aanraken.

Hieruit wordt voor den graad der kromme (R₂/₄,₂)_a
gevonden

15 (5 n — 17) 8 (n — 4) (n — 5) of 8 n² 3 n - 95.

§ 54. Wij leggen nu door middel van de rechte a
een verwantschap vast tusschen de groepen van (n — 5)
(n 16) krommen cⁿ, die het raakpunt R₄ eener t4,₂
op a hebben eenerzijds en de overeenkomstige raaklijnen
ti,₂ anderzijds.

Om den graad der meetkundige plaats der punten V
te bepalen, die iedere t4,₂ van het hier bedoelde stelsel
nog met haar cⁿ gemeen heeft, voegen wij aan elk dier
krommen c" de raaklijn t₄,₂ toe, waarvan het raakpunt
R₄ op a ligt.

Aan den complex, dien een punt P uit het stelsel S⁴
afzondert, is een kromme van den graad
2 (n - 5) (2 n² 23 n - 69)
toegevoegd, die de raakpunten R₄ bevat van de raak-
lijnen t₄,₂ in dien complex. (Complexen Tabel VI).

Hierdoor wordt het aantal raaklijnen tt,₂ bekend, waar-
van het raakpunt Rt op a ligt; het stelsel | cⁿ | heeft
dus tot index 2 (n - 5) (2 n² 23 n - 69).

De index van het stelsel \\ t4,21 is (n — 5) (9 11 — 16);

immers dit is (§ 24) het aantal snijpunten van a met
de kromme (R4/4,2)p.

De projectieve stelsels | cⁿ | en 114,₂1 brengen nu een
figuur voort van den graad

2 (n - 5) (2 n² 23 n — 69) n(n-5)(9n- 16).

Hiertoe behoort de rechte a 4 (n — 5) (n -f- 16) maal,
omdat ieder van haar punten, als basispunt van een
complex, raakpunt R4 is van (n — 5) (n -f- 16) raak-
lijnen t4,2 (complexen Tabel I).

Verder behoort tot de meetkundige plaats (VR₄/4,2)a de
kromme (R₂/4,₂)a (§ 53) tweemaal.

Voor den graad van (Vm/4,2)a wordt dus gevonden
2 (n - 5) (2 n² 23 n — 69) n (n — 5) (9 n — 16) —
4 (n — 5) (n -f 16) - 2 (8 n² 3 n - 95) of
(n — 6) (13n²-t-23n - 200).

§ 55. De puntenparen R4 en R2 bepalen in een
stralenbundel (M) een verwantschap, waaruit opnieuw de
graad der kromme (Ra)tc kan worden afgeleid (§ 52).

De verwantschap (M R4, M V) levert opnieuw den graad
der kromme (Rs)^,« (§ 52).

In de verwantschap tusschen de stralen r = M R2 en
v — M V, komen met een straal r overeen

(8 n² 3 n - 95) (n — 6)
stralen v; met een straal v (n — 6) (13 n² 23 n — 200)
stralen r.

Elke der (n — 5) (9 n — 16) stralen t4,2 door M, die het
raakpunt R4 op a hebben, vertegenwoordigt (n — 6)
coïncidenties.

Uit

(8 n² 3 n — 95) (n — 6) (n - 6) (13 n² 23 n - 200)

— (n — 5) (9 n — 16) (n - 6)
vindt men nu, dat de raakpunten der raaklijnen £4,3
gelegen zijn op een kromme (i?i)t4,s van den graad
3 (n - 6) (4 n² 29 n — 125).

In de symmetrische verwantschap tusschen de stralen
® = MV en v\' = MV\' komen met een straal v

(n — 6) (13 n² -I- 23 n — 200) (n - 7)
stralen v\' overeen en omgekeerd.

Elke der (n — 5) (9 n — 16) stralen t₄,₂ door M, ver-
vangt (n — 6) (n — 7) coïncidenties.

Het aantal coïncidenties v = v\' bedraagt dus
2 (_n — 6) (13 n² 23 n — 200) (n — 7) —
(n - 5) (9 n — 16) (n - 6) (n - 7) of
(n - 6) (n — 7) (17 n² 107 n - 480).

Deze zijn in paren afkomstig van raaklijnen t,_i)2,2.

Dus liggen de raakpunten IU der raaklijnen f4,2,2 op
een kromme (i?4)^l4,2,2 van den graad

\\{n — 6) (n - 7) (17n² 107 n - 480).

§ 56. Elk punt van de willekeurige rechte a is, als
basispunt van een in S⁴ begrepen complex, raakpunt R₈
eener t₃₎₃ voor 3 (n — 5) (n -f- 6) krommen. (Complexen
Tabel I).

De meetkundige plaats (Rs\'/s^a van het tweede raakpunt
Ra\', dat aan het op a gelegen raakpunt R₃ is toege-
voegd, heeft met a twee groepen van punten gemeen.

De eerste groep omvat de 15 (5 n—17) snijpunten
met de kromme (Rc)tc (§ 52).

De tweede groep bestaat uit de 9 (n — 4) (n — 5)
punten R₃\', waar a wordt geosculeerd door de krommen
cⁿ, die a in nog een ander punt R₃ osculeeren.

Hieruit volgt, dat de kromme (R₃\'/₃,₃)a tot graad heeft
15 (5 n - 17) 9 (n — 4) (n - 5) of 3 (3 n² - 2 n - 25).

§ 57. Wij leggen door tusschenkomst van de rechte
a een verwantschap vast tusschen de groepen van
3 (11 — 5 (n 6) krommen c", die een der raakpunten R₃
eener t₃,₃ op a hebben eenerzijds en de raaklijnen t₃₎₃
anderzijds.

Om den graad van de meetkundige plaats der punten
V te vinden, welke elke t₃,3 met haar c" gemeen heeft,
beschouwen wij de figuur voortgebracht door projectieve
toevoeging van de overeenkomstige stelsels | cⁿ | en 1t₃,₃1.

Het stelsel | cⁿ | heeft tot index 3 (n — 5) (3 n² 13 n — 45);
immers dit getal stelt voor den graad der kromme
(Rs)ts,₃, voorkomende in den complex, dien een punt
P uit S⁴ afzondert (complexen Tabel VI).

De index van 1t₃,₃1 is gelijk aan G (n — 5) (2 n — 3),
welk getal den. graad der kromme (R₃/₃,3)p voorstelt (§ 27).

De verwantschap tusschen de puntenreeksen, die door
| cⁿ | en | f3,31 op een rechte l bepaald wordt, heeft tot
kenmerkende getallen

3 (n - 5) (3 n² 13 n - 45) en 6 n (n — 5) (2 n — 3).

De figuur, die door de projectief gemaakte stelsels
| cⁿ | en 11₃,₃1 wordt voortgebracht, heeft dus tot graad

3 (n - 5) (3 n² 13 n - 45) 6 n (n — 5) (2 n — 3).

