... ............................................

irSee./aJU)

♦

BIJDRAGEN TOT DE THEORIE
VAN ELASTISCHE MEDIA MET
- ORIËNTEERBARE DEELTJES -

y

x r»—ri^"

BIJDRAGEN TOT DE THEORIE VAN ELASTISCHE
MEDIA MET ORIËNTEERBARE DEELTJES

BIJDRAGEN TOT DE THEORIE VAN ELASTISCHE
MEDIA MET ORIËNTEERBARE DEELTJES

ACADEMISCH PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING
VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN
NATUURKUNDE AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE
UTRECHT, OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAGNI-
FICUS DR. W. VOGELSANG, HOOGLEERAAR IN DE
FACULTEIT DER LETTEREN EN WIJSBEGEERTE,
VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNI-
VERSITEIT TEGEN DE BEDENKINGEN VAN DE
FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE TE VER-
DEDIGEN OP WOENSDAG 15 DECEMBER DES NA-
MIDDAGS OM 4 UUR, DOOR

WILLEM KOSTER

GEBOREN TE AMSTERDAM

ELECTRISCHE DRUKKERIJ „DE INDUSTRIE" J. VAN DRUTKN - UTRECHT

MCMXX

Aan T.

Bij de voltooiing van dit proefschrift betuig ik mijn dank
aan allen, die tot mijn wetenschappelijke vorming hebben
bijgedragen.

Maar zeer in het bijzonder, en boven allen ben ik U, Hoog-
geleerde Ornstein, Hooggeachte Promotor, erkentelijk voor Uw
onvermoeide hulp, voor Uw hartelijke belangstelling. Speciaal
ook voor die warmte in Uw steun, zonder welke warmte de
moed tot wetenschappelijke arbeid mij teneenenmale was gaan
ontbreken, ben ik U innig dankbaar.

INHOUD.

HOOFDSTUK I.

Bladz.

De elastische differentiaal vergelijkingen voor een medium,
opgebouwd uit deeltjes, die een oriënteerende werking
op elkaar uitoefenen......... . . . 1

HOOFDSTUK II.
Statische toepassingen............16

HOOFDSTUK III.
Dynamische toepassingen...........36

HOOFDSTUK IV.
Toepassing op de theorie van de soortelijke warmte. . 58

Stellingen.................67

HOOFDSTUK I.

De elastische difFerentin.ilvergelijkingen voor een
medium, opgebouwd uit deeltjes, die een oriëiiteerende
werking op elkaar uitoefenen.

Wij zullen in dit hoofdstuk de differentiaalvergelijkingen
afleiden voor een elastisch medium, dat opgebouwd is uit
deeltjes, die oriëiiteerende werkingen op elkaar uitoefenen.
Wij zullen ons daarbij beperken tot het geval, dat het medium
isotroop is en dat de elongatie\'s en de hoekon, die de oriön-
tatie\'s bepalen, als kleine grootheden te beschouwen zijn.

De toestand van een elastisch medium, die gewoonlijk dooi-
de verschuiving der zwaartepunten der elementaire deeltjes kan
worden vastgelegd, behoeft in ons geval nadere bepaling door
het aangeven van drie hoekgrootheden, die de oriëntatie der
deeltjes bepalen. De werkingen, die de deeltjes op elkaar
uitoefenen, zullen niet alleen krachten zijn, doch ook de
koppels zullen niet langer te verwanrloozen zijn. Terwijl
verder de spanningen in het medium een algemeener vorm
\'moeten krijgen en de spanningen, die met die der gewone
elasticiteitstheorie analoog zijn, thans niet alleen van de defor-
matie\'s, doch ook van do hoeken, die de oriëntatie bepalen,
afhankelijk gesteld moeten worden.

§ 1. Wij zullen er thans toe overgaan, dit schema nader
uit te werken. Wij denken ons aan elk deeltje \') van het

\') Een willekeurig materieel deeltje wordt hier geïdentificeerd door
het geven van 3 parameterwaarden a, b en c. Vergelijk voor de theorie
der media, gelijk wij die beschouwen Hellinger. Enzykl. Math. Wiss.
IV 2 II Heft 5 blad 600 en vlg.

medium een rechthoekig assenkruis verbonden, waarvan de
3 assenrichtingen door 3 onafhankelijke parameters A, y
(die b.v. de Eulersche hoeken kunnen zijn) t. o. v. het oor-
spronkelijk xyz coördinatenstelsel bepaald zijn. Nu is dus
de toestand van het medium vastgelegd als gegeven is:
het zwaartepunt der deeltjes door x = x (abc); y=y(abc);
z = z (abc).

en hun oriëntatie door: A = A (abc); p — (abc); y = y (abc).

Een virlueele deformatie van het medium bestaat nu uit
een virtueele verschuiving en een virtueele draaiing. Zij wordt
bepaald door <5 x, 2 y, 2 z, 2 A, 2 (x, 2 v. Voert men nu de com-
ponenten 2 u 2 z 2 <t van de hoekverschuiving van de virtueele
draaiing langs de 3 assen in, dan bewijst men:
5 A = li ^wH-mi 3 *m <5 5-

O V ------)

zoodat dus ook -2 w, 2 •/. en 2 a als functie\'s van a, b en c
de virtueele draaiing bepalen.

Uit het principe van de virtueele verplaatsingen volgen als
evenwichtsvoorwaarden (vergelijk het geciteerde artikel):

ai...........

2 x 2 y o z

*h ih *.h p L = o
2x 2y 2 7,

(6)........... -

Hierin zijn X, Y en Z de componenten van de op de massa-
eenheid van het medium werkende kracht; X_z... Z_z de com-
ponenten van de elastische verschuivingsspanningen, terwijl
L, M en N zijn de componenten van het op de massaeenheid
vau het medium werkende moment en L_x... N_z de compo-
neuten van de elastische draaispanningen.

De vergelijkingen (4), (5) en (G) wijken, afgezien van het
voorteeken, nog in zooverre van die van Voigt Kompendium

der theor. Phys. I blad 223 en Cosserat. Corps déformables
blad 137 af, dat daar het totale, op een deeltje werkende
koppel p L -f- Y_r — Z hiér met éen letter genoemd is.

§ 2. Wij moeten nu van de deformatie van het medium
rekenschap geven, d. w. z. verantwoorden, dat eenerzijds in
elk medium door deformatie elastische spanningen optreden,
andererzijds, dat door inwerkende spanningen deformatie\'s
worden veroorzaakt. Hiertoe nierken wij op, dat de elastische
spanningen ,met de grootheden, die de deformatie van het
medium bepalen, moeten samenhangen. De vergelijkingen,
die dat verband aangeven, noemt Hellinger de stofvergelij-
kingen. Deze vergelijkingen, gecombineerd met de vergelij-
kingen (1)...(G) beheerschen liet elastische evenwicht.

In de klassieke elasticiteitstheorie onderstelt men, dat de
spanningen in een bepaald punt functie\'s van de deformatie
in dat punt zijn, waarbij dus de spanningen functie\'s van de
differentiaalquotiënten van de verschuivingen der deeltjes
worden.

Volterra heeft deze onderstelling gewijzigd dopr aan te
nemen, dat de spanningen zoogenaamde Fonctions de ligne
van de deformatie\'s zijn, d. w. z. dat de deformatie\'s van
vroegere tijdstippen de spanning op het gegeven tijdstip mede
bepalen \')•

De eenvoudigste onderstelling is dan verder, dat de span-
ningen lineaire functie\'s van de deformatiegrootheden zijn.
Deze onderstelling wordt gewoonlijk Wet van Hooke genoemd.

Hebben wij nu te doen met een medium met oriënteerbare
deeltjes, dan zullen de spanningen en de draaispanningen niet
alleen van de deformatiegrootheden afhangen, doch de draaiingen,
of beter, lnm differentiaalquotiënten naar de coördinaten zullen
thans ook een rol spelen. Wij zullen nu weder de veronder-
stelling invoeren, dat alle spanningsgrootheden lineaire functie\'s
van de voorkomende deformatiegrootheden zijn. Daardoor
krijgen wij het volgende schema:

\') Vergelijk W. Koster Dz. Over dc theorie der hyatereeis volgens
Volterra Versl. K. Akad. v. Wet. Deel XXIX p. \'2G4. 1920.

& \\\\ # U & w #0) # ff

(8) .. .X_x = ai.i^ -1 ... au, ^ ax.io^H-... a,.,8^

Y _ o

at , \'^f> W . è OJ ,

(2o)... JNz = ais.i -z--r.............ais.o --r ais.io z--r • • • ais.is

^v \' ï) x v Z ó x d _z

In dit schema zijn i. p. v. de hoeken è A, ^ p, d v de hoeken
5 os, dü, J r ingevoerd, die lineaire functie\'s van deze groot-
heden zijn.

Wij breiden op deze wijze de Wet van Hooke uit voor een
medium met oriënteerbare deeltjes.

Substitueeren wij deze waarden in de evenwichtsvergelijkingen
(1)... (G), dan krijgen wij zes vergelijkingen in de zes onbe-
kenden u, v, w, cc, x en <r, waaruit deze dus te bepalen zijn
als functie\'s van de onafhankelijk veranderlijken x, y en z.

§ 3. Wij zullen thans het stelsel (8)... (25) vereenvoudigen,
door te veronderstellen, dat wij met een isotroop medium te
doen hebben. De eerste eisch, die voor isolropie vervuld
moet worden, is, dat de waarden van de spanningen niet
veranderen, als wij de X as van richting omkeeren, d. w. z.
invariant zijn voor de substitutie

x\' = — x u\' = — u co\' = — u

Maken wij dus de getransformeerde deformatiegrootheden
op, dan verkrijgen wij:

{) x\' # x fty\' iïyflz\' ttz i> x\' 0y ^— & z

•!^v:=-4^v \' . -

V X I\' z

- -

Substitutie in (8) geeft:

i} n\' #u\' $ u\' . &v\' ,

X .. = ai.i _)f - ai.2 _& - au - a_{M {)} a,.₆ a,.₆ ^ -

\' <1 i
W . l) w .

ï.io z—i • • • hetzelfde in cc, •/. en <r, maar alle 2^e indices
v x

9 liooger; en dus is:

ai.₂ = ai.3 =ai.4 = ai.T =0

ai.ii = ai.12 = ai.ia = ai.ie ⁼ 0
Op dezelfde wijze vervolgende met de andere spanningen,
krijgen wij het schema:

»

ai.2 =ai.₃ ==ai.4 =ai.7 =0 ao.2 =a2.3=a2.4=a2.7=0 a₃.2 = a3.3=a3.4=a3.7 = 0
ai.n=ai.i2=ai.i3⁼ai.i6—0 a2.11— — — — — as.11 — — — —

34.2 =a4.3 =»a4.t ⁼a4.7 =0 ae.2 =a5.3=a5.i=a&.7 = 0 ag.2 =— — — =0

a₇.2 =87.3 =a7.i =«17.7 =0 as.2 = — — — =0 ao.2 =— — — =0
a7.n= — — — =0 as.11= — — — =0 ao.u= — — — =0

en nog eens hetzelfde schema met alle eerste indices 9 hooger.

Er vervallen dus 2X9X8 = 144 coëfficiënten; er blijven
18² — 144 = 180 coëfficiënten over.

De 2° eisch, die voor een isotroop medium in vervulling
moet gaan, is, dat de 3 assen gelijkwaardig zijn, d. w. z. door
cyclische verschuiving moeten de spanningen in elkaar over-
gaan. Na schrapping van de vervallen coëfficiënten is er van
de vergelijkingen (7)... (24) nog overgebleven:

0 U . 0 V , 0 V . 0 w , 0 W .
x* = ai.1 ^ 01.5 j_y ai.« ^ ai.8 — a,.₉ ^

0 _u . 0 * 0 x , 0 <r . 0 <7

a_M0 ^ ai.,4 _{{} y} ai.,_{6 § z} a,.,₇ ^ aus „ -

Cyclisch verschoven:

0 v , 0w . 0w , Ou .
(²«)...... y ⁼ ^ ^a\'-⁶ O v. ^a,,° O x ^a"⁸

0 u , Ox 0 tr 0 <r . 0 _u 0 _u
\' ^ai<DÖl ^ai,1° «V ^ai,u0 z ^a,\'^,5 ïhx ^81,17 0~z ^1,18 0 x

(27)... Zz =

terwijl men had:

„ ïï u . # v . ïï v # w .

(²⁸ )......^y = ^ «5.5 ^ as.G ö~_z -t a₅.8

#\\v . // o; . ffx , . 0(T . •

(29 ).....Z_z=

Door vergelijking van de coëfficiënten van (26) met (28)
en van (27) met (29) verkrijgt men nog de betrekkingen:
iai.6 = ai.8 = 0 ai.i = as.5 = ao.9 ai.is = ai.n = 0 ai.io = a5.11 = ao.is

(30) . ^a5-o ⁼ a5-8 = 0 ai.5 = as.» = ao.i as.15 = as.17 = O ai.u = aö.is = ao.io
I ao-c = ao.s = 0 81.9 = 85.1=89.5 80-15 = 89.17=0 81.18=35.10 = 89.14
en nogeens hetzelfde schema met alle l^e indices 9 hooger.
Hierdoor vervallen dus 2 X 24 = 48 coëfficiënten; resten nog
180 -48 = 132.

Nu moet nog door de cyclische verschuiving blijken over
te gaan X_y in Y_z en Z_x en verder X_z in Y_x en Z_y. Het zal
duidelijk zijn, dat dit beide geeft een herhaling van (30), de
eerste keer in plaats van de 1° indices 1, 5 en 9 voorop 2,6
en 7 (èn alle 9 hooger); de 2^e keer in plaats van 1, 5 en 9
voorop 3, 4 en 8 (èn alle 9 hooger). Er vervallen nu dus
nog eens 2 X 48 = 96 coëfficiënten. Er blijven dus nog
132 — 96 = 36 coëfficiënten over.

Het stel „stofvergelijkingeir neemt dus de volgende ge-
daante aan:

&\\1 . 0v , >> w . {>K . Üff

X_X = ai.1 _//x a,.5 ^    

0u , _o &a C

. f>u
\\ = Yi ^a3-¹² Tv.

Y_x = a3.3^_x a₃.,₂^-_x

ÖVL . 0v . 0W , 0« . (k₉

y = ^ai\'° ^81,1 i?y ^x ,«>z

ftv .

ft xv . iïff

^zx— ai.11 ^

₇ #W # (T

Z_y — a₈.8^ a₃.i8 ^

_r/ Au . . />w . ftu . d_x &<r

ai.» r 

en hetzelfde nog eens in L_x... N_z, maar alle l^e indices 9 hooger.

De laatste eisch, waaraan voor een isotroop medium voldaan

moet worden luidt: dat alle mogelijke richtingen gelijkwaardig

moeten zijnj d.w.z., het stelsel moet invariant zijn voor een

willekeurige orthogonale substitutie (assendraaiing).

Deze 3^e voorwaarde, heeft ook omgekeerd tengevolge dat

een medium, dat aan die 3 eischen voldoet ^l) ook noodzakelijk

isotroop moei zijn.

Maken wij dus b.v. eens op X\'_y., dan moet blijken, dal

ft u\' ft co\'

X _y. = a₂.2 >ƒ y a2.11 ^y, en wij krijgen dan

dus weer coëfficiënten te identificeeren.

Er wordt dus toegepast de orthogonale substitutie:
x = ai x\' bi y\' ci z\' getransponeerd: x\' =ai x a₂ y a₈ z
y = a₂ x\' -f- b> y\' c₂ z\' y\' = bi x b₂ y b₃ z

z = a₃ x\' b₃ y\' -f- c₃ z\' z\' = ci x -f C2 y 4- c₃ z

Verder is:

X_x. = ai X_x -f- a2 X_y -f- a₃ \\ X\'_x. = ai X_x. 4* a₂ Y_x, -f- a₃ Z_x.

Voortgezette substitutie\'s en dan identificatie van coëf-
ficiënten, zooals boven aangegeven (af en toe ook gebruik
maken van do eigenschappen van de órthogomale substi-
tutie\'s als bijv. y, a_f b_; = 0 levert ten slotte het schema:

ai.5 = ai.o ^{= a}i*>8

32.2 = a₃.₃ = aj.i — ai.5 02.n — a₃.i2 = a 1.10 — ai.u

\') Do derde eidch nluit l^e en 2« in zich; echter heb ik do vervulling
van 1 en 2 laten voorafgaan, 0111 de becijferingen voor 3 makkelijker
to kunnen doorvoeren.

en hetzelfde met de l^e indices 9 hooger. Dit óök nog
substitueerende, worden de „stof" vergelijkingen voor het
isotrope georiënteerde medium:

ftu , $v , ftw , ftu . ftu . ft<r
^X* ^{= aw} ftx ^ai\'⁵ ftj ^ai\'⁵^z ^1,lo;^x ^1,14^y ^ai-^uF_z

y r _a f ^

. #v . #W , du . .

Z, = ai.5^ ai.5^ ai-,f -f ai.io^

L^aio.i^ aio.s^ aio.s^-H-aio.io^t-aio.u^ aio.u^

. ^u . , Sr*

L_y = (aio.i — aio.₅J P~ (aio-io — aio.uj-q^; -

0U . #V , #W . &U , .

N_z=aio.5^ a₁₀.B^- aio,i^ aio.M^i-a,o.i4^ aio.xo^-_z )

\') Vervangen wij de coëfficiënten a hierin weer door de
gebruikelijke coëfficiënten a en /x, dan krijgen wij,

x, = (a 2 ^  r_y y_Tz

ft u , „ f ft u

y o ,,_ -i- q £-

ft U . ftv , , , „ _% ftvf , Ou . ft X . , ,
L =(A, 2 A, ^ (* 2 fc) ^ ^

ft U , - «. ft cc

Substitueeren wij deze waarden in de vergelijkingen (1) — (6),
dan komt er, als wij weer, evenals in de klassieke theorie
van de elasticiteit invoeren de afkortingen:

# u , #w _ ^ u . fl⁸u fl²u .

0 x #y fz iï x² & y² #z²

en verder analoog:

(31) .ai.₅^ (ai.i —ai.5)A²u ai._u^ (ai.xo—ax.i4)A⁸ftj=_iöX

■& 0 ïïS

(32).ai.6\'^ (ai.i—ai.ö) A²V ,ai.i4^ (ai.i₀— ai.i4)A⁸jc=/jY

•&0 fis

(33).ai.»^ (a».i —ai.₅) ^²wH-aiu"g^ (ai.i₀— ai._u)A²ö-=₍aZ

ïïö „

(34).ai₀.6^-  (ato.i —aio.ö) A²u ain.u^ feio.io^-aio.14) A²co 4-

(35). aio.ö ^ (aio-i —aio.5) A²v aio.u^y-Maio.io— aio.14) A²j< -t-

(ai.i - a,._ö) (—-^ J^pU

fld ïïB

(30) . aio.ö q- (nio-i — aio._B) A² w an.u -f- (aio-io - aio.u)A⁸<r

Zetten wij hierin voor de coëfficiënten de gebruikelijke
letters a en dan krijgen wij:

(37). (A 

(38). (A „) ^ _f4A»v (v D

(39). (A (*) ^   =

• (*« ^ 1*1 A² u 0/1 si) si A² oj ai -
(41). (A, „) Ij * a² v <« *.)Jf & a². ,

• u rift A\'w {vi & A» , ■4- )

Dit stelsel van 6 simultane partieele differentiaalvergelijkingen
van de 2^e orde in de onbekende functie\'s u, v, w, u, ■/., <r van de
onafhankelijk veranderlijken x y z vormen de elastische diffe-
rentiaalvergelijkingen voor het isotrope georienteerde medium
voor het geval van evenwicht.

Verder moeten in vervulling gaan de volgende randvoor-
waarden :

(43)... X_x cos nx -f X_y cos ny X, cos nz = X

(44)... Y_x cos nx -f Y_y cos ny Y_z cos nz = Y

(45)... Z_x cos nx Z_y cos ny Z₇ cos nz = Z

(46)... L_x cos nx L_y cos ny L_z cos\'nz = L

(47)... M_x cos nx M_y cos ny -f- iM_z cos nz = M

(48)... N_x cos nx N_y cos ny N_z cos nz = N

Hierin stellen X, Y en Z voor de oppervlaktespanningen
op het begrenzend oppervlak, L, M en N op overeenkomstige
wijze de draaispanningen; de niet-gestreepte letters zijn geen
oppervlakte-, maar ruimtespanningen; n is de naar builen
gerichte normaal.

Wil men de vergelijkingen niet voor isotrope, maar voor
kristallijne media, dan geeft het vorige reeds voor verschillende
kristalstelsels de vorm der vergelijkingen. Want in de 1° stap
hebben we aangegeven, welke coëfficiënten wegvallen, als de
assenrichtingen mogen omgekeerd worden en de 2° stap gaf
aan, welke coëfficiënten wegvielen, als men de assen met
elkaar mag verwisselen.

Wij moeten nu nog de bewegingsvergelijkingen aangeven:

Zooals bekend gelden voor de beweging öm het zwaarte-
punt de Eulersche bewegingsvergelijkingen:
Pp (R-Q) qr = L,
• , Qq (P_R)rp = M,

R r (Q - P) pq = N,

Hierin stellen P, Q en R voor de hoofdtraagheidsmomenten

van het deeltje, p, q en r de rotatie\'s om die (bewegelijke)
assen; Li, Mi en Ni zijn de momenten van de inwendige
krachten om diezelfde assen.

Onderstellen wij nu, hetzij dat de rotatie\'s p, q en r kleine
grootheden zijn, hetzij dat onze deeltjes bolsymmetrie vertoonen,
zoodat P = Q = R, dan kunnen de tweede termen in die
linkerleden weggelaten worden en we houden over:

Pp = L,
Qq = M,
Rr = N,

Wij bepalen nu, als steeds, de stand van dit bewegelijke
assenstelsel t.o.v. een in het zwaartepunt aangebracht vast
stelsel met behulp van de Eulersche hoeken 0, 0 en tp.

Als wij nu aannemen, dat ("), <p en klein zijn, zoodat
hun sinussen bij benadering nul, hun cosinussen bij benadering
gelijk één genomen mogen worden, dan volgt uit gewone
vectorontbinding, dat bij l^c benadering de rotatie\'s om de
vaste assen gelijk zijn aan de rotatie\'s om de bewegelijke
assen. Tevens volgt dan, dat de momenten Li, Mi en Ni bij
benadering gelijk zijn aan de momenten om de vaste assen.

Voor de deeltjes, waaruit ons medium is opgebouwd, nemen
wij nu den bolvorm aan; dan is, als we P = Q = R noemenr
Li enz. te brengen tot de gedaante:

d o)

= - d? ^en7"

Voeren wij dit in, dan komt, als pendant van het stel (1) — (G)

(_x 0\'in _y «X

en analoge vergelijkingen in v en w, Y en Z; en verder

ÏÏÏ* Tx I\'>y #z ~^u

en analoge vergelijkingen in x en <r, M en N.

Substilueeren wij hierin de stof vergelijkingen voor het isotrope
medium en nemen wij weer voor de coöflicienten daarin de
gebruikelijke letters, dan krijgen wij als bewegingsvergelijkingen:

(49) . (a r) ^ A² u (V 0 ^ £ X

(50) . (A JL _A²v (y ■ I) ~ * -/>Y

0t²
tH²

„Q. /) ,9. O.

(52)...(AlA²u  (vi £,)^ £i A²oj

(ft V 0 w\\ _ ft² u .

(53)... (A, ,m) fit A² v (*, £1) || & A² *

. /ft W #U\\ fl²«

^ IsT -J-_z) ⁼ röT*-P ^M

/> t²

j» /I A %

(54)... f Ai fr) f? mi A² w (_yi ft) ^ ft a» «r

. (ftxx #²<r

§ 4. Wij zullen de energievergelijking voor liet georiën-
teerde medium onderzoeken. Daartoe brengen wij eerst de
bewegingsvergelijkingen blzd. 11 rgl. 7 v. o. in den vorm:

/>X_Z

dx ¹ fty \' ft z
0 Y_ /> Y_ /> Y

# x y . ft z
0²a> , <>K , ^L , L_z

t²

ft²x

P M- r_?yT-₂

0 x 0 y # z

ft N i N_v 0 N,

— -I--^? --— 0

ftx ^ ^ ftz ^U

Wij vermenigvuldigen respect, met de grootheden, die
achter de streep zijn aangegeven, (d n is het volume-element)
integreeren naar r, en tellen de zoo verkregen vergelijkingen
op, dan komt er:

. r r /f>X_r &X_V &X,\\ /&Y_t \\ i

f_te (Lu M/ N/)dr_l /;V~  

kies nu u = ■„ . dt v =-„ . dt w =-3-; dt

u t v t 1/1

dan wordt f :

M......

Nu stelt /j (X du V dv -f- Z dw) d r 1 voor de arbeid ver-
richt op hel massaelement p d 7, door de massakrachten X, Y
en Z in den tijd dt, waarin de deformatie du ... d <r plaats
grijpt; dus f is de totaalarbeid. verricht door de massa-
krachten X, Y en Z in den tijd dt

Voorls wordl

(50......ƒ 

voorstellende de totaalarbeid, verricht door de massamomenten
L, M en N in den tijd d t.

De integralen 2 en 5 leveren samen:

W\'K&\' ßWSD\'H*

Noemt men de vorm [ .. ] T₀, de totale kinetische energie,

dan wordt dit ——.-7° dt.

d t

Ter transformatie van de integraal
êX

r /fA tr\\ ^ /WY. \\

gaan wij te werk als in de klassieke elasticiteits theorie (zie
b.v. Rieman-Weber II blz. 161 en vlg.). Men integreert partieel
en past op de positieve termen de stelling van Gauss toe
en verkrijgt aldus:

Tl

A^xFt Vt ^zFï)

Deze integraal stelt voor de in den lijd dt tegen de uit-
wendige oppervlakte krachten verrichte arbeid. E11 op dezelfde

wijze van f^:

-ÏÏCC .r: (h,

êt §1 \' " I?

voorstellende de in den tijd dt tegen de uitwendige opper-
vlakte momenten verrichte arbeid.

Er rest nog van /

of na substitutie u\' = ^ dt:

Ktt /\'[v * 4- Y * , v * .

⁽⁵⁸⁾.....~ J [^X* Ft ^ ^X>\' Fü*y ^X* ,H &z

& V li wl

^Y* Ft Fc   ^Z* Ft ^{dt dri}\'

en zoo nog van /:
•6

<⁵⁹⁾.....-J ^L* Ft Fx ^L>\' Ft Fj Ft Fz

I Ö V* . KT V , ,

^M*F_tFx ----^N«Ft^ ^dtd"\'

Overzien we de vergelijkingen (55) — (59), dan volgt, in
verband met de Energie stelling, dat (58) (59) voorstelt de
in den tijd dt gewonnen potentiëele energie binnen in de
ruimte n. De potentiëele energie voor het georiënteerde
medium neemt dus den vorm aan:

  N.d£

Men kan hierin verder voor X_x — N_z de uitdrukkingen
schrijven van\' § 3 blz. 8, dan krijgt men de potentiëele
energie voor het isotrope georiënteerde medium.

IIet. isotrope oriënteerbare medium zal een potentiaalfunctie
bezitten, indien de betrekking geldt:

ai.io = aio.i en ai.u — aio.n
of, in de gebruikelijke notatie:

Ai = \'j en pi — s

(Over de potentiaal bij georiënteerde media zie Gosserat
Corps déformables Hoofdstuk IV).

Ook hier is weer dezelfde opmerking te maken als aan het
slot van § 3. Voor de kristallijne media krijgen wij de energie
als we in (GO) voor de krachten en momenten de voor het
betrokken kristallyne medium geldende vergelijkingen gebruiken.

HOOFDSTUK II.

Statische toepassingen.