Hiertoe behoort de rechte a 9 (n — 5) (n 6) maal,
omdat ieder van haar punten, als basispunt van een in
S⁴ begrepen complex, raakpunt R₃ is van 3 (n — 5) (n G)
raaklijnen t₃,₃ (complexen Tabel I).

Verder behoort tot de meetkundige plaats (Vits/s^u
driemaal de kromme (Rs\'/s^)«, van graad
3 (3 n² - 2 n - 25) (§ 5G).

De kromme (Vr₃/₃,₃)_a heeft dus tot graad

3 (n - 5) (3 n² 13 n — 45) G n (n — 5) (2 n — 3)
— 9 (n - 5) (n G) — 9 (3 n² - 2 n — 25) of
3 (n - G) (7 n² 2 n — G5).

§ 58. Uit een beschouwing van de verwantschappen
(M R₃, M Rn\') en (MR₈, M V) kan men opnieuw komen tot
de graden der krommen (RgK (§ 52) en (R^Uts (§ 55)-

Nu beschouwen wij de verwantschap tusschen de
punten IV en V, benevens de verwantschap tusschen
de stralen r\' = M IV en t) = MV.

Met een straal r\' komen overeen

3 (3 n² — 2 n — 25) (n - 6)
stralen v; met een straal v

3 (n — 6) (7 n² 2 n — 65)

stralen r.

Elke der 6 (n — 5) (2 n — 3) raaklijnen t₃,₃ door M,
die een der raakpunten R₃ op a hebben, is een (n — 6)-
voudige coïncidentie.

Het aantal coïncidenties r\' = v bedraagt dus

(n - 6) [3 (3 n² — 2 n — 25) 3 (7 n² 2 n — 65)
— 6 (n — 5) (2 n — 3)] = 6 (n — 6\') (.? n² 13 n — 60).

Dit getal is de graad der kromme (i?₃)t₃,4, die de meet-
kundige plaats is der raakpunten 11% der raaklijnen £3,4.

In de symmetrische verwantschap tusschen de stralen
!) = MV en v\' = M V\' komen met een straal v overeen
3 (n — 6) (7 n² 2 n — 65) (n — 7) stralen v\' en om-
gekeerd.

Elke der 6 (n — 5) (2 n — 3) raaklijnen t₃,₃ door M
vervangt (n — 6) (n — 7) coïncidenties.

Voor het aantal coïncidenties v = v\' wordt dus ge-
vonden

6 (n — 6) (7 n² 2 n — 65) (n — 7)
— 6 (n - 5) (2 n - 3) (n - 6) (n — 7) of
30 (n — 6) (n — 7) (n² 3 n — 16).

Dit getal stelt voor den graad van de meetkundige plaats
(-Z?₃)t₃,₃,2 der raakpunten I{₃ van de raaklijnen £3,3,2.

§ 59. Elk punt van de willekeurige rechte a is, als
basispunt van een in S^l begrepen complex, raakpunt R₃
eener t₃,2,2 voor 2 (n — 5) (n — 6) (n 6) raaklijnen t₈,2,2.

(Complexen Tabel I).

De meetkundige plaats (R2/s,2,2)a der raakpunten R₂,
die aan het op a gelegen raakpunt R₃ zijn toegevoegd,
heeft met a twee groepen van punten gemeen.

De eerste groep omvat de 5 (n — 6) (n² 19 n — 72)
snijpunten met de kromme (Rs)t5,2 (§ 52), de tweeide
de 6 (n — 4) (n — 5) (n — 6) groepen van twee punten

Ra, waar a wordt aangeraakt door de krommen c", die
haar tot f3,2,2 hebben.

Bijgevolg is (R₂/3,2,2)a van den graad

5 (_n _ 6) (n² 19 n - 72) 12 (n - 4) (n — 5) (n — 6)
of (n — 6) (17 n² — 13 n — 120).

§ 60. Thans leggen we door tusschenkomst van de
rechte a een verwantschap vast tusschen de

2 (n — 5) (n — 6) (n 6)

groepen van krommen c", die het raakpunt R3 eener
t₃,2,2 op a hebben en de overeenkomstige raaklijnen t₃,₂,2.

Ter bepaling van den graad van de meetkundige plaats
der punten V, welke elke t₃,₂,₂ met haar cⁿ gemeen
heeft, beschouwen wij de figuur, voortgebracht door
projectieve toevoeging van de overeenkomstige stelsels
|cⁿ| en | f3,2,21.

De krommen cⁿ van den door P bepaalden complex,
die een t₃,₂,2 bezitten, hebben haar raakpunten R₃ op
een kromme (R₃)i₃,2,2 van den graad

\\ (n - 5) (n — 6) (13 n² 45 n — 168).

(Complexen Tabel VI).

Dit getal stelt den index van het beschouwde stelsel
| cⁿ | voor.

De index van 11₃,₂,₂1 is gelijk aan

4 (n - 5) (n - 6) (2 n - 3),

welk getal den graad der kromme (R₃/₃,2,2)1\' voor-
stelt (§ 30).

Neemt men in aanmerking, dat de voortgebrachte figuur
is samengesteld uit 6 (n — 5) (n — 6) (ri 6) maal de
rechte a [ieder van haar punten is, als basispunt van
een in S\' begrepen complex, raakpunt R₃ van

2 (n — 5) (n — 6) (11 6)
raaklijnen t₃,₂,2 (complexen Tabel I)] en tweemaal de

kromme (R2/3,2,2)a (§ 59), dan vindt men voor den graad
der kromme (VR₃/₃,2,₂)a

\\ (n — 5) (n - 6) (13 n² 45 n - 168)

4 n (n — 5) (n — 6) (2 n — 3)
— 6(n —5)(n —6)(n 6) —2(n—6)(17n²-13n—120) =

\\ (n — 6) (n — 7) (29 n² — n - 240).

§ 61. De puntenparen R₃ en R₂ bepalen in een
stralenbundel (M) een verwantschap, waaruit opnieuw
de graad der kromme (Rö)¹5,₂ kan worden afgeleid (§ 52).

Evenzoo leveren de stralen verwantschappen (MR₂,
MR₂\') en (MR₃, M V) de graden der krommen (R₃)t₃,4
(§ 58) en (R₄)t4,₂,₂ (§ 55).

De symmetrische verwantschap (M V, M V\') heeft tot
kenmerkend getal

|(n - 6) (n - 7) (29 n² - n - 240) (n - 8);

zij bezit (n — 7) (n — 8) coïncidenties in eiken der
4 (n — 5) (n — 6) (2 n — 3) stralen M R₃.

.De overige zijn in drietallen afkomstig van raak-
lijnen f3,2,2,2-

Hieruit wordt afgeleid, dat de raakpunten lh der
raaklijnen f₃,₂,2,2 op een kromme (7^3)13,2,2,2 van den graad
{n — 6) {n — 7) (u — 8) (7 n² 17 n — 100) zijn gelegen.

§ 62. Elk punt van de willekeurige rechte a is, als
basispunt van een in S⁴ begrepen complex, raakpunt R₂
van 2 (n ■— 5) (3 n 8) raaklijnen t₂,4 (complexen Tabel 1).