§ 1. Wij zullen onderstellen, dat er géén uitwendige krachten
en momenten werken, d. w. z. de grootheden X, Y, Z, L, M en
N in de rechterleden van de vergelijkingen (37) — (42) (Hoofd-
stuk I) worden nul gesteld. *)

\') Men kan aan deze vergelijkingen trachten te voldoen
door de onderstelling:

(UT\\v)=^-f Rot <J>
(_UKf) = S $ Rot
waarin dus V en scalaire, ^CP en ¥ vectorpotentialen zijn.
Daartoe moeten de functie\'s <p en oplossingen zijn van de
differentiaalvergelijkingen:

(61 ).....(a M  2?)

(62 ).....— (v 2 £) ⁸f = (vi 2fi) V

Dit kan alleen als ² V = >² ^ = 0

Verder moeten de functies ⁽I> en ¥ oplossingen zijn van de
vergelijkingen:

(63 )........p A²<P £ = 0 of

(64 )........fi. — - $ sv.

en van:

(65 ).....- ( % A« - p Hot) <t> = A^{2 V}F.

Hieruit volgl voor <P:

(66 )......J^² — ft Rot) <ï> = —

s

en een soortgelijke vergelijking voor ^vf^r.

Uit de gevonden grootheden v, ⁽1>, ^ en ¥ zijn volgens de
hierboven gemaakte onderstelling (u v w) en (w x, <r) te verkrijgen.

Men overtuigt zich gemakkelijk, dat er oplossingen kunnen
zijn, waarbij u, v, w, a>, z en <r lineaire functie\'s van de
coördinaten x, y en z zijn, waarbij wij dus krijgen een lineaire
deformatie van het geheele stelsel.

De grootheden u, v, \\v, w, •/. en a moeten voldoen aan
de vergelijkingen (37) — (42), waarin de grootheden X, Y,
Z, L, M en N nul zijn. Verder moeten tusschen de groot-
heden X, Y, Z, L, M en N, de krachten en koppels, die
aan de grens van het lichaam werken, en de spanningen

X_x.....N_z de betrekkingen (43) — (48) bestaan. En ten slotte

kunnen wij de spanningen X_x — N_z als functie\'s van de defor-
matiegrootheden uitdrukken volgens de vergelijkingen :

(85). X_y = 2 f* 2 ï enz. tot en met N,

Als wij nu een zekere deformatie in het leven wenschen
te roepen, die dus door een bepaalde oplossing van
(37) — (42) gegeven is, kunnen wij vragen naar de uitwendige
oppervlaktespanningen, die men hiertoe moet aanbrengen.
Daar de deformatie voorgeschreven is, zjjn de grootheden

u — <r. en dus óók \',!^U— ƒ als functie\'s van x, v en z bekend.

j/x v z

Door deze laatste te substitueeren in (07) — (85) krijgen wij
de spanningscomponenten X_x — N_z.

Vullen wij deze weer in in (43) — (48), dan leveren deze
de verlangde grootheden X, Y, Z, L, M en N op.

Wij kunnen omgekeerd ook de oppervlakte krachten
en koppels geven en vragen, welke deformatie hierdoor
wordt veroorzaakt. D.w.z. wij moeten dan dus u — <r
als functie\'s van x, y en z bepalen. De gegeven grootheden
X — N zal men daartoe substitueeren in (43) — (48). Hier-
door verkrijgt men X_x — N_z. Daarna kan men met behulp van

(67 — (85) de waarden van — ^ de grootheden, die de

deformatie bepalen, vinden (om dan nog de grootheden

, 0 u 0 <r

u — 9 zelf te vinden, moet men de gevonden ^ sub-

stitueeren in (37) — (42). Zij zullen dan niet geheel bepaald

zijn, maar 12 willekeurige constanten bevatten. Om deze

constanten te bepalen, kan men nog verdere voorwaarden

stellen b.v., dat in de oorsprong van het coörd. stelsel:

ïïv #w . .

x — <7 = 0 en ---K— = 0 enz.)

vz v y

waarin bij gegeven krachten en koppels de deformatie bepaald
moet worden. Wij zullen thans enkele bijzondere voorbeelden
behandelen, waarin, bij gegeven krachten en koppels, de
deformatie bepaald moet worden.

§ 2. Wij hebben vooropgesteld de onderstelling, dat de
uitwendige ruimtekrachten en momenten alle nul zijn. Dit
zal zeker zoo zijn, wanneer de spanningscomponenten in alle
punten van het lichaam dezelfde waarden hebben.

immers, dan worden de grootheden ^ — alle gelijk

nul, zoodat men uit de evenwichtsvergelijkingen (1)—(G)
dadelijk ziet, dat dan ook X — N nul worden.

Maar als wij voor de spanningscomponenten constanten

willen hebben, moeten de grootheden ^—constanten

i>x trz

zijn, d.w.z. u — <r moeten lineaire functie\'s van x, y en z zijn.
Wij moeten een lineaire deformatie kiezen. Echter, aan de
1° afgeleiden, die optreden in de vergelijkingen (40), (41) en (42)
zien wij, dat de meest algemeene lineaire deformatie niet
aan het stelsel (37) — (42) voldoet. Substitueeren wij echter

deze lineaire deformatie in (40), (41) en (42), dan volgt =

enz. Wij moeten dus de deformatievector u, v, w rotatieloos
nemen. Dan hebben wij dus:
(86) u =« x r\'y (3\'z

: v = y\'x /3 y «\'z

_: W=j3\'x4-«\'y r Z

: u = «ix «»y «sz

: x =/3,x /3₂y /3₈z

(91) <T =nx rsy 78Z

Als voorbeeld nemen wij een constante uitwendige opper-

vlakte kracht P, overal gericht langs den normaal naar buiten,
terwijl de uitwendige oppervlakte momenten nul zijn. Wij
willen hieraan trachten te voldoen met een deformatie (86)—

(91), waarin wij dus nog beschikken over de coëfficiënten
x, /3 en y.

Wij hebben dus:

X = P cos nx Y = P cos ny Z = P cos nz
L = 0 M = 0 N = 0

Uit (43)-(48) volgt nu:

P cos nx = X = X_x cos nx -f X_y cos ny X_z cos nz
P cos ny = Y = Y_x cos nx -f- Y_y cos ny Y_z cos nz
P cos nz = Z = Z_x cos nx Z_y cos ny -f Z_z cos nz
0 = L = L_x cos nx L_y cos ny -f- L_z cos nz
0 = M = M_x cos nx M_y cos ny M_z cos nz
0 = N = N_x cos nx N_y cos ny ■ ■ N_t cos nz
Dit geeft:

(92) - - L_x=L_y = L_z =......N, = 0

(93) - - X_y = X_z=Y_x = Y_z = Z_x = Z_y = 0

(94) - - X_x — Y_y = Z_z — P

Daar wij trachten to voldoen met behulp van (86)—(91),
volgt uit (67)—(85):

(95) x₁ = (a 2f6)« aj8 ay (j/ 2d«i y/3i vy,

(113)Z_X=   

en nogeens precies hetzelfde schema in de letters
L — N , maar in de rechterleden de coëfficiënten y,

X l

vi en i. p. v. A, p, v en

Toepassing van (95)—(113) levert nu, met behulp van (92):

En op dezelfde wijze volgt uit (93)

x₂=(3t= — (117)

_{X5 = 7l} = — (p.p\' (118)

p₃=z₇₂=-P± a! (119)

Vergelijking van (114)—(116) met (117)—(119) levert:
x\' = (3\' = y\' = x₂ = as = (3i = = 71 = 72 = 0
Er rest nog:

^Lx = M_y — N_z = 0 X_x = Y_y = Z_z = P
Voeren wij dat in, dan levert

L_z= 0;(i/ 2|)*-{  y_iy8 = 0

en analoog voor M_y = 0 en N_z = 0

Verder levert X_x = P; (a 2 p) x a/3 a7 (v 2 £)
v (32 v 73 = P en analoog voor Y_y = P en Z₇ — P

Wij hebben dus zes vergelijkingen met zes onbekenden,
<*» /3> 7» fa ^en 73, die volledige symmetrie t. 0. v. x (3y
en oök t. 0. v. xi, (3₂ en 73 bezitten.
De oplossing luidt:

P(3vi 2sM_

* ^P (3 a (3 vi 2 ^1) — (3 v 2 £)\'-
De divergentie 0 is dus:

3 v_t 2 £1

terwijl de theorie voor het medium zonder inwendige draaiing
levert:

^3P
3 A 2

Verder wordt

_c. ₌______(3 y H~ 2 3 P __

(3 A 2 fz) (3 yx 2 £,) - (3 y 2 £)»

De volume verandering 0 vertoont dus een afwijking ver-
geleken met het geval van géén oriëntatie, afhankelijk van
die 2^e breuk in den noemer.

§ 3. Als tweede voorbeeld behandelen we het geval van
een rechte cylinder met willekeurig grondvlak. Laat legen
de beide eindvlakken constante, gelijke, maar tegengestelde
krachten P werken. De op het manteloppervlak werkende
krachten of koppels zullen wij gelijk aan nul kiezen; even-
eens de op het boven en benedenvlak werkende koppels.

Leggen wij de Z as in de richting van de beschrijvende
lijn (de naar buiten gerichte normaal zij weer positief; de
kracht P zij volgens de positieve normaal gericht en dus een
trekkende kracht, dan is aan het eindvlak, waar z de grootste
waarde heeft:

X = 0 Y = 0 Z = P cos n x = 0 cos n y = 0 cos n z = 1
en voor het eindvlak, waar z de kleinere waarde heeft:

X =0 Y = 0 Z = — P cos nx = 0 cos ny =0 cos nz =— 1

Op dezelfde wijze te werk gaande als in het 1° voorbeeld
in § 2, vinden wij:

X = 0 = X, cos nx X_y cos ny -f X_z cos nz
dus X_z = 0 Evenzoo

Y, = 0 en
Z_t = P en
L_r = M, = N, = 0

Met behulp van de „stofvergelijkingen" dan wederom:

(120)... i*(3\' S«* = 0 O = « 0 r

(121)... /li a\' s 03 = 0 Si = «i jSa 7B

(122)... a 0 2 p. r " & ² $ r» = P

(123)... £/3\' Si«8 = 0

(124)...  f i /S₃ = 0

(125)... y fl 4- 2 f r n 5 2 Si rs = 0

(120) en (123) leveren x₃ = (3\' = 0

(121) en (124) „ /3_S = = 0
Resten nog (122) en (125).

Schrijven wij nu op de voorwaarden voor het mantelopper-
vlak: daar is:

X = 0 Y = 0 Z = 0 cos n z = 0
L = 0 M = 0 N = 0
Substitueeren wij dit in het stel randvoorwaarden en be-
bedenken dat dit stel moet gelden voor alle mogelijke waarden
van cos n x en van cos n y, dan volgt:

X_x = X_y = Y_x = Y_y = Z_x = Z_y =
= L_x = L_y = M_x=M_y = N_x=:N_y = 0
Dit levert:

Hieruit volgt:

71 = Y* — ⁰ = /3i = 0 /3i = y\' = ()
«3 = (3a = 0
of, totaal met het vorige:

= j8\' = r =0 7i = 7» = x* = jSi = «s= (Si =0
terwijl er dan nog resten van het bovenstaande stel verge-
lijkingen (120), (129), (132) en (13G) en van het vorige (122)

en (125), totaal zes vergelijkingen ter berekening van de zes
grootheden x (3 y x_x (3₂ ys, als volgt:

a d 2 y y s^- -j- 2 £ 73 = P
a d 2 y 3 2 £ «i = 0

v /3₂ = 0

y ó 2 £ * -f- v, 5 2 «i=0

yö 2£/3 yiS-f2 5, /3₂ = 0
vö 2$r j/,2 2£iy₃ = 0
Oplossing levert:

p

. oc = (3 = _r

_r = P

terwijl men, zonder oriëntatie, voor dit geval heeft:
_y=P

⁷ (3a 2m)m

§ 4. Wij zullen eenige elementaire vervormingen aangeven,
die in staat stellen de elasticiteitscoëfficiënten voor het ge-
oriönteerdde medium te bepalen. De zes onbekende coëffi-
ciënten zijn, a, m» ^v> en fi. We hebben dus ook zes
onafhankelijke betrekkingen tusschen deze grootheden noodig.

Beschouwt men het eerste, door ons in dit hoofdstuk be-
handelde voorbeeld, dan levert de meting van 0 één betrekking.
Zoo krijgen wij uit het 2° door ons behandelde voorbeeld twee
betrekkingen, in totaal dus drie. Wij hebben ev dus nog
drie noodig.

Als volgende elementaire proef nemen wij weer een rechte
cylinder van willekeurig grondvlak. Tegen het manteloppervlak
werkt in loodrechte richting een constante drukkracht P,
oppervlakte momenten alle nul. Op de eindvlakken zoowel
oppervlaktekrachten als momenten alle nul. De z as leggen
wij weer in de richting van de beschrijvende lijn.

De eindvlakken leveren nu:

fi (3\' £ «s = O

a 0 2 p/3 v s 2 f /3₂ = p
A0 2|uy j/& 2fy₈ = O
y0 2£« y, a 2£₁«x = 0
v 0 2 ^_j3 _Vl& 2f_l/3₂=0
v Ö 2 Sy yt& 2fiy« —O

zijnde zes vergelijkingen van de 1° grand in de zes onbekenden
«, /3, y, «ï, /3₂ en 73.

Daar x en (3 zoowel als «i en (3_s volmaakt symmetrisch in
die vergelijkingen optreden, zien we ineen:

x = (3 en xi — /3a
Oplossing levert verder:

r =

en

Hiermede hebben wij dus weer twee vergelijkingen in de
onbekende grootheden a, £» en ft. Nog èén is er

dus noodig.

Als laatste geval nemen wij de deformatie van een kubus.
In het middelpunt leggen wij de oorsprong en de assen lood-
recht op de zijvlakken. Tegen de beide vlakken x = constant
werken twee constante tegengesteld gerichte krachten P in
de X richting, oppervlakte momenten op die zijvlakken nul.
Tegen de beide vlakken y = constant twee constante tegen-
gesteld gerichte krachten Q in de Y richting en weer géén
momenten. En ten slotte zij op de vlakken z = constant
zoowel krachten als momenten alle nul.

Voor de vlakken x = constant is:

cos nx = 1 cos ny = 0 cos nz = 0
X_x = P Y_x = 0 Z_x = 0
L_x = 0 M_x = 0 N_x = 0

Zoo leveren de vlakken y = constant:

X_y = 0 Y_y=Q Zy = 0

L_y = 0 My = 0 N_y = 0

en z = constant;

X_z = 0 Y_t = 0 Z_r = 0
L =0 M = 0 N = 0

x * l

Dit geeft aanleiding tot:

et\' = ß\' = y\' = 0

«3 = ßl = ß* = yi = 72 =⁼ 0

en verder: Ad 2/.*<z-|-j/3\' 2|ai = P
AÓ 2_ja/S yS\' 2s/32 = Q

y 0 2 £ 7 VI & 2 73 = O
Door oplossing krijgt men:

P Q

0 =

VnWh

P Q  2P-Q

fl P-Q
/3 = «---^

P

r = «---*

Hiermede heeft men voldoende vergelijkingen.

§ 5. Wij willen nu een paar voorbeelden geven van de
wijze van werken, die wij op blad 7 het eerst genoemd hebben,
nl. een deformatie wordt voorgeschreven en de oppervlakte
spanningen, die noodig zijn, om die deformatie te leveren,
worden gevraagd.

Wij beschouwen de eenvoudige deformatie
u = x x u = 0
v = o k = 0

_w = 0 <r = 0,welke aan (37)—(4-2) voldoet.

Welke spanningen zijn noodig om deze teweeg te brengen?

Het stelsel (67)—(85) van blz. 17 levert nu:

X_x = (a 2 [jl) X X_y = 0 X_z = 0
Y_x = 0 Y_y = a« Y_z = 0

Z_x = 0 Z_y = a« Z_z — a x

L* = (v-f 2 f) « L_y = 0 L_z = 0

M_x = 0 M_y = v x M₇ = 0

N_x = 0 N_y = 0 N_z = y«

Substitueeren wij dit in de randvoorwaarden (43)—(48)
(hoofdstuk I), dan komt er voor de gezochte spanningen:

(A -f 2 p) x cos nx = X
A x cos ny = Y
A x cos nz = Z
(y - - 2 I) x cos nx == L
v x cos ny = M
v x cos nz = N

Willen wij de zuivere compressie in het leven roepen door

u = «x co = 0
v = /3y x = 0
w = y z (7 = 0

De vergelijkingen (37—42) (hoofdstuk I) zijn zonder, d. w. z.
vervuld. Verder krijgen wij:

X_x = (A 2/*)«-l-A/3-|-Ay L_x = (y -f 2 f) * y (3 -f y y

Y_y = A« (A 2^)/3 Ay M_y = y«-f (v 2 f)/3 yy

M_r = 0
N_x = 0
N_y = 0

Z, = A«-f- A/3 (A 2 At)r N_Z = V« -f y/3 (y-f 2£)y
Dus de benoodigdc oppervlakte-spanningen en koppels zijn:
X = [(A 2_ju)«-f-A/3H-A y] cos nx
Y = [A« (A 2/a)/3-|-A rl cos ny
Z — [A a -f A (3 -f (A -f 2 ft) y] cos nz
L = [(y -f 2 f) * -f- v /3 -f v y] cos nx
M = [y « -f (y 2 f) (3 y y] cos ny
N = [ya4-yjS (y-f 2 f) y] cos nz

Wij zien hieraan, dat de richting van de oppervlaktespanning
zoowel als van liet oppervlaktekoppel in elk punt loodrecht
op het oppervlak moet staan.

Beschouwen wij verder de deformatie:
^{u =} y\' J v = 0 w = 0 (of v = — y\' x, wat symmetrischer is)
u = 0 % = 0 en dan in de eerste plaats zien, hoe wij
de <r moeten kiezen, opdat de deformatie mogelijk zij, om
daarna te vragen, welke spanningen weer die deformatie in
het leven kunnen roepen.

De elastische differentiaal vergelijkingen ((37) — (42) (hoofd-
stuk I) leveren:

xV c ft² ff

= 0

■& y # z

ê²

£-0-4 = o

(n 2 ft) ft ^o ft --M _r

[ft(y 4 2f)-f(v₁ 2ft)]^_i = M/f

M r\'

ft y —f Vi

pr\' £

Cl z -f C₂

flV — fn

waarin Ci en C₂ tot op dit oogenblik zijn willekeurige functie\'s

rVff _ . 0Ci

Daar -„ _ — 0 is -s---0. Evenzoo moet

i>xdz »>x

van x en y
0Ci

= 0 zijn. Verder moet nog:

M ^{2  z} 77.)* ^f J-f)* - ⁰

#²C_{a =} _ M / (v -*- 2 f)
#y² ft v - f v_t

Doe een eenvoudige keuze door te nemen

0x² 0y² \'⁸ ftv-Év,

Hiervan wordt een eenvoudige oplossing:

ff 1 v-ff Vl

zoodat dus ten slotte is:

Uit de vergelijkingen in de noot van blz. 8 verkrijgt men nu:
_v pr £ _{n T} y\' £

x_r = 2 ii r\' L_y = 2fy\'

X_B = 0 L_z = 0

Y_x = 0 (of = — 2.pt 7\' wat symmetrischer is)

M_x = 0 (of= — 2 f y\' wat
symmetrischer is)

ir 7\' ^ Hl y\' $

Y_v = v : ■ — _e z M = VI z

^y ffi v — ff vi ^y ffl V — ff Vi

Y,= 0 M₂ = 0

^X /2fl ftv-fv, ^X

ff 1 v — fvi y ff 1 v — f vi

y

Z_z = (v, | z N = (vi 2 fi) j-^—|— z

* ^v fl V — ff Vi ff 1 V — ff VI

Substitueeren wij dit weer in de randvoorwaarden (43)—(48)
(Hoofdstuk 1) dan krijgen wij:

X = v ; - z cos nx 2 p r\' cos ny

£« V — f V,

, Tl ff

Y = [— 2 /x r cos nx ] 4- ^ _v __ z cos ny

ay\' (v 4 2 f) _twy\'(v4-2|) .

z ¹ —-xcosnx-\'/af^—J—ycosny4

ffl V — ff VI ffl V -ff J\'l

\' £

4- (v 2 £) — z cos nz

ffl V — ff VI

r ^ r ? lot\'

L = r--^£—— z cos nx -f 2 f 7 cos ny

v — <f vi

— £

M = [— 2 f 7\' cos nx] VI -r¹-^-—T— Z cos ny

f 1 v — ? vi

xr 1, _t /*/(" 2f) „ _£ /^7²(V 2§ ,

N = — »/of, —4—xcosnx — Va si S-r—ycosny

f 1 v — S vi si v — f VI

(vi 2 fi) _fc Z COS nz

?1 V - [? VI

Als laatste voorbeeld behandelen wij een geval van torsie.
Beschouw een cylindrische staaf. De uitwendige ruimte
krachten en momenten, X, Y, Z, L, M en N onderstellen wij
alle gelijk nul. De deformatievector u, v, w nemen wij
verder als volgt aan: Elke vlakke doorsnede ondergaat een
draaiing in zijn vlak, om de staafas. De middendoorsnede
van de staaf draait niet en verder is de hoek van draaiing
van een willekeurige doorsnee evenredig met de afstand van
die doorsnede tot de middendoorsnede.

Als Z as kiezen wij de staafas; als oorsprong het snijpunt
van de Z as met de middendoorsnede. De zoo juist gede-
finieerde torsie wordt voorgesteld door

(138).......u = — wizy v = wi z x w = 0

Hierin is cc een constante, terwijl cc z de oneindig kleine
draaiïngshoek voor de doorsnede z is.

In de eerste plaats zullen wij onderzoeken, welke gedaante
bij de beschouwde torsie de oriëntatievector cc, •/., <7 aanneemt.

In de eerste plaats moeten de differentiaal vergelijkingen:
(37) _ (42) van hoofdstuk I vervuld worden.

Substitueeren wij hierin (138), dan verkrijgen wij de be-
trekkingen :

(v-f f A»_w = 0.........(139)

(v * A»ie = 0.........(140)

öb

= 0.........(141)\')

\') Hieruit volgt J\' = 0.

êb

{n fi) ^ f. A²« }- p ut x = 0 . . . (142)
êb

= 0 . . . (143)
(vi f fi) ^ A² 9- - 2 ^ W, z\'= 0 . . (144)¹)

Elimineert men uit (139) en (142) respectievelijk ^ en A² u,

dan verkrijgt men:

(f v, - & y) A² co =r fi ui iy £) x

óf

<\\A~\\ A2 __ 0)1 (y £)..

(14o).....A- u = 7-z x

? yi — y

en (fi y — f yi) ^ = a f x

óf

_ p Ui £
& X £ yi — f i y

Zoo leveren (140) en (143) en (141) en (144):
(147).....i\'-fr^J

? yi — y
(148.....a- = — t—

(149) . . . ¹ t^)uiz

? yi — f i y

(.50)......

"7. f yi — f y

Het stelsel (145)—150) luidt door invoering van eenige
hulp constanten;

iïb

A² w = a x.....(151) = — b x.....(154)

iïb

A² ai = a x.....(152) ^ = - b y.....(155)

A² <r = — 2az . . . (153) ^-= 2bz.....(156)

\') Hieruit volgt weer J\' 3 = 0.

Door integratie van (154), (155) en (156) verkrijgen wij:

(157). & - ^ ~ = - V» bx² - »ƒ. by² bz² c,¹)

vx t/y tr z

terwijl door differentiatie van (151), (152) en (153) respec-
tievelijk naar x, ij en z verkregen wordt:

" y
fty

• / ft <T\\

ai j ,,

Hoewel nu de grootheden ^ en — ^l/₂ ^- aan de-

zelfde differentiaalvergelijking voldoen, n.1. aan A² p = a, is het
nog niet noodzakelijk, dat die 3 grootheden ook gelijk zijn.
Integendeel, als men deze gelijk stelt, wordt & = 0 hetgeen
tegen (157) strijdt.

Wel geldt voor het verschil van twee van genoemde groot-
heden — dat wij q zullen noemen — dat q voldoet aan de
vergelijking van Laplace d.w.z.:

A² q = 0

Noemen wij dus 2 oplossingen van deze vergelijking respec-
tievelijk qi en q₂, dan verkrijgen wij:

ft* ft co .
ft} ⁼ ft~x *

.. ft IT ft CO .

- ^hft~Z ⁼ ^c *

en dus:

. ftu , ft» . ft <t ft co , ftco . , ft_{u n} .

& = _{F r}r_r = _r I -=- q, (— 2 ^ — 2 q ₂) =
ft x \'>y \'>z ^x i>x />x

= qi — q₂

Terwijl volgens (157) moet zijn:

i/₂bx² - \'/₂ by² bz² c.

dus moet

(158) , . . • • qi — 2 qa = — ^lh bx² — ¹/₂ by² bz² f c

\') In overeenstemming met do noot vnn de vorige bladzijde.

Het is dus nu de vraag, oplossingen van de vergelijking van
Laplace te bepalen, die voldoen aan (158). Heeft men deze oplos-
sing, dan moet men cc oplossen uit (151), en door differentiëeren

^ bepalen; vervolgens telt men hierbij b.v. qi op en verkrijgt

ft %

zoo tenslotte daaruit na integratie % zelf; en op analoge

wijze vindt men ff.

Daar — ¹/s bx² — ¹ls by² -f- bz² c aan de vergelijking van
Laplace voldoet, kiezen wij dus voor q₂ een willekeurige op-
lossing van die vergelijking, dan is

q, = 2 q₂ - ^l/« bx² - ^l/» by² -f bz² c
ook weer een oplossing van die vergelijking.

Hiermede is dus voor qi en q₂ een stel waarden gevonden,
dat voldoet.
Nu is een oplossing voor co uit (151):
cc = ^l/o ax³\')

^ ^U II 3

~q = ¹2ax²
ft x

Kies verder q, = q. = ^l/s bx² 4" ^lls by² — bz². Deze voldoen
aan (158) ²) en dus volgt uit blz. 32 rgl. 7 en 8 v.o.

= = »/, (a b) x² -f- »/. by² - bz²

« = ^l/₂ (a b) x²y 4- 7« by³ — b y z²
9 = _ (a 4- b) x² z - b y² z ²/s b z³
o) = Vfi a x³
Wij hebben dus nu verkregen:
nm\\ ) ...u = -a),zy v = «i zx w = 0

f ...«=\'/« ax³ x = ^lli (a -f b) x\'y -f by⁸ — byz¹
en ff — — (a -f b) x²z — by²z 4- "h bz³
Achteraf overtuigt men zich nu ook gemakkelijk, dat hel
stelsel (159) voldoet aan de differentiaalvergelijkingen (37)—(42).

1  De onderstelling q, = q, is willekeurig; zij geeft ons een eenvoudige
oplossing.

De vraag wordt nu, aan welke randvoorwaarden wij met
deze oplossing (159) kunnen voldoen. Daartoe berekenen wij

eerst de componenten der spanningen en momenten X_x.....N_z

(zie schema (67)—(85) § 1) en krijgen:

X_x = (a f — bi/) x² — b v y² b v z²
X_y= —2\' (j, «1 z
X_z = — 2 p ui y
Y_x = 2 p ui z 2 £ (a b) x y

Y* = [(a b) f - V» b v] x² -f- (bf - ^ll* b v) y²
(b v — 2 b f) z²

Y_z = 2 /x ui x — 4 b f y z
(160) <! Z_x = -4(a b)f xz
Z_y= — 4 b £ y z

Z_z = — 0/2 bv 2 (a b) f) x² —C/2 bv 2 b £) y²
(b y 4 b f) z²

en precies hetzelfde schema nog eens over voor
L_x... N_z, alleen overal de letters p, v en f vervangen
resp. door f, vi en fi terwijl de letters a en b

behouden blijven en voorstellen:

_{a = en} h==_f^

f Vl - Cl V $vi — V

(zie blz. 31).

Substitueert men nu (160) in de randvoorwaarden, dan
kan men bepalen, welke uitwendige oppervlaktespanningen
en momenten moeten worden aangebracht, om de voor-
geschreven deformatie, de torsie (159) te verkrijgen.