De meetkundige plaats (R4/₂,4)a der raakpunten R₄,
die aan het op a gelegen raakpunt R₂ zijn toegevoegd,
heeft met a twee groepen van punten gemeen.

Tot de eerste groep behooren de 15 (5 n—17) snij-
punten van a met de kromme (Ro)t_G (§ 52); de tweede
groep omvat de 8 (n — 4) (n — 5) raakpunten R₄, waar

a een undulatie vertoont met de krommen cⁿ, die haar
in een punt R2 aanraken.

Men vindt hieruit voor den graad der kromme (84/2,4)3

15 (5 n — 17) 8 (n — 4) (n — 5) of 8 n² -f- 3 n - 95.

§ 63. Beschouwen wij thans het stelsel | cⁿ | van
krommen c", die het raakpunt R2 van haar raaklijn t₂,₄
op de rechte a hebben.

Het stelsel | c" | heeft tot index

4 (n — 5) (3n² 10n- 33);
immers dit getal stelt voor den graad der kromme
(Ra)i2,4 in den door een punt P uit S⁴ afgezonderden
complex. (Complexen Tabel VI).

Voor het overeenkomstige stelsel | f2,41 is de index
2 (n — 5) (7 n — 8): immers dit getal stelt voor den graad
der kromme (R₂/4,2)p (§ 24).

De figuur, die door de projectieve stelsels | cⁿ | en
11₂,41 wordt voortgebracht, bestaat uit 4 (n — 5) (3 n — 8)-
maal de rechte a, omdat ieder van haar punten, als
basispunt van een in S⁴ begrepen complex, raakpunt
R₂ is van 2 (n — 5) (3 n 8) raaklijnen ta,4 (complexen
Tabel I) en de meetkundige plaats der punten V, welke
elke t2,i nog met haar c" gemeen heeft.

Voor den graad van de kromme (VR₂/₂,i)a wordt dus
gevonden

4 (n - 5) (3 n² 10 n -- 33) -f- 2 n (n - 5) (7 n — S)
— 4 (n — 5) (3 n 8) - 4 (8 n² 3 n - 95) of
2 (n — 6) (13 n² 3 n — 100).

§ 64. Uit de stralenverwantschappen (M R₂, M R₄)
en (M R₂, M V) kan men opnieuw afleiden de graden
der krommen (R_ö)tc (§ 52) en ^3)13,4 (§ 58).

De puntenparen R4, V bepalen in een stralenbundel
een verwantschap met kenmerkende getallen
(8n²-f 3n —95)(n —6) en 2 (n - 6)(13 n² 3 n — 100).

De 2 (n — 5) (7 n — 8) stralen t_a,4 door M, die hun

raakpunt R2 op a hebben, vervangen ieder (n —6)
coïncidenties.

Uit

(8 n² 3 n - 95) (n — 6) 2 (n - 6) (13 n² 3 n — 100)

- 2 (n - 5) (7 n — 8) (n - 6)
vindt men nu, dat de raakpunten h\'₂ der raaklijnen 7₂,₅
op een kromme (7?2)\'2,5 Hg gen, waarvan de graad
5 (« — 6) (4 n² 19 n — 75) is.

De symmetrische verwantschap (M V, M V\') heeft tot
kenmerkend getal

2 (n — 6) (13 n² 3 n — 100) (n - 7).

Zij bezit (n — 6) (n — 7) coïncidenties in eiken der
2 (11 — 5) (7 n — 8) stralen M R₂.

De overige zijn afkomstig van raaklijnen t₂,4,2.

Men vindt zoodoende, dat de raakpunten der raak-
lijnen £2,4,2 op een kromme (li2)12,4,2 van den graad
2 (n — 6) (n — 7) (19 n² 49 n — 240) liggen.

§ 65. Elk punt van de willekeurige rechte a is, als
basispunt van een in S⁴ begrepen complex, raakpunt
R₂ van 3 (n — 5) (n-G)(3n 8) raaklijnen t₂,₃,2.

(Complexen Tabel I).
• De meetkundige plaats (R₃Is,3,2)1 der raakpunten R₃
heeft met a twee groepen van punten gemeen.

De eerste groep omvat de 5 (n — 6) (n² 19 n — 72)
snijpunten met de kromme (R5)t&,2 (§ 52); de tweede
groep omvat de 6 (n — 4) (n — 5) (n — 6) raakpunten R₃,
ieder tweemaal geteld, omdat R₃\' bij 2 raakpunten R₂
van a behoort.

Voor den graad van de kromme (R₃/2,₃,2)a wordt dus
gevonden

5 (n — 6) (n² 19 n - 72) 12 (n — 4) (n - 5) (n - 6)
of (n — 6) (17 n² — 13 n — 120).

De meetkundige plaats (R₂72,3,2)3 van het raakpunt
R₂\', dat aan R₂ (op a gelegen) en R₃ is toegevoegd,
heelt met a eveneens twee groepen van punten gemeen.

De eerste groep omvat de 3 (11 - 6) (4 n² 29 n — 125)

snijpunten met de kromme (R₄)u,₈ (§ 55); de tweede
groep de 12 (n — 4) (n — 5)(n —G) raakpunten R₂ der
cⁿ, waarvoor a is 12,3,2-

Voor den graad van (R₂72,3,2)» wordt dus gevonden
3 (n — G) (4n² 29n- 125) 12(n — 4) (n —5)(n —6)
of 3 (n — 6) (8 n² — 7 n - 45).

§ GG. Wij beschouwen nu het stelsel | cⁿ | van krom-
men cⁿ, die een der raakpunten R₂ van haar raaklijn t2,₃,2
op de rechte a hebben.

De index van het stelsel | cⁿ | is gelijk aan
3 (n — 5) (n G) (7 n² 13 n - 54),
welk getal den graad der kromme (R2)t2,3,2 voorstelt,
voorkomende in den door een punt P uit S⁴ afgezon-
derden complex. (Complexen Tabel VI).

De index van het overeenkomstige stelsel | f2,3,21 is
gelijk aan den graad der kromme (R₂/2,3,2)r (§ 30), dus
= 3 (n — 5) (n — G) (7 n - 8).

De figuur, die bepaald wordt door de projectieviteit
tusschen de krommen c", die een t₂,₃,2 bezitten en die
raaklijnen t₂,3,2 bestaat uit G (n — 5) (n — G) (3 n 8) maal
de rechte a, omdat ieder van haar punten, als basispunt
van een in S⁴ begrepen complex, raakpunt R2 is van
3 (n — 5) (n — 6) (3 11 8) raaklijnen t₂,3,2 (complexen
Tabel I).

Verder behooren er toe de kromme ^3/2,3,2)* driemaal
geteld en de kromme (R->\'/2,3,2)a, tweemaal geteld.

Voor den graad van (Vn₂/₂,3,2)a vinden wij nu
3 (n - 5) (n - G) (7 n⁸ -f- 13 n — 54)
3 n (n — 5) (n - G) (7 n — 8) — G (n - 5) (n — G) (3 n 8)

— 3 (n — G) (17 n²- 13 n- 120)

- G (n - G) (8 n² — 7 n — 45) of
G (n - G) (n - 7) (7 n² — 3 n — 40).

§ G7. De verwantschap tusschen de stralen M R2, M Rs
levert opnieuw den graad der kromme (R5)¹b,2, behoorende
bij de raaklijnen t_ö,₂ (§ 52).

Evenzoo kan men uit een beschouwing der verwant-
schappen (MR₂, MRo\'), (MR₃, MRo\'), (MR₂, MV) en
(M R₃, M V) opnieuw komen tot de graden der krommen
(R₄)«4_;3 (§ 55), (R₂) ₂,5 (§ 64), (R₃)i₃,3,2 (§ 58) en (R₂)i₂,₄,2 § (64).

De verwantschap (R₂\', V) bepaalt in den stralenbundel
(M) een verwantschap met kenmerkende getallen
3 (n - 6) (8 n² — 7 n — 45) (n — 7) en
6 (n - 6) (n - 7) (7 n² — 3 n - 40).
Daar de raaklijnen t₂,_3l2 door M ieder (n — 7) coïn-
cidenties vervangen, bedraagt het aantal coïncidenlies
M R₂\' = M V

3 (n - 6) (8 n² — 7 n - 45) (n — 7)
6 (n - 6) (n — 7) (7 n² - 3 n — 40)
- 12 (n — 7) (n — 5) (n — 6) (7 n — 8) =
45 (n - 6) (n - 7) (n² -f 2 n - 11).
Daar deze twee aan twee op rechten t₂₎₃,₃ moeten
liggen, vindt men dat de raakpunten lh der raaklijnen
/2,₃,₃ op een kromme (#2)2,3,3 van den graad

^ (_n _ o) (» - 7) {n- -f 2 n - 11)

«v

liggen.

De symmetrische verwantschap (M V, M V\') heeft tot
• kenmerkend getal 6 (n - 6) (n — 7) (7 n² — 3 n — 40) (n - 8).

Elke t₂,₃,2 door M vervangt (n -- 7) (n — 8) coïncidenties.
" Voor het aantal coïncidenties M V=M V\' vindt men dus
12 (n — 6) (n — 7) (7 n² — 3 n — 40) (n — 8)
- 3 (n - 5)(n - 6) (7 n - 8) (n - 7) (n - 8) =
3 (n — 6) (n — 7) (n — 8) (21 n² 31 n - 200).
De helft hiervan, dus

| (n - 6) (n - 7) (n — 8) {21 «² 31 n - 200)

stelt voor den graad der kromme (i?₂)t₂,₃,₂,₂, die de meet-
kundige plaats is van de raakpunten li» der raaklijnen <2,3,2,2.

§ 68. Elk punt van de willekeurige rechte a is, als

basispunt van een in S⁴ begrepen complex, raakpunt R₂
eener viervoudige raaklijn t2,2,2,2 voor

|(n-5)(n-6) (n - 7) (3 n 8)

krommen (complexen Tabel I).

De meetkundige plaats (R₂\'/2,2,2,2)» der raakpunten R₂\',
die aan het op a gelegen vaakpunt R₂ zijn toegevoegd,
heeft met de rechte a twee groepen van punten gemeen.
De eerste groep omvat de

l (n -.- 6) (n - 7) (17 n² 107 n - 480)
£

raakpunten R₄ van raaklijnen t₄,₂,2 (§ 55), de tweede de
groepen van vier raakpunten R2\', gelegen op de krommen
cⁿ, waarvoor a viervoudige raaklijn is; deze punten
moeten driemaal in rekening worden gebracht.

Hieruit wordt voor den graad der kromme (R2/2,2,2,2)®
afgeleid

1 (n - 6) (n - 7) (17 n² 107 n - 480)
8 (n - 4) (n - 5) (n -6) (n -7) =
1 (n _ 6 ) (n - 7) (33 n² - 37 n - 160).

§ 69. Wij beschouwen nu weer het voortbrengsel
van de projectieve stelsels | cⁿ | en 11₂,2,2,21.
Het eerste heeft tot index

| (n - 5) (n - 6) (n - 7) (15 n² 19 n - 96),

immers dit getal stelt voor den graad der kromme (R2)t2,2,2,2,
voorkomend in den complex, die door een punt P uit
S⁴ wordt afgezonderd (complexen Tabel VI); het tweede

heeft tot index f (n — 5) (n — 6) (n — 7) (7 n — 8), welk

getal den graad der kromme (R₂/2,2,2,2)p voorstelt (§ 33).
Daar de voortgebrachte figuur bestaat uit

|(n —5) (n — 6) (n-7)(3n 8)

maal de rechte a [omdat ieder van haar punten, als basis-
punt van een in S⁴ begrepen complex, raakpunt R₂ is van

~ (n — 5) (n — 6) (n — 7) (3 n 8)

raaklijnen t₂,2,2,2 (complexen Tabel I)], tweemaal de
kromme (R₂72,₂,2,2)a (§ 68) en de meetkundige plaats der
punten V, welke elke cⁿ nog met haar t₂,₂₎₂₎₂ gemeen
heeft, vindt men voor den graad van (Vn₂/₂,₂,₂,₂)_a

| (n - 5) (n - 6) (n — 7) (15 n² 19 n — 96)

|n(n-5)(n-6)(n - 7)(7n-8)

-f.(n- 5)(n-6)(n-7)(3n 8)
— (n — 6) (n — 7) (33 n² — 37 n — 160) of
1 (n - 6) (n - 7) (n - 8) (29 n² - 21 n - 140).

§ 70. De kromme (Vr₂/₂,2,2,2)3 wordt door «gesneden in

|(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)

groepen van (n — 8) raakpunten R₂, die ieder viermaal
in rekening moeten worden gebracht en in een aantal
punten R₈, waar een cⁿ wordt geosculeerd door een
raaklijn t₃,₂,2,2.

Voor den graad der kromme (#3)13,2,2,2 wordt dus ge-
vonden

| (_n — 6) (n - 7) (n — 8) (29 n² - 21 n - 140)

-|(n-4)(n-5)(n-6)(n —7)(n-8) of

(_W _ 6) (n - 7) (n — 8) (7 n² 17 n — 100).
Dit resultaat is niet nieuw (§ 61).
De verwantschap tusschen de punten R₂\', die buiten a
liggen, levert opnieuw den graad der kromme (R2)t2,i,2 (§ 64).

Uit de verwantschap (M R2\', M V) kan men opnieuw
den graad der kromme ^2)12,3,2,2 afleiden (§ 67).

De symmetrische verwantschap (M V, M V\') heeft tot
kenmerkend getal

| (n - 6) (n - 7) (n - 8) (29 n² - 21 n - 140) (n - 9).