Wij behandelen nu eerst de randvoorwaarden op den mantel.
Daar is cos nz = 0 ^l) en dus:

X = [(a£ — bv)x²— byy² bvz²] cos nx — 2 puz cos ny
Y = [2/*»i z 2 £ (a -{- b) xyjcosnx j[(a-f b)f—.\'/«bv]x²
(bf — ^llt by) y² (by - 2 b £) z²! cos ny
Z = — 4 (a -f b) f x z cos nx — 4 b f yz cos ny

\') Do letter n stelt overal de naar buiten gerichte normaal voor.

en voor L, M en N analoge uitdrukkingen, waarin alléén de
letters p, v en £ weer vervangen moeten worden resp. door
f, vi en fi.

Ten slotte resten nog de randvoorwaarden aan de eind-
vlakken. Daar is cos nx = 0, cos ny = 0, cosnz = ± 1. Wij
krijgen voor het ééne eindvlak:

X = — 2 fi ai y
Y = 2 [jc, «1 x — 4 b £ yz

Z = — (»/ 2 b V 2 (a -f b) f) X² - (^l/> b v 2 b£)y² (b|v 4bf) z²

en weer analoge formules voor L, M en N, waarin echter
(x, -j en £ vervangen resp. door £, v\\ en £i.

Aan het andere eindvlak hebben al deze grootheden dezelfde
waarde, doch zijn zij tegengesteld in richting.

HOOFDSTUK III.

Dynamische toepassingen.

§ 1. Wij passen de vergelijkingen (49) — (54) (blz. 12 Hoofd-
stuk I) toe, onderstellen echter, dat de uitwendige krachten
en momenten X, Y, Z, L, M en N alle gelijk nul zijn.

Wij trachten nu aan de vergelijkingen te voldoen door de
onderstelling:

(u v w) = A (p 4 Rot <J>
(« x <r) = A rf, -f- Rot
waarbij dus (p en \\p dan scalaire en <J> en ¥ vectorpotentialen zijn.
Wij kunnen voldoen, indien de functies\'s (p en \\p voldoen aan:

(161)... (u 2 —p (p = - (v 2 £) tfrp

/ #² \\

(162)... (v 2£) A² 4)=(y₄ 2f,)A²-r^-₂)^

Hieruit volgt voor <p:

(163.)...........-(y 2f)²A⁴]0 = O

en eenzelfde vergelijking voor ip.

Verder krijgen wij:

rM e&v-pjZ of

(164 )...........G* A² - p <J> = - f A²¥. En evenzoo:

(165 ).........— (f A² - p Rot) 4» = (- r ^ f, A²)H>

Hieruit volgt voor
......

(£ A² — fz Rot) f A² j <P = O

en een soortgelijke vergelijking voor

Uit deze vergelijkingen zijn de scalaire en de vector-poten-
tiaal te bepalen:

Vergelijking (163) geeft:

j [(vi 2£,).(* M - (y 2?)²j A⁴ — |(A V)r
. i #² A² ft* )

(*»   | 4> = o

en een soortgelijke vergelijking voor \\p.
Werkt men deze uit, dan verkrijgt men:
/ ft² A² #⁴\\

(167).....(aA⁴ b -^-y- c 0 = 0, waarin

a = (>i -f 2fi)U 2/x)- (y 2£)² = Ay, 2Af, 2_Aevi

4 f, — y² - 4 y f - 4 £²
b = — (A 2ft)- — (vi 2f,)p = — Ar — 2_iur-y,_/j — 2£_1/3
c = /9r = /)r

terwijl voor \\p een analoge vergelijking geldt.

Op soortgelijke wijze te werk gaande, vindt men uit (166)

(168).....(ai A⁴ bi c, ^ d, Rot A²) <l> =» 0,

waarin:
ai = m f i — f²

bi = — [AT — £i p

Ci = p t en

di = (x f is gesteld.

Voor Y geldt wederom dezelfde vergelijking.

Ter oplossing van ó en \\p ontbinden wij (167) in de twee

vergelijkingen:

/ i?² \\ /ft²
(169)...(^_r2-«.A²)4> = 0 en (—_ a²)0 = o,

waarin x_x en x* = — ± V b² — 4 ac
\' éU c ^ c

Een oplossing van elk van deze vergelijkingen is öok een
oplossing van (167) \')

Wij gaan over tot de beschouwing van vergelijking (169),
de vergelijking van d\'ALEMBERT. In de eerste plaats zullen wij
de oplossing nagaan voor het geval, dat de functie 0 slechts
van t en van één coördinaat, bijv. x afhangt. Wij krijgen dan:

0 = 0_t (x 1/xi t) 02 (x - ]/«! t) 03 (x l/«₂t)
04 (x - V X* t)

Hierin stellen 0i tot en met 04 willekeurige functie\'s
voor.

Uit de gevonden grootheid 0 is door zeer eenvoudige
integratie V af te leiden met behulp van (161) en (162) en
verder u, v, w en x, <r volgens de onderstelling van blz. 36.
Daarbij zijn alleen u en u van nul verschillend. De beschouwde

^x) Men krijgt de oplossing van (161) en (162) iets sym-
metrischer, als men de uitdrukking (161) vermeerdert met
(162), vermenigvuldigd met een willekeurige factor x, aldus:

#2

Eisch nu

A 2 (i — x (y -4- 2 f) p 1 , , . .

. - ~~7— Lcin~ — ⁸⁸⁸ ~ waaruit x te bepalen is,

— (v 2 f) x (yi 2 f i) r x x ¹ \'

dan wordt:

((A 2_/a)-*(v .2f))A- * ) = _pu

0 — is dus een oplossing van de vergelijking van d\'Alembeht
en wel met twee waarden voor x (en dus voor x). — Op
dezelfde wijze vindt men 0 /3 ^ als men de eerste breuk
gelijk stelt aan de tweede met het negatieve teeken.

Men krijgt dan voor 0—a^en<p-}-/3^ oplossingen met
willekeurige functie\'s en zoo daaruit 0 en t// als bij de overigens
gelijkwaardige opzet van hierboven.

/

oplossingen stellen dus longitudinale, vlakke golven, met
voortplantingssnelheden, gegeven door

y 2 ₌ - b ± V Ir\' - 4 ac
2 c

voor. \')

i n (t — ^ax ^y
Door u, v, w, u, x en r evenredig met e ^H \\ v )

te stellen, kan hetzelfde resultaat voor periodieke golven

verkregen worden.

Wij zullen in de 2^e plaats de bolsymmetrische golven van
de vergelijking (169) in het oog vatten. Daartoe gaan wij
transformeeren op poolcoördinaten. Wij vragen naar die op-
lossingen <p, die alléén van t en r afhangen, doch onafhan-
kelijk zijn van de poolhoeken b en \\p. Dan is het voor de
transformatie voldoende op te merken, dat

r ft r ft r²
Hierdoor gaat de vergelijking (169) over in:
ft²Q _ /2 ft_(p ft²ó\\
iTt^{2 -} " l _r J7 ft r² /
Als oplossing hiervan vindt men:

<P = ¹/r [«P» (r Va t) <j>₂ (r - v* l)J,
waarin (pi en g>« willekeurige functie\'s zijn. Voor \\p geldt

\') Voor een physisch werkelijk geval moet b²>4 ac zijn; dan
alleen krijgt toch V² twee rcêele waarden. Dit is inderdaad zoo:
b² = | (a 2 p) r (v, 2 ft) = (a 2 pY r²
2_/>r(A 2_ia) (vi 2 £,) (*, 2
4ac = 4jr(v. 2 £,) (a 2 - 4^r (y 2 f)²
b² — 4 ac = (a -f- 2 p)² r² ■ 2 p r (a 2 p) (», 2f»)
(*, 2£,)V 4_/3r(y 2£)² of
b² - 4 ac = [(a 2 p)T- (v, 2 f.) [2 (v 2 f) l/, r?

Dit is een som van quadraten, dus essentiöel positief, en
dus is altijd b² — 4 ac > 0 of b² > 4 ac.

Buitendien moeten die waarden voor V² beide >0 zijn,
anders wordt V zelf imaginair. Hiertoe is noodig, dat de
absolute waarde van V b² — 4ac<b is: daar c>0 is,
wordt de voorwaarde hiervoor a>0.

weder hetzelfde. — De bolvormige golven, die wij op deze
wijze verkregen, zijn weder longitudinaal.

Wat periodieke bolgolven betreft, voor oplossingen, die
physisch van belang zijn, verkrijgt men voor de vergelijking

k = oo n = oo X = oo 1 : t. _

cb=.- 2 2 2 ^fn(ikr)

k = 0 II = 0 /l = O

B_kn; e^ikrf_n (—ik\'r¹)! cos a k t cos A (pi -f-----

en verder drie analoge vormen, waarin in de plaats van
cos akt cos A cp! achtereenvolgens optreden de producten cos akt
sin A sin akt cos A0i en sin akt sin A<J)i en waarin overaP

Pavoor (!-,*)

d

staat. ¹)

Hierin is, als steeds, P_n de Legrendre\'sche bolfunctie van
de n^e orde van de l^c soort; p — cos verder is

_f , tr(n l) . (n — 1)n(n 1)(n4-2) ..

i_n vz; —¹ i 2. z 2. 4. z²

(n - 2).... (n 3) , , 1.2.3...2n
2. 4. 6. z² 2.4.6... 2 n.zⁿ

Periodieke cylindergolven ²) worden gegeven door:

0= (|A_kn J_n (kr) B_knY_n (kr) j cos n 3 4"

k = O n = 0
;A^lkD J„ (kr) B\'_kn Y_n (kr)j sin n bj cos akt

2 ï [ I A"_kn J_n (kr) B"_kn Y_n (kr) | sin n&

k = 1 n = O

A"\'_kn J_n (kr) 4- B"\'_kn Y_n (kr) J sin nSr ] _si„ _akt
waarin J en Y resp. Besselsche en cylinderfunctie voorstellen.

1 ) 0i is hier de bekende poolhoek, een der 3 bolcoör-
dinaten.

2 ) Zie bij period. bol- en cyl. golven Forsyth. Diflerential-
gleichungen resp. blzd. 877 en blzd. 480 en 879.

Vraagt men speciaal naar cylindergolven, waarbij zoowel
z als S" constant worden gehouden, dus alleen r verandert,
dan krijgt men

<P = J.(r)

Altijd weer moet na het bepalen vau Cp uit de vergelijking
(1G1) ((1G2)) de bijbehoorende bepaald worden.

Ten slotte willeu wij de vergelijking (169) nog eens alge-
meen beschouwen met naast zich de aanvangsvoorwaarden:
<p = f(xyz) \\
■&Q „ . . > voor t = 0

Hierin stellen f en F voor functie\'s van x, y en z, die de
heele ruimte door gegeven zijn.

Men krijgt voor een willekeurig punt x, y_t zr.

Cp (xi y» zi) = X\' (V x t) YZ ^X (V* ^l)
Hierin is:

X\' fl/at) = ~ ~ [ ij" lx ƒ s in (x, -f- ]/x t sin Scos A,
yi -,^L t sin & sin A, zi \\^rx t cos &)

en

1 t f~ⁿ r~ —

Tï= X ([/ x t) = —— I d A sin & d ^ F (xi V x t sin & cos A,
\\x 1-7TJ o Jo

yi -f- j/a t sin S- sin A, Zi t cos

Laten voor beter overzicht f, jj en £ voorstellen de cosi-
nussen van de hoeken, die een van het punt (xi yi zi) uit-
gaande veranderlijke richting met de assen insluit, en laten
we de toch overbodige index 1 van het veranderlijke punt
xi yi Z| weg, dan krijgen wij als oplossing:

cp (xyz) = j F (x 1/« t f, y   Pi10 d « -f

~ ~ | ij f (x 1/« t f, y 1/« t n, Z -f ]/x 10 J du¹)

•) Zie Hikmaxn-Wkukr II § 124.

Deze integraal van Poisson van de vergelijking van d\'Alem-
bert wordt ook verkregen, als men de formule van Kirchoff
gebruikt. (Zie voor de methode van Kirchhoff (uitbreiding van
de methode van Green) voor de behandeling van de verge-
lijking van d\'Alembert: G. Kirgiihoff. Zur Theorie der Licht-
stralen. Sitz Ber. Ak. v. Wiss. Berlin 1882 (2 Sem) blzd. 641) ¹)

§ 2. Ter berekening van de vectorpotentialen <1> en ¥
moeten wij nu overgaan tot de behandeling van de differen-
tiaalvergelijking (168). Deze dient uitvoerig te geschieden,
in de le plaats aan de hand van de methoden, genoemd door
Volterra. Dat willen wij op deze plaats niet doen.

Wij zullen de periodieke golven onderzoeken, die aan die
vergelijking voldoen. Daartoe substitueeren wij <I> = <P\'e\'^l)t
en krijgen:

(170)..... [a, A⁴ b, p² A² -f ci p⁴ d, Rot A²] <f>\' = 0

Zij <P weer een functie van slechts één coördinaat, b.v. x
teneinde vlakke periodieke golven te krijgen. Dan kan <I>\'_X nul
gesteld worden, daar in de uitdrukkingen voor u, v en w
⁽I>\'_X slechts in diff.quotiënten naar y en z optreedt.
De vergelijking

-ö—i—f- bi p²-ö—;

die uit (170) volgt, behoeft dus. niet beschouwd te worden.
Verder volgt dan uit (170):

(172)... ai 4 bi p² _x2⁵ 4 c, p\' <I>\'_y - di = 0

en

(173)... a, 4 bi p² _ï?-_xf c, p\' *_x\' 4 di = 0

Oplossing levert:

A\'i e ^r\' ^x 4"____A\'s e ^x I e ¹ l^u

B\'i e ^r\' ^x 4 .... B\'₈e^r«^x[e^,\'l^,t.

\') Voor behandelingsmethoden van de vergel. van n\'A i.kmbkkt en soort-
gelijke \'zie Volterra. Drei Vorlea. über neuere Fortschritte der ninthem.
Physik blzd 133 en vlg.