Elke der | (n — 5) (n — 6) (n — 7) (7 n — 8) raaklijnen

t₂,2,2,2 door M vervangt (n — 8) (n — 9) coïncidenties.
Het aantal coïncidenties M V = M V\' bedraagt derhalve

| (n — 6) (n — 7) (n — 8) (29 n² - 21 n — 140) (n — 9)
-1 (n - 5) (n - 6) (n — 7) (7 n - 8) (n - 8) (n - 9) of

| (n - 6) (n - 7) (n - 8) (n - 9) (11 n² 11 n - 90).

Hieruit volgt nu, dat de meetkundige plaats der raak-
punten van de vijfpuntige raaklijnen £2,2,2,2,2 een kromme
van den graad

~ (n —6) (n - 7) (n - 8) (n — 9) {11 n² H n —90) is.

§ 71. Aan elke kromme cⁿ, die een raaklijn tc bezit,
voegen wij die raaklijn toe; deze snijdt haar in (n — 6)
punten V.

Ter bepaling van den graad der meetkundige plaats
der punten V zoeken wij eerst den graad van de figuur,
die door de prqjectieve stelsels [ cⁿ | en | te | wordt voort-
gebracht.

De krommen cⁿ door een punt P vormen een com-
plex; daarin komen 30 (n — 5) (5 n — 9) krommen voor,
die een t_ö bezitten (complexen Tabel VII); dit getal is
de index van | cⁿ |.

De index van het stelsel 11₆1 is gelijk aan het aantal
tü, die men uit een punt P kan trekken, dus = 15 n
(n - 5) (§ 23).

De projectieve stelsels | cⁿ | en | t_c | brengen dus een
kromme voort van den graad

30 (n - 5) (5 n — 9) 15 n² (n - 5).

Hiertoe, behoort de kromme (Rg)\'g (§ 52) zesmaal.

Voor den graad van de kromme (Vrg) wordt dus
gevonden

30 (n — 5) (5 n — 9) 15 n² (n — 5) — 90 (5 n — 17) —
15 (n — 6) (n² 11 n —32).

§ 72. In den stralenbundel (M) bepalen de punten-
paren (Re, V) een verwantschap met kenmerkende getallen
15 (5 n — 17) (n — 6) en 15 (n — 6) (n² 11 n - 32).

Elke der 15n(n — 5) in M samenkomende lijnen t_G
vertegenwoordigt (n — 6) coïncidenties.

Hiermede rekening houdende, vinden wij voor het aan-
tal coïncidenties Rg = V, dus voor het aantal raaklijneiï t-i
(n — 6)[15(5n— 17) 15 (n² 11 n— 32)-15n(n — 5)]
of 105 (n - 6) (3 n - 7).

De verwantschap tusschen twee tot dezelfde cⁿ be-
hoorende punten V bepaalt in den stralenbundel (M) een
symmetrische verwantschap met kenmerkend getal
15 (n - 6) (n² 11 n — 32) (n — 7).

Hiertoe behoort elke der 15n(n — 5) in M samen-
komende raaklijnen t_G (n — 6) (n — 7) maal.

Dus is het aantal coïncidenties v = v\'
(n — 6) (n — 7) [30 (n² -f 11 n - 32) — 15 n (n — 5)] of
15 (n — 6) (n — 7) (n² 27 n — 04).

DU getal geeft het aantal raaklijnen k,2.

§ 73. Aan elke cⁿ, die een raaklijn tö,2 bezit, zullen
wij die lijn toevoegen; deze snijdt haar nog in (n — 7)
punten V.

De meetkundige plaats der punten V vormt met de
vijfmaal getelde kromme (Rö)\'5,2 (§ 52) en de tweemaal
getelde kromme (1*2)15,2 (§ 64) het voortbrengsel dei-
projectieve stelsels | cⁿ | en | te,21.

In den complex, dien een punt P uit S¹ afzondert,
komen 10(n — 5) (n — 6) (n² 18 n — 33) krommen voor,
die een raaklijn ts,2 bezitten (complexen Tabel VII); dit
getal is dus de index van ! c" |.

Het stelsel 11₅,21 heeft, blijkens § 23, den index
25 n (n - 5) (n — 6).

De projectieve stelsels | cⁿ | en | f5,21 brengen derhalve
een kromme voort van den graad
10 (n-5) (n —6) (n² 18n-33) 25n²(n — 5) (n-6).

Voor den graad der kromme (Vr₅₎₂) wordt dus gevonden
10 (n - 5) (n - 6) (n² 18 n - 33) 25 n² (n - 5) (n - 6)
-25(n — 6)(n² 19n — 72) — 10(n — 6)(4n² 19n-75)
of 5 (n - 6) (n — 7) (7 n² 37 n — 120).

§ 74. Een beschouwing van de verwantschap (M R5,
M R₂) levert opnieuw het aantal t₇ (§ 72).

Evenzoo levert (M R_ö) M V) het aantal t_c,₂ (§ 72).

Nu voegen wij op elke rechte f5,2 het punt R₂ aan
elk der (n — 7) punten V toe.

Daardoor worden de stralen van een bundel (M) ge-
rangschikt in een verwantschap met kenmerkende getallen
5 (n — 6) (4 n² 19 n - 75) (n — 7) en
5 (n - 6) (n - 7) (7 n² 37 n - 120).

Merken we op, dat de 25 n (n — 5) (n — 6) raaklijnen
ts,₂, die in M samen komen, elk (n — 7) coïncidenties
vertegenwoordigen, dan vindt men voor de coïncidenties
M R₂ = M V het aantal

(n-6) (n — 7)[5(4n² 19n — 75) 5(7 n⁸ 37n— 120)
— 25 n (n — 5)] = 15 (n — 6) (» — 7) (2 n² -f 27 n — 65).

Dit getal stelt voor het aantal krommen, die een raaklijn
f5,3 bezitten.

De symmetrische verwantschap (M V, M V\') levert een
nieuw kenmerkend getal. Zij heeft tot kenmerkend getal
5 (n - 6) (n - 7) (7 n² 37 n - 120) (n — 8).

De 25 11 (n — 6) (11 — 6) rechten tö,₂ door M vervan-
gen ieder (n — 7) (n — 8) coïncidenties.

Het aantal coïncidenties M V = M V\' bedraagt derhalve
(n - 6) (11 - 7) (n—8) [10(7 n² 37 n — 120) - 25 n (n - 5)]
of 15 (n — 6) (n — 7) (n — 8) (3 n² 33 n - 80).

Hieruit volgt, dat een S⁴

^-(n — 6) (n — 7) (n - 8) (3 w² 33 n — 80)

tC

krommen bezit met een raaklijn £5,2,2.

§ 75. Bepalen wij den graad der meetkundige plaats
(Vr₄,₃) van de groepen van (n — 7) punten V, welke de
rechte t₄,₃ met haar cⁿ gemeen heeft.

De krommen cⁿ, die een t₄,₃ bezitten, vormen een
stelsel met index 6 (n — 5) (n — 6) (3 n² 29 n — 54)
(complexen Tabel VII); haar raaklijnen t₄,₃ een stelsel
met index 30 n (n — 5) (n — G) (§ 26).