Hierin stellen n tot en met r_s voor de wortels van de
vergelijking

(174) . . . . a, r⁴ bi p² r² c, p¹ = ± d, r³ V^l
waarvan geen enkele reëel kan zijn \'), hetgeen physisch juist

⁴) Een uitvoerig onderzoek voor deze vragen voor vlakke
golven volgt in § 4. Om er hier toch reeds iets van te laten
zien, het volgende:

Daar wij onderstellen, dat alle grootheden alléén maar
functie van x zijn, wordt:
ft \' ft ,
u = —- cj)_z _ cj>_v = o
& y ft z

ft ft . ft
V = — <t>_x - —- <J>_Z = _ cj)_z

■ft z ft x ft x

0 , & i r

W = q— <I>y — ö- <P.X = q- CP_V

t" X w y ftx

en analoge betrekkingen voor ai, <r.

Wij hebben hier dus een transversale golf. Dit kan echter
alleen, als de wortels n van (174) zuiver imaginair zijn. Aan-
genomen, dat dit zoo is, dan zien wij in (175), dat do factor
ai ri⁴ bi p² ri² ci p⁴

reëel wordt, daarentegen wordt ^ ^ ,, zuiver imaginair, zoodat

wij krijgen _

Bi = q Ai V - 1
waarin q een reëel getal is. Daaruit volgt dan voor de en
de ⁽P/. en dus ook voor de v en de w, dat als de ééne een
cos. is, is de andere een sin. en omgekeerd. Wij hebben dus
ook hier, evenals in § 4 zal blijken, draaiing van het polari-
satievlak.

Nu wat betreft het imaginair zijn van de wortels van (174).
Stellen wij x == r i, dan moeten dus de wortels van
ai x⁴ - b, p² x² c, p⁴ = ± d, x³

alle reëel zijn.

Wanneer di klein is t.o.v. de coëfficiënten in het linkerlid
(hetgeen b.v. in vervulling gaat voor groote waarden van p)
mogen wij het rechterlid bij het linker verwaarloozen, en er
rest de vergelijking

a,x⁴-b, p²x²-f ci p⁴ = 0
Noemen wij de wortels hiervan cc\\ en oc_2y dan is:

i bi p² , p² i rrri—-

en «2 = yI; ^{± v b} ~^{401 Cl}

is. A\'i tot en met A\'s en B\'i tot en met B_s\' zijn wille-
keurige constanten, verbonden door de betrekkingen

(175).. Bi = (ai n⁴ bi p²n² Ci p⁴) Ai (voor i van 1 tot 8).
diri³

Deze willekeurige constanten mogen willekeurige functie\'s
van p zijn en daar onze diff.vergelijkingen lineair zijn, zal
men wéér een oplossing krijgen, door de zooeven beschouwde
te sommeeren naar p of zelfs te integreeren.

Uit de gevonden grootheid is weer door eenvoudige
integratie ¥ af te leiden met behulp van (164) en (165).

§ 3. Door in het begin van § 1 de oplossing op te zetten
in de gedaante

(u v w) = A cp Rot <I>
(ux<r) = A Rot ¥

hebben wij deze oplossing gesplitst in een rotatielooze en een
divergentielooze. Moet men nu tegelijk <l> en ¥ (resp. ó en
\\fj) nul nemen, öf zijn er oplossingen mogelijk van den vorm
(u v w) = A <p {(p = 0)

{co % er) = A ^ Rot ¥ (¥ 0)

enz. analoog?

De functie\'s ⁽I> en V hangen samen door de vergelijkingen
(164) en (165). Hebben wij nu een oplossing van (166) voor

gekozen, zoodanig dat Rot 4> = 0. \') Daar Rot <1> = 0,
maken wij hiervan gebruik door te schrijven = A X. Dit
nu gaan wij substitueeren in (164), dan komt er:

terwijl uit (165) volgt: -

— (s A² -/*Rot)AX = (-r^ !, A²) Y

d. w. z. ¥ liiag zijn een willekeurige oplossing van de 1« dif-
ferentiaalvergelijking, waarin X een willekeurige functie is.

Om de vraag te beantwoorden, of Rol ¥ nul is, bepalen
wij deze grootheid, door van beide leden van de vergelijkingen
de rotatie te nemen. Wij krijgen dan:

A² Rot ¥ = 0 en
(- & A²) Rot

of dus y is onafhankelijk van den tijd en een oplossing van

A² Rot y = 0,

de vergelijking van Laplace. De vectorpotentiaal behoeft dus
niet nul te zijn, doch is wel onafhankelijk van den tijd, wij
hebben dientengevolge een statisch en geen dynamisch probleem.

Analoge behandeling geeft hetzelfde resultaat voor het om-
gekeerde en ook ten opzichte van Q en \\p.

§ 4. Wij zullen ons nu verder beperken tot het onderzoek
van de voortplanting van vlakke golven. Dan zijn alle groot-
heden evenredig met

e ^v v terwijl hun amplituden Ai, A_>, A₃, Bi,

B₂ en B₃ zullen gesteld worden.

\') Een dergelijke oplossing bestaat, want is b.v. % een
willekeurige oplossing van (166), dan is <1> = A£ een op-
lossing van (164)—(165), zoodat Rot<I> = 0.

Wij krijgen op dezen weg:

2 \' 2

(A At) ^ * (Al « A₂ /3 A₈y) AfrAt ^

✓

0, 1) « (Bi * B₂ j8 B₃ y) I Bi = al p^

öf

[(A ^ — p V²] Al (A /x)«/3A2 (A ^)«yA₃
[(y £) a² f] Bi (y f) « /3B₂ - ■ (y 4" f) « 7 B₃ = 0

[ (y 4- *) «² 4- £J a, 4" [ (* 4- fi)«0 4- ^ y v] a₂ 4-

[(„ f)* _y _ fl V] As 4- [(f. 4- f.) *² 4-fi — r V²] B, 4-
4- (yi 4- ff)«|3 B₂ 4- (vi 4- fi)« y Bs = 0

Wij verkrijgen dus zes lineaire homogene vergelijkingen in Ai
tot en met Ba. De voorwaarde, waaronder dit stel een van
nul verschillende oplossing bezit, is dat de determinant der
coëfficiënten gelijk is aan nul. Deze determinant der coöni-
cienten wordt, evenals in het geval van het niet georiënteerde
medium, een vergelijking ter berekening van V; nu echter
treedt öök nog de p erin op.
De genoemde determinant is:

(i p)*\' p-pV* (a4~f*)*(3 (A /*j«y (v f)*² S (v4-£)«/3 M-£)«r
(a4-i*)*(3 (a /x)/3² //, pV¹ (A-M0y (v QP t (y4-f)/3y
(A4-/^)«y (a4-a0^ p)y² p— pV~ (y f)«y (y |)/3y (y £)y² £

Daar a/3y de richtingscosinussen van den normaal op het
golfvlak voorstellen en wij een isotroop medium onderzoeken,
zal dus deze determinant hetzelfde moeten blijven, indien wij

0 en y veranderen, zoodat x² (3² -f y² gelijk aan 1 blijft.
Kiezen wij nu a = 1 (3 = 0 y = 0, dan verkrijgen wij:

0 0

V 4- 2 £ 0

p-pV² 0 0 £

0 (JL—pV² 0 0

0 0 yi -f-2£i — r v² 0

£ 0 f, — rV² 0

0 & - r V^a

f»V²1 c V* b V* a | I c V* b V² a i X
X [ p r V¹ - fa t p ) V¹¹ p £, - £ «]• = 0

of

-r £]² p² - f/.² £² V² j ⁼⁼ 0

Hierin hebben a, b en c weer de waarden van § 1.
De l^c factor van 1) gelijk nul stellen levert de reeds bij
herhaling gevonden voortplantingssnelheid voor longitudinale
golven, die onafhankelijk is van de frequentie (§ 2):
„ — b ± V b- - 4 a c

(«i)

2 c

Stellen wij de 2° factor gelijk nul, dan ontstaat de verge-
lijking:

[p r v\' - fa r p £0 v² * £i ~ £²|² P² - v² = 0 . (/3,)
Kr zijn transversale golven met een voortplantingssnelheid,
afhankelijk van de frequentie, d. w. z. niet dispersie.

Deze transversale golven zullen wij thans nader onder-
zoeken. Daartoe bepalen wij de verhouding van do v en de
w; hiertoe zijn noodig A₂ en A_s. De verhouding van deze
2 grootheden is gelijk aan die van de bijbehoorende minoren
uit D. Daar deze minoren echter beide blijken nul te
worden is liet eenvoudigste, opnieuw van de oorspronkelijke
vergelijkingen (49)—(54) uit te gaan. Wij trachten te vol-
doen met behulp van een transversale golf, die zich in de

X richting voortplant. Deze golf wordt voorgesteld door de
vergelijkingen:

u = 0 w = 0

v = A₂e^ip(^t-v) K = B₈e^ip(^t_v)

w = A₃e^ip(^t-v) _<y = B_ae^(^t~ V)

Wij krijgen aldus:

A₂ [ (p - p V²) (fi - r V²) - I²] - As i - fi £ = 0

eni AaO - p V²)(£, -rV2)-f2] A₂i%f = 0

In de eerste plaats laat zich uit deze beiden als coëfficienten-
determinant gelijk nul juist afleiden de vergelijking (/3i). Verder
hebben wij:

As = --y---A₂ 01

i — pE
p

As = — ^ i [(^ — ^ V²) (f, __rV2)_|2]A₂

en hieruit volgt, in verband met (/3j); A₃ = ± A₂ i. Subsli-
tueeren wij dit nu in de formules voor v en w, dan ontstaan
de betrekkingen:

v = A₂eⁱP(^t-^)

= ± Ao i e \'p(^t— y)

Om nu de vergelijking voor de baan van hel trillende
punt af te leiden, moeten de reëele gedeelten van deze op-
lossingen genomen worden. Wij nemen daarbij het geval,
dat Ao reëel is. (Ag zuiver imaginair laat zich analoog be-
handelen.)

v = A₂ cos p ^t — en w = ± A₂ sin p ^t — ~ j

of iets algemeener

v — A_a cos p (t — ) en w = ± A₂ sin p (t —

waarin q voorstelt een willekeurige phaseconstante. De ver-
gelijking voor de baan wordt dus:

_V2 w² = A₂²,

d.w.z. de liaan is een cirkel. De transversale golven vertoonen
dus dispersie, belieerscht door vergelijking (/3i) en zijn cirkel-
vormig gepolariseerd. Verder verkrijgt men:

_A t^x ~~ P V² i P (t — ^ . *-pV² ipft-^

y. = — A»^L- -e ^K\\ V/en<r = ;fA₂- - e ¹ \\ V/
? c

Nemen wij ook hiervan weer alléén de reëele gedeelten en
breiden wij uit met de willekeurige phaseconstante q, dan
komt er:

. (J> — p V² / x q
* = — A₂¹—y— cos p I t

en

■ M p V² . / x q\'
<r - ± A₂ y^r - sin p ^t - _y ^M

Hierbij is ondersteld, dat V reëel is; alleen gevallen, waar-
voor aan deze onderstelling voldaan is, geven een physisch
mogelijke oplossing; immers complexe V zou beteekenen
voortdurend verdwijnen van energie met de voortloopende golf.

§ 5. Wij zullen nu de transversale golven nader be-
studeeren. Wij vonden voor de voortplantingssnelheid de
vergelijking:

Bij de vergelijking voor V die ontstaat, als wij in (?\'\') het
teeken kiezen, behoort voor v en w de oplossing:

v = A₂ cos p (t — ^

(i7o) . . . . ;

w = A₂ sin p t

Daarentegen behoort bij de vergelijking voor V, als het
- teeken gekozen wordt, de oplossing:

v = A₂ cos p (t — ^X

(177)

w = — A₂sinp^t — -

De cirkelvormig gepolariseerde golven, die door (177) worden
voorgesteld, worden klaarblijkelijk in tegengestelde zin door-
loopen als die, welke (176) voorstelt. Lel ten wij nu echter ook op
de bijbehoorende snelheden, dan zien wij dadelijk aan de ver-
gelijkingen, dat die gelijk, doch tegengesteld zijn. Dit in
aanmerking nemende, volgt, dat door (176) en (177) precies
dezelfde bewegiug wordt voorgesteld en wij kunnen volstaan
met het onderzoek van een der bewegingen.

De aard der beweging wordt beheerscht door de vergelijking

die ook in den vorm

( ) V\' - ^{r pii} V* V ^ ~" = 0

PT PTP PT

tels van deze vergelijking zijn

I2 Vz₂ - ^l/_s Vzb

/, Vz₂ - l/_f Vz"
h Vz₂ V. Vz₃
h Vza - V2 Vz₈

waarbij zi, z₂ en z₃ voorstellen de wortels van de cubische
resolvente:

₃ | (HT pW-Ktft-ftflT

1*1/ . • z — — t ₂ _₂ /.

/? 7 /j r

f\'r" p»

Door de substitutie z = z\' ^ ^ J ^P komt deze in de

3_PT

gereduceerde vorm:

z

3/;²r^2 1 27 /9⁸ r³

3 p* r² r² p²

of

z\'³ az\' b = 0, waarin:

 12 fcft -P)pr

^a 3 p² r²

₌ 2Qar f ft)⁸ _ 8(i*T p6_t)(ttfi—F) _ p²*²
27 P*T* 3 p² T² p²r² p²

Daar de term met V liet teeken heeft in de vergelijking
(n), zijn er nu, mathematisch gesproken, de volgende mogelijk-
heden:

1°. De vergelijking (ci) heeft slechts 1 reeële wortel; de
voorwaarde hiervoor is

^lU b² V«a³>0
Dan worden twee wortels V van (yi) reëel en twee zijn
toegevoegd complex. Complexe wortels voor V mogen, gelijk
op blzd 49 is opgemerkt, niet voorkomen. De golven met
frequentie\'s p, die aanleiding geven tot de betrekking

^lU b² %&^a>0

zijn zonder dissipatie niet stationnair mogelijk.

2°. De vergelijking (3i) heeft 3 reëele wortels; de voor-
waarde hiervoor is

\'/•! b² -f ¹/st a³ < 0
Nu zijn er twee gevallen:

I alle z\'s > 0

II er zijn 2 z\'s < 0 en 1 z > 0

(1 of 3 negatieve wortels z kan niet hebben, omdat het
product der wortels positief moet zijn).

In het geval II worden alle wortels V onbestaanbaar. Dit
laten wij dus verder rusten.

Overgangsgeval tusschen I en II- is, dat de beide negatieve
wortels uit II aan elkaar gelijk worden. Van de V\'s zijn nu

2 onbestaanbaar; 2 gelijk reëel; ook dit geval heeft weder
geen physische beteekenis.
Rest dus nog het geval I:

Wij zien, dat \\\\ negatief is; alle vier de snelheden kunnen
niet negatief zijn, daar hun som moet nul zijn; er blijven dus
de mogelijkheden:

(a)... 1 "wortel V pos. en 3 negatief
(/3)... 2 wortels V pos. en 2 negatief
(7)... 3 wortels V pos. en 1 negatief

Als overgangsgeval tusschen 1° en 2° heeft men nog:
3°. De vergelijking (2i) heeft 1 reëele en 2 gelijke reëele
wortels; de voorwaarde hiervoor is:

\'/* b² 727 a³ = 0,
Dan worden twee wortels V van (71) reëel verschillend en twee
worden reëel gelijk. Wij hebben dus verder weer de gevallen:
(x\')... 1 wortel V pos. en 3 neg.,^- waaronder 2 gelijke
(l3\')... 2 wortels V pos. en 2 neg.; öf de 2 pos. öf de 2 neg.
zijn gelijk

(7\')... 3 wortels V pos. en I neg.; onder de 3 pos. zijn
2 gelijk.

Als resultaat hebben wij dus gekregen, dat stationnair zich
alleen kunnen voortplanten golven met een frequentie p, die
voldoet aan:

^lU b^{2 l}\\n a³ ^ 0.
Schrijven wij voor de grootheid b van blad 51

b = bi — b₂. waarin
P-

¹⁾¹ ~ 27 A" ³P\'^r\'

P\' ^T

dan wordt dit:

De wortels pi² en p₂² van deze voorwaarde, indien het
gelijkteeken geldt, worden voorgesteld door:
_{g =} 27 bi b₂ ± 6 ab, V^3~a
^P " 4 a³ 27 bi²

Indien de wortels pi en p₂, die hierdoor geleverd worden,
beide reëel zijn, dan kunnen dus, voor het geval dat
4a⁸ 27bi²>0, alleen golven met frequentie p, gelegen
tusschen pi en p₂ (d.w.z. grooter dan de kleinste, doch kleiner
dan de grootste) zich in het medium voortplanten.

Is daarentegen 4a³ 27 br <T 0, dan zijn het juist de
frequentie\'s pi gelegen tusschen p_t enp₂, die uitgesloten zijn;
met alle andere waarden van p kunnen zich golven voortplanten.

Zijn de wortels pi en p₂ onbestaanbaar, dan zal, als
4 a³ 27 br ) 0 is, geen enkele golf zich kunnen voort-
planten; is daarentegen 4 a³ 27 br •< 0, dan zijn voor dat
geval golven met willekeurige frequentie p mogelijk. \')

\') Voor groote waarden van p reduceert zich de voorwaarde
4 a³ 27 bi²<C0, waaronder alle wortels z van reëel zijn.
tot: 4a³ 27 bi⁸<0. Substitueert men hierin voor a en bi
de waarden van blad 51 en 52, dan wordt dit:

- 16 (/« - s^ta) [((*T p Éi)² - 4 (p S, - £*) p rf < 0.

Noodzakelijk en voldoende hiervoor is:
ft$i-£^s>0

Gelijk men door beschouwing van de quadratische vorm,
die men krijgt, door ni formule (60) blad 50 voor de com-
ponenten X_x... N_x de substitutie van de noot blad 8 toe te
passen, ziet, als men zich beperkt tol deformatie\'s waarbij

K\'- r_y=Wi Tx- %=&-¹⁸""^(nl ->⁰⁾

één der voorwaarden, waaronder deze vorm deliniet negatief
is; terwijl de voorwaarden voor de realiteit der wortels Zi,
z₂ en Z3, behalve de voorwaarde omtrent 4a^s 27bi² ook
met het karakter der potentiëele energie in verband staan.
Deze potentieëele energie toch moet, indien de niet-gedefor-
meerde toestand een toestand van evenwicht is, een minimum
zijn, hetgeen tot de bovengestelde eisch voert.

Zullen nu verder alle snelheden reëel zijn, dan moeten
bovendien alle getallen z positief zijn. Lossen wij daartoe de
vergelijking (£i) op, nadat we hierin de laatste term, die immers

Voor golven, wier frequentie een mogelijke waarde bezit,
zijn verder nog mogelijk de gevallen («), (/3) en (y) blad 51

p in den noemer bevat, hebben weggelaten, dan krijgen wij:

_Zl en z₂ - ÏI±£h ± A V^ft-a^r
pr or

z₃ = 0

In de l^e plaats zien wij hier nogmaals, dat voorwaarde
voor de realiteit van Zi en z₂ is [x ft —£²>0. Verder moet
nu voor positieve z\'s

{(J, r -f- p ft)² > 4 ((X ft — f²) P r [ zijn. Deze voor-
waarde is altijd vervuld, want wij kunnen er voor schrijven:
(pr — p ft)² (2 f }\'Jr)² > 0 en hier staat in het linkerlid
de som van 2 kwadraten.

De waarden, die de snelheden nu aannemen zijn:

v₁ = — ¹h Vzi_- V^
V₂ = - »/a V_Zl - Vt Vz,

V₃ = - v₂
v< = -v,

Verkort laat zich dit schrijven^___________

V,, V₂, V₃ en V₄ = ± V ^lU Zi -f ^lU z₈ ± »/» V"^
Precies hetzelfde resultaat kunnen wij afleiden, door dadelijk
in de vergelijking (71) (blz. 50) de term met p in den noemer
weg te laten. Er komt dan ter oplossing van V de vergelijking:

_V4 _ ^r P _V2  ₌ o

pr pr
en dus _________________

y _ 1 I /pT pti 

V "" 2\\_?T

Wij verkeeren nu in geval (j3) van blz. 52: er zijn twee wortels V
positief en twee neg. met gelijke absolute waarde. Wij krijgen
dus ook inaar één draaiend polarisatievlak met een o:

t = V, p \\\\/ m r ft V(m r , ft )² - 4 fr ft - g²) p r _
- \\/PT Pti  pW-lT^fT- P)p_T

_%P^T_ .

3 = 1/2 p \\/ (^r ^1 2 Vf/x ft _ ,«)> _r
of zoo men wil:

f²

en 52, terwijl bij pi en p₂ behooren de gevallen x\\ (3\' en y\'.
De gevallen a en y komen in wezen op hetzelfde neer; er
planten zich voort één cirkelvormig gepolariseerde golf, in de
ééne zin doorloopen en drie in de andere zin. Dein verschillende
zin doorloopen, cirkelvormig gepolariseerde golven met ver-
schillende snelheid kunnen op de gebruikelijke wijze worden
samengesteld en leveren dan een draaiend polarisatievlak. De
in de ééne zin doorloopen cirkelvormig gepolariseerde golf
laat zich dus met elk der drie andere samenstellen, telkens
tot één draaiend polarisatievlak. Zoo loopen er dus drie
draaiende polarisatievlakken. In geval (/3) planten zich voort
twee cirkelvormig gepolariseerde golven in de ééne zin door-
loopen, en twee in de andere zin; er zijn dan dus vier
draaiende polarisatievlakken. Telkens is de draaiing è per c.M.

waarin Vi en Vk voorstellen de absolute waarden van twee
snelheden van verschillend teeken, (dit komt dus neer op
snelheden van cirkelvormig gepolariseerde golven, die in tegen-
gestelde zin doorloopen worden) p de frequentie.

Zoo komen bij de golven met frequentie\'s pi en p₂ de
gevallen {*\') en {y\') op hetzelfde neer: één golf in de ééne
zin doorloopen, twee in de andere zin, één daarvan moet
dubbel geteld worden. Er loopen hier dus twee draaiende polari-
satievlakken. In geval ((3\') loopen er nu óók twee golven, in
de ééne zin gepolariseerd en één in de andere zin, terwijl
nü de laatste dubbel geteld moet worden. Ook hier loopen
dus twee draaiende polarisatievlakken. De draaiing o per c.M.
is weer als boven.

§ G. Het resultaat van de vorige paragraaf is dus, dat er
longitudinale golven, met een. voortplantingssnelheid, onaf-
hankelijk van de frequentie p en transversale golven, met
een van de frequentie afhankelijke voortplantingssnelheid
bestaan.

Hier komen dus, met behulp van het elastische medium
met oriënteerbare deeltjes dispersie- en polarisatieverschijnselen
te voorschijn. De essentiöele oorzaak hiervan is, dat in de

vergelijkingen (52), (53) en (54), behalve de 2^e afgeleiden
van de componenten van de verschuiving naar de coördinaten,
ook nog de l^e afgeleiden optraden; dit bracht nl. de frequentie
p in de vergelijking, die de voortplantingssnelheid bepaalt en gaf
zoo aanleiding tot dispersie en circulaire polarisatie der golven.

In de elastische lichttheorie heeft men langs verschillende
wegen getracht, dispersie- en polarisatieverschijnselen te ver-
klaren. Het naast verwant aan de resultaten, die met behulp
van het medium van oriënteerbare deeltjes verkregen zijn,
althans in mathematisch opzicht, zijn die van Neumann. Deze
geeft in zijn werken, *) naast de verklaring van dispersie, oök
die van polarisatie. Hij voegt daartoe aan de gewone, elas-
tische differentiaalvergelijkingen nog termen van den vorm

V>v _n#v Jw &u . # v ~ ,

G — B q—, A-s---Gtt— enB-q— — Aq— toe. Ook

17 Z V y 17 x 0 z v y 17 x

bij hem komen, naast termen met 2^e afgeleiden naar x, y en
z, termen met de l^e afgeleiden naar die grootheden voor.
Deze krachtcomponenten verantwoordt Neumann door aan te
nemen, dat tengevolge van de relatieve verschuiving van een
aetherdeeltje t. o. v. een ander dit laatste er evenzoo op in-
werkt als het element van een electrische stroom op een
magneetpool.²)

In mathematisch opzicht nog verwant aan de gegeven be^
schouwingen is ook de wijze, waarop Mag Cullagh te werk
gaat en tevens ook de beschouwingen van de electromagnetische
lichttheorie, waarvan de differentiaalvergelijkingen van Mag
Cullagh de formeele voorlooper zijn. In wezen stemmen
beide soorten van vergelijkingen, die van Mag Cullagh en die
van de electro-magnetische lichttheorie overeen.³) Een directe
mechanische interpretatie heeft Mag Cullagh niet gegeven.

Zijn differentiaalvergelijkingen, waarin de rotatiecomponenten
van de verschuivingsvector optreden, hebben de vorm:

^l) Habilitationsschrift: Die Magn. Drehung der Pol. Ebene des Lichtes;
en Über die Aetherbewegung in Kristalle. Math. Ann. 1 (1869) p. 325-358.

^}) Clebscii heeft later dezelfde onderstelling gemaakt ter verklaring
van cirkv. pol. (Theorie der zirk. Pol. Medien J. f. Math. 57 (1860).
Zie Fitjs Geiialu. Phil. Mag. (5) 7 (1879) p. 21«.

0¹u _ 0 _m 0

\' . . _IT ^ 0$ 0 4» 04»

waarin H en L resp. = -^y, ^ en ^r, terwijl

2<ï> = Anf² A₂₂^ A₈sCⁱ 2A₁₂f>₁ 2A₁3f£-f2A2_ll!iC

0 v 0 w 0 w 0 u 0 u 0 v

en s —— "n---ï^-; 1 = "q— — "ir^- en ? = zijn.

0 z 0 y 0 x i/ z 0 y 0 x

Opgemerkt dient te worden, dat de potentiaalfunctie <P,
die hierin optreedt, niet overeenkomt met de elastische
potentiaal.

Deze vergelijkingen van Mac Cüllagh zijn minder algemeen
dan de boven besprokene van Neumann. Ze onderscheiden
zich van elkaar, doordat in die van Mac Cüllagh de derde
afgeleiden van u, v en w naar x, y en z optreden, waar in
die van Neumann eerste afgeleiden staan. Dit onderscheid intus-
schen is niet essentieel, daar het er slechts op aankomt, het
optreden van afgeleiden van oneven rangorde Ie motiveeren.
Legt men intusschen de vergelijkingen van Mac-Cullagh niet
in electro-magnetische zin uit, dan hebben zij (Zie P. Volk-
mann. „ Vorlesungen über die Theorie des Lichtes") meer
mathematische als physische beteekenis. \')

1  Vergelijk overigens Wangeiun. Enzykl. Math. Wiss. V III 1. 21.

HOOFDSTUK IV.

Toepassing op <le theorie van de soortelijke warmte.

Wij zullen in dit hoofdstuk volgens de theorie van üebije
de soortelijke warmte bepalen, die een medium bezit, waarvoor
de bewegingsvergelijkingen de in Hoofdstuk I aangegeven
vorm hebben.

Bij toepassing op een elastisch lichaam, waarvoor de ver-
gelijkingen de gebruikelijke vorm hebben, heeft de theorie
van Debije de volgende gedaante:

Wij denken ons een kubus, waarvan de deeltjes (elastische)
trillingen uitvoeren \'), zoodanig, dat op de wanden van de
kubus voldaan wordt aan de randvoorwaarde, dat de com-
ponent van de uitwijking loodrecht op de wand steeds gelijk
is aan nul. Dan wordt gevraagd te bepalen het aantal mogelijke
bewegingen van verschillende frequentie met trillingsgetal
kleiner dan een voorgeschreven getal p (of beter gelegen
tusschen p en p -f- d p). Bij dit alles de onderstelling, dat de
waarden der frequentie\'s groot zijn, in aanmerking te nemen.