Het voortbrengsel van deze projectieve stelsels bestaat
uit viermaal de kromme (R₄)t₄,₃ (§ 55) en driemaal de
kromme (R₃)t₄,₃ (§ 58), die de raakpunten bevatten en
de meetkundige plaats der punten V.

Voor den graad van (Vr₄,₃) vinden wij dus:
6 (n — 5) (n - 6) (3 n² 29 n - 54) 30 n² (n - 5) (n — 6)
._ 12 (_n - 6) (4 n² 29 n — 125)
— 18 (n — 6) (3 n² 13 n - 60) =
24 (n - 6) (n — 7) (2 n² 7 n - 25).

§ 76. Met behulp van de verwantschap tusschen de
punten R₄ en R₃ der raaklijnen t₄,₃ kan men het reeds
in § 72 gevonden aantal raaklijnen t7 terugvinden.

Analoog verkrijgt men door middel van de verwant-
schap tusschen twee punten R₄ en V, op eenzelfde t₄,₃
gelegen, opnieuw het in § 74 afgeleide aantal ts,3.

De verwantschap (M R₃, M V) heeft tot kenmerkende
getallen

6 (n — 6) (3 n² 13 n — 60) (n — 7) en
24 (n — 6) (n - 7) (2 n² 7 n — 25);
terwijl elke der 30 n (n — 5) (n — 6) stralen t₄,₃ door
M (n — 7) coïncidenties vertegenwoordigt.

Het aantal coïncidenties M R₃ = M V bedraagt dus:
(n - 6) (n - 7) [6 (3 n² 13 n — 60)
-4- 24 (2 n² 7 n — 25) - 30 n (n — 5)] of
12 (n - 6) (n - 7) (3 n² 33 n — 80).

Daaruit volgt, dat er in een S^l

6 (n — 6) (» — 7) (3 n² 33 tl — 80)
krommen voorkomen, die in \'t bezit zijn van een raaklijn £4,4.

De symmetrische verwantschap (M V, M V\') heeft tot
kenmerkend getal

24 (n - 6) (n - 7) (2 n² 7 n — 25) (n — 8);
elke raaklijn t₄,₃ door M vervangt (n — 7) (n — 8) coïn-
cidenties.

Uit

48 (n —\'6) (n - 7) (2 n² 7 n — 25) (n — 8)
— 30 n (n - 5) (n — 6) (n - 7) (n — 8)
volgt, dat 6 (« — 6) (n — 7) (n — 8) {11 n² 8111 — 200)
krommen van S^l een raaklijn £4,3,2 bezitten.

§ 77. Wij beschouwen nu het stelsel | cⁿ | der krom-
men, dié een raaklijn t4,₂,2 bezitten en bepalen den graad
van de meetkundige plaats (Viu,₂,₂) der punten V, welke
elke cⁿ nog met haar f4,2,2 gemeen heeft.

Het stelsel | cⁿ j heeft tot index

2 (n - 5) (n — 6) (n - 7) (7 n² 51 n - 9G);
dit is immers het aantal cⁿ van den complex, dien een
punt P uit S\' afzondert, welke een f4,2,2 bezitten.

(Complexen Tabel VII).

De index van het stelsel 114,₂,21 is

20 n (n — 5) (n — 6) (n — 7) (§ 26).

Tot de figuur, die door de projectieve stelsels | c" |
en | f4,2,21 wordt voortgebracht, behooren ook de krom-
men (Ri)t4,2,2 (§ 55) en (R2)u,2,2 (§ 64), de eerste vier-
maal, de tweede tweemaal.

Voor den graad van (Vn4,2,s) vindt men dus
2 (n — 5) (n — 6) (n — 7) (7 n² -f 51 n — 96)

20 n² (n — 5) (n - 6) (n — 7)
— 2 (n - 6) (n - 7) (17 n² 107 n — 480)
— 4 (n — 6) (n — 7) (19 n² -1- 49 n — 240) of
2 (n - 6) (n - 7) (n - 8) (17 n² 47 n — 180).

§ 78. De verwantschappen (M R₄, M R₂), (M R₂, M R₂\'),
(MR₄, M V) en (MR₂, M V) leveren opnieuw de aan-
tallen raaklijnen t«,« (§ 72), t₄,₄ (§ 76), t₅,₂,2 (§ 74) en
t4,M (§ 76).

De verwantschap tusschen twee tot dezelfde cⁿ be-
hoorende punten V bepaalt in een stralenbundel (M)
een symmetrische verwantschap, waarvan het kenmer-
kend getal

2 (n — 6) (n — 7) (n — 8) (17 n² 47 n — 180) (n — 7) is.

Tot deze verwantschap behoort elke der
20 n (n — 5) (n - 6) (n — 7)
in M samenkomende raaklijnen t₄,₂,₂ (n — 8) (n — 9) maal.

Voor het aantal coïncidenties M V = M V\' wordt dus
gevonden

(n - 6) (n — 7) (n — 8) (n - 9) [4 (17 n² 47 n - 180)
— 20 n (n — 5)] of

48 (n - 6) (n — 7) (n — 8) (n — 9) (n² 6 n — 15).

Er zijn dus

16 (n — 6) (n — 7) (n — 8) {n — 9) (n² 6 n— 15)
krommen, die in \'t bezit zijn van een raaklijn (\'4,2,2,2.

§ 79. Wij gaan nu het stelsel der krommen cⁿ be-
schouwen, die een raaklijn t₃,3,2 bezitten. Ter bepaling
van den graad der kromme (Vr₃,₃,₂), die de meetkundige
plaats is van de punten V, welke cⁿ nog met ts,3,2
gemeen heeft, bepalen wij den graad van de figuur,
voortgebracht door de projectief gemaakte stelsel | cⁿ |
en 11₄,2,2,21.

Het eerste heeft tot index

9 (n - 5) (n - 6) (n - 7) (2 n² 11 n — 21),
welk getal het aantal cⁿ met een t₃,₃,2 voorstelt, voor-
komende in een tot S⁴ behoorenden complex. (Com-
plexen Tabel VII).

De index van 11₃,₃,₂1 is (§ 29)

Y n (n — 5) (n — 6) (n — 7).

t
!

De voortgebrachte figuur bevat de kromme (Rs)is,3.2
(§ 58) driemaal en de kromme (R₂)t3,3,2 (§ 67) tweemaal.
Daaruit wordt voor den graad van (vr₃,3,₂) afgeleid:
9 (n — 5) (n - 6) (n — 7) (2 n² 11 n — 21)

⁴|n²(n-5)(n-6)(n-7)

— 90 (n - 6) (n - 7) (n² 3 n - 16)
— 90 (n — 6) (n — 7) (n² 2 n — 11) of

| (_n _ G) (n - 7) (n — 8) (9 n² 19 n -- 80).

§ 80. De verwantschappen (M Ra, M R₈\'), (M Ra, M R₂),
(M R₃, M V) leveren . opnieuw do aantallen t_e,2 (§ 72),
te,₃ (§ 74) en t₄,₃,₂ (§ 76).

De verwantschap (M R», M V) heeft in verband met
de graden der krommen (R2)»a,3,₂ en (Vii3,a,2) tot ken-
merkende getallen

^ (n - 6) (n - 7) (n² 2 n - 11) (n - 8) en
| (n - 6) (n - 7) (n - 8) (9 n² 19 n - 80).

Ar.

Elke der ~ n (n - 5) (n - 6) (n - 7) tot (M) bchoo-

rende t₃,₃,2 is (n — 8)-voudige coïncidentie, dus is het
aantal der coïncidenties MR« = MV

f (n² 2n-ll)

|(9n² 19 n — 80) — yn(n — 5)J of

Y(n - 6)(n - 7) (n - 8)(n² 6n- 15).

Nu bedraagt het aantal driemaal osculeerende rechten /₃,3,3
97

tL (_n _ ₀₎ (_n _ ₇) (_n _ ₈) (u² 6\' 11 - 15).

De symmetrische verwantschap (M V, M V\') heeft tot
kenmerkend getal

| (_n _ 6) (_n - 7) (11 - 8) (9 n² 19 11 - 80) (n - 9).

Iedere tot (M) behoorende t₃,3,2 vervangt nu (n — 8) (n — 9)
coïncidenties.

Dus vindt men voor het aantal coïncidenties M V=M V\'
(n — 6) (n — 7) (n — 8) (n — 9) [9 (9 n² 19 n - 80)

-fn(n-5)] =

| (n — 6) (« — 7) (n — 8) {n — 9) {13 n² 63 n - 160).
Dit getal stelt het aantal raaklijnen £3,3,2,2 voor.

§ 81. Voegen wij aan elke t₃,₂,2,₂ haar c" toe en be-
palen wij den graad van de meetkundige plaats der
punten V, welke elke c" nog met haar ts,2,2,2 gemeen heeft.

In den door een punt P uit S⁴ afgezonderden com-
plex, komen er

(n - 5) (n - G) (n — 7) (n — 8) (9 n² 37 n - 72)
krommen voor, die een raaklijn f3,2,2,2 bezitten (com-
plexen Tabel VII).

Daarmee is de index van het stelsel | c" | bekend.
De index van het stelsel | f3,2,2,21 is

10 n (n — 5) (n — 6) (n — 7) (n - 8) (§ 32).
•Neemt men in aanmerking dat tot de door de pro-
jectieve stelsels | cⁿ j en | {3,2,2,21 voortgebrachte figuur
de kromme (1*3)13,2,2,2 (§ 61) driemaal en de kromme
(R2)\'3,2,2,2 (§ G7) tweemaal behoort, dan vindt men voor
den graad van (Vn₃,2,2,2)

(n — 5) (n - 6) (n — 7) (n - 8) (9 n² 37 n - 72)
10 n² (n — 5) (n — G) (n — 7) (n — 8)
— 3 (n - G) (n - 7) (n - 8) (7 n² 17 - 100)
- 3 (n — 6) (n — 7) (n - 8) (21 n² 31 n — 200) of
(n - 6) (n — 7) (n — 8) (n - 9) (19 n² 29 n — 140).

§ 82. De verwantschappen (M R₃, MR₂), (M R₂, M R₂\'),
(M R₃, M V) en (M R₂, M V) leveren opnieuw de aantallen
tf.,2,2 (§ 74), f3,4,2 (§ 7G), t4,2,2,2 (§ 78) en f3,3,2,2 (S 80).

Met behulp van de kromme (Vr3,3,2,2) kunnen wij het
in S⁴ voorkomende aantal raaklijnen f3,2,2,2,2 vinden.

Daartoe voegen wij de rechten M V, M V\' aan elkaar
toe, waardoor een symmetrische verwantschap met ken-
merkend getal

(n —G) (n—7) (11-8) (n — 9)(19n³-f 29n— 140) (n — 10)
ontstaat.

De 10 n (n — 5) (n — 6) (n — 7) (n — 8) in M samen-
komende raaklijnen zijn (n — 9) (n — 10)-voudige coïn-
cidenties.

Op de overige valt telkens V met V\' samen.
Het aantal coïncidenties M V = M V\' bedraagt dus

(n - G) (n - 7) (n - 8) (n - 9) (n — 10) [2 (19n² 29n -140)

— 10 n (n — 5)] =
4 (n - G) (n - 7) (n —8) (n -9) (n-10) (7n² 27 n — 70).

Hieruit volgt dat er in een S¹(n — G) (n — 7) (n - 8) (n — 9) (n—10) (7n² 27 n — 70)
raaklijnen £312,2,2,2 voorkomen.

§ 83. Wij beschouwen nu het stelsel | cⁿ | der krommen,
die een raaklijn 12,2,2,2,2 bezitten en bepalen den graad
van de meetkundige plaats der punten V, welke elke
cⁿ nog met haar f2,2,2,2,2 gemeen heeft.
■ De index van het stelsel | cⁿ | is gelijk aan

| (n - 5) (n — G) (n - 7) (n - 8) (n - 9) (n² 3 n - G)

d.i. het aantal c" van den door een punt P uit S⁴ afge-
zonderden complex, die een f2,2,2,2.2 bezitten (com-
plexen VII).

De index van het stelsel | f2,2,2,2,21 is gelijk aan
|n(n-5)(n-G)(n-7)(n-8)(n-9) (§ 35).
Tot de door | c" \\ en | f2,2,2,2,21 voortgebrachte figuur

behoort de kromme (R₂)»2.2,2,2,2 (§ 70) tweemaal; derhalve
vindt men voor den graad van (Vr₂,₂,2,2,2)

| (n — 5) (n - 6) (n - 7) (n — 8) (n — 9) (n² 3 n — 6)
o

1 n² (n - 5) (n - 6) (n - 7) (n - 8) (n - 9)
— | (n — 6) (n - 7) (n - 8) (n - 9) (11 n² 11 n - 90)
of | (n — 6) (n - 7) (n - 8) (n- 9) (n- 10)(n² n -6).

§ 84. Uit de verwantschappen (MR₂, MR₂\') en (M R₂,
M V) kan men opnieuw komen tot de aantallen f4,2,2,2
(§ 78) en 13,2,2,2,2 (§ 82).

De verwantschap tusschen twee tot dezelfde cⁿ be-
hoorende punten V bepaalt in den stralenbundel (M)
een symmetrische verwantschap met kenmerkend getal

|(h-6)(n—7)(n-8)(n-9)(n-10)(n» n—6)(n-ll).

Elke der f n (n — 5) (n - 6) (n — 7) (n — 8) (n — 9) raak-

lijnen f2,2,2.2,2 is (n—10) (n—1 l)-voudige coïncidentie.

Hierop lettende vindt men voor het aantal coïnci-
denties \'MV^M V\'

|(n² n-6)

(n —6)(n — 7)(n-8)(n-9)(n-10)(n —11)

— | n (n — 5)

2 (n — 6) (n - 7) (n — 8) (n — 9) (n - 10) (n — 11)
(n² 3 n - 8).