De elastische differentiaalvergelijkingen, waaraan voldaan
moet worden, luiden:

(A (*) ^ ^{A2 u} = P 0 _t2

. ö . _A2 #²v
^{V =} />0T2

Om hieraan nu te voldoen, stellen wij:

u = Ai e*^x e¹^
v = A₂ e"^{x ri}. e\'^pt
w = A_s ^ e\'P¹
De grootheden x (3 en y, Ai A₂ en A₃ worden dan, al
naar het noodig is, imaginair gedacht. Als randvoorwaarden
krijgen wij dan, indien wij de ribbe van de kubus 2 a noemen
en de oorsprong in het middelpunt van de kubus denken:

iVoor x == ± a u = 0 dus «a = ki?r x — — rr

a

„ y=±a v = 0 „ 0 a = k₂ jr (3 = — _T

a

„ z = ± a w = 0 „ y a = k₃ - y = — t

tl

waarin ki, k₂ en k₃ willekeurige, doch (jeheelc getallen voorstellen.

Substitueeren wij dit in de differentiaalvergelijkingen, dan
komt er:

(A ^)«/3A, [(A ^)_/3² _/^^²-^p²]A₂ (A ^)_/3_rA₃ = 0
(A _iu)«rA, (AH-^)/3?\'A₂ [(A ^)_r² _A4Sa²-/_}p^a]A₈ = 0
een stel van 3 lineaire homogene vergelijkingen in Ai, A₂ en
A₃; de voorwaarde, dat er een oplossing bestaat, is:

De eerste factor geeft longitudinale trillingen, de tweede dub-
bele factor (hij staat immers in zijn quadraat) de transversale.
Wij krijgen dus:

p p

Vullen wij hierin de waarden van (3 en y, volgens (178)
in, dan komt er:

^(k,²-f k₂² k₈²)
p X*

p,2=p₈2₌₌^ ^(_kl2 _k22 _kl2)
p X

en dus, als wij bedenken, dat er was voorgeschreven pi
(respect. p₂ en P3) ^ p, hebben wij:

ki-² k₂² f k₃² g

A 2 m\'
resp. k!² k₂² k₃²g^|-^{2 p}-

77 fIj

Nu wordt het aantal oplossingen van deze vergelijkingen
gevraagd. De k\'s zijn hierin de veranderlijke grootheden, zij
moeten geheele getallen zijn. Schrijven wij:

_x2 1 _v2 1 _?2 < ^P-² -i-

x -f y i- z _{= A} 9 ^

resp.

_{x2 y2 z2}g?lE² t

^J — Tt^l fJt,

en beschouwen x, y en z als coördinaten van een punt, dan
is x² y² z² gelijk aan het quadraat van de afstand van
het punt (x, y, z) tot de oorsprong en is dus de vraag, die
ons bezighoudt, terug te brengen tot de volgende:

Hoe groot is het aantal roosterpunten \') binnen of op
de bol, met straal

?_P \\/ P
7T V A 2/>t

ap I / p

resp. — 1/ —,

¹ it ^r M gelegen.

Nu bewijst Landau in „Uber die Anzahl der Gitterpunkte
in gewissen Bereiche" (Zie „Nachrichten von den Kön. Ges.
der Wiss. zu Gott. Math. Phys. Klasse 1912 blad 687-771),
dat dit aantal is

⁴/s r r³ 0 (r ³/i «)
Hierin stelt r voor de straal van den bol. 0 — het teeken
van Landau — beeft de beteekenis van een correctieterm, die
voor groote waarden van r nul wordt. 0 (r\'/j e) stelt voor
een term, die voor groote waarden van r nul wordt van de
orde ^a/-> s (s stelt als steeds voor een willekeurig klein,
doch positief getal).

Afgezien van de correctieterm is dit resultaat van Landau
trouwens plausibel, waar toch - r³ voorstelt de inhoud
van den bol.

Passen wij dit resultaat nu toe op ons geval, dan krijgen wij

A V,

iT - -

Voeren wij ten slotte nog in het volume van de kubus
V = (2a)³-, en verder voor frequentie, in overeenstemming met

Debye niet p, maar - — (dus niet het aantal trillingen in 2 z

1 7t

seconden maar dat in één sec.) nemende, dan gaat dit over in:

V»

A 2 (X
7.

ft

^4/3P\'^8V(^)^{A tWGe Gn a}\'^S

met Debye het aantal vrijheidsgraden voor het niet-oriënteer-
bare medium voorstellen door Z<> hebben wij:

.£1*

voor het aantal eigentrillingen met trillingsgetal < p.
Debye schrijft nu verder:

Z = V p³ F, waarin dus

A 2 fl

Voor de maximale frequentie pin krijgt hij dan:

/3 NV/*

is het aantal atomen in V. üe karakteristieke temperatuur

wordt dan
t

= _pi(|₁₌elementair werkingsquantum = 7.10.10~²⁷erg. sec.

k.

k = BoLTZMAN\'sche constante = 1.47.10^-16)
De functie F van de elastische grootheden, wordt voor
het door ons beschouwde geval van een oriënteerbaar me-
dium anders. Wij stellen ons nu ten doel deze te bepalen.

Differentiaalvergelijkingen voor het georienteerde elastische
medium luiden:

^ ^U (* £) ■ ^{U =} P&_t2 ^enZ\'

(Vergelijking (49)—(54) hoofdstuk I)
De randvoorwaarden luiden:
Voor x = ± a moet u = 0 en u = 0
Voor y = ± a moet v = 0 en z = 0
en voor z = ± a moet w — 0 en <r = 0

Om hieraan te voldoen, stellen wij u, v, w, y. en <r evenredig
met de factor e^a x & ^y r z 1 p 1 en met een constante
en krijgen weer, juist als boven, uit de randvoorwaarden:

_ki _
a

k₃

r=-*>
• ii

Substitueeren wij dit weer in de differentiaalvergelijkingen,
dan komt er:

lb li)*² l*2*² — pv*}Ai (>L ti)*pAi {\\ it)ct_rA»
[(„- (v ë)oc(3 B2-f-(v f)*_yB₈=0

(v f)^_rB_I [(v f)/3² f2«²|B₂ (v ^)/3_rB₃ = 0
(a4\'p)ay Al (a (j) /3 r Ao [(a 4-/*) r² —/> p²] A₈ -f

[(v f),«² 4- f E *²3 A, 4- [(» £)*/3 4- py] A, 4-
O £)« r -1* 0] As 4- [(n f O «² £ 12 *² - r p²] B, 4-
4- (-,, 4 fi) « |S B₂ 4- fi)«Bs = 0

[(„ I)«/3-ft y] At [(* S)/3² £ s *²] A₂
[(v f)|3y   (v, ft)«/3Bi

4- [(vi ft)/3² -4- ft2>² - rp²] B₂ (y, -H ft)/3?-B₃ = O

[(y £)« y ft (3] A, O 4- f) (3 y - fA. cc] Ao

4- (n fi) (3 r B₂ 4- [(y, 4- ft) r² 4- ft 2 - r p²] B_s = 0

een stel van zes lineaire homogene vergelijkingen in Ai, A₂,
As, Bi, B₂ en B₃; de voorwaarde dat deze een van nul
verschillende oplossing bezitten, is, dat de determinant der
coëfïicienten gelijk aan nul is. In de elementen van die
determinant treden naast termen van de tweede graad in cc, (3. y
ook termen yan de eerste graad. Daar het probleem opgelost
moet worden voor groote waarden van p, dat is dus voor

groote waarden van de k\'s, of dus ook van cc, /3 en y (cc = - z

<1

enz.) mogen we bij eerste benadering de laatste tegenover de
eerste verwaarloozen.

Ontwikkelen wij deze determinant, dan komt er:
[p.T p\' -\\p(vi 2 4- r (A 4- 2 r)! p² 2£)²-

-(A 2 (jc) (vi4-2?,)(S«^s)³]X
X [p T p¹ - Oi r 4- p &) P² £ a² 4- (tl fi - S^t2) (2 «W = 0
De eerste factor geelt de longitudinale trillingen, de tweede
dubbele factor (hij staat immers in zijn kwadraat) geeft de
transversale golven.
Wij krijgen dus:

_<>p(vi4-2ft)4-r(A4-2^) ,

p\'-\'i en r —

±2^l\\p(vi 4-2ft)4-r(A4-2^)|²4-4^r|(v4-2£)²-
— (a 4" 2 ft) (vi 4~ 2 ft) I ] 2 a²

p²2 (\'II 2\' - p²3 (\'11 3\' -

0 Zooals wij in hoofdstuk III op blz. 53 zagen, is de
voorwaarde:

(ft T P ft)² > 4 (ft ft — £²) P T
of (pr 4-^i)²-4(Atft —p)p r>0

steeds vervuld.

Wij overtuigen ons gemakkelijk, dat dit resultaat overeen-
stemt met dat voor het geval van het niet-georienteerde
medium. Wij merken dan op, dat als wij aan alle elasticiteits-
coëfficiënten, die ter bepaling van de invloed van de oriëntatie
nieuw zijn ingevoerd, de waarde nul toekennen, de oplossingen
voor de frequentie\'s p overgaan in die voor het medium
zónder oriëntatie. Wij krijgen dan:

p*. _cn i±lü ± [_T. ft. 2 V, = iilfi of = 0

2 p 2 p t p

p²2 cn = _p2₃ en ..si-ijL^ r)²!¹/» = £ of = 0
2 p 2 p t p

hetgeen overeenstemt.

Verder verloopt de berekening geheel analoog aan de theorie
van het niet-georiënteerde medium, zoodat wij als resultaat
krijgen:

Z georiënteerd = ⁴/_s n V p³ [2 (c₂)³A-t-2 (ca¹)⁵/» (c,)³A (ci0\'A]
waarin

e, - j  _±_L_(l,<„ _2fl)_

- r (A 2^)|²- 4pr |(v-f- 2f)² - (A 2^) (^-f \'

en

Dus is\'de wortel, die in p²2 cn 2- en in p²s en s* voorkomt steeds
reëel; opdat verder de waarde kleiner is dan pr
moet fx fi — £²>0 zijn; is dat het geval, dan zijn de groot-
heden p₂, p₂\', p₃ en p₃\' steeds reëel.

Op geheel dezelfde wijze toont men aan, dat óók pi enp/
altijd reëel zijn onder de voorwaarde dat\'

(A 2 ,4 (vi 2ft)-(v 2f)²>0
want ook de hier optredende waarde onder het wortelteeken
is steeds >0, immers:
!/»(yi 2ft) r(A-f 2^)|² 4_/Jr(v 2f)²-4^r(A-f =

= /?²(>, 2ft)² r²(A 2^)²-2p7(A-f  2£)²

= | p(_Vi 2f,)-r(x 2^)ï² !2(, 2£) Vpr\\*
hetgeen een som van kwadraten is en dus essentiëel grooter
dan nul. De hier afgeleide voorwaarden zijn reeds behandeld
in hoofdstuk III voor longitudinale golven op blz. 39 (noot),
voor transversale op blz. 53 (noot).

— i

C₂ en 2¹-

¹ I -X fJ i S1 - S ^

pr lp

De functie F van Debye wordt nu dus voor liet georiënteerde
medium:

F = ⁴/s ~ [2 c₂³/i 2 c₂^,3/i ci³A ei-³/,]

De maximum frequentie wordt weer:

(3 N\\¹A

^pl en de karakteristieke temperatuur 0:

M ₌ ^h P"\'
k

Wij vestigen de aandacht op het feit, dat onze beschou-
wingen als bijzonder geval in de algemeene theorie der
kristalnetten, zooals Born die in zijn Dynamik der Kristal-
gitter ontwikkeld heeft, begrepen zijn.

1  Vergelijk M. Born 1. c. p. 37 c. v.

Stellingen.

Stellingen.

ï.

De methode, waarop Volterra elastische hysteresis behandelt,
is in strijd met het causaliteitsbeginsel.

(Volterra. Fonctions de lignes Hfdst. VI.)

2.

Bij de behandeling der elastische hysteresis is de methode
van Prandtl te verkiezen boven dié van Volterra.

(Enzykl. Math. Wiss. IV 2 II.)

3.

De theorie van Lindemann voor het geleidingsvermogen van
metalen bij lage temperaturen is onjuist.

(Sitz. Ber. Kün. Pr. Ak. v. Wiss. z. Berlin 1911 blzd. 31(>.)

4.

Een overzicht van de toepassingen der integraalvergelijkingen
in de mathematische physica is gewenscht.

5.

De mooie resultaten, welke met de electronentheorie zijn
bereikt, geven niet het recht, om de positie dezer theorie als
onaantastbaar te beschouwen.

6

Keesing heeft gelijk, waar hij Forsvtii aanvalt, als deze de
methode van Laplace behandelt ter oplossing van differentiaal-
vergelijkingen door middel van bepaalde integralen.

(Forsyth. Differential equations 4th ed. 1914 p. 277 en vlg.

Keesing. Nieuw Archief II 8 1909 blad. 201.)

7.

In de hoogere algebra vangt men de behandeling van de
hoogere machtsvergelijkingen dikwijls aan met niet scherp
genoeg te definiëeren, wat men verstaat onder het oplossen
van hoogere machtsvergelijkingen.

8.

Het is toe te juichen, dat Van der Corput voor het aantal
roosterpunten binnen een gebied, gebied en kromme bepaalt
met de definitie\'s, zooals wij die kennen in de theorie der
verzamelingen.

(v. d. Cokpüt Dissertatie. Hfdst. I. § 15 en vlg.)

9.

Het. vraagstuk, door Prof. Hk. de Vries behandeld in Versl.
K. A. 28.9.12 kan ook opgelost worden, door de gezochte
meetkundige plaats te beschouwen als een contactoppervlak.

10.

Terecht zegt Böger: „Thatsächlich bringt aber die Ein-
führung der imaginairen Punkte (in die Geometrie der Lage)
kein Gewinn".

(Böger. Ebene Geonietris der Lage.)

11.

Voor de praktijk is het wenschelijk, de H.B.S. 5 jarig te
laten, en niet G jarig te maken.

12

In tijden van niet zeer groote koersschommelingen in de
waarden der effecten is het voor den premiemakelaar, bij
verkoopen van een „keur in kooper\'s keuze", of bij koopen
van een „keur in verkooper\'s keuze" voldoende, als hij in
zijn tegenpositie koopt een premie „te leveren of (te ont-
vangen)" voor \'120 van het aantal stukken, waarover de
keur loopt (de vaste stukken dus niet meegerekend).

ij\'