Er zijn dus

TABELLARISCH OVERZICHT DER KENMERKENDE
GETALLEN VOOR EEN STELSEL S⁴.

\' \' \'■ \'•.■ V

Tabel I.

Een enkelvoudig basispunt is
Raakpunt Rg van 15 raaklijnen tc

Graad van (R&)r 5 (n — 2)

, (R₄Mp (n — 5) (9n — 16)

„ (R_a/4,«)p 2 (n — 5) (7 n — 8)

■ (R»/«,₃)p 6 (n — 5) (2 n — 3)

, (Rs/.,.,.)p 4 (n — 5) (n — 6) (2 n — 3)

» (R₂/₃,2,2)p 3 (n — 5) (n - 6) (7 n - 8)

„ (Ri/a,s,s,i)p |(n — 5) (n — 6) (n — 7)(7n-8)

Tabel III.

(n-9)

Tabel IV.

Graad van (R₅)b 5 (n — 2)

„ (R,/_4i8)b 3 (n — 6) (3 n — 5)

v (R2/4,₂)b 2 (n — 6) (7 n — 5)

„ , (R₃/»,8)b 3 (n — 6) (4 n — 5)

, , (R₃/₃,2,2)b 2 (n — 6) (n — 7) (4 n — 5)

, (R₂/₃,2,2)b 3 (n — 6) (n — 7) (7 n — 5)

„ (R₂/2,2,2,₂)b I (n - G) (n - 7) (n - 8) (7 n - 5)

Tabel V.

Aantal te

n ^5,2

» t-»,3

» tl,2,2

» t₃,₃,2

, t₃,2,2,2

*

t) t₂,2,2,2,2

door B 15 (n 1) (n — G)
„ , 25 (n 1) (n — G) (n — 7)
, , 30 (n 1) (n — 6) (n — 7)
„ , 20 (n 4-1) (n — 6) (n — 7) (n — 8)
45

„ „ l)(n-G)(n--7)(n-8)

Jt

n , 10 (n -f- 1) (n — G) (n — 7) (n — 8)

(n-9)

„ , |(n l)(n-G)(n-7)(n-8)
(n —9)(n —10)

Tabel VI.
Graad van (R_ö)t_c 15 (5 n — 17)

„ (R₅)t5,2 5 (n — 6) (n² 19 n — 72)
„ (R₄)t4,3 3 (n — 6) (4 n² -j- 29 n — 125)

„ (R₄)t4,2,2 ^(n —6)(n— 7)(17n² 107n —480)

„ (R₃)t_3l4 6(n — 6)(3n² 13 n — GO)
» (R₃)\'₃,8)2 30 (n — G) (n — 7) (n² 3 n - 1G)
„ (R₃)t₃,₂,2,2 (n—6)(n —7)(n— 8)(7n²4-17n—240)
* (R₂)tt>,4,₂ 2 (n —G) (n —7) (19n² 49n—240)
45

. » (R₂)t₂,₃,₃ y (n - 6) (n - 7) (n² 2 n - 11)

» (Ra)«2,3,2,₂ |(n — 6) (n — 7) (n — 8)

(21 n² 31 n —200)

„ (R₂)t2,2,2,2,2 ~ (n - 6) (n — 7) (n - 8) (n - 9)

(11 n²-Min-90)

Tabel VII.
Aantal t₇ 105 (n — G) (3 n — 7)

„ tö,₂ 15 (n — G) (n — 7) (n² 27 n — G4)
„ t₆,₈ 15 (n — G) (n — 7) (2 n² 27 n — G5)

„ t₅,2,2 y (n —6)(n —7)(n-8)(3n² 33n-SO)

„ t»,4 G (n — 6) (n — 7) (3 n² 33 n — 80)
, t₄|S(2 G(n — G)(n —7)(n — 8)(lln² 81n —200)
, t4,₂,2,2 1G (n - G) (n - 7) (n - 8) (n - 9)

(n² 6 n — 15)

„ ts,8,s y(n-6)(n-7)(n-8)(n² 6n-15)

„ W, |(_n-G) (n — 7) (n — 8) (n — 9)

(13 n² 63 n - 160)
„ ts.2,2,2,2 (n — 6) (n — 7) (n — 8) (n — 9) (n — 10)

(7 n² 27 n — 70)

„ t₂,₂,2,2,2,₂ ö(n — 6)(n — 7)(n — 8)(n — 9)(n — 10)

(n —ll)(n² 3n —8)

STELLINGEN.

*

Stellingen.

ï.

Bij de bepaling van kenmerkende getallen voor een
lineair stelsel va^ vlakke algebraïsche krommen wordt
met vrucht van de eigenschappen der involuties gebruik
gemaakt.

Het onderzoek van den invloed van een meervoudig
basispunt geeft tot geen nieuwe gezichtspunten aanleiding.

3.

Het bewijs, dat Wieleitner geeft van de stelling „de
raaklijn in een punt aan de kromme van Steiner is de
poollijri van het overeenkomstige punt op de kromme
van Hesse t. o. v. de oorspronkelijke kromme" is onjuist.

H. Wieleitner, Theorie der ebenen algebraischen Kurven
höherer Ordnung, 1905, blz. 58.

4.

5.

Ten onrechte zegt J. G. Kapteijn, dat een frequentie-
wet tot stand komt door een eindig aantal oorzaken.

J. C. Kaptkijn and M. J. van Uven, Skew Frequcncy
Curves in Biology and Statistics, 2nd Paper, 191(5 (blz. 8—13).

6.

Het is noodzakelijk te definieeren, wat men verstaat
onder de plaats van een asymmetrische spectraallijn van
eindige breedte.

7.

Het is niet wenschelijk besluiten te trekken omtrent
de intensiteitsverdeeling van het licht in een spectraal-
lijn, door in een photographische plaat op het oog de
zwarting te beoordeelen.

8.

De strenge definitie, die Klein en Sommerfeld geven
van stabiliteit van beweging heeft voor de natuurkunde
weinig beteekenis.

F. Klein und A. Sommerfeld, Übcr die Theorie des
Kreisels, 2, 1908 (blz. 350).

\'i

9.

De onderstelling, waarop Weiss zijn theorie van het
ferromagnetisme grondt, leidt tot een resultaat, dat in
tegenspraak is met de waarneming.

P. Weiss, Les idéés niodernes sur la constitution do la
matifcre (blz. 332).

10.

Het heeft geen zin te spreken van een voortplantings-
snelheid der diffusie.

P. Fkank, Über die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Dif-
fusion. Physik. Zeitschrift 19, 1918 (blz. 510).

11.

Het zou aanboveling verdienen, dat bij het onderwijs
in natuurkunde op de H. B. S. meer rekening kon
worden gehouden met de vorderingen der wetenschap.

12.

Het ware wenschelijk, dat in de wet op het Hooger
Onderwijs de eischen voor het doctoraal-examen in de
Wis- en Natuurkunde zoodanig werden gewijzigd, dat
den candidaat de vrije keuze werd gelaten zich öf in
meetkundige öf in analytische richting te bekwamen.

v-v:

. V